авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ

CИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет

математики и информатики

Кафедра математического анализа и дифференциальных уравнений

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Учебное пособие

Белов Ю.Я.,Фроленков И.В., Шипина Т.Н.

Красноярск 2007 В учебном пособии рассматриваются различные методы решения диф ференциальных уравнений: метод слабой аппроксимации, метод Галерки на, метод Фурье. Излагается теория операторных уравнений, которая поз воляет успешно исследовать разрешимость краевых задач для уравнений в частных производных.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся в маги стратуре по направлениям: 010200 - "Математика. Компьютерные науки", 010501 - "Прикладная математика и информатика".

Содержание Глава 1. Вспомогательные сведения §1. Неравенства............................ §2. Некоторые понятия функционального анализа........ §3. Линейное уравнение в частных производных первого порядка §4. Принцип максимума и априорные оценки первых производ ных для параболического уравнения второго порядка.... Глава 2. Метод Фурье. Преобразование Фурье.

Обратные задачи. §1. Метод Фурье для волнового уравнения............ §2. Некоторые свойства преобразования Фурье.......... §3. Задача Коши для волнового уравнения............ §4. Преобразование Фурье и обратные задачи........... Глава 3. Метод Галеркина для волнового уравнения Глава 4. Метод слабой аппроксимации §1. Примеры, приводящие к понятию метода слабой аппрокси мации............................... §2. Общая формулировка метода слабой аппроксимации.... §3. Теоремы сходимости метода слабой аппроксимации..... §4. Метод слабой аппроксимации для обыкновенных дифферен циальных уравнений....................... §5. Линейное уравнение в частных производных......... §6. Задача Коши для уравнения Бюргерса............ §7. Уравнение типа нестационарной фильтрации......... §8. Задача идентификации коэффициента при младшем члене параболического уравнения................... Глава 5. Операторные уравнения §1. Лемма об остром угле...................... §2. Разрешимость операторных уравнений со слабо компактным монотонным оператором..................... §3. Разрешимость операторных уравнений с нелинейными моно тонными операторами...................... §4. Разрешимость нелинейных уравнений с полуограниченной вариацией............................. §5. Краевые задачи как операторные уравнения в банаховых пространствах.......................... §6. Методы монотонности в эволюционном случае........ Список литературы Глава 1. Вспомогательные сведения Функциональные пространства Следующие ниже обозначения мы будем использовать на протяжении всей книги.

Пусть ограниченная область в n - мерном пространстве En. Точка в En обозначается символом x = (x1,..., xn ). Символ обозначает границу области. Предполагается, что в каждой точке x (за исключением, быть может, конечного числа точек) определен вектор внешней нормали.

Замыкание множества обозначим как. Через QT обозначим цилиндр (0, T ). Пусть мультииндекс, то есть = (1,..., n ), где i n i i. Обозначим Dxii = dl, Dx = целые неотрицательные числа и || = xi i= 1 n Dx1... Dxn.

Символом C k () (C k ()) будем обозначать совокупность всех k - раз непрерывно дифференцируемых функций, определенных на ().

Если ввести в C k () норму max |D f (x)|, f= x 0||k то пространство C k () превращается в банахово пространство. При k = вместо C o () будем писать C().

Lp (), где 1 p банахово пространство, которое состоит из классов интегрируемых по Лебегу в p - й степени функций, определенных на. В один класс включаются функции, которые равны почти всюду.

Норма в этом пространстве определяется по формуле ( |f (x)|p dx)1/p, при p, f= ess sup |f (x)|, при p =.

x k Wp () (k – целые числа) банахово пространство, состоит из всех эле ментов Lp (), имеющих все обобщенные производные до порядка k вклю чительно, которые интегрируемы в p - й степени ([16], [28], [30], [36], [50]).

§1. Неравенства В дальнейшем часто используются хорошо известные неравенства Юн га, Гёльдера, Шварца, Гронуолла.

Н е р а в е н с т в о Ю н г а: для любых a 0, b 1 p p 1 q q ab a + a, 0, p 1, q 1 + = 1. (1.1) p q pq Н е р а в е н с т в о К о ш и (неравенство Юнга при p = q = 2): для любых a 0, b 1 2 ab (a + b ), 0. (1.2) 2 Н е р а в е н с т в о Г ё л ь д е р а:

uv u v Lq (), p 1, q 1, + = 1. (1.3) L1 () Lp () pq Н е р а в е н с т в о Ш в а р ц а: для любых элементов u, v гильбертова пространства H |(u, v)H | u v H. (1.4) H Лемма (Неравенство Гронуолла) Пусть неотрицательная, измери мая и ограниченная на отрезке [0, t ] функция (t) удовлетворяет неравен ству t (t) C+ [A + B()]d, t имеет место где постоянные A, B, C 0. Тогда, если B 0, при 0 t оценка A Bt CeBt + (e 1).

(t) (1.5) B Если B = 0, то (t) C + At. (1.6) Доказательство неравенства (1.5) в основном повторяет доказательство леммы 1 гл. I в [40].

§2. Некоторые понятия функционального анализа В этом параграфе сформулируем некоторые понятия и теоремы функ ционального анализа, на которые будем ссылаться ниже. Предполагается, что читатель знаком с такими понятиями, как нормированное, банахово, гильбертово пространства, с определением линейного оператора, функци онала, их норм.

Доказательства большинства теорем можно найти в монографиях ([16], [17],[50],[53]).

1. Рассмотрим ограниченное в En множество и пространство C() непрерывных на функций f (x) с нормой f C() = max |f (x)|.

x Пусть M некоторое бесконечное множество непрерывных на функций (M C()).

Определение. Множество M нормированного пространства X называ ется компактным, если из каждой последовательности {xn } M можно выделить фундаментальную подпоследовательность.

Нас интересует вопрос о компактности множества M в C(). Для этого введем понятия равномерной ограниченности и равностепенной непрерыв ности функций, а затем сформулируем теорему Арцела о компактности.

Определение. Говорят, что функции множества M равномерно ограни чены в C(), если существует постоянная K такая, что f K для C() всех f M.

Определение. Говорят, что функции множества M равностепенно непрерывны в, если для любого 0 существует = () такое, что для любых x, x, удовлетворяющих неравенству |x x |, имеет место неравенство |f (x ) f (x )|, выполняющееся сразу для всех f M.

Теорема 1.1. (Арцела) Для того чтобы множество M C() было компактно в C(), необходимо и достаточно, чтобы функции из M были равномерно ограничены в C() и равностепенно непрерывны в.

Пусть X – нормированное, Y – банахово пространство и {An } – после довательность линейных ограниченных операторов, отображающих про странство X в пространство Y.

Теорема 1.2. Для сходимости последовательности линейных ограни ченных операторов {An } к некоторому линейному ограниченному опера тору необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1. последовательность была равномерно ограниченной, то есть суще ствовала такая константа C, что для всех n справедливо неравен ство An C;

2. для всех x из некоторого всюду плотного в X множества последо вательность {An x} сходилась.

При этом, если A – предельный оператор, то A C.

Теорема 1.3. Пусть X1 – всюду плотное в X линейное множество и A1 – линейный ограниченный оператор, отображающий X1 в Y. Тогда существует единственный линейный ограниченный оператор A, отобра жающий пространство X в Y, такой что для любого x X1 выполня ется равенство A1 x = Ax. При этом справедливо равенство A = A1.

Оператор A называется расширением оператора A1.

§3. Линейное уравнение в частных производных первого поряд ка Рассмотрим линейное уравнение в частных производных первого поряд ка n zt + fi (t, x, )zxi + f0 (t, x, )z = f (t, x, ), (1.7) i= где x = (x1,..., xn ), а = (1,..., m ) параметр.

Условие 1. Предположим, что в области [t0,t1 ] = {(t, x)|t0 t1, x t En } функции fi, i 1, ограничены при каждом фиксированном. Функ ции fi и f непрерывны, а частные производные fixj, fir, i = 0, 1,..., n, и fxj, fr существуют, непрерывны и k 1 раз непрерывно дифференци руемы по всем своим n + m + 1 аргументам (k 1). Функция (x, ) k раз непрерывно дифференцируема по всем n + m аргументам в области x1,..., xn +, 1,..., m +.

Теорема 1.4. [18] При выполнении условия 1 для любых, из ин b, 1,..., m + уравнение (1.7) имеет тервалов a в [t0,t1 ] единственный интеграл z = (t, x;

, ) с начальным значением (, x;

, ) = (x, ). Этот интеграл k раз непрерывно дифференцируем по всем m + n + 2 аргументам.

Если xi = i (t,, 1,... n, ) характеристические функции системы xi (t) = fi (t, x, ), i = 1,..., n, (1.8) (то есть интегральные кривые системы (1.8), которые проходят через точку (, 1,..., n )), то параметрическое представление интеграла имеет следу ющий вид:

xi = i (t,, 1,... n, ), i = 1,..., n, t z = exp F0 (1,... n, ) + f (t, 1,..., n, ) exp F0 dt, (1.9) t где F0 = F0 (t,, 1,... n, ) = f0 (t, 1,..., n, )dt.

§4. Принцип максимума и априорные оценки первых производ ных для параболического уравнения второго порядка 1. Принцип максимума Пусть T 0 – const, ST = [0, T ], T = ST, QT = (0, T ) и ограниченная область пространства E n с кусочно-гладкой границей.

Рассмотрим в QT линейное уравнение L(u) = f, (1.10) где дифференциальный оператор L имеет вид n n 2u u u + cu L(u) = aij + bi xi xj xi t i,j=1 i= и коэффициенты aij, bi, c и правая часть f уравнения (1.10) вещественные конечнозначные функции переменных t, x.

Считаем, что aij (t, x) = aji (t, x), i, j = 1,..., n, и выполняется соотно шение n (t, x) QT \T 0 aij (t, x)i j (1.11) i,j= при любых отличных от нуля = (1,..., n ) En.

Заметим, что по определению (см., например, [36], [49]) вследствие усло вия (1.11) уравнение (1.10) является параболическим в QT \T.

Определение. Функция u называется классическим решением уравне u, u, u, i, j = 1,..., n, ния (1.10) в QT, если её производные xi xi xj t непрерывны в QT \T, сама функция u(t, x) непрерывна в QT и в QT \T выполняется тождество L(u(t, x)) = f (t, x).

Теорема 1.5. Пусть функция u(t, x) непрерывна в QT, все её производ ные, входящие в оператор L, непрерывны в QT \T и выполняются нера венства L(u(t, x)) 0 в QT \T, u(t, x) 0 на T.

Пусть коэффициент c оператора L ограничен сверху некоторой постоян ной M : c(t, x) M (t, x) QT. Тогда u(t, x) 0 в QT.

Теорема 1.6. Пусть классическое решение u(t, x) уравнения (1.10) удо влетворяет условию |u(t, x)| при (t, x) T.

q Пусть f ограниченная функция, а коэффициент c ограничен сверху:

|f (t, x)| (t, x) QT ;

N, c(t, x) M N, M = const 0.

Тогда всюду в QT выполняется неравенство eM t (N t + q).

|u(t, x)| (1.12) Теорема 1.7. Пусть функция u(t, x) в [0,T ] непрерывна и ограничена снизу:

d u(t, x), d = const 0, а в (0,T ] имеет все непрерывные производные, входящие в оператор L, и удовлетворяет неравенству L(u) 0. Пусть коэффициенты aij, bi, c удовлетворяют соотношениям M (|x|2 + 1), |bi (t, x)| M (|x|2 + 1)1/2, |aij (t, x)| c(t, x) M, M = const 0.

Тогда u(t, x) 0 всюду в [0,T ], если u 0 при t = 0.

Рассмотрим для уравнения (1.10) задачу Коши: найти непрерывную в полосе [0,T ] = {(t, x)| 0 t T, x En } функцию u(t, x), удовлетворя ющую в (0,T ] уравнению (1.10) и при t = 0 совпадающую с заданной на En функцией :

x En.

u(0, x) = (x), (1.13) Теорема 1.8. Пусть u(t, x) классическое ограниченное решение за дачи Коши (1.10), (1.13), коэффициенты aij, bi оператора L подчинены условиям теоремы 7 и выполняются соотношения |(x)| x En, q, |f (t, x)| (t, x) [0,T ].

N, c(t, x) M, Тогда всюду в [0,T ] eM t (N t + q).

|u(t, x)| (1.14) Теоремы 1.5 – 1.8 относятся к группе теорем принципа максимума. Дока зательство теорем 1.5 – 1.8 дано в [1, 15]. Другие важные теоремы принципа максимума см., например, в ([22], [28], [51]).

2. Оценки первых производных. Зададим целое n 1. Рассмотрим полосу [0,T ] = {(t, x)| 0 T, x E2 }, t вектор u = (u1,..., u2n ) и функции bi (t, x, u, v, w), i = 1,..., 2n, опреде ленные при всех значениях аргументов, принадлежащих множеству G = {(t, x, u, v, w)|(t, x) [0,T ], u, v, w +}.

Через GM и GN обозначим, соответственно, множества M {(t, x, u, v, w)|(t, x, u, v, w) G, |u| M }, {(t, x, u, v, w)|(t, x, u, v, w) GM, |x| N }.

Пусть µi = µi (t) – заданные на отрезке [0, T ] функции класса C[0, T ], причём t [0, T ].

µi (t) µ 0, (1.15) Рассмотрим систему 2n уравнений:

ui ui ui = µi (t)ui + bi (t, x, u,, ), i = 1,..., 2n. (1.16) t x1 x Условие 1. Решение u системы (1.16) непрерывно и ограничено в [0,T ] :

|u| (t, x) [0,T ], M, M = const 0, а в (0,T ] существуют частные производные от u по x до третьего порядка.

Функции bi = bi (t, x, u, v, w) удовлетворяют в GM неравенствам |bi | + |Dx bi | + |Du bi | c(1 + |Dx ui |), |Dv bi | + |Dw bi | c, i = 1,..., 2n;

c = const 0;

(1.17) (Dxi f )2 )1/2.

|Dx f | = ( i= Лемма 1. Пусть выполняется условие 1, производные Dx uj, j = 1,..., 2n, непрерывны в [0,T ] и |Dx uj | c1, j = 1,..., 2n. (1.18) t= Тогда в полосе [0,T ] верна оценка |Dx uj | M1, j = 1,..., 2n, (1.19) причём постоянная M1 зависит лишь от M, c, c1, µ и размерности 2n системы (1.16). Если соотношения (1.18) не выполнены (при этом выпол нены остальные предположения леммы 1.), то в полосе [,T ], 0 T, имеет место оценка |Dx uj | M1 (), j = 1,..., 2n, (1.20) где постоянная M1 () зависит лишь от M, c, µ,, n.

Условие 2. Решение u системы (1.16) непрерывно и ограничено в N ] = {t, x/0 t T, |x| N }:

[0,T (t, x) N ], |u| M, (1.21) [0,T а в N ] = {t, x/0 t T, |x| N } существуют частные производные от (0,T u по x до третьего порядка. Функции bi удовлетворяют в GN неравенствам M (1.17).

Лемма 2. Пусть выполнено условие 2, производные Dx uj, j = 1,..., 2n, непрерывны в N ] и [0,T |Dx uj | |x| c1, N, j = 1,..., 2n. (1.22) t= Тогда в полосе N верна оценка [0,T ] |Dx uj | M1 (), j = 1,..., 2n, (1.23) где постоянная M1 () зависит лишь от M, c, c1, µ,, n.

Глава 2. Метод Фурье. Преобразование Фурье.

Обратные задачи Основу §1-3 данной главы составляют материалы из [37].

§1. Метод Фурье для волнового уравнения Метод Фурье есть метод решения смешанных задач и задач Коши, ос нованный на использовании спектральных свойств входящего в уравнение эллиптического оператора. В классических работах самого Фурье и его по следователей метод Фурье был связан с разделением переменных в диффе ренциальном уравнении. В данном разделе на основе метода Фурье будет дано решение первой краевой задачи для волнового уравнения.

В области QT = {(t, x)|x E n, 0 t T } требуется найти решение волнового уравнения 2u u 2+ ajk (x) = f (t, x), (2.1) xj xk t удовлетворяющее начальным условиям u(0, x) = 0 (x), ut (0, x) = 1 (x) (2.2) и краевому условию u(t, x)|ST = 0, (2.3) где ST = [0, T ].

Здесь и далее выражение ajk (x) u обозначает сумму xj xk n n ajk (x) u.

xj k=1 xk j= Матрица коэффициентов ajk (x) положительно определена, т.е. для лю бого вектора = (1,..., n ) и для всех x выполнено n n |i |2, aij i j const.

0, i,j=1 i= Введем понятие абстрактной функции.

Определение. Будем говорить, что на множестве E определена аб страктная функция u(t) со значениями в банаховом пространстве X, если любому числу t E по некоторому закону приведен в соответствие один и только один элемент u(t) X.

Абстрактная функция u(t) непрерывна в точке t = t0, если lim u(t) u(t0 ) = 0.

X t u(t) непрерывна на некотором множестве значений t, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Абстрактная функция u(t) имеет в точке t производную u (t), если u(t + h) u(t) u (t) lim = 0.

h h0 X Если функция u(t) имеет в точке t производную, то она дифференцируема в этой точке.

Пусть абстрактные функции u(t) и v(t) со значениями в гильбертовом пространстве дифференцируемы в точке t, тогда имеет место формула дифференцирования скалярного произведения d (u(t), v(t)) = (u (t), v(t)) + (u(t), v (t)).

dt Ниже будем использовать следующие обозначения функциональных пространств.

Рассмотрим абстрактные функции, значения которых принадлежат про странству X, и пусть эти функции непрерывны на множестве E значений переменной t. Множество этих функций будем обозначать через C(E;

X).

Если на E указанные функции k раз непрерывно дифференцируемы, то это множество будем обозначать через C k (E;

X).

Функцию f (t, x) будем рассматривать как абстрактную непрерывную функцию со значениями в L2 (), т.е.f (t) = f (t, x) C([0, );

L2 ()). Счи таем, что 0 (x) H 1 (), 1 (x) L2 ().

Обобщенное решение задачи (2.1) - (2.3) будем трактовать как аб страктную функцию u(t) со значениями в H 1 () принадлежащую классу K = C([0, );

H 1 ()) C 1 ([0, );

L2 ()), где C([0, );

H 1 ()) – функци ональное пространство, состоящее из абстрактных непрерывных на [0, ) функций со значениями в H 1 ()), а C 1 ([0, );

L2 ())-функциональное пространство, состоящее из абстрактных непрерывно дифференцируемых функций на [0, ) со значениями в L2 ().

Введем скалярное произведение в H 1 () следующим образом [u, v] = u v ajk (x) dx. Норма u 1 = [u, u].

xj xk Абстрактная функция u(t) есть обобщенное решение задачи (2.1) - (2.3), если 1)u K;

2)u(0) = 0 ;

это равенство следует понимать в том смысле, что lim u(t) 0 = 0;

t 3) удовлетворяет тождеству T T du(t) d(t) [u(t), (t)] dt (1, (0)) = (, ) dt + (2.4) dt dt 0 T (f (t), (t)) dt KT, = где KT = { K|(T ) = 0}. Здесь и далее (u, v) = (u, v), u = (u, u).

Построим формально ряд Фурье.

Пусть n, un собственные числа и собственные элементы оператора L = a (x), удовлетворяющие задаче xj jk xk un | = Lun + n u = 0, (2.5) Существует счетное множество {n } ( в силу положительной определен ности оператора L собственные числа n 0), для которых задача (2.5) имеет нетривиальное решение. Каждому собственному числу n соответ ствует конечное число линейно независимых собственных функций. Будем повторять каждое собственое число столько раз, сколько ему соответствует собственных функций. Систему {un } собственных функций можно считать полной ортонормированной в L2 () ([37]), т.е.

(un, uk ) = 0, k = l, (un, un ) = 1.

Она также ортогональна, но не нормирована в H 1 (). Действительно, un uk [un, uk ] = aji (x) dx. Применяя формулу интегрирования по ча xj xi стям, получим [un, uk ] = L(un )uk dx Умножим (2.5) на uk. Результат умножения проинтегрируем по.

L(un )uk dx = n un uk dx = n (un, uk ).

Следовательно, [un, uk ] = n (un, uk ). Откуда получаем, что [un, uk ] = 0, n = k, [un, un ] = un = n Заметим, что система собственных функций {un } полна в каждом из про странств L2 () и H 1 () [37]. Значит, система функций un - полная n ортонормированная система в метрике H 1 ().

Решение задачи (2.1) - (2.3) будем искать в виде ряда u(t) = cn (t)un, n= где un - собственный элемент оператора L, cn (t) = (u(t), un ) Этот же ряд, записанный в виде un u(t) = n cn (t) n n= дает разложение функции в метрике H 1 () по полной ортонормированной системе un.

n Заметим, что оператор L является положительно определенным, поэто му будет справедливо равенство [u(t), un ] = n (u(t), un ) = n cn (t). (2.6) В тождестве (2.4) положим (t) = (T t)un и, учитывая (2.6), получим следующее уравнение для неизвестного коэффициента cn (t):

T T T cn (t) dt T (1, un ) + n (T t)cn (t) dt = (T t)fn (t) dt, (2.7) 0 0 где fn (t) = (f (t), un ). (2.8) Уравнение (2.7) продифференцируем по T и заменим обозначения T и t соответственно на t и.

t t cn (t) (1, un ) + n cn ( ) = fn ( ) d. (2.9) 0 Из уравнения (2.9) следует, что существует вторая производная cn (t).

Дифференцируя уравнение (2.9), видим, что cn (t) удовлетворяет обыкно венному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами d2 cn (t) + n cn (t) = fn (t). (2.10) dt Разложим функции 0, 1 в ряд Фурье 0 = (0, un )un, 1 = (1, un )un.

n=1 n= Тогда начальные условия для уравнения (2.10) имеют вид cn (0) = (0, un ), cn (0) = (1, un ). (2.11) Решение задачи (2.10), (2.11) определяется формулой (1, un ) cn (t) = (0, un ) cos n t + sin n t+ n t n (t )fn ( ) d.

+ sin (2.12) n Отсюда (1, un ) u(t, x) = (0, un ) cos n t + sin n t+ n n= t 1 n (t )fn ( ) d.

+ sin un (x). (2.13) n Таким образом, если обобщенное решение задачи (2.1) - (2.3) существует, то оно имеет вид (2.13).

Обоснование формулы (2.13) проведем следующим образом.

Представим функцию u(t, x) в виде u(t, x) = v(t, x) + w(t, x), где функ ция v(t, x) является обобщенным решением задачи (однородное уравнение с неоднородными начальными условиями) d2 v + Lv = 0, v(0, x) = 0 (x), vt (0, x) = 1 (x), (2.14) dt а функция w(t, x) есть обобщенное решение задачи (неоднородное уравне ние с однородными граничными условиями) d2 w + Lw = f (t, x), w(0, x) = 0, wt (0, x) = 0. (2.15) dt Из общей формулы (2.13) получаем выражения для v(t, x) и w(t, x) (1, un ) v(t, x) = (0, un ) cos n t + sin n t un (x), (2.16) n n= t un (x) n (t )fn ( ) d.

w(t, x) = sin (2.17) n Проведем обоснование метода Фурье отдельно для каждой формулы (2.16) и (2.17).

Обоснование метода Фурье для формулы (2.16) состоит в проверке сле дующих утверждений:

1) Ряд (2.16) сходится в метрике пространства H 1 () равномерно по t на всей оси;

2) Ряд, полученный дифференцированием ряда (2.16) по t, сходится рав номерно по t в метрике пространства L2 ();

3) Сумма ряда (2.16) удовлетворяет начальным условиям при t = 0.

4) Сумма ряда (2.16) удовлетворяет интегральному тождеству T T du(t) d(t) [u(t), (t)] dt (1, (0)) = 0 KT, (2.18) (, ) dt + dt dt 0 которое получается из (2.4) тождества при f 0.

Проверим выполнение первого утверждения. Запишем ряд (2.16) в виде v(t, x) = n (0, un ) cos n t+ n= u (x) (1, un ) sin n t n = (2.19) n un un (x) = 0, cos n t + (1, un ) sin n t.

n n n= un (x) Последний ряд есть ряд по системе функций, ортонормиро n ванной в метрике H 1 (). Поэтому достаточно доказать, что равномерно по t сходится ряд из квадратов коэффициентов un 0, cos n t + (1, un ) sin n t. (2.20) n n= Сумма этого ряда не превосходит величины un (1, un )2.

2 0, + n n=1 n= По неравенству Бесселя оба ряда сходятся. В то же время их члены не зависят от t. По теореме Вейерштрасса ряд (2.20) сходится равномерно.

Следовательно, ряд 2.19) сходится равномерно по t в метрике H 1 ().

Так как имеет место неравенство ||u|| C const, C u 1, то ряд (2.16)) сходится равномерно по t и в метрике L2 ().

Из приведенных выше рассуждений следует, что v(t, x) = v(t) C([0;

), H 1 ()).

Продифференцируем ряд (2.16) по t.

n (0, un ) sin n t + (1, un ) cos n t un (x) = n= (2.21) un 0, = sin n t + (1, un ) cos n t un (x).

n n= Этот ряд сходится равномерно по t в метрике L2 (). Это следует из наравенства 0, un sin n t + (1, un ) cos n t n un + 2(1, un ) 2 0, n и неравенства Бесселя.

Таким образом можно утверждать, что v(t, x) = v(t) C 1 ([0;

), L2 ()) и, следовательно, v(t) K.

Покажем, что сумма ряда (2.16 ) удовлетворяет начальным услови ям (2.14). Действительно, равномерная по t сходимость ряда позволяет почленно перейти к пределу ( в метрике H 1 ()) при t. Отсюда un un (x) lim |v(t) 0 | = 0 = 0.

0, t0 n n n= На основании вышеизложенных рассуждений сумма ряда (2.21) равна dv(t) и в этом ряде также можно почленно переходить к пределу по t.

dt dv(t) lim || 1 || = || (1, un )un 1 || = 0.

t t n= Далее проверим выполнение тождества (2.18).

Обозначим для краткости n (t) через коэффициенты ряда (2.16).

(1, un ) n (t) = (0, un ) cos n t + sin n t n Тогда v(t, x) = v(t) = n (t)un.

n= Коэффициенты n (t) удовлетворяют дифференциальному уравнению (2.10), в котором следует положить fn (t) 0:

n (t) + n n (t) = 0. (2.22) Имеем T T dv d d(t) dt =, n (t) un, dt.

dt dt dt n=1 Почленное интегрирование допустимо, потому что ряд (2.21) сходится рав номерно по t. Интегрируя по частям, получаем T T d(t) n (t) un, dt = n (t) (un, d(t)) dt dt 0 n (T ) (un, (T )) + n (0) (un, (0)) = T = n (t) (un, (t)) + (1, un ) (un, (0)).

Отсюда T dv d (, )dt = dt dt T = n (t) (un, (t)) dt + (1, un ) (un, (0)).

n=1 n= По равенству Парсеваля (1, un ) (un, (0)) = (1, (0)), n= и, следовательно, T T dv d, dt = n (t) (un, (t)) dt + (1, (0)). (2.23) dt dt n=1 Далее T T [u(t), (t)] dt = n (t)[un, (t)] dt = n= (2.24) T = n n (t)(un, (t)) dt.

n= Если теперь сложить равенства (2.23) и (2.24) и воспользоваться урав нением (2.22), то получим тождество (2.18).

Докажем теперь, что сумма ряда (2.17) есть обобщенное решение задачи (2.15). Для чего покажем справедливость следующих утверждений:

1) Ряд (2.17) сходится в метрике пространства H 1 () равномерно по t на любом сегменте вида [0, t], t = const 0;

2) Ряд, полученный дифференцированием ряда (2.17) по t, сходится рав номерно по t в метрике пространства L2 ();

3) Сумма ряда (2.17) удовлетворяет начальным условиям при t = 0.

4) Сумма ряда (2.17) удовлетворяет интегральному тождеству T T T dw(t) d(t) (f (t), (t)) dt KT. (2.25) (, ) dt + [w(t), (t)] dt = dt dt 0 0 Доказательство утверждения 1) сводится к проверке того, что ряд t sin n (t )fn ( ) d (2.26) n=1 сходится равномерно на сегменте [0, t].

По неравенству Буняковского 2 t t t sin n (t )fn ( ) d |f ( )| d t fn ( ) d. (2.27) 0 0 В силу равенства Парсеваля fn ( ) = ||f ( )||2.

(2.28) n= Ряд с непрерывными неотрицательными членами сходится к непрерыв ной функции. По теореме Дини [23] ряд (2.28) сходится равномерно. Но то гда и проинтегрированный ряд сходится равномерно. Из неравенства (2.27) следует теперь, что ряд (2.26) также сходится равномерно.

Из доказанного следует, что ряд (2.17) равномерно на [0, t] сходится в метрике L2 (), а также, что w(0, x) = 0.

Перейдем к утверждению 1). Формально продифференцировав ряд (2.17) по t, получим новый ряд t n (t )fn ( ) d.

un (x) cos n=1 Для доказательства сходимости этого ряда в метрике L2 () надо показать, что ряд t cos n (t )fn ( ) d n=1 сходится равномерно на сегменте [0, t]. Для членов последнего ряда верно неравенство 2 t t t n (t )fn ( ) d |f ( )| d cos t fn ( ) d.

0 0 Повторяя рассуждения доказательства утверждения 1), устанавливаем, что ряд, полученный почленным дифференцированием ряда (2.17), схо дится равномерно на сегменте [0, t] в метрике L2 ().

Теперь ясно, что t dw(t) n (t )fn ( ) d = un (x) cos dt n=1 dw(t) и что = 0.

dt t= Таким образом, одновременно с доказательством утверждений 1) и 2) было доказано утверждение 3).

Покажем, что w(t, x) удовлетворяет тождеству (2.25).

Имеем T dw(t) d(t) (, ) dt = dt dt 0 T t d(t) n (t )fn ( ) d un (x), cos dt.

dt n=1 0 Внешний интеграл возьмем по частям t T d(t) cos n (t )fn ( ) d dt = un (x), dt 0 t=T t n (t )fn ( ) d = (un, (t)) cos 0 t= T t (un, (t)) fn (t) n (t )fn ( ) d n sin dt 0 Внешнеинтегральный член исчезнет, так как (T ) = 0. Принимая во вни fn (t)un = f (t) и n (un, (t)) = 1 [un, (t)], получаем мание, что n n= T T T dw(t) d(t) ) dt = (f (t), (t)) dt + (, [w(t), (t)] dt, dt dt 0 0 и соотношение (2.25) доказано.

§2. Некоторые свойства преобразования Фурье В этом параграфе будут изложены простейшие свойства многомерного преобразования Фурье. Будем рассматривать функцию u L(Em ), так что |u(x)| dx.

Em Преобразование Фурье этой функции определим формулой m ei(x,y) u(y) dy.

(F u) = u (x) = (2) 2 (2.29) Em Здесь через (x, y) обозначено скалярное произведение в пространстве Em m (x, y) = xk yk k= Функция u (x) определена и непрерывна в каждой точке x Em в силу абсолютной и равномерной сходимости интеграла (2.29).

Кратное преобразование Фурье можно получить, применяя последова тельно одномерное преобразование Фурье: если построить последовательно функции + u(x1, x2,..., xm1 ym )eixm ym dym, u1 (x1,..., xm ) = (2)1/ + u1 (x1, x2,..., ym1 xm )eixm1 ym1 dym1 = u2 (x1,..., xm ) = (2)1/ + + u(x1, x2,..., ym1 ym )ei(xm1 ym1 +xm ym ) dym1 dym = (2) (2.30)...

+ um1 (y1, x2,..., xm1 xm )eix1 y1 dy1 = um (x1,..., xm ) = (2)1/ + + u(y1,..., ym )ei(x1 y1 +...+xm ym ) dym1 dy1...dym, = (2)m/2...

то, очевидно, um (x1,..., xm ) = u (x).

Далее будут сформулированы теоремы, описывающие свойства много мерного преобразования Фурье. Доказательство этих теорем можно найти в [37].

Теорема 2.1. Если k - натуральное число и произведение (1 + |x|k )u(x) суммируемо в Em, то преобразование Фурье функции u(x) имеет непре рывные производные порядка, не превосходящего k, всюду в Em.

Теорема 2.2. Пусть функция u(x) непрерывно дифференцируема k раз в любой точке x Em. Пусть функция u(x) и все ее производные поряд ка, не превосходящего k, суммируемы в Em и обращаются в нуль на бес конечности. Тогда при достаточно больших значениях |x| имеет место равенство u (x) = (F u)(x) = O(|x|k ).

При некоторых условиях, наложенных на функцию u(x), справедлива формула обращения преобразования Фурье m ei(x,y) u (y) dy.

u(x) = (2) 2 (2.31) Em Функция u (x), вообще говоря, не суммируема в Em, поэтому необхо димо каждый раз указывать, в каком смысле следует понимать интеграл (2.31). Разумеется, если u (x) в Em, то этот интеграл можно понимать в обычном смысле. Справедлива, например, следующая теорема.

Теорема 2.3. Пусть функция u(x) отлична от нуля только в некото рой конечной области и имеет во всем пространстве непрерывные первые производные. Тогда справедлива формула обращения (2.31), в которой ин теграл понимается в следующем смысле u (y)ei(x,y) dy = Em Nm N2 N (2.32) u (y)eix1 y1 dy1 lim... lim lim Nm N2 N1 Nm N2 N ix2 y dy2... eixm ym dym.

e Доказательство этой теоремы можно найти в [37].

§3. Задача Коши для волнового уравнения Будем искать в (0,) = {(t, x)|0 t, x En } решение задачи 2u u = 0 (2.33) t ut |t=0 = 1 (x).

u|t=0 = 0 (x), (2.34) К обеим частям уравнения (2.33) и к начальным данным (2.34) приме ним формально преобразование Фурье. В итоге получаем задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с по стоянными коэффициентами 2u 2 + |x| u = 0, (2.35) t u |t=0 = 0 (x), ut |t=0 = 1 (x), (2.36) символ означает преобразование Фурье.

Общий интеграл уравнения (2.35) имеет вид u (t, x) = A(x) cos |x|t + B(x) sin |x|t.

При t = 0 находим A(x) = 0 (x), B(x)|x| = 1 (x), и мы получаем решение задачи (2.35), (2.36) 1 (x) u (t, x) = 0 (x) cos |x|t + sin |x|t. (2.37) |x| Выполнив обратное преобразование Фурье, придем к следующей формуле для искомого решения:

u(t, x) = 1 (y) (2.38) sin |y|t ei(x,y) dy.

= (2)m/2 0 (y) cos |y|t + |y| Em Обоснование формулы (2.38) проведем при следующих предположени ях. Считаем, что функция 0 (x) имеет во всем пространстве Em непрерыв ные производные до порядка m + 3 включительно, а функция 1 (x) имеет непрерывные производные до порядка m+2 включительно. Предположим, что функции 0 (x), 1 (x) и их производные указанных порядков отличны от нуля лишь в некоторой конечной области пространства Em.

Сделанные выше предположения гарантируют, что при достаточно боль ших |x| верны оценки 0 (x) = O(|x|m3 ), 1 (x) = O(|x|m2 ).

В таком случае подынтегральная функция в (2.38) имеет на бесконеч ности оценку O(|y|m3 ), первые и вторые производные подынтегральной функции по x1, x2,..., xm, t имеют оценки O(|y|m2 ) и O(|y|m1 ) соот ветственно. Во всех случаях эти оценки равномерны относительно x и t.

Отсюда следует, что как интеграл (2.38), так и интегралы, полученные из него дифференцированием, однократным или двукратным, сходятся рав номерно по x и t. А в таком случае функция (2.38) непрерывна и дважды непрерывно дифференцируема по координатам и времени, причем произ водные можно получить дифференцированием под знаком интеграла.

Теперь нетрудно доказать, что функция (2.38) удовлетворяет началь ным условиям (2.34) и волновому уравнению (2.33). Полагая в (2.38) t = найдем u(0, x) = (2)m/2 0 (y)ei(x,y) dy = 0 (x).

Em Продифференцировав формулу (2.38) по t и положив t = 0, получим ut (0, x) = (2)m/2 1 (y)ei(x,y) dy = 1 (x).

Em Далее 2u = t 1 (y) |y|2 0 (y) cos |y|t + sin |y|t ei(x,y) dy, = (2)m/ |y| Em |y|2 (0 (y) cos |y|t+ u = (2)m/ Em 1 (y) sin |y|t ei(x,y) dy = u, + t |y| функция (2.38), следовательно, удовлетворяет волновому уравнению.

Тот же прием - сведение к обыкновенному дифференциальному уравне нию с помощью преобразования Фурье - можно применить и к неоднород ному уравнению 2u u = f (t, x). (2.39) t Пусть для этого уравнения поставлена задача Коши с начальными усло виями (2.34). Применим к задачи (2.39), (2.34) преобразование Фурье по пространственным переменным. Обозначая m ei(x,y) f (t, y) dy, f (t, x) = (2) Em получим 2u 2 + |x| u = f (t, x). (2.40) t Решение задачи (2.40), (2.36) представимо формулой t 1 (x) f (, x)|x|1 sin |x|(t ) d. (2.41) u(t, x) = 0 (x) cos |x|t+ sin |x|t+ |x| Если функции 0 (x), 1 (x) и f (t, x) имеют достаточное число производных и отличны от нуля только в конечной области изменения переменных, то обратное преобразование Фурье, применимое к формуле (2.41), дает реше ние задачи Коши для неоднородного уравнения.

§4. Преобразование Фурье и обратные задачи Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято на зывать задачи определения коэффициентов, правых частей дифференци альных уравнений, границ области, граничных или начальных условий по той или иной дополнительной информации о решениях уравнений.

В настоящее время обратные задачи являются одной из важных обла стей теории некорректных задач. Задачи идентификации входных данных представляют научный и практический интерес.

Обратные задачи возникают во многих областях физики и производства.

Фактически все инженерные задачи ставятся с целью:

а) создания прибора, аппарата и т.п. с заранее заданными или заранее планируемыми характеристиками;

б) оценки экспериментальных данных, получения тех или иных выводов по косвенным наблюдениям;

в) разумной обработки данных, полученных в результате эксперимента.

Многие важные прикладные вопросы, касающиеся упругих смещений, электромагнитных колебаний, диффузионных процессов, приводят к об ратным задачам. Причем круг таких проблем постоянно расширяется.

Одним из важных этапов исследования корректности обратных задач является переход от обратной задачи к прямой. В частности, преобразо вание Фурье позволяет это сделать в случае обратных задач с данными Коши.

В полосе [0,T ] = {(t, x)|x R, 0 T } рассматривается задача t определения пары функций (u(t, x), a(t)), удовлетворяющих следующим соотношениям:

(t, x) [0,T ], ut = b(t)uxx + a(t)u + f (t, x), (2.42) x R, u(0, x) = u0 (x), (2.43) t [0, T ], u(t, 0) = (t), (2.44) где b(t), f (t, x), u0 (x), (t) – известные функции.

Считаем, что выполнено условие согласования, т.е.

u0 (0) = (0). (2.45) Функции (t), b(t) таковы, что (t) C 1 ([0, T ]), (t) 0, константа, (2.46) b(t) C([0, T ]), b(t) 0, (2.47) а функции u0 (x), f (t, x) допускают преобразование Фурье.

Пусть формулы + + u(t, x)eix dx, u(t, x) = w(t, x)eix d w(, t) = (2.48) задают соответственно прямое и обратное преобразование Фурье функции u(t, x) Рассмотрим уравнение (2.42) в точке x = 0. С учетом (2.45), (2.46), (2.48) получаем, что + 2 w d f (t, 0) +b ut (t, 0) b(t)uxx (t, 0) f (t, 0) a(t) = =.

(t) Применим преобразование Фурье к (2.42). Результат преобразования имеет вид wt = b 2 w + a(t)w +, (t, ) G[0,T ], (2.49) + f (t, x)eix dx, G[0,T ] = {(t, )|t [0, T ], R}.

где (t, ) = Решение задачи (2.42) – (2.44) ищется в классе действительнозначных функций. Поэтому в качестве a(t) имеет смысл рассматривать выражение + 2 w d f (t, 0) + bRe a(t) =.

Заменим коэффициент a(t) в (2.49) на найденное выражение. В итоге получим интегродифференциальное уравнение + 2 w d f (t, 0) + bRe wt = 2 bw + w +, (t, ) G[0,T ] (2.50) с начальным условием R, w(0, ) = w0 (), (2.51) + u0 (x)eix dx.

где w0 () = Теорема 2.4. Пусть выполнены условия (2.46), (2.47) и (1 + ||3+ )|w0 | w0 () C(R), M1, sup (1 + ||3+ )|(t, )| (t, ) C(G[0,T ] ), M2, t[0,T ] + 2 Re w0 exp 2 b( ) d 1 (0) t [0, T ], d 0, t + 2 Re exp 2 b() d 1 (t) d 0, 0 t T, t f (t, 0) C([0, T ]). (2.52) Тогда для любого конечного T 0 задача (2.50), (2.51) имеет един ственное решение w(t, ) C 0,1 (G[0,T ] ), для которого выполнено (1 + ||3+ )|w| (t, x) G[0,T ], M3, (1 + ||1+ )|wt | (t, x) G(0,T ].

M4, Здесь Mi, i = 1, 4, – константы, 0 1.

Теорема 2.5. Пусть u0 (x) C 5 (R), f (t, x) C 5,0 ([0,T ] ) выполнены условия (2.46), (2.47), (2.52) и k u0 = 0, lim k = 0, 4, xk x± + q u dx, q = 0, 5, xq k f (t, x) lim sup = 0, k = 0, 4, xk x± 0 t T q f (t, x) (x) t [0, T ], q = 0, 5, xq + (x) dx.

где (x) такова, что Тогда обратная задача (2.42) – (2.44) для любого конечного T 0 име ет единственное решение {u(t, x), a(t)}, которое определяется соотноше ниями + weix d, u = Re + 2 w d f (t, 0) + bRe a(t) =, (t) где w – решение прямой задачи (2.50), (2.51).

При этом, u(t, x) C 2,1 ([0,T ] ), a(t) C([0, T ]) и выполнено (|u| + |ux | + |uxx |) sup M5.

(t,x) [0,T ] Доказательство теорем, сформулированных выше, можно найти в [58].

Глава 3. Метод Галеркина для волнового уравнения В цилиндре QT {(t, x)|0 t T, x } ( некоторая ограниченная область n - мерного пространства En ) рассмотрим гиперболическое урав нение Lu utt div(k(x) u) + a(x)u = f (t, x), (3.1) где k(x) C 1 (), a(x) C(), k(x) k0 = const 0. Зададим начальные условия u|t=0 =, (3.2) ut |t=0 = (3.3) и краевые условия u|ST = 0, (3.4) где ST = [0, T ].

Вопросы разрешимости задачи (3.1) - (3.4) рассматривались в [36].

Считаем, что H 1 (), L2 (), f L2 (QT ).

Введем обозначения = {x, t = }. Тогда 0 = {x, t = 0} нижнее основание цилиндра QT, T = {x, t = T } - верхнее основание цилиндра QT.

Принадлежащая пространству H 1 (QT ) функция u(t, x) называется обоб щенным решением в QT первой краевой задачи (3.1)-(3.4), если она удовле творяет начальному условию (3.2), граничному условию (3.4) и тождеству (k u v + auv ut vt ) dxdt = v ds + f v dxdt (3.5) QT 0 QT при всех v H 1 (QT ), для которых выполнены условие (3.4) и условие v|T = 0. (3.6) Теорема. Задача (3.1) - (3.4) не может иметь более одного обобщен ного решения [36].

Пусть H 1 (QT ) - подпространство пространства H 1 (QT ), состоящее из функций, обращающихся в нуль на T ST. В качестве M возьмем мно жество всех линейных комбинаций функций vk (x)(t), где k = 1, 2,..., а (t) произвольная функция из C 1 ([0, T ]), удовлетворяющая условию (T ) = 0.

Имеет место лемма Лемма. M всюду плотно в H 1 (QT ).

Доказательство. Для доказательства леммы достаточно установить, что любую функцию (t, x) из C 2 (QT ), удовлетворяющую условию |ST = 0, (3.7) можно аппроксимировать в метрике пространства H 1 (QT ) функциями из M. Норму в пространстве H 1 (QT ) определим равенством 1/ (ft2 + | f |2 ) dx dt f =.

H 1 (QT ) QT Заметим, что множество M можно рассматривать как множество всех линейных комбинаций функций vk (x)(t), где (t) - произвольная функ ция из C 1 ([0, T ]), обращающаяся в нуль при t = T, а v1, v2,... -орто нормированный базис пространства H 1 () (в скалярном произведении (f, g) = f g dx), полученный в результате ортонормирования си H 1 () стемы v1, v2,... методом Грамма-Шмидта [36].

Пусть (t, x) - произвольная функция из C 2 (QT ), удовлетворяющая условию (3.7). Так как для любого t [0, T ] функции (t, x) и t (t, x) при надлежат H (), то их можно разложить в сходящиеся в метрике H 1 () ряды Фурье (t, x) = k (t)vk (x), t (t, x) = k (t)vk (x), (3.8) k=1 k= где k = (t, x) vk (x) dx. (3.9) При этом (k (t) + k2 (t)) = (| (t, x)|2 + | t (t, x)|2 ) dx, t [0, T ]. (3.10) k=1 Обозначим через N (t, x) частичную сумму ряда (3.9):

N N (t, x) = k (t)vk (x). (3.11) k= Из (3.8) и (3.9) вытекает, что для любого N 1 при всех t [0, T ] функция t N t H 1 (t ). Поэтому на основании неравенства Пуанкаре - Фридрих са [36] t N t C t N t, L2 (t ) H 1 (t ) где C 0 - постоянная, зависящая лишь от области. Следовательно, для любого N 1 при всех t [0, T ] 2 C 2 t N t t N t + N + L2 (t ) H 1 (t ) H 1 (t ) (k (t) + C 2 k2 (t)).

+ N = H 1 (t ) k=n+ (k (t) + C 2 k2 (t)) 0 при N.

В силу (3.9) для любого t [0, T ] k=N + Далее используем теорему Леви [36].

Теорема. (Б.Леви) Монотонная п.в. последовательность функций fk (x), k = 1, 2,..., интегрируемых в Q функций с ограниченной последователь ностью интегралов п.в. в Q сходится к некоторой интегрируемой функ ции f (x) и при этом lim fk dx = f dx.

k Поэтому на основании теоремы Леви получим, что при N T n ( t nt + n ) dt 0.

= L2 (t ) H 1 (t ) H 1 (QT ) Таким образом, установлено, что M всюду плотно в H 1 (QT ).

Докажем существование обобщенного решения задачи (3.1) - (3.4) ме тодом Галёркина. Пусть v1 (x), v2 (x),... - произвольная система функций из C 2 (), удовлетворяющих граничному условию vk | = 0, k = 1, 2,..., линейно независимая и полная в H 1 (), т.е. линейное многообразие, на тянутое на эту систему, всюду плотно в H 1 (). Для произвольного це лого m в конечномерном подпространстве Vm пространства L2 (), натя нутом на функции vk, k = 1, 2,..., m, решается задача, получающаяся из задачи (3.1)-(3.4) ортогональным проектированием [36] на это подпростран ство, т.е. ищется функция wm (t, x) H 2 (QT ), принадлежащая при каждом t [0, T ] подпространству Vm, удовлетворяющая условиям (3.2) и (3.3) с m m начальными функциями m (x) = k vk (x), m (x) = k vk (x)- ортого k=1 k= нальными проекциями на подпространство Vm функций (x) и (x) соот ветственно, и такая что при п.в. t (0, T ) ортогональные проекции на Vm (в скалярном произведении L2 ()) функций f (t, x) и wmtt div(k wm ) + awm совпадают. Это означает, что надо найти такие функции c1 (t),... cm (t) (из H 2 (0, T )), удовлетворяющие условиям ck (0) = k, ck (0) = k, k = 1,.., m, что функция wmtt div(k wm ) + awm f, где m wm (t, x) = ck (t)vk (x), (3.12) k= для п.в. t (0, T ) ортогональна в L2 () подпространству Vm, т.е.

(wmtt div(k wm ) + awm )vk dx = f vk dx (3.13) для k = 1,..., m.

Метод Галёркина заключается в том, что решение u(t, x) задачи (3.1) (3.4) аппроксимируется решениями wm "спроектированных" задач. Для его обоснования нужно доказать, что решение wm каждой из таких задач существует (и единственно) и последовательность wm, m = 1, 2,..., в неко тором смысле ( слабо в H 1 (QT )) сходится к u(t, x).

Рассмотрим, для простоты, случай однородных начальных условий ( = 0, = 0). Тогда k = k = 0, k = 1,..., т.е.

ck (0) = ck (0) = 0, k = 1,..., m. (3.14) Равенства (3.13) есть линейная относительно функций c1 (t),..., cm (t) система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами m cs (t)(vk, vs )L2 () + cs (t)(vk, vs ) = fk (t), k = 1,..., m, (3.15) H 1 () s= f (t, x)vk (x) dx L2 (0, T ), (h, g) где fk (t) = = (k h g + ahg) dx.

H 1 () Докажем, что система (3.15) имеет единственное принадлежащее H 2 (0, T ) решение, удовлетворяющее начальным условиям (3.14).

Так как система функций v1, v2,... линейно независима, то при любом m 1 определитель матрицы с элементами (vk, vs )L2 (), k, s = 1,..., m, отличен от нуля. Поэтому линейную систему обыкновенных дифференци альных уравнений (3.15) можно разрешить относительно старших произ водных. Следовательно, задача (3.15), (3.14) эквивалентна задаче c (t) = Ac(t) + F (t), c(0) = 0, (3.16) где c(t) = (c1 (t),..., cm (t), c1 (t),..., cm (t)), F (t) = (F1 (t),..., F2m (t)), (F1 (t),..., F2m (t)) = (k, s )L2 () 1 (f1 (t),..., fm (t)), Fm+1 (t) =... = F2m (t) = 0, а 0 (k, s )L2 () (k, s ) H 1 () A= I - матрица порядка 2m ( I - единичная матрица порядка m). Очевидно, вектор F (t) L2 (0, T ) (Fi (t) L2 (0, T ), i = 1,.., 2m).

Для доказательства утверждения достаточно показать, что задача (3.16) имеет единственное решение, принадлежащее пространству H 1 (0, T ). Заме ним задачу (3.16) эквивалентной ей системой интегральных уравнений t t c(t) = AC( ) d + F ( ) d. (3.17) 0 t F ( ) d H 1 (0, T ) и является непрерывной функцией Заметим, что на [0, T ]. Если c(t) H 1 (0, T ) - решение задачи (3.16), то оно непрерывно и удовлетворяет системе (3.17). Наоборот, если c(t) - непрерывное на [0, T ] решение системы (3.17), то оно принадлежит H 1 (0, T ) и является решени ем задачи (3.16). Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений следует, что система интегральных уравнений (3.17) имеет единственное непрерывное на [0, T ] решение [38].

Таким образом, установлено существование и единственность при любом m = 1, 2,,... функций wm (t, x) вида (3.12), удовлетворяющих равенствам (3.13) и начальным условиям wm |t=0 = wmt |t=0 = 0.

Умножим (3.13) на ck (t), проинтегрируем по (0, ), где - произвольное число из [0, T ], и просуммируем по k от 1 до m. В результате получим равенство (wmtt div(k wm ) + awm )wmt dxdt = f wmt dxdt. (3.18) Q Q Так как wmtt wmt = 1 w2, div(k w ) · w = div(kw, w ) m mt mt m 2 mt t 1 | w |2 и aw w = 1 aw2, то m m mt t 2 t 2 m (wmtt div(k wm ) + awm )wmt dxdt = Q =1 (wmt + k| wm |2 + awm ) dx.

2 Замечая, что в подпространстве H 1 (QT ) пространства H 1 (QT ), состоя щем из функций, обращающихся в нуль на ST 0, можно ввести эквива лентную обычной норму 1/ (wt + k| w|2 + aw2 ) dxdt w =, H 1 (QT ) QT получим T (wmtt div(k wm ) + awm )wmt dx = wm 2 d.

H 1 (QT ) 0 Q Поэтому из равенства (3.18) имеем T wm =2 d dt f (t, x)wmt (t, x)dx = H 1 (QT ) 0 0 (T t)f (t, x)wmt (t, x)dxdt =2 2T f wmt L2 (QT ) L2 (QT ) QT 2T f wmt H 1 (QT ), L2 (QT ) откуда w 2T f L2 (QT ).

H 1 (QT ) Таким образом, множество функций wm, m = 1, 2,..., ограничено в H 1 (QT ).

Значит множество {wm } слабо компактно в H 1 (QT ), т.е. из него можно выделить подпоследовательность ( будем ее снова обозначать через wm ), слабо сходящуюся в H 1 (QT ) к некоторой функции u H 1 (QT ).

Функция u есть искомое обобщенное решение краевой задачи. Для того чтобы это доказать достаточно проверить, что при любой v H 1 (QT ) имеет место интегральное тождество (3.5) ( в котором = 0):

(k u v + auv ut vt ) dxdt = f v dxdt (3.19) QT QT Для чего в свою очередь достаточно тождество (3.19) установить для мно жества функций M (введенного ранее), которое всюду плотного в H 1 (QT ).

Покажем сначала, что равенство (3.19) справедливо для любой функции v(t, x) = vk (x)(t), а следовательно, и для любой v из M.

Интегрируя по (0, T ) умноженное на (t) равенство (3.13) для m k получим [(k wm vk + awm vk ) wmt vk ] dxdt = f vk dx dt.

QT QT Отсюда вытекает (3.19), так как при m wm слабо в H 1 (QT ) сходится к u.

Заметим, что в силу единственности обобщенного решения задачи (3.1) - (3.4) из доказанного следует, что не только некоторая подпоследователь ность последовательности wm, m = 1, 2,..., но и сама последовательность слабо в H 1 (QT ) сходится к u.

Замечание. Метод Галёркина в отличие от метода Фурье позволяет исследовать смешанные задачи в случае, когда коэффициенты зависят не только от пространственных переменных, но и от времени.

Глава 4. Метод слабой аппроксимации Необходимость решать сложные задачи, и притом с достаточно высокой точностью, привела к созданию ряда мощных численных методов решения начально-краевых задач [6, 32, 40, 45]. Одними из них являются методы расщепления, позволяющие заменять исходные сложные задачи, которые требуют для своего решения больших затрат машинного времени и памя ти, цепочкой, как правило, более простых задач и в смысле размерности, и в смысле структуры операторов, составляющих исследуемые задачи. Рас щепление можно производить как на конечно-разностном уровне, расщеп ляя конечно-разностные операторы, так и на дифференциальном уровне, когда расщепляются дифференциальные операторы. В настоящее время разработано большое число эффективных численных алгоритмов, основан ных на методе расщепления (см. работы [2, 14, 20, 33, 35, 48, 52, 54, 60, 61].

Расщепленную дифференциальную задачу можно считать промежуточной между исходной дифференциальной задачей и некоторой расщепленной конечно-разностной задачей, аппроксимирующей исходную дифференци альную задачу. Сходимость метода расщепления на дифференциальном уровне подтверждает правильность соответствующего расщепления раз ностной задачи, аппроксимирующей исходную дифференциальную зада чу. Первоначально именно для этих целей и были сформулированы ме тоды расщепления на дифференциальном уровне, поскольку аппарат тео рии дифференциальных уравнений более развит и прост (менее громоздок) по сравнению с аппаратом теории разностных методов. Обоснование схо димости на дифференциальном уровне можно принимать как некоторый уровень обоснования сходимости соответствующего расщепления конечно разностной задачи при стремлении к нулю соответствующих параметров схемы. Вскоре оказалось, что метод расщепления на дифференциальном уровне эффективно применим при исследовании корректности и постро ении решений самых различных краевых задач. Это связано с тем, что, по сравнению с исходной, расщепленные задачи на каждом дробном шаге оказываются, как правило, проще, и их решения часто можно или точно выписать, или более точно оценить и на этом основании получить апри орные оценки, играющие, как известно, важную роль при исследовании разрешимости краевых задач.


В данной главе даны примеры, приводящие к понятию метода слабой ап проксимации, и определение МСА. Дано определение слабой аппроксима ции заданной функции некоторым параметрическим семейством функций, и исследована связь между слабой аппроксимацией и слабой сходимостью.

В случае задачи Коши для достаточно общих систем уравнений в частных производных доказана теорема о сходимости решений расщепленной зада чи к решению исходной при стремлении к нулю параметра расщепления.

§1. Примеры, приводящие к понятию метода слабой аппрокси мации Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих понятие метода сла бой аппроксимации. Во всех примерах параметр мал и положителен.

Пример 1. Для решения на отрезке [0, T ] задачи Коши dx = f (t) 0, x(0) = 0, (4.1) dt применим разностную схему дробных шагов 1 xn+ 2 xn xn+1 xn+ x0 = 0, = 1, = 1, (4.2) где xn значение приближенного решения в точке tn = n ;

xn+ 2 в точке tn+ 1 = (n + 2 ) ;

n = 0, 1,..., N 1;

N = T ;

N 1 – целое.

Если исключить из соотношений (4.2) xn+ 2, получим так называемую схему в целых шагах:

xn+1 xn x0 = 0.

= 0, (4.3) Отсюда следует, что xn = 0 и, значит, совпадает с точным решением задачи (4.1) в точках tn.

Схему (4.2) можно трактовать следующим образом: на первом дробном 1 dx 1 dx = 1. В шаге решается уравнение = 1, на втором уравнение 2 dt 2 dt целом же решается задача Коши dx(, t) = f (, t), x(, 0) = 0, (4.4) dt где (2, n t (n + 1 ), n = 0, 1,..., N 1.

f (, t) = 2, (n + 1 ) t (n + 1), Легко заметить, что функции f (, t) аппроксимируют функцию f (t) в том смысле, что при любых t1, t2 из [0, T ] t (f (, s) f (s)) ds 0 при 0. (4.5) t В то же время max |x(, t) x(t)| =, то есть имеет место равномерная [0,T ] сходимость x(, t) к x(t) на отрезке [0, T ].

Пример 2. На отрезке [0,T] рассмотрим задачу Коши dx a, b const, + ax = b, x(0) = 1, (4.6) dt решением которой является функция x(t) = eat + a (1 eat ). Заменим b задачу (4.6) задачей dx + a(, t)x = b(, t), x(0) = 1, (4.7) dt 2a, n t (n + 1 ), где a(, t) = 0, (n + 1 ) t (n + 1), 0, n t (n + 1 ), n = 0, 1,..., N 1.

b(, t) = 2b, (n + 1 ) t (n + 1), Функции a(, t) слабо аппроксимируют постоянную a в смысле (4.5), а функции b(, t) постоянную b. Для решения задачи (4.7) нужно после довательно решать уравнения dx + 2ax = 0 при t (n, (n + ) ], dt dx = 2b при t ((n + ), (n + 1) ], dt причем значение решения на конце предыдущего промежутка берется в качестве начальных данных для решения на следующем промежутке.

Пусть сначала b = 0. Тогда решение x(, t) задачи (4.7) дается соотно шениями вида ean e2a(tn ), n t (n + 1 ), x(, t) = ea(n+1), (n + 1 ) t (n + 1).

Легко видеть, что max |x(, t) x(t)| = O( ) 1, причем в точках tn = n [0,T ] функции x(, t) и x(t) совпадают.

Пусть теперь b любое. Тогда x(, ) = ea, x(, ) = ea + b и так далее:

x(, tn ) = eean + b (ea(n1) + ea(n2) +... + 1) = = eatn + b(1 eatn ).

1 ea Из того, что при малых = + O( ), 1 ea a имеем: |x(, tn )x(tn )| = O( ). Очевидно, что аналогичное равенство спра ведливо и во всех точках отрезка [0, T ].

O( ) – "O" большое от.

Пример 3. Рассмотрим задачу Коши для уравнения переноса u u u u(0, x1, x2 ) = u0 (x1, x2 ), t, x, y +.

+ + = 0, t x1 x Функцию u0 считаем непрерывно дифференцируемой по x1, x2 в простран стве E2. Решением этой задачи является функция u(t, x1, x2 ) = u0 (x t, x2 t).

Рассмотрим задачу u u u + 1 (, t) + 2 (, t) = 0, u (0, x1, x2 ) = u0 (x1, x2 ).

t x1 x Ее решение равносильно последовательному решению задач:

u u +2 = 0, n t (n + ), t x1 u u +2 = 0, (n + ) t (n + 1).

t x2 Начальные данные, как описано выше, берутся с предыдущих времен ных промежутков. Если обозначить функцию, совпадающую на каждом промежутке с решением соответствующей задачи последовательности, че рез u (t, x1, x2 ), то после решения первой задачи (на первом дробном ша ге) получим u (, x1, x2 ) = u0 (x1, x2 ), после второго дробного шага u (, x1, x2 ) = u0 (x1, x2 ) и так далее. Таким образом, имеем, что при t = n выполняется равенство u(t, x1, x2 ) = u (t, x1, x2 ). Можно показать, что в случае непрерывно дифференцируемой функции u0 (x1, x2 ) с ограни ченной в E2 производной выполняется равенство u (t, x1, x2 )u(t, x1, x2 ) = O( ) равномерно по (t, x, y) E3.

Пример 4. Известно [37], что решение задачи u 2 u 2 u = 2 + 2, t 0, (x, y) E2, u(0, x, y) = u0 (x, y), (4.8) t x y выражается формулой Пуассона 1 (x)2 +(y) u0 (, )e dd, t 0, (x, y) E2.

u(t, x, y) = 4t 4t Аналогично тому, как это делалось выше, задачу (4.8) заменим на зада чу 2u 2u u = 1 (, t) 2 + 2 (, t) 2, u(0, x, y) = u0 (x, y).

t x y Обозначая ее решение через u (t, x, y), получим, что 1 (x) u0 (, y)e u (, x, y) = d, 2 1 2 (x) (y) u (, x, y) = ( u0 (, )e d)e d = 4 = u(, x, y).

Нетрудно проверить теперь, что равенство u(t, x, y) = u (t, x, y) выполня ется при t = n.

§2. Общая формулировка метода слабой аппроксимации Большинство примеров, приведенных в предыдущем параграфе, явля ются частными случаями общей схемы метода слабой аппроксимации, ко торая будет описана в этом параграфе.

В банаховом пространстве B рассмотрим задачу Коши du t [0, T ], + L(t)u = f (t), u(0) = u0, (4.9) dt где L(t) вообще говоря, нелинейный неограниченный оператор с пере менной областью определения D(L(t)), причем при каждом фиксирован ном t [0, T ] оператор L(t) отображает D(L(t)) в B.

m m fi и D(L(t)) m D(Li (t)). Мы считаем, что Пусть L = Li, f = i= i=1 i= операторы Li (t) отображают D(Li (t)) в B и функции fi (t) B, i = 1,..., m.

Наряду с задачей (4.9) рассмотрим семейство задач, зависящих от па раметра :

du t [0, T ], + L (t)u = f (t), u (0) = u0. (4.10) dt m m Здесь L (t) = i (, t)Li (t), f (t) = i (, t)fi (t), а функции i (, t), i=1 i= i (, t) слабо аппроксимируют единицу, то есть для любых t1, t2 [0, T ] при t2 t i (, t) 1 dt 0, i (, t) 1 dt 0.

t1 t В дальнейшем вместо "семейства задач (4.10) "будем говорить о "задаче (4.10)".

Метод решения задачи (4.9), при котором в качестве приближенных ре шений u, 0 берутся решения задачи (4.10) и решение u задачи (4.9) находится как предел при 0 решений u (u = lim u ), мы будем назы вать методом слабой аппроксимации [11].

Часто коэффициенты i (, t), i (, t) выбирают в виде m, (n + i 1 ) t (n + i ), m m i (, t) = i (, t) = (4.11) 0, в противном случае, n = 0, 1,..., N 1.

В этом случае нахождение решения u задачи (4.10) сводится к решению последовательности задач Коши:

du + mL1 (t)u = mf1 (t), t (0, ], u (0) = u0, первый дробный шаг, dt m du + mL2 (t)u = mf2 (t), t (, ], второй дробный шаг.

dt mm В качестве начальных данных на этом шаге берется значение реше ния, полученного на первом дробном шаге в момент t = m. Продол жая аналогичным образом, определяют решение на множествах ( 2, 3 ],..., mm (m1) ( m, ]. Тем самым находят решение на полуинтервале (0, ] нулевом целом шаге. После этого аналогично находят решение на множестве (, 2 ] первом целом шаге, затем - на множестве (2, 3 ] и так далее. Через конечное число шагов ( число это равно N ) решение u находят на отрезке [0, T ]. Задачу (4.10) называют расщеплением задачи (4.11).

В тех случаях, когда все операторы Li имеют более простую структуру, чем оператор L, построение и исследование различных свойств решения задачи (4.10) проще, чем аналогичное исследование задачи (4.9). Так, в некоторых нелинейных задачах только расщепление позволяет получить априорные оценки, достаточные для доказательства теорем существова ния.

Описанные расщепления используются при построении разностных ал горитмов для решения многомерных задач математической физики ([20], [33], [34], [45], [57]). При этом, как правило, расщепления бывают двух ви дов: расщепление по физическим процессам и расщепление по простран ственным переменным.

Расщепление по физическим процессам задачи, описывающей сложный эволюционный физический процесс, сводится к решению последовательно сти задач, отражающих процессы более простой физической структуры.

Одним из первых, вероятно, подобное расщепление применял Харлоу [52] при решении задач газовой динамики (метод частиц в ячейке). Здесь на первом дробном шаге решается система уравнений, описывающая измене ния параметров газа только за счет давления, то есть пренебрегают эф фектами, связанными с движением газа. Это соответствует тому, что из уравнений опускаются конвективные члены. Второй дробный шаг связан с переносом субстанций из уравнений опускаются члены с давлением.

Подробную библиографию о применении и развитии этого метода можно найти в монографии [6].

При расщеплении по пространственным переменным многомерная эво люционная задача сводится к последовательности задач меньшей размер ности, в частности, к одномерным по пространственным переменным зада чам. Такими расщеплениями являются задачи из примеров 3, 4, рассмот ренных в предыдущем параграфе.

Существует определенная связь между методом слабой аппроксимации и теорией полугрупп операторов ([59], [65], [66]).

В ряде работ ([9],[10], [42],[43], [45],[48]) рассматривается близкий к опи санному выше подход, который основан на той же идее представления ис ходного сложного оператора в виде конечной суммы более простых опе раторов и сведения решения исходной задачи со сложным оператором к цепочке задач с простыми операторами (метод суммарной аппроксима ции). Суть метода заключается в следующем. Пусть j = 0, 1,..., N 1.


tj = j, Решение задачи (4.9) предлагается заменить следующей цепочкой задач:

dui + Li (t)ui = fi (t), t (tj, tj+1 ], i = 1,..., m, dt u1 (0) = u0, u1 (tj ) = um (tj ) при j 0, ui (tj ) = ui1 (tj+1 ) при i = 2,..., m.

Доказывается, что при определенных условиях u(t) um (t) = 0( ).

Аналогичный результат можно получить, если на каждом полуинтервале (tj, tj+1 ] функцию u(t) приближать функцией v (t), которая строится сле dui + Li (t)ui = fi (t), t (tj, tj+1 ], i = 1,..., m, дующим образом: ci dt ui (0) = u0, ui (tj ) = v (tj ) при j 0, m v (t) = ci ui (t). Здесь ci – произвольные положительные числа, сумма i= которых равна 1.

Расщепления такого типа выходят за рамки данной работы и поэтому в дальнейшем рассматриваться не будут.

§3. Теоремы сходимости метода слабой аппроксимации В полосе [t0,t1 ] = {(t, x) | t0 t1, x En } рассмотрим систему t дифференциальных уравнений u = (t, x, u). (4.12) t Здесь u = u(t, x) = (u1 (t, x),..., ul (t, x)), = (1,..., l ) – вектор функции размерности l (l 0). Через u = (v0, v1,..., vr ) обозначена вектор-функция, компоненты которой определяются следующим образом:

v0 = u = (u1,..., ul );

v1 - вектор, составленный из первых производных функции v по xj, j = 1,..., n;

v2 - вектор, составленный из производных второго порядка функции v по x, и так далее;

vr - вектор, составленный из производных порядка r функции v по x. Таким образом, r u1 r ul u1 u1 ul u = (u1,..., ul,,,...,,...,,..., r ) xr x1 x2 xn xn и система уравнений (4.12) содержит производные по пространственным переменным до порядка r включительно (r 0).

Замечание. При r = 0 мы имеем систему обыкновенных дифференци альных уравнений.

Мы предполагаем, что m m i i, =, j = j = 1,..., l, j i=1 i= где i – вектор-функции размерности l;

j, i – j-е компоненты векторов j i и соответственно. Рассмотрим систему m u ai, (t)i (t, x, u ), = (4.13) t i= где функции ai, определены следующим соотношением t0 + (n + i1 ) t i m, t0 + (n + m ), m i, = 0 в противном случае, n = 0, 1,..., N 1;

N = t1 t0.

Система (4.13) слабо аппроксимирует систему (4.12) [4, 11, 57, 58].

Наконец, рассмотрим систему m u ai, (t)i, (t, x, u ), = (4.14) t i= где вектор-функции i, (t, x, u ) есть некоторые аппроксимации вектор функций i (t, x, u ), зависящие от.

Ниже будем рассматривать классические решения уравнений (4.12), ((4.13), (4.14)). Под классическим решением уравнения (4.13) ((4.14)) мы понимаем функцию u, непрерывную вместе со всеми своими производны ми по пространственным переменным, которые входят в уравнение (4.13) ((4.14)), обладающую кусочно - непрерывной производной u в полосе t [t0,t1 ] (u может иметь разрывы лишь на гиперплоскостях t = (n + i/m) ;

t n = 0, 1,..., N 1;

N = t1 t0 ;

j = 0, 1,..., m 1) и удовлетворяющую уравнению (4.13) ((4.14)) в [t0,t1 ].

Предположим, что выполняются следующие условия.

Условие 1. Вектор-функции i определены и непрерывны при любых значениях своих аргументов. Вектор-функции i, (t, x, u ) на классических решениях u системы уравнений (4.14) непрерывны по переменным (t, x) [t0,t1 ].

Пусть {k } (0 0 ) – некоторая последовательность, сходящаяся k= к нулю: lim = 0. Заметим, что последовательности {k } соответствует k= k последовательность {Nk }k=1 целых чисел, таких что k Nk = t1 t0.

Через uk (t, x) обозначим решение системы (4.14) при фиксированном k 0.

Условие 2. Пусть при всех k 0 классическое решение uk системы (4.14) существует и при k 0 равномерно в N0,t1 ] = {(t, x)|, t0 t1, |x| N }, t [t последовательность uk сходится к некоторой вектор-функции u вместе со всеми производными по x, входящим в (4.12), причем max |i (t, x, uk ) i,k (t, x, uk )| 0, (4.15) N [t 0,t1 ] k 0, i = 1,..., m.

Теорема 4.1. Пусть выполняются условия 1, 2. Тогда вектор-функ ция u(t, x) есть решение системы (4.12) в N0,t1 ].

[t Доказательство Ниже для удобства обозначений будем опускать аргу мент x и вместо индекса k писать индекс, например, будем писать u (t) вместо uk (t, x). Введем средние функции u (t):

ср t+ u (t) = u () d. (4.16) ср t При любом t из интервала (t0, t1 ) в прямоугольнике N0,t1 ] функции [t uср (t) существуют (для достаточно малых ) и сходятся при 0 равно мерно по t, x к функции u(t).

Из (4.16) следует равенство u (t) u (t + ) u (t) ср =.

t u (t) u Докажем, что t сходится равномерно в N0,t ] к вектор-функции ср t.

[t Осредним (4.14). Получим систему u (t) ср = (t, x, (u) ) + F, t где F = F (t, x, u ) = t+ m m 1 i (t, x, u (t)) ai, ()i, (, x, u ()) = d.

i=1 i= t Так как меры множеств i, на которых ai, (t) не обращаются в нуль на [t, t + ], равны, то m m {i, (, x, u ()) i (t, x, u (t))} d.

Fv = (4.17) i= i Рассмотрим подынтегральное выражение в (4.17):

|i, (, x, u ()) i (t, x, u (t))| |i, (, x, u ()) i (, x, u ())|+ + |i (, x, u ()) i (t, x, u (t))|.

При 0 первый член в правой части последнего равенства равномер но в N0,t ] стремится к нулю вследствие соотношения (4.15).

[t Второй член равномерно в N0,t ] стремится к нулю вследствие равно [t мерной непрерывности по всем своим аргументам вектор-функции i (см.

условие 1) и равностепенной непрерывности u (t) по t в N0,t ]. Следова [t тельно, при 0 функция F равномерно в N0,t ]. Так как (t, x, u (t)) [t N сходится равномерно в [t0,t ] к (t, x, u(t)), то u (t) ср (t, x, u(t)) равномерно в N0,t ].

[t t По теореме о дифференцировании функциональных последовательно u стей t u равномерно в N0,t ]. Следовательно, u = (t, x, u(t)), то ср t [t t есть u – классическое решение системы (4.12) в N0,t ].

[t Рассматривая средние функции t u (t) = u () d, ср t докажем, что u(t) есть решение системы (4.12) в N,t1 ] при любом t [t N (t0, t1 ) и следовательно в [t0,t1 ]. Теорема 4.1 доказана.

Замечание 1. Рассмотрим систему уравнений (4.12) с вектор-функцией = 1 + 2 + 3. Из доказательства теоремы 4.3 легко видеть, что если uk (t, x) решение системы uk p 2p = 1, t0 + nk t t0 + (n + )k, p t 2p uk p1 p 2p = 2, t0 + (n + )k t t0 + (n + )k, p t 2p p uk p = p3, t0 + (n + )k t t0 + (n + 1)k, t p где p 1 некоторое фиксированное число и выполняются условия 1, 2, то u(t, x) является решением системы (4.12) в N0,t1 ].

[t В полосе G[t0,t1 ] = {(t, x, y) | t0 t t1, x En, y E1 } рассмотрим интегродифференциальное уравнение u = (t, x, y, u, J(u)). (4.18) t Здесь u = u1 + iu2, = 1 + i2 комплекснозначные функции, а uk = uk (t, x, y), k = k (t, x, y, u, J(u)), k = 1, 2,- действительнозначные функции, заданные в G[t0,t1 ]. u = (v (0), v (1),..., v (p) ) - вектор - функция, ком поненты которой определяются так v (0) = v;

v (1) - вектор, составленный из первых производных функции v по xj, j = 1,..., n;

v (2) - вектор, состав ленный из производных второго порядка функции v по x, и так далее, v (p) - вектор, составленный из производных порядка p функции v по x.

v 2 v 2v pv pv v Таким образом, u = (v,,...,,,..., 2,..., p,..., p ).

xn x x1 xn x1 xn Через J(u) обозначим вектор-функцию J(u) = (J0 (u),J1 (u),...,Jr (u)), y k u(t, x, y) y, k = 0, 1,..., r.

r 0 - целое;

Jk (u) = m j.

Предположим, что = j= Рассмотрим уравнение m u j, (t)j (t, x, y, u, J(u )), = (4.19) t j= где функции j, определены в (4.11).

Уравнение (4.19) слабо аппроксимирует уравнение (4.18).

Наконец, рассмотрим уравнение m u j, (t)j (t, x, y, u, J(u )), = (4.20) t j= где вектор-функции j (t, x, y, u, J(u )) есть некоторые аппроксимации вектор - функций (t, x, y, u, J(u )), зависящие от.

j Ниже мы будем рассматривать классические решения уравнений (4.18), ((4.19), (4.20)). Классическое решение уравнения (4.19), ((4.20)) есть функ ция, непрерывная вместе со всеми своими производными по простран ственным переменным в полосе G[t0,t1 ], которые входят в уравнение (4.19), ((4.20)), обладающая кусочно - непрерывной производной u в G[t0,t1 ] ( t u может иметь разрывы лишь на гиперплоскостях t = (n + j/m);

n = t 0, 1,..., N 1;

N = t1 t0 ;

j = 0, 1,..., m 1) и удовлетворяющая урав нению (4.19), ((4.20)) в G[t0,t1 ].

Условие 3. Функции j определены и непрерывны при любых значе ниях своих аргументов. Функции j непрерывны по (t, x, y) в G[t0,t1 ].

Условие 4. Классическое решение uk уравнения (4.20) существует для всех k 0. Последовательность {uk } вместе со всеми производными по x входящими в (4.18) сходится к u в G[t0,t1 ], Причем эта сходимость равно мерная в GM,t1 ] для любого фиксированного M.

[t Условие 5. Интегралы Jj (uk ) сходятся абсолютно и равномерно по k и (t, x) [t0,t1 ]. Интегралы Jj (u) сходятся абсолютно и равномерно по (t, x) [t0,t1 ], и Jj (u ) сходится к Jj (u) равномерно в M,t1 ] при k k [t для любого фиксированного M.

Условие 6. Для любого фиксированного M выполнено lim max |j (t, x, y, uk, J(uk )) j (t, x, y, uk, J(uk ))| = 0, k 0 G M [t0,t1 ] j = 0, 1,..., r.

Выше M 0 - константа.

Теорема 4.2. Пусть выполнены условия 3-6. Тогда функция u(t, x, y) является решением уравнения (4.18) в G[t0,t1 ].

Доказательство.

Введем средние функции t+ u (t, x, y) u (t, x, y).

= av t При любом t из интервала (t0, t1 ) функции u (t, x, y) существуют в GM,t ] av [t (для достаточно малых ) и последовательность u сходится к u при av M равномерно в G[t0,t ].

Докажем, что u /t сходится к u/t равномерно в GM,t ].

av [t Осредним (4.20). Получим систему u av = (t, x, y, u, J(u )) + F, (4.21) t где F = F (t, x, y, u, J(u )) = mm {j (, x, y, u (), J(u ())) j (t, x, y, u (t), J(u (t)))}.

= j= j (4.22) Рассмотрим подынтегральное выражение (4.22):

|j (, x, y, u (), J(u ())) j (t, x, y, u (t), J(u (t)))| |j (, x, y, u (), J(u ())) j (, x, y, u (), J(u ()))| +|j (, x, y, u (), J(u ())) j (t, x, y, u (t), J(u (t)))|.

Согласно условию 6 первый член в правой части последнего неравенства стремится к нулю при 0 равномерно в GM,t ]. Второй член также стре [t мится к нулю равномерно в G[t0,t ], так как вектор-функция j равномерно M непрерывна по всем своим аргументам на любом компакте (условие 3) и последовательности {u (t)} and {J(u (t))} равностепенно непрерывны по t, x в GM,t ] и M,t ] (согласно условиям 4,5 и теореме Арцела).

[t0 [t Следовательно, F 0 при 0 равномерно в GM,t ]. Так как [t M (t, x, y, u (t), J(u (t))) сходится равномерно в G[t0,t ] к (t, x, y, u(t), J(u(t))) (согласно условиям 3-5), тогда u /t u/t = (t, x, y, u(t), J(u(t))) av M равномерно в G[t0,t ].

Далее повторяя рассуждения предыдущей теоремы, мы докажем, что u(t) решение системы (4.18) в GM,t1 ]. В силу произвольности M 0 функ [t ция u(t) будет решением (4.18) G[t0,t1 ].

Теорема 4.2 доказана.

§4. Метод слабой аппроксимации для обыкновенных дифферен циальных уравнений Докажем теоремы о сходимости МСА для обыкновенных дифференци альных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производ ной, и для нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравне ний.

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения Пусть функции fi (t, y), i = 1,..., m, заданы в прямоугольнике Q[0,T ] = {(t, y)|0 t T, a y b};

a, b - const, a b, 0 T, и m fi (t, y) = f (t, y). (4.23) i= Рассмотрим в Q[0,t ], 0 t T, задачу Коши y (t) = f (t, y), (4.24) y(0) = y 0, y 0 (a, b), (4.25) и расщепленную задачу y (t) = mf1 (t, y ), n t (n + ), m.................. i1 i y (t) = mfi (t, y ), (n + (4.26) ) t (n + ), m m..................

m y (t) = mfm (t, y ), (n + ) t (n + 1), m y (0) = y 0, (4.27) n = 0, 1,..., N 1;

N = t.

fi Теорема 4.3. Пусть функции fi,, i = 1,..., m, непрерывны в Q[0,T ].

y Тогда задача (4.24), (4.25) и задача (4.26), (4.27) при любом имеют единственные решения y(t) и y (t) на некотором отрезке [0, t ] (y C 1 [0, t ], y C[0, t ], y – кусочно-непрерывная на [0, t ]) и y y сильно в C[0, t ] при 0.

Доказательство. Существование единственного решения y(t) C 1 [0, t1 ] задачи (4.24),(4.25) на некотором отрезке [0, t1 ] следует из ло кальной теоремы Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений [38]. Записав задачу (4.26), (4.27) в виде m i (t)fi (t, y (t)), y (0) = y 0, y (t) = (4.28) i= где m, (n + i1 ) t (n + i ), m m i (t) = 0, в противном случае, видим, что правая часть этого уравнения и ее производная по y в Q[0,T ] кусочно–непрерывны по t (при каждом 0 может быть лишь конечное i число разрывов первого рода, а именно в точках t = tn,i, где tn,i = (n+ m ), i = 0, 1,..., m).

Пусть M 0 некоторая постоянная, ограничивающая функции fi в Q[0,T ] :

|fi (t, y)| (t, y) Q[0,T ], i = 1,..., m.

M, (4.29) Применяя классическую схему доказательства локальной теоремы Ко ши для доказательства локальной теоремы существования и единственно сти решения задачи (4.28), нетрудно показать, что вследствие условий тео ремы решение y (t) задачи (4.28) (задачи (4.26), (4.27)) при любом существует на некотором отрезке [0, t2 ], 0 t2 T, где t2 не зависит от, а зависит лишь от выбора y 0 (a, b) и постоянной M из (4.29). При этом для любого 0 выполняется соотношение y (t) [y0 mM t2, y0 + mM t2 ] [a, b], t [0, t2 ]. (4.30) Ясно, что решение y (t) непрерывно на [0, t2 ], а его производная y (t) непрерывна в каждом полуинтервале ((n + i1 ), (n + m ) ], i = 1,..., m;

i m n = 0, 1,..., N 1.

Из системы (4.26) и соотношений (4.30), (4.29) находим, что d t [0, t2 ].

y (t) mM, (4.31) dt Соотношения (4.30), (4.31) гарантируют равномерную ограниченность и равностепенную непрерывность семейства решений {y } на отрезке [0, t2 ].

По теореме Арцела, существует подпоследовательность {k } (k 0 при k ), такая, что y k (t) y(t) сильно в C[0, t2 ], k 0. (4.32) В силу непрерывности функций fi в Q[0,T ] и соотношения (4.32) выпол няются условия теоремы 4.1 (в данном случае u(t, x) = u(t, x) = y(t)).

Следовательно, y(t) решение задачи (4.24), (4.25) на отрезке [0, t2 ]. Так как решение задачи (4.24), (4.25) единственно, то и вся последовательность {y } при 0 сходится к y(t) равномерно на [0, t2 ]. Теорема 4.3 доказана (ясно, что значения t, t1 можно брать равными t2 T ).

Теорема 4.4. Пусть функции fi, i = 1,..., m, непрерывны в Q[0,T ], за дача (4.26), (4.27) разрешима на отрезке [0, T ] при любом и y (t) [a, b] при t [0, T ], (0, 0 ]. (4.33) Тогда решение y(t) задачи (4.24), (4.25) существует на отрезке [0, T ], y(t) C 1 [0, T ] и y k y сильно в C[0, T ], (4.34) где {y k } некоторая подпоследовательность последовательности (об общенной) {y } и k 0 при k.

Доказательство. Из (4.26), (4.33) следует оценка (4.31) и, значит, вы полнение условий теоремы Арцела для последовательности {y }.

Следовательно, существует подпоследовательность {y k }, сходящаяся к некоторой функции y(t) равномерно на [0, T ]. На основании теоремы 4. функция y(t)– решение задачи (4.24), (4.25) на отрезке [0, T ]. Теорема 4. доказана.

Теорема 4.5. Пусть выполняются условия теоремы 4.4 и задача (4.24), (4.25) может иметь не более одного решения y(t) C 1 [0, T ]. Тогда реше ние y(t) класса C 1 [0, T ] задачи (4.24), (4.25) существует и y y сильно в C[0, T ], 0. (4.35) Доказательство. Так как предполагается выполнение условий теоремы 4.4, то существуют подпоследовательность {y k } последовательности {y } и функция y C 1 [0, T ], удовлетворяющие соотношению (4.34), причем y есть решение задачи (4.24), (4.25). Вследствие единственности решения этой задачи и вся последовательность {y } сходится к y равномерно на [0, T ], то есть выполняется соотношение (4.35). Теорема 4.5 доказана.

Теорема 4.6. Пусть выполняются условия теоремы 4.4 и функция f (t, x) удовлетворяет условию Липшица по переменной y равномерно по t [0, T ] |f (t, y1 ) f (t, y2 )| L|y1 y2 | (4.36) для всех y1, y2 [a, b]. Тогда существует единственное решение y C 1 [0, T ] задачи (4.24), (4.25) и имеет место соотношение (4.35).

Доказательство. Выполнение условия (4.36) гарантирует единствен ность решения y(t) задачи (4.24), (4.25) и, следовательно, выполнение усло вий теоремы 4.5, Теорема 4.6 доказана.

Теорема 4.3 является локальной. Она применима для достаточно общих о. д. у., и нет нужды приводить конкретные примеры. Теоремы 4.4 - 4.6 га рантируют сходимость МСА и разрешимость исходных задач "в целом"для гораздо более узкого класса задач, когда большую роль играют некоторые специальные свойства задач, например, знаки входных данных.

Пример 1. Рассмотрим уравнение Риккати ([19]) y (t) = (t)y 2 + l(t)y + g(t) (4.37) с начальными данными y(0) = y. (4.38) Предположим, что функции, l, g заданы и непрерывны на отрезке [0, T ].

Слабо аппроксимируем задачу (4.37), (4.38) задачей y (t) = 3(t)y (t), n t (n + ), (4.39) 1 y (t) = 3l(t)y (t), (n + ) t (n + ), (4.40) 3 y (t) = 3g(t), (n + ) t (n + 1), (4.41) y (0) = y 0, (4.42) n = 0, 1,..., N 1;

N = T.

Построим решение y задачи (4.39) - (4.42) на нулевом целом шаге (n = 0).

На первом дробном шаге y есть решение задачи (4.39), (4.42) и дается равенством y0 y (t) =, 0t, (4.43) 1 (t)y 0 t ()d. На втором дробном шаге y есть решение уравнения где (t) = (4.40) с начальными данными y ( ) и дается равенством t y0 3 l()d y (t) = e, t. (4.44) / 1 ( )y 0 3 На третьем дробном шаге y есть решение уравнения (4.41) с начальными данными y ( 2 ) и дается равенством t 0 3 l()d y y (t) = e /3 +3 g()d, t. (4.45) 1 ( )y 0 3 Если предположить выполнение соотношений y 0 и (t) 0 0 g(t), (4.46) то очевидно, что y0 e +, 0 y (t) 0 t, (4.47) где = max |l(t)|, = max g(t).

0tT 0tT На первом дробном шаге (n = 1) решение y вследствие того, что y ( ) 0, (t) 0 и g(t) 0, существует и удовлетворяет неравенствам (y 0 e + )e + y 0 e2 + e +, 0 y (t) t 2.

N 1 решение y существует Нетрудно убедиться, что на n-м шаге 0 n и y 0 e(n+1) + en + e(n1) + · · · + 0 y (t) n+ y 0 eN + eN (N ) = (y 0 + T )eT = C, n t (n + 1).

Отсюда 0 y (t) C, 0 t T. (4.48) Таким образом, при выполнении условий (4.46) решение y задачи (4.39) - (4.42) существует на отрезке [0, T ] при любом фиксированном 0 и удовлетворяет неравенствам (4.48). Отсюда следует, что если мы возьмем a, b такие, что a 0, b C, то в Q[0,T ] = {(t, x)|0 t T, a x b} выполняются условия тео ремы 4.5. Ясно, что выполняется также условие (4.36) теоремы 4.7. Сле довательно, на основании теоремы 4.7 существует единственное решение y C 1 [0, T ] задачи (4.24), (4.25) и y y сильно в C[0, T ] при 0.

Замечание 1. Можно доказать, что скорость сходимости последова тельности решений {y } задачи (4.26), (4.27) к решению y(t) задачи (4.24), (4.25) определяется неравенством max |y (t) y(t)| c.

[0,t ] 2. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений Здесь мы сформулируем теоремы МСА для нормальной системы уравне ний xj = fj (t, x1, x2,..., xn ), j = 1,..., n, (4.49) правые части fj (t, x1, x2,..., xn ) которых вместе с их частными произ водными по пространственным переменным определены и непрерывны на некотором открытом множестве G переменных t, x1,..., xn. Введем обозна чения x = (x1,..., xn ), f (t, x) = (f1 (t, x), f2 (t, x),..., fn (t, x)) и запишем систему (4.49) в векторном виде x (t) = f (t, x). (4.50) Предположим, что имеет место представление m f i (t, x), f (t, x) = i= где f i (t, x) = (f1 (t, x), f2 (t, x),..., fn (t, x)) i i i векторы размерности n, i = 1,..., m. Рассмотрим цилиндр QT = {t, x|o t T, x }, где T 0, En – некоторая область. Будем считать, что QT G.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.