авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |

«Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН УПРАВЛЕНИЕ БОЛЬШИМИ СИСТЕМАМИ Выпуск 40 СБОРНИК ...»

-- [ Страница 3 ] --

Математическая теория управления ESTIMATION OF RARE EVENTS PROBABILITIES IN SIMULATION COMPUTER EXPERIMENTS Yuri Agalakov, Research Institute for Automatic Equipment named Acad. V.S. Semenichin, Moscow, General director, Cand.ofSciences in Physics and Mathematics(agalakov@niiaa.ru).

Abstract:Computational experiments with simulation models for computer networks are performed to estimate various networkscharacteristics, for example, to check if a network satisfies requirements on a probability of delivering messages within a given time interval. If the probability of non-delivering is very small, this rare event may not occur during computational modeling experi ments. We propose the design of computational experiments per formed to check requirements on the probability of non-delivering as well as the method for experimental data processing.

Keywords:computer networks, simulation modeling, rare event probabilities, design for simulation experiments.

Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии Д. А. Новиковым Управление большими системами. Выпуск УДК 519. ББК 32. КОМПЛЕКСНЫЙ И МАТРИЧНЫЙ МЕТОДЫ ВЫПОЛНЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ НАД НЕЧЕТКИМИ ЧИСЛАМИ Усков А. А.1, Киселев И. А. (Российский университет кооперации, Москва) Впервые предложены утверждения, позволяющие сводить арифметические операции над нечеткими числами LR-типа к арифметическим операциям над комплексными числами или матрицами, что дает возможность упростить выполнение указанных арифметических операций (в частности с примене нием систем компьютерной математики) и использовать наглядное графическое их представление на комплексной плос кости (в виде векторных диаграмм и годографов).

Ключевые слова: арифметические операции, комплексные числа, матрицы, нечеткие числа.

1. Введение Аппарат нечеткой логики широко используется при мате матическом описании сложных систем в условиях неопределен ности, позволяя формализовать знания, представленные в каче ственной форме, и не требуя выполнения предпосылок применимости теории вероятностей [1, 3, 6, 9, 10, 13].

Нечеткие числа – нечеткие переменные, определенные на числовой оси. Нечеткое число определяется как нечеткое мно жество А на множестве действительных чисел R с функцией Андрей Александрович Усков, доктор технических наук, профессор (andrey@uskov.net, www.uskov.net).

Игорь Александрович Киселев, аспирант.

Математическая теория управления принадлежности A(x) [0, 1], где x – действительное число, т.е.

x R [1, 9].

Нечеткие числа LR-типа – это разновидность нечетких чи сел специального вида, задаваемых по определенным правилам [1, 9]. Нечеткие числа LR-типа были предложены в работах [14–17] с целью уменьшения трудоемкости выполнения ариф метических и логических операций над нечеткими числами путем аппроксимации функций принадлежности типовыми нелинейными функциями, задаваемыми своими параметрами (LR-аппроксимация). В работах [14–17] приводятся классиче ский вариант арифметических операций над нечеткими числами LR-типа, а также примеры решения уравнений и неравенств с нечеткими числами.

Функции принадлежности нечетких чисел LR-типа задают ся с помощью невозрастающих четных неотрицательных дейст вительных функций действительного аргумента L(x) и R(x), удовлетворяющих свойствам: а) L(–x) = L(x), R(–x) = R(x);

б) L(0) = R(0).

Пусть L(x) и R(x) – функции LR-типа. Унимодальное нечет кое число А с модой а (т.е. A(a) = 1) c помощью L(x) и R(x) задается следующим образом:

a-x при x a, L A ( x) x-a при x a;

R где а – мода;

0, 0 –левый и правый коэффициенты не четкости.

Таким образом, при заданных L(x) и R(x) нечеткое число LR-типа определяется тройкой (а,, ).

Нечеткое число LR-типа будем называть симметричным, если левый и правый коэффициенты нечеткости равны, т.е. =.

Предположим, имеются нечеткие числа LR-типа:

и.

Арифметические операции над нечеткими LR-числами оп ределяются следующим образом [1, 9]:

Управление большими системами. Выпуск сложение (m,, )LR + (n,, )LR = (m + n, +, + )LR;

умножение (m,, )LR (n,, )LR = (mn, n + m, n + m)LR;

m 0, n 0;

противоположный элемент –(m,, )LR = (–m,, )LR;

обратный элемент За последние 30 лет было опубликовано более 10 000 науч ных работ, в которых рассматривались те или иные аспекты использования арифметических операций над нечеткими числа ми LR-типа.

Подавляющее большинство указанных научных работ мож но отнести к одной из трех групп.

Первая группа – это ряд научных работ, посвященных раз личным вариантам построения арифметик нечетких чисел при использовании LR-аппроксимация и исследованию их свойств, а также способам выполнения арифметических операций над нечеткими числами LR-типа. В качестве примера публикаций на русском языке, относящихся к данной группе, можно отметить [3, 5, 6, 11–13]. В частности, в работах [3, 5, 11] рассматривают ся дополнительные (неклассические) операции вычитания, деления и показано, что с их помощью можно повысить точ ность решения нечетких уравнений.

Вторая группа – это работы, в которых рассматриваются ме тоды и алгоритмы решения уравнений, неравенств, задач оптими зации, теории принятия решений и теории управления на множе стве нечетких чисел LR-типа.

Третья группа научных работ является наиболее многочис ленной и посвящена использованию нечетких чисел LR-типа в задачах прикладного характера, в которых данные числа ис пользуются с целью провести анализ в условиях неопределенно сти.

Настоящая статья, в соответствии с приведенной классифи каций, относится к первой группе.

Математическая теория управления В статье впервые показано, что приведенные арифметиче ские операции над нечеткими числами LR-типа можно выпол нить, переходя от нечетких чисел к соответствующим им ком плексным числам или матрицам, что позволяет упростить выполнение указанных арифметических операций (в частности с применением систем компьютерной математики) и использо вать наглядные графические их представления на комплексной плоскости.

2. Комплексный метод выполнения арифметических операций над нечеткими числами Приведем утверждение, определяющее связь между ариф метическими операциями над симметричными нечеткими чис лами LR-типа и комплексными числами.

Утверждение 1. Введем в рассмотрение преобразование, ставящее в однозначное соответствие произвольное симметрич ное число LR-типа и комплексное число x = y + jz, где т.е.. Пусть далее имеются симмет ричные нечеткие числа LR-типа:,и. Сопоставим им комплексные числа:

и.

Тогда при m n, m 0 и m арифметические операции над нечеткими числами и соответствуют операци ям над комплексными числами:

,,,, где – комплексное сопряженное по отношению к.

Доказательство. Сравним результаты арифметических операций над нечеткими числами и их комплексными изображениями и [1, 4, 9]:

,.

Таким образом:

Управление большими системами. Выпуск ;

,.

С учетом того, что для нечетких чисел m n, имеем:

.

Таким образом:

,.

Таким образом:

, С учетом того, что для нечетких чисел m, имеем:

, Из приведенного утверждения, в частности, следует, что симметричные нечеткие числа LR-типа можно изображать на комплексной плоскости в виде векторов: проекция вектора на действительную ось – «четкая» часть нечеткого числа, проекция на мнимую – степень нечеткости.

На рис. 1 представлена графическая иллюстрация выполне ния арифметических операций сложения и вычитания над не четкими числами на комплексной плоскости.

Математическая теория управления Рис. 1. Графическая иллюстрация арифметических операций над нечеткими числами на комплексной плоскости 3. Матричный метод выполнения арифметических операций над нечеткими числами Приведем утверждение, определяющее связь между ариф метическими операциями над симметричными нечеткими чис лами LR-типа и матрицами.

Утверждение 2. Введем в рассмотрение преобразование, ставящее в однозначное соответствие произвольное симметрич y z ное число LR-типа и матрицу, т.е.

zy. Пусть далее имеются симметричные нечеткие числа,и. Сопоставим им LR-типа:

m n матрицы: и.

m n Тогда при m n, m 0 и m арифметические опе рации над симметричными нечеткими числами LR-типа и соответствуют операциям над матрицами:

, T,, Управление большими системами. Выпуск.

Доказательство утверждения основано на изоморфизме y z комплексных чисел x =y + jz и матриц вида [2, 8], zy а также эквивалентности арифметических операций над нечет кими и комплексными числами (см. утверждение 1).

4. Численный пример В качестве примера рассмотрим расчет чистого приведен ного дохода (ЧПД) в условиях неопределенности [7]. Все расче ты будем проводить с использованием системы компьютерной математики MathCAD.

Предположим, что месячный индекс инфляции, поступле ния и отток денежных средств в m-м месяце заданы симметрич ными нечеткими числами LR-типа: i (0,01;

0,002;

0,002), pm ( Pm, pm, pm ) и om (Om, om, om ) соответственно.

Cведем значения поступления и оттока денежных средств в таблицу 1.

Таблица 1. Значения поступления и оттока денежных средств Номер месяцаm Pm pm Om om 1 100 10 20 2 120 10 20 3 130 10 20 4 100 10 15 5 110 10 15 6 160 20 15 7 170 20 10 8 180 20 10 9 150 20 10 10 150 20 5 Руководствуясь утверждением 1, рассчитаем ЧПД с приме нением комплексных чисел. Для этого осуществим переход от нечетких симметричных чисел LR-типа к комплексным числам:

Математическая теория управления (1) i ~ i 0,01 0,002 j, (2) pm ~ pm Pm pm j, (3) om ~ om Om om j.

Используя формулу расчета ЧПД [4] N (4) npv pm om, m 1i m где N – общее количество месяцев, и утверждение 1 получим выражение для расчета ЧПД с применением комплексных чи сел:

(5).

Реализовав в MathCAD расчет ЧПД с применением форму лы (5), получим: = 1156,55 + 127,88j.

Осуществив обратный переход от комплексных к нечетким числам получим значение ЧПД:

n~v = (1156,55;

127,88;

127,88).

p На рис. 2 изображена векторная диаграмма определения суммарного ЧПД.

Рис. 2. Векторная диаграмма определения суммарного ЧПД Управление большими системами. Выпуск Аналогичным образом согласно утверждению 2 заменим нечеткие числа их матричными изображениями:

(6) (7), (8) Адаптируя формулу (4) для операций с матрицами на осно ве утверждения 2, получим:

(9) где – единичная матрица.

Реализовав в MathCAD расчет ЧПД с применением форму лы (9), получим:

.

Переходя от матриц к нечетким числам, получим значение ~v =(1156,55;

127,88;

127,88) – такое же, как и при использова np нии комплексного метода.

Как известно, широко распространенные системы компью терной математики (MATLAB, MathCAD, Maple и др.) содержат средства, позволяющие выполнять арифметические операции над комплексными числами и матрицами, причем как в числен ном, так и в символьном виде. В тоже время указанные системы компьютерной математики в своей стандартной комплектации не содержат средств выполнения арифметических операций над нечеткими числами. Вышеприведенные утверждения позволяют сводить арифметические операции над симметричными нечет кими числами LR-типа к арифметическим операциям над ком плексными числами и матрицами, что дает возможность упро стить выполнение указанных арифметических операций с применением систем компьютерной математики.

Математическая теория управления 5. Заключение В статье впервые предложены утверждения, позволяющие сводить арифметические операции над симметричными нечет кими числами LR-типа к арифметическим операциям над ком плексными числами или матрицами, что дает возможность:

1) упростить выполнение арифметических операций над не четкими числами LR-типа (в частности с применением систем компьютерной математики, содержащих средства, которые позволяют выполнять арифметические операции над комплекс ными числами и матрицами, как в численном, так и в символь ном виде);

2) использовать наглядное графическое представление арифметических операций над нечеткими числами LR-типа на комплексной плоскости в виде векторных диаграмм и годогра фов;

3) переходить в формулах от матриц с элементами в виде не четких чисел LR-типа к матрицам большей размерности с эле ментами в виде действительных чисел.

Литература АЛТУНИН А.Е., СЕМУХИН М.В.Модели и алгоритмы 1.

принятия решений в нечетких условиях. – Тюмень: Изда тельство Тюменского государственного университета, 2000. –352 с.

БАЛК М.Б., БАЛК Г.Д. Реальные применения мнимых чи 2.

сел. – Киев: Радянська школа, 1988. –255 c.

БОРИСОВ А.Н., АЛЕКСЕЕВ А.В., МЕРКУРЬЕВ Г.В. и др.

3.

Обработка нечеткой информации в системах принятия ре шений. – М.: Радио и связь, 1989. –304 c.

БРОНШТЕЙН И.Н., СЕМЕНДЯЕВ К.А. Справочник по 4.

математике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Нау ка, 1986. –544 c.

ДРОЗДОВ А.В., СПЕСИВЦЕВ А.В., КИМЯЕВ И.Т. Обобще 5.

ние расширенных арифметических операций над нечеткими числами (LR)-типа // Деп. ВИНИТИ №2185-В-95, 1995.

Управление большими системами. Выпуск ДЮБУА Д., ПРАД А. Теория возможностей. Приложения к 6.

представлению знаний в информатике.– М.: Радио и связь, 1990. –288 c.

КУЧАРИНА Е.А. Инвестиционный анализ. – СПб.: Питер, 7.

2006. –160 c.

ЛАРИН С.В. Числовые системы.– М.: Академия, 2001. – 8.

c.

Нечеткие множества в моделях управления и искусствен 9.

ного интеллекта / Под ред. Д.А. Поспелова. – М.: Наука, 1986. –312 c.

УСКОВ А.А.,КУЗЬМИН А.В. Интеллектуальные техноло 10.

гии управления. Искусственные нейронные сети и нечеткая логика. – М.: Горячая Линия-Телеком, 2004. –143 c.

УСКОВ А.А., СУРГУЧЕВА И.В., ГОРБУНОВ А.М. Анализ 11.

систем обработки информации и управления с помощью групповых нечетких чисел // Программные продукты и сис темы. – 2009. – №3. – С. 19–21.

ЯХЪЯЕВА Г.Э. Алгебры с нечеткими операциями: Дис.

12.

канд. физ.-мат. наук.– Алматы, 2000. –150 c.

ЯХЪЯЕВА Г.Э. Нечеткие множества и нейронные сети. – 13.

М.: Интернет-Университет информационных технологий;

БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. –316 c.

14. DUBOIS D., PRADE H. Operations on fuzzy numbers // Int. J. Syst. Sci. – 1978. –Vol. 9, №6. –P. 613–626.

15. DUBOIS D., PRADE H. Fuzzy real algebra: some results // Fuzzy Sets and Systems. –1979. –Vol. 2, №4. –P. 327–348.

16. DUBOIS D., PRADE H. Systems of linear fuzzy constraints // Fuzzy Sets and Systems. –1980. –Vol. 3, №1. –P. 37–48.

17. DUBOIS D., PRADE H. Fuzzy sets and systems: Theory and Applications. – New York: Acad. Press, 1980. –394 p.

Математическая теория управления COMPLEX-NUMBERS-BASED AND MATRIX BASEDMETHODS TO PERFORM ARITHMETIC OPERATIONS ON FUZZY NUMBERS Andrey Uskov, Russian University of Cooperation, Moscow, Doctor of Science, professor.

Igor Kiselev, Russian University of Cooperation, Moscow, Postgra duate student.

Abstract: We prove propositions which reduce arithmetic operations on fuzzy numbers of LR-type to arithmetic operations on complex numbers and matrices. This simplifies calculation (in particular, in computer computations) and allows for the intuitive graphical representation on fuzzy numbers on the plane of complex numbers (in the form of vector diagrams and hodographs).

Keywords: arithmetic, complex numbers, matrices, fuzzy num bers.

Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии Д. А. Новиковым Управление большими системами. Выпуск УДК 519.6+004. ББК 22. МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С МАРКОВСКИМИ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯМИ Черных Н. В. (Арзамасский политехнический институт (филиал) Нижегородского государственного технического университета им Р.Е. Алексеева) Рассматриваются математические модели сложных систем в виде стохастических дифференциальных уравнений с марков скими переключениями диффузионной составляющей, завися щими от фазового состояния. Проводится моделирование решений таких уравнений в среде Scilab с использованием схем Эйлера, Мильштейна, Тейлора, сравнивается качество аппрок симаций.

Ключевые слова: стохастические системы, марковские пере ключения, схема Эйлера, схема Мильштейна, схема Тейлора для стохастических систем, сходимость, устойчивость, по грешность, доверительный интервал.

1. Введение Вследствие широкого диапазона применений, гибридные системы, также известные как системы с переключаемой диффу зией, стали более популярными в последние годы и привлекают повышенное внимание, особенно в области контроля и оптими зации. Как отмечают в [25] G. Gerorge Yin, Chao Zhu, одной из причин популярности систем с переключаемой диффузией Надежда Валентиновна Черных, аспирантка (nadezdacher@mail.ru).

Математическая теория управления является то, что много систем реального мира в новую эру требуют построения сложных моделей;

кроме того, увеличены требования к моделированию больших систем, проектированию оптимальных средств управления. Объединяя непрерывную динамику и дискретные события, гибридные системы способны описывать сложные системы, их изменчивость и хаотичность в окружающей среде.

Гибридные системы рассматривали для моделирования си стем электроэнергии Willsky и Levy, для контроля солнечного теплового центрального приемника – Sworder и Rogers и многие другие. Еще в 1987 г. Athans в работе «Command and control (C2) theory: a challenge to control science» предположил, что гибридные системы станут основной структурой в изложении и решении связанных с контролем проблем в крупных системах управления и коммуникаций [13]. Гибридные системы с мар ковским режимом переключений использовались для моделиро вания многих физических систем, которые могут испытывать частые непредсказуемые структурные изменения, вызванные явлениями типа повреждения или отказа компонент и резких волнений окружающей среды. Ссылки на эти и другие работы можно найти в [13, 15, 25].

Процессы с механизмом переключений используются также для моделирования производственных процессов, описания функционирования биржи, для сбора данных об отдельных изменениях в финансовой сфере и страховании, а также реше ния стохастических проблем оптимизации в беспроводных каналах связи и сетях.

Современные финансовые рынки являются сложными сис темами, состояние которых может резко изменяться во времени с восходящими и нисходящими тенденциями. Их изучению и моделированию посвящено много исследований. Например, в [17] авторы исследуют драматические события экономических кризисов, сравнивая мировой финансовый кризис последних лет с депрессией 1930-х. В [6] авторы отмечают, что модель марков ской переключаемой диффузии с непрерывным временем широ ко используется в финансовой математике, и предлагают свой Управление большими системами. Выпуск метод оценки параметров для реального соответствия ситуации на мировом рынке. В последние годы страхование жизни стано вятся все более популярным в крупных страховых и финансо вых рынках во всем мире. Заключая контракт, держатели стра хового полиса платят ежегодные взносы страховщику, который управляет капиталом. Одна ключевая особенность этих инве стиционных планов – разделение прибыли от инвестиционного портфеля между держателями страховых полисов и страховщи ком. В [21] предлагается модель, позволяющая оценить резуль таты участия в таких проектах, описанная переключаемой диф фузией под управлением марковской цепи. В [6, 7, 11, 17, 21] можно найти ссылки на множество других работ в этой сфере.

Моделирование и имитация биохимических систем – важ ные задачи, потому что они могут обеспечить понимание слож ной системы в случаях, когда традиционное экспериментирова ние дорого или невозможно. Биологические системы – часто смеси непрерывных и дискретных процессов со сложной дина микой, в которых разъединение и изучение отдельных компо нент может пролить свет на функции всей системы. Моделиро вание таких систем – интересная, перспективная, но сложная задача. Стохастические гибридные системы – идеальное средст во для моделирования биохимических систем. В работе [20] авторы развивают метод моделирования стохастической гиб ридной системы, а также представляют социологическое иссле дование системы баланса воды/электролита в людях. Там же можно найти ссылки на другие работы.

В [5] авторы проводят вероятностный анализ пространст венно-временного распространения гриппа в Германии, также используя диффузионной моделью под управлением дискретной цепи Маркова. Грипп – одна из самых распространенных и серьезных болезней во всем мире, поэтому важно понимать характер распространения болезни. Baroyan, Rvachev и Иванни ков (1977) были первыми, кто смоделировал пространственное распространение гриппа, рассматривая сеть транспортировки из определенного региона на примере системы железнодорожного транспорта в СССР.

Математическая теория управления Один из важных классов гибридных систем – стохастиче ские дифференциальные уравнения с марковскими переключе ниями (SDEwMSs). Большинство SDEwMSs не имеет явных решений, поэтому важно иметь численные решения. В 2004 г.

C. Yuan, X. Mao отмечали в [28], что «нет никаких численных методов для SDEwMSs, хотя методы решения стохастических дифференциальных уравнений (SDEs) хорошо изучены», и предлагали свой метод решения подобных уравнений.

В последующие годы численное решение SDEwMSs изуча лось интенсивно разными авторами. Ссылки на такие работы можно найти в [12, 14, 22, 26, 28]. В 2010 г. в свой книге [25] G. Gerorge Yin, Chao Zhu отмечали, что, несмотря на то, что численные методы для SDEwMSs были рассмотрены многими исследователями, меньше известны методы моделирования процессов с переключениями, зависящими от состояния, т. е.

изучение такого механизма переключений находится все еще в периоде становления, так как в нем есть свои трудности.

Среди работ последних лет по развитию методов решения SDEwMSs и оценке погрешности можно отметить [4, 9, 10, 16, 18, 19, 23].

Данная работа продолжает исследование, начатое в [3, 25, 27] по моделированию решений SDEwMSs с переключениями, зависящими от фазового состояния.

Многие авторы работ по численному моделированию отме чают, что сходимость численной схемы не является гарантией того, что схема может использоваться эффективно в практиче ском моделировании. Неустойчивость схемы может сделать ее бесполезной для решения практических задач.

В данной работе будем сравнивать качество аппроксима ций, полученных с использованием известных численных схем Эйлера, Мильштейна, Тейлора, адаптированных для моделиро вания переключаемых диффузионных процессов (подобно тому, как это делали авторы [8], но без переключений), устойчивость данных схем при моделировании решений SDEwMSs с разными начальными условиями, шагом дискретизации, рассматривая различные варианты задания матрицы переходов и меняя вре Управление большими системами. Выпуск менной интервал. Будем использовать теорию и методы из [8], а также некоторые теоретические сведения из [1, 2]. Представлен ные в данной статье примеры могут быть полезны для понима ния некоторых особенностей процесса моделирования систем с переключаемой диффузией.

2. Предварительные сведения (, F, P) Пусть – вероятностное пространство;

Ft, t0 t t0 + T, – неубывающее семейство -подалгебр F;

r(), r = 1, …, d, – независимые винеровские процессы. Пусть M = {1, …, m} – конечное множество.

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение с марковскими переключениями в форме d (1) dX (t ) a ( (t ), X (t ))dt r ( (t ), X (t )) dr (t ), r где (t) – однородный марковский процесс со счетным множест вом состояний M;

(2) P (t ) l (t ) u, x ( s), ( s ), s t qul (t ) o( ), u l, x(t ) n, a(,) : n M n и (,) : n M nn.

где Q() : n mm – ограниченная и непрерывная функция;

Q( x ) (qul ( x )) m m для каждого x;

qul(x) 0 при u l, m qul ( x) 0 для каждого u M.

l Предполагается, что функции f((t), x(t)) и r((t), x(t)) опре делены при t [t0, t0 + T], x n, и удовлетворяют следующим условиям:

условию Липшица при всех t [t0, t0 + T], x n, y n, u M:

(3) a (u, x) a(u, y ) (u, x ) (u, y ) K x y, а также условию (4) a (u, x) (u, x ) K (1 x ), Математическая теория управления которое накладывает ограничения на скорость изменения ком понент функций по x.

Будем использовать далее следующие обозначения:

|x| означает евклидову норму вектора x;

xy – скалярное про изведение векторов x и y;

К – положительная константа.

Xu,x(t) или просто X(t) – решение уравнения (1), удовлетво ряющее начальным данным Xu,x(t) = x. Разобьем промежуток [t0, t0 + T] точками деления tn на N равных частей, так что tn+1 – tn =, n = 0, 1, …, N – 1. Приближение к X(tn) будем обо значать Yn, где Y0 = X(t0).

Представим схему Эйлера (Euler-Maruyama) в виде (5) Yn 1 Yn a( n, Yn ) n ( n, Yn ) n, где = (t);

x = x(t).

Схему Мильштейна представим в виде (6) Yn 1 Yn a( n, Yn ) n ( n, Yn ) n ( n, Yn ) ( n, Yn ) n n, где = (t), x = x(t).

Схему Тейлора (Платена) порядка 1,5 – в виде (7) Yn 1 Yn a( n, Yn ) n ( n, Yn ) n ( n, Yn ) ( n, Yn ) n n a ( n, Yn ) ( n, Yn )Z n 1 12 a ( n, Yn )a ( n, Yn ) ( n, Yn )a ( n, Yn ) n 2 2 a( n, Yn ) ( n, Yn ) 2 ( n, Yn ) ( n, Yn ) n n Z n ( n, Yn ) ( n, Yn ) ( n, Yn ) ( n, Yn ) 1 n n n, Управление большими системами. Выпуск t n 1 s где = (t);

x = x(t);

Z n d s ds 2 ;

k есть N(0, ) гаус t n tn совски распределенных приращений винеровского процесса на подынтервалах tn t tn+1, Yt 0 x 0.

Используя леммы, доказанные Мильштейном, и обобщен ную теорему Платена (см. [3]), можно установить среднеквадра тичную сходимость схем (5), (6), (7) к решению уравнения (1) при выполнении условий (3), (4) соответственно порядка точно сти 1/2, 1, 3/2.

3. Теория постановки компьютерных экспериментов Есть два основных типа задач, связанных с моделировани ем решений стохастических дифференциальных уравнений.

Первый встречается в ситуациях, где требуется хорошее при ближение, например в прямых моделированиях, фильтрации или тестировании статистических оценок. Во втором случае интерес сосредотачивается на приближении математических ожиданий функционалов процессов Ито, их вероятностных распределений и моментов [8].

Известно [2], что даже для численно устойчивой схемы при увеличении промежутка интегрирования ошибка численной схемы может расти и превышать допустимые пределы, хотя теоретически она остается ограниченной. Эта проблема стано вится особенно актуальной в тех задачах, где промежуток ин тегрирования [t0, T] заранее не известен, например, при модели ровании момента первого выхода. Однако в ряде случаев удается гарантировать выполнение требуемого ограничения сверху на ошибку численного метода. Как правило, достижение этого происходит за счет выбора подходящего шага интегриро вания, параметров численной схемы и промежутка интегриро вания. Существенную роль в устойчивости численных методов также играют особенности конкретных стохастических диффе Математическая теория управления ренциальных уравнений, к которым эти методы применяются [1].

Пусть Yp, p = 0, 1, …, – дискретная аппроксимация решения стохастического дифференциального уравнения Ито (1), которая стартует в момент t0 из точки Y0. Через Y’p, p = 0, 1, …, обозна чим эту же дискретную аппроксимацию, но стартующую в момент t0 из точки Y’0. Выберем некоторый конечный промежу NT ток интегрирования [t0, T] и покроем его сеткой j j 0, такой что t 0 0 1... N T T, max j 1 j.

0 j N T Для любого t [t0, T]определим натуральное число Nt сле дующим образом: N t max j : j t. [1] j Определение 1. Будем говорить, что дискретная аппрок симация Yp, p = 0, 1, …, стохастически численно устойчива для данного стохастического дифференциального уравнения, если для любого конечного интервала [t0, T] существует такое постоянное число 0 0, что 0 и (0, 0) выполняется условие [1]:

lim sup P Y N t Y N t 0.

(8) Y0 Y0 0 t t T 3.1. КРИТЕРИЙ АБСОЛЮТНОЙ ПОГРЕШНОСТИ Критерий абсолютной погрешности есть математическое ожидание модуля разности между приближением и процессом Ито в момент T = E(|XT – Y(T)|), что дает меру приближения на конце временного интервала [0, T].

Можно получить статистическую оценку абсолютной по грешности, используя компьютерные эксперименты.

Смоделируем N типовых траекторий процесса Ито и их приближений, соответствующих тем же самым типовым траек ториям винеровского процесса, построенных с использованием той или иной численной схемы.

Управление большими системами. Выпуск Обозначим как XT,k и YT,k значения k-х моделируемых траек торий в момент T. Будем оценивать абсолютную погрешность как статистическую величину [8]:

1N (9) X T,k Yt, k.

N k 3.2. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ ДЛЯ АБСОЛЮТНОЙ ПОГРЕШНОСТИ Для больших N, как известно из центральной предельной теоремы, погрешность ведет себя асимптотически как гаус совская случайная величина и сходится по распределению к неслучайному математическому ожиданию абсолютного зна чения погрешности при N.

Невозможно воспроизвести бесконечное число траекторий.

Однако можно оценить среднее отклонение 2 от и затем использовать эти оценки при построении доверительного интер вала для абсолютной погрешности. Для этого нужно модели ровать М партий по N значений в каждой и оценивать отклоне ние от следующим образом. Обозначим как YT,k,j значение k-й воспроизведенной траектории в j-партии в момент времени T и как XT,k,j соответствующее значение процесса Ито. Усредненные погрешности 1N (10) j X T,k, j YT, k, j N k из M партий, j = 1, 2,..., M, являются тогда независимыми и приближенно гауссовскими для больших N.

Будем вычислять погрешности в каждой партии, потому что тогда мы можем использовать t-распределение Стьюдента для построения доверительных интервалов сумм независимых гаус совских случайных величин (или приближенно гауссовских) с неизвестной дисперсией.

В частности мы оцениваем средние величины для партий 1M 1 MN j NM X T,k, j Yt,k, j (11) M j 1 j 1 k и затем используем формулу Математическая теория управления 1M (12) 2 j, M 1 j чтобы оценивать дисперсию для найденных средних величин партий. Эксперименты показали, что средние значения могут интерпретироваться как являющиеся гауссовскими для партий размером N 15;

но обычно используют N = 100 [8].

100 (1 – ) % доверительный интервал имеет вид, с (13) t1, M M где значение t1–,M–1 определяется из t-распределения Стьюдента с M – 1 степенями свободы. Для M = 20 и = 0,1 мы имеем t1–,M–1 1,73 из таблицы (см. [8]). В этом случае абсолютная погрешность попадет в соответствующий доверительный интервал с вероятностью 1 – = 0,9.

3.3. ЗАВИСИМОСТЬ АБСОЛЮТНОЙ ПОГРЕШНОСТИ ОТ РАЗМЕРА ШАГА Размер шага, конечно, имеет влияние на величину абсо лютной погрешности. Это видно более явно, если построить зависимость log2 от log2. Известно, что функция f() = A становится линейной в логарифмических координатах, и вы полняется loga f() = loga A + loga для логарифмов с основа нием a 1. В сравнительных исследованиях удобно выбирать шаг в форме = a–k для k = 1, 2, … и a 1 [8].

4. Постановка задачи Для практических моделирований определяем (см. [1, 2, 3, 8]), где – гауссовская переменная.

Перепишем схему (5):

(14) Yn 1 Yn a( n, Yn ) n ( n, Yn ) n.

Управление большими системами. Выпуск В таком виде схема рассмотрена в [25, 27] и др., где пред ставлено доказательство ее сходимости к решению уравнения dx(t) = a((t), x(t)) dt + ((t), x(t)) d(t), x(0) = x0;

(0) = 0, где – марковский процесс переключений.

Перепишем (6) в виде (15) Yn 1 Yn a( n, Yn ) n ( n, Yn ) I (1) ( n, Yn ) (, x) I (1,1), где I(1), I(1,1) – соответствующие интегралы Ито.

Перепишем (7) в виде (16) Yn 1 Yn a( n, Yn ) n ( n, Yn ) I (1) ( n, Yn ) ( n, Yn ) I (1,1) a ( n, Yn ) ( n, Yn ) I (1, 0) a( n, Yn ) a ( n, Yn ) 2 ( n, Yn )a ( n, Yn ) I ( 0, 0) ( a( n, Yn ) ( n, Yn ) 2 ( n, Yn ) ( n, Yn )) I ( 0,1) ( n, Yn ) ( n, Yn ) ( n, Yn ) ( n, Yn ) I 1,1,1, ;

I 0, 0 2n ;

где I 1 n ;

I 1,1 n n 1 n n 1 2 ;

где 1, 2 – гауссовские случай I 1,0 2 ные величины;

1 1 I 0,1 n n I 1, 0 ;

I 1,1,1 n n n ;

(см. [3]).

23 Далее представим результаты компьютерных эксперимен тов для нахождения решений SDEwMSs, используя численные схемы (14), (15), (16), и сравним качество аппроксимаций, используя изложенные выше практические методы.

5. Пример Рассмотрим процесс Ито X = {Xt, t 0}, удовлетворяющий линейному стохастическому уравнению Математическая теория управления (17) dX t f ( t, X t ) X t dt g ( t, X t ) X t dt, на временном интервале [0, T], X0 = 1. Пусть M = {1, 2, …, m} – число состояний марковской цепи;

Q – матрица интенсивно стей;

P – матрица переходных вероятностей, P = I + Q, где I – единичная матрица (см. [3, 27]);

f(t, Xt) и g(t, Xt) – непре рывные, ограниченные, дважды дифференцируемые функции, удовлетворяющие условиям (3), (4).

В численных схемах (14), (15), (16) a(t, xt) = f(t, xt) xt, (t, xt) = g(t, xt) xt для рассматриваемого уравнения 1 (18) X t X 0 exp f ( t, x t ) g 2 ( t, xt ) t g ( t, x t ) t является решением уравнения (17) для t [0, T ] и данного вине ровского процесса = {t, t 0}.

Чтобы смоделировать линейно интерполированную траек торию аппроксимаций (14), (15), (16), зададим начальное зна чение Y0 = X0 и будем рекурсивно генерировать значения Yn с равным значением шага. Будем моделировать 20 партий по N = 100 траекторий в каждой.

Расчеты погрешности и ширины доверительного интервала будем проводить для разного размера шага дискретизации.

Кроме того, учитывая переключаемый характер диффузионного процесса, экспериментально проследим, насколько устойчива та или иная схема к колебаниям значений коэффициентов в урав нении (17), изменению матрицы переходов на различных вре менных интервалах при разной интенсивности скачков.

Случай 1.

Пусть f(t, xt) принимает два значения {1, 2}, соответст вующие первому и второму состоянию марковской цепи. Пусть g(t, xt) принимает два значения {1, 2}.

5 cos 2 x 5 cos 2 x 1. Q = 10 cos 2 x 10 cos 2 x ;

P = I + Q;

1 = 20 + cos x;

2 = sin x + 5cos 2x;

1 = 0,2x;

2 = 0,08x.

Управление большими системами. Выпуск Рис. 1. Аппроксимаия Эйлера yt и точное решение xt при = 0,001 (T = 0,01);

марковская цепь Рис. 2. Аппроксимаия Мильштейна (синяя кривая) Математическая теория управления Рис. 3. Аппроксимация Тейлора 1,5 и точное решение уравнения 2. Изменим значения 1, 2, 1, 2:

1 = cos2(x);

2 = sin(x) + 5cos(2x);

1 = 0,2x;

2 = 0,5x.

Рис. 4. Аппроксимация Эйлера (красная кривая), Мильштейна (синяя кривая), Тейлора 1,5 (зеленая кравая) и точное решение уравнения = 0,025 (T = 1) Управление большими системами. Выпуск Рис. 5. Среднее значение абсолютной ошибки и доверительный интервал при = 0,2;

0,1;

0,05;

0,025 (T = 1);

зависимость погрешности от размера шага дискретизации Рис. 6. Аппроксимации Эйлера, Мильштейна, Тейлора 1,5 и точное решение уравнения = 0,00375;

(T = 0,3) Математическая теория управления Рис. 7. Среднее значение абсолютной ошибки и доверительный интервал при = 0,03;

0,015;

0,0075;

0,00375 (T = 0,3) Рис. 8. Аппроксимации Эйлера, Мильштейна, Тейлора 1,5 и точное решение уравнения = 0,0005;

(T = 0,02) Управление большими системами. Выпуск Рис. 9. Среднее значение абсолютной ошибки и доверительный интервал при = 0,004;

0,002;

0,001;

0,0005 (T = 0,02) Случай 2.

5 sin x 5 sin x 0 cos 2 x cos x 0 1. Q ;

cos 2 x cos 2 x 7 cos x 7 cos x 0 1 = 3sin x;

2 = 2 + cos x;

3 = –6sin 2x;

4 = 0,2 x2;

1 = 0,2x;

2 = 0,07x;

3 = 2x2;

4 = 0,8x.

Математическая теория управления Рис. 10. Аппроксимация Мильштейна при = 0,01;

(T = 0,1) Изменим значения:

3 = 2sin 2x;

4 = 0,2x2;

1 = sin x;

2 = 1 + cos x;

1 = 0,2x;

2 = 0,7x;

3 = 0,1x2;

4 = 0,5x;

Рис. 11. Аппроксимации Эйлера, Мильштейна, Тейлора 1,5 и точное решение уравнения при = 0,025;

(T = 1) Управление большими системами. Выпуск Рис. 12. Среднее значение абсолютной ошибки и доверительный интервал при = 0,2;

0,1;

0,05;

0,025 (T = 1);

зависимость погрешности от размера шага дискретизации Рис. 13. Аппроксимации Эйлера, Мильштейна, Тейлора 1,5 и точное решение уравнения при = 0,015;

(T = 0,3) Математическая теория управления Рис. 14. Среднее значение абсолютной ошибки и доверительный интервал при = 0,03;

0,015;

0,0075;

0,00375 (T = 0,3);

зависимость погрешности от размера шага дискретизации Рис. 15. Аппроксимации Эйлера, Мильштейна, Тейлора 1,5 и точное решение уравнения при = 0,0005;

(T = 0,04) Управление большими системами. Выпуск Рис. 16. Среднее значение абсолютной ошибки и доверительный интервал при = 10-1;

10-2;

10-3;

10-4 (T = 1;

0,1;

0,01;

0,001) 5 sin x 5 sin x 0 2 cos x cos x 0 2. Q ;

cos 2 x cos 2 x 0 7 cos x 7 cos x 1 = 2 + sin x;

2 = 1 + cos x;

3 = 3 cos2 2x;

4 = sin 4x;

1 = 0,5x;

2 = 3x;

3 = 0,2x;

4 = 0,007x.

Математическая теория управления Рис. 17. = 0,025;

(T = 1) Рис. 18. = 0,1;

0,05;

0,025 (T = 1) Управление большими системами. Выпуск Рис. 19. Аппроксимации Эйлера, Мильштейна, Тейлора и точное решение уравнения при = 0,01;

(T = 0,02) Рис. 20. Среднее значение абсолютной ошибки и половина ширины доверительного интервала при = 0,02;

0,01 (T = 0,2);

зависимость погрешности от шага дискретизации Далее используем 1 = 0,05;

2 = 8;

3 = 0,2;

4 = 0,007.

Математическая теория управления Рис. 21. Среднее значение абсолютной ошибки и половина длины конфиденциального интервала при = 0,1;

0,02;

0,004;

0,0008 (T = 1;

0,2;

0,04;

0,008);

средняя погрешность в партии при = 0,0008 (T = 0,008);

марковская цепь при = 0, (T = 0,008) 1 = sin x;

2 = –4 cos x;

3 = 3 cos2 x;

4 = cos 2x;

1 = 0,2;

2 = (3 + 0,1x);

3 = 0,7;

4 = 0,8.

Рис. 22. Аппроксимация Мильштейна при = 0,02 (T = 0,1) Управление большими системами. Выпуск Рис. 23. Среднее значение абсолютной ошибки и половина длины доверительного интервала при = 0,01;

0,02;

величина средней погрешности в партии = 0,02 (T = 0,1) Случай 3.

3 cos x 0 0 0 0 3 cos x 0 0 cos x 0 cos x 0 0 0 0 0 5 cos 2 x 5 cos 2 x 0 0 0 0 0 6 sin 2 x 0 0 0 6 sin 2 x ;

Q 0 0 0 0 2 sin x 0 2 sin x 0 0 0 5 cos x 0 0 5 cos x 0 0 2 sin 4 x 0 0 2 sin 4 x 0 0 0 0 3x 2 3x 0 0 0 0 1 = 3x;

2 = 2sin x;

3 = –6x2;

4 = cos 4x;

5 = cos2x;

6 = –sin x;

7 = 2 + x;

8 = 5sin 2x;

1 = 0,1x;

2 = 0,03x;

3 = 7x;

4 = 0,7x;

5 = 0,9x;

6 = 0,2x;

7 = 4x;

8 = 0,2x.

Математическая теория управления Рис. 24. Аппроксимация Эйлера, Мильштейна, Тейлора 1,5 и точное решение уравнения = 0,00375 (T = 0,3);

марковская цепь 1 = 0,1x;

2 = 0,3x;

3 = 0,7x;

4 = 0,7x;

1 = 0,9x;

2 = 0,2x;

3 = 0,4x;

4 = 0,2x.

Рис. 25. Аппроксимация Эйлера, Мильштейна, Тейлора 1,5 и точное решение уравнения = 0,00625 (T = 0,5) Управление большими системами. Выпуск Рис. 26. Среднее значение абсолютной ошибки и доверительный интервал при = 0,05;

0,025;

0,0125;

0,00625 (T = 0,5) 3 cos x 0 0 0 0 3 cos x 0 cos x 0 0 cos x 0 5 cos 2 x 0 0 0 5 cos x 0 0 6 sin 2 x 0 0 0 0 6 sin 2 x 0 Q 2 sin x 2 sin x 0 0 0 0 0 0 5 cos x 5 cos x 0 0 0 0 2 sin 4 x 2 sin 4 x 0 0 0 0 0 3 sin x 3 sin x 0 0 0 0 1 = 3x;

2 = 2 sin 4x;

3 = 6 cos x;

4 = sin 4x;

5 = cos2x;

6 = –sin x;

7 = 2 + x;

8 = 5 sin 2x;

1 = 1,5x;

2 = 3x;

3 = 0,7x;

4 = 4x;

5 = 0,29x;

6 = 0,6x;

7 = 0,24x;

8 = 0,27x.

Математическая теория управления Рис. 27. Аппроксимация Эйлера, Мильштейна, Тейлора 1,5 и точное решение уравнения = 0,0025(T = 0,1) Рис. 28. = 0,01;

0,005;

0,0025 (T = 0,1) Управление большими системами. Выпуск Рис. 29. Аппроксимация Эйлера, Мильштейна, Тейлора 1,5 и точное решение уравнения = 0,00625 (T = 0,5) Рис. 30. Зависимость погрешности от размера шага дискрети зации ( = 0,05;

0,025;

0,0125 (T = 0,5)) Рис. 31. Аппроксимация Эйлера при = 0,025 (T = 1) Математическая теория управления Рис. 32. Аппроксимации Мильштейна (синяя кривая), Тейлора (зеленая) = 0,025 (T = 1) Рис. 33. Среднее значение абсолютной ошибки и доверительный интервал схем Эйлера, Мильштейна (на графике), Тейлора (в окне программы) при = 0,2;

0,1;

0,05;

0,025 (T=1) 6. Заключение В данной статье были использованы известные численные схемы Эйлера, Мильштейна, Тейлора (Платена) в виде (14), (15), (16) для нахождения приближенного решения SDEwMSs вида (17) с механизмом переключений, зависящим от фазового состояния.

Используя методы Peter E. Kloeden, Eckhard Platen, Henri Schurz из [8], в данной работе было проведено сравнение качества аппроксимаций, подсчитаны значения абсолютной Управление большими системами. Выпуск погрешности, ширины 90% доверительного интервала с различ ными вариантами выбора начальных условий, шага дискрети зации, ширины временного интервала, размера и вида матрицы переходов.

В результате можно сделать следующие выводы.

Качество аппроксимаций зависит от вида функций f(t, Xt) и g(t, Xt), являющихся коэффициентами в уравнении (17) и для которых требуется выполнение условий (3), (4). Эксперименты показали, что данные условия можно несколько ослабить, но в таком случае качественные приближения возможны только на малых временных интервалах с малым размером шага дискре тизации.

В целом точность методов Тейлора и Мильштейна опреде ленно выше на небольших временных интервалах с малым размером шага дискретизации. При увеличении временного интервала разница в ошибке уменьшается и качество аппрокси маций мало отличается.

Устойчивость все три метода показывают на малых вре менных интервалах. На достаточно больших временных интер валах часто ошибка численной схемы превышает допустимые значения. В любом случае, чрезмерное уменьшение шага дис кретизации приводит к увеличению погрешности. Накопление ошибки происходит из-за того, что на каждом шаге винеровский процесс получает некоторое приращение, и, соответственно, при малом размере шага и относительно большой длине временного интервала приращение становится настолько большим, что не компенсируется малым размером шага, как предполагалось в теоретических исследованиях. Схема Эйлера несколько более устойчива в таких случаях. Схема Мильштейна, отличаясь от схемы Эйлера только одним слагаемым, часто показывает более точные результаты по сравнению со схемой Эйлера, и в тоже время она немного устойчивее «чувствительной» к увеличению интенсивности и диапазона значений скачков схемы Тейлора (Платена).

Интересно было проследить, как меняется качество аппрок симаций при увеличении размера матрицы переходов. Это Математическая теория управления также одно из возможных направлений для теоретических ис следований.

Отметим также, что при проведении экспериментов по мо делированию сложных процессов многое зависит от конкретных уравнений, начальных условий, корректности решения (в нашем случае само «точное решение» тоже находится несколько при ближенно), выбора интервала, шага дискретизации. Поэтому однозначных выводов о качестве методов по нескольким приме рам сделать нельзя. Показанные в данной статье иллюстрации численного моделирования представляют лишь небольшую часть реально проведенных компьютерных экспериментов и демонстрируют часто повторяющиеся случаи, которые позволя ют все же сделать некоторые выводы о моделировании подоб ных процессов и могут помочь при решении практических задач.

Литература Стохастические дифференциальные 1. КУЗНЕЦОВ Д.Ф.

уравнения: теория и практика численного решения. – Спб.:

Издательство Политехнического университета, 2007. – 800 с.

2. МИЛЬШТЕЙН Г.Н. Численное интегрирование стохасти ческих дифференциальных уравнений. – Свердловск: Изд-во Уральского университета, 1988. – 224 с.

3. ЧЕРНЫХ Н.В., ПАКШИН П.В. Алгоритмы численного решения стохастических дифференциальных систем с пе реключаемой диффузией // Управление большими система ми. Сборник трудов. – 2012 – №36 – С. 106–143.

4. BAO J., HOU Z. An analytic approximation of solutions of stochastic differential delay equations with Markovian switch ing // Mathematical and Computer Modelling. – 2009. – Vol. 50, №9–10. – P. 1379–1384.

5. DARGATZ C. A Diffusion Approximation for an Epidemic Model // Ludwig-Maximilian University Munich. – 2007. – Управление большими системами. Выпуск P. 1– 20. – URL: http://www.epub.ub.uni-muenchen.de/1882/ (дата обращения: 19.11.2012).

ELLIOTT R.J., KRISHNAMURTHY V., SASS J. Moment 6.

based regression algorithms for drift and volatility estimation in continuous-time Markov switching models // Econometrics Journal – 2008. – Vol. 11. – P. 244–270.

FAN J., ZHANG C. A Reexamination of Diffusion Estimators 7.

With Applications to Financial Model Validation // Journal of the American Statistical Association. – 2003. – Vol. 98, №461. – P. 118–134.

KLOEDEN P.E., PLATEN E., SCHURZ H. Numerical Solution 8.

of SDE Through Computer Experiments. – Berlin: Springer – Verlag, 1994. – 294 p.

LI H., XIAO L., YE J. Strong predictor-corrector Euler 9.

Maruyama methods for stochastic differential equations with Markovian switching // Journal of Computational and Applied Mathematics. Available online 5 July 2012. – URL:

http://www.pas.sciplore.org/archivepages/2011-03/ (дата обра щения: 19.11.2012).

LI R., PANG W.-K., LEUNG P.-K. Convergence of numeri 10.

cal solutions to stochastic age-structured population equations with diffusions and Markovian switching // Applied Mathemat ics and Computation. – 2010. – Vol. 216, №3. – P. 744–752.

LIU R.H., ZHANG Q., YIN G. Option pricing in a regime – 11.

switching model using the fast fourier transform // Economet rics Journal. – 2008. – Vol. 11. – P. 244–270.

MAO X., YUAN C. Stochastic Differential Equations with 12.

Markovian Switching. – London: Imperial College Press, 2006. – 428 p.

MAO X., YUAN C., YIN G. Numerical method for stationary 13.

distribution of stochastic differential equations with Markovian switching // Journal of Computational and Applied Mathematics.

–2005. – №174. – P. 1–27.

MAO X., YUAN C., YIN G. Approximations of Euler 14.

Maruyama type for stochastic differential equations with Mark ovian switching, under non-Lipschitz conditions // Journal of Математическая теория управления Computational and Applied Mathematics. – 2007 – Vol. 205, №2. – P. 936–948.

MARITON M. Jump Linear Systems in Automatic Control. – 15.

Marcel Dekker, New York, 1990. – 297 p.

MILOEVI M., JOVANOVI M. A Taylor polynomial ap 16.

proach in approximations of solution to pantograph stochastic differential equations with Markovian switching // Mathematical and Computer Modelling. – 2011. – Vol. 53, №1–2. – P. 280–293.

PREIS T., SCHNEIDER J.J., STANLEY H.E. Switching proc 17.

esses in financial markets // Proceedings of the National Acad emy of Sciences (USA). – 2011. – Vol. 108, №19. – P. 7674–7678.

RATHINASAMY A. Split-step -methods for stochastic age 18.

dependent population equations with Markovian switching // Nonlinear Analysis: Real World Applications. – 2012. – Vol. 13, №3 – P. 1334–1345.

RATHINASAMY A., YIN B., YASODHA B.. Numerical analy 19.

sis for stochastic age-dependent population equations with Poisson jump and phase semi-Markovian switching // Commu nications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. – 2011. – Vol. 16, №1. – P. 350–362.

RILEY D, RILEY K. Simulation of stochastic hybrid system 20.

with switching and reflecting boundaries [Электронный ре сурс] // IEEE Proceedings of the 2008 Winter Simulation Con ference [Internet-Conference]. – 2008. – P. 804–812.

SIU T.K., LAU J.W., YANG H. Pricing Participating Products 21.

under a Generalized Jump-Diffusion Model // Journal of Ap plied Mathematics and Stochastic Analysis. – 2008. – P. 1–30.

SONG Q.S., YIN G., ZHANG Z. Numerical Solutions of Sto 22.

chastic Control Problems for Regime-switching Systems // Sub mitted to Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Sys tems. – URL: http://www.math.wayne.edu/~zzhang/ publist.html (дата обращения: 18.11.12).

WU S.J., ZHOU B. Existence and uniqueness of stochastic 23.

differential equations with random impulses and Markovian Управление большими системами. Выпуск switching under non-lipschitz conditions // Acta Mathematica Sinica. – 2011. – Vol. 27, №3. – P. 519–536.

YIN B., MA Z. Convergence of the semi-implicit Euler method 24.

for neutral stochastic delay differential equations with phase semi-Markovian switching // Applied Mathematical Modelling. – 2011. – Vol. 35, №5. – P. 2094–2109.


YIN G.G., ZHU C. Stochastic modeling and applied probability.

25.

Hybrid switching diffusions. Properties and applications. – Springer Science + Business Media, LLC, 2010. – 395 p.

YIN G.G., KRISHNAMURTHY V. LMS Algorithms for Track 26.

ing Slow Markov Chains With Applications to Hidden Markov Estimation and Adaptive Multiuser Detection // IEEE transac tions or information theory. – 2005. – Vol. 51, №7. – P. 2475–2490.

YIN G., MAO X., YUAN C., CAO D. Approximation methods 27.

for hybrid diffusion systems with state-dependent switching processes: numerical algorithms and existence and uniqueness of solutions // SIAM Journal on Mathematical Analysis. – 2010. – Vol. 41, №6. – P. 2335–2352.

YUAN C., MAO X. Convergence of the Euler–Maruyama 28.

method for stochastic differential equations with Markovian switching // Mathematics and Computers in Simulation. – 2004. – Vol. 64, №2. – P. 223–235.

Математическая теория управления MODELLING SOLUTIONS OF STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATION WITH MARKOVIAN SWITCHINGS Nadezda Chernykh, Arzamas Polytechnic Institute of R.E. Alekseev, Nizhny Novgorod State Technical University, Arzamas, post-graduate student (nadezdacher@mail.ru).

Abstract: We consider mathematical models of hybrid systems in the form of stochastic differential equations with Markovian switchings and a state-dependent switching component. We propose an exten sion of Euler, Milshtein, and Taylor schemes for numerical ap proximation of solutions for such stochastic differential equations.

Quality of approximations is experimentally compared in Scilab software for numerical computation.

Keywords: stochastic systems, Markovian switchings, Euler scheme, Milstein scheme, Taylor scheme, convergence, stability, error, confi dential interval.

Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии Я. И. Квинто Управление большими системами. Выпуск УДК 519. ББК Ж АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО УПРАВЛЕНИЮ БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРОГНОЗИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ Фуртат И. Б. (Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург, Российский государственный университет нефти и газа им. И.М. Губкина, Москва) Рассмотрена задача адаптивного управления объектами с за паздыванием по управлению без использования прогнозирующих устройств и при измерении только выхода объекта. Получен ный алгоритм обеспечивает слежение выхода объекта за эта лонным сигналом с заданной точностью. Приведены результа ты моделирования, иллюстрирующие работоспособность ал горитма.

Ключевые слова: объект с запаздыванием по управлению, модифицированный алгоритм адаптации высокого порядка, наблюдатель, сингулярно возмущенная система.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №12-08-01183-а), а также в рамках ФЦП «Научные и научно педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 гг., вы полняемой в РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, и НИУ ИТМО (соглашения 14.B37.21.0871, 14.B37.21.1480).

Игорь Борисович Фуртат, кандидат технических наук, доцент (cainenash@mail.ru).

Анализ и синтез систем управления 1. Введение На сегодняшний день проблема управления объектами в условии неопределенности – одна из фундаментальных задач теории и практики автоматического управления. Решению дан ной проблемы посвящено достаточно большое количество лите ратуры (например [5–7, 10]). Проблема управления в условии неопределенности усложняется, если в модели объекта присут ствует запаздывание во входном сигнале. Известно, что неучет времени запаздывания может привести к невыполнению цели управления, а иногда и к потере устойчивости системы [2–4].

По способу реализации системы управления объектами с запаздыванием по управлению можно условно разделить на два вида: одноконтурные и двухконтурные. Впервые были предло жены двухконтурные системы управления, где в первом контуре осуществлялся прогноз регулируемой величины на время запаз дывания, а во втором обеспечивалось выполнение поставленно го целевого условия. Позже были предложены одноконтурные схемы управления, где исключался первый контур (предиктор).

Стоит отметить, что, как правило, достоинства двухконтурной схемы управления состоят в применение предиктора, который позволяет получить модель объекта, не содержащую запаздыва ние. Поэтому для дальнейшего синтеза можно использовать лю бые решения, разработанные для объектов без запаздывания.

Однако расчет и реализация двухконтурной системы управления может быть достаточно громоздкой, и динамический порядок регулятора высокий. Одноконтурная же система управления от личается простотой реализации и расчета, при этом динамиче ский порядок регулятора не высокий.

Впервые решение задачи прогноза регулируемой величины на время запаздывания было рассмотрено в [20]. Решение стро илось на введении контура (предиктора Смита) параллельно объекту, который позволял получить новую модель объекта, не содержащую запаздывания. Позже для непрерывных объектов был также предложен регулятор Ресвика [2], для дискретных систем – предиктор Цыпкина [14]. Однако решения [2, 14, 20] были получены при предположениях о знании параметров мо дели объекта, его устойчивости и минимальной фазовости.

Управление большими системами. Выпуск Среди многочисленных решений, полученных для прогноза регулируемой величины на время запаздывания, предиктор Смита (включая его модификации) получил наиболее широкое распространение. Так, в [17] для управления объектами с неиз вестными параметрами предложен перезапускающийся (reset ting) предиктор Смита, где через заданные интервалы времени происходит перерасчет его состояния. В [11] предложен адап тивный вариант предиктора Смита с одним настраиваемым па раметром для объектов с измеряемым вектором состояния. В [8] рассмотрено обобщение результата [11] для адаптивного управ ления, когда доступен измерению только скалярный выход объ екта. В работе [16] для синтеза системы управления вначале предлагалось представить модель объекта, описываемую обык новенным дифференциальным уравнением произвольного по рядка с запаздыванием в виде гиперболического дифференци ального уравнения в частных производных первого порядка.

Дальнейший синтез системы управления основан на использо вании метода обратного обхода интегратора [5] и предиктора Смита. В [19] рассмотрено неявное использование предиктора Смита для получения системы управления без прогнозирующих устройств. Однако в [19] был получен объект управления с по ложительно-обратной связью, что не гарантировало устойчи вость замкнутой системы управления. Причем алгоритм [19] работоспособен только для объектов с относительной степенью не превышающей двух. В [9] предложен алгоритм адаптивного управления без использования предиктора для объектов с про извольной относительной степенью. Однако параметризация уравнения объекта в [9] позволяет синтезировать закон управле ния только для устойчивых объектов. В [13] предложено роба стное управление объектами с запаздывающим входным сигна лом. Получено условие на величину запаздывания, выполнение которого гарантирует работоспособность системы управления.

В статье решается задача адаптивного управления объекта ми с известным запаздыванием во входном сигнале без исполь зования предиктора. Решение ищется при измерении только вы хода объекта, но не его производных. Предложена новая пара метризация уравнения объекта, применение которой позволяет синтезировать закон управления для неустойчивых объектов.

Анализ и синтез систем управления Алгоритм слежения выхода объекта управления за эталонным сигналом строится на базе модифицированного алгоритма адап тации высокого порядка [12]. Приводятся результаты численно го моделирования, иллюстрирующие работоспособность пред ложенной схемы.

2. Постановка задачи Пусть в объекте управления динамические процессы опи сываются уравнением Q( p) y(t ) kR( p)u(t h), (1) pi y(0) yi 0, i 0,...,n 1, u(s) 0, s [h,0], где y(t) – регулируемая величина;

u(t) – управляющее воздейст вие;

h 0 – известное время запаздывания;

Q(p), R(p) – линей ные дифференциальные операторы с единичными коэффициен тами при старшей производной и порядками n и m соответст венно;

k 0;

p = d/dt – оператор дифференцирования;

yi0 – не известные начальные условия.

Эталонную модель зададим уравнением (2) Qm ( p) y m (t ) k m Rm ( p) r (t ).

Здесь ym(t) – выход эталонной модели;

r(t) – задающее воз действие;

km 0 – известный коэффициент;

Qm(p), Rm(p) – ли нейные стационарные дифференциальные операторы с единич ными коэффициентами при старшей производной. Порядки Qm(p), Rm(p) те же, что и у операторов Q(p), R(p) соответственно.

Цель управления состоит в поиске закона управления, обеспечивающего выполнение предельного соотношения (3) lim y (t ) ym (t h), t где 0 – некоторое малое число, которое может быть умень шено за счет выбора параметров в системе управления.

Предположения.

1. Коэффициенты операторов Q(p), R(p) и число k постоян ные неизвестные величины, зависящие от некоторого вектора неизвестных параметров, – известное множество воз можных значений вектора.

Управление большими системами. Выпуск 2. Полиномы Q(), R(), Qm(), Rm() – гурвицевы, где – комплексная переменная.

3. Известны порядки операторов объекта (1) и эталонной модели (2). Причем =n – m 1, где – относительная степень.

4. Задающее воздействие r(t) – ограниченная функция.

5. В системе управления доступны измерению только сигналы y(t), ym(t) и r(t).

3. Модель обобщенно настраиваемого объекта управления Представим операторы Q(p) и R(p) в виде сумм Q(p) = Qm(p) + Q(p) и R(p) = Rm(p) + R(p), где Q(p) и R(p) – операторы с неизвестными коэффициента ми, порядки которых не превышают n – 1 и m – 1 соответствен но. Подставим это разложение в (1) и составим уравнение для ошибки слежения e(t) = y(t) – ym(t – h) в виде kR ( p ) R ( p) e(t ) m u (t h) u (t h) Qm ( p) Rm ( p) (4) k Q( p ) y (t ) m r (t h).


kRm ( p) k Решим сначала поставленную задачу, когда выполнены только предположения 1–4.

Введем закон управления Q ( p) (5) u (t ) m v(t ), Rm ( p ) где v(t) – вспомогательное управляющее воздействие, структура которого будет предложена ниже. С учетом закона управления (5), преобразуем уравнение (4) к виду R( p) e(t ) k v (t h) v (t h) Rm ( p) k R ( p) Q ( p) y (t ) m m r (t h).

kQm ( p) kQm ( p) Введем фильтры Анализ и синтез систем управления 1 (t ) F11 (t ) bv (t h), 1 (0) 0, (6) 2 (t ) F2 2 (t ) by (t ), 2 (0) 0, (t ) F (t ) br (t h), (0) 0.

3 23 Здесь 1(t) Rm;

2(t) Rn;

3(t) Rn;

F1, F2 – числовые матри цы в форме Фробениуса с характеристическими многочленами Rm() и Qm() соответственно;

b = [0, …, 0, 1]T – вектор, раз мерность которого соответствует размерности рассматриваемой системы.

Принимая во внимание уравнения фильтров (6), преобразу ем последнее уравнение ошибки к виду T T T (7) e (t ) k v (t h) c011 (t ) c02 2 (t ) c033 (t ), где c01, c02, c03 – векторы неизвестных постоянных параметров, коэффициентами которых являются коэффициенты операторов R(p), Q(p)/k и kmRm(p)/k соответственно.

Снова преобразуем уравнение объекта (1) с учетом разло жения оператора Q(p) = Qm(p) + Q(p), закона управления (5), первых двух уравнений фильтров (6). В результате получим kR ( p ) Q( p) T T y (t ) c011 (t ) kc02 2 (t ), y (t ) v (t h) Rm ( p) Qm ( p) где c01 – вектор, составленный из коэффициентов оператора kR(p). Подставим последнее выражение во второе уравнение фильтров (6):

2 (t ) F2 kbc 02 2 (t ) bc 011 (t ).

T T c0 = –[c01T, –c02T, –c03T]T, Введем обозначения T T T T w(t) = [1 (t), 2 (t), 3 (t)] и перепишем уравнения (6) и (7) в виде (8) w(t ) Aw(t ) Bf (t h), T (9) e(t ) k v (t h) c0 w(t ), где b F1 0 v ( t h ) A bc01 F2 kbc02 0, B 0 0, f (t h) T T.

r (t h) F 0 0 b Найдем решение уравнения (8) в форме Управление большими системами. Выпуск t w(t h) e Ah w(t ) A(t s ) e Bf ( s )ds.

t h Сделав замену s = g + t, перепишем последнее выражение в виде w(t h) e Ah w(t ) e Ag Bf (t g ) dg.

h Подставим последнее в (9):

T T (10) e(t ) k v(t h) 0 w(t h) 0 ( g ) f (t g h)dg.

h T T Ah T T –Ag Здесь 0 = c0 e, 0 = c0 e B – новые векторы неиз вестных постоянных параметров.

В результате получена обобщенно настраиваемая модель по ошибке слежения (10) для которой можно применять любые из вестные схемы управления. Дальнейший синтез системы управ ления будем осуществлять с помощью модифицированного ал горитма адаптации высокого порядка [12].

4. Метод решения Зададим закон вспомогательного управляющего воздейст вия v(t) в виде (11) v(t ) T (t ) w(t ) T (t, g ) f (t g h) dg, h где (t) и (t) – векторы настраиваемых параметров. Подставим (11) в (10) и преобразуем (10) к виду T e(t ) k (t h) 0 w(t h) (12) 0 T (t h, g ) 0 ( g ) f (t g h) dg.

h Утверждение 1. Пусть выполнены предположения 1–4.

Тогда система управления, состоящая из закона управления (5) и (11), фильтров (6) и алгоритмов адаптации Анализ и синтез систем управления (t ) 1e(t ) w(t h), (13) (t, g ) 2 e(t ) f (t g h), t где 1 0, 2 0, обеспечивает выполнение целевого условия (3) и ограниченность всех сигналов в замкнутой системе управле ния.

Доказательство. Выберем функцию Ляпунова в виде (t ) 0 T (t ) V1 (t ) 2k (14) 10 T (t, g ) 0 (t, g ) 0 dg, 2k 2 h и возьмем от нее полную производную по времени вдоль траек торий (13):

T 1 0 (t, g ) 1T (t ) (t ) 0 (t, g ) 0 dg V1 (t ) k 2 h t k1 e(t ) T w (t h) (t ) 0 f T (t g h) (t, g ) 0 dg.

k h Подставим в правую часть последнего выражения уравне ния ошибки (12) и перепишем его в виде V1 (t ) e 2 (t ).

Следовательно, функции (t) и (t, g) ограничены. Тогда из (13) следует, что (t, g ) lim (t ) 0, lim 0.

t t t Так как V1(t) 0 и V1 (t ) 0, то lim V1 (t ). С учетом этого t рассмотрим интеграл 0,5 0, 2 e (t ) dt V1 (t ) dt lim V1 (0) V1 (t ) 0,5.

t 0 0 Значит lim e(t ) 0. Докажем теперь ограниченность векто t ра регрессии w(t).

Управление большими системами. Выпуск Предположим, что вектор w(t) не ограничен. Тогда из огра ниченности сигналов (t), (t, g), r(t), гурвицевости полиномов Rm() и Qm(), уравнений фильтров (6) и ошибки (12) можно ут верждать, что sup y (t ) sup w(t ). Но тогда, в соответствии с st s t леммой [18], если |w(t)| возрастает, то степень роста |y(t)| мень ше, чем |w(t)|, а если lim w(t ) 0, то |y(t)| имеет порядок малости t больше, чем |w(t)|, что приводит к противоречию, значит вектор w(t) ограничен.

Для реализации закона управления (5) необходима реализа ция -производных сигнала v(t), что из (6), (11) и (13) требует измерение производных сигналов r(t – h), ym(t) и y(t). Последнее требование противоречит условию предположения 5. Тогда сформируем закон управления в виде Q ( p) (15) u (t ) m v (t ), Rm ( p) где v (t ) – оценка вспомогательного управляющего воздействия v(t), полученная с помощью наблюдателя [15] (16) (t ) G0 (t ) D0 (v (t ) v(t )), v (t ) L (t ), 0 I где (t) R;

G0, I – 1 – единичная матрица порядка 0 T d d d – 1;

D0 1, 2,...,, причем d1, …, d выбираются из условия гурвицевости матрицы G = G0 – DL, где D = [d1, …, d]T, L = [1, 0, …, 0], 0 – достаточно малая величина.

Для оценки точности наблюдения введем вектор отклоне ний (t ) Г1 (t ) (t ), где = diag{ – 1, – 2, …,, 1}, (t ) v(t ), v(t ),..., v ( 1) (t ) T.

Продифференцировав (t ) по времени с учетом уравнения (16), получим:

(t ) 1G (t ) bv ( ) (t ), (t ) 1L (t ).

Анализ и синтез систем управления Преобразуем предпоследние уравнения в эквивалентные относительно выхода (t ) :

(17) (t ) 1G (t ) qv(t ), (t ) 1L (t ).

Здесь 1 (t ) 1(t ), q = [1 –, 0, …, 0]T. Последние два уравнения эквивалентны относительно переменных 1 (t ) 1 (t ), так как являются различными формами записи уравнения p d1 1 p 1... d 1 (t ) p v (t ).

Принимая во внимание (16) и (17), уравнение ошибки (12) преобразуем к виду T e(t ) k (t h) 0 w(t h) (18) T (t, g ) 0 ( g ) f (t g h) dg 1 L (t h).

Утверждение 2. Пусть выполнены условия предположений 1–5. Тогда существует число 0 0 такое, что при 0 система управления, состоящая из фильтров (6), закона управления (11) и (15), алгоритмов адаптации (13) и наблюдателя (16) обеспечи вает выполнение целевого условия (3) и ограниченность сигна лов в системе управления.

Доказательство. Перепишем уравнения (17) и (18) в виде T e(t ) k (t h) 0 w(t h) T (19) (t, g ) 0 ( g ) f (t g h)dg 2 1 L (t h), 1 (t ) G (t ) 2 qv(t ), где 1 = 2 =. Воспользуемся первой леммой [1]. Для этого возьмем функционал Ляпунова–Красовского в виде (20) V (t ) V1 (t ) V2 (t ), где V1(t) определяется выражением (14), t V2 (t ) T (t ) N1 (t ) T ( s) N 2 ( s) ds, t h N1 = N1T 0 определяется из уравнения N1T G GN1 Q, Q Q T 0, N 2 N 2 0.

T Управление большими системами. Выпуск В соответствии с леммой [1] рассмотрим (19) при 2 = 0. С учетом результата, полученного в утверждении 1, вычислим от (20) полную производную по времени вдоль траекторий (19):

V (t ) e 2 (t ) T (t )Q (t ) (21) (t ) N 2 (t ) T (t h) N 2 (t h).

T 1 Q N 2 Q2 0, то V1(t) 0 и V (t ) 0, а значит си Если стема (19) при µ2 = 0 асимптотически устойчива и все сигналы в ней ограничены. В соответствии с леммой [1], система уравне ний (6), (11), (15), (13), (16) и (19) диссипативна при 2 = 0. Най дем теперь 0, при котором система управления сохраняет область диссипативности.

Пусть теперь в (19) 1 = 2 = 0. Рассмотрим снова функ ционал (20) и возьмем от него производную по времени вдоль траектории (13), (19):

V (t ) e 2 (t ) k 1e(t ) L (t h) T (t )Q2 (t ) 2 0 T (t ) N1qv(t ) T (t h) N 2 (t h).

Воспользуемся оценками:

e 2 (t ) k 1e(t ) L (t h) T (t h) N 2 (t h) 1 e(t ) k 1 L (t h) 0 при k k и 2 k 2 2 2 L 2 0 ;

2 0 T (t ) N1qv (t ) 2 0 T (t ) N1qq T N1 (t ) v 2 (t ), где sup v (s).

2 0 T (t ) N1qq T N1 (t ) s t Подставив полученные оценки в (21), получим V (t ) e 2 (t ) T (t ) Q2 2 0 N1qq T N1 (t ) 2 0.

Если Q2 – 20N1hThN1 = Q3 0, то все сигналы в замкнутой системе будут ограничены. Причем, уменьшая число 0, можно уменьшить значение в целевом условии (3).

Анализ и синтез систем управления Для иллюстрации работоспособности предложенного в ста тье алгоритма рассмотрим пример.

5. Примеры Пусть объект управления (1) описывается уравнением (22) p 3 a1 p 2 a 2 p a3 y (t ) ku (t h).

Класс неопределенности задан неравенствами: 3 ai 7, i = 1, 2, 3;

0,5 k 5;

h – известное время запаздывания, кото рое будет определено позже.

Эталонную модель (2) зададим выражением ( p 1) 3 y m (t ) r (t ), r (t ) 1 0, 2 sin 0,2t, (23) y m (0) y m (0) m (0) 0.

y Так как Rm(p) = 1, Qm(p) = (p + 1)3, то первый фильтр (6) от сутствует, а остальные сформируем в виде 0 1 0 (t ) 0 (t ) 0 y (t ), 2 0 1 1 3 3 2 (0) 0, (24) 0 1 0 3 (t ) 0 1 3 (t ) 0 r (t h), 1 3 3 3 (0) 0.

Сформируем вектор регрессии в виде w(t) = [2T(t), 3T(t)]T.

Выберем в (16) D = [3, 3, 1]T и = 0,1, и сформируем на блюдатель (16) в виде 0 1 0 3 0, (t ) 0 0 1 (t ) 3 0,12 v (t ) v(t ), (25) 1 0, 0 0 v (t ) 1, 0, 0 (t ), Управление большими системами. Выпуск где (t) = [1(t), 2(t), 3(t)]T, (0) = 0.

Пусть в (13) 1 = 0,8 и 2 = 0,1. В результате алгоритмы адаптации (13) и закон управления (11) и (15) примут вид (t ) 0,8e(t ) w(t h), (0) 0, (t, g ) 0,1e(t ) f (t g h), (0, g ) 0, t (26) v(t ) T (t ) w(t ) T (t, g ) f (t g h)dg, h u (t ) p 1 v (t ) 1 (t ) 3 2 (t ) 3 3 (t ) 3 (t ).

На рис. 1 и рис. 2 приведены результаты моделирования по выходу объекта y(t), выходу эталонной модели ym(t) и управ ляющему воздействию u(t) при следующих значениях парамет ров в объекте управления:

(27) y (0) y (0) (0) 1 ;

k = 1;

a1 = 5;

a2 = 5;

a3 = 5;

h = 2 с.

y Рис. 1. Переходные процессы по y(t) и ym(t) Анализ и синтез систем управления Рис. 2. Переходные процессы по u(t) На рис. 3 и рис. 4 приведены графики по y(t), ym(t) и u(t) при следующих параметрах в объекте:

(28) y (0) y (0) (0) 1 ;

k = 0,5;

a1 = 3;

a2 = 5;

a3 = 5;

h = 3 с.

y Результаты моделирования показали, что влияние величины запаздывания сказывается только в начале функционирования системы и практически не сказывается в установившемся режи ме.

Следует отметить, что в реальной ситуации объекты под вержены влиянию внешних неконтролируемых возмущений и значение запаздывания может быть известно неточно. Влияние внешних возмущений на результаты переходных процессов не значительно, если собственная частота возмущений значительно отличается от собственной частоты объекта. При регулировании объектами с неизвестным запаздыванием (которое может быть переменным) требуется наличие верхней оценки времени запаз дывания ( h h ), значение которой устанавливается в системе управления вместо h.

Управление большими системами. Выпуск Рис. 3. Переходные процессы по y(t) и ym(t) Рис. 4. Переходные процессы по u(t) Рассмотрим вышесказанное на численном примере модели рования. Пусть модель объекта управления (22) описывается уравнением (29) p 3 a1 p 2 a 2 p a3 y (t ) ku t h(t ) (t ).

Положим, что верхняя оценка времени запаздывания h 4 с. Эталонную модель зададим уравнением (23). Сформи руем систему управления, состоящую из фильтров состояния (24), наблюдателя (25), закона управления и алгоритмов на стройки параметров (26), где только во втором уравнении (24) и Анализ и синтез систем управления в первом, во втором и в третьем уравнениях вместо h ставит ся h.

На рис. 5 и рис. 6 приведены результаты моделирования по выходу объекта y(t), выходу эталонной модели ym(t) и управ ляющему воздействию u(t) при параметрах в объекте управле ния (29), взятых из (27), только где h = 2 + e–2t с и (t) = 1 + 0,5sin 0,1t.

Рис. 5. Переходные процессы по y(t) и ym(t) Рис. 6. Переходные процессы по u(t) Управление большими системами. Выпуск На рис. 7 и рис. 8 приведены результаты моделирования по y(t), ym(t) и u(t) при данных в объекте (29), взятых из (28), только где h = 3 – 0,5sin 4t с и (t) – белый шум.

Рис. 7. Переходные процессы по y(t) и ym(t) Рис. 8. Переходные процессы по u(t) Анализ и синтез систем управления 6. Заключение В статье решена задача адаптивного управления с эталон ной моделью для линейного объекта с неизвестными парамет рами и запаздыванием по управлению. При решении предпола галось, что измерению доступен только скалярный выход объ екта управления. Синтез системы управления осуществлялся с использованием модифицированного алгоритма адаптации вы сокого порядка. Получены алгоритмы, обеспечивающие слеже ние выхода объекта за эталонным сигналом с заданной точно стью без использования прогнозирующих устройств.

Литература 1. БРУСИН В.А. Об одном классе сингулярно возмущенных адаптивных систем. 1 // Автоматика и телемеханика. – 1995. – №4. – С. 119–127.

2. ГУРЕЦКИЙ Х. Анализ и синтез систем управления с запаз дыванием. – М.: Машиностроение, 1973. – 328 с.

3. КИРЬЯНЕН А.И. Устойчивость систем с последействием и их приложения. – СПб.: Издательство Санкт Петербургского университета, 1994. – 235 с.

4. КОЛМАНОВСКИЙ В.Б., НОСОВ В.Г. Устойчивость и пе риодические режимы систем с последействием. – М.: Нау ка, 1981. – 448 с.

5. МИРОШНИК И.В., НИКИФОРОВ В.О., ФРАДКОВ А.Л.

Нелинейное и адаптивное управление сложными динамиче скими системами. – СПб.: Наука, 2000. – 549 с.

6. ПОЛЯК Б.Т., ЩЕРБАКОВ П.С. Робастная устойчивость и управление. – М.: Наука, 2002. – 303 с.

7. ФОМИН В.М., ФРАДКОВ А.Л., ЯКУБОВИЧ В.А. Адаптив ное управление динамическими объектами. – М.: Наука, 1982. – 448 c.

8. ФУРТАТ И.Б., ЦЫКУНОВ А.М. Адаптивное управление объектами с запаздыванием по выходу // Известия ВУЗов.

Приборостроение. – 2005. – №7. – С. 15–19.

9. ФУРТАТ И.Б., ЦЫКУНОВ А.М. Синтез адаптивного управления по выходу для систем с запаздыванием на осно Управление большими системами. Выпуск ве модифицированного алгоритма высокого порядка // При боры и системы. Управление, контроль, диагностика. – 2006. – №8. – С. 15–17.

ЦЫКУНОВ А.М. Адаптивное и робастное управление ди 10.

намическими объектами. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. – 268 с.

ЦЫКУНОВ А.М. Адаптивное управление с компенсацией 11.

влияния запаздывания в управляющем воздействии // Извес тия РАН. Теория и системы управления. – 2000. – №4. – С. 78–81.

ЦЫКУНОВ А.М. Модифицированный адаптивный алго 12.

ритм высокого порядка для управления линейным объектом по выходу // Автоматика и телемеханика. – 2006. – №8. – С. 143–152.

ЦЫКУНОВ А.М. Следящие системы для линейных объек 13.

тов с запаздывающим управлением // Мехатроника, автома тизация, управление. – 2008. – №8. – С. 7–12.

ЦЫПКИН Я.З. Оптимальные адаптивные системы управ 14.

ления объектами с запаздыванием // Автоматика и телеме ханика. – 1986. – №8. – С. 5–24.

ATASSI A.N., KHALIL H.K. A separation principle for the sta 15.

bilization of class of nonlinear systems // IEEE Trans. Automat.

Control. – 1999. – Vol. 44, №9. – P. 1672–1687.

KRISTIC M. Delay compensation for nonlinear, adaptive, and 16.

PDE systems. – Birkhauser, 2009. – 466 p.

LOZANO R., CASTILLIO P., GARCIA P., DZUL A. Robust 17.

prediction-based control for unstable delay systems: Application to the yaw control of a mini-helicopter // Automatica. – 2004. – Vol. 40, №4. – P. 603–612.

18. NARENDRA K.S., ANNASWAMY A.M., SINGH R.P.

A general approach to the stability analysis of adaptive sys tems // Int. J. Control. – 1985. – Vol. 41, №1. – P. 193–216.

NICULESCU S.I., ANNASWAMY A.M. An adaptive Smith 19.

controller for time-delay systems with relative degree n 2 // Systems and control letters. – 2003. – Vol. 49, №5. – P. 347–358.

SMITH J.M. Closer control of loops with dead time // Chem.

20.

Eng. Prog. – 1959. – №53. – P. 217–219.

Анализ и синтез систем управления ADAPTIVE CONTROL OF PLANT WITH TIME DELAY IN INPUT SIGNAL USING NO PREDICTORS Igor Furtat, Institute of Problems of Mechanical Engineering of RAS, Saint-Petersburg, National Research University of Information Technologies, Mechan ics and Optics, Saint-Petersburg, Gubkin Russian State University of Oil and Gas, Moscow;

Cand. Sc., assistant professor (cainenash@mail.ru).

Abstract: The problem is considered of adaptive control of plants with time delay in input signal without using predictors and measuring only the output of a plant. The suggested algorithm guarantees the desired accuracy of tracking the plant output to a reference signal. Simulation results are provided illustrating algorithm performance.

Keywords: plant with time delay in input signal, modified algorithm of adaptation of high-order, observer, singularly perturbed system.

Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии Д. А. Новиковым Управление большими системами. Выпуск УДК 004. ББК 3. АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ВЕБ-СЕРВИСОВ В ЗАДАЧЕ ВЫБОРА ОПТИМАЛЬНОЙ КОНФИГУРАЦИИ СИСТЕМ С СЕРВИСНО-ОРИЕНТИРОВАННОЙ АРХИТЕКТУРОЙ Душкин Д. Н. 2, (ФГБУН Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова Российской академии наук, Москва) Данная работа посвящена проблеме выбора корректных крите риев сравнения веб-сервисов по предпочтению. Проводится об зор и анализ существующих подходов выбора таких критери ев. Подробно рассматривается вопрос оценки чувствительно сти веб-сервисов. Вводится понятие классов чувствительности веб-сервисов, описывается методика выделения и автоматизи рованного определения классов с помощью техник машинного обучения. Приводятся результаты вычислительного эксперимен та, реализующего методику. Обозначаются перспективные на правления исследований.

Ключевые слова: веб-сервисы, сервисно-ориентированная архи тектура, машинное обучение, анализ чувствительности.

1. Введение Предоставление сервиса вместо аппаратного и программно го обеспечения стало одним из ведущих направлений современ ной индустрии информационных технологий. Данная тенденция во многом меняет экономику сферы информационных техноло Автор признателен Смирновой Н.В., Миркину Б.Г. и Фархадо ву М.П. за ценное обсуждение содержания статьи.

Душкин Дмитрий Николаевич, аспирант (ddushkin@asmon.ru, тел.

8(916)978-58-96).

Информационные технологии в управлении гий и оказывает влияние на формирование информационного об щества в целом [17].

В основе сервис-ориентированных систем лежит веб-сервис – автономный вычислительный ресурс, предоставляющий свои функции через сеть Интернет (или Интранет) посредством от крытых протоколов обмена данными, не зависящих от платформ как самих ресурсов, так и связываемых с ними программных систем. Системы, использующие в своей работе веб-сервисы, называют системами с сервисно-ориентированной архитектурой (СОА).

Часто одну и ту же функцию предоставляют различные сер висы. Например, функцию геокодинга, т.е. конвертацию адреса в географические координаты (например, «Москва, ул. Профсоюз ная, 65» в «55.651345, 37.5382»), предоставляют сервисы Google Maps, Яндекс Карты, Bing Maps (сервис Microsoft), Nokia Maps и др. В таком случае перед инженерами, проектирующими систему с СОА, ставится многокритериальная задача выбора оптимально го по предпочтениям веб-сервиса, предоставляющего функцию геокодинга.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.