авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||

«ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ «ОБРАЗОВАНИЕ» РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ Е.М. ВАРФОЛОМЕЕВ, Л.Е. РОССОВСКИЙ ...»

-- [ Страница 4 ] --

() = 0 при || () = 1 при ||, C0, где C0 — константа из (6.18). Тогда, учитывая поведение коэффициен тов ak (x, ) = (k!)1 a(k) (x,, 0) при малых (условия (6.18)), оператор Ak (x, D) можно разложить в произведение Ak (x, D) = Ak,1 (x, D)Ak,2 (D), ak,1 (x, ) = ak (x, )|q k |, ak,2 (x, ) = ()|q k |.

Очевидно, ak,1 S m, ak,2 S. Представим k-й член ряда (6.33) в виде Ak (x, D)Rk = Ak,1 (x, D)Rk Ak,2 (q k D). Понятно, что отображение a(x, ) || a(x, ) из S m в S m непрерывно на подпространстве сим волов, обращающихся в ноль при || C0. Поэтому (m) (m) (m,r) const p1 1 r (a) (q r )k const · q k p (ak,1 ) p1 1 (ak ) 1,1 1, для всех r r и k = 0, 1,.... Принимая во внимание (6.30), будем иметь (m,r) const pr (a) (q r )k.

Ak,1 m L(L2 (Rn );

W2 (Rn )), Очевидно также, что последовательность ak,2 (q k ) = (q k )|| огра ничена в S. Поэтому Ak,2 (q k D) const (k = 0, 1,...).

L(W2 (Rn );

L2 (Rn )) Таким образом, Ak Rk Rk B(L2 (Rn )) Ak, m m L(W2 (Rn );

W2 (Rn )) L(L2 (Rn );

W2 (Rn )) q n/ (m,r) const pr (a) k Ak,2 (q D).

L(W2 (Rn );

L2 (Rn )) r, Если r q n/2, то можно взять r q n/2. Тогда ряд Ak (x, D)Rk k= сходится по операторной норме и справедлива оценка (m,r) pr (a) (q n/2 r r).

A L(W (Rn );

W m (Rn )) const 2, Теорема доказана.

Заметим, что мы установили также непрерывность отображения m H(r, S m ) a A L W2 (Rn );

W2 (Rn ).

Если a(x,, ) — символ класса (m, r), то оператор A(x, D, R) из теоремы 6.8 будем называть псевдодифференциальным оператором со сжатием аргументов (класса (m, r)).

Для символов a S m1, a(x, ) = 0 при || C0, b S m2, b(x, ) = при || C0, символ произведения операторов A(x, D)B(x, D) этому условию, вообще говоря, не удовлетворяет. Поэтому мы будем рассмат ривать операторы (6.33) и для произвольных функций a H(r, S m ).

Теорема 6.9. Если a H(r, S m ) и r q n/2, то ряд (6.33) задает ограниченный оператор m A(x, D, R) : W2 (Rn ) W2 (Rn ) для всех 0.

Доказательство.

1. В случае = 0, аналогично теореме 6.8, Ak Rk Rk Ak B(L2 (Rn )) m m L(L2 (Rn );

W2 (Rn )) L(L2 (Rn );

W2 (Rn )) q n/ (m,r) const pr (a), r, откуда следует, что (m,r) A L(L2 (Rn );

W m (Rn )) const pr (a), для r из интервала q n/2 r r.

2. В случае натурального, в силу теоремы о замкнутом графике, достаточно показать, что Au W m (Rn ), если u W (Rn ). Пусть — мультииндекс, ||. По формуле Лейбница D Ak (x, D)u = Ak, (x, D)D u, где Ak, (x, D) = Op Dx a(x, ). Тогда Ak, (x, D)D (Rk u) = D A(x, D, R)u = k= Ak, (x, D)(q || R)k D u = A (x, D, q || R)D u.

= k=0 Заметим, что если a H(r, S m ), то функция D 1 Dx2 a(x,, t1 ) при надлежит пространству H(tr, S m|1 | ) для любых мультииндексов 1, и любого t 0.

m Ограниченность операторов A (x, D, q || R) : L2 (Rn ) W2 (Rn ) уже доказана. А так как D u L2 (Rn ) при, мы получили, что m m D Au W2 (Rn ). Таким образом, Au W2 (Rn ).

3. Интерполяция между нулем и натуральным завершает доказа тельство теоремы.

Следующая задача — вывести формулу композиции псевдодифферен циальных операторов со сжатием аргументов. Ограничимся случаем, ко гда один из сомножителей — полином относительно R.

Лемма 6.5. Пусть a(x,, ) — полином относительно с коэффи циентами из S m1, удовлетворяющий условию (6.18);

b(x,, ) — сим вол класса (m2, r);

c(x,, ) — символ класса (m1 +m2, r), отвечающий произведению c(x,, ) = a(x,, )b(x,, ).

Если r q n/2, то A(x, D, R)B(x, D, R) C(x, D, R) L W2 (Rn );

W (m1 +m2 )+1 (Rn ) для всех 0.

Доказательство. Перемножая ряды и пользуясь формулой компози ции ПДО, будем иметь (Aj = 0 при j l):

l k Bk (x, D)Rk A(x, D, R)B(x, D, R) = Ak (x, D)R = k=0 k= k j j k k Ek (x, D)Rk, Aj (x, D)Bkj (q x, q D) R = Ck (x, D)R + j= k=0 k=0 k= где Ck (x, D) Op (S m1 +m2 ) — оператор с символом (см. (6.22)) k ck (x, ) = c(k) (x,, 0) = aj (x, )bkj (q j x, q j ), k! j= k Aj (x, D)Bkj (q j x, q j D) Ck (x, D) Op S m1 +m2 1.

Ek (x, D) = j= В силу (6.31) l (m +m 1) (m ) (m ) p1 1 (aj )p2 2 (j bkj ) c (r )r k p 1 2 (ek ) 1 const (r r).

j=0 1, 2, ek (x, )k принадлежит простран Следовательно, функция e(x,, ) = k= m1 +m2 ству H(r, S )и A(x, D, R)B(x, D, R) = C(x, D, R) + E(x, D, R).

Но при r q n/2 по теореме 6.9 оператор (m1 +m2 )+ E(x, D, R) : W2 (Rn ) W2 (Rn ) ограничен для всех 0. Лемма доказана.

Лемма 6.6. Пусть a(x,, ) — полином относительно с коэффи циентами из S m1, удовлетворяющий условию (6.18), причем ak (x, ) = ak,1 (x)ak,2 () (k = 0,..., l);

b(x,, ) — символ класса (m2, r);

c(x,, ) — символ класса (m1 + m2, q m1 r), отвечающий произведению c(x,, ) = b(x,, )a(x,, ).

Если r q n/2, то B(x, D, R)A(x, D, R) C(x, D, R) L W2 (Rn );

W (m1 +m2 )+1 (Rn ) для всех m1.

Доказательство. Действуя аналогично лемме 6.5, получим (Aj = при j l):

l k Ak (x, D)Rk B(x, D, R)A(x, D, R) = Bk (x, D)R = k=0 k= k Bkj (x, D)Aj,1 (q jk x)Aj,2 (q kj D) Rk = = j= k= k k Fkj (x, D)Aj,2 (q kj D)Rk, = Ck (x, D)R + k=0 j= k= где Fkj (x, D) = Bkj (x, D)Aj,1 (q jk x)Op bkj (x, )aj,1 (q jk x) Op S m2 и Fkj = 0 при j l. В силу (6.31) (m 1) (m ) (0) p1 1 (bkj )p2 2 (kj aj,1 ) c (r )r k p 2 (fkj ) const 1, 2, (r r;

j = 0,..., l;

k j), поскольку семейство символов aj,1 (q jk x) (j = 0,..., l;

k j) ограниче но в S 0.

Меняя местами порядок суммирования, получим B(x, D, R)A(x, D, R) C(x, D, R) = l l k j Fj (x, D, R)Aj,2 (q j D), = Fkj (x, D)R Aj,2 (q D) = j=0 j= k=j fkj (x, )k, fj H(r, S m2 1 ).

fj (x,, ) = k=j Остается заметить, что по теореме 6.9 все операторы (m1 +m2 )+ m Fj (x, D, R) : W2 1 (Rn ) W2 (Rn ) ограничены для всех m1. Лемма доказана.

Перейдем теперь к операторам, действующим на функции в ограни ченной области. Рассмотрим ограниченную область Q Rn, Q C, удовлетворяющую условию (6.3). Пусть K qQ — фиксированный ком.

пакт, а C (Q) — срезающая функция такая, что (x) = 1 при x q 1 K.

Если функция a H(r, S m ) является полиномом по, то Ak (x, D) = (k!)1 Op a(k) (x,, 0) — дифференциальные операторы и формула (6.33) при r q n/2 задает также ограниченный оператор m A(x, D, R) : W2 (Q) W2 (Q) ( 0) для всякой области Q, удовлетворяющей (6.3). Если при этом коэффи циенты операторов Ak (x, D) финитны в K, то r+ Ak (x, D)Rk (u). (6.34) A(x, D, R)u = A0 (x, D)u + k= В (6.34) операторы Ak (x, D), начиная с k = 1, действуют на функции в Rn ;

r+ — оператор сужения на Q. Воспользуемся этим соображением, чтобы определить операторы в ограниченной области для более общих символов.

Итак, пусть a(x,, ) — символ класса (m, r), для которого a(x,, 0) — полином относительно ;

(6.35) supp a(k) (x,, 0) K {|| C0 } (6.36) (k = 1, 2,...).

Тогда правой частью равенства (6.34) корректно определен оператор из m W2 (Q) в W2 (Q), который мы будем обозначать r+ A(x, D, R), в отли чие от оператора A(x, D, R), действующего в Rn. Здесь n/2 logq r.

Для символов a(x,, ) класса (m1, r), b(x,, ) класса (m2, r), удо влетворяющих условиям (6.35), (6.36), рассмотрим композицию r+ A(x, D, R)r+ B(x, D, R) = (A0 + r+ (A A0 ))(B0 + r+ (B B0 )).

В силу очевидных соотношений A0 r+ (B B0 ) = r+ [A0 (B B0 )], r+ (A A0 )r+ (B B0 ) = r+ [(A A0 )(B B0 )], будем иметь r+ Ar+ B = A0 B0 +r+ (AA0 )(B0 )+r+ [A0 (B B0 ) + (A A0 )(B B0 )].

Очевидно, (x)B0 (x, D) = B0 (x, D)(x) + B0 (x, D), где B0 (x, D) есть дифференциальный оператор порядка m2 1 с финитными в Q коэффи циентами. Далее, Ak (x, D)(q k x)Rk = (A(x, D, R) A0 (x, D)) (x) = k= k Ak (x, D)Rk = A A0 + A, = Ak (x, D)R + k=1 k= k x) Ak (x, D) Op S m1 1, причем где Ak (x, D) = Ak (x, D)(q (m 1) (m ) (0) p1 1 (ak )p2 2 ((q k x)) c (r )r k p 1 (ak ) const (r r), 1, 2, поскольку семейство символов (q k x) (k = 1, 2,...) ограничено в S 0.

ak (x, )k лежит в H(r, S m1 1 ).

Таким образом, функция a(x,, ) = k= В результате получим r+ Ar+ B = A0 B0 + r+ [(A A0 )B0 + A0 (B B0 ) + (A A0 )(B B0 )] + +r+ (A A0 )B0 + r+ A(B B0 ), или r+ A(x, D, R)r+ B(x, D, R) = A0 (x, D)B0 (x, D)+ +r+ [A(x, D, R)B(x, D, R) A0 (x, D)B0 (x, D)] (x)+ +r+ [A(x, D, R) A0 (x, D)] B0 (x, D)+ r+ A(x, D, R) [B(x, D, R) B0 (x, D)] (x).

Из полученного соотношения и теорем 6.8, 6.9 вытекает следующее утверждение.

Лемма 6.7. Пусть символы a(x,, ), b(x,, ) принадлежат клас сам (m1, r), (m2, r) соответственно и удовлетворяют условиям (6.35), (6.36). Если r q n/2, то для всех [m2, +) (n/2 logq r, +) оператор r+ A(x, D, R)r+ B(x, D, R) A0 (x, D)B0 (x, D) r+ [A(x, D, R)B(x, D, R) A0 (x, D)B0 (x, D)] (x) (m1 +m2 )+ ограничен из W2 (Q) в W2 (Q).

Действительно, следующие операторы:

B0 (x, D) : W2 (Q) W2 2 +1 (Rn ) ( R), m (m1 +m2 )+ r+ [A(x, D, R) A0 (x, D)] : W2 2 +1 (Rn ) W m (Q) ( m2 + 1 n/2 logq r), m [B(x, D, R) B0 (x, D)] : W2 (Q) W2 2 (Rn ) ( n/2 logq r), (m1 +m2 )+ m r+ A(x, D, R) : W2 2 (Rn ) W2 (Q) ( m2 ) ограничены.

6.6. Фредгольмова разрешимость краевой задачи В ограниченной области Q Rn, Q C, удовлетворяющей усло вию (6.3), рассмотрим уравнение l aj (x)D (u(q j x)) = f (x) (x Q) Au (6.37) j=0 || 2m с бесконечно гладкими в Q комплекснозначными коэффициентами. Не умаляя общности, можно считать, что aj C (Rn ) и supp aj K для некоторого компакта K qQ.

Уравнению (6.37) соответствует ограниченный оператор в соболев ских пространствах s+2m s (Q) W2 (Q).

A : W Будем рассматривать уравнение (6.37) в предположении, что диф a0 (x)D (локальная часть оператора A) ференциальный оператор || 2m правильно эллиптичен. Таким образом, a0 (x) = 0 (x Q;

0 = Rn ).

||=2m Пусть () — срезающая функция:

q 1, () = 0 при || () = 1 при || 1.

Введем обозначения aj (x) aj (x, ) = (j = 0,..., l);

||=2m aj (x, ) aj (x, ) = aj (x, )(), aj (x, ) = (j = 1,..., l);

a0 (q j x, q j ) l aj (x, )j, a(x,, ) = j= l l j aj (x, )j.

a (x,, ) = a0 (x, ) + aj (x, ), a (x,, ) = 1 + j=1 j= Символы a (x,, ), a (x,, ) связаны соотношением (6.38) a (x,, ) = a (x,, )a0 (x, ).

Соответствующие символам операторы будем, как обычно, обозначать прописными буквами:

Aj (x, D), Aj (x, D), Aj (x, D), A(x, D, R), A (x, D, R), A (x, D, R).

Поскольку 1 S, оператор l + + + Aj (x, D)(1 (D))Rj r A(x, D, R) r A (x, D, R) = r j= сглаживающий. По теореме Реллиха—Гординга, A r+ A (x, D, R) K W s+2m s (s R) (6.39) (Q);

W2 (Q) (в разность вошли также и младшие члены уравнения (6.37)). Из (6.38), формулы композиции ПДО и теоремы Реллиха—Гординга следует, что r+ A (x, D, R) r+ A (x, D, R)A0 (x, D) K W s+2m s (Q);

W2 (Q), а значит, и A r+ A (x, D, R)A0 (x, D) K W s+2m s (s R). (6.40) (Q);

W2 (Q) Рассмотрим также систему граничных условий Tj (x, D)u(x) = gj (x) (j = 1,..., m;

x Q), (6.41) где Tj (x, D) — дифференциальные операторы порядка mj с гладкими коэффициентами. Будем считать, что операторы Tj (x, D) (j = 1,..., m) удовлетворяют на Q условию Лопатинского относительно правильно эллиптического оператора A0 (x, D), так что локальная часть уравнения (6.37) с краевыми условиями (6.41) образуют эллиптическую краевую задачу. Тогда для любого s 0 ограниченный оператор L0 = [A0, T ] = [A0, T1,..., Tm ] :

m s+2mmj 1/ s+2m s s W2 (Q;

Q) W2 (Q) = W2 (Q) W2 (Q) j= фредгольмов (см., например, [10]). Через s s+2m P0 : W2 (Q;

Q) W2 (Q) обозначим его регуляризатор.

Напомним, что оператор T L(X, Y ) (X и Y — банаховы пространства) назы вается фредгольмовым, если его ядро N (T ) конечномерно, а образ R(T ) замкнут и имеет конечную коразмерность. Фредгольмовость оператора T равносильна суще ствованию таких операторов P1, P2 L(X, Y ), называемых левым и правым регуля ризаторами, что P1 T I K(X, X) и T P2 I K(Y, Y ). Если оператор T L(X, Y ) имеет левый и правый регуляризаторы, то любой правый регуляризатор одновремен но является левым, и наоборот.

Теорема 6.10. Если a(0,, ) не обращается в ноль на множестве q n/22m, 0 = Rn, то для любого показателя s || 0 оператор s+2m s L = [A, T ] : W2 (Q) W2 (Q;

Q) фредгольмов.

Доказательство. Очевидно, функции aj (j = 1,..., l) принадлежат S 0, положительно однородны по при || q 1.

1 и supp aj K || Кроме того, используя условие теоремы, при || = 1 будем иметь l aj (0, ) 2m j a(0,, q 2m ) a (0,, ) = 1 + (q ) = = 0, a0 (0, ) a0 (0, ) j= q n/2. По теореме 6.7 существует символ b(x,, ) класса (0, r) если || для некоторого r q n/2 такой, что supp b(k) (x,, 0) K || q b(x,, 0) = 1, (k = 1, 2,...) и a (x,, )b(x,, ) = b(x,, )a (x,, ) = I, откуда в силу равенства (6.38) следует также, что b(x,, )a (x,, ) = a0 (x, ).

В таком случае по лемме 6. A (x, D, R)B(x, D, R) I L W2 (Rn );

W2 (Rn ), s s+ а по лемме 6. s+2m (Rn );

W2 (Rn ) s+ B(x, D, R)A (x, D, R) A0 (x, D) L W для всех s 0. После применения леммы 6.7 и теоремы Реллиха Гординга будем иметь r+ A (x, D, R)r+ B(x, D, R) I K (W2 (Q);

W2 (Q)), s s r+ B(x, D, R)r+ A (x, D, R) A0 (x, D) K W s+2m s (Q);

W2 (Q).

s+2m Введем оператор L = [r+ A, T ] : W2 s (Q) W2 (Q;

Q) и матрич ные операторы + rA A = : W2 (Q;

Q) W2 (Q;

Q), s s E + rB B= : W2 (Q;

Q) W2 (Q;

Q).

s s 0E s Точнее, если [f, g] = [f, g1,..., gm ] W2 (Q;

Q), то A [f, g]T = [r+ A (x, D, R)f, g]T, B[f, g]T = [r+ B(x, D, R)f, g]T.

Покажем, что оператор P = P0 B является одновременно правым и левым регуляризатором оператора L.

Из (6.39), (6.40) следует, что s+2m s L A L0 K W2 (Q);

W2 (Q;

Q), (6.42) s+2m s L L K W2 (Q);

W2 (Q;

Q). (6.43) Поскольку P0 есть регуляризатор для L0, имеем s s L0 P0 I K (W2 (Q;

Q);

W2 (Q;

Q)), (6.44) s+2m s+2m P0 L0 I K W2 (6.45) (Q);

W2 (Q).

Кроме того, s s A B I K (W2 (Q;

Q);

W2 (Q;

Q)), (6.46) s+2m s+2m BL L0 K W2 (6.47) (Q);

W2 (Q).

Из (6.44), (6.46) следует, что s s A L0 (P0 B) I K (W2 (Q;

Q);

W2 (Q;

Q)). (6.48) s s Из (6.42), (6.48) следует, что L(P0 B) I K (W2 (Q;

Q);

W2 (Q;

Q)), s+2m s т.е. оператор P0 B : W2 (Q;

Q) W2 (Q) является для L правым регуляризатором. Далее, (6.45), (6.47) означают, что s+2m s+2m P0 BL I K W2 (6.49) (Q);

W2 (Q).

s+2m s+2m Наконец, (6.43) и (6.49) дают P0 BLI K W2 (Q), т.е.

(Q);

W P0 B является также и левым регуляризатором для L. Теорема доказана.

Тема ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СО СЖАТИЯМИ АРГУМЕНТОВ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 7.1. Весовые пространства и преобразование Фурье В этом пункте приводятся известные результаты из теории весовых пространств (см. [14], [18]), необходимые для дальнейшего изложения.

В соответствии с определением В.А. Кондратьева [14], весовое про странство H (Rn ) при целом неотрицательном s вводится как пополне s.

ние множества C (Rn \ {0}) финитных бесконечно дифференцируемых функций по норме 1/ = |x|2(s+||) |D u(x)|2 dx u.

H (Rn ) s || sRn Рассмотрим простейший пример. При = 0, s = 1, n 3 имеем для.

u C (Rn \ {0}) |x|2 |u(x)|2 + |u(x)|2 dx.

u = H0 (Rn ) Rn Применяя неравенство Харди (в результате которого интеграл от первого слагаемого оценивается через интеграл от второго), получим 1/2 1/ |u(x)|2 dx ||2 |F u()|2 d u = = Fu H1 (Rn ).

1 H0 (Rn ) Rn Rn Отмечая плотность в H1 (Rn ) образов Фурье функций из C (Rn \ {0}) (любая функция из H1 (Rn ) аппроксимируется в H1 (Rn ) функцией из 0 L2 (Rn ) H1 (Rn ), последнее пространство есть образ соболевского про странства W2 (Rn ) под действием изоморфизма F ;

остается заметить, что.

C (Rn \ {0}) всюду плотно в W2 (Rn )), получаем, что преобразование Фурье F продолжается до изоморфизма между H0 (Rn ) и H1 (Rn ).

1 В общем случае, для описания преобразования Фурье в весовых про странствах необходимо определить пространства H (Rn ) для произволь s.

ных s, R. Сделаем это, следуя [18]. Для функции u C (Rn \ {0}) рассмотрим преобразование Меллина ri1 u(r, )dr ( C, S n1 ).

u(, ) = Свойства преобразования Меллина вытекают из соответствующих хо рошо известных свойств преобразования Фурье благодаря соотношению u( + i, ) = Ft [et u(et, )]().

Так, справедливы формула обращения ri u(, )d u(r, ) = Im= и равенство Парсеваля |u(, )|2 d = r21 |u(r, )|2 dr, Im = H (Rn ) s в силу которого можно перейти в к эквивалентной норме 1/ s ||2j u( + in/2, ·) H sj (S n1 ) d.

Im=s j= Кроме того, в H s (S n1 ) удобно пользоваться специальной нормой, за висящей от параметра, определяя ее при помощи ряда Фурье функции по ортонормированному базису в L2 (S n1 ), состоящему из сферических функций Ymk (m = 0, 1,... ;

k = 1,..., km = (2m + n 2)(m + n + 3)![(n 2)!m!]1 = O(mn2 ), m ;

Ymk — сферические функции порядка m):

если v() = vmk Ymk (), m,k где vmk = v()Ymk ()d, S n то 1/ = (1 + m2 + ||2 )s |vmk | v, H s (;

S n1 ) m,k что при целом неотрицательном s эквивалентно (т.е. подчиняется дву сторонней оценке с независящими от v и константами) выражению 1/ + ||2s u u.

H s (S n1 ) L2 (S n1 ) Итак, исходная норма в H (Rn ) эквивалентна норме s 1/ u( + in/2, ·) = H s (;

S n1 ) d (7.1) u.

H (Rn ) s Im=s Правая часть сохраняет смысл для любого вещественного s, что делает естественным определение пространства H (Rn ) в случае произвольного s.

s R как пополнения множества C (Rn \ {0}) по норме (7.1).

При изучении преобразования Фурье в H (Rn ) можно вначале рас s.

сматривать его на множестве C (Rn \ {0}) при s n/2, и на мно.

жестве Mp = {u C (Rn \ {0}) : x u(x)dx = 0, || = 0, 1,..., p} при Rn n/2 + p s n/2 + p + 1 (p = 0, 1,...).

Для обоих случаев доказаны (см. [18, глава 2]) плотность области определения F в H (Rn ), а также оценка F u s H (Rn ).

cu s Hs (Rn ) Замечание 7.1. Естественность накладываемых на u условий x u(x)dx = 0 (|| = 0,..., p), Rn равносильных условиям (F u)() (0) = 0 (|| = 0,..., p), проиллюстриру ем на примере n = 3, = 2, s = 0, p = 0. Для конечности интеграла ||4 |F u|2 d, обеспечивающего конечность нормы R 1/ = ||2(2+||) |D F u|2 d Fu, H0 (R3 ) ||=0 R необходимо и достаточно, чтобы F u(0) = 0.

Таким образом, при s = n/2 + p (p = 0, 1,...) преобразование Фурье F однозначно продолжается до непрерывного оператора Fs : H (Rn ) Hs (Rn ).

s При дополнительном условии s = n/2 p (p = 0, 1,...) этот опе ратор является изоморфизмом, а обратный оператор Fs совпадает с.

обратным преобразованием Фурье на функциях из C (Rn \ {0}) (если s n/2, и на функциях из Mq, если n/2+q s n/2+q +1, q = 0, 1,...).

Стоит отметить, что операторы Fs и F s, когда числа s и s принадлежат различным интервалам (;

n/2), (n/2 + p;

n/2 + p + 1), p = 0, 1,...,.

различаются, вообще говоря, на функциях из C (Rn \ {0}).

7.2. Оценка для оператора умножения на однородную функцию Пусть () — гладкая в Rn \ {0} функция, положительно однородная вещественной степени a: (t) = ta () (t 0, Rn \ {0}). Цель этого пункта — доказательство оценки ·u u c C N (S n1 ) Hsa (Rn ) Hs (Rn ) для оператора умножения на () в Hs (Rn ). Вначале оценим норму оператора H (;

S n1 ) u u H (;

S n1 ) умножения на функцию () в H (;

S n1 ) ( C (S n1 )). Для этого воспользуемся соотношением ()u()v()d S n (7.2) u = sup.

H (;

S n1 ) v H (;

S n1 ) vH (;

S n1 ) Без ограничения общности можно считать u, v C (S n1 ). Сначала предположим, что 0. Имеем (1 + m2 + ||2 ) |umk |2, u = H (;

S n1 ) m,k где umk — коэффициенты Фурье разложения функции u в L2 (S n1 ) по ортонормированному базису из сферических функций Ymk (для гладкой функции u последовательность umk быстро убывает). Запишем очевид ные неравенства ( 0):

c1 ((1 + m2 ) + ||2 ) (1 + m2 + ||2 ) c2 ((1 + m2 ) + ||2 ) (c1 = min(1, 21 ), c2 = max(1, 21 )).

Умножая эти неравенства на |umk |2 и суммируя по m и k, получаем + ||2 u 2 c1 u u L2 (S n1 ) H (S n1 ) H (;

S n1 ) + ||2 u c2 u.

L2 (S n1 ) H (S n1 ) Оценим норму оператора H (S n1 ) u u H (S n1 ) (сейчас уже норма в пространстве не зависит от ).

Возьмем какой-нибудь гладкий атлас сферы (например, основанный на стереографической проекции) {(Ui, i )}i=1,2, где {U1, U2 } — открытое n покрытие S n1, а i : Ui Rx (i = 1, 2) — координатные отображения (стереографические проекции). Пусть {i }i=1,2 — подчиненное указанно.

му покрытию разбиение единицы. Тогда i u C (Ui ) — гладкая финит ная функция в окрестности Ui, где действует координатная система i, а (i u) 1 C0 (Rn1 ). Соотношение i 1/ (i u) 1 u = H (S n1 ) i H (Rn1 ) i=1, задает в H (S n1 ) норму, эквивалентную введенной при помощи коэф фициентов Фурье.

Возьмем также гладкие финитные в Ui функции hi, равные 1 на suppi, так что i u = hi i u = (hi ) · (i u), причем функции hi, i u.

принадлежат C (Ui ). Тогда (i u) 1 = (hi )(1 (x )) · (i u)(1 (x )).

i i i Временно обозначим fi (x ) = (i u)(1 (x )), i (x ) = (hi )(1 (x )) (i = 1, 2) i i.

— функции из C (Rn1 ). Оценим норму (x )f (x )g(x )dx Rn f = sup.

H (Rn1 ). n1 g H (Rn1 ) gC (R ) Применяя последовательно равенство Парсеваля для преобразования Фу рье (используем обозначение u( ) = Fx u), формулу для преобразова ния Фурье произведения (опускаем для краткости записи несуществен ный для оценки множитель (2)n/2 ) и теорему Фубини, получим (f )(x )g(x )dx = (f )( )g( )d = f ( )( )d = f ( )g( )d = g( )d ( )d (интегрирование везде выполняется по всему пространству Rn1 ), так что |( )|d |f ( )g( )|d = (x )f (x )g(x )dx (1 + | |) |f ( )|(1 + | |) |g( )|d.

|( )|d = Применяя известное алгебраическое неравенство 1 + | | (1 + | |)(1 + | |), а затем неравенство Шварца, видим, что последний интеграл не превос ходит (1 + | |) |( )|d (1 + | |) |f ( )|(1 + | |) |g( )|d 1/ 2 (1 + | |) |( )| (1 + | |) |f ( )| d 1/ 2 2 (1 + | |) |( )|d (1 + | |) |g( )| d d 1/ 2 2 2 (1 + | | ) |f ( )| d (1 + | | ) |g( )| d = = 2 (1 + | |) |( )|d · f g H (Rn1 ).

H (Rn1 ) Первый интеграл можно оценить, например, следующим образом, взяв произвольное число 0 :

2 (1+| |) |( )|d = 2 (1+| |)(n+)/2 (1+| |)+(n+)/2 |( )|d 1/2 1/ (n+) 2+n+ (1 + | |) (1 + | |) |( )| d 2 d c3 (c3 = c3 (, )).

H +(n+)/2 (Rn1 ) Итак, f H (Rn1 ), откуда c3 f H (Rn1 ) H +(n+)/2 (Rn1 ) (i u) 1 2 u = = i fi i H (Rn1 ) H (Rn1 ) H (Rn1 ) i=1,2 i=1, c2 2 i fi 3 H (Rn1 ) H +(n+)/2 (Rn1 ) i=1, c2 max i (i u) 1 = 3 i H (Rn1 ) H +(n+)/2 (Rn1 ) i=1, i=1, = c2 max i 2 u H (S n1 ).

3 H +(n+)/2 (Rn1 ) i=1, Далее удобно взять наименьшее 0 так, чтобы число N = +(n+)/ было натуральным, N = [ + n/2] + 1. Тогда в силу финитности hi supp(hi 1 ) {|x | R} можно записать i = (hi )1 D hi (1 (x )) i = dx = i i H N (Rn1 ) H N (Rn1 ) || N Rn 2 D hi (1 (x )) D (1 (x )) = dx c4 dx = i i || N |x |R || N |x |R = c4 1 2 c i H N (|x |R) C N (S n1 ) (c5 зависит от i, hi ).

Итак, норма оператора умножения на в H (S n1 ) не превосходит C N (S n1 ), причем в качестве N можно взять [ + n/2] + 1. Наконец, c 2 + ||2 u u c2 u L2 (S n1 ) H (;

S n1 ) H (S n1 ) c2 c2 2 + ||2 2 u u 6 C(S n1 ) L2 (S n1 ) C N (S n1 ) H (S n1 ) 2 + ||2 u c7 u L2 (S n1 ) C N (S n1 ) H (S n1 ) 2 c8 u H (;

S n1 ), C N (S n1 ) где константа c8 не зависит от u, и.

Замечание 7.2. Конечно, в случае, когда — целое неотрицательное число, норма оператора умножения на в H (S n1 ) очевидным образом оценивается через C (S n1 ).

Для перехода к отрицательным воспользуемся соотношением (7.2), в силу которого ()u()v()d c8 u v H (;

S n1 ), C N (S n1 ) H (;

S n1 ) S n и, значит, (v)()u()d S n c8 v H (;

S n1 ), C N (S n1 ) u H (;

S n1 ) т.е.

v c8 v H (;

S n1 ).

C N (S n1 ) H (;

S n1 ) Таким образом, мы показали, что для произвольного вещественного справедлива оценка u c9 u H (;

S n1 ), C N (S n1 ) H (;

S n1 ) где N = [|| + n/2] + 1, а константа c9 (= c8 ) не зависит от u, и (но может зависеть от ).

Рассмотрим теперь умножение на функцию () = a () ( = ||, S n1 ) в пространстве Hs (Rn ). Имеем 2 u( + in/2, ·) u = H (;

S n1 ) d, Hs (Rn ) Im=s 2 u( + in/2, ·) u = H (;

S n1 ) d.

Hsa (Rn ) Im=sa Но + i1 a ()u(, )d = u(, ) = + i(+ia)1 u(, )d = ()u( + ia, ), = () · так что 2 (·)u( + ia + in/2, ·) u = H (;

S n1 ) d = Hsa (Rn ) Im=sa (·)u( + in/2, ·) = H (ia;

S n1 ) d Im=s 2 u( + in/2, ·) c8 H (ia;

S n1 ) d C N (S n1 ) Im=s 2 u( + in/2, ·) c10 H (;

S n1 ) d, C N (S n1 ) Im=s поскольку для всех m = 0, 1,... и на прямой Im = s имеет место неравенство 1 + (s a) 2 · 1 + m2 + || 1 + m + | ia| max 1,.

1 + (s ) Таким образом, для всех u Hs (Rn ) имеем ·u u c HS (Rn ), C N (S n1 ) Hsa (Rn ) где константа c не зависит от u и, a N = [|| + n/2] + 1.

7.3. Операторы свертки в Hs (Rn ) Для функции из предыдущего пункта при s = n/2 + p, s + a = n/2 p (p = 0, 1,...) можно ввести ограниченный оператор свертки s (D), действующий из sa Hs (Rn ) в H (Rn ) по формуле s (D)u = Fs+a ()Fs u;

при этом из результатов пунктов 7.2 и 7.3 для нормы этого оператора вытекает оценка s (D) c(, s, a) C N (S n1 ), N = [|| + n/2] + 1.

Пусть даны функции 1 () и 2 (), положительно однородные степе ней a1 и a2. При выполнении ограничений s = n/2 + p, s + a1 = ±(n/2 + p), s + a1 + a2 = n/2 p (p = 0, 1,...) можно говорить об ограниченных операторах sa 1,s (D) = Fs+a1 1 ()Fs : H (Rn ) H 1 (Rn ), 1 s s(a1 +a2 ) sa 2,s+a1 (D) = Fs+a1 +a2 2 ()Fs+a1 : H 1 (Rn ) H (Rn ).

sa В этом случае оператор Fs+a1 : H 1 (Rn ) Hsa1 (Rn ) — изоморфизм, и композиция 2,s+a1 (D)1,s (D) есть ограниченный оператор s(a1 +a2 ) Fs+a1 +a2 2 ()1 ()Fs : H (Rn ) H 1 s (Rn ), отвечающий произведению функций (2 1 )().

В частности, если однородная функция () степени a не обращается в ноль на Rn \ {0} (или, что то же самое, на S n1 ), то при всех, s R таких, что s = ±(n/2 + p), s + a = ±(n/2 + p) (p = 0, 1,...) ограниченный оператор s (D) = Fs+a ()Fs : H (Rn ) H (Rn ) 1 s sa имеет ограниченный обратный 1 (D) = Fs 1 ()Fs+a : H (Rn ) H (Rn ), 1 sa s s sa т.е. является изоморфизмом H (Rn ) на H (Rn ).

s Замечание 7.3. Рассмотрим однородный дифференциальный опера a D порядка m = 0, 1,... с постоянными коэффи тор A(D) = ||=m циентами. Для всякого целого неотрицательного показателя s он зада s+m ет непрерывное отображение из пространства H (Rn ) в H (Rn ). При s фиксированных и s, удовлетворяющих условиям s m = n/2 + p, s = n/2 p (p = 0, 1,...), определен также ограниченный оператор свертки Asm (D) = Fs A()Fsm : H (Rn ) H (Rn ), 1 s+m s a — символ дифференциального оператора, однород где A() = ||=m ный полином степени m. Покажем, что (при дополнительном условии s+m s = n/2 + p, p = 0, 1,...) на всюду плотном в H (Rn ) подпро.

странстве (если s m n/2, то на подпространстве C (Rn \ {0}), если n/2 + p s m n/2 + p + 1, то на подпространстве Mp ) выполнено Asm (D)u = F 1 A()F u = A(D)u.

Тогда, в силу непрерывности операторов, Asm (D) и A(D) совпадают s+m на всем пространстве H (Rn ).

Действительно, пусть, например, n/2+p sm n/2+p+1 для некоторого p = 0, 1,..., и пусть u Mp. Функция v = Fsm u = F u (на Mp отображение Fsm совпадает с обычным преобразованием Фу рье, примененным к гладкой финитной функции) удовлетворяет услови ям v () (0) = 0 (||p). Но тогда функция w() = A()v() являет.

ся образом Фурье принадлежащей пространству C (Rn \ {0}) функции a D u, причем w() (0) = 0 для || p + m, так что w F (Mp+m ).

||=m Но при n/2+(p+m) s n/2+(p+m)+1 оператор Fs : H (Rn ) s Hs (Rn ) — изоморфизм, на Mp+m совпадающий с преобразованием Фу рье. Следовательно, на F (Mp+m ) обратный оператор Fs совпадает с обратным преобразованием Фурье F 1. Поэтому Fs w = F 1 w и, та ким образом, Fs A()Fsm u = F 1 A()F u = A(D)u.

.

Если же s m n/2, то для u C (Rn \ {0}) снова имеем v = Fsm u = F u, а функция w() = A()v() удовлетворяет условиям w() (0) = 0 (|| m 1). Так что при n/2 + p s n/2 + p + (p = 0, 1,..., m 1) обязательно получим w F (Mp ), а при s n/. будем иметь w F C (Rn \ {0}). И в этом случае Fs w = F 1 w.

7.4. Операторы s (D, R) Зафиксируем q 1 и на заданных в Rn функциях рассмотрим опера тор (Ru)(x) = u(x/q). Очевидно, (Ru)(, ) = q i u(, ), и 2 Ru( + in/2, ·) Ru = H s (;

S n1 ) d = H (Rn ) s Im=s q i(+in/2) = q 2(s+n/2) u u( + in/2, ·) = H s (;

S n1 ) d H (Rn ), s Im=s так что норма оператора R в H (Rn ) равна q s+n/2.

s Для всякой гладкой в Rn \ {0} положительно однородной степени a R функции () легко проверяется соотношение Rs (D) = q a s (D)R (7.3) ( s = n/2 + p, s + a = n/2 p (p = 0, 1,...)).

.

Надо лишь вспомнить, что (F Ru)() = q n (F u)(q) (u C (Rn \ {0})), откуда получается q a (F Ru)() = q n q a ()F u(q) = q n (F u)(q). При a = 0 операторы свертки коммутируют с оператором сжатия.


Рассмотрим функцию двух переменных (, z) ( S n1, z C) такую, что вектор-функция z (·, z) C (S n1 ) аналитична в круге |z| для некоторого 0. Если ее разложить в ряд по степеням k ()z k, то k C (S n1 ), причем для любого целого z, (, z) = k= неотрицательного d и любого числа h, 0 h, найдется постоянная c = c(d, h) 0 такая, что chk (7.4) k (k = 0, 1,...).

C d (S n1 ) Для произвольного a R функцию (, z) = a (, z) назовем сим волом класса (a, ).

Лемма 7.1. Пусть a,, s R таковы, что s = n/2 + p, s + a = n/2 p (p = 0, 1,...), и q s+n/2. Тогда всякому символу (, z) класса (a, ) формулами k,s (D)Rk, k,s (D) = Fs+a a k ()Fs (7.5) s (D, R) = k= ставится в соответствие ограниченный оператор s (D, R) : H (Rn ) H (Rn ).

s sa Доказательство. В условиях леммы определены ограниченные опе sa раторы свертки k,s (D) : H (Rn ) H (Rn ), причем s N = || + n/2 + 1.

k,s (D) c(, s, a) k C N (S n1 ), Поэтому из (7.4) следует, что для любого числа h, 0 h, будем иметь c(, s, a, h) · hk k,s (D) (k = 0, 1,...).

Принимая во внимание норму оператора R в H (Rn ) (очевидно, что s Rk = R k = q k(s+n/2) ), для члена ряда (7.5) получаем оценку k q s+n/ c(, s, a, h) · k,s (D) (k = 0, 1,...).

h Если q s+n/2, то можно взять q s+n/2 h, и тогда члены ряда по норме мажорируются убывающей геометрической прогрессией.

Ряд (7.5) сходится по операторной норме.

Лемма 7.2. Пусть s = ±(n/2 + p) (p = 0, 1,...), q s+n/2, символы (, z), (, z) и (, z) принадлежат классу (0, ), причем (, z) = (, z)(, z). Тогда s (D, R) = s (D, R)s (D, R) = s (D, R)s (D, R).

Доказательство. На самом деле, в условиях леммы в H (Rn ) дей s ствуют ограниченные операторы k k,s (D)Rk s (D, R) = k,s (D)R, s (D, R) = k=0 k= k k причем k () = s (D, R) = k,s (D)R, j ()kj ().

j= k= Но композиция s (D, R)s (D, R) задается рядом k j,s (D)Rj kj,s (D)Rkj = j= k= k k k,s (D)Rk = s (D, R).

j,s (D)kj,s (D) R = j= k=0 k= Мы воспользовались тем, что оператор Rj коммутирует с оператором kj,s (D), а оператор свертки j,s (D)kj,s (D) отвечает произве дению функций j ()kj ().

Из леммы 7.2 вытекает следующее утверждение.

Лемма 7.3. Пусть s = ±(n/2 + p) (p = 0, 1,...), q s+n/2, а символ (, z) класса (0, ) не обращается в ноль при S n1 и |z|. Тогда ограниченный оператор s (D, R) : H (Rn ) H (Rn ) s s есть изоморфизм.

Доказательство. Заметим лишь, что функция (, z) = 1/(, z) аналитична в том же круге |z|, т.е. является символом класса (0, ) таким, что (, z)(, z) = 1.

7.5. Разрешимость функционально-дифференциального уравнения Рассмотрим уравнение l ak D u(q k x) = f (x) (x Rn ) (7.6) k=0 ||=2m однородное порядка 2m с постоянными коэффициентами ak C. Если l Ak (D)Rk s — целое неотрицательное число, то левая часть A(D, R) = k= s+2m (Rn ) H (Rn ).

s уравнения задает ограниченный оператор A(D, R) : H Нас интересует вопрос обратимости этого оператора. Замечание пунк та 7.4 позволяет рассматривать в качестве обобщения уравнения (7.6) на случай произвольного s R уравнение с ограниченным оператором s+2m (Rn ) H (Rn ). (Конечно, накладываются огра s As2m (D, R) : H ничения s 2m = n/2 + p, s = ±(n/2 + p) (p = 0, 1,...)).

Прежде чем сформулировать основной результат, отметим следующее.

Замечание 7.4. Из того, что s = n/2 + p, очевидно следует, что s 2m = n/2 + p, а из того, что s 2m = n/2 p, вытекает, что s = n/2 p (p везде пробегает множество неотрицательных целых чисел). Поэтому условия s = ±(n/2 + p), s 2m = ±(n/2 + p) (p = 0, 1,...) равносильны условиям s = n/2 + p, s 2m = n/2 p (p = 0, 1,...).

Теорема 7.1. Пусть, s R таковы, что (1) s = n/2 + p, s 2m = n/2 p (p = 0, 1,...);

l ak z k = 0 ( Rn \ {0}, |z| q s+n/22m ).

(2) A(, z) k=0 ||=2m s+2m (Rn ) H (Rn ) s Тогда ограниченный оператор As2m (D, R) : H имеет ограниченный обратный. Другими словами, для любой функ ции f H (Rn ) уравнение (7.6) имеет единственное решение u s s+2m (Rn ).

H Доказательство. Из основного (второго) условия теоремы следует, в a0 D частности (полагаем z = 0), что “локальная” часть A0 (D) = ||=2m оператора эллиптична:

A0 () = 0 ( Rn \ {0}). (7.7) s+2m (Rn ) H (Rn ) s Поэтому ограниченный оператор A0,s2m (D) : H имеет ограниченный обратный (см. пункт 7.4). Условие (7.7) позволяет также ввести функции Aj () j () = q 2mj (j = 0, 1,..., l), A0 () являющиеся гладкими в Rn \{0} положительно однородными функциями нулевой степени. Положим l A(, q 2m z) j (, z) = j ()z =.

A0 () j= Функция (, z) есть символ класса (0, ) при любом 0. Основное условие теоремы гарантирует необращение в ноль функции (, z) на множестве Rn \{0}, |z| для некоторого q s+n/2. Но тогда по лемме 7.3 ограниченный оператор s (D, R) : H (Rn ) H (Rn ) имеет s s ограниченный обратный. Кроме того, используя (7.3), будем иметь l j,s (D)Rj s (D, R)A0,s2m (D) = A0,s2m (D) = j= l q 2mj j,s (D)A0,s2m (D)Rj = As2m (D, R), = j= так как q 2mj j,s (D)A0,s2m (D) = Aj () = q 2mj Fs q 2mj 1 Fs Fs A0 ()Fs2m = Aj,s2m (D).

A0 () Поскольку каждый из операторов s (D, R) : H (Rn ) H (Rn ), s s s+2m (Rn ) H (Rn ) является изоморфизмом, оператор s A0,s2m (D) : H s+2m (Rn ) H (Rn ) есть также изоморфизм, поэтому s As2m (D, R) : H A1 1 s2m (D, R) = A0,s2m (D)s (D, R).

Заметим, что, уменьшая и (или) увеличивая s, мы ослабляем усло вие, накладываемое на символ оператора: уменьшается круг, где выраже ние A(, z) не должно обращаться в ноль. За счет выбора и s этот круг может быть сделан сколь угодно малым. В то же время, не обращаясь в ноль при z = 0, выражение A(, z) будет отличным от нуля и в некотором a0 D оператора в круге, так что эллиптичность “локальной” части ||=2m уравнении (7.6) гарантирует однозначную разрешимость уравнения при всех “достаточно хороших” функциях f. Оформим это наблюдение.


a0 = 0 ( Rn \ {0}), то Следствие 7.1. Если A0 () ||=2m найдется R такое, что для всех, s R таких, что s = s 2m = n/2 p (p = 0, 1,...) и s, уравнение n/2 + p, (7.6) имеет для всякой функции f H (Rn ) единственное решение s s+2m (Rn ).

u H Упражнения 1. Решить краевую задачу (|x|2 = x2 + x2 1), [2u(x1, x2 ) u(x1 /2, x2 /2)] = x1 1 u(x) = 0 (|x| = 1).

Принадлежит ли решение пространству W2 (|x| 1)?

2. Найти обобщенное решение краевой задачи [5u(x1, x2 ) + u(3x1, 3x2 )] = 2(x2 + x2 ) 1 (|x|2 = x2 + x2 1), 1 2 1 u(x1, x2 ) = 0 (|x| 1).

Принадлежит ли это решение пространству W2 (|x| 1)?

3. Исследовать обобщенную разрешимость и гладкость обобщенных решений первой краевой задачи для уравнения cos((x1 x2 )/3) u(x) + (x2 + x2 )u(x/2) = f (x) 1 в квадрате |x1 | + |x2 | 1.

4. Доказать, что условие l ak k = 0 || q n/ a() k= является необходимым и достаточным для фредгольмовой разрешимости краевой задачи A(R)u + A1 u = f (x Q), u |Q = в пространстве L2 (Q), где A1 : W2 (Q) L2 (Q) — линейный ограничен ный оператор, оператор A(R) имеет вид l ak u(q k x) (ak C, q 1), A(R)u(x) = k= а ограниченная область Q Rn удовлетворяет условию Q qQ.

5. При каких значениях параметра a R краевая задача [u(x) + sin x2 u(x/2)]x1 x1 + [u(x) + sin x1 u(x/2)]x2 x2 + +a u(x) + cos(x2 + x2 )u(x/4) = f (x), 1 2 x1 x x = (x1, x2 ) Q = {x4 + x4 1}, u |Q = g(x) 1 3/ фредгольмова в пространствах W2 (Q) L2 (Q) W2 (Q)?

6. Исследовать существование и единственность решения из про странства H (R2 ) уравнения u + aux1 x1 (x/2) + bux2 x2 (x/4) = f (x), где a, b C, R, f H (R2 ).

7. Указать такие s R, что уравнение ux1 x1 + 2ux2 x2 + ux1 x2 (x/3) = f (x) s+ имеет единственное решение u H0 (R2 ) для любой функции f H0 (R2 ).

s Литература [1] Белан Е. П. О бифуркации периодических решений в параболиче ском функционально-дифференциальном уравнении // Ученые за писки ТНУ. Сер. мат. мех. информ. и киберн. — 2002. — Т. 2. — С. 11–23.

[2] Белан Е. П. О взаимодействии бегущих волн в параболическом функционально-дифференциальном уравнении // Дифф. уравн. — 2004. — Т. 40, № 5. — С. 645–654.

[3] Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обоб щениях линейных эллиптических краевых задач // ДАН СССР. — 1969. — Т. 185. — С. 739–740.

[4] Варфоломеев Е. М. О нормальности некоторых эллиптических функционально-дифференциальных операторов второго порядка // Успехи мат. наук. — 2006. — Т. 61, № 1. — С. 173-174.

[5] Варфоломеев Е. М. О бифуркации Андронова—Хопфа для квазили нейных параболических функционально-дифференциальных урав нений с преобразованиями пространственных переменных // Успе хи мат. наук. — 2007. — Т. 62, вып. 2. — С. 173-174.

[6] Варфоломеев Е. М. О некоторых свойствах эллиптических и пара болических функционально-дифференциальных операторов, возни кающих в нелинейной оптике // Современная математика. Фунда ментальные направления. — 2007. — Т. 21. — С. 5–36.

[7] Варфоломеев О некоторых свойствах параболиче Е. М.

ских и несамосопряженных эллиптических функционально дифференциальных операторов: Дис.... канд. физ.-мат. наук, спе циальность 01.01.02 “Дифференциальные уравнения”. — МГУ, 27.04.2007.

[8] Власов В. В. О разрешимости и свойствах решений функциональ но-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве // Мат. сборник. — 1995. — Т. 186, № 8. — С. 67–92.

[9] Власов В. В. О разрешимости и оценках решений функциональ но-дифференциальных уравнений в пространствах Соболева // Тр.

мат. ин-та им. В. А. Стеклова. — 1999. — Т. 227. — С. 109–121.

[10] Волевич Л. Р. Разрешимость краевых задач для общих эллиптиче ских систем // Матем. сб. — 1965. — Т. 68. — С. 373–416.

[11] Воронцов М. А., Думаревский Ю. Д., Пруидзе Д. В., Шмальгау зен В. И. Автоволновые процессы в системах с оптической обрат ной связью // Изв. АН СССР. Физика. — 1988. — Т. 52, № 2. — С. 374–376.

[12] Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972.

[13] Колесов А. Ю., Розов Н. Х. Оптическая буферность и механизмы ее возникновения // Теор. и матем. физ. — 2004. — Т. 140, № 1. — С. 14–28.

[14] Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Моск. мат.

о-ва. — 1967. — Т. 16. С. 209–292.

[15] Лионс Ж. Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М.: Мир, 1971.

[16] Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. — М.: Мир, 1980.

[17] Онанов Г. Г., Скубачевский А. Л. Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами в стационарных задачах механики деформируемого тела // Прикл. мех. — 1979. — Т. 15. — С. 39–47.

[18] Пламеневский Б. А. Алгебры псевдодифференциальных операто ров. — М.: Наука, 1986.

[19] Разгулин А. В. Об автоколебаниях в нелинейной параболической задаче с преобразованным аргументом // Журн. выч. мат. и мат.

физ. — 1993. — Т. 33, № 1. — С. 69–80.

[20] Разгулин О параболических функционально А. В.

дифференциальных уравнениях с управляемым преобразованием пространственных аргументов // Докл. РАН. — 2005. — Т. 403, № 4. — С. 448–451.

[21] Россовский Л. Е. Коэрцитивность функционально-дифференциаль ных уравнений // Мат. заметки. — 1996. — Т. 59. — С. 103–113.

[22] Россовский Л. Е. Краевые задачи для эллиптических функциональ но-дифференциальных уравнений с растяжением и сжатием аргу ментов // Тр. Моск. мат. о-ва. — 2001. — Т. 62. — С. 199–228.

[23] Россовский Л. Е. Разрешимость эллиптических функционально дифференциальных уравнений со сжатиями аргументов в весовых пространствах // Труды семинара им. И. Г. Петровского. — 2007. — Т. 26. — С. 37–55.

[24] Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.

[25] Селицкий А. М., Скубачевский А. Л. Вторая краевая задача для па раболического дифференциально-разностного уравнения // Успехи мат. наук. — 2007. — Т. 62, № 1. — С. 207–208.

[26] Скубачевский А. Л. О некоторых свойствах эллиптических и пара болических функционально-дифференциальных уравнений // Успе хи мат. наук. — 1996. — Т. 51, № 1 (307). — С. 169-170.

[27] Скубачевский А. Л. О нормальности некоторых эллиптических функционально-дифференциальных операторов // Функц. анализ и его прилож. — 1997. — Т. 31, № 4. — С. 60–65.

[28] Скубачевский А. Л. О бифуркации Хопфа для квазилинейного параболического функционально-дифференциального уравнения // Дифф. уравн. — 1998. — Т. 34, № 10. — С. 1394–1401.

[29] Скубачевский А. Л., Цветков Е. Л. Общие краевые задачи для эллиптических дифференциально-разностных уравнений // Тр. С. Петербург. мат. о-ва. — 1998. — Т. 5. — С. 223–288.

[30] Скубачевский А. Л., Шамин Р. В. Первая смешанная задача для параболического дифференциально-разностного уравнения // Мат.

заметки. — 1999. — Т. 66, № 1. — С. 145–153.

[31] Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980.

[32] Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. — М.: Мир, 1980.

[33] Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Том 3. Псевдодифференциальные опера торы. — М.: Мир, 1987.

[34] Чушкин В. А., Разгулин А. В. Стационарные структуры в функционально-дифференциальном уравнении диффузии с отраже нием пространственного аргумента // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15.

Вычисл. матем. и киберн. — 2003. — Т. 2. — С. 13–20.

[35] Шамин Р. В. О пространствах начальных данных для дифферен циальных уравнений в гильбертовом пространстве // Мат. сб. — 2003. — Т. 194. — С. 141–156.

[36] Agmon S. On the eigenvalues and on the eigenfunctions of general elliptic boundary value problems // Comm. Pure Appl. Math. — 1962. — V. 15. — P. 119–147.

[37] Cooke K., Wiener J. Distributional and analytic solutions of func tional–differential equations // J. Math. Anal. Appl. — 1984. — V. 98. — P. 111–129.

[38] Crandall M. G., Rabinowitz P. H. The Hopf bifurcation theorem in infinite dimensions // Arch. Rat. Mech. Anal. — 1977. — V. 67. — P. 53–72.

[39] Da Prato G., Lunardi A. Hopf bifurcation for fully nonlinear equations in Banach space // Ann. Inst. Henri Poincare. — 1986. — V. 3. — P. 315–329.

[40] Di Blasio G., Kunisch K., Sinestrari E. L2 -regularity for parabolic partial integrodifferential equations with delay in the highest-order derivatives // J. Math. Anal. Appl. — 1984. — V. 102, № 1. — P. 38– 57.

[41] Feller W. The parabolic differential equations and the associated semigroups of transformations // Ann. Math. — 1952. — V. 55. — P. 468–519.

[42] Feller W. Diffusion processes in one dimension // Trans. Amer. Math.

Soc. — 1954. — V. 77. — P. 1–30.

[43] Iserles A., Liu Y. On neutral functional–differential equations with proportional delays // J. Math. Anal. Appl. — 1997. — V. 207. — P. 73–95.

[44] Kato T. Fractional powers of dissipative operators // J. Math. Soc.

Japan. — 1961. — V. 13. — P. 246–274.

[45] Kato T., Mcleod J. B. Functional differential equation y = ay(t) + by(t) // Bull. Amer. Math. Soc. — 1971. — V. 77. — P. 891–937.

[46] Kunisch K., Shappacher W. Necessary conditions for partial differential equations with delay to generate C0 -semigroup // J. Differential Equations. — 1983. — V. 50, № 1. — P. 49–79.

[47] Nakagiri S. Structural properties of functional differential equations in Banach spaces // Osaka J. Math. — 1988. — V. 85. — P. 353–398.

[48] Onanov G. G., Tsvetkov E. L. On the minimum of the energy functional with respect to functions with deviating argument in a stationary problem of elasticity theory // Russian J. Math. Phys. — 1996. — V. 3. — P. 491–500.

[49] Pazi A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. — New York: Springer-Verlag, 1983.

[50] Razgulin A. V. Rotational multi-petal waves in optical system with 2-D feedback // Chaos in Optics. Proc. SPIE, ed. R. Roy. — 1993. — V. 2039. — P. 342–352.

[51] Sato K., Ueno T. Multidimensional diffusion and the Markov process on the boundary // J. Math. Kyoto Univ. — 1965. — V. 4. — P. 529– 605.

[52] Shamin R. V., Skubachevskii A. L. The mixed boundary value problem for parabolic differential-difference equation // Funct. Differ. Equ. — 2001. — V. 8. — P. 407–424.

[53] Skubachevskii A. L. Elliptic Functional Differential Equations and Applications. — Birkh user, Basel–Boston–Berlin, 1996.

a [54] Skubachevskii A. L. Bifurcation of periodic solutions for nonlinear parabolic functional differential equation arising in optoelectronics // Nonlinear Anal. — 1998. — V. 32, № 2. — P. 261–278.

[55] Staffans O. Some well-posed functional equations which generate semigroups // J. Differential Equations. — 1985. — V. 58, № 2. — P. 157–191.

[56] Vorontsov M. A., Iroshnikov N. G., Abernathy R. L. Diffractive patterns in nonlinear optical two-dimensional feedback system with field rotation // Chaos Solitons Fractals. — 1994. — V. 4. — P. 1701– 1716.

[57] Wu J. Semigroup and integral form of a class of partial differential equations with infinite delay // Differ. Integral Equ. Appl. — 1991. — V. 4, № 6. — P. 1325–1351.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.