авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 31 |

«Геометрические методы в математической физике 17 октября 2013 г. Катанаев Михаил Орионович1 ...»

-- [ Страница 13 ] --

Глава Гомотопии и фундаментальная группа Все многообразия локально устроены одинаково так же как и евклидовы простран ства. Однако их глобальная структура может существенно отличаться. Описание глобальной структуры многообразий является сложной задачей, и для ее решения применяются различные методы. Например, на каждом многообразии можно задать некоторую алгебраическую структуру, которая является топологическим инвариан том, т.е. сохраняется при диффеоморфизмах. В настоящем разделе мы опишем один из простейших топологических инвариантов – фундаментальную группу. Этот ин вариант довольно груб и не различает все топологически различные многообразия.

Однако он полезен в приложениях, т.к. если фундаментальная группа двух мно гообразий различна, то можно с уверенностью сказать, что данные многообразия недиффеоморфны.

10.1 Пути Важным методом алгебраического анализа глобальной структуры многообразий яв ляется нахождение фундаментальной группы многообразия, которая строится на ос нове понятия пути или кривой. Определение кривой в евклидовом пространстве (1.9) дословно переносится на произвольное многообразие M размерности.

Определение. Путем называется кусочно дифференцируемое отображение еди ничного отрезка [0, 1] R в M, [0, 1] () M, : (10.1) где – вещественный параметр вдоль кривой. Говорят, что путь соединяет начало пути (0) и его конец (1). Если начало и конец пути совпадают, (0) = (1), то путь называют замкнутым. Замкнутый путь называют также петлей. Мы будем также писать = ().

В координатах отображение (10.1) задается набором кусочно дифференцируе мых функций () = { ()}, = 1,...,, одной переменной [0, 1].

Замечание. В общем случае кривая () может иметь точки самопересечения, и тогда отображение не является взаимно однозначным отображением отрезка [0, 1] на его образ ([0, 1]).

10.1. ПУТИ Замечание. В алгебраической топологии, где в роли M выступают топологические пространства, от отображения (10.1) требуется только непрерывность. Для алгебра ического анализа многообразий удобно рассматривать кусочно дифференцируемые пути, т.е. функции () считать кусочно дифференцируемыми. Это удобно при умно жении путей, которое будет введено позже.

Замкнутую кривую в M можно рассматривать, как непрерывный образ окружно сти, т.к. при совпадении начала и конца пути можно отождествить концы единичного интервала [0, 1].

Определение. Простой замкнутой или жордановой кривой называется гомеоморф ный образ окружности, т.е. замкнутая кривая без точек самопересечения. В общем случае простая замкнутая кривая может иметь изломы, т.е. от нее требуется только непрерывность. Жорданова кривая на евклидовой плоскости, состоящая из конечно го числа прямолинейных отрезков, называется жордановым многоугольником.

Теорема 10.1.1 (Жордан). Пусть S – простая замкнутая кривая на евклидовой плоскости R2. Тогда R2 S несвязно и состоит из двух компонент, общей границей которых является S. В точности одна из этих компонент ограничена.

Доказательство. Несмотря на интуитивную очевидность утверждения теоремы, ее доказательство сложно. Оно приведено, например, в [22].

В определении пути (10.1) область определения параметра вдоль пути фиксиро вана единичным отрезком. Этого можно не делать, считая, что параметр принимает значения на отрезке произвольной длины [, ] R. В этом случае все пути можно разделить на классы эквивалентности. А именно, два пути 1 () и 2 () называются эквивалентными, если они связаны гладкой монотонной заменой параметра = ():

( ) 1 () = 2 (), 0.

где () = 0 и () = 1. В частном случае, возможно преобразование параметра внутри единичного отрезка, = 0, = 1. В дальнейшем под путем будем понимать класс эквивалентных путей, определенных с точностью до гладкой репараметриза ции.

Замечание. Иногда понятие пути и кривой различают, понимая под путем отобра жение (10.1), а под кривой – образ пути ([0, 1]) в многообразии M. Как правило, мы этого не делаем и употребляем термины путь и кривая как синонимы. При изучении фундаментальных групп отображение (10.1) будем называть путем, как это принято в алгебраической топологии.

Пример 10.1.1. Простейшим примером пути является тождественный путь x в некоторой точке M, определенный равенством [0, 1] M x : (10.2) для всех, где = { = const} M – произвольная фиксированная точка многооб разия.

416 ГЛАВА 10. ГОМОТОПИИ И ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА Пример 10.1.2. В математической физике под многообразием M часто понимается пространство, а под вещественным параметром – время. Тогда путь () = {µ ()} – это траектория точечной частицы.

При рассмотрении евклидова пространства Rn как топологического пространства в разделе 1.3.2 было введено понятие связности. Введем новое понятие связности, которое удобно, в частности, при рассмотрении фундаментальных групп.

Определение. Топологическое пространство M называется линейно связным, если для любых двух точек 1, 2 M найдется соединяющий их путь, целиком лежащий в M. Топологическое пространство M называется локально линейно связным, если для любого M всякая открытая окрестность точки содержит линейно связную окрестность этой точки.

Если какую либо фиксированную точку 0 M можно соединить путем с любой другой точкой 1 M, то этого достаточно для линейной связности многообразия, потому что тогда две произвольные точки 1, 2 M можно соединить путем, про ходящим через 0.

Между просто связностью и линейной связностью топологических пространств имеется тесная связь, которая дается следующей теоремой.

Теорема 10.1.2. Всякое линейно связное топологическое пространство связно.

Доказательство. Зафиксируем точку 0 M. Тогда ее можно соединить некоторой кривой x, целиком лежащей в M, с произвольной точкой M, потому что M – линейно связно. Каждая кривая x является связным подмножеством в M. Тогда все пространство M является объединением, M = x x, и связно, как объединение связных подмножеств, имеющих непустое пересечение (теорема 1.3.13).

Обратное утверждение теоремы 10.1.2 неверно. Приведем пример связного, но не линейно связного топологического пространства.

Пример 10.1.3 (Блоха и гребенка). Пусть подмножество комплексной плоскости W C является объединением двух множеств W = U V (см. рис. 10.1), где U = {} – блоха V = [0, 1] {1/ + : N, 0 1} – гребенка.

Будем считать, что топология W индуцирована вложением в комплексную плоскость Рис. 10.1: Пример связного, но не линейно связного топологического пространства “блоха и гребенка”.

10.1. ПУТИ C R2. Прежде всего заметим, что множество V линейно связно как объединение ли нейно связных множеств (теорема 1.3.13) и потому связно. Пусть U – -окрестность точки, т.е. пересечение множества { : | | } с W. Подмножество U, состоя щее их одной точки, принадлежит замыканию V, т.к. для любого 0, пересечение U V не пусто, поскольку для достаточно больших точки 1/ + V лежат в -окрестности точки (лемма 1.3.1). Отсюда вытекает, что связная компонента V содержит U и поэтому совпадает со всем W.

Покажем теперь, что топологическое пространство W не является линейно связ ным, т.к. точку W нельзя соединить путем с любой другой точкой из W. Предпо ложим, что существует путь с началом в точке (0) = и концом в некоторой точке (1) V. Не ограничивая общности можно считать, что () = при 0. Из непре рывности отображения () следует, что для любого положительного существует такое положительное число, что при выполняется неравенство |() |, т.е. путь лежит в -окрестности U точки. Выберем конечное число 1 и некоторое значение параметра 0 0. По предположению, (0 ) V. Окрестность U много связна, т.к. состоит из самой точки и объединения непересекающихся интервалов.

Отрезок [0, 0 ] связен и, как показано в примере 1.4.10, его невозможно непрерывно отобразить на многосвязную область таким образом, чтобы начало и конец отрезка лежали в разных компонентах.

В рассмотренном примере топологическое пространство W не является много образием по двум причинам. Во-первых, окрестность точки нельзя отобразить на интервал и, во вторых, множество V имеет точки самопересечения.

Следующий пример показывает, что не всякое линейно связное топологическое пространство является локально линейно связным.

Пример 10.1.4 (Польская окружность). Рассмотрим подмножество на евклидо вой плоскости U R2, которое имеет вид U = U1 U2 U3, где U1 = {(, ) R2 : 2 + 2 = 1, 0}, U2 = {(, ) R2 : 1 0, = 0}, = 1 sin }, U3 = {(, ) R2 : 0 1, с индуцированной топологией, см.рис.10.2. Это пространство линейно связно, но не локально линейно связно, т.к. начало координат (0, 0) не имеет окрестности, содер жащей линейно связную окрестность. Это топологическое пространство не является многообразием, поскольку начало координат не имеет окрестности, гомеоморфной прямой R.

Следующие свойства справедливы для произвольных топологических пространств.

Предложение 10.1.1. Образ линейно связного многообразия при непрерывном отоб ражении линейно связен.

Следствие. Если M1 и M2 два гомеоморфных топологических пространства, то M линейно связно тогда и только тогда, когда M2 линейно связно.

Доказательство. См., например, в [22].

Предложение 10.1.2. Многообразия M1 и M2 линейно связны тогда и только то гда, когда их прямое произведение M1 M2 линейно связно.

418 ГЛАВА 10. ГОМОТОПИИ И ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА Рис. 10.2: Пример линейно связного, но не локально линейного связного топологиче ского пространства.

Доказательство. См., например, в [22].

Для многообразий понятие связности и линейной связности эквивалентны.

Теорема 10.1.3. Многообразие M связно тогда и только тогда, когда M – линейно связно.

Доказательство. Достаточность является утверждением теоремы 10.1.2.

Необходимость докажем от противного. Пусть M связное, но не линейно связ ное многообразие. Прежде всего заметим, что каждое многообразие можно покрыть счетным числом карт. Каждая карта является линейно связным подмножеством, по тому что гомеоморфна Rn. Если две карты пересекаются, то их объединение также линейно связно. Это значит, что многообразие можно представить в виде объеди- нения не более, чем счетного числа непересекающихся подмножеств, M = i Ui, где каждое Ui линейно связно и Ui Uj = при =. Поскольку M связно, то среди подмножеств Ui существует по крайней мере одно подмножество, пусть это будет Ui, которое содержит предельную точку некоторого другого подмножества Uj.

Пусть точка 0 Ui является предельной для подмножества Uj. Это значит, что в Uj существует последовательность точек {k } Uj, которая сходится к 0. Поэтому, начиная с некоторого n, все точки последовательности k, n, лежат в окрестно сти U0 0. Следовательно, точку 0 можно соединить кривой с k и подмножества Ui и Uj – линейно связны, что противоречит предположению.

Пример 10.1.5. Евклидово пространство Rn линейно связно, т.к. любые две точки 0, 1 Rn можно соединить путем () = 0 +(1 0 ), который представляет собой прямолинейный отрезок.

Нетрудно также доказать Предложение 10.1.3. Каждое многообразие M локально линейно связно.

В общем случае многосвязное многообразие представляет собой набор компонент связности, каждая из которых является линейно связной.

Для полноты картины приведем достаточное условие линейной связности произ вольного топологического пространства.

Предложение 10.1.4. Если топологическое пространство M связно и локально линейно связно, то оно линейно связно.

Доказательство. См., например, [22].

10.2. ГОМОТОПИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 10.2 Гомотопия непрерывных отображений На множестве непрерывных отображений двух топологических пространств : M M2 и, в частности, многообразий можно ввести отношение эквивалентности – гомото пию. Понятие гомотопии является топологическим, потому что при его определении используется только непрерывность отображений.

Определение. Два непрерывных отображения M1 0 () M2, 0 :

M1 1 () M2, 1 :

называются гомотопными, если существует непрерывное отображение M1 [0, 1], (, ) M :

такое, что (, 0) = 0 () и (, 1) = 1 (). При этом само отображение называется гомотопией между 0 и 1 :

: 0 1.

Гомотопия (, ) называется также деформацией отображения 0 в 1.

Другими словами, гомотопия позволяет непрерывно деформировать одно отоб ражение в другое. Нетрудно проверить, что гомотопия является отношением экви валентности на множестве всех отображений M1 M2. Отображения, гомотопные отображению, образуют гомотопический класс отображений, который будем обо значать квадратными скобками [ ]. Множество всех гомотопических классов отоб ражений M1 M2 будем обозначать через [M1 ;

M2 ].

Гомотопию (, ) можно представить себе следующим образом. Зафиксируем точку M1 и будем менять параметр [0, 1]. Тогда мы получим траекторию точки в пространстве M2. Тогда гомотопия (, ) представляет собой семейство всех траекторий, зависящих от параметра M1.

Пример 10.2.1. Любой путь : [0, 1] () M гомотопен постоянному пути x0 с началом и концом в точке 0 := (0) посредством гомотопии ( ) : [0, 1] [0, 1], (, ) M, где (, ) := (1 ).

В этой гомотопии конец пути меняется: он скользит вдоль кривой (), приближаясь к началу пути при 1. При данном выше определении гомотопии, когда отображе ния 0 и 1 не обязаны совпадать ни в одной точке, все пути на связном многообразии гомотопны между собой.

Понятие гомотопных отображений можно использовать для определения отноше ния эквивалентности самих топологических пространств.

Определение. Говорят, что пространства M1 и M2 имеют один и тот же гомо топический тип, если существуют непрерывные отображения : M1 M2 и : M2 M1 такие, что композиции этих отображений гомотопны тождественным отображениям:

id 1 : M1 M1, id 2 : M2 M2, где id 1,2 – тождественные отображения пространств M1 и M2. Отображения и называются в этом случае гомотопическими эквивалентностями. Говорят также, что пространства M1 и M2 в этом случае гомотопически эквивалентны.

420 ГЛАВА 10. ГОМОТОПИИ И ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА Это определение отличается от определения гомеоморфизма тем, что вместо зна ка равенства стоит знак гомотопической эквивалентности. Поэтому два гомеоморф ных пространства имеют одинаковый гомотопический тип. Обратное утверждение неверно.

Пример 10.2.2. -мерный шар Bn Rn гомотопически эквивалентен точке Bn, но не гомеоморфен ей.

Определение. В общем случае топологическое пространство, гомотопически экви валентное точке, называется стягиваемым.

Другими словами, пространство стягиваемо, если его можно непрерывно дефор мировать по себе в точку.

Пример 10.2.3. Нестягиваемыми пространствами являются -мерная сфера Sn и тор Tn.

Пример 10.2.4. Евклидово пространство Rn, а также любая выпуклая область U Rn гомотопически эквивалентна одной точке 0 U. Напомним, что область U Rn называется выпуклой, если наряду с произвольными точками 1, 2 U она содержит также и отрезок 1 + (2 1 ), их соединяющий.

Пример 10.2.5. Евклидово пространство с выколотой точкой, Rn 0, гомотопиче ски эквивалентно сфере Sn1, содержащей точку 0 внутри. В частности, плоскость с выколотой точкой гомотопически эквивалентна окружности.

Пример 10.2.6. Плоскость с двумя выколотыми точками 1, 2 R2 гомотопически эквивалентна букету окружностей, изображенному на рис. 10.3. Букет окружностей представляет собой объединение двух окружностей, имеющих одну общую точку. Он является топологическим пространством, но не многообразием.

Рис. 10.3: Букет двух окружностей.

Пример 10.2.7. Гомотопически эквивалентными пространствами является тройка:

цилиндр, лист Мебиуса и окружность.

Из этих примеров видно, что гомотопически эквивалентные многообразия мо гут иметь разную размерность и ориентируемость. Многообразия могут быть также гомотопически эквивалентны топологическим пространствам, которые не являются многообразиями, как показывает пример плоскости с двумя выколотыми точками.

Тем не менее некоторые топологические свойства являются общими для гомотопи чески эквивалентных пространств.

Предложение 10.2.1. Если пространство M1 связно и имеет тот же гомотопи ческий тип, что и M2, то пространство M2 также связно.

10.2. ГОМОТОПИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ Понятие гомотопии может быть использовано для доказательства нетривиальных утверждений.

Теорема 10.2.1 (О невозможности причесать ежа). На четномерной сфере Sn нельзя задать непрерывное векторное поле, которое не обращается в нуль ни в одной точке.

Доказательство. От противного. Рассмотрим сферу единичного радиуса Sn := { Rn+1 : = 1, = 1,..., + 1}, вложенную в евклидово пространство Rn+1. Допустим, что на сфере задано непре- рывное векторное поле, не имеющее нулей. Тогда векторное поле := / имеет единичную длину и поэтому задает непрерывное отображение сферы на се бя Sn Sn. Касательный вектор к сфере = { ()} ортогонален радиус-вектору { }, т.е. = 0. При этом мы рассматриваем координаты точки на сфере и каса тельный вектор как векторы евклидова пространства Rn+1. Тогда отображение, cos () + sin () (, ) :

задает гомотопию Sn [0, 1] Sn.

:

Эта гомотопия переводит произвольную точку на сфере { } в ее антиподальную точку с координатами { }. Выберем ориентацию на сфере, согласованную с кано нической ориентацией евклидова пространства (3.79). Тогда объем сферы равен = = 0, (10.3) Sn где форма объема на сфере получена сужением канонической формы объема ев клидова пространства 0 на сферу Sn :

0 := 1 2... n+1.

= iN 0, Здесь iN – внутреннее умножение формы объема 0 на внешнюю нормаль к сфере.

Интеграл (10.3) задает непрерывное отображение n+1 (Rn+1 ) R. При отображении объем сферы преобразуется по правилу (1)n+1.

Поскольку изменение знака объема при гомотопии невозможно, т.к. она является непрерывным отображением, то для четных приходим к противоречию.

Замечание. На нечетномерной сфере непрерывные векторные поля, нигде не обра щающиеся в нуль, существуют. А именно, можно доказать [67], что максимальное число линейно независимых нигде не обращающихся в нуль векторных полей на нечетномерной сфере Sn1 равно 2c + 8 1, где и – неотрицательные целые числа, которые определяются следующим образом. Поскольку четно, то его един ственным образом можно представить в виде = (2 1)2b, где, – натуральные числа. Тогда = mod 4 и = ( )/4.

422 ГЛАВА 10. ГОМОТОПИИ И ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА Рассмотренный выше пример 10.2.1 гомотопных путей показывает, что определе ние гомотопии является грубым, т.к. гомотопические классы путей содержат слиш ком много элементов. Более тонкое деление на классы дает понятие отображений, гомотопных относительно некоторого подмножества U M1.

Определение. Два непрерывных отображения топологических пространств M1 M 0, 1 :

называются гомотопными относительно подмножества U M1, если существует гомотопия : M1 [0, 1] M2, такая, что (, ) не зависит от при U. Мы пишем 0 1 ( relU).

В частности, отображения 0 и 1 должны совпадать на подмножестве U. Други ми словами, при непрерывной деформации отображений допускается их изменение только на множестве MU. Соответствующая гомотопия называется относительной гомотопией и также определяет отношение эквивалентности на множестве непре рывных отображений топологических пространств, которое является более тонким.

Пример 10.2.8. Можно рассмотреть класс путей, гомотопных относительно начала (0) и конца (1) некоторого пути. Этот класс содержит все пути, которые имеют фиксированное начало и конец и которые можно непрерывно деформировать друг в друга по многообразию M. Более того, как показывает пример тора, не все пу ти с одинаковым началом и концом можно непрерывно деформировать друг в дру га, не выходя из многообразия M. Если начало и конец пути отличаются, то пути относительно негомотопны тождественному пути. Это говорит о том, что понятие относительной гомотопии более тонко, чем просто гомотопия.

Понятие относительной гомотопии для путей будет использовано при определе нии фундаментальной группы многообразия.

10.3 Фундаментальная группа Существует два простых, но важных способа получения новых путей из старых. А именно, можно определить произведение путей, когда сначала проходится путь 1, а затем – путь 2, если такое возможно. Кроме того, можно определить обратный путь 1, который проходится в обратном направлении. Сформулируем это в виде следующего утверждения.

Предложение 10.3.1. 1) Если начало второго пути 2 = 2 () совпадает с кон цом первого пути 1 = 1 (), то можно определить произведение путей 2 следующей формулой:

{ 1 (2) при 0 2, (2 1 ) = () := (10.4) 2 (2 1) при 1 1, которое является путем в M.

2) Для любого пути можно определить путь 1, получаемый как путь, проходимый в обратном направлении:

1 := (1 ). (10.5) 10.3. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА Эти операции похожи, но не являются групповыми операциями на множестве всех путей. Действительно, умножение путей определено только в том случае, если конец первого пути совпадает с началом второго. Кроме того, произведения и 1 дают не тождественные, а замкнутые пути в началом и концом в точках (0) и (1) соответственно.

Разобьем все множество путей на классы эквивалентных путей [], которые го мотопны относительно начала и конца пути. То есть каждый элемент [] содержит все пути, которые можно непрерывно деформировать друг в друга при фиксирован ном начале и конце путей: 1 [] тогда и только тогда, когда 1 ( rel{0, 1}).

В классах эквивалентных путей также можно ввести умножение путей и обратный элемент, выбрав из каждого класса по представителю и воспользовавшись формула ми (10.4) и (10.5). Нетрудно показать, что эти операции на множестве относительно гомотопных путей корректно определены, т.к. не зависят от выбора представителя в каждом классе. В этих классах произведения [ 1 ][] = [x(0) ] и [][ 1 ] = [x(1) ] да ют классы путей, гомотопных тождественным путям. Однако умножение определено не для всех классов путей.

Ситуацию можно исправить и превратить некоторое подмножество всех путей на M в группу, если зафиксировать точку многообразия и ограничиться замкнутыми путями, имеющими начало и конец в данной точке.

Зафиксируем произвольную точку многообразия 0 M и рассмотрим все за мкнутые пути, имеющие начало и конец в данной точке. Множество этих путей обозначим через (M, 0 ). При этом допускается, чтобы пути имели точки самопе ресечения. Поскольку начала и концы всех путей совпадают, то на этом множестве определена операция умножения (10.4). Для каждого пути определен также обрат ный путь (10.5). Множество (M, 0 ) с введенной операцией умножения и обратного элемента группы не образует, потому что произведения двух различных путей на их обратные не совпадают, и, следовательно, невозможно ввести понятие единственно го единичного элемента. Эту трудность можно обойти, если разбить множество всех путей (M, 0 ) на классы путей, гомотопных относительно начала и конца, которые обозначим через (M, 0 ). Справедлива следующая Теорема 10.3.1. Гомотопические классы путей (M, 0 ) образуют группу относи тельно операции умножения путей, причем обратным элементом является гомо топический класс обратного пути, а единицей – гомотопический класс единичного пути x0.

Доказательство. Сводится к проверке корректности операций и групповых свойств.

Детали можно найти, например, в [22].

Таким образом, для определения группы было сделано два шага. Во-первых, что бы определить операцию умножения на всех элементах, множество всех путей было ограничено только замкнутыми путями, имеющими начало и конец в фиксированной точке многообразия. Во-вторых, для корректного определения единичного элемен та мы перешли от умножения отдельных путей к умножению классов относительно гомотопных путей.

Определение. Группа (M, 0 ) называется фундаментальной группой топологиче ского пространства или многообразия M в точке 0.

В этом определении используется фиксированная точка 0. Для связных много образий роль фиксированной точки не является существенной.

424 ГЛАВА 10. ГОМОТОПИИ И ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА Теорема 10.3.2. Пусть M – линейно связное топологическое пространство (мно гообразие). Тогда для любых точек 0, 1 M фундаментальные группы (M, 0 ) и (M, 1 ) изоморфны.

Доказательство. Пусть – путь из 0 в 1 и – произвольный замкнутый путь в точке 0. Тогда 1 – замкнутый путь в точке 1. Поэтому между множе ствами замкнутых путей (M, 0 ) и (M, 1 ) устанавливается взаимно однозначное соответствие. Отсюда следует, что между фундаментальными группами существует биекция : (M, 0 ) (M, 1 ). Эта биекция – гомоморфизм групп, т.к.

([2 ] [1 ]) = [] [2 ] [1 ] 1 = [] [2 ] 1 [1 ] 1 = ([2 ]) ([2 ]).

Обратное отображение определяется обратным путем 1.

В силу этой теоремы при обозначении фундаментальной группы фиксированную точку 0 мы часто будем опускать: (M, 0 ) = (M). Изоморфизм между фунда ментальными группами определяется гомотопическим классом пути [] из 0 в 1. Поскольку нет естественного (предпочтительного) выбора такого класса путей, то естественного изоморфизма между фундаментальными группами в различных точках не существует.

Пример 10.3.1. В евклидовом пространстве Rn при любом произвольный замкну тый путь для любой отмеченной точки гомотопен тождественному пути в этой точ ке. Поэтому фундаментальная группа евклидова пространства тривиальна (Rn ) =.

Определение. Топологическое пространство (многообразие) M называется одно связным, если его фундаментальная группа тривиальна, (M) =.

Предложение 10.3.2. Если M1 и M2 – односвязные многообразия, то их прямое произведение M1 M2 односвязно.

Доказательство. Простая проверка.

Пример 10.3.2. Фундаментальная группа окружности с отмеченной точкой изо морфна группе целых чисел по сложению, (S1, 0 ) Z. При этом целое число рав но количеству полных обходов окружности, причем положительные и отрицатель ные числа соответствуют обходам против и по часовой стрелке соответственно. Хотя изоморфизм фундаментальной группы окружности группе целых чисел интуитивно очевиден, доказательство громоздко. Его можно найти, например, в [22].

Пример 10.3.3. Фундаментальная группа цилиндра совпадает с фундаментальной группой окружности и изоморфна группе целых чисел по сложению Z.

В общем случае вычисление фундаментальной группы является сложной задачей.

Предложение 10.3.3. Фундаментальная группа группы Ли U() при 1 сов падает с группой целых чисел по сложению Z. Группа специальных унитарных матриц SU() при 1 односвязна. Фундаментальная группа группы вращений SO() при 3 равна Z2. Фундаментальная группа группы вращений плоскости SO(2) равна Z.

Доказательство. См., например, [63].

10.3. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА Рис. 10.4: Замкнутые пути 1 и 2 вокруг точек 1 и 2 на евклидовой плоскости (в центре). Непрерывная деформация произведения путей [2 ] [1 ] (влево) и [1 ] [2 ] (вправо).

В общем случае фундаментальная группа не является абелевой.

Пример 10.3.4. Рассмотрим евклидову плоскость R2 с двумя выколотыми точка ми 1 и 2 и фиксированной точкой 0 (см. рис.10.4). Пусть 1 и 2 – замкнутые пути с началом и концом в точке 0, которые охватывают соответственно точки и 2. На рис.10.4 показаны представители из классов гомотопных путей [2 ] [1 ] и [1 ] [2 ]. Ясно, что эти пути не могут быть непрерывно деформированы друг в друга без пересечения выколотых точек и поэтому негомотопны друг другу. Следователь но, фундаментальная группа евклидовой плоскости с двумя выколотыми точками некоммутативна.

В общем случае фундаментальная группа многообразия представляет собой сво бодную группу с конечным числом образующих. Напомним Определение. Группа G называется свободной группой с системой G порож дающих (образующих) элементов, если любое отображение множества в любую группу H продолжается до гомоморфизма G H. Система G называется систе мой свободных порождающих. Ее мощность называется называется рангом свободной группы G. Множество называется также алфавитом. Элементы G представ ляют собой слова в алфавите, т.е. выражения в виде конечного произведения ij, j = ±1, = 1,...,, = i1 i2... ik, 1 2 k (10.6) а также пустое слово. Слово называется несократимым, если j j+ ij = ij+1, = 1,..., 1.

Несократимые слова являются разными элементами свободной группы G, и каждое слово равно единственному несократимому слову. Число называется длиной слова, если оно несократимо.

Пример 10.3.5. Рассмотрим расширенную комплексную плоскость C (сферу Рима на).

Определение. Область D C называется -связной, если ее граница состоит из связных компонент.

Любая -связная область диффеоморфна комплексной плоскости C с 1 дыр ками.

Предложение 10.3.4. Фундаментальная группа произвольной -связной области в расширенной комплексной плоскости C является свободная группа с 1 обра зующими.

426 ГЛАВА 10. ГОМОТОПИИ И ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА Доказательство. Каждой связной компоненте границы соответствует ровно одна компонента дополнения CD. Обозначим эти компоненты B0, B1,..., Bm1 (см. рис.10.5).

Заключим каждую компоненту Bi в некоторую окрестность Di, которая ограничена Рис. 10.5: Образующие -связной области в расширенной комплексной плоскости.

простой замкнутой кривой i, целиком лежащей в D. Области Di выберем такими, чтобы кривые i не пересекались. На каждой кривой выберем некоторую точку i, которую будем считать началом и концом кривой i. Из фиксированной точки проведем в каждую точку i кривую i, целиком лежащую в области D. Обозначим i := i1 i i, = 0, 1,..., 1.

Заметим, что справедливо тождество [0 ] [1 ]... [m1 ] = 1.

Поэтому гомотопические классы [1 ],..., [m1 ] можно выбрать в качестве образую щих фундаментальной группы (D, 0 ). Можно проверить, что любой путь гомо топен конечному произведению:

[] = [i1 ] [i2 ]... [ik ], 1 2 k где все j, = 1,...,, принадлежат множеству {1,..., 1}. При этом данное представление единственно, если оно несократимо.

Нетрудно доказать, что при непрерывном отображении : M1 M2 гомотопи чески эквивалентные пути 1 2 переходят в гомотопически эквивалентные пути 1 2 и что замкнутые пути переходят в замкнутые. При этом между фунда ментальными группами возникает связь.

Теорема 10.3.3. При непрерывном отображении : M1 M2 фундаментальные группы испытывают гомоморфизм ( ) : (M1, ) M2, (), где – произвольная точка из M1, который называется индуцированным и одинаков для всех отображений, гомотопных относительно точки.

Доказательство. См., например, [22].

10.3. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА Замечание. Если отображение двух пространств является гомеоморфизмом, то го моморфизм фундаментальных групп становится изоморфизмом.

Понятие фундаментальной группы позволяет осуществить переход от топологии пространств к алгебре и является одним из разделов алгебраической топологии. Этот переход позволяет использовать алгебраические методы при изучении топологиче ских пространств и, следовательно, многообразий. При этом 1) каждому топологиче скому пространству с отмеченной точкой ставится в соответствие фундаментальная группа, 2) каждому непрерывному отображению пространств ставится в соответ ствие гомоморфизм групп, 3) тождественному отображению отвечает тождествен ный гомоморфизм, 4) гомеоморфизму отвечает изоморфизм, 5) композиции непре рывных отображений сопоставляется композиция гомоморфизмов.

Замечание. Отмеченные выше свойства 1) – 5) дают пример функтора из категории топологических пространств с отмеченной точкой и непрерывными отображениями, сохраняющими отмеченную точку, в категорию групп и их гомоморфизмов.

Рассмотренные примеры окружности и цилиндра показывают, что изоморфизм фундаментальных групп не означает гомеоморфизма пространств. Однако, если фун даментальные группы не изоморфны, то соответствующие пространства заведомо не гомеоморфны.

Теорема 10.3.4. Пусть : M1 M2 – гомотопическая эквивалентность ) двух ( пространств, тогда индуцированное отображение : (M1, ) M2, () яв ляется изоморфизмом для любой точки M1.

Доказательство. См., например, [22].

Следствие. Стягиваемое пространство имеет тривиальную фундаментальную груп пу.

Мы видим, что любое стягиваемое пространство является односвязным. Обратное утверждение неверно.

Пример 10.3.6. Сфера Sn, 1, является односвязным, но не стягиваемым мно гообразием.

Пример 10.3.7. Шар Bn, 2, с выколотой точкой является односвязным, но не стягиваемым многообразием.

Теорема 10.3.5. Пусть M1 и M2 – два линейно связных топологических простран ства. Тогда фундаментальная группа произведения M1 M2 изоморфна прямому произведению фундаментальных групп, (M1 M2 ) (M1 ) (M2 ).

Доказательство. Доказательство заключается в явном построении изоморфизма.

См., например, [22].

Следствие. Произведение M1 M2 двух односвязных пространств является одно связным.

Пример 10.3.8. Фундаментальная группа тора Tn S1... S1 изоморфна пря мому произведению групп целых чисел, (Tn ) Z... Z.

n 428 ГЛАВА 10. ГОМОТОПИИ И ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА 10.4 Фундаментальная группа и ориентируемость Все связные многообразия можно разделить на два класса: ориентируемые и неори ентируемые. Напомним, что многообразие M называется ориентируемым (см. раздел 2), если его можно покрыть системой карт, M = i Ui, причем якобиан преобразова ния координат (1.61) во всех пересечениях Ui Uj положителен.

Рассмотрим класс многообразий, на которых можно задать репер {a }, = 1,...,, т.е. достаточно гладких векторных полей, которые линейно независимы в каждой точке многообразии M, dim M =. Отсюда, в частности, следует, что векторные поля a () не могут обращаться в нуль ни в какой точке многообразия M, т.к. в против ном случае они были бы линейно зависимы в этой точке. Репер {a } образует базис для касательных векторных полей. Локально репер всегда существует. Однако его глобальное существование является сильным предположением, и далеко не каждое ориентируемое многообразие допускает существование репера.

Пример 10.4.1. Двумерная сфера S2 является ориентируемым многообразием, од нако она не допускает существование репера, так как на ней не существует вектор ных полей, которые не обращаются в нуль (теорема о невозможности причесать ежа 10.2.1).

В локальной системе координат репер раскладывается по координатному базису, a = a, det a = 0.

Введенное ниже определение класса ориентации репера основано на локальном существовании репера и поэтому применимо ко всем многообразиям.

Если от отдельных реперов перейти к классам ориентирующих реперов, то мож но дать новое эквивалентное определение ориентируемости многообразий. А именно, пусть в точке M задан класс ориентации, т.е. класс реперов {a }, связанных друг с другом линейным преобразованием с положительным определителем. Подробнее, два репера {a } и {a } принадлежат одному классу ориентации, если они связаны преобразованием a = a b b, причем det () 0. Если det 0, то будем говорить, что в точке реперы принадлежат классам противоположной ориентации. Таким образом, в каждой точке многообразия имеются ровно два класса ориентации. По скольку репер можно непрерывно смещать из точки в близкие точки многообразия, то имеет смысл говорить о непрерывной зависимости классов ориентации от точки многообразия.

Определение. Если в каждой точке многообразия M существует класс ориентации реперов, который непрерывно зависит от точки многообразия, то многообразие M называется ориентируемым.

Класс ориентации принимает только два значения, например, +1 или 1. Поэтому непрерывность означает, что во всех точках ориентируемого многообразия можно выбрать класс ориентации +1.

Докажем эквивалентность нового определения и определения ориентируемости многообразий, которое было дано в разделе 2. Пусть многообразие ориентируемо.

Тогда на нем существует координатное покрытие M = i Ui такое, что якобиан пре образования координат положителен, det 0, во всех областях пересечения карт. В каждой координатной окрестности выберем координатный репер { }. Мно жество этих реперов определяет класс ориентации, который непрерывно зависит от точки многообразия. Действительно, если точка принадлежит различным картам, то 10.4. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА И ОРИЕНТИРУЕМОСТЬ координатные реперы принадлежат одному классу ориентации. Обратно. Пусть су ществует класс ориентации реперов, непрерывно зависящий от точки многообразия.

Выберем координатное покрытие многообразия, M = i Ui. Тогда в двух пересекаю щихся картах Ui и Uj можно выбрать координаты и таким образом, что a = a = a, det a 0, det a 0, где {a } – некоторый представитель заданного класса ориентации. Действительно, если в какой то системе координат det a 0, то, переставив две произвольные координаты, получим det a 0. Отсюда следует положительность якобиана пре образования координат в области пересечения карт, = det = det (a a ) 0. (10.7) Это справедливо для любого представителя из класса ориентации.

На произвольном многообразии, в том числе и неориентируемом, ориентацию можно переносить вдоль путей. Пусть на многообразии M задан кусочно диффе- ( ) ренцируемый путь = (), [0, 1], и класс ориентации реперов {a () } во всех точках пути, который непрерывно зависит от точки пути. Тогда класс ориента ции {a (1)} в конечной точке (1) называется переносом класса ориентации репера {a (0)} из точки (0) в точку (1) вдоль пути.

Операция переноса ориентации вдоль путей обладает следующими свойствами.

1) Из любой точки M ориентацию можно однозначно перенести во все близле жащие точки многообразия вдоль путей, целиком лежащих в пределах координатной окрестности точки.

2) Для любого кусочно дифференцируемого пути перенос ориентации существует и не зависит от выбора репера вдоль пути. Существование очевидно, т.к. достаточно задать произвольным образом компоненты линейно независимых векторов {a ()}, как дифференцируемые функции одного переменного. Независимость от выбора ре пера доказывается просто. Пусть {a ()} и {a ()} – два репера вдоль одной кривой (), имеющие одинаковую ориентацию при = 0. Матрица перехода от одного репе ра к другому, a = a b b, невырождена, det () = 0 для всех [0, 1]. Поэтому, если в начальный момент det (0) 0, то из непрерывности следует, что det () 0 для всех [0, 1], поскольку матрица не может быть вырождена.

3) Если два пути 1 () и 2 () гомотопны относительно начала и конца, то перено сы класса ориентации вдоль этих путей совпадают. Действительно, для гомотопных путей существует непрерывное отображение (, ) : [0, 1] [0, 1] M такое, что (, 0) = 1 () и (, 1) = 2 (). Пусть {a ()} – репер вдоль 1 (). Перенесем каким либо непрерывным образом этот репер из каждой точки кривой 1 вдоль кривых (, ) по второму аргументу. Перенос ориентации в конечные точки не зависит от выбора репера {a ()} вдоль 1 в силу свойства 2). В результате получим некоторый репер вдоль второй кривой 2. Поскольку в начальной и конечной точке реперы по построению совпадают, то совпадают и переносы классов ориентации вдоль гомотоп ных путей.

Приведенные выше определения удобны для доказательства неориентируемости некоторых многообразий в силу следующей теоремы.

Теорема 10.4.1. Связное многообразие ориентируемо тогда и только тогда, когда перенос класса ориентации репера вдоль любого замкнутого пути сохраняет ориен тацию.

430 ГЛАВА 10. ГОМОТОПИИ И ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА Доказательство. Пусть многообразие M ориентируемо. Выберем координатное по крытие такое, чтобы якобиан преобразования координат был положителен, det 0, во всех областях пересечения карт. Выберем произвольную точку 0 M и зафик сируем какой либо репер, который принадлежал бы тому же классу ориентации, что ( ) и координатный базис, т.е. det a (0 ) 0. Эту ориентацию можно перенести в любую точку многообразия, т.к. оно линейно связно. Результат переноса ориентации не зависит от пути, потому что ориентацию можно переносить внутри произвольной карты, а при переходе от карты к карте принадлежность репера определенному клас су ориентации сохраняется. В частности, принадлежность репера данному классу ориентации сохраняется при переносе ориентации вдоль произвольного замкнутого пути.

Обратно. Выберем произвольным образом репер в какой либо точке 0 M и разнесем эту ориентацию во все другие точки M. Результат будет однозна чен, т.к. перенос класса ориентации вдоль произвольного замкнутого пути сохраня ет ориентацию. Таким образом в каждой точке M определен класс ориентации {a ()}. Пусть Ui – координатное покрытие многообразия M. На каждой коорди натной окрестности можно выбрать систему координат такую, что det a 0 для некоторого представителя из класса ориентации. Следовательно, из (10.7) следует, что якобиан преобразования координат во всех пересекающихся областях будет по ложителен.

Из этой теоремы вытекает, что если можно указать замкнутый путь, вдоль ко торого не существует переноса класса ориентации репера, то многообразие является неориентируемым. В частности, неориентируемое многообразие не может быть од носвязным. Действительно, любой замкнутый путь на односвязном многообразии можно непрерывно стянуть в точку. Поскольку замкнутые пути в достаточно ма лой окрестности произвольной точки сохраняют ориентацию, то из непрерывности следует, что на односвязном многообразии любой замкнутый путь сохраняет ориен тацию. То есть каждая односвязная компонента многообразия всегда ориентируема.

Неодносвязные многообразия могут быть как ориентируемыми, так и неориентиру емыми.

Пример 10.4.2. Цилиндр и лист Мебиуса имеют изоморфные фундаментальные группы Z, однако являются соответственно ориентируемой и неориентируемой поверхностями.

Пусть на многообразии M задан ориентирующий репер {a } глобально. Рассмот рим этот репер в качестве базиса касательных векторных полей = a a (M).

Зададим на M тривиальную линейную GL(, R)-связность: a b = 0 в каждой кар те. Это значит, что при параллельном переносе векторов их компоненты относи тельно выбранного репера не меняются. Тогда рассматриваемое многообразие будет пространством абсолютного параллелизма, т.к. тензор кривизны для тривиальной связности равен нулю, a b = 0. По этой причине, если на многообразии можно задать репер глобально, то оно называется параллелизуемым. В то же время тензор кручения для тривиальной связности в общем случае будет отличен от нуля. При этом тензор кручения на односвязных многообразиях для заданной нулевой связно сти однозначно определяется репером. Верно также и обратное утверждение: в одно связном пространстве абсолютного параллелизма, в котором тензор кривизны всюду равен нулю, a b = 0, всегда можно задать репер глобально. Для этого достаточно 10.4. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА И ОРИЕНТИРУЕМОСТЬ выбрать линейно независимых векторов в касательном пространстве произволь ной точки, а затем разнести их по всему многообразию, используя то свойство, что результат не зависит от пути параллельного переноса.

Очевидно, что любое параллелизуемое многообразие является ориентируемым.

Пример 10.4.3. Любая группа Ли является параллелизуемым многообразием, если групповое умножение слева (справа) принять за определение параллельного пере носа (см. раздел 8.6). Поэтому все группы Ли представляют собой ориентируемые многообразия. При этом левоинвариантные (правоинвариантные) векторные поля представляют собой глобально определенный репер.

Обратное утверждение, что все ориентируемые многообразия являются паралле лизуемыми, неверно, как показывает пример сферы 10.4.1.

Приведем критерий параллелизуемости многообразий.

Теорема 10.4.2. Многообразие M является параллелизуемым тогда и только то гда, когда касательное расслоение тривиально, т.е. диффеоморфно прямому произ ведению T(M) M Rn.

Доказательство. Проверяется тот факт, что глобально определенный репер уста навливает диффеоморфизм расслоений.

Ориентируемость многообразий можно также определить с помощью дифферен циальных форм, рассмотренных в разделе 3. Рассмотрим связное многообразие M, dim M =. Пространство дифференциальных форм максимальной степени n (M) в каждой точке многообразия одномерно. Пусть, n (M) и = 0, = 0 во всех точках M. Отношение = (), где (M) и 0, задает отноше ние эквивалентности в пространстве -форм, не обращающихся в нуль ни в одной точке многообразия. Это отношение определяет ровно два класса эквивалентности.

Назовем ориентацией многообразия M соответствующий класс эквивалентности форм, если такой класс существует. Это определение ориентируемости эквивалентно приведенному выше в силу следующей теоремы.

Теорема 10.4.3. Связное многообразие M, dim M =, ориентируемо тогда и толь ко тогда, когда оно допускает непрерывную нигде не обращающуюся в нуль -форму.

Доказательство. Достаточность. Пусть на связном многообразии M ориентация за дана с помощью -формы, которая не равна нулю ни в одной точке. Пусть {Ui } – локально конечное покрытие многообразия M. Пусть, = 1,..., – система координат на некоторой окрестности Ui. Тогда -форма 1... n не равна ну лю ни в какой точке Ui и поэтому отличается от на некоторый отличный от нуля множитель (), 1... n =.

Если 0, то мы говорим, что система координат согласована с ориентацией на M. В противном случае, при 0, достаточно переставить две координаты для изменения знака -формы. Обозначим координаты на области Uj, которая пересе кается с Ui, через. Эти координаты всегда можно выбрать так, чтобы они были согласованы с ориентацией. Тогда -форма 1... n также отличается от формы на некоторый положительный множитель () 0, 1... n =.

432 ГЛАВА 10. ГОМОТОПИИ И ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА Поскольку ( ) 1 n 1... n,... = det то якобиан соответствующего преобразования координат положителен, ( ) = 1 0.

det Полученное выражение для якобиана преобразования координат корректно, что лег ко проверяется для пересечения трех карт.

Необходимость. Пусть i – разбиение единицы, подчиненное заданному счетному локально конечному покрытию {Ui } (теорема 2.2.3). Выберем координаты на каждой области Ui таким образом, чтобы все якобианы преобразований координат в областях пересечения были положительны. На каждой области Ui можно построить отличную 1 n от нуля -форму i =.... Тогда -форма i i i определена на всем многообразии и отлична от нуля во всех точках.

Замечание. В доказательстве теоремы использовано разбиение единицы, которое всегда существует, т.к. в определение многообразия мы включили счетность базы топологии. Если это требование исключено из определения, как это часто делается, то в условии теоремы необходимо дополнительно потребовать, например, параком пактность многообразия.

В роли -формы, которая не обращается в нуль, может выступать форма объема (3.78). Если многообразие не допускает существования непрерывной невырожден ной -формы, то оно будет неориентируемым. Если на связном многообразии задана невырожденная -форма, то мы говорим, что на многообразии задана ориентация.

Если многообразие несвязно и состоит из нескольких компонент, то на каждой ком поненте ориентацию можно задавать независимо, если каждая компонента связности ориентируема.

Отметим, что каждый репер a, заданный глобально, определяет невырожденную -форму. Действительно, обозначим дуальный базис кокасательного пространства через a. Тогда -форма := 1... n определена глобально и невырождена. Ее можно выбрать в качестве формы объема.

Обратное утверждение неверно: не каждая форма объема определяет репер.

Пример 10.4.4. На двумерной сфере S2 существует форма объема, однако репер определить глобально нельзя, так как на ней не существует векторных полей, не обращающихся в нуль.

Обсудим более подробно связь неориентируемости многообразия с фундаменталь ной группой. Перенос ориентации с помощью репера показывает, что каждый гомо топический класс замкнутого пути с началом и концом в точке 0 (т.е. элемент фун даментальной группы (M, 0 )) либо сохраняет, либо меняет ориентацию репера на противоположную. Это означает, что существует гомоморфизм фундаментальной группы в группу Z2, : (M, 0 ) Z2 = {±1}.

Другими словами, каждому замкнутому пути ставится в соответствие +1 или 1, в зависимости от того, сохраняется ориентация репера при переносе или меняется на 10.4. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА И ОРИЕНТИРУЕМОСТЬ противоположную. Если многообразие ориентируемо, то гомоморфизм тривиален.

Для неориентируемых многообразий ввиду наличия путей, обращающих ориента цию, гомоморфизм нетривиален. Как следствие получаем, что фундаментальная группа неориентируемых многообразий не может быть тривиальной.

Пример 10.4.5. Фундаментальная группа листа Мебиуса совпадает с группой целых чисел, (M) = Z, т.к. он стягивается к центральной окружности. При гомоморфизме все четные и нечетные числа отображаются соответственно в +1 и 1.

Пример 10.4.6. Фундаментальная группа проективного пространства RPn нетри виальна: (RPn ) = Z2, и гомоморфизм является изоморфизмом для четных.

Для нечетных гомоморфизм тривиален, т.к. проективные пространства нечет ной размерности ориентируемы. Проективное пространство можно параметризовать точками шара, у которого отождествлены диаметрально противоположные точки граничной сферы (см. пример 2.1.8). Тогда диаметр шара будет замкнутым путем (образом окружности), который не стягивается в точку. В то же время, если при отображении окружности в проективное пространство диаметр проходится два ра за, то такой образ окружности можно стянуть в точку, как показано на рис. 10.6.

Аналогично стягивается в точку любой образ окружности, который проходит диа Рис. 10.6: Непрерывная деформация образа окружности в проективном пространстве RP2, который проходит по диаметру два раза, в точку. Пунктиром показано отождествление противоположных точек граничной окружности.

метр произвольное четное число раз. Это поясняет, почему фундаментальная группа проективного пространства равна Z2.


Глава Накрытия Важным классом непрерывных отображений топологических пространств являются накрытия, которые представляют собой локальный гомеоморфизм. Все, сказанное в настоящей главе о топологических пространствах, относится также к многообразиям.

11.1 Определения и примеры Определение. Непрерывное отображение топологических пространств : M M называется накрытием, если выполнены следующие условия:

1) сюрьективно;

2) для любого M найдется открытая окрестность Ux точки такая, что 1 (Ux ) = jJ Uj для некоторого семейства открытых подмножеств Uj M, удовлетворяющих условиям Uj Uk = при = и сужение отображения |Uj : Uj Ux – гомеоморфизм для всех.

Мы говорим также, что окрестность Ux просто накрыта отображением. Топо логическое пространство M называется базой накрытия, а M – накрывающим про странством. Каждое множество Uj называется листом накрытия области Ux. Если множество содержит элементов, то говорят об -листном накрытии. Если то пологическое пространство M является односвязным, т.е. фундаментальная группа ( ) тривиальна, M =, то накрытие называется универсальным.

Предложение 11.1.1. Если база M накрытия : M M линейно связна, то мощность множества не зависит от точки M при линейно связной базе.

Доказательство. См., например, [68].

Это утверждение говорит о том, что определение -листного накрытия корректно, т.к. не зависит от точки M.

Замечание. Если M и M являются не просто топологическими пространствами, а многообразиями, то вместо непрерывности отображения мы требуем его дифферен цируемость достаточное число раз, а гомеоморфизм заменяем на диффеоморфизм областей Uj и Ux для всех. Для многообразий dim Uj = dim Ux для всех, т.к. сужение отображения на Uj – диффеоморфизм. Кроме того, каждое подмноже ство Uj, по-определению, открыто в M. Это возможно только если dim M = dim Uj.

Таким образом, если : M M накрытие многообразий, то необходимо, чтобы накрывающее многообразие и база имели одинаковую размерность, dim M = dim M.

Для многообразий отображение является погружением.

11.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ Пример 11.1.1. Всякий гомеоморфизм является однолистным накрытием. В этом случае у каждой области Ux имеется только один лист.

Пример 11.1.2. Если M = M X – топологическое произведение топологического пространства M на счетное множество X, то естественная проекция : M X M является накрытием. Число листов равно числу элементов множества X.

Пример 11.1.3. Пусть задана аналитическая функция () в некоторой области D C. Если в каждой точке D функция () имеет n значений, то риманова поверхность функции () является n-листным накрытием области D.

Пример 11.1.4. Отображение вещественной прямой в окружность, e2it S1, R :

является накрытием с бесконечным числом листов. Это накрытие является универ сальным.

Пример 11.1.5. Пусть окружность S1 задана на комплексной плоскости C уравне нием || = 1. Тогда отображение окружности в окружность, S1 n S1, N, :

является накрытием с листами. Это же отображение является -листным накрыти ем комплексной плоскости с выколотым началом координат : C{0} C{0}.

Пример 11.1.6. Пусть G – группа Ли и H – ее дискретная подгруппа. Поскольку подгруппа H замкнута, то по теореме 9.1.1 на фактор пространстве G/H существует дифференцируемая структура многообразия. Тогда проекция : G G/H, где G/H – пространство левых или правых смежных классов, является накрытием. Число листов равно числу элементов группы H.

Предложение 11.1.2. Пусть E(M,, F) расслоение, определенное в разделе 2.4, ти пичным слоем F которого является 0-мерное многообразие. Тогда проекция : E M является накрытием. Наоборот, любое накрытие является расслоением M(M,, ) с 0-мерным типичным слоем.

Доказательство. Определение накрытия и расслоения в случае 0-мерного типич ного слоя совпадают, если записать 1 (Ux ) = 1 (Ux F) = jJ Uj, где точки 0-мерного многообразия = F нумеруют листы накрытия области Ux. Второе условие в определении расслоения при 0-мерном слое выполняется автоматически, т.к. отображение 1 дифференцируемо, а это возможно только при проекции на первый сомножитель, 1 : Ux F (, ) M.

Замечание. Если типичным слоем расслоения E(M,, F) является многообразие бо лее высокой размерности, dim F 1, то расслоение не является накрытием, потому что, например, dim 1 (Ux ) = dim M + dim F dim M.

Отображение накрытия позволяет установить связь между ориентируемыми и неориентируемыми многообразиями.

Теорема 11.1.1. Для любого неориентируемого многообразия M существует дву листное ориентируемое накрытие : M M.

436 ГЛАВА 11. НАКРЫТИЯ Доказательство. См., например, [69].

Пример 11.1.7. Четномерная сфера Sn, = 2, 4,..., ориентируема и является дву листным универсальным накрывающим пространством для проективной плоскости RPn, которая неориентируема. Накрытие : Sn RPn осуществляется путем отож дествления диаметрально противоположных точек сферы.

Пример 11.1.8. Лист Мебиуса можно получить из цилиндра путем отождествления центрально симметричных точек, как показано на рис. 11.1. Это накрытие двулист но, но не является универсальным. Универсальные накрывающие цилиндра и листа Мебиуса совпадают – это плоскость R2.

Рис. 11.1: Накрытие листа Мебиуса цилиндром. Отождествив центрально симметрич ные точки цилиндра, мы получим лист Мебиуса в виде полосы с отождествленными краевыми точками.

Следующее утверждение облегчает изучение накрытий за счет ограничения клас са рассматриваемых баз.

Теорема 11.1.2. Если пространство M – локально связно, то непрерывное отобра жение : M M тогда и только тогда является накрытием, когда для каждой компоненты связности U M сужение отображения 1 (U) U |p1 (U) :

является накрытием.

Доказательство. См., например, [68].

Поскольку все многообразия являются локально связными, то в дифференци альной геометрии мы можем ограничиться рассмотрением накрытий над связными базами M. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только линейно связные и, следовательно, связные базы накрытий.

Из определения накрытия следует, что прообраз 1 (Ux ) является объединением непересекающихся открытых подмножеств Uj, каждое из которых гомеоморфно Ux.

Если Ux связно, то каждое из подмножеств Uj также связно. Отсюда следует Предложение 11.1.3. Пусть U – открытое связное подмножество пространства M, просто накрытое отображением : M M. Тогда гомеоморфно отображает каждую компоненту связности множества 1 (U) на U.

11.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ Следствие. Рассмотрим два накрытия 1 : M1 M, 2 : M2 M с одинаковыми базами и коммутативную диаграмму - M1 M ?

M где база M локально связна. Если сюрьективно, то оно также является накрытием.

Теорема 11.1.3. Пусть : M M – накрытие. Тогда 1) – открытое отображение;

2) M имеет фактор топологию относительно.

Доказательство. См., например, [22].

Если на базе накрытия M задан путь : [0, 1] () M, то возникает вопрос, что представляет собой прообраз 1 () при накрытии : M M ? Для ответа введем новое понятие.

Пусть задано накрытие : M M и непрерывное отображение некоторого пространства N в базу накрытия, : N M. (Для путей в роли N выступает единичный отрезок [0, 1].) Определение. Поднятием непрерывного отображения называется непрерывное отображение : N M такое, что =, т.е. диаграмма - N M ?

M коммутативна.

Следующий результат показывает, что, если поднятие отображения существует, то оно, по-существу, единственно.

Предложение 11.1.4. Пусть : M M – накрытие и, : N M – два поднятия отображения : N M. Если N связно и поднятия совпадают () = () хотя бы в одной точке N, то поднятия совпадают во всех точках, =.

Доказательство. См., например, [22].

Теорема 11.1.4 (О накрывающей гомотопии для путей). Пусть : M M – накрытие. Тогда 438 ГЛАВА 11. НАКРЫТИЯ 1) для пути : [0, 1] M и точки M такой, что () = (0) существует единственный путь : [0, 1] M, который является поднятием, =, пути и для которого (0) = ;

2) для непрерывного отображения (гомотопии двух путей в базе) : [0, 1] [0, 1] M и точки M такой, что () = (0, 0) существует единствен ное непрерывное отображение (гомотопия двух путей в накрывающем про странстве) : [0, 1] [0, 1] M, которое является поднятием, =, отображения и для которого (0, 0) =.

Доказательство. Теорема доказывается путем явного построения отображений. Де тали можно найти, например, в [22].

Следствие (Теорема о монодромии). Пусть 1 2 ( rel{0, 1}) – два пути в базе M, гомотопные относительно начала и конца, и начальные точки их поднятий совпада ют, 1 (0) = 2 (0). Тогда конечные точки поднятий также совпадают, 1 (1) = 2 (1).

Напомним, что единица фундаментальной группы (M, 0 ) – это класс замкнутых путей с началом и концом в точке 0, которые гомотопны тождественному пути x0.

Из теоремы о монодромии следует, что поднятия всех этих путей также замкнуты в накрывающем пространстве M. Следующая теорема говорит о том, что поднятие замкнутых путей, которые не стягиваются в точку 0 будет незамкнутым.

Теорема 11.1.5. Пусть : M M – универсальное накрытие, т.е. накрываю щее пространство M – односвязно. Тогда существует взаимно однозначное соот ( ) ветствие между элементами фундаментальной группы M, () и множеством прообразов 1 (), где – произвольная точка M.

( ) ( ) Доказательство. Пусть [] M, () – класс гомотопных замкнутых путей на базе и – поднятие какого либо представителя из данного класса. Определим отоб ражение : M, () [] ([]) = (1) 1 ().

( ) ( ) Это отображение определено корректно согласно теореме о)монодромии. ) Теперь определим обратное отображение 1 : 1 () M, (). Выбира ( ( ( ) ем точку 1 () и некоторый путь из в 1. Поскольку M односвязно, то любые такие пути гомотопны. Поэтому класс замкнутых путей [ ] – корректно ( ) определенный элемент фундаментальной группы M, (). Легко проверить, что 1 1 = =, так что и – биекции.


Эта теорема дает возможность в некоторых случаях вычислить фундаменталь ную группу. Для этого надо найти универсальное накрытие : M M и групповую структуру на прообразе (0 ), где 0 M, так, чтобы биекция : (M, 0 ) 1 (0 ) стала гомоморфизмом групп. Вообще говоря, сделать это сложно.

11.2 Фундаментальная группа пространства орбит В настоящем разделе мы рассмотрим группы преобразований (M, G) и приведем достаточные условия на группу преобразований, которые обеспечивают то, что про екция пространства M в пространство орбит M := M/G является накрытием. Об судим также связь группы преобразований (M, G) с фундаментальными группами базы M := M/G и накрывающего пространства M. Кроме того, обсудим достаточ ные условия существования в пространстве орбит дифференцируемой структуры.

11.2. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ПРОСТРАНСТВА ОРБИТ Замечание. Многие определения и теоремы настоящего раздела справедливы не только для многообразий, но и для произвольных топологических пространств. По этому мы будем употреблять термин топологическое пространство, имея в виду, что соответствующее утверждение верно и для многообразий. Там, где важна специфика дифференцируемой структуры, мы будем писать многообразие.

Определение. Группа G действует на топологическом пространстве M собственно разрывно, если выполнены следующие условия:

1) для любых двух точек 1 и 2 из M, не лежащих на одной орбите, существуют окрестности U1 1 и U2 2 такие, что U1 G U2 =, 2) группа изотропии Gx любой точки M конечна, 3) для каждой точки существует окрестность U, устойчивая относительно x = U, и такая, что для всех G, не лежащих группы изотропии Gx UG, т.е.

в Gx, пересечение U U =.

Ниже мы увидим, что первое условие в данном определении эквивалентно хау сдорфовости фактор пространства M с фактортопологией.

Предложение 11.2.1. Если группа G действует на многообразии M собственно разрывно, то она конечна или счетна.

Доказательство. В силу условия 3) орбита произвольной точки является дискрет ным подмножеством многообразия. Поскольку множество таких точек на многооб разии счетно, то, вместе с условием 2) это влечет счетность элементов группы G. В частности, оно может быть конечно.

Для доказательства следующей теоремы понадобится лемма, которая представ ляет и самостоятельный интерес.

Лемма 11.2.1. Пусть (M, G) – группа преобразований топологического простран ства M и фактор пространство M = M/G снабжено фактор топологией. Тогда каноническая проекция : M M является открытым отображением.

Доказательство. Пусть U – открытое подмножество M. Тогда подмножество (U) открыто в M/G, т.к. оно снабжено фактор топологией. Прообраз этого подмножества можно представить в виде объединения ) 1 (U) = ( (11.1) U.

aG Поскольку отображение U U – гомеоморфизм для всех G, то 1 (U) ( ) открыто в M как объединение открытых подмножеств.

Теорема 11.2.1. Пусть группа G действует в топологическом пространстве M собственно разрывно и свободно, а пространство орбит M/G снабжено фактор то пологией. Тогда каноническая проекция : M M/G является накрытием.

Доказательство. По построению отображение сюрьективно и непрерывно. По лем ме 11.2.1 это отображение открыто. Пусть U – окрестность точки M, удовлетворя ющая условию 3) в определении собственно разрывной группы преобразований. Так как – открытое отображение, то (U) – открытая окрестность орбиты () = G и ее прообраз имеет вид (11.1). Поскольку действие группы свободно, то все области U, G, открыты в M и не пересекаются. Сужение отображения на каждую подоб ласть |Ua : U (U) является непрерывным открытым биективным отображением и, следовательно, гомеоморфизмом.

440 ГЛАВА 11. НАКРЫТИЯ Теперь обсудим связь между группой преобразований (M, G), действующей соб ственно разрывно и свободно, и фундаментальной группой пространства орбит M = M/G, на котором определена фактор топология. Пусть M и = () M/G.

Заметим, что 1 () = { M : G}, т.е. точки орбиты находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами группы. Если класс относительно гомотопных путей принадлежит фундаменталь ной группе пространства орбит, [] (M/G, ), то существует единственное под нятие пути с началом в точке M (теорема 11.1.4). Конец поднятого пути (1) (), и, поскольку группа преобразований действует свободно, то существу ет единственный элемент () G такой, что (1) = (). Следовательно, определено отображение : (M/G, ) [] () G. (11.2) Теорема 11.2.2. Отображение (11.2) является гомоморфизмом групп.

Доказательство. Сводится к проверке равенства ([1 ][2 ]) = ([1 ])([2 ]). Детали можно найти, например, в [22].

Если фундаментальная группа накрывающего пространства нетривиальна, то яд ро гомоморфизма также нетривиально.

Предложение 11.2.2. Ядро гомоморфизма (11.2) совпадает с индуцированной под группой (M, ) (M/G, ).

Доказательство. См., например, [22].

В частности, (M, ) – нормальная подгруппа в (M/G, ), и поэтому опреде лена фактор группа (M/G, )/ (M, ).

Теорема 11.2.3. Группы (M/G, )/ (M, ) и G изоморфны.

Доказательство. См., например, [22].

Следствие. Если накрывающее топологическое пространство M односвязно, то (M/G, ) G.

Это следствие позволяет в ряде случаев найти фундаментальную группу много образия.

Пример 11.2.1. Нетрудно проверить, что окружность S1 гомеоморфна простран ству орбит R/Z, где группа Z действует на R сдвигами на постоянное число. Действие группы Z на R свободно и собственно разрывно. Поскольку вещественная прямая R односвязна, то отображение : R R/Z – универсальное накрытие. Следовательно (S1 ) Z.

Пример 11.2.2. Тор является факторпространством, Tn Rn /Zn. Поскольку отоб ражение : Rn Rn /Zn – универсальное накрытие, то (Tn ) Zn.

Следующая теорема дает достаточное условие существования дифференцируемой структуры на пространстве орбит M/G.

11.2. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ПРОСТРАНСТВА ОРБИТ Теорема 11.2.4. Пусть группа преобразований (M, G) действует на многообразии M собственно разрывно и свободно, тогда факторпространство M/G с фактор то пологией имеет структуру дифференцируемого многообразия такую, что проекция : M M/G дифференцируема.

Доказательство. Условие 1) в определении собственно разрывной группы преоб разований эквивалентно хаусдорфовости факторпространства M/G. Действительно, окрестностью орбиты = G является множество орбит U = UG, где U – окрест ность точки, а условие 1) можно переписать в виде U1 G U2 G =, т.к. орбиты либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это и есть условие хаусдорфовости пространства орбит с фактортопологией.

В условиях теоремы группа G действует свободно и условие 2) в определении соб ственно разрывной группы преобразований выполняется автоматически, т.к. группа изотропии любой точки состоит только из одного элемента – единицы.

Пусть U = UG M/G – достаточно малая окрестность орбиты M/G. Усло вие 3) вместе с условием 2) значит, что каждая точка в пространстве орбит имеет окрестность U такую, что прообраз U = 1 (U) состоит не более, чем из счетно го числа компонент, U = i Ui, и проекция каждой связной компоненты Ui на U есть гомеоморфизм, т.к. множество орбит можно параметризовать точками из какой либо окрестности Ui. Зафиксируем связную компоненту Ui в 1 (U). Тогда – го меоморфизм Ui на U и существует обратное непрерывное отображение 1 : U Ui.

Выбрав U достаточно малым, можно считать, что имеется допустимая карта (Ui, ), n где : Ui R, многообразия M. Теперь можно ввести дифференцируемую струк туру в пространстве орбит, рассматривая (U, ), где = 1, как допустимую карту.

Последняя теорема является достаточным, но не необходимым условием того, что пространство орбит является многообразием.

Пример 11.2.3. Рассмотрим вращения евклидовой плоскости R2 вокруг начала ко ординат на фиксированный угол = 2/, где – одно из натуральных чисел 2, 3,.... При этом мы отождествляем поворот на 2 с единичным элементом группы.

Эта группа G абелева и состоит из элементов. Действие группы является эффек тивным. Начало координат является неподвижной точкой и одной из орбит группы.

Ее группа изотропии совпадает с G. На остальной части плоскости R2 {0} группа G действует свободно. Нетрудно проверить, что группа G действует на плоскость собственно разрывно. Пространство орбит R2 /G представляет собой конус с углом дефицита 2/2 (знак минус означает, что угол вырезается, а не вставляется). Ко нус является гладким двумерным многообразием, т.е. пространство орбит допускает гладкую структуру, несмотря на то, что действие группы не является свободным.

Вершина конуса – это “дефект” не многообразия, а вложения. В этом примере кано ническая проекция : R2 R2 /G не является накрытием, так как прообраз 1 (U0 ) окрестности U0 R2 /G, содержащей начало координат, состоит из одного связного листа, который не гомеоморфен самой окрестности (нет взаимной однозначности).

Фундаментальные группы плоскости R2 и конуса R2 /G тривиальны и совпадают.

Если пара (M, G) – группа преобразований, причем группа G действует на много образии M свободно и собственной разрывно, то одним из способов изучения фактор пространства M/G является построение фундаментальной области.

442 ГЛАВА 11. НАКРЫТИЯ Определение. Подмножество D M называется фундаментальной областью мно гообразия M для группы преобразований (M, G), действующей свободно и собственно разрывно, если выполнены следующие условия:

1) D является замкнутым подмножеством в M;

2) орбита DG совпадает со всем многообразием M;

3) покрытие M множествами D, G, таково, что с достаточно малой окрест ностью произвольной точки M пересекается лишь конечное число множеств вида D;

4) образ множества всех внутренних точек фундаментальной области, ( int D), при действии любого преобразования G, отличного от единичного, не пересекается с множеством внутренних точек фундаментальной области, ( int D) int D =, =.

Фундаментальная область D всегда является многообразием с краем той же раз мерности, что и само M. Пример 11.2.4. Группа трансляций G евклидовой плоскости R2 на всевозможные векторы с целочисленными компонентами R2 R2, (, ) ( +, + ), Z, действует гладко, свободно и собственно разрывно. Фактор пространство R2 /G пред ставляет собой тор T2. В качестве фундаментальной области можно выбрать единич ный квадрат D = {(, ) R2 : 0 1, 0 1}.

Тор можно представить в виде квадрата на плоскости, у которого отождествлены противоположные стороны.

Из определения фундаментальной области следует, что отображение M int D всегда представляет собой накрытие. Если фундаментальная область известна, то пространство орбит M/G получается из фундаментальной области путем склеивания граничных точек.

11.3 Группа скольжений и существование накрытий В предыдущем разделе было показано, что отображение многообразия в простран ство орбит для группы преобразований, действующей свободно и собственно раз рывно, является накрытием. Теперь мы рассмотрим обратный вопрос о том, в каком случае заданное накрытие можно представить, в виде отображения накрывающего пространства в пространство орбит относительно действия некоторой группы преоб разований и какова эта группа.

Введем новое понятие, которое дает возможность описать произвол, существую щий при построении накрывающего пространства, если база задана.

Определение. Группой скольжений накрытия : M M называется группа всех гомеоморфизмов : M M, при которых =, т.е. диаграмма M M ?

M 11.3. ГРУППА СКОЛЬЖЕНИЙ И СУЩЕСТВОВАНИЕ НАКРЫТИЙ коммутативна. Эта группа обозначается G(M,, M).

Теорема 11.3.1. Если топологическое пространство M связно и локально линейно связно, то действие группы скольжений G(M,, M) на M свободно и собственно разрывно.

Доказательство. См., например, [22].

В частности, действие группы скольжений на связном многообразии M является свободным и собственно разрывным. В этом случае группа скольжений G(M,, M) ( ) конечна или счетна. Поэтому пара M, G(M,, M) является группой преобразова ний.

Теорема 11.3.2. Пусть : M M – накрытие и накрывающее топологическое пространство M связно и локально линейно связно. Если индуцированная группа (M, ) является нормальной подгруппой (M, ), где = (), то база M гомео морфна пространству орбит M/G(M,, M).

Доказательство. См., например, [22].

Следствие. Пусть пространство M связно и локально линейно связно. Если (M, ) – нормальная подгруппа в (M, ), то (M, )/ (M, ) G(M,, M).

Доказательство. Прямое следствие теорем 11.3.2 и 11.2.3.

Следствие. Если накрывающее пространство M односвязно и локально линейно связно, то (M, ) G(M,, M).

По своей сути две предыдущие теоремы и следствия означают, что произвольное накрытие можно представить, как отображение многообразия M в пространство ор бит M = M/G(M,, M). При этом роль группы преобразований играет группа сколь жений G(M,, M). Если накрывающее пространство M – многообразие, то действие группы скольжений сводится к перестановке листов накрытия.

Теперь обсудим вопрос о существовании универсального накрытия для заданной базы M. Универсальное накрытие существует, если на топологическое пространство M наложен ряд условий. Чтобы не вводить новых понятий для их формулировки, мы ограничимся многообразиями, для которых эти условия выполняются.

Теорема 11.3.3. Произвольное связное -мерное многообразие M имеет универ сальное накрытие : M M, где накрывающее пространство M – также -мерное многообразие (связное и односвязное). Универсальное накрывающее пространство определено с точностью до действия группы скольжений G(M,, M), которая дей ствует на M свободно и собственно разрывно.

Доказательство. См., например, [22].

Эта теорема очень важна, т.к. позволяет разделить задачу классификации много образий на два этапа: сначала описать все односвязные многообразия, а затем найти все группы преобразований, действующие на них свободно и собственно разрывно.

Данная задача решена для поверхностей. Для многообразий размерности три и выше вопрос остается открытым.

Глава Главные и ассоциированные расслоения Теория расслоений или расслоенных пространств играет важнейшую роль в совре менной математической физике. Достаточно отметить, что в основе общей теории относительности лежит расслоение реперов, которое является главным расслоением со структурной группой GL(, R). В основе калибровочных моделей элементарных частиц лежит главное расслоение с полупростой компактной структурной группой, которой обычно является некоторая подгруппа унитарной группы U(). В насто ящем разделе мы дадим определения и рассмотрим основные свойства главных и ассоциированных расслоений.

12.1 Главные расслоения В дифференциальной геометрии важнейшую роль играют главные расслоения. Фак тически, они лежат в основе многих геометрических конструкций.

Определение. Главным расслоением называется четверка P(M,, G), где P и M – многообразия, G – группа Ли, : P M – отображение, которые удовлетворяют следующим условиям:

1) определено свободное дифференцируемое действие группы G на P справа:

PG (, ) P;

(12.1) 2) M есть факторпространство для P по отношению эквивалентности, индуци рованному действием группы G, и каноническая проекция : P M = P/G дифференцируема;

3) каждая точка M имеет окрестность Ux такую, что существует диффео морфизм : 1 (Ux ) () = (), () ( ) Ux G (12.2) такой, что отображение : 1 (Ux ) G удовлетворяет условию () = () для всех 1 (Ux ) и G (локальная тривиальность).

( ) Многообразие P называется пространством расслоения, M – базой расслоения, G – структурной группой и – проекцией.

12.1. ГЛАВНЫЕ РАССЛОЕНИЯ Поскольку отображение (12.2) является диффеоморфизмом, то dim P = dim M + dim G.

Иногда в качестве структурной группы мы будем рассматривать не группу Ли, а группу, состоящую из конечного или счетного набора элементов. Для удобства такие группы мы будем считать 0-мерными группами Ли. В этом случае dim P = dim M.

Замечание. Каждое главное расслоение является расслоением в смысле определе ния, данного в разделе 2.4. В дополнение к общему определению расслоения мы зафиксировали типичный слой, предположив, что им является группа Ли G, и до бавили действие этой группы на пространстве расслоения P так, чтобы оно было согласовано с проекцией. Дифференцируемая структура на P согласована с диффе ренцируемыми структурами на M и G, поскольку отображение, по предположению, является диффеоморфизмом. На самом деле, можно было бы потребовать только непрерывность отображения, а затем с его помощью перенести дифференцируе мую структуру с M и G на пространство расслоения P.

Замечание. Пара (P, G) является группой преобразований, определенной в разделе 9. Однако, не всякая группа преобразований есть главное расслоение. Напомним, что в общем случае пространство орбит M/G группы преобразований (M, G) может оказаться нехаусдорфовым топологическим пространством и на нем нельзя ввести дифференцируемую структуру.

Условие локальной тривиальности главного расслоения можно изобразить в виде коммутативной диаграммы P 1 (Ux ) Ux G pr = -?

Ux pr где pr – естественная проекция прямого произведения Ux G - Ux на первый сомножитель. Групповое действие на пространстве расслоения описывается эквива риантной диаграммой id 1 (Ux ) G (Ux G) G P Ux G, ? ?

Ux G (Ux ) где P и Ux G обозначают действие элемента группы G на пространстве рассло ения и прямом произведении M G.

Определение. Для каждой точки базы M множество 1 () есть замкнутое подмногообразие в пространстве расслоения P, которое называется слоем над. Се чением или глобальным сечением главного расслоения P(M,, G) называется диф ференцируемое отображение : M P такое, что = id M. Дифференцируемое отображение : U P, где U M – некоторая окрестность базы, называется локальным сечением над U, если = id U.

446 ГЛАВА 12. ГЛАВНЫЕ И АССОЦИИРОВАННЫЕ РАССЛОЕНИЯ Каждый слой является орбитой G какой либо точки 1 (). То, что каж дый слой представляет собой замкнутое подмногообразие в P является следствием предложения 9.1.3. Поскольку действие группы Ли G в каждом слое свободно и тран зитивно, то между точками слоя и структурной группы имеется взаимно однозначное соответствие. То есть каждый слой 1 () диффеоморфен G. Этот диффеоморфизм осуществляет функция в отображении (12.2) при фиксированном M.

При каждом фиксированном P отображение (12.1) дифференцируемо. Поэто му каждой точке главного расслоения соответствует диффеоморфизм структурной группы на типичный слой в данной точке 1 (), G : (12.3) где = (). В дальнейшем мы иногда будем рассматривать точку именно в этом смысле, как отображение.

Сечение, если оно существует, не может быть сюрьективным отображением, т.к.

размерность базы в общем случае меньше размерности расслоения. Для накрытий размерность базы совпадает с размерностью главного расслоения. Если накрытие многолистно, то сечение также не является сюрьективным отображением. Сечение сюрьективно в одном случае, когда структурная группа состоит из единственного элемента – единицы. Сужение проекции на образ базы (M) в P является диф ференцируемым отображением, которое обратно к сечению. Поэтому пара (, M) является подмногообразием в P. Если dim G 1, то это подмногообразие замкнуто в P (см. раздел 2.10).

Пример 12.1.1. Пусть G – группа Ли и M – многообразие. Определим действие группы G справа на прямом произведении P = M G:

G : MG,, M G.



Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 31 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.