авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |

«Современная математика. Фундаментальные направления. Том 43 (2012). С. 3–172 УДК 517.946+517.98 ...»

-- [ Страница 6 ] --

Докажем необходимость. Пусть существуют такие Тогда существует такой отрезок [L, L], что F (, L) F (, L) 1, причем последователь ность сужений {Fn (, )|[L,L] } сходится к F (, )|[L,L] в пространстве L1 ([L, L]). Тогда можно указать такие монотонно возрастающие последовательности чисел nk N и Lk (L, +), что 7 dFnk (, ) 1. Пусть a() — такая непрерывная кусочно и dFnk (, ) 8 || L ||[Lk +1,Lk+1 ] линейная функция, монотонная на интервалах (Lk, Lk +1), что a() = (1)k при [Lk +1, Lk+1 ].

Тогда последовательность не фундаментальна.

a(l)dFnk () R Пример 15.1. Пусть {un (x)} — ортогональная последовательность функций из простран ства L2 (R), носители которых содержатся на отрезке [0, 1], а сужения {un (x)|[0,1] } образуют базис в L2 ([0, 1]). Тогда un (x) слабо в L2 (R) сходятся к нулю;

поэтому существует такое разложение единицы E() и такая подпоследовательность {unm }, что для любого частичного предела F () последовательности {Fnm ()} справедливо неравенство F F (1) F (0) 1. Но поскольку x |un (s)|2 ds, соответствующие ортого носители всех мер с функциями распределения Fn (x) = нальному разложению единицы E(x), имеют общий компактный носитель [0, 1], то и для любого частичного предела F (x) последовательности Fn (x) справедливо равенство F = 1. Пример по казывает, что для последовательности элементов пространства H, сходящейся лишь слабо, могут существовать разложения единицы пространства H двух классов — для которых существуют пре дельные меры с вариацией на всем координатном пространстве R, меньшей 1, и такие, для которых любая предельная мера имеет на R вариацию, равную 1.

16. МНОГОЗНАЧНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, ОПРЕДЕЛЯЕМОЕ РЕГУЛЯРИЗАЦИЕЙ Пусть L есть максимальный симметрический оператор в пространстве H, пусть n — бесконеч но малая последовательность параметров регуляризации задачи Коши (1), (2), а u0 — начальное условие задачи (1), (2) такое, что PH1 u0 = 0. Тогда последовательность решений {un (t, x)} схо дится слабо в пространстве H равномерно по t на любом отрезке [0, T ], но не является сходящейся по норме пространства H ни при каком t t (см. следствие 14.1). Следовательно, для любой подпоследовательности nk последовательности n существует оператор A B(H) такой, что по следовательность значений квадратичных форм f (nk, t, u0, A) = (unk (t), Aunk (t)) расходится и множество ее частичных пределов F ({nk }, t, u0, A) состоит более чем из одной точки и компакт но.

120 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Обозначим через M множество всех подмножеств интервала (0, 1), содержащих точку 0 как предельную. Для каждого множества E M семейство задач Коши (14.1), (2), параметр регуля ризации для которых принимает значения в множестве E, назовем регуляризацией задачи Коши (1), (2) по множеству E.

Пусть B s (H) есть линейное подпространство ограниченных самосопряженных операторов в про странстве B(H) и пусть X есть банахово пространство RH B s (H), наделенное нормой декарто ва произведения банаховых пространств: если x = (t, u, A) X, то x X = |t| + u H + A B(H).

Число a R будем называть частичным пределом функции f (), E, в точке 0 (предельной точке множества E), если существует такая последовательность {n } со значениями в множестве E\{0 }, что lim n = 0 и lim f (n ) = a.

n n Определение 16.1. Назовем динамикой значений наблюдаемых, порожденной задачей Ко ши (1), (2), регуляризованной по множеству E M, отображение (вообще говоря, многознач ное) F : M R H B s (H) 2R, действующее по правилу (E, t, u0, A) F (E, t, u0, A), где F (E, t, u0, A) есть множество всех частичных пределов функции f (, t, u0, A) по множеству E при 0.

f (, t, u0, A), принятое в [71] для верхнего топо Далее мы используем обозначение Ls 0, E логического предела по Борелю направленности одноточечных множеств {f (, t, u0, A)}, E.

Множество частичных пределов F (E, t, u0, A) совпадает с верхним пределом Ls f (, t, u0, A), 0, E поэтому F (E, t, u0, A) = Ls f (, t, u0, A). (16.1) 0, E Если множество параметров регуляризации фиксировано, то мы будем опускать первый аргумент, обозначать множество частичных пределов функции f (, t, u0, A) по множеству E при 0 через F (t, u0, A) и рассматривать многозначное отображение F : R H B s (H) 2R, F (t, u0, A) = Ls f (, t, u0, A), где верхний топологический предел берется по фиксированному множеству E.

При каждом E M и (t, u0, A) X значение отображения F есть ограниченное замкнутое подмножество R. При фиксированном E M отображение F (E, ·) есть многозначное отображение банахова пространства X в метрическое пространство (2R, H ), наделенное метрикой Хаусдорфа H (см. [9]).

Пусть симметрический оператор L задан дифференциальным выражением (1.3) на максималь ной области определения D(L), а обобщенная последовательность операторов {L, (0, 1), 0} есть максимальная диссипативная регуляризация симметрического оператора L, заданная дифференциальными выражениями (4.2) на линейном многообразии (4.3).

Установим сначала свойство непрерывности по параметру регуляризации решений семейства задач Коши (4.1), (1.2). Напомним, что через D(L ) обозначена область определения операто ра L, наделенная структурой гильбертова пространства с нормой графика оператора L. Через D обозначим линейное пространство D(L ), наделенное нормой u D = sup u D(L ). Тогда [0,1] [0,1] для любого u0 D выполнены условия u(x)|R± W2 (R± ) и u(0) = u(+0), u (+0) = u (0) = 0.

Следовательно, норма · D определена для любого элемента u0 D.

Лемма 16.1. Для каждого 1 0 и любых T 0 и u0 D отображение u(, t, x) : (0, 1] C([0, T ], H), u(, t, x) = UL (t)u0 (x) непрерывно в точке 1.

Доказательство. Действительно, пусть 0 1 и 2 O (1 ). Рассуждая, как и при до казательстве теоремы 4.2, отметим, что функции u(1, t, x) и u(2, t, x) принадлежат областям определения различных операторов. Определим функции v(t) = u(1, t, x) u(2, t, x) и 1 2 u (1, t, +0)xex /2.

p(t, x) = (16.2) 1 2 x Заметим, что p(t, x) C([0,T ],L2 ) + pt (t, x) C([0,T ],L2 ) + px (t, x) C([0,T ],L2 ) + px (t, x) C([0,T ],L2 ) при 1 2 0, и поскольку u0 (x) D, то (u0 )x (+0) = 0.

16. МНОГОЗНАЧНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, ОПРЕДЕЛЯЕМОЕ РЕГУЛЯРИЗАЦИЕЙ Положим w(t, x) = v(t, x) p(t, x) и U (t, x) = w(t, x) + u(2, t, x) = u(1, t, x) p(t, x). Тогда w(t, x), U (t, x) C(R+, D(L2 )) C 1 (R+, L2 ) и поскольку (u0 )x (+0) = 0, то p(+0, x) = 0. Следова тельно, w(+0, x) = 0, x R, (16.3) w(t)) = L2 w + f (t), i t p(t) где f (t) = i L2 U (t) + L1 u(1, t). Согласно определению операторов L1 и L2, функция t f (t) C(R+, L2 (R)) представима в виде p f (t, x) = i L2 (u(1, t, x) p(t, x)) + L1 u(1, t, x) = t 2 u(1, t, x) 2 p(t, x) p p(t, x) p(t, x) = i (x) ( 2 1 ) 2 ia + (x) g(x), x t x x x x и согласно (16.2) f (t) C(R+,L2 (R)) 0 при 2 1 0.

Решение указанной начально-краевой задачи, с учетом условия (16.3), задается формулой (см. [92, гл. 8, п. 3,4]) t w(t) = i UL 2 (t )f ( )d + UL 2 (t)(p(0, x)), следовательно, t UL 2 (t ) w (t) f ( ) C([0,t],L2 (R)).

Тогда sup w(t, x) T sup f (t, x) L2 (R) L2 (R) t[0,T ] t[0,T ] 1 0.

при Следовательно, u(, t, x) непрерывно как отображение интервала (0, 1) в банахово пространство C([0, T ], H).

Пусть L — симметрический оператор в пространстве H и {L, (0, 1), 0} — максимальная диссипативная регуляризация симметрического оператора L в смысле определения 8.4. Назовем максимальную диссипативную регуляризацию непрерывной, если помимо условий определения 8. выполняется также следующее условие непрерывности: оператор-функция L, (0, 1) непрерыв на (в топологии сильной граф-сходимости) в топологии сильной резольвентной сходимости.

Лемма 16.1 показывает, что максимальная диссипативная регуляризация (4.2), (4.3) оператора (1.3) является непрерывной.

Лемма 16.2. Пусть {L, (0, 1)} — непрерывная максимальная диссипативная регуляри зация симметрического оператора L. Для любого самосопряженного оператора A B s (H) и любого u0 D функция f (, t, u0, A) = (u(, t), Au(, t)) непрерывна как отображение (0, 1) в R.

Множество частичных пределов Ls f (, t, u0 A) = F ((0, 1), t, u0, A) есть отрезок.

Доказательство. Действительно, множество F ((0, 1), t, u0, A) есть ограниченное подмножество в R, содержит все свои предельные точки. Если a1, a2 F ((0, 1), t, u0, A), то для любого (a1, a2 ) выполнено F ((0, 1), t, u0, A).

Пусть = a1 + (a2 a1 ), (0, 1). Так как a1, a2 F ((0, 1), t, u0, A), то существуют бесконечно малые последовательности параметров 1 и 2 такие, что lim f (1, t, u0, A) = a k k k k и lim f (2, t, u0, A) = a2. В силу непрерывности функции f (, t, u0, A) по на интервале k k (0, 1) при фиксированных t, u0 и A, для любого k N существует такое (1, 2 ), kk k что f (, t, u0, A) = f (1, t, u0, A) + (f (2, t, u0, A) f (1, t, u0, A)). Следовательно, последова k k k k тельность бесконечно мала и lim f (, t, u0, A) =, что завершает доказательство лем k k k мы 16.2.

122 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Лемма 16.3. Пусть выполнены условия леммы 16.2, u0 (x) D и множество E содержит точку 0 как предельную. Тогда многозначная функция F (E, t, u0, A) непрерывна по совокупно сти переменных (t, u0, A) R+ H B(H), причем справедлива оценка H (F (E, t + t, u0 + u, A + A) F (E, t, u0, A)) 2A D |t| +2 A u0 u + A B(H).

H B(H) B(H) Доказательство. Для произвольного E, 0, учитывая унитарность оператора UL (t), с помощью несложных преобразований и оценок заключаем, что справедливо следующее утвержде ние.

Утверждение 16.1. Для любого 0 существует 0 такое, что если (t, u0, A) (t, u0, A ) X, то для любого (0, 1) справедлива оценка |f (, t, u0, A ) f (, t, u0, A)|.

Поэтому если (t, u0, A) (t, u0, A ) X, то, во-первых, в -окрестности любой точки f мно жества F (E, t, u0, A), которая есть предел некоторой последовательности (ULk (t)u0, AULk (t)u0 ), лежат точки множества F (E, t, u0, A ) — по крайней мере, все частичные пределы (ULk (t )u0, A ULk (t )u0 );

и, во-вторых, все точки множества F (E, t, u0, A ) лежат в -окрестности множе ства F (E, t, u0, A).

Следовательно, для любого 0 существует такое 0, что H (F (E, t, u0, A), F (E, t, u0, A )) при условии, что (t, u0, A ) (t, u0, A).

X Теорема 16.1. Пусть выполнены условия леммы 16.2, u0 (x) H и множество E содержит точку 0 как предельную. Тогда многозначная функция F (E, ·) : X 2R непрерывна по сово купности переменных (t, u0, A) X.

Доказательство. В силу плотности множества D в пространстве H, для любого 0 и u0 H существует u1 D такое, что u0 u1 H. Поэтому |Fn (E, t, u1, A) Fn (E, t, u0, A)| 4A u1 u0 H, B(H) поэтому H (F (E, t, u0, A), F (E, t, u1, A)) A u1 u0 откуда и из леммы 16.3 следует H, B(H) утверждение теоремы 16.1.

Назовем множества E 1, E 2 M эквивалентными (E 1 E 2 ), если существует такое 0, что O E 1 = O E 2. Если множества E 1 E 2, то F (E 1, u0, A, t) = F (E 2, u0, A, t).

Таким образом, для произвольного E M множества F (E, u0, A, t) ограничены и замкнуты.

Если существует 0 такое, что множество E O связно, то множество F (E, u0, A, t) является отрезком. При любом выборе множества E, содержащего точку 0 как предельную, многозначное отображение F (E, ·) банахова пространства X в метрическое пространство 2R является непрерыв ным многозначным отображением. Значения отображения F (E, ·) непусты и замкнуты в любой точке банахова пространства X. Если E (0, 1) и максимальная диссипативная регуляризация непрерывна, то согласно лемме 16.2 значения отображения F ((0, 1), ·) в каждой точке банахова пространства X являются отрезками.

Заметим, что если u0 H удовлетворяет условиям существования сильного аппроксимативного решения u(t) задачи (1), (2) (см. теорему 1.2), то значением отображения F (E, t, u0, A) при любых E M, t 0 и A B s (H) является число (u(t), Au(t)).

Далее изучаются следующие свойства многозначного отображения F (E, t, u0, A).

1). Для каких подмножеств B 1 (H) B(H) можно выбрать такое множество E1 M, что сужение отображения F (E1, ·) на множество R+ H B 1 (H) является однозначным отоб ражением?

2). Возможно ли выделить непрерывную селекцию f (t, u0, A), (t, u0, A) X, из многозначного отображения F (E, u0, A, t), т. е. указать такую непрерывную функцию f (·) : X R, что для любого (t, u0, A) X выполнено включение f (t, u0, A) F (E, t, u0, A)?

16. МНОГОЗНАЧНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, ОПРЕДЕЛЯЕМОЕ РЕГУЛЯРИЗАЦИЕЙ 16.1. Множества однозначности многозначного отображения. В настоящей главе проведе но исследование сходимости вероятностных мер на координатном пространстве, определенных последовательностью решений регуляризованных задач. Функция распределения меры, соот ветствующей регуляризованному решению u (t, x), определяется по правилу:

x |u(t, )|2 d.

(t, x) = Сходимости мер, соответствующих слабо сходящейся последовательности функций в L2 (R), по священы, например, работы [131, 162].

Пусть E() — ортогональное разложение единицы в H, а BE (H) — подалгебра B(H) ограни b ченных операторов, действующих в пространстве H по правилу: Au = a()dE()u, где функция R a() C(R) и имеет пределы lim a() = a± (см. [125]). Будем использовать обозначения K(T, l) ± и C(R+, L1,loc (R)) из конца раздела 14. Обозначим через Gn (t, ) последовательность функций (un (t), E()un (t)) в пространстве C(R+, L1,loc (R)). Свойства сходимости вероятностных мер с плотностями G (t, ) представлены теоремами 15.3 и 15.4.

b Таким образом доказано существование такого подпространства BE (H) в пространстве B(H), для которого существует такое счетное множество E M, что сужение многозначного отображе ния F (E, ·) на множество XE = RH BE (H) является однозначным отображением. Для каждого b b множества P M определено подмножество BP (H) B(H), включающее в себя, очевидно, еди ничный оператор I и кольцо компактных операторов такое, что отображение F (P, ·) является однозначным на R H BP (H).

16.2. Сходимость регуляризованных динамических полугрупп. Напомним (см. [21]), что квантовым состоянием называется неотрицательный нормированный функционал из пространства B (H) линейных непрерывных функционалов на банаховом пространстве B(H). Обозначим че рез B+ конус неотрицательных функционалов на B(H)), через Bs — подпространство линейных функционалов на B(H), непрерывных не только в топологии нормы, но и в сильной оператор ной топологии, а через Bp (H) — множество линейных функционалов на B(H), представимых в виде lu (A) = (u, Au) с некоторым вектором u H. Через Bsa (H) обозначим совокупность огра ниченных самосопряженных операторов пространства B(H).

Состояние называется нормальным, если оно является непрерывным линейным функционалом не только в топологии нормы B(H), но и в сильной операторной топологии. Состояния могут быть представлены как элементы банахова пространства B (H), а нормальные состояния — как ядерные операторы. Крайние точки выпуклого множества нормальных квантовых состояний назы ваются чистыми состояниями и являются одномерными ортогональными проекторами в простран стве H. Необходимость рассмотрения состояний, не являющихся нормальными, возникает при исследовании измерений непрерывных наблюдаемых (см. [161]) Динамической полугруппой называется полугруппа преобразований совокупности квантовых состояний — семейство преобразований Tt, t 0, пространства B (см. [21,125]), удовлетворяющее условиям:

1). Tt · Ts (A) = Tt+s (A) для любых A B(H), t, s R+ и B (H);

2). T0 = для любого B (H);

3). полугруппа {Tt } слабо*-непрерывна, т. е. для любого B (H) и любого A B(H) функция Tt (A) непрерывна на R+.

При каждом 0 оператор L является генератором регуляризованной унитарной полугруппы UL (t) = eiL t, t 0, в пространстве H и определяет полугруппу динамических преобразований пространства квантовых состояний B (H), задаваемой соотношением T (t) = (t), t 0, для каждого B (H), где (t), A =, UL (t)AUL (t).

Исследуем сходимость при последовательности траекторий (t, u0 ) регуляризован ных динамических полугрупп Tt () в топологии поточечной сходимости пространства B (H) или в -слабой топологии пространства B (H), т. е. сходимость числовых последовательностей u0 (U (t)AUL (t)) при всевозможных A B(H).

L 124 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Исследования сходимости полугрупп U (t) и T (t) показывают (см. [100, 102, 104]), что ес ли dim Ker (L + iI) dim Ker(L iI), то любая последовательность унитарных полугрупп Uk (t), где k +0 при k, расходится в сильной операторной топологии, а соот ветствующая последовательность преобразований Tk (t) пространства B (H) расходится в -слабой операторной топологии пространства B(B (H)): найдутся такие число t 0 и век тор u0 H, что для любой бесконечно малой последовательности k существует оператор A B(H) такой, что числовая последовательность { Tk (t)u0, A } расходится. Здесь вектор u0 B (H) задается равенствами u0, A = (u0, Au0 ).

При условии, что m m+, возможно существование сходящихся по норме пространства B(H) подпоследовательностей последовательности регуляризованных операторов плотности. В со ответствии с теоремой 8.5 множество частичных пределов последовательности регуляризованных операторов плотности составляет совокупность операторов плотности (t) = U (t)0 UL (t), где L iL,, есть совокупность всевозможных максимальных диссипативных расширений опера тора iL.

Таким образом, если {L, E} — самосопряженная регуляризация оператора L и dim Ker (L + iI) dim Ker (L iI), то для любого t 0 найдется такой вектор u0 H, что множество частичных пределов последовательности регуляризованных операторов плотности { (t, u0 ) = T (t)u0, E} в *-слабой топологии пространства B (H) пусто. Тем не менее множество ча стичных пределов числовых последовательностей { T (t), A, A B(H)} при любых (t,, A) R B (H) B(H) непусто, ограничено и замкнуто. Наша задача — описать структуру множества частичных пределов указанных числовых последовательностей, и с помо щью свойств указанного множества охарактеризовать поведение расходящейся последовательно сти { (t, u0 ) = T (t)u0, E} в *-слабой топологии пространства B (H).

Пусть фиксировано некоторое множество параметров регуляризации E. Множество всех ча стичных пределов числовых последовательностей { T (t), A } значений регуляризованных кван товых состояний на ограниченных операторах определяет многозначное отображение F (см. (16.1)) метрического пространства X = R B+ Bsa (H) с метрикой rX ((t1, 1, A1 ), (t1, 1, A1 )) = |t1 t2 | + 1 2 B (H) + A1 A2 B(H) в метрическое пространство 2R с метрикой Хаусдорфа rH (см. [9]). Многозначное отображение F метрического пространства X, rX в метрическое про странство 2R, rH сопоставляет каждой точке = (t,, A) X ограниченное замкнутое множество F (t,, A) Ls T (t), A (16.4) всех частичных пределов числовой последовательности { T (t), A, E}.

Через Xp будем обозначать метрическое подпространство метрического пространства X, опре деляемое равенством Xp = R (B+ Bp ) Bsa (H), а через Xs — метрическое подпространство метрического пространства X, определяемое равенством Xs = R (B+ Bs ) Bsa (H).

Замечание 16.1. Фиксируем элементы u0 H и t0 0 такие, что последовательность решений {u (t0 )} сходится лишь слабо в H, и рассмотрим отображение F (t0, u0, ·) банахова простран ства Bsa (H) в метрическое пространство 2R. Очевидно, это отображение обладает следующими свойствами:

1). Если A B (H) и R, то F (t0, u0, A) = F (t0, u0, A).

2). Если A1, A2 B (H) и ai F (t0, u0, Ai ), i = 1, 2, то включение a1 + a2 F (t0, u0, A1 + A2 ) может не иметь места, но для любого b F (t0, u0, A1 + A2 ) найдутся такие ai F (t0, u0, Ai ), i = 1, 2, что b = a1 + a2.

Теорема 16.2. Если {L, E} — самосопряженная регуляризация оператора L, то мно гозначное отображение F метрического пространства X в метрическое пространство 2R, снабженное метрикой Хаусдорфа, непрерывно на метрическом подпространстве Xs. Если мно жество E связно, а функция u (t) есть непрерывное в каждой точке отображение множества E в пространство H при каждом t 0, то значение многозначного отображения F в каждой точке Xs = R (B+ Bs ) Bsa (H) является отрезком.

16. МНОГОЗНАЧНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, ОПРЕДЕЛЯЕМОЕ РЕГУЛЯРИЗАЦИЕЙ Доказательство. Пусть (t,, A) X. Тогда, поскольку преобразования T (t) сохраняют норму элементов пространства B (H), для любых A B(H), B (H) и E выполняются оценки | Te (t), A + A T (t), A | B A B(H) и | T (t)( + ), A T (t), A | A (16.5) B(H).

B (H) Согласно определению регуляризации, в пространстве H существует такое плотное в нем ли нейное многообразие Dq, что для любого u Dq существует константа c(u) 0 такая, что выполняется цепочка оценок | T (t + t)(x), y T (t)x, y | sup L u A B(H) |t| c(u) Lu A B(H) |t| H H E (здесь используется условие 2B определения 8.4 самосопряженной регуляризации).

Из полученных оценок следует, что если x0 = (t0, u0, A0 ), x1 = (t1, u1, A1 ) X и u0 Dq, то rH (F (t0, u0, A0 ), F (t1, u1, A1 )) rH (F (t0, u0, A0 ), F (t1, u0, A0 )) + rH (F (t1, u0, A0 ), F (t1, u1, A1 )) c(u0 ) A0 Lu0 H |t1 t0 | + A 1 u0 u1 A0 A + u1 B(H).

H H B(H) B(H) Поскольку отображения UL (t) унитарны, а множество Dq плотно в H, то для лю бого (t, u, A) Xp R (Bp B+ ) Bs (H) найдется такой элемент u0 Dq и число 0, что A B(H) u u0 H и rH (F (t, u0, A), F (t1, u1, A1 )) при условии 2 rX ((t, u0, A), (t1, u1, A1 )). Таким образом, для каждого Xp и 0 найдется такое число s 0, что для всех X, удовлетворяющих условию rX (, ) s, выполняется неравен ство rH (F (), F ()). Таким образом, отображение F непрерывно на метрическом подпростран стве Xp. Поскольку всякий элемент Bs (H)B+ (H) может быть приближен по норме выпуклой (H) B (H), то в силу оценки (16.5) отображение F непрерывно на комбинацией элементов Bp + метрическом подпространстве Xs.

В силу условия 3) определения регуляризации 8.4, оператор-функция UL (t) при любом фик сированном t 0 как функция переменной E непрерывна на интервале (0, 1) в сильной операторной топологии. Поэтому для любого 0 Xp (а, следовательно, и для любого 0 Xs ) функция (t, 0 ), A, (0, 1), непрерывна при любых t 0 и A B(H). Следовательно, множество значений T (t)0, A, (0, 1), связно. Поэтому компактное множество частичных пределов последовательности связно (см. лемму 16.2), и при любом Xs значение многозначного отображения F () есть отрезок.

16.3. О физической интерпретации многозначного отображения. Физическая интерпрета ция многозначного отображения F состоит в том, что среднее значение оператора A в момент времени t для квантовой системы с начальным состоянием 0, эволюция которой определяется уравнением Шредингера (1) с регуляризацией (14.1), может являться любым числом из множе ства F (t, 0, A).

Динамика F квантовой системы с начальным условием u0 H, определяемая задачей Ко ши (1), (2) со значениями во множестве 2R, имеет следующий физический смысл: значение физи ческой величины A B s (H) для квантовой системы с начальным состоянием u0 в момент време ни t может быть любым числом из множества F (E, t, u0, A). Каждая точка множества F (t, u0, A) является одной из возможных реализаций динамики значений оператора A на состоянии, эво люционирующем из чистого состояния u0, в момент времени t, осуществляемой задачей Коши (1), (2).

Подобное поведение квантовых физических систем наблюдается при эволюции системы, над которой производится измерение. Согласно аксиоматике теории квантовых измерений, если над квантовой системой производится измерение, система переходит в некоторое состояние из за данного множества состояний, причем вероятность перехода в каждое из возможных состояний зависит от начального состояния системы и процедуры измерения.

126 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Зависимость динамики системы от выбора множества E: множество E характеризует закон эволюции системы наряду с уравнениями (1), (2). То есть некорректная задача Коши (1), (2) представляется семейством задач Коши (2), (14.1), регуляризованных по множеству E при 0.

Определим процедуру, задающую распределение вероятности на множестве значений много значного отображения F (E, t, u0, A).

Пусть E есть множество значений бесконечно малой последовательности параметров регуляри зации {n } и F (E, t, u0, A) = Ls f (, t, u0, A).

0, E Каждый частичный предел из множества F (E, t, u0, A) является возможным значением операто ра A в момент времени t для квантовой системы с начальным состоянием u0, эволюционирующей по закону (1), (2) с регуляризацией по множеству E. Если на множестве всевозможных под последовательностей последовательности регуляризаций задана неотрицательная нормированная мера, то и каждый частичный предел из F (E, t, u0, A) имеет вероятность, соответствующую мере подпоследовательности, сходящейся к данному частичному пределу.

Таким образом, предельная динамика отображает определенное (чистое) состояние в набор состояний с заданным распределением вероятности (т. е. в смешанное состояние) (см. [91, 125]).

Если на множестве всех подпоследовательностей последовательности регуляризованных задач задана неотрицательная нормированная мера, то можно определить среднее значение произволь ного ограниченного оператора A как среднее значение частичных пределов последовательности { u (t,u0 ), A } по мере, индуцированной мерой на множестве F (A) ее частичных пределов.

17. ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ, ИНТЕГРИРУЕМЫХ ПО КОНЕЧНО-АДДИТИВНОЙ МЕРЕ Приведенные в разделах 5–9 результаты дают информацию о сходимости последовательности {u (t)} регуляризованных решений при 0 в топологии нормы и топологии слабой сходимости пространства H. Для получения дополнительной информации о поведении последовательности регуляризованных решений рассмотрим направленное множество операторов плотности f (t, u0, ·), (0, 1) (17.1) — линейных непрерывных функционалов на банаховом пространстве B(H) (ограниченных опера торов в пространстве H), действующих по правилу:

f (t, u0, A) = (u (t), Au (t)). (17.2) Согласно работе [142], сходимость последовательности функционалов (17.1) в -слабой топологии пространства B (H) влечет за собой компактность последовательности {un (t)} в пространстве H.

Поэтому если a 0 и u0 H0, то найдется такое T 0, что для всех t T найдутся / такие операторы A B(H), что числовая последовательность {f (t, u0, A)} расходится при (см. также теорему 14.2).

Тогда регуляризация (2), (4) некорректной задачи Коши (1), (2) определяет многозначное отоб ражение F : R H B(H) 2R, действующее по правилу F (t, u0, A) = Ls f (t, u0, A), где Ls f (t, u0, A) есть множество всех частичных пределов последовательности {f (t, u0, A)} при 0. Отображение F является непрерывным отображением банахова пространства X = R H B(H), наделенного топологией нормы прямого произведения банаховых пространств, в метрическое пространство 2R, снабженное метрикой Хаусдорфа;

причем множество F (x) при каждом x X является отрезком (см. теорему 16.1). Физическая интерпретация многозначно го отображения F состоит в том, что средние значения оператора A в момент времени t для квантовой системы с начальным состоянием u0, эволюция которой определяется уравнением Шре дингера (1) с регуляризацией (2), (4), может являться любым числом из множества F (t, u0, A).

Возникают следующие вопросы о свойствах многозначного отображения F (·).

1). Существует ли такое многозначное отображение F (t, u0 ) банахова пространства RH в мно жество всех подмножеств 2B (H) линейных непрерывных функционалов на B(H), что для любого A B(H) выполнено равенство F (t, u0 )(A) = F (t, u0, A);

иными словами, связана 17. ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ, ИНТЕГРИРУЕМЫХ ПО КОНЕЧНО-АДДИТИВНОЙ МЕРЕ ли с многозначной динамикой значений ограниченных операторов многозначная динамика квантовых состояний?

2). Существует ли непрерывная селекция многозначного отображения F, т. е. такое отоб ражение f (x) C(X), что f (x) F (x), x X, удовлетворяющее, кроме того, условию f (t, u0, ·) B (H)?

3). Можно ли с помощью задачи Коши (1), (2) определить динамику мер на множестве значе ний многозначного отображения?

Интегрирование по конечно-аддитивной мере на множестве параметров регуляризации позволя ет дать ответы на поставленные вопросы.

В настоящей работе показано, что регуляризация (2), (4) некорректной задачи Коши (1), (2) с мерой, заданной на множестве всех подмножеств параметров регуляризации, может быть рассмотрена как расширение квантовой системы с гамильтонианом (3) в пространстве H до кван товой системы в пространстве H = L2, (E, H) с самосопряженным гамильтонианом. Пространство H является пополнением по норме H пространства b(E, H) классов -эквивалентных функций u(), определенных при всех E, принимающих значения в H и ограниченных в H. Опреде лена процедура частичного следа состояния расширенной системы, которая задает непрерывную селекцию многозначного отображения.

Для произвольного множества E M мы можем указать непрерывную селекцию многозначного отображения F (E, u0, A, t): положим finf (t, u0, A) = inf[F (E, t, u0, A)].

Тогда непрерывность функционала finf (·) на банаховом пространстве X следует из непрерывности на X многозначного отображения F (E, ·). Однако линейность функционала finf (·) на банахо вом пространстве X может не иметь места, например, если инфинумы множеств F (E, t, u0, A) и F (E, t, u0, A) достигаются на различных бесконечно малых последовательностях n и n. Таким образом, существует такое непрерывное отображение f (·) : X R, что для любого оператора A B(H) существует такая бесконечно малая последовательность n, что последова тельность (un (t), Aun (t)) сходится к f (t, u0, A). Будет ли выделенная селекция f (t, u0,· ) задавать некоторую динамику линейного непрерывного функционала (t, u0 ), t [0, T ], на B(H)?

Далее мы исследуем стохастические свойства расходящихся последовательностей, определяя ме ру на алгебре подмножеств множества частичных пределов с учетом частоты появления номеров подпоследовательности, частичные пределы которой лежат в заданном подмножестве алгебры. Для определения неотрицательной нормированной меры на множестве частичных пределов F (t, u0, A) выберем на множестве всех подмножеств множества параметров регуляризации неотрицательную нормированную меру. Рассмотрим сначала случай последовательности {n } с множеством парамет ров регуляризации N. Поскольку мы будем разделять подпоследовательности заданной последо вательности на классы подпоследовательностей, имеющих одинаковые частичные пределы, то две подпоследовательности, отличающиеся на конечное число элементов, будем считать эквивалент ными и приписывать таким последовательностям равные вероятности. Это требование определяет условие на меру на множестве натуральных чисел, которое следует наложить для того, чтобы вероятности эквивалентных последовательностей были равными.

H1. Мера всякого конечного подмножества множества N равна нулю.

Для того, чтобы нормированная аддитивная мера, заданная на -алгебре N всех подмножеств множества N, удовлетворяла условию H1, необходимо, чтобы мера являлась чисто конечно аддитивной (см. [151]).

17.1. Меры на множестве подпоследовательностей. С целью изучения вероятностных харак теристик многозначного отображения F из раздела 16 рассмотрим совокупность W (E) неотрица тельных нормированных мер на алгебре 2E всех подмножеств множества E, удовлетворяющих условию (A) = 0 A 2E : a E : A a, (мера любого множества A, имеющего верхнюю грань в упорядоченном направленном множестве E, равна нулю). Поскольку для определения предельной динамики вырожденной задачи Коши имеет значение лишь предельное поведение последовательности решений регуляризованных задач, 128 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ то в работе рассматриваются только неотрицательные нормированные меры, сосредоточенные в произвольной окрестности предельного значения параметра регуляризации.

С помощью теоремы Хана—Банаха можно показать (см. [100]), что множество W (E) непусто и выпукло (см. также [16, 41]). Например, если E = N и = +, то W (E) принадлежит части единичной сферы пространства l, лежащей в неотрицательном конусе. Отметим также, что любая мера, входящая в множество W (E), конечно-аддитивна и сингулярна относительно любой счетно-аддитивной меры на E.

Существование непустого множества W (N) неотрицательных нормированных мер, заданных на -алгебре N, установлено еще в первых работах по теории конечно-аддитивных мер (см. [10,151]).

Мы приведем ниже доказательство этого факта, основанное на применении теоремы Хана—Банаха (и, тем самым, основанное на использовании аксиомы выбора).

В пространстве l рассмотрим систему L элементов вида x = {xj }, j N, для которых xj {0, 1} при каждом j N. Система элементов L является плотной в пространстве l. Множе ство L изоморфно множеству действительных чисел отрезка [0, 1], представленных в виде беско нечных двоичных дробей, и множеству N подмножеств натуральных чисел.

Каждому множеству M N поставим во взаимно однозначное соответствие элемент EM L:

EM = {xj }, где xj = 1 при j M и xj = 0 при j M. Так, например, множеству N N / соответствует элемент e = EN = {xi }, где x1 = 1 при всех i N. Произвольный функционал f l порождает на множестве N аддитивную функцию множества M N по правилу f (M ) = f (EM ).

Напротив, аддитивная функция множества на N, имеющая на N ограниченную вариацию, (т. е. sup |(M )| ), задает на l функционал f посредством интеграла Радона (см. [51, M N гл. 4.9], [31]).

1n Для некоторого x L рассмотрим последовательность pn (x) = xj. Тогда pn (x) — огра n j= ниченная последовательность, принимающая значения в отрезке I = [0, 1]. Если последователь ность pn (x) сходится к числу p(x), то положим F (x) = lim pn (x) = p(x). Множество всех эле n ментов x L, для которых последовательность pn (x) сходится, обозначим через X.

Лемма 17.1. Существует функция F, определенная на множестве L l, удовлетворяю щая условиям:

f 1). Для любого x X F (x) = p(x).

f 2). Для любого x L F (x) [0, 1].

f 3). Если x, y L и x + y L, то F (x + y) = F (x) + F (y).

Доказательство. Линейная оболочка LX множества X образует линейное подпространство в банаховом пространстве l, на котором определен ограниченный линейный функционал f такой, что f (x) = p(x) для любого x X. Тогда f = |f (y)| = sup |f (x)| = 1.

sup =1 xX yLX, y Согласно теореме Хана—Банаха (см. [51]), существует ограниченный линейный функционал F на пространстве l такой, что F (x) = f (x) для любого x X и F = f = 1.

Тогда функционал F удовлетворяет условиям f 1), f 3) и условию F (x) F x = 1 для любого x L. Покажем, что F (x) 0 для любого x L, и тогда F удовлетворяет условию f 2.

Предположим противное, что существует x L такое, что F (x) 0. Пусть e = EN L X, тогда x = e, ибо F (e) = f (e) = 1. Тогда y = e x L и y = 1. Поскольку F — линейный функционал на l, то F (x) + F (y) = 1 и, следовательно, F (y) 1, что противоречит условию F = 1.

Лемма 17.2. Существует конечно-аддитивная неотрицательная нормированная мера на измеримом пространстве N, N, удовлетворяющая условию H1.

Искомая мера выражается через функционал F по правилу: (M ) = F (EM ) для любого M N.

Утверждения леммы 17.2 для множества всех подмножеств множества натуральных чисел могут быть совершенно аналогично доказаны для множества всех подмножеств 2J интервала J = (1, +).

17. ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ, ИНТЕГРИРУЕМЫХ ПО КОНЕЧНО-АДДИТИВНОЙ МЕРЕ В качестве аналога множества X рассмотрим множество K всех подмножеств K интервала J, пересечение которых со всяким отрезком измеримо по Лебегу, и для которых существует предел m(K (1, T )) lim = p(K), T T + значение которого и определяет меру множества K. Тогда справедлива следующая лемма о про должении меры p с множества K на множество 2J.

Лемма 17.3. Существует мера, определенная на множестве 2J, удовлетворяющая условиям:

h1). Для любого x K (x) = p(x).

h2). Для любого x 2J (x) [0, 1], (J) = 1.

h3). Если x, y 2J и x y =, то (x y) = (x) + (y).

Следовательно, с помощью взаимно однозначного отображения t можно меру на множе t J преобразовать в меру на множестве всех подмножеств 2I интервала I = (0, 1), причем стве так, что справедлива следующая теорема.

Теорема 17.1. Существует мера, определенная на множестве 2I, удовлетворяющая условиям:

1). Для любого множества M 2I, для которого точка x = 0 не является предельной, (M ) = 0.

2). Для любого M 2I верно, что (M ) [0, 1];

(I) = 1.

3). Если M1, M2 2I и M1 M2 =, то (M1 M2 ) = (M1 ) + (M2 ).

Пусть на множестве всех подмножеств 2(0,1) интервала (0, 1) задана конечно-аддитивная неот рицательная нормированная мера такая, что мера любого подмножества интервала (0, 1), отде ленного от точки {0}, равна нулю. Напомним, что M есть множество всех подмножеств интерва ла (0, 1), содержащих точку {0} как предельную.

Пусть W есть множество всех мер на 2I, удовлетворяющих условиям H1)–H3). Множество W выпукло. Действительно, если меры 1, 2 W, то и их выпуклая комбинация удовлетворяет условиям 1)–3).

17.2. Конечно-аддитивные меры. Пусть E — некоторое множество. Через V (E) обозначим со вокупность мер (конечно-аддитивных функций множества), определенных на -алгебре M = 2E всех подмножеств множества E, неотрицательных и нормированных на единицу. Тогда V (E) яв ляется непустым, выпуклым и замкнутым множеством в банаховом пространстве ba(E) конечно аддитивных мер на измеримом пространстве (E, 2E ). Первое утверждение может быть доказано методом трансфинитной индукции либо с помощью теоремы Хана—Банаха (см. [16, 100, 151]);

второе и третье очевидно.

Пусть E — некоторое направленное множество с отношением порядка (см. [41]). Обозначим через W (E) совокупность мер V (E), обладающих следующим свойством: для любого t E выполняется равенство (Et ) = 0, где Et = {e E : t}. Например, если E = N — направленное множество с естественным порядком натуральных чисел, то множество W (N) составляют такие меры из V (N), значения которых равны нулю на любом конечном подмножестве множества N.

Очевидно, что W (E) также является выпуклым замкнутым подмножеством банахова пространства ba(E).

Изучение конечно-аддитивных мер и обобщенных пределов началось с работ С. Банаха (см. [10]). Следуя [10, 116] (см. также [59]), регулярным обобщенным пределом числовой после довательности будем называть линейный непрерывный функционал, инвариантный относительно сдвига номера последовательности и сопоставляющий сходящейся последовательности ее предел.

В работе [116] установлена связь инвариантных относительно сдвига конечно-аддитивных мер WI (N) с инвариантными относительно сдвига неотрицательными нормированными линейными непрерывными функционалами на пространстве l, называемыми обобщенными пределами чис ловых последовательностей (банаховыми пределами). Любая мера WI (N) определяет банахов предел и, наоборот, всякий банахов предел задает меру WI (N).

130 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ 17.3. Крайние точки класса конечно-аддитивных мер W (E). На измеримом пространстве (E, 2E ) существуют конечно-аддитивные меры W (E), множество значений которых состоит из двух точек {0, 1}. Множество 2E разлагается такой мерой на два непересекающихся подмно жества S и T так, что для любого A S выполнено (A) = 0 и для любого A T выполнено (A) = 1.

Обозначим через S0 кольцо всех конечных подмножеств множества E, а через T0 — совокуп ность всех подмножеств, дополнения к которым конечны. С помощью метода трансфинитной ин дукции может быть доказано следующее утверждение.

Утверждение 17.1. Существует функция (x) : 2E {0, 1}, удовлетворяющая условиям:

H1). Если c, b 2E и c b =, то (c b) = (c) + (b).

H2). Если b S0, то a (b) = 0.

H3). Если b T0, то a (b) = 1.

Справедливость указанного утверждения впервые была установлена, по-видимому, в работе Тарского (см. [151, п. 1.8, п. 4.1] и содержащуюся там библиографию).

Обозначим через W0 (E) совокупность всех двухзначных мер из класса W (E). Множество W0 (E) изучалось в работе [151], в которой доказано, что любая мера W (E) есть слабый предел последовательности выпуклых линейных комбинаций мер из класса W0 (E) (см. [151, тео рема 4.6]). В работе [24] исследовано пространство M1 (X) всех неотрицательных нормированных + конечно-аддитивных и конечных мер на -поле бэровских подмножеств произвольного топологи ческого пространства X. Было установлено (см. [24, теорема 33]), что совокупность крайних то чек выпуклого замкнутого множества M1 (X) является множеством двухзначных мер из M1 (X).

+ + Аналогичное утверждение имеет место и для выпуклого замкнутого множества W (E) в банаховом пространстве ba(E).

Теорема 17.2. Множество W0 (E) образует совокупность крайних точек выпуклого замкну того множества W (E).

Доказательство. Действительно, если W0 (E), то найдется множество A 2E такое, что / (A) (0, 1). Следовательно, мера является выпуклой комбинацией двух мер из класса V (E) с носителями на множестве A и на множестве E\A.

Если же мера W (E) принимает значение 0 на любом множестве из некоторого подмножества S0 2E и значение 1 на любом множестве из класса S1 = 2E \S0, то она является крайней точкой множества W (E). Ибо если = 1 + (1 )2 при некоторых (0, 1) и 1, 2 W (E), то для любого A S0 справедливо равенство 1 (A) + (1 )2 (A) = 0, поэтому 1 |S0 = 2 |S0 = 0.

Если же A S1, то 1 (A) + (1 )2 (A) = 1 и поэтому 1 |S1 = 2 |S1 = 1. Следовательно, 1 = 2 =.

17.4. Интегрирование. Пространство числовых функций, интегрируемых по конечно аддитивной мере. Конструкция интеграла от числовой функции f (t), t E, по конечно аддитивной мере W (E), называемая интегралом Радона, изложена в монографиях [31,41,144].

Напомним, что любая определенная на множестве E числовая функция измерима относительно алгебры M, и для любой ограниченной числовой функции на множестве E определен интеграл Радона I (f ) по любой мере V (E) (см. [31, 51]). Две числовые функции f, g на множестве E называются -эквивалентными, если I (|f g|) = 0, что эквивалентно условию: для любо го 0 выполняется равенство ({t E : |f1 (t) f2 (t)| }) = 0. Если мера счетно аддитивна, то функции f, g b(E, C) являются -эквивалентными тогда и только тогда, когда ({t E : f (t) = g(t)}) = 0. Как отмечено в [41], последнее замечание не верно для конечно аддитивных мер, что иллюстрирует и приведенный ниже пример.

Пример 17.1. Пусть E = N, функция f (t) задана равенством f (t) =, t N, и — такая t неотрицательная нормированная на единицу конечно-аддитивная мера на множестве всех подмно жеств натуральных чисел, что мера любого конечного множества равна нулю. Тогда np, (f ) = 0, но ({t : f (t) = 0}) = 1.

17. ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ, ИНТЕГРИРУЕМЫХ ПО КОНЕЧНО-АДДИТИВНОЙ МЕРЕ Линейное пространство классов определенных на множестве E -эквивалентных функций (отождествляемых с каким-либо представителем класса) с заданным на нем функционалом I яв ляется линейным нормированным пространством с нормой f 1 = I (|f |). Пополнение указанного линейного пространства будем обозначать L1 (E, M, C, ) и называть пространством интегрируе мых по мере числовых функций. Заметим, что плотным в банаховом пространстве L1 (E, M, C, ) линейным многообразием является не только пространство классов -эквивалентных ограничен ных функций, но и пространства классов -эквивалентных простых функций (принимающих ко нечное множество значений), поскольку всякая ограниченная числовая функция может быть при ближена равномерно на E последовательностью простых, а мера множества E конечна.

17.5. Пространство интегрируемых функций со значениями в банаховом пространстве.

Пусть X — банахово пространство, а E — некоторое множество, (E, 2E ) — измеримое простран ство всех его подмножеств, V (E) — множество всех неотрицательных нормированных конечно аддитивных мер на (E, 2E ). Пусть (E, X) есть линейное пространство функций, определенных на пространстве E со значениями в X. Функции f (t), g(t) (E, X) назовем -эквивалентными, если числовая функция f (t) g(t) X удовлетворяет равенству I ( f (t) g(t) X ) = 0. Две функции -эквивалентны тогда и только тогда, когда выполняется условие: для любого 0 выполняется равенство ({t E : f (t) g(t) X }) = 0 (см. [41]). Отношение -эквивалентности разбивает линейное пространство (E, X) на непересекающиеся классы эквивалентных функций.

Обозначим через B(E, 2E, X, ) линейное пространство классов f -эквивалентных ограничен E, X, ) — линейное пространство классов f функций f ных функций f из (E, X), а через S(E, из (E, X), -эквивалентных простым функциям, т. е. принимающим конечное число значений m cj Aj, где cj X, A1,..., Am — разбиение множества E на конечную сово функциям вида f = j= купность непересекающихся подмножеств, A — характеристическая функция множества A 2E.

Следуя конструкциям интеграла в [22, 41], определим при каждом p 1 функционал на линей ном пространстве B(E, 2E, X, ):

1/p np, (f ) = p f X d, E где f — некоторый представитель класса f, а интеграл от вещественнозначной функции f (t) p, X t E, -эквивалентной ограниченной, определен как интеграл Радона I. Так как для двух (f1 f2 ) p d = 0, то определение функционала эквивалентных функций f1 и f2 выполнено X E np, корректно.

Функция np,, определенная на линейном пространстве B(E, 2E, X, ) (на линейном простран стве S(E, 2E, X, )), является нормой указанного пространства и превращает его в линейное нор мированное пространство Bp (E, 2E, X, ) (Sp (E, 2E, X, )). Через p (E, 2E, X, ) обозначим попол нение пространства Bp (E, 2E, X, ), а через Lp (E, 2E, X, ) обозначим пополнение Sp (E, 2E, X, ).

Пространство L1 (E, 2E, X, ) интегрируемых по Бохнеру векторных функций на измеримом про странстве (E, 2E, ) определено в [41, глава 3] и [144, глава 1].

В указанных монографиях конструкция построения интеграла от векторнозначной функции на пространстве с мерой содержит этап рассмотрения линейного пространства FX (E, ) X-значных функций на множестве E, для которых функционал N1, (f ) = f (t) X d принимает конечные E значения, превращая FX (E, ) в локально выпуклое линейное топологическое пространство. На пространстве FX (E, ) в [22, раздел 4.3] определен интеграл (слабый интеграл в смысле Гель фанда [148]), являющийся линейным отображением пространства FX (E, ) в пространство X.

Однако далее в известных автору исследованиях для построения пространства интегрируемых векторнозначных функций рассматриваются подпространства простых S(E, M, X) или компакт нозначных измеримых отображений E в X. В настоящей работе в основу построения пространства интегрируемых функций в слабом смысле Гельфанда и Петтиса положено локально выпуклое про странство FX (E, ), полунорма в котором превращается в норму с помощью факторизации, после 132 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ чего банахово пространство 1 (E, M, X, ) определяется как пополнение полученного линейного нормированного пространства.

Заметим, что Lp (E, 2E, X, ) p (E, 2E, X, );

пространства Lp (E, 2E, X, ) и p (E, 2E, X, ) совпадают в случае конечномерного пространства X, а также в случае счетной аддитивности меры в сочетании с сепарабельностью пространства X. Действительно, если пространство X конеч номерно, то любую ограниченную функцию на множестве E можно равномерно на E приблизить последовательностью ступенчатых. Если же мера является счетно-аддитивной, а пространство X — сепарабельным, то любую ограниченную функцию со значениями в X можно приблизить ко нечной линейной комбинацией характеристических функций со значениями в X по n1, -норме. Но если пространство X бесконечномерно, то существуют функции из p (E, 2E, X, ), не принадле жащие Lp (E, 2E, X, ), как показывает следующий пример.

Пример 17.2. Для множества E = N и сепарабельного гильбертова пространства H с бази сом {en } функция u(n) = en является элементом пространства 2 (E, 2E, X, ), но не является элементом пространства L2 (E, 2E, X, ). Действительно, для любой функции v(n) s(N, H) ви m ck Ak (n), где ck H, а A1,..., Am — разбиение множества N на конечное число да v(n) = k= непересекающихся подмножеств, неравенство |u(n) v(n)| может быть выполнено не более чем в конечном числе (m) точек (действительно, если при некоторых m N и c H выполнено 1 неравенство c em, то тогда для любого k = m справедлива оценка c em ). Поэтому 4 выполняется неравенство un v(n).

Если f Lp (E, 2E, X, ), то f является классом фундаментальных по норме np, последователь mn cn An (t) s(E, X), т. е. функций, принимающих конечное ностей простых функций un (t) = k k k= множество значений cn,..., cn n X на множествах An,..., An n 2E. Тогда для любой функ 1 m m ции f Lp (E, 2E, X, ) интегралом F = f d по Бохнеру называется предел в топологии нормы E mn cn (An ). При этом сходимость последо пространства X последовательности элементов Fn = k k k= вательности {Fn } в пространстве X следует из фундаментальности последовательности {un } в пространстве Lp (E, 2E, X, ).

Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство. Для произвольного элемента f (n) про странства 2 (E, 2E, H, ) может быть не определено интегрирование по мере в топологии нормы пространства H — интеграл Радона (см. [31]) f ()d не определен в том смысле, что для любого E разбиения E на конечную совокупность множеств Aj, j = 1,..., m, найдутся две различные выбор m ки,, где i, i Ai, такие, что (Aj ) f (j ) f (j ) H f 2. (В качестве примера может j= быть выбрана все та же функция u(n) = en, n N из примера 17.2). Пример 17.2 также показы вает, что функции из пространства 2 (E, 2E, H, ) нельзя аппроксимировать последовательностью простых функций и поэтому в указанном пространстве не определен интеграл Бохнера. Исполь зование конструкции интеграла Лебега для функций из пространства 2 (E, 2E, H, ) невозможно за счет отсутствия счетной аддитивности меры.


Поэтому для интегрирования элементов пространства p (E, 2E, X, ) потребуется ослаб ление топологии сходимости интегральных сумм, и мы используем конструкцию интеграла Петтиса (см. [22, 132]) для определения слабого интеграла функций из банахова простран ства p (E, 2E, X, ).

Пусть f p (E, 2E, X, ), тогда существует последовательность функций fk B(E, 2E, X, ) такая, что fk f p (E,2E,X,) 0 при k. Для произвольного элемента X и элемента fk Bp (E, 2E, X, ) функция k (t) = (fk (t)), t E, определена на E и является элементом про странства b(E, 2E, C, ) Lp (E, 2E, C, ). Поэтому для каждого k N определен интеграл по мере 17. ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ, ИНТЕГРИРУЕМЫХ ПО КОНЕЧНО-АДДИТИВНОЙ МЕРЕ k (t)d. Так как последовательность fk фундаментальна в p (E, X, ), то последовательность :

E k фундаментальна в Lp (E, 2E, C, ) (ибо k m ) Lp (E,2E,C,) B fk fm p (E,2E,X,) ), а поэтому фундаментальна и числовая последовательность k d, предел которой обозначим E через (f )d. Значение предела последовательности k d не зависит от выбора фундамен E E тальной последовательности, сходящейся к элементу f p (E, 2E, X, ). Таким образом, на про странстве X корректно определен линейный ограниченный функционал, т. е. элемент F X, F () = (f )d. Следуя работе [148] (см. [132, 8.14]), дадим следующее определение.

E Определение 17.1. Элемент F X будем называть слабым интегралом от функции f p (E, 2E, X, ) по мере в смысле Гельфанда, если для любой функции X выполняется соотношение F () = (f )d. В этом случае будем писать F = f d.

E E Определение 17.2. Если банахово пространство X имеет предсопряженное пространство X, то элемент X будем называть *-слабым интегралом от функции f p (E, 2E, X, ) по мере в смысле Петтиса, если для любой функции X выполняется соотношение () = f ()d. В этом случае будем писать F = f d.

E E Из приведенных выше рассуждений вытекает следующее утверждение.

Утверждение 17.2. Для любой функции f p (E, 2E, X, ) существует слабый интеграл F = f d X. Если банахово пространство X имеет предсопряженное пространство X, E то для любой функции f p (E, 2E, X, ) существует -слабый интеграл F = f d X.

E По определению, интеграл Гельфанда является сильно непрерывным функционалом на про странстве X. Согласно [132, пункт 8.14, с. 774], если интеграл является слабо непрерывным функционалом на пространстве X, то он называется интегралом Петтиса и является элемен том пространства X. В монографии [22] изучается интеграл Гельфанда от векторной функции по счетно-аддитивной мере и получены условия, достаточные для принадлежности его значений пространству X.

При этом хотя каждую функцию (, f (t)) Lp (E, 2E, C, ) можно приблизить в норме L2 (E, 2E, C, ) последовательностью (зависящей от выбора X ) простых функций k (t), но функцию f (n) L2 (N, 2N, H, ) из примера 17.2 нельзя приблизить в норме 2 (N, 2N, H, ) после довательностью простых функций fk (n). Более того, последовательности простых функций k (n), сходящейся слабо к функции f (n), может не существовать.

17.6. О сепарабельности пространств L2 (E, M, X, ) и 2 (E, M, B, ). Пусть H — сепара бельное гильбертово пространство. Исследуем влияние конечности или счетности аддитивности меры на сепарабельность гильбертова пространства L2 (E, M, H, ). В случае счетной аддитив ности имеет место следующий результат (см. [41, с. 387], [16, с. 370]).

Счетно-аддитивная мера на некотором измеримом пространстве E, A, имеет счетный базис тогда и только тогда, когда пространство L2 (E, A, C, ) является сепарабельным.

Если при этом гильбертово пространство H сепарабельно, то сепарабельно и пространство L2 (E, A, H, ).

Ниже приведен пример несепарабельного пространства 2 (E, M, H, ) функций, принимающих значения в сепарабельном гильбертовом пространстве H, квадратично интегрируемых по конечно аддитивной мере с конечным базисом.

Лемма 17.4. Если W0 (E), то пространство L2 (E, 2E, C, ) одномерно.

Доказательство. Пусть — мера на измеримом пространстве (E, 2E ), принимающая два значе ния. Положим S = {A 2E : (A) = 0} и T = 2E \S. Тогда пространство L2 (E, 2E, C, ) 134 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ сепарабельно, более того, одномерно в том смысле, что существует полная система элемен тов этого пространства, состоящая из одного элемента A (t), где A — произвольный элемент множества T и A (t) — его характеристическая функция. Действительно, пусть B 2E. Тогда A B L2 (E,2E,C,) = 0 если B T, и B L2 (E,2E,C,) = 0 если B S.

Лемма 17.5. Если пространство H конечномерно и имеет базис {e1,..., en }, а в простран стве L2 (E, 2E, C, ) существует конечный или счетный базис F = fj, то тогда система j функций ej fk полна в пространстве L2 (E, 2E, H, ).

Доказательство. Действительно, если u() S(E, 2E, H, ), то для каждого E выполнено n n |aj ()|2 = u() Поэтому все n функций aj (), E, равенство u() = aj ()ej, причем H.

j=1 j= ограничены и, следовательно, принадлежат L2 (E, 2E, C, ). Поскольку F — конечный или счет ный базис в пространстве L2 (E, 2E, C, ), то aj () = cjk fk (), где cjk = (fk, aj )L2,. При этом k n n |2.

|cjk cjk ej fk () и u u() = = L2, j=1 k j=1 k Теорема 17.3. Пусть W (E). Если бесконечномерное сепарабельное гильбертово про странство H имеет базис E = {ej }, а в пространстве L2 (E, 2E, C, ) существует конечный или счетный базис F = fj, то ортонормированная система ej fk является полной в j= пространстве L2 (E, 2E, H, ) и не является полной в пространстве 2 (E, 2E, H, ).

Доказательство. Любую функцию в пространстве L2 (E, 2E, H, ) по определению можно прибли зить простой функцией, которая в свою очередь может быть приближена линейной комбинацией базисных функций ej fk, j N, fk F. Следовательно, система функций ej fk, j N, fk F полна в L2 (E, 2E, H, ), а пространство L2 (E, 2E, H, ) является тензорным произведением (см. [92]) пространств L2 (E, 2E, C, ) и H.

Пусть E — направленное множество. Тогда в пространстве 2 (E, 2E, H, ) с мерой W (E) существует функция u() с единичной нормой, ортогональная всем функциям вида ei fk — это такая функция u() : E H, что для любого E справедливо равенство u() H = 1 и при этом обобщенная последовательность {u, E} слабо сходится к нулю в пространстве H при E. Тогда для каждого 0 существует t0 E такое, что |(ei, u )H | для любого E, следующего за t0. То есть, |(ei, u )H | на множестве полной меры, с одной стороны и, с другой стороны, u() H = (E) = 1. Следовательно, существуют нетривиальные элементы пространства 2 (E, 2E, H, ), ортогональные всем элементам вида ei fk, и пространство 2 (E, 2E, H, ) не является тензорным произведением пространств L2 (E, 2E, C, ) и H.

Следствие 17.1. Пусть W (E) и H — сепарабельное гильбертово пространство. Тогда пространство L2 (E, 2E, H, ) является тензорным произведением пространств L2 (E, 2E, C, ) и H, а пространство 2 (E, 2E, H, ) является тензорным произведением пространств L2 (E, 2E, C, ) и H тогда и только тогда, когда пространство H конечномерно.

Теорема 17.4. Пусть W (E). Тогда если сепарабельное гильбертово пространство H бесконечномерно, то пространство 2 (E, 2E, H, ) не сепарабельно.

Доказательство. Для сепарабельного пространства H с ортонормированным базисом {ej } ука жем континуальное семейство попарно ортогональных нормированных элементов в простран стве 2 (E, 2E, H, ).

Рассмотрим сначала случай, когда E = N и W (N), и определим семейство функций u на множестве E со значениями в H.

Пусть (0, 1), и положим u (k) = e[k2 ], k N, где [a] есть целая часть числа a. Тогда u (k) 2 (E,2E,H,) = 1 для любого (0, 1), а для любых, (0, 1) таких, что =, выполняется соотношение ортогональности: (u, u )2 (E,2E,H,) = 0. Действительно, k 2 k 2 = ( )k 2 и, следовательно, для любых, (0, 1) таких, что =, существует k0 такое, что для всех k k0 выполняется неравенство |( )k 2 | 2. Поэтому [k 2 ] = [k 2 ], а значит 17. ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ, ИНТЕГРИРУЕМЫХ ПО КОНЕЧНО-АДДИТИВНОЙ МЕРЕ (u (), u ())H = 0 при всех k k0, т. е. на множестве полной меры. Итак, для любых, (0, 1) таких, что =, верно (u, u )2 (E,2E,H,) = 0, и в пространстве 2 (E, 2E, H, ) существует континуальная ортонормированная система элементов.

Пусть E — произвольное направленное множество и k — строго монотонно возрастающая по следовательность его элементов. Положим Ek = { E : k }\{ E : k+1 }, k N, тогда Ek = для любого k N.

Пусть (0, 1), и положим u () = e[k2 ], Ek, k N. Тогда если W (E), то u () 2 (E, 2E, H, ) и u (k) 2 (E,2E,H,) = 1 для любого (0, 1), а для любых, (0, 1) таких, что =, как доказано выше, выполняется соотношение ортогональности (u, u )2 (E,2E,H,) = 0.

17.7. Согласование вариационного и аппроксимационного методов с помощью функцио нала, задаваемого конечно-аддитивной мерой. Выше (в разделе 12) была поставлена задача согласовать аппроксимационные и вариационные методы регуляризации задачи Коши (1), (2) так, чтобы предел последовательности решений регуляризованных задач совпадал с точкой минимума функционала невязки задачи. Усреднение функционалов невязки последовательности регуляризо ванных задач по конечно-аддитивной мере на множестве параметров регуляризации дает решение поставленной задачи.

Td u(t) + iL u(t) dt, E, Последовательность регуляризованных функционалов ST,u0 (u) = 0 dt H задает последовательность регуляризованных точек строгого минимума u (t), совпадающую с по следовательностью решений регуляризованных задач и сходящуюся только слабо.


Функционал, задаваемый последовательностью регуляризованных генераторов, имеющий един ственной точкой строгого минимума слабый предел u (t), можно определить с помощью введения на множестве N параметров регуляризации конечно-аддитивной меры, сосредоточенной в произ вольной окрестности бесконечно удаленной точки.

Пусть Ln, n N, — самосопряженная регуляризация максимального симметрического операто ра L, а есть некоторая неотрицательная нормированная конечно-аддитивная мера на измеримом пространстве (N, 2N ) такая, что (A) = 0 для любого конечного множества A N (см. [100]).

Совокупность мер, обладающих указанными свойствами, обозначим через W (N). Положим для всех u H и некоторой меры из указанного класса T u(t) ULn (t)u G (u, u0, T ) = dt H d, 0 N где интеграл от ограниченной функции по конечно-аддитивной мере есть интеграл Радона.

Теорема 17.5. Пусть W (E) и L — максимальный симметрический оператор с нулевым индексом n. Тогда минимизирующий элемент функционала G (·, u0, T ) совпадает со слабым пределом последовательности {un (t)} решений регуляризованных задач u (t) = U (t)u0 для L любой максимальной диссипативной симметрической регуляризации {Ln }.

Доказательство. Обращение в нуль первой вариации T G (u, u, u0, T ) = 2Re (u(t), u(t) ULn (t)u0 )H d dt 0 N функционала G (·, u0, T ) в точке u H на любом допустимом приращении аргумента u H равносильно равенству (u(t) ULn (t)u0 )d = 0 п. в. t 0, N где слабый интеграл по мере W (N) понимается в смысле Гельфанда (см. [148]): для любой ограниченной функции f (n), n N, со значениями в гильбертовом пространстве H вектор f H 136 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ называется слабым интегралом функции f (n) по мере W (N), если для любого вектора g H выполняется равенство (f, g)H = (fn, g)H d.

N Выше интеграл от ограниченной числовой функции по конечно-аддитивной мере есть интеграл Радона (см. [51]).

Учитывая нормировку меры, заключаем, что вектор u H есть стационарная точка функ ULn (t)u0 d. В силу теоремы 8.3 при каждом ционала G тогда и только тогда, когда u(t) = N t 0 последовательность ULn (t)u0 сходится слабо в пространстве H к вектору u (t) = UL (t)u0.

ULn (t)u0 d = u (t) при всех t 0.

Поэтому, как нетрудно видеть, N 18. НЕПРЕРЫВНЫЕ УСРЕДНЕНИЕ СЕЛЕКЦИИ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ. ДИНАМИЧЕСКИХ ПОЛУГРУПП Применим процедуру слабого интегрирования по мере V (E) в смысле определений 17.1, 17. к последовательностям {u (t)} как к функциям из пространства L2 (E, 2E,, H) и к обобщенной последовательности { (t, u0 )} как к функции из пространства L1 (E, 2E,, B (H)).

Теорема 18.1. Пусть {L }, E, — некоторая максимальная диссипативная регуляризация оператора L задачи Коши (1), (2). Тогда для любого u0 H и любого W (E) существует единственная функция u (t) C w (R+, H) такая, что для любого H справедливо равенство (, u (t)) = (, u (t))d. Если последовательность регуляризованных решений {u (t)}, E, E сходится слабо к функции v(t) : R+ H равномерно на каждом отрезке [0, T ], то тогда интеграл u (t) совпадает со слабым аппроксимативным решением v(t) задачи (1), (2).

Доказательство. При каждом t 0 интеграл (, u (t))d определяет непрерывный линейный E функционал на пространстве H, следовательно, задано отображение u : R+ H. Поскольку при любом H числовая функция (, u (t)) непрерывна, то u (t) C w (R+, H). Поскольку из слабой сходимости u (t) к v(t) при 0 следует, что (, u (t))d = (, v(t)), то тогда v(t) = u (t).

E Замечание 18.1. Рассмотрим регуляризации из примеров раздела 7 и примера 8.1 раздела как отображения u (t) области E\ конечномерного евклидова пространства в банахово пространство C(R+, H). Тогда согласно результатам работ [100, 102] отображение u (t) : E C(R+, H) непрерывно в каждой точке множества E.

Рассмотрим многозначное отображение (16.4) (см. также определение 16.1 и формулу (16.1)).

Теорема 18.2. Пусть E есть линейно связное подмножество метрического пространства и отображение u (t) : E C(R+, H) непрерывно. Тогда любого u0 H и любого W (E) справедливы следующие утверждения.

1). Функция (t, u0 ) = (t, u0 )d является непрерывным в -слабой топологии отображе E нием полуоси R+ в банахово пространство B (H), причем функция (t, u0 )(A) C(X) является непрерывной селекцией многозначного отображения F (t, u0, A) C(X, 2R ).

2). Существует такое многозначное отображение (t, u0 ), действующее из банахова про странства R H в метрическое пространство 2B (H), что для любого A B(H) выпол нено равенство (t, u0 )(A) = F (t, u0, A).

Доказательство. Пусть u0 H. Согласно условиям теоремы, множество частичных преде лов F (t, u0, A) есть отрезок. Следовательно, для любого W справедливо включение f (x) F (x), где f (x) = f (x)d. Поэтому функция f (x) является непрерывной селекцией E многозначного отображения (16.1), линейной по последнему аргументу A B(H) (см. [100]).

Следовательно, на полуоси t 0 определена функция (t, u0 ) со значениями в B (H) такая, что 18. НЕПРЕРЫВНЫЕ УСРЕДНЕНИЕ СЕЛЕКЦИИ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ. ДИНАМИЧЕСКИХ ПОЛУГРУПП (t, u0 )(A) = f (t, u0, A) для любого A B(H). В соответствии с определением 17.2, функционал (t, u ) B (H) есть -слабый интеграл от функции (t, ) по мере. Слабая непрерывность 0 функции (t, u0 ) следует из оценки |f (t, u0, A)| A B(H) (см. [100]).

Для любого x X справедливо равенство F (x) = f (x). Действительно, как показано вы W ше, F (x) f (x). Наоборот, каждая точка P множества F (x) является пределом некоторой W подпоследовательности fn (x). И если мера W (E) сосредоточена на множестве K значений последовательности n, то P = f (x), следовательно, F (x) f (x), откуда следует доказыва W емое равенство.

Определим многозначное отображение (t, u0 ) : R H 2B (H) по правилу (t, u0 ).

(t, u0 ) = W (E) Тогда для любого W (E) отображение является непрерывной селекцией многозначно го отображения. Кроме того, для любых (t, u0, A) X справедливо равенство (t, u0 )(A) = F (t, u0, A).

Теорема 18.3. При фиксированных t R и u0 H множество (t, u0 ) = (t, u0 ) есть W выпуклое множество в пространстве B (H), ограниченное и замкнутое в -слабой топологии.

Доказательство. Согласно теореме 18.2 справедливо равенство (t, u0 ), A = F (t, u0, A).

Следовательно, для любого A B(H) множество (t, u0 )(A) ограничено и замкнуто, т. е.

множество (t, u0 ) ограничено и замкнуто -слабой топологии.

Заметим, что множество W выпукло. Следовательно, если r1, r2 (t, u0 ) и соответствуют r1 + r2 1 + мерам 1, 2 W, то (t, u0 ) и соответствует мере W. Следовательно, мно 2 жество (t, u0 ) выпукло.

Теорема 18.4. Пусть {L, E} — непрерывная самосопряженная регуляризация операто ра L, — некоторое квантовое состояние, а W (E). Тогда функция f (t,, A) = T (t), A d(), (t,, A) X, E обладает следующими свойствами:

1). при любом t 0 является непрерывной билинейной формой на пространстве B (H) B(H);

2). сужение f |Xs непрерывно на пространстве Xs ;

3). если множество E связно, то сужение f |Xs является непрерывной ветвью непрерывного многозначного отображения F |Xs C(Xs, 2R ).

Доказательство. Пусть t 0. Тогда билинейность функции f (t,, A), (, A) B (H) B(H) следует из линейности интеграла и билинейности по переменным (, A) функции T (t), A при каждом E и t 0.

Непрерывность функции f (t,, A)|Xs следует из установленной в теореме 16.2 непрерывности отображения F |Xs, монотонности интеграла и оценки |f (x) f (y)| H (F (x), F (y)).

При фиксированном (t,, A) Xs множество F (t,, A) есть ограниченное замкнутое множество числовой прямой и по свойству монотонности интеграла значение f (t,, A) лежит на отрезке между крайними точками множества F (t,, A). Поэтому f () F () для всех Xs.

Пусть {L, E} — самосопряженная регуляризация оператора L и W (E). Для каждого t 0 и B (H) функция f (t,, A), A B(H), является непрерывным линейным функциона лом на пространстве B(H). Следовательно, для всех t 0 и B (H) определен единственный 138 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ (t)d B (H) такой, что (t, ), A = f (t,, A) при всех A B(H).

элемент (t, ) = E Если, кроме того, 0 Bs (H), то, как следует из установленной в теореме 18.4 непрерывности на метрическом пространстве X, отображение (t, u ) метрического пространства функции f s R Bs (H) в пространство B (H) является непрерывным в *-слабой топологии.

Замечание 18.2. Пусть оператор L и функция u0 H таковы, что последовательность u (t) сходится слабо к элементу u (t) такому, что u (t) u0. Тогда функционал f (t, u0 ) B (H) является неотрицательным нормированным, но не является непрерывным в сильной операторной n топологии. Хотя f (t, u0, I) = 1, но lim f (t, u0, Pek ) = u (t) 2 1, т. е. f (t, u0, ·) не является n k= ядерным оператором (нормальным состоянием) (см. [125]).

f (A)d() определен при каждом A B(H) как интеграл Радона по конечно Интеграл E аддитивной мере m на прямой и определяет линейный непрерывный функционал f (·) на B(H).

A Однако функционал f (·) не является пределом последовательности операторов плотности, схо дящейся в -слабой топологии пространства B (H), ибо в этом случае функционал f был бы непрерывен в слабой операторной топологии и являлся бы оператором плотности.

Замечание 18.3. Вместо поточечной сходимости подпоследовательности линейных функцио налов fk (t, u0 ) на пространстве B(H), т. е. вместо условия: существует такой функционал f B (H) что найдется подпоследовательность {n } такая, что для любого A B(H) вы полняется равенство lim fk (t, u0 )(A) = f (A);

выполняется условие: существует такой функ k ционал f B (H), что для любого A B(H) найдется подпоследовательность {n } такая, что выполняется равенство lim fk (t, u0 )(A) = f (A).

k Определение 18.1. Ограниченный линейный оператор T B(B (H)) будем называть -слабым интегралом оператор-функции T, E, со значениями в пространстве B(B (X)) по конечно-аддитивной мере V (E) и обозначать T = T d, если для любых векторов E B (H), A B(H) выполняется равенство T, A = T (t), A d.

E Для каждого W (E) определим следующее семейство отображений:

T (t) = T (t)d, (18.1) t 0.

E B (H) Тогда для любого 0 справедливо равенство T (t)0 d = T (t)0, (t, 0 ) = t 0.

E Лемма 18.1. При любом t 0 соответствие T (t) : (t, ) является линейным отоб ражением пространства B (H) в себя, сохраняющим норму и свойство положительности элемента (t) = T (t) для B+.

Доказательство. Согласно определению 18.1, отображение T (t) задано на всем простран стве B (H). Линейность отображения следует из линейности интеграла, сохранение нормы и неотрицательность следуют из неотрицательности и нормировки меры.

Многозначное отображение F : X 2R определяет многозначное отображение T (t) : R+ 2B(B (H)) такое, что для каждого B (H) выполнено равенство T (t) = T (t). Согласно теореме 18.2, для любых (t, 0, A) X выполняется равенство F (t,, A) = T (t)0, A.

Следствие 18.1. Для каждого t 0 отображение t : W (E) B(B (H)), сопоставляющее каждой мере W (E) линейный оператор T (t) в пространстве B (H), является отображе нием множества W (E) ba(E) на множество T (t), сохраняющим выпуклые комбинации.

19. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ КАК ДИНАМИКА В РАСШИРЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ Следствие 18.2. При каждом t 0 множество T (t) выпукло. В топологии, определяемой на пространстве B(B (H)) совокупностью полунорм p(,A) (T ) = | T, A |, (, A) B (H) B(H), T B(B (H)), множество T (t) является ограниченным и замкнутым. Совокупность крайних точек выпуклого множества T (t) принадлежит множеству {T (t), W0 }.

Таким образом, многозначная динамика T : t T (t) задается совокупностью преобразований {T (t), t 0}W0 (E), определяющих крайние точки множества T (t)() вместе с замыканием их выпуклой оболочки.

19. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ КАК ДИНАМИКА В РАСШИРЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ Семейство регуляризованных задач Коши (2), (3) с мерой V (E), заданной на множестве всех подмножеств параметров регуляризации, определяет в пространстве H = L2 (E, 2E,, H) унитарную группу преобразований U (t), t R, действующую по правилу U (t)u() = UL (t)u().

Действительно, для любых u(), v(), принадлежащих плотному в пространстве H линейному многообразию b(E, H) ограниченных функций на множестве E со значениями в пространстве H, и любого t R справедливо равенство (U (t)u(), U (t)v())H = (UL (t)u(), UL (t)v())H = (UL (t)u(), UL (t)v())H d = (u(), v())H, E поэтому преобразование изометрично и, очевидно, любой вектор u() b(E, H) имеет прообраз UL (t)u() b(E, H).

Генератором полугруппы U (t), t R, является самосопряженный в пространстве H оператор L такой, что любая функция u(), удовлетворяющая условию u() D(L ) при -почти всех E, принадлежит области определения D(L) оператора L, и для любого E справедливо равенство Lu() = L u().

Каждому единичному вектору u = u() H соответствует квантовое состояние в простран стве H — оператор плотности Ru B (H), действующий на произвольный оператор A B(H) по правилу Ru (A) = (u, Au)H.

Таким образом, самосопряженная регуляризация задачи Коши (1), (2) определяет унитарную динамику векторов пространства H и динамическую полугруппу Tt, t 0, действующую в про странстве B (H) согласно правилу Tt R = R(t), R B (H), где R(t), A = R, U (t)AU (t) для всех A B(H).

Замечание 19.1. Существование расширений симметрического оператора L до самосопряжен ного оператора L в гильбертовом пространстве H, содержащем пространство H как подпростран ство, следует из теоремы Наймарка (см. [6]). В настоящей работе предложена конкретная реали зация такого расширения.

19.1. Об условных математических ожиданиях и частичных следах. Пусть некоторое гильбертово пространство H представимо как тензорное произведение пространств H1 и H2, т. е. как замыкание линейной оболочки элементов вида f1 f2, fj Hj, по норме f1 f2 H = f1 H1 f2 H2. Тогда частичным следом (см. [125]) нормального состояния B (H) по подпространству H2 называется сужение T rH2 функционала на подалгебру операторов вида A = A1 I2, действующих по правилу A(f1 f2 ) = (A1 f1 ) f2, изоморфную алгебре B(H1 ).

Теорема 19.1. Пусть пространство H сепарабельно, H = H0 H1 — его разложение в орто гональную сумму двух подпространств, B(H0 ) — подалгебра операторов B(H), значения кото рых на векторе u не зависят от проекции вектора на подпространство H1. Тогда частичным следом нормального состояния на подалгебру B(H0 ) является нормальное состояние на H0.

Доказательство. Пусть есть непрерывный в сильной операторной топологии функционал на банаховом пространстве B(H), т. е. нормальное состояние. Докажем, что lim (T rH1, A0 ) = n n (T rH1, A0 ) для любой последовательности операторов A0 B(H0 ), сходящейся в сильной опера n торной топологии банахова пространства B(H0 ) к оператору A0.

140 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ По любой последовательности {A0 }, обладающей указанным выше свойством, определим после n довательность {An } — последовательность элементов B(H), представимых в виде An = A0 I1. n Тогда последовательность операторов An сходится в сильной операторной топологии к оператору A = A0 I1.

Действительно, пусть {ej } и {fi } — ортонормированные базисы в сепарабельных простран ствах H0 и H1 соответственно. Пространство H является тензорным произведением пространств H0 и H1 в том смысле, что H совпадает с замыканием линейной оболочки элементов вида ej fi.

Для векторов ej fi выполняется равенство A0 I1 (ej fi ) = A0 (ej ) I1 (fi ) A0 ej I1 (fi ) при n n n, а всякий вектор из H может быть аппроксимирован по норме пространства H последова тельностью линейных комбинаций векторов ej fi.

Следовательно, числовая последовательность (T rH1, A0 ) = (, An ) сходится в силу нормаль n ности состояния к пределу (, A) = (T rH1, A0 ), что и доказывает теорему 19.1.

Пространство L2 (R2 ) сепарабельно и представимо как тензорное произведение пространств L2 (Rx ) L2 (Ry ), причем если {ej } и {fk } — счетные ортонормированные базисы в указанных пространствах, то счетная система {ej fk } является ортонормированным базисом в простран стве L2 (R2 ). Частичный след состояния u(x, y) L2 (R2 ) по пространству L2 (Ry ) есть сужение x,y оператора плотности u на подалгебру операторов Bx (L2 (R2 )), действие которых на функцию u(x, y) L2 (R2 ) задается как Au(x, y) = Ax u(x, y) для почти всех y R. Тогда частичным следом состояния u(x, y) L2 (R2 ) по пространству L2 (Ry ) является следующий функционал на алгебре x,y B(L2 (R)):

(u(x, y), Ax u(x, y))dy.

T ry u (Ax ) = R Замечание 19.2. Для меры из класса W0 (E) гильбертово пространство L2 (E, 2E,, H) не яв ляется сепарабельным (см. теорему 17.4) и не является представимым как тензорное произведение пространств L2 (E, 2E,, C) и H (см. теорему 17.3).

Обозначим через B0 (H) линейное подпространство пространства B(H), состоящее из опе раторов A, удовлетворяющих условию: существует такой оператор A0 B(H), что если u() b(E, H), то (Au)() = A0 (u()) для любого E. Тем самым, ограниченный опера тор A определен на плотном в H линейном многообразии b(E, H) и, следовательно, однозначно определено его продолжение по непрерывности на пространство H. В этом случае будем говорить, что оператор A не зависит от переменной, и обозначать этот факт символом A = A0 I1.

Подпространство B0 (H) является также и подалгеброй, как нетрудно убедиться по действию его элементов на векторы из плотного в H подпространства b(E, H).

Пусть B1 (H) — некоторая подалгебра алгебры B(H). Тогда частичным следом (или условным математическим ожиданием) состояния f B (H) на подалгебру B1 алгебры B(H) называется сужение функционала f на подалгебру B1.

Хотя пространство H не представимо как тензорное произведение пространств L2 (E, 2E,, C) и H, тем не менее, определим частичный след чистого состояния u(x, ) H по подпростран ству L2 (E, 2E,, C) как сужение функционала f на подпространство операторов B0 (H). Сле дуя [17, 125], частичным следом состояния f B (H) по подпространству L2 (E, 2E,, C) назовем линейный непрерывный функционал на B0 (H) = B(H), действующий по правилу T rL2 (E,2E,,C) u (A) = (u(x, ), Au(x, e))d().

E Частичный след является непрерывным отображением банахова пространства B (H) на банахово пространство B0 (H) (см. [17]). Из теоремы 18.2 следует, что для любого A B(H) верна цепочка равенств TrL2 (E,2E,,C) (t)(A) = (t)(A I) = (U (t), (A I)U (t)) = (UL (t)u0 (x), (A I)UL (t)u0 (x))H = (UL (t)u0 (x), AUL (t)u0 (x))H d() = f (t, u0, A)d() = f (t, u0, A).

= E E 20. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ КАК СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС Следовательно, справедливо следующее утверждение.

Теорема 19.2. Пусть {L, E} — самосопряженная регуляризация оператора L, и пусть W (E). Тогда квантовое состояние (t, u0 ) = (t, u0 )d есть частичный след чистого E состояния R(t) из пространства B (H ) по пространству L2 (E, 2E,, C).

20. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ КАК СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС С регуляризацией задачи Коши (1), (2) свяжем случайный процесс (t) на измеримом про странстве (E, 2E ) с некоторой мерой W (E), значения которого лежат в пространстве B (H) — для заданного начального условия u0 рассмотрим отображение (t), E, множества E в про странство C(R, B (H)), где ( (t), A) = (u (t), Au (t)).

20.1. Индуцированные меры. Применим введенный выше класс мер W (E) к анализу веро ятностных свойств расходящихся последовательностей регуляризованных операторов плотности.

Пусть на некотором множестве X задана последовательность числовых функций {f (x)}, E.



Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.