авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 |

«Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В НЕЛИНЕЙНЫХ СЛОИСТЫХ СРЕДАХ Пенза Издательство ПГУ 2010 УДК ...»

-- [ Страница 3 ] --

Как видно, система (10) записана в нормальной форме, и об аналитич ности решений именно такой системы при аналитических по X и Z правых частях мы говорили в конце §2.

128 Часть I. Краевые задачи в слое = M, то получаем U Поскольку x 2 + aZ 2 2 + aZ 2 2 X 2 + U (X, Z) = M dX = a 3a 4 a 2 + aZ 2 2 + X 4 2 + aZ 2 + X 6 + (Z).

+ X 4 4 = N:

U Найдем (Z) из уравнения Z aX 2 Z 2 + aZ 2 2 + aX 2 Z 2 + aZ 2 + 3a2 4 a X Z + X 4 Z + (Z) = N.

+ 2 Из последнего уравнения получаем (Z) = 2 2 Z + 2 aZ 3, откуда легко находим, что 2 2 2 2 a (Z) = Z+ Z.

2 Используя полученные результаты, можно первый интеграл привести к виду 2 aZ 2 + 2 2 + a X 2 + Z 2 2 2 2 + a X 2 + Z 2 = 2 = 6 C + 3 2 2 + a X 2 + Z 2 2 2 + a X 2 + Z 2, (12) где C – постоянная интегрирования.

§4. Условия сопряжения и задача сопряжения Как известно, касательные составляющие электромагнитно го поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматривае мом случае касательными составляющими являются компонен ты Hy и Ez. Отсюда получаем Hy (h + 0) = Hy (h 0), Hy (0 0) = Hy (0 + 0), Ez (h + 0) = Ez (h 0), Ez (0 0) = Ez (0 + 0).

Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин. Из условий непрерывности касательных составляющих по лей E и H получаем (h) (0) X(h) Z (h) = Hy, X(0) Z (0) = Hy, (13) (h) (0) Z(h) = Ez (h + 0) = Ez, Z(0) = Ez (0 0) = Ez, (h) (0) = i 0 Hy (h + 0), Hy = i 0 Hy (0 0).

где Hy (h) Постоянная Ez = Z(h) = Z(h + 0) считается известной.

Обозначим X0 := X(0), Xh := X(h), Z0 := Z(0), Zh := Z(h).

Тогда из (13) получаем 3 (h) (0) Hy = Zh, Hy = Z0 (14).

2 3 2 В соответствии с (5), (6) в слое 2 + a X 2 (x) + Z 2 (x) Z (x) + X(x) = (15) X(x).

Тогда для x = h, используя (13), получаем из (15) 1 2 2 (h) 2 + a Xh + Zh Xh = Hy. (16) Из (16) получаем уравнение относительно Xh :

(h) 2 + aZh Hy Xh + Xh = 0. (17) a a При наших предположениях относительно 2 и a величина 2 +aZh 0, и, следовательно, уравнение (17) имеет по крайней a мере один действительный корень, который мы и будем рассмат ривать:

1/ (h) 1 2 3 2 (h) Hy Xh = + + Zh + + Hy 2a 27 a 4a 1/ (h) 1 2 3 2 (h) Hy + + Zh + Hy.

2a 27 a 4a 130 Часть I. Краевые задачи в слое Используя первый интеграл (12) при x = h, найдем значение постоянной Ch := C|x=h из уравнения X 2 2 2 2 2 + a Xh + Zh 2 2 aZh + 2 2 + a Xh + Zh = 2 = 6 Ch + 3 2 2 + a Xh + Zh 2 2 2 2 2 + a Xh + Zh X.

(18) Для того чтобы найти значения X0 и Z0, необходимо решить систему двух уравнений, полученную с использованием форму лы (15) в точке x = 0 и первого интеграла в этой же точке:

1 Z0 = 2 + a X0 + Z0 X0, 2 2 2 2 2 2 2 + a X0 + Z 2 2 aZ0 + 2 2 + a X0 + Z0 = 6 C X + 3 2 + a X 2 + Z 2 2 2 + a X 2 + Z 2 3.

= h 2 0 0 0 (19) Из второго уравнения системы (19) видно, что X0 и Z0 мо гут входить в это уравнение с произвольными знаками. В то же время из первого уравнения видно, что X0 и Z0 должны быть од новременно либо положительными, либо отрицательными (этот факт окажется очень важным в дальнейшем).

Как известно, нормальные компоненты электромагнитно го поля терпят разрыв первого рода на границе раздела сред.

В нашем случае нормальной компонентой является Ex. Также известно, что величина Ex непрерывна на границе раздела сред.

Из сказанного и из непрерывности касательной компоненты Ez следуют условия сопряжения для функций X и Z:

[X]x=0 = 0, [X]x=h = 0, [Z]x=0 = 0, [Z]x=h = 0, (20) где [f ]x=x0 = lim f (x) lim f (x) обозначает скачок функ xx0 0 xx0 + ции на границе раздела сред.

Считаем, что функции X (x) и Z (x) удовлетворяют условию 1 X (x) = O и Z (x) = O |x|.

при (21) |x| |x| Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин. Пусть d X G D=, F(X, Z) =, G(F, ) = dx, 0 d Z G dx где X X(x) и Z Z(x) являются искомыми функциями, а G1 G1 (F, ) и G2 G2 (F, ) являются правыми частями урав нений системы (10). Число является спектральным парамет ром. Перепишем задачу, используя введенные обозначения.

Для полупространства x 0, = 1 получаем 0 DF F = 0. (22) 2 Внутри слоя 0 x h мы имеем = 2 + a X 2 + Z 2, и система принимает вид L(F, ) DF G(F, ) = 0. (23) Для полупространства x h, = 3 получаем 0 DF F = 0. (24) 2 Сформулируем задачу сопряжения (ее можно переформу лировать как краевую задачу). Требуется найти собственные значения и соответствующие им ненулевые векторы F такие, что F удовлетворяет уравнениям (22)–(24), условиям сопряже ния (20);

компоненты вектора F удовлетворяют условию (21), и X0, Z0 удовлетворяют уравнениям (19).

Определение 1. Число = 0, при котором существу ет ненулевое решение F задачи (22)–(24) при условиях (19)– (21), будем называть собственным значением задачи. Решение F, которое соответствует собственному значению, будем назы вать собственным вектором задачи, а компоненты X(x) и Z(x) вектора F – собственными функциями (см. замечание на с. 42).

132 Часть I. Краевые задачи в слое §5. Дисперсионное уравнение и теорема об эквивалентности Введем новые переменные:

2 + a X 2 (x) + Z 2 (x) X (x) (x) = (x) = (x). (25), 2 Z (x) Обозначим 0 =, тогда 2 2 ( 0 ) 4 2 ( 0 ) 3 ( 0 ) X2 =, Z2 =, XZ =.

a 2 + 2 2 a 2 + 2 2 a 2 + 2 Система (10) и уравнение (12) в этих переменных имеют вид = 2 2 (2+ 2 0 )(2 0 ), ) ( d 2 )+2 2 ( dx (26) 2 2 +2 ( 1) d =, dx 2 2 2 C 2 = (27), C + 3 2 2 3 2 (2 ) постоянная C не равна одноименной величине в (12).

Уравнение (27) – алгебраическое уравнение четвертой степе ни относительно. Его решение = () может быть выписано явно по формулам Кардано-Феррари [30].

Для того чтобы выписать дисперсионные уравнения для по стоянных распространения электромагнитных волн, необходимо найти значения (0), (h).

Ясно, что (0) = X(0) (0), (h) = X(h) (h), но поскольку Z(0) Z(h) X(x) (x) = X(x), то, учитывая формулы (13) и (14), легко получаем, что 1 (0) = 0, (h) = 0. (28) 2 1 Значение постоянной C, мы ее обозначим как Ch, легко на ходится из первого интеграла (27). Действительно, поскольку Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин. значения (h) и (h) известны, то подставляя x = h в первый интеграл (27), находим, что 22 (h) (2 (h)) ( (h) 0 ) Ch = 2 (h) (29), 2 + 2 ( 2 3 ) 2 (h) (h) H где (h) = Xh.

y Если Ch 0, то уравнение (27), рассматриваемое как урав нение относительно (h), будет иметь положительный корень.

Легко показать, что Ch строго больше нуля. В самом деле, из выражения (29) видно, что при (h) 2 Ch 0, так как всегда (h) 0 1 и 3 0. Рассмотрим случай (h) [0, 2).

Приводя к общему знаменателю выражение (29) и, где необходи мо, заменяя (h) = 0 +, где 0 1, приходим к выражению 2 2 3 3 (h) + 2 (2 ( (h) 1) + 0 ) Ch = (h) 2 + 2 ( 2 3 ) 2 (h) с положительной правой частью.

Из положительности правой части второго уравнения си стемы (26) ясно, что функция (x) монотонно возрастает на ин тервале (0, h). Учитывая знаки выражений (28), получаем, что функция (x) не может быть дифференцируемой на всем интер вале (0, h), а необходимо имеет точку разрыва. Пусть это будет x (0, h). Из (27) ясно, что x таково, что = (x ) является корнем уравнения Ch +3( )2 2( )3 2 (2 )0 = 0. Причем 0) + и (x + 0).

(x Естественно полагать, что функция (x) на интервале (0, h) имеет несколько точек x0, x1,..., xN таких, что (xi 0) = +, (xi + 0) =, где i = 0, N. (30) Обозначим w w () =, 2 2 + 2 ( 1) где = (), которое выражается из уравнения (15).

134 Часть I. Краевые задачи в слое Учитывая сказанное, будем разыскивать решения на каж дом из отрезков [0, x0 ], [x0, x1 ],..., [xN, h]:

(x0 ) wd = x + c0, 0 x x0 ;

(x) (x) wd = x + ci, xi x xi+1, i = 0, N 1;

(31) (xi ) (x) wd = x + cN, xN x h.

(xN ) Подставляя x = 0, x = xi+1, x = xN в уравнения (31) (в первое, второе и третье соответственно) и учитывая (30), най дем постоянные c1, c2,..., cN +1 c1, c2,..., cN +1 :

+ c0 = wd;

(0) + ci+1 = wd xi+1, i = 0, N 1;

(32) (h) c N +1 = wd h.

С учетом (32) уравнения (31) примут вид (x0 ) + wd = x + 0 x x0 ;

wd, (x) (0) (x) + wd = x + wd xi+1, xi x xi+1, i = 0, N 1;

(xi ) (x) (h) wd = x + wd h, xN x h.

(xN ) (33) + Введем обозначение T wd. Из формул (33) следует, что 0 xi+1 xi = T h, где i = 0, N 1. Отсюда следует сходимость несобственного интеграла (позднее мы докажем это Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин. из других соображений). Теперь, полагая в уравнениях (33) x таким, чтобы все интегралы слева обратились в нуль (т.е. x = x0, x = xi, x = xN ), сложим все уравнения (33), получим + (h) 0 = x0 + wd+x0 +T x1 +...+xN 1 +T xN +xN + wdh.

(0) Из последнего выражения окончательно получаем 2 wd + (N + 1) T = h, N 0 целое. (34) 2 Формула (34) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого конечного h. Надо отметить, что когда N = 0, то воз никает несколько уравнений при различных значениях N. Необ ходимо решать относительно каждое из них.

Отметим, что несобственные интегралы в дисперсионном уравнении (34) сходятся. Действительно, при функция 2 = () остается ограниченной, поскольку = 2 +aX 2 +aZ, а X, Z – ограниченные функции. Тогда |w| =, 2 2 + 2 ( 1) 2 + где 0, 0 – постоянные, тогда несобственный интеграл d сходится. Поскольку мы требуем, чтобы правая часть 2 + второго уравнения (26) была положительна, то из этого следует сходимость интегралов в (34) во внутренних точках.

Если рассматривать первое уравнение системы (26) совмест но с первым интегралом, то это уравнение можно проинтегри ровать, и это приведет к так называемым гиперэллиптическим 136 Часть I. Краевые задачи в слое интегралам (это один из простых примеров абелевых интегра лов). Если расширить область определения независимого пере менного x на всю комплексную плоскость, то можно рассмат ривать функции, обратные к этим интегралам, которые и бу дут решениями системы (26). Это гиперэллиптические функ ции, принадлежащие классу абелевых функций, которые явля ются мероморфными периодическими функциями. А поскольку функция выражается через алгебраически, то она также яв ляется мероморфной периодической функцией. Таким образом, точка разрыва x является одним из полюсов функции. Инте грал, стоящий в уравнении (34), является более общим абелевым интегралом [6, 34].

Теорема 1 (об эквивалентности). Краевая задача на соб ственные значения (22)–(24) с условиями (19)–(21) имеет ре шение (собственное значение) тогда и только тогда, когда это собственное значение является решением дисперсионного урав нения (34).

Доказательство. Достаточность. Очевидно, что, найдя решение дисперсионного уравнения (34), мы сможем найти функции (x) и (x) из системы (26) и первого интеграла (27).

Зная функции (x) и (x) и пользуясь формулами (25), найдем 0 X(x) = ± и Z (x) = ±. (35) 2 + 2 2 2+ 2 a a Вопрос о выборе знака является существенным, и поэто му обсудим его подробнее. Нам известно поведение функции = X : функция является монотонно возрастающей, если Z x = x таково, что (x ) = 0, то (x 0) 0, (x + 0) 0, и если x = x таково, что (x ) = ±, то (x 0) 0 и (x + 0) 0. Других точек перемен знака у функции нет.

(h) Из краевых условий следует, что Z (h) = Ez (0). Учтем, что если 0, то функции X и Z имеют одинаковые знаки, а ес ли 0, то X и Z имеют разные знаки, и, помня о том, что X и Z – гладкие функции, выбираем соответствующие знаки в выражениях (35).

Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин. Необходимость. Из самого способа получения дисперсион ного уравнения (34) из системы (26) следует, что собственные значения краевой задачи являются решениями дисперсионного уравнения.

Также необходимо заметить, что собственные функции, от вечающие собственному значению 0, легко могут быть найдены численно из системы (9) или (10), например, методом Рунге Кутты.

(h) Введем обозначение J(, k) := wd + (k + 1)T, где правая (0) часть рассматриваемой формулы определяется из дисперсионно го уравнения (34) и k = 0, N.

Пусть hk = inf hk = sup J(, k), J(, k).

inf sup 2 (max(1,3 ),2 ) 2 (max(1,3 ),2 ) Сформулируем достаточное условие существования по край ней мере одного собственного значения краевой задачи.

Теорема 2. Если h таково, что для некоторого k = 0, N выполняется неравенство hk h hk, sup inf то краевая задача на собственные значения (22)–(24) с условия ми (19)–(21) имеет по крайней мере одно решение (собственное значение).

Величины hk и hk можно находить численно.

sup inf §6. Обобщенное дисперсионное уравнение В этом параграфе мы получим общее дисперсионное урав нение, справедливое при любых действительных значениях 2.

Кроме того, мы откажемся от требования, чтобы правая часть второго уравнения системы (26) была положительна (см. снос ку на с. 50), а также от условий max(1, 3 ) 2 2 или 0 2 2. Эти условия возникали в линейном случае и были 138 Часть I. Краевые задачи в слое нами использованы при выводе дисперсионного уравнения (34).

Однако в нелинейном случае нет требований, которые ограничи вают значения 2 справа, хотя ограничение слева остается, так как оно возникает из решений в полупространствах (где среда линейна). Теперь мы считаем, что удовлетворяет одному из следующих двух неравенств:

max(1, 3 ) 2 +, когда хотя бы одна из величин 1 или 3 положительна, или 0 2 +, когда 1 0 или 3 0.

Сначала мы выведем дисперсионное уравнение из системы уравнений (26) и первого интеграла (27), а потом обсудим детали вывода и условия, при которых сам вывод возможен и справед ливо полученное дисперсионное уравнение.

Итак, обратимся к системе (26) и первому интегралу (27):

= 2 2 (2+ 2 0 )(2 0 ), ) ( d 2 )+2 2 ( dx 2 2 +2 ( 1) d = ;

dx и 2 2 2 C 2 =.

C + 3 2 2 3 2 (2 ) Имея в своем распоряжении первый интеграл, формально можно проинтегрировать любое из двух уравнений системы (26).

Как и ранее, будем интегрировать второе уравнение этой систе мы. Но мы не можем получить решение на всем интервале, по скольку функция (x) может иметь разрывы в некоторых точках интервала (0, h). Как нам известно, функция (x) имеет разры вы только второго рода (так как – аналитическая функция).

Пусть функция (x) на интервале (0, h) имеет несколько то чек x0, x1,..., xN, в которых она обращается в бесконечность.

Отметим, что (xi 0) = ± и (xi + 0) = ±, i = 0, N, причем знаки ± в этих формулах независимы и нам неизвестны.

Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин. Учитывая сказанное, будем разыскивать решения на каж дом из отрезков [0, x0 ], [x0, x1 ],..., [xN, h]:

(x0 0) wd = x + c0, 0 x x0 ;

(x) (x) wd = x + ci+1, xi x xi+1, i = 0, N 1;

(36) (xi +0) (x) wd = x + cN +1, xN x h.

(xN +0) Из уравнений (36), подставляя x = 0, x = xi+1, x = xN в первое, второе и третье уравнения (36), найдем необходимые константы c1, c2,..., cN +1 :

(x0 0) c = 0 wd;

(0) (xi+1 0) ci+1 = wd xi+1, i = 0, N 1;

(37) (xi +0) (h) cN +1 = wd h.

(xN +0) С учетом (37) уравнения (36) примут вид (x0 0) (x0 0) wd = x + 0 x x0 ;

wd, (x) (0) (x) (xi+1 0) wd = x + wd xi+1, xi x xi+1 ;

(38) (xi +0) (xi +0) (x) (h) wd = x + wd h, xN x h, (xN +0) (xN +0) где i = 0, N 1.

Из формул (38) получаем, что (xi+1 0) xi+1 xi = wd, i = 0, N 1. (39) (xi +0) 140 Часть I. Краевые задачи в слое Поскольку 0 xi+1 xi h, то отсюда следует, что при наших предположениях (относительно наличия особых то (xi+1 0) wd 0. Таким же чек) интеграл справа сходится, и (xi +0) образом из первого и последнего уравнений (38) получаем, что (x0 0) x0 = wd, так как 0 x0 h, тогда (0) (x0 0) 0 wd h ;

(0) (h) и h xN = wd, так как 0 h xN h, тогда (xN +0) (x0 0) 0 wd h.

(0) Из этих рассуждений следует, что функция (x) имеет ко нечное число точек разрыва второго рода, и функция w() не имеет неинтегрируемых особенностей при (, ).

Теперь, полагая в уравнениях (38) x таковым (т.е. подстав ляя x = x0, x = xi, x = xN в первое, второе и третье уравнения (38)), чтобы все интегралы слева обратились в нуль, сложим все уравнения (38), получим (x0 0) (x1 0) 0 = x0 + wd + x0 + wd x1 +...

(x0 +0) (0) (xN 0) (h)... + xN 1 + wd xN + xN + wd h. (40) (xN1 +0) (xN +0) Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин. Из (40) получаем (x0 0) (xi+1 0) (h) N wd + wd + wd = h. (41) i= (xN +0) (xi +0) (0) Из формулы (39) следует, что (xi + 0) = ± и (xi 0) =, где i = 0, N, причем ясно, что бесконечности должны выбираться различных знаков.

Таким образом, получаем, что (x1 0) (xN 0) wd =... = wd T, (x0 +0) (xN1 +0) и, значит, x1 x0 =... = xN xN 1.

Теперь уравнение (41) можно переписать так:

(x0 0) (h) wd + f d + N T = h (xN +0) (0) или в окончательной форме (0) wd + (N + 1) T = h, (42) (h) где N 0 – целое число;

(0), (h) определены формулами (28).

Формула (42) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого конечного h. Отметим, что когда N = 0, то возникает несколько уравнений при различных значениях N. Необходимо решать относительно каждое из получающихся уравнений.

Теперь можно сформулировать теорему, аналогичную тео реме 1, но уже для обобщенного дисперсионного уравнения (42).

142 Часть I. Краевые задачи в слое Теорема 3. Множество решений (собственных значений) краевой задачи на собственные значения (22)–(24) с условия ми (19)–(21) содержится в множестве решений дисперсионно го уравнения (42).

Доказательство. Ясно, что эта теорема обобщает теоре му 1. Также ясно, что всякое собственное значение рассматрива емой краевой задачи будет решением дисперсионного уравнения.

Легко понять, откуда могут появиться лишние решения (реше ния дисперсионного уравнения, которые не являются собствен ными значениями краевой задачи). Если величины 2 и a яв ляются произвольными вещественными числами, то может ока заться так, что среди корней уравнения (17) и корней системы (19) мы не сможем выделить те, которые отвечают краевой за даче. Таким образом, мы для каждой тройки корней будем по лучать дисперсионное уравнение вида (42). Ясно, что решения лишь одного такого дисперсионного уравнения могут являть ся собственными числами. Того, которому отвечает «истинная»

тройка корней указанных уравнения (17) и системы (19). При численном решении дисперсионного уравнения это легко прове рить. Вычислив решение дисперсионного уравнения, подста вив его в исходную систему (9) или (10) и используя начальные условия, можно вычислить значения X0 и Z0. Если полученные таким образом значения совпадают с найденными из системы (19), то вычисленное является собственным значением (и не является таковым в противном случае).

Теперь мы перейдем к теоретическому обоснованию выво да дисперсионных уравнений (34) и (42). С самого начала мы ничего не говорили об условиях, при которых решение систе мы (10) существует и единственно. Мы сделали это намеренно, предпочитая сначала проделать все технические вычисления и дать читателю возможность проследить за выводом и использу емой техникой, не отвлекаясь на факты теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Воспользуемся векторной формой записи (23) системы (10) DF = G(F, ). (43) Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин. Пусть правая часть G определена и непрерывна в области R2, G : R2. Также считаем, что G удовлетворяет в условию Липшица по F локально1.

При указанных условиях система (10) или, что то же самое, система (43) имеет единственное решение в области [8, 38, 49].

Ясно, что накладывая эти условия на систему (26), для нее получим единственность решения (разумеется, область един ственности в переменных, будет отлична от ).

Поскольку мы ищем ограниченные решения X и Z, то [m1, m1 ] [m2, m2 ], где max |Y | m1, max |Z| m2.

x[0,h] x[0,h] Из последнего мы получаем, что [f, f + m2 ] (, +).

Из теории автономных систем известно (см., например, [38]), что при сделанных предположениях относительно правой части фазовые траектории такой системы не пересекаются в ее фа зовом пространстве. Поскольку X 0 и Z 0 являются ста ционарными решениями системы (10), то ясно, что рассматри ваемые непостоянные решения X и Z не могут одновременно обратиться в нуль в некоторой точке x (иначе они будут пересекаться с указанным стационарным решением, чего быть не может). То есть мы показали, что не существует точки x такой, что X|x=x = 0 и Z|x=x = 0.

Еще одно замечание относительно интегралов в дисперси онных уравнениях (34) и (42). Если при некотором значении какие-то из входящих в дисперсионные уравнения интегралов расходятся во внутренних точках, то это попросту обозначает, что выбранное значение не является решением дисперсионно го уравнения и, тем более, не является собственным значением.

Мы выводили дисперсионные уравнения из второго урав нения системы (26). Однако точно так же можно это сделать, исходя из первого уравнения этой системы.

По поводу условия Липшица см. сноску на с. 54.

144 Часть I. Краевые задачи в слое Здесь мы приведем без вывода дисперсионное уравнение, полученное из первого уравнения системы (26) и первого инте грала (27). Это уравнение было первоначально выведено нами при условии 2 max(1, 3 ) и a 0;

его, естественно, можно распространить на произвольные действительные значения ука занных параметров, однако мы этого не делали, и сейчас станет ясно почему.

Дисперсионное уравнение имеет вид + (0) Ch gd + gd + 2(N + 1) gd = h, () (h) + + Ch Ch 2 Ch где g = + ;

таково, что ( ) = ±;

Ch +3 2 2 3 2 (2 ) Ch (h) Hy определяется формулой (29);

(h) = и (0) определяется Xh (3 2 +22) как корень уравнения 4 + 3 + Ch 2 + 1 2 ( 2 1 ) 4 ( 2 1 ) 2 C + 4 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) = 0.

1h Как видно, пределы интегрирования в уравнении () опреде ляются довольно сложно. Несмотря на то, что подинтегральное выражение проще, чем в уравнении (34), удобнее (в частности для расчетов) использовать дисперсионное уравнение, выведен ное из второго уравнения системы (26). По этой причине мы не приводим вывод этого уравнения (впрочем, вполне понятный), и не используем само уравнение. Уравнение () приведено здесь только для демонстрации того, что можно пользоваться и пер вым уравнением системы (26).

На рис. 2, 3 приведены результаты расчетов дисперсионных кривых из уравнения (42).

На рис. 2 изображены дисперсионные кривые как для ли нейного, так и для нелинейного случаев. Сплошные кривые обо значают решения дисперсионного уравнения (42);

пунктирные кривые – решения уравнения (42) при a = 0, т.е. дисперсионно го уравнения для случая линейной среды в слое (см. (19), гл. Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин. или формулу (44) этой главы). При расчетах взяты следующие значения параметров: 1 = 4, 2 = 9, 3 = 1 (эти параметры относятся как к линейной, так и к нелинейной среде), кроме то го, для нелинейной среды a = 0.1 (коэффициент нелинейности), Zh = 1 (начальное условие). Пунктирные прямые задаются урав нениями: h = 6 (толщина слоя), 2 = 4 (нижняя граница для 2 ), 2 = 9 (верхняя граница для 2 в случае линейной среды в слое).

| | | | | | | | | | h 0 5 6 10 15 Рис. Как известно (см. гл. 5) и это видно на рис. 2, прямая 2 = является асимптотой для дисперсионных кривых в случае ли нейного слоя. Важно отметить, что в области 2 2 диспер сионные кривые в линейном случае отсутствуют. Можно строго показать, что функция h h(), определяемая из уравнения (42) при a = 0 непрерывна в окрестности точки 2 = 2 (см.

рис. 2). Это является существенным отличием между поведени ем дисперсионных кривых в линейном и нелинейном случаях.

146 Часть I. Краевые задачи в слое | 12 3 4 5 * | * * * | | | | | | | | | h 0 5 6 10 15 Рис. Далее можно строго показать, что функция h h(), опре деляемая из уравнения (42) при a = 0, обладает следующим свойством: lim h() = 0.

2 + На рис. 2 при h = 6 в случае линейного слоя имеется че тыре собственных значения (черные точки, в которых прямая h = 6 пересекает пунктирные дисперсионные кривые), отвечаю щие четырем собственным волнам. В нелинейном слое на рис. отражено семь собственных значений (незакрашенные точки), отвечающих семи собственным волнам. Учитывая утверждение последнего абзаца, ясно, что на самом деле в этом случае соб ственных значений бесконечное множество. Причем последо вательность {i } этих собственных значений является неогра i= ниченной монотонно возрастающей последовательностью, а по следовательность {hi } толщин слоя, отвечающая последова i= тельности {i } собственных значений, является ограниченной i= нулем монотонно убывающей последовательностью.

На рис. 3 изображены дисперсионные кривые для нелиней ного слоя при различных значениях коэффициента нелинейно сти a. Сплошные кривые обозначают решения дисперсионного уравнения (42);

пунктирная кривая – решения уравнения (42) при a = 0, т.е. дисперсионного уравнения для случая линей Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин. ной среды в слое (см. (19), гл. 5 или формулу (44) этой главы).

При расчетах взяты следующие значения параметров: 1 = 4, 2 = 9, 3 = 1 (эти параметры относятся как к линейной, так и к нелинейной среде), кроме того, для нелинейной среды Zh = (начальное условие).

Дисперсионным кривым на этом рисунке для нелинейного слоя (это сплошные линии) отвечают следующие значения ко эффициента нелинейности a: 1 – a = 100;

2 – a = 10;

3 – a = 1;

4 – a = 0.1;

5 – a = 0.01;

6 – a = 0.001;

7 – a = 0.0001. Кривая в случае линейного слоя – пунктирная линия, ее почти не видно, настолько близко к ней прилегает одна дисперсионная кривая для нелинейного слоя при a = 0.0001.

Из рис. 3 видно, что чем меньше коэффициент нелинейно сти a, тем больше вытягиваются дисперсионные кривые в нели нейном случае. Точки максимума кривых h() (на рис. 3 отмече ны звездочкой) смещаются вправо. При этом части кривых, рас положенные ниже этих точек, асимптотически приближаются к дисперсионным кривым в линейном случае. Кривая, соединя ющая точки максимумов, асимптотически приближается к пря мой 2 = 2.

§7. Предельный переход в обобщенном дисперсионном уравнении Рассмотрим предельный переход при a 0 к случаю ли нейной среды в слое. Здесь возможны два случая, а именно:

а) 2 0;

б) 2 0 (случай метаматериала).

Рассмотрим случай а. Дисперсионное соотношение для ли нейного случая выглядит следующим образом [83]:

2 2 1 2 3 + 3 2 tg h 2 =. (44) 1 3 (2 2 ) 2 2 3 2 148 Часть I. Краевые задачи в слое Рассмотрим функции f= f1 =,.

2 2 + 2 ( 1) 2 2 + Функция f1 получилась из f формальным предельным пере ходом при a 0 по переменной. Так как мы ищем действитель ные решения X (x) и Z (x), знаменатель функции f1 не может обратиться в нуль. Более того, функция f при a 0 равномер но на x [0, h] стремится к функции f1. Используя результаты классического анализа, можно показать, что при этом условии с учетом непрерывности функции f можно перейти к пределу при a 0 под знаком интеграла в (42):

h= 2 2 1 + 1 d + (N + 1) d. (45) 2 + 2 + 2 3 2 2 2 2 Интегралы в (45) вычисляются аналитически. Вычислив эти интегралы, получим h 2 2 = 2 2 1 2 3 + 3 2 = arctg + (N + 1).

1 3 (2 2 ) 2 2 3 2 (46) Взяв тангенс от выражения (46), получим (44).

В случае б имеем 2 0 (метаматериал), и дисперсионное уравнение для случая линейной среды в слое выглядит так (вы вод см. в гл. 5):

Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин. 2 e2h = 2 2 2 2 1 3 2 2 2 2 = ·, (47) 2 2 + 2 2 1 3 2 2 + 2 2 где 2 1 0, 2 2 0, 2 3 0.

Так же как и раньше, переходя к пределу при a 0 в функ |2 | ции f, получаем f2 = 2 2. Переходя к указанному 2 пределу в уравнении (42) и вычисляя интегралы от функции f2, получаем 2 2 = 2h 1 |2 | |2 | 2 2 2 2 = ln + (N + 1) ln.

|2 | |2 | + + 2 2 2 2 Множитель позади (N + 1), очевидно, дает нуль. Выполнив простейшие вычисления и затем потенцируя, получаем формулу (47).

Результаты этого параграфа показывают, что при переходе к пределу при a 0 мы получаем регулярный случай. В преде ле дисперсионное уравнение (42) для случая нелинейной среды в слое переходит в дисперсионное уравнение (44) или (47) для случая линейной среды в слое.

§8. Первое приближение для собственных значений задачи Пусть F (a, ) = h, (48) где F (a, ) – левая часть уравнения (42).

Выражение (48) определяет неявную функцию (a).

Предполагая, что эта функция является дифференцируемой в 150 Часть I. Краевые задачи в слое окрестности точки a = 0, далее мы покажем, что это действи тельно так. Разложим ее в ряд Тейлора:

d (a) a+ O a2 = 0 + 1 a+ O a2, (49) (a) = (0) + da a= где 0 является решением уравнения (44).

Находим полный дифференциал выражения (48) и, выра жая искомую производную, получаем F (a,) d (a) = Fa. (50) (a,) da Воспользовавшись (34), найдем + (0) F (a, ) G (a,, ) G (a,, ) = d + (N + 1) d (51) a a a (h) и F (a, ) 1 = G a,, + 2 ( 2 1 ) 3 + G a,, 2 3 ( 2 3 ) + (0) G (a,, ) G (a,, ) d + (N + 1) d, (52) (h) где G (a,, ) = (53), 2 2 + 2 ( 1) (0) = 1, (h) = 3 (см. формулы (28)).

2 1 В формуле (53) является функцией, которая определя ется из уравнения (27).

Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин. Можно показать, что функции G(a,,) и G(a,,) при a a равномерно на x [0, h] стремятся соответственно к функциям G(a,,) = G1 (, ) и G(a,,) = G2 (, ). Предполагая, a a=0 a= что функции G(a,,) и G(a,,) непрерывны по при любом a фиксированном a, используя результаты классического анализа, можно перейти к пределу под знаком интеграла. Тогда формулы (51) и (52) примут вид + (0) F (a, ) = G1 (, ) d + (N + 1) G1 (, ) d, (54) a a= (h) F (a, ) 1 = G 0,, + 2 ( 2 1 ) a= 3 + G 0,, 2 3 ( 2 3 ) + (0) G2 (, ) d + (N + 1) G2 (, ) d, (55) (h) где G (0,, ) = (56), 2 2 + 2 (0) = 1, (h) = 3 (см. формулы (28)).

2 1 Используя (53), найдем 2 2 + G (a,, ) = (57), a ( 2 2 + 2 ( 1)) a 2 2 + 2 2 G (a,, ) =.

( 2 2 + 2 ( 1))2 ( 2 2 + 2 ( 1)) (58) 152 Часть I. Краевые задачи в слое Из формулы (27), переходя к пределу при a 0, получаем 2 0 + 2 Ch = (59).

2 0 + 2 (0 1) a a a=0 a= Воспользовавшись (29) и переходя к пределу при a 0, получаем 2 2 2 3 + 2 2 2 (h) Ch 2 =2. (60) 2 2 + 2 ( 2 3 ) a a 3 a=0 a= (h) Hy Используя (h) = и переходя к пределу при a 0, Xh получаем 2 2 + 2 2 3 (h) 2 3 (h)|a=0 = ;

= (61) Zh.

2 2 ( 2 3 ) 2 a a= Имея в виду (61), окончательное вычислим (60):

2 2 3 + 2 2 2 Ch 2 =2 (62) Zh.

4 2 ( 2 3 ) a a= Из выражения (29), используя (61), ясно, что при a Ch |a=0 = (63).

Далее из (25) при a 0 находим = 2 (64).

a= Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин. При помощи формулы (56) вычислим значения, используе мые в (55):

1 G 0,, = 2 1 ( 2 1 ) 1 =, 1 2 ( 2 1 ) + 2 (2 2 ) 2 2 (65) 3 G 0,, = 2 3 ( 2 3 ) 2 =.

3 2 ( 2 3 ) + 2 (2 2 ) 2 2 Теперь мы можем выписать явные выражения для функций G1 (, ) и G2 (, ) из формул (54) и (55);

используя (57), (59) и (62), получим + G1 (, ) = k (66) 3, + 2 2 ( 2 3)+2 (2 2 ) где k = 4 2 Zh ;

используя (58) и (64), получаем 2 ( 2 3 )(2 2 ) G2 (, ) = (67) 2.

(2 2 )2 + 2 Воспользовавшись выражениями (66) и (67), мы можем вы писать искомую производную (50) в такой форме:

3 2 2 3 + 2 2 2 d (a) Zh P () 2 1 =, (68) 3 ( 2 ) ( 2 ) Q () da 3 a= где 2 2 + (0) + 2 + 2 2 P = + (N + 1) (69) 3 d 3 d, 2 + 2 + 2 2 2 2 (h) 154 Часть I. Краевые задачи в слое + (0) 2 Q= 2 d + (N + 1) 2 d+ 2 2 + + 2 2 2 2 (h) 2 2 + + 2 2 1 2 ( 2 1 ) + 2 (2 2 ) 2 2 2 +, (70) 2 2 3 2 ( 2 3 ) + 2 (2 2 ) 2 (0) = 1, (h) = 3 (см. формулы (28)).

2 1 Из формул (68)–(70) видно, что при соблюдении условий, наложенных на 1, 2, 3, и a (см. §1), производная (50) всегда неотрицательна.

Интегралы в (69) и (70) вычисляются элементарно. Найдя необходимые интегралы и используя, где необходимо (45), полу чим искомую производную в такой форме:

2 2 3 + 2 2 2 Zh P1 d (a) 2 1 = (71), 83 (2 2 ) ( 2 3 ) da Q a= где P1 = 2 2 2 22 k1 + 32 + 2 2 k2 + 32 4 2 2 + 4 + h (72) и 1 (2 1 ) Q1 = + 2 ( 2 ) + 2 ( 2 2) 1 2 1 3 (2 3 ) h + +, (73) 3 2 ( 2 2 ( 2 2) 3 ) + 2 где Гл. 7. ТМ-волны в изотр. слое с керровской нелин. ( 2 1 )3 ( 2 3 ) 1 k1 = + 2, 2 ( 2 1 ) + 2 (2 2 ) 2 ( 2 3 ) + 2 (2 2 ) 2 1 2 1 2 1 3 2 k2 = 2 ( 2 ) + 2 ( 2 ) + 2 ( 2 ).

2 ( 2 1 ) + 1 2 3 2 Используя (71)–(73), запишем (50) в точке = 0, a = 0 :

2 2 3 + 2 2 2 P1 (0 ) d (a) 2 1 = (74) Z.

83 (2 2 ) ( 2 3 ) Q1 (0 ) h da a= Теперь, используя (74), можно найти 1 и, таким образом, получить разложение (49). Величина 1 представляет собой по правку в первом приближении к значению 0.

Рассмотрим функцию F (a, ) h = 0 в окрестности точки a = 0, = 0. Из формул (27), (29) и (34) ясно, что указанная функция непрерывна в этой окрестности, поскольку функция = () является решением алгебраического уравнения (27), коэффициенты которого непрерывно зависят от a и. Как вид но из формул (51) и (52), в окрестности этой точки рассматри ваемая функция имеет частные производные и по a, и по. Из формулы (73) ясно, что частная производная по не обращается в нуль в точке a = 0, = 0. Замечая, что F (a, ) F (0, 0 ) = в указанной точке, получаем, что уравнение F (a, ) h = 0 од нозначно разрешимо относительно в некоторой окрестности точки a = 0, = 0 и (a). Из формулы (72) мы видим, что частная производная по a рассматриваемой функции также непрерывна в точке a = 0, = 0. Из этого следует, что функция (a) имеет производную в точке a = 0 и для нее справедли ва формула (50) [31]. Таким образом, мы полностью обоснова ли возможность получения первого приближения. Необходимо помнить, что все выводы сделаны с учетом ограничений, нало женных на 1, 2, 3, a и (см. §1).

ГЛАВА РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТМ-ВОЛН В АНИЗОТРОПНОМ СЛОЕ С КЕРРОВСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ Здесь мы рассматриваем задачу распространения ТМ-волн в анизотропном слое, заполненном средой, диэлектрическая про ницаемость которой является произвольной функцией от напря женности электрического поля1.

Результаты этой главы опубликованы в [19].

§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющие ся через однородный, анизотропный, немагнитный диэлектри ческий слой, расположенный между двумя полупространствами x 0 и x h в декартовой системе координат Oxyz. Полу пространства заполнены изотропной немагнитной средой без ис точников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость 1 0 и 3 0 соответственно, где 0 – диэлектрическая про ницаемость вакуума. Вообще говоря, условия 1 0 и 3 необязательны, они не используются при выводе дисперсион ных уравнений, однако могут оказаться полезными при анализе разрешимости дисперсионных уравнений. Считаем, что всюду = 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Изложение сжатое, т.к. многое подробно изложено в гл. 6, 7.

Гл. 8. ТМ-волны в анизотр. слое с керровской нелин. Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:

E (x, y, z, t) = E+ (x, y, z) cos t + E (x, y, z) sin t, H (x, y, z, t) = H+ (x, y, z) cos t + H (x, y, z) sin t, где – круговая частота;

E, E+, E, H, H+, H – веществен ные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E и H:

E = E+ + iE, H = H+ + iH.

Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе урав нений Максвелла rot H = iE, (1) rot E = iH, условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x = 0, x = h и условию излуче ния на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |x| в областях x 0 и x h.

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается диагональным тензором:

xx 0 = 0 yy 0, 0 0 zz где xx = 2 + b |Ex |2 + a |Ez |2, zz = 2 + a |Ex |2 + b |Ez |2 и a, b, 2 max (1, 3 ) – положительные постоянные1.

Будем искать решение уравнений Максвелла во всем про странстве.

На рис. 1 схематически представлена геометрия задачи.

В §6 решение будет найдено в гораздо более широких предположениях.

158 Часть I. Краевые задачи в слое x = h = z 0 = Рис. 1. Геометрия задачи §2. ТМ-поляризованные электромагнитные волны Рассмотрим ТМ-поляризованные волны:

E = (Ex, 0, Ez )T, H = (0, Hy, 0)T, где Ex = Ex (x, y, z), Ez = Ez (x, y, z), Hy = Hy (x, y, z) и ( · )T – операция транспонирования.

Подставляя поля E и H в уравнения Максвелла (1), получим E yz = 0, Ex Ez z x = iHy, y = 0, Ex H y z = ixx Ex, Hy x = izz Ez.

Из первого и третьего уравнений этой системы следует, что Ez = Ez (x, z) и Ex = Ex (x, z) не зависят от y. Поскольку Hy выражается через Ex и Ez, то Hy также не зависит от y.

Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред (а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, ком поненты полей E и H имеют представление Ex = Ex (x)eiz, Ez = Ez (x)eiz, Hy = Hy (x)eiz.

Тогда из рассмотренной выше системы получаем [60] iEx (x) Ez (x) = iHy (x), H (x) = izz Ez (x), (2) y iHy (x) = ixx Ex (x), Гл. 8. ТМ-волны в анизотр. слое с керровской нелин. из нее следует, что Hy (x) = iEx (x) Ez (x), (3) i здесь – неизвестный спектральный параметр – постоянная рас пространения электромагнитной волны, (...) x.

Дифференцируя выражение (3) и используя второе и третье уравнения системы (2), получим (iEx (x)) Ez (x) = 2 zz Ez (x), (4) 2 (iEx (x)) Ez (x) = 2 xx (iEx (x)).

Введем обозначения k2 = 2 0 с = 0 и выполним нор мировку в соответствии с формулами x = kx, dx = k d, =, x d d k a j j = 0 (j = 1, 2, 3), a = 0, b = 0. Переобозначаем Ez Z (), b x iEx X () и, опуская значок тильды, систему (4) приведем x к виду Z + X = zz Z, (5) Z + X = xx X.

Будем искать те значения спектрального параметра (соб ственные значения), для которых существуют действительные решения X(x), Z(x) системы (5), полагаем действительным (так что |E|2 не зависит от z, см. сноску на с. 38, а также заме чание на с. 82). Считаем, что 1, x 0;

=, 0 x h;

(6) 3, x h.

Также полагаем, что спектральный параметр удовлетво ряет неравенствам max(1, 3 ) 2 2. Это неравенство есте ственно возникает при рассмотрении аналогичной задачи в ли нейном слое (подробности см. в гл. 4, неравенство (14)).

160 Часть I. Краевые задачи в слое Считаем, что функции X, Z дифференцируемы так, что X(x) C (, 0] C[0, h] C [h, +) C 1 (, 0] C 1 [0, h] C 1 [h, +), Z (x) C(, +) C 1 (, 0] C 1 [0, h] C 1 [h, +) C 2 (, 0) C 2 (0, h) C 2 (h, +).

Указанные условия непрерывности и дифференцируемости функций Y и Z продиктованы физическим содержанием зада чи. Видно, что система (5) является автономной. Такую систему, если привести ее к нормальной форме, что будет сделано позд нее, можно рассматривать как динамическую систему с анали тическими по X и Z правыми частями1. Известно (см., напри мер, [5]), что решения X, Z такой динамической системы сами являются аналитическими функциями независимой переменной.

Этот факт окажется очень важным при выводе дисперсионных уравнений.

Система (5) – это на самом деле система уравнений в слое, однако из нее легко получаются системы для изотропных полу пространств при xx = zz = i, где i = 1, 3.

Считаем, что 2 max(1, 3 ). Отметим, что последнее усло вие имеет место только в случае, если хотя бы одна из величин (или обе) 1 или 3 положительна, если же 1 0 и 3 0, то 2 0.

§3. Решение системы дифференциальных уравнений X = Z, При x 0 имеем = 1. Из (5) получаем Z = 1 X.

Отсюда получаем уравнение X = ( 2 1 )X, его общее решение Разумеется, в соответствующей области, в которой правые части ана литичны по X и Z.

Гл. 8. ТМ-волны в анизотр. слое с керровской нелин. 2 X (x) = A1 ex 1 + Aex 1. Учитывая условие излучения на бесконечности, получаем решение рассматриваемой системы:

X (x) = A exp x 2 1, (7) 2 A exp x 2 1.

Z (x) = Здесь мы считаем 2 1 0, ибо в противном случае мы по лучим общее решение, выраженное через синусы и косинусы дей ствительного аргумента, и, таким образом, не сможем удовлетво рить условию излучения на бесконечности. Случай 2 1 = тоже невозможен, так как в этом случае мы получаем при x постоянное решение, которое не удовлетворяет условию излуче ния на бесконечности. Значит, 2 1.

X = Z, При x h имеем = 3. Из (5) получаем Z = 3 X.

Отсюда получаем уравнение X = 2 3 )X, его общее решение ( 2 X (x) = Be(xh) 3 + B1 e(xh) 3. Учитывая условие из лучения на бесконечности, получаем решение рассматриваемой системы:

X (x) = B exp (x h) 2 3, 2 (8) Z (x) = 3 B exp (x h) 2 3.

Здесь по тем же причинам, что и при x 0, мы считаем 2 3 0. Значит, 2 3.

Постоянные A и B в (7) и (8) определяются условиями со пряжения и начальными данными.

Внутри слоя 0 x h система (5) принимает вид d Z + dX = 2 + aX 2 + bZ 2 Z, dx2 dx (9) dx + X = 2 + bX 2 + aZ 2 X.

dZ 162 Часть I. Краевые задачи в слое Систему (9) можно привести к виду 2 (2 +aX 2 +bZ 2 )+2a(2 +bX 2 +aZ 2 2 )X dX dx = Z, (2 +3bX 2 +aZ 2 ) (10) dZ = 1 2 2 + bX 2 + aZ 2 X.

dx Из системы (10) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение:

dX 2 + 3bX 2 + aZ 2 = dZ 2 + aX 2 + bZ 2 Z = 2aXZ + 2. (11) 2 + bX 2 + aZ 2 2 X После умножения на 2 + bX 2 + aZ 2 2 X уравнение (11) становится уравнением в полных дифференциалах. Его решение (первый интеграл системы (9)) легко находится и его можно при вести к виду X 2 2 2 + bX 2 + aZ 2 2 + bX 2 + aZ 2 2 2 bX 2 + + 2 22 + bZ 2 Z 2 = C, (12) где C – постоянная интегрирования.

§4. Условия сопряжения и задача сопряжения Как известно, касательные составляющие электромагнитно го поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматривае мом случае касательными составляющими являются компонен ты Hy и Ez. Отсюда получаем Hy (h + 0) = Hy (h 0), Hy (0 0) = Hy (0 + 0), Ez (h + 0) = Ez (h 0), Ez (0 0) = Ez (0 + 0).

Как видно, система (10) записана в нормальной форме, и об аналитич ности решений именно такой системы при аналитических по X и Z правых частях мы говорили в конце §2.

Здесь мы не стали подробно проводить выкладки, ибо аналогичные ве щи были проделаны уже дважды в гл. 5 и 6.

Гл. 8. ТМ-волны в анизотр. слое с керровской нелин. Из условий непрерывности касательных составляющих по лей E и H получаем (h) (0) X(h) Z (h) = Hy, X(0) Z (0) = Hy, (13) (h) (0) Z(h) = Ez (h + 0) = Ez, Z(0) = Ez (0 0) = Ez, (h) (0) = i 0 Hy (h + 0), Hy = i 0 Hy (0 0).

где Hy (h) Постоянная Ez = Z(h) = Z(h + 0) считается известной.

Обозначим X0 := X(0), Xh := X(h), Z0 := Z(0), Zh := Z(h).

Тогда из (13) получаем 3 (h) (0) Hy = Zh, Hy = Z0 (14).

2 3 2 В соответствии с (9) в слое 2 + bX 2 (x) + aZ 2 (x) X(x).

Z (x) + X(x) = (15) Тогда для x = h, используя (13), получаем из (15) 1 2 2 (h) 2 + bXh + aZh Xh = Hy. (16) Из (16) получаем уравнение относительно Xh :

(h) 2 + aZh Hy + Xh = 0. (17) Xh b b При наших предположениях относительно 2, a и b величина 2 +aZh 0, и, следовательно, уравнение (17) имеет по крайней b мере один действительный корень, который мы и будем рассмат ривать:

1/ (h) 2 + 1 1 2 (h) aZh Hy Xh = + + + Hy 2b 27 4b b 1/ (h) 2 + aZh 1 1 2 (h) Hy + + Hy.

2b 27 4b b 164 Часть I. Краевые задачи в слое Используя первый интеграл (12) при x = h, найдем значение постоянной Ch := C|x=h :

X Ch = 2 22 + bZh Zh 2 bXh + 2 2 X 2 2 2 + bXh + aZh 2.

2 + 2Xh 2 + bXh + aZh (18) Для того чтобы найти значения X0 и Z0, необходимо решить систему двух уравнений, полученную использованием формулы (15) в точке x = 0 и первого интеграла в этой же точке:

1 Z0 = 2 + bX0 + aZ0 X0, 2 2 2 2 2 22 + bZ0 Z0 bX0 + + 2X0 2 + bX0 + aZ0 2 + bX0 + aZ0 2 = Ch.

2 2 2 2 2 X (19) Из второго уравнения системы (19) видно, что X0 и Z0 мо гут входить в это уравнение с произвольными знаками. В то же время из первого уравнения видно, что X0 и Z0 должны быть од новременно либо положительными, либо отрицательными (этот факт окажется очень важным в дальнейшем).

Как известно, нормальные компоненты электромагнитно го поля терпят разрыв первого рода на границе раздела сред.

В нашем случае нормальной компонентой является Ex. Также известно, что величина Ex непрерывна на границе раздела сред.

Из сказанного и из непрерывности касательной компоненты Ez следуют условия сопряжения для функций X и Z:

[X]x=0 = 0, [X]x=h = 0, [Z]x=0 = 0, [Z]x=h = 0, (20) где [f ]x=x0 = lim f (x) lim f (x) обозначает скачок функ xx0 0 xx0 + ции на границе раздела сред.

Считаем, что функции X (x) и Z (x) удовлетворяют условию 1 X(x) = O и Z(x) = O при |x|. (21) |x| |x| Гл. 8. ТМ-волны в анизотр. слое с керровской нелин. Пусть d X G D=, F(X, Z) =, G(F, ) = dx, 0 d Z G dx где X X(x) и Z Z(x) являются искомыми функциями, а G1 G1 (F, ) и G2 G2 (F, ) являются правыми частями урав нений системы (10). Число является спектральным парамет ром. Перепишем задачу, используя введенные обозначения.

Для полупространства x 0, = 1 получаем 0 DF F = 0. (22) 2 Внутри слоя 0 x h мы имеем =, и система принимает вид L(F, ) DF G(F, ) = 0. (23) Для полупространства x h, = 3 получаем 0 DF F = 0. (24) 2 Сформулируем задачу сопряжения (ее можно переформу лировать как краевую задачу). Требуется найти собственные значения и соответствующие им ненулевые векторы F такие, что F удовлетворяет уравнениям (22)–(24), условиям сопряже ния (20), компоненты вектора F удовлетворяют условию (21) и X0, Z0 удовлетворяют уравнениям (19).

Определение 1. Число = 0, при котором существу ет ненулевое решение F задачи (22)–(24) при условиях (19)– (21), будем называть собственным значением задачи. Решение F, которое соответствует собственному значению, будем назы вать собственным вектором задачи, а компоненты X(x) и Z(x) вектора F – собственными функциями (см. замечание на с. 42).

166 Часть I. Краевые задачи в слое §5. Дисперсионное уравнение и теорема об эквивалентности Введем новые переменные:

2 + bX 2 (x) + aZ 2 (x) X(x) (x) = (x) = (x). (25), 2 Z(x) Обозначим 0 =, тогда 2 2 ( 0 ) 4 2 ( 0 ) 3 ( 0 ) X2 =, Z2 =, XZ =.

b 2 + a 2 2 b 2 + a 2 2 b 2 + a 2 Система (10) и уравнение (12) в этих переменных примут вид 2 2 2 ( 0 )( (b2 +a 2 2 )(ba( 1))+b(ab)( 0 )(2 2 2 )) d =, (b2 +a 2 2 )( (b2 +a 2 2 )+2b( 0 )2 ) dx d = 2 +b 2 1 2 2 2 a + 0 + ( 0 ) b2 +a 2 2, dx (26) 2 2 2 ( 0 ) (a ( 1) + b0 ) a C 0 4 = + C + 3 2 2 3 2 (2 ) b 4 4 b( 0 ) (2a0 + b( 0 )) a2 C +2, (27) C + 3 2 2 3 2 (2 ) b здесь постоянная интегрирования C не равна одноименной ве личине в формуле (12).

Уравнение (27) – алгебраическое уравнение шестой степени относительно и биквадратное относительно.

Для того чтобы выписать дисперсионные уравнения для по стоянных распространения электромагнитных волн, необходимо найти значения (0), (h).

Ясно, что (0) = X(0) (0), (h) = X(h) (h), но поскольку Z(0) Z(h) X(x) (x) = X(x), то, учитывая (13) и (14), легко получаем, что 1 (0) = 0, (h) = 0. (28) 2 1 Гл. 8. ТМ-волны в анизотр. слое с керровской нелин. Значение постоянной C, мы ее обозначим как Ch, легко на ходится из первого интеграла (27), поскольку (h) и (H) из вестны, то подставляя x = h в (27), находим, что Ch = 4 2 2 2 4 4 + a+ 3 a ( 2 3 )2 2 b b 3 2 + 40 + 2 2 ( 0 ) + ( 2 3 ) 2 2 2 2 + ( 0 ) (a ( 1) + b0 ) + a0 + b 2 4 + 2 b( 0 ) (2a0 + b( 0 )) + a2 0, (29) b (h) H где = (h) = Xh.

y Из положительности правой части второго уравнения си стемы (26) ясно, что функция (x) монотонно возрастает на ин тервале (0, h). Учитывая знаки выражений (28), получаем, что функция (x) не может быть дифференцируемой на всем интер вале (0, h), а необходимо имеет точку разрыва. Пусть это будет x (0, h). Из (27) ясно, что x таково, что = (x ) является корнем уравнения Ch +3( )2 2( )3 2 (2 )0 = 0. Причем 0) + и (x + 0).

(x Естественно полагать, что функция (x) на интервале (0, h) имеет несколько точек x0, x1,..., xN таких, что (xi 0) = +, (xi + 0) =, где i = 0, N. (30) Обозначим w w() =, 2 +b ( 1) 2 + 2 0 + 2 ( 0 ) a2 +a 2 b где = (), которое выражается из уравнения (15).

168 Часть I. Краевые задачи в слое Учитывая только что сказанное, будем разыскивать реше ния на каждом из отрезков [0, x0 ], [x0, x1 ],..., [xN, h]:

(x0 ) wd = x + c0, 0 x x0 ;

(x) (x) wd = x + ci, xi x xi+1, i = 0, N 1;

(31) (xi ) (x) wd = x + cN, xN x h.

(xN ) Подставляя x = 0, x = xi+1, x = xN в уравнения (31) (в первое, второе и третье соответственно) и учитывая (30), най дем постоянные c1, c2,..., cN +1 c1, c2,..., cN +1 :

+ c0 = wd;

(0) + ci+1 = wd xi+1, i = 0, N 1;

(32) (h) c N +1 = wd h.

С учетом (32) уравнения (31) примут вид (x0 ) + wd = x + 0 x x0 ;

wd, (x) (0) (x) + wd = x + wd xi+1, xi x xi+1, i = 0, N 1;

(xi ) (x) (h) wd = x + wd h, xN x h.

(xN ) (33) + Введем обозначение T wd. Из формул (33) следует, что 0 xi+1 xi = T h, где i = 0, N 1. Отсюда следует сходимость несобственного интеграла (позднее мы докажем это Гл. 8. ТМ-волны в анизотр. слое с керровской нелин. из других соображений). Теперь, полагая в уравнениях (33) x таким, чтобы все интегралы слева обратились в нуль (т.е. x = x0, x = xi, x = xN ), сложим все уравнения (33), получим + (h) 0 = x0 + wd+x0 +T x1 +...+xN 1 +T xN +xN + wdh.

(0) Из последнего выражения окончательно получаем 2 wd + (N + 1) T = h, (34) 2 где N 0 – целое число.

Формула (34) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого конечного h. Надо отметить, что когда N = 0, то возникает несколько уравнений при различных значениях N.

Необходимо решать относительно каждое из получающихся уравнений.

Отметим, что несобственные интегралы в дисперсионном уравнении (34) сходятся. Действительно, при функция 2 = () остается ограниченной, поскольку = 2 +bX 2+aZ, а X, Z – ограниченные функции. Тогда |w| =, 2 + 2 +b 2 1) 2 2 2 ( 0 ) a2 +a 2 ( + + 0 b где 0, 0 – постоянные, тогда несобственный интеграл d сходится. Поскольку мы требуем, чтобы правая часть 2 + второго уравнения (26) была положительна, то из этого следует сходимость интегралов в (34) во внутренних точках.


Если рассматривать первое или второе уравнение системы (26) совместно с первым интегралом, то это уравнение можно 170 Часть I. Краевые задачи в слое проинтегрировать, и это приведет к так называемым абелевым интегралам (см., например, [6, 39]). Если расширить область определения независимого переменного x на всю комплексную плоскость, то можно рассматривать функции, обратные к этим интегралам, которые и будут решениями системы (26). Это абе левы функции, которые являются мероморфными периодиче скими функциями. А поскольку функция выражается через алгебраически, то она также является мероморфной периоди ческой функцией. Таким образом, точка разрыва x является одним из полюсов функции.

Теорема 1 (об эквивалентности). Краевая задача на соб ственные значения (22)–(24) с условиями (19)–(21) имеет ре шение (собственное значение) тогда и только тогда, когда это собственное значение является решением дисперсионного урав нения (34).

Доказательство. Достаточность. Очевидно, что, найдя решение дисперсионного уравнения (34), мы сможем найти функции (x) и (x) из системы (26) и первого интеграла (27).

Зная функции (x) и (x) и пользуясь формулами (25), найдем 0 и Z(x) = ± X(x) = ±. (35) b 2 + a 2 2 b 2 + a 2 Вопрос о выборе знака является существенным, и поэто му обсудим его подробнее. Нам известно поведение функции = X : функция является монотонно возрастающей, если Z x = x таково, что (x ) = 0, то (x 0) 0, (x + 0) 0, и если x = x таково, что (x ) = ±, то (x 0) 0 и (x + 0) 0. Других точек перемен знака у функции нет.

(h) Из краевых условий следует, что Z (h) = Ez (0). Учтем, что если 0, то функции X и Z имеют одинаковые знаки, а ес ли 0, то X и Z имеют разные знаки, и, помня о том, что X и Z – гладкие функции, выбираем соответствующие знаки в выражениях (35).

Необходимость. Из самого способа получения дисперсион ного уравнения (34) из системы (26) следует, что собственные Гл. 8. ТМ-волны в анизотр. слое с керровской нелин. значения краевой задачи являются решениями дисперсионного уравнения.

Также необходимо заметить, что собственные функции, от вечающие собственному значению 0, легко могут быть найдены численно из системы (9) или (10), например, методом Рунге Кутты.

(h) Введем обозначение J(, k) := wd + (k + 1)T, где правая (0) часть рассматриваемой формулы определяется из дисперсионно го уравнения (34) и k = 0, N.

Пусть hk = inf hk = sup J(, k), J(, k).

inf sup 2 (max(1,3 ),2 ) 2 (max(1,3 ),2 ) Сформулируем достаточное условие существования по край ней мере одного собственного значения рассматриваемой крае вой задачи.

Теорема 2. Если h таково, что для некоторого k = 0, N выполняется неравенство hk h hk, sup inf то краевая задача на собственные значения (22)–(24) с условия ми (19)–(21) имеет по крайней мере одно решение (собственное значение).

Величины hk и hk можно находить численно.

sup inf §6. Обобщенное дисперсионное уравнение В этом параграфе мы получим общее дисперсионное урав нение, справедливое при любых действительных значениях 2.

Кроме того, мы откажемся от требования, чтобы правая часть второго уравнения системы (26) была положительна (см. снос ку на с. 50), а также от условий max(1, 3 ) 2 2 или 0 2 2. Эти условия возникали в линейном случае и были нами использованы при выводе дисперсионного уравнения (34).

172 Часть I. Краевые задачи в слое Однако в нелинейном случае нет требований, которые ограничи вают значения 2 справа, хотя ограничение слева остается, так как оно возникает из решений в полупространствах (где среда линейна). Теперь мы считаем, что удовлетворяет одному из следующих двух неравенств:

max(1, 3 ) 2 +, когда хотя бы одна из величин 1 или 3 положительна, или 0 2 +, когда 1 0 или 3 0.

Сначала мы выведем дисперсионное уравнение из системы уравнений (26) и первого интеграла (27), а потом обсудим детали вывода и условия, при которых сам вывод возможен и справед ливо полученное дисперсионное уравнение.

Имея в своем распоряжении первый интеграл, формально можно проинтегрировать любое из двух уравнений системы (26).

Как и ранее, будем интегрировать второе уравнение этой систе мы. Но мы не можем получить решение на всем интервале, по скольку функция (x) может иметь разрывы в некоторых точках интервала (0, h). Как нам известно, функция (x) имеет разры вы только второго рода (так как – аналитическая функция).

Пусть функция (x) на интервале (0, h) имеет несколько то чек x0, x1,..., xN, в которых она обращается в бесконечность.

Отметим, что (xi 0) = ± и (xi + 0) = ±, i = 0, N, причем знаки ± в этих формулах независимы и нам неизвестны.

Учитывая сказанное, будем разыскивать решения на каж дом из отрезков [0, x0 ], [x0, x1 ],..., [xN, h]:

(x0 0) wd = x + c0, 0 x x0 ;

(x) (x) wd = x + ci+1, xi x xi+1, i = 0, N 1;

(36) (xi +0) (x) wd = x + cN +1, xN x h.

(xN +0) Гл. 8. ТМ-волны в анизотр. слое с керровской нелин. Из уравнений (36), подставляя x = 0, x = xi+1, x = xN в первое, второе и третье уравнения (36), найдем необходимые константы c1, c2,..., cN +1 :

(x0 0) c = wd;

(0) (xi+1 0) ci+1 = wd xi+1, i = 0, N 1;

(37) (xi +0) (h) cN +1 = wd h.

(xN +0) С учетом (37) уравнения (36) примут вид (x0 0) (x0 0) wd = x + 0 x x0 ;

wd, (x) (0) (x) (xi+1 0) wd = x + wd xi+1, xi x xi+1 ;

(38) (xi +0) (xi +0) (x) (h) wd = x + wd h, xN x h, (xN +0) (xN +0) где i = 0, N 1.

Из формул (38) получаем, что (xi+1 0) xi+1 xi = (39) wd, (xi +0) где i = 0, N 1.

Поскольку 0 xi+1 xi h, то отсюда следует, что при наших предположениях (относительно наличия особых то (xi+1 0) wd 0. Таким же чек) интеграл справа сходится, и (xi +0) 174 Часть I. Краевые задачи в слое образом из первого и последнего уравнений (38) получаем, что (x0 0) x0 = wd, так как 0 x0 h, тогда (0) (x0 0) 0 wd h ;

(0) (h) h xN = wd, так как 0 h xN h, тогда (xN +0) (x0 0) 0 wd h.

(0) Из этих рассуждений следует, что функция (x) имеет ко нечное число точек разрыва второго рода и функция w() не имеет неинтегрируемых особенностей при (, ).

Теперь, полагая в уравнениях (38) x таковым (т.е. подстав ляя x = x0, x = xi, x = xN в первое, второе и третье уравнения (38)), чтобы все интегралы слева обратились в нуль, сложим все уравнения (38), получим (x0 0) (x1 0) 0 = x0 + wd + x0 + wd x1 +...

(x0 +0) (0) (xN 0) (h)... + xN 1 + wd xN + xN + wd h. (40) (xN1 +0) (xN +0) Из (40) получаем (x0 0) (xi+1 0) (h) N wd + wd + wd = h. (41) i= (xN +0) (xi +0) (0) Гл. 8. ТМ-волны в анизотр. слое с керровской нелин. Из формулы (39) следует, что (xi + 0) = ± и (xi 0) =, где i = 0, N, причем ясно, что бесконечности должны выбираться различных знаков.

Таким образом, получаем, что (x1 0) (xN 0) wd =... = wd T, (x0 +0) (xN1 +0) и, значит, x1 x0 =... = xN xN 1.

Теперь уравнение (41) можно переписать так:

(x0 0) (h) wd + f d + N T = h (xN +0) (0) или в окончательной форме (0) wd + (N + 1) T = h, (42) (h) где N 0 – целое число;

(0), (h) определены формулами (28).

Формула (42) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого конечного h. Отметим, что когда N = 0, то возникает несколько уравнений при различных значениях N. Необходимо решать относительно каждое из получающихся уравнений.

Теперь можно сформулировать теорему, аналогичную тео реме 1, но уже для обобщенного дисперсионного уравнения (42).

Теорема 3. Множество решений (собственных значений) краевой задачи на собственные значения (22)–(24) с условия ми (19)–(21) содержится в множестве решений дисперсионно го уравнения (42).

176 Часть I. Краевые задачи в слое Доказательство. Ясно, что эта теорема обобщает теоре му 1. Также ясно, что всякое собственное значение рассматрива емой краевой задачи будет решением дисперсионного уравнения.

Легко понять, откуда появляются лишние решения (решения дисперсионного уравнения, которые не являются собственными значениями краевой задачи). Если величины 2, a и b являют ся произвольными вещественными числами, то может оказаться так, что среди корней уравнения (17) и корней системы (19) мы не сможем выделить те, которые отвечают решению краевой за дачи. Таким образом, мы для каждой тройки корней будем по лучать дисперсионное уравнение вида (42). Ясно, что решения лишь одного такого дисперсионного уравнения могут являть ся собственными числами. Того, которому отвечает «истинная»

тройка корней указанных уравнения (17) и системы (19). При численном решении дисперсионного уравнения это легко прове рить. Вычислив решение дисперсионного уравнения, подста вив его в исходную систему (9) или (10) и используя начальные условия, можно вычислить значения X0 и Z0. Если полученные таким образом значения совпадают с найденными из системы (19), то вычисленное является собственным значением (и не является таковым в противном случае).

Теперь мы перейдем к теоретическому обоснованию вывода дисперсионных уравнений (34) и (42). Мы намеренно не говори ли об условиях, при которых решение системы (10) существует и единственно, предпочитая сначала проделать все технические вычисления и дать читателю возможность проследить за выво дом и используемой техникой, не отвлекаясь на факты теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Воспользуемся векторной формой записи (23) системы (10):

DF = G(F, ). (43) Пусть правая часть G определена и непрерывна в области R2, G : R2. Также считаем, что G удовлетворяет в условию Липшица по F локально1.

По поводу условия Липшица см. сноску на с. 54.

Гл. 8. ТМ-волны в анизотр. слое с керровской нелин. При указанных условиях система (10) или, что то же самое, система (43) имеет единственное решение в области [8, 38, 49].


Ясно, что накладывая эти условия на систему (26), для нее получим единственность решения (разумеется, область един ственности в переменных, будет отлична от ).

Поскольку мы ищем ограниченные решения X и Z, то [m1, m1 ] [m2, m2 ], где max |Y | m1, max |Z| m2.

x[0,h] x[0,h] Из последнего мы получаем, что [f, f + m2 ] (, +).

Из теории автономных систем известно (см., например, [38]), что при сделанных предположениях относительно правой ча сти, фазовые траектории такой системы не пересекаются в ее фазовом пространстве. Поскольку X 0 и Z 0 являются стационарными решениями системы (10), то ясно, что рассмат риваемые непостоянные решения X и Z не могут одновременно обратиться в нуль в некоторой точке x (иначе они будут пе ресекаться с указанным стационарным решением, чего быть не может). То есть мы показали, что не существует точки x, такой, что X|x=x = 0 и Z|x=x = 0.

Еще одно замечание относительно интегралов в дисперси онных уравнениях (34) и (42). Если при некотором значении какие-то из входящих в дисперсионные уравнения интегралов расходятся во внутренних точках, то это попросту обозначает, что выбранное значение не является решением дисперсионно го уравнения и, тем более, не является собственным значением.

Мы выводили дисперсионные уравнения из второго урав нения системы (26). Однако точно так же можно это сделать, исходя из первого уравнения этой системы (см. с. 144).

Для положительных значений коэффициентов нелинейно стей a и b и 2 0 поведение дисперсионных кривых отражено на рис. 2, 3 гл. 7 (см. с. 145, 146).

ЧАСТЬ II КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В КРУГЛЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДАХ ГЛАВА ТЕ- И ТМ-ПОЛЯРИЗОВАННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ, НАПРАВЛЯЕМЫЕ КРУГЛЫМ ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ВОЛНОВОДОМ В этой главе приводятся известные результаты о том, что в круглом цилиндрическом волноводе с постоянной диэлектриче ской проницаемостью вместо электромагнитного поля, у которо го все координаты отличны от нуля, достаточно рассматривать ТЕ- и ТМ-поляризованные электромагнитные волны. Это поз волит перейти от уравнений в частных производных к обыкно венным дифференциальным уравнениям. Излагая вопрос о ТЕ и ТМ-волнах, направляемых слоем, мы в основном следовали работам [1, 35], также мы обращались к книге [10].

Пусть все трехмерное пространство R3 с декартовыми ко ординатами Oxyz заполнено изотропной средой без источников с постоянной диэлектрической проницаемостью 1 0, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. В эту среду помещен цилиндрический диэлектрический волновод с однородным ани зотропным немагнитным заполнением и образующей параллель ной оси Oz с поперечным сечением W := x : x2 + y 2 R2. Рас смотрим электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода, т.е. собственные волны структуры.

Введем цилиндрические координаты (,, z) так, чтобы ось Oz цилиндрических координат совпадала с осью Oz декартовых.

Гл. 9. ТЕ- и ТМ-волны, направляемые цилиндр. волноводом Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:

E (,, z, t) = E+ (,, z) cos t + E (,, z) sin t, H (,, z, t) = H+ (,, z) cos t + H (,, z) sin t, где – круговая частота;

E, E+, E, H, H+, H – веществен ные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E и H:

E = E+ + iE, H = H+ + iH, где E = (E, E, Ez )T, H = (H, H, Hz )T, знак ( · )T обозначает операцию транспонирования и E = E (,, z), E = E (,, z), Ez = Ez (,, z), H = H (,, z), H = H (,, z), Hz = Hz (,, z).

Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе урав нений Максвелла rot H = iE, (1) rot E = iH, условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред (на границе волновода) и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспонен циально затухает при.

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается диагональным тензором:

0 = 0 0, 0 0 zz где,, zz – постоянные величины.

182 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Будем искать решение уравнений Максвелла во всем про странстве.

На рис. 1 схематически представлена геометрия задачи. Ци линдр неограниченно продолжается в направлении z.

z 1 2 R Рис. 1. Геометрия задачи Выпишем систему (1) в развернутом виде:

1 H 1 E H E z z = i E, z z = iH, H E Hz = i E, Ez = iH, z ) H z ) E 1 (H 1 (E 1 = izz Ez, 1 = iHz.

(2) Так как рассматривается структура с круговой симметри ей, будем искать решения, периодические по координате, т.е.

решения вида E = E (, z)ein, E = E (, z)ein, Ez = Ez (, z)ein, H = H (, z)ein, H = H (, z)ein, Hz = Hz (, z)ein, (3) где n = 0, 1, 2,...

Учитывая формулы (3) из системы (2), получаем in in H E Hz z = i E, Ez z = iH, H E Hz = i E, Ez = iH, z ) z ) 1 (H 1 (E in H = izz Ez, in E = iHz.

(4) Гл. 9. ТЕ- и ТМ-волны, направляемые цилиндр. волноводом Положив n = 0, после группировки получаем из (4) H E z = i E, z = iH, E H = iH, Hz = i E, Ez (5) 1z ) 1z ) (H (E = izz Ez, = iHz.

Таким образом, исходная система (1) распалась на две неза висимые друг от друга системы (5).

Система H z = i E, E Ez = iH, z ) 1 (H = izz Ez возникает из системы (1), если поля E, H имеют вид E = (E, 0, Ez )T, H = (0, H, 0)T. (6) Причем здесь можно считать, что E = E (,, z), Ez = Ez (,, z), H = H (,, z);

после подстановки этих выражений в уравнения (1) получим, что функции E, Ez, H не зависят от.

Система E z = iH, H Hz = i E, z ) 1 (E = iHz возникает из системы (1), если поля E, H имеют вид E = (0, E, 0)T, H = (H, 0, Hz )T. (7) Причем здесь можно считать, что E = E (,, z), H = H (,, z), Hz = Hz (,, z);

после подстановки этих выражений в уравнения (1) получим, что функции E, H, Hz не зависят от.

184 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Волны вида (6) называются ТМ-поляризованными электро магнитными волнами1, или волнами электрического типа, или волнами типа E.

Волны вида (7) называются ТE-поляризованными электро магнитными волнами 2, или волнами магнитного типа, или вол нами типа H.

Обсуждение вопроса о ТЕ- и ТМ-волнах в линейных и нели нейных структурах см. на с. 22, с очевидной заменой слоя на цилиндрический волновод.

В случае, когда n = 0, уже не получается таких простых типов волн, как мы только что рассмотрели (см., например, [23]).

В этом случае также существует две поляризации, а именно:

E = (E, E, 0)T, H = (H, H, Hz )T (8) и E = (E, E, Ez )T, H = (H, H, 0)T. (9) Можно легко показать, что в нелинейных случаях, рассмат риваемых в главах 11 и 13, не существует волн (нелинейных), определяемых поляризациями (8) и (9). По этой причине в слу чае нелинейной среды в волноводе мы будем рассматривать по ляризации, определяемые формулами (6) и (7).

от англ. transverse-magnetic.

от англ. transverse-electric.

Г Л А В А РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТЕ-ВОЛН В ЛИНЕЙНОМ КРУГЛОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ В этой главе изучается распространение электромагнитных ТЕ-волн в круглом цилиндрическом волноводе с постоянной ди электрической проницаемостью (так называемый линейный вол новод). Несмотря на то, что эта задача является классической в электродинамике, нам не удалось найти источник с изложени ем, подходящим для наших целей. Поэтому мы предпочли вы вести все необходимые результаты здесь, тем более, что эти ре зультаты часто используются в дальнейшем изложении.

§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи Пусть все трехмерное пространство R3 с декартовыми ко ординатами Oxyz заполнено изотропной средой без источников с постоянной диэлектрической проницаемостью 1 0, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. В эту среду помещен цилиндрический диэлектрический волновод однородного запол нения с образующей параллельной оси Oz и поперечным сече нием W := x : x2 + y 2 R2. Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода, т.е.

собственные волны структуры. Считаем, что всюду = 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Введем цилиндрические координаты (,, z) так, чтобы ось Oz цилиндрических координат совпадала с осью Oz декартовых.

186 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:

E (,, z, t) = E+ (,, z) cos t + E (,, z) sin t, H (,, z, t) = H+ (,, z) cos t + H (,, z) sin t, где – круговая частота;

E, E+, E, H, H+, H – веществен ные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E и H:

E = E+ + iE, H = H+ + iH.

Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе урав нений Максвелла rot H = iE, (1) rot E = iH, условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред (на границе волновода) и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспонен циально затухает при.

Диэлектрическая проницаемость внутри волновода являет ся постоянной = 2.

Будем искать решение уравнений Максвелла во всем про странстве.

§2. ТЕ-поляризованные электромагнитные волны Рассмотрим ТЕ-поляризованные волны:

E = (0, E, 0)T, H = (H, 0, Hz )T, где E = E (,, z), H = H (,, z), Hz = Hz (,, z).

Гл. 10. ТЕ-волны в линейном круглом цилиндр. волноводе Подставив поля E и H в уравнения Максвелла (1), учиты вая, что мы работаем в цилиндрических координатах, получим 1 H z = 0, H H z z = iE, 1 H = 0, E z = iH, (E ) = iHz.

Из первого и третьего уравнений этой системы видно, что Hz и H не зависят от ;

поскольку E выражается через Hz и H, то E также не зависит от.

Волны, распространяющиеся вдоль образующей Oz волно вода (а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, компоненты полей E, H имеют представление E = E ()eiz, H = H ()eiz, Hz = Hz ()eiz.

Тогда рассмотренная выше система принимает вид iH () Hz () = iE (), iE () = iH (), (2) (E ()) = iHz (), где ( · ) ;

– неизвестный спектральный параметр (посто · янная распространения электромагнитной волны).

11 Тогда Hz () = i (E ()) и H () = E (). Из пер вого уравнения системы (2) получаем + 2 2 E () = 0.

(E ()) Обозначив u() = E (), получаем 1 u + u 2 u + 2 2 u = 0, (3) 188 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах где 1, R, = 2, R.

Будем искать те действительные значения спектрального параметра, для которых существует не равное тождественно нулю действительное решение u() уравнения (3).

Замечание. Мы считаем действительным, хотя в линей ном случае можно считать спектральный параметр комплекс ным числом. Однако в нелинейном случае при используемом подходе уже не удается рассматривать комплексные.

Считаем, что функция u дифференцируема так, что u(x) C[0, +) C 1 [0, R] C 1 [R, +) C 2 (0, R) C 2 (R, +).

Считаем, что 2 1. Отметим, что последнее условие имеет место только в случае, если 1 0, если же 1 0, то 2 0.

§3. Решение системы дифференциальных уравнений Пусть R, тогда имеем k = k1. Из (3) получаем уравне 1 ние u + u 2 u + k1 u = 0, где k1 = 2 1 2. Это уравнение 2 (1) Бесселя, его общее решение возьмем в виде u() = AH1 (k1 ) + (2) (1) (2) +A1 H1 (k1 ), где H1 и H1 – функции Ханкеля первого и вто рого рода соответственно. Учитывая условие на бесконечности, получаем решение (1) u() = AH1 (k1 ), (4) где A – постоянная;

если Re k1 = 0, то u() = 2 1 AK1 (|k1 |), (5) где K1 (z) – функция Макдональда.

(1) Поскольку в этом случае H1 (iz) = 2 1 K1 (z).

Гл. 10. ТЕ-волны в линейном круглом цилиндр. волноводе Пусть R, тогда имеем = 2. Из (3) получаем уравнение u + 1 u 2 u + k2 u = 0, где k2 = 2 2. Это уравнение Бесселя, 1 2 его общее решение возьмем в виде u() = BJ1 (k2 ) + B1 N1 (k2 ), где J1 и N1 – функции Бесселя и Неймана соответственно. Учи тывая, что решение должно быть ограничено в нуле, получаем u() = BJ1 (k2 ), (6) где B – постоянная;

если Re k2 = 0, то u() = iBI1 (|k2 |), (7) где I1 (z) – модифицированная функция Бесселя.

§4. Условия сопряжения и дисперсионное уравнение Как известно, касательные составляющие электромагнитно го поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматривае мом случае касательными составляющими являются компонен ты E и Hz. Из этого условия получаем E (R + 0) = E (R 0), Hz (R + 0) = Hz (R 0), где постоянная E = u(R) = E (R + 0) считается известной.

R 1 Далее Hz () = E () + E (). Но так как E () и i Hz () непрерывны при = R, то, значит, и E () непрерывна при = R. Из этих условий получаем условия сопряжения для функций u() и u () [u]=R, [u ]=R, (8) где [f ]x=x0 = lim f (x) lim f (x) обозначает скачок функ xx0 0 xx0 + ции на границе раздела сред.

Поскольку в этом случае J1 (iz) = iI1 (z).

190 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Учитывая решения (4)–(7) и условия сопряжения (8), полу чаем дисперсионное уравнение (1) (1) k1 H1 (k1 R) J1 (k2 R) k2 H1 (k1 R)J1 (k2 R) = 0. (9) Используем формулы (см., например, [7]) J1 (z) = J0 (z) J1 (z), z 1 (1) (1) (1) H1 (z) = H0 (z) H1 (z).

z С помощью приведенных формул преобразуем дисперсион ное уравнение (9), окончательно получаем (1) (1) k1 H0 (k1 R)J1 (k2 R) k2 H1 (k1 R)J0 (k2 R) = 0. (10) Г Л А В А РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТЕ-ВОЛН В КРУГЛОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ С КЕРРОВСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ Здесь изучаются ТЕ-волны, распространяющиеся в диэлек трическом волноводе кругового сечения, заполненного средой с керровской нелинейностью. Проблема сводится к нелинейному интегральному уравнению с ядром в виде функции Грина для уравнения Бесселя. Существование распространяющихся волн доказывается с помощью принципа Шаудера и методом сжи мающих отображений. Для численного решения задачи пред ложен итерационный алгоритм, доказана его сходимость. До казано существование корней дисперсионного уравнения – по стоянных распространения волновода. Получены условия, когда могут распространяться несколько волн, указаны области лока лизации постоянных распространения.

Результаты главы опубликованы в работах [41–43, 76, 81].

§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи Пусть все трехмерное пространство R3 с декартовыми ко ординатами Oxyz заполнено изотропной средой без источников с постоянной диэлектрической проницаемостью 1 0, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. В эту среду помещен 192 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах цилиндрический диэлектрический волновод однородного запол нения с образующей параллельной оси Oz и поперечным сече нием W := x : x2 + y 2 R2. Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода. Счи таем, что всюду = 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Введем цилиндрические координаты (,, z) так, чтобы ось Oz цилиндрических координат совпадала с осью Oz декартовых.

Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:

E (,, z, t) = E+ (,, z) cos t + E (,, z) sin t, H (,, z, t) = H+ (,, z) cos t + H (,, z) sin t, где – круговая частота;

E, E+, E, H, H+, H – веществен ные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E и H:

E = E+ + iE, H = H+ + iH.

Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе урав нений Максвелла rot H = iE, (1) rot E = iH, условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред (на границе волновода) и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспонен циально затухает при.

Диэлектрическая проницаемость внутри волновода описы вается законом Керра:

= 2 + a|E|2, где 2 – постоянная составляющая диэлектрической проницае мости;

a – коэффициент нелинейности. Считаем, что 2 и a – вещественные постоянные.

Гл. 11. ТЕ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. Требуется отыскать поверхностные волны, распространяю щиеся вдоль образующей волновода.

Будем искать решение уравнений Максвелла во всем про странстве.

§2. ТЕ-поляризованные электромагнитные волны Рассмотрим ТЕ-поляризованные волны:

E = (0, E, 0)T, H = (H, 0, Hz )T, где E = E (,, z), H = H (,, z), Hz = Hz (,, z).

Подставив поля E, H в уравнения Максвелла (1), получим 1 H z = 0, H H z z = iE, 1 H = 0, E z = iH, (E ) = iHz.

Из первого и третьего уравнений этой системы видно, что Hz и H не зависят от ;

поскольку E выражается через Hz и H, то E также не зависит от.

Волны, распространяющиеся вдоль образующей Oz волно вода (а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, компоненты полей E, H имеют представление E = E ()eiz, H = H ()eiz, Hz = Hz ()eiz.

Тогда рассмотренная выше система принимает вид iH () Hz () = iE (), iE () = iH (), (2) (E ()) = iHz (), где ( · ) ;

– неизвестный спектральный параметр (посто · янная распространения электромагнитной волны).

194 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах 11 Тогда Hz () = i (E ()) и H () = E (). Из пер вого уравнения системы (2) получаем + 2 2 E () = 0.

(E ()) Обозначив u() = E (), получаем 1 u + u 2 u + 2 2 u = 0. (3) Будем искать те значения спектрального параметра (соб ственные значения), для которых существует действительное не равное тождественно нулю решение u() уравнения (3). Полага ем действительным (так, что |E|2 не зависит от z) и считаем 1, R;

= (4) 2, R.

2 + au Считаем, что функция u дифференцируема так, что u(x) C[0, +) C 1 [0, R] C 1 [R, +) C 2 (0, R) C 2 (R, +).

Считаем, что 2 1. Отметим, что последнее условие имеет место только в случае, если 1 0, если же 1 0, то 2 0.

§3. Решение дифференциальных уравнений и условия сопряжения При R имеем = 1. Из (3) получаем уравнение 1 1 u + u 2 u + k1 u = 0, (5) где k1 = 2 1 2. Это уравнение Бесселя.

Гл. 11. ТЕ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. При R имеем = 2 + au2. Из (3) получаем уравнение 1 u + u 2 u + k2 u + u3 = 0, (6) где k2 = 2 2, = a 2. Это нелинейное уравнение и найти его решение в явном виде не удалось.

Как известно, касательные составляющие электромагнитно го поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматривае мом случае касательными составляющими являются компонен ты E и Hz. Из этого условия получаем E (R + 0) = E (R 0), Hz (R + 0) = Hz (R 0), где постоянная E = u(R) = E (R + 0) считается известной.

R 1 Далее Hz () = E () + E (). Но так как E () и i Hz () непрерывны при = R, то, значит, и E () непрерывна при = R. Из этих условий получаем условия сопряжения для функций u() и u ():

[u]=R = 0, [u ]=R = 0, (7) где [f ]x=x0 = lim f (x) lim f (x) обозначает скачок функ xx0 0 xx0 + ции на границе раздела сред.

Сформулируем теперь краевую задачу на собственные зна чения (задача P), к которой свелась исходная задача о распро страняющихся поверхностных волнах цилиндрического волново да. Требуется отыскать собственные значения и соответствую щие им не равные тождественно нулю собственные функции u() такие, что u() удовлетворяет уравнениям (5), (6), условиям со пряжения (7) и условию излучения на бесконечности: функция u() экспоненциально убывает при.

Обратимся к уравнению (5), его общее решение1 возьмем (1) (2) (1) (2) в виде u() = CH1 (k1 ) + C1 H1 (k1 ), где H1 и H1 – функ ции Ханкеля первого и второго рода соответственно.

Мы сначала сделали замену = k1, решили получившееся уравнение, а потом в решении сделали обратную замену.

196 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Учитывая условие излучения на бесконечности, получаем решение (1) u() = C1 H1 (k1 ), R, (8) где C1 – постоянная;

если Re k1 = 0, то u() = C1 K1 (|k1 |), (9) R, где K1 (z) – функция Макдональда. Условие излучения на бес конечности выполняется, так как K1 (|k1 |) 0 при.



Pages:     | 1 | 2 || 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.