авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 9 |

«Д. Е. Бурланков Время, пространство, тяготение Москва Ижевск 2006 УДК 530.12, 531.51 • ...»

-- [ Страница 3 ] --

r r dt Последнее выражение можно сократить на массу это значит, что закон движения свободной частицы не зависит от ее массы, и оконча тельно:

= 2 [ r] + [ [r ]] = wK + wc, r (4.1) где wK и wc кориолисово и центробежное ускорения соответственно.

Наиболее существенным моментом в рассмотренной задаче явля ется неоднородность поля скоростей относительно инерциальной си стемы. Как преобразуются законы динамики при переходе в неинер циальную систему в общем случае, мы и рассмотрим в следующем разделе.

2. Инвариантная производная по времени Обозначим пространственные координаты инерциальной системы через xi, а некоторой неинерциальной системы xj (, t). Производные x по времени, если функция зависит от координат, в различных систе мах, в которых сами координаты меняются во времени по отношению к координатам пространства, выражаются по-разному. Производную по времени в инерциальной системе будем обозначать символом Dt и назовем ее инвариантной производной по времени. По правилу диф ференцирования сложной функции:

i Dt F = F + Fi x = F + V i Fi, (4.2) t x t t x что и определяет инвариантную производную от скаляра (эйконала, действия) в произвольной неинерциальной системе.

Для тензорной функции выражение чуть сложнее, так как произ водится еще преобразование, связанное с индексами. Рассмотрим сна чала преобразование контравариантного векторного поля Ai. В инер циальной системе отсчета его компоненты будем обозначать Ai :

i Ai = xi Aj + V k Aj xi Ai = xj Aj ;

+ Aj.

xj xj t t t xk x Преобразуем последнюю производную:

xi i k l i = xl x j k x = xl j V l.

xj t x x x t x x Отсюда инвариантная производная по времени от контравариантно го векторного поля выражается (одинаковым образом через обычные и ковариантные производные, так как в последнем случае все связности сокращаются):

Dt Ai = Ai Aj j V i + V j j Ai = Ai Aj V;

j + V j Ai.

i (4.3) ;

j t x x Аналогично для ковариантного векторного поля:

Dt Bi = Bi + V;

i Bj + V j Bi;

j j (4.4) t и тензора произвольного ранга:

Dt Qi = Qi V;

s Qs + V;

j Qi + V;

k Qi + V s Qi.

i s s (4.5) jk t jk jk sk js jk;

s Она состоит из r + 2 составляющих, где r ранг тензора. При r = (скаляр) мы имеем выражение (4.2) с двумя составляющими: частной производной по времени и “переносным” членом, определяемым полем абсолютных скоростей. Для тензоров, имеющих индексы, к каждому индексу (верхнему или нижнему) добавляется слагаемое, определяе мое производной поля скоростей как для контравариантного (4.3), так и для ковариантного векторного поля (4.4) в зависимости от располо жения индекса.

Особо важным является выражение для инвариантной производ ной по времени компонент метрического тензора. Так как простран ственные инвариантные производные от него равны нулю, ij + is V s,j +js V s,i +V s ij,s = ij + Vi;

j + Vj;

i.

Dt ij = (4.6) t Это преобразование определяет и инвариантную производную по времени от тензорных плотностей:

i Dt = + V;

i = + i ( V i ), (4.7) t t x откуда следует Dt (f ) = (f ) + i (V i f ). (4.8) t Теперь все соотношения, полученные в инерциальной системе ко ординат, можно перенести в неинерциальную, заменив обычную про изводную по времени на инвариантную.

3. Ли-вариации Формула преобразования метрики (4.6) дает возможность изучить несколько полезных частных случаев.

Наиболее естественное приложение этой формулы для описания постоянного пространства Dt ij = 0 в некоторой переменной си стеме координат. Формула определяет мгновенное изменение метрики ij в каждой точке, связанной с этой переменной системой:

ij = is V s.j js V s,i V s ij,s.

(4.9) Для тензора произвольного ранга, постоянного в инерциальной си стеме, в некоторой неинерциальной системе изменение компонент во времени определяется полем скоростей V i :

Qi = V;

s Qs V;

j Qi V;

k Qi V s Qi.

i s s (4.10) jk jk sk js jk;

s Такая конструкция была изучена выдающимся норвежским мате матиком Софусом Ли (1842–1899) для бесконечно малых преобразова ний координат xi = V i dt, называется Ли-вариацией тензорного поля Qi по полю V i и обозначается V Qi.

jk jk Ли-вариация скалярного поля f (x):

V f = V i i f. (4.11) Для контравариантного векторного поля U i Ли-вариация по полю i V V U i = V i,s U s V s Us = U V i i (4.12) определяет коммутатор двух этих полей конструкцию, антисиммет ричную по полям V i и U i :

[U, V ]i = U s V i,s V s U i,s = [V, U ]i, (4.13) U (V Qi ) V (U Qi ) = jk jk = (U V V U ) Qi = [U,V ] Qi. (4.14) jk jk Коммутатор двух векторных полей есть также векторное поле.

4. Движения римановых пространств Для некоторых пространств существуют такие поля скоростей, ко торые обеспечивают стационарность метрики, несмотря на перемен ность во времени системы координат. Это условие следует из (4.9):

ij = is V s,j +js V s,i +V s ij,s = 0.

(4.15) Если метрический тензор как функция координат задан, то эти уравне ния, называемые уравнениями Киллинга, являются однородными ли нейными дифференциальными уравнениями на векторное поле V i (по ле Киллинга) с тремя компонентами, самих же уравнений шесть по числу компонент метрического тензора. Система является переопреде ленной, она имеет решения лишь для частных случаев пространств пространств с движениями.

Наиболее известным и важным как геометрически, так и физиче ски является евклидово пространство. В декартовой системе координат для метрического тензора ij = ij имеется шесть независимых реше ний уравнений Киллинга: три сдвига, нумеруемых индексом s:

i V(s) = is, s = 1, 2, 3, и три вращения, определяемых через абсолютный антисимметричный тензор [ijk] :

V(j) = [ijk] xk.

i i i Если V(1) и V(2) два поля Киллинга, то их суперпозиция с про извольными постоянными коэффициентами V i = A V(1) + B V(2) также i i является полем Киллинга. Это есть следствие линейности уравнений Киллинга.

Из (4.14) следует, что и коммутатор двух полей Киллинга так же является полем Киллинга. Этим в множество полей Киллинга кон кретного пространства вводится антикоммутативное умножение. Тем самым множество полей Киллинга образует алгебру, носящую назва ние алгебры Ли.

Поля Киллинга обладают важными дифференциальными свой ствами:

1. Дивергенция поля Киллинга равна нулю.

Действительно, сворачивая (4.15) с обратным метрическим тензо ром, получим 2 V s, s + V s ij ij,s = 2 V s, s + V s, s;

s ( V s ) = 0.

2. Ковариантная производная поля Киллинга антисимметрична. Урав нение (4.15) можно представить через ковариантные производные s s V;

i sj + V;

j is = Vj;

i + Vi;

j = 0;

Vj;

i = Vi;

j.

3. В трехмерном случае ковариантная производная поля Киллинга представляется вектором, дуальным антисимметричному тензору ковариантной производной:

K i = [ijk] V[j;

k] ;

rot(V) = K.

Этот вектор является ротором поля Киллинга. Выбрав в малой об ласти риманова пространства декартовы координаты, мы получим обычное соотношение между векторным полем и его ротором.

В главе 10 приведены тексты модулей, позволяющих проводить вычисление рассмотренных геометрических характеристик на компью тере.

4.1. Движения двумерной сферы В качестве второго важного примера найдем векторы Киллинга двумерной сферы с метрикой в сферических координатах:

dl2 = d2 + sin2 d2 ;

= 1;

= sin2.

= 0;

В двумерном случае метрический тензор имеет три компоненты, поэтому уравнений Киллинга три:

= 2 V s, s + V s,s = 2 V, = 0.

Из этого уравнения следует, что компонента V зависит только от :

= V s, s + V s, s + V s,s = = sin2 V, +V, = 0.

С учетом зависимости V только от :

V = f () ctg + C;

V, = f ().

Последнее уравнение = 2 V, s + V s,s = 2(sin2 ctg f () + V () sin cos ) = s определяет уравнение на f ():

f + f = 0;

f = A sin + B cos, откуда получается три независимых решения уравнений Киллинга (по числу констант интегрирования):

V sin cos =A +B +C = V cos ctg sin ctg A V(1) + B V(2) + C V(3). (4.16) Коммутационные соотношения между ними:

[V(3), V(1) ] = V(2) ;

[V(3), V(2) ] = V(1) ;

[V(1), V(2) ] = V(3).

4.2. Трехмерная сфера Векторы Киллинга трехмерной сферы найдем в углах Эйлера, где метрика недиагональна:

dl2 = r (d2 + d2 + d 2 + 2 cos d d). (4.17) Векторы Киллинга находятся из шести уравнений Киллинга. Мы не будем подробно выводить решения этих уравнений, оставив это удо вольствие для читателя. В математическом Приложении мы приводим программу подбора и проверки выполнения уравнений Киллинга. Ре шение шестипараметрично:

sin cos = a1 cos ctg + a2 sin ctg + a3 1 + cos / sin sin / sin sin cos +b1 cos / sin + b2 sin / sin + b3 0 = cos ctg sin ctg (as V(s) + bs W(s) ), s= (4.18) где векторы из групп V и W коммутируют друг с другом: [V(i), W(j) ] = = 0, а внутри каждой группы они коммутируют как в группе движе ний двумерной сферы:

[V(i), V(j) ] = [ijk] V(k) ;

[W(i), W(j) ] = [ijk] W(k). (4.19) Как и для любого поля Киллинга, дивергенция каждого из этих полей равна нулю, а ротор обладает удивительно простым свойством:

rot(V(i) ) = 2 V(i) ;

rot(W(i) ) = 2 W(i), (4.20) r r где r радиус сферы.

5. Пространство B Общие свойства пространств лучше изучать, имея конкретные нетривиальные примеры. До сих пор в качестве примеров мы выби рали евклидово пространство и сферу. Эти пространства являются од нородными и изотропными: первое означает, что они обладают таки ми полями Киллинга, что сдвигами по этим полям любую точку этого пространства мы можем перевести в другую, что означает равноправие всех точек пространства, а второе определяет равноправие всех направ лений в окрестности выбранной точки. Из изотропности в окрестности любой точки следует однородность пространства. Действительно, изо тропность означает, что тензор Риччи пропорционален метрическому тензору (мы докажем это только для трехмерного пространства):

Rij = f (xk ) gij ;

Rj = f (xk ) j ;

i i R = 3f.

Тензор Эйнштейна также пропорционален единичному:

Gi = Rj 1 j R = 1 j f (xk ).

i i i j 2 Из тождества Гильберта следует Gi = 1 j f (xk ) = 0;

f = const.

j;

i Отсюда следует постоянство кривизны пространства Rij;

k = 0.

Однако обратное неверно: однородное пространство не обяза но быть изотропным. Классификация трехмерных однородных про странств была выполнена в 1918 году итальянским математиком Луи джи Бьянки (см. [20]). По его классификации трехмерная сфера при надлежит к классу 9. Однако этот класс значительно шире. Опираясь на вычисленные для трехмерной сферы векторы Киллинга (4.18), мы построим метрику общего однородного пространства B9.

i Построим репер, обратный реперу V(k) :

i i V(k) µ(k)j = j.

k= Его компоненты µ(k)j :

cos sin 0 0 1.

(µ(1), µ(2), µ(3) ) = (4.21) sin sin sin cos cos Метрика трехмерной сферы (4.17) может быть выражена через эти векторы:

ij = r (µ(1)i µ(1)j + µ(2)i µ(2)j + µ(3)i µ(3)j ).

Метрика общего пространства B9 получается обобщением этого выражения:

ij = a2 µ(1)i µ(1)j + b2 µ(2)i µ(2)j + c2 µ(3)i µ(3)j = (4.22) a2 cos2 + b2 sin2 (a2 b2 ) cos sin sin c2 cos.

0 c a2 b2 cos sin sin c2 cos c2 cos2 + sin2 (b2 cos2 + a2 sin2 ) Корень из детерминанта этого тензора = a b c sin.

Полный объем пространства B9 равен 16 2 abc. При a = b = c = = r/2 метрика переходит в метрику трехмерной сферы радиуса r.

Обратный метрический тензор выражается через исходные поля Киллинга:

ij = 1 V(1) V(1) + 1 V(2) V(2) + 1 V(3) V(3).

j j j i i i (4.23) a2 b2 c i При этом поля V(k) перестают быть полями Киллинга этого про i странства, но остаются геодезическими, а поля W(k) из (4.18) остаются i полями Киллинга. Так как коммутационные соотношения полей W(k) (4.19) совпадают с коммутационными соотношениями группы враще ний, пространство B9 неявно сферически симметрично. Это не есть группа вращений вокруг одной точки – пространство не изотропно.

Однако наличие этой группы движений позволяет упрощать решение ряда физических задач.

Скалярная кривизна a 2 + b 2 + c R= 1 + 1 + 1 1 (4.24) a2 b2 c2 b 2 c2 a 2 c2 a2 b одинакова во всех точках пространства.

6. Статические поля Соотношение динамики метрики (4.9) для некоторых динамиче ских метрик, меняющихся с течением времени в инерциальной систе ме, позволяет оставаться неизменными, стационарными в некоторой неинерциальной системе.

6.1. Статическое поле Бьерна Важнейший пример такого поля возник при описании работ Ниль са Бьерна, и, несмотря на то что эта личность создана лишь воображе нием, именно это поле оказалось самым главным при описании работ Бьерна, поэтому мы сохраним за ним наименование поле Бьерна.

Мы материализовали инерциальную систему в евклидовом про странстве, посыпав ее порошком безмассовых и не взаимодействующих ни друг с другом, ни с другими телами пылинок, относительно которых и определяются координаты тел.

Однако в окрестности Земли, Солнца или другого сферически сим метричного тела массы M равномерно рассыпанные пылинки будут падать на это тело под действием тяготения. Если эти частички рассы пали на бесконечности так, что там они покоились, образуя согласован ную систему отсчета, то при приближении к массивному телу у этих пылинок появляется радиальная скорость, которую можно определить из закона сохранения энергии:

V 2 k M = 0;

2kM.

V r (r) = (4.25) r r Это поле Бьерна: пространство плоское, но в нем имеется стационарное поле абсолютных скоростей. Сев на такую пылинку, мы оказываемся в инерциальном пространстве или просто в собственно пространстве, где поле скоростей отсутствует все пылинки относительно простран ства покоятся. Поле скоростей возникает в некоторой системе, относи тельно которой точки пространства (пылинки) меняют свои координа ты. Это неинерциальная система.

7. Динамика Космоса До сих пор при материализации инерциальной системы мы по лагали массу частичек, которые мы рассыпали по пространству, рав ной нулю или же просто пренебрегали гравитационным притяжением между ними. Обратим теперь внимание на модель, где эти частички обладают массой в пространстве имеется плотность этих частичек = 0. Гравитационное притяжение приводит к динамическому измене нию расстояний между ними. Выделим в пространстве сферическую область радиуса r0, и точки, лежащие внутри нее, будут иметь сфери ческие координаты с радиусом 0 r r0. Наша модель однородна плотность всюду одинакова и масса внутри выделенной сферы M (r0 ) = 4 0 r0.

(4.26) Для помеченных пылинок здесь все постоянно и радиус r каждой частички, и масса внутри выделенной сферы, и плотность 0.

Рассматриваемые пылинки это не внешние по отношению к про странству частички, а пылинки, принадлежащие самому пространству.

Следовательно, их координаты абсолютны и с течением абсолютного времени не меняются. С другой стороны, под действием сил взаимного притяжения расстояние между ними должно меняться в соответствии со вторым законом Ньютона. Это противоречие можно снять, введя за висящий от времени масштаб m(t), определяющий расстояние R(t) = = m(t) r и меняющийся по законам динамики:

R = m r = k M = k2 2, M m m 2 = k M = 4 0 = C.

3 R2 r mr Это дифференциальное уравнение на масштаб m(t), в правой части которого стоит отрицательная константа. Его первый интеграл C m2 m = C1.

(4.27) В простейшем случае константа интегрирования C1 равна нулю и уравнение динамики масштаба принимает вид 1/ 9C m m2 = C;

t2/3.

m= Масштаб является степеннй функцией времени.

о При этом каждая точка пространства неподвижна, однако рас стояния между любыми двумя точками меняются с течением време ни пропорционально изменению масштаба. Масштаб меняется от нуля до бесконечности. При масштабе, равном нулю, между любыми двумя точками пространства расстояние равно нулю. Весь мир сжат в точку.

Расширение Мира от этой точки называется “Большой взрыв” Big Bang.

Скорость удаления друг от друга точек пространства, покоящихся на неизменном координатном расстоянии l и переменном физическом расстоянии L = m l d L = m (m l) = H L, (4.28) m dt пропорциональна расстоянию между этими точками. Величина H = = m/m постоянная Хэббла. Она является константой лишь для всех точек пространства в данный момент времени, но от времени зависит:

H=m= 2.

m 3t При t близком к нулю моменту Большого взрыва она бесконечна, но с течением времени расширение замедляется.

8. Локальная неинерциальная лаборатория Бесконечно малая лаборатория это некоторый бесконечно ма лый параллелепипед, малый настолько, что пространство внутри него является евклидовым.

Внутри лаборатории происходят различные процессы, в частно сти, движение. Процессы совершаются в едином для всей лаборатории местном времени, которое мы будем обозначать буквой t.

Бесконечно малые размеры лаборатории приводят к необходимо сти аналитического продолжения евклидова пространства до беско нечного касательного евклидова пространства, частью которого яв ляется пространство лаборатории. Необходимость в нем возникает, на пример, при поиске оси вращения, которая может лежать вне лабора тории. Поэтому вне зависимости от структуры пространства снаружи лаборатории описание движений внутри лаборатории можно вести на языке бесконечного евклидова пространства.

Евклидово пространство обладает шестипараметрической группой движений: три сдвига и три вращения. В соответствии с этой группой в лаборатории могут наблюдаться неинерциальные элементы:

поле вращения вокруг некоторой оси;

поле ускорения g вдоль некоторого направления.

Порядок бесконечной малости лаборатории определяется не толь ко евклидовостью пространства внутри нее, но и однородностью полей ускорения и вращения.

В лаборатории могут двигаться как отдельные малые (по сравне нию с размерами лаборатории) тела, так и сравнимые с ней по разме рам другие (бесконечно малые) лаборатории.

Вследствие бесконечно малых размеров первичному рассмотрению подлежат лишь бесконечно малые скорости. По этой же причине при ращения скоростей за счет полей вращения и ускорения также беско нечно малы.

Поля вращения и ускорения внутри лаборатории, связанные с ди намикой во времени, несмотря на изотропию евклидова пространства, приводят к анизотропии процессов, в частности движений, и экспери ментально обнаружимы.

Поле вращения определяется направлением оси вращения и угло вой скоростью. В бесконечно малой системе оно однородно и опреде ляется для данной лаборатории единым вектором.

Поле вращения создает кориолисово ускорение wK = 2 [ v], ортогональное полю вращения и скорости и центробежное ускорение wc = [ [ (r r0 )]]. На оси, проходящей через точку r0 параллель но, центробежное ускорение отсутствует (ось вращения). Точка r может лежать где-то в касательном пространстве и за пределами лабо ратории. Поле центробежного ускорения линейно растет в зависимости от расстояния до оси вращения. Составляющая однородного ускорения в плоскости вращения (ортогональной оси вращения) смещает положе ние оси вращения, не меняя ее направления.

Переменное во времени поле вращения создает также линейное по координатам поле ускорения wm = [ (r r0 )], которое ортогонально вектору r r0.

Внутри первичной (бесконечно малой) лаборатории могут двигать ся другие лаборатории. Их движение относительно исходной лаборато рии может быть как равномерным прямолинейным (скорости беско нечно малые), так и ускоренным и вращательным. В аналитической ме ханике хорошо изучены теоремы сложения движений и вращений (см., например, [84]). Они, как правило, применяются к описанию движения твердого тела, но также применимы для описания полей вращения и ускорения внутри движущихся лабораторий.

Если некоторая лаборатория внутри данной вращается с угловой скоростью, то поле вращения внутри нее определяется векторной разностью =. (4.29) В частности, если =, то поле вращения в движущейся системе отсутствует. Такая система называется локальной системой без враще ния. В системе без вращения может существовать поле ускорения, од нородное вследствие бесконечной малости размеров системы и описы ваемое единым для всей лаборатории вектором g. Если внутри невра щающейся системы движется без вращения, но с ускорением a другая лаборатория, то поле ускорения в ней g = g a. (4.30) В частности, если a = g, то в последней системе отсутствует и по ле ускорения (и поле вращения). Такая система называется локально инерциальной. Системы, движущиеся относительно нее без вращения и ускорения (равномерно и прямолинейно), не содержат неинерциаль ных элементов и также являются локально инерциальными системами.

В подавляющем большинстве случаев физические лаборатории, в которых проводятся эксперименты (изучение эффекта Комптона, сверхпроводимости, выращивание кристаллов), являются неинерци альными поле тяготения создает поле ускорения. За счет вращения Земли (а также эффекта Лензе–Тирринга) возникает поле вращения.

Во вращающемся вокруг Земли искусственном спутнике может при сутствовать поле вращения как за счет его собственного вращения, так и за счет прецессии де Ситтера и поля Лензе–Тирринга–Керра вра щающейся Земли.

Время во всех движущихся (с бесконечно малыми скоростями) ла бораториях едино это местное время t первичной лаборатории. Про странство в них также евклидово, так как однородные сдвиги и пово роты не меняют метрики евклидова пространства, хотя нужно иметь в виду, что все это относится к бесконечно малым областям.

Глава Динамика в римановом пространстве Вспомните, что происходит с предметами на пароходе, попавшем в качку.

Л.Д. Ландау, А.И. Китайгородский Что же изменится в законах динамики, если наше пространство не плоское евклидово, а риманово, искривленное, и не только искривлен ное, но и меняющееся со временем, да еще по нему мы движемся на качающемся пароходе?

1. Геодезические линии Рассмотрим свободное движение материальной точки в инерциаль ном (поле скоростей отсутствует) римановом пространстве с метри ческим тензором ij (x). Потенциальная энергия тела равна нулю движение свободное, и лагранжиан определяется только кинетической энергией:

m ij (x) xi xj L = T = m dl =. (5.1) 2 dt В уравнениях Лагранжа L = L ;

d (m (x) xj ) = kj m xk xj d ij i i i dt dt x x x массу тела можно сократить:

ij kj k j xk xj = ij xj + xx.

2 xi k x В левой части выражение ij ij ik xk xj = 1 xk xj + 2 xj k xk x из-за симметрии по скоростям. Перенося его в правую часть, получаем ij jk ik ij xj = 1 xk xj.

+ 2 j xi k x x Умножая теперь слева на обратный метрический тензор, получаем справа связность (3.10), через которую теперь выражаются ускорения.

Это уравнение движения свободного тела в искривленном простран стве:

xl + l xk xj = 0.

kj (5.2) Это уравнение называется уравнением геодезической линии.

Если от времени t перейти к новому параметру t = l/v;

v =const, то в каждом слагаемом уравнения появится множитель v 2, который можно сократить, поэтому и в этом параметре уравнение геодезической линии будет иметь тот же вид (5.2), только точкой будет определяться производная по l.

При движении тела есть еще один параметр сохраняющаяся во время движения энергия:

m ij (x) xi xj = E.

Если введенный параметр v выбрать из соотношения E = m v 2 /2, то в параметре l на геодезической линии будет сохраняться соотношение i j ij d x d x = 1;

dl2 = ij dxi dxj, dl dl откуда следует смысл параметра l длина вдоль геодезической.

Свободное тело движется вдоль геодезической с постоян ной скоростью это обобщение 1-го закона Ньютона.

В зависимости от величины энергии находится время прохождения телом пути от одной точки к другой, но траектория движения тела от энергии не зависит.

Уравнение (5.2) определяет движение, в том числе и в плоском пространстве, в том числе и в декартовых координатах. Так как в по следнем случае связности равны нулю, уравнение получается очень простым: xi = 0. Это уравнение равномерного и прямолинейного дви жения. В других координатах уравнения другие, но решение их та же прямая линия, записанная в других координатах.

Уравнение (5.2) определяет движение одной материальной точ ки xi, xi это координаты и скорость одной точки в данный момент времени. Свободное движение системы точек описывается полем ско ростей ui (x, t) геодезическим потоком. С этой точки зрения уравне ние (5.2) может быть представлено через ковариантную производную этого поля:

d ui = uj ui = d xj ui = 0. (5.3) j j dt dt Для построения геодезических потоков наиболее естественен метод Гамильтона, следующий из уравнения в частных производных Гамиль тона–Якоби:

s + 1 ij s s = 1. (5.4) 2 xi xj t От массы движение свободных частиц не зависит. Как и в случае плос кого пространства, уравнения движения уравнения Гамильтона:

pi = si ;

E = s ;

H = 1 ij pi pj ;

t x d pi d xi = H = ij p ui ;

= H. (5.5) j xi dt pi dt Покажем, что эти уравнения приводят к уже выведенным уравне ниям геодезической (5.2). Для этого воспользуемся локально геодези ческой системой, где производные метрического тензора равны нулю:

d ui = ij d pj = 0 = uj ui.

xj dt dt Это то же самое уравнение.

Как и в классическом случае, изменение во времени любой функ ции координат и импульсов определяется скобками Пуассона, и, как в классическом случае, величина гамильтониана вдоль каждой траек тории сохраняется, так как скобки Пуассона его с самим собой равны нулю.

Так как траектория не зависит ни от массы, ни от величины энер гии, то для нахождения траектории удобно использовать приведенный гамильтониан:

2 H = ij (x) pi pj = 1. (5.6) Выражая из него одни импульсы через другие и дифференцируя по последним, находятся дифференциальные уравнения траектории.

2. Движение по двумерной сфере В качестве первого нетривиального примера рассмотрим свободное движение по сфере радиуса r:

dl2 = r2 (d2 + sin2 d2 ), p 1 p2 + H=.

2 m r2 sin Радиус r входит простым множителем как масса, поэтому для на хождения траекторий (зависимости между и ) можно рассматри вать сферу единичного радиуса.

Угол циклическая переменная (явно не входит в лагранжи ан), поэтому сопряженный ему импульс p l является константой на траектории.

l2 = 1;

l2.

p2 + p = sin2 sin Уравнение траектории с разделяющимися переменными:

l/ sin d p = = ;

d l 1 l2 / sin (l/ sin2 ) d d d = = ;

l ctg.

1 l2 1 l2 / sin Это уравнение легко интегрируется:

1 l2 sin( 0 ) = l ctg.

= (5.7) При l = 1 значение ctg = 0;

= /2, а угол меняется от нуля до 2 это экватор сферы.

Траектории при других значениях l (при l2 1) удобно рассмот реть на вложении двумерной сферы в трехмерное евклидово простран ство в декартовых координатах:

x = r sin cos ;

y = r sin sin ;

z = r cos.

Из уравнения (5.7) при 0 = 0 следует линейная связь между y и z:

1 l2 = l z.

y Это уравнение плоскости, проходящей через ось x и начало координат под углом к плоскости (x, y), где интеграл движения l определяет наклон этой плоскости: cos = l. При l = 1 угол наклона = экватор, как мы видели выше.

Угол 0 = 0 определяет угол поворота линии в плоскости (x, y), через которую проходит эта плоскость. Сечение такими плоскостями сферы образует окружности на сфере дуги большого круга, с помо щью движения по сфере, совместимые с экватором.

3. Динамика в неинерциальной системе Как изменятся уравнения динамики, если система координат явля ется неинерциальной, движущейся относительно инерциальной с полем скоростей V i (xj )? Нужно обратить внимание на различие постановки вопроса в классической динамике инерциальных систем в евклидовом пространстве, где говорилось не о поле скоростей, а о скорости дви жения. Фактически и там речь шла о поле скоростей, но это поле во всех точках было одинаковым в декартовой системе, удовлетворяя соотношению j ui = 0, а в произвольных координатах это соотношение переписывается через ковариантные производные:

j ui ui = 0. (5.8) ;

j Лагранжиан в неинерциальной системе выражается через скоро сти относительно абсолютного пространства:

L = 1 ij (xi V i (x))(xj V j (x)).

(5.9) Выражая скорости через импульсы pi = ij (xj V j );

xi = ij pj + V i, строим гамильтониан H = pi xi L = 1 ji (x) pj pi + V i (x) pi.

(5.10) Уравнения Гамильтона определяют геодезические линии:

jk d pi j = 1 pj pk V i pj.

2 x i dt x Эти уравнения в локально декартовой системе записываются как d pi j = V i pj dt x и для геодезических потоков возвращаются в произвольную систему в ковариантном виде (при ij и V i стационарных постоянных во времени):

d pi d ui = uj ui ik V (uj V j ).

j = V;

i pj ;

(5.11) j;

k ;

j dt dt Уравнения геодезических остаются такими же, как и в инерциальной системе, если Vj;

k = 0. Из этого условия следует, что и s (i k k i ) Vj = Rjik Vs = 0.

s Для выполнения этого условия необходимо, чтобы Rjik = 0 про странство должно быть плоским. Только в плоском пространстве воз можно однородное поле геодезических линий это и есть новое ев клидово пространство, движущееся относительно исходного с единой скоростью V.

Если пространство обладает кривизной, то исходная инерциаль ная система выделена по отношению к другим. Уравнения движения в искривленном пространстве с любым полем скоростей V i (x) отлича ются от уравнений движения в инерциальной системе. В случае нали чия у пространства кривизны, инерциальная система эксперименталь но обнаружима, принципиально отличается от неинерциальных.

4. Поля Киллинга и динамика Некоторые пространства обладают движениями, определяемыми полями Киллинга, сдвиги по которым не меняют метрики. Как наличие движений сказывается на динамике?

i Каждому полю Киллинга (j) (x) можно сопоставить линейную по импульсам скалярную функцию ((j) номер этого поля изменяется от 1 до k, где k число линейно независимых полей Киллинга):

i f(j) = (j) pi. (5.12) Вычислим через скобки Пуассона производную по времени этих функций:

df = {H, i (x) pi } = 1 i kl,i pk pl i,k kl pk pi = dt 1 ( i,k kl + l,k ki l ki,l ) pk pi.

Если i (x) является полем Киллинга, то правая часть этого выражения обращается в нуль и скобка Пуассона обращается в нуль, следователь но, конструкция i (x) pi является интегралом движения.

Это частный случай теоремы Нётер: каждому полю Киллинга i (x) соответствует интеграл движения i (x) pi.

5. Первый закон Ньютона Если пространство риманово, то первый закон Ньютона нуждается в некоторой корректировке.

Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного движения по геодезической ли нии, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.

Однако в малой области риманово пространство является почти плоским и, введя в этой малой области декартову систему координат (локально декартову), мы получим равномерное и прямолинейное дви жения тела. Поэтому старая формулировка Первого закона Ньютона остается в силе, но только для малой области, локально.

6. Равномерное движение трехмерной сферы Векторы Киллинга евклидова пространства определяют движения такие, что движущееся пространство остается евклидовым. Однако из шести движений евклидова пространства три (по направлению трех осей) являются равномерными и прямолинейными (инерциальными), а три вращения неинерциальными.

В этом плане очень интересно изучение движений трехмерной сфе ры также шестипараметрических. В ней оказываются также возмож ны движущиеся инерциальные системы, определяемые инерциальным однородным движением пылинок. Однако они оказываются неравно правными по отношению к покоящейся системе законы движения в них отличаются от законов движения в покоящейся системе.

По своим геометрическим свойствам трехмерная сфера принципи ально отличается от двумерной. Как известно, трехмерная сфера явля ется метрическим многообразием группы O[3], а однопараметрические подгруппы являются одновременно геодезическими потоками и полями Киллинга [21]. Назовем такие поля геотоками.

Векторные поля (4.18) µi и, являющиеся одновременно полями i Киллинга и геодезическими потоками, назовем соответственно левыми и правыми геотоками.

Векторы µi назовем векторами левой группы, а i векторами правой группы. Векторы, принадлежащие одной группе, будем назы вать односторонними геотоками, а разным разносторонними гео токами.

Уравнения Киллинга линейны по полям, и любая линейная ком бинация полей Киллинга левосторонних и правосторонних есть также поле Киллинга.

Уравнения геодезического потока ui i uj = 0 (5.13) нелинейны, и суперпозиция геодезических потоков уже не является гео дезическим потоком. Пусть имеются два геотока ui и v i. Их сумма есть вектор Киллинга. Будет ли суммарный поток геодезическим?

(ui + v i )i (uj + v j ) = ui i uj + v i i v j + ui i v j + v i i uj = ui i v j + v i i uj.

Так как эти поля одновременно являются и полями Киллинга, то ui;

k = uk;

i и i uj = jk uk;

i = jk ui;

k ;

ui i v j + v i i uj = jk (ui vi;

k + v i ui;

k ) = jk k (ui vi ).

Будет ли сумма геотоков геотоком это определяется их скалярным произведением.

Теорема 1. Если скалярное произведение двух геотоков посто янно на всем пространстве, то их сумма также является геотоком.

Скалярные произведения геотоков внутри каждой группы посто янны:

(µi µi ) = ;

( i ) =.

i Это обеспечивает на основании теоремы 1 выполнение следующей теоремы:

Теорема 2. Суперпозиция односторонних геотоков является геотоком.

Прямой проверкой убеждаемся, что скалярное произведение лю бых левых и правых геотоков не является константой. Это связано с тем, что при суперпозиции геотоков мы можем распоряжаться лишь шестью константами, а множество значений скалярного произведения на сфере бесконечномерно. Исключением является постоянство скаляр ных произведений односторонних геотоков.

Отсюда следует Теорема 3. Сумма левого и правого геотоков является полем Киллинга, но не является геодезическим потоком.

Если в каждой точке сферического пространства поместить пы линку и каждой такой пылинке придать скорость, пропорциональную одному из полей геотоков, то вследствие геодезичности такого поля, двигаясь по инерции, частички будут двигаться вдоль этого поля и са мо поле скоростей с течением времени меняться не будет.

Так как такое поле скоростей является полем Киллинга, то рассто яния между пылинками меняться не будут: в каждый момент времени множество пылинок реализует трехмерную сферу.

Поэтому для реализации инерциальной системы движущейся в себе трехмерной сферы нужно брать суперпозицию односторонних геотоков.

Однако по своим механическим свойствам такая движущаяся си стема отличается от покоящейся. В ней метрика, определяемая движу щимися пылинками, такая же, как и неподвижная метрика трехмер ной сферы, и поля Киллинга поэтому те же самые. Однако в дви жущейся системе только три геотока односторонние со скоростью.

Векторы Киллинга другой группы уже не являются геодезическими, что определимо экспериментально.

Это очень важный результат: кривизна пространства даже при на личии геодезических движений приводит к единственности абсолютно го пространства. Только в евклидовом пространстве имеется вырожде ние, приводящее к неразличимости равномерно движущихся друг от носительно друга систем, сохраняющих метрику пространства.

7. Электрическое и магнитное поля на S Специфическими свойствами в искривленном пространстве обла дает не только динамика материальных точек, но и другие физические процессы, например, электродинамические.

Электродинамика в евклидовом пространстве очень часто исполь зует для рассмотрения тех или иных электродинамических процессов постоянные, однородные электрическое или магнитное поля. Возмож ны ли такие поля, если пространство является трехмерной сферой S3 ?

Однородным поле можно представить, если оно пропорционально какому-то полю Киллинга n из (4.18):

E(r, t) = e(t) n;

H(r, t) = h(t) n.

Уравнения Максвелла в вакууме 1 H + rot E = 0;

1 E rot H = 0;

div H = 0;

div E = 0, c c с учетом соотношения для ротора поля Киллинга (4.20), приводят к за висимости от времени амплитуд электрического и магнитного полей:

h + 2rc e = 0;

e 2rc h = 0;

= 2rc.

h + 2 h = 0;

e + 2 e = 0;

Если в начальный момент мы задали однородное электрическое поле E0, то с течением времени оно перекачивается в магнитное по гармо ническому закону с частотой = 2 c/r. При этом энергия электромаг нитного поля не меняется: E2 + H2 = E2.

При стремлении радиуса сферы к бесконечности период колеба ний T = 2 r/c стремится к бесконечности пространство становится евклидовым, а поля становятся стационарными.

8. Инерциальное движение в пространстве B В пространстве B9 поля µi из (4.18) остаются геодезическими, (k) поэтому пылинки могут вдоль них двигаться, однако эти поля уже не являются полями Киллинга, поэтому при равномерном движении ча стиц метрика пространства B9 деформируется. Например, деформация метрики при сдвиге вдоль поля µ(3) = (0, 1, 0) изменяется только угол метрика деформируется пропорционально разности a2 b2 :

sin 2 0 cos 2 sin ij = (a2 b2 ) 0 0 0.

cos 2 sin 0 sin 2 sin Полный оборот изменение угла от 0 до приводит к возврату к начальной метрике.

Аналогично сдвиг по полю µ(1) пропорционален разности c2 b разности c2 a2.

и по полю µ(2) i Поля (k) остаются полями Киллинга, но перестают быть геодези ческими.

Движение, например, вдоль поля µ(3) с сохранением метрики воз можно в частично вырожденном пространстве B9 при b = a (полно стью вырожденное трехмерная сфера). Здесь наблюдается тот же эффект, что и при движении геодезического потока на сфере: метрика сохраняется, однако в движущейся системе возникает поле вращения i = c2 µi, (3) a так как поля µi в общем случае пространства B9 обладают вихревой (k) частью:

rot µ(1) = a µ(1) ;

bc rot µ(2) = cba µ(2) ;

(5.14) rot µ(3) = c µ(3).

ab Описание динамики в движущейся по инерции системе в пространстве B9 в общем случае требует описания не только в дополнительном вих ревом поле, но и при переменной метрике пространства.

9. Однородное электромагнитное поле в пространстве B Соотношения (5.14) позволяют построить более богатую, чем на трехмерной сфере, систему однородных электромагнитных полей. Эта задача нам пригодится в дальнейшем, поэтому выполним ее на основе методов Лагранжа–Гамильтона. Выберем векторный потенциал вдоль геодезических полей (4.21):

Ai (t,, ) = A1 (t) V(1)i + A2 (t) V(2)i + A3 (t) V(3)i. (5.15) При этом поля µ(i) нормированы так:

1;

1;

1.

(µ2 ) ij µi µj ;

(µ2 ) = (µ2 ) = (µ2 ) = (1) (2) (3) 4 a2 4 b 4 c (5.16) Компоненты электрического и магнитного полей (для упрощения выражений и чтобы не путать скорость света с параметром метрики c, мы будем работать в системе единиц, где скорость света равна единице;

время измеряется в метрах):

E = A1 µ(1) + A2 µ(2) + A3 µ(3), H = a µ(1) abc µ(2) c µ(3).

bc ab Лагранжиан E2 H L= d d d = 2 2 = abc 1 A2 a 2 +1 A2 b 2 +1 A2 c = 1 1 2 a2 b2 c2 bc ac ab =1 b c A2 a A2 a c A2 b A2 a b A2 c A + +.

a 1 bc 1 b 2 ac 2 c 3 ab (5.17) Это динамическая система с тремя степенями свободы с динамически ми переменными A1, A2, A3 и сопряженными им импульсами:

p1 = L = bac A1 ;

A p2 = L = a c A2 ;

b A p3 = L = acb A3.

A Отсюда легко выражаются скорости через импульсы:

A1 = a p1 ;

A2 = abc p2 ;

A3 = c p bc ab и строится гамильтониан Ak pk L = 1 a (p2 + A2 ) + b (p2 + A2 ) + c (p2 + A2 ).

H= ac bc 1 1 ab 3 k= (5.18) Гамильтониан квадратичен по динамическим переменным и им пульсам и представляет сумму гамильтонианов трех независимых ос цилляторов с частотами 1 = a ;

2 = abc ;

3 = c.

bc ab Динамические уравнения Ai = H = i pi ;

pi = H = i Ai pi Ai определяют в каждой моде периодический переход со своей частотой i между электрическим и магнитным полями, но энергия при этом в каждой моде сохраняется.

10. Движение в поле Бьерна Рассмотрим движение свободного тела в поле Бьёрна (4.25).

Лагранжиан состоит только из кинетической энергии, поэтому дви жение не зависит от массы, и ее можно положить равной единице. Так как поле скоростей радиально, запишем лагранжиан в сферической си стеме координат. Он выражается через абсолютную скорость тела скорость относительно пространства:

L = 1 (r V r (r))2 + r2 2.

Координата циклическая, сопряженный ей момент постоянен при движении:

= l2 ;

p l = r2 ;

r pr p = r V r (r);

r = p + V r (r).

Гамильтониан также постоянен:

H = pr 1 p2 + l = 2 r 2 =1 r2 + V r (r)2 + l 2 =1 r2 + l 2 2 krM = E.

2 r r Это выражение в точности совпадает с (2.20) и приводит к тем же решениям, что и при использовании гравитационного потенциала: дви жения по окружностям, эллипсам, параболам и гиперболам.

Учет неинерциальности системы при описании движения тел эк вивалентен учету гравитационного потенциала в предположении инер циальности системы.

11. Распространение света Распространение света описывается уравнением эйконала, имею щим в инерциальной системе вид 0 ij ki kj = 0;

0 = ;

k =. (5.19) 2 t c Если метрика статична не меняется со временем (пока мы рас сматриваем только этот случай) частота света на луче сохраняется.

Поэтому ее можно исключить из уравнения движения, введя ki = pi.

c Тогда уравнение эйконала перепишется в виде ij pi pj = 1.

Но это полностью совпадает с выражением для импульсов свободных материальных тел, движущихся в данном римановом пространстве.

Поэтому свет в римановом пространстве движется по тем же траек ториям, что и материальные точки по геодезическим линиям.

11.1. “Рыбий глаз” Максвелла В качестве нетривиальной оптической задачи рассмотрим “рыбий глаз” Максвелла. Максвелл придумал среду с переменным показателем преломления, в которой все лучи, вышедшие из одной точки, собира ются в некоторой другой идеальная фокусирующая среда. Начало координат помещается в точку, в которой показатель преломления мак симален, тогда изменение показателя преломления зависит только от радиуса среда сферически симметрична:

n n(r) =. (5.20) 1 + r2 /D Здесь D масштаб скорости изменения показателя преломления.

Его можно положить пока равным 1, k2 = n(r)2, n p2 + l 2 =.

r (1 + r2 ) r Для нахождения формы луча нужно выразить pr :

n2 l2 ;

pr = (1 + r ) r l/r2 l/(n0 r2 ) (1 + r2 ) d pr = = =.

dr l n2 1 l 2 (1/r + r) l n (1 + r ) r В числителе стоит дифференциал функции l 1 r ;

l 1 +1, =n d = n r r 0 а выражение под корнем в знаменателе можно преобразовать, исполь зуя 2 1 + r = 1 r + 4.

r r Дифференциальное уравнение траектории сводится к квадратуре d d = ;

1 a2 a = 4 l2.

n Интегрируя, получаем = 0 + arctg, 1 a2 x откуда l 1 r r sin( 0 ) =. (5.21) n2 4 l При замене r на 1/r угол ( 0 ) просто меняет знак. Это опре деляет симметрию луча. Если перейти к декартовым координатам x = r cos ;

y = r sin ;

r2 = x2 + y 2, умножая (5.21) на r, получим l (1 x2 y 2 ).

y cos 0 x sin 0 = n2 4l Это уравнения окружностей. Например, при 0 = /2 это семей ство окружностей, проходящих через точки (0, ±1).

Выявленная симметрия говорит о том, что каждой точке с коорди натами (x0, y0 ) сопряжена точка (x1 = x0 /(x2 +y0 ), y1 = y0 /(x2 +y0 ) 2 0 и все окружности, проходящие через точку (x0, y0 ), обязательно про ходят через точку (x1, y1 ).

Объяснение столь удивительных свойств среды с показателем пре ломления (5.20) простое: свет распространяется по экстремалям опти ческой длины n2 (x, y, x)(dx2 + dy 2 + dz 2 ).

h= n(r) dl = Но этот функционал есть функционал длины в свободном (с единич ным показателем преломления) конформно плоском римановом про странстве с метрикой (3.43).

Таким образом, задача о распространении луча в среде с перемен ным показателем преломления эквивалентна задаче о распростране нии луча в некотором конформно плоском римановом пространстве.

Все двумерные поверхности являются конформно плоскими, поэтому в двумерном случае эти задачи взаимны: распространение света по лю бой двумерной поверхности математически эквивалентно распростра нению лучей в среде с переменным показателем преломления.

В трехмерном случае конформно плоские пространства образу ют лишь подмножество всех трехмерных римановых пространств. Но в любой размерности сфера является конформно плоским простран ством с метрикой (3.43) и построенный Максвеллом показатель прелом ления (5.20) это конформный множитель метрики сферы. Оптически сопряженные точки это диаметрально противоположные точки на сфере, как северный и южный полюса. Все меридианы (геодезические) проходят как через северный, так и через южный полюса.

12. Распространение света вблизи Солнца Наша система, связанная с Землей, с лабораторией на ней, явля ется неинерциальной вблизи Солнца имеется поле скоростей Бьёрна (4.25), а само пространство плоское.

При переходе от абсолютно покоящейся системы к движущейся относительно нее с полем скоростей V(r) мы должны подправить про изводную по времени на ковариантную:

+ V(r). (5.22) t t Волновой вектор k при переходе в неинерциальную систему не ме няется, а частота преобразуется по закону 0 = + (V(r) · k). (5.23) Уравнение эйконала при этом приобретает вид:

1 ( + (V(r) · k))2 k2 = 0. (5.24) c В сферической системе координат ( + V (r) kr ) k kr + = r2 c и k являются константами.

Если рассматривается стационарная задача, то можно ввести V (r) kr = n;

k = l;

n2 + l 2 (1 + n)2 = 0;

2k M.

= c= c c c2 r r Выразим отсюда n:

1 (l/r)2 (1 2 ) n= ±.

1 2 1 Траектория луча находится из дифференциального уравнения l/r2 l/r d = n = =.

dr l 1 (l/r)2 (1 2 ) 1 (l/r)2 (1 2k2M ) cr Переходя к переменной = l/r, получаем d = k2.

M d = ;

(5.25) cl 2 ( 1 2 ) Если положить = 0, это дифференциальное уравнение имеет решение l = r = cos.

При изменении от /2 до /2 оно описывает прямую, проходящую на расстоянии l от центра тяготеющего тела.

Найдем решение уравнения (5.25) в первом порядке по :

= cos( ()) cos + sin, d = sin + (sin d + cos ).

d d Возведя в квадрат и подставив в (5.25), где сохраним только линейные по члены, получим дифференциальное уравнение для :

d = cos, d sin которое легко интегрируется:

1 + sin, = sin и окончательно p x = r = cos + (1 + sin2 ). (5.26) Луч приходит из бесконечности и уходит на бесконечность (x1 = 0, x2 = 0). При этом получает малую добавку по отношению к ±/2, где sin2 1, а cos(±/2 + ) ±:

2 = 2kM, Rc если свет двигался по траектории, проходящей на ближайшем рассто янии от тела его радиуса R. Полный угол отклонения его от прямой складывается из отклонений слева и справа и равен 2 = 4k M. (5.27) c2 R Эта формула в точности совпадает с формулой общей теории отно сительности (см. [20, стр. 397, ф. (101.8)]).

Для Солнца = 2.25 · 106, что дает полный угол отклонения 1.7”.

Экспериментально отклонение было замерено во время полного солнечного затмения 29 мая 1919 года экспедицией под руководством А. Эддингтона. Замеренная величина лежала в интервале 0.9”–1.8”.

12.1. Сравнение с расчетами Золднера 1801 года Нужно отметить, что отклонение света, как частиц, летящих со скоростью света c = 3·108 м/сек, в поле тяготения Солнца было рассчи тано еще в самом начале XIX века. Однако расчет на основе уравнения эйконала фактически учитывает релятивистский характер распростра нения света, и поэтому нерелятивистский расчет дает окончательное выражение в два раза меньшее, чем выполненное в соответствии с вы ражением (5.25).

Еще в 1801 году Золднер [22] реализовал высказанное Лапласом убеждение о том, что свет вблизи тяготеющей массы (звезды, Солнца) будет искривлять свою траекторию – как комета, имеющая на беско нечности скорость c скорость света. Расчет (сейчас) проще проводить на основе уравнения Гамильтона–Якоби для частицы с массой единица, так как траектория движения в поле тяготения от массы не зависит.

p kr.

M H= В сферической системе координат 2 H=1 p2 + l 2 kr = c, M (5.28) r 2 r где l интеграл движения момент, сопряженный углу поворота по орбите, а правая часть энергия на бесконечности для частицы, движущейся со скоростью света.

Выражая отсюда pr :

c2 l 2 + 2krM, pr = r находим уравнение траектории l/r d pr d ;

r ;

= k M.

l = = ;

d= d r l l c2 + c2 l 2 + 2krM r Полученное соотношение легко интегрируется:

c2 + 2 cos( 0 ).

= Бесконечному удалению частицы (r = ) соответствует точка = 0:

cos( 0 ) =.

c2 + Частица приходит из бесконечности (угол = 1 = 0) и уходит на бесконечность (угол = 2, который и нужно найти).

При отсутствии притягивающего центра угол меняется от нуля до, что определяется взятием отрицательного знака у квадратного кор ня.


При = cos(0 ) = sin 0 = c ;

;

c2 + 2 c2 + cos(2 0 ) = cos 2 cos 0 + sin 2 sin 0 =.

c2 + В линейном приближении по малому углу отклонения cos 2 1;

sin 2 2, откуда 2 = 2c = 2 k M.

(5.29) lc Момент l можно определить на бесконечности. Для частицы с мас сой 1 и скоростью c, движущейся параллельно оси, направленной на центр на расстоянии R (радиус Солнца), момент равен l = c R и фор мула (5.29) определяет угол отклонения = 2 k M, (5.30) R c что ровно в два раза меньше величины, определяемой выражением (5.27).

Глава Теория относительности Свойства пространства-времени являются объективными, определяемыми самой при родой и не зависящими от нашего произво ла.

В. А. Фок Даже если наше пространство является искривленным, римано вым, в доступной наблюдениям достаточно малой области оно в хо рошей степени является евклидовым малая область риманова про странства подчиняется евклидовой геометрии. Ведь долгое время, по ка люди имели дело с расстояниями много меньшими радиуса Земли, они полагали, что Земля плоская. Поэтому, пока речь идет о не очень больших размерах, пространство можно полагать плоским. При этом в ньютоновой механике возник парадокс Али-Бабы: из-за равноправия уравнений динамики Ньютона во всех равномерно и прямолинейно дви жущихся друг относительно друга евклидовых пространствах абсолют ное пространство затерялось, стало неразличимо. Пространств стало бесконечно много. Но время было едино, время было абсолютным.

Теория относительности (впоследствии получившая наименование специальная теория относительности СТО) распространила этот парадокс и на время. Ее важнейшим открытием является открытие то го факта, что у движущегося наблюдателя физические процессы про текают в собственном времени, отличном от времени лабораторной си стемы. Времен, как и пространств, стало бесконечно много.

По теории относительности написано множество популярных и глу боко научных книг, поэтому здесь мы акцентируем внимание лишь на тех явлениях СТО, которые выявляют особенности течения времени наблюдателей, движущихся как инерциально, так и с ускорением, что бы понять действительно ли теория относительности запретила гло бальное время.

1. Преобразования Лоренца В процессе создания теории относительности важную роль сыграл эксперимент Майкельсона (Альберт Майкельсон, 1852–1931), в кото ром он пытался определить абсолютное движение Земли. Мы не бу дем здесь описывать эксперимент в деталях он многократно изложен в литературе, посвященной теории относительности. Важно, что Май кельсон этого движения не обнаружил, хотя Земля вращается вокруг Солнца с линейной скоростью около 30 км/с, что составляет 104 от скорости света.

Гендрик Антоон Лоренц (1853–1928) чтобы объяснить отрицатель ный результат эксперимента Майкельсона, предположил в 1893 году, что размеры тела, движущегося со скоростью V, в направлении дви жения сокращаются в 1 V 2 /c2 раз. Для объяснения эксперимен та Майкельсона этой гипотезы оказалось достаточно. Однако еще ряд электромагнитных экспериментов, призванных замерить абсолютное движение Земли, также дали отрицательный результат как будто Земля неподвижна. Анри Пуанкаре (1854–1912) в 1900-м году выдви гает мысль, что природа устроена так, что абсолютного движения в принципе нельзя обнаружить.

Поэтому Лоренц ставит задачу не только найти изменения ко ординат, объясняющие частный электромагнитный процесс распро странение света в эксперименте Майкельсона, но и значительно более широкую: найти преобразования к движущейся системе, при которых уравнения Максвелла остаются неизменными. Если в движущейся си стеме уравнения электродинамики остаются такими же, как и в непо движной, то никакие электромагнитные эффекты, вроде бы связанные с движением системы, не могут быть обнаружены. В 1904 году Лоренц пишет работу, в которой показывает, что для решения этой задачи нуж но еще в движущейся системе преобразовывать не только координаты, но и время. Эти преобразования Пуанкаре назвал преобразованиями Лоренца.

В 1905 году молодой тогда Альберт Эйнштейн (1879–1955) пока зывает, что проблема не в уравнениях Максвелла, а в свойствах про странства и времени в (локальных) системах наблюдателей, движу щихся друг относительно друга. Вместо сложных вычислений Лорен ца с уравнениями Максвелла он увидел центральный результат, ко торый содержится в преобразованиях Лоренца: постоянство скорости света в движущихся системах и необходимость преобразования вре мени для обеспечения этого постоянства. Свет в движущейся системе движется с такой же скоростью универсальной скоростью c, как и в неподвижной в любом направлении. Тогда не нужно никаких вы числений для объяснения отрицательного эксперимента Майкельсона:

времена прохождения светом различных путей в различных направле ниях в точности такие же, как в неподвижной системе.

В классической механике, если какое-то движение в системе, дви жущейся относительно некоторой базовой системы со скоростью V, происходит в том же направлении со скоростью u, то относительно самой базовой системы он происходит со скоростью u = u + V. Этот результат с неизбежностью получается, если время в обеих системах одно и то же. Используя идею Лоренца о преобразования и времени, Эйнштейн довольно просто получает преобразования Лоренца.

Координаты в движущейся системе будем обозначать штрихом.

Преобразования дифференциалов координат и времени линейны. Пре образование координаты x (вдоль направления движения):

dx = dx V dt.

Неподвижная относительно движущейся системы точка dx = 0 дви жется в базовой системе со скоростью V. Чтобы модифицировать закон сложения скоростей до сохранения постоянства скорости света, Эйн штейн пользуется идеей Лоренца о преобразованиях времени:

dt = dt dx.

При таких преобразованиях для движения относительно базовой системы со скоростью u = dx/dt скорость этого движения относительно движущейся системы будет uV u = d x =.

1u dt получить u = c при u = c, используя введенный неопреде Задача ленный параметр :

cV c=.

1c Отсюда вычисляется = V /c2, и формула сложения (точнее, в данном случае вычитания) скоростей принимает вид:

uV u =. (6.1) 1 u V /c При скоростях V c добавкой к единице в знаменателе можно получается классическая формула u = u V. Если же пренебречь u = c, то и u = c скорость света одинакова во всех системах.

Однако при этом неподвижная система остается выделенной, неравноправной по сравнению с движущейся. Запишем преобразова ния координат и времени в матричном виде:

t V /c 1 t = ·.

x x V Обратные преобразования от движущейся системы к неподвижной по лучаются через обратную матрицу, элементы которой в знаменателе содержат детерминант матрицы (обозначим его 1/ 2 = 1 V 2 /c2 ):

t 1 V /c t = 2 ·.

x x V Выход очевиден: преобразования симметричны (с естественной заме ной V на V ), если детерминант матрицы преобразования равен едини це, чего можно добиться, умножив преобразование и координаты и вре мени на = 1/ 1 V 2 /c2, после чего эти преобразования принимают вид:

t V x/c2 xV t t = x = y = y;

z = z.

;

;

(6.2) 1 V 2 /c2 1 V 2 /c Сюда добавлено отсутствие преобразований координат в направлении, перпендикулярном движению. Это и есть преобразования Лоренца. Об ратные преобразования t + V x /c2 x + V t t= ;

x= (6.3) 2 /c2 1 V 2 /c 1V получаются заменой V на +V.

При V /c 0 преобразования (6.2) переходят в свой асимптотиче ский вид t = t;

x = x V t;

y = y;

z = z преобразования Галилея.

2. Геометрия Минковского Исключительную важность преобразований Лоренца сразу оценил А. Пуанкаре. Он показал, что преобразования Лоренца образуют груп пу, сохраняющую инвариант d 2 = dx2 + dy 2 + dz 2 + (i c dt)2. (6.4) Это элемент длины в четырехмерном евклидовом пространстве, три измерения в котором связаны с пространственными координатами, а четвертое определяется временем, умноженным на скорость света, да еще и на мнимую единицу.

В 1908 году математик Герман Минковский (1864–1909) показал, что преобразования Лоренца описывают геометрию многообразия со вершенно нового типа псевдоевклидову геометрию. Он возвел в квад рат мнимую единицу (которую Пуанкаре вставил, чтобы добиться фор мального равноправия всех четырех координат) и получил инвариант преобразования Лоренца:

ds2 = (c dt)2 dx2 dy 2 dz 2. (6.5) Введя четвертую (нулевую) координату x0 = c t, он привел преоб разования Лоренца к простому виду x0 = (x0 x1 );

x1 = (x1 x0 ), (6.6) где =V;

= c 1 безразмерные коэффициенты.

Инвариант Минковского можно записать в виде ds2 = g dx dx ;

, = 0... 3, (6.7) через метрический тензор Минковского 10 0 0 1 0 ( ) = g, (6.8) 0 0 1 00 0 определяющий метрические свойства пространства Минковского.

Знаконеопределенность метрики допускает качественно три раз личных типа интервалов:

1) ds2 0 времениподобные;

2) ds2 0 пространственноподобные;

3) ds2 = 0 изотропные.

Преобразования Лоренца меняют координаты и время одной и той же мировой точки при переходе из одной системы в другую, движущу юся относительно первой со скоростью V. Множество координат одной и той же точки в различных системах, движущихся с различными ско ростями (вдоль оси x только), образует гиперболу (см. рис. 6.1) (ct) x2 = (ct0 )2 для времениподобного отрезка в пространстве-времени;

гиперболу x2 (ct)2 = x2 для пространственноподобного отрезка и две прямые, определяющие распространение света x = ±ct для изотропно го отрезка.

При учете всех трех пространственных координат (включая y и z) рассмотренные выше линии переходят в трехмерные многообразия.

Изотропные направления образуют световой конус (ct)2 = x2 + y 2 + z 2, (6.9) который и делит все качественно различные направления в четырех мерном пространстве.

Для времениподобных направлений двуполостный гиперболоид с полостями внутри верхней и нижней части светового конуса (ct)2 x2 y 2 z 2 = (ct0 ) и для пространственноподобных однополостный гиперболоид x2 + y 2 + z 2 (ct)2 = l2, ct A B O x Рис. 6. охватывающий световой конус.


Такая структура пространства определяет принцип причинности:

в различных системах точка B, отделенная от точки O пространственно подобным интервалом, может оказаться по времени как позже точки O, так и раньше ее. Поэтому она не может причинно воздействовать на события в точке O (и наоборот). Точка же A при любых преобра зованиях Лоренца всегда остается по времени позже точки O, поэтому события в точке O могут причинно воздействовать на события в точке A. События в точке O могут причинно воздействовать лишь на верх нюю внутренность светового конуса.

Пространство Минковского изотропно локально, но неизотропно глобально: непрерывные преобразования Лоренца переводят одно про странственноподобное направление в другое (то же и для временипо добных направлений), но никаким вещественным преобразованием Ло ренца нельзя перевести времениподобное направление в пространствен ноподобное или изотропное.

Если ввести гиперболический угол такой, что th = V /c, то преобразования Лоренца (6.6) можно выразить через этот угол:

1 V = sh ;

= = ch ;

c 1 V 2 /c x x0 ch sh = ·. (6.10) x x1 sh ch Два вектора a и b ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю:

a b (a · b) = a0 b0 a1 b1 = 0;

a1 = 0. (6.11) b Если вектор a времениподобен, то ортогональный ему вектор b про странственноподобен. Изотропный вектор ортогонален сам себе. Его проекции на оси ct и x одинаковы.

При отображении двумерного пространства Минковского на дву мерное евклидово пространство (лист бумаги) имеются некоторые осо бенности (рис. 6.1). Оси ct и x ортогональны друг другу. Для движу щегося со скоростью V тела его ось времени ct наклонена к оси ct под углом, так что tg = V /c. Пространственная ось x движущегося тела повернута на тот же угол к оси x, но, в отличие от евклидовой геометрии, навстречу своей оси времени, так что световой луч OC все гда делит угол между этими осями пополам в этом и проявляется инвариантность скорости света.

Геометрия Минковского во многом подобна евклидовой геометрии, однако знаконеопределенность интервала вносит в геометрию свою спе цифику. В геометрии Минковского линейные трехмерные многообра зия, ортогональные времениподобным векторам, являются трехмерны ми евклидовыми пространствами. Ортогональные же пространственно подобным векторам образуют трехмерное пространство Минковского, в котором повторяется то же разделение: линейные двумерные мно гообразия, ортогональные времениподобным векторам, являются дву мерными евклидовыми пространствами (плоскостями), а ортогональ ные пространственно-подобным векторам образуют двумерные плоско сти Минковского.

Треугольники в плоскости Минковского имеют несколько каче ственно различных типов:

1) времениподобные, все стороны которых времениподобные;

2) пространственноподобные, все стороны которых пространственно подобные;

3) смешанные, у которых одна сторона (или две) времениподобные и две (или одна) пространственноподобные.

Первый тип интересен тем, что в нем теорема о длине стороны тре угольника, в евклидовой геометрии, утверждающая, что длина любой стороны треугольника меньше суммы двух других сторон, утверждает прямо противоположное: любая сторона такого треугольника короче суммы двух других сторон.

Из варианта этой теоремы для евклидова пространства следует, что прямая линия является кратчайшей среди всех кривых, соединя ющих две точки, а в геометрии Минковского следует обратное: време ниподобная прямая, соединяющая две точки, является наидлиннейшей среди всех времениподобных кривых, соединяющих эти же точки.

Любой движущийся наблюдатель относительно себя неподвижен, поэтому интервал, который у него набегает с точки зрения другого наблюдателя за счет как течения времени, так и перемещения в про странстве, с его точки зрения растет только за счет его собственного времени :

ds = c2 dt2 dx2 dy 2 dz 2 = c d. (6.12) Теорема о наибольшей длине прямой приводит к парадоксу близ нецов: если один из близнецов движется по инерции по временипо добной прямой в пространстве Минковского между двумя мировыми точками, а другой совершает неинерциальное движение между этими же точками движется по кривой в пространстве Минковского, то время, прошедшее у инерциального наблюдателя пройдет больше, чем у неинерциального. Эта теорема чисто кинематическая, даже чисто гео метрическая. Она не апеллирует к физическим явлениям, связанным с ускорением у неинерциального наблюдателя, она только геометри чески определяет длину прямой и кривой линий (собственное время).

Часто при критике парадокса близнецов пытаются их поменять ме стами, но по условию задачи они явно неравноправны: лишь первый движется по инерции. Если же оба совершают инерциальное движение между двумя точками в пространстве Минковского, то они движут ся по одной и той же прямой (через две точки проходит единственная прямая) и время у них проходит одно и то же.

Однако далее мы увидим, что если пространство Минковского име ет нетривиальную топологию между двумя точками можно провести несколько прямых, то парадокс близнецов наблюдаем и для инерци ально движущихся наблюдателей, выделяя одного из них с наиболь шим временем, определяющим глобальное время в этой системе.

3. Мини-глобальная инерциальная система Равноправие инерциальных систем, движущихся друг относитель но друга с постоянной скоростью, математически выраженное в гео метрии Минковского, привело к формулировке принципа относитель ности: в пространстве-времени нет выделенного направления времени.

Все направления внутри светового конуса равноправны.

Однако, когда экспериментатор работает с быстрыми частицами, либо в камере ускорителя, либо регистрируя космические лучи, он опе рирует временем в своей (евклидовой) лаборатории (t). Если частица движется по отношению к лаборатории, собственное время частицы пересчитывается через интервал (6.12):

1 V.

d = dt (6.13) c Классическим примером проявления собственного времени явля ется наблюдение в космических лучах -мезонов, собственное время жизни которых, определенное в ускорителях, около 108 секунды. Да же если бы -мезон двигался со скоростью света (c = 3 · 108 м/сек.), за это время он смог бы пролететь лишь около трех метров, а рождаются они на высоте около 100 километров от поверхности Земли. Поначалу даже полагали, что -мезоны в космических лучах и в ускорителях разные частицы. Однако учет различия времен, определяемого теори ей относительности, ставит все на свои места: 108 секунды это соб ственное время жизни, которому при скоростях движения, близких к скорости света, по формуле (6.13) соответствует несравненно боль шее время лабораторной системы. Эта формула определяет скорость частицы, живущей какое-то большое время t в лабораторной систе ме. Проходя за собственное время 108 секунды путь l 105 м, частица проходит этот путь в лабораторной системе за время 2 + l 2.

t = c При больших разницах времен скорость ее движения чуть меньше ско рости света:

c v= l = c c 1 1.

t l c 1+ l При том же малом собственном времени жизни по отношению к лабо раторной системе частица может пройти сколь угодно большой путь при соответственном приближении скорости движения к скорости све та.

Рассматривая множество движущихся частиц, каждая из которых имеет собственное время, исследователь приводит их времена и прой денные пути в собственную, лабораторную систему, являющуюся по отношению к рассматриваемым в ней процессам мини-глобальной си стемой с квазиабсолютным пространством и квазиабсолютным вре менем. Теория относительности лишь определяет, что, например, в ла боратории на противоположной стороне Земли, движущейся по отно шению к первой за счет вращения Земли вокруг своей оси, соотношения путей, времен и скоростей будут точно такими же.

Особенно необходимо приведение всех эффектов в мини-глобальную систему наблюдателя при изучении ускоренных движений.

4. Движение с ускорением Движение с ускорением исследовано в фундаментальном труде Мизнера, Торна и Уилера [23]. Они показывают, что преобразования Лоренца от координат и времени лабораторной системы в ускоренно движущуюся с ускорением g имеет смысл лишь в пространственной об ласти, ограниченной в направлении ускорения размерами, меньшими c2 /g. Хотя в любой реальной системе этот размер громаден, сам факт отсутствия глобальной системы движущегося наблюдателя очень существенен.

Движение с ускорением это непрерывное изменение скорости движения V в каждый бесконечно малый промежуток времени на неко торую величину V в соответствии с релятивистской формулой сложе ния (6.1):

V + V V =. (6.14) 1 + V V c При V 0 в линейном приближении по V это выражение приводится к виду V (V + V ) 1 V V V + 1 V 2 V. (6.15) c c Инвариантное равноускоренное движение это когда в собствен ном времени движущегося тела приращение скорости V = a d не зависит от момента собственного времени: a постоянное ускорение.

Тогда в лабораторной системе 1 V dV = V V = a d.

c Разделяя переменные и интегрируя, получаем:

dV V = th a = ac.

= a d ;

= th ;

c c 1 V c Постоянная интегрирования выбрана так, что V = 0 при = 0.

Интегрируя теперь соотношение d x( ) V ( ) = th( ac ) = c2 dt2 dx2, ;

d = d t( ) находим уравнение траектории:

2 x = c ch ac ;

c t = c sh ac.

a a На рис. 6.2 эта траектория (псевдоокружность) представляется гипер болой.

Ось собственного времени равноускоренного тела всегда направ лена по касательной к траектории и по мере ускорения меняет свое направление в мини-глобальной системе. Ортогональные к ней в каж дый момент оси собственного пространства пересекаются в одной точке (центре псевдоокружности, от которого каждая точка траектории от радиусом псевдоокружности c2 /a) делена одинаковым интервалом и, как видно из рисунка, не покрывают все пространство-время мини глобальной системы. Преобразованные по формулам Лоренца про странственные координаты имеют какой-то физический смысл лишь в ближайшей окрестности тела |x| c2 /a.

Приведение всех наблюдаемых в лабораторную систему необходи мо при рассмотрении эффектов, связанных с вращательным движени ем. Наиболее принципиальными эффектами вращательного движения являются эффект Саньяка и прецессия Томаса.

ct ct’ x’ x Рис. 6.2.

5. Эффект Саньяка Наиболее показателен для понимания локальности системы (про странства и времени) неравномерно движущегося наблюдателя эф фект Саньяка. Саньяк задумал свой эксперимент как проверку фор мулы сложения скоростей. Во вращающейся системе в двух противопо ложных направлениях распространяются два луча с одинаковой скоро стью c относительно неподвижного наблюдателя. Однако (по гипотезе Саньяка) во вращающейся системе они имеют скорости c + V и c V и, проходя за полный оборот один и тот же путь l, затрачивают на это разное время:

t = l ;

t+ = l.

cV c+V Разность этих времен 2l V 2 l V = 4 R t = t t+ = (6.16) c V c2 c прекрасно согласуется с экспериментально замеренной по сдвигу ин терференционных полос величиной.

Казалось бы, этот результат действительно подтверждает нере лятивистсткую формулу сложения скоростей. Однако эксперименты Б. Погани при распространении света в среде с некоторым показате лем преломления n, относительно которой свет движется со скорость c/n, приводят к модификации формулы (6.16) замене в ней c на c/n:

R t = n2 4 2. (6.17) c Величина сдвига должна увеличиваться в n2 раз, однако эксперименты Погани показали независимость сдвига от величины показателя пре ломления, то есть от скорости распространяющегося сигнала.

Этот простой факт независимость разности времен от скоро сти сигнала объясняли френелевским “коэффициентом увлечения эфира”, однако именно этот результат следует из специальной теории относительности без каких-либо дополнительных гипотез.

5.1. Цилиндр Минковского Будем полагать, что свет (или какой-то другой материальный про цесс) распространяется по круговой орбите радиуса R в системе, вра щающейся с угловой скоростью. В описании процесса распростране ния принимают участие лишь две переменные: координата в направле нии распространения x = R и время t, образуя двумерное многообра зие цилиндр Минковского. Метрика на нем индуцирована метрикой в пространстве Минковского:

dl2 = c2 dt2 R2 d2 = c2 dt2 dx2 ;

dx = R d, (6.18) то есть является метрикой двумерного пространства Минковского.

Однако это многообразие не является плоскостью Минковского обход вдоль оси x приводит в ту же точку, то есть многообразие явля ется цилиндром.

Отобразим его на плоскость Минковского (см. рис. 6.3). Ось време ни лабораторной системы t (вдоль которой откладывается величина ct) является образующей цилиндра и на рисунке она представлена в трех экземплярах: некоторый исходный, проходящий через точку A, и два его образа, проходящие через точки B и D при обходе цилиндра вправо и влево соответственно. Ось времени вращающейся системы t (ct ) по отношению к оси t наклонена под углом u. На евклидовом ли сте бумаги tg u = v/c, а на плоскости Минковского th u =. На цилиндре же ось t образует винтовую линию, пересекая ось времени t t t’ t t’ t t’ C u x’ A B u D x E F Рис. 6.3.

бесконечное число раз с периодом (в лабораторной системе) T = 2 /, где угловая частота вращения.

Линия одновременности лабораторной системы ось x. Она имеет длину l = 2 R и лежащие на ней точки A, B и D представляют одну и ту же физическую точку.

Линия одновременности вращающейся системы ось x накло нена к оси x на тот же угол u и на цилиндре также образует винтовую линию, многократно пересекая ось времени t через период:

R c t = V = R ;

t = 2 2. (6.19) c c 2R c Пересечение собственной оси времени линией одновременности враща ющейся системы также происходит многократно. На рисунке это от резки BC при сдвиге на один оборот вправо и DE при сдвиге влево. Угол ACB прямой (оси t и x взаимно ортогональны), поэто му в треугольнике ACB сторона AB является гипотенузой, а катет BC = c 1 t = AD sh u = 2 R Rc. (6.20) Разность во времени вращающейся системы пересечения линии одно временности x с осью t при сдвигах на один оборот вправо точки C и влево точки E определяется отрезком CF, инвариантная длина которого равна удвоенной длине отрезка BC:

4 R2.

t = 2 BC = (6.21) c c2 1 t t’ t t’ t t’ L M N K C x’ A B D x F E Рис. 6.4.

Таким образом, собственное пространство во вращающейся системе ограничено длиной отрезка AC = 2 R/. Выход за это ограничение приводит к многозначности значения собственного времени.

5.2. Эффект Саньяка Однако что же будет, если мы все-таки выйдем за это ограничение?

Выпустим во вращающейся системе два сигнала, распространяющихся относительно нее с одинаковой скоростью w в двух противоположных направлениях.

Соответствующая картина на развертке цилиндра Минковского представлена на рис. 6.4. Сигналы испущены в точке A и вновь пе ресекаются с осью t в точках K и L. Несмотря на видимое различие на евклидовом листе бумаге, на плоскости Минковского треугольники AM K и AM L равны: углы обоих треугольников в вершине M прямые, сторона AM общая, а отрезки M K и M L равны. Скорость движения сигналов относительно вращающейся системы определяет равные углы KAM и M AL, гиперболический тангенс которых определяется через w = KM = M L = x. (6.22) c c t AM AM Треугольник LKN равен треугольнику CEF, поэтому сдвиг во времени вращающейся системы между точками L и K (отрезок LN ) равен отрезку CF, то есть определяется выражением (6.19) вне за висимости от скорости распространения сигнала w. Выражение (6.19) и определяет сдвиг по времени вращающейся системы в эксперименте Саньяка. При изменении скорости сигналов w отрезок KL поднимается выше или ниже, оставаясь все время параллельным отрезку EC, так что сдвиг по времени оказывается независимым от этой скорости.

Вследствие этой независимости можно полагать, что рассмотрение в предыдущем параграфе отрезка одновременности в движущейся си стеме EC проведено для сигналов, распространяющихся с бесконечной скоростью.

Важнейший вывод для дальнейшего состоит в том, что даже в плоском пространстве Минковского у неинерциально движущегося наблюдателя пространство определено лишь в малой, локальной обла сти.

5.3. Снова парадокс близнецов На “цилиндре Минковского” просто демонстрируется и “парадокс близнецов”. Если один наблюдатель покоится (движется вдоль оси ct образующей цилиндра), а другой движется равномерно относительно него со скоростью V, то через время неподвижного наблюдателя t = 2 R V они встретятся, при этом у движущегося набежит время 2 R 1 V2.

t = t2 = t c c На цилиндре Минковского покоящийся наблюдатель явно выделен: до встречи с движущимся у него проходит наибольшее время.

Таким образом, несмотря на то что метрика во всех точках ци линдра метрика Минковского, можно экспериментально выде лить покоящегося наблюдателя как проживающего наибольшее время до повторной встречи с любым другим, движущимся по инерции.

6. Прецессия Томаса Если тело равномерно движется по окружности со скоростью V = = v c, то поворачивающее его по окружности ускорение нормально ско рости.

Мы рассмотрим только плоское равномерное движение по круго вой орбите, при котором меняются лишь три компоненты: (t, x, y), поэтому любой вектор является трехмерным и из трех векторов со ставлен репер движущейся системы, который мы будем представлять в виде матрицы [R), столбцы которой представляют реперные векторы [, k, n). Чтобы отличить ее от преобразований Лоренца, левый и пра вый ограничители ее различны:

0 k0 n [R) = x kx nx.

y ky ny Для тела, движущегося со скоростью V, будем придерживаться обозначений =V;

1 2 2 = 1.

= ;

= ;

c 1 Если тело движется с ускорением, то за бесконечно малый отрезок времени бесконечно малое изменение скорости d = c d = c (dx, dy ) определяет бесконечно малое преобразование репера [R) преобразова нием Лоренца, близким к единичной матрице [L]dV = [1] + [dv]:

0 sin cos [dv] [W ()] d = sin 0 0 d. (6.23) cos 0 Математически задача сводится к матричному дифференциально му уравнению, описывающему изменение репера движущегося тела по мере вращения по круговой орбите:

d [R()) = [W ()] · [R()) (6.24) d с начальным условием [R(0)) = 0.

С помощью матрицы чистого поворота 1 0 [U ()] = 0 cos sin 0 sin cos матрицу [W ()] можно представить через постоянную матрицу [W ()] = [U 1 ()] · [H] · [U ()];

[H] = 0 0 0. (6.25) При таком представлении уравнение (6.24) приводится к виду d [R()) [U ()] · = [H] · [U ()] · [R()), d которое после введения матрицы [L()) = [U ()] · [R()) приводится для последней к матричному дифференциальному уравнению с посто янными коэффициентами:

d [L()) d [U ()] = ·[U ()]·[R())+[H]·[L()) = [H+h]·[L()), (6.26) d d где [h] тоже постоянная матрица [h] = d[U ()] · [U 1 ()] = 0 0 1.

0 1 Решение определяется через собственные векторы и собственные зна чения матрицы [H + h] = 0 0 1. (6.27) 1 После решения уравнения (6.26) находится окончательное решение уравнения (6.24), описывающее преобразование репера тела, движуще гося по окружности:

cos( ) sin( ) [R()) = cos cos( ) cos + sin( ) sin sin( ) cos cos( ) sin.

sin cos( ) sin sin( ) cos sin( ) sin + cos( ) cos (6.28) Временной вектор (первый столбец) изменяется очень просто: про странственная его проекция вращается с угловой скоростью движения по окружности. Пространственная часть двух других столбцов опи сывает лоренцево растяжение и томасово вращение пространственных векторов репера.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.