авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 8 |

«Современная математика. Фундаментальные направления. Том 43 (2012). С. 3–172 УДК 517.946+517.98 ...»

-- [ Страница 4 ] --

Доказательство. A). Из равномерной сходимости сильно непрерывных сжимающих полугрупп ULn (t) следует сильная непрерывность оператор-функции U(t) и ее равномерная ограни ченность единицей по операторной норме. Полугрупповое свойство имеет место, поскольку при любом u0 H вектор U(t)U(s)u0 = lim ULk (t) lim ULn (s)u0 совпадает с вектором n k U(t + s)u0 = lim ULk (t)(ULk (s)u0 ). Действительно, k lim ULk (t) lim ULn (s)u0 lim ULk (t)(ULk (s)u0 ) = n k k H lim ULk (t) lim ULn (s)u0 ULk (s)u0 lim ULn (s)u0 ULk (s)u = lim = H n n k k H = lim U(s)u0 ULk (s)u0 = 0.

H k B). Согласно теореме 3.4 в [55] последовательность резольвент (Ln + I)1 сходится в сильной операторной топологии пространства B(X) к резольвента (A + I)1.

8. АППРОКСИМАЦИЯ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ КОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ 1). Обозначим через сильный граф-предел последовательности операторов {Ln }, а через A — график оператора A. Тогда если (u, v), то существует такая последовательность {un } элементов пространства X такая, что un D(Ln ) при каждом n N, un u 0 и Ln un v 0 при n.

Положим wn = (A + I)1 (Ln + I)un. Тогда wn D(A) и wn un = [(A + I)1 (Ln + I)1 ](Ln + I)un = = [(A + I)1 (Ln + I)1 ]((Ln + I)un v u) + [(A + iI)1 (Ln + I)1 ](v + u).

Значит, wn un 0 при n. Кроме того, Awn = Ln un + (un wn ), и поэтому Awn v 0 при n. Следовательно, u D(A) и Au = v. Поскольку оператор A = A. Таким образом, A.

генерирует полугруппу, то он замкнут и A 2). Пусть u D(A). Положим un = (Ln + I)1 (A + I)u. Тогда un D(Ln ) для любого n N. В силу сильной резольвентной сходимости последовательности Ln к оператору A выполняется равенство lim un u = 0. Поскольку Ln un = (A + I)u un, то Ln un Au 0 при n n. Следовательно, (u, Au) для любого u D(A) и поэтому A.

Замечание 8.4. В монографии [92] отмечено, что если последовательность самосопряженных операторов сходится к самосопряженному пределу в топологии сильной резольвентной сходимости, то предельный оператор есть также и сильный граф-предел последовательности. Для рассматрива емой нами последовательности операторов Ln в банаховом пространстве независимо установлены и сильная резольвентная сходимость, и сильная граф-сходимость. В рассмотренном в работе [97] случае, в частности, имеют место сильная резольвентная сходимость и сильная граф-сходимость последовательности регуляризованных самосопряженных операторов Ln, но предельный оператор не является самосопряженным.

8.5. О регуляризации задачи Коши в гильбертовом пространстве. Пусть производящий опе ратор L задачи Коши (1), (2) задан дифференциальным выражением с вырождением главной части и является плотно определенным линейным оператором в гильбертовом пространстве H. Приме ним к изучению задачи Коши (1), (2) метод регуляризации, изложенный выше для уравнений в банаховом пространстве X.

Определение 8.4. Назовем максимальной диссипативной регуляризацией плотно определен ного оператора L задачи Коши (1), (2) последовательность линейных операторов {Ln } такую, что 1). для любого n N линейный оператор iLn является максимальным диссипативным в про странстве H;

2). существует число q N такое, что:

2A). оператор Lq плотно определен и линейное многообразие Dq = D(Lq+1 ) D(Ln ) nN плотно в пространстве H;

2B). для каждого n N существует линейный ограниченный оператор Qn из гильбертова пространства D(Lq ) в гильбертово пространство D(Ln ), причем Qn u = u для любого u Dq, а последовательность {Qn } удовлетворяет условию: Qn u u H + Ln Qn u Lu H 0 при n для любого u D(Lq );

3). график оператора [L]q = L|D(Lq ) плотен в графике оператора L как в подпространстве гиль бертова пространства H H.

Замечание 8.5. Подчеркнем, что условия 3) и 2А) являются ограничениями сверху на значения величины q. C другой стороны, на параметр q существует ограничение снизу (см. замечание 8. ниже).

Замечание 8.6. Если оператор L является максимальным симметрическим, то условие 3) опре деления 8.4 регуляризации выполняется автоматически (см. [64, п. 4.13.3, стр. 251]).

Будем называть максимальную диссипативную регуляризацию симметрического оператора L самосопряженной (симметрической), если при каждом n N оператор Ln является самосопряжен ным (максимальным симметрическим) оператором в пространстве H.

74 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Пример 8.1. В рассмотренном в разделе 1 модельном примере некорректная задача Коши имеет максимальную диссипативную регуляризацию L, (0, 1), порядка q = 3 с оператором Q, xex /2 u (+0).

определенным равенством Q u(t) = u(t) + p (u, t), где p (u) = Замечание 8.7. При построении последовательности операторов {Qn } для указанной выше регуляризации вырожденного оператора L из примера 8.1 используется существование следов функции из области определения оператора Lq и ее производной по обе стороны границы области вырождения с областью эллиптичности. Поэтому порядок указанной максимальной диссипативной регуляризации есть q = 3 (см. [102]) и при используемой в указанной статье конструкции опера торов Qn не может быть уменьшен. Вопрос о понижении порядка регуляризации за счет выбора иной конструкции операторов Qn в настоящей работе не рассматривается.

Лемма 8.1. Если Ln есть максимальная диссипативная регуляризация симметрического оператора L, то график оператора L принадлежит сильному граф-пределу последовательно сти операторов Ln.

Доказательство. Действительно, любая точка (u, Lu) графика оператора [L]q = L|D(Lq ) является пределом в пространстве H H последовательности точек (Qn u, Ln Qn u) графиков операторов Ln по определению максимальной диссипативной регуляризации. Согласно определению регуляриза ции замкнутый максимальный симметрический оператор L имеет плотно определенную степень Lq и совпадает с замыканием своего сужения [L]q. Следовательно, справедливо утверждение лем мы.

Понятие максимальной диссипативной регуляризации симметрического оператора в H обоб щает понятие его максимального диссипативного расширения, так как если оператор iL имеет некоторое максимальное диссипативное расширение iL, то стационарная последовательность n N, является максимальной диссипативной регуляризацией оператора L порядка q = 1.

Ln = L, Замечание 8.8. Если последовательность {Ln } является симметрической регуляризацией сим метрического оператора L, то последовательность {L } есть максимальная диссипативная регу n ляризация оператора L.

Рассмотрим последовательность регуляризованных задач Коши для уравнений d i u(t) = Ln u(t), t (0, +) = R+, n N, (8.8) dt с начальным условием (2).

Теорема 8.3. Пусть L — максимальный симметрический оператор. Пусть выбрана некото рая самосопряженная регуляризация оператора L и un (t) = eitLn u0, n N, — соответствую щая ей последовательность решений регуляризованных задач (8.8), (2).

Для сходимости последовательности {un (t)} при произвольном t 0 в пространстве H необходимо и достаточно, чтобы задача (1), (2) имела единственное решение u(t), т. е.

выполнено одно из условий: либо n+ = 0 и u0 H, либо n = 0 и u0 H0. В этом случае при каждом T 0 выполнено равенство lim sup un (t) u(t) H = 0.

n t[0,T ] В противном случае, т. е. если n = 0 и PH1 u0 = 0, последовательность решений регуляри зованных задач {un (t)} сходится слабо при каждом t 0 к функции u (t) = UL (t)u0, причем слабая сходимость равномерна на каждом отрезке: для любого v H при каждом T справедливо равенство lim sup |(un (t) u (t), v)H | = 0.

n t[0,T ] Доказательство. Доказательство утверждений теоремы 8.3 проведем в несколько этапов.

1. Если n+ = 0, то оператор iL является генератором изометрической полугруппы UL (t) и задача Коши (1), (2) имеет единственное решение u(t). Тогда, согласно следствию 8.4, после довательность регуляризованных полугрупп {ULn (t)} сходится в сильной операторной топологии к полугруппе UL (t) равномерно на каждом отрезке и выполняется равенство lim sup un (t) n t[0,T ] u(t) = 0.

H 8. АППРОКСИМАЦИЯ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ КОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ 2. Пусть n = 0. Тогда в силу замечания 8.8 из доказанного в пункте 1 утверждения следует сходимость сопряженных полугрупп (ULn (t)) в сильной операторной топологии к изометрической полугруппе UL (t), t 0, откуда вытекает сходимость полугрупп ULn (t) в слабой операторной топологии к сжимающей полугруппе (UL (t)) = UL (t), t 0. При любом u0 H после довательность регуляризованных решений {un (t)} сходится слабо в пространстве H к функции u (t) = UL (t)u0 равномерно на каждом отрезке [0, T ].

3. Если же n = 0, то, согласно теореме 1.2, установленная в предыдущем пункте слабая схо димость последовательности регуляризованных решений {un (t)} является сходимостью по норме на произвольном отрезке [0, T ] тогда и только тогда, когда u0 H0.

Поведение последовательности регуляризованных сжимающих полугрупп полностью определя ется спектральными свойствами вырожденного оператора L — такими, как индексы дефекта и максимальные диссипативные расширения. Пусть L,, — множество всех максимальных симметрических расширений оператора L, а iL,, — множество всех максимальных дисси пативных расширений оператора iL. Описание всех максимальных симметрических расширений симметрического оператора L дают теоремы 2 и 4 раздела 101 монографии [6]. С помощью по добной конструкции Р. Филлипсом дано описание множества всех максимальных диссипативных расширений консервативного оператора (см. [120]). Описание множества всех максимальных дис сипативных расширений симметрического оператора в гильбертовом пространстве приведено в монографии [39]. Там же с помощью необходимых и достаточных условий выделяется класс его максимальных симметрических и самосопряженных расширений.

Теорема 8.4. Пусть L — симметрический оператор задачи Коши (1), (2), а {Ln } — его мак симальная диссипативная регуляризация. Тогда любая последовательность регуляризованных полугрупп ULn (t) содержит подпоследовательность, сходящуюся равномерно на каждом от резке [0, T ] в слабой операторной топологии к слабо непрерывной оператор-функции U(t), t 0.

Доказательство. Если u0 Dq, то последовательность решений un (t) равностепенно непрерывна на полуоси R+. Следовательно, при каждом значении t0 R+ последовательность un (t0 ) ком пактна в слабой топологии пространства H. Поэтому для каждого t0 R+ существует некоторая подпоследовательность unk (t0 ), имеющая слабый предел u (t0 ). Выделяя диагональную подпосле довательность, устанавливаем существование такой последовательности nk, что функциональная подпоследовательность unk (t) сходится в слабой топологии H поточечно на множестве рациональ ных значений t R+. В силу определения регуляризации из условия u0 Dq следует существова ние такого числа c(u0 ) 0, что выполнено неравенство sup Ln u0 H c(u0 ). Следовательно, функ nN циональная последовательность {un (t)} равностепенно непрерывна по норме пространства H. Из равностепенной непрерывности последовательности unk (t) и ее поточечной сходимости на счетном всюду плотном подмножестве полуоси R+ следует ее сходимость в слабой топологии простран ства H, равномерная на каждом отрезке полуоси R+.

Выделим из линейного многообразия Dq счетное плотное в H множество функций S. Тогда существует такая монотонно возрастающая последовательность натуральных чисел nk, что для любого u0 S последовательность ULnk (t)u0 сходится равномерно на каждом отрезке [0, T ] к некоторой слабо непрерывной функции u (t) C w (R+, H). Поскольку множество S плотно в про странстве H, а все полугруппы ULnk (t) являются сжимающими в H, то равномерная на каждом отрезке полуоси R+ сходимость в слабой топологии пространства H имеет место для каждой последовательности ULnk (t)u0 при u0 H. Тогда семейство линейных сжимающих отображе ний U(t), t 0, действующих в пространстве H по правилу U(t)u0 = u (t) = lim ULnk (t)u0, есть k непрерывное в слабой операторной топологии пространства B(H) отображение полупрямой R+ в пространство B(H).

Замечание 8.9. Сходимость последовательности полугрупп линейных операторов в сильной операторной топологии, равномерная на каждом отрезке [0, T ], обеспечивает полугрупповое свой ство для предельной оператор-функции. Но сходимость последовательности полугрупп линейных операторов в слабой операторной топологии, равномерная на каждом отрезке [0, T ], не гарантирует 76 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ полугруппового свойства для предела. Примеры нарушения полугруппового свойства для слабых пределов можно найти, например, в работе [162].

Теорема 8.5. Пусть L есть симметрический оператор в пространстве H и {Ln } — неко торая максимальная симметрическая регуляризация оператора L. Тогда любой частичный предел последовательности {ULn (t)} в сильной операторной топологии, равномерной на каж дом отрезке вида [0, T ], есть одна из полугрупп UL (t).

Доказательство. Предположим, что установленная в теореме 8.4 сходимость последовательно сти полугрупп ULnk (t) является сходимостью в сильной операторной топологии, равномерной на каждом отрезке вида [0, T ]. Тогда семейство преобразований U(t), t 0, является сильно непре рывной изометрической полугруппой в пространстве H. Действительно, для любого u H выпол няются равенства U(t + s)u U(s)U(t)u = lim U(s)Lnk [U(t)Lnk u U(t)u], поэтому неравенство k U(t + s)u U(s)U(t)u H U(t)Lnk u U(t)u H справедливо для любого k и, следовательно, выполняется полугрупповое свойство. Свойства изометричности и сильной непрерывности следу ют из равномерной сходимости и изометричности каждой из регуляризованных полугрупп.

Согласно теореме Хилле—Иосиды (см. [55, гл. 3]), полугруппа U(t), t 0, в H обладает максимальным диссипативным консервативным генератором iA.

Лемма 8.2. Если выполнены условия теоремы 8.4 и последовательность регуляризованных полугрупп ULn (t) сходится в сильной операторной топологии к полугруппе U(t), генератором которой является консервативный оператор iA, то тогда сильный граф-предел последова тельности операторов {Ln } есть график оператора A.

Доказательство леммы 8.2 дословно повторяет доказательство теоремы 8.2 с учетом поворота в комплексной плоскости на угол.

Тогда в силу леммы 8.1 график оператора L принадлежит графику оператора A и оператор A — симметрический оператор в H. Таким образом, оператор A является симметрическим расширением L оператора L.

Следствие 8.5. Пусть индексы дефекта симметрического оператора L суть (n, n+ ), n n+ и {Ln } — некоторая максимальная симметрическая регуляризация оператора L.

Тогда любой частичный предел последовательности регуляризованных полугрупп {ULn (t)} в сильной операторной топологии есть одна из полугрупп UL (t),. В частности, если n n+, то последовательность регуляризованных полугрупп {ULn (t)} не имеет подпоследовательности, сходящейся в сильной операторной топологии равномерно на произ вольном отрезке [0, T ]. Наоборот, если n n+, то для любого найдется максимальная симметрическая регуляризация такая, что последовательность регуляризованных полугрупп сходится к полугруппе UL (t).

Два первых утверждения доказаны в теореме 8.5. Для любого стационарная последова тельность Ln = L, n N, образует максимальную симметрическую регуляризацию с требуемым свойством.

Замечание 8.10. Утверждение леммы 8.2 является, как и теорема Троттера—Като—Неве (см. [55, гл. 2.1]), критерием сходимости последовательности полугрупп в сильной операторной топологии, равномерной на произвольном отрезке, использующим поведение последовательности графиков генераторов регуляризованных полугрупп. Другой критерий в терминах сходимости гра фиков операторов приводится монографии [21, теорема 3.1.28]. Указанная теорема утверждает, что сходимость последовательности полугрупп в сильной операторной топологии, равномерной на произвольном отрезке, равносильна тому, что сильный граф-предел последовательности графиков резольвент их генераторов плотно определен и имеет плотную область значений, причем при вы полнении этого условия сильный граф-предел последовательности резольвент является графиком резольвенты предельной полугруппы. В отличие от леммы 8.2, теорема 3.1.28 из [21] имеет дело с последовательностью графиков ограниченных операторов.

Обозначим через Gw совокупность элементов (u, v) гильбертова пространства H H таких, что для каждой точки (u, v) Gw найдется последовательность {uk }, удовлетворяющая следующим трем условиям:

8. АППРОКСИМАЦИЯ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ КОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ 1). uk D(Lk ) для любого k;

2). последовательность {uk } сходится слабо в пространстве H к элементу u;

3). последовательность {Lk uk } сходится слабо в пространстве H к элементу v.

Таким образом, Gw есть множество предельных точек последовательности {Lk } графиков опера торов Lk в слабой топологии гильбертова пространства H H.

Лемма 8.3. Пусть выполнены условия теоремы 8.4 и последовательность регуляризованных полугрупп ULn (t) сходится в слабой операторной топологии к полугруппе U(t), генератором которой является оператор iA. Тогда сильный и слабый w граф-пределы последователь ности операторов {Ln } и график оператора A удовлетворяют вложениям:

A w.

Доказательство. Из сходимости последовательности полугрупп ULn (t) в слабой операторной топологии к полугруппе U(t) равномерно на каждом отрезке следует сходимость резольвент (Ln + iI)1 производящих операторов в слабой операторной топологии к резольвенте (A + iI)1.

1. Обозначим через сильный граф-предел последовательности операторов {Ln }, а через A — график оператора A. Тогда если (u, v), то существует последовательность {un } элементов пространства H такая, что un D(Ln ) при каждом n N, un u 0 и Ln un v 0 при n.

Положим wn = (A + iI)1 (Ln + iI)un. Тогда wn D(A) при любом n N, и wn un = (A + iI)1 (Ln + iI)1 (Ln + iI)un = = (A + iI)1 (Ln + iI)1 ((Ln + iI)un v iu) + (A + iI)1 (Ln + iI)1 (v + iu).

Значит, wn un сходится к нулю слабо в пространстве H при n. Выбор последователь ности {un } обеспечивает сходимость по норме последовательности {un } и последовательности wn = (A + iI)1 (Ln un + iun ), n N, поскольку оператор (A + iI)1 ограничен. Поэтому разность wn un сходится по норме в пространстве H, а ее предел совпадает со слабым пределом. Таким образом, lim wn un H = 0.

n Кроме того, Awn = Ln un + i(un wn ), и поэтому Awn v 0 при n. Следовательно, u D(A) и Au = v. Поскольку оператор A генерирует полугруппу, то он замкнут и A = A.

Таким образом, A.

2. Пусть u D(A). Положим un = (Ln + iI)1 (A + iI)u. Тогда un D(Ln ) для любого n N.

В силу слабой резольвентной сходимости последовательности Ln к оператору A, для любого v H выполняется равенство lim |(un u, v)| = lim |(((Ln + iI)1 (A + iI)1 )(A + iI)u, v)| = 0.

n n Поскольку Ln un = (A + iI)u iun = Au + i(u un ), то Ln un сходится слабо в пространстве H к элементу Au. Следовательно, (u, Au) w для любого u D(A) и поэтому A w.

Теорема 8.6. Пусть индексы дефекта симметрического оператора L суть (n, n+ ), 0 n n+ и {Ln } — некоторая максимальная диссипативная регуляризация оператора L.

Тогда если частичный предел U(t), t 0, последовательности {ULn (t)} в слабой операторной топологии, равномерной на каждом отрезке вида [0, T ], является полугруппой, то полугруппа U(t), t 0, есть одна из полугрупп UL (t),.

Доказательство. Полугруппа U(t) непрерывна в слабой операторной топологии в силу теоре мы 8.4, а следовательно, и в сильной операторной топологии (см. [51, теорема гл. 9.1.1, стр. 322]).

Если iA — генератор предельной полугруппы, то, как следует из леммы 8.3, iA есть макси мальное диссипативное расширение оператора iL.

Следствие 8.6. Пусть оператор L задачи Коши (1), (2) имеет самосопряженную регуляри зацию {Ln, n N} порядка q. Тогда если существует такая строго монотонно возрастающая последовательность натуральных чисел {nk }, что для любого u0 Dq последовательность ре гуляризованных решений {unk (t)} сходится по норме пространства H равномерно на любом отрезке [0, T ] к некоторой функции u(t), t 0, то заданное при всех t 0 семейство отоб ражений U(t) : u0 u(t), t 0, u0 Dq, продолжается до изометрической полугруппы в пространстве H, генератором которой служит одно из максимальных диссипативных кон сервативных расширений оператора L.

78 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Доказательство. Поскольку регуляризация iLn является самосопряженной, то из сходимости регуляризованных полугрупп в сильной операторной топологии следует консервативность предель ной полугруппы. Согласно теореме 4.5 из [65], оператор A является максимальным диссипативным консервативным оператором. Из теоремы 8.5 вытекает, что генератор A предельной полугруппы является сильным граф-пределом последовательности {Lnk }, а согласно определению регуляриза ции, график оператора L лежит в сильном граф-пределе последовательности операторов {Lnk }.

Следствие 8.7. Пусть L — симметрический оператор в пространстве H. Тогда для любо го найдется максимальная диссипативная регуляризация {Ln } такая, что пределом последовательности полугрупп {ULn } в слабой операторной топологии является полугруп па UL (t).

Действительно, в качестве искомых регуляризаций можно выбрать стационарную последова тельность. Однако при практическом применении метода эллиптической регуляризации исполь зуется, как правило, последовательность регуляризованных операторов более высокого порядка (подобная указанной в примере 8.1 или замечании 8.7). Возникает вопрос о множестве частич ных пределов регуляризованных полугрупп. Теорема 8.5 утверждает, что множество генераторов частичных пределов последовательностей регуляризованных полугрупп в сильной операторной то пологии есть подмножество множества максимальных симметрических расширений вырожденного оператора исходной задачи. Следствие 8.5 уточняет, что два указанных множества совпадают.

Аналогично, теорема 8.6 утверждает, что множество генераторов частичных пределов последова тельностей регуляризованных полугрупп в слабой операторной топологии, являющихся полугруп пами, есть подмножество множества максимальных диссипативных расширений вырожденного оператора исходной задачи. Следствие 8.7 уточняет, что два указанных множества совпадают.

Следствие 8.8. Пусть L — симметрический оператор и {Ln } — его симметрическая макси мальная диссипативная регуляризация. Если n n+, то любая последовательность регу ляризованных полугрупп {ULn (t)} не имеет подпоследовательности, сходящейся в сильной операторной топологии при всех значениях t 0.

Доказательство. Предположим противное: пусть последовательность полугрупп сходится в силь ной операторной топологии при всех значениях t 0. Тогда, поскольку для векторов u0 Dq последовательность решений регуляризованных задач ULn (t)u0 равностепенно непрерывна на по луоси t 0, то сходимость ее является равномерной. Поэтому, так как линейное многообразие Dq плотно в H, то последовательность регуляризованных полугрупп ULn (t) сходится в сильной операторной топологии равномерно на любом отрезке вида [0, T ]. Предельная полугруппа является сильно непрерывной полугруппой изометрий и генерирует ее одно из максимальных симметри ческих расширений оператора L. Но тогда n n+, следовательно, справедливо утверждение следствия.

Введенное понятие максимальной диссипативной регуляризации некорректной задачи обобща ет исследуемое в работах [7, 115] понятие регуляризующего алгоритма в том смысле, что для определения регуляризующего алгоритма требуется существование (возможно, не единственного) решения некорректной задачи, которое регуляризующий алгоритм аппроксимирует при стремлении к нулю параметра регуляризации (см. [7, п. 1.2]). Для определения понятия максимальной дисси пативная регуляризации линейной некорректной задачи требуется лишь плотная определенность оператора задачи. В случае отсутствия решения некорректной задачи максимальная диссипативной регуляризация определяет такое обобщение понятия решения задачи, что множество обобщенных решений проявляет независимость по отношению к выбору конкретной последовательности, пред ставляющей регуляризацию, и устойчивость по отношению к малым изменениям коэффициентов дифференциального выражения.

Замечание 8.11. Поведение последовательности решений регуляризованных задач не зависит от выбора максимальной диссипативной регуляризации или выбора временного промежутка и определяется свойствами вырожденного симметрического оператора исходной задачи. Отметим, что задача может иметь самосопряженные регуляризации, не являющиеся максимальными дис сипативными, для которых последовательность решений может сходиться по норме к функции, отличной от единственного решения исходной задачи (см. [102]).

8. АППРОКСИМАЦИЯ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ КОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ 8.6. Приложения и примеры регуляризаций вырожденных операторов второго порядка.

Пример 8.2 (Регуляризация оператора с вырождением в области пространства). Одним из при меров обобщенной последовательности регуляризованных операторов Ln, аппроксимирующих опе ратор (6.1) с вырождением в области пространства, является последовательность операторов ви n да (6.1), коэффициенты gkj (x) при старшей производной которых суть gkj (x) = gkj (x) in kj, n (8.9) где kj — символ Кронекера, а {n } есть некоторая бесконечно малая последовательность положи тельных чисел. Можно показать, что при каждом n 0 оператор iLn с максимальной областью определения самосопряжен.

Для описанного выше модельного примера вырожденного оператора и его регуляризации спра ведливо следующее утверждение о сходимости последовательности регуляризованных унитарных полугрупп ULn (t) = etLn, t 0.

Теорема 8.7. Пусть выполнено неравенство (6.3). Тогда если (a+, ) 0 на поверхности, то последовательность регуляризованных унитарных полугрупп ULn (t), t 0, сходится в сильной операторной топологии пространства B(L2 (Rd )) равномерно на каждом отрезке к изометрической полугруппе U(t), генератором которой является максимальный диссипатив ный консервативный оператор L. Если (a+, ) 0 на поверхности, то последовательность регуляризованных унитарных полугрупп ULn (t), t 0, сходится в слабой операторной тополо гии пространства B(L2 (Rd )) равномерно на каждом отрезке к сжимающей полугруппе U (t), генератор которой есть максимальный диссипативный оператор L.

Для рассматриваемого выше примера справедливо следующее утверждение.

Утверждение 8.1. Регуляризация Ln, n N, задачи Коши для уравнения (6.2) с начальным условием (2), определенная формулой (8.9), является степенной регуляризацией порядка q = 2.

Действительно, оператор Qn в рассматриваемой в примере регуляризации сопоставляет функции u D(Lq ) функцию u + n F(u) D(Ln ). Здесь — характеристическая функция области.

Оператор F есть линейный оператор продолжения функции u из гильбертова пространства W2 () 2 (Rd ). Тогда линейный оператор F из простран до функции F(u) из гильбертова пространства W 2 ства W2 () в пространство W2 (Rd ) непрерывен. Действительно, выберем некоторый базис в се 2 (). Согласно теореме 5-I из [110], для каждого вектора u выбран парабельном пространстве W2 k ного базиса определено продолжение Uk F(uk ) W2 (Rd ) такое, что Uk W2 (Rd ) C uk W2 () с 2 постоянной C, не зависящей от выбора базисного вектора. Определенное на векторах базиса отоб ражение F единственным образом продолжимо по линейности и непрерывности на пространство W2 () с сохранением нормы.

Непосредственные оценки показывают, что определенный выше оператор Qn удовлетворяет всем условиям определения 8.3 при q = 2. Выше было установлено, что при выполнении усло вия (, a+ ) 0 оператор L является максимальным диссипативным. Тогда первое утверждение теоремы (8.7) вытекает из следствия 8.3. Второе следует из теоремы о сходимости последователь ности сопряженных полугрупп (см. теорему 8.3).

В заключение отметим, что мы сделали достаточно ограничительные предположения относи тельно гладкости коэффициентов уравнения в связи с невозможностью применить методы W2 теории (в терминах [73]) из-за вырождения квадратичной формы оператора L. Для изучения задачи на области определения оператора L методами W2 -теории сделанные нами предположения являются естественными.

В работе [45] исследован оператор вида (6.1), в котором матрица G(x) имеет вид (x)I, где I — единичная матрица размерности d, а вырождение неотрицательной функции является слабым в том смысле, что + 1 L1,loc (Rd ). При таких условиях установлена компактность последо вательности регуляризованных операторов в топологии сильной резольвентной сходимости. Рас смотренные нами задачи с вырождением не удовлетворяет указанному условию. Более сильное вырождение оператора на множествах положительной меры приводит к изменению качественных 80 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ свойств последовательности регуляризованных операторов. Действительно, если индексы вырож денного оператора удовлетворяют условиям следствия 8.8, то из отсутствия сходимости после довательности регуляризованных полугрупп в сильной операторной топологии следует, согласно теореме Троттера—Като (см. [51]), отсутствие сильной резольвентной сходимости их производя щих операторов, которая неизбежна при выполнении условия + 1 L1 (Rd ).

Пример 8.3. Регуляризация оператора с вырождением в полупространстве по нормали и по касательной к границе области вырождения. Оператор Шредингера (6.8) с вырождением в на правлении, нормальном к границе раздела, является максимальным симметрическим с индексами (n, n+ ) = (+, 0) при a 0, симметрическим с индексами (n, n+ ) = (0, +) при a 0 и самосопряженным при a = 0. Семейство операторов, заданных дифференциальными выражениями u u L u(t, x, y) = (x) (t, x, y) + (x) (t, x, y) + x x x i u ((x)u(t, x, y)) 2 u(t, x, y), (0, 1), (8.10) + a (x) (t, x, y) + 2 x x y является самосопряженной регуляризацией оператора L.

Область определения оператора L, задаваемого в пространстве L2 (R2 ) дифференциальным вы ражением (8.10), определяется теми же условиями, что и область определения оператора L, за данного дифференциальным выражением (6.8), и представляет собой следующее линейное много образие:

D(L ) = {u M : u(0, y) = u(+0, y), u (0, y) = u (+0, y) + i(a/2)u(+0, y), a.e. y R}.

Здесь M есть множество функций, сужения которых на области ± принадлежат пространствам W2 (± ) соответственно. Тогда для произвольной последовательности решений регуляризованных задач с операторами Шредингера (8.10) и начальным условием (6.7) имеют место утверждения теоремы 8.3.

Оператор Шредингера (6.11) с вырождением в направлении, касательном к границе раздела, является самосопряженным оператором в пространстве H. Он имеет самосопряженную регуляри зацию {L, (0, 1), 0}, где действие оператора L задается дифференциальным выражением u u L u(t, x, y) = (x) (t, x, y) (x) (t, x, y) y y y i u a (x) (t, x, y) + ((x)u(t, x, y)) 2 u(t, x, y). (8.11) 2 y y x Областью определения оператора L при любом 0 является линейное пространство W2 (R2 ), причем оператор L с областью определения D(L ) является самосопряженным оператором в про странстве L2 (R2 ), и регуляризованная задача Коши с оператором Шредингера (8.11) и начальным условием (6.7) при 0 и любом u0 (x, y) L2 (R2 ) имеет единственное обобщенное решение u (t, x, y).

Согласно теореме 8.3, любая последовательность решений регуляризованных задач сходится к решению вырожденной задачи.

8.7. Классификация в терминах индексов дефекта оператора Шредингера. Мы не ставим дальнейшей целью изучение зависимости индексов дефекта оператора Шредингера L от поведе ния коэффициентов его дифференциального выражения. Исследованию указанной посвящен ряд статей (см., например, [87] и цитированную там литературу). Предположим, что индексы дефекта вырожденного оператора Шредингера известны, и дадим классификацию поведения последова тельности регуляризованных полугрупп по индексам дефекта.

Теорема 8.8. Пусть последовательность самосопряженных операторов {Ln } определяет максимальную диссипативную регуляризацию симметрического оператора L задачи Ко ши (1), (2). Тогда 9. ВАРИАЦИОННЫЙ ПОДХОД И КВАЗИРЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ 1). Если индексы оператора L суть (m, 0), то оператор iL является генератором изо метрической полугруппы UL (t), t 0, а последовательность регуляризованных полу групп {ULn (t)} сходится к полугруппе UL (t) в сильной операторной топологии про странства B(H) равномерно на каждом отрезке [0, T ], T 0.

2). Если индексы оператора L суть (0, m+ ), m+ = 0, то оператор iL является генерато ром изометрической полугруппы UL (t), t 0, а последовательность регуляризованных полугрупп {ULn (t)} сходится в слабой операторной топологии пространства B(H) к полугруппе UL (t) равномерно на любом отрезке [0, T ].

3). Пусть симметрический оператор L не является максимальным. Тогда последователь ность регуляризованных полугрупп {ULk (t)} компактна в слабой операторной топо логии B(H), равномерной на каждом отрезке [0, T ]. Если ее частичный предел F(t), t 0, в указанной топологии является полугруппой операторов, то полугруппа силь но непрерывна и ее генератор есть одно из максимальных диссипативных расширений оператора iL.

Доказательство. Первые два утверждения следуют из теоремы 8.3. Если выполнены условия пункта 3, то компактность в слабой операторной топологии следует из теоремы 8.4. Если предель ная оператор-функция F(t) является полугруппой, то из теоремы 8.6 следует, что ее генератор есть максимальное диссипативное расширение оператора iL. Последнее утверждение теоремы следует из теоремы 8.5.

9. ВАРИАЦИОННЫЙ ПОДХОД И КВАЗИРЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ Настоящая работа направлена на исследование задачи Коши для уравнения Шредингера, опера тор которого испытывает вырождение на множестве положительной меры и является симметрич ным, но не самосопряженным линейным оператором. При указанных особенностях задача Коши некорректна и не имеет решений для начальных условий из некоторого бесконечномерного под пространства.

В настоящей работе исследованы два метода исследования некорректных задач Коши для линейных уравнений в гильбертовом пространстве, причиной некорректности которых является вырождение оператора задачи. Первый метод — метод регуляризации (см. [76, 85]) — основан на спектральном подходе к определению регуляризации оператора задачи, а второй — на применении метода квазирешений некорректных задач (см. [49, 115]) к задачам Коши с указанными особенно стями. С помощью предложенных методов исследована задача Коши для уравнения Шредингера с вырождением оператора на множестве положительной меры координатной прямой и проведено сравнение методов.

В предыдущем разделе нами исследованы методы эллиптической регуляризации, основанные на аппроксимации исходной некорректной задачи последовательностью корректных задач и изу чении свойств последовательности решений регуляризованных задач. Исследована зависимость поведения последовательности регуляризованных решений от выбора регуляризации.

Метод квазирешений основан на сопоставлении исходной краевой задаче вариационной задачи минимизации функционала невязки, точка минимума которого называется квазирешением исход ной задачи с заданным функционалом невязки (см. [25, 74, 115, 127]). Вариационным методам изу чения нелинейных дифференциальных уравнений, допускающих нарушение условия равномерной эллиптичности, посвящены работы [42, 70, 119, 134, 135]. Для некоторых задач с неединственно стью решения вариационные методы позволяют задать правило выбора единственного решения (см. [4, 70]). В работах [42, 70, 119] для различных типов дифференциальных уравнений уста новлена представимость решений корректных граничных задач с несимметричными операторами решениями задач минимизации функционалов. Так, в статье [42] доказано, что при выполнении определенных энергетических оценок решение задачи Трикоми эквивалентно решению задачи о минимизации функционала.

Содержание настоящего раздела составляет развернутое изложение и обобщение результатов автора, опубликованных в работе [103]. Установлен изоморфизм множества частичных преде лов последовательности регуляризованных полугрупп и множества максимальных симметрических расширений вырожденного симметрического оператора задачи Коши.

82 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Изучаемая в настоящей работе задача Коши может не иметь решения. Для определения квази решения некорректной задачи Коши ей сопоставляется некоторая вариационная задача минимиза ции функционала невязки. Если задача Коши представлена операторным уравнением в некотором банаховом пространстве, то функционал невязки определяется нормой разности левой и правой частей уравнения. В настоящем разделе задача Коши представлена операторным уравнением в гильбертовом пространстве, для которого определен функционал невязки.

Для вариационной задачи минимизации функционала невязки задачи Коши определена сово купность начальных данных u0 задачи Коши, при которых функционал невязки имеет непустую область определения. Доказано, что вариационная задача минимизации функционала невязки за дачи Коши в дифференциальной форме имеет единственное решение и является корректной в том смысле (см. [25]), что минимизирующая последовательность сходится к минимизирующему элементу. Решение вариационной задачи представлено в терминах полугрупп, связанных с вырож денным оператором задачи Коши.

Проведенный в настоящей работе анализ показывает, что квазирешения некорректной задачи Коши зависят от выбора функционала невязки и могут отличаться от слабого аппроксимативного решения задачи, являющегося слабым пределом последовательности решений регуляризованных задач. Изучение некорректных задач с вырожденным эллиптическим дифференциальным опера тором методами регуляризации и вариационными методами проведено в работе [45], в которой для задачи с оператором, вырождающемся на множестве нулевой меры, рассмотрено семейство вариационных задач минимизации квадратичной формы, заданной на различных функциональных пространствах. В [45] установлено, что всякий частичный предел последовательности решений регуляризованных задач есть точка минимума одной из вариационных задач. Исследование на стоящей работы дает пример некорректных задач с вырожденными операторами, для которых множество квазирешений и множество аппроксимативных решений имеют пустое пересечение. В настоящем разделе определены функционалы невязки нормы, точки минимума которых являются пределами последовательности решений регуляризованных задач. Кроме того, определено семей ство функционалов, точка общего минимума которых единственна и совпадает с пределом после довательности решений регуляризованных задач, а условие стационарности всех функционалов семейства равносильно выполнению интегрального тождества (1.6) на классе пробных функций, соответствующем выбору семейства полунорм. Этим обеспечивается согласование вариационных и аппроксимационных подходов к изучению некорректной задачи Коши.

9.1. Функционалы невязки. Далее изучаются квазирешения задачи Коши для уравнения Шре дингера (1), (2) в предположении, оператор L является максимальным симметрическим операто ром, но оператор iL не является генератором сжимающей полугруппы. Установлено, что вариа ционная задача минимизации рассматриваемого ниже функционала невязки в дифференциальной форме корректна в смысле определения из [25]. Представление точки минимума функционала невязки задачи Коши (1), (2) получено в терминах полугрупп, генерируемых операторами iL и iL, и ортогональных проекторов на подпространство H1 (t) = KerUL (t), t 0. Но точка мини мума функционала невязки в дифференциальной форме совпадает с пределом последовательности решений регуляризованных задач лишь в случае, если задача Коши имеет решение.

Фиксируем некоторое число T 0 и рассмотрим гильбертово пространство H = L2 ([0, T ], H).

Задача Коши для уравнения (1) на интервале (0, T ) с начальным условием (2) может быть представлена уравнением вида Au f = 0, (9.1) где вектор u H представляет неизвестную функцию из уравнения (1), A L(H) — некото рый линейный оператор в пространстве H, f — определяемый начальным условием (2) элемент пространства H. Изучению начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в форме абстрактного уравнения (9.1) посвящена монография [39].

Задача Коши (1), (2) может быть представлена уравнением (9.1) в различных банаховых или линейных топологических пространствах. В замечании 3.2 отмечена возможность исследования уравнения (9.1) в пространстве обобщенных функций. Мы исследуем уравнение (9.1) с регуляр ными функциями f из пространства H.

9. ВАРИАЦИОННЫЙ ПОДХОД И КВАЗИРЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ Функционал невязки задачи Коши (1), (2), представленной уравнением (9.1) с замкнутым ли нейным оператором A в гильбертовом пространстве H, определим на линейном многообразии D(J) = D(A) равенством:

J(u) = Au f H, u D(J). (9.2) Вариационная задача минимизации функционала невязки (9.2) состоит в определении точной ниж ней грани функционала, исследовании ее достижимости и изучении сходимости минимизирующей последовательности. Согласно результатам работы [115, п. 2.3 гл. 1], справедливо следующее утверждение.

Теорема 9.1. Пусть f0 и f1 — проекции вектора f на ортогональные подпространства H1 = KerA и H0 = H H1. Тогда точная нижняя грань функционала есть inf J = f1 2. Точ H ная грань достигается на элементе u (t) D(J), являющемся решением уравнения Au = f тогда и только тогда, когда f0 ImA. Стационарная точка u функционала JT,u0 является точкой его локального минимума (строгого, если Ker (A) = {0}, и нестрогого в противном случае).

(В частности, если множество значений оператора A есть замкнутое подпространство, то функ ционал J достигает своей нижней грани.) Действительно, допустимым приращением аргумента функционала J является произвольный элемент u линейного многообразия D(A). Тогда значение первой вариации функционала на про извольном элементе u линейного многообразия D(A) в произвольной точке u есть J(u, u) = 2Re (Au f, Au)H.

Поэтому элемент u D(A) есть стационарная точка функционала J тогда и только тогда, когда Au f = g (Im(A)) = Ker(A );

при этом J(u) = g 2, а J(u + u) J(u) = Au 2 0. Таким H H образом, если Ker(A) = 0, то любая стационарная точка J является его строгим локальным мини мумом, а если Ker(A) — нетривиальное подпространство и u — точка локального экстремума J, то функционал J принимает постоянное значение на гиперплоскости u + Ker(A).

Определение 9.1. Квазирешением задачи Коши (1), (2) с функционалом невязки J называется точка минимума функционала J.

Наша дальнейшая цель — исследование существования и единственности квазирешения и по ведения минимизирующей последовательности функционала J для различных реализаций пред ставления задачи Коши (1), (2) в виде абстрактного уравнения (9.1) с замкнутым линейным оператором в пространстве H. Задаче Коши (1), (2) сопоставляется вариационная задача мини мизации функционала (9.2).

Заметим, что сопоставление некорректной задаче для линейного уравнения вариационной зада чи минимизации функционала невязки является подходом, широко используемым в теории некор ректных и экстремальных задач. Таким методом исследуется некорректная задача с финальным условием для уравнения теплопроводности в монографиях [25, 74, 115]). В настоящей работе при меняются некоторые идеи из указанных монографий (например, рассмотрение параметрического семейства решений дифференциального уравнения в корректном направлении). Но исследуемая здесь задача имеет ряд качественных отличий и ранее, насколько известно автору, не изучалась.

9.2. Функционал невязки в дифференциальной форме. Задаче Коши (1), (2) в дифференци d альной форме сопоставляется линейный оператор i L в пространстве H, заданный на плотном dt линейном многообразии достаточно гладких функций. Замыкание указанного оператора определя ет функционал невязки вида (9.2) задачи Коши (1), (2) в дифференциальной форме.

На линейном многообразии D(T) = C([0, T ], D(L)) C 1 ((0, T ), H) определим линейный опе d ратор T L(H), сопоставляющий вектору v(t) D(T) вектор Tv(t) = i v(t) Lv(t) простран dt ства H. Обозначим через D0 линейное многообразие функций u(t) C([0, T ], D(L))C 1 ((0, T ), H), значение которых в точке t = 0 равно нулевому вектору пространства H, и определим на линейном многообразии D0 линейный оператор T0 в гильбертовом пространстве H как сужение оператора T на линейное многообразие D0.

84 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Оператор T плотно определен и имеет плотно определенный сопряженный оператор T. Следо вательно, оператор T имеет замыкание T в пространстве H.

Для каждого u0 D(L) положим D(ST,u0 ) = {u D(T ) : u(+0) = u0 } и на множестве D(ST,u0 ) определим функционал T d ST,u0 (u) = T u (9.3) = dt u(t) + iLu(t).

H dt H Функционал ST,u0 (u) назовем функционалом невязки задачи Коши (1), (2) в дифференциальной форме.

С каждым начальным условием u0 D(L) свяжем функционал T,u0 (v), заданный на плотном в пространстве H линейном многообразии D0 :

T Tv(t) Lu0 (9.4) T,u0 (v) = H dt.

Таким образом, для любого элемента u0 D(L) и любого u D(ST,u0 ) выполняется равенство St,u0 (u) = T,u0 (u u0 ).

Замечание 9.1. Понятию квазирешения некорректной краевой задачи посвящены моногра фии [115, гл. 1.2] и [7, гл. 2.1], в которых для абстрактного линейного уравнения в банахо вом пространстве определяется функционал невязки. Функционал невязки из [115] совпадает с функционалом (9.3) для линейных уравнений в пространстве H, представляющих задачу Коши. В настоящей работе вариационная задача минимизации функционала невязки (9.4) решена с помо щью методов спектральной теории операторов.

Функционалы невязки задачи Коши (1), (2) изучаются далее при следующем предположении.

Предположение 9.1. Оператор L является максимальным симметрическим, но оператор iL не является максимальным диссипативным оператором.

Следовательно, индексы дефекта оператора L суть (0, m), m = 0.

9.3. Операторы и функционалы, связанные с задачей Коши (1), (2). Представление точ ной нижней грани и минимизирующего элемента функционалов невязки задачи Коши (1), (2) в дифференциальной и в интегральной формах осуществляется с помощью рассмотренных в преды дущих разделах (см. теорему 1.1) полугрупп UL (t), UL (t), t 0, и возрастающего семейства подпространств H1 (t) = Ker(UL (t)), связанных с разложением Вольда (см. [109] и теорему 1.1) изометрических операторов полугруппы UL (t).

Пусть максимальный диссипативный оператор L имеет индексы дефекта (0, m) и, следовательно, не является генератором сжимающей полугруппы (так, в задаче примера 1.1 пункта 1.2 это условие выполняется, если b 0). Для представления решения вариационных задач рассмотрим семейство изометрических операторов UL (t), t [0, T ], и семейство сжимающих операторов UL (t) = UL (t), t [0, T ]. Положим H1 (t) = Ker(UL (t)) и Q(t) = UL (t)UL (t), P(t) = I Q(t) для каждого t [0, T ].

Лемма 9.1. Семейство ортогональных проекторов P(t), t [0, T ], образует ортогональное разложение ортогонального проектора на пространство H1 (T ), т. е. P(t) — сильно непрерыв ная монотонно возрастающая оператор-функция со значениями во множестве ортогональ ных проекторов такая, что P (0) = O, P(T ) — проектор на подпространство H1 (T ) (см. [6]).

Доказательство. Оператор Q(t) при каждом t [0, T ] самосопряжен и неотрицателен. Если u0 Im Q(T ), то тогда Q(t)u0 = u0, а если u0 H1 (t), то тогда P(t)u0 = u0. Поскольку KerUL (t2 ) KerUL (t1 ) при t2 t1, то семейство проекторов P (t), t [0, T ], монотонно воз растает от проектора на нулевое подпространство до проектора на подпространство H1 (T ). Непре рывность оператор-функции P (t), t [0, T ], в сильной операторной топологии следует из сильной непрерывности сжимающих полугрупп UL (t) и UL (t).

10. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О КВАЗИРЕШЕНИЯХ Обозначим через D(I) множество векторов u H, для которых несобственный интеграл T (u0, dP(s)u0 ) сходится. Тогда множество D(I) включает линейное многообразие DI и само 0s является линейным многообразием. Ниже будет показано, что D(I) есть область определения замыкания квадратичной формы I с областью определения DI.

Определение 9.2. На линейной оболочке DI линейных многообразий H0 ( ) = Q( )(H), T (0, T ], определим функционал I(u) = (u0, dP(s)u0 ), который является положительной квад 0s ратичной формой в пространстве H.

10. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О КВАЗИРЕШЕНИЯХ Напомним, что всюду далее предполагается выполненным предположение 9.1.

Теорема 10.1. Пусть u0 H. Область определения функционала ST,u0 есть непустое мно жество тогда и только тогда, когда I(u0 ) +. Если неравенство I(u0 ) + выполнено, то функционал ST,u0 имеет единственную точку строгого минимума T t u(t) = UL (t) Q(T )u0 + dP()u0, t [0, T ], (10.1) t в которой достигает минимального значения ST,u0 (u) = I(u0 ). При этом любая ми inf uD(ST,u0 ) нимизирующая последовательность функционала S(t, u0 ) сходится в пространстве H к ми нимизирующему элементу u.

Определим минимальное значение и точку минимума функционалов (9.4) задачи Коши для уравнения Шредингера из примера 1.2 пункта 1.2.

Область определения оператора L есть W2,0 (R+ ), а область определения оператора L 1 (R ). Оператор L генерирует сжимающую полугруппу U (t), t 0, действующую есть W2 + L на произвольный элемент u(x) L2 (R+ ) по правилу UL (t)u(x) = u(x + t), x R+, t 0.

Подпространства H0 (t) и H1 (t) при произвольном t 0 суть L2 ([0, t]) и L2 ((t, +)) соответ ственно. Оператор L не является генератором полугруппы, а оператор L генерирует в простран стве L2 (R+ ) изометрическую полугруппу UL (t), t 0, которая при любом t 0 каждой функции u(x) L2 (R+ ) сопоставляет функцию UL (t)u(x), равную u(x t) на промежутке (t, +) и рав ную нулю на промежутке (0, t). Проектор P(t) при каждом t 0 есть ортогональный проектор пространства L2 (R+ ) на его ортогональное подпространство L2 (0, t), т. е. ортогональное разло жение P(t), t [0, T ], единичного оператора в пространстве H1 (T ) совпадает с ортогональным разложением единичного оператора умножения на координату.


Следовательно, формула (10.1) для минимизирующего элемента функционала ST,u0 приобретает вид u(t, x) = u0 (x + t), x + t T, x u(t, x) = u0 (x + t), 0 x + t T, x+t T |u0 (s)|2 ds.

а минимальное значение функционала ST,u0 есть ST,u0 () = u s Таким образом, на модельной задаче из примера 1.2 пункта 1.2 все объекты, представленные в теореме 10.1 в терминах спектральных свойств оператора L, обретают явное координатное пред ставление и совпадают с объектами, полученными прямыми методами вариационного исчисления.

11. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О КВАЗИРЕШЕНИЯХ Схема доказательства теоремы 10.1. С операторами T и T0, определенными в разделе (см. функционал (9.3)), связана корректная задача для уравнения (1) на отрезке [0, T ] с фи нальным условием uT, что позволяет выразить начальное условие u0 через образ оператора T и финальное условие uT. Установлена тривиальность ядра оператора T0 и получено представление 86 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ ядра оператора T0 через элементы ядра оператора UL (T ). Представление точки минимума функ ционала ST,u0 установлено сначала для всех достаточно гладких начальных данных u0. Сужение функционала ST,u0 на линейное многообразие гладких начальных данных рассмотрено как неот рицательная симметричная квадратичная форма на пространстве H. Показано, что замыкание квадратичной формы представляет собой функционал ST,u0. Сходимость произвольной минимизи рующей последовательности доказана с помощью корректности задачи с финальным условием.

11.1. Свойства линейных операторов, задающих функционал невязки в дифференциаль ной форме.

Лемма 11.1. Если функция v(t) H принадлежит области определения оператора T, то она является непрерывным отображением отрезка [0, T ] в пространство H и удовлетворяет равенству T v(t) = UL (T t)v(T ) + UL (s t)f (s)ds, (11.1) t где f (t) = T v(t).

Доказательство. Пусть v(t) T и T v(t) = f (t). Тогда существует последовательность vk (t), которая сходится в пространстве H к функции v(t), а последовательность fk (t) = Tvk (t) сходится в пространстве H к элементу f (t).

Пусть vk (T ) = Vk D(L). Поскольку семейство операторов UL (t), t 0, образует изометри ческую полугруппу в пространстве H, то тогда для каждого k N выполняется равенство T vk (t) = UL (T t)Vk + UL (s t)fk (s)ds. (11.2) t Заметим, что поскольку последовательность {fk (t)} сходится в пространстве H, то по T следовательность функций {gk (t)}, где gk (t) = UL (s t)fk (s)ds, сходится к элементу t T UL (s t)f (s)ds в пространстве C([0, T ], H).

g(t) = t Поэтому последовательность элементов {Vk } сходится в пространстве H, иначе в силу равен ства (11.2) и сходимости в пространстве H последовательности {gk } нарушится условие сходимо сти последовательности {vk } в пространстве H.

Следовательно, последовательность {vk (t)} сходится в пространстве C([0, T ], H).

Замечание 11.1. В частности, последовательности предельных значений {vk (+0)} и {vk (T 0} сходятся в пространстве H к значениям v(0) и v(T ).

Поскольку для произвольного k N выполнено равенство (11.2), то, в силу сходимости последо вательности vk (t) в пространстве C([0, T ], H) и последовательности fk (t) в пространстве H, произ вольная функция из области определения замыкания оператора T удовлетворяет равенству (11.1), в котором Tv = f.

Наоборот, пусть функция u(t) C([0, T ], H) удовлетворяет равенству (11.1) при некото ром f (t) H. Тогда элемент u(T ) H является пределом некоторой последовательно сти uT со значениями в D(L), а вектор f (t) H есть предел некоторой последователь k ности {fk (t)} со значениями в пространстве C([0, T ], H). Тогда последовательность функций T uk (t) = UL (T t)uT + UL (s t)fk (s)ds обладает следующими свойствами: принимает зна k t чения в D(T), сходится в пространстве H к вектору u(t), а последовательность образов Tuk (t) в пространстве H к вектору f (t). Это означает, что u(t) D(T ) и T u = f.

Следствие 11.1. Область определения замыкания T оператора T лежит в пространстве C([0, T ], H). Если v(t) D(T ) и T v = f, то будем говорить, что функция v(t) является обобщенным решением уравнения (11.1).

11. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О КВАЗИРЕШЕНИЯХ Лемма 11.2. Для любого элемента vT H и для любого f (t) H найдется такая функция v(t) D(T ), что предельное значение v(T ) совпадает с vT и T v = f.

Доказательство. Пусть vT H и f H. Требуется доказать, что найдется такая последователь ность {vk (t)} со значениями в D(T), которая сходится в пространстве H к некоторой функции v(t), а последовательность fk (t) = Tvk (t), k N, сходится в пространстве H к элементу f (t), и при этом выполняется условие: последовательность {vk (T 0)} сходится в пространстве H к элементу vT.

В таком случае в силу леммы 11.1 выполняется равенство lim v(t) = lim vk (T 0) = vT.

tT 0 k В качестве требуемой последовательности можно выбрать последовательность функций T vk (t) = UL (T UL (s t)fk (s)ds, k t)VT + t {VT } k где последовательность элементов линейного многообразия D(L) сходится к VT в простран стве H, а последовательность {fk (t)} со значениями в пространстве L2 ([0, T ], D(L)) сходится в пространстве H к f (t) (последняя существует, поскольку пространство C([0, T ], D(L)) плотно в пространстве H). Тогда Tvk = fk при любом k N и последовательность vk (t) сходится в про T странстве H к функции v(t) = UL (T t)VT + UL (s t)f (s)ds. В силу леммы 11.1 получим, t что T v = f и v(T ) = vT.

Лемма 11.3. Оператор T0 имеет замыкание T0, и если v(t) D(T0 ), то v(t) C([0, T ], H) и v(+0) = 0.

Доказательство. Оператор T0 плотно определен и его сопряженный оператор включает в себя плотно определенный оператор T, поэтому оператор T0 замыкаем.

Как и в доказательстве леммы 11.1, можно показать, что если v(t) D(T0 ), то v(t) C([0, T ], H) и v(+0) = lim vk (+0), где vk (t) D(T0 ). Поэтому v(+0) = 0.

k T Следствие 11.2. Если v(t) D(T0 ) и f (t) = T0 v(t), то 0 = UL (T )v(T ) + UL (s)f (s)ds.

Следствие 11.3. Ядро оператора T0 тривиально. Стационарная точка функционала ST,u является точкой его строгого минимума.

Первое утверждение вытекает из следствия 11.2 и формулы (11.2). Второе следует из соотно шения ST,u0 (v + v) = ST,u0 (v, v) + ST,u0 (v).

Следствие 11.4. Образом оператора T является пространство H, а образ оператора T составляют такие и только такие функции f (t) H, для которых справедливо равенство T P(T ) UL (s)f (s)ds = 0. (11.3) Доказательство. Для каждого вектора f (t) H существует набор функций T uf,uT (t) = UL (T t)uT + UL (s t)f (s)ds, t каждая из которых при произвольном uT H принадлежит линейному многообразию D(T ) = D(T) и удовлетворяет равенству Tuf,uT = f. Таким образом, ImT = H.

Если функция v(t) принадлежит D(T0 ), то тогда существуют ее предельные значения v(+0) = и v(T 0) = vT H, и ее образ T0 v(t) = f (t) является вектором пространства H. При этом функция v(t) удовлетворяет равенству (11.2), и поэтому при t = 0 имеет место равенство T UL (T )vT + UL (s)f (s)ds = 0. (11.4) 88 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Поскольку UL (T )vT H0 (T ), то из равенства (11.4) следует необходимость условия (11.3) для принадлежности функции f (t) образу оператора T0.

Наоборот, если некоторая функция f (t) удовлетворяет равенству (11.3), то тогда вектор T UL (s)f (s)ds принадлежит пространству H0 (T ). Поэтому вектор V= T u(t) = UL (T t)uT + UL (s t)f (s)ds t удовлетворяет условию u(+0) = 0 при uT = U (T )V. По построению функции u(t) выполнены L включение u(t) D(T ) и равенство T u(t) = f (t). При таком выборе значения uT функция u(t) удовлетворяет включению u(t) D(T0 ) и равенству T0 u(t) = f (t).

Следовательно, условие (11.3) является необходимым и достаточным для принадлежности функ ции f (t) образу оператора T0.

Лемма 11.4. Ядро оператора T есть замыкание линейного многообразия функций v(t) H, представимых в виде v(t) = UL (t)v0, где v0 H1 (T ).

Доказательство. Из соотношения (11.3) следует, что функция f (t) H принадлежит образу оператора T0 тогда и только тогда, когда выполняется следующая система соотношений:

T v, UL (s)f (s)ds v H1 (T ). (11.5) = 0, 0 H Каждое из соотношений (11.5) при произвольном v H1 (T ) представимо как условие ортого нальности (Vv (t), f (t))H = 0, где Vv (t) = UL (t)v. Таким образом, линейное многообразие Im(T0 ) является подмножеством элементов пространства H, удовлетворяющих системе соотношений (Vv (t), f (t))H = 0 v H1 (T ).

Следовательно, ортогональное дополнение образа оператора T0 в пространстве H есть линейное многообразие H1 = {Vv (t), v H1 (T )}. (11.6) 11.2. Экстремум функционала с гладкими начальными данными. Вопрос об описании мно жества начальных значений u0 H, для которых найдется функция u(t) D(T ), удовлетворяю щая условию u(+0) = u0, т. е. вопрос о непустоте множества D(ST,u0 ), является нетривиальным.

Поэтому сначала будет исследован случай, когда u0 принадлежит некоторому плотному в про странстве H линейному многообразию, для элементов которого непустота множества D(ST,u0 ) установлена.

Замечание 11.2. Если u0 D(L), то D(ST,u0 ) =, так как содержит постоянную функцию u(t) = u0, t [0, T ]. Следовательно, в этом случае inf ST,u0 +.

Проанализируем вариационную задачу минимизации функционала (9.3) и (9.4) в точки зрения теоремы 9.1.

Точка u D(ST,u0 ) является стационарной точкой функционала ST,u0 тогда и только тогда, когда T u = f1 при некотором f1 Ker(T0 ). Если точка u D(ST,u0 ) такова, что T u = f Ker(T0 ), то для любого u D(ST,u0 ) выполняется равенство ST,u (u) = f 2 + T0 (u u) 2.


(11.7) H H Доказательство. Пусть u D(ST,u0 ). Тогда любое допустимое приращение аргумента u функци онала ST,u0 принадлежит линейному многообразию D(T0 ), и для любого допустимого приращения аргумента справедливо равенство ST,u0 (u + u) ST,u0 (u) = 2Re(T u, T0 u)H + T0 u H.

Следовательно, если u — стационарная точка, то T u (ImT0 ) и справедливо равенство (11.7).

11. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О КВАЗИРЕШЕНИЯХ Следствие 11.5. Проекция вектора T u на подпространство Ker(T0 ) не зависит от выбо ра элемента u D(ST,u0 ). Стационарная точка функционала ST,u0 есть точка его строго минимума.

Пусть D(ST,u0 ) = и вектор f1 H есть проекция вектора T u на подпространство Ker(T0 ).

Согласно лемме 11.4, f1 (t) {UL (t)v, v H1 (T )}.

Предположение P. Пусть функция f1 (t) представима в виде f1 (t) = UL (t)v при некотором v Ker(U (T )) = H1 (T ).

L Ниже мы получим условие на элемент u0 H, обеспечивающее справедливость предположе ния P для функции f1 (t), и покажем, что множество таких начальных элементов u0 плотно в пространстве H. Начальные элементы u0, обеспечивающие выполнение предположения P, будем называть гладкими. Далее мы исследуем общий случай, когда предположение P может быть не выполнено.

Пусть выполнено предположение P. Тогда в силу равенства (11.7) стационарная точка u(t) функционала ST,u0 есть обобщенное решение (см. следствие 11.1) следующей краевой задачи:

T u(t) = UL (t)v, t (0, T ), (11.8) u(0) = u0, где v H1 (T ). Задача (11.8) с начальным условием при t = 0 является некорректной для рассмат риваемой задачи Коши с индексами дефекта (0, m), m = 0. Однако задача (11.8) с финальным условием при t = T корректна. Пусть функция u(t), t [0, T ], является обобщенным решением дифференциального уравнения d i u(t) Lu(t) = UL (t)v, t (0, T ), v H1 (T ), (11.9) dt удовлетворяющим условию u(T 0) = uT, uT H. (11.10) Выберем векторы v H1 (T ), uT H так, чтобы решение задачи (11.9), (11.10) удовлетворяло условию u(+0) = u0.

Обобщенное решение задачи (11.9), (11.10) (см. следствие 11.1) есть T T UL (s t)UL (s)vds = UL (t) UL (T )uT + Q(s)vds.

u(t) = UL (T t)uT + (11.11) t t Поэтому T u0 = UL (T )uT + Q(s)vds. (11.12) Заметим, что для любого uT H выполняется включение UL (T )uT H0 (T ), а поскольку v H1 (T ), то справедливо включение Q(s)v H1 (T ). Поэтому формула (11.12) реализует раз ложение вектора u0 = u00 + u01 на ортогональные подпространства H0 (T ) и H1 (T ) однозначным T образом. Следовательно, UL (T )uT = u00, uT H, и UL (s)UL (s)vds = u01, v H1 (T ).

В силу того, что u00 H0 (T ), уравнение u00 = UL (T )uT относительно неизвестного вектора uT H имеет единственное решение uT = UL (T ) u00. Тогда уравнение (11.12) относительно неизвестного вектора v H1 (T ) равносильно уравнению T Q(s)vds ST v. (11.13) u01 = Здесь оператор ST, задан на пространстве H равенством T ST v 0 = Q(t)v0 dt, v H, корректно определен и является, очевидно, положительным самосопряженным ограниченным опе ратором в H.

90 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Для дальнейшего исследования нам потребуется следующая форма формулы интегрирования по частям векторнозначных функций по проекторнозначным мерам.

T T Лемма 11.5. Если F (t) C 1 ([0, T ], H), то dP(t)F (t) = P(T )F (T ) P(t)F (t)dt.

0 Возможно, что утверждение леммы 11.5 является известным фактом. Для полноты рассуждений мы приводим его доказательство.

Доказательство. Интеграл в правой части есть интеграл Римана от непрерывной вектор-функции по мере Лебега на отрезке [0, T ]. Интеграл в левой части от непрерывной на отрезке [0, T ] вектор нозначной функции F (t) по проекторнозначной мере, заданной ортогональным разложением едини цы P(t), есть предел в пространстве H при стремлении к нулю мелкости разбиения интегральных m P(j )F (j ), где разбиение = {1,..., m } сумм Римана—Стилтьеса (см. [6]): (F,, ) = j= есть совокупность непересекающихся промежутков, а выборка, подчиненная разбиению, есть набор точек j j, j 1, m. Нетрудно установить, что если функция F (t) непрерывна на от резке [0, T ], а разложение единичного оператора P(t), t [0, T ], задано непрерывной в сильной операторной топологии оператор-функцией, то предел интегральных сумм при стремлении к нулю мелкости разбиения существует и не зависит от реализации подчиненной разбиению выборки.

Для каждого разбиения = {1,..., m } отрезка [0, T ] справедливо равенство tj m m P (T )F (T ) P (0)F (0) = P (tj )F (tj ) P (tj1 )F (tj1 ) = P (j )F (tj ) + P (tj1 ) f (s)ds, j=1 j=1 tj где f (t) = F (t), t (0, T ).

Поскольку функция f (t) непрерывна на отрезке [0, T ], то множество ее значений компактно в H, tj m и поэтому для произвольного 0 найдется такое 0, что (P (tj1 )P (s))f (s)ds T j=1 tj для любого разбиения, мелкость которого меньше. Следовательно, для каждого такого разбиения справедливо неравенство T m P (T )F (T ) P (0)F (0) P (j )F (tj ) P (s)f (s)ds T.

H j=1 Переходя к пределу при m в полученном неравенстве, приходим к выводу, что T T P (T )F (T ) P (0)F (0) dP (s)F (s) P (s)f (s)ds T.

H 0 В силу произвольности 0 справедливо утверждение леммы 11.6.

Лемма 11.6. Ядро самосопряженного оператора ST тривиально, а образ плотен в про странстве H.

Действительно, если z H — элемент ядра оператора ST, то тогда T T (I P(s))zds = T z P(s)zds = 0, 0 T sdP(s)z = 0. Так как P(s), s [0, T ] — поэтому, согласно лемме 11.5, справедливо равенство ортогональное разложение единичного оператора в гильбертовом пространстве H1 (T ), то тогда 11. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О КВАЗИРЕШЕНИЯХ T T для любого (0, T ) выполнено равенство sdP(s)z = 0. Поэтому d(P(s)z, z) = 0 для лю T T бого (0, T ). Следовательно, dP(s)z = 0 для любого (0, T ). Так как z = dP(s)z, то dP(s)z = lim P(t)z. Следовательно, в силу леммы 11.1, z = 0. Второе утвержде z = lim H +0 0 t+ ние леммы 11.6 следует из теоремы Фредгольма.

Оператор ST имеет инвариантное подпространство H1 (T ). Сужение оператора ST на подпро странство H1 (T ) обозначим через S1.

T Лемма 11.7. Оператор S1 имеет плотно определенный обратный оператор, заданный T T на каждом из линейных многообразий Q( )(H1 (T )), (0, T ], равенством u = dP(s)u.

0s Доказательство. Если u Q(t)(H1 (T )), т. е. u = Q(t)v, v H1 (T ), то тогда T T 1 u = dP(s)Q(t)v = dP(s)v.

s s 0 t Таким образом, плотная в пространстве H1 (T ) линейная оболочка линейных многообразий Q(t)(H1 (T )), t (0, T ] входит в область определения оператора.

Пользуясь равенством P(s)P(t) = P(min(s, t)) и сильной непрерывностью оператор-функции P(t), t [0, T ], заключаем, что для любого u Q( )(H1 (T )) при некотором (0, T ] справедливы соотношения ST u = ST u = u. (11.14) Действительно, для указанных ниже повторных интегралов, являющихся пределами интегральных сумм Римана—Стилтьеса (см. [6]), теорема о перестановке порядка интегрирования устанавлива ется с помощью стандартных рассуждений. Следовательно, справедлива цепочка равенств:

T T T T T 1 1 ST u = Q(s) (P(T ) P(s))dP()dsu = dP()uds = dsdP()u = 0 0 0 0 0 T = dP()u = u.

Второе равенство доказывается аналогично.

Обозначим через V линейную оболочку линейных многообразий ImQ( ), (0, T ). Тогда V есть плотное в пространстве H линейное многообразие, на котором определен оператор.

Теорема 11.1. Пусть u0 V. Функционал ST,u0 имеет точную нижнюю грань T inf ST,u0 (u) = (u0, dP(s)u0 ), s u которую он достигает в единственной точке строго минимума u(t) (см. (10.1)). Любая ми нимизирующая последовательность функционала ST,u0 сходится в пространстве H к функ ции u(t).

Доказательство. Согласно лемме 11.7, для любого u01 Q( )(H1 (T )), (0, T ] уравне ние (11.13) имеет единственное решение v = u01 H1 (T ), а проекция на подпространство H вектора u0 (t) имеет вид f1 (t) = UL (t)u01 = UL (t)u0. Следовательно, 2 T T T T 1 dt Q(t) f1 (t) = dP(s)u01 = dt dP(s)u0.

H s s 0 0 0 t H H 92 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Согласно лемме 11.5, T T T 1 dt dP(s)u0 = (u0, dP(s)u0 ), s s 0 t H T поэтому inf ST,u0 = f1 (t) = (u0, dP(s)u0 ).

H 0s Согласно (11.11), решением задачи (11.9), (11.10) является функция T T T t dP()u0 ds = UL (t) Q(T ) + dP() u0.

u(t) = UL (T t)Q(T )u0 + UL (t)Q(s) t t Следовательно, функция u является точкой строгого минимума функционала ST,u0, причем T inf ST,u0 = ST,u0 () = u (u0, dP(s)u0 ).

s Первая часть теоремы 11.1 доказана.

Итак, если u0 H0 ( ) при некотором 0, то область определения D(ST,u0 ) не пуста, функ T ционал ST,u0 имеет точную нижнюю грань I(u0 ) = (u0, dP(s)u0 ) (см. определение 9.2), ко 0s торая достигается в единственной точке строгого минимума u(t) D(ST,u0 ), определяемой ра венством (11.2). Исследуем сходимость минимизирующей функционал ST,u0 последовательности в пространстве H.

Лемма 11.8. Пусть u0 V. Тогда любая минимизирующая последовательность функциона ла ST,u0 сходится к его минимизирующему элементу u(t).

Доказательство. Пусть uk (t), k N — минимизирующая последовательность функциона ла ST,u0, а fk (t), k N — соответствующая последовательность fk (t) = Tuk (t). Тогда fk (t) 0 (t) H 0, где 0 = PH0 u0, поскольку при любом k N справедливо равенство ST,u0 (uk ) = 1 2 + fk 0 2. При каждом k N в силу равенства (11.11) справедливо пред H ставление:

T uk (t) = UL (T t)uk (T ) + UL (s t)fk (s)ds, (11.15) t причем поскольку uk (t) D(ST,u0 ), то uk (0) = u0 для любого k N. Тогда T UL (s)(fk (s) 0 (s))ds 0 H в силу сходимости последовательности fk (t). Отсюда и из равенства (11.15) вытекает, что после довательность граничных значений uk (T ) сходится в пространстве H к элементу UL (T ) u00 = UL (T ) u0. А тогда согласно формуле (11.15) минимизирующая последовательность фундамен тальна в H и пределом ей служит функция u(t).

Лемма 11.8 завершит доказательство теоремы 11.1.

11.3. Экстремум функционала с произвольными начальными данными. В предыдущем раз деле установлена корректность и найдено решение вариационной задачи минимизации функцио нала (9.3) с начальным условием u0, «гладкость» которого состоит в принадлежности к линейному многообразию V. Пусть теперь u0 есть произвольный элемент пространства H.

Вариационная задача минимизации и функционала (5.1.6) сводится к следующему. Для каждого u0 H обозначим через D(ST,u0 ) множество всех элементов u D(T ), удовлетворяющих условию u(+0) = u0.

11. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О КВАЗИРЕШЕНИЯХ Задача 11.1. Требуется определить точную нижнюю грань множества норм элементов T u по всем u D(ST,u0 ) и элемент множества D(ST,u0 ), на котором указанный инфинум достигается.

Образно говоря, рассматривается задача о нахождении «геодезической» кривой в простран стве H, выходящей из точки u0 H.

Заметим, что согласно лемме 11.2 при любых vT H и f (t) H функция T v(t) = UL (T t)vT + UL (s)f (s)ds t (см. следствие 11.1) входит в область определения функционала ST,v(0), и при этом ST,v(0) = f (t) H.

Это обстоятельство позволяет сформулировать вариационную задачу минимизации функциона ла ST,u0 следующим образом.

Определение 11.1. Для каждого u0 H обозначим через Fu0 множество всех элементов T f H, удовлетворяющих условию: существует такое uT H, что UL (T )uT + UL (s)f (s)ds = u0.

Задача 11.2. Требуется определить точную нижнюю грань множества норм элементов Fu0 и элемент множества Fu0, имеющий наименьшую норму в пространстве H.

Замечание 11.3. Задача 11.1 и задача 11.2 эквивалентны.

Действительно, пусть вектор f Fu0 есть решение задачи 11.2. Согласно лемме 11.1 век тор u(t), определенный по f и uT согласно формуле (11.1), принадлежит области определения D(ST,u0 ) и доставляет функционалу минимум. Наоборот, если u(t) — решение задачи 11.1, то вектор f (t) = T u(t) входит во множество Fu0 и, так как u(t) — минимум функционала ST,u0, то элемент f (t) обладает наименьшей нормой среди элементов из множества Fu0.

Докажем, что квадратичный функционал ST,u0, определенный в пункте 11.2 на линейном много образии V и совпадающий на этом многообразии с квадратичной формой I, может быть расширен на максимальную область определения как замыкание плотно определенной положительной квад ратичной формы.

С этой целью определим линейный оператор W, действующий из пространства H в простран ство H, заданный на линейной оболочке V линейных многообразий H0 ( ) = ImUL ( ), (0, T ], соотношением T U (t) Wu dP(s)u.

L s Поскольку для функции u H0 ( ) справедливо равенство P(s)u = 0 для любых s [0, ), то T1 T dP(s)u, и поэтому линейный оператор W корректно определен на плотном в dP(s)u = 0s s T T пространстве H линейном многообразии V. Заметим, что Wu dt Q(t) = dPu = I(u) H s 0 0 H для любого u V.

Лемма 11.9. Оператор W замыкаем.

Доказательство. Действительно, если последовательность {uk } со значениями в V удовлетворяет двум условиям: последовательность {uk } сходится в пространстве H к элементу u и последова тельность wk = Wuk, k N, сходится в пространстве H к нулевому элементу, то тогда T 0 = lim wk = lim (uk, dP(s)uk ), H s k k 94 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ T следовательно lim (uk, dP(s)uk ) = 0. Последнее равенство означает, что u = 0 и лемма 11. T k доказана.

Лемма 11.10. Квадратичная форма I(u), u V, заданная на линейном многообразии V T (u, dP(s)u) = (Wu, Wu)H, замыкаема и ее замыкание I имеет об соотношением I(u) = 0s ласть определения D(W), на которой замыкание квадратичной формы определено равенством I(u) = (Wu, Wu)H.

Замыкание I квадратичной формы I также будем обозначать через I.

Доказательство. Замыкание W оператора W включает в свою область определения D(W) ли нейное многообразие D(I) = {u H : I(u) +}. Действительно, пусть u0 D(I) и для каждого k N положим uk = Q u0. Тогда uk u0 H 0 при k, и, кроме того, фунда k ментальность в пространстве H последовательности wk (t) = Wuk, k N, следует из сходимости интеграла I(u0 ).

Пусть последовательность {uk } со значениями в линейном многообразии V сходится в про странстве H к элементу u0 и такова, что соответствующая последовательность {Wuk } сходится в пространстве H. Поскольку оператор W замыкаем, то предел lim Wuk не зависит от выбора k T последовательности {uk } и совпадает с пределом lim U (t) dP(s)u0, который мы будем обо L s k 1/k T значать U (t) dP(s)u0 для каждого u0 D(I). Поэтому для каждого u0 D(I) справедливы L 0s T равенства Wu0 = U (t) dP(s)u0 и Wu0 H = I(u0 ).

L s Докажем, что D(W) D(I). Предположим, что последовательность {uk } принимает значе ния в многообразии V, сходится в пространстве H к элементу u, а последовательность образов wk (t) = Wuk сходится в пространстве H к элементу w(t) = W. Тогда wk 2 = I(uk ) при каждом H T 2 = lim I(u ). Докажем, что тогда I(u) = k N и w(t) H (u, dP(s)u) сходится.

k 0s k T (u, dP(s)u). Поскольку последовательность {uk } сходится в Действительно, I(u) = lim +0 s пространстве H к элементу u, то для любого 0 справедливо равенство T T 1 (u, dP(s)u) = lim (uk, dP(s)uk ).

s s k Следовательно, I(u) = lim lim gk ( ), где функция gk ( ) определена при k N на отрезке [0, T ] +0 k T (uk, dP(s)uk ). Функциональная последовательность {gk ( )} сходится рав равенством gk ( ) = s номерно на отрезке [0, T ], поскольку для произвольных k, p N справедливы равенства T T 1 sup |gk+p ( ) gk ( )| = sup ((uk+p uk ), dP(s)uk+p ) + (uk, dP(s)(uk+p uk )).

s s [0,T ] [0,T ] Тогда согласно неравенству Коши—Буняковского имеет место оценка 2(I(uk+p uk ))1/2 sup (I(uk ))1/2, sup |gk+p ( ) gk ( )| [0,T ] kN 11. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О КВАЗИРЕШЕНИЯХ из которой согласно равенству I(uk+p uk ) = wk+p wk 2 следует равномерная сходимость по H следовательности gk ( ). Из доказанной равномерной сходимости следует возможность переставить пределы в выражении для I(u), следовательно, I(u) = lim lim gk ( ) = lim I(uk ) = Wu 2.

H k +0 k Таким образом доказано, что D(W) = D(I) и для любого u D(I) справедливо равенство I(u) = Wu 2. Следовательно, I(u), u D(I), есть замкнутая положительно определенная квад H ратичная форма на пространстве H.

Покажем, что если u0 D(I), то Fu0 = (см. определение 11.1) и Fu0 Wu0. Более того, роль вектора wu0 = W(u0 ) заключается в следующем свойстве:

Лемма 11.11. Если u0 D(I), то Wu0 Fu0 и = Wu0 H.

inf f H f (t)Fu Доказательство. Если u0 D(I), то тогда T u0 = UL (T )UL (T )u0 + UL (t)f (t)dt, где f (t) = (Wu0 )(t) H. Действительно, T T T UL (t)Wu0 (t)dt = Q(t) dP(s)u0 = s 0 0 T T T s T 1 dP(s)u0 = P(T )u0 = u0 Q(T )u0.

= dt dP(s)u0 = dP(s) u0 dt = s s 0 0 0 t Остается доказать свойство минимальности. Если f1, f2 Fu0, то g = f1 f2 F0, поэтому T T UL (t)g(t)dt = 0. Последнее равносильно справедливости равенства UL (t)g(t)dt, v = H 0 при произвольном v H. Следовательно, g F0 тогда и только тогда, когда (g, Vv )H = 0 при произвольном v H, где Vv (t) = UL (t)v, т. е. Fu0 = [span{Vv, v H}].

Если u0 H0 ( ) при некотором 0, то функция wv0 (t) имеет вид wv0 (t) = UL (t)z0, где z0 = T dP(s)v0 H поскольку u0 H0 ( ). Следовательно, элемент wv0 H ортогонален линейному 0s многообразию F0. Поэтому если f Fu0 и f wu0 = g, то f 2 = wu0 2 + g 2. Лемма 11. H H H для случая u0 H0 ( ) доказана.

Если же u0 D(I) и последовательность {u0k } удовлетворяет условиям u0k H0 (k ), k +0;

u0k u0 в пространстве H при k, то Wu0k Wu0 = w(t). Следовательно, во первых, w(t) Vv (t), v H, и поэтому w(t) F0. Во-вторых, w(t) Fu0 =, и, следовательно, inf f H = w H.

f Fu Согласно замечанию 11.3, из утверждения леммы 11.11 следует, что если u0 D(I), то функ ционал ST,u0 имеет непустую область определения и точную нижнюю грань I(u0 ), которой он достигает на элементе u(t), определяемом соотношением (10.1).

Лемма 11.12. Если Fu0 =, то u0 D(I).

Доказательство. Действительно, по предположению леммы найдется функция f (t) Fu0.

Пусть 0 есть ее ортогональная проекция на подпространство F0 и = f 0. Тогда inf f H = H, а функция, во-первых, принадлежит множеству Fu0 и, во-вторых, ортого f Fu нальна линейному многообразию F0, а потому принадлежит замыканию линейного многообразия функций Vv (t), представимых в виде Vv (t) = UL (t)v при всевозможных v H. Поэтому функ ция (s) представима как предел в пространстве H последовательности функций k (s) = UL (s)vk при некотором выборе последовательности {vk } со значениями в H.

96 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ T UL (t)(t)dt есть предел в пространстве H последовательности Следовательно, элемент u0 = T UL (t)k (t)dt.

элементов u0k = Покажем, что при каждом k N элемент u0k лежит в линейном многообразии D(I). Дей T ствительно, рассмотрим функцию wk (s) = P(s) Q(t)u0k dt. Согласно свойствам ортогонального s разложения единичного оператора, wk (s) = (P(s) P(t))u0k ds, и, следовательно, оценка wk (s) H (11.16) u0k H s справедлива для любого s (0, T ).

Тогда в силу леммы 11.5 имеют место равенства T T T 1 1 s=T 2 Q(t)u0k dt) = I(u0k ) = (dwk (s), wk (s) + wk (s) H ds.

2s H s 2s s=+ 0 0 В силу оценки (11.16) интеграл I(u0k ) сходится и u0k D(I). Следовательно, в силу леммы 11.10, I(u0k ) = k 2, и поэтому существует предел lim I(u0k ) = 2.

H H k Следовательно, последовательность {u0k } удовлетворяет следующим условиям:

1). lim u0k u0 H = 0;

k 2). u0k D(I) для любого k N;

3). последовательность {I(u0k )} сходится к числу 2.

H Поэтому в соответствии с теоремой 6.1.16 в [52], элемент u0 H входит в область определения формы D(I) и справедливо неравенство (11.17) I(u0 ) lim I(u0k ) = H.

k Теорема 11.2. Fu0 = тогда и только тогда, когда I(u0 ) + и имеет место равенство inf f H = I(u0 ).



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.