авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
-- [ Страница 1 ] --

Вестник Брянского государственного университета. № 4 (2008): Математика.

Физика. Биология. Химия. Брянск: РИО БГУ, 2008.160 с.

Редакционная коллегия

А.В. Антюхов – ректор БГУ, доктор филологических наук, профессор,

председатель редакционной коллегии;

Ф.А. Шамоян – доктор физико-математических наук, профессор БГУ (отв. редактор);

А.Д. Булохов – доктор биологических наук;

профессор БГУ (отв. редактор);

Л.М. Ахромеев – кандидат географических наук, доцент БГУ;

В.Б. Васильев – доктор физико-математических наук, профессор БГУ;

В.В. Новиков – доктор физико-математических наук, профессор БГУ;

Н.Н. Самойлов – доктор медицинских наук, профессор БГУ;

С.В. Трубников – кандидат физико-математических наук, доцент БГУ;

О.С. Щетинская – кандидат химических наук, доцент БГУ.

В этом выпуске Вестника Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского представлены материалы по основным направлениям исследований ученых университета в области математики, физики, биологии, химии.

Предназначен для научных работников, преподавателей, аспирантов и студентов вузов.

Ответственность за точность фактологического материала, используемого в статьях, несут авторы.

© РИО БГУ, ISSN 2072- ВЕСТНИК Брянского государственного университета Vestnik Bryanskogo gosudarstvennogo universiteta The Bryansk State University Herald ТОЧНЫЕ И ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ EXACT AND NATURAL SCIENCES Вестник Брянского госуниверситета. №4 (2008) СОДЕРЖАНИЕ ФИЗИКА, МАТЕМАТИКА Антоненкова О.Е.

ОГРАНИЧЕННЫЕ ПРОЕКТОРЫ В НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ГАРМОНИЧЕСКИХ В ШАРЕ ФУНКЦИЙ СО СМЕШАННОЙ НОРМОЙ………………………………... Будехин А.П.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В МЕТРИЧЕСКОМ ТЕНЗОРЕ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ………………………………………………………………….. Быков С.В., Шамоян Ф.А.

О ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ КЛАССОВ ГОЛОМОРФНЫХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ С МАЖОРАНТОЙ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА……………………………………... Вареникова Е.В.

О РЕШЕНИЯХ ДВУХТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОЙ НЕАВТОНОМНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С КУБИЧЕСКОЙ ПО ФАЗОВЫМ ПЕРЕМЕННЫМ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ……………………………........ Иноземцев В.А.

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ С КОЛЕБАТЕЛЬНЫМ КОНТУРОМ……………………... Коптюх Д.Г., Бут М.В.

НЕКОТОРЫЕ -ВЕЕРНЫЕ ФОРМАЦИИ - ДЛИНЫ 3…………………………………………………. Коптюх Д.Г., Хомякова О.А.

О МИНИМАЛЬНЫХ -РАССЛОЕННЫХ КЛАССАХ ФИТТИНГА……………………………………... Попов П.А., Коваленко А.И.

ВЛИЯНИЕ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОГО ОТЖИГА НА ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ -ОБЛУЧЕННЫХ КРИСТАЛЛОВ LiF и CaF2……………………………... Путилов С.В., Воронина А.В., Гегеле С.В., Ковалева М С., Кабанова Е.М.

К ТЕОРИИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП…………………………………………………………………………….. Рудаков И.А.

О ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПО ВРЕМЕНИ РЕШЕНИЯХ НЕЛИНЕЙНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ НА ОТРЕЗКЕ………………………………. Сорокина М.М., Корпачева М.А.

О ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПОДГРУППОВЫХ X-ФУНКТОРОВ………………………………………………. Трубников С.В.

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА С ИТЕРАЦИОННЫМ УТОЧНЕНИЕМ И ПЕРЕМЕННЫМ ШАГОМ………………………………………………………………. Шамоян Ф.А., Беднаж В.А., Приходько О.В.

О НУЛЕВЫХ МНОЖЕСТВАХ НЕКОТОРЫХ ВЕСОВЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ…………………………………………………………………. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ Аверинова Е.А.

ОСТЕПНЁННЫЕ СУХОДОЛЬНЫЕ ЛУГА БАССЕЙНА РЕКИ СЕЙМ (В ПРЕДЕЛАХ КУРСКОЙ ОБЛАСТИ)……………………………………………………………………… Анищенко Л.Н.

СООБЩЕСТВА МОХООБРАЗНЫХ ВОДНЫХ И ПЕРЕУВЛАЖНЕННЫХ МЕСТООБИТАНИЙ БРЯНСКОЙ ОБЛАСТИ КЛАССА PLATYHYPNIDIO-FONTINALIETEA ANTIPYRETICAE PHILIPPI 1956…………………………………… Булохов А.Д.

К ОЦЕНКЕ ГОМОГЕНИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ СООБЩЕСТВ………………………………………. Булохов А.Д.

НОВЫЕ АССОЦИАЦИИ КЛАССА TRIFOLIO-GERANIETEA SANGUINEI TH. MLLER 1961 В БРЯНСКОЙ ОБЛАСТИ........................................................................ Горбачев А.А., Прокофьев И.Л., Жирина Л.С.

РЕАКЦИЯ ЛЕСНОЙ РАСТИТЕЛЬНОСТИ НА ПРОМЫШЛЕННОЕ ЗАГРЯЗНЕНИЕ НА ПРИМЕРЕ СОСНЫ ОБЫКНОВЕННОЙ (PINUS SYLVESTRIS L.)………………... Долженко В.Н.

НОВЫЕ ДАННЫЕ О ГЕОХИМИИ РОССЫПЕЙ УНЕЧСКОГО МЕСТОРОЖДЕНИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ ИХ ЗОЛОТОНОСНОСТИ……………………………………. Содержание Кононов А.С., Никитушкина М.Ю.

СОДЕРЖАНИЕ ХЛОРОФИЛЛА У ЛЮПИНА И ЯЧМЕНЯ В ОДНОВИДОВОМ И ЛЮПИНО-ЗЛАКОВОМ АГРОЦЕНОЗЕ………………………………….. Маркелова Н.В.

ВОЗМОЖНОСТИ АДАПТИВНОЙ СЕЛЕКЦИИ ЧЕРНОЙ СМОРОДИНЫ…………………………….. Немцова Е.В., Артюхова А.В., Дроздов Е.В., Заякин В.В., Нам И.Я.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НУКЛЕОТИДНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФРАГМЕНТА ГЕНА БЕЛКА ОБОЛОЧКИ МЕСТНОГО ИЗОЛЯТА ВККМ……………………………. Семенищенков Ю.А.

ПОЙМЕННЫЕ ГИГРОФИТНЫЕ СООБЩЕСТВА СОЮЗА MAGNOCARICION ELATAE KOCH 1926 В БРЯНСКОЙ ОБЛАСТИ…………………………………… Шутенко Г.С., Прокофьев И.Л., Жирина Л.С.

ВИДОВОЕ РАЗНООБРАЗИЕ ДОЖДЕВЫХ ЧЕРВЕЙ В ИРЛАНДСКИХ НАЦИОНАЛЬНЫХ БОТАНИЧЕСКИХ САДАХ (г.ДУБЛИН)……………………… Вестник Брянского госуниверситета. №4 (2008) CONTENTS PHYSICS, MATHEMATICS Antonenkova O.E.

BOUNDED PROJECTIONS IN SOME SPACES OF HARMONIC FUNCTIONS IN A BALL WITH MIXED NORM………………………………................... Budyokhin A.P.

ELECTROMAGNETIC FIELD POTENTIALS IN METRICAL TENSOR IN GENERAL RELATIVITY THEORY ………………………………………………………………………. Bykov S.V, Shamoyan F.A.

ON PARAMETRIC REPRESENTATION OF WEIGHTED CLASS HOLOMORFIC FUNCTIONS IN THE DISK WITH MAJORANT OF FINITE ORDER ……………………………………... Varenikova E.V.

ABOUT SOLUTIONS OF THE TWO-POINT BOUNDARY TASK FOR ONE NON-AUTONOMOUS DIFFERENTIAL SYSTEM WITH A CUBIC AT PHASE VARIABLES RIGHT-HAND SIDE…………....... Inozemtsev V.A.

A DEMONSTRATION EXPERIMENT WITH OSCILLATORY CIRCUIT…………...……………………... Koptukh D.G., But M.V.

SOME -FIBERED FORMATIONS WITH -LENGTH 3.…………………………………………………. Koptukh D.G., Khomyakova O.A.

ABOUT MINIMAL -FOLIATED FITTING CLASSES……………………………………………………………. Popov P.A., Kovalenko A.I.

INFLUENCE OF HIGH-TEMPERATURE ANNEALING BY THERMAL CONDUCTIVITY OF GAMMA-IRRADIATED LiF AND CaF2 CRYSTALS...……………………………... Putilov S.V., Voronina A.V., Gegele S.V., Kovaleva M.S., Kabanova E.M.

TO THE THEORY OF FINITE GROUPS.…………………………………………………………………….. Rudakov I.A.

ABOUT TIME PERIODIC SOLUTIONS OF A NONLINEAR WAVE EQUATION WITH NONCONSTANT COEFFICIENTS ON THE INTERVAL……………………………………………. Sorokina M.M., Korpacheva M.A.

ON PRODUCTS OF SUBGROUP X-FUNCTORS…………………………………………………………. Trubnikov S.V.

MODIFIED METHOD OF EULER WITH THE ITERATIVE REFINEMENT AND THE VARIABLE STEP.……………………………………. Shamoyan F.A., Bednazh V.A., Prikhodko O.V.

ABOUT ZERO SETS OF SOME WEIGHT CLASSES ANALYTICAL IN A CIRCLE OF FUNCTIONS….. NATURAL SCIENCES Averinova E.A.

DRY STEPPE MEADOWS OF THE SEIM RIVER BASIN (WITHIN THE LIMITS OF THE KURSK REGION)..………………………………………………………… Anishchenko L.N.

THE MOSS COMMUNITIES OF THE PLATYHYPNIDIO-FONTINALIETEA ANTIPYRETICAE PHILIPPI 1956 CLASS OF AQUATIC AND MOIST HABITATS OF BRYANSK REGION……………… Bulokhov A.D.

TO AN ESTIMATION HOMOGENITY OF PLANT COMMUNIETIES…..………………………………. Bulokhov A.D.

NEW ASSOCIARIONS OF THE CLASS TRIFOLIO-GERANIETEA SANGUINEI TH. MLLER 1961 OF THE BRAYNSK REGION................................................................... Prokofyev I.L., Gorbachev A.A., Zhirina L.S.

REACTION OF PINE WOOD (PINUS SYLVESTRIS L.) ON INDUSTRY POLLUTION…………………... Dolzhenko V.N.

A NEW DATA ON THE GEOCHEMISTRY OF PLACERS F UNECHA DEPOSIT AND PERSPECTIVE OF THEIR GOLD-BEARING………………………………. Kononov А.S., Nikitushkina M.Yu.

CONTENTS OF THE CHLOROPHYLL BESIDE LUPINE AND BARLEY IN ODNOVIDOVOM AND LUPINE-CEREAL AGROCENOZE...………………………………….. Markelova N.V.

POSSIBILITY OF ADAPTIVE SELECTION BLACK CURRANT…………..…………………………….. Содержание Nemtsova E.V., Artukhova A.V., Drozdov E.V., Zayakin V.V., Nam I.Ya.

THE NUCLEOTIDE SEQUENCE DETERMINATION OF THE COAT PROTEIN GENE FRAGMENT OF LOCAL RBDV ISOLATE………………...……………………………. Semenishchenkov Yu.A.

FLOOD-PLAIN HYGROPHYTIC COMMUNITIES OF THE ALLIANCE MAGNOCARICION ELATAE KOCH 1926 IN BRYANSK REGION……………………………………… Shutenko G.S., Prokofev I.L., Zhirina L.S.

EARTHWORMS OF THE NATIONAL BOTANIC GARDENS, DUBLIN…………………………………. Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) ФИЗИКА, МАТЕМАТИКА УДК 517. ОГРАНИЧЕННЫЕ ПРОЕКТОРЫ В НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ГАРМОНИЧЕСКИХ В ШАРЕ ФУНКЦИЙ СО СМЕШАННОЙ НОРМОЙ О.Е. Антоненкова Строится ограниченный проектор, отображающий весовые пространства измеримых в шаре функций со сме шанной нормой на соответствующие пространства гармонических функций.

Ключевые слова: весовые пространства, интегральные представления, проекторы, гармонические функции, зональные гармоники.

n Пусть B n = x R n : x = x j 1 - единичный шар в евклидовом пространстве j = { } n R, S = B = x R : x = 1 - единичная сфера.

n n n L, q ( B n ) - пространство измеримых в B n функций f, для ко Обозначим через L p,q p торых конечна норма 1 q q p n f Lp, q = (1 r 2 ) | f (r ) | p d ( ) r dr +, n 1 0 S где 1 p, 1 q, 0, - нормированная мера Лебега на сфере. Тогда hp,q hp, q ( B n ) - подпространство пространства L,q, состоящее из гармонических в B n p функций.

В работе [1] исследовано пространство Ap hp,1 ( B n ). В частности, получено инте гральное представление функций из класса Ap и построен интегральный проектор из про странства L в пространство Ap. В своей работе мы распространяем результат А.Э. Джрба p шяна на более общий класс функций hp,q. А именно:

Теорема. Пусть 0, 1 p, 1 q. Тогда оператор T ( f )( ) = (1 2 ) Q (, ) f ( ) n 1dd ( ), B n, 0 S n где n ( + 1 + k + ) Q (, ) = 2 2 r k k Z ( k ) ( ), (1) n ( + 1)(k + ) k = отображает пространство L в пространство h, причем p,q p,q Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ:№09-01- Физика, математика T ( f ) h p,q C f.

L,q p Для доказательства основного результата статьи используем следующие вспомога тельные утверждения.

Лемма 1. Если f hp, q, где 1 p, 1 q, 0, то имеет место интеграль ное представление ) Q (, ) f ( ) n 1dd ( ), f ( ) = ( 0 S n где Q - ядро из (1),, B, = r, =,, S n 1.

n Лемма 2 (см. [1]). Для ядра Q имеет место оценка C (1 r ) { } C C Q (, ) + +, (2) n + [ ] n + (1 r )1+ r r где = r, =, [ ]- целая часть, а { } = [ ].

Лемма 3. Пусть 0, (0,1) тогда имеет место оценка (1 r ) C (1 r ) dr.

(1 ) + Доказательство теоремы.

Рассмотрим все возможные случаи.

1.Пусть p = q = 1. Зафиксируем и, 0. Пусть f L1,1 ( B n ). Имеем ( = r, = ) T ( f )(r ) (1 r ) r n1 drd ( ) 0 S n 1 ) Q (, ) f ( ) n1dd ( )r n1 drd ( )= (1 r ) ( 2 0 S n 1 0 S n 1 ) Q (, ) r n1 drd ( ) n1dd ( ). (3) = (1 r f ( ) (1 ) 2 0 S n 1 0 S n Оценим внутренний интеграл, воспользовавшись леммой 2:

) Q (, ) r n1 drd ( ) (1 r 0 S n (1 r ) { } n 1 r n+ r n+[ ] r drd ( )+ C1 (1 r 2 ) + Sn 2 n (1 r ) r dr + C2 (4) (1 r )1+ Заметим, что для любого m 2 независимо от S n 1 имеем d ( ) C 1 r m = (1 r ) m2.

Sn Следовательно, внутренний интеграл в первом слагаемом (4) равен (1 r ) { } С (1 r ) { } d ( ) = C 1 r n+ r n+[ ] + +3 (1 r )1+[ ] (1 r )1+ n S C.

(1 r )1+ Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) Таким образом, применяя лемму 3, получим (1 r 2 ) r n1 dr 1 1(1 r ) Q (, ) r drd ( ) C5 (1 r )1+ (1 ).

C 2 n 0 Sn Подставим эту оценку в правую часть неравенства (3), получим:

T ( f )(r ) (1 r ) r n1 drd ( ) 0 S n (1 ) n1dd () ( ) 1 = C f () 1 2 n1dd ( ).

C 1 f ( ) (1 ) 0 S n 0 Sn Таким образом, первый случай доказан.

2.Пусть p = 1, 1 q. Покажем, что T ( f ) h1,q C f L1,q.

T ( f )(r )d ( ). Так как подынтегральная функция по условию Оценим интеграл S n теоремы имеет вид ) Q (, ) f ( ) n 1dd ( ), T f ( ) = ( 0 S n то T f () d () ) Q (, ) f ( ) n1dd ( ) d ( ) ( S n1 S n1 0 S n ( ) 1 2 f ( ) Q (, ) d ( )d ( ) n1d n1 n 1 S S ( ) 1 2 f ( ) Q (, )d ( )d ( ) n 1 d.

n 1 S S n Из леммы 3 следует, что Q (, )d ( ) C. Следовательно, (1 r ) + S n ) Q (, ) f ( ) n 1dd ( ) d ( ) ( S n 1 0 S n (1 ) 2 f ( )d ( ) n1 d.

n (1 r ) + S Таким образом, имеем ( ) 1 n1 n q 1 1 2 q ( ) T ( f ) h1, q 1 r f ( )d ( ) d r dr.

(1 r ) +1 1 0 Sn 0 Умножим и разделим правую часть полученного неравенства на вспомогательную функцию ( x ) =, x B n, где 0 ( + 1)q и + = 1, получим (1 x ) q q qq ) (1 ) ( ) f ()d () 1 q q ( d T ( f ) h1,q 1 r n1 n r dr = 0 (1 r ) ( ) S n + 0 Физика, математика q q 1 1 ( ) 1 ( ) 2 q + q 1 n ( ) f ( )d ( ) d = 1 r 2 r n1dr.

0 1 0 (1 r )( +1) q + q ( ) S n 1 + = 1, получим Воспользуемся неравенством Гельдера с q q ) (1 ) ( ) f ()d () 1 q q ( d T ( f ) h1,q 1 r n1 n r dr ( ) ( ) S n + 0 1 r 0 1 q q ( ) 1 1 r 2 q ( ) 1 2 (r )d ( ) r n1dr f 0 ( +1) (1 r ) q (r ) S 0 n q q q q 1 1 2 q ( ) ( ) n1 d r n1dr = + 0 (1 r ) q (1 ) q n ( ) (1 r ) +1 q ( ) 1 f ( )d ( ) d = 1 r n 0 S 0 q q ( ) 1 1 2 q ( ) q n 1d r n 1dr.

0 (1 r ) +1 (1 ) q ( ) (1 r ) n1d C q (r ), Применяя к внутреннему интегралу оценку (см. [4]) + получим ( ) (r) 1 q 1 1 2 q q ( ) r n1dr T ( f ) h1,q f ()d () 1 r ( ) n d 0 (1 r ) + 0 q Sn1 ( ) ( ) 1 1 2 q q n 1 1 1 r 2 q q f ( )d ( ) d (1 r ) +1 (r )r dr.

n ( ) Sn 0 (1 r ) q ( ) (r )r (1 r ) n dr С В силу того, что, из последнего неравенства име q (1 ) + ем:

( ) ( ) 1 q 2 q q T ( f ) h1, q q n1 d f ( )d ( ) ( ) (1 ) Sn 0 Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) 1 q q 1 2 f ( )d ( ) n 1d = С f ( ) C.

L1, q Sn Что и требовалось доказать.

3. Докажем, что T ( f ) h p,q C f Lp,q при 1 p, q = 1. Оценим интеграл p T ( f )(r ) d ( ) = p 1 Sn p p ( ) = 1 Q (, ) f ( ) dd ( ) d ( ), 2 n S 0 S n 1 n воспользуемся обобщенным неравенством Минковского, получим p T ( f )(r ) d ( ) p 1 Sn p p ( ) 2 n 1 1 1Q (, ) f ( ) d ( ) d ( ) d.

n S S n Далее, используем неравенство Гельдера с + = 1.

p p 1 p p 1 p ( ) T ( f )(r ) d ( ) 1 1Q (, ) f ( ) d ( ) 1 p p S S S n n n p p p Q (, ) d ( ) d ( ) n1 d, (5) n 1 S 1 Так как p + = p и Q (, )d ( ) C, из (5) следует, что p p (1 r ) + S n p T ( f )(r ) d ( ) p n S ( ) 2 p f ( ) p d ( ) Q (, ) d ( ) n1 d ( +1) 0 ( r ) p S n 1 S n (1 ) 2 p f ( ) p d ( ) n 1d ( +1) ( +1) 0 ( r ) p ( r ) p S n 1 1 ( ) p f ( ) p d ( ) n 1 d.

( +1) 0 ( r ) S n 1 Умножим обе части последнего неравенства на (1 r ) и проинтегрируем по r (0,1).

Физика, математика p (1 r 2 ) T ( f )(r ) d ( ) r n1dr p n1 S (1 ) 2 1 1 p f ( ) p d ( ) n1dr n1dr = (1 r 2 ) 1 (1 r ) + Sn 0 ( ) p 1 1 r 2 n ( ) = 1 f ( ) d ( ) r dr n 1d.

p (1 r ) + S n 1 (1 r ) C (1 r ) r n1dr Так как по лемме 3:, то из последнего неравенства име (1 ) + ем:

p (1 r 2 ) T ( f )(r ) d ( ) r n1dr p n1 S (1 ) 2 p f ( ) p d ( ) n1 d = C 1 (1 ) Sn p ( ) = C 1 f ( ) d ( ) n1d = f p.

n 1 L, p S Следовательно, в этом случае теорема доказана.

4. Пусть 1 p, 1 q. Так как 1 p p ( ) p T ( f )(r) d () = 1 11 Q (,) f () dd() d(), p n Sn Sn 0 Sn то, используя обобщенное неравенство Минковского, получим p T ( f )(r ) d ( ) p 1 Sn p p ( ) 1 Q (, ) f ( ) d ( ) d ( ) n1d.

n 1 S S n Используя далее неравенство Гельдера с + = 1 имеем p p 1 p p 1 p ( ) T ( f )(r) d () 1 1Q (,) f () d ( ) 1 p p S S S n n n p p p Q (, ) d ( ) d ( ) n 1 d.

n 1 S 1 Так как p + = p и Q (, )d ( ) C имеем p p (1 r ) + S n Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) p T ( f )(r ) d ( ) p 1 Sn (1 ) 2 1 p f ( ) p d ( ) Q (, ) d ( ) n1 d 1 ( +1) (1 r ) Sn p Sn ( ) p f ( ) p d ( ) n 1d ( +1) ( +1) 0 ( r ) p ( r ) p S n 1 1 ( ) p f ( ) p d ( ) n 1 d.

( +1) 0 ( r ) S n 1 Умножим и разделим правую часть последнего неравенства на вспомогательную функцию ( ) =, где 0 ( + 1)q. Тогда (1 ) qq q q 1 ( ) 1 1 p T ( f ) h p, q f () p d () n1d r n1dr = = (1 r 2 ) +1 0 (1 r ) S n 0 q q 1 ( ) 1 p n1 n 1 ( ) f ( ) p d ( ) d r dr.

= (1 r 2 ) 0 (1 r ) ( ) S n + 0 Используем неравенство Гельдера с + = 1.

q q q 1 1 q ( ) q p T ( f ) h p,q f () p d ( ) n1d (1 r 2 ) 0 (1 r ) ( ) S n +1 q 0 q ( ) q 1 1 2 q ( ) q n 1d r n 1 dr.

0 (1 r ) +1 ( ) q 1 1 2 q ( ) q ( ) d C q (r ) q = C q (r ), то q Поскольку n (1 r ) ( +1) 0 q q 1 1 q q (1 ) f () p d () p n1d q (r)r n1dr T ( f ) h p,q (1 r ) 0 (1 r) () S n +1 q Физика, математика ( ) 1 q q ( ) 1 r q (r ) n 1 2 p f ( ) p d ( ) q 1 n r dr d.

0 ( ) n (1 r ) + S (1 r ) q (r ) n C q ( ) r dr В силу того, что, имеем (1 r ) +1 (1 ) 1 q q p n T ( f ) h p, q (1 2 ) f ( ) d ( ) d = f p.

n 1 L, q p 0 S Что и требовалось доказать. Теорема доказана полностью.

We construct an integral projection which maps the weighted spaces of measurable functions in a ball with mixed norm onto the corresponding spaces of harmonic functions.

The key words: weighted spaces, integral representations, projections, harmonic functions, zonal harmonics.

Об авторе О.Е. Антоненкова – канд. физ-мат. наук, доц., Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, anto-olga@yandex.ru.

УДК 538. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В МЕТРИЧЕСКОМ ТЕНЗОРЕ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ А.П. Будехин В статье рассмотрены некоторые теоретические аспекты зависимости метрического тензора в ОТО от потен циалов электромагнитного поля. Показано, что при этом из уравнения Эйнштейна вытекают уравнения Мак свелла.

Ключевые слова: метрический тензор, общая теория относительности, электромагнитные потенциалы, урав нения Эйнштейна и уравнения Максвелла.

Часть I Рассмотрим воображаемый эксперимент, предложенный Аароновым и Бомом [1], в котором электроны испытывают дифракцию на двух щелях (рис.1).

Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) х Рисунок 1.

1.-источник;

2.-щели;

3.-детектор;

4.-соленоид Частицы одинаковой энергии, испущенные источником, проходят через экран с узки ми щелями. За экраном расположен поглотитель электронов с подвижным детектором, кото рый измеряет частоту попадания S (х) электронов в небольшой участок поглотителя на рас стоянии х от оси симметрии. Частота зависит от местоположения детектора и пропорцио нальна вероятности того, что отдельный электрон, вылетевший из источника, достигнет этого участка поглотителя. Очевидно, что при этом будет наблюдаться картина, объясняемая интерференцией двух амплитуд по одной от каждой цели. При равной амплитуде разность фаз 0 = 1 2 определяет интерференционную кривую S (x).

Допустим, что опыт со щелями проводится в магнитном поле. В этом случае, согласно Ааронову и Бому, должно действовать следующее правило: магнитное поле изменяет фазу на величину, равную интегралу от векторного потенциала вдоль траектории движения элек трона: Математически это выглядит так:

1 = 1 (B = 0 ) + q A d S (1) 2 = 2 (B = 0) + q A dS = 1 (B = 0 ) -фаза волны, бегущей по траектории (i) без магнитного поля, q-заряд где электрона.

Интерференционная картина в этом случае определяется разностью фаз = 1 (B = 0) 2 (B = 0) + q A dS = 0 (B = 0) + q A d S 1 2 1 где : 0 = 1 (B = 0) (B = 0 ) и разность двух интегралов заменена интегралом по замкну той траектории. (1-2).

Отсюда следует, что кривая S (x) сместится при наложении магнитного поля. Экспе римент, подтверждающий правильность вышеизложенного, был поставлен Чамберсом [2].

Причем, в его опыте в области движения электронов поле было задано очень тонким соле ноидом таким образом, что магнитная индукция равнялась нулю, присутствовал лишь век торный потенциал Aµ. Поэтому отпадает возможность интерпретировать смещение картины за счет силового воздействия магнитного поля на движущиеся электроны.

Как можно объяснить результаты данного эксперимента? Возможно такое объяснение:

геометрия пространства зависит от электромагнитного поля. Включение электромагнитного поля приводит к деформации пространства и, следовательно, к смещению интерференцион ной картины.

Физика, математика Так как за геометрию пространства- времени отвечает метрический тензор g µµ, то вполне логично предположить, что он зависит от векторного потенциала электромагнитного поля В первом приближении рассмотренный эффект можно учесть вводя в метрический тензор аналогично гравитационному потенциалу члены, зависящие от векторного потенциа ла Aµ :

q 1 + G + Aµ g µµ (2) r mc где: µ =1,2,3, G- гравитационная постоянная, М и m некоторые массы, q – электри ческий заряд, с- скорость света.

Из (2) при вычислении разности фаз в первом приближении по Aµ получается (1).

Аналогичным образом объясняется изменение фазы под влиянием электрического по q d t - зависимость компоненты метрического тензора g µµ от скаляр ля равное ного потенциала электрического поля:

q 1 G g 00 (3) r mc Интерпретируя таким образом эксперимент Аароннова и Бома, можно пойти дальше, обоб щив (2) и (3) следующими выражениями:

q qA 1 + G + + g µµ (4) r mc 2 mc q 1 G g r mc Отсюда становиться понятным появление членов с электромагнитным потенциалом в уравнениях теории поля. Рассмотрим, например, уравнение Дирака, воспользовавшись свя зью j- матриц с метрическим тензором:

jµj + jjµ = 2qµI (5) где - единичная матрица (по µ нет суммирования, µ =1,2, 3), входящий в уравнение Дирака, распи Член j xµ шется с учетом (4) и (5) так:

qµ j0 µ ih Aµ +.... = m (6) x c µ j0 µ здесь - обыкновенные матрицы Дирака.

Замена во втором члене выражения (6) оператора его собственным значе ih x µ нием mV µ даёт:

q j0 µ ih Aµ = m (7) x c µ Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) vµ Aµ = При выводе (7) использовалась формула (8) c q при µ =0.

Так же просто получается и член c Рассмотренный пример позволяет сделать ещё один вывод: при получении уравнения поля из принципа экстремума действия в лагранжиан не следует вводить члены с электро магнитными полями, так как это приведёт к двойному учету этих полей. Например, в 2q уравнении Дирака получается члены Aµ, что неверно.

c Таким образом, приняв соглашение, что метрика содержит члены с электромагнитны ми векторами потенциалами, приходится встать на путь единой теории поля. Так как в этом случае остаётся лишь одна система уравнений для метрического тензора, которой подчиня ются и гравитационные и электромагнитные поля. Пусть это будет система уравнений Эйн штейна-Гильберта. Следовательно, из неё при некоторых предположениях должны полу чаться и уравнения Максвелла. То есть уравнения Максвелла должны быть заложены в уравнениях Эйнштейна-Гильберта и вытекать из них, потому что метрический тензор содер жит члены с электромагнитным векторным потенциалом.

Удобно исследовать этот момент, положив нулю в метрике члены гравитационного поля и считая электромагнитные поля слабыми доопределить g µ 0 так:

q g µ 0 Aµ 2 (9) mc В этом случае, в качестве приближения для уравнений Эйнштейна- Гильберта с нуле вой правой частью получаются уравнения [4] Максвелла:

divE = E (10) rotH t = Нужно отметить, что (10) получается лишь при выполнении гармонических коорди натных условий:

( ) gg =0 (11) x Рассмотрим эти условия в приближении слабого поля:

q = + h (12) где: 00 = 1 ;

0i = 0;

ij = ij где h - функции координат, абсолютные значения которых малы по сравнению с единицей.

Из (11) и (12) получаются такие уравнения:

h11 = h22 = h30 = h i hj = xi Из (11 ) с учётом (4) при j=0 – следует [4].

Ai =0 (12a) x i То есть, условие калибровки Лоренца.

При j=0 полагая hij = Ai A j получим:

i Ai A Aj = Aj i = x i x Физика, математика То есть, тоже самое, что и (12a) Алгебраическое условие (11), как это видно из (4), так же выполняется.

Следовательно, для того, чтобы из уравнений Эйнштейна-Гильберта вытекали урав нения Максвелла, необходимо, чтобы в первом приближении метрический тензор имел вид:

q q q q 1 + A1 A2 A mc mc 2 mc 2 mc 2 q q2 q qA 1+ AA AA mc 2 1 24 12 24 mc m с mс = q µv (13) q q q2 2 A2 A 1+ mс 2 A2 AA q 24 24 mc mc mc q q 2 q A1 A3 q A2 A3 1 + 2 A mc m 2c 4 m 2c mc Ai = и выполнялось условие:

x i При таком определении метрического тензора уравнение геодезической содержит си лу Лоренца [4] [ ]} { a 2x = Ei 0 + H iJ 0 2 +... (14) S mc где: S = ct Внешний вид метрического тензора (13) вызывает вопросы, ставящие под сомнение разумность полученных результатов:

а) в тензоре есть члены, зависящие от обратной величины массы, что это за масса;

б) наличие различных масс и зарядов у разных тел приводит к тому, что для различ ных тел оказывается различной метрика пространства-времени.

На самом деле это так. Рассматриваемая концепция по существу сводится к геометро динамическому подходу, то есть к толкованию динамических эффектов, как к проявлению некоторой сложной геометрии пространства и времени. А раз, так, из того факта, что разные физические объекты взаимодействуют по разному, следует, что для них геометрия будет различной. Так, например, для нейтрального тела метрика будет диагональной, а для заря женного тела - нет.

Тут как бы происходит появление дополнительной степени измерения без ввода такой на самом деле.

Масса, стоящая в знаменателе, соответствует массе тела, для которого вычисляется метрика. То есть, это тело считается движущимся в некоторых внешних гравитационных электромагнитных полях, задаваемых соответствующими потенциалами. Понять (13) можно рассуждая следующим образом. Можно охарактеризовать некоторую область пространства с полевой точки зрения, определённой функцией от таких величин, как энергия, импульс, мо мент количества движения, спин. Так как энергия самая существенная из них, то в первом приближении по видимому достаточно ограничиться только ей. Таким образом, метрика в данной точке пространства в первом приближении зависит от энергетических характеристик этой точки, то есть от полной энергии, которая в свою очередь зависит от взаимодействия с окружающей материи.

g MV ( ) = g MV (TMV ) (16) где T -тензор энергии импульса.

Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) Так как g -безразмерная величина, обращающаяся в 1 при отсутствии взаимодействия, то разумно предположить следующую зависимость:

+ соб g MV ( ) = g MV noт (17) соб соб noт - собственная, потенциальная энергия малой области, окружающей где:

X.

(17) хорошо согласуется с (13). Отсюда как раз и получается, что метрика зависит от того, какое тело находится в данной точке, так как энергия точки зависит от взаимодействия этого тела с окружающей материей. А, так как E =mc, то понятно происхождение члена в знаменателе величин, входящих в метри ческих тензор. Это масса тела, находящегося в той точке пространства, где определяется метрика. Если сдвинуться чуть в сторону от траектории движущегося заряженного тела, то этот член исчезнет, но останется поле, создаваемого этим телом в точке наблюдения. Таким образом, при перемещении заряженной частицы, она изменяет метрику вдоль траектории.

Заключение Исходя из вышеизложенного можно констатировать, что предположение о зависимо сти метрического тензора от потенциалов электромагнитного поля приводит к следствиям:

1) метрический тензор не является диагональным, 2) уравнение Энштейна-Гильберта содержит в себе уравнение Максвелла, 3) уравнение геодезической линии, являющейся в римановой геометрии аналогом уравнения Ньютона, содержит в себе силу Лоренца, 4) Как будет показано в следующей статье недиагональность метрического тензора приводит к расслоению четырёхмерного пространства-времени на 3 подпространства:

а) 3+1 мерное пространство, которое мы ощущаем нашими органами чувств, б) тонкое пространство-времени, определённые образы которого могут наблюдать экстрасенсы, в) сверхтонкое пространство без времени, недоступное, по видимому, никому.

5) пункты 2 и 3 позволяют рассматривать данный подход как некоторый шаг на пути к единой теории поля.

The paper is devoted to considering some theoretical aspects related to dependence of metrical tensor in general relativ ity theory on electromagnetic field potentials. It is shown how Einstein equations imply the Maxwell equations.

The key words: metrical tensor, general relativity theory, electromagnetic field potentials, Einstein equations, Maxwell equations.

Список литературы 1. Aharonov Y., Bohm D., PHYS.Rev., 115,485 (1959) см. так же Кемпфер Ф. Основные положения квантовой механики стр. 201-205. Мир М 1967.

2. Chambers R.G., Phys. Rev. Letters, 5, 3 (1960).

3. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс Н. Феймановские лекции по физике т.6. стр. 18- Мир.М. 1966 г.

4. Мицкевич Н.В. Физические поля в общей теории относительности. стр. 154. Наука.

М. 1969 г.

Об авторе А.П. Будехин – ст. преподаватель, Брянский государственный университет им. акаде мика И.Г. Петровского, dodzo@yandex.ru Физика, математика УДК 517. О ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ КЛАССОВ ГОЛОМОРФНЫХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ С МАЖОРАНТОЙ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА С.В. Быков, Ф.А. Шамоян В работе получено параметрическое представление голоморфных в круге функций, модуль которых вблизи граничной окружности имеет заданную мажоранту конечного порядка.

Ключевые слова: единичный круг, факторизация, аналитическая функция, параметрическое представление.

{ } Пусть D = z : z 1 - единичный круг на комплексной плоскости, H ( D ) - мно жество всех голоморфных в D функций с топологией равномерной сходимости на компакт ных подмножествах D. Пусть, далее, - монотонно растущая положительная функция на R1 = [1;

+ ), в работе исследуется свойство факторизационного представления следующего класса функций X = f H ( D ) : ln f ( z ) C f, z D, 1 z (1) где C f - положительная константа, зависящая только от функции f.

Для изложения основных результатов статьи введём ещё следующие обозначения: Пусть C ( ) ( R1 ), где R1 = { x :1 x +}. Для каждой такой функции введём понятие верхнего и нижнего степенного порядка:

x / ( x ) x / ( x ) = lim и = _ lim. (2) ( x) ( x) x + x + Если w T, T = { : = 1}, 0 l 1, то символом l ( w ) обозначим следующий криво линейный квадрат l l ( w ) = :1 l 1, arg arg w.

И, наконец, символом k,l, k Z +, 2 l 2 1 обозначим следующий диадический k k квадрат ( l + 1) l 1 k,l = z D : k arg z, 1 k z 1 k +1, k, l = 2k,..., 2k 1.

k 2 2 2 В работе второго автора (см. [4]) получен следующий результат:

Теорема А. Пусть C ( R1 ), при этом 1 +.

() Тогда следующие утверждения равносильны:

1. f X, 2. f допускает представление в виде:

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 09-01-97517.

Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) ( ) f ( z ) = C z ( z, zk ) exp d µ ( ), z D, Z +, (3) + D 1 z где { zn }n=1 - произвольная последовательность точек из единичного круга D, для которой + nk, l - количество точек { zn }n=1 в каждой криволинейном прямоугольнике k,l, удовлетворя + ет оценке nk,l C0 ( 2 k ), k, 2 k 1 l 2 k 1, (4) ( z, zk ) - бесконечное произведение вида ( ) z +1 + ( z, zk ) = 1 exp dm2 ( ), z D, ln 1 (5) + D 1 z k =1 zk zk где µ - комплекснозначная Борелевская мера на D, для которой справедливо неравенство µ ( l ( w ) ) C l 2, 0 l 1, w T, l ( ) причём С не зависит от l и w, 1, а функция g ( z ) = d µ ( ) удов + D 1 z летворяет оценке 1 Re g ( z ) Cµ, z D.

1 z Для многих классов функций определяющимся теми или иными ограничениями на рост (см. например, [2]- [5]) установлено, что второй множитель в представлении (5) имеет другую форму и описывается через интеграл типа Коши, плотность которой имеет опреде лённую гладкость. Естественно, возникает вопрос о справедливости такого же представления для класса функций X. В этой работе мы докажем, что такое представление возможно при определённых ограничениях на функцию.

Определение. Скажем, что функция является функцией типа модуля непрерывно сти Зигмунда, если удовлетворяет следующим условиям:

а) - неубывающая, неотрицательная функция из C [0;

], причём ( 0 ) = 0, ( t ) не возрастающая в некоторой правой окрестности точки t = 0, б) функция t (t ) dt C ( ), 0 1, C - положительное число, зависящее только от функ в) t ции.

Физика, математика И, наконец, обозначим через класс монотонно растущих функций из класса (1) ( R1 ), для которых справедливо представление ( x ) = x, x R1, x где - функция типа модуля непрерывности из класса Зигмунда.

Основным результатом работы является следующее утверждение.

Теорема. Пусть, причём = 1, где и определяются по формулам (2). Тогда следующие утверждения равносильны:

1. f X, 2. f допускает представление в виде:

( e i ) f ( z ) = C z ( z, zk ) exp d, z D, Z +, (1 e z ) (6) + i где 1, { zn }n=1 - произвольная последовательность точек из единичного круга D, + () i удовлетворяющая условию (4), функция e имеет непрерывную производную до поряд ка n = [ ] [ ] включительно, при этом справедлива оценка ( e ( ) ) 2 ( ) ( e ) + ( ) ( e ( ) ) C ( t ),, t ( ;

].

( n) i + t i t i n n Доказательство теоремы основано на нескольких вспомогательных утверждениях.

Следующая лемма установлена в работе [1].

Лемма 1. Пусть - функция типа модуля непрерывности из класса Зигмунда f H ( D ) C ( D T ). Тогда следующие утверждения равносильны:

( ) 2 f (e ) + f (e ( ) ) A ( t ), f e( i +t ) i t i а) f (1 z ) б) f ( z ) B f ( 2),zD, (1 z ) где A f, B f - положительные константы, зависящие только от функции f.

Лемма 2. Пусть g H ( D ), Im g ( 0 ) = 0, причём Re g ( z ) C g, z D, удовлетворяет условиям теоремы А.

1 z g ( z ) Cg 1 z, z D.

Тогда справедлива оценка Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) Доказательство.

Как установлено в работе [4], при достаточно больших в условиях леммы функция g до + 1 1 (1 ) u ( ei ) d d, где u = Re g. По пускает представление в виде g ( z ) = 0 (1 ze i )+ этому (1 ) 1 1 d ( ) ( ) 1 ze 1 ze g ( z) C u ei d d C g 1. По i + 2 i + 0 C () d скольку при выбранном значении 1 :, то (1 z ) i + 2 + 1 ze (1 ) g ( z ) Cg d.

(1 r ) + (1 2 ) d, для этого разобьём его на два интеграла:

Оценим интеграл (1 r ) + 1 1 (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) 1 r 1 1 def d = d + d = I1 + I 2.

(1 r ) (1 r ) (1 r ) +1 +1 + 0 0 r Оценим каждый интеграл в отдельности, сначала оценим I 2 :

1 (1 ) (1 ) 2 1 I2 = d d.

(1 r ) (1 r ) +1 + r r Поскольку при указанных значениях и r, имеем: 1 r 1 r.

1 (1 ) d Тогда I 2 = x, тогда последний интеграл преоб r. Обозначим (1 r ) + ( x) + разуется в интеграл I 2 = dx. Проинтегрировав по частям, получим x+ 1r ( x) / ( x ) + + +1 dx + (1 r ) + I2 = dx =.

+ +1 1 x 1 r x 1 r 1 r ( x) 1 ( x) x + / dx = (1 r ) + 1, но поскольку для Следовательно, x + 1 ( x) + 1 r 1r произвольного 0 и при достаточно больших х выполняется оценка Физика, математика 1 ( x ) x + 1 ( x) x / / 1 1,, то подбирая таким образом, чтобы +1 ( x) +1 ( x) +1 ( x) + 1 dx = (1 r ) + + 2, приходим к оценке 1 r x 1r а это и означает, что ( x) + dx C.

(1 r ) +1 + 1 r x 1 r Перейдём к оценке I1. Сначала заметим, что 1 d r I1. (7) ( x) 1 r = x. Тогда последний интеграл примет вид: I1 = Введём снова обозначение dx.

1 x ( x) Докажем, что функция ( x ) =, x R1 монотонно растёт на ( a, + ) при достаточно x больших a. Действительно, / ( x) x ( x) ( x) ( x) = /.

x / ( x) x 1, x a, при достаточно Учитывая условие теоремы = 1, поэтому ( x) больших a. Следовательно, ( x) 1 r, r ( 0,1).

dx C (8) 1 r x Объединяя оценки (7)- (8), получим утверждение леммы.

Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть g H ( D ), (1 z ) g (z), zD, 0, (1 z ) где - функция типа модуля непрерывности из класса Зигмунда. Тогда (1 z ) g ( 2) ( z ) c, zD.

(1 z ) + Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) Доказательство.

{ } Зафиксируем z D, 0 1 и введём обозначение C ( z ) = : z = (1 z ). То гда по формуле Коши g ( ) (z) = g( 2) 2i Cz ) ( z ) d.

( (1 ) (z) g( 2) Cz ) (1 z ) d.

Т. е.

( ) ( ( z ), то (1 ) (1 z ) 1 (1+ ) (1 z ).

Но если C Учитывая, что - монотонно неубывающая функция, получаем ( ) 2 (1 + )(1 z ) (z) g( 2) zD.

, 2 (1 z ) (1 ) (1 z ) ( t ) Теперь заметим, что по условию леммы функция t не возрастает в некоторой пра t вой окрестности точки t = 0, поэтому:

( ) 2 (1 + ) (1 z ) g ( 2) ( z ) 2 (1 ) (1 z ).

+ Положим =, получаем:

(1 z ) ( z ) c g( 2), zD.

(1 z ) + Лемма доказана.

Для доказательства теоремы нам потребуется понятие интегро-дифференциального оператора Римана - Лиувилля. Теория этих операторов изложена в 9-ой главе монографии [2].

Пусть f H ( D ), + f ( z ) = ak z k, z D.

k = Тогда ( + k + 1) def + D f ( z) = ak z k, z D k = 0 ( + 1) ( k + 1) (9) называется дробным произведением порядка, а функция ( + 1) ( k + 1) k def + f (z) = ak z, z D D ( + k + 1) (10) k = дробным интегралом порядка, где - известная Эйлерова функция.

Ясно, что D f ( z ), D f ( z ) H ( D ), при этом D D = D D = I, где I - тождест венный оператор. Учитывая равенство (10), нетрудно также заметить, что Физика, математика f ( z ) = ( + 1) (1 t )1 f ( tz ) dt, z D, f H ( D ).

D Доказательство теоремы. Не ограничивая общность можно предполагать, что [ ] = [ ], по скольку в противном случае исходный интеграл потребуется проинтегрировать по частям нужное число раз и учитывать, что под интегралом присутствуют 2-периодические функ ции.

Сначала установим импликацию 1) 2). Предположим, что функция f X. До кажем, что f представима в виде (6). Положим ( ) dµ ( ) g ( z) = + 2.

1 z D Применяя теорему А и лемму 2, получим:

(1 z ) g ( z) cf, zD.

(1 z ) Определим функцию следующим образом:

( z ) = ( + 1) (1 t )1 g ( tz ) dt = D g ( z ), z D.

определим позже. Тогда ( z ) = ( + 1) (1 t )1t 2 g ( 2) ( tz ) dt.

( 2) Учитывая лемму 3, приходим к неравенству:

(1 t ) 1 (1 tr ) ( z) cf ( 2) dt, (1 tr ) + где r = z. Перейдем к оценке последнего интеграла.

r (1 t )1 (1 tr ) (1 t )1 (1 tr ) (z) cf (2) dt + dt.

0 (1 tr ) (1 tr ) + 2 + r (1 t ) (1 tr ) (1 t ) (1 tr ) 1 r Положим I1 ( r ) = dt, I 2 ( r ) = r dt.

(1 tr ) (1 tr ) + 2 + 0 r ( u ) Оценка I1. Учитывая, что функция u не возрастает в некоторой правой окрестно u сти точки u = 0, получаем (1 r ) r (1 t ) (1 r ) (1 tr )+ I1 dt.

Отсюда легко получить оценку (1 r ) I1 ( r ), r ( 0;

1), 1. (11) ( s + 1)(1 r ) + Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) Перейдем к оценке I 2. Аналогично, как и выше (1 r ) 1 (1 t ) (1 r ) (1 r )+ dt, т. е. при r ( 0;

1) и 0 :

I r (1 r ) I2 (r ). (12) (1 r ) + Объединяя оценки (11) и (12), окончательно получаем (1 z ) ( ) ( z ) c f, z D () при 0, + 1.

(1 z ) 2+ Положим в этой оценке =. Тогда применяя лемму 1, получим ( e ( ) ) 2( ) ( e ) + ( ) ( e ( ) ) c ( t ), t, ( ;

].

C ( D T ), ( n) i +t i +t i n n Следовательно, по формуле Коши ( ) (z) = d, z D 2i T ( z ) ( ) ( z) = 2 d, z D.

или T 1 z Учитывая теперь равенство D ( e ) = +1, где e ( ) =, D, (1 w ) окончательно получаем, что ( ) g ( z ) = D ( z ) = 2 + d, z D, 1 z где = 1.

Импликация 1) 2) установлена. Перейдем к доказательству 2) 1).

Пусть f H ( D ) представлена в виде (10), где последовательность { zk }k =1 удовле творяет условию (4). Из теоремы А следует, что функция ( z, zk ) +. Поэтому остает X ( ei ) ся доказать принадлежность функции exp d классу +. Как и выше (1 e z ) X + i будем предполагать, что =. Тогда для доказательства теоремы достаточно установить оценку (1 z ) 1 (e ) i (1 ei z )+1 d c (1 z ). (13) Не ограничивая общность, предположим, что принадлежит классу Харди H1 (см. [3]). По ложим z = re it, тогда сделав замену = t + u в интеграле (13), приходим к равенству Физика, математика ( ) ( ) 2 ( e ) + ( e ( ) ) du + 2 ( e ) ( 0) e( ) i t +u ) ( i t +u i t u 1 e it g ( z) = du = it 2 (1 e iu z )+1 (1 e r ).

+ 2 iu В последнем равенстве мы воспользовались тождествами ( ) i( t u ) 1 e du = ( 0 ), 2 (1 e iu z )+ ( ) 1 2 ( e ) it 1 eiu r +1 du = 2 ( e ), t ( ;

).

it 2 ( ) Следовательно, (u ) (u ) () () g (z) c du + 2 e + ( 0 ) 2c1 + (0) +1 du + 2 e it it + iu 1 e r 2u (1 r ) + ur sin Поступая точно таким же образом, как при доказательстве леммы 3, получим (1 z ) g ( z ) c, zD.

(1 z ) Теорема доказана.

In the paper recive the parametric representation of weighted class holomorphic functions in the disk with majorant of finite order.

The key words: Unit disk, factorization, Analytic functions parametrical representation.

Об авторах С.В. Быков – Брянский государственный университет им.академика И.Г. Петровского, b_serecha@mail.ru.

Ф.А. Шамоян – докт. физ-мат. наук, проф., Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, shamoyanfa@yandex.ru.

УДК 517.925. О РЕШЕНИЯХ ДВУХТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОЙ НЕАВТОНОМНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С КУБИЧЕСКОЙ ПО ФАЗОВЫМ ПЕРЕМЕННЫМ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ Е.В. Вареникова В работе рассматривается система вида x = by + a 20 (t ) x 2 + a11 (t ) xy + a 02 (t ) y 2 + a30 (t ) x 3 + a 21 (t ) x 2 y + a12 (t ) xy 2 + a 03 (t ) y 3, & (1) y = cx + b20 (t ) x 2 + b11 (t ) xy + b02 (t ) y 2 + b30 (t ) x 3 + b21 (t ) x 2 y + b12 (t ) xy 2 + b03 (t ) y 3, & Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) где aij = aij (t ), bij = bij (t ) - непрерывные функции;

b и c - постоянные, для которых bc = k. Для нее установлены условия, при которых эта система имеет линейную отражающую функцию Мироненко В.И. и, [ ] значит, линейное отображение за период ;

. Полученные условия позволяют указать начальные данные решений двухточечной краевой задачи Ф ( x( ), y ( ), x( ), y ( ) ) = 0 и, значит, начальные данные 2 периодических решений рассматриваемой системы в том случае, когда ее коэффициенты 2 - периодические непрерывные функции.

Ключевые слова: отражающая функция Мироненко В.И., отображение за период, краевая задача, периоди ческие решения.

Напомним, что ОФ [1, с.62] системы x = X (t, x ), t R, x G R & (2) с общим решением (t;

t 0, x 0 ), определяется формулой F (t, x ) = (t ;

t, x ). Дифференцируе мая функция F (t, x ) является ОФ системы (2) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет основному соотношению F F + X (t, x) + X (t, F ) = 0, F (0, x ) x.

t x Основные применения ОФ основаны на том, что эта функция по состоянию системы x(t ) позволяет найти состояние x(t ) F (t, x (t )). Это свойство позволяет при известной ОФ F (t, x ) находить начальные данные краевой задачи Ф ( х( ), х( )) = 0 [2, с. 202] из конечно го уравнения Ф ( х( ), F (, x( ))) = 0, а значит находить и начальные данные 2 периодических решений и определять характер их устойчивости (подробнее см. по этому по воду [1]).

Используя основное соотношение для ОФ нами доказана Теорема 1. Пусть для коэффициентов системы (1) выполнены условия c c b20 = (sin 2kt ctgkt )a 20Ч (sin 2kt tgkt )a 20 H k k c c + 2 cos 2kt (a11Ч a11 H ) + 3 sin 2kt (a 02 H a 02Ч ), k k c b11 = 2 sin 2kta 20Ч + 2 cos 2kta 20 H + (sin 2kt ctgkt )a11Ч k (3) 2c c 2c (sin 2kt tgkt )a11H + 2 sin 2kta02Ч 2 cos 2kta02 H, k k k k b02 = sin 2kt (a 20 H a 20Ч ) + cos 2kt (a11H a11Ч ) c c c + (sin 2kt ctgkt )a02Ч (sin 2kt tgkt )a 02 H.

k k Физика, математика c3 c3 b k k a03 = tg 2kt a30 H 3 ctg 2kt a30Ч + a 21 + tg 2kt a12 H ctg 2kt a12Ч, 3c 3c 3c k k 4с c 2c b30 = cos 4kt tg 2kt a30 H cos 2 2kt ctg 2kt a30Ч + cos 2 2kt a 21 H k k 3b c c c (1 + 2 cos 4kt )a 21Ч + 3 (2 + cos 4kt )tg 2kt a12 H + 3 sin 4kt a12Ч, 3b 3k 6k 2c 2c b21 = 3 cos 4kt a30 H 6 cos 2 2kt a30Ч sin 4kt a 21H cos 4kt ctg 2kt a 21Ч + k k 2c c + cos 2 2kt a12 H + sin 4kt a12Ч, b b 3k 3k b12 = sin 4kt a30 H + cos 4kt ctg 2kt a 30Ч + (1 + 2 cos 4kt )a 21 H + (1 3 cos 2 2kt )a 21Ч + c c k k + sin 4kt a12 H + cos 4kt ctg 2kt a12Ч, b 2b 2b b 2b 2b b03 = cos 2 2kt a30 H cos 4kt a30Ч sin 4kt a 21H cos 4kt ctg 2kt a 21Ч + c c 3k 3k 1 + cos 4kt a12 H cos 2 2kt a12Ч..

3 Тогда ОФ системы (1) совпадает с ОФ укороченной системы x = by, y = cx, bc = k 2.

& & (4) Для доказательства теоремы 1. воспользуемся результатом работы [3]. Согласно этому результату (если применить его к нашему случаю) система (1) будет иметь такую же ОФ как и система если возмущение (4), a 20 x + a11 xy + a 02 y + а30 х + а 21 х у + а12 xу + a03 y 2 2 3 2 2 = системы (4) можно представить в b x 2 + b xy + b y 2 + b х 3 + b х 2 у + b xу 2 + b y 20 11 02 30 21 12 виде = 1 (t )1 + 2 (t ) 2 +... + 12 (t ) 12, где 1, 2,..., 12 удовлетворяют соотношению 0 b cx c 0 = 0, а k (t ) - нечетные скалярные функции.

+ by + t x y Расписывая это соотношение по координатам, мы придем к стационарной системе линейных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов aij (t ). Решая эту систему и выбирая только ее периодические решения, мы получим двенадцать линейно неза висимых k. Выражая затем нечетные функции k (t ) через коэффициенты aij (t ) нашей системы, мы и докажем теорему 1.

Замечание: получены условия, при которых система (1) имеет линейную (ОФ) и, значит, линейное отображение за период [ ;

] [4, с.12].

Линейная система (4) легко интегрируется. Проинтегрировав ее, мы найдем ее ОФ, а значит и ОФ системы (1). Эта ОФ задается соотношениями F (t, x (t ), y (t )) x(t ) cos 2kt b y (t ) sin 2kt F (t, x(t ), y (t )) = k x(t ) sin 2kt + y (t ) cos 2kt.

F (t, x(t ), y (t )) = 1 k (5) 2 b Зная ОФ системы (1) и учитывая сказанное выше, мы приходим к следующей теореме Теорема 2. Пусть для системы (1) с непрерывными коэффициентами выполнены ус ловия (3). Тогда Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) 1) если число D := (a1b2 + a3 b4 a 2 b1 a 4 b3 ) + b k b k + (a3 b1 + a 4 b3 a1b3 a 2 b4 ) sin 2k + k b k b + (a1b4 + a 3 b2 a 2 b3 a 4 b1 ) cos 2k 0, то краевая задача a1 x ( ) + a 2 y ( ) + a3 x( ) + a 4 y ( ) = c1, (6) b1 x ( ) + b2 y ( ) + b3 x ( ) + b4 y ( ) = c 2, для системы (1) имеет единственное решение, начинающееся при t = в точке (x( ), y( )), удовлетворяющей системе алгебраических уравнений k b (a1 + a3 cos 2k + a 4 sin 2k ) x ( ) + (a 2 + a 4 cos 2k a 3 sin 2k ) y ( ) = c1, b k (7) k b (b1 + b3 cos 2k + b4 sin 2k ) x ( ) + (b2 + b4 cos 2k b3 sin 2k ) y ( ) = c 2.

b k если только это решение продолжимо на [, ] (если же это решение не продол жимо на [, ], то задача (6)для системы (1) решений не имеет).

2) если число D = 0 и k b b1 + b3 cos 2k + b4 sin 2k b2 + b4 cos 2k b3 sin 2k c b k = 2, (8) k b c a1 + a3 cos 2k + a 4 sin 2k a 2 + a 4 cos 2k a3 sin 2k b k то задача (6) для системы(1) не имеет решений.

3) если число D = 0 и k b b1 + b3 cos 2k + b4 sin 2k b2 + b4 cos 2k b3 sin 2k c b k = = 2, (9) k b c a1 + a3 cos 2k + a 4 sin 2k a 2 + a 4 cos 2k a3 sin 2k b k то задача (6) для системы (1) имеет бесконечно много решений, причем при t = начальные данные ( x( ), y ( )) этих решений заполняют всю прямую k b (a1 + a3 cos 2k + a 4 sin 2k ) x ( ) + (a 2 + a 4 cos 2k a3 sin 2k ) y ( ) = c1.

b k 4) если k b a1 + a3 cos 2k + a 4 sin 2k = a 2 + a 4 cos 2k a 3 sin 2k = b k, k b = b1 + b3 cos 2k + b4 sin 2k = b2 + b4 cos 2k b3 sin 2k = c1 = c 2 = b k то все решения системы продолжимые на [, ] являются решениями задачи (6) для системы (1).

Доказательство. Ранее было указано, что продолжимое на [ ;

] решение (x(t ), y(t ) ) системы (1) будет удовлетворять условию Ф(x( ), y ( ), x( ), y( ) ) = 0 тогда и точка ( x( ), y ( )) этого решения удовлетворяет усло только тогда, когда начальная вию Ф ( x( ), y ( ), F1 (, x ( ), y ( )), F2 (, x( ), y ( ))) = 0. В нашем случае F1 и F2 определя ются соотношениями Поэтому предыдущее соотношение примет вид (5).

b k Ф x ( ), y ( ), x( ) cos 2k y ( ) sin 2k, x( ) sin 2k + y ( ) cos 2k = 0.

k b Физика, математика Учтем теперь, что в нашем случае функция Ф определяется соотношениями (6). По этому решение ( x(t ), y (t ) ) будет удовлетворять нужным краевым условиям тогда и только тогда, когда x( ), y ( ) удовлетворяют системе (7).

Запишем ее в виде:

x ( ) c A y ( ) = c, k b a1 + a3 cos 2k + a 4 sin 2k a 2 + a 4 cos 2k a3 sin 2k A=.

b k где b + b cos 2k + b sin 2k b2 + b4 cos 2k b3 sin 2k k b 1 3 b k Так как D := det A, то система (7) будет иметь единственное решение если D 0. Ес ли же D = 0, то при выполнении условий (8) система не имеет решений, а при выполнении 0 условий (9) существует бесконечное множество решений. В случае когда A = 0 0 и c1 = c 2 = 0, система (7) вырождается в тождество.

Теорема доказана.

In the paper we consider the system x = by + a20 (t ) x 2 + a11 (t ) xy + a02 (t ) y 2 + a30 (t ) x 3 + a21 (t ) x 2 y + a21 (t ) xy 2 + a03 (t ) y 3, & (1) y = cx + b20 (t ) x 2 + b11 (t ) xy + b02 (t ) y 2 + b30 (t ) x 3 + b21 (t ) x 2 y + b21 (t ) xy 2 + b03 (t ) y & where aij = aij (t ), bij = bij (t ) are the continued functions;

b and c are the constants for which bc=-k2.

For this system we established conditions under which this system has a linear Mironenko V.I. reflective function and therefore a linear representation for a period [-, ].The obtained conditions allow us point out the initial data of the solutions of the two-point boundary task Ф ( x( ), y ( ), x( ), y ( ) ) = 0 and therefore, the initial data of the 2 periodic solutions of the system (1) in the case when its coefficients are 2 periodic continued functions.

The key words: reflective function Mironenko V.I, representation for a period, boundary task, periodic solutions.

Список литературы 1. Мироненко В.И. Отражающая функция и исследование многомерных дифферен циальных систем. Монография / В.И. Мироненко. Мин. образов. РБ, УО «ГГУ им. Ф. Скорины». Гомель, 2004. 196 с.

2. Коддингтон Е.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных урав нений. Изд-во Ш. М.: 1958. 474 с.


3. Мироненко В.В. «Дифференциальные уравнения», 2004, т. 40, № 10, с. 1325 1332.

4. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траектриям дифференциальных урав нений. М.: Наука. 1996. 332 с.

Об авторе Е.В. Вареникова – ассистент, филиал в г. Новозыбкове Брянского государственного университета им. академика И.Г. Петровского, bryanskgu@ mail.ru.

Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) УДК 534. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ С КОЛЕБАТЕЛЬНЫМ КОНТУРОМ В.А. Иноземцев Приведена принципиальная схема генератора линейно изменяющегося напряжения, предназначенного для ра боты с генератором MXG-9802A. Рассмотрено влияние внутреннего сопротивления генератора синусоидальных колебаний и сопротивления нагрузки на резонансные свойства колебательного контура. Исследовано влияние материала и формы сердечника катушки индуктивности на свойства контура. Приведены результаты моделиро вания колебательного контура в программе Еlectronics Workbench.

Ключевые слова: генератор линейно изменяющегося напряжения, генератор MXG-9802A. колебательный контур, программа Еlectronics Workbench.

В настоящей работе приводятся краткие описания демонстраций с колебательным контуром на лабораторных занятиях по радиоэлектронике. В большинстве демонстраций рассматриваются амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) фильтров с параллельным колебательным контуром и фильтров с последовательным контуром. Фильтр удобно рас сматривать как четырехполюсник. Для наблюдения АЧХ четырехполюсника на экране ос циллографа используют генератор качающейся частоты. Генератор MXG-9802A может рабо тать в режиме источника синусоидальных колебаний, источника прямоугольных импульсов напряжения, источника треугольных импульсов напряжения и в режиме генератора качаю щейся частоты. В составе генератора качающейся частоты MXG-9802A имеется генератор линейно изменяющегося напряжения (ГЛИН) и генератор, управляемый напряжением (ГУН).

ГЛИН вырабатывает напряжение, линейно изменяющееся со временем до максимального значения, а затем это напряжение резко уменьшается до нуля (пилообразное напряжение).

ГУН вырабатывает напряжение, частота которого линейно зависит от величины управляю щего напряжения. Управляющее напряжение на вход ГУН подается либо от внутреннего ГЛИН, либо от внешнего источника через гнездо «вход VCF» функционального генератора MXG-9802A. В соответствие с паспортом прибора на вход VCF подается напряжение в диа пазоне от 0 до 10 вольт. Форма напряжения на выходе генератора MXG-9802A определяется нажатой кнопкой из группы кнопок формы сигнала. Для исследования АЧХ четырехполюс ников будем использовать синусоидальное напряжение.

Для наблюдения на экране осциллографа АЧХ четырехполюсника собирают экспери ментальную установку по схеме, приведенной на рисунке 1. Сигнал с ГЛИН одновременно подается на управляющий вход ГУН и на вход X осциллографа. Отклонение луча по оси Y пропорционально частоте сигнала, подаваемого на вход исследуемого четырехполюсника.

Синусоидальный сигнал с выхода ГУН подается на вход исследуемого четырехполюсника, а сигнал с выхода четырехполюсника подеется на вход Y осциллографа.

Физика, математика Если в качестве исследуемого четырехполюсника взять фильтр с параллельным коле бательным контуром по схеме рис. 13, то на экране осциллографа будет сигнал, показанный на рисунке 2. Это зависимость двойной амплитуды сигнала на выходе четырехполюсника от частоты. Разделив, полученное на экране изображение, вдоль оси “частота” (ось Х осцилло графа) пополам и взяв верхнюю огибающую, получим АЧХ четырехполюсника.

В демонстрациях с колебательным контуром были использованы два диапазона час тоты генератора MXG-9802A: диапазон Х100К и диапазон Х1М. На этих диапазонах было проведено исследование зависимости частоты колебаний на выходе генератора MXG-9802A от величины управляющего напряжения, подаваемого на вход VCF от источника постоянно го напряжения ИПС-1. Управляющее напряжение измерялось комбинированным цифровым прибором Щ4313.

Зависимость частоты колебаний на выходе генератора MXG-9802A от величины управляющего напряжения, подаваемого на вход VCF, для диапазона Х100К приведена на рисунке 3. В генераторе MXG-9802A нажата кнопка Х100К из группы кнопок выбора диапа зона частоты. В соответствие с паспортом прибора максимальная частота выходного напря жения в этом случае равна 200 кГц.

Зависимости сняты при различных положениях поворотного переключателя частоты.

0% соответствует положению поворотного переключателя частот MIN, а 100% соответствует положению поворотного переключателя частот MAX. Из графиков, приведенных на рисунке 3, следует, что для диапазона Х100К линейная зависимость частоты сигнала от управляюще го напряжения наблюдается до частоты 250 кГц.

Для работы с генератором MXG-9802A удобно иметь внешний генератор линейно из меняющегося напряжения. Принципиальная схема самодельного генератора линейно изме няющегося напряжения ГЛИН приведена на рис. 4.

Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) ГЛИН питается от источника постоянного напряжения U1 (15В). На транзисторах VT1 и VT2 собран аналог динистора. Делитель напряжения на резисторах R1 R2 обеспечива ет необходимую амплитуду пилообразного напряжения. Транзистор VT3 и резистор R3 об разуют стабилизатор тока зарядки одного из конденсаторов C1, C2, C3. Ток стабилизации можно регулировать переменным резистором, R3. Конденсаторы переключаются с помощью перемычки П1, указанной на схеме. Период вырабатываемых импульсов зависит от подключенного конденсатора С1 - С3. При подключенном конденсаторе С1 период изменя ется резистором R3 в пределах 4,7 – 23,5 мс. При подключенном конденсаторе C2 период вырабатываемых импульсов изменяется в пределах 31,5 – 148 мс. При подключенном конден саторе C3 период вырабатываемых импульсов изменяется в пределах 120 – 1200 мс.

Пусть с помощью перемычки П1 подключен конденсатор C2. По мере зарядки кон денсатора C2 потенциал эмиттера транзистора VT1 относительно общего провода увеличи вается. Потенциал базы транзистора VT1 относительно общего провода определяется дели телем напряжения на резисторах R1, R2 и напряжением источника питания U1. Как только потенциал эмиттера транзистора VT1 превысит на 0,5 вольта потенциал базы этого транзи стора, транзисторы VT1, VT2 лавинообразно откроются и конденсатор C2 быстро разрядится.

Катушка индуктивности L1 обеспечивает закрытие указанных транзисторов.

Транзистор VT4 и резистор R4 представляют собой эмиттерный повторитель, обла дающий большим входным и малым выходным сопротивлениями. На транзисторах VT5, VT6 также собран эмиттерный повторитель. Величина выходного напряжения регулируется грубо переменным резистором R7 и плавно переменным резистором R6. Резистор R9 обеспе чивает начальный ток нагрузки ГЛИН. Если перемычка П2 установлена в верхнее положение, то на выходе ГЛИН будет постоянное напряжение, величина которого изменяется перемен ными резисторами R6 иR7. Это необходимо для градуировки входа X осциллографа по час тоте. Сигнал с выхода ГЛИН одновременно подается на управляющий вход VCF генератора MXG-9802A и на вход X осциллографа GOS-620.

Физика, математика Рассмотрим градуировку входа X осциллографа по частоте. Переключаем перемычку П2 ГЛИН в верхнее положение. Резистором R7 устанавливаем выходное напряжение равным нулю. Органами управления осциллографа смещаем луч по горизонтали на необходимое на чальное положение. Начальную частоту качания устанавливаем поворотным переключате лем частоты генератора MXG-9802A, например 110 кГц. Затем переменными резисторами R6 и R7 устанавливаем верхнюю частоту качания, например 190 кГц. Изменяя грубо и плав но коэффициент отклонения осциллографа по оси X, выбираем необходимый размах изо бражения по горизонтальной оси, пусть например 8 делений. Тогда одно деление по оси X будет соответствовать частоте 10 кГц (см. рис. 7).

Для проведения демонстрационного эксперимента собиралась установка по схеме ри сунка 1. В качестве ГЛИН использован самодельный генератор, принципиальная схема кото рого приведена на рисунке 4, а в качестве ГУН (генератора управляемого напряжением) ис пользован генератор MXG 9802-А. В установке использован осциллограф GOS-620.

Для исследования влияния внутреннего сопротивления генератора на резонансные свойства параллельного колебательного контура четырехполюсник собран по схеме рисунка 5. Резисторы R1 - R3 позволяют изменить внутреннее сопротивление генератора синусои дального напряжения. Для исследования влияния сопротивления нагрузки на резонансные свойства параллельного колебательного контура четырехполюсник собран по схеме рисунка 6. Резистор R1 определяет внутреннее сопротивление генератора синусоидального напряже ния, а резисторы R2 - R4 обеспечивают необходимую нагрузку.

На рис. 7 – 9 приведены графики зависимости выходного напряжения параллельного колебательного контура от частоты при различных внутренних сопротивлениях генератора.

На каждой осциллограмме указаны сопротивления резисторов в соответствии с рисунком 5.

Из осциллограмм рис. 7 – 9 видно, что полоса пропускания параллельного колебательного контура при уменьшении внутреннего сопротивления генератора расширяется, а напряжение на выходе контура увеличивается.

На рис. 10 – 12 приведены графики зависимости выходного напряжения параллельно го колебательного контура от частоты при различных сопротивлениях нагрузки. На каждой осциллограмме указаны сопротивления резисторов в соответствии с рисунком 6. Из осцил лограмм рис. 10 – 12 видно, что при уменьшении сопротивления нагрузки полоса пропуска Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) ния параллельного колебательного контура расширяется, а напряжение на выходе контура уменьшается.

Для исследования влияния материала и формы сердечни ка катушки индуктивности на резонансные свойства параллель ного колебательного контура четырехполюсник собран по схеме рисунка 13. Катушка индуктивности намотана на каркасе диа метром 63 мм и высотой 90 мм. Длина намотки катушки 80 мм.


Результаты исследования влияния материала и формы сердеч ника катушки индуктивности на резонансные свойства парал лельного колебательного контура приведены на рисунках 14-25.

На каждом рисунке указаны коэффициент отклонения по оси Y и градуировка оси X по частоте. Для удобства обнаружения влияния материала и формы сердечника рисунки сгруппированы. Для каждой группы из рисунков показана зависимость выходного напряжения параллельного колебательного кон тура от частоты при отсутствии сердечника в катушке индуктивности.

Сравнение рисунков 15 и 16 с рисунком 14 показывает, что при внесении внутрь ка тушки индуктивности ферромагнитного сердечника из пластин от универсального школьно го разборного трансформатора резонансная частота уменьшается и расширяется полоса про пускания контура, а при внесении сплошного сердечника резонансная частота увеличивается и расширяется полоса пропускания.

На рисунках 17 – 19 приведены результаты эксперимента с двумя отрезками алюми ниевых трубок от электролитического конденсатора. Внешний диаметр трубок 45 мм, высота 85 мм, а толщина стенки 0,9 мм. Сравнение рисунков 18 и 19 с рисунком 17 показывает, что при внесении внутрь катушки индуктивности сплошной алюминиевой трубки резонансная частота увеличивается значительно и расширяется полоса пропускания контура, а при внесе нии разрезанной вдоль образующей алюминиевой трубки резонансная частота увеличивается незначительно и незначительно расширяется полоса пропускания.

Физика, математика На рисунках 20 – 22 приведены результаты эксперимента с ферромагнитным кубиком из пластин. Кубик отрезан от сердечника от универсального разборного трансформатора и имеет размеры 35*35*35 мм. Сравнение рисунков 21 и 22 с рисунком 20 показывает, что ес ли плоскость пластин кубика перпендикулярна оси катушки индуктивности, то резонансная частота увеличивается и расширяется полоса пропускания, а если плоскость пластин кубика параллельна оси катушки, то резонансная частота уменьшается и незначительно расширяется полоса пропускания контура.

На рисунках 23 – 25 приведены результаты эксперимента с двумя отрезками ферромаг нитных трубок. Внешний диаметр трубок 52 мм, высота 85 мм, а толщина стенки 0,3 мм. Срав нение рисунков 24 и 25 с рисунком 23 показывает, что при внесении внутрь катушки индук тивности ферромагнитной сплошной трубки резонансная частота увеличивается и расширя ется полоса пропускания контура, а при внесении ферромагнитной разрезанной вдоль образующей трубки резонансная частота уменьшается и расширяется полоса пропускания.

На рисунке 26 приведена схема четырехполюсника для исследования режекторного фильтра. Контур L2, C2 индуктивно связан с контуром L1, C1. Параллельно конденсатору C подключен подстроечный конденсатор (на схеме не показан) для перестройки в небольших Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) пределах резонансной частоты контура L2, C2. Глубина провала в амплитудно-частотной ха рактеристике режекторного фильтра зависит от расстояния между катушками L1 и L2.

Для перестройки резонансной частоты колебательного контура можно использовать вариометр. Катушки, у которых индуктивность может регулироваться в широких пределах, служат для плавной настройки контуров в диапазоне волн и называются вариометрами. Схе матическое изображение вариометра с подвижной катушкой показано на рисунках 29, 30, 31.

Вариометр состоит из двух катушек, обычно соединенных последовательно. Наружная катушка неподвижна и называется статором, а внутренняя катушка может вращаться на оси и называ ется ротором. Индуктивность вариометра при вращении подвижной катушки изменяется вследствие изменения взаимной индуктивности между катушками. В положении, показан ном на рисунке 29, токи в катушках протекают в противоположных направлениях и резуль тирующая индуктивность катушки минимальна. В положении, показанном на рисунке 31, токи в катушках протекают в одном направлении и результирующая индуктивность катушки максимальна. При вращении подвижной катушки на 180° получается плавное изменение ин дуктивности от минимального до максимального значения.

На рисунке 33 приведена схема последовательного колебательного контура, пере стройку резонансной частоты которого можно выполнять как с помощью конденсатора пе ременной емкости C1, так и с помощью вариометра L1. При исследовании АЧХ последова тельного колебательного контура внутреннее сопротивление генератора синусоидальных ко лебаний должно быть как можно меньше. Для уменьшения внутреннего сопротивления генератора использован делитель напряжения на резисторах R1, R2. На рисунках 34 и 35 по казаны зависимости выходного напряжения последовательного колебательно контура на строенного на одну и ту же резонансную частоту двумя способами: на рисунке 34 емкость конденсатора максимальна, а индуктивность катушки минимальна, а на рисунке 35 емкость конденсатора минимальна, а индуктивность катушки максимальна. Из сравнения рисунков 34 и 35 видно, что добротность контура максимальна при максимальной индуктивности ка тушки.

Физика, математика Для исследования влияния провода литцендрат на резонансные свойства фильтра с последовательным колебательным контуром собирается экспериментальная установка по схеме рисунка 1, принципиальная схема четырехполюсника приведена на рисунке 36. На ри сунке 36 показана схема контура для случая, когда выходное напряжение снимается с кон денсатора. Катушка индуктивности намотана проводом литцендрат, имеющим 10 проводни ков, диаметр каждого из которых 0,1 мм. Из сравнения рисунков 37 и 38 видно, что доброт ность колебательного контура больше, если используются все проводники провода литцендрат.

Последовательный колебательный контур можно использовать двумя способами. Вы ходное напряжение контура можно снимать либо с конденсатора, либо с катушки индуктив ности. На рисунках 39, 40 приведены результаты моделирования фильтра с последователь ным колебательным контуром в программе Еlectronics Workbench. Активное сопротивление катушки выбрано большим, чтобы продемонстрировать смещение максимума в амплитудно частотной характеристике фильтра. В фильтрах с параллельным колебательным контуром увеличение активного сопротивления контура приводит к уменьшению резонансной частоты.

В последовательном колебательном контуре смещение резонансной частоты зависит от спо соба подключения контура. На рисунке 39 показана АЧХ последовательного контура для случая, когда выходное напряжение снимается с конденсатора. В этом случае максималь ное выходное напряжение получается на частоте 49,3939 кГц. Расчет показывает, что резо нансная частота по току равна 50,3547 кГц.

Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) На рисунке 40 показана АЧХ последовательного контура для случая, когда выходное напряжение снимается с катушки индуктивности. Максимальное выходное напряжение по лучается на частоте 51,4141 кГц, а резонансная частота по току равна 50,3547 кГц.

Таким образом, резонансная частота фильтра получается выше резонансной частоты по току, если выходное напряжение снимается с катушки индуктивности.

На рисунке 41 приведены результаты расчета в программе Serpik Graphs зависимостей от частоты напряжений и тока в последовательном колебательном контуре. На этом рисунке использованы следующие обозначения: Uc – зависимость выходного напряжения последова тельного колебательного контура от частоты, снимаемого с конденсатора;

UL - зависимость выходного напряжения последовательного колебательного контура от частоты, снимаемого с катушки индуктивности;

IR - зависимость от частоты в последовательном колебательном контуре. Параметры контура выбраны такими, как и при моделировании в программе Еlectronics Workbench. Напряжение на выходе генератора установлено 1 В.

Если выходное напряжение снимается с конденсатора, то выходное напряжение контура Uc при приближении частоты к нулю стремится к напряжению на зажимах источника. Если вы ходное напряжение снимается с катушки индуктивности, то выходное напряжение контура UL при стремлении частоты к бесконечности стремится к напряжению на зажимах источника. Ак Физика, математика тивное сопротивление контура выбрано значительным, чтобы смещение резонансных частот на пряжений Uc, UL было заметным.

Активное сопротивление последовательного колеба тельного контура определяется в основном активным со противлением катушки индуктивности. Для исследования зависимости активного сопротивления катушки индуктив ности от частоты собирается экспериментальная установка по схеме рисунка 42. Для уменьшения выходного сопротив ления генератора использован делитель напряжения на ре зисторах R1, R2. Исследовалась катушка индуктивности на 220 В от универсального школьного трансформатора.

Вольтметр V1 (В3-38А) измеряет напряжение на входе последовательного колебательного контура. Вольтметр V2 (В3-38А) измеряет напряжение на резисторе Rэт, что позволяет оп ределить ток в последовательном контуре. Сопротивление контура определялось на резо нансной частоте, которая изменялась конденсатором C1. Получились следующие значения сопротивления катушки индуктивности для разных частот:

f, кГц 18 26,5 R, Ом 29 56 Собственную емкость катушки индуктивности Ck определить достаточно просто, по строив график зависимости квадрата периода собственных колебаний от емкости C подклю чаемого конденсатора T2=42L(C+Ck). Для построения графика достаточно определить точки.

На рисунках 43, 44 показаны возможности моделирования затухающих колебаний в контуре с помощью программы Еlectronics Workbench. Для возбуждения колебаний в конту ре используются прямоугольные импульсы напряжения с относительной длительностью им пульсов 0,001, подаваемые в контур через полупроводниковый диод. Относительная дли тельность импульсов – это отношение длительности импульса к периоду следования им пульсов.

Резонансные частоты и активные сопротивления контуров в обоих случаях одинако вы, однако, характер затухания колебаний в контурах разный. Для контура на рисунке 43 ем Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) кость конденсатора равна 10 нФ, а индуктивность катушки 1 мГн. Для контура на рисунке емкость конденсатора равна 1 нФ, а индуктивность катушки 10 мГн.

Из сравнения рисунков 43 и 44 следует, что чем больше индуктивность катушки при одной и той же резонансной частоте контура, тем медленнее затухают колебания в контуре.

При увеличении активного сопротивления контура колебания затухают быстрее.

A schematic diagram of a linearly changing voltage generator is given. It is assigned to work with the generator MXG 9802A. The influence of the internal resistance of the sinusoidal oscillation generator is examined as well as the influ ence of the load resistance upon resonant properties of the oscillatory circuit. The influence of the material and shape of the reel core upon the circuit properties is analyzed. The results of the oscillatory circuit modeling using Еlectronics Workbench program are given.

The key words: a linearly changing voltage generator, generator MXG-9802A, oscillatory circuit, Electronics Work bench program.

Об авторе В.А. Иноземцев – канд. физ-мат. наук, доц., Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, bryanskgu@ mail.ru.

УДК 512. НЕКОТОРЫЕ -ВЕЕРНЫЕ ФОРМАЦИИ - ДЛИНЫ Д.Г. Коптюх, М.В. Бут В данной работе приводятся некоторые виды -веерных формаций, имеющих -длину 3, 0, где 0– направление -полной формации.

Ключевые слова:

-веерная формация, спутник -веерной формации, направление -веерной формации, -длина -веерной формации.

Физика, математика В теории формаций конечных групп одним из важных направлений исследования яв ляется изучение строения формаций, обладающих короткими цепями подформаций с теми или иными свойствами (см. [1], § 5.3). В работе [2] А.Н. Скибой было введено понятие длины формации. Приведём его в следующем виде. Пусть - полная модулярная решётка форма ций конечных групп, 0 – ноль решетки. Будем говорить, что -формация F0 имеет -длину n (обозначим l(F)=n), если существует такая совокупность -формаций F0, F1,..., Fn, что F0=0, Fn=F и Fi-1 - максимальная -подформация формации Fi, i=1,...,n. Если – ре шётка всех формаций конечных групп, то будем говорить о длине формации F и обозначать через l(F), причем F0 =. Аналогичный смысл вкладывается в понятие l-длины локальной формации F, с-длины композиционной формации F (0l=0c=(1)) и –длины -веерной фор мации F. В работе [3] исследовались формации длины 3, в работе [2] – локальные формации l-длины 5. Композиционные формации с-длины 3 изучены в [4]. Описание строения -расслоенных формаций с направлением, имеющих -длину 3 дано в работе [5]. Моду лярность решётки -веерных формаций следует из леммы 1[5] и теоремы 4 [6].

В настоящей работе мы приводим некоторые виды -веерных формаций, имеющих -длину 3, 0, т.е. таких -веерных формаций F с направлением, что в F существует цепочка -веерных подформаций с направлением (1)F2F3=F, где Fi-1 – максималь ная -веерная подформация с направлением формации Fi, i=1,2,3. Будем обозначать длину -веерной формации F через l(F). Все рассматриваемые группы предполагаются конечными.

Для удобства читателей приведем некоторые необходимые определения. Пусть – непустое подмножество множества простых чисел. Через О(G) обозначается G - радикал группы G, Scр – класс всех групп, у которых каждый главный р-фактор централен, Fcp – Scp радикал группы G. Функция f : {}{формации конечных групп} называется F-функцией. Формация F(f, )=(G:G/O(G) f() и G/G(p)f(p) для всех р(G)) назы вается -веерной формацией с F-спутником f и направлением [8]. Формация F(f,) на зывается -полной (-центральной) формацией или, коротко, А-формацией (Z формацией), если (р) = Gр ((р) = Scp) для любого простого р [6,8]. Неединичная формация F=F(f, ) называется минимальной -веерной формацией с направлением, если она не содержит собственных -веерных подформаций с направлением, кроме (1) и [9]. Обо значения и определения, не приведенные в работе, можно найти в [1, 7].

Лемма 1. Если F=F(A B, ), где А Zp, B Zq, p, q тогда -веерная формация F с, направлением, для 0 3, где 0 и 3 – направления -полной и -центральной фор маций соответственно, имеет -длину 3.

Доказательство. Обозначим G=АB. Пусть F – формация из условия, f-минимальный F–спутник формации F. По теореме 5[9] f(')=form(G/O(G)), f(p)=form(G/G(p)),для всех p(А) и f(q)=form(G/G(q)), для всех q(B), f(r)=, если r\(G).

Так как G – -группa, то O(G)=G и f(')=form(G/O(G))=(1). Кроме того, (А), q (B).

formG, для всех p f(p)=form(G/G(p))formG, f(q)=form(G/G(q)) Пусть F1 – некоторая максимальная -веерная подформация формации F с направле нием и f1 – минимальный F-спутник формации F1. Тогда по следствию 5.1[8] f1 f.

Пусть =0. Тогда f(p)=form(G/G 0 (p))=form(G/Gp')=formA и f(q)=form(G/G 0 (q))=form(G/Gq')=formB, f(r)=, если r\(G).

Так как f1('), то f1(')=f(')=(1). Допустим, что f1(p)=f(p), тогда А formA=f(p)=f1(p) 1, т.е. АF1.

F Если при этом f1(q)=(1), то найдется группа HF1 такая, что q(Н). Из строения f1(q) следует, что Н – q-группа. Поэтому, B Q(H)F1, следовательно, BF1. Итак, Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) {A, B}F1 и F=F(A B,)F{A, B}F1, что невозможно. Значит, f1(q)=, для всех q p.

Рассмотрим формацию H=F(А, 0) с минимальным F-спутником h. По теореме 5[8] h(')=form(A/O(A)), h(p)=form(A/Ор(А)), (A), q p.

и h(q)=, для всех p Так как А – р-группа, то h(')=(1), h(p)=formA.

Получили, что f1(с)=h(с) для всех с{}, значит f1=h и F1=H. В силу леммы 3[9] l(F1)=2, и, значит, по определению, l(F)=3.

Пусть =3. Тогда f(p)=form(G/G (p))=form(G/Fzp(G))=(1) и f(q)=form(G/Fzq(G))= =(1), f(r)=, если r\(G).

По лемме 1[9] f1('), следовательно, f1(')=f(')=(1). По условию f1f.

Пусть f1(p)=(1) и f1(q)=. Рассмотрим формацию H=ZF(А) с минимальным Z-спутником h. По теореме 5[8] h(')=form(A/O(A))=form(A/Op(A))=(1), h(p)=form(A/A(p))=form(A/ Fzp(A))=(1) и h(q)=, для всех q\{p}.

В силу строения f1 получили, что f1=h. Значит, F1=H. По следствию 4[9] l(F1)=2 и, по определению, l(F)=3.

Так как во всех случаях получили, что F1 – единственная максимальная -веерная подформация с направлением, где 0 3, формации F, то F имеет -длину 3. Лемма доказана.

Лемма 2. Если F=АF(АB), где А и B – неизоморфные простые -группы, то l(F)=3.

Доказательство. Обозначим G=АB. Пусть F – формация из условия, f-минимальный А-спутник формации F. Пусть F1 - максимальная -веерная подформация формации F с направлением и f1 - минимальный F-спутник формации F1. Тогда по следствию 5.1[8] f f.

По следствию 5.2[8] f(')=form(G/O(G)), (А) f(p)=form(G/Op'(G)), для всех p и f(q)=form(G/Oq'(G)), для всех q(B), f(r)=, для всех r \(G).

Так как G – -группa, то f(')=form(G/O(G))=(1). Так как f1(') по лемме 1[9] и f1f, то f1(')=f(')=(1).

Если А и В – абелевы группы, то l(F)=3 по лемме 1.

Если АZp, B–неабелева р'-группа, то f(p)=form(G/Op'(G))=formA, для всех p(А) (B), f(q)=form(G/Oq'(G))=formB, для всех q \(G).

f(r)=, для всех r Допустим, что f1(p)=f(p). Тогда А formA=f(p)=f1(p) 1, то есть А 1.

F F Так как f1f и f1(')=f(')=(1), f1(p)=f(p)=formА, то f1(q) f(q). Пусть f(q)=(1), тогда най (Н). Из строения f1(q) следует, что Н-q-группа. Значит, дется такая группа HF1, что q Q(H) 1, следовательно, B 1. Таким образом, {A, B} 1,что невозможно. Значит, f1(q)=, F F F B для всех q p.

Рассмотрим формацию H=АF(А) с минимальным А-спутником h. По теореме 5[8] h(')=form(A/O(A)), h(p)=form(A/О p ' (А)) (A), q p.

и h(q)=, для всех p Так как А – р-группа, то h(')=(1), h(p)=formA. Получили, что f1(с)=h(с) для всех с {'}, значит f1=h и F1=H. В силу леммы 3[4] l(F1)=2 и, по определению, l(F)=3.

Если А Zp, B – неабелева рd-группа, то Физика, математика (А), q (B), f(p)=formG, f(q)=formB, для всех p f(r)=, для всех r\(G).

Если f1(p)=f(p), то G1(p) 1 и F=АF(G) 1, что невозможно. Значит f1(р) f(р). Пусть F F f (B). Так как f1(р) f1(q)=f(q)=formB, для всех q f(р)=formG и F1-максимальная подформа ция в F, то f1(р) может быть равен либо formА, либо formB. Если f1(р)=formА и f1(q)=formB, для всех q p, f1(')=(1), f1(r)=, для всех r \(G), то получим, что А1(p) 1 и В1(q)F1.

F f f Таким образом, {A, B} 1 и F 1, F F \(G).

что невозможно. Значит, f1(p)=formB, f1(q)=formB, f1(')=(1), f1(r)=, для всех r Рассмотрим формацию H=АF(B) с минимальным А-спутником h. По теореме 5[8] h(')=form(B/O(B))=(1), h(p)=form(B/О p ' (B))=formB (B), q p.

и h(q)=, для всех p Так как f1=h, то H=F1=АF(B). В силу леммы 3[9] l(F1)=2 и по определению l(F)=3.

Если А и B – неабелевы группы, то их порядки имеют по крайней мере один общий (А)(B), q (A)\(B), тогда делитель – 2. Пусть p f(p)=form(G/Op'(G))=formG, f(q)=form(G/Oq'(G))=formA, f(l)=form(G/Ol'(G)) для всех l(B)\(A), и f(r)=, для всех r\(G).

Если f1(p)=f(p), то formG=f(p)=f1(p) 1, и F=АF(G) 1, F F G (A)\(B). Так как что невозможно. Значит, f1(р) f(р). Пусть f1(q)=f(q)=formА, для всех q f1(р) и F1-максимальная подформация формации F, то f1(р) может быть равен либо formА, f(р) либо formB. Если f1(р)=formА и f1(q)=formA, f1(l)=formB, f1(r)=, то получим, что А1(p) 1 и В1(l) 1.

F F f f Таким образом, {A, B} 1 и F 1, F F что невозможно. Следовательно, так как ВF1, то l(A). Значит, f1(l)=(1), f1(p)=formA, для \(A), f1(')=(1), f1(r)=, для всех r \(A).

всех p Рассмотрим формацию H=АF(А) с минимальным А-спутником h. Получили, что f1(с)=h(с) для всех с {'}, значит f1=h и F1=H. В силу леммы 3[9] l(F1)=2 и, по определе нию, l(F)=3.

Если f1(l)=f(l)=formB, то, рассуждая аналогично, получим F1=H=АF(B) и l(F)=3 по определению.

Так как во всех случаях получили, что F1 – единственная максимальная -веерная подформация формации F, то F имеет -длину 3. Лемма доказана.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.