авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |

«Д. Е. Бурланков Время, пространство, тяготение Москва Ижевск 2006 УДК 530.12, 531.51 • ...»

-- [ Страница 7 ] --

В ТГВ квантовая теория гравитации, как и квантовая теория дру гих полей, например квантовая электродинамика, строится на основе уравнения Шредингера i = H, (13.1) t определяющего динамику вектора состояния пространства (и других полей) в глобальном времени. Вектор состояния является функцио налом от трехмерного метрического тензора, а с учетом трех уравне ний связей при произвольном векторном поле V i (x) на произвольной метрике ij (x):

d x = 0, V i (x) i (13.2) ij 316 Глава буферизирующих произвол в выборе координат, определяет вектор со стояния как функционал только от пространства.

Вероятностная трактовка вектора состояния определяет вероят ность той или иной конфигурации пространства, выделяет наиболее вероятную и ближайшую (вероятностную) окрестность.

Как, например, и в квантовой электродинамике, можно ставить стационарную задачу. Вследствие сохранения значения гамильтониана (энергии) имеет смысл уравнение H = E. (13.3) 2. Плотность энергии Мера квантовых флуктуаций при этом определяется не в неко тором фиксированном пространстве, а метрикой того искривленного пространства, в котором задаются эти флуктуации:

dL2 = ik jl ij kl d3 x. (13.4) Таким образом, в отличие, например, от квантовой электродинами ки, где основной проблемой (при взаимодействии с полем электронов) оказывается нелинейность, а функциональное пространство является плоским, в квантовой гравитации само функциональное пространство обладает кривизной [75].

Плотность полного гамильтониана с учетом материи отлична от нуля:

H = (ik jl 1 ij kl ) kl ij + (3) + 1 R +T0 + V i Ti0 ij (Vi;

j + Vj;

i ).

(13.5) Компоненты метрики ij коммутируют друг с другом, так же как и компоненты импульсов kl, однако выражение для гамильтониана значительно упрощается, если ввести аффинные импульсы, а из них l выделить еще шпур l, который коммутирует (в смысле скобок Пуас сона) с каждым аффинным импульсом:

i j i i i i j = qj + ;

qi = 0;

i =, (13.6) 3. Квантовая модель Большого взрыва то в этих переменных (и при V i = 0) гамильтониан (7.17) выглядит проще:

1 2 q i q j 2 (3), H= (13.7) R ji 3 причем метрика входит в кинетическую энергию только через, а эта i переменная коммутирует с qj, которые, однако, друг с другом не ком мутируют:

qj (x), ql (x ) = 1 (l qj j ql )(x x ).

i k ik ki (13.8) Это коммутационные соотношения токов группы Sl(3), которые та ким образом естественно возникают в динамической теории гравита ции.

Эти осложнения кривизны функционального пространства мет рик связаны с фоновой независимостью квантовой гравитации.

3. Квантовая модель Большого взрыва В качестве пробного камня в том или ином подходе к квантовой теории гравитации (почти) всегда рассматриваются космологические задачи с конечным числом степеней свободы.

Космологические проблемы на серьезную научную основу встали после работ А.А. Фридмана по динамике изотропного мира. Ненуле вой гамильтониан ТГВ позволяет обычным образом через уравнение Шредингера формулировать задачи квантовой космологии.

Один из наиболее простых примеров классического и квантового описания модели Большого взрыва в ТГВ мы продемонстрируем ниже.

3.1. Сферическое пространство Рассмотрим компактную космологическую модель фридмановско го типа, однородную и изотропную с пространством в виде трехмерной сферы, учитывающую из геометрии пространства только изменение радиуса r, однако, в отличие от вакуумной задачи, заполненного веще ством. Наибольший интерес представляет область малых радиусов Большого взрыва с предельно сильно сжатым веществом, представляю щим из себя ультрарелятивистский газ с уравнением состояния = 3 p.

Лагранжиан изоэнтропного газа выражается интегралом от дав ления, выражаемого как функция химического потенциала µ, в свою 318 Глава очередь выражаемого через ( + V i i )2 ij i j.

µ= В однородном случае µ = и лагранжиан в единице неизменяющегося (координатного) объёма пропорционален физическому объему, учиты вающему :

L = p() 2 2 r3.

(13.9) Вариация действия по приводит к закону сохранения материи dp d ( r3 ) = 0;

=. (13.10) dt dµ Для ультрарелятивистской материи давление пропорционально µ4, что с учетом лагранжиана гравитации для этой модели приводит к пол ному модельному лагранжиану:

r (r2 1) + 0 r 3.

L= (13.11) 2 Импульс, канонически сопряженный (количество материи в единице координатного объёма), постоянен:

p = M r = 0 3 r 3.

pr = r r;

Выражая, как обычно, скорости через импульсы 1/ pr p = r=r ;

, r переходим к гамильтониану p2 + r 2 q r H = r pr + p L = +, (13.12) 2r 2r 4/ где константа q 2, пропорциональная p, характеризует сохраняюще еся количество ультрарелятивистской материи.

Классическое уравнение динамики можно построить из закона со хранения энергии:

r = 1 q 2 2 e r r2.

(13.13) r 3. Квантовая модель Большого взрыва Это уравнение описывает изменение радиуса между максималь ным и минимальным значениями, определяемого корнями подкорен ного выражения e2 + q 2 e.

rmax = (13.14) Второй корень отрицательный, поэтому радиус меняется от нуля до rmax.

Если q 2 = 0, энергия может быть как положительной, так и отри цательной. Пр q 2 = 0 чисто фридмановская динамика (без ультра релятивистской материи) энергия может принимать только отрица тельные значения.

В данном разделе мы не будем вычислять квантовые эффек ты, а лишь продемонстрируем эффективность шредингерова подхо да в квантовой теории гравитации на основе ТГВ. Здесь мы работаем в планковской системе единиц: c = 1, k = 1, = 1.

3.2. Квантовая задача В квантовом гамильтониане p2 + r 2 q H= r + (13.15) 2r 2r q 2 характеризует сохраняющееся количество ультрарелятивистской ма терии.

Волновая функция является функцией времени и радиуса сферы r, переменные разделяются. Обозначая штрихом производную по ра диусу, симметризуя p2 /r, получаем стационарное космологическое вол новое уравнение:

u u + (r2 + q 2 ) u = 2 r E u. (13.16) r Вопрос о мере в функциональном пространстве требует дополнитель ного изучения (видимо, r5 ), но так как пока мы ставим цель описания в принципе, уравнение (13.16) записано при мере в функциональном пространстве единица.

В окрестности нуля это уравнение принимает асимптотический вид u u = 0, r 320 Глава с решениями в степенном виде u = rk и приводится к алгебраическо му k (k 2) = 0, так что особая точка r = 0 является регулярной с по казателями 0 и 2, а решения распадаются на два класса по поведению в окрестности нуля: как r0 и как r2. Для изучения квантовой пробле мы Большого взрыва представляет интерес первый класс, так как во втором плотность вероятности в нуле всегда равна нулю.

Собственные значения энергии для первых восьми таких функций при q = 0 (материя отсутствует динамика только пространства) и q = = 1 приведены в таблице:

n q=0 q= 1 0.977722 4. 2 3.05247446 2. 3 4.16434141 3. 4 5.03491431 4. 5 5.77537028 5. 6 6.43100378 6. 7 7.02566164 6. 8 7.57373725 7. При q = 0 все собственные значения энергии отрицательны, при q первые моды имеют положительную энергию. Представленные резуль таты получены численным интегрированием и гильбертово простран ство ограничено рассмотрением восьми функций (n = 8).

Первые шесть (ненормированных) функций для чистого простран ства (q = 0) приведены на рис. 13. u r Рис. 13.1.

Вследствие ненормированности функций и небольшой их неорто гональности за счет приближенного интегрирования в конечных пре 4. Динамика волновых пакетов делах вычисляется метрическая матрица rmax Mij = ui (r) uj (r) dr и вычисления матричных операторов проводятся с обратной матри цей K ij = Mij. Для анализа динамики радиуса интересен оператор радиуса rmax n i is rj = K r us (r) uj (r) dr.

s=1 При n = 8 собственные значения этой матрицы равны (0.51, 1.7, 2.6, 3.4, 4.2, 5.0, 5.8, 6.8).

С увеличением n (числа функций) минимальное собственное зна чение уменьшается, а максимальное растет, так что их произведение приблизительно остается чуть больше. Поэтому квантовые эффекты не предотвращают Большой взрыв, а с учетом того, что постоянная Планка в системе единиц Хевисайда имеет размерность квадрата дли ны, приводят к гипотезе о некотором космологическом соотношении неопределенностей:

Произведение максимального и минимального радиусов Мира не меньше.

4. Динамика волновых пакетов При рассмотрении квантовой динамики Большого взрыва наибо лее интересной квантовой величиной является радиус Мира. В описа нии динамики имеет смысл стартовать от состояния с минимальным математическим ожиданием радиуса. Это должна быть собственная функция оператора радиуса. Чтобы подготовить методику, рассмот рим сначала особенности собственных функций оператора координаты на хорошо изученном примере гармонического осциллятора.

4.1. Минимальная координата квантового осциллятора Гармонический осциллятор мы будем описывать в функциях, по строенных на модифицированных полиномах Эрмита, определяемых 322 Глава производящей функцией s2 x sk +s x 2 e = uk (x). (13.17) k!

k= Из этого представления легко находится нормировка функций uk (x)2 dx = uk (x) ul (x) dx = 0, k = l;

2, а также матричные элементы координаты x:

xkl = x uk (x) ul (x) dx, которые образуют матрицу 0 1 0 0 0...

1 0 2 0 0...

0 2 0 3 0... X = [xkl ] =. (13.18) 0 0 3 0 2... 0 0 0 2 0.....................

В подпространстве UN, определяемом функциями uk (x) (0 k N ), при нечетном N = 2n + 1 имеется состояние с собственным значе нием матрицы X, равным нулю: 2n+1 xkl al = 0. Все нечетные компо l= ненты этого состояния равны нулю, а четные (2n)!!(2k 1)!!

an = (1)k, (13.19) 2k (2n + 1)!!(2k)!!

при этом нужно помнить, что (1)!! = 1.

Энергия этого состояния n E2n+1 = 2n+ (4k + 1) (an )2 =.

2k 2 3 k= 4. Динамика волновых пакетов Она неограниченно растет с ростом n, поэтому при рассмотрении со стояний с ограниченной энергией нужно ограничиваться конечными n.

Интересно рассмотреть дисперсию этих состояний. Так как x = = 0, то дисперсия D = x2 x равна математическому ожиданию x. В случае полного набора функций матрица элементов x2 uk (x) ul (x) dx (x )kl = должна бы являться квадратом матрицы X, поэтому в полном гиль бертовом пространстве функций гармонического осциллятора диспер сия собственного состояния оператора x должна бы быть равной ну лю это состояние должно быть квадратным корнем из -функии (d функцией). Это состояние имеет бесконечную энергию.

В конечномерном случае пространства U2n+1 матрица (X 2 ) отли чается от квадрата матрицы X в двух последних столбцах и строках:

1 0 1·2 0...

0 3 0 2·3...

1·2 0 5 0...

[X ]2n =,...............

... (n 2)(n 1) 0 2n 1 0 0... (n 1)n 2n + (13.20) а так как все нечетные элементы вектора ak равны нулю, то отличие от нуля набегает только в последней строке:

2n (2n 1) 2n x2 = 1 (4n + 1) 1 = 1.

(2n 1)(2n + 1) 2n + 1 2n + В любом конечномерном подпространстве дисперсия состояния с нуле вой координатой равна единице! Это можно понять при изучении гра фика этого состояния: хотя ширина главного пика с ростом n уменьша ется с одновременным ростом его высоты, однако растет число малых вторичных пиков, в результате чего дисперсия и остается неизменной.

В процессе динамики этот пакет через отрезок времени = // расширяется до максимального, а затем за то же время возвращается к первоначальному с полным периодом /.

324 Глава -7.5 -5 5 7. -2.5 2. - Рис. 13. 1. 0. -7.5 -5 5 7. -2.5 2. Рис. 13. При рассмотрении полного гильбертова пространства все, что ухо дит на бесконечность, становится невидимым, и мы некоторым есте ственным образом полагаем выполнение условия полноты [X 2 ] = [X] · [X], [f (x)] = f ([X]);

(13.21) то есть исчезновения матрицы дисперсии. Однако при удалении нену левого элемента на бесконечность его значение также бесконечно воз растает. Арифметика бесконечности, построенная Я. Д. Сергеевым [77], позволяет выразить этот ненулевой элемент через единицу бесконечно 4. Динамика волновых пакетов сти 1 :

[D] 1 = 1 +1 (13.22) и показывает, что дисперсия собственных функций оператора коорди наты остается конечной, что, в частности, приводит к парадоксу Гиббса при разложении по собственным функциям.

4.2. Динамика космологических пакетов Для задания начального волнового пакета рассмотрим конечно мерное подпространство собственных функций радиуса Мира, опреде ляемых дифференциальным уравнением (13.16). Зададимся, например, подпространством из восьми функций со значением q 2 = 10. По этим l функциям вычисляется матрица rk размерности 8 8. Ее минимальное собственное значение равно rmin = 0.9016, а соответствующий норми рованный собственный вектор раскладывается по собственным функ циям гамильтониана с компонентами ak = {0.9468, 0.2591, 0.1435, 0.0929, 0.0605, 0.0447, 0.0329, 0.0230}.

Эта собственная функция имеет следующий вид, см. рис. 13.4.

0. 0. 0. 0. 2 6 Рис. 13.4.

Она обладает положительной средней энергией E8 = 4.35. В от личие от осциллятора значения энергий (и соответственно частоты) ее восьми составляющих не кратны друг другу и динамика пакета непери одична. Сначала пакет сдвигается в сторону больших масштабов и рас ширяется (мы приводим графики плотности вероятности на рис. 13.5) Затем он расщепляется на две компоненты, одна из которых начи нает двигаться в сторону больших радиусов, описывая фридмановское 326 Глава Рис. 13.5.

расширение мира. Однако вторая возвращается в сторону малых ради усов и в дальнейшем совершает самостоятельную динамику в области малых радиусов (см. рис. 13.6).

Рис. 13.6.

Эта картина заставляет переосмыслить квантовый вариант разви тия нашего мира. С квантовой точки зрения плотность вероятности радиуса Мира может представляться в простейшем случае следующей картиной (см. рис. 13.7).

r Рис. 13.7.

4. Динамика волновых пакетов Имеется по крайней мере две области, где плотность вероятности отлична от нуля: правая область фридмановского расширения и левый пакет, совершающий колебания в окрестности нулевого радиуса. Оба этих пакета существуют одновременно.

С точки зрения квантовой механики в какой-либо задаче, напри мер, твердого тела подобное поведение плотности вероятности не вы звало бы серьезных вопросов. Однако применительно к радиусу Ми ра уникальной, единственной переменной вопросы возникают. Ка ков же радиус Мира для нас? Если с каким-то средним значением и малыми флуктуациями вокруг него как-то можно смириться, то как трактовать одновременную вероятность двух существенно различных радиусов? Что будет, если измерить радиус Мира? Произойдет редук ция волнового пакета либо в область больших, либо в область малых радиусов?

Ответ состоит в том, что радиус Мира непосредственно измерить невозможно. Хэбл замерил его по свойствам фотонов, идущих от уда ленных галактик. Эти фотоны также подчиняются квантовой теории и на их квантовое поведение, доступное нашему измерению, может вли ять как область больших, так и малых радиусов, но при фиксации фотона никакой редукции волновой функции радиуса Мира не проис ходит.

Пусть, например, проводится эксперимент с атомами лития, имею щими по три электрона два внутренних и один внешний, валентный (водородоподобный атом). В эксперименте проводится взаимодействие с валентным электроном, при этом внутренние имеют свою квантовую матрицу плотности, влияющую на поведение валентного электрона, но в процессе эксперимента никакой локализации этих внутренних элек тронов не происходит.

Подавляющее количество квантовых переменных никем не наблю дается. Их квантово-механическое поведение проявляется лишь через их влияние на малое число наблюдаемых переменных. Радиус Мира с квантово-механической точки зрения может иметь достаточно разма занные значения, но это может вызвать лишь специфику в наблюда емом (или еще не наблюдавшемся) поведении наблюдаемых объектов (фотонов, космических частиц). Видимо, квантовая физика в основе своей имеет не волновую функцию, а матрицу плотности (см. [78]).

328 Глава 5. Квантовая плоская анизотропная модель Для понимания геометрии неплоского функционального простран ства трехмерных метрик (суперпространства) полезно рассмотреть сначала однородный случай метрики общего вида, в котором кривизна суперпространства определяется только локальной мерой в простран стве компонент метрики.

Изучим квантовый вариант рассмотренной выше однородной моде ли с гамильтонианом (8.48). Вследствие коммутации оператора B с га мильтонианом происходит разделение переменных: волновая функция может быть представлена как произведение:

i Et =e W (r) U (µ,,,, ).

Задача распадается на два уравнения в частных производных. Для функции W (r) нужно учесть меру в пространстве компонент метрики:

d6 = d(µ,,,, ) r5 dr, что приводит к уравнению 5 1 d (r W (r)) + l2 W (r) = E W (r), (13.23) r dr r и для функции U (µ,,,, ):

p2 p2 p 1 4l 3 1 3p2 + p2 + + + U= U.

µ 2 sh2 (2) sh2 (µ + ) sh2 (µ ) (13.24) В гамильтониан не входит переменная, следовательно, и p яв ляется интегралом движения. Так как оператор P 2 (8.46) коммутирует с гамильтонианом, решения уравнения (13.24) строятся из функций Якоби [79], определяемых с помощью дифференциального оператора 2 m k cos x L2 (m, k) = d 2 + ctg x d. (13.25) sin x dx dx Здесь мы рассмотрим только первое уравнение, имеющее характер уравнения Бесселя с регулярной особой точкой в нуле и иррегулярной на бесконечности.

6. Квантовая теория гравитации В нуле функция ведет себя как r : = 2 + 4 l2. Здесь видна физическая граница между анизотропией, определяемой величиной l2, слабой (l2 4) и сильной (l2 4). Плотность вероятности в окрестно сти нуля ведет себя как 4l dp = dr = W 2 r5 dr r1+.

При слабой анизотропии поведение регулярно, при сильной происходит коллапс.

На бесконечности характер решения зависит от знака энергии:

W r5/2 e Er.

При E 0 решения имеют сплошной спектр, осциллируют. При поло жительных энергиях, как и в предыдущей задаче, спектр дискретен отбираются только затухающие решения.

6. Квантовая теория гравитации В предыдущих задачах рассматривались системы с конечным чис лом степеней свободы. Переходя теперь к полевым задачам, сразу пре дупредим, что квантовая теория гравитации здесь не будет изложена.

Мы отметим лишь специфику квантовой теории гравитации по сравне нию с достаточно хорошо разработанной квантовой электродинамикой.

• Физический смысл координат определен лишь после определения метрики, которая является квантовым объектом.

• Глобальная нелинейность классической теории при линейности от носительно малых вариаций метрики.

• Кривизна функционального пространства метрик.

• Некоммутативность калибровочных преобразований.

6.1. Квантовая теория малых возмущений Построенная Л. Розенфельдом [80], а затем М. Бронштейном [81], С. Гуптой [82] и др. квантовая теория слабых возмущений в простран стве Минковского, в которой калибровочными преобразованиями (бес конечно малыми преобразованиями координат) исключаются компо ненты четырехмерной метрики h00, h0i, фактически совпадает с ана логичной квантовой теорией ТГВ. Плотность энергии в ТГВ в этом 330 Глава случае квадратична по возмущениям, но в линейном приближении это соответствует нулевой плотности энергии, то есть ОТО. Поэтому мы не будем здесь фактически повторять те же выкладки, что и упомянутые авторы.

Отметим, однако, квантовую задачу о малых флуктуациях трех мерной сферы, рассмотренных в главе 10. При этом к лагранжиану на сфере одновременно можно добавить лагранжиан электромагнитного поля, моды колебаний которого рассмотрены в главе 13. Это рассмот рение поможет разобраться в таких вопросах, как мера в функциональ ном пространстве. Кроме того, построение квантовой электродинами ки на трехмерной сфере сможет рассеять некоторые мифы квантовой электродинамики, такие как релятивистская инвариантность.

Плоское пространство является пределом трехмерной сферы при радиусе, стремящемся к бесконечности, и квантовая электродинамика, получающаяся при таком предельном переходе, может не обрести ре лятивистскую инвариантность. Это будет означать выделение глобаль ной инерциальной системы на квантовом уровне. При учете квантовой гравитации это, без сомнения, так.

6.2. Функциональное пространство метрик В полной своей конструкции, несмотря на то что гамильтониан гравитации отличен от нуля, гамильтонова, а затем и квантовая тео рии гравитации оказываются нетривиальными, так как пространство метрик является искривленным. Это искривление определяется двумя составляющими: локальной кривизной пространства метрик в точке и некоммутативностью калибровочных преобразований преобразо ваний координат.

При вычислении кинетической энергии в однородной анизотроп ной космологической модели (8.37) мы увидели инвариантность меры относительно группы Sl3. Каждая компонента метрики не просто из меняется на произвольную величину, а вклад этого сдвига в кинети ческую энергию определяется всеми другими компонентами метрики нелинейным образом, так что различные метрики получаются не сдви гом их компонент, а преобразованием группой Sl3. Само множество метрик в одной точке это не плоское многообразие, а многообразие, инвариантное относительно действия этой группы искривленное про странство.

Пространство двумерных метрик инвариантно относительно груп пы Sl2. Например, при изучении плоской гравитационной волны мы 6. Квантовая теория гравитации ввели расстояние в пространстве метрик между бесконечно близки ми метриками с заданным детерминантом r2 так:

dl2 = r ((ch + sh cos )dy 2 + 2 sh sin dy dz + (ch sh cos )dz 2 ).

(13.26) Это метрика двумерного пространства Лобачевского.

Переменные r, и зависят от t и x. Мера = r, то есть в каждой точке пространства задана такая метрика, с компонентами, зависящи ми от времени. При этом преобразования координат сами некоммута тивны, то есть не являются простыми сдвигами в отличие от калибро вочных преобразований в электродинамике:

ji ji 1 xi = 1 (x);

i 2 xi = 2 (x);

i (2 1 1 2 ) xi = (1 2,j 2 1,j ) = 0.

Динамическое пространство метрик есть фактор-пространство прямо го произведения искривленных пространств метрик в каждой точке по некоммутативной группе координатных преобразований.

Все это говорит о том, что квантовая теория гравитации требу ет серьезного развития новых математических средств. Для описания пропагаторов в суперпространстве, предложенных как основа кванто вой теории гравитации в [23], необходимо математическое описание этого суперпространства и методов интегрирования в нем. Нетриви альность этой задачи видна из выполненного А. М. Поляковым инте грирования в суперпространстве двумерных метрик [63], использовав шего то обстоятельство, что все двумерные поверхности являются кон формно плоскими. Ситуация с трехмерными метриками несравненно сложнее. По-видимому, необходимо сначала изучить более простые мо дели, например квантовую теорию глобального времени с двумерным пространством, которая, в отличие от нединамической (2+1) ОТО, яв ляется динамической теорией. Техника, продемонстрированная Поля ковым на струнах, как раз необходима для постановки и решения этой задачи.

Может оказаться полезной точная квантовая модель плоских гра витационных волн, где кроме решений типа бегущих волн имеется мно жество других решений;

например, волны, бегущие навстречу друг другу, взаимодействуют, в отличие от электромагнитных волн.

Эти модели помогут понять и такие вопросы, как интегрирование по разным топологическим типам пространств (в частности, открытые, замкнутые).

При обсуждении квантовой теории глобального времени, как пра вило, слышишь вопрос: а эта теория перенормируема? Конечно, нель 332 Глава зя ответить на этот вопрос, потому что неясно еще, а что же под этим можно подразумевать. Когда Дирак создал квантовую электродинами ку, он на этот вопрос не отвечал его еще не было. Только длительная работа привела к постановке этого вопроса. Какие проблемы, эквива лентные проблеме перенормируемости квантовой теории в заданном пространстве (пространстве-времени Минковского), возникнут в кван товой теории гравитации покажет только работа в этой области. Мы находимся еще в самой начальной стадии построения такой теории.

Глава l-анализ Все из числа.

Пифагор Обыкновенное дифференциальное уравнение k-го порядка имеет k констант интегрирования, и для постановки задачи Коши нужно задать в начальный момент k величин: функцию и ее производные, вплоть до k 1-й.

В динамике полные начальные данные для систем с n степенями свободы, описываемых системой n дифференциальных уравнений вто рого порядка, нужно задать 2 n начальных значений n координат и n скоростей или импульсов.

Дифференциальные уравнения в частных производных имеют бес конечное множество констант интегрирования функции. Как опре делить степени свободы функций? Как задавать начальные условия для систем дифференциальных уравнений, особенно если имеются ка либровочные степени свободы или тождества? Эти вопросы являются областью изучения l-анализа.

Идея l-анализа была выдвинута Уиттекером в 1902 году при по строении сферических функций [84].

1. Гармонические полиномы Связь координат точки в декартовой и сферической системах ко ординат x = r sin cos ;

y = r sin sin ;

z = r cos для однородных полиномов декартовых координат степени l приводит к общему множителю rl, умножаемому на функции только угловых 334 Глава переменных:

Ckm xk y m z lkm = rl Y (, ).

l k+m l l Число коэффициентов Ckm (l + 1)(l + 2) l N3 = (14.1) мы выведем ниже.

Оператор Лапласа 2 2 = 2 + 2 + x y z понижает степень однородного полинома на 2, и, если нас интересуют l гармонические полиномы степени l, на N3 коэффициентов накладыва l ется N3 уравнений, так что произвольными остаются (l + 1)(l + 2) (l 1)l l l N3 N3 = = 2l + 2 коэффициентов. Пространство гармонических полиномов степени l имеет размерность 2 l + 1. Гармоническая функция (f = 0) имеет вид:

f = rl Clm Ylm (, ), m где m пробегает 2 l + 1 различных значений (например, от l до + +l), а Ylm (, ) набор 2 l + 1 линейно независимых функций угловых переменных сферические функции порядка l.

Таким же образом можно вычислить число сферических функций порядка l в четырехмерном пространстве l N4 N4 = (l + 1)2, l в пятимерном пространстве (l + 1)(l + 2)(2l + 3) l l N5 N5 =.

2. l-представление Эту идею Уиттекера можно обобщить на системы функций, подчи няющихся системе дифференциальных уравнений не обязательно ли нейных, а также на системы функций, имеющих калибровочные степе ни свободы [85]. Её пытался применить Эйнштейн в своих последних ра ботах (в соавторстве с Б. Кауфман) [86] при анализе “жесткости” своей релятивистской теории несимметричного поля. Подчеркивая важность такого подхода для анализа сложных систем, Эйнштейн не успел дать его систематическое изложение.

2. l-представление Пространство множества функций n переменных бесконечномер но, и суть l-анализа состоит в разбиении этого бесконечномерного про странства на бесконечное количество конечномерных l-секторов, в каж дом из которых группируются члены разложения суммарной l-й степе ни по переменным. В одномерном случае в каждом l-секторе находится 1 коэффициент:

f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 +..., и это можно отразить разложением по степеням формального парамет ра t функции F1 (t) = 1 = tl = N 1 tl, l 1t l=0 l= l имеющей при каждой степени t коэффициент единица (N1 = 1). В случае нескольких переменных, если нас интересует лишь суммарная степень по всем переменным, такие функции нужно перемножить:

1 N n tl, l Fn (t) = = (14.2) (1 t)n l= l где Nn обозначает число коэффициентов функции n переменных в l-секторе. Эта функция хорошо изучена в комбинаторике:

(n + l 1)!

l Nn =. (14.3) (n 1)! l!

336 Глава Приведем ее вид для низких размерностей пространства перемен ных:

(l + 1)(l + 2) l l l N1 = 1;

N2 = l + 1;

N3 = ;

(14.4) (l + 1)(l + 2)(l + 3) l N4 =.

Степень по l связана с числом переменных, которых на единицу больше, чем максимальная степень.

Определение этой функции через (14.2) дает ряд теорем сложения для нее, не требующих ее явного вида:

Fn (t)Fm (t) = Fn+m (t).

В частности, при m = 1 получается исключительно важное для даль нейшего соотношение l l+1 s Nn+1 = Nn. (14.5) s= Другие тождества следуют из очевидного равенства:

(1 t)m =, (1 t)n (1 t)nm откуда m m!

(1)s N ls = Nnm.

l (14.6) s! (m s)! n s= Например, при m = 1:

l l1 l Nn Nn = Nn1, а при m = n, l n n!

(1)s N ls = 0.

s! (n s)! n s= Если функция подчиняется дифференциальному уравнению по рядка k, то k-кратное дифференцирование переводит коэффициенты 3. Динамика скалярного поля из сектора l в сектор l k и на количество коэффициентов в этом секторе уменьшает число коэффициентов в секторе l.

Если функция имеет калибровочные степени свободы k-го порядка (функция изменяется k-ми производными калибровочной функции), то число коэффициентов в секторе l уменьшается на число коэффициен тов калибровочной функции в секторе l+k. Это и есть основные прави ла использования l-анализа в системах дифференциальных уравнений с калибровочными степенями свободы.

3. Динамика скалярного поля Продемонстрируем использование l-анализа в описании лагранже вой динамики полей. Пусть, например, имеется скалярное поле в n-мер l ном пространстве, зависящее еще от времени (Nn+1 компонент в l-сек торе) с лагранжианом, содержащим первые производные. Варьируя лагранжиан, получаем на этом поле дифференциальное уравнение вто l рого порядка, уменьшающее число компонент в l-секторе на Nn+1. В l-секторе остается l l l Nscal = Nn+1 Nn+ l компонент. Если сюда добавить и отнять Nn+1, то структура l1 l1 l l l l l Nscal = (Nn+1 Nn+1 ) + (Nn+1 Nn+1 ) = Nn + Nn приобретает вид двух полей (исходное поле сектор l и производные по времени сектор l 1).

Наличие калибровочных преобразований (первого порядка) умень шает число компонент исходного поля и добавляет тождества первого порядка на уравнения. Если уравнения второго порядка, то тождества по отношению к полю имеют третий порядок.

Классическим полем с калибровочной степенью свободы является электромагнитное поле.

4. Электродинамика В теории поля все компоненты полей зависят от четырех перемен ных трех пространственных координат и времени (n = 4).

Электромагнитные поля описываются 4-векторным потенциалом, однако при наличии калибровочной степени свободы A =. При 338 Глава этом калибровочном преобразовании часть коэффициентов потенциа лов в l-м секторе может быть уничтожена коэффициентами из l + 1-го сектора калибровочной функции, так что калибровочно независимых коэффициентов остается (l + 1)(l + 2)(l + 3) (l + 2)(l + 3)(l + 4) l+ l nl = 4 N 4 N 4 = 4 = 6 (l + 2)(l + 3)(4l + 4 l 4) l (l + 2) (l + 3) = =.

6 При l = 0 все коэффициенты калибровочно устранимы векторный потенциал локально ненаблюдаем.

При l = 1 (первые производные потенциала) имеется 6 неустра нимых коэффициентов это компоненты векторов напряженностей электромагнитного поля E и B. Однако они не являются свободными полями, на них накладывается l(l + 1)(l + 2) l (l + 2) (l + 3) (l 1)l(l + 2) l 6 N 4 nl = 6 = 6 2 ограничений. При l = 2 (первые производные от E и B) их четыре это первая пара уравнений Максвелла. Динамические уравнения Макс велла (вторая пара) дифференциальные уравнения 2-го порядка по потенциалам и первого порядка по напряженностям. Они получаются вариацией действия по четырем потенциалам. Вариация действия по калибровочной функции приводит к дифференциальному первого по рядка тождеству на эти уравнения ( + divJ = 0), так что уравнения с тождеством дают (l 1) l (l + 1) (l 2)(l 1)l l2 l eql = 4 N4 N4 = 4 = 6 (l 1) l (4l + 4 l + 2) (l 1)l(l + 2) = =.

6 Вторая пара уравнений Максвелла совпадает по l-структуре с первой.

Отсюда можно вычислить l-структуру начальных данных Коши в электродинамике:

l (l + 2) (l + 3) (l 1)l(l + 2) kl = nl eql = = 2 l(l + 2)(l + 3 l + 1) = = 2 l (l + 2).

5. Риманова геометрия Степень l равна уменьшенной на единицу размерности пространства, следовательно, начальные данные задаются в трехмерном простран стве. Низшая степень l = 1, при которой имеется 6 коэффициентов, компоненты полей E и H в данной точке. Однако они не являются свободными (в начальных данных):

l(l + 1) (l 1)l 6 2 l (l + 2) = l(3 l + 3 2l 4) = l(l 1) = 2.

2 Это два свободных (без тождеств) дифференциальных уравнения:

divB = 0;

divE = 4, где заданная в пространстве функция.

5. Риманова геометрия Одной из важнейших областей применения l-анализа является ри манова геометрия. Метрика n-мерного риманова пространства имеет l n(n + 1)/2 компонент, но ее исходная l-структура n(n + 1)/2 Nn реду цируется производными от n функций преобразований координат:

n(n + 1) (n + l 1)! (n + l)!

l Mn = n = 2 (n 1)! l! (n 1)! (l + 1)!

n(l 1)(n + l 1)!

=.

2(n 2)!(l + 1)!

В отличие от электродинамики здесь в нуль обращается число коэф фициентов при l = 1 первые производные метрического тензора в точке полностью устранимы координатным преобразованием. Это важнейший результат, позволяющий ввести локально декартову систе му координат в окрестности любой наперед заданной точки.

При l = 0 результат отрицательный: Mn = n(n 1)/2. Преоб разований в нулевом секторе больше, чем компонент метрики. Они позволяют привести метрику к некоторому стандартному виду (еди ничная матрица локально декартова система координат), при этом остается локальная группа преобразований, не меняющих метрику, n(n 1)/2-параметрическая группа локальных вращений.

340 Глава Первые неустранимые компоненты появляются при l = 2 вторые производные метрического тензора. Их n2 (n2 1) Mn =. (14.7) Это число независимых компонент тензора кривизны. В одномерном пространстве их нет все одномерные пространства плоские. В дву мерном пространстве имеется всего одна компонента тензор Римана– Кристоффеля, тензор Риччи все они выражаются через скалярную кривизну. В трехмерном пространстве компонент тензора кривизны шесть как и у тензора Риччи, через который и выражаются все компоненты тензора кривизны (3.35). В четырехмерном пространстве компонент тензора кривизны 20, а тензора Риччи 10.

Свободная функция в n-мерном пространстве имеет Nn = n пер вых производных по числу переменных в пространстве. Однако про изводных тензора кривизны меньше на n3 (n2 1) (n 1)n2 (n + 1)(n + 2) 2 Bn = n Mn Mn = = 12 (n 2)(n 1)n2 (n + 1) =. (14.8) Это количество тождеств Бьянки в n-мерном пространстве:

ij ij ij Rkl;

m + Rlm;

k + Rmk;

l = 0. (14.9) В двумерном пространстве их нет единственная компонента тен зора Римана–Кристоффеля (скалярная кривизна) является свободной функцией. В трехмерном пространстве тождеств Бьянки три, и они все содержатся в тождествах Гильберта.

6. Динамика пространства в ТГВ В теории глобального времени полевыми переменными являются шесть компонент метрического тензора и три компоненты поля абсо лютных скоростей, зависящие от четырех переменных, то есть исходно l имеется 9 N4 компонент в каждом l-секторе. Однако эти поля могут 6. Динамика пространства в ТГВ изменяться тремя координатными преобразованиями, так что инвари антных комбинаций в каждом l-секторе (l + 1)(l + 2)(l + 3) (l + 2)(l + 3)(l + 4) l+ l nl = 9 N 4 3 N 4 = 9 3 = 6 (l + 2)(l + 3)(2l + 1) =.

Вариация действия по этим девяти полям приводит к девяти диф ференциальным уравнениям второго порядка, а наличие трех калибро вочных преобразований приводит к трем дифференциальным тожде ствам среди этих уравнений уже третьего порядка, так что всего в l-м секторе имеется ограничений l2 l eql = 9 N4 3 N4 = (l 1)l(l + 1) (l 2)(l 1)l (l 1)l(2l + 5) =9 3 =.

6 6 Поэтому произвол выбора остается для компонент, связанных уравне ниями (l + 2)(l + 3)(2l + 1) (l 1)l(2l + 5) = 3(l2 + 2l 1) kl = nl eql = 2 компонент в l-м секторе.

Как и в предыдущих примерах, степень по l для компонент, связан ных уравнениями, равна двум, что говорит о том, что эти компоненты задаются в трехмерном пространстве, а распространение решений на четыре переменные (развитие во времени) берут на себя уравнения.

Число kl и определяет l-структуру данных Коши в ТГВ.

При l = 0 k0 = 3, что говорит об уже обсуждавшемся факте:

координатными преобразованиями метрический тензор в одной точке может быть приведен к единичной матрице, и еще остаются локальные вращения, не меняющие метрики.

При l = 1 k1 = 6. Однако это не все динамические переменные:

l(l + 1) l kl 6 N3 = 3(l2 + 2l 1) 6 = 3(l 1).

Это три свободные функции в двумерном пространстве ( на границе рассматриваемой области), образованные из вторых производных ди намических полей.

342 Глава l-анализ не указывает, что это за конструкции, он инвариантен к тому или иному представлению полей. Что это за данные, видно из уравнений поля: с помощью преобразования трехмерных координат в какой-то момент времени можно привести метрику, например, к диа гональному виду. Для поддержания такого вида метрики и в после дующем приходится проводить преобразования координат, зависящие от времени, то есть с неизбежностью возникает поле абсолютных ско ростей: в общем случае диагонализовать метрику с течением времени в инерциальной системе (где координаты точек пространства с течени ем времени не меняются) невозможно. Тогда в качестве динамических переменных выступают три компоненты диагонализованной метрики и их производные по времени шесть функций в трехмерном про странстве.

Уравнения связей являются дифференциальными уравнениями второго порядка на поле скоростей в пространстве, не содержат про изводных по времени. Поэтому для нахождения поля скоростей нужно задать их на границе рассматриваемой области. Если трехмерное про странство компактно, замкнуто граница отсутствует, эти допол нительные степени свободы исчезают.

7. Динамическая структура ОТО Динамическая структура ОТО существенно отлична. Полевыми переменными являются 10 компонент метрического тензора четырех мерного пространства-времени, а в качестве калибровочного поля вы ступают четыре четырехмерных преобразований координат, оставляя инвариантных переменных l+ l ng = 10 N4 4 N4 = (l 1)(l + 2)(l + 3).

Уравнений Эйнштейна 10, но на них наложены четыре тождества Гильберта, так что в целом связей на динамические компоненты l2 l eqg = 10 N4 4 N4 = (l 1)l(l + 3).

Данные Коши имеют структуру kg = ng eqg = 2(l 1)(l + 3).

Это также функции трех переменных (степень по l равна двум). В от личие от ТГВ нетривиальными оказываются компоненты, образован ные из вторых производных четырехмерного метрического тензора. Их 7. Динамическая структура ОТО (при l = 2) имеется 10. Однако эти функции не свободны:

(l 1)l (l 2)(l 1) 10 3(l 1)(l + 3) = 3(l 2)(l 1) = 6, 2 то есть (l 1)l (l 2)(l 1) kg = 10 6.

2 На эти 10 функций наложены 6 дифференциальных уравнений первого порядка.

В отличие от ТГВ в ОТО данные Коши (в заданный момент време ни) подчиняются еще шести дифференциальным уравнениям первого порядка, которые необходимо решить для однозначного описания ди намики.

Глава Физические поля на трехмерной сфере Многообразия с постоянной мерой кривиз ны могут быть характеризованы также тем свойством, что фигуры могут перемещать ся в них без растяжения и сжатия.

Б. Риман В разделе 6 были построены моды малых флуктуаций метрики трехмерной сферы как собственные векторы линейного оператора ма лых возмущений тензора Риччи. Фактически же это собственные моды поля тензора второго ранга с нулевыми шпуром и дивергенцией. Ме тод построения этих мод Ли-генерация, изложенный в разделе 6.1, применим к тензорам любой размерности.

1. Операторы Ли–Киллинга на трехмерной сфере Ли-вариация любого тензорного поля (4.10), определяемая вектор ным полем V i, является линейным оператором в пространстве данного тензора. Если имеется еще какое-то векторное поле U i, то эти два поля порождают некоторое третье векторное поле их коммутатор (4.13).

Так как этим полям (после умножения их на некоторую бесконечно малую константу ) можно придать смысл бесконечно малого преобра зования координат xi = xi V i (x), а коммутатору смысл разности преобразований в разной последо вательности преобразований координат полями V i и U i, при этом Ли операторы имеют смысл преобразования поля той или иной тензор ной размерности при таких преобразованиях координат, то коммута 1. Операторы Ли–Киллинга на трехмерной сфере тор Ли-операторов, определяемых полями V i и U i, должен равняться Ли-оператору, определяемому коммутатором этих полей. Если, напри мер, два векторных поля коммутируют (их коммутатор равен нулю), то и коммутируют операторы Ли, порождаемые ими в поле тензоров любой размерности.

Поэтому метод Ли-генерации мод, строящийся на векторных по лях Киллинга трехмерной сферы, распространим на любые тензорные поля. Мы сначала рассмотрим скалярное векторное и спинорное поле (поле тензора второго ранга уже описано в разделе 6).

Основным инструментом в методе Ли-генерации являются векто ры Киллинга, которых шесть на трехмерной сфере. Они разбиваются на две коммутирующие группы: V и W (см. раздел 6.1). Метрика выби рается в виде (10.19). Любой вектор из группы V коммутирует с любым вектором из группы W, а внутри групп они коммутируют по правилам коммутации векторов Киллинга трехмерной группы вращений:

[V+, V ] = 2 i V3 ;

[V3, V+ ] = i V+ ;

[V3, V ] = i V ;

(15.1) [W+, W ] = 2 i W3 ;

[W3, W+ ] = i W+ ;

[W3, W ] = i W.

1.1. Ли-преобразования тензорных полей При бесконечно малом преобразовании координат xi = xi i (x) происходит соответствующая Ли-вариация любого тензорного поля.

m Например, для тензора третьего ранга Tij :

m Tij =,s Tij +,i Tsj +,j Tis + s Tij,s Tij.

m ms s m s m m (15.2) m Это линейный оператор в пространстве тензорных полей Tij. При этом для тензорных полей любой структуры коммутатор операторов, определяемых векторными полями и, равен Ли-оператору их ком мутатора. Этим определяется единство приложения метода к полям произвольной тензорной структуры.

Таким образом, обозначив (V+, V, V3 ), (W+, W, W3 ) операторы Ли-вариаций тензорных полей, определяемые соответствующими поля ми Киллинга (V+, V, V3 ), ( W+, W, W3 ), получаем механизм преоб разования одних мод в другие при сохранении метрики пространства.

Так как компоненты векторов Киллинга V3 и W3 есть константы, то Ли-вариация тензорных полей, определяемых ими, есть просто опе раторы дифференцирования:

V3 = 1 + W3 = 1 ;

, (15.3) 2 u w u w 346 Глава а так как рассматриваемые моды являются их собственными функция ми, то зависимость всех их компонент от координат (x, u, w) на сфере имеет вид f (x) ei (k u+m w).

1.2. Классифицирующие операторы Как и для тензорных возмущений, введем еще операторы V+ = V+ · V ;

V+ = V · V+ ;

(15.4) W+ = W+ · W ;

W+ = W · W+.

Как и соответствующий оператор в группе вращений, оператор V+, например, коммутируeт c оператором V3 и, естественно, с лю бым оператором из группы W. Поэтому операторы V3, W3, V+, W+ коммутируют и друг с другом.

Из-за коммутационных соотношений (15.1) имеется линейная за висимость этих операторов с операторами V3 и W3 :

V+ V+ = 2 i V3 ;

W+ W+ = 2 i W3. (15.5) Поэтому тензорные моды мы будем искать как собственные векто ры операторов V3, W3, V+, W+ :

V+ fk,m = µk,m fk,m ;

W+ fk,m = k,m fkm. (15.6) 1.3. Характеристика серии Оператор V+ увеличивает индексы k и m на единицу, а оператор V соответственно их уменьшает. Если какая-то мода fkm является соб ственной модой оператора V+, то и мода fk+1,m+1 = V+ fkm является также собственной модой этого оператора, но с другим собственным значением:

V+ fk+1,m+1 = V+ V+ V fk,m = V+ (V V+ + 2 i V3 ) fk,m = (15.7) = V+ (µk,m + k + m) fk,m = µk+1,m+1 fk+1,m+1.

Отсюда µk+1,m+1 = µk,m k m. (15.8) 1. Операторы Ли–Киллинга на трехмерной сфере Далее µk+2,m+2 = µk+1,m+1 k m 2 = µk,m 2k 2m 2;

µk+3,m+3 = µk,m 3 k 3 m 6.

Если провести l сдвигов оператором V+, то µk+l+,m+l+1 = µk,l (l + 1) (l + k + m). (15.9) Если V+ fk+l+1,m+l+1 = 0 такая мода называется граничной, то и µk+l+1,m+l+1 = 0, то есть число l определяет длину цепочки мод от заданной fk,m вверх, в сторону одновременного увеличения k и m.

Например, fk,m 0 f2,2 f1,1 f0,0 f1,1 f2,2 V+ 0 4 6 6 4, V+ 4 6 6 4 где l длина цепочек от f0,0 вправо и влево, то есть всего на этой линии 2 l + 1 ненулевых мод. Цепочку, включающую моду с нулевым собственным значением оператора V3, назовем четной, и выражение (15.10) определяет через собственное значение оператора V+ полное + и V.

число элементов в направлении действия операторов V Число ненулевых элементов в последовательности при сдвиге опе раторами V+ и V Lv = 2l + 1, где число l определяет собственное значение оператора V+ на моде V3 f = 0:

V+ f0,0 = l (l + 1). (15.10) Возможны и нечетные цепочки, содержащие моды с полуцелыми значениями оператора V3, включающие моду V3 f1,0 = i f1,0, напри мер:

fk,m 0 f2,3 f1,2 f0,1 f1,0 f2,1 f3,2 V+ 0 5 8 9 8 V+ 5 8 9 8 5 348 Глава Максимальное по модулю собственное значение оператора V+ рав но квадрату числа l, а число элементов в этой цепочке определяется четным числом Lv = 2 l.

Все эти соотношения остаются справедливыми и для операто ров W+, W+.

Таким образом, любая серия определяется двумя целыми числами:

Lv и соответствующим числом Lw, а общее число элементов в серии равно Lv · Lw.

1.4. Отражения Рассмотренные в разделе 6.1 отражения не меняют коммутацион ных соотношений. Самое главное в преобразованиях (10.36) переста новка u + w и u w.

2. Скалярные поля на 3-мерной сфере Скалярные поля достаточно подробно разобраны и без использо вания рассмотренной техники (см., например, [54]). Их рассмотрение полезно для составления единой картины различных полей на трехмер ной сфере и для поверки новых методов уже известными. Хотя вслед ствие отсутствия какой-либо пространственной структуры скалярного поля соответствующую процедуру можно проводить в любой коорди натной системе на сфере, для единства описания скалярных, вектор ных и тензорных полей мы будем работать в той же системе координат с метрикой (15.62).

На скалярном поле проще всего проследить методику Ли-генерации мод. Как собственные функции операторов V3, W3 моды имеют вид hkm = f (x) ei (k u+m w). (15.11) Действие на эту моду оператора, например V+ определяется следую щим выражением:

V+ hkm = i 1 x2 f (x) + m x 2 1 x 1 x f (x) ei ((k+1)u+(m+1)w.

k x 2. Скалярные поля на 3-мерной сфере Действие операторов V+, V+, V 3 на любую функцию f (x, u, w) связано с действием оператора Лапласа:

V+ + V3 2 i V3 = V+ + V3 2 + i V3 = 1.

(15.12) Это же относится и к операторам серии W.

Этот момент очень важен: обычно полагается, что ищутся соб ственные моды того или иного оператора. Из приведенного соотноше ния видно, что искомые моды являются собственными модами геомет рических операторов самого пространства и оказываются собствен ными модами, например, оператора Лапласа лишь в силу того, что он инвариантен относительно движений сферы.

2.1. Четные моды Теперь нужно найти простейшие базовые моды. Простейшим является поле, зависящее только от координаты x: h00 = f (x). Дей ствие оператора Лапласа определяет дифференциальное уравнение на функцию f (x):

3x2 f (x) f = (x2 1)f + f f = 0. (15.13) x Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка формаль но даже с четырьмя регулярными особыми точками: 0, ±1,, однако переходом к переменной z = x2 оно переводится в уравнение класса Фукса. В окрестности нуля его асимптотика f + x f = приводит к степенному решению f = xk с соотношением k 2 = 0. Поэто му решение может быть представлено полиномом по z = x2 (полиномы Якоби):

fq = 1 + aq x2 + aq x4 +... + aq x2q.

q 1 На бесконечности основным является старший член x2q, что определяет константу q :

q = 4 q (q + 1) = n(n + 2), степень полинома по z = x2, а n где q степень по x: n = 2 q.

350 Глава Подстановка полинома в уравнение (15.13) приводит к рекуррент ному соотношению на коэффициенты:

(q k + 1)(q + k) ak = ak1, k что позволяет построить базовую функцию любого порядка.

Первые три полинома f1 = 1 2 x2 ;

f3 = 1 6 x2 + 6 x4.

f0 = 1;

Вследствие наличия симметрии отражения эти полиномы являются па линдромами: при замене x2 1 x2 четные полиномы не меняются, а нечетные меняют знак.

Действие операторов V+, V+, W+, W+ на эти функции оди наково:

V+ fq = 2 q (q + 1);

W+ fq = 2 q (q + 1), (15.14) что приводит к числу функций N = (2q + 1)2 = (n + 1)2 в серии, порожденной из полинома fq операторами V+, V, W+, W.

2.2. Нечетные моды Нечетные моды порождаются функциями с полуцелым собствен ным значением операторов V3, W3. Простейшей такой функцией яв iu ляется f (x) e. Уравнение на собственные функции оператора Лапла са приводит к слегка отличному дифференциальному уравнению на функцию f (x):

3x2 f + ( 12 ) f = 0.

ei u (f (x) ei u ) f (x) = (x2 1)f + x x (15.15) Решениями этого дифференциального уравнения являются полиномы нечетных степеней f oq = x(1 + aq x2 + aq x4 +... + aq x2 q), q 1 коэффициенты которых находятся из рекуррентного соотношения (q k + 1)(q + k + 1) aq = aq, (15.16) k k k (k + 1) 3. Векторные поля на 3-мерной сфере а собственные значения определяются тем же выражением по степени полинома n, что и для четных функций:


q = (2 q + 1)2 1 = n(n + 2).

Первые полиномы:

f o1 = x;

f o2 = x(1 3 x2 );

f o3 = x(1 4 x2 + 10 ) x4.

Операторы V+, V+, W+, W+ на функции h = f oq (x) ei u дей ствуют уже по-разному.

3. Векторные поля на 3-мерной сфере Наиболее удобным инвариантным оператором второго порядка в трехмерном пространстве является оператор rot (rot A) = A, (15.17) при этом div A = 0.

Ли-вариация векторного поля Ai по заданному векторному полю i V:

V Ai = V j j Ai Aj j V i. (15.18) Для того чтобы воспользоваться техникой Ли-генерации для век торных полей, нужно явно построить одно решение, а затем, действуя операторами V+, V, W+, W, из него сгенерировать все моды данной серии.

3.1. Четные моды Простейшие векторные моды можно взять в следующем виде отлична от нуля только компонента по одному из полей Киллинга:

a = (0, fa (x), 0);

(15.19) b = (0, 0, fb (x)).

352 Глава Подстановка в уравнение (15.17) приводит к дифференциальным урав нениям на функции fa (x) и fb (x):

5 x2 (x2 1) fa + fa + (4 ) fa = 0. (15.20) x 5 x2 (x2 1) fb + fb + (4 ) fb = 0. (15.21) x Точка x = 0 для этих уравнений является регулярной особой точ кой, и f = 1 является решением обоих уравнений с = 4. Бесконечно удаленная точка также является регулярной, поэтому решение можно искать в виде полинома по x2 степени q (по x четные степени, макси мальная x2q ), определяющей собственное значение : на бесконечности оба уравнения имеют вид x2 f + 5 x f + (4 ) f = и для старшей степени полинома это приводит к алгебраическому урав нению = 2 q(2 q 1) + 10 q + 4 = 4(q + 1)2. (15.22) Рекуррентные соотношения для коэффициентов полиномов fa = 1 + a1 x2 + a2 x4 +... + aq x2q ;

fb = 1 + b1 x2 + b2 x4 +... + bq x2q определяют дифференциальные уравнения (15.20,15.21):

(q + 1)2 k ak = ak1 ;

(15.23) k (k + 1) (q + 1)2 k bk = bk1, (15.24) k что позволяет сгенерировать полиномы любого порядка. Первые четы ре пары:

3. Векторные поля на 3-мерной сфере q q q Pa Pb 0 1 1 3x 1 3x 1.

1 4x2 + 10 x 1 8x2 + 10x 2 3 1 15 x + 15x4 35 x 1 15x2 + 45x4 35x 2 q q Полиномы Pa и Pb связаны соотношением Pb = 1 (x2 Pa ).

q q (15.25) 2x 3.2. Классифицирующие операторы Базовые векторы (15.19) не являются собственными векторами операторов V+, W+. Собственными векторами этих операторов яв ляются векторные поля hq = (0, (q + 1) fa, fb ) q q (15.26) + и hq = (0, (q + 1) fa, fb ).

q q (15.27) Действие на них операторов V+ и W+ представлено в таблице V+ V+ W+ W+ h0 2 2 0 0 + h0 0 0 2 2 h1 6 6 2 2 + h1 2 2 6 6 16.

h2 12 12 6 6 + h2 6 6 12 12 hq (q + 1)(q + 2) (q + 1)(q + 2) 4 (q + 1) q (q + 1) q (q + 1) + hq (q + 1)(q + 2) (q + 1)(q + 2) 4 (q + 1) q (q + 1) q (q + 1) Таким образом, в q-м секторе каждой моды содержится (2 q + + 1) (2 q + 3) различных мод, порожденных операторами V+, V, W+.

+, W 354 Глава Переобозначим 2q = n по высшей степени полинома. Для четных n имеется две поляризации с собственным значением n = (n + 2)2 (15.28) и в каждой поляризации содержится (n + 1)(n + 3) мод, то есть общее число мод с одинаковым n равно Nn = 2 (n + 1)(n + 3). (15.29) 3.3. Нечетные моды Базовая нечетная мода содержит множитель ei u и поэтому долж на иметь и компоненту ax :

a = (f1 (x), fa (x), fb (x)) ei u. (15.30) Требование div a = 0 приводит к соотношению (x f1 (x)) div a = i fa + = 0, x поэтому здесь тоже можно выделить две независимые моды:

a = (i f1 (x), fa (x), 0) ei u ;

(x f1 (x)) (15.31) fa = ;

x b = (0, 0, fb (x)) ei u.

Чтобы эти векторы были собственными векторами положительно определенного оператора rot rot, функции f1 (x) и fb (x) должны удо влетворять соотношениям (x2 1) (f1 + x f1 ) + (1 ) f1 = 0, (15.32) 5 x2 fb + ( 12 + 4 ) fb = 0.

(x2 1) fb + (15.33) x x Подстановками f1 = (1 x2 ) f (x);

fb = x f (x) оба уравнения сво дятся к одному для функции f (x):

7 x2 (x2 1) f + f + (9 ) f = 0. (15.34) x 3. Векторные поля на 3-мерной сфере Точки x = 0 и x = являются регулярными особыми точками этого уравнения, и функция f (x) представляется полиномом:

f (x) = 1 + a1 x2 +... + ak x2k +... + aq x2q.

Подставляя это выражение в уравнение (15.34), находим рекуррентные формулы для коэффициентов:

(q k + 1)(q + k + 2) ak = ak1. (15.35) k (k + 1) Первые полиномы:

f1 = 1 2 x2 ;

f2 = 1 5 x2 + 5 x4.

f0 = 1;

Собственные значения:

q = (2 q + 3)2. (15.36) 3.4. Классифицирующие операторы hq = (0, (q + 1) fa, fb );

q q (15.37) + hq = (0, (q + 1) fa, fb );

q q (15.38) V+ V+ W+ W+ h0 0 1 3 4 + h0 3 4 0 1 h1 3 4 8 9 + h1 8 9 3 4 h2 8 9 15 16 + h2 15 16 8 9 hq (q + 1)2 1 (q + 1)2 (q + 2)2 1 (q + 2)2 (2 q + 3) + hq (q + 2)2 1 (q + 2)2 (q + 1)2 1 (q + 1)2 (2 q + 3) Таким образом, в q-м секторе каждой моды содержится (2 q + + 2) (2 q + 4) различных мод, порожденных операторами V+, V, W+.

+, W 356 Глава Переобозначим 2q + 1 = n. Для нечетных n имеется две поляриза ции с собственным значением n = (n + 2)2 (15.39) и в каждой поляризации содержится (n + 1)(n + 3) мод, то есть общее число мод с одинаковым n равно Nn = 2 (n + 1)(n + 3). (15.40) Эти выражения совпадают с выражениями для четных мод (15.28) и (15.29), то есть являются универсальными вне зависимости от четно сти числа n.

4. Спинорные поля на 3-мерной сфере 4.1. Ли-вариации спинорных полей Введем теперь специальные обозначения: будем обозначать Ли вариации скалярного поля по полям Киллинга малыми буквами:

v+ = V+ i i ;

v = V i i ;

v3 = V3i i.

Рассмотрим теперь многокомпонентное поле y (x, u, w);

= = 1,..., m.

Представим теперь Ли-вариации этих полей с помощью Ли операторов скалярных полей, но добавим еще постоянные матрицы A, перемешивающие компоненты:

V+ · y = v+ · y + A y ;

(15.41) W+ · y = w+ · y + B y.

Чтобы сохранялась коммутационная структура операторов группы O4, матрицы должны коммутировать, как и Ли-операторы:

[A +, A ] = 2 i A 3. (15.42) В случае двухкомпонентного поля одна серия этих матриц (выберем B ) должна быть нулевой и нетривиальным оказывается выражение второй серии матриц через матрицы Паули A = 1.

4. Спинорные поля на 3-мерной сфере Таким образом, операторы Wi = wi, а Vi = vi + 1 i представляют Ли-вариации двухкомпонентного (спинорного) поля.

Переходя опять к ±операторам V+ = v+ + A+ ;

V = v + A, где введены матрицы 0i A+ = ;

A =, 00 i получаем полный инструментарий для использования метода Ли генерации спинорных мод.

4.2. Базовые моды Все моды должны быть собственными модами операторов V 3. Представив спинор в виде иW f1 (x) ei (k1 u+m1 w) s=, (15.43) f2 (x) ei (k2 u+m2 w) подействуем на него операторами V3 и W3 и подберем коэффициенты k1, m1, k2, m2 так, чтобы V3 · s = i k s и W3 · s = i m s.

Из этих соотношений эти коэффициенты связываются с собствен ными значениями k и m:

k1 m1 k m2 k1 + m1 + 1 k + m2 =2 = m= ;

k=, 2 2 2 откуда, наоборот, можно выразить коэффициенты через эти собствен ные значения:

k1 =k + m 1 ;

m1 =k m 1 ;

k2 =k + m + 1 ;

m2 =k m + 1.

2 2 2 Следует отметить важную особенность: k + m всегда полуцелое число. Поэтому простейшими базовыми модами являются моды с (k = = 0, m = 1 ) и с (k = 1, m = 0). Назовем моды с k = 0 и генерируемые 2 ими серии sa, а серии, генерируемые модой с m = 0, модами типа sb.

358 Глава Базовый спинор типа sa имеет вид sa = (f1 (x) ei w, f2 (x) ei u ). (15.44) Оператор W+, не содержащий матриц, не перепутывает компо ненты, и уравнение на собственные векторы W+ s + s = 0 (15.45) приводит к двум независимым дифференциальным уравнениям на функции f1 (x), f2 (x).

Найдем сначала спинор, являющийся собственным вектором опе ратора W+ с нулевым собственным значением, что приводит к диф ференциальным уравнениям на функции f1 (x) и f2 (x):

3 x2 1 3 x2 (x2 1) f1 + f1 2 f1 = 0;

x x 3 x2 1 3 x2 (x2 1) f2 + f2 f2 = 0.

x x Регулярные при x = 0 и x = ±1 решения этих уравнений: f1 = 1 x2 ;

f2 = x. Представив теперь спинор в виде = sa = ( 1 x2 f1 (x) ei w, x f2 (x) ei u ), (15.46) найдем функции f1 (x) и f2 (x) из уравнения на собственные значе ния (15.45), приводящего к дифференциальным уравнениям на эти функции:

5 x2 (x2 1) f1 + f1 f1 = 0;

x 5 x2 (x2 1) f2 + f2 f2 = 0.

x Решения этих уравнений, регулярные при x = 0 и x = ±1 предста вимы в виде четных по x полиномов:

f1 P aq = 1 + aq x2 +... + aq x2k + aq x2q, q 1 k при этом коэффициенты ak для функции f1 находятся из рекуррент ного соотношения (q k + 1)(q + k + 1) aq = ak1.

k k 4. Спинорные поля на 3-мерной сфере Первые полиномы:

P a0 = 1, 1 3 x2, P a2 = 1 8 x2 + 10 x4, P a3 = 1 15 x2 + 45 x4 35 x6.

P a4 = Для функции f2 рекуррентное соотношение слегка отличается:

(q k + 1)(q + k + 1) aq = ak1.

k k (k + 1) Первые полиномы:

Qa0 = 1, Qa2 = 1 3 x2,.

Qa3 = 1 4 x2 + 10 x4, Qa4 = 1 15 x2 + 15 x4 35 x6.

2 Собственные значения оператора W+ для обеих серий одинаковы при одинаковом q:

q = q (q + 2).

Они определяют длину порождаемых ими цепочек при действии опе раторами W+, W :

Lq = 2 (q + 1).

Однако в общем случае спинор s = sa = ( 1 x2 P aq (x) ei w, ax Qaq (x) ei u ) с произвольным множителем a во второй компоненте не является соб ственным вектором оператора V+. Уравнение V+ · s + µ s = приводит к системе алгебраических уравнений (q + 1)2 + a = µ · 1;

(q + 1)2 + (q + 1)2 a = µa, 360 Глава из которых определяется a = ±(q + 1) и соответственно µ+ = (q + + 1)(q + 2), а µ = q (q + 1), порождая соответствующие цепочки вдоль направления V длинами 2q + 3 и 2q + 1.


Теперь рассмотрим базовый спинор типа sb, имеющий вид sb = (f1 (x), f2 (x) ei (u+w) ). (15.47) Как и для спинора типа sa, находим нулевой собственный вектор оператора W+ :

sb0 = (a, x ei (u+w) ), 1x а затем представляем общий базовый вид sb = (a f1 (x), f2 (x) x ei (u+w). (15.48) 1 x Чтобы он был собственным вектором оператора W+ с собствен ным значением, функции f1 (x) и f2 (x) должны удовлетворять диф ференциальным уравнениям 3 x2 1 (x2 1) f1 + (x2 1) (f2 + x f2 ) 4 f2 = 0.

f1 4 f1 = 0, x Это также полиномы степени q:

f1 = P bq = 1 + aq x2 +... + aq x2k +... + aq x2q, q 1 k при этом коэффициенты ak находятся из рекуррентного соотношения (q k + 1)(q + k) aq = ak1.

k k Для второй функции рекуррентное соотношение также слегка отлича ется:

(q k + 1)(q + k) aq = ak1.

k k (k + 1) Собственные значения оператора W+ также определяются только степенями полинома q: q = q (q + 1), определяя в этом на правлении цепочку длиной 2 q + 1 мод.

Чтобы спинор (15.48) был собственным вектором оператора V+ с собственным значением µ, константа a должна быть либо 1/n (в этом случае µ = (q + 1)2 ), либо a = 1/(q + 1), определяя µ = q 2.

Таким образом, в серии sb также имеется две поляризации с раз мерами 2 (q + 1) (2 q + 1) и 2 q (2 q + 1).

4. Спинорные поля на 3-мерной сфере 4.3. Оператор Паули Квадратичный оператор V 2 = V+ V + V32 коммутирует с любым i и Wi. Так как Vi = vi + Ai, при этом A2 1, то оператор оператором V i p = 1 (Ap v + Am v+ + 2 A3 v3 ) (15.49) i также оказывается инвариантным.

Он является линейной комбинацией операторов дифференцирова ния по координатам, выражающейся через матрицы i ei(u+w) bx = ;

(15.50) i(u+w) i e 1 x2 ei(u+w) x u b= ;

(15.51) 1 x2 ei(u+w) x 1 x2 x ei(u+w) bw =, (15.52) x ei(u+w) 1 x удовлетворяющие коммутационным соотношениям матриц Паули bu · bw = i bx ;

bw · bx = i bu ;

bx · bu = i bw. (15.53) Квадрат каждой такой матрицы равен единичной. Через эти мат рицы оператор Паули (15.49) выражается так:

p= 1( 1 x2 bx x + x bu u + 1 bw w ).

(15.54) i 1 x Вследствие того что собственные значения оператора Лапласа на трехмерной сфере n = (n+1)2 1, определяющиеся целым числом n, не являются квадратом целого числа, на сфере не может быть оператора, квадрат которого равен оператору Лапласа. Однако оператор Паули все-таки приводит к оператору Лапласа через соотношение p2 + 2 p = ;

( + 1)2 = 1.

p (15.55) Оператор p вследствие этого коммутирует со скалярным операто ром Лапласа. Собственные значения оператора p + 1 равны ± (n + 1).

362 Глава 5. Поля высших спинов Применение метода Ли-генерации мод для описания мод скалярно го, векторного, спинорного полей показало, что моды этих полей груп пируются в серии, характеризуемые целым числом l, содержащие по две поляризации, переводимые одна в другую оператором отражения.

В каждой поляризации моды различаются двумя целыми числами k и m и число мод в поляризации однозначно связана со спином s, при нимающим целые или полуцелые значения N = (l + 1) (l + 1 + 2 s) (15.56) компонент. Преобразование отражения переводит моды одной поляри зации в моды второй. Серии скалярного поля при отражениях перехо дят в себя.

Однако метод является дедуктивно-индуктивным: общие соотно шения для используемых операторов выводятся из методов диффе ренциальной геометрии, однако конкретные соотношения, такие как явная геометрическая структура мод, собственные значения использу емых операторов, находятся прямым вычислением (использовался па кет “Математика”). По результатам рассмотрения полей простейшей структуры составлена следующая таблица размеров поляризаций и се рий:

Поле s N в поляризации N в серии (l + 1)2 (l + 1) Скалярное Спинорное (l + 1) (l + 2) 2 (l + 1) (l + 2).

Векторное 1 (l + 1) (l + 3) 2 (l + 1) (l + 3) Тензорное 2 (l + 1) (l + 5) 2 (l + 1) (l + 5) Она и приводит к предполагаемому общему соотношению N = (l+1) (l + 1 + 2 s) для числа мод в поляризациях полей с различным спином.

При этом возникают два общих вопроса:

• Какова общая структура неприводимых полей с целым спином?

• Какова общая структура неприводимых полей с полуцелым спи ном?

В теории полей (классических и квантовых) спин, как правило, связывается с генераторами групп вращения и группы Лоренца (см., например, [87, 88]).

6. Тензоры высшего ранга 6. Тензоры высшего ранга С помощью метрического тензора все индексы тензорного поля можно опустить. В трехмерном пространстве абсолютно антисиммет ричный тензор [ijk], свернутый по двум индексам с тензором k-го ран га, приводит к тензору k 1-го ранга, если по сворачиваемой паре ин дексов исходный тензор не симметричен. Поэтому неприводимые тен зорные поля в трехмерном пространстве и, в частности, на трехмерной сфере, симметричны по всем индексам (см. [87]).

Симметричный по всем индексам тензор k-го ранга в трехмерном пространстве имеет (k + 1)(k + 2)/2 независимых компонент. Свертка с обратным метрическим тензором приводит к тензору k 2-го ранга, имеющему k(k 1)/2 компонент, которые при условии неприводимости исходного тензора должны обращаться в нуль, что оставляет (k + 1)(k + 2) k(k 1) = 2k +1 (15.57) 2 независимых компонент симметричного тензора k-го ранга.

Это выражение показывает, что такое поле обладает спином k.

Понижение ранга тензора также можно произвести с помощью опе рации дивергенции di1,...,ik1 = i hi1,...,ik1,i = 0, (15.58) приводящей к тензору k 1-го ранга, имеющему 2 k 1 компонент. Но так как его компоненты связаны с первыми производными исходного тензора, а операция дифференцирования понижает степень l на едини цу, число независимых компонент неприводимого тензора в трехмерном пространстве определяется уже l-анализом соотношения l Ql = (2 k + 1) N3 (2 k 1) N3 = l n (l + 1)(l + 2) l (l + 1) (2 k + 1) (2 k 1) = (l + 1)(l + 2 k + 1). (15.59) 2 Это выражение совпадает с размером l-й поляризации по форму ле (15.56) при подстановке k = s.

6.1. Тензор-спинорные поля Для описания неприводимых тензорных спиноров нужно учесть дополнительные возможности воздействия на поле комбинациями мат риц Паули.

364 Глава 6.2. Метрический спин-вектор В [75] при выводе оператора Паули были введены подвижные мат рицы Паули i ei(u+w) bx = ;

i(u+w) i e 1 x2 ei(u+w) x bu = ;

1 x2 ei(u+w) x 1 x2 x ei(u+w) w b= x ei(u+w) 1 x с алгебраическими соотношениями bu · bw = i bx ;

bw · bx = i bu ;

bx · bu = i bw.

Квадрат каждой матрицы равен единичной матрице.

Введя матрицы ковариантного дифференцирования спиноров x = i bx ;

2 1x u = w = i (x bu + 1 x2 bw ) = i, 0 2 можно определить ковариантную производную так, чтобы для всех по движных матриц Паули она равнялась нулю:

i bj = i bj + [i, bj ] = 0.

При этом ковариантная производная от простого двухкомпонент ного спинора u определяется как i u = i u + i · u. (15.60) Подвижные матрицы Паули образуют ковариантно постоянный ко вариантный спин-вектор метрический спин-вектор qi = 1 bx + x bu + 1 x2 bw (15.61) 1 x с обобщенной ковариантной производной, равной нулю:

j qi = j qi k qk + [j, qi ] = 0.

ji 6. Тензоры высшего ранга Метрический спин-вектор определяет метрический тензор 1 Spur(q q ) =. (15.62) ij ij Поднятие индексов определяет ковариантно постоянный контра вариантный спин-вектор 1 x2 bx + x bu + qi = bw. (15.63) 1 x Его ковариантная производная также равна нулю:

j qi = j qi + i qk + [j, qi ] = 0.

jk Равны нулю и его Ли-вариации тензорами Киллинга с учетом добавок постоянных матриц.

6.3. Неприводимые тензор-спинорные поля Общее тензор-спинорное поле представимо двумя экземпляра ми симметричного тензора k-го ранга. Свертка с метрическим спин вектором приводит к тензор-спинору ранга k1, так что условие непри водимости от такой свертки в трехмерном пространстве оставляет (k + 1)(k + 2) k (k + 1) 2 = 2k +2 = 2s+1 (15.64) 2 независимых компонент, что позволяет определить спин этого поля как s = k + 1/2 или, наоборот, k = s 1/2.

Условие нулевой дивергенции,... ik1,i i hi =0 (15.65) опять требует использования l-анализа:

(l + 1)(l + 2) l (l + 1) Ql = 2 (k + 1) 2k = k (15.66) 2 = (l + 1) (l + 2 k + 2) = (l + 1) (l + 2 s + 1), что также приводит к выражению (15.56).

366 Глава 6.4. Определяющее уравнение Для скалярных сферических функций их число в n- мерном про странстве определялось через дифференциальное уравнение второго порядка. Это было уравнение Лапласа в n + 1-мерном пространстве.

Однако l-анализ безразличен к явному виду уравнения, для него ва жен лишь порядок дифференциального уравнения и размерность про странства. Поэтому, рассчитывая число функций под определяющим уравнением, можно подразумевать уравнение Д’Аламбера для скаляр ных функций на сфере. Время добавляется как n + 1-я координата, а соотношение l l l l Nn+1 Nn+1 = Nn + Nn определяет данные Коши для этой задачи: решение в n+ 1-мерном про странстве полностью определено, если в n-мерном пространстве (при l t = const) задано начальное распределение функции (Nn ) и ее про l1 l изводной по времени (Nn ). В двумерном пространстве N2 = l + l l и 2 l + 1 = N2 + N2.

В трехмерном пространстве (l + 1)(l + 2) l(l + 1) l l = (l + 1)2.

N3 + N3 = + 2 Скалярные функции имеют одну поляризацию, к которой и принадле жат обе составляющие одна как функция, другая как производная.

Для полей с ненулевым спином имеется две поляризации, и опре деляющее уравнение должно включать обе поляризации. Например, уравнение Максвелла является не дифференциальным уравнением вто рого порядка, а системой дифференциальных уравнений первого по рядка, что с точки зрения l-анализа не эквивалентно. Для решения уравнения Максвелла нужно решить систему для двух векторных по лей с нулевой дивергенцией rot E + B = 0;

rot B E = 0. (15.67) c t c t При этом вектора E и B принадлежат различным поляризациям. Ди вергенции двух векторных уравнений (15.67) также равны нулю.

При подключении времени (вместо построения сферы в четырех мерном пространстве) все компоненты векторов зависят от четырех переменных. С точки зрения l-анализа имеется два трехкомпонентных 6. Тензоры высшего ранга вектора в четырехмерном пространстве c двумя скалярными связями и следующей из этого l-структурой (l + 1)(l + 2)(l + 3) l(l + 1)(l + 2) (l + 1)(l + 2)(2 l + 9) nq = 6 2 =, 6 6 подчиняющихся уравнениям (за вычетом двух дифференциальных первого порядка тождеств) с l-структурой l(l + 1)(l + 2) (l 1)l(l + 1) l(l + 1)(2l + 7) ne = 6 2 =.

6 6 Разность структур компонент и уравнений определяет l-структуру ре шений:

nM = nq ne = 2 (l + 1)(l + 3) (15.68) в точном совпадении с формулой (15.56), удвоенной из-за двух поля ризаций.

Для любого поля со спином s, не равным нулю, полагая число компонент 2 (2 s + 1) и учитывая, что соотношения дивергенции приво дят к тензору со спином, на единицу меньшим, определяя l-структуру компонент (l + 1)(l + 2)(l + 3) l(l + 1)(l + 2) nq = (2 s + 1) (2 s 1) = 6 (l + 1)(l + 2)(2l + 6s + 3) =, а l-структура определяющего дифференциального уравнения первого порядка на эти компоненты уменьшена на единицу l(l + 1)(2 l + 6 s + 1) ne =, находим l-структуру решений:

ns = nq ne = (l + 1) (l + 1 + 2s) (15.69) в полном соответствии с формулой (15.56) для двух поляризаций.

Таким образом, находимые методом Ли-генерации моды обеспе чивают полноту разложения любого (неприводимого) тензорного или тензор-спинорного поля. При этом и структура серий мод и определяю щее уравнение для полей с ненулевым спином существенно отличаются от таковых для скалярного поля.

368 Глава 6.5. Оператор Казимира Для нахождения базовой моды в тензорных полях используется оператор Казимира квадратичный отрицательно определенный опе ратор 2 2 K = V12 + V22 + V32 + W1 + W2 + W3.

Если поле не зависит от углов u и w (нулевая базовая мода), то действие на него операторов V3 и W3 дает нуль и K = V+ V + W+ W = V V+ + W W+ = V+ + W+ = V+ + W+.

(15.70) Действие операторов V+ и W+ на нулевую моду LV (LV + 2) LW (LW + 2) V+ · hn = W+ · hn = ;

, (15.71), 00, 4 при этом для поля со спином s длины LV и LW связаны соотношением LW = LV ± 2 s, (15.72) так что собственное значение оператора Казимира s при действии на q нулевую моду hn поля со спином s, (s), K hn 00 = s hn q, (s) (s) определяется спином s и целым числом q:

s = q(q + 1) + (q + s)(q + s + 1) = (2 q (q + 1) + s2 + 2 q s + s). (15.73) q Его значения для низших s и q представлены в таблице:

s/q 1234 0 0 4 12 24 1 2 8 18 32.

2 6 14 26 42 3 12 22 36 54 4 20 32 48 68 7. Поле тензора третьего ранга 7. Поле тензора третьего ранга Одним из способов проверки выражения (15.56) является прогноз на еще не изученное поле с последующей проверкой. Ближайшим к рас смотренным уже полям с целочисленным спином является поле тензора третьего ранга (спин 3).

Ли-оператор такого поля, генерируемый векторным полем V s, определяется как V · hijk = V s hijk,s + V,i hsjk + V,j his,k + V,k hijs.

s s s (15.74) Основная задача в построении полей методом Ли-генерации со стоит в разыскании базового поля. При целом спине это поля, не зависящие от углов u и w, то есть имеющие вид hijk = h(x)ijk.

Для этого поля условия бесшпуровости и нулевой дивергенции jk hijk = 0;

jk j hkil = 0 (15.75) связывают компоненты h311 = f (x), h322 = f2 (x) и h333 = f3 (x) f2 = x2 (x2 1) x (x2 1) f (x) + (5 x2 1) f (x) ;

(15.76) f3 = (x2 1)2 x (x2 1) f (x) + (5 x2 2) f (x).

Воздействуя на тензор, у которого все, кроме этих компонент, рав ны нулю (назовем такой тензор тензором типа “a”: h = a) оператором Казимира (15.70), получаем уравнение на собственные значения функ ции f (x):

x2 1 9 x2 f+ f + 12 f = f. (15.77) 2 2x При x подстановка f = x2q определяет собственные значения:

q (2q 1) + 9 q + 12 = q = 2 q 2 + 8 q + 12. (15.78) Это выражение в точности совпадает с общим выражением для соб ственных значений оператора Казимира (15.73) при s = 3. Таким обра зом, базовые моды образуются четными полиномами по x степени 2 q и, действительно, образуют серии мод поля со спином 3.

Вторая серия образована компонентами h211 = f1 (x), h222 = f2 (x) и h233 = f3 (x), выражающимися через некоторую функцию f (x):

f (x) f2 = f (x) x f (x);

f (x).

f1 = ;

f3 = f (x) + x x x (1 x2 ) (15.79) 370 Глава Воздействуя на тензор, у которого все, кроме этих компонент, рав ны нулю (тензор типа “b”: h = b) оператором Казимира (15.70), полу чаем другое уравнение на собственные значения функции f (x):

x2 1 x2 + f+ f + 4 f = f. (15.80) 2 2x При x подстановка f = x2q+4 определяет собственные значе ния:

q = 2 q 2 + 8 q + 12.

Это выражение совпадает как c (15.78), так и с общим выражени ем для собственных значений оператора Казимира (15.73) при k = 3.

Таким образом, базовые моды образуются двумя сериями четных по линомов по x степени 2 (q + 2) и из них генерируются серии мод поля со спином 3.

Собственными векторами операторов V+ и W+ являются ли нейные комбинации тензорных полей a и b с одинаковыми :

hq = aq + k bq+2.

Уравнения на собственные векторы двух коммутирующих операторов V+ · hq = µ hq ;

W+ · hq = hq приводят к двумерному матричному уравнению q2 + 4 q + 6 6 1 · =.

3/2 q 2 + 6 q + 6 q 2 + 4 q + 6 k k Отсюда k± = ± (1 + q/2), собственные значения = n(n + 1), + = (n + 3)(n + 4). У операторов V+ и W+ собственные значения q (q + 1) и (q + 3) (q + 4) либо (q + 3) (q + 4) и q (q + 1) соответственно.

7.1. Тензоры высшего ранга Таким образом, поле симметричного бесшпурового тензора тре тьего ранга с нулевой дивергенцией полностью укладывается в общую систему полей на трехмерной сфере как поле со спином 3.

8. Вектор-спинорное поле Аналогично для базовых мод тензоров более высокого ранга усло вия бесшпуровости и нулевой дивергенции приводят к двум цепочкам связи компонент (слегка различным для тензоров четного и нечетного ранга):

h...311 (h...333, h...322 )..., где функции справа от стрелочки выражаются через функцию слева и ее производную, так что компоненты базового тензора (2 l + 1)-го ранга определяются некоторой функцией f (x) и ее производными до l-го порядка. Таких нетривиальных цепочек всегда две, что и приводит к двум поляризациям.

8. Вектор-спинорное поле Поле со спином 3/2 как вектор со спинорными компонентами до статочно подробно рассматривалось в работах по квантовой теории по ля (см. [89,90]. В частности, если имеется некоторый векторный спинор hi, то условием его неприводимости является равенство нулю двухком понентного скаляра свертки u = qi hi = 0. (15.81) Это условие, а также условие нулевой дивергенции i qi = 0 (15.82) определяют неприводимый векторный спинор.

8.1. Базовые моды Как всегда, отправной точкой в построении полной системы мод является построение простейшей, базовой моды. Прежде всего она должна быть собственным вектором операторов V3, W3. Выбор x 0 1 x i (u+w) hb = f (x) (15.83) x 1 x2 ei (u+w) 2e 0 x 1 x приводит к вектор-спинору с нулевыми дивергенцией и сверткой с мет рическим спин-вектором.

372 Глава Этот вектор-спинор является собственным вектором оператора (2 V+ + W+ ) · h = (15.84) x 0 1 x i (u+w) 3 D · f (x), = x 1 x2 ei (u+w) 0 x 1 x2 e где D · f дифференциальный оператор 7 x2 3 D · f = (x2 1) f + f+. (15.85) x 3 (x2 1) Собственные функции этого дифференциального оператора 3 D · f = f полиномы степени q с собственными значениями = 3 q2 + 9 q + 8 (15.86) и рекуррентным соотношением для коэффициентов (q k + 1) (q + k + 2) ak = ak1. (15.87) k (k + 1) Первые полиномы P0 = 1, = 8, 1 2 x2, P1 = = 20, 1 5 x2 + 5 x4, P2 = = 38, 1 9 x2 + 21 x4 14 x6, = 62.

P3 = Однако вектор-спинор (15.83) не является собственным вектором операторов V+, W+ по отдельности. Поэтому нужно найти второй вектор-спинор с тем же собственным значением. Его можно построить, например, так:

ha q = W+ hn q + (q + 2)(q + 3) hn q. (15.88),b,b Комбинация hn = hn q (2 q + 3) hn q является собственным век,q,a,b тором операторов V+ и W+ и также первоначального оператора 9. Заключение 2 V+ + W+ с собственными значениями W+ · hn = (q + 2) (q + 3) hn ;

V+ · hn = (q + 1)2 hn ;

,q,q,q,q + + W+ ) · hn = (2(q+1)2 + (q+2)(q+3))hn = (3q 2 +9q + 8)hn.

(2V,q,q,q (15.89) Последнее собственное значение, естественно, совпадает с (15.86).

Собственные значения операторов V+ и W+ определяют длины цепочек в направлениях V и W :

LV = q + 1;

LW = q + 4, (15.90) определяя количество мод в серии как Nq = (LV + 1)(LW + 1) = (q + 2) (q + 5) = (l + 1)(l + 1 + 3), (15.91) если обозначить q + 1 = l, снова подтверждая выражение (15.56).

Полученные моды являются собственным вектором ротора, опре деляемого независимо для каждой спинорной компоненты:

rot hn = 2 (q + 2) hn. (15.92),q,q Для второй поляризации собственные значения операторов V+ и W+ меняются местами.

Таким образом, прямое построение мод вектор-спинорного поля подтверждает полученные ранее общие соотношения.

9. Заключение Полученные неприводимые моды различных полей на трехмерной сфере могут быть использованы для построения, например, кванто вой электродинамики не в пространстве Минковского, а с трехмерной сферой некоторого фиксированного радиуса r в роли пространствен ной базы. Переход к пределу r переведет пространство и вре мя в пространство Минковского, что поможет лучше понять свойства обычной квантовой электродинамики, например, релятивистскую ин вариантность.

Но для этого необходимо разработать математическую технику разложения произведений неприводимых мод на неприводимые.



Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.