авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |

«УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА № 444 СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКИХ И ГЕОЛОГИЧЕСКИХ НАУК Издается с 1958 ...»

-- [ Страница 3 ] --

Заключение В статье предложен метод решения обратной динамической задачи сейсмики в пред положении горизонтально-однородной структуры среды. Метод является точным в том смысле, что изначально отсутствуют какие-либо аппроксимации волнового поля. В ос нове метода лежит решение ряда линейных интегральных уравнений типа Гельфанда Левитана во временнй области. Предложен вывод этих уравнений.

о Применение метода не требует априорного знания скоростной модели за исклю чением параметров среды вблизи дневной поверхности. Таким образом, метод можно использовать для построения адекватной опорной модели для более детальных методов инверсии, например для дифракционной томографии.

Теоретически при определенных начальных ограничениях (точечный источник в виде дельта-функции по времени, горизонтально-однородная акустическая среда) вве денный метод дает математически корректное решение обратной задачи. Возможно обобщение метода на случай слоистой среды, обладающей горизонтальной неоднород ностью, малой по сравнению с величиной скорости.

На основе описанного метода разработан алгоритм решения динамической обратной задачи и создан программный код, выполняющий этот алгоритм. Результаты числен ной реализации в одномерном и двумерном случаях в применении к синтетическим исходным данным подтверждают работоспособность и точность алгоритма.

На основе литературного обзора, проведенного при подготовке данной статьи, ав торы полагают, что предложенный в работе численный алгоритм реализован впервые.

С помощью дополнительных численных экспериментов исследована устойчивость метода к влиянию высокочастотного сейсмического шума и отсутствию в исходных данных низких временных частот. Результаты показывают, что применение метода к реальным данным сильно затруднено проблемой низких частот. Проблема может быть решена за счет использования дополнительной процедуры регуляризации. Более мас штабное исследование предмета обратных задач даст более точную оценку границам применимости данного метода. Если метод окажется применим в условиях реального эксперимента, он может стать важным инструментом для более точного описания па раметров среды или, например, для улучшения опорной модели среды, необходимой для других методов инверсии.

Работа выполнена при финансовой поддержке ГК 02.740.11.0331 и гранта АФГИР RUG2-1680-ST-07.

Точный динамический метод решения обратной задачи сейсмики... Указатель литературы 1. Белишев М. И., Благовещенский А. С. Динамические обратные задачи теории волн.

СПб.: Изд-во СПбГУ, 1999. 266 с.

2. Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Изв. АН СССР. 1951. T. 15. C. 309–360.

3. Крейн М. Г. Об одном методе эффективного решения обратной краевой задачи // Докл.

АН СССР. 1954. T. 94, № 6. C. 987–990.

4. Марченко В. А. Восстановление потенциальной энергии по фазе рассеянных волн // Докл. АН СССР. 1955. T. 104. C. 695–698.

5. Белишев М. И. Граничное управление и обратные задачи: одномерный вариант BC метода // Математические вопросы теории распространения волн. 37. Зап. научн. сем.

ПОМИ. СПб., 2008. C. 19–80. URL: http://mi.mathnet.ru/znsl1644.

6. Алексеев А. С. Некоторые обратные задачи теории распространения волн // Изв. АН СССР. 1962. T. 11. C. 1514–1531.

7. Благовещенский А. С. Об обратной задаче теории распространения сейсмических волн // Проблемы мат. физики. Л.: Изд-во ЛГУ, 1966. Вып. 1. C. 68–81.

8. Gopinath B., Sondi M. Determination of the shape of the human vocal tract from acoustical measurements // Bell System Tech. J. 1970. Vol. 49. P. 1195–1214.

9. Gopinath B., Sondi M. Inversion of telegraph equation and synthesis of nonuniform lines // Proc. IEEE. 1971. Vol. 59. P. 383–392.

10. Symes W. Inverse boundary value problems and a theorem of Gel’fand and Levitan // Math.

Anal. Applic. 1979. Vol. 71. P. 379–402.

11. Burridge R. The Gelfand-Levitan, the Marchenko and the Gopinath-Sondhi integral equations of inverse theory, regarded in the context of impulse response problems // Wave Motion. 1980.

Vol. 2. P. 303–323.

12. Newton R. G. Inversion of reection data for layered media: a review of exact methods // Geophys. J. R. Astr. Soc. 1981. Vol. 65. P. 191–215.

13. Blagovestchenskii A. S., Kurylev Y., Zalipaev V. Dynamic inverse problem in a weakly lat erally inhomogeneous medium: theory and numerical experiment // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. 2006. Vol. 14, N 9. P. 841–860.

14. Belishev M. I. Boundary control in reconstruction of manifolds and metrics (the BC method) // Inverse Problems. 1997. Vol. 13, N 5. P. R1 R45.

15. Carrion P. Computation of velocity and density proles of acoustic media with vertical in homogeneities using the method of characteristics applied to the slant stacked data // J.

Acoust. Soc. Am. 1985. Vol. 77, N 4. P. 1370–1376.

16. Radon J. Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte lngs gewisser Man a nigfaltigkeiten // Berichte Schsische Akademie der Wissenschaften. 1917. Vol. 29. P. 262–277.

a 17. Аникиев Д. В. Двумерная динамическая обратная задача для горизонтально-однородной среды. Санкт-Петербург, Петергоф: 2009. 5–9 октября. C. 7–10.

18. Anikiev D. V., Blagovestchenskii A. S., Kashtan B. M., Mulder W. A. The dynamic acoustic inverse problem in laterally homogeneous media // Abstracts of EAGE 4th International Con ference & Exhibition St.Petersburg 2010. St.Petersburg, Russia: EAGE, 2010. April. P. 244– 245.

19. Аникиев Д. В. Динамическая обратная задача для горизонтально-однородной среды // Геофизические методы исследования Земли и ее недр: Материалы VII международной научно-практической конкурс-конференции молодых специалистов Геофизика-2009.

ФГУНПП Геологоразведка, СПб., 2010. C. 5–9.

20. Anikiev D. V. Application of the Gelfand-Levitan method for solution of the dynamic acoustic inverse problem in laterally homogeneous media // Abstracts of International Student’s Con ference ”Science and Progress-2010”. St.Petersburg-Peterhof, Russia: 2010. November, 15–19.

P. 40–43.

80 Д. В. Аникиев, Б. М. Каштан, А. С. Благовещенский, В. А. Мулдер 21. Beylkin G. Generalized Radon transform and its application: Ph. D. thesis / New York Univ.

New York, 1982.

22. Zhou B., Greenhalgh S. Linear and parabolic p transforms revisited // Geophysics. 1994.

Vol. 59, N 7. P. 1133–1149.

23. Beylkin G. Discrete Radon transform // IEEE Trans. Acoustics. 1987. Vol. ASSP-35, N 2.

P. 162–172.

24. Schultz P. S., Claerbout J. F. Velocity estimation and downward continuation by wavefront synthesis // Geophysics. 1978. Vol. 43. P. 691–714.

25. Yilmaz O. Seismic data analysis. Tulsa: SEG, 2001. Vol. 1. 2024 p.

26. Bessonova E. N., Fishman V. M., Ryaboyan V. Z., Sitnikova G. A. The tau method for inversion of travel-times-I. Deep seismic sounding data // J. Roy. Astron. Soc. 1974. Vol. 36.

P. 377–398.

27. Bessonova E. N., Fishman V. M., Schoriman M. G., Sitnikova G. A. The tau method for inversion of travel-times–II. Earthquake data // J. Roy. Astron. Soc. 1976. Vol. 46. P. 87–108.

28. Rieber F. A new reection system with controlled directional sensitivity // Geophysics. 1936.

Vol. 1. P. 97–106.

29. Рябинкин Л. А. Регулируемый направленный прием сейсмических волн: автореф.

дис.... канд. физ.-мат. наук. МГУ. 1944.

30. Рябинкин Л. А. Регулируемый направленный прием сейсмических волн // Труды МНИ.

М.: Гостоптехиздат, 1947. Вып. 6. 239 с.

31. Хелгасон С. Преобразование Радона / пер. с англ. М.: Мир, 1983. 150 с.

32. Chapel F. Fast Radon transform and velocity analysis applications // Geophysical Data In version. Methods and Applications, Proc. 7th Internat. Math. Geophys. Sem. Free Univ. of Berlin. 1989. P. 441–454.

33. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

287 с.

34. Brougois A., Bourget M., Lailly P. et al. Marmousi, model and data // Abstracts of EAGE Workshop Practical Aspects of Seismic Data Inversion. 1990. P. 5–16.

35. Versteeg R. The Marmousi experience: velocity model determination on a synthetic complex data set // The Leading Edge. 1994. Vol. 13. P. 927–936.

36. Symes W. W. Non-interactive estimation of the Marmousi velocity model by dierential semblance optimization: initial trials // Abstracts of EAGE Workshop Practical Aspects of Seismic Data Inversion. 1990. P. 125–138.

37. Operto S., Xu S., Lambare G. Ray + Born Migration/Inversion in Complex Media Appli cation to Marmousi // Abstracts of EAGE/SEG Workshop Depth Imaging of Reservoir Attributes. 1998. P. 125–138.

38. Sarmento C., Cruz J. Gaussian Beam Modied True-Amplitude Diraction Stack Migration:

Application To Marmousi Dataset. Extended abstracts of 11th International Congress of the Brazilian Geophysical Society. Salvador, Brazil. 2009. P. 1–6.

39. Koslo D., Koslo R. A. Fourier method solution for the time dependent Schrodinger equation as a tool in molecular dynamics // Journal of Computational Physics. 1983. Vol. 52, N 1.

P. 35–53.

40. Liu Q. H. The PSTD algorithm: A time-domain method requiring only two cells per wave length // Microwave and Optical Technology Letters. 1997. Vol. 15, N 3. P. 158–165.

41. Wang Y., Takenaka H. A multidomain approach of the Fourier pseudospectral method using discontinuous grid for elastic wave modeling // Earth Planets Space. 2001. Vol. 53. P. 149–158.

42. Тихонов А. Н., Самарский A. A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.

724 c.

43. Соболев С. Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 443 с.

44. Press W., Teulkosky S., Vetterling W., Flannery B. Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientic Computing: 2nd edition. Cambridge: Cambridge University Press, 1990. Vol. of Fortran Numerical Recipes. 933 p.

Точный динамический метод решения обратной задачи сейсмики... 45. Haneveld C. J., Herman G. C. A fast algorithm for the computation of Radon transforms // Geophysical Prospecting. 1990. Vol. 38, N 8. P. 853–860.

46. Carrion P., Patton W. Criteria for the resolution and reconstruction of acoustic impedance // Journal of Geophysical Research. 1983. Vol. 88, N B12. P. 10,349–10,358.

47. Carrion P. On stability of 1-D exact inverse methods // Inverse Problems. 1986. Vol. 2.

P. 1–22.

48. Carrion P., Bube K. One-dimensional exact inversion of noisy data // Proc. 5th Internat.

Math. Geophys. Sem. Braunschweig;

Wiesbaden, 1987. P. 333–340.

49. Mougenot D. Toward the low frequencies: land and marine equipment // First Break. 2006.

Vol. 24, N 7. P. 37–41.

50. Carrion P. An optimization technique applied to ill-conditioned systems // Proceedings of the Third International Meeting on Model Optimization in Exploration Geophysics. Berlin, 1985. P. 1–6.

82 Вопросы геофизики. Выпуск 44. СПб., 2011 (Ученые записки СПбГУ;

№ 444) А. В. Пономаренко, Б. М. Каштан ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ УПРУГИХ ВОЛН С ТРЕХМЕРНЫМ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГИМ ОБЪЕКТОМ Введение Одной из главных прикладных задач сейсмических исследований является поиск и оконтуривание объемов среды, которая может содержать те или иные полезные ископа емые. Физическая нелинейность связана с такими характеристиками горных пород, как неоднородность, пористость, трещиноватость. Резервуары углеводородов, являющиеся двух- и трехфазными средами, обладают нелинейными свойствами, которые проявля ются в наблюдаемых полях [13]. Поэтому изучение нелинейных эффектов при сейсми ческих исследованиях представляет большой практический интерес. По таким эффек там, как отсутствие принципа суперпозиции, присутствие дополнительных гармоник в волновом поле, зависимость структуры поля от его интенсивности, можно судить о наличии нелинейности в тех средах, где распространялось это поле.

В литературе можно найти много статей о свойствах волн, взаимодействующих друг с другом в нелинейных средах [8–10, 12]. Реже встречаются работы о взаимодействии упругих волн с объектами, обладающими нелинейными свойствами [5, 7, 11]. Практи чески неосвещенным остается процесс взаимодействия волн, излучаемых одним источ ником, с объектом, который обладает нелинейными свойствами [6].

При взаимодействии плоских волн с границей между линейно-упругой и нелинейно упругой средами порождаются отраженные волны, которые можно назвать нелиней ными, а проходящее в нелинейную среду волновое поле изменяется, в него добавляются нелинейные волны [5].

Аналогично при взаимодействии упругих волн с трехмерным нелинейным объек том порождается рассеянное нелинейное поле. В статье [7] изучается взаимодействие в нелинейной области двух сферических волн от разных источников и построены диа граммы рассеяния для волны разностной частоты от нелинейной области, имеющей форму куба.

В настоящей работе рассматривается вопрос о взаимодействии упругих волн от од ного источника с трехмерным нелинейно-упругим объектом. В качестве формы объекта выбран шар, а источника сейсмических волн источник типа направленной силы. Ис следуется структура рассеянного поля. Проведено сравнение рассеяния на нелинейно упругом объекте и на линейном объекте, обладающем другой плотностью. Показано, что качественно рассеяние на малом (по сравнению с длиной волны) объекте аналогич но рассеянию на элементарном рассеивателе.

Решение задачи о взаимодействии основывается на решении уравнения движения методом малого параметра (методом возмущения) и построения при помощи функции Грина линейного уравнения.

c А. В. Пономаренко, Б. М. Каштан, Взаимодействие упругих волн с трехмерным нелинейно-упругим объектом 1. Построение расчетных выражений На рис. 1 показана постановка рассматриваемой задачи. Источник типа направлен ной силы с временнй зависимостью f (t) находится в точке с координатами (x0, y0, z0 ).

о Рассеивающий объект нелинейно-упругий шар расположен таким образом, что его центр совпадает с началом координат. Найдем выражение для полного поля в любой точке с координатами (x, y, z). Оно может быть представлено суммой прямого поля от источника и поля от рассеивающего объекта. Примем рассеянное поле малым по сравнению с прямым, воспользуемся методом малого параметра. Запишем нелинейное уравнение движения c точечным источником для трехмерной нелинейной среды в век торном виде [1, 4, 11]:

2 U + ( + 2µ)graddiv U µ rotrot U = t = (x x0, y y0, z z0 )f (t) N L( U ), ef (1) где U = U (x, y, z, t), единичный вектор направления силы в источнике;

N L( U ) ef часть уравнения, содержащая нелинейные члены:

2 Us Us 2 Us Ui 2 Ui Us N Li = C1 ( 2 x + x2 x + 2 x x x ) + xk i s s k k k 2 Us Us 2 Uk Ui +C2 ( + )+ xi xk xk xs xk xs 2 Uk Us 2 Us Uk 2 Uk Us 2 Ui Us +C3 ( + ) + C4 ( ) + C5 ( 2 ), (2) xs xk xi xi xk xs xi xk xs xk xs Рис. 1. Постановка задачи 84 А. В. Пономаренко, Б. М. Каштан константы Ci выражены через пять модулей упругости два линейных и три нелиней ных:

A A A C1 = µ +, C2 = + µ + + B, C3 = + B, 4 4 C4 = B + 2C, C5 = + B.

Предполагается, что выражение (2) не равно нулю только в точках, принадлежащих рассеивающему объекту.

Раскладываем полное поле по методу малого параметра: U = U 0 + U 1 с условием |U 0 | |U 1 |. U 0 удовлетворяет линейному уравнению с источником 2U 0 + ( + 2µ)graddivU 0 µ rotrotU0 = t = (x x0, y y0, z z0 )f (t).

ef (3) Будем искать решение задачи в дальней волновой зоне в предположении, что рассе ивающая область и приемник расположены достаточно далеко от источника: так, что выполняются неравенства R, r1, r. В дальней волновой зоне решение уравнения (3) принимает вид [2] (, ) e e ef (, ) e e ef R ef R RR RR U ( R, t) = f (t )+ f (t ), (4) 4( + 2µ)R Vp 4µR Vs xx вектор = + yy0 j + zz0 k есть единичный вектор направления вектора eR i R R 0 R R. После подстановки U = U + U 1 в уравнение (1) и отбрасывания величин третьего порядка малости получаем линеаризованные уравнения на компоненты вектора нели нейной добавки:

2 Ui1 2 Ul1 2 Ui1 + ( + µ) +µ 2 = N Li (U0 ). (5) t xl xi xk Решение этих уравнений проводим при помощи свертки тензора Грина уравнения дви жения с их правыми частями:

Gij ( R, t )(N Lj (, ))d d.

Ui1 ( R, t) = r1 r1 r1 (6) Функцией Грина называется решение уравнения (3), когда времення зависимость а источника есть дельта-функция:

(, ) e e ef (, ) e e ef R ef R RR RR G ( R, t) = (t )+ (t ). (7) 4( + 2µ)R Vp 4µR Vs Тензор Грина вводится как матрица компонент функции Грина для разных направ лений вектора силы, т. е. Gij есть i-я компонента вектора, а вектор силы имеет ef ef j-направление. Выражение (6) для нахождение рассеянного поля при подстановке в него компонент функции Грина (7) упрощается и может быть разложено на слагаемые, Взаимодействие упругих волн с трехмерным нелинейно-упругим объектом описывающие разные типы волн. Рассмотрим, из каких частей состоит этот интеграл, на примере первой компоненты рассеянного поля:

(G11 N L1 + G12 N L2 + G13 N L3 ) d d.

U1 ( R, t) = r1 (8) Аргументы каждой компоненты тензора Грина r = R, t, а аргументы компо r нент нелинейной части,. Выпишем необходимые нам компоненты тензора Грина:

r 1 (xx1 ) (x x1 )2 r r (r ) G11 = (t )+ (t ), 4( + 2µ)(r )3 4µr Vp Vs r (x x1 )(y y1 ) r (x x1 )(y y1 ) G12 = (t ) (t ), 4( + 2µ)(r )3 4µ(r ) Vp Vs r (x x1 )(z z1 ) r (x x1 )(z z1 ) G13 = (t ) (t ).

4( + 2µ)(r )3 4µ(r ) Vp Vs Каждая компонента состоит из двух частей продольной и поперечной. Дельта-функ ция в подынтегральном выражении снимает один интеграл по временнй области.

о Переобозначая оставшиеся части продольных и поперечных слагаемых компонент тен зора Грина как gpij и gsij, получаем выражение r r gp11 N L1 (, t )d gs11 N L1 (, t )d U1 ( R, t) = r1 r1 r1 r Vp Vs r r gp12 N L2 (, t )d gs12 N L2 (, t )d r1 r1 r1 r Vp Vs r r gp13 N L3 (, t )d gs13 N L3 (, t )d.

r1 r1 r1 r1 (9) Vp Vs Вычисление выражения для рассеянного поля упростилось до однократного интегриро вания по пространственным координатам, пределы которых определяются размерами области нелинейнойсти.

r r Компоненты выражения (2), входящие в формулу (9), имеют аргументы: t Vp V1, p r r r r r r t Vp V1, t Vs V1 и t Vs V1. Это и приводит к возможному разделению рассеянного s p s поля на соответствующие составляющие: pp-, ps-, sp- и ss-волны.

2. Численное моделирование рассеянного волнового поля Для моделирования были выбраны следующие параметры: значение скоростей волн в опорной среде Vp =4500 м/с, Vs =1500 м/с, плотность опорной среды =2300 кг/м3.

Упругие параметры рассеивающего шара такие же, как и у опорной среды, значения нелинейных параметров взяты из работы [11]: l = 1.11 · 104 ГПа, m = 3.66 · 103 ГПа, n = 8.71 · 104 ГПа. В качестве временнй функции источника использовалась первая о производная функции Гаусса:

2 f (t) = 2.3316 1 (t ts )e1 (tts ) Af, амплитуда сигнала, Af =109 Н.

где 1 = 2fp ;

ts = 5/1 ;

Af 86 А. В. Пономаренко, Б. М. Каштан Рассмотрим применение вышеописанного метода к конкретному примеру. Пусть ис точник типа силы находится в точке с координатами (60 м;

0 м;

0 м), приемник распо ложен в точке с координатами (20 м;

10 м;

10 м), частота сигнала в источнике 200 Гц, радиус нелинейного шара равен 2 м.

Исследуем структуру первой компоненты прямого и рассеянного полей (остальные компоненты аналогичны ввиду произвольного выбора схемы наблюдения). На рис. 2, а представлена x-компонента прямого поля, а на рис. 2, б рассеянного от нелинейной сферы. Амплитуда рассеянного поля, нелинейной добавки, значительно меньше ампли туды прямого поля вследствие малых амплитудных множителей в выражении рассе янного поля. Из-за наличия в правой части уравнения (5) комбинаций произведения первых и вторых производных прямого поля амплитуда рассеянного поля имеет квад ратичную зависимость от амплитуды сигнала в источнике. Например, при уменьшении амплитуды силы в источнике в 2 раза амплитуда рассеянного поля уменьшается в раза.

Рис. 2. x-компонента прямого поля (а) и нелинейной составляющей (б ) Несмотря на малость амплитуды рассеянного поля, из сравнения времен прихода сигналов продольной и поперечной волн на рис. 2, а с временами прихода некоторых волн на рис. 2, б видно, что эти поля могут быть разделены по времени. Построим нелинейную добавку отдельно и рассмотрим ее структуру.

Рассеянное поле состоит из четырех составляющих частей [см. выражение (9)]. В са мом деле от источника типа направленной силы исходят две волны продольная и поперечная. Каждая из них, взаимодействуя с рассеивающей областью, в свою оче редь порождает продольную и поперечную волны. Таким образом, в рассеянном поле должны наблюдаться сигналы, которые проходили расстояние от источника до рассеи вающей области и от области до точки приема как с одинаковыми, так и с различными скоростями, т. е. pp-, ps-, sp- и ss-вступления. При достаточном отличии скоростей про дольной и поперечной волн легко подобрать расстояния между источником, центром рассеивающей области и приемником, чтобы разделить полученную нелинейную добав ку на составляющие.

На рис. 2, б наблюдаются два сигнала, которые по временам прихода отождеств ляются с sp- и ss-волнами. Остается вопрос о наличии в рассеянном поле pp- и Взаимодействие упругих волн с трехмерным нелинейно-упругим объектом ps-составляющих. Структура рассеянного поля такова, что кооэффициенты при про дольных и поперечных членах обратно пропорциональны квадратам скоростей рас пространения соответствующих волн [см. формулы (4), (6) и (7)]. Таким образом, в знаменателе при p-членах стоит бльшая величина, чем при s-членах. Поэтому для о нахождения pp- и ps-составляющих следует рассмотреть отдельно область предпола гаемого нахождения сигналов, увеличить масштаб. Оказалось, что pp- и ps-сигналы действительно наблюдаются на рис. 2, б.

На рис. 3 показаны сигналы с трассы на рис. 2, б, которые по временам прихода отождествлены с pp- и ps-составляющими, а на рис. 4 сигналы с трассы на рис. 2, б, которые по временам прихода отождествлены с sp- и ss-составляющими. Из-за разли чия в амплитудных значениях все четыре сигнала не могли быть одновременно наблю даемыми на рис. 2, б. Амплитудный спектр каждого из четырех сигналов (рис. 5, 6) содержит дополнительный спектральный максимум по сравнению со спектром исход ного сигнала, у которого центральная частота равняется 200 Гц и который содержит один спектральный максимум.

Рис. 3. pp- (а) и ps-составляющая (б ) x-компоненты нелинейной добавки Рис. 4. sp- (а) и ss-составляющая (б ) x-компоненты нелинейной добавки 88 А. В. Пономаренко, Б. М. Каштан Рис. 5. Амплитудный спектр pp- (а) и ps-составляющей (б ) Рис. 6. Амплитудный спектр sp- (а) и ss-составляющей (б ) x-компоненты нелинейной добавки Покажем, что подобное изменение спектрального состава компонент рассеянного по ля является показателем наличия нелинейно-упругого объекта в зоне рассеяния. При ведем решение задачи о рассеянии упругих волн на объекте, обладающем другой плот ностью по сравнению с окружающей средой на основе решения уравнения (5) c другой правой частью:

2 Ui1 2 Ul1 2 Ui1 2 Ui + ( + µ) +µ 2 = (1 0 ) t2. (10) t2 xl xi xk Заметим, что правая часть выражения (10) в отличие от правой части выражения (5) состоит только из вторых производных основного поля, а не из суммы комбинаций произведений первых и вторых производных. Если рассмотреть рассеяние на линейно упругом объекте, обладающем другими упругими параметрами Ламэ по сравнению с окружающей средой, то правая часть уравнения для нахождения рассеянного поля аналогично будет состоять только из вторых производных основного поля.

Найдем рассеянное поле от упругого шара, находящегося в начале координат, ко торый обладает другой плотностью по сравнению с окружающей средой. Сравним Взаимодействие упругих волн с трехмерным нелинейно-упругим объектом спектры компонент рассеянного поля со спектрами компонент поля, рассеянного на нелинейном шаре. Параметры задачи оставим прежними, изменим только параметры рассеивающего объекта: вместо нелинейных свойств он обладает другой плотностью 1 =2400 кг/м3.

Как и в случае рассеяния на нелинейном шаре, каждая компонента поля, рассе янного на шаре другой плотности, состоит из четырех составляющих pp-, ps-, sp- и ss-вступлений.

На рис. 7 показаны сигналы, которые по временам прихода отождествляются с pp и ps-составляющими, их спектры на рис. 8. На рис. 9 представлены sp- и ss-сигналы, а также их спектры на рис. 10. Формы сигналов отличаются от форм сигналов ком понент поля, рассеянного на нелинейном объекте. Cпектры всех составляющих имеют лишь один крупный максимум, который смещается относительно спектрального мак симума исходного сигнала в сторону более высоких частот. Это происходит вследствие того, что рассеянное поле определяется правой частью уравнения (10), в которой стоит вторая производная от формы исходного сигнала. Величина изменения плотности, так же как изменение расстояний, не вносит появление новых спектральных максимумов, Рис. 7. pp- (а) и ps-составляющая (б ) x-компоненты рассеянного поля Рис. 8. Амплитудный спектр pp- (а) и ps-составляющей (б ) x-компоненты рассеянного поля 90 А. В. Пономаренко, Б. М. Каштан Рис. 9. sp- (а) и ss-составляющая (б ) x-компоненты рассеянного поля Рис. 10. Амплитудный спектр sp- (а) и ss-составляющей (б ) x-компоненты рассеянного поля возможно лишь изменение спектральной амплитуды. В случае нелинейного рассеяния из-за наличия в правой части уравнения (5) комбинаций произведения первых и вторых производных спектральный состав рассеянного поля получается более сложным, чем в линейном, содержит дополнительные спектральные максимумы. Таким образом, нели нейный (нелинейно-упругий) объект вносит качественное изменение в спектральный состав рассеянного поля по сравнению с линейно-упругим рассеивающим объектом.

3. Построение диаграмм рассеяния Ранее на основе наблюдения рассеянного поля в произвольной точке было показа но, что нелинейно-упругий рассеивающий объект вносит дополнительные гармоники в спектральный состав рассеянного поля. Расположим теперь приемники на расстоянии r1 = 40 м симметрично относительно центра рассеивающей области, пусть источник типа направленной силы расположен в точке (0 м, 0 м, 60 м), направление силы выберем вдоль оси OZ (рис. 11). Проведем качественную оценку процесса рассеяния от нелинейно-упругой сферы. Для каждой точки приема можно построить временню у Взаимодействие упругих волн с трехмерным нелинейно-упругим объектом Рис. 11. Симметричная схема наблюдений трассу каждой компоненты поля. В качестве примера построим совокупность трасс третьей компоненты рассеянного поля (рис. 12, а) c точек приема a, b, c, d, e (трассы f, g, h оказались симметричны трассам d, c, e).

Рассеянное поле неоднородно по направлениям. Было показано, что составляющие прямого и рассеянного полей при достаточной разнице в скоростях волн и при доста точных выносах приходят не одновременно, поэтому можно разделить их во времени и, таким образом, провести анализ именно рассеянного поля. При выбранном направле нии действия силы источника основными рассеянными волнами будут pp- и ps-волны, поскольку поперечные волны практически не взаимодействуют с рассеивающим объ Рис. 12. Третья компонента рассеянного поля по приемникам;

сила в источнике направлена вдоль OZ (а) и оси OX (б ) 92 А. В. Пономаренко, Б. М. Каштан ектом. При расположении малого рассеивающего объекта в центре координат сила, действующая вдоль оси OZ, вызывает появление рассеянных волн, порожденных про дольной падающей волной. На рис. 12, а наиболее ярко выражены на всех трассах именно pp- и ps- волны.

Чтобы основными по амплитудам были sp- и ss- волны, следует выбрать другое направление силы в источнике. Если сила направлена вдоль оси OX, с рассеивающим объектом в основном взаимодействует поперечная волна. Основными рассеянными вол Рис. 13. Рассеяние sp- (а) и ss-волны (б ) Взаимодействие упругих волн с трехмерным нелинейно-упругим объектом нами будут теперь sp- и ss-волны (см. рис. 12, б ). Заметим, что при одинаковой ампли туде силы в источнике максимальные амплитуды sp- и ss- рассеянных волн при направ лении силы в источнике вдоль оси OX на несколько порядков больше максимальной амплитуды ps-волн при направлении силы в источнике вдоль оси OZ. Это происходит опять вследствие разницы значений амплитудных кооэффициентов при продольных и поперечных членах в выражении для рассеянного поля.

Чтобы показать, как происходит рассеяние волнового поля, были построены диа граммы рассеивания sp- и ss-волн (рис. 13) при направлении действия силы в источнике вдоль оси OX. На каждом рисунке в плоскости (XZ) построены диаграммы третьей компоненты составляющей, а также ее модуля. Показаны направления распростране ния ns и смещения as падающей поперечной волны.

При направлении действия источника, когда на рассеивающий объект падает в ос новном поперечная волна, амплитуда sp- и ss-волн на несколько порядков выше pp и ps-составляющих этого же рассеянного поля и максимальных амплитуд рассеянного поля при другом направлении действия источника, когда в основном продольная вол на взаимодействует с рассеивающим объектом. Несомненно, именно рассеянное поле максимальной амплитуды может быть использовано в практических целях.

Процесс рассеяния упругих волн на нелинейно-упругом рассеивающем объекте был рассмотрен в дальней волновой зоне. Характерный размер рассеивающего объекта диаметр шара равен 4 м, что почти в 2 раза меньше длины поперечной волны (7.5 м).

Однако оказывается, что диаграммы рассеяния модуля компонент поля (рис. 13) очень близки по форме к диаграммам рассеяния на очень маленьком рассеивающем объек те элементарном рассеивателе. В самом деле срезы от диаграмм рассеяния на рис. по плоскости (XZ) имеют похожую форму диаграмм рис. 13. Для достаточно малых рассеивающих объектов форма рассеяния вполне может описываться формой рассея ния на элементарном объекте, что приводит к уменьшению времени вычислений.

При рассмотрении диаграмм рассеяния естесственным образом возникает вопрос, насколько отличается данный тип рассеяния от рассеяния на объектах другой природы.

Нами было показано отличие форм сигналов и их спектров при рассеянии на объектах разной природы. Оказывается, форма рассеяния на элементарном нелинейном объекте sp- и ss-волн (рис. 14) также отличается от рассеяния этих волн на элементарном объ екте другой плотности (рис. 15). Подробнее о рассеянии на элементарных возмущениях упругих параметров,, µ можно ознакомиться в статье [3].

Определение нелинейного рассеивающего объекта по диаграммам рассеяния поля требует дальнейшего изучения. С практической точки зрения наиболее явным спосо бом определения нелинейных свойств рассеивающего объекта можно считать изучение спектрального состава компонент рассеянного поля.

Заключение В настоящей работе получено численное решение задачи о рассеянии упругих волн на трехмерном нелинейно-упругом шаре в рамках метода малого параметра при помо щи функции Грина линейного уравнения. Приведено решение задачи в дальней волно вой зоне: расстояние от источника до рассеивающего шара и от рассеивающего шара до точки приема много больше длины поперечной волны. Значения скоростей волн и рас 94 А. В. Пономаренко, Б. М. Каштан Рис. 14. Рассеяние sp- (а) и ss-волны (б ) на элементарном нелинейном рассеивателе Рис. 15. Рассеяние sp- (а) и ss-волны (б ) на элементарном рассеивателе другой плотности стояния выбраны таким образом, чтобы разделить рассеянное поле на составляющие pp-, ps-, sp- и ss-волны.

Основные результаты связаны с исследованием структуры рассеянного поля. Оказа лось, что каждая его компонента состоит из вышеупомянутых составляющих и спектр каждой такой составляющей содержит дополнительные максимумы, что, несомненно, Взаимодействие упругих волн с трехмерным нелинейно-упругим объектом может быть использовано при практическом наблюдении рассеянного поля для опре деления нелинейных свойств рассеивающего объекта. Показано, что амплитуда рас сеянного поля при взаимодействии поперечной волны с нелинейно-упругим объектом значительно выше, чем при взаимодействии продольной волны с нелинейно-упругим объектом. Построены диаграммы рассеяния sp- и ss-составляющих.

Работа выполнена при поддержке грантов АФГИР RUG1-30005-ST-08 и ГК 02.740.11.0331.

Указатель литературы 1. Зарембо Л. К., Красильников В. А. Введение в нелинейную акустику. М.: Наука, 1966.

520 с.

2. Каштан Б. М. Поля точечных источников. СПб.: Изд-во С-Петерб. ун-та, 1999. 32 с.

3. Киселев Ю. В., Троян В. Н. Численное моделирование в задачах дифракционной томо графии // Вопросы геофизики. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1999. Вып. 35. С. 26–38.

4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Теория упругости. М.: Наука, 1987.

248 с.

5. Литвин А. Л., Цванкин И. Д. Взаимодействие плоских волн с границей нелинейно-упру гой среды // Проблемы нелинейной сейсмики: сб. стат. М.: Наука, 1987. С. 128–136.

6. Энгельбрехт Ю. К., Фельдман М. В. Изменение спектрального состава сейсмических импульсов при распространении в нелинейной среде // Проблемы нелинейной сейсмики:

сб. стат. М.: Наука, 1987. С. 103–108.

7. Beresnev I. A. Interaction of two spherical elastic waves in a nonlinear vedconstant medium // Jour. Acoust. Soc. America. 1993. Vol. 94, N 6. P. 3400–3404.

8. Jones G. L., Kobett D. R. Interaction of Elastic waves in an Isotropic Solid // Jour. Acoust.

Soc. America. 1963. Vol. 35, N 1. P. 5–10.

9. Koen E. A., Abeele V. D. Elastic pulsed wave propagation in media with second or higher order nonlinearity. P. I. Theoretical framework // Jour. Acoust. Soc. America. 1996. Vol. 99, N 6. P. 3334–3345.

10. Korneev V. A. Time-domain solutions for nonlinear elastic 1-D plane wave propagation.

Berkley, 1998. 30 p.

11. Korneev V. A., Nihei K. T., Myer L. R. Nonlinear interaction of plane elastic waves. Berkley, 1998. 44 p.

12. Zabolotskaya E. A., Hamilton M. F., Ilinskii Y. A., Meegan G. D. Modeling of nonlinear shear waves in soft solids // Jour. Acoust. Soc. America. 2004. Vol. 116. P. 2807–2813.

13. Zhukov A. P., Loginov K. I., Shneerson M. B. et al. Nonlinear properties of vibrator-generated waveedls and their application to hydtocarbon detection // The Leading Edge. 2007. Vol. 26, N 11. P. 1395–1402.

96 Вопросы геофизики. Выпуск 44. СПб., 2011 (Ученые записки СПбГУ;

№ 444) А. Н. Никитченко ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ РАССЕИВАЮЩИХ ОБЪЕКТОВ ПО ДАННЫМ МЕЖСКВАЖИННЫХ НАБЛЮДЕНИЙ Введение Большинство методов обработки сейсмических данных разработаны для выделения и изображения отраженных волн, которые несут в себе информацию об объектах, опре деляющих основные черты среды. Отраженные волны обычно используются для того, чтобы оценить скорость в среде и восстановить геометрию сильных продолжительных границ. Но при интерпретации сейсмических данных также важно идентифицировать мелкомасштабные геологические неоднородности, такие как разломы, включения со ли и другие мелкие элементы среды, имеющие размер, сопоставимый с длиной волны.

Информация о подобных объектах содержится в дифрагированных волнах.

Амплитуды дифрагированных волн, как правило, малы по сравнению с амплитуда ми отраженных волн. Поэтому для обнаружения дифракторов требуются специальные методы построения изображений или предварительная обработка данных. Для выде ления дифрагированных волн (подавления отраженных волн) используются различ ные методы: предварительная обработка данных с использованием фильтра плоских волн [7];

фокусировка и последующее удаление отраженных волн [8];

выделение ди фракторов в области общих углов предполагаемой границы [6, 3];

модификация ми грации, исключающая суммирование отраженных волн [1]. Эти методы позволяют в некоторой степени преодолеть трудности, связанные с малыми амплитудами дифра гированных волн. Однако многие из них разработаны для поверхностной сейсмики и неэффективны в случае межскважинных наблюдений.

В работе предлагается методика построения изображений отражающих границ и рассеивающих объектов по данным межскважинных наблюдений, основанная на век торной миграции Кирхгофа [4]. Для построения изображений используются специаль ные весовые функции. Для диагностики изображений предлагается использовать срав нение результатов векторной миграции и шумовой миграций [5] и анализ сейсмограмм общей точки изображения, построенных в зависимости от различных параметров.

1. Векторная миграция и построение шумовых изображений При проведении межскважинных наблюдений приемники, как правило, регистри руют три компоненты: вертикальную и две горизонтальные (в плоскости наблюдения и в направлении, перпендикулярном плоскости наблюдения). Наличие горизонтальной и вертикальной компонент позволяет использовать векторную миграцию Кирхгофа для построения изображения среды. Ранее было обнаружено [9], что использование вектор ной миграции вместо скалярной позволяет значительно повысить надежность выделе ния дифракторов.

c А. Н. Никитченко, Построение изображений рассеивающих объектов по данным межскважинных наблюдений В случае векторной миграции изображение I(x) в точке x вычисляется по следу ющей формуле:

I(x) = w(xs, x, xr )A(td, xs, xr )dxs dxr, (1) A(td, xs, xr ) = R(x, xr ) · U (td, xs, xr ), td (xs, x, xr ) = T1 (xs, x) + T2 (x, xr ), xs S, xr R, где U (td, xs, xr ) данные межскважинных наблюдений;

w(xs, x, xr ) весовая функция;

xs и xr координаты источника и приемника соответственно;

T1 (xs, x) время хода от источника xs до внутренней точки x (аналогично для T2 (x, xr ));

R(x, xr ) единич ный вектор направления луча в приемнике (рис. 1). Скалярное произведение в данном случае фактически является весовой функцией, имеющей максимум в случае правиль ной поляризации. Таким образом, векторная миграция выделяет истинные объекты на изображении и подавляет амплитуды мнимых объектов.

Рис. 1. Геометрия межскважинных наблюдений и луч дифрагированной волны Однако в результате векторной миграции мнимые объекты не подавляются на изоб ражении полностью и в некоторых случаях могут иметь амплитуды, сравнимые с ам плитудами истинных объектов. Для различения истинного и мнимого объекта строится изображение шума с помощью векторного произведения вместо скалярного в форму ле (1):

A(td, xs, xr ) = R(x, xr ) U (td, xs, xr ).

Векторное произведение обращается в ноль в случае правильной поляризации, что при водит к подавлению истинных объектов на изображении и выделению шума. Сравнение результатов векторной и шумовой миграции может использоваться как диагностика объектов на изображении. Если объект присутствует на векторном изображении и не виден на изображении шума (или имеет значительно меньшую амплитуду), то его мож но рассматривать как истинный.

98 А. Н. Никитченко 2. Ограничение угла наклона предполагаемой границы в точке изображения: построение изображений отражающих границ и дифракторов Первая зона Френеля дает главный вклад в изображение отражающей границы (для дифракторов такое ограничение отсутствует и это можно использовать для их выде ления на изображении). Поэтому для построения изображения отражающих границ обычно используют весовую функцию, ограничивающую апертуру.

Для того чтобы определить приемники, соответствующие первой зоне Френеля, ис пользуется следующая весовая функция:

1 + cos (xs, x, xr ) w(xs, x, xr ) = (2), (xs, x, xr ), 0, (x, x, x ), s r (xs, x, xr ) = |1 (xs, x) 2 (x, xr ) + 23 (x)|, где 1 (xs, x) и 2 (x, xr ) углы между вертикалью и входящим и выходящим лучами в точке x (рис. 1);

3 (x) приближенное значение угла наклона границы в точке x (как правило, известно в случае межскважинных наблюдений). Применение весовой функции (2) позволяет получить более четкое изображение объектов с заданным углом наклона 3 (x).

Поскольку дифракторы рассеивают энергию в более широком диапазоне направле ний по сравнению с отражающими границами, для их выделения (подавления отража ющих границ) можно использовать обратную весовую функцию:

1 cos (xs, x, xr ) w(xs, x, xr ) = (3), (xs, x, xr ), 1, (x, x, x ).

s r Подобная весовая функция была использована для данных поверхностной сейсмики в работе [1].

Весовая функция (2) позволяет выделить на изображении границы с углами на клона, близкими к заданному углу 3 (x). Это очень важно, так как для интерпрета ции изображения рассеивающих объектов требуется качественное изображение отража ющих горизонтов. Весовая функция (3), напротив, позволяет подавить границы с уг лами наклона, близкими к заданному углу 3 (x), и тем самым выделить дифракторы на изображении.

В поверхностной сейсмике для построения изображения могут быть использова ны только восходящие волны. В случае межскважинных наблюдений могут быть за регистрированы как восходящие, так и нисходящие волны. На сейсмограмме общего пункта взрыва отраженные волны могут быть либо восходящими, либо нисходящими (в зависимости от положения границы), в то время как дифрагированные волны име ют восходящую и нисходящую составляющие. Этот факт используется при построении следующей весовой функции.

Построение изображений рассеивающих объектов по данным межскважинных наблюдений 3. Выбор пар источник приемник, соответствующих преломленной волне Геометрия межскважинных наблюдений позволяет использовать еще один вид ве совой функции. Волны, отраженные от границы, проходящей через точку x, регистри руются только приемниками, расположенными на той же стороне от границы, что и источник. Поэтому, если суммировать только по приемникам, расположенным с другой стороны границы, то на изображении отражающие границы будут подавлены. Весовая функция в этом случае выглядит следующим образом:

0, xs x, xr x, 0, xs x, xr x, w(xs, x, xr ) = (4) 1, другие случаи.

Данная весовая функция может быть модифицирована для подавления отражающих границ с заданным углом наклона 3 (x).

В случае применения весовой функции (4) необходимо предварительно удалить пря мую волну, так как ее присутствие в данных приводит к появлению артефактов. Для подавления артефактов, соответствующих прямой волне, можно использовать допол нительную весовую функцию:

0, 2 (x, xr ) (xs, x) w(xs, x, xr ) =, (5) 1, 2 (x, xr ) (xs, x) где 1 (xs, x) угол, под которым преломляется луч, пришедший в точку под углом 1 (xs, x). Угол 1 (xs, x) может быть рассчитан по имеющейся скоростной модели сре ды. Весовая функция (5) применяется совместно с функциями (3) или (4). Следует отметить, что эффективность применения весовой функции (5) напрямую зависит от точности задания скоростной модели среды.

Для улучшения результата миграции может быть использована предварительная обработка данных [2]. В этой работе никакая предварительная обработка, кроме уда ления прямой волны, не применяется.

4. Результаты численного моделирования Метод опробован на примере синтетических данных, которые были рассчитаны конечно-разностным методом для горизонтально-слоистой среды с четырьмя точеч ными дифракторами (рис. 2, а).

Источники и приемники располагаются по правому и левому краю модели соот ветственно, покрывают глубину от 0 до 600 м с шагом 2 м. Приемники регистрируют горизонтальную и вертикальную компоненты смещения. Дифракторы имеют форму круга. Дифракторы, расположенные в левой части модели, имеют радиус 3 м, в правой части 1,5 м.

Для построения изображения используется истинная скоростная модель. Прямая волна предварительно удалена из данных. Сейсмическое поле обнуляется в окне шири ной 5 мс после рассчитанного времени хода прямой волны. Результат векторной мигра ции Кирхгофа без весовых функций представлен на рис. 2, б. На данном изображении 100 А. Н. Никитченко Рис. 2. Результат применения весовой функции (2): а горизонтально-слоистая ско ростная модель с точечными дифракторами;

б векторная миграция Кирхгофа без весо вых функций можно видеть горизонтально-слоистую структуру среды, однако изображение сильно зашумлено и дифракторы трудно обнаружить (амплитуды объектов, соответствующих дифракторам, имеют тот же порядок, что и амплитуда шума на изображении). Резуль тат применения весовой функции (2) ( = 15, 3 (x) = 0) представлен на рис. 3, а. При миграции в данном случае использовались только восходящие волны. Весовая функ ция (2) подавляет большое количество артефактов, и изображение отражающих границ более четкое. Это распространенная техника построения изображений. Но на изобра жениях, построенных таким образом, невозможно обнаружить дифракторы, так как они подавляются весовой функцией (2). Кроме того, на изображении все же остается некоторое количество артефактов. Анализ шумового изображения (рис. 3, б ) позволяет определить, какие объекты являются ложными. Шум (отмечен линией) имеет прак тически одинаковые амплитуду на векторном и шумовом изображениях. Остальные объекты имеют значительно меньшие амплитуды на шумовом изображении.

При использовании весовой функции (3) лучше видны рассеивающие объекты, одна ко изображение получается сильно зашумленным. Лучший результат получается при использовании весовых функций (4) (3 (x) = 0) и (5) ( = 5 ) (рис. 4, а). Весовая функция (5) подавляет артефакты, появившиеся из-за не полностью удаленной пря мой волны.

Вследствие применения весовой функции (4) и особенностей скоростной модели и геометрии межскважинных наблюдений только некоторые группы приемников вносят вклад в изображение дифрактора при фиксированном источнике. Поэтому дифрактор имеет продолговатую форму на таких изображениях. Суммирование по источникам Построение изображений рассеивающих объектов по данным межскважинных наблюдений Рис. 3. Результат векторной миграции Кирхгофа с весовой функцией (2) (а) и шу мовое изображение, построенное с весовой функцией (2) (б ), = 15, 3 (x) = Рис. 4. Результат векторной миграции Кирхгофа с весовыми функциями (4) (3 (x) = 0) и (5) ( = 5 ) (а) и сейсмограмма общей точки изображения для x = 120 м в зависи мости от угла наклона dip (б ) 102 А. Н. Никитченко приводит к тому, что дифрактор на изображении приобретает форму креста. Однако кресты могут пересекаться друг с другом, и такие пересечения могут быть ошибочно приняты за дифракторы. В данной ситуации определить положения дифракторов мож но с помощью анализа изображений, построенных с использованием различных групп приемников. На таких изображениях объекты, соответствующие дифракторам, име ют различные наклоны. Отметив линиями все наклоны на одном изображении, можно определить положение дифракторов. Дифракторы находятся в пересечениях линий.

Для проверки истинности объектов можно использовать сейсмограммы общей точки изображения, построенные для фиксированного значения координаты по латерали (со ответствующего объекту) в зависимости от параметров scat (xs, x, xr ) и dip (xs, x, xr ), определяемых следующим образом:

|1 (xs, x)| + |2 (x, xr )| scat (xs, x, xr ) =, dip (xs, x, xr ) = |1 (xs, x)| scat (xs, x, xr ).

Для проверки истинности отражающих границ используется область угла рассеивания scat (xs, x, xr ). Отражающие границы и рассеивающие объекты имеют в этой области продолговатую форму, это позволяет определить артефакты. Для проверки истинности дифракторов удобно использовать область угла наклона dip (xs, x, xr ) (рис. 4, б ). Объ екты, соответствующие отражающим границам, имеют в этой области изогнутую фор му. Таким образом, область угла наклона dip может быть использована для проверки и выделения дифракторов. Существует метод выделения дифракторов, основанный на фильтрации плоских объектов в данной области [6]. Но в случае межскважинных наблюдений существуют некоторые сложности применения данного метода. Объекты, соответствующие преломленным, рефрагированным и кратным волнам, могут быть до вольно протяженными. Поэтому трудно определить объект, соответствующий дифрак тору, без предварительной обработки или применения весовой функции. Однако метод фильтрации в области угла наклона dip может использоваться совместно с весовой функцией (4) для улучшения качества изображения дифракторов.

Как уже отмечалось ранее, в области угла наклона dip (xs, x, xr ) продолговатую форму могут иметь объекты, соответствующие волнам различного типа. Поэтому необ ходимо определить тип волны, которая соответствует предполагаемому дифрактору.

Отличительной особенностью дифрагированной волны в случае межскважинных на блюдений является наличие восходящей и нисходящей частей. Причем их знаки долж ны быть противоположны на вертикальной компоненте, и смена знака должна происхо дить на глубине, соответствующей дифрактору. Кроме того, отношение вертикальной компоненты к горизонтальной должно увеличиваться с расстоянием (по вертикали) от дифрактора. Однако из-за маленьких амплитуд дифрагированных волн и интерферен ции всегда существует вероятность ошибки при определении типа волны.

Заключение Разработана методика построения изображения отражающих границ и рассеива ющих объектов по данным межскважинных наблюдений. Методика опробована на при мере синтетических данных. Дифракторы, невидимые при построении изображения обычными методами (миграция Кирхгофа с весовой функцией (1)), были обнаружены Построение изображений рассеивающих объектов по данным межскважинных наблюдений при помощи предложенной техники. Методика основана на миграции Кирхгофа со спе циальными весовыми функциями, позволяющими выделить отражающие границы или дифракторы, подавить артефакты, соответствующие прямой волне. Многокомпонент ные данные позволяют использовать векторную и шумовую миграции для выделения реальных объектов и диагностики шума на изображениях. Еще одна важная диагно стика основана на анализе сейсмограмм общей точки изображения, построенных в за висимости от различных параметров. Эта диагностика позволяет проверить истинность объектов на изображении. Полученные результаты демонстрируют возможность при менения данной методики для локализации рассеивающих объектов.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта CRDF RUG1-30006-ST-08 и Министерства образования России (грант РФФИ 08-05-00285).


Указатель литературы 1. Moser T. J., Howard C. B. Diraction imaging in depth // Geophysical Prospecting. 2008.

Vol. 56. P. 627–641.

2. Bansal R., Imhof M. Diraction enhancement in pre-stack seismic data // Geophysics. 2005.

Vol. 70. P. V73–V79.

3. Landa E., Fomel S., Reshef M. Separation, imaging and velocity analysis of seismic difractions using migrated dip-angle gathers: 78 SEG Annual Meeting Expanded Abstracts. 2008.

4. Wang D. Vector 3C3D VSP Kirchho migration: 74 SEG Annual Meeting Expanded Ab stracts. 2004.

5. Kiyashchenko D., Mulder W., Lopez J. Wave equation vector migration for subsalt VSP imaging and interpretation: 79 SEG Annual Meeting Expanded Abstracts. 2009.

6. Klokov A., Baina R. Landa E. Separation and imaging of seismic diractions in dip angle domain: 72 EAGE Conference Expanded Abstracts. 2010.

7. Fomel S. Application of plane-wave destruction lters // Geophysics. 2002. Vol. 67.

P. 1946–1960.

8. Khaidukov V., Landa E., Moser T. J. Diraction imaging by focusing-defocusing: An outlook on seismic superresolution // Geophysics. 2004. Vol. 69. P. 1478–1490.

9. Nikitchenko A., Kiyashchenko D., Kashtan B., Kiselev Y., Troyan V. Diractor location in cross-well case by weighted Kirchho migration: 71 EAGE Conference Expanded Abstracts.

2009.

104 Вопросы геофизики. Выпуск 44. СПб., 2011 (Ученые записки СПбГУ;

№ 444) С. А. Вагин, А. В. Сальцберг ОДНОМЕРНАЯ ИНВЕРСИЯ МАГНИТОТЕЛЛУРИЧЕСКИХ ДАННЫХ С АДАПТИВНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИЕЙ Введение Несмотря на бурное развитие магнитотеллурического метода в области математи ческого моделирования, базовым вариантом все же остается одномерная инверсия. Это объясняется тем, что очень часто исходных данных недостаточно ни для двумерной инверсии, ни тем более для трехмерной. В таких ситуациях хочется извлечь как можно больше информации, ограничиваясь предварительной интерпретацией импеданса и его инвариантов и результатами одномерной инверсии, что, в свою очередь, и определя ет наше желание постоянно совершенствовать эти простые инструменты. Кроме того, предварительные одиночные зондирования полезны перед последующими профильны ми и площадными зондированиями.

1. Описание алгоритма и программы Исходными данными для алгоритма являются модуль ка жущегося сопротивления, фаза импеданса и периоды, на ко торых они определены. По этим данным строится началь ная модель. В следующем блоке происходит формирование матрицы чувствительности, необходимой для решения обрат ной задачи. Блок 1D решение одномерной прямой задачи.

В блоке RMS вычисляется невязка. Совокупность блоков A, 1D, INV, RMS и ИЛИ образуют итерационную схему алго ритма (рис. 1). Рассмотрим подробнее работу алгоритма.

1.1. Постановка задачи Даны дискретные значения модуля кажущегося сопротив ления и фазы импеданса в зависимости от периода:

T (i), d (i), Arg Z (i), i = 1,..., M. (1) a Требуется найти геоэлектрический разрез.

Рис. 1. Блок-схема Будем искать решение в классе одномерных моделей. Для алгоритма одномерной этой цели рассмотрим 1D-слоистую среду, возбуждаемую интерпретации плоской электромагнитной волной (рис. 2). Математическая c С. А. Вагин, А. В. Сальцберг, Одномерная инверсия магнитотеллурических данных с адаптивной регуляризацией запись этой модели следующая:

1, 0 z d1,, d z d +d, 2 1 1, d +d z d +d +d, 3 1 2 1 2 n (z) = (2).............................

N N, di z.

i= Рис. 2. Одномерная слоистая модель Из теории магнитотеллурики известно, что для таких задач импеданс на поверхно сти Земли [3] n1 nN Z = (iµ0 /n1 ) th n1 d1 + arth th n2 d2 +... + arth...), (3) n2 nN где nj = j µj 2 + ij µj, Renj 0;

dj мощность j-го слоя.

Формула (3) использована при решении 1D-прямой задачи. При решении обратной задачи в качестве d (i), Arg Z(i) могут выступать, например, инварианты импеданса a или соответствующие им кривые зондирования. В алгоритме предусмотрена инверсия:

1) по модулю кажущегося сопротивления, 2) по модулю кажущегося сопротивления и фазе импеданса, 3) по фазе импеданса с использованием заданных опорных сопротив лений.

1.2. Формирование начальной модели В качестве начальной модели можно взять однородное полупространство с посто янным. В алгоритме берется псевдоразрез (значения d ), и приготовленный разрез a по оси z(j) заполняется этими сопротивлениями. Покажем, как это делается. Глубина проникновения поля при разных периодах определяется по формуле d (i)T (i) a D(i) =, i = 1,..., M. (4) 2µ Приготовленный разрез выглядит так: глубина первого и последнего слоев прини маются равными z (1) = D (1)/5 и z (N ) = 2D (M ). Затем производится деление про межутка между z (1) и z (N ) в логарифмическом масштабе из расчета nd на декаду 106 С. А. Вагин, А. В. Сальцберг глубин. Величина nd задается во входном файле (например, nd = 20), и она определяет общее количество слоев. Компоненты начального вектора удельных сопротивлении в каждом полученном слое берутся в соответствии со скин-слоями вектора кажущихся удельных сопротивлений.

1.3. Формирование матрицы чувствительности Решим нелинейное уравнение A(m) = d, (5) где A нелинейный оператор прямой 1D-задачи. Проведя линеаризацию задачи (5), получим матричное уравнение Am(s) = d(s1) = d A m(s1), (6) элементы матрицы A Ai aij =, i = 1,..., M ;

j = 1,..., N, (7) mj m=m(s1) где m поправка к модели, которую нужно найти.

Покажем, как находятся элементы матрицы A. Пусть начальный вектор модели (0) (0) (0) m(0) = m1, m2,..., mN. (8) Найдем элемент матрицы a11. Для этого сначала решим прямую 1D-задачу для m(0) на периоде T (1), получим f (0) ;

затем решим прямую 1D-задачу для m = (0) (0) (0) (0) m1 + m1, m2,..., mN, получим f11. Делая то же самое для других компо нент вектора m(0), получим все элементы матрицы A для T (1):

(0) (0) (0) f f (0) f11 f (0) f f (0), a12 = 12,..., a1N = 1N a11 =. (9) m1 m2 mN Этот алгоритм необходим на каждом периоде. Таким образом, на каждой итерации важно решить прямую задачу N M раз. Всего же при числе итераций L требуется N M L раз решить прямую 1D-задачу.

Матричное уравнение (6) является линейной системой из M уравнений с N неиз вестными:

a(s) m(s) + a(s) m(s) + a(s) m(s) +... + a(s) m(s) = d1 A1 m(s1) ;

11 1 12 2 13 3 1N N (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) a21 m1 + a22 m2 + a23 m3 +... + a2 N mN = d2 A2 m(s1) ;

........................................................

(s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) aM1 m1 + aM2 m2 + aM3 m3 +... + aMN mN = dM AM m(s1).

(10) Одномерная инверсия магнитотеллурических данных с адаптивной регуляризацией 1.4. Инверсия с адаптивной регуляризацией Рассмотрим один из вариантов алгоритма инверсию по модулю кажущегося со противления, т. е. d(i) = d (i), i = 1,..., M. Вектор неизвестных m есть набор удель a ных сопротивлений наших слоев модели m(j) = (j), j = 1,..., N.

При решении обратных задач геоэлектрики обычно переходят от удельных сопро тивлений к их логарифмам:

y(i) = log(d (i)), i = 1,..., M, (11) a x(j) = log((j)), j = 1,..., N. (12) Тогда, рассуждая как и раньше, мы придем к матричному уравнению для поправок Ax(s) = y(s1) = y A x(s1). (13) Применим метод сингулярного разложения к матрице A и воспользуемся методом Марквардта Леверберга [6, 7]:

x(s) = x(s1) + x. (14) Так как мы ищем поправки, то естественно предположить, что xapr = 0:

x = AT A + I AT y. (15) A = UQV, AT A = VQ2 VT, = VQ2 VT + VIV T AT A + I = T 1 = V diag + Q2 VT, = V diag V i +Qi x = AT A + I AT y = V diag VT AT y.

+ Qi На k-й итерации (k) (j) = exp (x (j) + x (j)), j = 1,..., N.

В данном алгоритме 1D-инверсии метод Марквардта Леверберга дополняется адап тивной регуляризацией [2]. Суть ее заключается в следующем. С ростом номера ите рации соотношение между функционалом невязки и стабилизирующим функционалом должно быть примерно одинаково. Для этого параметр регуляризации должен с ро стом итераций уменьшаться. Начальное значение M d (i) amod (i) a i= 0 =.

N ( (j)) j= 108 С. А. Вагин, А. В. Сальцберг Последующие значения определяются убывающейся геометрической прогрессией k = 0 pk1, 0 p 1, где k номер итерации;

знаменатель прогрессии p = 0, 75. Невязки при инверсии мо дуля кажущегося сопротивления определяются по формуле M 1 (log d (i) log amod (i)).

= a M i= Итерации прекращаются, когда: 1) min ;

2) скорость убывания становится ниже заданного уровня;

3) достигается заданный предел максимального числа итераций.

Доверительные интервалы для найденных удельных сопротивлений находятся по формулам [5] (j), j = 1,..., N, 1 (j) = exp (log (j) · s (j)/ (j)), 2 (j) = exp (log (j) + · s (j)/ (j)), M M d mod a2, s(j) = y (i) y (i) M ij i=1 i= где коэффициент Стьюдента.

Глубина скин-слоя определяется по формуле k (i)T (i) zs (i) =, i = 1,..., m.

2µ 2. Тестирование алгоритма Тестирование алгоритма было проведено на модельных данных, на реальных, по лученных в результате полевых измерений, и на данных глобального зондирования Земли [4, 9]. Важной характеристикой алгоритма является скорость сходимости в за висимости от числа итераций и устойчивость решения. Как видно из рис. 3, сходимость быстрая и ровная и, следовательно, решение устойчиво как для теоретической моде ли, задаваемой амплитудной и фазовой кривыми, изображенными на рис. 4, так и для полевых измерений, кривые зондирования которых показаны на рис. 5. Была проана лизирована зависимость качества интерпретации от количества заданного числа слоев на декаду глубин (рис. 6, а). Кривая, полученная для nd = 20, качественно близка к случаю nd = 30, а при nd = 10 заметно отличается. Отсюда можно сделать вывод, что брать меньше 20 слоев на декаду глубин для получения удовлетворительной интерпре тации градиентным разрезом не следует, при этом ухудшается и сходимость. Также проводилось сравнение обычной (с фиксированным параметром регуляризации ) и адаптивной регуляризации, при которой значение подбирается программой автома тически. Адаптивная регуляризация в данном алгоритме позволяет достичь бльшей о точности вычислений, в то время как при использовании фиксированной регуляри зации сложно подобрать достаточно точное значение параметра регуляризации. При Одномерная инверсия магнитотеллурических данных с адаптивной регуляризацией Рис. 3. Зависимость скорости сходимости от ко личества итераций для теоретической модели (1) и данных, полученных в полевых условиях (2) Рис. 4. Кривые зондирования, полученные при решении прямой задачи для теоретической мо дели: а кажущееся сопротивление a ;


б фаза импеданса 0, 001 работа алгоритма становится неустойчивой. Результат интерпретации тео ретической модели с использованием имеющейся на кафедре физики Земли СПбГУ программой одномерной интерпретацией МЭЛ [8] изображен кривой 4 на рис. 6, б.

Было проведено сравнение интерпретации модуля кажущегося сопротивления и сов местной интерпретация модуля кажущегося сопротивления и фазы импеданса. Для 110 С. А. Вагин, А. В. Сальцберг Рис. 5. Кривые зондирования, полученные при полевых исследованиях: а кажущееся сопро тивление a ;

б фаза импеданса Рис. 6. Результаты интерпретации кажущегося сопротивления для теоретической модели: а в зависимости от числа слоев nd на декаду глубин: 1 исходная теоретическая модель, 2 nd = 30, nd = 10;

б сравнение регуляризации с фиксированным параметром регуляризации = 0, 01 (2) и = 0, 1 (3) и адаптивной регуляризации (1);

4 результат интерпретации модели по МЭЛ теоретической модели результаты отличаются мало. Однако при добавлении шума в исходную модель, начинают появляться расхождения. Аналогичная ситуация видна и при анализе данных, полученных при полевых измерениях, в которых присутствует естественный шум около 2,4% (рис. 7).

Одномерная инверсия магнитотеллурических данных с адаптивной регуляризацией Рис. 7. Результаты 1D-интерпретации поле вых данных.

1 кажущееся сопротивление и фаза импе данса;

2 кажущееся сопротивление;

3 кажу щееся сопротивление по МЭЛ Рис. 8. Данные глобального зондирования Земли: а кажущееся сопротивление a ;

данные Ротановой [4] крестики и Семенова [9] точки;

б фаза импеданса, обозначения те же Алгоритм МЭЛ обладает бльшим сглаживанием, чем рассматриваемый алгоритм.

о Это видно на примерах интерпретации данных полевых измерений (кривая 3, рис. 7) и особенно данных глобального зондирования (рис. 8, 9). На рис. 9 а, б приведены ре зультаты 1D-инверсии по модулю кажущегося сопротивления и по фазе импеданса 112 С. А. Вагин, А. В. Сальцберг Рис. 9. Результаты 1D-интерпретации глобальных данных: а данные Ротановой, б данные Семенова;

индекс кривых: 1 по алгоритму SVD-статьи, 2 по МЭЛ;

в интерпретация фазы импеданса по SVD: 1 данные Ротановой, 2 данные Семенова (рис. 9, в) с использованием опорных кажущихся сопротивлений, соответствующих пе риодам T 106 с для двух наборов глобальных данных [4, 9], соответственно кривые 1 и 2.

Указатель литературы 1. Вагин С. А. Алгоритм обработки магнитотеллурических данных в среде МАТЛАБ // Во просы геофизики. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2009. № 42. С. 100–114.

2. Жданов М. С. Теория обратных задач и регуляризация в геофизике. М.: Научный мир, 2007. 710 с.

Одномерная инверсия магнитотеллурических данных с адаптивной регуляризацией 3. Ковтун А. А. Использование естественного электромагнитного поля при изучении элек тропроводности Земли. Л.: Изд-во ЛГУ, 1980. 284 с.

4. Ротанова Н. Н., Фискина М. В., Захарова О. К. Экспериментальные данные по глобаль ному магнитовариационному зондированию // Геомагнетизм и аэрономия. 1986. Т. 26, № 1.

5. Яновская Т. Б., Порохова Л. Н. Обратные задачи геофизики. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2004.

214 с.

6. Levenberg K. A. Method for the solution of certain nonlinear problems in least squares // Q. Appl. Math. 1944. Vol. 2. P. 164–168.

7. Marquardt D. W. An algorithm for least squares estimation of nonlinear parameters // J. SIAM. 1963. Vol. 11. P. 431–441.

8. Porokhova L. N., Kharlamov M. M. The solution of the one-dimensional inverse problem for the induction sounding by an ecient linearization technique // Phys. Earth Planetary Inter.

1990. Vol. 60. P. 68–79.

9. Semenov V. Yu. Regional conductivity structure of Earth mantle Inst. of geoph. // Polish Acad. of sciens C-65 (302). 1998.

114 Вопросы геофизики. Выпуск 44. СПб., 2011 (Ученые записки СПбГУ;

№ 444) Б. Г. Сапожников СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ МОНОПОЛИ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ИСТОЧНИКИ НОРМАЛЬНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ Введение Стандартный метод расчета нормальных электрических полей электроразведочных установок (теоретические поля установок для однородных сред земля воздух ) со стоит в интегрировании по контуру питающих линий полей элементарных источников.

В качестве последних обычно используют электрические диполи [1].

Однако указанный выбор элементарного источника не позволяет выполнить анализ вкладов в интегральное поле электроразведочной установки ее составных частей за землителей (электродов) и проводов. Такой анализ имеет практическое значение при решении ряда методических задач, связанных с оценкой глубинности исследований, установлением относительного вклада в нормальное поле со стороны проводов и за землений линии, выбором оптимальной конфигурации проводов линии, определением полей гальванических и емкостных утечек. Стандартный подход не представляется оп тимальным и с точки зрения процесса вычислений интегрального поля. Так, например, в случае постоянного тока общий метод расчета существенно уступает частному, осно ванному на простом суммировании электрических полей заземленных электродов.

Идея предлагаемого решения раздельного вычисления составных частей нормаль ного электрического поля состоит в замене диполя (как элементарного источника элек трического поля) элементарными источниками двух других типов скалярным (одно полюсный точечный источник тока скалярный монополь ) и векторным (элемент тока питающего провода векторный монополь ). Поля источников необходимо опре делить так, чтобы с помощью скалярного источника были бы возможны расчеты полей электродов, гальванических и емкостных утечек, а с помощью векторного индукци онных полей, обусловленных током в отрезках проводов. С целью реализации этой идеи автором ранее были предложены кулоновские элементарные источники [2–4].

Однако, как показано ниже, их введение не отвечает наиболее оптимальному решению поставленной задачи.

В качестве простой модели электроразведочной установки используется питающая линия с двумя точечными электродами (заземления А и В), расположенными на концах провода с током. Контур провода в общем случае имеет произвольную конфигурацию.

Амплитуда тока полагается постоянной по длине провода (гальванические и емкостные утечки отсутствуют). Зависимость электрических полей от времени принята в виде eiwt (w круговая частота, t время, i мнимая единица), запись формул в системе единиц СИ [5].

Решение задачи по определению полей введенных элементарных источников внача ле рассматривается для питающей линии внутри однородной изотропной проводящей среды, а затем для линии, расположенной на горизонтальной поверхности раздела двух однородных сред (воздуха и земли).

c Б. Г. Сапожников, Скалярные и векторные монополи элементарные источники нормальных электрических полей 1. Однородная среда С помощью электродинамических потенциалов (скалярного и вектор-потенциа ла A) электрическое поле E может быть представлено в виде векторной суммы двух составных частей потенциальной части E = grad и вихревой части EA = µA:

E = E + EA, (1) где A вектор-потенциал, введенный определением H = rot A;

H вектор напряжен ности магнитного поля;

µ = i w µ0 µ;

µ0 магнитная постоянная;

µ относительная магнитная проницаемость среды.

При использовании лоренцовской калибровки вектор-потенциала, соответствующей условию divAL = L, система уравнений для электродинамических потенциалов принимает вид L k 2 L = 0, (2) AL k 2 AL = 0, где электромагнитные параметры среды: k 2 = µ квадрат волнового числа;

= + i w 0 комплексная и активная удельные электрические проводимости;

относительная диэлектрическая проницаемость;

L нижний индекс буквенных обозна чений функций, указывающий на их принадлежность к лоренцовской калибровке;

электрическая постоянная.

Введем для электрического диполя согласно рис. 1 три связанных друг с другом си стемы координат: сферическую (R,, ), цилиндрическую (r,, z) и прямоугольную (x, y, z).

Рис. 1. Система координат Решение системы уравнений (2) для электрического диполя в однородной среде приводит к следующим выражениям для потенциалов ed и Aed [1]:

L L ed = I dx x e (1 + ), L 4 R (3) Aed = I dx e e, x L где I сила тока;

= k R численное расстояние;

ex орт оси x.

116 Б. Г. Сапожников Как отмечено выше, для разделения электрического диполя на более простые эле ментарные источники ранее было предложено использовать кулоновскую калибровку векторного потенциала, соответствующую условию div Aq = 0, где q нижний индекс буквенных обозначений функций, указывающий на их принадлежность к кулоновской калибровке. В этом случае система уравнений для электродинамических потенциалов имеет вид q = 0, (4) Aq k 2 Aq = grad q.

Кулоновская калибровка замечательна тем, что решение для потенциальной функ ции q в случае гармонического поля полностью аналогично решению для случая электрического поля постоянного тока. Отличие состоит лишь в том, что в случае гармонического поля все амплитуды поля и проводимости сред имеют комплексный характер. Причем если не учитывать частотную зависимость, связанную с мнимой ча стью проводимости, то решение для q можно рассматривать как частотно-незави симое.

Для случая кулоновской калибровки потенциал электрического диполя в однород ной среде в отличие от (3) записывается в виде I dx x ed =. (5) q 4 R С учетом (1) вихревую часть Eed поля электрического диполя для кулоновской Aq калибровки представим в виде Eed = Eed Eed. (6) Aq q Далее, учитывая выражения (1) и (3), имеем x e ( 1 + ) I dx A ed = A ed + grad. (7) q L 4 R В соответствии с определением кулоновской калибровки часть Eed электрического Aq поля диполя, обусловленная векторным потенциалом A ed, является чисто вихревой:

q Eed = µ Aed.

q (8) Aq Полученные результаты можно использовать для разделения поля электрического диполя на составные части. Потенциальное (градиентное) поле Eed можно рассмат q ривать как поле Eqd скалярного кулоновского электрического диполя, составленного q из двух потенциальных монополей сближенных точечных источников тока разного знака (точнее источников тока, сдвинутых по фазе на 180), вихревое поле Eed как Aq поле Evm кулоновского векторного монополя элемента токовой цепи, замыкающего q скалярный кулоновский диполь.

Из приведенного анализа можно сделать вывод, что при переходе от постоянного тока к переменному частотно-независимая часть Eq электрического поля дополняется Скалярные и векторные монополи элементарные источники нормальных электрических полей чисто вихревой частью EAq, источником которой являются векторные монополи токо вой цепи. Чисто вихревая часть поля имеет все три ортогональные компоненты. С физи ческой точки зрения можно считать, что эта часть поля обусловлена электромагнитным взаимодействием магнитного поля кулоновских векторных монополей с окружающей средой.

Рассмотрим электрическое поле питающей линии в целом.

Учитывая градиентный характер поля кулоновского диполя, вся совокупность куло новских диполей, распределенных по проводу рассматриваемой питающей линии, при расчете поля может быть заменена двумя разнополярными скалярными монополями на концах провода (однополюсными точечными источниками тока А и В). Можно по лагать, что кулоновские диполи поляризуют провод питающей линии с образованием на концах провода однополюсных источников тока.

Для однородной среды потенциал pm однополюсного источника тока рассчитыва q ется по формуле I pm =. (9) q 4R Электрическое поле кулоновских векторных монополей провода питающей линии вычисляется путем интегрирования по контуру провода элементарных полей Evm.

q Таким образом, задача расчета составных частей электрического поля питающей линии решается на основе использования элементарных кулоновских источников двух типов скалярного и векторного монополей. На этом этапе разделения поля питающей линии на составные части автор остановился в работах [2–4].

Однако согласно выражениям (7), (8) в состав поля Evm векторного монополя вхо q дит градиентная часть. По аналогии с преобразованием полей кулоновских диполей эту часть поля при расчете электрического поля питающей линии также можно учесть в поле введенного выше точечного однополюсного источника тока. Аналогично выводу о кулоновских диполях, можно полагать, что векторные элементы тока дополнительно поляризуют провод питающей линии с образованием на концах провода дополнитель ных однополюсных источников тока индукционной природы.

С учетом индукционной части pm суммарный потенциал поля обобщенного одно A полюсного источника тока будет иметь вид pm = pm + pm, q A где I pm = (e 1). (10) A 4R Отметим, что индукционный потенциал pm ни в коей мере нельзя считать обу A словленным магнитным полем точечного однополюсного источника тока, так как в рассматриваемом случае однородной изотропной среды магнитное поле однополюсно го источника тока отсутствует в силу симметрии растекания тока.

После исключения из выражения (8) градиентной части оставшаяся часть Evm элек трического поля векторного монополя имеет только один компонент поля, ориентиро ванный параллельно векторному элементу провода, причем в соответствии с лоренцов ской калибровкой E vm = µ Aed.

L (11) 118 Б. Г. Сапожников Таким образом, изучив электрическое поле в однородной изотропной среде, можно заключить, что решение задачи раздельного вычисления составных частей электриче ского поля питающей линии сводится к следующему:

• поле Epm точечных заземлений питающей линии рассчитывается суммированием электрических полей (10) однополюсных источников тока (скалярных монополей);

• суммарное электрическое поле Evm векторных элементов провода питающей ли нии рассчитывается интегрированием по контуру провода полей E vm (11) векторных элементов тока (векторных монополей);

• суммарное электрическое поле Eum емкостной и гальванической утечек прово да питающей линии (при их наличии) рассчитывается интегрированием по контуру провода полей (10) однополюсных источников тока.

2. Два однородных полупространства Рассмотрим электрическое поле питающей линии, расположенной на горизонталь ной поверхности раздела двух однородных изотропных полупространств с электромаг нитными свойствами µ1, 1 и µ2, 2 соответственно для верхней и нижней сред.

Для верхней среды известные решения для электродинамических потенциалов по ля горизонтального электрического диполя, расположенного в начале координат на поверхности раздела сред, имеют следующий вид (в системе координат, принятой со гласно рис. 1):

ez ed = I dx cos µ1 1 + µ2 2 J1 ( r) d, L 2 µ1 2 + µ2 1 1 2 + 2 (12) ed AL = Aed ex + Aed ez, Lx Lz где ez I dx Aed = µ2 J0 ( r) d, (13) Lx 2 µ1 2 + µ2 Aed = Az cos, Lz ez 1 (14) I dx µ1 1 µ2 2 J1 ( r) d, Az = cos 2 µ1 2 µ2 1 1 2 + 2 1 = (k1 + 2 )1/2, 2 = (k2 + 2 )1/2, k1 = µ1 1, k2 = µ2 2.

2 2 2 По аналогии с рассмотренным выше случаем однородной среды потенциалы элек трического поля в верхней среде для точечного однополюсного источника тока, находя щегося на поверхности раздела сред, после соответствующих преобразований запишем в виде ez I dx µ1 1 + µ2 pm = J0 ( r) d, 2 µ1 2 + µ2 1 1 2 + 2 (15) I pm = pm pm.

pm =, q q A 2 (1 + 2 ) R Скалярные и векторные монополи элементарные источники нормальных электрических полей Как видно из выражений (12), составная часть Eed поля диполя при использовании AL ed лоренцовской калибровки имеет два компонента вертикальный EALz и горизонталь ed ный EALx.

ed Используя по отношению к вертикальному компоненту Ez электрического поля диполя принцип взаимозаменяемости приемных и питающих устройств, вертикальный ed edv компонент EALz можно рассматривать как составную часть EAr радиального ком edv понента Er электрического поля вертикального электрического диполя, расположен edv ного в точке наблюдения М. В силу осевой симметрии радиальный компонент Er является градиентом плоского потенциального поля в горизонтальной плоскости. Эта edv особенность компонента Er позволяет при расчетах вертикального компонента Ez поля питающей линии, обусловленного AzL, связать его величину исключительно с однополюсными источниками тока (скалярными монополями).

pm Для верхней среды выражение EAz однополюсного источника тока имеет вид r pm EAz = µ Az d x, (16) rc где rc координата r произвольной точки C на поверхности раздела сред, относительно которой вычисляется потенциал плоского поля.

С физической точки зрения эта часть поля обусловлена электромагнитным взаимо действием магнитного поля однополюсного источника тока с окружающей средой.

Для верхней среды полный вертикальный компонент однополюсного источника то ка:

pm Ez = gradz pm + EAz.

pm (17) Отсюда можно заключить, что если в составе питающей линии нет однополюсных источников тока (скалярных монополей), то суммарное электрическое поле вообще не имеет вертикального компонента. Этот вывод непосредственно относится к пита ющим линиям, представляющим собой замкнутые плоские горизонтальные петли лю бой конфигурации (при условии отсутствия токов гальванических и емкостных утечек проводов).

Все это позволяет сохранить за векторным элементом тока поле Evm, имеющее, как и в случае однородного пространства, только один компонент поля, параллельный векторному элементу тока (векторному монополю):

Evm = µ1 Aed ex.

Lx (18) Принципы решения задачи раздельного вычисления составных частей электриче ского поля питающей линии, расположенной на поверхности раздела двух сред, анало гичны рассмотренным выше для однородной среды:

• поле Epm точечных заземлений питающей линии рассчитывается суммированием электрических полей (15), (16) однополюсных источников тока (скалярных монополей);

• суммарное электрическое поле Evm векторных элементов провода питающей ли нии рассчитывается интегрированием по контуру провода полей Evm (18) векторных элементов тока (векторных монополей);

В работе [3] авторами допущена ошибка при описании электрического поля горизонтальной петли (рис. 1.6, в). Отношение |Ez | / |Ex | для питающей линии петля следует считать равным нулю.

120 Б. Г. Сапожников • суммарное электрическое поле Eum емкостной и гальванической утечек прово да питающей линии (при их наличии) рассчитывается интегрированием по контуру провода полей (15), (16) однополюсных источников тока.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.