авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Механика деформируемого твердого тела.

(теория пластичности)

материалы к лекциям для студентов 4-го курса ММФ (2-й

поток)

лектор: профессор Ю.М. Волчков

НОВОСИБИРСК

2011

Ведение

В предлагаемом варианте электронного пособия содержится материал, который

излагался на лекциях в 7-м семестре для студентов 2-го потока четвертого курса

ММФ в 2011 году..

Программа курса "Теория пластичности"(4-й курс, 7-й семестр, 2-й поток, 2011 г.) I. Основные сведения из теории упругости.

1. Деформация среды. Лагранжев и эйлеров способы описания движения среды. Изменение длины линейного элемента. Изменение направления линей ного элемента. Сдвиги. Тензор деформаций. Преобразование величин eij и k при переходе от одной системы координат к другой и их геометрический смысл.

Картина деформации окрестности произвольной точки. Относительное измене ние объёма. Упрощения при малых удлинениях и сдвигах. Упрощения, когда малы не только деформации но и углы поворота. Уравнения совместности де формаций.

2. Напряжения в сплошной среде. Общие свойства поля напряжений. Напря женное состояние в точке. Диаграмма Мора. Теорема взаимности. Геометриче ская интерпретация напряженного состояния в точке. Девиатор напряжений.

Девиаторная плоскость.

3. Определяющие соотношения. Закон Гука для трехмерного напряженно деформированного состояния. Закон Гука для изотропного материала.

4. Основные уравнения линейной теории упругости. Постановка краевых за дач в линейной теории упругости. Уравнения теории упругости в перемещени ях (уравнения Ламе). Уравнения теории упругости в напряжениях (уравнения Бельтрами). Вариационный принцип Лагранжа. Вариационный принцип Ка стильяно.

II. Основы теории пластичности.

Диаграммы одноосного растяжения. Простое и сложное нагружения.

Упрочнение и разупрочнение. Поверхность нагружения. Функция нагружения.

Разгрузка, нейтральное нагружение и нагружение.

Принцип максимума. Ассоциированный закон деформирования. Эквивалент ность принципа максимума и ассоциированного закона деформирования. По верхности текучести для изотропного материала. Условие текучести Треска — Сен-Венана. Условие текучести Мизеса.

Теория пластического течения для изотропного материала. Состояние те кучести. Уравнения Прандтля — Рейса. Теория пластичности Сен-Венана — Мизеса. Состояние упрочнения.

Модель жесткопластического тела. Пространство напряжений. Допу стимые напряжения. Поверхность текучести. Поверхность текучести Треска.

Поверхность текучести Мизеса. Основные свойства поверхностей текучести Трес ка и Мизеса. Принцип максимума. Принцип максимума и нормальный (ассо циированный) закон течения. Постановка задач теории жесткопластического тела. Предельное равновесие жесткопластического тела. Стационарные зада чи о пластическом формоизменении. Нестационарные задачи о пластическом формоизменении. Единственность распределения напряжений в пластических областях. Полное решение задачи идеальной пластичности.

Предельные нагрузки. Предельные нагрузки стержневой системы. Тео рема о нижней оценке несущей способности. Теорема о верхней оценке несущей способности.

Плоская задача идеального жесткопластического тела. Постановка задачи. Уравнения для определения поля напряжений. Уравнения для опреде ления поля скоростей. Условия пластичности Мизеса и Треска — Сен-Венана в случае плоской деформации. Основные свойства характеристических линий.

Сведение уравнений плоской задачи к телеграфному уравнению. Численное ре шение задачи Коши для поля напряжений. Простые решения. Задача Прандтля о вдавливании штампа в полупространство.

Полуобратный метод Сен-Венана. Задача о кручении стержней. Гипо тезы Сен-Венана. Основные уравнения задачи о кручении стержней. Упругое кручение стержня. Мембранная аналогия. Пластическое кручение стержня. По верхность пластических напряжений. Эквидистантные кривые и поверхности постоянного ската. Предельное состояние и предельный скручивающий момент.

Использованная при чтении курса литература приведена в конце пособия.

Оглавление Введение 1 Основные сведения из теории упругости 1.1 Деформация среды........................... 1.1.1 Лагранжев и эйлеров способы описания движения среды.. 1.1.2 Изменение длины линейного элемента............. 1.1.3 Изменение направления линейного элемента......... 1.1.4 Сдвиги.............................. 1.1.5 Тензор деформаций....................... 1.1.6 Преобразование величин eij и k при переходе от одной системы координат к другой и их геометрический смысл. 1.1.7 Картина деформации окрестности произвольной точки.. 1.1.8 Относительное изменение объёма............... 1.1.9 Упрощения при малых удлинениях и сдвигах........ 1.1.10 Упрощения, когда малы не только деформации, но и углы поворота............................. 1.1.11 Уравнения совместности деформаций............ 1.2 Напряжения в сплошной среде.................... 1.2.1 Общие свойства поля напряжений.............. 1.2.2 Напряженное состояние в точке............... 1.3 Диаграмма Мора............................ 1.3.1 Теорема взаимности...................... 1.3.2 Геометрическая интерпретация напряженного состояния в точке............................... 1.4 Упругое тело.............................. 1.4.1 Закон гука............................ 1.4.2 Упругое тело и упругие потенциалы............. Оглавление 1.4.3Закон Гука для трехмерного напряженно-деформированного состояния............................. 1.4.4 Закон Гука для изотропного материала........... 1.4.5 Постановка краевых задач в линейной теории упругости.. 1.5 Вариационные принципы в линейной теории упругости...... 1.5.1 Вариационный принцип Лагранжа.............. 1.5.2 Вариационный принцип Кастильяно............. 2 Основы теории пластичности 2.1 Диаграммы одноосного растяжения.............. 2.2 Упрочнение и разупрочнение. Поверхность нагружения...... 2.3 Принцип максимума. Ассоциированный закон деформирования. 2.4 Поверхности текучести для изотропного материала........ 2.4.1 Условие текучести Треска — Сен-Венана........... 2.4.2 Условие текучести Мизеса................... 2.5 Теория пластического течения для изотропного материала.... 2.5.1 Состояние текучести...................... 2.5.2 Состояние упрочнения..................... 3 Модель жесткопластического тела 3.1 Пространство напряжений...................... 3.1.1 Допустимые напряжения................... 3.1.2 Поверхность текучести..................... 3.1.3 Принцип максимума...................... 3.2 Постановка задач теории жесткопластического тела........ 3.2.1 Предельное равновесие жесткопластического тела...... 3.2.2 Стационарные задачи о пластическом формоизменении... 3.2.3 Нестационарные задачи о пластическом формоизменении. 3.2.4 Единственность распределения напряжений в пластических областях............................. 3.2.5 Полное решение задачи идеальной пластичности...... 3.3 Предельные нагрузки......................... 3.3.1 Предельные нагрузки стержневой системы.......... 3.4 Экстремальные свойства предельных состояний текучести.... 3.4.1 Теорема о нижней оценке несущей способности....... 3.4.2 Теорема о верхней оценке несущей способности....... 6 Оглавление 3.5 Плоская задача идеального жесткопластического тела....... 3.5.1 Постановка задачи........................ 3.5.2 Уравнения для определения поля напряжений........ 3.5.3 Уравнения для определения поля скоростей......... 3.5.4 Условия пластичности Мизеса и Треска — Сен-Венана в случае плоской деформации.................. 3.5.5 Численное решение задачи Коши для поля напряжений.. 3.5.6 Простые решения. Задача Прандтля............. 3.6 Полуобратный метод Сен-Венана................... 3.6.1 Задача о кручении стержней................. 3.6.2 Основные уравнения....................... 3.6.3 Упругое кручение стержня................... 3.6.4 Пластическое кручение стержня................ Глава Основные сведения из теории упругости 1.1 Деформация среды.

1.1.1 Лагранжев и эйлеров способы описания движения среды.

Пусть x, y, z — координаты в декартовой системе координат некоторой точки среды в начальном (недеформированном) состоянии,,, — координаты той же точки в деформированном состоянии относительно той же системы коорди нат. Координаты x, y, z и,, связаны соотношениями (1.1) = x + u(x, y, z;

t), = y + v(x, y, z;

t), = w(x, y, z;

t) где u, v, w, — компоненты вектора перемещения. Функции u, v, w, будем считать непрерывными вместе с ее частными производными производными.

Компоненты перемещения u, v, w, можно рассматривать как функции,,.

Тогда будем иметь x = u(,, ;

t), y = v(,, ;

t), z = w(,, ;

t) (1.2) Координаты x, y, z называются лагранжевыми, координаты,, — эйлеровы ми.

В теории упругости обычно используется лагранжев способ описания дви жения среды, поскольку уравнения одной и той же материальной поверхности в переменных Лагранжа в недеформированном и деформированном состоянии одни и те же.

1.1.2 Изменение длины линейного элемента.

Посмотрим, что происходит в результате деформации с окрестностью точки M которая в недеформированном состоянии имеет координаты x, y, z (рис. 1.1).

8 Глава 1. Основные сведения из теории упругости Рис. 1.1: Изменение длины линейного элемента Рассмотрим бесконечно близкую к не точку N с координатами x+dx, y +dy, z + dz. Точка M с координатами x, y, z перейдет согласно (1.1) в точку M с коор динатами,,, точка N с координатами x + dx, y + dy, z + dz — в точку N с координатами + d, + d, + d, где u u u d = (1 + )dx + dy + dz, x y z v v v (1.3) d = dx + (1 + )dy + dz, x y z w w w d = dx + dy + (1 + )dz.

x y z Длина линейного элемента в недеформированном состоянии равна ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2, (1.4) а в деформированном состоянии — (ds )2 = d 2 + d 2 + d 2. (1.5) Составим квадратичную форму (ds )2 ds2 = 2(xx dx2 +yy dy 2 +zz dz 2 +2xz dxdz +2xy dxdy +2yz dydz), (1.6) где в силу (1.3) [( ) ( 2 ) ( 2 )] u u 1 v w xx = xx = + + +, x 2 x x x 1.1. Деформация среды. [( ) ( 2 ) ( 2 )] u v 1 v w yy = yy = + + +, y 2 y y y [( 2 ) ( 2 ) ( 2 )] w 1 u v w zz = zz = + + +, z 2 z z z u v u u v v w w xy = yx = 2xy = + + + +, y x x y x y x y u w u u v v w w xz = zx = 2xz =+ + + +, z x x z x z x z v w u u v v w w yz = zy = 2yz = + + + +.

z y z y z y z y Обозначим через EM N относительное удлинение волокна M N ds ds (1.7) EM N = ds Выразим в (1.6) ds через ds и EM N. В результате получим EM N (1+ EM N )ds2 = xx dx2 +yy dy 2 +zz dz 2 +xz dxdz+xy dxdy+yz dydz, (1.8) или EM N (1 + EM N ) = xx 2 + yy µ2 + zz 2 + xz + xy µ + yz µ, (1.9) где = dx/ds, µ = dy/ds, = dz/ds — направляющие косинусы вектора M N.

Из (1.10), положив = 1, µ = = 0 (элемент M N параллелен оси x),получим (1.10) Ex (1 + Ex ) = xx, или 1 + 2xx 1. (1.11) Ex = Аналогично получим 1 + 2yy 1, 1 + 2zz 1. (1.12) Ey = Ez = Ex, Ey, Ez — относительные удлинения волокон параллельных в начальном со стоянии координатным осям X, Y, Z соответственно.

10 Глава 1. Основные сведения из теории упругости Рис. 1.2: Изменение направления линейного элемента 1.1.3 Изменение направления линейного элемента.

Вектор MN (рис. 1.1) образует с осями координат X, Y, Z углы, направляю щие косинусы которых есть = dx/ds, µ = dy/ds, = dz/ds. Вектор M N образует с осями координат X, Y, Z углы, направляющие косинусы которых есть = d/ds, µ = d/ds, = d/ds. Заменив d, d, d их значениями согласно (1.3), а ds через ds и EM N согласно (1.8), получим 1 u u u = [(1 + ) + µ+ ], 1 + EM N x y z 1 v v v µ = (1.13) [ + (1 + )µ + ], 1 + EM N x y z 1 w w w = [ + µ + (1 + )] 1 + EM N x y x Формулы (1.13) определяют направление произвольного волокна тела после деформации. В частности, если волокно до деформации было параллельно оси X, то 1 + u v 1 + w 1 + x x x (1.14) =, µ=, = 1 + Ex 1 + Ex 1 + Ex Здесь Ex — относительное удлинение волокна, параллельного до деформации оси X. Аналогичные формулы можно выписать для направляющих косинусов волокон, параллельных до деформации осям Y и Z.

Обозначим (рис. 1.2) единичные векторы, направленные по касательным к координатным линиям x, y, z в точке M через ix, iy, iz.

1.1. Деформация среды. Направляющие косинусы вектора ix определяются формулами (1.13). На правляющие косинусы векторов iy, iz определяются аналогичными формулами.

1.1.4 Сдвиги.

Рис. 1.3: Изменение угла между линейными элементами Рассмотрим два произвольных волокна (I и II), проходящих до деформации через точку M (рис. 1.3). Пусть направляющие косинусы касательных к этим волокнам (в точке M ) будут равны I, µI, I и II, µII, II соответственно. После деформации направления касательных изменятся (рис. 1.3). Новые значения направляющих косинусов, µ, I и, µ, II можно вычислить с помощью I I II II формулы (1.13). Затем по формуле cos(I, II ) = + µ µ + I II I II I II можно найти косинус угла между волокнами после деформации.

Выпишем эти формулы в частном случае. Пусть касательные к волокнам I и II до деформации параллельны координатным осям X, Y соответственно. Тогда после деформации касательные к волокнам после деформации будут совпадать с направлениями единичных векторов ix и iy соответственно (рис. 1.2). Можно показать, что в этом случае xy xy cos(ix, iy ) = = (1 + Ex )(1 + Ey ) (1 + 2xx )(1 + 2yy ) В этом частном случае угол между волокнами I и II, равный углу между осями координат X и Y, был прямым. Обозначим уменьшение этого угла вследствие 12 Глава 1. Основные сведения из теории упругости деформации через xy. Тогда xy cos( xy ) = sin xy = (1.15) 2 (1 + 2xx )(1 + 2yy ) Аналогично можно ввести величины xz и yz — изменения первоначально пря мых углов между волокнами, параллельными до деформации осям X и Z и осям Y и Z соответственно:

xz yz sin xz =, sin yz = (1.16) (1 + 2yy )(1 + 2zz ) (1 + 2xx )(1 + 2zz ) Углы xy, xz, yz называются сдвигами.

Если относительные удлинения малы Ex 1, Ey 1, Ez 1 (следо вательно, xx 1, yy 1, zz 1, и сдвиги малы sin xy xy, sin xz xz, sin yz yz ), то (1.17) xy = xy, xz = xz, yz = yz 1.1.5 Тензор деформаций.

Ведем величины u v w exx =, eyy =, ezz =, x y z u v u w v w (1.18) exy = eyx = +, exz = ezx = +, eyz = ezy = + ;

y x z x z y ( ) ( ) ( ) 1 w v 1 w w 1 v u (1.19) x =, y =, z =.

2 y z 2 z x 2 x y Разрешим соотношения (1.18) и (1.19) относительно частных производных от компонент вектора перемещений по координатам x, y, z:

u u 1 u = exy z, = exx, = exz + y, x y 2 z v 1 v v = eyz x, (1.20) = exy + z, = eyy, x 2 y z w 1 w 1 w = exz y, = eyz + x, = ezz x 2 y 2 z 1.1. Деформация среды. Выражения для коэффициентов квадратичной формы (1.6) теперь можно за писать в следующем виде:

[ )2 ] ( )2 ( 12 1 exz y xx = exx + e+ exy + z + 2 xx 2 (1.21)..............................................................

( ) ( )( )( ) 1 1 1 exy z + eyy exz y 2xy = exy + exy exy + z + eyz + x 2 2 2..............................................................

Выражения для yy, zz, yz, zx получаются из приведенных выше с помощью круговой замены x y z x.

Матрица xx 1 xy 1 xz 2 1 yx yy 1 yz (1.22) 2 1 2 zx 2 zy zz определяет симметричный тензор второго ранга, который называется тензором конечных деформаций. Главные компоненты деформации являются корнями кубического уравнения 3 E1 2 + E2 E3 = 0, (1.23) где E1 = xx + yy + zz, E2 = xx yy + yy zz + zz xx (2 + 2 + 2 ), (1.24) 4 xy xz yz E3 = xx yy zz (xx 2 + yy 2 + xz 2 xy xz yz ) yz xz xy 1.1.6 Преобразование величин eij и k при переходе от одной систе мы координат к другой и их геометрический смысл.

Можно показать, что величины eij преобразуются при переходе от одной системы координат к другой по тому же закону, что и величины ij. Следова тельно, матрица exx 1 exy 2 exz 1 eyx eyy 1 eyz (1.25) 2 1 2 ezx 2 ezy ezz 14 Глава 1. Основные сведения из теории упругости определяет симметричный тензор второго ранга.

Величины exx, eyy, ezz имеют следующий геометрический смысл [1].

Величина exx есть относительное удлинение проекции на ось X линейного элемента, направление которого до деформации было параллельно этой оси.

Аналогичный смысл имеют величины eyy и ezz.

Величины k при переходе от одной системы координат к другой преобра зуются как компоненты вектора (x, y, z ).

Компоненты k вектора связаны с характеристиками, определяющими по ворот, который в результате деформации получает бесконечно малый объемный элемент тела. Под поворотом понимается среднее значение всех поворотов мно жества линейных элементов, принадлежащих данному объёмному элементу.

Обозначим через tan z, tan x, tan y средние значения тангенсов углов по воротов всех линейных элементов вокруг осей z, x, y соответственно.

Эти величины выражаются через eij, k по следующим формулам [1]:

x tan x = (1 + eyy )(1 + ezz ) 1 e 4 yz y tan y = (1.26) (1 + exx )(1 + ezz ) 1 e 4 xz z tan z = (1 + exx )(1 + eyy ) 1 e 4 xy Таким образом, параметры tan z, tan x, tan y, характеризующие поворот бесконечно малого объёма, окружающего точку M, пропорциональны величи нам k. Эти параметры равны нулю, если равны нулю компоненты вектора. Если эти компоненты равны рулю в некоторой системе координат X, Y, Z, то они будут равны нулю и в любой другой системе координат.

Таким образом, если в какой либо точке деформированного тела имеют место равенства (1.27) x = y = z = 0, то все линейные элементы, проходящие через эту точку, не будут получать в среднем никакого поворота относительно любой проходящей через эту точку оси.

1.1. Деформация среды. Таким образом, равенства (1.27) можно рассматривать как условия отсут ствия поворота произвольного бесконечно малого объёмного элемента, окружа ющего рассматриваемую точку тела.

1.1.7 Картина деформации окрестности произвольной точки.

Из формул (1.3) следует, что проекции векторов M N И M N связаны ли нейными зависимостями. Входящие в (1.3) коэффициенты нужно считать по стоянными, равными, например, их значениям в точке M. При линейном пре образовании прямые переходят в прямые;

плоскости — в плоскости при сохранении их параллельности;

поверхности второго порядка — в поверхности второго порядка, в частности, сфера переходит в эллипсоид.

Рис. 1.4: Деформация в окрестности произвольной точки Таким образом, всякий бесконечно малый параллелепипед превращается в результате деформации в другой параллелепипед (вообще говоря, с другими размерами ребер и углами между ребрами).

Бесконечно малая окрестность точки M в результате деформации получает • поступательное перемещение, характеризуемое вектором u;

• поворот, в результате которого волокна, имевшие до деформации направ ления 1, 2, 3 совмещаются с,, 3 ;

16 Глава 1. Основные сведения из теории упругости 1.1.8 Относительное изменение объёма.

Рассмотрим бесконечно малый объёмный элемент произвольной формы. Пусть до деформации объём этого элемента равен V. После деформации этот элемент переходит в элемент, объём которого равен V. Обозначим через относитель ное изменение объёма:

VV =.

V Можно показать [1], что относительное изменение объема вычисляется по фор муле VV = = (1 + E1 )(1 + E2 )(1 + E3 ) 1, (1.28) V где Ei = 1 + 2i — главные удлинения в той точке, где вычисляется приращение объёма.

1.1.9 Упрощения при малых удлинениях и сдвигах.

Большинство материалов, в частности, многие металлы деформируются упру го при очень малых удлинениях волокн и сдвигах между ними. Будем считать, что удлинения и сдвиги малы по сравнению с единицей. Тогда, пренебрегая квадратами этих величин по сравнению с единицей, из формул (1.11), (1.12), и (1.15), (1.16) получим Ex xx, Ey yy, Ez zz, (1.29) xy xy, xz xz, yz yz.

Таким образом при малых удлинениях и сдвигах компоненты тензора де формаций xx, yy, zz можно отождествить с соответствующими удлинениями, а компоненты тензора деформаций xy, xz, yz — с соответствующими углами сдвига.

Формула для относительного изменения объема при малых удлинениях и сдвигах также упрощается:

1 + 2 + 3 xx + yy + zz. (1.30) Таким образом, при малых удлинениях и сдвигах инвариант деформации E1 = e может быть отождествлен с относительным изменением объема.

1.1. Деформация среды. 1.1.10 Упрощения, когда малы не только деформации, но и углы поворота.

Рассмотрим случай, когда малы по сравнению с единицей не только дефор мации ij, но и углы поворотов. Можно показать [1], что в этом случае малыми по сравнению с единицей будут и все частные производные от компонент век тора перемещения. Тогда малыми будут и параметры eij и k в (1.18) и (1.19), которые являются линейными комбинациями производных от компонент век тора перемещения. Поэтому формулы (1.26) можно упростить:

tan x x x tan y y y (1.31) tan z z z Таким образом, пренебрежение компонентами деформации и углами пово рота по сравнению с единицей дает возможность отождествить параметры j со средними поворотами элементарного объема вокруг осей X, Y, Z. А так как малые повороты суммируются как векторы, то можно сказать,что в данном случае объемный элемент поворачивается на угол вокруг оси, направление которой определяется направляющими косинусами x y z cos(, X) =, cos(, Y ) =, cos(, Z) =.

Выражения для компонент тензора деформаций можно упростить, если счи тать, что углы поворотов, удлинения и сдвиги малы по сравнению с единицей.

Прежде всего отметим, что в формулы (1.21) для компонент деформации вхо дят а) параметры eij линейно;

б) произведения параметров eij один на другой;

в) произведения параметров j один на другой;

г) произведения параметров eij и k ;

Следовательно, в том случае, когда малы по сравнению с единицей величины eij и k возможны два варианта:

18 Глава 1. Основные сведения из теории упругости 1) величины k являются малыми того же порядка или более высокого, что и величины eij ;

2) величины eij являются малыми того же порядка или более высокого, что и величины k.

В первом случае в (1.21) нужно сохранить только линейные члены. В ре зультате получим u v w xx exx =, yy eyy =, zz ezz =, x y z u v u w exy =, xz exz = (1.32) xy + +, y x z x v w yz eyz = +.

z y Во втором случае в (1.21) следует оставить только члены видов а) и в), со храняя при этом величины порядка k. Члены видов б) и г) нужно отбросить, поскольку члены вида б) будут не ниже четвертого, а члены вида г) — не ни же, чем третьего порядка малости (если считать за величины первого порядка малости параметры k.) В результате соответствующих упрощений получим xx exx + (y + z ), xy exy x y, yy eyy + (x + z ), xz exz x z, (1.33) zz ezz + (x + y ), yz eyz y z.

Приближенные выражения (1.32) используются при решении задач, когда при малых компонентах тензора деформаций и углах поворота те и другие являются малыми величинами примерно одинакового порядка. Это, например, имеет место, когда решаются задачи о деформировании массивных тел, все размеры которых сравнимы по величине друг с другом.

Приближенные выражения (1.33) используются тогда, когда при малых де формациях и углах поворота углы поворота существенно превосходят дефор мации. Эти соотношения используются при решении задач о деформировании гибких тел (таких, как стержни, пластины, оболочки).

1.1. Деформация среды. 1.1.11 Уравнения совместности деформаций.

Уравнения (1.21) можно рассматривать как систему шести уравнений в част ных производных для определения трех компонент вектора перемещения ui.

Это переопределенная система и в общем случае не имеет решения при произ вольном выборе компонент тензора деформаций ij. Для того, чтобы существо вали однозначные и непрерывные компоненты вектора перемещения, компо ненты деформаций ij должны удовлетворять условиям разрешимости систе мы уравнений (1.21). Выпишем эти уравнения для случая бесконечно малых деформаций и углов поворотов (соотношения (1.32)). В этом случае уравне ния совместности деформаций представляют собой шесть линейных уравнений относительно компонент тензора деформаций:

2 xx 2 yy 2 xy + = 0, y 2 x2 xy 2 yy 2 zz 2 yz + = 0, z 2 y 2 yz 2 zz 2 xx 2 zx + = 0, x2 z 2 xz (1.34) ( ) 2 xx 1 xy xz yz + = 0, yz 2 x z y x ( ) 2 yy 1 yz yx xz + = 0, zx 2 y x z y ( ) 2 zz 1 xz yz xy + = 0.

xy 2 z y x z В соответствии с (1.32) в (1.34) нужно положить ij eij Соотношения (1.34) используются в линейной теории упругости.

Геометрический смысл соотношений (1.34) состоит в том, что если задать компоненты деформации ij как произвольные, независимые друг от друга функции координат точек тела, то непрерывность этих функций еще не бу дет гарантировать того, что тело в результате такой деформации останется 20 Глава 1. Основные сведения из теории упругости сплошным. А именно, разбив мысленно тело до деформации на бесчисленное множество бесконечно малых прямоугольных параллелепипедов с ребрами, па раллельными координатным осям, и придав затем ребрам и граням этих па раллелепипедов удлинения и сдвиги в соответствии с произвольно выбранными компонентами тензора деформаций, мы не сможем затем составить из получа ющихся при этом косоугольных параллелепипедов сплошное деформированное тело без зазоров между гранями и ребрами элементарных объемных элементов.

Если же величины ij удовлетворяют соотношениям (1.34), то из косоуголь ных параллелепипедов будет собрано сплошное деформированное тело без за зоров между гранями и ребрами элементарных объемных элементов.

1.2. Напряжения в сплошной среде 1.2 Напряжения в сплошной среде 1.2.1 Общие свойства поля напряжений Материал, изложенный в этой главе содержится в монографии [2].

Рассмотрим покоящуюся среду, находящуюся в равновесии под действием каких-либо распределенных сил, приложенных к ней. Эти силы могут быть при ложены к поверхности тела, заполненного средой, или к его внутренним частям.

Мы предположим, что эти последние (они называются массовыми или объем ными силами) описываются векторной плотностью распределения F (x1, x2, x3 ) так, что полная сила, действующая на элементарный внутренний объем dx1 dx2 dx равна F (x1, x2, x3 )dx1 dx2 dx3. Здесь x1, x2, x3 — декартова система координат.

Поверхностная сила описывается поверхностной векторной плотностью P (x1, x2, x3 ), определенной только в точках поверхности, а полная сила, дей ствующая на элемент поверхности ds, равна P ds. Компоненты векторных плот ностей F и P будем предполагать кусочно гладкими функциями точек объе ма или поверхности соответственно. Тем самым исключаются из рассмотрения случаи, когда приложенные силы сосредоточены в точках или когда объем ные силы сосредоточены на внутренних поверхностях. В дальнейшем удобно представить плотность F в виде F, где = (x1, x2, x3 ) — плотность среды.

Плотность — это масса, заключенная в единице объема. Точнее было бы ска зать, что плотность — это отношение массы бесконечно малого элемента к его объему. Итак F — это массовая плотность силы, т.е. сила, действующая на единицу массы. Компоненты вектора F массовой плотности силы в декартовой системе координат x1, x2, x3 будем обозначать через Fi :

F F F Сделаем в напряженной среде, находящейся в равновесии, надрез вдоль ка кой либо плоскости n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 = const. Чтобы этот надрез не нару шил в среде равновесия, к обеим его берегам нужно приложить поверхностные распределенные силы. Сейчас мы постулируем, что в каждой точке разреза плотность силы, приложенной к одному берегу должна быть равна по величине и противоположна по направлению плотности силы, действующей на другой бе рег разреза. В дальнейшем это предположение будет обосновано при некоторых предположениях.

22 Глава 1. Основные сведения из теории упругости Рассмотрим объем, занимаемый средой и рассекаемый разрезом на две части, которые назовем условно “нижней” и “верхней”. “Верхним” объемом назовем тот объем, в сторону которого направлен вектор нормали n = (n1, n2, n3 ), задающий направление разреза, а “нижним” берегом разреза — берег, примыкающий к “нижнему” объему (рис. 1.5).

x n x x Рис. 1.5: К определению вектора напряжений Плотность поверхностной силы (сила на единицу площади), приложенной к “нижнему” берегу, называется вектором напряжения и обозначается. Ясно, что напряжение, вообще говоря зависит как от точки приложения (x1, x2, x3 ), так и от направления, задаваемого единичным вектором нормали с компонента ми (n1, n2, n3 ). Заметим, что n2 + n2 + n2 = 1. Итак, = (x1, x2, x3 ;

n1, n2, n3 ).

1 2 То, что на противоположных берегах надреза напряжения противоположно на правлены, записывается равенством (x1, x2, x3 ;

n1, n2, n3 ) = (x1, x2, x3 ;

n1, n2, n3 ).

Компоненты вектора обозначим через 1, 2, 3, т.е.

= 2, i = i (x1, x2, x3 ;

n1, n2, n3 ).

Специальные обозначения используются для обозначения компонент векто ра напряжения на площадках, перпендикулярных координатным осям. На пло щадках, нормаль к которым направлена вдоль положительного направления оси x1 (n1 = 1, n2 = 0, n3 = 0), компоненты вектора напряжения обозначаются 1.2. Напряжения в сплошной среде через 11, 21, 31 :

1 (x1, x2, x3 ;

1, 0, 0) = 11 (x1, x2, x3 ), 2 (x1, x2, x3 ;

1, 0, 0) = 21 (x1, x2, x3 ), 3 (x1, x2, x3 ;

1, 0, 0) = 31 (x1, x2, x3 ), Аналогично, через 12, 22, 32 обозначаются компоненты вектора напряжения на площадках с нормалью, направленной вдоль оси x2 :

1 (x1, x2, x3 ;

0, 1, 0) = 12 (x1, x2, x3 ), 2 (x1, x2, x3 ;

0, 1, 0) = 22 (x1, x2, x3 ), 3 (x1, x2, x3 ;

0, 1, 0) = 32 (x1, x2, x3 ), а через 13, 23, 33 — составляющие вектора напряжения на площадках с нор малью вдоль оси x3 :

1 (x1, x2, x3 ;

0, 0, 1) = 13 (x1, x2, x3 ), 2 (x1, x2, x3 ;

0, 0, 1) = 23 (x1, x2, x3 ), 3 (x1, x2, x3 ;

0, 0, 1) = 33 (x1, x2, x3 ).

Совокупность компонент векторов напряжений на площадках, перпендикуляр ных координатным осям, обычно записывается в виде квадратной матрицы 11 12 21 22 23 = ij, 31 32 которая называется тензором напряжений. При ортогональных преобразова ниях декартовых координат эта таблица, описывающая напряженное состояние в некоторой точке (x1, x2, x3 ), преобразуется так, как должен преобразовывать ся ортогональный тензор.

Первый столбец матрицы ij состоит из компонент вектора напряжений на площадке с нормалью, напрвленной вдоль оси x1, второй и третий — со ответственно из компонент вектора напряжений на площадках с нормалями, параллельными координатным осям x2 и x3.

Важным свойством тензора напряжений является следующее утверждение.

Задание тензора напряжений в точке полностью задает напряженное со стояние в этой точке, позволяя вычислить напряжение на любой площадке, проходящей через эту точки.

24 Глава 1. Основные сведения из теории упругости Чтобы обосновать это утверждение, надо воспользоваться тем, что рассмат риваемая среда находится в равновесии под действием приложенных к ней мас совых и поверхностных сил. Выделим из среды произвольный объем V, огра ниченный поверхность S. Напишем условие равновесия среды, заключенной в выделенном объеме:

(x1, x2, x3 ;

n1, n2, n3 ) dS + F dx1 dx2 dx3 = 0.

S V Это условие состоит в равенстве нулю суммы всех сил, приложенных к объему.

Через n1, n2, n3 обозначены компоненты единичной нормали к поверхности S в точке x1, x2, x3. Покомпонентно условие равновесия записывается в виде трех равенств i (x1, x2, x3 ;

n1, n2, n3 ) dS + Fi dx1 dx2 dx3 = 0, i = 1, 2, 3.

S V Лемма. Если непрерывные кусочно гладкие функции (x1, x2, x3 ;

n1, n2, n3 ) и f (x1, x2, x3 ) таковы, что для любого внутреннего объема V, ограниченного поверхностью S, имеет место равенство (x1, x2, x3 ;

n1, n2, n3 ) dS + f dx1 dx2 dx3 = 0, S V то зависимость (x1, x2, x3 ;

n1, n2, n3 ) от n1, n2, n3 описывается формулой (x1, x2, x3 ;

n1, n2, n3 ) = n1 (x1, x2, x3 ;

1, 0, 0)+ +n2 (x1, x2, x3 ;

0, 1, 0) + n3 (x1, x2, x3 ;

0, 0, 1).

В формулировке леммы можно отказаться от требования непрерывности по последним трем аргументам n1, n2, n3. Доказательство леммы приведено в [2].

Из этой леммы, очевидно, вытекает, что i = i1 n1 + i2 n2 + i3 n3 или в векторной форме 1 11 12 13 n = 2 = 21 22 23 n 3 31 32 33 n 1.2. Напряжения в сплошной среде В частности, отсюда следует равенство (x1, x2, x3 ;

n1, n2, n3 ) = (x1, x2, x3 ;

n1, n2, n3 ).

которое постулировалось в начале пункта.

До сих пор мы предполагали, что среда находится в равновесии под действи ем приложенных сил. На самом деле все выводы относительно свойств поля на пряжений справедливы и для движущейся среды, находящейся под действием гладко распределенных массовых и поверхностных сил, если в рассматривае мом объеме скорости и ускорения частиц ограничены и описываются кусочно гладкими непрерывными функциями координат и времени. Чтобы убедиться в этом, повторим кратко еще раз проводившиеся рассмотрения, но уже с учетом новых обстоятельств.

Начнем с того, что в напряженной движущейся среде в некоторый момент времени t сделаем вдоль какой-либо плоскости n1 x1 + n1 x1 + n1 x1 = const (n2 + n2 + n2 = 1) надрез. Предположим, что сделав надрез, мы прикладываем к 2 его берегам такие дополнительные усилия, чтобы движение, благодаря этим усилиям, в среде с надрезом было бы точно таким же, каким оно было в его отсутствие. Это дополнительное усилие, приложенное к нижнему берегу над реза на площадке с нормалью (n1, n2, n3 ) и площадью dS, проходящей через точку (x1, x2, x3 ) обозначим через (x1, x2, x3 ;

n1, n2, n3 )dS, а вектор плотности (на единицу площади) этой силы с компонентами 1, 2, 3 будем называть напряжением на этой площадке.

При повороте площадки, проходящей через некоторую фиксированную точ ку, вектор преобразуется точно так же, как и в покоящейся среде, нахо дящейся в равновесии. Чтобы обосновать это утверждение, мы должны вос пользоваться законом сохранения количества движения (импульса). Рассмот рим некоторую гладкую поверхность S, ограничивающую объем V. Выделим массу среды, заполнявшую в некоторый момент времени t этот объем V. Пусть плотность среды обозначается как = (x1, x2, x3 ;

t), компоненты вектора ско рости как ui (x1, x2, x3 ;

t). Тогда импульс (количество движения) выделенной массы вычислится как вектор с компонентами pi = (x1, x2, x3 ;

t)ui (x1, x2, x3 ;

t)dx1 dx2 dx3.

V (t) Выделив этот объем в некоторый момент времени, мы должны во все после дующие моменты времени считать его изменяющимся, так как он образован 26 Глава 1. Основные сведения из теории упругости движущейся средой, границы которой в начальный момент времени совпадали с границей выделенного в этот момент объема.

dpi (t) Производная от компонент количества движения по времени может dt быть вычислена через ускорения dui ui ui ui ui = + u1 + u2 + u dt t x1 x2 x частиц среды, составляющих объем V (t):

dpi (t) dui = dx1 dx2 dx3.

dt dt V (t) Масса вещества в выделенном объеме m= (x1, x2, x3 )dx1 dx2 dx V (t) не зависит от времени.

Производная по времени от импульса является вектором dp с компонен- dt dpi (t) тами dt, который должен равняться сумме сил, приложенных к массе вещества, заключенной в выделенном движущемся объеме:

(x1, x2, x3 ;

n1, n2, n3 ;

t)dS+ S(t) (x1, x2, x3, t)F(x1, x2, x3, t)dx1 dx2 dx3 = dp.

+ dt V (t) Двойной интеграл берется по поверхности, ограничивающей выделенный объем (n1, n2, n3 — компоненты нормали к поверхности). Покомпонентная запись этого равенства i (x1, x2, x3 ;

n1, n2, n3 ;

t)dS+ [ ] S(t) (x1, x2, x3, t) Fi (x1, x2, x3, t) dui dx1 dx2 dx3 = + dt V (t) отличается от условия равновесия в стационарном случае лишь тем, что Fi теперь надо заменить на Fi dui. Точно так же, как и в стационарном слу dt чае, используя ту же самую лемму, мы доказываем, что напряжения на любой 1.2. Напряжения в сплошной среде площадке с единичным вектором нормали (n1, n2, n3 ) определяются по напря жениям на площадках, параллельных координатным плоскостям по формуле 1 11 12 13 n = 2 = 21 22 23 n2.

3 31 32 33 n Эта матричная запись говорит о том, что для того, чтобы получить вектор напряжения на площадке с нормалью достаточно применить матрицу тензора напряжений к этому единичному вектору нормали.

Тензор напряжений полностью определяет напряженное состояние в точ ке, как в покоящейся, так и в движущейся среде.

Здесь, однако, надо еще раз подчеркнуть, что в приведенных выше рассуж дениях мы существенно пользовались ограниченностью ускорений.

Зададимся теперь вопросом о том, однозначно ли определяется тензор напряжений из закона сохранения ко личества движения при заданных распределениях массовых и поверхностных сил в случае, если закон движения среды, определяемый полем ускорений, из вестен.

Начнем с интегральной покомпонентной записи уже известного нам равен ства, связывающего напряжения с ускорениями и массовыми силами:

[ ] dui Fi (i1 n1 + i2 n2 + i3 n3 )dS + dx1 dx2 dx3 = 0.

dt S(t) V (t) В этой записи учтена зависимость напряжений от направления нормали к площадке dS. Так как объем вместе с ограничивающей его поверхностью, мо жет быть для любого момента времени выбран произвольно (после этого для других он уже определяется законом движения), то можно считать, что при любом фиксированном значении t равенство имеет место для любой области интегрирования. При достаточной гладкости всех участвующих функций, как известно из анализа, устанавливается эквивалентность этого равенства диффе ренциальным уравнениям ( ) i1 i2 i3 dui = Fi (1.35) + +, i = 1, 2, 3.

x1 x2 x3 dt Вопрос о том, однозначно ли определяется тензор напряжений, теперь мо жет быть сформулирован как вопрос о том, единственно ли решение системы 28 Глава 1. Основные сведения из теории упругости из трех(выписанных дифференциальных уравнений при заданных правых ча ) стях ( Fi dui и заданных граничных значениях i1 n1 + i2 n2 + i3 n3 поверх dt ностных сил (n1, n2, n3 — компоненты единичного вектора нормали к граничной поверхности).

В [2], показано, что единственного решения нет.

Таким образом, для определения поля напряжений должны быть привлече ны дополнительные соображения и постулаты.

Очень важное свойство таблицы ij, характеризующей напряженное со стояние в некоторой точке, может быть получено из рассмотрения закона со хранения момента количества движения.

Моментом количества движения, заключенным в некотором объеме сплош ной среды, называют интеграл по объему x (u)dx1 dx2 dx V (t) от векторного произведения радиуса вектора x (с компонентами x1, x2, x3 ) на вектор плотности импульса u (его компоненты u1, u2, u3 ). В этом определе нии момент вычисляется относительно начала координат. Если мы хотим вы числить момент количества движения относительно какой-либо другой точки x0, то мы должны использовать интеграл (x x0 ) (u)dx1 dx2 dx3, V (t) определяющий вектор с компонентами [(x2 x20 )u3 (x3 x30 )u2 ] dx1 dx2 dx3, V (t) [(x3 x30 )u1 (x1 x10 )u3 ] dx1 dx2 dx3, V (t) [(x1 x10 )u2 (x2 x20 )u1 ] dx1 dx2 dx3.

V (t) В качестве x0 часто выбирается центр тяжести рассматриваемой массы веще ства.

Изменение с течением времени момента количества движения в некото ром движущемся объеме, образованным некоторыми фиксированными части цами рассматриваемой среды, происходит за счет момента приложенных к этой массе внешних сил.

1.2. Напряжения в сплошной среде Таким образом, в дальнейшем мы исключаем из рассмотрения источники моментов.

В классической среде для любой фиксированной точки x0 (x10, x20, x30 ) и для любого движущегося объема V (t), образованного во все моменты времени t на рассматриваемом интервале времени одними и теми же частицами, уравнение момента количества движения имеет вид (x x0 ) (u)dx1 dx2 dx3 = d dt V (t) (x x0 ) dS + (x x0 ) (F)dx1 dx2 dx3.

= S(t) V (t) Двойной интеграл в правой части — это момент напряжений = (x1, x2, x3 ), действующих на поверхность S(t), ограничивающую рассматриваемый объем V (t), а тройной интеграл — момент массовых сил относительно точки x0, дей ствующих в этом объеме.

Рассматривая уравнение момента количества движения для последователь ности объемов V1 (t), V2 (t),... VN (t),..., определенных каждый как объем, за нимаемый веществом, которое при некотором t = t заполняло объем VN (t ) с ребром hN (hN 0 при N ), можно показать [2], что тензор напряжений симметричен, т.е. имеют место равенства 32 23 = 13 31 = 21 12 = при всех x и t.

1.2.2 Напряженное состояние в точке Изучим напряженное состояние в точке. Как известно из линейной алгебры, любая симметричная матрица представима в виде s1 0 ij = U 0 s2 0 U, 0 0 s где матрица U ортогональна. Перейдем к новой системе кординат с помощью ортогональной матрицы W x1 x x2 = W x x x 30 Глава 1. Основные сведения из теории упругости и установим, что тензор напряжений в этой системе координат запишется так:

s1 0 ij = W ij W = W U 0 s2 0 U W.

0 0 s Из этой записи очевидно, что положив W = U, мы придем к системе коорди нат, в которой тензор напряжений оказывается следующего простого вида:

s1 0 0 s1 0 ij = U U 0 s2 0 U U = 0 s2 0.

0 0 s3 0 0 s Описанная процедура называется приведением тензора напряжений к глав ным осям.

Напряжения на трех площадках, перпендикулярных главным осям, пред ставляют векторы, направленные по этим осям. Величины этих напряжений s1, s2, s3, нормальных к площадкам, называются главными напряжениями и могут быть вычислены как характеристические корни матрицы 11 s 12 22 s 21 = 0.

33 s 31 Для главных напряжений здесь выбраны обозначения s1, s2, s3, а не 1, 2, 3, которые часто используются для той же цели, чтобы оставить обозначения 1, 2, 3 для компонент вектора напряжений на какой-либо площадке.

Занимаясь изучением напряженного состояния в некоторой точке, мы будем предполагать, что система координат выбрана так, что в этой точке тензор напряжений приведен к главным осям и, следовательно, имеет вид s1 0 ik = 0 s2 0.

0 0 s Вектор напряжения, действующий на площадке с единичной нормалью n, име ющей компоненты n1, n2, n3 (n2 + n2 + n2 = 1), определяется так:

1 2 1 11 12 13 n1 s1 0 0 n1 s1 n = 2 = 21 22 23 n2 = 0 s2 0 n2 = s2 n2.

3 31 32 33 n3 0 0 s3 n3 s3 n 1.3. Диаграмма Мора Спроектируем этот вектор на нормаль к площадке и на саму эту площадку.

Длины проекций представляют собой нормальное норм к площадке и каса тельное к ней кас напряжения. Очевидно, что норм = (, n) = s1 n2 + s2 n2 + s3 n2, 1 2 норм + кас = (, ) = s2 n2 + s2 n2 + s2 n2.

2 11 22 1.3 Диаграмма Мора. Пусть нам известны главные напряжения, а также нормальная и касатель ная составляющие напряжения на некоторой площадке. Можно ли определить направление такой площадки?

Координаты единичного вектора нормали к такой площадке должны удо влетворять уравнениям n2 + n2 + n2 = 1, 1 2 s1 n2 + s2 n2 + s3 n2 = норм, 1 2 22 22 22 2 s1 n1 + s2 n2 + s3 n2 = норм + кас.

Это линейная система алгебраических уравнений относительно n2, n2, n2 с опре 1 2 делителем Вандермонда s1 s2 s3, s2 s2 s 1 2 отличным от нуля, если среди главных напряжений нет равных. Решая эту систему, найдем ( )2 ( ) s2 s s2 + s норм + кас 2 n2 =, (s1 s2 )(s1 s3 ) ( )2 ( ) s3 s s3 + s норм + кас 2 n2 =, (s2 s3 )(s2 s1 ) ( )2 ( ) s1 s s1 + s норм + кас 2 n2 =, (s3 s1 )(s3 s2 ) 32 Глава 1. Основные сведения из теории упругости Пусть оси выбраны так, что для главных напряжений выполняются неравенства s3 s2 s1. Тогда для неотрицательности правых частей в выражениях для n2, n2, n2 необходимо и достаточно выполнения неравенств 1 2 ( )2 ( ) s2 s s2 + s норм + кас 2 ( )2 ( ) s3 s s3 + s норм + кас 2 ( )2 ( ) s1 s s1 + s норм + кас 2 Изобразим допускаемую этими неравенствами область значений на плоскости (норм, кас ).

s S S S s ( S3 _ S1 ) / Рис. 1.6: Круги Мора На рис. 1.6 эта область заштрихована между полуокружностями, построен ными на отрезках [s1, s2 ], [s2, s3 ], [s1, s3 ], оси норм, как на диаметрах. Диаграм ма, показанная на рис. 1.6 называется “диаграммой Мора”. Из диаграммы Мо ра видно, что наибольшее касательное напряжение равно (s3 s1 )/2, при этом нормальное напряжение на этой площадке обязано быть равным (s3 + s1 )/2.

Определим, на какой площадке достигается наибольшее касательное напряже ние. Для этого при заданных значениях кас = (s3 s1 )/2 и норм = (s3 +s1 )/ вычислим по нашим формулам n2, n2, n3. В результате получим: n2 = 1/2, n2 = 1 2 1 1 0, n3 = 1/2.

1.3. Диаграмма Мора Таким образом, наибольшее касательное напряжение достигается на пло щадках с нормалями n(n1, n2, n3 ) : n1 = ±1/ 2, n2 = 0, n3 = ±()1/ 2, т.е.

на плоскостях, делящих пополам угол между плоскостями с наибольшим и наименьшим нормальными напряжениями s1, s3.

Матрицу, характеризующую напряженное состояние, обычно раскладывают в сумму двух матриц (матрицу, кратной единичной, и матрицу с нулевым сле дом, называемую девиатором тензора напряжений:

11 12 13 100 12 21 22 23 = 0 1 0 + 21 23, 31 32 33 001 31 где = (11 + 22 + 33 )/3.

Если s1 0 ik = U 0 s2 0 U (U U = I), 0 0 s то ik ik (11 + 22 33 )/3 = s1 + s2 + s s1 0 s1 + s2 + s =U U.

s 0 s1 + s2 + s s 0 При одновременном увеличении или уменьшении всех диагональных эле ментов матрицы ik на одно и то же число описываемые ею касательные напряжения на площадках не меняются. Это очевидно из диаграммы Мора. Го ворят, что совокупность касательных напряжений характеризуется девиатором тензора напряжений. След тензора напряжений, поделенный на 3, называется средним напряжением.

34 Глава 1. Основные сведения из теории упругости 1.3.1 Теорема взаимности Рассмотрим вектор напряжения, действующий на площадку, перпендикуляр ную некоторому вектору x:

x x2 + x 2 + x2 1 11 12 13 x2 2 = 2 = 21 22 23 x2 + x 2 + x2 x3 2 3 31 32 x2 + x 2 + x 1 2 с компонентами i = ij / x2 + x2 + x2, и вычислим его проекцию на некото 1 2 рый другой вектор y, которая определяется формулой 1 i yi (ij xj )yi (, y) = 2 = 2 = 2 2 2 2 2 x1 + x2 + x2 y1 + y2 + y 2 2 y1 + y2 + y3 y1 + y2 + y3 2 ij yi xj = 2 x1 + x 2 + x2 y 1 + y 2 + y 2 2 2 Благодаря симметрии ij = ji это выражение симметрично относительно векторов y, x.

Закон взаимности. Проекция на вектор y напряжения на площадке, пер пендикулярной вектору x, равна проекции на вектор x напряжения на пло щадке, перпендикулярной вектору y.

Как правило, в качестве меры интенсивности касательных напряжений при нимают либо величину (s2 s2 )2 + (s2 s2 )2 + (s2 s2 ) 2 3 3 1 1, либо величину максимального касательного напряжения max |(si sj ).

1.3. Диаграмма Мора x s s s s s s s s s s x s s x Рис. 1.7: Физический смысл компонент тензора напряжений 1.3.2 Геометрическая интерпретация напряженного состояния в точ ке Обозначим оси декартовой системы координат через x, y, z и перепишем тензор напряжений в других обозначениях [4]:

x xy xz T = xy y yz, xz yz z Физический смысл компонент тензора напряжений показан на рис. 1.7.

Вектор напряжения p(px, py, pz ) на площадке с нормалью n(nx, ny, nz ) (рис.

1.8) вычисляется по формулам px = x nx + xy ny + xz nz py = xy nx + y ny + yz nz pz = xz nx + yz ny + z nz Нормальная составляющая (рис. 1.8) вычисляется по формуле:

n = x n2 + y n2 + z n2 + 2xy nx ny + 2yz ny nz + 2zx nx nz x y z Касательная составляющая (рис. 1.8) вычисляется по формуле:

n = p2 + p2 + p2 n x y z 36 Глава 1. Основные сведения из теории упругости Рис. 1.8: Разложение вектора напряжений на нормальную и касательную составляющие В каждой точке среды существуют три главных направления и три взаим но перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения равны нулю. Нормальные напряжения на этих площадках называются главными на пряжениями. Пронумеруем главные оси так, чтобы выполнялись неравенства 1 2 Тензор напряжений, отнесенный к главным осям имеет вид 1 0 0 2 T = 00 На площадках, делящих пополам углы между главными плоскостями и прохо дящих соответственно через главные оси 1, 2, 3 (рис. 1.9), касательные напря жения по абсолютной величине равны 1 1 |2 3 |, |3 1 |, |1 2 | 2 2 Касательные напряжения в этих сечениях достигают экстремальных значений и называются главными. Введем для них обозначения 2 3 3 1 1 1 =, 2 =, 3 =, 2 2 1.3. Диаграмма Мора Рис. 1.9: Площадки, на которых действуют максимальные касательные напряжения Наибольшее касательное напряжение max при принятой нумерации главных осей равно 1 max = 2 = Нормальные напряжения, на которых действуют главные касательные напря жения соответственно равны 2 + 3 3 + 1 1 +,,, 2 2 Главные напряжения являются корнями кубического уравнения x xy xz xy y yz = z xz yz или 3 + I1 (T )2 + I2 (T ) + I3 (T ) = 0, где I1 (T ) = 1 + 2 + I2 (T ) = (1 2 + 2 3 + 3 1 ) I3 (T ) = 1 2 Величина 1 + 2 + = называется средним давлением в точке.


38 Глава 1. Основные сведения из теории упругости Девиатор напряжений Представим тензор напряжений в виде суммы T = T1 + D, где T1 = 0 — шаровой тензор, x xy xz D = xy yz y z xz yz — девиатор напряжений Нормальные составляющие девиаторы будем обозначать через sx = x, sy = y, sz = z Главные направления девиатора и тензора напряжений совпадают, а главные значения si отличаются от i на величину среднего давления и являются корнями кубического уравнения 3 + I1 (D )2 + I2 (D ) + I3 (D ) = 0, (1.36) где I1 (D ) = 1[ ] (1 2 )2 + (2 3 )2 + (3 1 ) I2 (D ) = I3 (D ) = s1 s2 s3.

Неотрицательная величина T = I2 (D ) = (x y )2 + (y z )2 + (z x )2 + 6(xy + yz + zx ) 2 2 называется интенсивностью касательных напряжений.

Интенсивность касательных напряжений обращается в нуль только в том случае, когда напряженное состояние в точке является состоянием "гидроста тического"давления.

1.3. Диаграмма Мора Для чистого сдвига 3 = 1 =, 2 = 0, и, следовательно, T =.

В случае простого растяжения (сжатия) в направлении оси x x = 1, y = z = xy = yz = zx = и, следовательно, |1 | T=.

Можно показать, что кубическое уравнение (1.36) имеет вещественные кор ни. Поэтому его решение находится в тригонометрической форме. Главные ком поненты девиатора можно выразить через инварианты 2 s1 = T cos( ), 2 s2 = T cos( + ), s3 = T cos.

Для главных касательных напряжений получим следующие выражения 1 = T sin( ), 2 = T sin( + ), 3 = T sin.

Используя неравенства 1 2 3, можно показать, что величина изменяется в пределах 0.

Учитывая это неравенство, и поскольку max = 2, получим T.

max 40 Глава 1. Основные сведения из теории упругости С наибольшей погрешностью (около 7%) имеем T 1, 08max s n P D s O Q s Рис. 1.10: Девиаторная плоскость Главные напряжения вычисляются через среднее напряжение, интенсив ность касательных напряжений T, и величину.

Напряженное состояние в точке в пространстве главных напряжений 1, 2, представляется вектором OP с компонентами 1, 2, 3.

Плоскость 1 + 2 + 3 = проходит через начало координат, равно наклонена к осям и называется деви аторной плоскостью (Рис. 1.10). Единичный вектор нормали к этой плоскости есть n = (i1 + i2 + i3 ) Прямая линия 1 = 2 = 3, проходящая через начало координат и перпендикулярная к плоскости 1 + 2 + 3 = 0 называется гидростатической осью.

1.3. Диаграмма Мора Вектор OP представляется в виде OP = 1 i1 + 2 i2 + 3 i Проекция вектора OP на нормаль пропорциональна среднему давлению (OP · n) = 3.

Введем вектор OQ = s1 i1 + s2 i2 + s3 i3, изображающий девиатор D.

Очевидно, что OP = OQ + 3n и (OQ · n) = 0.

Следовательно, вектор OQ лежит в девиаторной плоскости 1 + 2 + 3 = 0.

Длина вектора OQ пропорциональна интенсивности касательных напряже ний |OQ| = 2T.

Рис. 1.11: Девиаторная плоскость Угол определяет положение вектора OQ на девиаторной плоскости.

А именно, угол между вектором OQ и отрицательной осью 3 равен.

Рассмотрим площадку, проходящую через данную точку и равно наклонен ную к главным осям (октаэдрическую площадку).

42 Глава 1. Основные сведения из теории упругости Рис. 1.12: Октаэдрическая площадка Проекции вектора напряжений p, действующего на октаэдрической площад ке в соответствии с формулами Коши будут 1, 2, 3, 3 3 Нормальное напряжение на этой площадке равно среднему давлению n =, а касательное напряжение n пропорционально T n = T.

1.4. Упругое тело 1.4 Упругое тело 1.4.1 Закон гука Рис. 1.13: Роберт Гук (18.07.1635 - 03.03.1703) - английский физик, член Лондонского коро левского общества (1663), его секретарь в 1667-1683 годах. Родился на острове Уайт.

В 1678 г. английский ученый Роберт Гук на основе результатов проведенных им многочисленных экспериментов сформулировал следующий закон:

Ut tensio sic vis Какова сила, таково удлинение Рис. 1.14: Диаграмма "сила-удлинение" 44 Глава 1. Основные сведения из теории упругости Обобщение этого закона на случай трехмерного напряженно-деформированного состояния лежит в основе линейной математической теории упругости.

1.4.2 Упругое тело и упругие потенциалы Будем рассматривать упругое тело как механическую консервативную систему [3].

Это означает, что работа внешней силы целиком затрачивается на сообщению телу кинетической энергии и накопление в нем потенциальной энергии:

(1.37) A=T +U где A — работа внешних сил,T — кинетическая энергия движения, U — потен циальная энергия деформации.

Для того чтобы вычислить потенциальную энергию, предположим, что внеш няя сила прикладывается достаточно медленно. Поэтому в равенстве (1.37) можно пренебречь кинетической энергией:

(1.38) A=U Рассмотрим процесс деформации стержня при одноосном растяжении как по следовательность бесконечно малых приращения удлинения стержня d(l), вы зываемых увеличением силы P. Тогда работа, произведенная внешней силой P при растяжении стержня на величину l будет вычисляться по формуле:

l (1.39) A=U = P d(l) Пусть l — длина стержня, F — площадь его поперечного сечения, V = lF — объём стержня.

Тогда P = F, l = l. Здесь — напряжение в поперечном сечении стерж ня, — относительная деформация.

С учетом этих обозначений равенство (1.39) примет вид:

(1.40) U =V d 1.4. Упругое тело Пусть и связаны зависимостью = (). Тогда (1.41) U = V U, где (1.42) U= d = ()d 0 Величина U упругая энергия на единицу объёма.

Для линейного упругого тела = E получим:

E2 (1.43) U= = 2 2E или EF (l)2 P 2l = P l (1.44) U = UV = = 2l 2EF Преобразование Лежандра Зависимость n переменных y1, y2,..., yn от других n переменных x1, x2,..., xn называется потенциальной в том случае, когда существует функция U (xk ) та кая, что U (1.45) yk =.

xk Если справедливо соотношение (1.45),то существует такая функция (yk ), что (1.46) xk =.

yk Переход от соотношений (1.45) к соотношениям (1.46) осуществляется с помо щью преобразования Лежандра:

= xi yi U. (1.47) Действительно, xi U xi (1.48) = xk + y i.

yk yi xi yk U Но = yi. Следовательно, имеет место равенство (1.46).

xi Дифференцируя (1.47) по, получим U (1.49) = 46 Глава 1. Основные сведения из теории упругости Следовательно, упругая энергия U является потенциалом напряжений.

Используя преобразование Лежандра = U = () (1.50) получим (1.51) = Величина называется дополнительной работой.

Рис. 1.15: Диаграмма 1.4.3 Закон Гука для трехмерного напряженно-деформированного состояния.

Упругим называется тело, для которого напряжение в каждой точке есть од нозначная функция деформации:

(1.52) ij = ij (ij ) Чтобы установить конкретный вид функций ij требуются дальнейшие пред положения о свойствах материала.

Рассмотрим такой класс упругих материалов, для которых работа, произ веденная над элементарным объемом в замкнутом цикле по деформациям или напряжениям, равна нулю. Такие материалы называются "гиперупругими".

Изменение внутренней энергии равно dU = ij dij.

1.4. Упругое тело Условие равенства нулю работы на произвольном замкнутом цикле по де формациям записывается в следующем виде:

(1.53) dU = 0.

Выполнение равенства (1.53) означает, что подынтегральное выражение есть полный дифференциал. Следовательно, U (1.54) ij =.

ij Мы предполагаем, что соотношения (1.54) однозначно разрешимы относи тельно ij. Введем функцию (ij ) = ij ij U (ij ). (1.55) Легко проверить, что (1.56) ij =.

ij Функция (ij ) называется "дополнительной работой".

Требование однозначной разрешимости уравнений (1.54) относительно де формаций эквивалентно условию выпуклости поверхности U (ij ) = const в пространстве деформаций или поверхности (ij ) = const в пространстве на пряжений.

При малых деформациях, как следует из экспериментальных данных, зави симость между напряжениями и деформациями линейная:

(1.57) ij = Eijkl kl и обратно (1.58) kl = ijkl kl.

Тензор четвертого ранга Eijkl называется тензором модулей упругости, а тензор ijkl — тензором упругих податливостей.

Вследствие соотношений (1.54) и (1.56) имеем ij kl ij kl (1.59) =, =.

kl ij kl ij 48 Глава 1. Основные сведения из теории упругости Поэтому тензоры Eijkl и ijkl симметричны относительно первой и второй пар индексов (1.60) Eijkl = Eklij ijkl = klij.

Из симметрии тензоров напряжения и деформации следует, что тензор моду лей упругости и тензор упругих податливостей не меняются при перестановке индексов i и j, и индексов k и l.

Таким образом, из 81 компонент тензора четвертого ранга в трехмерном про странстве различными остаются лишь 21 компонента. Соответствующие потен циалы имеют вид:

1 (1.61) U = Eijkl ij kl, = ijkl ij kl 2 Для линейно-упругого тела по теореме Эйлера об однородных функциях имеем U (1.62) ij ij = ij = 2U ij и, следовательно, =U 1.4. Упругое тело 1.4.4 Закон Гука для изотропного материала Материал, свойства которого в точке не зависят от направления, называет ся изотропным. Следовательно, потенциал напряжений и упругая энергия изо тропного тела не должны меняться при повороте осей координат. Поэтому по тенциал напряжений должен выражаться через инварианты тензора дефор маций. Единственная однородная квадратичная форма, составленная из этих инвариантов, зависит от двух констант и представляется следующим образом:

1 (1.63) U = (EI + 2µEII ).

Константы и µ называются упругими постоянными Ламе. Если в (1.63) подставить выражения для EI и EII :


(1.64) EI = ii = ij ij, E1 = ij kl ij kl, EII = ij ij = ik jl ij kl, то получим (1.65) U = (ij kl + 2µik jl )ij kl.

Таким образом для изотропного материала (1.66) Eijkl = ij kl + 2µik jl.

Если обозначить EI = 3 = 3(11 + 22 + 33 ) =, то из (1.57) и (1.66) получим:

(1.67) ij = ij + 2µij.

Соотношения (1.67) можно разрешить относительно деформаций:

( ) 1+ ij (1.68) ij = ij, E 1+ где µ(3 + 2µ) (1.69) =, E= = 2(1 + )µ.

2( + µ) +µ Упругая постоянная E называется модулем упругости, упругая постоянная — коэффициентом Пуассона. Подставляя выражение для в (1.68), получим:

1 [11 (22 + 33 )],... 12 = 212 = 12,.... (1.70) 11 = E µ 50 Глава 1. Основные сведения из теории упругости Свертывая (1.67) по индексам i и j, получим (1.71) 3 = (3 + 2µ).

Если ввести обозначение 2 E K =+ µ=, 3(1 2) то соотношение (1.71) запишется в виде:

(1.72) = 3K.

Величина K называется объемным модулем упругости.

Закон Гука можно записать в иной форме, если представить тензоры напря жения и деформации в виде суммы шарового тензора и девиатора:

ij ij = 2µ(ij ij ), или ij = 2µij. (1.73) Соотношения (1.72) и (1.73) определяют закон Гука для изотропного мате риала.

Для положительной определенности квадратичной формы упругой энергии необходимо и достаточно выполнение условий 0 µ 0. Отсюда следует, что модуль упругости E, объемный модуль упругости K и модуль сдвига µ = G положительны. Из этих условий следует ограничение на множество возможных значений коэффициента Пуассона:

1 1/2.

1.4.5 Постановка краевых задач в линейной теории упругости.

В линейной теории упругости используются соотношения и уравнения, справед ливые в случае бесконечно малых деформаций. Также принимается линейный закон Гука.

В случае малых деформаций лагранжев тензор конечных деформаций мож но заменить лагранжевым тензором линейных деформаций (см. (1.29). Диаго нальные элементы тензора бесконечно малых деформаций представляют собой относительные удлинения линейных элементов, расположенных до деформации 1.4. Упругое тело вдоль осей xi. Недиагональные элементы тензора бесконечно малых деформа ций представляют собой половину изменения углов между двумя первоначаль но ортогональными линейными элементами, расположенными вдоль коорди натных осей. Компоненты тензора бесконечно малых деформаций выражаются через производные от компонент вектора перемещений по формулам (1.32).

Для бесконечно малых деформаций различия между эйлеровыми и лагран жевыми координатами нет.

Отметим, что уравнения движения (1.35) получены в эйлеровой системе ко ординат. В лагранжевой системе координат вид этих уравнений иной [1]. Но, как уже отмечено, при бесконечно малых деформациях различия между эйлеровы ми и лагранжевыми координатами нет. Поэтому в этом случае вид уравнений движения и равновесия один и тот же в обеих системах координат.

Полная система уравнений теории упругости включает следующие уравне ния.

Уравнения равновесия:

(1.74) ij,j + Fi = 0;

соотношения закона упругости: в общем случае:

U (1.75) ij = ;

eij для линейно-упругого тела:

(1.76) ij = Eijkl ekl ;

выражения компонент тензора деформаций через компоненты вектора пе ремещения вычисляются по формулам:

(1.77) ij = (ui,j + uj,i ) Уравнения (1.74)- (1.74) должны выполняться в каждой точке области V, ограниченной поверхностью S. На границе области S должны быть поставлены краевые условия. Пусть поверхность тела S состоит из двух частей: S = ST +Su.

Будем считать, что заданы следующие краевые условия:

ui = u, x i Su (1.78) i ij nj = Ti, x i ST (1.79) 52 Глава 1. Основные сведения из теории упругости Краевые условия могут быть поставлены и в более общей форме. Краевые усло вия в линейной теории упругости ставятся на поверхности недеформированного тела.

Задача математической теории упругости состоит в решении уравнений (1.74) - (1.77) с граничными условиями (1.78) - (1.79). В такой формулировке — это смешанная краевая задача.

Если S = Su, то краевая задача называется первой краевой задачей, если S = ST — второй краевой задачей.

Несложно доказать [3], что если решение смешанной краевой задачи суще ствует, то оно единственно.

Уравнения теории упругости в перемещениях (уравнения Ламе) Уравнения (1.74) - (1.77) можно свести к системе трех уравнений относительно трех компонент вектора перемещений [3]:

(1.80) ( + µ),i + µui + Fi = В случае отсутствия массовых сил Функция гармонической (1.81) = 0, а компоненты вектора перемещения ui — бигармонические функции:

(1.82) ui = Уравнения теории упругости в напряжениях (уравнения Бельтрами) Уравнения (1.74) - (1.77) можно свести к системе шести уравнений относитель но шести независимых компонент тензора напряжений. В случае отсутствия массовых сил эти уравнения имеют следующий вид [3]:

(1.83) ij +,ij = 1+ Среднее напряжение является гармонической функцией:

(1.84) = Компоненты тензора напряжений — бигармонические функции:

(1.85) ij = 1.5. Вариационные принципы в линейной теории упругости 1.5 Вариационные принципы в линейной теории упруго сти 1.5.1 Вариационный принцип Лагранжа Мы рассмотрим здесь два вариационных принципа, которые широко применя ются как при решении задач линейной теории упругости, так и при формули ровке краевых задач. Формулировка этих принципов содержится в монографии [3].

Рассмотрим функционал Лагранжа Ti ui dS (1.86) Ju = [U (eij ) + Fi ui ] dV + V Su В функционале (1.86) предполагается, что деформации eij выражены через ком поненты вектора перемещения по соотношениям Коши eij = (ui,j + uj,i ) Считаем, что компоненты вектора перемещения удовлетворяют краевым усло виям на Su ui = u, xi Su i Вычислим первую вариацию функционала (1.86) [ ] U Ti ui dS = (1.87) Ju = eij + Fi ui dV + eij V ST Введем обозначение U = ij eij Тогда U eij = ij eij = ij ui,j eij С учетом последнего равенства первую вариацию функционала Лагранжа мож но записать в виде Ti ui dS Ju = (ij,j + Fi )ui dV ij nj ui dS + V S ST 54 Глава 1. Основные сведения из теории упругости При записи последнего выражения использована формула Гауса - Остроград ского. Второй интеграл равен нулю на части поверхности Su так как ui = 0 на Su. Следовательно, первую вариацию функционала Лагранжа можно записать в виде (Ti ij nj )ui dS Ju = (ij,j + Fi )ui dV + V ST Таким образом, уравнениями Эйлера функционала Лагранжа являются урав нения ij,j + Fi = 0 xi V ij nj = Ti, x i ST т. е. уравнения равновесия и граничные условия на части поверхности ST.

Вычислим вторую вариацию функционала Лагранжа 2U 2 Ju = eij ekl dV 2 eij ekl V В силу выпуклости функции U (eij ) вторая вариация функционала Лагранжа положительна. Следовательно, на решении линейной задачи теории упругости он достигает максимума.

1.5.2 Вариационный принцип Кастильяно При формулировке принципа Кастильяно предполагается, что соотношения U (1.88) ij = eij можно разрешить относительно компонент тензора деформаций eij. Для этого достаточно выполнения условия 2U eij ekl 0. (1.89) eij ekl Условие (1.89) обеспечивает выпуклость функции U (eij ). Введем функцию (ij ) = ij eij U (eij ).

1.5. Вариационные принципы в линейной теории упругости В правой части этого равенства предполагается, что компоненты тензора де формаций eij выражены через компоненты тензора напряжений ij из соотно шений (1.88).

Рассмотрим функционал ij nj u dS.

(ij ) dV (1.90) J = i V Su Этот функционал называется функционалом Кастильяно. Будем искать экс тремум функционала Кастильяно на множестве функций, удовлетворяющих уравнениям равновесия внутри области V и краевым условиям в напряжениях, заданных на части поверхности ST :

ij nj = Ti, xV x ST.

и (1.91) ij,j + Fi = 0, Следовательно, допустимые напряжения удовлетворяют условиям:

xV x ST.

и (1.92) ij,j = 0, ij nj = 0, Покажем, что условие J = 0 влечет за собой выполнение условий совмест ности для деформаций, которые пока что определим равенствами:

ij = ij Введем дополнительный функционал K, воспользовавшись методом неопре деленных множителей Лагранжа:

K = [(ij ) i (ij,j + Fi )] dV ij nj ui dS µi (ij nj Ti ) dS (1.93) V Su ST Теперь можно искать безусловный экстремум функционала K.

Приравняем к нулю первую вариацию этого функционала ( ) ij i (ij,j dV V ij nj ui dS µi ij nj dS = K = ij V Su ST (1.94) 56 Глава 1. Основные сведения из теории упругости Используя в интеграле по объему формулу Гаусса-Остроградского и учиты вая условия (1.92), получим ( ) i,j ij dV + ij nj (i u ) dS+ K = i ij V Su (1.95) + ij nj (i µi ) dS = ST Так как вариации ij произвольны, то и i = u, xi V x i Su, = eij = (i,j + j,i ), ), i ij 2 (1.96) x i ST i = µi, Введенные величины eij выражаются через i точно так же, как компоненты тензора деформации выражаются через компоненты вектора перемещения ui.

Множитель Лагранжа, вектор i, представляет собой в действительности вектор перемещения i ui.

Функционал Кастильяно для истинного напряженного состояния принимает минимальное значение [3]:

J (ij ) J (ij ).

Глава Основы теории пластичности Диаграммы одноосного растяжения 2. Определяющие соотношения (зависимость между напряжениями и деформаци ями) строятся на основе экспериментальных данных о свойствах материала.

Одной из основных характеристик свойств твердых деформируемых тел яв ляется диаграмма одноосного растяжения/сжатия. Для получения такой диа граммы используются круглые или плоские образцы.

Рис. 2.1: Образец для испытаний на одноосное растяжение/сжатие.

На рисунке 2.1 показан такой образец. Торцы образца помещаются в захва ты, к которым прикладывается растягивающая/сжимающая сила P. На некото ром удалении от захватов напряжения и деформации с достаточной точностью распределены равномерно по сечению образца. Та часть образца, на которой напряжения и деформации распределены равномерно по сечению образца, на зывается рабочей частью. Длина рабочей части на рисунке 2.1 обозначена через L0, D0 — диаметр круглого образца.

Учитывая равномерное распределение напряжений и деформаций по попе речному сечению рабочей части образца, можно определить напряжения и де формации следующим образом l l0 l P (2.1) =, = =, F0 l0 l 58 Глава 2. Основы теории пластичности где F0 — площадь поперечного сечения, l — удлинение/укорочение рабочей части образца. Измеряя в эксперименте силу P и величину l, можно постро ить диаграмму одноосного растяжения/сжатия.

На рис. 2.2 приведены диаграммы растяжения мягкой стали и меди при комнатной температуре [4]. Как видно, характер этих кривых совершенно раз личный. На диаграмме растяжения мягкой стали точка A соответствует так называемому пределу пропорциональности и лежит несколько ниже токи B — предела упругости, после которого появляются остаточные деформации и удли нения быстро увеличиваются. После точки B имеется "площадка текучести "BC. За точкой C напряжения вновь возрастают. Участок CD соответствует состоянию упрочнения материала.

Рис. 2.2: Диаграммы одноосного растяжения мягкой стали и меди при комнатной темпера туре.

Если после некоторого достигнутого значения нагрузки P ее уменьшать, то кривая разгрузки ABC, близка к прямой линии (рис. 2.3).

Рис. 2.3: Диаграмма одноосного деформирования при нагружении, разгрузке и повторном нагружении.

2.1. Диаграммы одноосного растяжения Для большинства конструкционных материалов на кривой можно от метить несколько характерных точек (рис. 2.4,а), соответствующих различным уровням напряжений. Предел пропорциональности — такой уровень напряже ния, что при напряжениях, меньших этого значения, зависимость напряжения от деформации линейная = E, где E — коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости, или модулем Юнга. Предел упругости — такой уровень напряжения, что при напряжениях, меньших этого значения, не возни кает остаточных напряжений (деформации полностью обратимы). Для многих конструкционных материалов эти два значения различаются незначительно.

Одной из важных характеристик материала является предел текучести.

Предел текучести — такое значение напряжения, при значениях выше которого появляются остаточные деформации (а именно, при снятии нагрузки в образ це остаются не равные нулю деформации). На рисунке 2.4,а пределу текучести соответствует точка A. Значение этого напряжения существенно зависит от точ ности аппаратуры, с помощью которой производятся измерения. Часто предел текучести определяется следующим образом. Строится диаграмма, затем проводится прямая, параллельная упругому участку диаграммы и отстоящая по оси от начала координат на некоторую величину, например, равную 0.002, что соответствует 0.2% деформации. Точка пересечения этой прямой с кривой и определяет предел текучести, который обозначен как ys 0.2%.

Рис. 2.4: Кривые одноосного растяжения: а) характерные точки на кривой, б) "инже нерная" - диаграмма и "истинная" ист ист - диаграмма.

Значение предела текучести в зависимости от материала изменяется в очень широких пределах. Так для различных марок стали предел текучести изменя 60 Глава 2. Основы теории пластичности ется в пределах от 300 Мпа до 1000 Мра. Для отоженной меди предел текучести равен примерно 70 Мпа.

Точка C соответствует напряжению, которое называется временным сопро тивлением. На участке AC происходит упрочнение материала. Для ряда ма териалов участку упрочнения предшествует площадка текучести (диаграмма одноосного растяжения железа на рис. 2.2).

Участок CD соответствует интенсивному изменению длины рабочей части и диаметра образца. При этом остаточные (пластические деформации) лока лизуются в середине рабочей части образца (происходит образование "шейки— резкое уменьшение диаметра поперечного сечения в середине рабочей части).

Точка E соответствует разрушению образца.

Введенные в (2.1) напряжение и деформация называются инженерными, а приведенные выше диаграммы инженерными диаграммами одноосного рас тяжения. При определении напряжения в (2.1) приложенная сила P относится к площади недеформированного образца, а при определении деформации удли нение l относится к исходной длине рабочей части. На самом деле и площадь поперечного сечения и длина рабочей части образца изменяются при увеличе нии нагрузки. Причем, чем выше нагрузка, тем сильнее эти изменения.

При обработке экспериментальных данных используются и так называемые истинные напряжения и деформации:

P l (2.2) ист =, ист = ln, F l где F — текущая площадь поперечного сечения образца, l — текущая длина ра бочей части образца. Диаграмма одноосного напряжения ист ист приведена на рисунке 2.4,б. Как видно, на этой диаграмме отсутствует участок разупроч нения.

Эксперименты на сложное нагружение.

При экспериментальном изучении поведения материалов при сложном напря женном состоянии используются образцы в виде тонкостенных трубок (Рис.

2.5). При одновременном нагружении тонкостенного трубчатого образца про дольным усилием P, крутящим моментом M и внутренним давлением p в его стенке можно вызвать напряженное состояние незначительно отличающееся плоского напряженного состояния. Это различие тем меньше, чем меньше от 2.1. Диаграммы одноосного растяжения ношение h/a, где h — толщина трубки, a — ее средний радиус.

Рис. 2.5:

При действии осевого усилия P и скручивающего момента M напряжения будут следующими:

P M 0, z =, z =.

2a2 h 2ah При действии осевого усилия P и внутреннего давления p напряжения будут следующими:

a P p z =, z = 0.

h 2ah Напряжение r, имеющее порядок p, пренебрежимо мало по сравнению с на пряжениями, z, так как a/h 1.

Измеряя деформации в стенке трубы по изменениям диаметра, длины трубы и угла закручивания, можно построить кривые деформирования при сложном напряженном состоянии. В частности, если нагружать трубку только крутя щим моментом M, то в ней создается напряженное состояние, близкое к чи стому сдвигу. Проводя такой эксперимент, можно получить диаграмму "чисто го"сдвига. Предел текучести при чистом сдвиге, вообще говоря, отлича ется от предела текучести при растяжении.

Различают простое и сложное нагружения. При простом нагружении ком поненты тензора напряжения возрастают пропорционально одному параметру.

В этом случае, например в экспериментах с тонкостенными образцами, и внеш ние нагрузки должны возрастать пропорционально тому же параметру. Таким образом, при простом нагружении форма тензора напряжения и его главные направления не меняются.

При сложном нагружении направления главных осей и взаимоотношения главных напряжений могут изменяться.

62 Глава 2. Основы теории пластичности 2.2 Упрочнение и разупрочнение. Поверхность нагруже ния Как мы видели, при одноосном растяжении образца существует такое значение напряжения (предел текучести), что при напряжениях выше этого значения в образце возникают остаточные (пластические деформации).

При исследовании трехмерного напряженного состояния также необходимо знать, какие условия характеризуют переход материала из упругого состояния в пластическое.

Введем шестимерное пространство напряжений, декартовыми координа тами которого являются компоненты симметричного тензора напряжений ij.

Каждому тензору ij соответствует некоторая точка или вектор с началом в начале координат и компонентами ij. В пространстве рассмотрим область Q (рис. 2.6), содержащую начало координат, в которой упругопластический мате риал будем считать упругим, а именно, для любых точек, принадлежащих Q, приращения напряжений связаны с приращениями деформаций законом Гу ка. Пусть — поверхность, ограничивающая область Q. Точки поверхности соответствуют пределу упругости или пластичности. Поверхность для упроч няющегося материала называется поверхностью нагружения [4], [5]. Точку на поверхности, принадлежащую вектору действительного напряженного состо яния, будем называть точкой нагружения.

При деформировании материала поверхность нагружения, вообще говоря, изменяется. При этом в одних направлениях происходит упрочнение материа ла, а в других — разупрочнение. Пусть данному напряженному состоянию соответствует некоторая поверхность нагружения (рис. 2.6).

Рис. 2.6: Упрочнение и разупрочнение материала при пластическом дефрмировании.

Пусть — вектор напряжений, соответствующий любой точке данной по верхности нагружения или внутренней точке области Q. Обозначим через 2.2. Упрочнение и разупрочнение. Поверхность нагружения единичный вектор, соответствующий вектору. Будем говорить, что данное приращение напряжений вызывает упрочнение в некотором направлении, определяемом вектором 0 если в этом направлении предел пластичности по вышается. И материал разупрочненяется, если в данном направлении предел пластичности понижается. На рисунке 2.6 поверхность в результате прира щения напряжений перешла в поверхность +. В направлении вектора 01 материал упрочнился, а в направлении 02 — разупрочнился.

Термин упрочняющееся пластическое тело используется для определения сред, поверхность нагружения которых изменяется при деформировании эле мента тела.

Предположим,что существует конечная система параметров и констант ма териала, определяющая состояние элемента упрочняющейся пластической сре ды ij, T, p, i, ki, (2.3) ij где T — температура, p — компоненты тензора пластической деформации, ij i — параметры упрочнения, ki — константы материала. Для изотермического процесса деформирования T = const, dT = 0. Поэтому для таких процессов температуру T можно не включать в число определяющих параметров, считая что она входит в число констант ki.

Предположим, что уравнение поверхности нагружения можно записать в виде f (ij, p, i, ki ) = 0. (2.4) ij Функция f называется функцией нагружения.



Pages:   || 2 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.