авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

«№ 2 (22), 2012 Физико-математические науки. Математика ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ ПОВОЛЖСКИЙ РЕГИОН ...»

-- [ Страница 2 ] --

( ) 1. Рассмотрим решение системы (1), выходящее из точки t 0, y 0, z 0, и зафиксируем произвольным образом 0. В силу поставленных выше требований начальная точка попадет в область влияния какого-либо корня ( ) j = j, t 0, y 0, z 0 z j = j (t, y ). t1, j = Тогда найдутся и ( ) = t1, j t 0, y 0, z 0 t 0 такие, что при j и t t1, j справедливы неравенства y ( t, ) y j ( t ) +, z ( t, ) z j ( t ) +, (10) где y j ( t ) и z j ( t ) – решения вырожденной системы № 2 (22), 2012 Физико-математические науки. Математика dy ( ) = f t, y, j ( t, y ), dt (11) z = j (t, y ), () с начальными данными y t 0 = y 0.

По условию теоремы решения системы (11) ограничены, т.е.

y j ( t ) a, z j ( t ) b. Тогда решение системы (1), выходящее из точки (t 0, y0, z0 ), также ограничено при j :

y ( t, ) a +, z ( t, ) b +. (12) 2. Зафиксируем t 0 и 0. Второе условие теоремы означает, что для любого 0 найдутся i = i ( ) 0 ( i = 1, n ) такие, что из условия y следует yi ( t ) i, zi ( t ) i, (13) где yi ( t ), zi ( t ) – решения системы (9). Обозначим = max {i }.

i ( ) Рассмотрим решения системы (1), выходящие из точки t 0, y 0, z 0. Ес ( ) принадлежит области влияния корня z j = j ( t, y ), то ли точка t 0, y 0, z согласно предыдущему пункту доказательства справедливы неравенства (10).

( ) ( ) Обозначим 0 = inf j, t 0, y 0, z 0 0 и t1 = sup t1, j t 0, y 0, z 0 +. Тогда j j E E ( ) для всех решений системы (1) с начальными данными y 0, z 0 E, попада ющими в область влияния корня z j = j ( t, y ), при 0 и t t1 выполня j j {} {} ются неравенства (10). Обозначим теперь 0 = min 0, t1 = max t1. Тогда j j j j в силу соотношений (13) для всех решений системы (1) с начальными данны ( ) ми y 0, z 0 E справедливы неравенства y ( t, ) +, z (t, ) + (14) при t t1 и 0.

3. Зафиксируем t 0, 0 и 0. По третьему условию теоремы суще ствуют числа B, T 0 такие, что при y 0 и t t 0 + T выполняются нера венства y ( t ) B, z ( t ) B. (15) Известия высших учебных заведений. Поволжский регион (t 0, y0, z0 ) Если точка принадлежит области влияния корня z j = j ( t, y ), то справедливы неравенства (10). Пусть ( ) 0 = min sup j, t 0, y 0, z 0 0, j E ( ) { } t1 = max inf t1, j t 0, y 0, z 0 +, t 2 = max t 0 + T, t1, E j тогда с учетом (15) можно записать y ( t, ) B +, z (t, ) B + при всех t t 2 и 0.

Теорема доказана.

Список литературы 1. К о з л о в, М. В. Равномерная ограниченность сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений / М. В. Козлов, В. Н. Щенников // Вестник Мор довского университета. Серия «Физико-математические науки». – 2010. – № 4. – С. 56–59.

2. Й о с и д з а в а, Т. Функция Ляпунова и ограниченность решений / Т. Йосидзава // Математика : сб. переводов. – М. : Мир, 1955. – С. 95–127.

3. Ти х о н о в, А. Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих пара метры / А. Н. Тихонов // Математический сборник. – 1950. – Т. 27 (69), № 1. – С. 147–156.

Козлов Михаил Владимирович Kozlov Mikhail Vladimirovich магистрант, Мордовский graduate student, Mordovia State University государственный университет named after N. P. Ogaryov (Saransk) имени Н. П. Огарева (г. Саранск) E-mail: mhl1988@yandex.ru Щенников Владимир Николаевич Shchennikov Vladimir Nikolayevich доктор физико-математических наук, Doctor of physical and mathematical профессор, заведующий кафедрой sciences, professor, head of sub-department дифференциальных уравнений, of differential equations, Mordovia Мордовский государственный State University named after N. P. Ogaryov университет имени Н. П. Огарева (Saransk).

(г. Саранск) E-mail: mhl1988@yandex.ru УДК 517.928. Козлов, М. В.

Ограниченность решений систем сингулярно возмущенных диф ференциальных уравнений / М. В. Козлов, В. Н. Щенников // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 2 (22). – С. 36–42.

№ 2 (22), 2012 Физико-математические науки. Математика УДК 517.958;

517.927. Д. В. Валовик ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТЕ-ВОЛН, РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ В ПЛОСКОМ ДВУХСЛОЙНОМ НЕЛИНЕЙНОМ ДИЭЛЕКТРИЧЕКОМ ВОЛНОВОДЕ Аннотация. Рассматривается распространение электромагнитных ТЕ-волн в нелинейном плоском двухслойном диэлектрическом волноводе. Диэлектри ческая проницаемость в слоях описывается законом Керра. Слои расположены между двумя изотропными немагнитными полубесконечными средами с по стоянными электродинамическими параметрами. Получено дисперсионное уравнение для собственных значений задачи (постоянных распространения).

Ключевые слова: задача сопряжения для обыкновенных дифференциальных уравнений в многосвязной области, нелинейность Керра, дисперсионное урав нение.

Abstract. The article considers electromagnetic TE-wave propagation in a two layered dielectric waveguide. Permittivities inside the layers are described by Kerr law. The layers are located between two semi-infinite spaces with constant permit tivities. The authore derives a dispersion equation for eigenvalues (propagation con stants) of the problem.

Key words: conjugation problem for ordinary differential equations in multiply connected domain, Kerr nonlinearity, dispersion equation.

Введение Данная работа продолжает исследования [1–4]. Здесь рассматривается задача о распространении ТЕ-волн в плоском двухслойном диэлектрическом волноводе. Волновод помещен между двумя полубесконечными средами с постоянными электродинамическими параметрами. Диэлектрическая про ницаемость в каждом из двух слоев зависит от электрического поля по закону Керра: = const + E, где const – постоянная составляющая диэлектриче ской проницаемости, – коэффициент нелинейности. Задача сводится к отысканию постоянных распространения электромагнитной волны в рас сматриваемой волноведущей структуре. Постоянные распространения явля ются корнями дисперсионного уравнения, которое представляется основным результатом рассматриваемой работы. Для вывода дисперсионного уравнения используется теория эллиптических функций. Рассматриваемый в этой работе 2 подход позволяет изучать нелинейность вида = const + E + E, где const – постоянная составляющая диэлектрической проницаемости;

, – коэффициенты нелинейности. Работа [5] (где также используется подход на основе эллиптических функций) тесно связана с рассматриваемой в этой ста тье задачей. Полученное дисперсионное уравнение позволяет изучать как обычные нелинейные материалы, так и нелинейные метаматериалы. Важ Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ (№ МК-2074.2011.1) и Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 11-07-00330-А).

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион ность найденного дисперсионного уравнения определяется, по крайней мере, двумя обстоятельствами: 1) полученное дисперсионное уравнение является точным (получено без упрощающих предположений в рамках модели керров ской нелинейности) и может быть выписано для большего числа слоев. Такая многослойная структура может рассматриваться как одномерный фотонный кристалл [6]. Фотонные кристаллы в настоящее время привлекают большое внимание исследователей (см., например, [6, 7]);

2) полученное дисперсион ное уравнение может быть использовано для построения и тестирования чис ленных методов решения рассматриваемой задачи.

1. Постановка задачи Рассмотрим электромагнитные волны, проходящие через два однород ных, изотропных, немагнитных диэлектрических слоя. Диэлектрическая про ницаемость в слоях зависит от электрического поля по закону Керра. Слои расположены между двумя полупространствами x 0 и x h в декартовой системе координат Oxyz и h = h1 + h2. Полупространства заполнены изо тропной немагнитной средой без источников и имеют постоянные диэлек трические проницаемости 1 и 4 соответственно ( 1 и 4 – произвольные действительные постоянные). Считаем, что всюду = 0 – магнитная прони цаемость вакуума.

Предполагаем гармоническую зависимость полей от времени в виде E ( x, y, z, t ) = E+ ( x, y, z ) cos t + E ( x, y, z ) sin t ;

H ( x, y, z, t ) = H + ( x, y, z ) cos t + H ( x, y, z ) sin t, где – круговая частота;

E+, E, H +, H – вещественные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E, H [8]: E = E+ + iE ;

H = H + + iH. Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет уравнениям Максвелла rot H = iE;

rot E = iH, (1) условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на гра нице раздела сред x = 0, x = h1, x = h1 + h2 и условию излучения на беско нечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при x в областях x 0 и x h. Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид = i + i E, где i = 2,3 и i, i – произвольные постоянные. Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.

На рис. 1 показана геометрия задачи.

T ( ) T, H = ( H x,0, H z ), Рассмотрим ТЕ-поляризованные волны E = 0, E y, T где () – операция транспонирования. Легко показать, что компоненты по лей E и H не зависят от переменной y. Волны, распространяющиеся вдоль границы раздела сред z, гармонически зависят от z. Тогда компоненты по лей E, H имеют следующий вид:

№ 2 (22), 2012 Физико-математические науки. Математика H y = H y ( x ) eiz, E x = E x ( x ) eiz, E z = E z ( x ) eiz. (2) x = h1 + h = 3 + 3 E h = h = 2 + 2 E z = Рис. Подставив компоненты (2) в уравнения Максвелла (1), выполнив нор j d d мировку в соответствии с формулами x = kx, =k, =, j = dx dx k (j = 1, 2, 3, 4), i = i (i = 1, 2), где 0 – диэлектрическая проницаемость ва куума и k 2 = 20 с = 0, обозначив E y ( x ) Y ( x ) и опуская значок тильды, получаем уравнение Y ( x ) = 2Y ( x ) Y ( x ), (3) где – неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения) Будем искать действительные решения Y ( x ) для уравнения (3). Пола гаем действительным (так что E не зависит от z) и считаем 1, x 0;

2 + 2Y, 0 x h1;

= (4) 3 + 3Y 2, h1 x h1 + h2 ;

4, x h1 + h2.

Пусть функция Y дифференцируема в слое так, что Y ( x ) C ( ;

+ ) C1 ( ;

) C 2 ( ;

0 ) C 2 ( 0;

h1 ) C 2 ( h1;

h ) C 2 ( h;

+ ). (5) 2. Решение системы дифференциальных уравнений Для x 0, = 1 из (3) и (4) в силу условия на бесконечности получаем решение Известия высших учебных заведений. Поволжский регион ) ( Y ( x ) = A exp x 2 1. (6) Для x h, = 4 из (3) и (4) в силу условия на бесконечности получаем решение Y ( x ) = B exp ( x h1 + h2 ) 2 4. (7) В формулах (6) и (7) постоянные A и B определяются начальными условиями и условиями сопряжения.

Внутри слоя 0 x h1 уравнение (3) принимает вид ( ) Y ( x ) = 2 2 2Y 2 ( x ) Y ( x ). (8) Это уравнение интегрируется в эллиптических функциях (см. [9]1). Из (8) получаем ( ) (Y )2 = ( 2 2 ) Y 2 4 Y + C2, Y 2 ( x ) = 2 2 32 ( x + C22 ), (9) 3 где ( x ) – эллиптическая функция Вейерштрасса, ее инварианты имеют вид ( ) ( ) ( ) 2 2 2 g 2 = 3 2C2 + 2 2 2 и g3 = 2 2 2 C2 2 ;

3 3 C2 и C22 – постоянные интегрирования.

Внутри слоя h1 x h1 + h2 получаем по аналогии с предыдущим ( Y ) 2 = ( 2 3 ) Y 2 ( ) 3 4 2 3 33 ( x + C33 ), (10) Y + C3 и Y 2 ( x ) = где ( ) ( ) ( ) 2 2 2 g 2 = 33C3 + 2 2 3 и g3 = 3 2 3 C3 3 ;

3 3 C3 и C33 – постоянные интегрирования.

3. Граничные условия и дисперсионное уравнение Как известно, касательные компоненты электромагнитного поля непре рывны на границах раздела сред. В нашем случае касательными компонента ми являются E y и H z. Учитывая сказанное, получаем для функций Y и Y следующие условия сопряжения:

[Y ]x=0 = 0, [Y ]x=h1 = 0, [Y ]x=h1+h2 = 0, Все результаты теории эллиптических функций, используемые здесь, можно найти в [9].

№ 2 (22), 2012 Физико-математические науки. Математика [Y ]x =0 = 0, [Y ]x=h1 = 0, [Y ]x=h1 +h2 = 0, (11) где [ f ] x = x = lim f ( x ) lim f ( x ).

x x0 0 x x0 + Пусть Y0 := Y ( 0 ), Yh := Y ( h ) и постоянная Yh считается известной, то гда B = Yh, A = Y0. Далее, используя (6), (7), получаем Y ( h ) = 2 4 Yh, Y ( 0 ) = 2 1Y0. (12) Будем последовательно использовать условия сопряжения (11) на каж дой границе раздела. Получаем:

( ) Y02 = 2 2 32 ( C22 ), (13а) 3 ( ) ( ) 12 3 33 ( h1 + C33 ), 2 32 ( h1 + C22 ) = (13б) 2 ( ) 2 3 33 ( h1 + h2 + C33 ), Yh2 = (13в) ( 2 1 )Y02 = ( 2 2 )Y02 22 Y04 + C2, (13г) ( 2 2 )Yh2 22 Yh4 + C2 = ( 2 3 )Yh2 23 Yh4 + C3, (13д) 1 1 1 ( 2 4 )Yh2 = ( 2 3 )Yh2 23 Yh4 + C3. (13е) Величину Yh1 можно выразить из уравнения (9) (или (10)), получаем ( ) 2 3 33 ( h1 + C33 ).

Yh2 = Система (13) состоит из шести уравнений и пяти неизвестных Y0, C2, C22, C3, C33 (мы учитываем, что Yh1 выражается через C33 ). Пять уравне ний этой системы позволят найти пять неизвестных, а шестое даст дисперси онное уравнение. Найдем его. Из уравнений (13г) и (13е) найдем C2 = ( 2 1 ) Y02 + 2 Y04, (14а) C3 = ( 3 4 ) Yh2 + 3 Yh4. (14б) Учитывая четность функции Вейерштрасса, из уравнений (13а) и (13в) найдем C22 = ±1 ( 2 ) + T2 n2 + T2 m2, (14в) Известия высших учебных заведений. Поволжский регион C33 = ±3 1 ( 3 ) h1 h2 + T3n3 + T3m3, (14г) ( ) ( ) 2 2 2 3 2Y02 2 2 3 33Yh где 2 =, 3 = ;

T2, T2 – независимые 6 периоды функции 2 ;

T3, T3 – независимые периоды функции 3 (причем T2, T3 выбраны действительными, а T2, T3 – чисто мнимыми);

n2, n3, m2, m3 ;

знак 1 означает функцию, обратную к (т.е. эллиптический ин теграл в нормальной форме Вейерштрасса).

Уравнения (13б) и (13д) примут вид )) = 2 ( 2 3 33 (31 ( 3 ) h2 )), (14д) ( ( 3 2 2 32 2 1 ( 2 ) + h 2Y04 + 2 ( 2 1 ) Y02 + f = 0, (14е) где )) + ( ( 4 ( 3 2 ) 2 3 33 3 1 ( 3 ) h f= )) ( ( 4 ( 3 2 ) 3 33 3 1 ( 3 ) h2 2 ( 3 4 ) Yh2 3Yh.

2 + Уравнение (14е) является квадратным относительно Y02. Подставляя в (14д) значение Y02 (найденное из (14е)), получаем дисперсионное уравнение.

Число T определяется в зависимости от знака дискриминанта g 2 27 g3 кривой f = 4t 3 g 2t g3. Если 0, то уравнение f = 3 dt имеет три действительных корня e1 e2 e3, и T = 2 (в этом 4t g 2t g e случае T – действительный период функции ( x ) ). Если 0, уравнение dt f = 0 имеет один действительный корень e2, и T = 4t 3 g 2t g e (в этом случае полупериоды 1 и 2 функции ( x ) являются комплексно сопряженными числами и их сумма есть действительное число T ). Число T определяется как линейная комбинация периодов функции ( x ) так, чтобы число T оказалось чисто мнимым.

Заключение При изучении распространения поляризованных электромагнитных волн в слоях с диэлектрической проницаемостью, полиномиально зависящей от напряженности электрического поля, эллиптические функции удается применить только в случае ТЕ-волн и нелинейности полиномиального типа № 2 (22), 2012 Физико-математические науки. Математика не сложнее обобщенной керровской. Для изучения распространения поляри зованных электромагнитных волн в нелинейных слоях с произвольными не линейностями можно использовать подход на основе интегральных диспер сионных соотношений [1].

Автор благодарит Ю. Г. Смирнова за полезные обсуждения.

Список литературы 1. В а л о в и к, Д. В. Распространение электромагнитных волн в нелинейных слои стых средах / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов. – Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2010. – 264 с.

2. В а л о в и к, Д. В. Нелинейные эффекты в задаче о распространении электромаг нитных ТМ-волн в слое с керровской нелинейностью / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смир нов // Радиотехника и электроника. – 2011. – Т. 56, № 3. – С. 309–314.

3. В а л о в и к, Д. В. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в слое из нелиней ного метаматериала / Д. В. Валовик // Радиотехника и электроника. – 2011. – Т. 56, № 5. – С. 587–599.

4. В а л о в и к, Д. В. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в нелинейной сре де с насыщением / Д. В. Валовик // Радиотехника и электроника. – 2011. – Т. 56, № 11. – С. 1329–1335.

5. S c h u r m a n n, H. W. TE-polarized waves guided by a lossless nonlinear three-layer structure / H. W. Schurmann, V. S. Serov, Yu. V. Shestopalov // Phys. Rev. E. – 1998. – V. 58, № 1. – P. 197.

6. J o a n n o p o u l o s, J. D. Photonic Crystals. Molding the Flow of Light / J. D. Joan nopoulos, S. G. Johnson, J. N. Winn, R. D. Meade. – Second Edition. – Princeton Uni versity Press, 2008. – P. 286.

7. L o u r t i o z, J. - M. Photonic Crystals. Towards Nanoscale Photonic Devices / J.-M. Lourtioz et al. – Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 2005. – P. 426.

8. E l e o n s k i i, P. N. Cylindrical Nonlinear Waveguides / P. N. Eleonskii, L. G. Oganes’yants, V. P. Silin // Soviet physics JETP. – 1972. – V. 35, № 1. – P. 44–47.

9. А х и е з е р, Н. И. Элементы теории эллиптических функций / Н. И. Ахиезер. – М. :

Наука, 1970. – 304 c.

Валовик Дмитрий Викторович Valovik Dmitry Victorovich кандидат физико-математических наук, Candidate of physical and mathematical доцент, кафедра математики sciences, associate professor, и суперкомпьютерного моделирования, sub-department of mathematics Пензенский государственный and supercomputer modeling, университет Penza State University E-mail: dvalovik@mail.ru УДК 517.9, 519. Валовик, Д. В.

Задача сопряжения для электромагнитных ТЕ-волн, распростра няющихся в плоском двухслойном нелинейном диэлектрическом волно воде / Д. В. Валовик // Известия высших учебных заведений. Поволжский ре гион. Физико-математические науки. – 2012. – № 2 (22). – С. 43–49.

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион УДК 517. В. Л. Пасиков ИГРОВЫЕ ЗАДАЧИ НАВЕДЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ ВОЛЬТЕРРА С УПРАВЛЯЮЩИМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА Аннотация. Рассматриваются игровые задачи наведения для линейных инте гродифференциальных систем Вольтерра с управляющими воздействиями под знаком интеграла и игровая задача m лиц для положения равновесия системы функционалов (типа расстояния) в смысле Нэша. При решении этих задач ис пользуется известная экстремальная конструкция академика Н. Н. Красовско го, модифицированная к рассматриваемым ситуациям.

Ключевые слова: игровая задача, стратегия, движение, позиция игры, про граммный максимин, управляющее воздействие.

Abstract. The article considers aiming game tasks for linear integro-differential Volterre's system with control action under the integral sign. The author studies the task of aiming to the point of origin and the m distinction game task for equilibrium position of the functional system (distance type) in Nashe's implication. To solve such problems the researcher suggests some modifications to the well-known ex treme construction by prof. N. Krasovskiy.

Key words: game task, strategy, motion, game position, policy maximin, control action.

Статья продолжает исследование [1], а также нумерацию разделов, формул, определений и теорем в [1].

Так как эволюция систем описывается линейными векторными инте гродифференциальными уравнениями Вольтерра с управляющими воздействи ями под знаком интеграла, то применение методов решения подобных задач для дифференциальных систем, развитых в [2–10] значительно усложняется.

2. Игровая задача наведения для линейных интегродифференциальных систем Вольтерра Рассматривается конфликтно-управляемая система линейных интегро дифференциальных уравнений Вольтерра t t t x ( t ) = f ( t ) + A ( t ) x ( t ) + K ( t, s ) x ( s ) ds + B1 ( t, s ) u ( s ) ds B2 ( t, s ) v ( s ) ds, 0 0 x ( 0 ) = x0.

Здесь x – n-мерный фазовый вектор;

u – r1 -мерный, v – r2 -мерный векторы управляющих воздействий, остальные ограничения аналогичны разд. 1 [1].

Игра рассматривается на заданном отрезке [ 0,] и плата изображается равенством № 2 (22), 2012 Физико-математические науки. Математика ( ) = { x ( )},m n. (24) m Состояние системы (23) описывается соотношением согласно (8) t t t x ( t ) = X ( t,0 ) x0 + X ( t, s ) ( s,0 ) ds ( 0 ) + X ( t, ) (, s ) d d ( s ) + 0 s t t t t + X ( t, ) 1 (, s ) d u ( s ) ds X ( t, ) 2 (, s ) d v ( s ) ds.

0 s 0 s • Здесь X ( t, s ) – матрица Коши системы = A ( t ), t t ( t, s ) = K ( t, ) X (, s )d, ( t ) = f ( t ) + ( t,0 ) Z 0, ( t, s ) = E + R ( t, )d, s s R ( t, ) – резольвента матрицы ( t, ) ;

t B1 (, s ) 1 ( t, s ) = ( t, s ) B1 ( s, s ) + ( t, ) d, s t B2 (, s ) 2 ( t, s ) = ( t, s ) B2 ( s, s ) + ( t, ) d.

s Будем теперь предполагать, что до момента t0, 0 t0, применялись некоторые допустимые управления i [t ], а после момента t0 полагаем i [t ], тогда состояние системы (23) в момент t определяется формулой (9) t x (, t ) = x (, t0 ) + X (, ) 1 (, s ) d u ( s ) ds 0 s t X (, ) 2 (, s ) d v ( s ) ds. (25) 0 s Задача 3. Первый игрок распоряжается выбором управления u ( t ) U t и стремится минимизировать величину (24), второй игрок распоряжается вы бором управления v ( t ) Vt и стремится максимизировать величину (24).

Здесь позиция игры определяется как пара p = {t, x (, t )}.

Программный максимин для рассматриваемого случая определяется следующим образом:

0 ( t0, x (, t0 ) ) = max max l X (, ) 2 (, s ) d v ( s ) ds l =1 v( s )=vVs s t Известия высших учебных заведений. Поволжский регион max ( l X (, ) ) 1 (, s ) d u ( s ) ds ( l x (, t0 ) ).

(26) u ( s )=uU s s t Исходя из (18), введем в рассмотрение функцию t ( t, x (, t ) ) = l0 X (, ) 2 (, s ) d v [ s ] ds + t0 s t l0 X (, ) 1 (, s ) d u [ s ] ds l0 X (, ) 2 (, s ) d v ( s ) ds + max v( s )=vVs s t0 s t l0 X (, ) 1 (, s ) d u ( s ) ds ( l0 x (, t0 ) ), (27) max u ( s )=uU s s t где l0 – вектор-строка – решение задачи (26);

{l0 X (, t )} = ( t ) – решение • дифференциальной системы = A ( t ) ;

далее вводим обозначения:

x ( t ) = ( t ) 1 (, t ) d, y e ( t ) = ( ) 2 (, t ) d.

e t t Производная (27) записывается аналогично (19):

d = l0 X (, ) 2 (, t ) d v ( t ) max l0 X (, ) 2 (, t ) d v dt vVt t t l0 X (, ) 1 (, t ) d u ( t ) + max l0 X (, ) 1 (, t ) d u, vU t t t или d = y e ( t ) v ( t ) max y e ( t ) v xe ( t ) u ( t ) + maxxe ( t ) u, dt vVt uU t экстремальное управление вычисляется согласно определению 4.

Теорема 4. В регулярном случае при выборе первым (вторым) игроком ( ) стратегии U e = U e ( t, x (, t ) ), V e = V e ( t, x (, t ) ), t0 t, 0 t0, опи сываемой определением 2.3, ему будет гарантирован результат игры {x ( )m } 0 ( t0, x (, t0 ) ) ( {x ( )m } 0 (t0, x (, t0 ) )) при любом допусти мом способе управления второго (первого) игрока.

Доказательства аналогичны доказательствам теорем 1 и 2.

№ 2 (22), 2012 Физико-математические науки. Математика Теорема 5. В регулярном случае при выборе игроками своих экстре мальных стратегий U e, V e, описываемых определением 2.3, им будет гаран {x ( )m } = 0 ( t0, x (, t0 )).

тирован результат игры Пример. Пусть движение управляемого объекта описывается системой двух скалярных уравнений:

t t t • t x ( t ) = e + x ( s ) ds + u ( s ) ds v ( s ) ds, 0 0 здесь f ( t ) = et, K ( t, s ) 1, A ( t ) 0, B ( t, s ) 1.

• Соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид ( t ) = 0, тогда полагаем, что фундаментальная матрица X ( t, s ) 1, матрица Коши X ( t, s ) = X ( t ) X 1 ( s ) 1. Далее, как и в [10], ( t, s ) = t s, резольвента этой R ( t, s ) = sh ( t s ), ( t, s ) = ch ( t s ) ;

(t, s ) = (t, s ), матрицы тогда ( t ) = et + t, ( 0 ) = 1.

Слагаемые в (8) определяются формулами t t X ( t, s ) ( s,0 ) ds ( 0 ) = sht, X ( t, ) (, s ) d = sh ( t s ), 0 s t t 1 X ( t, ) (, s ) d d ( s ) = t et 1 + sht ;

2 0 s получаем для начального условия x(0) = 10:

t t 1 x ( t ) = 10 + sht + t et 1 + ch ( t s )u ( s ) ds ch ( t + s ) v ( s ) ds.

2 2 0 Определяем начальную позицию игры:

t0 t 1 x (, t0 ) = 1 + sh + e 1 + sh ( t0 s ) u [ s ] ds sh ( t0 s ) v [ s ] ds;

2 2 0 тогда в начальный момент управления имеем 0 ( t0, x (, t0 ) ) = max max l sh ( s ) v ( s ) ds l =1 v( s )=vVs t l sh ( s ) u ( s ) ds l x (, t0 ).

max u ( s )=uU s t Известия высших учебных заведений. Поволжский регион Будем теперь считать, как и в [10], что игрок, распоряжающийся управ лением u, выбирает его значения из отрезка [2,5], а игрок, распоряжающийся управлением v, выбирает его из отрезка [3,4]. Так как решения исходной си стемы – кривые на плоскости, то заключаем, что экстремальный вектор l имеет постоянное направление по прямой y = x в направлении убывания (по модулю) переменных x и y. При таком использовании ресурсов управления решение будет приведено в начало координат, так как u e = ( 5,5 ), а v e = ( 4, 4 ).

4. Одна игровая задача для нескольких лиц Рассматривается интегродифференциальная система t mt Bi ( t, s ) ui ( s ) ds, x ( 0 ) = x0, (28) x ( t ) = f ( t ) + A ( t ) x ( t ) + K ( t, s ) x ( s ) ds + i =1 ее решение по аналогии со случаем двух игроков можно записать в виде t t t x ( t ) = X ( t,0 ) x0 + X ( t, s ) ( s,0 ) ds ( 0 ) + X ( t, ) (, s ) d d ( s ) + 0 s t tm X ( t, ) i (, s ) d ui ( s ) ds, + (29) 0 i =1 s ui ( t ) U ti, i = 1, m ;

U ti – выпуклые компакты в R r ;

X ( t, s ) – матрица Коши • системы = A ( t ) ;

t t ( t, s ) = K ( t, )X (, s ) d, ( t ) = f ( t ) + ( t,0 ) x0, ( t, s ) = E + R ( t, ) d, s s E – единичная матрица, R ( t, s ) – резольвента матрицы ( t, s ) ;

t Bi (, s ) i ( t, s ) = ( t, s ) Bi ( s, s ) + ( t, ) dt.

s Далее обозначаем x (, t0 ) = X (,0 ) x0 + X (, ) ( s,0 )ds ( 0 ) + X (, t ) (, s ) d d ( s ) + 0 s t0 m X (, ) i (, s ) d ui [ s ] ds, + 0 i =1 s № 2 (22), 2012 Физико-математические науки. Математика тогда состояние системы (28) в момент t0 t определяется формулой m x (, t ) = X (, t0 ) + X (, ) i (, s ) d ui [ s ] ds.

i =1 s Пусть также задана система функционалов { } = Ii I i ( u1,..., um ) = i ( x [t ]), i = 1, m. (30) e e Задача 4. Найти такие стратегии U1,...,U m, для которых выполняются соотношения ( )( ) i x e [t ] i x k [t ], i = 1, m. (31) Здесь x e ( t ) – реализовавшаяся траектория x [t ], 0 t, системы (28), e e которая отвечает стратегиям U1,...,U m ;

x k ( t ) – реализовавшаяся траектория x [t ] системы (28), соответствующая управлениям u1 [t ],..., uk 1 [t ], uk [t ], e e uk +1 [t ],..., um [t ], где uie [t ], i k, i = 1, m, формируется на основе стратегии e e U ie ;

uk [t ] – реализация суммируемого по Лебегу управления, стесненного условием uk ( t ) U tk.

{ } называ Если задача 4 разрешима, то набор стратегий U e = U1,...,U m e e ется равновесным по Нэшу. Как и при исследовании аналогичной задачи в [9], будем рассматривать случай, когда I i ( u1,..., um ) = Ci x ( ), где Ci – заданные точки в R n, i = 1, m.

Определение 5. Тройка p = {t, x (, t ), Ci } называется позицией i-го иг рока, i = 1, m, в момент t, t0 t, 0 t0 ;

позиция p0 = {t0, x (, t0 ), Ci } называется начальной.

Определение 6. Стратегией U i i-го игрока, i = 1, m, называется много значное отображение, которое каждой реализовавшейся позиции p = {t, x (, t ), Ci } ставит в соответствие некоторое непустое множество [1] U i ( t, x (, t ), Ck ) ui ( t, x (, t ), Ck ) U ti ;

такие стратегии и соответствующие им управления называются допустимы ми. Движения системы (28) определяются аналогично [3]. Будем теперь ре шать задачу за k-го игрока, k = 1, m, для чего запишем k-й функционал в виде программного максимина Ck x ( ) = k ( t0, x (, t0 ), Ck ) = max l ( Ck x (, t0 ) ) l = Известия высших учебных заведений. Поволжский регион u ( smaxU l X (, ) k (, s ) d uk ( s ) ds ) =u k k k t t0 s m min l X (, ) i (, s ) d ui ( s ) ds, (32) u ( s )=ui U ti s t0 i =1 i ik если правая часть этого равенства положительна, иначе k ( t0, x (, t0 ), Ck ) = 0 ;

вектор, решающий задачу (32), называется экстре k k мальным, обозначим его символом l0, вектор-строка l0 X (, t ) является ре • k шением системы k = A ( t ) k с краевым условием k ( ) = l0 ;

для кратко сти обозначим xk ( t0 ) = ( ) k (, t ) d.

e k t Предполагается, что при любом t0, 0 t0, максимум в правой части k (32) достигается на единственном векторе l0, т.е. рассматривается регуляр ный случай, причем вектор l0 = l0 ( t0, x (, t0 ), Ck ) непрерывно зависит от по k k зиции игры как и в [2].

k Определение 7. Пусть вектор l0, 1 k m, в каждый момент t0, 0 t0, доставляет максимум правой части (32), тогда, если позиция p = {t0, x (, t0 ), Ck } такова, что k ( t0, x (, t0 ), Ck ) 0, то с этой позицией будем сопоставлять множество U k ( t0, x (, t0 ), Ck ), 1 k m, всех векторов e U k U tk, которые удовлетворяют условию e xk ( t0 ) uk [t ] = e e e xk ( t ) uk.

max (33) () uk t0 =uk =U tk Аналогично [2] можно показать, что экстремальные стратегии, постро енные по формуле (33), допустимы.

e Теорема 6. В регулярном случае экстремальные стратегии U k, 1 k m, уравновешивают в смысле Нэша систему функционалов (30).

Доказательство. Рассмотрим функцию t ( Ck x (, t0 ) ) l0 X (, ) k (, s ) d uk ( s ) ds ( )k k k t, x (, t ), Ck = l t0 s k l0 X (, ) k (, s ) d uk ( s ) ds max u s =u U k t k( ) k s s № 2 (22), 2012 Физико-математические науки. Математика tm k l0 X (, ) i (, s ) d ui ( s ) ds min u s =u U i t0 i =1 i ( ) i s s ik m l0 X (, ) i (, s ) d uie ( s ) ds.

k (34) t i =1 s ik Таким образом, предполагается, что в (32), (34) все игроки, за исключе ние k-го, на соответствующих промежутках выбрали управление наихудшим для себя образом, т.е. желают максимизировать (32). При t = t0 все игроки применяют в (34) свои экстремальные стратегии. Обозначим эту величину символом ( t0, x (, t0 ), Ck ). Далее вычислим производную:

d k ( t ) l0 X (, ) k (, t ) uk + k k (, ) k (, t ) uk ( t ) + l0 X = max dt uk ( t )=uk U tk t t m m (t ) l0 X (, ) i (, t ) d ui.

(35) k d uie k (, ) i (, t ) l0 X + min i =1 ui ( t ) =ui U ti i =1 t t ik ik Будем теперь в (34), а следовательно, и в (35), заменять при t [t0, ] управление k-го игрока на произвольное допустимое, а управления остальных игроков на экстремальные, тогда в правой части (35) t ( t0, ) суммы пер вого и второго слагаемых, суммы третьего и четвертого слагаемых положи d (t ) 0, функция ( t ) не убывает на ( t0, ) тельны, следовательно, на ( t, ) dt и, таким образом, k ( t0, x (, t0 ), Ck ) (, x (, ), Ck ), где k (, x (, ), Ck ) – значение (34) для случая, когда k-й игрок применяет произвольное допусти мое управление, а остальные игроки применяют свои экстремальные управ ления.

Список литературы 1. П а с с и к о в, В. Л. Задача сближения-уклонения для линейных интегродиффе ренциальных систем Вольтерра с управляющими воздействиями под знаком ин теграла / В. Л. Пассиков // Известия высших учебных заведений. Поволжский ре гион. Физико-математические науки. – 2011. – № 2. – С. 58–70.

2. К р а с о в с к и й, Н. Н. Игровые задачи о встрече движений / Н. Н. Красовский. – М. : Наука, 1970. – 420 с.

3. К р а с о в с к и й, Н. Н. Позиционные дифференциальные игры / Н. Н. Красов ский, А. И. Субботин – М. : Наука, 1974. – 456 с.

4. С у б б о ти н, А. И. Оптимизация гарантии в задачах управления / А. И. Суббо тин, А. Г. Ченцов – М. : Наука, 1981. – 288 с.

5. К р а с о в с к и й, Н. Н. Управление динамической системой / Н. Н. Красовский – М. : Наука, 1985. – 518 с.

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион 6. О с и п о в, Ю. С. Дифференциальные игры систем с последействием / Ю. С. Осипов // ДАН СССР. – 1971. – Т. 196, № 4. – С. 779–782.

7. О с и п о в, Ю. С. Альтернатива в дифференциально-разностной игре / Ю. С. Осипов // ДАН СССР. – 1971. – Т. 197, № 5. – С. 1025–1025.

8. С у б б о ти н, А. И. Экстремальные стратегии в дифференциальных играх с пол ной памятью / А. И Субботин // ДАН СССР. – 1972. – Т. 206, № 3. – С. 552–555.

9. С у б б о ти н, А. И. Дифференциальные игры с полной памятью. Экстремальные стратегии в позиционных дифференциальных играх / А. И. Субботин. – Сверд ловск, 1974. – С. 211–233.

10. Г о р о х о в и к, В. В. О линейных дифференциальных играх нескольких лиц / В. В. Гороховик, Ф. М. Кириллова // Управляемые системы. – 1971. – № 10. – С. 3–9.

Пасиков Владимир Леонидович Pasikov Vladimir Leonidovich кандидат физико-математических наук, Candidate of physical and mathematical доцент, кафедра математического sciences, associate professor, анализа и информатики, Орский sub-department of mathematical analysis гуманитарно-технологический институт and informatics, Orsk Humanitarian (филиал) Оренбургского Technological Institute, branch государственного университета of Orenburg State University E-mail: pasikov_fmf@mail.ru УДК 517. Пасиков, В. Л.

Игровые задачи наведения для линейных интегродифференциа льных систем Вольтерра с управляющими воздействиями под знаком интеграла / В. Л. Пасиков // Известия высших учебных заведений. Поволж ский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 2 (22). – С. 50–58.

№ 2 (22), 2012 Физико-математические науки. Математика УДК 517.927, 519.62, 517. Е. В. Зарембо ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТE-ВОЛН, РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ В СЛОЕ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ Аннотация. Рассматривается задача о распространении электромагнитных ТЕ-волн в слое с произвольной нелинейностью. Физическая задача сводится к решению нелинейной краевой задачи на собственные значения для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе предложен чис ленный метод решения рассматриваемой нелинейной краевой задачи. Приведе ны численные результаты на примере керровской нелинейности и нелинейности с насыщением.

Ключевые слова: нелинейная краевая задача на собственные значения, обык новенное дифференциальное уравнение, задача Коши.

Abstract. The article considers a problem of electromagnetic TE-waves propagation in a layer with arbitrary nonlinearity. The physical problem is reduced to the nonlin ear boundary eigenvalue problem for nonlinear ordinary differential equations. The author suggests a numerical method to find propagation constants and demonstrates numerical results for Kerr nonlinearity and nonlinearity with saturation.

Key words: nonlinear boundary eigenvalue problem, ordinary differential equation, Cauchy problem.

Введение В данной работе рассматриваются электромагнитные ТЕ-волны, рас пространяющиеся через диэлектрический слой с нелинейной зависимостью диэлектрической проницаемости от интенсивности электрического поля.

Слой расположен между двумя полупространствами с постоянными диэлек трическими проницаемостями. Разыскиваются поверхностные электромаг нитные волны, распространяющиеся вдоль границ слоя. Для нахождения та ких волн краевая задача для системы уравнений Максвелла формулируется в строгой электродинамической постановке. Физическая задача приводит к нелинейной краевой задаче на собственные значения для обыкновенного дифференциального уравнения (нелинейного) второго порядка. В данной ра боте предлагается численный метод для нахождения собственных значений задачи (значений постоянных распространения, на которых существуют по верхностные волны). Предлагаемый метод основан на решении задачи Коши для упомянутого обыкновенного дифференциального уравнения. По рассмат риваемой здесь задаче и близким к ней уже были получены некоторые как численные, так и аналитические результаты [1–3]. Однако заметим, что все численные результаты получены для наиболее простых нелинейностей и раз работка простых, быстрых и эффективных численных методов для рассмат риваемого класса задач остается актуальной проблемой.

Для решения рассматриваемой задачи [4] и близких к ней в [3, 5] был предложен и затем в [6] развит метод интегральных дисперсионных уравне ний (МИДУ), который показал свою эффективность на широком классе за Известия высших учебных заведений. Поволжский регион дач. Метод интегральных дисперсионных уравнений, в первую очередь, явля ется аналитическим методом, но допускает также и численную реализацию.

Однако необходимо отметить, что численная реализация МИДУ является не простой вычислительной задачей, поскольку для вычисления собственных значений требуется (в простых случаях) вычислять несобственные интегралы [7], а в общем случае требуется дополнительно решать задачу Коши на бес конечном интервале (последний случай еще не освещен в научной литерату ре). Все это заставляет искать более простые (с вычислительной точки зре ния) методы для нахождения собственных значений.

Также стоит отметить, что проблемы распространения электромагнит ных волн в нелинейных средах, в первую очередь в слоях и цилиндрических волноводах, привлекали и продолжают привлекать большое внимание иссле дователей [6–13].

1. Постановка задачи Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся через од нородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный между двумя полупространствами x 0 и x h в декартовой системе коор динат Oxyz. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость 1 и 3 соответственно. Предполагается, что 1, 3 – произвольные действитель ные числа. Считаем, что всюду 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Далее считаем, что поля гармонически зависят от времени:

E x, y, z, t E x, y, z cos t E x, y, z sin t, H x, y, z, t H x, y, z cos t H x, y, z sin t, где – круговая частота;

E, E, H, H – вещественные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E и H [10]:

E E iE, H H iH.

Множители cos t и sin t ниже будут опущены.

Электромагнитное поле удовлетворяет системе уравнений Максвелла:

rot H iE, rot E iH, (1) условию непрерывности касательных компонент электромагнитного поля на границе раздела сред x 0 и x h, а также условию излучения на бесконеч ности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при x в обла стях x 0 и x h.

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет следующий вид:

, где 2 f E – постоянная составляющая диэлектрической прони цаемости в слое (действительное число);

f – некоторая непрерывная (дей ствительнозначная) функция.

№ 2 (22), 2012 Физико-математические науки. Математика Также мы будем требовать выполнения условия 2 max 1, 3. Это условие естественно возникает в линейной задаче [6] (когда диэлектрическая проницаемость в слое является постоянной).

2. ТЕ-поляризованные электромагнитные волны Рассмотрим ТЕ-поляризованные волны:

T T, H H x,0, H z, E 0, E y, T где E y E y x, y, z, H z H z x, y, z, H x H x x, y, z и – операция транспонирования.

Легко показать [6], что компоненты полей не зависят от переменной y.

Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред, гармони чески зависят от z. Учитывая все сказанное, получаем, что компоненты полей E и H имеют представление E y E y x eiz, H x H x x eiz, H z H z x eiz, где – неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).

Подставляя только что введенные компоненты в (1), можно показать, что система (1) сводится к следующему уравнению (подробности см. в [4, 6]):

Y x 2 Y x. (2) Уравнение (2) получено из (1) после нормировки в соответствии с фор мулами j d d k,, j j 1, 2,3, x kx, dx dx k где k 2 20, 0.

Используя обозначение E y Y x и опуская тильду, получаем уравне ние (2).

Будем искать те значения спектрального параметра (собственные значения), для которых существуют действительные решения Y x уравне ния (2), полагаем действительным числом [6] и считаем, что 1, x 0;

2 f Y 2, 0 x h;

3, x h.

Отметим еще, что в линейном случае должно выполняться неравен ство max 1, 3 2 2 [6]. Но в нелинейном случае это неравенство не обязательно имеет место, и мы будем считать, что max 1, 3 2 a, где a [6].

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион Считаем, что функция Y x дифференцируема так, что Y ( x) C, C1, C 2,0 C 2 0, h C 2 h,.

Такие условия непрерывности и дифференцируемости функции Y со ответствуют физическому смыслу задачи.

3. Решение системы дифференциальных уравнений В полупространствах x 0 и x h диэлектрическая проницаемость в уравнениях Максвелла (1) имеет постоянное скалярное значение 1 и соответственно. Для этих полупространств получаем решения x 2 1 x 2, Z x 1 2 1 Ae X x Ae ;

(3) X x Be, Z x 1 2 3 Be x h 2 3 x h 2, (4) где учтены условия на бесконечности. Легко видеть, что должны выполнять ся неравенства 2 1 0 и 2 3 0 [6].

Постоянные A и B в решениях (3) и (4) определяются условиями со пряжения и начальными данными.

Внутри слоя 0 x h, тогда 2 f Y 2. Уравнение (2) примет вид Y 2 2 f Y 2 Y. (5) 4. Условия сопряжения Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля не прерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными составляющими являются компоненты E y и H z. Отсюда получаем:

E y h 0 E y h 0, E y 0 0 E y 0 0, H z h 0 H z h 0, H z 0 0 H z 0 0.

E y Можно показать, что в рассматриваемом случае величина также x является непрерывной на границе раздела сред. Значит, справедливы условия Ey h 0 Ey h 0, Ey 0 0 Ey 0 0.

С учетом сказанного получаем условия сопряжения для функций Y и Y :

Y x0 0, Y xh 0, Y x0 0, Y xh 0, (6) где f f x lim f x.

lim x x0 x x0 0 x x0 Теперь условия непрерывности и дифференцируемости функции Y следуют из формул (3), (4) и (6).

№ 2 (22), 2012 Физико-математические науки. Математика Считаем, что функции Y x и Y x удовлетворяют условию (это условие соответствует условию излучения на бесконечности) 1 Y x O и Y x O при x. (7) x x Введем обозначения для граничных значений функций Y x и Y x в точках x 0 0 и x h 0 (на границе слоя изнутри). Пусть Y0 : Y 0 0, Yh : Y h 0, Y0 : Y 0 0, Yh : Y h 0.

(8) Учитывая условия сопряжения (6) и обозначения (8), для постоянных A и B в решениях (3) и (4) мы получаем: A Y0, B Yh. Удобно переписать решения (3) и (4):

x 2 x 0;

Y0e, Y x (9) Y e x h 2 3, x h, h где Y0 – начальное условие;

Yh определяется из условий сопряжения.

Замечание. Рассматриваемая нелинейная задача на собственные значе ния существенно зависит от начального условия (амплитуды падающего по ля). Аналогичная линейная задача от амплитуды падающего поля не зависит.

Это значит, что каждому собственному значению линейной задачи отвечает целый «пучок» волн с одним и тем же и всевозможными амплитудами.

В рассматриваемой нелинейной задаче это уже не так, собственные значения зависят от амплитуды.

Из (9) мы получаем, что 2 x 2 1Y0 e x 0;

, Y x (10) 2 Y e x h 2 3, x h.

3h С учетом последней формулы, условий сопряжения (6) и обозначений (8) получаем Y0 2 1Y0, Yh 2 3 Yh.

(11) Теперь мы можем сформулировать краевую задачу на собствен ные значения (задачу P): необходимо найти собственные значения, для которых существуют нетривиальные функции Y x такие, что при x 0 и x h функции Y x и Y x определяются выражениями (9), (10), где Y0 – известная величина, а Yh – неизвестная;

при 0 x h функция Y удовлетворяет уравнению (5);

функции Y и Y удовлетво ряют условиям сопряжения (6).

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион 5. Описание «метода задачи Коши»

Предлагаемый ниже метод позволяет находить собственные значения рассматриваемой задачи с любой заданной точностью. Также предложенный метод позволит построить графики зависимости постоянной распространения (нормированной) от толщины слоя (нормированной) h. Дисперсионными кривыми в таких задачах традиционно называют кривые (или f ), где 2f – круговая частота. Если же кривая зависит от амплитуды падающего поля (что как раз имеет место в рассматриваемой за даче), то такие кривые называют энергетическими дисперсионными кривыми.

Поскольку мы работаем в нормированных переменных, то будем называть дисперсионной кривой (или энергетической дисперсионной кривой) график зависимости h. Если известен график h, то из него можно полу чить график, не пересчитывая заново собственные значения.

Пусть h h 0 и max 1, 3 – некоторые числа. Будем считать, что h h, h и,.

Разбиваем отрезки h, h и, на n и m частей соответственно.

hi, j, hn h, i 0, n, j 0, m ;

причем h0 h 0, Имеем сетку 0 max 1, 3, m. Тогда для каждой пары индексов i, j бу Yij 0,Yij 0, где Yij 0 Y0 и дем иметь пару начальных значений Yij 0 2 1Y0. Как легко видеть из предыдущего значения, Yij 0 и j Yij 0 не зависят от hi, но мы оставляем двойные индексы для удобства.

Теперь можно поставить задачу Коши для уравнения (5) с начальным условием Yij 0, Yij 0. Величина является параметром в системе (5) и решения этой системы зависят от. Решив указанную задачу Коши, получа ем значения Yij h Y j hi и Yij h Y j hi. Поскольку Y непрерывна при x h, то это позволяет вычислить Y h 0, а именно: Yij h 0 Y j hi.

Теперь, используя вторую формулу (9) и найденное Yij h 0, мы можем вы числить Yij h 0 : Yij h 0 2 1Yij h 0. Но нам известно значение j Yij h 0 из решения задачи Коши. Принимая во внимание непрерывность Y x на границе x h, построим функцию F hi, j Yij h 0 Yij h 0.

Можно показать (см. далее), что при определенных условиях функция F hi, является непрерывной функцией параметра. Пусть для заданного № 2 (22), 2012 Физико-математические науки. Математика hi существуют такие j и j1, что F hi, j F hi, j 1 0. Это значит, что существует i j, j1 такое, что i является собственным значением рассматриваемой задачи о распространении волн и этому собственному зна чению соответствует толщина слоя hi. Значение i, когда оно существует, может быть найдено с любой степенью точности, например, методом дихо томии.

6. Обоснование численного метода Сформулируем некоторые теоретические результаты, которые будут необходимы при обосновании численного метода. В частности покажем, при каких условиях задача Коши для уравнения (6) с начальными условиями Y 0 Y0, Y 0 2 1Y0 (12) будет иметь единственное решение;

покажем, что решение только что ука занной задачи Коши непрерывно зависит от параметра.

Поскольку в полупространствах x 0 и x h уравнение (6) является линейным и его решения известны, то мы сразу перейдем к выяснению един ственности решения задачи Коши для уравнения (5). Перепишем уравнение (5) в виде нормальной системы. Пусть Y1 : Y, Y2 : Y, тогда Y1 Y2, (13) 2 Y2 2 f Y1 Y с начальными условиями Y1 Y0, Y2 2 1Y0. (14) Пусть функции Y1 и Y2 удовлетворяют следующим неравенствам:

Y1 Y0 b, Y2 2 1Y0 b, (15) где b – некоторая постоянная;

и пусть существует такое число M, что спра ведливы неравенства Y2 M, 2 2 f Y12 Y1 M. (16) Тогда, применяя теорему Пикара [14, с. 165] получаем следующее Утверждение 1. Решение задачи Коши для системы (13) с начальны ми условиями (14) непрерывно дифференцируемо, единственное и суще ствует при x b M, где постоянные b и M определяются формулами (15), (16).

Перейдем к доказательству непрерывной зависимости от параметра решений задачи Коши для системы (13) с начальными условиями (14).

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион В системе (13) сделаем замену переменной x x 2 1. Тогда полу чаем Y Y1 2, (17) Y Y 2 f Y 2 2 2 и Y1 0 Y0, Y2 0 Y0, (18) причем x 0, h 2 1.

Теперь мы имеем задачу Коши для системы (17) с начальными условия ми (18). Легко видеть, что начальные условия (18) не зависят от параметра.

Пусть постоянная b определена, как выше, а постоянная M такова, что для всех *, * справедливы неравенства Y2 M, 2 2 f Y12 Y1 M. (19) Тогда, применяя теорему о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметра [14, с. 183], получаем следующее Утверждение 2. Решение Y1 x,, Y2 x, задачи Коши для системы (13) с начальными условиями (14) непрерывно дифференцируемо относи тельно x, единственно и существует при всех x b M, непрерывно зависит от для всех *, *, где постоянные b и M определены формулами (15) и (19) соответственно.

При выполнении условий утверждения 2 можно показать, что функция F hi,, построенная в п. 5 является непрерывной функцией параметра.

7. Численные результаты А. Керровская нелинейность Рассмотрим случай керровской нелинейности. В данном случае диэлек трическая проницаемость внутри слоя имеет вид: 2 0 E2, где 2 – постоянная составляющая диэлектрической проницаемости ;

0 – диэлек трическая проницаемость вакуума.

Решения в полупространствах x 0 и x h описываются формулами (9).

№ 2 (22), 2012 Физико-математические науки. Математика Внутри слоя 0 x h получаем уравнение Y 2 2 Y 2 Y. (20) Замечание. Решение уравнения (20) выражается через эллиптические функции [1, 15], и это позволяет провести исследование рассматриваемой за дачи независимо [1], что очень важно для тестирования предложенного здесь вычислительного метода. Кроме того, керровская нелинейность может быть исследована с помощью МИДУ [6].

Все утверждения, полученные при описании случая произвольной не линейности, справедливы и в рассматриваемом случае.

На рис. 1 приведены результаты расчетов дисперсионных кривых, по лученных из работ [1, 6] и с помощью предложенного в данной работе метода.

Сплошные кривые обозначают результаты расчетов, полученных дру гими авторами, а точки получены с помощью предложенного в этой работе метода.

Для вычислений были использованы следующие параметры: 1 4, 2 9, 3 4, Y0 1, 2, 0.


2. 2. 2. 2. 0 5 10 15 h Рис. На рис. 2 показана зависимость от h для ТЕ-волн, распространяю щихся в слое с керровской нелинейностью при следующих значениях начальных параметров: 1 1,1, 2 1,7, 3 1,1, 0,02, Y0 1. Пункти ром, ниже основных линий, показаны решения дисперсионного уравнения для случая линейной среды в слое. Как видно, значение 2 1,7 является асимптотой для линейного слоя.

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион h Рис. На рис. 3 изображены дисперсионные кривые, отвечающие следующим параметрам: 1 1,1, 2 1,7, 3 1,1, 0,1, Y0 1. Из работы [1] извест но, что при 0, 1 3 0, 2 дисперсионные кривые терпят раз рыв при 1 2 2 2. Это может указывать на изменение ха рактера собственных функций, отвечающих собственным значениям, лежа щим на различных частях дисперсионных кривых. При численных эксперимен тах в работе [1] для собственных значений 2 1 получались собственные функции с особенностями. Из численных экспериментов было установлено, что численный метод, используемый в этой работе для выбранных значений пара метров, вычисляет собственные значения, только когда выполняется условие 1,1 2 1,368. Легко подсчитать, что 1 2 2 2 1,3683.

Таким образом, полученные результаты согласуются с результатами, полу ченными в [1].

На рис. 4 представлены результаты расчетов для следующих значений параметров: 1 1,1, 2 1,7, 3 1,1, 5,7, Y0 1.

Б. Нелинейность с насыщением Рассмотрим случай нелинейности с поглощением. В этом случае дис персионные кривые могут быть построены с использованием МИДУ [2]. Это опять позволяет провести сравнение уже известных результатов с получен ными при применении предложенного здесь численного метода. Но нужно отметить, что уже в этом случае при некоторых значениях параметров чис ленный метод, полученный на основе МИДУ, встречает трудности при чис ленной реализации. В рассматриваемом случае диэлектрическая проницае мость внутри слоя имеет вид 0 E 2, 1 E где 2 – постоянная составляющая диэлектрической проницаемости ;

0 – диэлектрическая проницаемость вакуума.

№ 2 (22), 2012 Физико-математические науки. Математика h Рис. h Рис. Решения в полупространствах x 0 и x h описываются формулами (9).

Внутри слоя 0 x h получаем уравнение Y Y 2 2 Y. (21) 1 Y Замечание. Решение уравнения (21), хоть и сводится к квадратурам, однако его уже не удается выразить в замкнутой форме.

Все утверждения, полученные при описании случая произвольной не линейности, справедливы и в рассматриваемом случае.

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион В работе [2], в частности, получено неравенство max 1, 3 2 2 1, когда 1 0, 3 0, 2 max 1, 3, 0, 0. Трудности при численной реализации МИДУ возникают, когда величина 1 10, т.е. в случае, если на порядок или более превосходит. Как будет видно далее, использо ванный здесь метод не имеет подобного недостатка.

На рис. 5 приведены результаты расчетов дисперсионных кривых, полученных из работы [2] и с помощью предложенного в данной работе метода.

h Рис. На рис. 5–7 представлены дисперсионные кривые для нелинейного слоя при различных значениях коэффициентов нелинейности и. При расчетах взяты следующие значения параметров: 1 1, 2 3, 3 1, Y0 1. На рис. 5 дисперсионные кривые отвечают следующим значениям коэффициентов нелинейности 0,1 ;

на рис. 6: 0,01 ;

на рис. 7:

0,001. На рис. 5–7 проводится сравнение с результатами расчетов из [2].

На рис. 8 представлены результаты расчетов при 0,00001 ;

0,01.

На рис. 9 расчеты выполнены при 0,01 ;

0,0001. Также изобра жена кривая в случае керровской нелинейности при значениях коэффициента 0,01.

Представленные графики демонстрируют хорошее согласие резуль татов, полученных предложенным методом с уже известными результа тами.

№ 2 (22), 2012 Физико-математические науки. Математика h Рис. h Рис. h Рис. Известия высших учебных заведений. Поволжский регион h Рис. Заключение Отметим, что описанный в данной работе метод обладает важными до стоинствами: метод прост в реализации (все известные математические паке ты могут решать задачу Коши);

метод работает значительно быстрее, чем численный метод, основанный на реализации МИДУ или численный метод, предложенный в [7];

метод может быть применен для изучения широкого класса нелинейностей, в частности таких нелинейностей, для которых первый интеграл системы (5) не позволяет легко воспользоваться МИДУ.

Важно отметить, что предложенный метод эффективен в случае, если множество собственных значений рассматриваемой краевой задачи является дискретным, причем на собственных значениях полная производная по спек тральному параметру от функции F hi, не равна нулю.

Еще отметим, что общий метод для нахождения изолированных соб ственных значений в нелинейной краевой задаче для обыкновенного диффе ренциального уравнения второго порядка вида y f x, y, y, был развит в работе [16]. Однако подчеркнем, что здесь мы предлагаем численный метод для конкретных задач электродинамики, объединенных общей постановкой, и, кроме того, предложенный здесь метод может быть развит для системы уравнений в нормальной форме (см., например, [17] для случая керровской нелинейности, для общей нелинейности метод будет развит в одной из сле дующих работ автора). Ясно, что далеко не всякую нормальную систему двух уравнений первого порядка можно свести к одному уравнению второго по рядка вида y f x, y, y,.

Список литературы 1. В а л о в и к, Д. В. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в слое из нели нейного метаматериала / Д. В. Валовик // Радиотехника и электроника. – 2011. – Т. 56, № 5. – С. 587–599.

№ 2 (22), 2012 Физико-математические науки. Математика 2. В а л о в и к, Д. В. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в нелинейной среде с насыщением / Д. В. Валовик // Радиотехника и электроника. – 2011. – Т. 56, № 11. – С. 1329–1335.

3. В а л о в и к, Д. В. О распространении ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра / Д. В. Ва ловик, Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2008. – Т. 48, № 12. – С. 2186–2194.

4. В а л о в и к, Д. В. Задача о распространении электромагнитных волн в слое с произвольной нелинейностью (I. ТЕ-волны) / Д. В. Валовик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 1 (13). – С. 18–27.

5. В а л о в и к, Д. В. Задача о распространении электромагнитных ТМ-волн в слое с произвольной нелинейностью / Д. В. Валовик // Журнал вычислительной мате матики и математической физики. – 2011. – Т. 51, № 9. – С. 1729–1739.

6. S m i r n o v, Y u. G. Electromagnetic wave propagation in nonlinear layered wave guide structures / Yu. G. Smirnov, D. V. Valovik. – Penza : PSU Press, 2011. – 248 p.

7. З а р е м б о, Е. В. Об одном численном методе решения нелинейной краевой за дачи на собственные значения для электромагнитных ТМ-волн, распространяю щихся в слое с Керровской нелинейностью / Е. В. Зарембо // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 1. – С. 75–82.

8. А х м а н о в, С. А. Проблемы нелинейной оптики / С. А. Ахманов, Р. В. Хохлов. – М. : ВИНИТИ, 1964. – 296 с.

9. Бл о м б е р г е н, Н. Нелинейная оптика / Н. Бломберген. – М. : Мир, 1966.

10. E l e o n s k i i, P. N. Cylindrical nonlinear waveguides / P. N. Eleonskii, L. G. Oganes’yants, V. P. Silin // Soviet Physics Jetp. – 1972. – V. 35, № 1. – P. 44–47.

11. Nonlinear surface electromagnetic phenomena (Modern problems in condensed matter sciences, Vol. 29) / ed.: H.-E. Ponath, G. I. Stegeman. – Netherlands : Elsevier Science publishers, 1991.

12. E s ’ k i n, V. A. Exact solutions for the source-excited cylindrical electromagnetic waves in a nonlinear nondispersive medium / V. A. Es’kin, A. V. Kudrin, E. Yu. Pe trov // Physical Review E. – 2011. – V. 83. – P. 067602-1–067602-4.

13. H a o X io n g. Solutions of the cylindrical nonlinear Maxwell equations / Hao Xiong, Liu-Gang Si, Chunling Ding, Xin-You L, Xiaoxue Yang, Ying Wu // Physical Re view E. – 2012. – V. 85. – P. 016602-1–016602-5.

14. Е р у г и н, Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравне ний / Н. П. Еругин. – Минск : Наука и техника, 1979. – 744 с.

15. S c h r m a n n, H. W. Solutions to the Helmholtz equation for TE-guided waves in a three-layer structure with Kerr-type nonlinearity / H. W. Schrmann, V. S. Serov, Yu. V. Shestopalov // J. Phys. A: Math. Gen. – 2002. – V. 35. – P. 10789–10801.

16. В о л к о в, Е. А. Об исследовании и решении разностным методом нелинейных задач для обыкновенного дифференциального уравнения / Е. А. Волков // Труды МИАН СССР. – 1976. – Т. 140. – С. 103–129.

17. В а л о в и к, Д. В. О методе задачи Коши решения нелинейной краевой задачи на собственные значения для электромагнитных ТМ-волн, распространяющихся в слое с Керровской нелинейностью / Д. В. Валовик, Е. В. Зарембо // Радиотехни ка и электроника. – 2012. – Т. 57 (принята к печати).

Зарембо Екатерина Викторовна Zarembo Ekaterina Viktorovna аспирант, Пензенский Postgraduate student, государственный университет Penza State University E-mail: y_tak@yandex.ru Известия высших учебных заведений. Поволжский регион УДК 517.927, 519.62, 517. Зарембо, Е. В.

Численный метод решения нелинейной краевой задачи на соб ственные значения для электромагнитных ТE-волн, распространяющих ся в слое с произвольной нелинейностью / Е. В. Зарембо // Известия выс ших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 2 (22). – С. 59–74.

№ 2 (22), 2012 Физико-математические науки. Математика УДК 517. Е. Е. Гришина ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ПО КОЭФФИЦИЕНТУ ОТРАЖЕНИЯ Аннотация. Рассмотрен численный метод определения эффективной диэлек трической проницаемости по коэффициенту отражения. Получены результаты, показывающие сходимость метода. Представлены графики зависимости зна чения эффективной диэлектрической проницаемости от числа итераций.


Ключевые слова: обратная задача дифракции, эффективная диэлектрическая проницаемость, итерационный метод Abstract. The article considers a numerical method of effective permittivity defini tion by the reflection coefficient. The author demonstrates the results of the method convergence and presents the figures of permittivity value dependence on the num ber of iterations.

Key words: inverse diffraction problem, effective permittivity, iteration method.

Введение Настоящая работа посвящена задаче определения эффективной диэлек трической проницаемости по коэффициенту отражения. Рассматриваются не однородные образцы материалов произвольной геометрической формы, по мещенные в прямоугольный волновод с идеально проводящими стенками.

Задача может быть сведена к решению нелинейного объемного сингулярного интегрального уравнения [1]. Данное интегральное уравнение было изучено в [2], при этом использовались результаты исследования соответствующей краевой задачи и теорема эквивалентности краевой задачи и интегрального уравнения. В работах [3–5] была доказана теорема о существовании и един ственности решений нелинейного объемного сингулярного интегрального уравнения и обратной краевой задачи для определения эффективной диэлек трической проницаемости наноматериалов. Для случая однородного тела бы ли получены численные результаты в [6], некоторые особенности реализации численного алгоритма показаны в [7].

Данная задача может быть применена в нанотехнологии и наноэлек тронике, она позволяет определять диэлектрические и магнитные параметры нанокомпозитных материалов и сложных наноструктур с различной геомет рией. Ввиду композитного характера материалов при экспериментальном из мерении эти параметры, как правило, труднодоступны [8, 9], что приводит к необходимости применять методы математического моделирования и нахо дить решение численно [10].

1. Постановка обратной задачи Пусть объемное тело Q расположено в прямоугольном волноводе P x : 0 x1 a, 0 x2 b, x3, поверхность волновода P иде ально проводящая. Данное тело характеризуется постоянной магнитной про ницаемостью 0 и положительной ( 3 3 )-матрицей-функцией (тензором) ди Известия высших учебных заведений. Поволжский регион электрической проницаемости ( x). Компоненты ( x) представляют собой ограниченные функции в области Q, L (Q ), а также 1 L (Q ).

Граница Q области Q является кусочно-гладкой. Будем также пред полагать, что тело Q не касается стенок волновода, Q P. В области P \ Q среда является изотропной и однородной, при этом 0 ( 0), 0 ( 0) яв ляются постоянными.

Будем решать следующую задачу дифракции. Необходимо найти элек тромагнитное поле E, H L2 (Q). Данное поле возбуждается сторонним полем с временной зависимостью вида e it. При этом источником стороннего поля является электрический ток j0 L2,loc (3 ) с компактным носителем в R3.

Рассмотрим обобщенные решения системы уравнений Максвелла:

rot H iE j0, E rot E i0 H. (1) Для решений (1) должны выполняться условия на бесконечности [11]:

поля E и H при x3 C для достаточно больших C 0 имеют следующее представление:

1 e i E R exp i p x p p3 p 2 p p i e H p 0 2p i0 2 p e exp i 2 x.

Qp (2) p 3 e i 2 p p 3 p 2 p p Здесь «+» соответствует, «–» соответствует ;

e1,2,3 – орты в де картовой системе координат;

p, p x1, x2 и p, p x1, x2 – полные 1 системы собственных значений и ортонормированных в L2 собственных функций двумерного оператора Лапласа в прямоугольнике : x1, x2 :

0 x1 a, 0 x2 b с условиями Дирихле и Неймана соответственно.

В выражении (2) p k0 p, Im p 0 или Im p 0, k p j j j j j k0 2 00, 2 e1 x1 e2 x2. Для коэффициентов разложений (2) имеют место оценки R, Q O p m, p, (3) p p для всех m N.

Условия (2) с физической точки зрения означают, что рассеянное по ле является суперпозицией нормальных волн, расходящихся от тела. Усло № 2 (22), 2012 Физико-математические науки. Математика вия (3) обеспечивают экспоненциальную сходимость рядов (2), а также возможность их почленного дифференцирования по xj любое число раз.

Для E, H должны выполняться краевые условия на стенках волновода:

E |P 0, H |P 0. (4) Если выполняются уравнения Максвелла, то второе условие в (4) следует из первого, и его можно опустить. Но если рассматривать оператор Максвелла, порождаемый левой частью (1), то надо ставить оба условия.

Для u H 1 ( P ) существуют граничные значения из пространства H 1/ 2 (P) в смысле теории следов. Почти везде на P определен вектор нор мали.

Пусть также E0 и H 0 – решения рассматриваемой краевой задачи в от сутствие неоднородного тела Q, ( x) 0 I, x P ( I – единичный тензор):

rot H 0 i0 E0 j0, rot E0 i0 H 0 (5) E с краевыми условиями E0 |P 0, H |P 0.

(6) Эти решения могут быть выражены аналитически через j0 с помощью E введенного ниже тензора Грина. Решения не обязаны удовлетворять услови ям на бесконечности. Например, E0 и H 0 могут быть ТМ- или ТЕ-модой это го волновода.

Компоненты диагонального тензора Грина GE представляют собой фундаментальные решения уравнения Гельмгольца в P с коэффициентом k0 2 00. Для этих компонент выполняются краевые условия первого или второго рода на поверхности волновода P, обеспечивающие обращение в нуль тангенциальных составляющих напряженности электрического поля на стенках волновода. Компоненты тензора Грина имеют вид [1] x y 2 e nm 3 3 n m n m G1 cos x1 sin x2 cos y1 sin y2, E ab n 0 m 1 nm (1 0 n ) a b a b x y n m n m 2 e nm 3 y2, GE sin x1 cos x2 sin y1 cos ab n 1 m0 nm (1 0m ) a b a b x y 2 e nm 3 3 n m n m GE sin x1 sin x2 sin y1 sin y2.

nm ab n 1 m1 a b a b 2 n m В этих выражениях nm k0, при этом ветвь квад a b ратного корня выбирается так, чтобы Im nm 0 и Re nm 0, если Известия высших учебных заведений. Поволжский регион Im nm 0. Здесь k0 – волновое число свободного пространства, k0 2 00 ;

– круговая частота.

Решение поставленной задачи, описанной выше, сводится к интегро дифференциальному уравнению [1] относительно поля E:

( y ) E ( x ) E ( x ) k0 GE ( r ) I E( y )dy 0 Q ( y ) grad div GE (r ) I E( y )dy, x Q. (7) 0 Q Кроме того, ( y ) E( x ) E 0 ( x ) k0 GE ( r ) I E( y )dy 0 Q ( y ) grad div GE (r ) I E( y )dy, x P \ Q. (8) 0 Q Рассмотрим обратную краевую задачу для определения эффективной диэлектрической проницаемости образца наноматериала, расположенного в волноводе.

2. Решение обратной краевой задачи Будем рассматривать изотропный случай. Пусть x, – констан та, которую мы будем определять (эффективная диэлектрическая проницае мость образца) [4, 10, 12]. Предположим, что a k0 b. В этом случае в волноводе может распространяться только одна мода, потому что 2 0, 2 k 2 2 a 2 0 и Im j 0 для всех p, j, за исключени Im 1 0 p ем p 1 и j 2. Пусть падающее поле имеет вид x i 2 x E0 x e2 A i0 sin 1 e 1 3, a a где A – (известная) амплитуда распространяющейся волны. Тогда в (2) 1 cos x1 a. Следовательно, G1 0 и GE 0 равномерно по y Q при E x3. Мы также получаем y i 2 x y x sin 1 sin 1 e 1 3 3 0, GE ab10 a a равномерно по y Q при x3. Затем мы имеем div GE 0 равномерно GE по y Q при x3 (потому что 0 равномерно по y Q при x x3 ). Вычислив предел при x3 в (2), получим уравнение № 2 (22), 2012 Физико-математические науки. Математика ( y ) E x E 0 x k0 GE r I E y e2 dy, x P / Q, 2 (9) 0 Q принимая во внимание условие на бесконечности при x3 :

i1 x 2 i x x x sin 1 e2Q1 ) e 1 3 i0 sin e2 A( ) e ( i a a a a i1 x x e2 A( ) e i0 sin a a k 2e y i 2 x y ( y ) x 0 2 sin 1 sin 1 e 1 3 3 I E ( y )e2 dy. (10) ab10 a a 0 Q Из этого следует асимптотическое уравнение:

y i 2 y ( y ) sin 1 e 1 Q1 k0 I E ( y )e2 dy. (11) b10i0 a Q Мы предполагаем, что коэффициент Q1 известен из эксперимента.

Уравнение (11) – это дополнительное условие, из которого будет определять ся диэлектрическая проницаемость материала. Коэффициент Q1 зависит от круговой частоты.

Обратная задача определения тензорной диэлектрической проницаемо сти образца материала, помещенного в волновод, состоит в том, чтобы найти Q (), из проницаемость по известному коэффициенту отражения Q1 меренному на различных частотах.

Таким образом, мы имеем C 1, (12) E, f где i0b10Q C ;

(13) k y1 i12 y f e2 sin e, (14) a а скобки обозначают скалярное произведение в пространстве L2 Q :

E, f E y f y dy. (15) Q Подставляя (12) и (14) в формулу (9), мы получаем нелинейное объем ное интегральное уравнение:

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион E, f E x E0 x k02 GE x, y E y dy C Q grad div GE x, y E y dy, x Q.

(16) Q Введем линейный интегральный оператор:

2 A0 E : k0 GE x, y E y dy grad div GE x, y E y dy.

(17) Q Q Перепишем уравнение (17) в операторной форме:

E, f E E0 A0E. (18) C Пусть A A i0, C C и A a 1/ A0f f, f Af 2 A0 f r. (19) A2 A0 f A 0 Теорема. Пусть выполнены условия ( f, f ) 0 и 2r f 1 f,f | F f, f.

|C (20) A Тогда существует и единственно решение нелинейного объемного ин тегрального уравнения (16). Также существует и единственно решение об ратной краевой задачи, полученное по формуле (12). Кроме того, приближен ное решение уравнения (16) может быть найдено посредством итерационного процесса E, f E E0 C A0 En, En1 En (21) n n A ( f, f ) который сходится для любого начального приближения E0 Sr E0 со ско ростью геометрической прогрессии, где r определяется формулой (19). Тео рема может быть доказана аналогично [1].

Условие (14) имеет место, если величина Q1 | достаточно мала. С фи зической точки зрения это означает, что амплитуда прошедшей волны не сильно отличается от амплитуды падающей волны.

Рассмотрим схему итерационного процесса (21) для решения нелиней ного интегрального уравнения (16). При n = 0,1,… на каждом шаге необхо № 2 (22), 2012 Физико-математические науки. Математика димо (численно) вычислять действие линейного объемного сингулярного ин тегрального оператора A0. Алгоритм вычислений описан в [13]. Алгоритм суммирования рядов представлен в [1]. В качестве начального приближения естественно взять E0 E0. После решения уравнения (16) с заданной точно стью с помощью итерационной процедуры (21) по формулам (10)–(12) нахо дим неизвестную эффективную диэлектрическую проницаемость.

3. Численные результаты Аналитическое решение задачи дифракции на секции в волноводе было получено в [14]. Выберем = 1 и найдем коэффициент B по формуле 1 2 sin c B 2iA, 2 1 ic 1 ic 1 e 1 e, k где 1 k0.

a2 a Возьмем в качестве коэффициента Q1, при решении обратной крае вой задачи итерационным методом – коэффициент B, и будем вычислять.

На рис. 1–3 представлены полученные результаты, которые демонстрируют сходимость итерационного метода в пределах области сходимости 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 Рис. 1. Зависимость эффективной диэлектрической проницаемости от числа итераций n при значениях параметров:

1 = 1,1;

a = 2,274;

b = 1,004;

c = 0,982;

k0 = 2, Известия высших учебных заведений. Поволжский регион 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 Рис. 2. Зависимость эффективной диэлектрической проницаемости от числа итераций n при значениях параметров 1 = 1,3;

a = 2,274;

b = 1,004;

c = 0,982;

k0 = 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 Рис. 3. Зависимость эффективной диэлектрической проницаемости от числа итераций n при значениях параметров 1 = 1,5;

a = 2,274;

b = 1,004;

c = 0,982;

k0 = 2, Список литературы 1. С м и р н о в, Ю. Г. Применение ГРИД-технологий для решения нелинейного объемного сингулярного интегрального уравнения для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 3. – С. 39–54.

№ 2 (22), 2012 Физико-математические науки. Математика 2. K o b a y a s h i, K. Investigation of Electromagnetic Diffraction by a Dielectric Body in a Waveguide Using the Method of Volume Singular Integral Equation / Kobayashi K., Shestopalov Yu. V., Smirnov Yu. G. // SIAM Journal of Applied Mathematics. – 2009. – V. 70, № 3. – Р. 969–983.

3. С м и р н о в, Ю. Г. О существовании и единственности решений обратной крае вой задачи для определения эффективной диэлектрической проницаемости нано материалов / Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 1. – С. 11–24.

4. С м и р н о в, Ю. Г. О существовании и единственности решений обратной крае вой задачи определения диэлектрической проницаемости материалов / Ю. Г. Смир нов, Д. А Миронов. // Журнал вычислительной математики и математической фи зики. – 2010. – Т. 50, № 9. – С. 1587–1597.

5. S m i r n o v, Y u. G. Existence and uniqueness of a solution to the inverse problem of the complex permittivity reconstruction of a dielectric body in a waveguide / Yu. G. Smirnov, Yu. V. Shestopalov // Inverse Problems. – 2010. – V. 26. – P. 1–14.

6. S m i r n o v, Y. Analysis of Inverse Scattering in a Waveguide using the Method of Volume Singular Integral Equation / Y. Smirnov, Y. Shestopalov, D. Mironov // URSI Internetional Symposium on Electromagnetic Theory (EMTS 2010). – Berlin, Germa ny, 2010. – P. 532–534.

7. С м и р н о в, Ю. Г. Метод коллокации решения объемного сингулярного инте грального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости мате риала / Ю. Г. Смирнов, М. Ю. Медведик, Д. И. Васюнин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 3. – С. 71–87.

8. S o l y m a r, L. Waves in Metamaterials / L. Solymar, E. Shamonina. – New York :

Oxford University Press, 2009. – 384 p.

9. Zh a r o v a, N. A. Nonlinear Transmission and Spatiotemporal Solutions in Met amaterials with Negative Refraction / N. A. Zharova, I. V. Shadrivov, A. A. Zharov, Yu. S. Kivshar // Optics Express. – 2005. – V. 13, № 4. – P. 1291–1298.

10. S h e s t o p a lo v, Y u. V. Development of Mathematical Methods for Reconstructing Complex Permittivity of a Scatterer in a Waveguide / Yu. V. Shestopalov, Yu. G. Smirnov, V. V. Yakovlev // Proceedings of 5th International Workshop on Elec tromagnetic Wave Scattering, October 22–25. – Antalya, Turkey, 2008.

11. М е дв е ди к, М. Ю. Параллельный алгоритм расчета поверхностных токов в электромагнитной задаче дифракции на экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смир нов, С. И. Соболев // Вычислительные методы и программирование. – 2005. – Т. 6. – С. 99–108.

12. S h e s t o p a lo v, Y u. V. Volume Singular Integral Equations Method for Determina tion of Effective Permittivity of Meta- and Nanomaterials / Yu. V. Shestopalov, Yu. G. Smirnov, V. V. Yakovlev // Proceedings of Progsess in Electromagnetics Re search Symposium (PIERS 2008) (July 2–6 2008). – Cambridge, USA, 2008. – P. 291– 292.

13. С а м о х и н, A. Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электро магнитном рассеянии / A. Б. Самохин. – М. : Радио и Связь, 1998. – 160 с.

14. Г у р и н а, Е. Е. Численное и аналитическое решение задачи дифракции элек тромагнитного поля на диэлектрическом параллелепипеде, расположенном в прямоугольном волноводе / Е. Е. Гурина, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математичес кие науки. – 2010. – № 2. – С. 44–53.

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион Гришина Елена Евгеньевна Grishina Elena Evgenyevna аспирант, Пензенский Postgraduate student, государственный университет Penza State University E-mail: mmm@pnzgu.ru УДК 517. Гришина, Е. Е.

Численный метод решения обратной задачи восстановления эф фективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту отраже ния / Е. Е. Гришина // Известия высших учебных заведений. Поволжский ре гион. Физико-математические науки. – 2012. – № 2 (22). – С. 75–84.

№ 2 (22), 2012 Физико-математические науки. Математика УДК 518. И. В. Бойков УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ ХОПФИЛДА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Аннотация. Исследована асимптотическая устойчивость по Ляпунову нейрон ных сетей Хопфилда с запаздыванием, описываемых системами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрены нейронные сети Хопфилда с запаздыванием и разрывными функциями активации.

Ключевые слова: нейронные сети Хопфилда, асимптотическая устойчивость, устойчивость по Ляпунову.

Abstract. The author investigates Lyapunov asymptotic stability of Hopfield neural networks with time lag, described by systems of nonlinear normal differential equa tions. The article considers Hopfield neural networks with time lags and discontinu ous activation functions.

Key words: Hopfield neural networks, asymptotic stability, Lyapunov stability.

Введение Новый класс рекуррентных нейронных сетей, известных как нейронные сети Хопфилда, (НСХ) был введен Хопфилдом тридцать лет назад [1, 2].

С тех пор НСХ являются предметом активных исследований. НСХ имеют не сколько типичных применений: они применяются при решении оптимизаци онных проблем и используются как ассоциативная память.

В последнее время НСХ применяются для решения задач математиче ской физики. Во всех случаях применения НСХ желательно, чтобы сеть име ла единственную стационарную точку и была устойчива относительно этой точки. Еще более предпочтительна асимптотическая устойчивость или даже равномерная асимптотическая устойчивость. Большое число работ посвящено исследованию устойчивости различных дискретных, непрерывных и импуль сных НСХ с запаздыванием и без запаздывания [3–8].

Целью данной статьи является исследование равномерной асимптоти ческой устойчивости НСХ с запаздываниями с непрерывными и разрывными функциями активации. Для НСХ без запаздывания аналогичные результаты получены в предыдущей работе автора [6] (см. также [8].) Статья построена следующим образом. В разделе 1 приводятся необхо димые определения. В разделе 2 исследуется устойчивость НСХ с непрерыв ными функциями активации. В разделе 3 исследуются НСХ с разрывными функциями активации.

1. Постановка задачи В работе исследуются непрерывные НСХ следующих видов:

n dxk (t ) = xk (t ) kl l ( xl (t )) I k, t 0, k = 1, 2,, n;

(1) Ck dt Rk l = n dxk (t ) xk (t ) k kl ( xl (t )) I k, t 0, k = 1, 2,, n.

= (2) Ck dt Rk l = Известия высших учебных заведений. Поволжский регион Здесь n – число нейронов в сети;

x(t ) = ( x1 (t ),, xn (t ))T – вектор состояния сети в момент времени t ;

= (1,, n ) – функции активации нейронов;

Rk, Ck, I k (k = 1, 2,, n) – сопротивления, емкости и внешние токи соответственно.

Формально нейронные сети (1), (2) могут быть описаны системой обыкновенных дифференциальных уравнений n dxk (t ) = ak (t ) xk (t ) wkl (t )l ( xl (t )) I k, k = 1, 2,, n, (3) dt l = и системой n dxk (t ) = ak (t ) xk (t ) wkl (t ) xl (t ) I k, k = 0,1,, n. (4) dt l =1 Метод исследований устойчивости нейронных сетей (1), (2), развитый в данной статье, также применим и к исследованию нейронных сетей вида n dxk (t ) = ak (t, xk ) bk (t, xk ) ckl (t )l ( xl (t )), k = 1, 2, n. (5) dt l = Будем считать, что в моделях (3)–(5) в промежутке времени 0 t xk (t ) 0, k = 1, 2,, n. (6) Напомним некоторые определения и обозначения.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.