авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального ...»

-- [ Страница 4 ] --

Разработанный метод позволяет быстро и гарантированно находить оптимальный закон управления u (t ), доставляющий минимум критерию качества, при этом не привлекая больших вычислительных мощностей.

Уменьшение нагрузки на вычислительные мощности достигается путем использования для вычислений на каждой итерации не большого количе () ства дискретных точек U t j, j = 1, M, а значительно меньшего количест ва управляющих точек, определяемых параметрами qi, i = 1, N, где N M.

Управляющие точки (qi, ti ), равномерно распределенные на интер вале [t0, t k ], формируют полином y (t ), используя принятую аппроксими рующую функцию степени n.

По полиному y (t ) определяем закон управления u *, если y (t ) u * u (t ) = u **, если y (t ) u **, (13) y (t ), иначе Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. где u ** и u * – верхняя и нижняя граница управления соответственно.

Закон управления, соответствующий оптимальным значениям па раметров q = [q1... q N ]T, определяет вид функции управления y (t ) в соот ветствии с заданными критериями.

Вектор управления u (t ) = [u1 (t ),..., u r (t )] в общем случае принадле жит следующему замкнутому множеству:

[ ] { } t [t 0, t k ], p =1, r.

U r = u p :u p (t ) u p (14),u max pmax Область U r допустимых управлений определяется двумя условия ми: классом допустимых (непрерывных или кусочно-непрерывных) функ ций и дополнительными ограничениями (11) конструктивного или экс плуатационного характера, накладываемыми на u (t ) внутри данного класса. При построении оптимальных систем управления на координаты пространства состояний объекта могут накладываться различные ограни чения, выделяющие следующую допустимую область их изменения:

G n = {xi :g ( x1,..., xn ) 0 t [t 0, t k ]}, i =1, n. (15) Область G n (15) определяется либо требованиями нормальной экс плуатации технической системы (например, ограничены скорость движе ния, ток якоря двигателя из-за недопустимости перегрева его якорной об мотки и т.д.), либо конструктивными ограничениями электромеханической системы.

Проведенные исследования по оптимальному управлению электро приводом позволяют определять в зависимости от технологических режи мов работы структуру управления (12) и параметры управления (13). От ношение напряжения к частоте, подаваемого на обмотки двигателя определяет закон для привода.

Предлагаемая методика формирования управления позволяет реа лизовывать один или два сигнала. При реализации двух сигналов про граммное управление может применяться как для скалярного, так и для векторного управления на этапе перевода системы привода из начального состояния в конечное.

С помощью адаптивного метода исследования пространства пара метров могут решаться задачи оптимального управления и синтеза струк туры электрического привода электромеханической системы.

Многокритериальная оптимизация позволяет существенно повы сить энергоэффективность работы электромеханической системы: увели чить производительность на 35%, уменьшить нагруженности системы на 16%, снизить потребление энергии из сети на 15 %, снизить температуру нагрева на 20 %.

Энергетика, электроснабжение, электропривод Список литературы 1. Беллман Р. Динамическое программирование. / Р. Беллман. М.:

Иностранная литература, 1960. 400 с.

2. Браславский И.Я. Энергосберегающий асинхронный электропри вод: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / И.Я. Браславский, З.Ш. Ишматов, В.Н. Поляков;

под ред. И.Я. Браславского. М.: Издатель ский центр "Академия", 2004. 256 с.

3. Кузнецова О.А. Многокритериальная оптимизация асинхронного электропривода: моногр. / Под ред. В.А. Сушкина. Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. 104 с.

4. Кузнецова О.А. Многокритериальная оптимизация электропри вода с учетом динамических и энергетических показателей / О.А. Кузнецо ва, В.А. Сушкин // Труды V Международной (16 Всероссийской) конфе ренции по автоматизированному электроприводу АЭП-2007. Санкт Петербург: СПбГПУ, 2007. С. 139-141.

5. Кузнецова О.А. Формирование оптимального управления асин хронным электроприводом средствами АМИПП / О.А. Кузнецова, В.А. Сушкин // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 3: в 5 ч. Тула:

Изд-во ТулГУ, 2010. Ч.1. С.160-167.

6. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин [и др.] М.: Наука, 1969. 384 с.

M.V. Gryazev, O.A. Kuznetsova OPTIMAL CONTROL IN ELECTROMECHANICAL SYSTEMS STARTUP Searching of optimal control action of electromechanical systems by adaptive research method of parameters' space is considered.

Key words: optimal control, electromechanical systems, adaptive method of research of the space of parameters.

Получено 17.05. Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. УДК 519. О.А. Кузнецова, канд. техн. наук, (4872) 35-54-50, o.a.kuznetsova@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ), В.А. Сушкин, канд. техн. наук, (4872) 35-54-50, v.a.sushkin@gmail.com (Россия, Тула, ТулГУ) ОПТИМИЗАЦИЯ ЭЛЕКТРОПРИВОДА ЩЕКОВОЙ ДРОБИЛКИ Рассмотрен способ многокритериальной оптимизации электропривода с асин хронным двигателем с целью формирования оптимального управления с помощью адаптивного метода исследования пространства параметров.

Ключевые слова: оптимальное управление, электропривод, адаптивный метод исследования пространства параметров.

В настоящее время существует сложная проблема формирования единого целостного подхода, который обеспечивал бы дальнейшее разви тие теории оптимизации и оптимального управления электроприводом ис полнительного органа, а также дальнейшую разработку практических ме тодов энерго- и ресурсосберегающего управления.

В промышленности применяются различные электромеханические устройства, для которых основным режимом работы является колебатель ный. К таким механизмам относят дробилки, грохоты и т.д. Дробилки яв ляются технологически универсальными машинами для переработки твер дых материалов любой прочности - от руды, стройматериалов и твердых сплавов до древесины и отходов промышленности и сельского хозяйства.

Причем процесс дробления-измельчения может вестись в сухом и мокром режимах.

Научно-исследовательские и конструкторские работы послужили основой для внедрения дробилок на российских и зарубежных заводах применительно к производству щебня, песка и наполнителя железобетона.

Таким образом, возникает проблема выбора или замены двигателя, обеспечивающего запуск, на менее мощный, обеспечивающий энергоэф фективную работу установки.

Параметры механической части электропривода щековой дробилки определяют их технические возможности и являются основой при их соз дании. Выбор параметров является первоначальным и главным этапом разработки технического задания на стадии проектирования или модерни зации щековой дробилки.

Оценка эффективности работы электропривода щековой дробилки производится на основе определения выходных критериев F, которые ка чественно и количественно характеризуют работу установки в целом.

Исходная постановка задачи оптимизации параметров электропри вода щековой дробилки включает оценку эффективности работы электро привода щековой дробилки по следующим критериям:

Энергетика, электроснабжение, электропривод 1) момент электродвигателя;

2) отклонение момента электродвигателя от среднего значения;

3) угловая скорость электродвигателя;

4) отклонение угловой скорости электродвигателя от среднего зна чения;

5) амплитуда колебаний исполнительного органа;

6) средняя мощность электропривода;

7) коэффициент полезного действия электропривода;

8) производительность дробилки;

9) уровень дробления;

10) снижение нагруженности элементов.

Проведенные исследования поставленной задачи оптимизации па раметров асинхронного электропривода щековой дробилки, основываю щиеся на снижении размерности множества критериев на базе дисперси онного анализа и метода главных компонент, позволили установить основной фактор, определенный на таблице испытаний при 4 критериях:

F = ( F1, F2, F3, F4 ).

К этим критериям оценки электропривода щековой дробилки предъявляются технические, конструктивные и другие ограничения:

F F F *, * * где F, F * - минимальные и максимальные значения критериев * * При оптимизации варьируемыми параметрами являются: эксцентри ситет эксцентрикового вала l1 = O1 A, м ;

длина основания подвижной щеки l2 = AB, м ;

длина распорной плиты l3 = O3 B, м ;

длина ребра l4 = AD, м ;

длина рабочей поверхности подвижной щеки l5 = CD, м ;

длина рабочей по верхности подвижной щеки l7 = l5, м ;

ширина выходного отверстия l6 k = CE, м;

углы 1, 2 подвижной щеки, град;

угол наклона распорной плиты k,град;

угол захвата k, град;

угол отклонения оси рабочей ка 1 меры от вертикали, град;

угол k = 90 0 + k / 2 ;

координаты центра 1 масс подвижной щеки 4S 2, м;

- угловая координата центра масс подвиж ной щеки 3, град.

Таким образом, принятые варьируемые параметры определили по иск области R15. Расчеты проводились с условием, что область оптималь ных решений находится с ошибкой от объема L = 0,01 (1 % от исходного объема области параметров) и вероятностью P = 0,99. Условия определили необходимое число точек ЛП - последовательности, N = 600.

Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. В результате проведенных исследований по поиску оптимальной области параметров 594 расчетных варианта не удовлетворили параметри ческим, функциональным, критериальным ограничениям и процедуре вы деления Парето-оптимального множества. В результате сформирована упорядоченная таблица испытаний, в которой введены значения базового (исходного) варианта электропривода щековой дробилки.

Анализ упорядоченной таблицы испытаний показал, что оптималь ным вариантом является расчетный вариант № 2, при условии равноправия всех критериев по своей значимости.

Сравнение результатов оптимизации показало, что - уменьшился момент двигателя на 10 %;

- уменьшилась требуемая мощность двигателя на 14 %;

- уменьшилось отклонение угловой скорости электродвигателя от среднего значения на 20 %.

В результате проведенной оптимизации параметров механической части асинхронного электропривода щековой дробилки выбран рацио нальный вариант параметров, снижающий потребление энергии из сети на 15 %, снижение температуры нагрева вследствие оптимизации параметров электромеханической системы щековой дробилки на 20 %.

В качестве базовой модели для модернизации выбрана дробилка 187 ДР.

Для наглядной демонстрации результатов поиска оптимальных па раметров электромеханической системы щековой дробилки в таблице при ведены значения технических показателей работы базовой модели и опти мального варианта модернизированной модели.

Сравнение значений показателей работы моделей ЩДС Технические пока- Модели Отклонения затели работы дро- базовая оптимальная значения % билки 187 ДР 0,301 0,413 0,11 37, Q т/час 11,3 8,6 -2,7 -23, Fср мм 0,59 0,52 -0,07 -10, T 1,2 -31,5 -32,7 град Анализируя данные таблицы, можно сделать вывод о том, что при переходе от базовой к модернизированной модели происходит увеличение производительности Q на 37 %, уменьшение среднего пути трения Fср на 24 %, уменьшение параметра нагружения T1 эксцентрикового вала на 10 % и отклонение траектории нижней точки рабочей поверхности подвижной Энергетика, электроснабжение, электропривод щеки на 30° от неподвижной щеки в сторону разгрузки материала.

Значительное увеличение производительности объясняется сразу двумя факторами: точки, принадлежащие рабочей поверхности подвижной щеки, приобретают направленное движение в сторону разгрузки, вследст вие чего в процессе хода сжатия материал начинает принудительно про талкиваться к выходному отверстию рабочей камеры;

ход сжатия подвиж ной щеки в нижней части рабочей камеры увеличивается, увеличивая тем самым объем выходящего из нее за один оборот эксцентрикового вала ма териала.

Уменьшение среднего пути трения происходит вследствие увеличе ния наклона траекторий верхней и нижней точек рабочей поверхности подвижной щеки.

В результате проведенной оптимизации параметров механической части асинхронного электропривода щековой дробилки выбран рацио нальный вариант параметров, снижающий потребление энергии из сети на 15 %, снижение температуры нагрева вследствие оптимизации параметров электромеханической системы щековой дробилки на 20 %.

Список литературы 1. Клушанцев Б.В., Косырев Ю.А., Музеймнек Ю.А. Дробилки:

Конструкция. Расчет. Особенности эксплуатации. М.: Машиностроение, 1990. 319 с.

2. Кузнецова О.А. Многокритериальная оптимизация асинхронного электропривода: монография / под ред. В.А. Сушкина. Тула: Изд-во Тул ГУ, 2009. 104 с.

3. Кузнецова О.А., Сушкин В.А. Многокритериальная оптимизация электропривода с учетом динамических и энергетических показателей // Труды V Международной (16 -й Всероссийской) конференции по автома тизированному электроприводу АЭП-2007. Санкт-Петербург: СПбГПУ, 2007. С. 139-141.

O.A. Kuznetsova, V.A. Sushkin OPTIMIZATION OF ELECTRIC DRIVE OF A JAW CRUSHER A method of a multicriterion optimization of electric drive with an asynchronous motor to form the optimal control using an adaptive method of research of the space of parameters is described.

Key words: optimal control, electric drive, adaptive method of research of the space of parameters.

Получено 17.05. Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. УДК 519. О.А. Кузнецова, канд. техн. наук, (4872) 35-54-50, o.a.kuznetsova@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ), В.А. Сушкин, канд. техн. наук, (4872) 35-54-50, v.a.sushkin@gmail.com (Россия, Тула, ТулГУ) СПОСОБЫ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОПРИВОДОМ ЩЕКОВОЙ ДРОБИЛКИ Рассмотрен способ формирования оптимального управления электроприводом с помощью адаптивного метода исследования пространства параметров.

Ключевые слова: оптимальное управление, электропривод, адаптивный метод исследования пространства параметров.

Задача оптимального управления электроприводом щековой дро билки заключается в построении такой системы управления, которая реа лизует оптимальные режимы функционирования с учетом неопределенно сти внешних воздействий, параметров модели системы, нескольких критериев и обеспечивает снижение удельных затрат энергии на полезный продукт для заданного быстродействия [1, 2, 3].

При реализации системы управления формально решается вариаци онная задача оптимального управления электромеханической системой, которая включает описание цели управления в виде функционала качества и терминальных условий, а также математическую модель электромехани ческой системы щековой дробилки.

Решение задачи оптимального управления в виде функции коорди нат пространства состояний при определенных условиях гладкости задан ных математических выражений приводит к уравнению Беллмана [4], ко торое представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных. Проблема синтеза управления заключается в проблеме ре шения уравнения Беллмана, которое для нелинейного случая не имеет ана литического решения. Наиболее известный результат решения уравнения Беллмана — это метод аналитического конструирования регуляторов [5], который для линейного объекта и квадратичного функционала позволяет найти управление в виде линейной зависимости от координат пространст ва состояний.

Нелинейная электромеханическая система щековой дробилки с асинхронным двигателем может быть представлена объектом управления следующим образом:

X = f ( X,u ), & (1) где X = [x1 K xn ]T - вектор пространства состояний системы, X R n, u = [u1 K um ]T - вектор управления, u U R m, U - ограниченное замкну тое множество определения вида и значения, Энергетика, электроснабжение, электропривод f ( X,u ) = [ f1 ( X,u )K f n ( X,u )]T - вектор функции размерностей n, описы вающие непрерывные однозначные отображения:

f ( X,U ) : R n R m R n.

Для системы дифференциальных уравнений (1), описывающих ди намику электромеханической системы щековой дробилки, заданы началь ные условия [ ]T X (0 ) = X 0 = x1 K xn 0 0 (2) и терминальные условия [ ]T X (t k ) = X t = x1 K xn, (3) t t где tk - заданное время управления.

Задачу управления электромеханической системы рассмотрим как многокритериальную с оценкой следующего вида по K критериям tk J i = G i (x (t k )) + Fi ( x (t ),u (t )) dt, i = 1, K. (4) Первое слагаемое уравнения (4) характеризует точность управления конечным состоянием системы, второе – качество управления в интеграль ном смысле. На основании уравнений (1)-(4) ставится задача нахождения допустимого управления u, удовлетворяющего ограничениям u U (5) и которое за заданное время tk переведет систему (1) из начального со стояния (2) в терминальное состояние (3), функционал (4) при этом будет иметь минимально возможное значение.

Если решается задача оптимального управления, то управление ищется как функция времени u () KC [0,t k ], (6) где KC [0,t k ] - класс кусочно-непрерывных функций, заданных на интер вале [0,t k ].

Если решается задача синтеза, то управление формируется как функция координат пространства состояний.

Синтез структуры системы автоматического управления формально представляет собой добавление к математической модели системы (1) ма тематической модели регулятора (7), причем совместная математическая модель всей системы управления должна удовлетворять определенным ог раничениям и обеспечивать получение решения некоторой оптимизацион ной задачи [6].

Для регулятора имеем Y = v ( X,u ), (7) Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. где Y = [ y1 K yl ]T - вектор наблюдения, Y R l ;

u = [u1 K um ]T - вектор управления, u U R m ;

U - ограниченное замкнутое множество опреде ления вида и значения;

v( X,u ) = [v1 ( X,u )K vn ( X,u )]T - вектор функции размерности l, описывающий непрерывные однозначные отображения v ( X,U ) : R n R m R l.

Система алгебраических уравнений (7) обычно называется моделью наблюдателя. Поэтому для электромеханической системы (1) необходимо построить (найти) регулятор, динамика которого описывается системой уравнений следующего вида:

(8) z = g (z, y ), & (9) u = h(z, y ), [ ] где z = z1 K zq T - вектор состояния регулятора, z R q.

Для системы дифференциальных уравнений регулятора (8) заданы нулевые начальные значения z (0 ) = 0T = [0 K 0 ]. (10) Регулятор (8), (9) должен обеспечивать достижение цели управле ния, сформулированной в виде функционала качества (4) и выполнения ог раничений tk J k = rk ( x,u )dt 0, k = 1, p. (11) Необходимо синтезировать систему управления в виде (12) u = g (x,q ), где g () - искомая структура управления;

q = [q1 K q R ]T - вектор парамет ров системы управления, q Q R ;

Q - ограниченное множество.

Для решения задачи поиска оптимального управления синтеза структуры предлагается численный метод, основанный на равномерном исследовании пространства варьируемых составляющих вектора управле ния и построении множества функциональных зависимостей управления от координат пространства состояний и поиске решения в этом множестве.

Варьируемые параметры целиком определяют область изменения вектора управления u, в результате поиска формируется траектория изменения этого вектора. Так как в процессе поиска изменяются параметры управ ляющего вектора в заданном интервале, то отпадает необходимость опре Энергетика, электроснабжение, электропривод деления согласно принципа максимума гамильтониана системы и сопря женной системы дифференциальных уравнений и решения уравнений, оп ределенных частными производными по введенным переменным. Относи тельно метода аналитического конструирования адаптивного регулятора отпадает необходимость в определении исходного инвариантного множе ства.

При этом осуществляется поиск оптимального вектора управления диалоговой системой АМИПП в функциональной зависимости от времени или состояния координат электропривода [6].

Решением рассматриваемой задачи (1) - (4) является множество Па рето в пространстве функционалов (4), (11). Каждая точка множества Па рето представляет собой математическое выражение (12) со значением вектора параметров q. Конкретная система управления определяется как одно из решений на множестве Парето, выбираемое по дополнительным критериям (условиям).

Решением задачи (1) - (3), (7) - (9) является построение системы уравнений (8), (9), для которой первоначально не заданы размерность q и конкретный вид соотношений. Единственным свойством системы уравне ний (8), (9) является то, что она описывает непрерывное, не обязательно дифференцируемое, однозначное отображение:

g (z, y ) : R q R l R q, h( z, y ) : R q R l R m.

Необходимо также при поиске вида управлений учитывать ограни чения (5).

Часто поиск регулятора осуществляется в рамках заданных струк тур, тогда в самой структуре определяется дополнительно набор парамет ров, значения которых выбираются в соответствии с критерием качества (4) и ограничениями (11).

Разработанный метод позволяет быстро и гарантированно находить оптимальный закон управления u (t ), доставляющий минимум критерию качества, при этом не привлекая больших вычислительных мощностей.

Уменьшение нагрузки на вычислительные мощности достигается путем использования для вычислений на каждой итерации не большого количе () ства дискретных точек U t j, j = 1, M, а значительно меньшего количест ва управляющих точек, определяемых параметрами qi, i = 1, N, где N M.

Управляющие точки (qi,ti ), равномерно распределенные на интер вале [t0,t k ], формируют полином y( t ), используя принятую аппроксими рующую функцию степени n.

Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. По полиному y( t ) определяем закон управления u*, если y( t ) u*, u( t ) = u**, если y( t ) u**, (13) y (t ), иначе, где u** и u* – верхняя и нижняя граница управления соответственно.

Закон управления, соответствующий оптимальным значениям па раметров q = [q1...q N ]T, определяет вид функции управления y( t ) в соот ветствии с заданными критериями.

Вектор управления u( t ) = [u1( t ),...,u r ( t )] в общем случае принадле жит следующему замкнутому множеству:

[ ] { } t [t 0,t k ], p =1, r, U r = u p :u p ( t ) u p (14),u max pmax Область U r допустимых управлений определяется двумя условия ми: классом допустимых (непрерывных или кусочно-непрерывных) функ ций и дополнительными ограничениями (11) конструктивного или экс плуатационного характера, накладываемыми на u( t ) внутри данного класса. При построении оптимальных систем управления на координаты пространства состояний объекта могут накладываться различные ограни чения, выделяющие следующую допустимую область их изменения:

G n = {xi :g( x1,...,xn ) 0 t [t0, t k ]}, i =1, n, (15) Область G n (15) определяется либо требованиями нормальной экс плуатации технической системы (например, ограничены скорость движе ния, ток якоря двигателя из-за недопустимости перегрева его якорной об мотки и т.д.), либо конструктивными ограничениями электромеханической системы.

Проведенные исследования по оптимальному управлению электро приводом позволяют определять в зависимости от технологических режи мов работы структуру управления (12) и параметры управления (13). От ношение напряжения к частоте, подаваемого на обмотки двигателя определяет закон для привода щековой дробилки.

Многокритериальная оптимизация позволяет существенно повы сить энергоэффективность работы электромеханической системы увели чить производительность до 35 %, уменьшить нагруженности системы до 16 %, снижение потребление энергии из сети на 15 %, снижение темпера туры нагрева вследствие оптимизации параметров электромеханической системы щековой дробилки до 20 %.

С помощью адаптивного метода исследования пространства пара метров могут решаться задачи оптимального управления и синтеза струк туры системы автоматического управления.

Энергетика, электроснабжение, электропривод Предлагаемая методика формирования управления позволяет реа лизовывать один или два сигнала. При реализации двух сигналов про граммное управление может применяться как для скалярного, так и для векторного управления на этапе перевода системы привода из начального состояния в конечное.

Список литературы 1. Браславский И.Я., Ишматов З.Ш., Поляков В.Н.. Энергосбере гающий асинхронный электропривод: учеб. пособие для студ. высш. учеб.

заведений /под ред. И.Я. Браславского. М.: Издательский центр "Акаде мия", 2004. 256 с.

2. Кузнецова О.А. Многокритериальная оптимизация асинхронного электропривода: монография / под ред. В.А. Сушкина. Тула: Изд-во Тул ГУ, 2009. 104 с.

3. Кузнецова О.А., Сушкин В.А. Многокритериальная оптимизация электропривода с учетом динамических и энергетических показателей // Труды V Международной (16 Всероссийской) конференции по автомати зированному электроприводу АЭП-2007. Санкт-Петербург: СПбГПУ, 2007.

С. 139-141.

4. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Иностранная литература, 1960. 400 с.

5. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин [и др.]. М.: Наука, 1969. 384 с.

6. Кузнецова О.А., Сушкин В.А. Формирование оптимального управления асинхронным электроприводом средствами АМИПП // Извес тия ТулГУ. Технические науки. 2010. Вып. 3. Ч.1. С.160-167.

O.A. Kuznetsova, V.A. Sushkin WAYS OF CONTROL OF ELECTRIC DRIVE OF A JAW CRUSHER This article describes a method of forming of an optimum electric drive control using an adaptive method of research of the space of parameters.

Key words: optimal control, electric drive, adaptive method of research of the space of parameters.

Получено 17.05. Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. УДК 681. Е.В. Ловчаков, асп., +7961-265-06-78, lovvi50@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ), А.М. Сапожников, асп., 8(920) 270-94-28, cpandemonium@gmail.com (Россия, Тула, ТулГУ) МЕТОД СТЕПЕННЫХ РЯДОВ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ ПО КРИТЕРИЮ ОБОБЩЕННОЙ РАБОТЫ Для широкого класса объектов с полиномиальными нелинейностями предлага ется метод синтеза квазиоптимальных замкнутых систем управления по критерию минимизации энергии управляющего сигнала и времени переходных процессов системы.

Данный метод основан на замене решения данной задачи управления решением соот ветствующей задачи аналитического конструирования оптимального регулятора для рассматриваемого объекта по заданному определенным образом функционалу обоб щенной работы – функционалу вида А.А.Красовского. Для решения последней задачи модифицируется известный метод степенных рядов, который позволяет получать ряд приближений к оптимальному управлению с возрастающей точностью.

Ключевые слова: фазовое пространство системы управления, полиномиальная нелинейность, критерий энергосбережения, функционал обобщенной работы, задача аналитического конструирования оптимального регулятора (АКОР).

1. Введение, постановка задачи исследования В данной статье развиваются и обобщаются непосредственно ре зультаты работы [1], в которой рассматривалась задача оптимального управления объектами с полиномиальными нелинейными характеристика ми, описываемыми дифференциальными уравнениями xi (t ) = ai [ X (t )] + bi [ X (t )] u (t );

i = 1,2,..., n;

u (t ) U max (1) & ( = ( x1, x2,K, xn )T – вектор состояния объекта, u(t) – управляющее воздей ствие, ограниченное величиной Umax, ai(X)ai(x1,x2,…,xn), bi(X) bi(x1,x2,…,xn) – однозначные полиномиальные функции от компонент век тора состояния). Такие модели являются типичными для электротехниче ских задач, в частности, для электропривода при учете его характерных нелинейностей. В указанной работе предложен метод решения для объек тов (1) задачи оптимального управления по критерию качества «быстро действие-энергосбережение»

T ( ) I1 = q + ru 2 ( t ) dt, q, r 0. (2) Данный метод предполагает выполнение следующих основных процедур.

1. Задача управления (1), (2) заменяется решением задачи аналити ческого конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) [2, 3] для ука Энергетика, электроснабжение, электропривод занного объекта с функционалом качества ( ) I = Q ( x1 ) + ru 2 ( t ) dt, (3) причем положительно определенная функция Q(x1), являющаяся наиболее близкой к функции f(x1)=q*1(x1) при всех значениях аргумента за исклю чением точки х1=0, задается в форме полинома с четными степенями ар гумента или дробно-рациональной функции вида ( ) Q( x1 ) = q x12 1 + x12. (4) Последнее предпочтительнее с точки зрения точности и, возможно, объе ма вычислений.

2. Определяется функция Беллмана S(X) для данной задачи АКОР как решение уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана (ГЯБ) вида 1 n S ( X ) S ( X ) n x ai ( X ) bi ( X ) = Q ( x1 ). (5) 4 r i =1 xi i =1 i стандартным методом степенных рядов [3].

3. Определяется квазиоптимальное управление по формуле 1 S ( X ) n x bi [ X (t )].

u ( X ) = U max sat (6) 2 rU max i =1 i 4. При моделировании синтезированной энергосберегающей сис темы, для которой константа r принимает строго определенное значение для адекватного расчета энергии сигнала управления, уточняется значение параметра q критерия качества: величина q постепенно увеличивается до момента достижения системой приемлемого быстродействия с допусти мым перерегулированием. Если используется аппроксимация (4), то ука занная процедура осуществляется совместно с уточнением величины ее параметра.

5. На заключительном этапе оценивается точность решения задачи управления, определяемая величиной [ S ( X 0 ) J ( X 0 )] / S ( X 0 ), где J ( X 0 ) значение функционала (3), вычисленное на траектории движения синтези рованной системы из начального состояния X 0 до конечного X = 0. Если она не устраивает проектировщика, то п.п. 1-5 повторяются при повышен ной точности аппроксимации функций Q(x1) и S ( X 0 ).

В настоящей работе описанный метод синтеза оптимальных регу ляторов конкретизируется, уточняется для случая применения функциона ла качества T ( ) I 4 = q + ru 2 ( t ) + ruopt ( t ) dt, q, r 0, (7) где u (t ) - оптимальное управление вида (6). Этот функционал качества opt Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. управления построен по аналогии с функционалом обобщенной работы (ФОР) А.А. Красовского [2, 3], который получил широкое распространение в теории АКОР.

Целесообразность применения критерия (7) связано с тем, что ре шение задачи АКОР по квадратичному функционалу качества (задачи Ле това–Калмана) для многомерных объектов управления, как показал анализ существующих работ, представляет серьёзные трудности, связанные с не обходимостью решения нелинейного уравнения Гамильтона–Якоби Беллмана в частных производных относительно искомой функции Беллма на. Более приспособленным к решению указанной задачи является метод А. А. Красовского [2-4]: применение функционала обобщённой работы (ФОР), оптимизация по которому, как показано, ничего не меняет в техни ческом существе требований, предъявляемых к движению оптимальной системы по сравнению с квадратичным интегральным функционалом, су щественным образом облегчает нахождение оптимальных управлений вследствие линейности дифференциального уравнения в частных произ водных (уравнения Ляпунова), определяющего функцию Беллмана Ляпунова и, соответственно, оптимальное управление.

2. Особенности применения метода синтеза при использовании ФОР В соответствии с основной теоремой А. А. Красовского [4], опти мальное управление, доставляющее минимум ФОР (7) с указанной заменой q=Q(x1) на решениях уравнений объекта (1), определяется выражением (6), в котором функция S ( X ) является вынужденным решением уравнения S ( X ) n ai ( X ) = Q ( x1 ). (8) xi i = Уравнение в частных производных (8) (оно в литературе известно как уравнение Ляпунова), в отличие от уравнения ГЯБ (5) является линей ным – в его левой части отсутствует квадратичное слагаемое. Эта особен ность имеет принципиальное значение для синтеза оптимальных регулято ров: если для нелинейных объектов высокого порядка вычислительные трудности решения нелинейного уравнения (5) трудно преодолимы, то оп ределение решения линейного уравнения (8) для тех же объектов не встре чает больших затруднений.

Как следствие из указанной теоремы вытекает, что описанный в раз деле 1 метод формально, практически без изменений, можно применить к решению задачи синтеза энергосберегающего управления объектами (1) по критерию качества (7): применение будет лишь отличаться меньшим объ емом вычислений при выполнении процедуры 2 с использованием метода степенных рядов. Однако дальнейший анализ выявил существенные осо бенности синтеза энергосберегающих систем управления.

Энергетика, электроснабжение, электропривод Особенности применения метода рассмотрим на примере простей шей задачи оптимального управления линейным объектом первого поряд ка x(t) = ax(t ) + bu(t), a =1 T, b = K T, u (t) U max. (9) & Для рассматриваемого реального электротеплового объекта парамет ры имеют значения K 0 = 0.64 °C B, T0 = 63 мин., U max = 220 B, r = 1 59 1 Ом.

В соответствии с теоремой А.А. Красовского оптимальное управле ние в задаче (7), (9) описывается выражением (6), в котором функция Беллмана-Ляпунова удовлетворяет уравнению dS ( x ) ax = q.

dx Отсюда непосредственно находим производную dS ( x ) dx = q ax и соответственно оптимальное управление (6):

b dS ( x ) bq u ( x ) = U max sat = U max sat (10).

2rU max 2 arU max x dx Первая особенность синтеза оптимальной системы вытекает непо средственно из выражения (10): метод синтеза, в основе которого лежит определение функции Беллмана в форме степенного ряда, напрямую не применим к нахождению функции (10), имеющей полюс в точке x=0, в форме полинома. Для возможности применения описанного метода синте за вынуждены применять аппроксимацию (4), которая предопределяет представление гиперболической функции дифференцируемой функцией вида x 1 1( x ) g ( x) = =, (11) 1 + x x x совпадающей при значении параметра с исходной функцией.

Если учесть замену (11) и что, отклонение x(t) от заданного режима yz (уставки) определяется выражением x (t ) = y z y (t ) ( y (t ) – выходная ре гулируемая переменная объекта), то оптимальное управление для задачи (7), (9) запишется в виде bq ( y z y (t )) u[ y (t )] = U max sat. (12) 2 arU max 1 + ( y z y (t )) Результаты моделирования в пакете Mathcad 14 системы с управле нием (12) при отработке задания xz = 50 °C за время 70 мин. представлены на рис.1а.

Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. Рис. 1. Процессы системы с управления а) (12): q=67.85, = 5, E=255.43 Вт*час, E=32.2 %.

б) (19): q=67.85, E=377.645 Вт*час, E=0 %.

Для сравнения укажем, что оптимальное управление объектом (9) по критерию (2) [5] ax ax q u ( x ) = sat + + sign ( x ), (13) b b r обеспечивает нагрев объекта за время T=70 мин. до xz = 50 °C с потребле нием энергии E50=249.39 Вт*час. При этом согласно модели (9) объект при управлении u(t)=Um=220 B (прямой пуск печи) нагревается до температуры xz = 50 °C за 27.6 мин. с использованием 376.98 Вт*час электроэнергии.

Поэтому экономия энергии в сравнении с прямым пуском объекта при управлении (12) составляет E=32.2 %, а при управлении (13) – E=33.8 % Из данных результатов моделирования следует важный вывод: сис темы с законами обратной связи (12) и (13) с точки зрения энергосбереже ния практически эквивалентны. Подчеркнем, что данный вывод относи тельно управлений, оптимальных по критериям (2) и (7), подтвердился и при моделировании систем второго и третьего порядков – различие энер гий составляло несколько процентов.

Имея точное решение (12) задачи управления (7), (9), исследуем особенности применения исследуемого метода (степенных рядов) в данной задаче.

2.1. Вариант 1 применения метода степенных рядов В соответствии с теоремой А.А. Красовского функцию Беллмана Ляпунова, определяющую управление (10), найдем решением дифферен циального уравнения Энергетика, электроснабжение, электропривод x dS ( x ) ax = q. (14) 1 + x dx Функцию Беллмана-Ляпунова будем определять в форме ряда S ( x) = A1 x + A2 x 2 + A3 x 3 + A4 x 4 + A5 x 5 + A6 x 6 +L. (15) Подставляем предполагаемое решение (15) в уравнение (14), предвари тельно умноженное на сомножитель (1 + x 2 ) :

( A1 + 2 A2 x + 3 A3 x 2 + 4 A4 x 3 + 5 A5 x 4 + 6 A6 x 5 + L) ax (1 + x 2 ) = q x 2. (16) Для нахождения искомых коэффициентов Ai, i = 1, 2,... функции Беллмана Ляпунова составляем систему алгебраических уравнений приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях полиномов правой и левой час тей уравнения (16):

x 4 : 4 aA4 + 2 aA2 = 0, x : aA1 = 0, x 2 : 2 aA2 = q, x 5 : 5aA5 + 3aA3 = 0, (17) x 3 : 3aA3 = 0, x 6 : 6 aA6 + 4 a A4 = 0.

Решением системы уравнений (17) находим:

q A 2 A A1 = A3 = A5 = 0, A2 =, A4 = 2, A6 =. (18) 2a 2 Таким образом, согласно (10) получаем следующее полиномиаль ное приближение управления b (2 A2 x + 3 A3 x 2 + 4 A4 x 3 + 5 A5 x 4 + 6 A6 x5 + L) = u ( x ) = U m sat 2 rU m (19) qb ( x x 3 + 2 x5 + L).

= U m sat 2 arU m Моделирование системы с законом обратной связи (19) дает прин ципиально иное ее движение в отличие от системы с управлением (12) – сравни рис. 1а и 1б.

Прежде чем дать объяснение указанному существенному различию систем (парадоксу), приведем второй вариант применения степенных ря дов в решении сформулированной задачи АКОР.

2.2. Вариант 2 применения метода степенных рядов Перед решением уравнения (14) в форме степенного ряда (15) раз ложим функцию (4) в ряд Тейлора. С этой целью, обозначив = 2, z = ( x )2, воспользуемся геометрической прогрессией:

x2 = x 2 ( z ) k = x 2 ( ( x ) 2 ) k = x 2 ( ) k x 2 k. (20) = x Q ( x) = 1 + x 2 1+ z k =0 k =0 k = В этом случае уравнение (16) принимает вид Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. ( A1 + 2 A2 x + 3 A3 x 2 + 4 A4 x 3 + 5 A5 x 4 + 6 A6 x 5 + L)ax = q ( x 2 2 x 4 + 3 x 6 + L), а система (17) форму:

x 4 : 4 aA4 = q 2, x : aA1 = 0, x 2 : 2 aA2 = q, x 5 : 5 aA5 = 0, x 3 : 3aA3 = 0, x 6 : 6 aA6 = q 3.

Подчеркнем, что решение этой системы уравнений ( ) k q A1 = A3 = A5 = 0, A2 k =, k = 1, 2,... (21) 2 ak совпадает с решением (18), т.е. данный вариант применения определяет то же самое управление (19).

Из сравнения указанных вариантов следует важный вывод 2, что хотя в первом варианте не использовалось разложение функции Q(x) в ряд Тейлора, но применение метода степенных рядов для определения функ ции Беллмана-Ляпунова соответствует использованию указанного ряда Тейлора в скрытом, неявном виде.

Данный вывод с учетом ограниченной области сходимости ряда (20) как геометрической прогрессии z = x 1, x 1 = 1 (22) объясняет указанный парадокс. Действительно, для рассматриваемого примера параметры имеют значения 5 100, 10 x 150, что означа ет отсутствие области сходимости данного ряда и, соответственно, мето дическую необоснованность применения метода степенных рядов в реше нии задачи АКОР. Действительно, расходимость ряда (20), стоящего в правой части дифференциального уравнения (14), приводит к расходимо сти степенного ряда, описывающего вынужденное решение этого уравне ния, т.е. функцию S(x) и, соответственно, управление (19). На несостоя тельность этого управления, обусловленную расходимостью ряда, и указывает проведенное моделирование системы с данным управлением.

2.3. Вариант 3 обоснованного применения метода степенных рядов С целью обеспечения сходимости ряда, описывающего функцию Беллмана-Ляпунова в рассматриваемой задаче оптимального управления, переформулируем последнюю на основе введения новой фазовой коорди наты объекта 1 1 z1 (t ) & z1 (t ) = x1 (t ) = x1 (t ) =,. (23) & z12 (t ) x1 (t ) z1 ( t ) Новая задача управления формулируется следующим образом: най ти закон обратной связи, переводящий объект z (t ) = -az (t ) + bz 2 (t )u (t ), u (t ) U m (24) & Энергетика, электроснабжение, электропривод из состояния z(0)=z0 в состояние z(T)=zk с минимальным значением кри терия z 2 (t ) T I4 = q + ru 2 (t ) + ru opt (t ) dt.

(25) 1 + z ( t ) 0 Для задачи АКОР (24), (25) условие сходимости (22) – z выполняется: 1 150 1 100.

В соответствии с теоремой А.А. Красовского решение последней задачи АКОР описывается выражением bz 2 dS ( z ) u ( z ) = U m sat, (26) 2 rU m dz в котором функция Беллмана-Ляпунова S(z) удовлетворяет уравнению z dS ( z ) ( az ) = q. (27) 1 + z dz На основе уравнений (26), (27) находим оптимальное управление bq z u ( z ) = U m sat (28) 2 arU m 1 + z задачи АКОР (24), (25). Подставив в (28) координату (23) и устремив, получаем оптимальное управление для исходного объекта bq bq u ( x ) = U m sat z = U m sat, 2 arU m 2 arU m x что свидетельствует о состоятельности данного варианта решения задачи управления с использованием замены (23).

Подчеркнем, что уравнение (27) отличается от (14) только знаком левой части. Поэтому решение задачи АКОР (24), (25) в форме степенного ряда будет описываться соотношением bz 2 (2 A2 z + 3 A3 z 2 + 4 A4 z 3 + 5 A5 z 4 + 6 A6 z 5 + L) u ( z ) = U m sat (29) 2 rU m с коэффициентами ( ) k q A1 = A3 = A5 = 0, A2 k =, k = 1, 2,.... (30) 2 ak Для исходного объекта на основе (29), (23) получаем управление b 1 3 5 x 1 u ( x ) = U m sat 2 A2 + 4 A4 + 6 A6,. (31) 2 rU m x x 1 + x x x Моделирование системы с данным законом управления дало пере ходные процессы, которые визуально не отличаются от процессов рис. 1а оптимальной системы, хотя она расходует несколько большее количество энергии (277.01 Вт*час против 255.43 Вт*час).

Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. Таким образом, в отличие от задач быстродействия, исследуемых в [1], при решении задач энергосберегающего управления целесообразно ис пользовать замену координат (23), обеспечивающую сходимость степен ных рядов. При этом укажем, что применение в рассматриваемой задаче энергосберегающего управления вместо преобразования координат (23) более простого линейного преобразования z1 (t ) = Kx1 (t ) с коэффициентом K 1 не обеспечило сходимость используемых степенных рядов – полу чились результаты, совпадающие с результатами, указанными на рис. 1 б.

На этом основании можно сделать вывод: обеспечить сходимость степен ных рядов в задачах оптимального энергосбережения возможно, как пра вило, за счет применения нелинейных преобразований фазового простран ства объекта управления, в частности, замены (23).

Очевидно, что контролировать сходимость ряда, аппроксимирую щего функцию Беллмана-Ляпунова, необходимо при решении любой зада чи оптимального управления. Однако подчеркнем, что задачи быстродей ствия являются, как правило, менее чувствительными к величине области сходимости рядов, чем задачи энергосбережения. Это связано с принципи ально различными характерами изменения сигналов управления в систе мах быстродействия и энергосбережения: при большом значении ошибки регулирования управление быстродействующей системы принимает пре дельное значение ±U max, а сигнал энергосберегающей системы, наоборот, по возможности наименьшее по модулю значение;

при малых значениях ошибки регулирования – картина обратная. Соответственно, меньшую чувствительность квазиоптимальной быстродействующей системы качест венно можно объяснить следующим образом. Расходимость степенного ряда естественно проявляется при больших отклонениях системы от за данного режима, но если за счет обратных связей квазиоптимальная сис тема в этом случае работает принципиально правильно, то возникает управление ±U max нужного знака, приводящее к уменьшению ошибки ре гулирования. Таким образом, система управления при указанных условиях будет оптимально работать до следующего момента переключения. Так как первый интервал отработки большой ошибки часто бывает более про должительным чем последующие, то на нем ошибка может существенно уменьшиться и фазовые координаты системы попадут в область сходимо сти ряда и поэтому в дальнейшем система управления будет функциониро вать оптимальным образом. При этом подчеркнем, что описанный выход системы из области сходимости на первоначальном интервале управления практически не сказывается на оптимальности ее движения. Для энерго сберегающих систем управления характер движения и зависимость чувст Энергетика, электроснабжение, электропривод вительности принципиально иные, что часто требует применения специ альных мер по обеспечению сходимости степенных рядов.

3. Достаточное условие сходимости степенных рядов Условие сходимости (22), полученное для задачи управления объ ектом первого порядка, обобщим на нелинейные объекты (1) более высо кого порядка. Для них синтез оптимального регулятора по критерию обобщенной работы (7) сводится к решению линейного уравнения в част ных производных T x S (X) A(X) =. (32) 1 + x X Предполагая, что объект управления является устойчивым, найдем решение уравнения (32) методом прогнозирующей модели [4], который основан на использовании соотношения x12 (t, X 0 ) S( X0) = dt, (33) 1 + x12 (t, X 0 ) где x1 (t, X 0 ) – решение в форме Коши системы дифференциальных урав нений X (t ) = A[ X (t )] (прогнозирующей модели объекта) с начальным ус & ловием X(0) = X0 относительно координаты x1(t).

Из выражения (33) с учетом того, что применение метода степен ных рядов соответствует разложению функции x12 (1 + x12 ) в ряд Тейлора с областью сходимости (22), непосредственно следует: вне области (22) подынтегральная функция и сам интеграл (33) принимают бесконечно большие значения. Для обеспечения конечных значений интеграла (33) достаточно принадлежности функции x1 (t, X 0 ) области (22). Таким обра зом, доказано следующая теорема: решение задачи АКОР для устойчивого объекта управления (1) с функционалом обобщенной работы (7) в форме степенного ряда сходится в области X 0 QX, для которой решения x1 (t, X 0 ) прогнозирующей модели принадлежат области (22).

Как следствие из данного теоремы вытекает, что если состояние объекта оценивается вектором с компонентами x1 1, x2 = 0, L, xn = 0, то степенной ряд, аппроксимирующий функ цию Беллмана-Ляпунова, будет расходиться, т.е. метод степенных рядов в решении задачи АКОР не применим.

В соответствии с полученными результатами можно уточнить ме тод синтеза [1] включением в него дополнительной процедуры под после довательным номером 2, заключающейся в проверке условий сходимости Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. степенного ряда в соответствии с доказанной теоремой и, если необходи мо, осуществления нелинейного преобразования (23) координат объекта.

Список литературы 1. Соловьев А.Э., Ловчаков Е.В. Метод синтеза квазиоптимальных систем управления по критериям быстродействия и энергосбережения. // Известия ТулГУ. Технические науки. – 2011. – Вып. 5. – С. 220-230.

2. Колесников А.А. и др. Современная прикладная теория управле ния. Часть 1. Оптимизационный подход в теории управления. – Таганрог:

Изд-во ТРТУ, 2000. – 400 с.

3. Красовский А.А. и др. Справочник по теории автоматического управления. – М.: Наука, 1987.

4. Красовский А.А., Буков В.И., Шендрик В.С. Универсальные ал горитмы оптимального управления непрерывными объектами. – М.: Наука, 1977. – 272 с.

5. Ловчаков В.И., Ловчаков Е.В., Сухинин Б.В. Энергосберегающие управления электротехническими объектами. // Электрика – 2009. – №12. – С. 7-13.

E.V. Lovchakov, A.M. Sapozhnikov METHOD OF POWER SERIES IN SOLVING OPTIMAL ENERGY-SAVING CONTROL CRITERIA OF GENERALIZED For a wide class of objects with polynomial nonlinearities propose a method for the synthesis of quasi-closed systems of governance by the criterion of minimizing the energy of the control signal and transient systems. This method is based on replacing the control solu tion of this problem solving the corresponding analytical design of optimal controller for the object in a certain way, given the generalized functional work - functional type AA Krasovsky.

To solve the latter problem is modified by well-known method of power series, which allows you to receive a number of approximations to the optimal control with increasing accuracy and, accordingly, complexity.

Key words: phase space control systems, polynomial nonlinearity, the criterion of energy conservation, the functional generalization of the work, the problem of analytical de sign of optimal controller (AKOR).

Получено 17.05. ЛИТЕЙНОЕ ПРОИЗВОДСТВО И ТЕХНОЛОГИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ УДК 658.512.011;

519.711.3;

669. В.А. Ерофеев, канд. техн. наук, доц., (4872) 33-17-85, va-erofeev@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ), С.К. Захаров, канд. техн. наук, доц., (4872) 33-17-85, zzzsk1971@yandex.ru (Россия, Тула, ТулГУ), А.А. Протопопов, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, (4872) 33-17-85, protopopov@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ), А.Н. Тюрин, асп., (4872) 33-17-85, tyurinalexeg1986@yandex.ru (Россия, Тула, ТулГУ), О.И. Зайцев, канд. техн. наук, доц., (4872) 33-17-85, zaytcev@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ), А.В. Масленников, канд. техн. наук, доц., (4872) 33-17-85, maslen.shura@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ), П.И. Маленко, канд. техн. наук, доц., (4872) 33-17-85, malenko@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ), Е.А. Протопопов, ассист., (4872) 33-17-85, pea@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ) ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ВЫПЛАВКИ СТАЛИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ДУГОВОЙ СТАЛЕПЛАВИЛЬНОЙ ПЕЧИ Разработана физико-математическая модель процесса выплавки стали в электродуговой сталеплавильной печи на базе уравнения термодинамического со стояния веществ, позволяющая выполнить полный энергетический анализ процесса с учетом тепловыделения электрических дуг, основных химических реакций, а также тепломассопереноса расплава и паров металла.


Ключевые слова: физико-математическая модель, термодинамическая модель, электродуговая печь, тепломассоперенос, плавка металла, металлошихта.

Объект моделирования. Основой производства стали в современ ных электродуговых сталеплавильных печах (ДСП) является плавление Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. флюсов и металлошихты, представляющей собой смесь металлического лома и чушек передельного чугуна, которые после завалки печи образуют малоупорядоченную массу, термодинамические свойства которой зависят от коэффициента заполнения объёма печи.

Электропечь для выплавки стали имеет донную часть, в которой находятся металлическая и шлаковая ванны, свободное пространство, в ко тором при загрузке размещается шихта, и подсводовое пространство. На своде печи установлены три графитовых электрода, равнорасположенных по окружности, с механизмом их перемещения. Печь имеет несколько фурм (газовых горелок) для подачи газа, кислорода и угольной пыли, а также донные фурмы для подачи аргона сквозь толщу металлической ван ны.

Критериями оценки качества процесса является термодинамическое состояние материалов в ДСП. Так как процесс протекает во времени и про странстве, то термодинамическое состояние непрерывно изменяется вследствие выделения теплоты электрической дугой и химическими реак циями. Процесс выплавки можно описать функциями распределения в пространстве ДСП и изменения во времени энтальпии и температуры.

Пространство моделирования и система координат. Пространст во моделирования описывается как множество точек в декартовой системе координат. Пространство ДСП (рис. 1) разделено на области, в которых свойства вещества и процессы описываются специальными системами уравнений.

Рис. 1. Расположение областей протекания различных физических процессов в пространстве ДСП при выплавке стали.

Области: Э – угольных электродов;

Д – электрических дуг;

Р – расплава металла;

Ш – исходного материала (шихты);

С – футеровки печи;

Г – газовой среды;

ГГ – газовых горелок Литейное производство и технология конструкционных материалов Принадлежность точки с координатами х, y, z к области, например расплава металла Р, обозначается как x,y,z P. Поверхности раздела ме жду областями определяются как пересечения множеств, например по верхность раздела металл Р и шихта Ш обозначена P Ш.

Принято, что в исходном состоянии область Р отсутствует, т. е.

пространство до заданного уровня z = z 0 x заполнено шихтой Ш, а области дуг Д занимают пространство под электродами, торцы которых находятся на уровне z = z0 E, до уровня металлошихты.

Модель термодинамического состояния и теплопереноса. Во всех указанных областях печи протекает нестационарный термодинамиче ский процесс, который описывается изменением энтальпии H (t ) множест ва точек пространства во времени t. Нестационарное линейное уравнение теплопроводности в декартовой системе координат x, y, z имеет вид T T T H = q ( x, y, z ) + + +, (1) x x y y z z t где q ( x, y, z ) – функция пространственного распределения удельных значе ний мощности выделения теплоты;

T – температура, °C;

– коэффициент теплопроводности среды в данной точке пространства.

Энтальпия и температура в (1) связаны нелинейными функциями T (H ), которые учитывают теплоёмкость, теплоту химических реакций, теплоту фазовых превращений вещества и теплоту агрегатных превраще ний вещества, основной из которых является теплота эндотермической ре акции восстановления Fe 2O3 + 3C = 2 Fe + 3CO, (2) протекающей с поглощением теплоты -3,07 МДж в расчете на 1 кг Fe2O3.

Значение коэффициента теплопроводности различно в разных точках пространства печи и определяется веществом этой зоны.

Начальные условия в момент начала плавки имеют одинаковую температуру T t = 0;

T (r,, z ) = T0. (3) Граничные условия: на внешней поверхности футеровки F O оп ределяются теплоотдачей, создающей в футеровке градиент температуры b (TF T0 ), grad T = (4) F где b – коэффициент теплоотдачи;

F – коэффициент теплопроводности футеровки.

Тепловое воздействие электрических дуг. Мощность, выделяемая электрическими д, определяется токами и напряжениями, которые являют Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. ся заданными параметрами процесса плавки. Ввиду высокого напряжения дуги имеют большую длину (до 0,2 м) и горят в пространстве между элек тродом и шихтой или жидким металлом. Принято, что мощность выделя ется в зоне Д равномерно по её объёму. Для дуг, горящих в парах железа, минимальная плотность тока составляет J arc = 100K150 A/мм 2 [1]. Так как длина дуги определяется её напряжением, то объём зоны тепловыделе ния дуги U I Parc V Д = arc arc =, (5) grad U J arc J arc grad U Расположение дуги в пространстве моделирования определяется по взаимному положению рабочего торца электрода и поверхностью металла.

Диаметр Darc зоны горения дуги определяется [1] как I arc Darc = 2. (6) J arc Основными механизмами теплопередачи теплоты плазмы дуги ме таллу являются излучение и испарение металла в зоне воздействия дуги.

Мощность теплопередачи от дуги к металлу и электроду излучени ем определяется соотношением 4 Parc Darc r 0.5 Darc p Д Ш = p Д Э =. (7) Darc DЭ + Darc + Larc На поверхностях, удалённых от дуги, интенсивность излучения убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от дуги:

4P Larc PL = arc. (8) 2 DЭ + Darc + Larc Darc Кроме боковой поверхности дуги, имеется излучение с поверхности электродов, мощность которого определяется по известному закону Сте фана – Больцмана:

( ) D Э Ti4j, k TL.

PЭ = kb (9), 4 ЭГ Так как до высокой температуры нагревается только рабочий уча сток электрода вблизи дуги, то принято, что эта мощность исходит из цен тра сферы торца электрода. Зависимостью интенсивности поглощения от угла падения допустимо пренебречь, так как шихта является пористым ма териалом, в котором излучение полностью поглощается поверхностями шихты Г Ш и расплава Г Р :

4(PL + PЭ ) Darc r 0,5 Darc q Г Ш = q Г Р =, (10) Darc + r Darc где r – расстояние от рассматриваемой точки до центра дуги.

Литейное производство и технология конструкционных материалов Мощность, выделяемая на поверхности металла непосредственно под дугой, нагревает металл до температуры кипения. Мощность, расхо дуемая на плавление, определяется скоростью перемещения электродов k v H V + H L Darc PL = vЭ, (11) kv + 1 где k v – коэффициент перегрева металла под дугой;

vЭ – скорость пере мещения электродов;

с - теплоёмкость;

– плотность.

Разность мощностей дуги P и мощности PL, затрачиваемой на пря мое плавление шихты, расходуется на испарение металла Pvap = P PL. (12) Мощность парообразования невелика при прожигании колодцев, но в момент, когда дуги достигают поверхности расплава, скорость переме щения уменьшается до нуля и основная мощность дуг расходуется на ис парение. Мощность дуги, отводимая в расплав, определяется градиентом температур в расплаве Darc P = grad T, (13) где grad U – градиент температуры в расплаве в зоне действия дуги, кото рый определяется решением уравнения теплопроводности;

– теплопро водность расплава.

Вследствие большого значения теплоты испарения H vap испаряет ся небольшая масса металла Pvap mvap =, (14) H vap где mvap – массовый поток пара, кг/с.

Скорость истечения пара из зоны дуги велика, и он быстро распро страняется по объёму печи. Так как металл шихты имеет температуру зна чительно ниже температуры кипения, то пар конденсируется на поверхно сти кусков шихты. Принято допущение, что теплота пара выделяется на поверхностях кусков шихты обратно пропорционально квадрату расстоя ния от центров дуг. Значение удельного тепловыделения в различных точ ках зоны шихты определится как:

Pvap Darc vap x, y, z Ш, =, (15) q VG r 2 dV где r – расстояние от центра дуги;

VG = Darc – условный объём зоны r Ш шихты относительно центра каждой из дуг.

Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. Подогрев лома газовым пламенем. В газовые горелки подаётся смесь из природного газа и кислорода в количестве, достаточном для его полного сгорания. Мощность факела природного газа, полностью сго рающего в кислороде, определяется по формуле [2] РG = QG qG, (16) где QG – объемный расход природного газа (при нормальных услови м3 МДж ях), ;

qG – низшая теплота сгорания рабочей массы топлива, [3].

м ч При определении распределения удельного тепловыделения при сгорании газа в печи учитывали расположение центров сопел газовых го релок и удалённость точек пространства от этих центров PG RG G x, y, z Ш М Г, pi, j, k =, (17) VG r 2 dV где r – расстояние от центра горелки;

VG = RG – условный объём r Ш зоны шихты относительно центра каждой из горелок.

Разогрев металлической ванны при взаимодействии с кислоро дом. Технологический цикл дуговой сталеплавильной печи содержит окислительную фазу, при которой в пространство печи подаётся кислород.

Это вызывает реакцию окисления железа и других элементов, входящих в состав шихты. Реакция окисления протекает с выделением большого коли чества теплоты на поверхности расплава Г P. Мощность тепловыделе ния определяется расходом кислорода.

Тепловой эффект, выделяемый при окислении шихты 1 м3 кислоро да (МДж/м3), определяется формулой 7,41C Si + 7, 41C Mn + 4,82C Fe + 11, 43C c + PO2 = mш, (18) + 21,57C + 11,33C P Cr где C Si, C Mn, C Fe, C c, C P, CCr – концентрации элементов в шихте;

mш – количество металлошихты, окисляемой 1 м3 кислорода, кг, mш =. (19) 0,8C Si + 0,204C Mn + 0, 2C Fe + 0,933C c + 0,904C P + 0,323CCr Скорость химических реакций окисления при температурах ниже температуры солидуса чугуна невелика, и тепловыделением этой реакции при более низких температурах допустимо пренебречь. Соответственно распределение тепловыделения в зоне шихты определяется формулой P qO 2 ( x, y, z ) = O 2 ;


(T Ts ) ( x, y, z Ш ), (20) VШ Литейное производство и технология конструкционных материалов гдеV Ш – объём зоны шихты.

Трансформация расположения электродов, шихты и расплава в процессе плавки. Начальное расположение электродов определяется по уровню завалки металлошихты в соответствии с заданными массами ком понентов шихты с учётом их засыпной плотности и размеров рабочего пространства печи. Расстояние Larc между рабочим торцем электродов и поверхностью шихты определяется в соответствии с заданным значением напряжения дуг U arc (В) U arc U ak Larc =, (21) grad U где U ak = 30 B – падение напряжения в приэлектродных слоях дуги;

B grad U ak = 25 – градиент потенциала в столбе дуги для смеси металли см ческого пара с угарным газом [3 - 5].

В процессе плавки шихта плавится под дугами и стекает вниз, соот ветственно зона Э также перемещается вниз (см. рис. 1), расстояние между электродом и поверхностью шихты поддерживается постоянным (21).

Под действием тепла дуги и газовых горелок происходит плавление шихты. Металл при этом стекает на дно печи, где формируется зона рас плава Р. Зона шихты при этом уменьшается. Расположение точек x, y, z Ш расплавившейся зоны определяется по температуре шихты в этих точках (началу плавления) T TS.

При определении объёма зоны расплава VР вычисляли объём рас плавившейся зоны шихты V Ш и учитывали её загрузочную плотность VР = K Ш V Ш.

Алгоритм численного моделирования технологического процесса выплавки стали. Уравнение теплопроводности решается методом конеч ных разностей. В пространстве моделирования выделяется множество i, j, k точек, для каждой из которых определяются свойства вещества, мощность тепловыделения qi, j, k, энтальпия H i, j, k и температура Ti, j,k.

Процесс выплавки стали выполняется в две стадии, в начале каждой из которых производится загрузка шихты. Каждая стадия разделена на фаз, отличающихся режимом плавки и подачей материалов в печь. Дли тельность фаз различна, внутри каждой задаются постоянные для этой фа зы значения мощности дуг, расходы природного газа, кислорода и уголь ного порошка (рис. 2).

Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. Рис. 2. Фрагмент технологического цикла плавки – изменения мощности:

1 – дуг;

2 – газовых горелок;

3 – горения угольного порошка Моделирование плавки выполняется при изменении следующих па раметров в фазах технологического цикла с длительностью t n : мощности электрических дуг Pn, расхода газа Gn и кислорода Qn в каждом газовом сопле.

На каждом временном шаге выполняется анализ термодинамиче ского состояния шихты, в соответствии с которым корректируется множе ство U i, j, k, т. е. определяются расположение и размеры зон шихты Ш, расплава Р, электродов Э, дуг Д.

Когда процесс плавки первой бадьи завершается (n = 10 ), произво дится формирование множества U i, j, k для состава шихты второй бадьи с учётом результатов плавки первой бадьи.

Завалка шихты второй бадьи производится в расплав, полученный плавлением шихты первой бадьи. Уровень расплава после загрузки второй бадьи определяется по изменению объёма V ШР смеси шихты с расплавом с учётом загрузочной плотности K Ш шихты VP V ШР =, (22) 1 KШ где VP – объём расплава первой бадьи.

При погружении шихты в расплав происходит его перемешивание, которое выравнивает распределение энтальпии и температуры. Энтальпия смеси шихты с расплавом H РШ определяется формулой Литейное производство и технология конструкционных материалов H РШ = H Р (1 К Ш ), (23) где К Ш – средняя энтальпия расплава до загрузки второй бадьи.

Далее воспроизводится технологический цикл плавки второй бадьи до момента завершения t = t 21 (рис. 3).

Рис. 3. Распределение температуры в сталеплавильной печи в момент окончания плавки В ходе воспроизведения накапливаются данные о промежуточных результатах моделирования (рис. 4), которые выводятся на носитель ин формации после завершения моделирования.

Рис. 4. Изменение масс шихты mш, переплавленного металла mп и расплава mр в ходе плавки Разработанная физико-математическая модель процесса позволяет выполнить полный энергетический анализ выплавки стали в ДСП, учиты вающий состав шихты, параметры электропитания и подачи природного газа и кислорода при заданном технологическом цикле.

Заключение. Разработана физико-математическая модель процесса выплавки стали, основой которой является уравнение термодинамического состояния веществ в различных зонах дуговой печи. Модель учитывает те Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. пловыделение электрических дуг, горения природного газа и химических реакций окисления углерода и восстановления железа, а также тепломас соперенос расплавом и паром металла. Модель воспроизводит процессы плавления шихты, формирование ванны расплава и изменения в расплаве концентрации окислов железа и углерода.

Численное решение уравнений модели позволяет воспроизводить процесс выплавки стали в ДСП в две загрузки с изменением параметров в 20 фазах технологического цикла.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства обра зования и науки Российской Федерации, ГК № 07.514.11.4093.

Список литературы 1. Sosonkin O.M. Reducing metal losses when smelting steel in high power arc furnaces // Steel in Translation, 2008. Т 38. № 8. P. 647-649.

2. Макаров А.Н. Теория и практика теплообмена в электродуговых и факельных печах, топках, камерах сгорания. Ч. 2. Теплообмен в факель ных печах, топках, камерах сгорания: монография. Тверь: ТГТУ, 2009.

152 с.

3. ГОСТ 5542-87 "Газы горючие природные для промышленного и коммунально-бытового назначения. Технические условия". М.: Изд-во стандартов, 2005. 3 с.

4. Reynolds Q.G. The dual-electrode DC arc furnace – modelling in sights //Southern African Pyrometallurgy 2011/Edited by R.T. Jones & P. den Hoed/Southern African Institute of Mining and Metallurgy.

Johannesburg, 6–9 March 2011. P. 33-46.

5. Рябов А.В., Чуманов И.В., Шишимиров М.В. Современные спо собы выплавки стали в дуговых печах: учеб. пособие. М.: Теплотехник, 2007. 192 с.

V.А. Erоfееv, S.K. Zakcharоv, A.A. Protopopov, A.N. Tyurin, O.I. Zaycev, A.V. Maslennikov, P.I. Malenko, E.A. Protopopov THERMODYNAMIC MODEL OF THE STEELMAKING PROCESS IN THE ELECTRIC ARC FURNACE The physico-mathematical model of the steelmaking process in the electric arc furnace based on the equation of the thermodynamic state of material is developed.

The model allows to perform a complete energy analysis of the process taking into account the heat of electric arcs, basic chemical reactions and the heat-and-mass transfer of melt and metal vapor.

Key words: physico-mathematical model, thermodynamic model, electric arc furnace, heat-and-mass transfer, metal smelting, metal charge.

Получено 17.05. Литейное производство и технология конструкционных материалов УДК 658.512.011;

519.711.3;

669. В.А. Ерофеев, канд. техн. наук, доц., (4872) 33-17-85, va-erofeev@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ), С.К. Захаров, канд. техн. наук, доц., (4872) 33-17-85, zzzsk1971@yandex.ru (Россия, Тула, ТулГУ), А.А. Протопопов, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, (4872) 33-17-85, protopopov@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ), А.Н. Тюрин, асп., (4872) 33-17-85, tyurinalexeg1986@yandex.ru (Россия, Тула, ТулГУ), Г.А. Дорофеев, канд. техн. наук, доц., (4872) 33-17-85, protopopov@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ), О.И. Зайцев, канд. техн. наук, доц., (4872) 33-17-85, zaytcev@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ), А.В. Масленников, канд. техн. наук, доц., (4872) 33-17-85, maslen.shura@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ), П.И. Маленко, канд. техн. наук, доц., (4872) 33-17-85, malenko@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ), Е.А. Протопопов, ассист., (4872) 33-17-85, pea@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ) ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ВЫПЛАВКИ СТАЛИ В ДУГОВЫХ ПЕЧАХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИНТИКОМА Разработана физико-химическая модель процесса выплавки стали в электро дуговой печи на базе системы уравнений химических реакций и массопереноса ве ществ, позволяющей выполнить расчёт распределения концентраций химических эле ментов в расплаве в ходе плавки в соответствии с распределением температуры и энтальпии расплава.

Ключевые слова: физико-химическая модель, термодинамическая модель, электродуговая печь, массоперенос, плавка металла, металлошихта.

Для выплавки стали в дуговых сталеплавильных печах (ДСП) ис пользуют различные технологии, но большинство из них предусматривают нагрев и плавление твердой кусковой шихты, стадию окисления, на кото рой увеличивают подачу кислорода, и стадию восстановления, в ходе ко торой на поверхность металлической ванны подают угольную пыль при вспенивании шлака.

Особенностью производства стали с использованием синтикома яв ляется то, что часть требуемого для проведения плавки кислорода входит в твердом виде в форме оксидов железа в состав синтикома, в результате че го снижается расход газообразного кислорода во время плавки.

Металлошихта ДСП представляет собой смесь металлического ло ма, чушек передельного чугуна и синтикома, которые после загрузки в Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. печь представляют собой практически неупорядоченную массу, термоди намические свойства которой зависят от коэффициента заполнения объёма печи.

При описании свойств шихты заданного состава используется сред нее значение насыпной плотности, характеризуемое коэффициентом m л + mч + mс KШ =, (1) m л mч m с + + л с ч где m л, mч, mс – засыпные массы лома, чугуна и синтикома, кг;

л, ч, с кг кг, – плотность чугуна, – плотности их засыпки,.

3 м м Передельный чугун и синтиком содержат значительное количество углерода C. В синтиком введены оксиды железа, составляющие до 15 % массы чушки [2]. В ходе плавки на стадии окисления подаётся кислород.

На стадии восстановления на поверхность расплава вдувается коксовая пыль и производится загрузка извести, содержащей в основном CaO, а также MgO, Al 2 O3, P2O5, Fe 2O3, S.

Определение объёма расплава и шлака. В процессе плавки изме няется уровень металлической и шлаковой ванн вследствие плавления шихты.

Соотношение между объёмами металла и шлака принято в первом приближении пропорциональным их фактической доле в шихте. Объёмы металлического расплава V М и шлака V R рассчитываются по формулам X M t X M t VM = M r drd dz, VR = R r drd dz, (2) X G0 X G где M, R – фактическая доля объёма металла и флюса в шихте, %;

X G0, X M t – поверхности раздела между шихтой X и газовой сре дой G0 и металлической ванной M t на момент начала плавки и текущий момент времени.

Уровни металлической и шлаковой ванн определяются с учётом фактического расположения поверхности раздела X M t между жидким металлом и шихтой, а также с учётом профиля поверхности X F дна пе чи. Уровень металлической Z М и шлаковой Z R ванн определяется реше нием интегральных уравнений ZM ZR Z M = var Z = var dr rd dz VM, dr rd dz VM + VR. (3) R ( X F )M ( X F ) M Окислительная фаза процесса. Технологический цикл содержит окислительную фазу, при которой в пространство печи подаётся кислород Литейное производство и технология конструкционных материалов без газа и угольного порошка. Это вызывает реакцию окисления железа и других элементов, входящих в состав шихты. Реакция окисления протекает с выделением большого количества теплоты на поверхности расплава X M. Так как количество кислорода ограничено, то мощность тепловы деления определяется расходом кислорода.

Расчеты приводятся для расхода кислорода при нормальных усло виях (НУ) – давлении 101325 Па т. е. 1 атм и температуре 0 o С [1].

кг [3]. Соответственно 1 м Для НУ плотность кислорода 1, м кислорода при НУ имеет массу mO = 1,429 кг.

Масса окисляемого элемента в кг определяется по формуле [4] mO 2 i µ i mi =, (4) O2 µ O где mO2 – масса 1 м 3 при н.у., кг;

i, O2 – стехиометрический коэффици ент соответственно i–го элемента и кислорода в химической реакции окис ления i–го элемента;

µ i, µ O – молярная масса i–го элемента и молекуляр ного кислорода, г/моль.

Ниже приведены молярные массы основных реагентов при выплав ке стали из шихты, содержащей синтиком (табл. 1).

Таблица Молярные массы реагентов, г/моль µi № Реагент Реагент µ i µi п/п 1 32 O2 CO 2 28 30, Si P 3 60 141, SiO2 P2O 4 55,847 Fe Cr 5 71,846 FeO Cr2O 6 159,694 54, Mn Fe 2O 7 12 70, C MnO 8 28 CO Основные экзотермические реакции, протекающие при выплавке стали из шихты, содержащей синтиком [2, 4], теплоты реакций Qi и коли чество кислорода m02, окисляющегося 1 кг элемента реакции, приведены в табл. 2.

Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. Таблица Основные экзотермические реакции при выплавке стали Элемент Реакция МДж м № Qi, mi, п/п кг кг [ Si ] + {O2 } = {SiO2 } 31, 1 1, Si [ Mn ] + 0,5{O2 } = ( MnO ) 7, 2 4, Mn [ Fe ] + 0,5{O2 } = ( FeO ) 4, 3 4, Fe {CO} + 0,5{O2 } = {CO2 } 10, 4 2, CO [C ] + 0,5{O2 } = {CO} 11, 5 1, C 2[ P ] + 2,5{O2 } = ( P2O5 ) 6 1, P 2[Cr ] + 1,5{O2 } = (Cr2O3 ) 11, 7 3, Cr В таб. 2 скобками выделено расположение элемента: [] – в металле, ( ) – в шлаке, { } – в газовой фазе.

Количество образующегося оксида i–го элемента mi mij = ij µ ij (5) i µi где ij – стехиометрические коэффициенты оксида i–го элемента;

µij – молекулярная масса оксида i–го элемента.

Восстановительная стадия процесса. Экспериментально установ лено [2], что углерода, содержащегося в синтикоме, достаточно для полно го восстановления оксидов железа в синтикоме, если их массовое содер жание не превышает 15 %. Масса чушки синтикома в среднем около 8,8 кг.

В данном случае одна чушка синтикома содержит 1,32 кг Fe 2O3.

Как известно, уменьшение концентрации углерода (углерод тратит ся на восстановление оксидов железа в синтикоме, находящихся в нем в виде окатышей) начинается в процессе нагрева чушки синтикома с момен та начала плавления матрицы (для передельного чугуна Ts = 1150 o C, TL = 1230 o C, что совпадает с температурой размягчения окатышей [2].

Окатыши, например, Михайловского ГОКа, размягчаются в температур ном диапазоне 1150 K1230 o C и имеют температуру плавления 1380 o C [2].

Равномерная убыль концентрации углерода в области первичного объема, который геометрически занимала чушка синтикома, продолжается при нагреве данного объема до 1630 o C [2].

Таким образом, эндотермическая реакция восстановления железа протекает в синтикоме в процессе его нагрева равномерно, начиная с тем Литейное производство и технология конструкционных материалов пературы 1150 o C, и заканчивается при полном преобразовании Fe 2O3 уг леродом, содержащимся в чугуне, в железо при температуре 1630 o C.

Эффект поглощения теплоты в разрабатываемом алгориме расчета учитывается в зависимости от энтальпии и температуры. Особенностью реакции восстановления является её необратимость, так как один из её продуктов – угарный газ – удаляется из расплава. Поэтому используется ( ) зависимость энтальпии от температуры H T,C Fe2O3, которая постепенно трансформируется в зависимости от содержания оксида железа CFe O в синтикоме от максимального значения для загруженной шихты до нулево го значения в чугуне (рис. 1).

Рис. 1. Зависимость энтальпии от температуры:

1 – для передельного чугуна;

2, 4 – реакции Fe 2 O 3 + 3C = 2 Fe + 3CO ;

3, 5 – для металлошихты из 20 т лома, 40 т чугуна и 40 т синтикома Для использования этой зависимости при решении уравнения энер гии необходимо учитывать распределение содержания CFe2O3 в зоне рас плава P. Содержание C Fe2 O3 в каждой точке пространства рассчитывает ся по формуле H H S C Fe2 O3 = min C Fe 2O3, С 0 1, (6) HC H S Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. где C0 – исходное содержание CFe2O3 в шихте;

H – энтальпия в данной точке;

H S – энтальпия чугуна при температуре солидуса;

H C – энтальпия полного окончания реакции восстановления железа углеродом чугуна, со ответствующая температуре 1630 o C.

Удаление углерода из чугуна сопровождается значительным выде лением окиси углерода. При расходе 1 кг Fe 2O3 на восстановление железа выделяется 0,526 кг CO. Объем выделяющегося CO при нормальных ус ловиях (1 атм, 0 оС) определяется через плотность CO, которая при 0 o C кг составляет o = 1, 25 3, т. е. выделяется 0,42 м CO. Для другой СО _ 0 С м температуры используется соответствующая плотность. Например, при кг 1400 o C o = 0,204 и выделяемый объем CO составит в данном СО _ 0 С м случае 25,8 м.

Так как реакция восстановления протекает неравномерно, то поток угарного газа непрерывно изменяется. Для оценки величины потока опре деляются скорости изменения концентрации Fe 2O3 в разных точках рас плава, по этой скорости определяются объём выделяемой окиси углерода и общий поток из печи dC Fe 2 O3 м QCO = K CO 3,, (7) с dt i, j, k P м где К СО – коэффициент газовыделения, К СО = 25,8 ;

– плотность кг кг синтикома,.

м Определение концентрации элементов в расплаве. Концентра ция элементов в расплаве изменяется при плавлении компонент металло шихты, перехода элементов металлошихты в расплав, химического взаи модействия элементов в расплаве и перемещения продуктов взаимодействия потоком жидкости. Реакции сосредоточены вблизи по верхности плавления шихты.

Изменение концентрации С всех элементов расплава описывается уравнением массопереноса C C C C C C C = D + 2 + z z + v r r + v + v z z, (8) r r r r r t где D – коэффициент диффузии данного элемента в жидком железе;

r, z, – скорости движения расплава.

Литейное производство и технология конструкционных материалов Граничные условия уравнения переноса:

1) на поверхности плавления металлошихты концентрации опреде ляются по результату химического взаимодействия элементов в пропорци ях для материала шихты;

2) на поверхности расплава в контакте с газовой средой для элемен тов, вдуваемых из верхних фурм, задаётся значение внешнего распределе ния концентрации этих элементов C = C (r, ), для прочих элементов C = 0.

Течения расплава. Движение расплава в печи обусловлено пода чей аргона через донные фурмы, который создаёт упорядоченный поток расплава, направленный вверх в центральной части и вниз у стенок печи (рис. 2).

Поток аргона Q Ar направляется вверх, вовлекая в движение рас плав, который совершает вихревое движение вокруг кольцевой оси враще ния O. Максимальная скорость вихря – в центре расплава и на его поверх ности. Скорости течения равны нулю у стен. Закон распределения скоростей течения в осевых сечениях имеет параболический характер.

Рис. 2. Схема течения расплава под действием потока аргона, подаваемого через донные фурмы Поток инертного газа Q Ar в области действия донных фурм создаёт на их оси скорость движения расплава z, max 4Q Ar p v z, max =, (9) 3D Ar Z P где D Ar – диаметр отверстия каждой из 3 – х донных фурм;

0 – нор мальное (атмосферное) давление, – плотность металла;

Z P – уровень расплава в печи.

Распределение течения по зоне расплава описано аналитическими соотношениями, полученными из неразрывности потока Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. 2 r2 z 1.5 D Ar 1 + 1, vi, j, k = z z, max (10) r0 r + 1.5 D Ar z где r, z – координаты точки на рис. 2;

r0, z 0 – координаты центра вихря, зависящие от диметра печи и уровня расплава ( ) r0 = 1 2 rm, z0 = 2 zm. (11) При химических реакциях возникают компоненты, плотность кото рых меньше плотности расплава. Эти компоненты всплывают и постепен но накапливаются в шлаке. Это учитывается заданием дополнительной компоненты скорости движения по координате Z v z C = g, (12) t C где, C – плотности расплава и компонента;

g – ускорение свободного падения.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.