авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 ||

«1. Содержание Введение 7 2.1. Краткое описание............. ...»

-- [ Страница 8 ] --

Задача 0.26 (**). Определите арифметические операции на R непо средственно через сечения Дедeкинда, не прибегая к последовательно стям Коши. Проверьте аксиомы поля.

Указание. Чтобы определить умножение, определите сначала опера ции “умножение на положительное действительное число a” и “умноже ние на 1”, и докажите дистибутивность для каждой из них по отдель ности.

0.3. Супремум и инфимум.

Определение 0.7. Пусть A R некоторое подмножество R. Множе ство A называется ограниченным снизу, если все элементы A больше некоторой константы C R. Множество A называется ограниченным сверху, если все элементы A меньше некоторой константы C R. Мно жество A называется ограниченным, если оно ограниченно сверху и снизу.

Определение 0.8. Пусть A R некоторое подмножество R. Инфи мум A (обозначается inf A) есть такое число c R, что c a для всех a A, и в любом открытом отрезке ]x, y[, содержащем c, содержатся и элементы A. Супремум A (обозначается sup A) есть такое число c R, что c a для всех a A, и в любом открытом отрезке ]x, y[, содержащем c, содержатся и элементы A.

Задача 0.27. Докажите, что inf A и sup A единственны (если существу ют).

– 366 – Лекции и задачи по топологии Миша Вербицкий, version 1.1, 27.07. Листок 0. Вещественные числа Задача 0.28 (!). Пусть A ограниченное сверху множество. Докажи те, что sup A существует.

Указание. Рассмотрим все a A как сечения Дедекинда, т.е. подмно жества в Q. Возьмем их объединение R;

поскольку все a C, это будет тоже сечение Дедекинда. Докажите, что inf A = R.

Задача 0.29 (!). Пусть A R ограниченное снизу множество. Дока жите, что inf A существует.

Замечание. Пусть A R не ограничено снизу (сверху). Тогда пишут inf A = (sup A = ).

0.4. Корни многочленов нечетной степени.

Задача 0.30 (!). Дан полином нечетной степени над Q, P = t2n+1 + a2n t2n + a2n1 t2n1 +... + a0. Пусть RP множество всех x Q таких, что P (t) 0 на отрезке ], x]. Докажите, что RP непусто.

Указание. Докажите, что RP содержит max(1, |ai |).

Задача 0.31 (!). Докажите, что RP не все множество вещественных чисел.

|ai |).

Указание. Докажите, что дополнение Q\RP содержит max(1, Задача 0.32 (!). Докажите, что RP сечение Дедекинда.

Задача 0.33 (!). Докажите, что P удовлетворяет свойству Липшица:

для любого отрезка I существует такая константа C 0, что |P (a) P (b)| C|a b| для любых a, b I.

Задача 0.34 (!). Рассмотрим дедекиндово сечение RP как веществен ное число. Докажите, что P (RP ) = 0. Тем самым, любой многочлен нечетной степени над R имеет корень.

Указание. Докажите сначала, что P (RP ) 0. Затем докажите, что P (RP ) 0 противоречит задаче 0.33.

– 367 – Лекции и задачи по топологии Миша Вербицкий, version 1.1, 27.07. Приложение. Вещественные числа.

0.5. Пределы.

Определение 0.9. Пусть A R пoдмножество в множестве веще ственных чисел, а c вещественное число. Точка c называется пре дельной точкой последовательности A, если для каждого открытого интервала I =]x, y[, содержащего c, в I содержится бесконечно много элементов A.

Определение 0.10. Пусть {ai } последовательность вещественных чи сел, а c вещественное число. Пусть для каждого открытого интервала I =]x, y[, содержащего c, в I содержатся все элементы {ai }, кроме ко нечного числа. Тогда говорят, что c есть предел последовательности {ai } (обозначается c = limi ai ). Еще говорят, что последовательность ai сходится к c, или стремится к c Задача 0.35. Пусть c предельная точка последовательности {ai }. До кажите, что из нее можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к c.

Задача 0.36 (*). Дана последовательность {ai } точек на отрезке [x, y].

Докажите, что у нее есть предельные точки.

Определение 0.11. Множество A R называется дискретным, если у него нет предельных точек.

Задача 0.37 (*). Пусть {ai } последовательность. Обозначим множе ство всех ai за A. Докажите, что {ai } сходится тогда и только тогда, когда A не имеет бесконечных дискретных подмножеств, и имеет един ственную предельную точку.

Задача 0.38. Рассмотрим последовательность 0, 1, 2, 3, 4,.... Докажите, что у этой последовательности нет предела.

Задача 0.39. Рассмотрим последовательность 0, 1, 1/2, 1/3, 1/4,.... До кажите, что эта последовательность сходится к 0.

Задача 0.40. Дана монотонно возрастающая последовательность a a2 a3..., ai R. Известно, что все ai ограничены сверху некото рой константой C: ai C. Докажите, что эта последовательность имеет – 368 – Лекции и задачи по топологии Миша Вербицкий, version 1.1, 27.07. Листок 0. Вещественные числа предел. Используйте определение вещественных чисел через сечения Де декинда.

Указание. Докажите, что limi ai = sup{ai }, и воспользуйтесь суще ствованием супремума.

Определение 0.12. Пусть {ai } = a0, a1, a2,... – последовательность ве щественных чисел. Говорят, что {ai } – последовательность Коши, если для каждого 0 существует отрезок [x, y] длины, который со держит все {ai }, кроме конечного числа.

Замечание. То же самое определение используется для последователь ностей Коши рациональных чисел.

Задача 0.41. Пусть последовательность {ai } сходится к какому-нибудь вещественному числу c. Докажите, что это последовательность Коши.

Задача 0.42. Пусть у последовательности Коши {ai } есть подпоследо вательность, которая сходится к x R. Докажите, что {ai } сходится к x.

Задача 0.43. Пусть {ai } последовательность Коши. Рассмотрим по следовательность {bi }, bi = inf ji aj. Докажите, что этот инфимум опре делен, и что последовательность bi возрастает.

Задача 0.44. В условиях предыдущей задачи докажите, что если по следовательность {bi } имеет предел, то limi ai = limi bi.

Задача 0.45 (!). Пусть {ai } последовательность Коши. Докажите, что {ai } сходится. Используйте определение вещественных чисел через сечения Дедекинда.

Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.

Задача 0.46 (!). Пусть {ai } последовательность Коши. Докажите, что {ai } сходится. Используйте определение вещественных чисел через последовательности Коши.

– 369 – Лекции и задачи по топологии Миша Вербицкий, version 1.1, 27.07. Приложение. Вещественные числа.

Указание. Пусть вещественное число {ai } представлено последователь ностью Коши рациональных чисел ai (0), ai (1), ai (2),.... Перейдя к подпо следовательности, можно предполагать, что все ai (i n) содержатся в отрезке длины 2n, и все ai (j) (j m) содержатся в отрезке длины 2m.

Докажите, что последовательность {ai (i)} последовательность Коши, и к представленному ей вещественному числу сходится последователь ность {ai }.

Задача 0.47 (!). (теорема о двух милиционерах) Пусть {ai }, {bi }, {ci } сходящиеся последовательности вещественных чисел, причем ai bi ci для всех i. Предположим, что limi ai = limi ci = x. Докажите, что limi bi = x.

Задача 0.48 (*). Пусть последовательность {ai } сходится к x. Дока жите, что последовательность bj = 1 j ai сходится к x. Приведите i= j пример, когда {bj } сходится, а {ai } не сходится.

0.6. Ряды.

Определение 0.13. Пусть {ai } последовательность вещественных чи сел. Рассмотрим последовательность частичных сумм n ai. Если эта i= последовательность сходится, говорят, что ряд ai сходится. В этом i= случае пишут ai = x, где i= n x = lim ai.

i i= ai = x.

Часто пишут проще:

Определение 0.14. Ряд ai абсолютно сходится, если сходится ряд |ai |.

Задача 0.49 (!). Дан абсолютно сходящийся ряд ai. Докажите, что этот ряд сходится.

Задача 0.50. Дан абсолютно сходящийся ряд ai. Пусть bi такая последовательность неотрицательных чисел, что ai bi. Докажите, что bi абсолютно сходится.

ряд – 370 – Лекции и задачи по топологии Миша Вербицкий, version 1.1, 27.07. Листок 0. Вещественные числа Задача 0.51 (**). Пусть ai, bi такие последовательности веществен a2, b2 сходятся. Докажите, что ряд ai bi схо ных чисел, что ряды i i дится.

Задача 0.52 (*). Пусть ai последовательность положительных веще ственных чисел. Предел последовательности произведений n lim (1 + ai ) n i= обозначается (1 + ai ). Если этот предел существует, то говорят, что i= бесконечное произведение (1+ai ) сходится. Пусть произведение (1+ i=0 i= ai ) сходится. Докажите, что ряд ai сходится.

i= Задача 0.53 (*). Докажите, что бесконечное произведение i=0 (1+ 3n ) сходится.

Задача 0.54 (**). Пусть ряд ai сходится. Докажите, что i=0 (1+ai ) тоже сходится.

Задача 0.55 (!). Пусть a0 a1 a2... монотонно убывающая последовательность положительных вещественных чисел, которая стре i i=0 (1) ai. Докажите, что этот ряд мится к нулю. Рассмотрим ряд сходится. Такой ряд называется знакопеременным.

Задача 0.56. Докажите, что ряд сходится.

n(n+1) 1 1 Указание. Воспользуйтесь соотношением =.

n(n+1) n (n+1) Задача 0.57. Докажите, что ряд сходится.

n Задача 0.58. Докажите, что ряд сходится.

n!

Задача 0.59 (!). Докажите, что ряд сходится. Вычислите, к чему 2n он сходится.

xn сходится для всех x R.

Задача 0.60 (*). Докажите, что ряд n=0 n!

x n Задача 0.61 (**). Рассмотрим ряд n=0 n! в полном упорядоченном поле A. Сходится ли эта сумма для всех x A?

– 371 – Лекции и задачи по топологии Миша Вербицкий, version 1.1, 27.07. Приложение. Вещественные числа.

Благодарности Эти задачи существовали в виде рукописи с 2005-го года, и за эти лет я получил множество ценных замечаний и комментариев. Особенно же я признателен Дмитрию Каледину, который сотрудничал в состав лении задач и всей программы курса в 2005-м году. Немало исправле ний было получено от Марины Прохоровой, Александра Шеня, Виктора Прасолова и Ивана Ремизова, которым я донельзя благодарен;

и дру гих людей, тоже чрезвычайно достойных и замечательных. Отдельная благодарность студентам, без которых это сочинение не было бы даже начато.

– 372 – Лекции и задачи по топологии Миша Вербицкий, version 1.1, 27.07.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.