авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

А. А. Усков

СИСТЕМЫ

С НЕЧЕТКИМИ МОДЕЛЯМИ

ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ

МОНОГРАФИЯ

Смоленск 2013

УДК 519.254

ББК 30.17

У

75

Рецензенты:

доктор технических наук, профессор Курилин С. П.

(Российского университета кооперации)

доктор технических наук Михаль О. Ф.

(Харьковский национальный университет радиоэлектроники)

Усков А.А. Системы с нечеткими моделями объектов

У 75

управления: Монография. – Смоленск: Смоленский филиал АНО ВПО ЦС РФ "Российский университет кооперации", 2013. – 153 с.: ил.

ISBN 978-5-91805-024-8 В монографии рассматриваются методы синтеза регуляторов для одного класса систем автоматического управления, отличительной особенностью которого является представление объекта управления базой знаний в виде нечетких продукционных правил – нечеткой моделью.

Для специалистов в области теории управления и математического моделирования.

Монография издается в авторской редакции.

АНО ВПО ЦС РФ "Российский университет кооперации" Смоленский филиал, Усков А. А., ВВЕДЕНИЕ Проблема построения систем автоматического управления (САУ), способных функционировать в условиях неопределенности математического описания объекта управления, является одной из важнейших задач современного системного анализа и имеет общенаучное значение. Под неопределенностью в данном случае понимается неопределенность, обусловленная, как недостатком информации, необходимой для получения количественного описания протекающих процессов, так и сложностью объекта управления.

Существует, по крайне мере, три подхода к решению рассматриваемой научной проблемы.

При, так называемом, классическом подходе, САУ, предназначенные для работы в условиях неопределенности, анализируются и синтезируются, используя модели объектов управления первого приближения, отражающие наиболее существенные их характеристики. Данные модели определяются в форме дифференциальных или разностных уравнений, структуру которых получают либо на основе теоретического анализа процессов, протекающих в объекте, либо с использованием методов аппроксимации. Так, например, большинство методов синтеза ПИД регуляторов и законов самонастройки адаптивных САУ получены в предположении, что объекты управления удовлетворительно описываются линейными динамическими звеньями невысокого (обычно, не выше третьего) порядка. В то же время, указанное допущение часто приводит к тому, что теоретически спроектированная САУ на практике не могут обеспечить заданные показатели качества управления.

Два других подхода основаны на применении методов искусственных нейронных сетей и нечеткой логики. Отметим, что многие авторы выделяют САУ, использующие указанные методы, в отдельный класс – “Интеллектуальные САУ”, при этом, соответствующее научное направление, в рамках теории автоматического управления, получило название “Теория интеллектуальных САУ”.

Искусственные нейронные сети позволяют проводить идентификацию сложных нелинейных динамических объектов и синтезировать для них нелинейные законы управления, что дает возможность решать рассматриваемую задачу синтеза САУ в условиях неопределенности на основе имеющихся экспериментальных данных, полученных на объекте. В то же время, нейросетевые системы управления имеют существенный недостаток: всю информацию о моделируемом объекте нейронная сеть получает в процессе обучения, а это, в ряде случаев, приводит к необходимости иметь неприемлемо большой объем экспериментальных данных. Использовать знания, полученные экспертным методом, при конструировании нейронной сети, что могло бы уменьшить необходимый объем обучающей выборки, достаточно сложно.

Возможность широко использовать экспертные знания в системах управления дает нечеткая логика, позволяющая обеспечить формализацию качественных, размытых в смысловом отношении, понятий и связей. На основе методов нечеткой логики удается проектировать САУ, способные эффективно функционировать в условиях наличия информации об объекте управления лишь качественного характера.

Вместе с тем, несмотря на интенсивные исследования в области применения методов нечеткой логики в системах управления, все еще остаются не полностью решенными многие проблемы, связанные с разработкой методологии анализа и синтеза рассматриваемых систем. В частности, в большинстве научных работ по нечеткому управлению исходной предпосылкой является наличие хотя бы приближенной математической модели объекта управления, заданной в виде нелинейных дифференциальных или разностных уравнений. В то же время, часто модель сложного объекта управления может быть получена лишь в виде соотношений качественного характера между его переменными состояния (т. е. в виде так называемой нечеткой модели), что делает результаты указанных научных работ мало применимыми на практике.

В связи с вышесказанным, представляется актуальной научной проблемой разработка теории широкого класса систем с нечеткими моделями объектов управления, охватывающей задачи анализа и синтеза данных систем.

В монографии изложены следующие оригинальные результаты, полученные автором:

1. Предложена обобщенная нечеткая модель динамического объекта, позволяющая формально описывать широкий класс односвязных динамических объектов управления.

2. Разработан метод синтеза нечетких регуляторов для объектов управления, заданных нечеткими моделями, на основе обратной динамики и самоорганизации, позволяющий проектировать системы управления по экспериментальным данным, полученным путем измерений на объекте, при относительно небольших затратах машинного времени.

3. Разработан алгоритм решения задач оптимального управления, так называемый нечеткий дополняюще-оптимизирующий алгоритм, отличающийся от известных возможностью использовать экспертную информацию качественного характера для улучшения точности решения и невысокими требованиями к вычислительным ресурсам, а также метод синтеза нечетких регуляторов на его основе.

Монография состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения.

В первой главе рассмотрены методы построения систем управления для работы в условиях неопределенности, предложена обобщенная нечеткая модель динамического объекта, рассмотрены принципы построения систем управления с нечеткой логикой, сформулированы задачи исследования.

Во второй глава приводятся разработанные методы синтеза САУ с нечеткими моделями объектов управления.

В приложении рассмотрены развитые методы построения нечетких моделей динамических объектов на основе экспериментальных данных и экспертной информации качественного характера.

СИСТЕМЫ C НЕЧЕТКИМИ МОДЕЛЯМИ ОБЪЕКТОВ 1.

УПРАВЛЕНИЯ 1.1. Системы управления для работы в условиях неопределенности математического описания объекта Особенностью процессов, протекающих в современных технологических установках, приборах и агрегатах является существенная сложность получения их адекватного математического описания (математической модели). Вызвано это, как многообразием задействованных физических эффектов и отсутствием теории в соответствующих областях науки, так и нестационарностью объекта и наличием неконтролируемых возмущающих воздействий. Кроме того, даже если проведение идентификации теоретически возможно, получение экспериментальных данных для синтеза модели часто сопряжено со значительными трудностями, в частности требованием недопустимо больших длительностей экспериментов, затрат материальных ресурсов или возможностью выхода из строя объекта.

Таким образом, возникает задача синтеза систем управления сложными объектами в условиях неполной информации об их математическом описании – систем управления способных работать в условиях неопределенности [1 - 3].

В настоящее время на практике находят применение несколько подходов для построения систем управления способных работать в условиях неопределенности. Рассмотрим основные из них.

1. ПИД-контроллеры. ПИД-контроллеры (в русскоязычной литературе, обычно, используется термин ПИД-регуляторы) строятся на основе эмпирического подхода, при котором закон управления выбирается, исходя каких-либо логических построений качественного характера, и строго математически не обоснован [4 - 8]. В частности, идеализированный закон ПИД-регулирования для непрерывного случая имеет вид:

t d u (t ) K P e(t ) K I e(t ) dt K D e(t ), dt e(t ) x0 (t ) y (t ), где e(t ) – сигнал ошибки регулирования;

x0 – задающее воздействие;

y (t ) – выходной сигнал объекта;

u (t ) – выходной сигнал регулятора – управляющее воздействие;

KP, KI, KD – коэффициенты пропорциональной, интегральной и дифференциальной составляющих соответственно.

Идея работы ПИД-регулятора состоит в следующем:

пропорциональная составляющая отражает ошибку системы в настоящий момент времени, интегральная – историю изменения ошибки системы, а дифференциальная составляющая – предсказание будущей ошибки управления. Выходной сигнал регулятора u (t ), в свою очередь, направлен на минимизацию ошибки управления.

ПИД-регуляторы доказали свою эффективность в управлении разнообразными объектами и процессами. Более 80 % применяемых в настоящее время в промышленности регуляторов – это ПИД регуляторы.

При известной модели объекта управления, удовлетворяющей условию линейности, данные регуляторы могут быть проанализированы на основе хорошо разработанной линейной теории управления и просты для понимания [1].

Разработано большое количество достаточно эффективных методов экспериментальной настройки параметров ПИД-регуляторов под конкретные объекты управления [4 - 7].

Следует, однако, отметить, что для объектов с переменными параметрами, значительным временным запаздыванием, существенными нелинейностями и большими помехами ПИД регуляторы часто не могут обеспечить необходимого качества управления [1, 3, 7].

2. Традиционные адаптивные системы управления. В адаптивных системах управления параметры закона управления настраивается автоматически в зависимости от складывающейся в процессе управления ситуации [1, 6, 9 - 15].

Адаптивные системы, по сравнению с обычными системами управления, содержат контур самонастройки.

По критерию адаптации можно различать системы с эталонной моделью и системы с экстремальной самонастройкой. В первых из них регулятор адаптируется таким образом, чтобы замкнутая система управления имела свойства, как можно более близкие к заданным – свойствам эталонной модели. Во вторых регулятор адаптируется с целью получить наилучшие в том или ином смысле показатели качества управления.

Контур самонастройки будет разомкнутым, если он не совмещен с регулируемой величиной или параметрами объекта управления, а реагирует на некоторую косвенную величину, от которой зависит выходной сигнал системы. В системах с замкнутым контуром самонастройки либо в контур самонастройки подается сигнал, связанный каким-либо образом с регулируемой величиной, либо регулятор адаптируется в зависимости от параметров объекта управления, которые определяются посредством блока идентификации.

Существенным является способ определения информации для самонастройки. Возможны два варианта: с помощью подачи специального воздействия на объект управления, либо путем анализа естественного хода процесса управления.

В связи с этим, различают системы с поисковой самонастройкой и беспоисковые, или аналитически самонастраивающиеся.

Приведем примеры наиболее распространенных адаптивных систем управления [6, 16 - 20].

Самонастраивающееся ПИД-управление. В таких адаптивных системах параметры ПИД-регулятора настраиваются в зависимости от сигналов внешних возмущений, показателей качества управления или параметров объекта управления.

Другой из традиционных подходов к построению самонастраивающихся систем управления – обобщенное прогнозирующее управление [20]. Суть данного метода состоит в следующем: делается прогноз процесса в системе на длительный интервал времени, далее выбирается стратегия управления, затем данная стратегия, применяется на какое-то определенное время, в следующий момент времени снова делается прогноз, затем выбор стратегии и ее реализация на определенное время;

данный цикл постоянно повторяется. Рассмотренный подход эффективен при управлении неминимально-фазовыми, неустойчивыми в разомкнутом состоянии объектами и объектами с неизвестным запаздыванием.

Отметим недостатки адаптивных систем, разработанных согласно традиционным принципам. Большинство алгоритмов адаптации получены при условии отсутствия неконтролируемых возмущающих воздействий и при возможности определения всех параметров объекта в процессе идентификации. Кроме того, практически все алгоритмы адаптации работоспособны лишь, если выполняется гипотеза квазистационарности объекта управления и в течение времени настройки регулятора и отсутствуют исчезающие возмущающие воздействия. Следует также заметить, что существующие алгоритмы адаптации достаточно сложны в реализации, а процесс адаптации часто занимает неприемлемо продолжительно время [2].

Рассмотренные выше системы управления с ПИД регуляторами, а также адаптивные системы принято относить к традиционным системам управления. В них не применяются современные информационные технологии, такие, как нейронные сети, нечеткая логика, генетические алгоритмы, экспертные системы и ряда других (это можно считать их отличительной особенностью от интеллектуальных систем управления) [3, 16].

Интеллектуальные системы управления – это системы управления способные к “пониманию” и обучению в отношении объектов управления, возмущений, внешней среды и условий работы [3, 16, 21 - 32]. Основное отличие интеллектуальных систем – наличие механизма системной обработки знаний. Главная архитектурная особенность, которая отличает интеллектуальные системы управления от "традиционных" – это механизм получения, хранения и обработки знаний для реализации своих функций.

В основе создания интеллектуальных систем управления лежат два принципа: ситуационное управление (управление на основе анализа внешних ситуаций или событий) и использование современных информационных технологий обработки знаний.

Интеллектуальные технологии между собой различает, прежде всего то, что именно положено в основу концепции интеллектуальности – либо способность работать с формализованными знаниями человека (экспертные системы, нечеткая логика), либо свойственные человеку приемы обучения и мышления (искусственные нейронные сети и генетические алгоритмы).

Структурно интеллектуальные СУ содержат дополнительные блоки, выполняющие системную обработку знаний на основе названных выше информационных технологий. Данные блоки могут выполняться либо как надстройка над обычным регулятором, настраивая нужным образом его параметры, либо непосредственно включаться в замкнутый контур управления.

3. Нейросетевые системы управления. Нейросетевые системы управления – это системы управления, в которых используется архитектура искусственных нейронных сетей и их способность к обучению [3, 16, 33 – 64].

Рассмотрим некоторые наиболее известные варианты построения нейросетевых систем управления.

Простейшие схемы нейросетевого управления.

3.1.

Простейшая последовательная схема нейросетевого управления показана на рис. 1.1 [65 - 68].

Рис. 1.1. Последовательная схема нейросетевого управления На рис. 1.1 приняты следующие обозначения: НС – нейронная сеть, ОУ – объект управления, x0 – входной задающий сигнал системы (уставка), y – выходной сигнал системы, – сигнал, несущий информацию о контролируемых возмущениях.

Обученная нейронная сеть стремится воспроизвести обратную динамику объекта управления, обеспечив тем самым, выполнение равенства y x0.

В данном случае используется разомкнутая схема управления без отрицательной обратной связи. Достоинствами такой схемы являются простота и отсутствие проблем с устойчивостью. К недостаткам можно отнести следующее: при наличии неконтролируемых возмущений, а также нестационарности объекта управления данная схема не гарантирует, что выходной сигнал ОУ будет соответствовать опорному сигналу;

эта схема не способна управлять неустойчивым объектом;

сложности также возникают, если оператор ОУ не имеет обратного.

Простейшая схема нейросетевого управления с обратной связью показана на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Нейросетевое управление с обратной связью Нейронная сеть выполняет функции регулятора замкнутой системы. Достоинством такой схемы является способность обеспечивать высокое качество управления при наличии неконтролируемых возмущений, а также нестационарности и неустойчивости ОУ. В данном случае задача настройки НС значительно сложнее: если при последовательной схеме управления известно, что НС, должна реализовывать обратную динамику объекта, то в схеме с обратной связью оператор, который должна реализовывать НС, неизвестен;

ни связь, ни якобиан связи между показателем качества регулирования и параметрами НС также неизвестны.

Можно обучать нейронную сеть аппроксимировать обратный оператор объекта, как это делалось для последовательного управления, однако качество управления при этом невысоко, и такое обучение, чаще всего, используется лишь в качестве предварительного.

В общем случае, для обучения нейронных сетей в системах управления с обратной связью приходится применять алгоритмы, не использующие аналитический вид якобиана связи критерия качества управления и весов нейронной сети.

Схема с обычным контроллером, управляемым 3.2.

нейронной сетью.

В системе, приведенной на рис. 1.3 нейронная сеть используется для настройки параметров обычного контроллера (например, ПИД-регулятора) [69].

Рис. 1.3. Схема, в которой нейронная сеть используется для настройки параметров обычного регулятора Данная схема получила название “схема нейросетевого управления с самонастройкой”. Рассматриваемой схеме, как и предыдущей свойственны сложности обучения нейронной сети.

Рассмотрим три наиболее известных подхода к построению нейросетевых адаптивных систем управления. Допустим, что необходимо построить систему управления, формирующую сигнал u, подаваемый на объект управления (ОУ), такой чтобы его выходной сигнал y в заданном смысле наилучшим образом соответствовал входному сигналу x (в идеальном случае y x0 ).

3.3. Инверсное управление. На рис. 1.4 показана структура системы, выполненной в соответствии с принципом инверсного управления [70, 71].

Рис. 1.4. Инверсное нейросетевое управление В данном случае нечеткая сеть 2 (НС2), выполняющая функцию идентификатора, моделирует обратную динамику объекта управления, а нечеткая сеть 1 (НС1), выполняющая функцию контроллера, копирует НС2. Здесь используется разомкнутая схема управления без отрицательной обратной связи (процессы обучения идентификатора и контроллера разделены во времени). Достоинствами такой схемы являются простота и отсутствие проблем с устойчивостью. К недостаткам можно отнести следующее: при не выполнении условия квазистационарности объекта управления данная схема не гарантирует, что выходной сигнал ОУ будет соответствовать опорному сигналу;

эта схема не способна управлять неустойчивым объектом;

сложности также возникают, если оператор ОУ не имеет обратного.

3.4. Предикторное управление (управление с предсказанием). В данном случае, как и ранее, НС1 выполняет функции контроллера, а НС2 – идентификатора (см. рис. 1.5) [72 - 77].

Рис. 1.5. Нейросетевое управление с предсказанием Идентификатор НС2 настраивается на прямую динамику объекта. НС1 настраивается через идентификатор НС2 таким образом, чтобы минимизировать критерий качества управления на определенном интервале времени в будущем. После реализации управления на данном интервале времени процесс повторяется. В литературе этот метод иногда называется как “обратное распространение во времени” или “принцип удаляющегося горизонта”.

Управление с предсказанием по сравнению с инверсным управлением дает лучшие результаты, особенно это проявляется в случае не реализуемости точной обратной динамики объекта. В то же время и вычислительные затраты для данного метода значительно выше. Рассматриваемая схема управления, так же, как и предыдущая, относится к разомкнутым, и при невыполнении условия квазистационарности объекта она не гарантирует, что выходной сигнал ОУ будет соответствовать опорному сигналу. От указанных недостатков свободна схема приведенная ниже.

3.5. Схема управления с обратной связью и идентификатором.

В схеме на рис. 1.6 используется контроллер обратной связи, выполненный на нечеткой сети НС1, обучающийся через идентификатор НС2. Обучение через идентификатор, а не непосредственно на объекте необходимо, чтобы «не мешать»

нормальному функционированию объекта пробными воздействиями, использующимися для обучения. К недостаткам схемы можно отнести высокие требования к вычислительным ресурсам (приблизительно такие же, как и в схеме с предсказанием) и возможные проблемы с устойчивостью.

Рис. 1.6. Нейросетевое управление с обратной связью и идентификатором Причинами, послужившими применению нейронных сетей в системах управления, является следующие.

1. Нейронные сети могут реализовывать гладкие функции произвольного вида [78 - 82].

2. Для реализации нейросетевых систем управления необходима минимальная информация об объекте управления.

3. При реализации нейронных сетей в виде специализированных интегральных схем возможна параллельная обработка информации, что, во-первых, значительно увеличивает скорость работы системы и, во-вторых, повышает ее надежность.

Несмотря на большое количество достоинств, системам управления на основе нейронных сетей свойственен и целый ряд недостатков.

1. При оптимизации весов НС возникает проблема остановки алгоритма обучения в локальном минимуме, что приводит к необходимости применения алгоритмов глобальной оптимизации, которые работают достаточно медленно.

2. Отсутствует строгая теория по выбору типа и архитектуры НС, что приводит к необходимости применять алгоритмы самоорганизации, которые также работают достаточно медленно.

3. Всю информацию НС получает в процессе обучения, и никакую априорную информацию ввести в нейронную сеть невозможно.

Обобщая указанное выше, можно отметить, что нейросетевые регуляторы имеют в ряде случаев неприемлемо длительное время обучения.

4. Нечеткие системы управления.

Нечеткое управление (Fuzzy Control, Fuzzy-управление) в настоящее время является одной из перспективнейших интеллектуальных технологий, позволяющих создавать высококачественные системы управления [83 - 90].

Под нечеткими системами автоматического управления (САУ) понимаются системы управления, содержащие структурно блоки нечеткого логического вывода (БНВ). Указанные блоки представляют собой нелинейные звенья, операторы которых определяется базой знаний, состоящей из нечетких продукционных правил, и используемым алгоритмом нечеткого логического вывода. Чаще всего рассматривается случай, когда входные и выходные сигналы БНВ являются вещественными четкими функциями времени, в этом случае БНВ содержит также звенья фаззификации (введения нечеткости) и дефаззификации (приведения к четкости) – см. рис. 1.7.

Рис. 1.7. Структура блока нечеткого вывода Состояние теории нечеткого управления на момент начала 90-х годов прошлого века подробно отражено в работах [91-97]. В указанных работах приводится обширная библиография (в общей сложности более 1000 ссылок на оригинальные публикации).

Приведем ссылки на монографии на русском языке, вышедшие за последние несколько лет, в которых отражены те или иные аспекты теории нечеткого управления – [22 - 24, 26, 29 - 32, 64, 98 - 140]. В то же время, следует признать, что хотя число монографий велико, тираж данных изданий весьма мал и указанные монографии, в большинстве своем, мало доступны широкому кругу специалистов.

Основным признаком классификации нечетких систем управления является место нахождения блоков нечеткого логического вывода, при этом либо нечеткая система сама формирует управляющие сигналы, либо сигналы с нечеткой системы управляют параметрами традиционной системы управления.

На рис. 1.8 показана структурная схема системы управления с так называемым нечетким регулятором.

Рис. 1.8. Структура системы управления с нечетким регулятором На рис. 1.8 приняты следующие обозначения: НР – нечеткий логический регулятор, ОУ – объект управления, и – контролируемое и неконтролируемое возмущающие воздействия соответственно.

В качестве примера приведем один из первых НР, обычно называемый “базовым нечетким логическим контроллером”, предложенный в работах [141 - 146].

База знаний, в данном случае состоит из пяти правил:

П1: если ei “большой положительный” и ei “приблизительно нулевой”, то ui “большой положительный”;

П2: если ei “большой отрицательный” и ei “приблизительно нулевой”, то ui “большой отрицательный”;

П3: если ei “приблизительно нулевой” и ei “приблизительно нулевой”, то ui “приблизительно нулевой”;

П4: если ei “приблизительно нулевой” и ei “большой положительный”, то ui “большой положительный”;

П5: если ei “приблизительно нулевой” и ei “большой отрицательный”, то ui “большой отрицательный”;

где ei – сигнал ошибки регулирования, ei ei ei 1 – приращение сигнала ошибки регулирования, ui ui ui 1 – приращение выходного сигнала регулятора.

Выходной сигнал регулятора определяется формулой:

ui ui ui 1.

По сути, рассмотренный регулятор – это нечеткий ПИ регулятор.

Перейдем к рассмотрению систем, в которых сигналы с блоков нечеткого вывода управляют параметрами традиционных динамических звеньев.

На рис. 1.9 приведен пример системы, в которой обычный линейный ПИД-регулятор изменяет свои параметры под управлением нечеткой экспертной системы (так называемого нечеткого супервизора) [93 - 96, 146 -150].

ДЗ – динамическое звено, Fuzzy – нечеткая экспертная система, ПИД – ПИД-регулятор Рис. 1.9. Система управления с ПИД-регулятором и нечетким супервизором Более общим примером систем рассматриваемого типа являются системы, с так называемыми, нечеткими комплексными динамическими моделями (fuzzy complex dynamic model) [151 - 154], в которых математическое описание объекта или контроллера представлено ансамблем традиционных моделей (обычно линейных), а переход между данными моделями (либо плавный, либо скачкообразный) происходит посредством сигналов с блоков нечеткого вывода.

На рис. 1.10 показана структура замкнутой системы управления с нечеткими комплексными моделями.

К – контроллер, ОУ – объект управления, ДЗ – динамические звенья, Fuzzy – системы нечеткого логического вывода, ЛДЗ – линейные динамические звенья Рис. 1.10. Схема управления с нечеткими комплексными моделями Модели контроллера и объекта управления описываются совокупностью нечетких продукционных правил:

1 2 n П r1 : если x1 есть Ar1 1 и если x1 есть Ar1 2 и … и если x1 есть Ar1 n1, то u (t ) LK r1 (e (t )) – для контроллера, П r2 : если x 2 1 есть Br2 1 и если x 2 2 есть Br2 2 и … и если x2 n есть Br2 n2, то y (t ) Loу r2 (u (t )) – для объекта управления, где n1 и n2 – размерность векторов x1 и x2 соответственно;

верхние индексы обозначают номера компонент векторов x1, x2 ;

r1 1, 2,..., m1 ;

r2 1, 2,..., m2 ;

m1 и m2 – число продукционных правил для Fuzzy 1 и Fuzzy 2 соответственно;

Loу r1 ( ) и Loу r2 ( ) – заданные линейные операторы.

Используя алгоритм нечеткого вывода Сугэно можно записать [55, 56]:

m A r1 ( x1 ) LK r1 (e (t )) r1 u (t ), m A r1 ( x1 ) r1 m B r2 ( x 2 ) Lоу r2 (u (t )) r2 y (t ), (1.1) m B r2 ( x 2 ) r2 A B где и r2 ( x2 ) – функции принадлежности n1 -мерных и n2 r1 ( x1 ) мерных нечетких множеств и Ar11 Ar1 2... Ar1 n Br2 n2 соответственно.

Br2 1 Br2 2...

Системы управления с нечеткой логикой можно разделить также на неадаптивные и адаптивные [155]. В неадаптивных база знаний после проектирования и настройки системы остается неизменной. В адаптивных база знаний подстраивается в процессе работы в зависимости от складывающейся в процессе управления ситуации.

Среди причин распространения Fuzzy-управления обычно выделяют следующие [83 - 88]:

1) возможность синтеза систем управления в условиях неопределенности, когда об объекте управления и необходимом управлении имеется информация лишь качественного характера;

2) особые свойства систем управления с нечеткой логикой, в частности, малая чувствительность к изменению параметров объекта управления;

3) синтез систем управления сложными объектами с применением методов нечеткой логики зачастую менее трудоемок, чем традиционных систем управления;

4) лингвистическая форма задания информации достаточно проста в интерпретации;

5) нечеткой системой может быть аппроксимирована произвольная гладкая функция.

Выделяют также некоторые дополнительные причины популярности нечетких систем:

нечеткая логика – технология появившаяся относительно 1) недавно, и ее применение без труда позволяет достигнуть “патентной чистоты” проектируемых изделий;

существует определенная “мода” на нечеткие системы.

2) Как и у любых систем управления, у систем с нечеткой логикой существует области, в которых их применение является наиболее предпочтительным. В качестве таких областей обычно выделяют следующие [83 - 88]:

системы регулирования, для которых модель объекта управления определена лишь качественно;

1) надстройка над традиционными системами регулирования (например, над ПИД-регуляторами) для придания им адаптивных свойств;

2) воспроизведение действий человека-оператора;

3) системы организационного управления верхнего уровня.

Общей предпосылкой для применения нечетких систем управления является, с одной стороны, наличие неопределенности, связанной как с отсутствием информации об управляемом объекте, так и сложностью управляемой системы и невозможностью или нецелесообразностью ее описания традиционными методами, и с другой стороны, наличие информации качественного характера об объекте, необходимых управляющих воздействиях, возмущениях и т. п.

На рис. 1.11 показаны области эффективного применения традиционных, нейросетевых и нечетких систем управления [83 – 88, 156].

Рис. 1.11. Область наиболее эффективного применения некоторых методов современной теории управления Как следует из рис. 1.11, традиционные методы управления хорошо зарекомендовали себя при относительно невысокой сложности объекта управления и наличии достаточно полной информации о нем.

Нейросетевые системы управления целесообразно применять при отсутствии информации или высокой сложности объекта управления.

Промежуточное положение между данными технологиями занимают нечеткие системы. Отметим, что границы между различными подходами, показанные на рис. 1.11, сами по себе являются весьма условными (нечеткими). Заметим также, что применение гибридной технологии (сочетание традиционных методов управления, нечеткой логики и нейросетевого подхода) позволяет создавать системы управления эффективные во всем спектре ситуаций, отраженных на рис.

1.11 [83 - 88].

С учетом сказанного выше, представляется, что нечеткую логику можно использовать как базовую технологию при построении высококачественных систем автоматического управления, функционирующих в условиях неопределенности.

1.2. Обобщенная нечеткая модель динамического объекта В большинстве работ, посвященных нечеткому управлению рассматривается случай, когда модель объекта известна хотя бы приближенно и описывается системами нелинейных дифференциальных или разностных уравнений (см., например, [120]), а в некоторых работах вообще делается допущение, что объект управления – линейное динамическое звено (см., например, [3]).

Однако для многих встречающихся на практике объектов управления, таких как, например, сложные технологические процессы, получить математическую модель в традиционном смысле (в виде дифференциального уравнения или разностного) не удается.

Объясняется это в частности недостатком информации для проведения идентификации объекта управления.

В то же время, часто имеется описание объекта управления лишь качественного характера, которое может быть представлено набором нечетких продукционных правил типа “если – то” [55, 56]. В таких ситуациях можно построить нечеткую модель объекта, в которую будет входить блок нечеткого логического вывода. Динамический оператор, реализуемый нечеткой моделью, определяется ее структурой, используемым алгоритмом нечеткого вывода и базой знаний в виде нечетких продукционных правил. Отметим, что благодаря способности нечетких систем с любой a priori заданной точностью аппроксимировать произвольные непрерывные функции, нечеткая модель, как подкласс охватывает и традиционные математические модели объектов [55, 56].

Ведем в рассмотрение обобщенную нечеткую модель динамического объекта, пригодную для описания большинства односвязных динамических объектов встречающихся на практике.

Данная модель включает, как подкласс, математическое описание объектов управления использующееся в большинстве работ по нечеткому управлению.

Определение 1.1. Под обобщенной нечеткой моделью динамического объекта (ОНМДО) понимается математическая модель динамического объекта с четкими входным и выходным сигналами, состоящая из линейного динамического звена (ЛДЗ) и блока нечеткого логического вывода (БНВ), и имеющая структуру, приведенную на рис.

1.12.

u – управляющее воздействие, y – выходной сигнал Рис. 1.12. Обобщенная нечеткая модель динамического объекта Линейное динамическое звено описывается системой векторно матричных разностных уравнений [157, 158]:

zi Azi B i, (1.2) xi Czi D i, T где A, B, C, D – заданные постоянные матрицы, i ui, yi, i – номер такта.

Блок нечеткого логического вывода реализует функциональную зависимость yi ( xi ), (1.3) на основе алгоритма нечеткого вывода Сугэно [55, 56], используя m нечетких продукционных правил вида:

Пr : если x1 есть Ar1 и x2 есть Ar1 и... и xn есть Arm, то y wr – для алгоритма Сугэно 0-го порядка, и n Пr : если x1 есть Ar1 и x2 есть Ar1 и... и xn есть Arn, то y prj x j j – для алгоритма Сугэно 1-го порядка, где r 1, 2,..., m – номер нечеткого правила, Arj – заданные нечеткие переменные, wr, prj – заданные постоянные параметры.

По умолчанию матрицы A, B, C, D имеют вид:

0... 0 1... 0 l............

0... 1 A, 0... 0 1... 0 0 l1............

0... 1 1 0 0 0 l.........

B, (1.4) 0 0 l1.........

0 0 I – единичная матрица, D 0 – нулевая матрица;

C где l, l1 – постоянные параметры.

Одним из наиболее общих вариантов классического математического описания объектов управления является их представление в виде нелинейных разностных уравнений l -го порядка [158, 159]:

yi f ( yi 1,..., yi l, ui, ui 1,..., ui l1 ), (1.5) где f ( ) – непрерывная и ограниченная на R n ( n l l1 1) нелинейная функция.

На рис. 1.13 показана обобщенная нечеткая модель динамического объекта, реализующая оператор, эквивалентный разностному уравнению (1.5). С помощью БНВ в данном случае аппроксимируется функция f ( ) т. е. ( ) f ( ).

Рис. 1.13. Реализация нелинейного разностного уравнения (1.5) с помощью ОНМДО В работах, посвященных нечеткому управлению, довольно распространенно описание объектов управления в виде, так называемых, нечетких комплексных моделей, известные так же, как комплексные системы, использующие нечеткие динамические модели (см., например, [151 – 154]). Покажем, что нечеткие комплексные модели сводятся к рассматриваемым обобщенным нечетким моделям.

Рассмотрим, для определенности, нечеткую комплексную модель, представленную на рис. 1.14, где приняты следующие обозначения: Fuzzy – нечеткая управляющая система, ЛДЗ1, ЛДЗ2 – линейные динамические звенья.

Рис. 1.14. Структура нечеткой комплексной модели Динамика нечеткой комплексной модели описывается набором нечетких продукционных правил:

П r : если x1 i есть Ar 1 и x2 i есть Ar 2 и... и xl2 i есть Ar l2, (1.6) l l l то yi prj yi prjui 1), j j (l j1 jl где r 1, 2,..., m – номера нечетких продукционных правил, T x1, x2,..., xl2, Arj – заданные нечеткие числа, p rj – заданные x параметры.

На рис. 1.15 показана структура ОНМДО, эквивалентной рассматриваемой нечеткой комплексной модели.

Рис. 1.15. ОНМДО, эквивалентная нечеткой комплексной модели База знаний БНВ состоит из нечетких продукционных правил вида:

П r : если xl есть Ar 1 и xl есть Ar 2 и... и xl есть Ar 2, l1 1 i l1 2 i l1 l2 i (1.7) l l l то yi prj yi prj ui 1), j j (l j1 jl где нечеткие числа Arj и параметры p rj такие же, как и в выражении (1.6).

1.3. Подходы к построению алгоритмов идентификации на основе нечетких моделей Кроме обобщенной нечеткой модели, полученной экспертным методом [55, 56], часто имеется некоторая статистка измерений координат объекта (совокупность измеренных в эквидистантные моменты времени пар значений ui, yi ). Данной статистики обычно недостаточно для идентификации объекта в традиционном смысле, однако она может использоваться для уточнения базы знаний обобщенной нечеткой модели объекта управления. Ниже рассмотрены алгоритмы обучения нечетких систем, с помощью которых, после их соответствующей модернизации, может быть осуществлено такое уточнение.

Наиболее простым из обучаемых нечетких систем является аппарат нечетких нейронных сетей (Fuzzy Neural Networks) [55-56, 160 164]. Данные системы известны также под названием адаптивных нейро-нечетких систем вывода (Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System, ANFIS).

Нечеткая нейронная сеть – это многослойная нейронная сеть, в которой слои выполняют функции элементов системы нечеткого вывода. Нейроны данной сети характеризуется набором параметров, настройка которых производится в процессе обучения, как у обычных нейронных сетей.

Для примера, на рис. 1.16 показана нечеткая нейронная сеть Ванга-Менделя, реализующая нелинейную зависимость [55, 56]:

m n wr П r j (x j ) j r y, (1.8) m n П r j (x j ) r 1j где – функции принадлежности нечетких множеств, r j (x j ) имеющие вид гауссовых функций:

xj cr j r j (x j ) exp. (1.9) rj Слой 1 осуществляет фаззификацию, нелинейные функции rj ( x j ), где r -номер продукционного правила, j -номер компоненты входного вектора x, соответствуют функциям принадлежности предпосылок правил. Настраиваемые параметры данного слоя – параметры используемых функций принадлежности. Слой рассматриваемой сети осуществляет вычисление результирующих функций принадлежности предпосылок нечетких правил. В данном случае этот слой не имеет настраиваемых параметров. Слой 3, состоящий из двух нейронов, осуществляет суммирование и взвешенное суммирование выходных сигналов слоя 2. Параметрами данного слоя являются весовые коэффициенты wr. Слой 4 реализует операцию деления z f1 / f2 и не содержит настраиваемых параметров.

Для сети Ванга-Менделя можно в аналитическом виде выразить градиент функции ошибки от параметров сети, что позволяет для ее обучения использовать метод обратного распространения, применяющийся в многослойных персептронах.

В общем случае процесс обучения нечеткой сети сводится к определению ряда параметров:

1) числа продукционных правил m ;

2) координат центров c r j и отклонений r j радиальных базисных функций;

3) значений весов нейронов выходного слоя wr.

Рис. 1.16. Нечеткая нейронная сеть Ванга-Менделя Настройка параметров сети может cr j, wr, rj осуществляться методом обратного распространения ошибки, аналогично тому, как это происходит в сигмоидальных нейронных сетях, например, градиентным методом.

Однако особенности нечетких сетей позволяют выработать более эффективные алгоритмы настройки данных параметров.

Веса нейронов выходного слоя wr входят линейно в выражение для выходного сигнала сети (см. формулу (1.8)), и их настройку можно осуществить с помощью формул для определения коэффициентов линейной регрессии по методу наименьших квадратов [56]:

OT O OT y, w (1.10) T где w – вектор весов выходного слоя, w1, w2,..., wm NT 1 r -го – вектор выходов радиального or or, or,..., or нейрона в обучающих точках, T T T T – матрица выходов радиальных O o1, o2,..., om нейронов в обучающих точках, T y1, y 2,..., y N – вектор обучающих значений.

y Хорошо зарекомендовал себя гибридный алгоритм, в котором часть параметров настраиваются градиентным методом, а часть – с помощью вычисления псевдообратной матрицы.

T Для определения координат центров cr cr1, cr 2,..., cr n могут использоваться следующие методы:

а) размещение центров радиальных функций cr в узлах равномерной сетки или случайных точках;

б) размещение центров радиальных функций cr в обучающих точках x i ;

в) размещение центров радиальных функций cr в центрах кластеров обучающих данных.

Опишем наиболее простой из известных алгоритмов помещения центров радиальных функций в центры кластеров обучающих данных K-средних (K-means). Алгоритм состоит в реализации следующих шагов.

1. Инициализация. Выбирается число центров K, и их начальные координаты cr ( r 1, 2,..., K ).

xi, 2. Предъявляется очередная точка определяются xi, расстояния между данной точкой и центрами кластеров: cr центр, для которого данное расстояние оказалось минимальным, ( x i cr ), где подлежит уточнению по формуле: cr cr – коэффициент скорости обучения (существуют разновидности алгоритма, в которых постепенно уменьшается в процессе обучения).

Процесс предъявления обучающих точек и уточнения координат центров продолжается до стабилизации их положения с заданной точностью.

Для определения отклонений r также существуют различные эмпирические методы, использующие в качестве исходной информации расстояния между центрами радиальных функций. Например, можно выбрать все отклонения одинаковыми: r, где – среднее cr.

расстояние между центрами базисных функций Или выбрать в качестве r среднее расстояние между r -м центром базисной функции cr и Kc ближайшими к нему центрами.

Наиболее сложным является выбор числа радиальных базисных функций m. Существует несколько методов и алгоритмов выбора m, однако данную задачу пока нельзя считать решенной [55, 56].

В классических алгоритмах обучения нечетких нейронных сетей число продукционных правил, вид функций принадлежности, тип алгоритма нечеткого вывода задается априорно и не подвергается изменению в процессе обучения сети. В случае неверного выбора данных параметров нечеткие нейронные сети могут оказаться малоэффективными. Для исключения указанной ситуации применяются алгоритмы адаптации (самоорганизации) нечетких нейронных сетей, настраивающие в процессе обучения не только параметры, но и структуру сети.

Выделим несколько основных принципов построения алгоритмов самоорганизации нечетких систем.

1. Копирование обучающей выборки [55, 160, 164].

Допустим, как и ранее, что обучающая выборка состоит из N x i, yi пар значений 1, 2,..., N. При адаптации сети Ванга,i Менделя, согласно рассматриваемому методу, формируется m N x i, и wr yi нечетких продукционных правил с параметрами cr ( r i ).

Достоинством описанного алгоритма является простота и высокая скорость работы.

К недостаткам алгоритма можно отнести то, что получаемая нечеткая сеть очень громоздка (число правил равно числу обучающих точек). Кроме того, для выбора параметров функций принадлежности r необходимо использовать отдельную процедуру.

2. Оптимизация числа продукционных правил как отдельного параметра [55, 165, 166].

Допустим, что обученная нечеткая нейронная сеть, содержащая m продукционных правил имеет ошибку Em. Обучая сеть при различных значениях m можно получить функцию Em E(m).

Оптимизируя данную функцию по параметру m можно придти к оптимальной структуре нечеткой сети. Недостатком данного метода является очень высокие требования к вычислительным ресурсам, обусловленные необходимостью заново обучать нечеткую сеть на каждом шаге.

3. Совместная оптимизация по числу продукционных правил и весам нечеткой сети.

В данных алгоритмах определение числа продукционных правил и весов нечеткой сети совмещено в виде одной оптимизационной процедуры. При этом получается достаточно сложная многоэкстремальная задача оптимизации. Для ее решения часто используются технологии эволюционных вычислений, в частности генетические алгоритмы [167, 168]. Оригинальным подходом здесь является применение нечеткого метода группового учета аргументов (НМГУА) [169].

Отметим, что при применении эволюционного подхода имеется большое число параметров алгоритма, которые для эффективного решения задачи должны быть правильно выбраны.

К данному направлению можно отнести еще один подход – автоматическое определение числа кластеров в обучающей выборке и помещение центров функций принадлежности в их центры.

Наиболее известным алгоритмом автоматической кластеризации является алгоритм, так называемой, субтрактивной кластеризации (Subtractive clustering), называемый также алгоритмом разностного группирования [55, 56, 83, 87, 129]. Суть алгоритма состоит в следующем. Каждая точка обучающей выборки рассматривается в качестве кандидата в центры кластеров, для этого для каждой из указанных точек вычисляется ее потенциал, величина которого тем больше, чем плотнее расположены другие точки в окрестности рассматриваемой. Затем точка с наибольшим потенциалом объявляется центром первого кластера. Из окрестности этой точки удаляются все остальные точки. После чего из оставшихся точек определяются центр второго кластера. Данная процедура продолжается до тех пор, пока не будут объявлены центрами кластеров или исключены из рассмотрения все точки обучающей выборки. Для вычисления потенциалов точек обычно используется формула:

2b xk xi N D( x k ) exp, (1.11) i ik где k 1,2,..., N, b, const.

Разновидностью описанного алгоритма является алгоритм пикового группирования, в котором точки, рассматриваемые в качестве кандидатов в центры кластеров, расположены не в точках обучающей выборки, а в узлах равномерной сетки.

Координаты центров, полученные с помощью алгоритмов автоматической кластеризации, затем могут быть уточнены, с использованием алгоритмов обучения без учителя, например, K means [56].

В качестве еще одного подхода, относящегося к рассматриваемому направлению, выделим алгоритм постепенно возрастающего разбиения (Incremental Decomposition Algorithm) [170, 171]. Идея алгоритма состоит в следующем. На первой итерации рассматривается одно продукционное правило, имеющее в качестве области свого влияния (область в которой значение результирующей функции принадлежности предпосылки нечеткого правила превышает заданную величину) все множество допустимых входных значений (см.

рис. 1.17).

Рис. 1.17. Иллюстрация работы алгоритма Incremental Decomposition Algorithm На итерации 2 данное правило разбивается на два, двумя способами (показаны стрелками). Проводится обучение и выбирается, какой из способов разбиения дает наименьшую погрешность (данный переход отмечен черной стрелкой). Среди имеющихся правил выбирается то, для которого составляющая погрешности в общей погрешности наибольшая (область его влияния закрашена серым). Оно и подлежит разбиению на два двумя способами (итерация 3).

Описанный процесс продолжается до достижения требуемой точности или пока не будет сгенерировано заданное число продукционных правил.

Описываемые алгоритмы отличаются достаточно высокими требованиями к вычислительным ресурсам.

Значительных вычислительных затрат требует процедура поисковой параметрической оптимизации, в связи с чем, с точки зрения уменьшения вычислительной сложности, интерес представляют алгоритмы, не требующие проведения повторной перенастройки при удалении или добавлении продукционных правил. Алгоритмы, относящиеся к данному типу, рассмотрены ниже.

4. Алгоритмы сокращения нечетких нейронных сетей (алгоритмы редукции) [55, 56].

В алгоритмах сокращения при инициализации формируется нечеткая система, содержащая заведомо избыточное число продукционных правил. В процессе работы алгоритма лишние продукционные правила исключаются. Рассмотрим основные принципы редукции нечетких систем.

1. Сокращение нечетких правил в соответствии с их логическими функциями, например:

исключаются правила, для которых результирующая функция принадлежности меньше определенного порога, как мало влияющие на окончательный результат;

исключаются противоречивые правила, как взаимно компенсирующиеся;

исключаются одно из двух совпадающих правил, как не несущее новой информации.

2. Ортогонализация [56, 172].

Ранее уже отмечалось, что значения следствий wr (см.

формулу (1.10)) в сети Ванга-Менделя могут настраиваться за один шаг, с использованием формулы метода наименьших квадратов для линейной по параметрам регрессии. Применение в данном случае ортогонального метода наименьших квадратов, использующего ортогонализацию Грамма-Шмидта, позволяет оценить индивидуальный вклад каждого из продукционных правил в выходной сигнал сети. Это, в свою очередь, позволяет удалить те продукционные правила, влияние которых на процесс оказывается минимальным.

Существенным недостатком алгоритмов сокращения является необходимость первоначально работать с заведомо избыточной по размеру нечеткой нейронной сетью, что и обусловливает в ряде случаев медленную работу алгоритмов.


5. Алгоритмы наращивания нечетких нейронных сетей (конструктивные алгоритмы).

В данных алгоритмах вначале формируется начальная база продукционных правил (может быть и пустой), которая затем последовательно пополняется нечеткими правилами. Приведем две разновидности подобных алгоритмов.

В работах [56, 173] предлагается, в отличие от классического алгоритма копирования обучающей выборки (см. п. 1), при x i, yi поступлении очередной обучающей точки определять cr x i, между центрами предпосылок имеющихся расстояния d r правил и точкой x. Если min( d1, d 2,... dm ) 0, где 0 – некоторый параметр, то добавляется еще одно правило с центрами функций i i принадлежности в точке cr 1 x и заключением y y. В случае невыполнения указанного неравенства добавления продукционного правила не происходит.

Недостатком изложенного алгоритма является отсутствие явной связи между процедурой добавления продукционных правил и точностью аппроксимации, которая должна определяться отдельно.

Алгоритм, предложенный в монографии [64], отличается от описанного выше условием добавления нового продукционного правила, здесь правило добавляется при выполнении неравенства i yi yi, где y – значение выхода сети при подаче на вход x i, рассчитанное по имеющимся продукционным правилам, – постоянный параметр, характеризующий точность аппроксимации.

В работах [56, 64, 173] описанные алгоритмы самоорганизации нечетких систем рассмотрены лишь для случая систем Ванга-Менделя с функциями принадлежности гауссова типа. Ввод априорной информации об аппроксимируемой зависимости не предусматривается.

Открытым остается вопрос о значениях параметров функций принадлежности. За исключением нескольких примеров отсутствуют теоретические и экспериментальные исследования точности и сходимости моделей. В то же время, изучение литературных источников позволяет предположить, что данные алгоритмы наиболее перспективны для дальнейшей модернизации, как обладающие простотой, низкими требованиями к вычислительным ресурсам и возможностью априорного задания точности.

1.4. Синтез нечетких систем управления Независимо от того, адаптивной или нет является нечеткая система управления, основным вопросом при ее проектировании является формирование базы знаний в виде нечетких продукционных правил.

Основным методом здесь является заимствование знаний специалистов по управлению рассматриваемым объектом (в частности, обычно, путем экспертного опроса) [3, 31, 83-87, 91, 93-97, 174].

Некоторым формализующим подспорьем в данном процессе могут служить исследования зависимости нелинейных операторов, реализуемых нечеткими системами, от параметров баз знаний, числа термов нечетких лингвистических переменных, вида функций принадлежности, алгоритма нечеткого вывода и т. п. [3, 175-177].

Часто проще вначале получить нечеткую (лингвистическую) модель объекта управления, а затем уже по ней формировать нечеткую модель управления. В этой связи следует отметить следующие работы.

В публикации [178] описан синтез нечеткой системы управления по модели объекта первого порядка, однако обобщить данный метод на объекты произвольного порядка достаточно сложно. В работе [179-181] рассматривается лингвистический синтез регулятора по заданным лингвистическим моделям объекта и замкнутой системы. Синтез производится исходя из предположения, что сигналы в системе суть лингвистические переменные, принимающие значения на конечном множестве нечетких переменных. В работе [132] на основе лингвистического описания объекта управления синтезируется лингвистическое описание контроллера обратной связи таким образом, чтобы выполнялось достаточное условие устойчивости системы согласно второму методу Ляпунова с функцией в виде квадратичной формы. При таком подходе из поля зрения выпадает влияние функций принадлежности отдельных термов, алгоритма нечеткого вывода, вид приведения к четкости, поэтому при применении данной методики к системе с четкими сигналами результат будет мало предсказуем.

Другим подходом к синтезу нечеткой системы управления с использованием нечеткой модели объекта является применение методов обратной динамики [3, 182]. В данном методе нечеткая система строится так, чтобы наилучшим образом соответствовать обратному оператору объекта. В работах [3, 182] также рассмотрен синтез нечеткой модели объекта управления, но на основе вероятностных методов. Как отмечают авторы, совместное применение принципа обратной динамики и вероятностных моделей позволят полностью исключить из синтеза нечетких систем управления субъективную составляющую т. е.

полностью формализовать процедуру синтеза. В рассматриваемых работах приводятся примеры синтеза нечетких регуляторов и их сравнение с традиционными, показывающие эффективность предложенных методов. В то же время, данный метод имеет и существенные недостатки: обратный оператор объекта в общем случае может быть реализован только приближенно, не гарантируются качества полученной нечеткой системы, особенно это проявляется при нестабильности параметров объекта.

Следующим направлением в синтезе является разработка нечетких аналогов методов традиционной теории управления. Так, были получены аналоги интеграла свертки, передаточной функции, принципа инвариантности, второго метода Ляпунова и др. Обзор работ по данному направлению приводится в [183]. Следует отметить, что указанные аналоги получены при условии действия в системе нечетких сигналов (т. е. при отсутствии блоков деффазификации), данное обстоятельство значительно ограничивает применение таких методов.

В целом ряде работ рассматривается синтез нелинейного оптимального закона управления с помощью теории оптимальных систем управления с последующей аппроксимацией полученных операторов нечеткой системой. Приведем несколько примеров. В работе [179] рассматривается аппроксимация характеристик нечетких систем обычными нелинейными функциями и получение для них инвариантной системы, как это делается в традиционной теории управления. В работах [120, 184-186] оптимальный закон управления синтезируется на основе теории аналитического конструирования регуляторов (АКОР) и затем аппроксимируется нечеткой системой. В работах [146, 187, 188] рассматривается система, в которой производится автоматическая динамическая коррекция параметров ПИД-регулятора сигналами, подаваемыми с систем нечеткого логического вывода, аппроксимирующих нелинейные операторы, полученных на основании принципа максимума. К недостаткам данного подхода относится следующее: найти оптимальное управление удается только в простейшем случае, необходимо знать точную модель объекта управления, открытым остается вопрос о том каким образом аппроксимировать полученный оптимальный закон нечеткой системой, отсутствие каких либо гарантий качества синтезированной системы управления при изменении параметров объекта.

Блоки нечеткого логического вывода представляют собой нелинейные звенья системы управления, поэтому целесообразно применить к такой системе методы, известные из традиционной нелинейной теории автоматического управления, и на основе результатов анализа выбрать наилучшую структуру и параметры системы. При этом получается гибридная технология, сочетающая как качественные принципы синтеза нечетких систем, так и количественные принципы традиционной теории управления [189, 190].

Анализ литературных источников показывает, что практически все универсальные методы исследования нелинейных систем управления сводятся к четырем подходам, достигшим своего наивысшего развития в 70-е годы прошлого века – см. табл. 1.1. В таблице кратко указаны достоинства и недостатки методов, а также приводятся ссылки на классические монографии с их описанием. Все указанные методы могут использоваться и для анализа систем с нечеткой логикой.

Наиболее приспособлен для получения аналитических методов алгоритм нечеткого логического вывода Такаги-Сугэно (Takagi-Sugeno), предложенный в работе [198] (см. также [55, 56]), этим и объясняется наибольшее количество работ, в которых рассматривается аналитическое исследование систем, использующих указанный алгоритм [199]. В работе [200] предложен критерий устойчивости нечетких систем управления с нечеткой с моделями Сугэно, в которых анализ устойчивости сводится к анализу устойчивости отдельных подсистем. Несмотря на свою простоту, данный метод дает возможность определить лишь небольшую часть истинной области устойчивости. Значительно лучший результат дает применение второго метода Ляпунова. Применение данного метода является наиболее распространенным среди других подходов. Приведем некоторые из современных работ относящиеся к этому направлению [201-209, 210].

Интерес представляют работы [120, 184-186], в которых динамически подстраиваются параметры нечеткого регулятора с целью обеспечить на каждом шаге переходного процесса отрицательность первой разности функции Ляпунова, т. е. выполнения достаточного условия устойчивости системы. Авторы указанных работ относят данную систему к адаптивным.

В работах [211-213] предложено для исследования нечетких систем применять методы теории абсолютной устойчивости. Как известно, данные методы анализа при выполнении определенных условий позволяют получить области устойчивости системы не уже, чем с помощью второго метода Ляпунова с квадратичной функцией [191-193].

Целым рядом авторов предлагалось для анализа и синтеза систем с нечеткой логикой применять гармоническую линеаризацию (метод гармонического баланса) – см., например, [214, 215].

Достоинства этого подхода: простота и логическая прозрачность получаемого условия устойчивости. Однако и недостатки данного подхода хорошо известны. В отличие от простейших нелинейностей (насыщение, зона нечувствительности, люфт и т. п.), связь между параметрами для системы нечеткого логического вывода и ее гармонически линеаризованной передаточной функцией либо не может быть выражена в аналитическом виде, либо имеет очень сложный вид;


громоздкость решения уравнения гармонического баланса (соизмеримая с затратами на численное моделирование системы);

приближенность метода;

необходимость выполнения гипотезы фильтра. Поэтому широкого распространения данный подход не получил.

Общими достоинствами методов синтеза нечетких систем управления основанных на аналитических методах исследования нелинейных систем относится гарантия заданных характеристик синтезируемой системы. Недостатки также представляются очевидными: необходимость иметь достаточно формализованную модель объекта управления, невысокая точность получаемых оценок, применимость только в относительно простых случаях.

Несмотря на развитие методов синтеза систем управления с нечеткой логикой, основным методом синтеза, как и в первых моделях нечетких регуляторов, по-прежнему остается эмпирический синтез набора нечетких продукционных правил базы знаний и выбор алгоритма нечеткого вывода, с последующей настройкой параметров системы на реальном объекте управления или его модели путем имитационного моделирования различных режимов работы [83-87, 91, 93-97]. Достоинством такого метода является, во-первых, надежность (в смысле гарантированности свойств) получаемой системы, и, во-вторых, применимость при наличии самой общей информации об объекте управления (заметим, что при полном отсутствии такой информации нельзя экспертным путем сформировать базу знаний нечеткой системы, и система управления, в какой-то степени, становится подобна нейросетевой). Для настройки параметров нечеткого регулятора находят применение алгоритмы обратного распространения ошибки [216-219] и генетические алгоритмы [220-223]. Достаточно перспективным для настройки структуры нечетких регуляторов представляется использование алгоритмов самоорганизации, но данные алгоритмы в настоящее время еще мало развиты [164, 175].

По всей видимости, среди подходов к синтезу нечетких систем управления можно выделить, как перспективные для дальнейшего развития, методы, основанные на эмпирическом выборе продукционных правил нечеткого регулятора, аналитических методах традиционной теории автоматического управления и применении самоорганизующихся систем нечеткого логического вывода.

1.5. Задачи исследования Рассматривается обобщенная типовая структура замкнутой системы управления, состоящая из регулятора (Р) и объекта управления (ОУ), см. рис. 1.18.

Рис. 1.18. Обобщенная типовая структура замкнутой системы управления Под системой управления понимается пара:

S S p, Sоу, (1.12) где S p – регулятор, S оу – объект управления.

В рамках методологии, используемой в теории автоматического управления, рассматривается не сама система управления, а некоторое ее описание на формальном языке – математическая модель (напомним, что система S m является моделью системы S, если S m изоморфна (в строгом или ограниченном смысле) или гомоморфна S [224]:

m m Sm S p, Sоу, (1.13) m m где S p и S оу – математические модели S p и S оу соответственно.

Ранее выделено три вида формального математического m klass описания объектов управления: S оу – описание в классическом m neuro базисе дифференциальных или разностных уравнений, S оу – m fuzzy описание в нейросетевом базисе и S оу – описание в нечетком логическом базисе, т. е. в виде системы нечеткого вывода.

m fuzzy Применение описания позволяет использовать S оу экспертную информацию об объекте управления качественного характера и в сочетании с технологиями обучения нечетких систем на основе экспериментальных данных представляется наиболее перспективным.

Основной предпосылкой разработанной теории является представление математической модели системы в виде:

m m fuzzy Sm S p, Sоу. (1.14) Основными задачами рассматриваемой теории являются:

1) задача анализа – определение характеристик системы по заданному математическому описанию ее элементов:

m m fuzzy Qm, S p, S оу (1.15) m где Q – множество характеристик системы управления;

2) задача синтеза – определение математической модели регулятора по заданным математическому описанию объекта управления и характеристикам системы:

m fuzzy m, Qm S оу Sp. (1.16) В качестве базовой для дальнейшего исследования принята замкнутая система управления с регулятором (Р) и объектом управления (ОУ) в виде обобщенной нечеткой модели (см. рис. 1.19).

Рис. 1.19. Структура САУ с объектом управления в виде ОНМДО В качестве допущений предполагается следующее:

1) “истинная” неизвестная модель объекта управления может быть представлена разностным уравнением (1.5) ( f ( ) – непрерывная и ограниченная на R n ( n l l1 1) нелинейная функция);

2) модель объекта управления задана в виде ОНМДО;

3) входной сигнал системы является x0 (t ) детерминированной непрерывной и ограниченной функцией времени;

4) выходной сигнал системы y (t ) измеряется без ошибок.

2. СИНТЕЗ СИСТЕМ С НЕЧЕТКИМИ МОДЕЛЯМИ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ В настоящей главе приводятся разработанные алгоритмы синтеза регуляторов для систем управления с нечеткими моделями объектов управления. Глава написана по материалам работ автора [279 288].

2.1. Синтез ПИД-регуляторов для объектов управления, заданных нечеткими моделями 2.1.1. Математическое описание ПИД-регулятора ПИД-регуляторы в настоящее время являются наиболее распространенными в связи с неплохими показателями качества управления для широкого класса объектов, а также простоте реализации и проектирования (алгоритм управления содержит всего три параметра) [6, 16]. В настоящем параграфе рассматривается алгоритм выбора параметров ПИД-регулятора в случае, если объект управления задан обобщенной нечеткой моделью. Применение ПИД-регуляторов в рассматриваемых системах управления обосновано возможностью, во многих случаях, обеспечения ими приемлемого качество управления, не прибегая к синтезу более сложных регуляторов.

Рассмотрим структурную схему представленную на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Система управления с ПИД-регулятором Идеализированное уравнение ПИД-регулятора имеет вид:

1t de(t ) u (t ) K e(t ) e( ) d TD, (2.1) TI o dt где K – коэффициент передачи, TI – постоянная интегрирования, TD – постоянная дифференцирования.

Разностное уравнение ПИД-регулятора в нерекуррентной форме при применении для нахождения интеграла метода прямоугольников имеет вид:

i T0 TD ui K ei ek ei ei, (2.2) 1 TI T k где T0 – период квантования.

На практике более широкое применение находят рекуррентные (так называемые “скоростные”) формы уравнения (2.2):

ui ui q0ei q1ei q2ei 2, (2.3) 1 TD TD T0 TD где q0 K1, q1 K1 2, q2 K.

T0 T0 T1 T Часто используются более сложные алгоритмы численного интегрирования и дифференцирования. В частности при применении интегрирования на основе метода трапеций разностное уравнение ПИД регулятора в рекуррентной форме имеет вид:

ui ui q0ei q1ei q2ei 2, (2.4) 1 T0 TD TD T0 TD где q0 K1, q1 K1 2, q2 K.

2TI T0 T0 2T1 T Для предотвращения больших изменений управляющего воздействия при резком изменении задающего сигнала иногда дифференциальную составляющую формируют из выходного сигнала системы, взятого с обратным знаком. Вместо уравнения (2.3) в данном случае будем иметь:

T0 TD ui ui K ei ei ei ( yi 2 yi yi 2 ). (2.5) 1 1 1 TI T Частными случаями ПИД-регуляторов являются П-, И-, ПИ- и ПД-регуляторы, в которых отсутствует некоторые из составляющих [6].

В частности, отметим, что если объект не имеет самовыравнивания [289] т. е. выходной сигнал объекта содержит интегральную составляющую его входного сигнала, то применение регуляторов имеющих в законе управления интегратор (ПИ- и ПИД-регуляторы) зачастую приводит к неустойчивости системы управления.

2.1.2. Алгоритм синтеза ПИД-регулятора Разработано большое число алгоритмов выбора параметров ПИД-регуляторов [6, 289 - 291], либо исходя из параметров объекта управления, либо путем проведения экспериментов на системе с уже подключенным ПИД-регулятором. Данные методы основаны на предположении, что модель объекта имеет достаточно простой вид (в частности, линейное звено второго порядка) и в рассматриваемом случае неэффективны.

Единственным универсальным методом является настройка параметров ПИД-регулятора путем решения задачи оптимизации показателя качества управления по указанным параметрам.

Исходными данными для проектирования ПИД-регулятора являются:

1) статистика экспериментальных данных, полученных на объекте управления, в виде N пар значений ui, yi ;

2) модель объекта управления в виде обобщенной нечеткой модели динамического объекта с базой знаний из априорных правил, полученных экспертным методом;

3) критерий качества управления;

4) типовые входные и возмущающие сигналы.

Алгоритм синтеза ПИД-регулятора состоит в реализации последовательности следующих шагов.

Шаг 1. Проводится идентификация объекта управления на основе экспертных оценок и экспериментальных данных с помощью алгоритмов описанных в гл. 5. Результатом идентификации является обобщенная нечеткая модель ОУ.

Шаг 2. (Дополнительный, может быть исключен.) На основе нечеткой модели объекта управления, полученной на предыдущем шаге, проводится анализ устойчивости системы, и выбираются параметры ПИД-регулятора для обеспечения требуемого запаса устойчивости системы.

Шаг. 3. Осуществляется имитационное моделирование системы управления с синтезируемым регулятором. Проводится настройка параметров ПИД-регулятора путем решения задачи оптимизации показателя качества управления по параметрам регулятора K, TI и TD при подаче на вход системы типовых входных сигналов и действии типовых возмущений:

K, TI, TD I ( K, TI, TD ) min. (2.6) Рассмотрению показателей качества I ( ) посвящен параграф 2.1.3.

Решение оптимизационной задачи (2.6) может быть осуществлено только численно. При этом хорошо себя показали поисковые алгоритмы локальной оптимизации (симплекс метод, метод Девидона-Флетчера-Пауэлла и д. р. [258, 259]). Для исключения возможности сходимости решения к точке локального минимума рекомендуется также запускать алгоритм несколько раз из случайных начальных точек. В особо сложных случаях могут применяться алгоритмы глобальной оптимизации (метод имитации отжига, генетические алгоритмы и др.) [56, 64, 243, 244, 292].

Шаг 4. Окончательная настройка параметров ПИД-регулятора непосредственно на объекте управления. Заметим, что данный этап может и отсутствовать, если на шаге 1 была получена качественная модель ОУ.

По сравнению с непосредственной настройкой ПИД-регулятора на объекте управление применение предлагаемого алгоритма позволяет значительно уменьшить или вообще исключить специально организованные эксперименты на ОУ, проведение которых зачастую сопряжено со значительными техническими сложностями, материальными затратами или может быть вообще невозможно.

2.1.3. Выбор критерия качества системы управления В качестве критериев качества управления удобно использовать интегральные оценки качества [257, 293]. Приведем некоторые из указанных оценок.

Простейшая квадратичная интегральная оценка для непрерывной системы:

Tпп e(t ) 2 dt, I (2.7) и для дискретной системы – M I ek, (2.8) k где e x0 y – сигнал ошибки управления.

Оценки (2.7) и (2.8) тем меньше, чем меньше площадь под кривыми e(t ) и ek соответственно.

Получили распространение так же интегральные квадратичные оценки с функцией веса t s, где s 1, 2,... (случай s 1 наиболее распространен), для непрерывной системы:

Tпп t s e(t ) 2 dt, I (2.9) и для дискретной системы – M k s ek.

I (2.10) k Оценки (2.9) и (2.10) тем меньше, чем меньше момент s -го порядка площади под кривыми e(t ) и ek соответственно.

Улучшенная интегральная квадратичная оценка [257, 293], для непрерывной системы:

Tпп de(t ) e(t ) 2 I dt, (2.11) dt и для дискретной системы – M 2 I ek ek, (2.12) k характеризующие отклонение процессов в рассматриваемой системе от процессов в системах описываемых дифференциальным уравнением dx x 0 и разностным уравнением 0 соответственно.

xi xi dt Наибольшей общностью обладает квадратичная оценка отклонения от эталона, характеризующие отклонение процесса в рассматриваемой системе от эталонного, для непрерывной системы [293]:

Tпп I e(t ) eэт (t ) dt, (2.13) и для дискретной системы – M I ek eэтk, (2.14) k где eэт (t ) и e эт k – сигналы эталонной системы для непрерывного и дискретного случая соответственно.

Более сложной является построение критерия качества управления в случае, когда объект квазистационарен, но точная математическая модель объекта управления неизвестна. Выделим два случая: модель ОУ параметризуема по неизвестным параметрам и модель ОУ непараметризуема по неизвестным параметрам.

1. Модель ОУ можно параметризовать по неизвестным параметрам p. О векторе неизвестных параметров p известно, что он принадлежит некоторой области, т. е. p. Тогда можно воспользоваться методом, предложенным в работе [294] для непрерывных и [6] для дискретных систем. Область разбивается на ряд подобластей с номерами k (k 1, 2,..., N ). В каждой из этих подобластей определяется среднее значение параметров p k. Для каждого p k путем имитационного моделирования может быть определено свое значение критерия I k. Общий критерий, по которому производится настройка параметров регулятора, определяется формулой:

N I k Ik, (2.15) k N где – весовые коэффициенты, 0, 1 ;

1.

k k k k 2. Модель ОУ не может быть параметризована по вектору неизвестных параметров. Допустим известно N возможных моделей объекта управления Qk ( k 1, 2,..., N ). Путем имитационного моделирования для каждой из указанных моделей могут быть определены значения критерия I k. Тогда результирующий критерий может быть определен по формуле (2.15).

Часто известно, что объект управления является квазистационарным, но его математическая модель медленно эволюционирует. В этом случае можно поступить следующим образом.

Имеется N пар значений ui, yi, которые разбиваются на N групп, каждая из который содержит по пар значений ui, yi Nk k N N ). По каждой из указанной группе k -й Nk ( k последовательностей экспериментальных данных получается своя математическая модель ОУ Qk.

Пример 2. Система управления уровнем воды в резервуаре (баке).

Рассмотрим объект управления представляющий собой цилиндрический бак с водой, к которому подходят две трубы: сверху и снизу [63].

Верхняя труба, по которой вода поступает в бак, снабженная краном, с помощью которого можно регулировать подачу воды. Нижняя сливная труба, по которой вода вытекает из бака. Расход воды, вытекающей из бака, является неконтролируемым и зависит от диаметра нижней трубы и от текущего уровня воды в баке. Входным сигналом объекта управления является величина открытия затворки крана верхней трубы u (t ), а выходным сигналом y (t ) – уровень воды в баке. Задача управления состоит в поддержание уровня воды в баке соответствующего управляющему сигналу x0 (t ). Описанный объект управления с точки зрения его математического описания является динамическим и существенно нелинейным [63].

Система управления описанным объектом реализована в системе MATLAB в файле sltank.mdl, по умолчанию находящимся в директории MATLAB\toolbox\fuzzy\fuzdemos (см. рис. 2.2).

Рис. 2.2. Вид модели sltank.mdl Модель объекта управления реализована блоками Valve (кран) и Water tank (водяной бак). По умолчанию установлены следующие параметры объекта управления: Tank max inflow (максимальная скорость течения воды в верхней трубе) – 0.5, Height of tank (высота резервуара) – 2 м, Bottom area (площадь дна резервуара) – 1 м 2, Out pipe crossection (диаметр нижней трубы) – 0.05 м 2, Overflow sensor (расстояние датчика расположение датчика distance from top переполнения от верха резервуара), Initial level height (начальная высота уровня воды) – 0.5 м.

В модели sltank.mdl реализованы системы управления с ПИД регулятором, с передаточной функцией:

W pid ( p) P I / p Dp /( Np 1), (2.16) (по умолчанию имеет параметры: P – Proportional (пропорциональная составляющая) – 2, I – Integral (интегральная составляющая) – 0, D – Derivative (дифференциальная составляющая) – 1, N – Derivative divisor (делитель производной) – 100) и система управления с нечеткими регуляторами.

Нечеткие регуляторы выполнены в соответствии с эмпирическими представлениями об оптимальном управлении рассматриваемым объектом.

Регулятор tank.fis имеет базу знаний, содержащую продукционных правил вида:

1. If (level is okay) then (valve is no_change).

2. If(level is low) then (valve is open_fast) 3. If (level is high) then (valve is close_fast).

4. If (level is okay) and (rate is positive) then (valve is close_slow).

5. If (level is okay and (rate is negative) then (valve is open_slow).

Регулятор tank2.fis имеет базу знаний, содержащую продукционных правил вида:

1. If (level is low) then (valve is open_fast).

2. If (level is high) then (valve is close_fast).

3. If (level is good) and (change is rising) then (valve is close_slow).

4. If (level is good) and (change is falling) then (valve is open_slow).

C видом нечетких переменных, ходящих в указанные нечеткие правила, можно ознакомиться открыв файлы tank.fis и tank2.fis в пакете расширения системы MATLAB Fuzzy Logic Toolbox.

Для управления уровнем воды в резервуаре был проведен синтез ПИД-регулятора в соответствии с методикой приведенной в параграфе 2.1.2.

Для идентификации объекта управления использовались сигналы, показанные на рис. 2.3, входной u (t ) (линия 1) и выходной y (t ) (линия 2) соответственно.

Рис. 2.3. Сигналы для идентификации объекта управления Априорно предполагалось, что объект управления описывается инерционным звеном второго порядка, с передаточной функцией:

WОУ ( p). (2.17) (1 2 p)(1 3 p) Исходя из передаточной функции (2.17) используя методику, описанную в приложении, были сгенерированы 8 априорных правил.

Для идентификации объекта управления использовался базовый нечеткий дополняющий алгоритм для динамических объектов на основе аппроксимации разностного уравнения (см. приложение).

Для настройки параметров регулятора использовался интегральный квадратичный критерий качества (2.7).

Результатом синтеза ПИД-регультора явились следующие значения его параметров: P=13, I=0 D=9 N=100.

На рис. 2.4 показаны переходные процессы в системе управления с нечеткими регуляторами, входящими в модель sltank.mdl (линия 1 – сигнал уставки, 2 – выходной сигнал системы с регулятором tank.fis, 3 – с регулятором tank2.fis).

Рис. 2.4. Процессы в системе с нечеткими регуляторами На рис. 2.5 показаны переходные процессы в системе управления с ПИД-регуляторами (линия 1 – сигнал уставки, 2 – выходной сигнал системы с ПИД-регулятором, имеющимся в модели sltank.mdl, 3 – с синтезированным регулятором).

Рис. 2.5. Процессы в системе с ПИД-регуляторами Рис. 2.6 и рис. 2.7 аналогичны рис. 2.4 и рис.2.5, но получены при уменьшении параметра Out pipe crossection (поперечное сечение нижней трубы) с 0.05 м 2 до 0.025 м 2.

Рис. 2.6. Процессы в системе с нечеткими регуляторами при уменьшении параметра Out pipe crossection в 2 раза Рис. 2.7. Процессы в системе с ПИД-регуляторами при уменьшении параметра Out pipe crossection в 2 раза Из приведенных результатов имитационного моделирования, а также других исследований, можно сделать вывод, что ПИД-регулятор, синтезированный согласно разработанной методике, достаточно эффективен при управлении уровнем воды в резервуаре.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.