авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 ||

«Современная математика. Фундаментальные направления. Том 43 (2012). С. 3–172 УДК 517.946+517.98 ...»

-- [ Страница 8 ] --

Пусть V(E) — мера, существование которой установлено теоремой 23.3. Тогда для каждо го числа tj, j = 0, 1,..., и меры справедливо утверждение лемм 23.1 и 23.2. Поэтому если 0 p (H), то существуют частичные пределы v0 (tj ), v1 (tj ) последовательностей, элементы кото tj,m, (tj,0 ), tj,m, (tj,0 ) соответственно и существуют рых реализуют максимумы функционалов пределы M0 (tj ) = lim M0 (tj ) и M (tj ) = lim M m (tj ). Согласно лемме 23.2, для того, чтобы со m m m стояние 0 было чистым, необходимо, чтобы M0 (tj ) + M (tj ) = 1.

Установим, при каком выборе значения t1 (0, T ) совокупность условий M0 (t) + M (t) = 1 и M0 (t1 ) + M (t1 ) = 1 является также достаточной для того, чтобы состояние 0 было чистым.

Лемма 23.4. Пусть V(E), 0 n (H) и t 0, M0 (t) + M (t) = 1 и v0, v1 — частичные m и v m из лемм 23.1 и 23.2. Пусть, кроме пределы максимизирующих последовательностей v0 23. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ПО ЕГО ЗНАЧЕНИЮ В ДВА МОМЕНТА ВРЕМЕНИ t,m, (t,0 ) (v) M0 |(v0, v)|2 ] = 0. Тогда 0 |B(H0 (t)) = M0 (t)v0 и 0 |B(H1 (t)) = того, lim sup [0 m vS (H (t)) 1 M (t)v1.

Доказательство. Согласно (23.5) и (22.2), ((t, 0 ), PUL (t)h ) = 0, Ph для любого h S1 (H0 (t)).

Согласно определению вектора v0 справедливо равенство ((t, 0 ), PUL (t)v0 ) = M0 (t).

Оператор PH0 (t) 0 PH0 (t) есть неотрицательный оператор с конечным следом в пространстве H, ядро которого содержит подпространство H1 (t). По свойству экстремальности собственных зна чений компактного оператора число M0 (t) есть максимальное собственное значение оператора PH0 (t) 0 PH0 (t), а v0 — соответствующий ему единичный собственный вектор.

Поэтому функционалы 0 и M0 (t)Pv0 совпадают на одномерном подпространстве span(v0 ), а 0 M0 (t)v0 — неотрицательный функционал на B(H). Но поскольку t,m,0 M0 (t)v0 t,m, (t,0 ) (v) M0 |(v0, v)|2, 0 (v) = то в силу условия t,m, (t,0 ) (v) M0 |(v0, v)|2 ] = lim sup [ m vS (H (t)) 1 выполняется равенство 0 |B(H0 (t)) = M0 (t)v0.

Следовательно, для векторов h S1 (H1 (t)) в силу равенства (23.7) и замечания к нему, спра m ведливо соотношение t,m, (t,0 ) (h) = (t, PH0 (t) 0 PH0 (t) ) + (t, PH1 (t) 0 PH1 (t) ), Qm (h).

Согласно доказанному соотношению 0 |B(H0 (t)) = M0 (t)v0, значения функционала t,m, (t,0 ) (t, 0) (h) M0 (t) UL (t)v, Qm (v) = (t, PH1 (t) 0 PH1 (t) ), Qm (h) t,m, (h) = стремятся (см. лемму 22.3) при m к значению PH1 (t) 0 PH1 (t), Ph = 0, Ph.

Оператор PH1 (t) 1 PH1 (t) есть неотрицательный оператор с конечным следом в пространстве H, ядро которого содержит подпространство H0 (t). По свойству экстремальности собственных зна чений компактного оператора число M (t) есть максимальное собственное значение оператора PH1 (t) 0 PH1 (t), а v1 — соответствующий ему единичный собственный вектор.

Поэтому функционал 0 мажорирует функционал M (t)v1, совпадая с ним на одномерном под пространстве span(v1 ). Следовательно, 0 |B(H1 ) B (H) M1.

Из полученных оценок следует, что состояние 0 n (H) мажорирует функционал M0 (t)v0 + M (t)v1. Поскольку 0 (H) и M0 (t) + M (t) = 1, то 0 = M0 (t)v0 + M (t)v1.

Следствие 23.2. Пусть выполнены условия леммы 23.4. Тогда:

1). если состояние 0 не является чистым, то оно является смесью — выпуклой комбина цией двух чистых состояний 0 = M0 (t)v0 + M (t)v1 ;

2). если состояние 0 чистое с вектором состояния u0 S1 (H), то проекции вектора u на подпространства H0 (t) и H1 (t) суть соответственно v0 ei и v1 ei с некоторыми фазами, [0, 2].

Доказательство. Нормальное состояние 0 допускает представление в виде 0 = pk ek, где k= {ek } — ортонормированный базис в H и pk [0, 1], k N. Сужения функционала 0 на B(H0 (t)) и B(H1 (t)) суть 0 |B(Hs ) = PHs (t) 0 PHs (t), и, согласно условиям леммы 23.4, функционалы 0 |B(H0 (t)), 0 |B(H1 (t)) оба кратны чистому состоянию. Поэтому либо состояние 0 чистое и спра ведливо второе утверждение следствия, либо ортогональное разложение следового оператора коммутирует с проектором PH0 (t) и справедливо первое утверждение следствия.

Пусть t 0, V(E), — мера, существование которой доказано в теореме 23.3, и число t1 (0, T )\{t} рационально соизмеримо с числом t. Тогда согласно леммам 23.1 и 23.2 существуют единичные векторы v0 (t1 ), v1 (t1 ) — частичные пределы последовательностей, элементы которых t,m, (t1,0 ), t1,m, (t1,0 ) соответственно.

реализуют максимумы M0 (t1 ), M m (t1 ) функционалов m 166 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Замкнутую кривую {(M0 (t))1/2 v (t)+ei (M (t))1/2 v (t), [0, 2)} 0 в пространстве квантовых состояний (диффеоморфную окружности при условии M0 (t) (0, 1)) обозначим через C(t). Для каждого рационального числа t1 0 обозначим через C(t1 ) замкнутую кривую {(M0 (t1 ))1/2 v (t1 )+ei (M (t1 ))1/2 v (t1 ), [0, 2)} 0 в пространстве квантовых состояний.

Теорема 23.4. Пусть V(E), t 0 и 0 — нормальное состояние.

1). Если 0 p (H), то выполнены равенства M0 (t) + M (t) = 1, t,m, (t,0 ) (v) M0 (t)|(v0, v)|2 ] = lim sup [ m vS (H (t)) 1 и включение 0 C(t).

2). Если M0 (t) = 0 или M0 (t) = 1, то состояние 0 чистое, а кривая C(t) состоит из одной точки.

3). Если имеет место равенство M0 (t) + M (t) = 1 и M0 (t) (0, 1), то существу ет такое рациональное число tj (0, T ), что M0 (t) = M0 (tj ). Кроме того, пусть t,m, (t,0 ) (v) M0 (t)|(v0, v)|2 ] = 0. Тогда для включения 0 p (H) lim sup [ m vS (H (t)) 1 достаточно, чтобы M0 (tj ) + M (tj ) = 1. В этом случае кривые C(t) и C(tj ) имеют един ственную общую точку, совпадающую с начальным состоянием 0.

Доказательство. Необходимость равенства M0 (t) + M (t) = 1 для включения 0 p (H) следует из леммы 23.2, а необходимость включения 0 C(t) — из пункта 2 следствия 23.2.

Из условия M0 (t) = 1 (либо M0 (t)) = 0) и теоремы 23.2 следует, что состояние 0 чистое, а кривая C(t) состоит из одной точки 0.

Существование такого рационального числа t1 (0, T ), что M0 (t1 ) = M0 (t) следует из непре рывности функции M0 (t) согласно соотношению (23.11) и условию M0 (0) = 1. Тогда из доказанно го утверждения 1 теоремы 23.4 следует, что условия M0 (t1 ) + M (t1 ) = 1 и 0 C(t1 ) необходимы для включения 0 p. Предположим, что 0 n \p, тогда справедлива первая часть утвержде ния следствия 23.2 для момента времени t, следовательно, состояние 0 должно быть представимо в каждом из следующих двух видов: 0 = M0 (t)v0 (t) +M (t)v1 (t) = M0 (t1 )v0 (t1 ) +M (t1 )v1 (t1 ). По следнее равенство невозможно при M0 (t) = M0 (t1 ). Полученное противоречие доказывает, что со стояние 0 чистое и принадлежит C(t) C(t1 ). Проекции начального вектора состояния u0 S1 (H) на пары подпространств H0 (t), H1 (t) и H0 (t1 ), H1 (t1 ) связаны соотношением (23.10), что при условии M0 (t1 ) (M0 (t), 1) позволяет определить начальный вектор u0 по его проекциям на ука занные подпространства однозначно. Следовательно, если 0 p (H), то кривые C(t) и C(t1 ) имеют единственную общую точку 0.

23.3. Отсутствие полугруппового свойства и вариационное определение усредненных тра екторий. Объектом наших исследований является семейство усредненных динамических преоб разований T (t), t 0, пространства квантовых состояний (H), которое может быть получено с помощью применения операции частичного следа (или операции условного ожидания) к унитарной динамической полугруппе во множестве чистых квантовых состояний в расширенном гильберто вом пространстве (см. [6, теорема 20.2, теорема Наймарка]). Семейство преобразований T (t), 0, не является полугруппой, поэтому не может быть описано уравнениями типа Линдблада t (см. [136]). В настоящей работе предложена процедура определения траектории семейства усред ненных динамических преобразований T (t), t 0, с помощью решения вариационных задач для нелокальных функционалов на множестве траекторий квантовых систем.

Таким образом, установлены следующие свойства семейства T (t), t 0, усредненных динами ческих преобразований множества квантовых состояний (H):

1). Математическое ожидание T (t) случайного процесса T (t) как функции переменной t не является однопараметрической полугруппой преобразований банахова пространства B (H) : T (t + t)u0 = T (t)(T (t)u0 ), ибо существуют состояния u00 +ei u01, СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ [0, 2], имеющие, согласно теореме 23.1, общий образ при отображении T (t), которые в силу теоремы 23.4 имеют различные образы при отображении T (t + t) с некоторым t 0.

2). Установлены условия на начальное состояние процесса и момент времени t1 0, при ко торых по математическому ожиданию (t1, u0 ) можно определить начальное состояние процесса u0 и, следовательно, всю усредненную траекторию (t, u0 ), t 0.

3). В случае произвольного чистого начального состояния процесса для его определения недо статочно информации об усредненном состоянии (t, u0 ) в некоторый момент времени t1 при всех W (E). Но если V(E), то по состоянию (t1, u0 ) можно определить такое зависящее от состояния (t1, u0 ) число t2 t1, что информация об усредненном состоя нии (t, u0 ) в моменты времени t = t2, t = t1 позволяет определить начальное состояние процесса u0.

Получено описание динамических свойств математических ожиданий случайных процессов, представляющих последовательность регуляризованных операторов плотности. В связи с тем, что однопараметрическое семейство усредненных динамических преобразований не является полу группой, для определения траектории семейства усредненных динамических преобразований не используется описание посредством решения дифференциальных уравнений. Но определение тра екторий усредненного семейства динамических преобразований дается с помощью решения вари ационных задач. А именно, задач минимизации семейства функционалов на множестве квантовых состояний, зависящих от значений усредненной траектории в два различных момента времени.

Тем самым проявляется свойство нелокальности по времени усредненных динамических преобра зований: из некоторой точки (t1, 1 ) (0, +) (H) усредненная по мере V(E) траектория (t, 0 ), t (0, +), допускает неединственное продолжение, а для однозначного определения усредненной траектории (t, 0 ), t (0, +), следует задать ее значение в некоторый другой момент времени t2 = t2 (t1, 1 ).

В заключении подчеркнем, что усредненные динамические преобразования для последователь ности начально-краевых задач с малым параметром при старшей производной могут быть полу группами, описываемыми усредненными дифференциальными уравнениями (см. [46, 136]);

могут удовлетворять интегро-дифференциальным уравнениям с запаздыванием (см. [126, 162]). В насто ящей работе установлено промежуточное поведение усредненных преобразований, когда усреднен ная траектория однозначно определяется двумя ее точками.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Алхутов Ю. А., Жиков В. В. О гельдеровости решений вырождающихся эллиптических уравнений// Докл. РАН. — 2001. — 378, № 5. — С. 583–588.

2. Амосов Г. Г., Сакбаев В. Ж. О задаче Коши для уравнения Шредингера с вырождением на двух полупрямых// Мат. заметки. — 2004. — 76, № 3. — С. 335–343.

3. Антонцев С. Н., Шмарев С. И. Существование и единственность решений вырождающихся параболи ческих уравнений с переменным показателем нелинейности// ФПМ. — 2006. — 12, № 4. — С. 3–19.

4. Аптекарев А. И., Рыков Ю. Г. О вариационном представлении решений некоторой гиперболической системы с помощью логарифмического потенциала во внешнем поле// Докл. РАН. — 2006. — 409, № 1. — С. 12–14.

5. Арсеньев А. А. Построение турбулентной меры для системы уравнений Навье—Стокса// Мат. сб. — 1976. — 101, № 2. — С. 204–211.

6. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. — М.: Нау ка, 1966.

7. Бакушинский А. Б., Кокурин М. Ю. Итерационные методы решения некорректных операторных урав нений с гладкими операторами. — М.: УРСС, 2002.

8. Балакришнан А. В. Прикладной функциональный анализ. — М.: Мир, 1980.

9. Балашов М. В., Половинкин Е. С. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физмат лит, 2004.

10. Банах С. Курс функционального анализа. — Киев: Радянська школа, 1948.

11. Бари Н. К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве// Уч. зап. МГУ. — 1951. — 4, № 148. — С. 69–107.

12. Березанский Ю. М. Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов. — Киев:

Наукова думка, 1965.

168 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ 13. Березин Ф. А., Шубин М. И. Уравнение Шредингера. — М.: Наука, 1983.

14. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложе ния. — М.: Наука, 1996.

15. Биллингслей П. Сходимость вероятностных мер. — М.: Наука, 1977.

16. Богачев В. И. Основы теории меры. Т. 1. — М.: УРСС, 2003.

17. Богачев В. И. Основы теории меры. Т. 2. — М.: УРСС, 2006.

18. Богачев В. И., Крылов Н. В., Рекнер М. Эллиптические и параболические уравнения для мер// Усп.

мат. наук. — 64, № 6. — 2009. — С. 5–116.

19. Боголюбов Н. Н. О некоторых статистических методах в математической физике. — Киев: АН СССР, 1945.

20. Боголюбов Н. Н. О некоторых эргодических свойствах непрерывных групп преобразований. Избр. тр.

Т. 1. — Киев: Наукова думка, 1969. — С. 561–569.

21. Брателли У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. — М.: Мир, 1982.

22. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах, меры на отделимых пространствах. — М.: Наука, 1977.

23. Бутко Я., Смолянов О. Г., Шиллинг Р. Л. Формулы Фейнмана для феллеровских полугрупп// Докл.

РАН. — 2010. — 434, № 1. — С. 7–11.

24. Варадарайн В. С. Меры на топологических пространствах// Мат. сб. — 1961. — 55 (97), № 1. — С. 35– 100.

25. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1981.

26. Вентцель А. Д., Фрейдлин М. И. Флуктуации в динамических системах под действием малых слу чайных возмущений. — М.: Наука, 1979.

27. Вершик А. М., Ладыженская О. А. Об эволюции мер, определяемой уравнениями Навье—Стокса, и разрешимости задачи Коши для статистического уравнения Е. Хопфа// Докл. АН СССР. — 1976. — 226, № 1. — С. 26–29.

28. Вишик М. И., Грушин В. В. Вырождающиеся эллиптические дифференциальные и псевдо-дифферен циальные операторы// Усп. мат. наук. — 1970. — 25, № 4. — С. 29–56.

29. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных диффе ренциальных уравнений с малым параметром// Усп. мат. наук. — 1957. — 12, № 5. — С. 3–122.

30. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1971.

31. Вулих Б. З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1965.

32. Гитман Д. М., Тютин И. Д. Каноническое квантование полей со связями. — М.: Наука, 1986.

33. Глаубер Р. Оптическая когерентность. — Сб. Квантовая оптика и квантовая радиофизика. — М.: Мир, 1966. — С. 91–279.

34. Глушко В. П. Вырождающиеся линейные дифференциальные уравнения. [Ч.] 1// Дифф. уравн. — 1968. — 4, № 9. — С. 1584–1597.

35. Глушко В. П. Вырождающиеся линейные дифференциальные уравнения. [Ч.] 2// Дифф. уравн. — 1968. — 4, № 11. — С. 1956–1966.

36. Глушко В. П. Вырождающиеся линейные дифференциальные уравнения. [Ч.] 3// Дифф. уравн. — 1969. — 5, № 3. — С. 443–445.

37. Глушко В. П. Вырождающиеся линейные дифференциальные уравнения. [Ч.] 4// Дифф. уравн. — 1969. — 5, № 4. — С. 599–611.

38. Голопуз С. А. Определяющие граничные условия и вырожденная задача для эллиптических краевых задач с малым параметром при старших производных// Мат. сб. — 2003. — 194, № 5. — С. 3–30.

39. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. — Киев: Наукова думка, 1984.

40. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. — М.: Нау ка, 1965.

41. Данфорд Н., Шварц Д. Теория операторов. Т. 1. — М.: УРСС, 2004.

42. Диденко В. П. Вариационная задача для уравнения смешанного типа// Дифф. уравн. — 1977. — 13, № 1. — С. 44–49.

43. Додонов В. В., Манько В. И., Скаржинский В. Д. Неоднозначности вариационного описания класси ческих систем и проблема квантования// Тр. ФИАН. — 1983. — 152. — С. 37–89.

44. Дубровин Б. А. Гамильтоновы уравнения в частных производных и фробениусовы многообразия// Усп. мат. наук. — 2008. — 63, № 6. — С. 7–18.

45. Жиков В. В. К проблеме предельного перехода в дивергентных неравномерно эллиптических уравне ниях// Функц. анализ и его прилож. — 2001. — 35, № 1. — С. 23–39.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 46. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. — М.: Физмат лит, 1993.

47. Захаров В. Е., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде// ЖЭТФ. — 1971. — 61, № 1. — С. 118–134.

48. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория нелинейных некорректных задач и ее приложения. — М.: Наука, 1978.

49. Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И. Дифференциально-операторные уравнения и некор ректные задачи. — М.: Наука, Физматлит, 1995.

50. Ильин А. М. Вырождающиеся эллиптические и параболические уравнения// Мат. сб. — 1960. — 50, № 4. — С. 443–498.

51. Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1967.

52. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972.

53. Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнения эллиптического типа на границе обла сти// Докл. АН СССР. — 1951. — 77, № 2. — С. 181–183.

54. Кери А. Л., Сукочев Ф. А. Следы Диксмье и некоторые приложения в некоммутативной геометрии// Усп. мат. наук. — 2006. — 61 (6). — С. 45– 55. Клемент Ф., Хейманс Х., Ангенет С., ван Дуйн К., де Пахтер Б. Однопараметрические полугруп пы. — М.: Мир, 1992.

56. Козлов В. В. Динамика систем с неинтегрируемыми связями// Вестн. МГУ. Сер. 1. Мат. Мех. — 1982. — 3 — С. 92–100.

57. Козлов В. В. Устойчивость периодических траекторий и многочлены Чебышева// Вестн. МГУ. Сер. 1.

Мат. Мех. — 1991. — №5. — С. 7–14.

58. Козлов В. В. Термодинамическое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. — Москва—Ижевск: Соврем. мат., 2002.

59. Колмогоров А. Н. О возможности общего определения производной, интеграла и суммирования рас ходящихся рядов. — Избр. тр. А. Н. Колмогорова. Т. 1. — М.: Наука, 2004. — С. 44–46.

60. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1972.

61. Колокольцов В. Н. Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами и магнитными полями// Мат. сб. — 2003. — 194, № 6. — С. 87–102.

62. Кондратьев В. А. Краевые задачи для параболических уравнений в замкнутых областях// Тр. Моск.

Мат. об-ва. — 1966. — 15. — С. 400–451.

63. Коробенко Л. В., Сакбаев В. Ж. О постановке и корректности задачи Коши для уравнения диффузии с вырожденными разрывными коэффициентами// Журн. выч. мат. и мат. Физ. — 2009. — 49, № 6. — С. 1085–1102.

64. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операто ры в пространствах суммируемых функций. — М.: Наука, 1966.

65. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. — М.: Наука, 1967.

66. Кружков С. Н. Нелинейные параболические уравнения с двумя независимыми переменными// Тр.

Моск. Мат. об-ва. — 1967. — 16. — С. 329–346.

67. Кружков С. Н. Обобщенные решения задачи Коши в целом для нелинейных уравнений первого по рядка// Докл. АН СССР. — 1969. — 187, № 1. — С. 29–32.

68. Кружков С. Н. Лекции по уравнениям с частными производными. — М.: МГУ, 1970.

69. Кружков С. Н., Камынин В. Л. О предельном переходе в квазилинейных параболических уравнени ях// Тр. МИАН. — 1985. — 167. — С. 183–206.

70. Кудрявцев Л. Д. О вариационном методе отыскания обобщенных решений дифференциальных уравне ний в функциональных пространствах со степенным весом// Дифф. уравн. — 1983. — 19. — С. 1723– 1740.

71. Куратовский С. Топология. Т. 1. — М.: Мир, 1966.

72. Ладыженская О. А. Об уравнениях с малым параметром при старших производных в линейных дифференциальных уравнениях с частными производными// Вестн. ЛГУ. — 1957. — 7. — С. 104–120.

73. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. — М.: Физматлит, 1973.

74. Латтес Р., Лионс Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. — М.: Мир, 1970.

75. Левитан Б. М., Маматов А. Э. Оценка матрицы-функции Коши для системы Дирака в случае ко нечнозонных непериодических потенциалов// Мат. заметки. — 1993. — 53, № 4. — С. 62–76.

76. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М.: Мир, 1971.

77. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа. — М.: Высш. школа, 1982.

170 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ 78. Мельникова И. В. Полугрупповая регуляризация дифференциальных задач// Докл. РАН. — 2003. — 393, № 6. — С. 744–748.


79. Михайлов В. П. Теорема существования и единственности решения одной граничной задачи для параболического уравнения с особыми точками на границе// Тр. МИАН. — 1967. — 91. — С. 47–58.

80. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. — М.: Наука, 1983.

81. Михлин С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. — М.: Наука, 1965.

82. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1974.

83. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — М.: Наука, 1969.

84. Олейник О. А. О линейных уравнениях второго порядка с неотрицательной характеристической фор мой// Мат. сб. — 1966. — 69 (111), № 1. — С. 111–140.

85. Олейник О. А., Радкевич Е. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой// Итоги науки. Сер. Математика. Мат. анализ. — М.: ВИНИТИ, 1971. — C. 7–252.

86. Орлов Ю. Н. Основы квантования вырожденных динамических систем. — М: МФТИ, 2004.

87. Орочко Ю. Б. Условие непроницаемости точки вырождения одночленного симметрического оператора четного порядка// Мат. сб. — 2003. — 194, № 5. — С. 109–138.

88. Панов Е. Ю. О последовательности мерозначных решений квазилинейного уравнения первого поряд ка// Мат. сб. — 1994. — 195, № 2. — С. 87–106.

89. Пастухова С. Е. О вырожденных уравнениях монотонного типа: эффект Лаврентьева и вопросы достижимости// Мат. сб. — 2007. — 198, № 10. — С. 89–118.

90. Плотников П. И., Саженков С. А. Задача Коши для ультрапараболического уравнения Гратца— Нуссельта// Докл. РАН. — 2005. — 401, № 4. — С. 455–458.

91. Проспери Дж. М. Процесс квантового измерения и наблюдения непрерывных траекторий// Матем.

Нов. в зарубеж. науке. — М.: Мир, 1988. — 42. — С. 197–222.

92. Рид М., Саймон Б. Современные методы математической физики. Т. 1. — М.: Мир, 1977.

93. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма—Лиувилля с сингулярными потенциалами// Мат.

заметки. — 1999. — 66, № 6. — С. 897–912.

94. Сакбаев В. Ж. О постановке задачи Коши для вырождающегося уравнения Шредингера// Межд. сб.

Некоторые проблемы современной и прикладной математики. — М.: МФТИ, 1999. — С. 161–178.

95. Сакбаев В. Ж. О постановке задачи Коши для уравнения Шредингера, вырождающегося на полупро странстве// Журн. выч. мат. и мат. физ. — 2002. — 42, № 11. — С. 1700–1711.

96. Сакбаев В. Ж. О задаче Коши для уравнения Шредингера с генератором переменного типа// Дифф.

уравн. — 2004. — 40, № 2. — С. 229–241.

97. Сакбаев В. Ж. О функционалах на решениях задачи Коши для уравнения Шредингера с вырождением на полупрямой// Журн. выч. мат. и мат. физ. — 2004. — 44, № 9. — С. 1654–1673.

98. Сакбаев В. Ж. Вырождение и регуляризация оператора в задаче Коши для уравнения Шредингера// Соврем. мат. и ее прилож. — 2006. — 38, № 3. — С. 95–109.

99. Сакбаев В. Ж. О динамике квантовых состояний, порожденной задачей Коши для уравнения Шре дингера с вырождением на полупрямой// Фундаментальная и прикладная математика. — 2006. — 12, № 6. — С. 157–174.

100. Сакбаев В. Ж. О многозначных отображениях, задаваемых регуляризацией уравнения Шредингера с вырождением// Журн. выч. мат. и мат. физ. — 2006. — 46, № 4. — С. 682–698.

101. Сакбаев В. Ж. О задаче Коши для уравнения Шредингера с генератором переменного типа// Дифф.

уравн. — 2007. — 43, № 8. — С. 1127–1143.

102. Сакбаев В. Ж. О свойствах решений задачи Коши для вырождающегося вне отрезка уравнения Шре дингера и спектральных аспектах регуляризации// Соврем. мат. Фундам. направл. — 2007. — 21. — С. 87–113.

103. Сакбаев В. Ж. Аппроксимационные и вариационные методы регуляризации некорректных задач// Докл. РАН. — 2008. — 419, № 2. — С. 174–178.

104. Сакбаев В. Ж. Спектральные аспекты регуляризации задачи Коши для вырожденного уравнения// Тр. МИАН. — 2008. — 261. — С. 258–267.

105. Сакбаев В. Ж. О динамике вырожденной квантовой системы в пространстве функций. интегрируемых по конечно-аддитивной мере// Тр. МФТИ. — 2009. — 4, №1. — С. 126–147.

106. Сакбаев В. Ж. Об усреднении квантовых динамических полугрупп// ТМФ. — 2010. — 164, № 3. — С. 455–463.

107. Сакбаев В. Ж. О множестве квантовых состояний и его усредненных динамических преобразовани ях// Изв. вузов. Сер. Мат. — 2011. — 10. — С. 48–58.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 108. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. — М.: Наука, 1987.

109. Секефальви-Надь Б., Фояш С. Гармонический анализ операторов. — М.: Мир, 1970.

110. Слободецкий Л. Н. Обобщенные пространства С. Л. Соболева и их приложение к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных// Ленингр. гос. пед. ин-т им. А. И. Герцена.

Уч. зап. — 1958. — 197. — С. 54–112.

111. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. — М.: Наука, 1966.

112. Смолянов О. Г., Хренников А. Ю. Вероятностные модели измерений некоммутирующих и коммутиру ющих наблюдаемых// Докл. РАН. — 2005. — 402, № 6. — С. 748–753.

113. Смолянов О. Г., Шавгудидзе Е. Т. Континуальные интегралы. — М.: Наука, 1990.

114. Сухинин М. Ф. Избранные главы нелинейного анализа. — М.: Изд. РУДН, 1992.

115. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1986.

116. Трепе Ф., Флаксмайер Ю. О некоторых приложениях теории расширений топологических про странств и теории меры// Усп. мат. наук. — 1977. — 32, № 5. — С. 125–162.

117. Уизем Дж. Б. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977.

118. Фикера Г. К единой теории краевых задач для эллиптико-параболических уравнений второго поряд ка// Сб. переводов «Математика». — 1963. — 7, № 6. — C. 99–121.

119. Филиппов В. М., Савчин В. М., Шорохов С. А. Вариационные принципы для непотенциальных опера торов// Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Нов. достиж. — М.: ВИНИТИ, 1992. — 40. — С. 3–176.

120. Филлипс Р. С. Диссипативные операторы и гиперболические системы дифференциальных уравнений в частных производных// Сб. переводов «Математика». — 6, № 4. — 1962. — С. 11–70.

121. Фрейдлин М. И. О стохастических уравнениях Ито и вырождающихся эллиптических уравнениях// Изв. АН СССР. Сер. Мат. — 1962. — 26. — С. 653–676.

122. Фрейдлин М. И. Диффузионные процессы и малый параметр в эллиптических уравнениях с разрыв ными коэффициентами// Изв. АН СССР. Сер. Мат. — 1965. — 29. — С. 1005–1036.

123. Фрейдлин М. И. Марковские процессы и дифференциальные уравнения// Итоги науки. Сер. Теор.

вероятн. Мат. стат. Теор. кибернет. — М.: ВИНИТИ, 1967. — С. 7–58.

124. Харди Г. Расходящиеся ряды. — М.: ИИЛ, 1951.

125. Холево А. С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. — Москва—Ижевск: ИКИ, 2003.

126. Хруслов Е. Я. Усредненная модель сильно неоднородной среды с памятью// Усп. мат. наук. — 1990. — 45, № 1. — С. 197-198.

127. Чабакаури Г. Д. Оптимизация граничного управления процессом колебаний струны// Дифф. уравн. — 2001. — 37, № 12. — С. 1655–1663.

128. Ченцов А. Г. Конечно аддитивные меры и релаксации экстремальных задач. — Екатеринбург: УИФ Наука, 1993.

129. Шамин Р. В. Пространства начальных данных для параболических функционально-дифференциаль ных уравнений// Мат. заметки. — 2002. — 71, № 4. — С. 636–640.

130. Шерстнев А. Н. Методы билинейных форм в некоммутативной теории меры и интеграла. — М.: Физ матлит, 2008.

131. Эванс Л. К. Методы слабой сходимости для нелинейных уравнений с частными производными. — Новосибирск: Т. Рожковская, 2006.

132. Эдвардс Р. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1969.

133. Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля. — М.: Мир, 1976.

134. Яковлев Г. Н. Об одной вариационной задаче// Дифф. уравн. — 1969. — 5, № 7. — С. 1303–1312.

135. Яковлев Г. Н. Дифференциальные свойства экстремалей квадратичных функционалов с разрывными коэффициентами// Дифф. уравн. — 1971. — 7, № 7. — С. 1741–1749.

136. Accardi L., Lu Y. G., Volovich I. V. Quantum theory and its stochastic limit// New York: Springer, 2001.

137. Albeverio S., Korshunova N., Rozanova O. Probabilistic model associated with the pressureless gas dynamic// arXiv: math.AP/0908.2084v2.

138. Alicki R., Lendi K. Quantum dynamical semigroups and applications. — Berlin: Springer, 1987. — 286.

139. Baras P., Goldstein J. The heat equation with a singular potential// Trans. Amer. Math. Soc. — 1984. — 284, № 1. — P. 121–139.

140. Brooks J. K., Dinculeanu N. Lebesgue type spaces for vector integration, linear operators, weak completeness and weak compactness// J. Math. Anal. Appl. — 1976. — 54, N 2. P. 348–389.

172 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ 141. Dautray R., Lions J.-L. Mathematical analysis and numerical methods for science and technology. Vol. 5:

Evolution problems I. — Berlin—Heidelberg—New York: Springer, 1992.

142. Dell’Antonio G. F. On the limits of sequences of normal states// Comm. Pure Appl. Math. — 1967. — 20. — P. 413–429.

143. Di Perna R. J, Lions P. L. Ordinary dierential equations, transport theory and Sobolev spaces// Invent.

Math. — 1989. — 98. — P. 511–547.

144. Dinculeanu N. Vector integration and stochastic integration in Banach spaces. — New-York: Wiley Interscience, 2000.

145. Gadella M., Kuru S., Negro J. Self-adjoint Hamiltonians with a mass jump: general matching conditions// Phys. Lett. A. — 2007. — 362. — P. 265–268.

146. Galaktionov V. A., Kamotski I. V. On nonexistence of Baras—Goldstein type for higher-order parabolic equations with singular potentials// Trans. Amer. Math. Soc. — 2010. — 362, № 8. — P. 4117–4136.

147. Galaktionov V. A., Vazquez J. Necessary and sucient conditions for complete blow-up and extinction for one-dimensional quasilinear heat equation// Arch. Ration. Mech. Anal. — 1995. — 129. — P. 225–244.

148. Gelfand I. M. Abstrakte funktionen und lineare operatoren// Мат. сб. — 1938. — 46. — С. 235–286.

149. Gerard P. Microlocal defect measures// Comm. Partial Dierential Equations. — 1991. — 16, № 11. — P. 1761–1794.

150. Glassey R. T. On the blowing up of solution to the Cauchy problem for nonlinear Schr dinger equations// o J. Math. Phys. — 1977. — 18, № 9. — P. 1794–1797.

151. Hewitt E., Yosida K. Finitely additive measures// Trans. Amer. Math. Soc. — 1952. — 72. — P. 46–66.

152. Foias C. Statistical study of Navier—Stokes equations. I// Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. — 1972. — 48. — P. 219–348.

153. Foias C. Statistical study of Navier—Stokes equations. II// Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. — 1972. — 49. — P. 9–123.

154. Fujita H. On the blowing up of solutions of the Cauchy problem for ut = u + u1+ // J. Fac. Sci., Univ.

Tokio, Sec. 1. — 1966. — 13. — P. 109–124.

155. Karasev M. V. Magneto-metric Hamiltonians on quantum surface in the conguration space// Russ. J.

Math. Phys. — 14, № 1. — P. 57–65.

156. Miyake M., Hashimoto Y. Newton polygons and Gevrey indices for linear partial dierential operators// Nagoya Math. J. — 1992. — 128. — C. 15–47.

157. Mizoguchi N., Quiros F., Vazquez J.L. Multiple blow-up solution for a porous medium equation with reaction// Math. Ann. — 2011. — 350, № 4. — P. 801–827.

158. Pavlotsky I. P., Strianese M. Irreversibility in classical mechanics as a consequence of Poincare group// Int. J. Mod. Phys. B. — 1996. — 10, № 21 — P. 2675–2685.

159. Safonov M. V. Nonuniqueness for second-order elliptic equations with measurable coecients// SIAM J.

Math. Anal. — 1967. — 30, № 4. — P. 879–895.

160. Sakbaev V. Zh. Stochastic properties of degenerated quantum systems// Innit. Dimen. Anal. Quant.

Prob. — 2010. — 13, № 1. — P. 65–85.

161. Srinivas M. D. Collapse postulate for observables with continuous spectra// Commun. Math. Phys. — 1980. — 71, № 2. — P. 131–158.

162. Tartar L. H-measures, a new approach for studying homogenization, oscillation and concentration eects in partial dierential equations// The Roy. Soc. of Edinburgh. Proc., Sect. A (Math.) — 1990. — 115, № 3/4. — P. 193–230.

163. Zhidkov P. E. Korteweg—de Vries and nonlinear Schr dinger equations: qualitative theory. — Heidelberg:

o Springer, 2001.

Всеволод Жанович Сакбаев Московский физико-технический институт, кафедра высшей математики 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9.

E-mail: fumi2003@mail.ru

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.