авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

«Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный технический университет - УПИ И. И. Ляпилин ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ...»

-- [ Страница 3 ] --

3.4 Методы решения уравнения Больцмана Локальное равновесие Максвелла в газе наступает значительно раньше пол ного равновесного однородного состояния (максвелловского распределения по скоростям). Явный вид локального распределения можно найти путем, которым мы находили равновесную функцию распределения: необходимо найти решение уравнения f f1 = f f1 для точек локальной области физического простран ства. Локальное распределение Максвелла должно обращать в нуль и левую часть кинетического уравнения Больцмана. Причем это равенство должно вы полняться при всех значениях скоростей. Найденные локальные значения па раметров n, T представляют приближенное решение уравнения Больцмана, u т.е. они справедливы на таких временах, при которых эти макроскопические ве личины не успевают измениться и их можно считать постоянными. Локальное распределение Максвелла описывает движение газа (или жидкости), который не обладает ни вязкостью, ни теплопроводностью. Для описания более реально го движения жидкости приходится искать приближенные решения уравнения Больцмана.

3.4.1 Метод Энскога-Чепмена Данный метод позволяет найти нужное нам решение для состояний, которые слабо отличаются от равновесного, когда градиенты макроскопических величин невелики. В основе этого метода лежит теория возмущений. Функция распре деления разлагается в степенной ряд по малому параметру :

n fn.

f= (3.14) n= В качестве малого параметра на гидродинамической стадии эволюции может выступать отношение средней длины свободного пробега атомов (l) к харак l терной длине размера сосуда (L) ( = L ). Этот параметр носит название число Кнудсена (Kn ) и характеризует степень разреженности газа.

Очевидно, что при больших значениях числа Кнудсена столкновения оказы вают незначительное влияние на изменение функции распределения. В пределе Kn интегралом столкновений можно пренебречь. В другом предельном случае (Kn 1) функция распределения в основном определяется столкнове ниями. В качестве нулевого приближения в методе Чепмена-Энскога использу ется локальное распределение Максвелла fo.

Для того чтобы подчеркнуть важность члена столкновения при состояниях, близких к локальному равновесию, правую часть уравнения Больцмана умно жают на большую величину 1/. Уравнение имеет при этом следующий вид:

f f Fi f + vi + = I(f, f ). (3.15) t ri m vi Введение параметра таким способом представляет собой некий математиче ский прием, который позволяет провести учет членов одинакового порядка.

Для нахождения решения уравнения (3.15) подставим в него разложение функции распределения в виде (3.14) и приравняем коэффициенты при оди наковых степенях параметра. В нулевом приближении по малому параметру имеем I(fo, fo ) = 0, а для других приближений (n = 1, 2, 3 · · · ) получим урав нения fo fo Fi fo + vi + = I(fo, f1 ) + I(f1, fo ), (3.16) t ri m vi f1 f1 Fi f + vi + = I(fo, f2 ) + I(f2, fo ) + I(f1, f1 ), (3.17) t ri m vi ············ Решение нулевого приближения соответствует локально равновесному рас пределению Максвелла, в котором плотность числа частиц, скорость и темпе ратура являются произвольными функциями координат и времени. Уравнения для последовательных приближений решения уравнения Больцмана представ ляют собой интегральные уравнения Фредгольма второго рода относительно fn /fo.

Рассмотрим ситуацию с сильно разреженным газом, таким, для которого число Кнудсена очень велико. Очевидно, что в этом случае для решения кинети ческого уравнения Больцмана нельзя использовать метод Чепмена-Энскога, ко торый основан на разложении по степеням Kn. Однако наличие большого пара метра (Kn 1) позволяет развить другой способ решения уравнения Больц мана. В этом подходе можно считать малым интеграл столкновений. Нетрудно убедиться, что при отсутствии внешних сил уравнение нулевого приближения имеет вид fo fo + vi = 0. (3.18) t ri Это уравнение описывает свободно-молекулярные течения газа. В стационар ном случае остается только второй член. Для отыскания решения в этом случае необходимо знать граничные условия. В качестве таковых обычно выбирают условия взаимодействия газа с поверхностью ( зеркальное или диффузное рас сеяние и т.д.) в зависимости от того, какие условия реализуются на границе.

Итак, в основе метода Чепмена-Энскога содержится весьма сильное предпо ложение, согласно которому функция распределения зависит от времени только через n,, T. Из большого числа гидродинамических переменных только эти u три определяют равновесное состояние системы. Напомним, что в методе Бого любова при описании процесса релаксации на гидродинамической стадии одно частичное распределение также является функцией от этих параметров. Поэто му можно полагать, что метод Чепмена-Энскога описывает эволюцию функции распределения именно на гидродинамической стадии.

3.4.2 Моментный метод Грэда В 1949г. Грэд разработал другой метод решения уравнения Больцмана, ко торый получил название - моментный метод Грэда. Основная идея метода за ключается в том, что в общем случае функцию распределения f (r, p, t) мож но представить в виде ряда по полной ортонормированной системе функций.

В качестве такой системы выбираются трехмерные полиномы Эрмита, по скольку в этом случае нулевое приближение совпадает с локальным распреде лением Максвелла.

1 (n) (n) f = fo a Hi. (3.19) n! i Коэффициенты разложения быстро убывают с ростом степени n полинома Эр (n) мита Hi (). В качестве переменных полиномов Эрмита возьмем компоненты вектора безразмерной относительной скорости v p mu = mkb T kb T /m Явные выражения для полиномов степени n можно получить с помощью фор мулы 2 n (n) Hij···k () = (1)n exp exp (3.20) 2 i · · · k Первые полиномы Эрмита равны (1) (2) H (o) = 1, Hi = i, Hij = i j ij, · · · Условие ортонормированности полиномов Эрмита можно записать в виде H (n) () H (m) () d = nm.

exp (3.21) (2)3/2 Коэффициенты разложения, входящие в формулу (3.19), можно найти следу (m) ющим образом. Умножим выражение (3.19) на (mkb T )(3/2) Hi ···k и проинтегри руем по. Используя условие ортогональности полиномов Эрмита (3.21), мож но найти выражения для коэффициентов разложения, которые однозначным образом связаны с гидродинамическими функциями: n, u, T, · · ·. Следует под черкнуть, что система дифференциальных уравнений для коэффициентов раз (n) ложения aij··· в общем случае является бесконечной цепочкой зацепляющихся уравнений, которая может быть оборвана при наличии в системе малого пара метра, если таковой имеется. В этом случае мы придем к замкнутой системе уравнений для газодинамических функций.

Очевидно, что самой простой является аппроксимация первого порядка, ко гда в разложении учитывается только первый член разложения. В этом случае мы получаем локально равновесное распределение Максвелла, определяемое только тремя функциями n, u, T, для которых имеется пять основных уравне ний гидродинамики - иными словами мы в этом случае имеем уравнения газовой динамики без учета диссипативных членов.

Аппроксимация следующего порядка, когда 1 (2) (2) f = fo (1 + aH) (3.22) 2 ij ij приводит к определению одиннадцати газодинамических величин.

Естественным образом встает следующий вопрос - сколько членов надо оста вить в разложении (3.19), чтобы получить точную систему гидродинамических уравнений, учитывающую диссипативные члены? Оказывается, что учет в раз ложении (3.19) первых трех слагаемых позволяет определить все функции, ко торые входят в уравнения переноса плотности массы, плотности импульса и плотности кинетической энергии. Этот набор содержит тринадцать (13) функ ций n, u, T, ij, Si. Именно поэтому данное приближение называется тринадца тимоментным приближением Грэда. Расчеты, проведенные в этом прибли жении, приводят к результатам, совпадающим с результатами, полученными другими методами, - например методом Чепмена-Энскога.

3.4.3 Приближение времени релаксации Как мы уже отмечали, основные трудности решения уравнения Больцма на связаны с нелинейностью столкновительного члена. Для ряда практических задач, где не требуется высокой точности, интеграл столкновений может быть приближенно оценен на основе представления о длине свободного пробега l, т.е.

среднего расстояния, которое проходит частица между двумя последовательны ми актами столкновений. Временем релаксации называется при этом отношение = l/ v, где v - средняя скорость.

Впервые такое модельное уравнение было предложено в работах Батнага ра, Гросса и Крука. Приведем основные качественные соображения, которые в какой-то мере оправдывают это приближение. Во-первых, поскольку рассмат риваемая нами система является статистической, то в соответствии с общими требованиями f (t)|t fo причем на исходе релаксационного процесса, т.е. при t, когда наша система близка к состоянию равновесия и является слабонеравновесной, f (t) = f (t) fo 1.

Наиболее простая аппроксимация оставшегося релаксационного процесса мо жет быть охарактеризована одним параметром - временем релаксации, причем f (0) et/.

f (t) Параметр подбирается при этом таким образом, чтобы в области t экспо ненциальная зависимость релаксационного процесса совпадала с действитель ным поведением нашей функции распределения.

Интеграл столкновений по своему смыслу определяет изменение функции распределения в единицу времени при столкновениях. Поэтому если в отсут ствие внешнего поля газ выведен из равновесного состояния fo, то, очевидно, при его приближении из неравновесного состояния f к равновесному I(f, f ) = (f (t) fo )/.

Подставляя в таком виде интеграл столкновений в правую часть кинетического уравнения, получаем f f f f fo +v +F =. (3.23) t r v Следует обратить внимание на то, что обоснование экспоненциального харак тера релаксации с помощью "физических"соображений корректным образом провести не удается.

Сделаем несколько замечаний по поводу такого представления интеграла столкновений: уравнение в таком виде приспособлено для описания процессов, которые весьма близки к равновесным состояниям. Но даже и в этом случае это уравнение остается полуфеноменологическим, хотя благодаря своей про стоте оно стало одним из наиболее распространенных кинетических уравне ний. Внешняя простота уравнения при этом оказывается обманчивой. Уравне ние все равно остается нелинейным и поэтому не всегда очевидно, будет ли в действительности такая нелинейная модель приводить к существенным упро щениям при рассмотрении сложных процессов. Оказалось, что линеаризован ный вариант релаксационного приближения приводит тем не менее к весьма существенным преимуществам. Как правило, кинетическое уравнение в таком виде используется при вычислении коэффициентов переноса в стационарных (или квазистационарных) процессах, когда функция распределения f зависит от времени через зависимость от времени макроскопических величин: плотно сти, макроскопической скорости, температуры и т.д. Можно сказать, что в этом слабонеравновесном процессе детали временной зависимости функции распре деления становятся непринципиальными.

Явный вид локально равновесного распределения, входящего в правую часть кинетического уравнения, нам фактически известен. В классическом вариан те это есть равновесное распределение по импульсам (распределение Максвел ла). Уравнение с релаксационным членом применяется часто и при описании электронного газа в металлах для исследования различных кинетических коэф фициентов, таких как электропроводность, теплопроводность и т.д. Функция распределения в этом случае конструируется на основе равновесного ферми распределения.

Глава Кинетические уравнения для электронов в кристаллах В состоянии термодинамического равновесия электроны проводимости опи сываются равновесной функцией распределения (Ферми-Дирака). Под влияни ем внешних сил поля, градиента температуры или концентрации, давления и т.д. электронный газ будет находиться в неравновесном состоянии, которое бу дет описываться неравновесной функцией распределения. При определенных условиях можно и в неравновесном состоянии ввести неравновесную функцию распределения, придав ей следующий смысл локальной концентрации элек тронов вблизи точки r. Знание неравновесной функции распределения дает воз можность вычислить плотность тока и потока тепловой энергии, что позволяет найти как явный вид уравнений переноса, так и рассчитать различные кинети ческие коэффициенты.

Согласно определения, неравновесная функция распределения f (r, k, t) определяет число электронов, находящихся в момент времени t в единице объе ма возле точки r и имеющих волновой вектор k. Очевидно, что это число может изменяться благодаря различным физическим процессам, например диффузии, связанной с градиентом температуры или концентрации;

рассеянию электронов на фононах или других каких-либо дефектах. Все эти процессы будут приво дить к изменению функции распределения. Очевидно, что суммарное изменение функции распределения во времени должно равняться суммарному действию описанных выше воздействий. Таким образом, для кинетического уравнения имеем f f f f = |d + |s + |F. (4.1) t t t t Последнее слагаемое в правой части определяет изменение функции распре деления под действием внешних (электрического и магнитного) полей. Если проводник находится во внешних полях, то на электрон с зарядом действует сила Лоренца F = e(Eo + 1/c[v(k) H]).

Рассмотрим второе слагаемое в кинетическом уравнении (4.1), которое связано с рассеянием электронов проводимости на различных дефектах или фононах.

Введем в рассмотрение величину W (k, k ), которая представляет собой вероят ность перехода электрона в акте рассеяния из состояния с волновым вектором k в состояние, описываемое волновым вектором k. Очевидно, что такие пере ходы возможны при условии, что в состоянии k есть электрон, а состояния k свободны.

В результате переходов k k число k- электронов за единицу времени уменьшается на величину W (k, k ) f (k)[1 f (k )] k уход из k-состояния.

С другой стороны, число электронов в k-состоянии возрастает благодаря приходу электронов из состояний k в результате актов рассеяния. Этот приход описывается аналогичным слагаемым:

W (k, k) f (k )[1 f (k)].

k Разность слагаемых (приход - уход) определяет скорость изменения нерав новесной функции распределения в результате рассеяния электронов проводи мости:

f |s = (W (k, k) f (k )[1 f (k)] W (k, k ) f (k)[1 f (k ]). (4.2) t k Таким образом, кинетическое уравнение для электронов в металле можно пред ставить в виде f + v(k) r f (e/ )(Eo + (1/c)[v(k) H] ) k f = t = (W (k, k) f (k )[1 f (k)] W (k, k ) f (k)[1 f (k ] ). (4.3) k Если от суммирования по k в кинетическом уравнении перейти к интегри рованию, то очевидно, что кинетическое уравнение (4.3) представляет со бой интегро дифференциальное уравнение. Решение кинетического уравнения сводится к двум самостоятельным задачам: во-первых, вычислению вероят ностей переходов W (k, k) для различных механизмов рассеяния электронов проводимости;

во-вторых, нахождению неравновесной функции распределения f (r, k, t). Эти задачи в общем виде не решаются. Поэтому необходимо исполь зовать приближенные методы решения кинетических уравнений.

4.1 Условия применимости кинетического урав нения Из определения неравновесной функции распределения f (,, t) и анали rv за кинетического уравнения следует, что оно применимо тогда, когда можно ввести понятие траектории движения частицы, т.е. в квазиклассическом слу чае. Очевидно, что в этом случае должны существовать некие ограничения как на возмущающую внешнюю силу, так и на градиент электрохимического по тенциала (o (/e)), которые будут определять границы применимости кинетического уравнения.

Условие квазиклассичности означает, что длина де бройлеровской волны частиц должна быть много меньше характерных для данной задачи размеров системы L.

Если на частицы действует внешняя сила, то условие квазиклассичности можно представить в виде d | |, 2 d x которое означает, что длина волны электрона должна мало меняться на рас стояниях, сравнимых с длиной волны. Принимая во внимание, что = h/p(x) (р(х)- импульс электрона), имеем (m h /p3 )|F | 1, где m- эффективная масса электрона;

F - сила, которая действует на электрон.

Поскольку p2 m, то условие применимости кинетического уравнения можно переписать в виде |F |.

Физический смысл написанного выше неравенства следующий: энергия, при обретенная электроном под действием возмущающей силы на расстоянии, должна, очевидно, быть намного меньше средней энергии электрона. Неслож ные оценки показывают, что если в качестве возмущающей силы выступает электрическое поле, то кинетическое уравнение остается справедливым вплоть до очень сильных электрических полей.

Известно, что движение электрона в магнитном поле под действием силы Лоренца F = (e/c)v H есть движение по винтовой линии с осью, параллель ной магнитному полю, и с радиусом R = v /, где v составляющая ско рости в плоскости, перпендикулярной магнитному полю;

= eH/m c часто та вращения электрона в этой плоскости (циклотронная частота). Рассмотрим ограничения применения кинетического уравнения, налагаемые на величину напряженности магнитного поля H.

Подставляя силу Лоренца в общее неравенство и принимая во внимание, что h/mv, найдем критерий применимости кинетического уравнения в магнитном поле:

h ko T ;

(F ).

Оба этих условия (как для невырожденных, так и вырожденных полупровод ников) можно представить в виде одного неравенства: R.

таким образом, условие квазиклассичности сводится к следующему утвер ждению: кинетическое уравнение применимо в магнитных полях, при которых длина волны электрона много меньше радиуса циклотронной орбиты электрона.

Подчеркнем, что при рассмотрении условий применимости кинетического урав нения мы полагали, что квантование энергетического спектра электрона несу щественно. В квантующих магнитных полях кинетическое уравнение неприме нимо.

Рассмотрим, наконец, еще одно условие, также ограничивающее область применимости кинетического уравнения, которое связано с процессом рассе яния носителей тока на различных дефектах решетки. Очевидно, что время столкновений t h/ko T должно быть значительно меньше, чем время сво бодного пробега o. Поэтому мы приходим к неравенству o h/kb T. Учиты вая, что kb T /v = p, h/p, получаем l = v h/p, где l - средняя длина свободного пробега.

Мы снова пришли к утверждению: кинетическое уравнение справедливо, ес ли средняя длина свободного пробега носителей тока много больше, чем длина волны де Бройля.

4.2 Газ Лоренца Интеграл столкновений, входящий в кинетическое уравнение, заметно упро щается если столкновениями частиц между собой можно пренебречь, а эволю ция состояния определяется столкновениями легких частиц (например, элек тронов проводимости) с другими, более тяжелыми частицами, в качестве кото рых могут выступать атомы примеси или ионы решетки и т. д. Такую систему можно рассматривать в общем случае как бинарный (двухкомпонентный) газ.

Такая задача была рассмотрена Лоренцем (1905г.), а такая система назы вается газом Лоренца. Приближение, выбранное Лоренцем, существенно упро щает расчет кинетических коэффициентов. Большая разница в массах сталки вающихся частиц позволяет считать тяжелые частицы практически неподвиж ными, а сам процесс рассеяния рассматривать как упругий, т.е. происходящий без изменения энергии, так что v = v. В силу принципа детального равно весия величина W (v, v ) является симметричной функцией своих аргументов:

W (v, v ) = W (v, v).

Интеграл столкновений можно получить найдя разность слагаемых (приход уход) и интегрируя по всем направлениям:

Js = W (v, v )[f (v ) f (v)] d.

Подставляя его в правую часть кинетического уравнения, получаем f + vi f + Fi f= W (v, v )[f (v ) f (v)] d. (4.4) xi vi t Допустим, что изотропия нашей системы нарушена, т.е. существует выделенное направление, например ось x, вдоль которой направлено или внешнее поле, или градиент температуры. Очевидно, что в равновесии функция распределения fo будет функцией x и абсолютной скорости v. Неравновесная функция рас пределения будет, очевидно, симметричной по скоростям в плоскости z, y, но при этом может зависеть от компоненты скорости вдоль оси x. Для небольших отклонений от равновесного значения функция распределения f может быть представлена в виде f = fo + vx f1 (x, vx ). (4.5) Подставляя это выражение в интеграл столкновений, имеем Js = f1 (x, vx ) W (v, ) [vx vx ] d. (4.6) Введем в рассмотрение полярные координаты с полярной осью направленной Рис. 4.1: Выбор системы координат вдоль v. Для сферического треугольника со сторонами,,, построенного на сфере для направлений v, v и E||x имеем (Рис. (4.1) имеем cos = cos cos + sin sin cos Интегрируя по от (0 2) и по от (0 ), получаем Js = vx f1 (x, vx ) W (v, ) [1 cos ] 2 sin d. (4.7) Интеграл в правой части имеет размерность, обратную размерности времени 1. Для кинетического уравнения получаем f f fo + vi f + Fi f=. (4.8) xi vi t Видно, что введя время релаксации мы интегро дифференциальное уравне ние формально свели к дифференциальному уравнению для неравновесной функции распределения. Однако, это только видимое упрощение кинетического уравнения, поскольку в его правую часть входит время релаксации (k), вы числение которого для различных механизмов рассеяния представляет также довольно сложную самостоятельную задачу.

4.3 Решение кинетического уравнения в отсут ствие магнитного поля В отсутствие магнитного поля кинетическое уравнение в приближении вре мени релаксации имеет вид f f fo + v(k) f (e/ )Eo f=. (4.9) r k t Рассмотрим стационарный случай (f /t) = 0. Найдем из этого уравнения неравновесную функцию распределения, предполагая, что время релаксации не зависит от электрического поля и градиента температуры. Равновесная функ ция распределения есть функция Ферми Дирака, которая определяется ло кальной температурой T (r) и химическим потенциалом (r):

(k) (r)] ] + 1}1.

fo = { exp [ kb T (r) В левой части кинетического уравнения при этом можно ограничиться равно весной функцией распределения f fo. Принимая во внимание, что fo fo (k) fo = = v(k), (4.10) k k fo fo = kb T [ ( (r))/kb T ], (4.11) r r для неравновесной, но стационарной функции распределения f (k) в линейном приближении по электрическому полю и градиенту температуры получаем fo f (k) = fo (k) (k) v(k) o (), (4.12) где обобщенная возмущающая сила o, которая приводит к отклонению от рав новесного значения функции распределения, есть (k) (r) o () = eEo + kb T = r kb T (k) (r) = e E T. (4.13) T E = Eo + = (o (/e)) e градиент электрохимического потенциала, o -электростатический потенциал.

Представляет интерес рассмотреть поведение неравновесного, но стационар ного распределения и найти его отличие от равновесного распределения. Запи шем выражение (4.12) в виде (k) fo f (k) = fo (k) o (). (4.14) k Влияние электрического поля и градиента температуры на поведение неравно весного, но стационарного распределения рассмотрим по отдельности.

При наличии только электрического поля имеем (k) fo f (k) = fo (k) eEo. (4.15) k Перепишем это выражение в виде (k) f (k) fo ( k + eEo ) = fo ( k k ). (4.16) Из выражения (4.16) следует, что стационарное распределение f (k) тожде ственно равновесному при условии, что начало координат сдвинуто из точки k = 0 в точку k = k = e Eo /.

С физической точки зрения этот результат понятен: под влиянием элек трического поля неравновесное распределение, не меняя своей формы, переме щается с постоянной скоростью (см. рис.(4.2)). Процессы рассеяния при этом стараются вернуть систему в равновесное состояние, ограничивая перемещение величиной k = e Eo /, устанавливая стационарное, не зависящее от вре мени распределение электронов в k пространстве. В отличие от равновесного Рис. 4.2: Равновесная (сплошная линия) и неравновесная, но стационарная (штриховая линия) функции распределения для вырожденного электронного газа при наличии электрического поля распределения, которое симметрично относительно начала координат, стацио нарное распределение f (k) относительно точки k = 0 несимметрично. Именно поэтому такое состояние соответствует конечному постоянному току в провод нике.

Рассмотрим другую ситуацию, когда в проводнике имеется градиент тем пературы. В этом случае возмущающая сила равна ( ) o () = T. (4.17) T Стационарное распределение в этом случае имеет вид ( ) (k) T fo f (k) = fo ( k) +. (4.18) T k Формулу (4.18) можно представить в виде ( ) (k) T f (k) = fo ( k + ) = fo (k k). (4.19) T Дальнейшее рассмотрение проведем для случая, когда электронный газ силь но вырожден, а закон дисперсии является параболическим. Для химического потенциала в этом случае имеем kF =, 2m а для k, получаем (k 2 kF ) k = T, (4.20) 2mT здесь kF - волновой вектор на поверхности Ферми.

Из выражения (4.20) видно, что в данном случае смещение k зависит от волнового вектора и k = 0 при k = kF. При этом неравновесная и равновесная функции распределения равны между собой.

Для электронов, у которых k kF, k 0, если электрон движется вдоль градиента температуры, и k 0, если электрон движется в противополож ном направлении. Очевидно, что ситуация становится противоположной, если волновой вектор электрона k ko смещение k 0 при движении вдоль гра диента температуры и k 0, если электроны перемещаются против градиента температуры. Существенно то, что размытие границы Ферми для электронов, которые перемещаются против градиента T, становится больше, а для электро нов, движущихся вдоль градиента T, меньше, чем ширина без градиента тем пературы, которая одинакова в этом случае для всех электронов. Физический Рис. 4.3: Равновесная (сплошная линия) и неравновесная, но стационарная (штриховая линия) функции распределения для вырожденного электронного газа при наличии градиента температуры смысл этого результата можно понять из следующих соображений. При движе нии электрона вдоль градиента температуры, свое последнее столкновение он испытывает в области более низкой температуры, следовательно, и размытие распределения будет меньше. Если же электрон против градиента температу ры, то его последнее столкновение происходит при более высокой температуре и размытие распределения будет больше средней ширины (рис. (4.3)).

Таким образом, градиент температуры нарушает симметричное распределе ние электронов относительно точки k = 0, приводя к возникновению электриче ского тока, который пропорционален градиенту температуры. Рассмотренные примеры поведения функции распределения характерны только для вырожден ного электронного газа. При этом изменение неравновесной функции распреде ления существенно зависит от того, каким образом были вызваны отклонения ее от равновесных значений - электрическим полем или градиентом температуры.

В обоих случаях наличие таких отклонений от равновесных значений приводит к появлению электрического тока в проводнике.

4.4 Решение кинетического уравнения в произ вольном неквантующем магнитном поле Выше мы показали, что решение кинетического уравнения в приближении времени релаксации в отсутствие магнитного поля имеет вид (4.12), где o есть обобщенная сила, которая возмущает равновесное распределение электронов в k-пространстве. Очевидно, что в магнитном поле эта сила будет другой, по скольку она должна зависеть от величины и направления магнитного поля.

Вычислим эту силу. Ограничимся рассмотрением стационарного и однород ного случая, а при решении кинетического уравнения используем приближение времени релаксации. Магнитное поле мы будем полагать классическим (некван тующим), т.е. таким, когда влиянием магнитного поля на изменение энергети ческого спектра электронов проводимости можно пренебречь.

При наличии постоянных электрического и магнитного полей кинетическое уравнение имеет вид 1 f f fo e E + vH =. (4.21) c p Нетрудно заметить, что замена в левой части уравнения неравновесной функ ции распределения f на fo обращает член, содержащий магнитное поле, в нуль.

Поэтому при слагаемом, содержащем магнитное поле, мы должны оставить неравновесную функцию распределения fo e (f fo ) f fo ev E vH =. (4.22) c p Решение этого уравнения будем искать в виде fo f (k) = fo (k) v A, (4.23) где A- неизвестный вектор, который нам надо найти. Подставляя решение (4.23) в кинетическое уравнение:

v· A eH ev E + [v ] A =, =, (4.24) mc получаем A eE + A =. (4.25) Для того чтобы определить из этого уравнения A, поступим следующим об разом. Обе стороны уравнения (4.25) умножим на сперва скалярно, а затем векторно. В результате получим два уравнения, которые позволят нам найти выражение для A:

A eE + A =, A e[E ] + [ [ A] ] = [ ]. (4.26) Решая их совместно, получаем для вектора A следующее выражение:

e E + 2 (· E) + [ E].

A= (4.27) 1 + 2 Функция (4.27) совместно с выражением (4.12) будет представлять собой общее решение кинетического уравнения в произвольном неквантующем магнитном поле. Это решение составляет основу теории явлений переноса в классической области магнитных полей.

Рассмотрим некоторые общие выводы, которые следуют из этого решения.

1) Магнитное поле H направлено вдоль электрического поля E A = e E, т.е. продольное магнитное поле не изменяет возмущающую силу, а поэтому в такой ситуации нет продольных эффектов.

Магнитное поле направлено перпендикулярно электрическому полю.

e A= E + [ E]. (4.28) 1 + 2 Видно, что в этом случае возникает компонента возмущающей силы, перпен дикулярная H и E, что соответствует появлению поперечных эффектов, таких как эффект Холла, Нернста- Эттинсгаузена и др.

Магнитное поле входит в решение кинетического уравнения через параметр (циклотронную частоту). Можно ли применять полученное решение, если па раметр 1? Анализ показывает, что имеется довольно широкая область магнитных полей, в которых это условие выполняется, но квантование энерге тического спектра носителей заряда еще не наступает.

4.5 Общие выражения основных кинетических коэффициентов Обобщая определение для потока заряженных частиц J = e n, v, для плот ности потока заряда J и потока тепла W, получаем выражения:

2e J= dv f (v) v, (2 ) W= dv f (v) v ( (v) ). (4.29) (2 ) Из физических соображений ясно, что в выражениях (4.29) отличный от ну ля вклад дает только неравновесная поправка к функции распределения (4.12) в отсутствие магнитного поля и (4.23) при наличии магнитного поля;

т.е. ком поненты тока и потока энергии определяются соответствующими компонентами обобщенной силы.

Пусть внешнее магнитное поле направлено вдоль оси z, H = (0, 0, H). В этом случае для компонент обобщенной силы имеем x = (ox ( ) oy ), 1 + ( ) y = (oy + ( ) ox ), z = oz. (4.30) 1 + ( ) Обобщенная возмущающая сила o, которая вызывает отклонение от рав новесного распределения, определяется выражением o () = eEo + kb T = eE T. (4.31) r kb T T Как и следовало ожидать, продольная компонента тока в случае сферической зоны от магнитного поля не зависит.

Пусть внешнее магнитное поле равно нулю, а кинетические коэффициенты являются скалярными величинами. Поскольку поправка к функции распреде ления является линейной функцией градиентов потенциала и температуры, то электрический ток и поток энергии должны быть линейными функциями от этих параметров. Поэтому в самом общем виде мы можем написать e J = e2 Lo E + L1 T, T W = e L1 E + L2 T. (4.32) T Здесь Li - интегралы, которые определены следующим соотношением:

21 fo v 2 ( )i.

Li = dp (4.33) (2 )3 3 При выводе выражений (4.32), (4.33) мы приняли во внимание, что dp () v 2 ij, dp () vi vj = i, j = x, y, z. (4.34) Коэффициент пропорциональности между напряжением и током при T = называется электропроводностью, следовательно, = e2 Lo.

Коэффициент термоэдс измеряется при наличии градиента температуры и отсутствии тока. Приравнивая в (4.31) J = 0, имеем L E= T, Lo следовательно, L =.

e T Lo Коэффициент теплопроводности измеряется также при отсутствии тока в цепи.

Подставив E, соответствующее J = 0, в уравнение для потока тепла, получим L1 L1 T W= + L2.

Lo T Следовательно, удельная теплопроводность L 1 = L2.

T Lo Аналогичным образом можно получить феноменологические выражения и для других кинетических коэффициентов.

Для того чтобы получить явные выражения для перечисленных выше кине тических коэффициентов, необходимо вычислить интегралы в (4.33).

В качестве примера рассмотрим вычисление кинетических коэффициентов в случае сильного вырождения электронного газа, когда 0, /(kb T ) 1.

В этом случае, как нетрудно убедиться, производная по энергии от функции распределения имеет резкий максимум при =. Это обстоятельство позво ляет использовать простую аппроксимацию интегралов, которые содержат в качестве интегрального выражения произведение гладкой функции () и про изводной от функции распределения по энергии:

2 2 () fo (kb T ) dp () () + |= + · · ·. (4.35) o Переходя в (4.33) к интегрированию по энергии, после интегрирования по по лярному и азимутальному углам сферической системы, имеем 2(2m)1/2 fo 3/2 ( )i.

Li = d (4.36) 3 2 3 o Используя при вычислении интеграла по энергии выражение (4.35), получаем n (kb T )2 Lo, Lo = (), L2 = m 2 (kb T )2 n d () L1 = + (). (4.37) 3 m d Полагая, что () = o (/kb T )r, где r- показатель рассеяния, ro - численный множитель. Значение показателя рассеяния зависит от механизма релаксации импульса электронов. Используя определения кинетических коэффициентов, окончательно получаем следующие выражения для электропроводности, коэф фициента термоэдс и теплопроводности:

n e2 2 kb kb T 2 2 n = (), = ( r + ), = kT (). (4.38) 3bm m 3e Полученные выражения качественно описывают поведение коэффициентов электропроводности, дифференциальной термоэдс и теплопроводности в нор мальных металлах.

Важным результатом, который непосредственно вытекает из формулы (4.37), является выполнение соотношения Видемана-Франца для коэффициен тов и :

kb =L 2, (4.39) T e которое хорошо подтверждается на эксперименте.

4.6 Кинетические коэффициенты в магнитном поле Найдем общие выражения для кинетических коэффициентов в произволь ном, но не квантующем магнитном поле, направленном вдоль оси z : H = (0, 0, H). Будем исходить из выражения для обобщенной силы ():

e e (H o ) + ( )2 H(H o ), () = o + 1+ mc mc eH =, =, (4.40) mc где o определяется выражением o = eE. (4.41) Мы ограничимся рассмотрением случая когда T = 0.

Из формулы (4.40) для компонент обобщенной силы x, y, z получаем x = ( eEx ( ) eEy ), (4.42) y = ( eEy + ( ) eEx ), (4.43) z = eEz, (4.44) где =.

1 + Зная компоненты неравновесной функции распределения нетрудно найти и плотность электрического тока:

2e fo J = ( ) (k) v(v ) dk. (4.45) (2)3 Переходя к сферической системе координат и интегрируя по углам, для компо нент тока и потока энергии имеем k e fo Ji = ( ) i () d. (4.46) 3 2 m Из приведенных выше формул видно, что проводимость в направлении магнит ного поля zz от магнитного поля не зависит.

Подставляя явные выражения для компонент i в формулу для компонент плотности тока Ji, найдем следующие выражения:

Jx = 11 Ex 12 Ey, Jy = 12 Ex + 11 Ey, (4.47) где коэффициенты, входящие в выражения для компонент плотности тока, име ют следующий вид:

e2 fo () k 11 = ( ) d, 3 2 1 + 2 m e2 fo 2 () k 12 =2 ( ) d, (4.48) 1 + 2 m Через тензоры ik можно выразить все экспериментально измеряемые кинети ческие коэффициенты. Следует, однако, заметить, что непосредственное вычис ление этих коэффициентов весьма громоздко.

Выражения для компонент тензоров ik можно записать в более компактном виде, если ввести среднее значение величины A:

f (p) A dp A = f (p) A dp, (4.49) n f (p) dp где n- концентрация электронов проводимости. Учитывая, что отличный от нуля вклад в кинетические коэффициенты обусловлен только неравновесной частью функции распределения, имеем 1 fo k 3 A() d.

A = 2 (4.50) 3 n o Принимая во внимание (4.50), компоненты тензоров можно представить в сле дующем виде:

11 = ne2 12 = ne,. (4.51) m (1 + 2 ) m (1 + 2 ) Аналогичным образом можно рассмотреть кинетические коэффициенты для случая, когда неравновесное состояние функции распределения обусловлено градиентом температуры.

Определим основные кинетические эффекты, которые связывают компонен ты тока, электрического поля и градиенты температуры в постоянном некван тующем магнитном поле H = (0, 0, H).

Эффект Холла- возникновение поперечного электрического поляEy при на личии тока Jx и отсутствии тока Jy = 0, T = 0. Величина поперечного поля Ey в стационарном состоянии оказывается пропорциональной величине тока Jx и магнитного поля H, т.е.

Ey = R Hz Jx.

Константа Холла определяется через компоненты тензора электропроводности следующим образом:

12 1 R= =2, 2 m(1 + 2 ) H( + 12 ) ne H D 2 + 2.

D = (4.52) 2) m(1 + 2 ) m(1 + Магнитосопротивление- сопротивление в поперечном магнитном поле 11 1 (H) = =2. (4.53) 2 m(1 + 2 ) (11+ 12 ) ne D Поперечный эффект Нернста-Эттинсгаузена- возникновение поперечного электрического поля Ey, связанного с наличием градиента температуры x T.

Он определяется из условия J = 0, T =( x T, 0, 0). Очевидно, что поле Ey должно быть пропорционально Hz и xT :

Ey = Q Hz x T, и характеризуется коэффициентом Ey 12 11 11 Q= =. (4.54) 2 H xT H(11 + 12 ) Термоэдс в поперечном магнитном поле 11 11 + 12 (H) =. (4.55) 2 (11 + 12 ) Из приведенных выше выражений для кинетических коэффициентов сле дует, что задача их нахождения сводится к вычислению интегралов переноса.

Надо, однако, понимать, что для непосредственного их вычисления мы долж ны знать закон дисперсии для зонных носителей заряда и зависимость времени релаксации от энергии или модуля вектора k, т.е. исходить из какой-то опреде ленной модели.

4.7 Кинетическое уравнение для электронов про водимости, взаимодействующих с фононами Найдем явное выражение для интеграла столкновений, описывающего в ки нетическом уравнении изменение неравновесной функции распределения f (k) за счет столкновений с фононами.

В основе теории рассеяния носителей заряда и тем самым теории явлений переноса в твердом теле лежит хорошо известное выражение:

| k |H |k |2 (k k ), W (k, k ) = (4.56) которое определяет вероятность перехода электрона из состояния с волновым вектором k в состояние с волновым вектором k под действием возмущения, которое задается гамильтонианом H.

Напомним условия, при которых было получено данное выражение.

Во-первых, она получена в первом порядке теории возмущения, что естествен ным образом накладывает на величину возмущения ограничения: H Ho, (Ho -невозмущенный гамильтониан системы). Это соответствует борновскому приближению в теории рассеяния. Во-вторых, время, в течение которого дей ствует возмущение должно быть намного меньше, чем время между двумя по следовательными включениями возмущения, т.е. время рассеяния t.

Выполнение этого условия позволяет пользоваться приближением t, что в конечном итоге и приводит к формуле (4.56).

Таким образом, для вывода интеграла электрон-фононного рассеяния необ ходимо знать явный вид гамильтониана H. Мы воспользуемся следующим вы ражением для гамильтониана электрон-фононного взаимодействия (гамильто ниан Фрелиха):

H = Hep = i q, Cq, bq, eiqr b+ eiqr, (4.57) q, где Cq, амплитуда электрон-фононного взаимодействия, b+ bq, –операторы q, рождения и уничтожения фононов с волновым вектором q и индексом поля ризации.

Согласно основным положениям нестационарной теории возмущения, веро ятность перехода частицы из начального состояния в конечное под действи ем возмущения определяется квадратом модуля амплитуды перехода Ak k (t), усредненным по состояния фононной системы W (k, k ) = |Ak,k (t)| t i i t(k k ) Ak,k (t) = k |Hep (t)|k e, (4.58) h o где k - энергия электрона с волновым вектором k, |k - волновая функция свободного электрона в состоянии с волновым вектором k.... - означает квантово-статистическое среднее по состояниям фононной системы.

Подставим явный вид гамильтониана (4.57) в формулу (4.58). Принимая во внимание, что для бозе операторов bq, b+ (индекс поляризации мы опустили q для простоты из рассмотрения ) выполняются соотношения b+ (t) = b+ eiq t, bq (t) = bq eiq t q q bq bq = Nq qq bq b+ = (Nq + 1)qq, + q b+ b+ = bq bq = 0, (4.59) qq получаем 2 t q |Cq |2 { | k |eiqr |k |2 Nq (k k q ) + W (k, k) = +| k |eiqr |k |2 (Nq + 1) (k k + q ) }. (4.60) При записи последнего равенства мы приняли во внимание определение дельта– функции:

1 sin2 (xt) limt = (x). (4.61) x2 t и записали 4 sin2 [ 2t (k k + q )] = 2 t (k k + q ).

q ) 2 (k k + Итак, наше выражение разбивается на два члена, один из которых описыва Рис. 4.4: Схема переходов между уровнями с энергиями k, k+q, kq, кото рые вносят вклад в изменение числа электронов в состоянии с волновым векто ром k.

ет переходы электрона из начального состояния в конечное с рождением фо нона и следовательно пропорционально Nq + 1. Другое слагаемое (пропорцио нальное Nq ) описывает процессы, при которых происходит поглощение фонона.

Рассмотренные выше процессы должны идти с сохранением как энергии, так и квазиимпульса. Перечисленные типы переходов, происходящие с рождени ем или уменьшением числа фононов, приводят к увеличению или уменьшению числа электронов в соответствующих состояниях (рис (4.4)).

Принимая во внимание выражение (4.60), запишем выражения для вероят ностей переходов, которые изображены на рисунке:

2 t |Cq |2 | k + q|eiqr |k |2 Nq (k+q k q ), 1. Wk+q,k = q 2 t |Cq |2 | k|eiqr |k + q |2 (Nq + 1)(k k+q + q ), 2. Wk,k+q = q 2 t |Cq |2 | k q|eiqr |k |2 (Nq + 1)(kq k + q ), 3. Wkq,k = q 2 t |Cq |2 | k|eiqr |k q |2 Nq (k kq q ).

4. Wk,kq = (4.62) q Формулы (4.62) определяют квантово-механическую вероятность переходов между различными состояниями электронов усредненную по фононной систе ме. Для вычисления интеграла столкновения надо записать скорость изменения числа электронов с волновым вектором k, принимая во внимание принцип Па ули, учитывающий наличие занятых в начальном и пустых мест в конечном состояниях. Фактически мы должны найти разность "(Приход)-(Уход)". Име ем:

|Cq |2 {[(Nq + 1)fk+q (1 fk ) Nq fk (1 fk+q )](k k+q + q ) + Ist = q +[Nq fkq (1 fk ) (Nq + 1)fk (1 fkq )](k kq q ) }. (4.63) При записи (4.63) мы приняли во внимание четность дельта функции (x) = (x), а также учли, что в силу условия нормировки | k + q|eiqr |k |2 = | k|eiqr |k + q |2 = 1.

Покажем, для упругого рассеяния электронов на фононах можно ввести вре мя релаксации импульса электронов p и представить интеграл столкновения в стандартном виде, характерном для приближения времени релаксации.

Заметим, что рассеяние на фононах является упругим если энергия фонона q много меньше средней энергии электрона kb T. Для упругого рассея ния функцию распределения фононов можно разложить по малому параметру q /kb T и ограничиваясь линейным приближением, получаем Nq kb T / q 1, Nq + 1 Nq.

C учетом вышесказанного выражение (4.63) существенно упрощается:

Ist = V (k, k ) (fk fk )(k k ), (4.64) k |Cq |2 Nq (k,k+q + k,kq ).

V (k, k ) = (4.65) q Приближение времени релаксации имеет место тогда, когда неравновесная функция распределения не очень сильно отклоняется от равновесного значе ния. Используя это, представим неравновесную функцию распределения fk в следующем виде f o (k ) fk = f o (k ) + f1 (k) = f o (k ) ((k ) • k), (4.66) k где f o (k )– равновесная функция распределения электронов, а (k )– неизвест ная векторная функция, зависящая только от энергии электрона.

Подставляя (4.66) в интеграл столкновений, получаем:

f o (k ) k fk fk = ((k ) • k) [1 ], (4.67) k k где k f1 (k) 1 Ist =, = V (k, k ) [1 ] (k k ). (4.68) k k k k k, k – проекция векторов k, k на векторную функцию.

Итак, в рамках сделанных выше предположений о характере рассеяния элек тронов на фононах удается аппроксимировать интеграл электрон–фононного взаимодействия столкновения введением времени релаксации.

4.8 Увлечение носителей заряда фононами Рассмотрение термоэлектрических коэффициентов, которое было проведе но выше, нуждается в существенном уточнении в области низких температур, порядка нескольких градусов Кельвина, где в большинстве металлов и полупро водников температурная зависимость коэффициента от температуры заметно отклоняется от линейного закона, задаваемого выражением (4.37).

Причина столь необычного поведения термоэлектрических коэффициентов обусловлена рядом обстоятельств. Так, при рассмотрении термоэлектрических коэффициентов мы неявно предполагали, что электронный газ находится в рав новесии с колебаниями решетки и функция распределения фононов при этом не отклоняется от равновесного значения при помещении образца в поле темпера турного градиента. Однако наличие в образце градиента температуры приводит к возникновению теплопроводности, что на языке фононов означает возникно вение потока фононов, направленного от горячего конца образца к холодно му. Анизотропия функции распределения фононов, которая при этом возника ет, приводит и к анизотропии амплитуды электрон-фононного взаимодействия.

Очевидно, что при этом чаще будут рассеиваться электроны, которые движутся против направления фононов, нежели те, скорость которых совпадает с направ лением скорости дрейфа фононов.

Таким образом, в образце реализуется статическая сила, пропорциональ ная градиенту температуры, обусловленная неравновесностью распределения фононов. Появление такой силы приводит к тому, что в среднем в процессе электрон-фононных столкновений электронам будет передаваться импульс, на правленный вдоль макроскопического потока фононов. Поэтому электроны бу дут "увлекаться"потоком фононов и накапливаться у холодного края образца. В конечном итоге это приведет к дополнительному вкладу в коэффициент диффе ренциальной термоэдс, который мы не учитывали при выводе формулы (4.37).

Такое косвенное действие градиента температуры на систему носителей заряда носит название эффекта увлечения электронов фононами.

Величину эффекта увлечения можно получить следующим образом. Рас смотрим звуковую волну, распространяющуюся в направлении х через среду с заряженными частицами, которые способны поглощать звук. Звуковое давле ние,которое соответствует пространственному затуханию плотности энергии U, есть dU Px =.

dx Если U - плотность энергии тепловых фононов, то dU dT = Cp.

dx dx здесь Cp - решеточная теплоемкость.

В стационарном случае эта сила должна быть скомпенсирована противодей ствующей силой,которая, как мы полагаем, имеет электростатическое проис хождение:

Fx = neEx.

Таким образом, для термоэдс, возникающей за счет увлечения имеем Ex Cp g = =.

xT ne Уже из этого выражения видно, что в области низких температур общая величина термоэдс должна обладать нелинейной температурной зависимостью, поскольку решеточная теплоемкость ведет себя при низких температурах как T 3.

Уже из качественного рассмотрения эффекта увлечения ясно, что при его математическом описании необходимо рассматривать и решать совместно си стему кинетических уравнений для электронов проводимости и фононов.

Рассмотрим эффект увлечения при следующих упрощающих условиях:

внешнее магнитное поле будем полагать равным нулю;

спектр носителей заря да описывать произвольным изотропным законом дисперсии, а электронный газ полагать вырожденным. Наконец, при рассмотрении взаимодействия электро нов с фононами ограничимся рассмотрением взаимодействия деформационного вида.

Рассмотрим кинетическое уравнение для электронов проводимости, которое запишем в символическом виде:

D f = I(f, f ). (4.69) Левая часть кинетического уравнения Df описывает изменение функции рас пределения электронов проводимости за счет градиента температуры и внеш ней силы. Интеграл столкновений, который стоит в правой части уравнения, представим в виде суммы двух членов.

I(f, f ) = I(Ni, f ) + I(Nq, f ). (4.70) Первое слагаемое в правой части обозначает часть интеграла столкновения, ко торая связана с рассеянием электронов на примесях, а второе слагаемое - инте грал столкновений, обусловленный рассеянием электронов на фононах, которые описываются функцией распределения Планка:

q Nq = exp ( )1. (4.71) kb T Неравновесная функция распределения фононов удовлетворяет кинетическому уравнению:

Nq Nq + vg = I(Nq, Nq ), (4.72) t r где vg = s(/q)- групповая скорость длинноволновых фононов;

s - скорость q звука;

I(Nq, Nq ) - интеграл столкновения для фононов.

Если фононную систему вывести из состояния равновесия, то она будет так же релаксировать к равновесному состоянию. При этом релаксация фононов будет происходить как вследствие фонон-фононного рассеяния, так и других механизмов, например рассеяния их на границах образца или на зонных носи телях заряда. Следовательно в общем случае интеграл столкновений, стоящий в правой части кинетического уравнения для фононной функции распределения, будет зависеть и от неравновесной функции распределения электронов. При этом уравнения (4.70) и (4.72) надо решать совместно как систему уравнений для определения функций распределения электронов и фононов.

Начнем с рассмотрения кинетического уравнения для фононов. Для того чтобы упростить рассматриваемую нами ситуацию, сделаем вполне разумное предположение: будем считать, что частота фонон-фононных столкновений до минирует над частотой электрон-фононных столкновений (что оправдано, на пример, для полупроводников, где концентрация носителей заряда незначитель на), и поэтому релаксация фононов в основном определяется рассеянием фо нонов на фононах. В рамках данного предположения мы можем ввести время релаксации фононов pp и представить столкновительный член в кинетическом уравнении для фононов в приближении времени релаксации:


o Nq Nq Nq =, (4.73) t pp (q) st а уравнение для фононной подсистемы принимает следующий вид:

o vg Nq pp = Nq Nq, (4.74) r o здесьNq - равновесная функция распределения фононов.

При сделанных нами предположениях о характере релаксации фононов неравновесная функция распределения фононов, очевидно, может быть найдена из уравнения (4.74), которое не содержит электронной функции распределения.

Полагая, что фононная подсистема не очень сильно отклонилась от равно весного состояния, для функции распределения фононов мы можем написать o Nq = Nq + Nq, (4.75) где Nq - малая добавка, которая пропорциональна градиенту температуры. Под ставляя (4.75) в (4.74), в линейном приближении получаем o dNq Nq = (s pp /q) (q T ). (4.76) dT Обратимся опять к кинетическому уравнению для электронов проводимости.

Подставим в него неравновесные функции распределения электронов и фоно нов. Принимая во внимание, что o I(Ni, fo ) + I(Nq, fo ) = 0, представим кинетическое уравнение в виде o Df = I(Ni, f ) + I(Nq, f ) + I(Nq, fo ) + I(Nq, f ). (4.77) Последнее слагаемое в правой части (4.77) соответствует рассеянию неравно весных электронов на неравновесных фононах. Это слагаемое имеет малость второго порядка и им можно пренебречь. Первые два слагаемые описывают рассеяние неравновесных электронов на примесях и равновесных фононах. В приближении упругого рассеяния, а именно такое рассеяние мы и рассматри ваем, они могут быть записаны в приближении времени релаксации с эффек тивным временем релаксации, т. е.

f o I(Ni, f ) + I(Nq, f ) =. (4.78) Наибольший интерес для нас представляет третье слагаемое в уравнении (4.76), описывающее релаксацию равновесных электронов с неравновесными фонона ми. Именно этот член и определяет эффект увлечения электронов фононами.

Обозначим его как I(Nq, fo ) Iu.

Итак, кинетическое уравнение для электронной функции распределения при нимает следующий вид:

f Df = + Iu (Nq, fo ). (4.79) Теперь наша задача состоит в нахождении явного вида слагаемого, ответствен ного за эффект увлечения. Для этого необходимо записать интеграл электрон фононных столкновений. Процесс рассеяния электронов на фононах состоит из суммы двух процессов, один из которых связан с рождением фонона в акте рассеяния, а второй наоборот описывает поглощение фонона. Используя явный вид интеграла электрон-фононного взаимодействия, который был рассмотрен нами выше, для I(Nq, fo ) имеем Iu = C(q) Nq [fo (k ) fo (k)] k,q [(k k + q ) k,kq + (k k q )k,k+q ]. (4.80) Заметим, что выражение (4.80) справедливо для полупроводников с произволь ной степенью вырождения электронного газа. Следует также обратить внима ние на тот факт, что если в дельта-функциях, которые отвечают за закон сохра нения энергии, пренебречь энергией неупругости, то весь интеграл столкнове ний обратится в нуль. Следовательно, если мы хотим учесть эффект увлечения, мы должны принимать во внимание неупругий характер рассеяния электронов на фононах. Будем полагать, что fo fo (k ) = fo (k) + (k k ). (4.81) k Учтем в этом выражении закон сохранения энергии, а затем пренебрежем энер гией неупругости в дельта-функциях. В результате из выражения (4.80) мы получим fo (k) Iu = C(q)Nq q (k,k+q k,kq )(k k ). (4.82) k k,q Сделаем во второй сумме замену q q;

учитывая, что Nq = Nq, имеем fo (k) Iu = 2 C(q) Nq q (k k ) k,k+q. (4.83) k k,q Для получения окончательного результата осталось совсем немного. Подставим вместо энергии фонона ее явное выражение q = s q и учтем, что v(k) = k /m.

В результате (4.83) можно представить в виде fo Iu = v u (). (4.84) Здесь u () - статическая сила увлечения:

u () = Au () kb T, (4.85) где безразмерная величина Au () равна o dNq 2 m s2 kk Au = C(q) pp (q) 1 (k k ) q,k k. (4.86) k kb dT k,q Итак, мы получили явное выражение для силы увлечения электронов фонона ми. С учетом этого кинетическое уравнение в линейном приближении можно записать в виде e f v(k) fo Eo fo = + Iu (Nq, fo ). (4.87) r k (k) Решение этого уравнения мы уже находили - добавка к неравновесной функции электронов имеет вид:

fo (k) f1 (k) = (k) v(k) o (), (4.88) где ( ) o () = e E kb T Au () kb T (4.89) kb T есть обобщенная возмущающая сила с учетом эффекта увлечения.

Сравнение с обычной возмущающей силой показывает наличие дополни тельного слагаемого ( последнее в правой части), которое связано с эффектом увлечения электронов проводимости дрейфующей системой фононов. Именно благодаря ей и возникает дополнительный вклад в термоэдс, зависящий как от величины электрон-фононного взаимодействия, так и от фонон-фононного взаимодействия.

Как видно из приведенных формул, для вычисления термоэдс с учетом эф фекта увлечения необходимо знать конкретные механизмы релаксации фононов и взаимодействие электронов с фононами. Для релаксации длинноволновых фо нонов известны следующие неэлектронные механизмы:

- механизм Херринга (kb T )3 q 2 /( s3 ).

pp (4.90) - механизм Саймонса (kb T )4 q/( s4 ), pp (4.91) где -плотность кристалла.

Вычисляя термоэдс можно показать, что она будет отлична от нуля при полном вырождении электронов проводимости даже если не принимать во вни мание температурного уширения уровня Ферми. Поскольку коэффициент тер моэдс обусловленный эффектом увлечения, T 4 или T 3, то при низких температурах он может доминировать над обычным диффузионным вкладом.

Поэтому измерения термоэдс в области низких температур позволяют найти силу увлечения электронов фононами.

4.9 Уравнение баланса импульса Для получения уравнения баланса импульса надо умножить кинетическое уравнение для функции распределения fk :

fk fk |F = |s, t t (левая часть этого выражения определяет изменение функции распределе ния за счет действия внешнего электрического поля, а правая есть интеграл столкновений) на k и просуммировать по k.

В результате мы получаем уравнение баланса среднего импульса электронов P :

P P |F = |s.

t t Левая часть этого выражения определяет изменение среднего импульса электронов проводимости за счет действия внешнего электрического поля P e k E |F = fk. (4.92) t k k Заметим, что в этом выражении в линейном приближении по дрейфовой скоро сти следует опустить дрейфовую скорость в выражении для функции распре деления:

fk = {exp [k (k mvd ) µ] + 1}, (k (mvd )/ ) k mvd =.

2m s s fk fk. Здесь fk функция распределения, в которой дрейфовая скорость равна нулю.

Переходя в формуле (4.92) от суммирования к интегрирования, очевидно, имеем P |F = e n E. (4.93) t Рассмотрим теперь второе слагаемое, стоящее в кинетическом уравнении ба ланса импульса. Рассматривая в качестве рассеяния импульса взаимодействие электронов проводимости с фононами, имеем P k |Cq |2 {[(Nq + 1) fk+q (1 fk ) |s = t k,q Nq fk (1 fk+q )](k k+q + q ) + +[Nq fkq (1 fk ) (Nq + 1) fk (1 fkq )](k kq q )}. (4.94) Выполним несколько простых преобразований. Поскольку суммирование по волновому вектору k в формуле (4.94) проводится в бесконечных пределах, то во второй квадратной скобке можно сдвинуть начало отсчета суммирования на произвольный вектор q. Положим, что k q = k, k = k + q.

После такой замены выражения в квадратных скобках равны по модулю, но имеют при этом противоположные знаки. Аргументы дельта-функций при этом оказываются совпадающими. Формула (4.94) при этом существенно упрощается и принимает вид:

P q |Cq |2 [(Nq + 1) fk+q (1 fk ) |s = t k,q Nq fk (1 fk+q )](k k+q + q ). (4.95) Далее, выделим в выражении (4.95) члены, линейные по дрейфовой скорости vd. Для этого разложим функции распределения в ряд Тейлора и ограничимся линейными членами в разложении s fk s k vd.

fk = fk + (4.96) k Подставив это разложение в интеграл столкновений, получаем P 2 ( q )2 vd |Cq |2 [(Nq + 1) fk+q (1 fk ) + s s |s = t k,q ss +Nq fk fk+q ](k k+q + q ). (4.97) Здесь s fk+q s fk+q =.

k+q В выражении (4.97) учтено, что при подстановки симметричной части функ ции распределения отличный от нуля вклад дадут слагаемые, которые четны по q. Этот результат возникает только от линейного по дрейфовой скорости Vd члена разложения функции fk+q, который пропорционален k + q.

Суммируя полученные результаты, запишем уравнение баланса импульса введя дрейфовый импульс системы носителей заряда pd = n vd m в следующем виде:

n vd m e n E + = 0, (4.98) где 1 2 ( q )2 |Cq |2 [(Nq + 1) fk+q (1 fk ) + s s = 3m n k,q ss +Nq fk fk+q ](k k+q + q ). (4.99) Смысл выражения (4.98) ясен: сила, действующая на систему электронов со стороны внешнего поля, равна по величине и противоположна по направле нию силе, действующей на электроны со стороны решетки. Величина имеет смысл времени релаксации среднего импульса электронов проводимости.

Преобразуем выражение для времени релаксации, считая, что электрическое поле достаточно слабое, так что не происходит разогрева электронной системы.

В этом случае температура и химический потенциал электронов проводимости не отклоняются от равновесных значений. Пользуясь свойствами равновесной функции распределения Ферми-Дирака и функции Планка, 1o (1 fk ) = fk e (k ), o o o o fk = fk (1 fk ), T Nq + 1 = Nq e q = T, (4.100) Проводя простые преобразования, находим o o oo o o (Nq + 1) fk+q (1 fk ) + Nq fk fk+q = Nq fk (1 fk+q ). (4.101) T С учетом этого результата, выражение для времени релаксации среднего им пульса можно представить в виде:

1 ( q )2 |Cq |2 Nq fk (1 fk+q ) o o = 3m n k,q (k k+q + q ). (4.102) Дальнейшее вычисление времени релаксации сводится к раскрытию сумм по волновым векторам и последовательному вычислению интегралов.

4.10 Уравнение баланса энергии Для получения уравнения баланса импульса надо умножить кинетическое уравнение для функции распределения fk :

fk fk |F = |s, t t на k и просуммировать по k и если частицы обладают спином.


Для изменения средней кинетической энергии электронов за счет поля по лучаем:

e ( Ek )f k E k fk (4.103) t k При рассмотрении уравнения баланса энергии будем учитывать квадратичные члены по напряженности внешнего электрического поля или дрейфовой скоро сти.

Выделим в k fk линейные по дрейфовой скорости члены fk ( k m ud )2 = fk = k k 2m k k u ].

( k m u ) s s = [fk fk (4.104) d d 2 k Подставляя выражение (4.104) в формулу (4.103) и принимая во внимание, что нечетные по k члены вклада в сумму не дадут, имеем 1 2k2 s e k E u [ f k + s ( Ek )f = f ]. (4.105) d 3m k t k Приступим к вычислению суммы по k, входящей в выражение (4.105). Для чего перейдем от суммирования к интегрированию. Рассмотрим вклад от первого слагаемого в квадратных скобках. Имеем s s fk 3/2 fk 2m3/ E u = E u e k k. (4.106) d d 2 k k k Выполняя интегрирование по частям в правой части равенства и пользуясь определением концентрации n:

2mkb Tk µ n= F1/2 ( ), 2 kb T получаем:

s fk u = e E u eE k n. (4.107) d d k k Аналогичную процедуру надо проделать и со вторым слагаемым, содержащим вторую производную по энергии. Выполнив интегрирование по частям два раза найдем соответствующее выражение:

2 fk s 1 E u = e E u e k n. (4.108) d d 3m k k Суммируя промежуточные результаты, получаем Ek )f = e E u n.

( (4.109) d t Найдем теперь выражение, определяющее изменение кинетической энергии электронов за счет взаимодействия с решеткой. для этого надо умножить ин теграл электрон-фононного взаимодействия на k и просуммировать по k. За метим, что данном случае как и при вычислении уравнения баланса импуль са вклады от первой и второй квадратных скобок в интеграле столкновения можно объединить, сдвигая при суммировании вклада от второй скобки начало отсчета по k на произвольный вектор q. С учетом сохранения закона энергии k+q = k + q мы получаем q |Cq |2 [(Nq + 1) fk+q (1 fk ) ( Ek )s c = t q Nq fk (1 fk+q )](k k+q + q ). (4.110) Правая часть этого выражения, как показывает несложный анализ, пропорцио нальна отклонению неравновесной температуры электронов от равновесной, что связано с эффектом разогрева электронов электрически полем. Величина от клонения Tk = Tk T по меньшей мере пропорциональна квадрату напряжен ности электрического поля. Поэтому в квадратных скобках выражения (4.110) необходимо пренебречь дрейфовой скоростью, входящей в определение функ ции распределения fk и заменить функции распределения на их симметричную s часть fk fk.

Используя свойства равновесной функции распределения Fk и функции Планка Nq :

1o (1 fk ) = fk e(k µ), o o o o fk = fk (1 fk ), kb T (Nq + 1) = Nq e q, =, (4.111) kb T преобразуем слагаемые в квадратных скобках выражения (4.110). Имеем s s s s I(q, k) = (Nq + 1) fk+q (1 fk ) Nq fk (1 fk+q ) = = fk (1 fk+q ) Nq [ e(k ) s s q 1 ]. (4.112) Разлагая экспоненту в ряд, имеем 1 T s s I(q, k) = fk (1 fk+q ) Nq q (1 ). (4.113) kb T Tk Подставляя формулу (4.113) в уравнение баланса энергии (4.110), представим выражение для изменения кинетической энергии системы электронов за счет столкновений в окончательном виде:

Ek T ( q )2 |Cq |2 Nq fk (1 fk+q )] · (k k+q ). 4.114) ( )sc = (1 ) ( t Tk q Глава Матрица плотности Наряду с методами решения задач кинетики, которые использовали поня тие функции распределения, был развит квантово-механический метод, осно ванный на использовании матрицы плотности (1927-1930, фон Нейман, Ди рак, Ландау).

Рассмотрим соответствие между классической и квантовой механикой.

Классическая статистическая механика имеет дело с динамическими перемен ными - координатой и импульсом, которые характеризуют положение частицы.

Эволюция изучаемой статистической системы описывается во времени уравне нием Гамильтона.

Квантовая статистическая механика описывает состояние динамической си стемы волновой функцией, зависящей от времени и координат. Эволюция си стемы во времени определяется уравнением Шредингера. Динамические пере менные системы представляются линейными самосопряженными операторами, которые действуют в пространстве функций.

Наблюдаемое значение некоторой физической величины в квантовой меха нике задается математическим ожиданием оператора G этой величины Если состояние рассматриваемой системы описывается некоторой волновой функци ей (r, t), то математическое ожидание равно (x) G (x) dx.

G = (5.1) Волновая функция (r, t) может быть разложена по полному набору (ортонор мированному) функций:

(r, t) = cn (t) n (r);

(5.2) n функции (r) считаются не зависящими от времени. Тогда c cn G n dx.

G = (5.3) m m n,m Если система не может быть описана одной волновой функцией, то можно вве сти совокупность ансамблей подобных систем и найти среднее по ансамблю, как это делается в классическом случае. Определим среднее по ансамблю для величины G равенством c cn a G n dx.

G a = (5.4) m m n,m Удобно ввести матрицу плотности со следующими элементами:

nm m||n = c cn a. (5.5) m Введение матрицы плотности позволяет записать среднее по ансамблю в виде G A = nm Gmn = ( G)mm = Sp ( G). (5.6) n,m m Как мы видим, в выражение (5.6) входят два усреднения: одно чисто квантово механическое, другое - статистическое. Оба они, конечно, важны. Матрица плотности обладает следующими свойствами:

1. Матрица плотности – эрмитова - mn =. Диагональные элементы nm матрицы плотности действительны.

2. Положив G = 1, имеем Sp = 1. Это условие имеет простой физиче ский смысл: диагональные элементы матрицы плотности определяют нормиро ванную вероятность реализации в ансамбле состояния (r).

3. Средние, которые находятся с помощью матрицы плотности, инвариантны относительно унитарных преобразований, поэтому условие Sp = 1 остается неизменным в любом представлении. матрица S, удовлетворяющая условию SS + = 1, где Smn = Snm называется унитарной.

+ 5.1 Уравнения движения для матрицы плотно сти Найдем уравнение движения, которому удовлетворяет матрица плотности.

Волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера i = H, (5.7) t где H - оператор Гамильтона системы, совпадающий с оператором энергии, если он не зависит от времени. Явный вид оператора H определяется свойствами системы. Подставим в него разложение волновой функции (5.2). Используя cn m H dr, i = cm Hnm, Hnm = (5.8) n t m определим производную по времени от матрицы плотности c dmn cm n cm + c =. (5.9) n dt t t Подставляя (5.8) в (5.9), получаем dmn i = Hml ln Hnl ml = (H H)mn. (5.10) dt Из уравнения (5.10) следует, что изменение матрицы плотности с течением вре мени описывается уравнением d i = H H = [H ]. (5.11) dt Итак, мы получили уравнение движения для матрицы плотности, т.е. квантовое уравнение Лиувилля.

Для равновесных систем оператор матрицы плотности не зависит от време ни. При этом матрица плотности коммутирует с гамильтонианом этой системы [H, ] = 0, а значит, является интегралом движения.

Уравнение Лиувилля позволяет найти матрицу плотности для любого мо мента времени при условии, что он известен в начальный момент времени.

Пусть при t = 0 статистический оператор есть (0). Очевидно, что в момент времени t он будет иметь вид itH itH (t) = exp (0) exp при условии, что гамильтониан H не зависит явно от времени. В этом нетруд но убедиться, взяв от написанного выражения производную по времени и при няв во внимание, что (t) = (0) при t = 0.

5.2 Необратимые процессы, обусловленные меха ническими возмущениями Одна из основных задач теории необратимых процессов - изучение влияния на статистические ансамбли различного рода возмущений, приводящих к нару шению равновесия. Как мы уже знаем, для решения данной задачи необходи мо знать эволюцию функции распределения, которая описывает нашу систему.

Однако кинетическое уравнение, которое описывает изменение функции рас пределения удается получить только в некоторых предельных случаях. В Р. Кубо предложил способ решения задач кинетики без использования кинети ческого уравнения. Предложенный метод связан с непосредственным использо ванием уравнения для матрицы плотности.

Основные посылки теории:

Неравновесное состояние есть следствие наложения на систему возмущения, которое выводит систему из равновесного состояния. Возникает вопрос - все ли возмущения могут быть описаны механически?2 Ответ - практически все, кроме тех, которые обусловлены температурными градиентами.

Линейная теория реакции ограничивается линейными соотношениями меж ду приложенными силами Xk и потоками Jn, которые при этом возникают в системе. Явления такого типа могут быть описаны уравнениями вида N Jk = Lkn Xn ;

k = 1 · · ·, N, n= где кинетические коэффициенты Lkn характеризуют реакцию системы на внешнее возмущение. Задачи теории могут быть сформулированы следующим Механическими возмущениями называют такой тип, который может быть описан путем добавления в гамильтониан дополнительного слагаемого.

образом: необходимо показать справедливость уравнений ;

найти точные за мкнутые выражения для кинетических коэффициентов Lkn и установить их свойства.

5.3 Линейная реакция системы на внешнее воз мущение 5.3.1 Случай классической статистики Рассмотрим реакцию статистического ансамбля на внешнее, зависящее от времени, механическое возмущение.

Итак, пусть гамильтониан рассматриваемой нами системы имеет следующий вид:

H = Ho + H1 (t). (5.12) Ho = Ho (r, p) - гамильтониан свободной системы, а H1 (r, p, t) описывает возму щение и при этом явно зависит от времени.

Гамильтониан возмущения часто можно представить в виде суммы H1 (r, p, t) = Bi (r, p) Fi (t), (5.13) i где Fi (t) - функции времени, не зависящие от координат и импульсов, а Bi (r, p) динамические переменные, не зависящие явно от времени.

Будем считать, что при t система находилась в равновесном со стоянии -внешнее возмущение (H1 (r, p, t) = 0 )- и описывалась равновесным распределением Гиббса:

Ho Ho fo = Z 1 exp, Z= exp dr dp, (5.14) kb T kb T где Z - статистический интеграл, определяемый из условия нормировки.

После включения возмущения система отклонится от состояния термодина мического равновесия и будет описываться распределением f (t).

Функция распределения возмущенной системы подчиняется уравнению Ли увилля:

f (t) = (iLo + iL1 (t) )f (t), (5.15) t где Lo, L1 операторы Лиувилля iLo A = {Ho, A}, iL1 (t) A = {H1 (t), A}.

Здесь A- произвольная динамическая переменная,а {, } - классические скобки Пуассона.

Начнем решать поставленную задачу, считая внешнее возмущение слабым.

Запишем f (t) в виде f (t) = fo + f1 (t) (5.16) и линеаризуем уравнение (5.15), полагая H1 (t), f1 (t) малыми величинами. Име ем f1 (t) = iLo f1 (t) + iL1 (t) fo. (5.17) t Умножим уравнение (5.17) слева на оператор эволюции eitL, который, действуя на произвольную функцию координат и импульсов (r(0), p(0)), переводит ее в функцию (r(t), p(t)). В результате мы получим уравнение itL f1 (t) = i eitL L1 (t) fo.

e (5.18) t Интегрируя это уравнение в пределах от до t с учетом граничного условия, получаем t itL eiLt L1 (t ) fo dt.

e f1 (t) = i (5.19) Умножая это уравнение слева на eiLt и делая замену переменных (t t = t1 ), имеем eiLt1 L1 (t + t1 ) fo dt1.

f1 (t) = i (5.20) Таким образом, окончательно для функции распределения f (t) имеем следую щее выражение:

eiLt1 {H1 (t + t1 ), fo } dt1.

f (t) = fo + (5.21) Рассматривая eit1 L A(t, 0) = A(t, t1 ) как аналог представления в классиче ской статистической механике представления Гейзенберга в квантовой механи ке, можно выражение (5.21) переписать в виде f (t) = fo + {H1 (t + t1, t1 ), fo } dt1. (5.22) Принимая во внимание определение скобок Пуассона H1 fo H1 fo {H1, fo } = (5.23) r p p r и учитывая, что {H1, fo } = {H1 (t), Ho } fo, =. (5.24) kb T запишем (5.25) в виде f (t) = fo 1 eiLt1 {H1 (t + t1 ), Ho } dt1 (5.25) или в другой эквивалентной форме записи t f (t) = fo 1 {H1 (t, t t) Ho } dt. (5.26) Используя выражения (5.21),(5.25) среднее значение любой динамической ве личины A A = A(p, r) f (p, r, t) dp dr можно вычислить в линейном приближении по H1 (t):

t A A o = {A, H1 (t, t t)} o dt, · · · o = · · · fo dX. (5.27) Выражения (5.25),(5.26) дают принципиальное решение задачи о реакции клас сической системы на внешнее механическое возмущение.

Вводя разрывную функцию (t) = 1, t 0;

0, t 0, (5.28) в формулах (5.25), (5.26) верхний предел интегрирования можно распростра нить до бесконечности. Тогда A A o = {A, H1 (t, t t)} dt, (5.29) где A, B(t t) = = (t t ) {A, B(t t)} o = (t t ) {A(t), B(t )} o (5.30) -запаздывающая двухвременная функция Грина классической статистиче ской механики.

Запаздывающие функции Грина (5.30), введенные в таком виде Тяблико вым С.В., и Боголюбовым Н.Н. для случая квантовой статистики, оказались очень удобным математическим аппаратом для использования в статистиче ской механике равновесных и неравновесных систем, ввиду своего прозрачного физического смысла и достаточно простых аналитических свойств.

Физический смысл запаздывающих функций Грина легко понять, если рас смотреть влияние -образного возмущения H1 (t) = B (t t1 ) на среднее значение динамической величины A. Подставляя возмущение в та ком виде в выражение (5.29), получаем A = A B(t1 t) = A(t) B(t1 ), A = A A o. (5.31) Из этого равенства следует, что запаздывающая функция Грина равна изме нению среднего значения величины A к моменту времени t из-за мгновенного включения возмущения в момент времени t1.

Используя выражения (5.25),(5.26) можно записать другую форму для со отношения (5.29):

t 1 A = A o A H1 (t, t t) o dt = kb T t 1 = A o + A(t t ) H1 (t ) o dt, kb T A = {A, H}. (5.32) Заметим,что последнее равенство в формуле (5.32) вытекает из условия ста ционарности, согласно которому среднее значение произведения динамических переменных по состоянию равновесия зависит только от разности временных аргументов:

A H1 (t, t t) o = A(t t ) H1 (t ) o.

Дифференцируя это равенство по t, получим нужное нам соотношение.

Итак, в линейном приближении по возмущению изменение среднего значе ния A определяется временной корреляционной функцией, связывающей A с H1 (t).

Если внешнее возмущение имеет вид (5.13), то формулы для линейного от клика можно представить в виде A = A o A(t) Bj (t ) Fj (t ) dt, (5.33) j t 1 A = A o + A(t) Bj (t ) o Fj (t ) dt. (5.34) kb T j Соотношения (5.33) для линейной реакции системы носят название фор мул Кубо. Особенность этих формул заключается в том, что они выражают неравновесные свойства в виде средних по состоянию статистического равно весия и имеют весьма общий характер.

Кубо исследовал линейный отклик классической и квантовой систем на включение внешнего воздействия. Следует, однако, отметить, что впервые ана логичные выражения были получены Кирквудом, когда он исследовал коэффи циент трения броуновской частицы.

Хотя найденное решение уравнения Лиувилля является вполне обоснован ным, тем не менее применимость полученных результатов для анализа реаль ных физических процессов не кажется самоочевидной. Проблема, которая тре бует своего разрешения, заключается в следующем. До включения внешнего воздействия в момент t = система описывалась большим каноническим распределением и, следовательно, находилась в контакте с термостатом. Од нако после включения взаимодействия статистический оператор удовлетворяет уравнению Лиувилля, в котором фигурирует гамильтониан системы и нет га мильтониана термостата. Таким образом, неявно предполагается, что мы про извели отключение системы от термостата в момент включения внешнего воз действия, хотя фактически такое отключение на практике не делается. Именно поэтому найденное решение может быть справедливо только в случае слабых внешних воздействий.

Другой вопрос касается появления необратимого характера изменения ста тистического оператора во времени. В отличие от кинетического уравнения, которое имеет необратимый характер благодаря необратимому характеру пове дения интеграла столкновений, уравнение Лиувилля является заведомо обра тимым уравнением. Необратимость в уравнение Лиувилля привносится с помо щью граничного условия - именно такой подход использовался в работах Кубо.

Иной подход к решению данной проблемы заключается во введении в пра вую часть уравнения Лиувилля бесконечно малого источника, который может быть интерпретирован как интеграл столкновения выделенной системы с ее окружением. Такой процедуры оказывается вполне достаточно для получения необратимого характера поведения уравнения. Более подробно этот вопрос мы рассмотрим ниже.

5.3.2 Случай квантовой статистики Несомненным достоинством рассматриваемого метода линейной реакции является его большая общность, или универсальность. Сравнительно просто, с незначительными изменениями он может быть обобщен и на квантовый случай.

В этом случае гамильтониан возмущенной системы представляется также в виде Ho + H1 (t), где оператор возмущения H1 (t) аналогичен введенному выше. Как и ранее, предполагаем, что при t внешнее возмущение отсутствовало.

Статистический оператор удовлетворяет квантовому уравнению Лиувил ля (t) i = [ Ho + H1 (t), (t) ] (5.35) t и начальному условию 1 (Ho / kb T ) Z = Sp e(Ho / kb T ).

|t= = o = e, Z Считая возмущение малым, имеем 1 (t) i = [ Ho, 1 (t) ] + [ H1 (t), o ]. (5.36) t Проделав вычисления, аналогичные тем, что были выполнены для случая клас сической статистики, получаем eiLt (t) = o + [H1 (t + t1 ), o ] dt1. (5.37) i Выражение (5.37) можно переписать в ином виде, если воспользоваться тожде ством, справедливым для любого оператора A (тождество Кубо) [A, e H ] = e H e H [A, H] e H d, =. (5.38) kb T Имеем t (t) = o 1 e H H1 (t, t t) e H d dt, (5.39) o Доказательство тождества. Пусть [A, e H ] = e H S(), где S() - искомый оператор. Дифференцируя равенство по, получим уравнение для S() S = e H [A, H]e H.

Интегрируя его с учетом начального условия S()|=o = 0, получим тождество.

где H1 (t, t t) = [H1 (t, t t), H].

i Формулы (5.37),(5.39) позволяют вычислить в линейном приближении по внешнему возмущению среднее значение любой наблюдаемой величины, опре деляемой оператором B:

B = Sp ( B).

Подставляя, например, B в формулу (5.37) и используя инвариантность шпура относительно циклической перестановки операторов, получим t B = B o + [B(t), H1 (t, t )] o dt, (5.40) i где itH itH B(t) = exp B exp оператор B в представлении Гейзенберга, а · · · o = Sp (o · · · ) -усреднение с равновесным статистическим оператором.

Уравнение (5.40) описывает запаздывающую реакцию средних значений оператора B на включение внешнего возмущения для квантово-статистического ансамбля. Структура этого уравнения аналогична той, что имела место в клас сической статистической механике, с заменой классических скобок Пуассона на квантовые и классического усреднения на квантовое.

Распространяя в формуле (5.40) интегрирование по времени до + введе нием разрывной функции (t t ), получаем B B o = B(t) H1 (t, t) dt, (5.41) где A(t), B(t ) = (t t ) [A(t), B(t ) ] o (5.42) i -запаздывающая двухвременная функция Грина в квантовой статистической ме ханике.

Как и в случае классической статистики, влияние внешнего возмущения можно представить через временные корреляционные функции. Используя для возмущенного статистического оператора выражение (5.41), находим:

t e H H1 (t, t ) e H B(t) o d dt = B = B o o t e H H1 (t, t ) e H B(t) o d dt.

= B o + (5.43) o Наконец, формулу (5.43) можно записать и в виде:

t B = B o H1 (t, t i ) B(t) o d dt = o t = B o + H1 (t, t i ) B(t) o d dt. (5.44) o Сравнение этих выражений с аналогичными, полученными для случая клас сической статистики, показывает, что между ними имеется переход: если в кван товом случае (5.40) положить = 0 и квантовое усреднение заменить класси ческим.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.