авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||

«Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В НЕЛИНЕЙНЫХ СЛОИСТЫХ СРЕДАХ Пенза Издательство ПГУ 2010 УДК ...»

-- [ Страница 4 ] --

Обозначив поле на границе волновода как u(R + 0) E0, из формул (8) и (9) получаем, что (1) H1 (k1 ) (8 ) u() = E0 (1) H1 (k1 R) и K1 (|k1 |) (9 ) u() = E0.

K1 (|k1 |R) §4. Нелинейное интегральное уравнение и дисперсионное уравнение Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение (6), записанное в виде u + u3 = 0, u + u + k2 (10) и линейное уравнение Бесселя u + u + k2 u = 0. (11) Перепишем последнее уравнение в операторной форме:

d2 d Lu = 0, L= + + k2 (12).

d d (1) 1 Поскольку в этом случае H1 (iz) = K1 (z).

Гл. 11. ТЕ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. Рассмотрим краевую задачу для уравнения (11) с условиями (7). Построим функцию Грина G для этой краевой задачи LG = ( s), G |=0 = G |=R = 0 (0 s R) (13) в виде1 (см., например, [22]) G(, s) = J1 (k2 ) J1 (k2 s)N1 (k2 R)J1 (k2 R)N1 (k2 s), s R, 2 J1 (k2 R) = (14) J1 (k2 s) J1 (k2 )N1 (k2 R)J1 (k2 R)N1 (k2 ), s R.

2 J (k2 R) Функция Грина существует при таких значениях парамет ров, что J1 (k2 R) = 0.

Запишем уравнение (10) в операторном виде:

Lu + u3 = 0. (15) Используя вторую формулу Грина R R (vLu uLv)d = u v d = v u 0 = R u (R)v(R) v (R)u(R) (16) и полагая v = G, получаем R (GLu uLG)d = R u (R 0)G(R, s) G (R, s)u(R 0) = = Ru (R 0)G(R, s), (17) так как из (14) видно, что G (R, s) = 0.

В качестве линейно независимых решений уравнения Lu = 0, удо влетворяющих условиям u|=0 = u |=R = 0, мы взяли u1 = J1 (k2 ) и u2 = N1 (k2 R)J1 (k2 ) J1 (k2 R)N1 (k2 ).

198 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Из (13) получаем, что R R uLGd = u()( s)d = u(s).

0 Далее, используя формулу (15), получаем, что R R G(, s)u3 ()d.

GLud = 0 Теперь, применяя только что полученные результаты и фор мулу (17), получаем нелинейное интегральное уравнение относи тельно u(s) (u() – решение уравнения (6)) на интервале (0, R):

R G(, s)u3 ()d + Ru (R 0)G(R, s), u(s) = 0 s R.

(18) Используя свойства функций Бесселя и Неймана (точнее, определителя Вронского от этих функций), легко видеть, что 1 J (k2 s) G(R, s) = k2 R J 1(k2 R). Учитывая последний результат и условия сопряжения (7) из уравнения (18), мы получаем R 1 J1 (k2 s) G(, s)u3 ()d + u (R + 0) u(s) =, k2 J1 (k2 R) 0 s R. (19) K (|k |R)J (k s) Используя (9 ) и обозначив f (s) = E0 |k1 | K1 (|k1 |R)J 1(k2 R), мы 1 k2 можем переписать уравнение (19) в окончательной форме R G(, s)u3 ()d + f (s), u(s) = 0 s R. (20) Гл. 11. ТЕ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. Используя уравнение (20) и условия сопряжения (7), полу чим дисперсионное уравнение для постоянных распространения:

R G(, R)u3 ()d + f (R), u(R + 0) = применяя формулу (9 ), получим дисперсионное уравнение в та кой форме:

R G(, R)u3 ()d + f (R).

E0 = (21) Положим N (, s) = G(, s) и рассмотрим интегральное уравнение (20) на интервале C[0, R] [48]:

R N (, s)u3 ()d + f (s).

u(s) = (22) Предполагается, что f C[0, R] и J1 (k2 R) = 0. Нетруд но видеть, что ядро N (, s) является непрерывной функцией в квадрате 0, s R.

Рассмотрим в C[0, R] линейный интегральный оператор R N = N (, s)()d. (23) Он ограничен, вполне непрерывен и R N = max |N (, s)|d. (24) s[0,R] 200 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Поскольку нелинейный оператор B(u) = u3 () ограничен и непрерывен в C[0, R], то нелинейный оператор R N (, s)u3 ()d + f (s) F (u) = (25) является вполне непрерывным оператором на каждом ограни ченном в C[0, R] множестве.

В последующих рассуждениях нам понадобится следующее вспомогательное числовое кубическое уравнение:

N r 3 + f = r, (26) где норма оператора N 0 определяется формулой (24), а f = max |f (s)|. (27) s[0,R] Рассмотрим уравнение r N r3 = f (28) и функцию y(r) := r N r 3. (29) Функция y(r) имеет только одну положительную точку мак симума:

rmax = (30), 3N значение функции y в этой точке равно ymax = y (rmax ) = (31).

3 3N Тогда при условии 0 f 2 уравнение (28) имеет 3 3N два неотрицательных корня r и r таких, что r r, и удовле творяющих неравенствам 1 1 r 0 r ;

(32).

3N 3N N Гл. 11. ТЕ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. Эти корни легко выписать как решения кубического урав нения:

1 f r3 r+ = 0. (33) N N Имеем arccos f N 2 cos r = (34), 3 3N arccos f N 2 cos r = + (35).

3 3N Если f = 0, то r = 0 и r = 1 ;

если 0 f 2, 3 3N N. При f = 2 1 то r имеем r = r =.

3N 3N 3N Итак, доказано следующее утверждение.

Лемма 1. Если выполняется неравенство 0 f (36), 3 3N то уравнение (26) имеет два неотрицательных решения r и r, причем r r.

Используя принцип Шаудера [48, 86], можно доказать, что для каждого f Sr (0) C[0, R], где r = 2, существует 3 3N решение u() уравнения (20) внутри шара S = Sr (0).

Лемма 2. Если f 2, то уравнение (20) имеет 3 3N по крайней мере одно решение u() такое, что u r.

Доказательство. Так как F (u) абсолютно непрерывен, то необходимо только проверить, что F переводит шар в себя. Пред положим, что u S. Используя (23)–(25), получаем + f N (r )3 + f = r.

F (u) N · u Это означает, что F S S. Лемма доказана.

202 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Теперь докажем, что если выполняется условие (28), то (20) имеет единственное решение u в шаре S = Sr.

Теорема 1. Если A2, где 2 A= (37) 3f 3 N и R N0 = max |G(, s)| d, s[0,R] то уравнение (20) имеет единственное решение u, являюще еся непрерывной функцией: u C[0, R] и u r.

Доказательство. Если u S, то + f N (r )3 + f = r.

F (u) N · u Если u1, u2 S, то R N (, s) u3 () u3 () d F (u1 ) F (u2 ) = 1 3 N r u1 u2.

Так как A2, то f (s) удовлетворяет условию (36). Поэто му выполняется неравенство r 1, откуда 3 N r 1. 3N Следовательно, F отображает S в себя и является сжима ющим оператором на S. Поэтому уравнение (20) имеет един ственное решение в S. Теорема доказана.

Отметим, что A 0 и не зависит от.

В дальнейшем нам понадобится утверждение о зависимости решений интегрального уравнения (20) от параметра.

Гл. 11. ТЕ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. Теорема 2. Пусть ядро N и правая часть f интеграль ного уравнения (20) непрерывно зависят от параметра 0, N (,, s) C (0 [0, R] [0, R]), f (, s) C (0 [0, R]) на некотором отрезке 0 вещественной числовой оси. Пусть также 0 f () (38).

3 3 N () Тогда решения u(, ) уравнения (20) при 0 суще ствуют, единственны и непрерывно зависят от параметра, u(, ) C (0 [0, R]).

Доказательство. Рассмотрим уравнение R N (,, s)u3 (, )d + f (s, ).

u(s, ) = (39) Существование и единственность решений u () при услови ях теоремы 2 следует из теоремы 1.

Докажем непрерывную зависимость этих решений от пара метра.

Нетрудно видеть из формулы (34), что r () непрерывно за висит от на отрезке 0. Пусть r0 = max r (), и максимум достигается в точке 0, r () = r0.

Далее пусть Q = max 3r () N (), и максимум достига 2 ется в точке 0, Q = 3r () N (). Тогда Q 1 в силу условия (38) теоремы 2.

Предположим сначала, что u() u( + ). Тогда имеют место следующие оценки:

|u(s, + ) u(s, )| = R N ( +,, s)u3 (, + )d = 204 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах R N (,, s)u3 (, )d + (f (s, + ) f (s, )) R |N ( +,, s) N (,, s)| · |u(, + )|3 d+ R |N (,, s)| · u3 (, + ) u3 (, ) d+ + + |f (s, + ) f (s, )| R u( + ) |N ( +,, s) N (,, s)| d+ + u( + ) u() 2 u( + ) + u( + ) · u() + u() R |N (,, s)| d + f ( + ) f () r0 N ( + ) N () + + u( + ) u() 3r () N () + f ( + ) f ().

Отсюда получаем, что u( + ) u() r0 N ( + ) N () + f ( + ) f (), 1 3r () N () и Гл. 11. ТЕ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. u( + ) u() r0 N ( + ) N () + f ( + ) f (), (40) 1Q где Q и r0 не зависят от.

Пусть теперь u() u( + ). Тогда все предыдущие оценки остаются в силе, если заменить аргументы на +, а + на. Таким образом, оценка (40) также остается в силе, откуда следует утверждение теоремы. Теорема доказана.

§5. Итерационный метод Приближенные решения un интегрального уравнения (20), представимого в виде u = F (u), могут быть определены итера ционным процессом un+1 = F (un ), n = 0, 1,..., R G(, s)u3 dp + f, n = 0, 1,...

u0 = 0, un+1 = (41) n Последовательность un равномерно сходится к решению u уравнения (20) вследствие того, что F (u) – сжимающий опера тор. Известна также оценка для скорости сходимости итераци онного алгоритма (41). Сформулируем эти результаты в виде следующего утверждения.

Утверждение 1. Последовательность приближенных ре шений un уравнения (20), определяемых посредством ите рационного алгоритма (41), существует и сходится в норме пространства C[0, R] к (единственному) точному решению u этого уравнения, и верна оценка скорости сходимости:

qn un u f (u0 ), n, (42) 1q где q := 3N r 1 – коэффициент сжатия отображения F.

206 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах §6. Существование решений дисперсионного уравнения Введем безразмерные переменные и постоянные: = k0, 2 2, z = k0 z, R = k0 R, = /0, = /0 = 1, k2 = 2 ( ), = /k, k = 2. Опуская тильду k1 = 1 0 2 2 0 и используя формулы J1 (k2 R) = J0 (k2 R) (k2 R)1 J1 (k2 R), K1 (|k1 |R) = K0 (|k1 |R) (k1 R)1 K1 (|k1 |R), дисперсионное уравнение (21) можно представить в нормализо ванной форме:

g(R, 2 ) = F (R, 2 ;

u3 ), (43) где g(R, 2 ) = k2 RJ0 (k2 R)K1 (|k1 |R) + |k1 |RJ1 (k2 R)K0 (|k1 |R), R K1 (|k1 |R) 2 J1 (k2 R)u3 (, 2 )d.

F (R, ;

u ) = E Нули функции () g() F () – это значения, для которых существует нетривиальное решение задачи P, сформу лированной ранее. Следующее утверждение дает достаточные условия существования нулей функции.

Пусть j0m – m-й положительный корень функции Бесселя J0 ;

j1m – m-й положительный корень функции Бесселя J1 ;

j1m – m-й положительный корень функции Бесселя J1 ;

где m = 1, 2,...

Мы имеем = 1.841,..., = 2.405,..., = 3.832,..., j11 j01 j = 5.331,..., = 5.520,..., = 7.016,..., j12 j02 j = 8.536,..., = 8.654,..., = 10.173,..., j13 j03 j = 11.706,..., = 11.792,..., = 13.324,...

j14 j04 j Гл. 11. ТЕ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. Введем обозначения 1m = 2 j1m /R2 ;

2m = 2 j0m /R2, m = 1, 2,... ;

и m i = [1i, 2i ], = i.

i= Теорема 3. Пусть 1, 2, – три числа, удовлетворяющие условиям 2 1 0, 0 0, где min |g(li )| 1l2, 1im 0 = min min A(), 3, (44) R 0.3 · max r () и выполняются условия (45) 1m при m 1. Тогда существует по крайней мере m значений i, i = 1, m таких, что задача P имеет ненулевое решение.

Доказательство. Пусть = 2 и u r = r ().

Так как j1i для i = 1, 2, 3, 4, то функция Грина (14) су / 2. Из формулы (37) и свойств функции Грина ществует для следует, что A2 = A2 () – непрерывная относительно функ ция на промежутке,. Пусть A2 = min A2 () и A2.

0 Согласно теореме 1 существует единственное решение u = u() уравнения (15) для каждого, причем это решение – непре рывная функция, u r = r (). Пусть r0 = max r (). Так как |J1 (x)| 0.6 при неотрицательных x, то, используя простей шую оценку интеграла F (), мы получаем, что |F ()| 0.3·R2 r0.

Согласно свойствам функций Макдональда K0 (x) и K1 (x) – положительны при положительных x. Функция g() непрерывна относительно, g(1i ), g(2i ) 0, i = 1,..., m. Таким образом, g() = 0 имеет корень 0i на интервале i, 1i 0i 2i.

208 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Обозначим M1 = min |g(1i )|, M2 = min |g(2i )|, далее 1im 1im пусть M = min{M1, M2 };

M 0 не зависит от.

Если 0.3·R2 r3, то M (g (1i ) F (1i )) (g (2i ) F (2i )) 0.

Так как g()F () – тоже непрерывная функция, то урав нение g() F () = 0 имеет корень i на интервале i, т.е.

1i i 2i. Мы можем выбрать 0 таким образом, что 0 = min A2, 0.3·R2 r3. Теорема доказана.

M Из теоремы 3 следует, что при условиях, сформулирован ных выше, существуют осесимметричные распространяющиеся ТЕ-поляризованные волны без затухания в цилиндрических диэлектрических волноводах кругового сечения, заполненных немагнитной, изотропной средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Этот результат обобщает известное соответству ющее утверждение для диэлектрических волноводов круглого сечения с заполнением линейной средой (при = 0).

§7. Численный метод Для численного решения задачи предложим метод отыска ния приближенных решений. На практике, как правило, инте ресуются постоянными распространения волноведущей струк туры, т.е. такими (собственными) значениями (или, соответ ственно, ), при которых существуют нетривиальные решения краевой задачи P. Ответ на вопрос о существовании и локали зации собственных значений дает теорема 3. Рассмотрим метод приближенного определения таких.

Пусть собственные значения ищутся на отрезке [A1, A2 ] (выбор которого может быть сделан с помощью результатов тео ремы 3 или исходя из практических соображений). Введем на этом отрезке сетку с узлами (j), причем A1 + j(A2 A1 )/N, j = 0,..., N, где N удовлетворяет условию A2 A1 N, если собственное значение требуется найти с точностью. Вы числяем значения функции в узлах (j), причем при каждом Гл. 11. ТЕ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. (j) решаем интегральное уравнение (20) с помощью итерацион ного алгоритма (41) с требуемой точностью. Далее определяем перемену знака в последовательности чисел (j). Если для некоторого j выполняется неравенство (j) (j+1) 0, то приближенно полагаем = (j) + (j+1) /2.

Г Л А В А РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТМ-ВОЛН В ЛИНЕЙНОМ КРУГЛОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ В этой главе изучается распространение электромагнитных ТМ-волн в круглом цилиндрическом волноводе с постоянной ди электрической проницаемостью (так называемый линейный вол новод). Несмотря на то, что эта задача является классической в электродинамике и рассматривается во многих книгах, нам не удалось найти источник с изложением, подходящим для наших целей. Поэтому мы предпочли вывести все необходимые резуль таты здесь, тем более, что эти результаты часто используются в дальнейшем изложении.

§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи Пусть все трехмерное пространство R3 с декартовыми ко ординатами Oxyz заполнено изотропной средой без источников с постоянной диэлектрической проницаемостью = 1 0 0, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. В эту сре ду помещен цилиндрический диэлектрический волновод одно родного заполнения с образующей параллельной оси Oz и попе речным сечением W := x : x2 + y 2 R2. Рассмотрим электро магнитные волны, распространяющиеся вдоль образующей вол новода, т.е. собственные волны структуры. Считаем, что всюду = 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Гл. 12. ТМ-волны в линейном круглом цилиндр. волноводе Введем цилиндрические координаты (,, z) так, чтобы ось Oz цилиндрических координат совпадала с осью Oz декартовых.

Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:

E (,, z, t) = E+ (,, z) cos t + E (,, z) sin t, H (,, z, t) = H+ (,, z) cos t + H (,, z) sin t, где – круговая частота;

E, E+, E, H, H+, H – веществен ные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E и H:

E = E+ + iE, H = H+ + iH.

Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе урав нений Максвелла rot H = iE, (1) rot E = iH, условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред (на границе волновода) и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспонен циально затухает при.

Диэлектрическая проницаемость внутри волновода описы вается диагональным тензором:

0 = 0 0, 0 0 zz где, zz – постоянные величины. Какой вид имеет, не име ет значения, поскольку при рассмотрении ТМ-поляризованных волн не содержится в рассматриваемых ниже уравнениях.

Будем искать решение уравнений Максвелла во всем про странстве.

212 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах §2. ТМ-поляризованные электромагнитные волны Рассмотрим ТМ-поляризованные волны:

E = (E, 0, Ez )T, H = (0, H, 0)T, где E = E (,, z), Ez = Ez (,, z), H = H (,, z).

Подставив поля E и H в уравнения Максвелла (1), учиты вая, что мы работаем в цилиндрических координатах, получим H z = i E, 1 (H ) = izz Ez, 1 Ez = 0, E E z z = iH, E = 0.

Из третьего и пятого уравнений этой системы видно, что Ez и E не зависят от ;

поскольку H выражается через Ez и E, то H также не зависит от.

Волны, распространяющиеся вдоль образующей Oz волно вода (а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, компоненты полей E, H имеют представление E = E ()eiz, Ez = Ez ()eiz, H = H ()eiz.

Тогда рассмотренная выше система принимает вид H = E, (H ) = izz Ez, (2) iE Ez = iH, где ( · ) ;

– неизвестный спектральный параметр (посто · янная распространения электромагнитной волны).

Используя третье уравнение системы (2), легко находим, что H () = i (iE () Ez ()). Используя это, получаем из си стемы (2) (E () + (iEz ) ()) = E (), (E () + (iEz ) ()) = zz (iEz ).

Гл. 12. ТМ-волны в линейном круглом цилиндр. волноводе Удобно считать, что = 0 и zz = 0 z, где 0 – диэлек трическая проницаемость вакуума.

Обозначив u1 () := E (), u2 () := iEz () и k0 := 2 0, из последней системы получаем (мы будем опускать обозначение независимой переменной, когда это не будет вызывать двусмыс ленности) 2 u1 + u2 = k0 u1, 1 (u1 ) + (u2 ) = k0 z u2.

Из первого уравнения находим, что u1 = u. Тогда k0 2 1 2 2 u = 0.

из второго уравнения получаем (u2 ) + z k0 Таким образом, окончательно получаем, что внутри волно вода функции u1 и u2 определяются из системы u1 = k u2, (3) 1 z (u2 ) + = 0, k u где k = k0 2.

2 Очевидно, что вне волновода функции u1 и u2 определяются из системы (3), в которой z = = u1 = k2 u2, (4) 1 (u2 ) k1 u2 = 0, где k1 = 2 k0 1.

2 Вторые уравнения систем (3) и (4) являются уравнениями Бесселя.

Будем искать те действительные значения спектрального параметра, для которых существуют действительные решения u1 () и u2 () систем уравнений (3) и (4).

Замечание. Мы считаем действительным, хотя в линей ном случае можно считать спектральный параметр комплекс ным числом. Однако в нелинейном случае при используемом подходе уже не удается рассматривать комплексные.

214 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Считаем, что функции u1 и u2 дифференцируемы так, что u1 (x) C[0, R] C [R, +) C 1 [0, R] C 1 [R, +), u2 (x) C [0, +) C 1 [0, R] C 1 [R, +) C 2 (0, R) C 2 (R, +).

Считаем, что 2 1. Отметим, что последнее условие имеет место только в случае, если 1 0, если же 1 0, то 2 0.

§3. Решение системы дифференциальных уравнений При R решения системы (3) запишем в виде1 [36] u1 () = k2 C1 J0 + C2 N0, u2 () = C1 J0 + C2 N0, где = z k.

Функции J0 и N0 – функции Бесселя и Неймана нулевых порядков соответственно. Функция Неймана N0 () имеет особен ность при = 0. С другой стороны, ясно, что амплитуда поля в центре волновода остается конечной. Учитывая сказанное и формулу J0 (z) = J1 (z) [25], получаем u1 () = k2 C1 J1, (5) u2 () = C1 J0, где = z k.

При R решения системы (4) запишем в виде [36] u1 () = k1 (C3 I0 (k1 ) + C4 K0 (k1 )), u2 () = C3 I0 (k1 ) + C4 K0 (k1 ).

Функции I0 и K0 – функции Бесселя мнимого аргумента (модифицированные функции Бесселя). Функция I0 () стремит ся к бесконечности при +, а функция K0 () стремится к 1 1 t При решении уравнения (u ) + u = 0 мы сделали замену =.

Гл. 12. ТМ-волны в линейном круглом цилиндр. волноводе нулю при +. Учитывая то, что K0 (z) = K1 (z) [25], по лучаем u1 () = k1 C4 K1 (k1 ), (6) u2 () = C4 K0 (k1 ).

§4. Условия сопряжения и дисперсионное уравнение Как известно, касательные составляющие электромагнитно го поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматривае мом случае касательными составляющими являются компонен ты Ez и H. Из этого условия получаем Ez (R + 0) = Ez (R 0), H (R + 0) = H (R 0), где постоянная Ez = u2 (R) = Ez (R + 0) считается известной.

R Известно, что нормальные составляющие электромагнитно го поля на границе раздела сред испытывают разрыв первого ро да. Здесь нормальной компонентой является E. Также извест но, что величина E на границе раздела сред остается непре рывной. Из всего сказанного получаем условия сопряжения для функций u1, u2 :

[u1 ]=R = 0, [u2 ]=R = 0, (7) где [f ]x=x0 = lim f (x) lim f (x) обозначает скачок функ xx0 0 xx0 + ции на границе раздела сред, = 1 при R, = z при R.

Учитывая решения (5), (6) и условия сопряжения (7), полу чаем дисперсионное уравнение:

R K0 (k1 R) + 1 R K1 (k1 R) = 0, (8) z k1 J1 J где = z k, k = k0 2, k1 = 2 k0 1 и k0 = 2 0.

2 2 2 2 2 Необходимо отметить, что уравнение (8) может быть при менено и для изучения метаматериалов.

216 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах В случае изотропного волновода, т.е. когда = z = 2 и 2 = k2 = k0 2 2, получаем известное (см., например, [83]) 2 k дисперсионное уравнение 2 k1 J1 (k2 R) K0 (k1 R) + 1 k2 J0 (k2 R) K1 (k1 R) = 0. (9) Г Л А В А РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТМ-ВОЛН В КРУГЛОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ С КЕРРОВСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ В этой главе изучаются ТМ-волны, распространяющиеся в диэлектрическом волноводе кругового сечения, заполненного средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Пробле ма сводится к нелинейной задаче на собственные значения для нелинейной интегральной оператор-функции. Для решения ис пользуется метод сжимающих отображений. Строится итераци онный алгоритм, с помощью которого определяются значения собственных функций и спектрального параметра.

Результаты главы опубликованы в [45–47, 50].

§1. Уравнения Максвелла и постановка задачи Пусть все трехмерное пространство R3 с декартовыми ко ординатами Oxyz заполнено изотропной средой без источников с постоянной диэлектрической проницаемостью = 0 1 0, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. В эту среду помещен цилиндрический диэлектрический волновод однород ного заполнения с образующей параллельной оси Oz и попереч ным сечением W := x : x2 + y 2 R2. Рассмотрим электромаг нитные волны, распространяющиеся вдоль образующей волно вода. Считаем, что всюду = 0 – магнитная проницаемость вакуума.

218 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Введем цилиндрические координаты (,, z) так, чтобы ось Oz цилиндрических координат совпадала с осью Oz декартовых.

Считаем поля гармонически зависящими от времени [60]:

E (,, z, t) = E+ (,, z) cos t + E (,, z) sin t, H (,, z, t) = H+ (,, z) cos t + H (,, z) sin t, где – круговая частота;

E, E+, E, H, H+, H – веществен ные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E и H:

E = E+ + iE, H = H+ + iH.

Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет системе урав нений Максвелла rot H = iE, (1) rot E = iH, условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред (на границе волновода) и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспонен циально затухает при.

Диэлектрическая проницаемость внутри волновода описы вается законом Керра:

= 0 2 + |E|2, где 2 – постоянная составляющая диэлектрической проницае мости;

– коэффициент нелинейности. Считаем, что 2 и – вещественные постоянные.

Требуется отыскать поверхностные волны, распространяю щиеся вдоль образующей волновода, т.е. собственные волны рас сматриваемой структуры.

Будем искать решение уравнений Максвелла во всем про странстве.

Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. §2. ТМ-поляризованные электромагнитные волны Рассмотрим ТМ-поляризованные волны:

E = (E, 0, Ez )T, H = (0, H, 0)T, где E = E(,, z), Ez = Ez (,, z), H = H (,, z).

Подставив поля E и H в уравнения Максвелла (1), учиты вая, что мы работаем в цилиндрических координатах, получим 1 E z = 0, E E z z = iH, 1 E = 0, H z = iE, 1 (H ) = iEz.

Из первого и третьего уравнений этой системы видно, что Ez и E не зависят от ;

поскольку H выражается через Ez и E, то H также не зависит от.

Волны, распространяющиеся вдоль образующей Oz волно вода (а мы ищем именно их), гармонически зависят от z. Значит, компоненты полей E, H имеют представление E = E (;

)eiz, Ez = Ez (;

)eiz, H = H (;

)eiz.

Тогда рассмотренная выше система принимает вид iE () Ez () = iH (), iH () = iE (), (2) (H ()) = iEz (), где ( · ) ;

– неизвестный спектральный параметр (посто · янная распространения электромагнитной волны).

Из первого уравнения системы (2) получаем H () = iE () Ez. (3) i 220 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Подставляя выражение (3) в оставшиеся два уравнения си стемы (2), получаем (iEz ) = 2 2 E, (4) 1 (E ) 1 (iEz ) = 2 (iEz ).

Обозначим E (;

) = u1 (, ), iEz (;

) = u2 (, ). (5) Внутри и вне волновода = 0, где 1, R;

= 2 + u2, R, 2 + u1 также пусть k0 = 2 0, где k0 0 – волновое число вакуума.

Будем предполагать, что u1 (;

), u2 (;

) – вещественные функции. Зависимость от и/или будем опускать там, где это не приводит к неясности.

Тогда из системы (4), используя (5), получаем u2 + 2 k0 u1 = 0, (6) 1 (u1 ) + 1 (u2 ) + k0 u2 = 0.

Будем искать те значения спектрального параметра (соб ственные значения), для которых существуют действительные не равные тождественно нулю решения u1, u2 уравнения (6).

Полагаем действительным (так, что |E|2 не зависит от z, см.

сноску на с. 38, а также замечание на с. 213).

Считаем, что функции u1 и u2 дифференцируемы так, что u1 (x) C[0, R] C [R, +) C 1 [0, R] C 1 [R, +), u2 (x) C [0, +) C 1 [0, R] C 1 [R, +) C 2 (0, R) C 2 (R, +).

Считаем, что 2 1. Отметим, что последнее условие имеет место только в случае, если 1 0, если же 1 0, то 2 0.

Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. §3. Решение дифференциальных уравнений и условия сопряжения Вне волновода = 1 0. Тогда система дифференциальных уравнений (6) при R примет вид k1 u1 + u2 = 0, (7) (u1 ) 1 (u2 ) k0 1 u2 = 0, 1 где k1 = 2 k0 1.

2 Выражая функцию u1 из первого уравнения u1 = k2 u2 и подставляя ее во второе уравнение системы (7), получим урав нение для функции u2 :

2 1 1 2 u2 u2 k0 1 u2 = 0.

k Последнее уравнение после элементарных преобразований приводится к уравнению Бесселя:

1 u2 k1 u2 = 0. (8) Обозначая k2 = k0 2 2, из (6) получим систему диффе 2 ренциальных уравнений внутри волновода:

k2 u1 + u2 = f1, (9) 1 (u1 ) 1 (u2 ) k0 2 u2 = f2, где f1 = k0 |u|2 u1, f2 = k0 |u|2 u2 и |u|2 = u2 +u2, u = (u1, u2 )T.

2 1 Как известно, касательные составляющие электромагнитно го поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматривае мом случае касательными составляющими являются компонен ты Ez и H. Из этого условия получаем Ez (R + 0) = Ez (R 0), H (R + 0) = H (R 0), где постоянная Ez = u2 (R) = Ez (R + 0) считается известной.

R 222 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Компонента E является нормальной компонентой и на гра нице раздела сред испытывает конечный скачок, однако величи на E на границе раздела сред непрерывна.

Из вышесказанного мы получаем условия сопряжения для функций u1 и u2 :

[u1 ]=R = 0, [u2 ]=R = 0, (10) где [f ]x=x0 = lim f (x) lim f (x) обозначает скачок функ xx0 0 xx0 + ции на границе раздела сред.

Из первого условия (10) легко получаем, что 2 u1 |=R0 1 u1 |=R+0 + u1 |u|2 = 0. (11) =R Сформулируем теперь краевую задачу на собственные зна чения (задача Р), к которой свелась исходная задача о распро страняющихся поверхностных волнах цилиндрического волново да. Требуется отыскать собственные значения и соответствую щие им не равные одновременно тождественно нулю на полубес конечном интервале 0 функции u1 (), u2 (), удовлетворяю щие условиям непрерывности (см. §3) и такие, что u1 (), u2 () удовлетворяют системе уравнений (9) на интервале (0, R), урав нениям (7) на интервале (R, +), условиям сопряжения (10) и условиям экспоненциального убывания функций u1 (), u2 () на бесконечности при. Спектральным параметром задачи является вещественное число.

С учетом условий на бесконечности решение системы урав нений (7) имеет вид u1 E = CK0 (k1 ), u2 Ez = CK0 (k1 ), (12) k (1) где C – произвольная постоянная;

K0 (z) = i H0 (iz) – функция Макдональда [25].

Заметим, что при формулировке задачи Р можно было тре бовать только ограниченности функций u1 (), u2 () на бесконеч ности, а не экспоненциального убывания. Действительно, общее Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. решение уравнения (8) является линейной комбинацией двух ци линдрический функций [22], одна из которых (функция Мак дональда K0 (z)) экспоненциально убывает на бесконечности, а другая – экспоненциально возрастает на бесконечности, и по этому должна быть отброшена в силу условия ограниченности решений. Таким образом, любое ограниченное решение u1 (), u2 () системы (7) будет экспоненциально убывающим на беско нечности.

§4. Нелинейное интегральное уравнение и дисперсионное уравнение Рассмотрим систему нелинейных уравнений (9). Из первого уравнения системы получаем u1 = 2 (u2 f1 ) (13) k и подставляем ее во второе уравнение, которое и будем решать:

1 k12 (u2 f1 ) 1 (u2 ) k0 2 u2 = f2. Оно приводится к дифференциальному уравнению второго порядка k2 Lu2 u2 + k2 u2 = 2 (f1 ) f2 (14) k0 2 k с линейной частью Lu2 (u2 ) + k2 u2.

С помощью введения соответствующей функции Грина ли нейную часть (дифференциальный оператор L) можно обратить и получить более удобное для исследования интегродифферен циальное уравнение.

Уравнение (15) может быть переписано в виде u2 + k2 u2 = F, 0 R, (15) где k2 W () = 2 (f1 ) f2.

k0 2 k Помним, что f1 зависит от u1.

224 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Построим функцию Грина для краевой задачи:

LG = ( s), (16) G|=0 ограничена, G|=R = 0, 0 s R, где дифференциальный оператор определяется формулой d2 d L= + + k2.

d d Используя метод построения функции Грина, описанный в [22], получаем G(, s) = N0 (k2 s)J0 (k2 R)J0 (k2 s)N0 (k2 R) 2 J0 (k2 ) s R,, J0 (k2 R) = (17) N0 (k2 )J0 (k2 R)J0 (k2 )N0 (k2 R) 2 J0 (k2 s) s R.

, J0 (k2 R) Здесь J0 () – функция Бесселя нулевого порядка;

N0 () – функция Неймана нулевого порядка [25]. Функция Грина суще ствует при таких значениях параметров, что J0 (k2 R) = 0.

Рассмотрим уравнение (15). Используем вторую формулу Грина:

R R (vLu uLv)d = u v d = v u 0 = R u (R)v(R) v (R)u(R), и, полагая v = G, получаем R (GLu uLG)d = R u (R 0)G(R, s) G (R, s)u(R 0) = = Ru(R 0)G (R, s), так как из (17) видно, что G(R, s) = 0.

Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. Используя формулу (15), получаем, что R R GLu2 d = G(, s)F ()d.

0 Далее из (16) получаем, что R R u2 LGd = u2 ()( s)d = u2 (s).

0 Теперь, применяя только что полученные результаты, из (14) получаем нелинейное интегральное уравнение относительно u2 (s) на интервале (0, R):

R G(, s) u2 (s) = G(, s)W ()d + Ru2 (R 0) (18), =R тогда из (13) получаем R f1 (s) u1 (s) = 2 G(, s)W ()d 2+ k2 s k 2 G(, s) R + u2 (R 0), (19) 2 s k2 =R где s R.

Легко видеть, что при умножении в (1) функций E, H на произвольную константу C0 = 0 и коэффициента нелинейности на C0 система уравнений Максвелла не изменяется. Это об стоятельство дает возможность выбора дополнительного усло вия нормировки. Выберем условие нормировки в виде C = 1.

Тогда из условий сопряжения (10), (11) и формул (12) получаем u2 (R 0) = K0 (k1 R) (20) 226 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах и 2 u1 |s=R0 + u1 |u|2 |s=R0 = 1 K (k1 R). (21) k1 Из формул (12) и (21) получаем дисперсионное уравнение () 2 u1 (R0)+u1 (R0)|u(R0)|2 +1 K (k1 R) = 0 (22) k1 при условии, что функции u1, u2 являются решением системы уравнений (здесь использованы формулы (12), (18), (19) и (20)) R u (s) = f1 (s) 2G 1 R G(, s)W ()d + 2 K0 (k1 R) s (R, s), 2 k2 s k2 k R u (s) = 2 G(, s)W ()d + RK0 (k1 R) G (R, s).

(23) Отметим, что в системе (23) все функции определены только на интервале (0, R) и могут быть найдены независимо от условий сопряжения и дисперсионного соотношения. Ниже будет пока зано, что при определенных условиях система (23) имеет един ственное решение и будет указан способ его нахождения.

Преобразуем систему (23) к более удобному виду, не содер жащему производных под интегралом от неизвестных функций.

Для этого сначала преобразуем первое слагаемое в правой части уравнений системы (23), используя формулу интегрирования по k2 частям и учитывая, что W = k22 k2 (f1 ) f2 :

02 R R G(, s) G(, s)(f1 ) d = G(, s)(f1 )|R f1 ()d = 0 R G(, s) = G(R, s)Rf1 (R) G(0, s) · 0 · f1 (0) f1 ()d.

Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. Далее имеем R G(, s)(f1 ) d = s R G(, s) f1 ()d = = G(R, s)Rf1 (R) s R G G(, s) = (R, s)Rf1 (R) f1 ()d = s s R G(, s) = f1 ()d.

s Теперь подставим в формулу явное выражение для функции Грина, получим R G(, s)f1 ()d = s s J0 (k2 s)N0 (k2 R) N0 (k2 s)J0 (k2 R) = k2 J0 (k2 ) f1 ()d+ 2 s J0 (k2 R) R J0 (k2 )N0 (k2 R) N0 (k2 )J0 (k2 R) + k2 J0 (k2 s) f1 ()d = 2 s J0 (k2 R) s s k = J0 (k2 s)N0 (k2 R) J0 (k2 )f1 ()d 2 s J0 (k2 R) s k N0 (k2 s)J0 (k2 R) J0 (k2 )f1 ()d+ J0 (k2 R) 228 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах R k + J0 (k2 s)N0 (k2 R) J0 (k2 )f1 ()d J0 (k2 R) s R k N0 (k2 )f1 ()d = J0 (k2 s)J0 (k2 R) J0 (k2 R) s s 2 J (k2 s) = k2 0 N0 (k2 R) J0 (k2 )f1 ()d+ 2 J0 (k2 R) N0 (k2 R) + k2 J0 (k2 s)J0 (k2 s)sf1 (s) 2 J0 (k2 R) s 2 J0 (k2 R) k2 N (k2 s) J0 (k2 )f1 ()d 2 J0 (k2 R) k2 J0 (k2 R) N0 (k2 s)J0 (k2 s)sf1 (s)+ 2 J0 (k2 R) R 2 N0 (k2 R) + k2 J (k2 s) k2 J0 ()f1 ()d 2 J0 (k2 R) s k2 N0 (k2 R) J0 (k2 s)J0 (k2 s)sf1 (s) 2 J0 (k2 R) R 2 J0 (k2 R) k2 J (k2 s) N0 (k2 )f1 ()d+ 2 J0 (k2 R) s J0 (k2 R) + k2 J0 (k2 s)N0 (k2 s)sf1 (s) = 2 J0 (k2 R) R 2G = (, s)f1 ()d s k2 sf1 (s) J0 (k2 s)N0 (k2 s) N0 (k2 s)J0 (k2 s) = f1 (s).

Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. После преобразований получим окончательный вид системы интегральных уравнений:

R R u1 (s) = 2 2 2 G f1 d 2 G s f2 d s k0 2 k2 k0 0 k12 f1 (s) + h1 (s), (24) R R u (s) = k 2 f1 d k 2 Gf2 d + h2 (s), G k2 02 0 где R 2 G(R, s) h1 (s) = K0 (k1 R), (25) 2 s k G(R, s) h2 (s) = R K0 (k1 R). (26) Для представления системы (24) в виде матричного опера тора введем матрицу ядер:

q11 Gs q12 Gs K(, s) = {Knm (, s)} n,m=1 = (27), q21 G q22 G где индексы у функции G обозначают частные производные, и матрицу коэффициентов:

(/k2 ) q11 q Q= = (28) 2, q21 q22 k а также матричный линейный интегральный оператор:

K = {Knm } n,m= с операторами Kmn, связанный с системой (24), R Kg = (29) K(, s)g()d, где g = (g1, g2 )T.

230 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Тогда система интегральных уравнений может быть записа на в операторном виде u = K(|u|2 u) J(|u|2 u) + h, (30) где h = (h1, h2 )T, а оператор J определяется формулой k J= (31).

k Отметим, что операторы K, J являются линейными.

Введем также два линейных оператора N := (K J) и N0 := K J.

Будем рассматривать уравнение (30) в пространстве непре рывных функций C[0, R] = C[0, R] C[0, R] с нормой 2 2 u = u1 + u2 C, C C = max u(x).

где u C x[0,R] §5. Исследование ядер интегральных операторов Для изучения интегрального оператора (29) рассмотрим яд ра соответствующих интегральных операторов.

Пусть = (0, R) (0, R). Используя свойства функций Бес селя и Неймана, докажем, что функции k11 (, s) и k22 (, s) непре рывны в (замкнутом) квадрате = [0, R] [0, R]. Функция + k12 (, s) ограничена в и непрерывна в T и в T \{0}, функция + k21 (, s) ограничена в и непрерывна в T и в T, где + = {(, s), s}, T = {(, s), s}.

T + Под непрерывностью функции f (, s) в T (в T ) понима + ется, что для любой точки (0, s0 ) T lim f (, s) = f (0, s0 ) 0,ss + + (,s)T,(0,s0 )T Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. или для (0, s0 ) T lim f (, s) = f (0, s0 ).

0,ss (,s)T,(0,s0 )T Под непрерывностью функции f (, s) в T \{0} понимается, что функция непрерывна во всех точках T (в вышеуказанном смысле), за исключением точки = 0, s = 0. При этом функция + f (, s), непрерывная в T и в T, не будет непрерывна в.

Для того чтобы доказать сформулированные выше свойства ядер, необходимо проверить только поведение функций k11 (, s), k22 (, s), k12 (, s) и k21 (, s) в нуле, т.е. в точке = 0, s = 0.

Вычислим пределы функции Грина и ее производных при 0, s 0. При x 0 имеем 2 2 N0 (x) = ln + O(1), N0 (x) = + O(1), x x x J0 (x) = + O(x2 ).

J0 (x) = 1 + O(x), Запишем функцию Грина в виде G(, s) = 2 J0 (k2 R) J0 (k2 ) (N0 (k2 s)J0 (k2 R) J0 (k2 s)N0 (k2 R)), s R, J0 (k2 s) (N0 (k2 )J0 (k2 R) J0 (k2 )N0 (k2 R)), s R.

Тогда, вычисляя производную, будем иметь G = s s J0 (k2 ) = N0 (k2 s)J0 (k2 R)k2 J0 (k2 s)N0 (k2 R)k2 = 2 J0 (k2 R) J0 (k2 ) = k2 N0 (k2 s)J0 (k2 R) J0 (k2 s)N0 (k2 R).

2 J0 (k2 R) 232 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Теперь вычислим при 0, s G · = s s J0 (k2 ) = N0 (k2 s)J0 (k2 R) J0 (k2 s)N0 (k2 R) = k 2 J0 (k2 R) 1 k2 s = k2 J0 (k2 R) N0 (k2 R) + o(1) = 2 J0 (k2 R) k2 s = + o(1), s где o(1) означает функцию (, s), для которой lim (, s) = 0.

s Так как s, то функция ограничена в окрестности точки = 0, s = 0. Отметим, что предел этой функции при 0, s 0 не существует. Аналогично имеем G = s s J0 (k2 s) = (N0 (k2 )J0 (k2 R) J0 (k2 )N0 (k2 R)) = k 2 J0 (k2 R) J (k2 ) = k2 0 (N0 (k2 )J0 (k2 R) J0 (k2 )N0 (k2 R)).

2 J0 (k2 R) Вычисляя предел, получаем G lim · = s s0 s J0 (k2 ) = lim (N0 (k2 )J0 (k2 R) J0 (k2 )N0 (k2 R)) = k 2 J0 (k2 R) s 1 k2 s 2 k2 s = lim ln · J0 (k2 R) + N0 (k2 R) = k 2 J0 (k2 R) 2 k2 s k2 s = lim · k2 · N0 (k2 R) = 0.

2 J0 (k2 R) s Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. Таким образом, функция G k = 2 J0 (k2 R) s J0 (k2 ) (N1 (k2 s)J0 (k2 R) J1 (k2 s)N0 (k2 R)), s, J1 (k2 s) (N0 (k2 )J0 (k2 R) J0 (k2 )N0 (k2 R)), s, не будет непрерывной в нуле, но остается ограниченной в окрест ности нуля. Здесь N1 () – функция Неймана 1-го порядка [25].

Далее вычислим производную:

J0 (k2 ) G = (N0 (k2 s)J0 (k2 R) J0 (k2 s)N0 (k2 R)).

k 2 J0 (k2 R) s Теперь вычислим предел:

G lim · = s0 s J0 (k2 ) = lim (N0 (k2 s)J0 (k2 R) J0 (k2 s)N0 (k2 R)) = k 2 J0 (k2 R) s k2 2 k2 k = lim ln J0 (k2 R) + N0 (k2 R) = 0.

2 J0 (k2 R) 2 k2 s s Аналогично имеем J0 (k2 s) G = N0 (k2 )J0 (k2 R) J0 (k2 )N0 (k2 R).

k 2 J0 (k2 R) s Вычисляя предел, получим G lim · = s0 s J0 (k2 s) = lim k2 N0 (k2 )J0 (k2 R) J0 (k2 )N0 (k2 R) = 0 2 J0 (k2 R) s 234 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах k2 k = lim · J0 (k2 R) + N0 (k2 R) = 2 J0 (k2 R) k s k = lim J0 (k2 R) = 1.

2 J0 (k2 R) k s Таким образом, функция G k = 2 J0 (k2 R) J1 (k2 ) (N0 (k2 s)J0 (k2 R) J0 (k2 s)N0 (k2 R)), s, J0 (k2 s) (N1 (k2 )J0 (k2 R) J1 (k2 )N0 (k2 R)), s, тоже не будет непрерывной в нуле, но остается ограниченной в окрестности нуля.

Для вторых производных находим 2G 2 J0 (k2 ) = N0 (k2 s)J0 (k2 R) J0 (k2 s)N0 (k2 R).

k 2 2 J0 (k2 R) s s Вычислим предел:

2G lim · = s s0 s 2 J (k2 ) = lim k2 0 N0 (k2 s)J0 (k2 R) J0 (k2 s)N0 (k2 R) = 0 2 J0 (k2 R) s 1 2 k2 k2 s = lim J0 (k2 R) + N0 (k2 R) = k 2 J0 (k2 R) 2 k2 s s 1 2 k = lim J0 (k2 R) = k 2 2 J0 (k2 R) 2 k2 s s 1 k = lim J0 (k2 R) = 0.

J0 (k2 R) 2 r s Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. Далее аналогично получаем 2G 2 J0 (k2 s) = N0 (k2 )J0 (k2 R) J0 (k2 )N0 (k2 R).

k 2 2 J0 (k2 R) s s Вычисляя предел, будем иметь 2G lim · = s s0 s 2 J0 (k2 s) = lim N0 (k2 )J0 (k2 R) J0 (k2 )N0 (k2 R) = k 2 2 J0 (k2 R) s 2 k2 k2 s k = lim J0 (k2 R) + N0 (k2 R) = 0.

2 J0 (k2 R) 2 k s Таким образом, функция 2G k = 2 J0 (k2 R) s J1 (k2 ) (N1 (k2 s)J0 (k2 R) J1 (k2 s)N0 (k2 R)), s, J1 (k2 s) (N1 (k2 )J0 (k2 R) J1 (k2 )N0 (k2 R)), s, является непрерывной в нуле.

Итак, доказано Утверждение 1. Функции k11 (, s) и k22 (, s) непрерыв ны в квадрате = [0, R][0, R]. Функция k12 (, s) ограничена + в и непрерывна в T и в T \{0}, функция k21 (, s) огра + ничена в и непрерывна в T и в T.

Далее вычислим значения остальных функций, входящих в (25) и (26). Имеем G(R, s) = J0 (k2 s) = k2 N0 (k2 R)J0 (k2 R) J0 (k2 R)N0 (k2 R) = 2 J0 (k2 R) J0 (k2 s) 2 1 J0 (k2 s) = k2 =.

2 J0 (k2 R) k2 R R J0 (k2 R) 236 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Аналогично для второй производной получим 2 G(R, s) k2 J1 (k2 s) =.

R J0 (k2 R) s Тогда J1 (k2 s) h1 (s) = K0 (k1 R), (32) k2 J0 (k2 R) J0 (k2 s) h2 (s) = K0 (k1 R). (33) J0 (k2 R) Перечисленные свойства ядер позволяют утверждать огра ниченность оператора K : C[0, R] C[0, R]. Очевидно, что опе ратор J : C[0, R] C[0, R] также ограничен. Соответствующее утверждение с оценками норм операторов будет дано в следую щем параграфе.

§6. Оценки норм интегральных операторов Оценим нормы интегральных операторов в пространстве C[0, R] = C[0, R] C[0, R], которые потребуются в дальнейшем.

Рассмотрим сначала скалярный случай. Пусть интегральный оператор задан формулой R K = (34) K(x, y)(y)dy с ограниченным, кусочно-непрерывным в квадрате [0, R] [0, R] ядром K(x, y), тогда R R K(x, y)(y)dy |K(x, y)| |(y)|dy 0 R R max |(x)| |K(x, y)|dy max |K(x, y)|dy.

C x[0,R] x[0,R] 0 Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. Следовательно, R = max K(x, y)(y)dy M K, C C x[0,R] R где M0 = max |K(x, y)|dy.

x[0,R] Таким образом, для нормы оператора K : C[0, R] C[0, R] имеем оценку K CC M0. Отметим, что если ядро интеграль ного оператора K(x, y) непрерывно в квадрате [0, R] [0, R], то имеет место равенство K CC = M0 [29]. Итак, верно Утверждение 2. Пусть K : C[0, R] C[0, R] – инте гральный оператор, заданный формулой (34) с кусочно-непре рывным в квадрате [0, R] [0, R] ядром K(x, y). Тогда он огра ничен и верна оценка для его нормы K M0, CC где R M0 = max |K(x, y)|dy.

x[0,R] Рассмотрим векторный случай. Пусть матричный линейный интегральный оператор K = {Kmn } m,n=1 задан формулой R K = (35) K(x, y)(y)dy с ограниченными ядрами Knm (x, y), обладающими свойствами, сформулированными в утверждении 1.

Тогда имеют место оценки 2 2 K = K11 1 + K12 2 + K21 1 + K22 2 C C C 2 ( K11 1 + K12 2 C) + ( K21 1 + K22 2 C) C C ( K11 + K12 C) + 1 CC C CC + ( K21 + K22 C) 1 CC C CC 238 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах 2 2 2 2 K11 + 2 K12 + 1 CC C CC C K21 2 1 2 K22 2 +2 +2 CC C CC C 2 2 2 max K11, K12 · + C CC CC 2 2 2 = M + 2 max K21, K22 ·, C C CC CC 2 где M 2 = 2 max K1j + max K2j.

CC CC j=1,2 j=1, Тогда K CC M.

Утверждение 3. Пусть K : C[0, R] C[0, R] – инте гральный оператор, заданный формулой (35) с ограниченными в квадрате [0, R] [0, R] ядрами Knm (x, y), заданными фор мулами (27) и (28). Тогда он ограничен и верна оценка для его нормы K CC M, где 2 M 2 = 2 max K1j + max K2j.

CC CC j=1,2 j=1, §7. Итерационный метод решения системы интегральных уравнений Приближенные решения un (r) = (un (r), un (r))T, r [0, R] 1 системы интегральных уравнений (24) могут быть определены с помощью итерационного процесса метода сжимающих отобра жений:

R 2 2 G(r, ) |un ()|2 un ()d un+1 (r) = 1 2 r 2 k R k G(r, ) |un ()|2 un ()d 20 |un ()|2 un ()+h1 (r), 2 2 r k Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. R G(r, ) |un ()|2 un ()d un+1 (r) = 2 2 2 k (36) R k G(r, ) |un ()|2 un ()d + h2 (r).

Докажем, что последовательность un (r), un (r) равномерно 1 сходится к решению системы уравнений (24) вследствие того, что правая часть системы уравнений (24) определяет сжимаю щий оператор. Ниже при записи норм операторов не будем пи сать индекс, поскольку из контекста ясно о каком – векторном или скалярном – пространстве идет речь.

Теорема 1. Пусть Br0 {u : u r0 } – шар радиуса r с центром в нуле и выполнены два условия:

q := 3ar0 K J 1, (37) r0 K J + h r0. (38) Тогда существует и единственно решение u Br0 урав нения (30) (или системы (24)), и последовательность прибли женных решений un Br0 уравнения (30) (или системы (24)), определяемых посредством итерационного алгоритма un+1 = K(|un |2 un ) J(|un |2 un ) + h (или (36)), сходится в норме пространства C[0, R] к (един ственному) точному решению u Br0 уравнения (30) (или системы (24)) при любом начальном приближении u0 Br0 со скоростью геометрической прогрессии с показателем q.

Доказательство. Рассмотрим уравнение u = A(u) с нели нейным оператором A(u) K |u|2 u J |u|2 u + h в пространстве C[0, R], где h определяется формулами (32), (33).

240 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Пусть u, v Br0 ;

u r0, v r0, тогда A(u) A(v) = K(|u|2 u |v|2 v) J(|u|2 u |v|2 v) 3 K J r0 u v. (39) Докажем оценку (39). Действительно, |u|2 u |v|2 v = |u|2 u |v|2 u + |v|2 u |v|2 v 2 2 2 |u| u |v| u + |v| u |v| v |u|2 |v|2 |v| u+ uv = = (|u| |v|) (|u| + |v|) u+v uv (|u| |v|) ( u + v ) u + v uv.

Учитывая, что |u| |u v| + |v|, |u| |v| |u v| и, аналогично, |v| |u v| + |u|, |v| |u| |u v|, получаем, что |(|u| |v|)| |u v| |u v, поэтому (|u| |v|) u v.

Тогда (|u| |v|) ( u + v ) u + v uv uv ( u + v ) u + v uv 2 2 2r0 + r0 u v = 3r0 u v.

Получаем, что |u|2 u |v|2 v 3r0 u v.

(40) Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. Отсюда следует оценка (39). Так как A(u) = K |u|2 u J |u|2 u + h r0 K J + h, то при выполнении условия (38) оператор A отображает шар Br0 в себя. Из оценок (37) и (38) следует, что оператор A явля ется сжимающим в шаре Br0. Тогда все утверждения теоремы следуют из принципа сжимающих отображений [48]. Теорема до казана.

Нетрудно видеть, что выбрав достаточно большой радиус шара r0, чтобы выполнялась оценка h r0, а потом выбрав достаточно малое, можно удовлетворить оценкам (37) и (38).

Разберем условие (38) более подробно. В последующих рас суждениях нам понадобится следующее вспомогательное число вое кубическое уравнение:

N r0 + h = r0, (41) где норма оператора N = K J 0.

Рассмотрим уравнение r0 N r0 = h (42) и функцию y(r0 ) := r0 N r0.

Легко показать, что функция y(r0 ) имеет только одну поло жительную точку максимума: rmax = 1, значение функции 3N в которой равно ymax = y (rmax ) = 2.

3 3N h Тогда при условии 0 уравнение (42) имеет 3 3N r и r, r r, удовлетворяющих два неотрицательных корня неравенствам 1 1 r 0 r ;

.

3N 3N N Эти корни нетрудно выписать как решения следующего ку бического уравнения:

1 h r0 r0 + = 0.

N N 242 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Имеем arccos h N 2 cos r = (43), 3 3N arccos h N 2 cos r = + (44).

3 3N Если h = 0, то r = 0 и r = 1.

N 2 Если 0 h, то 3 3N (45) r.

3N 2 1 имеем r = r = 2 При h =.

3 3N 3N Итак, доказано следующее утверждение.

Лемма 1. Если выполняется неравенство 2 0 h (46), 3 3N то уравнение (41) имеет два неотрицательных решения r и r, причем r r.

Докажем, что если выполняется условие (46), то уравнение (30) имеет единственное решение в шаре Br {u : u r }.


Теорема 2. Если A2, где 2 A= 3h 3 N и N0 := K J ( 0), то уравнение (30) имеет единственное решение в шаре Br {u : u r }, являющееся непрерывной функцией: u C[0, R], u r.

Доказательство. Если u Br, то A(u) = K |u|2 u J |u|2 u + h r K J + h = r.

Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. Если u, v Br, то A(u) A(v) = K |u|2 u |v|2 v J |u|2 u |v|2 v 3 K J uv.

r Так как A2, то вектор h удовлетворяет условию (46).

Поэтому выполняется неравенство (45), откуда получаем, что 2 q = 3r K J = 3 N r 1. Следовательно, выполняются оба неравенства (37) и (38).

Таким образом, A отображает Br в себя и является сжима ющим оператором на Br. Поэтому уравнение (30) имеет един ственное решение в Br. Теорема доказана.

Отметим, что A 0 и не зависит от.

В нескольких следующих параграфах будут доказаны ре зультаты о свойствах решений краевой задачи, в частности утверждение о существовании собственных значений для нели нейной задачи на собственные значения, т.е. существование ре шений дисперсионного уравнения (22) при некоторых достаточ ных условиях, наложенных на параметры задачи. Основным ме тодом при доказательстве будет метод малого параметра. В дан ном случае малым является параметр нелинейности. Такой подход является естественным, так как известно [3], что закон Керра (который предполагается выполненным в этой работе) справедлив именно при малых.

§8. Теорема о непрерывной зависимости решения от спектрального параметра В дальнейшем нам понадобится утверждение о зависимости решений интегрального уравнения (30) от параметра. Перепи шем уравнение (30) в форме u = N |u|2 u + h, где оператор N := (K J) 244 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах с матричными ядрами N (, s) := (K(, s) J(, s)) определен формулами (24)–(31).

Теорема 3. Пусть ядра матричного оператора N и пра вая часть h уравнения (30) непрерывно зависят от параметра 0, N() C(0 ), h() C(0 ), на некотором отрезке вещественной числовой оси. Пусть также 2 h() (47).

3 3 N() Тогда решения u() уравнения (30) при 0 сущест вуют, единственны и непрерывно зависят от параметра, u() C(0 ).

Доказательство. Рассмотрим уравнение (30). Существова ние и единственность решений u() при условиях теоремы сле дует из теоремы 2. Докажем непрерывную зависимость этих ре шений от спектрального параметра.

Нетрудно видеть из формулы (43), что r () непрерывно за висит от на отрезке 0. Пусть r = max r () и максимум достигается в точке, r ( ) = r. Выберем + 0, тогда r () r и r ( + ) r.

Далее, пусть Q0 = max(3r () N() ) и максимум достига ется в точке 0, Q0 = 3r () N(). Тогда Q0 1 в силу условия (47) теоремы.

Предположим сначала, что u() u( + ). (48) Тогда имеют место следующие оценки:

|u(s, + ) u(s, )| = R N ( +,, s)|u(, + )|2 u(, + )d = Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. R N (,, s)|u(, )|2 u(, )d + h(s, + ) h(s, ) R (N ( +,, s) N (,, s)) |u(, + )|2 u(, + )d+ R N (,, s) |u(, + )|2 u(, + ) |u(, )|2 u(, ) d + + + |h(s, + ) h(s, )|, поэтому (см. доказательство теоремы 2) u( + ) u() r () N ( + ) N () + + u( + ) u() 3r () N () + h( + ) h().

Здесь было использовано условие (48).

Отсюда получаем, что u( + ) u() r () N ( + ) N () + h( + ) h() 1 3r () N () и u( + ) u() r N ( + ) N () + h( + ) h(), (49) 1 Q где Q0 и r не зависят от.

Пусть теперь u() u( + ). Тогда все предыдущие оценки остаются в силе, если заменить аргументы на +, а + на. Таким образом, оценка (49) также остается в силе, откуда следует утверждение теоремы. Теорема доказана.

246 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах §9. Теоремы о существовании и единственности решений дисперсионного уравнения и задачи на собственные значения Перепишем дисперсионное уравнение (22) более подробно в следующем виде:

() 2 u1 (R 0) + u1 (R 0)|u(R 0)|2 + 1 K (k1 R) = 0, k1 где u1 (R 0) найдем из первого уравнения системы (24).

Используя формулу (17) для функции Грина и формулу J1 (z)N0 (z) J0 (z)N1 (z) = z, легко показать, что справедливы следующие соотношения:

1 J0 (k2 ) 2 G k2 J1 (k2 ) G = =,.

R J0 (k2 R) s R J0 (k2 R) s s=R0 s=R Теперь, используя только что полученные результаты и пер вое уравнение системы (24), найдем R 2 u1 (R 0) = J1 (k2 )f1 d k2 k0 2 R J0 (k2 R) R 2 J0 (k2 )f2 d k0 2 R J0 (k2 R) 1 J1 (k2 R) 2 f1 (R 0) K0 (k1 R), k2 J0 (k2 R) k мы помним, что f1 = k0 |u|2 u1 и f2 = k0 |u|2 u2.

2 Соберем все слагаемые, не содержащие параметр нелинейно сти a, в левой части уравнения, а остальные слагаемые – в правой части, получим J1 (k2 R) K0 (k1 R) 1 K0 (k1 R) = F (), (50) k2 J0 (k2 R) k Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. где R 2 J1 (k2 )|u|2 u1 d F () = k2 R J0 (k2 R) R J0 (k2 )|u|2 u2 d R J0 (k2 R) k 0)|2 u1 (R 0) + |u(R 0)|2 u1 (R 0). (51) 2 0 |u(R k Умножим на k1k2 J0 (k2 R) левую и правую части уравнения (50);

учитывая, что k2 = k0 2 2 и K0 (z) = K1 (z), получим 2 2 k1 J1 (k1 R)K0 (k1 R) + 1 k2 J0 (k2 R)K1 (k1 R) = F (), (52) где R k (J1 (k2 )u1 () k2 J0 (k2 )u2 ()) |u|2 d F () = R k J0 (k2 R)|u(R 0)|2 u1 (R 0). (53) k Видно, что функция (53) неявно зависит от параметра нели нейности, поскольку она выражается через решение системы интегральных уравнений (24), которое, в свою очередь, зависит от. Однако эту функцию можно будет оценить константой (в некотором шаре), не зависящей от, что позволит сделать правую часть (52) достаточно малой, выбрав достаточно ма лое. Смысл вышеприведенных преобразований состоит в том, что правая часть (52) содержит параметр нелинейности, ко торый, вообще говоря, является малым (исходя из физических соображений) в законе Керра. Ниже это обстоятельство будет использовано. Уравнение (52) и система (24), по существу, бу дут рассматриваться как уравнения с малым параметром.

248 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Рассмотрим левую часть уравнения (52). Она соответствует дисперсионному уравнению для линейной среды внутри волно вода, т.е. при = 0 (см., например, [32, 83]):

g() 2 k1 J1 (k1 R)K0 (k1 R) + 1 k2 J0 (k2 R)K1 (k1 R) = 0.

j2 j 2 Обозначим 1m := k0 2 R2, 2m := k0 2 R2, где j0m – 1m 0m m-й положительный корень уравнения J0 (x) = 0, а j1m – m-й положительный корень уравнения J1 (x) = 0;

m = 1, 2,...

Известно [25], что j01 j11 j02 j12 j03 j13...

Тогда 21 11 22 12 23 13...

Очевидно, что sign J1 R k0 2 2m = sign J1 (j0m ) = (1)m+1, sign J0 R k0 2 1m = sign J0 (j1m ) = (1)m.

Отсюда следует (учитывая, что при x 0 функции K0 (x) и K1 (x) положительны), что sign g 1m = (1)m, sign g 2m = (1)m+1.

Таким образом, на интервале 1i, 2i есть по крайней мере один корень 0i уравнения g() = если k0 1 1i и 0, 2i k0 2, т.е. g(0i ) = 0 при 0i 1i, 2i.

Прежде чем доказывать теорему о существовании собствен ных значений для нелинейной краевой задачи P, заметим, что точки 2i являются полюсами функции Грина (17). В этих точ ках функция Грина не определена. Поэтому выберем такие (до статочно малые) числа i 0, чтобы выполнялись условия:

sign g 2i i = (1)i+1, (54) 2i i 0i. (55) Образуем отрезки i := 1i, 2i i. При условиях (54) и (55) функция g() имеет разные знаки на разных концах i и Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. обращается в ноль в точке 0i 1i, 2i i. Пусть m 1m k0 1 для некоторого m 1. Обозначим := i. То i= гда верна Теорема 4. Пусть числа 1, 2, удовлетворяют условиям 2 1 0, 0 0, min g( li ) 1l2,1im 0 = min min A2 (), 3, (56) 2 max r () 0.3R A() = 3 N0 (), 3 h() и выполняется условие (57) 1m k0 для определенного m 1. Тогда существует по крайней мере m значений i, i = 1,..., m, 1i i 2i i таких, что задача P имеет ненулевое решение.

Доказательство. В силу выбора чисел i 0 (i 1) (см.

условия (54) и (55)) функция Грина существует для всех.

Из ядер и правых частей матричного интегрального операто ра следует, что A = A() – непрерывная функция на отрезке. Пусть A1 = min A() и выберем A2. В соответствии с теоремой 2 существует единственное решение u = u() систе мы уравнений (24) для каждого. Это решение являет ся непрерывной функцией, причем u r = r (). Положим r00 = max r (). Оценивая функцию (53), получаем |F (, R;

u)| Cr00.

Функция g() непрерывна, и уравнение g() = 0 имеет ко рень 0i внутри отрезка i, 1i 0i 2i. Обозначим M1 = min g, M2 = min g 2i i 1i.

1im 1im 250 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Тогда число M = min{M1, M2 } положительно (M 0) и не зависит от параметра a.

Если Cr3, то M (g(1i ) F (1i )) g 2i i F 2i i 0.

Так как g() F (, R;

u) также непрерывная функция, то уравнение g() F (, R;

u) = 0 имеет корень i внутри i, 1i i 2i i. Мы можем выбрать 0 = min A2, Cr3.

M Теорема доказана.

Из теоремы 4 следует, что при условиях, сформулирован ных выше, существуют осесимметричные распространяющиеся ТМ-поляризованные волны без затухания в цилиндрических диэлектрических волноводах кругового сечения, заполненных немагнитной, изотропной средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Этот результат обобщает известное соответству ющее утверждение для диэлектрических волноводов круглого сечения с заполнением линейной средой (при = 0) [37].

j Из условия 1m k0 1 следует, что R2 ( )k2. Таким 2 2 образом, радиус R не может быть произвольно малым (по ана логии с существованием радиуса «отсечки» в линейном случае).

Учитывая этот факт, достаточные условия для существования нетривиального решения рассматриваемой проблемы зависят не только от малости параметра нелинейности a, но также и от ра диуса R и параметра 2 волновода.


§10. Итерационный метод решения системы интегральных уравнений и оценка скорости сходимости Приближенные решения un (s) = (un (s), un (s))T системы ин 1 тегральных уравнений (24) могут быть определены с помощью итерационного процесса un+1 = (K J) |un |2 un + h. (58) Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. Как доказано в теореме 1, последовательность u(s) равно мерно сходится к решению u(s) = (u1 (s), u2 (s))T уравнения (24).

Известна также оценка для скорости сходимости итерационного алгоритма [48]. В частности, если выбрать в качестве начально го приближения u0 (s) = (0, 0)T, то получаем следующую оценку скорости сходимости итерационного процесса.

Утверждение 4. Пусть u0 = (0, 0)T. Последовательность приближенных решений un = (un, un )T системы уравнений (24), 1 определяемых посредством итерационного алгоритма (58), су ществует и сходится в норме пространства C[0, R] к (един ственному) точному решению u системы уравнений (24) и вер на оценка скорости сходимости:

qn u un h, n, 1q где q := 3r K J 1 – коэффициент сжатия отображения.

§11. Теорема о сходимости итерационного метода Теперь сформулируем итерационный метод нахождения приближенных собственных значений краевой задачи P и до кажем теоремы о существовании и сходимости приближенных собственных значений к точным.

Теорема 5. Пусть существуют 1, 2, a, удовлетворяющие условиям 2 1 0, 0 0, где 0 определяется соот ношением (56), и выполняется условие (57) для определенного m 1. Тогда для каждого n 0 существует по крайней мере (n) m значений i, i = 1,..., m, удовлетворяющих неравенствам (n) 1i i 2i i и являющихся корнями уравнения (n) (n) (n) (n) (n) (n) k1 2 K1 k1 R J0 k2 R + k2 1 K0 k1 R J1 k2 R = = F ( (n) ), (59) 2 (n) (n) (n) 1, k2 2 (n), а un определяет где k1 = = ся соотношением (58).

252 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах Доказательство. Для каждого n 0 функции un непре рывны согласно (58). Таким образом, для доказательства доста точно повторить доказательство теоремы 4, если заменить u на un и проверить условия un r = r (). Это неравенство выполняется, так как все итерации un лежат внутри шара Br [48], если начальное приближение лежит в шаре Br (что имеет место).

Теорема 5 утверждает существование приближенных соб ственных значений краевой задачи P. Уравнение (59) являет ся приближенным дисперсионным уравнением для краевой за дачи P. Оно отличается от точного дисперсионного уравнения только тем, что вместо (вообще говоря, неизвестного) вектора u в формулах используется (известный!) вектор un.

Следующая теорема утверждает сходимость приближенных собственных значений к точным.

Теорема 6. Пусть существуют 1, 2, a, удовлетворяющие условиям 2 1 0, 0 0, где 0 определяется соот ношением (56), и выполняется условие (57) для определенно (n) го m 1. Пусть i и i – соответственно точное и при ближенное собственные значения проблемы P на отрезке i (n) (i, i – корни точного и приближенного дисперсионных урав (n) нений соответственно, i m, m 1). Тогда i i при n.

Доказательство. Рассмотрим функции () = g() F (;

u), n () = g() F (;

un ).

Тогда, используя оценку (40) и формулы (51)–(53), находим |() n ()| = |F (;

u) F (;

un )| qn C u un C h, 1q где постоянная C не зависит от n, а все другие величины опре делены выше.

Гл. 13. ТМ-волны в цилиндр. волноводе с керровской нелин. Имеем Qn max |() n ()| (60) C, 1Q где C = max h() C(), Q = max(3r () N() ) и Q 1.

При выполнении условий теорем 4 и 5 существуют реше (n) ния i и i точного и приближенного дисперсионного урав нений () = 0 и n () = 0 (n 0). Также при доказатель стве теорем 4 и 5 было установлено, что непрерывные функции (), n () меняют свой знак на концах отрезка i. Тогда дока зательство теоремы следует из оценки (60).

§12. Численный метод Численный метод для расчета приближенных собственных значений и приближенных собственных векторов нелинейной краевой задачи P реализован следующим образом.

На отрезке [0, R] вводится равномерная сетка j = jH0, j = 0, N 1, где H0 = R/N. Все интегралы от функций по отрез ку [0, R] вычисляются методом прямоугольников на этой сетке с узлами = jH0 + H0 /2. Функция un рассматривается как се j точная функция, заданная в узлах. Точнее, un () = un ( ) j j при H0 /2, + H0 /2.

j j На отрезке i вводится равномерная сетка ij = 1i + jhi, j = 0, Ni 1, с шагом hi = 2i i 1i /Ni (шаг выбира ется достаточно мелким). Затем вычисляются значения (ij ) и определяются отрезки перемены знака (ij ) на концах отрез ков, т.е. находятся отрезки [ij, i,j+1 ], для которых выполняется условие (ij )(i,j+1 ) 0. На каждом из этих отрезков значе ние локализованного корня уравнения () = 0 уточнялось ме тодом дихотомии. Таким образом, получаются приближенные (n) собственные значения i, которые за счет выбора шагов H0 и (n) hi могут быть сделаны сколь угодно близкими к значениям i.

Итерационный процесс (58) решения системы интегральных уравнений (24) (при фиксированном ) начинается с нулевого 254 Часть II. Краевые задачи в круглых цилиндрических волноводах приближения u0 (s) = (0, 0)T и заканчивается, когда выполняет ся оценка max un+1 ( ) un ( ) для некоторого доста j j 0jN точно малого 0.

Список литературы [1] Адамс М. Введение в теорию оптических волноводов. – М.:

Мир, 1984.

[2] Ахманов С. А., Хохлов Р. В. Проблемы нелинейной опти ки. – М.: ВИНИТИ, 1964.

[3] Ахмедиев Н. Н., Анкевич А. Солитоны, нелинейные им пульсы и пучки. – М.: Физматлит, 2003.

[4] Банков С. Е. Аналитическое исследование фокусировки электромагнитного поля линзой Веселаго // Радиотехника и электроника. – 2009. – Т. 54. – № 2. – С. 133–143.

[5] Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы каче ственного исследования динамических систем на плоско сти. – М.: Наука, 1990.

[6] Бейкер Г. Ф. Абелевы функции. Теорема Абеля и связан ная с ней теория тэта-функций. – М.: МЦНМО, 2008.

[7] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функ ции. – М.: Наука, 1974. Т. 2.

[8] Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Высшая школа, 1991.

[9] Бломберген Н. Нелинейная оптика. – М.: Мир, 1966.

256 Список литературы [10] Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. – М.: Совет ское радио, 1957.

[11] Валовик Д. В. Задача о распространении электромагнит ных волн в слое с произвольной нелинейностью (I. ТЕ волны) // Известия высших учебных заведений. Поволж ский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 1. – С. 18–27.

[12] Валовик Д. В. Задача о распространении электромагнит ных волн в слое с произвольной нелинейностью (II. ТМ волны) // Известия высших учебных заведений. Поволж ский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 2. – С. 55–66.

[13] Валовик Д. В. О существовании решений нелиней ной краевой задачи на собственные значения для ТМ поляризованных электромагнитных волн // Известия выс ших учебных заведений. Поволжский регион. Физико математические науки. – 2008. – № 2. – С. 86–94.

[14] Валовик Д. В. Электромагнитная задача дифракции ТМ волн на нелинейном полубесконечном слое // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико математические науки. – 2007. – № 2. – С. 19–25.

[15] Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Дисперсионные уравнения в задаче о распространении электромагнитных волн в линей ном слое и метаматериалы // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 1. – С. 28–42.

[16] Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Нелинейная задача на соб ственные значения для ТМ-поляризованных электромаг нитных волн в нелинейном слое // Известия вузов. Мате матика. – 2008. – № 10. – С. 70–74.

[17] Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. О распространении ТМ поляризованных электромагнитных волн в нелинейном Список литературы слое с нелинейностью, выраженной законом Керра // Журн. выч. мат. и мат. физ. – 2008. – T. 48. – № 12. – С. 2186–2194.

[18] Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Распространение ТМ поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра // Из вестия высших учебных заведений. Поволжский регион.

Физико-математические науки. – 2007. – № 3. – С. 35–45.

[19] Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Расчет постоянных распро странения и полей для поляризованных электромагнитных ТМ-волн в нелинейном анизотропном слое // Радиотехни ка и электроника. – 2009. – T. 54. – № 4. – С. 411–417.

[20] Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Расчет постоянных распро странения ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое // Радиотехника и электроника. – 2008. – T. 53. – № 8. – С. 934–940.

[21] Веселаго В. Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями и // Усп. физ. наук. – 1967. – Т.92. – № 7. – С.517–526.

[22] Владимиров В. С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1981.

[23] Гольдштейн Л. Д., Зернов Н. В. Электромагнитные поля и волны. – М.: Советское радио, 1971.

[24] Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом простран стве. – М.: Наука, 1965.

[25] Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: ГИФМЛ, 1962.

[26] Дубровин Б. А. Римановы поверхности и нелинейные урав нения. – М.;

Ижевск, 2001.

258 Список литературы [27] Ефимов И. Е., Шермина Г. А. Волноводные линии пере дачи. – М.: Связь, 1979.

[28] Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплекс ных переменных. – М.: ИЛ, 1954.

[29] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1989.

[30] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1968.

[31] Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. – М.:

Высшая школа, 1981. Т. 2.

[32] Левин Л. Теория волноводов. – М.: Радио и Связь, 1981.

[33] Маныкин Э. А. Взаимодействие излучения с веществом.

Феноменология нелинейной оптики. – М.: МИФИ, 1996.

[34] Маркушевич А. И. Введение в классическую теорию абе левых функций. – М.: Наука, 1979.

[35] Мидвинтер Дж. Э. Волоконные световоды для передачи информации. – М.: Радио и связь, 1983.

[36] Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции ма тематической физики. – М.: Наука, 1978.

[37] Никольский В. В. Теория электромагнитного поля. – М.:

Высшая Школа, 1961.

[38] Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных диф ференциальных уравнений. – М.: Изд-во МГУ, 1984.

[39] Риман Б. Сочинения. – М.: ГИТТЛ, 1948.

[40] Самарский А. А., Тихонов А. Н. О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ // Журнал тео ретической физики. – 1948. – Т. 18. – № 7. – С. 971–985.

Список литературы [41] Смирнов Ю. Г., Куприянова С. Н. Распространение элек тромагнитных волн в цилиндрических волноводах, запол ненных нелинейной средой // Журн. выч. мат. и мат.

физ. – 2004. – Т. 44. – № 10. – С. 1850–1860.

[42] Смирнов Ю. Г., Куприянова С. Н. Метод интегральных уравнений для неоднородного волновода с нелинейным за полнением по закону Керра // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 4. – С. 3–9.

[43] Смирнов Ю. Г., Куприянова С. Н. Численный метод в задаче о распространении электромагнитных волн в ци линдрических диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой // Известия высших учебных заведе ний. Поволжский регион. – 2003. – № 6. – С. 29–42. – (Есте ственные науки).

[44] Смирнов Ю. Г., Сысова Е. В. Решение задачи дифрак ции электромагнитной ТЕ-волны на диэлектрическом слое с нелинейностью некерровского типа // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2006. – № 5. – С. 116–121. – (Естественные науки).

[45] Смирнов Ю. Г., Хорошева Э. А. Распространение электро магнитных ТМ-волн в круглых диэлектрических волново дах, заполненных нелинейной средой // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2006. – № 5. – С. 106–115. – (Естественные науки.) [46] Смирнов Ю. Г., Хорошева Э. А. О разрешимости нели нейной краевой задачи на собственные значения для рас пространяющихся ТМ-волн в круглом нелинейном волно воде // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 3 [при нята к печати].

260 Список литературы [47] Смирнов Ю. Г., Хорошева Э. А., Медведик М. Ю. Числен ное решение задачи о распространении электромагнитных ТМ-волн в круглых диэлектрических волноводах, запол ненных нелинейной средой // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 1. – С. 2–13.

[48] Треногин В. А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1993.

[49] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравне ния. – М.: Мир, 1970.

[50] Хорошева Э. А. Задача о распространении электромагнит ных ТМ-волн в цилиндрических диэлектрических волно водах, заполненных нелинейной средой // Труды XXVIII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. – М.: МГУ, 2006. – С. 218–223.

[51] Чеботарев Н. Г. Теория алгераических функций. – М.:

ГИТТЛ, 1948.

[52] Шатров А. Д. О разрешимости задач возбуждения плоско слоистых сред из метаматериалов // Радиотехника и элек троника. – 2007. – Т. 52. – № 8. – С. 909–916.

[53] Шатров А. Д. Электродинамический анализ линзы Пенд ри // Радиотехника и электроника. – 2007. – Т. 52. – № 12. – С. 1430–1435.

[54] Шевченко В. В. К волновой теории плоской линзы из от рицательного материала // Радиотехника и электроника. – 2008. – Т. 53. – № 9. – С. 1121–1127.

[55] Agranovich V. M., Babichenko V. S., Chernyak V. Ya. Sov.

Phys. JETP Lett. – 1981. – № 32. – Р. 512.

[56] Boardman A. D., Egan P. IEEE J. Quantum Electron. – 1985. – № 21. – Р. 1701.

Список литературы [57] Boardman A. D., Maradudin A. A., Stegeman G. I., Twardowski T., Wright E. M. Phys. Rev. – 1987. – A 35. – Р. 1159.

[58] Chen Qin, Zi Hua Wang Exact dispersion relation for TM waves guided by thin dielectric lms bounded by nonlinear media // Optics letters. – 1993. – Vol. 18. – № 4. – P. 1–3.

[59] Chiao R. Y., Garmire E., Townes C. Phys. Rev. Lett. – 1964. – № 13. – Р. 479.

[60] Eleonskii P. N., Oganes’yants L. G., Silin V. P. Cylindrical Nonlinear Waveguides // Soviet Physics Jetp. – 1972. – Vol. 35. – № 1. – P. 44–47.

[61] Eleonskii P. N., Silin V. P. Nonlinear theory of penetration of p-polarized waves into a conductor // Soviet Physics JETP. – 1971. – М. 33. – № 5. – P. 1039–1044.

[62] Joseph R. I., Christodoulides D. N. Exact eld decomposition for TM waves in nonlinear media // Opt. Lett. – 1987. – Vol. 12. – № 10. – P. 826–828.

[63] Kaplan A. E. JETP Lett. – 1976. – № 24. – Р. 114.

[64] Kaplan A. E. Sov. Phys. JETP. – 1977. – № 45. – Р. 896.

[65] Khoo I. C. Phys. Rev. – 1982. – A 25. – Р. 1040.

[66] Kumar D., Choudhury P. K. Introduction to modes and their designation in circular and elliptical bers // Am. J. Phys. – 2007. – Vol. 75. – № 6. – P. 546–551.

[67] Langbein U., Lederer F., Peschel T., Ponath H.-E. Opt. Lett. – 1985. – № 10. – Р. 571.

[68] Leung K. M., Lin R. L. Scattering of transverse-magnetic waves with a nonlinear lm: Formal eld solutions in quadratures // Phys. Rev. B. – 1991. – Vol. 44. – № 10. – P. 5007–5012.

262 Список литературы [69] Leung K. M. Р-polarized nonlinear surface polaritons in materials with intensity-dependent dielectric functions // Physical Review B. – 1985. – Vol. 32. – № 8. – Р. 5093-5101.

[70] Marques R., Martin F., Sorolla M. Metamaterials with Negative Parameters. Theory, Design, and Microwave Applications. – Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons Inc., 2008.

[71] Sammut R. A., Pask C. Gaussian and equivalent-step-index approximations for nonlinear waveguides // Journal of the Optical Society of America B. – 1991. – Vol. 8. – № 2. – P. 395– 402.

[72] Schrmann H. W., Schmoldt R. Optical response of a u nonlinear absorbing dielectric lm // Optics Letters. – 1996. – Vol. 21. – № 6. – P. 387–389.

[73] Schrmann H. W., Serov V. S., Shestopalov Yu. V. Reection u and transmission of a plane TE-wave at a lossless nonlinear dielectric lm // Physica D. – 2001. – № 158. – P. 197–215.

[74] Schrmann H. W., Serov V. S., Shestopalov Yu. V. Solutions u to the Helmholtz equation for TE-guided waves in a three-layer structure with Kerr-type nonlinearity // J. Phys. A: Math.

Gen. – 2002. – Vol. 35. – Р. 10789-10801.

[75] Schrmann H. W., Serov V. S., Shestopalov Yu. V. TE u polarized waves guided by a lossless nonlinear three-layer structure // Phys. Rev. E. – 1998. – Vol. 58. – Р. 1040-1050.

[76] Schrmann H. W., Smirnov Yu. G., Shestopalov Yu. V.

u Propagation of TE-waves in cylindrical nonlinear dielectric waveguides // Physical Review E. – 2005. – Vol. 71. – № 1. – P. 016614-1–016614-10.

[77] Seaton C. T., Valera J. D., Shoemaker R. L., Stegeman G. I., Chilwel J. T., Smith S. D. IEEE J. Quantum Electron. – 1985. – № 21. – Р. 774.

Список литературы [78] Seaton C. T., Valera J. D., Svenson B., Stegeman G. I. Opt.

Lett. – 1985. – № 10. – Р. 149.

[79] Serov V. S., Shestopalov Yu. V., Schrman H. W. Propagation u of TE waves through a layer having permittivity depending on the transverse coordinate and lying between two half-innite nonlinear media // Dokl. Maths. – 1999. – Vol. 60. – Р. 742– 744.

[80] Serov V. S., Shestopalov Yu. V., Schrmann H. W. Existence u of eigenwaves and solitary waves in lossy linear and lossless nonlinear layered waveguides // Dokl. Maths. – 1996. – Vol. 53. – Р. 98–100.

[81] Smirnov Yu. G., Schrmann H. W., Shestopalov Yu. V.

u Integral equation approach for the propagation of TE-waves in a nonlinear dielectric cylindrical waveguide // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. – 2004. – Vol. 11. – № 2. – P. 256–268.

[82] Smirnov Yu. G., Valovik D. V. Boundary eigenvalue problem for Maxwell equations in a nonlinear dielectric layer // Applied Mathematics. – 2010. – № 1. – P. 29–36.

[83] Snyder A., Love J. Optical Waveguide Theory. – London:

Chapman and Hall, 1983.

[84] Solymar L., Shamonina E. Waves in Metamaterials. – Oxford:

Oxford University Press, 2009.

[85] Tomlinson W. J. Opt. Lett. – 1980. – № 5. – Р. 323.

[86] Zeidler E. Aplied Functional Analysis. – New York, Berlin, Heidelberg: Springer, 1997.

Научное издание ВАЛОВИК Дмитрий Викторович СМИРНОВ Юрий Геннадьевич РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В НЕЛИНЕЙНЫХ СЛОИСТЫХ СРЕДАХ Редактор А. Г. Темникова Корректор Ю. В. Коломиец Компьютерная верстка Д. В. Валовика Подписано в печать 20.08.2010. Формат 6090 1 /16.

Усл. печ. л. 16, Заказ № 500. Тираж Издательство Пензенского государственного университета Пенза, ул. Красная, 40, т.: 8(8412)56-47-

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.