авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 9 |

«Д. Е. Бурланков Время, пространство, тяготение Москва Ижевск 2006 УДК 530.12, 531.51 • ...»

-- [ Страница 4 ] --

Например, при = 2 в начальной точке вращения ( = 0) эти век торы имеют пространственные проекции (2, 0) (касательная) и (0, 1) (нормаль). Через целый оборот ( = 2 ) их проекции становятся ( 2, 0) и (0, 1), то есть оси повернутся на пол-оборота. Для наглядно го представления прецессии Томаса лучше непосредственно проследить за движением пространственных проекций пространственноподобных векторов репера при движении по окружности.

При релятивистских скоростях он начинает “догонять” свою каса тельную, хотя и вращается значительно медленнее, попутно претерпе вая “лоренцево удлинение” в зависимости от ориентации по отношению к сопутствующему реперу (касательной и нормали).

На рисунке приведены траектории вращения исходных реперных векторов при v/c = 0.8, 1 1 v 2 /c2 = 0.4. Траектория вращения исходного репера замыкается в этом случае лишь при = 5 (0.4·5 = = 2 ). Реперы вращаются медленнее вращения тела по окружности.

Также на рисунке изображены положения касательной (в началь ном положении вдоль оси x “длинный вектор”) и нормали (началь но вдоль оси y “короткий вектор”) после одного полного оборота тела ( = 2 ). Они встают на свои исходные места только после 2.5 кратного поворота по орбите ( = 5 ).

Рис. 6. При малых скоростях при любом угле поворота эти векторы оста вались бы параллельными исходным и их длины были бы единичными.

Но при = 2 в начальной точке вращения ( = 0) эти векторы имеют пространственные проекции (2, 0) (касательная) и (0, 1) (нор маль). Через целый оборот ( = 2 ) их проекции становятся (2, 0) и (0, 1), то есть оси повернутся на пол-оборота.

Таким образом, при движении тела по круговой орбите под дей ствием центростремительного ускорения его локальное пространство не только ограничено, но и его ориентировка изменяется, поворачива ется относительно глобального мини-пространства.

7. Псевдокватернионы В специальной теории относительности для описания шестипара метрических преобразований Лоренца используются комплексные ква тернионы Ньюмена–Пенроуза [23, 27]. Однако техника работы с ни ми исключительно сложна. В то же время ряд принципиальных за дач специальной теории относительности, такие как прецессия Томаса при движении тела по окружности, имеют дело с плоским движени ем, при котором преобразованиям Лоренца подвергаются только две пространственные координаты и время, тогда как нормальная к плос кости движения координата остается неизменной. В этом случае мы имеем дело с трехпараметрическими преобразованиями Лоренца в 2 + +1-мерном пространстве Минковского. Для описания таких преобразо ваний не нужно вводить комплексные кватернионы, достаточно лишь слегка модернизировать технику кватернионов Гамильтона.

7.1. Преобразования Лоренца при плоском движении Введем три псевдокватернионных орта 0, 1, 2 с алгебраически ми свойствами:

i j = ij ijk kl l ;

(6.29) 2 2 0 = 1;

1 = 2 = 1;

0 1 = 1 0 = 2 ;

0 2 = 2 0 = 1 ;

2 1 = 1 2 = 0.

Добавление единицы, коммутирующей со всеми ортами, приводит к ал гебре псевдокватернионов z = a · 1 + t · 0 + x · 1 + y · 2 (6.30) с нормой (не положительно определенной) |z|2 = a2 + t2 x2 y 2 (6.31) и обратным значением z 1 = 1 2 (a · 1 t · 0 x · 1 y · 2 ).

|z| Аналогично евклидову случаю псевдокватернионы с единичной нормой описывают вращения и псевдовращения в пространстве Минковского (2+1). Если (n0, n1, n2 ) положительно или отрицательно определен ный единичный вектор (n2 n2 n2 n2 = ±1), то кватернион 0 1 (n, ) = C()+S()(n0 ·0 +n1 ·1 +n2 ·2 ) = C()+S()(n · ) (6.32) описывает вращение или псевдовращение относительно оси n, при этом два последовательных (псевдо)поворота вокруг этой оси определяют поворот вокруг этой же оси:

(C(1 ) + S(1 )(n · )) (C(2 ) + S(2 )(n · )) = = (C(1 )C(2 ) + (n2 )S(1 )S(2 )) + (C(1 )S(2 ) + S(1 )C(2 ))(n · ) = = C(1 + 2 ) + S(1 + 2 )(n · ).

В зависимости от знака n2 величины C и S являются либо круговыми, либо гиперболическими косинусом и синусом.

При n = (1, 0, 0) вращение в плоскости (x, y) синус S об ращается в нуль впервые при =, и при этом псевдокватернион описывает тождественное преобразование, т. е. поворот на 360o. Отсю да следует, что аргументом функций C и S является половинный угол.

Этот вывод можно рассматривать и как результат аналитического про должения кватернионов в евклидовом пространстве.

Преобразование самого псевдокватерниона z другим псевдокватер нионом u производится в соответствии с выражением zu = u · z · u1. (6.33) Буст (преобразование Лоренца, определяемое только вектором скорости) вдоль направления, перпендикулярного пространственному двумерному единичному вектору (nx, ny ) нормали к траектории, описывается псевдокватернионом z = ch + sh (nx 1 + ny 2 ), 2 где функции можно выразить через :

2 sh() 1 + = v = th()= sh = ;

ch = ;

=.

c 2 2 2 2 ch() (6.34) C учетом этих соотношений буст, определяемый нормалью к траекто рии nx, = cos, ny = sin, определяется псевдокватернионом:

+1 z = + (1 cos + 2 sin ), (6.35) 2 а поворот в плоскости (x, y) на угол псевдокватернионом z = cos + 0 sin.

2 Псевдокватернион с единичной нормой определяется тремя пара метрами, в качестве которых можно выбрать,, :

+1 z(,, ) = (cos +0 sin )+ (1 cos +2 sin ). (6.36) 2 Мера в пространстве параметров выражается как модуль псевдоква терниона dz = z d + z d + z d = cos d 2 ( + 1) sin d sin d + 2 ( + 1) cos d = + 0 + 2 2 +1 2 2 + (6.37) cos d 2 ( 1) sin d sin d + 2 ( 1) cos d +1 + 2.

2 2 1 2 2 Норма этого псевдокватерниона в соответствии с (6.31) и определяет метрику в пространстве параметров:

d 2 +1 2 1 dl2 = + d + d = (6.38) 2 d + ch2 d 2 + sh2 d2, = 2 2 если представить = ch. Это метрика пространства постоянной от рицательной кривизны, однако это не пространство Лобачевского, ко торое локально имеет евклидову метрику, а псевдориманово простран ство с постоянной отрицательной кривизной.

7.2. Релятивистское вращение по окружности Тело, вращающееся по окружности с постоянной скоростью v, испытывает центростремительное ускорение, и пространство–время в бесконечно малой окрестности этого тела претерпевает бесконеч но малое преобразование Лоренца (буст), определяемое выражением (6.35). Если тело на окружности достигло угла, изменение скорости равно a dt = n v dt = n v d, где n вектор нормали, то псевдоква тернион, описывающий это преобразование:

d w() = 1 + (1 sin + 2 cos ) = (6.39) 2 1 d =1+ (1 sin + 2 cos ).

При последующих поворотах угол меняется на величину d и при пово роте на конечный угол псевдокватернион преобразования определяет ся бесконечным произведением таких кватернионов, близких к единице с переменным углом.

Интегрирование проще провести, рассматривая действие этих близких к единице псевдокватернионов на псевдокватернион (6.36):

2 1 d w() · z(,, ) = 1+ (1 sin + 2 cos ) +1 (cos + 0 sin ) + (1 cos + 2 sin ) = 2 +1 1 d sin( ) = cos (1 ) + 2 1 d cos( ) +0 sin + (1 ) + 1 1 d sin( ) + + 1 cos (1 + ) 2 1 d cos( ) +2 sin + (1 + ). (6.40) При сдвиге тела по круговой траектории параметр не меняется, а мо гут меняться только углы и. Сравним полученное выражение с при ращением псевдокватерниона (6.36) при приращении этих углов:

+ z(, +d, + d)= ((cos d sin )+0 (sin +d cos )) + + (1 (cos d sin ) + 2 (sin + d cos )).

Эти соотношения совпадают при 1 + = ;

= (1 ) ;

= (1 + ). (6.41) 2 Если эти значения подставить в (6.36) и обозначить k = 1, (6.42) то получится псевдокватернион, определяемый двумя параметрами константой, определяемой скоростью движения тела, и углом, рав номерно изменяющимся вдоль траектории:

+ z(, ) = (cos(k ) + 0 sin(k ))+ (6.43) + (1 cos((1 k)) + 2 sin((1 k))) = cos(k ) zn + sin(k ) z, где +1 zn = + (1 cos + 2 sin ) 2 псевдокватернион нормали к траектории, а +1 z = 0 + (1 sin 2 cos ) 2 псевдокватернион касательной. Оба этих вектора имеют единичный модуль.

Если k = 0, то z(, ) = zn указывает на нормаль, определяющую ускорение, но при k 0 ПК начинает поворачиваться между касатель ной и нормалью пропорционально углу сдвига тела по орбите с угловой частотой прецессии Томаса T = kT = 1, (6.44) если угловая частота вращения по орбите.

Введенные выше псевдокватернионы являются подмножеством комплексных кватернионов Ньюмена и Пенроуза, введенных для опи сания четырехмерных преобразований Лоренца, но техника работы с последними несравненно сложнее.

8. Релятивистская динамика В динамической теории Гамильтона–Якоби энергия и импульс яв ляются производными от действия:

E = s ;

p = s.

t Энергия и импульс в пространстве Минковского образуют четы рехмерный вектор p = s, = 0,... 3. Координата x0 = ct;

компо x нента импульса p0 = E/c. Инвариант p2 p2 = E2 p2 = m2 c2, c где m пока не определенная константа размерности массы. При p = (тело покоится) энергия равняется E0 = m c2. (6.45) При наличии импульса p 2 + m 2 c2.

E=c (6.46) При малых импульсах p2 p p E = mc2 mc 1+ 1+ = E0 +.

2m m 2 c2 2m2 c Вид добавки к энергии покоя E0 совпадает с выражением кинети ческой энергии через импульс в классической механике, если константу m отождествить с массой тела. Но при этом энергия покоя (6.45) также выражается через массу.

Эти соотношения в 1906 году Макс Планк (1858–1947) вывел из принципа наименьшего действия для свободно движущегося тела, ко торое, как он показал, пропорционально собственному времени движу щегося тела:

S = m c2 c2 dt2 dx2 dy 2 dz 2.

d = mc (6.47) 8.1. Релятивистский атом водорода Метод Гамильтона является формально математическим методом, не привязанным к какой-то конкретной структуре пространства и вре мени. При наличии электромагнитного поля четырехмерный импульс корректируется четырехмерным векторным потенциалом электромаг нитного поля:

q p = S + c A, x что приводит к инварианту вектора энергии-импульса q 1 S + q c = m 2 c2.

S c A (6.48) c2 t В случае вращения легкой частицы с массой m и зарядом q во круг массивной с зарядом +q (релятивистский атом водорода) легкая частица движется в электромагнитном поле тяжелой:

q A = 0;

= r.

Записываем в сферической системе координат.

q2 1 m 2 c2 = p 2 + l 2.

E+ r r c2 r Здесь E и l константы, так как t и циклические переменные.

Выражая из этого соотношения pr и дифференцируя по l, находим дифференциальное уравнение траектории:

q2 1 m 2 c2 l 2 ;

pr = E+ r c2 r l2 (6.49) d pr r = =.

dr l q2 1 m 2 c2 l E+ r c2 r Обозначая, как и раньше, l/r ;

q 2 /(l c), получаем d d =.

c )2 /c2 m 2 c2 (E + Это дифференциальное уравнение также можно привести к виду закона сохранения энергии гармонического осциллятора d E 1 + 1 (1 2 )( 0 )2 = 1 m 2 c2, 2 2 2 c (1 2 ) d где E.

0 = c (1 2 ) Его решение = 0 + A cos( 1 2 ).

Константа интегрирования выбрана так, чтобы было максимально (а радиус минимален) при = 0.

При энергии, меньшей энергии покоя m c2, движение финитно радиус меняется между максимальным и минимальным значениями.

Самое замечательное в этом решении, что траектории не замкнуты.

Радиус вновь становится минимальным, когда аргумент косинуса ста нет равным 2. Это соответствует повороту по траектории на угол = 2 2.

1 Траектория представляет из себя эллипс, поворачивающийся по на правлению движения по орбите за каждый оборот на угол = 2 1.

1 Эта задача была решена Арнольдом Зоммерфельдом (1868–1951) в 1919 году.

Представляет интерес движение по круговым орбитам 0 = m c = l.

1 2 m c2 ;

E= R 1 Пренебрежение 2 под корнем приводит к нерелятивистскому соотно шению q2 = m v ;

l2 = (m v R)2.

l2 = m q 2 R;

R2 R Релятивистская формула имеет значительные особенности. В частно сти, при R 0 момент стремится не к нулю, как в нерелятивистском случае, а определяется из предельного соотношения 1 2 = 0;

l = = ±q 2 /c. При этом полная энергия, включающая и массу покоя вра щающейся частицы, обращается в нуль.

8.2. Прецессия Томаса и кинетическая энергия В классической механике состояние вращения определяется изме нением положения тела относительно репера с осями, параллельными неподвижным осям инерциальной системы. Так, Луна, будучи все вре мя повернутой к Земле одной стороной, совершив один оборот по ор бите вокруг Земли, с этой точки зрения совершает один оборот вокруг собственной оси.

Казалось бы, что такое определение вращения является просто об щепринятым соглашением и можно было бы определить как невращаю щееся тело, например, Луну. Однако общепринятое определение имеет под собой объективный смысл: при вращении с сохранением ориента ции собственных осей тело имеет минимальную кинетическую энергию, так как в классической динамике твердого тела имеется теорема, го ворящая о том, что кинетическая энергия твердого тела равна сумме кинетической энергии переносного движения центра масс и вращатель ного движения вокруг центра масс, где вращение подразумевается от носительно параллельно переносимых осей. При заданном движении тела по круговой орбите минимум кинетической энергии при отсут ствии вращения.

Существует предубеждение, что в теории относительности понятие твердое тело является недопустимым, так как скорость звука в абсо лютно твердом теле равна бесконечности и, следовательно, больше ско рости света. И в классической механике при рассмотрении, например, движущегося с ускорением гироскопа все понимают, что при ускорении могут возникать упругие колебания, распространяющиеся с конечной скоростью. Однако, если их вклад в перемещение точек тела прене брежим по сравнению с вращением и вклад в энергию мал по сравне нию с кинетической энергией, этими колебаниями можно пренебречь:

на этом строится приближение твердого тела в классической механи ке. Формальным условием возможности такого приближения является условие v a относительные скорости перемещения точек тела мно го меньше скорости звука a.

В теории относительности также вполне допустимо такое прибли жение: при v a c влиянием упругих колебаний можно пренебречь, что и является приближением твердого тела в теории относительно сти.

Добавка к кинетической энергии материальной точки, движущей ся с малой скоростью v относительно некоторой другой точки (центра масс), движущейся относительно лабораторной системы с релятивист ской скоростью V, при разложении по степеням v/V в низших поряд ках имеет линейную и квадратичную составляющие. Для симметрич ных систем, таких как вращающееся кольцо или сфера, линейный член при вычислении интегральной кинетической энергии в среднем равен нулю, так как каждой точке, движущейся в каком-то направлении, со ответствует противоположная точка, движущаяся в противоположном направлении. Поэтому в низшем приближении добавка к кинетической энергии для рассматриваемых тел пропорциональна v 2. Так как орби тальная скорость при движении по окружности постоянна, то реля тивистский коэффициент перед величиной добавочной кинетической энергии есть константа, и, чтобы не отвлекаться от сути, мы будем в дальнейшем следить за квадратом скорости относительного движе ния каждой точки, понимая, что для практических расчетов нужно восстановить релятивистский коэффициент.

Описание будем вести в цилиндрической системе координат с мет рикой пространства Минковского = 1.

ds2 = dt2 dr2 r2 d2 dz 2 ;

r = r;

(6.50) r r Кольцо малого радиуса (точно бесконечно малого) совершает кру говое орбитальное движение и одновременно вращается относительно собственной оси, перпендикулярной плоскости орбиты. Точки на коль це будем отмечать координатой, меняющейся от 0 до 2.

Матрица конечного преобразования Лоренца переводит координа ты подвижной системы в координаты лабораторной (или наоборот).

Матрицы бесконечно малых преобразований действуют либо в движу щейся, либо в лабораторной системах. Чтобы всегда было ясно, к какой системе относятся векторы и матрицы, введем различие в написании скобок, их ограничивающих. Записывая координаты в виде столбцов, будем координаты в движущейся системе ограничивать круглой скоб кой, а в лабораторной квадратной :

t t x x [xlab | = ;

(xmov | =. (6.51) y y z z Матрицу преобразования Лоренца от координат движущейся си стемы к координатам лабораторной системы (и обратную ей) также будем записывать в несимметричном виде (xmov | = (L1 ] · [xlab |.

[xlab | = [L) · (xmov |;

Произведения прямой и обратной матриц, в зависимости от порядка, определяют единичную матрицу либо в лабораторной, либо в движу щейся системе:

[L) · (L1 ] = [I];

(L1 ] · [L) = (I).

Последовательные преобразования Лоренца определяются произ ведениями матриц. В нашем представлении знак умножения может сто ять только между ограничителями одного типа либо между круглы ми скобками, либо между прямыми, определяя преобразование Лорен ца либо в движущейся системе, либо в лабораторной.

Так как кольцо движется в плоскости, будем учитывать только две пространственные координаты: r и, но, вследствие того что оси вре мени в неподвижной системе и в системе центра масс имеют различное направление в пространстве Минковского, к ним присоединяется еще одно направление времени. Все эти переменные заданы в инерци альной (лабораторной) системе. Для описания движения внутри по движной системы введем подвижный репер, связанный с движущимся центром масс (см. рис. 6.1): времениподобный единичный касательный вектор и два пространственноподобных – вектор нормали n, направ ленный по радиусу, и ортогональный двум предыдущим вектор b, кон травариантные компоненты которых ( = t, r, ) образуют матрицу Лоренца:

[Ns ) = [, n, b ) = 0 1 0, (6.52) 1 0 r r g Ns Nt = gst = diag(1, 1, 1), где оба метрических тензора представляют метрику Минковского:

[g ] = diag(1, 1, 1).

Относительно введенного репера координаты точки с внутренней координатой на кольце радиуса h, вращающегося относительно по движного репера с угловой скоростью, определяются матрицей [N ):

t r = [N ) · h cos( + t) = h sin( + t) sin( + t) cos( + t).

=h (6.53) r sin( + t) Относительно центра масс в момент времени t точка с внутренней ко ординатой имеет следующие координаты:

= h sin( + t). (6.54) t = h sin( + t);

r = h cos( + t);

r Центральной проблемой рассматриваемой задачи является разли чие моментов времени инерциальной системы для разных точек кольца при одном и том же значении параметра t, так как компонента репера b наклонна к оси времени лабораторной системы (см. рисунок).

Так как центр масс сам движется, то скорости изменения относи тельных координат определяются через ковариантные дифференциалы приращений:

Dxi = xi + i xj xk ;

v i = xi + i xj xk.

jk jk Для приведения координат и скоростей точек кольца к общему мо менту времени параметр t для разных точек нужно брать различным, так, чтобы момент наблюдения в инерциальной системе (t) был одина ковым для всех точек. Полученное таким образом уравнение является трансцендентным, однако в пределе h 0 в линейном приближении по h оно решается просто:

t = t t;

t = h sin( + t). (6.55) Рис. 6. При сдвиге параметра t координаты r и получают добавку, линейную по h, только за счет изменения времени в координате центра масс 0 = t, поэтому при вычислении скоростей угол центра масс нужно брать уменьшенным на t:

v i = ( xi xi t) + i xj (xk xk t) = xi + (i ( t) + i r).

0 jk 0 0 r (6.56) Радиальная и угловая скорости точки с внутренней координатой в момент времени инерциальной системы, задаваемый моментом вре мени центра масс (с учетом того, что r = v = 2 1/) равны:

v = r r ( t) = ( + ) sin( + t), r v = + 1 r = h ( + ) cos( + t).

r r Квадрат скорости точки на кольце с внутренней координатой :

v = vr + r2 v = h2 ( + )2 1 ((1 + 12 ) (1 12 ) cos(2( + t)), (6.57) 2 2 2 проинтегрированный по всему кольцу (по от нуля до 2 )), опреде ляет кинетическую энергию кольца в единый момент инерциального наблюдателя:

m v2 ( + ) 2 + 1 =J.

m h Tk = = · (6.58) 2 2 2 Минимум квадрата скорости соответствует 0 = ;

0 + = 0;

0 = 0 =. (6.59) 0 = 0 это угловая частота во вращающейся системе, так как из-за релятивистского замедления времени угловая частота здесь в раз больше, чем в лабораторной. В формуле (6.58) = + уг ловая частота во вращающейся системе, отложенная от минимальной;

именно она определяет кинетическую энергию вращения. J это скор ректированный на лоренцево сокращение за счет орбитальной скорости момент инерции кольца во вращающейся системе.

Соотношение (6.59) формально совпадает с соответствующим нерелятивистским соотношением, однако сложение углов здесь уже не алгебраическое, а векторное.

Так как при полном обороте сам репер поворачивается на угол 2 (за время T = 2/), то при частоте собственного вращения (6.59) относительно осей инерциальной системы какая-то точка на кольце по вернется на угол 1 T T = 2+0 T = (+0 )T = (1 )T ;

T = (1 ). (6.60) Это и есть выражение для частоты прецессии Томаса.

Таким образом, если, двигаясь по орбите, тело вращается с ча стотой томасовой прецессии, оно имеет минимальную кинетическую энергию.

9. Выводы • Собственное пространство ускоренного тела (относительное про странство) имеет смысл лишь в малой (точно бесконечно малой) его окрестности.

• При криволинейном движении тела это относительное простран ство еще и поворачивается относительно лабораторного с томасов ской угловой скоростью.

• Глобальные преобразования Лоренца лабораторной системы допу стимы лишь при евклидовости лабораторного пространства.

• При рассмотрении эффектов внутри лаборатории при наличии нескольких движущихся тел по отношению к этим телам вре мя и пространство лаборатории играют роль глобальных времени и пространства.

• Поэтому никакого запрета на допустимость глобального времени и глобального пространства специальная теория относительности не накладывает. Просто в рамках евклидова пространства они мо гут быть выделены множеством способов.

Глава Теория глобального времени Мы должны смиренно признать, что если число есть продукт одного только разума, то пространство обладает реальностью, вы ходящей за пределы разума, законы кото рой нам в полной мере не известны.

К.-Ф. Гаусс В предыдущих главах мы выяснили, что • Множество глобальных инерциальных систем возможно лишь при евклидовости пространства.

• Кривизна пространства однозначно фиксирует глобальную инер циальную систему.

• Описание процессов в неинерциальной системе требует использо вания инвариантной производной тензоров по времени.

• Преобразования Лоренца пространства и времени в общем случае определены лишь в бесконечно малой окрестности движущегося тела.

• Пространство может иметь геометрию, отличную от евклидовой, иметь общую риманову структуру.

Теперь осталось допустить, что эта риманова структура простран ства может меняться во времени, и постараться отыскать законы ди намики пространства.

1. Время и пространство Теория глобального времени [28,29] исходит из следующей концеп ции пространства и времени:

Пространство является материальным носителем геометрических свойств. Оно трехмерно и имеет риманову структуру.

Глобальное время это собственное время пространства, единое для всех его точек. Оно всюду и всегда течет одинаково равномер но, само являясь мерой равномерности.

Пространство является носителем геометрических свойств, пото му что геометрические свойства определяются метрическим тензором, шесть компонент которого являются главными полевыми переменными пространства.

Тела движутся в пространстве, динамика полей (например, элек тромагнитного) совершается в пространстве. Для каждой движущейся точки определена абсолютная скорость относительно пространства.

Относительно пространства существует абсолютное движение, или, наоборот, в некоторой системе координат существует поле скоро стей пространства. Таким образом, динамика пространства описыва ется шестью компонентами поля метрического тензора ij (x, t), опре деляющего его геометрические свойства в заданный момент времени, и тремя компонентами поля абсолютных скоростей V i (x, t), определя ющими, как каждая точка пространства в каждый данный момент дви жется относительно выбранной системы координат.

Пространство является материальным носителем геометрических свойств, потому что уравнения динамики метрического тензора и поле скоростей получаются из лагранжевых уравнений и наряду с другими полями (например, электромагнитным) определяют энергию.

Нашей задачей теперь является установление уравнений, опреде ляющих динамику пространства. Чтобы выполнить эту задачу, мы по смотрим, как строятся динамические уравнения уже хорошо изученных полей, прежде всего электромагнитного.

2. Физические поля Одним из хорошо известных физических полей является электро магнитное поле. В каждый момент времени в каждой точке простран ства определены поля E и H, связанные друг с другом и своими про изводными уравнениями Максвелла. Проявляются они в определенном воздействии на заряженные частицы.

Если в пространстве задана система координат xi, то формаль но можно полагать электромагнитное поле заданным, если заданы по ля E(xi ), H(xi ). Изменение их во времени определяется уравнениями Максвелла.

В локальной области инерциальной системы можно ввести декар товы координаты (локально декартовы координаты) с метрическим тензором в виде единичной матрицы (с точностью до вторых произ водных). В этой малой области (точно бесконечно малой) уравне ния всех полей, в том числе и электромагнитного, описываются, как в классической физике, в плоском пространстве в инерциальной систе ме в отсутствие поля тяготения. Этот физический принцип называет ся принципом эквивалентности. Название, идущее из общей теории относительности, не надо расшифровывать что чему эквивалентно.

Физическое его содержание сформулировано, а название укрепилось исторически.

Переход к глобальным координатам и неинерциальной системе на блюдателя чисто технически совершается за счет замены производ ных по пространственным координатам на ковариантные производные, а производных по времени на ковариантные производные по времени с учетом тензорной структуры рассматриваемых полей.

3. Принцип наименьшего действия В классической теории поля уравнения динамики выводятся из вариационного принципа, определяемого через функционал действия, представляющего из себя интеграл по пространству и времени от раз ности кинетической и потенциальной энергий.

3.1. Электродинамика Например, уравнения электродинамики (в плоском пространстве) выводятся из минимума функционала E2 H SE = d3 x dt. (7.1) Электрическая часть этого интеграла представляет кинетическую энергию, а магнитная потенциальную со знаком "минус".

В вариационном принципе поля E(xi ) и H(xi ) полагаются не неза висимыми, а производными от потенциалов скалярного (xk, t) и век торного A(xk, t):

E = 1 A.

H = rot(A);

(7.2) c Электрическое поле E определяет скорость изменения векторного потенциала A, и квадрат этой величины определяет плотность кинети ческой энергии электромагнитного поля. Магнитное поле H вычисля ется только по распределению векторного потенциала в пространстве в заданный момент времени, и квадрат его определяет плотность по тенциальной энергии электромагнитного поля.

Таким образом, действие (7.1) является функционалом от элек тромагнитных потенциалов, рассматриваемых как первичные функции, а не от полей E и H.

Особую роль в электродинамике играет скалярный потенциал.

Его производная по времени не входит ни в электромагнитные поля, ни в действие. Такие компоненты полей называются нединамическими.

Наличие этого поля связано с калибровочной инвариантностью электродинамики: калибровочные преобразования потенциалов с помо щью калибровочной функции (xk, t) = c t ;

A = A + (7.3) не меняют ни полей E и H (7.2), ни, следовательно, действия (7.1).

Это значит, что, найдя из вариационных уравнений экстремаль, из нее можно построить бесконечно много других экстремалей с помощью калибровочного преобразования (7.3).

Нединамичность скалярного потенциала приводит к ряду след ствий.

• Используя калибровочное преобразование (7.3), можно найти та кую калибровочную функцию, чтобы равнялось нулю, по край ней мере в конечной области пространства и на конечном отрезке времени. Поле A в этой калибровке назовем инвариантным век торным полем. При калибровочном преобразовании (7.3):

= A = A + ;

c t ;

E = 1 A = 1 (A )) = 1 A.

c t c t c t Таким образом, калибровочный потенциал служит для инвари антного определения производной по времени от векторного по тенциала в любой калибровке. Он входит только в кинетическую энергию.

• Так как действие оказалось инвариантным по отношению к ка либровочным преобразованиям, значит, вариация действия по ка либровочной функции по вариации потенциалов, определяемой вариацией калибровочной функции должна обращаться в нуль тождественно. Это приводит к тождеству в уравнениях Максвел ла.

• При переходе к гамильтонову описанию электродинамики им пульс, сопряженный трехмерному векторному потенциалу (напря женность E), определяется значением при = 0.

Попытаемся теперь аналогичным способом построить динамику трехмерного пространства.

4. Динамика пространства Само пространство в некоторой системе координат задается мет рическим тензором ij (xk ) и полем абсолютных скоростей V i (xk ). Если определить уравнения, позволяющие вычислить динамику этих полей с течением времени, то формально пространство окажется многоком понентным полем, стоящим в одном ряду, например, с электромагнит ным.

Динамика пространства в ТГВ выводится аналогично уравнениям электродинамики из вариационного принципа. Лагранжиан представ ляется как разность кинетической и потенциальной энергий. Лагран жиан должен быть скаляром, а интегрирование должно вестись по ин вариантной мере в пространстве d3 x.

4.1. Действие динамического пространства В электродинамике кинетическая энергия квадратична по первым производным векторного потенциала по времени. Квадратичная кине тическая энергия является простейшим видом, приводящим к нетри виальным уравнениям.

В динамике пространства также будем исходить из этого простей шего вида кинетической энергии, квадратичной по скоростям изме нения компонент метрики. Введем тензор скоростей деформации про странства:

µij = 1 Dt ij = 1 (ij + Vi;

j + Vj;

i ).

(7.4) 2c 2c Поле абсолютных скоростей V i входит в действие и может входить в него только через этот тензор. Это симметричный тензор второго ранга, по которому можно создать один линейный и один квадратич ный инвариант:

µ = ij µij ;

K = ik jl µij µkl, причем квадрат линейного также квадратичен по µij, поэтому квадра тичная кинетическая энергия представима в виде:

c4 (K µ2 ) d3 x, T= 16k где и неизвестные безразмерные константы, а общий множитель подставлен из соображений размерности, а также из физического пред ставления о том, что в него должна входить гравитационная постоян ная k. Статическая энергия гравитационного поля отрицательна из этого следует гравитационное притяжение тел. В то же время экспери ментально обнаружено (Тейлор и Халс, Нобелевская премия 1993 года), что гравитационное излучение уносит положительную энергию. Поэто му гравитационная энергия в целом знаконеопределенна, что обеспечи вается знаком минус между двумя слагаемыми.

Процесс подбора лагранжиана никогда не является однозначным, это рекурсивный процесс: сначала выбираются произвольные допусти мые константы, затем ищутся решения, а затем из анализа физического смысла полученных решений по возможности эти константы конкрети зируются. Этот процесс приводит к значениям констант = 1 и = 1, и кинетическая энергия квадратична по производным от компонент метрики по времени:

c4 (µi µj (µj )2 ) d3 x, T= (7.5) ji j 16 k при этом множитель перед интегралом обеспечивает размерность энергии kg m2 s2 (k гравитационная постоянная с размерностью kg 1 m3 s2, а µ имеет размерность m1 ).

Потенциальная энергия, содержащая производные от компонент метрического тензора по координатам, может выражаться лишь через скалярную кривизну пространства R:

c4 (µi µj (µj )2 + R) d3 x dt + Sm, S= (7.6) ji j 16 k где Sm действие прочей материи. В уравнения динамики от него войдут компоненты тензора энергии-импульса.

4.2. Безразмерная запись В теоретической физике принято пользоваться предельно простой системой единиц пусть не очень удобной для расчета эксперимента, но предельно упрощающей формулы. Наиболее популярной является планковская система единиц, в которой в классических задачах ис пользуются относительные единицы:

• скорость света c = 1 время измеряется в метрах;

метр времени это время, за которое свет проходит расстояние 1 метр;

при пере ходе в обычную систему, например в СИ, нужно время в метрах делить на значение скорости света в данной системе.

• 8k = 1 масса (m) тоже измеряется в метрах;

при возврате в размерную систему единиц масса в килограммах (M ) (с учетом и времени в секундах) находится из соотношения M =m c.

8k • Энергия, как и масса, также выражается в метрах (e). Энергия в джоулях (E) восстанавливается из энергии в метрах по формуле E=e c.

8k В квантово-механических задачах появляется постоянная План ка, имеющая размерность энергия–время, но так как каждый из со множителей выражается в метрах, то в относительных единицах раз мерность квадратные метры. Тем самым квантово-механические задачи можно полностью обезразмерить, положив = 1, введя тем самым планковскую единицу длины l0 из соотношения = c l0 ;

8 k 8 k.

l0 = c При этом и длины, и время, и массы, и энергии будут безразмер ные их значения в метрах выражаются в долях l0 (будем их обозна чать теми же символами, но с чертой сверху). Возврат к размерным единицам проводится из соотношений:

8 k ;

l = · l0 = l l c c4 l = E c 2 c;

E=E (7.7) 8k 8 k c.

M =M 8 k В дальнейшем мы будем работать в относительных единицах в классических задачах и в безразмерном виде в квантово-механических, пересчитывая в размерные величины по вышеприведенным формулам.

4.3. Динамические уравнения В относительных единицах действие (7.6) имеет вид:

S=1 (µi µj (µj )2 + R) d3 x dt + Sm. (7.8) ji j Абсолютные скорости V i входят только в кинетическую часть дей ствия. Введя импульсы i i (µj j µs ), i j = s варьируя действие по шести компонентам пространственной метрики, получим шесть уравнений динамики i i i Gj + Qi, j = bj (7.9) j где bi назовем собственным тензорным током j kl i i (µl µk µk µl ) s (V s j ) + V i,s j V s,j s, i s i b j = j kl Gi тензор Эйнштейна пространства (трехмерного), а Qi внешний j j ток, получающийся вариацией действия прочей (вложенной) материи по метрическому тензору пространства внешний тензорный ток.

4.4. Уравнения связей Вариация по трем компонентам поля абсолютных скоростей V i дает три уравнения связи:

i j = i j i i = Jj.

i i k (7.10) jk Эти уравнения линейны по скоростям V i и их можно переписать в виде:

1 i +R V i + 1 ij j ij 2 (7.11) 1 i (V, V, ) = J.

ij ji j Правая часть уравнений векторный источник получается ва риацией действия прочей материи по полю скоростей, которое и для других полей входит только в производную по времени, то есть вариа цией только кинетической энергии этих полей.

4.5. Теорема о вириале пространства i Свернув по индексам уравнение (7.9) и обозначив свертку i, в отсутствие внешнего тока (для чистой гравитации) получим + s (V s ) = 3 T 1 R = 3 T + U, (7.12) где T плотность кинетической энергии, а U потенциальной. Тео рема о вириале применима к почти стационарным полям в области, на границе которой V n = 0 отсутствуют потоки через границу. Усред нив (7.12) по времени, получим соотношение между средней потенци альной T, кинетической U и полной E энергиями:

U = 3T;

E = T + U = 4 T. (7.13) При упомянутых условиях кинетическая энергия, а следовательно и полная, положительна.

Для определения кинетической энергии нужно знать поле абсо лютных скоростей в рассматриваемой области, информацию о котором, например, в динамике Космоса могут дать видимые звезды, а теорема о вириале позволяет вычислить полную энергию.

4.6. Тождества Гильберта С помощью преобразований координат мы можем так или иначе изменить метрический тензор. Например, любая двумерная метрика может быть приведена к конформно плоскому виду (метрика плоского пространства, умноженная на какую-то функцию координат). Трех мерная метрика (в конечной области) может быть, например, диаго нализована приведена к триортогональному виду. Однако для под держания такого вида в последующие моменты времени, если метрика меняется, придется непрерывно проводить преобразования координат, зависящие от времени, приводящие к появлению поля скоростей.

Использование трех координатных преобразований для уменьше ния динамических компонент метрического тензора приводит к некото рому избытку числа уравнений над числом динамических переменных.

Это значит, что уравнения подчиняются некоторым тождествам.

Эти тождества в самом общем математическом смысле были най дены Давидом Гильбертом [30]. Пусть имеется функционал, зависящий от метрического тензора ij и, возможно, от каких-то других полей y, но вариация функционала по этим полям равна нулю. Это может быть действие для полей y, и равенство нулю вариаций по этим полям то гда означает выполнение динамических уравнений по этим полям. В вариации функционала S y + S S[y, ij ] = dn x ij y ij первое слагаемое равно нулю. Если же вариация действия вызвана про сто преобразованием координат, то она равна нулю вследствие инвари антности действия, однако второе слагаемое не равно нулю. Обозначим S B ij.

ij Вариация метрического тензора при преобразованиях координат xi = i (x) Ли-вариация:

ij = (i;

j + j;

i ).

Подставляя ее в вариацию функционала и интегрируя по частям, по лучим 2 B ij i;

j j (B ij i ) i j B ij 0= dn x = 2 dn x.

Первое слагаемое по теореме Гаусса переходит в поверхностный инте грал, а необходимость равенства нулю вклада в вариацию от второго при произвольности в каждой точке вариации i приводит к тожде ству Гильберта S i = 0. (7.14) ij В частности, для функционала Гильберта SH = 1 S = 1 Gij, R dn ;

2 ij скалярная кривизна n-мерного пространства, а Gij = Rij где R ij R /2 тензор Эйнштейна в любой размерности тождества Гиль берта принимают вид:

i Gi = i Rj 1 R,j = 0.

i (7.15) j Это тождество выполняется для вариации потенциальной энергии трехмерного пространства, и в статическом случае для вариации кинетической энергии при отсутствии других полей i bi = 0, (7.16) j а при наличии других полей это относится к вариации по метри ческому тензору кинетической энергии всех полей, так как туда еще входит поле скоростей V i, но вариация по нему полной кинетической энергии равна нулю.

4.7. Гамильтониан Гамильтониан стандартным путем получается из лагранжиана:

ij ij d3 x L = H= ij 2 j i (i ) i 1 R 2j V;

i d3 x.

j i = (7.17) Важной его особенностью является знаконеопределенность, в результа те чего оказываются возможными такие явления, как космологическое расширение.

4.8. Поток энергии В стандартной теории поля лагранжиан зависит от некоторой (воз можно, многокомпонентной) функции y и ее первых производных по времени и координатам L(y, y, y,i ). Он определяет уравнения дина мики поля y через уравнения Лагранжа L L i L = 0.

y t y y,i x Эти уравнения определяют неразрывность потока энергии:

y L L + i y L = t y y,i x и определяют плотность и поток энергии = y L L;

U i = y L, (7.18) y y,i удовлетворяющие уравнению неразрывности t + i U i = 0. (7.19) Потенциальная часть лагранжиана R содержит не только пер вые, но и вторые пространственные производные метрического тензо ра. В этом случае (для произвольного поля y ) уравнения Лагранжа слегка удлиняются:

L L i L L + = xi xj y t y y,i y,ij x и удлиняется выражение для потока энергии L L L.

U i = y + y,j (7.20) j y,i y,ij y,ij В локально-декартовых координатах R R = ( ik jl ij kl ).

= 0;

ij,k ij,kl Первая составляющая потока равна нулю:

R R l = 0, ij,k ij,kl так как первые производные метрического тензора в локально-декартовых координатах равны нулю. Вторая часть потока R ij,l = ( ik jl ij kl ) 2 µij,l = 4 kl,l = 0, ij,kl так как обычные производные в локально-инерциальной системе пере kl ходят в ковариантные производные в произвольной системе, а ;

l = это уравнения связей в вакууме.

Таким образом, полный поток энергии в глобальной инерциальной системе равен нулю, и плотность энергии сохраняется локально.

Это есть следствие того, что поток энергии определяется вариаци ей по полю скоростей, а вариация по нему равна нулю это уравнения связей.

В неинерциальной системе в кинетической энергии каждого по ля y появляются добавки, связанные с ковариантной производной по времени y + V i y,i +..., что приводит к току L Ui = V i y = V i y.

(7.21) y Если поверхность, через которую определяется поток, неподвиж на относительно инерциальной системы, то в системе наблюдателя ее точки движутся со скоростями V i (x), что приводит к добавке в поток каждого поля y величины V i L, так что с учетом (7.21) поток через глобально неподвижную поверхность равен ( y L ) V i dSi = V i dSi, J= (7.22) что также гарантирует сохранение локальной суммарной плотности энергии всех полей, в том числе и пространства.

4.9. Гравитационный поток Рассмотрим более подробно выражение для потока энергии про странства, связанное с потенциальной энергией W = R d3 x. Слож ности с описанием гравитационного потока энергии связаны с произ волом выбора системы координат. Если из математических средств выделено только локальное понятие ковариантной производной, то в локально-инерциальной системе первые производные всех компонент метрического тензора равны нулю и описание ковариантных потоков, опирающееся на локальную ковариантность, заходит в тупик. В то же время, когда речь идет о потоке энергии через поверхность, нужно определять не локально ковариантные величины, а привязанные к рас сматриваемой поверхности.

Как и при определении ковариантной производной, где преобразо вания координат используются сначала для выбора предельно простой метрики вблизи заданной точки локально-декартовой системы, для описания геометрии вблизи поверхности нужно предельно упро стить метрику вблизи рассматриваемой поверхности.

Выберем одну из трех координат (z) так, чтобы уравнение самой поверхности определялось уравнением z = 0, а метрика вблизи нее dl2 = dz 2 + dy dy ;

, = 1, 2;

=. (7.23) Переменные y 1, y 2 параметризуют саму поверхность.

В этой специальной системе координат вблизи рассматриваемой поверхности (штрихом обозначаем производную по z) (2) µ (3) ( µ ) µ + R. (7.24) R = ( ) + Первое и последнее (см. ф. (3.31)) слагаемые в этом выражении не дают вклада в уравнения движения и могут быть отброшены. Эффективным выражением для энергии остается 11 22 (12 )2 1 W= dy dy dz, (7.25) что приводит к выражению для плотности потока энергии через по верхность U z = (11 22 + 22 11 2 12 12 ).

(7.26) Однако при изменяющейся во времени метрике выбрать специаль ную систему координат вблизи поверхности невозможно. Поэтому рас смотрим связь специальных координат с произвольными, в которых y y ij = zi zj +.

xi xj x x Производная 2 y y y 2 y ij 2 z z + z 2 z + = + + xi xk xj xi xj xk xi xk xj xi xj xk xk y µ y y z + +.

y µ xk xi xj z xk Отсюда можно выразить производную по нормали l 2 y l 2 y µ ij k i j = x xµ x jl x i k il x j k.

z z y y y x x y x x xk (7.27) Максимальное упрощение общих координат состоит в том, что вы деляется одна координата, например x3, задающая уравнение поверх ности x3 = x3. Тогда из уравнений для специальных координат z, y y ij zi zj = 1;

ij zi j = 0, x x x x при условии z = 0 на поверхности находим при малых z:

z = f (x3 x3 );

y = x (x3 x3 ), 0 где обозначено 33 1 ;

, f откуда из (7.27) получаем ковариантную производную по нормали Dz = 1 (,3 + µ,µ + µ, µ + µ, µ ), (7.28) f аналогичную введенной раньше ковариантной производной по времени.

Теперь из (7.26) получаем выражение для потока гравитационной энергии:

U n = (11 Dz 22 + 22 Dz 11 2 12 Dz 12 ).

(7.29) В самом общем виде поток определяется производными от поперечно поперечных по отношению к нормали компонент метрики. Он опреде ляет собственно гравитационную часть потока энергии.

5. Взаимодействие с вложенной материей Действие прочей (вложенной) материи выражается через тензор ные компоненты полей, описывающих эти виды материи, простран ственный метрический тензор ij и векторное поле глобальной скоро сти V i.

5.1. Электромагнитное поле Электромагнитное поле задается двумя векторными полями B и E, определяемыми производными от скалярного и векторного потенциа лов. Магнитное поле представляется либо как антисимметричный тен зор второго ранга, либо как дуальное ему векторное поле:

B[ij] = Ai,j Aj,i = [ijk] B k ;

[ijk] B i = [ijk] Aj,k = (Aj,k Ak,j ).

В определение напряженности электрического поля входит произ водная по времени от векторного потенциала, которая должна быть представлена как ковариантная производная по времени:

Ei = i Dt Ai = i t Ai V j Ai,j Aj V j,i = = i ( + V j Aj ) t Ai V j B[ij] = = i V t Ai V j ijk B k = Ei V j ijk B k, (7.30) Ei = i V t Ai.

В неинерциальной системе роль скалярного потенциала играет конструкция V = + V i Ai. (7.31) Калибровочное преобразование скалярной функцией также тре бует введения ковариантных производных по времени:

V j,j ;

= Ai = Ai +,i.

t При этом преобразование V = V гарантирует неизменность E и B.

В уравнениях Максвелла корректируются производные по време ни, заменяясь на ковариантную. В первой паре:

Bki + V j B[ki],j +B[kj] V j,i B[ij] V j,k +(Ek,i Ei,k ) = 0. (7.32) c t Полный лагранжиан электромагнитного поля 4 ij Ei Ej ( ij kl kj il ) Bik Bjl = L= ij Ei Ej + 2 ij V k Ei Bkj + ij V k V l Bik Bjl = (7.33) 1 ( ij kl kj il ) Bik Bjl квадратичен по напряженностям электрического и магнитного полей.

Поле абсолютных скоростей в лагранжиан электромагнитного по ля входит только через кинетическую энергию.

Вторая пара уравнений Максвелла определяется из вариации дей ствия после введения вектора электрической Di = L = ij (Ei + V k Bkj ) = ij Ej 4 Ei и магнитной индукции H [ij] = L =( ik jl + il V j V k jl V i V k )B[kl] (V i jk V j ik )Ek ;

B[ij] Di + 2 H [ij] = 0;

j c t i [ijk] Hj,k D V j D;

j Dj V;

j = 0.

i i (7.34) c t Связь с уравнениями гравитационной динамики:

ij Ej Ai,k i ( E i Ak ) = ij SE (E) (Ei Bkj + Bik Bjl V l ).

= Jk = = (7.35) k V Выражение (7.35) это поток энергии электромагнитного поля, опре деляющий векторный источник в уравнениях связи (7.11).

Тензорный источник в динамических уравнениях (7.9) получает ся вариацией электромагнитного действия с лагранжианом (7.33) по метрическому тензору пространства:

SE Qij =. (7.36) ij В четырехмерном обозначении векторный и тензорный токи вместе с плотностью энергии объединяются в тензор энергии-импульса мате рии.

5.2. Пылевидная материя В космологии представляет интерес пылевидная материя с четы рехмерным тензором энергии-импульса T = u u, где u 4-вектор скорости.

Во все компоненты 4-вектора скорости входит нормировочный множитель =.

ij i 1 2 (x V i )(xj V j ) c Контравариантные компоненты скорости движущейся свободной частицы:

i u0 = ;

ui = x.

c Ковариантные компоненты ее:

ij ij (xi V i ) V j );

ui = c (xi V i ).

u0 = (1 + c При этом u0 u0 + ui ui = 1.

Векторный источник в уравнениях связи ij (xj V j ) Ji = Ti0 = u0 ui = c (7.37) c2 kj (xk V k )(xj V j ) и тензорный в динамических уравнениях (xi V i ) jk (xk V k ) Jj = Tji V i Tj0 = i (7.38) c2 kj (xk V k )(xj V j ) определяются абсолютной скоростью движущейся частицы относи тельно пространства xi V i.

Когерентные частицы покоящиеся относительно простран ства не дают вклада в источники. Чтобы частица работала как ис точник в уравнениях пространства, она должна быть некогерентной иметь ненулевую абсолютную скорость xi V i.

5.3. Идеальная релятивистская жидкость В ТГВ специальная теория относительности включается локаль но: в бесконечно малом пространство и время метризованы метрикой Минковского. При нахождении решений динамики пространства этот факт не играет никакой роли, так как пространство распределенный объект и его описание проводится в глобальном времени.

Однако динамика полей, определяемых локальными уравнения ми, должна быть локально релятивистски инвариантна. Уравнение Гамильтона–Якоби для свободной частицы 1 (S + V i S, )2 ij S, S, = m2 c (7.39) i i j c может быть переписано в четырехмерном виде:

g S, S, = m2 c2, (7.40) где компоненты четырехмерной метрики выражаются через трехмер ную метрику и поле абсолютных скоростей.

Идеальная релятивистская жидкость описана Шютцем [31]. В ос нове ее лежит выражение для энтальпии, определяемой функцией :

g,,.


µ= (7.41) Уравнение состояния определяется зависимостью давления от энталь пии p(µ), при этом плотность вещества, плотность энергии опреде ляются через эту зависимость:

dp dp = ;

=µ p;

+ p = µ;

d = µ d. (7.42) dµ dµ Уравнения изоэнтропной динамики жидкости определяются из прин ципа наименьшего действия Sf = p(µ) g d4 x. (7.43) Вариация по приводит к закону сохранения вещества:

d p µ µ = ( u ) = 0;

u =.

x d µ, x, Тензор энергии-импульса жидкости определяется вариацией по метрическому тензору:

pg Sf d p µ Tij = 2 =2 +2 = ( + p) ui uj p gij. (7.44) g ij d µ g ij g g ij В глобальном времени выражение для энтальпии 1 ( + V i, )2 ij,, µ= (7.45) i i j c определяет поле скоростей жидкости µ u0 = = µ ( + V i,i );

,t µ ui = = µ ( V i + (V i V j ij ),j ). (7.46),i Особо выделим случай статической жидкости ui = 0. При этом = k (t + s(x)). Отсюда Vi V i + (V i V j ij ) s,j = 0;

si = ;

1V µ= k. (7.47) 1V Константа k гравитационного равновесия постоянна по всему телу.

Энтальпия (с точностью до этой константы) в равновесии однозначно определяется параметрами пространства: полем скоростей и метри кой. Видимо, без потери общности можно принять k = 1.

Соотошение (7.47) ставит в однозначное соответствие состояние равновесной жидкости в данной точке с характеристиками простран ства в этой точке.

Вариация действия статической жидкости по полю скоростей опре деляется только вариацией давления Sf ( + p) Vi d p µ Vi = = =. (7.48) 1V Vi d µ V i (1 V 2 )3/ Вариация по метрическому тензору пространства p V iV j Sf d p µ p + ij = = + = ij d µ ij ij 2 3/ 2 (1 V ) ( + p) V i V j =1 + p ij (7.49) 2 1V определяет тензорный ток.

6. Решения с нулевой энергией Знаконеопределенность плотности энергии пространства приво дит к решениям как с положительной плотностью энергии (возможно, в каких-то областях), так и отрицательной (также, возможно, в каких то других областях). Но также возможны решения и с нулевой плотно стью энергии. Решения со всюду нулевой плотностью энергии обладают существенными особенностями.

Пусть в пространстве с метрическим тензором ij (x, t) и полем скоростей V i (x, t) совершается динамика полей, все компоненты кото рых мы обозначим y (x, t), а канонически сопряженные им плотности импульсов p (x, t). Вариация действия ij ij + p y h dt d3 x, dS = где h = h(ij, V i, ij, p, y ) совместная плотность гамильтониана пространства и находящихся в нем полей.

Здесь dt приращение глобального времени, синхронизирующего динамику всех полей. Пусть теперь рассматривается решение, где всю ду в начальный момент плотность h равна нулю. Уравнения динамики приводят к тому, что и в последующие моменты всюду будет h = 0.

Но для этого подмножества решений время выпало из вариа ции действия. При описании динамики таких полей можно уже поль зоваться не глобальным временем t, а произвольной функцией t = 1 2 = f (t, x, x, x ). Для такого подмножества решения теория становится общековариантной.

Именно к этому подмножеству решений привели Эйнштейна поис ки связи кривизны пространства с динамикой гравитации, в результате которых появилась Общая теория относительности. Принцип общей ко вариантности упростил процесс создания самосогласованной теории, сыграл важнейшую роль в процессе ее становления, однако он ниотку да не следует ни из каких-то экспериментов, ни из каких-то более глубоких философских или метафизических положений.

Как, например, в самой общей теории относительности сферически симметричные решения разыскиваются значительно проще, чем более общие и кто-то, специализировавшийся на таких решениях, мог бы объявить сферическую симметрию высшим принципом. Однако тео рия с этим принципом имеет лишь подмножество всех решений общей теории. Это не значит, что она неверна, неверен только принцип, огра ничивающий решения заданной симметрией.

Точно так же и в динамике пространства: решения с более высо кой симметрией общековариантные образуют лишь часть реше ний. Решения общей теории относительности образуют подмножество решений теории глобального времени со всюду равной нулю плотно стью энергии.

Глава Решения По явлениям движения распознать силы природы, а затем по этим силам объяснить остальные явления.

И. Ньютон Хотя речь об общей теории относительности пойдет далее, здесь пока, опираясь на рассуждения последнего параграфа предыдущей главы, скажем, что уравнения ОТО, приведенные к глобальному вре мени, 10 уравнений Эйнштейна это девять уравнений ТГВ плюс десятое уравнение = 0. Это подмножество решений ТГВ с нулевой плотностью энергии.

Поэтому некоторые решения ТГВ в точности совпадают с решени ями ОТО, однако класс решений ТГВ шире, чем в ОТО.

1. Сферически-симметричные пространства Несмотря на то что инерциальная система всегда динамична, суще ствуют решения в глобальном времени, стационарные с точки зрения некоторой неинерциальной системы.

В сферически-симметричном стационарном случае метрика про странства приводится к виду:

dl2 = dr2 + R2 (r)(d2 + sin2 d2 ), (8.1) а поле скоростей радиально: V r = V (r).

Так как поле скоростей входит только в кинетическую энергию, для получения уравнений связи достаточно расписать только кинети ческую энергию. Поле скоростей деформации метрики, несмотря на от сутствие зависимости от времени, вследствие наличия поля скоростей отлично от нуля (штрихом обозначена производная по радиусу):

µ11 = 1 (11 + 2 V 11 + V 11 ) = V ;

µ1 = V ;

µ22 = 1 (22 + V 22 ) = V R R ;

µ2 = V R = µ3.

2 2 R 2 T=1 (V )2 + 2 V R V +2V R R2 = 2 R R 2 V V R R V 2 R. (8.2) Из уравнений связи нетривиально лишь радиальное, получающее ся из (8.2) вариацией по V :

T = T + T = 2 V R R = 0, V V V откуда R = a r + b. Требование несингулярности метрики при r приводит к R = r, и пространство оказывается плоским, поэтому по тенциальную энергию и не надо вычислять лагранжиан равен кине тической энергии.

1.1. Поле сферической массы Для вычисления токов лучше использовать средства компьютер ных аналитических вычислений, например, описанные в разделе 4 для пакета Mathematica.

1 2 Из динамических уравнений не равны нулю q1, q2 = q3, однако при выполнении первого уравнения второе выполняется автоматически вследствие тождеств Гильберта. Компонента V (2 r V + V ) (r V 2 ) q1 = = (8.3) r2 r в вакууме равна нулю, откуда r V 2 = const 2 k M 0, где k абсолютная константа гравитационная постоянная, а M константа интегрирования может трактоваться как масса тела в цен тре, причем она должна быть неотрицательной (в то время как в ОТО вопрос о неотрицательности массы оброс многими искусственными ги потезами отсутствие “голых сингулярностей” и пр.).

Радиальное поле скоростей “поле Бьерна” 2kM Vr =V = (8.4) r делает это пространство неинерциальным и отличает от инерциального евклидова пространства.

1.2. Поле заряженной частицы При наличии сферически-симметричного электростатического по ля в уравнение (8.3) добавится компонента T1 тензора энергии импульса этого поля (r V 2 ) q q1 = = 4, r r откуда 2M q V= (8.5) r r при плоском пространстве.

Как и для вакуумного решения (8.4), это решение имеет плотность энергии, всюду равную нулю.

1.3. Нестационарное поле скоростей вакуума Наиболее простое нестатическое сферически симметричное реше ние с плоским пространством без источников определяется единствен ным уравнением V + V V + V 2 = 0. (8.6) 2r t Можно выбрать V в виде V (r, t) = k(t) r, тогда уравнение (8.6) сводится к дифференциальному уравнению первого порядка на k(t):

k + 3 k 2 = 0;

k= 2;

V (r, t) = 2 r.

2 3t 3t Его можно переписать в векторном виде:

V(r, t) = 2 r, (8.7) 3t инвариантном относительно переноса центральной точки. Вычислим поле скоростей в двух точках r1 и r2 :

2 r1 2 r V1 = V(r1, t) = ;

V2 = V(r2, t) = 3t 3t и вычислим их разность 2(r2 r1 ) V2 V1 =, 3t повторяющую формулу (8.7), как если бы центром была точка r1. Та ким образом, несмотря на сферическую симметрию, решение оказыва ется однородным.

2. Космологические задачи Наиболее простыми решениями ТГВ являются космологические модели, где динамические переменные зависят только от времени, то есть с точки зрения механики это задачи с конечным числом степеней свободы, а не задачи теории поля.

Почти все такие задачи описываются в глобальной инерциальной системе, где поле абсолютных скоростей равно нулю всюду.

2.1. Динамика плоского мира Пространство плоское, однако расстояние между точками его мо жет меняться за счет глобального масштаба m(t), который может из меняться с течением времени:

dl2 = m2 (t) (dx2 + dy 2 + dz 2 );

= m3. (8.8) Скалярная кривизна, определяющая потенциальную энергию про странства, равна нулю, поэтому гамильтониан определяется только ки нетической энергией:

µi = m j ;

i µ = 3 m;

H = m (µi µj µ2 ) = 3 m2 m.

m m j ji Динамику масштаба можно определить из закона сохранения энер гии:

3 m2 m = 4 a3 ;

m = a t2/3.

(8.9) Плотность энергии всюду отрицательна.

Приведем метрику (8.8) к сферическим координатам:

dl2 = m2 (t) (dr2 + r2 (d2 + sin2 d2 )) = = m2 dr2 + R2 (r, t) (d2 + sin2 d2 );

R(r, t) = m(t) r.

Перейдем теперь от переменной r к переменной R:

m m dr = dR m R dt dR = m dr + m R dt;

m и обозначим m 2R m R = 3 t V, после чего метрика становится евклидовой, неизменной во времени, а поле скоростей принимает вид (8.7).

Одна и та же задача решена в различных координатах.

2.2. Динамика сферического мира Очень интересной является космологическая модель трехмерной сферы с радиусом, зависящим от времени. Геометрические свойства трехмерной сферы были изложены в разделе 4.1 “Трехмерная сфера”.

Метрика пространства dl2 = r2 (t) d3, где d3 метрика на трехмерной сфере единичного радиуса (3.36), определяет кинетическую энергию, пропорциональную r r3.

T = 3 r Для трехмерной сферы радиуса r трехмерная скалярная кривизна (3.44) R= 6, = r r и гамильтониан (7.17) отрицательно определен:


H = 3r(r2 + 1).

(8.10) Постоянство гамильтониана приводит к дифференциальному урав нению первого порядка:

H = 3r(r2 + 1) = 3rmax, являющемуся дифференциальным уравнением циклоиды. Это реше ние вакуумное, где rmax констаната интегрирования. К этим урав нениям можно добавить и источники, причем если в качестве источни ка берется только когерентная пылевидная материя, то она дает лишь вклад в суммарную плотность энергии, то есть, не меняя характера решений, изменяет лишь константу rmax.

В теории глобального времени динамика пространства мо жет происходить и без материи, поэтому понятие критическая плотность, введенное общей теорией относительности, в ТГВ отсутствует.

2.3. Открытая космологическая модель В предыдущем параграфе рассматривалась динамика однородно го, изотропного пространства с положительной кривизной трехмер ной сферы. Однако возможна геометрия однородного, изотропного про странства с отрицательной кривизной пространства Лобачевского (псевдосферы).

С точки зрения динамики кинетическая энергия выражается в точ ности как и для сферы, а выражение для потенциальной энергии меня ет знак. В результате выражение для энергии сферы (8.10) переходит в H = 3r(r2 1).

(8.11) Если для сферы энергия отрицательно определена, то для сферы она знаконеопределена и динамика качественно различна для решений с отрицательной и положительной энергией.

При отрицательной энергии E = 3a закон сохранения энергии приводит к дифференциальному уравнению d r = ± 1 + a. (8.12) r dt При стремлении r к нулю скорость стремится к бесконечности, и в окрестности r 0 это уравнение, как и уравнение динамики сферы, переходит в уравнение динамики плоского пространства (8.9) c реше нием r t2/3. То есть при отрицательной энергии все три однородные, изотропные модели допускают подход к нулевому радиусу (или мас штабу) с одинаковым законом зависимости от времени.

Совершенно по-иному ведут себя решения с положительной энер гией. Уравнение динамики в этом случае получается из (8.12) заменой a на a:

d r = ± 1 a. (8.13) r dt Решения этого дифференциального уравнения не могут достигать точ ки r = 0. Минимально допустимое значение радиуса r = a.

Это уравнение решается в параметрическом виде r = a ch2 ;

sh r = a ch sh =.

2 2 ch Отсюда находится зависимость t():

d t = a ch2 = a (ch 1);

t = a (sh ).

2 2 d В процессе сжатия радиус уменьшается до минимального r = a, а затем снова происходит расширение.

При положительной энергии в открытой космологической мо дели сингулярность Большого взрыва отсутствует.

2.4. Решение с нулевой энергией Большой теоретический интерес представляет решение с энергией, равной нулю. Из (8.11) получаем дифференциальное уравнение и его решения r2 = 1;

r = ±t.

(8.14) Это решение является, например, пределом от решений с отрицатель ной энергией, оно также имеет сингулярность r = 0. Имея нулевую энергию, оно является также и решением общей теории относительно сти. К анализу смысла этого решения мы вернемся в соответствующем разделе главы об ОТО.

3. Конформная динамика как темная энергия Рассмотрим исключительно важную и достаточно простую кос мологическую модель динамику конформно плоского мира, выбрав метрику в виде dl2 = e2 u(t,x,y,z) (dx2 + dy 2 + dz 2 ). (8.15) Три уравнения связей (получающиеся вариацией действия по полю скоростей) для этой метрики u = 0 (8.16) t xi приводят к отделению временнй части от пространственной:

о u(t, x, y, z) = v(t) + w(x, y, z). (8.17) Шесть динамических уравнений (получающиеся вариацией дей ствия по метрическому тензору) (2 u + 3 u2 ) j = (2 v + 3 v 2 ) j = Gi i i (8.18) j приводят не только к требованию постоянства (по координатам) ска лярной кривизны, но и однородности пространства в целом. В уравне ниях (8.18) Gi тензор Эйнштейна трехмерного пространства.

j Чисто конформная динамика требует однородности простран ства.

Если, например, при построении моделей фридмановского ти па пространство выбиралось однородным для простоты решения, то в чисто конформной динамике пространство оказывается однородным вследствие динамических уравнений.

Рассмотренная модель дает ответ на ряд существенно важных во просов:

• Если какие-то материальные объекты передают свою энергию или часть ее конформной моде, это приводит к возрастанию однород ности пространства.

• Возможная нелинейная перекачка энергии из гравитационных мод с положительной энергией, определяемых пространственной неод нородностью, в конформные моды приводит к затуханию этих неоднородностей.

• Так как конформная мода однородна во всем пространством в це лом, то коэффициенты связи различных локальных материаль ных образований (пакет электромагнитных волн, например) с кон формной модой, определяющие переход энергии в конформную мо ду, ничтожно малы и, несмотря на наличие моды с отрицательной энергией, мир с положительной энергией развивается почти неза висимо от этой моды.

Это решение объясняет наблюдаемую однородность расширения Вселенной, приписываемую на уровне ОТО темной энергии.

4. Вихревое поле Следующая задача о вихревом поле. В целом уравнения ТГВ нелинейны, однако уравнения связей на поле скоростей линейны по этому полю. Эта задача интересна тем, что единственное уравнение связи на единственную вихревую компоненту поля скоростей не зависит от компонент метрического тензора и, будучи определяющим, решение обеспечивает принцип суперпозиции, представляя, в частно сти, серию мультипольных решений.

Метрика стационарна, осесимметрична и её можно привести к ви ду:

dl2 = ew(r,) (dr2 + r2 d2 ) + r2 sin2 d2. (8.19) Поле абсолютных скоростей, также зависящее от r и, поле вращения V = (r, ). Тензор скоростей деформации пространства µ3 = 1,r, µ1 = r ew,r sin(t);

1 2 µ3 = 1,, µ2 = 1 ew, sin(t), 2 2 определяет импульсы 4 3 = r,r sin3 ;

1 = r ew,r sin ;

1 2 2 3 = r, sin3 ;

2 = r ew, sin.

2 2 Кинетическая энергия T=r c,2 + 1,2 sin3 (8.20) r r 32k определяется только вихревым полем и не зависит от метрической функции w.

Из единственной нетривиальной связи для V при отсутствии ис точника следует уравнение на :

,rr + 4,r + 1 (, +3 ctg, ) = 0. (8.21) r r Замечательно, что это линейное дифференциальное уравнение вто рого порядка не зависит от метрической функции w(r, ).

Собственные токи b1 = b2 = 1 ew sin(t) r2,2,2 ;

1 2 r b1 = r2 b2 = 1 ew r2 sin(t),r, ;

2 b3 = 3 ew sin(t) r2,2 +, 3 r вместе с тензором Риччи, определяемым метрикой (8.19) R11 = 1 2 r2 w,rr +w, + ctg w, ;

2r R12 = 1 (w, + ctg r w,r ) ;

2r R22 = 1 (ctg w, w, 2 r w,r ), приводят к уравнениям на метрику, из которых вследствие тождеств Гильберта независимы только два, определяющие производные от функции w через вихревое поле :

w,r = r 2,2 r2,2 2 ctg r,r, sin4 ;

r 2c w, = r 2 ctg r2,2,2 2r,r, sin4. (8.22) r 2c При выполнении этих соотношений, а также уравнения (8.21) на все уравнения динамики и связи удовлетворяются.

Плотность энергии теперь выражается только через производные от :

= r c (r2,2 +,2 ) sin3, (8.23) r 8k а кинетическая энергия ровно в четыре раза меньше. Это есть след ствие теоремы о вириале пространства.

Полная энергия в некоторой области B без источников EB = 2 dr d (8.24) B положительно определена и достигает экстремума на решениях урав нения (8.21).

Для рассматриваемой задачи выполнены все условия для приме нения теоремы вириала (7.13).

Для определения кинетической энергии нужно знать поле абсо лютных скоростей в рассматриваемой области, информацию о котором могут дать видимые звезды, а теорема о вириале позволяет вычислить полную энергию.

4.1. Слабый принцип суперпозиции Итак, решение задачи о нахождении стационарного вихревого по ля в пространстве состоит в решении линейного дифференциального уравнения (8.21) при заданных граничных условиях, после чего урав нения (8.22) определяют метрическую функцию w(r, ).

Несмотря на то что в целом задача является нелинейной, первая (главная) задача нахождение вихревого поля (r, ) является ли нейной и для нее выполняется принцип суперпозиции. То есть любое поле может быть представлено как суперпозиция некоторых базовых решений. Уравнения (8.22) для нахождения поля w(r, ) квадратичны по производным поля, и решение в целом не является суперпозицией частных решений.

4.2. Мультипольные решения Дифференциальное уравнение (8.21) однородно по радиусу r, по этому его частные решения можно искать в виде степенного ряда Bl Al rl + (r, ) = Pl (cos ). (8.25) rl+ l= Для угловой части дифференциальное уравнение (где x = cos ):

(x2 1)Pl + 4 x Pl l (l + 3)Pl = 0. (8.26) Его решения при целых l полиномы Гегенбауэра с = 3/ являются основой сферических функций в пятимерном пространстве.

В частности, при l = 3 (как и при l = 0) решением уравнения (8.26) является константа, то есть в целом для уравнения (8.21) имеется мо нопольное решение 0 (r, ) = 1. (8.27) r Оно определяет производящую функцию полиномов (l + 1)(l + 2) 1 Pl (x) sl.

= (8.28) (1 2 s x + s2 )3/2 l= При таком определении Pl (1) = 1 как и для полиномов Лежандра.

Хотя эти полиномы хорошо известны, приведем первые пять:

P2 = 1 (5 x2 1);

P0 = 1;

P1 = x;

P3 = 1 x (7 x2 3);

P4 = 1 (21 x4 14 x2 + 1).

4 Эти полиномы ортогональны с весом (1 x2 ), при этом Pl2 (x) (1 x2 ) dx =. (8.29) (l + 1)(l + 2)(2 l + 3) При x = 0 производящая функция (8.28) принимает вид:

(2m + 1)! 2m 1 (1)m 2m = s, 2 (m!) 2 3/ (1 + s ) m= что определяет значение четных полиномов при x = 0 (нечетные равны нулю):

(2m)!

P2m (0) = (1)m. (8.30) (m!) (m + 1)22m Каждому чистому мультипольному решению l = a rl Pl (cos ) соответствует мультипольное решение wl (r, ) = a2 r2(l+1) sin4 (2 l ctg Pl Pl, Pl,2 +l2 Pl2 ) (8.31) 4(l + 1) и плотность энергии = a2 r2(l+1) sin3 (Pl,2 +l2 Pl2 ). (8.32) Однако если вихревое поле является суперпозицией мультиполь ных решений, то возникает интерференция и функция w не является суперпозицией функций составляющих ее монополей.

4.3. Поле с кольцевым источником Задача о нахождении вихревого поля в математической части сов падает с задачей теории потенциала в пятимерном пространстве. По этому сразу можно сказать, что всюду регулярного ограниченного вих ревого поля без источников не существует.

Наиболее естественным источником для вихревого поля представ ляется круговой ток тел, вращающиеся вокруг общей оси наподобие а колец Сатурна. Аналогичная задача в пятимерной электростатике поле заряженного тонкого кольца (нити) радиуса R. Задача осесим метрична, и вихревое поле вне радиусов источника может быть пред ставлено суперпозицией мультиполей. Мультипольные коэффициенты можно найти из разложения потенциала на оси (при = 0, Pl = 1 при всех l):

2m Q 3 Am z zR Q m=0 R R (z) = =, 2m Q A (R2 + z 2 )3/2 R zR m=0 m z z где (2m + 1)!

Am = (1)m.

22m (m!) Так как на оси z = r cos = 1, то это есть разложение по четным мультиполям 2m (2m + 1)! r (1)m = P2m (cos ) 22m (m!)2 R m= при r R и аналогичное во внешней области. Если источник кольцевой находится в “плоскости” симметрии при cos = 0, вклад в разложение дают только четные полиномы, подставляя значение которых из (8.30), получаем при r R 2m (2m!)(2m + 1)!

Q r (r) =.

R3 (m + 1)(m!)4 24m R Вихревое поле возрастает с ростом радиуса.

При r R 2m (2m!)(2m + 1)!

Q R (r) = r r3 (m + 1)(m!)4 24m с ростом радиуса поле убывает.

Как мы видели ранее, вращающиеся частицы, чтобы быть источни ками, должны двигаться относительно пространства, т.е. относительно принятой неинерциальной системы их скорости должны быть отлич ными от скорости пространства.

4.4. Энергия Для представления о космических энергиях рассмотрим следую щую задачу. Шар радиуса R равномерно вращается с угловой скоро стью когерентно. Это значит, что на поверхности шара скорость вращения совпадает с полем абсолютных скоростей пространства, то есть вне шара поле угловых скоростей определяется монопольным ре шением (r) = R3. (8.33) r При этом плотность энергии вне шара (внутри шара поле однородно и плотность энергии равна нулю):

= 9 R 6 sin, r а полная энергия пространства вне шара (уже в размерном виде):

r2 dr = R3 2 c2 M c2, E = c 9 2 R6 2 sin d (8.34) r 16k 2k 0 R где за M мы обозначили эквивалентную массу (это не масса шара) M=R. (8.35) 2k Возьмем, например, шар диаметром 20 см. (R = 0.1м), делающий 1 оборот в секунду ( = 2 c1 ). Получим M = 300 000 000 кг. Для вовлечения пространства вне шара в когерентное с ним вращение нуж но затратить энергию, выделяемую при аннигиляции 300 тысяч тонн вещества. Поэтому лабораторные эксперименты с вихрями в простран стве представляются не очень реальными.

Этот же пример разъясняет, почему наше пространство с высокой степенью точности евклидово: в выражении для энергии перед кривиз ной пространства стоит громадный численный множитель c4 /(16 k).

Это говорит о том, что малейшие отклонения от евклидова простран ства требуют громадных затрат энергии.

Наше пространство (почти) евклидово не из-за красоты и изяще ства евклидовой геометрии, а вследствие того, что такое пространство имеет минимальную энергию.

5. Плоская анизотропная модель Рассмотрим анизотропную космологическую задачу, где компонен ты метрики зависят только от времени, но метрика не диагональна:

dl2 = ij (t)dxi dxj r4/3 (t) ij (t) dxi dxj ;

(8.36) матрица с единичным детерминантом, а = r2.

где ij µk = 1 kj ji = 2 r i + 1 kj ji ;

k µi = 2 r.

3r r i i 2 Так как метрика от пространственных координат не зависит, по тенциальная энергия в гамильтониане отсутствует:

T = r2 L 4 r2, (8.37) 2 где величина L2 = 1 ij jk kl li не зависит от масштаба r. Для вычисления L2 нужно как-то парамет ризовать унимодулярную 3 3 матрицу ij. Когда она диагональна, ее можно параметризовать двумя функциями времени:

µ+ e3 0 µ A= 0.

e µ e 0 В общем же случае она приводится к диагональному виду ортого нальной матрицей O, которую можно параметризовать углами Эйлера,, :

(ij ) = O · A · OT ;

( ij ) = O · A1 · OT.

Матрица µi, определяющая кинетическую энергию:

j (µi ) = 1 ( ik kj ) = O · A1 · · A · OT + O · A1 · A · OT O · · OT, (8.38) j где = O · OT.

Квадратичная форма, определяющая кинетическую энергию, по сле подстановки производных от матриц принимает вид:

L2 = 1 µi µj = µ + 2 + 1 sh2 (2) 2 + (8.39) ji 2 2 6 2 (sh2 (µ ) cos2 + sh2 (µ + ) sin2 ) 2 sh(2µ) sh(2) sin sin cos + 2 sh2 (2) cos + + (sh2 (2) cos2 + (sh2 (µ + ) cos2 + sh2 (µ ) sin2 ) sin2 ) 2.

Введением линейных комбинаций скоростей l1 = sin sin cos ;

l2 = cos + sin sin ;

l3 =+ cos (8.40) это выражение упрощается:

µ 22 T1 = r L = r + 2 + sh2 (µ + ) l1 + sh2 (µ ) l2 + sh2 (2) l3.

2 2 2 2 (8.41) Теперь введем импульсы, канонически сопряженные углам,, :

T = r2 (sh2 (µ + ) sin l1 + sh2 (µ ) cos l2 );

p = (8.42) T p = 1 = r2 (sh2 (2) cos l3 sh2 (µ + ) sin cos l1 + sh2 (µ ) sin sin l2 );

T = r2 sh2 (2) l3.

p = Для выражения скоростей через импульсы найдем следующие соотно шения:

r2 (sh2 (µ ) cos l2 + sh2 (µ + ) sin l1 ) = p ;

r2 (sh2 (µ ) sin l2 sh2 (µ + ) cos l1 ) = p, где введена линейная по импульсам функция p cos p p=. (8.43) sin Отсюда окончательно получим:

p sin p cos p l1 = ;

(8.44) 2 2 r sh (µ + ) r sh (µ + ) p cos + p sin p l2 = ;

2 2 r sh (µ ) r sh (µ ) p p l3 = r2 sh2 (2) r2 sh2 (2) с соответствующим определением p1, p2 и p3.

Коммутационные соотношения (скобки Пуассона) p p cos p {p, p } = 0;

{p, p } = = sin приводят к коммутационным соотношениям {p1, p2 } = p3 ;

{p2, p3 } = p1 ;

{p3, p1 } = p2, (8.45) совпадающими с коммутационными соотношениями инфинитезималь ных операторов группы трехмерных вращений. Отсюда следует, что оператор квадрата момента P 2 = p2 + p2 + p2 (8.46) 1 2 коммутирует с p1, p2, p3 и, следовательно, с гамильтонианом, являясь, таким образом, интегралом движения.

Подставив теперь li, получим составляющую гамильтониана (8.41) p2 p2 p T1 = B = 1 2 3 1 3p2 + p2 + + + µ r2 sh2 (2) sh2 (µ + ) sh2 (µ ) 2r (8.47) и сам гамильтониан H = B 3 p2 = B 4 r 2.

(8.48) 16 r r2 r Функция B положительно определена и коммутирует с гамильто нианом, а потому является константой, которую запишем как B = l2 /3.

Уравнение динамики масштаба определяется законом сохранения энер гии T = M :

T = l 2 4 r2 = M, (8.49) 3r откуда r2 = 3 M + l 2.

4 4r Решение этого уравнения = r 2 = l t + 3 M t2. (8.50) Константа интегрирования выбрана так, что = 0 при t = 0.

Интересно проследить и за динамикой переменных µ,,,,, определяющих сдвиговую деформацию метрического тензора (объеди ним их в набор i, i = 1... 5) и сопряженных им импульсов i. Их динамика определяется функцией B:

d i d i = 1 B ;

= 1 B.

r2 i r2 i dt dt Можно ввести переменную :

el d = dt = dt t = 4l ;

.

r2 lt + 3/4 M t2 3M 1 3 M el 4l Динамика сдвиговых параметров в этой переменной не зависит от ди намики масштаба r:

d i d i = B ;

= B.

i d i d 6. Однородное электрическое поле В классической физике однородное статическое электрическое по ле удовлетворяет уравнениям Максвелла. Однако его тензор энергии импульса является источником в уравнениях динамики пространства, и решение в целом оказывается нестационарным.

Электрическое поле выделяет одномерную прямую вдоль поля и ортогональную ей плоскость, масштабы в которых могут меняться с течением времени независимо друг от друга:

dl2 = m2 (t)dx2 + R2 (t) (dy 2 + dz 2 );

= m R2. (8.51) Пространство в каждый момент является евклидовым с нулевой кривизной, поэтому лагранжиан чистой гравитации имеет только ки нетическую энергию:

2 L = 1 ( m )2 + 2( R2 )2 ( m + 2 R ) mR2 = m m 2 R R = (2 R m R + m R2 ). (8.52) Больше не нужно никаких вычислений, связанных с кривизной четы рехмерного пространства.

Электромагнитное поле определяется единственной компонентой векторного потенциала Ax (t) A:

F 0x = A2.

E Fx0 = A;

(8.53) m В лагранжиан электромагнитное поле входит через 0x 2 F Fx0 = A R.

Le = 2 2m Суммарный лагранжиан гравитационного и электромагнитного полей 2 L = A R 2R m R m R2.

(8.54) 2m Далее идет стандартный процесс решения задачи с заданным лагранжианом. Здесь переменная A циклическая и сопряженный ей импульс является константой:

2 mQ pA = AR Q;

E=A= 2. (8.55) m R Определяя импульсы PR, Pm через скорости, находим m Q2 m Pm PP R m = M.

H= + (8.56) 2 2 2R 2R 4R Константа M значение гамильтониана на решении.

Гамильтониан определяет уравнения динамики. Приведем их ре шение. Зависимость R(t) определяется соотношением:

8R (t t0 )2 = (2R0 + R)2 (R R0 ).

9Q Масштаб m выражается через масштаб R:

m = 2M (R2 + 4R0 R 8R0 ) + b R 1.

3Q2 R R R Здесь M, Q, R0, b константы интегрирования.

Первое из этих выражений показывает, что масштаб R уменьша ется от бесконечности до R0, а затем снова растет до бесконечности, то есть в плоскости, перпендикулярной электрическому полю, сингуляр ности отсутствуют.

При каком-то R = R1, определяемым соотношением констант инте грирования, масштаб m обращается в нуль. Возникает сингулярность, но в отличие от фридмановской сингулярности в ОТО, где весь мир стягивается в точку, здесь весь мир стягивается в плоскость.

7. Динамическая модель B Метрика пространства B9 дается выражением (4.22). При пере ходе к динамике параметры метрики (a, b, c) становятся функциями времени.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.