авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
-- [ Страница 1 ] --

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА ОПТИКИ И СПЕКТРОСКОПИИ

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ ХИМИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ РАН

ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА,

ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ

В ДИЭЛЕКТРИКАХ

(УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ К КУРСУ ЛЕКЦИЙ)

НОВИКОВ Геннадий Федоpович

д.ф.-м.н., профессор кафедры ОС ВГУ

Воронеж-Черноголовка, 2000 г.

Предисловие

Данное издание представляет собой вторую редакцию курса лекций, который впервые читался в Воронежском государственном университете на Физическом факультете магистрам 6-го курса Кафедры оптики и спектроскопии в осеннем семестре 2000 года, д.ф.м.н., про фессором НОВИКОВЫМ Геннадием Федоpовичем (заведующим лабо ратории "Фотодинамических процессов" Института проблем химиче ской физики Российской академии наук,- руководителем совместной лаборатории ИПХФ РАН и ВГУ "Фотостимулированные процессы в кристаллах").

Целью курса лекций было объединить и упорядочить знания слушателей, накопленных в процессе изучения общих университетских курсов, в отношении широко распространенных явлений переноса (Часть 1). Особое внимание уделено электропроводности диэлектриков (Часть 2), - явлению, которое лежит в основе большей части экспери ментальных исследований элементарных процессов с участием заря женных частиц в конденсированной фазе.

Курс рассчитан на студентов старших курсов ВУЗов, магистров, аспирантов, соискателей, владеющих основами высшей математики и предполагающих активно применять знания явлений переноса и элек тропроводности в своей научной работе.

Курс основан на монографиях и оригинальных статьях широко известных специалистов, включает многочисленные примеры, система тизирован и для более глубокого усвоения материала включает задачи с решениями.

Автор приносит свои извинения авторам большей части цити руемых работ за неполноту ссылок (указаны только фамилии) из-за не возможности в учебном пособии, в отличии от монографии, привести все ссылки в оригинальном написании.

Оглавление ЧАСТЬ 1. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА................................................................................... 1. Введение. Общее описание процессов переноса..................................................... 1.2. Диффузионные потоки....................................................................................... 1.3. Кинетические коэффициенты............................................................................ 1.4. Распределение частиц по скоростям в неравновесном газе.......................... 1.5. Кинетические коэффициенты газов................................................................ 1.6. Диффузия как процесс случайного блуждания.............................................. 1.7. Диффузия и подвижность................................................................................. 1.8. Задачи................................................................................................................. 2 Процессы переноса в применении к газам............................................................. 2.1. Качественное описание движения медленных ионов в газах........................ 2.2. Параметры E/N и E/p........................................................................................ 2.3. Общие сведения о подвижности и коэффициентах диффузии ионов.......... 2.4. Ион-ионные взаимодействия и влияние пространственного заряда на подвижность ионов....................................................................................................... 2.5. Роль данных о подвижности и коэффициентах диффузии ионов................. 2.6. Различия в поведении ионов и электронов..................................................... 2.7. Расплывание облака ионов вследствие диффузии через неограниченный объем газа...................................................................................................................... 2.7.1. Задача......................................................................................................... 2.8. Расплывание облака ионов в случае их дрейфа в электрическом поле........ 2.8.1. Задача......................................................................................................... 2.9. Уравнение диффузии. Второй закон Фика..................................................... 2.10. Граничные условия....................................................................................... 2.11. Амбиполярная диффузия.............................................................................. 3 Кинетическая теория диффузии и подвижности ионов......................................... 3.1. Определения и общие результаты................................................................... 3.2. Элементарные теории и качественные соображения..................................... 3.2.1. Теория свободного пробега...................................................................... 3.2.2. Сечения столкновения частиц.................................................................. 3.2.3. Теория передачи импульса....................................................................... 3.2.4. Теория слабого поля................................................................................. 4 Уравнения переноса в физико-химической кинетике............................................ 4.1. Уравнение диффузии........................................................................................ 4.2. Марковские процессы. Уравнение Фоккера — Планка................................ 4.3. Задача о достижении границы......................................................................... 4.4. Диффузия частиц, взвешенных в газах и жидкостях..................................... 4.5. Диффузия в твердых телах............................................................................... ЧАСТЬ 2. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ........................................................................... 5 Электропроводность диэлектриков (феноменология)......................................... 5.1. Электропроводность вещества........................................................................ 5.2. Электропроводность металлов........................................................................ 5.3. Электропроводность газов в слабых полях.................................................... 5.4. Электропроводность кристаллов в слабых полях.......................................... 5.5. Электропроводность аморфных диэлектриков в слабых полях.................. 5.6. Состав носителей зарядов в твердых диэлектриках..................................... 5.7. Электропроводность газов в сильных полях................................................ 5.7.1. Задача....................................................................................................... 5.8. Электропроводность жидкостей в сильных полях....................................... 5.9. Электропроводность твердых диэлектриков в сильных полях................... Оглавление 5.10. Коэффициенты ударной и поверхностной ионизации.............................. 5.11. Электропроводность эмульсий, суспензий и вязких диэлектриков........ 5.12. Электропроводность оксидных пленок на вентильных металлах........... 5.13. Поверхностная электропроводность твердых диэлектриков................... 6 Поляризация диэлектриков в постоянном поле.................................................... 6.1. Виды поляризации........................................................................................... 6.2. Макроскопическое поле в диэлектрике......................................................... 6.3. Локальное поле Лорентца............................................................................... 6.4. Уравнение Клаузиуса — Мосотти для неполярных газов и жидкостей........ 6.5. Уравнение Клаузиуса — Мосотти для полярных (дипольных) газов............ 6.6. Уравнение Клаузиуса — Мосотти для смеси газов...................................... 6.7. Поляризация неполярных жидкостей............................................................. 6.8. Теория Дебая для полярных жидкостей........................................................ 6.9. Дипольные кристаллы..................................................................................... 6.10. Теория Онзагера для полярных жидкостей............................................... 6.11. Теория Кирквуда для полярных жидкостей.............................................. Поляризация диэлектриков в переменном поле и диэлектрические потери iv 7.1. Переходные процессы поляризации при изменении постоянного поля..... 7.2. Принцип суперпозиции напряженностей...................................................... 7.3. Изменение поляризации со временем в переменном электрическом поле. 7.4. Диэлектрические потери в однородных диэлектриках с релаксационной поляризацией и сквозной проводимостью................................................................ 7.5. Комплексная диэлектрическая проницаемость............................................. 7.6. Релаксационные потери при одном времени релаксации............................ 7.6.1. Модельные представления о потерях в теории Дебая.......................... 7.6.2. Потери при экспоненциальном спадании поляризации со временем. 7.7. Релаксационные потери при наборе времен релаксации............................. 7.7.1. Потери при двух временах релаксации................................................

.. 7.7.2. Потери при нескольких временах релаксации...................................... 7.7.3. Диаграммы Коула—Коула...................................................................... 7.8. Влияние числа релаксаторов и электропроводности на потери.................. 7.9. Асимметричные функции распределения времен диэлектрической релаксации.................................................................................................................. 7.9.1. Функция Дэвидсона—Коула................................................................... 7.9.2. Функция Гаврильяка—Негами............................................................... 7.9.3. Функция Вилльямса—Ваттса................................................................. 7.10. Комплексный электрический модуль......................................................... Быстропротекающие процессы, детектируемые по электропроводности. v...... 8.1. Процессы с переносом электрона.................................................................. 8.2. Магниторезонансная модуляция скоростей процессов с участием пар парамагнитных частиц................................................................................................ 8.2.1. Принцип метода с оптической регистрацией спектров для радикальных пар (ОДМР).............................................................................................................. 8.2.2. Величина магниторезонансного эффекта.............................................. 8.2.3. Детектирование спектров РИДМР по электропроводности................ 8.2.4. Импульсные методы................................................................................ 9 Литература................................................................................................................ Введение. Общее описание процессов переноса ЧАСТЬ 1. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА 1. Введение. Общее описание процессов пере носа (Феноменология, элементы статистической физики и кинетики) Диэлектрики относятся к весьма распространенным материалам, сравнительно недавно применявшимся только для электрической изо ляции. В настоящее время в связи с огромными успехами науки, в том числе физики твердого тела и синтетической химии, диэлектрики по лучили почти универсальное применение в самых различных областях электротехники, радиоэлектроники электроники, технической киберне тики. Однако широкое применение диэлектриков в свою очередь тре бует постоянного совершенствования их свойств, что трудно осущест вимо без понимания механизма элементарных процессов с участием заряженных частиц. Сказанное в особенности относится к твердым и жидким диэлектрикам, в которых в сравнении с газами такие процессы из-за экспериментальных трудностей все еще не достаточно изучены. В основе большей части экспериментов, нацеленных на такие исследова ния, лежат явления переноса, которым и посвящен данный курс лекций.

i Диффузионные потоки 1.2.

В изолированной термодинамической системе любое неравно весное состояние с неизбежностью переходит в состояние термодина мического равновесия. Это общий закон природы. Однако для каждого конкретного неравновесного состояния существуют свои конкретные причины, которые обуславливают этот переход и определяют его ха рактер. Мы познакомимся в этой лекции с тем, что происходит в про странственно неоднородных состояниях, которые образуют большой и важный класс неравновесных состояний.

Пространственно неоднородными называют такие состояния, в которых значения одной или нескольких макроскопических величин не одинаковы в разных частях системы. Мы не будем касаться состояний с неодинаковым давлением. Потому что в этом случае между различны ми частями системы действуют обычные механические силы, и на не обратимый процесс установления термодинамического равновесия на кладываются более или менее обычные механические движения, вовсе для него не обязательные. При однородном же давлении могут быть неодинаковыми, например, температура, состав частиц (для систем, со Раздел стоящих из частиц нескольких сортов) или скорость их макроскопиче ского движения.

Переход таких состояний в состояние термодинамического рав новесия обеспечивается соответствующими диффузионными потока ми, которые стремятся выровнять существующие в системе неоднород ности. Диффузионные потоки тепла от горячих участков системы к хо лодным будут выравнивать температуру, диффузионные потоки частиц будут выравнивать их состав, а диффузионные потоки импульса от движущихся частей системы к неподвижным будут гасить скорость любого макроскопического движения. В этой связи эти неравновесные процессы называют процессами переноса.

Напомним, что потоком частиц через данную площадку назы вают их число, пересекающее площадку в единицу времени. Аналогич но этому, потоком данной компоненты импульса П ( = х, у, z) назы вают величину этой компоненты, переносимую через площадку в еди ницу времени, а потоком тепла — переносимую в единицу времени энергию.

Если сделать площадку ориентированной, выбрав определенное !

направление нормали к ней,, то потоки, кроме величины, можно бу дет характеризовать и знаком. Их считают положительными, если они направлены в направлении нормали, и отрицательными в противопо ложном случае. Знак потока, однако, не имеет абсолютного характера, !

поскольку нормаль к площадке,, можно направить либо в одну, либо в другую сторону.

Между тремя этими потоками — частиц, энергии и импульса — нет прямой связи. Даже в газах, где длина свободного пробега велика, и переносимые через данную площадку энергия или импульс есть просто энергия и импульс тех частиц, которые пересекают эту площадку, по ток энергии или поток импульса вовсе не обязательно пропорционален потоку частиц. Если числа частиц, дви жущихся в прямом и обратном направлениях, одинако вы, но, например, энергия первых систематически боль ше, чем энергия вторых, суммарный поток частиц будет отсутствовать, в то время как поток энергии будет отли чен от нуля.

В жидкостях же плотность частиц так велика, что свободного движения у них практически не бывает. Мо лекулы здесь в основном толкутся на одном месте, лишь относительно изредка перемещаясь на заметные расстоя Рис. 1-1 ния. В таких условиях частицы, находящиеся по разные Введение. Общее описание процессов переноса стороны от сечения АА/ (Рис. 1-1) могут передавать друг другу свою энергию или импульс, фактически и не пересекая это сечение. Поэтому могут существовать заметные потоки энергии или импульса, а потока частиц не будет. Тем более это справедливо по отношению к твердым телам, атомы которых, если и перескакивают с места на место, то край не редко.

Кинетические коэффициенты 1.3.

1.3.1. В этом параграфе мы познакомимся с эмпирическими за конами, описывающими поведение диффузионных потоков. Мы уви дим, что основной экспериментальный факт состоит в том. что величи на этих потоков определяется степенью пространственной неоднород ности соответствующих интенсивных макроскопических величин: чем сильнее различаются значения этих величин в разных частях системы, тем больше величина диффузионных потоков. Микроскопическому объяснению этих законов будут посвящены остальные параграфы на стоящей лекции.

1.3.2. Рассмотрим систему, находящуюся при определенной температуре и определенном давлении и состоящую из частиц двух сортов. Пусть полная плотность числа частиц п = п1 + п2 одна и та же во всей системе, а состав частиц не однороден в пространстве из-за то го, что плотности числа частиц каждого сорта, п1 и п2, меняются от точки к точке. Основным эмпирическим законом, описывающим диф фузионные потоки в такой системе, является закон Фика, который свя зывает поток частиц s-го сорта, dJs (s = 1, 2), протекающий через эле ментарную площадку dA, с быстротой изменения плотности их числа, !

dns/d, в направлении нормали :

dns dJ s = D dA. (1.1) d Величину D, определяемую этим законом, называют коэффици ентом диффузии частиц s-го сорта в данной смеси веществ.

В соответствии с законом (1.1) величина потока частиц зависит, во-первых, от местоположения площадки dA. Потому что в разных уча стках пространства плотность числа частиц может по-разному меняться от точки к точке, и поэтому будет различна производная dns/d,. И, во вторых, поток через данную площадку зависит еще от ее ориентации в !

пространстве, определяемой направлением нормали.

Пусть, например, плотность числа частиц меняется только в на правлении оси х, оставаясь постоянной в плоскостях 11' и 22', показан Раздел ных на Рис. 1-2. Тогда производная dn/d, будет максимальна для пло щадки с нормалью вдоль оси х. При любой другой ее ориентации рас стояние d, между плоскостями 11' и 22', отсчитывае !

мое в направлении нормали, будет больше, а изме нение плотности на этом расстоянии — такое же. По этому отношение dn/d, уменьшится, свидетельствуя об уменьшении потока через такую наклонную пло щадку. Это происходит, конечно, потому, что поток всегда имеет определенное направление, и если мы бу дем ориентировать площадку плоскостью вдоль этого направления, то через нее ничего не будет протекать.

При неоднородном составе частиц диффузия происходит в любых системах. В газах она идет до Рис. 1- вольно быстро, в жидкостях — медленнее, а в твердых телах — совсем медленно, но все же идет.

1.3.3. Если температура Т в остальном однородной системы ме няется от одной точки к другой, через произвольную площадку dA воз никает поток тепла dT dJ Q = dA. (1.2) d Это соотношение, выражающее эмпирический закон Фурье, оп ределяет величину, называемую коэффициентом теплопроводности.

Производная dT/d, имеет здесь тот же смысл, что и производная dn/d в формуле (1.1): она определяется быстротой изменения температуры в !

направлении.

1.3.4. Между различными частями неподвижных газа или жид кости действуют силы только одного типа — силы нормального давле ния. Если же разные слои жидкости или газа движутся друг относи тельно друга, то, помимо этих обычных сил давления1, между ними на чинают действовать еще силы вязкого трения, стремящиеся затормо зить их относительное движение. Такая ситуация возникает, например, при пролете через жидкость или газ какого-нибудь тела, которое вовле кает в свое движение прилегающие к нему слои вещества. При обтека нии жидкостью или газом различных препятствий или при их движе нии по трубам, когда тормозятся слои, прилегающие к неподвижным предметам. И так далее.

Их величина в этом случае, вообще говоря, будет другая, чем в случае неподвижной среды.

Введение. Общее описание процессов переноса Разнообразие движений здесь огром но, и, чтобы разобраться в существе дела, ограничимся простейшим случаем ламинар ного потока, текущего вдоль оси у со ско ростью Vy, различной в разных точках оси х (Рис. 1-3). В этом случае в любой плоскости АА' действуют две одинаковые по величине и противоположные по направлению силы трения, одна из которых приложена к пра вой части среды, а другая — к левой. Эти силы направлены, соответственно, по и про тив оси у и ускоряют движение более мед ленных слоев (на Рис. 1-3 — правых), но тормозят движение более быстрых (на Рис. Рис. 1- 1-3 — левых). В результате вся среда при обретает с течением времени одинаковую скорость (если есть неподвижные стенки, то нулевую). Эмпирический закон Ньютона устанавливает, что величина этих сил dVy Fy = A, (1.3) dx где ! — коэффициент внутреннего трения или вязкость, A —площадь сечения АА'.

Этот закон можно представить в виде, аналогичном виду зако нов Фика (1.1) и Фурье (1.2). Из-за действия вязкой силы (1.3) у компонента импульса левой от сечения АА' части среды убывает со скоростью d y dt = Fy, а правой — с такой же скоростью возрастает.

Мы можем сказать поэтому, что y-компонента импульса переносится через сечение АА' слева направо, и ее поток dy dVy = Jy = A (1.4) dt dx (если dVy/dx 0, как на Рис. 1-3, то J y 0 и наоборот).

1.3.5. Коэффициенты диффузии, теплопроводности и вязкости, вводимые законами (1.1)—(1.4), относятся к числу величин, называе мых кинетическими коэффициентами. А пространственные производ ные, фигурирующие в этих соотношениях, называют градиентами — градиентом плотности числа частиц, градиентом температуры и гради Раздел ентом у-компоненты скорости2.

Универсальная справедливость законов (1.1) — (1.4) связана просто с тем, что в малом все линейно, и если различные диффузион ные потоки исчезают в однородной системе, когда все градиенты равны нулю, то при малых градиентах они должны быть им пропорциональ ны. Такие соображения не позволяют, конечно, выяснить, как малы должны быть градиенты, чтобы линейность еще не нарушалась. Опыт показывает, однако, что реально создаваемые градиенты различных макроскопических параметров в этом смысле практически всегда дос таточно малы.

Распределение частиц по скоростям в нерав 1.4.

новесном газе 1.4.1. В неравновесном пространственно неоднородном газе максвел-ловское распределение по скоростям с очевидностью наруша ется. В самом деле, это распределение изотропно. Оно утверждает, что в газе в любом направлении движется в среднем одно и то же число частиц с одними и теми же средними характери стиками. Но существование диффузионных пото ков показывает, что в пространственно неодно родных состояниях в одну сторону либо движется больше частиц, чем в другую, либо они переносят с собой большую энергию, либо больший сред ний импульс.

Нетрудно понять, по какой причине возни кают отклонения от максвелловского распределе ния. Рассмотрим группу частиц, движущихся с !

одинаковыми скоростями вблизи значения vi и предположим, что мы тем или иным способом Рис. 1-4 сделали плотность их числа, ni меняющейся вдоль оси х. Тогда число частиц этой группы, Ni, заклю ченных в элементе объема V между двумя бесконечно близкими плос костями. 11' и 22', перпендикулярными к оси х (Рис. 1-4), начнет ме няться3.

В самом деле, поток частиц, втекающих в объем через сечение 11', связан с плотностью их числа, ni(1) в точке 1:

Точнее—это компоненты соответствующих градиентов вдоль направления нормали к площадке.

С целью упростить обозначения мы не будем отмечать никакими значками беско нечную малость объема V и числа частиц в нем, N.

Введение. Общее описание процессов переноса ji(1) = vix ni(1) A, а вытекающих через сечение 22' — с плотностью ni(2) в точке 2:

ji(2) = vix ni(2) A, здесь A — площадь обоих сечений.

Так как ji(1) ji(2), втекать в объем V и вытекать из него будет разное число частиц. И разница ji(1) ji(2) определит скорость N i / t возрас тания числа частиц Ni в этом объеме (если ji(1) ji(2) то «возрастание»

будет отрицательным).

ni Представляя ni(1) ni(2) в виде x, где x — расстояние x между плоскостями, и учитывая, что V =Ах, получим N i n = iV. (1.5) t x Мы пишем здесь круглые значки дифференциалов, потому что Ni и ni зависят от двух переменных, х и t, и мы дифференцируем каж дый раз по одной из них.

1.4.2. Ясно, однако, что никакие изменения чисел Ni, не могут продолжаться до бесконечности. Им будут противодействовать те про цессы, которые в изолированном газе обеспечивают установление мак свелловского распределения. Эти процессы связаны со случайными столкновениями молекул рассматриваемой i-й группы с другими моле кулами (в том числе и других сортов) находящимися в пределах объема V (между собой молекулы i-й группы не сталкиваются, ибо движутся с одной и той же скоростью vi).

Непосредственно после столкновения молекула не покидает объема V, она остается внутри него. Но ее скорость меняется, она полу чает другие значения, отличные от vi. Поэтому после столкновения мо лекула пополнит состав какой-то другой скоростной группы, а число молекул i-й группы уменьшится на единицу.

Число столкновений, которые молекула i-й группы испытывает в единицу времени, равно обратной величине времени ее свободного пробега, i. Поэтому скорость их убывания из-за столкновений N i N = i. (1.6) t i Раздел Индекс i у времени i показывает, что оно может зависеть от скорости частиц, vi.

Конечно, место выбывших молекул (выбывших не из объема V, а из i-й группы) будут занимать молекулы других скоростных групп (но того же сорта), находящихся в объеме v и случайно получивших после соударения нужную скорость вблизи vi,. Вычислить число прибываю щих таким способом в i-ю группу молекул гораздо сложнее. Его грубую оценку можно получить из следующих соображений.

Ясно, что в равновесных условиях число прибывающих молекул должно в точности компенсировать убыль, определяемую формулой (1.6). Поэтому, обозначая равновесные величины верхним индексом нуль, можно записать N i N = i.

t + i В правой части этого выражения стоят величины, относящиеся к частицам i-й группы. Но, в действительности, скорость (N i / t ) + опре деляется столкновениями, в которых участвуют все частицы данного сорта, находящиеся в пределах объема V: любая из них может получить в результате столкновения нужную скорость и оказаться в i-й группе.

Поэтому можно ожидать, что величина (N i / t ) + не будет слишком меняться при таких отклонениях от равновесия, когда полное число частиц в объеме V остается неизменным, и они только чуть иначе рас пределяются по скоростям.

Значит, мы можем записать приближенно, что и в неравновес ных условиях N i N i. (1.7) " t i Полная же скорость возрастания чисел Ni вследствие столкновений по лучится вычитанием (1.6) из (1.7):

N i N i0 N i (1.8) " i t (если Ni N0, то «возрастание» будет отрицательным).

Физический смысл этого соотношения станет яснее, если, вос пользовавшись тем, что Ni0 — постоянная величина, переписать его в виде Введение. Общее описание процессов переноса d ( N i N i0 ) dt =.

i Ni Ni Отсюда следует, что d ln( N i N i0 ) = dt / i, т.е.

ln( N i N i0 )t ln( N i N i0 )t =0 = t / i или ( N i N i0 )t = ( N i N i0 ) t =0 = exp( t / i ).

Эта зависимость показана на Рис. 1-5 для случая, когда N i (0) N i0. Видно, что в результате столкновений начальное отклонение от равновесности, чем бы оно ни было вы звано, затухает по экспоненте за время ~ i, если нет никаких причин, которые это отклонение поддерживали бы. Та ким образом, время свободного пробега i, играет роль микроскопического "времени памяти". В этом качестве его называют микроскопическим временем Рис. 1- релаксации.

1.4.3. Ясно, что всякие изменения чисел Ni прекратятся, когда сумма скоростей (1.5) и (1.8) обратится в нуль:

ni N 0 Ni vix V+ i = 0.

i x Это условие и определяет значения Ni, устанавливающиеся в стацио нарном состоянии. Из него, учитывая, что Ni /V = ni, для стационарной плотности числа частиц i-й группы получим ni ni = ni0 i vix.

x Так как второй член в правой части этого равенства при малых градиентах дает лишь небольшую поправку к максвелловской величине ni0, можно без большой ошибки заменить в нем неизвестную величину ni, на максвелловское значение плотности числа частиц ni0. Тогда Раздел окончательно ni ni = ni0 i vix. (1.9) x Наш анализ показывает, таким образом, что в пространственно неоднородном газе, когда ni / x 0, распределение молекул по скоро стям действительно становится анизотропным, не максвелловским, так что число частиц, движущихся со скоростями vix 0, не равно числу частиц, имеющих такую же по величине, но противоположную по на правлению скорость vix 0. При этом полная плотность числа частиц в данной точке не меняется по сравнению с равновесной, поскольку уве личение числа первых компенсируется уменьшением числа вторых.

Отметим в заключение, что те рассуждения, которые привели нас к соотношению (1.7), довольно сильно огрубляют действитель ность. Поэтому в большинстве случаев уравнение (1.9), как показывает опыт, не годится для получения точных количественных результатов.

Но оно всегда полезно для качественного анализа различных ситуаций.

Кинетические коэффициенты газов 1.5.

1.5.1. Рассмотрим неоднородный по составу газ, находящийся при постоянных температуре и давлении, и пусть его состав меняется вдоль оси х. Вычислим с помощью (1.9) поток частиц данного сорта через площадку площади А, перпендикулярную к оси х. Частицы, дви жущиеся со скоростями вблизи vi, будут давать в этот поток вклад ni ji = ni vix A = n v A v 0 A. (1.10) i ix i ix x Полный же поток всех частиц рассматриваемого сорта, J, можно найти, просуммировав все возможные величины ji,. Это легко сделать, учиты вая, что отношение ni0 / n, где n—полная плотность числа частиц дан ного сорта, есть равновесная вероятность того, что частица движется со скоростью вблизи vi.

Первый член в правой частиц формулы (1.10) обращается при суммировании в нуль:

ni ni0vix = n vix = n v x = 0, n i i поскольку v x = 0 в случае максвелловского распределения. Вторую же сумму можно представить в виде Введение. Общее описание процессов переноса ni i vix = i vix ni0, 2 x x i i поскольку vix -- это заданная нами скорость, она не зависит от х, равно как и (возможно, зависящая от этой скорости) величина i. Используя тот же прием, что прежде, получаем n n v x A = v x J = 2 A.

x x Последнее равенство справедливо, так как равновесное среднее v x зависит только от температуры, а температура у нас однородна.

Сравнивая это выражение с законом Фика (1.1), получаем выра жение для коэффициента диффузии:

D = v x.

Если учесть качественный характер нашего рассмотрения, можно по ложить приближенно: v x = v x, где — среднее время пробега мо 2 лекул всех скоростных групп. Тогда, учитывая, что v x = v 2 / 3, полу чим 1 1 D v v ;

(1.11) 3 здесь = v — средняя длина свободного пробега.

Из этих выражений видно, что коэффициент диффузии в газах растет при повышении температуры.

1.5.2. Предположим теперь, что, оставив постоянным давление, мы сделали температуру меняющейся вдоль оси х. Поток частиц и в этом случае определяется суммированием отдельных вкладов (1.10). И опять первый член при таком суммировании обратится в нуль. Резуль тат же суммирования второго члена будет зависеть от того, зависит или не зависит от скорости время свободного пробега i.

В однородном по составу газе столкновения, перемешивающие частицы разных скоростных групп, идут с участием всех частиц, нахо дящихся в объеме V. Поэтому время установления равновесия, а, стало быть, и время свободного пробега, которое его определяет, в этом слу чае будет общим для всех них. Оно не будет (или почти не будет) зави сеть от скорости данной частицы. От скорости будет зависеть длина свободного пробега: i = vi.

Раздел Имея это в виду, суммирование второго члена в формуле (1.10) можно представить в виде ni0 i vix = ni0vix = n v x.

2 2 x x i x i Но v x T, а пТ= Р, где Р— давление, одинаковое во всех точках газа.

Поэтому (n v x ) / x = 0. Мы видим, что наличие градиента темпера туры в однородном по составу газе не приводит к возникновению диффузионных потоков частиц, хотя плотность их числа, n 1/ T, не однородна в пространстве.

Ситуация существенно меняется, если газ не однороден по со ставу. Рассмотрим для определенности поведение легких молекул, на ходящихся в виде примеси в газе, в основном, состоящем из тяжелых частиц 4. Если легких частиц немного, их столкновениями друг с дру гом можно пренебречь. Основную роль в установлении их распределе ния по скоростям будут играть столкновения с тяжелыми частицами, скорость которых много меньше скорости легких молекул.

Сталкиваясь с такими, почти неподвижными тяжелыми части цами, легкие молекулы примеси будут менять только направление сво ей скорости, но не ее величину. Потому что удар будет почти упругий, и их энергия будет оставаться практически неизменной. Это значит, что группы легких молекул, имеющие разную величину скорости, не будут перемешиваться друг с другом. В каждой из них изотропное рав новесное распределение по направлениям скорости будет устанавли ваться независимо от установления равновесия в других группах.

Поэтому общим для всех легких частиц будет не время установ ления равновесия, не время свободного пробега, а длина свободного пробега. Время же пробега теперь будет зависеть от скорости i = / vi 5.

В таких условиях при суммировании второго члена в правой части формулы (1.10) учтем, что Обратный случай: поведение небольшой примеси тяжелых частиц в легком газе на ша теория описать не может, ибо формулой (1.6) предполагается, что каждое столкно вение существенно меняет скорость частицы. Тяжелая же частица при столкновения с легкой будет менять свою скорость мало. В этом случае не годится и формула (1.11).

Это заключение справедливо также для электронов в металле или полупроводнике, для нейтронов в графитовых замедлителях и вообще для всех объектов, в которых главную роль играют столкновения частиц не друг с другом, а с какими-то неподвиж ными или почти неподвижными центрами рассеяния.

Введение. Общее описание процессов переноса vix = vi cos i, а i vix = i vi cos i = cos i, где i — угол между направлением скорости vi, и осью х.

Тогда ni0 i vix = ni0vi cos2 i = x x i i = n v cos2 = n v cos2 ;

x x последний шаг в этой цепочке равенств справедлив, поскольку направ ление случайной скорости vi, никак не связано с ее величиной. Далее, усредняя обе части соотношения: vix = vi2 cos2 i по всем возможным направлениям и величинам скорости получим: v x = v 2 cos2, от куда следует, что cos2 = 1/ 3, потому что v x = v 2. Таким обра зом, для полного потока легких частиц получаем J = n v A. (1.12) 3 x Если концентрация легких частиц, с=n/ntot, где ntot — плотность числа всех частиц газа, поддерживается постоянной вдоль оси х, то n 1/ T, поскольку ntot = Р/Т. В этом случае зависимость произведе ния n v от х возникает только вследствие его зависимости от темпера туры. Поэтому можно записать 1 d ln v dT J = A.

3 dT dx Входящую сюда производную по температуре можно преобра зовать так: поскольку n 1/ T, a v T, то ln(n v ) = const ln T и 1 dn v =.

n v dT 2T Отсюда видим, что n v dT J= A.

6T dx 1 dT Коэффициент при в этом выражении называют коэффициентом T dx термодиффузии:

Раздел DT = n v / 6. (1.13) Таким образом, при наличии градиента температуры легкие час тицы будут диффундировать в направлении этого градиента, т.е. в сто рону более высоких температур. И, если их концентрация, с, не под держивается специально постоянной, как это будет, например, в случае газа, находящегося в замкнутом сосуде, разные стенки которого имеют разную температуру, легкие частицы начнут скапливаться в той части сосуда, где температура выше.

1.5.3. Чтобы определить коэффициент теплопроводности, нуж но вычислить поток энергии, переносимый частицами при наличии градиента температуры. Вклад в этот поток от частиц i-й группы полу чится просто умножением их потока ji, даваемого формулой (1.10), на энергию частицы, i:

ni j = n v A v 0 Q A.

i i ix i i ix i x Будучи просуммирован по всем i, первый член в правой части этого выражения даст нуль, поскольку ni0 — это равновесная максвел ловская плотность частиц, а в равновесном газе все потоки в среднем равны нулю. При суммировании же второго члена будем полагать газ однородным по составу и считать поэтому, что i не зависит от скоро сти частицы. Тогда получим n 0 i vix i = ni0vix i = n v x.

2 2 x x i x i Теперь мы можем, во-первых, расщепить v x на произведение v x, потому что это сильно упростит дело и не очень ухудшит ответ ввиду приближенности всего нашего подхода. Учтем, далее, что n v x nT = P не зависит от координаты, a = u зависит только по u u T = тому, что от координаты зависит температура, так что. И, x T x u = cv есть теплоемкость на одну частицу.

наконец, вспомним, что T Тогда для потока тепла получим 1 dT J Q = n v 2 cv A.

3 dx Сравнивая это выражение с законом Фурье (1.2), для коэффициента те Введение. Общее описание процессов переноса плопроводности получим следующие оценки:

1 c v 1 v 2 cv ncv v v. (1.14) 3 На последнем шагу мы воспользовались соотношением = 1/ n.

1.5.4. Для вычисления вязкости найдем поток у-компоненты импульса частиц. Вклад в этот поток от частиц i-й группы получится умножением потока частиц, ji, из (1.10) на mviy. При суммировании этих вкладов, действуя совершенно так же, как в предыдущих случаях, по лучим ni0vixv y A.

J y = m x После чего, учтя, что х- и у-компоненты скорости статистически неза висимы и что произведение n v 2 P не зависит от координат, полу чим v y J y = mn v x A.

x Сравнивая это выражение с законом Ньютона (1.4), получим для вязко сти следующие оценки:

m v 1 mn v 2 mn v. (1.15) 3 1.5.5. Последние равенства в формулах (1.14) и (1.15) показы вают, что вязкость и теплопроводность газов растут с температурой, а при заданной температуре не зависят от плотности газа или от его дав ления. Независимость от плотности или давления получается в предпо ложении, что = 1/ n. Она будет сохраняться до тех пор, пока длина свободного пробега лимитируется столкновениями молекул. Но при уменьшении плотности величина, рано или поздно неизбежно стано вится порядка размеров сосуда, после чего ее рост прекращается. С это го момента и вязкость, и теплопроводность начнут уменьшаться при дальнейшем уменьшении плотности.

Отметим для полноты, что температурная зависимость тепло проводности и вязкости жидкостей, а также теплопроводности твердых тел носит прямо противоположный характер. При увеличении темпера туры все эти коэффициенты уменьшаются. Для теплопроводности твердого тела это справедливо, впрочем, лишь при не слишком низких температурах, когда его теплоемкость остается практически постоян ной.

Раздел Такое различие связано с тем, что передача энергии или импуль са в этих объектах осуществляется, в основном, не переносом частиц, а их силовым взаимодействием друг с другом. Но при повышении темпе ратуры связь между частицами становится все более и более слабой:

твердое тело рано или поздно начинает плавиться, а жидкость закипает.

Поэтому теплопроводность и вязкость уменьшаются.

Диффузия как процесс случайного блуждания 1.6.

1.6.1. Для описания процесса диффузии можно использовать совершенно другой подход, связанный с именами Эйнштейна и Смолу ховского, который пригоден не только для газов, но и для жидкостей и твердых тел.

Пусть одна из частиц жидкости, твердого тела или газа, чем-то отличается от других, так что можно, хотя бы в принципе, следить за ее перемещениями. Реально это можно сделать, конечно, только если час тица достаточно велика, как это имеет-место, например, в коллоидных взвесях, используемых для наблюдения броуновского движения. Но в принципе можно вести речь о любой частице, хоть как-то отличающейся от других.

Если отметить точками 0, 1, 2, 3,... положе ние частицы через равные промежутки времени t, то получится картина, схематически изображенная на Рис. 1-6. Стрелками на этом рисунке показаны !

перемещения частицы, si, за последовательные ин тервалы времени t = ti +1 ti 6. А полное переме Рис. 1-6 !

щение R будет иметь вид суммы:

!!!!

R = s1 + s2 + s3 +...

!

Величина и направление перемещений si, будут случайно ме няться от наблюдения к наблюдению. Поэтому какие-то определенные суждения можно сделать только об их поведении в среднем. При этом процедура осреднения подразумевает, как всегда, проведение много кратных измерений. Можно представить себе, например, что мы сле !

дим за перемещениями, si( k ), множества N идентичных частиц ( k = 1, N - номер частицы), помещенных в начальный момент в какую-то точку среды.

В однородной среде в отсутствии внешних полей направления Обратите внимание, что траектория частицы не обязательно совпадает с этими пере мещениями, если t не очень мало.

Введение. Общее описание процессов переноса «туда» и «обратно» равноправны. Поэтому числа частиц, переместив шихся за один шаг вперед или назад, должны быть в среднем одинако !

вы. Это значит, что средние значения компонент векторов si будут равны нулю. А вместе!с ними будет равно нулю и среднее перемещение частицы за время t, R. Но частицы будут при этом, конечно, распол заться в пространстве. Одни из них уйдут в одну сторону, другие — в другую, и средний квадрат их перемещения, R 2, будет отличен от нуля.

Чтобы понять, как он будет зависеть от времени наблюдения, выберем величину t не слишком ма лой. Тогда случайное воздействие среды на движение частицы приведет к тому, что ее последовательные перемещения !!!

s1, s2, s3,... станут статистически неза висимыми. Это значит, что, если мы, проводя опыт с N частицами, отберем те N* из них, которые на i-м шаге пере местились на одно и то же расстояние ! !

si, мы увидим, что их перемещения si(+k1) Рис. 1- ( k = 1, N * ) за следующий интервал вре мени будут совершенно произвольны в том смысле, что величина и направле ние этих перемещений никак не будут связаны с величиной и направ !

лением si (Рис. 1-7).

!! ! !

В этом случае si sl = si sl = 0, поэтому R 2 = s12 + s2 + s3 +...

2 В стационарном состоянии, когда в среднем со временем ничего не ме няется, все члены этой суммы одинаковы и равны просто среднему квадрату смещения частицы за время t, s 2. А так как их число равно числу интервалов, t/t, в результате получаем:

s R2 = t. (1.16) t В отличие от случая свободного движения, времени теперь про порционален не сам путь, а его средний квадрат. Это фундаментальное следствие рассматриваемого подхода к описанию случайного движения частиц было экспериментально проверено Перреном на броуновских Раздел частицах.

1.6.2. Характерную величину интервала t, после которого сти рается память о предыдущем движении, называют временем корреля ции и обозначают c. Его величина определяется конкретными свойст вами среды.

Для частицы газа, например, это время будет опять порядка вре мени свободного пробега, величина которого ~ 10-10 с. На меньших интервалах вероятность соударения будет невелика, и скорость части цы, а значит, и ее последующее перемещение, будут оставаться боль шей частью неизменными. Но уже одно гарантированное соударение полностью стирает память о предыдущем движении частицы ввиду случайности передаваемого ей импульса.

При этом существенно, впрочем, чтобы масса рассматриваемой частицы была меньше или порядка массы остальных молекул газа. Если же речь идет о тяжелой посторонней частице, находящейся в газе лег ких молекул, одного соударения будет недостаточно. Средняя энергия такой частицы, 2 / 2M, где —ее импульс, а M — масса, будет рав на средней энергии молекул газа, p 2 / 2m, где p и m — соответственно импульс и масса молекулы. Поэтому в среднем импульс частиц будет в M / m раз больше импульса молекул, и нужно, грубо говоря, M / m соударений, чтобы он существенно изменился. Это значит, что время корреляции будет примерно в M / m раз больше времени свободного пробега частицы,, понимаемого как время между двумя последова тельными соударениями.

а) б) Рис. 1- Совсем иной характер имеет движение частиц в жидкости или в твердом теле. Здесь у них вообще не бывает свободного пробега. В твердом теле атомы в основном совершают колебания около положе ний равновесия. А дальние прыжки происходят лишь изредка. При Введение. Общее описание процессов переноса этом атом может либо «сесть» в междоуз лие, потеснив соседние атомы (Рис. 1-8а), либо, оторвавшись от своих соседей, прыг нуть на один из пустых узлов, которые все гда существуют в реальной решетке (Рис.

1-8б). В обоих случаях достаточно букваль но одного колебания на новом месте, чтобы забыть о направлении предыдущего прыж ка. Это значит, что с ~ 10-13 с.

В жидкостях картина гораздо запу Рис. 1- таннее. С одной стороны, взаимное распо ложение молекул сохраняет здесь заметную долю ближнего порядка. И это приводит к прыжкам того же типа, который характерен для твердо го тела. С другой стороны, в жидкости возможны и небольшие пере мещения, когда целая группа молекул подается разом в ту или другую сторону. Но, так или иначе, времена корреляции в этом случае тоже очень малы.

1.6.3. Комбинация s 2 / t, появившаяся в формуле (1.16), ока зывается, определяет и величину коэффициента диффузии. Чтобы по казать это, вычислим в картине случайных блужданий поток частиц, возникающий из-за неоднородности состава системы.

Пусть для простоты плотность числа частиц рассматриваемого сорта меняется только вдоль оси х. Будем следить за такой группой этих частиц, перемещения которых вдоль оси х за время t по абсолют ной величине лежат вблизи значения i,. Если t c, то половина этих частиц в среднем сместится на расстояние i вправо, а половина — вле во7. При этом сечение АА', перпендикулярное к оси х (Рис. 1-9), пересе кут, очевидно, те из них, которые находятся от него слева или справа на расстоянии, не превышающем величины i, и движутся в нужную сто рону.

Эти области показаны на Рис. 1-9 штриховкой. Их объем V = i A, где A — площадь сечения АА'. А число интересующих нас час При наличии градиента плотности равноправие направлений «туда» и «обратно», вообще говоря, нарушается. И в газах — из-за несимметричности распределения по скоростям — при t # c в одну сторону будет смещаться чуть больше частиц, чем в t c всякое направленное перемещение данной группы час другую. Но за времена тиц исчезнет. Собственно, в этом и проявляется существование конечного времени корреляции, как это иллюстрирует рис.9.7. В жидкостях же или твердых телах пере мещения за времена t # c вообще не имеют никакого отношения к диффузии.

Раздел тиц в этих областях можно приближенно найти, умножив этот объем на плотность их числа, ni, взятую в средних точках областей, x ± i. Здесь x — координата плоскости АА'.

Таким образом, за время t сечение АА' слева направо пересекут 1 i Ani x i, а справа налево — i Ani x + i частиц рассматри 2 2 2 ваемой группы. Это даст вклад в поток 11 A dn i A ni x i ni x + i " i2 i.

ji = t2 2 2 2t dx А полный поток частиц рассматриваемого сорта через сечение АА' най дется суммированием этого выражения по всем возможным значениям абсолютной величины прыжка, i:

Ad nii2, J = 2t dx i мы внесли здесь i под знак производной, потому что это — заданное нами число. Оно не зависит от х.

При этом нужно, конечно, считать, что доля частиц, переме щающихся за время t на такие большие расстояния i, на которых за метно меняется плотность частиц, невелика. Иначе нельзя будет при dn всех i полагать ni x i ni x + i i i. Это условие будет вы 2 2 dx полняться тем лучше, чем меньше с (поскольку у нас t c ) и чем мас сивнее частицы. Либо, если этого нет, нужно уповать на малость гради ентов.

Если п(х) — полная плотность числа частиц рассматриваемого сорта, то отношение пi(х)/п(х) есть вероятность того, что частица, нахо дящаяся вблизи плоскости АА' совершит за время t перемещение вдоль оси х величиной i. Поэтому n n = n i i2 = n 2.

ii n i Далее, если система изотропна, то средние квадраты перемещений по 2, 2, 2, трем осям, будут одинаковы:

= = = R / 3. Отсюда, воспользовавшись формулой (1.16) 2 2 2, получаем для потока:

Введение. Общее описание процессов переноса s 2 dn J = A.

6t dx Это выражение имеет вид закона Фика (1.1) с коэффициентом диффу зии D = s 2 / 6t. (1.17) Теперь формулу (1.16) для среднего квадрата смещения частицы за время t можно записать в виде R 2 = 6 Dt. (1.18) Это соотношение было установлено Эйнштейном.

1.6.4. Формула (1.17) для коэффициента диффузии, в принципе, годится для любых систем, твердых, жидких или газообразных. При ее выводе предполагалось лишь, что система изотропна. Однако ее уни версальность в какой-то мере лишь кажущаяся, поскольку все различия между разными случаями запрятаны здесь в величине интервала t (ко торый должен быть порядка или больше времени корреляции c) и в среднем квадрате смещения частицы, s 2, за это время. Этим величи нам большей частью трудно придать точный количественный смысл, несмотря на их ясное физическое содержание. Но практически всегда для них можно получить полезные качественные оценки, как экспери ментальные, так и теоретические.

При диффузии в газах легких частиц или частиц, чья масса сравнима с массой собственных молекул газа, интервал t проще всего выбрать порядка времени корреляции, которое, как мы говорили, при мерно равно времени свободного пробега,.

Если же речь идет о диффузии небольшой примеси тяжелых (по сравнению с молекулами газа) частиц, то мы видели, что нужно выби рать c $ M / m, где — среднее время между двумя последователь ными соударениями тяжелой частицы с легкими молекулами газа. Эти соударения мало меняют скорость тяжелой частицы, поэтому средний путь, проходимый ею за время c, будет примерно в M / m раз больше длины ее свободного пробега = V, где V — средняя скорость тяже лой частицы. Если учесть, что V " m / M v, где v — средняя скорость молекул газа, то для коэффициента диффузии в этом случае легко по D v.


лучить простую оценку:

Он определяется произведением скорости легких молекул на длину про бега тяжелых Раздел При диффузии частиц в твердом теле время корреляции так ма ло, что для любого интервала можно считать t % c. А заданной, ско рее, является величина перемещения, имеющая порядок межатомных расстояний, d. Среднее время, за которое совершается такое перемеще ние, можно оценить из следующих соображений.

Чтобы оторваться от своих соседей и занять новое положение, атом должен случайно получить большую энергию активации, a, по рядка его энергии связи, b,. Вероятность такого события в соответст вии с каноническим распределением пропорциональна экспоненте exp( a / T ). Поэтому частоту прыжков на соседние узлы можно оце нить, умножив частоту попыток оторваться от своего окружения,, на exp( a / T ). Но частота попыток оторваться есть просто частота коле баний атома: при каждом колебании он делает попытку уйти со своего места, но терпит неудачу и возвращается обратно. Поэтому среднее время, t, прыжка на расстояние d имеет порядок exp a. Отсюда T для коэффициента диффузии получаем оценку d = d 2 exp a.

D$ t T В этой связи говорят, что диффузия в твердом теле является термически активированным процессом. При этом характерная вели чина энергии активации a составляет 0,1—1 эВ. Качественно такая же температурная зависимость коэффициента диффузии наблюдается и в жидкостях. Только энергия активации здесь поменьше.

Диффузия и подвижность 1.7.

Когда система находится во внешнем поле, на каждую частицу действует отличная от нуля сила F. Собственно говоря, одно внешнее поле такого типа присутствует всегда — это поле тяжести с F = mg. И если мы о нем не вспоминаем, это значит просто, что разные части сис темы находятся примерно на одной высоте. Для ионов в электролитах и электронов в металлах или полупроводниках таким полем может быть электрическое поле с F = еЕ, где e — заряд частицы, Е — напряжен ность поля.

Во всех таких случаях на случайное блуждание частицы накла дывается ее направленный дрейф по полю, который приводит к воз никновению потока частиц Введение. Общее описание процессов переноса J = nvдр A, (1.19) где п и vдр — соответственно, плотность числа частиц и средняя ско рость их дрейфа в некотором сечении сосуда площади А, перпендикулярного направлению скорости (и внешнего поля).

С помощью небольшой хитрости величину дрейфовой скорости можно найти, не вникая в детали движения частиц. Для этого нужно учесть, что в замкнутой системе направленный дрейф частиц данного сорта будет приводить к неоднородному их распределению в простран стве и вызывать, таким образом, диффузионный поток противополож ного направления. Равновесие же наступит тогда, когда два этих пото ка, дрейфовый и диффузионный, станут равными по величине.

Поскольку все это происходит во внешнем поле, распределение частиц в пространстве будет определяться при этом формулой Больц мана: n = n0 exp( p / T ) из которой следует, что n d p n dn = = F, dx T dx T где F = d p / dx есть сила, действующая на частицу.

Приравнивая теперь дрейфовый поток (1.19) диффузионному потоку J = DA dn / dx и используя полученное выражение для dn/dx. полу чим:

D vдр = F. (1.20) T Таким образом, под действием поля частица дрейфует с посто янной скоростью, пропорциональной действующей силе. Как если бы на нее помимо внешней силы действовала бы равная по величине и противоположная по направлению сила трения, пропорциональная скорости. Коэффициент пропорциональности между скоростью дрейфа и силой называют подвижностью. Из формулы (1.20) видно, что между подвижностью, b, и коэффициентом диффузии, D, существует простая связь:

b = D /T. (1.21) Это соотношение, которое носит имя Эйнштейна, замечательно тем, что устанавливает связь между двумя совершенно различными по виду явлениями. Коэффициент диффузии характеризует случайное блуждание частиц, которое приводит, в частности к флуктуациям плот ности. Подвижность же характеризует их регулярное движение под Раздел действием внешней силы. На первый взгляд это обычное механическое движение. Но оно сопровождается трением. В результате энергия этого упорядоченного движения, как говорят, диссипирует, т.е. превращается в энергию хаотического движения частиц.

Оказывается, таким образом, что диссипация энергии, а любой ее вид так и норовит перейти в тепло, тесно связана с наличием флук туаций. Не было бы флуктуаций, исчезла бы и диссипация. Мир стал бы чисто механическим, в нем ничего бы не забывалось, и все было бы предопределено заранее. Данте приснилось, что тусклая надпись на во ротах, ведущих в такой мир, кончается словами: «оставьте всякую на дежду те, кто входит».

Задачи 1.8.

Задача.

1.8.1.1.

Оцените время, за которое газовая молекула доберется посред ством диффузии от одного конца сосуда с линейными размерами по рядка 10 см до другого.

Решение. Используя формулу (1.16) и выбирая t $ $ 1010 с и s 2 $ $ 105 см, получим t $ 102 с.

Задача.

1.8.1.2.

2 Из формул (1.11), (1.14) и (1.15) следуют следующие про стые соотношения: = Dncv, = D, где = mn — плотность газа. Пользуясь табличными данными, про верьте, насколько хорошо выполняются эти соотноше ния.

Задача.

1.8.1.3.

В закрытой трубке, один конец которой поддерживается при темпера туре вдвое выше температуры второго конца, находится смесь легких и тяжелых молекул. Во сколько раз будет выше концентрация легких мо лекул у горячего конца?

Решение. Процесс термодиффузии будет продолжаться до тех пор, пока поток, определяемый формулой (1.12), не обратится в нуль. А для этого произведение n v должно перестать зависеть от х, или, иными словами — от температуры. Поскольку v T, то в трубке установится рас пределение плотности числа легких частиц n 1/ T. А их концентра ция, c = n / ntot, будет меняться вдоль трубки как T, поскольку Введение. Общее описание процессов переноса ntot 1/ T. Таким образом, c1 / c2 = T1 / T2 = 1, 4.

Задача.

1.8.2.1.

В условиях, когда нет конвекции, скорость испарения жидкости лими тируется скоростью диффузии ее паров. Учитывая это обстоятельство, оценить время, за которое испарится вода, заполняющая 1/3 стакана высотой l = 10 см. Стакан находится в помещении с относительной влажностью воздуха 70%. Плотность насыщенных паров воды при нормальных условиях нас = 20 г/м3.

Решение. Плотность числа молекул воды у поверхности жидкости, nнас, определяется плотностью насыщенного пара. У верхнего же края ста кана из-за конвективных потоков, "сдувающих" лишние молекулы во ды, она будет определяться влажностью: n0 = 0,7 nнас.

Далее, в стационарных условиях, которые быстро установятся, поток молекул пара должен быть одинаков в любом сечении стакана.

Поэтому будет постоянен и градиент плотности (Рис. 1-10) dn nнас n0 0,3nнас = =.

dz z z Таким образом, поток молекул воды в соответствии с (1.1) равен J = DA 0,3nнас / z, где A — площадь сечения стакана (знак «-» означает, что поток направ лен против оси z).

Этот поток определяет убыль числа молекул жидкости, N:

dN dV dz = nB = bB A, dt dt dt где nB — плотность числа частиц в воде, V — объем жидкости. При dN равнивая и J, получаем уравнение dt dz = 0,3Dnнас / z nB dt или Раздел nнас zdz = 0,3d dt.

nB Интегрируя левую сторону по z в пределах l до l, а правую —по t от 0 до t, получим 52 n l = 0,3D нас t.

18 nB Отсюда l 2 nB t".

D nнас Рис. 1- Для оценки коэффициента диффузии паров воды в воздухе воспользуемся формулой (1.11), взяв характерные значения = 105 см и = 1010 с. Получим D = 0,3 см2/с, что является типичной величиной для газов. Используя это значение D, найдем t = 1,5 106 c " 5 месяцев.

Задача.

1.8.3.1.

Датчик термопарного вакууметра использует для своей работы зависимость теплопроводности разреженного газа от давления. Он со держит нагреваемую током металлическую проволочку, температура которой определяется балансом между подводимой к проволочке мощ ностью и отводимым по газу теплом. Эта температура измеряется тер мопарным термометром, который служит, таким образом, индикатором давления. Оценить верхнюю границу давлений, которые можно хорошо измерять с помощью такого датчика, если характерный диаметр сосуда d, в котором он заключен, имеет порядок 1 см, а теплопроводность воз духа при нормальных условиях = 2,6 102 Вт/К•м. Относительная мо лекулярная масса воздуха =29.

1 vcv Решение. По формуле (1.14) =. Для двухатомного газа сv = 5/2, а средний модуль скорости можно оценить из соотношения mv 2 " m v 2 = 3T, что дает v " 5 104 см/с. Таким образом, для площа ди эффективного сечения получаем Введение. Общее описание процессов переноса vcv 5 102 2,5 1, 4 10 = " 2 1019 м 2 = 2 1015 см 2.

" 3 2, 6 3k Вакуумметр будет хорошо работать, когда длина свободного пробега l = 1/ n d / 2. Отсюда получаем условие n 2 / d = 1015 см 3. Учиты вая, что плотность частиц в газе при нормальных условиях n0 = 3 см-3, получаем n 760торр " 3 102 торр.

P n Задача.

1.8.3.2.

Стирающее память случайное воздействие жидкой среды на движение больших посторонних молекул можно представлять как дей ствие обычной силы трения, обусловленной вязкостью. Время корреля ции есть интервал времени, за который исчезает любое направленное движение молекул. Его можно оценить как время, за которое сила тре ния меняет средний импульс частицы на величину порядка его самого:


Fтр с $ p. Оцените из этих соображений величину c для молекулы мо o лекулярной массы ~ 500 и линейными размерами a $ 10 A, находя щейся в воде. Вязкость воды = 10-2 г/см • с. Для оценки силы трения считайте, что в движение частицы вовлекаются слои жидкости, нахо дящиеся от нее на расстояниях порядка ее радиуса, а более далекие ос таются неподвижными.

Решение В соответствии с формулой (1.3) v Fтр (2a ) 2 = v 4 a.

a Из условия Fтр с $ mv получаем: c = m / 4 a. Подставляя числа, на ходим с ~ 10-13 с.

Задача.

1.8.3.3.

При Т = 20°С проводимость 15% раствора КС1 в воде (15 г КС на 100 г раствора) = 0,2 Ом-1см-1. Считая подвижности ионов К+ и С1 одинаковыми, оцените из этих данных величину их коэффициента диффузии в воде. Относительная молекулярная масса КС1 и = 74,5.

Считайте, что удельный вес раствора близок к единице.

Решение. Под действием электрической силы еЕ, где е — заряд Раздел иона, E — напряженность электрического поля, ион получает дрейфо вую скорость vдр = bеЕ, где b — подвижность. Это приводит к среднему потоку ионов каждого сорта J = nvдр A, где n — плотность их числа, А — площадь сечения. Учитывая, что в величину электрического тока, Ie, дают вклад оба сорта ионов, получаем I e = 2eI = 2ne 2bEA.

С другой стороны, по определению проводимости, Ie = EA. Отсюда = 2ne2b, т.е. b = /2ne2, a D = bТ = T/2ne2. Считая, что m = 15 г КС1 за ключено в 100 см3 раствора, оцениваем mN A " 1021 см-3.

n " µ При вычислении удобно выразить Т в электрон-вольтах: 1 эВ = 1,14• К, а е2 представить в виде е•1,5•10-19 кулон. Тогда для D получится пра вильная размерность:

Ом 1 см 1 электрон вольт см [D] = =, см 3кулон электрон с так как вольт =.

Ом кулон с Подставляя числа, получаем 0, 2 3 102 2 105 см2/c.

D" 2 10 1,6 Задача.

1.8.4.1.

Состояние разомкнутого концентрационного элемента можно рассматривать как стационарное состояние, в котором диффузионный поток ионов NO3-, текущий через пористую перегородку вследствие разницы концентраций этих ионов в двух половинах сосуда, уравнове шивается их дрейфовым потоком, возникающим под действием элек трической силы еЕ. Пользуясь этими соображениями, вычислить вели чину ЭДС элемента.

Решение. Диффузионный ток в некотором сечении внутри пере городки Введение. Общее описание процессов переноса dn J = DA.

dx Дрейфовый ток D J = nvдр A = nbeEA = neE A.

T Приравнивая эти токи, получаем dn neE = dx T или dn e = Edx.

nT Edx = есть При интегрировании по толщине перегородки учтем, что работа по перемещению единичного заряда из одной половины сосуда в другую, т.е. величина ЭДС. Таким образом, = T ln n.

e n Процессы переноса в применении к га замii Качественное описание движения медленных 2.1.

ионов в газах Повторим частично определения и выводы предыдущих лекций, но учтем при этом специфику газовой среды.

2.1.4. Рассмотрим поведение локализованного ансамбля ионов одного сорта в газе, который находится в условиях постоянной темпе ратуры и полного давления, и предположим, что из-за малой плотности числа ионов п можно пренебречь кулоновскими силами отталкивания между заряженными частицами. Как мы уже говорили ранее, процесс диффузии8 вызывает растекание ионов по объему газа, причем их про странственное перемещение обусловлено наличием градиента концен Достаточно полная библиография по диффузии содержится в монографиях Крэнка [2] и Гиршфельдера и др. [9].

Раздел трации ионов. Диффузионный поток частиц направлен в сторону, про тивоположную градиенту концентрации, а его скорость оказывается прямо пропорциональной величине последнего. Соответствующий ко эффициент пропорциональности называется (скалярным) коэффициен том диффузии D. Связь плотности потока частиц J с градиентом их концентрации n устанавливается законом Фика для диффузии, который запишем в более общем виде !

!

J = Dn. (2.1) !

Здесь величина J равняется количеству ионов, протекающих в едини цу времени через единичную площадку, перпендикулярную направле нию потока частиц. Знак минус учитывает то обстоятельство, что поток ионов направлен в сторону уменьшения их концентрации. Коэффици ент диффузии D является суммарной характеристикой как ионов, так и частиц газа, через который они диффундируют;

из уравнения (2.1) сле дует, что D определяет меру прозрачности газа по отношению к дви жущимся через него частицам. Поскольку скорость диффузионного по !

тока v определяется соотношением ! !

J = nv, (2.2) закон Фика можно также записать в виде D!

!

v = n. (2.3) n Диффузионный поток частиц поддерживается до тех пор, пока не произойдет выравнивания концентраций ионов и молекул газа. По ток такого типа следует отличать от потока частиц, вызванного неод нородностью полного давления в системе.

Если наложить теперь на газ слабое однородное электрическое поле, то возникнет установившийся поток ионов в направлении сило вых линий поля, который наложится на значительно более быстрое те пловое движение ионов, приводящее к диффузии. Скорость движения центра масс ионного облака, или, что эквивалентно, средняя скорость !

ионов, носит название скорости дрейфа vd. Эта скорость прямо про !

порциональна напряженности электрического поля E при условии, что это поле поддерживается достаточно слабым. Таким образом, имеет место соотношение !

!

vd = KE, (2.4) где коэффициент К - подвижность ионов (скалярная).

Процессы переноса в применении к газам Аналогично коэффициенту диффузии D подвижность ионов К пред ставляет собой суммарную характеристику ионов и газа, в котором они распространяются.

При наличии слабого внешнего поля подвижность и коэффици ент диффузии связаны между собой простой зависимостью, известной как соотношение Эйнштейна. Это соотношение является точным в пре дельном случае исчезающе малого электрического поля и слабой кон центрации ионов. Оно устанавливает, что eD K= ;

(2.5) kT здесь е — заряд иона, k—постоянная Больцмана, Т — температура газа.

Если подвижность К измеряется в обычных единицах см2/(В"с), коэф фициент диффузии D — в см2/с, а температура газа T — в К, то можно записать D K = 1,1605 104 (2.6) T (при нахождении численного коэффициента в последнем уравнении использовался множитель 299,79, поскольку в СГСЭ подвижность име ет размерность 1 см2, отнесенного к 1 ед. напряжения в гауссовой сис теме СГС и к 1 с, а 1 ед. напряжения в гауссовой системе СГС равна 299,79 В.) 2.1.5. Не удивительно, что в рассматриваемых условиях под вижность К, прямо пропорциональна коэффициенту диффузии D. Дело в том, что обе эти величины служат мерой того, насколько легко поток ионов распространяется через газ. Существенно отметить, что соотно шение (2.5) справедливо только в том случае, когда напряженность электрического поля настолько мала, что ионы находятся в состоя нии, близком к термодинамическому равновесию с молекулами газа, т.е. когда выполнены условия так называемого «слабого» поля. При этом функция распределения ионов по скоростям оказывается очень близкой к максвелловской. Само движение ионов происходит главным образом как хаотическое тепловое движение за счет тепловой энергии газа, на которое накладывается медленный дрейф в направлении при ложенного поля.

Скорость дрейфа ионов, определяемая уравнением (2.4) дости Раздел гает постоянного стационарного значения в том случае, когда ускоре ние ионов в направлении электрического поля, набираемое в проме жутках времени между соударениями ионов с молекулами газа, урав новешивается торможением в процессе столкновении. Поскольку мас са иона обычно сравнима с массой молекул в нормальных условиях требуется лишь небольшое число соударений иона с частицами газа, чтобы установилось это стационарное состояние после включения внешнего поля.

Если увеличить теперь напряженность электрического поля до уровня, при котором средняя энергия ионов значительно превышает тепловую энергию молекул газа, то возникнет ряд более сложных явле ний. Тепловая энергия газа становится мало существенной, однако электрическое поле вызывает появление двух значительных компонент движения ионов: направленного движения вдоль силовых линий поля и хаотического движения, которое поддерживается за счет энергии поля, но из-за столкновений ионов с молекулами принимает беспорядочную форму.

В общем случае подвижность ионов К, определенная согласно уравнению (2.4), не является более постоянной величиной, а зависит обычно от величины отношения напряженности электрического поля к плотности числа молекул газа, т.е. от параметра E/N. Этот параметр оп ределяет избыток средней энергии ионов, приобретаемый ими от поля в процессе стационарного дрейфа, по сравнению с энергией теплового движения. Кроме того, распределение ионов по энергии становится существенно немаксвелловским и не может быть точно рассчитано в рамках существующих теорий. Далее, диффузия ионов происходит также в направлении, перпендикулярном силовым линиям поля, со скоростью, отличной от скорости дрейфа ионов в направлении поля;

поэтому коэффициент диффузии становится тензорной, а не скалярной величиной. Тензорный коэффициент диффузии имеет вид DT 0 D= 0 DT 0 ;

(2.7) 0 0 DL здесь DT — (скалярный) коэффициент поперечной диффузии ионов, ко торый описывает!скорость диффузии в направлении, перпенди кулярном полю E, DL—(скалярный) коэффициент продольной диффузии, характе ризующий процесс диффузии ионов в направлении поля.

Процессы переноса в применении к газам В описываемых здесь случаях «промежуточного» и «сильного»9 полей соотношение Эйнштейна (2.5) больше не имеет места.

Параметры E/N и E/p 2.2.

Здесь мы попытаемся обосновать высказанное выше утверждение, со гласно которому параметр E/N определяет среднюю энергию ионов, получаемую ими от электрического поля, или "полевую энергию". В электрическом поле на ион с зарядом е действует сила еЕ, которая со общает ему результирующее ускорение еЕ/т, где т — масса иона. Да лее мы воспользуемся грубой моделью, предполагая, что при столкно вении с молекулой газа нон теряет в среднем всю ту энергию, которую он получил от поля до столкновения на длине свободного пробега. То гда если — есть среднее время между последовательными столкнове ниями, или, проще, среднее время свободного пробега иона, то ско рость иона перед столкновением равна еЕ/т. Поскольку ~ 1/N, сред няя энергия, получаемая ионом от поля за время между столкновения ми, пропорциональна (E/N)2. Точные расчеты также показывают, что параметр E/N характеризует энергию ионов в электрическом поле.

Хотя параметр E/N имеет более фундаментальное значение, до самого последнего времени большинство экспериментаторов доклады вало результаты своих работ, связывая их с параметром Е/р, где р — давление газа, или с параметром Е/р0, где р0 — «приведенное давле ние», нормированное к температуре 0°С. Величина приведенного дав ления определяется соотношением 273, p0 = p;

(2.8) T здесь Т — абсолютная температура, при которой проводится измерение.

Такое представление результатов не было вполне удовлетворительным, поскольку символ р0 используется также для обозначения давления, нормированного к температурам, отличным от 0°С. Однако при ис пользовании параметра E/N сравнение разных экспериментальных ре зультатов, перестает быть неоднозначным. Соответствующие формулы преобразования имеют вид E E = 1,0354 102 T, (2.9) N p или Более точное определение терминам «промежуточное» и «сильное» поля мы дадим в следующем разделе.

Раздел E E = 2,828 ;

(2.10) N p здесь E/N измеряется в единицах 10-17 В"см2, Т — в К, а Е/р (или Е/р0) — в единицах В/(см"мм рт. ст.).

Хаксли, Кромптон и Элфорд (1966 г.) предложили ввести новую еди ницу измерения параметра E/N — «таунсенд», или сокращенно Тд, при няв, что 1 Тд == 10-17 В"см2;

с тех пор новая единица измерения широко используется. Мы будем пользоваться как параметром E/N, так и пара метром Е/р.

Энергия поля пренебрежимо мала по сравнению с тепловой энергией газа, если выполняется неравенство M m + eE # kT, (2.11) m M где М и m — массы молекулы и иона соответственно, еЕ — энергия, получаемая ионом от электрического поля на средней длине свободного пробега при движении его вдоль си ловых линий поля.

В неравенство (2.11) включен множитель, зависящий от масс сталки вающихся партнеров;

в случае слабого поля и существенно различных масс иона и молекулы этот множитель учитывает то обстоятельство, что потери энергии ионом за одно столкновение значительно больше средней энергии, приобретаемой им от поля в промежутке между столкновениями. Используя уравнение состояния идеального газа р = NkT и соотношение К = 1/N (где N — плотность числа молекул газа, — сечение рассеяния иона на молекуле), неравенство (2.11) можно пе реписать в виде (М/т+m/M)eE p. Рассматривая движение одноза рядного иона в исходном газе и принимая физически разумное значе ние сечения рассеяния иона на молекуле = 5"10-15 см2, из равенства (2.11) находим, что энергия поля значительно меньше тепловой, если E / p # 5 106 ед. напряжения СГС см-1 /(дин см-2 ) 2В/(см мм рт. ст.) Когда этот критерий выполнен, мы будем говорить, что элек трическое поле "слабое", в случае выполнения обратного неравенства будем называть поле "сильным".

Из сказанного выше можно сделать вывод, что подвижность ио нов K остается постоянной величиной, не зависящей от параметра E/p при условии, что E / p 2В/(см мм рт. ст.), и, следовательно, энергия Процессы переноса в применении к газам ионов близка к тепловой энергии газа. На самом деле, как предсказыва ет теория, K является постоянной также при более высоких энергиях ионов, если частота столкновений ионов не зависит от их энергии. Од нако обычно подвижность ионов начинает зависеть от параметра E/p уже вблизи верхней границы определения слабого поля. При этих усло виях понятие подвижности ионов теряет ряд своих достоинств, но фе номенологическое определение подвижности как отношения vd к E по лезно при сравнении экспериментальных данных и будет использо ваться ниже.

Общие сведения о подвижности и коэффици 2.3.

ентах диффузии ионов Подвижность ионов данного сорта в газе обратно пропорцио нальна плотности числа молекул и относительно не чувствительна к небольшим (порядка нескольких кельвинов) колебаниям температуры, если плотность числа частиц в газе поддерживается постоянной. Для облегчения анализа при сравнении и использовании разных данных измеренные значения подвижности K обычно пересчитывают к "приве денной подвижности" K0, определяемой согласно уравнению p 273,16 p K0 = K = 0 K, (2.12) 760 T где p - давление газа в мм рт. ст., T - температура газа в K, при которой измеряется подвижность K10.

При стандартных значениях давления и температуры (760 мм рт. ст. и 0оС) плотность числа частиц газа составляет 2,69"1019 см-3. Следует подчеркнуть, что соотношение (2.12) просто предлагает выбор стан дартного или нормализованного значения плотности числа молекул га за;

температура, к которой обычно относят значения приведенной под вижности ионов, соответствует температуре газа во время измерения.

Значения приведенной подвижности ионов, интересные с точки зрения изучения атмосферы Земли, составляют примерно несколько единиц Все имеющиеся теории подвижности ионов предсказывают независимость значений приведенной подвижности K0 от плотности числа частиц газа N вплоть до до столь высоких значений давлений, когда становятся существенными трехчастичные взаимодействия. Однако имеются указания, на слабую зависимость K0 от N для ионов К+ в Не, Ne, Ar, H2 и Na при давленпях порядка 5 мм рт. ст. Ряд авторов (Элфорд, Мак-Даниель, Гэтленд, Томсон и др.) объясняли такие зависимости возможностыо образования с ионами К+ комплексных ионов (кластеров) и отсутствием учета попра вок к вычисленному коэффициенту диффузии.

Раздел см2/(В"с). В современной физической литературе, когда дается единст венное значение подвижности иона в газе, по принятому соглашению оно соответствует приведенной подвижности иона, экстраполирован ной к нулевому электрическому полю.

Значения коэффициентов диффузии «атмосферных» ионов в собственных газах составляют порядка 50 см2/с при давлении 1 мм рт.

ст. и малых отношениях E/N. Коэффициенты диффузии обычно прояв ляют резкую зависимость от E/N при возрастании последнего выше границы определения слабого поля. Как и следовало ожидать, было найдено, что D изменяется обратно пропорционально плотности числа молекул газа, поэтому данные о коэффициентах диффузии представля ются, как правило, в виде произведения DN.

Ион-ионные взаимодействия и влияние 2.4.

пространственного заряда на подвижность ионов В обычных условиях ионизованный газ в некоторый момент вре мени содержит больше одного сорта ионов. Если степень ионизации газа невелика, то каждый сорт ионов можно рассматривать отдельно, независимо от других: при этом ионы каждого сорта дрейфуют и диф фундируют в газе без существенного взаимодействия с ионами того же сорта или с ионами другого сорта. Поэтому представляет интерес уста новить критерий выполнимости таких условий в ионизованном газе.

Рассмотрим роль эффектов пространственного заряда в плазме, обусловленных главным образом далеко разнесенными ионами. В итоге мы получим, что влияние этого заряда зависит от размеров области дрейфа в измерительной установке. Введя напряженность поля Е, за пишем одномерное уравнение Пуассона 2V = в виде E = 4 ne, x где V — потенциал поля, — плотность зарядов, е—заряд иона, п—плотность числа ионов.

Тогда условие пренебрежимо малого влияния пространственного заря да на величину приложенного поля Е0 будет выполняться, если Процессы переноса в применении к газам E n# ;

(2.13) 4 eL здесь L — характерный размер области дрейфа в измерительной уста новке.

Если напряженность внешнего поля Е0 составляет 2 В/см, а размер дрейфовой трубки L ~ 10 см (эти значения типичны при измерениях подвижности и коэффициентов диффузии в случае малых E/N), полу ченное неравенство предсказывает заметное искажение наложенного электрического поля, обусловленное пространственным зарядом при плотностях числа ионов порядка 105 см-3.

Можно рассмотреть также и второй эффект ион-ионных взаимо действий — изменение функции распределения ионов по.скоростям, полученной в предположении о малой концентрации заряженных час тиц, благодаря случайным флуктуациям концентрации ионов. Наи больший интерес в связи с этим представляют соседние ионы, посколь ку для них наблюдаемые отклонения от прежних положений более су щественны, чем для удаленных партнеров. Флуктуации концентрации ионов возникают вследствие случайного изменения кулоновских сил, которые приводят к взаимному рассеянию заряженных частиц. Случай ным характером сил можно пренебречь, если отклонение средней дли ны свободного пробега от ее первоначального значения незначительно.

Поскольку кулоновская сила по порядку величины составляет e 2 / d 2 = e 2n 2 / 3, где d — среднее расстояние между ионами, рассматри ваемый эффект будет малым, если величина e2n2/3 много меньше сред ней энергии иона. При наличии слабого внешнего поля тепловая энер гия газа значительно превышает анергию поля, и последнее неравенст во имеет вид e 2n 2 / 3 # p. (2.14) В случае сильного электрического поля относительное влияние тепловой энергии и энергии поля меняется на обратное, и соответст вующий критерий записывается следующим образом:

M m e 2n 2 / 3 # eE +. (2.15) m M Если предположить, что давление газа составляет 1 мм рт. ст., а сечение рассеяния иона на молекулах 5 1015 см2, то соотношение (2.14) дает n # 1011 см-3;



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.