авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 31 |

«Геометрические методы в математической физике 17 октября 2013 г. Катанаев Михаил Орионович1 ...»

-- [ Страница 10 ] --

метрика и аффинная связность. В настоящем разделе приведены тождества, вклю чающие аффинную связность, которые полезны для приложений при проведении вычислений. Кроме того, определены инвариантные дифференциальные операторы второго порядка и приведена формула интегрирования по частям. Все формулы на стоящего раздела доказываются прямыми вычислениями.

Определим след аффинной связности, который получается после свертки послед ней пары индексов:

:=. (6.44) Он не является ковекторным полем, поскольку закон преобразования содержит неод нородное слагаемое:

= = +.

2 (6.45) Из выражения (6.16) для компонент аффинной связности следует, что след аф финной связности (6.44) равен = +, (6.46) 304 ГЛАВА 6. АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ЛОКАЛЬНОЕ РАССМОТРЕНИЕ где след символов Кристоффеля, := =, имеет вид = 1 = 1 = 1 = || = b b, (6.47) 2 2 2 || и введен след тензора неметричности по последним индексам:

:=. (6.48) В тождествах (6.47) || = det a.

:= det, Замечание. След аффинной связности не зависит от кручения.

Приведем также несколько полезных формул, справедливых в (псевдо-)римановой геометрии:

=, (6.49) || = || = || a a, || = (6.50) = = a a a a, (6.51) ( || ) = ||( ), (6.52) ( || ) = ||, (6.53) a ( || a ) = ( 1) || a a. (6.54) В пространстве Римана–Картана–Вейля след неметричности пропорционален фор ме Вейля из (6.19):

=.

Свертка аффинной связности (6.16) по первому и третьему индексам приводит к равенству = + + = +, (6.55) где введен след тензора кручения :=. (6.56) Предложение 6.6.1. Справедливо равенство 1...n = 1...n. (6.57) Доказательство. Из определения ковариантной производной и связи между полно стью антисимметричным тензором и тензорной плотностью (2.63) следует равенство 1...n = 1...n || 1 2...n... n 1...n1.

^ Это выражение антисимметрично по индексам 1,..., n и, следовательно, пропор ционально полностью антисимметричному тензору:

1...n = 1...n, где – компоненты некоторого ковектора. Свертка полученного равенства с кон травариантным тензором 1...n с учетом равенств (6.46), (6.47) и (28.52) определяет =.

6.6. СВОЙСТВА АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ Следствие. Для метрической связности полностью антисимметричный тензор яв ляется ковариантно постоянным.

В дифференциальной геометрии естественным образом вводится понятие гради ента и дивергенции.

Определение. Назовем градиентом скалярного поля (функции) ковекторное поле (1-форму):

grad := = =. (6.58) Назовем дивергенцией векторного поля скалярное поле div := = +, (6.59) построенное с помощью ковариантной производной.

С учетом выражения аффинной связности через кручение и неметричность (6.16) дивергенция векторного поля (6.59) принимает вид 1 ( ) || + +.

= (6.60) || В частности, в (псевдо-)римановой геометрии 1 ( ) = ||. (6.61) || Эта полезная формула позволяет переписать инвариантный интеграл от дивергенции произвольного векторного поля в (псевдо-)римановой геометрии в виде = ( || ) || и воспользоваться формулой Стокса (см. раздел 3.7.2). В пространстве аффинной связности после применения формулы Стокса возникают дополнительные объемные интегралы с кручением и неметричностью (6.60).

Замечание. В разделе 3.5 мы определили дивергенцию (3.63) для внешних форм.

Пусть на многообразии M задана метрика и 1-форма =, соответствую щая вектору, где :=. Тогда из сравнения формул (3.56) и (6.59) следует, что div = div тогда и только тогда, когда + = 0.

В частности, равенство div = div имеет место в (псевдо-)римановой геометрии.

Дивергенция от антисимметричного тензорного поля, =, равна ( ) 1 1 ( ) + +.

= || + (6.62) 2 || В римановой геометрии это тождество упрощается:

1 ( ) = ||. (6.63) || 306 ГЛАВА 6. АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ЛОКАЛЬНОЕ РАССМОТРЕНИЕ Приведем также формулу для антисимметричной ковариантной производной от 1 формы:

=. (6.64) Из этого равенства следует, что антисимметризация обычной производной от 1 формы дает тензорное поле типа (0, 2). Это процедура положена в основу определе ния внешней производной от произвольной формы (см. раздел 3.3).

Наличие ковариантной производной и метрики позволяет строить кова риантные дифференциальные операторы, действующие на произвольные тензорные поля на многообразии. Для их построения достаточно взять произвольный диффе ренциальный оператор в (псевдо-)евклидовом пространстве, заменить частные про изводные на ковариантные и (псевдо-)евклидову метрику на метрику мно гообразия.

Инвариантный дифференциальный оператор второго порядка, действующий на произвольные тензорные поля на многообразии имеет вид := =. (6.65) Он часто называется оператором Лапласа–Бельтрами независимо от сигнатуры мет рики. В римановой геометрии оператор Лапласа–Бельтрами устроен проще:

:= =. (6.66) Замечание. Если метрика имеет лоренцеву сигнатуру, то мы будем обозначать опе ратор Лапласа–Бельтрами квадратом, а не треугольником, по аналогии с опе ратором Даламбера. В этом случае уравнение 1...s 1...r = 0 для каждой компо ненты тензорного поля sr (M) будет гиперболического типа.

Действие оператора Лапласа–Бельтрами на скалярное поле можно записать в виде ) ( ) 1 ( = || + +. (6.67) || В римановой геометрии правая часть этого равенства записывается через обычную производную от тензорной плотности:

1 ( ) ||.

= (6.68) || Приведем также формулу интегрирования по частям. Используя (6.47) и (6.55), проверяется, что ( ) ( ) || a = || a || + a a + || a a.

a a Здесь индекс a обозначает произвольную совокупность ковариантных и контравари антных индексов, по которым подразумевается суммирование. Интегрируя это соот ношение по многообразию и пренебрегая граничными членами, получим равенство [ ( ) ] a a a || a = || a + a. (6.69) 6.7. ЛОКАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕНЗОРА КРИВИЗНЫ В римановой геометрии эта формула имеет тот же вид, что и обычное интегрирование по частям: [ ] || a = || a a.

a (6.70) Отсюда следует, что с точностью до граничных членов имеет место равенство a || a = || a a. (6.71) 6.7 Локальное определение тензора кривизны Помимо кручения аффинная связность на многообразии M задает еще один важный геометрический объект – тензор кривизны аффинной связности (5.35) или тензор Римана–Кристоффеля. В локальной системе координат он имеет следующие компоненты:

:= ( ), (6.72) где скобки ( ) обозначают предыдущие слагаемые с переставленными индекса ми и.

Замечание. Тензор кривизны никакого отношения к метрике не имеет и определя ется только связностью.

Тензор кривизны играет очень важную роль в дифференциальной геометрии и возникает в различных контекстах. Покажем, что тензор кривизны позволяет сфор мулировать критерий локальной тривиальности аффинной связности.

Пусть на многообразии M задана аффинная связность с нулевым кручением, = 0. При этом неметричность, если задана также метрика, может быть отлична от нуля. Рассмотрим соотношения (5.31) как уравнения на функции перехода ( ).

Потребуем, чтобы в новой системе координат компоненты связности обращались в нуль в некоторой односвязной области. Тогда функции перехода должны удовлетво рять уравнению 2.

= (6.73) Дифференцируя это соотношение по и исключая вторые производные от функций перехода с помощью исходного уравнения (6.73), получим равенство 3 ( + +.

) = Условия интегрируемости уравнений (6.73) получаются из этих уравнений антисим метризацией выражения в круглых скобках по индексам, или, и приравнива нием результата нулю. Обе антисимметризации приводят к единственному условию:

равенству нулю тензора кривизны (6.72), = 0.

Равенство нулю тензора кривизны является необходимым и достаточным услови ем локальной разрешимости системы уравнений (6.73) относительно матриц Якоби преобразования координат. После ее решения возникнет система равенств =, (6.74) 308 ГЛАВА 6. АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ЛОКАЛЬНОЕ РАССМОТРЕНИЕ где в правой части стоят некоторые функции от. Эта система уравнений на функ ции перехода, в свою очередь, имеет свои условия интегрируемости:

= 0.

Эти условия интегрируемости в общем случае выполнены не будут. Однако, мож но доказать, что правая часть уравнений (6.74), как решений исходных уравнений (6.73) определена неоднозначно. Кроме того, этот произвол в выборе решений всегда можно зафиксировать таким образом, чтобы условия интегрируемости для функций перехода были выполнены. Соответствующее доказательство в переменных Картана было дано в разделе 5.5. Таким образом, справедлива Теорема 6.7.1. Пусть на многообразии M задана геометрия Римана–Картана. Ес ли тензоры кривизны и кручения равны нулю в некоторой односвязной области U M, то, возможно, в меньшей окрестности существует такая система коор динат, в которой компоненты связности обратятся в нуль.

Определение. Назовем аффинную связность на многообразии M локально триви альной, если для любой точки M найдется окрестность Ux и такая система координат, что компоненты связности на Ux равны нулю. Такая аффинная связ ность называется также интегрируемой.

Таким образом, найден критерий локальной тривиальности аффинной связности.

Теорема 6.7.2. Для локальной тривиальности аффинной связности на многообра зии M необходимо и достаточно, чтобы ее кручение и тензор кривизны равнялись нулю на M.

Замечание. Тензор кручения является тензором, и его компоненты нельзя обра тить в нуль никаким преобразованием координат. Поэтому равенство нулю тензора кривизны необходимо для локальной тривиальности аффинной связности.

Пусть на многообразии M помимо связности задана также метрика.

Тогда определен тензор неметричности (6.15). При ненулевом тензоре неметрично сти локальная тривиальность аффинной связности не означает, что многообразие является локально (псевдо-)евклидовым. Действительно, при = 0 и = уравнение (6.15) дает соотношение между метрикой и неметричностью =. (6.75) В частности, метрику можно задать произвольно, и она будет определять немет ричность. В римановой геометрии = 0 и = 0, и равенство нулю тензора кривизны, = 0, означает, что найдется такая система координат, в которой все частные производные метрики обратятся в нуль, = 0, т.е. метрика имеет постоянные компоненты в некоторой области U M. С помощью последующего ли нейного преобразования координат ее всегда можно привести к диагональному виду, когда на диагонали будут стоять ±1 в соответствии с исходной сигнатурой метрики.

Это дает критерий локальной (псевдо-)евклидовости (псевдо-)риманова простран ства. Сформулируем сразу глобальное утверждение.

6.8. СВОЙСТВА ТЕНЗОРА КРИВИЗНЫ Теорема 6.7.3. Пусть на многообразии M задана аффинная геометрия. Тогда, ес ли тензоры кручения, неметричности и кривизны равны нулю на всем многообра зии, то M изометрично либо (псевдо-)евклидову пространству Rn, либо фактор пространству Rn /G, где G – группа преобразований, действующая на Rn свободно и собственно разрывно.

Доказательство. См., например, [51].

6.8 Свойства тензора кривизны Помимо тождеств Бианки тензоры кручения и кривизны удовлетворяют ряду дру гих дифференциальных соотношений. Выведем ряд полезных тождеств, исходя из определения тензора кривизны (6.72). Прямые вычисления с учетом выражения аф финной связности через метрику, кручение и неметричность показывают, что ан тисимметризация тензора кривизны по первым трем индексам определяется только тензором кручения и его ковариантными производными:

+ + = + + + + +. (6.76) Это означает, что в римановой геометрии, а также в аффинной геометрии без кру чения тензор кривизны удовлетворяет тождеству + + = 0. (6.77) Обратное утверждение в общем случае неверно. То есть из равенства (6.77) не сле дует, что кручение равно нулю.

Пусть на многообразии M задана аффинная геометрия, т.е. метрика и связность.

Приведем явное выражение для тензора кривизны со всеми опущенными индексами.

С учетом разложения связности (6.16) и тождества (6.24) получаем равенство := = + ( + ) ( ). (6.78) Если у тензора кривизны со всеми опущенными индексами произвести симметриза цию по последней паре индексов, то получим тождество + = +. (6.79) Свертывая это тождество по последней паре индексов, получаем равенство 2 = 2( ) = + =, (6.80) где :=. Отсюда следует, что в геометрии Римана–Картана–Вейля сверт ка тензора кривизны по последним двум индексам дает напряженность для формы Вейля.

Рассмотрим симметрии тензора кривизны относительно перестановок индексов.

В общем случае аффинной геометрии единственная симметрия тензора кривизны со всеми опущенными индексами – это антисимметрия по первой паре индексов:

=, (6.81) 310 ГЛАВА 6. АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ЛОКАЛЬНОЕ РАССМОТРЕНИЕ что сразу вытекает из определения (6.72). Отсюда следует, что в аффинной геомет рии число линейно независимых компонент тензора кривизны равно 3 ( 1) [ ] =.

В геометрии Римана–Картана тензор кривизны антисимметричен также и по вто рой паре индексов, что является следствием уравнения (6.79), =. (6.82) Поэтому число его линейно независимых компонент меньше:

2 ( 1) [ ] =.

В (псевдо-)римановой геометрии тензор кривизны обладает дополнительной сим метрией: его антисимметризация по первым трем индексам тождественно обращается в нуль [] = 0. (6.83) что следует из уравнения (6.76). Следовательно, число его линейно независимых компонент равно 2 (2 1) [ ] =.

Из свойств (6.81), (6.82) и (6.83) следует, что в (псевдо-)римановой геометрии тензор кривизны симметричен также относительно перестановки первой пары индексов со второй, =. (6.84) Замечание. Обратные утверждения, связывающие геометрию с симметрией тензо ра кривизны неверны. Например, тензор кривизны может быть антисимметричен по второй паре индексов и в то же время тензор неметричности может быть нетриви альным.

В (псевдо-)римановой геометрии тензор кривизны со всеми опущенными индек сами следующим образом выражается через метрику:

12 2 2 = ( + ) +. (6.85) Как видим, он линеен по вторым производным от метрики и квадратичен по первым производным.

Определение. По заданному тензору кривизны путем свертки пары индексов мож но построить тензор Риччи :=. (6.86) Замечание. Тензор кривизны и тензор Риччи строятся только по аффинной связ ности, без использования метрики.

В общем случае тензор Риччи не обладает никакой симметрией по своим индек сам. В (псевдо-)римановой геометрии он симметричен относительно перестановки индексов:

=.

6.8. СВОЙСТВА ТЕНЗОРА КРИВИЗНЫ Определение. Свертывая тензор Риччи с обратной метрикой, получаем скалярную кривизну многообразия :=. (6.87) Скалярная кривизна зависит и от связности, и от метрики. Функция :=, (6.88) где –скалярная кривизна, называется гауссовой кривизной многообразия.

Пример 6.8.1. Пусть двумерная поверхность задана в трехмерном евклидовом про странстве R3 уравнением = (, ) с дважды непрерывно дифференцируемой пра вой частью, причем (0, 0) = 0, x (0, 0) = 0, y (0, 0) = 0, где x := x и y := y. Тогда скалярная кривизна в начале координат, соответ ствующая индуцированной метрике, 2 = 2 + 2 + 2 = = (1 + x )2 + 2x y + (1 + y ) 2, 2 пропорциональна определителю гессиана ( ) xx xy = 2 det = 2, xy yy где – гауссова кривизна поверхности. Поворотом евклидова пространства в плос кости, гессиан всегда можно привести к диагональному виду ( ) xx, 0 yy где, скажем, xx (0, 0) yy (0, 0). Если xx yy, то оси, называются главными направлениями поверхности в данной точке. При xx = yy, главные направления не определены. Если гауссова кривизна положительна, 0, то поверхность в начале координат имеет локальный экстремум и лежит по одну сторону плоскости = 0. Если кривизна меньше нуля, 0, то поверхность в начале координат имеет седловую точку. При = 0 по крайней мере одна из вторых частных производных обращается в нуль, и мы имеем касание более высокого порядка.

Замечание. Многие авторы определяют тензор кривизны многообразия таким об разом, чтобы скалярная кривизна совпала с гауссовой кривизной. Мы используем определения тензора кривизны, тензора Риччи и скалярной кривизны, которые ши роко используется в дифференциальной геометрии и приложениях. Это не приво дит к недоразумениям. Однако надо помнить, что в наших обозначениях скалярная и гауссова кривизна двумерной сферы S2 радиуса равны: = 2 = 2/2 и r = 1/2 (см. вычисления далее в разделе 24.1).

В аффинной геометрии компоненты связности инвариантны относительно преобразования,.

, (6.89) 312 ГЛАВА 6. АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ЛОКАЛЬНОЕ РАССМОТРЕНИЕ Поэтому тензор кривизны и тензор Риччи также инвариантны. При этом скалярная кривизна (6.87) меняет знак.

Рассмотрим на многообразии M произвольное векторное поле = (M) и 1-форму = 1 (M). Ковариантные производные от их компонент имеют вид (6.2), (6.3). Прямые вычисления показывают, что коммутатор двух ковариантных производных определяется тензором кривизны и кручения:

[, ] =, (6.90) [, ] =. (6.91) и отличается только знаком перед слагаемым с кривизной. Коммутатор ковариант ных производных от скалярного поля () проще:

[, ] = (6.92) и определяется только тензором кручения.

Формулы (6.90), (6.91) обобщаются на тензоры произвольного ранга.

Пример 6.8.2. Коммутатор ковариантных производных от компонент тензора 11 (M) типа (1, 1) имеет вид [, ] =.

Для тензоров более высокого ранга будем иметь по одному слагаемому с кривизной со знаком плюс и минус соответственно для каждого контравариантного и ковари антного индекса и одно общее слагаемое с тензором кручения.

Формулы для коммутатора ковариантных производных можно использовать для доказательства некоторых тождеств. Докажем несколько формул, справедливых в (псевдо-)римановой геометрии. Пусть – произвольный антисимметричный тен зор второго ранга. Тогда в (псевдо-)римановой геометрии справедливо равенство = 0.

Действительно, [, ] = + = 2 = 0, поскольку тензор Риччи в этом случае симметричен.

Предложение 6.8.1. В (псевдо-)римановой геометрии имеет место следующая формула = 0.

Доказательство. Справедливы следующие равенства:

2 = [, ] = = + + +.

Первые два слагаемых обращаются в нуль в силу симметрии тензора Риччи. Послед ние два слагаемых сокращаются:

= в силу симметрии слагаемых по индексам,.

6.9. НЕГОЛОНОМНЫЙ БАЗИС В заключение настоящего раздела приведем важную формулу, связывающую ска лярную кривизну (, ) в геометрии Римана–Картана со скалярной кривизной () в соответствующей (псевдо-)римановой геометрии, вычисленной только по метрике при нулевом кручении:

1 1 2 + ( || ) =, (6.93) 4 2 || где := – след тензора кручения. Это тождество проверяется путем прямых вычислений и справедливо в пространстве произвольной размерности 2 и для метрики произвольной сигнатуры. Приведенное тождество можно переписать в явно ковариантном виде 1 1 + 2 =, 4 где мы воспользовались тождеством (6.61). Важность этой формулы заключается в том, что, поскольку обе скалярные кривизны приводят к уравнениям движения не выше второго порядка (в переменных Картана), то при выборе лагранжиана можно ограничиться одной скалярной кривизной и квадратами тензоров кручения в моде лях гравитации с динамическим кручением.

6.9 Неголономный базис Аффинная геометрия на многообразии M задается метрикой и аффинной связно стью или, что эквивалентно, метрикой, кручением и неметричностью. При таком описании каждое преобразование координат сопровождаются соответствующим пре образованием компонент тензорных полей относительно координатного базиса. Су ществует также другой способ описания геометрии, когда компоненты тензорных полей рассматриваются относительно репера, который не меняется при преобразова нии координат. В этом случае на компоненты тензорных полей действует группа ло кальных преобразований GL(, R), что соответствует вращению репера. В результате геометрия на многообразии M будет задана репером a и линейной или GL(, R) связностью a b (см. раздел 5.4).

Определение. Переменные репер a () и GL(, R)-связность a b (), задающие на многообразии M аффинную геометрию, называются переменными Картана. В четырехмерном пространстве-времени репер называется тетрадой. В двумерном и трехмерном пространстве репер называется соответственно диадой и триадой.

Замечание. В моделях математической физики переменные Картана, как правило, упрощают вычисления и необходимы при рассмотрении спинорных полей на много образии M.

Напомним, что координатный базис касательных пространств Tx (M) во всех точ ках многообразия M мы обозначаем, и он называется голономным. Важным свойством координатных базисных векторов является их коммутативность:

[, ] = 0.

Предположим, что в каждой точке многообразия M задан произвольный ба зис касательного пространства a () (репер) и дуальный к нему базис 1-форм a () (корепер), = 1,...,. Дуальность означает, что значение 1-форм a на векторных полях b равно символу Кронекера: a (b ) = b.

a 314 ГЛАВА 6. АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ЛОКАЛЬНОЕ РАССМОТРЕНИЕ Замечание. Как уже отмечалось, репер может существовать глобально не для всех многообразий. Например, его не существует на неориентируемых многообразиях. В таких случаях все, сказанное ниже, имеет локальный характер. Тем не менее полу ченные формулы важны для вычислений, которые, как правило, проводятся в какой либо системе координат.

Репер и корепер можно разложить по координатному базису:

a = a, a = a, где a и a – взаимно обратные невырожденные матрицы, что является следствием дуальности:

a b = a, b a a =.

По-предположению, матрицы a и a невырождены и достаточно гладко зависят от точки многообразия.

В общем случае репер представляет собой неголономный базис касательного про странства, т.е. не существует такой системы координат a = a (), что a = a. (6.94) Репер определен с точностью до локальных GL(, R) преобразований, действующих на латинские индексы. Его важнейшей характеристикой являются компоненты него лономности ab c, которые определяются коммутатором базисных векторных полей:

[a, b ] := ab c c (6.95) и антисимметричны по нижним индексам, ab c () = ba c ().

Из тождеств Якоби для алгебры Ли векторных полей, [ ] [ ] [ ] a [b, c ] + b [c, a ] + c [a, b ] = 0, следуют тождества для компонент неголономности:

a bc d + b ca d + c ab d + ab e ce d + bc e ae d + ca e be d = 0, (6.96) где a := a.

Из определения (6.95) следует явное выражение для компонент неголономности через компоненты репера и их производные ab c := a b b a c.

( ) (6.97) Умножив это соотношение на обратные матрицы a, получим эквивалентную фор мулу c = a b ab c = c + c, (6.98) которую можно переписать в виде c = a b ba c, (6.99) 6.9. НЕГОЛОНОМНЫЙ БАЗИС где использовано определение внешнего умножения и дифференцирования форм (см.

раздел 3).

Многие формулы содержат след компонент неголономности, который определя ется следующим образом:

a || a := ba b = a +. (6.100) || Компоненты неголономности ковариантны относительно преобразования коор динат (), но не являются компонентами тензора относительно локальных GL(, R) преобразований.

Нетрудно проверить, что равенство нулю компонент неголономности является необходимым и достаточным условием локальной разрешимости системы уравнений (6.94). Это означает, что, если компоненты неголономности равны нулю в некоторой области, то для любой точки из этой области существует окрестность, в которой можно выбрать такую систему координат, что базис станет голономным a = a.

Использование неголономного базиса вместо координатного бывает значительно удобнее и часто используется в приложениях. Поэтому получим основные формулы дифференциальной геометрии в неголономном базисе.

Произвольное векторное поле можно разложить как по координатному, так и по некоординатному (неголономному) базису = = a a, где = a a и a = a. Предположим, что переход от греческих индексов к латинским и наоборот у компонент тензорных полей произвольного ранга всегда осуществляется с помощью компонент репера и корепера. При этом все симметрии относительно перестановок индексов, конечно, сохраняются. Компоненты метрики в неголономном базисе имеют вид ab = a b. (6.101) В общем случае компоненты метрики ab () зависят от точки многообразия. Метрика ab всегда имеет ту же сигнатуру, что и метрика, т.к. матрица a невырождена.

Подъем и опускание греческих и латинских индексов осуществляется с помощью метрик и ab, соответственно.

Как правило, репер используют в тех случаях, когда матрица ab является диа гональной и постоянной, а на диагонали расположены плюс и минус единицы:

ab = ab = diag (+ · ·· + · ·· ).

p q Локально такой репер существует, поскольку уравнение (6.101) при одинаковых сиг натурах метрик ab и всегда разрешимо относительно репера. Такой репер на зывается ортонормальным и определен с точностью до O(, ) вращений. Ортонор мальный базис часто бывает более удобным, т.к. метрика в этом базисе постоянна.

Для римановой метрики множество реперов делится на два класса: с положи тельным и отрицательным определителем. Для многообразий с метрикой лоренцевой сигнатуры множество реперов можно разбить на четыре класса, по числу несвязных компонент группы Лоренца (см. раздел 1.9.1).

316 ГЛАВА 6. АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ЛОКАЛЬНОЕ РАССМОТРЕНИЕ Компоненты тензоров второго и более высокого рангов могут содержать одновре менно и греческие и латинские индексы. По построению, ковариантная производная от компонент такого тензора содержит по одному слагаемому с аффинной связно стью для каждого греческого индекса и одному слагаемому с линейной связностью для каждого латинского индекса. Из определения (локальной формы) линейной связ ности (5.51) следует взаимно однозначная связь между линейной и аффинной связ ностью:

a b = a b b a. (6.102) Эту формулу можно переписать в виде равенства нулю ковариантной производной от компонент корепера:

a = a a + b b a = 0. (6.103) Отсюда следует, что ковариантная производная от компонент репера также обраща ется в нуль a = a + a a b b = 0.

Тогда, используя правило Лейбница, можно свободно переходить от греческих ин дексов к латинским и наоборот под знаком ковариантного дифференцирования:

a = ( a ) = ( ) a, a = ( a ) = ( ) a, где a = a + b a b, (6.104) a = a a b b – ковариантные производные от компонент векторного поля относительно неголо номного базиса.

Если аффинная связность не является метрической, то операция подъема и опус кания индексов с помощью метрик и ab не коммутирует с ковариантной произ водной.

Замечание. Формулу (6.102) можно рассматривать, как калибровочное преобразо вание (вращение) в касательном пространстве, которое совпадает с преобразо ванием калибровочных полей Янга–Миллса (22.203). При этом репер a GL(, R) играет роль матрицы преобразования (локального вращения), а координаты много образия не затрагиваются.

В координатном базисе преобразование координат сопровождается преобразова ние компонент тензорных полей. Введение репера позволяет отделить преобразо вание координат от преобразований в касательном пространстве. Это достигается путем введения 2 новых полей a (). В результате появляется дополнительная возможность совершать локальные GL(, R) преобразования, зависящие также от 2 функций, в касательном пространстве, не затрагивая координат многообразия.

Очевидно, что всегда можно совершить такое преобразование, что в результате ре пер совпадет с координатным базисом a =. В этом случае линейная связность a b b совпадет с аффинной a = a, а выражения для кривизны (6.105) и кручения (6.106) перейдут в уже знакомые формулы аффинной геометрии, т.к. компоненты неголономности обратятся в нуль: ab c = 0.

6.9. НЕГОЛОНОМНЫЙ БАЗИС Формулы для кривизны (5.56) и кручения (5.55) содержат два греческих индек са. Эти индексы также можно преобразовать в неголономные. Простые вычисления приводят к следующим компонентам тензора кривизны и кручения в неголономном базисе:

abc d = a bc d b ac d ac e be d + bc e ae d ab e ec d, (6.105) ab c = ab c ba c ab c, (6.106) где ab c := a b c и a := a. Эти формулы также часто используются в прило жениях, особенно тогда, когда компоненты линейной связности abc являются посто янными относительно некоторого неголономного базиса. В разделе 8 мы используем их для вычисления тензора кручения и кривизны групп Ли.

Если на многообразии задана метрика, то ковариантные компоненты тензора кри визны в неголономном базисе равны abcd = a bcd b acd bc e ade + ac e bde ab e ecd. (6.107) В этом случае линейную связность, аналогично аффинной, можно выразить через репер, кручение и неметричность. Из уравнения (6.16) и определения (6.102) следует выражение для линейной связности со всеми неголономными индексами:

1 abc = (a bc + b ca c ab ) + (abc bca + cab ) 2 1 + (abc bca + cab ) + (abc + bca cab ), (6.108) 2 где abc := ab d dc.

Если (псевдо-) риманово многообразие допускает векторное поле Киллинга = a a, то уравнение Киллинга в неголономном базисе принимает вид a b + b a = 0, (6.109) где a b = a b ab c c, b := a ab. (6.110) Как и ранее знак тильды означает, что связность построена по метрике при нуле вом кручении и неметричности. Эта формула следует из того, что переход между индексами можно проводить под знаком ковариантного дифференцирования.

В (псевдо-)римановой геометрии кручение и неметричность равны нулю. Рассмот рим ортонормальные реперы, для которых ab = ab или ab, если сигнатура отли чается от евклидовой. Такие реперы определены с точностью до локальных O() вращений (или O(, ) вращений, + =, для неевклидовой сигнатуры). Тогда из формулы (6.108) следует выражение для соответствующей SO()- или SO(, ) связности через компоненты неголономности:

abc = (abc bca + cab ). (6.111) 318 ГЛАВА 6. АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ЛОКАЛЬНОЕ РАССМОТРЕНИЕ 6.10 Тождества Бианки Тождества Бианки играют большую роль в приложениях и поэтому в настоящем разделе мы рассмотрим их в компонентах. Громоздкие, но прямые вычисления поз воляют записать тождества (5.44) и (5.45) после спуска на базу в переменных Кар тана:

a b + a b + a b = a b + a b + a b, (6.112) a + a + a = a + a + a + a + a + a. (6.113) В аффинной геометрии их можно свернуть, соответственно, с репером b и a :

a a + a = a a + a, = +.

В геометрии Римана–Картана, когда выполнено условие метричности, последнее сла гаемое в последнем тождестве обращается в нуль. Тогда свернутые тождества Бианки можно переписать в виде + = +, (6.114) = +, (6.115) где мы перешли ко всем греческим индексам.

Из последнего тождества (6.115) следует, что антисимметричная часть тензора Риччи в (псевдо-)римановой геометрии (при нулевом кручении) всегда равна нулю:

=.

Далее, свертка (6.114) с (при нулевом тензоре неметричности) приводит к равенству 2 = 2. (6.116) В (псевдо-)римановой геометрии это тождество упрощается:

= 0, (6.117) где := – тензор Эйнштейна, построенный из тензора Риччи и скалярной кривизны при ну левом кручении и тензоре неметричности.

Тождество (6.115) антисимметрично по индексам и поэтому свертка с приводит к тождеству 0 = 0.

Глава Криволинейные координаты в R Формализм дифференциальной геометрии, развитый в предыдущих разделах, ста новится полезным и естественным даже в евклидовом пространстве, если вычисле ния проводятся в криволинейных системах координат. В настоящем главе мы про демонстрируем это на примере сферической и цилиндрической систем координат в трехмерном евклидовом пространстве R3. В частности, понятие метрики и симво лов Кристоффеля чрезвычайно полезно при нахождении явного вида ковариантных дифференциальных операторов, которые часто используются в приложениях.

7.1 Сферические координаты Рассмотрим сферические координаты,, в трехмерном евклидовом пространстве R3 с декартовыми координатами,,, рис. 7.1. Функции перехода от сферических Рис. 7.1: Сферические координаты,, в трехмерном евклидовом пространстве R3.

координат к декартовым имеют хорошо известный вид = sin cos, = sin sin, (7.1) = cos, и определены при всех значениях,,. Углы и называются соответственно азимутальным и полярным. Якобиан этого преобразования легко вычислить = 2 sin. (7.2) ГЛАВА 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ В R Отсюда следует, что преобразование координат (7.1) вырождено при = 0 или = 0,, т.е. на оси. Действительно, обратные преобразования, = 2 + 2 + 2, 2 + = arctg, (7.3) = arctg, однозначно определены всюду, кроме оси. При этом все евклидово пространство, из которого удалена полуплоскость = 0, 0, включающая ось, взаимно одно значно отображается на открытую область 0, 0, 0 2, (7.4) Если полуплоскость не удалять, то точки с координатами и + 2 необходимо отождествить.

Переход к сферическим координатам сохраняет ориентацию, поскольку якобиан перехода (7.2) положителен в области (7.4).

Из формул (7.1) следуют правила преобразования дифференциалов:

= sin cos + cos cos sin sin, = sin sin + cos sin + sin cos, (7.5) = cos sin.

Подставляя эти выражения в евклидову метрику 2 = 2 + 2 + 2, (7.6) получим следующее выражение для метрики в сферической системе координат 2 = 2 + 2, (7.7) где := 2 + sin 2 2 (7.8) – дифференциал телесного угла. Отсюда следует, что компоненты евклидовой мет рики в сферической системе координат 10 = 0 2 0 (7.9) 0 0 sin являются функциями, а не константами. Отметим, что определитель метрики равен квадрату якобиана преобразования координат, det = 2.

Помимо инвариантной квадратичной формы декартовых дифференциалов (7.6) существует еще одна линейно с ней независимая квадратичная форма ( + + )2, инвариантная относительно SO(3) вращений. В сферических координатах также име ются две независимые инвариантные квадратичные формы, которые даются, напри мер, выражениями 2 и. Между этими формами существует связь:

2 = ( + + )2, 2 (7.10) 1 = 2 (2 + 2 + 2 ) 4 ( + + )2.

7.1. СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ Обсудим, какие структуры существуют в евклидовом пространстве R3, инвари антные относительно SO(3) вращений. Общая теория инвариантных структур будет рассмотрена позже в разделе 9.3.

Из декартовых координат можно составить только одну функционально неза висимую сферически симметричную комбинацию – это радиус := 2 + 2 + 2.

Нетрудно показать, что любая сферически симметричная функция или плотность может зависеть только от радиуса, = ().

Сферически симметричное векторное поле в сферической системе координат име ет только одну нетривиальную компоненту, направленную по радиусу, = { r () := (), 0, 0}.

В декартовой системе координат оно имеет вид = {,, } или i = i (), где {i } = {,, }, = 1, 2, 3, а () – некоторая функция только от радиуса.

Инвариантный симметричный тензор второго ранга удобно записывать в декар товой системе координат, выделив явно след и бесследовую часть (неприводимые компоненты):

i j ( ) ij ij ij = 1 () + 3 2 2 (), где ij – евклидова метрика и 1,2 – некоторые функции. Первое слагаемое в этом разложении пропорционально следу тензора ij ij = 31, а второе слагаемое име ет нулевой след. То есть сферически инвариантный тензор второго ранга взаимно однозначно определяется двумя функциями только от радиуса: 1 () и 2 ().

Антисимметричный тензор второго ранга ij = ji, инвариантный относитель но полной группы вращений O(3), определяется одной псевдоскалярной функцией () от радиуса:

ij = ijk k (), где ijk – полностью антисимметричный псевдотензор третьего ранга. При отражении одной из декартовых осей координат ijk и меняют знаки, оставляя антисиммет ричный тензор без изменения.

Дифференциал телесного угла (7.8) задает метрику на сфере единичного радиуса с центром в начале координат. С топологической точки зрения евклидово простран ство R3 с выколотым началом координат является прямым произведением сферы S и положительной полуоси R+ :

R3 {0} = S2 R+.

Приведем явные формулы преобразования частных производных (координатного базиса векторных полей), которые часто используются в приложениях:

r = sin cos x + sin sin y + cos z, = cos cos x + cos sin y sin z, = sin sin x + sin cos y, ГЛАВА 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ В R и их обратные:

cos cos sin x = sin cos r +, sin cos sin cos y = sin sin r + +, sin sin z = cos r.

В приложениях тензорные поля часто рассматриваются в ортонормированном базисе векторных полей и 1-форм:

1 r := r, :=, :=, sin (7.11) r :=, :=, := sin, что следует непосредственно из вида метрики (7.7). Этому базису соответствуют следующие компоненты ортонормированного репера и его обратного:

r r = 1, =, = sin, (7.12) 1 r r = 1, =, =.

sin При этом все недиагональные компоненты репера равны нулю. Здесь и далее шляп ками обозначены индексы относительно этого репера. Векторное поле можно разло жить как по координатному, так и по ортонормированному базису:

^ ^ ^ = r r + + = r r + +, ^ причем переход от компонент к осуществляется с помощью репера. Отметим, что, поскольку репер ортонормирован, то компоненты векторных полей и соответ ствующих 1-форм совпадают:

^ ^ ^ ^ ^ ^ r = r, =, =.

Получим явные формулы для градиента, ротора, дивергенции и лапласиана в сферической системе координат, которые используются в задачах со сферической симметрией. Чтобы получить явное выражение для инвариантных дифференциаль ных операторов в сферической системе координат нам понадобятся символы Кри стоффеля (6.23). Они имеют девять ненулевых компонент:

1 cos r = r =, = =, sin r = sin 2, r = r =, (7.13) r = sin cos.

=, Из условия равенства нулю ковариантной производной репера (7.12) a = a a + b a b = 0, (7.14) 7.1. СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ где b a – SO(3)-связность (без кручения), находим, что у SO(3)-связности только компонент отличны от нуля:

= r = 1, r = r = sin, (7.15) r = = cos.

Градиент скалярного поля дает 1-форму:

1 = r r + +. (7.16) sin Для получения этой формулы в дифференциале = r + + диффе ренциалы, и необходимо заменить на ортонормированный базис r, и с помощью соотношений (7.11).

Дивергенция вектора (6.61) дает функцию 1 1 ^ ^ ^ = (2 r ) + ( sin ) +. (7.17) 2r sin sin Эта и последующие формулы получаются подстановкой символов Кристоффеля (7.13) в ковариантные производные и выражением компонент вектора в координатном ба зисе через его компоненты в ортонормированном базисе.

В инвариантном виде ротор 1-формы = определяется оператором Ходжа (3.49) и внешним дифференцированием (3.33):

^ ^ ^ rot = * = r r + +, (7.18) где компоненты разложения задаются формулами:

1 ^ ^ ^ ^ r = r = ( sin ), sin sin 1 ^ ^ ^ ^ = = (7.19) r r ( ), sin 1 1^ ^ ^ ^ = = r ( ) r.

Лапласиан функции (6.68) дает также функцию:

1 1 (2 r ) + 2 = ( sin ) + 2 2. (7.20) 2r sin sin ^ ^ Лапласиан 1-формы снова дает 1-форму: =. После громоздких вычислений можно получить явные выражения для компонент:

1 1 1 2^ ^ ^ ^ 2^ (2 r r ) + r = ( sin r ) + 2 2 r 2 r 2r sin sin 2 ^ ^ 2 ( sin ) 2, sin sin 12 ^ 1 1 ^ ^ 2^ ^ = r ( ) + 2 ( sin ) + 2 2 2 sin sin sin (7.21) 2^ 2 cos ^ + 2 r 2 2, sin 12 ^ 1 1 ^ ^ 2^ ^ = r ( ) + 2 ( sin ) + 2 2 2 sin sin sin 2 cos ^ ^ + 2 2 + 2 r.

sin sin ГЛАВА 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ В R Отметим появление дополнительных слагаемых по сравнению с лапласианом функ ции (7.20).

Приведенные выше формулы для дифференциальных операторов можно также получить путем элементарных, но громоздких геометрических построений. Такой подход эквивалентен введенному ранее понятию ковариантной производной. Это показывает, что дифференциальная геометрия предоставляет естественный и кон структивный подход к получению явного вида дифференциальных операторов в различных криволинейных системах координат. Разумеется, геометрия пространства при этом остается евклидовой.

7.2 Цилиндрические координаты Рассмотрим цилиндрические координаты,, в трехмерном евклидовом простран стве R3, рис. 7.2. При переходе к цилиндрическим координатам мы вводим полярные координаты на плоскости,, оставляя координату без изменений. Функции пере хода и их обратные имеют вид (за третьей координатой можно не следить):

= 2 + 2, = cos, = sin, = arctg (/).

Угол, как и в случае сферических координат, называется полярным. Якобиан пре образования координат равен = и является вырожденным в начале полярных координат, что соответствует оси. Область определения цилиндрических коорди нат задается неравенствами:

0,, 0 2, что соответствует евклидову пространству с удаленной полуплоскостью = 0, 0.

Рис. 7.2: Цилиндрические координаты,, в трехмерном евклидовом пространстве R3.

Дифференциалы декартовых и полярных координат (координатные базисы 1 форм) связаны преобразованием:

= cos sin, = cos + sin, (7.22) sin cos = = sin + cos, +.

7.2. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ Частные производные в декартовых и полярных координатах (координатные базисы векторных полей) связаны простыми соотношениями:

sin x = cos r, r = cos x + sin y, (7.23) cos = sin x + cos y.

y = sin r +, Прямая проверка показывает, что справедлива формула ( + )2 = 2 2.

Соотношения (7.22) приводят к следующему выражению для евклидовой метрики (7.6) в цилиндрических координатах:

2 = 2 + 2 2 + 2.

В матричных обозначениях метрика и ее обратная имеют вид 100 1 0 = 0 2 0, = 0 1/2 0.

001 0 0 Из символов Кристоффеля только три отличны от нуля:

r = r =, r =.

Ортонормированный базис векторных полей и 1-форм имеет вид (для полярных координат) r = r, =, r =, =.

Этому базису соответствует ортонормированный репер r r = 1, =, r r = 1, =.

При этом все недиагональные компоненты равны нулю.

Из условия (7.14) находим компоненты SO(2)-связности. Несложные вычисления показывают, что только две компоненты отличны от нуля:

= r = 1.

r Вычисления, аналогичные случаю сферических координат, приводят к следую щим выражениям для простейших дифференциальных операторов в цилиндриче ГЛАВА 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ В R ских координатах:

= r r + + z z, (7.24) 1 1^ ^ ^ = r ( r ) + + z z, (7.25) [ ] r1 ^ ^ ^ ^ ^ ^ z z + [z r r z ] + z [r ( ) r ], rot = (7.26) 1 12 = r (r ) + 2 + z, (7.27) 1 1 2^ 1^ ^ ^ 2^ ^ r = r (r r ) + 2 r + z r 2 r 2, (7.28) 1 1 2^ 1^ ^ ^ 2^ ^ = r (r ) + 2 + z 2 + 2 r, (7.29) 1 1 2^ ^ ^ 2^ z = r (r z ) + 2 z + z z. (7.30) Напомним, что шляпки над символами означают, что компоненты (ко-)векторов рассматриваются относительно ортонормированного базиса.

Глава Группы Ли Группы Ли образуют один из наиболее важных классов многообразий и имеют ши рокие приложения в математической физике. В настоящем разделе мы дадим фор мальные определения, опишем основные свойства, а также рассмотрим группы Ли с дифференциально геометрической точки зрения. В частности, многообразия полу простых групп Ли будут рассмотрены, как римановы пространства и пространства абсолютного параллелизма, когда групповая операция отождествляется с параллель ным переносом. В конце главы без доказательств приведена классификация простых групп Ли.

8.1 Группы Ли и локальные группы Ли Определение. Множество элементов,,,... G называется группой Ли, если оно является одновременно и группой, и гладким многообразием, при этом требуется, чтобы была определена гладкая групповая операция GG (, ) G,, G, (8.1) со следующими свойствами:

1) Ассоциативность: () = (),,, G.

2) Существование единицы G: = =, G.

3) Для каждого элемента G существует обратный элемент 1 G такой, что 1 = 1 =, причем отображение G 1 G гладкое.

Замечание. В определении оба условия гладкости отображений:

GG (, ) G, (8.2) G 1 G, (8.3) можно объединить в эквивалентное условие гладкости одного отображения:

(, ) GG G. (8.4) То, что (8.4) следует из (8.2) и (8.3), очевидно. Обратно. Из (8.4) при = следует гладкость отображения (8.3). Гладкость отображения (8.2) следует из (8.4) после гладкого отображения 1.

328 ГЛАВА 8. ГРУППЫ ЛИ Каждому элементу группы G поставим в соответствие отображение G G, G. (8.5) Тогда из определения группы Ли следует, что это отображение взаимно однозначно и b гладко, т.е. является диффеоморфизмом G G. Следовательно, отображение (8.1) можно рассматривать как группу преобразований многообразия G.

Перефразируем определение: группой Ли является группа, снабженная гладкой структурой многообразия. При этом не всякая группа допускает существование такой структуры.

Замечание. Если на произвольной группе задать дискретную топологию, то она будет группой Ли, рассматриваемой, как 0-мерное многообразие (если отбросить требование счетности базы топологии). В дальнейшем, чтобы исключить подобные ситуации, при рассмотрении групп Ли мы не будем рассматривать 0-мерные мно гообразия. Поэтому множество элементов группы Ли не может быть счетным, т.к.

множество точек области в Rn несчетно.

Пример 8.1.1. Группа перестановок конечного числа элементов не является груп пой Ли, т.к. содержит конечное число элементов.

Можно сказать также, что группой Ли является многообразие, на котором за дана групповая операция. При этом не на всяком многообразии можно определить гладкую бинарную операцию, удовлетворяющую групповым аксиомам.

Пример 8.1.2. Двумерная сфера S2 не может быть наделена групповой структурой.

Действительно, зафиксируем произвольный отличный от нуля вектор в касательном пространстве к единице группы Te (G). С помощью дифференциала отображения (8.5) этот вектор можно разнести по всему групповому многообразию. В результате получим гладкое векторное поле на G, которое всюду отлично от нуля, т.к. отобра жение (8.5) является диффеоморфизмом. Это противоречит теореме 10.2.1, утвер ждающей, что на двумерной сфере не существует непрерывного отличного от нуля векторного поля.

Поскольку группы Ли являются многообразиями, то на них без изменения пере носится большинство характеристик многообразий.

Определение. Размерностью группы Ли называется ее размерность как многооб разия. Группа Ли называется компактной, если групповое многообразие компакт но.

Из непрерывности групповой операции следует, что, если подмножество U G – открыто или замкнуто в G, то таковым же будет подмножество U1, состоящее из обратных элементов, а также подмножества U и U для всех G. Отсюда выте кает, что для открытого подмножества U подмножества VU и UV также открыты в G каково бы ни было подмножество V G.

Замечание. В определении группы Ли мы потребовали гладкость т.е. бесконеч ную дифференцируемость групповой операции и, соответственно, гладкость груп пы Ли, как многообразия. На самом деле ситуация следующая. Согласно теореме Глисона–Монтгомери–Циппина [56, 57] на всякой непрерывной группе (класса 0 ) можно ввести структуру аналитического многообразия (класса ), совместимую с 8.1. ГРУППЫ ЛИ И ЛОКАЛЬНЫЕ ГРУППЫ ЛИ групповой структурой. Эта теорема дает положительное решение пятой проблемы Гильберта: следует ли из существования в группе G каких-нибудь координат суще ствование в ней дифференцируемых координат. Поэтому, не ограничивая общности, можно считать, что группы Ли являются вещественно аналитическими многообра зиями, а групповая операция – вещественно аналитическое отображение.

Таким образом, группы Ли представляют собой специальный класс групп, для ко торых групповая операция может быть записана в координатной форме. Это важное свойство позволяет применить методы математического анализа для исследования свойств групп Ли.

Приведем несколько примеров групп Ли.

Пример 8.1.3. Прямая R, на которой определены сдвиги (сложение) + =, где,, R, является одномерной связной односвязной некомпактной абелевой группой Ли.

Пример 8.1.4. Проколатая прямая R0 := R {0} является группой Ли по отноше нию к умножению, =, где,, R0. Эта группа одномерна абелева несвязна и состоит из двух компонент. Каждая компонента связности некомпактна. Связная компонента единицы R+ (положительные числа) изоморфна группе вещественных чисел по сложению, R+ R. Изоморфизм задается показательной функцией с произ вольным положительным основанием, отличным от единицы. Например, = ea.

Пример 8.1.5. Евклидово пространство Rn (как и произвольное векторное про странство) является -мерной связной односвязной некомпактной абелевой группой Ли относительно сложения векторов.

Пример 8.1.6. Комплексная плоскость с выколотым началом координат C0 := C {0} является комплексной группой Ли по отношению к обычному умножению комплексных чисел. Ее комплексная размерность равна единице. Эта группа неком пактна связна, но неодносвязна. Ее фундаментальная группа равна Z (число обходов вокруг начала координат).

Пример 8.1.7. Единичная окружность S1, точками которой являются комплексные числа = i является абелевой компактной группой Ли по отношению к умноже нию. Она обозначается через U(1) (унитарные матрицы размера 1 1) и изоморфна группе собственных двумерных вращений SO(2). Эта группа связна, но не односвяз на. Ее фундаментальная группа изоморфна группе целых чисел Z.

Пример 8.1.8. Трехмерная сфера S3 в пространстве кватернионов, точками кото рой являются кватернионы, для которых || = 1, может быть снабжена групповой структурой (см. раздел 1.8). Это – трехмерная связная односвязная неабелева ком пактная группа Ли, которая изоморфна группе унитарных матриц размерности 2 с единичным определителем SU(2).

Можно показать, что сферы только двух размерностей S1 и S3 исчерпывают все сферы на которых можно задать структуру группы Ли.

В рассмотренных примерах есть две одномерные абелевы группы Ли: R и S1.


Любая связная одномерная группа Ли является абелевой, и изоморфна либо веще ственной прямой R, либо окружности S1. Этот результат имеет широкие применения, т.к. каждая группа Ли имеет одномерные подгруппы. Если одномерная группа Ли не 330 ГЛАВА 8. ГРУППЫ ЛИ является связной, то она может быть неабелевой. Примеры дают группа вращений O(2) и группа Лоренца O(1, 1) (см. разделы 1.6 и 1.7).

В случае связных одномерных групп Ли можно описать все возможные гомомор физмы между ними:

R R, R;

R eiax S1, R;

S1 0 R;

S1 n S1, Z;

где – точка вещественной прямой, – комплексное число, равное по модулю еди нице, а числа и параметризуют гомоморфизмы.

Прямое произведение групп Ли G1 G2 является группой Ли с дифференцируемой структурой прямого произведения многообразий и групповой структурой прямого произведения групп.

Пример 8.1.9. Тор Tn := S1... S1 U(1)... U(1) для всех является n n мерной абелевой компактной группой Ли как прямое произведение окружностей. Эта группа связна, но не односвязна.

Предложение 8.1.1. Всякая компактная связная абелева группа Ли G размерно сти изоморфна -мерному тору Tn.

Доказательство. См., например, [40].

С топологической точки зрения группы Ли G могут состоять из нескольких ком понент связности1. При этом каждая компонента имеет одинаковую размерность, равную размерности группы. Связная компонента единицы G0 является открытой подгруппой в G и представляет собой нормальный делитель. Остальные компонен ты представляют собой смежные классы по этой подгруппе, и фактор группа G/G состоит не более, чем из счетного числа элементов. Если группу Ли рассматривать, как группу преобразований, то каждая связная компонента представляет собой ор биту произвольного элемента из этой компоненты относительно действия элементов группы из связной компоненты единицы G0. Ясно, что все компоненты связности группы Ли диффеоморфны между собой.

Теперь перейдем к координатному описанию. Поскольку группа Ли является мно гообразием, то групповое умножение можно записать в координатах. Рассмотрим связную компоненту единицы G0 группы Ли размерности n. Пусть в окрестности единицы задана некоторая система координат {a }, a = 1,..., n. Не ограничивая общности, будем считать, что начало координат a = 0 совпадает с единицей груп пы. Тогда групповое умножение,, G0, = = (, ), (8.6) и групповые аксиомы (см. раздел 1.2) можно записать в координатном виде (в до статочно малой окрестности единицы):

1) a = a (, ) – закон композиции, ( ) ( ) 2) a, (, ) = a (, ), – ассоциативность, (8.7) 3) a = a (, 0) = a (0, ) – существование единицы, 4) a (, 1 ) = a (1, ) = 0 – существование обратного элемента.

Поскольку мы предполагаем, что многообразие обладает счетной базой, то число компонент связности у групп Ли может быть не более, чем счетно.

8.1. ГРУППЫ ЛИ И ЛОКАЛЬНЫЕ ГРУППЫ ЛИ Набор n функций a от 2n переменных, удовлетворяющих условиям (8.7), называется функцией композиции для группы Ли G. Она определена в некоторой окрестности единицы группы.

Связная компонента группы Ли G0 может оказаться нетривиальным многообра зием и не покрываться одной картой. Поэтому введем новое понятие.

Определение. Локальной группой Ли называется пара (U, ), где U Rn – область евклидова пространства, содержащая начало координат, и – гладкое отображение U U Rn такое, что выполнены условия (8.7). При этом мы предполагаем, что все равенства выполнены в той области, где определены все выражения, входящие в данное равенство.

Замечание. В определении локальной группы Ли мы не предполагаем замкнуто сти области U относительно группового умножения, т.е. возможно существование таких точек в U, что их произведение не лежит в U. Конечно, для таких точек про ассоциативность в определении ничего не говорится.

Каждая группа Ли G порождает бесконечное множество локальных групп Ли следующим образом. Пусть (V, ) – карта на G, содержащая единицу, которая отоб ражается в начало координат евклидова пространства Rn. Возьмем такую окрест ность U V, что выполнены включения U · U V и U1 V, где под произведением U · U мы понимаем множество всех произведений, где, U. Существование та кой окрестности следует из непрерывности отображений (, ) и 1. Тогда каждая пара (U, ), где мы отождествили область U G с ее образом (U) Rn, а – функция композиции на G, записанная в координатах, является локальной группой Ли.

Определение. Две локальные группы Ли (U1, 1 ) и (U2, 2 ) называются изоморф ными, если существуют такие окрестности нуля U1 U1 и U2 U2 и такой диффео морфизм : U1 U2, что диаграмма U1 U1 - Rn U ? ?

U2 U2 - Rn U ( ) ( ) коммутативна, т.е. 1 (, ) = 2 (), () при, U1, там, где обе части равен ства определены.

Ясно, что все локальные группы Ли, полученные описанным выше способом из одной группы Ли, изоморфны между собой. Поэтому введем Определение. Две группы Ли G1 и G2 называются локально изоморфными, если порождаемые ими локальные группы Ли изоморфны.

Конечно, две изоморфные группы Ли являются также локально изоморфными.

Нетривиальность данного выше определения заключается в том, что существуют локально изоморфные группы Ли, которые в то же время не изоморфны между собой.

332 ГЛАВА 8. ГРУППЫ ЛИ Пример 8.1.10. Пусть G1 = R и G2 = S1. В качестве U1 R возьмем интервал (, ), а в качестве U2 S1 – дополнение к точке 1 S1. Отображение eix U2 S R U :

устанавливает диффеоморфизм между U1 и U2, перестановочный с умножением. Та ким образом, группы Ли R и S1 локально изоморфны. В то же время они не изо морфны между собой.

Предложение 8.1.2. Всякая n-мерная абелева группа Ли локально изоморфна груп пе трансляций n-мерного векторного пространства, т.е. евклидову пространству Rn, рассматриваемому как группа сдвигов.

Доказательство. См., например, [58].

Структура группы Ли накладывает жесткие условия на функцию композиции a.

Как уже было отмечено, функция композиции a (, ) вещественно аналитична (т.е.

разлагается в сходящиеся степенные ряды) во всех точках группового многообразия по всем 2n переменным.

Пример 8.1.11. Рассмотрим группу невырожденных вещественных матриц GL(, R) с обычным правилом умножения. Произвольную матрицу GL(, R) можно представить в виде = 1 + a b, ( ), = 1,...,, где 1 – единичная матрица и a b – набор 2 чисел (элементы матрицы), которые мы примем за координаты матрицы. Полученное таким образом отображение всей группы GL(, R) на область евклидова пространства Rn переводит единицу груп пы в начало координат. Групповое многообразие при этом представляет собой от крытую область в Rn, которая является дополнением замкнутого множества точек, определяемого уравнением det = 0. Функция композиции для группы GL(, R) принимает вид a b (, ) = a b + a b + a c c b, где = 1 +. Таким образом, функция композиции является аналитической функ цией. Аналогично, множество невырожденных комплексных матриц GL(, C) образует аналитическую группу Ли вещественной размерности 22.

Проанализируем функцию композиции. Из условия существования единицы (8.7) следуют равенства: a a a a = b, = b.

b b=0 b a= Из этих уравнений и дифференцируемости функции композиции вытекает, что вбли зи единицы группы функция композиции разрешима относительно координат a и a соответствующих элементов группы 1 и 1, где = (, ). При этом класс диф ференцируемости функций a (, ) и a (, ) такой же, как и у функции композиции (бесконечный).

Разложим функцию композиции в ряд Тейлора в окрестности единицы группы с точностью до членов третьего порядка ^ a (, ) = a + a + c b bc a + d c b bcd a + d c b bcd a +... (8.8) 8.2. ДЕЙСТВИЕ ГРУППЫ СЛЕВА ^ В этом разложении bc a, bcd a = bdc a, bcd a = cbd a – некоторые постоянные. Из существования единичного элемента следует отсутствие нулевого члена разложения и вид линейных слагаемых. Слагаемые более высоких порядков обязательно должны содержать смешанное произведение a b, т.к. в противном случае условие 3) в опре делении функции композиции не может быть выполнено. Подстановка разложения (8.8) в условие ассоциативности накладывает условие на коэффициенты разложения:

^^ ^^ bc e ed a + 2bcd a = cd e be a + 2bcd a. (8.9) При антисимметризации этого выражения по индексам b, c, d слагаемые bcd a и bcd a выпадают из-за симметрии по паре индексов. В результате получаем ограничение на структурные константы группы Ли, ^ ^ ab c := ab c + ba c, ab c = ba c, (8.10) известные как тождества Якоби ab d cd e + bc d ad e + ca d bd e = 0, (8.11) где слагаемые отличаются циклической перестановкой индексов a, b, c. При сверт ке тождеств Якоби по индексам c, e последние два слагаемых сокращаются, и мы получаем тождество ab d dc c = 0.

Для абелевых групп функция композиции симметрична a (, ) = a (, ), и структурные константы тождественно обращаются в нуль.

Координаты обратного элемента 1a () зависят от элемента. Разложив это вы ражение по a и подставив в определение обратного элемента, получим следующее разложение для координат обратного элемента с точностью до членов третьего по рядка:

^ ^ ^ ^ 1a = a + c b bc a d c b bc e (de a + ed a ) +.... (8.12) При получении этого выражения было использовано соотношение (8.9).

8.2 Действие группы слева Рассмотрим группу Ли как группу преобразований группового многообразия, дей ствующую слева. При этом каждому элементу G ставится в соответствие отоб ражение G a () := G.

:

Это отображение не является автоморфизмом группы Ли G, т.к. нетривиально дей ствует на единичный элемент. Из единственности единичного элемента в группе сле дует, что группа левых преобразований действует свободно и транзитивно (см. раздел 9).

Функция () (G), заданная на групповом многообразии, будет инвариантна относительно действия группы, если выполнено условие () = (), G, и, сле довательно, также для всех G. Очевидно, что инвариантные функции на группе тождественно равны константе. Другими словами, значение инвариантной функции, например, в единице () разносится по всему групповому многообразию с помо щью действия группы слева. При этом группа Ли G может состоять из нескольких компонент.


334 ГЛАВА 8. ГРУППЫ ЛИ Перейдем к рассмотрению левоинвариантных векторных полей на групповом мно гообразии. Поскольку на группе задано отображение a, которое является диффео морфизмом, то в касательном пространстве определен соответствующий дифферен циал отображения a : ( ) a () = a (), (8.13) ( ) который переводит вектор () в точке в некоторый вектор a () в точке.

Определение. Векторное поле (G) на группе Ли G называется левоинвари антным, если выполнено условие (8.13) для всех G и, следовательно, для всех G.

Левоинвариантные векторные поля определены глобально, т.е. на всем групповом многообразии.

Предложение 8.2.1. Любое левоинвариантное векторное поле является гладким.

Доказательство. Следствие гладкости групповой операции. См., например, [40].

Проиллюстрируем действие дифференциала отображения для соответствующей локальной группы Ли, на которой задана функция композиции в явном виде. В компонентах дифференциал отображения записывается в виде a () a () = b ()b a (, ), =, где a () – компоненты касательного вектора в точке относительно координатного базиса a, и дифференциал отображения задается матрицей a (, ) b a (, ) :=, b зависящей от координат двух точек, G. Поскольку групповая операция, (, ) (, ), является диффеоморфизмом группового многообразия на себя при фиксиро ванном или, то матрица a b невырождена для всех, G, det a b = 0 (там, где определена функция композиции).

Пусть 0 = {0 } – произвольный вектор из касательного пространства к единице a группы. Тогда этот вектор можно разнести по всему групповому многообразию с помощью дифференциала левого действия элементов группы. По построению, это будет левоинвариантное векторное поле () := a 0. Оно определено глобально.

Компоненты левоинвариантного векторного поля вблизи единицы группы имеют вид a () = 0 b a (), b где a (, ) a a b () := b (, 0) =.

b b= Тем самым, каждому вектору из касательного пространства к единице однознач но ставится в соответствие левоинвариантное векторное поле, и, наоборот, каждое левоинвариантное векторное поле однозначно определяет некоторый вектор в каса тельном пространстве к единице группы.

8.2. ДЕЙСТВИЕ ГРУППЫ СЛЕВА Матрица b a (, ) удовлетворяет простому тождеству. Дифференцируя равенство a (0, ) = a по b, получаем тождество b a (0, ) = b, a (8.14) которое нам понадобится в дальнейшем.

Множество векторных полей на группе Ли G, как и на любом другом многообра зии, образует бесконечномерную алгебру Ли (G) (см. раздел 2.6.7) и (G)-модуль.

Поскольку дифференциал отображения сохраняет скобку Ли (коммутатор) (2.74), то коммутатор двух левоинвариантных векторных полей будет левоинвариантным век торным полем. Следовательно, множество всех левоинвариантных векторных полей образует подалгебру Ли в (G). Поскольку, как векторное пространство, множество левоинвариантных векторных полей изоморфно касательному пространству в еди нице группы Te (G), то множество левоинвариантных векторных полей представляет собой конечномерную алгебру Ли такой же размерности n, что и сама группа.

Замечание. Алгебра Ли левоинвариантных векторных полей не выдерживает умно жения на гладкие функции () (G), и поэтому представляет собой линейное пространство, а не (G)-модуль.

Структура алгебры Ли (коммутатор) левоинвариантных векторных полей есте ственным образом переносится на касательное пространство к единице группы:

[0, 0 ] := [a 0, a 0 ]e.

Словами. Берем два произвольных вектора 0 и 0 из касательного пространства к единице группы, разносим их с помощью действия группы слева по всему многооб разию, вычисляем коммутатор получившихся левоинвариантных векторных полей и выбираем в касательном пространстве к единице группы тот вектор, который соот ветствует коммутатору.

Множество левоинвариантных векторных полей образует n-мерное векторное про странство над полем вещественных чисел, которое изоморфно касательному про странству в начале координат (или в любой другой точке группового многообразия).

В качестве базиса левоинвариантных векторных полей удобно выбрать n левоинва риантных векторных полей (образующих алгебры Ли) ( ) a () := a a |e = a b b |a, (8.15) где мы разложили левоинвариантный базис по координатному базису b |a в точке G. В построенном базисе произвольное левоинвариантное векторное поле имеет постоянные компоненты, равные его компонентам в начале координат относительно координатного базиса:

a = 0 a.

Поскольку левоинвариантные векторные поля образуют алгебру Ли, то коммута тор двух базисных левоинвариантных векторных полей a будет левоинвариантным векторным полем и, следовательно, его можно разложить по базису a с некоторыми постоянными коэффициентами:

[a, b ] = ab c c. (8.16) То, что в правой части этого равенства стоят структурные константы ab c, которые были определены ранее через функцию композиции (8.10) не случайно.

336 ГЛАВА 8. ГРУППЫ ЛИ Докажем это, рассмотрев окрестность единицы группы и соответствующую ло кальную группу Ли. Вблизи единицы группы левоинвариантный базис в компонентах имеет вид a () = a b ()b, где b – координатный базис касательных пространств, что оправдывает выбран ные обозначения в (8.15). Из разложения (8.8) следует разложение для компонент левоинвариантного базиса:

^ a b = a + c ac b + d c acd b +....

b (8.17) Подстановка этого разложения в (8.16) доказывает, что в правой части стоят струк турные константы (8.10), потому что коэффициенты разложения ab c постоянны.

При этом возникают также ограничения на коэффициенты разложения при высших степенях a, на которых мы останавливаться не будем.

Замечание. Для всех G выполнено равенство det a b () = 0, потому что груп повая операция задает диффеоморфизм группы G на себя. При малых a это следует также из (8.17).

Продолжим рассмотрение локальной группы Ли и дадим независимый вывод формулы (8.16), исходя только из свойств функции композиции.

Предложение 8.2.2. Базис алгебры Ли (8.15) удовлетворяет коммутационным соотношениям (8.16) с некоторым набором структурных констант, удовлетворя ющих тождеству Якоби.

Доказательство. Рассмотрев тождество = 1 в касательном пространстве, по лучим равенство 1 b () = a b (1, ).

a Далее, распишем условие ассоциативности () = () в касательном пространстве:

( ) ( ) a b (, ), = a c (, )c b, (, ).

Полагая = 0, получим равенства c (, ) = a c (, ) = 1 d ()d c ( ), (8.18) a a где = (, ). Рассмотрим эту систему уравнений, как уравнения на функцию композиции. Система уравнений (8.18) разрешима тогда и только тогда, когда вы полнены условия совместности. Чтобы получить эти условия, продифференцируем уравнение (8.18) по b и антисимметризуем по индексам a и b. После несложных алгебраических преобразований получим уравнение [a (), b ()]d 1 c () = [a ( ), b ( )]d 1 c ( ), d d где квадратные скобки обозначают коммутатор векторных полей. Поскольку левая и правая часть этого равенства рассматриваются в различных точках группового многообразия, и точки могут выбираться произвольно, то они должны быть равны константам. Эти константы проще всего определить, рассмотрев линейное приближе ние для левоинвариантных векторных полей (8.17). В результате получим уравнение для образующих алгебры Ли (8.16).

Тождества Якоби для структурных констант следуют из тождеств Якоби для векторных полей.

8.2. ДЕЙСТВИЕ ГРУППЫ СЛЕВА Таким образом, мы доказали, что множество левоинвариантных векторных полей образует n-мерную алгебру Ли над полем вещественных чисел, которая является подалгеброй бесконечномерной алгебры всех векторных полей (G).

Определение. Алгебра левоинвариантных векторных полей называется алгеброй Ли g группы Ли G. Базисные векторы (образующие) a алгебры Ли g называются генераторами группы Ли.

Пример 8.2.1. Вещественная прямая R является абелевой группой по сло жению. Ее алгебра Ли состоит из постоянных векторных полей = x (R), R.

Алгебра Ли определяется с точностью до изоморфизма (выбора базиса левоин вариантных векторных полей) только окрестностью единицы группы. Поэтому, если две группы Ли локально изоморфны, то их алгебры Ли также изоморфны. В то же время сами группы Ли могут не быть изоморфными.

Пример 8.2.2. Группы SU(2), SO(3) и O(3) имеют изоморфные алгебры Ли, од нако сами не изоморфны. При этом группа SU(2) связна и односвязна и является универсальной накрывающей группы SO(3). Группа вращений SO(3) связна, но не односвязна. Группа O(3) состоит из двух компонент связности.

Левоинвариантные векторные поля a (генераторы) образуют базис алгебры Ли.

Этот базис определен с точностью до выбора базиса в касательном пространстве к единице группы, т.е. с точностью до действия группы GL(n, R). При этом вид структурных констант зависит от выбора базиса. Легко проверить, что при преоб разовании базиса структурные константы преобразуются как компоненты тензора третьего ранга с двумя ковариантными индексами и одним контравариантным.

Выше мы показали, как групповая операция определяет алгебру Ли левоинвари антных векторных полей. Проведем обратное построение и покажем, что структур ные константы (8.10) со свойством (8.11) позволяют восстановить функцию компо зиции a (, ) в окрестности единицы. Это построение дает Доказательство теоремы 8.11.3. Перепишем соотношение (8.16) в компонен тах:

a d d b c b d d a c = ab d d c. (8.19) Свертка этого выражения с тремя обратными матрицами 1 по индексам a, b, c приводит к соотношению a 1 c b 1 c = 1 e 1 d de c. (8.20) b a a b Это равенство является дифференциальным уравнением на матрицу 1 (). Левая часть уравнения антисимметрична по индексам a и b и, следовательно, представляет собой 2-форму на G0. Для того, чтобы найти необходимые и достаточные условия интегрируемости этой системы уравнений, ее необходимо продифференцировать, ска жем, по d, и антисимметризировать по индексам a, b и d. После несложных вычис лений, получим, что необходимым и достаточным условием интегрируемости урав нений (8.20) являются тождества Якоби для структурных констант. Таким образом, матрицы 1 () и, следовательно, () определяются структурными константами с точностью до некоторой константы, которая фиксируется условием a b (0) = a.

b После этого функция композиции однозначно находится из уравнения (8.18) с фик сированными условиями в нуле. Условия интегрируемости этих уравнений, как было 338 ГЛАВА 8. ГРУППЫ ЛИ показано выше, опять-таки сводятся к тождествам Якоби. Таким образом, если задан произвольный набор структурных констант ab c = ba c, удовлетворяющих тожде ствам Якоби (8.11), то функция композиции однозначно определяется в окрестности единицы группы и, следовательно, групповая структура задается в некоторой окрест ности единицы группы G. Таким образом, доказано, что произвольная алгебра Ли определяет локальную группу Ли с точностью до изоморфизма.

В обратную сторону: каждая локальная группа Ли определяет алгебру Ли с точ ностью до изоморфизма. Это сразу следует из определения алгебры Ли, как множе ства левоинвариантных векторных полей.

Замечание. Явный вид функции композиции известен только в самых простейших случаях, например, для абелевой группы сложения векторов евклидова простран ства a = a + a. В примере 8.1.11 функция композиции была построена для группы GL(, R). В разделе 8.7 будет явно построена функция композиции в простейшем случае двумерной неабелевой группы Ли (группа аффинных преобразований пря мой). В более сложных случаях решить явно уравнения (8.20) и (8.18) не удается.

Но это обычно и не нужно. В приложениях, как правило, работают с матричным представлением алгебры Ли и структурными константами.

Определение. Пусть = 0 a b ()b – произвольное левоинвариантное вектор a ное поле. Форма = a a () называется левоинвариантной, если ее значение на левоинвариантном векторном поле равно константе, () = 0 a b b = const.

a Предложение 8.2.3. Любая левоинвариантная 1-форма является гладкой.

Доказательство. Следствие гладкости групповой операции. См., например, [40].

Из определения следует, что компоненты левоинвариантной 1-формы в коорди натном базисе имеют вид a () = 1 b ()0b, (8.21) a где 0b – компоненты левоинвариантной 1-формы в начале координат. При работе с левоинвариантными 1-формами удобно ввести левоинвариантный базис, который дуален к левоинвариантным векторным полям: a (b ) = b. Он имеет следующий a вид в координатном базисе:

a () = b 1 a (), b Тогда произвольная левоинвариантная 1-форма будет иметь в левоинвариантном ба зисе постоянные компоненты := a 0a.

Предложение 8.2.4 (Формула Маурера–Картана). Пусть – произвольная ле воинвариантная 1-форма и, – два произвольных левоинвариантных векторных поля. Тогда значение внешней производной на векторных полях, пропорци онально значению 1-формы на коммутаторе этих полей:

1 ( ) (, ) = [, ]. (8.22) Это тождество известно, как формула Маурера–Картана. Ее можно переписать для левоинвариантного базиса 1-форм:

a = b c bc a. (8.23) 8.2. ДЕЙСТВИЕ ГРУППЫ СЛЕВА Доказательство. Прямая проверка с использованием тождества (8.20).

При рассмотрении главных расслоений нам понадобится рассматривать формы, заданные на некотором многообразии M, со значениями в алгебре Ли g. Введем для таких форм понятие коммутатора. Пусть a, a = 1,..., n, – базис алгебры Ли. Пусть и – соответственно и формы на M со значениями в алгебре Ли g. Тогда они имеют вид = a a, = a a, где a r (M) и a s (M) для всех значений индекса a = 1,..., n. Определим коммутатор заданных форм следующим равенством [, ] := a b [a, b ] = a b ab c c. (8.24) Выражение в правой части равенства представляет собой + форму на M со зна чениями в алгебре Ли g.

Если на многообразии M заданы три формы, и степеней, и, соответ ственно, со значениями в алгебре Ли g, то из тождеств Якоби вытекает равенство (1)rt [, ], + (1)rs [, ], + (1)st [, ],.

[ ] [ ] [ ] (8.25) Пример 8.2.3. Пусть и – 1-формы на M со значениями в алгебре Ли g и, (M) – два векторных поля на M. Тогда значение коммутатора форм на векторных полях равно [, ](, ) = a a (, )[a, b ] = 1 ( ) 1 = a () b ( ) a ( ) b () = [(), ( )] [( ), ()].

2 2 В частности, [, ](, ) = [(), ( )].

Предложение 8.2.5. Если и – соответственно и формы со значениями в алгебре Ли g, то справедливы следующие формулы:

[, ] = (1)rs+1 [, ], [, ] = [, ] + (1)r [, ].

Доказательство. Прямая проверка.

^ В дальнейшем особую роль будут играть формы, заданные на группе Ли G, со значениями в ее алгебре Ли g. То есть в качестве многообразия M мы рассматрива ^ ем саму группу G, которую для отличия мы отметили шляпкой. Другими словами, ^ рассмотрим два экземпляра одной и той же группы Ли: G = G. Пусть a – лево ^ ^ Реализуем алгебру Ли g, как инвариантный базис кокасательного расслоения к G.

алгебру левоинвариантных векторных полей на G с базисом a.

^ Определение. Левоинвариантная 1-форма на группе Ли G со значениями в алгебре Ли g, = a a, ^ (8.26) называется канонической.

340 ГЛАВА 8. ГРУППЫ ЛИ ^ ^ Если (^) (G) – векторное поле на G, то его можно разложить по левоинва ^ риантному базису: = a (^)a. Тогда значение канонической формы на этом поле равно ()(^) = a (^)a.

^ То есть каждой точке G ставится в соответствие левоинвариантное векторное ^ поле на G. Эта форма будет использована при изучении связностей на главных рас слоениях в разделе 13.1. Формулу Маурера–Картана (8.23) можно переписать для канонической формы = [, ], (8.27) где справа стоит коммутатор в алгебре Ли g и внешние произведения 1-форм a.

^ Наличие левоинвариантных форм на группе Ли позволяет доказать следующее Предложение 8.2.6. Любая группа Ли G является ориентируемым многообрази ем.

Доказательство. Левоинвариантные 1-формы a определены на всем групповом многообразии и линейно независимы. Поэтому n-форма 1... n нигде не об ращается в нуль. Следовательно, согласно теореме 10.4.3, любая группа Ли ориен тируема.

8.3 Действие группы справа Все, сказанное относительно действия группы на себя слева, естественным образом переносится на действие группы справа. Ниже мы рассмотрим отличия, которые при этом возникают. Для простоты, рассмотрим локальную группу Ли, т.е. окрестность единицы группы.

Рассмотрим группу Ли G, как группу преобразований, действующую справа:

G : G a () := G.

Пусть a (, ) b a (, ) :=.

b Дифференцируя тождество a (, 0) = a по b, получаем равенство b a (, 0) = b, a которое нам понадобится в дальнейшем.

Аналогично случаю левого действия группы, построим правоинвариантный базис векторных полей a () = a b ()b, (8.28) где b (, ) b b a () := a (0, ) =. (8.29) a b= В этом базисе произвольное правоинвариантное векторное поле имеет постоянные компоненты. Как и для левоинвариантных векторных полей, det a b () = 0 для всех G.

8.4. ПРИСОЕДИНЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Как и в случае левого действия группы, можно доказать, что правоинвариантные векторные поля образуют n-мерную алгебру Ли над полем вещественных чисел. При этом коммутатор векторов правоинвариантного базиса, [a, b ] = ab c c, (8.30) отличается знаком структурных констант от коммутатора левоинвариантного базиса.

Алгебры Ли лево- и правоинвариантных векторных полей изоморфны, поскольку переходят друг в друга после отображения a a.

Формула для коммутатора правоинвариантных векторных полей (8.30) справед лива, как легко видеть, глобально на всей группе Ли.

Из разложения функции композиции (8.8) следует разложение для компонент правоинвариантных векторных полей относительно координатного базиса ^ b a () = b + c cb a + d c cdb a +....

a (8.31) Из тождества = 1, записанного в касательном пространстве, следует равенство b a () = b a (, 1 ).

(8.32) Рассмотрим функцию () (G) на группе Ли G. Подействуем на точки мно гообразия бесконечно малым элементом G справа. Тогда точка перейдет в точку = +, где a := a (, ) a = b b a ().

Поскольку для функции ( ) = (), то изменение формы функции равно:

() := () () = a a b b () = a a ().

Таким образом, левоинвариантные векторные поля, с точностью до знака, являются генераторами действия группы Ли справа. Аналогично доказывается, что генера торами групповых преобразований слева являются правоинвариантные векторные поля.

Поскольку преобразования, вызванные действием группы слева и справа комму тируют, то отсюда следует, что лево- и правоинвариантные векторные поля комму тируют между собой, [a, b ] = 0. (8.33) Это равенство справедливо, конечно, глобально.

Из формулы для производной Ли от векторного поля (2.123) и равенства (8.33) следует, что производная Ли от правоинвариантного векторного поля вдоль левоин вариантного векторного поля равна нулю и наоборот.

В дальнейшем под алгеброй Ли g группы Ли G всегда понимается множество левоинвариантных векторных полей, которые генерируют действие группы справа.

8.4 Присоединенное представление Рассмотрим автоморфизм группы Ли, ad () := G G, ad () : (8.34) который сопоставляется каждому элементу группы G. Каждый автоморфизм группы Ли порождает автоморфизм ее алгебры Ли, потому что левоинвариантные 342 ГЛАВА 8. ГРУППЫ ЛИ векторные поля получены с помощью группового действия. Поэтому автоморфизм ad порождает автоморфизм алгебры Ли g, который также обозначается ad GL(n, R).

Определение. Представление ad, где g = 0 a = 0 a b ()b g, a a ad : (8.35) индуцированное групповым действием (8.34), называется присоединенным представ лением группы Ли G в ее алгебре Ли g.

Присоединенное представление каждому элементу группы G ставит в соот ветствие n n матрицу a b (). Для краткости мы будем писать ad () = a b ().



Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 31 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.