авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||

«Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный технический университет - УПИ И. И. Ляпилин ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ...»

-- [ Страница 5 ] --

() = (7.20) m i Для вычисления электропроводности по формуле (7.20) обычно используют ме тод массового оператора. Это обусловлено тем, что прямое вычисление электро проводности в конечном порядке теории возмущения не представляется воз можным, поскольку в этом случае получается физически неразумный резуль тат. Действительно, проводимость системы на нулевой частоте должна быть обратно пропорциональна эффективной константе взаимодействия электронов с рассеивателями, что получается только в том случае, если отсуммировать бесконечный ряд ( например, бесконечно убывающую геометрическую прогрес сию).

Покажем, что точно такой же результат (как и при использовании мас сового оператора) получается и при использовании метода операторов проек тирования Мори. Преобразуем вначале выражение (7.20), используя формулу Кубо:

[0, X ] = d P 1, (7.21) 0 i m обратная температура в энергетических единицах. Подставляя результат (7.21) в выражение (7.20), получаем выражение для проводимости, записанное с использованием скалярного произведения Мори e exp{( i)t1 }(P, P (t1 ) dt1 ).

() = (7.22) m2 Для того чтобы воспользоваться результатами (7.17), (7.18) при вычислении компонент тензора электропроводности, выберем в качестве базисных операто ров Pn, фигурирующих в формуле (7.17), декартовые компоненты оператора суммарного импульса электронов P и введем вместо частоты комплексную переменную z соотношением i = z. В результате вместо (7.22) получаем e dt1 exp{(zt1 }(P, P (t1 )) = (z) = m2 e2 e exp{(zt1 }(P (t1 ), P ) dt1 = (z)(P, P ).

= m m (7.23) Используя выражение (7.17) для корреляционной функции (z), и переходя обратно к переменной, мы можем сразу записать выражение для электропро водности в виде e2 (0)(P, P ) (z) =. (7.24) m2 i i + ( i) Для того чтобы сравнить результат (7.24) с выражением, которое получает ся при использовании метода массового оператора, необходимо заметить, что (0) = 1, = 0. Первое из этих равенств просто следует из определения кор реляционной функции (t). Для доказательства второго рассмотрим вначале корреляционную функцию (P, P ) в числителе формулы (7.24).

(P, P ) = d SP{P P 1 } = 0 1 = mSP{P [0, X ]} = mSP{ [X, P ]0 } = mn, i i (7.25) где nконцентрация электронов. Повторяя аналогичные выкладки для матри цы частот i с учетом её определения, получаем i = mSP{ [P, P ]0 } = 0.

i Наконец, для функции памяти, которая в данном случае является не чем иным, как обратным временем релаксации полного импульса электронной системы, получаем (i) = dt1 exp{( i)t1 } nm ((1 P)P, exp{(1 P)iLt1 }(1 P)P ). (7.26) Для сравнения приведем выражение для обратного времени релаксации, полу ченное с использованием метода функций Грина:

1 1 dt1 exp{( i)t1 }(P, exp{iLt1 }P ).

= (7.27) () nm Из приведенных формул (7.26), (7.27) видно, что все их различие состоит в отсутствии операторов проектирования в последнем выражении. Естественно, возникает вопрос: какое из приведенных выражений является правильным? Во прос является весьма актуальным, поскольку формулы типа (7.27) для времен релаксации достаточно широко распространены в литературе и кроме того, хо рошо известно, что эти формулы часто дают результаты, неплохо совпадающие с экспериментом.

Можно утверждать, что выражение (7.27) для времени релаксации пол ного импульса электронной системы является правильным лишь в борнов ском приближении. В этом легко можно убедиться. Во- первых, если оператор P пропорционален взаимодействию, то в борновском приближении формулы (7.26) и (7.27) просто совпадают. Действительно, в этом случае операторы про ектирования в формуле (7.26) могут быть опущены, так как их учет привел бы к удержанию членов четвертого порядка по взаимодействию и выше.

Нетрудно показать, что в постоянном электрическом поле при = 0 точное значение обратного времени релаксации, даваемое формулой (7.27), точно рав но нулю, поэтому эта формула является, строго говоря, неверной. Рассмотрим, например, диагональные компоненты тензора электропроводности на нулевой частоте:

e dt1 exp{t1 }(P, P (t1 )).

=2 (7.28) m С другой стороны, e2 n 1 1 dt1 exp{t1 }(P, P (t1 )).

= ;

= (7.29) m nm Произведем дважды интегрирование по частям в формуле (7.29) для 1/. Ин тегрируя первый раз, получаем 1 d dt1 exp{t1 } (P, P (t1 )) = nm dt 1 dt1 exp{t1 }(P, P (t1 )).

= (P, P ) (7.30) nm nm Поскольку корреляционная функция (P, P ) = 0, интегрируя второй раз по частям, получаем 1 dt1 exp{t1 }(P, P (t1 )) = nm (P, P ) dt1 exp{t1 }(P, P (t1 )). (7.31) nm nm Поскольку все корреляционные функции, стоящие в правой части написанного выше равенства конечны, а умножаются они на параметр или 2, которые после выполнения термодинамического предельного перехода n, V ;

(n/V ) const (nчисло частиц в системе, V объем) должны быть устремлены к нулю, мы видим, что из формулы следует равенство нулю и об ратного времени релаксации.

Физическая причина полученного результата достаточно очевидна. Извест но, что необратимое поведение не появляется само собой в результате каких либо математических ухищрений. Возникновение необратимости связано с тем, что реализуются не все возможные состояния, допускаемые динамическими уравнениями, а лишь ограниченный набор состояний, приводящий к возник новению необратимого во времени поведения.

Сравнение, описанных выше двух подходов, приводит к необходимости от ветить на ряд вопросов.

Почему правильный результат получается при использовании операто ров проектирования и не получается при использовании стандартного метода функций Грина? Этот вопрос вполне закономерен, если учесть, что при вы воде уравнения движения для корреляционной функции (t) выполнялись по существу только тождественные преобразования.

Почему недостаточно того факта, что НСО удовлетворяет необратимому во времени уравнению? Не должны ли отсюда сразу получаться правильные выражения для кинетических коэффициентов?

Что касается первого вопроса, - Оказывается, что метод операторов проектирования позволяет выделить в уравнении движения операто ра полного импульса члены, описывающие прецессию, и члены, опи сывающие затухание. Этого достаточно для получения правильного резуль тата.

Что касается второго вопроса. Необратимое во времени уравнение для НСО обеспечивает всего лишь правильную структуру кинетических коэффициентов или обобщенных кинетических уравнений и не более того. Правильное вычис ление кинетических коэффициентов связано с проблемой вычисления равновес ных или неравновесных корреляционных функций.

7.3 Высокочастотная восприимчивость Продемонстрируем еще один пример применения методики операторов проектирования. Рассмотрим вычисление поперечных компонент тензора па рамагнитной восприимчивости электронной системы.

Будем считать, что на систему с гамильтонианом H = He + Hs + Hep в некоторый момент времени начинает действовать внешнее возмущение с гамильтонианом HF (t). Здесь He = P 2 /(2m). -гамильтонианы кинетических, Hs = gµB S z H z спиновых степеней свободы электронов проводимости, Hep гамильтониан взаимодействия электронов с рассеивателями;

gфактор спек троскопического расщепления, µB магнетон Бора,S = i Si, n число элек тронов проводимости. Гамильтониан взаимодействия системы с переменным магнитным полем HF (t) запишем в виде HF (t) = gµB S h (t), где h (t) век тор индукции высокочастотного магнитного поля.

Используя, интегральное уравнение для НСО и полагая, что 0 (t, 0) = 0, для трансформы Фурье высокочастотного магнитного момента получаем следующее уравнение:

(gµB )2 m () = dt1 exp{( i)t1 } i SP{S exp(iLt1 )[0, S ]}h (). (7.32) Используя снова формулу Кубо, и вводя круговые компоненты соотноше ниями m± = mx ± i my ;

h± = hx ± i hy, для поперечных компонент тензора магнитной восприимчивости, получаем (gµB )2 dt1 exp{( i)t1 }(S +, S (t1 )).

+ () = 2 S = i s S + S(l) ;

S(l) = [S, Hep ] i (7.33) s частота спиновой прецессии электронного спина. Соотношение (7.33) можно записать в виде (gµB )2 d (S +, S (t1 )).

+ () = dt1 exp{( i)t1 } (7.34) 2 dt Введем обозначение i = z и сделаем замену переменных под знаком интеграла t1 t1. В этих обозначениях выражение (7.34) можно представить в виде (gµB )2 d dt1 exp{zt1 } (t1 )(S +, S ).

+ (z) = (7.35) 2 dt Появившаяся в этом выражении, функция (t1 ) для нашего случая имеет вид (t1 ) = (S + (t1 ), S ).

(S +, S ) Используя обобщенное уравнение Ланжевена для корреляционной функции (t1 ):

t d ds(f, f + (s)) (t) = i(t) (t s), (7.36) (P, P + ) dt имеем (gµB ) + (z) = dt1 exp{zt1 }[i (t1 ) 2 t ds(f, f + (s))(t1 s)](S +, S );

(7.37) f = (1 P)S +, i = (P S +, S ).

(S +, S ) Применяя преобразования Лапласа к уравнению (7.37) с учетом определений (7.16):

(0) (z) =, (7.38) z i + (z) получаем (gµB )2 (S +, S )[(z) i] + (z) = ;

(7.39) 2 z i + (z) (z) = dt1 exp(it1 ) ((1 P)S +, exp{(1 P)i Lt1 }(1 P)S ). (7.40) (S +, S ) Найденное выражение (7.40) для поперечных компонент тензора магнитной восприимчивости полностью совпадает с результатом, полученным с помощью уравнений Блоха, если учесть, что для нашего случая i = is, а функция памяти определяет обратное время релаксации поперечных компонент элек тронного спина.

7.4 Линейные релаксационные уравнения в ме тодах НСО и Мори Напомним схему построения линейных релаксационных уравнений в ме тоде НСО. Пусть слабонеравновесное состояние системы может быть описано в рамках гидродинамического подхода набором средних значений термодинами ческих координат Pn t или набором сопряженных им термодинамических сил Fn (t).

Для построения линейных релаксационных уравнений относительно вели чин Pn t ( Pn t = Pn t Pn t, где Pn t = SP{Pn 0 }, 0 равновесное рас 0 пределение Гиббса) необходимо получить линейные разложения статистических операторов q (t, 0)), (t, 0)).

Результат таких разложений позволил нам представить выражение для НСО в виде d P + 1 F (t) + (t) = 0 0 + dt1 exp(t1 ) exp(iLt1 ) d {P + F (t + t1 ) + P + F (t + t1 )}1.

(7.41) 0 Очевидно, что выражение (7.41) позволяет решить поставленную задачу и получить систему линейных релаксационных уравнений для флуктуаций термо динамических параметров Pn t. Для этого необходимо лишь воспользоваться условием:

Pn t = SP{Pn (t, 0)} = SP{Pn q (t, 0)} Более удобная запись этих уравнений получается, если перейти к фурье представлению. Определим фурье-трансформы величин Pn t, (t) = (t) 0, q (t) = q (t) 0, F (t) следующими соотношениями:

t d exp(it) P ;

P = F (t) = d exp(it)F ();

(t) = d exp(it)();

(7.42) q (t) = d exp(it)q ().

Используя очевидное соотношение P = SP{P q ()} = SP{P ()}, (7.43) из первой части равенства сразу получаем важный результат + + d P P + (i ).

P = (P, P )F ();

(P, P ) = (7.44) Используя определения (t) и q (t), получаем () = q () + dt1 exp[( i)t1 ] exp(iLt1 ) (7.45) d (P + iP + )1 F ().

Выполним в этом выражении интегрирование по t1, тогда вместо (7.45) по лучается простое выражение для (), удобное для практических приложений:

1 (P + iP + )1 F ().

() = q ()+ d (7.46) i + iL Оператор iL, стоящий в знаменателе этого выражения, понимается как некото рый бесконечный ряд.

Теперь можно построить линейные релаксационные уравнения. Из общих соображений ясно, что во временном представлении такие уравнения при учете запаздывания должны иметь вид t t t P = T (t t1 ) P dt1, (7.47) t где T (t t1 ) некоторое ядро. Аналогичные уравнения можно записать и для отклонений F (t).

Уравнения типа (7.47) легко получить из условия SP{Pq ()} SP{P()} = 0.

Подставляя полученные ранее результаты для () и q (), имеем 1 (P + iP + )1 } F () = 0.

d SP{P (7.48) i + iL 0 Вводя для сокращения записи корреляционные функции B1 } = (A, B) = SP{A i + iL 0 = dt1 exp[( i)t1 ](A, B(t1 )), (7.49) получаем уравнение для отклонений термодинамических сил F ():

(i(P, P + ) (P, P + ) )F () = 0. (7.50) Необходимо напомнить, что уравнение (7.50)- матричное и величина F () яв ляется вектор-столбцом.

Для дальнейшего анализа удобно ввести так называемую транспортную мат рицу 1 (P, P + ).

T () = (7.51) + ) (P, P Система линейных релаксационных уравнений принимает при этом простой вид (i T ())F () = 0. (7.52) Аналогичное уравнение можно получить и для величин P. Для этого необходимо, пользуясь уравнением P = (P, P + )F () выразить F () че рез P и подставить этот результат в уравнение (7.52).

Записанные выше уравнения позволяют решить задачу о связанной ре лаксации гидродинамических возбуждений в слабонеравновесной системе. По скольку система уравнений (7.52) является однородной, то спектр элементарных возбуждений ищется из условия равенства нулю детерминанта системы:

det|T () i| = 0. (7.53) Многочисленные примеры рассмотрения коллективных гидродинамиче ских возбуждений в многочастичных системах приведены в различных моно графиях.Поэтому мы не будем обсуждать конкретные системы, а ограничимся лишь общим рассмотрением, пригодным для любых систем.

Итак, определим матричную функцию Грина релаксационных уравнений (7.52) сотношением {T () i}G() = 1. (7.54) Явное определение функций Грина G() через корреляционные функции (P, P + ) и (P, P + ) может быть легко получено, если воспользоваться опреде лением для T () (7.51). Выполняя интегрирование по частям в числителе фор мулы (7.51), получаем {(P, P + ) + i( + i)(P, P + ) }.

T () = (7.55) (P, P + ) Подставляя этот результат в выражение (7.54), получаем (P, P + ).

G() = (7.56) (P, P + ) Из определения (7.55) следует, что введенные функции Грина (7.56) являются действительно Функциями Грина релаксационных уравнений в строгом смысле этого слова, а их полюса совпадают со спектром нормальных мод системы.

Рассмотрим теперь вопрос о том, как можно развить дальше подход, осно ванный на использовании транспортной матрицы T () и функций Грина G(), введенных выше.

Нашей задачей будет получение вместо обобщенных уравнений движения для средних в методе НСО уравнений движения в форме Мори.

Сравнивая выражения t t t P = T (t t1 ) P dt1, (7.57) t и t d P (t) = iP (t) ds (s) P (t s) (7.58) dt нетрудно заметить, что они будут совпадать по структуре, если удастся транс портную матрицу T () представить в виде T () = i + (). Для доказатель ства возможности такого представления выполним ряд тождественных преоб разований, по существу повторяющих вывод уравнения в методе Мори.

Введем обозначение P + (E) = P +, iE = i, iL iE и рассмотрим тождество i(L E)P + (E) = P +. (7.59) Подействуем на левую и правую часть этого тождества поочередно оператора ми проектирования P и (1 P). Действуя оператором P с учетом тождества P + (E) = PP + (E) + (1 P)P + (E), имеем (iE + PiL)PP + (E) + PiL(1 P)P + (E) = P +. (7.60) При выводе этого равенства учтено, что PP + = P +.

Действуя оператором (1 P), находим (iE + (1 P)iL)(1 P)P + (E) = (1 P)iLPP + (E). (7.61) Из уравнения (7.61) найдем величину (1 P)P + (E). Умножая слева уравнение (7.61) на величину (iE + (1 P)iL)1, получаем (1 P)P + (E) = (1 P)iLPP + (E).

iE + (1 P)iL Подставляя этот результат в уравнение (7.60), находим (iE + PiL)PP + (E) (1 P)iLP + (E) = P +.

PiL (7.62) iE + (1 P)iL Рассмотрим теперь действие оператора проектирования P на величину + P (E). Исходя из определения оператора проектирования Мори, имеем PP + (E) = P + (P, P + (E)) = P + G(E);

(P, P + ) + (P, P (E)) = dt1 exp{( i)t1 } d SP{P, exp(iLt1 )P + 1 }.

(7.63) 0 В последней части равенства (7.63) использовано определение функции Грина (7.56). Далее, PiLP + = P + i;

i = (P, P + )1 (P, P + ).

Умножая уравнение (7.62) справа скалярно (в смысле скалярного произведения Мори) на P, получаем (P, P + )(iE + i) G(E) (1 P)iLP + ) G(E) = (P, P + ).

(P, PiL iE + (1 P)iL (7.64) Используя определение проекционного оператора, преобразуем второй член в левой части уравнения к виду 1 (P, P + ) (1 P)iLP + ) G(E).

(P, iL +) (P, P iE + (1 P)iL Сокращая в левой и правой частях одинаковый сомножитель (P, P + ), полу чаем (iE + i + (E)) G(E) = 1. (7.65) 1 (1 P)iLP + ).

(E) = (P, +) (P, P iE + (1 P)iL Если теперь учесть, что, в силу определения оператора проектирования, (PA, (1 P)B) = для любых опрераторов A и B, то выражение для функции памяти мо жет быть записано в виде, совпадающем с определением Мори ( (s) = ( f, f + (s) ) (P, P + )1 ).:

1 1 f + );

(E) = (f, f = (1 P)P. (7.66) +) (P, P iE + (1 P)iL Различие определений для (E) не является существенным и связано просто с некоторым различием обозначений.

Из выражения (7.65)и уравнения для транспортной матрицы (7.54) видно что, действительно, транспортную матрицу можно представить в виде T () = i + (). Следовательно и выражения для обобщенных уравнений движения для средних в методе НСО и Мори совпадают по своей структуре.

7.5 Kинетическое уравнение Цванцига В предыдущем параграфе мы показали, что даже в методе НСО, который удовлетворяет необратимому во времени уравнению движения, чтобы получить правильные выражения для кинетических коэффициентов приходится обра щаться к методике операторов проектирования. Поэтому вполне естественно попробовать сразу отпроектировать статистический оператор и рассматривать только ту его часть, которая в состоянии описать необратимую эволюцию си стемы. При этом можно ограничиться простейшим предположением, а именно:

считать, что статистический оператор можно представить в виде суммы двух членов (t) = P(t) + (1 P)(t). (7.67) Разбиение на два слагаемых производится таким образом, чтобы для величины P(t) можно было бы сформулировать замкнутое уравнение. Все существующие теории исходят из того, что оставшаяся часть статистического оператора ( P)(t) вообще не дает вклада в наблюдаемую динамику.

Будем называть основным кинетическим уравнением уравнение движе ние для некоторой части статистического оператора. Очевидно, что выделе ние этой части не является произвольным и должно удовлетворять определен ным принципам.

Для того чтобы представление (7.67) могло служить основой для построения теории, необходимо, чтобы это разделение соответствовало выделению медлен ной кинетической части и быстро осциллирующей динамической части. Далее, для самосогласованности теории операторы P и (1 P) должны обладать свой ствами проекционных операторов:

P 2 = P, (1 P)2 = (1 P), P(1 P) = 0. (7.68) Выполнение этих соотношений гарантирует, что операторы P(t) и (1 P)(t) являются ортогональными в некотором смысле и создают предпосылки для разделения динамики величин P(t) и (1 P)(t).

Наиболее существенным свойством такого разбиения должна быть воз можность построения замкнутого уравнение для кинетической части P(t).

Заметим, что сформулированная выше программа может приводить к со вершенно различным уравнениям. Причина этого достаточно очевидна. Дей ствительно, единственным для каждой системы является только состояние тер модинамического равновесия. Неравновесных же состояний существует бесчис ленное множество. Так как "класс"неравновесных состояний определяется вы бором оператора проектирования, то очевидно, что и различных проекционных операторов можно определить сколько угодно.

В методе Мори мы познакомились с проекционными операторами, про ектирующими динамические переменные на некоторый базисный набор опе раторов. Здесь же мы рассмотрим одно из возможных определений операто ра проектирования для статистического распределения и использование такого подхода для вычисления кинетических коэффициентов. Знакомство с методом основных кинетических уравнений начнем с уравнения Цванцига. Заметим, что непосредственно использовать это уравнение для расчета кинетических коэф фициентов не представляется возможным из-за того, что оператор проектирова ния, использованный Цванцигом для иллюстрации метода, выделяет динамику системы в импульсном пространстве, полностью усредняя движение в коорди натном пространстве. Тем не менее все основные идеи метода проекционных операторов проследить по этой работе очень легко.

Итак, будем исходить из уравнения Лиувилля (t) + iL(t) = t для статистического оператора, которое справедливо как в классическом, так и в квантовом случаях. Для определенности мы будем иметь в виду квантовый случай.

Введем линейный, не зависящий от времени оператор проектирования P и разделим статистический оператор (t) на два слагаемых:

(t) = (t) + (t), (t) = P(t), (t) = (1 P)(t).

(7.69) Подействуем операторами P и (1 P) на левую и правую части уравнения Лиувилля. В результате получим уравнения (t) = PiL((t) + (t));

(7.70) t (t) = (1 P)iL((t) + (t)).

(7.71) t Чтобы система уравнений (7.70), (7.71) имела однозначное решение, необходи мо задать значение статистического оператора в некоторый момент времени.

Для получения замкнутого уравнения для (t), исключим (t)) из правой ча сти выражения (7.70). Проведем формальное интегрирование уравнения (7.71).

Для чего сначала умножим левую и правую части уравнения (7.71) на оператор exp{i(1 P)Lt} слева и запишем его в виде d exp{i(1 P)Lt}(t) = i exp{i(1 P)Lt}(1 P)L(t).

(7.72) dt Интегрируя уравнение (7.72) от некоторого начального момента времени t0 до интересующего нас времени t, получаем:

exp{i(1 P)Lt}(t) exp{i(1 P)Lt0 }(t0 ) = t = i exp{i(1 P)Lt }(1 P)L(t )dt. (7.73) t Умножая теперь левую и правую части уравнения (7.73) слева на оператор exp{i(1 P)Lt}, имеем t (t) = i exp{i(1 P)L(t t}(1 P)L(t )dt + t + exp{i(1 P)L(t0 t}(t0 ).

(7.74) Подставляя выражение (7.74) в правую часть формулы (7.70), для части ста тистического оператора (t) получаем уравнение описывающее необратимую эволюцию системы:

t (t) + iPL(t) = (t t)(t )dt t t iPL exp{i(1 P)L(t0 t)}(t0 ).

(7.75) Здесь (t t) = iPL exp{i(1 P)L(t t}i(1 P) L (7.76) Заметим, что экспоненциальные функции от операторных величин iL и P В выражениях (7.72), (7.76) понимаются как соответствующие степенные ряды.

Уравнение (7.75) все еще не является замкнутым уравнением, так как со держит величину (t0 ) в начальный момент времени t0. Вернемся к проблеме задания начального условия для уравнения Лиувилля. Ясно, что для сколько нибудь сложной системы нет никакой корректной в математическом смысле процедуры, позволяющей записать это начальное распределение. Конечно, все гда можно в качестве начального условия задать координаты и скорости всех частиц, составляющих систему в классическом случае или волновую функцию системы частиц в квантовом случае. Однако, это будет формальное задание, которым все равно невозможно воспользоваться.

Важно отметить, что для систем, которые по своему устройству являются, стохастическими, начальное распределение ничего по существу не должно опре делять уже через малый промежуток времени порядка времени размешивания в системе. Поэтому начальное распределение можно выбрать достаточно про извольно. Воспользуемся этим произволом, и выберем начальное распределение так, чтобы зависимость его от динамических величин определялась медленно изменяющимися переменными (например, интегралами или квазиинтегралами движения). Смысл такого выбора состоит в том, что обычно конкретный вид проекционного оператора, фигурирующего в теории, и начальное распределе ние выбираются согласованно, так что оператор проектирования не меняет на чального распределения.

Итак, выберем начальное распределение для уравнения (7.75) следующим образом:

(t0 ) = (t0 ), (t0 ) = 0.

(7.77) В этом случае основное кинетическое уравнение Цванцига можно записать в виде t (t) + iPL(t) = (t t)(t )dt. (7.78) t t Ядро интегрального уравнения (7.78) (t t) = iPL exp{i(1 P)L(t t}i(1 P) L (7.79) определяет "память"о всех предыдущих состояниях системы. Таким образом, мы получили замкнутое уравнение, описывающее немарковскую и необрати мую эволюцию части статистического оператора (t). Определив конкретный вид оператора проектирования и выражения для средних значений операторов физических величин, можно использовать уравнения (7.78), (7.79) для вычис лении кинетических коэффициентов.

7.6 Метод Робертсона Квазиравновесное распределение q (t, 0), которое мы рассмотрели в методе НСО, представляет собой некоторую часть неравновесного распределения. Оно позволяет вычислить средние значения базисных операторов, поскольку в силу одного из основных положений метода НСО средние значения базисных опера торов, вычисленные с использованием истинного неравновесного распределения и квазиравновесного распределения, равны между собой. Если нам удастся по строить замкнутое уравнение для определения квазиравновесного распределе ния и найти практический способ решения этого уравнения, позволяющий вос становить вид q (t, 0) в явном виде, то это сразу позволит выразить кинетиче ские коэффициенты через корреляционные функции операторов динамических величин, вычисленных с использованием квазиравновесного распределения.

Напомним различие в программах построения кинетической теории, ос нованной на методиках кинетического уравнения, статистического оператора и основного кинетического уравнения. В случае кинетического уравнения ос новной задачей является нахождение неравновесной функции распределения, т.е. построение решения уравнения Больцмана. При квантово-статистическом подходе в методе Кубо формальное решение уравнения Лиувилля получается относительно просто, и задача таким образом сводится к вычислению кинети ческих коэффициентов.

В методе НСО мы имеем, в каком-то смысле, промежуточную ситуацию. С одной стороны, НСО строится лишь из квазиинтегралов движения, т.е. медлен но изменяющихся динамических переменных в результате операции временного усреднения. Процедура замены точного статистического оператора НСО сама является операцией проектирования (выделением некоторой части статистиче ского оператора). Именно использование такого подхода позволяет получить замкнутые уравнения для нахождения неравновесных термодинамических па раметров системы. Тот факт, что число неравновесных параметров оказалось конечным (при точном динамическом описании это число должно быть порядка числа частиц в системе) указывает на то, что при этом используется огрублен ное описание, возникшее в результате временного усреднения.

Наконец, возможен и такой подход, при котором строится уравнение дви жения для квазиравновесного распределения сразу с использованием методики операторов проектирования.

Рассмотрим вывод этого уравнения. Будем исходить из уравнения Лиувил ля для НСО:

(t, 0) + iL(t, 0) = ((t, 0) q (t, 0));

+0. (7.80) t Вычтем из левой и правой частей этого уравнения оператор ( + iL(t))q (t).

t В результате выполнения этой операции получаем:

( + iL)((t, 0) q (t, 0)) = ((t, 0) q (t, 0)) t ( + iL)q (t, 0). (7.81) t Рассмотрим производную по времени от оператора q (t, 0). Так как, квазирав новесное распределение является функционалом от наблюдаемых средних зна чений Pn t взятых в один и тот же момент времени t, имеем q (t, 0) q (t, 0) Pn t.

= (7.82) Pn t t t n Так как t Pn t = SP{Pn (t, 0)}, Pn = SP{Pn (t, 0)};

t t то используя уравнение движения для НСО, запишем последнее равенство в форме Pn t = SP{Pn iL(t)(t, 0)}.

t Введем проекционный оператор Робертсона q, который мы определим соотношением:

q (t) q (t)A = SP{Pn A}. (7.83) Pn t n Используя оператор проектирования Робертсона, запишем уравнение (7.82) в виде q (t) q (t) = SP{Pn iL(t)(t)} = q (t)iL(t)(t).

Pn t t Добавим и вычтем в правой части последней формулы член q (t)iLq (t), что позволяет записать его в виде:

q (t) = q (t)iL(t)q (t) q (t)iL(t)((t) q (t)). (7.84) t Подставляя этот результат в последний член правой части уравнения (7.81), получаем уравнение для квазиравновесного распределения:

( + iL)((t, 0) q (t, 0)) = ((t, 0) q (t, 0)) t (1 q (t))iL(t)q (t) + q (t)iL(t)((t) q (t)). (7.85) Однако данное уравнение пока не является замкнутым уравнением для q (t), так как содержит НСО (t). Преобразуем уравнение (7.85) к виду, который допускает интегрирование:

( + + (1 q (t))iL)((t, 0) q (t, 0)) = t = (1 q (t))iL(t)q (t). (7.86) Оператор Лиувилля в уравнении (7.86) зависит от времени. По этой причине для интегрирования уравнения (7.86) необходимо ввести обобщенный оператор эволюции U (t, t), описывающий эволюцию произвольной динамической вели чины от момента времени t до момента t в том случае, когда гамильтониан системы зависит от времени.

Определим обобщенный оператор эволюции уравнением U (t, t) = U (t, t)[1 q (t ]iL(t ).

t Естественным начальным условием для этого уравнения является равенство оператора эволюции единице, если временные аргументы совпадают. В этом случае решение уравнения движения для оператора эволюции дает простой ре зультат:

t U (t, t) = T exp{ dt1 (1 q (t1 ))iL(t1 )}. (7.87) t В этом выражении интеграл понимается как сумма операторов, взятых в раз ные моменты времени, а экспонента - как соответствующий степенной ряд. Вви ду того, что операторы, взятые в разные моменты времени, могут не комму тировать между собой, необходимо дополнительно задать порядок следования операторов. Для этих целей используется символ T, обозначающий временное упорядочение операторов, при котором временной аргумент операторов возрас тает справа налево.

Используя обобщенный оператор эволюции (7.87), запишем решение урав нения (7.86) (t) q (t) = dt1 et1 U (t + t1, t)( = q (t + t1 ))iL(t + t1 )q (t + t1 ).

Чтобы получить замкнутое уравнение движения для квазиравновесного стати стического оператора q (t), подставим последний результат в уравнение (7.84).

В результате получаем искомое основное кинетическое уравнение, содержащее только квазиравновесный статистический оператор:

q (t) = q (t)iL(t)q (t) + q (t)iL(t) t dt1 et1 U (t + t1, t)( q (t + t1 )iL(t + t1 )q (t + t1 ). (7.88) Стоит отметить, что уравнение (7.88) удается проинтегрировать только в са мых простых случаях. Для большинства реальных ситуаций такие попытки обречены на неудачу. Поэтому, очевидно, что значительно проще записать си стему обобщенных кинетических уравнения для базисных динамических пере менных и затем эту систему решать.

7.7 Применение ОКУ для вычисления кинетиче ских коэффициентов Рассмотрим вывод уравнения баланса импульса неравновесных электро нов, основанный на использовании уравнения для q (t) (7.88).

Пусть имеется система неравновесных электронов проводимости, которая может быть описана обратной температурой кинетических степеней свободы электронов k, неравновесным химическим потенциалом и дрейфовой скоро стью V.

Будем считать, что неравновесная температура электронной системы и неравновесный химический потенциал известны и требуется найти только дрей фовую скорость. Кроме того будем также полагать, что гамильтониан системы не зависит от времени и неравновесное состояние системы является стационар ным. В этом случае квазиравновесное распределение также не будет зависеть от времени. Заметим, что если гамильтониан системы от времени не зависит ( приложенное электрическое поле, которое вызывает дрейф электронов, являет ся постоянным), то оператор эволюции существенно упрощается:

t dt1 (1 q (t1 ))iL(t1 )} = e(1q ) iL t1.

U (t + t1, t) = T exp{ t Для получения уравнения баланса импульса электронной системы умно жим левую и правую часть уравнения (7.88) на P, компоненту оператора им пульса, и вычислим шпур от левой и правой частей полученного уравнения.

Выполняя эти преобразования, имеем P q (t) = SP{P q iL q } + (7.89) t dt1 et1 SP{P q iL e(1q ) iL t1 [1 q ]iL q }.

+ Уравнение (7.89) является искомым уравнением баланса импульса неравно весной системы электронов, но это уравнение записано в общей форме и для конкретных приложений нуждается в некотором уточнении.

Во-первых, будем считать, что гамильтониан системы H может быть за писан в виде H = He + Hp + Hep + HF ;

H0 = He + Hp, где He, Hp - гамильтонианы невзаимодействующих электронной и фононной подсистем кристалла, Hep - гамильтониан взаимодействия электронов с фоно нами, HF - гамильтониан взаимодействия электронов с постоянным однородным электрическим полем.

Во-вторых, оператор энтропии системы запишем в виде S = + k He + Hp k P V n, где n- оператор числа частиц, - функционал Масье-Планка V n) = ln SP{e(k He +Hp k P }.

Обратимся к уравнению баланса импульса (7.89) и постараемся по воз можности упростить его отдельные члены. Выражение, стоящее в левой части уравнения, равно нулю, поскольку мы рассматриваем стационарные условия и статистический оператор q от времени не зависит.

Рассмотрим внеинтегральный член, стоящий в правой части уравнения (7.89). Пользуясь определением проекционного оператора Робертсона, получаем q SP{P q iLq } = SP{P }SP {Pn iLq }. (7.90) Pn n Cуммирование производится по всему набору базисных операторов, входящих в определение оператора энтропии (кроме V, в нашем случае это еще операторы He и n.

В силу свойств симметрии корреляционных функций, отличный от нуля вклад в сумму в выражении (7.90) даст только тот член, в котором в каче стве базисного оператора взят оператор P, термодинамически сопряженный дрейфовой скорости V.

Действительно, q q Fm d Pm = =, (7.91) q q Pn Fm Pn (Pm, Pn ) m где значок, как и ранее означает функциональную производную, а Pm = Pm SP{Pm q }.

Подставляя этот результат в выражение (7.90) и производя сокращение оди наковых членов в числителе и знаменателе, получаем SP{P q iLq } = SP {P iLq } = SP {P q }, (7.92) где P = [P, H0 + Hep + HF ].

i Оператор P коммутирует с гамильтонианом H0. Далее, поскольку по построению статистический оператор q не содержит взаимодействие, то SP{[P, Hep ]q } = 0, так как гамильтониан Hep не имеет диагональных мат ричных элементов. Таким образом, единственным отличным от нуля будет вклад от коммутатора операторов P и HF. Учитывая явный вид оператора HF = e i Xi E, где Xi - координата i-го электрона, а суммирование прово дится по всем электронам, окончательно получаем SP{P q iLq } = enE. (7.93) Рассмотрим теперь интегральный член в правой части уравнения (7.89).

Поскольку по своему смыслу интегральный член описывает столкновения элек тронов с рассеивателями и соответствует на языке кинетического уравнения интегралу столкновений, то, используя обычное для кинетической теории при ближение, согласно которому влиянием электрического поля на процессы столк новения можно пренебречь, мы опустим слагаемое HF в гамильтониане системы при рассмотрении интеграла столкновений.

Рассмотрим вначале выражение, стоящее под знаком интеграла в формуле (7.89). Выполняя проектирование с помощью оператора проектирования q, стоящего первым в фигурной скобке, получаем SP{P q iL e(1q ) iL t1 [1 q ]iL q } = q = SP{P } SP{P iL e(1q ) iL t1 [1 q ] iL q }.

P Учитывая, что q SP{P } =, P и обозначая интегральный член в правой части (7.89) буквой I, получаем dt1 et1 SP{P iL e(1q ) iL t1 [1 q ] iL q }.

I= (7.94) Заметим, что уравнение баланса импульса имеет простой смысл: сила, дей ствующая на электроны проводимости со стороны внешнего электрического по ля, равна скорости изменения импульса электронов за счет их стокновения с рассеивателями. По этой причине интеграл столкновения в выражении (7.89) должен быть линеаризован по дрейфовой скорости V.

Для выполнения линеаризации необходимо воспользоваться разложением квазиравновесного статистического оператора. Для нашего случая имеем q = 0 + d 0 k V P 0 1.

q q q Подставляя этот результат в интеграл столкновений (7.94), получаем 0 dt1 et I = k d SP {P iL e (1q ) iL t [1 q ] iL P ( ) 0 } V. (7.95) q В этом выражении P ( ) = 0 P 0 1.

q q Для дальнейшего преобразования выражения (7.95) удобно перейти к друго му представлению, заменив проекционный оператор Робертсона более удобным проекционным оператором, являющимся обобщением проекционного оператора Мори на случай неравновесных систем.

Рассмотрим корреляционную функцию d SP{Bq (CA( ))}.

В этом выражении A, B и C- некоторые произвольные операторы, смысл обо значения A( ) определен выше.

Выполняя проектирование с помощью оператора Робертсона и учитывая со отношение (7.91), рассматриваемую корреляционную функцию можно записать в виде 1 d SP{B Pn 1 } d SP{Bq (CA( ))} = q q nm 1 d SP{Pm CA( )q } = d SP{BP CA( ) q }.

(Pn, Pm ) 0 (7.96) В выражении (7.96) мы ввели новый проекционный оператор P, определя емый соотношением P CA( ) = Pn ( ) (Pm C, A). (7.97) (Pn, Pm ) nm Формула (7.96) позволяет убедиться в том, что в корреляционных функциях рассматриваемого вида проекционный оператор Робертсона q можно заменить проекционным оператором P, являющимся обобщением оператора проектиро вания Мори на случай неравновесных систем. Этим мы и воспользуемся в даль нейшем для преобразования интеграла столкновений.

Выполним интегрирование в выражении (7.95) по времени t1. В результа те получается представление интеграла столкновений в виде корреляционной функции от резольвенты:

d SP{P (1 q )iLP ( )q }V.

I = k (7.98) + (1 q )iL Рассмотрим оператор (1 q )iLP ( )q, M ( )q = + (1 q )iL входящий в выражение под знаком шпура в формуле (7.98). Можно прове рить,что для этого оператора выполняется тождество ( + iL)M ( )q = q iLM ( )q + (1 q ) iLP ( )q (7.99) Если учесть соотношение (7.96), то можно легко доказать следующие два ра венства:

1 SP{B(q iLM ( )q )} = SP{B(P iLM ( )q )};

0 1 SP{B(P iLP ( )q )}.

SP{B(q iLP ( )q )} = 0 Отсюда, в силу произвольности оператора B, тождество (7.99) можно пере писать, заменив проекционный оператор Робертсона q новым проекционным оператором P :

( + iL)M ( )q = P iL M ( )q + (1 P ) iLP ( )q.

Последнее выражение можно записать в другой форме, если перенести в левую часть первый член правой части, и разрешить полученное уравнение относи тельно оператора M ( )q. В итоге получаем:

(1 P )iLP ( )q.

M ( )q = (7.100) + (1 P )iL Последнее равенство справедливо лишь в том случае, если оператор M ( )q находится под знаком шпура в корреляционных функциях.

Учитывая исходное определение оператора M ( )q, подставим полученный результат (7.100) в интеграл столкновений, записанный в форме (7.98). В ре зультате получаем выражение, очень напоминающее по структуре выражение для функции памяти :

I = k (P (1 P )iL, P )V. (7.101) + (1 P )iL В этом выражении, как и ранее, использовано определение “скалярного” произведения операторов A и B:

d SP{A, B1 }.

(A, B) = q q Для того чтобы продвинуться дальше, вспомним, что при нашем определе нии оператора Гамильтона и оператора энтропии оператор P ( ) коммутирует с гамильтонианом H0, и если опрератор Лиувилля iL = iL0 + iLp разбить на две части, где iL0 - оператор Лиувилля, соответствующий гамильтониану H0, а iLp - гамильтониану Hep, то выполняется равенство iL0 P ( )q = 0, и в пер вом борновском приближении интеграл столкновений (7.101) можно записать в виде 0 dt1 et1 SP{P(p) eiL0 t1 iLp P ( )q }.

I = k (7.102) В выражении (7.102) уже набран второй порядок по взаимодействию Hep и поэтому операторы проектирования опущены (учет их приводит к необходимо сти удерживать члены четвертых и еще более высоких степеней по гамильто ниану электрон-фононного взаимодействия.

Вернемся вновь к уравнению баланса импульса (7.89) и установим связь величины I в выражении (7.102) с феноменологическими характеристиками.

Исходя из феноменологических соотношений уравнение баланса импульса в стационарном случае может быть записано в виде P enE = P = nmV.

;

В этом выражении - время релаксации импульса неравновесных электронов.

Учитывая соотношения (7.89), (7.102) и (7.93), а также записанное выше опре деление времени релаксации, очевидно имеем 0 1 k t SP{P(p) eiL0 t1 iLp P ( )q }.


= dt1 e (7.103) nm Выражение (7.103) определяет время релаксации импульса неравновесных электронов.

Дальнейшие вычисления достаточно громоздки. Поэтому мы приведем лишь некоторые промежуточные результаты.

Из определения зависимости оператора P ( ) = P от времени q q следует, что для нашего случая, когда [P, q ] = 0, справедливо равенство P ( ) = P, и интегрирование по в выражении (7.103) дает просто единицу.

Тогда, записывая член iLp P q в явном виде, вместо (7.103) получаем 1 k dt1 et1 SP{P(p) eiL0 t1 (P q Hep 1 Hep P )q }.

= (7.104) q nm i Перейдем в этом выражении к представлению вторичного квантования по электронным переменным.

1 k dt1 e1 = { P(p) (t1 )P Hepµ µ (i ) p nmi µµ a+ (t1 ) a (t1 ) a+ a a+ (i ) aµ (i ) (7.105) µ a+ (t1 ) a (t1 ) a+ aµ a+ a }.

P(p) (t1 )Hepµ µ P p µ Заметим, что каждый из индексов суммирования в формуле означает сумми рование как по орбитальным так и по спиновым квантовым числам.

В качестве системы собственных функций при переходе к представлению вторичного квантования выбраны, как обычно, плоские волны. Угловые скобки означают среднее по электронным состояниям, угловые скобки p - усреднение по состояниям рассеивателей.

Рассмотрим квантово-статистическое среднее по электронным перемен ным. Учитывая теорему Вика и тот факт, что матричные элементы оператора электрон-фононного взаимодействия не имеют диагональных матричных эле ментов, получаем для первого среднего a+ a a+ a aµ aµ = f (1 f )2 µ µ + f (1 f ) µ µ и, аналогично, для второго a+ a a+ aµ a+ a = f (1 f )(1 f ) µ µ µ f f (1 f ) µ µ.

При выводе этих соотношений учтено, что неравновесная функция распреде ления электронов f = a+ a. Усреднение производится по квазинерав новесному распределению, в котором опущена дрейфовая скорость электронов (уравнение баланса импульса записано в линейном по дрейфовой скорости при ближении).

Используя определения гйзенберговской зависимости операторов a+ и a от времени t и мнимого времени i, получаем i a+ (t + i )a (t + i ) = a+ a exp{ ( )t} exp{k ( )}.

Аналогичные соотношения имеем и для операторов рождения и уничтоже ния фононов:

b+ (t + i ) = b+ exp{iq t} exp{ };

q bq (t + i ) = b exp{iq t} exp{ }.

Подставляя эти результаты в выражение (7.105), а также учитывая выра жения для гамильтониана Hep и оператора Pp, получаем 1 q {|(U |2 [ Nq eiq t q dt1 et = nm µ µq (P f (1 f ) P f f ) (Nq + 1) eiq t (P f (1 f ) P f f )] |U |2 [(Nq + 1)eiq t q (P f (1 f )) P f f ) i ( )t Nq eiq t1 (P f (1 f ) P f f ]}e. (7.106) q Во втором члене, пропорциональном |U nu |2, сделаем замену индексов сум мирования. Учитывая, что |U |2 = |U |2, q q видно, что квадратные скобки в выражении (7.106) являются одинаковыми, ес ли сделать еще и замену переменной интегрирования, t1 t1. После такой замены интегрирование по времени в этом члене будет производиться в преде лах от нуля до бесконечности. Наконец, объединяя два интеграла в пределах от до 0 и от 0 до в один с пределами интегрирования от до + и выполняя интегрирование по времени, находим 1 1 q {|(U |2 {Nq + 1)(P f (1 f ) q = nm µ µq P f f ) Nq (P f (1 f ) P f f )}( + q ).

Если в последней формуле воспользоваться законом сохранения импульса в каждом элементарном акте рассеяния, согласно которому P = P + q, и учесть, что при интегрировании по углам обращаются в нуль все члены, содер жащие нечетное число степеней векторов P, q, то мы сразу получаем уже известное выражение для обратного времени релаксации неравновесной систе мы.

Итак, мы показали, что использование основного кинетического уравне ния для квазиравновесного распределения позволяет эффективно решать зада чи, связанные с вычислением кинетических коэффициентов сильно неравновес ных систем, основываясь на квантово-статистическом подходе.

Приложение Рассмотрим вычисление корреляционной функции + d Sp (S + S 1 ) = (S, S ) = o o o s S z s S z (1 ) d Sp (S + e S e = ). (7.107) o Используя коммутационные соотношения для поперечных компонент оператора спина [S, S z ] = ± S, получаем S e Hs = e+(Hs s ) S.

Таким образом, имеем 1 e s (S +, S ) = S + S. (7.108) s Принимая во внимание, что e Hs s e s S + S = Sp (S + S )e = Z e Hs + s e Hs = Sp (S = Sp (S S + S )e ) Z Z Z = Sp (e Hs ) (7.109) и коммутационные соотношения [S +, S ] = 2S z, окончательно находим (S +, S ) = Sz. (7.110) s Глава Двухвременные функции Грина В предыдущей главе мы показали, что реакция как классической, так и квантовой систем на внешнее механическое возмущение может быть выражена через запаздывающие двухвременные функции Грина.

Аппарат функций Грина получил довольно широкое применение как в статистической механике, так и при вычислении кинетических коэффициентов.

При этом использовались функции Грина различного вида: они различались, например, по характеру усреднения - если усреднение велось по основному со стоянию, то это были полевые функции Грина;

если же по статистическому ансамблю, то - термодинамические функции Грина и т.д.

Существуют три главные причины применения функций Грина: 1. Че рез них непосредственно выражаются важнейшие характеристики системы.

2. Функции Грнина имеют простой физический смысл. 3. Их можно вычис лять с помощью систематического метода, позволяющего опираться на фи зическую интуицию.Имеется два эквивалентных метода вычисления функций Грина. Первый из них связан с решением цепочки дифференциальных уравне ний, которым удовлетворяют эти функции. Другой метод состоит в разложении функции Грина в бесконечный ряд теории возмущений и в приближенном вы числении суммы этого ряда.

Здесь мы кратко рассмотрим основные свойства запаздывающих двухвре менных функций Грина, которые имеют сравнительно простую аналитическую структуру и, как мы уже видели, просто связаны с кинетическими коэффици ентами. Мы ограничимся рассмотрением квантовых функций Грина, поскольку классические функции Грина получаются в результате перехода ( 0). Более полно с различными аспектами теории функций Грина можно познакомиться в [4], [5].

8.1 Запаздывающие функции Грина Пусть A(t), B(t )-произвольные операторы в представлении Гейзенберга:

itH itH A(t) = exp A(0) exp, it H it H B(t ) = exp B(0) exp, где H- гамильтониан системы.

Уравнения движения для операторов имеют вид dA 1 = [A(t), H] = (A(t) H H A(t)).

dt i i Определим двухвременные запаздывающие функции Грина:

i GAB (t, t ) = A(t) B(t ) = (t t ) [A(t), B(t )], (8.1) где · · · -усреднение по большому каноническому ансамблю Гиббса, а (t) - разрывная функция. Заметим, что при t = t из-за наличия разрывного мно жителя функции Грина не определены.

Из вида функций Грина следует, что они определяются корреляционными функциями вида FAB (t, t ) = A(t) B(t ).

Эти функции, как нетрудно заметить, зависят только от разностей временных аргументов, что непосредственно следует из инвариантности шпура относитель но циклической перестановки сомножителей, поэтому GAB (t, t ) = GAB (t t ).

Составим цепочку уравнений для для функций Грина. Дифференцируя по времени t выражение (8.1), получаем dGAB (t, t ) d i =i A(t) B(t ) = dt dt d(t t ) dA(t) = [A(t), B(t )] + i, B(t ). (8.2) dt dt Представляя разрывную функцию (t) следующим образом:

t d(t) (t) = (t ) dt, = (t) dt и принимая во внимание уравнения движения для операторов, имеем dGAB (t, t ) i = dt = (t t ) [A(0), B(0)] + ( A(t)H HA(t) ) B(t ). (8.3) При записи уравнения (8.3) мы приняли во внимание, что в статистическом равновесии среднее A(t)B(t ) зависит только от разности (t t ), поэтому A(t)B(t ) = A(0)B(0).

Из выражения (8.3) видно, что в его правой части стоит функция Гри на от произведений большего числа операторов, чем в исходной, иными сло вами, функция Грина более высокого порядка. Цепочки таких уравнений есть уравнения движения для функций Грина. Эти уравнения являются точными, поэтому решение их весьма сложная задача. Для решения цепочки уравнений нужно также задать и граничные условия. При решении конкретных задач воз можно построение приближенного решения путем обрыва бесконечной цепочки уравнений, если в системе имеется малый параметр.


8.2 Спектральные представления для функций Грина Пусть E, -собственные значения и собственные функции гамильтониана системы H (-набор квантовых чисел, определяющих состояние ):

H = E.

Рассмотрим среднее значение двух операторов A(t)B(t ), которое предста вим в следующем виде:

A(t )B(t) = Z 1 ( A(t )B(t) )e E = = Z 1 ( A(t )µ )( B(t) )e E, (8.4) µ µ где e E Z= -статистическая сумма;

= 1/kb T.

Принимая во внимание, что itH itE exp ( ) = exp ( ), имеем A(t )B(t) = Z 1 ( A(t )B(t) )e E = ( A(0)µ )( B(0) )e E ei(tt )(Eµ E )/.

=Z (8.5) µ µ Выражение (8.4) можно записать в виде JAB ()ei(tt ) d, A(t )B(t) = (8.6) где введено следующее обозначение JAB () = 2 Z 1 ( A(0)µ )( B(0) ) µ µ e E (Eµ E ). (8.7) Выражение JAB () есть спектральное представление для корреляционной функции FAB = A(t )B(t).

Проделав аналогичные вычисления для корреляционной функции FBA = B(t)A(t ), нетрудно получить важное свойство спектральной интенсивности:

JAB () = JBA () e.

При t = t формула (8.6) принимает следующий вид:

JAB () e d, A(0)B(0) = B(0)A(0) = JBA () d. (8.8) Таким образом, спектральное представление есть просто определение фурье компоненты временной корреляционной функции.

Рассмотрим теперь спектральные представления для запаздывающей функции Грина, используя спектральные представления для временных кор реляционных функций.

Пусть G() - фурье-компонента для функции Грина G(t t ):

d G() ei (tt ), G(t t ) = dt G(t) ei t.

G() = (8.9) Подставим во второе равенство (8.9) явный вид функции Грина. Используя далее явный вид для корреляционных функций (8.7), имеем 1 d JBA ( ) e dt ei ( )t GBA () = 1 (t). (8.10) 2 i Представим разрывную функцию (t) через интеграл t eixt i t (t) = dt e (t) = dx, ( 0). (8.11) 2 x + i Такая запись (t) справедлива, поскольку dx eixt.

(t) = В результате, имеем ei ( )t (t) dt = 2 i 1 ( x) 1 = dx =. (8.12) 2 x + i 2 + i Принимая во внимание выражение (8.12) для Фурье-компоненты запаздыва ющей функции Грина, получаем 1 d ( e GBA () = 1). (8.13) 2 + i Воспользуемся символическим тождеством под знаком интеграла, 1 =P ± i ( ), (8.14) + i где символ P означает, что интеграл надо брать в смысле главного значения. В результате получим 1 d ( e GBA () = P 1) JBA ( ) 2 i (e 1) JBA (). (8.15) Таким образом, между вещественной и мнимой частями функции Грина име ется следующая связь (предполагается, что JBA () является действительной):

1 Im GBA ( ) Re GBA () = P d. (8.16) Соотношение (8.15) называется дисперсионным соотношением для запаздыва ющей функции Грина.

Спектральные представления и дисперсионные соотношения функций Грина непосредственно приводят с спектральным представлениям и дисперси онным соотношениям для кинетических коэффициентов, поскольку последние выражаются через запаздывающие функции Грина.

8.3 Правила сумм Правила сумм представляют собой простые тождества, которые находят свое приложение в теории неравновесных процессов при вычислении различных кинетических коэффициентов. Они следуют из спектральных разложений для функций Грина.

Согласно определениию, для запаздывающих функций Грина имеем A B(t) ei t dt.

A B = (8.17) Интегрируя это соотношение по всем частотам, получаем o [A B(t)] ei t dt = A B(t) d = d i o = [A B(t)] (t) dt. (8.18) i Таким образом, мы имеем следующее тождество:

A B(t) d = [A(0) B(0)], (8.19) i которое называется правилом сумм.

Правило сумм другого типа можно получить, если проинтегрировать вы ражение (8.17) по частям, полагая, что [A, B(t)] |t= = 0.

Имеем A B = o 1 1 dB(t) ] ei t dt.

= [A(0) B(0)] [A (8.20) dt Таким образом, ( A B [A(0) B(0)] ) d = o dB(t) dB(t) = 2 [A ] (t) dt = [A ] t=o. (8.21) dt dt Соотношение (8.21) и есть правило сумм второго типа.

8.4 Симметрия функций Грина Очевидно, что симметрийные свойства функций Грина непосредственно вытекают из свойств симметрии корреляционных функций FAB (t, t ).

Пусть уравнения движения операторов A, B инвариантны относительно замены времени, при котором A A A, B B B, где A,B = ± 1 в зависи мости от четности операторов при обращении скоростей.

Рассмотрим спектральную функцию JAB () ei (tt ) d.

A(t) B(t ) = Очевидно, что при замене t t, t t, i i левая часть корреляционной функции умножится на A B, а в правой части JAB JAB (т.к. i i). Таким образом, получаем JAB () = JAB () A B, (8.22) т.е. спектральная интенсивность вещественна для операторов одинаковой чет ности.

Если принять во внимание вещественность спектральной интенсивности, то нетрудно убедиться, что A(t), B(t ) = B + (t), A+ (t ) и, следовательно, A B = B + A+.

При наличии внешнего магнитного поля спектральная интенсивность вре менных корреляционных функций перестает быть вещественной, но посколь ку уравнения движения инвариантны относительно инверсии времени с од новременным обращением направления магнитного поля на противоположное (H H), то спектральная интенсивность в данном случае будет обладать свойством симметрии JAB,H () = JAB,H () A B, (8.23) вместо (8.22), а функции Грина при этом обладают свойством симметрии A(t) B(t ) H = B + (t) A+ (t ) H A B, B + A+,H = A B,H A B.

8.5 Соотношения взаимности Онсагера Соотношения взаимности для кинетических коэффициентов (или свой ства симметрии кинетических коэффициентов) были установлены Онсагером в 1935. Они отражают на макроскопическом уровне инвариантность микроскопи ческих уравнений движения. Свойства симметрии непосредственно вытекают из теории линейной реакции системы на механическое возмущение и инвариантно сти уравнений движения относительно обращения времени с заменой H H.

Заметим, что справедливость свойств симметрии не зависит от того, каким воз мущением вызван необратимый процесс - механическим или термическим. Эти соотношения имеют большое значение и применение, поскольку на них в зна чительной мере основано построение неравновесной термодинамики.

Рассмотрим свойства симметрии кинетических коэффициентов. Пусть на систему действует возмущение механического типа, которое включается адиа батически. Гамильтониан такого возмущения представим в виде:

n H1 (t) = Fj (t)Aj, (8.24) j где Fj (t) - внешняя сила;

Aj - динамическая переменная. Согласно теории линейной реакции, отклик системы на возмущение описывается выражением t A = A o + L(t t )F (t ) dt, (8.25) где L(t t ) = A(t) A(t ) - обобщенная матрица реакции с компонен тами Lij (t t ) = Ai (t) Aj (t ), где двойные скобки обозначают запаздывающую функцию Грина.

Рассмотрим изменение динамической величины со временем:

d Aj o = Aj o.

dt Скорость изменения динамической переменной со временем Aj назовем опе ратором потока, а ее среднее значение Aj - потоком. Очевидно, что в состоянии статистического равновесия потоки равны нулю.

Запишем выражение для потоков, возникающих под действием возмуще ния. По аналогии с (8.25) имеем t Ai = Lik (t t ) Fk (t ) dt, (8.26) где Lik (t t ) = Ak (t i )Ai (t) d. (8.27) o Разлагая силы и потоки в интегралы Фурье, получим A() = L() F (), где Lik (t) eit dt = Ai Ak = Lik () = Ak Ai (t + i ) ei t t dt d = (8.28) o o тензор кинетических коэффициентов для периодических процессов с частотой.

Разбивая L() на вещественную и мнимую части L() = L () + iL (), можно, используя связь между вещественной и мнимой частями функции Гри на, найти дисперсионные соотношения для кинетических коэффициентов 1 Lik (u) Lik () = P du (8.29) u 1 Lik (u) Lik () = P du. (8.30) u Символ P означает, что интегралы надо понимать в смысле главного значения.

Из вещественности A, F (t) следует, что F () = F (), A = A, и поэтому Lik () = L ().

ik С учетом этих выражений дисперсионные соотношения можно представить в следующем виде:

1 2u Lik (u) Lik () = P du, (8.31) u2 1 2 Lik (u) Lik () = P du. (8.32) u2 Используя свойства симметрии функций Грина (инвариантность уравнений движения относительно обращения времени с заменой направления магнитного поля на обратное), получим свойства симметрии для частотных кинетических коэффициентов Lik (, H) = Lki (, H)i k. (8.33) Соответственно для стационарных кинетических коэффициентов ( = 0) имеем Lik (H) = Lki (H)i k, (8.34) откуда для их симметричных и антисимметричных частей 1 Ls = (Lik + Lki ), La = (Lik Lki ) ik ik 2 получаем следующие условия симметрии:

Ls (, H) = Ls (, H)i k, La (, H) = La (, H)i k. (8.35) ik ki ik ki Выражения, определяющие симметрийные свойства кинетических коэффици ентов (8.35), и есть соотношения взаимности Онсагера 8.6 Флуктуационно-диссипационная теорема Флуктуационно-диссипационными теоремами называются соотношения между, например, кинетическими коэффициентами, определяющими реакцию системы на внешнее возмущение, и равновесными флуктуациями. Частным слу чаем таких теорем является формула Кубо для электропроводности. Впервые такие теоремы были сформулированы Кэлленом и Велтоном как обобщение формулы Найквиста для электрических шумов в линейных цепях.

Флуктуационно-диссипационные теоремы связывают различные харак теристики диссипативного процесса, например проводимость с равновесными флуктуациями в системе. Они непосредственно следуют из теории линейного отклика и спектрального представления для запаздывающей функции Грина.

Рассмотрим флуктуационно-дисспационную теорему для кинетических коэф фициентов Lik (t) eit dt = Ai Ak = Lik () = Ak Ai (t + i ) ei t t dt d.

= (8.36) o o Воспользуемся представлением фурье-компоненты для запаздывающей функ ции Грина, которая имеет вид 1 d (e GBA () = 1)JBA ( ). (8.37) 2 + i Таким образом, имеем 1 du (e u Lik () = 1)JAk Ai (u), (8.38) 2 u + i где Ak (t)A(t ) ei(tt ) dt.

JAk Ai () = (8.39) Выражение (8.38) можно представить и в другом виде:

1 u du Lik () = th J{Ak Ai } (u), (8.40) 2 u + i где J{Ak Ai } () = { J () + JAi Ak () } (8.41) 2 Ak Ai фурье-компоненты симметризованных временных корреляционных функций {Ak (t), Ai (t )} = Ak (t)Ai (t ) + Ai (t )Ak (t). (8.42) На примере электропроводности рассмотрим выражения, которые следу ют из флуктуационно-диссипационной теоремы Кэллена-Велтона, для случая, когда внешнее возмущение имеет вид e (Exj ) cos( t) e t = (E P ) cos( t) e t, H1 (t) = (8.43) j где P - вектор поляризации.

Очевидно, что для кинетического коэффициента в этом случае имеем th( /2) AB () = J{AB} () i 1 u du P JAB (u) th, (8.44) u 2 u где {JA (0), JB (t)} ei t dt.

J{AB} () = (8.45) Мы видим, что тензор электропроводности связан с равновесными флуктуаци ями токов. Из выражения (8.44) можно найти выражения для симметричной и антисимметричной компонент тензора электропроводности th( /2) s Re AB () = {JA (0), JB (t)} cos( t) dt, th( /2) a Im AB () = {JA (0), JB (t)} sin( t) dt. (8.46) При 0 из (8.46) следует теорема Найквиста s Re AB (0) = {JA (0), JB (t)} dt. (8.47) В заключение данного параграфа заметим, что в выражениях для кине тических коэффициентов нужно совершать два предельных перехода V, 0.

Правильный порядок предельных переходов состоит в том, что сначала совер шается переход V, а затем 0. Только такая последовательность вы полнения предельных переходов обеспечивает отбор запаздывающих решений уравнения Лиувилля и приводит к конечным результатам для кинетических коэффициентов.

8.7 Приложения 8.7.1 Вычисление интеграла Рассмотрим вычисление интеграла f I= () d. (8.48) Введем переменную = ( )/kT и разложим функцию () = () в ряд по степеням. Поскольку производная от функции распределения имеет дельтаоб разное поведение, то в интеграле основную роль будут играть только значения близкие к. т.е. малые.

() = (0) + (0) + (0) 2 +.... (8.49) Преобразуем e f0 f0 d = d = d = d. (8.50) +1 (e + 1) e Заменим нижний предел в интеграле I, равный z ( для переменной на, что допустимо, поскольку z 1. Имеем f0 f I= () d = (0) d + e 2 e + (0) d + (0) d.

)2 (1 + e ) (1 + e (8.51) Первый интеграл правой части равен 1, второй в силу нечетности подынте гральной функции нулю, третий равен 2 e 2 e d = = (1 + e )2 (1 + e ) 2 [e 2e2 + 3e3...]d = = = 2(1 1/4 + 1/9 1/16 +...) =. (8.52) При вычислении последнего интеграла проведено разложение множителя (1 + e )2 в ряд по e, а в конце использована формула для сумм знакопеременного ряда обратных значений квадратов натурального ряда чисел. Окончательно имеем I = (0) + (0). (8.53) 8.7.2 Вычисление корреляционной функции + d Sp (S + S 1 ) = (S, S ) = o o o s S z s S z (1 ) d Sp (S + e S e = ). (8.54) o Используя коммутационные соотношения для поперечных компонент оператора спина [S, S z ] = ± S, получаем S e Hs = e+(Hs s ) S.

Таким образом, имеем 1 e s (S +, S ) = S + S. (8.55) s Принимая во внимание, что e Hs s e s S + S = Sp (S + S )e = Z Hs Hs e +e + s = Sp (S S )e = Sp (S S ) Z Z Z = Sp (e Hs ) (8.56) и коммутационные соотношения [S +, S ] = 2S z, окончательно находим (S +, S ) = Sz. (8.57) s Литература [1] Ахиезер А.И.,Пелетминский С.В. Методы статистической физики. М.: На ука, 1977.

[2] Базаров И.П.,Геворкян Э.В.,Николаев П.Н. Неравновесная термодинамика и физическая кинетика. М.: МГУ, 1989.

[3] Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика. М.: Наука, 1971.

[4] Балеску Р. Статистическая механика заряженных частиц. М.: Мир, 1967.

[5] Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике.

М.:МГУ, 1979.

[6] Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.:Мир, 1964.

[7]. Исихара А. Статистическая физика. М.:Мир,1973.

[8] Репке Г. Неравновесная статистическая механика. М.: Мир,1990.

[9] Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений. М.: Мир, 1974.

[10] Силин С.В. Введение в кинетическую теорию газов. М.: Наука, 1973.

[11] Гуров К.П. Основания кинетической теории. М.: Наука, 1966.

[12] Фудзита С. Введение в неравновесную квантовую статистическую механи ку. М.: Мир, 1991.

[13] Хакен Г. Информация и самоорганизация. М.:Мир,1991.

[14] Кубо Р. Статистическая механика необратимых процессов. М.: ИЛ, 1962.

[15] Пригожин И. Неравновесная статистическая механика. М.: Мир,1964.

[16] Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука, 1982.

[17] Честер Д. Теория необратимых процессов. М.:Мир,1966.

[18] Хуанг К. Статистическая механика. М.:Мир,1966.

[19] Климонтович Ю.Л. Статистическая теория неравновесных процессов в плазме. М.: Наука, 1964.

[20] Хаазе Р. Термодинамика необратимых процессов. М.: Мир,1967.

[21] Румер Ю.Б., Рывкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и ки нетика. М.: Наука, 1972.

[22] Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979.

[23] Резибуа П., Де-Лернер М. Классическая кинетическая теория жидкостей и газов. М.: Мир,1980.

[24] Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика (Теория нерав новесных процессов). М.: МГУ, 1987.

[25] Биккин Х.М. Квантовая теория явлений переноса в твердых телах. Сверд ловск, УрГУ, 1982.

[26] Майер Дж., Гепперт-Майер М.. Статистическая механика. М.: Мир, 1980.

[27] Хир К. Статистическая механика, кинетическая теория и стохастические процессы. М.: Мир, 1976.

Игорь Иванович Ляпилин Введение в теорию кинетических уравнений Редактор издательства - И.Г. Южакова Корректор - М.Ю. Петров Компьютерная верстка - И.И. Ляпилин ЛР N 020315 от 23. 12. 1996 г.

Подписано в печать 07.03.01 Формат 60x84 1/ Бумага типографская Печать офсетная Уч.-изд. л. 11. Усл. печ.л. 11.92 Тираж 100 Заказ Цена "C" Редакционно-издательский отдел УГТУ-УПИ 620002, Екатеринбург, ул. Мира,

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.