авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 31 |

«Геометрические методы в математической физике 17 октября 2013 г. Катанаев Михаил Орионович1 ...»

-- [ Страница 12 ] --

Доказательство. Пусть – естественный гомоморфизм алгебры a + b на факторал гебру (a + b)/b. Тогда (a) = (a + b)/b. Ядром гомоморфизма алгебры a является пересечение a b. Поэтому из предложения 8.13.1 следует изоморфизм (a + b)/b a/(a b).

Следствие. Если идеал b также разрешим, то разрешим и идеал a + b.

Таким образом, сумма a + b двух разрешимых идеалов a и b является разреши мым идеалом. Поэтому в любой конечномерной алгебре Ли g существует наибольший разрешимый идеал r, который называется радикалом, содержащий все разрешимые идеалы: им является сумма всех разрешимых идеалов.

Определение. Алгебра Ли g называется полупростой, если ее радикал тривиален r = 0.

Другими словами, полупростая алгебра Ли не содержит разрешимых идеалов, кроме тривиального r = 0.

Теорема 8.13.3. Пусть r – радикал алгебры Ли g, тогда фактор алгебра Ли g/r полупроста.

8.13. АЛГЕБРЫ ЛИ Теорема 8.13.4 (Картан). Для того, чтобы алгебра Ли g была полупростой, необ ходимо и достаточно, чтобы она не содержала абелевых идеалов, отличных от 0.

Доказательство. См., например, [58].

Конечно, каждая полупростая алгебра Ли является алгеброй Ли некоторой по лупростой группы Ли, и любая полупростая группа Ли имеет полупростую алгебру Ли.

Определение. Центром алгебры Ли g называется ее аннулятор, т.е. наибольшее подпространство z g, для которого [z, g] = 0.

У каждой алгебры ли g есть нулевой элемент 0 g, для которого [0, g] = 0.

Поэтому 0 z. Очевидно, что центр алгебры Ли g является абелевым идеалом, и алгебра Ли g абелева тогда и только тогда, когда ее центр совпадает со всей алгеброй z = g. Из теоремы 8.13.4 следует, что алгебра Ли является полупростой тогда и только тогда, когда ее центр равен нулю.

Введем понятие простой алгебры и группы Ли.

Определение. Алгебра Ли g называется простой, если выполнены следующие два условия: алгебра g неабелева, и единственные ее идеалы есть 0 и g.

Группа Ли G называется простой, если она неабелева и не имеет инвариантных подгрупп, отличных от единицы и всей группы.

Условие неабелевости алгебры Ли g эквивалентно условию g(2) = 0. Это усло вие исключает алгебры Ли размерности 1. Алгебры ли размерности 1 без условия неабелевости являлись бы в этом случае простыми, но не полупростыми.

Всякие простые алгебры и группы Ли являются также полупростыми. Обратное утверждение неверно, но справедливы следующие теоремы.

Теорема 8.13.5. Полупростая алгебра Ли g представима одним и только одним способом в виде прямой суммы конечного числа простых идеалов k g= si i= для некоторого. При этом каждый идеал алгебры Ли g является прямой суммой некоторых идеалов si.

Теорема 8.13.6. Полупростая группа Ли G представима одним и только одним способом в виде прямого произведения конечного числа простых групп Ли k G= Gi.

i= При этом каждая инвариантная подгруппа группы Ли G является прямым произ ведением некоторых подгрупп Gi.

380 ГЛАВА 8. ГРУППЫ ЛИ 8.13.3 Квадратичные формы Поскольку алгебра Ли является векторным пространством, то на ней можно задать билинейную симметричную квадратичную форму gg, (, ) R, C.

Если a, a = 1,... n – базис алгебры Ли, то в компонентах эта форма имеет вид (, ) = a b ab, где ab – некоторая матрица.

В разделе 8.13.1 было введено присоединенное представление ad для лю бого элемента алгебры Ли g. Это позволяет дать следующее Определение. Квадратичная форма (, ) называется инвариантной, если выпол нено равенство ( ) ( ) ad (), +, ad ( ) = для всех,, g.

Поскольку алгебра Ли изоморфна касательному пространству в произвольной точке группового многообразия, то задание невырожденной симметричной квадра тичной формы в алгебре Ли однозначно определяет метрику на соответствующей группе Ли. Эта метрика в левоинвариантном базисе (см. раздел 8.2) имеет постоян ные компоненты ab и, по-построению, является левоинвариантной. В общем случае метрика на групповом многообразии в левоинвариантном базисе имеет компоненты ab () и зависит от точки G. То есть каждой точке G соответствует своя метрика в алгебре Ли. Задание инвариантной квадратичной формы в алгебре Ли соответствует заданию двусторонне инвариантной метрики на групповом многооб разии.

Присоединенное представление алгебры Ли позволяет определить следующую симметричную квадратичную форму.

Определение. Симметричная билинейная квадратичная форма в алгебре Ли (, ) := tr ( ad ad ) (8.91) называется формой Киллинга–Картана алгебры Ли g.

В компонентах форма Киллинга–Картана имеет вид ab = ac d bd c.

Форма Киллинга–Картана играет фундаментальную роль в теории алгебр Ли и их представлений.

Замечание. Знак минус в определении формы Киллинга–Картана необходим для того, чтобы метрика на соответствующих полупростых вещественных компактных группах Ли была положительно, а не отрицательно определена. Например, для груп пы SO(3), структурными константами которой является полностью антисимметрич ный тензор третьего ранга, ab c ij k, форма Киллинга–Картана имеет вид ij = ik l jl k = 2ij, где мы воспользовались формулами Приложения 28.62.

8.14. ГРУППА ЛИ GL(, C) В общем случае форма Киллинга–Картана может быть вырождена или невырож дена. Это зависит от алгебры Ли. Для абелевых алгебр Ли форма Киллинга–Картана равна нулю.

Предложение 8.13.5. Форма Киллинга–Картана (8.91) инвариантна.

Доказательство. Следствие симметрии следа матриц tr ( ad ad ad ) = tr ( ad ad ad ).

Форма Киллинга–Картана инвариантна относительно произвольных автоморфиз мов алгебры Ли : g g. Действительно, поскольку при автоморфизме мат рица присоединенного представления преобразуется по-правилу (8.87), то форма Киллинга–Картана инвариантна:

( ) (), ( ) = (, ).

Форма Киллинга–Картана позволяет сформулировать важный критерий.

Теорема 8.13.7 (Картан). Алгебра Ли g полупроста тогда и только тогда, когда ее форма Киллинга–Картана невырождена.

Доказательство. См., например, [30].

В заключение приведем критерий компактности алгебр Ли.

Теорема 8.13.8. Алгебра Ли g компактна тогда и только тогда, когда в g суще ствует положительно определенная инвариантная квадратичная форма.

Доказательство. См., например, [30].

8.14 Группа Ли GL(, C) В настоящем разделе мы приведем некоторые сведения из теории линейных групп Ли GL(, C) преобразований (автоморфизмов) комплексного -мерного пространства Cn и их алгебр Ли gl(, C), которые важны с точки зрения дифференциальной геометрии и физических приложений. Напомним, что при общих преобразованиях координат в касательных пространствах к точкам многообразия на компоненты тензоров действу ет матрица Якоби (1.60), которая является элементом группы GL(, R) GL(, C).

Кроме того, удобным выбором независимых переменных в аффинной геометрии яв ляются переменные Картана: репер и линейная или GL(, R)-связность (см. раздел 5.4).

Сначала мы рассмотрим алгебры Ли, как более простые объекты, а затем перей дем к изучению соответствующих групп Ли.

8.14.1 Алгебра Ли gl(, C) Обозначим множество всех квадратных матриц с комплексными элементами через gl(, C). Это обозначение обосновано в дальнейшем тем, что множество ком плексных квадратных матриц можно рассматривать, как алгебру Ли группы Ли GL(, C). Множество матриц gl(, C) с обычным умножением матриц на числа и сложением можно рассматривать как векторное пространство размерности 2 над 382 ГЛАВА 8. ГРУППЫ ЛИ полем комплексных чисел (комплексная размерность) или как вещественное вектор ное пространство размерности 22 (вещественная размерность). Чтобы превратить это множество в алгебру необходимо ввести дополнительную бинарную операцию – умножение. Если в качестве умножения рассматривать обычное умножение матриц, то мы получим ассоциативную алгебру матриц над полем комплексных чисел. Одна ко это не единственная возможность. В качестве алгебраической операции мы будем рассматривать коммутатор матриц, т.е. любым двум матрицам, gl(, C) мы ставим в соответствие их коммутатор:

gl(, C) gl(, C), [, ] := gl(, C).

Эта операция антисимметрична, [, ] = [, ], и для нее выполняется тождество Якоби [ ] [ ] [ ] [, ], + [, ], + [, ], = 0.

Тем самым множество всех матриц, включая вырожденные, становится алгеброй Ли gl(, C). Эта алгебра неассоциативна, что следует из тождеств Якоби.

В дальнейшем мы, как правило, будем рассматривать множество комплексных матриц, как алгебру Ли gl(, C).

Множество матриц можно рассматривать, как множество операторов, действу ющих в комплексном векторном пространстве V. Обозначим элементы векторного пространства через = a a V, где a, = 1,..., – некоторый фиксированный базис, и a C – комплексные компоненты вектора. Комплексная размерность этого векторного пространства равна, а вещественная – 2. При фиксированном базисе векторное пространство V естественным образом отождествляется с комплексным евклидовым пространством Cn и вещественным евклидовым пространством удво енной размерности R2n. Мы предполагаем, что топология V индуцируется взаимно однозначным отображением V R2n.

Преобразование элементов векторного пространства = a a Cn мы записыва ем в виде a b b a, = (b a ) gl(, C), т.е. вектор-строка (a ) умножается справа на матрицу преобразований = (b a ).

Такая запись вызвана принятыми ранее правилами: компоненты вектора мы нуме руем верхним индексом и придерживаемся правила записи индексов суммирования “с десяти до четырех”.

Базис алгебры Ли gl(, C) можно выбрать из квадратных матриц a b, имеющих один ненулевой элемент, который равен единице и находится на -той строке и в -том столбце. Очевидно, что любую матрицу можно записать в виде = a b b a a b C.

gl(, C), Выбранный базис удовлетворяет соотношениям коммутации [a b, c d ] = c a d a c b, b d (8.92) что проверяется прямой проверкой.

Рассмотренная параметризация естественным образом отождествляет алгебру Ли gl(, C) с комплексным евклидовым пространством Cn и вещественным евклидовым пространством R2n. Мы предполагаем, что топология алгебры Ли gl(, C) индуци рована вложением gl(, C) R2n.

8.14. ГРУППА ЛИ GL(, C) Базис a b алгебры Ли gl(, C) можно также представить в виде дифференциаль ных операторов a b = b a, действующих на компоненты векторов из V. Это представление определяет действие генераторов алгебры Ли gl(, C) на любую дифференцируемую функцию () 1 (Cn ) от декартовых координат точки Cn.

Определение. Матрица называется невырожденной или регулярной, если для нее существует обратная матрица 1, т.е. выполнено равенство 1 = 1 = 1.

Для того, чтобы матрица была регулярной необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля, det = 0. Если эндоморфизм вектор ного пространства Cn отображает Cn на себя (сюрьективен), а не на какое-нибудь подпространство низшей размерности, то соответствующая матрица регулярна, и существует обратный эндоморфизм 1. В этом случае эндоморфизм является автоморфизмом.

Пусть = (a b ) – квадратная матрица, тогда для определителя справедливо разложение, в частности, по первой строке 1 (1... n n) sgn, det = где сумма берется по всем перестановкам (1,..., ).

Перепишем соотношения коммутации (8.92) в виде [a, b ] = ab c c, где пару индексов мы для краткости обозначили одной буквой a := a b, a = 1,..., 2. Тогда ab c = a b c d e f = a b d a f b.

f d ce ce Простые вычисления приводят к следующей форме Киллинга–Картана ab := ac d bd c = a b c d = 2 ac + ac.

( db bd ) Форма Киллинга–Картана задает инвариантное скалярное произведение в алгебре Ли gl(, C):

(, ) = 2 tr ( ) + 2 tr tr. (8.93) Инвариантность в данном случае означает независимость результата скалярного про изведения от преобразования подобия:

(, ) = (, ), где = 1, = 1, GL(, C).

Скалярное произведение (8.93) вырождено. Действительно, поскольку tr 1 =, то скалярное произведение всех матриц, кратных единичной матрице = 1, C, равно нулю со всеми матрицами из алгебры Ли gl(, C), (, ) = (1, ) = 2 tr + 2 tr = 0, gl(, C).

384 ГЛАВА 8. ГРУППЫ ЛИ Отсюда следует, что форма Киллинга–Картана вырождена, det ab = 0, и поэтому алгебра Ли gl(, C) не является полупростой. Это значит, что на групповом много образии группы Ли GL(, C) не существует двусторонне инвариантной метрики и, следовательно, возникают серьезные проблемы с построением инвариантов.

Поскольку единичная матрица коммутирует со всеми матрицами, то множество матриц, кратных единице, a = {} является центром и образует идеал в алгебре Ли gl(, C). Его вещественная размерность равна двум, dim a = 2.

Алгебра Ли gl(, C) содержит много подалгебр. Рассмотрим некоторые подал гебры, которые наиболее часто встречаются в приложениях. Нетрудно видеть, что множество всех квадратных вещественных матриц также является алгеброй Ли, которую мы обозначим через gl(, R). Эта алгебра является подалгеброй в ал гебре комплексных матриц: gl(, R) gl(, C). Базис a b в gl(, R) можно выбрать таким же, как и в случае gl(, C), только коэффициенты разложения теперь будут не комплексные, а вещественные числа. Таким образом, алгебра Ли gl(, R) естествен ным образом отождествляется с евклидовым пространством Rn. Формы Киллинга– Картана для gl(, C) и gl(, R) совпадают и, следовательно, алгебра Ли gl(, R) также не является полупростой.

В разделе 8.16 будет показано, что вещественная алгебра Ли gl(, R) = r gl(, C) является вещественной формой комплексной алгебры Ли gl(, C) и, наоборот, ком плексная алгебра Ли gl(, C) = C gl(, R) является комплексификацией вещественной алгебры Ли gl(, R).

Максимальные полупростые подалгебры Ли в gl(, C) и gl(, R) – это алгебры комплексных и вещественных матриц с нулевым следом:

sl(, C) = { gl(, C) : tr = 0}, (8.94) sl(, R) = { gl(, R) : tr = 0}. (8.95) Они имеют следующие вещественные размерности:

dim sl(, C) = 22 2, dim sl(, R) = 2 1.

Каждую матрицу можно однозначно представить в виде = + tr 1, tr = 0, выделив из нее след. Будем считать две матрицы и эквивалентными, если равны их бесследовые части, =. Такие матрицы связаны соотношением ( tr tr )1.

= + Поэтому gl(, C) sl(, C), a где a – идеал в алгебре Ли gl(, C), состоящий из матриц, кратных единичной.

Чтобы доказать полупростоту этих подалгебр, вычислим форму Киллинга–Картана.

Выберем базис в алгебрах Ли sl(, C) и sl(, R) a b := a b a n n, b, = 1,...,, (суммирования по нет), 8.14. ГРУППА ЛИ GL(, C) который удовлетворяет условию tr a b = 0. Это соотношение определяет только 2 n базисных векторов, поскольку n = 0. Коммутационные соотношения принимают вид [ a b, c d ] = c a d a c b ac n d + an c n cn a n + ca n b.

b d bn bd db dn Теперь нетрудно вычислить форму Киллинга–Картана ab = a b c d = 2 ac + ac acn can.

( db bd bnd dnb ) Отсюда следует, что, если хотя бы одна из пар индексов имеет вид (, ) = (, ) или (, ) = (, ), то a b n n = n n c d = 0.

Форма Киллинга–Картана задает инвариантное скалярное произведение в алгебрах Ли:

(, ) = 2 tr ( ),, sl(, C) или, sl(, R).

Эта форма Киллинга–Картана невырождена, и, значит, алгебры матриц с нулевым следом полупросты.

Более того, алгебра Ли sl(, C) проста.

В настоящее время все простые комплексные алгебры Ли классифицированы.

Согласно теореме Адо классификация алгебр Ли сводится к классификации матрич ных алгебр Ли. И эта задача решена. Существует четыре классические бесконечные серии:

an ( 1), bn ( 2), cn ( 3), dn ( 4) (8.96) и пять исключительных алгебр g2, f4, e6, e7, e8. (8.97) Теорема 8.14.1. Любая простая комплексная алгебра Ли изоморфна одной из алгебр (8.96), (8.97). Алгебры (8.96) и (8.97) между собой попарно не изоморфны.

Доказательство. См., например, [58].

Нижний индекс в используемых обозначениях для простых алгебр Ли имеет осо бый смысл: он равен комплексной размерности максимальной коммутативной подал гебры.

Алгебры Ли комплексных матриц с нулевым следом представляют собой первую из классических серий (8.96), an := sl( + 1, C), и, следовательно, просты.

Три оставшиеся серии классических комплексных простых алгебр Ли строятся с помощью квадратичных форм.

Пусть в комплексном векторном пространстве V задана симметричная билиней ная форма V V, (, ) V. (8.98) Рассмотрим линейные преобразования пространства V, которые сохраняют задан ную квадратичную форму в следующем смысле:

, V.

(, ) + (, ) = 0, (8.99) 386 ГЛАВА 8. ГРУППЫ ЛИ Множество таких преобразований образуют алгебру Ли с коммутатором [, ] :=. Действительно, если для двух преобразований и выполнено равенство (8.99), то оно будет выполнено и для их коммутатора:

([, ], ) = (, ) (, ) = (, [, ]).

Алгебры Ли преобразований векторного пространства V, сохраняющих билинейную форму, определяются выбором этой формы.

Пусть комплексная размерность векторного пространства равна dim C V =. За дадим в V невырожденную билинейную симметричную положительно определенную квадратичную форму (, ) := (, ).

Тогда в пространстве V существует базис a, = 1,...,, такой, что квадратичная форма имеет вид (, ) = a b ab, где = a a, = a a и ab := diag (+... +) – обычная евклидова метрика. Алгебры Ли, сохраняющие эту форму называются ортогональными и обозначаются o(, C).

Вторая и четвертая из классических серий (8.96) определяются следующими ра венствами:

bn := o(2 + 1, C), dn := o(2, C).

Пусть в векторном пространстве V задана невырожденная антисимметричная би линейная квадратичная форма, (, ) = (, ). В этом случае размерность вектор ного пространства должна быть четной dim V = 2 для невырожденности. Тогда в пространстве V существует такой базис a, где = 1,..., 2, что квадратичная форма имеет вид (, ) = a b ab, где ( ) 0 = (ab ) := – каноническая симплектическая форма. Комплексные алгебры Ли, сохраняющие эту квадратичную форму, называются симплектическими и обозначаются sp(, C).

Они дают третью классическую серию cn := sp(, C).

Описание комплексных исключительных алгебр Ли (8.97) довольно сложно. Ин тересующийся читатель может найти его, например, в [58].

Теперь обсудим более элементарные свойства матриц.

Определение. Пусть gl(, C) и C. Алгебраическое уравнение det ( 1) = 0 (8.100) -того порядка относительно называется характеристическим или вековым урав нением. Решения этого уравнения называются собственными числами матрицы.

8.14. ГРУППА ЛИ GL(, C) Согласно основной теореме алгебры каждая матрица имеет в точности соб ственных чисел 1, 2,..., n с учетом их кратности. В общем случае собственные числа комплексны даже для вещественной матрицы gl(, R).

Матрицы и называются подобными или сопряженными, если существует невырожденная матрица такая, что = 1. Из уравнения (8.100) следует, что собственные числа подобных матриц совпадают.

Опишем экспоненциальное отображение матриц.

Определение. Пусть gl(, C) – произвольная матрица с ограниченными эле ментами. Тогда ряд 2 3 k e = exp := 1 + + A + +... = 2! 3! !

k= равномерно сходится, если остается в ограниченной области пространства gl(, C) R2n, т.е. каждый элемент матрицы ограничен. Этот ряд называется экспоненциалом матрицы.

Функция exp определена и непрерывна на gl(, C) и отображает gl(, C) в себя.

Сформулируем некоторые свойства экспоненциала матрицы [47].

Предложение 8.14.1. Пусть – невырожденная матрица. Тогда = eA 1.

eBAB Предложение 8.14.2. Для произвольной матрицы gl(, C) существует такая невырожденная матрица, что матрица 1 является верхнетреугольной.

Тогда матрица eBAB также является верхнетреугольной. При этом на диагона ли матрицы 1 стоят собственные числа 1,..., n матрицы, а на диаго нали матрицы eBAB стоят собственные числа e1,..., en матрицы eA.

Следствие. Для любой матрицы gl(, C) справедливо равенство det ( exp ) = exp ( tr ) det = exp ( tr ln), (8.101) где := eA.

Отсюда следует, в частности, что det ( exp ) = 0. То есть экспоненциал произ вольной матрицы является невырожденной (регулярной) матрицей и, следовательно, принадлежит группе общих преобразований exp GL(, C) (см. следующий раз дел).

Предложение 8.14.3. Если матрицы, коммутируют, то eA+B = eA eB.

Следствие. Экспоненциальное отображение etA, где R и gl(, C) – фиксированная матрица, есть гладкое гомоморфное отображение аддитивной груп пы вещественных чисел в группу GL(, C).

388 ГЛАВА 8. ГРУППЫ ЛИ Касательным вектором к отображению etA в точке = 0 является матрица (достаточно почленно продифференцировать степенной ряд). Экспоненциальное отображение R GL(, C) является единственной однопараметрической подгруп пой в GL(, C) с касательным вектором в нуле.

Приведем несколько очевидных формул для экспоненциального отображения мат риц exp t = ( exp )t, exp † = ( exp )†, exp () = ( exp )1, где индексы t и † обозначают транспонирование и эрмитово сопряжение матриц.

Экспоненциальное отображение матриц аналогично экспоненциальному отобра жению, которое генерируется векторными полями (см. раздел 8.9). Оно задает отоб ражение алгебры Ли gl(, C) в группу Ли GL(, C).

Предложение 8.14.4. В алгебре Ли gl(, C) существует окрестность U нулевой матрицы 0 U gl(, C), которая удовлетворяет следующим условиям:

1) при экспоненциальном отображении exp, где U, окрестность U непрерывно отображается на некоторую окрестность единичной матрицы GL(, C);

2) | tr | 2;

3) при U справедливы включения, t, † U.

При построении экспоненциального отображение поле комплексных чисел можно заменить на поле вещественных чисел. При этом конструкция не изменится, если собственные числа матрицы с вещественными элементами также вещественны. (В общем случае это, конечно, не так.) Экспоненциальное отображение задает отображение множества эндоморфизмов векторного пространства в множество его автоморфизмов end (V) aut (V), exp :

где V – произвольное векторное пространство над полем вещественных или ком плексных чисел.

Можно доказать [40], что экспоненциальное отображение для группы GL(, C) является сюрьективным. В то же время для группы общих линейных преобразований над полем вещественных чисел GL(, R) это не так.

Пример 8.14.1. Матрицу ( ) 2 0 нельзя представить в виде eA ни для какой матрицы gl(2, R).

В алгебре Ли операцией умножения является коммутатор. Посмотрим, что ему соответствует в группе Ли.

Предложение 8.14.5. В окрестности единицы группы справедливо равенство etA etB etA etB = [, ]2 + O(3 ), 0.

Доказательство. Прямая проверка.

Аналогичное утверждение справедливо не только для матричных, но и произ вольных групп Ли, которое можно также проверить прямыми вычислениями.

8.14. ГРУППА ЛИ GL(, C) 8.14.2 Группа Ли GL(, C) Определение. Группой общих линейных преобразований GL(, C) -мерного век торного пространства над полем комплексных чисел называется множество всех невырожденных квадратных матриц с комплексными элементами и обычным правилом умножения. Множество всех невырожденных матриц с веществен ными элементами образует группу общих линейных преобразований -мерного век торного вещественного пространства GL(, R).

Единственное условие, которое накладывается на матрицы – это отличие от нуля их определителей, которое необходимо и достаточно для существования обратных матриц.

Умножение компонент векторов, которые мы записываем в виде строки, на мат рицы сохраняет линейную структуру векторного пространства V и поэтому является автоморфизмом V, т.к. нулевой вектор остается неподвижным.

Множество всех, в том числе вырожденных, комплексных матриц, как мно гообразие, представляет собой евклидово пространство R2n, т.к. параметризуется 2 комплексными числами, на которые не наложено никаких ограничений. Посколь ку определитель матрицы является непрерывной функцией от матрицы, то множе ство матриц с нулевым определителем представляет собой замкнутое подмножество в R2n, поскольку 0 является замкнутым подмножеством в R. Поэтому множество невырожденных матриц GL(, C) как дополнение замкнутого подмножества обра зует в евклидовом пространстве R2n открытое подмногообразие и, следовательно, имеет ту же размерность 22, что и евклидово пространство.

Нетрудно проверить, что групповая операция является гладкой, и, следовательно, группа GL(, C) является группой Ли. Эта группа связна некомпактна, но локально компактна.

Аналогично, группа всех невырожденных вещественных матриц GL(, R), как многообразие, представляет собой открытое подмногообразие в евклидовом про странстве Rn с гладкой групповой операцией. В отличие от группы комплексных матриц GL(, C), группа вещественных матриц не является связной. Она состоит из двух связных компонент: матриц с положительным и отрицательным определите лем. Множество матриц с положительным определителем GL+ (, R) само является группой Ли и представляет собой связную компоненту единицы в GL(, R). Вторая компонента представляет собой ее смежный класс и состоит из матриц с отрицатель ным определителем.

Это различие легко понять. В комплексном случае матрицу с вещественным положительным определителем, det 0, можно непрерывно трансформировать в матрицу с вещественным отрицательным определителем, det 0, вдоль пути, целиком лежащим в GL(, C) и состоящим из матриц с комплексным определителем.

Здесь прослеживается связь с вещественной прямой и комплексной плоскостью. Ес ли из вещественной прямой удалить точку 0, то она распадается на два несвязных многообразия. В то же время, удаление начала координат из комплексной плоскости оставляет ее связной.

Очевидно что группа вещественных матриц GL(, R) является подгруппой в GL(, C).

Поскольку размерность dim GL(, R) dim GL(, C), то согласно теоремам 2.10.1 и 2.10.2 эта подгруппа замкнута.

Теперь опишем несколько других подгрупп в GL(, C).

Произвольную невырожденную матрицу = (a b ),,,... = 1, 2,...,, можно 390 ГЛАВА 8. ГРУППЫ ЛИ представить в виде = 1/n, где := det.

Тогда det = 1.

Определение. Совокупность всех квадратных матриц с комплексными элемен тами, определитель которых равен единице, является группой, которая называется группой специальных линейных преобразований -мерного векторного пространства над полем комплексных чисел и обозначается SL(, C). Если элементы матриц веще ственны, то соответствующая группа обозначается SL(, R). Она является подгруп пой в SL(, C).

Очевидно, что SL(, C) GL(, C). Это максимальная полупростая подгруппа группы GL(, C), и ее размерность равна 22 1. Можно доказать, что она являет ся простой. Соответствующая алгебра Ли sl(, C) изоморфна алгебре комплексных матриц с нулевым следом и была рассмотрена в предыдущем разделе.

Группа SL(, R) является подгруппой группы общих линейных преобразований GL(, R) и является связной некомпактной, но локально компактной группой Ли размерности 2 1. Эта группа является максимальной полупростой подгруппой группы GL(, R) (и простой). Алгебра Ли sl(, R) изоморфна алгебре вещественных матриц с нулевым следом.

В некоторой окрестности единичной матрицы 1 SL(, K), где K = R или K = C, элемент группы SL(, K) взаимно однозначно представляется экспоненциальным отображением элемента алгебры sl(, K):

= eA, tr = 0.

У группы общих линейных преобразований GL(, C) есть много других подгрупп.

Пример 8.14.2. Группа вещественных ортогональных матриц O() состоит из матриц O() GL(, R), удовлетворяющих условию ортогональности t = t = 1, где t обозначает транспонированную матрицу. След от этого равенства приводит к ограничению на матричные элементы i j i j =. Это значит, что групповое многооб 2 разие является замкнутым подмножеством сферы Sn 1 Rn. Отсюда, по теореме Гейне–Бореля–Лебега, следует компактность группы вращений. Группа O() являет ся компактной группой Ли размерности (1)/2 и состоит из двух компонент связ ности. Матрицы с единичным определителем образуют связную компоненту единицы SO() (собственные вращения). Вторую компоненту связности образует ее смежный класс, состоящий из несобственных ортогональных матриц с определителем, равным 1.

Группы вращений SO() при 2 являются группами симметрий сфер Sn1, вложенных в евклидово пространство Rn. Можно доказать, что фундаментальные группы групп вращений SO() при всех 3 равны Z2. Следовательно, они не являются односвязными.

Алгебры Ли групп O() и SO() совпадают и изоморфны алгебре антисиммет ричных матриц so(). Вблизи единицы 1 SO() матрица вращений SO() взаимно однозначно представляется в виде экспоненциала отображения некоторого элемента алгебры so():

= eA, где = t.

8.14. ГРУППА ЛИ GL(, C) Пример 8.14.3. Группа двумерных вращений SO(2) как многообразие представ ляет собой окружность S1. Ее фундаментальная группа изоморфна группе целых чисел Z. Полная группа вращений O(2) состоит из двух компонент связности. Как многообразие она представляет собой два экземпляра окружности O(2) S1 Z2.

Фундаментальная группа окружности совпадает с группой целых чисел по сложению Z.

Пример 8.14.4. Группа трехмерных вращений SO(3) является группой симметрии сферы S2, вложенной в трехмерное евклидово пространство R3. Каждое вращение можно параметризовать вектором, направленным вдоль оси вращения, длина ко торого равна углу поворота против часовой стрелки | |. Множество векторов по 3 ворота заполняет шар B R. При этом противоположные точки граничной сферы S2 радиуса необходимо отождествить, т.к. поворот на угол совпадает с поворо том на угол. Таким образом, как многообразие группа SO(3) представляет собой трехмерный шар с отождествленными противоположными точками граничной сфе ры S2. Фундаментальная группа группы SO(3) является группа Z2. Полная группа трехмерных вращений O(3) как многообразие состоит из двух одинаковых компонент связности. Фундаментальная группа каждой компоненты связности равна Z2.

Пример 8.14.5. Пусть в декартовых координатах евклидова пространства Rn зада на метрика, представляющая собой диагональную матрицу, у которой на диагонали стоят положительных и отрицательных единиц ab = diag (+... +... ), + =. (8.102) p q Для определенности мы считаем, что все положительные единицы идут вначале. Сиг натура этой метрики равна. Матрицы преобразований евклидова пространства a b, сохраняющие метрику (8.102), ab = a c b d cd, (8.103) образуют группу, которая называется группой вращений O(, ). В частности, при = 0 группа O(, 0) = O(), а при = 1 она становится группой Лоренца O(1, 1).

Из определения (8.103) следует, что det = ±1. То есть группа вращений O(, ) состоит по крайней мере из двух компонент связности: матриц с положительным и отрицательным определителем. Можно показать, что группа Лоренца, состоит из четырех компонент связности. При = 0, группа вращений O(, ) является неком пактной.

Группа вращений O(, ) является группой симметрии пространств постоянной кривизны: гиперболоидов H размерности dim H = 1, вложенных в псевдоевкли дово пространство Rp,q уравнением (1 )2 +... + (p )2 (p+1 )2... (n )2 = ±2, = const.

Это утверждение является следствием определения (8.103). В зависимости от зна ка правой части мы получаем различные гиперболоиды, которые в общем случае состоят из нескольких компонент связности.

Пример 8.14.6. Рассмотрим комплексное векторное пространство Cn с базисом a, = 1,...,. Пусть = a a и = a a – два произвольных вектора из Cn.

Определим эрмитово скалярное произведение в Cn следующим соотношением (, ) := a† b ab, (8.104) 392 ГЛАВА 8. ГРУППЫ ЛИ где символ † обозначает комплексное сопряжение. Отсюда следует, что (, ) 0 и (, ) = 0 тогда и только тогда, когда = 0. Вещественное число = (, ) называется длиной вектора Cn.

Группа унитарных матриц U() состоит из комплексных матриц U(), которые сохраняют эрмитово скалярное произведение (8.104). В матричных обозна чениях это условие записывается в виде условия унитарности † = † = 1, где символ † обозначает эрмитово сопряжение (транспонирование и комплексное со пряжение всех элементов). Из условия унитарности следует, что определитель уни тарной матрицы равен по модулю единице. Группа U() является связной группой Ли размерности dim U() = 2. Так же как и группа вещественных ортогональных матриц эта группа компактна. Группа U() не является односвязной, и ее фунда ментальная группа изоморфна группе целых чисел Z [63]. Как многообразие группа U() диффеоморфна прямому произведению окружности на группу специальных унитарных матриц с единичным определителем U() S1 SU(), 2.

При = 1 имеем абелеву группу U(1), которая состоит из комплексных чисел, равных по модулю единице, с обычным правилом умножения комплексных чисел.

Как многообразие эта группа представляет собой окружность, U(1) S1. Легко построить изоморфизм групп, U(1) SO(2):

( ) cos sin i U(1) e SO(2), [0, 2).

sin cos Алгебра Ли u() изоморфна алгебре антиэрмитовых матриц. Вблизи едини цы 1 U() произвольная унитарная матрица U() взаимно однозначно пред ставляется в виде экспоненциала от некоторой антиэрмитовой матрицы u() = †.

= eA, Пример 8.14.7. Группа специальных унитарных матриц SU() U(), состоит из унитарных матриц SU() с единичным определителем † = † = 1, det = 1.

Эта группа является связной компактной группой Ли размерности dim SU() = 2 1. Она образует замкнутое подмножество в U(). Группа SU() является также односвязной. Доказательство этого утверждения сложно, и интересующийся чита тель может найти его в [63].

Группа SU(1) тривиальна и состоит из единственного элемента – единицы.

Алгебра Ли su() изоморфна алгебре антиэрмитовых матриц с нулевым следом. Вблизи единицы 1 SU() каждая унитарная матрица с единичным опре делителем SU() взаимно однозначно представляется экспоненциальным отоб ражением элемента алгебры su():

где = †, = exp, tr = 0.

Множество эрмитовых матриц играет важную роль и в математике и в физике.

Опишем их свойства подробнее. Напомним 8.15. УНИВЕРСАЛЬНАЯ НАКРЫВАЮЩАЯ SL(2, R) Определение. Матрица gl(, C) называется эрмитовой, если выполнено усло вие = †. (8.105) В вещественном случае множество эрмитовых матриц соответствует симметрич ным матрицам, а множество антиэрмитовых – антисимметричным.

Множество эрмитовых матриц,,... в отличие от множества антиэрмитовых матриц не образует подалгебры Ли в gl(, C), т.к.

[, ]† = [, ] = [, ].

Заметим также, что отображение † не является автоморфизмом группы GL(, C), т.к. при эрмитовом сопряжении меняется порядок матриц, и что эрмитовы матрицы не образуют в GL(, C) подгруппы.

Сформулируем некоторые свойства эрмитовых матриц [47].

Предложение 8.14.6. Если – эрмитова матрица, то 1 – также эрмито ва для любой унитарной матрицы U(). Далее, существует такая унитарная матрица 0 (не единственная), что 0 0 является диагональной матрицей. Ес ли матрица вещественна, то матрицу 0 можно выбрать ортогональной.

Предложение 8.14.7. Все собственные числа эрмитовой матрицы вещественны.

Предложение 8.14.8. Если – эрмитова матрица, то в пространстве Cn суще ствует ортонормальный базис, составленный из ее собственных векторов.

Эрмитова матрица называется положительно определенной, если все ее собствен ные числа положительны.

Предложение 8.14.9 (Полярное разложение матриц). Любая невырожденная матрица GL(, C) может быть записана, и притом лишь единственным спо собом, в виде произведения = или = унитарной матрицы U() и положительно определенной матрицы. Сомножители и являются непре рывными функциями.

Поскольку множество всех положительно определенных матриц гомеоморфно Rn, то группа GL(, C), как многообразие, гомеоморфна прямому произведению GL(, C) U() Rn.

8.15 Универсальная накрывающая SL(2, R) Построим универсальную накрывающую группу SL(2, R) для группы SL(2, R). Это построение будет конструктивным, т.е. мы определим групповую операцию на связ ном и односвязном многообразии SL(2, R), а затем построим гомоморфизм групп SL(2, R) SL(2, R) (см., например, [63]).

Рассмотрим трехмерное многообразие SL(2, R) = R D, которое представляет собой прямое произведение вещественной прямой R на единичный диск D плоскости комплексного переменного, состоящего из таких комплексных чисел, что || 1.

Поскольку каждый из сомножителей является связным и односвязным многообра зием, то и их произведение также связно и односвязно.

394 ГЛАВА 8. ГРУППЫ ЛИ Функция 1 + = 1 + осуществляет непрерывное отображение диска D на окружность || = 1 с выколотой точкой = 1. Поэтому для любого числа D существует единственное число,, для которого 1 + eit =.

1 + Обозначим это число символом 1 1 + = ln.

1 + Определим на многообразии SL(2, R) умножение следующей формулой + e2iy ( ), R,, D, (, )(, ) = + +, 2iy, (8.106) e + где 1 1 + e2iy = ln.

2iy 2 1 + e Так как | e2iy + |2 | + e2iy |2 = 1 ||2 1 ||2 0, ( ) ( ) то + e2iy e2iy + 1.

Поэтому формула (8.106) корректно определяет в SL(2, R) = R D умножение.

Это умножение обладает единицей (0, 0), и для любого элемента (, ) существует обратный элемент (, )1 = (, e2ix ).

Кроме того, прямые вычисления показывают, что умножение (8.106) ассоциативно.

Это умножение гладко, и тем самым доказано, что многообразие SL(2, R) = R D является группой Ли относительно умножения (8.106).

Центр этой группы состоит из таких элементов (, ), для которых, в частности, равенство + e2iy + e2ix = 2ix (8.107) e2iy + e + выполнено для всех R и D. В частном случае при = 0 должно выпол няться равенство = e2iy для всех. Это возможно только при = 0. Тогда из (8.107) следует равенство = e2ix, которое должно выполняться для всех, что возможно только при =, Z. Нетрудно проверить, что все элементы вида (, 0) принадлежат центру группы SL(2, R). Следовательно, центр группы SL(2, R) бесконечен.

Теперь построим гомоморфизм SL(2, R) SL(2, R). Легко проверить, что мат рица ( ) cos + || cos ( + ) || sin ( + ) sin =, (8.108) 1 ||2 || sin ( + ) + sin cos || cos ( + ) 8.15. УНИВЕРСАЛЬНАЯ НАКРЫВАЮЩАЯ SL(2, R) где = arg, имеет единичный определитель. Прямые вычисления позволяют про верить, что отображение SL(2, R) SL(2, R) определено корректно и является гомо морфизмом групп. Его ядро состоит из элементов вида (2, 0) и, значит, дискрет но. Поскольку размерности групп совпадают, то гомоморфизм SL(2, R) SL(2, R) является групповым накрытием. Таким образом мы построили универсальную на крывающую для группы SL(2, R):

SL(2, R) SL(2, R) =, Z где группа преобразований + Z:

действует на прямой R. С топологической точки зрения группа SL(2, R) является произведением окружности на диск SL(2, R) S1 D.

Группа специальных матриц SL(2, R) дважды накрывает собственную ортохрон ную группу Лоренца SO (1, 2) (1.178). При этом одному лоренцеву вращению соот ветствует пара матриц (8.108), отличающихся знаком. Изменению знака матрицы соответствует сдвиг координаты на. Поэтому SL(2, R) SL(2, R) SO (1, 2) = =, Z2 Z где группа преобразований действует по следующему правилу:

+.

Z:

Группа Z2 действует на окружности S1 путем отождествления противоположных точек и превращает окружность в проективное пространство RP1. Поскольку одно мерное проективное пространство с топологической точки зрения является окруж ностью, то SO (1, 2) S1 D.

Поскольку диск диффеоморфен всей плоскости D R2, то SO (1, 2) S1 R2.

Предложенная конструкция универсальной накрывающей имеет следующее объ яснение. Согласно теореме о полярном разложении матриц любая унимодулярная матрица SL(2, R) единственным образом раскладывается в произведение = некоторой матрицы вращения и некоторой положительно определенной унимо дулярной матрицы. Матрица задается углом поворота, а матрица, имеющая вид ( ), где 0 и 2 = 1, задается двумя числами 0 и R, т.е. комплексным чис лом = +, принадлежащим правой полуплоскости 0. Переходя с помощью дробно-линейного преобразования от правой полуплоскости к единичному кругу, мы получаем, следовательно, что каждая матрица SL(2, R) однозначно характери зуется парой (, ), где R и D. При этом умножению матриц соответствует 396 ГЛАВА 8. ГРУППЫ ЛИ умножение пар, которое задается формулой (8.106). Чтобы получить теперь универ сальную накрывающую SL(2, R) достаточно считать координату не углом, а точкой вещественной прямой R.

Теорема Адо, которая будет сформулирована в следующем разделе, утвержда ет, что любая алгебра Ли имеет точное матричное представление. То есть класси фикация матричных алгебр Ли влечет за собой классификацию всех алгебр Ли. С группами дело обстоит иначе.

Теорема 8.15.1. Группа SL(2, R) не вкладывается ни в какую группу GL(, R) и поэтому не является матричной группой Ли.

Доказательство. См., например, [13].

8.16 Классификация простых алгебр и групп Ли Классификация простых алгебр Ли сводится к классификации матричных алгебр Ли, благодаря следующему утверждению.

Теорема 8.16.1 (Адо). Каждая алгебра Ли g над полем комплексных чисел C име ет точное (инъективное) представление в алгебре Ли gl(, R) для некоторого.

Доказательство. См. [64].

Следствие. Для каждой алгебры Ли g существует группа Ли G (и, в частности, односвязная группа Ли) с данной алгеброй Ли.

Теорема Адо важна, поскольку позволяет свести изучение абстрактных алгебр Ли к матричным.

Напомним, что комплексификацией вещественного векторного пространства V называется комплексное векторное пространство C V, состоящее из векторов вида = +, где, V. При этом сложение векторов 1 = 1 + 1 и 2 = 2 + задается формулой 1 + 2 := 1 + 2 + (1 + 2 ).

Умножение вектора на комплексное число = + определяется равенством := + ( + ).

Определение. Комплексификацией C g вещественной алгебры Ли g называется ком плексная алгебра Ли, удовлетворяющая двум условиям:

1) C g является комплексификацией вещественного векторного пространства g;

2) умножение в C g задается формулой [1, 2 ] = [1 + 1, 2 + 2 ] := [1, 2 ] [1, 2 ] + [1, 2 ] + [1, 2 ]. (8.109) Если dim g = n, то вещественная размерность ее комплексификации вдвое боль ше: dim C g = 2n. При этом комплексная размерность комплексифицированной ал гебры Ли остается прежней dim C (C g) = dim g = n.

С другой стороны, комплексную алгебру Ли h комплексной размерности n с ба зисом a, a = 1,... n, можно рассматривать как вещественную алгебру Ли веще ственной размерности 2n с базисом 1, 1,..., n, n. Эту овеществление комплекс ной алгебры Ли обозначим R h. Можно поступить по-другому. Назовем вещественной 8.16. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТЫХ АЛГЕБР И ГРУПП ЛИ формой комплексной алгебры Ли h такую вещественную алгебру Ли r h, которая после комплексификации дает h. В этом случае размерность вещественной формы комплексной алгебры Ли в два раза меньше вещественной размерности исходной алгебры Ли.

Пример 8.16.1. Рассмотрим вещественную алгебру Ли gl(, R), состоящую из ве щественных матриц с обычным правилом коммутирования. Тогда ее комплек сификацией будет алгебра Ли C gl(, R) = gl(, C), состоящая из комплексных матриц. Теперь рассмотрим комплексную алгебру Ли gl(, C). Ее овеществление бу дет изоморфно прямой сумме алгебр Ли: R gl(, C) gl(, R)gl(, R) той же размер ности. В то же время вещественной формой алгебры Ли gl(, C) будет вещественная алгебра Ли r gl(, C) = gl(, R) вдвое меньшей размерности.

В предыдущем разделе была приведена классификация всех простых комплекс ных алгебр Ли. Поэтому возникает вопрос следует ли отсюда классификация веще ственных алгебр Ли. Ответ на этот вопрос положителен в силу следующего утвер ждения.

Теорема 8.16.2. Все вещественные простые алгебры Ли получаются из простых комплексных алгебр Ли либо овеществлением, либо они являются вещественными формами простых комплексных алгебр Ли.

Доказательство. См., например, [30].

Таким образом, для классификации простых вещественных алгебр Ли необходи мо найти все вещественные неизоморфные между собой формы комплексных алгебр Ли. Этот вопрос сложен, но решен. Доказывается, что каждая комплексная простая алгебра имеет только конечное число вещественных форм, и все они найдены [65].

Среди этих вещественных форм только одна является компактной. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между простыми комплексными ал гебрами Ли и простыми вещественными компактными алгебрами Ли. Поэтому клас сификация простых вещественных компактных алгебр Ли сводится к классификации простых комплексных алгебр Ли.

Приведем классификацию всех простых вещественных алгебр Ли (доказательство можно найти, например, в [30]).

Вещественные формы алгебры Ли an sl( + 1, C), 1. su( + 1) – компактная алгебра Ли всех антиэрмитовых ( + 1) ( + 1) матриц с нулевым следом, tr = 0.

2. sl( + 1, R) – некомпактная алгебра Ли всех вещественных ( + 1) ( + 1) матриц с нулевым следом, tr = 0.

3. su(, ), + = + 1,, – некомпактная алгебра Ли всех матриц вида ( ) 1, † 2 где 1, 3 – антиэрмитовы матрицы порядков и соответственно, tr 1 + tr 3 = 0, матрица 2 произвольна.

398 ГЛАВА 8. ГРУППЫ ЛИ 4. su 2( + 1) – некомпактная алгебра Ли всех 2( + 1) 2( + 1) матриц вида ( ) ( ) 1, 2 где 1, 2 – комплексные ( + 1) ( + 1) матрицы, tr 1 + tr 1 = 0.

Вещественные формы алгебры Ли bn so(2 + 1, C), 1. so(2+1) – компактная алгебра Ли всех вещественных антисимметричных (2+ 1) (2 + 1) матриц.

2. so(, ), + = 2 + 1,, – некомпактная алгебра Ли всех вещественных (2 + 1) (2 + 1) матриц вида ( ) 1, 2 t где 1, 3 – антисимметричные матрицы порядков и соответственно, мат рица 2 произвольна.

Вещественные формы алгебры Ли cn sp(, C), 1. sp() – компактная алгебра Ли всех антиэрмитовых бесследовых комплексных 2 2 матриц вида ( ) 1 t, 3 где все матрицы 1,2,3 имеют порядок, и матрицы 2 и 3 симметричные (т.е.

sp() = sp(, C) su(2)).

2. sp(, R) – некомпактная алгебра Ли всех вещественных 2 2 матриц вида ( ) 1 t, 3 где 1,2,3 – вещественные матрицы и 2,3 – симметричные матрицы.

3. sp(, ), + =,, – некомпактная алгебра Ли всех комплексных 2 матриц вида 11 12 13 † 12 22 14 t, 13 14 11 † 14 24 12 t где 11, 13 – матрицы порядка, 12 и 14 – матрицы, 11 и 22 – анти эрмитовы, 13 и 24 – симметричные.

8.16. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТЫХ АЛГЕБР И ГРУПП ЛИ Вещественные формы алгебры Ли dn so(2, C), 1. so(2) – компактная алгебра Ли всех вещественных антисимметричных 2 матриц.

2. so(, ), + = 2,, – некомпактная алгебра Ли всех вещественных матриц вида ( ) 1, 2 t где 1, 3 – антисимметричные матрицы порядков и соответственно, мат рица 2 произвольна.

3. so (2) – некомпактная алгебра Ли всех комплексных 2 2 матриц вида ( ) 1, 2 где 1, 2 – комплексные матрицы, 1 – антисимметричная, 2 – эрмитова.

Вещественные формы алгебр Ли, приведенные выше, определены при всех 1.

Ограничения на номера алгебр возникают из-за наличия изоморфизмов между комплексными алгебрами Ли, которые индуцируют изоморфизмы их вещественных форм. Запишем эти изоморфизмы в виде таблицы. Случай d2 a1 a1 включен для удобства. Отметим также, что алгебра d1 не является полупростой.

Изоморфизмы комплексных Изоморфизмы вещественных алгебр Ли форм алгебр Ли a1 b1 c1 su(2) so(3) sp(1) sl(2, R) su(1, 1) so(2, 1) sp(1, R) b2 c2 so(5) sp(2) so(3, 2) sp(2, R) so(4, 1) sp(1, 1) d2 a1 a1 so(4) so(3) so(3) so(2, 2) sl(2, R) sl(2, R) sl(2, C) so(3, 1) so (4) sl(2, R) su(2) a3 d3 su(4) so(6) sl(4, R) so(3, 3) su(2, 2) so(4, 2) su(3, 1) so (6) su (4) so(5, 1) so (8) so(6, 2) Таблица 8.1: Изоморфизм комплексных и вещественных алгебр Ли Вещественные формы исключительных простых алгебр Ли приведены, например, в [66].

Как уже отмечалось, каждой комплексной простой алгебре Ли соответствует только одна вещественная компактная форма.

Приведем также классификацию комплексных простых групп и их вещественных компактных форм (см., например, [62]). В таблице колонка простых комплексных 400 ГЛАВА 8. ГРУППЫ ЛИ групп Ли обозначена C G, а их вещественных компактных форм – G. Универсальные накрывающие вещественных компактных групп Ли отмечены знаком тильды G, а через Z(G) обозначен центр универсальной накрывающей. То есть G = G/Z(G).

Приведены также размерности вещественных групп Ли.

dim U g C G G Z(U) ( 1) SL( + 1, C) SU( + 1) ( + 2) an Zn+ ( 2) SO(2 + 1, C) SO(2 + 1) (2 + 1) bn Z ( 3) (2 + 1) cn SP(, C) SP() Z Z4, нечетно ( 4) (2 1) dn SO(2, C) SO(2) Z2 Z2, четно g2 C G2 G2 Z f4 C F4 F4 Z e6 C E6 E6 Z e7 C E7 E7 Z e8 C E8 E8 Z Таблица 8.2: Простые группы Ли, соответствующие простым комплексным алгебрам Ли и их компактным вещественным формам Глава Группы преобразований Теория групп имеет важные приложения в математической физике, и почти всегда группы появляются как группы преобразований чего либо. Это может быть группа преобразований пространства-времени, группа симметрий изотопического простран ства (например, SU(3) симметрия в физике элементарных частиц), группа симметрий уравнений движения или что нибудь более экзотическое. В настоящем разделе мы рассмотрим группы преобразований G многообразия M. В общем случае группа G может быть конечной, счетной или группой Ли. В основном мы будем рассматривать группы Ли преобразований, хотя многие определения и утверждения справедливы и для произвольных групп.

9.1 Действие групп преобразований Пусть на многообразии M задано правое действие группы G, т.е. задано отображение MG, M, (9.1) которое предполагается достаточно гладким по.

Определение. Пара (M, G) называется группой правых преобразований многообра зия M, если действие группы G на M справа удовлетворяет следующим условиям:

1) при любом G отображение M M является диффеоморфизмом, 2) () = () для всех M и, G.

В этом случае многообразие M называется G-многообразием.


Если G – группа Ли, то отображение (9.1) предполагается достаточно гладким также по G и, следовательно, непрерывным для всех G и для всех M.

Для каждой фиксированной точки M мы имеем достаточно гладкое отображение G M.

Замечание. Иногда в качестве M мы будем рассматривать многообразия с краем.

Под дифференцируемой функцией на M в таком случае мы понимаем наличие всех частных производных у во всех внутренних точках и существование предела этих производных на крае M.

Каждому элементу группы G соответствует достаточно гладкое отображение M M, заданное правилом. Поэтому группа преобразований определя ет отображение G diff (M) группы G в группу диффеоморфизмов многообразия diff (M).

402 ГЛАВА 9. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Предложение 9.1.1. Пара (M, G) является группой преобразований многообразия M тогда и только тогда, когда отображение G diff (M) является гомоморфиз мом групп и отображение (9.1) является достаточно гладким.

Доказательство. Условие 1) в определении группы преобразований означает, что отображение принадлежит группе diff (M). Групповая операция сохраняется при отображении в силу свойства 2). Осталось доказать, что единица G отобра жается в тождественное преобразование многообразия M. Действительно, отображе ние является диффеоморфизмом и, следовательно, биекцией для всех G.

В частности, для каждого M найдется такая точка M, что =. Умножив это уравнение справа на, получаем цепочку равенств:

= 2 = =, M.

То есть единичный элемент группы не сдвигает ни одну точку многообразия.

Обратно. Каждому элементу соответствует некоторый диффеоморфизм, т.е.

условие 1) выполнено. Поскольку отображение G diff (M) – гомоморфизм, то выполнено условие 2).

Аналогично определяется левое действие группы G на M, т.е. отображение GM, M.

В дальнейшем, если не оговорено противное, под группой преобразований мно гообразия будем понимать группу правых преобразований и будем говорить, что G действует на M, подразумевая действие группы справа.

Пример 9.1.1. Если задано представление группы G, то задана группа линейных преобразований (V, G) векторного пространства V (автоморфизмов), которое снаб жено естественной структурой многообразия.

Пример 9.1.2. Группа Ли является группой преобразований самой себя GG G, которую можно рассматривать, как действующую слева или справа.

Определение. Группа G действует на M тривиально, если равенство = вы полнено для всех M и всех G. В этом случае группа преобразований пре вращается в тривиальное главное расслоение M G M с естественной проекцией : (, ).

Говорят, что G действует эффективно на M, если из равенства = для всех M следует, что =. Если для любой точки M уравнение = име ет единственное решение =, то говорят, что группа преобразований действует свободно.

Другими словами, действие группы G на M является эффективным, если любой элемент группы, отличный от единичного, перемещает хотя бы одну точку. Действие группы свободно, если любой элемент группы, отличный от единичного, перемеща ет все точки многообразия. Группа, действующая свободно, является эффективной.

Обратное утверждение неверно, что показывает следующий Пример 9.1.3. Группа вращений SO(3) трехмерного евклидова пространства R действует эффективно, но не свободно, т.к. начало координат остается неподвижным.

9.1. ДЕЙСТВИЕ ГРУПП ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Если действие группы преобразований свободно, то это значит, что для любой пары точек 1, 2 M либо не существует преобразования, связывающего эти точки, 2 = 1, либо элемент G единственен.

Определение. Ядром K группы преобразований (M, G) называется множество эле ментов группы, которое действует тривиально на все точки многообразия, K := { G : =, M}.

Действие группы эффективно, если K = {}.

Предложение 9.1.2. Ядро группы преобразований является нормальной подгруп пой в G. Кроме того, эта подгруппа замкнута в G.

Доказательство. Отображение G diff (M) непрерывно и ядро K отображается в единицу группы диффеоморфизмов diff (M). Поскольку единица замкнута в diff (M), то ее прообраз K замкнут в G по критерию 1) теоремы 1.4.3.

Ядро группы преобразований представляет собой то множество элементов груп пы, которое вообще не действует на многообразии M. Поэтому действие группы G естественным образом сводится к действию фактор группы G/K, которая действует эффективно.

Пример 9.1.4. Рассмотрим присоединенное действие группы Ли на себя GG G, заданное преобразованием подобия 1, для всех, G. Ядром этого дей ствия является центр группы K G. Присоединенное действие группы Ли не явля ется свободным, так как единичный элемент группы G остается неподвижным, 1 =, G. Присоединенное действие фактор группы G/K является эффек тивным.

Определение. Пусть точка M фиксирована. Множество точек G := { M : G} называется орбитой точки относительно действия группы G.

Используя групповые свойства, нетрудно проверить, что орбиты двух точек 1, M либо совпадают, либо не имеют общих точек. Орбитой произвольного подмноже ства U M будем называть объединение орбит всех точек из U. Обозначим его UG.

Если группа G конечна, то орбита любой точки также конечна. Если группа преобразований счетна, то ее орбиты либо счетны, либо конечны.

Пример 9.1.5. Рассмотрим поворот евклидовой плоскости R2 на конечный угол.

Начало координат неподвижно относительно вращений. Все остальные точки имеют нетривиальные орбиты, если угол поворота не кратен 2. Пусть = 2, где R.

Если число рационально, = /, где и – взаимно простые натуральные числа, то орбиты состоят из точек. Если – иррациональное число, то орбита произвольной точки = 0 счетна и являются всюду плотным подмножеством на окружности S1 R2, проходящей через точку.

Если задана группа Ли преобразований (M, G), то орбита G произвольной точ ки M является подмногообразием в M. Это следует из дифференцируемости отображения (9.1) для всех M и групповых свойств G. Размерность орбиты не превосходит размерности группы, dim (G) dim G.

404 ГЛАВА 9. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Пример 9.1.6. Рассмотри евклидово пространство Rn с декартовой системой коор динат, = 1,...,. Пусть группа вещественных чисел R по сложению действует на Rn, как трансляции вдоль первой оси, Rn R {1, 2,..., n }, {1 +, 2,..., n } Rn.

Тогда орбитой произвольной точки Rn является прямая, проходящая через и параллельная оси 1.

Предложение 9.1.3. Орбита G произвольной точки M является замкну тым подмногообразием в M. Кроме того, если G – связная группа Ли, то орбита является связным подмногообразием.

Доказательство. Подмножество M открыто в M. Поэтому объединение открытых подмножеств (M )G открыто в M. Следовательно, орбита произвольной точки ( ) замкнута, как дополнение открытого подмножества, G = M (M)G. Поскольку отображение (9.1) является непрерывным для всех, то связность сохраняется.

Определение. Обозначим через M/G множество орбит := G относительно дей ствия группы G на M. То есть 1 = 2 тогда и только тогда, когда точки 1 и лежат на одной орбите: 2 = 1 для некоторого G. Пусть : M M/G – про екция, сопоставляющая каждой точке M ее орбиту. Тогда пространство орбит наделяется фактортопологией, т.е. множество V M/G является открытым тогда и только тогда, когда множество 1 (V) открыто в M. Если U M – окрестность точки M, то множество орбит V = UG – окрестность точки M/G. Множество орбит M/G с фактортопологией называется пространством орбит многообразия M относительно действия группы G или факторпространством.

Хотя M и G – многообразия, пространство орбит с фактортопологией может ока заться весьма сложным. Оно, как покажут дальнейшие примеры, может не иметь структуры многообразия. В общем случае пространство орбит может не быть даже хаусдорфовым топологическим пространством.

Определение. Действие группы G на многообразии M называется транзитивным, если для любых двух точек 1, 2 M найдется такой элемент G, что 1 = 2.

Если действие группы G на многообразии M транзитивно, то орбита произволь ной точки M совпадает со всем M. Если на многообразии существует одна точка 0 M, которую можно преобразовать во все другие точки M, то этого достаточно для того, чтобы действие группы G на M было транзитивным. Действительно, если 1 = 0 и 2 = 0, то 2 = 1 1.

Пример 9.1.7. Действие группы Ли G на себе является транзитивным и свободным.

Пример 9.1.8. Пусть G – группа и H – ее нетривиальная подгруппа. Рассмотрим пространство правых смежных классов G/H, состоящее из элементов вида H, где G. Определим действие группы G в пространстве смежных классов G/H соотно шением G/H G H, H G/H.

9.1. ДЕЙСТВИЕ ГРУПП ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Это действие транзитивно для любых G и H. Действие G на G/H эффективно тогда и только тогда, когда H не содержит нормальных подгрупп. Действительно, если H – нормальная подгруппа, то для всех H и G выполнены равенства:

(H) = H = H = H.

Действие группы никогда не является свободным, т.к. (H) = H для всех H.

В теории групп преобразований важную роль играет Теорема 9.1.1. Пусть G – группа Ли и H – ее замкнутая подгруппа. Тогда на фак тор пространстве правых смежных классов G/H существует единственная струк тура вещественно аналитического многообразия такая, что действие G на G/H вещественно аналитично. В частности, проекция G G/H вещественно анали тична.

Доказательство. См., например, в [47].

Определение. Точка M называется стационарной или неподвижной относи тельно действия группы преобразований, если = для всех G.

Если группа действует на многообразии свободно или транзитивно, то стационар ные точки отсутствуют.


Пример 9.1.9. Представление группы (V, G) не может быть транзитивной или сво бодной группой преобразований, т.к. нулевой вектор из V является стационарной точкой.

Определение. Группой изотропии Gx точки многообразия M называется мно жество элементов группы G, оставляющих точку неподвижной, Gx := { G : = }.

Нетрудно проверить, что это множество элементов образует группу. Группы изо тропии Gx1 и Gx2 двух точек, лежащих на одной орбите, 2 = 1, являются сопря женными подгруппами в G:

Gx2 = Gx1 1.

Ядро K группы преобразований (M, G) связано с группами изотропии простым соотношением K= Gx, xM где объединение берется по всем точкам M.

Из теоремы 9.1.1 следует, что пара (G/H, G) является группой транзитивных пре образований. Представляет большой интерес обратное утверждение: если пара (M, G) – транзитивная группа преобразований, то она имеет вид (G/H, G) для некоторой подгруппы H G и при некоторых дополнительных предположениях, которые мы уточним ниже. Для ясности сначала будет доказана теорема безотносительно топо логии и дифференцируемой структуры, заданной на M.

Теорема 9.1.2. Пусть G – группа, которая действует транзитивно на некото ром множестве M. Тогда для каждой точки M существует биекция правых смежных классов G/Gx на множество M, заданное отображением G/Gx Gx M, (9.2) где Gx – группа изотропии точки.

406 ГЛАВА 9. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Доказательство. Отображение (9.2) определено для каждого представителя из пра вого смежного класса. Покажем сначала, что это отображение не зависит от выбора представителя. Пусть и – два представителя какого либо одного смежного клас са. Тогда существует элемент Gx такой, что = и поэтому = =.

То есть отображение (9.2) не зависит от выбора представителя смежного класса и, следовательно, определено корректно.

Выберем по представителю из двух смежных классов Gx и Gx и подействуем на точку. В результате получим точки 1 = и 2 =. Эти точки совпадают тогда и только тогда, когда группа изотропии содержит элемент 1 Gx. Это означает, что отображение (9.2) является взаимно однозначным.

Поскольку группа преобразований (M, G) является транзитивной, то отображение (9.2) является взаимно однозначным отображением на, т.е. биекцией.

Следствие. Если группа преобразований (M, G) транзитивна и свободна, т.е. Gx = для всех точек M, то отображение G M является биекцией.

Теперь разберемся с дифференцируемой структурой.

Предложение 9.1.4. Пусть (M, G) – группа транзитивных преобразований. Выбе рем произвольную точку M. Тогда ее группа изотропии Gx является замкнутой подгруппой в G.

Доказательство. Поскольку группа преобразований транзитивна, то отображение G M, определенное для каждого M, является сюрьективным и непрерывным. Точка является замкнутым подмножеством в M, и, в силу теоремы критерия 1) из теоремы 1.4.3, группа изотропии Gx замкнута в G.

Следствие. Группа изотропии Gx для всех M является замкнутой подгруппой в G для произвольной группы Ли преобразований (M, G).

Доказательство. Каждая точка M принадлежит орбите G, которая является подмногообразием в M. На каждой орбите группа G действует транзитивно, и по этому пара (G, G) – транзитивная группа преобразований. Следовательно, группа изотропии Gx является замкнутой подгруппой в G.

Согласно теореме 9.1.1 на пространстве смежных классов G/Gx существует един ственная дифференцируемая структура. Поскольку отображение (9.2) является би екцией, то эту дифференцируемую структуру можно перенести на M, превратив его тем самым в многообразие. Тогда отображение (9.2) становится диффеоморфизмом.

Таким образом, если группа преобразований (M, G) транзитивна, то многообразие M представляет собой фактор пространство G/Gx. При этом dim M = dim G dim Gx.

Отсюда следует, что размерность многообразия M, на котором действует транзитив ная группа преобразований, не может превышать размерность группы.

Определение. Произвольное множество M, на котором группа преобразований (M, G) действует транзитивно называется однородным пространством. Если, вдобавок, дей ствие группы эффективно, то это множество называется главным однородным про странством над G.

9.2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Пример 9.1.10. Пара (G/H, G) (пример 9.1.8) является однородным пространством.

Если подгруппа H G не содержит нормальных подгрупп, то пара (G/H, G) – глав ное однородное пространство.

9.2 Инфинитезимальные преобразования Пусть задана группа преобразований (M, G), где G – группа Ли. Тогда имеет смысл говорить об инфинитезимальных преобразованиях, которые взаимно однозначно опре деляются векторными полями на M и G. Ниже мы рассмотрим соотношения между алгебрами Ли векторных полей на G и M.

Построим отображение : g (M) алгебры Ли g группы Ли G (множества левоинвариантных векторных полей в (G)) в бесконечномерную алгебру Ли век торных полей (M) на многообразии M. Это можно сделать тремя эквивалентными способами.

1) Каждому элементу алгебры Ли g соответствует однопараметрическая подгруппа (см. раздел 8.9) R () G, exp X :

где () := exp X () (экспоненциальное отображение) и (0) = – единица группы.

Тогда через каждую точку M проходит единственная кривая (). Касательные векторы к этим кривым образуют векторное поле () на многообразии M. Таким образом мы построили отображение алгебры Ли g в алгебру векторных полей (M):

: g () := (M).

2) Для каждой точки M определим отображение x : M. Тогда отображение определено соотношением () = ()|x := (x ) e, (9.3) где (x ) – дифференциал отображения x, действующий на касательный вектор e := () к единице группы, который соответствует элементу алгебры Ли g.

3) Каждое векторное поле взаимно однозначно определяется дифференцировани ем в алгебре функций. Поэтому рассмотрим гладкую функцию (M) и опреде лим векторное поле соотношением ( ) ( ) := (), t= где () := exp X ().

Поскольку произвольное левоинвариантное векторное поле на группе Ли G полно, то полно также векторное поле на M. Это следует из определения, т.к.

отображение определено для всех (, ).

Предложение 9.2.1. Отображение есть гомоморфизм алгебр Ли. Если G дей ствует эффективно на M, то есть изоморфизм алгебры Ли g и ее образа (g) (M). Если G действует свободно на M, то для каждого ненулевого элемента ал гебры Ли g, его образ () = не обращается в нуль на M.

408 ГЛАВА 9. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Доказательство. Поскольку дифференциал отображения – это линейная операция, то из определения (9.3) следует, что есть линейное отображение из g в (M).

Доказательство того факта, что отображение сохраняет коммутатор векторных полей:

[, ] = [, ], где, (M),, g, технично и приведено, например, в [45].

Докажем второе утверждение. Пусть () = 0 всюду на M. Это значит, что однопараметрическая группа действует тривиально на M, т.е. () = для всех.

Верно и обратное утверждение. Пусть теперь ker, т.е. () = 0. Это значит, что () = для всех. Отсюда следует, что ядро ker тривиально, () = 0.

Поэтому отображение – изоморфизм.

Пусть () = 0 в некоторой точке M. Тогда точка неподвижна, () = для всех. Обратно. Если точка неподвижна, то () = для всех и, следовательно, = 0.

Это предложение является основой для рассмотрения главных расслоений со структурной группой Ли в разделе 12.1.

Мы видим, что транзитивные группы преобразований устроены довольно про сто. В этом случае многообразие M – это одна орбита, и фактор пространство M/G состоит из одной точки. Если действие группы G на многообразии M не являет ся транзитивным, то орбит может быть много. В общем случае пространство орбит устроено сложно, что показывает следующий Пример 9.2.1. Стационарной точкой в евклидовом пространстве R3 относительно действия группы трехмерных вращений SO(3) является начало координат. Группа изотропии начала координат совпадает со всей группой, а группой изотропии любой другой точки является подгруппа двумерных вращений SO(2) SO(3) вокруг оси, проходящей через данную точку и начало координат. Пространство орбит представ ляет собой множество сфер S2, которое можно параметризовать их радиусом R+, r объединенное с началом координат {0} R3, R3 SO(3) R+ {0} = R+.

То есть факторпространство представляет собой положительную полуось R+, вклю чая начало координат, и не является многообразием, т.к. не является открытым под множеством в R (оно является многообразием с краем).

Если группа преобразований (M, G) не является транзитивной, то многообразие M представляет собой объединение орбит, на каждой из которых группа G действует транзитивно. Выберем точку i на каждой орбите и обозначим через Gi ее группу изотропии. Тогда существует диффеоморфизм каждой орбиты на фактор простран ство G/Gi. Другими словами, каждая орбита является однородным пространством и на нем существует естественная дифференцируемая структура (теорема 9.1.1). Со гласно предложению 9.1.3 каждая орбита является замкнутым подмногообразием в M.

Рассмотрим частный случай. Пусть a, a = 1,..., dim G, – базис алгебры Ли. Ес ли векторные поля (a ) линейно независимы в каждой точке, то они определяют ин волютивное распределение на многообразии M. Тогда, согласно теореме Фробениуса, каждая орбита с естественной дифференцируемой структурой является подмногооб разием в M. В общем случае, несмотря на изоморфизм отображения, векторные 9.3. ИНВАРИАНТНЫЕ СТРУКТУРЫ поля (a ) могут быть линейно зависимы. Это показывает пример 9.2.1, в котором орбиты двумерны (за исключением 0-мерного начала координат), а алгебра Ли so(3) – трехмерна. Вопрос о том можно ли ввести на пространстве орбит (фактор про странстве M/G) дифференцируемую структуру сложен и выходит за рамки данной книги.

В заключение настоящего раздела докажем утверждение, которое будет исполь зовано при построении связностей в главном расслоении.

Предложение 9.2.2. Пусть есть диффеоморфизм многообразия M, M () M.

:

Если векторное поле (M) порождает однопараметрическую группу преобра зований t : M M, то векторное поле, где – дифференциал отображения, порождает однопараметрическую группу преобразований t 1.

Доказательство. Ясно, что t 1 есть однопараметрическая группа преобра зований. Покажем, что эта группа преобразований индуцирует векторное поле.

Пусть M – произвольная точка и = 1 (). Так как отображение t индуци рует векторное поле, то вектор y Ty (M) касается кривой 1 () = t () в точке = 1 (0). Из этого следует, что вектор ( )x = y Tx (M) касается кривой 2 () = t () = t 1 ().

Замечание. В данном предложении преобразование не обязано принадлежать ка кой либо группе. Это может быть произвольный фиксированный диффеоморфизм многообразия M.

Следствие. Векторное поле (M) инвариантно относительно диффеоморфиз ма : M M, т.е. =, тогда и только тогда, когда диффеоморфизм переста новочен с однопараметрической группой преобразований t, порожденной векторным полем.

9.3 Инвариантные структуры Рассмотрим группу преобразований (M, G). Предположим, что на многообразии за дана некоторая геометрическая структура, например, тензорное поле. Возникает во прос при каких условиях эта структура является инвариантной относительно дан ной группы преобразований ? Ответ на этот вопрос очень важен для приложений, поскольку часто мы ищем решения некоторой системы уравнений, обладающие опре деленной симметрией. Такие структуры называются G-инвариантными.

Начнем с простейшего случая. Предположим, что на многообразии M задана функция и действие группы преобразований (M, G). Определим действие элемента группы преобразований G на функцию формулой ^ () () := (1 ).

^ ^ Отсюда следует равенство () = (). То есть значение новой функции в точке равно значению исходной функции в точке. Это – обычное преобразование функции при диффеоморфизмах.

410 ГЛАВА 9. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Определение. Назовем функцию G-инвариантной, если она удовлетворяет усло вию () = () (9.4) для всех G.

Из определения следует, что G-инвариантные функции постоянны на орбитах группы преобразований.

Пример 9.3.1. Сферически симметричные функции в трехмерном евклидовом про странстве R3 постоянны на сферах S2 R3 с центром в начале координат. Эти функции в сферической системе координат зависят только от радиуса = ().

Пример 9.3.2. Если группа преобразований (M, G) транзитивна, то G-инвариантные функции на M постоянны.

Рассмотрим более сложную ситуацию.

Определение. Пусть на многообразии M, на котором действует группа преобразо ваний (M, G), задано поле = {i ()}, имеющее компонент, = 1,...,, кото рое преобразуются по некоторому представлению группы G. Это значит, что группа преобразований действует не только на точки многообразия, но одновременно и на компоненты i по правилу =, () i ( ) := j ()j i (), (9.5) где j i () – матрица представления, соответствующая элементу группы G. Поле () называется G-инвариантным, если для его компонент выполнено условие i () = j ()j i (). (9.6) В отличие от правила преобразования поля (9.5) в левой части этого равенства опущен штрих у поля, и поэтому условие G-инвариантности представляет собой урав нение на поле i (). В случае, если представление группы преобразований тривиаль но, j i () = j для всех G, мы имеем набор G-инвариантных скалярных полей i (9.4).

Условие G-инвариантности можно переписать в эквивалентном виде i () = j (1 )j i ().

Пример 9.3.3. Рассмотрим сферически инвариантные векторные поля в трехмер ном евклидовом пространстве R3. Нетрудно проверить, что векторное поле с компо нентами i () = i (), = 1, 2, 3, заданными в декартовой системе координат i, где () – произвольная функция от радиуса, является сферически симметричным. Можно также доказать обратное утверждение, что любое сферически симметричное векторное поле имеет такой вид для некоторой функции (). Таким образом, сферически симметричные векторные поля на R3 параметризуются одной функцией радиуса (). В разделе 7.1 приведены также сферически симметричные тензоры второго ранга.

9.3. ИНВАРИАНТНЫЕ СТРУКТУРЫ Замечание. При исследовании моделей математической физики предположение о симметрии полей позволяет существенно уменьшить число независимых перемен ных и число аргументов. Это позволяет в ряде случаев найти явно точное решение уравнений Эйлера–Лагранжа.

Замечание. При рассмотрении групп преобразований мы предполагаем, что пре образования многообразия M являются глобальными, т.е. элемент группы G не зависит от точки многообразия M. При таких преобразованиях калибровочные поля преобразуются, как тензоры. Поэтому условие G-инвариантности (9.6) можно распространить и на калибровочные поля.

Рассмотрим общую ситуацию. Пусть задана группа преобразований (M, G). Каж a дому элементу группы G соответствует диффеоморфизм M M, который мы обозначим той же буквой, что и элемент группы. У этого отображения существует дифференциал и возврат отображения. Возврат отображения обратим, т.к. – диффеоморфизм. Пусть в точке M задан тензор () Tr (M) типа (, ). Тогда s,x его можно перенести из точки в точку с помощью дифференциала отображения и возврата отображения, которые действуют соответственно на контравариантные и ковариантные индексы, () = ( )r (1 )s ().

В координатах это отображение записывается следующим образом. Пусть = { } и = { }, = 1,..., dim M, – координаты точек. Тогда 1 s 1 r 1...s 1...r () =... s 1...s 1...r () 1... r, 1 где матрицы Якоби вычисляются в точке.

Определение. Произвольное тензорное поле sr (M), заданное на многообразии M, называется G-инвариантным, если выполнено условие () := ( )r (1 )s () (9.7) для всех M и G.

Замечание. Это определение применимо как для счетных групп, так и для групп Ли.

Поскольку действие группы преобразований транзитивно на каждой орбите, то тензорное поле на всей орбите однозначно задается его значением в некоторой точке на данной орбите. Это не значит, что тензор в точке можно задать произвольно, а затем разнести по орбите. Если группа изотропии Gx нетривиальна, то в соответ ствии с определением (9.7) тензор в точке должен быть выбран симметричным относительно преобразований из Gx.

В случае, когда G – группа Ли, условие (9.7) можно записать в дифференциаль ной форме. Генераторы группы Ли a, a = 1,..., dim G, – это базис левоинвариант ных векторных полей на G. Им соответствуют векторные поля на многообразии a M. Из определения производной Ли следует, что если тензорное поле является G инвариантным, то LL = a для всех a и M. Это – система дифференциальных уравнений в частных произ водных первого порядка на компоненты G-инвариантного тензорного поля.

412 ГЛАВА 9. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Замечание. В математической физике, как правило, ставится одна из двух задач.

1) По заданному тензорному полю определить его группу симметрии и 2) найти тензорное поле, обладающее определенной симметрией.

В моделях гравитации важную роль играют однопараметрические группы преоб разований, которые оставляют инвариантной метрику, заданную на многообразии M.

Этим группам преобразований соответствуют векторные поля, которые называются векторными полями Киллинга. Им будет посвящен отдельный раздел 15.

9.4 Отображения групп преобразований Пусть задано две группы преобразований (M, G) и (N, G) двух многообразий M и N с одной и той же группой G. В частном случае многообразия могут совпадать, M = N, но действия группы G на M можно задавать различными способами.

( ) Пример 9.4.1. Можно рассматривать группу вращений плоскости R2, SO(2) от носительно произвольной точки R2.

Обозначим действие элемента группы G на M и N соответственно через M и N :

MG, M, M :

NG, N.

N :

Определение. Отображение : M N называется эквивариантным, если диа грамма id MG - NG M N, ? ?

M -N где id – тождественное отображение G G, коммутативна. То есть M = N или () = () для всех G и M.

Понятие эквивариантного отображения можно обобщить. Рассмотрим две группы преобразований (M, G) и (N, H). Пусть задан гомоморфизм групп : G H и достаточно гладкое отображение многообразий : M N.

Определение. Отображение : M G N H называется эквивариантным, если диаграмма MG NH M ()N ? ?

M N 9.4. ОТОБРАЖЕНИЯ ГРУПП ПРЕОБРАЗОВАНИЙ коммутативна. То есть M = ()N ( ) или () = ()() для всех G и M.

Пример 9.4.2. Важным физическим приложением указанной конструкции является понятие спинора. Рассмотрим две группы преобразований: группу вращений SO(3) трехмерного евклидова пространства R3 и группу SU(2) линейных преобразований двумерного комплексного пространства C2. Согласно теореме 1.8.1, группа SU(2) два раза накрывает группу вращений SO(3). Обозначим соответствующий гомоморфизм : SU(2) SO(3). Тогда для спиноров имеем коммутативную диаграмму C2 SU(2) R3 SO(3) C2 ()R3, ? ?

R C где C2 = – унитарная 2 2 матрица с единичным определителем линейных пре образований двумерного комплексного пространства C2, и ()R3 – соответствующая ортогональная 3 3 матрица вращений трехмерного евклидова пространства R3.

Отображение задается формулой i = ( i ), где i, = 1, 2, 3, – матрицы Пау ( 1 ) C2 – столбец из двух комплексных чисел (компоненты спинора) и ли, = = (1, 2 ) – строка из двух комплексно сопряженных чисел (компоненты сопряжен ного спинора). В физике принято называть матрицы – спинорным представлением группы вращений SO(3). Строго говоря, соответствие SO(3) () SU(2) не является отображением и, следовательно, представлением, так как каждому вра щению () SO(3) соответствуют две унитарные матрицы ± SU(2), которые отличаются знаком. Поэтому спинорное представление называют двузначным пред ставлением.



Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 31 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.