авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 |
-- [ Страница 1 ] --

Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов

РАСПРОСТРАНЕНИЕ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

В НЕЛИНЕЙНЫХ СЛОИСТЫХ СРЕДАХ

Пенза

Издательство ПГУ

2010

УДК

517.958+517.927.4

ББК 22.147

В15

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор,

заведующий лабораторией вычислительной электродинамики

Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

А. С. Ильинский;

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики (технического университета) А. Б. Самохин Валовик, Д. В.

В15 Распространение электромагнитных волн в нелинейных слоистых средах: монография / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2010. – 264 c.

ISBN 978-5-94170-324- Издание посвящено современным результатам в области рас пространения поляризованных электромагнитных волн в нелинейных слоях и круглых цилиндрических волноводах. Полученные результа ты могут применяться для изучения как обычных нелинейных мате риалов, так и нелинейных метаматериалов. Книга предназначена для исследователей в области математической теории дифракции.

УДК 517.958+517.927. ББК 22. c Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г., ISBN 978-5-94170-324- c Издательство Пензенского государственного университета, ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение Часть I. Краевые задачи для системы уравнений Максвелла в слое Глава 1. ТЕ- и ТМ-поляризованные электромагнитные волны, направляемые слоем.............. Глава 2. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в линейном слое..................... Глава 3. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в слое с произвольной нелинейностью......... Глава 4. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в слое с обобщенной керровской нелинейностью.... Глава 5. Распространение электромагнитных ТМ-волн в линейном слое..................... Глава 6. Распространение электромагнитных ТМ-волн в слое с произвольной нелинейностью......... Глава 7. Распространение электромагнитных ТМ-волн в изотропном слое с керровской нелинейностью.... Глава 8. Распространение электромагнитных ТМ-волн в анизотропном слое с керровской нелинейностью.

.. 4 ОГЛАВЛЕНИЕ Часть II. Краевые задачи для системы уравнений Максвелла в круглых цилиндрических волноводах Глава 9. ТЕ- и ТМ-поляризованные электромагнитные волны, направляемые круглым цилиндрическим волноводом....................... Глава 10. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в линейном круглом цилиндрическом волноводе.... Глава 11. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в круглом цилиндрическом волноводе с керровской нелинейностью.............. Глава 12. Распространение электромагнитных ТМ-волн в линейном круглом цилиндрическом волноводе.... Глава 13. Распространение электромагнитных ТМ-волн в круглом цилиндрическом волноводе с керровской нелинейностью.............. Список литературы ПРЕДИСЛОВИЕ В монографии излагаются современные результаты исследо вания задач распространения поляризованных электромагнит ных волн в нелинейных волноведущих структурах, а именно в нелинейных слоях и нелинейных цилиндрических волноводах.

В рассматриваемых средах диэлектрическая проницаемость яв ляется функцией от напряженности электрического поля. В кни ге изложены результаты, полученные авторами в самое послед нее время и частично опубликованные в научной периодике. Но мы хотим представить эти результаты в одной монографии, по скольку они объединены общей электродинамической постанов кой и общим методом решения. Также в книге мы имеем воз можность представить результаты с более подробными доказа тельствами, что не всегда возможно сделать в журнальных пуб ликациях.

Существенной особенностью книги является рассмотрение задач в строгой электродинамической постановке как нелиней ных краевых задач на собственные значения для системы урав нений Максвелла.

Монография состоит из введения и двух частей, которые де лятся на несколько глав. Каждая глава содержит самостоятель ный результат относительно того или иного типа волн, распро страняющихся в определенной структуре с определенным типом нелинейности.

Введение посвящено небольшому обзору состояния вопроса, обсуждению результатов монографии и обсуждению использо ванных подходов к решению задач. Также во введении мы совсем 6 ПРЕДИСЛОВИЕ кратко коснулись некоторых нерешенных вопросов в надежде привлечь внимание исследователей к этим трудным и интерес ным задачам.

Первая часть посвящена изучению линейных и нелинейных краевых задач для поляризованных ТЕ- и ТМ-волн, распростра няющихся в слоях с произвольной нелинейностью.

Вторая часть посвящена распространению поляризованных электромагнитных ТЕ- и ТМ-волн в нелинейных цилиндриче ских волноводах с керровской нелинейностью.

Мы постарались написать книгу так, чтобы каждая глава была независима от остальных. Это позволит читателю сразу обратиться именно к тому вопросу, который его интересует. По этой причине в главах есть некоторые повторения. Однако пере крестные ссылки между главами все равно присутствуют, они, как правило, относятся к сравнению различных результатов.

В каждой главе принята сквозная нумерация формул, опреде лений, утверждений, теорем и рисунков. Если ссылка дается на формулу из другой главы, то перед номером формулы добав ляется номер соответствующей главы. Аналогично нумеруются определения, теоремы и т.д.

Подчеркнем, что результаты, представленные в монографии, позволяют изучать как обычные нелинейные материалы, так и нелинейные метаматериалы.

Монография рассчитана на научных работников, аспиран тов, студентов, специализирующихся в области исследования за дач электродинамики, а также математического моделирования процессов распространения электромагнитных волн.

Авторы надеются, что изучение методов, представленных в монографии, расширит математический кругозор исследова телей в области электродинамики и, возможно, позволит решить новые сложные задачи.

Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов ВВЕДЕНИЕ Задачи распространения электромагнитных волн в нелиней ных средах интенсивно изучаются в течение нескольких десяти летий. К первым монографиям по этому вопросу, по-видимому, следует отнести работы [9, 2]. К таким задачам относится рас пространение волн в волноведущих структурах и, в частности, распространение волн в диэлектрическом слое и диэлектриче ском круглом цилиндрическом волноводе. Явления распростра нения электромагнитных волн в нелинейных средах представля ют как самостоятельный интерес1, так и находят широкое при менение, например: в физике плазмы, в современной микроэлек тронике, в оптике, в лазерной технике [9, 33]. Нелинейные эф фекты наблюдаются в таких соединениях, как жидкие кристал лы [65], полупроводники InSb и HgCdTe и т.д. Вследствие этого большое значение приобретает разработка математических мо делей для таких задач и методов их решения.

К основным нелинейным эффектам, возникающим в веще стве при распространении в нем электромагнитных волн, отно сятся явления самофокусировки, дефокусировки и самоканали зации лучей и т.д. [9, 33]. В связи с большим количеством нели нейных эффектов и различным их влиянием на распространение электромагнитных волн в веществе большое значение приобре тает аналитическое и численное изучение таких явлений.

Учет нелинейных эффектов при построении математиче ских моделей для описания подобных явлений приводит к за Здесь возникают трудные нелинейные краевые задачи на собственные значения для системы уравнений Максвелла.

8 ВВЕДЕНИЕ дачам решения систем нелинейных дифференциальных уравне ний, точнее, к нелинейным краевым задачам на собственные зна чения, которые в большинстве случаев не поддаются решению в аналитическом виде (для случая керровской нелинейности см., например, [60, 61]). Подобные трудности приводят к тому, что исследователи рассматривают такие задачи при некоторых упрощениях [58] или аппроксимируют решения простыми функ циями [71] без достаточного обоснования (в [58, 71] рассматри вается керровская нелинейность).

По-видимому, впервые задачи распространения поляризо ванных волн в слое и круглом цилиндрическом волноводе с кер ровской нелинейностью в строгой электродинамической поста новке были сформулированы в работе [60].

Задачи распространения поляризованных волн в линейном слое и линейном круглом цилиндрическом волноводе изучены достаточно хорошо (см., например, [1, 10, 83]). Такие задачи формулируются как краевые задачи на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Од нако в случае нелинейных задач многие авторы (см., например, [62, 68, 69, 73, 79]) основное внимание уделяют нахождению яв ных решений получающихся дифференциальных уравнений и не акцентируют внимание на разыскании дисперсионных урав нений2. В большинстве случаев уравнения проинтегрировать не удается. Конечно, располагая явными решениями дифференци альных уравнений, можно легко построить дисперсионные урав нения. Поэтому, когда уравнения не удается проинтегрировать явно, до дисперсионного уравнения дело просто не доходит. Од нако в некоторых случаях дисперсионное уравнение можно най Когда говорят, что диэлектрическая проницаемость среды изменяется по закону Керра, то имеют в виду, что = пост + |E|2, пост – постоянная составляющая диэлектрической проницаемости ;

– коэффициент нели нейности;

|E|2 = Ex + Ey + Ez – квадрат модуля напряженности электри 2 2 ческого поля E.

С математической точки зрения дисперсионное уравнение – это урав нение для собственных значений задачи, анализ которого позволяет делать заключения о разрешимости задачи, о локализации собственных значений.

ВВЕДЕНИЕ ти в явной форме и при этом не обладать явными решения ми дифференциальных уравнений. Подчеркнем, что такие за дачи естественно рассматривать именно как задачи на собствен ные значения. Действительно, основной интерес в таких зада чах представляет нахождение тех значений спектрального па раметра (по сути собственных чисел), при которых волна в рас сматриваемой волноведущей структуре распространяется. Если собственное значение известно, то решения дифференциальных уравнений легко находится численно. Если же собственное зна чение неизвестно, то применить численные методы не удается.

Подробнее остановимся на случае керровской нелинейности.

Наиболее изучены явления распространения ТЕ-поляризован ных электромагнитных волн. Статья [72] посвящена изучению распространения электромагнитных волн в нелинейном диэлек трическом слое с поглощением, причем отдельно изучается слу чай нелинейности по закону Керра. В работе [73] изучается отра жение и прохождение электромагнитных ТЕ-волн в нелинейном слое. В этом случае удается проинтегрировать получившиеся обыкновенные дифференциальные уравнения и выразить компо ненты электромагнитного поля в терминах эллиптической функ ции Вейерштрасса.

Случай распространения электромагнитных ТМ-волн в не линейных средах является более сложным, чем случай ТЕ-волн, так как наличие двух компонент электрического поля сильно усложняет анализ [57]. Это связано с тем, что диэлектрическая проницаемость достаточно просто выражается в терминах ком понент электрического поля и наличие двух компонент электри ческого поля приводит к более сложной зависимости диэлек трической проницаемости от интенсивности электромагнитного поля. А это, в свою очередь, приводит к усложнению уравне ний, описывающих распространение волн. В уже упоминавшей ся работе [58] рассматривается линейный диэлектрический слой, окруженный с одной или двух сторон нелинейной средой с нели нейностью, выраженной законом Керра.

Подобная задача для ТЕ-волн решена аналитически [56, 77].

Для случая ТМ-волн в [58] получено дисперсионное уравнение 10 ВВЕДЕНИЕ для собственных значений задачи, которое представляет собой алгебраическое уравнение. Ранее [55] было получено аналогич ное уравнение при условии, что в законе Керра учитывается только продольная компонента Ex электрического поля. Позд нее [78] было показано, что доминирующий нелинейный вклад в диэлектрическую проницаемость пропорционален поперечной компоненте Ez. В работах [14, 62] рассматривается распростра нение электромагнитных ТМ-волн в нелинейном полупростран стве с нелинейностью по закону Керра. Приводятся формаль ные решения в квадратурах получающихся дифференциальных уравнений. В работе [62] также представлены дисперсионные уравнения как для случая изотропной, так и анизотропной сре ды в нелинейном полупространстве. Дисперсионные уравнения для собственных значений представляют собой рациональные функции значений компонент поля на границе раздела сред и находятся аналитически из простейших алгебраических урав нений. Авторы находят первый интеграл системы, описываю щей распространение волн (так называемый закон сохранения).

Уравнения являются дифференциальными уравнениями перво го порядка, разрешенными относительно производной. Это и позволяет формально проинтегрировать получающиеся уравне ния при условии, что необходимую компоненту можно выра зить из первого интеграла. Авторами приводится необходимое и достаточное условие того, чтобы дифференциальное уравнение, связывающее компоненты поля, являлось уравнением в полных дифференциалах и, следовательно, его решение (первый инте грал) можно было найти аналитически. Это условие выглядит следующим образом: xx = zz, где xx и zz – компоненты диа 2 Ez Ex гонального тензора диэлектрической проницаемости в направле ниях Ox и Oz соответственно.

В некоторых случаях более сложной нелинейности уравне ние удастся проинтегрировать, найдя подходящий интегриру ющий множитель (авторы упомянули об этом в конце указан ной работы). В случае аналогичной задачи для ТЕ-волн нали чие всего лишь одной компоненты электрического поля позво ляет получить точные результаты [63, 64, 67, 85]. В работах ВВЕДЕНИЕ [68, 69] распространение ТМ-волн изучается в терминах магнит ной компоненты электромагнитного поля. В работе [69] изучает ся распространение ТМ-волн в нелинейном изотропном полупро странстве, причем нелинейность – это произвольная функция квадрата интенсивности электрического поля, в качестве приме ра найденные результаты применяются к случаю нелинейности типа Керра. Работа [68] посвящена изучению рассеяния элек тромагнитных ТМ-волн в тонком нелинейном слое. В качестве диэлектрической проницаемости выступает произвольная функ ция от квадрата интенсивности электрического поля. Представ лено формальное решение в квадратурах. В работе [55] прово дится обоснование с физической точки зрения возможности уче та только одной из компонент электрического поля в выражении для диэлектрической проницаемости в случае распространения ТМ-волн в нелинейном слое. Проводится сравнение с аналогич ным случаем для ТЕ-волн.

Таким образом, можно сказать, что наиболее важные ре зультаты по распространению ТМ-волн в слое и круглом цилин дрическом волноводе с керровской нелинейностью (система диф ференциальных уравнений, первые интегралы, а из них, факти чески, следует интегрируемость в квадратурах) были получены в работах [60, 61], выполненных в 1971–1972 гг. В некоторых работах (например, [68]) рассматривалось распространение по ляризованных волн в слое с произвольной нелинейностью. Од нако дисперсионные уравнения не были найдены, также не было получено никаких результатов относительно разрешимости кра евой задачи и локализации собственных значений (достаточно полно была изучена лишь задача для ТЕ-волн, распространяю щихся в слое с керровской нелинейностью). Задача о распростра нении ТМ-волн в слое с керровской нелинейностью была решена относительно недавно сначала для достаточно тонкого слоя [18], потом для слоя произвольной толщины [16, 17, 82], теоремы о существовании и локализации были доказаны в [13], некоторые численные результаты представлены в [19, 20].

Как уже было сказано, случай ТЕ-волн и керровской нели нейности (и даже обобщенной керровской) оказывается относи 12 ВВЕДЕНИЕ тельно простым. Простым в том смысле, что там удается проин тегрировать получающиеся дифференциальные уравнения [73].

Однако использованная там техника не может быть легко рас пространена (если вообще может) на более общие нелинейности.

Уже в случае ТМ-волн и керровской нелинейности (а это про стейший случай для ТМ-волн) задача значительно усложняется.

A posteriori стало ясно, почему сравнительно легко удалось ре шить эту задачу для ТЕ-волн и почему такие трудности вызыва ла задача для ТМ-волн. В случае ТЕ-волн решение дифференци ального уравнения выражалось через эллиптические функции, а решение для ТМ-волн выражается через гиперэллиптические.

В первом случае в [73] уравнение было проинтегрировано ана литически, а уже потом искали дисперсионное уравнение. Во втором случае найти аналитическую формулу (с которой можно работать) для решений получающейся системы оказалось труд но (она так и не была построена), поскольку периоды искомой гиперэллиптической функции были функциями параметров за дачи и вычислить их не представлялось возможным. А без значе ний периодов решение было бы лишь формальным выражением, которое вряд ли возможно будет проанализировать и использо вать при расчетах. Кроме того, решение уравнений – это еще не решение задачи на собственные значения. Если же рассматри вать эту задачу как задачу на собственные значения, то можно сосредоточиться на поиске дисперсионного уравнения для соб ственных значений и не пытаться решать уравнения. Тем более, когда собственные значения известны, сами уравнения легко ре шаются численно [19, 20].

В рассматриваемых в этой книге задачах дисперсионное уравнение представляет собой собственно уравнение и некото рые условия. Только в случае линейных сред в слое или круглом цилиндрическом волноводе эти дисперсионные уравнения явля ются относительно простыми (но и в этом случае это трансцен дентные уравнения). В случае нелинейных слоев дисперсионные уравнения – это довольно сложные комбинации нелинейных ин тегральных уравнений, в которых подынтегральные выражения определяются неявными алгебраическими (или трансцендент ВВЕДЕНИЕ ными) функциями. В случае нелинейных круглых цилиндриче ских волноводов некоторые результаты удалось получить только для случая керровской нелинейности. Подчеркнем, что несмотря на то, что дисперсионные уравнения являются сложными, они относительно легко поддаются численному решению.

Полученные дисперсионные уравнения с единой точки поз воляют изучать как обычные нелинейные материалы, так и нелинейные метаматериалы. Если говорить о материале с по стоянной диэлектрической и магнитной проницаемостями, то обычным материалом называют материал с одновременно по ложительными и. Если же хоть одна из этих характеристик отрицательна, то говорят о метаматериале. Линейные и нели нейные метаматериалы активно изучаются в настоящее время (статья В. Г. Веселаго [21] – первая широко известная работа на эту тему) и здесь уже огромное количество работ (см. на пример, [4, 52, 53, 54, 70, 84] и библиографию там). Заметим, что мы изучаем материалы с произвольного знака и считаем, что 0. Однако в полученных дисперсионных уравнениях из менение знака легко учесть. Таким образом, представленные дисперсионные уравнения позволяют изучать практически лю бые материалы.

На протяжении всей книги мы сосредоточимся на выводе дисперсионных уравнений для рассматриваемых задач. Метод получения таких уравнений носит название метода интеграль ных дисперсионных соотношений. В случае слоя указанный ме тод позволяет исследовать нелинейность практически любого типа. Полученные дисперсионные уравнения позволяют иссле довать распространение электромагнитных ТЕ- и ТМ-волн не только в обычных нелинейных материалах, но и в нелинейных метаматериалах. Также на основе дисперсионных уравнений в линейных слоях и волноводах мы проведем анализ распро странения волн в линейных метаматериалах.

Как известно, диэлектрическая проницаемость есть диаго нальный тензор, ее записывают в виде диагональной матрицы 3 3. Тензорный характер диэлектрическая проницаемость име ет для анизотропных сред, а для изотропных сред диэлектриче 14 ВВЕДЕНИЕ ская проницаемость – скаляр. Однако для ТЕ-поляризованных волн даже в случае анизотропных сред учитывается только один элемент тензора диэлектрической проницаемости. Для ТМ-волн мы рассмотрим, как анизотропные, так и изотропные среды.

Заметим, что существует одно принципиальное различие между распространением поляризованных волн в нелинейном слое и в нелинейном круглом цилиндрическом волноводе. Диф ференциальные уравнения, описывающие распространение ТЕ и ТМ-волн в слое, где диэлектрическая проницаемость является функцией от напряженности электрического поля, являются ав тономными. В случае круглого цилиндрического волновода эти уравнения уже не являются автономными. Этот факт является существенным препятствием для распространения результатов, относящихся к нелинейному слою на нелинейный круглый ци линдрический волновод.

Здесь, когда мы говорим о нелинейных краевых задачах, то мы имеем в виду, что дифференциальные уравнения нелинейны относительно входящих в них функций;

спектральный параметр входит в дифференциальные уравнения нелинейно, и краевые условия так же являются нелинейными относительно спектраль ного параметра. Все это не позволяет применять известные ме тоды исследования спектральных задач и сильно усложняет их исследование.

Также большое внимание привлекают задачи распростране ния ТЕ- и ТМ-волн в нелинейных цилиндрических волноводах.

Эти задачи гораздо более сложные по сравнению с только что рассмотренными. И в первую очередь (с точки зрения авторов) это связано с тем, что в случае волновода получающиеся обыкно венные дифференциальные уравнения не являются автономны ми (в отличие от случая слоя). Тем не менее методами теории ин тегральных уравнений получены дисперсионные уравнения (для достаточно малых значений коэффициента нелинейности, обес печивающих сходимость метода сжимающих отображений) для ТЕ- и ТМ-волн в цилиндрических волноводах с керровской нели нейностью (см. работы [41, 47], постановка задачи есть также в [60]).

ВВЕДЕНИЕ В настоящее время проблема нахождения дисперсионных уравнений для собственных значений для ТЕ- и ТМ-волн в ци линдрическом волноводе с произвольной нелинейностью явля ется открытой. И даже в случае керровской нелинейности хоте лось бы получить дисперсионные уравнения для более широкого диапазона значений коэффициента нелинейности.

ЧАСТЬ I КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В СЛОЕ ГЛАВА TE- и ТМ-ПОЛЯРИЗОВАННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ, НАПРАВЛЯЕМЫЕ СЛОЕМ В этой главе приводятся известные результаты о распро странении электромагнитных волн в слое с постоянной ди электрической проницаемостью. Как известно [40], в этом слу чае вместо электромагнитного поля, у которого все координа ты отличны от нуля, достаточно рассматривать ТЕ- и ТМ поляризованные электромагнитные волны. Такой подход в даль нейшем позволит перейти от уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. В изложении вопроса о ТЕ- и ТМ-поляризованных волнах, направляемых сло ем, мы в основном следовали работе [1], также мы обращались к книгам [10, 35].

Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющие ся через однородный, анизотропный, немагнитный диэлектри ческий слой, расположенный между двумя полупространствами x 0 и x h в декартовой системе координат Oxyz. Полу пространства заполнены изотропной немагнитной средой без ис точников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость 1 0 и 3 0 соответственно, где 0 – диэлектрическая про ницаемость вакуума. Считаем, что всюду = 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Гл. 1. ТЕ- и ТМ-поляризованные волны, направляемые слоем Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:

E (x, y, z, t) = E+ (x, y, z) cos t + E (x, y, z) sin t, H (x, y, z, t) = H+ (x, y, z) cos t + H (x, y, z) sin t, где – круговая частота;

E, E+, E, H, H+, H – веществен ные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E и H:

E = E+ + iE, H = H+ + iH, где E = (Ex, Ey, Ez )T, H = (Hx, Hy, Hz )T, знак ( · )T обозначает операцию транспонирования и Ex = Ex (x, y, z), Ey = Ey (x, y, z), Ez = Ez (x, y, z), Hx = Hx (x, y, z), Hy = Hy (x, y, z), Hz = Hz (x, y, z).

Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе урав нений Максвелла rot H = iE, (1) rot E = iH, условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x = 0, x = h и условию излуче ния на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |x| в областях x 0 и x h.

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается диагональным тензором:

xx 0 = 0 yy 0, 0 0 zz где xx, yy, zz – постоянные величины.

20 Часть I. Краевые задачи в слое Будем искать решение уравнений Максвелла во всем про странстве.

На рис. 1 схематически изображена геометрия задачи. Слой не ограничен в направлениях y и z.

x = h = z = y Рис. 1. Геометрия задачи Выпишем систему (1) в развернутом виде:

H E H E yz zy = ixx Ex, yz zy = iHx, z x = iyy Ey, z x = iHy, Hx Hz Ex Ez (2) Hy Ey x y = izz Ez, x y = iHz.

Hx Ex В рассматриваемом случае все производные по y обращают ся в нуль. Это следует из предположения, что в положительном и отрицательном направлениях оси y волновод (слой) не огра ничен, т.е. распределение полей мод в направлении оси y одно родно. Тогда система (2) примет вид Hy Ey z = ixx Ex, z = iHx, z x = iyy Ey, z x = iHy, Hx Hz Ex Ez (3) Hy Ey x = izz Ez, x = iHz.

Поскольку производные по y обращаются в нуль, значит, соответствующие функции от y не зависят. Из первой группы уравнений системы (2) видно, что Hx и Hz не зависят от y, тогда и Ey не зависит от y. Из второй группы уравнений системы (2) Гл. 1. ТЕ- и ТМ-поляризованные волны, направляемые слоем видно, что Ex и Ez не зависят от y, тогда и Hy не зависит от y.

Таким образом, получаем, что Ex = Ex (x, z), Ey = Ey (x, z), Ez = Ez (x, z), Hx = Hx (x, z), Hy = Hy (x, z), Hz = Hz (x, z).

Перегруппируем уравнения системы (3) таким образом:

Hy Ey z = ixx Ex, z = iHx, z x = iHy, z x = iyy Ey, Ex Ez Hx Hz (4) Hy Ey x = izz Ez, x = iHz.

Видно, что исходная система (1) распалась на две независи мые друг от друга системы (4).

Система Hy z = ixx Ex, z x = iHy, Ex Ez Hy x = izz Ez возникает из системы (1), если поля E, H имеют вид E = (Ex, 0, Ez )T, H = (0, Hy, 0)T. (5) Причем здесь можно считать, что Ex = Ex (x, y, z), Ez = Ez (x, y, z), Hy = Hy (x, y, z);

после подстановки этих выражений в уравнения (1) получим, что функции Ex, Ez, Hy не зависят от y.

Система Ey z = iHx, z x = iyy Ey, Hx Hz Ey x = iHz возникает из системы (1), если поля E, H имеют вид E = (0, Ey, 0)T, H = (Hx, 0, Hz )T. (6) 22 Часть I. Краевые задачи в слое Причем здесь можно считать, что Ey = Ey (x, y, z), Hx = Hx (x, y, z), Hz = Hz (x, y, z);

после подстановки этих выражений в уравнения (1) получим, что функции Ey, Hx, Hz не зависят от y.

Волны вида (5) называются ТМ-поляризованными электро магнитными волнами1, или волнами электрического типа, или волнами типа E.

Волны вида (6) называются ТE-поляризованными электро магнитными волнами2, или волнами магнитного типа, или вол нами типа H.

Как известно, в однородных направляющих структурах, та ких как, например, слой с постоянной диэлектрической проница емостью, всякая электромагнитная волна представляется в виде суперпозиции ТЕ- и ТМ-волн [40]. Именно это обстоятельство и позволяет изучать распространение электромагнитных волн в линейном слое лишь для поляризованных волн, что, конечно, значительно упрощает анализ возникающих уравнений. Такая ситуация отнюдь не характерна для слоя с нелинейным запол нением (например, когда диэлектрическая проницаемость в слое является функцией от напряженности электрического поля). За дача распространения электромагнитных волн в таком нелиней ном слое, конечно, не распадается на две более простые задачи.

Поэтому, изучая распространение ТЕ- и ТМ-поляризованных волн в нелинейных слоях, мы, вообще говоря, находим лишь частные решения уравнений Максвелла (1), которые соответ ствуют упомянутым поляризациям.

от англ. transverse-magnetic.

от англ. transverse-electric.

ГЛАВА РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТЕ-ВОЛН В ЛИНЕЙНОМ СЛОЕ В этой главе изучается распространение электромагнитных ТЕ-волн в слое с постоянной диэлектрической проницаемостью (так называемый линейный слой). Несмотря на то, что эта зада ча является классической в электродинамике и рассматривается во многих книгах, нам не удалось найти источник с изложением, подходящим для наших целей. Поэтому мы предпочли вывести все необходимые результаты здесь, тем более, что эти результа ты часто используются в дальнейшем изложении.

§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющие ся через однородный, изотропный, немагнитный диэлектриче ский слой, расположенный между двумя полупространствами x 0 и x h в декартовой системе координат Oxyz. Полу пространства заполнены изотропной немагнитной средой без ис точников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость 1 0 и 3 0 соответственно, где 0 – диэлектрическая про ницаемость вакуума. Вообще говоря, условия 1 0 и 3 необязательны, они не используются при выводе дисперсион ных уравнений, однако могут оказаться полезными при анализе разрешимости дисперсионных уравнений. Считаем, что всюду = 0 – магнитная проницаемость вакуума.

24 Часть I. Краевые задачи в слое Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:

E (x, y, z, t) = E+ (x, y, z) cos t + E (x, y, z) sin t, H (x, y, z, t) = H+ (x, y, z) cos t + H (x, y, z) sin t, где – круговая частота;

E, E+, E, H, H+, H – веществен ные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E и H:

E = E+ + iE, H = H+ + iH.

Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе урав нений Максвелла rot H = iE, (1) rot E = iH, условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x = 0, x = h и условию излуче ния на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |x| в областях x 0 и x h.

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя есть = 2.

Будем искать решение уравнений Максвелла во всем про странстве.

На рис. 1 схематически представлена геометрия задачи.

x = h = z 0 = Рис. 1. Геометрия задачи Гл. 2. ТЕ-волны в линейном слое §2. ТЕ-поляризованные электромагнитные волны Рассмотрим ТЕ-поляризованные волны E = (0, Ey, 0)T, H = (Hx, 0, Hz )T, где Ey = Ey (x, y, z), Hx = Hx (x, y, z), Hz = Hz (x, y, z).

Подставив поля E и H в уравнения Максвелла (1), получим H yz = 0, Hx Hz z x = iEy, y = 0, Hx E y z = iHx, E y x = iHz.

Из первого и третьего уравнений этой системы видно, что Hz и Hx не зависят от y;

поскольку Ey выражается через Hz и Hx, то Ey также не зависит от y.

Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред (а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, ком поненты полей E, H имеют представление Ey = Ey (x)eiz, Hx = Hx (x)eiz, Hz = Hz (x)eiz.

Тогда рассмотренная выше система принимает вид iHx (x) Hz (x) = iEy (x), iEy (x) = iHx (x), (2) Ey (x) = iHz (x), где – неизвестный спектральный параметр (постоянная рас пространения электромагнитной волны).

После простейших преобразований из системы (2) получаем 2 Ey (x) Ey (x) = 2 Ey (x).

26 Часть I. Краевые задачи в слое Пусть k2 = 2 0, = 0, выполним нормировку в соответ j ствии с формулами x = kx, dx = k d, =, j = 0 (j = 1, 2, 3).

x k d d Обозначим Ey () Y (). Опуская значок тильды, получаем x x Y (x) = 2 Y (x) Y (x). (3) Введем в рассмотрение функцию Z(x) = Y (x) и будем рас сматривать (3) как систему:

Y (x) = Z(x), (4) Z (x) = 2 Y (x).

Будем искать те действительные значения спектрального параметра, для которых существуют действительные решения Y (x), Z(x) системы (4).

Замечание. Мы считаем действительным, хотя в линей ном случае можно считать спектральный параметр комплекс ным числом. В нелинейном случае при используемом подходе уже не удается рассматривать комплексные.

Считаем, что функции Y и Z дифференцируемы так, что Y (x) C(, +) C 1 (, +) C 2 (, 0) C 2 (0, h) C 2 (h, +), Z(x) C(, +) C 1 (, 0) C 1 (0, h) C 1 (h, +).

Считаем, что 2 max(1, 3 ). Отметим, что последнее усло вие имеет место только в случае, если хотя бы одна из величин 1 или 3 положительна, если же 1 0 и 3 0, то 2 0.

§3. Решение системы дифференциальных уравнений При x 0 имеем = 1. Из (4) получаем Y = 2 1 Y, 2 его общее решение Y (x) = A1 e 1 x + Ae 1 x, в силу условия на бесконечности получаем решения Y (x) = Aex 1, (5) Z (x) = A 2 1 ex 1.

Гл. 2. ТЕ-волны в линейном слое Здесь мы считаем 2 1 0, ибо в противном случае мы получим общее решение, выраженное через синусы и косинусы действительного аргумента и, таким образом, не сможем удовле творить условию излучения на бесконечности. Случай 2 1 = тоже невозможен, так как в этом случае мы получаем при x постоянное решение, которое не удовлетворяет условию излуче ния на бесконечности.

При x h имеем = 3. Из (4) получаем Y = 2 3 Y, 2 его общее решение Y (x) = B1 e(xh) 3 + Be(xh) 3, в силу условия на бесконечности получаем решения Y (x) = Be(xh) 3, (6) Z (x) = 2 3 Be(xh) 3.

Здесь по тем же причинам, что и при x 0, мы считаем 2 3 0.

Постоянные A и B в (5) и (6) определяются граничными условиями.

Внутри слоя 0 x h имеем = 3. Из (4) получаем уравнение Y = ( 2 2 )Y. Здесь мы можем рассматривать два случая:

а) 2 2 0;

общее решение внутри слоя есть 2 Y (x) = C1 ex 2 + C2 ex 2, (7) 2 Z (x) = 2 2 C1 ex 2 + C2 ex 2 ;

б) 2 2 0;

общее решение внутри слоя есть 2 2 + C2 cos x 2 2, Y (x) = C1 sin x (8) 2 2 C1 cos x 2 2 C2 sin x 2 2.

Z(x) = Легко можно показать, что 2 = 2. В этом случае, очевид но, Y = C1 + C2 x, Z = C2, где C1, C2 – постоянные интегрирова ния. Теперь, забегая немного вперед, скажем, что если исполь зовать условия сопряжения и найти значение h для 2 = 2, мы получим, что h 0, из этого и следует, что 2 = 2.

28 Часть I. Краевые задачи в слое §4. Условия сопряжения Как известно, касательные составляющие электромагнитно го поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматривае мом случае касательными составляющими являются компонен ты Ey и Hz. Из этого условия получаем Ey (h + 0) = Ey (h 0), Ey (0 0) = Ey (0 + 0), Hz (h + 0) = Hz (h 0), Hz (0 0) = Hz (0 + 0), (h) где постоянная Ey = Y (h) = Ey (h + 0) считается известной, тогда (h) i Y (h) = 0 Hz (h + 0) = Hz = Z(h), (0) i Y (0) = 0 Hz (0 0) = Hz = Z(0).

Отсюда получаем, что (h) (0) B = Ey, A = Ey, (0) где Ey = Y (0) = Ey (0 0), тогда (h) (0) Z (h) = 2 3 Ey 2 1 Ey.

и Z (0) = Из непрерывности касательных составляющих компонент поля следуют условия сопряжения для функций Y и Z:

[Y ]x=0 = 0, [Y ]x=h = 0, [Z]x=0 = 0, [Z]x=h = 0, (9) где [f ]x=x0 = lim f (x) lim f (x) обозначает скачок функ xx0 0 xx0 + ции на границе раздела сред.

(h) Обозначаем Y (h) = Ey (известная величина – падающее (0) поле), Y (0) = Ey, причем (h) (0) B = Ey, A = Ey.

(0) (h) 2 1 Ey 2 3 Ey.

Тогда Z (0) = и Z (h) = Гл. 2. ТЕ-волны в линейном слое В случае (а) из условий сопряжения (9) и решений (5)–(7) получаем систему A = C1 + C2, B = C eh 2 2 + C eh 2 2, 1 2 1 A = 2 2 (C1 + C2 ), 2 B = 2 C eh 2 2 + C eh 2 2, 3 2 1 решив которую, получаем дисперсионное уравнение 2 2 2 1 2 2 2 3 2 = e2h ·, (10) 2 2 2 2 + 1 2 + где 2 1 0, 2 2 0, 2 3 0.

В случае (б) из условий сопряжения (9) и решений (5), (6), (8) получаем систему A = C2, B = C sin 2 h + C cos 2 h, 1 2 2 2 A=C 2, 1 2 B = = 2 2 C1 cos 2 2 h C2 sin 2 2 h.

Из последней системы находим 2 2 2 1 2 2 2 h = sin 2 2 2 1 + 2 2 2 h, (11) = cos 2 2 h = 0, то получаем известное уравнение если cos 2 2 2 1 + 2 2 2 h = tg (12), 2 2 2 1 2 причем 2 1 0, 2 2 0, 2 3 0.

30 Часть I. Краевые задачи в слое Если же cos 2 2 h = 0, то можно выписать собственные значения явно.

Пусть cos 2 2 h = 0, тогда 42 h2 2 (2n + 1) (2n + 1) и 2 = 2 2 =.

4h 2h Из (11) получаем в этом случае 2 2 = 2 1 2 3.

Из последнего уравнения находим 2 и, выполнив простейшие преобразования, получаем окончательно 2 1 (2n + 1) 22 1 2 = h= (13),, 2 (2 1 ) (2 3 ) 22 1 причем в силу условий 2 1 0, 2 2 0, 2 3 0 подко ренное выражение в (13) неотрицательно. Легко проверить, что выражения (13) действительно удовлетворяют уравнению (11).

В еще более простом случае 1 = 3 = из (13) получаем (2n + 1) 2 + 2 = h=,.

2(2 ) Уравнение (12) можно формально получить из (10), просто заменив в (10) 2 2 на (2 2 ) и учитывая появление мнимой единицы при извлечении корня. Или аналогичным образом из (12) можно получить уравнение (10).

§5. Анализ дисперсионных уравнений В обоих дисперсионных уравнениях (10), (12) из условий 2 1 0 и 2 3 0 следует, что 1 и 3 могут быть произволь ных знаков (как раз об этом мы упоминали в §1). Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда 1 0 и 3 0, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Ясно, что клас сическое уравнение (12) вообще не допускает метаматериала в слое, поскольку при его выводе используется условие 2 2 0, а значит, 2 0. В этом отношении указанное уравнение не пред ставляет интереса с точки зрения изучения метаматериалов.

Гл. 2. ТЕ-волны в линейном слое Из условий 2 1 0 и 2 3 0 сразу следует, что 2 max(1, 3 ), когда хотя бы одна из величин 1 или 3 больше нуля, если же 1 0 и 3 0, то 2 0.

Перейдем к анализу дисперсионных уравнений (10) и (12).

Уравнение (10) запишем в виде 2 2 2 2 2 2 1 · 2 2 2 ln 2 + 1 2 + 3 ik h= + (14), 2 2 2 где k Z.

2 2 2 В (14) видно, что 2 2 2 1 1, 2 2 2 3 1.

2 + 1 2 + Поскольку множитель перед логарифмом в (14) положителен, то в этом случае всегда h 0. Но h обозначает толщину слоя, поэтому такой случай физически не реализуется.

Теперь перейдем к уравнению (12). Это уравнение являет ся классическим и при 1 = 3 приведено в [83]. Из условия 2 2 0 сразу получаем, что 2 0. Из этого и рассмотрения уравнения (10) следует, что в случае ТЕ-поляризации волн в ли нейном слое с отрицательной диэлектрической проницаемостью не существует!

Легко показать, что (12) можно представить в форме 2 2 2 1 + 2 1 h= arctg + (n + 1), (15) 2 2 2 2 2 1 где n 1 – целое число.

32 Часть I. Краевые задачи в слое Действительно, поскольку | arctg x|, то ясно, что как только n + 1 1, то h 0. Отсюда следует, что n + 1 0, а поскольку n – целое число, то n 11.

Из последней формулы ясно, что прямая 2 = 2 является асимптотой: h = lim h() = +. При 2 2 мы получаем 2 2 мнимые значения для h. Из этого и условия 2 max(1, 3 ) мы получаем важное следствие: в случае распространения ТЕ-волн в линейном слое для спектрального параметра выполняется неравенство max(1, 3 ) 2 2, где хотя бы одна из величин 1 или 3 положительна. Если же 1 0 и 3 0, то справедливо неравенство 0 2 2.

Введем обозначения: = max(1, 3 ), = min(1, 3 ) и h = lim h() = arctg 2.

Ясно, что 0 h +. Причем чем меньше 2, тем больше значение h.

2 2 2 1 + 2 1 Отметим, что поведение функции arctg доволь 2 2 2 1 но интересно. Дело в том, что знаменатель 2 2 2 1 2 обращается в нуль в некоторой точке (max(1, 3 ), 2 ). Это означа ет, что функция arctg терпит в этой точке разрыв. Этот разрыв, как из вестно, первого рода, и скачок равен. Отсюда получается, что каждая дисперсионная кривая состоит из двух кусков: первый кусок соответствует 2 (max(1, 3 ), ), второй кусок соответствует 2 (, 2 ). Причем если 2 мы рассматриваем какую-то конкретную дисперсионную кривую, то первый кусок есть часть этой кривой, а второй представляет собой часть следую щей дисперсионной кривой. Таким образом, целая дисперсионная кривая состоит из своего“ первого куска и второго куска, принадлежащего преды ” дущей дисперсионной кривой, вместе эти два куска образуют непрерывную дисперсионную кривую. Поэтому, когда n = 1 в (15), то кривая h h(), определяемая (15), частично лежит в полуплоскости h 0, а частично в по луплоскости h 0. И мы оставляем только ту часть дисперсионной кривой, которая лежит в полуплоскости h 0.

Гл. 2. ТЕ-волны в линейном слое Из вышесказанного относительно правой части дисперсион ного уравнения (15) можно получить такое Замечание. В слое с постоянной диэлектрической проница емостью всегда распространяется конечное число волн (равное количеству собственных значений). Чем больше величина h, тем больше волн в таком слое распространяется. Существует h такое, что при h h волны в рассматриваемом слое не распро страняются.

Этот вывод характерен только для линейной волноведущей структуры. В случае нелинейного слоя может оказаться, что для любого значения h может существовать бесконечное число соб ственных значений, а значит, и волн.

Ясно, что рассматриваемую задачу можно было бы сфор мулировать как краевую задачу на собственные значения и ре шения дисперсионных уравнений были бы решениями такой за дачи. Тогда последнее замечание можно было бы переформули ровать в соответствующую теорему. Однако мы не стали этого делать, так как дифференциальные уравнения линейные и ре зультаты сами по себе достаточно просты.

На рис. 2, 3 представлены дисперсионные кривые для раз личных значений параметров.

| | | | 1. | | | | h 0 5 10 Рис. 2. 1 = 1, 2 = 5, 3 = 1. Количество собственных значений определяется следующим образом: например, на рис. 2 проводим вертикальную линию, со ответствующую толщине h, изучаемого слоя (пунктирная пря 34 Часть I. Краевые задачи в слое мая h = 10). Тогда количество собственных значений равно ко личеству пересечений только что построенной вертикальной ли нии с дисперсионными кривыми (на рис. 2 таких пересечений шесть, они отмечены черными точками, значит, и собственных значений шесть). Также понятно, что при увеличении h количе ство собственных значений будет возрастать.

| | | | | | | | | 20 h 0 5 10 Рис. 3. 1 = 1, 2 = 5, 3 = 1. В случае, когда 1 0, 3 0 или 1 0, 3 0, качественно дисперсионные кривые выглядят так же, как на рис. 3.

ГЛАВА РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТЕ-ВОЛН В СЛОЕ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ В этой главе рассматривается задача распространения элек тромагнитных ТЕ-волн в слое, заполненном средой, диэлектри ческая проницаемость которой является произвольной функци ей от напряженности электрического поля. Изучается как слу чай обычного нелинейного материала, так и нелинейного мета материала (обобщенное дисперсионное уравнение).

Результаты этой главы опубликованы в [11].

§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющие ся через однородный, изотропный, немагнитный диэлектриче ский слой, расположенный между двумя полупространствами x 0 и x h в декартовой системе координат Oxyz. Полу пространства заполнены изотропной немагнитной средой без ис точников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость 1 0 и 3 0 соответственно, где 0 – диэлектрическая про ницаемость вакуума. Вообще говоря, условия 1 0 и 3 необязательны, они не используются при выводе дисперсион ных уравнений, однако могут оказаться полезными при анализе разрешимости дисперсионных уравнений. Считаем, что всюду = 0 – магнитная проницаемость вакуума.

36 Часть I. Краевые задачи в слое Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:

E (x, y, z, t) = E+ (x, y, z) cos t + E (x, y, z) sin t, H (x, y, z, t) = H+ (x, y, z) cos t + H (x, y, z) sin t, где – круговая частота;

E, E+, E, H, H+, H – веществен ные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E и H:

E = E+ + iE, H = H+ + iH.

Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе урав нений Максвелла rot H = iE, (1) rot E = iH, условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x = 0, x = h и условию излуче ния на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |x| в областях x 0 и x h.

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид = 2 + 0 f |E|2, где f – произвольная аналитическая функция, и мы считаем, что 2 max (1, 3 ). Объяснение последнего условия см. в конце §2.

Будем искать решение уравнений Максвелла во всем про странстве.

На рис. 1 схематически представлена геометрия задачи.

x = h = 2 + 0 f |E| z 0 = Рис. 1. Геометрия задачи Гл. 3. ТЕ-волны в слое с произвольной нелинейностью §2. ТЕ-поляризованные электромагнитные волны Рассмотрим ТЕ-поляризованные волны:

E = (0, Ey, 0)T, H = (Hx, 0, Hz )T, где Ey = Ey (x, y, z), Hx = Hx (x, y, z), Hz = Hz (x, y, z).

Подставив поля E и H в уравнения Максвелла (1), получим H yz = 0, Hx Hz z x = iEy, y = 0, Hx E y z = iHx, Ey x = iHz.

Из первого и третьего уравнений этой системы видно, что Hz и Hx не зависят от y;

поскольку Ey выражается через Hz и Hx, то Ey также не зависит от y.

Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред (а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, ком поненты полей E, H имеют представление Ey = Ey (x)eiz, Hx = Hx (x)eiz, Hz = Hz (x)eiz.

Тогда рассмотренная выше система принимает вид iHx (x) Hz (x) = iEy (x), iEy (x) = iHx (x), (2) Ey (x) = iHz (x), где – неизвестный спектральный параметр (постоянная рас пространения электромагнитной волны).

После простейших преобразований из системы (2) получаем 2 Ey (x) Ey (x) = 2 Ey (x).

38 Часть I. Краевые задачи в слое Пусть k2 = 2 0, = 0, выполним нормировку в соответ j ствии с формулами x = kx, dx = k d, =, j = 0 (j = 1, 2, 3).

x k d d Обозначим Ey () Y (). Опуская значок тильды, получаем x x Y (x) = 2 Y (x) Y (x). (3) Введем в рассмотрение функцию Z(x) = Y (x) и будем рас сматривать (3) как систему:

Y (x) = Z (x), (4) Z (x) = 2 Y (x).

Будем искать те значения спектрального параметра (соб ственные значения), для которых существуют не равные тожде ственно нулю действительные решения Y (x), Z (x) системы (4).

Полагаем действительным (так что |E|2 не зависит от z 1, см.

также замечание на с. 26) и считаем 1, x 0;

2, 0 x h;

= 2 + f Y (5) 3, x h.

Считаем, что функции Y и Z дифференцируемы так, что Y (x) C(, +) C 1 (, +) C 2 (, 0) C 2 (0, h) C 2 (h, +), Z(x) C(, +) C 1 (, 0) C 1 (0, h) C 1 (h, +).

Только что указанные условия непрерывности и дифферен цируемости функций Y и Z продиктованы физическим содержа нием задачи. Видно, что система (4) является автономной. Та кую систему можно рассматривать как динамическую систему Так как E = 0, Ey (x)eiz, 0 = eiz (0, Ey, 0), то |E| = eiz Ey. Как iz известно, e = 1 при Im = 0. Пусть = + i и Im = 0. То гда получаем eiz = ei z · e z = e z ± + при z ± (в зависимости от знака ). Тогда компонента Ey должна зависеть от z, а это противоречит выбору Ey (x). Поэтому мы рассматриваем только дей ствительные.

Гл. 3. ТЕ-волны в слое с произвольной нелинейностью с аналитическими по Y и Z правыми частями. Известно (см., на пример, [5]), что решения Y, Z такой динамической системы са ми являются аналитическими функциями независимой перемен ной. Именно для этого мы потребовали, чтобы функция нели нейности f была аналитической. Этот факт окажется важным при выводе дисперсионных уравнений.

Будем искать такие, что max(1, 3 ) 2 2.

Последнее условие соответствует классической задаче рас пространения ТЕ-волн в линейном слое при 1 0, 3 0, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума и 2 max(1, 3 ).

Это условие естественно возникает в указанной задаче (см. гл. 2), и поэтому мы придерживаемся его при выводе дисперсионного уравнения для нелинейного слоя. В §6 мы выведем дисперси онное уравнение в более общих предположениях. Заметим еще, что условие 2 max(1, 3 ) имеет место, если хотя бы одна из величин 1 или 3 больше нуля. Если и 1 0, и 3 0, то 2 0.

§3. Решение системы дифференциальных уравнений При x 0 имеем = 1. Из (4) получаем Y = 2 1 Y, 2 его общее решение Y (x) = A1 ex 1 + Aex 1, в силу условия на бесконечности получаем 2 1, Y (x) = A exp x (6) Z (x) = A 2 1 exp x 2 1.

Здесь мы считаем 2 1 0, ибо в противном случае мы по лучим общее решение, выраженное через синусы и косинусы дей ствительного аргумента, и, таким образом, не сможем удовлетво рить условию излучения на бесконечности. Случай 2 1 = тоже невозможен, так как в этом случае мы получаем при x постоянное решение, которое не удовлетворяет условию излуче ния на бесконечности.

40 Часть I. Краевые задачи в слое При x h имеем = 3. Из (4) получаем Y = 2 3 Y, 2 его общее решение Y (x) = B1 e(xh) 3 + Be(xh) 3, в силу условия на бесконечности получаем 2 3, Y (x) = B exp (x h) (7) 2 3 B exp (x h) 2 3.

Z (x) = Здесь, как и при x 0, считаем 2 3 0.

Постоянные A и B в (6) и (7) определяются условиями со пряжения и начальными данными.

Внутри слоя 0 x h система (4) принимает вид Y (x) = Z (x), (8) Z (x) = 2 2 f Y 2 Y (x).

Система (8) обладает первым интегралом, поэтому изуче ние уравнения второго порядка (3) можно свести к изучению уравнения первого порядка (любого из системы (8)) и первого интеграла. Поделив в (8) одно уравнение на другое, получим ZdZ + 2 2 + f Y 2 Y dY = 0.

Последнее уравнение является уравнением в полных диф ференциалах. Его общее решение имеет вид Z 2 + Y 2 = C, (9) Y где Y 2 = 2 2 + f (u) du, C – постоянная.

Y §4. Условия сопряжения и задача сопряжения Как известно, касательные составляющие электромагнитно го поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматривае мом случае касательными составляющими являются компонен ты Ey и Hz. Отсюда получаем Ey (h + 0) = Ey (h 0), Ey (0 0) = Ey (0 + 0), Hz (h + 0) = Hz (h 0), Hz (0 0) = Hz (0 + 0).

Гл. 3. ТЕ-волны в слое с произвольной нелинейностью Тогда из (2) и (4) получаем (h) Y (h) = i 0 Hz (h + 0) = Hz = Z(h), (0) Y (0) = i 0 Hz (0 0) = = Z(0).


Hz Отсюда получаем, что B = Yh, A = Y0 ;

мы обозначили Y0 = Y (0) = Ey (0 0) и Yh = Y (h) = Ey (h + 0). Постоянная Yh считается известной (падающее поле – начальное условие).

Пусть Z0 = Z(0) = Hz (0 0), Zh = Z(h) = Hz (h + 0), тогда 2 3 Yh 2 1 Y0.

Zh = и Z0 = Из условий непрерывности касательных составляющих Ey и Hz следуют условия сопряжения для функций Y и Z:

[Y ]x=0 = 0, [Y ]x=h = 0, [Z]x=0 = 0, [Z]x=h = 0, (10) где [f ]x=x0 = lim f (x) lim f (x) обозначает скачок функ xx0 0 xx0 + ции на границе раздела сред.

Считаем, что функции Y (x) и Z (x) удовлетворяют условию 1 Y (x) = O и Z (x) = O при |x|. (11) |x| |x| Пусть d X G D=, F(X, Z) =, G(F, ) = dx, 0 d Z G dx где Y Y (x) и Z Z(x) являются искомыми функциями, а G1 G1 (F, ) и G2 G2 (F, ) являются правыми частями урав нений системы (8). Число является спектральным параметром.

Перепишем задачу, используя введенные обозначения.

Для полупространства x 0, = 1 получаем 0 DF F = 0. (12) 2 1 42 Часть I. Краевые задачи в слое Внутри слоя 0 x h, = 2 + f Y 2 получаем L(F, ) DF G(F, ) = 0. (13) Для полупространства x h, = 3 получаем 0 DF F = 0. (14) 2 3 Условия сопряжения (10) и первый интеграл (9) приводят к уравнению относительно Y0 :

( 2 3 )Yh + Yh = ( 2 1 )Y02 + Y02.

2 (15) Сформулируем задачу сопряжения (ее можно переформули ровать как краевую задачу). Требуется найти собственные зна чения и соответствующие им ненулевые векторы F такие, что F удовлетворяет уравнениям (12)–(14);

компоненты Y, Z векто ра F удовлетворяют условиям сопряжения (10), условию (11), и Y (0) Y0 определяется из уравнения (15).

Определение 1. Число = 0, при котором существует ненулевое решение F задачи (12)–(14) при условиях (10), (11), (15), будем называть собственным значением задачи. Решение F, которое соответствует собственному значению, будем назы вать собственным вектором задачи, а компоненты Y (x) и Z (x) вектора F – собственными функциями.

Замечание. Определение 1 является неклассическим анало гом известного определения характеристического числа линей ной оператор-функции, нелинейно зависящей от спектрального параметра [24]. Введенное определение является, с одной сторо ны, распространением классического определения собственного значения на случай нелинейной оператор-функции, нелинейно зависящей от спектрального параметра;

с другой стороны, соот ветствует физической природе задачи.

Гл. 3. ТЕ-волны в слое с произвольной нелинейностью §5. Дисперсионное уравнение и теорема об эквивалентности Введем новые переменные1 :

Y (x) (x) = 2 + Y 2 (x), (x) = (x);

(16) Z(x) из (16) получаем Y 2 = 2, Z 2 = ( 2 ) Y Z = ( 2 ), (17).

Система (8) примет вид (мы обозначили 0 2 / 2 ) = 2( 2 ), (18) f ( 2 ) = 2 0 1 + + 3 22.

2 Первый интеграл (9) примет вид ( 2 ) + ( 2 ) = C. (19) Уравнение (19), вообще говоря, есть трансцендентное урав нение относительно. Его решение = () легко может быть выписано явно лишь в исключительных случаях.

Если считать, что функция f, выражающая нелинейность в слое, является многочленом относительно напряженности элек трического поля, то уравнение (19) есть алгебраическое уравне ние относительно. Вектор поляризации в материальных урав нениях в системе Максвелла имеет разложение в ряд по степе ням |E|. Считая, что нелинейность выражается в виде много члена, мы просто обрываем соответствующий ряд. Можно под бирать и другие функции нелинейности, но так, чтобы выполня лись некоторые условия (они будут приведены ниже). Различ ные типы нелинейностей (отличных от полиномиальных) приве дены в [3].

Вообще, если нелинейность не произвольная функция, а конкретная, то возможно, что новые переменные будет удобнее выбрать несколько иначе (см. по этому поводу гл. 7 и 8).

44 Часть I. Краевые задачи в слое Из начальных условий и условий сопряжения получаем (0) = 2 + Y02, (h) = 2 + Yh ;

поскольку Yh известна, то и (h) известна.

Для (0) и (h) получаем 2 + Y02 2 + Yh (0) = 0, (h) = 0. (20) 2 1 2 Из первого интеграла в форме (19) подставляя x = h, нахо дим значение постоянной Ch := C|x=h :

Ch = 2 3 ( (h) 2 ) + ( (h) 2 ).

(21) Для определения постоянной C можно воспользоваться вы ражением (9) для первого интеграла, но удобнее использовать формулу (19).

Теперь из первого интеграла (19), используя (21) и (20), мы можем найти уравнение для (0):

( (0) 2 ) 2 1 + ( (0) 2 ) = = 2 3 ( (h) 2 ) + ( (h) 2 ). (22) Ясно, что должно быть (0) 2, поскольку (0) = 2 + Y02.

Для того чтобы существовал корень (0) 2 уравнения (22), необходимо накладывать на функцию некоторые ограничения.

Например, если – многочлен с неотрицательными коэффици ентами, то нужный корень заведомо существует. Можно и по другому выбирать функцию f, так, чтобы функция обладала нужным свойством. Вероятно, многочлен в качестве f с неот рицательными коэффициентами является одной из наиболее об щих нелинейностей.

Заметим, кстати, из уравнения (22) ясно, что при 1 = 3 од ним из корней этого уравнения будет (h), т.е. (0) = (h). Или в старых переменных Y02 = Yh. Такая же ситуация характерна и для случая линейного слоя (см. гл. 1), с той лишь разницей, что Гл. 3. ТЕ-волны в слое с произвольной нелинейностью в случае линейного слоя при 1 = 3 всегда Y02 = Yh. В данном же случае это только один из корней уравнения (22).

Мы считаем функцию f такой, что величина f ( 2 ) 0 1 + 0.

Это заведомо справедливо, если в качестве f выступает мно гочлен с неотрицательными коэффициентами.

Правая часть второго уравнения системы (18) при сделан ных предположениях (относительно функции f ) положительна, это значит, что функция возрастает при x (0, h). Но из фор мул (20) видно, что (0) 0, а (h) 0. Из этого следует, что функция необходимо имеет точку разрыва. А поскольку функ ция является рациональной функцией от аналитических функ ций Y и Z, то и является аналитической. Это означает, что может иметь разрывы только второго рода. Эти разрывы есть полюсы функции, которые находятся в нулях функции Z.

( 2 Из первого интеграла (19) имеем 2 = C () 2 ). Точками h разрыва могут являться лишь нули знаменателя последнего вы ражения. Тогда в этих точках = (x ) таково, что = ±.

Естественно среди всех корней знаменателя выбирать только те, которые 2.

Предположим, что имеется (N + 1) точка разрыва x0,..., xN на интервале x (0, h).

Из свойств функции = (x) следует, что (xi 0) = +, (xi + 0) =, где i = 0, N. (23) Обозначим f ( 2 ) w = w () 0 1 + + 3 22, 2 где = () находится из первого интеграла (19).

46 Часть I. Краевые задачи в слое Учитывая только что сказанное, будем разыскивать реше ния на каждом из отрезков [0, x0 ], [x0, x1 ],..., [xN, h]:

(x0 ) wd = x + c0, 0 x x0 ;

(x) (x) wd = x + ci, xi x xi+1, i = 0, N 1;

(24) (xi ) (x) wd = x + cN, xN x h.

(xN ) Подставляя x = 0, x = xi+1, x = xN в уравнения (24) (в первое, второе и третье соответственно) и учитывая (23), най дем постоянные c1, c2,..., cN +1 :

+ c0 = wd;

(0) + ci+1 = wd xi+1, i = 0, N 1;

(25) (h) c N +1 = wd h.

С учетом (25) уравнения (24) примут вид (x0 ) + wd = x + 0 x x0 ;

wd, (x) (0) (x) + wd = x + wd xi+1, xi x xi+1, i = 0, N 1;

(xi ) (x) (h) wd = x + wd h, xN x h.

(xN ) (26) + Введем обозначение T d. Из формулы (26) следует, что 0 xi+1 xi = T h, где i = 0, N 1. Отсюда следует сходимость несобственного интеграла (позднее мы докажем это Гл. 3. ТЕ-волны в слое с произвольной нелинейностью из других соображений). Теперь, полагая в уравнениях (26) x таким, чтобы все интегралы слева обратились в нуль (т.е. x = x0, x = xi, x = xN ), сложим все уравнения (26), получим + 0 = x0 + wd + x0 + T x1 +...

(0) (h)... + xN 1 + T xN + xN + wd h.

Окончательно получаем (h) wd + (N + 1) T = h, (27) (0) где N 0 – целое число;

(0), (h) определены формулами (20).

Формула (27) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого конечного h. Когда N = 0, возникает несколько уравнений при различных значениях N. Необходимо решать от носительно каждое из получающихся уравнений.

Отметим, что несобственные интегралы в дисперсионном уравнении (27) сходятся. Действительно, при функция = () остается ограниченной, поскольку = 2 + Y 2 и Y – ограниченная функция. Тогда |w| =, ( 2 (0 1) + f ( 2 )) 2 + (3 22 ) 2 + где 0, 0 – постоянные, тогда несобственный интеграл + d сходится. Поскольку мы требуем, чтобы правая часть 2 + второго уравнения системы (18) была положительна, то из этого следует сходимость интегралов в (27) во внутренних точках.

48 Часть I. Краевые задачи в слое Теорема 1. Множество решений (собственных значений) краевой задачи на собственные значения (12)–(14) с условиями (10), (11), (15) содержится в множестве решений дисперсион ного уравнения (27).

Доказательство. Из самого способа получения дисперси онного уравнения (27) из системы (18) следует, что собственное значение краевой задачи (12)–(14) является решением дисперси онного уравнения.

В то же время не каждое решение дисперсионного уравне ния (27) является решением краевой задачи. Это связано с тем, что как функция от, определяемая из первого интеграла (19), является, вообще говоря, многозначной функцией. Други ми словами, может существовать несколько корней (0) уравне ния (22), удовлетворяющих условию (0) 2. Но даже в этом случае можно среди корней дисперсионного уравнения найти ре шения краевой задачи. Действительно, найдя решение диспер сионного уравнения (27), мы сможем найти функции (x) и (x) из системы (18) и первого интеграла (19). Зная функции (x) и (x) и пользуясь формулами (16), (17), найдем Y (x) = ± 2 и Z (x) = ± 2. (28) || Вопрос о выборе знака является существенным, поэтому об судим его подробнее. Нам известно поведение функции = Y : Z функция является монотонно возрастающей, если x = x тако во, что (x ) = 0, то (x 0) 0, (x + 0) 0, и если x = x таково, что (x ) = ±, то (x 0) 0 и (x + 0) 0.


Других точек перемен знака у функции нет. Начальное условие Yh положим для определенности 0. Если 0, то функции Y и Z имеют одинаковые знаки, а если 0, то Y и Z имеют раз ные знаки. Помня о том, что X и Z – непрерывные функции (и даже гладкие на соответствующих областях), выбираем соответ ствующие знаки в выражениях (28). Теперь, зная функцию Y, мы можем вычислить (0) = 2 + Y02, если полученное значе ние совпадает с найденным ранее из первого интеграла, зна чит, найденное решение дисперсионного уравнения является Гл. 3. ТЕ-волны в слое с произвольной нелинейностью собственным значением краевой задачи (и не является таковым в противном случае).

Если функция такова, что существует единственный ко рень (0) уравнения (22), удовлетворяющий условию (0) 2, то получается следующая Теорема 2 (об эквивалентности). Если уравнение (22) имеет единственное решение (0), удовлетворяющее условию (0) 2, то краевая задача на собственные значения (12)–(14) с условиями (10), (11), (15) имеет решение (собственное зна чение) тогда и только тогда, когда это собственное значение является решением дисперсионного уравнения (27).

Доказательство этой теоремы очевидным образом следует из доказательства предыдущей теоремы.

(h) Введем обозначение J(, k) := wd + (k + 1)T, где правая (0) часть рассматриваемой формулы определяется из дисперсионно го уравнения (27) и k = 0, N.

Пусть hk = inf hk = sup J(, k), J(, k).

sup inf 2 (max(1,3 ),2 ) 2 (max(1,3 ),2 ) Сформулируем достаточное условие существования по край ней мере одного собственного значения краевой задачи.

Теорема 3. Если h таково, что для некоторого k = 0, N выполняется неравенство hk h hk, sup inf то краевая задача на собственные значения (12)–(14) с услови ями (10), (11), (15) имеет по крайней мере одно решение (соб ственное значение).

Величины hk и hk можно находить численно.

sup inf §6. Обобщенное дисперсионное уравнение Здесь мы получим общее дисперсионное уравнение, спра ведливое при любых действительных значениях 2. Кроме того, 50 Часть I. Краевые задачи в слое мы откажемся от требования, чтобы правая часть второго урав нения системы (18) была положительна1, а также от условий max(1, 3 ) 2 2 или 0 2 2. Эти условия возникали в линейном случае и были нами использованы при выводе дис персионного уравнения (27). Однако в нелинейном случае нет требований, которые ограничивают значения 2 справа. Хотя ограничение слева остается, ясно, что оно возникает из решений в полупространствах (где среда линейна). Теперь мы считаем, что удовлетворяет одному из следующих двух неравенств:

max(1, 3 ) 2 +, когда хотя бы одна из величин 1 или 3 положительна, или 0 2 +, когда 1 0 или 3 0.

Сначала мы выведем дисперсионное уравнение из системы уравнений (18) и первого интеграла (19), а потом обсудим детали вывода и условия, при которых сам вывод возможен и справед ливо полученное дисперсионное уравнение.

Имея в своем распоряжении первый интеграл (19), фор мально можно проинтегрировать любое из двух уравнений си стемы (18). Мы, как и ранее, будем интегрировать второе урав нение этой системы. Но мы не можем получить решение на всем интервале, поскольку функция (x) может иметь разры вы в некоторых точках интервала (0, h). Поскольку функция (x) является аналитической, то мы можем утверждать, что при x [0, h] функция (x) имеет разрывы только второго рода.

Пусть функция (x) на интервале (0, h) имеет (N + 1) точек x0, x1,..., xN, в которых она обращается в бесконечность. От метим, что (xi 0) = ± и (xi + 0) = ±, i = 0, N, причем знаки ± в этих формулах независимы и нам неизвестны.

Это условие возникло, когда мы рассматривали задачу о распростра нении ТМ-волн в слое с керровской нелинейностью (гл. 7). Требование о положительности правой части естественно там возникало (из задачи для линейного слоя). Конечно, можно было бы сразу вывести общее дисперси онное уравнение, однако при условии положительности правой части его вывод чрезвычайно прост и нагляден.

Гл. 3. ТЕ-волны в слое с произвольной нелинейностью Учитывая только что сказанное, будем разыскивать реше ния на каждом из отрезков [0, x0 ], [x0, x1 ],..., [xN, h]:

(x0 0) wd = x + c0, 0 x x0 ;

(x) (x) wd = x + ci+1, xi x xi+1, i = 0, N 1;

(29) (xi +0) (x) wd = x + cN +1, xN x h.

(xN +0) Из уравнений (29), подставляя x = 0, x = xi+1, x = xN в первое, второе и третье уравнения (29), найдем необходимые постоянные c1, c2,..., cN +1 :

(x0 0) c = wd;

(0) (xi+1 0) ci+1 = wd xi+1, i = 0, N 1;

(30) (xi +0) (h) cN +1 = wd h.

(xN +0) С учетом (30) уравнения (29) примут вид (x0 0) (x0 0) wd = x + 0 x x0 ;

wd, (x) (0) (x) (xi+1 0) wd = x + wd xi+1, xi x xi+1 ;

(31) (xi +0) (xi +0) (x) (h) wd = x + wd h, xN x h, (xN +0) (xN +0) где i = 0, N 1.

52 Часть I. Краевые задачи в слое Из формул (31) получаем, что (xi+1 0) xi+1 xi = (32) wd, (xi +0) где i = 0, N 1.

Поскольку 0 xi+1 xi h, то отсюда следует, что при наших предположениях (относительно наличия особых точек) (xi+1 0) wd 0.

интеграл справа сходится и (xi +0) Таким же образом из первого и последнего уравнений (31) (x0 0) получаем, что x0 = wd, а так как 0 x0 h, то (0) (x0 0) 0 wd h ;

(0) (h) и h xN = wd, а так как 0 h xN h, то (xN +0) (x0 0) 0 wd h.

(0) Из этих рассуждений следует, что функция w () не имеет неинтегрируемых особенностей при (, ).

Теперь, полагая в уравнениях (31) x таковым (т.е. подстав ляя x = x0, x = xi, x = xN в первое, второе и третье уравнения (31)), чтобы все интегралы слева обратились в нуль, сложим все уравнения (31), получим Гл. 3. ТЕ-волны в слое с произвольной нелинейностью (x0 0) (x1 0) 0 = x0 + wd + x0 + wd x1 +...

(x0 +0) (0) (xN 0) (h)... + xN 1 + wd xN + xN + wd h. (33) (xN1 +0) (xN +0) Из (33) получаем (x0 0) (xi+1 0) (h) N wd + wd + wd = h. (34) i= (xN +0) (xi +0) (0) Из (32) следует, что (xi + 0) = ± и (xi 0) =, i = 0, N, и выбираются бесконечности разных знаков.

Таким образом, получаем, что (x1 0) (xN 0) wd =... = wd T, (x0 +0) (xN1 +0) и, значит, x1 x0 =... = xN xN 1.

Теперь уравнение (34) можно переписать так:

(x0 0) (h) wd + f d + N T = h (xN +0) (0) или в окончательной форме (0) wd + (N + 1) T = h, (35) (h) где N 0 – целое число;

(0), (h) определены формулами (20).

54 Часть I. Краевые задачи в слое Формула (35) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого конечного h. Когда N = 0, возникает несколько уравнений при различных значениях N. Необходимо решать от носительно каждое из получающихся уравнений.

Теперь можно сформулировать теорему, аналогичную тео реме 1, но уже для обобщенного дисперсионного уравнения (35).

Теорема 4. Множество решений (собственных значений) краевой задачи на собственные значения (12)–(14) с условиями (10), (11), (15) содержится в множестве решений дисперсион ного уравнения (35).

Доказательство этой теоремы почти дословно повторяет до казательство теоремы 1.

Теперь мы перейдем к теоретическому обоснованию выво да дисперсионных уравнений (27) и (35). С самого начала мы ничего не говорили об условиях, при которых решение систе мы (8) существует и единственно. Мы сделали это намеренно, предпочитая сначала проделать все технические вычисления и дать читателю возможность проследить за выводом и использу емой техникой, не отвлекаясь на факты теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Воспользуемся векторной формой записи (13) системы (8):

DF = G(F, ). (36) Пусть правая часть G определена и непрерывна в области R2, G : R2. Также считаем, что G удовлетворяет в условию Липшица по F локально1.

Пусть x R2, – область в R2 и G – непрерывное отображение в R2.

Функция G(x) : R2 удовлетворяет условию Липшица по x (глобально на ), если x, x ||G(x) G(x)|| L||x x||, где L 0 – постоянная, не зависящая от выбора точек x и x (постоянная Липшица).

Функция G(x) : R2 удовлетворяет условию Липшица по x локально в, если для любой точки x0 можно указать ее окрестность V (x0 ), сужение G на которую удовлетворяет условию Липшица глобально в V (x0 ).

Гл. 3. ТЕ-волны в слое с произвольной нелинейностью При указанных условиях система (8) или, что то же самое, система (36) имеет единственное решение в области [8, 38, 49].

Ясно, что накладывая эти условия на систему (18), для нее получим единственность решения (разумеется, область един ственности в переменных, будет отлична от ).

Поскольку мы ищем ограниченные решения Y и Z, то [m1, m1 ] [m2, m2 ], где max |Y | m1, max |Z| m2.

x[0,h] x[0,h] Из последнего мы получаем, что [2, 2 + m2 ] (, +).

Поскольку мы считаем правую часть системы (36) аналити ческой и, следовательно, удовлетворяющей условию Липшица, то для такой системы справедливо все только что сказанное от носительно существования и единственности.

Можно показать, что не существует точки x такой, что Y |x=x = 0 и Z|x=x = 0. Действительно, из теории автоном ных систем известно (см., например, [38]), что при непрерывной и удовлетворяющей условию Липшица правой части фазовые траектории такой системы не пересекаются в ее фазовом про странстве. Поскольку Y 0 и Z 0 являются стационарными решениями системы (8), то ясно, что рассматриваемые непосто янные решения Y и Z не могут одновременно обратиться в нуль в некоторой точке x (иначе они будут пересекаться с ука занным стационарным решением, чего быть не может).

Еще одно замечание относительно интегралов в дисперси онных уравнениях (27) и (35). Если при некотором значении какие-то из входящих в дисперсионные уравнения интегралов расходятся во внутренних точках, то это попросту обозначает, что выбранное значение не является решением дисперсионно го уравнения и тем более не является собственным значением.

Укажем еще один интересный случай. Если нелинейность f представляет собой полином от независимой переменной, то первый интеграл, очевидно, является алгебраической функци ей от любой из двух своих переменных (см., например, [51]).

56 Часть I. Краевые задачи в слое В этом случае любое уравнение системы (8) совместно с первым интегралом представляет собой абелев интеграл [6, 39, 51]. Его обращением является абелева функция, которая и будет реше нием выбранного для интегрирования уравнения. В этом случае решение второго уравнение выражается из первого интеграла и найденного только что решения. Таким образом, обе функции – решения системы (8), являются абелевыми функциями. Как из вестно, абелевы функции – функции мероморфные (см., напри мер, [28, 34]). А в этом случае наше предположение о наличии у функции точек разрыва второго рода (и только их) спра ведливо. Заметим также, что многочленами выражаются многие нелинейности, а те, которые не выражаются, можно с любой сте пенью точности приблизить многочленами. Также заметим, что, хотя вектор поляризации в материальных уравнениях Максвел ла имеет разложение в ряд по степеням напряженности элек трического поля (и именно поэтому многочлен кажется наиболее общим типом нелинейности), имеются и другие типы нелиней ностей. Некоторые сведения по этому поводу можно почерпнуть в [3]. Появление абелевых функций в этой задаче тем более ин тересно, что относительно недавно выяснилось, что абелевы и тэта-функции являются решениями некоторых известных нели нейных уравнений [26]. Ясно, что все замечания относительно абелевых функций и интегралов справедливы и для системы (18), поскольку новые переменные, выражаются через ста рые Y, Z рационально.

Мы выводили дисперсионные уравнения из второго урав нения системы (18). Однако точно так же можно это сделать исходя из первого уравнения этой системы (см. с. 144).

ГЛАВА РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТЕ-ВОЛН В СЛОЕ С ОБОБЩЕННОЙ КЕРРОВСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ В этой главе мы рассмотрим приложение общей техники, развитой в главе 3 к случаю, когда нелинейность в слое является обобщенной керровской.

Заметим, что именно в этом случае, следующем по сложно сти после линейного, возможно исчерпывающе исследовать раз решимость краевой задачи. Это во многом связано с тем, что соб ственные функции задачи являются эллиптическими функция ми, которые очень хорошо изучены. Использование их свойств как раз и помогает получить полную информацию о собствен ных значениях.

§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющие ся через однородный, изотропный, немагнитный диэлектриче ский слой, расположенный между двумя полупространствами x 0 и x h в декартовой системе координат Oxyz. Полу пространства заполнены изотропной немагнитной средой без ис точников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость 1 0 и 3 0 соответственно, где 0 – диэлектрическая про ницаемость вакуума. Вообще говоря, условия 1 0 и 3 необязательны, они не используются при выводе дисперсион ных уравнений, однако могут оказаться полезными при анализе 58 Часть I. Краевые задачи в слое разрешимости дисперсионных уравнений. Считаем, что всюду = 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:

E (x, y, z, t) = E+ (x, y, z) cos t + E (x, y, z) sin t, H (x, y, z, t) = H+ (x, y, z) cos t + H (x, y, z) sin t, где – круговая частота;

E, E+, E, H, H+, H – веществен ные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E и H:

E = E+ + iE, H = H+ + iH.

Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе урав нений Максвелла rot H = iE, (1) rot E = iH, условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x = 0, x = h и условию излуче ния на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |x| в областях x 0 и x h.

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид = 2 + a|E|2 + b|E|4, где 2 – постоянная составляющая диэлектрической проницае мости;

a 0, b 0 – коэффициенты нелинейности. Мы счита ем, что 2 max (1, 3 ). Объяснение последнего условия см. в конце §2. В §6 мы будем считать, что 2, a, b – произвольные действительные числа.

Рассматриваемая нелинейность носит название обобщенной керровской;

при b = 0 получаем керровскую нелинейность;

при a = b = 0 получаем линейный случай, подробно изученный в гл. 2.

Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью Будем искать решение уравнений Максвелла во всем про странстве.

На рис. 1 схематически представлена геометрия задачи.

x = h = 2 + a|E|2 + b|E| z 0 = Рис. 1. Геометрия задачи §2. ТЕ-поляризованные электромагнитные волны Рассмотрим ТЕ-поляризованные волны:

E = (0, Ey, 0)T, H = (Hx, 0, Hz )T, где Ey = Ey (x, y, z), Hx = Hx (x, y, z), Hz = Hz (x, y, z).

Подставив поля E и H в уравнения Максвелла (1), получим H yz = 0, Hx Hz z x = iEy, y = 0, Hx E y z = iHx, Ey x = iHz.

Из первого и третьего уравнений этой системы видно, что Hz и Hx не зависят от y;

поскольку Ey выражается через Hz и Hx, то Ey также не зависит от y.

Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред (а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, ком поненты полей E, H имеют представление Ey = Ey (x)eiz, Hx = Hx (x)eiz, Hz = Hz (x)eiz.

60 Часть I. Краевые задачи в слое Тогда рассмотренная выше система принимает вид iHx (x) Hz (x) = iEy (x), iEy (x) = iHx (x), (2) Ey (x) = iHz (x), где – неизвестный спектральный параметр (постоянная рас пространения электромагнитной волны).

После простейших преобразований из системы (2) получаем 2 Ey (x) Ey (x) = 2 Ey (x).

Пусть k2 = 2 0, = 0, выполним нормировку в соответ j ствии с формулами x = kx, dx = k d, =, j = 0 (j = 1, 2, 3), x k d d a = a, = b0. Обозначим Ey () Y (). Опуская значок тиль b x x ды, получаем Y (x) = 2 Y (x) Y (x). (3) Введем в рассмотрение функцию Z(x) = Y (x) и будем рас сматривать (3) как систему:

Y (x) = Z(x), (4) Z (x) = 2 Y (x).

Будем искать те значения спектрального параметра (соб ственные значения), для которых существуют не равные тожде ственно нулю действительные решения Y (x), Z (x) системы (4).

Полагаем действительным (так что |E|2 не зависит от z, см.

сноску на с. 38, а также замечание на с. 26) и считаем 1, x 0;

2 + bY 4, 0 x h;

= 2 + aY (5) 3, x h.

Считаем, что функции Y и Z дифференцируемы так, что Y (x) C(, +) C 1 (, +) C 2 (, 0) C 2 (0, h) C 2 (h, +), Z(x) C(, +) C 1 (, 0) C 1 (0, h) C 1 (h, +).

Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью Только что указанные условия непрерывности и дифферен цируемости функций Y и Z продиктованы физическим содер жанием задачи. Видно, что система (4) является автономной.

Такую систему можно рассматривать как динамическую систе му с аналитическими по Y и Z правыми частями. Известно (см., например, [5]), что решения Y, Z такой динамической си стемы сами являются аналитическими функциями независимой переменной. Этот факт окажется очень важным при выводе дис персионных уравнений.

Будем искать такие, что max(1, 3 ) 2 2.

Последнее условие соответствует классической задаче рас пространения ТЕ-волн в линейном слое при 1 0, 3 0, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума и 2 max(1, 3 ).

Это условие естественно возникает в указанной задаче (см. гл. 2), и поэтому мы придерживаемся его при выводе дисперсионного уравнения для нелинейного слоя. В дальнейшем (см. §6) мы вы ведем дисперсионное уравнение в более общих предположениях, а именно: мы покажем, что 1, 2, 3, a, b могут быть произволь ными действительными числами.

§3. Решение системы дифференциальных уравнений При x 0 имеем = 1. Из (4) получаем Y = 2 1 Y, 2 его общее решение Y (x) = A1 ex 1 + Aex 1, в силу условия на бесконечности получаем 2 1, Y (x) = A exp x (6) Z (x) = A 2 1 exp x 2 1.

Здесь мы считаем 2 1 0, ибо в противном случае мы по лучим общее решение, выраженное через синусы и косинусы дей ствительного аргумента, и, таким образом, не сможем удовлетво рить условию излучения на бесконечности. Случай 2 1 = тоже невозможен, так как в этом случае мы получаем при x 62 Часть I. Краевые задачи в слое постоянное решение, которое не удовлетворяет условию на бес конечности.

При x h имеем = 3. Из (4) получаем Y = 2 3 Y, 2 его общее решение Y (x) = B1 e(xh) 3 + Be(xh) 3, в силу условия на бесконечности получаем 2 3, Y (x) = B exp (x h) (7) 2 3 B exp (x h) 2 3.

Z (x) = Здесь по тем же причинам, что и при x 0, мы считаем 2 3 0.

Постоянные A и B в (6) и (7) определяются условиями со пряжения и начальными данными.

Внутри слоя 0 x h система (4) принимает вид Y (x) = Z(x), (8) Z (x) = ( 2 2 aY 2 (x) bY 4 (x))Y (x).

Система (8) обладает первым интегралом, поэтому изуче ние уравнения второго порядка (3) можно свести к изучению уравнения первого порядка (любого из системы (8)) и первого интеграла. Поделив в (8) одно уравнение на другое, получим уравнение ZdZ + (2 2 + aY 2 + bY 4 )Y dY = 0, которое является уравнением в полных дифференциалах. Его общее решение имеет вид 6Z 2 + 6(2 2 )Y 2 + 3aY 4 + 2bY 6 = 4 C, (9) где C – постоянная интегрирования.



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.