авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |

«Вестник Брянского государственного университета. № 4 (2008): Математика. Физика. Биология. Химия. Брянск: РИО БГУ, 2008.160 с. Редакционная коллегия ...»

-- [ Страница 2 ] --

Лемма 3. Если F=F(АB,), где A и В – простые неизоморфные '-группы, 0, тогда -веерная формация F с направлением имеет -длину 3.

Доказательство. Обозначим G=АB. Пусть F – формация из условия, f-минимальный F-спутник формации F. По теореме 5[8] f(')=form(G/O(G)), f(p)=form(G/G(p)), для всех p(G) и f(q)=, если q\(G).

Так как A и B – '-группы, то G=АB – '-группа и O(G)=1. Следовательно, f(')=form(G/O(G))=form G, и f(p)= для всех p.

Пусть F1 – максимальная -веерная подформация формации F с направлением и f1 – минимальный F-спутник формации F1. Тогда по следствию 5.1[8] f1 f.

Так как f1 f и по лемме 1[9] f(p)=f1(p)= для всех p, то f1(')f('). Значит, f1(')formG=f(').

Если {A, B} ('), то Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) f(')=formG form(A,B)f1('), т.е. f (')f1('), что невозможно. Значит, либо (A)1('), либо (B)1('). Если f1(')=formA, то, так как между f f f(') и f1(') нет подформаций, содержащих А, то formА – максимальная подформация в f(').

Рассмотрим -веерную формацию H=F(A,), =0. Пусть h - минимальный F-спутник формации H. Тогда по теореме 5[9] h(')=formA и h(p)=, для всех р.

Получили, что f1=h и F1=H.

В силу леммы 3[9] l(F1)=2, и, значит, по определению, l(F)=3. Лемма доказана.

The purpose of the present paper is to give a description of some kinds -fibered formations with -length 3, 0, where 0 denote the direction of -absolute formation.

The key words:

-fibered formation;

satellite of -fibered formation;

direction of -fibered formation;

-length of -fibered formation.

Список литературы 1. Скиба А.Н. Алгебра формаций. Мн.: Беларуская навука, 1997. 240 с.

2. Скиба А.Н. О локальных формациях длины 5 // В кн.: Арифметическое и подгруп повое строение конечных групп. Наука и техника, Минск, 1986, 135-149.

3. Ведерников В.А. Формации конечных групп с дополняемыми подформациями длины 3 // Вопросы алгебры. Минск: Университетское, 1993. Вып. 6. С.16-21.

4. Ведерников В.А., Коптюх Д.Г. Композиционные формации с-длины 3 // Дискрет ная математика. 2001. Т.13, вып.1. С.119-131.

5. Ведерников В.А., Коптюх Д.Г. -расслоенные формации конечных групп -длины 3 // Сборник научных трудов математического факультета МГПУ. М.: МГПУ, 2005. с. 164-175.

6. Ведерников В.А. О новых типах -веерных формаций и классов Фитинга // Украiнський математичний конгрес - 2001. Алгебра i теорiя чисел. Працi. Киiв. 2002. С. 36 45.

7. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978. 267 с.

8. Ведерников В.А., Сорокина М.М. -веерные формации и классы Фиттинга // Матем.

заметки. 2002. Т. 71, 1. С.43- 60.

9. Коптюх Д.Г., Нестерова Н.А. Строение некоторых минимальных -веерных фор мациях // Вестник Брянского Государственного Университета.№ 4 (2007). Брянск: РИО БГУ, 2007. С.21–26.

Об авторах Д.Г. Коптюх – канд. физ-мат. наук, доц., Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, Diana_gk@mail.ru.

М.В. Бут – Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, bryanskgu@ mail.ru.

УДК 512. О МИНИМАЛЬНЫХ -РАССЛОЕННЫХ КЛАССАХ ФИТТИНГА Д.Г. Коптюх, О.А. Хомякова В данной статье получено описание минимальных -расслоенных классов Фиттинга на отрезке от свободного до -композиционного;

описание минимальных -канонических классов Фиттинга.

Физика, математика Ключевые слова:

-расслоенный класс Фитинга, спутник -расслоенного класс Фитинга, направление расслоенного класс Фитинга.

Для удобства читателя приведем используемые определения и обозначения. Пусть G – класс всех конечных групп, I – класс всех простых конечных групп, – непустой подкласс класса I. K(G) — класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы G. Если K(G), то G называется -группой. Через G обозначают множество всех групп, полагают, что 1G. Пусть АI. Тогда GА = G (А), GA' = GI\(A). Главный фактор H/K группы G называется главным А-фактором, если K(H/K)=(А). Пусть SсА – класс всех тех ко нечных групп, у которых каждый главный А-фактор централен;

SсА-радикал группы G обо значается через FA(G). О(G) и О',(G) – соответственно G-корадикал и G’G -корадикал группы G.

Все рассматриваемые функции принимают одинаковые значения на изоморфных группах из их области определения. Функция f : {'}{классы Фиттинга групп} назы вается R-функцией;

функция : I{непустые формации Фиттинга}, принимающая одина ковые значения на изоморфных группах из I, называется формационно-радикальной функци ей, или коротко, FR-функцией. Если f – R-функция и – FR-функция, то класс Фиттинга R(f,)=(G: O(G)f(') и G(A)f(A) для всех А K(G)) называется -расслоенным классом Фиттинга. Класс Фиттинга F=R(f,) называется -свободным (-каноническим [2], -композиционным [9]), если (A)=GА'((A)=GAGA', (A)=ScA) для любого АI, и обознача ется Rr(f) (KR(f), СR(f)). Класс Фиттинга F=R(f,) называется -биканоническим [9], если (A)=GA' для любой неабелевой группы АI и (A)= GAGA' для любой абелевой группы АI, и обозначается BR(f). Обозначим направления -свободного, -биканонического, канонического и -композиционного классов Фиттинга соответственно через 0, 1, 2 и 3.

На множестве R всех FR-функций определено [2] отношение частичного порядка. Для лю бых,R полагают, если (A)(A) для любого АI. Используемые обозначения и определения, не приведенные в работе, можно найти в книгах [3, 4, 6, 7, 8].

Определение 1. Неединичный класс Фиттинга F=R(f, ) называется минимальным -расслоенным классом Фиттинга с направлением, если он не содержит собственных расслоенных подклассов Фиттинга с направлением, кроме (1) и.

Лемма 1. Пусть В=R(b, ), где b – минимальный R-спутник класса Фиттинга B, – произвольное направление. Тогда и только тогда b(')=, когда B =.

Доказательство. Пусть B=, тогда по лемме 10[2] класс Фиттинга В является расслоенным классом Фиттинга для некоторого непустого класса I. Тогда в силу строе ния класса Фиттинга В по теореме 10[2] b(') =.

Пусть теперь b(')=. Допустим, что В, тогда 1 В и по теореме 10[2] 11/(1) b('), значит, b('). Противоречие. Таким образом, B=. Лемма доказана.

Лемма 2. Если F=R(A, ), где 0 и АI\, то класс Фиттига F является минималь ным -расслоенным классом Фиттинга с направлением.

Доказательство. Пусть F – класс Фиттинга из условия, f – минимальный R-спутник класса Фиттинга F. Пусть F1 – максимальный -расслоенный подкласс Фиттинга с направ лением класса Фиттинга F и f1 — минимальный R-спутник класса Фиттинга F1. По след ствию 10.1[2] f1f. По теореме 10[2] f(')=fit(O (A)), f(B)=fit(A(B)) для всех BK(А) и f(В)= при В\(А). Так как А, то О(А)=A. Следовательно, f(')=fitA. Так как f1f и f1(B)=f(В)= для всех В, то f1(')f('). Если f1(')=, то по лемме 1 F1=.

Пусть f1(')=(1). Рассмотрим класс Фиттинга H=(1). По лемме 10[2] H является расслоенным классом Фиттинга для любого направления. Обозначим через h минимальный R-спутник класса Фиттинга H. Тогда h(В)= В и h(')=fit(1)=(1). В силу строения f имеем, что f1=h и F1=H=(1). Таким образом, мы получили, что (1) – максимальный Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) расслоенный подкласс Фиттинга с направлением класса Фиттинга F. Это означает, что F является минимальным -расслоенным классом Фиттинга с направлением, 0. Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть F=R(A, ), А – простая -группа, 0 3, где 0 и 3 - направле ния -свободного и -композиционного классов Фиттинга соответственно. Тогда F является минимальным -расслоенным классом Фиттинга с направлением.

Доказательство. Пусть F – класс Фиттинга из условия, f – минимальный R-спутник класса Фиттинга F. По теореме 10[2] f(')=fit(O (A)), f(B)=fit(A(B)) для всех BK(А) и f(В)=, если В\(А).

Пусть F1 – максимальный -расслоенный подкласс Фиттинга с направлением класса Фиттинга F и f1 — минимальный R-спутник класса Фиттинга F1. По следствию 10.1[2] f1f.

Так как А — -группа, то O (A)=1 и f(')=fit(1)=(1). Кроме того, f(А)=fit(A(A))fit(A) и f(В)=, если В\(А). Если f1()=, то по лемме 1 F1=, что невозможно. Поэтому f1(). Тогда по следствию 10.1[3] f1()=f()=(1).

Пусть =0. Тогда f(А)=fit(OA(A))=fitA и f1(B)=f(B)= для любого В\(А). Допус тим, что f1(А)=f(А). Тогда Аf(А)=f1(А)F1 и F=FrR(A)F1, что невозможно. Значит, f1(А)f(А).

Если f1(А)=(1), то найдется группа F1 такая, что АК(). Так как F1F, то К(F1)К(F)=(A) и, значит, (А)К(Н)К(F1)(A) и К(Н)=(A). Тогда А является нижним ком позиционным фактором группы Н и, следовательно, ASn(Н). Это по определению класса Фиттинга означает, что АF1. Противоречие. Поэтому f1(А)=. Если f1()=(1), то, как и при доказательстве леммы 2, можно показать, что F1=(1).

Пусть =3. Если А – неабелева группа, то FA(A)=1 и f(A)=fit A. Рассуждая, как и в случае =0, получим, что f1(А)= и F1=(1). Если А – абелева группа, тогда f(А)=fit(A3(A))=fit(FA(A))=fit(1)=(1). Если f1(А)=f(А)=(1), то 1=FA(A)f1(А) и АF1 и F=СR(A)F1, что невозможно. Значит, f1(А)f(А) и f1(А)=. Таким образом, F1=(1).

Так как во всех случаях получили, что (1) – максимальный -расслоенный подкласс Фиттинга с направлением класса Фиттинга F, где 0 3, то F является минимальным -расслоенным классом Фиттинга с направлением. Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть F – непустой -расслоенный класс Фиттинга с направлением, где 0 3, где 0 и 3 - направления -свободного и -композиционного классов Фитинга соответственно. Тогда и только тогда F является минимальным -расслоенным классом Фиттинга с направлением, когда F=R (А, ), где А – простая группа.

Доказательство. Необходимость. Пусть F – минимальный -расслоенный класс Фит тинга из условия, f – минимальный R-спутник класса Фиттинга F. По определению (1)F.

Выберем группу А минимального порядка из F\(1). Если у A есть собственная нормальная подгруппа N, то NF и |N||A|, следовательно, всилу выбора группы A, N=1. Это означает, что А – простая группа. Значит, (1)R(А, )F. Отсюда и из минимальности формации F, получаем F=R(А, ), где 0 3.

Достаточность. Пусть F = R(А, ), для 0 3, А — простая группа. Если А, то F является минимальной -расслоенным классом Фиттинга с направлением по лемме 2.

Если А – простая -группа, то по лемме 3 F является минимальным -расслоенным классом Фиттинга с направлением. Теорема доказана.

Лемма 4. Если F=КR(А), где А – некоторая простая группа, то класс Фиттинга F яв ляется минимальным -каноническим классом Фиттинга.

Доказательство. Пусть F – класс Фиттинга из условия. Если А – простая -группа, то O (А)=1, OA,A(A)=1. Пусть f – минимальный К-спутник класса Фиттинга F, тогда по след ствию 10.4[2] f(')=fit(O (A))=(1) и f(A)=fit(OA,A(A)=(1).

Физика, математика Пусть F1 – максимальный -расслоенный подкласс Фиттинга с направлением класса Фиттинга F и f1 — минимальный R-спутник класса Фиттинга F1. По следствию 10.1[2] f1f.

Если f1()=, то по лемме 1 F1=, что невозможно. Поэтому f1(). Тогда по следствию 10.1[2] f1()=f()=(1). Рассуждая, как и при доказательстве леммы 3, получим f1(А)= и F1=(1).

Таким образом, (1) – единственная максимальный -канонический подкласс Фиттин га F, следовательно, F является минимальным -каноническим классом Фиттинга. Лемма доказана.

Теорема 2. Пусть F – непустой -канонический класс Фиттинга. Тогда и только тогда F является минимальным -каноническим классом Фиттинга, когда F=КR(А), где А – про стая группа.

Доказательство. Необходимость. Пусть F – класс Фиттинга из условия, f – минималь ный К-спутник класса Фиттинга F. По определению (1)F. Выберем группу А минималь ного порядка из F\(1). Если у A есть собственная нормальная подгруппа N, то NF и |N||A|, следовательно, всилу выбора группы A, N=1. Это означает, что А – простая группа. Значит, (1)КR(А)F. Отсюда и из минимальности класса Фиттинга F, получаем F=КR(А).

Достаточность. Пусть F=КR(А), А — простая группа. Если А, то F является ми нимальной -каноническим классом Фиттинга по лемме 2.

Если А – простая -группа, то по лемме 4 F является минимальным -каноническим классом Фиттинга. Теорема доказана.

The purpose of the present paper is to give a description of minimal -foliated Fitting classes on segment from -free till -composition;

description of minimal -canonical Fitting classes.

The key words:

-foliated Fitting class;

satellite of -foliated Fitting class;

direction of -foliated Fitting class.

Список литературы 1. Ведерников В. А., Сорокина М. М. - веерные формации и классы Фиттинга ко нечных групп // Матем. заметки. 2002. Т. 71, 1. С.43- 60.

2. Ведерников В. А., Сорокина М. М. -расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп // Дискретная математика. 2001. Т.13, 3. С. 125-144.

3. Ведерников В.А., Коптюх Д.Г. Композиционные формации с-длины 3 // Дискрет ная математика. 2001. Т.13, вып.1. С.119-131.

4. Скиба А. Н. Алгебра формаций. Мн.: Беларуская навука, 1997. 240 с.

5. Ведерников В.А., Коптюх Д.Г. Композиционные формации с-длины 3 // Дискрет ная математика. 2001. Т.13, вып.1. С.119-131.

6. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978. 267 с.

7. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука, 1989.

256 с.

8. Doerk K., Нawkes T. Finite soluble groups. Walter de Gruyter, Berlin - New York, 1992.

889 p.

9. Vedernikov V.A. Maximal satellites of -foliated formations and Fitting classes // Pro ceed. of the Steklov Institute of Mathematics. Suppl. 2. 2001. P.217-233.

Об авторах Д.Г. Коптюх – канд. физ-мат. наук, доц., Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, Diana_gk@mail.ru.

О.А. Хомякова – Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, bryanskgu@ mail.ru.

Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) УДК 536. ВЛИЯНИЕ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОГО ОТЖИГА НА ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ -ОБЛУЧЕННЫХ КРИСТАЛЛОВ LiF и CaF П.А. Попов, А.И. Коваленко В интервале температур 50-300 К экспериментально исследована теплопроводность подвергнутых высокотем пературному отжигу предварительно -облученных монокристаллов LiF (2х106 рад, 2х108 рад) и CaF2. (1х рад). В результате отжига величина теплопроводности обоих образцов LiF восстановилась почти до предшест вующей облучению. В случае кристалла CaF2 отжиг не привел к увеличению теплопроводности. Различия в поведении двух фторидных составов связаны с особенностями методик выращивания монокристаллов и раз личной способностью LiF и CaF2 к диффузии ионов фтора и гидроксильных групп.

Ключевые слова: теплопроводность, высокотемпературный отжиг, -облученные монокристаллы.

При создании мощных лазерных систем особое значение имеет высокая теплопровод ность k оптического материала. Нелегированные монокристаллы дифторида кальция CaF (флюорит) и фторида лития LiF обладают высокой теплопроводностью. Однако для получе ния лазерной генерации используются не матричные (химически чистые) кристаллы, а либо легированные, либо имеющие вследствие, например, облучения, центры окраски (F-центры).

Как показали предыдущие исследования, проведенные в БГУ [1], легирование редкоземель ными элементами кристаллов с флюоритовой структурой чрезвычайно сильно снижает их теплопроводность в широком диапазоне температур, а -облучение кристаллов LiF проявля ется как дефектообразование рэлеевского типа – существенно снижает теплопроводность в области низких температур [2]. Специальная методика получения стабилизированных F центров окраски [3] обеспечивает длительный срок службы монокристаллов фтористого ли тия в качестве активных элементов лазеров при комнатной температуре.

Целю настоящей работы было исследование влияния старения -облученных образцов LiF и CaF2, ускоренного посредством высокотемпературного отжига, на такую структурно чувствительную характеристику материала, как теплопроводность.

Объектами исследования служили два образца LiF и один CaF2, получившие дозы облучения, равные 2х106, 2х108 и 1х107 рад соответственно. Кристаллы LiF были выращены в атмосфере воздуха методом Киропулоса. Характеризация и результаты исследования теп лопроводности -облученных образцов LiF, использованных в настоящей работе, сообща лись ранее в [2]. Монокристаллы CaF2 были выращены методом Бриджмена в многоканаль ном графитовом тигле в герметичной установке в атмосфере CF4. Об исследованной в БГУ теплопроводности исходных (достаточно чистых по химическому составу и малодефектных по структуре) образцов CaF2 сообщалось в [1, 4]. Кристаллы LiF имели вследствие облучения коричневую окраску разной интенсивности, а CaF2 - синюю. Исследуемые материалы полу чены от проф. Федорова П.П. (Центр лазерных кристаллов Института Общей Физики РАН).

Теплопроводность измерялась абсолютным стационарным методом продольного теп лового потока [5]. Расстояние между датчиками температуры составляло 20 мм. Погреш ность определения величины теплопроводности не превосходила 5% во всем исследованном интервале температур T=50-300 К. Воспроизводимость результатов была не хуже 3%. По следняя величина определяет возможности методики в плане сравнения близких по характе ристикам образцов, она отображена на рис.1 – 4 вертикальными рамками.

Методика проведения отжига Отжиг исследуемых кристаллов проводился в атмосфере воздуха в муфельной печи, температура которой задавалась высокоточным регулятором температуры ВРТ–2 со штат Физика, математика ным усилителем постоянного тока. Для управления температурой печи использовалась пла тина–платинородиевая термопара.

Оба образца LiF отжигались вместе. Процесс нагревания до температуры 490 оС длил ся 50 минут. При максимальной температуре образцы выдерживались в течение 6 минут.

Остывание кристаллов до комнатной температуры длилось 1 ч 50 мин.

Образец СаF2 нагревался до температуры 490 оС в течение 1 ч 20 мин. В процессе на гревания наблюдалась четко выраженная термолюминесценция. При температуре около 300 оС торец кристалла испускал ярко–голубой свет, а в области 350 оС излучение приобрело салатовый оттенок, затем зеленый. О подобном явлении в случае отжига -облученного дос таточно чистого кристалла CaF2 сообщалось в работе [7]. Выдержка образца при максималь ной температуре печи осуществлялась в течение 30 минут. Интенсивность термолюминес ценции при этом постепенно снижалась, упав к концу времени выдержки до визуально неоп ределимой величины. Охлаждение печи до комнатной температуры проходило в течение времени около 2 часов.

Все три исследуемых образца в результате отжига полностью обесцветились. Умень шения их прозрачности по отношению к эталонным (необлученным) образцам визуально не наблюдалось.

Экспериментальные результаты и их анализ Результаты измерений представлены в виде графиков температурной зависимости те плопроводности k(Т) на рис.1,2,4.

Рис.1. Сравнение теплопроводности исходного (1), -облученного дозой 2х106 рад (2) и затем отожженного (3) монокристаллов LiF Видно (рис.1), что в результате отжига теплопроводность образца с дозой облучения 2х106 рад во всем исследованном температурном интервале практически восстановилась до величины, соответствующей исходному кристаллу. В случае большей дозы облучения (рис.2) низкотемпературная теплопроводность в результате отжига также значительно повысилась, не достигнув, однако, теплопроводности исходного кристалла. Различие величин теплопро водности отожженного и исходного образцов в низкотемпературной области, наиболее чув ствительной к наличию точечных дефектов [6], доходит в этом случае до 32% (см. рис.3).

Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) Рис.2. Сравнение теплопроводности исходного (1), -облученного дозой 2х108 рад (2) и затем отожженного (3) монокристаллов LiF 0, 0, 0,3 0, 0, 0, 0, 0, 0 50 100 150 200 250 300 -0, Т,К Рис.3. Температурная зависимость относительной разности теплопроводности отожженного после -облучения дозой 2х108 рад (1), 2х106 рад (2) и исходного образцов LiF Вид графика температурной зависимости относительной разности теплопроводности отожженного после -облучения дозой 2х108 рад и исходного образцов LiF (кривая 1 на рис.3) позволяет сделать предположение о селективном в отношении температуры характере ин тенсивности фононного рассеяния на оставшихся после облучения и отжига дефектах кри сталлической решетки. Локальный максимум интенсивности такого рассеяния предположи тельно проявляется в области Т=120 К. С другой стороны, возможен эффект «залечивания» в результате отжига дефектов, имеющихся в исходном кристалле LiF, о чем может свидетель ствовать локальный минимум кривой (Т) в области T=90 К.

Физика, математика Рис.4 Сравнение теплопроводности исходного (1), -облученного дозой 1х107 рад (2) и затем отожженного (3) монокристаллов CaF Совершенно другой эффект наблюдается в случае кристалла CaF2 (рис.4). Промежу точная, по отношению к исследованным образцам LiF, доза -облучения монокристалла CaF вызвала более чем 6-кратное снижение его теплопроводности при Т=50 К. При комнатной температуре снижение теплопроводности составило величину порядка 6%. В результате же отжига теплопроводность не только не повысилась, но в области Т=50 К экспериментальные точки k(T) оказались на 4% ниже, чем для образца CaF2 в доотжиговом состоянии.

Рис.5. Кристаллическая структура фторида лития и дифторида кальция Такое различное влияние облучения и отжига на теплопроводность кристаллов LiF и CaF2 связано, по-видимому, с различиями кристаллической структуры этих соединений.

Кристаллическая решетка фтористого лития аналогична решетке NaCl, т.е. представляет со бой (рис.5) совокупность двух гранецентрированных кубических подрешеток, состоящих со ответственно из катионов Li+ и анионов F-. Элементарная ячейка флюорита состоит из четы рех формульных единиц CaF2. Структуру флюорита можно представить как кубическую плотнейшую упаковку катионов Ca2+, в которой все тетраэдрические позиции заняты немно го меньшими по размеру анионами F- (рис. 5). Структура флюорита достаточно рыхлая, она Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) содержит пустоты, например, в центре кубической ячейки или в середине ребра. Можно рас сматривать гранецентрированную подрешетку из таких пустот [8, 9].

Облучение -квантами кристаллов LiF и CaF2 вызывает образование вакансий ионов фтора с занятием этих вакансий электронами, что обеспечивает электрическую нейтраль ность кристалла. В результате высокотемпературного отжига в этих кристаллах происходят диффузионные процессы, приводящие к обратному занятию вакансий межузельными иона ми фтора. «Залечивание» дефектов закономерно [6] повышает (восстанавливает) теплопро водность кристаллического материала. Необходимо также иметь в виду возможность про никновения в выращенный во фторирующей атмосфере кристалл CaF2 гидроксильных групп OH- из воздуха при отжиге. А дополнительные дефекты кристаллической структуры отвеча ют за снижение теплопроводности в области низких температур [6]. Этого не должно проис ходить при отжиге уже содержащих такие включения кристаллов LiF (в работе [2] установ лено слабое снижение низкотемпературной теплопроводности LiF:OH- по сравнению с пере плавленным во фторирующей атмосфере и очистившимся от гидроксила образцом LiF).

Кроме того, диффузионные способности кристаллической структуры сравниваемых фтори дов по отношению к различным видам ионов также должны различаться. Наличие указанные выше пустот в структуре CaF2, а также соотношение постоянных решетки LiF и CaF2 и ион ных радиусов Li+, Ca2+ и F- определяют различные значения плотности упаковки LiF и CaF2, что в значительной мере влияет на особенности диффузионных процессов в этих кристаллах.

Заключение Итак, настоящая работа открывает новое для БГУ направление исследований – изуче ние теплопроводности термически обработанных кристаллических материалов, подвергну тых радиационному воздействию. В работе исследовано влияние высокотемпературного от жига на теплопроводность предварительно -облученных фторидных кристаллов с различ ными составами и структурой – LiF и CaF2. На будущее запланировано расширение исследований в данном направлении. Имеется соответствующая договоренность с техноло гами Института геохимии им. А.П. Виноградова Сибирского отделения Российской акаде мии наук (г. Иркутск). Полученные в настоящей работе экспериментальные результаты со общены представителям ИОФ РАН и используются в технических и технологических разра ботках.

In an interval of temperatures 50-300 К the thermal conductivity of subjected high-temperature annealing beforehand -irradiated monocrystals LiF (2х106 R, 2х108 R) и CaF2. (1х107 R) is experimentally investigated. In outcome annealing magnitude of a thermal conductivity of both samples LiF was restored almost up to preceding to an exposure. In case of crystal CaF2 annealing has not reduced in magnification of a thermal conductivity. Distinctions in behaviours of two fluoride structures are connected to singularities of monocrystals growth techniques and to various ability of LiF and CaF2 to a diffusion of fluorine ions and OH- groups.

The key words: thermal conductivity, high-temperature annealing, -irradiated monocrystals.

Список литературы 1. Blanchard F.N. Thermoluminescence of synthetic fluorite // The American mineralogist.

1967. vol.52. march-april, p. 371-379.

2. Basiev T.T., Mirov S.B., Osiko V.V. Room-temperature color center lasers // IEEE J. of Quantum Electronics, vol. 24, 1988, p. 1052-1069.

3. Sirota N.N., Popov P.A., Ivanov I.A. The thermal conductivity of monocrystalline gal lium garnets doped with rare–earth elements and chromium in the range 6 – 300 // Cryst. Res.

Technol. 1992. v.27. N4. p. 535- 543.

4. Попов П.А., Федоров П.П., Кузнецов С.В., Конюшкин В.А., Осико В.В., Басиев Т.Т.

Теплопроводность монокристаллов твердого раствора Ca1-xYbxF2+x // Доклады РАН, Т.419, 2008, №5, с. 615-617.

5. Басиев Т.Т., Конюшкин В.А., Кузнецов С.Ю., Осико В.В., Попов П.А., Федоров П.П.

Теплопроводность гамма-облученных монокристаллов LiF // Письма в ЖТФ, Т.34, 2008, вып.16, с.48- Физика, математика 6. Попов П.А., Дукельский К.В., Миронов А.Н., Смолянский П.Л., Федоров П.П., Оси ко В.В., Басиев Т.Т. Теплопроводность оптической керамики CaF2// Доклады РАН, Т.412, 2007, №2, с. 185-187.

7. Оскотский B.C., Смирнов И. А. Дефекты в кристаллах и теплопроводность. Л.

«Наука», 1972, с. 8. Ардашникова Е.И. Неорганические фториды Статьи Соросовского Образователь ного журнала в текстовом формате. Химия. 2000.

http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/1017.html 9. Жуков В.П., Зайнуллина. В.М. Расчет из первых принципов электронной структу ры кристаллов типа флюорита (CaF2, SrF2, BaF2 и PbF2) c френкелевскими дефектами. Ана лиз оптических и транспортных свойств //ФТТ. – 1998. Т.40, вып.11, с.2019-2025.

Об авторах П.А. Попов – канд. физ-мат. наук, доц., Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, tfbgubry@mail.ru.

А.И. Коваленко – студентка, Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, bryanskgu@ mail.ru.

УДК 512. К ТЕОРИИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП С.В. Путилов, А. В. Воронина, С. В. Гегеле, М. С. Ковалева, Е. М. Кабанова Устанавливается p-нильпотентность и дисперсивность конечной группы с заданными полунормальными под группами. Получены новые оценки нильпотентной -длины -разрешимой конечной группы и p-длины метас верхразрешимой конечной группы. Доказаны критерии включения определенной подгруппы в гиперцентр раз решимой конечной группы с нильпотентной холловой подгруппой.

Ключевые слова: конечная группа, полунормальная подгруппа, -длина, метасверхразрешимая группа, гипер центр.

Все рассматриваемые группы конечные. (G) – множество всех простых делителей порядка группы G. Согласно [1], подгруппа H группы G называется полунормальной в G, ес ли существует такая подгруппа K из G, что G=HK и HK1 – собственная подгруппа группы G для каждой подгруппы K1 из K, отличной от K. Подгруппу K называют супердобавлением к подгруппе H в группе G. Все необходимые обозначения и определения можно найти в [2]. Gp – силовская p-подгруппа группы G, p(G).

Под {q,p,r}-группой будем понимать конечную группу G порядка |G|=qpr, где q,p,r – простые числа, причем qpr, а также G=Q(PR), где Q=a, PR=b, |Q|=q, |P|=p, |R|=r, Q=G' – коммутант группы G.

Теорема 1. Пусть r – наименьший простой делитель порядка конечной группы G, а также для любого p(G)\{r} каждая p-подгруппа группы G полунормальна в G и P – силов ская p-подгруппа из G. Тогда P нормальна в G, когда в G нет секций изоморфных {q,p,r} группе.

Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) Доказательство. Пусть группа G – контрпример минимального порядка. Так как P – полунормальная подгруппа в группе G, то, по определению полунормальной подгруппы, G=PD и PK G, для любой подгруппы K из D, отличной от D. По лемме 2[1] D будет холло вой подгруппой в G. Кроме того, по лемме 1[1] подгруппа P полунормальна в произведении PK. Если |(G)|=2, то по лемме 3 [3] подгруппа P нормальна в группе G, что противоречиво.

Следовательно, |(G)|3.

Тогда подгруппа D отлична от Dr. Пусть Dr – ненормальная подгруппа в D. Ясно, что нормализатор Dr в D будет собственной подгруппой в D, а, следовательно, существует мак симальная подгруппа M в D, такая, что ND(Dr) M. По теореме I.7.6[2] подгруппа M ненор мальна в D. Поэтому в D существует максимальная подгруппа M1 сопряженная с M и |Dr| де лит |M1|. Поскольку D – супердобавление к P в G, то подгруппы PM и PM1 будут собствен ными подгруппами в G. Тогда по индукции подгруппа P нормальна в PM и P нормальна в PM1. Следовательно, подгруппы M и M1 содержатся в нормализаторе подгруппы P в группе G. Так как M отлична от M1, то D=M,M1 и D NG(P). Получим, что G=PD NG(P). Значит, P нормальна в G, что противоречиво.

Следовательно, Dr нормальна в D. Пусть Dt – силовская ti-подгруппа в D для i ti (G)\{r}. Так как Dt будет силовской ti-подгруппой в G, то Dt –полунормальная подгруп i i па в G. Тогда по лемме 1[1] Dt будет полунормальной в D. Поэтому D= Dt Di, где i i i {1,2,…,k}, k=|(D)\{r}|. Поскольку Di – холлова подгруппа в D и (ts,tm)=1 для любых s,m{1,2,…,k} с условием s m, то D=DsDm. Следовательно, произведения PDs и PDm будут собственными подгруппами в G. Значит, по индукции подгруппа P будет нормальной в PDs и P будет нормальной в PDm. Тогда группа G=PDsPDm будет содержаться в нормализаторе P в G, откуда подгруппа P нормальна в G. Таким образом, |(D)|=2.

Пусть (D)={r,q}. Если pq, то по лемме 3[3] P G. Поэтому pq и Dq G. Ясно, что Dr-собственная подгруппа в D. Поэтому в D существует максимальная подгруппа S, такая, что Dr S. Если S ненормальна в D, то существует подгруппа S1 сопряженная с S и |Dr| делит |S1|.

Проводя рассуждения аналогичные тому случаю, когда Dr ненормальна в D, придем к противоречию. Следовательно, подгруппа S нормальна в D. Кроме того, существует элемент xD\S, являющийся q-элементом.

Подгруппа T=PS собственная в G. Рассмотрим подгруппу K=PxA, где A Dr. Под группы xA и K существуют в G по условию теоремы. Подгруппа K будет собственной в G и удовлетворять условию теоремы, когда или x Dq, 1 A Dr или x=Dq, 1 A Dr.

Тогда по индукции подгруппа P нормальна в K. Так как D=x,S включается в нормализа тор P в G, то группа G=PD включается в NG(P). Значит, P G. Противоречие с выбором G.

Поэтому Dq=x, Dr=y и |Dq|=q, |Dr|=r. Кроме того, Dr=S и D=Dq Dr. Пусть P1 – максимальная подгруппа в P. Тогда по условию теоремы P1D-собственная подгруппа в G, откуда по индукции P1 нормальна в P1D. Тогда P1 нормальна в G. Рассмотрим факторгруппу G/P1, в которой по лемме 1[1] каждая p-подгруппа для pr будет полунормальной. Тогда по индукции P/P1 нормальна в G/P1, откуда P нормальна в G. Следовательно, в P нет истинных подгрупп, то есть P – циклическая группа и |P|=p.

Итак, группа G=P (QR), Q=Dq, R=Dr, |G|=qpr. По теореме IV 2.8 [2] подгруппа PQ нормальна в G. Так как факторгруппа G/PQ циклическая, то коммутант G' включа ется в PQ. По теореме IV 2.11 [2] коммутант G' будет циклической подгруппой G. То гда из равенства G'=PQ получим, что P G. Поэтому G'=Q. Поскольку G/Q= QPR/Q PR, то подгруппа PR абелева. Следовательно, PR- циклическая группа, откуда Физика, математика G=Q(PR), где Q=a, PR=b. Значит, G будет {q,p,r}-группой, что невозможно. Тео рема 1 доказана.

Следствие 1. Если выполняются все условия теоремы 1, то группа G будет r нильпотентной с нильпотентным r- дополнением.

Доказательство. По теореме 1 каждая силовская p-подгруппа группы G будет нор мальной подгруппой в G для любого p(G)\{r}. Поэтому их произведение будет нормаль ным нильпотентным r-дополнением в G. Следствие 1 доказано.

Следствие 2. Если в группе G выполняются все условия теоремы 1, то G дисперсивна по Оре.

Доказательство. Пусть (G)={p1, p2, p3, …, pk=r}, а также p1 p2 p3 …pk=r. Тогда по теореме 1 подгруппы G pi будут нормальными в G для i=1, 2, …, (k-1). Поэтому в G суще ствуют нормальные подгруппы G p1, G p1 G p2, G p1 G p2 G p3, …, G p1 G p2...G pk 1, которые образуют нормальный ряд группы G, факторы которого имеют порядки G pi, i=1, 2, …, k. Значит G дисперсивна по Оре. Следствие 2 доказано.

Теорема 2. Пусть M – максимальная подгруппа группы G. Если M – полунормальная подгруппа в G, то супердобавление к M в G будет циклической p-группой и G:M=p, p(G).

Доказательство. Пусть A – супердобавление к M в G и B A. Так как M полунор мальна в G, то MB G. Тогда из максимальности M, следует, что B M. Поэтому для любых различных максимальных подгрупп C и D из A верно, что C M, D M. Откуда, A=C, D M, что противоречиво. Значит, в A существует только одна максимальная подгруппа.

Тогда A – циклическая p-группа, для простого p(G). Так как A:B=p, где B – максималь ная подгруппа из A, то G:M= G/M= (MA)/(M AM)= A/ B= p. Теорема доказана.

Следствие 3. Если в конечной группе G каждая максимальная подгруппа полунор мальна в G, то группа G сверхразрешима.

Доказательство. По теореме 2 индекс каждой максимальной подгруппы в группе G равен простому числу из (G ). Тогда по теореме VI. 9.5 [2] группа G сверхразрешима. След ствие 3 доказано.

Определение. Конечная группа G называется метасверхразрешимой, если в G есть сверхразрешимая нормальная подгруппа, факторгруппа по которой сверхразрешима.

Теорема 3. Если G – конечная метасверхразрешимая группа, то lp(G)2 для наиболь шего простого делителя р порядка группы G.

Доказательство. Пусть G – метасверхразрешимая группа, N – нормальная сверхраз решимая подгруппа G, такая что G/N сверхразрешима и р – наибольший простой делитель порядка группы G.

Пусть р не делит |G/N|. Тогда Gp N. Поскольку подгруппа N сверхразрешима, то под группа Gp нормальна в N. Значит, Gp char N G, откуда Gp G. Поэтому lp(G)=1, что влечет lp(G)2.

Следовательно, р делит |G/N|. Так как группа G/N – сверхразрешима, то силовская р подгруппа GpN/N нормальна в G/N. Поскольку силовская р-подгруппа Np является характери стической в N, то Np нормальна в G и Np P=Op(G). Тогда можно построить нормальный ряд вида: 1=Е Р РN GpN G группы G. Найдем порядки его факторов (GpN)/(РN) и G/(GpN). Так как Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) Gp N N p Gp N p Gp N Gp G p N / NP = = = = N Gp N P NP P Np P G N Gp G :Gp G и G / Gp N =, то факторгруппа (GpN)/(PN) является р = = Gp N Gp N N :Np группой и факторгруппа G/(GpN) будет р-группой. Следовательно, lp(G)2, где р – наиболь ший простой делитель порядка группы G. Теорема 3 доказана Определим нильпотентную -длину - разрешимой конечной группы G. Пусть F(X) – подгруппа Фиттинга группы X и P0n = 1, N in / Pi n = O (G / Pi n ), Pi +1 / N in = F (G / N in ), i=1, 2,.. Тогда наименьшее k, для n которого в ряде 1 = P0n N 0n P1 N 1n... выполняется равенство N kn = G, называется ниль n потентной -длиной -разрешимой группы G и обозначается через ln (G ). Всегда l (G ) ln (G ), где l (G) – -длина -разрешимой группы G. Если = {p}, p-простое число, то ln (G ) = l (G ) = l p (G ). Равенство l (G ) = ln (G ) сохраняется также для -разрешимой группы с нильпотентной -холловой подгруппой.

Теорема 4. Пусть G – -разрешимая конечная группа. Если коммутант -холловой под для ( F (G )), то группы группы G является -разложимой группой ln (G ) 1 + max p l p (G ).

Доказательство. Допустим, что теорема неверна, и группа G – контрпример минимально го порядка. В соответствии с леммой 1 и леммой 7 из [4] условия теоремы 4 наследуются фактор группами группы G. Тогда по лемме 2[4] справедливы отношения O ' (G) = Ф(G) = 1, и в группе G существует единственная минимальная нормальная самоцентрализуемая подгруппа F = P1n = Oq ', q (G ) для некоторого простого q. Поэтому F включается в -холлову под группу H группы G.

Пусть К – коммутант -холловой подгруппы H. По условию теоремы подгруппа К будет разложимой. Так как F=F(G) и ( F ) = {q}, то = {q}. Поэтому К=QD, где Q – силов ская q-подгруппа группы К. Поскольку подгруппа D характеристическая в К, и К характери стическая в H, то D характеристическая в H. Значит, подгруппа D нормальна в H. Из того, что ( D, F ) = 1 следует включение подгруппы D в централизатор F, который совпадает с F, что противоречиво. Следовательно, подгруппа D единичная. Тогда K=Q. Таким образом, подгруппа К является q-группой, что влечет абелевость силовских р-подгрупп группы G, для любого простого p \ {q}. Поэтому по теореме VI. 6.6 из [2] справедливо l p (G ) = 1 для всех p \ {q}, откуда следует отношение max p l p (G ) = l q (G ).

Пусть F – силовская подгруппа группы G. Тогда в факторгруппе G/F -холлова под группа H /F абелева и по лемме 4 [4] ln (G / F ) = 1. Поэтому ln (G ) 2 1 + max p l p (G ), что противоречит выбору группы G.

Значит, F не является силовской подгруппой группы G. Тогда l q (G ) = l q (G / F ) + 1. Да лее по индукции получаем, что ln (G ) = ln (G / F ) + 1 1 + max p l p (G / F ) + 1 = 1 + l q (G / F ) + 1 = 1 + (l q (G ) 1) + 1 = = 1 + l q (G ) = 1 + max p l p (G ).

Итак, ln (G ) 1 + max p l p (G ),что противоречиво. Следовательно, контрпримера к теореме 4 не существует. Теорема 4 доказана.

Физика, математика Следствие 4 (теорема 2 [4]). Если G – -разрешимая группа, у которой коммутант холловой подгруппы нильпотентен, то ln (G ) 1 + max p l p (G ) Теорема 5. Пусть N – нормальная подгруппа разрешимой конечной группы G, в кото рой -холлова подгруппа нильпотентна для =(N). Подгруппа N включается в гиперцентр Z (G) группы G тогда и только тогда, когда порядок факторгруппы G/CG(N) делится только на простые числа из (N).

Доказательство. Необходимость. Пусть N Z (G) и Q – силовская q-подгруппа группы G, где q - простое число с условием, что (q, |N|)=1. Так как N включается в Z (G), то подгруппа NQ обладает возрастающим центральным рядом. Следовательно, NQ будет ниль потентной группой. Тогда Q CG(N). Поскольку это справедливо для всех силовских q подгрупп таких, что (q, |N|)=1, то |G/CG(N)| делится только на простые числа из (N).

Достаточность. Пусть |G/CG(N)| делится только на простые числа из (N) и S – любая -холлова подгруппа в группе G. Тогда G=CG(N)·S. Обозначим Nt=Zt(S) N. Так как [Nt, G]= [Nt, CG(N)·S]= [Nt, S] N [Zt(S), S] N Zt-1(S)= =Nt-1, то образуют подгруппы Nt центральную цепь в группе G. Следовательно, NtZt(G). Поэтому для подходящего целого k справедливо N=NkZk(G)Z(G). Теорема доказана.

Теорема 6. Пусть в разрешимой конечной группе G -холлова подгруппа нильпо тентна. Тогда и только тогда гиперцентр Z(G) содержит -подгруппу Н группы G, когда O(G)CG(H).

Доказательство. Необходимость. Пусть HZ(G). Тогда из нильпотентности и нор мальности Z(G) в G следует, что НG будет -группой в Z(G). Поэтому по теореме O(G)CG(HG), откуда O(G)CG(H).

Достаточность. Пусть O(G)CG(H). Поскольку O(G) – нормальная подгруппа в G, то O(G)=( O(G))xCG(H)x=CG(Hx) для любого элемента х из G. Следовательно O(G) СG(HG). Пусть S – -холлова подгруппа из G, которая содержит Н. Тогда G= O(G)·S=CG(H)·S.

Поэтому HG=Hg | gG=Hca | cСG(Н), aS=Ha | aSS. Применяя теорему 5 полу чим, что HHGZ(G). Теорема 6 доказана.

It is established p-nilpotency and dispersible finite group with the set seminormal subgroups. New estimations nilpotent -lengths -solvable finite group and p-lengths metasupersolvable finite group are received. Criteria of inclusion of a certain subgroup in the hypercenter solvable finite group with nilpotent Hall a subgroup are proved.

The key words: finite group, seminormal subgroup, -length, metasupersolvable group, hypercenter.

Список литературы 1. Монахов В.С. Конечные группы с полунормальной холловой подгруппой // Мат.

Заметки. 2006. Т. 80, Вып. 4. С. 573-581.

2. Huppert B. Endliche Gruppen. I.: Springer 1967. 793 s.

3. Монахов В.С., Подгорная В.В. Конечные группы с полунормальными нецикличе скими силовскими подгруппами // Известия ГГУ им. Ф. Скорины. 2004. Т. 6, Вып. 27. С. 50 54.

4. Монахов В.С. Шпырко О.А. О нильпотентной -длине конечной - разрешимой группы // Дискретная математика. 2001. Т. 13, Вып. 3. С. 145-152.

Об авторах С.В. Путилов – канд. физ-мат. наук, доц., Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, algebra@brgu.ru.

А.В. Воронина, С.В. Гегеле, М.С. Ковалева, Е.М. Кабанова – магистры 6 курса, Брян ский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, annet_v32@mail.ru, g-svetulya@mail.ru.

Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) УДК 517.956. О ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПО ВРЕМЕНИ РЕШЕНИЯХ НЕЛИНЕЙНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ НА ОТРЕЗКЕ И.А. Рудаков Доказано существование счетного числа периодических по времени решений квазилинейного волнового урав нения с переменными коэффициентами и однородными граничными условиями 3-го рода на концах отрезка в случае, когда нелинейное слагаемое имеет степенной рост.

Ключевые слова: волновое уравнение, оператор Даламбера, периодические решения, критические точки функ ционала, задача Штурма-Лиувилля.

Рассматривается задача p( x) utt ( p ( x ) u x ) x + g ( x, t, u ) = 0, 0 x, t R;

(1) u (0, t ) h1u x (0, t ) = u (, t ) + h 2 u (, t ) = 0, (2) u ( x, t, +T ) = u ( x, t ), (3) Здесь T = 2, a, b N, (a, b ) = 1, h 1, h 2 есть положительные числа.

b a Существует много работ, в которых изучается задача (1)-(3) с постоянными коэффи циентами ( p ( x ) 1 ) и с однородными граничными условиями Дирихле h 1 = h 2 = 0. Отметим, например, работы [1] – [5]. В работах [6] – [9] исследуется задача (1)-(3) с постоянными ко эффициентами и с однородными граничными условиями 3-ого рода и Дирихле. В работе [10] исследуются классические решения задачи (1), (2) с граничными условиями Неймана и Ди рихле. В [11] рассмотрено волновое уравнение с переменными коэффициентами и нулевыми граничными условиями Дирихле, когда нелинейное слагаемое g имеет степенной рост по u.

В работе [12] доказано существование периодического решения задачи (1)-(3), если функция g имеет не более, чем линейный рост по u и удовлетворяет условию отсутствия резонанса.

В данной работе приводится доказательство теоремы, из которой вытекает существование счетного числа решений задачи (1)-(3), когда нелинейное слагаемое имеет степенной рост по u.

Заметим, что уравнение более общего вида (z ) utt (µ (z ) u z )z + h (z, t, u ) = (s ) z x= можно привести к виду с помощью замены При этом (1) ds.

µ (s ) µ g (x, t, u ) = h (z (x ), t, u ), p = µ.

Предположим, что функция g непрерывна на [0, ] R 2, T-периодична по t, не убывает по u и (4) A3 | u |r 1 A4 g ( x, t, u ) A1 | u |r 1 + A2, x, t, u, (5) где A1, A 2, A 3, A 4, r есть положительные числа такие, что A3 A r 2,. (6) 2 r Пусть функция p( x ) удовлетворяет следующим условиям:

p С 2 [0, ], p (x ) d 0, = min p (x ) 0. (7) [ 0,ъ Физика, математика 1 p 1 p p ( x) =. Этим условиям удовлетворяет, например, функция Здесь 2 p 4 p p( x ) = (c1, x + c 2 ), если с1, c2 1. Предположим, что выполнены также следующие усло вия:

p ' (0) p ' ( ),. (8) p (0 ) p ( ) h h Решение задачи (1) будем искать в виде ряда Фурье. Для построения ортонормированной системы рассмотрим задачу Штурма-Лиувилльля:

( p x )x = p2, (0) h1 (0) = ( ) + h2 ( ) = 0.

Известно, что собственные значения этой задачи простые, положительные и поэтому обо значены 2. Обозначим через { n (x )}, { n } последовательности собственных функций и = [0, ] (R / TZ ). Рассмотрим собственных значений такие, что n +. Обозначим пространство Lr ( ) с нормой r || u ||r = | u |r p( x ) dx dt и пространство L2 ( ) со скалярным произведением ( f, g ) = f g p( x ) dx dt.

Система функций n ( x ), n ( x ) cos mt, n ( x )sin mt 2 a 2 a = T T b T b является полной ортонормированной в L2 ( ) системой собственных функций волнового оператора.

Определим оператор A0 : L2 ( ) L2 ( ) такой, что:

N M D ( A0 ) = n (x ) a nm cos b mt + bnm sin b mt N, M N, a nm, b nm R, a a n = 1 m= A0 = p tt ( p x ) x D ( A0 ). Обозначим D ( A0 ) и пусть A0 = A и p A = A0 в L2 ( ). Числа * a µ nm = n m b являются собственными значениями A0 и A, соответствующие собственным функциям enm = n ( x ) cos mt, enm = n ( x ) sin mt.

a a c s b b Определение. Обобщенным решением задачи (1) –(3) называется T - периодическая по t функция u L r ( ) такая, что u A 0 dx dt + g ( x, t, u ) dx dt = 0 D ( A 0 ).

Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) Теорема. Пусть выполнены условия (4) – (8) и либо g ( x, t,u ) = g ( x, t, u ) x, t, u, либо функция g не зависит от t. Тогда d 0 существует обобщенное решение u Lr ( ) задачи (1) –(3) такое, что || u ||r d.

Доказательство.

Для n справедливо ([12]) асимптотическое представление: n = n 1 + n, где 1 0 c n c1 n N.

n n Выразим 2 2 a a µ nm = n m = (n 1)2 m + 2(n 1) n + n.

b b M = {(n, m ) N Z + µnm 0, b (n 1) am }, Обозначим 2 n 1 = n ( x ) cos (n 1) t, n (x ) sin (n 1) t n, N, Т T a 2 n ( x ) cos mt, n (x ) U n (x ) sin mt (n, m ) M, m 0, a 2 a 2 = Т T T b b N 1 = N ( A), N 2 = L ( 1 ) - замыкание в L2 ( ) конечных линейных комбинаций функций из 1, N 3 = L ( 2 ). Заметим, что на N 2 собственные значения оператора A равны 2 (n 1) n + n [1, 2 ], ( ), где 1= min c0, 1 2 = 2с1 + с12. Введем конечномерное подпространство E n = N 1 N 2 n N 3 n, где N 2 n, N 3n есть соответственно линейные оболочки множеств k 1 k (x ) cos (k 1) t, n ( x ) sin ( k 1) t N, k n, a k (x ) cos m t, k (x )sin mt (k, m ) M, k, m n.

a a b b Рассмотрим на E n функционал u F (u ) = ( A u, u ) + G ( x, t, u ) dx dt, где G (x, t, u ) = g (x, t, s ) ds.

2 Доказательство теоремы проведем, опираясь на метод Файрайсла [4], и разобъем на две части:

1. Доказательство существования критических точек F E n.

2. Предельный переход 1. Представим Еn = Gc Lс, где Gc, L c есть линейные комбинации собственных функций оператора A с собственными значениями соответственно большими или не мень шими с. Из условия (5) выведем A3 u A4 u G ( x, t, u ) A1 | u |r + A 2 | u | x, t, u.

1 r r r Поэтому для любого действительного c 0 и любой функции u G c получим F (u ) 1 A c || u ||2 + 3 || u || r A5 || u ||L1 A6 || u ||r | c | || u ||2 A 7 || u ||.

r 2 r Физика, математика Обозначим h ( ) = A 6 r | c | 2 A7. Функция h ( ) ограничена снизу и h( ) + при +. Поэтому существует m(c ) = min h( ) 1. Следовательно, [0, + ) F (u ) m (c ) u GC. (9) Разложим функцию u E n в ряд Фурье:

a n ( x ) a nm cos mt + bnm sin mt.

a u= b (n, m ) N Z + b Обозначим ( ) s |||u |||s = µnm a nm + bnm.

2 (n, m )N Z + r2 r r 2( r 1), 2( r 1) и обозначим = 2 r. Используя неравен Возьмем число ство Хаусдорфа-Юнга и Гельдера, выведем:

|| u ||r C1 |||u ||| u H 3n. (10) { } Обозначим S n = u E n |||u ||| = 1.

Лемма 1. Для любого действительного числа d существует число w ( d ) 0 такое, что F (u ) d u { v L w (d ) |||v ||| = 1}.

Доказательство.

Пусть w 0. На H 2 n собственные значения А положительные. Следовательно, L H 3n.

Пусть u L I S n, a mk, bmk есть коэффициенты Фурье функции u. Тогда найдется кон станта С 0 такая, что ( ) F (u ) 1 A µ mk a mk + bmk + r1 | u |r dx dt + A2 | u | dx dt 2 2 (m, k )m (a ) 1 1 + bmn + С |||u |||r + С |||u ||| | w |1 |||u |||2 + C = | w |1 + C µ mk µ mk 2 ?

mk 2 2 при | w |. Отсюда вытекает утверждение леммы.

Возьмем произвольное c 0. Зафиксируем число c1 (c ) такое, что Lc1 L (c ) (L L (c ) ). Обозначим (с ) = min (m(c1 ), c 1).

c Докажем, что на отрезке [ (c ), c] есть критическое значение F. Предположим про En тивное. Тогда стандартно (см. [4]) доказывается существование непрерывного отображения h : E n E n такого, что h ({ u | F (u ) c} ) { u | F (u ) (c )} и h является нечетным отображением, если g нечетно относительно u, или h (u(, t + ) = h (u )(, t + ) [0, T ].

Пусть P : En Lc1 есть ортогональный проектор в L2 ( ). Докажем, что P h (u ) 0 u S n I L (c ). (11) Предположим противное, то есть существует u0 S n I L (c ) такое, что P h (u0 ) = 0. Тогда h (u0 ) G (c ) Gc1, так как с1 (c ). Отсюда и (9) следует F (h (u0 )) m (c1 ). (12) Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) F (u0 ) c. Следовательно, С другой стороны, поскольку u0 L (c ) I S n, имеем F (h (u0 )) (c ) m(c1 ). Это противоречит (12). Следовательно, верно (11). Но P h есть не четное отображение сферы в L (c ) на подпространство меньшей размерности. Но если функ ция g нечетна относительно u, то это противоречит теореме Borsuk-Ulam ([13]), если функция g не зависит от t, то это противоречит S 1 версии теоремы Borsuk-Ulam ([13]).


Таким образом, существует критическая точка u n функциональна F такая, что En F ( u n ) [ (c ), c], то есть ( Aun, w) + g (x, t, u n ) w dxdt = 0 w En, (13) (с ) ( Aun, un ) + G (x, t, un ) dxdt c.

(14) 2 и положим w = un :

Умножим (13) на ( A un, un ) + 1 g ( x, t, un ) un dxdt = 0.

2 Вычтем отсюда (12):

1 (c ) g (x, t, un ) un G ( x, t, un ) dxdt c.

2 Из (4)-(6) выведем:

( ) A 1 1 A | u | r 4 + A2 | u | B u g x, t, u n G ( x, t, un ) A1 + A3 | u |r + 2 + A4 | u | + B.

2 2 r 2 Следовательно, существуют константы C 1, C 2 0 такие, что || u n ||r C, (15) || un ||r + C || un ||r + C C 1 | c |.

r Поскольку || un ||r + 1 | un ||r, то отсюда выведем:

r C || un ||r ( | c | 2).

. (16) r C + 2. Переход к пределу при n. Из (15) следует существование подпоследователь ности такой, что u n u в L r ( ), g (x, t, un ) h в L q ( ) слабо.

r Здесь q =. Докажем что u есть решение (обобщенное).

r Пусть u n = u1n + u 2 n + u 3n, u = u1 + u 2 + u 3 ;

u k, ukn N k, к = 1,2,3. Тогда u kn u k слабо в L 2 (), k {1,2,3 }.

На N 2 оператор А ограничен. Следовательно, A u2 n A u 2 слабо в L2 ( ). Дейст вительно, для любого L2 () имеем:

( )( ) ( A u2n, ) = A u2 n, 2 = u2n, A 2 ( u2, A 2 ) = ( A u2, ).

Пусть a n, b n, a 0, b 0 есть коэффициент Фурье u n и u соответственно:

mk mk mk mk a 2 a u, m ( x ) cos k t, bmk = u, m ( x ) sin k t, a m 0 = (u, m ( x )), bm 0 = 0.

2 a mk = b T b T T Физика, математика ( ) + (b ). Возьмем R 2c + c µmk amk 2 n JR = n Обозначим и mk 1 µ mk R n a a sgn (µ mk ) m ( x ) a mk cos kt + bmk sin kt.

w= n b d µ mk R Подставим w в (13). Используя (10) и неравенство Гельдера, выведем J R = g ( x, t, un ) w dx dt || g (x, t, un ) || q || w || r C C1 || w || = ( ) + (b ) µmk an C 2 n = C C1 mk JR.

1 mk µmk µ mk R R Следовательно, C JR 0 при R.

R Отсюда следует ( ) ( )) ()() µ mk a n 2 + bmk 2 = lim ( A u3n, u3n )= µmk a mk + bmk.

02 n lim n (m, k )M mk (m, k )M n Перейдем к пределу при n в (13) при фиксированном w E n0 :

( Au2, w) + (u3, Aw) + hw dx dt = 0. (17) Докажем, что h = g ( x, t, u ) методом монотонности. Для любого элемента v L r () I D ( A) имеем :

( A v2 A u2 n, v2 u2 n ) + (g (x, t, v ) g ( x, t, un )) (v un ) dx dt 0. (18) Положим в (13) w = un Из (16) выведем (( ) 2 + ( bmk ) 2 ).

lim ( A u2 n, u2n ) + g (x, t, un ) un dx dt = µ mk amk 0 (19) n (m, k ) Подставим в (17) w = un и устремим n :

( Au2, u2 ) + hu dx dt = µmk ( ( amk ) 2 + ( bmk ) 2 ).

0 (m, k )M Отсюда из (19) получим lim ( A u2n, u2 n ) + g ( x, t, un ) un dx dt = ( Au2, u2 ) + hu dx dt. (20) n Перейдем в (18) к пределу при n :

( A v2 A u2, v2 u2 ) + (g ( x, t, v ) h )(v u ) dx dt 0.

Возьмем v = u +, 0, L r I D ( A) :

( A, 2 ) + (g (x, t, u + ) h ) dxdt 0.

Устремим 0 :

(g (x, t, u ) h ) dx dt 0 L r () I D ( A).

Следовательно, h = g (x, t, u ). Отсюда и (17) следует, что u является слабым решением.

Оценка || u || r d вытекает из (5), (15), (20). Теорема доказана.

Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) Замечание. Если h1 = 0, или h2 = 0 и b является нечетным числом, то так же, как в [9] доказывается, что найденное решение u С ( ).

The existence of a enumerable set of time-periodic solutions of a quasilinear wave equation with nonconstant coeffi cients and homogeneous boundary 3 kaind conditions on the interval is proved when the nonlinear term has power-law growth.

The key words: wave equation, d’Alembert operator, time-periodic solutions, critical points of the functional, Sturm Liouville problem.

Список литературы 1. Brezis H., Nirenberg L. Forced vibration for a nonlinear wave equations // Comm. Pure Aple. Math. 1978. V. 31, No 1. P. 1-30.

2. Rabinowitz P. Free vibration for a semilinear wave equation // Comm. Pure Aple. Math. 1978. V 31, No 1. P. 31-68.

3. Плотников П.И. Существование счетного множества периодических решений зада чи о вынужденных колебаниях для слабо нелинейного волнового уравнения // Мат. Сб. -1988.

Т. 136(178), N4(8). С. 546-560.

4. Feireisl E. On the existence of periodic solutions of a semilinear wave equation with a superlinear forcing term // Chechosl. Math. J 1988. V 38, No 1. P. 78-87.

5. Рудаков И.А. Нелинейные колебания струны// Вести. Моск. Ун-та.,Сер.1. Матем.

Механ. 1984, № 2. С. 9-13.

6. Рудаков И.А. Периодическое по времени решение уравнения вынужденных колеба ний струны с однородными граничными условиями // Дифференциальные уравнения.2003 Т.

39, № 11, С. 1556-1561.

7. Рудаков И.А. Нетривиальное периодическое решение нелинейного волнового урав нения с однородными граничными условиями // Дифференциальные уравнения. 2005 Т. 41, № 10, С. 1392-1399.

8. Рудаков И.А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с одно родными граничными условиями // Известия РАН. Математика. 2006. № 1. С. 173-184.

9. Рудаков И.А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с одно род-ными граничными условиями // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, Вып. 5. С. 189-201.

10. Рудаков И.А. Периодическое по времени решение нелинейного волнового уравне ния с граничными условиями Неймана и Дирихле// Известия Вузов. Математика. 2007. N. 2.

С. 46-55.

11. Рудаков И.А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с непо сто-янными коэффициентами // Математические заметки. 2004. Т. 76, вып.3. С. 427-438.

12. Рудаков И.А. Периодические решения квазилинейного волнового уравнения с пе ре-менными коэффициентами // Математический сборник. 2007. Т. 198. N 7. С. 91-108.

13. Fadell E.R., Husseini S.Y., Rabinowitz P.H. Borsuk-Ulam theorems for arbitrary S 1 ac tions and applications // Trans. Amer. Math. Soc. 1982. V. 274. № 1. P. 345-360.

Об авторе И.А. Рудаков – канд. физ-мат. наук, доц., Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, rudakov_bgu@mail.ru.

Физика, математика УДК 512. О ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПОДГРУППОВЫХ X-ФУНКТОРОВ М.М. Сорокина, М.А. Корпачева Рассматриваются только конечные группы. Пусть X – некоторый непустой класс групп. Отображение, выде ляющее в каждой группе GX некоторую непустую систему (G) ее подгрупп, называется подгрупповым X функтором (подгрупповым функтором на X), если ((G))=(G) для любого изоморфизма каждой группы GX. В книге С.Ф. Каморникова, М.В. Селькина «Подгрупповые функторы и классы конечных групп» [1] на множестве всех подгрупповых X-функторов введена операция умножения. В настоящей работе установлены свойства произведений подгрупповых X-функторов.

Ключевые слова: конечная группа, класс групп, подгрупповой функтор на классе, произведение подгрупповых функторов, решетка.

Теория подгрупповых функторов как самостоятельное направление в рамках теории групп берет свое начало в работах Р. Бэра «Classes of finite groups and their properties» [2] и Б.И. Плоткина «Радикалы в группах, операции на классах групп и радикальные классы» [3].

Особенно интенсивно теория подгрупповых функторов стала развиваться в последние годы, что обусловлено обнаружением тесной связи между подгрупповыми функторами и классами групп, то есть множествами, содержащими вместе с каждой своей группой G и все группы, изоморфные G. Так, например, А.Н. Скибой в монографии «Алгебра формаций» [4] метод подгрупповых функторов применен к изучению свойств локальных формаций, замкнутых относительно систем подгрупп, выделяемых подгрупповыми функторами. В [1] приведена классификация подгрупповых функторов и разработаны связи функторов с различными классами групп. На этом пути были выделены многие важные виды подгрупповых функто ров. Приведем определения функторов, рассматриваемых в настоящей работе. Пусть X – не пустой класс групп. Подгрупповой X-функтор называется транзитивным, если для любой X-группы G из того, что K(H) и H(G)X, всегда следует, что K(G). Подгрупповой X функтор называется эпиморфным, если для любых групп А,ВX и любого эпиморфизма группы А на группу В выполняется равенство ((А))=(В). Эпиморфный подгрупповой X функтор называется регулярным подгрупповым X-функтором (или X-функтором Скибы), если выполняются следующие два условия:

1) для любых групп А,ВX и любого эпиморфизма группы А на группу В справед ливо включение ((B)) (A);

2) G(G) для любой группы GX.

Подгрупповой X-функтор называется решеточным, если для любой X-группы G из H,K(G) всегда следует, что HK(G) и H,K(G). Пусть – решеточный подгруп повой X-функтор. Подгрупповой X-функтор называется -идеальным X-функтором, если для любой X-группы G множество (G) является идеалом решетки (G), то есть (G)(G) и для любой X-группы G выполняются следующие два условия:

1) если A(G), X(G) и XA, то X(G);

2) если A(G), B(G), то A,B(G).

Подгрупповой X-функтор называется -фильтрующим X-функтором, если для любой X группы G множество (G) является фильтром решетки (G), то есть (G)(G) и для любой X-группы G выполняются следующие два условия:

Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) 1) если A(G), X(G) и AX, то X(G);

2) если A(G), B(G), то AB(G) [4].

В книге [1] на множестве F(X) всех подгрупповых X-функторов следующим образом вводится операция умножения. Пусть 1 и 2 – подгрупповые X-функторы, причем 2 – X замкнутый подгрупповой X-функтор, т.е. 2(G)X, для любой X-группы G. Подгрупповой X функтор, сопоставляющий каждой группе GX множество (G)={K | K1(H), где H2(G)}, называется произведением подгрупповых X-функторов 1 и 2, и обозначается 12. Настоящая работа посвящена исследованию свойств произведений подгрупповых X функторов. Напомним, что запись 1=2 ( 12 ) означает, что 1(G)=2(G) ( 1(G)2(G) ) для всех GX. Обозначения и определения, используемые далее без ссылок, можно найти в [1, 4].


Лемма 1. Пусть X – непустой класс групп, и – X-замкнутые подгрупповые X функторы. Если – регулярный подгрупповой X-функтор, то и.

Доказательство. Пусть GX. Покажем, что (G)()(G). Пусть K(G). В силу ре гулярности подгруппового X-функтора, имеем K(K). Теперь из K(K) и K(G), по оп ределению операции, получаем K()(G). Тем самым установлено, что.

Покажем, что (G)()(G). Пусть K(G). Ввиду регулярности подгруппового X функтора, имеем G(G). Тогда из K(G) и G(G), по определению операции, получа ем, что K()(G), и значит,. Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть X – непустой класс групп, – решеточный X-замкнутый подгруп повой X-функтор, – транзитивный регулярный -идеальный X-замкнутый подгрупповой X-функтор. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) и ;

2) Если – регулярный подгрупповой X-функтор, то ==.

Доказательство. 1) Пусть GX. Покажем, что ()(G)(G). Пусть K()(G). То гда существует H(G) такая, что K(H). Поскольку и – X-замкнутые подгрупповые X функторы, то HX, KX. Так как – регулярный подгрупповой X-функтор, то H(H). То гда из H(H), K(H), KH, ввиду -идеальности подгруппового X-функтора, следует, что K(H). Поскольку H(G)X и – транзитивный подгрупповой X-функтор, то K(G).

Таким образом, ()(G)(G) для всех GX, и поэтому.

Покажем, что ()(G)(G). Пусть A()(G). Тогда существует B(G) такая, что A(B), причем A,BX. Поскольку является регулярным подгрупповым X-функтором, то G(G) и, ввиду -идеальности, из G(G), B(G) и BG следует B(G). Тогда, как и выше, в силу транзитивности подгруппового X-функтора, получаем A(G). Тем самым установлено, что ()(G)(G) для всех GX, и значит,.

2) Пусть – регулярный подгрупповой X-функтор. Тогда по лемме 1 и.

Отсюда, используя утверждение пункта 1), получаем ==. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть X – непустой класс групп, – транзитивный решеточный X замкнутый подгрупповой X-функтор, – -фильтрующий X-замкнутый подгрупповой X функтор. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) и ;

2) Если – регулярный подгрупповой X-функтор, то ==.

Физика, математика Доказательство. 1) Пусть GX. Покажем, что ()(G)(G). Пусть A()(G). Тогда существует B(G)X такая, что A(B), AX. Поскольку (B) – фильтр решетки (B), то (B)(B), и значит, A(B). Тогда из A(B) и B(G)X, в силу транзитивности подгруп пового X-функтора, получаем A(G). Тем самым установлено, ()(G)(G) для всех GX, и значит,.

Покажем, что ()(G)(G). Пусть K()(G). Тогда существует H(G)X такая, что K(H), KX. Так как (G) – фильтр решетки (G), то (G)(G), и значит, H(G). По скольку K(H), H(G)X и – транзитивный подгрупповой X-функтор, то K(G). Таким образом, ()(G)(G) для всех GX, и поэтому.

2) Пусть – регулярный подгрупповой X-функтор. Тогда по лемме 1 и.

Отсюда, используя утверждение пункта 1), получаем ==. Теорема доказана.

Замечание. Для наследственного класса X всякий подгрупповой X-функтор является X-замкнутым. Поэтому в случае, когда X – наследственный класс групп, условие X замкнутости подгрупповых X-функторов и в лемме 1 и теоремах 1, 2 можно опустить.

Only finite groups are considered. Let X be non-empty class of groups. A function mapping each group G from X onto a certain non-empty system (G) of its subgroups is called a subgroup X-functor (or else a subgroup functor on X), if ((G))=(G) for any isomorphism of every group G from X. In the book of S.F. Kamornikov, M.V. Selkin [1] was determined an operation of multiplication on the set of all subgroup X-functors. In this paper some properties of products of subgroup functors are obtained.

The key words: a finite group, a class of groups, a subgroup functor on a class, a product of subgroup functors, lat tice.

Список литературы 1. Каморников С.Ф., Селькин М.М. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. Минск: Беларуская навука, 2003. 254 с.

2. Baer R. Classes of finite groups and their properties // Collog. Math., 1957. V. 1. P. 115 187.

3. Плоткин Б.И. Радикалы в группах, операции на классах групп и радикальные классы // Избранные вопросы алгебры и логики: Сборник, посв. памяти А.И. Мальцева. Но восибирск: Наука, 1973. С. 205-244.

4. Скиба А.Н. Алгебра формаций. Минск: Беларуская навука, 1997. 240 с.

Об авторах М.М. Сорокина – канд. физ-мат. наук, доц., Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, mmsorokina@yandex.ru.

М.А. Корпачева – канд. физ-мат. наук, доц, Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, sirserg3000@mail.ru.

Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) УДК 512. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА С ИТЕРАЦИОННЫМ УТОЧНЕНИЕМ И ПЕРЕМЕННЫМ ШАГОМ С.В. Трубников Предложен новый численный метод решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: численный метод, задача Коши, обыкновенное дифференциальное уравнение, переменный шаг.

Введение Значительную часть прикладных математических задач составляют краевые задачи для дифференциальных уравнений. Поэтому одной из центральных проблем современной прикладной математики является разработка и исследование численных методов решения подобных краевых задач. Этой проблеме посвящена обширная литература (см., например, библиографию в [1], [2] и [3]). В статье [5] описан новый подход к построению численных методов решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, основанный на аппроксимации приближенного решения с помощью кусочно-полиномиальной интерпо ляции многочленами Эрмита, а также на принципе минимизации невязки. С помощью этого подхода был построен новый численный метод для решения задачи Коши, названный ис правленным методом Эйлера с итерационным уточнением, который можно отнести к итера ционно-разностным методам. В нем используется сетка с постоянным шагом. В данной ста тье описан новый численный метод с переменным шагом сетки и описана процедура автома тического выбора узлов сетки, обеспечивающих заданную точность. Этот метод также относится к итерационно-разностным методам.

1. Составная функциональная кинематическая кривая и ее свойства Кинематические кривые введены и описаны в статье [4]. Функции, задающие состав ные кинематические кривые, представляют собой результат кусочно-многочленной интерпо ляции многочленами Эрмита 5 порядка с двумя трехкратными узлами. Уравнение составной кинематической кривой на плоскости xOy можно записать в виде:

2 r = r (t ) = T j5 (t i + 1) Q j i 1 + T j5 (t i + 1) Q5 j i при t [i 1, i ], i = 1, 2, K, m. (1) j =0 j = Q j i = Qx j i i + Q y j i j ( j = 0,1,2, i = 0,1, K, m ) Здесь m - заданное натуральное число, заданные векторы, T j5 (t ) - интерполяционные многочлены Эрмита 5 порядка [2], которые можно записать в виде:

T0 (t ) = 1 10t 3 + 15t 4 6t 5, T15 (t ) = t 6t 3 + 8t 4 3t 5, T2 (t ) = t 2 t 3 + t 4 t 5, 1 3 3 5 2 2 2 T35 (t ) = t t 4 + t 5, T4 (t ) = 4t 3 + 7t 4 3t 5, T5 (t ) = 10t 3 15t 4 + 6t 5.

13 1 5 (2) 2 Если ввести обозначения компонент векторной функции r (t ) = rx (t ) i + ry (t ) j, (3) то равенство (1) можно записать в виде:

Физика, математика 2 rx (t ) = T j5 (t i + 1) Qx j i 1 + T j5 (t i + 1) Qx 5 j i при t [i 1, i ], i = 1, 2, K, m. (4) j =0 j = 2 при t [i 1, i ], i = 1, 2, K, m.

ry (t ) = (t i + 1) Qy j i 1 + T j5 (t i + 1) Qy 5 j i T j5 (5) j =0 j = Одно из главных свойств кинематической кривой [4] состоит в том, что drx (i ) d 2rx (i ) rx (i ) = Qx 0 i, = Qx 2 i, i = 0,1,K, m, = Qx1 i, (6) dt dt dry (i ) d 2 ry (i ) ry (i ) = Q y 0 i, = Q y 2 i, i = 0,1,K, m.

= Qy1 i, (7) dt dt Введем новую кривую, задаваемую уравнением (3) и уравнениями rx (t ) = xi 1 + ( xi xi 1 ) (t i + 1) при t [i 1, i ], i = 1, 2, K, m, (8) 2 ry (t ) = T j5 (t i + 1) Q yr j i 1 + T j5 (t i + 1) Qyl 5 j i при t [i 1, i ], i = 1, 2, K, m. (9) j =0 j = Здесь xi ( i = 0,1, K, m ) - заданные числа, такие, что x0 x1...xm, (10) а Q yr j i 1 и Q yl j i - заданные постоянные.

Для функции, заданной формулой (9), будут справедливы условия, аналогичные усло виям (7). Если считать, что i [i 1, i ], то dry (i 0 ) d 2 ry (i 1) ry (i ) = Q yl 0 i, = Q yl 2 i, i = 0,1,K, m.

= Q yl 1 i, (11) dt dt А если считать, что i [i, i + 1], то dry (i + 0) d 2 ry (i + 1) ry (i ) = Q yr 0 i, = Q yr 2 i, i = 0,1,K, m.

= Q yr 1 i, (12) dt dt Отсюда видно, что функция y = ry (t ) и её производные определяются неоднозначно в точ ках t = 1,2,..., m 1.

Из выражения (8) и условия (10) следует, что функция x = rx (t ) является возрастаю щей и, следовательно, обратимой. Обратная функция определяется элементарно x xi t = rx (1) ( x ) = (i 1) + при x [xi 1, xi ], i = 1,2,K, m. (13) xi xi Поэтому уравнения (8), (9) неявно задают функцию ( ) x xi 1 x xi 2 y ( x ) = ry rx(1) ( x ) = T j5 Q yr j i 1 + T j x x Q yl 5 j i x x i i 1 j =3 i i j = Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) при x [xi 1, xi ], i = 1, 2, K, m. (14) Эта функция является однозначной во всех точках [x0, xm ], кроме, вообще говоря, точек xi ( i = 1,2,K, m 1 ). Значения этой функции и её производных выражаются через значения rx (t ) и ry (t ).

y ( x ) x = r ( x ) = ry (t ), (15) x dry (t ) drx (t ) dy ( x ) =, (16) dx x = rx ( x ) dt dt d 2 ry (t ) dr (t ) dry (t ) d 2 r (t ) d 2 y(x ) drx (t ) = x, x (17) dt 2 dt 2 dt dx 2 dt dt x = rx ( x ) Из (8) следует, что rx (i ) = xi, i = 0,1,K, m. (18) Если считать, что i [i 1, i ], то drx (i 0) = xi xi 1, i = 1, 2,K, m. (19) dt Если считать, что i [i, i + 1], то drx (i + 0) = xi +1 xi, i = 0,1,K, m 1. (20) dt Вторая производная d 2rx (i 0 ) d 2rx (i + 0 ) =0, i = 1, 2,K, m ;

=0, i = 0,1, K, m 1. (21) dt 2 dt Из условий (11), (12), (15) – (21) следует, что dy ( xi 0 ) Q yl 1 i d 2 y ( xi 0) Q yl 2 i y ( xi ) = Q yl 0 i, =, =, (xi xi 1 ) xi xi 1 dx dx поскольку xi [xi 1, xi ]. С другой стороны dy ( xi + 0) Q yr 1 i d 2 y ( xi + 0) Q yr 2 i y ( xi ) = Q yr 0 i, =, =, (xi +1 xi ) xi +1 xi dx dx поскольку xi [xi, xi +1 ]. Потребуем, чтобы постоянные Q yr j i и Q yl j i удовлетворяли сле дующим условиям:

Q yl 1 i Q yr 2 i Q yl 2 i Q yr 1 i, i = 1, 2,K, m 1.

Q yr 0 i = Q yl 0 i, =, = (22) (xi +1 xi ) (xi xi 1 ) xi +1 xi xi xi 1 ( ) Эти условия гарантируют однозначность и непрерывность функции y( x ) = ry rx (1) ( x ) и её производных до второго порядка включительно на [x0, xm ] и выполнение следующих ра венств.

Физика, математика dy ( x0 ) Q yr 1 0 d 2 y ( x0 ) Q yr 2 y ( x0 ) = Q yr 0 0, =, =, (x1 x0 ) x1 x0 dx dx dy ( xm ) d 2 y ( xm ) Q yl 2 m Qyl 1 m y ( xm ) = Q yl 0 m, =, =, (xm xm 1 ) xm xm 1 dx dx dy ( xi ) Q yl 1 i Qyr 1 i y ( xi ) = Q yr 0 i = Q yl 0 i,, i = 1, 2, K, m 1 ;

= = xi +1 xi xi xi dx d 2 y ( xi ) Q yr 2 i Q yl 2 i =, i = 1, 2, K, m 1.

= (23) (xi +1 xi ) (xi xi 1 ) 2 dx Кривую, заданную формулами (3), (8), (9) с коэффициентами, удовлетворяющими ус ловиям (10) и (22), назовем составной функциональной кинематической кривой 5 порядка.

Она представляет собой график однозначной и дважды непрерывно дифференцируемой на ( ) [x0, xm ] функции y(x ) = ry rx (1)(x ), неявно задаваемой с помощью функций rx (t ) и ry (t ).

2. Задача Коши и представление её приближенного решения Рассматривается задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения порядка, разрешенного относительно производной:

= f ( x, y ), x [a, b ], dy (24) dx y (a ) = y, (25) где a, b (ab), y - заданные постоянные, f ( x, y ) - заданная функция такая, что существуют ее непрерывные частные производные до второго порядка включительно, а задача Коши (24), (25) имеет единственное решение, которое мы в дальнейшем будем называть точным реше нием и обозначать y ( x ).

Приближенное решение ym (x ) задачи Коши (24), (25) будем задавать либо неявно, формулами вида (8), (9) x = rmx (t ) = xi 1 + ( xi xi 1 ) (t i + 1) при t [i 1, i ], i = 1, 2, K, m, (26) 2 y = rmy (t ) = T j5 (t i + 1) Q yr j i 1 + T j5 (t i + 1) Qyl 5 j i j =0 j = при t [i 1, i ], i = 1, 2, K, m, (27) либо явно, формулой вида (14) ( ) x xi 1 x xi 2 ym ( x ) = rmy rmx (1) ( x ) = T j5 Q yr j i 1 + T j x x Q yl 5 j i x x i i 1 j =3 i i j = при x [xi 1, xi ], i = 1, 2, K, m. (28) Здесь xi ( i = 0,1,K, m ) - заданные узлы сетки точек на [a, b], удовлетворяющие условиям:

a = x0 x1...xm = b, (29) Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) а Q yr j i 1 и Q yl j i - заданные постоянные, удовлетворяющие условиям (22), которые гаран ( ) тируют однозначность и непрерывность приближенного решения y ( x ) = r r (1) ( x ) и его m my mx производных до второго порядка включительно на [a, b], а также выполнение равенств, аналогичных (23):

dym ( x0 ) Q yr 1 0 d 2 ym ( x0 ) Q yr 2 ym ( x0 ) = Q yr 0 0, =, =, (x1 x0 ) x1 x0 dx dx dym ( xm ) d 2 ym ( xm ) Q yl 2 m Qyl 1 m ym ( xm ) = Q yl 0 m, =, =, (xm xm 1 ) xm xm 1 dx dx dym ( xi ) Q yl 1 i Q yr 1 i ym ( xi ) = Q yr 0 i = Q yl 0 i,, i = 1, 2, K, m 1 ;

= = xi +1 xi xi xi dx d 2 ym ( xi ) Q yl 2 i Q yr 2 i, i = 1, 2,K, m 1.

= = (30) (xi +1 xi ) (xi xi 1 ) 2 dx ( ) Значения приближенного решения ym ( x ) = rmy rmx (1) ( x ) и его производных выражаются че рез значения rmx (t ) и rmy (t ).

ym ( x ) x = r (t ) = rmy (t ), (31) mx drmy (t ) drmx (t ) dym ( x ) =, (32) dx x = rmx (t ) dt dt d 2 rmy (t ) dr (t ) drmy (t ) d 2 r (t ) d 2 ym ( x ) drmx (t ) = mx.

mx (33) dt 2 dt dx 2 dt dt dt x = rmx (t ) Для определения приближенного решения остается вычислить значения величин, Q yl j m ( j = 0,1,2 ), Q yr j i, Q yl j i ( i = 1, 2, K, m 1, j = 0,1,2 ), которые удовлетворяют Q yrj ( ) условиям (22) и определяют функцию r (t ) и приближенное решение y ( x ) = r r (1) ( x ). m my mx my 4. Получение приближенного решения задачи Коши Для определения неизвестных постоянных мы, так же как в работе [5], введем и будем использовать понятие невязки. Невязкой дифференциального уравнения (24) на его прибли ( ) женном решении ym ( x ) = rmy rmx (1) ( x ) мы назовем величину dym ( x ) f ( x, ym ( x )), x [a, b].

Rm ( x ) = (34) dx Производная невязки dRm ( x ) d 2 ym ( x ) f ( x, ym ( x )) f ( x, ym ( x )) dym ( x ), x [a, b ].

= (35) x y dx dx dx Учитывая (30), отсюда получим значение невязки и её производной в узлах xi :

( ) ( ) Q yl 1 m Q yr 1 Rm ( x0 ) = f x0, Q yr 0 0, Rm ( xm ) = f xm, Q yl 0 m x1 x0 xm xm Физика, математика ( ) ( ) Q yr 1 i Q yl 1 i Rm ( xi ) = f xi, Q yl 0 i, i = 1, 2, K, m 1, f xi, Q yr 0 i = (36) xi +1 xi xi xi ( ) ( ) dRm ( x0 ) f x0, Q yr 0 0 f x0, Q yr 0 0 Q yr 1 Q yr 2 =, (x1 x0 )2 x y x1 x dx ( ) ( ) dRm ( xm ) f xm, Q yl 0 m f x0, Q yl 0 m Q yl 2 m Q yl 1 m =, (xm xm 1 )2 x y xm xm dx ( ) f (xi, Q yr 0 i ) dRm (xi ) f xi, Q yr 0 i Q yr 2 i Q yr 1 i = = ( )2 x y xi +1 xi xi +1 x i dx ( ) f (xi, Qyl 0 i ) f xi, Q yl 0 i Q yl 2 i Q yl 1 i =, i = 1, 2, K, m 1. (37) (xi xi 1 ) x y xi xi Для определения неизвестных постоянных мы будем использовать принцип предель ного обнуления невязки, то есть будем требовать выполнение условий, которые бы способ ствовали тому, чтобы невязка стремилась к нулю, когда m, а расстояния между узлами xi стремятся к нулю.

( ) Потребуем, чтобы для приближения ym ( x ) = rmy rmx(1) ( x ) в точках xi невязка и её производная обращались в ноль. Исходя из этих требований и (37) получаются выражения для Q yr 1 i, Q yl 1 i, Q yr 2 i и Q yl 2 i через Q yr 0 i и Q yl 0 i :

( ) Q yr 1 0 = ( x1 x0 ) f x0, Q yr 0 0, ( ) ( ) Q yl 1 i = ( xi xi 1 ) f xi, Q yl 0 i, Q yr 1 i = ( xi +1 xi ) f xi, Q yr 0 i, i = 1, 2, K, m 1, ( ) Q yl 1 m = ( xm xm 1 ) f xm, Q yl 0 m. (38) ( ) + (x x ) f (x0, Qyr 0 0 ) Q f x0, Q yr 0 Q yr 2 0 = ( x1 x0 )2 yr 1 0, 1 x y ( ) + (x ( )Q f xi, Q yr 0 i f xi, Q yr 0 i Q yr 2 i = ( xi +1 xi )2 ) i +1 xi i = 1, 2, K, m 1, yr 1 i, x y ( ) + (x x ( ) Q f xi, Q yl 0 i f xi, Q yl 0 i Q yl 2 i = ( xi xi 1 )2 i 1 ) i = 1, 2, K, m 1, yl 1 i, i x y ( ) + (x ( ) Q f xm, Q yl 0 m f xm, Q yl 0 m Q yl 2 m = ( xm xm 1 )2 xm 1 ) yl 1 m. (39) m x y Зная Q yl 0 i ( i = 1, 2,K, m ) и Q yr 0 i ( i = 0,1, K, m 1 ), по формулам (38) и (39) можно найти Q yl 1 i ( i = 1,2,K, m ), Q yr 1 i ( i = 0,1, K, m 1 ), а затем Q yl 2 i ( i = 1, 2,K, m ), Q yr 2 i ( i = 0,1,K, m 1 ). Таким образом, построение приближенного решения свелось к определе нию Q yl 0 i ( i = 1, 2,K, m ) и Q yr 0 i ( i = 0,1, K, m 1 ).

Неизвестное значение Q yr 0 0 мы найдем из начального условия (25) и условия (30):

Q yr 0 0 = ym ( x0 ) = ym (a ) = y. (40) Вестник Брянского госуниверситета №4 (2008) Остальные значения Q yr 0 i и Q yl 0 i будем искать последовательно минимизируя квадраты величин невязки в серединах отрезков [xi 1, xi ]. Координаты середин xi = ( xi 1 + xi ) 2. В результате возникает цепочка задач минимизации (Rm (xi ))2 min = 0, i = 1, 2,K, m. (41) Эти задачи минимизации заменяют требования Rm ( xi ) = 0. Значение (Rm ( xi ))2 зависит от Q yr 0 i 1 и Q yl 0 i. При i = 1 первая из этих величин известна: Q yr 0 i 1 = Q yr 0 0 = y. Таким образом, (Rm ( x1 ))2 зависит только от одной неизвестной Q yl 0 1. Решив первую задачу мини мизации (41) для (Rm ( x1 ))2 как функции одной переменной, мы найдем Q yl 0 1. Используя связи (22), мы найдем Q yr 0 1 = Q yl 0 1. Тогда (Rm ( x2 ))2 также будет зависеть только от одной неизвестной величины Q yl 0 2. Решив вторую задачу минимизации (41) для (Rm ( x2 ))2 как функции одной переменной, мы найдем Q yl 0 2. Используя связи (22), мы найдем Q yr 0 2 = Q yl 0 2. И так далее. Продолжая этот процесс мы последовательно найдем все неиз вестные величины.

На i -ом шаге описанного процесса решения задач минимизации вычисляется точка минимума (Rm ( xi ))2 как функции одной переменной µ = Q yl 0 i. Представление для Rm ( xi ), как функции µ = Q yl 0 i, мы получим, подставив в выражение для невязки (34) представление dT j5 (1 2) (28) и вычислив значения T j5 (1 2 ) и :

dt (xi xi 1 ) Rm (xi ) = 60 Qyr 0 i 1 14 Qyr 1 i 1 Q yr 2 i 1 + 32 32 f ( xi, µ ) f ( xi, µ ) 1 ( xi xi 1 )2 f ( xi, µ ) ( xi xi 1 ) f ( xi, µ ) + + + µ x y 32 xi + xi ( xi xi 1 ) f 32 10 Q yr 0 i 1 + Q yr 1 i 1 + Q yr 2 i 1 +, 2 64 64 f ( xi, µ ) f ( xi, µ ) 1 ( xi xi 1 )2 f ( xi, µ ) + + x y (xi xi 1 ) f (xi, µ ) + 32 µ. (42) 64 Величины (Rm ( xi ))2 при i = 1, 2,K, m представляют собой функции µ. Обозначим их i m (µ ). Для определения очередного значения Q yl 0 i необходимо найти точку минимума функций i m (µ ).

i m (µ ) min = 0. (43) Физика, математика После чего значение Q yl 0 i полагается равным координате этой точки. Для решения этой за дачи можно использовать различные итерационные численные методы минимизации [6]. Бу дем использовать для решения описанной одномерной задачи минимизации функции i m (µ ) разностный метод парабол. Важно подобрать начальное приближение µ0 i искомой точки минимума функции i m (µ ), достаточно близкое к этой точке, чтобы обеспечивалась сходимость применяемой последовательности итераций. Для этого мы используем разложе ние функции ym ( x ) по формуле Тейлора с центром в точке x = xi 1. Запишем это разложе ние при x = xi :

dym ( xi 1 ) 1 d 2 ym ( xi 1 ) Q yl 0 i = ym ( xi ) ym ( xi 1 ) + (xi xi 1 ) + ( xi xi 1 )2 = dx 2 dx = Qyr 0 i 1 + Q yr 1 i 1 + Qyr 2 i 1. (44) Полученное приближенное значение Q yl 0 i выберем в качестве начального приближения µ0 i = Q yr 0 i 1 + Q yr 1 i 1 + Q yr 2 i 1. (45) Последовательность приближений к точке минимума µ s i строится с помощью рекур рентной формулы разностного метода парабол:

( ) ( ) i m µ s i + i m µs i µ s +1 i = µs i, s = 0,1,...



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.