авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 ||

«Санкт-Петербургский государственный университет В.А. Антонов, И.И. Никифоров, К.В. Холшевников ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОТЕНЦИАЛА И ...»

-- [ Страница 3 ] --

На бесконечности согласно (2.31) имеем асимптотику M V [1 + O()]. (8.2) r Здесь = r0 /r, где r0 характерный размер T. Если за начало координат взять центр масс T, то остаточный член можно заменить на O(2 ).

При постоянной плотности, как и в плоском случае, интегри рование по T можно свести к интегрированию по его границе T, предполагаемой кусочно-гладкой. Достаточно применить формулу Остроградского–Гаусса P Q R + + dx dy dz = x y z T = P dy dz + Q dz dx + R dx dy (8.3) T с функциями x y z P Q R P=, Q=, R=, + + = r r r x y z r из формулы (10.128) и получить 2 x dy dz + y dz dx + z dx dy dx dy dz =. (8.4) r r T T Формулы (8.4) выведены в предположении, что начало коор динат O лежит вне T. В случае попадания O внутрь T вырежем шар T малого радиуса с центром в O, целиком лежащий в T.

Вычислим тройной интеграл по T, переходя к сферическим коор динатам:

2 dx dy dz 2r dr = 42, = r T что стремится к нулю при 0.

Что касается поверхностного интеграла по сфере T, то подын тегральные функции там ограничены, и интеграл стремится к нулю при 0. Поэтому формула (8.4) верна без всяких ограничений.

Следует обобщить (8.4), совершив подстановку x x x, y y y, z z z, (x x)2 + (y y)2 + (z z)2, rs= считая x, y, z переменными, а x, y, z параметрами. В результате V (Q) = (x x) dy dz + (y y) dz dx + (z z) dx dy. (8.5) s T Напомним, что интегрирование осуществляется по ориентирован ной внешней поверхности T.

Формулу (8.5) можно представить в виде (r r) n V (Q) = d. (8.6) 2 s T Здесь n единичный вектор внешней нормали к поверхности T, d элемент площади T.

8.1 Однородный брус Потенциал однородного прямоугольника (7.8) нам удалось вы числить непосредственно. Для нахождения потенциала бруса (пря моугольного параллелепипеда) необходимо взять интеграл по z от правой части (7.8), в которой z следует заменить на z z. Инте грал от арктангенса представляется настолько сложным, что мы решили пойти обходным путем.

Для сокращения формул в разделе 7.1 мы обозначали координа ты параллельных сторон прямоугольника одной буквой с индексом, принимающим два значения. Здесь мы пойдем дальше, обозначая декартовы координаты в R3 через x1, x2, x3.

Рассмотрим однородный брус плотности. В подходящих коор динатах точки бруса удовлетворяют неравенствам ai xi ai (8.7) при ai 0. По общей теории V (Q) = V (x1, x2, x3 ) = dx1 dx2 dx =, (8.8) )2 + (x2 x2 )2 + (x3 x3 ) (x1 x где интегрирование по каждой переменной xi здесь и ниже осуще ствляется по отрезку [ai, ai ].

По симметрии (раздел 2.5) можно считать xi 0, поскольку V (±x1, ±x2, ±x3 ) = V (x1, x2, x3 ). (8.9) Воспользуемся выражением (8.5), представляющим V суммой интегралов по граням бруса V (Q) = 3 dti+1 dti+. (8.10) bii b2 + (ti+1 xi+1 )2 + (ti+2 xi+2 ) ii i=1 i = Здесь bii = ai +(1)i xi. Индекс i понимается по модулю 3: i i+3.

Например, x4 = x 1, x5 = x 2, x6 = x 3.

Представление (8.10) справедливо при любом положении точки Q.

Каждый из шести интегралов (8.10) представляет собой интеграл по плоской области. Сведем его к интегралу по контуру, т.е. по ребрам бруса, применяя формулу (7.4). Теперь результат зависит от положения Q относительно T.

Введем множество T1, продолжая каждую грань бруса до беско нечности вдоль соответствующей оси. Замкнутая область T1 (трех мерный крест, похожий также на противотанковый ёж ) изобра жена на рис. 8.1 Для наглядности рис. 8.2 дает его двумерный аналог. Аналогия неполная: дополнение T1 в R3 есть многосвяз ная область, в то время как дополнение T1 в R2 образует четыре изолированные области.

Аналитически T задается совокупностью неравенств (8.7). Точ ка Q лежит в T, если выполнены все три неравенства (8.7). Точка Q лежит в T1, если выполнены два из этих неравенств. Точка Q лежит вне T1, если выполнено не более одного из неравенств (8.7).

1. Пусть Q T1. Формула (7.4) применима без добавочного члена / bii bi+j,j V, V= (8.11) i,j,i,j где b2 + b2 i+j,j + (tij xij ) ii V = dtij.

b2 i+j,j + (tij xij ) Индекс i принимает значения 1, 2, 3;

j значения 1, 1;

i и j значения 1, 2. Индексы i, j понимаются по модулю 3. Последний интеграл с точностью до обозначений совпадает с (10.19).

T T Рис. 8.1. Брус T и трехмерный крест T1.

Окончательно, V= bii (F + ). (8.12) i,j,i,j,k Здесь F = (1)k1 bi+j,j ln (1)k1 bij,k + G, bii bij,k = bii arctg, bi+j,j G где b2 + b2 G= i+j,j + bij,k.

ii Индекс i принимает значения 1, 2, 3;

j значения 1, 1;

i, j и k значения 1, 2. Индексы i, j понимаются по модулю 3.

2. Пусть Q int T1, Q T. Для определенности пусть для неко / торого i 0 xi+1 ai+1, 0 xi+2 ai+2, xi a i. (8.13) Напомним, что принято соглашение xi 0.

T T T1 T T Рис. 8.2. Прямоугольник T и двумерный крест T1.

Согласно (7.5) справа в (8.11), (8.12) необходимо добавить сла гаемое = bii |bii | = 4 ai xi. (8.14) i = Обратим внимание, что индекс i фиксирован, и суммирование по нему не производится.

3. Пусть точка Q лежит на границе T1, но не на ребре, вне T. Для определенности пусть для некоторого i xi a i, xi+1 = ai+1, 0 xi+2 ai+2, или xi a i, 0 xi+1 ai+1, xi+2 = ai+2.

Тогда = 2 ai xi. (8.15) 4. Пусть Q T находится на ребре T1 :

/ xi a i, xi+1 = ai+1, xi+2 = ai+2.

Тогда = ai xi. (8.16) 5. Пусть Q int T. Добавка (8.14) возникает при каждом i, при чем bii = |bii |. Поэтому (a2 + x2 ). (8.17) = 2 i i i= 6. Пусть Q принадлежит внутренности грани бруса:

xi = a i, 0 xi+1 ai+1, 0 xi+2 ai+2.

Тогда = (4a2 + a2 + a2 + x2 + x2 ). (8.18) i i+1 i+2 i+1 i+ 7. Пусть Q принадлежит внутренности ребра бруса:

0 xi ai, xi+1 = ai+1, xi+2 = ai+2.

Тогда (a2 + x2 + 4a2 + 4a2 ).

= (8.19) 2i i i+1 i+ 8. Пусть, наконец, Q совпадает с вершиной бруса:

x1 = a 1, x2 = a 2, x3 = a 3.

Тогда = (a2 + a2 + a2 ). (8.20) 1 2 8.2 Однородный тетраэдр Пусть T однородный тетраэдр Q1 Q2 Q3 Q4, изображенный на рис. 8.3. Примем, что он обладает правой ориентацией. Именно, выберем содержащую точки Q1, Q2, Q3 плоскость за ориентиро ванную плоскость x y (нам удобнее обозначать оси координат бук вами со штрихами). Считаем, что треугольник Q1 Q2 Q3 обладает правой ориентацией, т.е. обход Q1 Q2 Q3 происходит против часовой стрелки, если смотреть с вершины Q4, расположенной в верхнем полупространстве z 0. Этого условия всегда можно добиться, нумеруя вершины надлежащим образом.

z Q Q0(t) Q1(t) Q3(t) y Q2(t) Q Q Q x Q Рис. 8.3. Правоориентированный тетраэдр Q1 Q2 Q3 Q4. Заштриховано се чение Q1 (t)Q2 (t)Q3 (t) тетраэдра плоскостью z = z(1 t), 0 t 1.

Изображен также перпендикуляр Q4 Q0 (t)Q0, опущенный из Q4 на осно вание.

8.2.1 Потенциал в вершине тетраэдра Обозначим координаты Qi через (xi, yi, 0) для i = 1, 2, 3 и через (x, y, z), z 0 для i = 4.

Разобьем тетраэдр Q1 Q2 Q3 Q4 на бесконечно тонкие слои тол щиной z dt (рис. 8.3). Потенциал слоя равен потенциалу тре угольника Q1 (t)Q2 (t)Q3 (t), вырезанного в тетраэдре плоскостью z = (1 t)z, с поверхностной плотностью z dt. Потенциал же треугольника в точке Q4 определен формулой (7.17) с модифи кацией (7.19). Только вместо треугольника Q1 Q2 Q3 мы долж ны рассматривать подобный ему Q1 (t)Q2 (t)Q3 (t). Точки Q0 (t) и Q0 = Q0 (1) пересечения проходящей через Q4 прямой, парал лельной оси z, с плоскостями z = (1 t)z и z = 0 также распо ложены с сохранением подобия. Поэтому в формуле (7.17) нужно сделать подстановку ri tri, si tsi, i i, z tz.

Выражения под знаком логарифма и арктангенса не изменятся.

В результате правую часть (7.17) следует умножить на zt dt и проинтегрировать по t от 0 до 1:

2V (Q4 ) = z(1 + 2 + 3 ) + z ri ri+1 sin i+ + si+ i= ri+1 ri + s2 + 2si+ 2 2 ri+1 + z i+ ln + ri+1 ri s2 + 2si+ 2 2 ri + z i+ ri+1 ri + s 2 i+2 z + z arctg ri+1 + z 2ri ri+1 sin i+ ri+1 ri s 2 i+2 z arctg. (8.21) ri + z 2ri ri+1 sin i+ 8.2.2 Потенциал тетраэдра Пусть теперь Q(x, y, z) произвольная точка внутри тетраэд ра T. Потенциал в Q будет суммой потенциалов четырех право ориентированных тетраэдров Tn : T1 = Q2 Q4 Q3 Q, T2 = Q3 Q4 Q1 Q, T3 = Q1 Q4 Q2 Q, T4 = Q1 Q2 Q3 Q.

Запишем полученный результат аналитически. Фиксируем n.

Тетраэдру Tn поставим в соответствие набор перестановок (ijkn) из четырех символов (1234). Каждому Tn отвечают три переста новки (ijk) (из возможных шести), а именно те, для которых пере становка (ijkn) четная. Первое слагаемое справа в (8.21) можно записать как сумму по трем перестановкам, а сумма по i в (8.21) это фактически сумма по трем допустимым перестановкам (ijk).

К ней надо добавить еще сумму по n. В результате получим 2V (Q) = zn |n |nij + z rnj rni + s2 + 2sij Rj 2 zn rni rnj sin nij ij + ln 2 + rnj rni s2 + 2sij Rj sij ij rnj rni + s2 zn 2 ij + zn arctg 2rni rnj Rj sin nij rnj rni s2 zn 2 ij. (8.22) arctg 2rni rnj Rj sin nij Здесь приняты следующие обозначения. Пусть Sn плоскость, со держащая грань Qi Qj Qk тетраэдра Tn (она же грань T );

Qn проекция Q на Sn. Тогда zn = |QQn0 |, rni = |Qn0 Qi |, Ri = |QQi |, sij = |Qi Qj |, nij угол между векторами Qn0 Qi и Qn0 Qj. Причина, по которой вместо zn мы написали zn |n |, скоро выяснится.

z Каждая сумма содержит 12 слагаемых: по три допустимых пе рестановки (ijk) для каждого из четырех значений n.

Нам осталось лишь выразить параметры zn, rni,... через ко ординаты точек Qn (xn, yn, zn ), Q(x, y, z) в произвольной системе отсчета.

Обозначим через ln орт нормали к Sn, направленный внутрь T.

Очевидно, Qi Qj, Qi Qk, Qi Q Qi Qj Qi Qk ln =, z n = Qi Q · ln =, Qi Qj Qi Qk Qi Qj Qi Qk где круглыми скобками обозначено смешанное произведение трех векторов. По определению точки Qn Qi Qn0 = Qi Q zn ln.

Вычислим скалярный квадрат, а также скалярное и векторное про изведения 2 2 |Qi Qn0 | = Ri zn, Qi Qn0 · Qj Qn0 = Qi Q · Qj Q zn, Qi Qn0 Qj Qn0 = Qi Q Qj Q + zn Qj Q Qi Q ln = = Qi Q Qj Q z n Qi Qj ln.

Векторы Qi Qn0 и Qj Qn0 лежат в ортогональной вектору ln плос кости, следовательно, их векторное произведение коллинеарно ln :

Qi Qn0 Qj Qn0 = ln.

Умножая это равенство скалярно на ln, получим = Qi Q, Qj Q, ln.

От координат точки Q величина зависит не квадратично, а ли нейно. Действительно, представим Qj Q = Qi Q Qi Qj, откуда = Qi Q, Qi Qj, ln.

Важно, что мы вычислили не модуль векторного произведения, а его компоненту вдоль вектора ln. Теперь однозначно определя ются углы:

Qi Q · Qj Q z n cos nij =, 2 2 (Ri zn )(Rj zn ) Qi Q, Qj Q, ln sin nij =.

2 2 (Ri zn )(Rj zn ) Дадим в заключение рабочие формулы, выражающие парамет ры через исходные координаты:

(xi xj )2 + (yi yj )2 + (zi zj )2, sij = (x xi )2 + (y yi )2 + (z zi )2, Ri = ijk = (yj yi )(zk zj ) (yk yi )(zj zi ), ijk = (zj zi )(xk xj ) (zk zi )(xj xi ), ijk = (xj xi )(yk yj ) (xk xi )(yj yi ), 2 2 ijk = ijk + ijk + ijk, (x xi )ijk + (y yi )ijk + (z zi )ijk zn =, ijk 2 rni = Ri z n, (x xi )(x xj ) + (y yi )(y yj ) + (z zi )(z zj ) zn cos nij =, rni rnj nij sin nij =.

rni rnj ijk Здесь nij = Qi Q, Qi Qj, Qi Qj Qi Qk = 2 = Qi Q · Qi Qj Qi Qj · Qi Qk |Qi Qj | Qi Q · Qi Qk = = (x xi )(xj xi ) +... (xj xi )(xk xi ) +...

(xj xi )2 +... (x xi )(xk xi ) +..., где точками обозначены аналогичные члены с y, z. При выводе формулы для nij мы воспользовались тождеством (a, b, b c) = (ab)(bc) (ac)b2.

Заметим, что ln, zn не зависят от перестановки (ijk).

Формула (8.22) доказана в предположении, что точка Q лежит внутри тетраэдра.

Пусть это не так. Тем не менее формула (8.22) остается спра ведливой. Для доказательства рассуждаем так, как в разделе 7.2.2.

Трехмерный случай менее нагляден, поэтому мы несколько моди фицируем рассмотрение.

Пусть Q лежит на грани (но не ребрах и вершинах) Q1 Q2 Q (рис. 8.4). Тогда V (Q) будет суммой потенциалов трех право ориентированных тетраэдров T1 = Q2 Q4 Q3 Q, T2 = Q3 Q4 Q1 Q, Q1 Q Q Q Q Рис. 8.4. Положение притягиваемой точки Q на грани Q1 Q2 Q3.

T3 = Q1 Q4 Q2 Q. Тетраэдр T4 = Q1 Q2 Q3 Q выродился в плоский треугольник, дающий нулевой вклад в потенциал. В формуле (8.22) тетраэдру T4 отвечают слагаемые при n = 4. Очевидно, z4 = 0, так что эти слагаемые вносят нулевой вклад в V (Q).

Изменим слегка положение точки Q (рис. 8.4), отодвинув ее немного во внешнее по отношению к T пространство. Тогда V (Q) будет суммой потенциалов T1, T2, T3 минус потенциал левоориен тированного тетраэдра T4 = Q1 Q2 Q3 Q. Очевидно, 4ij при малом шевелении Q знака не меняет, а z4 становится отрицательным. Фор мула (8.22) по-прежнему сохраняется. По принципу аналитического продолжения она верна во всем внешнем пространстве, а по непре рывности на границе T.

Итак, формула (8.22) описывает потенциал T во всем простран стве R3.

8.3 Однородный многогранник Всякий многогранник можно разбить на конечное число тетра эдров. Иногда разбиение упрощается добавлением брусов. Таким образом, по формулам предыдущих параграфов потенциал одно родного многогранника выражается через элементарные функции.

Можно вывести и явную формулу для потенциала однородного k-гранника. Обозначим T = S1 S2... Sk, где Si ориентированная грань T, так что нормаль к Si считается направленной наружу.

Многогранник T не обязательно выпуклый, но его грани не должны пересекаться.

Воспользуемся представлением (8.6) k (r r) ni V= d. (8.23) 2 s Si i= Здесь ni единичный вектор нормали к Si, d элемент пло щади Si. Скалярное произведение (r r) ni под знаком интегра ла (8.23) равно расстоянию от Q до Si со знаком минус, если точ ка Q расположена в направлении внешней нормали ni, и со знаком плюс в противном случае. Поэтому (r r) ni не зависит от коорди нат точки интегрирования Q. Обозначая µi = (ri r) ni, где ri радиус-вектор произвольной точки Si, перепишем (8.23) в виде k d µi. (8.24) V= 2 s Si i= Интеграл по грани Si представляет собой потенциал многоуголь ника единичной плотности, вычисленный в разделе 7.3. Обозначая его через Vi, получим окончательно k V (Q) = µi Vi (Q). (8.25) 2 i= 8.4 Тело сферической структуры Пример 8.4.1. Рассмотрим сначала случай пространства R3, за полненного материей плотности (r), зависящей лишь от расстоя ния r. Функцию (r) считаем кусочно-гладкой и отвечающей ко нечной массе r2 (r) dr.

M = 4 (8.26) По симметрии V зависит только от r.

Определяющий интеграл (8.1) запишем в сферических коорди натах r 2 d V (r) = (r ) dr. (8.27) r2 2rr cos H + r Здесь H угол между радиус-векторами точек Q, Q ;

d элемент площади единичной сферы, по которой проводится внутреннее интегрирование. Внутренний интеграл определяет потенциал сфе ры единичной плотности радиусом r, найденный ранее, см. фор мулы (7.31). В результате r (t) t2 dt + 4 (8.28) V (r) = (t) t dt.

r 0 r Последний интеграл абсолютно сходится при условии конечности массы (8.26).

Выражение для градиента содержит лишь один интеграл r V (r) 4 M (r) (t) t2 dt = = 2, (8.29) r r r где M (r) масса тела внутри сферы радиусом r. Таким образом, внешние слои тела сферической структуры не притягивают вну тренних точек.

При интегрируемой функции (8.28) и (8.29) непрерывны всю ду. Потенциал имеет обычную асимптотику на бесконечности. Дей ствительно, формула (8.28) представима в виде M V (r) = (t) t(t r) dt.

r r r Последний интеграл стремится к нулю при r.

Пример 8.4.2. Шар T конечных размеров r a.

Этот пример сводится к предыдущему при (r) = 0, если r a.

Внутренний потенциал T дается модификацией (8.28) r a (t) t2 dt + V (r) = (t) t dt, если r a. (8.30) r 0 r Для внешнего потенциала второй из интегралов исчезает, а первый берется в пределах от 0 до a:

M V (r) =, если r a. (8.31) r Пример 8.4.3. Однородный шар радиусом a. Оба интеграла (8.30) элементарны, если рациональная функция от r. Если мно гочлен, то и интегралы многочлены от r. В частности, для одно родного шара внутренний потенциал равен (3a2 r2 ).

V (r) = (8.32) Очевидно, V и V /r непрерывны во всем пространстве R3.

8.5 Тело эллипсоидальной структуры Простота шара обусловлена тем, что все искомые величины яв ляются функциями только одной сферической координаты r. В слу чае однородного эллипсоида задача также сводится к функциям от одной из эллипсоидальных координат (раздел 1.5.3), а именно от соответствующей расстоянию (в квадрате) u. Это имеет место и для неоднородного эллипсоида с подходящим распределением масс.

Пример 8.5.1. Фиксируем базовый эллипсоид с положительными полуосями a, b, c x2 y2 z + 2 + 2 = 1. (8.33) a b c Предположим, что пространство R3 заполнено материей, причем эллипсоиды, подобные базовому (8.33), являются поверхностями равной плотности. Иными словами, плотность = (t) (8.34) зависит лишь от t, где x2 y2 z t= + 2+ 2.

a b c Как и в предыдущем параграфе, считаем кусочно-гладкой и удовлетворяющей условию конечности полной массы. Совершая подстановку x = ax, y = by, z = cz и затем переходя к сфериче ским координатам, найдем M = 2abc (t) t dt. (8.35) Нам понадобится также первообразная от плотности (t) = (t ) dt. (8.36) t По условию (8.35) интеграл (8.36) сходится.

Как и в разделе 6.4.2, воспользуемся эллипсоидальными коор динатами u, v, w и построениями примера 1.5.3.1. Обозначим x2 y2 z p(x, y, z, ) = +2 +2, a2 + b + c + x2 y2 z2 (8.37) t = p(x, y, z, 0) = 2 + 2 + 2, a b c 2 + )(b2 + )(c2 + ).

g() = (a В согласии с (1.178) образуем функцию p(x, y, z, ) d V (x, y, z) = abc. (8.38) g() Докажем, что выражение (8.38) дает искомый потенциал.

Шаг 1. Непрерывность.

Величина p(x, y, z, ) = (t ) dt p(x,y,z,) при всех 0, (x, y, z) R3 положительна, непрерывна и ограни чена. Следовательно, V непрерывна во всем пространстве R3.

Шаг 2. Уравнение Пуассона (1.6).

Предположим сначала, что плотность ограничена и непрерывна вместе с первой производной. Тогда d d = (p), = (p) dp dp непрерывны, и d /dp ограничена. Поэтому справедлива формула (1.182), так что d p(x, y, z, 0) V = 4 = 4 (t). (8.39) dp Таким образом, функция (8.38) удовлетворяет уравнению Пуассо на. Если обладает лишь кусочной гладкостью, то (8.39) выполнено почти всюду.

Шаг 3. Асимптотика на бесконечности.

Мы установим ее при добавочном условии A, если t 1, (t) (8.40) 1/ At, если t 1.

при 0. Граничное значение t = 1 выбрано для удобства и не умаляет общности. Условие (8.40) естественно. Если тело T в дей ствительности ограничено, то (t) и (t) равны нулю, начиная с некоторого t0, и (8.40) заведомо выполняется. Если T неограни чено, то для сходимости интеграла (8.35) естественно потребовать убывания (t) со скоростью t3/2, что влечет убывание (t) со скоростью t1/2.

Из (8.40) следует r 2 a2, A, если p(x, y, z, ) r 2 a2.

1/ A[p(x, y, z, )], если Здесь принято c b a, что не ограничивает общности. Инте грал (8.38) оценивается сверху разбиением промежутка интегриро вания на два r 2 a2 d d 1/ A p +A. (8.41) g() g() 0 r 2 a Ограничение для первого из интегралов (8.41):

r 2 a2 r 2 a 1/ r2 a d (c2 + )1 d = 2+ 2 r 1+ a g() c 0 a a (c2 + r2 a2 ) c =.

c2 r1+2 c2 r Для второго:

d 2 = (c2 + )3/2 r r 2 + c2 a r 2 a при 5r2 9(a2 c2 ).

Итак, при r C V (x, y, z).

r Таким образом, функция (8.38) представляет искомый потен циал.

Пример 8.5.2. Пусть T сплошной эллипсоид, ограниченный по верхностью (8.33) с кусочно-гладкой плотностью, зависящей лишь от t. Эллипсоид T можно считать частным случаем предыдущего примера. Теперь 1 M = 2abc (t) t dt, а для t [0, 1] (t) = (t ) dt.

t Обе функции (t), (t) можно определить и для t 1, считая их равными нулю. Но мы избежим значений t 1.

Потенциал T дается формулой (8.38) с незначительными изме нениями (p) d. (8.42) V (x, y, z) = abc g() u Здесь u = 0 для внутреннего потенциала;

для внешнего потенциала u = u(x, y, z) положительный корень уравнения p(x, y, z, u) = 1. (8.43) Существование и единственность решения уравнения (8.43) для точки Q(x, y, z), лежащей вне T, следует из p(x, y, z, 0) 1, p(x, y, z, ) = 0, p(x, y, z, )/ 0 при 0. На самом эллипсоиде u = 0.

Пример 8.5.3. Пусть T однородный сплошной эллипсоид, огра ниченный поверхностью (8.33). Для него при 0 t = const, (t) = (1 t). (8.44) Масса T равна M= abc.

Формула (8.42) для потенциала принимает вид 1 p(x, y, z, ) d. (8.45) V (x, y, z) = abc g() u Как видно, внутренний потенциал квадратичная функция ко ординат V = A 0 A 1 x2 A 2 y 2 A 3 z 2. (8.46) Коэффициенты Ai выражаются через эллиптические интегралы и зависят от параметров a, b, c. Внешний потенциал выражается через эллиптические интегралы, аргументы которых сложные функции декартовых координат.

Пример 8.5.4. Пусть T тело примера 8.5.3, являющееся сжа тым эллипсоидом вращения a = b c. Все интегралы, на которые разбивается (8.45), сводятся к интегралам (10.20)–(10.22). В резуль тате 2z 2 x2 y c2 + u ac 22 + V= 3 arctg + a 2 a (x2 + y 2 ) c2 + u 2z +, (8.47) a(a2 + u) a c2 + u a2 c2 /a где = эксцентриситет меридионального сечения.

Пример 8.5.5. Пусть T эллипсоид вращения предыдущего при мера, но вытянутый a = b c. С помощью интегралов (10.23)– (10.25) получим a2 2z 2 x2 y 2 c2 + u c ln V= 3 + 2c c2 + u + c (x2 + y 2 ) c2 + u 2z +, (8.48) c(a2 + u) c c2 + u где = c2 a2 /c эксцентриситет меридионального сечения.

В примере 4.4.2 мы вычислили логарифмический потенциал от резка, рассматривая последний как предельный случай эллипсов.

Аналогично найдем потенциал сплошного эллипса как предельной фигуры сплошного эллипсоида.

Пример 8.5.6. Пусть T однородный сплошной эллипсоид при мера 8.5.3. Фиксируем полуоси a, b и устремим c к нулю. Одновре менно устремим объемную плотность к бесконечности так, чтобы полная масса оставалась неизменной. В пределе получим сплошной эллипс с поверхностной плотностью. Для ее определения запи шем условие равенства масс бесконечно малого участка предельно го сплошного эллипса T и бесконечно малого цилиндра сплошного эллипсоида T x2 y 2 3M d = 2z d = 2c 1 2 d, a b 4abc откуда x2 y 3M = 1 2 2.

2ab a b Переходя в (8.45) к пределу c 0, получим потенциал сплошного эллипса 3M 1 p(x, y, z, ) V (x, y, z) = d, (8.49) 4u g() где теперь x2 y2 z (a2 + )(b2 + ), p(x, y, z, ) = +2 +, g() = a + b + u положительный корень уравнения (8.43).

Пример 8.5.7. Как и в примере 8.5.6, рассмотрим предельный случай сжатого эллипсоида вращения примера 8.5.4 при c 0,, M = const. Получим круг x2 + y 2 a2, z= с поверхностной плотностью 3M a2 R 2, = 2a где R2 = x2 + y 2. Потенциал круга определяется формулой (8.47), в которой надо перейти к пределу c 0, 1, c 3M/(4a2 ):

u 2a2 + 2z 2 R 3M V= arctg + a 4a 2 a R2 u 2z.

+ (8.50) 2 + u) a(a au Здесь u положительный корень уравнения (8.43), т.е.

2u = r2 a2 + r 2 = x2 + y 2 + z 2.

(r2 a2 )2 + 4a2 z 2, Пример 8.5.8. Рассмотрим теперь предельный случай вытяну того эллипсоида вращения примера 8.5.5 при a 0,, M = const. Получим отрезок x2 + y 2 = 0, c z c с линейной плотностью z 3M = 1, c 4c определяемой из условия z2 3M dz = (x2 + y 2 ) dz = a2 1 dz.

c2 4a2 c Переходя к пределу в выражении (8.48) при a 0,, a2 (3M )/(4c), 1, получим 3M 2z 2 R2 2c2 c2 + u c ln V= + 4c 2c c2 + u + c 2z 2 u R2 (c2 + u) +. (8.51) cu c2 + u Здесь u положительный корень уравнения (8.43), т.е.

2u = r2 c2 + R 2 = x2 + y 2, r 2 = R2 + z 2.

(r2 c2 )2 + 4c2 R2, Глава Потенциал некоторых правильных тел в N-мерном пространстве Поскольку одномерный случай тривиален, а двумерный стоит особняком, считаем в этой главе N 3.

9.1 Однородная сфера Рассмотрим сферу T радиусом a с постоянной плотностью.

Масса сферы равна M = N aN 1, (9.1) где N дается формулой (2.44). По симметрии потенциал зависит лишь от r. Вне и внутри сферы он удовлетворяет уравнению d dV rN 1 = 0, (9.2) dr dr где мы воспользовались выражением (1.43) для радиальной части оператора Лапласа. Отсюда dV A = N 1. (9.3) dr r Внутри сферы A = 0 по регулярности потенциала в точке O. Вне сферы A = M (N 2)CN согласно асимптотике (2.34). С уче том (2.45) получаем A = 4aN 1. Далее, V = B0 внутри T, V = ArN +2 /(N 2) + B1 вне T. По асимптотике (2.31) B1 = 0.

По непрерывности B0 = AaN +2 /(N 2). Окончательно, 4 a при r a, N V (r) = (9.4) 4aN при r a, (N 2)rN что можно представить также в форме CN M N 2 при r a, a (9.5) V (r) = CN M при r a.

rN Мы видим, что сфера не оказывает воздействия на внутренние точки, а внешние притягивает как материальная точка той же мас сы, помещенная в центр сферы.

9.2 Тело сферической структуры Пусть T шар радиусом a с плотностью, зависящей лишь от r.

В сферически симметричном случае элемент объема равен про изведению площади (меры) сферы на элемент длины вдоль радиу са. Площадь сферы дается формулой (9.1) при = 1. Таким обра зом, dm = N r N 1 (r ) dr, r a r N 1 (r ) dr, r N 1 (r ) dr, M (r) = N M = N (9.6) 0 где M (r) масса шара радиусом r, M масса T.

Обозначим через U (r, a) потенциал (9.4) сферы радиусом a с единичной плотностью. Искомый потенциал представится инте гралом a V (r) = U (r, r ) (r ) dr.

Пусть 0 r a. Разобьем интеграл на два: от 0 до r и от r до a r a 4 r N 1 (r ) dr + V (r) = r (r ) dr, (9.7) (N 2)rN 2 N 0 r что с учетом первой из формул (9.6) можно представить в виде a CN M (r) V (r) = + r (r ) dr. (9.8) N r N 2 r При r = 0 исчезает первый из интегралов справа. При r a ис чезает второй, а в первом следует верхний предел заменить на a и получить CN M V (r) = N 2. (9.9) r Таким образом, шар притягивает внешние точки как матери альная точка той же массы, помещенная в его центре.

9.3 Однородный шар радиусом a Интегралы (9.7) элементарны при дробно-рациональной плот ности и сводятся к многочленам при полиномиальной плотности.

Вычислим их при = const. Внешний потенциал дается форму лой (9.9), достаточно поэтому ограничиться внутренним.

При 0 r a a2 r (9.10) V (r) = 2, N 2 N что можно представить в форме (N 2)r CN M N V (r) =, (9.11) aN 2 aN поскольку масса шара согласно (9.6) равна N a n 4an M= =.

N N (N 2)CN Очевидно, V и dV /dr непрерывны при r = a, а d2 V /dr2 терпит скачок.

9.4 Тело эллипсоидальной структуры По симметричным формулам в трехмерном случае можно пред положить, что потенциал сплошного эллипсоида приводится к од нократному интегралу в пространстве произвольной размерности.

Покажем это.

Пример 9.4.1. Фиксируем базовый эллипсоид с положительными полуосями ai N x i = 1. (9.12) a i=1 i Введем вспомогательную переменную 0, а также две пере менные, связанные с декартовыми координатами N N x2 x i i p(xi, ) = 2+, t = p(xi, 0) =. (9.13) a ai i i=1 i= Пусть пространство RN заполнено материей с плотностью, за висящей лишь от t = (t). (9.14) Поверхности равной плотности суть эллипсоиды, подобные базово му (9.12). Как обычно, считаем кусочно-гладкой и удовлетворяю щей условию конечности полной массы. Для ее вычисления совер шим сначала подстановку xi = ai yi с якобианом A = a1 a2 · · · aN и затем перейдем к сферическим координатам (см. раздел 1.3) с якобианом (1.39) rN 1 (t) dr.

M = AN Переходя к интегрированию по t = r 2, получим окончательно AN t(N 2)/2 (t) dt.

M= (9.15) 2 Образуем функцию (p) d V (xi ) = A, (9.16) g() где g() = (a2 + )(a2 + ) · · · (a2 + ) и введена первообразная 1 2 N от плотности (t) = (t ) dt. (9.17) t По условию (9.15) интеграл (9.17) сходится.

Докажем, что выражение (9.16) дает искомый потенциал.

Шаг 1. Непрерывность.

Величина x2 x +... + 2 N (p(xi, )) = a2 + aN + при всех 0, (xi ) RN непрерывна и ограничена. Следователь но, V непрерывна во всем пространстве RN.

Шаг 2. Уравнение Пуассона (1.6).

Найдем действие оператора Лапласа на функцию (9.16).

Опираясь на (1.4), с учетом (p) = (p) вычислим сначала x2 x +... + 2 N 2 + (p) = 4 (p) (a2 + )2 (aN + ) 1 + 2 (p) 2 +... + 2, a1 + aN + что можно представить в форме (p) (p) =4. (9.18) g() g() В точках гладкости плотности как функции от xi допустимо дву кратное дифференцирование под знаком интеграла (9.16). Прини мая во внимание (9.18), получим (p) V = 4A d = 4 (t), g() что и требовалось.

Шаг 3. Асимптотика на бесконечности.

Как и в примере 8.5.1, мы установим ее при добавочном условии B, если t 1, (t) (9.19) N/2+ Bt, если t 1.

Условие (9.19) выполнено, если тело T ограничено, или (t) убывает со скоростью tN/2.

Из (9.19) следует r 2 a2, B, если (p(xi, )) r 2 a2.

B(p(xi, ))N/2+1, если Здесь принято, что ai расположены в убывающем порядке, что не ограничивает общности. Интеграл (9.16) оценивается сверху раз биением промежутка интегрирования на два r 2 a2 d d N/2+ B p +B. (9.20) g() g() 0 r 2 a Ограничение для первого из интегралов (9.20):

r 2 a N N/2+ r2 d a rN +22 a2 + g() aN r 2 a N rN +2 a a 1 a2 + d = 1.

r aN Ограничение для второго:

2N/2 2N d 2 1N/ r 2 + a2 a = r N N/2 N 2 N (a2 + ) N r 2 a при r2 2 a2 a2. Итак, при r 1 N C V (x, y, z), rN что согласуется с асимптотикой (2.31). Таким образом, функ ция (9.16) представляет искомый потенциал.

Мы видим, что N -мерный случай практически не отличается от трехмерного. Поэтому мы можем не столь подробно останавли ваться на случаях конечного и однородного эллипсоида.

Пример 9.4.2. Пусть T сплошной эллипсоид, ограниченный по верхностью (9.12). Для него отлично от нуля лишь при 0 t 1.

Теперь AN 1 (N 2)/ M= t (t) dt, (9.21) 2 а для t [0, 1] (t) = (t ) dt. (9.22) t Обе функции (t), (t) равны нулю для t 1.

Потенциал T дается формулой (p) d (9.23) V (xi ) = A.

g() u Здесь u = 0 для внутреннего потенциала;

для внешнего u = u(xi ) положительный корень уравнения p(xi, u) = 1. (9.24) Существование и единственность решения (9.24) для точки Q(xi ), лежащей вне эллипсоида T, следует из p(xi, 0) 1, p(xi, ) = 0, p(xi, s)/ 0 при 0. На самом эллипсоиде u = 0.

Пример 9.4.3. Пусть T эллипсоид предыдущего примера с по стоянной плотностью. Теперь = const, (t) = (1 t), (9.25) AN. (9.26) M= N Потенциал T дается формулой 1 p(xi, ) V (xi ) = A d. (9.27) g() u Здесь u = 0 для внутреннего потенциала;

для внешнего u = u(xi ) положительный корень уравнения (9.24).

Как видно, внутренний потенциал квадратичная функция ко ординат V = A 0 A 1 x2... A N x2. (9.28) 1 N Коэффициенты Ai выражаются через гиперэллиптические инте гралы и зависят от параметров ai. Внешний потенциал выража ется через гиперэллиптические интегралы, аргументы которых сложные функции декартовых координат.

Глава Вспомогательные математические формулы 10.1 Ряды Ряд Пуассона и связанные с ним разложения (Фихтенгольц, 1997а, пп. 440, 461) 1 z cos cos n z n, =1+ (10.1) 1 2z cos + z 2 n= 1 z cos n z n, =1+2 (10.2) 1 2z cos + z 2 n= 2 cos n n ln(1 2z cos + z 2 ) = z (10.3) n n= сходятся абсолютно и равномерно при [0, 2], z [r, r] для любого положительного r 1.

Так же сходится ряд gn (z)z n cos n.

= g0 (z) + 2 (10.4) 1 2z cos + z 2 n= Здесь (2n 1)!! 1, n +, n + 1, z 2, gn (z) = F (10.5) (2n)!! 2 где F гипергеометрическая функция. В частности, g0 пропорци онален полному эллиптическому интегралу 11,, 1, z g0 (z) = F = K(z). (10.6) 22 Разложения (10.1)–(10.4) легко получить, представляя квадрат ный трехчлен в виде 1 2z cos + z 2 = 1 zei 1 zei и пользуясь биномиальным рядом.

Рекуррентные соотношения Гаусса между смежными гипергео метрическими функциями (Градштейн, Рыжик, 1971, § 9.137) поз воляют выразить все gn через полные эллиптические интегралы первого и второго рода (см. раздел 10.4.1). Например,,, 2, z 2 = 2z g1 (z) = z F 2 11 2,, 1, z 2,, 1, z 2, =F F z 22 z так что 2z g1 (z) = [K(z) E(z)]. (10.7) z Коэффициенты разложений (10.1)–(10.3) являются ограничен ными. Для (10.5) это не так. Сумма первых двух аргументов ги пергеометрической функции равна третьему, что влечет логариф мическую особенность. Оценим ее количественно. Пусть am z 2m, gn (z) = m= где (m + 1/2) (n + m + 1/2) am =.

(m + 1) (n + m + 1) Образуем для m 1 отношение m2 + (n + 1)m + (n + 1/2)/ (m + 1)am+ = 1, m2 + (n + 1)m mam поэтому mam возрастает, mam lim mam = 1/, где в конце использованы асимптотические формулы для гамма функции. Таким образом, z 2m gn (z) a0 +.

m m= Окончательно, при 1 z ln(1 z 2 ), 0 a0 gn (z) a0 (10.8) где равенство достигается лишь при z = 0.

10.2 Неопределенные интегралы Справедливость приведенных ниже формул устанавливается дифференцированием. Параметры a, b, c, z,, A, B и независимая переменная t принимают произвольные вещественные, а n целые неотрицательные значения, если не оговорено противное. Приво дится одна из непрерывных первообразных (проверьте!).

1. Обозначим dt dt I1 (n) =, I2 (n) =, (10.9) (t2 + a2 )n (t2 + a2 )n+1/ считая a = 0. Дифференцированием проверяются рекуррентности t (2n + 1) a2 I1 (n + 1) = + 2n I1 (n), (10.10) (t2 + a2 )n+1/ t 2na2 I2 (n + 1) = + (2n 1) I2 (n) (10.11) (t2 + a 2 )n и база 1 t t2 + a 2, I1 (0) = ln t + I2 (0) = t, I2 (1) = arctg. (10.12) a a Отсюда при n t 2n I1 (n) = t2 + a n 2n(2n 2) · · · (2n 2k), (2n 1)(2n 3) · · · (2n 2k 1) a2k+2 (t2 + a2 )nk k= (10.13) (2n 3)!! t I2 (n) = arctg + (2n 2)!! a2n1 a n t (2n 1)(2n 3) · · · (2n 2k + 1) +.

(2n 2) · · · (2n 2k) a2k (t2 + a2 )nk 2n k= (10.14) Как обычно, пустая сумма считается нулем и (1)!! = 0!! = 1.

2.

t2 + a2 + a2 ln t + t2 + a2 dt = t t2 + a 2.

2 (10.15) 3.

A B dt + = t+a t+b (t + a)(t + b) 2A t+b 2B t+a = (10.16) ab t+a ab t+b при a = b, t min{a, b} или t max{a, b}.

4.

h(t) t dt = h+ a cos (t a cos )h + a2 sin2 ln(t a cos + h), + (10.17) где h(t) = t2 2at cos + a2. Второе слагаемое в квадратных скоб ках стремится к нулю при a sin 0. Функция h(t) вещественно аналитична при всех t, если cos = ±1. В противном случае она непрерывна при всех t, но имеет излом при t = ±a, тогда как в этом случае правая часть (10.17) гладкая при всех t, но имет разрыв второй производной.

5.

a 2 + b 2 t a2 + b2 t2 + bt + f (t), dt = b ln (10.18) 1 + t где t a2 b если b2 a2, a2 b arctg, a 2 + b 2 t f (t) = b2 a 2 a 2 + b 2 t2 t b 2 a если b2 a2 0.

ln, 2 a 2 + b 2 t2 + t b 2 a Обе части (10.18) вещественно-аналитичны при всех t.

6. a2 + t a2 + t2 + t + g(t), dt = ln (10.19) b2 + t где a2 b 2 t a2 b если 0 b2 a2, arctg, b b a2 + t g(t) = b2 a 2 b a 2 + t 2 t b2 a если b2 a2 0.

ln, 2b b a 2 + t 2 + t b2 a 7. Нижеследующие формулы (10.20)–(10.22) справедливы при 0, t c2 ;

формулы (10.23)–(10.25) ac при c a 0, t a.

c2 + t dt = arctg. (10.20) a2 c (a2 2+t 2 c + t) c a c2 + t dt =2 + (a c2 )(a2 + t) (a2 + t)2 c2 + t c2 + t + arctg. (10.21) a2 c (a2 c2 )3/ dt = (a2 2 + t)3/ + t)(c 2 c 2 ) c2 + t (a c2 + t arctg. (10.22) a2 c (a2 c2 )3/ c2 + t c2 a dt = ln. (10.23) (a2 + t) c2 + t c2 a 2 c2 + t + c2 a c2 + t dt = 2 (c a2 )(a2 + t) (a2 + t)2 c2 + t c2 + t c2 a ln. (10.24) 2(c2 a2 )3/2 c2 + t + c2 a dt = + (a2 + t)(c2 + t)3/2 2 a 2 ) c2 + t (c c2 + t c2 a ln +2. (10.25) (c a2 )3/2 c2 + t + c2 a 8.

t ln(t2 + a2 ) dt = t ln(t2 + a2 ) 2t + 2a arctg. (10.26) a Формулу (10.26) можно считать верной и при a = 0, поскольку арктангенс ограничен.

9.

t ln(t2 + a) dt = (t2 + a) ln(t2 + a) t2.

2 (10.27) 10. Следующую первообразную мы разобьем для облегчения кон троля на два слагаемых t2 + b2 dt = F1 (t) + F2 (t) ln a + (10.28) при b |a| 0. Здесь t2 + b2 + a ln t + t2 + b2 t, F1 (t) = t ln a + t b2 a b2 a2 F2 (t) = 2 arctg, (b + a) b + t2 + b так что b2 a t2 + b 2 F1 (t) = ln a +, t2 + b 2 t2 + b a+ b2 a F2 (t) =.

t2+ b2 t2 + b a+ Поскольку арктангенс ограничен, можно положить F2 (t) при a = ±b, так что F2 (t) вещественно-аналитична при всех t.

Функция F1 (t) вещественно-аналитична при всех t для a = b.

Если a = b, то F1 (t) остается непрерывной при всех t, хотя ее производная разрывна в нуле:

t F1 (t) ln при t 0.

2b 11.

A B + ln t + a + t + b dt = 2 (t + a) (t + b) A B = + ln t+a+ t+b + t+a t+b A t+b B t+a + (10.29) ab t+a ab t+b при a = b, t max{a, b}.

12.

cos t ln a2 + b2 2ab cos t dt = sin t ln a2 + b2 2ab cos t a2 b b b sin t t sin t + arctg (10.30) a ab a b cos t при 0 |b| |a|. При a = 0, b 0 арктангенс эквивалентен (b/a) sin t. При |b| |a| арктангенс остается ограниченным, и по следнее слагаемое справа в (10.30) стремится к нулю.

Таким образом, (10.30) справедлива при 0 |b| |a|, a = 0.

13.

sin t ln(a2 + b2 2ab cos t) dt = a2 + b2 2ab cos t ln(a2 + b2 2ab cos t) + cos t (10.31) = 2ab при ab = 0.

14.

ln cos t dt = tg t (1 + ln cos t) t (10.32) cos2 t при /2 t /2.

15.

a a dt = at + t2 + a2 arctg a2 sign(at) = 2 t arctg t t t 2 = at t + a arctg + t sign(at) = a a t 2 = at + t arctg a arctg. (10.33) t a При a = 0 правая часть (10.33) непрерывна при всех t вместе с пер вой производной, имеющей излом в нуле;

при a 0 правая часть стремится к нулю вместе с производной.

16.

at + b b 2 t arctg dt = 2 t t a + ab ln (a2 + 1)t2 + 2abt + b2 + (a + 1) a2 1 2 (a2 + 1)t + ab at + b + t2 arctg +2 b arctg. (10.34) t (a + 1) b При b = 0 формула (10.34) становится тривиальной. При b = выражение под знаком логарифма всегда положительно. Правая часть (10.34) непрерывна при t = 0 вместе с производной;

вторая производная терпит разрыв при t = 0.

10.3 Определенные интегралы 1. Из (10.1)–(10.3) следует при 1 z 1 z 1 z cos d = d =, (10.35) 1 2z cos + z 2 1 2z cos + z 0 ln(1 2z cos + z 2 ) d = 0, (10.36) а при n (1 z 2 ) cos n 2(1 z cos ) cos n d = z n, (10.37) d = 1 2z cos + z 2 1 2z cos + z 0 cos n ln(1 2z cos + z 2 ) d = z n. (10.38) n Сумма квадратов коэффициентов Фурье левой части (10.3) как функция от z непрерывна на отрезке 1 z 1. Поэтому фор мулы (10.36)–(10.38) справедливы при 1 z 1.

2. Формулы (10.35), (10.37) легко обобщаются:

(a2 b2 ) a(a b cos ) d = d =, (10.39) 2 2ab cos + b2 a2 2ab cos + b a 0 а при n 2a(a b cos ) cos n d = a2 2ab cos + b (a2 b2 ) cos n d = z n. (10.40) = a2 2ab cos + b Здесь a |b|, z = b/a.

3. Формулы (10.36), (10.38) обобщаются еще дальше ln a2 2ab cos + b2 d = ln 2, (10.41) а при n n cos n ln a2 2ab cos + b2 d =. (10.42) n Здесь a, b неотрицательные числа, по крайней мере одно из ко торых отлично от нуля;

ba = max{a, b}, = min,.

ab 4. Пусть a 0, |b| a. Тогда a b cos = c(1 2z cos + z 2 ) при a2 b 2 a2 b a+ b a c=, z= =, |z| 1, 2 b 2 b a+ a что позволяет модифицировать предыдущие формулы. Например, d =, (10.43) a b cos 2 b a ln c, если n = 0, cos n ln(a b cos ) d = (10.44) zn, если n 1.

n 5. Следующее равенство является прямым следствием разложе ния (10.4) cos n d = 1 2z cos + z cos n d = 2 gn (z) z n, (10.45) = 1 2z cos + z где n целое положительное, gn определяется формулой (10.5).

В частности, 2 d d =2 = 4 K(z). (10.46) 1 2z cos + z 2 1 2z cos + z 0 6. Обозначим через J1 (n), J2 (n) интегралы (10.9), взятые вдоль всей оси t. Поскольку J1 (0) расходится, введем интеграл J1 (z, 0) в пределах от z до z. Из (10.12), (10.13), (10.14) следует z + z 2 + a, (10.47) J1 (z, 0) = 2 ln |a| 2(2n 2)!! (2n 3)!!

J1 (n) =, J2 (n) =,n 1. (10.48) 2n (2n 2)!! |a|2n (2n 1)!! a 7.

A B + ln t + a + t + b dt = 2 (t + a) (t + b) c A B = + ln c+a+ c+b + c+a c+b 1 A B + +. (10.49) c+a c+a+ c+b c+b при c max{a, b}. Интеграл получен подстановкой пределов в (10.29) с последующим элементарным преобразованием.

8. Вычислим интеграл ln (a cos t b)2 + c2 dt, J3 = (10.50) предполагая, что хотя бы одно из чисел a, b, c отлично от нуля.

Представим выражение в квадратных скобках в виде произведения (a cos t b)2 + c2 = (A + B cos t + C sin t)(A + B cos t C sin t).

Сравнивая коэффициенты при t = 0,, найдем A, B. Затем опре делим C. Получим (b a)2 + c2 + (b + a)2 + c2, 2A = (b a)2 + c2 (b + a)2 + c2, (10.51) 2B = 2C 2 = a2 b2 c2 + [(b a)2 + c2 ] [(b + a)2 + c2 ].

Легко проверяется, что C 2 0.

Таким образом, J3 = [ln(A + B cos t + C sin t) + ln(A + B cos t C sin t)] dt = = ln(A + B cos t + C sin t) dt.

Переходя к амплитуде и фазе и замечая, что интеграл по периоду от начальной фазы не зависит, придем к выражению B 2 + C 2 cos t dt = J3 = ln A + B 2 + C 2 cos t dt.

=2 ln A + В силу (10.51) B 2 + C 2 = a2, a2 A2.

A 0, Поэтому применима формула (10.44).

Окончательно, A + A2 a J3 = 2 ln, (10.52) где 2A = (b a)2 + c2 + (b + a)2 + c2, 2 A2 a 2 = b 2 + c 2 a 2 + [(b a)2 + c2 ] [(b + a)2 + c2 ].

9. Вычислим интеграл dt J4 = (10.53) (a cos t b)2 + c при c = 0. Для симметризации применим преобразование, перево дящее отрезок [0, ] в себя 1 2 sin cos + cos t =, sin t =, 1 + cos 1 + cos (10.54) 1 dt =, d 1 + cos где параметр подчинен условию || 1. Подстановка (10.54) из вестна в небесной механике как связь истинной и эксцентрической аномалии(Субботин, 1968).

Приходим к формуле d J4 = B (10.55) B1 + 2B2 cos + B3 cos при B1 = (b a)2 + c2, 1 2, B= B2 = (b a)(b a) + c2, B3 = (b a)2 + c2 2.

Определим из условия B2 = 0. Достаточно выбрать меньший по модулю из двух корней соответствующего квадратного уравне ния, произведение которых равно единице c2 + b 2 + a 2 (c2 + b2 + a2 )2 4a2 b =. (10.56) 2ab При малых и нулевых a, b следует раскрыть неопределенность 2ab =. (10.57) c2 b2 a2 (c2 + b2 + a2 )2 4a2 b + + + По выбору знака перед корнем величина по модулю не превосхо дит единицы. Легко показать, что значение 1 не достигается. По этому 0 1, причем = 0 лишь при ab = 0. Отсюда следует B1 0, B3 0, причем B3 = 0 лишь при a = 0.

Заменяя c2 в формулах для B1, B3 его выражением, следующим из уравнения B2 = 0, получим a (1 2 )(b a), B3 = a(1 2 )(a b), B1 = ab(1 2 ) B1 + B 3 =.

Подынтегральная функция в (10.55) при B2 = 0 четна относи тельно точки = /2. Поэтому интеграл можно брать в пределах от 0 до /2. Заменяя cos2 на 1 sin2, сведем (10.55) к полному эллиптическому интегралу. В результате J4 = B4 K(k), (10.58) где (a b) k2 = B4 = 2,. (10.59) ab(1 2 ) b(1 2 ) Поскольку k 2 = B3 /(B1 + B3 ), то 0 k 2 1. Согласно (10.57) при ab = 0 формулы (10.59) принимают вид a k2 = B4 =,, (10.60) c2 + b 2 + a 2 + b2 + a c что можно получить непосредственно из (10.53).

10.4 Эллиптические интегралы Эллиптическим называют интеграл от выражения, при состав лении которого использованы рациональные операции и извлечение единственного (хотя бы и повторяющегося) квадратного корня из многочлена третьей или четвертой степени от переменной интегра ции t. Различие между третьей и четвертой степенью не принци пиально. Аналогичные интегралы с корнем из многочлена первой или второй степени от t элементарны. Иногда и эллиптический ин теграл выражается элементарно, но это исключительный случай.

В то же время эллиптические интегралы часто встречаются во мно гих областях математики. Поэтому есть смысл наряду с элемен тарными функциями рассматривать в качестве допустимых про стых функций эллиптические интегралы. Последние можно свести к трем стандартным I, II и III рода в форме, предложенной К.Якоби (1804–1851).

10.4.1 Эллиптические интегралы I и II рода Эллиптическими интегралами I и II рода называют функции двух переменных x dt F (x, k) =, t2 )(1 k 2 t2 ) ( (10.61) x 1 k 2 t E(x, k) = dt, 1 t соответственно. Как правило, переменные считаются изменяющи мися в прямоугольнике 0 k 1, 1 x 1, но иногда рассматривают и другие множества определения. Чис ла k и k = 1 k 2 именуют модулем и дополнительным модулем, переменную x алгебраическим аргументом.

При k = 0, 1 интегралы элементарны F (x, 0) = E(x, 0) = arcsin x, E(x, 1) = x, (10.62) 1 1+x F (x, 1) = ln, 2 1x причем в последнем случае следует ограничить область измене ния x интервалом 1 x 1.

При 0 k 1 функции F, E от x не элементарны.

Кроме алгебраической используется и тригонометрическая фор ма эллиптических интегралов d F (, k) = F (sin, k) =, 1 k 2 sin (10.63) k2 sin E(, k) = E(sin, k) = 1 d.

Угол обычно ограничивают отрезком [/2, /2], но можно счи тать (за исключением случая k = 1).


Замечание. Отображение x = sin взаимно-однозначно при /2 /2. При выходе за стандартный отрезок это не так, и формулы (10.63) нуждаются в очевидных дополнительных сла гаемых.

Формулы (10.62) переходят в F (, 0) = E(, 0) =, E(, 1) = sin, (10.64) 1 1 + sin F (, 1) = ln.

2 1 sin Укажем простейшие формулы приведения. Если модуль p больше единицы, следует сделать подстановку = pt;

если вместо 1 k 2 t под корнем стоит 1 + p2 t2 подстановку = 1 t2. В результате x dt = k F (y, k), t2 )(1 p 2 t2 ) ( (10.65) x 1 k 1 p 2 t2 dt = E(y, k) F (y, k), 1 t2 k k где k = 1/p, y = px, |x| 1/p ;

x dt 1 = F (1, k) F (y, k), t2 )(1 p 2 t2 ) 1 + p (1 + (10.66) x 1 + p 2 t2 p dt = 1+ E(1, k) E(y, k), 1 t где p 1 x2.

k=, y= 1 + p Функции (10.61), (10.63) нечетны по x,, четны по k и удовле творяют тождествам F ( + n, k) = F (, k) + 2n K(k), (10.67) E( + n, k) = E(, k) + 2n E(k), где введены полные эллиптические интегралы первого и второго рода K(k) = F (1, k) = F,k, E(k) = E(1, k) = E, k. (10.68) 2 Согласно (10.62) K(0) = E(0) =, E(1) = 1, K(1) =. (10.69) Полные эллиптические интегралы являются гипергеометриче скими функциями (Градштейн, Рыжик, 1971) 2 11 (2n 1)!!

,, 1, k 2 k 2n, K(k) = F =1+ (10.70) 22 (2n)!!

n= k 2n 2 11 (2n 1)!!

,, 1, k E(k) = F =1, (10.71) 22 (2n)!! 2n n= причем (10.70) сходится при 1 k 1, а (10.71) при 1 k 1.

Укажем еще разложения, пригодные в окрестности особой точки k = 1, k = 0:

4 1 ln 1 k 2 +..., K(k) = ln + k 4 k (10.72) 1 4 k 2 +...

E(k) = 1 + ln 2 k Дифференцируя под знаком интеграла, легко получить фор мулы F (, k) 1 = F (, k) + E(, k) k(1 k 2 ) k k k sin cos, (10.73) 1 k 2 1 k 2 sin E(, k) 1 = E(, k) F (, k). (10.74) k k k Эти соотношения справедливы и для полных эллиптических ин тегралов, причем последний член в (10.73) обращается в нуль dK(k) 1 = K(k) + E(k), k(1 k 2 ) dk k (10.75) dE(k) = [E(k) K(k)].

dk k Производные высших порядков последовательно получаются из (10.73)–(10.75). В частности, для полных интегралов приходим к дифференциальным уравнениям d dK k(1 k 2 ) kK = 0, dk dk (10.76) d dE 1 k2 k + kE = 0.

dk dk Приведем несколько часто встречающихся интегралов, сводя щихся к стандартным эллиптическим. Ниже считаем a 0, b 0, a2 + b2 0, а в дальнейшем рассмотрим и случай отрицательных значений a или b d = K(k), (10.77) a+b a2 + 2ab cos + b a2 + 2ab cos + b2 d = 2(a + b) E(k), (10.78) где 4ab k2 =, 0 k 1, (10.79) (a + b) причем k = 0 при ab = 0, k = 1 при a = b. Для доказательства достаточно сделать подстановку = 2t с учетом cos = 1 2 sin2 t и сослаться на формулы (10.63).

(a + b cos ) d ab a+b = K(k) + E(k). (10.80) a a a2 + 2ab cos + b Для доказательства достаточно заметить, что интеграл (10.80) есть частная производная от (10.78) по a и применить (10.74) с учетом k (b a)k =.

a 2a(a + b) Комбинируя (10.77) и (10.80), получим a2 + b cos d a+b = E(k) K(k). (10.81) ab ab(a + b) a2 + 2ab cos + b Пусть теперь a, b подчинены лишь условию a2 + b2 0. Одно временное изменение знака a и b не меняет левых частей (10.77) и (10.78). Не меняет их и изменение знака одного из параметров a и b, как показывает подстановка = t. Поэтому равенства (10.77) и (10.78) остаются справедливыми, если справа a и b заме нить на |a| и |b|.

Аналогичные рассуждения показывают, что (10.81) следует за менить на a2 + b cos d |a| + |b| = E(k) K(k), (10.82) ab ab(|a| + |b|) a2 + 2ab cos + b а (10.80) на (a + b cos ) d |a| |b| |a| + |b| = K(k) + E(k). (10.83) a a 2 + 2ab cos + b a Во всех случаях 4|ab| k2 =, 0 k 1, (10.84) (|a| + |b|) причем k = 0 при ab = 0, k = 1 при |a| = |b|.

Замечание. Формулы (10.80)–(10.83) справедливы и при a = 0, или b = 0, если правые части считать пределами соответствующих выражений.

Существует еще много полезных соотношений в теории эллип тических интегралов I и II рода. Приведем два из них.

Соотношение Лежандра:

E(k ) K(k) + E(k) K(k ) K(k) K(k ) = /2. (10.85) Преобразование Ландена. В первом из интегралов (10.63) совер шим замену переменных k + cos 2 sin cos = sin =,, 1 + 2k cos 2 + k 2 1 + 2k cos 2 + k 1 + k cos 2 2(1 + k cos 2) d 1 k 2 sin2 =, d =.

1 + 2k cos 2 + k 1 + 2k cos 2 + k В результате dt F (, k) = 2.

1 + 2k cos 2t + k Остается положить cos 2t = 1 sin2 t и получить F (, k ), F (, k) = (10.86) 1+k где k 2k k=, k=.

1+k 1 k 1+ Заметим, что d/d 0, и возрастает вместе с. Значениям = 0, отвечают = 0, /2, соответственно. Поэтому для полных интегралов (10.86) переходит в K(k ).

K(k) = (10.87) 1+k 10.4.2 Эллиптические интегралы III рода Квадратный корень из многочлена третьей и четвертой степени всегда можно привести к стандартному виду дробно-линейной под становкой. При этом, вообще говоря, остается множителем рацио нальная дробь от переменной интеграции t и получается интеграл P (t) dt.

Q(t) t2 )(1 k 2 t2 ) ( Если Q(t) 1, такой интеграл последовательным интегрированием по частям сводится к комбинации стандартных интегралов первого и второго рода, не считая некоторых элементарных добавок. На против, элементарные дроби, остающиеся после разложения P/Q за вычетом целой части, дают интегралы несколько другого сорта:

dt, (1 t2 )(1 k 2 t2 ) (t c) (10.88) dt.

(t2 + 2pt + q) (1 t2 )(1 k 2 t2 ) Их называют эллиптическими интегралами третьего рода. Они за висят, помимо модуля и верхнего предела, еще от одного или двух параметров. Известно довольно много случаев, когда вычисление определенного интеграла третьего рода облегчается быстро сходя щимся разложением по той или иной переменной. Но все это, как и непосредственное численное интегрирование, мало специфично для таких интегралов. Специфические же формулы преобразова ния интегралов третьего рода не столь удобны из-за сравнительной громоздкости;

несколько лучше дело обстоит с полными интегра лами третьего рода, которые сводятся к полным и неполным инте гралам первого и второго рода. Это приведение срабатывает для интегралов / dt (, k) =, (1 + sin2 t) 1 k 2 sin2 t / sin2 t dt (10.89) s (, k) =, (1 + sin2 t) 1 k 2 sin2 t / cos2 t dt c (, k) =, (1 + sin2 t) 1 k 2 sin2 t / 1 k 2 sin2 t (, k) = dt, 1 + sin2 t / sin2 t 1 k 2 sin2 t (10.90) s (, k) = dt, 1 + sin2 t / cos2 t 1 k 2 sin2 t c (, k) = dt 1 + sin2 t при 1, к которым сводится значительная часть практически встречающихся конкретных интегралов типа (10.88).

Любые две из трех функций, s, c и, соответственно,, s, c линейно выражаются через третью благодаря очевидным тождествам s + c =, s = K, (10.91) s + c =, s = E. (10.92) Более того, -функции элементарными преобразованиями сводятся к -функциям = k 2 s, s = E + k 2 s, (10.93) c = (1 + ) k 2 s E.

С помощью (10.91) справа можно исключить s при = + k2 k2 + k2 k2 = K, s = + 2 K + E, (10.94) (1 + )( + k 2 ) k 2 (1 + ) c = K E.

2 2 При = k 2 можно выразить через.

Выражение функций (10.89), (10.90) через эллиптические инте гралы I и II рода громоздко и различается в разных промежутках изменения. Для компактного представления результата введем временные обозначения G1 (, k) = + [K(k) E(k)] F (, k ) K(k) E(, k ), G2 (, k) = K(k) E(, k) E(k) F (, k), (10.95) G3 (, k) = G1 (, k).

При k = 0 с учетом (10.64), (10.69) G1 (, 0) = (1sin ), G2 (, 0) = 0, G3 (, 0) = sin. (10.96) 2 Производные можно вычислить с помощью (10.73)–(10.75). В силу третьего из равенств (10.95) можно ограничиться функциями G и G k 2 sin2 K(k) E(k) G =, 2 K(k) E(k) G =, (10.97) G1 sin cos = [K(k) E(k)], k k G2 k sin cos = E(k), k k где = 1 k 2 sin2, = 1 k 2 sin2.

Теперь мы в состоянии дать компактное выражение интересую щих нас интегралов.

Пусть 1 k 2. Положим = (1 k 2 sin2 ). Канониче ские интегралы третьего рода, s, c, выразятся в виде 1 k 2 sin (, k) = K(k) + G1 (, k), k 2 sin cos s (, k) = G1 (, k), k 2 sin cos 1 k 2 sin (10.98) tg c (, k) = K(k) G1 (, k), 1 k 2 sin ctg (, k) = K(k) + G1 (, k).

1 k 2 sin В руководствах интегралам III рода уделяется меньше внимания по сравнению с интегралами I и II рода. Более того, часто встре чаются опечатки. Поэтому мы считаем своим долгом дать доказа тельство формул (10.98).

Проведем его в три этапа. Во-первых, проверяем тождества (10.91) и первое из тождеств (10.93), что элементарно и сводит за дачу к доказательству одной (произвольной) из формул (10.98).

Во-вторых, проверяем одно из равенств (10.98) например, пер вое при k = 0. Правая часть согласно (10.96) равна 1 + · (1 sin ) =.

2 sin 2 2 sin Левая часть вычисляется непосредственно /2 / dt 2 dt = =, 1 cos2 sin2 t 2 cos2 + cos2 cos 2t 2 sin 0 где в конце использовано (10.43).

В третьих, дифференцируя первую из формул (10.90), получим дифференциальное уравнение (, k) = k s (, k). (10.99) k Проверим выполнение (10.99) для функций (10.98). Вычислим про изводную от правой части последней из формул (10.98) по k. Заме тим, что = (1 k 2 sin2 ) постоянна. Поэтому следует считать функцией от k, d = 0, d k (, k) k = 2 tg, = G1 (, k), dk k k k 2 sin cos 1 k 2 sin что совпадает с k s (, k) согласно второй из формул (10.98).


Пусть k 2 0. Положим = k 2 sin2. Тогда tg (, k) = K(k) + G2 (, k), 1 k 2 sin s (, k) = G2 (, k), 2 sin cos 1 k 2 sin k (10.100) 1 k 2 sin c (, k) = K(k) 2 G2 (, k), k sin cos ctg (, k) = K(k) G2 (, k).

1 k 2 sin Пусть, наконец, 0. Положим = k 2 tg2. Тогда sin cos (, k) = K(k) cos2 + G3 (, k), 1 k 2 sin cos k 2 s (, k) = K(k) cos2 G3 (, k), sin 1 k 2 sin (10.101) k 2 c (, k) = K(k) k 2 cos2 + + ctg 1 k 2 sin2 G3 (, k), ctg (, k) = G3 (, k).

1 k 2 sin Доказательство (10.100), (10.101) проводится по той же схеме, что и доказательство (10.98).

Единственная трудность заключается в том, что при 0 зна чение k = 0 сопровождается значением = /2, что влечет неопре деленность. Раскроем ее, полагая k tg2 = sin2 = cos2 =,,.

k2 + k2 + k Первая из формул (10.101) перепишется в виде k2 (, k) = K(k) + G3.

+ k2 (1 + )( + k 2 ) При малых k, /2 согласно (10.72), (10.70), (10.71) k 0 F (, k ) K(k ) ln, K(k) E(k), k поэтому с учетом (10.69) G3 K(k).

Окончательно, (, 0) =.

2 1+ К тому же значению приводит прямое вычисление (, 0) согласно определению (10.89) с учетом (10.43).

10.5 Дилогарифм Эйлера Дилогарифмом Эйлера называется неэлементарная функция одной комплексной переменной z = x + iy, определяемая форму лой z ln(1 t) L(z) = dt. (10.102) t Областью C0 задания L(z) служит комплексная плоскость C, из ко торой удален луч x 1. За путь интегрирования в (10.102) можно взять любую спрямляемую кривую из C0, соединяющую точки и z, например, отрезок.

Предостережение. В некоторых руководствах дилогарифм Эйлера определятся и обозначается несколько иначе.

Свойства дилогарифма описаны в (Абрамовиц, Стиган, 1979).

Как и ln(1 z), дилогарифм можно продолжить на всю комплекс ную плоскость ценой потери однозначности;

точка z = 1 является точкой ветвления. В отличие от ln(1 z), значение L(1) конечно.

В этой книге используются свойства L(z) в комплексной области C или в ее части единичном круге C |z| 1, причем точка z = 1 рассматривается как предельная.

Заменяя в (10.102) логарифм рядом Маклорена, получим рав номерно сходящийся в круге C1 ряд zn. (10.103) L(z) = n n= 10.5.1 Формулы приведения и частные значения Известно несколько формул, связывающих значения дилога рифма в различных точках:

L(z) + L(1 z) = ln z ln(1 z), z C2, 1 L(z) L = ln(z) ln(1 z) + 1z 6 (10.104) + ln2 (1 z), z C3, L(z) + L(z) = L(z 2 ), z C4.

Область C2 получается из C удалением лучей вещественной оси x 0, x 1;

C3 удалением луча x 0;

C4 удалением лучей x 1, x 1.

Тождества (10.104) проверяются дифференцированием и под становкой значений L(0) = 0, L(1) = 2 /6, следующих из (10.103).

Пользуясь (10.104), легко вычислить значения L в точках 1/2 и -1.

Суммируя в (10.103) отдельно четные и нечетные степени z, опре делим L в точках ±i.

Приведем таблицу значений дилогарифма L в указанных точ ках. Здесь G = 0.915965594... постоянная Каталана.

Таблица 10.1. Значения L в выделенных точках z 0 1/2 1 1 ±i 2 1 ln2 2 2 2 ± iG L(z) 0 12 2 6 12 10.5.2 Вычисление L(z) Для любого z C0 дилогарифм можно вычислить по форму ле (10.102), прибегнув к подходящему приему численного интегри рования. Однако прямой метод неэкономичен. Опишем альтерна тивные варианты.

При |z| c, где 0 c 0.7, ряд (10.103) сходится быстро и вполне пригоден для вычислений. В самом деле, пусть k zn L(z) = + L(k, z). (10.105) n n= Тогда |z|k+ |L(k, z)|.

n n=k+ Так как 1/n2, рассматриваемая как непрерывная функция положи тельной переменной n, убывает и выпукла вниз, то 1 dn =.

n2 n 2k + n=k+1 k+1/ Окончательно, 2|z|k+. (10.106) |L(k, z)| 2k + Пусть теперь малой величиной является 1z. Положим z = rei,, так что 1 2r cos + r 2.

|1 z| = Построим в плоскости z = x + iy = rei окружности r = c, r = и лучи ODB, OD1 B1, образующие с осью x углы ±, 0, см.

рис. 10.1. Определим c, из условия |AD| = |AB| = |OD| = c.

Очевидно, расстояние от A до любой точки криволинейного пря моугольника BDD1 B1 не превосходит c. Таким образом, в этом прямоугольнике будет выполнено неравенство |1 z| c. (10.107) Для вычисления L(1z) можно пользоваться рядом (10.105) и оцен кой (10.106) с заменой z на 1 z. Значение L(z) найдется затем по первой из формул (10.104).

Осталось найти значения c, из указанного условия, для чего достаточно решить систему двух уравнений 1 2c cos + c2 = 2 2 cos = c2.

y B D E O A x D B Рис. 10.1. Криволинейный прямоугольник BDD1 B1 (две стороны кото рого дуги радиусами |OD| = |OD1 | = c, |OB| = |OB1 | = 1) выделен условиями |AB| = |AD| = |OD| = c. Отрезки BE и B1 E стороны пятиконечной звезды.

Исключая cos, придем к уравнению c3 2c + 1 = 0 (c 1) c2 + c 1 = 0, имеющему два положительных корня: равный единице (тривиаль ный) и определяющий золотое сечение c0 = = 0.618033988... (10.108) Значение 0 теперь очевидно: это в точности 36, так как золотое сечение связано с правильным пятиугольником (точнее, с пятико нечной звездой). В самом деле, 1 1+ 5 cos 0 = =, cos 20 = 2 cos 0 1 =, 2c0 4 1+ cos 40 = = cos 0.

Отсюда вытекает 40 = 0, поскольку 0 /4. Поэтому 0 = /5. (10.109) Пусть z C1 лежит вне криволинейного прямоугольника BDD1 B1, так что 5+ c |1 + z| EB = 4 = = 1.90211303... (10.110) Дилогарифм можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точ ки 1:

1 (n) L (1)(1 + z)n.

L(z) = L(1) + (10.111) n!

n= Дифференцируя (10.102), получим L (z) = [ ln(1 z)] ·. (10.112) z По формуле Лейбница при n n L(n) (z) (1)n+1 (1)k z k = ln(1 z) +. (10.113) nz n k(1 z)k n!

k= В частности, n L(n) (1) 1 = ln 2. (10.114) 2k k n! n k= Легко показать, что выражение в квадратных скобках в (10.114) равно интегралу 1/2 1/ 1 xn xn dx = dx, 1x 1x 1x 0 что положительно и меньше, чем 1/ xn dx = 2, 2n (n + 1) так что L(n) (1) 0 n. (10.115) n! 2 n(n + 1) Разобьем ряд (10.111) на частичную сумму и остаток подобно (10.105) k 2 1 (n) L (1)(1 + z)n + L1 (k, z), L(z) = + 12 n=1 n!

где согласно (10.115) k+1 |1 + z| |L1 (k, z)|.

2 n(n + 1) n=k+ Очевидно, 1 1 1 = =, n(n + 1) n n+1 k+ n=k+1 n=k+ так что k+ 1 |1 + z| |L1 (k, z)|. (10.116) k+1 Подведем итоги. В единичном круге C1 значения L(z) можно вычислить по следующей схеме:

1. Если |z| c0, то пользуемся рядом (10.103) с оценкой остатка (10.106).

2. Если c0 |z| 1, || 0, вычисляем L(1 z), пользуясь предыдущим алгоритмом, поскольку теперь |1z| c0. Затем вычисляем L(z) по первой из формул (10.104).

3. Если c0 |z| 1, || 0, пользуемся рядом (10.111) с коэф фициентами (10.114) и оценкой остатка (10.116). В этой обла сти согласно (10.110) |1 + z|/2 c1 = 0.951056516... (10.117) Значение c1 все же слишком велико для точных расчетов.

Если || 20, то справа в (10.117) c1 можно заменить на 1+ c2 = cos 0 = = 0.809016994...

4. Если же 0 || 20, то предварительно следует восполь зоваться третьей из формул (10.104) L z2.

L(z) = L(z) + Абсолютная величина аргументов комплексных чисел z и z будет больше 20.

Обратим внимание, что оценки (10.106) и (10.116) точны в сле дующем смысле. Если домножить правую часть неравенств (10.106) или (10.116) на постоянную C 1, то неравенства останутся в силе.

В обоих случаях наименьшее возможное значение C равно единице.

10.5.3 Интегралы, выражающиеся через дилогарифм Эйлера Пусть a комплексное число, |a| 1;

t вещественная пере менная. Тогда ln 1 aeit dt = i L aeit, (10.118) ln 1 aeit dt = i L aeit, (10.119) ln 1 2a cos t + a2 dt = i L aeit L aeit, (10.120) что проверяется дифференцированием.

Потребуем дополнительно вещественности числа a. Тогда зна чения L aeit и L aeit комплексно сопряжены. Формулу можно представить в виде ln 1 2a cos t + a2 dt = 2 L aeit. (10.121) 10.6 Тождества с частными производными В пространстве R2 переменных (x, y) справедливы легко прове ряемые равенства x2 y (x ln R) = 2 + ln R, (y ln R) = 2 + ln R, (10.122) x R y R R 2 x2 R2 y x y =, =, (10.123) R3 R x R y R x2 + y 2. После сложения симметричных тождеств где R = (10.122) и (10.123) получим (x ln R) + (y ln R) = 1 + 2 ln R, (10.124) x y x y + =. (10.125) x R y R R Аналогично в пространстве R3 переменных (x, y, z) r 2 x2 r2 y x y =, =, r3 r x r y r (10.126) r2 z z =, r z r z 2 y 2 x2 + y 2 R xr =, x R2 rR (10.127) z 2 x2 y 2 + x 2 R yr =, y R2 rR x2 + y 2 + z 2, R = x2 + y 2. Отсюда где r = x y z + + =, (10.128) x r y r z r r xr yr + =. (10.129) R2 R x y r Литература Абрамовиц, Стиган, 1979. Абрамовиц М., Стиган И. (Ред.) Спра вочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. М.: Наука.

Антонов В.А., Тимошкова Е.И., Холшев Антонов и др., 1989.

ников К.В. Введение в теорию ньютоновского потенциала. М.:

Наука.

Бабич В.М., Капилевич М.Б., Михлин С.Г., Бабич и др., 1964.

Натансон Г.И., Риз П.М., Слободецкий Л.Н., Смирнов М.М.

Справочная математическая библиотека. Линейные уравнения математической физики. М.: Наука.

Бейтмен Г., Эрдейи А. Справочная Бейтмен, Эрдейи, 1967.

математическая библиотека. Высшие трансцендентные функ ции. Эллиптические и автоморфные функции, функции Ламе и Матье. М.: Наука.

Бейтмен Г., Эрдейи А. Справочная ма Бейтмен, Эрдейи, 1973.

тематическая библиотека. Высшие трансцендентные функции.

Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, орто гональные многочлены. М.: Наука.

Брело М. О топологиях и границах в теории потен Брело, 1974.

циала. М.: Мир.

Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Часть 1.

Ватсон, 1949.

М.: ИИЛ.

Владимиров, 2003. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Физматлит.

Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таб Градштейн, Рыжик, 1971.

лицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука.

Гюнтер, 1953. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М.: ГИТТЛ.

Жуковский Н.Е. Теоретическая механика.

Жуковский, 1950.

М.-Л: ГИТТЛ.

Кондратьев Б.П. Теория потенциала. Новые Кондратьев, 2007.

методы и задачи с решениями. M.: Мир.

Корн Т., Корн Г. Справочник по математике. M.:

Корн, 1984.

Наука.

Курант, 1970. Курант Р. Курс дифференциального и интеграль ного исчисления. Т. 2. М.: Наука.

Ландкоф Н.С. Основы современной теории по Ландкоф, 1966.

тенциала М.: Наука.

Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных Михлин, 1977.

производных. М.: Высшая школа.

Полянин, 2001. Полянин А.Д. Справочник. Линейные уравнения математической физики. М.: Физматлит.

Сретенский Л.Н. Теория ньютоновского по Сретенский, 1946.

тенциала. М.: ОГИЗ ГИТТЛ.

Субботин М.Ф. Курс небесной механики. Т. 3.

Субботин, 1949.

Л.-М.: ГИТТЛ.

Субботин М.Ф. Введение в теоретическую Субботин, 1968.

астрономию. М.: Наука.

Тиман А.Ф., Трофимов В.Н. Введение Тиман, Трофимов, 1968.

в теорию гармонических функций. М.: Наука.

Тодхантер И. История математических тео Тодхантер, 2002.

рий притяжения и фигуры Земли от Ньютона до Лапласа. М.:

УРСС.

Уэрмер Дж. Теория потенциала. М.: Мир.

Уэрмер, 1980.

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциаль Фихтенгольц, 1997а.

ного и интегрального исчисления. Т. 2. СПб: Лань.

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциаль Фихтенгольц, 1997б.

ного и интегрального исчисления. Т. 3. СПб: Лань.

Холшевников К.В., Питьев Н.П., Ти Холшевников и др., 2005.

тов В.Б. Притяжение небесных тел. СПб.: Изд-во СПбГУ.

Шкодров В.Г. Планетен потенциал. София:

Шкодров, 1989.

Изд-во на Българската Академия на Науките.

Binney, Tremaine, 2008. Binney J., Tremaine S. Galactic Dynamics:

Second Edition. Princeton: Princeton Univ. Press.

Poincar H. Thorie du potentiel Newtonien. Paris:

e e Poincar, 1899.

e Georges Carr et C. Naud editeurs.

e Именной указатель Гусс К.Ф. (Gauss C.F.), а Грин Дж. (Green G.), Клер А.К. (Clairaut A.C.), о Лагрнж Ж.Л. (Lagrange J.L.), а Лаплс П.С. (Laplace P.S.), а Лежндр А.М. (Legendre A.M.), а Ляпунв А.М., о Ньютон И. (Newton I.), Пуанкар Ж.А. (Poincar J.H.), е e Пуассн С.Д. (Poisson S.D.), о Якби К.Г.Я. (Jacobi C.G.J.), о Предметный указатель J, см. Якобиан бисферические 42,, см. Оператор Лапласа декартовы 13, 21, 47, 54, 72, Аномалия истинная 180 индуцированные координа эксцентрическая 27, 180 тами на плоскости криволинейные 9, 17, 21, Бесселевы функции 10, 114 параболические 33, параболоидные Векторы 11 полярные 25, Вторая космическая скорость 59 связанные с подобными эл липсами Гармонические функции 14–16, связанные с софокусными 21, 26, 28, 31, 32, 39, 40, эллипсами 29, 31, 52– сферические 21, 22, 25, 36, свойства 15, 16, 38, 64, 69, 72, теория сфероидальные 38, Гауссово кольцо 9, модифицированные Гипергеометрические функции сплюснутые 169, тороидальные Гиперэллиптические интегралы цилиндрические 12, 37, 10, эллипсоидальные 44, 46, 47, Гравитационная энергия 51, 54, 118, 154, функции, важные для Дилогарифм Эйлера 10, 88, 89, нахождения потенциа 192–194, 196– ла эллипсоидов эллиптические 38, Задача Дирихле 9, Коэффициенты Ламе единственность 15, 16, 91, Фурье 117, Крест решение 15, двумерный 142, Закон всемирного тяготения трехмерный 142, Координаты Масса биполярные 34, 42, Матрица Якоби 20–23, 26–29, 32, модифицированных 33, 35, 36, 38, 47 в тороидальных координа Матрицы 11 тах свойства 20 в цилиндрических коорди Метрический тензор 18 натах в эллипсоидальных коорди Небесная механика 7, 27, 180 натах 49, Неравенство Гёльдера 103 инвариантность относительно ортого Обозначения 11, 12 нальных преобразова операция траспонирования ний 18 относительно сдвига суммирование по повторя ющимся индексам Оператор Бельтрами Переменная интегрирования Лапласа 8, 10, 12–14, 17, 21, Перестановка 147, 148, 105, 161, в RN 13 Плотность 8, 12, Постоянная Каталана в биполярных координатах тяготения Потенциал 7, 10, 12, 59, в бисферических координа аналитичность 58, 65–69, тах 113, в координатах, связанных с асимптотика 9, 11, 15, 54– подобными эллипсами 56, 58, 59, 66, 70, 71, 80, 82, 90, 92, 103, 106, 108, в координатах, связанных с 112, 113, 116, 119, 122, софокусными эллипса 138, 139, 153, 156, 161, ми 30– 162, 165, в криволинейных коорди бруса натах в R1 58, 59, в R2 и R2 RN 2 в R2 12, 14, 59, 79, 92, в R3 в R3 в RN двумерных тел в параболических коорди одномерных тел натах трехмерных тел в параболоидных коорди в RN, N 3 59, натах внешний 65–68, 106, в полярных координатах внутренний 65– в сферических координатах в R3 37 гладкость 67, 70, в RN 22, 24 гармоничность 11, 14, гауссова кольца в сфероидальных коорди гравитационный натах 39, градиент 7, 21, 41, 59, 60, дифференциальные 63, 65–67, 76, 78, 79, 82, свойства 11, 65–67, 77, 84, 96, 126, 153 асимптотика 70, 71, 83, стандартный способ 84 определения дуги 88, 89, 117 прямой 60, 61, 63, 80, в R2 63, 77, кривой 11, 79, 80, в R3 62, 111–113, круга 101–103, 136, 137, в RN, N 3 однородного линейный, см. Потенциал, прямоугольника 94–96, 125, в R1 126, 132, логарифмический, см. По- ротационно-симметричный тенциал, в R2 многогранника 151, 152 симметрия 11, 71, многоугольника 101, 132, слоя 152 сферы 138, 153, 161, ньютонов, см. Потенциал, тела сферической структу в R3 ры 152, общая теория 7, 8, 13, 14, тела эллипсоидальной 58, 66, 75, 77, 85, 136, структуры 154, 155, 141, 153 157, одномерных тел 79, 93, 106 тетраэдра 147, 148, 150, окружности 86, 101, 115, в вершине 116 точки 11, 58, 60, 62–64, 77, отрезка 11, 61, 77, 78, 81–85, 79, 80, 85, 92, 111, 94, 107–110, 158 треугольника 96, 98–101, плоской фигуры 11, 92 128–130, 132, 146, плоскости внешний 99, n-мерной 60, 63–65 внутренний в R3 77, 132 цилиндра 80, поверхности 66, 122 шара 10, 11, 153, 154, полосы 77, 85 электростатический приемы нахождения 9, 21, эллипса 89–91, 118, 119, 93 сплошного 103–105, 158, производные вторые 66, 67, 139 эллипсоида 10, 11, 49, 137, первые 66, 69, 77–79, 85, 154, 157, 92, 122, 139 вращения 109, 137, 158– простого слоя, см. Потен- циал, поверхности однородного 8, 154, 158, протяженного тела 11, 21, 159, 60, 67, сплошного 157–159, 163, методом вариации произ 164, 166, 167 вольных постоянных Правило Лейбница 14 Преобразование Ландена 186 элементарное Принцип аналитического про- Уравнение Пуассона 8, 9, 11, 14, должения 49, 65, 136, 66, 74, 75, 77, 105, 155, 151 156, Притягивающее тело 11 решения Простой слой 66 свойства Условие Липшица Разделение переменных 9, Размерность 12, 60 Формула Грина 93, 123, Разность потенциалов 59, 62, 64, Лейбница 85, 111, 133 Остроградского–Гаусса 11, 74, Расстояние 12 Ряд Маклорена 192 Тейлора 52, Пуассона 168 Якоби Фурье 9, 87, 116 Функция Макдональда 10, Символ Кронекера 19 Черные дыры Симметрия 71– Эксцентриситет Соотношение Лежандра Элементы длины, площади и Точки пространства 11 объема Эллиптические интегралы 10, 49, 57, 90, 109, 117–120, Угловые переменные 12 135, 158, 169, 181–187, Уравнение Кеплера 120 189, Лапласа 9, 14, 21, 41, 66, 75, 112, 119 Якобиан 18, 20, 21, 24, 26, 28–30, решения 11, 15, 26, 31, 33, 32, 33, 35–40, 42–44, 48, 36, 37, 42–44, 49, 138

Pages:     | 1 | 2 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.