авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 11 |

«Труды III Колмогоровских чтений Ярославль 2005 Оглавление Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и мате- ...»

-- [ Страница 8 ] --

рекомендации по рациональному выбору форм организации обуче ния - выполняются на основе традиционных технологий.

Примером, иллюстрирующим простоту и полезность составле ния графа предложенного вида, может служить граф предмета “методы оптимизации”, в настоящее время широко введенного на факультетах “Управление и информатизация” и “Технологический менеджмент” МГУТУ (Московский государственный университет технологий и управления). Отдельные модули этого предмета вхо дят также в программу обучения некоторым специальностям фа культета “Экономика и предпринимательство”. При этом програм мы обучения для большинства специальностей отличаются друг от друга содержанием, количеством часов самостоятельной и ауди торной работы, методами контроля, временем обучения и ориен тацией на форму обучения. Для всех специальностей, в програм му обучения которых входит данный предмет, определена своя структура стандарта по предмету. Для его создания использова лась предлагаемая технология. Общее количество модулей превы шает двадцать. Рабочие программы по данному курсу составля лись нами после отбора модулей, необходимых для той или иной специальности (работа проводилась совместно с представителями выпускающих кафедр), а также учета межпредметных связей с дисциплинами, входящими в Государственный стандарт по соот ветствующей специальности. Неотъемлемой частью рабочей про граммы являлся граф процесса обучения. В обозначениях работы [3] для студентов-технологов полной заочной формы обучения спе 312 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе циальностей 2701, 2703, 2704, 2705 граф изображен на нижеприве денном рисунке.

24,5 1+2+4+ + 1+2+4+ 0, + 1+2+4+ 20 + 1+2+4+ 16 + 0, 1+2+4+ + 0, 1+2+ 8 1+2+ 4 1,2 4,7, П2,4 П7,10 Кр П10,0 Зачёт 2, В блок предмета входят следующие модули (приводятся толь ко названия, являющиеся для математика ключевыми словами):

“Вводный” – 1;

“Классическое вариационное исчисление” – 2;

“Кор реляционный и регрессионный анализ” – 4;

“Исследование операций (методы выработки качественно обоснованных рекомендаций по принятию решений)” – 7;

“Линейное программирование” – 10. В качестве форм контроля предусмотрены контрольная работа и зачет.

В нижней строке графа его восемь вершин соответствуют трем запланированным лекциям, трем практическим занятиям, кон трольной работе и зачету. Цифры в вершинах соответствуют номе рам модулей, на основе которых построены четырехчасовые лек ции или практическое занятие. Индексы в обозначении практиче ского занятия Пi,j указывают на тематику практического занятия.

Количество индексов при необходимости может быть увеличено.

Если j=0, это означает, что занятие посвящено одной теме, соот ветствующей номеру i. На дугах графа указана длина маршрута в аудиторных часах (контрольная работа выполняется в межсесси Курочкина К.В. О технологии конструирования процесса обучения математике в технических вузах онный период;

количество аудиторных часов, отводимых на кон трольную работу и зачет зависит от численности потока студен тов). Для определенности в рассматриваемом случае оно принято за 0,5 часа соответственно. Вершины наклонной, суммирующей, линии отражают ход учебного процесса, суммарное число ауди торных часов, отводимых на изучение курса, то есть, в конечном счете, динамику процесса обучения.

Из анализа структуры графа видно, что лишние учебные эле менты отсутствуют.

Практика работы показывает: организованный процесс обуче ния может быть выполнен лишь при активной работе и студентов и преподавателей. Незначительное отступление от заданной про граммы при условии, что средний уровень усвояемости знаний по тока студентов по базовому курсу математики не выходит за гра ницы между “удовлетворительно” и “хорошо”, создает и препода вателю, и студентам значительные трудности в процессе обучения, которые могут быть восполнены упорной самостоятельной работой студентов и активным использованием времени текущих консуль таций.

На нижеприведенных рисунках изображены графы, составлен ные по действующим до недавнего времени в МГУТУ тематиче ским планам первого курса двух различных специальностей ( – “Биоэкология” (тематический план полностью совпадает с те матическим планом специальности 3117 – “Водные биоресурсы и аквакультура”) и 0702 – “Техника и физика низких температур” заочной форм обучения). Количество аудиторных часов (22 часа лекций и 28 часов практики), отведенное на аудиторные занятия для студентов этих специальностей одинаковое. На дугах графа приведено в цифрах общее количество часов аудиторных занятий.

314 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе 0135 з.ф.о.

0, 0, 7 1 2 5 К/р Эк 4 0702 з.ф.о.

0, 0, 0, 0, 0, 7 6,6. К/р 22 8 К/р К/р Эк К/р 1 2 5,5. 3 4 Под цифрами понимаются следующие модули: 1 – линейная ал гебра;

2 – векторные и линейные отображения;

3 – аналитическая геометрия;

4 – теория пределов;

5 – дифференциальное исчисление (функция одной переменной);

5.1 – численное дифференцирование;

6-интегральное исчисление;

6.1 – приближенное вычисление ин тегралов;

8 – последовательности и ряды;

16 – основы теории функций комплексного переменного;

22 – функции многих пере менных (согласно Госстандартам для всех специальностей МГУ ТУ было выделено 42 различных модуля. Многие из них являются укрупненными, т.е. содержат несколько подмодулей. Каждому модулю был присвоен порядковый номер).

Из анализа графов видно, что в случае специальности 0135 ин теграционные факторы не учитывались вовсе, а при составлении Курочкина К.В. О технологии конструирования процесса обучения математике в технических вузах тематического плана по специальности 0702 требования выпуска ющей кафедры учтены.

Таким образом, из-за отсутствия совместной работы с предста вителями выпускающих кафедр по специальностям 0135 и не решены вопросы о включении в образовательные программы по математике таких тем, присутствующих в Госстандартах, как элементы математической логики;

основы математического моде лирования;

основы планирования эксперимента, методы матема тической статистики и другие.

Для специальности 0702 сомнение вызывает отсутствие раздела “основы теории поля”, в частности темы “векторные поля”, изуче ние которого принесло бы существенную пользу для профессио нального образования студента данной специальности. Этот раз дел имеет практическую связь со специальными знаниями. Также вызывает сомнение модуль 16. Изложить основные понятия ком плексных чисел за 3 часа аудиторного времени возможно, но дать при этом еще и основы теории функций комплексного переменного реальным не представляется.

При утвержденных на заседании кафедры тематике модулей и необходимого на их изучение количестве аудиторных часов, дан ные тематические планы не прошли бы утверждения в учебной части, если бы к этому моменту была внедрена предложенная в докладе методика.

Таким образом, основным результатом проведенной работы является создание и апробирование технологии конструирования процесса обучения математике. В настоящее время эта техноло гия внедрена в практику нашего вуза при организации процесса обучения по всем математическим дисциплинам.

Библиографический список 1. Новиков А.М. Образование и классовое расслоение общества.

М.: Специалист, № 3, 2004.

2. McGregor D.M. The Human Side of Enterprise. N.Y.: McGrow-hill, 1960.

316 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе 3. Малакеева К.В. Конструирование учебного процесса по пред мету “Методы оптимизации” как пример инновационной техно логии направленный на повышение качества образования. Сб.

ст. “Проблемы управления качеством подготовки специалистов в системе непрерывного профессионального образования”. М.:

Изд-во МГУТУ, 2003. C. 137– 4. Малакеева К.В. Применение элементов теории графов к пла нированию образовательных процессов. “Специалист”. № 3. М., 2004.

Учащиеся – авторы задач школьных учебников Н.М. Епифанова Известно много случаев яркого проявления математических спо собностей в детском и юношеском возрасте. Исторический опыт свидетельствует о том, что подростки “порой способны найти ис ключительно простое и остроумное решение задачи, которое неред ко ускользает от умственного взора взрослого человека” [2]. Но ис ключительно редко можно столкнуться с таким явлением, чтобы задача, составленная подростком, вошла в популярные сборники задач и школьные учебники математики.

Об одном уникальном случае проявления математических спо собностей и будет рассказано в данной статье.

Журнал “Вестник Опытной Физики и Элементарной Матема тики” (издавался с 1886 по 1918 год), предназначавшийся, по мне нию первого редактора журнала Э.К. Шпачинского, “для воспита ния в наших учебных заведениях юношества” и “разъяснения раз личных педагогических вопросов” [2], был популярен среди учите лей средних учебных заведений и учащихся, интересующихся, как правило, отделом задач.

Редактор отдела задач Е.Л. Буницкий вел систематическое на блюдение, “как юноша начинает сначала решать предлагаемые за дачи, затем начинает сам предлагать задачи, пока не вырастает до уровня других отделов журнала” [2].

Епифанова Н.М. Учащиеся – авторы задач школьных учебников В статье, посвященной двадцатипятилетию журнала, редакци онная коллегия с гордостью отмечала, что первый импульс к се рьезным занятиям математикой на страницах журнала “получили:

ученик Екатеринославской гимназии В. Каган (приват-доцент, ре дактор данного журнала), ученик одесской гимназии Ю. Рабино вич (приват-доцент в Казани), М. Зимин из Ельца (приват-доцент в Новочеркасске), И. Александров (Москва )... ” [2].

В каждом номере журнала “Вестник Опытной Физики и Эле ментарной Математики” в разделе “Задачи” помещались:

– несколько задач с указанием фамилии приславшего ту или иную задачу и места его жительства;

– решения предлагавшихся ранее задач, с указанием фамилии и места жительства читателя (ученика, преподавателя), прислав шего свое решение;

– “Задачи на премию” (авторы лучшего решения получали кни ги по выбору на сумму 10 рублей).

По этому отделу особенно видно, что “Вестник” был действи тельно всероссийским журналом. Например, в № 505 тексты и ре шения задач были присланы читателями из Киева, Казани, Уфы, Козлова, Варшавы, Винницы, Шацка, Одессы, Ярославля, Пине ги, Стерлитамака, Санкт-Петербурга, Самары.

В “Вестнике” за первое полугодие 1910 года (№ 505–516) в раз деле “Задачи” наиболее часто мелькает фамилия – Л. Богданович (Ярославль). За указанный период этим читателем были присланы правильные решения 31 задачи и были предложены 5 авторских задач для решения подписчикам журнала.

Вызывают восхищение – необыкновенная работоспособность автора (в каждый номер (в течение года выходит 24–30 номеров) им присылается верное решение 3–5 задач);

– широкий математический кругозор автора (при решении за дач автор свободно пользуется знаниями по тригонометрии, пла ниметрии, стереометрии, комбинаторике, дифференциальному ис числению... );

– умение составлять задачи и упражнения разнообразного ма тематического содержания. (В период с 1910 по 1913 годы (№ 505– 318 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе 588) им были предложены для решения читателям журнала оригинальные авторские задачи.) Оказалось, что данный автор (Л. Богданович) был родным бра том Максима Богдановича, выдающегося белорусского поэта, по чти всю жизнь прожившего на берегах Волги – сначала в Нижнем Новгороде, затем в Ярославле.

Удивительна судьба старших братьев талантливой семьи Бог дановичей!

В семье учителя Минского приходского училища и земского де ятеля Адама Егоровича Богдановича и Марии Афанасьевны Мя кото было три сына: Вадим (1889 г.), Максим (1891 г. – будущий выдающийся белорусский поэт), Лев (родился в городе Гродно в 1893 г.).

Раннее детство братьев было счастливым. Благоприятная ат мосфера в доме, прогулки в лес, лето в деревне у бабушки, му зыка, чтение книг. Дети росли в семье, в которой все способство вало пробуждению и развитию способностей детей. Прабабушка и бабушка были талантливыми сказительницами, хорошо знавши ми бесконечное количество песен, сказок, легенд и народных пре даний. Отец, Адам Богданович, был личностью значительной в белорусской культуре: выдающийся этнограф, фольклорист, крае вед, общественный деятель, замечательный педагог. Мать, Мария Афанасьевна Мякото (из рода священников, дочь губернского сек ретаря), обладала большим литературным и музыкальным даро ванием.

В октября 1896 года семью постигает большое горе: от скоро течной чахотки, ускоренной рождением четвертого ребенка (доче ри Нины), умирает мать. Адама Егоровича переводят по службе в Нижний Новгород, где он вскоре женится на Александре Павловне Волжиной, родной сестре Екатерины Павловны Пешковой, жены Максима Горького.

В Нижнем Новгороде старшие дети (Вадим, Максим, Лев) по шли в гимназию. Именно в этом городе началась литературная деятельность Максима: появился его первый рассказ “Музыка” (“Скрипач”), который был напечатан в белорусской газете “Наша нива” в 1907 году. Но семью вновь постигает несчастье. От чахотки Епифанова Н.М. Учащиеся – авторы задач школьных учебников умирает старший сын – Вадим.

В 1908 году Адама Богдановича переводят на службу в Яро славль, где он работает в должности “непременного члена кре стьянского земельного банка”, затем управляющим этого банка.

Дети посещают Ярославскую мужскую гимназию (ныне здание ЯрГУ на Красной площади).

Большая семья постоянно испытывала денежные затруднения.

(У Адама Богдановича от третьего брака (он был женат на родной сестре своей первой жены – Александре Афанасьевне Мякото) ро дились еще пятеро сыновей.) Поэтому Максим давал уроки детям фабриканта Дунаева;

Лев, проявлявший незаурядные математиче ские способности, был постоянным участником конкурсов задач, объявляемых журналом “Вестник Опытной Физики и Элементар ной Математики”, получая за участие вознаграждение, позволяв шее частично оплачивать учебу в гимназии.

После окончания гимназии Максим хотел поступать в Петер бургский университет, куда он был рекомендован белорусскими издателями журнала “Наша нива” в надежде, что талантливый юноша в дальнейшем займет кафедру белоруссоведения. Но отец не отпустил сына в Петербург, ссылаясь на нездоровый климат (в старших классах гимназии у Максима были обнаружены призна ки туберкулезного процесса в легких) и невозможность содержать двух студентов (на будущий год предстояло поступать в универси тет младшему сыну Льву). Максиму пришлось остаться в Ярослав ле. В 1911 году он поступил в Демидовский юридический лицей. В 1913 году в Ярославле им был подготовлен сборник стихов “Венок”, написанный на белорусском языке (единственный прижизненный сборник).

Окончив Демидовский лицей, Максим в 1916 году уехал ра ботать в Минск. Напряженная деятельность в Минском губерн ском продовольственном комитете, Белорусском комитете помощи жертвам войны, материальные лишения тяжелого военного вре мени, бытовая неустроенность привели к обострению болезни, и сослуживцы отправили его в Ялту. Лечение не помогло. Максим Богданович умер в Ялте 25 мая 1917 года в возрасте 26 лет. Отец передал рукописи сына, чуть не сгоревшие в 1918 году во время 320 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе белогвардейского мятежа в Ярославле, Белорусской академии. В 1927 году в Минске вышло первое двухтомное собрание сочинений Максима Богдановича.

Лев Богданович, младший брат Максима, весьма способный ма тематик, в 1912 году, окончив гимназию “с отличными успехами в науках, в особенности же в математике”, поступил на математи ческий факультет Московского университета. Учился отлично, в Ярославль приезжал на каникулы. Когда началась Первая миро вая война, Лев оставляет университет, поступает в Александров ское военное училище и добровольцем идет в действующую армию.

Во время Брусиловского прорыва в 1917 году под Тернополем был ранен в ногу, отправлен сначала во фронтовой госпиталь, затем переведен в офицерский госпиталь в Киев. Трагически погиб в возрасте 25 лет в августе 1918 года. (Со слов денщика, Лев Ада мович вместе с другими офицерами был выброшен большевиками в окно.) Остальные дети в семье также были не лишены таланта: Алек сей был способным художником пейзажистом (умер в 27 лет от ту беркулеза);

Павел, человек всесторонне образованный, оригиналь ный, принципиальный, весьма способный математик, долгие годы работал в Ярославле преподавателем математики в школе, распо лагавшейся в бывшей мужской гимназии, которую окончили его талантливые братья (умер в 1967 году).

Большая и дружная семья поддерживала тесные связи со сво ими многочисленными родственниками. Вместе с Максимом учил ся в Демидовском лицее и его двоюродный брат Петр Гапанович, оставивший воспоминания о жизни братьев Максима и Льва Бог дановичей. Двоюродная сестра Нюта (Анна Гапанович) увлекалась математикой и так же, как Лев, посылала решения конкурсных задач в журнал “Вестник Опытной Физики и Элементарной Мате матики”. (В журнале за 1910 год 9 раз можно встретить подпись – “Нюта (Нижний Новгород)”. Это единственное женское имя, встре чающееся в перечне читателей, приславших решения в раздел “За дачи”.) Письма свидетельствуют, что сестра поддерживала тесные отношения со Львом даже тогда, когда он был студентом универ ситета.

Епифанова Н.М. Учащиеся – авторы задач школьных учебников Левушка! Не будешь ли ты бесконечно любезен, не сделаешь ли одну из задач. У меня получаются ужасныя формулы, так что я в отчая ние прихожу. Из знакомых мне (... ) нижегородского математическо го мира никто сделать не может. Я была бы безконечно благодарна.

1. Гипотенуза равна 5 м.;

биссектор большаго из острых углов ра вен 25. Найдите катеты.

2. В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС, в ко тором АВ=АС=а. Через точку А проведена хорда АК=в, которая пе ресекает ВС в точке М. Найдите АМ. Ответ a2 /в.

А. Гапанович 29 окт. 1912 г.

Сам Адам Егорович Богданович, являясь довольно колорит ной личностью для Ярославля той поры (этнограф, библиограф, в 1920–1931 годах – заведующий научной библиотекой Ярославского государственного музея, один из организаторов секции краеведе ния ЯЕИКО), был и прекрасным отцом, заботящимся о здоровье своих детей, следящим за их духовным развитием. Его письма к детям дышат любовью и уважением.

Милый Лева! Вот видишь – и простудился. А что я тебе говорил?

Впредь будь осторожнее. Сожалею, что университет не доставил те бе такого удовольствия, какого хотелось бы. Что делать. Старайся использовать с наибольшей выгодой то, что он дает: иначе жалко было бы времени, здоровья, средств. Плохо то, что ты, как говоришь, меньше занимаешься, чем дома. Если этому виной особенности твоей квартиры, то ищи другую: время у тебя есть.

А. Богданович. 1912 г.

Дорогой сынок! Твоя болезнь меня сильно опечалила. Особенно про студа, одевайся потеплее, носи шерстяные носки и фуфайку. Купи себе на завтрак и ужин масло и грудинку. Я тебе прибавлю на этот расход рублей пять. Далеко ли до столовой?

Папа. 24 сентября 1913 г.

... Лессинга читай: важны его принципы искусства, а примеры хо тя он берет из неведомых тебе произведений, но приводит полностью.

Лед у нас сломало, но затор образовался. Жаворонок. Тоже хорошая погода.

А.Б. 22. 03. Сынок! Меня удивляет твой отзыв о переводе Мицкевича. Ты про сто не умеешь читать стихов и не понимаешь красоты такого про 322 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе изведения, как Пан Тадеуш. Ну, не беда;

все придет в свое время. Ты ведь вообще развивался своеобразно: односторонне, а потому в других отношениях медленно.

А. Богд. 15.02. Адам Егорович умер в 1942 году, похоронив 9 из 12 своих детей.

Имя Максима Богдановича принадлежит истории. Его знаме нитая “Лявониха” стала уже белорусской народной песней. Гимн Белоруссии также принадлежит перу поэта.

Имя Льва Богдановича тоже не должно быть забыто, так как задачи, придуманные девятнадцатилетним юношей, входят во мно гие математические сборники.

Например, в 1913 году в 582 номере журнала “Вестник Опытной Физики и Элементарной Математики” на странице 172 под номе ром 96 была напечатана за подписью “Л. Богданович” следующая задача: доказать справедливость неравенства ha + hb + hc 9r, где ha, hb, hc, r – суть высоты и радиус вписанного круга некоторого треугольника.

В сборнике В.В. Прасолова [3] в главе 10 под номером 10. приводится текст аналогичной задачи: докажите, что ha +hb +hc 9r.

Интересно сравнить решения данной задачи, предложенные ав торами. Решение В.В. Просалова более изящно. Решение, предло женное Львом Богдановичем, – позволяет, закономерность (неравенство (1)), увиденную ав тором, использовать применительно к другим элементам треуголь ника;

– свидетельствует о прекрасном знании им алгебраического и геометрического материала курса математики, а также о владении гимназистом основными приемами исследовательской и творче ской деятельности (умением последовательного, правильного рас члененного логического рассуждения;

умением ставить новые во просы;

умением сопоставлять выводы;

умением анализировать;

умением вычленять и устанавливать зависимости между различ ными элементами чисел и геометрических фигур;

точно, сжато, словесно ясно выражать мысли).

Епифанова Н.М. Учащиеся – авторы задач школьных учебников Задачи, предложенные юным автором в 1910–1912 годах чита телям журнала “Вестник Опытной Физики и Элементарной Ма тематики”, по теме “Вневписанная окружность” вошли во многие современные сборники олимпиадных задач. Например:

1. Доказать следующее предложение: если в треугольнике ra r = 2R, где ra, r, R суть радиусы кругов вневписанного, вписанного и описанного, то это треугольник прямоугольный.

2. Доказать тождество, где ra, r, R суть радиусы кругов внев писанного, вписанного и описанного треугольника, а p – полупери метр данного треугольника:

а) rb +rc + ra +rc + ra +rb = p ;

a b c r = p;

a b c b) + + ra r rb r rc r r a2 b2 c с) = 2(2R r);

+ + rb +rc ra +rc ra +rd 2 2 2 2 2 b c c a a b d) + + = 4(R + r);

rb rc rc ra ra rb e) ara + brb + crc = 2p(2R r)...

Вызывают восхищение – лаконичность, строгость выводов в приводимых автором ре шениях задач по темам “Ряды”, “Комбинаторика”, “Тригономет рия”;

– важность подмеченных гимназистом, студентом 1–2 курсов университета математических закономерностей;

– редкое умение “сочинять задачи”. (В 1910 году автором бы ло предложено для решения читателям журнала 20 оригинальных задач, в 1911 году 26 задач... ) “До какого совершенства дошли бы его способности, если бы он получил образование и имел случай чаще упражнять их”, – писал о своем сыне Адам Егорович.

Нерукотворным памятником этому талантливому юноше слу жат его задачи, решаемые нынешним поколением школьников.

Библиографический список 1. Астафьев А.В., Астафьева Н.И. Писатели Ярославского края.

Ярославль, 1990. 400 с.

324 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе 2. Вестник Опытной Физики и Элементарной Математики. Одес са, 1910–1913.

3. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии: В 2-x ч. Ч. 1: Учеб.

пособие. 3-е изд., стер. М.: Наука, Физматлит, 1995. 320 с.

Дифференциация и интеграция математических знаний в процессе решения профессионально-ориентированных экономических задач Е.Н. Трофимец, В.Я. Трофимец В современных условиях рыночной экономики существенно возрос ли требования к качеству подготовки выпускников экономических специальностей вузов, которые должны уметь решать не только типовые задачи учетно-расчетного характера, при решении кото рых доминирующую роль играет операционная составляющая, но также и сложные задачи аналитического характера, при решении которых доминирующую роль играет интеллектуальная составля ющая, базирующаяся на умении анализировать текущее и прогно зировать будущее состояние экономических объектов и процессов, мыслить и действовать в изменяющихся условиях, моделировать и находить оптимальные решения, основанные на применении со временных математических моделей и методов. Наиболее извест ными, из последних являются: оптимизационные модели и методы (в частности ассортиментная задача Канторовича, транспортная задача, задача о назначениях и др.), балансовые модели (в част ности модель межотраслевого баланса Леонтьева, модель соотно шения национальных доходов стран), модели теории вероятности и математической статистики.

Данное обстоятельство нашло свое отражение в Государствен ном образовательном стандарте, где определены достаточно вы сокие требования к уровню математической подготовки современ ного специалиста финансово-экономического профиля. При этом изучение математических дисциплин призвано раскрыть не толь ко содержание собственно математических знаний, но и устано вить тесные интегративные связи со специальными дисциплина Трофимец Е.Н., Трофимец В.Я. Дифференциация и интеграция математических знаний в процессе решения профессионально-ориентированных экономических задач ми, особенно с теми, изучение которых сопровождается реше нием профессионально-ориентированных задач с использованием экономико-математических методов и моделей. Основная интегра тивная роль здесь принадлежит математике. Поэтому первооче редной задачей математической подготовки в вузах на экономиче ских специальностях, на наш взгляд, является обучение будуще го специалиста умению разрабатывать или обоснованно выбирать математические модели и применять математические методы для решения практических задач будущей профессиональной деятель ности.

Анализ современного состояния проблемы интеграции матема тических знаний позволяет констатировать, что в настоящее время заметно усилился интерес ученых к исследованию данной пробле мы и ряду смежных вопросов. При этом исследования проводятся, главным образом, в рамках следующих научных направлений: реа лизация внутри- и межпредметных связей, разработка интегриро ванных курсов, формирование прикладной направленности в обу чении математике, укрупнение дидактических единиц, разработ ка форм и средств интеграции математических знаний, наглядно модельное исследования учебно-познавательной деятельности.

На основе проведенного анализа научных трудов, Государствен ного образовательного стандарта, учебных и рабочих программ было установлено что:

а) к настоящему времени еще не достаточно разработаны педа гогические условия, методы и формы реализации интегративной направленности обучения математике при моделировании эконо мических процессов и явлений;

б) в теории и практике обучения математике еще не сформиро валось понимания сущности, характеристик и критериев интегра ции математических знаний на основе наглядного моделирования.

Это, в свою очередь, порождает противоречие между органиче ски целостной структурой и сущностью математического знания и наличием традиционно формализованной на данный момент систе мы обучения математике студентов экономических специальностей вузов.

Технология наглядного моделирования применяется в процес 326 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе се обучения математике студентов экономических специальностей Ярославского государственного технического университета (ЯГ ТУ), Международного университета бизнеса и новых техноло гий (института) (МУБиНТ) Ярославского филиала Московской финансово-юридической академии (ЯФ МФЮА) при решении про фессионально-ориентированных экономических задач (ПОЭЗ).

Для решения некоторых ПОЭЗ необходимо использовать слож ные наукоемкие экономико-математические методы, требующие проведения большого объема вычислительной работы. Для реше ния подобного рода задач целесообразно использовать компьютер, а занятия проводить в аудиториях, оснащенных средствами вычис лительной техники.

Рассмотрим более подробно одну из таких профессионально ориентированных задач, для объяснения решения которой исполь зуется табличный процессор Microsoft Excel. Предлагаемая задача связана с оценкой рисков инвестиционных проектов и имеет важ ную прикладную направленность. Для решения задач по оценке рисков в современной финансово-экономической практике исполь зуются различные методы, которые рекомендованы такими орга низациями как UNIDO (Организация объединенных наций по про мышленному развитию), Министерство финансов, Министерство экономики, Госстрой. Одним из наиболее эффективных, но одно временно и одним из наиболее сложных методов является метод имитационного статистического моделирования (или метод Монте Карло), который используется в процессе решения рассматривае мой задачи.

Постановка задачи. Для производства некоторой продукции “Х” планируется привлечение инвестиций из внебюджетных источ ников. В процессе предварительного анализа выявлены параметры проекта, часть из которых экспертами-аналитиками была отнесена к детерминированным, а часть – к случайным (стохастическим), см. рис. 1. Для случайных параметров проекта определен возмож ный интервал их вариации (прогнозируемые max и min значения).

Трофимец Е.Н., Трофимец В.Я. Дифференциация и интеграция математических знаний в процессе решения профессионально-ориентированных экономических задач Рис. Требуется ответить на вопрос, следует ли принимать данный проект к реализации и какова вероятность того, что проект ока жется убыточным?

Прежде чем переходить к демонстрации решения задачи в сре де табличного процессора Microsoft Excel, рассмотрим, какое место занимают процессы дифференциации и интеграции математиче ских знаний в ходе её решения.

Следует отметить, что ввиду того, что задача имеет сложный междисциплинарный характер, то при её решении наблюдается несколько уровней дифференциации.

Первый уровень дифференциации происходит на уровне учеб ных дисциплин, так как для решения задачи требуются знания из различных дисциплин, основными из которых являются: эконо мическая теория, математика, финансово-экономические расчеты, эконометрика, информатика.

328 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе Второй уровень дифференциации связан с особенностью реше ния задачи методом Монте-Карло. Для реализации этого метода необходимо разработать три модели: модель воздействий случай ных факторов, модель экономической системы и модель статисти ческой обработки. На этом этапе модели пока имеют только са мое общее (абстрактное) представление и не реализованы в виде конкретных математических моделей. Для построения таких мо делей необходимо отобрать соответствующие математические зна ния, что ведет к третьему уровню дифференциации.

Третий уровень дифференциации – дифференциация на уровне математических знаний. Так, базовыми знаниями, которые необ ходимы для построения модели воздействий случайных факторов являются: понятие случайной величины;

вероятностные законы распределения;

предельные теоремы теории вероятности;

методы моделирования случайных величин. Базовыми знаниями, которые необходимы для построения модели экономической системы явля ются: схема наращения;

схема дисконтирования;

геометрическая прогрессия;

логарифмы;

количественные методы оценки инвести ционных проектов. Базовыми знаниями, которые необходимы для построения модели статистической обработки, являются: методы статистического оценивания числовых характеристик случайных величин;

методы проверки статистических гипотез.

Последовательное изучение и применение отобранных знаний в соответствии с логикой решения задачи определяют суть процесса интеграции математических знаний. В рассматриваемой задаче ре зультатом процесса интеграции математических знаний являются математические модели, которые, в отличие от абстрактных моде лей 2-го уровня дифференциации, имеют конкретное наполнение в виде совокупности математических выражений. Таким образом, можно сказать, что в процессе интеграции математических зна ний происходит трансформация абстрактных моделей в математи ческие модели, которые в рассматриваемой задаче представляют собой:

1) модель воздействий случайных факторов – это модель (поле) имитации стохастических параметров инвестиционного проекта;

2) модель экономической системы – это модель оценки эффек Трофимец Е.Н., Трофимец В.Я. Дифференциация и интеграция математических знаний в процессе решения профессионально-ориентированных экономических задач тивности инвестиционного проекта по показателю NPV (net present value – чистая современная стоимость);

3) модель статистической обработки – модель статистической оценки стохастических параметров проекта.

Разработанные модели должны быть объединены в единую комплексную модель, что можно рассматривать как 2-ой уровень интеграции. Работа с комплексной моделью, в общем-то, и позво ляет решить рассматриваемую задачу.

Следует отметить, что здесь также можно выделить и тре тий уровень интеграции – интеграцию на уровне дисциплин, так как полученные знания могут в последующем использоваться обу чаемыми при изучении таких дисциплин, как финансовый ана лиз, управление проектами, ценные бумаги, инвестиции, бизнес планирование.

Таким образом, весь процесс решения рассматриваемой задачи распадается на ряд последовательных этапов дифференциации и интеграции, ключевыми из которых являются этапы дифференци ации и интеграции математических знаний.

Разработанные на уровне интеграции математических знаний модели достаточно легко реализуются программным образом в среде табличного процессора Microsoft Excel.

Библиографический список 1. Макарова Н.В., Трофимец В.Я. Статистика в Excel. М.: Финан сы и статистика, 2002. 365 с.

2. Монахов В.М. Технологические основы проектирования и кон струирования учебного процесса. Волгоград, 1995. 152 с.

3. Подготовка учителя математики: Инновационные подходы:

Учеб. пособие / под ред. В.Д. Шадрикова. М.:Гардарики, 2002.

383 с.

4. Трофимец Е.Н. Наглядное моделирование экономических яв лений и процессов как средство интеграции математических знаний в процессе обучения математике студентов экономи ческих специальностей вузов. Дисс.... канд. пед. наук. Яро славль, 2004. 194 с.

330 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе Применение имитационного статистического моделирования в процессе обучения математике студентов-экономистов Е.Н. Трофимец, В.Я. Трофимец Современный специалист в области экономики немыслим без ак тивного владения методами и средствами информатики и такой специалист не может быть подготовлен без систематического ис пользования ЭВМ в учебном процессе.

Информатизация высшего образования – это реализация ком плекса мер, направленных на повышение уровня подготовки спе циалистов путем расширения сферы использования вычислитель ной техники и компьютерных технологий в учебной и научно исследовательской работе, в управлении учебным процессом.

Информатизация создает дополнительные возможности для стимулирования у студентов творческого мышления, усиливает значимость их самостоятельной работы. Упрощаются контроль и самоконтроль самостоятельной работы студентов. Повышается уровень индивидуальной работы преподавателя, изменяется со отношение между интеллектуальной и рутинной составляющими в учебной работе. Естественный шаг в компьютеризации учебно го процесса – передача компьютеру некоторых функций препода вателя. Реализовать этот процесс можно с помощью обучающих компьютерных программ, которые естественно рассматривать как средства обучения, дополняющие традиционные формы препода вания.

Что касается роли компьютера в совершенствовании навыков моделирования, то его использование на занятиях математики определяется как обращение к задачам прикладного и исследо вательского характера, задачам, возникающим на стыке различ ных дисциплин, требующим для своего решения владения приёма ми математического моделирования. Это позволит в дальнейшем совершить плавный переход к обучающим программам моделиро вания конкретных экономических ситуаций в курсе специализи рованных математических дисциплин, допускающих наличие слу чайных факторов, то есть создаст почву для овладения навыками Трофимец Е.Н., Трофимец В.Я. Применение имитационного статистического моделирования в процессе обучения математике студентов-экономистов имитационного моделирования.

В контексте вышесказанного проведем характеристику и де монстрацию имитационного статистического моделирования кон кретной экономической ситуации в среде табличного процессора Microsoft Excel.

Постановка задачи рассматривалась в статье: “Дифференци ация и интеграция математических знаний в процессе решения профессионально-ориентированных экономических задач” насто ящего сборника научных трудов, поэтому целесообразно сразу же перейти к разработке модели экономической системы.

1. Разработка модели экономической системы. В каче стве критерия эффективности инвестиционного проекта в предла гаемой модели используется показатель NPV (net present value – чистая современная стоимость), идея которого заключается в том, чтобы найти разницу между инвестиционными затратами и бу дущими доходами, выраженную в скорректированной во времени (как правило, к началу реализации проекта) денежной величине N P V = P V I0, где PV – современная стоимость денежного потока;

I0 – сумма первоначальных инвестиций.

Для расчета современной стоимости денежного потока исполь зуются формулы:

n N CFt PV = ;

(1 + r)t t= N CF = [Q (P V C1 ) F C A] (1 T ) + A.

При разработке модели было принято допущение, что генери руемый проектом поток платежей имеет вид аннуитета.

Не вдаваясь в детальное рассмотрение, следует только отме тить, что если N P V 0, то проект приносит доход, в противном случае убыточен (чем больше N P V, тем лучше, при незначитель ном положительном NPV, по всей видимости, также нет смысла рисковать капиталом).

332 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе Ключевые математические формулы, использованные для рас чета NPV приведены на листе “Исходные данные”.

При разработке модели принято допущение, что генерируемый проектом поток платежей имеет вид аннуитета.

2. Разработка модели воздействий случайных парамет ров проекта. Модель воздействий случайных параметров проек та разработана на листе “Поле имитации”. Принято допущение, что все случайные параметры имеют равномерное распределение.

Случайные числа генерировались с использованием функции СЛ ЧИС(). В учебных целях модель реализована в нескольких вари антах, отличающихся размерностью (от 100 до 5000 элементов).

Зная, что распределения равномерные, казалось бы можно лег ко посчитать среднее значение NPV без всякого моделирования.

Действительно это так. Но без моделирования вероятность рис ка рассчитать не удастся. Более того, ниже будет показано, что полученное среднее значение окажется излишне оптимистичным (завышенным). При принятии решения следует опираться на наи более вероятное (модальное) значение, которое окажется меньше среднего.

3. Разработка модели статистической обработки. Дан ная модель достаточна сложна и фрагментарно представлена на нескольких листах. О ней будет сказано ниже на этапе статисти ческого анализа.

4. Имитационное статистическое моделирование эконо мической системы. Имитационное статистическое моделирова ние проекта заключается в прогонах разработанных моделей (F9).

Так как модель имеет существенную размерность (до 5000), то можно ограничиться несколькими прогонами (в нашем случае 10, для размерности 5000 получаем 50000 испытаний). На листе “Поле имитации” убыточные проекты (N P V 0) отображаются кирпич ным цветом. Чтобы сгладить возможные отклонения (см. примеры выше), модель прогонялась 10 раз и рассчитывалось среднее по прогонам (лист “Результаты прогонов”).

Ниже представлена таблица и графики рассчитанной довери тельной вероятности – можно пропустить.

Трофимец Е.Н., Трофимец В.Я. Применение имитационного статистического моделирования в процессе обучения математике студентов-экономистов Лист “Диаграмма 5 прогонов” показывает, что с ростом числа генерируемых точек (проектов) оценки стабилизируются вокруг среднего (математического ожидания), т.е. наступает стационар ный процесс.

Лист “Дисперсия прогонов” показывает, что “нужно вовремя остановиться”, т.е. последующий существенный рост размерности модели приводит к несущественному увеличению точности резуль татов.

5. Статистический анализ результатов моделирования.

На листе “Результаты моделирования” рассчитаны выходные па раметры проекта (для размерности модели 5000). Важнейшими являются – “Среднее NPV ” (около 4600, что говорит о хорошей эффективности проекта – 150% от первоначальных вложений за 3 года) и “Вероятность N P V 0” (около 7%, что свидетельствует о незначительном риске).

Тем не менее, последующий анализ, основанный на построении функции плотности распределения NPV (детали опускаем) пока зывает (лист “Распределение NPV )”, что распределение NPV име ет правостороннюю асимметрию, поэтому наиболее вероятное (мо дальное) значение NPV меньше среднего (около 3700). При при нятии решения следует ориентироваться на модальное значение NPV.

Чтобы узнать о параметрах проекта можно воспользоваться ав тофильтром на листе “Поле имитации” (лучше для размерности модели 5000). Например, рассмотрим проекты с NPV, близкими к модальному, т.е. от 3690 до 3710 – получим около 10–15 про ектов). Некоторые из отобранных проектов, по всей видимости, могут быть исключены из последующего рассмотрения, как не в полной мере соответствующие на данный момент конкретным сло жившимся внутренним и внешним обстоятельствам.

Заметим также, что помимо рассмотренной прикладной задачи, табличный процессор Microsoft Excel используется также для про ведения занятий по теоретическим основам метода Монте-Карло, в частности для демонстрации основных принципов имитационно го моделирования и экспериментального подтверждения ряда пре дельных теорем теории вероятности, в частности, теорем Чебыше 334 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе ва, Бернулли, Ляпунова.

Библиографический список 1. Макарова Н.В., Трофимец В.Я. Статистика в Excel. М.: Финан сы и статистика, 2002. 365 с.

2. Монахов В.М. Технологические основы проектирования и кон струирования учебного процесса. Волгоград, 1995. 152 с.

3. Подготовка учителя математики: Инновационные подходы:

Учеб. пособие / под ред. В.Д. Шадрикова. М.:Гардарики, 2002.

383 с.

4. Трофимец Е.Н. Наглядное моделирование экономических яв лений и процессов как средство интеграции математических знаний в процессе обучения математике студентов экономи ческих специальностей вузов. Дисс.... канд. пед. наук. Яро славль, 2004. 194 с.

О введении в математический анализ О.С. Ивашев-Мусатов При изложении теории пределов все мы находимся под гипно зом математиков. Но студентами нематематических специально стей (особенно слабыми в математике) все это воспринимается как пустая схоластика и не формирует никаких реальных образов. Для этого контингента изучение математического анализа удобнее на чинать с наблюдения, которое всем понятно: есть линии, кото рые можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги. Таковы окружность, ломаная, прямая, траектория движущейся точки и т.п. Когда рисуются эти линии движение карандаша не прерыва ется. Поэтому такие линии принято называть непрерывными.

I. История развития науки и техники показала, что непрерыв ные линии играют фундаментальную роль. Например, температу ра в комнате изменяется со временем t вполне определенным образом, т.е. переменная есть функция переменной t : = (t).

Ивашев-Мусатов О.С. О введении в математический анализ Автомат-самописец, записывающий изменения температуры с те чением времени t, выдаст на ленте непрерывную линию (посколь ку температура не изменяется мгновенно). Эта линия – график функции (t). Поэтому про функцию (t) говорят – “непрерывная функция”.

Аналогичное положение с давлением p воздуха – это функция времени t, т.е. p = p(t). Ясно, что p(t) – непрерывная функция. И подобное наблюдается повсеместно.

Таким образом возникло понятие о непрерывной функции: функ цию f называют непрерывной, если ее график – непрерывная ли ния, т.е. его можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги.

Уже такое наглядное представление о непрерывной функции позволяет уяснить ее простейшие свойства. Так, если функция f непрерывна на отрезке [a, b], т.е. ее график можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, начиная с точки (a, f (a)) и кончая точкой (b, f (b)) (рис. 1), Y T r (b, f (b)) E r r r x1 x2 x3 x a O X r (a, f (a)) Рис. то:

1) если числа f (a) и f (b) разных знаков, то f (x) = 0 хотя бы при одном x из интервала (a, b). На рис. 1 таких точек три: x1, x2, x3 ;

2) на отрезке [a, b] функция f имеет наибольшее и наименьшее значения: на рис. 1 число f (a) – наименьшее значение f на отрезке [a, b], число f (x4 ) – наибольшее значение f на отрезке [a, b], т.е. при любом x из отрезка [a, b] выполнены неравенства f (a) f (x) 336 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе f (x4 ).

II. Эти наглядно ясные факты конечно требуют строгого дока зательства. Но такое доказательство можно дать только после то го, как понятию непрерывности функции будет дано полное мате матическое определение. Чтобы получить его,надо провести сред ствами математики анализ наглядных соображений, приведенных выше. Коротко говорят: проведем математический анализ подме ченного. При этом будет удобно воспользоваться приближенными вычислениями.

В общем случае положение аналогично. Пусть фушсция f непре рывна на интервале (т.е. ее график над этим интервалом можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги), и надо вычислить f (a) для числа a из этого интервала. Для этого берут x a и считают, что f (x) f (a). При этом непрерывность функции все ляет уверенность в том, что чем точнее приближенное равенство x a, тем точнее приближенное равенство f (x) f (a), и точность последнего может быть получена любой при повышении точности x a.

Геометрически это ясно из рис. 2, где приведен график функции f и процесс вычисления f (a) и f (x).

YT f f (a) f (x) E x a O X Рис. Точность приближенного равенства x a есть число |xa|. Это длина отрезка [x, a], выделенного на оси Ox. Аналогично, точность приближенного равенства f (x) f (a) есть число |f (x) f (a)|.

Это длина отрезка, выделенного на оси Oy – отрезок [f (x), f (a)].

Ивашев-Мусатов О.С. О введении в математический анализ Из рисунка видно: чем короче отрезок [x, a], тем короче отрезок [f (x), f (a)], и его длину можно сделать как угодно малой за счет уменьшения длины отрезка [x, a]. В терминах приближенных вы числений это означает: приближенное равенство f (x) f (a) мож но получить с любой точностью за счет повышения точности при ближенного равенства x a.

Коротко говорят: если функция f непрерывна в точке a, то f (x) f (a) с любой точностью при x a.

III. Вот это свойство непрерывной функции было принято за основу определения после придания наглядной формулировке это го свойства математического содержания. Для этого вспомним:

точность приближенного равенства характеризуется положитель ным числом (с точностью до 0,001 или с точностью до 0,00001 и т.п.). В приведенной формулировке есть два приближенных ра венства. Точность приближенного равенства x a характеризу ется одним положительным числом, которое по традиции обозна чают греческой буквой “дельта”. Точность приближенного ра венства f (x) f (a) характеризуется другим (как правило) поло жительным числом, которое по традиции обозначается греческой буквой “эпсилон”. При этом: точность приближенного равенства f (x) f (a) мы хотим получить любой, т.е. число 0 задается любым (у инженеров и вычислителей указывается в задании – в вычислениях гарантировать точность 0,001 и т.п.), а число надо подобрать так в зависимости от заданного (точки a и функ ции f ), чтобы выполнялось условие: если точность приближенного равенства x a меньше, то точность приближенного равенства f (x) f (a) должна быть меньше.

Итак, мы подошли к определению непрерывности функции в точке: функция f непрерывна в точке a, если для любого поло жительного числа можно подобрать такое положительное число, что при любом x из неравенства |xa| о следует неравенство |f (x) f (a)|.

Добавим к этому определению: при любых x, удовлетворяю щих неравенству |x a|, функция определена, т.е. функция f должна быть определена в некоторой окрестности точки a.

338 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе Пример.1 Линейная функция f (x) = kx + b непрерывна в лю бой точке a R.

При доказательстве фиксируем любую точку a R. Для про извольно взятого числа 0 число 0 подбираем следующим образом:

|f (x) f (a)| = |kx + b (ka + b)| = |k| · |x a| (|k| + 1) · |x a.

Из полученного неравенства видно: если взять = |k|+1, то при любом x из неравенства |x a| следует неравенство |f (x) f (a)|. Таким образом доказано, что для любого числа можно подобрать число 0 (в этом примере = |k|+1 0) так, что выполнены условия, указанные в определении. Непрерывность линейной функции в выбранной точке a R доказана. Отсюда получаем непрерывность в любой точке a R.

Пример 2. Функция синус непрерывна в любой точке a R.

Фиксируем любое число a. Для произвольно взятого числа 0 число 0 подбираем, пользуясь определением синуса числа:

длина дуги (рис. 3) BM = t, длина дуги BN = a, тогда длина дуги M N = |a t| M N | sin a sin t| (это длина отрезка [sin t, sin a] на оси Oy, этот отрезок – проекция хорды M N, которая короче дуги M N.

Ивашев-Мусатов О.С. О введении в математический анализ YT N sin a M sin t E O B X Рис. Отсюда видно, что можно взять =. Тогда для любого числа t из неравенства |ta| будет следовать неравенство | sin tsin a|.

Непрерывность синуса в точке a доказана. Точка же a была взята любой из множества R.

В процессе разбора примеров и доказательства теорем посте пенно осваивается определение непрерывности функции в точке.

Используя логические символы, определение непрерывности функции в точке может быть записано так:

def ф f н a R 0 0 x R (|xa| |f (x)f (a)| ).

(1) Буквы def над указывают на то, что это определение (def – сокращение английского слова denition – определение), т.е. знак def заменяет слова “по определению, тогда и только тогда”.


Развитие науки и техники показало, что большую роль играет понятие предела функции, которое можно трактовать как обобще ние понятия непрерывности функции в точке.

Начну с наглядного примера. Здравый смысл подсказывает, что малая дуга окружности и ее хорда почти совпадают (рис. 4), т.е.

AB AB 1 с любой точностью при малой дуге AB.

340 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе B 2x A Рис. Если центральный угол дуги AB равен 2x радиан, то AB = R · 2x, AB = 2R sin x и потому sin x 1 с любой точностью при x малых x. Это же можно заметить и по таблицам.

Проведем теперь полное математическое доказательство сде ланного утверждения. Зафиксируем число x R. На рис. 5 прове дена дуга окружности радиуса R с центром O, касательная к ней, A – точка касания.

B C x A O Рис. Сравнивая площади двух треугольников и сектора окружности получаем: SOAB Sс.OAB SOAC 2 R2 sin x 1 R2 x 2 R tg x, откуда следует:

sin x cos x 1. (2) x Все члены последнего неравенства – четные функции. Поэтому оно верно и для любого числа x, 0, т.е. при x, и 2 Ивашев-Мусатов О.С. О введении в математический анализ x = 0. Для таких x в силу неравенства (2) получаем:

x sin x sin x x x 1 cos x = 2 sin2 1 =1 =.

x x 2 2 Отсюда видно: sin x 1 с любой точностью при x 0 и x = 0.

x В самом деле, если |x| 0, 01, то sin x 1 0,0001, если x |x| 0, 001, то sin x 1 0,000001 и т.д. Это очень похоже на x непрерывность функции y = sin x в нуле, если бы она была там x определена и имела значение 1. Но она в 0 не определена. Поэто му говорить о ее непрерывности в 0 нельзя. Вместо этого говорят:

“функция y = sin x при x, стремящемся к 0, имеет предел, равный x 1” и пишут sin x lim = 1. (3) x0 x Говорят также: “функция y = sin x стремится к 1 при x, стремя x щемся к 0” и пишут sin x 1 при x 0. Здесь (и выше) знак “” x заменяет слово “стремится”.

Оказалось, что при решении многих задач (нахождение мгно венной скорости, ускорения и пр.) возникает аналогичная ситуа ция: для функции f можно подобрать такое число A, что f (x) A с любой точностью при x a и x = a. Тогда число A называют пределом функции f при x, стремящемся к a, и пишут:

A = lim f (x) (и f (x) A п x a). (4) xa Это положение сходно с тем, что привело к определению (1), толь ко f (a) надо заменить числом A и сделать оговорку x = a.

Итак, мы подошли к определению предела функции в точке:

def A = lim f (x) 0 0 x R (0 |xa| |f (x)A| ).

xa (5) (Оговорка x = a учтена неравенством 0 |x a|.) Таким образом, о пределе функции в точке a (или при x a) можно говорить только в том случае, когда функция определена в окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a.

342 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе Сравнивая (1) и (5) получаем:

фfн a f (a) = lim f (x). (6) xa После (1), (5) и (6) обычным образом формулируются и дока зываются теоремы о пределах и непрерывных функциях. Это есть в любых учебниках и нет нужды здесь на этом останавливаться.

Технологический подход к обучению в профессиональном учебном заведении О.Б. Епишева Одним из условий достижения основной цели модернизации рос сийского образования – его современного качества [5, 10], как показано во многих педагогических исследованиях [1, 2, 6–8, 11], является теоретическая разработка и внедрение в практику ра боты учебных заведений педагогической технологии. Технология обучения является развитием традиционной методики обучения и, в отличие от нее, дает инструментарий достижения планиру емых целей образования. Это объясняется тем, что она представ ляет собой такой уровень методики, который трансформирует ее теоретические закономерности в систему совместной практической деятельности всех участников учебно-воспитательного процесса, в проект методической системы, содержащий описание процесса достижения планируемых результатов обучения (В.П. Беспалько, В.М. Монахов) и процедур совместной деятельности учителя (пре подавателя) и учащихся (студентов).

В профессиональном образовании проблема достижения высо кого уровня подготовки компетентного специалиста обострилась и в связи с намерениями вхождения России в мировое образователь ное пространство и повышением уровня требований к стандартам инженерного образования. В качестве примера приводим разра ботанный Ассоциацией инженерного образования России вариант стандартов для аккредитации инженерных программ двух циклов – первого (FCD) и второго (SCD). Эти стандарты представляют со бой адаптированные и модифицированные версии формулировок Епишева О.Б. Технологический подход к обучению в профессиональном учебном заведении требований к выпускникам, используемых в существующих систе мах аккредитации европейских стран и в странах Вашингтонского соглашения. Результаты обучения по этим программам (как уме ния выпускника) описываются в терминах задач и видов деятель ности разного уровня сложности, которые выпускники должны ре шать (табл. 1 и 2), применимы ко всем инженерным программам и должны быть дополнены специальными требованиями в зависи мости от дисциплин [3].

344 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе Таблица Академические результаты обучения Выпускник FCD Выпускник SCD должен должен 1. Знания в Применять знания ма- Применять знания ма области тематики, естествен- тематики, естествен инже- ных, общеинженерных ных, общеинженерных нерных и специальных наук в и специальных наук наук инженерной практике, для разработки кон системах, процессах цепций инженерных или методологии моделей 2. Анализ Определять, форму- Определять, форму проблем лировать проблему, лировать проблему, находить необходимую находить необходимую литературу и решать литературу и решать инженерные задачи сложные инженерные задачи, достигая обос средней сложности, достигая обоснован- нованных выводов, ных выводов, исполь- используя основные зуя аналитические принципы математики приемы в зависимости и инженерных наук от выбранной дисци плины или выбранной специализации 3. Проекти- Находить решения для Находить решения рование задач средней слож- для сложных задач /выра- ности и участвовать и проектировать си ботка в проектировании си- стемы, их компоненты решений стем, их компонентов или процессы с учетом или процессов с уче- вопросов здравоохра том вопросов здраво- нения и безопасности, охранения и безопасно- культурных, социаль сти, культурных, соци- ных, экологических альных, экологических аспектов аспектов Епишева О.Б. Технологический подход к обучению в профессиональном учебном заведении 4. Проведе- Проводить исследо- Проводить исследова ние вания задач средней ния сложных задач, исследо- сложности, система- в том числе, путем ваний тизировать, находить проектирования экспе и выбирать необхо- риментов, анализа и димые данные из интерпретации данных программ, баз данных и синтеза информации и специализированной для получения обосно литературы;

проекти- ванных выводов ровать и проводить эксперименты для по лучения обоснованных выводов 5. Использо- Выбирать и использо- Создавать, выбирать вание вать соответствующие и использовать соот совре- ресурсы, современные ветствующие ресурсы, менных методики и оборудова- современные методики методов ние, включая прогно- и оборудование, вклю зирование и моделиро- чая прогнозирование вание для решения ин- и моделирование для женерных задач сред- решения сложных ней сложности, с по- инженерных задач, с ниманием правильно- пониманием правиль сти их применения ности их применения Таблица Личностные результаты обучения Выпускник FCD Выпускник SCD должен должен 1. Индивиду- Эффективно работать Эффективно работать альная как индивидуаль- по междисциплинар работа и но, так и в качестве ной тематике как работа в лидера или члена индивидуально, так и команде разнотипных команд в качестве лидера или члена разнотипных команд 346 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе 2. Общение Эффективно общаться Эффективно общаться с членами инженер- с членами инженерно ного сообщества и го сообщества и обще общества в целом в ства в целом в решении решении задач средней сложных задач: быть быть способным понимать, сложности:

способным понимать, писать рабочие отче писать рабочие от- ты, вести документа четы, разрабатывать цию, делать содержа документацию, де- тельные презентации, лать содержательные понимать и давать чет презентации, пони- кие инструкции мать и давать четкие инструкции 3. Взаимо- Демонстрировать по- Демонстрировать по действие нимание социальных, нимание социальных, инже- культурных, юри- культурных, юри нера с дических аспектов, дических аспектов, обще- вопросов здравоохра- вопросов здравоохра ством нения и безопасности и нения и безопасности и осознание ответствен- осознание ответствен ности за последствия ности за последствия инженерной деятель- инженерной деятель ности ности 4. Этика Понимать ответствен- Понимать ответствен ность и следовать эти- ность и следовать эти ке и нормам инженер- ке и нормам инженер ной деятельности ной деятельности 5. Окружа- Понимать влияние ин- Понимать влияние ин ющая женерных решений в женерных решений в среда и социальном контексте социальном контексте устой- и демонстрировать по- и демонстрировать по чивое нимание и необходи- нимание и необходи развитие мость устойчивого раз- мость устойчивого раз вития вития Епишева О.Б. Технологический подход к обучению в профессиональном учебном заведении 6. Управле- Демонстрировать осве- Демонстрировать осве ние домленность и понима- домленность и понима проек- ние в сфере менедж- ние в сфере менедж тами и мента и бизнеса, такие мента и бизнеса, такие финансы как риск, возможные как риск, возможные изменения условий и изменения условий и понимание их послед- понимание их послед ствий ствий 7. Межкуль- Работать в интернаци- Работать в турные ональной среде с по- интернациональ-ной компе- ниманием культурных, среде с пониманием тенции языковых и социально- культурных, языко экономических разли- вых и социально чий экономических разли чий 8. “Обучение Осознавать необходи- Осознавать необходи через мость и иметь способ- мость и иметь способ всю ность самостоятельно ность самостоятельно жизнь” учиться и повышать учиться и повышать квалификацию в тече- квалификацию в тече ние жизни ние жизни Традиционная дидактическая система, которой исполнилось уже 350 лет, в настоящее время уже недостаточна для решения за дач модернизации образования, что объясняется такими ее особен ностями, как а) ведущая роль теоретических знаний в содержании обучения, б) преобладание объяснительно-иллюстративного спосо ба обучения, в) как следствие – ориентация учебного процесса на деятельность учителя (например, цели обучения выражены в дей ствиях учителя – “ознакомить учащихся с...”, “решить с учащимися задачи” и т.п.), г) как следствие – отсутствие акцента на учебную деятельность обучаемых, и д) как результат, – доминирование у них памяти над мышлением, низкий уровень самостоятельности и результативности учебной деятельности.


“Традиционность” существующей дидактической системы в ву 348 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе зе и привычка к ней преподавателей не позволяет сегодня получить существенно лучшие результаты образования. Педагогика высшей школы сегодня исходит из того, что методы обучения в вузе, ори ентированные на объяснение педагога, формируют интеллектуаль ную пассивность и ограничивают творческие способности студен та;

таким образом, время их обучения используется неэффективно.

Основной технологической процедурой является проектирова ние образовательных целей, которые являются ключом к проек тированию всей технологии (всех ее технологических процедур).

Это соответствует и стратегии модернизации образования, которая говорит о необходимости положить в основу обновления образова ния планируемые цели (характеристики результата “на выходе”) и только после этого формировать само содержание образования “на входе” [10. C. 15]. Цели образования должны быть представлены не в объектно-знаниевой, а в деятельностной форме (выражены в действиях ученика или эталонах этих действий), что определя ет деятельностный характер образовательного стандарта и содер жания образования [10. C. 25]. При этом можно проектировать три традиционные группы образовательных целей: 1) учебные це ли (а не обучающие, т.к. они являются целями не учителя, а уче ника, целями его учебной деятельности);

2) цели развития (раз вивающие цели) и 3) цели воспитания (воспитательные цели). В психолого-педагогических исследованиях давно показано, что эф фективность достижения учебных (обучающих) целей образова ния в значительной степени зависит от достижения развивающих и воспитательных целей, а в новой концепции и стратегии модерни зации образования последние являются приоритетными, т.к. их до стижение определяет так называемую “обучаемость” ученика, т.е.

его способность к усвоению изучаемого материала. Если цели обра зования определены и сформулированы неверно, то по результатам их достижения ни о каком качестве не может идти речь [9. C. 21].

При конкретизации целей обучения в профессиональном учеб ном заведении их необходимо также соотнести с особенностями бу дущей профессии (специальности). Результаты исследований сущ ности профессиональной деятельности показывают, что ее психо логическая основа как система, имеет такую же структуру, как Епишева О.Б. Технологический подход к обучению в профессиональном учебном заведении и учебная деятельность. Это – мотивы, цели, программа деятель ности, информационная основа деятельности, принятие решений, подсистема профессионально важных качеств и способностей лич ности;

при этом профессиональные способности рассматривают ся как общие способности, приобретшие черты оперативности под влиянием деятельности, что может быть ориентиром для проекти рования целей развития и воспитания в этом вузе [12]. Цели про фессионального образования должны быть компонентами профес сиональной компетентности специалиста и стандартов инже нерного образования (табл. 1 и 2).

Вторая технологическая процедура – проектирование на основе полученных целей содержания обучения в деятельностной форме, которое получается переводом спроектированных целей в адекват ные им предметные (математические, технические и т.д.) и учеб ные задачи. Эти задачи предъявляются обучаемым в виде учебных заданий во всех видах учебной деятельности;

они должны состав лять постоянно пополняемый банк учебных заданий, из которого, в частности, формируется и тестовый фонд.

Согласно правительственной стратегии обновления образова ния – усилению деятельностного подхода к обучению, проектиро вание всех остальных компонентов системы обучения осуществля ется также на основе этого подхода. В частности, необходима “дея тельностная формулировка ключевых компетентностей” [10. C. 20], проектирование всего хода учебного занятия, оценка текущих ре зультатов, коррекция обучения, направленная на достижение обу чаемыми запланированных целей [7].

После диагностики готовности обучаемых к учебной деятель ности (входной контроль) проектируется учебный процесс – его структура (этапы), содержание и методический инструментарий (методы, формы и средства его организации, контроля, коррек ционной работы и оценки результатов обучения), организующий учебную деятельность учащихся (студентов) с подготовленным учебный материалом, направленную на достижение запланирован ных результатов обучения. Выбор как структуры учебного про цесса, так и методического инструментария определяется целями и содержанием изучаемого материала;

уровнями его сложности и 350 Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе подготовленности обучаемых к его усвоению;

сравнительной ха рактеристики возможностей, сильных и слабых сторон различных методов, форм и средств обучения;

особенностей самого препода вателя;

возможностей учебно-материальной базы вуза;

регламента учебного времени.

Таким образом, технологический подход к обучению позволяет не только декларировать, но и, как показывают научные исследо вания и опыт их внедрения в педагогическую практику, на деле достигать более высокого уровня качества обучения при условии овладения преподавателем обязательными технологическими про цедурами. Использование педагогической технологии и процесса проектирования технологических процедур сокращает время овла дения преподавателем процессом формирования собственной мето дики (технологии) обучения своей дисциплине.

Библиографический список 1. Бахусова Е.В., Коростелев А.А., Монахов В.М. и др. Техно логии В.М. Монахова – дидактический инструментарий модер низации образования: Учеб. пособие. М.-Тольятти: Волжский ун-т им. В.Н. Татищева, 2004. 60 с.

2. Епишева О.Б. Технология обучения математике на основе дея тельностного подхода: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 2003.

223 с.

3. EUR-ACE критерии и процедуры аккредитации программ в об ласти техники и технологии. М.: Ассоциация инженерного об разования России, Аккредитационный центр. 2005. 15 с.

4. Качество образования. Достижения. Проблемы. Материалы IV Международной научно-методической конференции / Под ред.

А.С. Вострикова. Новосибирск: НГТУ, 2001. 433 с.

5. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года. Сoncepcia.rtf. 28 с.

6. Кларин М.В. Педагогическая технология в учебном процессе.

Анализ зарубежного опыта. М.: Знание, 1989. 89 с.

Епишева О.Б. Технологический подход к обучению в профессиональном учебном заведении 7. Кларин. М.В. Технологический подход к обучению // Школь ные технологии. № 5. 2003. С. 3–22.

8. Монахов В.М. Технологические основы проектирования и кон струирования учебного процесса. Волгоград: Перемена, 1995.

152 с.

9. Поташник М.М. Качество образования: проблемы и техноло гии управления (В вопросах и ответах). М.: Педагогическое об щество России, 2002. 352 с.

10. Стратегия модернизации содержания общего образования: Ма териалы для разработки документов для обновления общего образования. М.: ООО “Мир книги”, 2001. 66 с.

11. Чернилевский Д.В., Филатов О.К. Технология обучения в выс шей школе: Учеб. издание / Под ред. Д.В. Чернилевского. М.:

“Экспедитор”, 1996. 288 с.

12. Шадриков В.Д. Психология деятельности и способности чело века: Учеб. пособие. М.: “Логос”, 1996. 320 с.

Глава История и философия математики Арифметическая техника и развитие математики Г.А. Зверкина Нумерация и техника счета в древности Математика на всем протяжении своей истории практически все гда использовала числа или их обобщения. Геометрический объ ект имеет размер и (или) положение в пространстве, что задается числами;

алгебраические теории предполагают возможность вы полнения неких операций, прототипом которых были арифмети ческие действия. Функции, являющиеся отображением из области определения в множество чисел (действительных, комплексных, p-адических... ), – это тоже числа, которые можно складывать и умножать.

Подразумевая повсеместное использование в математике чисел, современный исследователь не задумывается о том, каким образом можно практически выполнить те арифметические действия, кото рые он использует в своих теоретических рассуждениях. Вопрос о практическом исполнении арифметических действий рассматрива ется только в школе. Даже вычислительная математика при описа нии алгоритмов численного решения задач не касается вопроса их практического воплощения: сейчас вычислительная техника позво ляет об этом не задумываться. Причем уверенность в практической осуществимости любых вычислительных действий, упоминающих ся в теоретических рассуждениях, была присуща математикам не только нашего времени, но и последних трех столетий. То, как за писываются числа и то, как производятся над ними арифметиче ские операции, на протяжении нескольких сотен лет не оказывало 1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 03-06 80226а) и CNRS (проект “Les instruments du calcul savant”).

Зверкина Г.А. Арифметическая техника и развитие математики практически никакого влияния на развитие математики. Но всегда ли так было?

Возникновение отвлеченного (абстрактного) числа в челове ческой практике сопровождалось представлением о числе как о неком мистическом, божественном даре: не отделявший ранее чис лительного от перечисляемых объектов, человек был поражен тем, что одними и теми же словами можно указывать количество объ ектов различной структуры. Числам приписывались различные магические, сакральные качества, – это сохранялось, например, в нумерологии1. Системы нумерации практически всех известных древних цивилизаций основывались на числах 5, 10 и 20. Одна ко это не означает, что одновременно автоматически создавалась соответствующая позиционная система записи чисел.

Первые обозначения чисел – черточки и точки – с появлением письменности заменялись новыми символами. Сначала они объ единялись в группы, а со временем превратились в пиктограммы.

В некоторых случаях эти пиктограммы содержали в себе некую информацию о составе числа, что существенно усложняло их вид.

Однако экономическое развитие древнего общества требовало умения выполнения арифметических операций с большими числа ми, и делать это, пересчитывая десятки черточек, было неудобно.

Возникли первые обозначения чисел, практически всегда это были пиктограммы, в иероглифической письменности превратившиеся затем в иероглифы, а в алфавитной они в ряде случаев заменялись буквами или их комбинациями. При этом для одинакового количе ства единиц, десятков, сотен, тысяч и т.д. применялись различные значки. Иногда (Китай, Египет) письменная нумерация соответ ствовала устному названию числа (например, 500=пять сотен, ve hundred, cinq cents и т.д.);

в ряде случаев это приводило к форми рованию аддитивно-мультипликативной нумерации, которая была удобнее для записи результатов вычислений, чем, например, ал фавитная. Естественно, арифметические операции в иероглифи ческой и алфавитной нумерации требовали больших усилий.

1 Так, пифагорейцы из того, что разные народы Средиземноморья исполь зовали естественный для человека счет десятками, выводили множество заме чательных свойств числа 10.

354 Глава 4. История и философия математики Счет на пальцах (и др. частях тела) и счетном материале (мел ких предметах) в ряде случаев привел к созданию первых счетных приспособлений – абаков. При этом нельзя представлять себе абак исключительно как специально изготовленную размеченную дос ку или даже рамку со стержнями и надетыми на них счетными костями (русские счеты или китайский суаньпань): при необходи мости сложных расчетов человек мог просто расчертить на любой гладкой поверхности таблицу, на которой можно было разложить счетный материал и, перекладывая его, производить вычисления.

Распространенность практики счета на абаках привела неко торые цивилизации к формированию позиционной системы нуме рации. У инков роль абака играли кипу – узелковые записи, что, очевидно, способствовало возникновению у них позиционной деся тичной нумерации1.

При этом можно предположить, что количество счетного мате риала на одной линии абака должно было соответствовать основа нию формировавшейся системы нумерации. То есть, например, в математике майя можно предположить использование пятерично го абака;

при этом двадцатеричная система нумерации трансфор мировалась в пятерично-двадцатеричную.

В Китае, несмотря на использование ориентированного на пяте ричность суаньпаня2, возникла десятичная нумерация – здесь, ско рее всего, оказала влияние также и древняя аддитивно-мультипли кативная нумерация. Запись 710000+51000+6100+910+ естественно трансформируется в 75696 (здесь, видимо, сыграла свою роль и иероглифичность записи, когда, следуя словесному обозначению, число 600 или “шесть сотен”, например, записыва лось знаком “6” и знаком “100” 3). Единственно, чего здесь не хва тает – знака 0. Однако этот знак использовался при обозначении на бумаге пустой клетки счетной таблицы, в ячейках которой рас 1 Нечто подобное узелковому счету инков использовалось и в Японии.

2 Впрочем, сложно сказать, что появилось раньше – позиционная нумерация или суаньпань.

3 В Китае сформировалось две системы записи чисел – “научная”, исполь зовавшая кружок 0 в качестве 0 и 9 знаков из черточек, где горизонтальная черта соответствовала 5, а вертикальная – 1, и “бытовая” иероглифическая.

Зверкина Г.А. Арифметическая техника и развитие математики кладывались счетные палочки.

Казалось бы, использование абаков и естественной для челове ка десятичной (устной) нумерации должно было привести к фор мированию позиционных систем нумерации во всех развивающих ся цивилизациях. Однако этого не произошло. В Азии десятичная система стала использоваться в Индии, видимо, она была, заим ствована из Китая. Написание индийских чисел, как и везде, воз никло сначала в виде различных значков для всех разрядов, затем были попытки ввести слоговую (подобную греческой алфавитной) нумерацию, и лишь в середине I тысячелетия н.э. в Индии появи лась десятичная нумерация. При этом форма цифр в разных реги онах Индии имеет сходство и, по-видимому, имеет общий источник.

Однако в цивилизациях Средиземноморья такого прогресса в системах нумерации не случилось. В древней Месопотамии воз никшая было десятичная почти позиционная (без знака 0) система нумерации была скомбинирована с шестеричной системой, проис хождение которой неизвестно1. Вавилонская нумерация не была полноценной позиционной нумерацией (такой, какой она позднее стала в работах греческих астрономов и арабских ученых), и из-за сложности записи чисел в этой системе она была мало пригодна для сложных арифметических расчетов.

Также и в Египте, несмотря на достаточно высокое развитие техники и экономической системы, нумерация оставалась иерогли фической (при этом она не содержала специальных знаков для чисел первого десятка), что не способствовало развитию арифме тической техники. Причиной этого, видимо, была монополизация права на проведение расчетов небольшой части населения – касты жрецов и писцов – схожая ситуация была и в Месопотамии.

Мистический ореол чисел привел к формированию во многих древних цивилизациях мнения об избранности тех, кто может за ниматься расчетами. Человек, научившийся читать, писать и счи тать, был обеспечен твердым заработком;

попасть в касту избран ных, допущенных к обучению арифметическим расчетам, было 1 Возможно, она произошла из неких национальных традиций, подобно то му, как некоторые племена Папуа-Новой Гвинеи обзавелись развитой одинна дцатеричной (устной) системой счета.

356 Глава 4. История и философия математики непросто и в Месопотамии, и в Египте. Естественно, забота о сохра нении своих доходов препятствовала демократизации счета. Слож ность системы расчета, особенно в части определения дробных до лей величин, служила надежным препятствием распространению среди широких масс математических знаний. Важной особенно стью счета в Египте и Месопотамии была необходимость исполь зования многочисленных таблиц;

видимо, обладание такими таб лицами было привилегией определенного слоя населения.

Интересно, что, в противоположность египетской практике, в Китае в глубокой древности возникла практика сдачи экзаменов для занятия места чиновника;

сдавать такие экзамены имели пра во практически все, и в программу экзамена входила математика в достаточно большом объеме. Таким образом, в Китае все чи новники умели производить достаточно сложные арифметические расчеты, и, кроме того, еще большее количество людей, пытавших ся сдать экзамены, но безуспешно, в той или иной степени были знакомы с математикой. Математические знания были широко распространены в Китае, что и привело к демократизации ариф метических знаний, и способствовало становлению позиционной нумерации.

Итак, в Средиземноморье сформировалось несколько систем нумерации (иероглифическая, алфавитная и шестидесятеричная, представлявшая собой комбинацию десятичной и шестеричной), а в Китае и позднее в Индии была принята к использованию по зиционная десятичная. Анализ дальнейшего развития систем ну мерации приводит к выводу о том, что развитие математических знаний ведет к упрощению нумерации и тяготеет к позиционному принципу систем записи чисел. Так, в Египте времен Новой Им перии нумерация в демотических текстах схожа с китайской, а в поздней Византии числа иногда записываются в позиционном ви де. До того в Греции Архимедом и Аполлонием Пергским делались попытки построить позиционную нумерацию с основанием 108 или 104.



Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 11 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.