авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 ||

«Труды III Колмогоровских чтений Ярославль 2005 Оглавление Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и мате- ...»

-- [ Страница 11 ] --

В ходе расчетов получено, что геометрическое преобразование поперечного треугольника пирамиды Хефрена в аналогичный тре угольник пирамиды Микерина происходит по принципу преобразо вания поперечного треугольника пирамиды Хеопса в равный себе треугольник: если построить две правильные четырехугольные пи рамиды на общем основании, поперечные треугольники которых построены на общем основании и описываются одной и той же окружностью, то если один из двух исследуемых треугольников является поперечным треугольником одной пирамиды, то второй треугольник является граневым треугольником второй пирамиды (рис. 4, 5).

440 Глава 4. История и философия математики Рис. 4. Геометрическое преобразование золотого треугольника 1-го рода в себе равный Богун В.В. Математические и астрономические модели архитектуры пирамид Гизы Рис. 5. Геометрическое преобразование поперечного треугольника модели пирамиды Хефрена в поперечный треугольник модели пирамиды Микерина Таким образом, можно сделать вывод о том, что наличие имен но трех основных пирамид в Гизе является необходимым и доста точном условием для выполнения описанных выше преобразова ний.

С другой стороны, геометрическая взаимосвязь между геомет рическими моделями пирамид Хеопса и Хефрена выражается в виде двух последовательных шагов, каждый из которых состоит в нахождении равнобедренного треугольника, в котором центр впи санной в него окружности совпадает с центром описанной вокруг исходного треугольника окружности при общей высоте (рис. 6):

1. Граневый треугольник пирамиды Хеопса (BEF ) квадро бедренный треугольник (основная высота равна основанию) (BGH).

2. Квадробедренный треугольник (BGH) поперечный тре угольник пирамиды Хефрена (ABC).

442 Глава 4. История и философия математики Рис. 6. Геометрическое преобразование граневого треугольника модели пирамиды Хеопса в поперечный треугольник модели пирамиды Хефрена Расчет реальных размеров пирамид Гизы осуществлялся на ос нове математического анализа комбинаций имеющих место геомет рических пропорций и царского локтя (ц.л.), который являлся ос новной единицей измерения в Древнем Египте:

1 ц.л. = 52,36 см = 0,5236 м.

До настоящего времени размеры пирамид выражались через числа, кратные царскому локтю и никаких внятных объяснений о взаимосвязи между размерами трех пирамид выше, не высказыва лось.

Если посчитать тангенсы углов при основании поперечных тре угольников пирамид Хеопса, Хефрена и Микерина, исходя из из Богун В.В. Математические и астрономические модели архитектуры пирамид Гизы вестных данных о размерах высот и сторон основания данных пи рамид, и сравнить их с геометрическими пропорциями пирамид, то получим значительные расхождения, что доказывает факт несо стоятельности выражения размеров пирамид через числа, кратные царскому локтю.

На рис. 7 ниже показана основная пирамида Гизы, связываю щая царский локоть с одним из характерных размеров пирамид Хеопса и Хефрена, то есть для нее справедливо следующее утвер ждение: если поперечные треугольники правильной четырехуголь ной пирамиды являются золотыми треугольниками 1-го рода, а ве личина радиуса вписанного в пирамиду шара равен ста царским локтям, то высота данной пирамиды равна усеченной высоте пи рамиды Хеопса, а стороны основания – сторонам основания пира миды Хефрена.

Рис. 7. Модель пирамиды, отображающей проект, заложенный в пирамидах Хеопса и Хефрена В книге [1] показано, что пирамида Хеопса и основная пира мида Гизы имеют идентичные геометрические модели, при этом высоты пирамид равны по значениям полной и усеченной высо там пирамиды Хеопса соответственно с разницей между собой в 444 Глава 4. История и философия математики царских локтей, стороны оснований соответственно равны сторо нам оснований пирамид Хеопса и Хефрена, причем сторона осно вания пирамиды Хеопса равна 232 метрам с точностью до 6 знака, а радиус вписанного в основную пирамиды Гизы шара равен по значению 100 царским локтям и меньше аналогичного параметра пирамиды Хеопса ровно на 4 метра.

Сторона основания пирамиды Хефрена определяется исходя из значения тангенса угла при основании и определенного выше зна чения высоты, тогда как для пирамиды Микерина рассчитывается значение высоты исходя из значения стороны основания (половина аналогичного параметра пирамиды Хефрена) и тангенса угла при основании.

Рассчитанные на основе геометрических моделей размеры пи рамид Хеопса, Хефрена и Микерина реально согласуются с резуль татами, полученными в ходе замеров пирамид различными иссле дователями, археологами и египтологами.

Что касается внутренней архитектуры пирамиды Хеопса, то для ее поперечного треугольника по результатам расчетов получа ем расположение центра вписанной в него окружности на уровне камеры царя, а центра описанной вокруг него окружности – на уровне камеры царицы (рис. 8).

Богун В.В. Математические и астрономические модели архитектуры пирамид Гизы Рис. 8. Поперечный разрез пирамиды Хеопса (версия автора) Сторона основания пирамиды Хеопса, помноженная на 6 мил лионов, даст значение диаметра Солнца с абсолютной погрешно стью около 1 км, тогда как значение величины, полученной пере множением полной и усеченной высоты пирамиды Хеопса на сто рону основания пирамиды и на число e (основание натурального логарифма), отличается от экваториального диаметра Земли менее чем на 10 м!

На рис.9 ниже показана схема, согласно которой, вероятнее все го, древние египтяне зашифровали расположение Венеры, Земли и Марса относительно Солнца в геометрии модели пирамиды Хеопса (поперечном и граневом треугольниках).

Суть схемы основывается на принципе последовательного пре образования равнобедренных треугольников, для которых имеет место равенство отношения основной высоты первого треуголь ника к половине его основания отношению диаметра описанной вокруг второго треугольника окружности к его основной высоте 446 Глава 4. История и философия математики (диаметр описанной вокруг второго треугольника окружности ра вен основной высоте первого треугольника), причем преобразова ния треугольников происходят в следующей последовательности:

1. Отношение средних радиусов орбит Марса и Земли – отно шение средних радиусов орбит Земли и Венеры (A3 B3 C3 ).

2. Отношение средних радиусов орбит Земли и Венеры – гране вый треугольник геометрической модели пирамиды Хеопса (A2 B2 C2 ).

3. Граневый треугольник геометрической модели пирамиды Хеопса – поперечный треугольник пирамиды Хеопса (A1 B1 C1 ) (рис. 9).

Рис. 9. Геометрическая интерпретация поперечного и граневого треугольников пирамиды Хеопса через расположение Венеры, Земли и Марса относительно Солнца Таким образом, геометрия пирамиды Хеопса является своеоб разной отправной точкой для построения схемы, показывающей взаимосвязь между средними радиусами орбит Венеры, Земли и Богун В.В. Математические и астрономические модели архитектуры пирамид Гизы Марса, причем, согласно данной схеме, мы получаем так называе мый парад трех вышеуказанных планет и Солнца, что, возможно, указывает на дату такого парада планет, зашифрованную в ком плексе пирамид Гизы, и несущую необходимую для нас информа цию относительно комплекса пирамид, расположенных на плато Гиза, Египет.

Библиографический список 1. Богун В.В. Геометрия древнего Египта. М.: Компания Спут ник+, 2003. 203 с.

2. Богун В.В., Колескин В.Н. Исследование золотой пропорции.

Социальные и гносеологические проблемы общества: Сб. науч.

тр. / Под общ. ред. д-ра техн. наук, проф. Л.П. Размолодина.

Ярославль: Изд-во: “Еще не поздно!”, 2004. C. 126 – 135.

3. Богун В.В. Взаимосвязь геометрии пирамиды Хеопса со сред ними радиусами орбит Венеры, Марса и Земли. Proc. Of JISC “New Geometry of Nature”, 2003. Kazan University Press. Vol. 3, P. 38–45.

4. Богун В.В. Геометрические свойства равнобедренных треуголь ников. Ярославский педагогический вестник. Ярославль: Изд во ЯГПУ, 2002. C. 119–124. № 2.

Глава История математического образования О некоторых задачах двойственности Г.И. Синкевич История математики знает немало примеров двойственных задач, наиболее известная – это обнаруженная Исааком Барроу двой ственность между задачами о нахождении касательной к кривой и о нахождении площади под кривой, что привело к открытию связи между дифференцированием и интегрированием. Конец девятна дцатого – начало двадцатого века характеризовались появлением большого количества математических наблюдений, новых матема тических объектов, формированием новых теорий.

Польский математик В. Серпинский, создавая теоретическую платформу польской школы, видел необходимость упорядочения аксиоматики теории множеств относительно аксиомы выбора и ги потезы континуума. В период с 1914 по 1918 гг. Серпинский жил в Москве и общался с математиками Московского университета:

Б.К. Млодзеевским, Д.Ф. Егоровым и Н.Н. Лузиным. В беседах с Лузиным у Серпинского появляется критический взгляд на гипо тезу выбора и природу континуума. Вообще говоря, Лузин не был сторонником применения аксиомы выбора. Его интересы лежали в области эффективных множеств, но при построении примеров сов местно с Серпинским он осознанно пользуется аксиомой выбора.

Заметим, что в некоторых ранних работах Лузина часто встре чается произвольный выбор. Из девяти работ Лузина, в которых явно используется аксиома Цермело, три работы написаны сов местно, одна является письмом к Серпинскому, а остальные (кроме одной) содержат обращение к работам Серпинского, либо ссылку на беседы с ним. Это показывает влияние идей Серпинского на творчество Лузина. Правда в конце третьего десятилетия XX ве ка, видимо под влиянием Бореля, позиция Лузина меняется, хотя Синкевич Г.И. О некоторых задачах двойственности он не отказывается от аксиомы выбора окончательно. Приведем здесь высказывание Лузина 1933 г., достаточно полно характери зующее его позицию: “Я рассматриваю вопросы существования с точки зрения натуралистов, как это делает Борель – великий нату ралист нашего времени. С этой точи зрения нет никакой разницы между применением рассуждения Цермело во всей его полноте и употребления так называемой “гипотезы континуума”. Все эти ве щи одинаково нереальны.

Если я трачу время на рассмотрение этих вещей, то не потому, что считаю их действительно серьезными, а потому, что через мно жество чисто словесных “существований”, слишком легких, чтобы принимать их всерьез, я вижу слабый свет настоящей интуиции, могущей привести нас к совершенно неожиданным фактам, кото рые мы обнаружим, если следовать другому пути” [1. Т. 2. C. 707].

Но в период 1914–1918 гг. Лузин не был столь осторожен, и немалую роль в этом сыграл Серпинский. Результаты, получен ные ими совместно, во многом послужили основой для дальнейших разработок Серпинского и ученых полькой школы;

таковым было, например множество Лузина. Это название в литературе имеют несколько объектов;

мы будем иметь в виду несчетное множество первой категории на всяком совершенном множестве, расположен ном в сегменте. Это множество было построено Лузиным в 1914 г.

в работе “Об одной проблеме Бэра” [1. Т. 2. C. 683–685].

Благодаря Лузину Серпинский стал требовательней к строго сти доказательств. В 1918 г. им был предложен новый способ до казательства – так называемый принцип минимума. Впервые Сер пинский использовал его в статье “Аксиоматическое определение множеств, измеримых B” [2. Т. 2. C. 187–191].

Другая проблема, поставленная Лузиным и также увлекшая Серпинского – это сохранение свойств Бэра и измеримости при суперпозиции функции. Относительно измеримых функций Лебег установил только, что сумма и предел сходящейся последователь ности измеримых функций, есть измеримая функция, отсюда изме римы все бэровские функции. Серпинский завершил цикл работ по инвариантности, измеримости и свойству Бэра перед Второй ми ровой войной, а начал его в московский период. Много своих работ 450 Глава 5. История математического образования посвятил Серпинский связи аксиомы выбора с гипотезой контину ума и исследованию множества Лузина, которое он использует во многих своих работах, в том числе, в одной из центральных своих работ по мере и категории “Двойственность между первой катего рией и мерой ноль”.

И Серпинский, и Лузин формировали свою методологию при разработке общих проблем. Лузин тяготеет к конструктивности, анализу свойств существующих объектов. Серпинского же интере сует наличие отображений, логически двойственные объекты. Эти тенденции впоследствии проявятся ярко в творчестве каждого из них.

Наиболее значительным из всех исследований Серпинского, по сле работ по упорядочению основ теории множеств, является цикл работ двадцатых и тридцатых годов ХХ века по мере и категории.

При этом Серпинский пользовался довольно широким понятием функции – как функции множества, а не как функции точки, раз личая ее поведение на различных подмножествах области опреде ления.

Смещение приоритета от функции точки к функции области обусловлено работами Лебега, Бэра, Бореля и Цермело. В методе интегрирования Лебега область определения функции подвергает ся перегруппировке точек для удобства интегрирования, то есть в понятии функции уже не столь важным становится закон соответ ствия, сколько множества определения и изменения функции.

При этом, наряду с представлением о функции как конструк тивном объекте (для которого прежде всего устанавливается, как осуществляется соответствие), возникает неэффективное представ ление (свое начало оно берет, видимо с определения Дирихле, со гласно которому совершенно не важно, как осуществляется это со ответствие).

В работах Серпинского и его современников образ функции од ного аргумента – это одномерное множество таких точек y, для которых y = f (x), а график такой функции – это плоское множе ство таких точек (x, y), для которых y = f (x). Лузин, например, в журнале “Fundamenta mathematicae” ставит вопрос так: любая ли функция, образ которой обладает свойством Бэра, будет обладать Синкевич Г.И. О некоторых задачах двойственности свойством Бэра?

Функция обладает свойством Бэра, если она непрерывна для некоторого совершенного множества P, кроме, может быть, мно жества первой категории. (У Бэра условие сформулировано так:

“Если функция точечно разрывна на любом совершенном множе стве, кроме, может быть, множества первой категории”.) Работа Серпинского “Функции, обратные функциям, удовле творяющим условию Бэра” (1939 г.) [2. Т. 3. C. 409–410], посвя щенная вопросу о сохранении свойства Бэра при отображениях, была написана им уже после открытия им двойственности меж ду мерой и категорией. Необходимость ее была вызвана тем, что, доказав существование взаимнооднозначного соответствия между множествами меры нуль и множествами первой категории и иссле довав, на основании предыдущих работ, свойства отображающей функции, Серпинский задался вопросом о существовании обратно го отображения и его свойствах. Можно предположить, что если бы не вскоре начавшаяся война, он решил бы проблему обратного отображения полностью.

В 1934 г. Серпинским была написана работа, занимающая цен тральное место среди исследований этого цикла. Она носит на звание “Дуальность между первой категорией и мерой нуль” [3].

Постановка вопроса такова. Известно много теорем о множестве первой категории, которые остаются верными и для множества меры нуль, и наоборот. С помощью гипотезы континуума дока зывается теорема, объясняющая эту двойственность: если верна гипотеза континуума, то существует такое взаимно однозначное отображение f (x) множества X всех действительных чисел на се бя, что когда есть подмножество множества X первой категории, тогда f1 (E) есть множество меры нуль;

когда же есть подмно жество множества X меры нуль, тогда P (E) будет множеством первой категории. Серпинский отмечает, что остается открытым следующий вопрос: существует ли преобразование f (X), которое удовлетворяет условиям теоремы и такое, что если E – множество меры нуль из X, то f (E) будет первой категории, а если E – мно жество первой категории из X, то f 1 (E) – множество меры нуль?

Иными словами, существует ли взаимно однозначное отображение 452 Глава 5. История математического образования прямой на себя, которое переводит все множества первой катего рии во все множества меры нуль и все множества меры нуль во все множества первой категории? Серпинский приложил немало уси лий для решения этого вопроса, но окончательный ответ на него дал венгерский математик П. Эрдёш.

Серпинский первым привел случай неприменимости теоремы о двойственности. Позднее Хаусдорф выделил пространства, где эта двойственность имеет место, назвав их пространствами меры, согласованной с категорией.

Зависимости теоремы дуальности от гипотезы континуума и характера функции, осуществляющей это преобразование, посвя щена работа Серпинского “О некоторых взаимно однозначных пре образованиях прямой на себя”. Серпинский утверждает, что функ ция, осуществляющая указанную связь, не может быть измери мой. С помощью множества Лузина и множеств, названных позд нее множествами Серпинского, он формулирует следующую теоре му: “В предположении гипотезы континуума существует функция f (x), которая преобразует взаимно однозначным образом прямую на себя и одновременно преобразует множество меры нуль во мно жество первой категории и каждое множество первой категории во множество меры нуль. Тем не менее, отмечает здесь же Сер пинский, даже допуская гипотезу континуума, пока невозможно решить проблему существования функции, преобразующей взаим но однозначно прямую на себя, обратная к которой преобразует каждое множество первой категории во множество меры нуль и каждое множество меры нуль во множество первой категории.

В 1943 г. венгерский математик П. Эрдёш опубликовал ста тью “Некоторые замечания по поводу теории множеств” [4], пер вая часть которой посвящена доказательству указанной теоремы.

Наложив условие на функцию f (x), Эрдёш получает требуемое утверждение:

“Существует ли функция, которая имеет указанное свойство и также еще такое свойство – она отображает множества первой ка тегории во множества меры нуль, а обратная к ней отображает множества меры нуль во множества первой категории? Мы дока жем, что такая функция существует. Наше доказательство ана Синкевич Г.И. О некоторых задачах двойственности логично доказательству Серпинского: мы, конечно, полагаем, что гипотеза континуума выполняется.” Окстоби в своей книге “Мера и категория” [5], высоко оценивая значение этой теоремы и отмечая, что Эрдёш лишь слегка усо вершенствовал доказательство Серпинского, предлагает такой ва риант теоремы (теперь она носит название теоремы Серпинского Эрдёша):

Пусть P – утверждение, в которое входят понятия множества меры нуль, множества первой категории и понятия чистой теории множеств. Пусть P – утверждение, полученное из P взаимной заменой всех терминов “нуль-множество” и “множество первой ка тегории”. Тогда каждое из утверждений P и P следует из другого при условии, что справедлива гипотеза континуума.

Итак, несмотря на то, что окончательный вариант результа та принадлежит Эрдёшу, Серпинский сделал большую часть ис следования: поставил и решил проблему одностороннего отобра жения, поставил проблему одновременного отображения, охарак теризовал функцию, осуществляющую отображение, рассмотрел зависимость теоремы от гипотезы континуума, а также показал ограниченность действия теоремы.

Теорема Серпинского-Эрдёша имеет методологический харак тер и в позднейшей литературе часто называется “методом двой ственности”.

Можно предположить, почему Серпинскому не удалось дока зать желаемую теорему. Он искал наиболее общий вид функции, описал некоторые ее свойства. Эрдёш удовлетворился частным случаем, не заботясь о степени общности.

В польской школе труды Серпинского по методу категорий бы ли развиты К. Куратовским, С. Банахом, Э. Марчевским, В. Ор личем и другими.

Преимуществом метода категорий перед конструктивным ме тодом является то, что он не требует значительных построений.

С. Хартман [6] отмечает ту особенность теории категории и ме ры, что она позволяет доказать чисто теоретико-множественные теоремы о несуществовании универсальной меры, что было разра ботано К. Куратовским, С. Банахом, Э. Марчевским, С. Уламом.

454 Глава 5. История математического образования Принцип двойственности широко применяется и в доказательстве теорем существования.

Библиографический список 1. Лузин Н.Н. Собрание сочинений в трех томах. М., 1953–1959.

2. Sierpinski W. Oeuvres choisies. Warszawa: Panstowe wydwnictwo Naukowe. T. 1. 1974. 500 s. T. 2. 1975. 780 s. T. 3. 1976. 686 s.

3. Sierpinski W. Sur la dualite entre la premiere categorie et la mesure nulle // Fundamenta mathematicae. Vol. 22, p. 276–280.

4. Erdos P. Some remarks on set theory // Ann. Of math. 1943.

Vol. 44. № 4. p. 643–646.

5. Oxtoby J.C. Measure and category N.Y. Heidelberg, B. Springer, 1971. Окстоби Дж. Мера и категория. М.: Мир, 1974.

6. Hartman S. Merure et categorie. Congruence des ensembles // В кн. [3. V. 2. P. 20–25].

Из истории международного движения за реформу математического образования в конце XIX – начале ХХ века Р.З. Гушель Как известно, в 1908 году на IV Международном математическом конгрессе в Риме была создана Международная комиссия по пре подаванию математики (МКПМ). Среди целей ее создания было обобщение богатого опыта педагогов разных стран Европы и Се верной Америки в деле модернизации школьного математического образования и координация их работы в этом направлении.

Таким образом, 1908 год оказался рубежным в истории между народного движения по обновлению школьного математического образования – до этого времени в каждой стране реформы или реформаторские планы были самостоятельными, хотя и не без за имствования в некоторых случаях зарубежного опыта. С 1908 года Гушель Р.З. Из истории международного движения за реформу математического образования в конце XIX – начале ХХ века реформаторское движение приобрело единое направление, которо му в большей или меньшей степени следовали все страны, входив шие в МКПМ.

Мы, однако, остановимся на периоде, предшествовавшем созда нию Комиссии.

К концу XIX века во многих странах начались работы по ре формированию средней школы. Интенсивное развитие промыш ленности требовало большого количества специалистов с высшим и средним естественнонаучным и техническим образованием. Клас сическая гимназия не могла дать соответствующую подготовку своим выпускникам. В связи с новыми задачами школы возникла необходимость реформ всей системы среднего образования. Курса математики эти реформы коснулись не в последнюю очередь.

В Англии на рубеже веков появилось и обрело многочисленных сторонников движение, во главе которого стоял инженер Джон Перри (1850 г.р). Он считал, что школьный курс геометрии дол жен строиться на опытах и измерениях. Дедуктивному построению курса, по мнению Перри, не место в средней школе. Лабораторный метод Перри предполагал широкое использование таблиц и графи ков в арифметике и алгебре. Сторонники этого метода предлагали и понятие функции ввести с помощью графиков. Таким образом осуществлялось слияние всех математических дисциплин в единый учебный предмет [1].


Во Франции в 1902 году был принят и введен новый учебный план. Традиционная элементарная геометрия в этом плане “очень сильно отступает назад перед лицом современных новых идей” [2].

Во главу угла здесь ставится упрощение и большая наглядность преподавания, а также введение в курс средней школы новых раз делов, в первую очередь, функций, координат и начал анализа бес конечно малых.

В Италии традиционно считалось, что преподавание геометрии должно вестись в духе “Начал” Евклида. Здесь очень высоко це нилось значение строгого логического построения курса геомет рии. Однако, к концу XIX века и среди итальянских педагогов возобладали другие взгляды. Усилилось значение наглядности в преподавании, все больше внимания стали уделять приложениям 456 Глава 5. История математического образования математики.

Остановимся подробнее на России.

Еще в конце XIX века отечественные педагоги начали обсуж дать и в печати, и на своих совещаниях и съездах вопросы, свя занные как с обновлением содержания школьного математическо го образования, так и с изменением структуры системы средних учебных заведений. Приведем примеры.

В 1895 году в журнале “Русская мысль” была опубликована большая статья В.П. Шереметевского “Математика как наука и ее школьные суррогаты”. Автор был убежден в необходимости об новления школьного курса за счет введения элементов высшей математики. Он писал: “Все, что делает математику основой со временного естествознания, все, чем так быстро движется вперед современная техника, все то, что выпало на долю нашей науки в созидании и культуре XIX века – все это заключено в пределах так называемой высшей математики. Не удивительно, что давно уже раздаются голоса за включение ее элементов в программу средней школы” [3].

Годом раньше, в 1894 году, В.Б. Струве в журнале “Техниче ское образование” писал о необходимости фуркации (профильной дифференциации) старшего звена средней школы и введения в ма тематических классах элементов анализа бесконечно малых.

В 1899 году министр народного просвещения Н.П. Боголепов разослал в учебные округа циркуляр, в котором указывалось на ряд недостатков существовавшей тогда средней школы. Среди них, в частности, отмечались: “отчужденность от семьи и бюрократиче ский характер средней школы,... невнимание к личным особенно стям учащихся,... чрезмерность ежедневной умственной работы, возлагаемой на учеников,... несогласованность программ между собою и с учебным временем,... излишнее преобладание древних языков... ” [4]. Попечителям предлагалось делегировать опытных педагогов для участия в работе специальной комиссии по сред ней школе, которая должна была собраться в 1900 году в С. Петербурге. В циркуляре записано: “Задача комиссии должна бу дет состоять в том, чтобы: а) обсудить всесторонне существующий строй средней школы с целью выяснить его недостатки и указать Гушель Р.З. Из истории международного движения за реформу математического образования в конце XIX – начале ХХ века меры к их устранению при условии сохранения основ классической гимназии и реального училища как главных типов этой школы в России, и б) если бы при обсуждении первого вопроса возникли предположения о видоизменении существующих типов или о со здании какого-либо нового типа, то подвергнуть рассмотрению и эти предложения” [4]. (Здесь и далее речь идет только о мужских школах.) Некоторые попечители, получив циркуляр, организовали в сво их округах совещания по отмеченным в циркуляре вопросам. Так поступил и попечитель Московского учебного округа известный математик, профессор П.А. Некрасов.

На Совещании в Москве осенью 1899 года были разработаны учебные планы для мужских гимназий шести типов. Такое боль шое количество типов школ объясняется разной степенью пред ставленности древних языков в их учебных планах. Была преду смотрена и гимназия с фуркацией в старших классах.

Среди вопросов, обсуждавшихся на совещании, был вопрос о введении в программу элементов высшей математики. Сам П.А. Некра сов в своем выступлении говорил о необходимости изучения в сред ней школе элементов теории вероятностей. Выдвигалось предложе ние об организации в гимназиях лицейских классов для подготовки к поступлению в высшую школу.


И на Совещании в Москве, и в заседаниях Комиссии в С. Петербурге обсуждался вопрос о праве реалистов на поступление в университет. Было единодушно решено, что им должно быть это право предоставлено (при поступлении на физико-математический и медицинский факультеты).

Однако, большая часть решений Комиссии 1900 года осталась только на бумаге, т.к. в 1901 году Н.П. Боголепов погиб от руки террориста, а его преемник ничего в системе школьного образова ния менять не стал.

Тем не менее, вопрос о праве реалистов на поступление в уни верситет не был снят с повестки дня. К 1906 году были состав лены программы дополнительного класса реальных училищ [5].

Окончание этого класса открывало ученику дорогу в университет.

Программа по математике содержала большие разделы аналитиче 458 Глава 5. История математического образования ской геометрии и анализа бесконечно малых. Эта программа была введена с 1907/1908 учебного года, и в соответствии с ней было написано довольно много учебных пособий.

Что касается других решений Комиссии Боголепова, то, воз можно, они не были реализованы и потому, что в России в то вре мя не нашлось человека, достаточно авторитетного и в научном, и в педагогическом ссобществе, и достаточно заинтересованного в том, чтобы эти решения воплотились в жизнь, который бы эту реформу возглавил.

Зато такой человек нашелся среди германских реформаторов.

Это был выдающийся немецкий математик и педагог Феликс Клейн (1849–1925).

До 1895 года в Германии существовало несколько групп педаго гов, занимавшихся вопросами, связанными с необходимостью ре формирования математического образования. Это Союз герман ских инженеров, Германский союз для развития преподавания ма тематики и естествознания и круги высшей школы, руководимые Ф. Клейном. Около 1895 года эти группы объединились. “Направ ление реформы должно было заключаться в том, чтобы в препода вании математики получили отражение и ее приложения, а также идеи, лежащие в основе огромных успехов математических наук в XVIII и XIX столетиях, чтобы эти идеи заняли в преподавании то место, которое соответствует их значению в современной куль туре” [6]. На съезде германских естествоиспытателей и врачей в Бреславле в 1904 году была создана специальная комиссия, кото рой поручалось разработать новые программы по математике для средних учебных заведений всех типов. И уже в 1905 году на оче редном съезде в Меране был представлен проект программы по математике для гимназий, получивший название Меранской про граммы. В 2005 году Меранской программе исполняется 100 лет.

Необычайная активность Ф. Клейна в борьбе за обновление курса математики, многочисленные его выступления и в печати, и перед учительской аудиторией, а также его высокий авторитет как ученого первой величины привлекли внимание к этой программе не только в Германии, но и в других странах. И хотя идеи, сфор мулированные в Меранской программе, не были в педагогическом Гушель Р.З. Из истории международного движения за реформу математического образования в конце XIX – начале ХХ века сообществе новыми, все движение за реформу с этого времени свя зывается с именем Ф. Клейна. Не случайно на IV Международном математическом конгрессе в Риме при создании МКПМ именно он был приглашен стать ее президентом.

В чем же заключается суть Меранской программы?

В преамбуле к программе составители пишут, в частности: “На до заботиться о том, чтобы, признавая вполне значение математи ки для формального развития, тем не менее отказаться от специ альных знаний, лишенных практического значения и односторон них, напротив, стараться о возможном развитии способности мате матического исследования окружающего нас мира явлений. Отсю да вытекают две отдельных задачи: развитие пространственного восприятия и воспитание привычки к функциональному мышле нию” [7].

Таким образом, во главу угла германские реформаторы стави ли построение всего курса математики в средней школе на основе функциональной зависимости, а также усиление межпредметных и внутрипредметных связей при обучении. Значительно усиливается роль наглядности.

На передний план выдвигается возможность применения полу ченных в курсе математики знаний в различных сферах человече ской деятельности. Усиление внимания к приложениям не означа ло, однако, понижения требований к уровню строгости в изложе нии, и это составители отметили особо.

Они также сочли, что учителю должна быть предоставлена сво бода “в подробностях преподавания – в изложении материала, рас пределении работ и прочем, – конечно, в рамках общего учебного плана” [7].

Особенно осторожно отнеслись германские реформаторы к во просам введения элементов анализа бесконечно малых в курс сред ней школы. И объем материала, и форму изложения они предоста вили на усмотрение преподавателя. В первую очередь, так посту пили потому, что дело было новое, опыта работы ни у кого не было.

В программе отмечено: “Многочисленные и разнообразные опыты в этом отношении, сделанные в разных учебных заведениях, да дут впоследствии возможность решить с большей уверенностью, 460 Глава 5. История математического образования как следует организовать это дело” [7].

Что касается конических сечений, то они были включены в про грамму выпускного класса. В объяснительной записке по этому поводу сказано: “Изложение теории конических сечений следует вести как синтетически, так и аналитически, по возможности, в равной мере” [7].

Систематическому курсу геометрии, начинавшемуся в III клас се, программа предпосылает курс пропедевтический во II классе.

Объяснительная записка обращает внимание на то, что “в плани метрии, где возможно, следует поддерживать живую связь с соот ношениями трехмерного пространства, именно, приводя подходя щие примеры из окружающей жизни” [7].

Особое внимание Меранская программа обращает на курс вы пускного класса. Для него формулируется такая цель: “научный обзор и приведение в систему приобретенных знаний, способность математического понимания и применение ее для разработки раз личных вопросов... Все это даст учащимся не только цельное за конченное знание математики, но также и почву для дальнейшей работы в области математики, если это потребуется их дальней шим призванием. Резкий переход от средней школы к высшей, столь заметный сейчас, тогда совершенно исчезнет” [7].

Мы видим, что серьезную и очень не новую проблему подготов ленности выпускников средней школы к продолжению образова ния в школе высшей германские реформаторы предлагали решать через обновление содержания образования и такую организацию обобщающего повторения всего курса в выпускном классе, кото рая бы сглаживала резкость перехода к высшему образованию.

Итоговую аттестацию выпускников средней школы предлага лось проводить в виде устного и письменного экзамена. Письмен ный экзамен должен был состоять в следующем: “1) Связное изло жение какого-нибудь довольно обширного общего вопроса (по тео рии) и 2) полное, числовое и графическое, решение какой-нибудь одной задачи” [7].

Сами составители считали Меранскую программу лишь пред варительным вариантом, разработанным только для мужских гим назий. Предстояло еще составить аналогичные программы для Гушель Р.З. Из истории международного движения за реформу математического образования в конце XIX – начале ХХ века средних учебных заведений других типов.

Что касается внедрения новой программы в школу, то оно шло довольно медленно, и в разных регионах страны педагоги и руко водство образованием относились к ним по-разному, несмотря на большую работу и самого Ф. Клейна, и его сторонников по пропа ганде новых идей.

Зато в Европе эти идеи были восприняты с большим интере сом. Ф. Клейн становится фактическим лидером международного движения за обновление школьного математического образования.

Прошло 100 лет, и сегодня мы уже не можем себе представить школьный курс математики без функций, координат, элементов анализа бесконечно малых.

Библиографический список 1. Бонезен Т. Реформа преподавания элементарной математи ки // Вестник опытной физики и элементарной математики.

1908. № 463. С. 157–161.

2. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей.

М., 1987. Т. II.

3. Шереметевский В. Математика как наука и ее школьные сур рогаты // Русская мысль. 1895. № 5. С. 105–125;

также Мате матическое образование. 1999. № 4.

4. Совещания, происходившие в 1899 году в Московском учебном округе по вопросам о средней школе. М., 1899. Вып. 1.

5. Программа по математике для дополнительного класса реаль ных училищ // Журнал Министерства народного просвещения.

1907. № 1.

6. Зейфарт Ф. Развитие реформы преподавания математики в Германии // Клейн Ф. Элементарная математика с точки зре ния высшей. М.-Л., 1933. Т. 1. С. 401–418.

7. Кеткович Я. О преподавании математики в прусских гимна зиях // Педагогический вестник Московского учебного округа.

1911. № 5–6. С. 24–57.



Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.