авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

«Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный технический университет - УПИ И. И. Ляпилин ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ...»

-- [ Страница 2 ] --

f (, t) d = 1, n(, t) d = N.

r r r r (1.130) V Здесь n(, t) = N f (, t) r r - плотность числа броуновских частиц.

Пусть в некоторый начальный момент времени t0 броуновские частицы сосредоточены в физически малом объеме в окрестности точки r0. Тогда n(r0, t0 ) = N (r r0 ).

Решение уравнения диффузии с таким начальным условием имеет вид:

(r r0 ) N n(r, t;

r0, t0 ) = exp [ ]. (1.131) [4 Dr (t t0 )]3/2 4Dr (t t0 ) Как видно, это выражение описывает временную эволюцию пространственного распределения - диффузию броуновских частиц. Заметим, что для полного опи сания процесса диффузии в системе конечного размера необходимо проводить решение уравнения Эйнштена-Смолуховского с учетом граничных условий.

Глава Кинетическая теория разреженного газа 2.1 Уравнение Больцмана Основы кинетической теории были заложены во второй половине XIX-го века в работах Максвелла и Больцмана. В 1896-1898гг. вышла книга Больцма на "Лекции по теории газов в предисловии которой Больцман писал: "· · · до экспериментов Герца даже формулы максвелловской теории считались бес полезными. Я надеюсь, что теория газов не встретит такого отношения!" Конец книги полон пессимизма "· · · я все еще нахожу в себе силы придать теории газов такой вид, чтобы при ее возрождении в будущем не пришлось слишком многого открывать заново."

Следует отметить, что идеи высказанные Больцманом не были востребова ны современниками, даже больше, они встретили активное непонимание. Заме тим также, что второй крупнейший шаг в становлении статистической физики как науки - формулировка всей равновесной статистической механики сделан ный Гиббсом, произошел только спустя 30 лет после основополагающих работ Больцмана по кинетической теории. Можно сказать, что идеи кинетической теории, высказанные Больцманом,в значительной мере опередили свое время.

Теория Больцмана занимает промежуточный уровень между чисто сто хастическим описанием и микроскопическим подходом: она рассматривает простейшие аспекты динамической задачи ( задачу двух тел). Предположе ния теории формулируются относительно функции распределения, описыва ющей статистические характеристики газов, а не индивидуальное движение каждой молекулы. До настоящего времени кинетическое уравнение Больцмана остается ключом понимания динамики многочастичных систем в более слож ных задачах, чем задачи, относящиеся к разреженному газу.

Рассмотрим газ, состоящий из N одинаковых частиц, микросостояние кото рого описывается заданием 3N координат и 3N составляющих скорости центров тяжести частиц. Предположим, что частицы представляют сбой упругие шари ки. При столкновениях частиц полная энергия и импульс сохраняются. Будем полагать, что плотность рассматриваемого нами газа столь мала, что можно пренебречь влиянием окружающих частиц на столкновение двух частиц. Ины ми словами рассматриваемый нами газ является идеальным. Введем для такого газа неравновесную функцию распределения f (x, y, z, vx, vy, vz, t) f (,, t).

rv Физический смысл введенной функции распределения состоит в том, что f (,, t) d d rv rv есть число частиц, для которых в момент времени t координаты центров тяже сти лежат в интервале + d, а составляющие соответствующих скоростей r r в интервале + d. Физически бесконечно малые объемы d, d полага v v r v ются тем не менее достаточно великими в том смысле, что они содержат много частиц, а с другой стороны, настолько малыми, что можно было пренебречь изменениями функции распределения в их пределах.

Из определения функции распределения следует, что f (,, t) d d = N, rv rv (2.1) где N - полное число частиц.

Исходным пунктом в рассуждениях Больцмана было рассмотрение боль ших систем, т.е. таких, которые содержат большое число частиц. Больцман полагал, что в таких системах вполне естественно следить не за отдельны ми частицами, а за эволюцией обширных групп частиц и использовать при их описании понятия теории вероятностей. Временные вариации распределе ния скорости Больцман представил в виде двух слагаемых, один из которых соответствовал потоку частиц, а другой учитывал изменения, вносимые в распределение скоростей парными столкновениями.

Фактически движение частиц рассматривалось как движение некоторой "жидкости". Действительно в этом случае в отсутствие столкновений частиц из менение плотности рассматриваемых точек описывалось бы уравнением непре рывности в фазовом пространстве шести измерений:

f + k jk = 0. (2.2) t Очевидно, что компоненты вектора плотности тока в фазовом пространстве равны f vi, f wi, (wi = dvi /dt). Следовательно, уравнение непрерывности можно переписать в виде f + (f vk ) + (f wk ) = 0. (2.3) t xk vk Вычисление столкновительного члена представляет собой весьма трудную зада чу. Рассмотрим теперь, к чему приводят упругие столкновения между нашими частицами. Очевидно, что результатом столкновений является резкое измене ние проекций скоростей ( при этом координаты практически не меняются), и, следовательно, имеет место скачкообразное перемещение точек в фазовом про странстве. Можно сказать, что в рассматриваемом нами приближении части цы "гибнут"в одних частях фазового пространства и "рождаются"в других, не пересекая, однако, границ рассматриваемого нами объема. Очевидно, что при таком рассмотрении мы должны ввести в правой части уравнения непрерывно сти источники и стоки частиц данной скорости в данной точке пространства.

Результатом такой операции явится уравнение f + (f vk ) + (f wk ) = J = qi qs. (2.4) t xk vk Таким образом, Больцман разбил временное приращение функции распределе ния на два слагаемых: член "прибылей учитывающий появление в точке r ча стицы и член "убылей который учитывал исчезновение частицы в данной точке пространства вследствие парных столкновений Величина J называется интегралом столкновений;

qi, qs представляют со бой мощности источников и стоков, которые обеспечивают как появление, так и исчезновение частиц в точке фазового пространства r.

2.2 Эффективное сечение рассеяния Очевидно, что в разреженном газе взаимодействие между частицами пред ставляет собой столкновения пар. Поэтому для описания последствий, к кото рым они приводят, необходимо знать плотность пар молекул в µ пространстве так называемую парную функцию распределения. Поскольку для разреженного газа вполне правдоподобно предположение о том, что из-за большого расстоя ния между молекулами и из-за предыдущих столкновений почти все молеку лы газа статистически независимы. Это предположение, которое было принято априори Больцманом, и названное им как Stosszahlansatz ( предположение о числе столкновений), или гипотезой молекулярного хаоса. Статистическая неза висимость означает, что парная корреляционная функция распределения может быть представима в следующем виде f2 (r, v, r1, v1 ) = f1 (r, v) f1 (r1, v1 ).

Существенное преимущество этой гипотезы состоит в том, что она позволяет описывать эффект столкновений, используя только одночастичные функции распределения.

Следует отметить, что предпринималось довольно много попыток иссле довать применимость гипотезы молекулярного хаоса. Модельные вычисления показывают, что в термодинамическом пределе молекулярный хаос распро страняется т.е. если хаос был в начальный момент, то он сохраняется и в будущем.

Столкновения между частицами разделены в пространстве и во времени большими интервалами. Поэтому представляет интерес рассмотреть некоторые аспекты классической теории рассеяния ( ввести понятие о дифференциальном сечении рассеяния). Рассмотрим однородный пучок частиц, падающих с оди наковой начальной скоростью u на фиксированный центр рассеяния (2.1). Чис ло частиц dN, рассеянных в элементе телесного угла d около d = 2 sin d, пропорционально интенсивности падающего пучка частиц I и элементу телесно го угла d. Множитель пропорциональности называется дифференциальным сечением рассеяния. Таким образом, dN = I (;

u) d dt, I = n u.

Здесь n число частиц в единице объема.

Величина (;

u) d имеет простую физическую интерпретацию: это есть площадь поверхности в плоскости, перпендикулярной падающему пучку, та Рис. 2.1: Рассеяние частицы в центральном поле кая,что направления векторов конечных скоростей частиц, которые пересе u кают эту поверхность, лежат внутри телесного угла d.

С другой стороны, в угол d отклоняются все частицы, которые в падаю щем пучке упали на площадь кольца 2 b() d b(), где мы ввели в рассмотрение прицельный параметр, определяемый как минимальное расстояние от силового центра до траектории невозмущенного движения. Угол рассеяния равен углу между скоростями, падающей и рассеянной частиц. Очевидно, что при u u заданной скорости угол рассеяния однозначно связан с прицельным расстояни ем b b(). Таким образом, dN = b() db() I.

Сопоставляя это выражение с выше написанным, имеем 1 db (;

u) = b()| |, sin() d где мы взяли абсолютное значение производной, поскольку db и d имеют обычно разные знаки.

Заметим, что аналитическое выражение для сечения рассеяния можно по лучить только для некоторых законов взаимодействия. Так, в случае твердых шаров, потенциал взаимодействия которых определяется как V (r) = { r a 0 r a} (a- диаметр твердого шара), для сечения рассеяния получено следующее значе ние: = a2 /4.

Иногда в рассмотрение вводят интегральное или полное сечение рассеяния p = (;

u) d = 2 (;

u) sin d.

Нетрудно увидеть, что полное сечение рассеяния в случае рассеяния твердых шаров равно (p = a2 ) площади поперечного сечения шара.

2.2.1 Концепция столкновений Рассмотрим механику столкновения двух частиц. Пусть до столкновения скорости частиц 1 и 2 равны v и v1, а после столкновения v и v1 соответственно.

Поскольку при столкновении силы взаимодействия частиц значительно больше внешних сил, то можно полагать, что сталкивающие частицы образуют замкну тую систему, для которой выполняются законы сохранения количества движе ния и энергии v + v1 = v + v 1, v 2 + v1 = v 2 + v12.

Векторное и скалярное уравнение дают четыре уравнения, которые связыва ют в общей сложности 12 составляющих для компонент скоростей. Введем в Рис. 2.2: Рассеяние частиц. a)В системе центра масс;

в) В лабораторной системе рассмотрение скорость центра масс (инерции) сталкивающихся частиц drc d m(r + r1 ) 1 vc = = = (v + v1 ) = (v + v 1 ), (2.5) dt dt m+m 2 которая не меняется после столкновения. Скорости частиц в координатной си стеме, связанной с центром масс, равны w = v vc, w1 = v1 vc, w = v vc, w 1 = v 1 vc. (2.6) Таким образом, задача двух тел с центральным потенциалом взаимодействия свелась к задаче одного тела. Массой такой частицы является приведенная масса m1 m M=, m1 + m где m1, m2 - массы частиц, а координатой вектор относительного смещения r1 r2.

Принимая во внимание выражение для скорости центра масс, получаем w + w1 = 0, w + w 1 = 0, w2 = w1 = w 2 = w 12.

(2.7) Мы видим, что в системе центра масс столкновение имеет простой вид: частицы до столкновения летят навстречу друг другу со скоростями w и w1 = w;

после соударения они разлетаются в противоположных направлениях с теми же по абсолютной величине скоростями w и w 1 = w. Схема такого столкновения приведена на рисунке(2.2).

Прибавив ко всем скоростям w, w1,... скорость vc мы придем (2.2 (b)) к описанию столкновения в лабораторной системе координат.

Скорость частицы 1 относительно частицы 2 до и после столкновения равна u = v v1, u = v v 1. (2.8) Из приведенных выше выражений следует, что скорости частиц в системе цен тра масс равны 1 w = (v v1 ) = u = w1, 2 1 w = (v v 1 ) = u = w 1, (2.9) 2 причем u = u. Рассеяние двух частиц в системе центра масс представлено на рисунке (2.3). Как видно из рисунка движение обеих частиц совершенно сим метрично, поэтому вполне достаточно рассмотреть движение одной частицы;

оно может быть описано как рассеяние на неподвижном центре.

Рис. 2.3: Рассеяние частиц в системе центра масс O.

2.3 Интеграл столкновений Итак, из обсуждений, проведенных выше, следует, что для определения явного вида кинетического уравнения необходимо также вычислить величину (f /t)st, которая называется интегралом столкновений. Эту задачу мы решим при некоторых предположениях, которые имеют принципиальный характер и справедливы только в случае сильно разреженного газа.

Предположение 1.Считая газ достаточно разреженным, ограничимся да лее рассмотрением только парных столкновений частиц, т.е. мы будем пре небрегать возможностью образования комплексов из частиц больше чем две.

Такое предположение может быть оправдано в случае сильно разреженного идеального газа, когда n ro 1.

Здесь n, ro плотность частиц и параметр, который характеризует взаимодей ствие между частицами ( для твердых шаров ro радиус шара). Кроме того, парное столкновение происходит на расстоянии порядка ro, которое очень ма ло по сравнению с масштабом физического элемента, фигурирующего при r определении функции распределения, а время столкновения s ro / v, характеризующее длительность акта соударения,также мало по сравнению со временем "сглаживания"t, которое также фигурирует при определении функ ции распределения.

Именно предположение о парном столкновении позволило представить ин теграл столкновений в виде разницы qi qs.

Запишем число парных столкновений за время t, при которых одна из частиц, параметры которой лежат в области (, + ;

, +), откло rr rvv v няется в результате столкновения с другой, приобретая другое значение скоро сти.

v qi t.

r v Соответственно qs t r v есть число парных столкновений, в результате которых частица, находящаяся в данном объеме и имеющая скорость, приобретет новое значение скорости v, + ).

из заданного интервала ( v v v Для того чтобы получить явные выражения для источников и стоков qi, qs, требуется ввести дополнительное достаточно сильное предположение, которое позволит определить число пар частиц, принимающих участие в столкновении и находящихся в выбранном нами физическом объеме.

Предположение 2. Гипотеза о молекулярном хаосе. Число пар частиц, находящихся в элементе и имеющих скорости в диапазонах (, + r vv ), ( 1, 1 + 1 ), которые принимают участие в столкновениях, да v vv v ется выражением f (,, t) f (, 1, t) 1, rv r v rv r v т.е. определяется произведением функций распределения сталкивающихся частиц. В этом случаеи мы полностью пренебрегаем корреляцией между стал кивающимися частицами. Стоит обратить внимание на то, что координата у r функций распределения одинакова.

Подчеркнем, что именно это предположение служило основой многих крити ческих замечаний против уравнения Больцмана. Его доказательство достаточно сложно, поскольку оно вводит статистические предположения в чисто механи ческую проблему. Однако интуитивная интерпретация данного предположения достаточно проста.

Итак, приступим к вычислению qi, qs. Рассмотрим некоторую частицу, ко торая находится в объеме d и имеет скорость. Будем рассматривать эту r v частицу как мишень в эксперименте по рассеянию. Частицы, которые имеют скорости в диапазоне 1, 1 + d 1 и могут сталкиваться с нашей мишенью, v v v равномерно и случайно распределены на масштабе ro ;

они образуют однород ный падающий пучок с интенсивностью dI = g f (, 1, t) d =.

v rv v g v Здесь - относительная скорость.

g Согласно определению эффективного сечения рассеяния, число частиц, от клоняемых мишенью в телесный угол d за время t, дается выражением dN = f (, 1, t) d 1 g(;

g) d t.

rv v Величина qi t получается путем умножения величины dN на число r v,, t) частиц-мишеней и интегрирования по всем углам рассеяния f( r v rv и всем скоростям 1 :

v qi t = d rv v (;

g)g [f (, 1, t) f (,, t) t] d.

rv rv rv (2.10) При вычислении величины qs, t используются те же соображения:

r v рассмотрим частицу с заданной скоростью. Рассмотрим все парные столк v новения, в результате которых скорость частицы станет. По сути дела, в v данном случае мы анализируем обратное столкновение. В результате получаем qs t = d rv v (;

g)g [f (, 1, t) f (,, t) t] d, rv rv rv (2.11) где скорости 1, должны быть выражены через скорости 1, при v v v v заданном с помощью закона столкновения, например:

= ( · ), v1 = + ( · ).

v1 eg e v v eg e Комбинируя промежуточные результаты, мы приходим к кинетическому уравнению Больцмана f f + F f = d +v v (;

g) g m t r v [ f (, ;

t)f (, 1 ;

t) f (, ;

t)f (, 1 ;

t) ]d.

rv rv rv rv (2.12) Уравнение Больцмана имеет фундаментальное значение в кинетической тео рии. Как видно, оно представляет собой сложное интегро-дифференциальное уравнение, решение которого возможно только при выполнении ряда прибли жений.

Приведем ряд эквивалентных форм интеграла столкновений, которые ис пользуются при тех или иных исследованиях.

1. Наиболее полно физический смысл интеграла столкновений выражается при записи интеграла столкновений через вероятности переходов W (v, v1 ;

v, v1 ) f |st = dv1 dv dv1 W (v, v1 ;

v, v1 ) [f f1 f f1 ]. (2.13) t Здесь W (v, v1 ;

v, v1 ) = W (v, v1 ;

v, v1 ), f = f (r, v;

t), f1 = f1 (r, v1 ;

t).

При такой форме записи кинетическое уравнение Больцмана весьма похоже на "Master equation"стохастической теории с членами производства и потерь.

Однако благодаря своей нелинейности оно обладает новыми физическими свой ствами, поэтому такая аналогия является приближенной.

2. Если рассеяние описывается на "языке"прицельного параметра b, то f d = v b db g [f f1 f f1 ] d, (2.14) t st 0 где мы учли, что 1 d b() d = sin d d;

(, g) = b().

sin d Если функция распределения f (r, v) явно от времени не зависит, то средние значения величин, вычисленные посредством ее, также не будут зависеть от времени. такое состояние газа называется стационарным.

Следует подчеркнуть, что Больцман рассмотрел только упругие соударе ния, считая массы частиц одинаковыми. Тем не менее, кинетическое уравнение Больцмана позволяет, как мы увидим ниже, получить ряд следствий, которые имеют весьма общий характер.

Далее, при выводе кинетического уравнения учитывались только парные взаимодействия молекул. При этом нет более или менее очевидного рецепта, позволяющего провести в рамках рассмотренного выше подхода учет столк новений, в которых принимает участие одновременно большее число частиц.

Обобщение кинетического уравнения, позволяющего учитывать столкновения, в которых одновременно участвовало большее число частиц, было сделано Н.Н.

Боголюбовым, который наряду с одночастичными функциями распределения ввел в рассмотрение и функции распределения более высоких порядков.

Очевидно, что пределы применимости кинетического уравнения Больцмана можно представить следующим неравенством: ro L (ro радиус взаимо действия, L длина свободного пробега частиц).

2.4 Инварианты столкновений Решение уравнения Больцмана для общего случая вследствие его нелиней ности неизвестно. Тем не менее можно установить некоторые общие и весьма важные свойства интеграла столкновений. Будем исходить из интеграла столк новений, записанного в виде f I(, ;

t) = d rv v d K [f f1 f f1 ]. (2.15) t st Умножим (2.15) на произвольную функцию (, ;

t) скорости и проинтегри rv. В результате мы получим следующий функционал:

руем по v d (, ;

t) I(, ;

t).

Q() = v rv rv (2.16) Сделаем в (2.16) замену переменных 1, 1 (при этом, конечно, v v v v,. Знак функционала при этом не изменится. Однако он v 1 1 v v v изменится при другой замене переменных, когда, 1 1, v v v v v,.

v1 v1 v Заметим, что при таких заменах переменных K не меняется, а в силу теоре мы Лиувилля не изменяется и фазовый объем: d d 1 = d d1. Складывая vv vv данный функционал с другими, которые следуют из других замен, и деля сумму на четыре, получаем d d 1 d [f f1 f f1 ] [ + 1 1 ].

Q() = vv (2.17) Из выражения (2.17) следует, что независимо от функции распределения инте грал тождественно обращается в нуль, если функция (, ;

t) удовлетворяет rv соотношению (,, t) + (, 1, t)) = (,, t) + (, 1, t).

rv rv rv rv Функции, которые удовлетворяют таким соотношениям, называются инвариантами столкновений или аддитивными инвариантами. При упру гих столкновениях, которые мы рассматриваем, сохраняются масса, им пульс и энергия соударяющихся частиц. Таким образом, мы имеем пять аддитивных инвариантов:

v 1 = m, = mv, ( = x, y, z) 5 = m.

Заметим, что любая их комбинация также будет инвариантом. Общий вид ин варианта есть линейная комбинация этих пяти инвариантов:

( ) = Fi i ( ).

v v (2.18) i= 2.5 Решение уравнения Больцмана Найдем решение уравнения Больцмана в отсутствие внешнего силового по ля (U ( ) = 0) для равновесного состояния газа. В этом случае равновесная r функция распределения зависит только от скорости, и кинетическое уравнение Больцмана сводится к равенству нулю интеграла столкновений:

K (f f1 f f1 ) d d1 = 0.

I v (2.19) Очевидно,что достаточным условием обращения в нуль интеграла столкнове ний будет равенство нулю подынтегрального выражения f f1 f f 1.

Прологарифмировав обе части, получим ln f + ln f1 = ln f + lnf1.

Покажем, что решением данного уравнения является распределение Максвелла.

Поскольку импульсы участвующих в столкновениях частиц связаны законами сохранения, то общее решение уравнения для ln f может быть представлено в виде линейной комбинации трех функций 1, m, (m )2, т.е в равновесном со v v стоянии ln f представляет собой инвариант столкновений и, следовательно, в общем случае является линейной функцией известных пяти аддитивных инва риантов, которые имеют место при упругих столкновениях:

ln f ( ) = a + bi vi + c v 2, v (2.20) i где a, bi, c - константы. Введем вместо них величины A, Bi, C по формулам a = ln A C B 2, bi = 2C Bi, c = C, тогда выражение для функции распределения будет иметь вид f ( ) = A eC(v B).

v (2.21) Физический смысл введенных нами параметров A, Bi, C можно выяснить, связывая их с макроскопически наблюдаемыми величинами: локально равно весной плотностью n(, t), средней скоростью и температурой T :

r u f ( ) d, = f ( ) d, n= v v u v v v m ( ) 3 v u f () d.

kb T = v v (2.22) 2 Подставляя (2.21) в (2.22), получим m 3/ = B, n=A, u kb T =.

C 2C Таким образом, выражение для функции распределения можно записать в виде локально равновесного распределения Максвелла-Больцмана:

m( ) 3/ m v u f ( ) = n v exp, (2.23) 2 kb T 2 kb T где параметры n,, T в общем случае зависят от переменных, t.

u r Больцман доказал, что распределение Максвелла (2.23) является также и единственным решением кинетического уравнения в равновесном состоянии.

2.5.1 Решение уравнения Больцмана в поле внешних сил Найдем теперь равновесное решение кинетического уравнения Больцмана для газа в поле внешних сил U ( ) = 0. Очевидно,что в этом случае функция r распределения не зависит явно от времени, но зависит от скоростей и коорди нат. Для поиска решения при наличии внешнего силового поля в выражение lnf (, ) надо ввести дополнительное слагаемое (2B( )):

rv r ln f () = a + bi vi + c v 2 2 B( ).

v r (2.24) i Проводя теперь рассуждения, аналогичные рассмотренным выше, можно пока зать, что равновесным распределением газа во внешнем поле при этом будет распределение Максвелла-Больцмана следующего вида:

m( )2 U ( ) 3/ m v u r f (, ) = no rv exp, (2.25) 2 kb T 2 kb T kb T где no - плотность числа частиц в точке, в которой U = 0. Величина n( ) при r этом, очевидно, равна U( r ) n( ) = f (, ) d = no e kb T.

r rv v (2.26) 2.6 Н теорема Больцмана В отличие от обратимых уравнений динамики, согласно которым движе ния частиц обратимы во времени, кинетическое уравнение Больцмана описы вает эволюцию во времени необратимых процессов. Такое утверждение означа ет, что закономерности, отражаемые этим уравнением, определяют выделенное направление времени. Именно об этом говорит Н-теорема Больцмана, согласно которой с увеличением времени энтропия растет.

Рассмотрим пространственно однородный газ, описываемый неравновесной (по скоростям) функцией распределения f (, t). Введем в рассмотрение Н v функцию Больцмана f (, t) ln f (, t) d.

H(t) = v v r (2.27) Найдем изменение H - функции со временем:

dH(t) f f d.

= ln f + v (2.28) dt t t Очевидно, что f d d N d = f (, t)d = v v v = 0, (2.29) t dt dt V а принимая во внимание уравнение Больцмана, видим, что f f = |st.

t t Таким образом, для изменения функции Н во времени имеем dH(t) K [f f1 f f1 ] ln f (v) d d1 d.

= v v (2.30) dt (напомним,что мы включили все несущественные для нас сомножители, входя щие в интеграл столкновений, в K).

Проведем теперь следующие замены переменных в уравнении (2.30):

vv1, v v1 ;

vv, v1 v1 ;

vv1, v1 v.

При первом преобразовании f f1 и f f1, ln f ln f1, квадратная скобка под знаком интеграла останется без изменения. При втором преобразовании квадратная скобка изменит знак. Наконец, при третьем преобразовании, кото рое представляет собой комбинацию двух первых преобразований, квадратная скобка также изменит знак. Отметим, что при всех заменах изменение объема dv dv не происходит в силу теоремы Лиувилля (сохранение фазового объема).

Теперь надо сложить исходное уравнение с тремя, которые получились при за мене скоростей. Имеем dH(t) K [f f1 f f1 ] [ln(f f1 ) ln(f f1 )]d d 1 d.

= v v (2.31) dt Очевидно, что знак правой части формулы определяется знаком функции (x y)[ln x ln y] = (x y) ln (x/y) = F (x, y).

Значение x = y соответствует равновесному состоянию. Если x y, то ln(x/y) 0 и F (x, y) 0. Если x y, то ln (x/y) 0, F (x, y) 0. Таким образом, функция Больцмана H(t) является неотрицательной, и, следовательно, dH(t) = 0. (2.32) dt Функция Больцмана непосредственно связана с энтропией системы H(t) = S(t) = kb ln f (r, v, t) f (r, v, t) dv. (2.33) Здесь S(t) - энтропия единицы объема неравновесного газа. Поэтому неравен ство (2.32) эквивалентно неравенству dS(t) = 0. (2.34) dt Таким образом, с увеличением времени Н-функция убывает, а энтропия систе мы (S) возрастает. Следует подчеркнуть, что Н - теорема имеет не динами ческий, а статистический (или вероятностный) характер. Именно в силу этого обстоятельства теорема утверждает, что убывание Н-функции Больцмана но сит более вероятностный характер, нежели ее возрастание, при приближении газа к равновесному состоянию. Увеличение энтропии говорит о том, что с воз растанием времени неравновесное состояние газа релаксирует к равновесному, при котором энтропия максимальна.

Заметим, что возрастание энтропии, вообще говоря, не является причиной необратимости динамических процессов. Чем же тогда объяснить наблюдаемую необратимость? Для понимания характера необратимости процессов следует об ратиться к основным уравнениям движения - к уравнениям Ньютона. Основу классической механики составляют уравнения Ньютона и постулат об абсолют ной точности измерений. При выполнении второго постулата эволюция системы является детерминированной, в противном случае эволюция носит вероятност ный характер, а это качественно меняет всю эволюционную картину. В детерми нированной системе движение описывается на языке траекторий, вид которых мы можем определить, решив задачу Коши. Для недетерминированных систем такая задача носит вероятностный характер, которые можно рассчитать только на языке статистических ансамблей Гиббса.

В детерминированных системах движение частиц по траекториям является обратимым, изменив t на (t) мы по той же траектории вернемся в исходную точку. В хаотических же системах частицы после поворота, связанного с ин версией времени, в силу вероятностного характера движения могут оказаться где угодно, только не в исходной точке. Можно сказать, что первопричиной необратимости макроскопических процессов является хаос, который возникает в динамических системах, а возрастание энтропии, по сути говоря, является глобальным признаком необратимости.

2.7 Сокращенное описание неравновесной систе мы Для любого реального газа существуют три характерных интервала време ни. В качестве примера, который подтверждает такое заключение, рассмотрим эволюцию реального газа. Здесь мы можем ввести три резко разграниченных масштаба времени:

1. среднее время, в течение которого две частицы находятся каждая в области другой. Это время называется временем столкновения время столк новения. С этим временем связано характерная длина ro, (радиус потенциа ла взаимодействия). Порядок величины данных параметров есть: 1012 с, ro 108 см.

2. to среднее время между столкновениями. С этим временем связана сред няя длина свободного пробега l. Порядок величины параметров в этом случае есть: o 109 с, l 105 см.

3. T время To, которое требуется частице, чтобы пересечь сосуд, запол ненный газом. Это время порядка долей секунд.

Масштабы рассмотренных времен удовлетворяют соотношению to To.

В соответствии с указанными неравенствами, для описания эволюции рас сматриваемой нами системы на каждом ее этапе требуется знание различного числа параметров достаточных для ее описания.

Начальная стадия 0 t. На этой стадии состояние системы определя ется положением и импульсом каждой частицы и, следовательно, определяется фазовой плотностью. Состояние газа определяется в этом случае N частичной функцией распределения.

Следующий интервал времени t to это кинетическая стадия, когда в системе после ряда столкновений частицы приобретают некоторый элемент сходства. При таких условиях среднее состояние любой из частиц характери зует динамику всей системы в целом. Состояние системы может быть описано одночастичной функцией распределения. Предполагается, что на этом этапе все многочастичные функции распределения являются функционалами от f1 :

fs = fs (1, 2, · · ·, t;

| f1 ).

При этом fs зависит от времени неявно, через функцию f1.

Наконец интервал времени t to. Данный интервал характеризуется тем, что в системе произошло большое число столкновений. В малых объемах мо лекулярной системы установилось локальное равновесие, для описания кото рого не надо знать даже одночастичную функцию распределения, а достаточ но знать такие локальные макроскопические параметры, как пространственная плотность числа частиц - n(x, t), макроскопическая скорость газа - u(x, t), ло кальная температура - T (x, t). Такой этап развития системы называется гидро динамическим. Исследование свойств системы на этом этапе составляет содер жание неравновесной термодинамики.

Следует заметить, что в процессе эволюции системы сокращается число па раметров необходимых для ее полного описания (на начальном этапе - необхо димо знать N - мерную функцию распределения, в конечной стадии достаточно знать лишь локальные термодинамические функции, дающие менее подробное описание системы).

Поскольку на кинетической и гидродинамической стадиях развития систе мы для описания системы необходимо знать лишь одночастичную функцию распределения f1, то центральной задачей неравновесной статистической фи зики (физической кинетики) становится вывод кинетических уравнений для различных систем и их решения для различных приложений.

2.8 Последовательность функций распределе ний Уравнение Лиувилля для функции распределения fN (X, t) эквивалентно системе уравнений Гамильтона. Вся проблема состоит в необходимости решения ее при большом числе частиц (N 1023 ). Однако для практических целей нет необходимости решать систему уравнений для такой функции распределения.

Как правило, наблюдаемые величины зависят только от редуцированных функ ций распределения, которые получаются из N -частичной функции распределе ния интегрированием по всем (за исключением малого числа) переменным. Так, в силу иерархии времен часто возникает необходимость нахождения функции распределения, которая зависит от переменных одной частицы. Введем в рас смотрение функции распределения для комплексов, состоящих из различного числа частиц.

Обозначим функцию распределения переменной одной частицы через f1 (x1, t) = f1 (r1, p1, t) - это одночастичная функция распределения.

Для двухчастичной функции распределения имеем f2 (x1, x2, t) = f2 (x1, x2, p1, p2, t).

Таким образом, можно ввести и другие n-частичные функции распределения.

Все введенные функции распределения можно выразить через функцию рас пределения fN (X, t):

f1 (x1, t) = V fN (x1 · · · xN, t) dx2 · · · dxN, (2.35) f2 (x1, x2, t) = V 2 fN (x1 · · · xN, t) dx3 · · · dxN. (2.36) Из условия нормировки функции распределения fN (X, t) имеем нормировки и для остальных функций распределения fN (X, t) dX = 1, (2.37) 1 f1 (x1, t)dx1 = 1, f2 (x1, x2, t)dx1 dx2 = 1. (2.38) V V Вообще говоря, можно ввести s-частичную функцию распределения (s N ) со своим условием нормировки:

fs (x1, x2 · · · xs, t) = V s fN (x1 · · · xN, t) dxs+1 · · · dxN, (2.39) fs (x1 · · · xs, t) dx1 · · · dxs = 1. (2.40) Vs 2.9 Цепочка уравнений Боголюбова Выше мы уже говорили, что для вычисления средних значений макроско пически наблюдаемых величин достаточно редуцированных функций распреде ления. Поэтому представляет интерес посмотреть, каким образом из уравнения Лиувилля для fN (X, t) могут быть получены уравнения эволюции для последо вательности неравновесных функций распределения.

Рассмотрим газ, состоящий из бесструктурных частиц. Функцию Гамильто на в этом случае можно записать в виде p2 i H(X) = + Uo (ri ) + (|ri rj |), (2.41) 2m i i=j где первое слагаемое есть кинетическая и потенциальная энергии частиц, а вто рое слагаемое описывает парное взаимодействие между частицами. Предпола гая газ достаточно разреженным, мы пренебрегли взаимодействиями, в которых участвуют три частицы и более.

Для функции Гамильтона имеем следующее уравнение Лиувилля fN H fN H fN + ( )= t pi ri ri pi i fN fN Uo fN fN + ( vi ij ) = 0. (2.42) t ri ri pi ri pi i i=j Найдем уравнение, которому удовлетворяет одночастичная функция распре деления f1 (x1, t). Для этого умножим уравнение (2.42) на объем системы V и проинтегрируем его по переменным всех частиц x2...xN, кроме первой. Рас смотрим результат интегрирования последовательно для каждого слагаемого.

Используя определение одночастичной функции распределения, получаем fN f V dx2 · · · dxN =. (2.43) t t При интегрировании членов, содержащих пространственные производные, примем во внимание граничные условия для функции распределения:

fN (X, t)|ri =± = 0, которые означают, что вероятность нахождения частицы с номером i на бесконечности, т.е. вне рамок объема занимаемого системой, рав на нулю. Поэтому при интегрировании по координатам r2 · · · rN дадут нулевой вклад все члены с производными /ri, кроме членов с /r1. В итоге имеем N fN f V vi dx2 · · · dxN = v1. (2.44) ri r i При нахождении вклада от члена с Uo /ri поступим аналогичным образом: ис пользуем граничное условие в пространстве импульсов fN (x1 · · · xN, t)|pi =± =, которое означает, что вероятность бесконечно больших значений импульсов равна нулю. Поэтому при интегрировании по импульсам p2 · · · pN нулевой вклад дадут все члены, кроме члена с /p1 :

N Uo fN Uo f V dx2 · · · dxN =. (2.45) ri pi r1 p i При нахождении вклада от членов, учитывающих взаимодействие между ча стицами, примем во внимание граничное условие в пространстве импульсов, определение двухчастичной функции распределения, а также тождественность всех частиц, окружающих данную частицу (1). В результате получим N fN V ij dx2 · · · dxN = ri pi i i=j 12 fN = V (N 1) dx2 · · · dxN = r1 p N 1 12 f dx2. (2.46) V r1 p Собирая отдельные вклады, мы придем к следующему уравнению для одноча стичной функции распределения Uo (r1 ) 12 f + v1 f1 = n dx2, (2.47) t ri r1 p1 r1 p где n (N 1)/V. Итак, мы получили первое уравнение цепочки Боголюбо ва (1946) для кинетических функций распределения. Как видно из выражения (2.47), это уравнение является незамкнутым, поскольку правая часть, опреде ляющая взаимодействие частиц, выражается через двухчастичную функцию распределения.

Уравнение для функции распределения f2 можно получить, если подейство вать на уравнение Лиувилля операцией V2 · · · dr3 · · · drN dp3 · · · dpN.

Очевидно, что в этом случае останутся члены с i = 1, i = 2, сумма по j возьмется и в предельном случае (N 2)/V n, и мы получим уравнение следующего вида Uo (r1 ) ( + v1 + t r1 r1 p1 r1 p Uo (r2 ) +v2 ) f2 = r2 r2 p2 r2 p 13 =n + f3 dx3. (2.48) r1 p1 r2 p Правая часть этого уравнения описывает взаимодействие выделенной пары ча стиц (1-2) с окружающими частицами. Она пропорциональна числу частиц (N 2) N, окружающих пару, и содержит трехчастичную функцию рас пределения.

Таким образом, мы пришли к цепочке уравнений, последовательность кото рых называется системой уравнений Боголюбова-Борна-Грина-Кирквуда-Ивона (ББГКИ). Решение такой системы уравнений - весьма сложная задача. Одна ко при наличии малых параметров оказывается возможным оборвать цепочку уравнений и свести тем самым задачу к решению замкнутой системы уравнений для конечного числа редуцированных функций распределения.

2.10 Корреляционные функции Часто вместо последовательности функций распределения f1, f2, · · · удобно использовать последовательность такого вида f1, g2, g3, · · ·, в которой g2 - двух частичные, g3 - трехчастичные и т. д.корреляционные функции. По определению g2 (x1, x2, t) = f2 (x1, x2, t) f1 (x1, t) · f1 (x2, t). (2.49) Таким образом, g2 характеризует статистическую связь частиц (1-2). При g2 = 0, f2 = f1 · f1 и, следовательно, значения координат импульсов частиц 1 и статистически независимы. Аналогичным образом можно ввести и корреляци онную функцию g3 :

f3 (1, 2, 3) = f1 f1 f1 + f1 (1)g2 (2, 3) + f1 (2)g2 (3, 1) + +f1 (3)g2 (1, 2) + g3 (1, 2, 3). (2.50) Очевидно, что при этом корреляционная функция g3 отлична от нуля только в случае, когда имеется статистическая зависимость всех трех частиц.

Отметим некоторые важные свойства таких корреляционных функций. Из определения n-частичных функций распределения имеем fs = V 1 f1 = V fs+1 dxs+1, f2 dx2, ···. (2.51) Подставим вместо двухчастичной функции распределения ее представление че рез корреляционную функцию (2.49). Принимая во внимание условие норми ровки для функции f1, получаем V 1 V g2 (x1, x2, t)dx2 = 0, g2 (x1, x2, t)dx1 = 0. (2.52) Удобство представления функций распределения через корреляционные функ ции особенно наглядно можно продемонстрировать на примере первого уравне ния цепочки уравнений ББГКИ (2.46). Подставим в его правую часть выраже ние (2.49), получим f1 (x1, t) 12 g n 12 f1 (x2, t)dx2 + n dx2. (2.53) r1 p1 r1 p Первое слагаемое в этом выражении определяет усредненное действие окру жающих частиц на частицу 1. Можно перенести это слагаемое в левую часть кинетического уравнения, объединив его, например, с внешней силой, которая действует на частицу 1. Правая часть кинетического уравнения 12 g n dx2 (2.54) r1 p полностью определяется в этом случае только корреляционной функцией и об ращается в нуль при g2 = 0. Величина g2 отлична от нуля только при сближении частиц на расстояние порядка радиуса их взаимодействия (т.е. при столкнове нии). Именно поэтому правую часть кинетического уравнения называют инте гралом столкновений.

2.11 Двухчастичная функция распределения Как мы уже знаем, при отсутствии внешнего поля одночастичная функция распределения f1 (p) есть распределение Максвелла. В равновесном состоянии функции распределения могут быть представлены в виде произведений функ ций распределения координат и распределения Максвелла для отдельных ча стиц. Если внешнее поле отсутствует, то одночастичная функция распределения f1 (r) = 1, f1 dr.

V Запишем выражение для координатных частей двухчастичной функции рас пределения f2 (r1, r2 ) разреженного газа. Поскольку f2 (x1, x2, t) = f1 (r1, p1, t) f2 (r1, p2, t), то, очевидно, мы имеем f2 (r1 r2, p1, p2 ) = C exp f1 (p1 ) f2 (p2 ), (2.55) kb T где f1 (p1 ) f2 (p2 ) - распределения Максвелла по скоростям. Из(2.55) следует, что распределение по координатам частиц определяется выражением f2 (r1 r2 ) = C exp. (2.56) kb T Постоянная С при этом может быть найдена из условия нормировки f2 (r1 r2 ) dr1 dr2 = 1. (2.57) V Подставляя под знак интеграла явное выражение для функции распределения, получаем 1 C= exp dr1 dr2 V2 kb T 1 4 + 1 r2 dr exp = 1. (2.58) V V kb T o Вклад второго слагаемого в этом выражении ro /V 1, а в термодинами ческом пределе равен нулю. Таким образом, С=1. В результате мы приходим к следующему выражению для функций f2, g2 :

f2 (r) = exp, g2 (r) = exp 1. (2.59) kb T kb T Рис. 2.4: Зависимость функции f2 (r) для модели упругих шаров График функции f2 (r) для непрерывного потенциала (|r|) представлен на рис.2.4).

Для разрывного потенциала, характерного для модели взаимодействия твер дых упругих шаров:

(|r|) = (, r ro ;

0 r ro ) функции f2, g2 имеют вид f2 (r) = (0, r ro ;

1, r ro ), g2 = f2 1.

Следует подчеркнуть, что приведенные выражения для функций распределе ния справедливы в нулевом приближении по параметру плотности. Для случая плотных газов, используя цепочку уравнений для равновесных функций рас пределения, мы также можем найти выражения для функций f2, g2, но уже в виде разложения по параметру плотности.

2.12 Приближение парных столкновений Одним из приближений, позволяющих получить замкнутую систему кине тических уравнений для функций распределения f1, f2, является приближение парных столкновений, которое выполняется в случае разреженного газа, для которого параметр плотности = n ro 1.

Рассмотрим первое приближение по параметру плотности. Этому прибли жению соответствует учет только парных столкновений. Иными словами, веро ятность того, что в процессе столкновения могут принять участие три частицы пренебрежимо мала.

Покажем, что в этом приближении цепочка уравнений для функций распре деления обрывается на втором уравнении и таким образом получается замкну тая система кинетических уравнений для двух первых функций распределения f1, f2.

Воспользуемся представлением трехчастичной функции распределения че рез корреляционные функции:

f3 (1, 2, 3) = f1 f1 f1 + f1 (1)g2 (2, 3) + f1 (2)g2 (3, 1) + +f1 (3)g2 (1, 3) + g3 (1, 2, 3), (2.60) где g2 (1, 3) характеризует статистическую связь частиц 1, 3, а g3 (1, 2, 3) опи сывает корреляцию сразу трех частиц. Очевидно, что в приближении только парных столкновений последнее слагаемое в формуле (2.60) надо опустить из рассмотрения.

Подставим выражение (2.60) в правую часть второго уравнения цепочки уравнений:

13 n + f3 (1, 2, 3)dx3. (2.61) r1 p1 r2 p Рассмотрим первое слагаемое в этом выражении, выделив в нем только парные столкновения. Очевидно, что в этом случае второе слагаемое выражения (2.60) можно опустить из рассмотрения, поскольку оно отлично от нуля только когда происходит сближение трех частиц. Действительно, взаимодействие 13 отлич но от нуля, когда сближаются частицы 1,3, а корреляционная функция g2 (2, 3) - при сближении частиц 2,3 на расстояние ro.

Первое и последнее слагаемые можно объединить, введя двухчастичную функцию распределения f1 f1 f1 + f1 (3)g2 (1, 2) = f1 (3)f2 (1, 2).

Для интеграла столкновений получаем 13 g2 (1, 3) n =n f1 (3)f2 (1, 2)dx3. (2.62) r1 p1 r1 p Это слагаемое можно теперь перенести в левую часть кинетического уравнения и объединить со слагаемым Fo (f2 /p1 ). В результате такой операции мы про сто переопределим силу, которая будет теперь учитывать усредненное действие окружающих частиц.

Рассмотрим предпоследнее слагаемое выражения (2.60). Преобразуем его следующим образом. Вспоминаем, что первое уравнение цепочки можно пе реписать, введя представление двухчастичной ФР через произведение одноча стичных ФР и корреляционную функцию. С учетом такого представления мы имеем 13 g2 (13) n f1 (2)dx3 = I(1, t)f1 (2). (2.63) r1 p Написанное выше выражение можно переписать несколько иначе, если восполь зоваться явным выражением для левой стороны кинетического уравнения:

I(1, t)f (2, t) = + v1 +F f1 (1) f1 (2, t). (2.64) t r1 p Аналогичную операцию можно проделать и со вторым слагаемым в интеграле столкновения. В результате мы получим формулы, отличающиеся от написан ных выше только заменой 2 3.

Таким образом, результат проделанных выше преобразований позволяет представить кинетическое уравнение для функции распределения f2 в прибли жении парных столкновений в следующем виде:

( + v1 +F + t r1 p1 r1 p +v2 +F ) f2 = r2 p2 r2 p = + v1 +F + v2 +F f1 (1, t) f1 (2, t). (2.65) t r1 p1 r2 p Кинетические уравнения для одночастичной функции распределения и уравне ние (2.65) составляют, как видно, замкнутую систему уравнений для функций распределения f1 (1, t), f2 (1, 2, t).

Можно показать, что в случае разреженного газа, когда важны только пар ные столкновения, возможны дальнейшие упрощения данной системы уравне ний, результатом которых является одно уравнение для одночастичной функ ции распределения, или кинетическое уравнение Больцмана.

2.13 Вывод уравнения Больцмана из цепочки уравнений Боголюбова Итак, рассмотрим решение первых двух уравнений цепочки уравнений Бо голюбова:

Uo (r1 ) 12 f + v1 f1 = n dx2. (2.66) t ri r1 p1 r1 p Uo (r1 ) ( + v1 + t r1 r1 p1 r1 p Uo (r2 ) +v2 ) f2 = r2 r2 p2 r2 p 13 =n + f3 dx3. (2.67) r1 p1 r2 p Для того чтобы с помощью написанной выше системы двух уравнений полу чить кинетическое уравнение Больцмана, т.е. замкнутое уравнение для f1, надо представить двухчастичную функцию распределения в виде f2 (1, 2, t) = f1 (1, t)f1 (2, t) + g2 (1, 2, t) и оценить роль первого и второго слагаемых в правой части выражения. Их роль определяется соотношением времен: времени релаксации одночастичной функции распределения rel, которое порядка времени релаксации функции f1 ;

и времени корреляции cor, которое характеризует корреляционную функцию g2 (1, 2, t),причем cor o, o rel, (o /rel ).

При выполнении этих неравенств можно выбрать такой временной интервал o, cor t to, на котором начальные корреляции успеют полностью затухнуть, но сама функ ция распределения f1 не успеет заметно измениться. Таким образом, при вы полнении написанных выше неравенств член с g2 (1, 2) можно опустить из рас смотрения. При этом f2 (1, 2, t) = f1 (1, t) f1 (2, t).

Именно в этом и состоит принцип полного ослабления начальных корре ляций, введенный Боголюбовым.

Рассмотрим используемые допущения:

приближение малой плотности n ro, 1 (учет только парных столк новений);

пренебрежение пространственными изменениями функции распределения на расстоянии ro. Это приближение означает, что при решении уравнения (2.47) можно отбросить члены с производными от f1 по координатам и времени, поскольку отношения f1 /t f1 /r o, ro, o = ro /vT.

f1 f оказываются порядка.

На этом основании в уравнении (2.47) при нахождении решения для функ ции f2 в нулевом приближении по можно опустить интеграл столкновений в правой части. В результате мы приходим к уравнению Uo (r1 ) ( + v1 )+ t r1 r1 p1 r1 p Uo (r2 ) +v2 ) f2 = 0. (2.68) r2 r2 p2 r2 p Ограничимся в дальнейшем рассмотрением пространственно однородного слу чая. Принятие принципа ослабления корреляций как граничного условия, при водящего к функциональной зависимости f2 (x1, x2, t) = f2 (x1, x2 |f1 (t)), озна чает, что учет парных столкновений с точки зрения функции f1 может быть рассмотрен на уровне стационарного процесса. Действительно, ограничиваясь приближением малой плотности, мы должны опустить из рассмотрения слага емое (f2 /t) как величину первого порядка малости по.

Умножим на n и проинтегрируем оставшиеся слагаемые в уравнении (2.68) по r2 p2. Принимая во внимание, что в пространственно однородном случае функция f2 зависит только от разности r2 r1 = R, получаем (r2 r1 ) f2 p2 p1 f dr2 dp2 = dr2 dp2. (2.69) r1 p1 m R Нетрудно убедиться, что с точностью до множителя - это правая часть ки нетического уравнения для функции распределения f1. Именно в таком виде выражение для интеграла столкновений было получено Боголюбовым.

Произведем в (2.69) переход от переменной интегрирования | 1 2 | r r к цилиндрическим переменным z,,, направляя ось z вектора. После r R интегрирования по z, получаем I(r1, p1, t) = n d p2 d d |v1 v2 | o f1 (r1, p1, t) f1 (r1, p2, t)|z=±. (2.70) При подстановке значений z = ± выражение распадается на два слагаемых, одно из которых определяет "сток а другое "исток"в формулировке Больцмана для интеграла столкновений и гипотезы молекулярного хаоса.

Введенный Боголюбовым принцип ослабления корреляций вместо гипотезы молекулярного хаоса означает, что все корреляции, которые существенны в ки нетической стадии эволюции системы, являются мелкомасштабными. Наряду с ними, конечно, имеют место и крупномасштабные корреляции, которые по по рядку величины соответствуют времени релаксации f1. Однако предположение о том, что такие крупномасштабные флуктуации не играют большой роли в кинетической теории, означает, что флуктуации функции распределения пре небрежимо малы. Именно об этом мы и говорили, когда рассматривали предпо ложения, при которых справедливо кинетическое уравнение Больцмана. Тем не менее следует заметить, что при сильном отклонении системы от равновесного состояния крупномасштабные флуктуации могут оказаться существенными.


2.14 Уравнение Власова В 1938г. Власов предложил кинетическое уравнение для электронно- ион ной плазмы. Силы взаимодействия между заряженными частицами, в отли чие от короткодействующих сил между атомами, медленно спадают с рас стоянием. Вследствие этого движение каждой частицы определяется глав ным образом не взаимодействием с какой-либо другой частицей, а взаимодей ствием с коллективом частиц. В этом состоит отличие уравнения Власова от уравнения Больцмана, где важны только парные корреляции.

Здесь мы будем говорить только о газовой плазме. Газовая плазма - это многокомпонентный газ, состоящий в общем случае из положительно и отри цательно заряженных и нейтральных частиц. В случае если концентрация ней тральных частиц пренебрежимо мала, то плазма называется полностью иони зованной. Полный электрический заряд плазмы равен нулю, таким образом, плазма в целом является электрически нейтральной. Для полностью ионизован ной плазмы основную роль играет электростатическое взаимодействие между частицами. Оно определяется законом Кулона с учетом эффекта экранирова ния, обусловленного наличием зарядов обоих знаков. Согласно этому закону потенциальная энергия двух частиц, обладающих зарядом e и находящихся на расстоянии r друг от друга, равна e V (r) = exp{r/rD }, r где rD = (kB T /4ne2 )(1/2) радиус экранирования или дебаевский радиус.

Состояние плазмы характеризуется функцией распределения для электро нов, ионов и нейтральных частиц. Рассмотрим полностью ионизованную плазму в объеме V по N заряженных частиц каждого сорта.

Тепловым движением ионов в силу их большой массы пренебрегают и рас сматривают движение электронов в облаке равномерно распределенного поло жительного заряда ионов с плотностью заряда = eN/V = en (e - абсолютная величина заряда иона и электрона).

Концепция главенствующей роли самосогласованного поля, с точки зре ния статистических функций распределения, означает, что вклады в физи ческие характеристики системы, связанные с учетом корреляций g2, прене брежимо малы по сравнению с эффектами, обусловленными главным членом f2 (1, 2, t) = f1 (1, t)f1 (2, t) в представлении парной корреляционной функции f в виде f2 (1, 2, t) = f1 (1, t)f1 (2, t) + g2 (1, 2, t).

В качестве малого параметра в кинетическом уравнении Власова высту пает величина = 1/nrD 1, (n = N/V ).

В разреженной плазме одновременно взаимодействуют большое число частиц.

Иными словами, взаимодействие в плазме носит коллективный характер. В этом отношении ситуация, которая реализуется в плазме обратна той, которая име ет место в разреженном газе. Кинетическое уравнение Власова получается в первом приближении по такому параметру разложения.

Рассмотрим первое уравнение цепочки Боголюбова:

+ v1 + Fo f1 = n f2 (1, 2)dx2. (2.71) t r1 p1 r1 p В связи с характером движения частиц плазмы воспользуемся мультиплика тивностью бинарной ФР f1 (1, 2) = f1 (1)f1 (2), 1 r1, p1, t;

2 r2, p2, t.

Рассмотрим правую часть уравнения (2.71) 12 n f2 (1, 2)dx2 = n f1 (1)f1 (2)dx2 = r1 p1 r1 p f1 (1) f1 (1) u(1) =n 12 f1 (2)dx2 = n. (2.72) p1 r1 p1 r Здесь u(1) = 12 f1 (2)dx2. (2.73) Величина u(1) имеет ясный физический смысл. Поскольку n f1 (2, t)d p2 = n(r2, t) представляет собой плотность числа частиц в окрестности точки r2, то u(1) является потенциалом самосогласованного поля, которое создается всеми ча стицами в точке r1 в момент времени t, а r1 u(1) определяет силу, которая действует на данный электрон со стороны остальных электронов. Эта сила мо жет быть выражена через напряженности магнитных и электрических полей, которые создаются благодаря движению заряженных частиц. Это поле называ ют самосогласованным полем, поскольку оно создается распределением самих электронов, а выражение (2.73) называется самосогласованным потенциалом.

Роль тяжелых ионов при таком описании сводится к созданию заряженного фона, который распределен с постоянной плотностью o = e n положительно го заряда. Самосогласованный потенциал при этом должен определяться не уравнением (2.73), а уравнением Пуассона 2 ( u(r, t) / e ) = = 4 ( o e f1 dp ), (2.74) С учетом изложенного уравнение Власова можно окончательно записать в виде f + (v f1 ) ( uo, f1 ) = ( u, f1 ). (2.75) r r p r p t Как и кинетическое уравнение Больцмана, уравнение Власова является за мкнутым для одночастичной функции распределения, но в отличие от послед него является обратимым. Уравнение Власова описывает движение бесстолк новительной плазмы, поскольку в явном виде не учитывает эффекты столкнове ния ионов друг с другом. Важным свойством кинетического уравнения Власова является его нелинейность. Оно не содержит ни эффектов памяти, ни механиз ма диссипации, который отвечает за переход системы в равновесное состояние.

2.15 Собственные колебания электронной плаз мы Начнем наше рассмотрение с достаточно простого, но вполне общего опи сания плазменных колебаний. Пусть E (, t) представляет собой напряжен r, t) - плотность электронов. Обозначим через ность электрического поля, а n( r no их плотность в равновесном состоянии.

Имеем div E = 4 = 4 e (n no ), (2.76) Предположим, что отклонения плотности от no достаточно малы, так что |n no | = n 1.

Запишем уравнение непрерывности для заряда n + div j = 0. (2.77) t Принимая во внимание, что плотность тока равна j = n v, где v- локальная скорость частиц, получаем n + div (no + n) v = 0. (2.78) t Запишем уравнение движения dv v m = m( + (v · ) v ) = e E. (2.79) dt t Далее, интересуясь линейным приближением, опустим из рассмотрения слага емое (v · ) v ). В этом случае, имеем n + no div v = 0.

t v m = e E. (2.80) t Продифференцируем эти уравнения:

2 n v + no div = 0.

t t v = e div E = 4 e2 n, m div (2.81) t Откуда находим 2 n 4 e2 no + n = 0. (2.82) t2 m Это уравнение имеет осциллирующее решение, причем частоты определяются соотношением 4 e2 no 2 = o =. (2.83) m Следует отметить, что частота не зависит от волнового вектора. Следовательно и групповая скорость vg = / k равна нулю. Таким образом, любое возмуще ние плазмы остается локализованным в той области, в которой оно возникло и форма его не изменяется. Такая особенность поведения колебаний плазмы яв ляется, очевидно, результатом пренебрежения хаотическим движением частиц, учет которого привел бы к распространению возмущения. Нетрудно сообра зить, что учет хаотического движения должен также привести и к поправке в выражении для частоты колебаний.

Рассмотрим теперь колебания электронов плазмы, исходя из анализа урав нения Власова. Будем полагать, что отклонение плазмы от равновесного состоя ния невелико. В этом случае уравнение Власова можно линеаризовать. Прибли женное уравнение Власова позволяет описать целый ряд неравновесных процес сов в плазме.

Пусть внешнее поле отсутствует (uo = 0). Так как отклонение плазмы от состояния равновесия невелико, представим функцию распределения f1 (x, t) в виде o f1 (x, t) = f1 (v) + f (x, t), где fo (v)- равновесное распределение Максвелла, а f (x, t) малая добавка, связанная с отклонением функции распределения от равновесного значения.

Подставляя функцию распределения в уравнение Власова, в линейном при ближении по f получаем f o f f + eE(r1 ) 1 = 0, + v1 (2.84) t x1 p где электрическое поле E = создается распределением зарядов всех ча стиц:

= 4e f (x, t)dv. (2.85) Зависимость функции распределения от времени и координат при малом отклонении ее от равновесного состояния можно принять в виде продольной плоской волны, распространяющейся вдоль какого-нибудь направления, напри мер, вдоль оси y.

ei(kyt), где k = 2/, - круговая частота.

Уравнения Власова и Пуассона для определения потенциала принимают в этом случае следующий вид:

ek fo ( k vy ) f + = 0, (2.86) m vy k 2 = 4 e f (r, v, t) dv. (2.87) Из написанных выше уравнений находим:

4e2 1 fo f (r, v, t) = f (r, v, t) dv. (2.88) 2 v /k mk y vy Выражение (2.88) позволяет определить закон дисперсии продольных волн, т.е.

найти зависимость круговой частоты от волнового вектора.

При небольшой неоднородности в системе, когда фазовая скорость коле баний vf = / k v велика по сравнению со средней скоростью теплового движения электронов в плазме, уравнение(2.86) можно приближенно предста вить в виде 4 e2 k vy k vy fo f = [1 + + ] f dv. (2.89) mk vy Интегрируя уравнение (2.89) по скоростям, в первом приближении получаем 4e2 k vy fo 1= [1 + ] dv. (2.90) mk vy Принимая во внимание явное выражение для функции распределения fo, кото рая есть распределение Максвелла по скоростям, имеем fo m vy = fo (v), vy kT тогда k vy fo kn [1 + ] dv =.

vy Подставляя значение интеграла в выражение (2.90), находим 4 n e 2 = o, m где o - есть частота Ленгмюра, которая характеризует частоту электронных колебаний, возникающих при смещении всех электронов в некоторой области плазмы. Итак, в рассмотренном нами приближении частота не зависит от вол нового вектора, т.е. величина групповой скорости равна нулю и колебания в этом случае не распространяются. Можно сказать, что неоднородность, создан ная в плазме, не релаксирует, а вибрирует (не распространяясь).

Зависимость от волнового вектора может быть найдена при рассмотрении следующего приближения уравнения (2.89):

3 kb T 2 = o + k.

m В отличие от первого приближения, макроскопическая неоднородность оказы вается теперь зависящей от волнового вектора, и наряду с колебаниями плазмы будет иметь место и ее распространение с фазовой скоростью:


4n e o vf =.

k k m Для групповой скорости продольных волн в этом случае получаем 3 kb T k vgr = =, k m откуда следует соотношение между групповой и фазовой скоростью:

3 kb T 2 vgr vf = vo, vo =.

m Рассматривая аналогичную задачу и воспроизведя результаты, полученные Власовым, Ландау (1946) показал, что в реальности плазменные колебания яв ляются затухающими, хотя коэффициент затухания и является небольшим при малых значениях волнового вектора.

Явление диссипации энергии волн в бесстолкновительной плазме называет ся затуханием Ландау. Следует подчеркнуть, что затухание получено в рам ках обратимого уравнения Власова;

оно не сопровождается ростом энтропии, а представляет собой термодинамически обратимый процесс.

2.16 Уравнения для плотных газов и жидкостей Основной областью применения редуцированных функций распределения является теория плотных газов и жидкостей. Это обусловлено рядом причин.

Одна из них носит чисто теоретический характер. Однако имеется и более важ ное соображение, говорящее в пользу изучения парной функции распределения.

Оно обусловлено тем, что парную функцию распределения со всеми ее особенно стями можно определить экспериментально. Именно это обстоятельство откры вает широкие возможности для более точной проверки теоретических моделей.

Очевидно, что по мере увеличения плотности газа возрастает роль процес сов, при которых в процессе столкновения участвуют три, четыре и более ча стиц. Применение кинетического уравнения Больцмана, которое справедливо только для разреженных газов, становится неправомерным. Поэтому для описа ния более сложных процессов требуется рассмотреть вывод более общих кинети ческих уравнений. Такие уравнения можно получить, если воспользоваться ме тодом Боголюбова, который позволяет, используя принцип ослабления началь ных корреляций двух, трех и т.д. частиц, найти выражения для двухчастич ной функции распределения в виде ряда по параметру плотности. Однако, при осуществлении такой программы возникают принципиальные трудности: инте гралы столкновений, определяемые столкновениями четырех и большего числа частиц, оказываются расходящимися. Причина этого заключается в том, что столкновения четырех частиц нельзя рассматривать в отрыве от более слож ных взаимодействий столкновений, в которых принимают участие большее число частиц. Поэтому проблема вывода правильного интеграла столкновения I(4) связана с учетом влияния кинетических флуктуаций на процесс столкнове ний.

При рассмотрении уравнения Больцмана и цепочки уравнений Боголюбова мы с вами уже находили явный вид двухчастичной функции распределения в нулевом приближении по параметру плотности. Можно, обобщив этот резуль тат, определить функцию распределения в любом приближении по параметру плотности:

i;

2 (1, 2)f i2 ).

f2 (1, 2) = exp [12 /kT ] + (1 + (2.91) i= Как следует из этого выражения, главный член ряда есть просто больцманов ский член exp(12 /kT ), который равен двухчастичной функции распределения, если бы мы могли пре небречь влиянием всех частиц, кроме 1 и 2.

Поскольку термодинамические функции довольно просто могут быть запи саны через двухчастичную функцию распределения, то таким путем мы могли бы затем получить и разложения термодинамических функций в ряды по па раметру плотности, так называемые вириальные коэффициенты. Однако, при таком подходе вычислительные трудности довольно быстро возрастают по мере перехода к высшим приближениям.

2.16.1 Cуперпозиционное приближение Среди различных методов, которые используются при расчете термодина мических функций, мы остановимся на подходе, который основан на решении некоторых модельных уравнений для двухчастичных корреляционных функ ций g2 = f2 f1 (1)f1 (2).

Рассмотрение начнем с интегрального уравнения для функции распределения f2. Пусть внешнее поле Uo равно нулю. В этом случае функция распределения f1 = 1, а функция f2 (r1, r2 ) = f2 (|r1 r2 |).

Первое уравнение для последовательности равновесных функций распределе ния, имеющее вид f1 n = f2 (r1, r2 )dr2, (2.92) r1 kT r удовлетворяется тождественно.

Для замыкания второго уравнения цепочки f2 1 12 n + f2 = f3 dr3 (2.93) r1 kT r1 kT r воспольземся суперпозиционным приближением Кирквуда (1935), которое при f1 = 1 имеет следующий вид:

f3 (1, 2, 3) = f2 (1, 2)f2 (2, 3)f2 (3, 1).

Как видно, обрыв цепочки состоит в том, что трехчастичную функцию распре деления выражают через произведение двухчастичных. Заметим, что несмотря на то, что это приближение довольно широко используется, пока не удалось его обосновать или определить область применимости. Критерием его правильно сти может выступать только сравнение его предсказаний с экспериментальными результатами.

С учетом этого приближения уравнение (2.93) становится замкнутым f2 (1, 2) 1 = f2 (1, 2) + r1 kT r n + f2 (1, 2) f2 (1, 3)f2 (2, 3)dr3. (2.94) kT r Интегральный член уравнения (2.94) описывает взаимодействие частиц в су перпозиционном приближении.

Нелинейное интегральное уравнение (2.94) для функции распределения f называют уравнением Кирквуда-Боголюбова-Борна-Грина (КББГ).

В интегральном члене этого уравнения сделаем замену f2 (r23 ) g2 (r23 );

r12 |r1 r2 |. Принимая во внимание, что |r| (|r |) E(|r|) = f2 (r) dr, (2.95) r приходим к равенству |r1 r3 | 13 (|r |) E(r13 ) f2 (r13 ) = f2 (r) dr. (2.96) r1 r1 r1 r При записи (2.96) применено правило дифференцирования интеграла, завися щего от параметра 1 Используя это равенство, уравнение (2.94) можно перепи сать в виде r A = 0, и, следовательно, kb T ln f2 (r12 ) = (r12 ) n E(r13 ) g2 (r32 ) dr3 + C. (2.99) Константа C = 0 находится из условия ослабления корреляций при |r1 r2 |. Таким образом, для функции g2 или f2 = g2 + 1 получается замкнутое нелинейное интегральное уравнение.

Как видно, суперпозиционное приближение является согласованным в том плане, что уравнение для двухчастичной функции распределения вытекает из уравнения для функции распределения f3.

Если (y) F (y) = f (y, x)dx, (2.97) (y) то (y) f (y, x) F (y) = dy + f ((y), y) (y) f ((y), y) (y). (2.98) y (y) Кроме этого уравнения имеется также большое число и других приближен ных интегральных уравнений для парных функций распределения. Они пред ставляют собой различные обобщения или улучшенные варианты уравнения КББГ. Рассмотрим некоторые из них.

2.16.2 Гиперцепное уравнение Наряду с обычной парной корреляционной функцией иногда оказывается удобным ввести в рассмотрение прямую корреляционную функцию C2. Исполь зование такой функции оказывается весьма полезным при рассмотрении про цессов, происходящих вблизи критической точки в системе газ жидкость.

Прямая и парная корреляционные функции связаны между собой соотношени ем.

g2 (1, 2) = C2 (1, 2) + n C2 (1, 3) g2 (3, 2) dr3, (2.100) которое называется уравнением Орнштейна Цернике.

C2 (1, 2) = C2 (|r1 r2 |) = C2 (r12 ), g2 (1, 2) = g2 (|r1 r2 |) = g2 (r12 ).

Нетрудно заметить, что корреляционная функция C2 (1, 2) описывает прямую корреляцию между частицами (1,2), а второе слагаемое - непрямую, возникаю щую благодаря действию соседних атомов.

Итак, уравнение Орнштейна-Цернике определяет связь между прямой и пар ной корреляционной функциями. Из вида уравнения (2.100) следует, что оно не является замкнутым, поскольку содержит две неизвестные функции. Следова тельно, для получения замкнутого уравнения для введенных функций необхо димо рассмотреть дополнительные соотношения между функциями g2, C2.

Существуют различные типы таких соотношений, приводящих как к урав нению гиперцепного приближения, так и уравнению Перкуса-Йевика.

Сравним интегральное уравнение, полученное в суперпозиционном прибли жении (2.99), с уравнением (2.100). Приравняв в них члены, не зависящие от n, найдем соотношение между функциями g2, C2 :

C2 (1, 2) = f2 (1, 2) 1 ln f2 (1, 2) 12 /kT. (2.101) Подставляя найденную связь в уравнение Орнштейна-Цернике, мы придем к замкнутому интегральному уравнению для функции g2, которое называется ги перцепным приближением.

ln f2 (1, 2) = + kT 1, +n dr3 [f2 (1, 3) 1 ln f2 (1, 3) ] [f2 (2, 3) 1]. (2.102) kT Впервые это уравнение было получено диаграммным методом, а несколько странное название обусловлено топологией диаграмм, которые учитывались в этом приближении.

2.16.3 Уравнение Перкуса-Йевика Используя представление для парной функции распределения в виде f2 = exp(12 /kT ) и подставляя его в равенство (2.101), найдем соотношение между прямой кор реляционной функцией и парным распределением C2 (1, 2) = f2 (1, 2) [ 1 exp (12 /kT ) ].

Комбинируя данное соотношение с уравнением Орнштейна-Цернике, получим замкнутое нелинейное интегральное уравнение для парной функции распреде ления - уравнение Перкуса-Йевика:

f2 (1, 2) exp = kT =1n dr3 [exp 1] f2 (1, 3) [f2 (2, 3) 1]. (2.103) kT Следует подчеркнуть, что уравнение Перкуса-Йевика, помимо того, что дает хорошие численные результаты, обладает еще одним важным качеством: оно может быть решено точно в случае потенциала твердых сфер. Решение уравне ния было получено Вертхеймом и Тьелем (1963).

Приведенные выше интегральные уравнения в нулевом и первом прибли жениях по параметру плотности приводят к известным выражениям для двух частичной функции распределения. Это означает, что все рассмотренные нами уравнения для первых трех членов вириальных разложений приводят к одина ковым вкладам.

Резюме. Подытожим результаты, которые получаются при использовании различных подходов. Итак, в нулевом приближении парное взаимодействие между частицами сводится к больцмановскому фактору, который в прибли жении твердых сфер представляет собой просто ступенчатую функцию. Для того чтобы рассмотреть роль поправок, запишем парное распределение в ана литическом виде так:

0, если r 1 + 8(1 3/4 r + 1/16, если 1 r f2 (r ) = (2.104) 1, если r 2.

n d o r = r/do, =, где do - диаметр твердой сферы;

- параметр упаковки. Рассмотрим первую по Рис. 2.5: Качественное поведение парной корреляционной функции распреде ления для системы твердых сфер в нулевом (а), первом (b) приближении и при высокой плотности (с) правку, соответствующую второму вириальному коэффициенту. Она выявляет интересную особенность в поведении парной функции распределения. Суще ствует область (1 r 2), внутри которой f2 (r ) 1. Такое поведение парной функции распределения означает, что вероятность нахождения части цы на таком расстоянии от центральной частицы оказывается больше средней вероятности, что указывает на существование эффективного притяжения меж ду частицами, несмотря на отсутствие каких-либо притягивающих взаимодей ствий в исходном гамильтониане. По сути, мы имеем здесь дело с коллективным эффектом, обусловленным взаимосвязью многих частиц в системе.

Физическая причина такого поведения заключается в том, что когда вто рая частица удалена от центральной частицы на расстояние в интервале меж ду одним и вторым диаметрами, и в пространство между ними нельзя уже поместить третью частицу. В этом случае вторая частица будет, очевидно, ис пытывать меньшее число соударений со стороны, обращенной к центральной частице, нежели с противоположной стороны ( что и проявляется в виде нали чия притяжения к центру). C увеличением плотности частиц в системе все более четко проявляется структура: за первым пиком наблюдается провал, а затем второй, меньший по величине, пик вблизи r 2. Таким образом, вокруг каждой частицы появляются две, а, может, и три координационных сферы, внутри ко торых вероятность нахождения второй частицы максимальна. В результате мы получаем структуру с ближним порядком, который характерен для жидкости (рис.(2.5)).

В заключение этого раздела отметим, что теория плотных газов и жидких сред в той мере, которая касается точности численных результатов, находит ся в достаточно хорошем состоянии. Тем не менее нельзя утверждать, что в настоящее время мы имеем действительно фундаментальную теорию плотных жидкостей.

Глава Гидродинамическая стадия эволюции неравновесной системы 3.1 Локальное равновесие На кинетической стадии эволюции неравновесная система после "синхро низации"многочастичной функции распределения определялась одночастич ной функцией f1 (x, t), которая удовлетворяла соответствующему кинетическо му уравнению. Мы рассмотрели кинетические уравнения для двух основных классов многочастичных систем - уравнение Больцмана для частиц с корот кодействующими силами взаимодействия между ними и уравнение Власова, которое применимо к системам с дальнодействующими (медленно спадающими с расстоянием) силами взаимодействия. Следует особо подчеркнуть, что на ки нетической стадии эволюции неравновесной системы одночастичная функция распределения явно зависит от времени.

В процессе дальнейшей эволюции системы наступает такой момент, когда распределение по скоростям в ограниченных (локальных) объемах приближает ся к распределению Максвелла. Распределение по координатам - пространствен ная плотность частиц n, средняя плотность энергии теплового движения и компоненты средней скорости ui при этом медленно эволюционируют, посколь ку при столкновениях практически не изменяются. В такой ситуации неравно весная система может быть охарактеризована пятью медленно меняющимися макропараметрами:

n(r, t) = f (r, v, t) dv, (3.1) 1 (v u)2 f (r, v, t) dv = n kb T, (r, t) = m (3.2) 2 ui (r, t) = vi f (r, v, t) dv, i = x, y, z.. (3.3) n(r, t) Зависимость одночастичной функции распределения от времени при этом про исходит вследствие зависимости ее от макроскопических параметров:

f (r, v, t) f (r, v/n, u, T ).

Такая стадия эволюции неравновесной системы называется гидродинамической, а сами уравнения гидродинамическими. На этой стадии эволюции системы ки нетическое уравнение Больцмана может быть подвергнуто сокращению до урав нений, описывающих только медленные гидродинамические процессы;

в разных приближениях оно приводит к уравнениям Эйлера, Навье - Стокса и т. д.

Следует подчеркнуть, что локальное равновесие Максвелла в газе наступает значительно раньше полного равновесного состояния (максвелловского распре деления по скоростям). Оно определяется из решения уравнения f f1 = f f для точек локальной области физического пространства и имеет вид, подобный однородному равновесному распределению, однако при этом плотность, темпе ратура и локальная скорость зависят от координат и времени.

3.2 Уравнение переноса Энскога Кинетическое уравнение Больцмана позволяет вывести ряд важных след ствий, касающихся изменения в пространстве и во времени средних значений физических величин. Рассмотрим сначала вывод общего уравнения переноса Энскога. Для этого умножим левую и правую части кинетического уравнения Больцмана f + v r f + F v f = Ist (3.4) t m на произвольную функцию скорости g(v) и проинтегрируем его по скоростям.

Принимая во-внимание, что среднее значение функции A есть A f dv A =, (3.5) f dv имеем f g dv = g f dv = n g, t t t f g vx dv = g vx f dv = n g vx, x x x f g g g dv = (g f ) dv f dv = n. (3.6) vx vx vx vx В последнем выражении первое слагаемое в правой части обращается в нуль при переходе с помощью теоремы Гаусса к поверхностному интегралу и инте грированию по всему пространству скоростей ( f (r, v, t) 0 при v ). Ранее нами было показано, что Ist g(v) dv = 0.

В результате мы приходим к уравнению Энскога n g ng+ (n gvi ) = Fi. (3.7) t xi m vi Рассмотрим частные случаи уравнения (3.7). Пусть g = m, g = n vi, g = m v 2.

Подставляя эти значения в общее уравнение переноса Энскога, мы получим уравнения, которые описывают изменение со временем массовой плотности (уравнение непрерывности), плотности импульса и плотности энергии:

( ui ) + = 0, (3.8) t xi ( ui ) + ( vi vj ) = Fi, (3.9) t xj v2 v 2 vj ( )+ ( ) = Fi ui, (3.10) t 2 xj где = n m - массовая плотность газа;

F - сила, отнесенная к единице объема.

Физический смысл соотношений, написанных выше, особенно нагляден если положить m = 1. Тогда очевидно, что первое уравнение (3.8) представляет собой уравнение непрерывности для плотности и выражает закон сохранения массы. Оно говорит о том, что изменение количества вещества в объеме за единицу времени равно количеству вещества, втекающего или вытекающего за то же время через границу этого объема.

Следующее уравнение определяет изменение импульса в объеме, оно проис ходит за счет втекания или вытекания импульса через границу объема (вместе с потоком газа) и за счет действия на частицы газа силы F.

Последнее уравнение представляет собой закон изменения кинетической энергии газа в объеме, которое происходит как вследствие ее втекания или вы текания через границы объема, так и за счет работы внешних сил.

3.3 Уравнения газовой динамики Рассмотрим гидродинамическую стадию эволюции неравновесного газа, ко гда его состояние характеризуется первыми моментами функции распределе ния: плотностью, средней скоростью и энергией. Представим скорость отдель ной молекулы в виде суммы двух слагаемых v = u + v, где скорость центра инерции малого объема газа, т.е. локальная скорость u его макроскопического объема, а - относительная скорость хаотического v движения молекул в этом объеме (среднее значение = 0 ). Очевидно, v что ij = vi vj = ui uj + vi vj.

Записанное уравнение означает, что компонента тензора напряжений ij раз деляется на два слагаемых - плотность макроскопического потока и плотность скрытого потока, обусловленного тепловым движением молекул, который на зывается тензором внутренних напряжений Pij. Таким образом, ij = ui uj + Pij.

Аналогичным образом можно рассмотреть плотность энергии и плотность потока энергии. Так, представляя скорость молекулы в виде суммы двух слага емых: локальной скорости макроскопического движения и относительной ско рости хаотического движения для среднего значения кинетической энергии, по лучаем v2 1 = u2 + v 2.

2 2 Здесь первое слагаемое - макроскопическая плотность кинетической энер гии, второе - плотность внутренней энергии идеального газа:

3 kb T (, t) = r.

2m Наконец, для плотности потока энергии имеем v 2 vj = (u2 + v 2 )uj + ui Pij + v 2 vj.

2 2 Первый член этого выражения есть плотность потока энергии, обусловленно го макроскопической конвекцией, второе слагаемое определяет работу напря жения (давления) в единицу времени и третье выражает плотность теплового потока qj. Подставляя полученные выражения в уравнение (3.8), мы получим основные уравнения гидродинамики для функций,, или T :

u ( ui ) + = 0, (3.11) t xi ( ui ) + ( ui uj + Pij ) = Fi, (3.12) t xj u 1 2 ( u + ) + (uj ( + ) + Pij ui + qi ) = Fi ui. (3.13) t 2 xj Первое уравнение представляет собой уравнение непрерывности, которое вы ражает закон сохранения вещества, второе определяет изменение импульса, а третье - энергии при движении единицы объема. Эти уравнения выражают законы сохранения в сплошной среде, поэтому они применимы не только к раз реженным газам, но и к жидкостям. Полученная система уравнений является незамкнутой, поскольку наряду с такими функциями, как плотность, средняя скорость и температура, входят тензоры напряжений Pij и тепловой поток.

q Поэтому для того, чтобы получить замкнутую систему уравнений, необходи мо дополнить эту систему уравнений некоторыми феноменологическими или иными соотношениями.

Заметим, что гидродинамический подход описания неравновесной системы оказывается существенно проще (мы имеем 5 функций от 4 переменных), чем микроскопический (1-функция от 7 переменных). Поэтому если систему урав нений гидродинамики удается замкнуть, то она оказывается явно предпочти тельней.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.