авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 |

«Современная математика. Фундаментальные направления. Том 43 (2012). С. 3–172 УДК 517.946+517.98 ...»

-- [ Страница 7 ] --

Прежде всего покажем, что мера W (E) индуцирует посредством последовательности число вых функций {f (x)}, E, семейство мер mf,, x X, заданных на полукольце промежутков x числовой прямой R. Пусть E = (0, 1), мера принадлежит классу W (E), x X, — некоторый интервал (a, b) числовой прямой R и 0 — некоторое число. Положим E f (x,, ) = { (0, 1) : f (x) (a +, b )}, f E (x,, ) = { (0, 1) : f (x) (a, b + )}, f mf, (, ) = (E f (x,, )), mf, (, ) = (E (x,, )).

x x Тогда, в силу свойств меры W, для любых, 0 справедливо неравенство:

0 mf, (, ) mf, (, ) (0, 1) 1, и для любого интервала величина mf, (, ) моно x x x тонно убывает, а величина mf, (, ) монотонно возрастает по.

x Проанализируем вероятностные свойства расходящихся последовательностей операторов плот ности { (t)} с помощью класса мер класса W (E). Пусть на некотором множестве X задана последовательность числовых функций {f (x)}, E. Покажем, что мера W (E) индуцирует посредством последовательности числовых функций {f (x)}, E, семейство мер mf,, x X, x заданных на полукольце промежутков числовой прямой R.

Пусть теперь мера принадлежит классу W (E), x X, — некоторый интервал (a, b) числовой прямой R и 0 — некоторое число. Положим аналогично E f (x,, ) = { E : f (x) (a +, b )}, f E (x,, ) = { E : f (x) (a, b + )}, f mf, (, ) = (E f (x,, )), mf, (, ) = (E (x,, )).

x x Тогда для любых, 0 справедливо неравенство: 0 mf, (, ) mf, (, ) (E) 1, и для x x любого интервала величина mf, (, ) монотонно убывает, а величина mf, (, ) монотонно x x возрастает по.

Теорема 20.1. Пусть X — некоторое множество, на котором определена последователь ность функций f (x), E. Для любого x X мера W (E) определяет единственную конечно-аддитивную неотрицательную нормированную меру mf, на минимальном кольце K x над полукольцом всех промежутков числовой прямой R такую, что для любого интервала (a, b) справедлива формула:

mf, ((a, b)) = sup mf, ((a, b), ). (20.1) x x Доказательство. Формула (20.1) однозначно определяет меру mf, на любом интервале числовой x f, f, прямой, причем так, что мера mx нормирована: mx (R) = 1. Условие конечной аддитивности меры mf, позволяет продолжить ее с сохранением неотрицательности до конечно-аддитивной x меры на всем полукольце промежутков. Следовательно, существует единственное ее продолжение на минимальное кольцо над полукольцом промежутков (см. [60, гл. 2]).

142 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Замечание 20.1. mf, -мера отрезка [a, b] удовлетворяет равенству x mf, ([a, b]) = inf mf, ([a, b], ).

x x Действительно, достаточно доказать, что mf, ((, b]) = inf mf, ((, b], ). Для любых x x f 0, x X и b R справедливо равенство E (x, (, b], ) = (0, 1)\E f (x, (b, +), ), следо вательно, mf, ((, b], ) = 1 mf, ((b, +), ) и inf mf, ((, b], ) = 1 sup mf, ((b, ), ), x x x x 0 mf, ((, b]) mf, ((, b], ).

т. е. = inf x x Пример 20.1. Пусть f (x) = x +, x R, E, E = (0, 1) и W (E). Фиксиру ем некоторое x R и исследуем меру mf, на полукольце промежутков числовой прямой K.

x Легко видеть, что mf, ((x, +), ) = 0 и mf, ((, x), ) = 0 для любого 0. Поэтому x x mf, ((, x)) = mf, ((x, +)) = 0 и, следовательно, mf, = (x).

x x x Согласно теореме 20.1, для любой функции g Cb (R) определен интеграл Радона g(x)dmf, (x). (20.2) R Согласно определению интеграла Радона, для любой непрерывной функции g Cb (R) справедливо равенство g(x)dmf, (x) = g(f ())d.

R E Тем самым, на банаховом пространстве Cb (R) задан линейный непрерывный функционал f,, действующий по правилу g(x)dmf, (x) = (20.3) f, (g) = g(f ())d.

R E Следовательно (см. [131]), функционал f, определяет меру Радона — счетно-аддитивную ме ру f,, заданную на -алгебре борелевских подмножеств множества R, такую, что (20.4) g(f ())d = g(x)df, (x).

R E = f, |K (см. [15]). Таким образом, доказана следующая лемма.

mf, Тогда Лемма 20.1. Мера mf,, заданная на полукольце промежутков, единственным образом про должается до меры Радона f, на -алгебре борелевских подмножеств числовой прямой.

Следствие 20.1. Мера mf,, заданная на полукольце промежутков K, является счетно-ад дитивной.

Аналогичным образом мера с помощью последовательности регуляризованных операторов плотности индуцирует меру на множестве квантовых состояний (H) пространства B (H).

Рассмотрим метрическое пространство X = R H B(H) и последовательность функ ций f (x), x X, E, определенную для каждого x = (t, u0, A) X равенством f (t, u0, A) = (u0, UL (t) AUL (t)u0 ).

На числовой прямой R мера индуцирует, согласно теореме 20.1, меру (t,u0,A), заданную на минимальном кольце K над полукольцом всех промежутков числовой прямой. Носителем меры (t,u0,A) является множество F (t, u0, A). Мера t,u0,A задает распределение вероятности на мно жестве значений многозначного отображения F (·).

Для любого G M и для любых (t, u0, A) X определим, так же, как в теореме 20.1, неотрицательную конечно-аддитивную меру G 0, A на кольце K подмножеств числовой прямой t,u таким образом, что для каждого интервала = (a, b) справедлива формула:

G () = sup (E(x,, ) G).

x 21. О СТРУКТУРЕ МНОЖЕСТВА КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ Тогда мера G 0, A не нормированна, но монотонна, и G 0, A (R) = (G).

t,u t,u Фиксируем некоторое u0 H и некоторое t 0. Тогда для каждого оператора A B(H) мера индуцирует на числовой прямой R (на множестве F (t, u0, A)) меру mA с носителем на множестве F (t, u0, A). Любая конечная совокупность операторов = A1,..., AN B(H) и промежутков = 1,..., N R определяет в пространстве B (H) цилиндрическое множество вида S, = {f B (H) : f (Aj ) j, j 1,..., N }. Совокупность цилиндрических множеств S, образует полу кольцо подмножеств пространства B (H). Поэтому, согласно теореме Колмогорова о продолжении меры, мера индуцирует на алгебре цилиндрических множеств S(B (H)) — минимальном коль це над полукольцом множеств вида S, — неотрицательную нормированную конечно-аддитивную меру Mt,u0 такую, что Mt,u0 (SA, ) = m 0,A () = sup{(K) : K 2E, FK (t, u0, A) } для лю t,u бого оператора A и любого промежутка. Таким образом, задача Коши (1), (2), регуляризо ванная по множеству E с мерой W (E), задает случайный процесс (t, u0 ) на пространстве с мерой (E, 2E, ) и значениями в пространстве B (H) с алгеброй подмножеств S(B (H)). Из теоремы 18.2 следует утверждение.

Следствие 20.2. Пусть W (E) и {L, E} — некоторая максимальная диссипативная регуляризация задачи Коши (1), (2). Тогда математическим ожиданием случайного процес са (t, u0 ) на измеримом пространстве (E, 2E, ) является функция (t, u0 ).

Кроме того, задача Коши (1), (2), регуляризованная по множеству E с мерой W (E), определяет однопараметрическое семейство непрерывных преобразований пространства мер на ал гебре S(B (H)) по следующему правилу: для каждой неотрицательной нормированной меры M на алгебре S(B (H)), каждого оператора A и каждого промежутка Tt (M0 )(SA, ) = M0 (SUL (t) AUL (t), )d.

E Тогда T+0 (M0 ) = M0 для каждой меры M0. Однако динамика множества конечно-аддитивных неотрицательных нормированных мер на алгебре цилиндрических множеств пространства B (H) не удовлетворяет полугрупповому свойству.

Подобными качественными свойствами обладает преобразование квантовых состояний, опре деляемое процедурой измерения наблюдаемой (см. [91, 161]). Отображение Tt (·), как и проце дура измерения наблюдаемой, каждому квантовому состоянию сопоставляет меру на множестве квантовых состояний. Отметим, что изучение динамики мер, порожденных последовательностями решений аппроксимирующих задач, проводилось в работе [90].

Таким образом, меры класса W (E) позволяют определить регуляризацию задачи Коши (1), (2) как унитарное преобразование гильбертовых пространств L2 (E, 2E,, H) и задать параметрически множество частичных пределов последовательностей { T (t)u0, A } и непрерывные ветви много значного отображения T (t). При этом меры класса W0 (E) определяют параметрическое задание совокупности крайних точек множества T (t).

21. О СТРУКТУРЕ МНОЖЕСТВА КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ Предельные точки последовательности регуляризованных операторов плотности, W (E) представляют собой элементы множества квантовых состояний, не являющихся нормальными и не представимых посредством ядерных операторов. В связи с этим возникает вопрос о том, как устроено множество квантовых состояний и какое место в нем занимают элементы вида. Этот вопрос решен в настоящем разделе, в котором установлено, что произвольный элемент множества квантовых состояний представим в виде интеграла по конечно-аддитивной мере на множестве чистых векторных состояний.

Исследуются множество квантовых состояний и предельные переходы для последовательностей действующих в нем квантовых динамических полугрупп. Изучается структура множества крайних точек совокупности квантовых состояний, и получено представление произвольного состояния в виде интеграла по множеству одномерных ортогональных проекторов, подобное спектральному разложению нормального состояния.

144 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Вырождение гамильтониана на некотором подмножестве фазового или координатного простран ства приводит к некорректности задачи Коши для уравнения эволюции как в классической (см. [32]) так и в квантовой (см. [104]) механике. Динамическое преобразование пространства состояний системы с вырожденным гамильтонианом определяется как предел последовательно сти регуляризованных динамических полугрупп, задаваемых регуляризованными гамильтониана ми (см. [56]). Предельные переходы в пространстве квантовых состояний выводят предельную динамику квантовой системы из подмножества нормальных состояний во множество состояний общего вида (см. [21, 133]), которые, в отличие от нормальных состояний, не могут быть пред ставлены ни ядерными, ни ограниченными линейными операторами в гильбертовом пространстве квантовой системы (см. [54, 136, 161]). Поэтому для изучения указанных предельных переходов требуется перенести методы анализа ядерных операторов на состояния общего вида — определить отношение коммутативности состояния и оператора или двух состояний, исследовать структуру множества крайних точек совокупности состояний и представимость произвольного состояния ин тегралом по множеству одномерных ортогональных проекторов в духе спектральной теоремы для нормальных состояний.

Изучению квантовых состояний, весов и мер на проекторах алгебры B(H) посвящены рабо ты Дж. фон Неймана, Ф. Мюррея, А. Глизона, И. Сигала, Дж. Макки и многих других авторов (см. [130] и цитированную там литературу). Теорема Глизона устанавливает связь между вполне аддитивными мерами на проекторах и нормальными состояниями. Теорема 27.16 в [130], являюща яся обобщением теоремы Глизона на случай неограниченных мер, утверждает, что мера, заданная на проекторах алгебры B(H), определяет вес на B(H).

Исследуем представление состояний, не являющихся нормальными, с помощью мер на множе стве одномерных ортогональных проекторов.

Разложение нормального состояния может производится по множеству попарно ортогональных одномерных проекторов некоторого ортогонального разложения единичного оператора (теорема Глизона, спектральная теорема), а может — по переполненной системе одномерных ортогональных проекторов (например, состояниям Глаубера, см. [33]). В первом случае разложение состояния называется ортогональным, а во втором — неортогональным. В статье [107] для произвольного квантового состояния получено неортогональное разложение в интеграл Петтиса по множеству векторных состояний. Исследован специальный класс состояний, которые допускают разложение в интеграл по семейству попарно ортогональных одномерных проекторов.

Далее, B(H) есть банахово пространство линейных ограниченных операторов в пространстве H и B (H) — его сопряженное. Обозначим через B (H) предсопряженное пространство линейных функционалов на B(H). Через T1 (H) будем обозначать банахово пространство ядерных операто ров, действующих в пространстве H и наделенное следовой нормой. Пространство, сопряженное к T1 (H), изометрически изоморфно пространству B(H), причем каждый ограниченный оператор A B(H) задает на пространстве T1 (H) функционал, значение которого на произвольном элемен те T1 (H) равно следу Tr(A) ядерного оператора A.

Через (H) обозначается множество квантовых состояний — части единичной сферы про странства B (H), лежащей в положительном конусе функционалов из B (H) (см. [21]). Через n (H) обозначим множество нормальных квантовых состояний — функционалов из (H), непре рывных не только по норме, но и в ультраслабой топологии пространства B (H) (см. [130]).

Через p (H) будем обозначать множество чистых векторных состояний — множество крайних точек пространства n (H), задаваемых проекторами на одномерные подпространства простран ства H (см. [21, 125]). Чистое состояние, отвечающее ортогональному проектору на единичный вектор u H, задает на пространстве B(H) линейный непрерывный функционал по правилу u, A = (u, Au)H. В силу изометрического изоморфизма пространств B (H) и T1 (H) мы бу дем отождествлять нормальное состояние n (H) и ядерный оператор T1 (H) такой, что (A) = Tr(A).

21.1. Коммутативность состояния и оператора. Пусть (H), P H — замкнутое ли нейное подпространство в H, P — его ортогональное дополнение, P — оператор ортогонально го проектирования на подпространство P в пространстве H. Для двух ограниченных операто ров A, B B(H) обозначим через [A, B] AB BA их коммутатор.

21. О СТРУКТУРЕ МНОЖЕСТВА КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ Определение 21.1. Будем говорить, что состояние коммутирует с проектором P, если ([A, P]) = 0 A B(H). (21.1) Обозначать этот факт будем равенством [, P] = 0.

Замечание 21.1. Если состояние T1 (H) является нормальным, то тогда условие (21.1) равносильно равенству [, P] = 0 при любом A B(H). Таким образом, данное нами определе ние расширяет понятие перестановочности состояния и ограниченной наблюдаемой на случай не обязательно нормальных состояний.

Теорема 21.1. Состояние коммутирует с проектором P тогда и только тогда, когда выполняется равенство = PP + P P, (21.2) (H) определяется функционалом согласно равенству PP, A = где функционал PP B, PAP.

Доказательство. Условие (21.1) равносильно требованию A B(H). (21.3) (AP) = (PA) Для каждого ограниченного оператора C B(H) положим A = CP в равенстве (21.3).

Получим (PCP ) = 0 для всех C B(H). Аналогично и (P CP) = 0 для всех C B(H).

Поэтому из равенства (21.1) следует равенство (21.2). Наоборот, из равенства (21.2) очевидным образом вытекает (21.3).

21.2. Ультрафильтры и двузначные меры. Пусть N — множество натуральных чисел, 2N — алгебра всех его подмножеств, B(N, 2N ) = l и ba(N, 2N ) = l. Через ca(N, 2N ) и pba(N, 2N ) обозначим соответственно счетно-аддитивную и чисто конечно-аддитивную части пространства l N ) = l, см. [41]). Через V (N) обозначим пересечение единичной сферы пространства l (ca(N, 2 1 с конусом его неотрицательных элементов, а через W (N) — пересечение pba(N, 2N ) V (N), т. е.

множество неотрицательных нормированных мер на N, которые принимают нулевое значение на любом конечном подмножестве.

Согласно результатам статьи [151], множества V (N) и W (N) являются выпуклыми компактны ми в -слабой топологии пространства пространства l ;

множества их крайних точек составляют соответственно множества V0 (N) = Extr(V (N)) и W0 (N) = Extr(W (N)) мер, принимающие на алгебре 2N лишь два значения 0 или 1. Таким образом, для каждой меры V0 (N) алгебра 2N представима в виде объединения двух непересекающихся множеств S (0) и S (1), определяемых равенствами S (s) = 1 (s). Следовательно, для любой меры V0 (N) совокупность S (1) эле ментов алгебры 2N образует ультрафильтр (см. [41]), который будем обозначать через. Тогда для меры W (N) ультрафильтр является неглавным (т. е. пересечение всех множеств из пусто), а для меры V (N, 2N ) ca(N, 2N ) — главным. Причем различным мерам, V0 (N) со ответствуют различные ультрафильтры, такие, что найдутся множества A и B, имеющие пустое пересечение.

Наоборот, если задан некоторый неглавный ультрафильтр, то равенство (N ) = 1 для лю бого N определяет меру W0 (N). При этом если два ультрафильтра, различны, то они содержат непересекающиеся подмножества F и G,а соответствующие им меры, W0 (N) различны. Следовательно, можно отождествить чисто конечно-аддитивные дву 2N (см. также [128, значные меры W0 (N) и неглавные ультрафильтры подмножеств гл. 3.5]). Если =, то будем говорить, что ультрафильтр является носителем меры W0 (N).

21.3. О разложениях элементов множества (H). Согласно теореме Крейна—Мильмана вся кое компактное выпуклое множество в линейном топологическом пространстве совпадает с замы канием выпуклой оболочки множества своих крайних точек.

Например, множество крайних точек совокупности нормальных состояний n (H) составляет множество p (H) чистых векторных состояний. Действительно, всякое векторное состояние яв ляется, очевидно, крайней точкой множества n (H), а любое другое состояние из множества 146 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ n (H) является выпуклой комбинацией двух ортогональных нормальных состояний с ненулевыми коэффициентами. Следовательно, множество n (H) совпадает с замыканием выпуклой оболочки множества p (H) в топологии нормы пространства B (H).

В тоже время, вся совокупность крайних точек может оказаться избыточной для построения вы пуклого компакта с помощью замыкания выпуклой оболочки, что показывает следующий простой пример. Замкнутый единичный круг в пространстве R2 является замыканием выпуклой оболочки счетного множества элементов окружности с рационально соизмеримой с угловой координатой, тогда как множество всех крайних точек образует вся окружность. В случае множества (H) для получения всей совокупности состояний (H) посредством замыкания выпуклой оболочки систе мы крайних элементов в *-слабой топологии достаточно взять лишь систему чистых векторных состояний p (H), как показывает следующая теорема.

Теорема 21.2. (Теорема Голдстайна (см. [41, гл. 5, теорема 5, с. 460])). Пусть — естествен ное вложение банахова пространства B (H) в B (H). Тогда множество S1 (B (H)) всюду плотно в S1 (B (H)) в -слабой топологии пространства B (H).

Следовательно, множество (H) совпадает с замыканием выпуклой оболочки множества p (H) в -слабой топологии пространства B (H) (см. [133, гл. 2, теорема 6]).

Лемма 21.1. Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство. Тогда существует по следовательность нормальных состояний {m } такая, что для каждого состояния (H) найдется мера W0 (N) такая, что (21.4) = k d(k).

N Равенство (21.4) понимается в смысле Петтиса:, A = k, A d(k) A B(H).

N Доказательство. Пусть v есть множество выпуклых комбинаций чистых состояний вида m m j uj, где u1,..., um S1 (H), 1,..., m [0, 1] и j = 1. Через u обозначим мно j=1 j= m жество выпуклых комбинаций попарно ортогональных чистых состояний вида j uj, где j= u1,..., um S1 (H) — некоторая конечная ортонормированная система векторов, 1,..., m [0, 1] m j = 1. Очевидно, что u v. Но поскольку любой элемент v при отождествлении и j= его с ядерным оператором T1 (H) есть положительный самосопряженный оператор конечного ранга с единичным следом, то, в силу спектральной теоремы, u и, следовательно, v = u.

Поскольку пространство H сепарабельно, то существует счетное всюду плотное на единичной сфере S1 (H) подмножество векторов единичной сферы {uj, j N}. Множество c выпуклых u комбинаций векторных состояний uj с рациональными коэффициентами образует счетное под множество множества u.

Множество c плотно в u (H) по норме пространства B. Чтобы обосновать это утверждение, u следует отождествить состояния u (H) с операторами плотности T1 (H) и воспользоваться спектральной теоремой и всюду плотностью множества {uj } на единичной сфере S1 (H). Пусть последовательность {k } задает некоторую нумерацию элементов множества c. Покажем, чтоu эта последовательность является искомой.

Согласно теореме Голдстайна множество (H) совпадает с замыканием в -слабой топологии множества v и, следовательно, множества c. Это утверждение означает, что для любого элемен u та (H), любого конечного набора операторов A1,..., Am B(H) и любого 0 найдется такое непустое подмножество N,A1,...,Am () 2N, что для любого k N,A1,...,Am () выполняются неравенства | k, Aj |, j 1, m и k =. Причем если 0, а A1,..., Ak и Ak+1,..., As — два различных набора операторов, то множество N,A1,...,Ak,Ak+1,...,As, во-первых, непусто в си лу теоремы Голдстайна и, во-вторых, содержится в множествах N,A1,...,Ak и N,Ak+1,...,As. То гда совокупность подмножеств {N,A1,...,Am (), (0, 1), m N, Aj B(H) j 1, m} образует базу некоторого фильтра 0. Пусть ультрафильтр мажорирует фильтр 0. Тогда для меры 21. О СТРУКТУРЕ МНОЖЕСТВА КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ V0 (N) выполнено равенство = k d (k), что доказывает равенство (21.4). Поскольку N для всех k N,A1,...,Am () выполняются неравенство k =, то фильтр является неглавным.

Следовательно, W0 (N) и лемма 21.1 доказана.

Теорема 21.3. Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство. Тогда для всякого со стояния (H) существует такая последовательность единичных векторов {uk } про странства H и такая неотрицательная нормированная мера ba(N), что выполнено ра венство (21.5) = uk d(k), N которое понимается в *-слабом смысле Петтиса.

Доказательство. Пусть {uk } есть последовательность единичных векторов гильбертова простран ства H со всюду плотным множеством значений на сфере S1 (H), и пусть {j } — последователь ность нормальных состояний, существование которой утверждает лемма 21.1.

Для каждого оператора A B(H) по последовательности {uk } равенствами ak = (uk, Auk ), k N, определяется числовая последовательность {ak } = (A) l. Последовательность {j } сопоставляет каждому ограниченному линейному оператору A числовую последовательность {bj } = (A) такую, что bj = j, A. Отображение : B(H) l линейно, непрерывно и изометрично, а отображение : B(H) l линейно, непрерывно, изометрично и инъективно.

Действительно, если ограниченные операторы A1, A2 различны, то найдется единичный вектор пространства H, на котором различаются их квадратичные формы. А в силу определения нормы оператора равенство A B(H) = (A) l справедливо при любом A B(H). Пусть = ()1 — обратный оператор к отображению, заданный на образе Im() оператора в пространстве l.

Тогда отображение линейно, биективно, изометрично и, следовательно, непрерывно.

Согласно лемме 21.1, существует такая мера W0 (N), что (A) = (j, A)d(j) и, следова N тельно, (A) =, (A) в силу определения отображения.

Определим меру m как линейный непрерывный функционал на пространстве l, который на линейном многообразии Im() задается равенством m = как композиция линейных ограниченных отображений. (С линейного многообразия Im() на пространство l он может быть продлен каким-либо образом по теореме Хана—Банаха. Тот факт, что единичная функция 1 входит в многообразие Im() и m(1) = 1, обеспечивает неотрицательность и нормировку любого такого продолжения.) Поэтому если m =, то (j, A)d(j) = rk, A dm, ибо N N (m, A)d(m) =, (A) =, ((A)) = m, (A) = rj, A dm.

(A) = N N Следовательно, для любого (H) найдется мера m V (N) такая, что = rj dm(j).

N Пример 21.1. В конечномерном пространстве H любое состояние (H) является нормаль ным. При этом любое счетное всюду плотное на единичной сфере S1 (H) множество векторов uk, kN удовлетворяет условию теоремы 21.2, ибо всякий вектор u S1 (H) есть предел некоторой последовательности {ukl }. Тогда для всякой меры W0 (N) такой, что ( kl ) = 1, выполнено lN равенство u = lim uk d(k).

N Таким образом, произвольное квантовое состояние r из множества (H) допускает вид разло жения в интеграл (21.5) по векторным состояниям по конечно-аддитивной мере на множестве p (H). Полученное разложение является обобщением на состояния общего вида спектрального разложения и разложения Глаубера—Сударшана (см. [33]) для нормального состояния. Заметим, что состояния вида (21.5) изучались в работах Диксмье по обобщению понятия следа (см. [54]), в работе Шриниваса по постулатам редукции в теории квантовых измерений (см. [161]), а также к указанному виду относятся состояния Кубо—Мартина—Швингера (см. [133, 136]). В указанных 148 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ исследованиях квантовое состояние, не являющееся нормальным, представлено как инвариантное среднее последовательности чистых векторных состояний, т. е. как интеграл вида (21.4) по мере, удовлетворяющей условиям инвариантности относительно группы сдвигов. Мы отказываемся от последнего требования, поскольку ставим цель определить не операцию обобщенного следа (не зависящую от выбора базиса), а некоторое конкретное состояние на B(H) (для которого не все базисы в H равноправны).

Если совокупность векторных состояний под знаком интеграла представляет собой систему попарно ортогональных чистых состояний, то такое разложение будем называть ортогональным.

Мы высказываем гипотезу, что всякое разложение квантового состояния вида (21.5) может быть представлено и как ортогональное разложение.

21.4. Ортогональные разложения. Пусть c (H) есть множество тех квантовых состояний, с которыми коммутируют (в смысле определения 21.1) все проекторы, имеющие общее ортогональ ное разложение единичного оператора в сумму одномерных ортогональных проекторов I = Pek.

k= Лемма 21.2. Элемент принадлежит c (H) тогда и только тогда, когда существуют некоторый ортонормированный базис {ek } в пространстве H и некоторая мера V (N ) такие, что (21.6),{ek } = ek d.

N Доказательство. Пример состояния из множества c (H) предоставляется выбором некоторого ортонормированного базиса {ek } в пространстве H и некоторой меры V (N ). Тогда состоя ние (21.6) коммутирует в смысле определения 21.1 со всеми проекторами, имеющими ортонор мированный базис из собственных векторов {ek }, и следовательно, входит в c (H). Наоборот, если некоторое состояние c (H) коммутирует со всеми проекторами некоторого ортогональ ного разложения единицы I = Pek, то на множестве натуральных чисел N задана мера по k= Pek ) для любого B 2N, принадлежащая V (N). B тогда состояние до формуле (B) = ( kB пускает представление интегралом Петтиса в том смысле, что для любого A B(H) справедливо равенство: (A) = (Aek, ek )d.

N Множество состояний вида (21.6) при всевозможном выборе ортонормированных базисов {ek } пространства H и счетно-аддитивных мер ca(N) V (N) представляет, согласно спектральной теореме и теореме Глизона (см. [130], 24.6), параметризацию множества нормальных состояний n (H). Если же меры пробегают множество мер V (N), то состояния,{ek } пробегают все множество c (H). Вопрос о том, существуют ли в (H) состояния, не представимые в виде (21.6), оставим пока открытым.

Состояния 1, 2 (H) назовем взаимно ортогональными, если существует такой ортогональ ный проектор P B(H), что 1 = P1 P и 2 = P 2 P. Состояния 1, 2 c (H) назовем коммутирующими, если они допускают представление в виде интеграла (21.6) с общим ортонор мированным базисом.

Рассмотрим некоторое состояние (H). Через s() обозначим множество таких чисел [0, 1], для которых найдется ортогональный проектор P() такой, что [, P()] = 0 и (P) =.

Заметим, что {0, 1} s() для любого pba (H) поскольку для любого конечномерного проек тора P0 выполняются равенства: [, P0 ] = 0 и (P0 ) = 0.

Замечание 21.2. Если точка множества (H) является его крайней точкой, то s() = {0, 1}.

Действительно, если некоторое число принадлежит s() (0, 1), то состояние не являет ся крайней точкой (H), а является выпуклой комбинацией взаимно ортогональных состояний 1 P P и (1 )1 P P.

Теорема 21.4. Совокупность крайних точек множества c (H) составляют функционалы вида = Pek d(k), где {ek } — некоторый ортонормированный базис, а V0 (N).

N 21. О СТРУКТУРЕ МНОЖЕСТВА КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ Доказательство. Согласно лемме 21.2, всякий элемент c (H) представим в виде (21.6) с мерой V (N). Если мера является нетривиальной выпуклой комбинацией двух других мер из V (N), то и состояние является нетривиальной выпуклой комбинацией двух других состояний.

Следовательно, условие Extr(V (N)) = V0 (N) необходимо для того, чтобы Extr(c (H)).

Если же функционал c (H) представим в виде (21.6) с мерой V0 (E), то он является крайней точкой множества c (H). Действительно, пусть функционал мажорирует некоторый другой функционал r c (H). Тогда существует число (0, 1) такое, что для любого проектора Q (H) выполняется неравенство (21.7) (Q) r(Q).

N (см. [151]).

Так как V0 (N), то мера принимает лишь два значения {0, 1} на -алгебре Пусть S (1) = {A 2N : (A) = 1} и S (0) = {A 2N : (A) = 0}. Тогда подмножества A S (1) образуют ультрафильтр множества N, а для любого N S (0) выполняется равенство (Q ) = 0, где Q — ортогональный проектор, равный сумме ряда Pek в сильной операторной топологии kN пространства B(H). Поэтому в силу условия (21.7) r(QN ) = 0 для любого N S (0).

Pek с базисом Пусть — множество ортогональных H проекторов, равных сумме ряда kN {ek } из представления (21.6) функционала при всевозможных N S (1). Пусть Q1 и r(Q1 ) = s. Тогда r(Q2 ) = s для любого Q2. Предположим, что r(Q2 ) = s = s. В силу определения множества выполняются равенства (Q1 ) = (Q2 ) = 1 и [Q1, Q2 ] = 0. Поэтому, если Q0 = Q1 Q2, Q12 = Q1 (I Q2 ), Q21 = Q2 (I Q1 ), то (Q0 ) = 1, (Q21 ) = (Q12 ) = 0. Тогда в силу неравенства (21.7) r(Q21 ) = r(Q12 ) = 0, поэтому r(Q1 ) = r(Q2 ) = r(Q0 ) и s = s. А так как I и r(I) = 1, то s = 1.

Тогда функционал r c, мажорируемый оператором, допускает разложение вида (21.6) с тем же базисом {ek }, что и функционал, (т. е. функционалы r и коммутируют друг с другом), и для любого проектора P выполнено равенство r(P) = (P). Поэтому для любого оператора A B(H) и любого проектора P выполнены равенства r(A) = r(PAP) и (A) = (PAP), а оператор PAP уже допускает спектральное разложение по проекторам базиса {ek }. Следователь но, r =.

В следующем утверждении получены необходимые условия включения Extr((H)).

Определение 21.2. Будем говорить, что последовательность {un } векторов пространства H сходится к вектору u0 H по фильтру F в слабой топологии пространства H, если для любого вектора f H числовая последовательность {(f, un )} сходится по фильтру F к числу (f, u0 ), т. е.

для любого f H и любого числа 0 найдется такое множество N F, что для любых k N выполняется условие |(f, uk u0 )|.

Лемма 21.3. Пусть F — ультрафильтр подмножеств множества N. Тогда последова тельность {un } векторов пространства H сходится по ультафильтру F к вектору uF = uk dF (k), где F — мера из класса W0 (N), порожденная фильтром F.

N Доказательство. Действительно, для каждого f H определена зависящая от f величина lF (f ) = uk dF (k). Поскольку мера, порожденная ультрафильтром, является двухзначной и чис N ловая последовательность {(f, uk )} ограничена, то числовая последовательность {(f, un )} сходит ся по фильтру F к числу lF (f ). Функционал lF является, очевидно, линейным ограниченным на пространстве H, и поэтому порожден вектором uF = uk dF (k) H. Следовательно, последова N тельность {un } векторов пространства H сходится по ультафильтру F к вектору uF.

Теорема 21.5. Если состояние Extr((H)) представлено интегралом (21.5), то W0 (N). Если, кроме того, состояние не является нормальным, то последовательность векто ров {uk } сходится слабо к нулю по ультрафильтру.

Доказательство. В силу теоремы 21.3 для каждого состояния имеет место представление со стояния интегралом (21.5). Как и в теореме 21.4, если = vk d(k) есть крайняя точка N совокупности (H), то W0 (N). Пусть {N } — фильтр подмножеств, содержащий носитель.

150 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ B1 (H) случайной величины v на пространстве с Определим среднее значение l = vk d N мерой (N, 2N, ) и ее дисперсию r которая как функционал на множестве B(H) опреде B+ (H), ляется равенством r, A = (vk l, A(vk l))d = (vk, Avk )d(l, Al). Функционал r, очевидно, N N неотрицателен, а норма его равна r(I) = 1 l 2.

H Тогда для произвольного A B(H) справедливо равенство (vk, Avk )d = (vk l, A(vk l))d+ (l, A(vk l))d+ (vk l, Al)d+ (l, Al)d.

(A) = N N N N N (vk l, Al)d = lim (vk l, Al) = 0, имеем С учетом того факта, что k N (A) = r, A + (l, Al).

По условию функционал (H) является крайней точкой, поэтому только одно из двух слагаемых отлично от нуля. При условии, что состояние не является нормальным, отлично от нуля только первое слагаемое. Поэтому l = H, т. е. последовательность {vk } сходится по фильтру множеств {N } к нулевому вектору H пространства H.

22. СВОЙСТВА УСРЕДНЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ МНОЖЕСТВА КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ Введенные в предыдущем разделе функциональные пространства используются для изучения последовательности регуляризованных операторов плотности { (t), E} и динамических по лугрупп {T (t), E}. Множество значений последовательности регуляризованных операторов плотности не является секвенциально компактным, поэтому последовательность не имеет частич ных пределов. Но множество предельных точек последовательности { (t), E, 0} непусто и его описание дано в разделе 17. Там же представлена его параметризация элементами из мно жества W (E) неотрицательных нормированных конечно-аддитивных мер, сосредоточенных в про извольной проколотой окрестности предельной точки множества параметров. Последовательность { (t), E} рассматривается как случайный процесс со значениями в пространстве кванто вых состояний (H) на измеримом пространстве (E, 2E ) с конечно-аддитивной мерой W (E).

Здесь E = (0, 1) — множество параметров регуляризации, 2E — алгебра всех его подмножеств, W (E). Предельные свойства последовательности { (t), E} характеризуют математиче ское ожидание указанных случайных процессов. Математическое ожидание рассматриваемых про цессов определяется как интеграл Петтиса по конечно-аддитивной мере. Изучены динамические свойства семейства T (t), t 0, усредненных динамических преобразований — математических ожиданий процессов со значениями во множестве квантовых динамических полугрупп. Установ лено отсутствие полугруппового свойства семейства усредненных динамических преобразований и определены области инъективности и сюръективности усредненного динамического преобразо вания. Изучается свойство наблюдаемости процесса — возможность определения процесса по со вокупности значений некоторого семейства функционалов. Установлена возможность определить процесс { (t), E} по его математическому ожиданию в два различных момента времени и предложена процедура аппроксимации неизвестного начального состояния решениями конечного множества вариационных задач.

22.1. Обратимость семейства усредненных динамических преобразований T (t), t 0. Вы берем некоторую меру W (E) и рассмотрим математическое ожидание (t, 0 ) процесса (t, 0 ), E, на пространстве с мерой (E, 2E, ) (см. пункт 4.4)), а также связанное с ним однопараметрическое семейство линейных преобразований пространства B (H) T, t 0, t T 0 (t, действующих по правилу = 0 ).

t Очевидно, что при каждом t 0 множество квантовых состояний (H) инвариантно относи тельно преобразования T. Поставим следующие вопросы.

t 1). Является ли отображение T инъективным преобразованием множества (H)?

t 22. СВОЙСТВА УСРЕДНЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ МНОЖЕСТВА КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ 2). Как определить состояние 0 по известным значениям функционала (t, 0 ) на пространстве B(H)?

Напомним, что L — максимальный симметрический оператор с индексами дефекта (n, n+ ) = 0 имеет место разложение H = H0 (t) H1 (t), где H0 (t) = (0, m), m = 0, и при каждом t Im(UL (t)) и H1 (t) = Ker(U)L (t)) (см. пункт 1.1.3 и теорему 1.2).

Фиксируем некоторое число t 0. Тогда для любого u0 H0 (t) последовательность регуля ризованных решений u (t), E, сходится при 0 в пространстве C([0, T ], H) к функции u(t) = UL (t) u0. Поэтому для любой меры W (E) и любого оператора A B(H0 (t)) справед ливо равенство (t, 0 ), A = (u(t), Au(t)).

22.2. Обращение усредненного преобразования на подпространстве H0 (t). Определение вектора u0 из подпространства H0 (t). Укажем алгоритм определения начального состояния по средством решения вариационных задач. При заданных t 0 и (H) определим на единичной сфере S1 (H0 (t)) функционал t, (v) =, PUL (t)v, v S1 (H0 (t)). (22.1) Здесь и далее через Pw обозначается одномерный ортогональный проектор на вектор w.

Пусть {ek } — некоторый ортонормированный базис в пространстве H0 (t) и H0m (t) — линейное подпространство пространства H0 (t), натянутое на первые m базисных векторов. Тогда для каж дого m N через m,t, будем обозначать сужение функционала t, на m-мерную единичную сферу S1 (Hm (t)).

Теорема 22.1. Пусть t 0 и u0 H0 (t). Тогда справедливы следующие утверждения.

1). Для любого W (E) выполняется равенство:

(t, u0 ) t, sup (v) = 1.

vS1 (H0 (t)) 2). Для любого m N функционал m, (t,u0 ) достигает максимума в некоторой точке сферы S1 (H0m (t)).

3). Если при каждом m N вектор vm S1 (Hm ) является точкой максимума функционала m, (t,u0 ), то тогда последовательность {vm } компактна в пространстве H и любой ее частичный предел принадлежит множеству Cu0 = {u0, || = 1}.

Доказательство. Действительно, пусть W (E) и пусть система векторов {vk, k N} есть ор тонормированный базис в сепарабельном гильбертовом пространстве H0 (t), wk = UL (t) vk, а Pk есть ортогональный проектор на вектор wk. Поскольку U (t) есть изометрическое отображение L пространства H0 (t), то для любого k N выполнено равенство (t, u0 ) (wk ) = (t, u0 ), Pk = (u(t), Pk u(t)) = |(UL (t) vk, UL (t) u0 )|2 = |(u0, vk )|2. (22.2) t, (t, u0 ), Pk = 1.

Тогда согласно равенству Парсеваля k= Следовательно, для любого вектора w S1 (H0m (t)) при некотором m N справедли во равенство t, (t,u0 ) (wk ) = |(u0, UL (t)w)|2. Поэтому при каждом m N функционал (t, u0 ) достигает максимального значения на единичном векторе g, коллинеарном проекции m,t, m u0m PH0m (t) u0 вектора u0 на подпространство H0m (t), и, следовательно, справедливо утвержде ние 2).

Следовательно, любая последовательность {vm } точек максимума функционалов m,t, (t,u0 ) u0m eim, m N, где m [0, 2] при любом m N. Так как u0 m u0 при имеет вид vm = u0m m и последовательность {m } компактна, то справедливы утверждение 1) и утверждение 3).

Для определения вектора состояния u0 H0 (t) с заданной точностью 0 достаточно знать значения функционала (t, u0 ) на множестве 1 (H0 (t)), где 1 (H0 (t)) есть совокупность ор тогональных проекторов на единичные векторы пространства H0 (t), а — некоторый элемент множества W (E). Более того, для определения начального состояния u0 с заданной точностью 152 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ 0 достаточно провести измерения значений конечного множества функционалов и решить одну вариационную задачу минимизации непрерывного функционала на конечномерном компакте.

Следствие 22.1. Пусть t 0, u0 H0 (t) и 0. Тогда найдется такое число M N, что при любом выборе меры W (E) точка максимума функционала M,t, (t,u0 ) лежит в -окрестности точки u0.

Доказательство. Действительно, согласно равенству (22.2) последовательность значений k (t, u0 ), Pk = |(u0, vk )|2, k N, является последовательностью квадратов модулей коэффициентов Фурье вектора u0 по ортонор мированному базису {vk }. Тогда согласно равенству Парсеваля k = 1.

k= m Определим значения k, k 1,..., m, для такого m N, что 1. Пусть k k= есть конечная -сеть единичной сферы в m-мерном пространстве, натяну S1 (w1,..., wm ) том на векторы w1,..., wm. Элемент сети w S1 (w1,..., wm ), на котором достигает макси мального значения функция (t, u0 ), Pw, обеспечивает оценку u(t) w H, поэтому u0 UL (t)w H. Таким образом, найден вектор w S1 1 (w,..., w ) такой, что вектор m UL (t)w приближает вектор u0 по норме с точностью до.

22.3. Обращение усредненного преобразования на подпространстве H1 (t). Определение вектора u0 из подпространства H1 (t). Пусть система векторов {ek, k N} есть ортонорми рованный базис в сепарабельном гильбертовом пространстве H1 (t), далее обозначаемом через H 1.

Фиксируем некоторое число 0. Пусть 1 E и f 1 = U1 (t)e1. Поскольку lim (f1, U (t)e1 ) = 0, то существует 2 (0, 1 ) такое, что |(f 1, f 2 )| 23, где f 2 = U2 (t)e1. Пусть определены числа 1,..., n такие, что 0 n... 1 и для любых i, j 1, n, j = i, выполняет 2(i+j) (здесь f j = Uj (t)e1 ). В силу слабой сходимости к нулю ся неравенство |(f i, f j )| вектор-функции U (t)e1, E, при 0, найдется такое число n+1 (0, n ), что неравенство |(f i, f n+1 )| 2(i+n+1) (где f n+1 = Un+1 (t)e1 ) выполняется для всех i 1, n. Согласно принципу математической индукции справедливо следующее утверждение.

Лемма 22.1. Для любого числа 0 существует положительная бесконечно малая по следовательность {n } такая, что последовательность векторов {fn }, где f n = Un (t)e1, n N, образует нормированную систему векторов в пространстве H, квадратично близкую к ортогональной и удовлетворяющую оценке |(f i, f j )| 22(i+j) для всех i = j.

Пусть система векторов {gk }, k N, получена из системы векторов {fk } с помощью стандартной процедуры ортогонализации. Тогда {gk } — ортонормированная система, и для любого k N вы 2k. Определим ортогональный проектор P1 как сумму в сильной полняется оценка gk fk операторной топологии пространства B (H) операторного ряда Pgk, где Pgk — ортогональный k= проектор на вектор gk.

Следствие 22.2. Пусть выполнены условия леммы 22.1 и W (E) — мера с носителем на множестве k. Тогда k= (t, e1 ), P1 ) = (U (t)e1, P1 U (t)e1 ) 1 2.

E Действительно, для любого k N выполнено неравенство (Uk (t)e1, P1 Uk (t)e1 ) |(Uk (t)e1, gk )|2 = |(fk, gk )|2 1 22k 2.

22. СВОЙСТВА УСРЕДНЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ МНОЖЕСТВА КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ Лемма 22.2. Пусть {en } — ортонормированный базис в гильбертовом пространстве H 1 и {k } — бесконечно малая последовательность положительных чисел. Тогда для любого числа m N найдется такая подпоследовательность {m } последовательности {k }, что выполня i ются следующие утверждения:

1). для всех k, l 1, m и любых i, j N, i = j, выполнено неравенство |(ULm (t)ek, ULm (t)el )| 2(i+j+m) ;

(22.3) i j 2). для каждого l {1, m} последовательность {l } является подпоследовательностью i {l1 }, где 0 = i, i N.

i i Доказательство. Пусть {k } — некоторая монотонно убывающая последовательность чисел мно жества E и E0 = k.

kN Докажем утверждение леммы с помощью двукратного применения метода математической ин дукции.

1. Пусть m = 1. Выберем 1 = 1 и положим f1 = Um1 (t)e1. Поскольку для любо 1 го вектора x H1 (t) слабый предел при 0 обобщенной последовательности векторов {U (t)x, E, 0} равен нулю, то выполняется равенство lim (f1, U (t)e1 ) = 0. Следователь но, существует 1 (0, 1 ) такое, что |(f1, f1 )| 24, где f1 = U1 (t)e1. Пусть определены числа 12 2 1 1,..., 1 такие, что 0 1... 1 и для любого набора чисел i, j 1, n, j = i, выполня 1 n n ется неравенство |(f1, f1 )| 2(i+j+1) (здесь f1 = U1 (t)e1 ). В силу слабой сходимости к нулю j j i j вектор-функций U (t)e1, E, при 0, найдется такое число n+1 (0, n ), что неравенство 2(i+n+1+1) (где f |(f1, f1 )| = U1 (t)e1 ) выполняется для всех i 1, n. Согласно прин n+1 n+ i n+ ципу математической индукции справедливо следующее утверждение: существует подпоследова тельность {e1 } последовательности {en } такая, что совокупность векторов {f1 = U1 (t)e1, n N}, n n n образует нормированную систему, квадратично близкую к ортогональной в том смысле, что |(f1, f1 )| 21ji для любых i, j N, i = j. Следовательно, утверждение леммы 22.2 верно j i при m = 1.

2. Фиксируем некоторое число m N. Предположим, что существует такая подпоследователь ность {m } последовательности {k }, что выполнены утверждения:

k 1). для всех k, l 1, m и любых i, j N, i = j, выполнено неравенство |(ULm (t)ek, ULm (t)el )| 2(i+j+m) ;

i j 2). для каждого q {1, m} последовательность {q } является подпоследовательностью {q1 }, i i где 0 = i, i N.

i 3. Тогда также, как и в пункте 1, методом математической индукции доказывается, что после довательность m имеет подпоследовательность {em+1 } такую, что выполнены утверждения:

k k 1). для всех k, l 1, m + 1 и любых i, j N, i = j, выполнено неравенство (t)el )| 2(i+j+m+1) ;

|(UL (t)ek, UL m+1 m+ i j 2). для каждого q {1, m + 1} последовательность {q } является подпоследовательностью i {q1 }, где 0 = i, i N.

i i Тогда в силу принципа математической индукции справедливо утверждение леммы 22.2.

Обозначим через Hm линейную оболочку первых m базисных векторов e1,..., em.

Следствие 22.3. Пусть w1,..., wp — ортонормированная система векторов в простран стве Hm. Тогда система векторов hk (m) = ULm (t)wl, l 1, p, k N, является квадратично l k близкой к ортонормированной в том смысле, что |(hk (m), hj (m))| 2mkj, s l при всех l, k, s, j таких, что (l s)2 + (k j)2 = 0.

154 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Пусть выбран базис {ek } пространства H 1 и {k } — бесконечно малая последовательность по ложительных чисел. Тогда каждому фиксированному числу m N соответствует такая подпосле довательность {m } последовательности {k }, что выполнены утверждения леммы 22.2. Положим k m при каждом m N. Тогда {Em } есть последовательность вложенных счетных мно Em = k k= жеств, каждое из которых имеет единственную предельную точку 0.

Теорема 22.2. Пусть в пространстве H 1 выбран некоторый базис {ek } и выбрана некото рая бесконечно малая последовательность положительных чисел {k }. Пусть t 0 и счетное (m) семейство подпоследовательностей {k }, m N, удовлетворяет условиям леммы 22.2. Тогда существует мера W (E) такая, что для любого m N выполнено равенство (Em ) = 1, (m) где Em = k.

kN Доказательство. Определим функцию множества G на следующей совокупности S подмножеств множества E. Положим G = 0 на конечных множествах и G = 1 на их дополнениях;

G = 1 на всех множествах Em и G = 0 на их дополнениях. Тогда функционал g определен на совокупности харак теристических функций указанных подмножеств по следующему правилу: g(A ) = G(A), A S.

Обозначим через L(S) линейную оболочку совокупности функций из S. Тогда L(S) есть ли нейное подпространство банахова пространства B(E) ограниченных функций на множестве E с sup-нормой, а g есть линейный функционал на линейном подпространстве L(S), ограниченный единицей по норме. По теореме Хана—Банаха функционал g допускает продолжение на все пространство B(E) с сохранением нормы. Тогда B (E), — неотрицательный линейный функ ционал с единичной нормой на банаховом пространстве B(E), причем (Em ) = 1 при любом m N. Поэтому сужение функционала на алгебру характеристических функций множеств из 2E является неотрицательной нормированной конечно-аддитивной мерой на измеримом простран стве (E, 2E ), причем (Em ) = 1 при любом m N. Тогда мера принадлежит классу W (E), поскольку мера дополнения любой окрестности предельной точки = 0 равна нулю.

Через M(E) в дальнейшем будем обозначать совокупность тех мер из множества W (E), суще ствование которых устанавливает теорема 22.2. Для дальнейших исследований выберем и фикси руем меру M(E).

Фиксируем некоторое число m N. Согласно лемме 22.2, существует такая бесконечно малая последовательность {m }, что система векторов flk (m) = ULm (t)el, l 1, m, k N, является k k квадратично близкой к ортонормированной в том смысле, что |(flk (m), fs (m))| 2mkj, j (22.4) s)2 j) при всех l, k, s, j таких, что (l + (k = 0.

Пусть система векторов {glk (m)}, l 1, m, k N, получена из системы векторов {flk (m)} с помощью стандартной процедуры ортогонализации. Тогда {glk (m)} — ортонормированная система 2km. Определим ортогональный и для любого k N выполняется оценка glk (m) flk (m) проектор Pl (m) как предел в сильной операторной топологии пространства B(H) последователь Pgk (m) (здесь Pgk (m) — ортогональный проектор на ности частичных сумм операторного ряда l l k= glk (m)).

вектор Тогда операторный ряд Ql (m) = Pf k (m) (22.5) l k= также сходится в сильной операторной топологии, причем для любого вектора v H выполнена 2m v.

оценка (Pl (m) Ql (m))v m при каждом m N.

Носитель меры согласно теореме 22.2 принадлежит множеству k k= Тогда для любого l 1, m справедлива оценка 1 4m, (t, el ), Pl (m) = (U (t)el, Pl (m)U (t)el )d E 22. СВОЙСТВА УСРЕДНЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ МНОЖЕСТВА КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ поскольку для любого n N выполнено неравенство |(Um (t)el, gln (m))|2 1 4m.

(Um (t)el, Pl (m)Um (t)el ) n n n Аналогично, для любых l, i 1, m, i = l, справедливы соотношения |(gi (m), flk (m))| j (t, el ), P (m) = (U (t)el, P (m)U (t)el )d i i k=1 j= E 22(k+j+m) = 4m.

j=1 k= Теорема 22.3. Пусть W (E) — мера, существование которой установлено в теоре ме 22.2. Если u01, u02 H и u01 = u02, то для любого t 0 существует ортогональный проектор P B(H) такой, что (tu01 ), P = (t, u02 ), P.

Доказательство. Пусть v есть составляющая вектора u02, ортогональная вектору u01 и = v H.

Выберем некоторое число 0. Для каждого m N обозначим через um1 и um2 проекции векторов u01 и u02 на подпространство Hm и через vm составляющую вектора um2, ортогональ ную вектору um1. Тогда найдется такое число m N, что 2m и справедливы неравенства vm (1 ), u01 um1 H и u02 um2 H. Для подпоследовательности {m } последо k вательности {n } выполняется условие: система векторов {fk (m), gk (m)}, где fk (m) = ULm (t)um k и gk (m) = ULm (t) vm, является квадратично близкой к ортонормированной в смысле нера vm k венства (22.3). Согласно свойствам меры ее носитель лежит на множестве значений последова тельности {m }. Пусть Q(m) — ортогональный проектор, являющийся суммой операторного ряда k Pgk (m) в сильной операторной топологии. Тогда согласно лемме 22.2, (t, u01 ), Q(m) и k= ((1 ) )2. Поскольку число 0 может быть выбрано произвольно, то u02, Q(m) (t, u01 ), P) u02 ), P.


(t, (t, = Лемма 22.3. Пусть 0 n (H 1 ) — оператор плотности. Тогда T (t)u0, Qv (m) d 0 (v) = 0, (22.6) lim sup m vH, v = m E где для каждого v Hm оператор Qv (m) определен сходящимся в сильной операторной топо логии подобно ряду (22.5) рядом Qv (m) = PUm (t)v. (22.7) k k= Доказательство. Выберем некоторое число 0. Рассмотрим сначала случай, когда квантовое состояние является чистым: 0 = u0. Тогда найдется такое число M N, что 2M и, где uM = PHM u0 и rM = uM u0.

rM 0 Заметим, что если m M и единичный вектор v лежит в пространстве Hm, то оператор Qv (m) определен сходящимся в сильной операторной топологии рядом (22.7) и его норма допускает оцен ку Qv (m) B(H) 1 + 2m. Следовательно, для любого единичного вектора v Hm справедливо неравенство (1 + 2m ).

T (t)(u0 uM ), Qv (m) d 4 E 156 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Поскольку носитель меры принадлежит множеству Em при произвольном m, то для всех m M справедливо равенство T (t)uM, Qv (m) d = (UL (t)uM, Qv (m)UL (t)uM )d.

0 E Em M операторный ряд Qv (m) сходится в сильной операторной топологии, Так как при любом m то |(UL (t)uM, ULm (t)v)|2 d.

(UL (t)uM, Qv (m)UL (t)uM )d = 0 0 k k= Em Em Для последовательности {m } выполняется условие (5.1.2). Следовательно, k |(UL (t)uM, ULm (t)v)|2 d |(uM, v)|2 22(M +k+j) 22M.

0 k k=1 k,j= EM M и любых v Hm, v = 1, Таким образом, в случае, когда состояние 0 чистое, для всех m справедлива оценка T (t)u0, Qv (m) d 0 (v) (22.8), E из которой в силу произвольности числа 0 следует равенство (22.6).

Если квантовое состояние 0 является выпуклой комбинацией конечной совокупности ортого нальных проекторов, то доказанное неравенство справедливо для каждой из компонент выпуклой комбинации и поэтому — для самой выпуклой комбинации. Произвольное же нормальное кванто вое состояние 0 можно приблизить с точностью до в следовой норме выпуклой комбинаци ей конечной совокупности ортогональных проекторов. Следовательно, оценка (22.8) и равенство (22.6) имеют место для произвольного нормального состояния 0.

Пользуясь попарной почти ортогональностью в смысле (22.3) членов ряда (22.5), можно пока зать, что справедлива следующая лемма.

Лемма 22.4. Для любого m N функция Qv (m), v S1 (H1 (t)), является непрерывным m m (t)) в банахово пространство B(H) (напомним, что отображением m-мерной сферы S1 (H S1 (H) есть единичная сфера в пространстве H).

Доказательство. Действительно, пусть u, v S1 (H1 (t)) и S1 (H). Положим Um (t) H1 (t) = m m j m m H1+j (t). Согласно лемме 22.2, подпространства H1+j (t), j = 0, 1, 2,..., почти ортогональны, и для любого вектора x H1+j (t) справедлива оценка j x H 2mj+1 x H, где H — ортогональный m проектор на линейную оболочку подпространств H1+k (t) при всех k {0 N\{j}}. Через Pm m j обозначим ортогональные проекторы на подпространства H1+j (t) и положим j = Pm. Тогда m m j 2 2 (1 + 2m+2 ).

m j H H j= Оценим норму вектора (Qv (m) Qu (m)) = (PUm (t)v PUm (t)u ) = (PUm (t)v PUm (t)u )k.

m k k k k k=1 k= Поскольку Pu Pv 2 uv H, то тогда B(H) 2 + 2m+2 ) (Qv (m) Qu (m)) (PUm (t)v PUm (t)u )k m H ( H k k k= + 2m+2 ) 4(1 + 2m+2 )2 u v 2 4 vu m H (1 k H.

H H k= 22. СВОЙСТВА УСРЕДНЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ МНОЖЕСТВА КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ Следовательно, справедливо утверждение леммы 22.4.

Теорема 22.4. Пусть 0 n (H 1 ) — оператор плотности, и (t, 0 ) = T (t)0 d. Состо E яние 0 является чистым тогда и только тогда, когда (t, 0 ), Qv (m) d = 1. (22.9) lim sup m vH, v = m Доказательство. Пусть состояние 0 является чистым: 0 = u0, u0 H 1. Тогда соглас но лемме 22.3 для любого 0 найдется число m0 N такое, что для всех m m | T (t)u0, Qv (m) d 0 (v)|. Следовательно, sup vHm, v =1 E (t, 0 ), Qv (m) d sup sup (v) v =1 vHm, v = vHm, при всех m m0, что и означает выполнение равенства (22.9).

Докажем, что из равенства (22.9) следует, что состояние 0 чистое. Предположим противное, что состояние 0 не является чистым и поэтому sup 0, Pv = 1.

v = v:

Согласно лемме 22.3, для любого 0 найдется такое число m0 () N, что для всех m m0 (), выполнено неравенство T (t)0, Qv (m) d 0, Pv +.

sup sup vHm : v =1 vHm : v = E Следовательно, найдется число 0 = 0 такое, что для любого m m0 (0 ) выполнено T (t)0, Qv (m) d 1 0. Это противоречит условию (22.9), следова неравенство sup v =1 E vHm, 0, Pv = 1, и состояние 0 является чистым.

тельно, sup v = v:

Следствие 22.4. Если выполнены условия теоремы 22.3, то отображение T множества t чистых состояний p (H 1 ) в линейное пространство B(H) инъективно. Элементы образа множества p (H 1 ) при отображении T определяются условием (22.9).

t Далее мы покажем, что образом крайней точки множества n (H 1 ) является крайняя точка образа множества n (H 1 ) при отображении T (t). И, наоборот, что каждая крайняя точка образа T (t)n (H 1 ) является образом некоторой крайней точки множества n (H 1 ).

Лемма 22.5. Пусть 0 = u0 — чистое состояние из p (H 1 ), а последовательность {vj } удовлетворяет равенству sup (t, 0 ), Qv (m) = (t, 0 ), Qvm (m). Тогда последователь vS 1 (Hm ) ность единичных векторов {vj } компактна в H и ее частичные пределы лежат на пересечении единичной сферы S 1 (H) с линейным многообразием span (u0 ).

Доказательство. Предположим противное: пусть найдется такое 0, что для каждого нату рального n вне -окрестности множества span (u0 ) лежит значение некоторого элемента после довательности {vj } с номером j n. Поэтому существует подпоследовательность {vNk } после довательности {vN } такая, что при каждом k N норма проекции элемента vNk на линейное подпространство, ортогональное вектору u0, не меньше.

1 2. Следовательно, соглас Поэтому для любого k N справедливо неравенство 0, PvNk 1 2 + k, где k — некоторая бесконечно малая последователь но (22.6), (t, u0 ), QvNk (Nk ) 1 2. Полученное противоречие доказывает ность. Следовательно, lim (t, u0 ), QvNk (Nk ) k справедливость утверждения леммы 22.5.

u0, Pv = 1, супремум достигается на элементах span (u0 ) S 1 (H), и для Заметим, что sup vS 1 (H) любого элемента w H span (u0 ) выполнено равенство (u0 u0, w) = 0.

158 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Следствие 22.5. Пусть 0 = u0 — чистое состояние и {vN } — последовательность единич ных векторов из подпространств HN, которая имеет предел v0, не лежащий в подпростран стве span (u0 ). Тогда справедливо неравенство lim (t, u0 ), QvN (N ) 1.

j Аналогично лемме 22.5 доказывается следующее утверждение.

Следствие 22.6. Пусть 0 — нормальное состояние, а последовательность {vj } удовлетво ряет равенству sup (t, 0 ), Qv (m) = (t, 0 ), Qvm (m). Тогда последовательность еди vS 1 (Hm ) ничных векторов {vj } компактна в H.

Теорема 22.5. Пусть — мера, существование которой установлено теоремой 22.2. Тогда отображение T обладает следующими свойствами.

t 1). Отображение T определено на пространстве B (H), линейно и непрерывно, причем t множество квантовых состояний (H) отображается им в себя.

2). Образом выпуклого множества (H 1 ) пространства B (H) при отображении T яв t ляется выпуклое множество T ((H 1 )) пространства B(H). Множество образов t крайних точек множества n (H 1 ) совпадает с множеством крайних точек образа T (n (H 1 )):

t T (Extr(n (H 1 ))) = Extr(T (n (H 1 ))). (22.10) t t Существует обратное к T отображение множества крайних точек Extr(Tt (n (H 1 ))) t t на множество крайних точек Extr(n (H 1 )).

3). Отображение Tn (t) есть взаимно однозначное отображение выпуклого множества 1 ) на выпуклое множество T ( (H 1 )).

n (H n t Доказательство. 1. Первое свойство отображения Tt установлено в лемме 18.1 для любых мер W (E). Из линейности отображения T следует свойство сохранения им выпуклых комбина t ций. Сохранение неотрицательности и нормы неотрицательного элемента B (H) при отображе нии T (t) очевидны.

2. Рассмотрим множество нормальных квантовых состояний n (H 1 ) и его образ Tt (n (H 1 )).

Из линейности отображения Tt следует, что если некоторая точка a множества n (H 1 ) есть выпуклая комбинация двух других точек b, c этого множества и отображение Tt переводит точ ки a, b, c соответственно в точки A, B, C Tt (n (H 1 )), то тогда точка A есть выпуклая ком бинация точек B и C. Поэтому множество Extr(Tt (n (H 1 ))) является подмножеством множе ства Tt (Extr(n (H 1 ))).

Докажем, что и Tt (Extr(n (H 1 ))) Extr(Tt (n (H 1 ))).

Множество крайних точек совокупности нормальных квантовых состояний Extr(n (H 1 )) со ставляет совокупность чистых квантовых состояний p (H 1 ). Образом крайней точки u0 p (H 1 ) при отображении T становится, согласно теореме 22.4, точка r множества Tt (p (H 1 )), удовле t творяющая равенству lim sup (r, Qe (N )) = 1.

N eS1 (N ) r Tt (n (H 1 )) sup (r, Qe (N )) = 1, то этот Докажем, что если удовлетворяет равенству lim N eS1 (N ) Extr(Tt (n (H 1 ))).

функционал принадлежит множеству крайних точек Действительно, предположим, что точка r является выпуклой линейной комбинацией точек r1, r2 Extr(T (n (H 1 ))) Tt (n (H 1 )), являющихся образами точек 1, 2 n (H 1 ), т. е. r = t r1 + (1 )r2 при некотором (0, 1). Так как для любого r T (n (H 1 )) выполняется t sup r, Q (N ) неравенство lim 1, то в силу нашего предположения получим N eS1 (H ) N r1, Qe (N ) + (1 ) lim r2, Qe (N ), 1 = lim sup sup N eS1 (H ) N eS1 (H ) N N ri, Qe (N ) = 1 для всех i {1, 2}. Следователь и поэтому справедливы равенства lim sup N eS1 (H ) N но, состояния 1, 2 являются чистыми — ортогональными проекторами на некоторые единичные векторы u1, u2 пространства H 1. Тогда r = r1 + (1 )r2 = St (1 + (1 )2 ). Согласно след sup r, Qe (N ) = 1 возможно только при выполнении одного из ствию 22.5, равенство lim N eS1 (H ) N 23. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ПО ЕГО ЗНАЧЕНИЮ В ДВА МОМЕНТА ВРЕМЕНИ трех условий: = 0, = 1 или 1 = 2. Таким образом, T (Extr(n (H 1 ))) Extr(T (n (H 1 ))), t t и это завершает доказательство равенства (22.10). Взаимная однозначность отображения Tt |p (H 1 ) установлена в теореме 22.3.


3. Согласно пункту 2) доказываемой теоремы, отображение Tt взаимно однозначно отобра жает множество p (H 1 ) на множество Tt (p (H 1 )) t (H 1 ), определено на линейной оболоч p ке элементов p (H 1 ) и сохраняет выпуклые комбинации. Поэтому если состояние n (H 1 ) есть выпуклая комбинация элементов p (H 1 ) с некоторыми коэффициентами, то его образ Tt () есть выпуклая комбинация элементов Tt (n (H 1 )) с теми же коэффициентами. И, наоборот, ес ли состояние r Tt (n (H 1 )) есть выпуклая комбинация элементов r1,..., rm Tt (p (H 1 )) с некоторыми коэффициентами, то состояние r является образом выпуклой комбинации элемен тов (Tt )1 (r1 ),..., (Tt )1 (rm ) p (H 1 ) с теми же коэффициентами. Следовательно, справедливо утверждение 3).

22.4. Продолжение усредненных преобразований на множество квантовых состояний. В исследованиях теоремы 22.5 семейство усредненных динамических преобразований T (t), t 0, множества (H) рассматривалось в предположении, что начальное состояние 0 принадлежит множеству нормальных состояний n (H). Считая отображения T (t), t 0, заданными на множе стве векторных состояний p (H), определим продолжение операторов эволюции T (t), t 0, на множество (H), аппроксимируя произвольные квантовые состояния выпуклыми комбинациями крайних точек.

Теорема 22.6. Преобразование T (t) сохраняет сходимость последовательности точек в -слабой топологии пространства B (H), т. е. если последовательность состояний {n } схо к состоянию в -слабой топологии пространства B (H), дится по некоторому фильтру то тогда последовательность состояний {T (t)n } также сходится к состоянию T (t) по фильтру.

Доказательство. С отображением T (t) B(B (H)) свяжем предсопряженное отображение T (t) B(B(H)), определяемое системой равенств:

r, T (t)A = T (t)r, A r B (H) = T1 (H), A B(H).

При каждом A B(H) приведенная выше система равенств определяет на банаховом пространстве ядерных операторов T1 (H) линейный непрерывный функционал, т. е. корректно определен образ T (t)A оператора A при отображении T (t). Поскольку отображение T (t) не увеличивает норму образа, то этим же свойством обладает и отображение T (t). Следовательно, если последователь ность {0n } n (H) сходится к элементу 0 (H) в -слабой операторной топологии по фильтру 2N, для каждого 0 и любого конечного набора операторов A1,..., Am B(H) найдется такой элемент N,A1,...,Am, что | 0 k, Aj | для любых k N,A1,...,Am и j 1,..., m.

Поэтому последовательность {T (t)0n } сходится к элементу T (t)0 (H) в -слабой опера торной топологии по тому же фильтру подмножеств. Ибо условие | T (t)0n T (t)0, A | для любого A {A1,..., Am } при всех n N,A1,...,Am вытекает из условия | 0n 0, A | для любого A {T (t)A1,..., T (t)Am } при всех n N,T (t)A1,...,T (t)Am, которое, в свою очередь, следует из сходимости последовательности 0n к элементу 0 по фильтру.

Следовательно, если усредненное динамическое преобразование T (t) определено на множестве p (H), то оно однозначно продолжается на множество n (H) по непрерывности в топологии T1 (H) и на множество (H) по непрерывности в -слабой топологии пространства B (H). Для опреде ления действия отображения T (t) на произвольное состояние (H) достаточно рассмотреть сужение T (t)|p (H) и представить состояние интегралом (21.5).

23. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ПО ЕГО ЗНАЧЕНИЮ В ДВА МОМЕНТА ВРЕМЕНИ ПОСРЕДСТВОМ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ 23.1. Определение вектора u0 из пространства H. Хотя отображение T (t) проявляет свой ство обратимости на подпространствах p (H0 (t)) и p (H1 (t)), тем не менее, как устанавливает теорема 23.1, оно не является обратимым на всем пространстве начальных данных p (H).

160 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Наша задача такова: по среднему значению процесса (t) при t 0 определить его начальное состояние u0 и, следовательно, весь процесс (t, u0 ) как однопараметрическое семейство отобра жений измеримого пространства с мерой (E, 2E, ) в измеримое пространство (B (H), CylB (H)).

Для этого мы рассмотрим линейные и квадратичные функционалы, определенные на множестве значений процесса u (t, u0 ) в момент времени t 0.

23.2. Определение начального состояния по значениям функционалов на усредненных траекториях. Линейные функционалы от процесса u (t, u0 ) в момент времени t 0 определя ются векторами v H по правилу (23.1) fv (u (t, u0 )) = (u (t, u0 ), v)d.

E Тогда при условии, что u0 H1 (t), случайный процесс u (t, u0 ) в момент времени t 0 имеет только нулевые первые моменты — для всех векторов v H значения линейных функционалов fv на процессе u (t, u0 ) обращаются в нуль.

Если же начальный вектор u0 принадлежит подпространству H0 (t), то при любом векторе v H линейный функционал fv принимает в момент времени t 0 на процессе u (t, u0 ) значение (u0, UL (t)v) = (u (t, u0 ), v) (см. (22.2)).

Квадратичные функционалы от процесса u (t, u0 ) в момент времени t 0 определяются огра ниченными операторами A B(H) по правилу (u (t, u0 ), Au (t, u0 ))d. (23.2) fA (u (t, u0 )) = E Если начальный вектор u0 принадлежит подпространству H0 (t), то для любого оператора A B(H) линейный функционал fA принимает в момент времени t 0 на процессе u (t, u0 ) значение (u (t, u0 ), Au (t, u0 )).

Пусть вектор u0 принадлежит пространству H1 (t). Тогда, согласно (22.3), для операторов Qv (m), v S1 (H1 (t)), m N, справедливы соотношения: fQv (m) (u (t, u0 )) (|(u0, v)|2 2(m1), |(u0, v)|2 + 2(m1) ).

Если вектор u0 есть линейная комбинация u00 (t) + u01 (t) векторов из подпространств H0 (t) и H1 (t) соответственно, а оператор A принадлежит B(H), то значение функционала fA на процессе u (t, u0 ) есть (u (t, u0 ), Au(t,u0 ) )d = fA (u (t, u0 )) = E (u (t, u00 ), Au (t, u00 ))d + (u (t, u01 ), Au (t, u01 ))d + = E E (u (t, u01 ), Au (t, u00 ))d. (23.3) + 2Re E Заметим, что предел Au (t, u00 ) при 0 существует и равен AUL (t) u00 : lim Au (t, u00 ) AUL (t) u00. Поэтому, в силу слабой в пространстве H сходимости к нулю последовательности векторов {u (t, u01 ), E, 0} справедливо равенство lim (u (t, u01 ), Au (t, u00 )) = 0. Следова тельно, (u (t, u01 ), Au (t, u00 ))d = 0. (23.4) E 23. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ПО ЕГО ЗНАЧЕНИЮ В ДВА МОМЕНТА ВРЕМЕНИ Поэтому значение функционала fA на процессе u (t, u0 ) в момент времени t равно (u (t, u0 ), Au(t,u0 ) )d = fA (u (t, u0 )) = E (u (t, u00 ), Au (t, u00 ))d + (u (t, u01 ), Au (t, u01 ))d. (23.5) = E E Таким образом, получено следующее утверждение.

Теорема 23.1. Пусть t 0 и вектор состояния u0 S 1 (H) имеет проекции u00 и u01 на подпространства H0 (t) и H1 (t) соответственно. Тогда для любых W (E) функционалы (t, u00 + ei u01 ) совпадают при всех [0, 2].

Исследуем вопрос о том, как с помощью полной информации о математических ожиданиях процесса, т. е. зная все числовые значения (t, 0 ), A при всех A B(H) и некоторых значениях t 0, 1). определить, является ли состояние 0 чистым;

2). определить математическое ожидание (t), t 0, как функцию переменной t 0 по его значению (t1, 0 ) в некоторый момент времени t1 0 (по его значениям (ti, 0 ), i 1, m в некоторые моменты времени tm... t1 0).

Укажем, каким образом следует использовать формулу (23.5) для определения начального со стояния процесса.

Пусть {e0 } и {e1 } — ортонормированные базисы в подпространствах H0 (t) и H1 (t) соответ j j ственно, а M(E). Пусть H0,1 (t) есть m-мерное подпространство в пространстве H0,1 (t), на m тянутое на первые m базисных векторов. Для каждого v0 H0 (t) определим ортогональный m проектор PUL (t)v0 (здесь и далее через Pu обозначается оператор ортогонального проектирова ния в пространстве H на одномерную линейную оболочку вектора u), а для каждого вектора v1 H1 (t) определим оператор Qm (v1 ) как предел (существующий в силу следствия 22.3) в m сильной операторной топологии частичных сумм операторного ряда (см. (22.5)) Qm (v1 ) = PUL (23.6) (t)v1.

m k m E m k Согласно лемме 22.4, для любого m N функция Qm (v), v S1 (H1 (t)), является непрерывным m m (t)) в банахово пространство B(H) (напомним, что S (H) отображением m-мерной сферы S1 (H1 есть единичная сфера в пространстве H).

Для любых m N, (H) и t R определим следующие функционалы:

m,,t (v) =, PUL (t)v, m,,t (v) =, Qm (v), v S1 (H0 (t));

v S1 (H1 (t)).

m m 0 Тогда при любых m N, s {0, 1} и (H) непрерывный функционал m,,t достигает s m m максимума на некотором векторе vs m-мерной сферы S1 (Hs (t)).

Тогда из формулы (22.2) следует, что для любых u0 p (H), m N и t 0 справедливо равенство m, (t,u0 ),t (v) = (u0, v) 2.

m, (t,0 ),t Поэтому последовательность монотонно возрастает и, следователь sup 0 (v) vS1 (H0 (t)) m но, существует предел m, (t,0 ),t (v) = PH0 (t) u0 2.

M0 (t) lim sup m vS (H m (t)) 1 В лемме 22.3 установлено, что для любого чистого начального состояния 0 = u0 p (H1 (t)) m, (t,u0 ),t (v) |(u0, v)|2 = o(1) при m и поэтому существует предел справедлива оценка m, (t,0 ),t (v) = PH1 (t) u0 2.

M1 (t) lim (23.7) sup m vS (H m (t)) 1 162 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Тогда из теоремы 22.1 и леммы 22.5 следует утверждение:

Теорема 23.2. Пусть t 0 и начальное состояние 0 удовлетворяет одному из двух условий: 0 n (H0 (t)) либо 0 n (H1 (t)). Пусть мера M(E). Тогда:

1). состояние 0 является чистым, если и только если max{M0 (t), M1 (t)} = 1.

2). если начальное состояние 0 является чистым состоянием в подпространстве H0 (t) (или H1 (t)) и {v0 } (или {v1 }) есть последовательность векторов, доставляющих мак m m (t, ),t m, (t,0 ),t m, симум функционалам 0 ), то последовательность чистых со (или стояний {v0 } (или {v1 }) сходится в пространстве B (H) к начальному состоянию m m 0, причем для определения начального состояния с заданной точностью достаточно решить конечное число вариационных задач.

Таким образом, полностью решен вопрос о том, как определить начальное состояние u0 кван товой системы по измерениям наблюдаемых в момент времени t 0 при условии, что начальный вектор u0 удовлетворяет одному из двух включений: u0 H0 (t) или u0 H1 (t). Далее исследуем случай, когда начальный вектор может иметь нетривиальные проекции на каждое из подпро странств H0 (t) и H1 (t).

Лемма 23.1. Пусть 0 = u0 p (H). Тогда если последовательность {v0 } единичных век m (t, ) t,m, (t,0 ) m t,m, торов пространства H0 (t) удовлетворяет равенству sup 0 (v) = 0 (v0 ) vS 1 (H0 (t)) m при каждом m N, то последовательность {v0 } m компактна в H, а любой ее частичный пре дел есть единичный вектор из одномерной линейной оболочки проекции u00 вектора u0 на подпространство H0 (t).

t,m, (t, ) Доказательство. При каждом m непрерывный на компакте S 1 (H0 (t)) функционал 0 m 0 достигает супремума на векторе vm Hm.

Пусть 0 = u0 и вектор u0 имеет проекции u0s на подпространства Hs (t), s = 0, 1. Если s = m, (t,0 ) (v) = (t, 0 ), PUL (t)v, то, согласно (23.5), и m, (t,0 ) (u (t, u00 ), PUL (t)v u (t, u00 ))d + (u (t, u01 ), PUL (t)v u (t, u01 ))d, 0 (v) = E E m, (t,0 ) |(UL (t)v, u (t, u00 ))|2 d+ |(UL (t)v, u (t, u01 ))|2 d. Согласно ре следовательно, 0 (v) = E E зультатам раздела 8, во-первых, lim u (t, u00 )UL (t)u00 = 0 и, во-вторых, последовательность H {u (t, u01 ), E} сходится слабо к нулю при 0. Поэтому в силу выбора меры справедливо m, (t,0 ) (v) = |(v, u00 )|2 при любом v из области определения S1 (H0 (t)) функционала m равенство (t, ) (PHm u0, v) 2 = PHm u0 m, (t, u0 ), PUL (t) v0 = sup. Тогда супремум 0 sup 0 0 v0 S1 (Hm ) vS1 (Hm ) достигается на нормированной проекции вектора u0 на подпространство Hm. Таким образом, последовательность {v0 m } имеет компактное множество значений, а любой ее частичный пре дел v0 коллинеарен проекции вектора u0 на подпространство H0 (t) и допускает представление v0 = (M0 (t))1/2 ei u00 при некотором [0, 2].

Пусть выполнены условия леммы 23.1 и v0 H0 (t) — один из частичных пределов последо m }, доставляющих максимум функционалам t,m, (t,0 ). При каждом вательности элементов {v0 m N и каждом t 0 определим на сфере S1 (H1 (t)) функционал t,m, (t,0 ), положив для m каждого v S1 (H1 (t)) m t,m, (t,0 ) (t, 0) (v) M0 (t)(UL (t)v0, Qm (v)UL (t)v0 ).

t,m, (v) = Лемма 23.2. Пусть 0 = u0 p (H) и обе проекции вектора u0 на подпространства H0 (t) и H1 (t) нетривиальны. Пусть v0 H0 (t) — один из частичных пределов последовательности m, (t,0 ) элементов {v0 }, доставляющих максимум функционалам m. Тогда при каждых t t,m, (t,0 ) не зависит от выбора частичного предела v и достигает и m N функционал максимума M m (t) в некоторой точке v1 S1 (H1 (t)). При этом последовательность {M m (t)} m m 23. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ПО ЕГО ЗНАЧЕНИЮ В ДВА МОМЕНТА ВРЕМЕНИ сходится и ее предел M (t) удовлетворяет равенству M (t) = 1 M0 (t), а последовательность {v1 } компактна в пространстве H, и любой ее частичный предел v1 допускает представление m v1 = (M (t))1/2 ei u01 при некотором [0, 2].

Доказательство. Согласно лемме 23.1, любой частичный предел v0 последовательности {v0 } m коллинеарен проекции вектора u0 на подпространство H0 (t) и допускает представление v0 = (M0 (t))1/2 ei u00 при некотором [0, 2]. Поэтому при любых m N и t 0 функционал t,m, (t,0 ) не зависит от выбора частичного предела v0 и является непрерывным на компакте m (t)).

S1 (H t,m, (t,0 ) (v) = (t, 0 ), Qm (v), то, согласно (23.5), Поскольку t,m, (t,0 ) (u (t, u00 ), Qm (v)u (t, u00 ))d + (u (t, u01 ), Qm (v)u (t, u01 ))d.

1 (v) = E E Таким образом, для любого чистого состояния 0 p (H) справедливо равенство t,m, (t,0 ) (v) = (t, PH0 (t) 0 PH0 (t) ) + (t, PH1 (t) 0 PH1 (t) ), Qm (v). (23.8) Замечание 23.1. Формула (23.8), справедливая для чистых начальных состояний 0, справед лива и для их выпуклых комбинаций и, следовательно, для нормальных состояний 0.

Тогда с учетом сходимости u (t, u00 ) к UL (t)u00 при 0 имеем t,m, (t,0 ) (v) = (UL (t)u00, Qm (v)UL (t)u00 ) + (u (t, u01 ), Qm (v)u (t, u01 ))d.

E t,m, (t,0 ) (v)M0 (t)(UL (t)v0, Qm (v)UL (t)v0 ) = (UL (t) u01, Qm (v)UL (t) u01 )d.

Следовательно, E (UL (t) u01, Qm (v)UL (t) u01 )d исследован в разделе 22. Согласно лемме 22.3, Функционал E (t, u01 ), Qv1 (m), m N, стремится к PH1 (t) u последовательность супремумов sup v1 S1 (Hm ) при m, а последовательность максимизирующих элементов компактна, причем любой ее частичный предел коллинеарен вектору u01 и допускает представление v1 = (M (t))1/2 ei u01 при некотором [0, 2].

Из лемм 23.1 и 23.2 следует, что если 0 p (H), то существуют пределы m, (t,0 ) (t, m, (23.9) lim sup 0 (v) = M0 (t), lim sup )(v) = M (t), m vS (H m (t)) m vS (H m (t)) 1 0 и выполняется равенство M0 (t) + M (t) = 1.

Согласно лемме 23.2, равенство M0 (t) + M (t) = 1 необходимо для включения 0 p (H).

Но недостаточно, ибо если v0 S1 (H0 (t)) и v1 S1 (H1 (t)), то для смешанного начально t,m, (t,0 ) го состояния 0 = M0 (t)v0 + M (t)v1 выполнены равенства lim sup(0 (v)) = M0 (t) m (t, 0) (v)) = M (t). Действительно, для любого A B(H) выполняется равен и lim sup( t,m, m ство (t, 0 ), A = M0 (t) (t, v0 ), A + M (t) (t, v1 ), A, тогда требуемое равенство следует из (22.2) и (22.8).

Покажем, что для однозначного определения динамики математического ожидания (t, u0 ) процесса (t, u0 ) с чистым начальным состоянием u0 достаточно знать значения математическо го ожидания в два различных момента времени.

Если состояние 0 = u0, u0 S1 (H), является чистым, то тогда для проекций u00, u01 вектора u0 на подпространства H0 (t), H1 (t) при любом значении t 0 имеют место представления:

UL (t)UL (t)u0 = u00 (t), (I UL (t)UL (t))u0 = u01 (t) (23.10) и справедливы равенства M0 (t) = UL (t)UL (t)u0 M (t) = 1 M0 (t). (23.11) H, 164 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Пусть при заданном t 0 значения M0 (t), M (t) удовлетворяют равенству M0 (t) + M (t) = 1, и элементы v0 и v1 есть частичные пределы последовательностей {v0 } и {v1 } из лемм 23.1 и 23.2.

m m Если M0 (t) = 0 (либо M (t) = 0), то тогда начальный вектор u0 целиком лежит в подпространстве H1 (t) (либо H0 (t)) и, согласно теореме 23.2, начальное состояние u0 совпадает с v1 (либо c v0 ).

Исследуем случай, когда для заданного t 0 выполняется соотношение M0 (t) (0, 1). Положим H0 ( ) и определим по вектору v0 (t) H0 (t) число H0 = T = inf{s t : UL (s t)v0 (t) H0 }, T = +, если UL (s)v0 (t) H0 при любом s 0.

и положим / Поскольку полугруппы UL (t) и UL (t) являются непрерывными в сильной операторной то пологии, то числовая функция M0 (t) = PH0 (t) u0 2 непрерывна на полуоси t 0 и монотонно H убывает до значения PH0 u0 2 при t +, в частности, является постоянной на интервале H (T, +). Тогда существует такое t1 (0, T ), что M0 (t1 ) = M0 (t) (см. теорему 4.2).

Пусть при заданном t 0 определены значения M0 (t), M1 (t) и частичные пределы v0 (t) и v1 (t) последовательностей максимизирующих элементов {v0 } и {v1 } (см. леммы 23.1 и 23.2), и, кроме m m того, выполнено равенство M0 (t) + M (t) = 1.

Таким же образом, как и лемма 22.2, с помощью принципа математической индукции доказы вается следующее утверждение.

Лемма 23.3. Пусть ts, s N — некоторая нумерация рациональных чисел t 0 и {k } — бесконечно малая последовательность со значениями в E. Пусть в пространствах H1 (ts ) выбраны ортонормированные базисы {ek (s)}. Тогда для любого m N существует подпосле довательность {em } такая, что выполнены утверждения:

k 1). для всех s, k, l 1, m и любых i, j N, i = j, выполнено неравенство |(ULm (ts )ek (s), ULm (ts )el (s))| 2(i+j+m) ;

i j 2). для каждого q {1, m} последовательность {q } является подпоследовательностью i {q1 }, где 0 = i, i N.

i i Следствие 23.1. Для любого числа m N существует положительная бесконечно малая последовательность {m } со значениями в множестве E такая, что последовательность век n торов {fp (m)}, где fp (m, ts ) = Um (ts )ep (s), n N, образует нормированную систему векто n n n ров в пространстве H, квадратично близкую к ортогональной и удовлетворяющую оценке |(fq (m, ts ), fp (m, ts ))| 22(i+j+m) для всех i = j и всех s, p, q 1, m.

j i Тогда так же, как и теорема 22.2, доказывается следующее утверждение.

Теорема 23.3. Пусть {em }, m N — семейство подпоследовательностей, существование k m. Тогда существует мера W (E) которого утверждает лемма 23.3, и пусть E m = k k= такая, что для любого m N выполнено равенство (E m ) = 1.

Обозначим через V(E) непустое согласно теореме 23.3 множество таких мер W (E), для которых выполняется условие (E m ) = 1 (m N) теоремы 23.3.



Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.