авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
-- [ Страница 1 ] --

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

№ 444

СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКИХ И ГЕОЛОГИЧЕСКИХ НАУК

Издается с 1958

года

ВОПРОСЫ ГЕОФИЗИКИ

В ы п у с к 44

Ответственные редакторы

В. Н. Троян, Н. И. Успенский, А. К. Сараев

УДК 550.34/38/83: 551.24

ББК 26.2

В74

Р е ц е н з е н т д-р физ.-мат. наук Ю. А. Копытенко (С.-Петерб. ф-л Ин-та земного магнетизма, ионо сферы и распространения радиоволн РАН) Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета геологического факультета С.-Петербургского государственного университета Вопросы геофизики. Вып. 44 / Под ред. В. Н. Трояна, Н. И. Успенского, В74 А. К. Сараева. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2012. 190 с. (Ученые записки СПбГУ;

№ 444).

Настоящий сборник содержит результаты сейсмических и геоэлектрических исследований, изучения магнитных свойств горных пород. В сборнике рассматриваются вопросы теории, экс периментального обоснования и применения геофизических методов.

Сборник предназначен научным сотрудникам, специалистам-производственникам, аспиран там и студентам геофизических специализаций.

ББК 26. Problems of geophysics. Issue 44 / Editors-in-chief V. N. Troyan, N. I. Uspen sky, A. K. Saraev. SPb.: St. Petersburg University Press, 2012. 190 p. (The sci entic papers of SPbSU;

N 444).

This issue contains papers, in which results of seismic and geoelectric investigations, rocks mag netic properties studies are considered. Questions of theory, experimental basement and application of geophysical methods are analyzed.

The issue is designed for the scientists, specialists of industrial organizations, post-graduate stu dents and students of geophysical specialties.

c Авторы сборника, c С.-Петербургский государственный университет, Вопросы геофизики. Выпуск 44. СПб., 2011 (Ученые записки СПбГУ;

№ 444) Ал. А. Ковтун ОБ УРАВНЕНИЯХ МОДЕЛИ БИО И ИХ МОДИФИКАЦИЯХ На основе материалов публикаций многих авторов рассматриваются различные представления уравнений, описывающие взаимосвязанное распространение волн в по ристой флюидонасыщенной среде, для которой Я. И. Френкель [1] и М. Био [2, 4] ввели двухфазную модель среды. Большое внимание уделяется также моделям диссипации пористой среды и способам ее учета в уравнениях состояния.

Теория Био (Biot A. [2–5]) линейная теория эффективных двухфазных сред (мо дель среды состоит из жесткого пористого каркаса и флюида, заполняющего поры), уравнения которой выводятся при некоторых допущениях на основе постулирования определений функции плотности энергии упругой деформации и кинетической энер гии. С использованием иных подходов (чем у Био) и математически более строгой техники осреднения разными авторами были получены макроскопические уравнения пороупругости (см., например, Санчес-Паленсия [6], Burridge и Keller [7], В. Н. Никола евский [8], Berryman J. G., Thigpen L. [9], Whitaker [10], Pride и др. [11], Л. А. Молотков [12]), которые в целом согласуются с теорией Био в случае слабовязкого насыщающего флюида.

Фундаментальное свойство упруго-пористой насыщенной среды, следующее из тео рии Био, состоит в том, что в таких средах могут распространяться две продольные волны, быстрая и медленная, а также поперечная волна.

Возмущенное состояние упруго-пористой среды характеризуется двумя полями осредненных векторов смещений: u = u(xk, t) для жесткого пористого каркаса и U = U(xk, t) для жидкости в поровом пространстве или же смещений флюида отно сительно каркаса w = (U u), где коэффициент пористости. При этом внешним проявлением деформаций является поле смещений u, которое непосредственно реги стрируют приборы и давление флюида pf, тогда как смещение U или w не измеряется, но может быть вычислено в результате решения соответствующей математической за дачи.

Уравнения Био имеют ту же структуру, что и уравнения упругой среды, состоят из уравнений закона Гука и уравнений сплошной среды. Как и в случае упругости из уравнений пористой среды могут быть исключены напряжения и получены уравнения типа Ламе для пористой среды. Упомянутые системы уравнений пористой среды Био могут быть записаны в трех представлениях. В первое представление входят смеще ния u и U и напряжения твердой и жидкой фаз (s) и (f ). Однако это представление неудобно использовать в задачах на распространение волн в случае слоистых сред, так как не все величины, непрерывные на границах раздела, входят в уравнения первого представления [12]. Во второе представление входят смещения u в упругой (твердой) фазе, суммарные напряжения, а также давление p флюида и относительные смеще ния в жидкой фазе w. В третьем представлении в уравнения пороупругости входят смещение u, полное напряжение и флюидное давление p, при этом смещение w или U исключается из модифицированных уравнений движения среды.

c Ал. А. Ковтун, 4 Ал. А. Ковтун Важное усложнение уравнений Био состоит в учете дисперсии и поглощения. Основ ной эффект диссипации в однородной среде Био связан с трением на границах между жидкостью и каркасом в порах (механизм вязкой диссипации) и приводит к введению дополнительных членов в уравнения движения Био. В случаях некоторых моделей дис сипации предлагается вводить добавочные члены с ядрами релаксации, а также учиты вать неидеальность обеих фаз (например, вязко-пороупругие модели среды). У разных типов волн влияние диссипации проявляется различным образом. Для медленной про дольной волны результат вязкой диссипации является наиболее сильным с частотно зависимым затуханием, которое делает эту волну труднонаблюдаемой во флюидонасы щенных породах.

Наряду с уравнениями пористая среда характеризуется также выражениями для плотностей потенциальной и кинетической энергий, которые являются положительно определенными квадратичными формами от производных смещений. Между уравнени ями Био и этими квадратичными формами существует однозначная связь, состоящая в том, что закон Гука и выражение для плотности потенциальной энергии характери зуются одной и той же положительно определенной матрицей [12]. Аналогичная связь имеет место между уравнением движения и выражением для плотности кинетической энергии. Выражения для плотности энергии упругой деформации и кинетической энер гии пористых сред Био являются обобщениями соответствующих выражений в случае упругой и жидкой сред.

1. Элементы теории Био для анизотропной упруго-пористой флюидонасыщенной среды в низкочастотной области В терминах смещений u, w плотность потенциальной энергии упругой деформации W дана в [4] в виде следующей квадратичной формы:

1 Cik,qm eik eqm + Qkq ekq + M 2.

W= (1) 2 Здесь Cik,qm, Qqm, M (эффективные упругие) параметры пористой насыщенной сре ды, Qqm = qm M ;

Ckq,ml компоненты тензора C (аналог тензора упругости) карка са, насыщенного флюидом, k, q, m, l = 1, 2, 3;

Qkl элементы тензора Q второго ранга, характеризующие связь между объемными изменениями твердого каркаса и флюи да, k, l = 1, 2, 3;

ekm (u) = 1 xm + um uk компоненты тензора деформации каркаса;

2 xk = div w.

Величина плотности кинетической энергии E представляется квадратичной формой 1 ui ui wi 1 wi wj E= + f + mij, (2) 2 t t t 2 t t где = f + (1 )s плотность пористого материала в целом;

s и f плотно сти упругого каркаса и флюида;

mij (i, j = 1, 2, 3) элементы симметричной и по ложительно определенной матрицы эффективных плотностей (тензор второго ранга, Здесь и далее используется правило суммирования по повторяющимся значкам.

Об уравнениях модели Био и их модификациях определяемый геометрией порового пространства (тензором извилистости) и плотно стью флюида). Для сред со стaтистически-изотропным полем микроскоростей флюида mij = m ij, где ij функция Кронекера (ij = 1 при i = j и ij = 0 при i = j).

Для низкочастотной области функция диссипации D определяется в [4] квадратич ной формой D = sij wi wj, где вязкость флюида, (sij ) = (ij )1 положительно-определенная симметричная матрица фильтрационного сопротивления, обратная к матрице (ij ) тензора проница емости среды.

Из (1) и выражения для вариации потенциальной энергии W = ij eij + p следуют соотношения связи между напряжениями и деформациями, записываемые для общего случая анизотропии в виде 11 c11 c12 c13 c14 c15 c16 q1 e 22 c21 c22 c23 c24 c25 c26 q2 e 33 c31 c32 c33 c34 c35 c36 q3 e 23 = c41 c42 c43 c44 c45 c46 q4 2e23, (3) 31 c51 c52 c53 c54 c55 c56 q5 2e 12 c61 c62 c63 c64 c65 c66 q6 2e p q1 q2 q3 q4 q5 q6 M где ij элементы полного тензора напряжений пористой насыщенной среды;

p дав ление флюида.

Таким образом, произвольно-анизотропная пористая среда Био характеризуется симметричной матрицей системы (3), обозначаемой далее через A77, с 28 упругими коэффициентами: 21 параметр cij = cji, 6 коэффициентов qi и M. Связь между парами индексов (kq) и (ml) элементов Ckq,ml тензора C и индексами i, j элементов cij устанав ливается по следующей схеме: (1) (11), (2) (22), (3) (33), (4) (23) = (32), (5) (13) = (31), (6) (21) = (22). Аналогичным образом устанавливается связь элементов qi (i = 1, 2,..., 6) с элементами Qkl (k, l = 1, 2, 3) матрицы тензора Q.

В (3) предполагается положительная определенность матрицы A77, а также мат риц (cij ) и Q. Тензоры C и Q обладают свойством симметрии Cij,mk = Cmk,ij = Cji,mk = Cij,km, Qij = Qji и позволяют записать соотношения (3) в виде ki = Cki,qm eqm + Qki, p = Qkq ekq + M. (4) При установлении структуры матрицы A77 обычно исходят из факта инвариант ности величины W относительно афинных ортогональных преобразований координат.

6 Ал. А. Ковтун Пользуясь тензорным характером введенных таблиц (ckq,ml ) и (Qkl ) запишем закон их преобразования:

x x b x c x d x a x b a C ab,cd = Q ab = C, Q (5) x x x x x x при переходе от одной системы координат {xk } к другой подобной системе {x }, свя k занной с первой формулами преобразования x = aki xi, aki aqi = kq.

k Здесь aki матрица преобразования системы координат.

Число независимых коэффициентов матрицы A77, сохраняющих свое значение при переходе от одной системы координат к другой, определяется в зависимости от типа симметрии среды числом возможных инвариантов (квадратичных форм), содержащих ся в выражении для плотности энергии деформации W анизотропной пористой среды.

В случае изотропной среды W представляется суммой четырех квадратичных форм от инвариантов тензора деформации eij пористого каркаса и инварианта деформации флюида [4]:

2W = (c + 2µ)(e11 + e22 + e33 )2 + µ(e23 2 + e13 2 + e12 2 4e22 e33 4e11 e33 4e11 e22 )+ +2q(e11 + e22 + e33 ) + M 2, где c, µ, q, M упругие константы пористого материала. Матрица системы (3) в этом случае имеет вид c + 2µ c c 000q c c + 2µ c 0 0 0 q c c c + 2µ 0 0 0 q 0 0 0 µ 0 0 0. (6) 0 0 0 0 µ 0 0 0 0 0 0 µ q q q 000M В случае трансверсально-изотропной среды Био, ось симметрии которой совпадает с осью Ox3 системы координат, выражение для W содержит уже восемь инвариантов с коэффициентами (c11 = c + 2µ;

c33 = c + 2µ p;

c44 = µ m;

c66 = µ;

c13 = c l, q1, q2, R). Упругие константы входят в матрицу A77 следующим образом:

c + 2µ c c l 0 0 0 q c c + 2µ c l 0 0 0 q c l c l c + 2µ p 0 0 0 q 0 0 0 µm 0 0 0. (7) 0 0 0 0 µm 0 0 0 0 0 0 µ q1 q1 q2 0 0 0M Сопоставление (6) с (7) показывает, что при l = p = m = 0 и q2 = q1 = q трансверсально изотропная среда вырождается в изотропную.

Об уравнениях модели Био и их модификациях Ортотропная пористая среда, оси симметрии которой совмещены с осями коорди натной системы {xk }, описывается матрицей c11 c12 c13 0 0 0 q c21 c22 c23 0 0 0 q c31 c32 c33 0 0 0 q 0 0 0 c44 0 0 0. (8) 0 0 0 0 c55 0 0 0 0 0 0 c66 q1 q2 q3 0 0 0M В случае неоднородной и произвольно-анизотропной среды Био система уравнений движения относительно компонент векторов смещений ui и wi имеет вид [4] um wm Cij,mk Qij mk = ui + f wi (i = 1, 2, 3), (9) t xj xk xk um wm wj ij Qmk M ij mk = (f ui + mij wj ) + sij (i = 1, 2, 3).

t xj xk xk t Здесь плотности, а также параметры mij и sij в правой части уравнений полагаются независящими от координат, что в общем случае для пористой среды неверно.

Для компактной записи соотношений (4) и уравнений (9) удобно перейти к шести мерному вектору смещений ui, i = 1, 2, 3;

Ui = (10) wi3, i = 4, 5, 6.

В случае однородной анизотропной среды Био уравнения (9) относительно компонент вектора (10) можно записать в виде [13] 2 Uj 2 Uj Uj kq Cij Gij Dij = 0, (i = 1,..., 6). (11) t xk xq t kq В (11) введена таблица упругих параметров Cij, элементы которой формируются по правилу Cik,qj, i, j, k, q = 1, 2, 3;

Q ik j3,q, i, k, q = 1, 2, 3;

j = 4, 5, 6;

kq Cij = (12) Qjq i3,k, i = 4, 5, 6;

j, k, q = 1, 2, 3;

M i3,k j3,q, i, j = 4, 5, 6;

k, q = 1, 2, 3, а также матрицы G и D вида I f I O O G=, D=, (13) O S f I M где I и O соответственно единичная и нулевая матрицы размерности 3 3;

M (mkq ) матрица тензора эффективных плотностей флюида;

S (sij ) матрица тен зора сопротивления течения флюида, обратная к матрице K (mq ) тензора прони цаемости среды.

8 Ал. А. Ковтун kq kq qk Таблица Cij обладает симметрией Cij = Cji, а также дополнительными свойства ми симметрии:

kq kq kq qk Cij bk bq = Cji bk bq, Cij Bi Bj = Cij Bi Bj, где bk и Bi составляющие соответственно трехмерного и шестимерного векторов.

В обозначениях (10), (12), (13) плотности энергии упругой деформации W и кине тической энергии E выражаются формулами 1 kq Ui Wj 1 Ui Wj W= C, E= Gij, (14) 2 ij xk xq 2 t t а соотношения между напряжениями и смещениями из (3), (4) перепишем следующим образом:

kq Uj tik = Cij (i = 1,..., 6;

k = 1, 2, 3). (15) xq Здесь через tik обозначена прямоугольная таблица размера 6 ik, i, k = 1, 2, 3;

tik pi3,k, i = 4, 5, 6;

k = 1, 2, 3.

Наконец, используя таблицу tik, запишем вектор плотности потока энергии P с составляющими:

Ui kq Uj Ui Pk = tik = Cij (k = 1, 2, 3). (16) t xq t Уравнения Био (1956) для низкочастотной области. В ранней работе Био [2] уравнения пороупругости для случая однородной изотропной среды записывались относительно вектора смещений твердого каркаса u и вектора смещений жидкой фа зы U.

Напряжения, осредненные по объему, и смещения u, U, осредненные по своим фа зам, связаны между собой соотношениями закона Гука [2]:

(s) km = 2N ekm (u) + (A · u + Q · U)km (k, m = 1, 2, 3), (f ) = pkm = (Q · u + R · U)km. (17) km (s) Здесь km элементы тензора напряжения твердой фазы;

(f ) напряжение жидкой фазы, а параметры A, N (модуль сдвига упругого скелета), Q, R представляют собой упругие модули среды, которые выражаются через коэффициенты пористости, сжи маемости Cs, Cf и модуль объемного сжатия K.

Уравнения движения среды представляются в виде [2] (A + N )( · u) + N u + Q( · U) = 11 utt + 12 Utt b(ut Ut ), Q( · u) + R( · U) = 12 utt + 22 Utt + b(ut Ut ), (18) 2 где utt = u ;

b = 2 ( вязкость флюида, проницаемость среды);

11, 12, t эффективные плотности среды, определяемые равенствами 11 = s (1 ) + f ( 1), 12 = f ( 1), 22 = f, (19) Об уравнениях модели Био и их модификациях в которых s и f плотности упругого каркаса и флюида;

пористость;

коэф фициент извилистости пор. Материальные параметры среды должны удовлетворять соотношениям P R Q2 0, (P = A + 2N ), P 0, R 0, 11 22 2 0, следующим из условий положительности квадратичных форм для энергии упругой деформации и кинетической энергии.

Уравнения Био (1962) для низкочастотной области. В терминах смещений (s) (f ) u и w соотношения между полными напряжениями ij = ij + ij и деформациями в изотропном случае можно выразить через коэффициенты Ламе осушенного каркаса µ, и коэффициенты M = R/2 и = Q+R следующим образом:

R ij = 2µeij (u) + [( + 2 M )( · u) p]ij (k, m = 1, 2, 3), p · w = ( + · u), M или ij = 2µeij (u) + (c · u + M · w)ij (k, m = 1, 2, 3), p = (M · u + M · w). (20) При этом эквивалентные системы (18) уравнения движения принимают вид [4, 5] 2u 2w (c + µ)( · u) + µu + M ( · w) = + f 2, t2 t 2 u w w M ( · u) + M ( · w) = f 2 + m 2 +. (21) t t t Здесь параметры c, µ,, M связаны с упругими модулями из (17) соотношениями N = µ, A = + ( )2 M, Q = ( )M, R = 2 M ;

= f + (1 )s есть плотность пористого материала в целом, и m = 22 /2 = (f + a )/2 = f эффективная плотность флюида. В низкочастотной области параметры, и m не зависят от ча стоты.

Коэффициент µ модуль сдвига объема пористого материала равен модулю сдви га упругой матрицы (каркаса). Пусть Ks, Kf, Km и Kc обозначают объемные модули сжимаемости зерен породы, флюида, упругой матрицы и насыщенной породы соответ ственно. Тогда упругие константы Hc = c + 2µ, M и M можно представить следу ющим образом:

Hc = c + 2µ = Kc + µ, Kc = Ks [(Km + Q)/(Ks + Q)], Q = Kf (Ks Km )/(Ks Kf )], D M = Ks Kf (Ks Km )/[Kf (Ks Km ) + Ks (Ks Kf )], 1 M = Ks Kf /[Kf (Ks Km ) + Ks (Ks Kf )] = 1/[1/Kf + ( )/Ks ], 10 Ал. А. Ковтун где = 1 Km /Ks.

Отметим, что эти формулы справедливы только в случае изотропного и мономинераль ного каркаса. Если же каркас содержит зерна разных пород, например песка и глины, или построен из нескольких взаимопроникающих решеток, как, например, в случае по род в зоне мерзлоты или пород с газ-гидратом, необходимо использовать другие форму лы, которые выводятся на основе подходов, развиваемых, например, в работах [14, 15].

Уравнения Санчес-Паленсия. Для анизотропной пористой среды уравнения представляют связное твердое тело, насыщенное слабовязким флюидом [6]:

(s) ij = aijkh ekh (u) ij p (i, j = 1, 2, 3), 1 p = ij eij (u) + · w, (22) 2 ui 2 wi ij = 2 + f (i = 1, 2, 3), t xj t t w u = K(t )(f 2 p)( )d. (23) t t (s) Здесь aijkh элементы тензора упругих коэффициентов осушенного твердого каркаса;

ij элементы тензора эффективного напряжения;

M, K(t) некоторый опера тор.

Уравнения (22)–(23) являются более общей формой уравнений пороупругости. Если K(t) =const, то от уравнений (23) легко перейти к представлениям в виде уравнений (21) или (18). Уравнения движения в форме, сходной с (23), возникают, например, в случае учета частотно-зависимой диссипации.

2. Частотно-зависимая диссипация.

Некоторые модели механизмов диссипации Большинство приложений теории Био в ранних иследованиях было связано с уль тразвуковой областью, тогда как в низкочастотной области она использовалась редко, в основном из-за некорректного предсказания затухания продольных и поперечной волн и их дисперсии. В литературе 1980–1990 годов высказывалось мнение, что механизмы поглощения, введенные в рамках теории Био в работах [16–18], предсказывают эффек ты распространения волн в искусственных синтетических средах, но не согласуются с описанием затухания и дисперсии волн в реальных флюидонасыщенных средах в обла сти сейсмических частот. В области низких частот (100 –103 Гц) теория Био дает более низкие значения затухания и дисперсии, чем экспериментально измеренные, на один или два порядка магнитуды [19].

Распространение волн через флюидонасыщенные породы вызывает малые макро скопические флюидные потоки. При распространении продольной волны через одно Об уравнениях модели Био и их модификациях родный пористый слой создается поток, перпендикулярный волновому фронту, из об ласти сжатия в область дилатации. Вызываемое этим процессом затухание имеет мак симум на релаксационной частоте vbl, соответствующей состоянию, при котором на стенках пор начинают развиваться вязкие пограничные слои (инерциальные силы флю ида в каждой поре становятся преобладающими относительно вязких сдвиговых сил).

Модель относительных потоков [18] имеет вид vbl =, (24) f 0 F где флюидная вязкость;

f плотность флюида;

0 проницаемость;

F электри ческий формационный фактор. В интервале частот наземной сейсмики 100 –102 Гц это затухание, известное как затухание глобального потока Био, в основном пренебре жимо мало.

На ранних этапах изучения возможных механизмов диссипации в пористых сре дах в литературе обсуждались несколько (эмпирических), отличных от Био, механиз мов, которые могли бы вызвать дополнительное затухание в реальных средах. Один из них обусловлен, как свидетельствуют экспериментальные данные, присутствием гли ны в породе [20–22]. Предполагается, что прилипание глинистых частиц к стенкам пор увеличивает поверхность порового пространства и шероховатость стенок, что в свою очередь может усиливать вязкую диссипацию.

Более часто упоминается локальный поток, связанный с образованием допол нительных (в масштабе размера зерен и микротрещин) локальных потоков флюида.

Локальный флюидный поток, как механизм сейсмического волнового затухания, был предложен Mavko, A. Nur [23, 24] и изучался многими авторами [25–28]. Этот подход фокусируется на потерях, возникающих вследствие локального потока порового флю ида в отдельной поре (или между двумя связанными порами) в процессе деформации, вызываемой прохождением волны. Когда, например, эллипсоидальная пора подверга ется плоской деформации, ее форма изменяется, что является причиной некоторого флюидного движения внутри поры. Такой процесс не учитывается в классической тео рии Био, которая имеет дело только с макроскопическим (так называемым глобаль ным) потоком. Хотя влияние локального потока может вносить определенный вклад в упруго-волновое затухание, однако построение количественной модели этого феномена является сложной задачей, так как приходится иметь дело с индивидуальными порами, трещинами и характеризовать породу на уровне порового масштаба.

Другие модели механизмов поглощения, исследованные позднее, также связаны с идеей локальных потоков, но отличаются от упомянутой тем, что они полностью мак роскопические и имеют дело в бльшей мере с пространственным распределением мак о роскопических параметров локально-неоднородной пористой среды, нежели с парамет рами отдельных пор и трещин.

В случае присутствия гетерогенности в масштабе пористой среды возможен допол нительный механизм затухания, который может привести к уже заметному затуханию и дисперсии в полосе частот наземной сейсмики и ВСП. В осадочном бассейне доми нантным источником гетерогенности является слоистость осадков. Это впервые было понято и промоделировано в [29]. P-волна, у которой длина значительно более протя женная, чем толщины слоев, будет сжимать (или расширять) одновременно множество слоев. Так как каждый слой имеет в целом различные свойства сжимаемости, измене 12 Ал. А. Ковтун ние флюидного давления в смежных слоях будет различным и посредством диффузии будет стремиться к равновесному (за счет вязких потоков). В контексте теории Био процесс флюидной диффузии известен как медленная волна Био. Ее возникнове ние на изолированной границе раздела посредством модовой конверсии из падающей P-волны было впервые экспериментально обнаружено Plona [30] (см. также [31]).

Таким образом, когда длина волны больше, чем толщины слоев, можно говорить, что медленные волны возбуждаются, чтобы уравновесить возмущение флюидного дав ления между слоями. Диссипация в тонкослоистой модели обусловливается процес сом генерации локальных потоков между слоями в результате прохождения быстрой продольной волны (т. е. механизмом дополнительного поглощения является конверсия быстрой продольной волны в диффузионные медленные волны, которые полностью затухают внутри слоев). Флюидный поток, связанный с этим уравновешиванием дав ления, может привести к значительному затуханию и дисперсии в сейсмической по лосе частот. Такое индуцированное медленно-волновое затухание имеет максимум на релаксационной частоте sw, соответствующей случаю, когда глубина скин-слоя, за хваченного процессом диффузии флюидного давления (длина проникновения внутрь), составляет примерно порядок размера пористого континуума и согласно [32] K f sv, h где характеристическая пористость слоистости (например, средняя пористость);

Kf флюидная несжимаемость;

0 характеристическая проницаемость;

h харак теристическая толщина слоя.

По этой тематике было выполнено много исследований. В частности, White и др.

(Уайт Д. Ж. Э. Возбуждение и распространение сейсмических волн. М., 1986) модели ровали низкочастотное равновесие флюидного давления между чередующимися газо- и жидконасыщенными слоями, в то же время пренебрегая всеми эффектами рассеивания.

Авторы получили явное выражение для затухания и дисперсии P-волны, вызванные межслойными флюидными потоками. Norris [33] дал асимптотическую трактовку той же задачи, что позволило разъединить процесс диффузии флюидного давления (или медленной волны) от распространения (быстрой продольной) волны. Анализ требует, чтобы длина P-волны была много больше, чем характеристическая длина, на которой изменяются материальные свойства пористого пространства (и по которой определя ются свойства эффективного материала). В рамках низкочастотного асимптотического предела Norris определил с точностью до главного порядка вклады в затухание и дис персию продольной волны, вызываемые установлением равновесия флюидного давле ния между периодическими слоями. Он воспроизвел аналогичные результаты затуха ния и дисперсии White и др. [29] и таким образом дал обоснование более эвристической аппроксимации, используемой в работе White и др.

Б. Я. Гуревич и С. Л. Лопатников [34] расширили анализ, учитывая P-волновое рас пространение в случайных слоистых осадочных отложениях. Применение теории Био к неоднородным (случайным или периодически слоистым) пористым средам приводит к уравнениям Био с переменными коэффициентами. Из анализа этих уравнений при помощи техники статистического возмущения авторы вывели зависимости скорости и нормализованного затухания Q1 быстрой продольной волны как функции частоты.

Максимальные значения затухания и скоростной дисперсии достигаются на частоте Об уравнениях модели Био и их модификациях N 0 = h2, при которой длина медленной волны Био равна среднему размеру неодно родности (средней толщине слоя или характеристической длине). Их аналитические результаты для затухания и дисперсии, вызванные межслойными потоками, получены при сочетании следующих требований: вариации материальных свойств между разны ми слоями должны быть малы (аппроксимация типа однократного рассеивания);

часто ты должны быть достаточно малыми, чтобы все эффекты P-волнового рассеивания от отдельных слоев были бы пренебрежимо малы. Чтобы получить асимптотические ре зультаты, необходимы предположения о корреляционной функции, характеризующей случайную слоистость. Когда авторы применили эту теорию к случаю периодического чередования слоев, то результаты оказались похожи на те, что были получены у Nor ris (1993) и White и др. [29] (результат ограничен только требованием периодичности слоев). В низкочастотном пределе Q1 пропорционально 1/2 в случае случайной и 1 в случае периодической слоистости. На частотах выше, чем 0, затухание убывает как 1/2, независимо от типа слоистости. Для более реалистичного случая слоисто сти с экспоненциальной функцией корреляции отмечается более постепенное изменение скорости и затухания с частотой, чем при периодической слоистости среды. Кривые за тухания и дисперсии носят типично релаксационный характер.

Наконец, Gelinsky и Shapiro [35], Gelinsky и др. [36] расширили анализ P-волнового распространения в случайных слоистых средах до более высоких частот, при которых P-волновое рассеивание от границ разделов слоев трактуется в виде дополнительно го медленно-волнового межслойного потока. Они получили аналитические результаты для случаев, в которых интегральная корреляционная функция соответствовала опре деленным типам случайной зависимости, и продемонстрировали, что их асимптотиче ские результаты совпадают с результатами численного моделирования, полученными при использовании комплекса OASES, позволяющего вычислять волновые поля в сло истой среде.

В работе Б. Я. Гуревича, В. Б. Зырянова, С. Л. Лопатникова [37] на примере одно мерной модели тонкослоистой (случайной с экспоненциальной функцией корреляции и периодической слоистости) пористой среды Био изучалось в широком частотном диа пазоне раздельное и совместное влияние на затухание быстрой продольной волны трех механизмов: внутрислоистых флюидных потоков, индуцированных прохождением вол ны, рассеивания, вызванного тонкой слоистостью, и стандартного вязкоинерционного поглощения теории Био. Для модели случайной слоистости (в модели периодической слоистости рассеивание отсутствует) теоретические и численные результаты показали, что в сейсмической и звуковой частотной областях затухание, связанное с механизмами внутрислоистых потоков (ff low 100 101 Гц) и рассеивания (fscat 102 103 Гц), преобладает над затуханием Био;

частотная зависимость поглощения механизма внут рислоистых потоков имеет более постепенный характер, чем для рассеивания или дру гих известных механизмов затухания;

осредненная частотная зависимость затухания, вызванная комбинированным влиянием трех механизмов, может быть выражена су перпозицией теоретических решений каждого из механизмов.

Модель тонкослоистой пористой среды отчасти подобна объединенной модели Био и потоков выдавливания ( sqirt-ow ) (BISQ-модель), предложенной Dvorkin, Nur [38– 40] и обобщенной на случай анизотропии в работах Parra [41, 42]. В одномерной BISQ модели используется цилиндрическая геометрия, которая, в отличие от плоскослоистой геометрии, имеет только один (в изотропном случае) свободный пространственный па 14 Ал. А. Ковтун раметр так называемую длину потока выдавливания, выбираемую таким образом, чтобы достигнуть совпадения между модельным и наблюдаемым затуханием.

В работах Parra [41, 42] рассмотрена анизотропная (трансверсально-изотропная) модель пористой среды Био, связанной с системой одинаково ориентированных флюи донасыщенных трещин, в которой описание потоков выдавливания осуществляется при помощи специального тензора.

Заметим, что характеристическая частота fsq BISQ-модели располагается в области звуковых и ультразвуковых частот (fsq 103 105 Гц) и занимает промежуточное положение между fscat и fbiot ( 105 107 Гц).

Обстоятельное численное исследование прохождения P-волн через тонкослоистую осадочную толщу дано в работе S. Pride, E. Tromeur, J. Berryman [32]. В этих иссле дованиях учитывается влияние на распространение P-волны частоты, угла падения, толщины слоев, проницаемости и упругой податливости пород. Результаты численного моделирования (при помощи метода рефлективити) согласуются с предшествующи ми теоретическими исследованиями: механизм уравновешивания флюидного давления между слоями может приводить к значительному затуханию на низких частотах. При помощи моделирования установлено, что при достаточно тонкой слоистости (1–10 см), медленноволновые эффекты максимальны в полосе частот наземной сейсмики (101 – 102 Гц). Увеличение толщины слоев до 1 м и более приводит к понижению sw /2 до частоты менее 1 Гц.

Альтернативный подход учета частотно-зависимой диссипации заключается в по строении эффективных вязкоупругих или вязкопороупругих моделей среды, которые могут вызывать эквивалентные эффекты поглощения и дисперсии.

Кроме затухания, связанного с трением движущейся в порах жидкости со стенка ми пор, в среде Био имеет место еще и затухание внутри обеих фаз. Для учета это го затухания модули, входящие в закон Гука, заменяются, как и в случае упругости, операторами, содержащими ядра релаксации или коэффициенты вязкости. Например, упругий коэффициент Hc (или другие модули) заменяется на оператор (общего вида) t Hc H0 + n + d H1 (t )..., t где H0 упругая константа;

n коэффициент вязкости твердой фазы;

H1 (t ) некоторое разностное ядро.

На дисперсионные соотношения для пористой среды сильно влияет присутствие вязкого граничного слоя в поровом флюидном потоке. В высокочастотном пределе ( ) результирующее поглощение пропорционально 1/2.

Сходные дисперсионные законы были также выведены из диффузионной релакса ции. В работе В. Е. Рок, A. Hanyga [43] рассматривается эффективная модель, основан ная на базе интегродифференциального волнового уравнения. При этом показано, что такое уравнение с ядром памяти K (t), соответствующим аппроксимации дисперсион ного закона k = 1/c + i(i) (k комплексное волновое число;

c высокочастотный предел скорости звука;

константа, зависящая от высоко- или низкочастотного предела скорости звука и от ха рактеристического времени R ) со значением показателя = 0.65, хорошо согласуется Об уравнениях модели Био и их модификациях с результатами Гуревича и Лопатникова [34] в широкой области частот, причём более высокочастотной, чем в [34].

В работе J. M. Carcione [44] различные механизмы диссипации вводятся в теорию Био посредством замены модуля взаимодействия между фазами (M) на зависящие от времени релаксационные функции, основанные на стандартной линейной модели твер дого тела, и проводится сопоставление волнового пороупругого (двухфазного) числен ного моделирования с соответствующими вычислениями, основанными на однофазном моделировании для эффективной вязкоупругой среды. В работе показано, что однород ную пористую среду можно промоделировать однофазной вязкоупругой средой. При этом для каждого вязкоупругого модуля достаточно только одного релаксационного механизма, чтобы получить соответствие с модулем пористой среды. Из-за того, что затухание в уравнениях Био не связано с упругой вязкоупругостью через соотношения между напряжениями и деформациями, стандартная модель вязкоупругости, которая обобщает сжимаемость и поперечный модуль релаксационными функциями, не соответ ствует описанию комплексных модулей Био. Поэтому при построении эквивалентных вязкоупругих уравнений движения автор непосредственно сопоставляет характеристи ки затухания и дисперсии скоростей волн путем подбора релаксационных функций, связанных с волновыми модами. Для каждой волновой моды подбирается свой релак сационный механизм, в котором релаксационные времена связаны с характеристиче скими частотами и показателями затухания Q.

3. Уравнения пороупругости с учетом частотно-зависимой диссипации Уравнения Био в первом представлении. В ряде приложений, в которых учи тывается частотно-зависимая диссипация (например, [45, 46]), уравнения движения (18) теории Био (1956) в частотной области при зависимости от времени вида u = ueit, U = Ueit представляются следующим образом:

u (A + N )( · u) + N + Q( · U) = 2 11 () 2 12 ()U, u Q( · u) + R( · U) = 2 12 () 2 22 ()U, (25) u где i i kk () = kk () + b(), k = 1, 2, 12 () = 12 () b();

(26) 2 H2 () b() = 2 H1 (), 22 () =, 12 () = f 22 (), QE () = (1 )s 12 (), i if 1/2 if 1/ H1 () + iH2 () = K 1 (), K() = J2 i a /J0 i a.

f Здесь Jn функция Бесселя;

a характеристика порового размера, которая выводится из уравнения Дарси b()|0 = 2 /, a = 8/2 ;

присущая материалу проница емость. Формула для K() получена при помощи метода гомогенизации для модели ци линдрической трубки, заполненной флюидом, путем решения уравнения Новье Стокса в макроскопическом масштабе [47].

16 Ал. А. Ковтун В работе Johnson и др. [19] в предположении, что решетка твердого материала яв ляется недеформируемой, функция динамической проницаемости предлагается в виде K() =, (1 4ia2 2 f /2 2 )1/2 ia0 f / где 0 статическая Дарси-проницаемость;

a высокочастотный предел динамической извилистости;

мера порового размера (если поровое пространство рассматривать в виде системы трубок, то (8a0 /)1/2 ;

в случае трещин коэффициент 8 заменяется на 12). На низких частотах K() 0, на высоких K() i/(af ).

Уравнения Био во втором представлении. Уравнения движения Био (1962) в частотной области запишем в виде · = 2 2 f w, u 2 = f u g()w + ib()w.

p (27) При использовании частотно-зависимой модели механизма диссипации Biot–Stoll, как это делается, например, в работе [48], функции g() и b() определяются формулами f Fi () g() = +, b() = Fr (), (28) f где комплексная функция F () = Fr () + iFi () представляется в виде ber + ibei 1 T () = ap (f /)1/2.

F () = ·, где T () =, 4 1 + (2i/)T () ber + ibei Здесь ber z, bei z функции Кельвина первого и нулевого порядка;

ap = 2(Ao /)1/2 ;

Ao константа Kozeny-Carman ( 5);

b() b(), 0, g() ( + 1/3)f /, g() f /.

0 0 Уравнения пороупругости во временнй области с модифицированной о фрикционной силой взаимодействия между каркасом и флюидом (D. L. John son [49]). Рассмотрим эти уравнения:

t ui + f t wi i ij = 0, (29) i f inf f t ui + t wi + i p + Ff r = 0, i (30) 1 t p = j wj j uj, (31) (1 ) 1 t ij = j wj + + j uj ij + 2G · (j ui + i uj ). (32) Здесь ui, wi i-компоненты скоростей векторов смещения в матрице и смещения флюи да относительно матрицы (wi = (v i ui ));

полный тензор напряжения насыщенной Об уравнениях модели Био и их модификациях пористой среды;

p давление (возмущение стационарного значения давления) флюида;

, G коэффициенты Ламе для ненасыщенной флюидом матрицы ( сухая матрица ), = K 2 G, K = Ks, G = µ · µs, µs модуль сдвига материала матрицы;

коэффициент сжимаемости, определяемый при условиях флюидонасыщения, = /Kf +, Ks где Ks, Kf объемные модули сжимаемости материала матрицы и флюида;

= 1 K/Ks коэффициент эффективного напряжения, K объемный модуль пористой i матрицы;

Ff r i-компонента плотности фрикционной силы между матрицей и флюи дом:

t 2i i exp ( M b (t )) 2b i i ( wi + Ff r = w )d, i M g0 2i M b (t ) or b = i f ·i i-компонента Био-частоты;

вязкость флюида, i предельное зна i inf · чение динамической проницаемости в i-м направлении при стремлении частоты к нулю.

i При b i f M inf Ff r = i wi + i t wi.

Если в уравнениях Био (29)–(30) перейти от скоростей смещений к обычным сме i щениям, то второе уравнение системы при условии b будет иметь вид i f M inf i p = f tt ui + (1 + )tt wi + i t wi.

4 Модифицированные уравнения Био в частотной области. В начале 1980-х годов на основе применения метода гомогенизации были получены модифициро ванные уравнения движения для среды Био [47], которые представляются в частотной области в виде системы четырех уравнений от переменных {, p}. Такие уравнения u сразу получили признание и применение во многих теоретических и прикладных ис следованиях (см., например, [41], [50–52]).

Рассмотрим переход от системы из шести уравнений движения к системе четырех уравнений. В качестве исходных удобно взять уравнения (22) и (23). Пусть зависимость от времени задается в виде (it). Тогда в частотной области аналоги уравнений (22) и (23) можно записать в виде u = C · e() p, (33) (f ) ij = ij = [ e() + · (U u)]ij, p u (34) ij = · = 2 [s (1 ) + f U] (i = 1, 2, 3), (35) u xj w = (U u) = K()( 2 f u )/(i), p (36) 18 Ал. А. Ковтун где полный тензор напряжения насыщенной пористой среды;

e() тензор дефор u мации пористой среды;

p давление флюида;

C тензор упругих коэффициентов кар каса осушенной породы (в случае, например, трансверсально-изотропного каркаса он содержит пять независимых коэффициентов c11, c12, c13, c33, c44 );

тензор второго ранга эффективного напряжения (при нулевом давлении). Элементы этого тензора в трансверсально-изотропном случае 1 = 1 (c11 + c12 + c13 )/3Ks, 3 = 1 (2c13 + c33 )/3Ks, в изотропном случае = 1 Km /Ks, где Ks объемный модуль зерен;

Km объем ный модуль зернистой пористой матрицы. Коэффициент сжимаемости при условиях флюидонасыщения и в трансверсально-изотропом случае = /Kf + (1 )/Ks [2(c11 + c12 + c13 ) + c33 ]/9Ks, / = 1/{1/Kf + [(21 + 3 )/3 ]/Ks }, в изотропном случае / = 1/[1/Kf + ( )/Ks ], где Kf объемный модуль флюида.

Пусть в (36) K() так называемый обобщенный Дарси-тензор, 1 i a /f + icl i i Kl () = + = ml +, f l где cl = l, l = 1, 2, 3;

l присущая проницаемость среды;

a дополнительная f плотность, введенная в [2, 4] и связанная с эффективными плотностями из (21) и (18) посредством формулы m = 22 /2 = (f + a )/2.

u Переход в (35), (36) к независимым переменным {, p} вместо {, U} или {, w} u u осуществляется следующим образом. Вычисляется дивергенция от обеих частей урав нения (36) и используется выражение для p из (34): div w = ( p + e( )). В результате u в изотропном случае получается следующая система уравнений:

( + µ)( · u) + µ + 2 u = 0, p u K() p ( · u) = 0, p (37) (i) где K() K() Kb = + 2 2 = + 2,, =, = +, f f (i) (i) Ks Ks Kf Kb = + 2 µ объемная сжимаемость;

Ks сжимаемость зерен матрицы;

Kf сжи маемость флюида;

K() комплексная функция проницаемости (обобщенный Дарси коэффициент) аналог. K 1 () = H1 () + iH2 (). Введем параметры характери стической частоты c = H1 (0) и извилистости = f H2 (0). Тогда приведенные f комплексные параметры,, K() в терминах c, запишем в виде 2 f c f = 1 i, 2 + ()2 2 + () c c Об уравнениях модели Био и их модификациях 1 1 c = 1 i, 2 + ()2 c + () c i f 2 K() c =.

i (i) 1+ c Уравнения с BISQ-моделью диссипации. Dvorkin и Nur (1993 [38]) на примере одноаксиального распространения продольной волны вывели систему уравнений, в ко торой осуществлен совместный учет вязкой диссипации (Био-механизма) потока флю ида в направлении перемещения и дополнительных двумерных потоков выдавливания (squirt-ow), возбуждаемых в поперечных направлениях.

Позднее Para в работе [41] сделал обобщение уравнений из [38] на случай распро странения волн в трансверсально-изотропной пористой среде. Окончательные уравне ния записываются в частотной области в форме системы модифицированных уравне ний. Фактически совместный учет Biot- и squirt-ow-механизмов диссипации сводится к введению в уравнение (34) специального squirt-ow-тензора S(). В случае транс версально-изотропной среды предполагается, что тензоры K(), C, и S() заданы в системе координат, связанной с осью симметрии среды. Тензор S() в [41] s3 () 0 S() = 0 s1 () 0, 0 0 s1 () где элементы sm () выражаются формулами 2J1 (m Rm ) f a /f + im sm () = 1, m = [ + ], (m = 1, 2, 3).

m Rm J0 (m Rm ) Здесь Jo и J1 функции Бесселя;

Rm характеристическая длина squirt-потока. Для используемого на практике сейсмического диапазона частот выполняется условие = m km f 1.

Вместо уравнения (34) модифицированное выражение для полного давления, вклю чающее механизмы Био и потоков выдавливания (squirt-ow), в случае трансверсально изотропной среды предлагается записать в виде Uz 3 uz Uy 1 uy p = s1 () + s3 () + z z y y Ux 1 ux s3 () + x x или в терминах w = (U u):

1 wz p= s3 () · w + (s1 () s3 ()) z 1 uz s3 ()1 · u + (s1 ()3 s3 ()1 ). (38) z 20 Ал. А. Ковтун В изотропном случае эти формулы имеют вид 1 · u], p = s()[ · U + p = s()[ · w + · u].

Здесь / = 1/[1/Kf + ( )/Ks ].

Новое соотношение для p и смещения u конструируется из уравнения Дарси (34) и равенства (38):

p uz s3 k1 2 p p + (s1 k3 s3 k1 ) 2 s3 1 · u (s1 3 s3 1 ) = 0, (39) z z где km = km (), m = m + 2 f km. Исключая в (33), (35), (36) смещение U и ис i пользуя (39), получим систему уравнений относительно u и p:

2 2 2 uz p + c44 2 + 2 x ]x + (c13 + c44 ) [c11 u x = 0, x2 z xz x 2 ux 2 p + [c44 2 + c33 2 + 2 z ]z z (c13 + c44 ) u = 0, xz x z z 2 ux uz s3 x s1 z + (s3 kx 2 + s1 kz 2 ) = 0, p (40) x z x z где m = + 2 f km. Отдельное несвязанное уравнение для uy 2 + c44 2 + 2 x ]y = [c66 u (41) x z относится к SH-волне.

Рассмотрим теперь представление уравнений с BISQ-моделью диссипации [38], [41] во временнй области.

о За основу возьмем уравнения Био (1962) для однородной изотропной среды:

ij = 2µeij (u) + [( · u) p]ij (i, j = 1, 2, 3), (42) p = ( · u) + ( · w), (43) 2 ui 2 wi ij = 2 + f, t xj t 2 ui 2 wi i p wi = f 2 + m 2 + (i = 1, 2, 3). (44) xi t t t Согласно [38] и [41], а также учитывая механизм потоков выдавливания, равенство (43) в частотной области запишем в виде = s() p ( · u) + ( · w), (45) где 2J1 (R) 2 = ( 2 m + i ).

s() = 1, (46) RJ0 (R) Об уравнениях модели Био и их модификациях Во временнй области система (42)–(43) при учете (45) принимает вид интегродиффе о ренциальных уравнений:

t p = S(t )[( · u) + ( · w)]( )d, (47) t ij = 2µeij (u) + ( · u) + S(t )[( · u) + ( · w)]( )d ij, i, j = 1, 2, 3, а уравнения движения (45) заменяются на следующие:

t 2 ui 2 wi ( + µ)( · u) + µu + S(t )[( · u) + ( · w)]( )d = + f, t2 t t 2 ui 2 wi 1 wi S(t )[( · u) + ( · w)]( )d = f + m 2 +. (48) t t k t Введем псевдодифференциальный оператор (ПДО) S = S(i t ), действие которого на финитную функцию f (t, xk ) определим формулами Sf (t, xk ) = (2)1/2 1/ eit s()d.

S(t )f (, xk )d, S(t) = (2) Здесь функция s() символ оператора S задается посредством формулы (46). С использованием ПДО система (48) примет вид 2 ui 2 wi µu + ( + µ)( · u) + S[( · u) + ( · w)] = 2 + f, t t 2 ui 2 wi 1 wi S[( · u) + ( · w)] = f 2 + m 2 +. (49) t t k t Запишем (46) как 2J1 () s() = 1 s(), s() =, = R. (50) J0 () Тогда уравнения (49) перепишем в виде 2 2 ui 2 wi µu + [(c + µ) s]( · u) + [1 s]( · w)] = 2 + f, t t 2 ui 2 wi 1 wi [1 s]( · u) + [1 s]( · w)] = f 2 + m 2 +. (51) t t k t Здесь c = +, через s обозначен ПДО, имеющий символом функцию s() из (50).

22 Ал. А. Ковтун Как показано в [38], для сейсмических частот, используемых на практике, должно выполняться условие c 1, поэтому для аргумента функций Бесселя в (50) допустима аппроксимация = R i R2 iCo, Co = R /k.

k В заключение приведем полезный пример обоснованного определения всех необхо димых параметров уравнений Био при построении физической модели флюидонасы щенной осадочной толщи [32].

За основу примем уравнения Био для изотропной однородной среды:

= [(H 4/3G) · u + C · w]I + G[u + (u) 2/3 · uI], (52) = C · u + M · w.

p (53) · = 2 ( + f w), (54) u = f u i p (55) w.

K() Три упругих модуля Био (1962) (H 4/3G), C, M можно выразить через три других коэффициента, которые имеют ясные лабораторные определения: 1) объемный модуль неосушенной пористой породы KU, контролирующий объемные изменения герметиче ски закрытого образца породы;

2) объемный модуль осушенной пористой породы KD, контролирующий объемные изменения образца, если флюидное давление не изменя ется;

3) коэффициент B, который есть отношение между приращениями флюидного давления и прикладываемого ограничивающего давления в герметически закрытом образце. Эти в основном обоснованные соотношения суть B H 4/3G = KU, C = BKU, M= KU, 1 KD /KU не зависящие от возможного присутствия анизотропии в образце или в масштабе зерен, а также от того, имеют ли зерна, составляющие породу, разный минералогический состав. Модуль G ( µ) модуль сдвига образца применяется как независящее от флюида свойство породы.

Отметим, что взяв дивергенцию уравнения (55) и подставив равенства (53), получим уравнение диффузии флюидного давления: Dp 2 p + ip = члены источника, где Dp = M / коэффициент диффузии флюидного давления. Он определяет физическую роль, которую играет M.

Далее налагаются ограничения на то, чтобы зерна в каждом образце породы были изотропными и однородными. При таких мономинеральных ограничениях (и только при таких условиях) соотношения Biot и Willis (1957 [3]) будут справедливы. Эти соот ношения дают явные зависимости модулей пористого материала от объемных модулей Kf и Ks порового флюида и твердых зерен:

1/KD 1/Ks B=, 1/KD 1/Ks + (1/Kf 1/Ks ) KD KU =.

1 B(1 KD /Ks Об уравнениях модели Био и их модификациях После некоторых преобразований имеем следующие представления для модулей:

Kd + [1 (1 )KD /Ks ]Kf KU =, 1+ (1 KD /Ks )Kf Kf C=, M=, 1+ 1+ где 1 Kf KD = 1.

Ks (1 )Ks Запись пороупругих модулей в таком виде рациональна, поскольку всегда очень малое число. В экстремальном пределе жесткой решетки, где KD (1 )Ks, по лучим 0. Противоположный предел бесконечно податливой решетки (KD 0) имеем, когда зерна не формируют никаких протяженных соединенных проходов через образец. В осадках такой порог просачивания встречается при определенном значе нии 0.5, зависящем от особенностей распределения размера зерен и конфигура ции заполнения. Таким образом, принимает свое наибольшее значение Kf /Ks, когда имеется бесконечная податливость решетки и никогда не располагается вне области 0 Kf /Ks при любых типах материалов. Это означает, в частности, что модуль M ограничен так, что 1/(1 + Kf /Ks ) M/Kf 1. Так как Kf /Ks 101, когда флюид жидкость, коэффициент диффузии давления хорошо аппроксимируется как Dp Kf /().

Осушенные модули являются определенными функциями микрогеометрии образца, и не существует никаких универсальных законов, которые бы связывали их с пори стостью. Тем не менее в низкопористых материалах осушенные модули больше, чем в высокопористых, и поэтому предполагается, что при изменяющихся с литологией a и b целесообразно использовать простое правило:

1 KD = Ks, G = Gs.

1 + a 1 + b Здесь Gs модуль сдвига зерен пористого материала.

Теория эффективных сред (например, [16], [53]) дает выражения того же вида и предполагает, что a и b зависят от формы предполагаемых пор и отношения Ks /Gs.

Предполагается, что Ks /Gs есть константа для всех пород (это действительно так для большинства зерен песка). В зависимости от степени консолидации допустима прибли зительно область 2 a, b 20 для песчаников (2 характерно для хорошо консолиди рованных и 20 для плохо консолидированных пород). При этих предположениях тремя параметрами, фиксирующими упругие свойства, являются, a, b. Чтобы уменьшить число свободных параметров, примем произвольно b = 3/2a во всех модельных по строениях (теория эффективной среды предсказывает b a, и поэтому множитель 3/ является приемлемым для консолидированных осадков).


Последним материальным свойством модели является динамическая проницаемость K(). Используем упомянутый раньше результат Johnson и др. (1987):

K() 4 = 1i i, 0 vbl n vbl 24 Ал. А. Ковтун где 0 статическая Дарси-проницаемость материала;

vbl переходная частота, опре деляемая формулой (24);

n безразмерный параметр, который зависит только от вы ражений поровой геометрии n=.

F Здесь F снова электрический формационный фактор, а отношение взвешенного порового объема к площади поверхности зерен с весом, выделяющим стянутую часть соединяющегося порового пространства. Имеются некоторые данные, предполагающие, что n 8 для относительно глинистых песчаников и осадков. Однако в породах с вторичным приростом глины n, вероятно, понижается ниже этого значения. Другими словами, n не следует в целом рассматривать, как универсальную константу. Тем не ме нее, чтобы уменьшить число свободных параметров, примем n = 8 для всех осадочных моделей. Наконец, статическую Дарси-проницаемость 0 определим с использованием l модели (Thompson и др. [54]): 0 = 226F, в которой формационный фактор F задан законом F = m, где показатель m для осадочных пород обычно лежит в интервале 1.5 m 2.2 с вариациями, вызываемыми различиями в микрогеометрии породы.

Для того чтобы устранить еще один свободный параметр, возьмем m = 1.7 для всех осадков. Thompson и др. [54] измерили l для 50 образцов песчаников и установили, что все значения l лежат в интервале 0.3 µm l 90 µm с вариацией, зависящей от сте пени вторичного глинистого обогащения и первоначального выветривания зерен. Этот интервал по l в сочетании с вариациями по F соответствует более чем семи порядкам магнитуды вариации проницаемости. Таким образом, осадочные последовательности можно определять фиксацией трех физических свойств: (пористости), a (фактора податливости) и l (порового диаметра) для каждого слоя последовательности.

Приведем таблицу единиц измерения величин (СИ), входящих в уравнения Био:

• напряжение и давление = E, упругие коэффициенты модули E, H 1 Па = м2 = 10 · см·с2, 1 ГПа = 109 Па = 1010 · см·с2 ;

г г • порядок реальных значений упругих модулей: (100 101 ) ГПа;

• вязкость: 1 Па · с = м·с, 1 пуаз (П) = 101 м·с = 1 · см·с ;

кг кг г • порядок реальных значений вязкости: (10 10 ) · 103 П;

0 кг г • плотность: м3 = см3 ;

• проницаемость: 1 дарси (Д) = 106 мм2 = 108 см2 = 1012 м2 ;

1 миллидарси (мД) = 103 Д = 1011 см2 = 1015 м2 ;

• порядок реальных значений проницаемости: (101 102 ) · 108 см2.

Указатель литературы 1. Френкель Я. И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной поч ве // Изв. АН СССР. Сер. география и геофизика. 1944. Т. 8, № 4. С. 133–150.

2. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in a uid-saturated Porous Solid I. // J. Acoust. Soc. Amer. 1956. Vol. 28. P. 168–178.

3. Biot M. A., Willis D. C. The elastic coecients of the theory of consolidation // J. Appl.

Mech. 1957. Vol. 24. P. 594–601.

4. Biot M. A. Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media // J. Appl.

Phys. 1962. Vol. 33, N 4. P. 1482–1498.

5. Biot M. A. Generalized theory of acoustic propagation in porous dissipative media // J. Acoust. Soc. Amer. 1962. Vol. 34, N 9. P. 1254–1264.

Об уравнениях модели Био и их модификациях 6. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984. 472 с.

7. Burridge R., Keller J. Poroelasticity equations derived from microstructure // J. Acoust.

Soc. Amer. 1981. Vol. 70. P. 1140–1146.

8. Николаевский В. Н. Механика пористых и трещиноватых сред. М., 1984. 232 с.

9. Berryman J. G., Thigpen L. Linear dynamic poroelasticity with microstructure for partially saturated solids // J. Appl. Mech. 1985. Vol. 52. P. 345–350.

10. Whitaker S. 1) Flow in porous media. I. A technical derivation of Darcy’s law // Transport in Porous Media. 1986. Vol. 1. P. 3–25;

2) Flow in porous media. II. The governing equations for immiscible, two-phase ow // Transport in Porous Media. 1986. Vol. 1. P. 105–125;

3) Flow in porous media. III. Deformable media // Transport in Porous Media. 1986. Vol. 1. P. 127–154.

11. Pride S. R., Gangi A. F., Morgan F. D. Deriving the equations of motion for porous isotropic media // J. Acoust. Soc. Am. 1992. N 6. P. 3278–3290.

12. Молотков Л. А. Исследования распространения волн в пористых и трещиноватых средах на основе эффективных моделей Био и слоистых сред. СПб.: Наука, 2001. 347 с.

13. Kовтун А. А., Решетников В. В. Распространение объемных волн в лучевом прибли жении в однородных анизотропных упругопористых насыщенных средах // Вестн.

С.-Петерб. ун-та. 1996. Сер. 4, вып. 4. С. 18–27.

14. Berryman J.G., Milton G.W. Exact results for generalized Gassmann’s equations in composite porous media with two consistituents // Geophysics. 1991. Vol. 56, N 12. P. 1950–1960.

15. Carcione J. M., Helle H. B., Santos J. E., Ravazzoli C. L. A constitutive equation and gener alized Gassmann modulus for multimineral porous media // Geophysics. 2005. Vol. 70, N 2.

P. N17–N26.

16. Berryman J. G. Conrmation of Biot’s theory // Appl. Phys. Lett. 1980. Vol. 37. P. 382–384.

17. Johnson D. L., Plona T. J. Acoustic slow waves and the consolidation transition // J. Acoust.

Soc. Amer. 1982. Vol. 72. P. 556–565.

18. Johnson D. L., Koplik J., Dashen R. Theory of dynamic permeability and tortuosity in uid saturated porous media // Fluid Mech. 1987. Vol. 176. P. 379–402.

19. Kelder O., Smeulders D. M. J. Observation of the Biot slow wave in water-saturated Nivel steiner sandston // Geophysics. 1997. Vol. 62, N 6. P. 1794–1796.

20. Klimentos T., Mc Cann C. Way is the Biot slow compressional wave not observed in real rocks // Geophysics. 1988. Vol. 53. P. 1605–1609.

21. Klimentos T. The eects of porosity-permeability-clay content on the velocity of compres sional waves // Geophysics. 1991. Vol. 56, N 12. P. 1930–1939.

22. Николаевский В. Н., Басниев К. С., Горбунов А. Т., Зотов Г. А. Механика пористых на сыщенных сред. М.: Недра, 1970. 335 с.

23. Mavko G., Nur A. Melt Squirt in Aesthenosphere // J. Geophys. Res. 1975. Vol. 80. P. 1444– 1448.

24. Mavko G., Nur A. Attenuation in partially saturated rocks // Geophysics. 1979. Vol. 44.

P. 161–178.

25. O’Connel R. J., Budiansky B. Viscoelastic properties of uid-saturated cracked solids // J.

Geophys. Res. 1977. Vol. 82. P. 5719–5735.

26. Jones T. Pore uids and frequency dependent wave propagation in rocks // Geophysics. 1986.

Vol. 51. P. 1939–1953.

27. Murphy W. F., Winkler K. W., Kleinberg R. L. Acoustic relaxation in sedimentary rocks:

Dependence on grain contacts and uid saturation // Geophysics. 1986. Vol. 51. P. 757–766.

28. Уайт Дж. Э., Михайлова Н. Г., Ляховицкий Ф. М. Низкочастотные сейсмические волны в флюидонасыщенных слоистых породах // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1975. Т. 11, № 10. С. 654–659.

29. Plona T. Observation of a Second Bulk Compressional Wave in a Porous Medium at Ultrasonic Frequencies // Appl. Phys. Lett. 1980. Vol. 36. P. 259–261.

30. Chin R. C. Y., Berryman J. G., Hedstrom G. W. Generalized ray expansion for pulse propaga tion and attenuation in uid-saturated porous media // Wave motion. 1985. Vol. 7. P. 43–65.

26 Ал. А. Ковтун 31. Pride S., Tromeur E., Berryman J. Biot slow-wave eects in stratifaed rock // Geophysics.

2002. Vol. 67. P. 271–281.

32. Norris A N. Low-frequency Dispersion and Attenuation in Partially Saturated Rocks // J.

Acoust. Soc. Am. 1993. Vol. 94. P. 359–370.

33. Gurevich B., Lopatnikov S. L. Velocity and attenuation of elastic waves in nely layered porous rocks // Geophys. J. Internat. 1995. Vol. 121. P. 933–947.

34. Gelinsky S., Shapiro S. A. Poroelastic Backus averaging for anisotropic layered uid- and gas saturated sediments. // Geophysics. 1997. Vol. 62, N 6. P. 1867–1878.

35. Gelinsky S., Shapiro S. A., Muller T., Gurevich B. Dynamic poroelasticity of thinly layered structures // Int. J. Structures. 1998. Vol. 35. P. 4739–4751.

36. Gurevich B., Zyrianov V. B., Lopatnikov S. L. Seismic attenuation in nely layered porous rocks: Eects of uid ow and scattering // Geophysics. 1997. Vol. 62, N 1. P. 310–324.

37. Dvorkin J., Nur A. Dynamic poroelasticity: A unied model with the squirt and the Biot mechanisms // Geophysics. 1993. Vol. 58. P. 524–533.

38. Dvorkin J., Nolen-Hoeksema K., Nur A. The squirt-ow mechanism: Macroscopic description // Geophysics. 1994. Vol. 59. P. 428–438.

39. Dvorkin J., Mavko G., Nur A. Squirt ow in fully saturated rocks // Geophysics. 1995.

Vol. 60. P. 97–107.

40. Parra J. O. The transversely isiotropic poroelastic wave equation including the Biot and the squirt mechanisms: Theory and application // Geophysics. 1997. Vol. 62, N 1. P. 309–318.

41. Parra J. O. Poroelastic model to relate seismic wave attenuation and dispersion to perme beality anisotropy // Geophysics. 2000. Vol. 65, N 1. P. 202–210.

42. Hanyga A., Rok V. E. Wave propagation in micro-heterogeneous porous media: A model based on an integro-dierential wave equation // J. Acoust. Soc. Am. 2000. Vol. 107, N 6.

P. 2965–2972.

43. Corcione J. M. Viscoelastic eective rheologies for modelling wawe propagation in porous media // Geophys. Prospect. 1998. Vol. 46. P. 249–270.


44. Cheng C. H., Toksoz M. N. Elastic wave propagation in a uid-lled borehole and synthetic acoustic logs // Geophysics. 1991. Vol. 46. N 7. P. 1042–1053.

45. Tang X. M., Cheng C. H., Toksoz M. N. Dynamic permeability and borehole Stoneley waves:

a simplied Biot-Rosenbaum model // J. Acoust. Soc. Amer. 1991. Vol. 90, N 3. P. 1632–1646.

46. Auriault J., Borne L., Chambon R. Dynamic of porous saturated mediua, checking of gener alized law Darcy // J. Acoust. Soc. Amer. 1985. Vol. 77. P. 1641–1650.

47. Santos J. E., Corbero J. M., Ravazzoli C. L., Hensley J. L. Reection and transmission coef cients in uid-saturated porous media // J. Acoust. Soc. Am. 1992. Vol. 91. P. 1911–1923.

48. Johnson D. L. Scalling function for dynamic permeability in porous media // Phys. Rev. Lett.

1989. Vol. 63, N 5. P. 580.

49. Bonnet G. Basic singular solutions for a poroelastic medium in the dynamic range // J.

Acoust. Soc. Amer. 1987. Vol. 82, N 5. P. 1758–1762.

50. Boutin C., Bonnet G., Bard P. Y. Green functions and associated sources in innite and stratied poroelastic media // Geophys. J. R. Astr. Soc. 1987. Vol. 90. P. 521–550.

51. Azi B.-Menahem, Gibson R. Directional attenuation of SH waves in anisotropic poroelastic inhomogeneous media // J. Acoust. Soc. Amer. 1993. Vol. 93, N 6. P. 3057–3065.

52. Berryman J. G. Comparison of Upscaling Methods in Poroelasticity and its Generalizations // Jornal of engineering mechanics. 2005. P. 928–936.

53. Thompson A. H., Katz A. J., Krohn C. E. The microgeometry and transport properties of sedimentary rock // Adv. Phys. 1987. Vol. 36. P. 625–694.

Вопросы геофизики. Выпуск 44. СПб., 2011 (Ученые записки СПбГУ;

№ 444) Т. Б. Яновская, А. С. Серватович ОСОБЕННОСТИ СЕЙСМИЧНОСТИ ПЕРЕД ПОВТОРНЫМ ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЕМ Введение Сильные неглубокие землетрясения всегда сопровождаются серией афтершоков, си ла и число которых убывает со временем. Возникновение афтершоков объясняется упругим последействием: во время главного толчка происходит неполное снятие на пряжений, накопленных в области очага, а в результате афтершоковой активности на пряжения постепенно уменьшаются до некоторого стабильного уровня. Согласно так называемому закону Бота, магнитуда самого сильного афтершока по крайней мере на единицу меньше магнитуды главного толчка. Однако в некоторых случаях через неко торый промежуток времени после главного толчка (недели, месяцы) в том же месте происходит повторное землетрясение почти той же силы, что и главное. Такое землетря сение уже нельзя рассматривать как афтершок: за это время афтершоковая активность уже спадает, а сила повторного толчка не намного меньше силы первого землетрясения.

Поскольку повторные землетрясения происходят достаточно редко, они практиче ски не изучались, хотя такие землетрясения представляют собой реальную опасность, так как могут вызвать значительные разрушения зданий, промышленных сооружений и природных объектов, ослабленных в результате первого толчка. Относительно причин возникновения повторного землетрясения имеются только отдельные высказывания, не подтвержденные объективным анализом. Одни считают, что такие землетрясения воз никают в случае, когда афтершоковая активность слаба, в результате чего остаточные напряжения снимаются недостаточно быстро. Другие предполагают, что в результате разрыва во время главного толчка происходит снятие напряжений в одной части среды, а в другой наоборот, их концентрация, которая и является причиной повторного зем летрясения. И. А. Воробьевой [2] была сделана попытка путем анализа различных при знаков, сопровождающих основное и повторное землетрясения, и применения теории распознавания разработать алгоритм прогноза повторного землетрясения. Алгоритм основан на гипотезе, состоящей в том, что процесс подготовки повторного сильного зем летрясения характеризуется признаками неустойчивости, аналогичными тем, которые предваряют возникновение сильных землетрясений вообще. Они проявляются в потоке афтершоков первого сильного землетрясения и предшествующей ему сейсмичности и предваряют возникновение повторного сильного события в пространственно-временнй о окрестности первого землетрясения. При этом также используется гипотеза о подобии прогностических явлений: после соответствующей нормировки предвестниковые явле ния становятся похожими для землетрясений разной силы и в различных регионах.

Поскольку число сильных землетрясений с достаточно хорошо зарегистрированными афтершоками в конкретном регионе обычно невелико, статистические методы в данной задаче применимы плохо. Поэтому предлагается использовать логические алгоритмы распознавания.

c Т. Б. Яновская, А. С. Серватович, 28 Т. Б. Яновская, А. С. Серватович Объектом распознавания является сильное землетрясение с магнитудой, большей или равной некоторому пороговому значению. Имеется два класса таких объектов:

сильные землетрясения, сопровождающиеся повторным сильным толчком, и одиноч ные сильные землетрясения. Задача состоит в том, чтобы определить, к какому из классов относится данное сильное землетрясение. Для этой цели формулируются (в значительной степени волюнтаристским образом) предвестниковые явления в потоке афтершоков первого сильного землетрясения и предшествующей ему сейсмичности, которые описываются определенными функциями. Эти функции отражают интенсив ность потока афтершоков, вариации потока афтершоков во времени, пространственное распределение афтершоков, интенсивность предшествующей сейсмичности, силу рас сматриваемого землетрясения.

Экспериментальный прогноз повторного сильного землетрясения по построенному алгоритму проводился с 1989 г. в ряде регионов мира. Всего было объявлено девять тревог, шесть из них подтвердились, три оказались ложными. Но две из трех ложных тревог были подтверждены неформально: повторные сильные толчки возникли очень близко от пространственно-временнй окрестности.

о Полученный результат демонстрирует подобие процессов подготовки повторного сильного землетрясения в широком диапазоне магнитуд и в различных сейсмотектони ческих условиях, но имеет ряд ограничений, и алгоритм не является полностью универ сальным. Главный недостаток алгоритма заключается в том, что он основан на фор мально выбранных признаках, не основанных на физических причинах возникновения повторного землетрясения. Основное предположение о том, что значительная часть информации о подготовке повторного сильного землетрясения содержится в афтершо ковой последовательности первого сильного землетрясения, является логичным и обос нованным. Действительно, анализ афтершоков – наиболее верный способ исследования как данной проблемы, так и более широкого круга вопросов о прогнозе землетрясений.

Данные о сейсмической активности легко доступны, и их анализ является фактиче ски единственным достоверным способом исследования процессов подготовки сильных землетрясений. Понимание природы явления поможет открыть новые пути прогнозиро вания повторных землетрясений, даст возможность совместить формальный алгоритм с дополнительными физическими исследованиями и тем самым повысить эффектив ность предсказания.

1. Отбор данных В связи с тем, что в данной работе мы использовали мировой каталог IRIS, в кото ром приводятся сведения о землетрясениях с магнитудой не менее 4.0, а афтершоки с такими магнитудами происходят после достаточно сильных событий, мы ограничились рассмотрением таких пар землетрясений, в которых первое землетрясение имело бы магнитуду 7.5 или более. Повторным землетрясением считалось такое, которое удовле творяет следующим требованиям.

1. Эпицентр повторного землетрясения должен быть расположен в пределах утроен ного радиуса очага первого землетрясения, который оценивается по формуле Тсубои [4] R = 0.02 10m/2, (1) где m магнитуда землетрясения.

Особенности сейсмичности перед повторным землетрясением 2. Разность магнитуд главного и повторного событий не должна превышать dm = 0.5+(m6)0.25, где m магнитуда первого землетрясения, т. е. повторный толчок после землетрясения с m = 7.5 должен иметь магнитуду не менее 6.6, а после землетрясения с m = 8 не менее 7.

3. Повторный толчок должен происходить не ранее чем через две недели после главного (иначе его следует относить к афтершокам) и не позже чем через 10 меся цев. Следует, правда, отметить, что нет четкой классификации различия повторных землетрясений и афтершоков: в действительности, в ряде случаев имеют место земле трясения вскоре (в течение 1–2 месяцев) после основного землетрясения с магнитудой, мало отличающейся от магнитуды главного толчка. Не очень ясно, следует ли такое землетрясение рассматривать как афтершок или как повторное.

Поиск повторных землетрясений производился по каталогу IRIS (http://www.iris.

washington.edu) за период с 1967 по 2009 г. Было выявлено 42 такие пары землетря сений, а всего землетрясений с магнитудой выше или равной 7.5 произошло 325. Эти данные могут быть не совсем точными, так как имеют место некоторые расхождения между каталогом IRIS и Гарвардским каталогом (http://www.seismology. harvard.edu), из которого мы брали данные о величине сейсмического момента.

2. Географическое распределение повторных землетрясений Совершенно очевидно, что возможность возникновения повторных землетрясений определяется пространственно-временным распределением напряжений в окрестности очага основного землетрясения, а это распределение в свою очередь должно зависеть от свойств среды. Если какие-то свойства среды приводят к соответствующим распреде лениям напряжений, то можно было бы ожидать приуроченности повторных землетря сений к определенным сейсмическим зонам. Поэтому прежде всего было предпринято исследование их географического распределения.

На рис. 1 приведена карта, на которой нанесены эпицентры землетрясений за рас смотренный промежуток времени, сопровождающиеся и не сопровождающиеся повтор ными.

Заметим, что из 42 пар только одна пара отвечала глубокофокусным землетрясени ям (29.11.1974 и 12.08.1975, Япония, глубина 400 км). Все остальные были коровыми.

Из рис. 1 отчетливо видно, что за исключением одного землетрясения на Анатолий ском разломе, все остальные повторные землетрясения приурочены к Тихоокеанскому сейсмическому поясу, т. е. к зонам субдукции. В зонах спрединга повторные земле трясения не возникают. Это, по-видимому, объясняется тем, что напряжения в зонах спрединга в значительной степени снимаются за счет крипа, что препятствует накоп лению (или перераспределению) напряжений после сильных землетрясений, которые могли бы привести к повторному землетрясению.

3. Анализ сброшенных напряжений в результате главного толчка Для суждения о том, в какой степени величина сброшенного напряжения в резуль тате первого толчка приводит к возникновению повторного землетрясения, была про анализирована зависимость сейсмического момента от длительности землетрясения.

30 Т. Б. Яновская, А. С. Серватович Рис. 1. Географическое распределение одиночных землетрясений (полые кружки крупные с M 7.5, мелкие с 7.0 V 7.5), звездочки повторные землетрясения Известно, что сброшенное напряжение не зависит от силы землетрясения и варьи рует в пределах 10–100 бар в широком интервале магнитуд [3]:

M = C, (2) S 3/ где M0 сейсмический момент;

S площадь разлома;

C коэффициент, зависящий от формы разлома и локальных особенностей среды в окрестности очага. Коэффици ент C меняется в сравнительно небольших пределах. Площадь разлома определяется обычно по граничной частоте спектра сейсмических волн, что сопряжено с большими ошибками. Поэтому в данном исследовании для оценки мы поступили по-другому.

Из формулы (2) следует log = log M0 log S + log C. (3) Согласно принципу подобия геометрических характеристик разлома, длину и ши рину разлома можно считать пропорциональными друг другу, и, соответственно, пропорциональными длительности землетрясения. Таким образом, площадь разлома можно грубо считать пропорциональной квадрату длительности землетрясения. А данные о длительности (полупродолжительности) землетрясения предоставляются в CMT-каталоге (http://www.seismology.harvard.edu) совместно с данными о величине сейсмического момента и некоторыми другими средними характеристиками землетря сения. Поэтому считая, что полупродолжительность землетрясения пропорциональна S 1/2, мы получаем из (3) log M0 = 3 log + C + log. (4) Особенности сейсмичности перед повторным землетрясением Для сопоставления величин сброшенного напряжения при одиночных и повторных землетрясениях мы взяли данные из каталога СМТ для 36 повторных землетрясений (взяты не все 42 землетрясения, так как каталог начинается с 1976 г.) и для 91 оди ночного землетрясения с M 7.5 за этот же период. Результаты приведены на рис. 2.

Прямая линия отвечает средней зависимости log M0 от log. Заметим, что наклон этой линии равен как раз 3, что согласуется с предлагаемой формулой (4). Точки, располо женные выше этой прямой, соответствуют повышенным значениям по отношению к среднему, и наоборот, пониженным значениям соответствуют точки ниже прямой.

Рис. 2. Зависимость сейсмического момента M0 от по лупродолжительности землетрясения.

Крестики одиночные землетрясения, треугольни ки повторные землетрясения Казалось бы, повторные землетрясения должны возникать в случае, когда напря жение в области очага снимается не полностью. Однако в основном имеет место про тивоположный эффект, особенно для землетрясений с магнитудой ниже 8.5. Точки, отвечающие землетрясениям с повторами, располагаются выше средней прямой. Этот факт можно было бы объяснить только тем, что снятие напряжений при первом зем летрясении настолько велико, что оно приводит к перераспределению напряжений в области очага так, что в окрестности происходит возрастание напряжений, которое и вызывает повторное землетрясение в этой области.

4. Анализ афтершоковых последовательностей Если повторное землетрясение происходит в результате того, что в области очага ос новного землетрясения остаточные деформации не полностью снимаются в результате афтершоковой активности, то можно ожидать значительно более медленного высво бождения деформаций перед повторным толчком, чем в случае одиночного землетря сения.

32 Т. Б. Яновская, А. С. Серватович Рис. 3. Зависимость условной высвобожденной деформации в результате афтершоков: а зем летрясения в Мексике;

б землетрясения на Тайване (см. таблицу).

1 одиночные землетрясения;

2 повторные землетрясения. Стрелки указывают моменты воз никновения повторных землетрясений В качестве оценки упругих высвобожденных деформаций Беньофф [1] предложил использовать величину = E/ST, (5) где E суммарная энергия афтершоков на площади S за промежуток времени T. Энер гия оценивается по магнитуде. Мы приняли связь между магнитудой и энергией, пред ложенную в 1956 г. Гутенбергом и Рихтером для магнитуды по поверхностным волнам log E = 1.5M + 11.8. (6) Очевидно, что скорость высвобождения деформаций должна зависеть от магниту ды основного толчка. А для проверки гипотезы о том, что перед повторным толчком деформации и, соответственно, напряжения снимаются медленнее, необходимо сравни вать ход высвобождения деформаций в случае одиночного землетрясения и землетря сения с повтором для одной и той же магнитуды основного толчка. На рис. 3 приведены два примера высвобождения деформации после одиночного и повторного землетря сений. Одиночное землетрясение выбиралось практически в том же месте, что и по вторное землетрясение, и их магнитуды различались не более чем на 0.1 (см. таблицу).

Данные об одиночных и повторных землетрясениях Дата h M Район Примечание 14:09:1995 16.8 98.6 26 7.7 Мексика 1-й толчок 25:02:1996 16.2 97.9 29 7.5 Повторное 07:06:1982 15.0 98.6 5 7.6 Мексика Одиночное 25:01:1972 22.45 122.3 33 7.5 Тайвань 1-й толчок 24:04:1972 23.47 121.5 3 7.0 Повторное 23:07:1978 22.28 121.5 17 7.4 Тайвань Одиночное Особенности сейсмичности перед повторным землетрясением В двух приведенных примерах высвобождение напряжения в результате афтершо ковой активности в случае землетрясения, сопровождающегося повтором, происходит медленнее, чем в случае одиночного землетрясения. Но эти два случая оказались един ственными, когда в одном и том же районе удалось подобрать и одиночное, и сопро вождающееся повторным землетрясения с одинаковой магнитудой. Попытка привести магнитуды афтершоков к магнитуде основного толчка путем простой нормировки их энергий на энергию главного толчка оказалась несостоятельной. Дело в том, что в слу чае более сильного землетрясения происходит относительно большее число сильных афтершоков. При этом их магнитуда часто не сильно отличается от магнитуды глав ного толчка. Это приводит к тому, что в случае более сильного землетрясения энергия афтершоков (и, соответственно, высвобожденная деформация) оказывается непропор циональной энергии главного толчка.

Заключение Полученные результаты могут оказаться полезными для прогноза повторных зем летрясений, хотя они, так же как и все известные предвестники землетрясений, про являются не всегда. К таким признакам следует отнести несколько завышенное зна чение сброшенного напряжения во время главного толчка, которое может приводить к перераспределению напряжений в области очага, и более медленное высвобождение деформаций в афтершоковом процессе. В то же время можно считать установленным тот факт, что ожидать повторных землетрясений следует в зонах субдукции и зонах сжатия. Причинами возникновения повторного землетрясения являются, по-видимому, как перераспределение напряжений в зоне главного толчка, так и недостаточное вы свобождение деформаций в ходе афтершокового процесса.

Указатель литературы 1. Беньофф Г. Сейсмические данные о строении коры и тектонической деятельности // Земная кора. М.: ИЛ, 1957. С. 76–88.

2. Воробьева И. А. Прогноз повторного сильного землетрясения // Вычислительная сей смология. М.: Геос. 2006. Вып. 37. С. 181–285.

3. Kanamori H., Anderson D. L. Theoretical basis of some empirical relations in seismology // BSSA. 1975. Vol. 65. P. 1073–1095.

4. Tsuboi C. Earthquake energy, earthquake volume, aftershock area and strength of the earth’s crust // J. Phys. Earth. 1956. Vol. 4. P. 63–69.

34 Вопросы геофизики. Выпуск 44. СПб., 2011 (Ученые записки СПбГУ;

№ 444) Д. А. Александров, А. В. Бакулин, Б. М. Каштан РАСПРОСТРАНЕНИЕ НИЗКОЧАСТОТНЫХ ТРУБНЫХ ВОЛН В РАДИАЛЬНО-СЛОИСТЫХ ПРОНИЦАЕМЫХ СРЕДАХ Введение Впервые задача о распространении упругих волн в жидком цилиндре, окруженном упругой средой, была рассмотрена Лэмбом в 1898 г. [14], однако Лэмб ограничился изу чением низких частот. Более детально эта задача была изучена М. Био в 1952 г. [11].

В своей работе М. Био рассмотрел модели пустого цилиндра в упругой среде и жидко го цилиндра, окруженного упругой средой. Был выявлен особый тип волны, которая получила название трубной, или волны Стоунли. Такая волна слабо диспергирует;

ее фазовая скорость увеличивается с частотой, но не превышает скорости звука в жидко сти.

В 1976 г. П. В. Крауклис решил задачу о нахождении поля точечного источника в скважине [1]. Для этого были рассмотрены уравнения движения в упругой среде для продольных s, f и поперечного s потенциалов смещений:

2 s 2 s 1 2 s 1 s + + 2 = 0, r2 z 2 vp t r r 2 s 2 s 1 2 s 1 s + + 2 = 0, 2 2 vf t r r r z 2 s 2 s 1 2 s 1 s s + + 2 2 = 0.

r2 z 2 vs t r r z Здесь vp и vf скорости продольных волн в жидкости и в твердой среде соответственно;

vs скорость поперечных волн в упругой среде. Поскольку задача обладает цилиндри ческой симметрией, решение можно представить в виде интегрального преобразования Фурье Бесселя и Лапласа:



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.