авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В НЕЛИНЕЙНЫХ СЛОИСТЫХ СРЕДАХ Пенза Издательство ПГУ 2010 УДК ...»

-- [ Страница 2 ] --

§4. Условия сопряжения и задача сопряжения Как известно, касательные составляющие электромагнитно го поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматривае Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью мом случае касательными составляющими являются компонен ты Ey и Hz. Отсюда получаем Ey (h + 0) = Ey (h 0), Ey (0 0) = Ey (0 + 0), Hz (h + 0) = Hz (h 0), Hz (0 0) = Hz (0 + 0).

Тогда из (2) и (4) получаем (h) Y (h) = i 0 Hz (h + 0) = Hz = Z(h), (0) Y (0) = i 0 Hz (0 0) = = Z(0).

Hz Отсюда получаем, что B = Yh, A = Y0, где Y0 = Y (0) = = Ey (0 0) и Yh = Y (h) = Ey (h + 0). Постоянная Yh считается известной (падающее поле – начальное условие).

Пусть Z0 = Z(0) = Hz (0 0), Zh = Z(h) = Hz (h + 0), тогда 2 3 Yh 2 1 Y0.

Zh = и Z0 = Из условий непрерывности касательных составляющих Ey и Hz следуют условия сопряжения для функций Y и Z:

[Y ]x=0 = 0, [Y ]x=h = 0, [Z]x=0 = 0, [Z]x=h = 0, (10) где [f ]x=x0 = lim f (x) lim f (x) обозначает скачок функ xx0 0 xx0 + ции на границе раздела сред.

Считаем, что функции Y (x) и Z(x) удовлетворяют условию 1 Y (x) = O и Z (x) = O при |x|. (11) |x| |x| Пусть d X G D=, F(X, Z) =, G(F, ) = dx, 0 d Z G dx где Y Y (x) и Z Z(x) являются искомыми функциями, а G1 G1 (F, ) и G2 G2 (F, ) являются правыми частями урав нений системы (8). Число является спектральным параметром.

Перепишем задачу, используя введенные обозначения.

64 Часть I. Краевые задачи в слое Для полупространства x 0, = 1 получаем 0 DF F = 0. (12) 2 1 Внутри слоя 0 x h, = 2 + aY 2 + bY 4, и система принимает вид L(F, ) DF G(F, ) = 0. (13) Для полупространства x h, = 3 получаем 0 DF F = 0. (14) 2 3 Постоянную интегрирования C можно вычислить, подста вив в первый интеграл (9) значение Yh (которое нам известно), тогда Ch := C|x=h Y 6Zh + 6(2 2 )Yh + 3aYh + 2bYh = 4 Ch ;

2 2 4 6 Y 2 3 Yh, то окончательно получаем поскольку Zh = 2 4 6(2 3 )Yh + 3aYh + 2bYh Ch = Y.

Y Учитывая только что вычисленное значение Ch и то, что Z0 = 2 1 Y0, из первого интеграла (9) получаем уравнение относительно Y02 :

6(2 1 )Y02 + 3aY04 + 2bY06 = 6(2 3 )Yh + 3aYh + 2bYh. (15) 2 4 Из уравнения (15) легко видеть, что при 1 = 3 один из корней уравнения будет Yh, т.е. Y02 = Yh. Отметим, что в линей 2 2 = Y 2, в нелинейном же это лишь один из ном случае всегда Y0 h корней.

Здесь мы поставили верхний индекс у постоянной C Y для того, чтобы не спутать в дальнейшем. Когда будут введены новые переменные,, постоянную C удобно будет вычислить в новых переменных, разумеется, в новых переменных она может иметь другое значение.

Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью Сформулируем задачу сопряжения (ее можно переформули ровать как краевую задачу). Требуется найти собственные зна чения и соответствующие им ненулевые векторы F такие, что F удовлетворяет уравнениям (12)–(14);

компоненты Y, Z векто ра F удовлетворяют условиям сопряжения (10), условию (11), и Y (0) Y0 определяется из уравнения (15).

Определение 1. Число = 0, при котором существует ненулевое решение F задачи (12)–(14) при условиях (10), (11), (15), будем называть собственным значением задачи. Решение F, которое соответствует собственному значению, будем назы вать собственным вектором задачи, а компоненты Y (x) и Z (x) вектора F – собственными функциями (см. замечание на с. 42).

§5. Дисперсионное уравнение и теорема об эквивалентности Введем новые переменные1 :

Y (x) (x) = 2 + Y 2 (x), (x) = (x), (16) Z(x) из (16) получаем Y 2 = 2, Z 2 = ( 2 ) Y Z = ( 2 ), (17).

В рассматриваемой задаче в случае керровской нелинейности в каче стве новых переменных удобно взять = 2 + aY 2 и = Y. В таких Z переменных совершенно элементарно можно перейти к пределу при a и получить линейный случай (как пример, см. гл. 7). Указанные перемен ные в задаче с обобщенной керровской нелинейностью брать неудобно, если предполагается предельный переход при a 0 и b = 0. Поскольку в этом случае получается, что переменная вырождается в постоянную, а сама задача все еще остается нелинейной (так как b = 0). При выбранных нами в этой задаче переменных и предельный переход к случаю линейной среды в слое (при a 0, b 0) хоть и возможен в принципе, но может оказаться технически сложным, поскольку функция = (), выраженная из первого интеграла, будет содержать кубические корни, и трудно сказать a priori, возьмутся ли интегралы в дисперсионном уравнении от таких вы ражений. Также см. сноску на с. 43.

66 Часть I. Краевые задачи в слое Система (8) примет вид (мы обозначили 0 2 / 2 ) = 2( 2 ), f ( 2 ) = 2 0 1 + + 3 22, 2 где f (x) = ax2 + bx4. Здесь мы не стали подробно выводить последнюю систему из системы (8), поскольку это элементарные технические вычисления и они проведены в гл. 3, мы просто воспользовались результатом, полученным там.

Окончательно получаем = 2( 2 ), (18) ( 2 (0 1)+a( 2 )+b( 2 )2 )2 +(3 22 ) =.

Первый интеграл (9) можно привести к виду 6 2 ( 2 ) 2 = (19).

4 C 6(2 2 ) 3a( 2 )2 2b( 2 ) Из первого интеграла (19) видно, что функции и свя заны алгебраически. Функция = () выражается из него по формулам Кардано [30].

Из формул (16) получаем (0) = 2 + Y02, (h) = 2 + Yh ;

поскольку Yh известна, то и (h) известна.

Для (0) и (h) получаем 2 + Y02 2 + Yh (0) = 0, (h) = 0. (20) 2 1 2 Используя (h) = (h), из первого интеграла (19), под 2 ставляя x = h, находим значение постоянной Ch := C|x=h :

6(2 3 )( (h) 2 ) + 3a( (h) 2 )2 + 2b( (h) 2 ) Ch =.

(21) Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью Теперь из первого интеграла (19), используя (20) и (21), мы можем найти уравнение относительно (0):

6(2 1 )( (0) 2 ) + 3a( (0) 2 )2 + 2b( (0) 2 )3 = = 6(2 3 )( (h) 2 ) + 3a( (h) 2 )2 + 2b( (h) 2 )3. (22) Ясно, что должно быть (0) 2, поскольку (0) = 2 + Y и 2 0. Легко показать, что при 2 1 0, 2 3 0, a 0, b 0 такой корень существует. Действительно, запишем уравнение (22) в виде a3 x3 +a2 x2 +a1 x = a0, где x = (0)2 и a0, a1, a2, a4 все больше нуля. Тогда очевидно, что это уравнение имеет корень x 0, но это значит, что уравнение (22) имеет корень (0) 2.

Заметим, кстати, из уравнения (22) ясно, что при 1 = 3 од ним из корней этого уравнения будет (h), т.е. (0) = (h). Или в старых переменных Y02 = Yh. Такая же ситуация характерна и для случая линейного слоя (см. гл. 1), с той лишь разницей, что в случае линейного слоя при 1 = 3 всегда Y02 = Yh. В данном же случае это только один из корней уравнения (22).

При наших предположениях правая часть второго уравне ния системы (18) положительна, это значит, что функция воз растает при x (0, h). Но из формул (20) видно, что (0) 0, а (h) 0. Из этого следует, что функция необходимо имеет точку разрыва.

Из формулы (19) ясно, что точками разрыва могут являться лишь нули знаменателя первого интеграла. Поскольку ни = 0, ни = 2 в нуль знаменатель не обращают, то из этого следу ет, что все точки разрыва являются точками разрыва второго рода1. Тогда в этих точках = (x ) таково, что = ±.

Хотя это ясно из аналитичности функций Y и Z. Более того, посколь ку первый интеграл – алгебраическая функция своих переменных и правые части системы уравнений (18) рациональны относительно и, то, как известно (см., например, [6, 39, 51]), решения и этой системы будут абе левыми функциями. Отсюда следуют то, что все разрывы второго рода. Но, как видно из предыдущих рассуждений, в случае положительности правых частей удается доказать этот факт, не обращаясь к аналитичности решений.

68 Часть I. Краевые задачи в слое Естественно среди всех корней знаменателя выбирать только те, которые 2.

Предположим, что имеется (N + 1) точка разрыва x0,..., xN на интервале x (0, h).

Из свойств функции = (x) следует, что (xi 0) = +, (xi + 0) =, i = 0, N.

где (23) Обозначим w=, ( 2 ( 2 0 1) + a( 2 ) + b( 2 ) ) + (3 22 ) где w w() и = () находится из первого интеграла (19).

Учитывая сказанное, будем разыскивать решения на каж дом из отрезков [0, x0 ], [x0, x1 ],..., [xN, h]:

(x0 ) wd = x + c0, 0 x x0 ;

(x) (x) wd = x + ci, xi x xi+1, i = 0, N 1;

(24) (xi ) (x) wd = x + cN, xN x h.

(xN ) Подставляя x = 0, x = xi+1, x = xN в уравнения (24) (в первое, второе и третье соответственно) и учитывая (23), най дем постоянные c1, c2,..., cN +1 :

+ c = wd;

(0) + ci+1 = wd xi+1, i = 0, N 1;

(25) (h) c N +1 = wd h.

Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью С учетом (25) уравнения (24) примут вид (x0 ) + wd = x + 0 x x0 ;

wd, (x) (0) (x) + wd = x + wd xi+1, xi x xi+1, i = 0, N 1;

(xi ) (x) (h) wd = x + wd h, xN x h.

(xN ) (26) + Введем обозначение T = d. Из формулы (26) следует, что 0 xi+1 xi = T h, где i = 0, N 1. Отсюда следует сходимость несобственного интеграла (позднее мы докажем это из других соображений). Теперь, полагая в уравнениях (26) x таким, чтобы все интегралы слева обратились в нуль (т.е. x = x0, x = xi, x = xN ), сложим все уравнения (26), получим + (h) 0 = x0 + wd+x0 +T x1 +...+xN 1 +T xN +xN + wdh.

(0) Окончательно получаем (h) wd + (N + 1) T = h, (27) (0) где N 0 – целое число;

(0), (h) определены формулами (20).

Формула (27) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого конечного h. Когда N = 0, возникает несколько уравнений при различных значениях N. Необходимо решать от носительно каждое из получающихся уравнений.

Отметим, что несобственные интегралы в дисперсионном уравнении (27) сходятся. Действительно, при функция 70 Часть I. Краевые задачи в слое = () остается ограниченной, поскольку = 2 + Y 2 и Y – ограниченная функция. Тогда |w| =, ( 2 ( 2 0 1) + a( 2 ) + b( 2 ) ) + (3 22 ) где 0, 0 – постоянные, тогда несобственный интеграл + d сходится. Поскольку мы требуем, чтобы правая часть 2 + второго уравнения (19) была положительна, то из этого следует сходимость интегралов в (28) во внутренних точках.

Теорема 1. Множество решений (собственных значений) краевой задачи на собственные значения (12)–(14) с условиями (10), (11), (15) содержится в множестве решений дисперсион ного уравнения (27).

Доказательство. Из самого способа получения дисперси онного уравнения (27) из системы (18) следует, что собственное значение краевой задачи (12)–(14) является решением дисперси онного уравнения.

В то же время не каждое решение дисперсионного уравне ния (27) является решением краевой задачи. Это связано с тем, что как функция от, определяемая из первого интеграла (19), является, вообще говоря, многозначной функцией. Други ми словами, может существовать несколько корней (0) уравне ния (22), удовлетворяющих условию (0) 2. Но даже в этом случае можно среди корней дисперсионного уравнения найти ре шения краевой задачи. Действительно, найдя решение диспер сионного уравнения (27), мы сможем найти функции (x) и (x) из системы (18) и первого интеграла (19). Зная функции (x) и (x) и пользуясь формулами (16), (17), найдем Y (x) = ± 2 и Z(x) = ± 2. (28) || Вопрос о выборе знака является существенным, поэтому об судим его подробнее. Нам известно поведение функции = Y :

Z Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью функция является монотонно возрастающей, если x = x тако во, что (x ) = 0, то (x 0) 0, (x + 0) 0, и если x = x таково, что (x ) = ±, то (x 0) 0 и (x + 0) 0.

Других точек перемен знака у функции нет. Начальное условие Yh положим для определенности 0. Если 0, то функции Y и Z имеют одинаковые знаки, а если 0, то Y и Z имеют раз ные знаки. Помня о том, что X и Z – непрерывные функции (и даже гладкие на соответствующих областях), выбираем соответ ствующие знаки в выражениях (28). Теперь, зная функцию Y, мы можем вычислить (0) = 2 + Y02, если полученное значе ние совпадает с найденным ранее из первого интеграла, зна чит, найденное решение дисперсионного уравнения является собственным значением краевой задачи (и не является таковым в противном случае). Если же функция такова, что существу ет единственный корень (0) уравнения (22), удовлетворяющий условию (0) 2, то получается следующая Теорема 2 (об эквивалентности). Если уравнение (22) имеет единственное решение (0), удовлетворяющее условию (0) 2, то краевая задача на собственные значения (12)–(14) с условиями (10), (11), (15) имеет решение (собственное зна чение) тогда и только тогда, когда это собственное значение является решением дисперсионного уравнения (27).

Доказательство этой теоремы очевидным образом следует из доказательства предыдущей теоремы.

(h) Введем обозначение J(, k) := wd + (k + 1)T, где правая (0) часть рассматриваемой формулы определяется из дисперсионно го уравнения (28) и k = 0, N.

Пусть hk = inf hk = sup J(, k), J(, k).

sup inf 2 (max(1,3 ),2 ) 2 (max(1,3 ),2 ) Сформулируем достаточное условие существования по край ней мере одного собственного значения краевой задачи.

72 Часть I. Краевые задачи в слое Теорема 3. Если h таково, что для некоторого k = 0, N выполняется неравенство hk h hk, inf sup то краевая задача на собственные значения (12)–(14) с услови ями (10), (11), (15) имеет по крайней мере одно решение (соб ственное значение).

Величины hk и hk можно находить численно.

sup inf §6. Обобщенное дисперсионное уравнение В этом параграфе мы получим общее дисперсионное урав нение, справедливое при любых действительных значениях 2.

Также мы откажемся от требования, чтобы правая часть вто рого уравнения системы (18) была положительна (см. сноску на с. 50), а также от условий max(1, 3 ) 2 2 или 0 2 2.

Эти условия возникали в линейном случае и были использова ны при выводе дисперсионного уравнения (27). Однако в нели нейном случае нет требований, которые ограничивают значения 2 справа, хотя ограничение слева остается (оно возникает из решений в полупространствах, где среда линейна). Теперь мы считаем, что удовлетворяет одному из двух неравенств max(1, 3 ) 2 +, когда хотя бы одна из величин 1 или 3 положительна, или 0 2 +, когда 1 0 или 3 0.

Сначала мы выведем дисперсионное уравнение из системы уравнений (18) и первого интеграла (19), а потом обсудим детали вывода и условия, при которых сам вывод возможен и справед ливо полученное дисперсионное уравнение.

Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью Имея в своем распоряжении первый интеграл (19), фор мально можно проинтегрировать любое из двух уравнений си стемы (18). Мы, как и ранее, будем интегрировать второе урав нение системы (18). Но мы не можем получить решение на всем интервале, поскольку функция (x) может иметь разрывы в некоторых точках интервала (0, h). При выводе дисперсионно го уравнения мы будем считать, что (x) имеет разрывы только второго рода. Это можно доказать несколькими способами, в частности, можно исходную систему рассматривать как систе му с аналитическими правыми частями. Можно поступить по другому, легко показать, что собственные функции будут эллип тическими, отсюда сразу следует, что разрывы только второго рода и что их конечное число.

Пусть функция (x) на интервале (0, h) имеет несколько то чек x0, x1,..., xN, в которых она обращается в бесконечность.

Отметим, что (xi 0) = ±, (xi + 0) = ±, i = 0, N, причем знаки ± в этих формулах независимы и нам неизвестны.

Учитывая сказанное, будем разыскивать решения на каж дом из отрезков [0, x0 ], [x0, x1 ],..., [xN, h]:

(x0 0) wd = x + c0, 0 x x0 ;

(x) (x) wd = x + ci+1, xi x xi+1, i = 0, N 1;

(29) (xi +0) (x) wd = x + cN +1, xN x h.

(xN +0) Из уравнений (29), подставляя x = 0, x = xi+1, x = xN в первое, второе и третье уравнения (29), найдем необходимые константы c1, c2,..., cN +1 :

74 Часть I. Краевые задачи в слое (x0 0) c = wd;

(0) (xi+1 0) ci+1 = wd xi+1, i = 0, N 1;

(30) (xi +0) (h) cN +1 = wd h.

(xN +0) С учетом (30) уравнения (29) примут вид (x0 0) (x0 0) wd = x + 0 x x0 ;

wd, (x) (0) (x) (xi+1 0) wd = x + wd xi+1, xi x xi+1 ;

(31) (xi +0) (xi +0) (x) (h) wd = x + wd h, xN x h, (xN +0) (xN +0) где i = 0, N 1.

Из формул (31) получаем, что (xi+1 0) xi+1 xi = (32) wd, (xi +0) где i = 0, N 1.

Поскольку 0 xi+1 xi h, то отсюда следует, что при наших предположениях (относительно наличия особых точек) (xi+1 0) wd 0.

интеграл справа сходится, и (xi +0) Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью Таким же образом из первого и последнего уравнений (31) (x0 0) получаем x0 = wd, так как 0 x0 h, тогда (0) (x0 0) 0 wd h ;

(0) (h) h xN = wd, так как 0 h xN h, тогда (xN +0) (x0 0) 0 wd h.

(0) Из этих рассуждений следует, что функция (x) имеет ко нечное число точек разрыва второго рода, и функция w() не имеет неинтегрируемых особенностей при (, ).

Теперь, полагая в уравнениях (31) x таковым (т.е. подстав ляя x = x0, x = xi, x = xN в первое, второе и третье уравнения (31)), чтобы все интегралы слева обратились в нуль, сложим все уравнения (31) и получим (x0 0) (x1 0) 0 = x0 + wd + x0 + wd x1 +...

(x0 +0) (0) (xN 0) (h)... + xN 1 + wd xN + xN + wd h. (33) (xN1 +0) (xN +0) Из (33) получаем (x0 0) (xi+1 0) (h) N wd + wd + wd = h. (34) i= (xN +0) (xi +0) (0) 76 Часть I. Краевые задачи в слое Из формулы (32) следует, что (xi + 0) = ± и (xi 0) =, где i = 0, N, причем ясно, что бесконечности должны выбираться различных знаков.

Таким образом, получаем, что (x1 0) (xN 0) wd =... = wd T, (x0 +0) (xN1 +0) и, значит, x1 x0 =... = xN xN 1.

Теперь уравнение (34) можно переписать так:

(x0 0) (h) wd + f d + N T = h (xN +0) (0) или в окончательной форме (0) wd + (N + 1) T = h, (35) (h) где N 0 – целое число;

(0), (h) определены формулами (20).

Формула (35) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого конечного h. Когда N = 0, возникает несколько уравнений при различных значениях N. Необходимо решать от носительно каждое из получающихся уравнений.

Теперь можно сформулировать теорему, аналогичную тео реме 1, но уже для обобщенного дисперсионного уравнения (35).

Теорема 4. Множество решений (собственных значений) краевой задачи на собственные значения (12)–(14) с условиями (10), (11), (15) содержится в множестве решений дисперсион ного уравнения (35).

Доказательство этой теоремы почти дословно повторяет до казательство теоремы 1.

Гл. 4. ТЕ-волны в слое с обобщенной керровской нелинейностью Теперь мы перейдем к теоретическому обоснованию выво да дисперсионных уравнений (27) и (35). С самого начала мы ничего не говорили об условиях, при которых решение системы (8) существует и единственно. Мы сделали это намеренно, пред почитая сначала проделать все технические вычисления и дать читателю возможность проследить за выводом и используемой техникой, не отвлекаясь на теоретические факты теории обык новенных дифференциальных уравнений.

Воспользуемся векторной формой записи (13) системы (8):

DF = G(F, ). (36) Пусть правая часть G определена и непрерывна в области R2, G : R2. Также считаем, что G удовлетворяет в условию Липшица по F локально1.

При указанных условиях система (8) или, что то же самое, система (36) имеет единственное решение в области [8, 38, 49].

Ясно, что накладывая эти условия на систему (18), для нее получим единственность решения (разумеется, область един ственности в переменных, будет отлична от ).

Поскольку мы ищем ограниченные решения Y и Z, то [m1, m1 ] [m2, m2 ], где max |Y | m1, max |Z| m2.

x[0,h] x[0,h] Из последнего мы получаем, что [2, 2 + m2 ] (, +).

Первый интеграл, очевидно, является алгебраической функ цией от любой из двух своих переменных (см., например, [51]).

В этом случае любое уравнение системы (8) совместно с первым интегралом представляет собой абелев интеграл [6, 39, 51]. Его обращением является абелева функция, которая и будет реше нием выбранного для интегрирования уравнения. В этом случае решение второго уравнение выражается из первого интеграла и По поводу условия Липшица см. сноску на с. 78 Часть I. Краевые задачи в слое найденного только что решения. Таким образом, обе функции – решения системы (8), являются абелевыми функциями. Как из вестно, абелевы функции – функции мероморфные (см., напри мер, [28, 34]). А в этом случае наше предположение о наличии у функции точек разрыва второго рода (и только их) справед ливо. Таким образом, мы полностью обосновали справедливость полученных дисперсионных уравнений.

На самом деле в этой задаче собственные функции выра жаются через эллиптические функции (которые являются част ным случаем абелевых). Если рассматривать задачу о распро странении ТМ-волн в слое с керровской (не обобщенной керров ской!) нелинейностью, то там уже не удается выразить собствен ные функции через эллиптические (см. гл. 7). Их можно выра зить через так называемые гиперэллиптические абелевы функ ции (они тесно связаны с проблемой обращения Якоби, см., на пример, [26]). Так, всего лишь изменение поляризации уже суще ственно усложняет задачу. Ясно, что все замечания относитель но абелевых функций и интегралов справедливы и для системы (18), поскольку новые переменные, выражаются через ста рые Y, Z рационально.

Еще одно замечание относительно интегралов в дисперси онных уравнениях (27) и (35). Если при некотором значении какие-то из входящих в дисперсионные уравнения интегралов расходятся во внутренних точках, то это попросту обозначает, что выбранное значение не является решением дисперсионно го уравнения и тем более не является собственным значением.

Мы выводили дисперсионные уравнения из второго урав нения системы (18). Однако точно так же можно это сделать, исходя из первого уравнения этой системы (см. с. 144).

ГЛАВА РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТМ-ВОЛН В ЛИНЕЙНОМ СЛОЕ Глава посвящена изучению распространения поляризован ных электромагнитных ТМ-волн в линейном слое, расположен ном между двумя изотропными полупространствами. Несмотря на то, что эта задача является классической в электродинамике, она, как нам кажется, еще не была исследована в полной мере для метаматериалов1. Нам не удалось найти работы, в которой были бы представлены в полной мере полученные результаты, и это побудило нас вывести указанные дисперсионные уравнения здесь. В дальнейшем мы неоднократно ссылаемся на результаты этой главы. Приведенные здесь дисперсионные уравнения могут быть применены при изучении линейных метаматериалов.

Результаты этой главы опубликованы в [15].

§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющие ся через однородный, анизотропный, немагнитный диэлектри ческий слой, расположенный между двумя полупространствами x 0 и x h в декартовой системе координат Oxyz. Полу пространства заполнены изотропной немагнитной средой без ис точников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость Задачи распространения электромагнитных волн в линейном слое из метаматериала активно изучаются в настоящее время, с некоторыми аспек тами исследований можно познакомиться по работам [4, 52–54], см. также [70, 84].

80 Часть I. Краевые задачи в слое 1 0 и 3 0 соответственно, где 0 – диэлектрическая про ницаемость вакуума. Вообще говоря, условия 1 0 и 3 необязательны, они не используются при выводе дисперсион ных уравнений, однако могут оказаться полезными при анализе разрешимости дисперсионных уравнений. Считаем, что всюду = 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:

E (x, y, z, t) = E+ (x, y, z) cos t + E (x, y, z) sin t, H (x, y, z, t) = H+ (x, y, z) cos t + H (x, y, z) sin t, где – круговая частота;

E, E+, E, H, H+, H – веществен ные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E и H:

E = E+ + iE, H = H+ + iH.

Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе урав нений Максвелла rot H = iE, (1) rot E = iH, условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x = 0, x = h и условию излуче ния на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |x| в областях x 0 и x h.

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается диагональным тензором:

xx 0 = 0 yy 0, 0 0 zz где xx, zz – постоянные величины. Какой вид имеет yy, не име ет значения, поскольку при рассмотрении ТМ-поляризованных волн yy не содержится в рассматриваемых ниже уравнениях.

Гл. 5. ТМ-волны в линейном слое Будем искать решение уравнений Максвелла во всем про странстве.

На рис. 1 схематически представлена геометрия задачи.

x = h = z 0 = Рис. 1. Геометрия задачи §2. ТМ-поляризованные электромагнитные волны Рассмотрим ТМ-поляризованные волны:

E = (Ex, 0, Ez )T, H = (0, Hy, 0)T, где Ex = Ex (x, y, z), Ez = Ez (x, y, z), Hy = Hy (x, y, z) и ( · )T – операция транспонирования.

Подставив поля E и H в уравнения Максвелла (1), получим E yz = 0, Ex Ez z x = iHy, y = 0, Ex H y z = ixx Ex, Hy x = izz Ez.

Из первого и третьего уравнений этой системы видно, что Ez и Ex не зависят от y. Поскольку Hy выражается через Ex и Ez, то Hy также не зависит от y.

Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред (а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, ком поненты полей E, H имеют представление Ex = Ex (x)eiz, Ez = Ez (x)eiz, Hy = Hy (x)eiz.

82 Часть I. Краевые задачи в слое Тогда из рассмотренной выше системы получаем (iEx (x)) Ez (x) = 2 zz Ez (x), (2) 2 (iEx (x)) Ez (x) = 2 xx (iEx (x)), здесь – неизвестный спектральный параметр (постоянная рас пространения электромагнитной волны).

Введем обозначения k2 = 2 0 с = 0 и выполним нор мировку в соответствии с формулами x = kx, dx = k d, =, x d d k 1 = 0, 3 = 0, xx = 0, zz = 0. Переобозначаем Ez Z (), 1 3 xx zz x iEx X () и, опуская значок тильды, систему (2) приведем x к виду d Z + dX = zz Z, dx2 dx dZ + X = xx X.

dx Из последней системы легко получаем X X = 0, (3) Z = xx X, zz где zz = ( xx ). (4) xx Будем искать те действительные значения спектрального параметра, для которых существуют действительные решения X (x), Z (x) системы (3).

Замечание. Мы считаем действительным, хотя в линей ном случае можно считать спектральный параметр комплекс ным числом. Однако в нелинейном случае при используемом подходе уже не удается рассматривать комплексные.

Считаем, что функции X, Z дифференцируемы так, что X(x) C (, 0] C[0, h] C [h, +) C 1 (, 0] C 1 [0, h] C 1 [h, +), Z(x) C(, +) C 1 (, 0] C 1 [0, h] C 1 [h, +) C 2 (, 0) C 2 (0, h) C 2 (h, +).

Гл. 5. ТМ-волны в линейном слое Система (3) – это на самом деле система уравнений в ани зотропном слое, однако из нее легко получаются системы для изотропных полупространств при xx = zz =, где отвечает уже изотропной среде (полупространству).

Считаем, что 2 max(1, 3 ). Отметим, что последнее усло вие имеет место только в случае, если хотя бы одна из величин 1 или 3 положительна, если же 1 0 и 3 0, то 2 0.

Откуда взялись эти условия, будет ясно из дальнейшего.

§3. Решение системы дифференциальных уравнений При x 0 имеем = 1. Из (3) получаем X = 2 1 X, 2 его общее решение X (x) = A1 e 1 x + Ae 1 x, в силу условия на бесконечности получаем решения X (x) = x 1, Ae (5) 2 1 Aex 1.

Z (x) = Здесь мы считаем 2 1 0, ибо в противном случае мы получим общее решение, выраженное через синусы и косинусы действительного аргумента, и не сможем удовлетворить условию излучения на бесконечности. Случай 2 1 = 0 тоже невозмо жен, т.к. здесь мы получаем при x 0 постоянное решение, которое не удовлетворяет условию излучения на бесконечности.

При x h имеем = 3. Из (3) получаем X = 2 3 X, 2 его общее решение X (x) = B1 e(xh) 3 + Be(xh) 3, в силу условия на бесконечности получаем решения X(x) = Be(xh) 3, (6) 2 Z(x) = 3 Be(xh) 3.

Здесь по тем же причинам, что и при x 0, мы считаем 2 3 0.

Постоянные A и B в (5) и (6) определяются начальными данными и условиями сопряжения.

84 Часть I. Краевые задачи в слое Внутри слоя решаем систему (3). Из уравнения X = X видно, что возможны два случая:

а) 0;

общее решение внутри слоя есть X(x) = C1 ex + C2 ex, (7) xx ) C1 ex Z(x) = zz ( + C2 ex ;

xx б) 0;

общее решение внутри слоя есть X(x) = C1 sin x + C2 cos x, (8) Z(x) = xx (xx 2 ) C1 cos x C2 sin x.

zz §4. Условия сопряжения Как известно, касательные составляющие электромагнитно го поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматривае мом случае касательными составляющими являются компонен ты Hy и Ez. Отсюда получаем Hy (h + 0) = Hy (h 0), Hy (0 0) = Hy (0 + 0), Ez (h + 0) = Ez (h 0), Ez (0 0) = Ez (0 + 0), (h) где постоянная Ez = Z(h) = Z(h + 0) считается известной.

Из условий непрерывности касательных составляющих Ex, Hy электромагнитного поля E и H получаем условия сопряже ния для функций X, Z:

[X]x=0 = 0, [X]x=h = 0, [Z]x=0 = 0, [Z]x=h = 0, (9) где [f ]x=x0 = lim f (x) lim f (x) обозначает скачок функ xx0 0 xx0 + ции на границе раздела сред.

(h) Обозначаем Z (h) = Ez (известная величина – падающее (0) поле), Z (0) = Ez, причем (h) (0) B= A= Ez, Ez.

2 3 Гл. 5. ТМ-волны в линейном слое (0) (h) Тогда X (0) = и X (h) = Ez.

Ez 2 1 2 В случае (а) из условий сопряжения (9) и решений (5)–(7) получаем систему 1 A = xx (C1 + C2 ), B = C1 eh + C2 eh, 3 xx 2 1 A = zz ( xx )(C2 C1 ), xx xx ) C1 eh 2 3 B = zz ( + C2 eh xx.

Решая эту систему, мы получаем дисперсионное уравнение 2 xx xx zz ( 2 1 ) e2h = 2 xx + xx zz ( 2 1 ) 2 xx xx zz ( 2 3 ), (10) 2 xx + xx zz ( 2 3 ) где 2 1 0, 2 3 0, 0.

В случае (б) из условий сопряжения (9) и решений (5), (6), (8) получаем систему 1 A = xx C2, B = 3 xx C1 sin h + C2 cos h, 2 1 A = zz (xx )C1, xx 2 3 B = zz (xx ) C1 cos h C2 sin h.

xx Из последней системы находим 1 3 xx 2 xx zz 2 1 2 sin h = xx zz (xx 2 ) 3 2 1 + 1 2 = cos h, (11) где 2 1 0, 2 3 0, 0.

86 Часть I. Краевые задачи в слое Если cos h = 0, то получаем известное уравнение xx zz (xx 2 ) 3 2 1 + 1 2 tg h =. (12) 1 3 (xx 2 ) xx zz 2 1 2 Если же условие cos h = 0 не выполняется, то мы можем записать последнее уравнение через котангенс, однако в этом случае можно получить более простое (алгебраическое) уравнение для собственных значений.

Уравнения (10) и (11) можно формально получить одно из другого, просто заменив в любом из них на и учитывая появление мнимой единицы при извлечении корня.

§5. Анализ дисперсионных уравнений В обоих дисперсионных уравнениях (10) и (12) из условий 2 1 0 и 2 3 0 следует, что 1 и 3 могут быть про извольных знаков (именно об этом шла речь в §1). Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда 1 0 и 3 0, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума.

Из условий 2 1 0 и 2 3 0 сразу следует, что 2 max(1, 3 ).

Из условия 0 следуют такие неравенства:

xx 0, xx 0, xx 0, 0, или zz 0, или zz 0, (13) zz 2 2 xx, xx, xx.

Из условия 0 следуют такие неравенства:

xx 0, xx 0, xx 0, 0, или zz 0, или zz 0, (14) zz 2 2 xx, xx, xx.

Гл. 5. ТМ-волны в линейном слое Заметим, что из первой и второй групп неравенств в (14) следует, что 2 max(xx, 1, 3 ). То есть здесь величина не ограничена сверху. Можно показать, что в уравнении (12) lim h = 0 (рис. 2).

2 + | | | | | | | | 10 h 0 Рис. 2. 1 = 1, xx = 3, zz = 1, 3 = 2.

Пунктирная прямая отвечает значению 2 = xx Также из первой и второй групп неравенств в (13) следу ет, что 2 max(xx, 1, 3 ), значит, и здесь 2 не ограничена сверху. Помним, что в случае уравнения (10) существует всего одна дисперсионная кривая, т.к. экспонента имеет мнимый пери од. Это отличает случай ТМ-волн от аналогичного для ТЕ-волн.

В главе 2 показано, что при распространении ТЕ-волн в линей ном слое всегда либо 0 2 2, либо max(1, 3 ) 2 2.

Теперь перейдем к подробному анализу простого случая, а именно рассмотрим уравнения (10) и (12) при xx = zz = 2.

Из уравнения (10) получаем 2 2 2 2 2 2 2 1 · 2 2 2 2 1 ln 2 +2 1 2 +2 1 h= + 2 2 ik +, (15) 2 где k Z и 2 1 0, 2 2 0, 2 3 0.

88 Часть I. Краевые задачи в слое Неравенства (13) переходят в 2 0, 2 0, или (16) 2 2, 2 2.

Из неравенств (16) сразу следует, что в (15) k = 0.

Из уравнения (15) легко видеть, что если 1 0, 2 0, 3 0, то величина под знаком логарифма по модулю меньше 1, и мы получаем мнимое или отрицательное значение для h. То же самое верно и при 1 0, 2 0, 3 0. В других случаях может получиться как отрицательное значение h, так и положительное.

Поскольку h – толщина слоя, то эта величина может принимать только положительные значения.

Наиболее интересным кажется случай, когда 1 0, 3 0, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума и 2 0. То гда 2 max(1, 3 ). Проведем детальный анализ уравнения (10) при указанных условиях. Сразу заметим, что поскольку 1 2 2 2 2 1 2 1 и 3 2 2 2 2 3 1 при указан 2 2 +2 1 2 +2 1 ных условиях, то величина под знаком логарифма в (15) по мо дулю всегда больше единицы. Значит, нам лишь осталось ука зать условия, при которых указанная величина положительна.

Формулу (15) можно привести к виду 2 1 2 2 2 2 1 3 2 2 2 2 ln · 2 ( 2 )2 ( 2 ) 2 ( 2 )2 ( 2 ) 2 1 2 1 2 3 h= (17).

2 2 Из формулы (17) ясно, что числители дробей под знаком ло гарифма должны одновременно иметь одинаковые знаки. Пре образуем (17) следующим образом:

2 1 2 2 2 2 1 3 2 2 2 2 ln (1 2 )(3 2 )( 2 (1 +2 )1 2 )( 2 (3 +2 )3 2 ) h= (18).

2 2 Ясно, что 1 2 0 и 3 2 0. Остается изучить множи тели 2 (1 + 2 ) 1 2 и 2 (3 + 2 ) 3 2. Указанные два Гл. 5. ТМ-волны в линейном слое множителя должны быть либо оба отрицательны, либо оба по ложительны. Если они оба отрицательны, то, как легко пока зать, 2 max 1, 3, |2||1, |2 ||3. Поскольку |2 |1 1 и 1 |2 3 |2 |2 | |2 | 1, окончательно получаем, что |2 | 1 2 = |2 | · max,.

|2 | 1 |2 | Нетрудно показать, что в этом случае lim h = 0. Также lim h = + (рис. 3).

легко видеть, что 2 + | | | | | | | | | | | | h 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0. Рис. 3. 1 = 3, 2 = 5, 3 = Если же оба указанных множителя положительны, то име ется четыре возможности:

а) |2 | min(1, 3 ) и 2 max (1, 3 ). В этом случае полу чаем lim h = 0 (поскольку под знаком логарифма в (15) чис ло, большее единицы, а множитель перед логарифмом стремится к бесконечности);

б) 3 |2 | 1 и max (1, 3 ) = 1 2 |2 ||3. Тогда 3 | получаем, что 1 |2 ||3. При 2 |2 ||3 получаем мнимые 3 |2 3 | lim h = +, значения для h. Из формулы (18) ясно, что | | 2 | 3| 2 90 Часть I. Краевые задачи в слое т.е. имеется горизонтальная асимптота 2 = |2||3. Величина h 3 | при 2 1 + 0 имеет конечный предел (рис. 4,б)1 ;

в) 1 |2 | 3 и max (1, 3 ) = 3 2 |2 ||1. Тогда 1 | получаем, что 3 |2 ||1. При 2 |2 ||1 получаем мнимые 1 |2 1 | значения для h;

г) |2 | max(1, 3 ), max (1, 3 ) 2 min |2 ||1, |2 ||3.

1 |2 3 | Отметим, что двойное неравенство в п. г при некоторых зна чениях параметров может оказаться противоречивым. Напри мер, при 2 = 5, 1 = 3 = 1 мы получаем, что 2 2 5/4.

Каждая из возможностей показана на рис. 4,а–г.

| | | | h, | | | | | | | | h 0 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0. 2 Рис. 4,а. 1 = 3, 2 = 1, 3 = 2;

= 3, h = h = 1 ln 4 2 = 34/ | | | | h, | | | | | | | | h 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 2 2 ln 393+68 Рис. 4,б. 1 = 3, 2 = 2, 3 = 2;

= 3, h = h = Вывод относительно существования горизонтальной асимптоты спра ведлив и для случаев в, г.

Гл. 5. ТМ-волны в линейном слое 2 = | 160 | | | 40 | h, | | | | h 0 0.1 0.2 0.3 0. 2 Рис. 4,в. 1 = 2.95, 2 = 3, 3 = 4;

= 4, h = h 0. 2 = 79. | | | | h, | | | h 0 0.2 0.4 0. 2 Рис. 4,г. 1 = 3.9, 2 = 4.1, 3 = 4;

= 4, h = h 0. Как видно из выкладок, случаи б–г существенно не отлича ются. Этот факт отражен на рис. 4,б–г. Кривые на этих рисунках очень похожи друг на друга, их можно было бы сделать практи чески одинаковыми, если специально подобрать параметры 1, 2, 3. Мы постарались выбрать параметры так, чтобы было вид но, как может продеформироваться дисперсионная кривая.

Относительно того, как графически можно определять соб ственные значения из дисперсионных кривых, см. с. 33.

92 Часть I. Краевые задачи в слое Перейдем к уравнению (12), это уравнение является класси ческим и при xx = zz = 2, 1 = 3 приведено в [83]. Рассмот рим уравнение (12) при xx = zz = 2 :

2 2 3 2 1 + 1 2 2 2 = tg h (19).

1 3 (2 2 ) 2 2 1 2 Неравенства (14) переходят в 2 0, (20) 2 2.

Из уравнения (19) и неравенств (20) сразу следует, что max(1, 3 ) 2 2. (21) Относительно уравнения (19) можно сформулировать ут верждение, аналогичное утверждению 1 из гл. 2.

Введем обозначения: = max(1, 3 ), = min(1, 3 ) и h = lim h() = arctg. Ясно, что 0 h +.

2 2, Причем чем меньше 2 тем больше значение h.

Замечание. В слое с постоянной диэлектрической проница емостью всегда распространяется конечное число волн (равное количеству собственных значений). Чем больше величина h, тем больше волн в таком слое распространяется. Существует h такое, что при h h волны в рассматриваемом слое не распро страняются.

Еще раз отметим, что сформулированное утверждение от носится к уравнению (19).

Так же как и в случае ТЕ-поляризации, этот вывод харак терен только для линейной волноведущей структуры. В случае нелинейного слоя может оказаться, что для любого значения h может существовать бесконечное число собственных значений, а значит, и волн.

Гл. 5. ТМ-волны в линейном слое Ясно, что рассматриваемую задачу можно было бы сфор мулировать как краевую задачу на собственные значения, и ре шения дисперсионных уравнений были бы решениями такой за дачи. Тогда последнее замечание можно было бы переформули ровать в соответствующую теорему. Однако мы не стали этого делать, так как дифференциальные уравнения линейные и ре зультаты сами по себе достаточно просты.

Качественное поведение дисперсионных кривых в этом слу чае такое же как, на рис. 1, 2 в гл. 2 (с. 33, 34).

ГЛАВА РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТМ-ВОЛН В СЛОЕ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ Здесь мы рассматриваем задачу распространения ТМ-волн в слое, заполненном средой, диэлектрическая проницаемость ко торой является произвольной функцией от напряженности элек трического поля. Изучается как случай обычного нелинейного материала, так и нелинейного метаматериала (обобщенное дис персионное уравнение).

Результаты этой главы опубликованы в [12].

§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющие ся через однородный, анизотропный, немагнитный диэлектри ческий слой, расположенный между двумя полупространствами x 0 и x h в декартовой системе координат Oxyz. Полу пространства заполнены изотропной немагнитной средой без ис точников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость 1 0 и 3 0 соответственно, где 0 – диэлектрическая про ницаемость вакуума. Вообще говоря, условия 1 0 и 3 необязательны, они не используются при выводе дисперсион ных уравнений, однако могут оказаться полезными при анализе разрешимости дисперсионных уравнений. Считаем, что всюду = 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Гл. 6. ТМ-волны в слое с произвольной нелин. Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:

E (x, y, z, t) = E+ (x, y, z) cos t + E (x, y, z) sin t, H (x, y, z, t) = H+ (x, y, z) cos t + H (x, y, z) sin t, где – круговая частота;

E, E+, E, H, H+, H – веществен ные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E и H:

E = E+ + iE, H = H+ + iH.

Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе урав нений Максвелла rot H = i E;

(1) rot E = iH, условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x = 0 и x = h и условию излуче ния на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |x| в областях x 0 и x h.

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается диагональным тензором xx 0 = 0 yy 0, 0 0 zz где xx = f + 0 f |Ex |2, |Ez |2, zz = g + 0 g |Ex |2, |Ez |2.

Здесь f max (1, 3 ), g max (1, 3 ) – постоянные со ставляющие диэлектрической проницаемости. Функции f и g являются аналитическими и таковы, что выполняется соотно f g шение |E |2 = |E |2 (в дальнейшем это условие приведет (z) (x) к уравнению в полных дифференциалах).

96 Часть I. Краевые задачи в слое f g = Условие на компоненты тензора указано (|Ez |2 ) (|Ex |2 ) в [62], где авторы утверждают, что многие типы нелинейностей удовлетворяют указанному условию. Это условие можно обоб щить, если использовать интегрирующий множитель (см. [62]).

Также вплоть до §6 полагаем, что xx 0.

Будем искать решение уравнений Максвелла во всем про странстве.

На рис. 1 схематически представлена геометрия задачи.

x = h = z 0 = Рис. 1. Геометрия задачи §2. ТМ-поляризованные электромагнитные волны Рассмотрим ТМ-поляризованные волны:

E = (Ex, 0, Ez )T, H = (0, Hy, 0)T, где Ex = Ex (x, y, z), Ez = Ez (x, y, z), Hy = Hy (x, y, z) и ( · )T – операция транспонирования.

Подставив поля E и H в уравнения Максвелла (1), получим E yz = 0, Ex Ez z x = iHy, y = 0, Ex H y z = ixx Ex, Hy x = izz Ez.

Из первого и третьего уравнений этой системы видно, что Ez и Ex не зависят от y. Поскольку Hy выражается через Ex и Ez, то Hy также не зависит от y.

Гл. 6. ТМ-волны в слое с произвольной нелин. Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред (а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, ком поненты полей E, H имеют представление:

Ex = Ex (x)eiz, Ez = Ez (x)eiz, Hy = Hy (x)eiz.

Тогда из рассмотренной выше системы получаем [60] (iEx (x)) Ez (x) = 2 zz Ez (x), (2) 2 (iEx (x)) Ez (x) = 2 xx (iEx (x)), здесь – неизвестный спектральный параметр (постоянная рас пространения электромагнитной волны).

Введем обозначение k2 = 2 0 с = 0 и выполним нор мировку в соответствии с формулами x = kx, dx = k d, =, x d d k f g i = 0 (i = 1, 2), f = 0, g = 0. Переобозначим Ez Z (), i x iEx X () и, опуская тильду, систему (2) приведем к виду x d Z + dX = zz Z, dx2 dx (3) dZ + X = xx X.

dx Будем искать те значения спектрального параметра (соб ственные значения), для которых существуют действительные решения X(x), Z(x) системы (3), полагаем действительным числом (так что |E|2 не зависит от z, см. сноску на с. 38, а так же замечание на с. 82) и считаем, что max (1, 3 ) 2 f.

Последнее неравенство естественно возникает при рассмотрении аналогичной задачи в линейном слое, когда f 0 и g 0 (по дробности см. в гл. 4, неравенство (14)).

Считаем, что функции X, Z дифференцируемы так, что X(x) C (, 0] C[0, h] C [h, +) C 1 (, 0] C 1 [0, h] C 1 [h, +) ;

Z(x) C(, +) C 1 (, 0] C 1 [0, h] C 1 [h, +) C 2 (, 0) C 2 (0, h) C 2 (h, +).

98 Часть I. Краевые задачи в слое Только что указанные условия непрерывности и дифферен цируемости функций X и Z продиктованы физическим содержа нием задачи. Видно, что система (3) является автономной. Та кую систему, если привести ее к нормальной форме, что будет сделано позднее, можно рассматривать как динамическую си стему с аналитическими по X и Z правыми частями1. Известно (см., например, [5]), что решения X, Z такой динамической си стемы сами являются аналитическими функциями независимой переменной. Именно для этого мы потребовали, чтобы функции нелинейностей f и g были аналитическими. Этот факт окажется очень важным при выводе дисперсионных уравнений.

Система (3) – это на самом деле система уравнений в ани зотропном слое, однако из нее легко получаются системы для изотропных полупространств при xx = zz =, где отвечает уже изотропной среде (полупространству).

Считаем, что 2 max(1, 3 ). Отметим, что последнее усло вие имеет место только в случае, если хотя бы одна из величин (или обе) 1 или 3 положительна, если же и 1 0, и 3 0, то 2 0.

§3. Решение системы дифференциальных уравнений В полупространствах x 0 и x h диэлектрическая про ницаемость в уравнениях (1) имеет постоянное скалярное зна чение 1 и 3 соответственно. Учтем это при решении уравнений (3) для этих полупространств. В каждом из этих случаев мы по лучаем системы линейных уравнений, которые легко решаются.

X = Z, При x 0 имеем = 1. Из (3) получаем Z = 1 X.

Отсюда получаем уравнение X = ( 2 1 )X, его общее решение Разумеется, в соответствующей области, в которой правые части ана литичны по X и Z.

Гл. 6. ТМ-волны в слое с произвольной нелин. 2 X(x) = A1 ex 1 + Aex 1. Учитывая условие излучения на бесконечности, получаем решение рассматриваемой системы:

2 1, X (x) = A exp x (4) Z (x) = 1 2 1 A exp x 2 1.

Считаем 2 1 0, иначе общее решение выражается через синусы и косинусы действительного аргумента и не удовлетво ряет условию излучения на бесконечности. Случай 2 1 = тоже невозможен. В этом случае получаем при x 0 постоянное решение, которое не удовлетворяет условию на бесконечности.

X = Z, При x h имеем = 3. Из (3) получаем Z = 3 X.

Отсюда получаем уравнение X = ( 3 )X, его общее реше 2 ние X (x) = Be(xh) 3 +B1 e(xh) 3. Учитывая условие излучения на бесконечности, получаем решение системы:

2 3, X (x) = B exp (x h) (5) Z (x) = 1 2 3 B exp (x h) 2 3.

Здесь, как и при x 0, считаем 2 3 0.

Постоянные A и B в (4) и (5) определяются условиями со пряжения и начальными данными.

Внутри слоя 0 x h система (3) принимает вид d Z + dX = (g + g) Z, dx2 dx (6) dx + X = (f + f ) X, dZ в дальнейшем мы часто будем опускать аргументы функций f и g, когда это не будет вызывать недоразумений. Дифференци руем второе уравнение по x, получаем Z + X = 1 2XX fu + 2ZZ fv X + 1 (f + f ) X, где fu = fX 2, fv = fZ 2 (далее эти производные понимаются в этом смысле, пока явно не будет оговорено иное).

100 Часть I. Краевые задачи в слое Используя последнее уравнение, систему (6) можно перепи сать в виде dX = (g +g)+2(f +f )X fv Z, 2 2 (2X 2 fu +f +f ) dx (7) dZ = 1 2 f X.

f dx Из системы (7), поделив одно уравнение на другое, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение dX 2X 2 fu + f + f = dZ 2 (g + g) Z + 2 f 2 + f X 2 Zfv =. (8) 1 ( f f ) X Уравнение (8) можно преобразовать к уравнению в полных дифференциалах.

Перепишем его в симметричной форме:

M dX + N dZ = 0, где M = 2 f f 2X 2 fu + f + f X, N = 2 2 f f X 2 fv 2 (g + g) Z.

Легко проверить, что выполняется соотношение M = X, N Z мы эти вычисления здесь проводить не будем. Таким образом, уравнение (8) представимо как уравнение в полных дифферен циалах (уравнение в симметричной форме M dX + N dZ = 0 яв ляется уравнением в полных дифференциалах). Найдем его ре шение – U (X, Z), поскольку U = M, то получаем x Как видно, система (7) записана в нормальной форме, и об аналитич ности решений именно такой системы при аналитических по X и Z правых частях мы говорили в конце §2.

Гл. 6. ТМ-волны в слое с произвольной нелин. 2 f f 2X 2 fu + f + f XdX + (Z) = U= X 2 2 f f fu 2XdX+ = 2 f f (f + f ) XdX + (Z).

+ Интегрируя по частям первое слагаемое, получаем 1 2 U = X 2 2 f f X 2 f f + dX+ 2 f f (f + f ) XdX + (Z) = + 1 2 = X 2 2 f f X 2 f f + dX+ 2 f f 2 + f + f + 2 XdX + (Z) = + 1 = X 2 2 f f + 2 2 f f XdX + (Z).

= N, получаем U Теперь, учитывая, что Z U = 2X 2 Z 2 f f fv 2 2 XZfv dX + (Z) = Z = 2 2 f f X 2 fv 2 (g + g) Z, отсюда получаем (Z) = 2 2 XZfv dX 2 (g + g) Z.

Далее интегрируем по Z, получаем (Z) = 2 2 XZfv dXdZ 2 (g + g) ZdZ.

102 Часть I. Краевые задачи в слое В первом интеграле меняем порядок интегрирования (тео рема Фубини), получаем (Z) = 2 2Zfv dZ dX 2 (g + g) ZdZ = X = 2 Xf dX 2 (g + g) ZdZ.

Значит, 1 U = X 2 2 f f + 2 2 f f XdX+ + 2 Xf dX 2 (g + g) ZdZ, приводя подобные слагаемые и интегрируя, имеем 1 U = X 2 2 f f + 2 f X 2 g Z 2 + ZgdZ.

Делая замену Z 2 = s, получаем окончательно U = X 2 f 2 + f + Z 2 2 2 2 g X 2, s ds C.

+ f X + g Z + Z Функция U (X, Z) является первым интегралом системы (7), мы будем использовать первый интеграл в следующей форме:

X 2 f 2 + f + 2 f 2 X 2 + g Z 2 + 2 G C, (9) Z где G = G X 2, Z 2 g X 2, s ds, C – постоянная.

Z Гл. 6. ТМ-волны в слое с произвольной нелин. §4. Условия сопряжения и задача сопряжения Как известно, касательные составляющие электромагнитно го поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматривае мом случае касательными составляющими являются компонен ты Hy и Ez. Отсюда получаем Hy (h + 0) = Hy (h 0), Hy (0 0) = Hy (0 + 0), Ez (h + 0) = Ez (h 0), Ez (0 0) = Ez (0 + 0).

Из условий непрерывности касательных составляющих по лей E и H получаем (h) (0) X(h) Z (h) = Hy, X(0) Z (0) = Hy, (10) (h) (0) Z(h) = Ez (h + 0) = Ez, Z(0) = Ez (0 0) = Ez, (h) (0) = i 0 Hy (h + 0), Hy = i 0 Hy (0 0).

где Hy (h) Постоянная Ez = Z(h) = Z(h + 0) считается известной.

Обозначим X0 := X(0), Xh := X(h), Z0 := Z(0), Zh := Z(h).

Тогда из (10) получаем 3 (h) (0) Hy = Zh ;

Hy = Z0 (11).

2 3 В соответствии с (6) в слое Z (x) + X (x) = 1 (f + f ) X (x). (12) Тогда для x = h получаем из (12) 3 2 Zh = f + f Xh, Zh (13) Xh, 2 причем, если Zh 0 (а мы можем так считать), то, как легко видеть из (13), Xh 0 (здесь мы использовали то, что xx 0).

2 2 2 Обозначим fh := f Xh, Zh и Gh := G Xh, Zh. Тогда, ис пользуя первый интеграл (9), подставляя x = h, найдем значение постоянной Ch := C|x=h :

Ch = Xh f 2 + fh + 2 f 2 Xh + g Zh + Gh. (14) 2 104 Часть I. Краевые задачи в слое Заметим, кстати, что при сделанных предположениях отно сительно функций f, g и знака Zh имеем Ch 0.


Для того чтобы найти значения X0 и Z0, необходимо решить систему двух уравнений:

1 Z0 = (f + f0 ) X0 ;

2 2 + f X0 + 2 f 2 X0 + g Z0 + G0 = Ch, 2 f (15) 2 2 2 где f0 = f и G0 = G.

X0, Z0 X0, Z Система (15) получена использованием формулы (12) в точ ке x = 0 и первого интеграла (9) в этой же точке.

Из второго уравнения системы (15) видно, что величины X и Z0 могут входить в это уравнение с произвольными знаками.

В то же время из первого уравнения системы (15) видно, что X и Z0 должны быть либо одновременно положительными, либо одновременно отрицательными (здесь мы опять использовали то, что xx 0).

Как известно, нормальные компоненты электромагнитно го поля терпят разрыв первого рода на границе раздела сред.

В рассматриваемом случае нормальной компонентой является Ex. Также известно, что величина Ex непрерывна на грани це раздела сред. Из сказанного и из непрерывности касатель ной компоненты Ez следуют условия сопряжения для функций X и Z:

[X]x=0 = 0, [X]x=h = 0, [Z]x=0 = 0, [Z]x=h = 0, (16) где [f ]x=x0 = lim f (x) lim f (x) обозначает скачок функ xx0 0 xx0 + ции на границе раздела сред.

Считаем, что функции X(x) и Z(x) удовлетворяют условию 1 X (x) = O и Z (x) = O при |x|. (17) |x| |x| Гл. 6. ТМ-волны в слое с произвольной нелин. Пусть d X G D=, F(X, Z) =, G(F, ) = dx, 0 d Z G dx где X X(x) и Z Z(x) являются искомыми функциями, а G1 G1 (F, ) и G2 G2 (F, ) являются правыми частями урав нений системы (7). Число является спектральным параметром.

Перепишем задачу, используя введенные обозначения.

Для полупространства x 0, = 1 получаем 0 DF F = 0. (18) 2 Внутри слоя 0 x h, мы имеем xx = f + f X 2, Z 2, = g + g X 2, Z 2, и система принимает вид zz L(F, ) DF G(F, ) = 0. (19) Для полупространства x h, = 3 получаем 0 DF F = 0. (20) 2 Сформулируем задачу сопряжения (ее можно переформу лировать как краевую задачу). Требуется найти собственные значения и соответствующие им ненулевые векторы F такие, что F удовлетворяет уравнениям (18)–(20), условиям сопряже ния (16), компоненты вектора F удовлетворяют условию (17) и X0, Z0 удовлетворяют уравнениям (15).

Определение 1. Число = 0, при котором существу ет ненулевое решение F задачи (18)–(20) при условиях (15)– (17), будем называть собственным значением задачи. Решение F, которое соответствует собственному значению, будем назы вать собственным вектором задачи, а компоненты X(x) и Z(x) вектора F – собственными функциями (см. замечание на с. 42).

106 Часть I. Краевые задачи в слое §5. Дисперсионное уравнение и теорема об эквивалентности Введем новые переменные1 :

X (x) (x) = f + X 2 (x), (x) = (x), (21) Z(x) тогда X 2 = f, Z 2 = ( f ) XZ = ( f ),.

После перехода к новым переменным мы, естественно, счи таем, что 2 f f f, ( f ), g g f, ( f ).

2 Найдем вид системы (7) и первого интеграла (9) в новых переменных. Последовательно получаем 2X 2 fu + f + f X 2 = = 2 2 (g + g) + 2 f 2 + f X 2 fv XZ, 2 Z = 2 f f XZ, далее (2 ( f ) fu + f + f ) = = 2 ( f ) 2 (g + g) + 2 f 2 + f fv, 2 ( f ) = 2 ( f ) 2 f f, из первого уравнения получаем 2 = ( f ), 2 (g +g)+2( f )(f 2 +f )fv где =.

2( f )fu +f +f См. сноски на с. 43, 65.

Гл. 6. ТМ-волны в слое с произвольной нелин. Преобразуем второе уравнение:

2 ( f ) 2 (3 3f ) 2 = f f ( f ).

2 Теперь, используя, получаем 1 (3 3f ) = f f.

2 Окончательно получаем = ( f ) ;

(22) 1 = f + f + (3 2f ), здесь и далее f (u, v) f (u, v) fu =, fv =.

u v 2 ( f ) f, 2 ( f ) f, Первый интеграл примет вид f 2 + f + 2 f 2 + g + G f, 2 ( f ) + C. (23) ( f ) Уравнение (23) является в общем случае трансцендентным уравнением относительно и. Его решение относительно лю бой из переменных легко может быть выписано лишь в исклю чительных случаях.

Мы будем предполагать функции f и g таковыми, что пра вая часть второго уравнения системы (22) положительна. На первый взгляд это условие может показаться достаточно жест ким, однако это не так. Например, если f и g – многочлены от двух переменных с положительными коэффициентами, то этого 108 Часть I. Краевые задачи в слое достаточно для выполнения нашего требования (о положитель ности). Как известно, вектор поляризации в материальных урав нениях Максвелла раскладывается в ряд по степеням компонент электрического поля, значит, многочлены в качестве f и g явля ются достаточно общим типом нелинейности. Нужно учитывать, f g что условие |E |2 = |E |2 накладывает некоторые ограниче (z) (x) ния на вид многочленов f и g.

Теперь мы можем найти знаки выражений (0) и (h). Как видно из системы (15), величины X0 и Z0 либо одновременно положительны, либо одновременно отрицательны. В то же время из формулы (13) видно, что Xh и Zh противоположных знаков.

Учитывая сказанное, получаем X0 Xh 2 (0) = f + X0 0 и (h) = f + X0 0. (24) Z0 Zh Как нетрудно видеть, правая часть второго уравнения си стемы (22) строго положительна, значит, функция (x) монотон но возрастает на интервале (0, h). Учитывая знаки выражений (24), получаем, что функция (x) не может быть дифференци руемой на всем интервале (0, h), а необходимо имеет точку раз рыва.

Поскольку решения X и Z системы (7) – аналитические функции, то функция имеет разрывы только второго рода, они находятся в нулях функции Z. Пусть функция терпит разрыв в точке x (0, h). Причем ясно, что в этом случае (x 0) + и (x + 0).

Естественно полагать, что функция (x) на промежутке (0, h) имеет несколько точек x0, x1,..., xN, причем (xi 0) = +, (xi + 0) =, где i = 0, N. (25) Обозначим 1 f 2 + f + (3 2f ) w w () =, где = () выражается из первого интеграла (23) и опреде лено в начале этого параграфа.

Гл. 6. ТМ-волны в слое с произвольной нелин. Учитывая сказанное, будем разыскивать решения на каж дом из отрезков [0, x0 ], [x0, x1 ],..., [xN, h]:

(x0 ) wd = x + c0, 0 x x0 ;

(x) (x) wd = x + ci, xi x xi+1, i = 0, N 1;

(26) (xi ) (x) wd = x + cN, xN x h.

(xN ) Подставляя x = 0, x = xi+1, x = xN в уравнения (26) (в первое, второе и третье соответственно) и учитывая (25), най дем постоянные c1, c2,..., cN +1 :

+ c = wd;

(0) + ci+1 = wd xi+1, i = 0, N 1;

(27) (h) c N +1 = wd h.

С учетом (27) уравнения (26) примут вид (x0 ) + wd = x + 0 x x0 ;

wd, (x) (0) (x) + wd = x + wd xi+1, xi x xi+1, i = 0, N 1;

(xi ) (x) (h) wd = x + wd h, xN x h.

(xN ) (28) + Введем обозначение T wd. Из формулы (28) следует, что 0 xi+1 xi = T h, где i = 0, N 1. Отсюда следует сходимость несобственного интеграла (позднее мы докажем это 110 Часть I. Краевые задачи в слое из других соображений). Теперь, полагая в уравнениях (28) x таким, чтобы все интегралы слева обратились в нуль (т.е. x = x0, x = xi, x = xN ), сложим все уравнения (28), получим + (h) 0 = x0 + wd+x0 +T x1 +...+xN 1 +T xN +xN + wdh.

(0) Тогда из последнего получаем + (h) wd + wd + N T = h, (0) окончательно дисперсионное уравнение можно переписать так:

(0) wd + (N + 1) T = h, (29) (h) где N 0 – целое число;

(0), (h) определены формулами (24).

Формула (29) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого конечного h. Когда N = 0, возникает несколько уравнений при различных значениях N. Необходимо решать от носительно каждое из получающихся уравнений.

Отметим, что несобственные интегралы в дисперсионном уравнении (28) сходятся. Действительно, при функция = () остается ограниченной, поскольку = f + X 2 и X – ограниченная функция. Тогда |w| =, 2 (f 2 + f ) + (3 2f ) 2 + где 0, 0 – постоянные, тогда несобственный интеграл + d сходится. Поскольку мы требуем, чтобы правая часть 2 + второго уравнения (22) была положительна, то из этого следует сходимость интегралов в (28) во внутренних точках.

Гл. 6. ТМ-волны в слое с произвольной нелин. Теорема 1. Множество решений (собственных значений) краевой задачи на собственные значения (18)–(20) с условия ми (15)–(17) содержится в множестве решений дисперсионно го уравнения (29).

Доказательство. Из самого способа получения дисперси онного уравнения (29) из системы (22) следует, что собственное значение краевой задачи (18)–(20) является решением дисперси онного уравнения.

В то же время не каждое решение дисперсионного уравне ния (29) является решением краевой задачи. Это связано с тем, что как функция от, определяемая из первого интеграла (23), является, вообще говоря, многозначной функцией. Иными сло вами, может существовать несколько решений (X0, Z0 ) системы (15) таких, что (0) f. Но даже в этом случае можно среди корней дисперсионного уравнения найти решения краевой зада чи. Действительно, найдя решение дисперсионного уравнения (29), мы сможем найти функции (x) и (x) из системы (22) и первого интеграла (23). Зная функции (x) и (x) и пользуясь формулами (21), найдем X(x) = ± f и Z(x) = ± f (30).

|| Вопрос о выборе знака является существенным, поэтому об судим его подробнее. Нам известно поведение функции = Y : Z функция является монотонно возрастающей, если x = x тако во, что (x ) = 0, то (x 0) 0, (x + 0) 0, и если x = x таково, что (x ) = ±, то (x 0) 0 и (x + 0) 0.

Других точек перемен знака у функции нет. Поскольку значе (h) ние Zh Ez считается известным, то положим для определен ности Zh 0. Если 0, то функции X и Z имеют одинаковые знаки, а если 0, то X и Z имеют разные знаки. Помня о том, что X и Z – непрерывные функции (и даже гладкие на соответствующих областях), выбираем соответствующие знаки в выражениях (30). Теперь, зная функцию X, мы можем вы числить X0, если полученное значение совпадает с найденным 112 Часть I. Краевые задачи в слое ранее из системы (15), значит, найденное решение дисперсион ного уравнения является собственным значением краевой задачи (и не является таковым в противном случае). Если же функции f и g таковы, что существует единственное решение (X0, Z0 ) си стемы (15) такое, что (0) f, то получается следующая Теорема 2 (об эквивалентности). Если имеется един ственное решение ( (0), (0)) системы (15), причем (0) f, то краевая задача на собственные значения (18)–(20) с услови ями (15)–(17) имеет решение (собственное значение) тогда и только тогда, когда это собственное значение является реше нием дисперсионного уравнения (29).


Доказательство этой теоремы очевидным образом следует из доказательства предыдущей теоремы.

(h) Введем обозначение J(, k) := wd + (k + 1)T, где правая (0) часть рассматриваемой формулы определяется из дисперсионно го уравнения (29) и k = 0, N.

Пусть hk = inf hk = sup J(, k), J(, k).

sup inf (max(1,3 ),f ) 2 2 (max(1,3 ),f ) Сформулируем достаточное условие существования по край ней мере одного собственного значения краевой задачи.

Теорема 3. Если h таково, что для некоторого k = 0, N выполняется неравенство hk h hk, sup inf то краевая задача на собственные значения (18)–(20) с условия ми (15)–(17) имеет по крайней мере одно решение (собственное значение).

Величины hk и hk можно находить численно.

sup inf Несколько замечаний относительно системы (22) и перво го интеграла (23). В случае, если f и g многочлены, то (23) представляет собой алгебраическую функцию. В то же время Гл. 6. ТМ-волны в слое с произвольной нелин. правые части обоих уравнений в (22) являются функциями ра циональными относительно и. Это значит, что первый ин теграл совместно с любым из уравнений (11) можно рассматри вать как определяющие абелеву функцию. В этой задаче абеле вы функции, возникающие из такого рассмотрения, будут более сложными, чем в аналогичной задаче для ТЕ-волн. Это следует из того, что первый интеграл может быть многочленом любой степени как по X, так и по Z. Иная ситуация в случае ана логичной задачи для ТЕ-волн. Если мы рассматриваем много член в качестве нелинейности, то там всегда возникают гипер эллиптические функции, но род гиперэллиптической алгебраи ческой кривой возрастает вместе со степенью многочлена. Здесь гипер-эллиптические функции возникают только в случае кер ровской нелинейности, и задача их нахождения тесно связана с проблемой обращения Якоби. Теория алгебраических, абелевых, тэта-функций, проблемы обращения Якоби изложена, например, в [6, 34, 39].

§6. Обобщенное дисперсионное уравнение В этом параграфе мы получим общее дисперсионное урав нение, справедливое при любых действительных значениях xx и zz. Разумеется, при этом мы откажемся от требования, чтобы правая часть второго уравнения системы (22) была положитель на (см. сноску на с. 50), а также от условий max(1, 3 ) 2 f или 0 2 f. Эти условия возникали в линейном случае и были нами использованы при выводе дисперсионного уравнения (29). Однако в нелинейном случае нет требований, которые огра ничивают значения 2 справа, хотя ограничение слева остается, так как оно возникает из решений в полупространствах (где сре да линейна). Теперь мы считаем, что удовлетворяет одному из следующих двух неравенств:

max(1, 3 ) 2 +, когда хотя бы одна из величин 1 или 3 положительна, или 114 Часть I. Краевые задачи в слое 0 2 +, когда 1 0 или 3 0.

Сначала мы выведем дисперсионное уравнение из системы уравнений (22) и первого интеграла (23), а потом обсудим детали вывода и условия, при которых сам вывод возможен и справед ливо полученное дисперсионное уравнение.

Итак, обратимся к системе (22) и первому интегралу (23):

= ( f ), 1 = f + f + (3 2f ), 2 (g +g)+2( f )(f 2 +f )fv где = ;

2( f )fu +f +f f (u, v) f (u, v) fu =, fv = ;

u v 2 ( f ) f, 2 ( f ) f, f 2 + f + 2 f 2 + g + G f, 2 ( f ) + C, ( f ) Z где G X 2, Z 2 Z0 g X 2, s ds, C – постоянная.

Имея в своем распоряжении первый интеграл, формально можно проинтегрировать любое из двух уравнений системы (22).

Мы, как и ранее, будем интегрировать второе уравнение этой системы. Но мы не можем получить решение на всем интерва ле, поскольку функция (x) может иметь разрывы в некоторых точках интервала (0, h). Как нам известно, функция (x) имеет разрывы только второго рода.

Пусть функция (x) на интервале (0, h) имеет несколько то чек x0, x1,..., xN, в которых она обращается в бесконечность.

Отметим, что (xi 0) = ± и (xi + 0) = ±, i = 0, N, причем знаки ± в этих формулах независимы и нам неизвестны.

Гл. 6. ТМ-волны в слое с произвольной нелин. Учитывая сказанное, будем разыскивать решения на каж дом из отрезков [0, x0 ], [x0, x1 ],..., [xN, h]:

(x0 0) wd = x + c0, 0 x x0 ;

(x) (x) wd = x + ci+1, xi x xi+1, i = 0, N 1;

(31) (xi +0) (x) wd = x + cN +1, xN x h.

(xN +0) Из уравнений (31), подставляя x = 0, x = xi+1, x = xN в первое, второе и третье уравнения (31), найдем необходимые константы c1, c2,..., cN +1 :

(x0 0) c = 0 wd;

(0) (xi+1 0) ci+1 = wd xi+1, i = 0, N 1;

(32) (xi +0) (h) cN +1 = wd h.

(xN +0) С учетом (32) уравнения (30) примут вид (x0 0) (x0 0) wd = x + 0 x x0 ;

wd, (x) (0) (x) (xi+1 0) wd = x + wd xi+1, xi x xi+1 ;

(33) (xi +0) (xi +0) (x) (h) wd = x + wd h, xN x h, (xN +0) (xN +0) где i = 0, N 1.

Из формул (33) получаем, что (xi+1 0) xi+1 xi = i = 0, N 1. (34) wd, (xi +0) 116 Часть I. Краевые задачи в слое Поскольку 0 xi+1 xi h, то отсюда следует, что при наших предположениях (относительно наличия особых то (xi+1 0) wd 0. Таким же чек) интеграл справа сходится и (xi +0) образом из первого и последнего уравнений (33) получаем, что (x0 0) x0 = wd, так как 0 x0 h, тогда (0) (x0 0) 0 wd h ;

(0) (h) и h xN = wd, так как 0 h xN h, тогда (xN +0) (x0 0) 0 wd h.

(0) Из этих рассуждений следует, что функция (x) имеет ко нечное число точек разрыва второго рода, и функция w() не имеет неинтегрируемых особенностей при (, ).

Теперь, полагая в уравнениях (33) x таковым (т.е. подстав ляя x = x0, x = xi, x = xN в первое, второе и третье уравнения (33)), чтобы все интегралы слева обратились в нуль, сложим все уравнения (33), получим (x0 0) (x1 0) 0 = x0 + wd + x0 + wd x1 +...

(x0 +0) (0) (xN 0) (h)... + xN 1 + wd xN + xN + wd h. (35) (xN1 +0) (xN +0) Гл. 6. ТМ-волны в слое с произвольной нелин. Из (35) получаем (x0 0) (xi+1 0) (h) N wd + wd + wd = h. (36) i= (xN +0) (xi +0) (0) Из формулы (34) следует, что (xi + 0) = ± и (xi 0) =, где i = 0, N, причем ясно, что бесконечности должны выбираться различных знаков.

Таким образом, получаем, что (x1 0) (xN 0) wd =... = wd T, (x0 +0) (xN1 +0) и, значит, x1 x0 =... = xN xN 1.

Теперь уравнение (36) можно переписать так:

(x0 0) (h) wd + f d + N T = h (xN +0) (0) или в окончательной форме (0) wd + (N + 1) T = h, (37) (h) где N 0 – целое число;

(0), (h) определены формулами (24).

Формула (37) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого конечного h. Отметим, что когда N = 0, то возникает несколько уравнений при различных значениях N. Необходимо решать относительно каждое из получающихся уравнений.

Теперь можно сформулировать теорему, аналогичную тео реме 1, но уже для обобщенного дисперсионного уравнения (37).

118 Часть I. Краевые задачи в слое Теорема 4. Множество решений (собственных значений) краевой задачи на собственные значения (18)–(20) с условия ми (15)–(17) содержится в множестве решений дисперсионно го уравнения (37).

Доказательство этой теоремы почти дословно повторяет до казательство теоремы 1.

Теперь мы перейдем к теоретическому обоснованию выво да дисперсионных уравнений (29) и (37). С самого начала мы ничего не говорили об условиях, при которых решение систе мы (7) существует и единственно. Мы сделали это намеренно, предпочитая сначала проделать все технические вычисления и дать читателю возможность проследить за выводом и использу емой техникой, не отвлекаясь на факты теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Воспользуемся векторной формой записи (19) системы (7):

DF = G(F, ). (38) Пусть правая часть G определена и непрерывна в области R2, G : R2. Также считаем, что G удовлетворяет в условию Липшица по F локально1.

При указанных условиях система (7) или, что то же самое, система (38) имеет единственное решение в области [8, 38, 49].

Ясно, что накладывая эти условия на систему (22) и для нее получим единственность решения (разумеется, область един ственности в переменных, будет отлична от ).

Поскольку мы ищем ограниченные решения X и Z, то [m1, m1 ] [m2, m2 ], где max |Y | m1, max |Z| m2.

x[0,h] x[0,h] Из последнего мы получаем, что [f, f + m2 ] (, +).

Из теории автономных систем известно (см., например, [38]), что при сделанных предположениях относительно правой части, По поводу условия Липшица см. сноску на с. 54.

Гл. 6. ТМ-волны в слое с произвольной нелин. фазовые траектории такой системы не пересекаются в ее фазо вом пространстве. Поскольку X 0 и Z 0 являются стацио нарными решениями системы (7), то ясно, что рассматриваемые непостоянные решения X и Z не могут одновременно обратиться в нуль в некоторой точке x (иначе они будут пересекаться с указанным стационарным решением, чего быть не может).

То есть мы показали, что не существует точки x такой, что X|x=x = 0 и Z|x=x = 0.

Еще одно замечание относительно интегралов в дисперси онных уравнениях (29) и (37). Если при некотором значении какие-то из входящих в дисперсионные уравнения интегралов расходятся во внутренних точках, то это попросту обозначает, что выбранное значение не является решением дисперсионно го уравнения и тем более не является собственным значением.

Кроме того, укажем еще один интересный случай. Когда функции нелинейностей f и g представляют собой полиномы от независимой переменной, то первый интеграл, очевидно, яв ляется алгебраической функцией от любой из двух своих пере менных (см., например, [51]). В этом случае любое уравнение системы (7) совместно с первым интегралом представляет собой абелев интеграл [6, 39, 51].

Его обращением является абелева функция, которая и будет решением выбранного для интегри рования уравнения. В этом случае решение второго уравнения выражается из первого интеграла и найденного только что реше ния. Таким образом, обе функции – решения системы (7), явля ются абелевыми функциями. Как известно, абелевы функции – функции мероморфные (см., например, [28, 34]). А в этом слу чае наше предположение о наличии у функции точек разрыва второго рода (и только их) справедливо. Заметим также, что многочленами выражаются многие нелинейности, а те которые не выражаются, можно с любой степенью точности приблизить многочленами. Также заметим, что, хотя вектор поляризации в материальных уравнениях Максвелла имеет разложение в ряд по степеням напряженности электрического поля (и именно по этому многочлен кажется наиболее общим типом нелинейности), 120 Часть I. Краевые задачи в слое имеются и другие типы нелинейностей. Некоторые сведения по этому поводу можно почерпнуть в [3]. Еще заметим, что если f g функции f, g – многочлены, но условие (|Ez |2 ) = (|Ex |2 ) не вы полняется, то первый интеграл уже может не быть алгебраи ческой функцией, тогда решения системы не будут абелевыми функциями. В случае ТЕ-волн решения были абелевыми функ циями для любого многочлена – функции нелинейности. Появ ление абелевых функций в этой задаче тем более интересно, что относительно недавно выяснилось, что абелевы и тэта-функции являются решениями некоторых известных нелинейных уравне ний математической физики [26]. Ясно, что все замечания от носительно абелевых функций и интегралов справедливы и для системы (22), поскольку новые переменные, выражаются че рез старые Y, Z рационально.

Мы выводили дисперсионные уравнения из второго урав нения системы (22). Однако точно так же можно это сделать, исходя из первого уравнения этой системы (см. с. 144).

ГЛАВА РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТМ-ВОЛН В ИЗОТРОПНОМ СЛОЕ С КЕРРОВСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ В этой главе мы рассмотрим приложение общей техники, развитой в главе 6 к случаю, когда нелинейность в слое является керровской.

Хотя этот случай и является следующим по сложности по сле линейного для ТМ-волн, уже не так просто, как в аналогич ном случае для ТЕ-волн (см. гл. 4), выяснить всю информацию о собственных значениях задачи. Так как здесь собственные функ ции выражаются через гиперэллиптические функции.

Результаты этой главы опубликованы в [13, 16–18, 20, 82].

§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющие ся через однородный, изотропный, немагнитный диэлектриче ский слой, расположенный между двумя полупространствами x 0 и x h в декартовой системе координат Oxyz. Полу пространства заполнены изотропной немагнитной средой без ис точников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость 1 0 и 3 0 соответственно, где 0 – диэлектрическая про ницаемость вакуума. Вообще говоря, условия 1 0 и 3 необязательны, они не используются при выводе дисперсион ных уравнений, однако могут оказаться полезными при анализе 122 Часть I. Краевые задачи в слое разрешимости дисперсионных уравнений. Считаем, что всюду = 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:

E (x, y, z, t) = E+ (x, y, z) cos t + E (x, y, z) sin t, H (x, y, z, t) = H+ (x, y, z) cos t + H (x, y, z) sin t, где – круговая частота;

E, E+, E, H, H+, H – веществен ные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E и H:

E = E+ + iE, H = H+ + iH.

Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе урав нений Максвелла rot H = iE, (1) rot E = iH, условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x = 0, x = h и условию излуче ния на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |x| в областях x 0 и x h.

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается законом Керра:

= 2 + a |E|2, где a и 2 max (1, 3 ) – положительные постоянные1.

Будем искать решение уравнений Максвелла во всем про странстве.

На рис. 1 схематически представлена геометрия задачи.

В §6 решение будет найдено в гораздо более широких предположениях.

Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин. x = h = 2 + a|E| z 0 = Рис. 1. Геометрия задачи §2. ТМ-поляризованные электромагнитные волны Рассмотрим ТМ-поляризованные волны:

E = (Ex, 0, Ez )T, H = (0, Hy, 0)T, где Ex = Ex (x, y, z), Ez = Ez (x, y, z), Hy = Hy (x, y, z) и ( · )T – операция транспонирования.

Подставляя поля E и H в уравнения Максвелла (1), получим E yz = 0, Ex Ez z x = iHy, y = 0, Ex H y z = iEx, Hy x = iEz.

Из первого и третьего уравнений этой системы следует, что Ez = Ez (x, z) и Ex = Ex (x, z) не зависят от y. Поскольку Hy выражается через Ex и Ez, то Hy также не зависит от y.

Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред (а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, ком поненты полей E и H имеют представление Ex = Ex (x)eiz, Ez = Ez (x)eiz, Hy = Hy (x)eiz.

124 Часть I. Краевые задачи в слое Тогда из рассмотренной выше системы получаем [60] iEx (x) Ez (x) = iHy (x), H (x) = iEz (x), (2) y iHy (x) = iEx (x), из нее следует, что Hy (x) = iEx (x) Ez (x), (3) i здесь – неизвестный спектральный параметр – постоянная рас пространения электромагнитной волны и (...) x.

Дифференцируя выражение (3) и используя второе и третье уравнения системы (2), получим (iEx (x)) Ez (x) = 2 Ez (x), (4) 2 (iEx (x)) Ez (x) = 2 (iEx (x)).

Введем обозначения k2 = 2 0 с = 0 и выполним нор мировку в соответствии с формулами x = kx, dx = k d, =, x d d k j j = 0 (j = 1, 2, 3), a = 0. Переобозначаем Ez Z (), a x iEx X () и, опуская значок тильды, систему (4) приведем x к виду Z + X = Z, (5) Z + X = X.

Будем искать те значения спектрального параметра (соб ственные значения), для которых существуют действительные решения X(x), Z(x) системы (5), полагаем действительным (так что |E|2 не зависит от z, см. сноску на с. 38, а также заме чание на с. 82). Считаем, что 1, x 0;

= 2 + a X 2 + Z 2, 0 x h;

(6) 3, x h.

Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин. Также полагаем, что спектральный параметр удовлетво ряет неравенствам max(1, 3 ) 2 2. Это неравенство есте ственно возникает при рассмотрении аналогичной задачи в ли нейном слое (подробности см. в гл. 4, неравенство (14)).

Считаем, что функции X, Z дифференцируемы так, что X(x) C (, 0] C[0, h] C [h, +) C 1 (, 0] C 1 [0, h] C 1 [h, +) ;

Z(x) C(, +) C 1 (, 0] C 1 [0, h] C 1 [h, +) C 2 (, 0) C 2 (0, h) C 2 (h, +).

Только что указанные условия непрерывности и дифферен цируемости функций Y и Z продиктованы физическим содер жанием задачи. Видно, что система (5) является автономной.

Такую систему, если привести ее к нормальной форме, что бу дет сделано позднее, можно рассматривать как динамическую систему с аналитическими по X и Z правыми частями1. Извест но (см., например, [5]), что решения X, Z такой динамической системы сами являются аналитическими функциями независи мой переменной. Этот факт окажется очень важным при выводе дисперсионных уравнений.

Считаем, что 2 max(1, 3 ). Отметим, что последнее усло вие имеет место только в случае, если хотя бы одна из величин (или обе) 1 или 3 положительна, если же 1 0 и 3 0, то 2 0.

§3. Решение системы дифференциальных уравнений X = Z, При x 0 имеем = 1. Из (5) получаем Z = 1 X.

Отсюда получаем уравнение X = ( 2 1 )X, его общее решение Разумеется, в соответствующей области, в которой правые части ана литичны по X и Z.

126 Часть I. Краевые задачи в слое 2 X (x) = A1 ex 1 + Aex 1. Учитывая условие излучения на бесконечности, получаем решение рассматриваемой системы:

X(x) = A exp x 2 1, (7) 2 A exp x 2 1.

Z(x) = Здесь мы считаем 2 1 0, ибо в противном случае мы по лучим общее решение, выраженное через синусы и косинусы дей ствительного аргумента, и, таким образом, не сможем удовлетво рить условию излучения на бесконечности. Случай 2 1 = тоже невозможен, так как в этом случае мы получаем при x постоянное решение, которое не удовлетворяет условию излуче ния на бесконечности. Значит, 2 1.

X = Z, При x h имеем = 3. Из (5) получаем Z = 3 X.

Отсюда получаем уравнение X = 2 3 )X, его общее решение ( 2 X (x) = Be(xh) 3 + B1 e(xh) 3. Учитывая условие из лучения на бесконечности, получаем решение рассматриваемой системы:

X(x) = B exp (x h) 2 3, (8) Z(x) = 3 B exp (x h) 2 3.

Здесь по тем же причинам, что и при x 0, мы считаем 2 3 0. Значит, 2 3.

Постоянные A и B в (7) и (8) определяются условиями со пряжения и начальными данными.

Внутри слоя 0 x h система (5) принимает вид d Z + dX = 2 + a X 2 + Z 2 Z, dx2 dx (9) dZ + X = 2 + a X 2 + Z 2 X.

dx Дифференцируя второе уравнение, получаем 2a 2 + a X 2 + Z Z + X = (XX + ZZ )X + X.

Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин. Используя последнее уравнение, систему (9) можно приве сти к виду 2a(2 2 +a(X 2 +Z 2 ))X 2 + 2 (2 +a(X 2 +Z 2 )) dX dx = Z, (2 +3aX 2 +aZ 2 ) (10) = 2 2 + a X 2 + Z 2 X.

dZ dx Из системы (10) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение:

dX 2 + 3aX 2 + aZ 2 = dZ 2 + a X 2 + Z 2 Z = 2aXZ +. (11) 2 2 + a (X 2 + Z 2 ) X Перепишем его в симметричной форме:

M dX + N dZ = 0, где M = 2 + 3aX 2 + aZ 2 2 2 + aX 2 + aZ 2 X, N = 2a 2 2 + aX 2 + aZ 2 X 2 + 2 2 + aX 2 + aZ 2 Z.

Легко проверить, что выполняется соотношение M = N.

Z X Таким образом, уравнение (11) можно представить как уравне ние в полных дифференциалах (уравнение в симметричной фор ме M dX + N dZ = 0 и есть уравнение в полных дифференциа лах). Его решение – U (X, Z) есть первый интеграл системы (10).

Преобразуем M следующим образом:

M = 2 + aZ 2 2 + aZ 2 2 X+ + 3aX 3 2 + aZ 2 2 + aX 3 2 + aZ 2 + 3a2 X 5.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.