авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«Санкт-Петербургский государственный университет В.А. Антонов, И.И. Никифоров, К.В. Холшевников ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОТЕНЦИАЛА И ...»

-- [ Страница 2 ] --

Замечание 1. Потенциал при Q T принято называть внеш / ним, а при Q T внутренним. Обратим внимание, что это один и тот же потенциал, рассматриваемый в разных подмножествах RN.

Замечание 2. Внешность компактного тела может не быть связной. Пример: шар с полостью. В общем случае множество то чек вне T распадается на счетное множество областей. В каждой из них потенциал аналитическая функция координат. По принци пу аналитического продолжения она определяется однозначно, ес ли известна в сколь угодно малой окрестности произвольной точки области. Но потенциалы в разных областях могут быть различны ми аналитическими функциями, непродолжимыми одна в другую.

То же верно и для неограниченных тел. Так, если T гиперплос кость, то потенциал по разные стороны от нее представляется раз личными аналитическими функциями.

2.4.1 Окрестность границы тела Для внутреннего потенциала интегралы (2.3) и (2.4) несоб ственные. Их дифференциальные свойства существенно зависят от размерностей N и n пространства и тела T, соответственно.

При n = 0 (материальная точка) вопрос исследован в разде ле 2.1. Ниже считаем n 1.

Сравнение (1.5) и (1.6) показывает, что при n = N на грани це T (и на поверхностях разрыва плотности) по крайней мере од на из вторых производных потенциала терпит скачек. При n N n-мерная плотность отвечает бесконечной N -мерной плотности.

Так что непрерывности можно ожидать только у V и grad V.

При N = 1, n = 1 подынтегральное выражение (2.3) как функ ция от x непрерывно, имея угловую точку при x = x. Допусти мо однократное дифференцирование под знаком интеграла. Функ ции V, V /x непрерывны при всех x R.

При N = 2 подынтегральное выражение имеет логарифмиче скую особенность, так что потенциал непрерывен на всей плоско сти R2. При n = 2 непрерывен и градиент, и допустимо дифферен цирование под знаком интеграла (2.3). При n = 1 первые производ ные терпят скачек.

Перейдем к общему случаю N 2, 1 n N.

однородная n-мерная плоскость в RN, Пусть T n N.

Мы установили в разделе 2.3, что T притягивает Q в точности как точка в RN n. Поскольку внешний потенциал аналитичен, при тяжение далекой от Q части T не играет роли в асимптотике V при Q T. Таким образом, если T часть однородной n-мерной плоскости, то вблизи T (но, возможно, не вблизи границы T как n-мерного многообразия) поведение V оказывается таким же, как вблизи точки в (N n)-мерном пространстве. То же верно при за мене постоянной плотности на произвольную непрерывную и при замене плоскости на гладкую поверхность. Например, при n = N (N 3) в согласии с (2.2) V ln s2. (2.20) Здесь s расстояние до T. Чем меньше размерность n, тем сильнее выражена сингулярность V. Внутренний потенциал бесконечен при n N 2.

Случай n = N 1 (N 2) представляет особый интерес в тео рии потенциала. Материальную (N 1)-мерную поверхность в RN называют простым слоем. В согласии с (2.2) в окрестности T (но, возможно, не границы T ) V 2 s, (2.21) так что потенциал простого слоя остается непрерывным при пере ходе через T (по крайней мере вне точек границы T как гладкого многообразия). Однако его нормальная производная V / в силу первой из формул (2.13) терпит скачок:

V V = 4. (2.22) =+0 = Перейдем к рассмотрению потенциала N -мерного тела T, огра ниченного кусочно-гладкой поверхностью, с кусочно-непрерывной плотностью. Вне зависимости от N потенциал и его градиент со храняют непрерывность, скачок терпят лишь вторые производные (Михлин, 1977).

Вблизи изломов границы (в двумерном случае это прежде всего вершины, в трехмерном ребра и конические точки;

могут встре титься и более сложные особенности типа клюва и др.) поведение V часто (но не всегда) более сингулярно, чем вблизи гладкого участка границы. Мы покажем это на примерах.

Как уже говорилось, внешний потенциал аналитическая функция координат. То же верно и для внутреннего потенциала в случае аналитической плотности в частности, при постоянной плотности. Если плотность (Q) имеет степень гладкости k, т.е. обладает непрерывными частными производными до порядка k включительно, то внутренний потенциал имеет степень гладкости не ниже k + 1. Заметим, что аналитичности или гладкости мож но требовать локально, т.к. роль играет только сколь угодно ма лая окрестность точки Q. Для остальной части T потенциал в точ ке Q внешний.

Перейдем к доказательству.

Пусть N = 1, T отрезок a x b. Согласно (2.2) и (2.3) x b V (x) = C1 (x ) (x x ) dx C1 (x ) (x x) dx, a x x b dV = C1 (x ) dx + C1 (x ) dx, dx a x d2 V = 2C1 (x) = 4 (x), (2.23) dx так что степень гладкости V равна k + 2 (а не k + 1, как при более высоких размерностях), и V аналитична при аналитичности.

Пусть N 3. Примем, что Q изменяется в открытом шаре T0 с началом в точке Q0 тела T и радиусом ;

T1 концентрический с T замкнутый шар радиусом 2, лежащий в T ;

S граница шара T1, см. рис. 2.2. Расположенную вне T1 часть T можно отбросить, т.к.

создаваемый ею потенциал аналитичен в T0.

Q Q r r H Q r Q T T S Рис. 2.2. К доказательству гладкости внутреннего потенциала. Внутрен ний шар T0 имеет радиус, внешний шар T1 2.

Согласно (2.2) и (2.3) d V (Q) = CN (Q ). (2.24) |r r |N T Правая часть (2.24) представляет собой интеграл со слабой особен ностью, и допустимо однократное дифференцирование под знаком интеграла (Михлин, 1977) V (x1 x1 ) d = (N 2)CN (Q ). (2.25) |r r |N x1 T Перейдем от переменных интегрирования r (в векторной форме) к r = r r, а затем к сферическим координатам с началом в Q.

В силу (1.36) и (1.39) f (r,r ) V = (N 2)CN cos 2 d (r + r ) dr. (2.26) x1 Здесь единичная сфера, d = sinN 2 2 sinN 3 3 · · · sin N 1 d2 d3 · · · dN есть элемент площади [(N 1)-мерной меры], f расстояние от Q до точки Q сферы S, в которой ее пересекает продолжение вектора r с началом в Q. Иными словами, Q совпадает с концом вектора r + f r /r. (2.27) Приравнивая модуль вектора (2.27) числу 2, получим квадратное уравнение, единственный положительный корень которого равен 42 r2 sin2 H r cos H, (2.28) f= где H угол между векторами r, r. Существенно, что f зависит только от направления вектора r, но не от его длины. Очевидно, величины 42 r2 sin2 H и f отделены от нуля, а функции x1 x + x2 2 +..., r2 sin2 H = 1 (r cos H) r cos H = x r r являются многочленами от декартовых координат точки Q и це лыми функциями от сферических координат точки Q. Поэтому интеграл (2.26) обладает по меньшей мере k непрерывными част ными производными по координатам точки Q и потенциал V имеет степень гладкости не ниже k + 1 (то, что первая производная взя та по x1, роли не играет). Аналитичность V при аналитичности также доказана.

В случае N = 2 интегралы (2.24)–(2.26) переходят в (Q ) ln |r r |2 d, V (Q) = C T V x1 x = 2C2 (Q ) d, |r r | x1 T f (r,r ) V = 2C2 cos 2 d (r + r ) dr.

x1 Последний совпадает с (2.26) с точностью до постоянного множи теля, отличного от нуля.

Утверждение о гладкости внутреннего потенциала доказано.

2.4.2 Асимптотика на бесконечности Важное значение имеет асимптотика потенциала на больших расстояниях от притягивающего тела.

При N = 1 в силу (3.6) (см. ниже) имеем при больших r точную формулу V = M C1 r = 2M r, (2.29) где через M мы всегда будем обозначать общую массу тела T. Несу щественная аддитивная постоянная опущена.

При бльших размерностях воспользуемся представлением о s2 = r2 (1 2 cos H + 2 ), где = r /r;

r, r, s расстояния OQ, OQ, QQ ;

O начало координат;

H угол между векторами OQ, OQ. Поскольку ln s2 = ln r2 2 cos H 2 cos 2H + O 3, 1 = sN 2 rN N 1 N cos2 H 2 + O 1 + (N 2) cos H, то V = M C2 ln r2 + O() = M ln r 2 + O() (2.30) при N = 2, CN M V=[1 + O()] (2.31) rN при N 3. Здесь = r0 /r, r характерный размер тела T.

Асимптотика градиента потенциала выводится аналогично, с использованием (2.13).

При N = 1 имеем точную формулу w = 2M sign r. (2.32) При N = r + O 2.

w = 2M (2.33) r При N r + O N.

w = M (N 2)CN (2.34) rN Если за O взять центр масс T, то в (2.30), (2.31), (2.33) и (2.34) степень остаточного члена повышается на единицу (докажите!).

Вопрос. Почему нельзя правые части (2.33) и (2.34) заменить первым слагаемым, помноженным на 1 + O(), как это сделано в (2.31)?

Обратим внимание на естественный характер асимптотических формул (2.30), (2.31), (2.33) и (2.34): с большого расстояния любое тело видится точкой.

2.5 Симметрия Потенциал симметричного тела симметричен. Если тело T пе реходит в себя после некоторого преобразования пространства, то в себя перейдет и его потенциал. Точнее, потенциал (и его произ водные) инвариантны относительно указанного преобразования.

Это нетрудно доказать и формально. Пусть G какая-либо под группа группы движений RN с отражениями, g элемент груп пы G. Если Q точка в RN, то через gQ будем обозначать образ Q множество точек в RN, то gT при преобразовании g. Если T образ T при преобразовании g. Тело T геометрически симметрично относительно подгруппы G, если gT = T (2.35) для любого g G. Однако геометрической симметрии недостаточ но. Нужна симметрия масс. Именно, материальное тело T счита ется симметричным, если (gQ) = (Q) (2.36) для любого g G. Вне T плотность считается равной нулю. Сим метрия масс влечет геометрическую симметрию. Обратное неверно.

Так, шар в R3 с центром в начале координат, состоящий из двух однородных половинок разной плотности, геометрически симмет ричен относительно группы G1 вращений пространства, но сим метрия масс относительно G1 отсутствует. Заметим, что указанный материальный шар симметричен относительно группы G2 враще ний вокруг оси, являющейся осью симметрии каждой из половинок.

Для однородных тел геометрическая симметрия и симметрия масс совпадают.

Элементарно доказывается, что (2.36) влечет инвариантность потенциала относительно группы G:

V (gQ) = V (Q) (2.37) для любого g G.

Приведем примеры симметричных материальных тел в R3.

Зеркальная симметрия север–юг Пусть материальное тело T зеркально-симметрично относитель но некоторой плоскости. Примем ее за плоскость xy (в дальнейшем мы не будем оговаривать специальный выбор выделенных осей и плоскостей). Зеркальная симметрия в согласии с (2.36) означает (x, y, z) = (x, y, z), (r,, ) = (r,, ) (2.38) в декартовых и сферических координатах, соответственно. В силу (2.37) такой же симметрией обладает и потенциал V (x, y, z) = V (x, y, z), V (r,, ) = V (r,, ). (2.39) Ниже соотношения типа (2.39) не выписываем.

Поворотная симметрия север–юг Пусть T переходит в себя после поворота на угол вокруг одной из осей, проходящих через начало и лежащих в плоскости xy например, оси x (x, y, z) = (x, y, z), (r,, ) = (r,, ). (2.40) Однородный эллипсоид и брус (прямоугольный параллелепи пед) обладают обоими типами симметрии север–юг относительно своих плоскостей зеркальной симметрии. Правильная пирамида, основание которой является многоугольником с нечетным числом сторон, обладает зеркальной симметрией относительно подходящий плоскости, проходящей через вершину. Но в этой плоскости нет ни одной оси симметрии поворота на угол (за исключением случая правильного тетраэдра). Напротив, брус с неравными ребрами об ладает поворотной симметрией север–юг относительно подходящий оси, лежащей в плоскости, проходящей через противоположные па раллельные ребра. Но эта плоскость не является плоскостью зер кальной симметрии.

Симметрия поворота вокруг оси z на дискретные углы Пусть для некоторого натурального l тело T переходит в себя после поворота на угол 2/l вокруг оси z (2.41) r,, + = (r,, ).

l Примеры: правильная пирамида и призма (l число углов мно гоугольника в основании);

брус (l = 2);

куб (l = 4);

трехосный эллипсоид (l = 2);

эллиптический цилиндр (l = 2). Однородность не обязательна, но требуется соблюдение равенства (2.41).

Осевая симметрия Пусть T переходит в себя после поворота на произвольный угол вокруг оси z. Иначе говоря, плотность не зависит от долготы = (r, ). (2.42) Примеры: круговой цилиндр, круговой конус, эллипсоид вращения.

Сферическая симметрия Пусть T переходит в себя после произвольного вращения про странства. Иначе говоря, плотность зависит только от радиуса = (r). (2.43) Пример: шар, поверхности равной плотности которого суть сферы.

Перечисленные симметрии могут как поглощать друг друга (осевая симметрия влечет дискретную при любом l;

сферическая симметрия влечет осевую при любом выборе оси, проходящей че рез центр симметрии), так и быть независимыми (зеркальная и по воротные симметрии;

симметрии дискретного поворота при l = и l = 5).

В этом параграфе мы рассмотрели лишь случаи N = 3, n = dim T = 3. Обобщение на произвольные N и n тривиально.

2.6 Формулы Остроградского–Гаусса и Пуассона Формулы (2.13) позволяют вычислить поток W вектора w через сферу произвольного радиуса с центром в начале координат mC1 1, если N = 1, W = 2mC2 2, если N = 2, m(N 2)CN N, если N 3.

Здесь N площадь (мера) единичной сферы в RN. Согласно фор муле Якоби (Фихтенгольц, 1997б, п. 676), (Курант, 1970) (2)N/2, если N четно, (N 2)!! N = (2.44) 2(2)(N 1)/2, если N нечетно.

В частности, 4 = 2 2.

1 = 2, 2 = 2, 3 = 4, Согласно (2.8), (2.10), (2.12) и (2.44) 4, если N = 1, CN N = 2, (2.45) если N = 2, 4/(N 2), если N 3, и окончательно W = 4m (2.46) независимо от размерности N.

Нетрудно показать [см., например, (Антонов и др., 1989, § 1.7)], что формула Остроградского–Гаусса (2.46) справедлива для любого протяженного тела при замене m на массу M тела для потока через произвольную кусочно-гладкую поверхность, целиком охватываю щую тело. Если dim T = N и в окрестности точки Q плотность тела непрерывна и удовлетворяет условию Липшица с произволь ным показателем, то из (2.46) вытекает уравнение Пуассона (1.6), см. (Михлин, 1977). Вне тела = 0, и уравнение Пуассона перехо дит в уравнение Лапласа (1.5).

Для доказательства (1.6) используется условие Липшица. Но не является ли оно излишним? Ведь при непрерывности обе ча сти (1.6) выглядят вполне осмысленными. Более того, при N = условие Липшица не нужно, что следует из равенства (2.23). Одна ко при N = 3 это уже не так, как показано в § 2.14 книги (Гюнтер, 1953). Из построенного там примера вытекает, что непрерывности в точке Q в общем случае недостаточно даже для существования вторых производных в этой точке. Небольшая модификация при мера распространяет это утверждение на случаи N = 2, N 3.

Замечание. Если воспользоваться понятиями обобщенной про изводной и обобщенного решения уравнения Пуассона (Михлин, 1977), то при, суммируемой с произвольной степенью p 1, по тенциал V обладает обобщенными вторыми производными, также суммируемыми со степенью p 1, и является обобщенным реше нием уравнения Пуассона (1.6).

Глава Потенциал на прямой (линейный потенциал) Потенциал точки Q и его градиент в R1 согласно (2.2), (2.12), (2.13) определяются формулами V (x) = 2m|x x |, (3.1) 2m, если x x, dV (x) w(x) = = (3.2) dx 2m, если x x.

Определим теперь притяжение масс, распределенных вдоль прямой, так что элементу dx отвечает масса dm. Интегрируя (3.2) от минус до плюс бесконечности, получим w(x) = 2 [m2 (x) m1 (x)], (3.3) где m1 масса слева от Q, m2 масса справа. Полная масса M = m1 (x) + m2 (x) предполагается конечной. Для потенциала + V (x) = 2 |x x | dm. (3.4) Выразим элемент массы через плотность dm = (x ) dx. Разби вая область интегрирования точкой x на две части и обозначая x через t, получим из (3.4) x + V (x) = 2x[m2 (x)m1 (x)]+2 t (t) dt2 t (t) dt. (3.5) x 3.1 Отрезок с произвольной плотностью Пусть T отрезок a x b. Из (3.5) вытекает M x A, если x a, M x + A, если x b, V (x) = (3.6) x[m2 (x) m1 (x)] + 2 x b + a t (t) dt x t (t) dt, если a x b, b где A = a t (t) dt = const.

При интегрируемой плотности в согласии с результатами раз дела 2.4 потенциал непрерывен вместе с первой производной во всем R1. Если плотность имеет гладкость k, то внутренний потен циал имеет гладкость k +2. В частности, для существования второй производной и справедливости уравнения Пуассона (2.23) достаточ но непрерывности плотности.

Внешний потенциал отрезка с точностью до несущественного слагаемого совпадает с потенциалом точки той же массы.

Внутренний потенциал отрезка элементарен при плотностях из обширного множества функций, как показывает (3.6). В частно сти, он элементарен, если многочлен или дробно-рациональная функция.

Замечание. Согласно построениям в разделе 2.1 линейный по тенциал точки Q (x ) массой m в R1 можно интерпретировать как логарифмический потенциал однородной прямой x = x с линейной плотностью m в R2, а также как ньютонов потенциал однородной плоскости x = x с поверхностной плотностью m в R3. Поэтому ли нейный потенциал отрезка с плотностью (x) совпадает с логариф мическим потенциалом полосы a x b с плотностью (x) в R2 и ньютоновским потенциалом слоя a x b с плотностью (x) в R3.

Мы еще коснемся этого аспекта теории потенциала в главах 4, 6, 7.

3.2 Однородный отрезок Пусть T однородный отрезок a x b. Потенциал при a x b равен (b a) a+b V (x) = 2 x +. (3.7) 2 Вне отрезка a+b V (x) = 2 (b a) x. (3.8) Градиент потенциала при a x b равен dV (x) a+b = 4 x. (3.9) dx Вне отрезка dV (x) a+b = 2M sign x. (3.10) dx Потенциал непрерывен вместе с первой производной при всех x.

Глава Логарифмический потенциал одномерных тел Потенциал точки Q в R2 согласно (2.2), (2.10) определяется формулой R2 R V (R) = m ln 2 = 2m ln. (4.1) R0 R В двумерном случае расстояние от Q до Q принято обозна (x x )2 + (y y )2 ;

R чать большой буквой R = несуще ственная положительная постоянная, имеющая размерность дли ны. Как правило, ниже полагаем ее равной единице. В выражение для градиента (2.13) R w = 2m 2 (4.2) R константа R0 не входит. Символом R обозначен вектор Q Q с ко ординатами x x, y y.

Потенциал материальной кривой T с линейной плотностью в силу (2.3) и (4.1) определяется криволинейным интегралом (x, y ) ln (x x)2 + (y y)2 ds, V (Q) = V (x, y) = (4.3) T где ds элемент длины T, см. рис. 4.1. От кривой T достаточно по требовать лишь спрямляемости, хотя в приложениях встречаются почти исключительно кусочно-гладкие кривые.

При интегрируемой плотности потенциал (4.3) непрерывен на всей плоскости R2, но его первые производные терпят разрыв на T.

y Q T Q Q O x Рис. 4.1. К потенциалу кривой T в точке Q(x, y). Притягивающий эле мент Q Q обладает массой p = (Q ) ds, ds = |Q Q |;

точка Q имеет dm координаты (x, y );

|Q Q| = (x x)2 + (y y)2.

На бесконечности согласно (2.30) имеем асимптотику V M ln R2 + O(). (4.4) Здесь = R0 /R, где R0 характерный размер T. Если за начало координат взять центр масс T, то остаточный член можно заменить на O 2.

Замечание. Согласно построениям раздела 2.1 логарифмиче ский потенциал точки Q(x, y ) массой m в R2 можно интерпрети ровать как ньютонов потенциал однородной прямой x = x, y = y с линейной плотностью m в R3. Поэтому логарифмический потен циал кривой T с линейной плотностью (x, y) совпадает с ньютоно вым потенциалом цилиндра, построенного на T как на образующей, с поверхностной плотностью (x, y), независящей от z.

4.1 Отрезок 4.1.1 Общий случай Рассмотрим отрезок a y b оси y с линейной плотно стью (y);

a b. Теперь ds = dy, см. рис. 4.2. Формула (4.3) принимает вид b (y ) ln x2 + (y y)2 dy.

V = (4.5) a Пусть (y ) фиксированная первообразная от (y ). Полагая y = t + y и интегрируя (4.5) по частям, получим by t (t + y) t=by V = (t + y) ln x2 + t2 +2 dt. (4.6) x2 + t t=ay ay y Q b Q { dy Q a O x Рис. 4.2. К потенциалу отрезка в точке Q(x, y). Притягивающий элемент Q Q обладает массой dm = (Q ) dy, где точка Q имеет координаты (0, y ), точка Q (0, y + dy ).

Интеграл в (4.6) элементарен, если (y) рациональная функция, в частности, если (y) многочлен.

4.1.2 Однородный отрезок Рассмотрим однородный отрезок a y b оси y с постоянной линейной плотностью.

В качестве первообразной от (y ) выберем (y ) = (y y).

Согласно (4.6) by t2 dt t=by V = t ln x2 + t2 + 2.

x2 + t t=ay ay Вычисляя интеграл, получим V = 2(b a) + (a y) ln x2 + (a y) ay by (b y) ln x2 + (b y)2 + 2x arctg arctg. (4.7) x x Определим компоненты градиента V ay by = 2 arctg arctg, x x x (4.8) 2 V x + (b y) = ln 2.

x + (a y) y Формулы (4.7) показывают, что потенциал непрерывен на всей плоскости, включая сам отрезок. В силу (4.8) градиент терпит раз рыв в точках отрезка. Точнее, касательная составляющая V /y непрерывна всюду, кроме концов отрезка;

нормальная составля ющая V /x терпит скачок при пересечении отрезка. Ясно, что эти свойства сохраняются для любой кусочно-гладкой кривой T с кусочно-непрерывной плотностью (считаем, что в точках разры ва плотности последняя непрерывна слева и справа). Роль концов отрезка играют угловые точки T и точки разрыва плотности.

Определим еще асимптотику в окрестности концевых точек.

Не умаляя общности, рассмотрим окрестность точки Qb (0, b). Пусть x =, y = b + при бесконечно малых,. Т.к. сам потенциал непрерывен, установим асимптотическое поведение градиента V ab = 2 arctg + arctg, x (4.9) 2 V + = ln 2.

+ (a b ) y Отсюда следует, что производная V /x ограничена, но не име ет предела при Q Qb ;

производная V /y стремится к при Q Qb.

4.1.3 Пример неоднородного отрезка Рассмотрим отрезок a x a оси x с линейной плотностью 2aA (x) =. (4.10) a2 x Плотность обращается в бесконечность на концах отрезка, но масса его конечна M = 2aA.

В интеграле типа (4.5) совершим замену переменной x = a cos t ln (a cos t x)2 + y 2 dt.

V = 2aA Последний интеграл с точностью до обозначений совпадает с инте гралом (10.50) и дается формулой (10.52) F1 + F, (4.11) V = 2M ln где 2F1 = (x a)2 + y 2 + (x + a)2 + y 2, 2F2 = x2 + y 2 a2 + [(x a)2 + y 2 ] [(x + a)2 + y 2 ].

Более удобны обозначения (x2 a2 )2 + y 2 (2a2 + 2x2 + y 2 ), 2 = x2 + y 2 a2 +, (4.12) = и тогда a2 + + V = 2M ln. (4.13) Правая часть (4.13) совпадает с правой частью (4.34) при b = 0.

Это не случайно: отрезок можно представить как вырожденный эллипс с нулевой малой осью, рассмотренный в разделе 4.4.2.

Приведем еще формулы для градиента потенциала V 2M x =, a2 + x (4.14) a2 + V 2M y =.

y В окрестности отрезка (но не его концов) x2 a2, а координата y бесконечно мала, так что 2(a2 + x2 ) 2 = (a2 x2 )2 1 + y + O y4, (a2 x2 ) a2 + x2 = (a2 x2 ) + y + O y4, a2 x (4.15) a|y| + O y3.

= a2 x Сравнение (4.13), (4.14) и (4.15) показывает, что потенциал и ка сательная производная V /x непрерывны на всей плоскости (за возможным исключением концов отрезка), тогда как нормальная производная V /y претерпевает скачок.

Исследуем поведение V и grad V в окрестности концов отрезка.

t2 + y 2 при По симметрии достаточно считать x = a + t, s = бесконечно-малом s. Теперь s 2 = s2 (4a2 + 4at + s2 ), = a(s + t) + (s + t) + O s3.

Если положить t = s, следовательно, y = 0, то получим = s(2a s), = 0. Поэтому разложение содержит s + t множи телем:

s + O s2.

= a(s + t) 1 + 2a Согласно (4.13) потенциал непрерывен в точке (a, 0) и, следова тельно, на всей плоскости. Подставляя главные члены разложения в (4.14), найдем асимптотику градиента V M s+t V M y,. (4.16) x as y a s s+t Из (4.16) следует, что при s 0 ни одна из первых производных не имеет предела.

4.2 Однородная прямая Рассмотрим однородную прямую (ось y) с постоянной линейной плотностью.

Положим в (4.7) a = b и устремим b к бесконечности. Полу чим бесконечное значение потенциала. Однако физический смысл имеет лишь разность потенциалов. Например, в начале координат потенциал (4.7) при a = b равен V (0, 0) = 2b 2 ln b2. (4.17) Вычитая (4.17) из (4.7), переходя к пределу b и обозначая результат снова через V, получим V (x) = 2|x|. (4.18) Сравнивая (4.18) и (3.1), заключаем, что линейный потенци ал точки на прямой совпадает с логарифмическим потенциалом прямой на плоскости, если положить m =. (4.19) Соответственно, потенциал отрезка на прямой совпадает с потен циалом полосы на плоскости.

Разумеется, равенство (4.19) является следствием принятой в разделе 2.1 связи между постоянными CN.

4.3 Окружность 4.3.1 Общий случай Рассмотрим окружность x = a cos, y = a sin с линейной плотностью (). В полярных координатах dm = a () d, ( ) ln a2 2aR cos( ) + R2 d.

V (R, ) = a (4.20) 4.3.2 Однородная окружность Рассмотрим окружность предыдущего раздела массы M с по стоянной плотностью. По симметрии потенциал зависит лишь от расстояния R до начала координат, следовательно, в (4.20) можно положить = 0:

ln a2 2aR cos + R2 d.

V (R) = a Обозначим в этом разделе aR = max{a, R}, = min,, Ra так что a2 2aR cos + R2 = 2 1 2 cos + 2.

С учетом (10.41) получаем окончательный результат M ln a2, если R a V (R) = M ln 2 = (4.21) M ln R2, если R a.

Таким образом, окружность не притягивает внутренние точки (по тенциал постоянен), а внешние точки притягивает, как точка той же массы в центре окружности.

4.3.3 Неоднородная окружность Пример 4.3.3.1. Окружность раздела 4.3.1 с плотностью = A cos n + B sin n (4.22) при натуральном n. Сделаем подстановку = + t в интегра ле (4.20). С учетом (10.42) 2a (A cos n + B sin n) n.

V (R, ) = (4.23) n Обратим внимание на убывание V при R со скоростью (/R)n в кажущемся противоречии с (2.30). Причина в нулевой массе T с плотностью (4.22).

Плотность (4.22) знакопеременна. В следующем примере она по ложительна при достаточно большом A0.

Пример 4.3.3.2. Окружность раздела 4.3.1 с плотностью, пред ставимой равномерно сходящимся рядом Фурье = A0 + (An cos n + Bn sin n). (4.24) n= Достаточно воспользоваться результатами раздела 4.3.2 и приме ра 4.3.3.1:

2a V = 2A0 a ln 2 + (An cos n + Bn sin n) n. (4.25) n n= Легко показать, что для справедливости (4.25) достаточно рав номерной сходимости ряда для первообразной от A0. Для ил люстрации рассмотрим следующий пример.

Пример 4.3.3.3. Пусть T дуга однородной окружности радиу сом a с плотностью, 1 2. Предполагаем здесь и ниже 0 1 2 2.

Продолжим плотность на всю окружность, считая ее нулем вне указанной дуги. Ряд (4.24) для продолженной функции () имеет коэффициенты (2 1 ) A0 =, An = (sin n2 sin n1 ), 2 n Bn = (cos n1 cos n2 ).

n Подставляя эти значения в (4.25), получим окончательно V = (2 1 )a ln 2 + [sin n( 1 ) sin n( 2 )] n = + 2a n n= = (2 1 )a ln 2 + 1 n(2 1 ) 1 + n. (4.26) + 4a sin cos n n 2 n= Констатируем равномерную сходимость ряда (4.26), непрерыв ность V на всей плоскости и совпадение с (4.21) при 1 = 0, 2 = 2.

Дадим другое, замкнутое, выражение потенциала (4.26) через дилогарифм Эйлера L(z). Общая формула (4.20) для дуги одно родной окружности принимает вид ln a2 2aR cos( ) + R2 d = V (R, ) = a ln 2 + ln(1 2 cos t + 2 ) dt.

= a С учетом (10.121) находим V = a(2 1 ) ln 2 + + 2a L ei(2 ) 2a L ei(1 ). (4.27) Пример 4.3.3.4. Пусть T дуга окружности 1 2 с ра диусом a и плотностью = A cos + B sin.

Поступая, как в предыдущем примере, придем к интегралу V = a [A cos(t + ) + B sin(t + )] ln a2 2aR cos t + R2 dt = A() cos t + B() sin t ln a2 2aR cos t + R2 dt = a при A() = A cos + B sin, B() = A sin + B cos. Последний интеграл дается формулами (10.30), (10.31).

Окончательно, V = a(2 1 )A() + 1 2 sin(i ) (1)i+1 A() +a arctg + B(i ) + 1 cos(i ) i= 1 + B() B(i ) ln a2 2aR cos(i ) + R +.

Замечание 1. Плотность в этом примере знакопеременна.

Добавляя к ней достаточно большую постоянную, получим поло жительную плотность. Потенциал при = A0 + A cos + B sin находится объединением последних двух примеров.

Замечание 2. Обратим внимание, что потенциал дуги с посто янной плотностью выражается через дилогарифм, тогда как для плотности A cos + B sin потенциал элементарен. Более того, он элементарен, если плотность тригонометрический многочлен лю бой степени без свободного члена. Действительно, неопределенный интеграл типа (4.20) интегрированием по частям сводится к инте гралу от рациональной функции от косинусов и синусов.

4.4 Эллипс 4.4.1 Общий случай Рассмотрим эллипс T с параметрическим уравнением x = a cos, y = b sin при a b 0 (4.28) и плотностью (). Начнем с определения метрики dx2 + dy 2 = a2 sin2 + b2 cos2 d2 = a2 1 2 cos2 d2, где введен эксцентриситет эллипса = a2 b2 /a. Элемент массы равен dm = a () 1 2 cos2 d.

Потенциал эллипса дается интегралом 1 2 cos2 t V (x, y) = a (t) ln (x a cos t)2 + (y b sin t)2 dt, (4.29) где переменную интегрирования мы, как обычно, обозначили че рез t.

4.4.2 Пример неоднородного эллипса Даже для однородного эллипса выражение (4.29) остается слож ным и не сводится к эллиптическим интегралам. Оно упрощается для неоднородного эллипса с плотностью 1 2 cos2, () = A (4.30) так что dm = aA d, M = 2aA, ln (x a cos t)2 + (y b sin t)2 dt.

V = aA Пусть сначала точка (x = a cos, y = b sin ) лежит на T :

ln [1 cos( t)] a2 + b2 a2 b2 cos( + t) V = aA dt.

Дело сводится к интегралам 2 ln a2 + b2 a2 b2 cos t dt.

B1 = ln(1 cos t) dt, B2 = 0 Воспользовавшись (10.44), получим a+b V = 2M ln. (4.31) Внутри эллипса T потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа (1.5) с граничным условием (4.31). Поскольку правая часть (4.31) постоянна, решение тривиально: формула (4.31) справедлива и вну три эллипса.

Предположим, что внешний потенциал постоянен на софокус ных с T эллипсах, т.е. является функцией V () только одной эл липтической координаты (см. раздел 1.4.3). Согласно (1.76) a2 + + b2 + + C2.

V = C1 ln Постоянные C1, C2 определяются по граничному условию (4.31) и асимптотике на бесконечности (4.4) с учетом (1.73). Окончательно, a 2 + + b2 + V = 2M ln. (4.32) В силу единственности решения задачи Дирихле функция (4.32) действительно представляет искомый внешний потенциал эллипса.

При b 0 эллипс неограниченно приближается к отрезку a x a оси x с линейной плотностью 2aA (x) =. (4.33) a2 x Множитель 2 в (4.33) вызван тем, что при параметрическом за дании (4.28) отрезок проходится дважды. Плотность обращается в бесконечность на концах отрезка, но масса его конечна M = 2aA.

Предельный переход в (4.32) тривиален: достаточно положить b = 0: a2 + + V = 2M ln. (4.34) Формула (4.34) справедлива и на притягивающем отрезке = 0, где она совпадает с (4.31) при b = 0.

Мы пришли с помощью предельного перехода к результату, ра нее полученному непосредственно в примере 4.1.3.

Замечание 1. Согласно (1.71) величины a2 +, b2 + зависят только от x, y, c. Поэтому внешний потенциал при фиксированной массе M, фокальном отрезке c и распределении плотности (4.30) одинаков для всех эллипсов (4.28), включая и фокальный отрезок при b = 0.

Замечание 2. Согласно (1.59) элемент площади в координа тах (1.57) равен abR dR d. Рассмотрим однородное кольцо между двумя подобными эллипсами R = 1 и R = R. При бесконечном утончении кольца (R 1), сохраняющего постоянную массу, по лучим dm = (M/2) d, что равносильно плотности (4.30). Таким образом, эллипс с плотностью (4.30) можно считать бесконечно уз ким однородным кольцом между двумя бесконечно близкими по добными эллипсами.

Глава Логарифмический потенциал двумерных тел Потенциал плоской фигуры T с плотностью (x, y) в R2 в силу (2.3) определяется интегралом (x, y ) ln (x x)2 + (y y)2 d, V (x, y) = (5.1) T где элемент площади. Граница T (не обязательно связная) фигуры T (не обязательно односвязной) считается кусочно-гладкой кривой.

Замечание. Согласно построениям раздела 2.1 логарифмиче ский потенциал точки Q (x, y ) массы m в R2 можно интерпрети ровать как ньютонов потенциал однородной прямой x = x, y = y с линейной плотностью m в R3. Поэтому логарифмический потен циал двумерной фигуры T с плотностью (x, y) совпадает с нью тоновым потенциалом сплошного цилиндра с параллельными оси z образующими и с объемной плотностью (x, y), не зависящей от z.

При интегрируемой плотности потенциал (5.1) непрерывен на всей плоскости R2 вместе с первыми производными.

На бесконечности согласно (2.30) имеем асимптотику V M ln R2 + O(). (5.2) Здесь = R0 /R, где R0 характерный размер T. Если за начало координат взять центр масс T, то остаточный член можно заменить на O(2 ).

Стандартный прием вычисления двойного интеграла состоит в следующем. Переходим к подходящим криволинейным координа там. Сетка координатных линий одного из семейств разбивает T на бесконечно тонкие полоски. Разбиение должно подчиняться условию, чтобы потенциал такой полоски (как одномерного тела) был уже вычислен в предыдущей главе. Иными словами, интеграл преобразуется к повторному, причем внутренний интеграл уже вы числен ранее. Задача сведена к однократному интегралу от извест ной функции.

Если T область в плоскости xy, занятая телом с постоянной плотностью, то двойной интеграл (5.1) можно свести к контурно му по границе T области T. Пусть T кусочно-гладкая кривая;

P, Q непрерывные вместе с Q/x P /y функции. Восполь зуемся формулой Грина Q P dx dy = P dx + Q dy. (5.3) x y T T В качестве P, Q согласно (10.124) можно взять Q P P = y ln R, Q = x ln R, = 1 + 2 ln R x y и получить +2 ln R dx dy = ln R(x dy y dx). (5.4) T T площадь области T, R = x2 + y 2.

Здесь В начале координат O функции P и Q непрерывны, но функ /y обращается в минус бесконечность. Если O ция Q/x P принадлежит области T или ее границе T, то для применимости формулы Грина следует удалить точку O вместе с кругом радиу сом. По непрерывности подынтегральных функций в контурном интеграле (5.4) последний изменится на величину порядка. Двой ной же интеграл в (5.4) изменится на величину порядка 2 | ln |.

Таким образом, формула (5.4) справедлива для любой области T, ограниченной кусочно-гладкой кривой.

Следует обобщить (5.4), совершив подстановку R2 (x x)2 + (y y)2, x x x, y y y, считая x, y переменными, а x, y параметрами. В результате V (x, y) = M ln (x x)2 + (y y) (x x) dy (y y) dx. (5.5) 2 T Формулу (5.5) можно представить в виде ln (x x)2 + (y y)2 (R R)n ds. (5.6) V (x, y) = M 2 T Здесь n единичный вектор внешней нормали к T, ds элемент длины T.

5.1 Однородный прямоугольник Рассмотрим прямоугольник a1 x a 2, b1 y b2, где a1 a2, b1 b2, с постоянной плотностью. Формула (5.1) приоб ретает форму a2 b ln (x x)2 + (y y)2 dy.

V = dx (5.7) a1 b Внутренний интеграл с точностью до знака представляет собой по тенциал (4.5) отрезка единичной плотности, вычисленный в разде ле 4.1.2. Поэтому можно воспользоваться формулой (4.7) с учетом изменившихся обозначений a b1, b b2, x x x 2 a (1)i V = 2M [V1 (bi ) + 2V2 (bi )] dx, a i= где by V1 (b) = (b y) ln (x x)2 + (b y)2, V2 (b) = (x x) arctg.

x x Делаем стандартную подстановку x x = t a2 a2 x ln t2 + (bi y)2 dt, V1 (bi ) dx = (bi y) a1 a1 x a2 a2 x bi y V2 (bi ) dx = t arctg dt.

t a1 a1 x Согласно (10.26) a V1 (bi ) dx = (bi y) 2(a1 a2 ) + a (1)k [(ak x)L1 + 2(bi y)L2 ], (5.8) + k= где ak x L1 = ln (ak x)2 + (bi y)2, L2 = arctg.

bi y Интеграл от V2 вычислим по последней из формул (10.33), чтобы избежать появления нежелательной функции sign(ak x)(bi y) a 2V2 (bi ) dx = (bi y)(a2 a1 ) + a bi y ak x (1)k (ak x)2 arctg (bi y)2 arctg +. (5.9) ak x bi y k= Окончательно, получаем симметричную формулу V (x, y) = 3M (1)i+k (ak x)(bi y) ln (ak x)2 + (bi y)2 + i,k= bi y ak x + (ak x)2 arctg + (bi y)2 arctg. (5.10) ak x bi y К тому же результату можно прийти, используя (5.5). В правой части (5.5) определенные интегралы по отрезкам a1 x a и b1 y b2.

Легко показать, что потенциал (5.10) непрерывен на всей плос кости. Для исследования градиента V (1)i+k (bi y) 1 + ln (ak x)2 + (bi y) = + x i,k= bi y + 2(ak x) arctg. (5.11) ak x Очевидно, градиент непрерывен на всей плоскости, включая сторо ны и вершины прямоугольника.

5.2 Однородный треугольник 5.2.1 Потенциал в вершине треугольника Начнем с частного случая вычисления потенциала однородного треугольника в одной из его вершин. Введем систему отсчета, в ко торой выделенная вершина совпадает с началом координат, а ось y параллельна противоположной стороне.

Пример 5.2.1.1. Задан однородный треугольник OQ1 Q2 с верши нами O(0, 0), Q1 (a, b1 ), Q2 (a, b2 ), причем a 0, b2 b1, так что об ход контура T происходит в положительном направлении. Найдем потенциал T в точке O.

Применим формулу (5.1) в полярных координатах (см. рис. 5.1) 2 a/ cos V (O) = 2 d r ln r dr, 1 где i = arctg(bi /a). Внутренний интеграл элементарен a/ cos a/ cos r ln r dr = r2 ln r 2 = 0 1 a ln cos a = ln a.

2 cos 2 cos Вычисление внешнего интеграла сводится к (10.32) V (O) = a2 tg ln a + ln cos.

2 y Q Q Q Q a O x Рис. 5.1. К задаче 5.2.1.1. Элементарный криволинейный прямоугольник (заштрихован) имеет длины сторон dr и r d. Точка Q имеет полярные координаты (r, ), точка Q (a/ cos, ). Для обеспечения непрерывно сти считаем /2 /2.

Окончательно, 3s b2 ln r2 b1 ln r V (O) = a2 0 +, (5.12) 2a a где 0 угол при вершине O;

s, r1, r2 длины сторон Q1 Q2, OQ1, OQ2. Использованы тождества bi a tg i =, cos i =, s = b 2 b1.

a ri Пример 5.2.1.2. Рассмотрим задачу примера 5.2.1.1 в произволь ной системе координат. Даже больше выразим a, bi через инвари 1 антные величины. Площадь треугольника равна 2 as = 2 r1 r2 sin 0, поэтому r1 r a= sin 0. (5.13) s По теореме Пифагора ri = a2 +b2, откуда b2 b2 = r2 r1. С учетом 2 2 2 i 2 b2 b1 = s отсюда следует b2 + b1 = (r2 r1 )/s. Мы знаем сумму и разность bk, что дает r2 r 1 s 2 r2 r 1 + s 2 b1 =, b2 =. (5.14) 2s 2s Окончательно, r1 r2 sin 2r1 r2 0 sin 0 + 3s2 + V (O) = 2s + r2 r1 s2 ln r1 + r1 r2 s2 ln r2. (5.15) 2 2 2 Обратим внимание, что величины в правой части (5.15) не за висят ни от системы координат, ни от ориентации треугольника T.

5.2.2 Внутренний потенциал треугольника Рассмотрим однородный треугольник Q1 Q2 Q3. Пусть точка Q лежит внутри него. Разобьем Q1 Q2 Q3 на три вспомогательных тре угольника Ti = QQi Qi+1, i = 1, 2, 3 (см. рис. 5.2). Как обычно, индекс i понимается по модулю 3: Qi+3 = Qi.

Очевидно, потенциал T в Q равен сумме потенциалов треуголь ников Ti. Достаточно поэтому просуммировать правые части (5.15) в слегка измененных обозначениях ri ri+1 sin i+ 2ri ri+1 i+2 sin i+2 + 3s2 + V (Q) = i+ s 2 i+ i= ri s 2 2 2 + ri+1 i+2 ln ri + ri ri+1 si+2 ln ri+1. (5.16) Здесь ri = QQi, si = Qi+1 Qi+2, i угол между векторами QQi+ и QQi+2.

Замечание. При положении Q на внутренней части какой-либо стороны, например, Q1 Q2, остаются лишь два треугольника. Фор мула (5.16) остается справедливой, сохраняя фактически два слага емых, поскольку теперь 3 =. При положении Q в одной из вер шин, например, в Q1, остается один треугольник. Формула (5.16) по-прежнему справедлива, сохраняя одно слагаемое, поскольку те перь r1 = 0.

Q Q Q1 Q Рис. 5.2. К потенциалу треугольника. Случай положения точки Q внутри треугольника.

5.2.3 Внешний потенциал треугольника Пусть точка Q лежит вне однородного треугольника Q1 Q2 Q3.

Построим треугольники Ti = QQi Qi+1. Легко убедиться (см.

рис. 5.3), что потенциал T в Q равен сумме потенциалов Ti с коэф фициентами ±1.

Коэффициенты зависят от положения Q в одной из 6 обла стей, на которые плоскость разбивается продолжениями сторон треугольника.

Пусть Q лежит, как на рис. 5.3 слева. В понятных обозначениях V (Q) = V (QQ2 Q3 ) + V (QQ3 Q1 ) V (QQ2 Q1 ).

При положении Q, как на рис. 5.3 справа, V (Q) = V (QQ2 Q3 ) V (QQ2 Q1 ) V (QQ1 Q3 ).

Условимся считать, что потенциал меняет знак при перемене ориен Q3 Q Q1 Q2 Q1 Q Q Q Рис. 5.3. К потенциалу треугольника. Два топологически различных слу чая положения точки Q вне треугольника.

тации треугольника. Тогда обе вышеприведенные формулы можно записать в виде V (Q) = V (QQ1 Q2 ) + V (QQ2 Q3 ) + V (QQ3 Q1 ).

То же верно во всех шести областях.

Окончательно, формула (5.16) остается справедливой и для внешнего потенциала, если i считать положительным при враще нии QQi+1 к QQi+2 против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае. Угол i можно определить аналитически, рас сматривая скалярное и векторное произведение векторов QQi+1, QQi+2.

Резюмируем. Пусть треугольник Q1 Q2 Q3 имеет правую ориен тацию. Формула (5.16) справедлива как для внутреннего, так и для внешнего потенциала при следующих значениях переменных:

(xi+2 xi+1 )2 + (yi+2 yi+1 )2, si = (x xi )2 + (y yi )2, ri = (x xi+1 )(x xi+2 ) + (y yi+1 )(y yi+2 ) (5.17) cos i =, ri+1 ri+ (x xi+1 )(y yi+2 ) (x xi+2 )(y yi+1 ) sin i =, ri+1 ri+ где. Индекс i считается по модулю 3.

5.3 Однородный многоугольник Пусть T однородный n-угольник Q1 Q2... Qn ;

ограничиваю щая его ломаная не имеет самопересечений и обходит T в положи тельном направлении. Выпуклость T не обязательна.

Действуя, как в разделах 5.2.2, 5.2.3, представим потенциал T в точке Q суммой потенциалов ориентированных треугольников Ti = QQi Qi+1. Индекс i понимается по модулю n: i + n i. Лег ко убедиться по индукции, что учет ориентации оставляет в конце концов вклад в потенциал только от T.

Таким образом, для потенциала многоугольника справедлива формула (5.16) при суммировании по i от 1 до n.

5.4 Круг Рассмотрим круг R a с плотностью (R, ). В полярных ко ординатах a V (R, ) = R dR (R, ) 0 ln R 2 2RR cos( ) + R2 d. (5.18) Пусть плотность допускает мультипликативное разделение пере менных = 1 (R) 2 (). Тогда a V (R, ) = R 1 (R ) dR 2 ( ) 0 ln R 2 2RR cos( ) + R2 d. (5.19) 5.4.1 Круг с радиальным изменением плотности Рассмотрим круг R a с плотностью (R), зависящей лишь от R.

В (5.19) можно положить 1 (R ) = (R ), 2 ( ) = 1. Внутренний интеграл представляет потенциал однородной окружности и с точ ностью до обозначений совпадает с (4.21). Считая R a и обозна чая R = t, найдем для внутреннего потенциала R a V (R) = 2 ln R2 (t) t ln t2 dt.

(t) t dt 2 (5.20) 0 R Для внешнего потенциала первый из интегралов (5.20) следует брать в пределах от нуля до a, а второй отсутствует: при R a V (R) = M ln R2. (5.21) Таким образом, тело с круговым распределением масс и точка той же массы в центре круга притягивают внешние точки одинаково.

Внутренний потенциал круга элементарен для широкого множе ства плотностей, в частности, при полиномиальной зависимости от R.

5.4.2 Однородный круг Рассмотрим круг R a с постоянной плотностью.

Интеграл (5.20) элементарен. Внутренний потенциал однород ного круга равен V (R) = R2 a2 (ln a2 1). (5.22) Сила притяжения линейно зависит от R.

5.4.3 Круг с синусоидальной плотностью Пример 5.4.3.1. Пусть = 1 (R) 2 (), 2 () = A cos n + B sin n, (5.23) при натуральном n. Внутренний интеграл (5.19) с точностью до обозначений совпадает с (4.23). Считая R a и обозначая R = t, найдем для внутреннего потенциала V (R, ) = (A cos n + B sin n) n R n+1 a Rn t 1 (t) dt + 1 (t) dt. (5.24) Rn n Rt Для внешнего потенциала второй из интегралов (5.24) исчезает, а первый берется в пределах от 0 до a. Потенциал (5.24) элемен тарен для широкого класса функций 1 в частности, дробно рациональных.

Пусть 1 = const. Можно считать = 1. Тогда для внутреннего потенциала при R a 2R V (R, ) = (A cos n + B sin n) n Rn 2n 2, (5.25) n 4 (n 2)an если n = 2. При n = 2 имеем 1 R V (R, ) = (A cos 2 + B sin 2)R2 (5.26) ln.

4 a Для внешнего потенциала при всех натуральных n an+ V (R, ) = (A cos n + B sin n) n. (5.27) n(n + 2) R Обратим внимание на убывание V при R вопреки асим птотике (2.30). Причина в нулевой массе T с плотностью (5.23).

Пример 5.4.3.2. Пусть = 1 (R) 2 (), 2 () = (An cos n + Bn sin n). (5.28) n= Ясно, что потенциал выразится рядом с общим членом, определя емым формулой (5.24). Если 1 = 1, то общий член дается форму лами (5.25)–(5.27).

Ряд (5.28) может не быть сходящимся. Достаточно интегри руемости 2 (и тогда An, Bn ограничены) и интегрируемости при 1. Тогда по неравенству Гёльдера (Бабич и др., 1964), (Михлин, 1977) из (5.24) следует, что общий член ряда для потен циала есть величина порядка O n, так что ряд для потенциала сходится абсолютно и равномерно.

5.5 Сплошной эллипс Рассмотрим сплошной эллипс x2 y +2 a2 b с постоянной плотностью. Заполним область T внутри гранич ного эллипса E семейством подобных ему эллипсов E(q) с полуося ми aq, bq.

Пусть сначала точка Q(x, y) лежит вне E. Воспользуемся эллип тическими координатами параграфа 1.4.3, отнесенными к эллип су E(q). Координата (q) согласно (1.69) определится как корень уравнения x2 y + 22 = 1. (5.29) 2 q 2 + (q) a b q + (q) Заключенная внутри эллипса E(q) масса равна M (q) = abq 2.

Масса элементарного кольца между E(q) и E(q + dq) равна dM = 2ab q dq. (5.30) Его внешний потенциал согласно замечанию на с. 91 дается фор мулой (4.32) при замене M, a, b на dM, aq, bq. Поэтому во внешней точке Q потенциал равен a2 q 2 + (q) + b2 q 2 + (q) V = 4ab q ln dq. (5.31) Сделаем подстановку (q) a2 q 2 + (q) = q a2 + t, b2 q 2 + (q) = q b2 + t, t=, q a2 q 2 + (q) + b2 q 2 + (q) q a2 + t + b2 + t.

ln = ln + ln 2 Уравнение (5.29) позволяет выразить q через x, y, t x2 y2 x2 y q2 = +2, 2q dq = +2 dt.

a2 + t b + t (a2 + t)2 (b + t) Выражение (5.31) принимает вид q V = 4ab q ln dq x2 y 2ab +2 (a2 + t)2 (b + t) a2 + t + b2 + t dt.

ln (5.32) Во втором интеграле нижний предел отвечает q = 1 и равен = (1) 0, так что соответствует граничному эллипсу E и дает ся формулой (1.71) при c2 = a2 b2. Верхний предел отвечает q = 0, когда согласно (1.71) при замене a, b нулями (0) = x2 + y 2 0, t =.

Первый из интегралов (5.32) элементарен q q q 1 + ln q ln dq = 2 ln 1 =, 2 4 2 0 а второй дается формулой (10.49). В результате V = ab(1 + ln 4) x2 y2 x2 y + 2ab +2 ln +, a2 + b + a2 + b2 + где a2 + + b2 +.

() = С учетом (1.69) получим окончательное выражение для внешнего потенциала x2 y 1 + V = 2ab ln. (5.33) 2 2 a2 + b2 + Потенциал на граничном эллипсе дается предельным переходом 0 в (5.33), сводящимся к подстановке = 0:

x2 y 1 a+b V = 2ab ln +. (5.34) 2 2 a+b a b Правая часть (5.34) определена при всех x, y. Вычислим дей ствие на нее оператора Лапласа V = 4.

Сравнивая с (1.6), убеждаемся, что функция (5.34) удовлетворя ет внутри T уравнению Пуассона. В силу единственности решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона (см. с. 16) внутренний потенциал T дается формулой (5.34). Как и потенциал круга, он квадратичен и принимает наибольшее значение в центре.

Глава Ньютонов потенциал одномерных тел Потенциал материальной кривой T с линейной плотностью в R3 в силу (2.3) определяется криволинейным интегралом (x, y, z ) ds V (Q) = V (x, y, z) =, (6.1) (x x)2 + (y y)2 + (z z ) T где ds элемент длины T. Кривая T предполагается спрямляемой (в приложениях почти всегда кусочно-гладкой), а интегри руемой.

Потенциал (6.1) обращается в бесконечность на кривой T, так что имеет смысл только внешний потенциал. Последний веществен но-аналитичен во всем пространстве R3 вне кривой T. При стремле нии Q к гладкому участку T с непрерывной плотностью потенциал согласно (2.20) имеет логарифмическую особенность V (Q) ln s2, (6.2) где s расстояние от Q до T.

На бесконечности согласно (2.31) имеем асимптотику M V 1 + O(). (6.3) r Здесь = r0 /r, где r0 характерный размер T. Если за начало координат взять центр масс T, то остаточный член можно заменить на O(2 ).

6.1 Прямолинейный отрезок 6.1.1 Однородный отрезок Пусть T отрезок оси z, расположенный между точками Q1 (0, 0, a) и Q2 (0, 0, b), a b. Линейная плотность отрезка рав на. Потенциал в точке Q с цилиндрическими координатами R, и z согласно (6.1) равен b dt V (R, z) =, R2 + (t z) a или окончательно R2 + (b z) bz+, R = 0. (6.4) V (R, z) = ln R2 + (a z) az+ В точках отрезка (R = 0, a z b) в согласии с общей теорией раздела 2.4.1 потенциал (6.4) обращается в бесконечность (лога рифмическая сингулярность). На оси z вне отрезка особенностей, естественно, нет:

ln b z, если z a, az V (0, z) = (6.5) ln z a, если z b.

zb Первая из формул (6.5) результат подстановки R = 0 в (6.4), вторая предельного перехода R 0.

Исследуем поведение потенциала вблизи T. Пусть Q приближа ется к одной из внутренних точек T. Считаем z фиксированным, a z b, R 0. Преобразуем формулу (6.4) R2 + (b z) bz+ = R2 + (a z) az+ 2(b z) + 21 (b z)1 R2 + O R = = 21 (z a)1 R2 81 (z a)3 R4 + O (R6 ) R2 R 4(z a)(b z) + O R = 1+ +, 2 2 4(b z) R 4(z a) 4(z a)(b z) (z a)2 + (b z)2 R + O R V = ln + (6.6) R2 4(z a)2 (b z) в согласии с асимптотикой (2.20).

Пусть теперь Q приближается к одному из концов отрезка, например, к точке Q1. Малыми величинами будут = z a, s = x2 + y 2 + 2. Тогда s2 + O s R2 + (b z)2 = 2(b a) bz+ +, b a 4(b a) R2 + (a z)2 = s, az+ s2 3 2(b a) + O s3 (6.7) V = ln +.

b a 4(b a) s Обратим внимание, что s, причем s = только при R = 0, z a. В этом случае (6.7) показывает, что V =, как и должно быть для внутренней точки отрезка. При = s формула (6.7) согласуется с первой из формул (6.5).

6.1.2 Неоднородный отрезок Пример 6.1.2.1. Отрезок оси z между точками ±a, где a 0, с исчезающей на концах линейной плотностью z (z) = A 1.

a В определяющем интеграле a a2 z A V (R, z) = dz a2 (z z )2 + R a сделаем замену z z = t и представим его в форме az a2 + R 2 z A 2zt t2 + R2 dt.

V (R, z) = a2 2 + R2 2 + R t t az С учетом (10.15) A (z + a)2 + R2 (3z + a) (z a)2 + R2 + V= (3z a) 2a (a z)2 + R2 + a z + (2a2 + R2 2z 2 ) ln.

(a + z)2 + R2 a z На оси z вне T логарифмический член надо преобразовать по ти пу (6.5).

Другим способом (как предел потенциала вытянутого эллипсо ида вращения) потенциал отрезка вычислен в примере 8.5.8.


Пример 6.1.2.2. Отрезок оси z между точками ±a, где a 0, с интегрируемой сингулярностью на концах 1/ z (z) = A 1.

a В определяющем интеграле сделаем стандартную подстановку z = a cos t:

dt V (R, z) = Aa. (6.8) (z a cos t)2 + R Интеграл (6.8) с точностью до обозначений совпадает с (10.53), так что можно воспользоваться формулой (10.58):

V (R, z) = B K(k). (6.9) Здесь (a z) a k=, B = 2A, (6.10) z(1 2 ) z(1 2 ) где R 2 + z 2 + a2 (R2 + z 2 + a2 )2 4a2 z =. (6.11) 2az Модуль эллиптического интеграла k всегда меньше единицы.

При малых z в (6.10), (6.11) следует исключить сингулярность. До статочно представить (6.11) в форме 2az =. (6.12) R 2 + z 2 + a2 + (R2 + z 2 + a2 )2 4a2 z Громоздкие выражения B и k через декартовы координаты мож но упростить, если перейти к бисферическим координатам (1.143).

В слегка измененных обозначениях a sin a sh R=, z=.

ch cos ch cos Функции (6.11), (6.10) принимают вид, 1 2 = ch2, k = sin, = th B=A 2(ch cos ), 2 2 что позволяет записать (6.9) в виде V =A 2(ch cos ) K sin. (6.13) На оси z (по симметрии можно считать R = 0, = 0, z = a cth(/2), 0) потенциал элементарен Aa = V (0, z) = A sh. (6.14) 2 z 2 a В горизонтальной плоскости a = z = = 0, R = a ctg, sin, 2 2 2 + a R откуда 2Aa a V (R, 0) = K. (6.15) R 2 + a2 R 2 + a Пример 6.1.2.3. Отрезок оси z между точками ±a, где a 0, с линейной плотностью по закону полукруга z (z) = A.

a Выражение потенциала в произвольной точке очень громоздко.

Ограничимся положением пробной точки на полярной оси и пер пендикулярной ей плоскости симметрии. В этих частных случаях результат без особого труда получается непосредственно.

1. Пробная точка Q(0, 0, z) на оси z, z a:

a sin2 d t2 dt V =A 1 = Aa = a2 z t z a cos a A a2 a2 cos = d = a0 z a cos A a2 z = + z + a cos d = a0 z a cos A Aa (z z 2 a2 ) = =, a z + z 2 a где в конце использовано (10.43).

2. Пробная точка Q(x, y, 0) в плоскости симметрии:

a sin2 d t2 dt V =A 1 = Aa = a2 R 2 + t 2 R2 + a2 cos a / a2 sin2 d 2A 2A = = [K(k) E(k)], a k R2 + a2 a2 sin где a k=.

R 2 + a 6.2 Прямая 6.2.1 Однородная прямая Рассмотрим однородную прямую (ось z) с постоянной линей ной плотностью. Действуя, как в разделе 4.2, положим в (6.4) a = b и устремим b к бесконечности. Получим бесконечное зна чение потенциала. Как и в разделе 4.2, вычислим значение (6.4) в фиксированной точке R = 1, z = 0:

b2 + 1 + b V (1, 0) = ln, (6.16) b2 + 1 b образуем разность потенциалов (6.4) и (6.16) и перейдем к пределу b. Обозначая результат снова через V, получим потенциал бесконечной прямой в виде V (R, z) = V (R) = ln R2. (6.17) Выражение (6.17), как и следовало ожидать, совпадает с логариф мическим потенциалом точки (4.1) при m = с учетом (2.10).

6.2.2 Неоднородная прямая Пример 6.2.1. Неоднородная прямая с линейной плотностью A (z) =, c 0.

1 + z 2 /c Масса находится без труда M = Ac.

Удобно воспользоваться сплюснутыми сфероидальными координа тами (1.126, 1.131) ( 2 + 1)(1 2 ) cos, x=c (6.18) y = c ( 2 + 1)(1 2 ) sin, z = c.

Плотность A (, ) = 1 + 2 не зависит от угла, так что потенциал ротационно симметричен.

Как установлено в разделе 1.5.2, функция (1.135) D 1+ V= D arctg + C1 + ln + C 2 + 2 2 + 2 удовлетворяет уравнению Лапласа. Подберем произвольные посто янные C1, C2, D для согласования с заданной плотностью отрезка.

Плотность и потенциал четны относительно z и не меняются при замене или. Поэтому C1 = C2 = 0.

Для определения D установим асимптотику V при фиксирован ном z и R = x2 + y 2 0. Согласно (6.18) R 2 = 1, c2 ( 2 + 1) так что 1, c z, R2 R 1,.

2(c2 + z 2 ) 4(c2 + z 2 ) 1+ В результате получаем главный член асимптотики V D D ln R V ln R.

2) 1 + z 2 /c 2(1 + В соответствии с выражением (2.20) в окрестности T асимптотиче ски V 2 ln R, следовательно, D = 2A.

Окончательно, A 1+ V= 2 arctg + ln. (6.19) 2 + 2 Получим еще асимптотику вне симметричного относительно оси z конуса со сколь угодно малым, но фиксированным углом рас твора: при r r Ac M, V =.

c r r В горизонтальной плоскости симметрии потенциал можно без труда найти и непосредственным интегрированием:

A dz dt = 2Ac V (R, 0) = 2 (1 t2 ) + R2 t 0c 2 /c2 ) R2 + z (1 + z R2 + z 2 с учетом четности подынтегральной (подстановка t = z функции). При R c получается c + c2 R Ac V (R, 0) = ln, c2 R 2 c c2 R что согласуется с общей формулой, где в данном случае = 0, = 1 R2 /c2.

При R c R 2 c 2Ac 2Ac c V (R, 0) = = arctg arccos, c R 2 c2 2 c R R что тоже согласуется с общей формулой, на этот раз при = 0, = (R2 /c2 ) 1. На самом деле разделение двух случаев R c и R c фиктивно. Из интегрального представления ясно, что мы имеем дело с одной аналитической функцией.

Замечание. Тело T (прямая) неограничено. Однако плотность столь быстро убывает на бесконечности, что полная масса конечна.

Асимптотика (2.31) остается справедливой при условии удаления малого конуса, охватывающего ось z.

Пример 6.2.2. Неоднородная прямая (ось z) с линейной плотно стью (z) = A cos kz, k 0.

В определяющем интеграле совершим простейшую подстановку (сдвиг):

cos kz dz cos k(t + z) dt V =A =A = t2 + R )2 R (z z + cos kt dt sin kt dt = A cos kz A sin kz.

2 + R2 t2 + R t Оба интеграла сходятся, хотя неабсолютно. Второй равен нулю по симметрии. Первый выражается через одну из бесселевых функ ций, а именно функцию Макдональда K0 (Ватсон, 1949) V = 2A cos kz K0 (kR). (6.20) 6.3 Окружность 6.3.1 Общий случай Рассмотрим окружность x = a cos, y = a sin, z = 0 с ли нейной плотностью (). В цилиндрических координатах элемент массы dm = a () d, ( ) d. (6.21) V (R,, z) = a a2 2aR cos( ) + R2 + z Совершим замену переменных t = ( )/2, = 2t + +.

В результате t 2a (2t + + ) dt V=, (6.22) (a + R)2 + z 2 1 k 2 sin2 t t где 4aR + k=, t1 =, t2 =, t2 t1 =.

(a + R)2 + z 2 2 Очевидно, 0 k 1, причем k = 0 на оси z (при R = 0), k = 1 на самой окружности T (R = a, z = 0).

Иногда предпочтительнее замена переменных = и пред ставление ( + ) d V =, (6.23) 1 2p cos + p где 0, 2a 2 (R, z) = = a2 + R 2 + z 2 + (a2 + R2 + z 2 )2 4a2 R a2 + R 2 + z 2 (a2 + R2 + z 2 )2 4a2 R =, 2R 2aR p= = a2 R2 z2 (a2 + R2 + z 2 )2 4a2 R + + + a2 + R 2 + z 2 (a2 + R2 + z 2 )2 4a2 R2 R = 2, = 2aR a 1 =, 2 = 2, 2 1 = 2.

0, причем p = 0 при R = 0;

p 0 при z 2.

Очевидно, p При R 0 величина p убывает с ростом z 2, так что Ra p p = min,.

z=0 aR Таким образом, 0 p 1, причем p = 1 на самой окружности T (R = a, z = 0).

6.3.2 Однородная окружность Пусть постоянна. Интеграл (6.22) распространен на проме жуток длины, равной периоду подынтегральной функции. Его можно заменить на промежуток [/2, /2]. Окончательно, 4a V (R, z) = K(k). (6.24) (a + R)2 + z На окружности k = 1, что приводит к логарифмической син (R a)2 + z 2 точки Q гулярности. При малом расстоянии s = от окружности s2 s k2 = 1 k2= +..., +...

4a2 4a Пользуясь разложением (10.72), найдем асимптотику (6.24) 8a V (R, z) 2 ln. (6.25) s На оси z потенциал элементарен 2a V (0, z) =. (6.26) a2 + z 6.3.3 Неоднородная окружность Пример 6.3.3.1. Окружность раздела 6.3.1 с плотностью () = A cos n + B sin n при натуральном n. В интеграле (6.23) ( + ) = (A cos n + B sin n) cos n + (B cos n A sin n) sin n.

Интегрирование возможно по промежутку. По симмет рии слагаемое, содержащее sin n, пропадает. Остается cos n d V = (A cos n + B sin n).

1 2p cos + p С учетом (10.45) получаем окончательный результат V (R,, z) = 2 gn (p) pn (A cos n + B sin n), (6.27) где gn определяется формулой (10.5).

Пример 6.3.3.2. Окружность раздела 6.3.1 с плотностью, пред ставимой рядом Фурье () = (An cos n + Bn sin n). (6.28) n= Комбинируя предыдущие результаты, получим 4aA V (R,, z) = K(k) + (a + R)2 + z gn (p) pn (An cos n + Bn sin n).

+ 2 (6.29) n= На самой окружности V =. Вне окружности p 1 и ряд (6.29) со гласно оценке (10.8) сходится со скоростью геометрической прогрес сии. Поэтому можно опустить требование сходимости ряда (6.28), заменив его существованием коэффициентов Фурье An, Bn, т.е. ин тегрируемостью.

Замечание. Для единообразия свободный член ряда (6.29) можно заменить на 4A0 K(p).

6.3.4 Дуга однородной окружности Рассмотрим дугу однородной окружности раздела (6.3.1) с плот ностью, расположенную между точками с азимутами 1, 2, 1 2, 2 1 2. Интеграл (6.21) берется по дуге 1 2, а (6.22) по дуге t1 t t2 при 1 2 2 t1 =, t2 =, t2 t 1 =, 2 2 так что t 2a dt V=.

1 k 2 sin2 t R)2 z (a + + t Окончательно, 2a V (R,, z) = F (t2, k) F (t1, k), (6.30) (a + R)2 + z где F неполный эллиптический интеграл первого рода.

В частности, на оси z a(2 1 ) V (0,, z) =. (6.31) a2 + z Для полной окружности 2 1 = 2, следовательно, t2 t1 =, так что (6.30) переходит в (6.24).

6.4 Эллипс 6.4.1 Общий случай Рассмотрим эллипс T с параметрическим уравнением x = a cos, y = b sin, z=0 (6.32) и плотностью (). Не умаляя общности, считаем a b 0. Как и в разделе 4.4.1 определям элемент массы 1 2 cos2 d.

dm = a () Здесь = a2 b2 a эксцентриситет.

Потенциал эллипса дается интегралом 1 2 cos2 d () V (Q) = a. (6.33) (x a cos )2 + (y b sin )2 + z 6.4.2 Неоднородный эллипс Пример 6.4.2.1. Как и в разделе 4.4.1, простейшим случаем ока зывается распределение плотности в виде 1 2 cos2, (6.34) () = A так что dm = aA d, M = 2aA, d V (Q) = aA. (6.35) (x a cos )2 + (y b sin )2 + z Очевидно, интеграл (6.35) сводится к эллиптическим. Но его приве дение к стандартной форме затруднительно. Проще идти обходным путем.

Перейдем к эллипсоидальным координатам u, v, w (см. раз дел 1.5.3). Положим x2 y2 z p(x, y, z, ) = +2 +2. (6.36) a2 + b + c + В примере 1.5.3.4 показано, что функция V (u, v, w) = M d = = u (a2 )(b2 + )(c2 + )[1 p(x, y, z, )] + M d = (6.37) ( u)( v)( w) u удовлетворяет уравнению Лапласа всюду вне эллипса T. Кроме то го, она обладает нужной асимптотикой (1.204) в окрестности T и (1.205) на бесконечности. Следовательно, функция (6.37) и яв ляется искомым потенциалом T. Согласно (1.198) она просто выра жается через полный эллиптический интеграл 2M (6.38) V= K(k) uw при vw k=.


uw Заметим, что u w отделена от нуля. Согласно (1.159) 0 k 1.

Значение k = 1 принимается только при u = v = c2, что отвечает эллипсу T.

Пример 6.4.2.2. Пусть A cos () =, (6.39) 1 2 cos так что dm = aA cos d, M = 0. В примере 1.5.3.5 показано, что функция (1.209) удовлетворят уравнению Лапласа всюду вне эл липса T. Асимптотика на бесконечности (1.211) согласуется с нуле вой массой. Асимптотика при Q T дается формулой (1.210) cos 1 U5 ln = ln.

Aa2 s s a2 sin2 b2 cos a + Сравнивая с (6.2), убеждаемся, что V = 2Aa2 U5 представляет ис комый потенциал эллипса. Окончательно, 4xAa2 cos K cos V (Q) = U. (6.40) (v w) u w sin 1 k 2 sin Здесь U = (E K) F (, k ) + K E(, k ), vw uv k2 = k2=,, uw uw a2 + w a2 + w vw sin2 = tg2 = cos2 =,,, a2 + v a2 + v vw где все возводимые в квадрат величины считаются неотрицатель ными. Неуказанный модуль полных эллиптических интегралов принимается равным k.

Пример 6.4.2.3. Гауссово кольцо.

Гауссовым кольцом именуют материальный эллипс, совпадаю щий с кеплеровской орбитой планеты, элемент массы которого про порционален времени, проводимому планетой в элементе длины ds;

полная масса гауссова кольца равна массе планеты. Астрономиче ский смысл кольца описан в монографии (Субботин, 1968). Время можно заменить средней аномалией t: пропорциональным време ни углом, увеличивающимся на 2 за период обращения планеты, и тогда dm = M/(2) dt.

Связь средней и эксцентрической аномалий дается уравнением Кеплера sin = t.

Окончательное выражение для элемента массы и для плотности:

M M (1 cos ) dm = (1 cos ) d, =. (6.41) 2 1 2 cos 2a Представим плотность в форме A1 A2 cos = + 1 2 cos2 1 2 cos при M M A1 =, A2 =.

2a 2a Таким образом, потенциал гауссова кольца дается суммой функ ций (6.38) и (6.40) с заменой A на A1 и A2, соответственно.

Окончательно, 2M V (Q) = K uw cos 2M ax K cos U. (6.42) (v w) u w sin 1 k 2 sin Смысл обозначений тот же, что и в примере 6.4.2.2.

Глава Ньютонов потенциал двумерных тел Потенциал материальной поверхности T с поверхностной плот ностью в R3 в силу (2.3) определяется поверхностным интегралом (x, y, z ) d V (Q) = V (x, y, z) =, (7.1) (x x)2 + (y y)2 + (z z) T где d элемент площади T. Граница T (не обязательно связная) фигуры T (не обязательно односвязной) считается кусочно-гладкой кривой.

При интегрируемой плотности потенциал (7.1) непрерывен во всем пространстве R3, но его первые производные терпят разрыв при пересечении T.

На бесконечности согласно (2.31) имеем асимптотику M V [1 + O()]. (7.2) r Здесь = r0 /r, где r0 характерный размер T. Если за начало координат взять центр масс T, то остаточный член можно заменить на O(2 ).

Если T область в плоскости xy, занятая телом с постоянной плотностью, то двойной интеграл (7.1) можно свести к контурно му по границе T области T. Пусть T кусочно-гладкая кривая;

P, Q непрерывные вместе с Q/x P /y функции. Восполь зуемся формулой Грина Q P dx dy = P dx + Q dy. (7.3) x y T T В качестве P, Q согласно (10.129) можно взять yr xr Q P P =, Q=, = x2 + y2 x2 + y2 x y r и получить dx dy r(x dy y dx) =. (7.4) x2 + y r T T Формула (7.4) выведена в предположении, что начало коорди нат O лежит вне T. В случае попадания O внутрь T вырежем круг T малого радиуса с центром в O, целиком лежащий в T.

Вычислим двойной интеграл по T, переходя к полярным коорди натам dx dy R dR z 2 + 2 |z| 2, = d = r R2 + z 0 T что исчезает при 0 равномерно по z.

К правой части (7.4) следует добавить интеграл по окружности, проходимой по часовой стрелке r(x dy y dx) 2 + z 2 d = 2 2 + z 2 2|z|.

= x2 + y T Поэтому в случае O int T формулу (7.4) следует модифициро вать dx dy r(x dy y dx) = 2|z| +. (7.5) x2 + y r T T Пусть O принадлежит границе T. Легко убедиться, что инте грал справа в (7.4) сходится. Однако к нему следует теперь доба вить интеграл по дуге радиусом и затем перейти к пределу 0.

Если O находится на гладком участке T, то в (7.5) надо 2 заме нить на. В случае угловой точки следует 2 заменить на угол 0, на который надо повернуть по часовой стрелке касательную к T в точке O, направленную назад, до совмещения с касательной, на правленной вперед (рис. 7.1).

Q   Q3 Q     Рис. 7.1. К модификации формулы Грина. Угол 0 в угловых точках Q и Q2 и в точке гладкости Q3 равен /2, 3/2,, соответственно.

Следует обобщить (7.4), совершив подстановку (x x)2 + (y y)2 + z 2, x x x, y y y, rs= считая x, y переменными, а x, y, z параметрами. В результате (x x) dy (y y) dx V (x, y, z) = s. (7.6) (x x)2 + (y y) T Формулу (7.6) можно представить в виде s(r r)n V (x, y, z) = ds. (7.7) (x x)2 + (y y) T Здесь n единичный вектор внешней нормали к кривой T, ds = dx 2 + dy 2 элемент длины T (но не дифференциал функ ции s).

Если проекция Q(x, y, 0) точки Q(x, y, z) на плоскость xy попа дает внутрь или на границу области T, то справа в (7.6) и (7.7) следует добавить слагаемое 2|z| или 0 |z| в соответствии со сказанным по поводу формулы (7.5). Однако если точка Q сама лежит в плоскости xy, то никакая модификация не требуется.

7.1 Однородный прямоугольник Пусть T однородный прямоугольник поверхностной плотно сти с вершинами Qik (ai, bk, 0), где i, k = 1, 2;

a1 a2, b1 b2.

По общей теории в согласии с (7.1) b2 a dx V = dy.

x)2 + (y y)2 + z (x b1 a Внутренний интеграл совпадает с потенциалом (6.4) однородного отрезка, ориентированного параллельно оси x a dx (1)i Vi, = (x x)2 + (y y)2 + z a1 i= где (y y)2 + e2, c2 + z 2.

Vi = ln ci + ci = ai x, ei = i i Таким образом, 2 b2 y (1)i t2 + e V = ln ci + dt.

i b1 y i= Остается воспользоваться формулой (10.28) (1)i+k (Fik + 2zGik ).

V = (7.8) i,k= Здесь Fik = (ai x) ln(bk y + sik ) + (bk y) ln(ai x + sik ), z(bk y) Gik = arctg, (ai x)2 + z 2 + ai x (ai x)2 + z 2 + sik где sik = (ai x)2 + (bk y)2 + z 2.

Определим еще градиент потенциала. По симметрии достаточно ограничиться компонентами по осям y и z:

V ai x (1)i+k+1 ln(ai x + sik ) + = + y sik i,k= (bk y)2 z + +. (7.9) (ai x + sik )sik (ai x + sik )sik Здесь последнее слагаемое отвечает производной от последнего сла гаемого (7.8).

Сумма трех последних слагаемых в (7.9) равна единице, что пропадает при суммировании по i, k. Окончательно, V (1)i+k+1 ln(ai x + sik ) = = y i,k= (a2 x + s21 )(a1 x + s12 ) = ln. (7.10) (a1 x + s11 )(a2 x + s22 ) Перейдем к вертикальной производной V z(ai x) (1)i+k = + 2Gik.

(ai x)2 + z z i,k= Первое слагаемое (вне арктангенса) пропадает при суммировании по k. Окончательно, V (1)i+k Gik.

= 2 (7.11) z i,k= Очевидно, потенциал V непрерывен во всем пространстве R3. Про изводная V /y непрерывна всюду за исключением сторон Q11 Q и Q12 Q22. Пусть, например, Q(x, y, z) лежит в окрестности некон цевой точки отрезка Q11 Q x = a + u, y = b1 + v, где a1 a a2, а u, v, z бесконечно малы. Под знаком логарифма в (7.10) лишь один множитель становится бесконечно малым v2 + z a1 x + s11.

2(a2 a1 ) Таким образом, V (a + u, b1 + v, z) = ln(v 2 + z 2 ) + W (7.12) y в согласии с (2.20). Через W мы обозначаем различные регулярные функции координат.

Исследуем теперь поведение V /y в окрестности вершин, на пример, в окрестности Q x = a1 + u, y = b1 + v.

По-прежнему особенность вносит лишь величина u2 + v 2 + z 2, a1 x + s11 u + V (a1 + u, b1 + v, z) u2 + v 2 + z 2 + W.

= ln u + (7.13) y Из (7.12), (7.13) заключаем, что V /y непрерывна всюду в R3, за исключением сторон Q11 Q22 и Q12 Q22, где она обращается в плюс бесконечность.

Переходим к вертикальной производной V /zИсследуем сна чала окрестность внутренней точки Q(a, b, 0) прямоугольника x = a + u, y = b + v, a 1 a a2, b1 b b 2.

Сингулярность в (7.11) содержат лишь слагаемые при i = 1 и k = 1, 2. Поскольку z (a1 x)2 + z 2 + a1 x, 2(a a1 ) то V A1 A = 2 arctg 2 arctg + W, (7.14) z z z где здесь и ниже Ak положительные константы.

Таким образом, при пересечении T производная V /z терпит скачок V + V = z z в согласии с (2.22).

В окрестности точки внутри отрезка Q11 Q x = a + u, y = b1 + v, a1 a a сингулярны те же слагаемые. Поскольку z (a1 x)2 + z 2 + a1 x, 2(a a1 ) то V A3 v A = 2 arctg 2 arctg + W.

z z z Таким образом, V /z ограничена, но не имеет предела при неза висимом стремлении v, z к нулю.

Наконец, в окрестности вершины Q u2 + v 2 + z 2, x = a1 + u, y = b1 + v, b1 y = v, s11 = (a1 x)2 + z 2 = u2 + z 2, (a1 x)2 + z 2 + a1 x = u2 + z 2 u, (a1 x)2 + z 2 + s11 = u2 + z 2 + u2 + v 2 + z 2, V zv = 2 arctg z 2 + z2 u 2 + z2 + u2 + v 2 + z u u A5 z 2 arctg.

2 + z2 u u По-прежнему V /z ограничена, но не имеет предела при Q Q11.

7.2 Однородный треугольник 7.2.1 Потенциал над вершиной треугольника Потенциал треугольника построим по схеме, примененной в раз деле 5.2 в случае логарифмического потенциала.

Задан однородный треугольник OQ1 Q2 с вершинами O(0, 0, 0), Q1 (a, b1, 0), Q2 (a, b2, 0) и поверхностной плотностью, причем a 0, b2 b1, так что обход контура T происходит в положитель ном направлении (рис. 5.1). Найдем потенциал T в точке Q(0, 0, z).

По аналогии с разделом 5.2. 2 a/ cos r dr V (Q) = d, r2 + z 1 где i = arctg(bi /a). Внутренний интеграл равен a + z 2 |z|, cos так что V = V1 |z|(2 1 ), где a + z 2 d.

V1 = cos Интеграл берется подстановкой cos2 = 1 + t2, dt = (1 + t2 ) d :

t = tg, b2 /a a 2 + z 2 + a 2 t V1 = dt.

1 + t b1 /a Остается воспользоваться формулой (10.18) a2 + z 2 + b b2 + V = |z|(2 1 ) + a ln + a2 + z 2 + b b1 + b2 z b1 z + z arctg arctg.

(7.15) b2 + z 2 + b a2 z2 a a + + a 2 Правая часть (7.15) координатно-зависима. Перейдем к инвариант ным величинам из раздела 5.2.1. К формулам (5.13), (5.14) добавим еще очевидную a2 + b2 = ri. Соотношение (7.15) принимает вид i r1 r2 sin 0 r2 r1 + s2 + 2s r2 + z 2 2 V = |z|0 + ln 2 + s 2 r2 r1 s2 + 2s r1 + z (r2 r1 + s2 )z 2 + z arctg r2 + z 2r1 r2 sin (r2 r1 s2 )z 2. (7.16) arctg r1 + z 2r1 r2 sin 7.2.2 Потенциал треугольника В случае общего положения точки Q(x, y, z) поступаем, как в разделе 5.2.2. Если проекция Q0 (x, y, 0) точки Q попадает внутрь треугольника с вершинами Q1, Q2, Q3, то V будет суммой трех потенциалов треугольников QQ1 Q2, QQ2 Q3, QQ3 Q V = 2|z| + ri ri+1 sin i+ + si+ i= ri+1 ri + s2 + 2si+ 2 2 ri+1 + z i+ ln + ri+1 ri s2 + 2si+ 2 2 ri + z i+ (ri+1 ri + s2 )z 2 i+ + z arctg ri+1 + z 2ri ri+1 sin i+ (ri+1 ri s2 )z 2 i+ arctg. (7.17) ri + z 2ri ri+1 sin i+ Здесь (x xi )2 + (y yi )2, ri = Q 0 Q i = (xi+2 xi+1 )2 + (yi+2 yi+1 )2, si = Qi+1 Qi+2 = i угол между векторами Q0 Qi+1 и Q0 Qi+2 :

(xi+1 x)(xi+2 x) + (yi+1 y)(yi+2 y) cos i =, ri+1 ri+ (7.18) (xi+1 x)(yi+2 y) (yi+1 y)(xi+2 x) sin i =.

ri ri+ Напомним, что треугольник Q1 Q2 Q3 обладает правой ориентацией, а индекс i считается по модулю 3.

Пусть проекция Q0 лежит вне треугольника. По-прежнему счи таем формулы (7.18) справедливыми с учетом ориентации, допус кая i.

Формулы (7.17) остаются верными, если отбросить первое сла гаемое справа. Для большей общности можно заменить его на |z|(1 + 2 + 3 ), (7.19) так что сумма углов будет равна 2 при внутреннем положении точки Q0 и равна 0 при внешнем.

При пересечении точкой Q0 границы треугольника некоторые слагаемые (7.17), содержащие арктангенс, терпят разрыв. Пусть, например, z 0 остается постоянной, а Q0 пересекает сторону Q1 Q2. При движении изнутри треугольника наружу sin 3 +0, а при движении снаружи внутрь sin 3 0. Выражение в квад ратных скобках (7.17) стремится, соответственно, к + и, а по сле умножения на z к +z и z. В сумме с величиной (7.19) получаем в пределе z независимо от направления движения.

Аналогичны рассуждения при движении Q0 наружу через вер шину например, Q1. В этом случае r1 0, s2 + r1 r2 = (s3 r2 )(s3 + r2 ) + r1 Cr1, 2 2 поскольку модуль разности двух сторон треугольника меньше тре тьей стороны. Поэтому при i = 1 сингулярно лишь первое слагаемое в квадратных скобках, и оно меняется скачком от +/2 к /2.

Таково же поведение члена при i = 3. В результате сумма (7.17) непрерывна.

При z = 0 слагаемое (7.19) исчезает, а в (7.17) остаются лишь логарифмические члены.

7.3 Однородный многоугольник Пусть T лежащий в плоскости xy однородный n-угольник Q1 Q2... Qn ;

ограничивающая его ломаная не имеет самопересе чений и обходит T в положительном направлении. Выпуклость T не обязательна.

Действуя так же, как в разделе 5.3, представим потенциал T в точке Q суммой потенциалов ориентированных треугольников Ti = Q0 Qi Qi+1. Здесь Q0 проекция Q на плоскость xy, индекс i понимается по модулю n, i + n i. Учет ориентации, как мы убе дились в разделе 5.3, оставляет в конце концов вклад в потенциал только от T.

Таким образом, для потенциала многоугольника справедлива формула (7.17) при суммировании по i от 1 до n. Первое слагаемое справа в общем случае следует заменить на |z| (1 + 2 +... + n ). (7.20) 7.4 Однородная плоскость Пусть T материальная плоскость z = 0 с постоянной поверх ностной плотностью. Получим потенциал T как предел потен циала прямоугольника при неограниченном увеличении его раз меров. По симметрии V зависит лишь от z. Поэтому достаточ но рассмотреть потенциал прямоугольника из раздела 7.1 при a2 = b2 = a1 = b1 = a в точке Q(0, 0, z). Формула (7.8) суще ственно упрощается V s+a = a ln + 4 sa az + z arctg 2 + z 2 + a)( a2 + z 2 + s) (a az arctg, (7.21) 2 + z 2 a)( a2 + z 2 + s) (a где s = 2a2 + z 2.

При a, очевидно, V. Для получения разумного ре зультата вычтем из правой части ее значение при z = 0. Первое слагаемое справа в (7.21) перейдет в z z2 2 21 1+ 2 1+ 1+ 2a 4a2, a ln a ln z 2+ z2 1+ 2+1 1 + 2 1+ 4a 2a что стремится к нулю при a. Первое слагаемое внутри квад ратной скобки также исчезает в пределе. Во втором слагаемом az = a2 z2 a2 + z 2 + s + a z 2a, = z 1+ 1 + z 2 /a2 1 1 + z 2 /a2 + 2 + z 2 /a a поэтому az arctg sign z.

a2 z2 2 + z2 + s + a a Окончательно, V (z) = 2|z|, (7.22) что с точностью до обозначений осей совпадает с потенциалом точ ки в R1, см. формулу (3.1).

Выведем (7.22) другим путем, отправляясь от потенциала бес конечной прямой. Именно, dy V (z) = dx.

x + y 2 + z Внутренний интеграл есть потенциал прямой единичной линейной плотности. Он дается формулой (6.17) при = 1 (рассуждения, связанные с расходимостью и переходом к разности потенциалов, опускаем):

ln(t2 + z 2 ) dt.

V (z) = (7.23) Интеграл (7.23) расходится. Вычисляя V (z) V (0) и обозначая результат снова через V (z), получим согласно (10.26) z2 t V (z) = t ln 1 + 2z arctg = 2|z|, t2 z что совпадает с (7.22).

7.5 Круг Рассмотрим однородный круг T радиуса a x2 + y 2 a2, z=0 (7.24) с поверхностной плотностью. По симметрии можно считать, что пробная точка Q(x, y, z) = Q(R, 0, z) лежит на оси x, R 0.

Пусть R a. Справедливо представление V интегралом (7.6) по граничной окружности с добавочным слагаемым 2|z| (x + R) dy y dx V = 2|z| + F1, (x + R)2 + y где F1 = (x + R)2 + y 2 + z 2. Перейдем к параметрическому за данию граничной окружности x = a cos, y = a sin, (7.25) (x + R) dy y dx = a(a + R cos ) d.

Получим V = 2|z| + a F1 F2 d (7.26) при a + R cos a2 + R2 + z 2 + 2aR cos, F1 = F2 =.

a2 + R2 + 2aR cos По симметрии интеграл можно брать в пределах от 0 до, умножая на два. Перейдем к половинному углу = /2, cos = 1 2 sin2, и избавимся от переменных величин в числителе (R + a)2 + z 2 4aR sin2, F1 = a2 R F2 = +, 2a 2a (R + a)2 4aR sin (a2 R2 )F F F1 F2 = +.

2a 2aF1 (R + a)2 4aR sin В результате V = 2|z| + / a2 R 2 z + 2 F1 + 1+ d. (7.27) (R + a)2 4aR sin F Последний интеграл линейная комбинация полных эллиптиче ских интегралов a2 R 2 (a2 R2 )z B E(k) + K(k) + (, k) B(R + a) B при (R a)2 + z 4aR (R + a)2 + z 2, k = B=,k=, (R + a)2 + z 2 (R + a)2 + z 4aR k 2.

=, 1 (R + a) Положим aR |z|k 1 k 2 sin2 =. (7.28) sin =, cos =, (a + R)k (a + R)k В принятом предположении (R a) 0 sin 1, (7.29) причем sin = 1 лишь при z = 0 или R = 0.

Используя (10.98), получим окончательно aR V (R, z) = 2B K(k) + E(k) + a+R + 2|z| K(k) E(k) F (, k ) K(k) E(, k ). (7.30) Представление (7.30) выведено при R a. В частности, при z = 0 равенство (7.30) определяет внутренний потенциал T.

Внешний потенциал по общей теории аналитически зависит от R. Таковы же и функции B, k 2, k 2,, причем k 2 1, 0 k 2 1.

Заметим, что k 2 = 1 только при R = 0.

Несколько сложнее обстоит дело с углом, определяемом со гласно (7.28). Примем, что /2 /2. Особенность возмож на лишь при R = 0, когда k = 1, = /2. Точка (0, 0) принад лежит T, так что следует считать z = 0 при R = 0. По принципу аналитического продолжения формула (7.30) остается справедли вой для внешнего потенциала, причем R = 0 устранимая особен ность.

Упростим представление (7.30) для некоторых специальных по ложений точки Q.

1. Пробная точка на оси симметрии, R = 0. Непосредственно по лучается 2a a2 + z 2 |z|) = V (0, z) = 2(.

a2 + z 2 + |z| То же самое следует из общей формулы при R = 0, k = 0, k = 1, = /2.

Аналитичность V в окрестности R = 0 очевидна. Более того, из (7.26) следует, что V разлагается по четным степеням R. В са мом деле, подынтегральная функция зависит от через посред ство cos 2, и замена R R, /2 оставляет ее ин вариантной. Подстановка = /2 в свою очередь не меняет интеграла. Поэтому V (R, z) = V (R, z).

2. Пробная точка над/под краем круга, R = a. Согласно (7.26) находим / z 2 + 4a2 cos2 |z| d = V (a, z) = / z 2 + 4a2 4a2 sin2 |z| d = = z 2 + 4a2 E(k) = 2 |z|, где 2a k=.

z + 4a Это совпадает с общей формулой при R = a, = 0 и только что указанном k.

Обратим внимание, что при R = a в формуле (7.27) возникает неопределенность: расходящийся к бесконечности интеграл умно жается на нуль.

3. Потенциал в плоскости круга (внутренний и внешний). Соглас но (7.30) V (R, 0) = 2 (a R) K(k) + (a + R) E(k), где 2 aR k=.

a+R Пример 7.5.1. Пример неоднородного круга.

Рассмотрим круг x2 + y 2 a2, z= с поверхностной плотностью a2 R 2, =A где R2 = x2 + y 2. Потенциал круга вычислен далее в примере 8.5. как предел потенциала эллипсоида вращения.

7.6 Сплошной эллипс Пусть T сплошной эллипс x2 y +2 1, z= a b с поверхностной плотностью x2 y =A 1 2.

a b Потенциал эллипса будет вычислен в примере 8.5.6 как предел по тенциала эллипсоида.

7.7 Однородная сфера Пусть T однородная сфера радиуса a с постоянной поверх ностной плотностью. Масса сферы равна M = 4a2.

Перейдем к сферическим координатам (1.108) с началом в центре сферы. По симметрии потенциал зависит только от r. Проще все го найти его, используя уравнение Лапласа (1.5). Согласно (1.113) общее решение (1.5), зависящее лишь от r, есть C V (r) = + C2.

r Вне сферы асимптотика на бесконечности (7.2) влечет C2 = 0, C1 = M. Внутри сферы C1 = 0 по непрерывности в центре сфе ры, C2 = M/a по непрерывности V на сфере r = a.

Итак, M/a, если r a, V (r) = (7.31) M/r, если r a.

Таким образом, сфера не притягивает внутренних точек, а внешние притягивает как точка той же массы в центре сферы.

Глава Ньютонов потенциал трехмерных тел в R3 определя Потенциал трехмерного тела T с плотностью ется объемным интегралом (x, y, z ) d V (Q) =, (8.1) s T где s = (x x)2 + (y y)2 + (z z)2, d элемент объема.

При интегрируемой плотности потенциал (8.1) вместе с первы ми производными непрерывен во всем R3, разрывы терпят вторые производные при пересечении T и на поверхностях разрыва плот ности.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.