авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

«Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный технический университет - УПИ И. И. Ляпилин ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ...»

-- [ Страница 4 ] --

Итак, выражения (5.39) и (5.43) определяют линейную реакцию на механи ческие возмущения квантово-статистического ансамбля через функции Грина или квантовые временные корреляционные функции.

Для внешнего возмущения в виде (5.13) формулы линейной реакции можно представить в виде:

A = A o A(t) Bj (t ) Fj (t ) dt, (5.45) j t e H Bj (t )e H A(t) o Fj (t ) d dt.

A = A o + (5.46) j o Это есть формулы Кубо для линейной реакции квантовой системы. Нетрудно заметить, что эти формулы подобны формулам Кубо для случая классической статистики.

5.4 Вычисление электропроводности В качестве примера использования метода Кубо рассмотрим влияние на си стему заряженных частиц включения однородного в пространстве переменного электрического поля, периодического во времени, которому соответствует опе ратор H1 (t) = e ri E(t), (5.47) i где e- заряд частицы;

ri - радиус-вектор ее положения. Поле E(t) задано как E(t) = Eo e(i + )t.

Малый параметр введен для того, чтобы E(t) 0 при t.

Под влиянием возмущения (5.47) в соответствии с (5.27) в системе возникает электрический ток t Jk = [Jk (t), H1 (t, t )] o dt, (5.48) i где Jk (t) = e rik (t), (5.49) i - есть оператор электрического тока;

ri компонента k оператора скорости i-й частицы. Постоянное слагаемое Jk o = 0, поскольку в статистическом рав новесии средний ток равен нулю.

Определяя электрическую проводимость как коэффициент пропорциональ ности между плотностью тока и средним полем в среде имеем o ei t+ t Sp ([P (t), o ]J ) dt, () = (5.50) i где P= eri i - вектор поляризации.

Воспользовавшись тождеством Кубо, согласно которому e H P (t) e H d, [P, o ] = i o (5.51) o получаем et ei t e H J e H J (t) o d dt = () = o o et ei t J J (t + i )) o d dt.

= (5.52) o o В классическом предельном случае ( 0) для тензора проводимости имеем et ei t (J, J (t) ) dt.

() = (5.53) o Следует помнить, что предельный переход ( 0) совершается после тер модинамического перехода (V ). Такая последовательность предельного перехода соответствует наложению условия причинности на решение уравнения Лиувилля.

5.5 Вычисление проводимости в приближении времени релаксации Рассмотрим линейный отклик системы на внешнее возмущение при наличии в системе релаксационных процессов.

Пусть гамильтониан нашей системы описывается выражением H(t) = He + H1 (t) + Hv, (5.54) где He -гамильтониан электронной подсистемы, p i He =, (5.55) 2m i p - -проекция оператора импульса i-го электрона. Суммирование в формуле i (5.55) ведется по всем электронам. H1 (t)- оператор возмущения, а Hv - описыва ет взаимодействие со средой, которое мы рассмотрим в приближении времени релаксации.

Запишем уравнение движения для матрицы плотности в виде o i + [, H + H1 (t)] + i = 0. (5.56) t Получим формальное решение системы, полагая внешнее воздействие Hef (t) ма лым, так что (t) = o + 1 (t), 1 (t) o.

Имеем 1 (t) 1 1 1 (t) + [1 (t), H] + [o, H1 (t)] + = 0. (5.57) t i i Умножая это уравнение слева на оператор эволюции eitL, получаем 1 (t, t) 1 (t, t) i + = [o, H1 (t, t)]. (5.58) t Второй временной аргумент у оператора означает гейзенберговское представ ление оператора:

1 A(t, t) = exp { Ht}A(t, 0)exp { Ht}.

i i Рассматривая правую часть уравнения (5.58) как неоднородность, запишем ре шение этого уравнения в виде t i eitL 1 (t) = e(t/ ) e(t / ) eit L [o, H1 (t )] dt. (5.59) Умножим уравнение (5.59) слева на eitL и сделаем в интегральном члене заме ну переменных, полагая t t = t1. В результате после простых преобразований получаем i e(t1 / ) eit1 L [o, H1 (t t1 )] dt1.

(t) = o + (5.60) o Таким образом, мы снова пришли к известной формуле Кубо линейного от клика, в которой учтены релаксационные процессы в приближении времени релаксации.

Пусть возмущение H1 (t) представляет однородное электрическое поле, ме няющееся со временем по гармоническому закону:

x E ei t, H1 (t) = e (5.61) i i где x - оператор -проекции координаты i-го электрона;

E (t) -проекция i амплитуды электрического поля.

Используя явный вид для оператора возмущения H1 (t), представим выра жение для (5.58) в виде ie k i t e(t1 / ) eit1 L [o, xk ] ei t1 dt1.

1 (t) = Ee (5.62) i i o Зная выражение для матрицы плотности, можно определить и среднее значение вектора плотности тока в системе заряженных частиц:

e e Jk = k pk = Sp (1 pk ).

e vi = i i mi mi i Определяя тензор проводимости как коэффициент пропорциональности между плотностью тока и средним полем в среде, имеем o e Sp ( p eit1 L [o, x ] ) dt1.

ei t1 e(t1 / ) = (5.63) j i im i,j Используя циклическую перестановку под знаком шпура, запишем эквивалент ное выражение для тензора электропроводности в виде o e Sp ( eit1 L p [o, x ] ) dt1.

ei t1 e(t1 / ) = (5.64) j i im i,j Возможна и другая запись этого выражения:

o e Sp ( [x p ] o, ) dt1.

ei t1 e(t1 / ) = (5.65) ij im i,j Для невзаимодействующих электронов eitL pk = pk, а учитывая, что [xk, pn ] = i ij kn, i j для тензора проводимости получаем o n e2 ne ei t1 e(t1 / ) dt1 = =. (5.66) m m(1 + i ) Здесь n - число электронов в единице объема. Из формулы (5.65) следует, что в постоянном электрическом поле = (n e2 /m), т.е. мы имеем классическое выражение для проводимости.

5.6 Линейный отклик и функции Грина Выражение для линейного отклика системы на внешнее возмущение мож но связать с функциями Грина. Это дает возможность пользоваться методами квантовой теории поля при построении разложений выражений для отклика по тому или иному малому параметру, который имеется в исследуемой системе.

Здесь мы рассмотрим этот метод в общем виде и проиллюстрируем применение его, вычислив электропроводность в переменном электрическом поле.

Пусть рассматриваемая нами система описывается гамильтонианом H(t), который имеет вид H(t) = Ho + H1 (t) + Hv, (5.67) где Ho - гамильтониан невзаимодействующих электронов;

гамильтониан Hv, яв ный вид которого мы не конкретизируем, описывает взаимодействие электронов с рассеивателями;

H1 (t) гамильтониан взаимодействия электронов с внешним электрическим полем, определяемый выражением (5.47).

x E (t) = (E(t)P ), H1 (t) = e (5.68) i i Согласно теории линейного отклика, для тензора электропроводности имеем o e2 e t1 ei t () = Sp ( p [o, x (t1 )] ) dt1 (5.69) m i Определим функцию Грина соотношением G (t1 ) = (t1 ) et1 Sp ( p eit1 L [o, x ] ), (5.70) i где (t) - функция Хевисайда, 1, если t 0, (t) = (5.71) 0, если t 0.

При таком определении функции Грина для тензора электропроводности имеем e2 e ei t1 G (t1 ) dt1 = () = G (), (5.72) m m где G ()- фурье-трансформа функции Грина.

Таким образом, задача вычисления тензора электропроводности сводится к отысканию функции Грина. Дифференцируя выражение (5.70) по времени t1, запишем уравнение движения для функции Грина:

d G (t1 ) = (t1 ) Sp ( p [o, x ] ) + G (t1 ) + G1 (t1 ), dt1 i 1d G1 (t1 ) = (t1 ) e t1 Sp ( p eit1 L [o, x ] ). (5.73) i dt При записи уравнения движения мы воспользовались определением произ водной от тэта-функции (t) d (t) = (t).

dt Принимая во внимание, что d Sp (p eit1 L [o, x ]) = Sp (p eit1 L iL [o, x ]) = Sp (p eit1 L [o, x ]), dt 1 p x = [x, H] =, i m запишем выражение для функции G1 в виде 1 p G1 (t1 ) = (t1 ) e t1 Sp (p eit1 L [o, ]). (5.74) i m Как следует из написанных выше формул, уравнение движения для функ ции Грина G (t1 ) содержит новую неизвестную величину G1 (t1 ), для которой также можно написать уравнение движения d 1 p G1 (t1 ) = (t1 ) Sp ( p [o, ] ) + G1 (t1 ) + G2 (t1 ), dt1 i m 1d p G2 (t1 ) = (t1 ) e t1 Sp ( p eit1 L [o, ] ). (5.75) i dt1 m Используя инвариантность шпура относительно циклических перестановок:

Sp (ABC ) = Sp (CAB ),- выражение для функции Грина G2 можно перепи сать в виде 1 p G2 (t1 ) = (t1 ) e t1 Sp ( p eit1 L [o, ] ).

(5.76) i m Как видно, уравнение движения для функции Грина G1 (t) содержит новую функцию Грина G2 (t). Таким образом, возникает зацепляющая цепочка урав нений движения для все новых функций Грина, и точное нахождение функции Грина G(t) становится невозможным.

Очевидно, что для приближенного нахождения функции Грина необходимо на определенном шаге произвести искусственное замыкание бесконечной цепоч ки уравнений движения так, чтобы высшая функция Грина выражалась в виде некоторой комбинации низших функций Грина. Полученная таким способом ко нечная цепочка уравнений движения может быть решена точно, что позволяет найти функции Грина.

Другой способ решения данной системы уравнений движения для функций Грина связан с введением массового оператора, определяющего структуру по люсов функции Грина, который можно вычислять по теории возмущений.

Сделаем преобразование Фурье по времени в уравнениях (5.74) и (5.76):

dt ei t K(t).

K() = Цепочка уравнений движения в частотном представлении принимает следую щий вид:

( i ) G = n + G1, ( i ) G1 = G2, ··· ···.

(5.77) Точками обозначены невыписанные уравнения движения для высших функций Грина. Кроме того, при выводе этих уравнений мы учли, что 1 Sp (p [o, x ]) = Sp ([xi, pj ] o ) = n, i i ij Sp (p [p, o ] ) = 0.

i Решение системы уравнений (5.77) можно представить в виде n G () =, (5.78) i( ) M () где M ()-массовый оператор для функции Грина G.

Рассмотрим метод теории возмущения для цепочки уравнений (5.77). Ма лым параметром, по которому строится теория возмущения, является взаимо действие Hv. При этом функция Грина G1 пропорциональна первой степени взаимодействия, а функция G2, как в этом нетрудно убедиться, - второй сте пени.

Для наглядности рассмотрим решение формальной системы зацепляющихся уравнений:

L G = I1 + G1, L G1 = I2 + G2, I G=. (5.79) LM Смысл введенных обозначений в выражениях (5.79) очевиден.

Решая систему уравнений относительно M, получаем G1 L M=. (5.80) I1 + G Определяя из второго уравнения (5.79) выражение для G1 и подставляя его в числитель формулы (5.80), получаем разложение массового оператора по степеням малого параметра I2 G2 I2 G M= + + ··· (5.81) I1 I1 I1 I При вычислении электропроводности функция I2 = 0, и поэтому массовый опе ратор может быть записан в форме G2 () M () = n или в более развернутом виде o 1 dt1 et1 (i) Sp (p eit1 L M () = [o, p ] ). (5.82) mn i Применяя тождество Кубо к коммутатору, входящему в выражение для массо вого оператора, получаем o dt1 et1 (i) M () = d p(v) p(v) (t + i ), mn o · · · = Sp (· · · o ), P(v) = [P, Hv ]. (5.83) i Физический смысл массового оператора легко понять, если провести сравнение классической формулы для высокочастотной проводимости n e2 () = 1 i m и формул (5.72),(5.78). Очевидно, что они совпадают, если полагать, что массовый оператор M имеет смысл частоты релаксации импульса 1.

В случае статической электропроводности, когда частота внешнего поля рав на нулю, интеграл по времени t1 можно распространить до +, поскольку подынтегральная функция является четной функцией времени. С учетом этого обстоятельства, выражение для массового оператора M (0) = 1/ принимает следующий вид:

1 1 |t1 | = dt1 e d p(v) p(v) (t + i ).

(5.84) 2mn o Формула (5.84) для обратного времени релаксации справедлива для любых ме ханизмов релаксации импульса, поскольку при ее выводе мы фактически нигде не использовали явно вид оператора взаимодействия электронов с рассеивате лями.

Таким образом, введение массового оператора при вычислении функции Грина сразу позволяет получить правильную структуру электропроводности.

Следует заметить, что в низших порядках по взаимодействию Hv (явный вид которого мы не конкретизировали) массовый оператор сравнительно просто мо жет быть вычислен.

В заключение данного параграфа проведем вычисление обратного времени релаксации импульса электронов для конкретного механизма рассеяния элек тронов. Для примера мы рассмотрим рассеяние электронов на продольных акустических колебаниях. Гамильтониан электрон-фононного взаимодействия в этом случае может быть записан в следующем виде:

U12 a+ a2, Hv Hep = 1, q q (Uk k bq + Uk k b+ ), Uk k = q q q = Cq k |eiqr |k.

Uk k (5.85) Здесь 1 = k, 2 = k - наборы одноэлектронных квантовых чисел, U12 - мат ричные элементы, определяющие релаксацию импульса, a+, a1 - ферми опера торы рождения и уничтожения электронов в состоянии с волновым вектором k и проекцией спина. b+, bq - бозе операторы рождения и уничтожения фононов q с волновым вектором q.

Для вычисления корреляционной функции, стоящей в формуле (??) надо вычислить коммутаторы p(v) p(v) (t + i ). Имеем q Cq ( bq k |eiqr |k p(v) = i k kq b+ k |eiqr |k ) a+ ak. (5.86) q k (Для упрощения записи мы опустили из рассмотрения спиновый индекс, считая, что в процессах рассеяния спиновое состояние не изменяется.) Поскольку оператор эволюции, входящий в выражение для частоты релак сации импульса уже не содержит взаимодействия, то усреднение электронных и фононных операторов производится независимо. При усреднении как электрон ных, так и фононных операторов необходимо провести всевозможные спарива ния операторов, согласно теореме Вика-Доминисиса, и воспользоваться опреде лениями средних значений от операторов рождения и уничтожения электронов и фононов:

a+ ak = fk k k, ak a+ = (1 fk ) k k, k k ak ak = a+ a+ = 0, kk it it k k a+ (t) = a+ e ak (t) = ak e,.

k k Соответственно для бозе операторов, имеем:

b+ bq = Nq, bq b+ = (Nq + 1), q q bq bq = b+ b+ = 0, qq b+ (t) = b+ eitq, bq (t) = bq eitq.

q q Здесь fk, Nq - функции распределения электронов и фононов, q - энергия фононоа с волновым вектором q.

С учетом сделанных выше замечаний, выражение для обратного времени релаксации импульса приобретает вид:

1 1 |t1 | Cq q = dt1 e d 6mn k kq o i (k + q )(t+i ) ( | k |eiqr |k |2 (Nq + 1) fk (1 fk ) e + k i (k q )(t+i ) +| k |eiqr |k |2 Nq fk (1 fk ) e ). (5.87) k Дальнейшее вычисление частоты релаксации импульса электронов не вы зывает больших затруднений. Выполняя интегрирование сначала по t и и пользуясь затем определением дельта-функции, получаем:

1 |Cq |2 ( q)2 | k |eiqr |k |2 ( (Nq + 1) fk (1 fk ) + = 6 mn k kq + Nq fk (1 fk ) )(k k + q ). (5.88) Дальнейшее упрощение выражения для частоты релаксации импульса электро нов возможно, если принять во внимание закон сохранения импульса, который неявно содержится в матричном элементе k |eiqr |k = k,k+q, а также воспользоваться равенством (Nq + 1) fk (1 fk ) = Nq fk (1 fk ), которое имеет место, если в системе выполняется закон сохранения энергии k k + q = 0.

С учетом сделанных замечаний, выражение для обратного времени релак сации импульса приобретает следующий вид:

1 |Cq |2 ( q)2 Nq fk (1 fk ) (k k+q + q ).

= (5.89) 3 mn kq Рассмотренный нами пример вычисления электропроводности показывает, что в тех случаях, когда может быть применено кинетическое уравнение, ре зультаты этого подхода и результаты, полученные методом теории линейной ре акции на внешнее возмущение, совпадают. Однако метод Кубо обладает боль шей общностью, поскольку формальные выражения для кинетических коэффи циентов сохраняют свой смысл и области квантующих магнитных полей, где применение кинетического уравнения становится весьма проблематичным.

Имеется также ряд задач, которые не представлялось возможным рассмотреть в рамках кинетического уравнения, в то время как теория линейной реакции Кубо дает хорошие результаты. Пример такой задачи будет рассмотрен ниже.

5.7 Высокочастотная магнитная восприимчи вость Рассмотрим систему электронов, помещенных во внешнее магнитное поле H = (0, 0, H). Амплитуда поля считается достаточно слабой, так что квантова ния орбитального движения не происходит. Пусть кроме постоянного магнитно го поля на изучаемую нами систему действует еще и внешнее радиочастотное поле h, поляризованное в плоскости, перпендикулярной оси z. Гамильтониан интересующей нас системы может быть представлен в виде H(t) = Ho + Hf (t), Ho = He + Hs + HL + HeL, (5.90) где p Hs = g µb S z H;

He = ;

Hf (t) = g µb S h(t);

2m S= Si ;

p= pi, i i µb, g- магнетон Бора и фактор спектроскопического расщепления для электро нов;

HL, HeL - гамильтониан рассеивателей и взаимодействия электронов с рас сеивателями, явный вид которых мы пока не конкретизируем.

Согласно теории линейного отклика на внешнее воздействие для проекции среднего магнитного момента электронов M t m(t) имеем o gµb i dt1 e(i)t1 Sp S i eit1 L o, S j hj ().

m () = (5.91) i Применяя к формуле (5.91) тождество Кубо 1 [o, S i ] = d S i (i ) o, (5.92) i o и вводя обозначения (A, B) = d Sp (A B(i ) o ), (5.93) o получаем для проекции среднего момента электронов следующее выражение:

o mi () = (gµb )2 dt1 e(i)t1 d S i, S j (t1 ) hj () o S j = [S j, H]. (5.94) i Уравнение (5.94) определяет тензор магнитной восприимчивости электронного газа, (m = h(t)). Для поперечных компонент тензора восприимчивости, записанных через круговые переменные, имеем o (gµb )2 dt1 e(i)t1 S +, S (t1 ).

+ () = (5.95) Итак, компонеты тензора парамагнитной восприимчивости () выража ются через корреляционную функцию.

Вычисление поперечных компонент тензора парамагнитной восприимчиво сти, как и в случае электропроводности, удобно проводить с привлечением аппа рата функций Грина. Введем в рассмотрение изотермическую функцию Грина G+ (t1 ) = (t1 ) e t1 S +, S (t1 ). (5.96) Принимая во внимание уравнения движения gµb H S = is S + SL, s = SL = [S, HeL ], i запишем выражение для парамагнитной восприимчивости в виде (gµb ) [G1 () + is G+ () ], + () = (5.97) + где G1 () = dt1 ei t1 G1 (t1 ), + + dt1 ei t1 G+ (t1 ), G+ () = G1 (t) = (t1 )e t1 (S +, SL (t1 ) ). (5.98) + Процедура вычисления тензора восприимчивости аналогична той, которая бы ла рассмотрена нами при вычислении тензора электропроводности. Составим цепочку уравнений для функции Грина G+ (t1 ) и переходя затем к частотному представлению, получим i( s + i )G+ () = (S +, S ) + G1 (), + + i( s + i )G () = (S, S ) G2 (), + + L.........

.........

+ G2 () dt1 e(i) t1 ( SL, SL (t1 ) ).

= (5.99) + Вводя массовый оператор M+ () для функции Грина G+ (), имеем (S +, S ) G+ () =, i( s + i ) M+ () (S +, S )M+ () G1 () =. (5.100) + i( s + i ) M+ () Разложение массового оператора по степеням взаимодействия определяется при этом следующим выражением:

G2 () (S +, SL ) + M+ () = + + + ···. (5.101) (S +, S ) (S, S ) В борновском приближении по рассеянию в выражении для массового опера тора (5.101) достаточно удержать только два первых члена.

Окончательное выражение для поперечных компонент парамагнитной вос приимчивости найдем, подставив выражения (5.101),(5.100) в определение (5.97).

(gµb )2 (S +, S ) [is + M+ ()] + () =. (5.102) 2 i(s i) + M+ () Для интерпретации физического смысла выражения (5.102) запишем формулу для парамагнитной восприимчивости, которая следует из феноменологических уравнений движения магнитного момента, предложенных Блохом (1945).

o (is + T2 ) + () = 1, (5.103) i(s + T2 ) где T2 - время релаксации поперечных компонент спиновой намагниченности, o - статическая восприимчивость.

Сравнение формул (5.102), (5.103) показывает, что выражение (5.102) име ет такую же структуру, если считать, что роль статической восприимчивости играет величина (gµb )2 + (S, S ) = o, а роль обратного времени релаксации, зависящего от частоты, выполняет ре альная часть массового оператора 2 () = Re M+ ().

Мнимая часть массового оператора описывает при этом сдвиг частоты зеема новской прецессии электронов s ():

s () = Im M+ ().

Заметим, в пределе 0 магнитная восприимчивость, определяемая вы ражениями (5.102),(5.103) переходит в статическую восприимчивость o.

Итак, релаксация магнитного момента системы m+, определяемая выраже нием (5.102), происходит к равновесному значению магнитного момента o h+ в переменном магнитном поле.

Иной подход рассмотрения парамагнитной восприимчивости основан на вве дении коммутаторных функций Грина (Кубо 1957). Действительно, исходя из общего выражения для линейного отклика (5.91) можно записать коммутатор ную функцию Грина G+ (t1 ) = (t1 ) e t1 Sp (S +, eiLt1 [o, S ]). (5.104) i Фурье-трансформа коммутаторной функции Грина также определяет компо ненты магнитной восприимчивости (gµb ) + () = G+ (). (5.105) Вполне резонным становится вопрос - будут ли конечные результаты вычисле ний одинаковыми и, если нет, то какой из рассмотренных вариантов описания магнитной восприимчивости является корректным.

Очевидно, что точный результат не должен зависеть от вида функции Гри на. Ответ на поставленный вопрос, по-видимому, должен быть отрицательным, поскольку приближенные вычисления функции Грина приведут, скорее всего, к различным результатам для парамагнитной восприимчивости.

Для получения ответа, рассмотрим подробнее процедуру вычисления вос приимчивости с использованием коммутаторной функции Грина. Составляя аналогичным образом цепочку уравнений движения для коммутаторных функ ций Грина в частотном представлении, имеем S z +G1 (), i( s + i )G+ () = + i 1 i( s + i )G1 () = [SL, S + ] G2 (), + + i · · · = Sp (· · · o ). (5.106) Здесь o G1 () dt1 e(i)t1 [SL (t1 ), S + ], = + i o 1 + G2 () dt1 e(i)t = [SL, SL ]. (5.107) + i Вводя массовый оператор M+ () для функции Грина G+ (), получаем 2 Sz G+ () =, (5.108) i i( s + i ) M+ () где G2 () [SL, S + ] + M+ () = +i. (5.109) 2 Sz 2 Sz Подставляя выражение (5.108) в формулу (5.105), для поперечных компонент магнитной восприимчивости находим i (gµb )2 Sz + () =. (5.110) i( s i ) M+ () Рассмотрим предельный переход в область малых частот 0, который следует из формулы (5.110). Так как в нулевом порядке по взаимодействию s + S z = (S, S ), (5.111) то видно, что при 0 восприимчивость (5.110) не переходит в статическую восприимчивость o.

Восприимчивость, определяемая выражением (5.110) соответствует релакса ции магнитного момента к нулевому значению поперечных компонент магнит ного момента. По этой причине результат, который следует из коммутаторных функций Грина, справедлив только в случае высоких частот s 2, ко гда магнитный момент не успевает следовать за полем, и можно полагать, что релаксация магнитного момента происходит к нулевому значению магнитного момента.

Глава Метод неравновесного статистического оператора До сих пор мы рассматривали неравновесные процессы, которые можно было представить как реакцию системы на внешнее механическое возмущение.

Однако существует достаточно широкий класс необратимых процессов, описа ние которых невозможно в рассмотренной нами схеме. К таким необратимым процессам в первую очередь стоит отнести те, которые происходят вследствие термических возмущений (т.е. вызванных внутренними неоднородностями в си стеме, например, теплопроводность, вязкость, процессы диффузии и т.д.). Кро ме того, разделение возмущений на механические и термические имеет смысл только в линейном приближении, поскольку в высших приближениях механиче ские возмущения также приводят к различным неоднородностям в распределе нии энергии и импульса, что приводит к образованию термических возмущений.

Проблема описания возмущений такого вида в рамках статистической тер модинамики неравновесных процессов представляет собой достаточно трудную задачу. Существует несколько различных подходов к решению поставленной задачи. Подробный анализ различных методов можно найти в книге Зубаре ва Д.Н. [5]. Здесь же мы рассмотрим один из методов - метод неравновесного статистического оператора (НСО), предложенный Зубаревым Д. Н., который успешно применяется к различным задачам необратимых процессов в физике твердого тела: теории ядерной спиновой диффузии, ядерного магнитного резо нанса, динамической поляризации ядер, теории спин-решеточной релаксации в полупроводниках и т.д.

Метод неравновесного статистического оператора основан на построении локальных интегралов движения и в значительной мере использует идею Бого любова Н.Н. о сокращении числа параметров, необходимых для описания состо яния системы в процессе ее эволюции. Действительно, такое описание становит ся возможным если рассматривать ее поведение на не слишком малых масшта бах времени, когда становятся несущественными детали начального состояния системы. По своей общности метод НСО сравним с кинетическим уравнением.

Здесь мы рассмотрим построение НСО для неравновесных процессов, ис ходя из общих принципов, рассмотрим вывод обобщенных кинетических урав нений, проанализируем граничные условия, которым удовлетворяют уравнения движения и т.д.

6.1 Неравновесный и квазиравновесный стати стические операторы Эволюцию во времени неравновесного состояния макроскопической си стемы можно описать с помощью неравновесного статистического оператора (t, 0), удовлетворяющего уравнению Лиувилля :

1 ( + iL)(t, t1 ) = 0, iLA = [A, H] A. (6.1) t i В уравнении (6.1) величина (t, t1 ) имеет два временных аргумента. Первый временной аргумент описывает зависимость статистического оператора от вре мени t, связанную с явной зависимостью параметров от времени t. Например, это может быть зависимость температуры, дрейфовой скорости и т.д. от вре мени. Зависимость от времени t1 -это обычная гайзенберговская зависимость оператора от времени, при этом, в силу того что (t) является интегралом дви жения, (t, t) = exp iLt (t, 0) = (0, 0). (6.2) В этих обозначениях уравнение Лиувилля может быть записано также в виде d(t, t) = 0. (6.3) dt Если в начальный момент времени t0 статистический оператор известен и равен (t0, 0), то решение задачи Коши для НСО определяется выражением (t, 0) = exp{iL(t t0 } (t0, 0), (6.4) а временная зависимость средних для оператора некоторой физической вели чины A может быть записана в виде A t = Sp{A(t, 0)} = Sp{(t0, 0) exp{iL(t t0 }A}. (6.5) При написании последнего соотношения мы воспользовались циклической пе рестановочностью операторов под знаком шпура и выражением для оператора гайзенберговской эволюции. Приведенные выше соотношения относятся к част ному случаю систем, гамильтониан которых не зависит от времени.

Формулы (6.3)-(6.5) соответствуют точному динамическому описанию си стемы. Допустим, что, начиная с некоторого момента времени, которое поряд ка времени "размешивания"в системе, измеримыми величинами для исследуе мой системы будут средние значения Pn t некоторой совокупности операторов Pn. Можно предполагать, что при t в системе исчезнет память о началь ном распределении (t0, 0), и эволюция системы будет определяться только ее общими статистическими свойствами.

Очевидно, что в этом случае для рассмотрения достаточно далекой асимп тотики t можно вообще не рассматривать те корреляции, которые распа даются за время t. Именно эта идея лежит в основе метода НСО. Если ее принять, то истинное начальное условие для уравнения Лиувилля lim (t) = (t0 ) tt можно заменить идеализированным условием, состоящим в том, что и в началь ный момент времени НСО считается функционалом только от тех же перемен ных Pn t, которые оказываются долгоживущими или измеримыми на време нах t. Поэтому, как следует из решения уравнения Лиувилля, (t, 0) будет функционалом от Pn t и во все последующие моменты времени.

Рассмотрим теперь другое положение метода НСО. Пусть мы имеем си стему, состояние которой на интересующем нас этапе эволюции описывается на бором средних (измеримых) величин Pn t. Наряду с неравновесным статисти ческим оператором (t, 0) введем квазиравновесный статистический оператор q (t, 0), эквивалентный НСО в том смысле, что средние значения операторов Pn равны между собой во все моменты времени:

t Pn = Sp{Pn (t, 0)} = Sp{Pn q (t, 0)} (6.6) -для равновесного и квазиравновесного распределений. Условие (6.6) являет ся новым предположением. Физический смысл этого условия мы рассмотрим.

Однако отметим, что условие (6.6) позволяет построить термодинамику нерав новесной системы.

Полагая, что такое распределение ввести можно и что это распределение будет некоторым функционалом от средних значений наблюдаемых величин Pn t, будем считать, что распределение q (t, 0) является функционалом от на блюдаемых средних Pn t, взятых в один и тот же момент времени t. Считая, что q (t, 0) зависит от времени только через зависимость средних Pn t от вре мени, получаем q (t, 0) q (t, 0) Pn t.

= (6.7) Pn t t t n Уравнение (6.7) позволяет дать еще одну интерпретацию операторов Pn. Опе раторы Pn являются базисными операторами в гильбертовом пространстве.

Эволюция во времени любого оператора может быть выражена через эволю цию совокупности базисных операторов. Из уравнения (6.7) следует, что квази равновесное распределение не удовлетворяет уравнению Лиувилля. Выражение для производной по времени для величин Pn t можно получить, если восполь зоваться уравнением (6.6). Дифференцируя это уравнение по времени с учетом уравнения Лиувилля, получаем t Pn = Pn t. (6.8) t При выводе последнего выражения мы воспользовались определением операто ра Лиувилля и учли, что Sp{Pn iL(t, 0)} = Sp{Pn (t, 0)} = Pn t. (6.9) Уравнение (6.8) можно рассматривать как обобщенное кинетическое урав нение.

Вычислим энтропию системы, предполагая, что квазиравновесный ан самбль систем удалось приготовить. Определим энтропию квазиравновесной системы выражением:

S(t) = Sp{q (t, 0) ln q (t, 0)}, (6.10) а величину S(t) = ln q (t, 0) (6.11) будем называть оператором энтропии.

Найдем производство энтропии в системе. Термин “производство энтро пии ”заимствован из феноменологической термодинамики необратимых процес сов и означает просто производную по времени от среднего значения энтропии системы. Для равновесных систем производство энтропии равно нулю, а для неравновесной - положительно. Дифференцируя уравнение (6.10) по времени, получаем S(t) = Sp{(t, 0) ln q (t, 0)} = Sp{S(t, 0)(t, 0)}, (6.12) t S(t, 0) = ( + iL)S(t, 0). (6.13) t Величину S(t, 0) будем называть оператором производства энтропии.

Поскольку S(t) также является функционалом от Pn t, то, используя выра жение (6.8), получаем S(t) S(t) t = Pn. (6.14) Pn t t n Вводя обозначение S(t) Fn (t), (6.15) Pn t для производства энтропии мы получаем простое уравнение S(t) Fn (t) Pn t.

= (6.16) t n Уравнение (6.16) совпадает по форме с производством энтропии, которое имеет место в феноменологической неравновесной термодинамике Онсагера. Знак в формуле (6.16) означает функциональную производную.

Согласно Онсагеру, производство энтропии в системе равно сумме произ ведений обобщенной термодинамической силы на сопряженный термодинами ческий поток. Выражение (6.16) как раз имеет такую структуру и позволяет интерпретировать величины:

Fn (t) как обобщенную термодинамическую силу, а Pn t как обобщенный термодинамический поток.

6.2 Экстремальные свойства квазиравновесного распределения Представляет интерес определить явный вид квазиравновесного распре деления. Поскольку определение q (t) может быть неоднозначным, то пока к этому распределению предъявляется одно требование оно должно быть функ ционалом от Pn t. Выражение (6.10), задающее связь квазиравновесного рас пределения с энтропией, позволяет однозначным образом определить q (t).

Потребуем, чтобы q (t) удовлетворял максимуму информационной энтро пии S(t) = Sp{q (t, 0) ln q (t, 0)} при дополнительных условиях:

а) как бы ни варьировалось распределение, наблюдаемые средние значения базисных операторов должны оставаться неизменными, т.е.

Sp{Pn q (t, 0)} = Pn t ;

(6.17) б) при вариации распределения должно сохраняться условие нормировки SP{q (t, 0)} = 1. (6.18) Условия экстремальности выражения (6.10) совместно с ограничениями (6.18), (6.19), накладываемыми на возможные вариации q (t, 0), ставят зада чу на условный экстремум функционала S(t).

С помощью введения лагранжевых множителей задача на условный экс тремум функционала S(t) может быть сведена к задаче на безусловный экстре мум некоторого другого функционала (q (t)):

= Sp{q ln q } + Fn (t)Sp{q Pn } + ((t) 1)Sp{q }. (6.19) n Здесь Fn (t) и ((t) 1)лагранжевы множители.

Вычисляя вариацию по q левой и правой частей выражения, получаем = Sp{[ln q + Fn (t)Pn + (t)]q }. (6.20) n Из условия экстремальности следует, что = 0. Поэтому, учитывая, что ве личина q является произвольной, а шпур в правой части формулы (6.20) все равно должен быть равен нулю, имеем ln q + Fn (t)Pn + (t) = 0. (6.21) n Из этого выражения уже легко получить окончательное выражение для квази равновесного статистического оператора:

q (t) = exp {(t) + Fn (t)Pn }. (6.22) n В выражении (6.22) лагранжевы множители еще не определены, и для их на хождения необходимо использовать уравнения (6.18), (6.19). Для того чтобы лучше понять смысл параметров, входящих в определение (6.22), сравним его с каноническим распределением Гиббса 0 = exp {(H N )}. (6.23) Z В этом выражении Zстатистическая сумма;

химический потенциал систе мы;

H и N операторы Гамильтона и числа частиц;

обратная температура в энергетических единицах.

Из сравнений формул следует, что равновесное распределение - это рас пределение с заданным значением энергии и числа частиц. Величина (t) в выражении (6.22) носит название функционала Масье-Планка, и как и стати стическая сумма Z, определяется условием нормировки (t) = ln Sp{exp{ Pn Fn (t)}}. (6.24) n Выбор параметров Pn и функций Fn (t) зависит от конкретной задачи.

Например, прие гидродинамическом режиме, когда измеримыми величи нами являются энергия системы, дрейфовый импульс и число частиц, набор операторов Pn есть Pn (H, mV, N ), а сопряженные им термодинамические функции Fn (t) ( (t), (t)mV (t), (t)(t).

(P оператор суммарного импульса частиц системы;

V их дрейфовая скорость;

mмасса).

6.3 Термодинамика квазиравновесного распреде ления Используя определения (6.10) и (6.22), запишем выражение для энтропии системы Pn t Fn (t).

S(t) = (t) + (6.25) n Это уравнение можно рассматривать как преобразование Лежандра, перехо да от одного термодинамического потенциала к другому (от (t) к S(t) ) для неравновесной системы. Это становится совершенно очевидным, если произве сти вариацию функционала МасьеПланка (6.24):

(t) = ln Sp{exp{ Pn Fn (t)}} = n Pn Fn (t)}}] = [Sp{exp{ Sp{Pm Fm (t) n m Pm t Fm (t).

exp{ Pn Fn (t)}} = (6.26) n m Последнее выражение в правой части формулы (6.26) записано с учетом со отношений (6.6), (6.22), (6.24). Используя определение энтропии и явный вид квазиравновесного распределения, получаем ( Pn t Fn (t) + Pn t Fn (t)).

S(t) = (t) + (6.27) n Подставляя в эту формулу значение (t), которое следует из выражения (6.26), получаем Fn (t) Pn t.

S(t) = (6.28) n Данные соотношения можно интерпретировать следующим образом: при за писи энтропии роль независимых переменных играют величины Pn t, а при записи функционала МасьеПланка величины Fn (t).

Эти результаты позволяют обобщить соотношения Гиббса-Гельмгольца на случай неравновесной термодинамики. Вычисляя функциональную произ водную от функционала Масье-Планка и используя уравнение (6.26), имеем (t) t Pm =. (6.29) Fm (t) Подставляя этот результат в выражение для энтропии, получаем обобщение соотношений Гиббса-Гельмгольца на случай неравновесной термодинамики:

(t) S(t) = (t) Fm (t). (6.30) Fm (t) m Эта формула выражает энтропию системы через функционал Масье-Планка.

Можно получить и обратное соотношение. Так, из выражения для вариации энтропии получаем S(t) Fn (t) =. (6.31) Pn t Тогда формула для энтропии вновь дает S(t) Pn t.

(t) = S(t) (6.32) Pn t m Отличие этих соотношений от их равновесных аналогов сводится только к за мене частных производных на функциональные.

Для того чтобы прояснить смысл квазиравновесного распределения q (t), очень важно выяснить, можно ли использовать его для описания неравновесных процессов? Попробуем ответить на этот вопрос. Для этого вычислим производ ство энтропии в квазиравновесном состоянии. Усредняя оператор производства энтропии (6.14) по квазиравновесному распределению, получаем t S(t) = Sp{q (t)((t) + Pn Fn (t) + Pn F, (t))}. (6.33) q n n Учитывая соотношение (6.26), имеем Pm t Fm (t).

(t) = n Подставляя этот результат в выражение (6.33), находим t [(Pn Pn t )Fn (t) + Pn Fn (t)]} = S(t) = Sp{q (t) q n (Sp{q (t)Pn } Pn t )Fn (t) + Sp{q (t)iLS(t)} = 0.

= (6.34) n При выводе последнего соотношения мы учли, что q (t) и оператор энтропии коммутируют между собой, и поэтому S(t) Sp{q (t)iL S(t)} = 0.

Итак, мы получили что производство энтропии в квазиравновесном со стоянии равно нулю. Но это означает, что в квазиравновесном состоянии отсутствуют потоки. Следовательно, это распределение не может описать неравновесное состояние системы.

Можно полагать, что квазиравновесное распределение характеризует ан самбль, в котором имеющиеся термодинамические силы как бы скомпенсирова ны некими причинами и поэтому термодинамические потоки не развиваются.

Очевидно, что квазиравновесное распределение описывает только что сформи рованный неравновесный ансамбль частиц, эволюция которого только начина ется. Поэтому квазиравновесное распределение можно использовать в качестве начального условия для истинного неравновесного распределения, что мы и предполагаем сделать в дальнейшем.

Завершая этот раздел, найдем связь между вторыми функциональными производными от потенциалов S(t) и (t) и корреляционными функциями по квазиравновесному состоянию:

Pm t 2 (t) = = Fn (t) Fn (t)Fm (t) = Sp{Pm exp {(t) + Pk Fk (t)}}. (6.35) Fn (t) k Для нахождения функциональных производных воспользуемся правилом дифференцирования операторной экспоненты exp A() по параметру, соглас но которому d A() dA eA eA eA d.

e = (6.36) d d Пользуясь выражением (6.36), найдем функциональную производную:

exp( Pk Fk (t)) = Fn (t) k = exp[ Pk Fk (t) ]Pn exp[ Pk Fk (t)( 1)] d. (6.37) 0 k k Действуя далее аналогично, с учетом того, что Pk Fk (t))}]1, exp((t)) = [Sp{exp( k получаем Sp (Pn exp( k Pk Fk (t)) ) exp((t)) =. (6.38) [Sp (exp( k Pk Fk (t)) )] Fn (t) Суммируя последние результаты, получаем выражение для функциональ ной производной среднего значения базисного оператора:

Sp{Pm q (t)} = Fn (t) t Pm t d Sp{Pm q (t) Pn q (t)1 }.

= Pn (6.39) Наконец, определяя скалярное двух операторов соотношением (Pn, Pm )t d Sp{(Pm Pm t )q (t) (Pn Pn t )q (t)1 }, = (6.40) q получаем Pm tq = (Pm, Pn )t. (6.41) q Fn (t) Подведем некоторые итоги.

Исходя из принципа экстремальности информационной энтропии постро ено выражение для квазиравновесного статистического оператора (6.22).

Смысл этого распределения состоит в том, что оно описывает только что приготовленный ансамбль неравновесных систем, в котором еще не началась эволюция и не развились потоки. Ключевым для понимания метода НСО яв ляется соотношение (6.6), устанавливающее равенство средних значений ба зисных операторов Pn, вычисленных с использованием неравновесного и квази равновесного распределений.

Истолковать это соотношение можно следующим образом. К тому момен ту, когда сформировался квазиравновесный ансамбль, единственным набором величин, измеримых в неравновесной системе, уже являлсяся набор переменных Pn. В дальнейшем эволюция происходит так, что новых медленно меняющихся динамических переменных не появляется, и средние значения Pn t операторов Pn медленно эволюционируют благодаря зависимости от времени сопряженных термодинамических сил Fn (t), которые формируются в ходе реальной эволюции системы.

Полученные результаты позволяют построить термодинамику неравновес ной системы. Однако до сих пор нам не известен явный вид квазиравновесного распределения, поэтому мы должны сформулировать уравнение движения для НСО. Это позволит восстановить явный вид квазиравновесного распределения и развить термодинамику неравновесной системы.

6.4 Уравнение Лиувилля для НСО Рассмотрим неравновесную систему, состояние которой на достаточно больших временах описывается набором макроскопических переменных Pn t.

Это означает, что только эти величины являются измеримыми в этой системе.

В качестве набора таких величин Pn выступают гидродинамические квазиинте гралы движения: энергия, дрейфовый импульс, число частиц и т.д. Однако это могут быть и более мелкоструктурные переменные, например числа заполнения квантовых состояний.

Итак, будем считать, что в момент времени t0 приготовлен квазиравновес ный ансамбль систем, описываемый квазиравновесным распределением q (t) Наша задача заключается в формулировании начального условия для неравновесного статистического оператора (t). Будем предполагать, что в мо мент времени t0 равновесный и квазиравновесный статистический операторы совпадают (граничное условие):

q (t0 ) = o (to ).

Очевидно, что такое допущение является весьма идеализированным, посколь ку мы заведомо не принимаем во внмиание те корреляции, которые распадают ся на малых временах.

Очевидно, что если НСО является интегралом точного уравнения Лиувил ля, то в результате эволюции по фазовой траектории неравновесной системы от момента времени t до момента t + t1 оператор (t, o) примет вид (t + t1, t1 ) = eit1 L (t + t1, o).

При этом очевидно, что (t + t1, t1 ) = (t, o).

Сформулируем условие, позволяющее записать неравновесный статистиче ский оператор в виде некоторого функционала от квазиравновесного распреде ления. Мы уже отмечали, что квазиравновесный статистический оператор q (t) не удовлетворяет уравнению Лиувилля и под действием оператора эволюции будет трансформироваться, в отличие от неравновесного распределения (t), которое является интегралом движения.

Итак, будем считать, что если приготовить квазиравновесное распределе ние, а затем предоставить системе возможность эволюционировать, то квазирав новесное распределение q (t) через некоторое время, порядка времени размеши вания, трансформируется в неравновесное распределение (t), которое является интегралом движения:

q (t) (t).

Это условие и сформулированное выше граничное условие для НСО можно представить в виде (t1 ) eit1 L q (t + t1, 0) eit1 L (t + t1, 0) = (t + t1, t1 ).

(6.42) Очевидно, что уравнение (6.42) не только позволяет выразить НСО (t) через квазиравновесное распределение q (t), но и вносит необратимость в поведение величины (t). Действительно, при t1 к + теория описывет не возрастание, а убывавние энтропии в системе.

Воспользуемся теоремой Абеля, согласно которой, если для функции вре мени f (t) существует предел lim f (t), то t et f (t)dt.

lim f (t) = lim (6.43) t Перепишем уравнение (6.42) в следующем виде:

0 t et1 (t + t1, t1 )dt1.

lim e q (t + t1, t1 )dt1, = lim (6.44) 0 Формула (6.44) утверждает, что сглаженные (усредненные) по достаточно боль шому промежутку времени статистические операторы (t + t1, t1 ) и q (t + t1, t1 ) равны между собой.

Сглаживание, определяемое формулой (6.44), называют взятием инвари антной части. Так как, (t + t1, t1 ) = (t), поэтому et1 (t + t1, t1 )dt1 = (t).

lim (6.45) Из уравнений (6.44), (6.45) следует, что в ходе эволюции квазиравновесное рас пределение трансформируется в неравновесное распределение. Именно в этом и состоит физический смысл уравнения (6.44).

Интегрируя правую часть уравнения (6.44) по частям, получаем o dt1 et1 eiLt1 q (t + t1, 0) = = (t, 0) lim et1 (t + t1, t1 ) t dt1 et1 eiLt + iL (t + t1, 0).

t Очевидно, что если (t, 0) является интегралом движения, то последний инте грал в формуле (6.46) обращается в нуль. Потребуем, чтобы этот интеграл был равен нулю всегда. Ниже мы покажем, что (t, 0) не является интегралом урав нения Лиувилля в строгом смысле этого слова, но то выражение для (t, 0), которое мы получим, обеспечивает равенство нулю интеграла dt1 et1 eiLt1 + iL (t + t1, 0) = 0. (6.46) t Далее, lim et1 (t + t1, t1 ) = 0, t поскольку величина в этой формуле является конечной и должна стремиться к нулю после выполнения термодинамического предела и вычисления средних.

Выражение (6.46) по существу является определением неравновесного ста тистического оператора:

dt1 et1 eiLt1 q (t + t1, 0).

(t, 0) = (6.47) Итак, согласно (6.47), неравновесный статистический оператор есть квази инвариантная часть квазиравновесного оператора Найдем теперь уравнение движения, которому удовлетворяет НСО (6.47).

Для этого продифференцируем уравнение (6.47) по времени t:

(t) d dt1 et1 eiLt1 q (t + t1, 0) = = (6.48) t dt = et1 eiLt1 q(t + t1, 0) |0 (t, 0) iL(t).

Принимая во внимание, что при et1 0, t получаем уравнение Лиувилля, содержащее бесконечно малый источник в пра вой части:

(t, 0) + iL(t, 0) = ((t, 0) q (t, 0)). (6.49) t Мы получили важный результат, согласно которому НСО удовлетворяет не точному уравнению Лиувилля, а уравнению Лиувилля с бесконечно малым источником в правой части. Такая структура уравнения возникает во всех разновидностях метода НСО.

Бесконечно малый источник удовлетворяет следующим требованиям:

1. Он нарушает инвариантность уравнения Лиувилля относительно отраже ния времени.

2. Источник отбирает запаздывающие решения уравнения Лиувилля. Это условие фактически определяет знак ;

( 0). При этом НСО описывает эволюцию неравновесной системы из бесконечно удаленного прошлого в направлении возрастания времени.

3. Источник обращается в нуль при = q. В случае статистического рав новесия источник равен нулю.

Смысл бесконечно малых источников в правой части уравнения движе ния НСО (6.49) следующий. Известно, что уравнение Лиувилля является об ратимым во времени уравнением. Однако в реальных системах имеется спон танное нарушение симметрии динамических уравнений относительно операции обращения времени. Таким образом, в исправленных с учетом второго зако на термодинамики динамических уравнениях должно быть снято вырождение состояний, связанное с симметрией относительно операции обращения времени.

Более последовательно можно интерпретировать возникновение источни ков в правой части уравнения в духе идеологии квазисредних Н.Н. Боголюбова, суть которой состоит в том, что вырождение состояний может существенным образом сказаться на вычислении средних. Поэтому, если состояние системы вырождено, то необходимо ввести некий дополнительный член в гамильтониан системы, заменив, например, (H H + V ), где параметр, который после вычисления средних необходимо устремить к нулю, а V некоторый оператор, снимающий вырождение системы. Средние, в которых после их вычисления па раметр, снимающий вырождение системы, необходимо устремлять к нулю Н.Н.

Боголюбов назвал квазисредними.

Очевидно, что с этих позиций все средние, которые вычисляются при использовании метода НСО, являются квазисредними, а член с источником ((t, 0)q (t, 0)), снимающий вырождение уравнения Лиувилля относительно операции обращения времени, идеализированным образом учитывает контакт системы с термостатом, приводящим к релаксации неравновесного распределе ния, если систему предоставить самой себе. Очевидно, что в этом случае величи ну можно интерпретировать как обратное время релаксации неравновесного распределения к квазиравновесному.

6.5 Линейные релаксационные уравнения в ме тоде НСО Построение линейных релаксационных уравнений с использованием мето да оператора НСО начнем с рассмотрения случая, когда слабонеравновесное состояние системы можно описать в рамках набора средних значений опера торов Pn или соответствующего набора сопряженных термодинамических сил Fn (t), которые позволяют полностью охарактеризовать рассматриваемую нами систему.

Рассмотрим построение линейных релаксационных уравнений относитель но величин t = Pn t Pn t, Pn o где Pn t = Sp (Pn o );

o равновесное распределение Гиббса.

o Очевидно, что для их построения необходимо получить линейные разложе ния статистических операторов q (t, 0), (t, 0).

Начнем с явного выражения для НСО o dt1 et1 q (t + t1, t1 ).

(t, 0) =q (t, 0) = (6.50) Интегрируя это соотношение по частям, получаем (t, 0) = q (t, 0) + o dt1 et1 d e S(t+t1,t1 ) S(t + t1, t1 ) e( 1)S(t+t1,t1 ).

+ (6.51) o При выводе данного выражения мы приняли во внимание явное выражение для квазиравновесного распределения q (t) = exp (S(t, 0)), где S = ln q (t, 0) оператор энтропии, а также воспользовались правилом дифференцирования операторной экспоненты S(t,0) d e S(t,0) S(t, 0) e( 1)S(t,0) e = (6.52) t t o и тождеством S(t,0) d e S(t,o) (iLS(t, 0)) e( 1)S(t,0).

iLe = (6.53) o Как мы уже отмечали выше, имеется два сопряженных набора величин Pn, Fn (t), поэтому и уравнения движения, которые описывают эволюцию неравновесной системы, можно сформулировать как в терминах макроскопиче ских переменных Pn, так и в терминах Fn (t).

Усредняя по НСО операторные уравнения движения, получим кинетиче ские уравнения d Pn = Pn = iLPn, dt Pn q = Sp (Pn q (t, 0)) = Sp (Pn (t, 0)). (6.54) Используя далее термодинамические равенства (t) S(t) Pn q =, Fn (t) =, (6.55) Fn (t) Pn q получаем Pn Pn = Fm (t) = t Fm (t) m 2 (t) = Fm (t). (6.56) Fn (t)Fm (t) m Таким образом, для обобщенных кинетических уравнений мы получаем две эквивалентные формы записи 2 (t) Fm (t) = Pn, Fm (t)Fm (t) m 2 S(t) Fn (t) = Pm. (6.57) P n Pm m Эквивалентность этих форм записи непосредственно следует из соотношения ортогональности 2 (t) 2 S(t) = mn. (6.58) Fm (t)Fm (t) Pm q Pn q m Уравнения (6.57) носят название обобщенных кинетических уравнений. В это понятие включаются всевозможные уравнения баланса теории необратимых процессов, таких как уравнения баланса энергии, числа частиц, импульса и т.д.


Введем обозначения A = A A q.

Принимая во внимание, что iL Pn Fn (t) q = Pn q Fn (t) = n n = Sp ( [S(t, 0), H] eS(t,0) ) = 0, (6.59) i представим оператор производства энтропии S(t, 0) в следующем виде:

S(t, 0) = Pn Fn (t) + (Pn Pn )Fn (t) = n = ( Pn Fn (t) + Pn Fn (t) ) = n 2 S(t) = ( Pn Fn (t) + Pn Pm ). (6.60) Pn P m n m Используя выражение для оператора производства энтропии и явное выраже ние для НСО, можно записать уравнения движения в следующем виде:

2 (t) Fm (t) = Pn t + Pn q Fn (t)Fm (t) m o dt1 et1 Sp ( Pn e S(t+t1,t1 ) (Pm (t1 ) Fm (t + t1 ) + + d m o (Pm (t1 ) Pm t+t1 ) + k S(t + t1 ) Pk t+t1 ) e( 1)S(t+t1,t1 ) ).

(6.61) Pm t+t1 Pk t+t Заметим, что уравнение (6.61) является точным в рамках принятого сокра щенного описания неравновесной системы. Упрощение данного уравнения воз можно при наличии малого параметра в неравновесной системе. Ниже мы рас смотрим два характерных примера.

6.5.1 Малое отклонение системы от равновесного состоя ния В качестве первого примера рассмотрим случай, когда система слабо от клоняется от равновесного распределения Гиббса o = exp(So (0, 0)). В этом случае S(t, 0) = So (0, 0) + S(t, 0), S(t, 0) = (t) + Fn (t)Pn = (Pn Pn )Fn (t). (6.62) n n Здесь o So (0, 0) = o + Pn Fn, (6.63) n o где Fn, Pn o = Sp (Pn o )-равновесные значения термодинамических сил и координат соответственно.

Оператор производства энтропии в этом случае равен S(t, 0) = ( Pn Fn (t) + (Pn Pn ) Fn (t)). (6.64) n Рассматривая линейное отклонение системы от равновесия, в уравнениях ба ланса удержим только линейные по Fn (t), Pn = Pn Pn o члены:

S(t, 0) = (Pn Pn o )Fn (t)), n S(t, 0) = (Pn Fn (t) + (Pn Pn o n 2 S(t) ( )|(F (t)=Fo ) Pk ). (6.65) Pn P k t k Что касается НСО, то в линейном приближении по отклонению системы от равновесия он может быть представлен в следующем виде:

(t, 0) = o d Pn (i ) Fn (t) o + n o o t d ei(t1 +i )L + dt1 e ( Pn Fn (T ) + n o S(T ) + Pn ( )|(F (T )=Fo ) Sp (Pk, (T, 0) o ));

(6.66) Pn P k k P (i ) = e L T = t + t1 ;

A = A A o ;

Pn.

Если ввести корреляционные функции (A;

B)o = Sp (A B(i ) o ), o то обобщенные кинетические уравнения можно в линейном приближении пред ставить в следующем виде:

Pn = (Pn ;

Pm )o Fn (t) = t n = Pn o (Pn ;

Pm )o Fm (t) + m o dt1 et + ( (Pn ;

Pm (t1 ))o Fm (t + t1 ) + m +(Pn ;

Pm (t1 ))o Fm (t + t1 ) ). (6.67) Как нетрудно заметить, в этом уравнении кинетические коэффициенты выра жены только через равновесные корреляционные функции.

6.5.2 Слабое взаимодействие между подсистемами В качестве второго примера рассмотрим случай, когда между изучаемы ми подсистемами имеется слабое взаимодействие. Пусть гамильтониан системы имеет следующий вид:

H + Ho + V, L + Lo + Lv, где Ho можно рассматривать как гамильтониан основного состояния, а V как малое возмущение. Ограничимся рассмотрением случая, когда уравнения дви жения для операторов Pn можно записать в виде Pn = anm Pm + Pn(v), m Pn = iLPn, iLo Pn = anm Pm, iLv Pn = Pn(v). (6.68) m Здесь anm матрица c чисел.

Запишем оператор производства энтропии S(t, 0) = Pn Fn (t) + Pn Fn (t) = n Fn (t) = ( ( anm Pm Fn (t) + Pn amk Pk ) + Pm n m k Fn (t) +Pn(v) Fn (t) + Pn Pk(v) ). (6.69) Pk k Покажем, что Fn (t) (anm Pm Fn (t) + Pn amk Pk ) 0. (6.70) Pm m k Для этого рассмотрим среднее от коммутатора вида:

Sp ( [ Pn Fn (t), Ho ] q (t, 0)) = anm Pm Fn (t) = i n nm Sp ( [ S(t, 0), Ho ] eS(t,0) ) = 0.

= (6.71) i Дифференцируя это выражение по Pm, имеем Fn (t) anm Fn (t) + ank Pk = 0. (6.72) Pm n nk Если умножить это выражение на Pm и просуммировать затем по m, то нетруд но убедиться, что сумма членов нулевого порядка по взаимодействию в выра жении для производства энтропии обращается в нуль.

Таким образом, оператор производства энтропии S(t, 0) оказывается ве личиной, по крайней мере, первого порядка по взаимодействию:

Fn (t) S(t, 0) = (Pn(v) Fn (t) + Pn Pm(v) ) (6.73) Pk n m Теперь нетрудно записать и явные выражения для правой части обобщенно го кинетического уравнения переноса с точностью до членов второго порядка малости по взаимодействию включительно (борновское приближение):

Pm = anm Pn + Pm(v) q + n o dt1 et1 ( (Pm(v) ;

Pn(v) )t Fm (t + t1 ) + + m Fn (t + t1 ) ( Pm(v) ;

Pn (t1 ) )t + Pk(v) ). (6.74) Pk k Скобки (...;

...)t означают корреляционные функции, вычисляемые по квазирав новесному распределению.

Отметим, что система, описываемая набором уравнений (6.74), может быть далека от состояния равновесия и приближенный характер этих уравнений обусловлен только малостью взаимодействия между подсистемами. Уравнения такого типа широко применялись для описания сильнонеравновесных систем электронов проводимости во внешних электрических полях, а также при по строении различных уравнений баланса.

В частном случае, когда Pn(v) = 0, обобщенное уравнение переноса принимает следующий вид:

d (Pm ;

Pn )t Fn (t) = Pm = dt n o dt1 et1 (Pm(v) ;

Pn(v) (t1 ))t Fm (t + t1 ), = anm Pn + (6.75) n из которого видно, что в его правую часть входят временные корреляционные функции потоков, вычисленные по квазиравновесному состоянию. Именно они определяют кинетические коэффициенты или оператор столкновения.

6.6 Интегральные уравнения и теория возмуще ний для НСО Согласно рассмотренным выше схемам построения кинетических урав нений следует, что для их практического применения необходимо прибегать к разложению средних по какому-нибудь параметру (малость взаимодействия в системе или близость системы к статистическому равновесию).

Рассмотрим схему построения НСО в случае, когда гамильтониан системы в явном виде содержит слабое взаимодействие, т.е. может быть представлен в виде H + Ho + V.

Наличие малого взаимодействия V позволяет разложить явные выражения для НСО в ряд по V до членов нужного порядка. Однако при непосредственном разложении выражений для НСО возникают значительные трудности, связан ные с быстрым усложнением членов разложения с возрастанием их порядка.

Поэтому удобно перейти от явных выражений для обобщенных кинетических уравнений к эквивалентным интегральным уравнениям. Решение этих урав нений методом итераций приводит к удобной форме теории возмущения для НСО.

Будем исходить из уравнения Лиувилля с источником:

( + iLo + iLV ) (t, 0) = ( (t, 0) q (t, 0) ) (6.76) t Здесь o dt1 et1 eit1 L q (t + t1, 0).

(t, 0) = (6.77) Преобразуем уравнение Лиувилля в эквивалентное интегральное уравнение.

Вычтем из обеих частей уравнения Лиувилля выражение ( + iLo ) q (t, 0)) t и приведем его к виду ( + iLo + ) (t, 0) = ( ( + iLo ) q (t, 0) + iLv (t, 0) ), t t (t, 0) = ((t, 0) q (t, 0)). (6.78) Вводя оператор эволюции exp (iLo t) с гамильтонианом Ho и умножая первое из уравнений (6.78) на множитель exp ( t) exp (itLo ), представим левую часть уравнения (6.78) в виде полной производной по времени:

d t itLo e e (t, 0) = et eitLo ( + iLo )q (t, 0) + iLv (t, 0)). (6.79) dt t Полагая, что lim e t eitLo (t, 0) = 0, t проинтегрируем это уравнение по времени от до t. Получаем (t, 0) = q (t, 0) o dt1 et1 eit1 Lo q (T, 0) + iLo q (T, 0) + iLv (T, 0), t T = t + t1. (6.80) Для вывода данной формулы результат интегрирования уравнения необходимо умножить на et eitLo и сделать замену переменных в интеграле, положив t1 t t1.

Уравнение (6.80) есть искомое интегральное уравнение для НСО. Если вза имодействие V явно не входит в набор базисных операторов Pn, то, как видно из выражения (6.80), первые два члена под знаком интеграла от взаимодействия V зависят только неявным образом, через параметры Fn (t). Именно поэтому можно полагать, что эти члены описывают термические возмущения. В слу чае малых отклонений величин Fn (t) от равновесных значений они приводят к известным выражениям отклика системы на возмущения термического ти па. Последний член, явно зависящий от взаимодействия, описывает при этом механические возмущения.

Уравнение (6.80)можно записать в другой форме, если принять во внима ние, что o o dt1 et1 eit1 Lo ( (t, 0) = q (t, 0) + iLo ) q (t + t1, 0) = t o dt1 et1 eit1 Lo q (t + t1, 0) = (6.81) есть статистический оператор, не содержащий явно зависимости от V. Как вид но из выше написанного выражения, оператор o представляет собой инвари антную часть квазиравновесного распределения по отношению к эволюции со свободным гамильтонианом Ho и в пределе +0 оператор o является инте гралом движения по отношению к гамильтониану Ho.

С учетом вышесказанного уравнение (6.80) принимает следующий вид:

o (t, 0) = o (t, 0) i dt1 et1 eit1 Lo Lv (t + t1, 0). (6.82) Итерируя уравнение (6.82), получим разложение НСО в виде ряда по степеням взаимодействия V :

o o o k t dtk etk (t, 0) = (t, 0) + (i) dt1 e...

k=1 it1 Lo it2 Lo itk Lo o e Lv e Lv... e Lv (t + t1 + · · · + tk, 0) = o o o o k dtk etk = (t, 0) + (i) dt1 dt2...

k=1 itk Lo o Lv (t1 )Lv (t2 )... Lv (tk ) e (t + tk, 0), itk Lo Lv (tk ) = e Lv. (6.83) Полученное выше разложение похоже на разложение Кубо для статистиче ских операторов в теории реакции статистических систем на механические воз мущения, однако оператор o (t, 0) теперь не есть равновесный статистический оператор, а зависит от времени через макроскопические переменные, а под ин тегралами присутствуют затухающие множители. Отметим, что возможно и несколько другое разложение НСО по степеням взаимодействия, если разла гать также и первые два члена под знаком интеграла в выражении (6.80).

6.7 Релаксационные процессы При анализе физических задач часто бывает так, что рассматриваемая си стема состоит из различного рода подсистем, каждая из которых может быть охарактеризована своей температурой, энергией и т. д. Равновесие в такой си стеме достигается, как правило, в несколько этапов: вначале равновесие до стигается в различных подсистемах, а затем система идет уже к своему окон чательному равновесию, если, конечно, этому нет препятствующих факторов.


Очевидно, что при описании таких систем надо вводить различные парамет ры для каждой из подсистем. Аналогичная ситуация может иметь место и в многокомпонентных системах из-за большого различия масс, или в спиновых системах из-за различия спинов, например, электронов и ядер и т.д.

Общую схему построения НСО, рассмотренную нами выше, можно обоб щить и на релаксирующие системы. Для этого нужно сформулировать законы сохранения для каждой слабовзаимодействующей системы в отдельности, ис пользуя которые можно далее построить и неравновесный статистический опе ратор.

В качестве примера применения метода НСО для описания релаксирую щих систем рассмотрим пространственно однородную систему, состоящую из слабо взаимодействующих подсистем. Мы рассмотрим пространственно одно родное распределение "горячих"электронов в скрещенных электрическом и маг нитном полях. Концентрацию электронов проводимости будем полагать доста точно высокой, так что частота электрон-электронных столкновений ee значи тельно превышает частоту рассеяния электронов на решетке el :

ee el.

Выполнение этого условия соответствует тому, что межэлектронные столкнове ния приводят к перераспределению энергии, получаемой от поля между всеми носителями, что в конечном итоге приводит к сглаживанию аномалий в распре делении электронов по энергиям и позволяет говорить об "электронной темпе ратуре". При этом можно считать, что неравновесное распределение электронов описывается макропараметрами типа эффективной температуры и дрейфовой скорости.

Гамильтониан рассматриваемой нами системы запишем в виде H = He + Hef + Hel + Hl, (6.84) где He, Hl, Hel - гамильтониан свободных электронов, решетки и взаимодей ствия электронов с рассеивателями;

гамильтониан Hef - описывает взаимодей ствие с внешним электрическим полем.

В представлении вторичного квантования имеем p i a+ a, He = = = 2m i E x a+ a.

Hef = e Exi = e (6.85) i Мы ограничимся рассмотрением случая, когда электроны проводимости взаи модействуют только с колебаниями решетки (фононами) с волновым вектором q, поляризацией и частотой q. Гамильтониан электрон-фононного взаимо действия запишем в виде Cq eiqxi bq + Cq eiqxi b+.

Hel Hep = (6.86) q iq Здесь Cq -соответствующий фурье-образ электрон-фононного взаимодей ствия;

bq, b+ -бозе операторы фононов.

q Гамильтониан свободных рассеивателей (решетки) представим в виде q, b+ bq.

Hl Hp = (6.87) q iq Построение матрицы плотности. Будем описывать неравновесное состоя ние системы набором макропараметров. Нас будут интересовать средние зна чения набора операторов Pm, в качестве которых выберем следующие:

Pm (He, Pe, N, Pl, Hp + Hep, ) где Pe, Pl - операторы импульсов электронов и решетки;

N - оператор числа электронов. Операторы Pm удовлетворяют следующим уравнениям движения:

d Pm = [Pm, H]. (6.88) dt i Вычисляя коммутаторы для нашего случая, получаем eE Pe He = Hef + Hep = + Hep, m Pe = e (N E + Pe H ) + Pep, mc N = 0, Pp = 0, Hp + Hep = Hep. (6.89) При записи уравнений (6.89) мы использовали обозначения 1 Pmf = [Pm, He + Hef ], Pmp = [Pm, Hep ]. (6.90) i i Введем набор сопряженных параметров Fm (t) (e (t), e Ve (t), ( µ (t) mVe2 (t)/2 ), 0, ), где e (t) - обратная эффективная температура электронов;

Ve (t) - дрейфовая скорость;

µ(t) - химическуий потенциал электронов;

- обратная равновесная температура решетки.

Введенных нами параметров Pm, Fm (t) достаточно для построения опера тора энтропии S(t, 0) = (t) + Pm Fm (t) m и неравновесного статистического оператора (t, 0) = exp (S(t, 0) ), dt e t S(t + t, t ).

S(t, 0) = S(t, 0) Запишем оператор энтропии S(t, 0) = (t) + e (t) (He Ve (t)Pe µ (t) N ) + (Hp + Hep ), µ (t) = µ(t) mVe (t)2 /2. (6.91) Для оператора производства энтропии получаем S(t, 0) = { e (t) (He Ve (t)Pe Ve (t) (Pe mN Ve (t) )) + +e (t) (He Ve (t)Pe µ (t)N ) e (t)µ(t)N +, +(Hp + Hep ) }. (6.92) Теперь можно записать уравнения для средних значений операторов Pm :

d ( Pm, Pn )t Fn (t), Pm = Pm = dt n где t d Sp (Pm e S(t,0) (Pn Pn t ) e( 1)S(t,0) ).

( Pm, Pn ) = o Раскрывая уравнения для средних значений, получаем He Ve Pe t = = e (t) ( He Ve (t)Pe µ (t)N, He Ve (t)Pe µ (t)N )t ) + +e (t)µ ( He Ve (t)Pe µ (t)N, N )t, e (t) ( N, He Ve (t)Pe µ (t)N )t + e (t)µ ( N, N )t, = 0, t mno Ve (t) = Pe, (6.93) где no = N t - концентрация носителей тока.

Система уравнений (6.93) позволяет вычислить производные макроскопи ческих параметров по времени (t) e (t) = e ( Hep t Ve Pep t ), Ce (t) Ve (t) = Pep t, mno e (t) (N, He Ve (t)Pe µ (t)N )t µ(t) =, (6.94) (N, N )t e (t) где Ce (t)- электронная теплоемкость, которая имеет следующий вид:

Ce (t) = e (t) { ( He Ve (t)Pe µ (t)N, He Ve (t)Pe µ (t)N )t ( He Ve (t)Pe µ (t)N, N )t ( N, He Ve (t)Pe µ (t)N )t }. (6.95) ( N, N )t Подставив выражения для производных от параметров F (t) в формулу для производства энтропии, имеем S(t, 0) = { (e (t) ) Hep e (t)Ve (t)Pep e (t) Hep Ve Pep t [ He Ve (t)Pe µ (t)N Ce (t) N (N, He Ve (t)Pe µ (t)N )t /(N, N )t, ] e (t) Pep t [Pe mN Ve (t) ] }.

(6.96) mno Из (6.96) видно, что два первых члена этого выражения - первого порядка по взаимодействию Hep, а остальные - по крайней мере, второго порядка. Что касается взаимодействия с электрическим полем, то оно входит в выражение (6.96) только неявным образом через значения макропараметров.

Используя найденные выражения для оператора энтропии и производства энтропии, нетрудно теперь записать и выражение для НСО. Наша задача со стоит в получении средних выражений для уравнений движения в борновском приближении по рассеянию (второй порядок по взаимодействию). Поэтому нам достаточно разложить матрицу плотности до членов первого порядка по Hep :

o t = {1 + dt e d [(e (t + t ) ) Hep (t ;

i ) o )Ve (t)Pep (t e (t + t )] d Hep (i ) + · · · }q, (6.97) o где q - матрица плотности, которая получается из выражения exp(S(t, 0)), если в нем пренебречь взаимодействием Hep.

Уравнения баланса и их решения. Для получения уравнений баланса энергии и полного импульса электронов проводимости усредним операторные уравнения движения (6.89) по распределению (6.97). Уравнение баланса полной энергии можно записать в виде o Ce (t) dt e t ( Hep Ve (t)Pep, (e (t + t ) ) 2 e (t) = e (t) Hep (t ) e (t + t )Ve (t + t )Pep (t ) )t. (6.98) Соответственно для уравнения баланса полного импульса горячих электронов получаем mno Ve (t) = eno [E + Ve (t)H ] + c o dt e t ( Pep, (e (t + t ) )Hep (t ) + e (t + t )Ve (t + t )Pep (t ) )t. (6.99) Решая полученную систему уравнений (6.98),(6.99) можно определить значения параметров Ve (t), e (t) в функции внешних полей.

Рассмотрим далее стационарный случай, когда V e(t), e (t) = 0. Поскольку в широком интервале значений напряженности электрического поля кинетиче ская энергия дрейфа много меньше средней энергии хаотического движения электронов mVe (t)2 / 1, то в квазиравновесной матрице плотности мож но пренебречь дрейфовой скоростью Ve (t). При этом в рассматриваемых на ми уравнениях баланса корреляционные функции, содержащие произведения Pep Hep, обратятся в нуль, как и в случае термодинамического равновесия. Та ким образом, уравнения баланса примут следующий вид:

o dt e t ( Hep, Hep (t) ) = 0, eno E Ve + (e ) o 1 eno [E + Ve (t)H ] e Ve dt e t (Pep, Pep (t) ) = 0. (6.100) c Из вида уравнения баланса для импульса электронов ясно, что можно ввести частоты релаксации продольных и поперечных компонент импульса:

o dt e t (Pep, Pep (t) ) = 0, = mno o dt e t (Pep, Pep (t) ) = 0.

= (6.101) 2mno Формулы такого типа в линейной теории переноса были получены другим спо собом в работах Кубо с сотрудниками. Заметим, что различие между частотами релаксации продольных и поперечных компонент электронного импульса име ют место только в квантующем магнитном поле. В классическом интервале изменения напряженности магнитного поля o dt e t (Pep, Pep (t) ).

= = (6.102) 3mno В случае слабого разогрева e средние по квазиравновесному распределе нию можно заменить средними по термодинамически равновесному распреде лению o. Учитывая, что при этом e He He q He o Ce, Pe Pe q Pe o = mno Ve, · · · o = Sp (· · · o ), (6.103) можно ввести время релаксации энергии ep. Уравнение баланса энергии при этом можно записать в виде e eno E Ve + Ce ep = 0, o 2 dt e t ( Hep, Hep (t) ).

ep = (6.104) Ce Система уравнений баланса энергии и электронного импульса имеет следую щие решения:

eE cos eE sin Ve = Ve =,, (6.105) m (o + ep )1/ 2 mep m no ep (Ve 2 ep + Ve 2 ep ) ).

Te = T ( 1 + (6.106) Ce T Здесь - угол между между электрическим и магнитным полями;

1/e = Te ;

1/ = T ;

o = eH/mc.

При отсутствии магнитного поля получаем no e2 E 2 Te = T {1 + ep ep }. (6.107) Ce m T Из выражения (6.107) следует, что относительный сдвиг температуры электро нов определяется как временем релаксации импульсов, так и временем релак сации энергии.

В тех случаях, когда можно пренебречь увлечением рассеивателей пото ком горячих электронов, нет надобности рассматривать баланс электронного импульса. В этом случае вместо матрицы плотности, определяющейся инвари антными частями операторов энергии и импульса электронов, достаточно рас сматривать еще более сглаженную матрицу плотности, зависящую только от инвариантной части оператора He. Вычисления температурного сдвига горячих электронов и других кинетических характеристик рассматриваемой системы в этом случае приводят к аналогичным результатам.

В заключение данного параграфа сделаем несколько ремарок:

Положительный момент рассмотрения теории горячих электронов на осно ве НСО связан с тем, что характерные для теории горячих электронов величи ны сравнительно просто выражаются через корреляционные функции в общем виде.

Полученные уравнения баланса учитывают эффект запаздывания в членах, которые соответствуют интегралам столкновений, что позволяет в сравнении с кинетическим уравнением рассматривать более тонкие детали поведения элек тронной системы.

Уравнения баланса энергии и импульса горячих электронов, найденные в рамках метода НСО, переходят в уравнения баланса одноэлектронного прибли жения, когда справедливо кинетическое уравнение Больцмана.

Наконец, подход на основе метода НСО справедлив и там, где кинетическое уравнение не применимо, например в случае квантующего магнитного поля.

Глава Проекционные операторы 7.1 Метод проекционных операторов Мори Как следует из приведенных выше результатов, нам удалось свести задачу о релаксации в слабонеравновесной системе к исследованию корреляционных функций, определенных для равновесного состояния. Вычисление этих кор реляционных функций является сложной самостоятельной проблемой. Теперь нужно сделать следующий шаг и разработать процедуру вычисления равновес ных корреляционных функций операторов, входящих в базисный набор. Среди различных методов, используемых для получения необратимой динамики (необ ратимых динамических уравнений) достаточно широко используется метод опе раторов проектирования. Этот метод позволяет разделить статистический опе ратор на две ортогональные части, причем для проекции статистического опе ратора удается получить необратимое во времени уравнение движения, которое называют master equation. Следует отметить, что существует много различных определений проекционных операторов, которые используются для построения уравнений движения динамических переменных. Знакомство с техникой опера торов проектирования мы начнем с методики, предложенной Мори. В основе метода операторов проектирования Мори лежит простая идея: любой динамиче ский оператор A(t) может быть представлен в виде суммы двух составляющих.

Одна из них выражается через базисные операторы и с-числовые функции, а другая будет представлять остаток:

A(t) = PA(t) + QA(t), Q = (1 P);

PA(t) = (A(t), P + )(P, P + )1 P, P 2 = P. (7.1) Здесь скалярное произведение двух операторов определено как d SP{A B1 } (A, B) = (7.2) 0 Очевидно, что такое разделение является точным и его можно произвести все гда. Смысл разделения состоит в том, что операторы PA(t) и QA(t) имеют совершенно разный характер временной зависимости. Операторы P и P + яв ляются квазиинтегралами движения, т.е. почти сохраняющимися величинами и меняются во времени благодаря лишь относительно слабым возмущениям ос новного гамильтониана. Величина QA(t) наоборот быстро осциллирует с харак терным для атомных масштабов периодом. Именно этот факт позволяет раз делить медленную эволюцию оператора и быстрые осцилляции, которые могут определять лишь релаксационные частоты.

Смысл оператора проектирования легко представить, если воспользовать ся геометрической аналогией и рассмотреть случай, когда имеется лишь один оператор в наборе P. Используя определение оператора проектирования, легко показать, что выполняется важнейшее условие проектирования вектора на оси ортогонального базиса: операторы PA(t) и (1 PA(t) ортогональны в смысле скалярного произведения (PA(t), (1 P)A+ (t)) = 0 (7.3) Необходимо подчеркнуть, что оператор Q также является идемпотентным про екционным оператором, и для него выполняется условие Q2 = Q.

Выполним несколько промежуточных вычислений, которые нам понадо бятся несколько позже.

1. Рассмотрим уравнение движения для оператора P, принадлежащего набору базисных операторов:

d P (t) = iLP (t). (7.4) dt Подействуем на это уравнение оператором Q = (1 P). Поскольку оператор (1 P) не зависит от времени, его можно переставить с оператором диффе ренцирования по времени. Вводя обозначение QP (t) = (1 P)P (t) = P (t), получаем d P (t) = QiL(1 P)P (t) + QiLPP (t). (7.5) dt Введем обозначение PP (t) = (P (t), P + )(P, P + )1 P = (t)P.

Таким образом, имеем (t) = (P (t), P + )(P, P + )1. (7.6) С учетом обозначений уравнение, получаем d P (t) (1 P)iLP (t) = (t)(1 P)P (t). (7.7) dt Уравнение (7.7) может быть проинтегрировано. Для этого умножим его слева на операторную экспоненту exp{(1 P)iLt}.Объединяя теперь первые два члена в один и выполняя нтегрирование в пре делах от 0 до t, находим:

t P= dt1 (t1 ) exp{(1 P)iL(t t1 )}(1 P)P. (7.8) Этот результат будет использован нами несколько позже.

2. Рассмотрим теперь уравнение движения для корреляционной функции (t) = (P (t), P + )(P, P + )1.

Используя соотношение iLP (t1 ) = iLPP (t1 ) + iL(1 P)P (t1 ), (7.9) получаем:

d d (t1 ) = ( P (t1 ), P + )(P, P + )1 = (7.10) dt1 dt = (P, P + (t1 ))(P, P + )1 = = (P P, P + (t1 ))(P, P )1 + ((1 P)P, P + (t1 ))(P, P + ) или d (t1 ) = i(t1 ) + ((1 P)P, P + (t1 ))(P, P + )1. (7.11) dt Здесь мы ввели матрицу частот:

i = (P, P + )(P, P + ). Поскольку для произвольных операторов C и B выполняется равенство (( P)C, B + )=0, то скалярное произведение ((1 P)P, P + (t1 )) можно записать в, (1 P)P + (t1 )).

виде ((1 P)P Вспоминая теперь результат (7.8), запишем уравнение движения для корре ляционной функции в виде d (t) = i(t) + (7.12) dt t dt1 ((1 P)P, (exp{i(1 P)L(t + t1 }(1 P)P )+ ) + (t1 )+ (P, P + )1.

Рассмотрим корреляционную функцию (t1 )+ = SP{P (t1 ) P + 0 }+ d.

(P, P + )+ Учитывая свойства симметрии корреляционных функций при операции эрми тового сопряжения, и приведенное выше выражение, получаем (t1 )+ = (P (t1 ), P + ).

+) (P, P Наконец, сделаем замену переменных в интеграле, вводя новую переменную s = t1 + t, и определим величину случайной силы f соотношением f = (1 P)P. С учетом всех сделанных выше замечаний вместо уравнения (7.12) получаем t d ds(f, f + (s)) (t) = i(t) (t s). (7.13) (P, P + ) dt Принимая во внимание, что (t) = (P (t), P + )(P, P + )1, можно легко получить и уравнение движения динамической переменной P (t):

t d P (t) = iP (t) ds(s)P (t s). (7.14) dt Здесь (s) функция памяти, которая учитывает предысторию развития си стемы на времена 0 s t:

(s) = (f, f + (s))(P, P + )1 (7.15) Подведем некоторые итоги и обсудим физический смысл полученных ре зультатов.

1.Уравнения (7.14), (7.15) напоминают уравнения Ланжевена для броунов ской частицы и описывают немарковскую динамику исследуемых величин Pn.

Важно подчеркнуть, что временная эволюция функции памяти (s) (f, f + (s)) = d SP{(1 P)P } [exp{(1 P)iLs}(1 P)P ]+ 1 } = (7.16) 0 определяется только частью оператора Гамильтона, из которой исключены с помощь оператора проектирования Q члены, определяющие медленную эволю цию динамических переменных.

Отметим, что произведенное выделение быстро изменяющегося ядра ин тегральных уравнений части (7.13), (7.14) произведено точно. До сих пор не делалось никаких предположений о слабости взаимодействия в системе.

2. Обсудим смысл использования тождественных преобразований, кото рые мы выполнили при получении уравнений (7.13), (7.14).

Рассмотрим ситуацию марковского предела, которая возникает, если мож но считать, что корелятор случайных сил (7.15) имеет -образную временную зависимость. Подставляя в выражение (7.14) значение (s) = (s), получаем уравнение движения оператора в марковском пределе d P (t) = i P (t) P (t).

dt При написании этого выражения мы выдели действительную и мнимую части :

= i +, = +.

Смысл написанного выше уравнения очевиден. Если = 0, то динамическая величина P (t) осциллирует с характерной частотой. Если величина = 0, то на прецессию накладывается затухание и величина имеет смысл обратно го времени затухания. Таким образом можно сказать, что основной смысл ис пользования операторов проектирования состоит в разделении динамического уравнения на член, описывающий прецессию, и член, описывающий затухание.

Вернемся вновь к дальнейшему анализу уравнений движения, полученных методом проекционных операторов Мори.

Наиболее просто уравнения (7.13), (7.14) выглядят, если, выполнив преобра зования Лапласа, записать их для лапласовских образов функций (t) и P (t).

Запишем результат, который получается, после преобразования Лапласа уравнений (7.13), (7.14). После простых преобразований получаем:

(0) (z) = (7.17) z i + (z) P (0) P (z) = (7.18) z i + (z) dtezt (f, [f (t)]+ )(P, P + )1.

(z) = (7.19) Нетрудно заметить, что по структуре выражение (7.17) очень напоминает Фурье-образ автокорреляционной функии, который получается в стандартной Прямое и обратное преобразования Лапласа функции f (x) определяются выражениями x f (x)esx dx, f (s) = C+i f (s)esx ds.

f (x) = 2i Ci Во второй формуле интегрирование ведется вдоль линии на комплексной плоскости s, для которой Re s = C.

Преобразования Лапласа для производной функции f (x) и для свертки двух функций x g(x) = dsf1 (s)f2 (x s) имеют вид:

dxesx f (x) = sf (s) f (0), g(s) = f1 (s)f2 (s).

схеме записи уравнений движения для функций Грина с последующим исполь зованием метода массового оператора, а величины и соответствуют действительной и мнимой частям массового оператора.

Практическая польза подхода, основанного на применении проекционных операторов Мори для вычисления функций Грина, состоит в том, что для функции памяти (z) при правильном выборе динамических переменных сра зу получается выражение, содержащее взаимодействие по крайней мере во второй степени. По этой причине при вычислении кинетических коэффициен тов в борновском приближении теории рассеяния сразу можно опустить взаи модействие с рассеивателями ( фононами, примесями и т.д.) в статистическом операторе и операторах эволюции, и тогда величина (z) сразу может быть вычислена.

7.2 Вычисление электропроводности с исполь зованием метода проекционных операторов Мори Выражение для электропроводности, известное как формула Кубо, имеет следующий вид:

e2 dt1 exp[( i)t1 ]SP{P [0, X (t1 )]}.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.