авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ CИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет ...»

-- [ Страница 2 ] --

Рассмотрим в Q[0,t ], 0 t T, задачу Коши для уравнения (4.50) с начальными данными x(0) = x0, x0 = (x0,..., x0 ). (4.51) 1 n Слабо аппроксимируем задачу (4.50), (4.51) задачей x (t) = mf 1 (t, x ), n t (n + ), m 1 x (t) = mf 2 (t, x ), (n + (4.52) ) t (n + ), m m m1 m x (t) = mf (t, x ), (n + ) t (n + 1), m x (0) = x0, x0, (4.53) n = 0, 1,..., N 1;

N = t.

Имеют место следующие утверждения.

fji fji, Теорема 4.7. Пусть функции ( j, k = 1,..., n;

i = 1,..., m ) непре xk рывны в Q[0,T ]. Тогда задача (4.50), (4.51) и задача (4.52), (4.53) при любом 0 имеют единственные решения x(t) и x (t) на некотором от резке [0, t ] (x C 1 [0, t ];

x C[0, t ], x кусочно–непрерывная на [0, t ] функция) и при сильно в C[0, t ].

x x Теорема 4.8. Пусть функции fji ( j = 1,..., n;

i = 1,..., m) непрерывны в Q[0,T ], задача (4.52), (4.53) разрешима на отрезке [0, T ] при любом (0, 0 ] и |x (t)| K, x (t) при всех t [0, T ], (0, 0 ], (K 0 - const).

Тогда решение x(t) задачи (4.50), (4.51) существует на отрезке [0, T ], x C 1 [0, T ] и x k y сильно в C[0, T ], где {xk } некоторая подпоследовательность последовательности (обоб щенной) {x } и k 0 при k.

Теорема 4.9. Пусть выполняются условия теоремы 4.8 и задача (4.50), (4.51) может иметь не более одного решения x(t) C 1 [0, T ].

Тогда решение x(t) задачи (4.50), (4.51) существует на отрезке [0, T ], x(t) C 1 [0, T ] и x x 0.

сильно в C[0, T ], (4.54) Теорема 4.10. Пусть выполняются условия теоремы 4.8 и вектор функция f (t, x) удовлетворяет условию Липшица по переменной x рав номерно по t [0, T ]:

|f (t, x1 ) f (t, x2 )| L|x1 x2 |, L 0 const, для всех x1, x2. Тогда существует единственное решение x(t) задачи (4.50), (4.51), x C 1 [0, T ], и имеет место соотношение (4.54).

Доказательства сформулированных выше теорем 4.7 - 4.10 полностью по вторяют доказательства теорем 4.3 - 4.26 из §9. Выше через C k [0, T ] обо n x2 ) значены векторные пространства, |x| = ( модуль вектора x.

j j= §5. Линейное уравнение в частных производных Рассмотрим в полосе [0,T ] = [0, T ] E2 задачу Коши u u u + a1 + a2 = µu + f, µ 0, (4.55) t x1 x u(0, x) = (x), x E2. (4.56) 2 Здесь = + оператор Лапласа;

a1, a2, µ постоянные;

x2 x 1 u неизвестная;

f, заданные функции.

Слабо аппроксимируем задачу (4.55), (4.56) задачей u u + 5a1 = 0, n t (n + 1/5), (4.57) t x u 2 u = 5µ 2, (n + 1/5) t (n + 2/5), (4.58) t x 2 u u = 5µ 2, (n + 2/5) t (n + 3/5), (4.59) t x u u + 5a2 = 0, (n + 3/5) t (n + 4/5), (4.60) t x u = 5f, (n + 4/5) t (n + 1), (4.61) t u (0, x) = (x), x E2. (4.62) Мы расщепили задачу (4.55), (4.56) на простейшие задачи, решения ко торых нетрудно выписать в явном виде.

Предположим, что функции, f бесконечно дифференцируемы по про странственным переменным и ограничены вместе со всеми своими произ водными:

|Dx (x)| || = n;

n = 0, 1...., j,... ;

x E2 ;

cn, (4.63) |Dx f (t, x)| || = k, k = 0, 1,..., j,... ;

(t, x) [0,T ].

rk, (4.64) Здесь cn, rk неотрицательные постоянные.

Мы предполагаем также, что производные в соотношениях (4.64) непре рывны в [0,T ].

Рассмотрим нулевой шаг (n = 0). На первом дробном шаге решается уравнение (4.57) с начальными данными (x). Решение даётся в явном виде:

u (t, x1, x2 ) = (x1 5a1 t, x2 ), 0t /5. (4.65) На втором дробном шаге решаем задачу Коши для уравнения (4.58) с начальными данными u ( /5, x) = (x1 a1, x2 ). Её решение даётся фор мулой Пуассона (x1 1 ) u (t, x1, x2 ) = (1 a1, x2 )d1, e 20µ(t /5) 2 5µ(t /5) (4.66) /5 t 2 /5.

На третьем дробном шаге решается задача Коши для уравнения (4.59) с начальными данными 1 (x1 1 ) (1 a1, x2 )d1.

u (2 /5, x1, x2 ) = e 4µ 2 µ Её решение даётся формулой Пуассона (x2 2 ) e 20µ(t2 /5) u (2 /5, x1, 2 )d2 = u (t, x1, x2 ) = 2 5µ(t2 /5) (4.67) (x2 2 ) (x1 1 ) 1 = e e 20µ(t2 /5) 4µ 4 5µ2 (t2 /5) (1 a1, 2 )d1 d2, 2 /5 t 3 /5.

На четвёртом дробном шаге решается задача Коши для уравнения (4.60) с начальными данными u (3 /5, x). Её решение u (t, x1, x2 ) = u (3 /5, x1, x2 5a2 (t 3 /5)) = {(x1 1 )2 +(x2 2 )2 } (1 a1, 2 5a2 (t 3 /5))d1 d2, (4.68) e 4µ 4µ 3 /5 t 4 /5.

И, наконец, на пятом дробном шаге решается задача Коши для уравнения (4.61) с начальными данными u (4 /5, x). Её решение t t u (t, x) = u (4 /5, x) + 5 f (, x) d = 5 f (, x) d + 4 /5 4 / {(x1 1 )2 +(x2 2 )2 } (4.69) (1 a1, 2 a2 )d1 d2, + e 4µ 4µ 4 /5 t.

Мы построили решение u задачи (4.57) - (4.62) на отрезке [0, ]. Далее строим решение на отрезке [, 2 ], затем – на отрезке [2, 3 ] и так далее.

u Через конечное число шагов построим на всём отрезке [0, T ], т. е.

в полосе [0,T ].

Замечание 1. Следует отметить, что на первых и вторых дробных шагах переменная x2 рассматривается в качестве параметра. На третьих и чет вёртых дробных шагах в качестве параметра выступает уже переменная x1, а на пятых дробных шагах обе переменные x1 и x2 рассматриваются как параметры.

Можно доказать, что решения u и их производные по x равномерно по ограничены в [0,T ]. Действительно, ограниченность решения u на пер вых четырех дробных шагах нулевого шага (n = 0) следует из принципа максимума для решений рассматриваемых уравнений:

|u (t, x)| (t, x) [0,4 /5].

c0, (4.70) Здесь c0 - постоянная из (4.63). Оценка (4.70) легко доказывается на осно вании представлений (4.65) - (4.68) решения u в полосе [0,4 /5]. Из пред ставления (4.69), неравенства |f | r0 и неравенства (4.70) получим, что в [4 /5, ] |u (t, x)| c0 + r0, откуда и из (4.70) следует, что в [0, ] |u (t, x)| c0 + r0. (4.71) Рассмотрим первый шаг (n = 1). На первых четырёх дробных шагах оценка (4.71) сохраняется, а на пятом дробном шаге, т. е. в [9 /5,2 ], |u (t, x)| c0 + 2r0.

N 1 в Продолжая наши рассуждения, получим, что при любом k [0,(k+1) ] |u (t, x)| c0 + r0 (k + 1).

Следовательно, во всей полосе [0,T ] |u (t, x)| c0 + r0 T. (4.72) Для доказательства ограниченности первых производных по xi в [0,T ] до статочно продифференцировать задачу (4.57) – (4.62) по xi и для vi = u xi провести предыдущие рассуждения (vi удовлетворяют на первых четырёх дробных шагах тем же уравнениям, что и u, и лишь на пятых дробных v шагах vi удовлетворяют уравнению i = 5fxi (t, x)). Получим, что в [0,T ] t u (t, x) | | c1 + r1 T, i = 1, 2. (4.73) xi Для оценки производной Dx u достаточно применить к задаче (4.57) – (4.62) оператор дифференцирования Dx и повторить предыдущие рас суждения. При этом в [0,T ] получим оценки |Dx u | c n + r n T Kn, || = n, n 0. (4.74) Выражая производную по времени u из системы уравнений (4.57) t (4.62), получим, что равномерно по ограничены в [0,T ] все производные вида Dt Dx u :

|Dt Dx u | || = n;

Mn, n 0. (4.75) Из оценок (4.74) следует равномерная в [0,T ] ограниченность по се мейства производных {Dx u } (при фиксированном), а из оценок (4.74), (4.75) - их равностепенная в [0,T ] непрерывность по t и x. Действительно, учитывая ограниченность в [0,T ] производных от Dx u по t и x, применяя неравенство треугольника и формулу конечных приращений Лагранжа, по лучим соотношения:

|Dx u (t1, x1 ) Dx u (t2, x2 )| |Dx u (t1, x1 ) Dx u (t2, x1 )|+ +|Dx u (t2, x1, x1 ) Dx u (t2, x2, x1 )| + |Dx u (t2, x2, x1 ) 12 12 2 2 2 1 1 Dx u (t, x1, x2 )| |Dt Dx u (t, x )| · |t t |+ +|Dx1 Dx u (t2, x1, x1 )| · |x1 x2 | + |Dx2 Dx u (t2, x2, x2 )| · |x1 x2 | 2 1 1 1 2 1 2 1 2 11 c{|t t | + |x x |} (t, x ), (t, x ) [0,T ], (4.76) где постоянная c не зависит от. Неравенства (4.76) гарантируют равно степенную непрерывность семейства производных {Dx u } по переменным t и x в [0,T ].

Следовательно, при любом фиксированном по теореме Арцела мно жество {Dx u } компактно в C(N ] ), N 0 целое.

[0,T Диагональным способом выберем подпоследовательность {uk }, сходящу юся вместе со всеми производными по x к некоторой функции u в полосе [0,T ], причем равномерно в каждом N ]. Ясно, что функция u непрерыв [0,T на, имеет непрерывные в [0,T ] производные любого порядка по x, причем u(0, x) = (x) и |Dx u| || = n, Kn, n 0, (4.77) |Dt Dx u| + || = n, Rn, n 0. (4.78) Нетрудно проверить выполнение условий 1, 2 §3 настоящей главы в N ] [0,T при любом фиксированном N (в нашем случае = 1, r = 2, m = 5):

1 (t, x, u ) = 1, (t, x, u ) = a1 u1, x 2 u 2 (t, x, u ) = 2, (t, x.u ) = µ 2, x 2 u 3 (t, x, u ) = 3, (t, x, u ) = µ 2, x 4 (t, x, u ) = 4, (t, x, u ) = a2 u2, x 5 (t, x, u ) = 5, (t.x.u ) = f (t, x).

По теореме 4.3 §3 настоящей главы, функция u есть решение задачи (4.55), (4.56) в N ] при любом фиксированном N, а так как N произвольно, то [0,T и в [0,T ]. Поскольку классическое решение задачи (4.55), (4.56) с ограни ченными начальными данными единственно, то и вся последовательность {u } сходится к u со всеми производными аналогично выбранной нами подпоследовательности uk. Нами доказана Теорема 4.11. Пусть выполняются условия (4.63), (4.64). Тогда су ществуют решение u(t, x) задачи (4.55), (4.56) и решение u (t, x) задачи (4.57) – (4.62), удовлетворяющие соотношениям (4.74), (4.75), (4.77), (4.78). При Dx u Dx u равномерно в N ] для любых фиксированных, N.

[0,T Замечание 2. Можно установить скорость сходимости u к u. Так, по теореме 4.9.1 из [4] имеет место оценка sup |u (t, x) u(t, x)| c, [0,T ] где постоянная c не зависит от.

Замечание 3. Вместо расщепления (4.57) – (4.62) можно взять дру гие расщепления задачи (4.55), (4.56), например, расщепление (4.57), (4.60), (4.59), (4.58), (4.61), (4.62) (поменять порядок в (4.57)–(4.62)) или расщепление на однородные одномерные параболические уравнения и обыкновенное дифференциальное уравнение. При этом доказательство сходимости МСА можно провести аналогично доказательству предыдущей теоремы.

Мы видим, что МСА является эффективным и простым методом постро ения приближённых решений достаточно сложных задач. Приближённые решения конструируются из решений существенно более простых, чем ис ходная, задач. При этом существование решения исходной задачи не пред полагается, а доказывается на основании априорных оценок решений рас щеплённой задачи.

§6. Задача Коши для уравнения Бюргерса Рассмотрим в полосе [0,T ] = [0, T ] E1 задачу Коши:

ut + uux = µuxx, (4.79) u(0, x) = u0 (x), x E1. (4.80) Задача Коши (4.79), (4.80) широко известна в теории турбулентности, а уравнение (4.2.1) называют уравнением Бюргерса. Различные задачи, связанные с изучением этого уравнения, см. в [62, 40, 64].

Относительно начальных данных u0 предположим, что u0 C 2 (E1 ) и dn u0 (x) | | x E1, cn, n = 0, 1, 2, (4.81) dxn где cn некоторые заданные неотрицательные постоянные.

Вначале рассмотрим случай бесконечно дифференцируемых начальных данных. Предположим, что u0 C (E1 ) и dn u0 (x) | | cn, x E1, n = 0, 1,..., k,.... (4.82) dxn Слабо аппроксимируем задачу (4.79), (4.100) задачей u = 2µu, n t (n + ), (4.83) t xx u + 2u u = 0, (n + ) t (n + 1), (4.84) t x u (0, x) = u0 (x), (4.85) где N = t, N 1 - целое, n = 0, 1,..., N 1, и постоянная t удовлетворяет неравенству (4.91) (см. ниже).

Замечание 1. При построении решения задачи ( 4.83 ) - ( 4.85 ) на первых дробных шагах решается задача Коши для уравнения теплопроводности, а на вторых дробных шагах – задача Коши для уравнения переноса wt + 2wwx = 0. (4.86) Известно, что в случае задачи Коши для уравнения (4.86) с начальными данными w|t=t0 = w0, (4.87) ограниченными вместе со своими производными, может иметь место гра диентная катастрофа, то есть может существовать t1 t0, такое что клас сическое решение w этой задачи существует в полосе [t0,t1 ), само остается в этой полосе ограниченным, но производная wx в окрестности некоторой точки (t1, x0 ) становится неограниченной: wx (t, x) при t t1, x x [39].

Нетрудно показать, что если dw0 (x) | | c1, (4.88) dx то классическое решение задачи (4.86), (4.87) существует в полосе [t0,t ], ограничено и c |wx (t, x)| (t, x) [t0,t ],, (4.89) 1 2c1 (t t0 ) где t удовлетворяет неравенству 1 2c1 (t t0 ) 0. (4.90) Неравенство (4.89) доказывается следующим образом. Так как функ c c ции V = wx (t, x), V + = 1+2c1 (tt0 ), V = 12c1 (tt0 ) являются решениями уравнения Wt + 2wWx + 2W 2 = и выполняются соотношения V V+ V |t=t0, t=t0 t=t то вследствие теоремы сравнения V (t) t, V + (t), x E1, V (t, x) t0 t откуда следует (4.89).

Ниже мы покажем, что если выполняются соотношения (4.82) и постоян ные t и c1 удовлетворяют условию 1 c1 t 0 (4.91) постоянная из ( 4.82), ограничивающая производную du0 ), то (здесь c1 dx решение u в полосе [0,t ] существует и ограничено вместе со всеми своими производными по переменным t, x.

Очевидно, что при любом фиксированном решение u задачи (4.83) (4.85) ограничено постоянной c0 (там, где это решение существует) незави симо от величины :

|u (t, x)| c0. (4.92) Оценим u в полосе [0,t ]. Рассмотрим нулевой целый шаг (n = 0). Так x как на первом дробном шаге u удовлетворяет уравнению (4.83) и началь x du ным данным dx, то вследствие принципа максимума для уравнения теп лопроводности |u (t, x)| (t, x) [0, ].

c1, x На втором дробном шаге вследствие (4.89) (здесь t0 = ) получим нера венство c |u (t, x)| (t, x) [, ],, x 1 c1 что вместе с предыдущим соотношением дает оценку c |u (t, x)| (t, x) [0, ].

, (4.93) x 1 c Рассмотрим первый целый шаг (n = 1). Вследствие принципа максимума на первом дробном шаге в [, 3 ] c |u (t, x)| (t, x) [, 3 ].

, x 1 c1 На втором дробном шаге вследствие (4.89) (здесь t0 = 2 и вместо c c нужно взять 1c1 ) получим c1 c1 c |u (t, x)| )/(1 (t, x) [ 3,2 ], ( )=, x 1 c1 1 c1 1 2c1 что вместе с предыдущим соотношением и неравенством (4.93) дает оценку c |u (t, x)| (t, x) [0,2 ].

, x 1 2c Повторяя наши рассуждения на втором целом шаге (n = 2), получим оценку c |u (t, x)| (t, x) [0,3 ].

, x 1 3c Очевидно, в [0,n ] имеет место оценка c |u (t, x)|, x 1 nc и, следовательно, равномерно по c |u (t, x)| (t, x) [0,t ].

= M1, (4.94) x 1 c1 t Оценим равномерно по параметру вторые производные u. Продиффе xx ренцируем задачу (4.83) - (4.85) по x дважды. Функция uxx = z на первых дробных шагах удовлетворяет уравнению (4.83), а на вторых дробных ша гах уравнению zt + 2u zx + 6u z = 0, (4.95) x коэффициенты которого являются равномерно по ограниченными функ циями. Применяя принцип максимума на первых дробных шагах, где z удовлетворяет уравнению (4.83), формулу (1.9) решения задачи Коши для уравнения (4.95) на вторых дробных шагах и оценку (4.94), нетрудно по лучить неравенство |u (t, x)| c2 e3M1 t M2, (t, x) [0,t ]. (4.96) xx Действительно, на первом дробном шаге нулевого целого шага (n = 0) вследствие теоремы принципа максимума |u (t, x)| (t, x) [0, ].

c2, xx На втором дробном шаге в силу (4.95), (4.94), (1.9) |u (t, x)| c2 e3M1, (t, x) [, ].

xx Из последних двух неравенств следует, что |u (t, x)| c2 e3M1, (t, x) [0, ].

xx На первом целом шаге (n = 1), следовательно, в [0,2 ] получим оценку |u (t, x)| c2 e6M1.

xx Очевидно, что в [0,k ], k = 1, 2,..., N, имеет место неравенство |u (t, x)| c2 e3M1 k, xx откуда при k = N следует неравенство (4.96).

Мы доказали оценку (4.96), дважды дифференцируя задачу (4.83) - (4.85) по переменной x и рассматривая в качестве неизвестной функции вторую производную u.

xx Трижды дифференцируя задачу (4.83) - (4.85) по x, рассматривая тре тью производную u в качестве неизвестной функции и учитывая уже xxx доказанную равномерную по ограниченность производных по x от u меньшего порядка, получим оценку 3 u (t, x) | | (t, x) [0,t ].

M3, x Аналогично можно доказать ограниченность частных производных реше ния u по x любого порядка равномерно по :

k u (t, x) | | Mk, (t, x) [0,t ], k = 0, 1, 2,..., n,.... (4.97) xk В (4.97) значение M0 = c0, где c0 постоянная из (4.92).

Из неравенств (4.92), (4.97) и уравнений (4.83), (4.84) следуют равномер ные по оценки:

k+1 u (t, x) | | (t, x) [0,t ], k = 0, 1,..., n,....

rk, (4.98) txk Из (4.97), (4.98) следует, что u и ее производные по x любого порядка равномерно ограничены и равностепенно непрерывны в [0,t ]. На осно вании теоремы Арцела диагональным способом можно выбрать подпо следовательность {uk } последовательности {u }, сходящуюся в [0,t ] к функции u вместе со всеми своими производными по x, равномерно в каж дой ограниченной области полосы [0,t ], вследствие чего функция u имеет производные любого порядка по x и выполняются соотношения u(0, x) = u0 (x), (4.99) k u(t, x) | | Mk, k = 0, 1,..., n,..., (t, x) [0,t ]. (4.100) xk Нетрудно проверить выполнение условий теоремы 4.1. В нашем случае = 1, r = 2, m = 2, 1 (t, x, u) 1, (t, x, u) = µuxx, 2 (t, x, u) 2, (t, x, u) = uux, u = (u, ux, uxx ), и в качестве сходящейся последо вательности рассматривается подпоследовательность uk.

По теореме 4.1 функция u является решением уравнения (4.79) в N ] [0,t при любом N 0 и, значит, в [0,t ]. Вследствие (4.100) легко доказать, применяя теорему принципа максимума, что u будет единственным реше нием задачи (4.79), (4.80) в классе функций, имеющих ограниченные про изводные по x первого порядка. Следовательно, и сама последовательность функций u при 0 сходится, как и выбранная ранее подпоследователь ность, равномерно в любой конечной области полосы [0,t ] к функции u вместе со всеми производными по x.

Полученное решение u задачи (4.79), (4.80) удовлетворяет условиям тео ремы 1.5. Так как | u0 | c1, то по лемме 1 главы 1 имеет место неравенство x | x | c1. Продифференцировав уравнение (4.79) по x и обозначив u = v, u x ввиду того, что модуль v уже оценен, получим уравнение для v, снова удо влетворяющее условиям леммы 1 главы 1. Далее, так как | u20 | c2, то, x применяя лемму 1 главы 1 к уравнению для v, полученному из уравне ния (4.79) дифференцированием, найдем, что | u | c2. Продолжая этот x процесс, оценим производные любого порядка в [0,t ] :

nu | | cn, n = 0, 1,..., k,.... (4.101) xn t. Вследствие Рассмотрим задачу Коши для уравнения (4.79) при t неравенств (4.101) на основании приведенных выше рассуждений мы мо жем построить решение в некоторой полосе [t,t +], где величина определяется постоянной c1. Так как в [0,t ] решение задачи (4.79), (4.80) уже построено, то мы имеем решение в полосе [0,t +]. Снова, многократно дифференцируя задачу (4.79), (4.80), на основании леммы 1 главы 1, при мененной уже к полосе [0,t +], получим те же самые оценки (4.101), где постоянные cn не изменились, так как они зависят от максимума модуля решения u и постоянных cj, j = 1,..., n, а величина sup |u(t, x)| не возрас E тает при росте t (sup |u(t, x)| c0 ). Следовательно, мы можем построить E решение u в полосе [0,t +2], где опять выполняются неравенства (4.101), и так далее. После конечного числа шагов построим решение u задачи (4.79), (4.80) в полосе [0,T ] для произвольного T 0.

Замечание 2. Из приведенного выше построения решения u задачи (4.79), (4.80) следует, что основой здесь является равномерная по оценка первой производной u. Если эта оценка доказана в заданной полосе [0,T ], x то нетрудно доказать оценки высших производных по пространственной переменной и, значит, сходимость последовательности u к u сразу во всей заданной полосе [0,T ]. Например, пусть u0 (x) периодическая с перио дом функция, удовлетворяющая условиям (4.82). Нетрудно показать, что u является периодической по x с периодом функцией. Вследствие перио дичности имеет место равномерная сходимость в [0,t ] последовательности {u } к ux, что вследствие оценки |ux | c1 гарантирует существование та x кого числа 0 0, что при всех |u (t, x)| (t, x) [0,t ].

c1 + 1, (4.102) x Оценка (4.102) гарантирует существование решения u системы (4.83), (4.84) с начальными данными u (t, x) в некоторой полосе [t,t +] (и, сле довательно, в полосе [0,t +] ), где 0 зависит лишь от постоянной c1 + 1.

Так как u ux равномерно в [0,t +], то существует 1 0 (1 0 ), x такое, что при всех u (t, x) | | (t, x) [0,t +].

c1 + 1, (4.103) x Из (4.103) следует существование решения u уже в полосе [0,t +2], и для всех 2 (здесь 2 0 некоторое достаточно малое число, 2 1 ) выполнение неравенства u (t, x) | | (t, x) [0,t +2].

c1 + 1, (4.104) x Продолжая наши рассуждения, через конечное число шагов получим, что существует число 0 такое, что при любых выполняется нера венство (4.104) в полосе [0,T ]. Отсюда следует сходимость периодическо го решения u задачи (4.83) - (4.85) к периодическому решению u задачи (4.79), (4.80) в полосе [0,T ], где T 0 произвольное заданное число.

Из сказанного выше и доказательства существования решения в [0,t ], 0 t T, задачи (4.79), (4.80), проведённого для непериодических на чальных данных, следует Лемма. Пусть u0 периодическая с периодом l функция, удовлетво ряющая условиям (4.82). Тогда решение u (t, x) задачи (4.83) - (4.85) сходится при 0 равномерно в [0,T ] (T 0 - произвольная фикси рованная постоянная) к решению u(t, x) задачи (4.79), (4.80). Производ k ные вида u, k = 1,..., n,..., сходятся равномерно в [0,T ] к соот xk ветствующим производным от u(t, x). Функция u(t, x) как равномерный предел периодических функций с периодом l является периодической по переменной x с периодом l.

Замечание 3. Рассмотрим случай, когда u0 C 2 (E1 ) и k u0 (x) | | x E1.

ck, k = 0, 1, 2;

(4.105) xk Составим средние функции [47] uh (x) = wh (x, y)u0 (y)dy, h где e h2rr2, r h wh (x, y) = 0, r h;

z e 1z2 dz, r = |x y|, = h0 const.

Из (4.105) и свойств средних функций следует, что uh C (E1 ) (4.106) и имеют место оценки k uh (x) | | x E1 ;

ck, k = 0, 1, 2;

(4.107) xk k uh (x) | | c(h)c0, k = 3, 4,..., m,... ;

x E1. (4.108) xk Здесь ck, k = 0, 1, 2, постоянные из ( 4.81 ), а ck, k = 3, 4,..., m,...

, - некоторые положительные постоянные, зависящие от h 0. Вообще говоря, ck (h) при h 0, если k 3.

Вследствие соотношений (4.106) - (4.108) начальным данным uh в полосе h [0,T ], как было доказано выше, соответствуют решения u задачи (4.79) (4.80). Применяя лемму 1 главы 1, учитывая при этом соотношения (4.107), нетрудно показать, что в [0,T ] k uh (t, x) | | ck, k = 0, 1, 2, (4.109) xk где постоянные ck, k = 0, 1, 2, не зависят от h.

Дважды продифференцируем уравнения (4.79) по x. Получим параболи 2h ческое уравнение на функцию v h = x2. Нетрудно проверить, что вслед u ствие (4.109) для всех h 0 условия леммы 1.6.1 выполняются относитель но решения v h, причем постоянная c в условии (1.18) от h не зависит. Но h равномерной по h оценки (1.19) на производную v нет. Следователь x t= но, по второй части леммы 1 главы 1 заключаем, что в [,T ], 0 T, верна оценка 3 uh (t, x) | | c3 ().

x Еще раз продифференцировав уравнение (4.79) по x и применив 3h (к функции x3 ) лемму 1 главы 1, получим в полосе [+,T ] оценку u 4 uh | 4| c3 ().

x Вообще же в полосе [2,T ], многократно дифференцируя уравнение (4.79) по x и применяя лемму 1 главы 1 (ее вторую часть), получим оценки k uh | | ck (), k = 3, 4,..., m,..., (4.110) xk где ck () - постоянные, зависящие от и не зависящие от h 0.

Из уравнения (4.79) и неравенств (4.109), (4.110) следует ограниченность в полосе [0,T ] производной uh и в полосе [2,T ] производных любого порядка t n+1 uh вида txn, n = 1, 2,..., m,..., постоянными, зависящими от :

|uh (t, x)| (t, x) [0,T ], M0, (4.111) t n+1 uh (t, x) | | Mn (), (t, x) [2,T ]. (4.112) txn Из (4.109), (4.111) следует, что множество {uh } равномерно ограничено и равностепенно непрерывно в [0,T ], а производные от uh по x любого по рядка равномерно ограничены и равностепенно непрерывны в [2,T ]. Диа гональным способом, применяя теорему Арцела, выберем последователь ность {uh } ( обозначения не меняем) такую, что в N ] она равномерно [0,T N сходится к функции u, а в [2,T ] она сходится равномерно к u вместе со всеми своими производными по x. Следовательно, функция u непрерывна в [0,T ], а в [2,T ] имеет производные любого порядка. Устремив к нулю, получим существование производных от u по x любого порядка в полосе (0,T ]. Ясно (см. (4.109)), что |ux (t, x)| (t, x) [0,T ].

c1, (4.113) Нетрудно показать, что функция u является решением задачи (4.79), (4.80). Вследствие условия (4.113) это решение единственно, что может быть доказано стандартным методом: доказательством на основании тео ремы принципа максимума равенства нулю разности двух возможных ре шений задачи (4.79), (4.80). Значит, вся последовательность {uh } сходится к u при h 0 так же, как и выбранная нами ранее подпоследовательность.

§7. Уравнение типа нестационарной фильтрации Выше рассматривалась сходимость МСА для некоторых невырожденных уравнений и систем параболического и гиперболического типов. Здесь мы исследуем метод слабой аппроксимации для вырождающегося квазилиней ного параболического уравнения типа нестационарной фильтрации жидко сти [3].

Пусть = {x|0 xi li, i = 1, 2} прямоугольник в R2 и QT = (0, T ).

Рассмотрим в QT уравнение (u) = µu, µ = const 0, (4.114) t с начальными и краевыми условиями u|t=0 = u0, u| = 0. (4.115) Считаем выполненным Предположение 1. Функция бесконечно дифференцируема, удовле творяет условиям (u) 0 при u = 0, (0) = 0 и условию равномерной монотонности |a b|p a, b R ((a) (b))(a b) (4.116) ( 0, p 2 const).

Известно, что при достаточной гладкости начальных данных u0 решение u задачи (4.114), (4.115) существует и единственно [5] в классе o Z = {u|u L (0, T ;

Lp ()) L (0, T ;

W2 ()), (u) o L (0, T ;

( W2 ()) )}, t однако производная u может быть неограниченной на отрезке [0, T ] (мо t жет не принадлежать ни одному из пространств Lq (0, T ;

H s ()), q 1, s R1 [41]).

Наша задача - применить метод слабой аппроксимации для построения приближенного решения задачи (4.114), (4.115). При прямом расщеплении уравнения (4.114) на одномерные задачи производные по времени реше ний расщепленной задачи также будут, вообще говоря, неограниченными, следовательно, трудно ожидать компактность множества приближенных решений, играющую важную роль при доказательстве сходимости метода.

Поэтому предлагается аппроксимировать уравнение (4.114) уравнением u u + (u) = µu, (4.117) t t где 0 малый параметр, затем линеаризовать его и расщеплять уже линеаризованное уравнение u u + (u(t )) = µu (4.118) t t с начальными и краевыми условиями = u0, u|t u| = 0. (4.119) В (4.118) и ниже мы для удобства обозначения пишем u(t ) вместо u(u, x). Здесь const, 0 T.

Расщепим задачу (4.118), (4.119) на две одномерные:

2 u u )) u + (u (t = 2µ 2, m t (m + 2 ), t t x (4.120) u u )) u = 2µ 2, (n + 1 ) t (m + 1), + (u (t t t x = u0 | = 0, u |t (4.121) m = 0, 1,..., N 1;

N = T.

Ниже докажем оценку u u, c1/(p1) + c()1/2p + c(, ), (4.122) Lp (QT ) решение задачи (4.114), (4.115);

u, где u решение задачи (4.120), (4.121);

постоянные c(), c(, ) зависят, соответственно, лишь от и, ;

постоянная c от параметров аппроксимации не зависит.

Оценка (4.122) следует из неравенств u u c1/(p1), (4.123) Lp (QT ) u u, c()1/2p, (4.124) Lp (QT ) u, u, c(, ) (4.125) Lp (QT ) и неравенства треугольника.

Здесь u решение задачи (4.117), (4.115), u, решение задачи (4.118), (4.119).

Перейдем к доказательству неравенств (4.123)-(4.125).

Можно показать, что u и u принадлежат классу Z [5] и при этом имеют место соотношения u L (QT ), (4.126) u + u c. (4.127) o L (QT ) L2 (0,T ;

W2 ()) Рассмотрим скорость сходимости u к u при 0. Вычтем из уравнения (4.117) уравнение (4.114) и проинтегрируем результат по t на отрезке [0, t].

Полученное тождество t u (t) + (u (t)) (u(t)) µ (u () u())d = u умножим на разность u (t) u(t) и проинтегрируем результат умножения по области QT. Вследствие (4.116) получим неравенство t p (u uxi )d(u uxi ) dxdt u u +µ xi xi Lp (QT ) QT i=1 (4.128) |u u0 ||u u|dxdt.

QT Так как правая часть неравенства (4.128) вследствие (4.126), (4.127) и неравенства Юнга ограничена величиной p cp/(p1) + (/2) u u Lp (QT ) и интеграл t (u uxi )d(u uxi ) dxdt = xi xi QT i=1 (4.129) T ( (u i uxi )d)2 dx = 0, x i= то из (4.128) следует (4.123).

Для доказательства неравенства (4.124) получим некоторые вспомога тельные оценки для решения u, задачи (4.118), (4.119). Умножив уравне ние (4.118) на u, и проинтегрировав результат по цилиндру QT, получим t оценку u, + u, c, o L2 (QT ) L (0,T ;

W2 ()) откуда, в частности, следует, что u, c/. (4.130) L2 (QT ) t Отметим также, что семейство решений u, на основании принципа мак симума равномерно ограничено:

u, c. (4.131) L (QT ) Разность u u, =, удовлетворяет равенству u (t) t (u (t), u (t)) + (u (t)) t (4.132), (u (t )) u t (t) = µ(u (t) u, (t)).

, Проинтегрируем (4.132) по отрезку [0, ], умножим результат интегриро вания на, () и проинтегрируем произведение по области Qt. Получим (, )2 dxdt + [(u ) (u, )], dxdt+ Qt Qt,, { + (µ/2) xi ()dxi ()dx}d = Qt i=1 ( (u, ( )) (u, ()))u, ()d, ()dxd. (4.133) = t Qt Оценим правую часть равенства (4.133), обозначив ее I.

Применяя формулу конечных приращений Лагранжа к разности (u, ( )) (u, ()) и используя далее гладкость функции, огра ниченность множества {, } (см. соотношения (4.127), (4.131)), нера венства (4.130), Гельдера и Коши, получим оценку для |I|:

(u, )(u, ( ) u, ())u, ()d, ()dxd| = |I| = | t Qt u, ()du, ()d, ()dxd| (u, ) =| t t Qt 0 u, (z)dz||u, ()|d dx d | c (4.134) t t Qt 0 |u, (z)|dz|u, ()|)d dx d c ( t t Qt 0 |u, (z)|2 dz)1/2 |u, ()|)d dx d 1/ c (( dz) ( t t Qt 0 |u, (z)|2 dz)1/2 |u, ()|d dx d c1/2 ( t t Qt 0 T T |u, (z)|2 dz)1/2 |u, ()|d dx d c1/2 ( t t Qt 0 T |u, ()|2 d) dx d = (T 1/ c1/2 t QT |u, |2 dx d = c1/2 u, (c/)1/2.

= c1/2 T 3/2 t t L2 (QT ) QT Из (4.133), (4.134) следует неравенство (при этом мы учитываем (4.116)) t p, +, xi dt)2 }dx, 1/2 c/.

{ + ( (4.135) L2 (QT ) Lp (QT ) i=1 Из (4.135) вытекает (4.124) с c() = c/1/p.

Переходим к доказательству неравенства (4.125). Считаем, что выполня ется Предположение 2. Функция (u) четная. Существует бесконечно диф ференцируемое периодическое по xi с периодом li, i = 1, 2, продолжение v функции u0 на R2 :

k1 x1 k2 x v= ck1,k2 sin sin.

l1 l k1,k2 = Зафиксируем параметры,. Пусть v решение в (0,T ] = {(t, x)|0 t T, x R2 } системы (4.120) с начальными дан ными = v0.

v |t (4.136) Можно показать, что решение v задачи Коши (4.120), (4.136) вслед ствие периодичности функции v 0 является периодическим по xi с периодом li, i = 1, 2, и v | = 0. (4.137) Следовательно, сужение u функции v на QT есть решение задачи (4.120), (4.121), и для того, чтобы получить априорные оценки для решения задачи (4.120), (4.121), достаточно получить их для решения задачи Коши (4.120), (4.136) в QT.

Учитывая периодичность v по пространственным переменным, мож но доказать равномерные по оценки в L2 (QT ) производных от v любого порядка:

|| = k, Dx v ck, k 1. (4.138) L2 (QT ) Оценки (4.138) доказываются рекуррентно путем дифференцирова ния системы (4.120) по пространственным переменным с последующи ми умножением результата дифференцирования на соответствующие про изводные от v и интегрированием по областям ((m + j1 ), (m + 2 ) ) j, j = 1, 2, то есть с применением обычного энергетического метода. Суще ственную роль играет периодичность v, что при интегрировании по частям дает нулевые значения промежуточных интегралов (интегралов по границе области ).

Из (4.138) на основании теоремы вложения || = r, Dx v cr, r 1, (4.139) C(QT ) откуда и из уравнений (4.120) следует, что || = n, Dt Dx v cn, n 0. (4.140) C(QT ) В соотношениях (4.138) - (4.140) использованы следующие обозначения:

|| Dx = 1 2, где = (1, 2 ) мультииндекс, || = 1 + 2 ;

Dt = x1 x t ;

, мультииндексы.

Нетрудно проверить, что вследствие (4.139), (4.140) выполняются условия теоремы 4.9.1 из [4]. По теореме 4.9.1 из [4] имеет место оценка, v v c, C(QT ) где v – решение задачи (4.118), (4.136) (с v вместо v ). Отметим, что по стоянные cr, cn и c зависят лишь от, и не зависят от.

Так как v совпадает на QT с u,, то последнее неравенство можно запи сать в виде u, u, C(QT ) c, откуда вследствие непрерывности вложения пространства C(QT ) в Lp (QT ), p 1, вытекает оценка (4.125). Доказанное выше сформулируем в виде теоремы.

Теорема 4.12. Пусть выполняются предположения 1, 2. Тогда имеет место оценка (4.122).

§8. Задача идентификации коэффициента при младшем члене параболического уравнения В данном параграфе методом слабой аппроксимации доказывается раз решимость одной обратной задачи с данными Коши.

Рассмотрим в области G[0,T ] = {(t, x) | 0 t T, x E1 } уравнение ut (t, x) = a(t)uxx (t, x) + b(t)ux + (t)u + f (t, x) (4.141) с начальными данными x E1.

u(0, x) = u0 (x), (4.142) Функция (t) подлежит определению одновременно с решением u(t, x) задачи (4.141), (4.142), удовлетворяющим условию переопределения u(t, ) = (t), 0 t T, (4.143) где E1 – некоторая фиксированная постоянная.

Пусть выполняется условие согласования u0 () = (0). (4.144) Функции a(t), b(t) в уравнении (4.141) действительнозначныe, заданные и непрерывные при t [0, T ]. Cчитаем, что a(t) 0 при t [0, T ].

Пусть также выполняется условие |(t)| 0, 0 t T. (4.145) Приведем задачу (4.141)–(4.143) к некоторой вспомогательной прямой за даче. Для этого положим в уравнении (4.141) x =, используя условие (4.143), получим (t) = a(t)uxx (t, ) + b(t)ux (t, ) + (t)(t) + f (t, ).

Отсюда находим (t) a(t)uxx (t, ) b(t)ux (t, ) (t) =, (4.146) (t) где (t) = (t) f (t, ) – известная функция.

Заметим, что знаменатель выражения (4.146) не обращается в ноль в силу условия (4.145).

Таким образом, функция u(t, x) удовлетворяет уравнению ut (t, x) = a(t)uxx (t, x) + b(t)ux + (4.147) (t) a(t)uxx (t, ) b(t)ux (t, ) + u(t, x) + f (t, x).

(t) Докажем теперь классическую разрешимость задачи (4.147), (4.142).

Для доказательства существования решения данной задачи применим ме тод слабой аппроксимации. Расщепим задачу и линеаризуем ее сдвигом по времени на (t ) на втором дробном шаге в нелинейных членах:

u (t, x) = 2a(t)u (t, x) + 2b(t)u, t j, j + (4.148) t xx x (t) a(t)u (t, ) b(t)ux (t, ) xx u (t, x) 2 =2 u (t, x) + 2f (t, x), t (t) t j+, (j + 1) (4.149) u (0, x) = u0 (x). (4.150) Здесь j = 0, 1,..., N 1;

N = T ;

u = u (t) = u (t, x).

Введем обозначения k U (t) = Uk (t), Uk (t) = sup sup u (, x), k j t xE1 x k= k Uk (0) = sup u (x), j t (j + 1). (4.151) k xE1 x На каждом полуинтервале t (j, (j + 1) ] функции U (t), Uk (t) явля ются неотрицательными, неубывающими и удовлетворяют условию k U (t), x E1.

u (, x) Uk (t) j t, xk Относительно входных данных предполагаем, что они достаточно глад кие, имеют все непрерывные производные, входящие в следующие ниже соотношения (4.152) и удовлетворяют этим соотношениям:

dk k |(t)| + | (t)| + u0 (x) + f (t, x) C, k = 0, 1,..., 4, (4.152) dxk xk (t, x) G[0,T ], C – постоянная.

Докажем априорные оценки, гарантирующие компактность семейства ре шений {u (t, x)} задачи (4.148)–(4.150) в классе непрерывных функций.

Рассмотрим целый нулевой шаг (j = 0).

На первом дробном шаге t 0, для решения u задачи u (t, x) = 2a(t)u (t, x)) + 2b(t)u (t, x), t xx x u (0, x) = u0 (x), в силу принципа максимума получаем |u (, x)| sup |u0 (x)|, 0 t, 0t. (4.153) xE Аналогично, дифференцируя уравнения (4.148), (4.150) k-раз по x, k = 1,..., 4, в силу принципа максимума получим оценки k dk u (, x) sup u0 (x), (4.154) xk dxk xE где k = 1,..., 4, 0 t, 0t 2.

Возьмем от левых частей неравенств (4.153), (4.154) сначала sup, а затем xE sup, и сложим полученные неравенства. Учитывая обозначения (4.151), 0 t получим U (t) U (0), 0 t. (4.155) На втором дробном шаге t, проинтегрируем уравнение (4.149) по временной переменной в пределах от до, где, t, получим 2 равенство u (, x) = u (, x)+ () a()u (, ) b()u (, ) xx x 2 +2 u (, x) + f (, x) d.

() Отсюда следует неравенство |u (, x)| u (, x) + t () a()u (, ) b()u (, ) xx x 2 |u (, x)| + + () + |f (, x)|} d, t.

Поскольку данное неравенство выполняется при всех x, заменим функ ции в интегральных членах на их точные верхние грани по x E1, затем заменим функцию |u |, стоящую в левой части неравенства на sup |u |.

xE sup |u (, x)| sup u (, x) + xE1 xE t |()| + |a()| u (, ) + |b()| u (, ) xx x 2 · + |()| · sup |u (, x)| + sup |f (, x)| d, xE1 xE используя (4.145), (4.152), получим sup |u (, x)| sup u (, x) + xE1 xE t 2C 1 + u (, ) + u (, ) sup |u (, x)| + + d, xx x 2 2 xE Здесь и далее через C обозначены (вообще говоря различные) постоян ные больше единицы, зависящие от из (4.145), постоянных, ограничиваю щих функции a(t), b(t), и постоянных из (4.152), ограничивающих входные данные. Константы C не зависят от параметра. Ниже для удобства мы считаем, что C 1.

Из последнего соотношения, учитывая монотонность на полуинтервале 2, функций Uk (см. (4.151)), получим, что t 1 + 1 + U2 ( ) + U1 ( ) U0 () d. (4.156) U0 (t) U0 ( ) + C 2 2 Дифференцируя уравнение (4.149) по x от одного до четырех раз соот ветственно, получим неравенства k k sup u (, x) sup u (, x) + k k xE1 x xE1 x t |()| + |a()| u (, ) + |b()| u (, ) xx x 2 · + |()| k k · sup u (, x) + sup f (, x) d, k k xE1 x xE1 x k = 1,..., 4, t, t, 2 k k sup u (, x) sup u (, x) + k k xE1 x xE1 x t k u (, ) + u (, ) +C 1+ sup u (, x) + 1 d, xx x k 2 2 xE1 x k = 1,..., 4, t 1 + 1 + U2 ( ) + U1 ( ) Uk () d, Uk (t) Uk ( ) + C 2 2 (4.157) k = 1,..., 4.

Сложим неравенства (4.156), (4.157). Учитывая обозначения (4.151), по лучим неравенства t U (t) U ( )+C 1+ 1 + U2 ( ) + U1 ( ) U () d, t, 2 2 2 t U (t) U( ) + C 1 + 1 + U ( ) U () d, t.

2 2 В силу неотрицательности и монотонности функции U (t) на любом по луинтервале (j, (j + 1) ] (см. (4.151)) t U (t) U( ) + C 1 + 1 + U ( ) U () d 2 t U( ) + C 1 + U( ) 1 + U () d, t.

2 2 Учитывая неравенство (4.155), на нулевом целом шаге получим t U (t) 1 + U () d, U (0) + C (1 + U (0)) 0t.

Отсюда на основании неравенства Гронуолла, получим U (t) (U (0) + 1)eC(1+U (0))t 1 (U (0) + 1)eC(1+U (0)) 1, 0t 2.

Для того чтобы получить оценку функции U (t) на первом шаге нуж но в получившемся неравенстве взять вместо величины U (0) величину (U (0) + 1)eC(U (0)+1) 1 :

C(U (0)+1) C(U (0) + 1) eC (U (0) + 1)e 1, U (t) (U (0) + 1)e 0t 2.

Предполагая, что достаточно мало и выполняется неравенство eC(U (0)+1) 2, получим U (t) (U (0) + 1)e3C(U (0)+1) 1, 0t 2.

На втором дробном шаге (j = 2) при условии e3C(U (0)+1) 2 имеет место оценка U (t) (U (0) + 1)e5C(U (0)+1) 1, 0t 3, и так далее.

На j-м шаге (j N ) U (t) (U (0) + 1)eC(U (0)+1)(2j+1) 1, 0t (j + 1).

Рассмотрим постоянную t, 0 t T, удовлетворяющую неравенству e2C(U (0)+1)t 2. (4.158) Заметим, что t не зависит от, поскольку константы C и U (0) не зависят от.

Таким образом, при выполнении (4.158) все полученные выше оценки U (t) справедливы и, следовательно, имеет место оценка t.

U (t) (U (0) + 1)eC(U (0)+1)2t 1 C, 0t Отсюда равномерно по k C, при k = 0, 1,..., 4, (t, x) G[0,t ].

u (t, x) (4.159) xk Используя оценки (4.159), легко заметить, что правые части уравнений (4.148), (4.149) ограничены равномерно по на любом временном шаге, попадающем в отрезок [0, t ]. Отсюда справедлива равномерная по оценка |u (t, x)| C, (t, x) G[0,t ]. (4.160) t Дифференцируя уравнения (4.148), (4.149) по переменной x один или два раза, получим соответственно равномерные по оценки |u (t, x)| + |u (t, x)| C, (t, x) G[0,t ], tx txx что вместе с (4.159), (4.160) гарантирует выполнение условий теоремы Ар цела о компактности.

В силу теоремы Арцела некоторая подпоследовательность uk (t, x) после довательности u решений задачи (4.148)–(4.150) сходится вместе с про изводными по x до второго порядка включительно к функции u(t, x) 0, Ct,x (G[0,t ] ). На основании теоремы сходимости МСА функция u(t, x) есть 1, решение задачи (4.147), (4.142), причем u(t, x) Ct,x (G[0,t ] ), где k 1, u(t, x) | ut, u C(G[0,t ] ), k = 0, 1, 2.

Ct,x (G[0,t ] ) = xk При этом k u(t, x) C, k = 0, 1, 2. (4.161) xk Таким образом, мы доказали существование решения u(t, x) прямой за 1, дачи (4.147), (4.142) в классе Ct,x (G[0,t ] ).

Докажем теперь, что пара функций u(t, x), (t), где (t) определяется соотношением (4.146) является решением обратной задачи (4.141)–(4.143).

Поскольку u(t, x) – это решение прямой задачи (4.147), (4.142), то под ставляя u(t, x), (t) в (4.141), (4.142), мы получим верное тождество.

Используя (4.145), (4.152), (4.161), из (4.146), (4.147) очевидно, что пара функций u(t, x), (t) принадлежат классу 1, Z[0,t ] = u(t, x), (t) | u Ct,x (G[0,t ] ), (t) C([0, t ]) и удовлетворяет неравенству k u(t, x) + |(t)| C, (t, x) G[0,t ]. (4.162) xk k= Осталось доказать, что для функции u(t, x) выполняется условие пере определения (4.143). Положим в уравнении (4.147) x =, получим ut (t, ) = a(t)uxx (t, ) + b(t)ux (t, )+ (t) f (t, ) a(t)uxx (t, ) b(t)ux (t, ) (u(t, ) ± (t)) + f (t, ), + (t) ut (t, ) = a(t)uxx (t, ) + b(t)ux (t, ) + (t) (u(t, ) (t)) + + (t) f (t, ) a(t)uxx (t, ) b(t)ux (t, ) + f (t, ), ut (t, ) (t) = (t) (u(t, ) (t)).

Обозначим (t) = u(t, ) (t), в силу (4.145), (0) = 0. Получим задачу Коши t (t) = (t)(t), (0) = 0, которая, очевидно, обладает единственным решением (t) = 0, t [0, t ], и следовательно u(t, ) = (t), т.е. условие (4.143) выполнено.

Таким образом, доказано существование решения u(t, x), (t) задачи (4.141)–(4.143) в классе Z[0,t ]. Данный результат можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 4.13. Пусть выполняются условия (4.145), (4.152). Тогда су ществует решение u(t, x), (t) задачи (4.141)–(4.144) в классе Z[0,t ], удо влетворяющее соотношению (4.162).

Поскольку существование решения доказано в области G[0,t ], где 0 t T – некоторая постоянная, зависящия от из (4.145), постоянных, ограни чивающих функции a(t), b(t), и постоянных из (4.152), ограничивающих входные данные, то будем говорить, что задача (4.141)–(4.143) разрешима в малом временном интервале.

Глава 5. Операторные уравнения Основу данной главы составляют результаты Дубинского Ю.А.[13].

§1. Лемма об остром угле Пусть E n - n - мерное евклидово пространство, в котором задано скаляр n ное произведение (x, y) = xi yi.

i= Рассмотрим непрерывное отображение P (c) = (P1 (c),..., Pn (C)) = (P1 (c1,..., cn ),... Pn (c1,..., cn )) : E n E n.

Лемма об остром угле. Пусть на сфере SR = {c| |c| = R}, (R произвольное число) выполнено условие "острого угла" (P (c), c) 0.

Тогда существует по крайней мере одна точка c, |c| R, такая что P (c) = 0.

Доказательство. Доказательство леммы будем вести от противного.

Пусть c, |c| R, справедливо неравенство P (c) = 0. Рассмотрим шар VR = {c| |c| R}. Зададим отображение P (c) A(c) = R.

|P (c)| Очевидно, что A(c) : VR SR. Так как P (c) = 0, то A(c) - непрерывное отображение.

Заметим, что SR VR и так как A(c) отображает VR в себя, а VR - вы пуклое ограниченное множество, тогда по теореме Брауэра [17] существует неподвижная точка отображения A(c), т.е существует c SR такая, что будет верно A(c) = c.

(P (c), c) Тогда, с одной стороны, (A(c), c) = R 0, а, с другой стороны, |P (c)| (A(c), c) = (c, c) = |c|2 = R2 0. Полученное противоречие и доказывает лемму.

§2. Разрешимость операторных уравнений со слабо компакт ным монотонным оператором Пусть X - сепарабельное и рефлексивное банахово пространство. X пространство линейных непрерывных функционалов на X.

Пример. Пусть X = Lp (), 1 p. Тогда X = Lq (), p + 1 = 1. Так q как выполнено ((Lp ()) ) = (Lq () = Lp (), тогда Lp () - рефлексивное пространство.

Через y, x, где x X, y Y, обозначим значение функционала y на элементе x. Если X - гильбертово пространство, то y, x = (y, x) (теорема Рисса о представлении линейного непрерывного функционала в гильбер товом пространстве).

Пусть A(u) : X X - вообще говоря, нелинейный оператор.

Ниже мы будем изучать разрешимость операторного уравнения h X.

A(u) = h, (5.1) Пусть оператор A удовлетворяет следующим условиям:

I. Условие коэрцитивности оператора A: Для любых u X справедливо соотношение A(u), u u X, при uX где u X - норма в X.

II. Условие слабой компактности оператора A: Если un u при n слабо в X, то существует подпоследовательность {um } последовательности {un } такая, что для любого v X lim A(um ), v = A(u), v.

m Имеет место Теорема 5.1. Пусть оператор удовлетворяет условиям I и II. Тогда для любого элемента h X уравнение (5.1) имеет по крайней мере одно решение u X.

Доказательство. Пусть {vk } - базис в X (существует в силу сепара k= бельности пространства X [17]).

m cm vk Приближенное решение уравнения (5.1) будем искать в виде um = k k= ( um - m-ое галеркинское приближение). Константы cm определяются из k соотношений A(um ), vk = h, vk, k = 1, m или m cm vk A, vk = h, vk, k = 1, m. (5.2) k k= Разрешимость системы (5.2) эквивалентна существованию решения систе мы Pk (c) A(um ), vk h, vk = 0, k = 1,..., m, или P (c) = 0, где P : E n E n. Убедимся, что отображение P (c) удовле творяет условию острого угла (P (c), c) 0 для всех c таких, что |c| = R, где R = R(h) достаточно велико.

m m Pk (c)cm = [ A(um ), vk h, vk ]cm = (P (c), c) = k k k=1 k= m m cm vk cm vk h, = A(um ), = k k k=1 k= A(um ), um h, um A(um ), um h um X X A(um ), um um X h X um X при um больше некоторого числа K = K( h X ), зависящего от h X.

X Существование такого K следует из условия коэрцитивности (условие I).

Так как um Xm, где Xm - натянутое на первые m элементов базиса {vk }. Xm - конечномерное подпространство пространства X. Учитывая, k= что в конечномерном пространстве все нормы эквивалентны [36], рассмот рим норму um = |c|.

Введенная норма будет эквивалентна исходной. Это означает, что суще ствуют положительные константы и такие, что |c| |c| um Xm.

um X Если выбрать R достаточно большим, а именно, чтобы |c| K, то для |c| = R будет верно um X K.Следовательно, по лемме об остром угле c = (cm,..., cm ) такое, что P (c) = 0, т.е. система (5.2) име существует 1 m ет решение. Таким образом, для любого номера m ( m 1) существует галеркинское приближение um уравнения (5.1).

Покажем, что множество галеркинских приближений {um } ограниче m= m но. Умножая (5.2) на ck и суммируя результат умножения по k, получим что A(um ), um = h, um h um. (5.3) X X Если предположить, что последовательность {um } неограничена, то су ществует m0 такое, что A(um0 ), um0 2 h um0.

X X Рассмотрим (5.3) при m = m A(um0 ), um0 h um X X Тогда при h = 0 последние неравенства вступают в противоречие. Если h = 0, то согласно условию коэрцитивности существует номер m0 такой, что A(um0 ), um0 2 um0 X.

Последнее неравенство вместе с равенством (5.3) порождает противоречие, которое доказывает, что последовательность um ограничена.

На основании теоремы о слабой компактности ограниченного множества в рефлексивном сепарабельном банаховом пространстве [36] множество {um } является слабо компактным в X. Значит, существует подпосле m= довательность последовательности {um } (обозначения не меняем!) такая, что um u слабо в X при m :

T X.

lim T, um = T, u m Покажем, что элемент u X, к которому последовательность галеркин ских приближений сходится слабо, и есть решение уравнения (5.1).

Элементы um удовлетворяют равенства k 1.

A(um ), vk = h, vk, Зафиксируем номер k и перейдем к пределу при m. В силу слабой компактности оператора A получим равенство A(u), vk = h, vk, (5.4) где k (k 1) - произвольное фиксированное число. Рассмотрим произволь ный элемент v X. Так как {vk } - базис, то существует последовательность m m k vk такая, что v vm 0 при m. Умножим (5.4) на vm = X k= m k и просуммируем по k от 1 до m. В итоге получим тождество A(u), vm = h, vm, в котором перейдем к пределу при m. Получим тождество A(u), v = h, v, верное для всех v X или A(u) h, v = 0 v X.

Отсюда следует, что A(u) h = 0. Теорема 5.1 доказана.

Определение. Оператор A : X X называется монотонным, если для любых u X, v X верно A(v) A(u), v u 0.

Определение. Оператор A : X X называется строго монотонным, если он монотонный и равенство A(v) A(u), v u = 0 имеет место лишь в случае u = v.

Теорема 5.2. Пусть оператор A является коэрцитивным, слабо ком пактным и строго монотонным. Тогда уравнение (5.1) имеет единствен ное решение.

Доказательство. Свойства коэрцитивности и слабой компактности, ко торыми обладает оператор A, гарантируют существование решения урав нения (5.1). Докажем единственность решения.

Пусть u1 (x), u2 (x) - два решения уравнения (5.1). Тогда u1 (x), u2 (x) удо влетворяют тождествам v X.

A(u1 ), v = h, v, A(u2 ), v = h, v Вычитая из первого тождества второе, получим A(u1 ) A(u2 ), v = v X. Пусть v = u1 u2, тогда A(u1 ) A(u2 ), u1 u2 = 0. Так как оператор A - строго монотонный, то u1 = u2.

Замечание: В процессе доказательства теоремы существования решения уравнения (5.1) приходилось использовать выбор подпоследовательности последовательности {uk }. Можно показать, что если решение уравнения (5.1) единственно, то и вся последовательность {uk } сходится к решению u X. Действительно, если это не так, то из неравенства uk X C сле дует, что последовательность {uk } имеет по крайней мере две различные слабо предельные точки в X. Каждая из них согласно доказанному должна быть решением уравнения A (u) = h, что невозможно в силу единственно сти решения.


§3. Разрешимость операторных уравнений с нелинейными мо нотонными операторами Определение. Оператор A : X X называется ограниченным, если каждое ограниченное множество в X он переводит в ограниченное множе ство в X.

Определение. Оператор A : X X называется семинепрерывным, если он ограничен и для любых u X, v X справедливо соотношение w X.

lim A(u + v), w = A(u), w + Теорема 5.3. Пусть монотонный оператор A : X X является коэр цитивным и семинепрерывным. Тогда уравнение (5.1) имеет по крайней мере одно решение.

Доказательство. Пусть {vk } - базис в X. Приближенное решение урав m cm vk. Коэффициенты cm, k = 1,..., m нения (5.1) ищем в виде um = k k k= определяются из соотношений A(um ), vk = h, vk, k = 1, m. (5.5) Используя лемму об остром угле и условие коэрцитивности оператора A можно показать, что система алгебраических уравнений (5.5) (m уравнений и m неизвестных) имеет решение. Условие коэрцитивности обеспечивает равномерную по m ограниченность последовательности {um }, т.е.

m 1.

um M (5.6) X Таким образом, множество {um } - слабо компактно. Следовательно, m= существует подпоследовательность {um } X (обозначение не меняем), которая сходится слабо в X к некоторому элементу u X, т.е.

f X.

lim f, um = f, u m В силу ограниченности оператора A последовательность {A(um )} будет ограниченная. Таким образом, множество {A(um )} является слабо ком m= пактным. Существует подпоследовательность {A(um )} (обозначения не ме няем), которая сходится слабо в X к некоторому элементу X.

Покажем, что = h.

Зафиксируем j и рассмотрим тождество A(um ), vj = h, vj при m j. В последнем тождестве перейдем к пределу при m. В итоге получим, что j 1.

, vj = h, vj (5.7) Тождество (5.7) выполняется для любого элемента базиса {vj }, поэтому = h.

Так как оператор A является монотонным, то A(um ) A(v), um v 0 v X. (5.8) Преобразуем правую часть неравенства (5.8).

A(um ) A(v), um v = = A(um ), um A(um ), v A(v), um v.

Из (5.5) следует, что элементы последовательности {um } удовлетворяют соотношению m 1.

A(um ), um = h, um Тогда из (5.8) вытекает, что h, um A(um ), v A(v), um v 0.

Отсюда при m получим h, u, v A(v), u v 0.

С учетом того, что = h,, u v A(v), u v = A(v) +, u v 0 v X.

В последнем неравенстве полагаем v = u + w, 0, w - произвольный элемент из X. Путем несложных преобразований приходим к неравенству A(u + w), w, w 0 w X. (5.9) Перейдя в неравенстве (5.9) к пределу при +0 и учитывая семинепре рывность оператора A, получаем A(u), w 0 w X. (5.10) Из последнего неравенства следует, что A(u), w = 0 w X. (5.11) Действительно, пусть для некоторого w X имеет место строгое неравен ство A(u), w 0. Тогда для w имеем A(u), w = A(u), w 0, что противоречит условию (5.10).

Из (5.11) следует, что u есть решение операторного уравнения (5.1). Тео рема 5.3 доказана.

Теорема 5.4. Пусть оператор A : X X семинепрерывный и для любых u X и v X удовлетворяет условию A(u) A(v), u v c(||u v||X )||u v||X, (5.12) где c(r) - непрерывная, строго возрастающая функция, равная нулю толь ко при r = 0 и lim c(r) = +. Тогда отображение A1 : X X r+ непрерывно.

Доказательство. Из условия (5.12) следует, что c(||u v||X )||u v||X ||A(u) A(v)||X ||u v||X.

Откуда при u = v получаем c(||u v||X ) ||A(u) A(v)||X (5.13) Так как функция c(r) монотонная и строго возрастающая, то она имеет обратную функцию c1 (r), которая также строго возрастает. Поэтому из неравенства (5.13) следует c1 (||A(u) A(v)||X ).

||u v||X Полученное неравенство и означает непрерывность A1. Теорема 5.4 дока зана.

Теорема 5.5. ( о сильной сходимости галеркинских приближений) Пусть оператор A уравнения (5.1) семинепрерывен и удовлетворяет условию (5.12). Тогда галеркинские приближения {uk } сходятся сильно в X.

Доказательство: Приближения uk удовлетворяют соотношению v Xk.

A (uk ), v = h, v (5.14) Полагаем v = uk в (5.14). Тогда A (uk ), uk = h, uk. (5.15) Пусть u - элемент из X, к которому последовательность {uk } сходится слабо в X.

В силу (5.12 ) имеем:

c ( u uk u uk A (u) A (uk ), u uk.

X) X Откуда, с учетом (5.15), получаем:

c ( u uk x ) u uk A (u), u uk A (uk ), u + h, uk.

X В последнем неравенстве перейдем к пределу при k. Так как uk u слабо в X, A (uk ) a слабо в X, то из последнего неравенства получаем:

lim c ( u uk u uk = a + h, u = X) X k Заметим, что условие семинепрерывности оператора A позволяет уста новить, что a = h. С учетом свойств функции c(r) последнее равенство гарантирует, что u uk X 0 при k. Теорема 5.5 доказана.

§4. Разрешимость нелинейных уравнений с полуограниченной вариацией Говорят, что оператор A имеет полуограниченную вариацию, если u X, v X таких, что ||u||X R и v X R, справедливо неравенство A (u) A (v), u v C R, u v, где · - норма, компактная по сравнению с · X, а непрерывная функция C (R, ) 0 такова, что C(R, ) 0 при +0 R 0, 0.

Определение. Норма · компактна по сравнению с нормой · X, если любая последовательность, ограниченная в норме · X, является компакт ной в норме ·.

Заметим, что любой строго монотонный оператор есть оператор с полуо граниченной вариацией.

Теорема 5.6. Пусть оператор A : X X коэрцитивный, семинепре рывный и имеет полуограниченную вариацию. Тогда операторное уравне ние (5.1) разрешимо h X.

Доказательство. Пусть uk - галеркинские приближения. Из коэрцитив ности оператора следует, что k 1, uk M (5.16) X т.е. последовательность uk ограничена.

Выберем R M. Тогда для всех v X таких, что v R, будет X выполнено A (uk ) A (v), uk v c R, uk v. (5.17) Так как последовательность {uk } - ограничена, то она слабо компактна.

Значит существует подпоследовательность {um } u X при m слабо в X. Из того, что um X M, следует, что существует подпоследо вательность (обозначения не меняем) {um } такая, что um u 0 при m. Последовательность A (um ) - ограничена, значит она слабо ком пактна в X. Существует подпоследовательность (обозначения не меняем) A (um ) такая, что A (um ) при m слабо в X.

Рассмотрим (5.17) на элементах последовательности um A (um ) A (v), um v c R, um v. (5.18) Учитывая, что A(um ), um = h, um, преобразуем левую часть последнего равенства A (um ) A (v), um v = A(um ), um A(um ), v A(v), um v = = h, um A(um ), v A(v), um v.

Следовательно, lim ( h, um A(um ), v A(v), um v ) = m = h, u, v A(v), um v.

То, что = h, доказывается аналогично доказательству теоремы 5.3.

Таким образом, результат предельного перехода при m в (5.18) имеет вид h A (v), u v C R, u v v (||v||X R).

Рассмотрим последнее неравенство для функций вида v = u + w. Функ ция w X - произвольная фиксированная функция. За счет выбора можно добиться, чтобы ||v||X R. Тогда для таких функций неравенство примет вид h A (u + w), w C R, w.

Откуда получаем R, w h A (u + w), w w X.

C Далее перейдем к пределу при +0. C учетом семинепрерывности опе ратора A получаем h A (u), w w X.

Следовательно, h A (u), w = 0 w X. Откуда h A = 0 или h = A (u). Доказано, что функция u является решением уравнения (5.1).

§5. Краевые задачи как операторные уравнения в банаховых пространствах В данном разделе будет дана функционально - аналитическая формули ровка ряда краевых задач, т.е. будет показано как краевые задачи могут быть представлены в виде операторных уравнений.

Задача 1. Пусть En - ограниченная область. Рассмотрим задачу Дирихле u = f (x), x, (5.19) u| = 0. (5.20) Считаем, что f (x) L2 ().

Определение. Функция u H 1 () называется обобщенным решением задачи (5.19), (5.20), она удовлетворяет тождеству H 1 ().

( u, ) dx = f dx (5.21) Поставим задаче (5.19), (5.20) в соответствие операторное уравнение h X.

u X, A(u) = h, (5.22) Выше X =H 1 () с нормой 1/ (u2 + | u|2 ) dx ||u|| =, H X = H 1 () - пространство линейных непрерывных фнкционалов над H 1 ().

Замечание. Если функция C () (C () - пространство беско нечно дифференцируемых в и финитных в функций), то ей можно поставить в соответствие функционал F H 1 () по правилу v H 1 ().

F (v) = v dx (5.23) Данный функционал по определению является регулярным.

Если L2 (), то ей можно поставить в соответствие функционал F 1 () H 1 () L2 () H () по правилу (5.23). Таким образом, C H 1 ().

Введем оператор A :H 1 () H 1 ().

Рассмотрим оператор : C () C (), который действует по пра вилу u = u. Оператор - линейный оператор ( : C () C ()), C L2 () ()H 1 ().

Покажем, что оператор ограничен. Для произвольного v C () верно соотношение u, v = uv dx.

Применим к правой части формулу интегрирования по частям. С учетом того, что v C (), получаем n u v u, v = dx = ( u, v) dx.

xi xi i= Используя неравенство Шварца, получаем оценку | u, v | || u|| || v||.

H 1 () H 1 () Откуда u u.

H 1 () H 1 () Последнее неравенство означает, что оператор ограничен.

Итак, - линейный ограниченный оператор, заданный на всюду плот ном в H 1 () множестве. Следовательно, его можно расширить до линей ного непрерывного оператора в H 1 (). Это расширение и обозначим A (A : H 1 () H 1 ()).

Таким образом, задаче (5.19), (5.20) поставлено в соответствие оператор ное уравнение A(u) = f, (5.24) где f H 1 (), A : H 1 () H 1 ().

Так как C () всюду плотное в H 1 () множество, то существует после довательность un C () такая, что un u 1 0 при n.

H () Поэтому Au, = lim un, = n ) dx H 1 () = lim ( un, ) dx = ( u, n Пусть u H 1 () - решение операторного уравнения (5.24). Тогда выпол нено тождество H 1 () Au, = f, или H 1 ().

( u, ) dx = f dx Следовательно, под решением операторного уравнения (5.24) понимается обобщенное решение задачи (5.19), (5.20).


Нетрудно показать, что оператор A является коэрцитивным, слабо ком пактным, семинепрерывным, строго монотонным, и однозначная разреши мость задачи (5.19), (5.20) следует из теоремы 5.2.

Задача 2. Пусть En - ограниченная область. В рассмотрим задачу n u f L2 (), = f (x), (5.25) xi xi i= u| = 0. (5.26) В качестве пространства X рассмотрим пространство W4 (), которое является замыканием пространства C () в норме пространства W4 () = {f |f L4 (), fxi L4 (), i = 1, n}. Норма в W4 () вводится следующим образом n f f W41 () = f+ dx. (5.27) xi i= Известно, что u| = 0 для любой функции u W4 ().

1 Очевидно, что W4 () W4 ().

Определение. Функция u W4 () называется обобщенным решением задачи (5.25), (5.26), если она удовлетворяет интегральному тождеству n 3 u v v W4 ().

dx = f v dx (5.28) xi xi i= В пространстве W4 () введем норму n f f = dx.

xi W4 () i= эквивалентную (5.27).

n, M : C () C ().

Рассмотрим оператор M = xi xi i= Зафиксируем u C (), тогда M (u) - функционал, определенный на C ():

n u M (u), v = v(x) dx = xi xi i= n 3 u v dx v C ().

= xi xi i= Введенный функционал M (u) является линейным, так как n u (C1 v1 + C2 v2 ) M (u), C1 v1 + C2 v2 = dx = xi xi i= = C1 M (u), v1 + C2 M (u), v2.

Покажем ограниченность функционала M (u).

n n u3 i |vxi | dx.

M (u), v = (uxi ) vxi dx x i=1 i= 1/p 1/q p q Применим неравенство Гельдера ( |f g| dx · f dx f dx, p = 3/4, q = 1/4) к правой части последнего неравенства.

3/4 1/ n |uxi |4 dx (|vxi |4 dx | M (u), v | · i=1 n2 u K(u) const.

v K(u) v W4 (), 1 W4 () W4 () Итак, M (u) - линейный ограниченный функционал, определенный на C (), и C () есть всюду плотное в W4 () множество. Следовательно, функционал M (u) можно расширить на W4 (). Это расширение обозна чим M (u). При этом n 3 u v v W4 ().

M (u), v = dx xi xi i= Пусть f L2 (), тогда f, v = f v dx v W4 () и | f, v | Cf v W4 ().

L2 () 1 Заметим, что C () W4 () L2 () W4 (), где W4 () - про странство линейных непрерывных функционалов над W4 ().

Следовательно, задаче (5.25), (5.26) можно поставить в соответствие опе раторное уравнение M (u) = f, (5.29) 1 где f W4 (), M : W4 () W4 ().

Можно показать, что оператор M является коэрцитивным, семинепре рывным и монотонным.

Пусть u W4 () - решение операторного уравнения (5.29). Тогда будет выполнено тождество v W4 () M (u), v = f, v или n 3 u v v W4 ().

dx = f v dx xi xi i= Следовательно, решение операторного уравнения (5.29) является обоб щенным решением задачи (5.25), (5.26).

Замечание. Гладкость решения уравнения (5.25), вообще говоря, не за висит от гладкости входных данных.

Считаем, что C (), f C () и f 0 на. Задача (5.25), (5.26) имеет решение u W4 (). Но u не может быть классическим реше нием задачи (5.25), (5.26). Действительно, если u - классическое решение и u = 0 в, то существует x0 такое, что функция u будет достигать в x максимального значения. Тогда uxi (x0 ) = 0. Из уравнения (5.25) получаем 0 = f (x0 ) 0. Следовательно, u не может быть классическим решением задачи (5.25), (5.26).

Задача 3. В ограниченной области E n рассмотрим первую краевую задачу u + |u| = f (x), (5.30) u| = 0. (5.31) Считаем, что f (x) L2 (), - действительное число.

Определение. Функция u H 1 () называется обобщенным решением задачи (5.30), (5.31), если она удовлетворяет тождеству H 1 ().

( u + |u|)dx = f dx (5.32) Поставим задаче (5.30), (5.31) в соответствие операторное уравнение h X.

u X, A(u) = h, (5.33) Выше X = H 1 () с нормой 1/ (| u|2 ) dx ||u||X =, X = H 1 () - пространство линейных непрерывных фнкционалов над H 1 ().

Замечание. Если C (), то ей можно поставить в соответствие функционал F H 1 () по правилу (5.23) (см. задачу 1). Если L2 (), то ей можно поставить в соответствие функционал F H 1 () по правилу (5.23). Таким образом, C () H 1 () L2 () H 1 ().

Введем оператор A : H 1 () H 1 ().

Рассмотрим оператор A = + | |. Зафиксируем u C () рассмот рим функционал F (v) = A(u), v = (uv + |u|v)dx.

Применим формулу интегрирования по частям к первому члену подынте грального выражения.

( u v + |u|v)dx v C ().

F (v) = A(u), v = Покажем, что введенный функционал является линейным.

F (v1 + v2 ) = ( u (v1 + v2 ) + |u|(v1 + v2 ))dx = = ( u v1 + |u|v1 )dx + ( u v2 + |u|v2 )dx = F (v1 ) + F (v2 ).

Покажем, что функционал ограничен в норме пространства X = H 1 ().

|F (v)| = | A(u), v | | u|| v| dx + || |u||v| dx.

К слагаемым правой части неравенства применим формулу Коши - Буня ковского, а затем ко второму слагаемому применим неравенство Пуанкаре - Фридрихса.

1/2 1/2 1/ | u|2 dx | v|2 dx u2 dx | A(u), v | + || 1/2 1/ v 2 dx | u|2 dx v X+ 1/ u2 dx +|| Cv K(u) v X, X 1/2 1/ | u|2 dx u2 dx + ||C где K(u) =, C - константа из нера венства Пуанкаре - Фридрихса.

Итак, A(u) - линейный ограниченный функционал, определенный на C (), а C () есть всюду плотное в H 1 () множество. Поэтому функци онал A(u) можно расширить на H 1 (). Это расширение обозначим A(u).

При этом для u H 1 () A(u), v = lim ( ( un v + |un |v)dx) = ( un v + |un |v)dx), n где последовательность un C (), n = 1, 2,..., такова что un u X при n.

Таким образом, задаче (5.30), (5.31) поставлено в соответствие оператор ное уравнение A(u) = f, (5.34) где f H (), A : H 1 () H 1 ().

Пусть u H 1 () - решение операторного уравнения (5.34). Тогда выпол нено тождество H 1 () Au, = f, или H 1 ().

( u + |||u|)dx = f dx Следовательно, под решением операторного уравнения (5.34) понимается обобщенное решение задачи (5.30), (5.31).

Исследуем разрешимость операторного уравнения (5.34). Для чего прове рим условия теоремы 5.1.

Покажем, что оператор A является коэрцитивным. В силу неравенства Пуанкаре-Фридрихса для функции u H 1 () будет верна оценка u2 dx | u|2 dx.

|| ||C |u|udx Пусть 1 ||C 0. (5.35) Тогда оператор A будет удовлетворять условию коэрцитивности. Действи тельно, (| u|2 + |u|u)dx A(u), u = u u X X | u|2 dx (1 ||C) (1 ||C) u X.

uX Из последнего неравенства следует, что A(u), u.

при u X u X Покажем, что оператор A является слабо компактным. Пусть последо вательность un H (), n = 1, 2,..., слабо сходится к u H 1 (). Про странство H 1 () компактно вложено в L2 (), т.е. существует подпоследо вательность um, m = 1, 2,..., последовательности un, n = 1, 2,..., такая что un u 0 при n.

L2 () | A(um ), v A(u), v | ( um v u v) dx + (5.36) (|um |v |u|v)dx.

+ Первое слагаемое в правой части неравенства (5.36) стремится к нулю при m в силу слабой сходимости в H 1 () последовательности um, m = 1, 2,.... Так как | |um | |u| | |um u|, то (|um |v |u|v)dx || |um u||v| dx 1/ 1/ (um u)2 dx v 2 dx || = || · um u ·v L2 ().

L2 () В силу сильной сходимости в L2 () последовательности um, m = 1, 2,..., из последнего неравенства следует, что второе слагаемое в (5.36) также будет стремиться к нулю при m.

Таким образом, lim A(um ), v = A(u), v, т.е. оператор удовлетворяет m условию слабой компактности.

Справедлива теорема Теорема 5.7. Пусть выполнено условие (5.35), тогда операторное урав нение (5.34) имеет решение для любого f L2 ().

§6. Методы монотонности в эволюционном случае Пространство непрерывно дифференцируемых функций В случае нестационарных процессов работают с функциями времени, которые каждому моменту времени t ставят в соответствие функцию u(t, ·) положения. Например, каждому моменту времени ставят в соответ ствие распределение температуры или распределение скорости в области G.Таким образом, рассматриваются функции, определенные на временном интервале S со значениями в некотором пространстве функций.

Введем пространство дифференцируемых и интегрируемых функций из (S X), где S – интервал вещественных переменных из R1, а X – неко торое банахово пространство.

Определение. Функция u (S X) называется дифференцируемой в точке t0 S, если существует такой элемент v X, для которого выпол няется u(t0 + h) u(t0 ) v = 0, при t0 + h S lim h h0 X Этот элемент называется производной от u в точке t0 и обычно обозна чается через u (t0 ).

Определение. Функция u (S X) называется дифференцируемой, если она дифференцируема в каждой точке интервала S. Функцию u (S X), которая каждому t S ставит в соответствие производную от u в точке t, называют производной от u.

Определение. C(S, X) – будем обозначать множество всех непрерывных функций из (S X), т.е. таких что t lim u(t) = u(t0 ), или u(t) u(t0 ) 0 при t t0.

X tt Определение. C m (S, X) – множество всех непрерывных функций из (S X), обладающих непрерывными производными до порядка m вклю чительно.

Для функций u C 1 (S, X) при любых s, t S, s t справедливо неравенство u(t) u(s) X (t s) sup u ( ).

X st Справедливы также следующие теоремы (доказательство см. в [7]) Теорема 5.8. Если интервал S компактен, то множество C m (S, X), образующее линейное пространство относительно операций сложения и умножения на число, становится банаховым пространством при наде лении его нормой m sup u(j) (t) u =. (5.37) C m (S,X) X j=0 tS Теорема 5.9 (аппроксимационная теорема Вейерштрасса). Если интервал S компактен, то множество многочленов из (S X), т.е.

множество m aj tj, {p | p (S X), aj X, p(t) = j = 0,..., m} j= плотно в C(S, X).

Пространство интегрируемых функций Введем понятие измеримости и интегрируемости функции из (S X).

Определение. Функция u (S X) называется простой, если в S имеется конечное число попарно непересекающихся измеримых по Лебегу подмножеств Bi (i = 1,..., n) с mes Bi, таких что функция u на каж дом множестве Bi принимает постоянное значение xi и выполнено u (s) = n для s S\ Bi.

i= От простой функции интеграл Бохнера определяется так:

n u (s) ds = mes(Bi )xi.

i= S Если функция u (S X) простая и Bi – интервалы, то говорят, что u – ступенчатая.

Определение. Функция u (S X) называется измеримой по Бохне ру, если существует такая последовательность {un } простых функций, что un u, при n для п.в. s S.

Определение. Функция u (S X) называется интегрируемой по Бохнеру, если существует последовательность {un } простых функций, та кая что un u, при n для п.в. s S и lim u(s) un (s) ds = 0.

X n S В качестве примера функции мы можем взять u = xt, x (a, b), t [0, 1], тогда последовательность un для этой функции нужно выбрать следующим образом:

i i1 i | un (t) = t, i = 1,..., n.

n n n Рассмотрим ряд свойств.

1) Если пространство X – сепарабельно, то функция u (S X) изме рима по Бохнеру, когда f X функция f, u(t) S R1 измерима по Лебегу.

2) Если {Un } - измеримые по Бохнеру функции и un u при n n= слабо в X для п.в. t S, то u – измерима по Бохнеру.

3) Измеримая по Бохнеру функция u (S X) тогда и только тогда итегрируема по Бохнеру, когда функция u(t) (S R1 ) интегрируема по Лебегу. В этом случае имеет место неравенство u(s)ds u(s) ds B B 4) Пусть u S X интегрируема по Бохнеру, тогде функция v (S X), определенная по правилу t t0 S, v(t) = u(s)ds, t почти всюду на S дифференцируема, причем v (t) = u(t) для п.в. t S.

5) Пусть функция u (S X) интегрируема по Бохнеру и множе ство B S измеримо, тогда f X верно f, u(s) ds = B f, u(s) ds.

B Две функции u, v (S X) будем называть эквивалентными, если u(s) = v(s) для почти всех s S.

p – множе Определение. Будем обозначать Lp (S, X), ство всех измеримых по Бохнеру функций u (S X), для которых p ds.

u(s) S Если ввести операции сложения и умножения на число, то Lp (S, X) – линейное пространство.

Справедлива следующая теорема (доказательство см. в [7]) Теорема 5.10. Линейное пространство Lp (S, X) с нормой u = Lp (S,X) p p u ds является банаховым пространством.

X S Известно также, что множество ступенчатых функций их (S X) плот но в Lp (S, X), 1 p.

Определение. Функция u (S X) называется существенно ограни ченной, если она эквивалентна некоторой ограниченной функции,т.е. если существует такое число M, что u(s) X M для п.в. s S. Нижняя грань всех таких чисел M обозначается через vraimax u(s).

sS Определение. Будем обозначать L (S, X) – множество всех измеримых по Бохнеру существенно ограниченных функций u (S X).

Теорема 5.11. Линейное пространство L (S, X) с нормой u = L (S,X) vraimax u(s) является банаховым пространством.

sS Теорема 5.12. Если H – гильбертово пространство, то банахово про странство L2 (S, H) с нормой u = u ds и скалярным L2 (S,H) H S произведением (u, v)L2 (S,X) = (u(s), v(s))H ds также является гильбер S товым пространством.

Некоторые специальные пространства Пусть V с нормой · V есть рефлексивное, сепарабельное, банахово про странство, а H с нормой · H и скалярным произведением (·, ·) является гильбертовым. Пусть выполнены условия V H, V плотно в H, x x V, const 0. (5.38) x V, H Это означает, что V непрерывно вложено в H.

Теорема 5.13 (представления Рисса). Для каждого гильбертова про странства H существует точно одно взаимно однозначное линейное отображение R пространства H на H, обладающее следующими свой ствами f H.

(Rf, x) = f, x, Rf =f H, (5.39) H Согласно этой теореме пространство H можно отождествить с простран ством H. А именно, пусть f H, но рассматривать его будем только на V (V H H ). Тогда f определяет на V некоторый непрерывный линейный функционал fv V. Соответствие f fv является взаимно од нозначным, поскольку f однозначно определяется своими значениями на V. Следовательно, H можно отождествить с некоторым подпространством в V, тогда x V f, x f x f x V, т.е.

H H H f f H.

V Таким образом H V, f H.

f f V H Учитывая рефлексивность V и используя теорему Хана-Банаха, можно показать, что H плотно в V. А поскольку пространства H и H отож дествлены, то имеет место вложение V H V. (5.40) При отождествлении H с H, а H с некоторым подпространством в V элемент y H отождествляется с элементом fy V, для которого имеет место равенство x V, (y, x) = fy, x, где ·, · – это значение fy на x или скалярное произведение между V и V.

Таким образом, скалярное произведение ·, · мы будем обозначать как и скалярное произведение на H через (·, ·).

Пример. Пусть V = H m (G) и H = L2 (G), тогда H = L2 (G). Пусть p и p0 удовлетворяют условию 1 p p0. Пусть числа q, q0 определены соотношениями p + 1 = p10 + q10 = 1.

q Рассмотрим пространство X = Lp (S, V ) Lp0 (S, H). (5.41) Как пересечение банаховых пространств пространство X является банахо вым. Норма в X определяется так u =u +u Lp0 (S,H). (5.42) X Lp (S,V ) Сопряженным к пространству X будет пространство (см. теорему 5.13 гл.

I [7]) X = Lq (S, V ) + Lq0 (S, H ) = {u + v | u Lq (S, V ), v Lq0 (S, H )}, но поскольку H и H можно отождествить, то X = Lq (S, V ) + Lq0 (S, H), (5.43) с нормой f = inf max f1 Lq (S,V 8 ), f2. (5.44) X Lq0 (S,H) f1 Lq (S,V ), f2 Lq0 (S,H), f1 +f2 =f Если f X допускает представление f = f1 + f2, где f1 Lq (S, V ) и f2 Lq0 (S, H), то скалярное произведение элементов f и u X, которое мы обозначаем через f, u, задается соотношением f, u = (f1 (t), u(t)) dt + (f2 (t), u(t)) dt = (f (t), u(t)) dt. (5.45) S S S Сопряженное к X пространство можно отождествить с X = Lp (S, V ) Lp0 (S, H), что означает рефлексивность пространства X.

при изучении операторных дифференциальных уравнений наряду с про странствами X и X играет роль еще одно пространство, которое мы опре делим следующим образом u X }, W = {u | u X, где u – это производная u X в смысле распределения (см.[7]). Справед ливы Теорема 5.14. Множество W с естественными линейными операция ми и нормой uW u =u +u X, W X является банаховым пространством.

Лемма 5.1. Пусть W C(S, V ). В случае компактного интервала S вложение W в C(S, V ) непрерывно.

Лемма 5.2. Множество C 1 (S, V ) W плотно в W.

Эволюционные уравнения Пусть X – рефлексивное, сепарабельное банахово пространство. X – про странство, сопряженное к X. Считаем, что существует гильбертово про странство H : X H X. Это вложение плотно.

Рассмотрим для примера пространство Wp (), p 1 – банахово про странство.

Wp () = {u | u, uxi Lp (), i = 1, n}.

1/p n p u |u|p + u Wp1 () = dx.

xi i= Справедливо утверждение. Пусть – ограниченная область. Если m p, то Lm () Lp ().

1 На основании данного утверждения следует, что Wp () W2 () = H 1 (), p 2, а H 1 () L2 (), где L2 () – гильбертово пространство.

Тогда Wp () L2 () Wp (), т.к. любой элемент из L2 () отождеств ляется с некоторым функционалом из Wp (). Пусть f L2 (), тогда по правилу v Wp ().

f, v = f v dx, u, v – отношение двойственности пространств X и X (u X, v X). Это отношение согласовано со скалярным произведением в H ((u, v)H ).

А именно, если u H, v X, то u, v = (u, v)H.

Доказано, что если X – рефлексивное, сепарабельное пространство, то сопряженное к Lp (S, X), 1 p, пространство (Lp (S, X)) можно 1 отождествлять с Lq (S, X ), где p и q связаны соотношением + = 1.

p q Об этом утверждает следующая теорема (см.[7]) Теорема 5.15. Если X – рефлексивное, сепарабельное и 1 p, то f (Lp (S, X)) допускает только одно представление в виде u Lp (S, X), f (u) = v(s), u(s) ds, S 1 где v Lq (S, X ), = 1. При этом соответствие f v, f + p q (Lp (S, X)), линейно и f (Lp (S,X)) = v Lq (S,X ).

Из данной теоремы также вытекает, что если рефлексивно и сепарабельно пространство X, то пространства Lp (S, X), 1 p также рефлексивны.

Лемма 5.3. Для любой функции u Lp (S, X), 1 p функция, определяемая формулой u(t + h), при (t + h) S, uh (t) = (5.46) 0, иначе, где h R1, также принадлежит Lp (S, X) и lim uh u = 0.

Lp (S,X) h Рассмотрим оператор A(t)(u) : Lp ((0, T ), X) Lp ((0, T ), X ), + = 1, pp где Lp ((0, T ), X) = {f (t) | f (t) определена на [0, T ], T при каждом фиксированном t, f (t) X и dt }, f (t) X Lq ((0, T ), X) = {f (t) | f (t) определена на [0, T ], T при каждом фиксированном t, f (t) X и dt } f (t) X Двойственность Lp ((0, T ), X ) и Lp ((0, T ), X) будем далее обозначать [u, v].

0 Пример. : H () H (). Если u H 1 (), то u H 1 ()ю.

Рассмотрим u(t), u(t) L2 ((0, T ), H 1 ()). Зафиксируем t, тогда u(t) H 1 (), а u(t) H 1 (), при этом u(t) L2 ((0, T ), H 1 ()).

Рассмотрим задачу о нахождении решения параболического уравнения u + A(t)u = h(t), t [0, T ], (5.47) t u(0) = u0, (5.48) где h(t), A(t)u Lq ((0, T ), X ), а значит и u Lq ((0, T ), X ).

t Решением данной задачи является функция u(t) Lp ((0, T ), X), ut Lq ((0, T ), X ).

Введем пространство u Lq ((0, T ), X ), u(t) | u(t) Lp ((0, T ), X);

W= u(0) = 0, t и будем искать решение в этом пространстве.

Заметим, что справедливо утверждение, что если u(t) W, то u(t) C((0, T ), H). Действительно d d du (u, u)H = u, u = 2, u L1 [0, T ].

dt dt dt Значит, отображение W u(t) u(t) |t=t H непрерывно по t (в частно сти, при t = 0).

Предположим, что выполняются следующие условия:

1. Коэрцитивность. Для любой функции u(t) Lp ((0, T ), X) справед ливо равномерно по t [0, T ] соотношение t A( )(u), u d +, при u +.

Re Lp ((0, t), X) u Lp ((0,t),X) 2. Ограниченность. Оператор A(t)(u) : Lp ((0, T ), X) Lp ((0, T ), X ) ограничен, т.е. любое ограниченное множество из Lp ((0, T ), X) переводит в ограниченное множество в Lp ((0, T ), X ).

3. Семинепрерывность. Оператор A(t)(u) семинепрерывен, т.е.

u(t), v(t) w(t) Lp ((0, T ), X) имеет место соотношение lim [A(t)(u v), w] = [A(t)(u), w].

+ 4. Монотонность. Оператор A(t)(u) есть монотонный оператор, а имен но u(t), v(t) Lp ((0, T ), X) имеет место соотношение [A(t)(u) A(t)(v), u w] 0.

Сформулируем вспомогательную лемму (см. [13]).



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.