авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 ||

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ CИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет ...»

-- [ Страница 3 ] --

Лемма 5.4 (аналог леммы об "остром угле"). Пусть c(t) = (c1 (t),..., ck (t)), 0 t T, и вектор-функция f (t, c) определена и непрерывна для всех t и c. Пусть для любых c(t) и любого t [0, T ] справедливо неравенство t t |c(t)|2 dt + K(t), f (t, c)c dt a 0 где a0 0, K(t) 0 непрерывная на отрезке [0, T ] функция. Тогда систе ма нелинейных дифференциальных уравнений dc + f (t, c) = 0, c(0) = 0, dt имеет по крайней мере одно решение, определенное для всех t [0, T ].

Докажем следующую теорему Теорема 5.16. Пусть выполнены условия 1-4, тогда h(t) Lp ((0, T ), X ) существует единственная функция u(t) W, яв ляющаяся решением задачи (5.47), (5.48).

Пусть v1, v2,... – полная система в X. Приближенные решения задачи k (5.47), (5.48) ищем в виде uk (t) = Cn (t)vn, где коэффициенты Cn (t) n= определяются из системы duk (t), vn + A(t)(uk ), vn = h(t), vn, (5.49) dt t [0, T ].

Cn (0) = 0, n = 1,..., k, (5.50) Из условия 1 и леммы 5.4 следует разрешимость данной системы на от резке [0, T ], при этом справедлива оценка T p vraimax uk (t) + uk (t) dt K, (5.51) H X t[0,T ] где K 0 – постоянная, не зависящая от uk (t).

Действительно, умножим уравнение (5.49) на Cn (t) и просуммируем по n = 1,..., k. Получим, t [0, T ] duk (t), uk + A(t)(uk ), uk = h(t), uk.

dt Проинтегрируем полученное выражение по временной переменной на от резке [0, t] и воспользуемся тем, что duk, uk = 1 dt (u, u), получим d dt t t (uk (t), uk (t))H + A( )(uk ), uk d = h( ), uk d, (5.52) 0 откуда t t | h(t), uk | d A( )(uk ), uk d 0 p1 p t t p p неравенство Гельдера h( ) d uk ( ) d = 0 =h uk Lp ((0,t),X). (5.53) Lp ((0,t),X ) Используя данное неравенство и условие 1 теоремы, мы получим, что uk Lp ((0, t), X) – ограничена.

Докажем это от противного. Пусть это не так, т.е. последовательность {uk (t)} не ограничена. Тогда K0 :

t A( )(uK0 ), uK0 d 2 h u K0 Lp ((0,t),X).

Lp ((0,t),X ) Рассмотрим (5.53) при k = K0, тогда получим 2 1, что неверно, значит {uk } ограничена в Lp ((0, t), X), t [0, T ], т.е. uk Lp ((0,t),X) C1, следова тельно из (5.52), (5.53), t p uk (t) + uk ( ) d K.

H X Поскольку t [0, T ] произвольно, то из последнего неравенства следует оценка T p vraimax uk (t) + uk ( ) d K. (5.54) H X t[0,T ] Далее, т.к. {uk (t)} ограничена в Lp ((0, T ), X), то {uk (t)} слабо k=1 k= компактна, т.е. существует функция u(t) Lp ((0, T ), X) и подпоследова тельность {uk (t)} (обозначения не меняем), что uk (t) u(t) слабо в k= Lp ((0, T ), X).

Покажем, что эта функция u(t) и является искомым решением задачи (5.47), (5.48).

Покажем, что u(t) W.

Так как отображение A(t)(u) : Lp ((0, T ), X) Lp ((0, T ), X ) ограни чено, то последовательность A(t)(uk ) можно считать сходящейся слабо в Lp ((0, T ), X ) к некоторому элементу a(t) Lp ((0, T ), X ). Умножим (5.49) на произвольную гладкую функцию (t), такую что (T ) = 0. Про интегрируем по t [0, T ], получим T T duk ( ), vn ( ) d + A( )(uk ), ( )vn d = dt 0 T = h( ), ( )vn d, n = 1,..., k.

Рассмотрим первое слагаемое в левой части тождества. u, v W спра ведлива формула интегрирования по частям u(t), v(t) u(s), v(s) = t s, t [0, T ].

= u ( ), v( ) + u( ), v ( ) d, s Согласно этой формуле, и поскольку uk (0) = 0, (T ) = 0, получим, что первое слагаемое можно преобразовать к виду T T duk ( ) d =, vn ( ) uk ( ), ( )vn d.

dt 0 Отсюда вытекает тождество [uk, (t)vn ] + [A(t)(uk ), (t)vn ] = [h, (t)vn ], n = 1,..., k.

В последнем равенстве зафиксируем n и перейдем к пределу при k.

С учетом слабых сходимостей {uk } и {A(t)(uk )} получаем k=1 k= [u, (t)vn ] + [a(t), (t)vn ] = [h, (t)vn ], n = 1, 2,.... (5.55) Заметим, что данное равенство выполняется при любых vn и любых (t), таких, что (T ) = 0.

Поскольку система v1, v2,... полна в X, то (5.55) эквивалентно [u, v ] + [a(t), v] = [h, v], где v(t) Lp ((0, T ), X) C 1 ((0, T ), H) – произвольная функция.

При этом v(T ) = 0. Т.е. мы получили [u, v ] = [h a(t), v]. (5.56) du(t) Это и есть определение обобщенной производной пр t. Более того, dt Lp ((0, T ), X ), т.к. a(t) и h(t) Lp ((0, T ), X ). Кроме того, т.к. значение v(0) произвольно, то u(0) = 0. Это несложно показать, воспользовавшись формулой интегрирования по частям для левой части последнего равен ства.

Мы получили, что u(t) W и верно du + a(t) = h(t), u(0) = 0. (5.57) dt Покажем теперь, что a(t) = A(t)(u). Воспользуемся условием монотонно сти. Пусть N 0 – произвольное целое число. Обозначим N Cn (t)vn, Cn (t) C (0, T ), Cn (0) = 0.

v(t) | v(t) = WN = n= Множество WN плотно в Lp ((0, T ), X).

N = Рассмотрим T duk dv d, uk v = (uk ( ) v( )), uk ( ) v( ) d = dt dt dt T 1d 1 (uk ( ) v( ), uk ( ) v( )) d = uk (T ) v(T ) H = 2 dt 2 uk (0) v(0) uk (T ) v(T ) 0.

= H H Из условия монотонности оператора A имеем [A(t)(uk ) A(t)(v), uk v] 0.

Поэтому имеет место следующее неравенство duk dv, uk v + [A(t)(uk ) A(t)(v), uk v] 0. (5.58) dt dt Из соотношений, определяющих галеркинские приближения uk (t) выте кает, что duk, v + [A(t)(uk ), v] = [h, v], v(t) WN, dt при N k. Заметим, что uk (t) v(t) Wk. Поэтому последнее тождество можно записать в виде duk, uk v + [A(t)(uk ), uk v] = [h, uk v].

dt Зафиксируем N 0. Из последнего равнества получим duk, uk v = [h, uk v] [A(t)(uk ), uk v].

dt Рассмотрим (5.58) при k N.

duk dv duk, uk v + [A(t)(uk ) A(t)(v), uk v] =, uk v dt dt dt dv, uk v + [A(t)(uk ), uk v] [A(t)(v), uk v] = [h, uk v] dt dv [A(t)(uk ), uk v], uk v + [A(t)(uk ), uk v] dt dv [A(t)(v), uk v] = [h, uk v], uk v [A(t)(v), uk v].

dt Таким образом, получаем неравенство, которое не содержит нелинейности по uk (t), а именно dv [h, uk v], uk v [A(t)(v), uk v] 0.

dt Перейдем к пределу при k. Результатом предельного перехода явля ется неравенство dv [h, u v], u v [A(t)(v), u v] 0.

dt du Т.к. из (5.57) h = + a(t), то dt du dv + a(t), u v, u v [A(t)(v), u v] = dt dt du dv, u v + [a(t) A(t)(v), u v] 0.

= dt dt Поскольку WN плотно в Lp ((0, T ), X), то сделав замыкание по v в по N = следнем неравенстве убеждаемся, что оно справедливо для любой функции v(t) Lp ((0, T ), X).

В частности последнее неравенство будет справедливо и при v(t) = u(t) w(t), 0, w(t) Lp ((0, T ), X). Подставляя v(t) в неравенство, получим dw 2, w + [a(t) A(t)(u w), w] 0.

dt Разделим обе части на и перейдем к пределу при +0. В силу семинепрерывности оператора A имеем [a(t) A(t)(u), w] 0, w Lp ((0, T ), X).

В силу произвольности выбора w, данное неравенство не противоречиво лишь при a(t) A(t)(u) = 0, следовательно a(t) = A(t)(u) и доказано, что u W есть решение (5.47), (5.48).

Докажем теперь единственность решения.

Пусть u1 (t) W, u2 (t) W – два решения задачи (5.47), (5.48). Их разность u(t) = u1 (t) u2 (t) удовлетворяет тождеству t t u1 u2, u1 u2 d + A( )(u1 ) A( )(u2 ), u1 u2 d = 0.

0 Отсюда, используя монотонность оператора A, получим, что t du1 du, u1 u2 d 0, dt dt t t du1 du2 1 d, u1 u2 u1 ( ) u2 ( ) d = d = H dt dt 2 dt 0 = (т.к. u1 (0) = u2 (0) = 0) = u1 (t) u2 (t) t [0, T ].

0, H Следовательно u1 (t) = u2 (t). Теорема доказана.

Замечание 1. Поскольку доказана единственность решения задачи (5.47), (5.48), то можно утверждать, что вся последовательность приближенных решений {uk (t)} сходится слабо к решению u(t).

Замечание 2. Рассмотрим полученную ранее оценку vraimax uk (t) K, H t[0,T ] где {uk (t)} – последовательность галеркинских приближений.

Из нее следует, что uk (T ) 2 K. Это означает, что последовательность H {uk (T )} ограничена в пространстве H. Значит, существует элемент H, к которому слабо сходится в H некоторая подпоследовательность {uk (T )} (обозначения не меняем).

Рассмотрим (5.49) v X, k, и произвольной (t). Из формулы интегрирования по частям (uk (T ), (T )v ) [u, (t)v ] + [A(t)(uk ), (t)v ] = [h, (t)v ], = 1,..., k.

Фиксируем и переходим к пределу при k.

(, (T )v ) [u, (t)v ] + [A(t)(u), (t)v ] = [h, (t)v ].

Умножим теперь уравнение (5.47) на (t)v, (u(T ), (T )v ) [u, (t)v ] + [A(t)(u), (t)v ] = [h, (t)v ].

Из последних двух равенств ( u(T ), (T )v )H = 0, v X, а поскольку X H плотно, то ( u(T ), (T )v)H = 0, v H, следовательно = u(T ).

Оказывается, что при дополнительных условиях на оператор A мож но также доказать сильную сходимость последовательности галеркинских приближений к решению. Докажем (см. [13]) Теорема 5.17 (о сильной сходимости галеркинских приближе ний). Пусть оператор A(t)(u) удовлетворяет условиям теоремы 5.16 и выполняется условие [A(t)(u) A(t)(v), u v] C( u v uv Lp ((0,T ),X) ) Lp ((0,T ),X), (5.59) где C() 0 – неубывающая непрерывная функция, равная нулю только при = 0. Тогда последовательность галеркинских приближений {uk (t)} сходится к u(t) сильно в пространстве Lp ((0, T ), X).

Условие (5.59) называют условием дефинитной вариации.

Доказательство.

Рассмотрим T du duk du duk, u uk =, u uk d = dt dt dt dt T 1 d 1 (u( ) uk ( ), u( ) uk ( ))H d = u(T ) uk (T ) = H.

2 dt Далее в силу (5.59) u(T ) uk (T ) 2 + C( u uk Lp ((0,T ),X) ) u uk Lp ((0,T ),X) H du duk, u uk + [A(t)(u) A(t)(uk ), u uk ]. (5.60) dt dt Применим формулу интегрирования по частям.

du duk du duk duk, u uk =, u uk,u +, uk = dt dt dt dt dt du du duk, u uk + uk, (uk (T ), u(T ))H + =, uk = dt dt dt du du, u uk + uk, (uk (T ), u(T ))H + = (учитывая (5.49)) = dt dt + [h, uk ] [A(t)(uk ), uk ].

С учетом последних выкладок и неравенства (5.60) получим du du C( u uk u uk, u uk + uk, Lp ((0,T ),X) ) Lp ((0,T ),X) dt dt (uk (T ), u(T ))H + [h, uk ] [A(t)(uk ), uk ] + [A(t)(u), u uk ] du [A(t)(uk ), u] + [A(t)(uk ), uk ] =, u (uk (T ), u(T ))H + dt + [A(t)(u), u uk ] [A(t)(uk ), u] + [h, uk ]. (5.61) При k справедливы следующие предельные соотношения:

1. (uk (T ), u(T ))H (u(t), u(T ))H, см. замечание 2.

2. [A(t)(u), u uk ] 0, поскольку A(t)(u) Lp ((0, T ), X ), а uk (t) u(t) слабо в Lp ((0, T ), X).

3. [A(t)(uk ), u] [a(t), u], т.к. A(t)(uk ) a(t) слабо в Lp ((0, T ), X ).

4. [h, uk ] [h, u], т.к. uk (t) u(t) слабо в Lp ((0, T ), X).

В (5.61) переходим к пределу при k du u uk u uk,u lim C Lp ((0,T ),X) Lp ((0,T ),X) dt k du (u(T ), u(T ))H [a(t), u] + [h, u] = u, [a(t), u] + [h, u] = 0.

dt Отсюда следует, что u uk Lp ((0,T ),X) 0 при k, поскольку C() непрерывная и C() = 0 только при = 0. Теорема доказана.

Список литературы [1] Андреев В.К., Белов Ю.Я., Лазарева В.Н., Шипина Т.Н. Уравнения математической физики (Учебное пособие).- Красноярск: Краснояр.

гос.ун-т, 2005.- 128 с.

[2] Багриновский К.А., Годунов С.К. Разностные методы многомерных задач// Докл. АН СССР. 1957. Т.115(3). - С.431-433.

[3] Белов Ю.Я. Расщепление вырождающегося квазилинейного параболи ческого уравнения// Математические заметки. 1989. Т.46(6). - С.26-31.

[4] Белов Ю.Я., Кантор С.А. Метод слабой аппроксимации. - Красноярск:

Краснояр.гос.ун-т, 1999. - 236 с.

[5] Белов Ю.Я., Яненко Н.Н. Задача Коши для псевдопараболического уравнения в банаховом пространстве// Численные методы механи ки сплошной среды. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1980. Т.11(7). С.12-22.

[6] Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Методы крупных частиц в га зовой динамике. Вычислительный эксперимент. - М.: Наука, 1982. 391с.

[7] Гаевский Х., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравне ния и операторные дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1978. 336 с.

[8] Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики. – М.: МГУ, 1979.

[9] Гордезиани Д.Г.О применении локально - одномерного метода для ре шения многомерного уравнения параболического типа 2m - порядка// Сообщ. АН ГССР. 1965. Т.39(3). - С.535-542.

[10] Гордезиани Д.Г. Самарский А.А.Некоторые задачи термоупругости пластин и оболочек и метод суммарной аппроксимации// Комплекс ный анализ и его приложения.-М. 1978. - С.173-186.

[11] Демидов Г.В., Яненко Н.Н.Метод слабой аппроксимации // Труды Всесоюзной конференции по уравнениям с частными производными. М.: Изд-во Московск. ун-та, 1978. - С. 100-102.

[12] Денисов А.М.Введение в теорию обратных задач: Учебн. пособие. М.: Изд-во МГУ, 1994. - 208 с.

[13] Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические урав нения. В кн."Современные проблемы математики". Т.9. М.: ВИНИТИ, 1976.- С. 5-130.

[14] Дьяконов Е.Г. Разностные методы решения краевых задач. Вып.1.

Стационарные задачи. 1971;

Нестационарные задачи. 1972. - М.: Изд во Московск. ун-та.

[15] Ильин А.М., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа// Успехи. мат.наук. 1962. Т.17.

N 3. - C.3-146.

[16] Иосида К.Функциональный анализ. - М.: Мир, 1967. -624с.

[17] Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ – М.: Наука, 1977. - 747с.

[18] Камке Э.Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. - М.: Наука, 1966. - 260 с.

[19] Камке Э.Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнени ям. - М.: Наука, 1965. - 703 с.

[20] Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики.- М.: Наука, 1981. -304с.

[21] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функци онального анализа. – М.: Наука, 1989.

[22] Крылов Н.В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. - М.: Наука, 1985. - 376с.

[23] Кудрявцев Л.Д.Курс математического анализа: В 3т. -М.: Дрофа, 2003-2004.

[24] Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математиче ской физики. – Новосибирск: СО АН СССР, 1962.

[25] Лаврентьев М.М. Об одном классе обратных задач для дифференци альных уравнений // ДАН СССР. 1965. Т.160. N1. С.32 – 35.

[26] Лаврентьев М.М., Васильев В.Г., Романов В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. – Новосибирск: Наука. Сиб.

отд., 1969.

[27] Лаврентьев M.M., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные за дачи математической физики и анализа.– М.: Наука, 1980.

[28] Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.- М.: Наука, 1967. 736с.

[29] Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные урав нения эллиптического типа. - М.: Наука, 1973. -576с.

[30] Лионс Ж.-Л.Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.

-М.: Мир, 1972. - 587с.

[31] Люстерник Л.А. Соболев В.И. Краткий курс функционального анали за. – М.: Высшая школа, 1982.

[32] Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. - М.: Наука, 1980. - 535с.

[33] Марчук Г.И. Методы расщепления. - М.: Наука, 1988. -264с.

[34] Марчук Г.И. Численные методы в прогнозе погоды. -Л.: Гидрометео издат, 1967. - 353с.

[35] Марчук Г.И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.

– Л.: Гидрометиоиздат, 1974. - 303 с.

[36] Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных – М.: Наука, 1976.

[37] Михлин С.Г. Курс математической физики. – СПб.: Лань, 2002. 576с.

[38] Понтрягин Л.С.Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.:

Наука, 1982.

[39] Рапута В.Ф. Метод слабой аппроксимации для задачи Коши в шка ле банаховых пространств// Численные методы механики сплошной среды. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1975. Т.6(1). С.93-96.

[40] Рождественский Б.М., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравне ний. - М.:Наука, 1978. - 668с.

[41] Сабинина Е.С. Об одном классе нелинейных вырождающихся уравне ний//Докл. Ан СССР. 1962. Т.143(4). - С.794-797.

[42] Самарский А.А. Об одном экономичном разностном методе реше ния многомерного параболического уравнения в произвольной обла сти// Журнал вычислительной матем. и матем. физики. 1962. Т2.

N5. - C.787-811.

[43] Самарский А.А.О принципе аддитивности для построения экономич ных разностных схем// Докл. АН СССР. 1965. Т.165. N 6. - C.1253 1256.

[44] Самарский А.А.Схемы повышенного порядка точности для многомер ного уравнения теплопроводности// Журнал вычислительной матем.

и метем. физики. 1963. Т3. N3.

[45] Самарский А.А.Теория разностных схем.- М.: Наука, 1977ю - 656с.

[46] Сафронов И.Д.К разностному решению уравнения теплопроводности в криволинейных координатах// Журнал вычислительной матем. и метем. физики. 1962. Т2. N4.

[47] Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в ма тематической физике. - Новосибирск: СО АН СССР, 1962. - 225с.

[48] Темам Р. Уравнения Навье - Стокса. Теория и численный анализ. М.: Наука, 1981. - 408 с.

[49] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.

- М.: Наука, 1977. - 408с.

[50] Треногин В.А. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1980. -496с.

[51] Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. - М.: Мир, 1968. - 427с.

[52] Харлоу Ф.Х. Численный метод частиц в ячейках для задач гидроди намики// Вычислительные методы в гидродинамике.- М.: Мир, 1967.

С.316-342.

[53] Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы.- М.:

Изд-во иностр. литературы, 1962. - 830с.

[54] Шокин Ю.И., Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения.

Применение к газовой динамике. - Новосибирск: Наука, 1985. - 364 с.

[55] Элвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. - М.: Мир, 1969. - 1071с.

[56] Эйдельман С.Д. Параболические системы. - М.: Наука, 1964. -444с.

[57] Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач ма тематической физики. - Новосибирск, 1967. - 195с.

[58] Belov Yu.Ya. Inverse Problems for Partial Dierential Equations. Utrecht: VSP, 2002. 211p.

[59] Cherno P.R. Note on productformulas for operator semi-groups// J.functional Analysis. 1968. V.2. P.238-242.

[60] Duglas J. Alternating direction methods for three space variables// Numer.

Math. - 1962.

[61] Duglas J., Rachford H. On the numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables // Trans. Amer. Ath. Soc. 1956.

V.82. 2. - P. 421 - 439.

[62] Hopf E. The partial dierential equation ut + uux = µuxx // Comm.Pure Appl.//Math. 1950. V.3.- P.201-230.

[63] Temam R. La grade de docteur es sciences mathematigues. - Paris. 1967.

- 248p.

[64] Tani A. On the rst initial - boundary value problem of compressible viscous uid motion. - Publ. Res. Inst. Math. Sci. 1977. V.13(1). P.193-253.

[65] Trotter H.R.Approximation of semi-groups of operators// Pacic J. Math.

1958. V.8. P.887 - 919.

[66] Trotter H.R.On the product of semi-groups of operators// Proc. Amer.

Math. Soc. 1959. V.10. P.545 - 551.



Pages:     | 1 | 2 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.