авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 11 |

«Труды III Колмогоровских чтений Ярославль 2005 Оглавление Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и мате- ...»

-- [ Страница 2 ] --

Глава Математика в ее многообразии Однородные супермногообразия над грассманианом Gr4, А.Л. Онищик Введение В работе рассматривается следующая задача: для заданного ком плексного флагового многообразия M = G/P, где G – полупростая комплексная группа Ли и P – ее параболическая подгруппа, опи сать с точностью до изоморфизма все однородные комплексные супермногообразия (M, O), имеющие M в качестве своей редук ции. Эта задача была поставлена Ю.И. Маниным в книге [4] в слу чае, когда M = Gr4,2 – грассманиан 2-плоскостей в C4. Мы также изучаем здесь только этот частный случай.

Мы решаем задачу при существенных ограничениях на пред ставление подгруппы P, определяющее ретракт супермногообра зия (M, O). В расщепимом случае (т.е. в случае, когда (M, O) изо морфно своему ретракту) решение дается для всех вполне приво димых представлений (см. теорему 4), а в нерасщепимом случае предполагается, что неприводимо. Мы доказываем (см. теоре му 6), что при этом предположении существует лишь одно нерас щепимое однородное комплексное супермногообразие с редукцией Gr4,2 – это так называемый -симметрический суперграссманиан Gr4|4,2|2, построенный в [4]. Наши методы применимы также в случае, когда вполне приводимо, но нуждаются в существенной модификации, если это условие не выполняется. Примеры, приве денные в [4], показывают, что задача обладает решениями такого типа. Мы надеемся позже вернуться к изучению этого вопроса.

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 04-01-00647), а также грантa НШ-1910.2003.1.

46 Глава 2. Математика в ее многообразии Для других флаговых многообразий задача изучалась при бо лее сильных ограничениях, например, когда фиксируется не толь ко M, но и ретракт искомых супермногообразий (M, O), или когда нечетная часть m размерности n|m = dim(M, O) не превышает заданного числа (обзор некоторых результатов и публикаций см.

в [9]). Упомянем здесь только классификацию всех супермного образий с ретрактом (M, ), где M – произвольное неприводимое компактное эрмитово симметрическое пространство и – пучок голоморфных дифференциальных форм на M, и выделение од нородных супермногообразий этого вида (см. [6]). По-видимому, методы, использованные в настоящей работе, позволят классифи цировать все однородные супермногообразия (M, O) в случае, ко гда M – неприводимое компактное эрмитово симметрическое про странство, а представление, определяющее ретракт, неприводи мо.

1. Предварительные сведения о супермногообразиях Мы рассматриваем здесь комплексно аналитические супермно гообразия, т.е. Z2 -градуированные окольцованные пространства (M, O), локально изоморфные парам вида (D, Fn (1,..., m )), где D – область в Cn и Fn – пучок голоморфных функций в D (по дробности см. в [4]). Такой локальный изоморфизм отождеств ляет стандартные координаты xi, i = 1,..., n, в D и элементы j, j = 1,..., m, с некоторыми, соответственно четными и нечет ными, локальными сечениями пучка O, которые называются чет ными и нечетными локальными координатами на (M, O). Пучок O называется структурным пучком супермногообразия (M, O).

Пространство M обладает естественной структурой комплексного многообразия размерности n (см. ниже);

оно называется редукци ей супермногообразия (M, O). Пара n|m называется размерностью супермногообразия (M, O). Простейший способ получить суперм ногообразие состоит в следующем. Пусть (M, F) – комплексное многообразие размерности n и E M – голоморфное векторное расслоение ранга m. Тогда пучок E голоморфных сечений расслое ния E есть локально свободный аналитический пучок на M. Пола гая O = F E, мы получим супермногообразие (M, O) размерно Онищик А.Л. Однородные супермногообразия над грассманианом Gr4, сти n|m. В качестве локальных координат на (M, O) можно взять обычные локальные координаты xi,..., xn в координатной окрест ности на M вместе с некоторым базисом сечений 1,..., m пучка E над той же окрестностью. Супермногообразие называется рас щепимым, если оно изоморфно супермногообразию такого вида.

Структурный пучок O расщепимого супермногообразия обладает p Z-градуировкой O = p0 Op, где Op = F E. В дальнейшем мы часто будем опускать нижний индекс F в обозначении внешних степеней, тензорных произведений и т.д. пучков F-модулей.

Имеется важная конструкция, связывающая с произвольным супермногообразием (M, O) некоторое расщепимое супермногооб разие. Пусть J O – подпучок идеалов, порожденный нечетными элементами. Рассмотрим фильтрацию O = J0 J1 J2... (1) пучка O. Присоединенный градуированный пучок gr O = grp O, p где grp O = J p /J p+1, определяет расщепимое супермногообразие (M, gr O). Действительно, gr O F E, где F = gr0 O – структур ный пучок редукции M = (M, F), и E = gr1 O. Очевидно, (M, O) и (M, gr O) имеют одну и ту же размерность. Супермногообразие (M, gr O) называется ретрактом супермногообразия (M, O).

Пусть (M, O) – произвольное супермногообразие. Обозначим через T = Der O пучок дифференцирований структурного пучка O;

он называется касательным пучком супермногообразия (M, O).

Касательный пучок обладает естественной структурой Z2 -граду ированного левого O-модуля. С другой стороны, его можно рас сматривать как пучок комплексных супералгебр Ли относительно градуированной скобки Ли [u, v] = uv + (1)p(u)p(v)+1 vu. (2) Сечения пучка T (голоморфные векторные поля на (M, O)) состав ляют супералгебру Ли v(M, O) = (M, T );

она конечномерно, если M компактно.

48 Глава 2. Математика в ее многообразии Сделаем теперь несколько замечаний, касающихся векторных полей на расщепимых супермногообразиях. Если (M, O) расщепи мо, то Z-градуировка пучка O определяет естественную Z-граду ировку в пучке T, превращающую его в Z-градуированный пучок супералгебр Ли. Кроме того, T можно рассматривать как локаль но свободный аналитический пучок на комплексном многообразии M. Действительно, F O, и поэтому T – пучок F-модулей, т.е.

аналитический пучок на M. Мы имеем следующую точную после довательность локально свободных аналитических пучков на M (см. [5]):

i 0 E E T E 0, (3) где = Der F – касательный пучок многообразия M. Отобра жение – это ограничение дифференцирования пучка O на F, а i отождествляет каждый гомоморфизм пучков E E с его продолжением до дифференцирования, равного нулю на F. От сюда выводится, что аналитический пучок T локально свободен.

Значит, T является пучком голоморфных сечений некоторого (Z градуированного) голоморфного векторного расслоения над M ;

мы называем его суперкасательным расслоением и обозначаем че рез ST.

Для определения понятия однородного супермногообразия мы используем классический инфинитезимальный подход, принадле жащий С. Ли. Пусть заданы супермногообразие (M, O) и точ ка x M. Обозначим через mx максимальный идеал локаль ной супералгебры Ox. Векторное суперпространство Tx (M, O) = (mx /m2 ) называется касательным пространством к (M, O) в x точке x. Его четная часть Tx (M, O) отождествляется с голоморф 1, ным касательным пространством Tx (M ) = Tx (M ), а нечетная часть Tx (M, O) – с векторным пространством Ex, двойственным к слою Ex векторного расслоения E над M, связанного с ретрактом.

Мы имеем естественное линейное отображение evx : v(M, O) Tx (M, O). В случае, когда M компактно, мы будем говорить, что супермногообразие (M, O) однородно, если отображение evx сюръ ективно для любой x M. Легко доказать (см. [11]), что ретракт однородного супермногообразия также является однородным су Онищик А.Л. Однородные супермногообразия над грассманианом Gr4, пермногообразием. Пусть (M, O) – расщепимое супермногообра зие, связанное с векторным расслоением E M, и пусть H – од носвязная комплексная группа Ли, алгеброй Ли которой является v(M, O). Если (M, O) однородно, то E – H-однородное векторное расслоение, т.е. на E существует голоморфное действие группы H автоморфизмами векторного расслоения, индуцирующее тран зитивное действие на M. Кроме того, двойственное однородное векторное расслоение E порождается своими глобальными голо морфными сечениями. Обратно, любое однородное голоморфное векторное расслоение E M, такое, что M компактно и что E порождается глобальными голоморфными сечениями, определяет расщепимое однородное супермногообразие (M, O) (см. [11]). На пример, пусть E = T(M ) – кокасательное расслоение компактно го комплексного однородного многообразия M. Тогда касательное расслоение E = T(M ) порождается глобальными голоморфными векторными полями. Таким образом, расщепимое супермногооб разие (M, ), где – пучок голоморфных форм на M, является однородным.

Предположим, что задано голоморфное векторное расслоение E M над некоторым комплексным многообразием M. Рассмот рим соответствующее расщепимое супермногообразие (M, Ogr ), где E. Возникает следующая естественная задача: класси Ogr = фицировать с точностью до изоморфизма все супермногообразия (M, O) с ретрактом (M, gr O) (M, Ogr ) (все изоморфизмы су пермногообразий считаются тождественными на M ). Простейший ответ на этот вопрос дается в терминах множества 1-когомологий H 1 (M, Aut(2) Ogr ) со значениями в следующем подпучке пучка ав томорфизмов пучка Ogr :

Aut(2) Ogr = {a Aut Ogr | a(f ) f J 2 }.

А именно, теорема Грина [3] утверждает, что классы изоморфных супермногообразий с ретрактом (M, Ogr ) находятся в биективном соответствии с орбитами естественного действия группы автомор физмов Aut E нашего расслоения на H 1 (M, Aut(2) Ogr ). В наших работах [7, 8] была предложена интерпретация этого множества неабелевых когомологий в виде множества H 1 (K) 1-когомологий 50 Глава 2. Математика в ее многообразии некоторого нелинейного комплекса K, аналогичного классическо му комплексу Дольбо. Множество Z 1 (K) 1-коциклов этого ком плекса состоит из гладких дифференциальных форм z типа (0, 1) на M со значениями в векторном расслоении p1 ST2p, удовле творяющих условию z 1 [z, z] = 0, где [, ] – специальным образом определенная операция на формах, связанная с (2).

Укажем одно применение этого комплекса. Пусть (M, O) – су пермногообразие. Действие группы G на (M, O) – это по опреде лению гомоморфизм : G Aut(M, O), где Aut(M, O) – группа биголоморфных автоморфизмов супермногообразия (M, O) (рас сматриваемого как окольцованное пространство). Если G – веще ственная или комплексная группа Ли, то действие предполагается вещественно (соответственно комплексно) аналитическим в есте ственном смысле. Любое действие : G Aut(M, O) сохраня ет фильтрацию (1) и индуцирует некоторое действие : G Aut(M, Ogr ), сохраняющее Z-градуировку структурного пучка. В этой ситуации мы говорим, что действие поднимается до дей ствия (или поднимается на (M, O)). Важной задачей явля ется описание тех действий на (M, Ogr ), которые сохраняют Z градуировку и поднимаются на (M, O). Заметим, что действие на (M, Ogr ), сохраняющее Z-градуировку, определяет действие на со ответствующем расслоении E, а также на соответствующем ком плексе K. Имеет место следующая Теорема 1. Пусть задано аналитическое действие ком пактной группы Ли G на расщепимом супермногообразии (M, Ogr ), сохраняющее Z-градуировку. Обозначим через Tgr касательный пу чок супермногообразия (M, Ogr ). Пусть (M, O) – супермногообра зие с ретрактом (M, Ogr ), соответствующее заданному классу H 1 (K). Тогда 1) поднимается на (M, O) тогда и только тогда, когда класс содержит некоторый G-инвариантный коцикл z Z 1 (K).

2) Если в этой ситуации (M, O) нерасщепимо, то G-инвари антный коцикл в классе можно выбрать так, чтобы z= z2k, kp Онищик А.Л. Однородные супермногообразия над грассманианом Gr4, где p 1, z2k – форма со значениями в ST2k, причем форма z2p удовлетворяет условию z2p = 0 и определяет ненулевой элемент пространства H (M, (Tgr )2p )G.

Утверждение 1) этой теоремы доказано в [10], а 2) доказывается при помощи техники из [7, 8] и инвариантного интегрирования по группе G.

2. Многообразие Грассмана и линейные представления Мы используем стандартную технику корней полупростых ком плексных групп Ли и весов их линейных представлений (см., на пример, [13]). Подробности о флаговых многообразиях и парабо лических подгруппах и подалгебрах см. в [1].

Пусть M = Gr4,2 – многообразие Грассмана двумерных подпро странств в C4. Хорошо известно, что связная компонента единицы (Bih M ) в группе Bih M биголоморфных автоморфизмов много образия M совпадает с образом стандартного действия группы G = SL4 (C) на нем. Это действие транзитивно, и соответствую щая групповая модель однородного пространства Gr4,2 имеет вид A G/P ;

здесь P – подгруппа матриц вида, где A, B, C – CB матрицы размера 2 2 и (det A)(det B) = 1. Группа G не содер жит собственных комплексных подгрупп Ли, действующих на M транзитивно. Однородные векторные расслоения над M определя ются голоморфными линейными представлениями подгруппы P ;

обозначим через E векторное расслоение, соответствующее пред ставлению : P GL(E).

Компактная вещественная форма K = SU4 группы G действует на M транзитивно, и ее стационарная подгруппа L = K P есть A подгруппа матриц вида, где A, B U2 и (det A)(det B) = 0B 1. Таким образом, Gr4,2 K K/L.

При изучении однородных супермногообразий с редукцией Gr4, нам потребуется описание конечномерных линейных представле ний групп P и G. Введем для этого следующие стандартные обо значения:

52 Глава 2. Математика в ее многообразии t = {diag(x1, x2, x3, x4 )} (где x1 + x2 + x3 + x4 = 0) – подалгебра Картана алгебры Ли g = sl4 (C) группы G, состоящая из диаго нальных матриц.

– соответствующая система корней группы G.

B G и b g – борелевская подгруппа и борелевская подал гебра группы G и алгебры g соответственно, состоящие из нижних треугольных матриц.

+ – подсистемы положительных и простых корней из, отвечающие борелевской подгруппе B+ группы G, которая состоит из верхних треугольных матриц. Имеем = {1, 2, 3 }, где i = xi xi+1, i = 1, 2, 3.

1, 2, 3 – фундаментальные веса группы G;

это базис решет ки весов группы G, определенный формулами 1 = x1, 2 = x1 + x2, 3 = x1 + x2 + x3.

Любой вес группы G однозначно представляется в виде = a1 1 + a2 2 + a3 3, где ai Z;

вес называется доминантным, если ai 0, i = 1, 2, 3.

Подгруппу P можно охарактеризовать как максимальную па раболическую подгруппу группы G, содержащую B и отвечаю щую простому корню 2. Соответствующая максимальная парабо лическая подалгебра p g допускает разложение Леви p = r + n, где X 0 0 | tr X + tr Y = 0, n = r=.

0 Y Z Соответствующее разложение Леви подгруппы P имеет вид P = RN, где A0 E2 | (det A)(det B) = 1, N = R=.

0B C E Онищик А.Л. Однородные супермногообразия над грассманианом Gr4, Введенная выше подгруппа L – это компактная вещественная фор ма редуктивной комплексной группы R.

Мы будем использовать следующий изоморфизм алгебр Ли :

= sl2 (C) sl2 (C) C r:

r X + wE2 (X, Y, w) =.

Y wE Он соответствует гомоморфизму алгебраических групп g : R = SL2 (C) SL2 (C) C R, заданному формулой cA g(A, B, c) = ;

0 c1 B это накрытие с ядром Ker g = {(E2, E2, 1), (E2, E2, 1)}.

Пусть t1 = {diag(u1, u2 )} и t2 = {diag(v1, v2 )} – подалгебры Картана двух слагаемых sl2 (C) алгебры Ли (здесь u2 = u1 и r v2 = v1 ). В этих обозначениях изоморфизм подалгебр Картана : = t1 t2 C t записывается формулой t (diag(u1, u2 ), diag(v1, v2 ), w) = diag(u1 + w, u2 + w, v1 w, v2 w).

Любой вес группы R имеет вид = au1 + bv1 + cw, a, b, c Z. (4) Он является доминатным как вес группы R или R тогда и только тогда, когда a 0, b 0. В координатах xi имеем 1 1 1 (a + c)x1 + (a + c)x2 + bx3 bx4, = 2 2 2 а выражение веса через фундаментальные веса имеет вид = a1 + (c a b)2 + b3. (5) Лемма 1. 1) Вес группы R, заданный формулой (4), явля ется весом группы R тогда и только тогда, когда a + b c 2Z.

54 Глава 2. Математика в ее многообразии В этом случае доминантен как вес группы G тогда и только тогда, когда a 0, b 0, c a + b.

2) Предположим, что вес, заданный формулой (4), является старшим весом неприводимого представления группы R. Тогда старший вес сопряженного представления имеет вид 1 1 1 = au1 + bv1 cw = (a c)x1 + (a c)x2 + bx3 bx4.

2 2 2 Он доминантен как вес группы G тогда и только тогда, когда a 0, b 0, c (a + b).

Доказательство. Утверждение 1) следует из (5). Для доказа тельства утверждения 2) заметим, что все линейные представления группы SL2 (C) самосопряжены, и затем используем 1).

Пусть – неприводимое представление группы R = SL2 (C) SL2 (C) C со старшим весом, заданным формулой (4). Очевид но, (a) (b) = 1 2 c, (6) (a) (b) где 1 и 2 – неприводимые представления первого и второго сомножителей SL2 (C) размерностей a + 1 и b + 1 соответственно и – тождественный характер группы C. В частности, dim = (a + 1)(b + 1). В дальнейшем мы будем записывать представление группы R в виде (6), отождествляя его с представлением = g группы R.

Важным для нас примером является представление изотропии : P GL(T (M )o ) подгруппы P в точке o M. Это пред ставление неприводимо, так как любое многообразие Грассмана – это неприводимое эрмитово симметрическое пространство. По этому ограничение |N тривиально, и мы будем отождествлять с его ограничением на R. То же относится к сопряженному пред ставлению. Из теории эрмитовых симметрических пространств известно, что старший вес представления совпадает со старшим корнем = x1 x4 группы G, а его младший вес – с корнем 2.

Значит, старший вес представления есть = 2 = x2 + x3, а его младший вес есть. Выражение (4) весов и имеет вид = u1 + v1 + 2w, = u1 + v1 2w.

Онищик А.Л. Однородные супермногообразия над грассманианом Gr4, Используя запись (6), получаем отсюда (1) (1) (1) (1) = 1 2 2, = 1 2 2.

3. Теоремы классификации Перейдем теперь к нашей основной задаче. Пусть (M, O) – одно родное супермногообразие с редукцией M = Gr4,2. Рассмотрим сначала случай, когда (M, O) расщепимо, т.е. когда O = E для некоторого голоморфного векторного расслоения E над M. Как мы видели в разделе 1, (M, O) однородно тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия: векторное расслоение E одно родно, т.е. E = E для некоторого голоморфного представления : P GL(E);

двойственное расслоение E = E порождается глобальными голоморфными сечениями.

Второе условие изучалось в работе [12] для однородных вектор ных расслоений E над произвольными флаговыми многообрази ями, и там был дан критерий его выполнимости в терминах пред ставления. В простейшем случае, когда неприводимо, этот кри терий утверждает (см. также [5]), что E порождается глобальны ми голоморфными сечениями тогда и только тогда, когда старший вес представления доминантен как вес группы G. Если вполне приводимо, то этот критерий следует применить ко всем неприво димым компонентам представления. Используя лемму 1, полу чаем отсюда следующую теорему, которая дает описание всех рас щепимых однородных супермногообразий (M, O) для M = Gr4,2, определяемых вполне приводимыми представлениями подгруппы P.

Теорема 2. Пусть : P GL(E) – неприводимое представ ление со старшим весом = au1 + bv1 + cw, a, b, c Z, (см. (4)), где a 0, b 0 и a+bc 2Z. Соответствующее расще пимое супермногообразие (M, O), где O = E, однородно тогда и только тогда, когда c (a+b). Если вполне приводимо, то со ответствующее расщепимое супермногообразие однородно тогда 56 Глава 2. Математика в ее многообразии и только тогда, когда все старшие веса представления удовле творяют этому условию.

Пусть теперь дано нерасщепимое однородное супермногообра зие (M, O) с редукцией M = Gr4,2, и пусть E – голоморфное векторное расслоение над M, определяющее его ретракт (M, Ogr ).

Тогда расщепимое супермногообразие (M, Ogr ) также однородно.

Значит, E = E для некоторого представления подгруппы P, и если предположить, что вполне приводимо, то его старшие веса удовлетворяют условиям теоремы 2. Далее, теорема 1 подсказы вает следующее дополнительное условие: H 1 (M, T2p )G = {0} для некоторого p 1, где T – касательный пучок супермногообразия (M, Ogr ). Изучение этих групп инвариантных когомологий приво дит к следующему результату.

Теорема 3. Пусть : P GL(E) – такое неприводимое пред ставление, что расслоение E порождается глобальными сече ниями. Тогда H 1 (M, T2p )G = {0} для всех p 2, а также для p = 1 и. Далее, dim H 1 (M, T2 )G = 2 для.

Из-за ограничения на объем статьи мы не даем здесь полного доказательства этой ключевой теоремы. Наметим лишь его основ ные этапы.

Пусть : P GL(E) – некоторое голоморфное представ ление. Мы используем данную в [2] интерпретацию комплекса (A0, (E )K, ) K-инвариантных форм типа (0, ) на M со значе ниями в E в качестве комплекса (C (n, E), ) коцепей алгебры Ли n со значениями в пространстве E. Из нее следует изомор физм градуированных пространств когомологий H (M, E )G = H (M, E )K H (n, E)L = H (n, E)R. (7) Если вполне приводимо, то d(n ) = 0. Поскольку алгебра Ли n коммутативна, отсюда следует, что = 0. В результате получаем изоморфизмы H (M, E )G = H (M, E )K A0, (E )K. (8) Из существования K-инвариантной эрмитовой метрики на M сле дует, что представление изотропии группы L (или R) в простран стве T 0,1 (M )o изоморфно. Поэтому из (8) следует, в частности, Онищик А.Л. Однородные супермногообразия над грассманианом Gr4, что dim H 1 (M, E )G равна кратности неприводимого представле ния в, если вполне приводимо.

Для доказательства теоремы 3 используется (2p)-компонента точной последовательности (3) аналитических пучков на M. В на шем случае все члены этой точной последовательности связаны с однородными расслоениями, причем пучки, стоящие слева и спра 2p+1 2p ва, имеют вид E, где = и соответственно.

Если неприводимо, то все представления вполне приводимы, что позволяет найти неприводимые представления, для которых инвариантные 1-когомологии этих пучков нетривиальны. Для вы числения соответствующих пространств H 1 (M, T2p )G используют ся точная последовательность когомологий и G-эквивариантность (2) (2) гомоморфизмов i и из (3). В случаях = 1 2, 2 2 до 1 G казать тривиальность пространства H (M, T2 ) этим способом не удается, и вычисления проводятся в коцепном комплексе алгебры Ли n (см. изоморфизм (7)). Это самая трудная часть доказатель ства.

Выведем теперь из сказанного выше наш основной результат.

Теорема 4. Пусть : P GL(E) – неприводимое голо морфное представление. Нерасщепимое однородное комплексное супермногообразие (M, O) с ретрактом (M, E ) существует то гда и только тогда, когда. Любое однородное комплексное супермногообразие с ретрактом (M, E ) = (M, ) изоморфно -симметрическому суперграссманиану Gr4|4,2|2.

Доказательство. Пусть (M, O) – однородное комплексное су пермногообразие с ретрактом (M, E ). Тогда супермногообра зие (M, E ) также однородно. В частности, (M, E ) допускает градуированное аналитическое действие компактной группы Ли SU(4), которое индуцирует ее стандартное действие на M и подни мается до аналитического действия на (M, O). Если (M, O) нерас щепимо, то по теореме 1 имеем H 1 (M, T2p )G = {0} для некоторого p 1. Кроме того, расслоение E порождается глобальными голо морфными сечениями. Поэтому из теоремы 3 следует, что.

Таким образом, ретракт изоморфен супермногообразию (M, ).

Все супермногообразия с этим ретрактом описаны в [6] для произ 58 Глава 2. Математика в ее многообразии вольного неприводимого эрмитова симметрического пространства M. В частности, там доказано, что для многообразий Грассмана M = Grn,k с условием 1 k n 1 любое нерасщепимое однород ное комплексное супермногообразие с ретрактом (M, ) изоморф но -симметрическому суперграссманиану Grn|n,k|k, построенно му в [4].

Библиографический список 1. Akhiezer D.N. Lie group Actions in Complex Analysis.

Braunschweig-Wiesbaden: Vieweg & Sohn, 1995.

2. Bott R. Homogeneous vector bundles // Ann. Math. 1957. V. 66.

P. 203–248.

3. Green P. On holomorphic graded manifolds //Proc. Amer. Math.

Soc. 1982. V. 85. P. 587–590.

4. Манин Ю.И. Калибровочные поля и комплексная геометрия.

М., Наука. 1984.

5. Онищик А.Л. Транзитивные супералгебры Ли векторных по лей / Яросл. ун-т. Ярославль, 1986. 24 с. Деп. в ВИНИТИ 12.06.86, № 4329-В86.

6. Onishchik A.L. Non-split supermanifolds associated with the cotangent bundle. Universit de Poitiers, Dpartement de Math., e e № 109. Poitiers, 1997.

7. Onishchik A.L. Non-abelian cohomology and supermanifolds. SFB 288, Preprint № 360. Berlin, 1998.

8. Onishchik A.L. On the classication of complex analytic supermanifolds //Lobachevskii J. Math. 1999. V. 4. P. 47– (electronic).

9. Онищик А.Л. Проблемы классификации комплексных суперм ногообразиях // Математика в Ярославском университете.

Ярославль: ЯрГУ, 2001. С. 7–33.

10. Onishchik A.L. Lifting of holomorphic actions on complex supermanifolds // Lie Groups, Geometric Structures and Dierential Equations. Adv. Studies in Pure Math. 37. Tokyo:

Math. Soc. Japan, 2002. P. 317– Кулешов С.А. T-стабильность на категории, порожденной исключительной парой 11. Онищик А.Л., Платонова О.В. Однородные супермногообра зия, связанные с комплексным проективным пространством: I, II // Мат. сб. 1998. Т. 189, № 2. С. 111–136;

Т. 189, № 3. С. 421– 441.

12. Snow D.M. Spanning homogeneous vector bundles // Comment.

Math. Helv. 1989. V. 64. P. 395–400.

13. Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгеб раическим группам.

T-стабильность на категории, порожденной исключительной парой С.А. Кулешов 1. Мотивация понятия стабильности Пусть A – абелева категория когерентных пучков на гладкой ал гебраической кривой. Для построения многообразия модулей сво бодных от кручения пучков с фиксированными топологическими инвариантами на основании геометрической теории инвариантов вводится понятие (полу)стабильного пучка, а именно, наклон пуч ка положительного ранга определяется как deg E µ(E) =, rk E где rk – ранг, а deg – степень пучка на кривой.

Пучок без кручения E называется (полу)стабильным, если для любого его собственного подпучка F E выполнено условие (µ(F ) µ(E)).

µ(F ) µ(E), Наклон пучка на кривой – отношение двух аддитивных функ ций, т.е. для любой точной тройки пучков 0 E F G 1 Совместная работа с А.Л. Городенцевым и А.Н. Рудаковым.

60 Глава 2. Математика в ее многообразии выполнено равенство deg E + deg G = deg F, rk E + rk G = rk F.

Поэтому простое наблюдение deg deg deg deg rk rk rk rk влечет Свойство качелей. Для любой точной тройки пучков 0 E F G 0, выполнены следующие эквивалентности µ(E) µ(F ) µ(F ) µ(G), µ(E) = µ(F ) µ(F ) = µ(G), µ(E) µ(F ) µ(F ) µ(G).

Свойство качелей позволяет вывести важные следствия:

(i) Hom(E, F ) = 0, если E и F µ-полустабильны, и µ(E) µ(F );

(ii) любой свободный от кручения пучок X допускает канони ческую фильтрацию Гардера-Нарасимхана:

X = F 0 X ' F 1 X ' · · · ' F n X ' F n+1 X = 0, c c c c c c G0 G1 Gn (вертикальные отображения здесь – это правые стрелки точных последовательностей: 0 F i+1 X F i X Gi 0), где все фак торы Gi = F i X/F i+1 X – µ-полустабильны и µ(Gi ) µ(Gj ) i j.

2. Абстрактное определение стабильности на абелевой ка тегории А. Рудаков [1] предложил следующее определение стабильности для произвольной абелевой категории.

Определение (А. Рудаков). Структурой стабильности на абе левой категории A называется предпорядок на множестве ObA, cо свойством качелей: 0 A B C 0 выполнено 1) A B A C B C;

2) A B A C B C;

Кулешов С.А. T-стабильность на категории, порожденной исключительной парой 3) A B A C B C Ненулевой объект A A называется полустабильным, если для всякого собственного подобъекта B A выполнено неравенство:

B A.

Теорема (Рудаков). Если на абелевой категории A задана структура стабильности, то 1) Hom(B, A) = 0 для всех полустабильных A, B с A B;

2) если цепочки объектов из A:

A1 A2 A3..., с A1 A2 A3...

A1 A2 A3..., с A1 A2 A3...

A1 A2 A3..., с A1 A2 A3...

стабилизируются, то X A существует каноническая филь трация Гардера-Нарасимхана объекта X с полустабильными фак торами Gi и неравенствами Gi Gi+1 i.

Итак, предпорядок на объектах абелевой категории, обладаю щий свойством качелей, с некоторыми естественными условиями конечности позволяет определить класс полустабильных объектов и построить для каждого ненулевого объекта каноническую филь трацию Гардера-Нарасимхана. В частности, классическое понятие стабильности, имеющее смысл лишь для пучков без кручения, про должается на все пучки. Единственно, что для этого нужно, – это упорядочить все объекты категории. Традиционным инструмен том такого упорядочивания является векторный наклон.

Определение. Пусть A – абелева категория и K0 (A) – ее груп па Гротендика. Линейно независимая система аддитивных функ ций (x0,..., xr ) K0 (A) Z называется положительной, если A A выполнены условия:

x0 (A) 0, x0 (A) = 0 x1 (A) 0, x0 (A) = x1 (A) = 0 x2 (A) 0,.................................

x0 (A) = · · · = xr1 (A) = 0 xr (A) 0.

Положительная система полна, если x0 (A) = · · · = xr (A) = A = 0.

62 Глава 2. Математика в ее многообразии Имея положительную систему аддитивных функций {xi } на A (не обязательно полную), определим наклон ненулевого объекта A A относительно этой системы как вектор xs+1 (A) xr (A) (A) = +,..., +,,...,, xs (A) xs (A) s где s = mini {xi (A) = 0}, и введем на множестве таких векторов лексикографический порядок. Предпорядок на Ob A вводится по правилу:

A B (A) (B).

На A возникает структура стабильности, индуцированная накло ном.

Например, (rk, deg) – полная положительная система на ка тегории когерентных пучков на гладкой алгебраической кривой;

(rk, deg, (OS, · )) полная положительная система на категории когерентных пучков на гладкой алгебраической поверхности S с числом Пикара 1.

Хотелось бы обобщить понятие стабильности на триангулиро ванные категории. Важный пример таких категорий – производ ные категории.

3. Ограниченная производная категория Основная идея производной категории – замена объектов абелевой категории A подходящими классами эквивалентности их резоль вент. Более точно, объекты в ограниченной производной категории Db (A) – это конечные комплексы E Cn E C n+1 E ··· E Cm E 0, с C i A. Такие комплексы изоморфны в Db (A), если существует морфизм f : C • C, индуцирующий изоморфизм когомологий • • f : H (C ) H (C ). В частности, гомотопическая эквивалент • • • ность комплексов – изоморфизм. При этом невозможно корректно определить понятия ядра, коядра, подобъекта и факторобъекта в Кулешов С.А. T-стабильность на категории, порожденной исключительной парой Db (A). Однако там есть хороший аналог точных последовательно стей, а именно, отмеченные треугольники.

На Db (A) определен функтор сдвига E Db (A) T : Db (A) X X[1].

Если C • – комплекс, представляющий объект из Db (A), то B • = C • [1] определяется как B i = C i+1.

Для каждого морфизма f : A B в Db (A) существует конус C(f ) и отмеченный треугольник отображений E A[i] E B[i] E C(f )[i] E A[i + 1] · · · f [i] g[i] i ··· где A[0] = A, B[0] = B, C(f )[0] = C(f ), A[i] = T i A, и g[i] f [i] = i g[i] = f [i + 1]i = 0. Обычно этот треугольник (последователь ность отображений) обозначается как C(f E ) g E B' A f В некотором смысле класс отмеченных треугольников в производ ной категории заменяет класс точных троек в абелевой. В частно сти, для любого объекта D Db (A) возникает две точных после довательности Homi (D, A) Homi (D, B) Homi (D, C) ··· Homi+1 (D, A) · · · Homi (C, D) Homi (B, D) Homi (A, D) ··· Homi+1 (D, A) · · · где Homi (D, A) = Hom(D, A[i]).

Поскольку объекты D = Db (A) реализуются комплексами, су ществуют когомологические функторы H i : D A, сопоставляю щие объекту его когомологии.

3.1. t-структура 64 Глава 2. Математика в ее многообразии В любой производной категории можно выделить две подкатего рии:

Dn = {C Db (A)| H i (C) = 0 для i n}, Dn = {C Db (A)| H i (C) = 0 для i n}.

При этом (1) D0 D1 = D0 [1], D0 D1 = D0 [1];

(2) Hom0 (D0, D1 ) = 0;

(3) X D включается в отмеченный треугольник X E q E X ' X p с X1 D1 и X0 D0.

(4) X D найдутся такие m, n Z, что X Dm Dn.

Более того, пересечение D0 D0 совпадает с абелевой катего рией A. Эта пара подкатегорий D0, D0 называется стандартной ограниченной t-структурой на D.

Можно определять и другие t-структуры на D, выбирая пару подкатегорий T 0, T 0, со свойствами (1)–(4).

К одной из классических задач теории производных и триангу лированных категорий относится классификация ограниченных t структур. Мы предлагаем метод ее решения, который оказывается эффективным по крайней мере для Db (A), когда гомологическая размерность A равна 1.

Определение t-стабильности сформулировано для триангули рованных категорий, обобщающих класс производных категорий.

Но для наглядности я ограничусь производными категориями.

4. T-стабильность Наше определение стабильности на D = Db (A) обобщает определе ние Бриджленда [2, 3]. Однако, экономя время, я не буду напоми нать первоначальную версию, а перейду сразу к нашему варианту.

Кулешов С.А. T-стабильность на категории, порожденной исключительной парой Определение. t-стабильность на D = Db (A) состоит из ли нейно упорядоченного множества и полных подкатегорий, таких что (1) биекция : с () и () = [1];

(2) Hom(, ) = 0;

(3) X D, X = 0 0 · · · n и система Постникова XE XE X n E 0 E E' E ' F 1X ' · · · ' F nX ' X FX где Xi i. – множество наклонов. Xi – полуста бильный объект наклона, последовательность отмеченных тре угольников называют фильтрацией Гардера–Нарасимхана объекта X (ГН-фильтрация).

Введем короткое обозначение для этой фильтрации:

X (X0,..., Xn ).

Предложение. Фильтрация Гардера-Нарасимхана объекта X определена однозначно с точностью до единственного изоморфиз ма систем Постникова.

4.1. Функториальность ГН-фильтрации Фиксируем t-стабильность (, { } ) на производной катего рии D и будем рассматривать множество наклонов как катего рию с одной стрелкой ' для каждого неравенства.

Тогда ГН-фильтрацию XE XE X n E g0 g E E gn E' ' F 1X ' · · · ' F nX ' 0 X=F FX f1 f2 fn+ можно считать локально постоянным непрерывным слева ковари антным функтором E D:

FX при FX () = 0, n, при 0, FX () = FX (0 ) = X, при i1 i, FX () = FX (i ), при FX ( ) = fk · · · fm, k1 k, m m+1.

66 Глава 2. Математика в ее многообразии С этой точки зрения множество всех ГН-фильтраций – полная под категория F(, D) Fun(, D) в категории фукторов D.

Морфизм : FX FY в F(, D) – естественное преобразова ние функторов, т.е. семейство отображений FX () ' () FY () с очевидным коммутативным квадратом для каждого неравенства.

Предложение. Сопоставляя функтору FX, представляюще му ГН-фильтрацию объекта X, сам объект X, мы получаем функ E D. В частности, ГН-фильтрация объекта X ev тор F(, D) функториальна по X.

5. Примеры t-стабильности 1. Любая ограниченная t-структура (D0, D0 ) индуцирует t-ста бильность с = Z, и n = Dn Dn.

2. t-стабильность, индуцированная с абелевой катего рии. Пусть на абелевой категории A фиксирована структура ста бильности, индуцированная наклоном с множеством значений.

Определим = Z с лексикографическим порядком и введем набор подкатегорий (n,) = {A[n]| A A – полустабилен, (A) = }.

Тогда и { } задают t-стабильность на Db (A). Действительно, Hom((k,µ), (n,µ ) ) = 0 при (k, ) (n, ), 0 = X D канонически фильтруется своими когомологиями E E Xi0 Xi1 Xin E E E E ' F 1X ' F 2X ' · · · ' F nX ' X n (Xi0,... Xijj ) имеет ГН-фильтрацию как с Xij A[ij ], и Xij j сдвинутый объект из A. Комбинируя эти фильтрации, получаем искомую ГН-фильтрацию для X.

3. Исключительная t-стабильность. A – категория коге рентных пучков на Pn и D = Db (A). По теореме Бейлинсона любой Кулешов С.А. T-стабильность на категории, порожденной исключительной парой ненулевой X D функториально представляется в виде G0E G1 Gn E E E X ' F 1X ' · · · ' F nX ' где Gi = Vik O(i)[k] kZ с подходящими векторными пространствами Vik. Положим i = {U • O(i)}, (i = 0, 1,..., n), где U • – градуированное векторное пространство. Так как для любых k и m Hom(O(i)[k], O(j)[m]) = Extmk (O(i), O(j)) = Pn при 0 j i n, мы получаем t-стабильность с n + 1 полуста бильными подкатегориями. Будем называть такую t-стабильность исключительной.

6. Связь t-стабильности с t-структурами Мы видели, что ограниченная t-структура индуцирует t-стабиль ность. Покажем, что t-стабильность (, { } ) определяет се мейство t-структур.

Фиксируем и рассмотрим D0 = {X (X0,..., Xn )| 0 }, D1 = {X (X0,..., Xn )| n }.

Тогда Hom(D0, D1 ) = 0. Для построения отмеченного треуголь ника X0 X X с X1 D1 и X0 D0 из определения t-структуры рассмотрим ГН-фильтрацию X (Y0,..., Yn ).

n X = X1, X0 = 0, 0 0 = X1, X0 = X, i i X0 (Xi,..., Xn ), X1 (X0,..., Xi1 ).

68 Глава 2. Математика в ее многообразии Таким образом, зная все t-стабильности, мы знаем все t-структуры, и наоборот.

7. Частичное упорядочение t-стабильностей (, { } ) t-стабильность на D. Предположим, мы нашли в некоторой две подкатегории ± с условием: Hom(+, ) = 0и X отм. тр. X+ X X с X± ±.

Тогда можно построить новую t-стабильность с = {, +} (\{}) с очевидным порядком. Это наблюдение можно обобщить.

Определение. Пусть (, ), (, P ) – t-стабильности на D, а функтор сдвига действует на и автоморфизмами и.

Скажем, что t-стабильность тоньше чем (а грубее ), обо значив, если существует такое наложение r, что 1) r = r;

2) r( ) r( );

3) -полустабильного X ГН-фильтрация отн. имеет вид i r1 ().

X (X0,..., Xn ), 7.1. Тончайшая t-стабильность.

Можно сказать, что грубая t-стабильность получается из более тонкой склеиванием рядом стоящих полустабильных категорий в одну. Отношение тоньше–грубее задает частичный порядок на множестве всех t-стабильностей данной категории. Минимальный элемент относительно этого порядка называется тончайшей t-ста бильностью. Очевидно, что тончайшие t-стабильности несут в себе наиболее полную информацию о t-структурах.

Предложение. T-стабильность (, { } ) на Db (A), ин дуцированная структурой стабильности (в смысле А. Рудакова) на абелевой категории A измельчается до тончайшей стабиль ности.

Следствие. Модулярная t-стабильность на производной ка тегории когерентных пучков на гладкой алгебраической кривой, Кулешов С.А. T-стабильность на категории, порожденной исключительной парой т.е. t-стабильность, обобщающая стабильность Мамфорда-Та кемото когерентных пучков, измельчается до тончайшей t-ста бильности.

8. Категория, порожденная исключительной парой Фиксируем векторное пространство H, dim H = h и рассмотрим EH абелеву категорию модулей Кронекера с объектами V V2, где Vi – конечномерные векторные пространства. Морфизмы в ней – это коммутативные квадраты:

V1 E H V f1 T T H f id V1 E H V Обозначим через Ph производную категорию от категории мо дулей Кронекера. Пусть E0 = (C H 0) и E1 [1] = (0 H C).

Объекты E0 и E1 образуют исключительную hom-пару, т.е.

Hom0 (Ei, Ei ) = C, i = j, • Hom0 (E0, E1 ) = H = Ch, i = 0, j = 1, Hom(Ei, Ej ) = 0, i = 1, j = 0.

Известно, что Ph порождена парой (E0, E1 ) как триангулирован ная категория. При h = 2 P2 эквивалентна Db (CohP1 ).

Как следствие, любой объект X Ph получается как конус морфизма X E V0• E0 E V1• E1, (1) где Vi• – градуированные векторные пространства, а V • E = i i V E[i]. Таким образом, на Ph возникает исключительная t-стабильность с множеством наклонов {0, 1} и полустабильными категориями i = {Ei [n]| n Z}.

Мы можем размножать исключительные пары (и исключитель ные t-стабильности) рекуррентным образом:

En1 E Hom(En, En+1 ) En E En+1, En1 E Hom(En1, En ) En E En+1.

70 Глава 2. Математика в ее многообразии При этом n, k Z (En [k], En+1 [k]) – исключительная hom-пара и может быть подставлена в (1) вместо (E0, E1 ). Других исключи тельных hom-пар в Ph нет. Все исключительные t-стабильности (с точностью до измельчения и переупорядочивания наклонов) пара метризуются целым числом n.

8.1. Тончайшая исключительная t-стабильность Факторы ГН-фильтрации в (1) можно переставить так, что соглас но нумерации факторов будут выполняться неравенства:

· · · V00 E0 V11 E1 [1] V01 E0 [1] V11 E1 · · · И мы получаем t-стабильность с множеством наклонов Z и по лустабильными категориями {V E0 [n]}, k = 2n, k = {V E1 [n 1]}, k = 2n + 1, где V – конечномерные векторные пространства. Сдвиг действует на Z автоморфизмом : n n + 2. Очевидно, это тончайшая t-стабильность.

Посмотрим на t-структуру и ее ядро, индуцированную такой t-стабильностью.

D0 = {X (Xk0,..., Xkn )| k0 0}, Xki ki ;

D0 = {X (Xk0,..., Xkn )| kn 2}.

A = D0 D0 = {X (X0, X1 )}.

X A V1 E1 [1] X V0 E0, То есть A – категория модулей Кронекера с H = Hom(E0, E1 ).

На A есть две аддитивные функции u0 = dim V0, u1 = dim V1. И возникают два наклона: = u0 и µ = u0. Любопытно, что лю u u бой наклон эквивалентен одному из этих, т.е. -полустабильный модуль Кронекера либо -, либо µ-полустабилен.

Существует только 2 -стабильных модуля Кронекера: E0 и E1 [1], т.е. -стабильность – исключительна. А µ-стабильность Карпов Б.В. Перестройки стабильных систем на поверхностях совпадает со стабильностью модулей Кронекера, приходящей из геометрической теории инвариантов и мы можем строить модули µ-полустабильных объектов. Причем можно указать все классы в K0 (A), реализующиеся µ-полустабильными объектами.

l u unstable area E- stable area E- E- - l E E4[-1] E3[-1] unstable area E2[-1] u E1[-1] Можно доказать, что любая другая t-стабильность на Ph по лучается огрублением (измельчением) или переупорядочиванием полустабильных категорий этих двух.

Библиографический список 1. Rudakov A. Stability for an abelian category. J. Algebra 197 (1997).

№ 1. P. 231–245.

2. Bridgeland T. Stability conditions on triangulated categories.

arXiv:math.AG / 0212237.

3. Bridgeland T. Stability conditions on K3 surfaces.

arXiv:math.AG /0307164. V. 1.

Перестройки стабильных систем на поверхностях Б.В. Карпов Введение 72 Глава 2. Математика в ее многообразии Пусть S – гладкая проективная поверхность над C, H – обиль ный дивизор на S такой, что H · KS 0. Конечно, существование такого обильного дивизора накладывает сильные ограничения на поверхность;

этим ограничениям удовлетворяют, в частности, по верхности дель Пеццо, рациональные линейчатые поверхности, а также некоторые другие классы поверхностей (например, разре шения особенностей особых поверхностей дель Пеццо).

В данной статье мы описываем конструкцию перестроек систем стабильных пучков на поверхности S, являющуюся в известном смысле обобщением перестроек исключительных пучков ([1, 2, 4, 8]), и некоторые применения этой конструкции. Используемое по нятие стабильности – стабильность по Гизекеру относительно H.

В отличие от исключительных пучков, перестройки стабиль ных систем определены не всегда, и условия, которые естественно наложить, являются арифметическими, а не когомологическими.

Самый ранний известный автору источник, где используются ана логичные арифметические условия при работе с расслоениями на кривых и где доказываются простейшие аналоги предложений 1 и 2 (см. ниже), – статья [10].

Пусть E – когерентный пучок на S. Степенью и наклоном пуч ка E назовем соответственно величины deg(E) и µ(E) := deg(E) = degH (E) := c1 (E) · H, rk(E) а образ E в K0 (S) мы будем задавать вектором vEv(E) = (rk(E), c1 (E), (E)) Z Pic S Z.

Для произвольного элемента v Z Pic S Z обозначим через M(v) многообразие модулей (возможно, пустое) полустабильных пучков E с v(E) = v.

Если E – пучок без кручения (каковыми по определению яв ляются полустабильные пучки), то имеет место каноническое вло жение пучка E в его рефлексивную оболочку E. Положим QE = E /E, это пучок с носителем на нульмерной подсхеме поверхности S.

Карпов Б.В. Перестройки стабильных систем на поверхностях Описание перестроек Определение 1. Назовем блоком упорядоченный набор E = (E1,..., Em ) стабильных пучков, имеющих одинаковые ран ги, одинаковые степени и попарно неизоморфные рефлексивные оболочки. Числа m, rk(E) := rk(Ei ) и deg(E) := deg(Ei ) назовем соответственно длиной, рангом и степенью блока E.

Этому определению удовлетворяет, в частности, блок исключи тельных расслоений на поверхности дель Пеццо в смысле [4].

Определение 2. Блочной системой (стабильных пучков) на зовем триаду вида = (E, F, (Vij )), в которой E – блок дли ны m, F = (F1,..., Fn ) – блок длины n и (Vij ), i {1,..., m}, j {1,..., n}, – набор векторных пространств, если выполнено одно из следующих условий.

a) deg(F) rk(E) deg(E) rk(F) = 1, и зафиксированы вложения Vij Hom(Ei, Fj ). В этом случае называется системой типа hom.

b) deg(F) rk(E)deg(E) rk(F) = 1, и зафиксированы вложения Vij Ext1 (Ei, Fj ). В этом случае называется системой типа ext.

Левую перестройку такой системы можно представлять себе как “перенос налево” пучков F1,..., Fn через блок E;

при этом возникают новые пучки Cj, которые могут в свою очередь обра зовывать блок C. Таким образом, ключевым моментом является “перенос пучка через блок”, и для левой перестройки достаточно рассмотреть си стему при n = 1;

при этом мы будем писать F вместо F1 и Vi вместо Vi1.

Итак, пусть имеется блочная система стабильных пучков (1) = (E, F, (Vi ));

положим r = rk(E) и r = rk F.

1 Однако, возможны ситуации, когда пучки C оказываются попарно изо j морфными.

74 Глава 2. Математика в ее многообразии Предложение 1. Пусть – система типа hom. Рассмотрим соответствующие морфизмы k : Vk Ek F и их сумму :

m k=1 (Vk Ek ) F. Имеют место следующие утверждения.

m 1) При k=1 dim Vk r /r морфизм инъективен, подпучок m кручения T (coker ) coker является подпучком k=1 (Vk QEk ) и фактор-пучок (coker )/T (coker ) стабилен.

m 2) При k=1 dim Vk r /r морфизм сюръективен в кораз мерности 1 и пучок ker стабилен.

При m = 1 в случае, когда E1 локально свободен, доказатель ство с очевидными изменениями повторяет доказательство п. (2) леммы 2.1 статьи [9]. При не локально свободном E1 используется каноническое вложение в рефлексивную оболочку и далее приме няется индукция по m. Отметим, что в условиях п. 1), если все Ei локально свободны, то все QEi = 0, откуда T (coker ) = 0 и пучок coker стабилен.

Предложение 2. Пусть – система типа ext. Рассмотрим соответствующее набору подпространств (V1,..., Vm ) расшире ние m (2) 0 F C (Vk Ek ) k= Тогда для cтабильности пучка C необходимо и достаточно, что бы (3) Vk Hom(Ek, QF ) = {0}, k = 1,..., m, где пересечения рассматриваются внутри пространств Ext1 (Ek, F).

В частности, если F локально свободен, то C стабилен.

Случай m = 1 разобран в [5, 6]. Доказательство проводится индукцией по m.

Сформулированные выше два предложения позволяют опреде лить левую перестройку системы (1).

Определение 3. Левой перестройкой системы называется система L = (C, E, (Vi )), задаваемая следующим образом.

1. Если система – типа hom и m dim Vi r /r, то C за i= дается как ядро канонического отображения, а Vi естественно Карпов Б.В. Перестройки стабильных систем на поверхностях отождествляются с подпространствами в Hom(C, Ei ), так что L имеет тип hom.

2. Если – система типа hom и m dim Vi r /r, то левая i= перестройка определена только при отсутствии кручения у пучка C := coker. При этом Vi естественно отождествляются с подпро странствами в Ext1 (C, Ei ) и система L имеет тип ext.

3. Если – система типа ext, то левая перестройка определе на при условии (3), и C получается в результате расширения (2).

Пространства Vi естественно отождествляются при этом с под пространствами в Hom(C, Ei ), так что L имеет тип hom.

По аналогии с перестройками исключительных пучков, в слу чаях 1, 2 и 3 перестройку называют соответственно делением, от скоком и расширением.

Достаточным условием существования левой перестройки си стемы в случае 2 является локальная свобода пучков Ei, i = 1,..., m, а в случае 3 – локальная свобода пучка F.

Правые перестройки систем вида (C, E, (Vi )) (т. е. “перенос пуч ка направо через блок”) определяются аналогично.

Примеры и применения Внимательное рассмотрение самого простого случая m = 1, т.е.

когда имеется не “блочная”, а “простая” система стабильных пуч ков = (E, F, V ), приводит к следующей теореме об оценке числа глобальных гомоморфизмов h0 (E, F) = dim Hom(E, F).

Теорема 1. Пусть E и F – стабильные пучки, имеющие v(E) = (r, c1, ) и v(F) = (r, c, ), причем deg(E F) = 1 и H · KS µ(E) µ(F) 0. Тогда справедливы следующие утвер ждения.

1) Если E локально свободен, 1 r r и / r /r, то во всех случаях, кроме v(F) = v(OS ) + / v(E), c1 · H = 1 и имеет место оценка h0 (E, F) /.

76 Глава 2. Математика в ее многообразии 2) Если / r /r или 0, = 0, то во всех случаях, кроме v(F) = r /r v(E) v(KS ), c1 · H = 1 + rH · KS и имеет место оценка h0 (E, F) r /r.

3) Если r r 1 и / r/r, то во всех случаях, кроме c · H = 1 + r H · K S v(E) = v(KS ) + / v(F), и имеет место оценка h0 (E, F) /.


4) Если E локально свободен и / r/r или = 0, 0, то во всех случаях, кроме c · H = 1 v(E) = / v(F) v(OS ).

и имеет место оценка h0 (E, F) r/r.

Доказательство опирается на следующий простой факт, выте кающий из свойств стабильности.

Лемма 1 (о неотрицательности). Пусть C – стабильный пу чок, удовлетворяющий одному из трех условий:

a) H · KS µ(C) 0, b) rk(C) = 1, deg(C) = 0 и C = OS, c) rk(C) = 1, deg(C) = H · KS и C = KS.

Тогда (C) 0.

Карпов Б.В. Перестройки стабильных систем на поверхностях При 1 r r, если отношение / заключено (нестрого) меж ду нижней и верхней целыми частями r /r, то общие методы дока зательства теоремы 1 не применимы, и оценка h0 (E, F) становится нетривиальной задачей. Однако, в некоторых случаях эта задача решается посредством применения перестроек систем стабильных пучков.

Пусть S = P2, H = OP2 (1). Рассмотрим последовательность {rn }, заданную рекуррентным соотношением и начальными усло виями (4) rn+1 + rn1 = 3 rn, r1 = r0 = 1.

Элементам этой последовательности соответствуют исключитель ные расслоения En, задаваемые аналогичным образом в категории пучков. А именно, начальные условия имеют вид (5) E1 = OP2 (2), E0 = OP2 (1), а роль рекуррентного соотношения играет каноническая точная последовательность ev ev (6) 0 En1 En Hom(En, En+1 ) En+1 0, L задающая как левые (En, En+1 ) (En1, En ), так и правые R перестройки в силу канонического (En1, En ) (En, En+1 ) изоморфизма Hom(En, En+1 ) = Hom(En1, En ).

Имеем:

h0 (En, En+1 ) = h0 OP2 (2), OP2 (1) = h0 OP2 (1) = 3, и при n = 0 тройка (6) является точной последовательностью Эй лера, подкрученной на (2). В частности, E1 = T P2 (2) = P2 (1).

Пользуясь начальными данными (5) и последовательностью (6), легко показать, что и (7) c1 (En ) = rn1 (En ) = 0.

rk(En ) = rn, 78 Глава 2. Математика в ее многообразии Кроме того, имеет место соотношение rn rn+ = 1, rn1 rn из которого следует, что последовательность наклонов µ(En ) = rn1 /rn возрастает. Разрешая рекуррентное соотношение из (4), нетрудно видеть, что lim µ(En ) = 3 5, откуда n 3 µ(En ) 0, n.

Таким образом, наклоны всех исключительных расслоений En за жаты между наклоном канонического класса P2 и нулем, и в силу стабильности исключительных расслоений мы имеем:

H 0 (En ) = H 2 (En ) = 0, H 1 (En ) = 0, последнее равенство – следствие обращения в нуль эйлеровой ха рактеристики (см. (7)).

Каждое из расслоений En в свою очередь является начальным членом последовательности многообразий модулей Mn () := M(rn, rn1, ), = 0, 1, 2,..., где dim Mn () = 2rn.

При этом Mn (0) состоит из одной точки En. По последовательно стям многообразий модулей определяются степенные ряды, участ вующие в математическом тестировании гипотезы S-двойственности (см. [3]).

Основным случаем будет n 0, тогда 2 rn+1 lim rn+1 = rn rn n+ 3+ 3. Случай n 1 является в некотором смысле двойствен ным.

Предложение 3. Пусть E Mn (), F Mn+1 ( ), причем E локально свободен. Тогда имеют место следующие оценки:

1) h0 (E, F) = 0 при / 1;

Карпов Б.В. Перестройки стабильных систем на поверхностях 2) h0 (E, F) 1 при 1 / 2;

3) h0 (E, F) 2 при / 2 и при = 0, 0;

4) h0 (E, F) = 3 при = = 0.

Доказательство. Утверждения 1) и 2) следуют из п. 1) теоре мы 1. Оценка утверждения 3) при / 3 и при 0, = 0 сле дует из п. 2) той же теоремы. Пусть 2 / 3, и V – трехмерное подпространство в Hom(E, F). Тогда левые перестройки системы = (E, F, V ) в силу рекуррентного соотношения из (4) приводят к пучкам, ранги которых принимают последовательно значения rn1, rn2,.... Точнее, если Lk = (Ek, Ek1, Wk ), то dim Wk = 3, rk(Ek ) = rnk и c1 (Ek ) = rnk1. Поскольку E = E0 локально свободен, то таковыми являются и все Ek, k 0, в частности, En, имеющий rk(En ) = r0 = 1 и c1 (En ) = r1 = 1.

Таким образом, En = O(1) и (En ) = 0. Это обстоятель ство поможет привести к противоречию, т.к. по условию (E) (F). Действительно, рассмотрим наименьшее k такое, что (Ek ) = 0, тогда (Ek1 ) 0 и из точной тройки, задающей левую перестройку системы Lk, следует, что (Ek+1 ) 0. Это невозможно из соображений стабильности.

Утверждение 3) доказывается аналогично 2) при / 3: пред положение о наличии трехмерного подпространства V Hom(E, F) левой перестройкой системы (E, F, V ) приводится к противоречию.

Утверждение 4) – известный факт из теории исключительных рас слоений, оно приведено для полноты картины.

Опишем теперь некоторые применения перестроек стабильных систем к изучению геометрии многообразий модулей. Пусть Jumpk (v, v ) – локус на произведении многообразий модулей M(v) M(v ), со стоящий из пар пучков (E, F) таких, что h0 (E, F) k. Рассмотрим естественные морфизмы k : Jumpk (v, v ) M(v), k (E, F) E, k : Jumpk (v, v ) M(v ), k (E, F) F.

(0) Пусть k – ограничение k на прообраз k (M(0) (v)) открытого подможества, состоящего из локально свободных пучков.

80 Глава 2. Математика в ее многообразии Всюду далее мы будем предполагать, что v = (rn+1, rn, ), и v = (rn, rn1, ) считая по-прежнему n 0.

(0) Предложение 4. 1) при 1 / 2 отображение 1 явля ется вложением;

2) при 3 отображение 2 является вложением, а от носительно 1 каждая точка из M(v ) может иметь не более двух прообразов.

Доказательство. Докажем от противного первое утвержде ние. Предположим, что найдутся такие E1, E2 M(0) (v) и F M(v ), что h0 (Ei, F) = 0. Зафиксируем одномерные подпростран ства Vi Hom(Ei, F) и рассмотрим блочную систему (8) = {E1, E2 }, F, {V1, V2 } типа hom. Поскольку Ei локально свободны и rk(E1 ) + rk(E2 ) = 2rn rn+1 = rk(F), левая перестройка системы определена и имеет тип отскок. Это означает, что канонический морфизм (9) : (E1 V1 ) (E2 V2 ) F инъективен и в системе L = C, {E1, E2 }, {V1, V2 } пучок C = coker стабилен. Но тогда (C) = 2 0. Проти воречие.

Чтобы во втором утверждении доказать, что 2 является вло жением, достаточно показать, что не существует систем (8) типа hom, где уже E1, E2 не обязательно локально свободны, dim V1 = и dim V2 = 1. Пусть существует такая система. Поскольку rk (V1 E1 ) (V2 E2 ) = 3rn rn+1, левая перестройка системы – деление, морфизм (9) сюръективен в коразмерности 1 и пучок C = ker стабилен. Но тогда (im ) и (C) 3 0, т.е. мы опять получаем противоречие.

Карпов Б.В. Перестройки стабильных систем на поверхностях Остается показать, что в п. 2) каждая точка из M(v ) может иметь не более двух прообразов относительно 1, т.е. исключить существование систем = {E1, E2, E3 }, F, {V1, V2, V3 } типа hom, где dim Vi = 1. Если такая система существует, то в силу неравенства (Vk Ek ) rk = 3rn rn+1, k= левая перестройка является делением, это приводит к противо речию так же, как и в предыдущем рассуждении.

Библиографический список 1. Городенцев А.Л. Исключительные расслоения на поверхностях с подвижным антиканоническим классом // Изв. АН СССР.

Сер. матем. 1988. Т. 52. № 4. С. 740–757.

2. Gorodentsev A.L., Rudakov A.N. Exceptional Vector Bundles on Projective Spaces // Duke Math. J., 54 (1987) 115–130.

3. Карпов Б.В. Тестирование S-двойственности и исключитель ные расслоения // Изв. РАН. Сер. матем. 1999. Т. 63. № 1.

С. 107–122.

4. Карпов Б.В., Ногин Д.Ю. Трехблочные исключительные набо ры на поверхностях дель Пеццо // Изв. РАН. Сер. матем. 1998.

Т. 62. № 3. С. 3–38.

5. Кулешов С.А. Стабильные расслоения на К3-поверхности // Изв. АН СССР, Сер. матем. 1994. Т. 54, № 1. С. 213–220.

6. Kuleshov S.A. Moduli Spaces of sheaves necessary for testing S duality conjecture. Preprint MPI 97–32.

7. Кулешов С.А., Орлов Д.О. Исключительные пучки на поверх ностях дель Пеццо // Изв. РАН, Сер. матем., Т. 58 (3) 1994.

C. 53–87.

8. Рудаков А.Н. Исключительные расслоения на квадрике // Изв.

АН СССР. Сер. матем. 1988. Т. 52. № 4. С. 782–812.

82 Глава 2. Математика в ее многообразии 9. Yoshioka K. Some examples of Mukai’s reections on K3 surfaces // J. reine angew. Math. 515 (1999). P. 97–123.

10. Тюрин А.Н. Аналог теоремы Торелли для многомерных век торных расслоений на произвольной алгебраической кривой // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1970. Т. 34, № 2. С. 343–370.

О некоторых вопросах аксонометрии в Pn Л.Б. Медведева Тема данного исследования может быть относена к теоретическим основам многомерной начертательной геометрии. Более точно, в работе получены некоторые обобщения теорем центральной аксо нометрии.

Проблемы центральной аксонометрии аналогичны задачам па раллельной аксонометрии, решение которых дается теоремой Польке Шварца и в ее многочисленными обобщениями [2–8].

Основная задача состоит в следующем [1].

Пусть в Pn с введенной в нем метрикой заданы два проективных репера: невырожденный n-мерный репер – оригинал, и вырожден ный, расположенный в k-мерной плоскости, – образец. Их задание определяет отображение пространства Pn на k-плоскость Pk Pn.

Требуется ответить, например, на следующие вопросы:

1. Можно ли найти такую k-плоскость проекций и (n k 1) мерный центр, чтобы при центральном проектировании ори гинала из этого центра на плоскость проекций получить изоб ражение, связанное с образцом преобразованием наперед за данного типа (проективным, аффинным,... )?

2. Какого максимального "сходства"между образцом и изобра жением можно достичь, если не налагать никаких условий на соответствие, связывающее изображение и образец?

3. Каким условиям должно удовлетворять соответствие, опре деляемое заданными реперами, чтобы при центральном про О некоторых вопросах аксонометрии в Pn Медведева Л.Б.

ектировании получить изображение, конгруэнтное (метриче ски подобное) образцу?

Как известно, за систему координат (репер) в Pn можно при нять упорядоченную систему n + 2 точек общего положения или дезаргову конфигурацию – фигуру, состоящую из точки O, n пря мых, проходящих через точку O, и двух точек Ai и Bi (отличных от O) на каждой из них.


Исторически первой теоремой центральной аксонометрии бы ла теорема Круппа. В работе [6] она сформулирована следующим образом.

Если в P3 даны произвольная дезаргова конфигурация D, то всегда можно выбрать центр и плоскость проекций так, чтобы про екцией конфигурации D служила плоская конфигурация, проек тивно эквивалентная плоской конфигурации D0, при этом центр проекций определяется однозначно, а за плоскость проекций мо жет быть взята любая плоскость, не проходящая через центр.

Большинство обобщений этой теоремы на Pn касаются случая, когда системы координат заданы в виде дезарговых конфигура ций.

Задачу о возможности проектирования репера, состоящего из n + 2 точек пространства Pn, на гиперплоскость в изображение, проективное образцу (системе n+2 точек общего пложения в Pn1 ) впервые поставил и решил Н.М. Бескин [3]. Полученный им резуль тат не совпадает с тем утверждением теоремы Круппа, которое касается центрального проектирования дезарговой конфигурации на гиперплоскость. Если при центральном проектировании дезар говой конфигурации пространства Pn требование проективности изображения и образца однозначно определяет (n k 1)-мерный центр проектирования, то при проектировании репера из n + 2 то чек на гиперплоскость Pn1 Pn в систему точек, проективную образцу, множество точек-центров проектирования составляет в Pn нормальную рациональную кривую степени n, проходящую через все точки оригинала. Гиперплоскость проекций при этом, как и в случае утверждения Круппа, может быть выбрана произвольно, лишь бы она не проходила через центр проекций.

84 Глава 2. Математика в ее многообразии Случай проектирования репера из n + 2 точек на Pk (k n 1) в изображение, проективное образцу, нигде не обсуждался.

В этом направлении нами получены следующие результаты.

Теорема 1. Для любого натурального числа k (k n) суще ствует (n k)-параметрическое множество (n k 1)-мерных плоскостей, каждая плоскость которого, за некоторым исключе нием, может служить центром проектирования Pn на Pk Pn, при котором проективный репер Ai (i = 1, n + 2) пространства Pn отображается в систему точек A (i = 1, n + 2), проектив i но эквивалентную образцу (системе n + 2 точек A0 общего по i ложения в Pk ). Плоскостью проекций может служить любая k-мерная плоскость, не имеющая с центром проектирования об k+ щих точек, в том числе и любая из Cn+2 k-плоскостей оригинала [9, 10].

n Следует отметить, что, если в случае k 2 доказательство удалось получить конструктивно с использованием координатного метода, то в случае k n при доказательстве использовались теоремы о пересечении циклов Шуберта на грассманиане G(n k, n + 1).

Доказанный результат ставил вопрос о структуре многообра зия центров проектирований, при которых репер, состоящий в Pn из n + 2 точек общего положения, переходит в изображение, проек тивное образцу. При ответе на этот вопрос искомое многообразие изучено при k = n 1, n 2, n 3 [11, 12, 13].

Общий результат дает следующая теорема.

Теорема 2. Множество (m 1)-мерных плоскостей, служа щих центрами центральных проектирований пространства Pn на Pnm (m n), которые отображают проективный репер Ai (i = 1, n + 2) в систему n + 2 точек A Pnm, проективно экви i валентную образцу Ti Pnm, является:

1) многообразием, параметризуемым точками m-плоскости, при n = 2m;

m+ 2) семейством подмногообразий nm на грассманиане G(m, n+ 1), параметризуемым точками (n m)-мерной плоскости, О некоторых вопросах аксонометрии в Pn Медведева Л.Б.

если 0 n m m 1 (n 2m 1);

3) многообразием, параметризуемым точками рационального многообразия Fm Pm+1 степени m + 1 при n = 2m + 1;

m+ 4) при n 2m + 1 многообразием, параметризуемым точками многообразия, которое является пересечением n 2m гипер конусов Ki Pnm размерности n m 1: направляющими этих конусов служат поверхности Fim Pm+1, а вер m+ i шинами являются специальным образом расположенные в Pnm (n 2m 2)-мерные плоскости.

Доказательство. Пусть в Pn заданы проективный репер Ai (i = 1, n + 2), а в некоторой (n m)-мерной плоскости – образец, система из n+2 точек Ti (i = 1, n + 2), никакие nm+1 из которых не лежат в одной (n m 1)-мерной плоскости. В качестве (n m) плоскости проекций возьмем Pnm = A1, A2,..., Anm, Anm+1.

Тогда при центральном проектировании f : Pn Pnm f (Aj ) = Aj для j = 1, n m + 1. Если теперь за проекцию точки Anm+ взять какую-нибудь точку A nm (A nm+2 = Aj ), то nm+2 P nm проекции Aj P точек Aj (j = n m + 3, n + 2) однозначно определяются в силу проективной эквивалентности изображения A и образца Ti (i = 1, n + 2).

i Центр проектирования f должен пересекать прямые Aj A j (j = n m + 2, n + 2) и не иметь с Pnm общих точек. Множе ство (m 1)-мерных плоскостей, пересекающих в Pn m + 1 прямые, представляется на грассманиане G(m, n + 1) (m + 1)-кратным пе m+ ресечением циклов Шуберта nm, то есть многообразием nm.

Последнее непусто, если (n m)(m + 1) m(n m + 1), то есть, если n 2m.

m+1 m+ Заметим, что при n = 2m nm = m = m+1,...m+1 (индекс m + 1 повторяется m раз). Это говорит о том, что выбор точки A m – проекции точки Anm+2 при отображе nm+2 = Am+2 P 2m m нии f : P P, однозначно определяет центр проектирования f, и следовательно, в этом случае многообразие искомых центров проектирования параметризуется точками m-мерной плоскости.

86 Глава 2. Математика в ее многообразии Если n 2m, то точка A nm nm+2, взятая в P определяет уже не единственный (m 1)-мерный центр проектирования, а мно гообразие центров проектирования, и таких многообразий будет (n m)-параметрическое множество.

m+ Если n 2m + 1,то многообразие nm пусто, то есть не су ществует (m 1)-плоскостей, пересекающих прямые Aj A (j =j n m + 2, n + 2). Отсюда следует, что точку A в Pnm вы nm+ брать произвольно нельзя. Ее необходимо взять так, чтобы ли нии связи Aj A (j = n m + 2, n + 2) имели хотя бы одну общую j (m 1)-мерную секущую плоскость.

В [10] доказано, что, если точка A nm выбрана так, nm+2 P что m-плоскость Pm = A nm+2, Anm+3,..., An+ содержит точку L = Pnm Pm, Pm = Anm+2,..., An+2, то линии связи Aj A (j = n m + 2, n + 2) имеют конечное число j общих секущих плоскостей.

Для ответа на вопрос, какое множество описывает в этом случае m точка Anm+2, а значит и многообразие m-плоскостей P, найдем условия, которым удовлетворяют координаты точки Anm+2.

Рассмотрим сначала решение задачи при n = 2m + 1. За плос кость проекций возьмем плоскость Pm+1 = A1, A2,..., Am+2 :

xm+3 = xm+4 =... = x2m+2 = 0.

Будем считать, что в репере пространства 0 Pm+1, состоящем из точек Ti (i = 1, m + 3), координаты точек Tj (j = m + 4, 2m + 3) равны соответственно (j 1 : j 2 :... : j m+2 ). Теперь можно най ти формулы проектирования f : P2m+1 Pm+1, при котором если i = 1, m + 2;

f (Ai ) = Ai, f (Am+3 ) = A где A m+3, m+3 (a1 : a2 :... : am+2 : 0 :... 0);

f (Aj ) = A, если j = m + 4, 2m + 3.

j Заметим, что здесь координаты точек A однозначно определяют j ся требованием проективной эквивалентности изображения A и i О некоторых вопросах аксонометрии в Pn Медведева Л.Б.

образца Ti (i = 1, 2m + 3):

A (a1 j 1 : a2 j 2 :... : am+2 j m+2 ).

j Матрица проектирования f имеет вид 0... 0 m+3 a1 m+4 a1 m+4 1... 2m+2 a1 2m+2 0... 0 m+3 a2 m+4 a2 m+4 2... 2m+2 a2 2m+2...

...

...

Aj =. (1) 0 0... m+3 am+2 m+4 am+2 m+4 m+2... 2m+2 am+2 2m+2 m+ 0 0... 0 0 0......

...

...

0 0... 0 0 0... A Условие f (A2m+3 ) = приводит к системе 2m+ 2m+3 ai 2m+3 i = + m+3 ai + m+4 ai m+4 i +... + (2) +2m+2 ai 2m+2 i, i = 1, m + 2.

При заданных ai эта система содержит m + 2 уравнения с m + переменными, m+3,..., 2m+3, которые не могут принимать ну левые значения. Это значит, что определитель системы (2) равен нулю:

a1 2m+3 1 a1 a1 m+4 1... a1 2m+2 a2 2m+3 1 a2 a2 m+4 2... a2 2m+2 = 0. (3)...

...

...

1 am+2 am+2 m+4 m+2... am+2 2m+2 m+2 am+2 2m+3 m+ Разложение определителя по первому столбцу и введение соответ ствующих обозначений приводит к уравнению A1 a2 a3... am+2 + A2 a1 a3... am+2 +... + (4) +Am+1 a1 a2... am+2 + Am+2 a1 a2... am+1 = 0, которое определяет в Pm+1 гиперповерхность степени m + 1;

обо m+ значим ее через Fm.

Условие (3) является необходимым и достаточным условием принадлежности точек (1, 1,..., 1, 0,..., 0), A m+3, Am+4,..., A2m+ 88 Глава 2. Математика в ее многообразии одной m-плоскости, принадлежащей плоскости проекций Pm+1.

Оно также означает, что точка A m+ не может быть вы m+3 P брана произвольно: она должна быть взята на гиперповерхности m+ Fm.

Нетрудно увидеть, что выбор точки A m+ однозначно m+3 Fm 2m+1 m+ определяет центр проектирования f : P. Это означа P ет, что множество (m 1)-мерных центров, из которых репер Ai проектируется в систему из 2m + 3 точек, проективную образцу Ti m+ (i = 1, 2m + 3), параметризуется точками многообразия Fm.

Рассмотрим некоторые свойства этого многообразия.

m+ 1. Многообразие Fm однозначно определяется точками образ m+ ца Ai (i = 1, 2m + 3);

точки Ai (i = 1, m + 2) лежат на Fm и являются на нем особыми кратности m.

m+ 2. Многообразие Fm проходит через точку I = (1 : 1 :... : 1 :

m+ 0... : 0) и касается в ней m-мерной плоскости Km+4, Km+5,..., K2m+5, I, где Kj имеют в репере простран ства Pm+1, состоящем из точек A1, A2,..., Am+2, I, те же ко ординаты, что и точки Tj (j = m + 4, 2m + 3): Kj (j 1 : j 2 :

... : j m+2 ).

m+ 3. Многообразие Fm является рациональным.

Для доказательства свойства 1 достаточно убедиться, что все частные производные до порядка m включительно от левой части уравнения (4) обращаются в ноль в точках Ai.

Для доказательства свойства 2 необходимо написать уравнение m+ касательной гиперплоскости к Fm в точке I.

Для доказательства свойства 3 запишем уравнение (4) в виде:

A3 a4 A4 a2 A5 a2... (1)m1 Am+1 a2 (1)m A2 a A1 a 0 a3 a2 0... 0 0 0 a4 a5... 0 = 0. (5)....

....

....

0 0 0 0... am+1 a AA1 am+ (1)m+1 am+2 0 0 0... m+ am+ О некоторых вопросах аксонометрии в Pn Медведева Л.Б.

Уравнение (5) можно рассматривать как необходимое и достаточ ное условие существования ненулевого решения однородной систе мы линейных уравнений относительно переменных 1, 2,..., m+ с матрицей, определитель которой выписан в (5).

Приняв переменные 1, 2,..., m+1 за координаты точки в пространстве Pm и решив относительно них систему, получим ра m+ в Pm. Формулы об циональное отображение многообразия Fm ратного к нему отображения получим, решив систему относитель но ai (i = 1, m + 2). Обратное отображение будет также рациональ m+ бирационально изоморфно Pm, ным, поэтому многообразие Fm и, следовательно, является рациональным.

Докажем теперь теорему 2 при n = 2m+k, k 1. В этом случае n m = m + k, и мы имеем проектирование f : P2m+k Pm+k.

Пусть Pm+k = A1, A2,..., Am+k+1 : xm+k+2 = xm+k+3 =... = = x2m+k+1 = 0.

По условию теоремы f (Ai ) = Ai для i = 1, m + k + 1, f (Am+k+2 ) = A m+k+2 (a1 : a2 :... : am+k+1 : 0 :... : 0) и f (Aj ) = Aj для j = m + k + 3, 2m + k + 2, при этом координаты точек Aj опреде ляются, как и ранее, требованием проективной эквивалентности изображения образца:

A (a1 j 1 : a2 j 2 :... : am+k+1 j m+k+1 : 0... : 0).

j В силу сказанного, матрица проектирования f в этом случае имеет вид:

0... 0 m+k+2 a1 m+k+3 a1 m+k+3 1... 2m+k+1 a1 2m+k+1 0... 0 m+k+2 a2 m+k+3 a2 m+k+3 2... 2m+k+1 a2 2m+k+1...

...

...

. (6) 0 0... m+k+2 am+k+1 m+k+3 am+k+1 m+k+3 m+k+1... 2m+k+1 am+k+1 2m+k+1 m+k+ 0 0... 0 0 0......

...

...

0 0... 0 0 0... A Так как f (A2m+k+2 ) = 2m+k+2, то имеет место следующая 90 Глава 2. Математика в ее многообразии система уравнений:

+ m+k+2 ai + m+k+3 ai m+k+3 i +... + (7) +2m+k+1 ai 2m+k+1 i 2m+k+2 ai 2m+k+2 i = 0, где i = 1, m + k + 1. Эта система зависит от m + 2 переменных, m+k+2,..., 2m+k+2, которые не могут принимать нулевые зна чения, следовательно, ранг системы r m + 1. Это значит, что все миноры порядка m + 2 основной матрицы этой системы:

a1 2m+k+2 1 a1 a1 m+k+3 1... a1 2m+k+1 a2 2m+k+2 1 a2 a2 m+k+3 2... a2 2m+k+1...

... = 0, (8)...

1 am+1 am+1 m+k+3 m+1... am+1 2m+k+1 m+1 am+1 2m+k+2 m+ 1 am+l am+l m+k+3 m+l... am+l 2m+k+1 m+l am+l 2m+k+2 m+l обращаются в ноль, где l = 2, k + 1. Каждое из k уравнений си стемы (8) определяет гиперконус Klm+1 Pm+k степени m + 1.

m+ Направляющей этого конуса служит многообразие Fml, распо ложенное в (m + 1)-мерной плоскости, определяемой уравнениями:

am+2 =... = am+l =... = a2m+k+1 = (символ am+l здесь означает, что уравнение am+l = 0 в системе отсутствует).

Вершиной конуса Klm+1 является (k 2)-мерная плоскость, ле жащая в Pm+k и определяемая системой уравнений a1 =... = am+1 = am+l = am+k+2 =... = a2m+k+1 = 0.

Таким образом, доказано, что центр искомого проектирования од нозначно определяется выбором точки k+ Klm+1.

A m+k+ l= Это значит, что множество центров проектирования в случае n = k+ Klm+1.

2) параметризуется точками многообразия 2m + k (k l= Библиографический список О некоторых вопросах аксонометрии в Pn Медведева Л.Б.

1. Большаков Ю.И., Кузнецова В.А., Медведева Л.Б. Обзор научных исследований кафедры общей математики // Ак туальные проблемы естественных и гуманитарных наук:

Математика. Информатика. Ярославль, 1995. С. 189–199.

2. Бескин Н.М. Теорема Круппа // Конструктивная алгебра ичекая геометрия. Сборник научн. тр. Ярославль: Изд-во ЯГПИ. 1982. Вып. 200. С. 20–29.

3. Бескин Н.М. Теорема Круппа для проективного репера из n + 2 точек // Бирациональная геометрия алгебраических многообразий. Сборник научн. тр. Ярославль: Изд-во ЯГ ПИ. 1985. Вып. 215. С. 12–15.

4. Бескин Н.М. Аналог теоремы Польке-Шварца в централь ной аксонометрии // Матем. сборник. 1946. Т. 19(61). С. 57– 72.

5. Бескин Н.М. Основные теоремы центральной аксономет рии // Уч. зап. ЯГПИ. Ярославль: Изд-во ЯГПИ. 1971.

Вып. 83. С. 7–21.

6. Бескин Н.М. Основные предложения аксонометрии // Во просы современной начертательной геометрии. 1947. С. 55– 125.

7. Лопшиц А.М. Аффинные отображения многомерного про ективного пространства, метрически подобные кратно перспективным, и обобщения теоремы Польке-Шварца // Ученые зап. ЯГПИ. Ярославль, 1967. Вып. 57. Геометрия.

С. 93–123.

8. Большаков Ю.И. Решение задачи Польке-Шварца Лопшица в многомерном псевдоевклидовом пространстве.

Деп. в ВИНИТИ. N 1880-78.

9. Кузнецова В.А., Медведева Л.Б. Обобщение теоремы Круппа // Вопр. теории групп и гомологической алгебры.

Ярославль: ЯрГУ, 1989. С. 95–99.

92 Глава 2. Математика в ее многообразии 10. Кузнецова В.А., Медведева Л.Б. Обобщение теоремы Круппа на пространства произвольной размерности // Вопр. теории групп и гомологической алгебры. Ярославль:

ЯрГУ, 1992. С. 70–73.

11. Кузнецова В.А., Медведева Л.Б. О некотором обобще нии основной теоремы центральной аксонометрии // Тр. Международного конгресса ассоциации "Женщины математики". Нижний Новгород, 1994. Вып. 3. С. 20–22.

12. Медведева Л.Б. О проецировании Pn на Pn2 // Математи ческие заметки ЯГУ. Якутск, 1998. Т. 5. Вып. 1. С. 47–51.

13. Медведева Л.Б., Пушкова Ю.А. О многообразии центров проецирования Pn на Pn3 // Вопр. теории групп и гомо логической алгебры. Ярославль: ЯрГУ, 1998. С. 143–149.

Вопрос полноты и неполноты проекционных изображений фигур расширенного евклидова n-пространства S n Е.В. Никулина Статья посвящена проблеме полноты и неполноты проекционных чертежей, играющей важную роль в теории изображений.

Рассмотрим вопрос о полных и неполных изображениях фигур расширенного евклидова пространства S 3 на 2-плоскости.

Под изображением (чертежем) фигуры пространства S 3 на 2 плоскости S 2 будем понимать ее параллельную проекцию на плос кость S 2.

Изображение назовем полным, если на нем однозначно опреде лены все общие элементы линий и поверхностей оригинала. Это естественное определение порождает ряд вопросов:

• Вопрос о системе задания точек в плоскости проекций, при водящей изображение к полному виду. Для случая, когда рас сматриваются изображения фигур пространства S 3 на плос кости S 2, он рассмотрен в учебной литературе по геометрии, Никулина Е.В. Вопрос полноты и неполноты проекционных изображений фигур расширенного евклидова n-пространства S n содержащей раздел “Теория изображений”. Решением данно го вопроса является, в частности, метод основной плоскости, предложенный Н.Ф. Четверухиным. Суть его заключается в следующем.

Выберем три точки фигуры-оригинала и будем считать, что они задают так называемую основную плоскость. Тогда вся кую точку оригинала на чертеже назовем определенной (за данной), если на нем дано ее изображение и однозначно опре делено изображение ее проекции (центральной или парал лельной)на основную плоскость. Если плоскость (ACD) вы брать в качестве основной (см. рис. 1), а точку B – в качестве центра проецирования, то, очевидно, что все точки изображе ния будут определенными. Такое изображение является пол ным. На нашем чертеже, например, можно построить точки пересечения прямой KL со всеми гранями тетраэдра.

Рис. • Вопрос о том, как неполное изображение сделать полным.

Решением данного вопроса является так называемый процесс расширения полного изображения [1].

• Вопрос о том, можно ли рассматривать неполное изображе ние фигуры пространства S 3 как полное изображение фигу ры пространства бльшего числа измерений. В качестве при мера рассмотрим изображение гексаэдра на рис. 2. Данное 94 Глава 2. Математика в ее многообразии изображение на 2-плоскости является неполным, если его рассматривать как изображение фигуры пространства S 3, но полным, если рассматривать как изображение фигуры пространства S 4. Теоремы, позволяющие обосновать данный факт, также известны для случая, когда рассматриваются неполные изображения фигур пространства S 3.

Рис. В общем случае, когда рассматриваются изображения фигур расширенного евклидова n-пространства на плоскости произволь ной размерности, меньшей n, первые два вопроса полностью реше ны ([1, 2]). Наша задача состоит в том, чтобы доказать теоремы, позволяющие неполный чертеж фигуры пространства S n на плос кости S m рассматривать как изображение соответствующей фи гуры, помещенной в пространстве другого числа измерений. При проведении доказательств мы опирались на понятия и результаты, содержащиеся в [1] и [2].

Под изображением (чертежем) фигуры расширенного евклидо ва пространства S n (далее – пространства S n ) на плоскости S m (m n) как и в случае изображения фигур пространства S 3 будем понимать параллельную проекцию фигуры на m-плоскость.

Никулина Е.В. Вопрос полноты и неполноты проекционных изображений фигур расширенного евклидова n-пространства S n При параллельном проецировании фигуры пространства S n на плоскость S m (m n) через проецируемые точки проводятся па раллельные между собой (n m)-плоскости. Все проецирующие (n m)-плоскости параллельны между собой. С проективной точ ки зрения параллельное проецирование – это центральное проеци рование с (n m 1)-мерным несобственным центром.

Будем рассматривать изображение фигуры через изображение некоторого связанного с ней симплекса T (n + 1) пространства S n.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 11 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.