авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |

«Современная математика. Фундаментальные направления. Том 43 (2012). С. 3–172 УДК 517.946+517.98 ...»

-- [ Страница 5 ] --

f Fu Доказательство. Из леммы 11.11 следует, что если I(u0 ) +, то Fu0 =, а из леммы 11.12 — что если Fu0 =, то I(u0 ) +.

Пусть u0 D(I), тогда на основании леммы (11.17) inf f H = 2 I(u). С другой H f Fu стороны, согласно лемме 11.11, тогда u0 D(W), и для вектора f = Wu0 справедливо включение f (t) Fu0 и равенство I(u0 ) = f H. Поэтому I(u0 ) inf f H. Таким образом, если Fu0 = f Fu или u0 D(I), то I(u0 ) = inf H.

f f Fu Итак, установлено, что D(ST,u0 ) = тогда и только тогда, когда u0 D(I), и что inf ST,u0 = I(u0 ) для любого u0 D(I). Положим функционал I равным + на элементах u0 H\D(I), для которых согласно теореме 11.2 D(ST,u0 ) =. Из лемм 11.11, 11.12 и 11. следуют утверждения теоремы 10.1.

Действительно, теоремой 11.2 в соответствии с замечанием 11.3 установлено значение точной нижней грани функционала ST,u0 при произвольном u0 D(I). Вектор u(t) входит в область определения функционала ST,u0, причем вектор f (t) = Wu0 принадлежит множеству Fu0 и спра T ведливо равенство u(t) = UL (t)Q(T )u0 + UL (s t)f (s)ds. Тогда ST,u0 () = Wu u = I(u0 ).

H t Следовательно, в точке u функционал достигает строгого минимума (см. следствие 11.3).

ST,u Сходимость произвольной минимизирующей последовательности к минимизирующему элементу u доказывается так же, как в лемме 11.8. Теорема 10.1 доказана.

12. СОГЛАСОВАНИЕ ВАРИАЦИОННОГО И АППРОКСИМАЦИОННОГО ПОДХОДОВ Следствие 11.6. Минимизирующие последовательности функционала ST,u0 отличны от по следовательности решений регуляризованных задач (8.8). Вариационная задача минимизации функционала невязки в дифференциальной форме корректна в смысле определения из моно графии [25]. Значение минимизирующего элемента функционала (9.3) нелокально зависит от параметра задачи T : изменение величины T приводит к изменению значений функции f0 (t) на всем отрезке [0, T ] (см. (10.1)).

Следствие 11.7. В случае корректности исходной задачи Коши любая последовательность решений регуляризованных задач сходится к ее решению, которое является единственной точкой строгого минимума рассматриваемых функционалов невязки.

Следствие 11.8. Корректная в смысле определения монографии [25] вариационная задача минимизации функционала невязки задачи Коши в дифференциальной форме обладает сле дующими общими качествами с задачей о достижимости начального значения решением корректной задачи Коши с неограниченным производящим оператором (см. [52, 129]): при заданном начальном условии (2) как квазирешение некорректной задачи Коши, так и реше ние корректной задачи Коши достигают начального значения, если и только если начальное условие лежит в области определения некоторого положительно определенного оператора, связанного с оператором задачи Коши. В настоящей работе дано описание пространства начальных данных для квазирешений вариационной задачи минимизации функционала невяз ки задачи Коши для уравнения Шредингера с вырожденным оператором в дифференциальной форме.

12. СОГЛАСОВАНИЕ ВАРИАЦИОННОГО И АППРОКСИМАЦИОННОГО ПОДХОДОВ Актуален вопрос о существовании функционала невязки, минимизирующий элемент которого совпадает с пределом последовательности решений регуляризованных задач (как это имеет место в исследованиях работы [45]). Как отмечено в замечании 11.6, совпадение имеет место в случае корректности задачи Коши.

Исследуем случай некорректной задачи Коши с максимальным симметрическим оператором L.

Td u(t) + iLu(t) dt, u D(ST,u0 ), имеет единственную В этом случае функционал ST,u0 (u) = 0 dt H точку строгого минимума (9.1), к которой сходится любая его минимизирующая последователь ность. В тоже время, последовательность решений регуляризованных задач при любом выборе максимальной диссипативной регуляризации не содержит сходящихся по норме подпоследова тельностей, но сходится слабо к функции u (t) = UL (t)u0. Слабый предел последовательности решений регуляризованных задач не совпадает с точкой минимума функционала ST,u0.

В качестве простейшего примера функционала, точкой минимума которого является слабый предел u (t) последовательности решений регуляризованных задач, предъявим функционал T d u(t) + iL u(t) ST,u0 (u) = dt, dt H достигающий в точке u (t), t [0, T ], строгого минимума u (t), t [0, T ] — нулевого значения.

Указанный функционал представлен на основании информации, полученной из анализа слабой сходимости последовательности решений регуляризованных задач. Но в определении этого функ ционала последовательность регуляризованных задач не участвует.

Ниже (в разделе 17) определен функционал, значения которого являются результатом усредне ния функционалов регуляризованных задач по конечно-аддитивной мере на множестве параметров регуляризации, который имеет единственную точку минимума — слабый предел последовательно сти решений регуляризованных задач.

98 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ 12.1. Согласование вариационного и аппроксимационного методов с помощью миними зации семейства функционалов. Представление слабого предела семейством интегральных тождеств. Слабый предел последовательности решений регуляризованных задач имеет также сле дующий вариационный смысл. Вместо одного функционала невязки определим семейство функци оналов невязки таким образом, чтобы точка минимума семейства функционалов невязки являлась слабым пределом последовательности решений регуляризованных задач и наоборот.

Пусть оператор L является максимальным симметрическим: n n+ = 0. Через M C0 ([0, +), D(L)) обозначим банахово пространство непрерывных финитных отображений полу оси [0, +) в гильбертово пространство D(L), а для каждого T 0 через MT обозначим его подпространство, состоящее из функций, обращающихся в нуль на полуоси [T, +). Через HT и H обозначим гильбертовы пространства L2 ([0, T ], H) и L2 (R+, H) соответственно.

С задачей Коши (1), (2) свяжем следующее семейство функционалов Ph, h M, (12.1) определенных на банаховом пространстве C([0, +), H) и принимающих на векторах u C([0, +), H) значения Ph (u) = | u, Kh u0, h |2, h M, (12.2) где линейный оператор K L(H) определен на линейном многообразии M равенством + Kh(t) = h(t) i Lh(s)ds, t 0.

t Здесь + T u, Kh (u(t), Kh(t))H dt = (u(t), Kh(t))H dt, 0 + T u0, h (u0, h(t))H dt = (u0, h(t))H dt, 0 где отрезок [0, T ] содержит носитель функции u.

Определение 12.1. Будем говорить, что точка u C([0, +), H) является точкой минимума (стационарной точкой) семейства функционалов (12.1), если она является точкой минимума (стационарной точкой) функционала Ph для каждого h M.

Замечание 12.1. Пусть на пространстве C([0, +), H) задано семейство полунорм gh, h M, + принимающих значения gh (x) = | x, h |, x C([0, +), H), где x, h = (u(t), h(t))H dt. То гда значение функционала (12.2) на функции u(t) C([0, T ], D(L)) есть квадрат полунормы gh невязки (9.3) для функции u(t) (учитывается то, что D(L) D(L ) и L h = Lh для любого h D(L)).

Вместо задачи минимизации функционала невязки задачи Коши по норме (9.3) рассмотрим задачу минимизации семейства функционалов невязки задачи Коши по полунормам Ph, h M.

Лемма 12.1. Если L — максимальный симметрический оператор в пространстве H с ин дексами дефекта (n, n+ ) = (0, m), то точка u (t) = UL (t)u0 является точкой минимума семейства функционалов Ph, h M.

Доказательство. Утверждение леммы следует из того факта, что Ph (u (t)) = 0 для любого h M. Действительно, поскольку оператор L является максимальным симметрическим, то опера тор iL есть генератор сжимающей полугруппы в пространстве H (см. теорему 1.1).

Поэтому для любого u0 D(L ) функция u (t) = UL (t)u0 принадлежит пространству C(R+, D(L)) C 1 (R+, H) и удовлетворяет равенству t L u (s)ds, h(t) = (u (t), h(t)) (u0, h(0)) + i 12. СОГЛАСОВАНИЕ ВАРИАЦИОННОГО И АППРОКСИМАЦИОННОГО ПОДХОДОВ для любого элемента h M. Следовательно, из условия u0 D(L ) следует, что T T dt(u (t), h(t) i Lh(s)ds)H (u0, h(t))H = 0, (12.3) t 0, 0 t (u (t)) = 0 при любом h M.

и поэтому Ph Если u0 H и u (t) = UL (t)u0, то функция u (t) есть обобщенное решение зада чи Коши с оператором L, поэтому является пределом в пространстве C(R+, H) последова тельности сильных решений u (t) = UL (t)u0k, каждое из которых при любом выборе эле k мента h MT удовлетворяет равенству вида (12.3) с неоднородным слагаемым (u0k, h(t))H.

В пределе при k получаем, что для любого h MT выполняется равенство T (u0, h(t))HT = 0. Учитывая, что Lh(t) = L h(t) для любого Lh(s)ds (u(t), h(t))HT + i u(t), HT t h(t) M, заключаем, что справедливо утверждение леммы 12.1.

Лемма 12.2. Если n = 0, то ядро оператора K тривиально.

Доказательство. Действительно, всякий элемент h ядра тождественно равен нулю на полуоси [T, +) при некотором T 0, а на отрезке [0, T ] удовлетворяет дифференциальному уравнению d i u(t) = Lu(t) и условию u(T ) = 0. Поскольку при n = 0 оператор iL генерирует изометри dt ческую полугруппу eiLt, t 0, то тогда решение указанной задачи единственно и тривиально, поэтому тривиально и ядро оператора K.

Лемма 12.3. Если n = 0, то стационарная точка семейства функционалов Ph, h M, удовлетворяет семейству равенств u, Kh u0, h = 0 h M. (12.4) Доказательство. Если точка u C([0, +), H) является стационарной точкой каждого из функ ционалов Ph, h M, то тогда для каждого h MT обращается в нуль первая вариация Ph (u, u) = u, Kh [ u, KT h u0, h ] + u, Kh [ u, Kh u0, h ].

Эти условия выполняются тогда и только тогда, когда u, Kh u0, h = 0.

Достаточность очевидна, докажем необходимость. Действительно, пусть найдутся такие векторы u H и h M, что u, Kh u0, h = 0.

Поскольку Ker(K) = {}, то для любого h M, h = 0, выполняется неравенство Kh = 0.

Поэтому найдется такой вектор u C([0, +), H) H, что Ph (u, u) = 2 u H Kh H | u, Kh u0, h | = 0, и, следовательно, точка u(t) не является стационарной для семейства функциона лов Ph, h M. Полученное противоречие доказывает лемму 12.3.

Теорема 12.1. Если n = 0, то семейство функционалов Ph, h M, имеет единственную стационарную точку — точку минимума u (t).

Доказательство. Существование указанной точки минимума установлено в лемме 12.1. Если предположить, что семейство функционалов имеет две различные стационарные точки, то в силу леммы 12.3 их разность w C([0, +), H) удовлетворяет семейству равенств w(t), Kh(t) = 0, h M. (12.5) Лемма 12.4. Функция w(t) C([0, +), H) удовлетворяющая семейству равенств (12.5), равна нулю.

Доказательство. Покажем, что образ оператора K плотен в пространстве H. Покажем, что об раз оператора K содержит линейное многообразие C0 (R+, D(L)) непрерывно дифференцируемых финитных функций, значения которых и производной от которых лежат в пространстве D(L).

Пусть функция g принадлежит C0 (R+, D(L)) и ее производная g принадлежит C(R+, D(L)).

При этом существует такое число T 0, что носители функций g и g лежат в отрезке [0, T ].

100 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ T Тогда уравнение h(t) i Lh(s)ds = g(t), t [0, T ], имеет единственное удовлетворяющее условию t T UL (s t)g (s)ds, t [0, T ], так как оператор L является генератором g(T ) = 0 решение h(t) = t изометрической полугруппы UL (t), t 0. Продолженная нулем на интервал (T, +) функция h является элементом множества M таким, что Kh = g. Следовательно, линейное многообразие T функций h(t) i Lh(s)ds, h M, плотно в пространстве H, поэтому v(t) = 0.

t Следовательно, семейство интегральных тождеств (12.4) определяет точку минимума семейства функционалов невязки полунорм Ph (·), h M, однозначно.

Замечание 12.2. Если оператор L удовлетворяет условию n = 0, то семейство равенств (12.4) при всевозможных h M однозначно определяет решение задачи Коши с начальным условием (2) для уравнения d i u(t) = L u(t), t 0.

dt Поэтому его выполнение для всех пробных функций h M можно положить за определение решения задачи Коши. Такое определение решения является операторной формулировкой опре деления обобщенного решения краевой задачи с помощью интегрального тождества, выполнение которого справедливо для всех пробных функций из подходящего класса (см. [73, гл. 3.3], а также (3.7), (4.9)), в данном случае из класса M.

Замечание 12.3. Если оператор L удовлетворяет условию n+ = 0, то множество функций, удо влетворяющих семейству равенств (12.4) при всевозможных h M, определено лишь с точностью до ядра оператора A. В случае симметрического оператора L множество функций, удовлетво T ряющих семейству интегральных тождеств (12.4) при всевозможных h M C([0, T ], D(L )), состоит не более чем из одного элемента. Этот факт нетрудно доказать теми же аргументами, что и лемму 12.3. Если симметрический оператор L удовлетворяет условию n+ = 0, то множество функций, удовлетворяющих семейству равенств (12.4) при всевозможных h M, состоит из единственного элемента — обобщенного решения задачи Коши (1.1), (1.2).

Таким образом, установлено следующее утверждение.

Теорема 12.2. Пусть оператор L имеет конечные индексы дефекта и является максималь ным симметрическим. Тогда в случае n+ 0 последовательность регуляризованных решений сходится слабо в пространстве H равномерно на любом отрезке, а семейство функционалов невязки {Ph, h M } имеет единственную точку минимума, которая совпадает со слабым пределом последовательности регуляризованных решений.

В случае n+ = 0 последовательность регуляризованных решений сходится по норме про странства H равномерно на любом отрезке к обобщенному решению задачи Коши (1), (2), а семейство функционалов невязки {Ph, h M } имеет единственную точку минимума, кото рая совпадает с обобщенным решением задачи Коши.

13. О КОШИ, ПРЕОБРАЗОВАНИИ ПРОСТРАНСТВА НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ ЗАДАЧИ ДОПУСКАЮЩЕЙ РАЗРУШЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗА КОНЕЧНОЕ ВРЕМЯ Явление вырождения или обращения в бесконечность гессиана некоторой лагранжевой (гамиль тоновой) системы на подмножестве S конфигурационного или фазового пространства приводит к нарушению корректности начальных и начально-краевых задач для уравнений Эйлера—Лагранжа (Гамильтона—Якоби) (см. [68]). Вопросы о продолжении траектории системы через сингулярное многообразие при определенных условиях удается решить с помощью анализа системы первых интегралов в окрестности сингулярного многообразия (см. [86]). Другой подход основан на ап проксимации траекторий сингулярной системы последовательностями траекторий регуляризован ных систем со снятием вырождения (см. [56]) или на последовательностями случайных процессов с убывающим влиянием случайных возмущений (см. [26]).

13. О КОШИ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ПРОСТРАНСТВА НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ ЗАДАЧИ При переходе к квантовому описанию сингулярных систем рассматривается задача Коши для уравнения Шредингера, гамильтониан которой является в том или ином смысле сингулярным линейным (псевдо)дифференциальным оператором. Наличие сингулярности оператора Шредингера также приводит к нарушению корректности задачи Коши для линейного уравнения Шредингера i = Lu(t) = div (Gu) + ((a, u) + div (au)) + V u, i u(+0) = u t или линейного уравнения Колмогорова—Фоккера—Планка = Lu(t) = div (Gu) + ((a, u) + div (au)) + V u, u(+0) = u0. (13.1) t Здесь начальная функция u0 является элементом гильбертова или банахова пространства X, а заданный дифференциальным выражением второго порядка оператор L является плотно опреде ленным замкнутым оператором в пространстве X. Коэффициенты дифференциального выражения являются измеримыми вещественнозначными функциями аргумента x Rd в случае линейного уравнения и измеримыми вещественнозначными функциями аргументов (x, u) Rd C в случае нелинейного уравнения.

Задача Коши (13.1) также может проявлять свойства некорректности при вырождении матри цы G или сингулярном поведении коэффициентов при младших производных a, V даже в случае линейного уравнения (см. [18, 84, 95, 118, 139]). Вопросы о продолжении решения через грани цу промежутка его существования решаются с помощью аппроксимации траекторий сингулярной системы последовательностями траекторий регуляризованных систем (см. [68,85,96]). Другой под ход основан на исследовании порождаемых задачей Коши (13.1) мер на пространстве отображений временного интервала в координатное пространство (см. [23, 113]).

Для нелинейного уравнения теплопроводности или нелинейного уравнения Шредингера доста точно распространенной особенностью являются такие нарушения корректности задачи Коши, как разрушение решения за конечное время, неединственность решения и неустойчивость решения по отношению к малым изменениям начальных и граничных условий. Тем не менее, линейная задача Коши (13.1) также проявляет свойства нарушения корректности в пространстве H = L2 (Rd ) для уравнения Шредингера и в пространстве L1 (Rd ) либо в пространстве борелевских мер M (Rd ) для уравнения Фоккера—Планка.

I) Сингулярность потенциала или источника. Так, в работе [139] было установлено, что c если G — единичная матрица, a — нулевое векторное поле, а V (x) =, x Rd \{0}, то задача |x| Коши для уравнений Фоккера—Планка и Шредингера однозначно разрешима на полуоси t 0 и d2 корректна тогда и только тогда, когда c [0, CH ], где CH =, d N — константа Харди.

Если же c CH, то задача Коши для уравнения теплопроводности не имеет решения при любом ненулевом начальном условии. Причиной столь существенного качественного изменения свойств задачи Коши из-за коэффициента при потенциале является знакоопределенность функционала энергии c |u(x)|2 2 |u(x)|2 dx, E(u) = |x| Rd который положительно определен при c CH согласно неравенству Харди (см. [83]), но при c CH не ограничен ни сверху, ни снизу.

Этот результат был установлен в [139] двумя способами — с помощью аппроксимации сингу лярного потенциала последовательностью регулярных Vn (x) = min(n, V (x)) и с помощью пред ставления решения задачи Коши интегралом по мере Фейнмана—Каца. Было установлено, что если u0 — ненулевая неотрицательная функция, то в любой момент времени t 0 и в любой точ ке x Rd функция u обращается в бесконечность, ибо для последовательности решений задач Коши с регуляризованным потенциалом доказано существование предела lim un (t, x) = +, а n интеграл по мере Фейнмана—Каца, зависящий от параметров (t, x) R+ Rd, расходится при любом выборе значений параметров (t, x). В случае же уравнения Шредингера решение un любой задачи с регуляризованным потенциалом имеет не зависящую от параметров n N и t 0 норму 102 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ но, если c CH, то lim un (t) = + при любом t 0. Если же c [0, CH ], то H, un (t) L2 (Rd ) n последовательность {un } сходится к решению задачи Коши с сингулярным потенциалом по норме пространства H равномерно на любом отрезке [0, T ].

II) Сингулярность тензора массы (гессиана) или тензора коэффициентов диффузии. В ра боте [95] было установлено, что если d = 1, G(x) — функция Хевисайда, a(x) — ступенчатая вектор-функция, принимающая постоянные значения на двух полуосях R = {x R : x 0} и R+ = {x R : x 0}, а V 0, то задача Коши для уравнения Шредингера имеет решение на некотором зависящем от начального условия u0 промежутке [0, T (u0 )) и не имеет решения на промежутке [0, T ) при любом T T (u0 ). Тот же эффект имеет место и для уравнения теп лопроводности (см. [101]). В работе [96] исследовано поведение последовательности решений регуляризованных задач с равномерно эллиптическим гамильтонианом L = L +, (0, 1), и установлено, что последовательность регуляризованных решений {u (t), t 0} сходится по нор ме пространства H при каждом t [0, T (u0 )) равномерно на любом компакте из промежутка сходимости, но не содержит сходящихся по норме подпоследовательностей при любом t t (u0 ).

Кроме того, вырождение символа оператора на некотором подмножестве координатного про странства также может привести к некорректности задачи (13.1): например, если G 0, V 0, d = 1, но векторное поле a(x), x R, имеет конечное число точек разрыва первого рода, то оператор L может иметь конечные индексы дефекта, а задача (13.1) — быть разрешимой только на конечном промежутке [0, T (u0 )).

III) Сингулярность векторного потенциала или коэффициента сноса. В работе [18] иссле довано влияние на корректность задачи Коши для уравнения Фоккера—Планка векторного по тенциала a и установлено, что если d 2, G — единичная матрица, V 0, но векторное поле не слишком медленно растет при |x| + (настолько, чтобы время ухода на бесконечность со скоростью a было конечно), то задача Коши допускает неединственность решения (см. [18]).

Таким образом, наличие сингулярностей (вырождения, неограниченности, разрывов) у коэффи циентов линейного уравнения (13.1) приводит к разрушению решения или его неединственности (и малое по норме пространства H возмущение начального условия может привести к существен ному изменению промежутка существования решения). Возникает гипотеза, что причиной нару шения корректности начально-краевой задачи для нелинейного уравнения (13.1) является такое локальное поведение нелинейных коэффициентов G, a или V, при котором в момент нарушения корректности возникает хотя бы одна из трех описанных выше особенностей.

Нарушение корректности задачи Коши для нелинейного эволюционного уравнения имеет место для нелинейного уравнения теплопроводности, нелинейного уравнения Шредингера, уравнений гидродинамики и в ряде других задач.

Замечание. Заметим, что причиной нарушения корректности задачи Коши (13.1) для уравне ния теплопроводности или Шредингера является такое спектральное свойство оператора L, как неограниченность функционала энергии и снизу, и сверху. Это же свойство функционала энергии приводит к разрушению градиента решения нелинейного уравнения Шредингера и к разрушению за конечное время решения уравнения Шредингера с вырожденным гамильтонианом. Приведен ное замечание указывает правило выбора в качестве регуляризованных систем таких, функционал энергии которых полуограничен, причем на каждом компакте в фазовом пространстве последова тельность регуляризованных функционалов энергии сходится равномерно к функционалу энергии с особенностями.

Моментом разрушения решения начально-краевой задачи будем называть точную верхнюю грань правых границ промежутков существования ее решения. Характерные примеры встреча ются уже в случае задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и связаны с явлением взрыва или режима с обострением. Под явлением взрыва в задаче Коши понимает ся существование такого решения на ограниченном временном промежутке, для которого имеет место стремление нормы решения в некотором пространстве к бесконечности на правом конце промежутка.

Задача Коши для нелинейного уравнения Фоккера—Планка описывает явления распростране ния тепла (или диффузии вещества) в средах с зависимостью источников и динамики переноса от распределения температуры (концентрации вещества). В монографии [108] получены условия 13. О КОШИ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ПРОСТРАНСТВА НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ ЗАДАЧИ глобального существования решения и условия стремления решения к бесконечности за конеч ное время (условия режима с обострением или взрыва). Задача Коши для нелинейного уравнения Шредингера описывает распространение электромагнитных волн в среде, оптические показатели которой зависят от электромагнитного поля, в котором находится среда. В работе [47] получены условия глобального существования солитоноподобного решения, а в работах [150, 163] — условия обращения L2 -нормы градиента решения в бесконечность за конечное время (градиентная ката строфа). Явление режима с обострением в нелинейном уравнении теплопроводности впервые было обнаружено в 1966 г. в работе [154], а для нелинейного уравнения Шредингера — в 1977 г. в работе [150]. Тем не менее, разрушение решения задачи Коши может, как показывают примеры задач Коши для уравнений с частными производными первого порядка (см. [68, 85]) и задач Коши с вырожденными гамильтонианами [96], не сопровождаться стремлением его нормы к бесконечно сти. Кроме того, уход решения на бесконечность в ряде случаев происходит в достаточно сильной норме — W2 (Rd ), L (Rd ), но при этом норма решения в более широком банаховом пространстве с более слабой нормой остается ограниченной равномерно на всем промежутке существования ре шения. Так, в случае уравнения Шредингера (нелинейного (см. [163]) или линейного (см. [139])) в момент градиентной катастрофы T выполняется условие lim u(t) W2 (Rd ) = +, но, тем не tT менее, u(t) L2 (Rd ) = u0 L2 (Rd ) при всех t [0, T ). В работе [157] моментом разрушения решения считается величина T = sup{t 0 : {x Rd : {xn } x, {tn } t0 : lim u(tn, xn ) = } = }.

n Поэтому возникает предположение, что задача Коши описывает эволюцию системы и на интервале времени t T : для уравнений с градиентным обострением — в пространстве L2, для уравнений с обращением решения в бесконечность на области координатного пространства — в дополнении области.

В исследованиях работ [68,85,86,106,143,146,157], ставится задача о продолжении решения на интервал, содержащий момент разрушения, а также об описании динамики системы при условии обращения решения в бесконечность на части пространственно-временного цилиндра (0, +) (см. [146, 157]), либо при обращении в бесконечность L2 -нормы градиента решения, при возмож ном разрушении полугруппового свойства динамических преобразований множества состояний системы (см. [106], а также теорему 23.1 и раздел 20).

Первые успехи в расширении понятия решения задачи Коши для эволюционного уравнения с целью однозначного продолжения за границы интервала существования классического решения были достигнуты в работах О. А. Олейник при описании процессов газодинамики (см. [68]).

В ряде задач для уравнений гидродинамики, для уравнений Гамильтона—Якоби было установ лено, что последовательность вязкостных аппроксимаций сходится к пределу, который не зависит от выбора вязкостной аппроксимации и называется вязкостным решением задачи. Полученные условия независимости от выбора аппроксимации являются достаточными. В ряде ситуаций их нарушения приводят к зависимости предела от выбора аппроксимации (см. [45,65,104]). В некото рых случаях применения метода исчезающей вязкости к начально-краевой задаче удается описать множество всех предельных точек последовательности вязкостных решений по некоторому классу вязкостных аппроксимаций (см. [45, 104]).

Изучению особенностей решения задач Коши с конечным временем существования методами гамильтоновой динамики, а также анализу диссипативных и дисперсных аппроксимаций задач с градиентной катастрофой посвящены работы [44, 137].

Одной из задач настоящего раздела является изучение задачи Коши для линейного уравнения Шредингера с вырождающимся гамильтонианом на промежутке, содержащем момент разруше ния решения. Применим полученные в разделе 2 результаты о конечности времени существова ния решения и определении максимального промежутка существования решения в зависимости от начального условия. Вместе с некорректной задачей Коши рассматривается ее окрестность в пространстве операторов, представляющих задачи Коши, или последовательность задач Коши с равномерно эллиптическими операторами, аппроксимирующими вырождающийся гамильтониан.

Изучается асимптотическое поведение последовательности решений задач Коши, аппроксимиру ющих исходную. В случае сходимости последовательности регуляризованных решений ее предел задает динамику системы с сингулярным гамильтонианом. Однако в ряде случаев имеет место 104 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ не сходимость, а компактность последовательности решений регуляризованных задач с нетриви альным множеством предельных точек (см. разделы 8, 16). В этом случае каждый из частичных пределов последовательности может рассматриваться как одна из возможных реализаций дина мики, порожденной сингулярным гамильтонианом. Следовательно, задаваемая сингулярным га мильтонианом динамика неоднозначна и может рассматриваться как случайный процесс в том случае, если снабдить множество регуляризованных задач структурой измеримого пространства с мерой, сосредоточенной в произвольной проколотой окрестности предельной задачи. Существуют также примеры, когда в банаховом пространстве задачи Коши нет места компактности множества значений последовательности регуляризованных решений, но эта последовательность компактна в более слабых топологиях в пространствах, включающих себя банахово пространство задачи Ко ши в качестве подмногообразия. В этом случае задача Коши с вырожденным гамильтонианом задает многозначную динамику или случайный процесс в расширенном линейном топологическом пространстве.

Рассмотрим задачу Коши для линейного уравнения Шредингера, гамильтониан которого испы тывает вырождение на множестве положительной меры. Мы покажем, что указанное свойство гамильтониана может привести к ограниченности зависящего от начального условия промежутка существования решения задачи Коши. Подобные эффекты конечности времени существования ре шения возникают также при решении уравнений гидродинамики, уравнений Гамильтона—Якоби и других уравнений с частными производными первого порядка, причем как в случае нелинейных (см. [68]), так и в случае линейных (см. [143]) дифференциальных уравнений.

Предлагаемая задача Коши изучается на компактном одномерном координатном пространстве [l, l] и имеет вид d i u = Lu, t 0, (13.2) dt u|t=0 = u0, u0 H = L2 ([l, l]), (13.3) где оператор L есть максимальный симметричный оператор, заданный дифференциальным выра жением i Lu = (13.4) g u+ a u+ (au) x x 2 x x i 1 на линейном многообразии D(L) = {u W2 (l, l) : u|[l,0] W2 (l, 0), u (0) = a(+0)u(0), u(l) = 0}. Предположим, что коэффициенты дифференциального выражения удовлетворяют сле дующим условиям: функция g кусочно постоянна: g(x) = [l,0] (x), x [l, l];

функция a непре рывна на отрезке [0, l], обращается в нуль на промежутке [l, 0), имеет единственную точку разрыва первого рода x0 = 0 и удовлетворяет условиям a(x) = 0 при x [l, 0), a(x) 0 при l a1 (x)dx = +.

x [0, l), i Тогда нетрудно проверить, что для любого u D(L) каждое из двух слагаемых a uи 2 x i g u + au из дифференциального выражения (13.4) принадлежит пространству L2 (l, l).

x x Кроме того, оператор L плотно определен и симметричен, а его сопряженный имеет более широкую область определения, содержащую линейное многообразие D = u L2 (l, l) : u|[l,0] W2 (l, 0), u|[0,l] W1 (0, l), 2 i u (0) + a(+0)u(0) = ia(+0)u(+0);

u(l) = 0.

Оба оператора замыкаемы, ибо оба плотно определены.

Линейное многообразие L = {{u, Lu}, u D(L)} {{L v, v}, v D } плотно в пространстве H = H H, ибо если {f, h} H H и при этом выполняется система равенств a(f, u) + (g, Lu) = 0, (f, L v) (g, v) = 0, 13. О КОШИ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ПРОСТРАНСТВА НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ ЗАДАЧИ то f D(L) и g = Lf. Следовательно, (Lf, Lu) + (f, u) = 0 для любого u D(L). Так как оператор L замыкаем, то найдется такая последовательность {uk } со значениями в D(L), что последовательность {{uk, Luk }} сходится к элементу {f, Lf } в пространстве H. Следовательно, Lf ) + (f, f ) = 0, f = и g =.

(Lf, Поэтому оператор L является замыканием своего сужения на область определения D. Замы кание оператора L будем далее обозначать тем же символом.

Индексы дефекта n± оператора L определяются как размерности ядер подпространств K± = Ker(L ± iI). Тогда непосредственное исследование множества решений дифференциальных урав нений L u ± iu = 0, u D(L ), показывает, что в зависимости от знака параметра R индексы дефекта принимают значения a(n, n+ ) = (1, 0) если 0;

(n, n+ ) = (0, 0) если = 0;

(n, n+ ) = (0, 1) если 0.

Тогда согласно результатам теорем 1.1 и 1.2 (см. также [65, 102, 104, 109]) справедливо утвер ждение:

Теорема 13.1. При a 0 оператор iL является генератором изометрической полу группы UL (t) = eiLt, t 0, в пространстве H и задача Коши имеет единственное ре шение UL (t)u0. Если же a 0, то оператор iL генерирует изометрическую полугруппу UL (t) = eiLt, t 0, в пространстве H, сопряженная к которой является сжимающей по лугруппой (UL (t)) = eiL t, t 0, с генератором iL. Задача Коши в этом случае некор ректна — имеет решение тогда и только тогда, когда вектор начальных данных u0 лежит в Im(UL (t)). В этом случае решение единственно и u(t) = UL (t)u0.

подпространстве H0 = t Наряду с некорректной задачей Коши с вырожденным гамильтонианом рассматривается после довательность корректных задач Коши для уравнений d u(t) = L u(t), t 0, E, 0, (13.5) i dt с начальным условием (13.3) и с равномерно эллиптическими гамильтонианами L, D(L ), области определения которых задаются равенствами 1 2 D(L ) = u W2 (l, l) : u|[l,0] W2 (l, 0), u|[0,l] W2 (0, l), i u (0) = a(+0)u(0) + u (+0);

u(l) = 0, u(l) = 0.

Множество параметров регуляризации E R имеет предельную точку 0. Изучается сходимость последовательности решений регуляризованных задач и последовательности регуляризованных операторов плотности при 0.

Примером регуляризации оператора L задачи Коши (13.2)–(13.4) является последовательность операторов {L, E}, задаваемых в пространстве H = L2 (l, l) дифференциальным выражением i i L u(x) = (13.6) (g (x) u + a(x)u) + a(x) u x x 2 2 x на максимальной области определения 1 D(L ) = u W2 (l, l) : u|(l,0) W2 (l, 0)), u i 2 u|(0,l) W2 (0, l)), g (x) + a(x)u W2 (l, l). (13.7) x Здесь g(x) = g(x) +, E. Нетрудно проверить, что обобщенная последовательность операторов {L, E, 0} является самосопряженной регуляризацией для оператора L порядка q = (см. определение 8.4). Тогда согласно теореме 8.3 справедливо следующее утверждение.

106 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Теорема 13.2. Если оператор L является максимальным симметрическим оператором, то последовательность {u (t)} решений регуляризованных задач (13.3), (13.5), (13.6) сходится в пространстве H равномерно на любом отрезке [0, T ], T 0, тогда и только тогда, когда задача Коши (13.2), (13.3) для вырожденного оператора имеет решение u(t), причем реше ние задачи Коши (13.2), (13.3) является пределом последовательности решений вырожденных задач, т. е. lim sup u (t) u(t) H = 0 для любого T 0.

0 t[0,T ] В случае отсутствия решения задачи Коши (13.2), (13.3) последовательность {u (t)} реше ний регуляризованных задач сходится слабо в пространстве H равномерно на любом отрезке [0, T ], T 0, к вектор-функции u (t) = UL (t)u0, которая является решением задачи Коши для уравнения Шредингера с сопряженным оператором L и начальным условием (13.3), т. е.

для любых T 0 и H выполняется равенство lim sup |(u (t) u (t), )H | = 0. Последо 0 t[0,T ] вательности векторов {u (t)} пространства H сходится к своему слабому пределу u (t) по норме пространства H тогда и только тогда, когда u0 H0 (t) Im(eiLt ).

Для каждого u0 H определим неотрицательную величину T (u0 ) = sup{t 0 : u0 H0 (T )}.

Из теоремы 13.2 вытекает следующее свойство последовательности решений регуляризованных задач, Теорема 13.3. Пусть u0 C00 (l, l). Тогда решение задачи Коши (13.2), (13.3) существует на интервале (0, T (u0 )) и непродолжимо ни на какой больший интервал в том смысле, что при любом 0 выполняется неравенство T + d u(t) Lu(t) (13.8) inf dt, dt uDu + ], D(L)) C 1 ((0, T где Du0 = {u C([0, T + ), H) : u(0) = u0 }. Последовательность решений регуляризованных задач {u (t)} сходится равномерно на всяком отрезке [0, T ] из промежутка [0, T (u0 )) по норме пространства W2 (l, l) и удовлетворяет условию lim u (t) W2 (l,l) = + для любого t T.

Доказательство. Существование единственного решения на промежутке [0, T ) следует из тео ремы 13.1, а из теоремы 13.2 следует сходимость к нему последовательности регуляризованных решений на любом отрезке [0, T ] [0, T ).

Отсутствие решения на промежутке [0, T + ) и неравенство (13.8) следуют из теоремы 10.1.

Для доказательства наличия градиентной катастрофы при t T предположим противное, что найдется последовательность параметров регуляризации {k } и число t T такие, что k при k, но sup uk (t) W2 (l,l). Тогда из компактности вложения пространства W2 (l, l) kN в пространство H следует существование сходящейся по норме пространства H подпоследова тельности {ukj (t)}. Но поскольку t T, то u0 H0 (t), поэтому в силу теоремы 13.2 подпо / следовательность {ukj (t)} не является сходящейся в пространстве H. Полученное противоречие доказывает, что при t T выполняется равенство lim u (t) W2 (l,l) = +.

Это свойство задачи Коши для линейного уравнения Шредингера является общим с аналогич ным свойством задачи Коши для уравнений гидродинамики, исследуемым в работах [44, 137]. В каждой из двух указанных работ изучается проблема конечности промежутка [0, T (u0 )) суще ствования решения задачи Коши для уравнения гидродинамики и анализируется поведение по следовательности вязкостных решений, аппроксимирующих решение уравнений гидродинамики. В каждой их этих двух работ установлено, что на промежутке существования решения исследуемой задачи Коши имеет место сходимость последовательности решений {u, (0, 1), 0} вяз костных аппроксимаций уравнения динамики без давления последовательностью уравнений типа Бюргерса к решению u(t, x), (t, x) (0, T ) R, предельной задачи Коши для уравнения газоди намики. В работе [137] исследована задача Коши для описывающего динамику газа без давления уравнения Бюргерса и доказано, что существует такая точка x R координатного пространства, 13. О КОШИ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ПРОСТРАНСТВА НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ ЗАДАЧИ что u (T, x ) + при 0, но при этом для всех x = x существуют конечные пределы lim u(T, x). В работе [137] получены степенные оценки по параметру стремления к бесконеч ности величины u (T, x ).

В работе [44] получены аналогичные результаты об образовании точечных сингулярностей для поточечных пределов последовательности u (T, x) при 0 как в случае вязкостных аппрокси маций уравнениями типа Бюргерса, так и в случае дисперсионных аппроксимаций уравнениями третьего порядка типа Кортевега-де-Фриза с малым параметром при старшей производной. В работе [44] получены, во-первых степенные оценки по параметру стремления к бесконечно сти величины u (T, x ) и, во-вторых, оценки скорости стремления к бесконечности величины u (T, x) = lim u (T, x), x = x, при x x по сравнению со степенями величины (x x )1.

Отметим, что в работе [44], как и в работах [146, 147, 157], предельный переход для после довательности регуляризованных решений {u (t)}, t 0, 0 используется для определения динамического преобразования, задаваемого задачей Коши для предельного уравнения, [T, +).

В указанных работах не проводилась оценка роста величины u (t) Wp при 0 и l 0, p l или оценка нормы u (T ) Wq при различных q 1, l 0. Теорема 14.3 настоящей работы уста l навливает неограниченный рост при 0 величины u (t) W2 при любом t T, не детализируя при этом пространственное распределение особенностей.

Похожий эффект возникает и при изучении уравнения Фоккера—Планка u(t, x) = u(t, x) + V u(t, x), x Rd, t 0, t или уравнения Шредингера u(t, x) = u(t, x) + V u(t, x), t 0, x Rd, i t c, x Rd. В работе [139] установлено, что если константа с сингулярным потенциалом V (x) = |x| 2d c превосходит константу Харди CH =, то для любого ненулевого начального условия u d время существования решения T равно нулю. Поскольку причиной отсутствия решения задачи Коши является сингулярность потенциала, то для исследования задачи вместе с ней рассматрива ется семейство задач Коши с регуляризованными потенциалами V = min V,, (0, 1), каждая из которых имеет решение u (t), t 0. В работе установлено, что последовательность решений задач Коши для регуляризованного уравнения Фоккера—Планка стремится к бесконечности в том смысле, что для любых t 0 и x Rd имеет место lim u (t, x) = +. В той же ситуации + последовательность значений u (t) решений задач Коши для регуляризованного уравнения Шре дингера в произвольный момент времени t 0 является равномерно ограниченной в пространстве L2 (Rd ) нормой начального условия u0 L2 (Rd ). Тем не менее, как и в примере из теоремы 13.3, имеет место следующая градиентная катастрофа последовательности регуляризованных решений:

для любого t T = 0 выполняется равенство lim |u (t)| L2 (Rd ) = +.

Теорема 13.2 дает описание динамики предельной задачи Коши на промежутке [T, +) с точки зрения функционалов на пространстве начальных данных H, задающих слабую тополо гию пространства H. В топологии нормы пространства H, задаваемой всеми непрерывными на H функционалами, имеет место расходимость последовательности регуляризованных динамических преобразований. В промежуточной топологии, задаваемой всеми непрерывными линейными и квад ратичными функционалами на пространстве H, установлено отсутствие секвенциальной компакт ности последовательности регуляризованных решений (см. раздел 15, а также работу [160]). Но установлена компактность топологическая и дано параметрическое описание множества предель ных точек последовательности посредством конечно-аддитивных мер на множестве параметров регуляризации (см. разделы 15–22).

Рассмотренные примеры задач Коши для эволюционных уравнений с конечным временем суще ствованием решения позволяют предположить, что для описания динамики системы на большем 108 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ промежутке времени требуется рассмотрение окрестности динамической системы, задаваемой за дачей Коши, и обобщение понятия решения задачи. Факт разрушения решения в некоторый момент времени означает отсутствие однозначной определенности динамики системы. В этом случае есте ственно расширить понятие решения до многозначных отображений с заданным распределением вероятности по множеству значений, т. е. до случайных процессов. Следовательно, при таком подходе нарушение корректности задачи Коши есть проявление свойств случайности в динамике системы. Реализации указанной программы и посвящены дальнейшие исследования.

14. ДИНАМИКА КОШИ ОПЕРАТОРОВ ПЛОТНОСТИ, ПОРОЖДЕННАЯ ЗАДАЧЕЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА В настоящем разделе,как и в разделах 1, 2, 7 изучается задача Коши (1), (2) для уравнения Шредингера с вырождающимся оператором переменного типа, в которой производящий оператор L определен дифференциальным выражением (3) на максимальной области определения (см. раз дел 1).

Чтобы определить аппроксимативное решение задачи (1), (2), используются идеи метода ис чезающей вязкости. Наряду с задачей (1), (2), в которой оператор L является вырождающимся оператором переменного типа, рассмотрено семейство регуляризованных задач Коши с начальным условием (2) для семейства уравнений du(t) = L u(t), t 0, (0, 1). (14.1) i dt Здесь обобщенная последовательность операторов {L, (0, 1), 0} является самосопряжен ной регуляризацией оператора L в смысле определения 8.4 и замечания к нему.

Так, например, в качестве самосопряженной регуляризации вырожденного оператора L ви да (1.3) может быть рассмотрено семейство зависящих от параметра регуляризации (0, 1) операторов L, задаваемых дифференциальными выражениями v i v a(x)v L v = g (x) + a(x) +, x x 2 x x в которых функции g (x) = g(x) + зависят от вещественного параметра (0, 1) и равномерно отделены от нуля. При каждом (0, 1) оператор L есть равномерно эллиптический дифферен циальный оператор второго порядка на оси R.

Регуляризованные задачи Коши (14.1), (2) корректны (см. [92, гл. 8], [13]) и известно, что для любого начального условия u0 (x) L2 (R) существует единственное решение регуляризованной задачи u (t, x), причем соответствие UL (t) : u0 (x) u (t, x), t R, является унитарной группой.

Во второй главе исследована сходимость семейства решений регуляризованных задач (14.1), (2) при 0. Определены условия на параметры задачи, необходимые и достаточные для сходимо сти семейства по норме и для слабой сходимости при 0. В терминах самосопряженных и максимальных диссипативных расширений оператора L дано параметрическое задание множества частичных пределов всевозможных последовательностей регуляризованных полугрупп.

В задачах квантовой механики требуется определить динамику значений наблюдаемых — огра ниченных операторов в H. Обозначим через B(H) банахово пространство ограниченных операто ров в гильбертовом пространстве H с операторной нормой. Задача Коши для уравнения Шредин гера, имеющая единственное решение, определяет динамику значений ограниченных операторов, т. е. отображение R+ B(H) C, действующее по правилу (t, A) (u(t), Au(t)). Если реше ние задачи Коши (1), (2) аппроксимируется решениями последовательности регуляризованных задач (14.1), (2), то будет ли последовательность регуляризованных динамик значений ограничен ных операторов определять динамику значений ограниченных операторов для предельной зада чи (1), (2) при стремлении к нулю параметра регуляризации?

Безусловно, из сильной сходимости последовательности регуляризованных решений u (t) u(t) при 0 следует сходимость регуляризованных динамик (u (t), Au (t)) к предельной (u(t), Au(t)).

Однако слабая сходимость последовательности регуляризованных решений гарантирует лишь схо димость значений всех линейных непрерывных функционалов пространства H на решениях, но не может гарантировать сходимости значений на последовательности регуляризованных решений квадратичных форм ограниченных операторов.

14. ДИНАМИКА КОШИ ШРЕДИНГЕРА ОПЕРАТОРОВ ПЛОТНОСТИ, ПОРОЖДЕННАЯ ЗАДАЧЕЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ В настоящей главе показано, что в случае лишь слабой сходимости семейства регуляризованных задач сходимость значений квадратичных форм всех ограниченных операторов невозможна. Од нако для некоторого более узкого класса ограниченных операторов B1 B(H) возможно указать такую бесконечно малую последовательность параметров регуляризации, что соответствующая ей последовательность динамик (un (t), Aun (t)) сходится для любого оператора A из класса B1.

В работах [149,162] исследована сходимость последовательности вероятностных мер на коорди натном пространстве R, плотность которых определяется слабо сходящейся последовательностью {un (x)} элементов пространства L2 (R). Рассмотрена сходимость значений на данной последова тельности элементов квадратичных форм некоторого класса псевдодифференциальных операторов.

В настоящей работе исследуется динамика значений квадратичных форм всех операторов из алгеб ры операторов умножения на непрерывную функцию и унитарно эквивалентных абелевых алгебр операторов (см. [125]). Для этой цели рассмотрена сходимость при 0 семейства вероятностных мер P (t) с функциями распределения F (t, ), определяемыми решениями u (t) и ортогональным разложением E() единичного оператора в L2 (R) по правилу F (t, ) = (u (t), dE()u (t)). В терминах поведения семейства указанных вероятностных мер определены условия на семейство решений регуляризованных задач (14.1), (2), необходимые и достаточные для сходимости при 0 значений квадратичных форм (Au (t), u (t)) всех операторов умножения на функцию.

14.1. О компактности и секвенциальной компактности последовательности квантовых со стояний в топологии -слабой сходимости. Теоремы раздела 9 представляют результаты иссле дования сходимости последовательности решений регуляризованных задач по норме пространства H и в топологии слабой сходимости в H. В настоящей главе нас интересует случай отсутствия сходящихся последовательностей регуляризованных полугрупп и регуляризованных решений. На основании теоремы 8.5 и следствия 8.5 условия отсутствия сходимости можно сформулировать следующим образом.

Теорема 14.1. Пусть оператор L есть симметрический оператор в пространстве H с ин дексами дефекта (n, n+ ), а обобщенная последовательность операторов {L, E = (0, 1), +0} есть максимальная симметрическая регуляризация оператора L. Тогда если n+ n, то для любого числа T 0 любая подпоследовательность регуляризованных преобразований {ULk (t)} не является сходящейся в сильной операторной топологии поточечно на отрезке [0, T ].

Доказательство. Действительно, если предположить, что на некотором отрезке [0, T ], T 0, имеет место поточечная сходимость последовательности регуляризованных полугрупп к предель ной оператор-функции F(t), t [0, T ], то так же, как и в доказательстве теоремы 8.4, можно показать, что сходимость равномерна в слабой операторной топологии, и для t1, t2 0 таких, что t1 + t2 [0, T ], выполняется полугрупповое свойство.

Для любого u0 H и любого t (0, T ) имеет место цепочка равенств:

ULn (T + t)u0 F(t)F(T )u0 = ULn (t)(ULn (T ) F(T ))u0 + (ULn (t) F(t))F(T )u0.

В силу полугруппового свойства и свойства равномерной ограниченности регуляризованных по лугрупп поточечная сходимость имеет место и на произвольном отрезке и равномерна в слабой операторной топологии (так же, как и в условиях теоремы 8.5), предельная оператор-функция F(t), t 0 является полугруппой, слабо непрерывной на полуоси t 0, а поэтому и сильно непрерывной (см. [51, п. 9.1.1, стр. 322]).

Предельная полугруппа консервативна, поэтому имеет консервативный генератор. Тогда, со гласно теореме 8.5, оператор L имеет симметрическое расширение, генерирующее изометрическую полугруппу. А это противоречит условию на его индексы.

Замечание 14.1. Если n = 0, то последовательность регуляризованных полугрупп {UL (t), t 0} сходится в слабой операторной топологии к сжимающей полугруппе UL (t), t 0, рав номерно на любом отрезке [0, T ] (см. теорему 8.3). Необходимым и достаточным условием схо димости последовательности решений регуляризованных задач является включение u0 H0 (см.

110 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ теоремы 8.3 и 1.2). Следовательно, в этом случае для любого u0 H1 существует такое t 0, что для всех t t выполняется неравенство: lim ULk (t)u0 H UL (t)u0 H.

k Для уточнения связи между последовательностью решений регуляризованных задач и предель ной задачей с вырождением исследуем сходимость значений квадратичных форм ограниченных операторов на последовательности решений регуляризованных задач. Иными словами, рассмот рим последовательность квантовых операторов плотности — линейных функционалов n (t, ·) на банаховом пространстве B(H) ограниченных операторов в H, задаваемых решениями регуляри зованных задач по правилу n (A) = (un (t), Aun (t)), и исследуем ее на сходимость в -слабой топологии пространства B (H).


Существует ли такая бесконечно малая последовательность {n }, что для любого операто ра A B(H) последовательность средних значений (un, Aun ) сходится? Для максимального симметрического оператора L ответ положителен, если u0 H0, и отрицателен в остальных слу чаях.

Очевидно, что если задача Коши (14.1), (2) имеет единственное сильное аппроксимативное решение u(t, x), то последовательность функционалов n (t) сходится по норме пространства C([0, T ], B (H)) при любом T 0 к функционалу (t) : (t)(A) = (u(t), Au(t)).

Теорема 14.2. Пусть выполнены условия теоремы 14.1. Тогда существует вектор u0 H и число t 0 такие, что если t t, то тогда для любой бесконечно малой последова тельности n существует такой ограниченный самосопряженный оператор A B(H), что последовательность (un (t), Aun (t)) расходится.

Замечание 14.2. Утверждение теоремы 14.2 следует из теоремы 1 в [142], согласно которой из сходимости последовательности значений произвольного оператора A B(H) на последователь ности единичных векторов un следует сходимость последовательности одномерных ортогональных проекторов Pun на единичные векторы по операторной норме, которая влечет компактность после довательности un и, следовательно, не совместима со слабой сходимостью последовательности un к элементу u H с нормой u H 1. Более подробное доказательство теоремы 14.2 приведено ниже.

Доказательство. Согласно теореме 14.1, для любого T 0 найдется такой вектор u0 H и число t [0, T ] такие, что для любой последовательности {n (0, 1), n 0} последовательность век торов un (t) = ULn (t)u0, n N расходится в пространстве H. Ограниченная последовательность un (t) содержит слабо сходящуюся подпоследовательность. Без ограничения общности будем счи тать, что сама последовательность сходится слабо в H к вектору u (t) и расходится в норме пространства H. При этом любая подпоследовательность последовательности {un (t)} также рас ходится в H.

Значит последовательность {un (t)} не компактна в H и, следовательно, существует 0 такое, N что для любого конечного набора элементов x1,..., xN -сеть O (xj ) не покрывает значения j= N всех элементов последовательности {un (t)}, т. е. существует m N такое, что um (t) / O (xj ).

j= Здесь O (M ) = {x H : H (x, M ) }, где H — метрика пространства H, M — некоторое мно жество пространства H.

Тогда справедливо утверждение: существует 0 такое, что для любого n N найдется m n такое, что um (t) T (n, ), где T (n, ) = {x H : x O (lin (u, u1,..., un ));

| x 1| }.

/ Действительно, если для любого 0 существует n N такое, что для любого m n выполняется включение um (t) T (n, ), то для любого 0 значения последовательности {un } можно покрыть конечной -сетью, что противоречит ее некомпактности.

Выделим из последовательности {un } линейно независимую систему векторов fk по следующе 1, что um1 (t) T (1, ). Положим му правилу. Пусть f1 = u (t), тогда существует такое m1 / f1 = um1. Тогда существует m2 m1 такое, что um2 (t) T (m1, ). Положим f2 = um2, и / т. д. Тогда по индукции существует последовательность fk H — подпоследовательность {un } — 14. ДИНАМИКА КОШИ ШРЕДИНГЕРА ОПЕРАТОРОВ ПЛОТНОСТИ, ПОРОЖДЕННАЯ ЗАДАЧЕЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ такая, что для любого k N fk+1 V (k, ) {x H : x O (lin (u, f1,..., fn ));

| x 1| }. (14.2) / Семейство элементов {fk } подвергнем стандартной процедуре ортогонализации. Положим g2 = (I P1 )f2,..., gk+1 = (I Pk )fk+1,..., g 1 = f1, где Pk есть ортогональный проектор на линейную оболочку lin {f1, f2,..., fk }. Тогда в силу (14.2) для любого k N справедлива оценка gk H.

Положим hk = ( gk )1 gk, k N. Тогда {hk } — ортонормированная система векторов. Заметим, что согласно построению ортогональной системы {gk }, j k;

(14.3) (fj, hk ) = согласно оценке (14.2) справедливо неравенство (14.4) (fk, hk ).

Последовательность {fj } слабо в H сходится к u как подпоследовательность последовательно сти un (t), поэтому lim (fj, hk ) = 0 k N. (14.5) j Рассмотрим ограниченный самосопряженный оператор Q в пространстве H, действие которого на любой вектор H задается соотношением Q = aj (hj, )hj, j= где {aj } — некоторая ограниченная последовательность действительных чисел. Докажем, что су ществует такая последовательность чисел {aj }, принимающих значения {1, 0, 1}, что последо вательность (fk, Qfk ), а следовательно, и последовательность (un (t), Qun (t)), расходится.

Для произвольных натуральных чисел m, p рассмотрим величину aj |(hj, fk )|2 aj |(hj, fk+p )| (fk, Qfk ) (fk+p, Qfk+p ) = j=1 j= что, согласно (14.3), равно k+p k aj |(hj, fk )|2 aj |(hj, fk+p )|2.

j=1 j= Пусть a1 = 1, тогда в силу (14.5) существует p2 1 такое, что (h1, fp2 ). Положим aj = 0, j = 2, 3,..., p2 1;

ap2 = 1. Тогда существует p3 p2 такое, что (hi, fp3 ), i = 1, 2,..., p2.

Положим aj = 0, j = p2 + 1,..., p3 1;

ap3 = 1. По индукции, существует строго монотонная последовательность натуральных чисел {pl } такая, что (hi, fpl ), i = 1, 2,..., pl1 для любого 2l l1.

l = 4, 5,.... Положим aj = 0, j = pl и apl = (1) Тогда для любого n N можно указать pn n такое, что pn aj |(hj, fpn )|2 = (1)n1 |(fpn, hpn )|2 + n, (fpn, Qfpn ) = j= n 2 2n 0 при n. В силу (14.4), последовательность {(fnp, Qfnp )} расходится.

где |n | i= Следовательно, для любой бесконечно малой последовательности {n } можно указать такой ограниченный самосопряженный оператор Q, что последовательность (un (t), Qun (t)) расходится.

112 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Следствие 14.1. Пусть L есть максимальный симметрический оператор и n = 0, а обоб щенная последовательность операторов {L, E = (0, 1), +0} есть максимальная симметрическая регуляризация оператора L. Тогда если PH1 u0 (x) = 0, то существует такое число t 0, что если t t, то тогда для любой бесконечно малой последовательности n существует такой ограниченный самосопряженный оператор A B(H), что последователь ность (un (t), Aun (t)) расходится.

Согласно теореме 8.3, если PH1 u0 (x) = 0, то последовательность регуляризованных решений u (t) сходится при 0 слабо к функции u (t) = UL (t)u0, причем lim u (t) = PH1 u0 u0.

t+ Положим t = sup{t 0 : u (t) = u0 }. Тогда u (t) u0 для любого t t, поэтому утвер ждение следствия 14.1 следует из теоремы 14.2.

Замечание 14.3. Так как для любого ограниченного оператора Q B(H) и любой бесконечно малой последовательности {n } последовательность средних значений (un (t), Qun (t)) операто ра Q на решениях семейства регуляризованных задач un (t) ограничена, то множество ее частич ных пределов ограничено и, как следует из теоремы 14.2, состоит из более чем одной точки.

Замечание 14.4. При каждом t 0 множество значений S последовательности регуляризо ванных операторов плотности n (t) принадлежит единичной сфере пространства B (H), которая, согласно теореме Банаха—Алаоглу, бикомпактна в пространстве B (H) с топологией *-слабой сходимости. Но так как пространство B(H) не является сепарабельным, то *-слабая топология в пространстве B (H) не является метризуемой и поэтому из бикомпактности множества значений последовательности не следует его секвенциальная компактность. Согласно работе [142] и теоре ме 14.2, последовательность n (t) не имеет частичных пределов в топологии *-слабой сходимости пространства B (H).

Хотя множество частичных пределов последовательности в *-слабой топологии пусто, мы со поставим каждой последовательности ее среднее значение по чисто конечно-аддитивной мере, заданной на множестве натуральных чисел. Такое среднее значение последовательности по мере претендует на роль обобщенного предела последовательности.

Возникает вопрос: позволяет ли задача Коши (14.1), (2) задавать динамику значений наблюда емых A B(H)? Однозначно ли определена такая динамика?

Стремление применить метод изчезающей вязкости к определению динамики значений наблю даемых для задачи Коши (14.1), (2) приводит к рассмотрению многозначных отображений. Опре делим отображение, ставящее в соответствие каждой бесконечно малой последовательности {n }, начальному условию u0 (x), числу t 0 и оператору A B(H) множество всевозможных частич ных пределов последовательности средних значений (un (t), Qun (t)) при n :

T : E H R+ B(H) 2C : ({n }, u0, t, Q) T ({n }, u0, t, Q), где E есть множество всех бесконечно малых последовательностей неотрицательных чисел, T ({n }, u0, t, Q) есть множество частичных пределов последовательности {(ULn (t)u0, QULn (t)u0 )}, а 2C есть метрическое пространство всех подмножеств комплексной плоскости C, наделенное мет рикой Хаусдорфа. При этом динамика средних значений теряет свойство однозначности и задается многозначным отображением.

В настоящем разделе главы исследуется вопрос об определении области однозначности много значного отображения T ({n }, u0, t, Q). То есть требуется определить такое подмножество B 1 (H) пространства B(H), для которого существует бесконечно малая последовательность {n } такая, что для любых u0 H, t 0 и любого Q B 1 (H) множество T ({n }, u0, t, Q) состоит из одной точки, т. е. последовательность {(ULn (t)u0, QULn (t)u0 )} сходится. Если подмножество B 1 (H) B(H), удовлетворяет указанному условию, будем говорить, что последовательность квантовых состояний {u (t), E} компактна в слабой топологии, порожденной операто рами из B 1 (H). Близкие вопросы о сходимости последовательности значений квадратичных форм ограниченных псевдодифференциальных операторов на слабо сходящейся в пространстве L2 (R) последовательности функций изучались в работах [149, 162].


Из теоремы 8.3 следует, что если оператор L является максимальным симметрическим оператором, а {L, E} — его максимальная диссипативная регуляризация, то для любой 15. О СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ МЕР бесконечно малой последовательности {n }, любых u0 H, t 0 и любого Q (H), где (H) есть кольцо компактных операторов в H, множество частичных пределов последовательно сти {(ULn (t)u0, QULn (t)u0 )} состоит из единственной точки (u (t), Qu (t)), где u (t) — слабое аппроксимативное решение задачи (14.1), (2).

b В работе [97] (см. также [149, 162]) показано, что если Bx (H) есть линейное многообразие операторов, действующих на функцию u(x) H = L2 (R) как оператор умножения на равномерно непрерывную на множестве R функцию, то для любой ограниченной последовательности единич ных векторов {un } соответствующая последовательность квантовых состояний компактна в слабой b топологии, порожденной операторами из Bx (H).

Пусть E(), R, есть ортогональное разложение единичного оператора в H (см. [125]), а BE (H) есть линейное многообразие операторов, действующих на функцию u H по правилу Au = a()dE()u, где a() C(R). Через BE (H) BE (H) обозначим линейное многообразие b R операторов, для которых функция a() имеет конечные предельные значения на бесконечности.

Для исследования сформулированной задачи каждой функции u(x) H поставим в соответ ствие функцию распределения Gu,E () = (u, dE()u), Gu,E () L1,loc (R). Тогда последовательности регуляризованных решений un (t, x) соответ ствует последовательность функций распределения Gn,E (t, ) = Gun (t),E (), причем при каж дом n N функция Gn,E (t, ) принадлежит пространству C(R+, L1,loc (R)). Обозначим через K(T, l), T 0, l 0, множество [0, T ] (l, l] и через C(R+, L1,loc (R)) (см. [83]) линейное топологическое пространство функций u(t, x) таких, что для любых T 0, l 0 выполне но u(t, x)|K(T,l) C([0, T ], L1 ([l, l])), сходимость в котором определяется семейством полунорм pT,l (u) = u(t, x)|K(T,l) C([0,T ],L1 (l,l)).

15. О СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ МЕР В работе [97] проведено исследование сходимости вероятностных мер на координатном про странстве, определенных последовательностью решений регуляризованных задач и ортогональным разложением единицы оператора умножения на координату, при стремлении к нулю параметра регуляризации. Мы имеем цель обобщить результат [97] на случай произвольного ортогонального разложения единицы E(). Однако в этом случае мы не сможем установить дифференцируемость плотностей мер по параметру и использовать теоремы вложения Никольского, как в работе [97].

В настоящей работе этот пробел преодолен благодаря использованию принципа выбора Хелли, что позволило доказать теорему 15.1. Для случая гладких начальных условий установлена равносте пенная непрерывность по t на промежутке (0, +) семейства функций распределения вероятност ных мер, что позволило доказать теорему 15.2. Теорема 15.3 доказана с помощью установленной в лемме 15.3 непрерывной зависимости функции распределения начального условия, которая поз волила результат теоремы 15.4 продолжить по непрерывности на все пространство начальных условий L2 (R).

Пусть всюду далее E(), R, — ортогональное разложение единицы в гильбертовом про странстве L2 (R) H. Тогда справедливо следующее утверждение.

Теорема 15.1. Пусть u0 (x) L2 (R) и {n } — некоторая бесконечно малая последователь ность. Тогда для любого t 0 существуют такая подпоследовательность nk последова тельности {n } и такая функция G(t, ) L1,loc (R), определенная на всей оси R, монотонно возрастающая, удовлетворяющая неравенствам 0 1 и такая, что последова G(t, ) тельность {Gnk (t, )}, где Gnk (t, ) = (unk (t), dE()uenk (t)), сходится к функции G(t, ) в пространстве L1,loc (R).

114 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Доказательство. Пусть n — произвольная бесконечно малая последовательность. При фиксиро ванном значении t 0 рассмотрим последовательность функций R, n N.

Gn (t, ) = (un (t), dE()un (t)), Тогда при каждом n N функция Gn (t, ) является монотонно возрастающей, 0 Gn (t, ) 1 и Gn (0, ) = G0 (), n N.

Рассмотрим при фиксированном t 0 последовательность функций Gn (t, ), n N. Так как все элементы указанной последовательности равномерно ограничены в равномерной норме и являются монотонными функциями по вариации, то согласно теореме Хелли (см. [82]), из последователь ности Gn (t, ) можно выделить подпоследовательность Gnk (t, ), которая сходится поточечно на оси R к функции G(t, ), монотонной (следовательно, имеющей конечное изменение) и такой, что 0 G(t, ) 1.

Фиксируем некоторое l 0. Тогда согласно теореме Егорова (см. [60]), для любого 0 на отрезке [l, l] существует множество с мерой () такое, что последовательность Gn (t, x) сходится равномерно на множестве [l, l]\. Тогда легко видеть, что в силу равномерной ограни ченности функций Gn (t, ), G(t, ) и произвольности 0, последовательность Gn (t, ) сходится в пространстве L1 ([l, l]), откуда следует утверждение теоремы 15.1.

Используя введенные в конце раздела 14 обозначения K(T, l) и C(R+, L1,loc (R)), сформулируем следующее утверждение.

Лемма 15.1. Если последовательность fn (t, x) фундаментальна в пространстве C(R+, L1,loc (R)) (т. е. для любых T, l 0 последовательность fn (t, x)|K(T,l) фундаментальна в C([0, T ], L1 (l, l))), то она имеет предел в пространстве C(R+, L1,loc (R)).

Доказательство. Пространство C([0, T ], L1 (l, l)) полное, поэтому для любых T, l 0 после довательность fn (t, x)|K(T,l) имеет предел f T,l (t, x) C([0, T ], (l, l)). При этом если T1 T, l1 l, то в силу единственности предела F T1,l1 (t, x)|K(T,l) = f T,l (t, x). Поэтому однозначно определена функция f (t, x) C(R+, L1,loc (R)) такая, что для любого K(T, l) справедливо ра венство f (t, x)|K(T,l) = f T,l (t, x). Тогда f (t, x) есть предел последовательности fn (t, x) в простран стве C(R+, L1,loc (R)).

Теорема 15.2. Для любой функции u0 D(L ) и любой бесконечно малой последова [0,1] тельности {n } существует ее подпоследовательность k и функция F (t, ) C(R+, L1,loc (R)) такая, что последовательность Fk (t, ) сходится к F (t, ) в C(R+, L1,loc (R)), причем 0 F (t, ) 1 и при каждом t 0 функция F (t, ) монотонна на R.

Доказательство. Доказательство теоремы 15.2 проведем в несколько этапов. Пусть tj, j N, — некоторая последовательность, задающая нумерацию всех рациональных чисел промежут ка [0, +).

Тогда из последовательности n можно выделить подпоследовательность 1 k и указать функцию n F (t1, ) L1,loc (R) такие, что Fe(1) (t1, ) сходится в L1,loc (R) к F (t1, ) при k. Причем, nk согласно теореме 15.1, 0 F (t1, ) 1 и функция F (t1, ) монотонно возрастает на оси R.

(1) (2) Аналогично, из последовательности nk можно выделить подпоследовательность nk и указать функцию F (t2, ) L1,loc (R) такие, что Fe(2) (t1, ) сходится в L1,loc (R) к F (t1, ) при k и nk функция F (t2, ) удовлетворяет тем же условиям ограниченности и монотонности.

(p) Таким образом, для любого p N существует последовательность nk — подпоследовательность (p1) последовательности nk — и определена функция F (tp, ) L1,loc (R) такие, что Fep (tp, ) схо nk дится в L1,loc (R) к F (tp, ) при k и функция F (tp, ) удовлетворяет условиям ограниченности и монотонности.

(p) Тогда последовательность np — подпоследовательность последовательности n — такова, что для любого q N последовательность F(p) (tq, ) сходится к F (tq, ) в пространстве L1,loc (R).

np 15. О СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ МЕР Следовательно, для любых tq Q+, l 0 и 0 найдется такой номер p0 N, что при любом p p F(p) (tq, ) F (tq, ) L1 ([l,l]). (15.1) np Покажем, что существует функция F (t, ) C(R+, L1,loc (R)) такая, что последовательность F(p) (t, ) сходится к F (t, ) при p в пространстве C(R+, L1,loc (R)), т. е. для любых np T 0, l 0, 0 существует p0 такое, что для всех p p0 выполнено неравенство F(p) (t, )|K(T,l) F (t, )|K(T,l) C([0,T ],L1 ([l,l])).

np Согласно уравнению (14.1), для любого n N справедливо равенство F (t, ) = jn (t, ), t n где (Ln un (t), dE()un (t)) (un (t), dE()Ln un (t)).

jn (t, ) = i Следовательно, для любых n N, в соответствии с неравенством Коши—Буняковского, справед лива оценка sup |jn (t, )| t0, R 1/2 1/ (Ln un (t), dE()Ln un (t)) (un (t), dE()un (t)) 2 sup t0, (0,1) L u (t) = 2 L1 u u (t) L2 L2 L в силу унитарности преобразований UL (t), и для любого u0 D(L ) выполнено [0,1] L u0 L1 u0, (0, 1).

Поэтому для любого l 0 существует постоянная c(l) 0 такая, что для всех n N sup F (t, )|R+ [l,l] c(l).

t n L1 ([l,l]) t Следовательно, для любых t1, t2 R+ таких, что |t2 t1 |, при любом n N справедливо неравенство Fen (t2, ) Fn (t1, ) L1 ([l,l]) c(l). (15.2) (m) (m) = 2m j, j, m N, тогда tj Для каждого m N выберем на промежутке [0, +) точки tj Q (m) (m) tj1 = 2m, j N.

и tj Пусть p(m) (t, ) C(R+, L1,loc ) — кусочно-линейное на промежутке R+, линейное на проме (m) (m) R+ в линейное топологическое простран жутках (tj1, tj ), j = 1,..., N, отображение полуоси ство L1,loc (R) такое, что (m) (m) p(m) (tj j N. (15.3), ) = F (tj, ), Лемма 15.2. Последовательность {p(m) (t, )} является фундаментальной в пространстве C(R+, L1,loc (R)).

Доказательство. Фиксируем некоторые T, l 0. Тогда последовательность p(m) (t, )|K(T,l) фун даментальна в C([0, T ], L1 ([l, l])), ибо согласно (15.2) и (15.3) справедливо неравенство:

p(m+q) (t, ) p(m) (t, ) 2m c(l). (15.4) sup L1 ([l,l]) t[0,T ] 116 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Из лемм 15.1 и 15.2 вытекает, что существует такое F (t, ) C(R+, L1,loc (R)), что последова тельность p(m) (t, ) сходится к F (t, ) в пространстве C(R+, L1,loc (R)) при m.

Подчеркнем, что последовательность функций p(m) (t, ) и, следовательно, ее предел, не зависят от параметров T и l. От параметра l зависит лишь константа в оценке фундаментальности (15.4).

Покажем, что последовательность F(p) (t, ) сходится при p к функции F (t, ) в простран np стве C(R+, L1,loc (R)).

Выберем некоторые T, l 0 и оценим норму разности:

(m) p(m) (t, ) F(p) (t, ) p(m) (t, ) p(m) (tj, ) + np (m) (m) (m) + p(m) (tj, ) F(p) (tj, ) F(p) (t, ),, ) + F(p) (tj np np np (m) i N. Тогда в силу неравенства (15.2) первое и третье tm где — ближайшее к t из чисел ti, j m c(l), а для второго слагаемого согласно (15.3) и (15.1) верна оценка слагаемые не превосходят (m) (m) (m) (m) p(m) (tj, ) F(p) (tj, ) F(p) (tj, ) = F (tj, ) np np для любого p p0.

Таким образом, p(m) (t, ) F(p) (t, ) 2m+1 c(l) + для любого p p0.

np Поэтому F (t, ) F(p) (t, ) C([0,T ],L1 ([l,l])) np F (t, ) p(m) (t, ) + p(m) (t, ) F(p) (t, ) C([0,T ],L1 ([l,l])) C([0,T ],L1 ([l,l])) np F (t, ) p(m) (t, ) + 2m+1 c(l) +.

C([0,T ],L1 ([l,l])) Переходя в последней оценке к пределу при m, заключаем, что для любого 0, любых T, l 0 существует такое p0 N, что для любого p p0 справедливо неравенство F (t, ) F(p) (t, ).

C([0,T ],L1 ([l,l])) np Теорема 15.2 доказана.

Лемма 15.3. Пусть u, v H и E(), R, — ортогональное разложение единицы в гиль бертовом пространстве H. Тогда для любого R справедливо следующее неравенство:

|(u, E()u) (v, E()v)| uv H( u +v H ).

H Из непосредственных вычислений и неравенства Коши—Буняковского следует цепочка оценок:

|(u, Eu) (v, Ev)| = |Re{(u v, E(u + v))}| |(u v, E(u + v))| uv E(u + v) uv H( u +v H ), H H H которая и доказывает лемму 15.3.

Следствие 15.1. Пусть u0, v0 D(L ) и бесконечно малая последовательность m [0,1] такова, что существуют неотрицательные монотонные при каждом t 0 функции F (t, ) и G(t, ), ограниченные сверху единицей, обладающие сформулированными в теореме 15. свойствами, и такие, что последовательности функций {Fk (t, )} и {Gk (t, )} сходятся в пространстве C(R+, L1,loc (R)) к функциям F (t, ) и G(t, ) соответственно. Тогда для любых T, l 0 справедливо неравенство:

F (t, ) G(t, ) C u0 v 0 L2 (R).

C([0,T ],L1 (KT,l )) Доказательство. Фиксируем некоторое 0. Тогда для любых T 0, l 0 и любого k N выполняется условие F (t, ) G(t, ) F (t, ) Fk (t, )C([0,T ],L1 ([l,l])) + C([0,T ],L1 ([l,l])) + G(t, ) Gk (t, ) + |Fk (t, ) Gk (t, )|C([0,T ],L1 ([l,l])) C([0,T ],L1 ([l,l])) 15. О СХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ МЕР и, согласно теореме 15.2, найдется такое k0 = k0 (T, l, ) N, что F (t, ) Fk (t, ) + G(t, ) Gk (t, ) C([0,T ],L1 ([l,l])) C([0,T ],L1 (l,l)) для всех k k0.

А для третьего слагаемого, согласно лемме 15.3, справедлива оценка:

|Fk (t, ) Gk (t, )|C([0,T ],L1 ([l,l])) = = sup (uk (t), (E(l) E(l))uk (t)) (vk (t), (E(l) E(l))vk (t)) [0,T ] ULk (u0 v0 ) ULk (u0 + v0 ) 2 u0 v 0 L2.

L2 L Следовательно, в силу произвольности 0, для любого компакта KT,l, T, l 0, справедливо неравенство F (t, ) G(t, ) C([0,T ],L1 ([l,l]) 2 u0 v0 L2 (R).

Теорема 15.3. Пусть {n } — некоторая бесконечно малая последовательность. Тогда для любого разложения единицы E(), R, в гильбертовом пространстве H существует такая подпоследовательность nk, что для любой начальной функции u0 L2 (R) существует неот рицательная монотонно возрастающая при каждом t 0 функция G(t, ) C(R+, L1,loc (R)) такая, что последовательность Gn (t, ) сходится в C(R+, L1,loc (R)) к функции G(t, ).

Доказательство. Пусть E(), R, — некоторое ортогональное разложение единицы в гильбер товом пространстве H = L2 (R), u0l, l N, — некоторый ортонормированный базис в пространстве L2 (R). Рассмотрим следующее счетное семейство функций в пространстве C(R+, L1,loc (R)):

x i, j N.

Gji (t, x) = (ULn (t)u0j, dE()UL (t)u0i )), en Как и в доказательстве теоремы 15.2, используя процедуру выделения диагональной подпосле довательности, можно показать, что найдется такая подпоследовательность nk последовательно сти n и такое семейство функций Gji (t, x) C(R+, L1,loc (R)), i, j N, что для любых j, i N последовательность функций Gji (t, x) сходится к функции Gji (t, x) при n в простран n стве C(R+, L1,loc (R)).

Итак, для разложения единицы E() и ортонормированного базиса u0l выберем указанную последовательность nk. Тогда для любого элемента u0 (x) L2 (R) и для любого 0 найдется N N |j | такой набор чисел 1,..., N, что u0 v0 L2 (R), где v0 (x) = l u0l и u0.

4 l=1 l= Положим uk (t) = ULen (t)u0 и vk (t) = ULen (t)v0.

k k x Gwm (t, x) Пусть (ULm (t)w, dE()ULm (t)w), где w = u, v. Тогда, согласно лемме 15.3, для = любого m n справедлива оценка:

Gum (t, x) Gvm um (t) vm (t) (15.5) u m + v m.

C([0,T ],[l,l]) L2 (R) L2 (R) Таким образом, для любых T, l 0 и 0 найдутся такое число N и набор чисел 1,..., N, что имеет место неравенство (15.5).

Согласно выбору последовательности n, для указанных 0 и N найдется такой но n0 и всех i, j {1,..., N } справедливо неравенство Gji (t, x) мер n0, что для всех n n Gji (t, x) C([0,T ],L1 ([l,l])) 2(j+i+2). Тогда Gv (t, x) Gv (t, x) C([0,T ],L1 (l,l)) m+q m N N i aj 2(j+i+1) |i | |aj | (Gji (t, x) Gji (t, x))|K(T,l) C([0,T ],L1 (l,l)).

m+q m i,j=1 i,j= 118 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ n0, q N, справедлива оценка:

Поэтому для любых m (Gum+q (t, x) Gum (t, x))|K(T,l) (Gum+q (t, x) Gvm+q (t, x)|C([0,T ],L1 (l,l)) + C([0,T ],L1 (l,l)) + Gvm+q (t, x) Gvm (t, x) + (Gvm (t, x) Gum (t, x)|K(T,l).

C([0,T ],L1 (l,l)) C([0,T ],L1 (l,l)) Следовательно, последовательность Gum (t, x)|K(T,l) фундаментальна в C([0, T ], L1 (l, l)) при каждом T, l 0, а последовательность Gum (t, x), согласно лемме 15.1, сходится в простран стве C(R+, L1,loc (R)) к предельной функции G(t, x) C(R+, L1,loc (R)), которая при каждом t является монотонно возрастающей функцией на оси x R, принимающей значения в отрезке [0, 1].

15.1. Приложения к динамике наблюдаемых. Пусть E() — ортогональное разложение еди ницы в H, а BE (H) — подалгебра B(H) ограниченных операторов, действующих в простран b стве H по правилу Au = a()dE()u, где функция a() принадлежит C(R) и имеет пределы R lim a() = a±. Пусть BE (H) — подалгебра алгебры B(H) ограниченных самосопряженных опе c ± раторов, коммутирующих с E(), R, действие которых на произвольную функцию u L2 (R) задается формулой Au = a()dE()u, где a() C(R) (см. [125]).

R Теорема 15.4. Пусть u0 (x) L2 (R), E() — ортогональное разложение единицы и {k } — последовательность, существование которой утверждает теорема 15.3. Тогда для любого A BE и любого T 0 последовательность (uk (t), Auk (t)) сходится равномерно на [0, T ] b к величине A(t) = a+ (1 F (t, +)) + a F (t, ) + a()dF (t, ), где a()dF (t, ) есть инте R R грал Стилтьеса от непрерывной функции a() по монотонной ограниченной функции F (t, ) (см. [82, гл. 8, параграф 6]).

Заметим, что согласно теореме 15.3 при каждом t 0 функция распределения G(t, ) имеет предельные значения G(t, ±) = lim G(t, ), ± причем 0 G(t, ) G(t, +) 1.

Утверждение теоремы 15.4 вытекает из теоремы 15.3. Доказательство теоремы 15.4 для произ вольного ортогонального разложения единицы E() дословно повторяет доказательство соответ ствующих утверждений для ортогонального разложения единицы E(x) в работе [97].

Из теоремы 15.3 вытекает следствие.

Следствие 15.2. Пусть u0 (x) L2 (R), E() — ортогональное разложение единицы и {k } — такая бесконечно малая последовательность, что последовательность функций Gk (t, ) схо дится к функции G(t, ) в C(R+, L1,loc (R)). В этом случае последовательность (uk (t), Auk (t)) сходится при любом A BE тогда и только тогда, когда G+ (t) G (t) = 1.

c Возникает вопрос: не существует ли такой бесконечно малой последовательности {n }, что для любого оператора A B(H) последовательность средних значений (un, Aun ) сходится? Отрица тельный ответ дан теоремой 14.2.

Следствие 15.3. Если последовательность регуляризованных решений un (t) сходится слабо в H при n, то существует такое разложение единицы E(), что для предела F () любой сходящейся в пространстве L1,loc (R) подпоследовательности Fn () справедливо неравенство lim (F () F ()) 1.

Выберем в пространстве H ортонормированный базис {en }, включающий в себя как подсисте му ортонормированную систему {hk }, построенную в доказательстве теоремы 14.2. Рассмотрим [] разложение единицы E() = Pej. Положим Fi () = (ui (t), E()ui (t)). Пусть nk — последова j= тельность номеров такая, что enk = hk. Тогда согласно неравенству (15.1), для любого 0 существует такой номер k0, что для всех k k0 выполнено Fnk (0 ) 1. Тогда для верхнего 16. МНОГОЗНАЧНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, ОПРЕДЕЛЯЕМОЕ РЕГУЛЯРИЗАЦИЕЙ предела F () последовательности Fnk () справедливо утверждение: для любого 0 справедливо неравенство F () 1 (ибо предположение, что существует 0 0 такое, что F (0 ) 1, приводит к противоречию). Следствие 15.3 доказано.

Следствие 15.4. Пусть u0 (x) L2 (R), E() — ортогональное разложение единицы и {k } — такая бесконечно малая последовательность, что последовательность функций Fk (t, ) схо дится к функции F (t, ) в C(R+, L1,loc (R)). Тогда последовательность (uk (t), Auk (t)) сходит ся при любом A BE тогда и только тогда, когда F+ (t) F (t) = 1.

c Доказательство. Докажем достаточность. Фиксируем некоторое 0. Из сходимости последо вательности Fk (t, ) в пространстве C(R+, L1,loc (R)) и условия F+ (t) F (t) = 1 для предель 0, что для всех k N справедливы оценки ной функции следует существование такого L dF (T, ). Тогда для любой функции a() C(R) с конечной dFk (T, ) и ||L ||L a()dF (t, ) A. Следовательно, существует () C b (R) нормой A верно неравенство ||L (a() ())dF (t, ) 2A. В силу произвольности 0 достаточность следует из такое, что R теоремы 15.4.

0 и 0, что F+ ( ) F ( ) = 1.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.