авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
-- [ Страница 1 ] --

Министерство образования Российской Федерации

Уральский государственный технический университет - УПИ

И. И. Ляпилин

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ

КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Учебное пособие

Научный редактор - А.С. Москвин

Екатеринбург

2001

УДК 531.19

ББК 22.31я 7

Л97

Рецензенты:

кафедра теоретической физики УрГУ (зав.кафедрой д-р физ.-мат. наук проф.

А.С.Москвин);

д-р физ.-мат. наук, гл. научн. сотр. В. В. Кондратьев;

д-р физ.-мат. наук, гл. научн. сотр. Н. Н. Бебенин (Институт физики металлов УрО РАН) Автор: И. И. Ляпилин Л97 Введение в теорию кинетических уравнений: Учебное пособие/ И. И.

Ляпилин. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2003. 205 с.

ISBN5-321-00053-0 Учебное пособие является обработанным курсом лекций, читавшимся сту дентам старших курсов УГТУ-УПИ, УрГУ.

В пособии систематически рассматриваются основные законы и важ нейшие приложения неравновесной статистической физики. Материал пособия включает в себя: броуновское движение, вопросы теории случайных процессов, термодинамическую теорию неравновесных процессов, кинетические уравнения в неравновесной статистической механике, теорию линейного отклика, метод неравновесного статистического оператора.

Для студентов и аспирантов физических специальностей, интересующихся проблемами неравновесной статистической механики.

Библиог.: 27 назв. Рис. c Уральский государственный технический универси ISBN5-321-00053- тет -УПИ, c И. И. Ляпилин, Оглавление Предисловие................................................................. Введение..................................................................... 1 Случайные процессы 1.1 Функция распределения......................... 1.2 Уравнение Лиувилля.......................... 1.3 Эволюция функции распределения во времени........... 1.4 Уравнение Смолуховского....................... 1.5 Броуновское движение. Уравнение Ланжевена............ 1.6 Решение уравнения Ланжевена.................... 1.7 Спектральные плотности........................ 1.8 Белый шум (Формула Найквиста).................. 1.9 Уравнение кинетического баланса.................. 1.9.1 Вывод формулы Планка по Эйнштейну........... 1.10 Уравнение Фоккера - Планка..................... 1.10.1 Феноменологическое рассмотрение.............. 1.10.2 Рассмотрение исходя из уравнения Смолуховского..... 1.10.3 Микроскопическое рассмотрение............... 1.10.4 Уравнение Эйнштейна-Смолуховского............ 2 Кинетическая теория разреженного газа 2.1 Уравнение Больцмана.......................... 2.2 Эффективное сечение рассеяния.................... 2.2.1 Концепция столкновений.................... 2.3 Интеграл столкновений......................... 2.4 Инварианты столкновений....................... 2.5 Решение уравнения Больцмана..................... 2.5.1 Решение уравнения Больцмана в поле внешних сил.... 2.6 Н теорема Больцмана......................... 2.7 Сокращенное описание неравновесной системы.......... 2.8 Последовательность функций распределений............ 2.9 Цепочка уравнений Боголюбова.................... 2.10 Корреляционные функции....................... 2.11 Двухчастичная функция распределения....

........... 2.12 Приближение парных столкновений.................. 2.13 Вывод уравнения Больцмана из цепочки уравнений Боголюбова. 2.14 Уравнение Власова........................... 2.15 Собственные колебания электронной плазмы............ 2.16 Уравнения для плотных газов и жидкостей............. 2.16.1 Cуперпозиционное приближение................ 2.16.2 Гиперцепное уравнение..................... 2.16.3 Уравнение Перкуса-Йевика................... 3 Гидродинамическая стадия эволюции неравновесной системы 3.1 Локальное равновесие......................... 3.2 Уравнение переноса Энскога...................... 3.3 Уравнения газовой динамики..................... 3.4 Методы решения уравнения Больцмана............... 3.4.1 Метод Энскога-Чепмена.................... 3.4.2 Моментный метод Грэда.................... 3.4.3 Приближение времени релаксации.............. 4 Кинетические уравнения для электронов в кристаллах 4.1 Условия применимости кинетического уравнения.......... 4.2 Газ Лоренца............................... 4.3 Решение кинетического уравнения в отсутствие магнитного поля. 4.4 Решение кинетического уравнения в произвольном неквантую щем магнитном поле........................... 4.5 Общие выражения основных кинетических коэффициентов.... 4.6 Кинетические коэффициенты в магнитном поле........... 4.7 Кинетическое уравнение для электронов проводимости, взаимо действующих с фононами........................ 4.8 Увлечение носителей заряда фононами............... 4.9 Уравнение баланса импульса...................... 4.10 Уравнение баланса энергии....................... 5 Матрица плотности 5.1 Уравнения движения для матрицы плотности............ 5.2 Необратимые процессы, обусловленные механическими возмуще ниями................................... 5.3 Линейная реакция системы на внешнее возмущение........ 5.3.1 Случай классической статистики............... 5.3.2 Случай квантовой статистики................. 5.4 Вычисление электропроводности.................... 5.5 Вычисление проводимости в приближении времени релаксации.. 5.6 Линейный отклик и функции Грина................. 5.7 Высокочастотная магнитная восприимчивость............ 6 Метод неравновесного статистического оператора 6.1 Неравновесный и квазиравновесный статистические операторы.. 6.2 Экстремальные свойства квазиравновесного распределения.... 6.3 Термодинамика квазиравновесного распределения......... 6.4 Уравнение Лиувилля для НСО.................... 6.5 Линейные релаксационные уравнения в методе НСО....... 6.5.1 Малое отклонение системы от равновесного состояния... 6.5.2 Слабое взаимодействие между подсистемами........ 6.6 Интегральные уравнения и теория возмущений для НСО..... 6.7 Релаксационные процессы....................... 7 Проекционные операторы 7.1 Метод проекционных операторов Мори................ 7.2 Вычисление электропроводности с использованием метода проек ционных операторов Мори....................... 7.3 Высокочастотная восприимчивость.................. 7.4 Линейные релаксационные уравнения в методах НСО и Мори.. 7.5 Kинетическое уравнение Цванцига.................. 7.6 Метод Робертсона............................ 7.7 Применение ОКУ для вычисления кинетических коэффициентов 8 Двухвременные функции Грина 8.1 Запаздывающие функции Грина.................... 8.2 Спектральные представления для функций Грина......... 8.3 Правила сумм.............................. 8.4 Симметрия функций Грина....................... 8. Соотношения взаимности Онсагера.................. 8. Флуктуационно-диссипационная теорема............... 8. Приложения............................... 8.7.1 Вычисление интеграла..................... 8.7.2 Вычисление корреляционной функции............ Приложение............................................................... Литература................................................................ Предисловие Предлагаемое учебное пособие предназначено студентам, изучающим курс неравновесной статистической механики (физической кинетики), и написано по материалам лекций, которые автор читал на протяжении ряда лет на физико техническом факультетете УГТУ-УПИ и на физическом факультете УрГУ. Ав тор надеется, что пособие будет также полезно как аспирантам, так и научным работникам, интересующимся возможностями, которые открывает перед ними метод кинетических уравнений.

Следует отметить, что число монографий и руководств по статистической механике неравновесных систем достаточно много, но нет такого, который цели ком отвечал бы задачам семестрового курса, читаемого на физико-техническом факультете УГТУ-УПИ.

Учебное пособие дает сравнительно краткое систематическое изложение основных идей и методов неравновесной статистической механики, которые ин тенсивно разрабатывались последние десятилетия как для квантовых, так и для классических систем. Что же касается вопросов, которые рассматриваются в данной книге, то автор попытался выдержать баланс между "классически ми"и новыми результатами. По мнению автора, заметная доля нового должна обязательно содержаться в любом курсе, если автор хочет избежать не только сухого изложения установленных истин, но и осветить перспективы современ ных исследований.

Предполагается, что читатель активно владеет аппаратом классической и квантовой механики, а также термодинамики. Хотя следует отметить, что математические выкладки здесь не сложнее, чем в обычных курсах квантовой механики.

Следует заметить, что ввиду ограниченности объема пособия, в нем из лагаются самые необходимые сведения об основных динамических уравнениях движения систем, состоящих из большого числа частиц. Достаточно полно про анализированы условия применимости кинетических уравнений. Следует ска зать несколько слов о принципах отбора представленного читателям материа ла. В настоящее время студенты слушают, как правило, сравнительно неболь шой курс статистической механики. Поэтому весьма затруднительно за столь небольшой промежуток времени представить им основные идеи и методы по строения основных кинетических уравнений. Для достижения поставленной за дачи необходимо в значительной мере опираться на те знания, которые получе ны студентами при изучении других курсов физики и математики. Представля ется также важным выделение среди многих методов построения кинетических уравнений изложение в учебном пособии как тех, которые стали классическими, так и других, окончательное становление которых еще далеко от завершения.

Именно с этой точки зрения в пособии уделено много внимания как выводу классического кинетического уравнения Больцмана, построению цепочки урав нений для последовательности неравновесных функций распределения, так и достаточно полному освещению метода построения неравновесного статистиче ского оператора. В той мере, насколько позволил объем пособия, рассмотрены как выводы основных кинетических уравнений, так и вычисления основных ки нетических коэффициентов, определяющих перенос заряда и тепла в твердых телах.

Учебное пособие состоит из семи глав, отражающих различные аспекты теории. Первая глава посвящена теории стохастических процессов. Излагает ся классическая теория броуновского движения. Представлен вывод уравнения кинетического баланса. Всесторонне рассмотрено уравнение Фоккера-Планка.

Классический подход Больцмана описания кинетических процессов в разрежен ных газах и основные свойства кинетического уравнения Больцмана составляет основное содержание второй главы. Здесь же достаточно подробно представлен метод Боголюбова для описания более плотных систем с помощью последова тельности функций распределения;

кратко анализируются различные прибли жения, используемые при описании плотных газов или жидкостей. Основные приближенные методы решения кинетических уравнений рассмотрены в главе три. В главе четыре представлены решения кинетического уравнения в металле как в отсутствие магнитного поля, так и в произвольном неквантующем маг нитном поле. Вводятся общие выражения для кинетических коэффициентов.

Анализ влияния линейной реакции системы на внешнее механическое возмуще ние, как для классических, так и для квантовых систем составляет содержание пятой главы. Краткое введение в теорию двухвременных функций Грина, ко торые широко используются при описании различных кинетических явлений, представлено в главе шесть. Наконец, седьмая глава посвящена сравнительно новому подходу к описанию неравновесных процессов - методу неравновесного статистического оператора, который получил развитие в последние десятиле тия.

Итак, можно сказать, что в учебном пособии весьма широко рассмотрены многочисленные вопросы теории кинетических методов. Оно может служить достаточно полным введением, раскрывающим основы применяемых подходов и методов различных областей неравновесной статистической физики.

Автор отдает себе отчет в том, что предлагаемое пособие не безупречно.

Однако он считал бы свою выполненной, если бы у читателя сложилось яс ное представление об основных идеях применения кинетических уравнений и он оказался бы достаточно подготовленным для самостоятельного применения теории и изучения современных работ.

Введение Основу физической кинетики составляет изучение процессов в макроско пических телах, т.е. в системах, состоящих из очень большого числа частиц.

В качестве понятия "большого"выступает число Авогадро (N 1023 1/моль).

Выявление закономерностей, называющихся статистическими, т.е. тех, которые управляют процессами в таких системах, и есть основная задача физической кинетики как одного из разделов неравновесной статистической физики. В ста новлении неравновесной статистической физики можно выделить два этапа:

- первый - создание статистической физики равновесного состояния, когда функция распределения, а следовательно, и средние значения физических ве личин (моментов) не зависят от времени. Основные результаты на этом этапе были получены в работах Максвелла, Больцмана, Гиббса;

- второй - создание кинетической теории разреженных газов. Здесь в первую очередь следует отметить работы Больцмана, который исходя из общих пред ставлений механики о взаимодействиии молекул газа посредством парных столкновений, вывел свое знаменитое интегро-дифференциальное уравнение для функции распределения частиц по скоростям. Кинетическое уравнение Больцмана для функции распределения, зависящей от координат и скоростей атомов газа, представляет собой математичнскую формулировку статистиче ского закона изменения во времени и пространстве распределения молекул по скоростям, обусловленное как внешними воздействиями сил и полей, действу ющих на частицы газа, так и благодаря взаимодействию частиц друг с другом вследствие их столкновений. Уравнение Больцмана описывает, в частности, вре менную эволюцию, которая приводит к установлению равновесного состояния с распределением Максвелла по скоростям. Используя кинетическиое уравне ние Больцману удалось доказать, что энтропия системы газа в процессе эволю ции возрастает. Таким образом, был скрыт как статистический смысл понятия энтропии, и показано, что процесс установления равновесия в газе является существенно необратимым, так и установлена связь энтропии с вероятностью состояний ансамбля частиц. Значительное число последовавших работ по ки нетической теории газов было связано с разработкой общих методов его ре шения. Здесь следует отметить работы Гильберта, Энскога, Чепмена,в работах которых фактически было реализована идея о том, что все макроскопические гидродинамические свойства газов могут быть получены исходя из данных о свойствах молекул газа и их взаимодействия. Следует также отметить, что с помощью решения кинетического уравнения удалось как объяснить экспери ментально обнаруженные явления в газах, так и предсказывать новые законо мерности.

Следует принять во внимание, что основные посылки неравновесной ста тистической физики были написаны до создания квантовой механики, поэтому в ее основе, естественно, лежали уравнения движения Ньютона. Возможности неравновесной статистической физики существенно расширились после разви тия квантовой механики, когда стали возможными расчеты, принимающие во внимание внутреннее строение атомов и молекул, а также учет квантового ха рактера движения частиц. В качестве существенного вклада на этом пути сле дует отметить работы Эйнштейна, рассмотревшего на примере простейшей мо дели взаимодействие атомов с электромагнитным излучением.

Следует подчеркнуть один важный момент: как кинетическое уравнение Больцмана, так и уравнение Эйнштейна были получены для довольно простей ших систем (разреженный газ) при целом ряде интуитивных предположений, справедливость которых не очевидна. Последующие шаги в развитии неравно весной статистической физики, которые были выполнены значительно позже, привели к разрешению многих трудных вопросов. Проблема обоснования ки нетической теории привлекла к себе большое число исследователей. В первую очередь здесь надо отметить работы таких ученых как Н.Н Боголюбова, А.А.

Власова, Кирквуда, Л.Д.Ландау и др. Особо следует отметить вклад в решение проблемы обоснования кинетической теории газов, который был сделан Боголю бовым, которму удалось развить весьма общий метод построения кинетических уравнений для газов. Эта задача решена в работе Н.Н. Боголюбова "Пробле мы динамической теории в статистической физике"(1946). Благодаря данной работе стало понятно, как, исходя из обратимых уравнений механики, можно получить уравнения, описывающие необратимые процессы. Стали также понят ны те допущения и пределы, при которых эти уравнения имеют место, а также условия применимости всех известных к тому времени кинетических уравнений:

уравнения Больцмана для разреженного газа, кинетического уравнения Ландау для системы заряженных частиц, взаимодействующих по закону Кулона, или, например, кинетического уравнения Власова, описывающего полностью иони зованную плазму.

Обратимся теперь непосредственно к физической кинетике. Какие вопро сы прежде всего требуют своего решения в этом разделе неравновесной стати стической физики?

Центральная проблема неравновесной статистической механики - это про блема необратимости процессов в природе, в силу которой существует выде ленное направление времени ( от прошлого к настоящему). Проблема необра тимости впервые была осознана около ста лет назад, когда Людвиг Больцман попытался обосновать статистическое описание временной эволюции систем, со стоящих из большого числа частиц. Проблема может быть сформулирована следующим образом: как на основе обратимых уравнений движения для мак роскопических процессов объяснить наблюдаемую их необратимость?

При изучении неравновесных процессов возможны два принципиально раз личных подхода: феноменологический и микроскопический. При феноменоло гическом подходе задача состоит в установлении связей между макроскопи ческими параметрами без использования в явном виде атомно-молекулярных представлений. Однако в отличие от термодинамики равновесных процессов в неравновесной термодинамике основную роль играют потоки различных тер модинамических величин ( энергии, массы, тепла, импульса, энтропии и т.д.).

Именно установление связей между потоками различных величин и между ко эффициентами, фигурирующими в этих соотношениях, и является основным содержанием термодинамики неравновесных процессов.

Микроскопический подход основан на атомно-молекулярных представле ниях и использует введенное в статистической физике описание состояния с помощью функций распределения. Однако функции распределения в неравно весном состоянии отнюдь не совпадают с найденными в статистической физике равновесными функциями распределения и в общем случае нестационарных со стояний зависят от времени. Следует подчеркнуть, что неравновесные функции распределения могут зависеть также и от координат даже в отсутствие внеш них полей, тогда как в равновесном состоянии при отсутствии внешних полей распределение является однородным в пространстве. Кинетический подход к изучению неравновесных состояний является более глубоким и должен давать обоснование формальным методам неравновесной термодинамики.

Таким образом, основными проблемами кинетики являются:

- во-первых, нахождение уравнений, определяющих изменение функции рас пределения в пространстве и во времени;

- во-вторых, установление связей между функцией распределения и макро скопическими величинами (потоками). Подчеркнем, что в процессе эволюции неравновесные функции распределения должны переходить в равновесные, ес ли отсутствуют внешние воздействия, которые поддерживают неравновесное состояние.

В заключение следует отметить, что неравновесная статистическая физика не является застывшим разделом теоретической физики. Она все более и более проникает в смежные с физикой разделы: в химию, биологию и т.д., служит инструментом для объединения самых различных областей, таких, например, как синергетика. Этот собирательный образ был дан Хакеном для объединения самых различных проблем самоорганизации в системах, состоящих из большого числа любых объектов.

Глава Случайные процессы Есть события, о реализации которых можно говорить с большей или мень шей степенью вероятности. Можно сказать, что случайные процессы - это про цессы, при которых несмотря на то, что можно знать о состоянии системы во все предыдущие моменты, нельзя дать однозначного ответа о ее развитии в после дующем. Мы можем только более или менее предсказать ее эволюцию. Иными словами, развитие системы может происходить различными путями. Типичным примером таких процессов являются, например, случайные блуждания.

Остановимся на характерных чертах случайных процессов (СП). Пусть величина A в заданные моменты времени ti принимает значения a(ti ) из неко торого множества всех состояний. Это значение называется ее реализацией. Ве личина A может естественно меняться во времени. В момент t2 t1 вместо воз можного состояния a1 (t2 ) может быть реализовано состояние a2 (t2 ), (a1 = a2 ).

Процесс - это изменение состояния во времени. Если возникают дискрет ные состояния ai в дискретные моменты времени ti, реализация процесса зада ется последовательностью ai (ti ). Если же речь идет о непрерывной переменной a, зависящей от времени, то реализация процесса описывается функцией a(t).

При случайных процессах каждой возможной последовательности ai (ti ) ставит ся в соответствие вероятность P (a1, t1 ;

an, tn ) ее реализации, а каждой возмож ной функции a(t) - функционал вероятности Pn [a(t)].

Для классификации случайных процессов важное значение имеют следую щие возможности:

- процесс с полностью независимыми значениями. В данном процессе отсутствует корреляция между событиями, происходящими в различ ные моменты времени. Это означает, что между такими событиями не суще ствует причинной связи. Очевидно, что при таких процессах P (a1, t1 ;

an, tn ) = P (a1, t1 )P (a2, t2 )........P (an, tn ).

При изучении случайных процессов часто используют понятие условной ве роятности P (a1, t1...;

an, tn |an+1, tn+1 ), которая представляет собой вероятность перехода в состояние an+1 в момент времени tn+1 при условии, что в моменты t1.....tn реализуются состояния a1.....an соответственно;

- марковский процесс - описывающий причинную связь между событиями, происшедшими в различные моменты времени. Если условная вероятность (ве роятность перехода) из точки (x1, t1 ) в точку (x2, t2 ) зависит только от этих двух точек, процесс называется марковским. Если процесс зависит от процес сов, предшествующих (x1, t1 ), то процесс является не-марковским.

Математическое ожидание E(X), называемое также ожидаемым зна чением, средним значением или первым моментом, определяется следующим выражением:

E(X) = X() P (), где X() - случайная переменная;

P - вероятность выборочной точки, и сумми рование производится по всем точкам выборочного пространства.

Определение среднего (или математического) ожидания может быть обоб щено и на случай непрерывной переменной от функции (x):

+ E [(x] = () f () d.

Для случайной переменной A можно образовать моменты Mn распределения вероятностей + Mn = An = da P (a) An.

Угловые скобки означают усреднение функции случайной переменной A по со ответствующему распределению вероятностей P (a).

Важным частным случаем распределения является нормальное ( гауссово) x 1 1 e 2 u du.

F (x) = Наконец, весьма важной характеристикой случайных процессов (величин) яв ляется дисперсия, определяемая соотношением E [( X E(X) )2 ] = 2.

Центральная предельная теорема Пусть Xj, j 1 последовательность взаимно независимых случайных величин, которые имеют одинаковые распределения вероятностей. Предпо ложим, что среднее значение m и дисперсия каждого Xj конечны. Сумма Sn = X1 + · · · + Xn, n 1 также является случайной переменной. Поскольку случайные переменные взаимно независимы, для среднего находим E(Sn ) = n · m, а для дисперсии 2 (Sn ) = n · 2.

Организуем новую комбинацию случайной переменной Sn n m Yn =.

n Величина Yn, как нетрудно заметить, имеет нулевое среднее значение и диспер сию равную единице.

Центральная предельная теорема устанавливает распределение вероятно стей Yn для предельного случая n в следующем виде:

b 1 2 / eu lim P (x Yn x + dx) = du.

n a В физике это соотношение используется в следующем виде. Пусть a = x, b = x + dx. Интеграл в правой части может быть приближенно вычислен, и результат будет таков:

1 lim P (x Yn x + dx) = ex /2 dx.

n Словесная формулировка теоремы при этом следующая: в пределе n ве роятность того, что Yn лежит в интервале x · · ·, x + dx, дается гауссовой плот ностью, умноженной на интервал dx.

1.1 Функция распределения Кинетическая теория газов рассматривает закономерности, которые ха рактеризуют систему состоящую из большого числа частиц (молекул). Выяв ление вероятностных (статистических) закономерностей проще всего изучать исходя из существования распределений газа по различным состояниям, ко торые характеризуются функциями распределения. Рассмотрим одноатомный газ, находящийся в неравновесном состоянии. Состояние газа описывается со вокупностью N изображающих точек в шестимерном пространстве, перемеща ющихся по фазовым траекториям. Введем функцию распределения f (,, t), rp которая явно зависит от времени (для простоты не будем принимать во внима ние внутренние степени свободы частиц газа). Смысл функции распределения f (,, t) заключается в том, что rp f (,, t) d d rp rp -представляет собой число частиц с координатами и импульсами, лежащими в момент времени t в интервале d d около точки (, ) шестимерного rp rp фазового пространства. Очевидно, что интеграл по всему пространственному объему газа V и по всем возможным значениям импульсов частиц будет равен полному числу частиц газа:

f (,, t) d d = N.

rp pr Пространственная плотность числа частиц = (r, t) связана с функцией распределения соотношением (r, t) = f (r, p, t) dp.

Для плотности числа частиц в пространстве импульсов имеем w(p, t) = f (r, p, t) dr.

Если газ состоит из нескольких сортов частиц, то для каждого сорта частиц используется своя функция распределения f (r, p, t). При этом условие нор мировки для такого вида распределения имеет вид f (r, p, t) dr dr = N, где N число частиц -го сорта.

Успешное использование функций распределения в кинетической теории газа возможно только в том случае если известны физические законы, по ко торым такие функции меняются. Иными словами необходимо установить вид уравнений, которым такие функции распределения подчиняются. Именно та кие уравнения и называются кинетическими.Таким образом, нахождение функ ции распределения и ее зависимости от координат и времени представляет цен тральную задачу физической кинетики. Заметим, что нахождение функции рас пределения для неравновесных состояний является более сложной задачей, чем определение функции распределения в равновесном состоянии. Действитель но, в равновесном состоянии имеет место универсальное решение в виде рас пределения Гиббса, в то время как в неравновесных состояниях многообразие различных внешних воздействий приводит к тому, что не существует никаких универсальных выражений для функции распределения.

1.2 Уравнение Лиувилля Возможность введения функции распределения как плотности вероятности основана на теореме Лиувилля - чисто механической теореме. Суть теоремы Лиувилля состоит в следующем. Для систем, подчиняющихся уравнениям ме ханики в гамильтоновой форме, фазовый объем статистической системы в про цессе ее эволюции остается постоянным. Можно сказать что если в некоторый момент времени фазовые точки заполняли некоторый объем Xo в фазовом про странстве, а в момент времени t они заполняют объем Xt, то соответствующие объемы равны между собой:

dXo = dXt.

Xo Xt Таким образом, движение фазовых точек, изображающих системы в фазовом пространстве, подобно движению несжимаемой жидкости.

Рассмотрим временную эволюцию функции распределения f (XN, t) (XN =, -координата в фазовом пространстве). Очевидно, что она происходит rN pN благодаря изменению со временем расположения точек X1...XN, которые ха рактеризуют ансамбль в разные моменты времени. Поскольку число ансамблей не изменяется, то движение фазовых точек в 6N мерном фазовом простран стве можно рассматривать как движение жидкости с плотностью fN (X, t). Оче видно, что при этом скорость течения будет представляться вектором в этом пространстве r1...rN ;

p1..pN. Уравнение непрерывности в фазовом пространстве имеет обычный вид fN + divX X fN (X, t) = 0 (1.1) t или, в развернутом виде, fN + ( i fN ) + (pi fN ) r = 0. (1.2) t ri pi 1iN Стоящий под знаком суммы член можно переписать в виде r+ v fN + r fN + v fN. (1.3) r v r v Если теперь использовать уравнения движения H H r=, p=, p r то нетрудно убедиться, что первый член этого выражения тождественно равен нулю, и для функции распределения мы имеем уравнение Лиувилля H fN H fN fN +. (1.4) t p r r p 1iN Выражение, стоящее под знаком суммы, называется скобкой Пуассона для функций H и fN. Следовательно, уравнение Лиувилля можно представить в виде fN + [H, fN ] = 0. (1.5) t Заметим, что для ситуации статистического равновесия f и H не зависят явно от времени и уравнение (1.5) имеет вид [H, fN ] = 0, т.е. функция распределения в этом случае является интегралом движения.

Уравнение Лиувилля является основным для построения статистических ансамблей как в равновесном, так и в неравновесном случае. Оно позволяет вы числить функцию распределения в любой момент времени t, если она известна в момент времени t = t(0). Кроме того, это уравнение позволяет, что очень важно, вычислить отклик системы на внешние возмущения.

Для нахождения решения уравнения Лиувилля в общем случае надо знать решения уравнений движения Гамильтона. Эта задача для систем макроско пических практически не разрешима. Поэтому переход от уравнений механики к уравнению Лиувилля не приводит, вообще говоря, к упрощению без исполь зования дополнительных условий. Смысл этих условий состоит в том, чтобы, отказавшись от полного решения задачи, эквивалентного решению уравнений Гамильтона, найти приближенные решения, описывающие статистические за кономерности.

1.3 Эволюция функции распределения во вре мени Для изучения эволюции ФР во времени удобно представить уравнение Ли увилля в следующем виде:

fN i = L fN, (1.6) t где L - линейный оператор, определяемый соотношением i L fN = [H, fN ]. (1.7) Он называется оператором Лиувилля. Оператор Лиувилля эрмитов, поэтому можно использовать все свойства эрмитовых операторов.

Если известно значение функции распределения в момент времени t = 0, то оператор Лиувилля позволяет записать формальное решение уравнения Лиувилля. Оно имеет вид f (r, p, t) = eitL f (r, p, 0) (1.8) при условии, что оператор L не зависит от времени.

Пусть динамическая величина A(x, p, t) явно зависит от времени. Найдем уравнение движения для нее. Имеем dA A = + [A, H]. (1.9) dt t Найдем среднее значение от производной величины А:

A = A(x, p, t) f (x, p, t) dX. (1.10) Дифференцируя уравнение (1.10) по времени и используя уравнение Лиувилля для функции распределения, находим d A A = + [A, H] f (x, p, t) dX, (1.11) dt t т. е.

d dA A =. (1.12) dt dt Если А не зависит явно от времени, то dA = [A, H] = i L A, (1.13) dt т.е. динамические переменные удовлетворяют уравнению, подобному уравне нию Лиувилля, но с обратным знаком перед скобкой Пуассона.

Если мы знаем величину A(0) в начальный момент времени (при t = 0) и если оператор Лиувилля L не зависит явно от времени, то из (1.13) следует, что A(t) = eitL A(0), (1.14) т.е. оператор Лиувилля позволяет выразить эволюцию динамических перемен ных во времени.

Оператор exp(itL) называют оператором эволюции. При действии им на произвольную функцию F (x(0), p(0)) он переводит ее в F (x(t), p(t)), т.е.

exp(itL) [F (x(0), p(0))] = F (x(t), p(t)), где x(t), p(t) - решения уравнения Гамильтона с не зависящим явно от времени и с начальными условиями, которые мы имеем.

1.4 Уравнение Смолуховского В классической кинетике существует два метода рассмотрения неравновес ных процессов, один из которых пригоден для описания явлений в разреженных газах ( метод кинетического уравнения Больцмана), а другой позволяет описы вать плотные газы ( уравнения Смолуховского, Фоккера-Планка).

Для определения критерия, позволяющего определить границы примени мости того или иного метода можно воспользоваться понятием длины свободно го пробега l, как некоторого среднего расстояния проходимого частицей между двумя последовательными столкновениями. Длина свободного пробега имеет порядок величины l 1/(ro n), где n плотность числа частиц в газе, ro -радиус действия межмолекулярных сил. Для разреженного газа выполняется критерий l ro. при этом выполняется и условие, что время свободного пробега зна чительно превышает время взаимодействия двух частиц o, т.е. процесс столкно вения можно считать мгновенным. При этом в процессе столкновения изменение координат сталкивающихся частиц xi = v o может считаться равным нулю.

В тоже время изменение проекции импульса частиц (или скорости) pi = Fi o имеет конечное значение. Таким образом, в данном приближении столкновение приводит к скачкообразному изменению импульса частиц.Очевидно, что в этом случае фазовая точка, изображающая частицу в фазовом пространстве скач ком будет переходить из одного положения в другое. Можно считать, что в этом случае в фазовом пространстве существуют источники и стоки функции распределения, мощность которых определяется столкновениями между части цами.

Если l ro, то понятие столкновений ввести нельзя, поскольку молекула постоянно находится в поле действия других молекул. Поэтому влияние мо лекулы на распределение остальных молекул незначительно. Задача при этом сводится к нахождению функции распределения частиц системы, при котором движение одной частицы происходит в поле, созданном остальными частица ми. Благодаря движению частиц это поле флуктуирует, и движение выбранной частицы является стохастическим (вероятностным).

Для таких процессов можно ввести понятие вероятности перехода частицы из точки x в интервал dy вблизи точки y за время (dy -элемент объема в про странстве). Рассматривая марковский процесс (связь существует только между двумя последовательными событиями, но не зависит от предшествующих), для вероятности перехода имеем dw = W (y, x,, t) dy, где W -плотность вероятности перехода из точки x в точку y за время, t время выхода из точки x.

Рассмотрим последовательный переход частицы из x y через z за время t + (t -время перехода из x z, а - время перехода из z y).

Поскольку процессы перехода между точками независимы, то для вероят ности перехода имеем W (y, z, |to + t +, to + t)W (z, x|t, to ) dz dy.

Рис. 1.1: Уравнение Смолуховского. Суммирование ведется по всем возможным промежуточным состояниям Полную вероятность перехода W (y, x, to + t +, to ) можно найти, проинтегри ровав произведение вероятностей по всем положениям промежуточной точки z.

Для функции W мы получаем нелинейное интегральное уравнение:

W (x, y|to + t +, to ) = dz W (y, z, |to + t +, to + t) W (z, x|t, to ). (1.15) Это уравнение называют уравнением Смолуховского (1906) ( более точно уравнение Чепмена-Колмогорова-Смолуховского). Оно имеет простой физиче ский смысл. Вероятность непрерывного процесса (траектории частицы) попасть из точки xi при ti в точку xk при tk складывается из вероятностей пройти при tn, (ti tn tk ) через все точки ( xn ).

Уравнение Смолуховского можно сформулировать следующим образом:

Вероятность перехода за два последовательных во времени шага равна произведению вероятности перехода из исходного состояния в некоторое про межуточное состояние и вероятности перехода из этого промежуточного состояния в конечное, причем по всем промежуточным состояниям произво дится суммирование (или интегрирование).

Уравнение Смолуховского - это нелинейное интегральное уравнение. Оно имеет весьма общий характер, и область его применимости достаточно широка.

Следует отметить, что при выводе этого уравнения мы использовали только определение вероятности перехода для марковского процесса и теоремы умно жения и сложения вероятностей.

Рассмотрим важный физический закон - принцип детального равновесия.

Как мы знаем, эволюция системы во времени определяется законами классиче ской или квантовой механики. Для замкнутых систем эти законы симметрич ны относительно инверсии времени, т.е. замене (t t). При такой инверсии начальное и конечное состояние системы меняются местами. Очевидно, что в этом случае вероятности прямого и обратного перехода x y и y x также должны быть одинаковыми. Следовательно, функция W (y, x|t, t1 ) должна быть симметричной относительно первой пары аргумента:

W (y, x|t, t1 ) = W (x, y|t, t1 ).

Именно это утверждение и носит название принцип детального равновесия. В такой форме он справедлив для замкнутой системы частиц без спина.

1.5 Броуновское движение. Уравнение Ланжеве на Историческая справка. 1827г. - Броун описал движение цветочной пыль цы в воде. 1827г. - Дельсо высказал мнение, что броуновское движение обу словлено столкновениями частиц с молекулами жидкости.1863г.- Винер рас смотрел броуновское движение с позиций молекулярно-кинетической теории.

1905г. - Эйнштейн построил количественную теорию броуновского движения 1. Характерной особенностью броуновского движения является то, что ско рость частицы все время меняется по направлению. Если отметить положения частицы в моменты времени 0, t1, t2, · · ·, а затем соединить эти положения пря мыми линиями, то мы получим в результате весьма ломанную линию. Следует заметить, что если отмечать положения частицы через меньшие интервалы вре мени, то каждый прямой отрезок в свою очередь также превратится в ломанную линию.

Броуновское движение (БД) - движение "крупной тяжелой частицы в сре де легких частиц. Такая частица одновременно взаимодействует сразу с боль шим числом частиц среды. В результате чего под действием общей равнодей ствующей силы броуновская частица совершает два типа "случайных блужда ний": флуктуации общей величины равнодействующей приводят к трансляци онному броуновскому движению;

флуктуации момента равнодействующей силы - к вращательному броуновскому движению. В математическом описании эти процессы во многом эквивалентны. Ниже мы ограничимся в основном рассмот рением только первого типа броуновского движения, как наиболее простого в изложении.

Возможны различные пути описания БД - микроскопический и феноме нологический, который более нагляден и заключается во введении в динами ческое уравнение дополнительных "источников"случайных сил, описывающих взаимодействие броуновской частицы (БЧ) со средой.

Рис. 1.2: Вид броуновского движения 2. Прежде чем приступить к исследованию движения броуновской частицы попробуем сопоставить ей следующую простую модель. Пусть точка за время t смещается в пространстве N раз и каждое ее смещение происходит независимо от остальных и равновероятно по всем направлениям. Вектор результирующего смещения запишем в виде N R= ri, (1.16) i= где ri -i-e смещение точки. Найдем величину L = R2 (средний сдвиг при N элементарных, равновероятных по направлению смещениях). Скобки, · · · означают усреднение по ансамблю смещений. Очевидно имеем N N R = ri + ri · rk.

i=1 i= k Виду независимости направлений i-го и k-го смещений имеем ri · rk = ri · rk · cos ik = 0.

Таким образом, получаем N ri 2 = N a2 = a2 t, R = i= где a2 средний квадрат элементарного смещения, = N/t частота смещений (число смещений в единицу времени).

Таким образом, для величины L, получаем L = a N = a t, т.е. средний сдвиг при таком движении пропорционален не N, а N.

3. Исследуем теперь задачу о движении броуновской частицы по методу Ланжевена. Прежде всего отметим, что движение броуновской частицы в жид кости или газе характеризуется несколькими временами:

- время соударения частицы с частицей среды 1012 сек.

- время между отдельными взаимодействиями 1016 сек.

- время исчезновения информации о начальном состоянии 1010 сек.

Сравнивая эти времена мы видим, что и. Именно наличие такой иерархии времен и приводит к тому, что сила, которая изначально являет ся строго детерминированной величиной на грубой шкале времени приобретает характер случайной величины.

Рассмотрим пространственно однородную систему (потенциал внешней силы U ( ) = 0) и в ней одну броуновскую частицу в виде шара радиусом R и r массой (m), которая движется в жидкости со скоростью v.

Выделим из силы F, действующей на БЧ, ту ее часть, которая суще ствовала бы и в отсутствие флуктуаций воздействия среды на частицу. Эта "регулярная"часть силы есть стоксовская сила вязкого трения :

F s = m, v = 6 R /m, (1.17) где = - динамическая вязкость;

- кинематическая вязкость;

- плотность жидкости;

- коэффициент трения. Заметим, что формула Стокса примени ма только при ламинарном обтекании шара жидкостью. Если сделать оценку числа Рейнольдса, то нетрудно убедиться, что даже для частиц молекулярных размеров условие ламинарности будет выполняться (число Рейнольса Re 1).

Уравнение движения Ньютона для броуновской частицы принимает вид d v + (t) = R (t), v (1.18) dt или ( в проекции на ось х) так d2 x dx + = R(t) (1.19) dt dt В правой части этого уравнения стоит случайная часть силы R (t) = F F s, действующей на БЧ. Если бы случайной силы не было, то решение имело бы вид (t) = (0) e t, v v (1.20) согласно которому скорость броуновской частицы в момент времени t убывает по экспоненциальному закону, так что частица стремится к покою относительно жидкости. Однако в этом случае мы не можем "корректно"описать движение броуновской частицы. Для описания реального движения Ланжевен предложил ввести в уравнение движения случайную силу R (t) ( точнее m R (t)). Соглас но уравнению с включенной случайной силой, скорость броуновской частицы представляет теперь случайный процесс.

Умножим обе части уравнения (2.69) на х. После простых преобразований, находим 1 d dx2 d(x) dx ] ( )2 = [ + xR(t) (1.21) 2 dt dt dt 2 dt Усредним это уравнение по множеству частиц.Принимая во внимание, что со гласно теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы m(dx/dt)2 = m v 2 = kT, а в силу стохастичности силы R(t), имеем x R(t) = x R(t) = 0.

Таким образом, получаем 1 d d x2 d x [ ] kT =. (1.22) 2 dt dt 2 dt Интегрируя уравнение (1.22), имеем d x2 2kT + C e t, = (1.23) dt C - постоянная интегрирования. Нетрудно сообразить, что вторым членом мож но пренебречь даже для очень маленьких промежутков времени. Опуская вто рое слагаемое в правой части (1.23), получаем 2kT t kT t x2 t=0 = 0 x2 = =. (1.24) 3 a Выражение (1.24) было впервые получено Эйнштейном и независимо от него Смолуховским. Применение данной формуы позволило Перрену эксперимен тально определить постоянную Больцмана (к).

Случайная сила, введенная Ланжевеном в уравнение движения, обладает следующими "свойствами":

- Среднее значение каждой составляющей случайной силы равно нулю R i (t) = 0, t 0. (1.25) Усреднение при этом ведется только по таким реализациям, для которых вы полняется условие (0) = vo при t = 0.

v - Считая, что рассматриваемый процесс является гауссовым, т.е. случайная сила определяется только заданием среднего ( зависящего от времени перво го момента), все корреляционные функции высших порядков можно выразить через двухвременные корреляционные функции:

ij (t1, t2 ) = R i (t1 ) R j (t2 ). (1.26) Для четных порядков при этом получаем R 1 (t1 ) R (t2 )... R (t2n ) = = R (t1 ) R (t2 )... R (tk ) R (tl ) (1.27) (суммирование ведется по всем парам). При этом все нечетные корреляционные функции, как и первый момент, равны нулю.

- Корреляция между различными составляющими случайной силы отсут ствуют, т.е. они являются статистически независимыми. Двухвременные корре ляционные функции имеют вид R i (t1 ) R j (t2 ) = ij (t1 t2 ) = 2D (t1 t2 ) ij. (1.28) Это свойство отражает тот факт, что сталкивающиеся частицы ведут себя неза висимо друг от друга, исключая случай, когда они действуют одновременно.

Наличие дельта-функции Дирака физически означает, что мы имеем конечные корреляции флуктуирующей силы, сосредоточенные на временном интервале самом коротком из всех остальных характерных времен задачи. - Случайный процесс (t) - скорость БЧ статистически независима от случайной силы R (t ) v при t t и, следовательно, не зависит от поведения случайной силы в будущем:

(t) R (t ) = 0 t t.

v (1.29) Следует заметить, что интенсивность ланжевеновского источника D в уравне нии считается постоянной, не зависящей от мгновенной скорости броуновской частицы. Это предположение ограничивает уравнение Ланжевена только линей ным случаем. Для нелинейного случая величина D зависит от, что приводит v к ряду математических трудностей.

1.6 Решение уравнения Ланжевена Уравнение Ланжевена есть "стохастическое" дифференциальное уравнение.

Решение уравнения также описывает случайный процесс, т.е. v(t) задается в ви де многовременных распределений вероятностей или многовременных момен тов для всех возможных функций (t). Для решения уравнений такого вида v существуют различные методы: прямое интегрирование, преобразование Фурье, теория возмущений для случайного источника, интегрирование в функциональ ном пространстве и др.

Проведем формальное интегрирование уравнения Ланжевена (2.68) t v(t) = vo e t + dt1 e(tt1 ) R(t1 ). (1.30) o Для среднего значения случайного процесса (t)) имеем v t t dt1 e(tt1 ) R(t1 ).

v(t) = vo e + (1.31) o Последний член этого выражения обращается в нуль. Первый член описывает при этом временную зависимость среднего и, следовательно, описывает макро скопическое движение.

Для второго момента имеем ( при t1 = t2 ) v 2 (t) = vo 2 e2 t + t t dt1 e(tt1 ) R(t1 ) dt2 e(tt2 ) R (t2 ) + (1.32) o o или, принимая во-внимание ( 1.23 ), находим D vi (t) = vio e2 t + 2 (1 e2 t ). (1.33) На больших временах t система "забывает"свое начальное состояние vo. В итоге получаем конечное состояние (стационарное равновесие) D lim vi (t) =. (1.34) t Время t 1/2 для броуновской частицы является временем установления максвелловского распределения по скоростям, по истечении которого началь ное значение импульса частицы уже не определяет ее дальнейшего движения.

Наоборот, на малых временах t 1/2 мы имеем для броуновского движения линейное по времени t поведение:

vi 2 = vi (t) vio = 2 D t.

2 (1.35) Формула Эйнштейна для дисперсии импульса, показывает, что уже на "гру бой"временной шкале для дисперсии импульса мы получаем результат, непред сказуемый с точки зрения примитивных представлений о механическом движе нии броуновской частицы (согласно таким представлениям (mvi )2 t при малых t).

Вспоминая, что для классической системы, находящейся в тепловом рав новесии, справедлив закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы vi = kT /m, получаем D kT =. (1.36) m Это весьма важное соотношение, называемое формулой Эйнштейна, устанав ливает связь между коэффициентом трения броуновской частицы и силой слу чайного источника в уравнении Ланжевена.

Оно связывает макроскопическую величину, которая описывает дис сипацию импульса, с микроскопической величиной D, выражающей флукту ации случайной силы. Это соотношение служит примером флуктуационно диссипативной теоремы.

Оценим смещение броуновской частицы в пространственно однородном случае, когда U ( ) = 0. Поскольку r x= p, x|t=0 = x0, m то, выполняя интегрирование, имеем t t 1 e t dt1 e t2 e t x = xo + v o + dt2 R(t1 ).


m o o Проинтегрируем последнее слагаемое в этом выражении сначала по t2, по лучим t t t 1 e(tt1 ) t2 t dt1 dt2 e e R(t1 ) = dt1 R(t1 ).

m m o t1 o Введя новую переменную интегрирования t = t t1, имеем t 1 e t 1 e t x = xo + v o + dt R(t t ). (1.37) m o Проводя операцию усреднения, для среднего смещения броуновской частицы получаем 1 e t xo + vo t при t 1, x = xo + vo = (1.38) xo + vo / при t 1.

Существенно, что смещение x = x xo = vo t при t 1 остается еще "механическим хотя изменение импульса броуновской частицы при этом, как мы видели выше, уже существенно иное.

Собирая вместе ранее полученные результаты в случае малых t, когда t 1, имеем x xo + vo t, = (x x )2 vo t2, = p2 2m kb T t. (1.39) = Из приведенных формул следует, что в рассматриваемом нами пределе t 1 для смещения сохраняется механический характер движения, в то время как дисперсия импульса уже определяется формулой Эйнштейна.

Самостоятельно Вычислить дисперсию смещения и показать, что 1 et 1 e2t 2kT (x x )2 = t 12 +, m t 2t (x x ) k = 0 k 3.

1.7 Спектральные плотности Следует подчеркнуть, что при стохастическом процессе мы можем предска зывать только средние величины, но не индивидуальные траектории. Наиболее важными среди средних являются двухвременные корреляционные функции следующего вида:

v(t)v(t ), (1.40) которые определяют, как быстро скорость забывает свое прошлое, иными сло вами, они дают меру времени, которое необходимо для того, чтобы скорость существенно изменила свое значение от первоначального, заданного в началь ный момент времени t.

Подставляя в (1.40) выражение для v, имеем t t (tt1 ) dt2 e(tt2 ) R (t2 ).

dt1 e R(t1 ) (1.41) o o После вычисления интеграла при t t, получаем D (tt ) e(t+t ).

e (1.42) При рассмотрении процесса как стационарного можно полагать t и t большими, но их разность малой. При этом окончательный результат можно записать в виде D |tt | v(t) v(t ) = e. (1.43) Из выражения (1.43) следует, что скорость "забывает" свое прошлое за время T = 1/. При = 0 мы имеем расходимость, которая говорит о том, что в этом случае флуктуации становятся большими ("критическими"). Аналогичным об разом можно определить и корреляционные функции более высоких порядков.

Поскольку подобные корреляционные функции играют важную роль в неравновесной статистической физике, рассмотрим их свойства подробно. Вве дем также понятие о спектральном разложении стохастической величины и рас смотрим ее связь с корреляционной функцией.

1. Рассмотрим временную стохастическую корреляцию двух случайных функций в различные моменты времени t, t и введем обозначение для кор реляции Kij (s) = Xi (t) Xj (t + s), (1.44) где угловые скобки означают среднее по равновесному ансамблю, причем для случайной величины X = 0, а при s = 0 корреляционная функция рав на дисперсии X 2. Будучи определенной как среднее по равновесному ан самблю, корреляционная функция не зависит от времени t, поэтому, сделав замену t на (t s), получаем очевидное свойство симметрии Kij (s) = Kji (s), Kij (0) = Kji (0). (1.45) Поскольку X - случайная величина, то можно полагать, что при больших значениях s корреляция между X(t) и X(t + s) отсутствует:

lims Kij (s) = 0. (1.46) 2. Введем понятие о спектральном разложении стохастической величины.

Будем считать, что случайная величина отлична от нуля в пределе большого, но конечного интервала времени, так что X(t) = 0, t 0, t.

Представим стохастическую величину X(t) в виде интеграла Фурье:

+ X() eit d.

X(t) = (1.47) Поскольку величина X(t) вещественна, то X() = X ().

Рассмотрим величину:

+ + dt d d X() eit X ( ) ei t = X (t)dt = (2) + + |X()|2 d.

= d d X() X ( ) ( ) = (1.48) При записи этого выражения мы приняли во внимание, что + dtei( )t.

( ) = (1.49) Разделив обе части этого равенства на, рассмотрим предел при, имеем + + 1 lim ( |X()|2 ) d.

lim X (t)dt = (1.50) Выражение(1.50) можно переписать в виде + X 2 (t) = K()d. (1.51) Величина |X()| K() = lim (1.52) называется спектральной плотностью.

Таким образом, дисперсия X 2 (t) случайной величины X(t) равна интегра лу от спектральной плотности K().

3. Найдем теперь соотношения между спектральной характеристикой сто хастической величины X(t) и корреляционной функцией C(s) = X(t)X(t + s).

Используя представление стохастической величины X(t) через Фурье представление, имеем + dt d d X() X ( )ei( )t ei s = X(t)X(t + s) dt = (2) + |X()|2 ei s d, = (1.53) где мы воспользовались представлением дельта-функции (1.49). Принимая во внимание, что 0 |X()|2 eis d = |X()|2 eis d + + + |X()|2 (eis + eis )d = 2|X()|2 cos s d, = (1.54) 0 разделив обе части равенства на и переходя далее к пределу, получаем C(s) = K() cos s d. (1.55) Таким образом, мы получили, что корреляционная функция является косинус образом Фурье своей спектральной плотности. Данный результат носит назва ние теоремы Винера-Хинчина. Из (1.55) также следует, что C(0) = K() d, (1.56) что совпадает с (1.50). Заметим, что обращение формулы (1.55) дает:

K() = C( ) cos( ) d. (1.57) Основываясь на общем рассмотрении корреляционных функций, рассмотрим частный случай уравнения Ланжевена для броуновского движения. Для Фурье компонент квадрата скорости получаем V () = v(t)v(t + s) cos s ds. (1.58) Используя соотношение (1.43), для функции корреляции скорости при t t = s, получаем 2D V 2 () = e s cos s ds. (1.59) Беря стоящий в правой части интеграл дважды по частям (cos s ds = d sin s), находим e s cos s ds =. (1.60) 2 + Принимая во внимание соотношение (1.59), нетрудно найти спектральные плот ности как скоростей, так и координат броуновских частиц:

2D (vi vj ) = ij, (xi xj ) = (vi vj ), 2+ 2 i i (xi vj ) = (vi vj ), (vi xj ) = (vi vj ). (1.61) Из выражений (1.61) следует, что "перекрестные" спектральные плотности яв ляются мнимыми, а "прямые" - действительными.

1.8 Белый шум (Формула Найквиста) Рассмотренный нами выше ланжевеновский процесс называется также "бе лым шумом". Такое название обусловлено тем, что автокорреляционная функ ция пропорциональна дельта - функции, в силу чего не существует конечного времени корреляции. Спектральная плотность при этом не зависит от часто ты. Следует понимать, что понятие белого шума является результатом значи тельной идеализации реального процесса. В реальных процессах, как правило, время корреляции конечно, что проявляется в существовании в энергетическом спектре граничной частоты. Время корреляции, как мы уже знаем из анализа уравнения Ланжевена, определяет, с одной стороны, диссипативные процессы в системе, с другой - связано с флуктуациями.

На примере простой модели рассмотрим связь флуктуаций с диссипатив ными процессами и получим формулу Найквиста.

Пусть мы имеем проводник, длина которого равна L (в z направлении),а поперечное сечение S. Сопротивление проводника равно R. Проводник содер жит N электронов, равновесное распределение которых описывается максвел ловским законом. Будем рассматривать электроны как классические частицы.

Считаем, что электроны движутся независимо друг от друга, и их движе ние можно описать временем корреляции. Рассмотрим компоненту скорости i-го электрона vi (z) как случайную функцию. Свяжем с этой скоростью флукту ирующую плотность тока J(t). Так как концентрация носителей тока считается постоянной, то ток J(t) в каждый момент времени постоянен во всех сечениях цепи.

1 i v i (t), J(t) = e n S vz (t) = e (1.62) Li z Ni i где n = N/LS - плотность электронов;

v(t) = 1/N i vz (t) - средняя ско рость электронов проводимости параллельная оси z в данный момент времени.

Флуктуирующий ток, который обусловлен не приложенным напряжени ем, а неупорядоченным случайным движением электронов, можно связать со случайным флуктуирующим напряжением e i U (t) = R J(t) = R vz (t).

Li Рассмотрим равновесную корреляционную функцию U U (t) = U (t)U (t + t) = (Re)2 i j = vz (t) vz (t + t). (1.63) L2 i j Вводя ланжевеновский источник, представим корреляционную функцию для скоростей в виде i vz (t + t) = ij vv (t) = ij v 2 e|t|/.

j vz (t) (1.64) i j Запишем теперь связь между проводимостью и средним временем свобод ного пробега, которое определяет затухание скорости:

ne2 N e2 L Lm = = =, R=.

ne2 S m LS m RS Заметим, что Фурье-компонента квадрата скорости может быть записана в виде 2kb T e cos( ) d = v =. (1.65) 2 + m Если интеграл взять дважды по частям ( cos( ) = (1/)d sin( ) ), получим e cos( ) d =.

2 + Таким образом, для спектральной плотности имеем 2 v2 kb T (Re)2 N 2 2kb T R SU U (t) = = =. (1.66) 2 2 2 1 + ( ) 1 + ( ) m L 1 + ( ) При 1 в частотном интервале (, + ), для квадрата фиктивного напряжения U получаем U 2 = SU U () = 2kb T R. (1.67) Вместо круговой частоты введем частоту f = /2 и перепишем соотноше ние в виде U 2 f = 2kb T R f. (1.68) Выражение (1.68), определяющее соотношение между диссипативной характе ристикой R и флуктуирующей величиной U, называется формулой Найквиста.

Она является частным случаем флуктуационно - диссипационной теоремы.

Наиболее характерным для формулы Найквиста является то, что Фурье компоненты спектра шумов не зависят от частоты и пропорциональны тепловой энергии kb T. Заметим, что пропорциональность сопротивлению R и температу ре T хорошо подтверждается на опыте.

Формула Найквиста существенна при расчетах флуктуаций в различных системах, когда средняя энергия может быть представима в виде суммы сред них энергий осцилляторов. В силу этого возникает необходимость в квантовом обобщении этого выражения. Очевидно, что в этом случае мы уже не можем использовать закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы и заменить величину v 2 величиной kb T. Для гармонического осциллятора в этом случае мы имеем формулу Планка, что соответствует следующей замене:

kb T kb T o 1 o v 2 = 1] = + [exp m m m 2 kb T o o cth. (1.69) 2m 2kb T В результате такой замены мы получаем квантовое обобщение формулы Найк виста, которая приобретает следующий вид:


o U 2 f = o R f cth.

2kb T 1.9 Уравнение кинетического баланса Рассмотрим связь плотности вероятности перехода P (y, x;

, t) с функцией распределения f (x, p, t). Пусть при t = 0 функция распределения в точке x µ - пространства равна f (x, 0). Очевидно, что число частиц, ушедших из объема dx за время t, равно dx P (z, x|t, 0) f (x, 0) dz, (1.70) в то время как число частиц, которые, наоборот, пришли за тот же промежуток времени в данный объем, есть dx P (x, z|t, 0) f (z, 0) dz. (1.71) Найдем изменение числа частиц в объеме dx за времяt:

( f (x, t) f (x, 0) )dx = dx (P (x, z|t, 0)f (z, 0) P (z, x|t, 0)f (x, 0) ) dz. (1.72) Сокращая на dx и учитывая условие нормировки P (z, x|t, 0) dz = 1, получаем f (x, t) = P (x, z|t, 0) f (z, 0), dz. (1.73) Из уравнения (1.73) следует, что умножение на P (x, z|t, 0) и интегрирование по z эквивалентно одновременному сдвигу в фазовом пространстве на вектор (x z) и во времени на отрезок t.

Рассмотрим интересный с физической точки зрения частный случай. Рас смотрим плотность вероятности P (y, x;

, t) при малых ( 0). Разложим плот ность вероятности в ряд по степеням и ограничимся двумя первыми членами разложения. Имеем P (y, x|, t) = (y, x|t) + P (y, x|t). (1.74) Можно сказать, что P (y, x|t) - вероятность перехода из точки x в точку y в момент времени t за единицу времени, а (y, x|t) есть вероятность мгновенного перехода из x в y. Очевидно, что член нулевой степени по можно записать в виде (y, x|t) = A(y|t) (y x). (1.75) Используя условие нормировки для плотности вероятности P (y, x|, t) dy = для коэффициента A(y|t) получаем следующее выражение:

A(x|t) = 1 P (y, x) dy. (1.76) Используя выражение (1.76) для плотности вероятности перехода, имеем P (y, x|, t) = (1 P (z, y) dz)(y x) + P (y, x|t). (1.77) Перепишем выражение (1.73), которое определяет изменение функции распре деления, в виде:

f (y, t + ) = P (y, x|, t) f (x, t)dx. (1.78) Подставляя в это выражение вместо плотности вероятности ее значение из (1.77) и переходя к пределу при 0, окончательно находим:

f (x, t) = (P (x, z|t) f (z, t) P (z, x|t) f (x, t)) dz. (1.79) t Левая часть полученного уравнения определяет изменение плотности числа ча стиц в точке x в момент времени t за единицу времени. Очевидно, что изменение равно разности между приходом частиц в данную точку из всех остальных то чек (первое слагаемое) и уходом их из точки x в любые другие точки ( второе слагаемое). Таким образом, мы получили уравнение баланса числа частиц.

Это замечательное уравнение стохастических процессов называется ки нетическим уравнением. В иностранной литературе его обычно называют Master equation.

В уравнении (1.79) можно перейти от классического описания в µ- про странстве к квантово-механическому описанию. Для этого необходимо заме нить функцию распределения числом частиц в i-м состоянии Ni (t), а вероят ность P (x, z|t) перехода за единицу времени из точки z в точку x вероятностями Pik (t) перехода из k -го состояния в i -е. Уравнение баланса частиц при этом примет вид Ni = (Pik Nk Pki Ni ). (1.80) t k=i Для замкнутой, как мы знаем, имеет место принцип детального равновесия.

Для вероятностей перехода отнесенных к единице времени, данный принцип имеет следующий вид:

Pik (t) = Pki (t).

Для частиц со спином под Pik (t) следует понимать вероятности, усредненные по спинам начального и конечного состояния. Таким образом, для замкнутой системы уравнения баланса (1.55) будут иметь вид Ni = Pik (Nk Ni ). (1.81) t k=i Заметим, что несмотря на внешнюю простоту полученных уравнений баланса, приближенные решения полученных нами уравнений, которые в общем случае представляют собой нелинейные интегро-дифференциальные уравнения, воз можны только в простейших случаях.

1.9.1 Вывод формулы Планка по Эйнштейну В качестве простого примера использования уравнения баланса рассмотрим вывод формулы Планка. Рассмотрим систему атомов, находящихся в равновесии с электромагнитным излучением. Пусть атомы находятся в состояниях с энергиями i и k, причем i k. Таким образом переходы i k идут с излучением энергии (i k ), в то время как k i с поглощением такого же количества энергии.

Очевидно, что число переходов с поглощением энергии будет пропорцио нально плотности световой энергии (, T ) частоты, соответствующей пере ходу, и числу атомов в к-ом состоянии Nk Nki = Bki Nk (, T ), (1.82) где Bki коэффициент пропорциональности.

Рассмотрим обратные переходы (i k), которые сопровождаются излуче нием. Переходы, которые идут самопроизвольно (спонтанное излучение). Число таких переходов пропорционально числу атомов с энергией i :

sp Nik = Aik Ni, (1.83) ( В 1916г. Эйнштейн привел кинетическое доказательство формулы Планка для энергии светового излучения.) где Aik коэффициент пропорциональности.

Наряду с такими переходами, как предположил Эйнштейн, существуют и процессы излучения, которые индуцированы уже имеющимся излучением. Чис ло таких переходов Nik будет пропорционально плотности энергии излучения и числу атомов с энергией i :

ind Nik = Bik Ni (, T ), (1.84) е Bik коэффициент пропорциональности индуцированного излучения.

В стационарном состоянии имеем sp ind Nki = Nik + Nik (1.85) или Bki Nk (, T ) = Aik Ni + Bik Ni (, T ). (1.86) Из выражения(1.86) находим плотность энергии излучения Aik Ni Aik (, T ) = =. (1.87) Nk Bki Nk Bik Ni Bki Ni Bki Очевидно, что в состоянии равновесия числа Ni, Nk должны удовлетворять рас пределению Максвелла (газ атомов считается невырожденным), поэтому Nk gk (i k )/kT = e. (1.88) Ni gi Подставляя отношение чисел заполнения в выражение для плотности излуче ния, получаем gi Aik /Bki gk (, T ) = ( )/kT. (1.89) Bik gi ei k Bki gk При T плотность состояния должно неограниченно возрастать. Поэтому необходимо полагать, что Bik gi = Bki gk (принцип детального равновесия для индуцированного излучения и поглощения частоты ). Вследствие этого имеем Aik /Bki (, T ) =. (1.90) e(i k )/kT Вспоминая, что согласно термодинамическому закону Вина функция (, T ) должна иметь вид: (, T ) = 3 f (/T ).

Заметим, что из термодинамики мы не можем найти явный вид неизвестной функции f (/T ).

Поэтому мы должны положить Aik = A 3, (i k ) = h, Bik тогда A (, T ) =. (1.91) eh /kT Постоянная величина A может быть найдена в результате предельного пере хода h/kT 1 и сравнения результата с формулой Релея-Джинса, которая хорошо описывает экспериментальную кривую в области низких частот: 8 kT (, T ) =.

c Откуда следует, что A = 8 h/c3, и формула для плотности излучения становит ся тождественной с формулой Планка, которая хорошо описывает спектраль ную плотность излучения во всем интервале изменения частот.

1.10 Уравнение Фоккера - Планка 1.10.1 Феноменологическое рассмотрение Рассмотрим эволюцию броуновской частицы (или идеального газа из бро уновских частиц) на самой грубой временной шкале t 1. Очевидно, что на этом временном интервале описание эволюции нашей системы допустимо с помощью функции распределения. Подчеркнем, что нас будет интересовать только функция распределения по координатам f (t, ), поскольку на этом вре r менном интервале распределение по импульсам броуновских частиц является в любой момент максвелловским.

Итак, f (t, ) d определяет вероятность обнаружить броуновскую ча r r, + d ) в момент времени t, кроме того, стицу в объеме ( r r r f (t, ) d = 1.

r r (1.92) V Заметим, что в области высоких частот формула Релея-Джинса приводит к абсурду.

Именно это и составляет парадокс, названный "ультрафиолетовой катастрофой".

Функция распределения удовлетворяет уравнению непрерывности ( посколь ку броуновские частицы не исчезают и не рождаются вновь) f f + (f ) = + div (f ) = 0.

v v (1.93) t t r Рассматривая огрубленную временную шкалу, представим поток f в виде v суммы двух частей:

= +.

v vo vR обусловлено внешними силами, действующими на нашу частицу, Слагаемое v o в то время как второе слагаемое определяется случайными флуктуирующими воздействиями на частицу со стороны частиц среды. Иными словами, суммар ную силу мы представили в виде "регулярной"и "случайной"частей.

Рассматривая броуновские частицы как сферические, для регулярной ча сти можно воспользоваться представлениями гидродинамики о движении тела в вязкой среде:

F s =, = 6 R, v (1.94) так что поток частиц при этом можно представить в виде 1 U fo = f.

v (1.95) r Здесь U - потенциал внешнего силового поля.

Движение броуновской частицы под действием составляющей "случай ной"силы с макроскопической точки зрения есть случайное блуждание, кото рое имеет характер диффузионного процесса. Следовательно, определяемый им диффузионный поток частиц ( при малых градиентах) может быть представлен как f f R = D.

v (1.96) r Величина D = F (v,, R) по своему физическому смыслу является коэффици ентом диффузии броуновских частиц.

Рассмотрим предел t, когда система достигает своего термодинами ческого равновесия, при котором в системе отсутствуют всякого рода потоки, а все характеристики системы при этом являются постоянными во времени ве личинами. Очевидно, что при этом f f = = 0, v f grad U + D grad f = 0. (1.97) t Решение уравнения (8.6) легко записать, если заметить, что уравнение можно записать в виде ln f U =, = x, y, z, (1.98) r r D так что U ( ) r f ( ) = const exp r. (1.99) D Мы получили вполне результат, который гласит о том, что идеальный газ брoу новских частиц в поле U (r) характеризуется в равновесии больцмановским рас пределением:

) = const exp U ( r ).

f( r (1.100) kb T Из сопоставления этих выражений получаем, что коэффициент диффузии D просто связан с температурой, вязкостью среды и размером броуновских частиц D = kb T /.

Подставив это значение в выражение для потока f R и собирая все члены, мы v придем к уравнению Фоккера-Планка для функции f (t, ) r f 1 kb T div(f grad U ) f = 0. (1.101) t Уравнение (8.11)- линейное дифференциальное уравнение параболического ти па. Дополненное условием нормировки и граничными условиями решение этого уравнения полностью определяет эволюцию системы на временах t 1/, которая имеет релаксационный характер с некоторым характерным временем релаксации, зависящим не только от свойств среды и частиц, но и от формы сосуда, его границ и т. д.

1.10.2 Рассмотрение исходя из уравнения Смолуховского Преобразуем интегральное уравнение Смолуховского в линейное диффе ренциальное уравнение. Пусть мы имеем некоторую гладкую функцию F (x), для которой существует среднее значение F (t) = F (x) f (xo |x, t) dx. (1.102) Ограничимся для простоты одномерным случаем. В этом случае функция рас пределения f (xo, to |x, t) dx определяет вероятность обнаружить броуновскую частицу в интервале (x, x + dx) в момент времени t, если она была в момент времени to в точке xo. В простейших случаях, которые обычно и рассматрива ются, никакой момент времени явно не выделен по сравнению с остальными, а это означает, что зависимость функции f от времени однородна:

f (xo, to |x, t) = f (xo, 0)|x, t to ) = f (xo |x, t to ).

Запишем производную во времени F (t) f (xo |x, t) = F (x) dx = t t f (xo |x, t + t) f (xo |x, t) = F (x ) |t0 dx. (1.103) t Воспользуемся уравнением Смолуховского и, обозначая промежуточное поло жение частицы в момент времени t как x, получим F (t) = dx dx F (x )f (xo |x, t) t f (x|x, t) f (x|x, 0) |t0. (1.104) t Заметим, что функция f (x|x, t) при t 0 является функцией отличной от нуля в окрестности x = x, а при t 0 это просто функция. Очевидно, что в этом случае вклад в интеграл по x дадут только значения F (x ), которые сосредоточены в окрестности точки x (Рис.1.2). Разложим функцию F (x ) в ряд Тейлора вблизи значения x = x F (t) = dxf (xo |x, t) dx t (x x ) F (x) + (x x )F (x) + F (x) +...

f (x|x, t) f (x|x, 0) |t0. (1.105) t Проанализируем входящие под знак интеграла члены. Во-первых, поскольку f (x|x, t)dx = f (x|x, 0) dx = 1, (1.106) Рис. 1.3: Вид функций, образующих подынтегральное выражение в формуле для F (x)/t.

то члены с F (x) взаимно сокращаются. Кроме того, так как dx (x x)k f (x|x, 0) = dx (x x)k (x x ) = 0, k 1, (1.107) то исчезают все члены с f (x|x, 0). Таким образом, под знаком интеграла по x останутся только члены, содержащие (x x)k для k = 1, 2, в то время как слагаемые с более высокими степенями k 3 обратятся в нуль.

В результате мы получаем f F (x) dx = dx (f A(x)F (x) + f B(x)F (x)) ;

t (x x) A(x) = f (x|x, t) dx |t0, t (x x) B(x) = f (x|x, t) dx |t0, t f = f (xo |x, t). (1.108) Итак, мы пришли к линейному уравнению для f (xo |x, t). Интегрируя правую часть уравнения по частям (один раз для слагаемого с F (x) и дважды по частям для члена с F (x)) снимем интеграл по x. В силу граничных условий f (xo |x, t)|x=± = 0, f (xo |x, t)|x=± = 0 (1.109) безынтегральные члены обратятся в нуль. Взятие интеграла по частям сведется к замене подынтегральных функций ` f AF F (f A);

BF F (f B) F 2 (f B).

x x x Перенеся все члены в одну сторону равенства, получим f dxF (x) + (A f ) (B f ) = 0. (1.110) x t x Обращение в нуль данного интеграла при достаточно произвольной функции F (x) возможно только в том случае, если выражение, стоящее в скобках, равно нулю.

Таким образом, мы пришли к одномерному уравнению f + (A f ) (B f ) = 0. (1.111) x t x Подставляя вместо коэффициентов A(x), B(x) явные выражения 1 U 2kb T A= ;

B=, x получаем окончательно уравнение kb T 2 f f 1 U = + f, (1.112) t x x x которое называется уравнением Фоккера-Планка. С математической точки зре ния это линейное дифференциальное уравнение параболического типа. Физи ческий смысл уравнения Фоккера-Планка мы уже рассмотрели в предыдущем параграфе.

1.10.3 Микроскопическое рассмотрение Переход от уравнений Ланжевена d d r p =, + = m R (t), = m v p p v (1.113) dt dt для случайных функций времени (t), (t) к уравнению для функции распре r v,, t) возможно осуществить различными деления скоростей и координат f ( r v путями. Рассмотрим еще один из возможных вариантов такого описания.

Введем для броуновских частиц фазовую плотность в шестимерном про странстве координат и скоростей :

N (,, t) = ( i (t)) ( i (t)).

rv r r v v (1.114) 1iN Полное число броуновских частиц N считаем заданным:

N (,, t) d d = N = const.

rv rv (1.115) Запишем для фазовой плотности уравнение непрерывности N N + + [( + R)N ] = 0.

v v (1.116) t r v Покажем, что среднее значение фазовой плотности в 6N пространстве связа но с с одночастичной функцией распределения f1 (x1, t). Так как все члены в определении фазовой плотности эквивалентны и число их равно N, то можно записать N (x, t) = N (x x1 ) fN dx1... dxN, x (r, v).

Согласно определению для функции f1 имеем:

f1 (x1, t) = V fN dx2... dxN.

Таким образом, имеем соотношение:

N N N (x, t) = (x x1 ) f1 (x1, t) dx1 = f1 (x, t).

V V Следовательно можно воспользоваться связью функции распределения f (,, t) f1 (x, t) со средней фазовой плотностью rv n f (,, t) = N (,, t), rv rv d d f (,, t) = 1, rv rv (1.117) V где n - плотность числа частиц. Усредним уравнение (2.79), принимая во вни мание равенства (2.80). В результате получим следующее уравнение для функ ции f :

f f + = ( f ) v v Ri N. (1.118) t n vi r v При записи уравнения (2.81) мы учли, что R N = R N, R = 0.

Теперь нам надо определить среднее, стоящее в правой части уравнения (2.81).

Для этого можно воспользоваться уравнением для флуктуации N, которое можно записать в виде + N ( N ) = v v t r v = (Ri n f ) (Ri N Ri N ). (1.119) vi vi Это уравнение можно упростить. Если полагать, что флуктуации малы, то исхо дя из этого можно отбросить нелинейные члены (последнее слагаемое в правой части). Далее, случайный процесс, который мы рассматриваем, является дельта - коррелированным, поэтому в этом приближении можно в исходном уравнении опустить второй и третий члены в левой части уравнения (2.82), считая, что они вносят малый вклад на характерных временах. С учетом этих приближений из (2.82) получаем N = (Ri n f ). (1.120) t v Кроме того, поскольку время корреляции ланжевеновского источника очень мало (много меньше характерного времени 1/), можно использовать стацио нарное решение уравнения (2.83):

N (,, t) = Ri (t )n f (,, t ) d.

vv rv (1.121) vi Подставим это в правую часть (2.81) и воспользуемся тем обстоятельством, что рассматриваемый нами случайный процесс является дельта-коррелированным (2.82), получаем 2f 1 kb T Ri N = D 2, D=. (1.122) n vi m v В результате мы приходим к уравнению для функции распределения броунов ских частиц по координатам и скоростям:

2f f f + = D 2 + ( f ) = IF P, v v (1.123) t r v v которое и есть искомое уравнение Фоккера - Планка. Стоящее в его правой части выражение согласно кинетической теории газов, называют интегралом столкновений.

Из вида уравнения следует, что интеграл столкновений описывает процесс диффузии броуновских частиц в пространстве скоростей. При этом роль коэф фициента диффузии играет интенсивность ланжевеновского источника D, ко торый. согласно формуле Эйнштейна, в простейшем случае определяется двумя факторами: температурой и трением. Второй член в правой части, соответству ющий динамическому трению, называют дрейфовым членом.

В равновесном состоянии, когда функция распределения зависит только от скорости f ( ), решением уравнения Фоккера-Планка является распределение v Максвелла:

3/ mv m f (v) = exp, (1.124) 2 kb T 2kb T которое также называют равновесным распределением для броуновских частиц в термостате. Стоит обратить внимание на то, что равновесное распределение броуновских частиц устанавливается в результате действия на частицы слу чайного ланжевеновского источника, действие которого эквивалентно в этом случае тепловому движению частиц окружающей среды.

При пространственно-однородном распределении, когда функция распре деления не зависит от координаты, уравнение Фоккера-Планка имеет вид 2f f = D 2 + ( f ).

v (1.125) t v v Установление равновесного распределения по скоростям в этом случае проис ходит за время, равное 1/. Именно поэтому эту величину можно назвать вре менем релаксации.

Уравнение Фоккера-Планка можно представить и в виде уравнения непре рывности, если ввести вектор плотности тока J :

f f J = ( f + D ).

+ J =0 v (1.126) t v v 1.10.4 Уравнение Эйнштейна-Смолуховского Из структуры уравнения Фоккера-Планка следует, что наряду с внутрен ними временами 1/ при описании движения броуновских частиц играет так же роль и параметр, который характеризует пространственную диффузию -D. Он, естественно, зависит от размера системы.

Если между этими временами выполняется соотношение 1/ D, то возможно перейти от уравнения Фоккера-Планка для функции распределе ния f (,, t) к уравнению для более простой функции распределения f (, t).

rv r Пусть to - начальный момент времени. Рассмотрим броуновское движение на временах t to 1/ и, следовательно, |d /dt| |.| p p При таких условиях система уравнений Ланжевена принимает вид R (t) r R(t), v= = R r (t) (1.127) t Здесь мы ввели ланжевеновский источник R r (t), определяющий положение броуновских частиц. Очевидно, что моменты источника Rr(t) в этом случае равны:

R r (t) = 0, R r (t) R r (t ) = 6 Dr (t t ), Dr = kb T /m. (1.128) Здесь Dr - коэффициент диффузии в пространстве координат.

Проводя теперь вычисления, аналогичные предыдущим, для функции рас пределения f (, t), нетрудно получить уравнение Фоккера-Планка следующего r вида:

f = Dr r f, (1.129) t которое называется уравнением Эйнштейна - Смолуховского.

Итак, мы пришли к уравнению диффузии в обычном пространстве. Усло вие нормировки для функции распределения f (, t) имеет при этом следующий r вид:



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.