авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 31 |

«Геометрические методы в математической физике 17 октября 2013 г. Катанаев Михаил Орионович1 ...»

-- [ Страница 15 ] --

(13.20) r с помощью равенства ( ) i Tx (M), x (1,..., r ) = (1,..., r ), где – любая точка слоя 1 () и i – произвольный касательный вектор в, для которого i = i для каждого. Подробнее, (1,..., r ) есть тогда элемент стандартного слоя V, а – линейное отображение из V на слой E (). Поэтому 13.2. ФОРМА КРИВИЗНЫ И СТРУКТУРНОЕ УРАВНЕНИЕ ( ) (1,..., r ) является элементом слоя E (). Нетрудно проверить, что этот эле мент не зависит от выбора точки и вектора i в слое 1 (). Обратно. Пусть задано мультилинейное антисимметричное отображение (13.20) для всех M. Тогда можно определить тензориальную -форму типа (, V) на P следующим образом (1,..., r ) = 1 x ( 1,..., r ), ( ) i Tp (P), где = (). В частности, тензориальная 0-форма типа (, V), т.е. функция : P V, удовлетворяющая условию () = ()(), может быть отождествлена с сече нием ассоциированного расслоения E : M E. Несколько специальных случаев данного примера будет использовано в дальнейшем.

Продолжим обсуждение связности на главном расслоении P(M,, G). Пусть Vp (P) и Hp (P) – вертикальное и горизонтальное подпространства в Tp (P) и h : Tp (P) Hp (P) – проекция на горизонтальное подпространство. Введем новое понятие внеш ней ковариантной производной от псевдотензориальной -формы, с помощью кото рой будет определена кривизна.

Предложение 13.2.1. Пусть – псевдотензориальная -форма на P типа (, V).

Тогда:

1) -форма h, определенная равенством i Tp (P), h(1,..., r ) := (h1,..., hr ), = 1,...,, есть тензориальная форма типа (, V);

2) есть псевдотензориальная ( + 1)-форма типа (, V);

3) ( + 1)-форма, определенная как := ()h, является тензориальной формой типа (, V).

Доказательство. Распределение горизонтальных векторных полей инвариантно от носительно действия структурной группы, поэтому a h = h a. Отсюда следует, что h является псевдотензориальной -формой типа (, V). Очевидно, что h(1,..., r ) = 0, если один из касательных векторов i вертикален, и, следовательно, форма h го ризонтальна. Второе утверждение следует из равенства a = a для всех G (3.44). Третье утверждение является прямым следствием двух первых.

Определение. Форма = ()h называется внешней ковариантной производной от псевдотензориальной -формы на P. Оператор называется внешним ковари антным дифференцированием.

Пример 13.2.4 (Локальное рассмотрение). Выпишем ковариантную производ ную от тензориальной 0-формы на Q = U G типа (, V) в компонентах. Пусть i, = 1,..., dim V, – базис векторного пространства V и i j () G aut V :

– представление структурной группы. Пусть aj i – представление генераторов (бази са) a структурной группы. Тогда справедливы формулы (8.65) и (8.66). Поскольку – тензориальная 0-форма типа (, V), то она имеет вид () = i ()i = j () 1j i ()i, = (, ) Q, 480ГЛАВА 13. СВЯЗНОСТИ НА ГЛАВНЫХ И АССОЦИИРОВАННЫХ РАССЛОЕНИЯХ где (, 0) = i ()i – значение этой функции на нулевом сечении 0 () = (, 0) P.

Внешний дифференциал от компонент i равен i = j 1j i + a j a 1j i = j 1j i + a j 1j i = a = j 1j i + a j 1j k ak i.

Поскольку горизонтальная составляющая вектора имеет вид (13.7), то значение внеш ней ковариантной производной на произвольном векторном поле X(P) равно i () = i (h) = j 1j i, (13.21) где введено обозначение j = j + k k j, k j = a ak j.

Теперь спустимся на базу U. Рассмотрим два произвольных сечения ( ) ( ) :, (), :, ()(), и связанных калибровочным преобразованием, которое параметризуется функцией ().

Обозначим значение компонент i () на этих сечениях через i () = i |, i () = i |.

и (13.22) Эти функции на U связаны калибровочным преобразованием i = j 1j i (), = (). (13.23) Внешний ковариантный дифференциал после проектирования на базу с помощью возвратов отображений и принимает вид (i ) = i, (13.24) (i ) = i, где i := i + j j i, (13.25) i := i + j j i.

Выше мы ввели обозначения: j i := a aj i и j i := a aj i, где a и a – компоненты локальных форм связности (13.11). Нетрудно проверить, что при ка либровочном преобразовании (13.23), (13.15) ковариантная производная ведет себя ковариантно:

i = j 1j i. (13.26) Этого следовало ожидать, так как определение ковариантной производной было да но в инвариантном виде. Таким образом, мы видим, что инвариантное определение внешней ковариантной производной для тензориальной 0-формы типа (, V) совпа дает с обычным определением ковариантной производной в теории калибровочных полей. В примере 13.2.3 было показано, что тензориальную 0-форму типа (, V) мож но отождествить с сечением ассоциированного расслоения, типичным слоем которо го является векторное пространство V. Таким образом, формулы (13.25) определяют ковариантные производные от сечений E : M E ассоциированного расслоения E(M, E, V, G, P).

13.2. ФОРМА КРИВИЗНЫ И СТРУКТУРНОЕ УРАВНЕНИЕ В примере 13.2.1 было отмечено, что форма связности на P есть псевдотензо риальная 1-форма типа ad G. Используя предложение 13.2.1, дадим Определение. Внешняя ковариантная производная := от формы связности является тензориальной 2-формой на P типа ad G и называется формой кривизны для формы связности. Если a базис алгебры Ли, то = a a, где a 2 (P) для всех a = 1,..., n.

Теорема 13.2.1 (Структурное уравнение). Пусть – форма связности на глав ном расслоении P(M,, G) и := – ее форма кривизны. Тогда 1 [ ] (, ) = (), ( ) + (, ) (13.27) для всех, Tp (P) и P.

Доказательство. Каждый вектор в Tp (P) единственным образом разлагается в сум му вертикального и горизонтального векторов. Так как каждый член в (13.27) би линеен и антисимметричен по и, то достаточно проверить равенство (13.27) в трех случаях.

1) p и p горизонтальны для всех P. В этом случае () = ( ) = 0 и равенство (13.27) сводится к определению формы кривизны, т.к. = для горизонтальных векторных полей.

2) p и p вертикальны для всех P. В этом случае их значения в точке соответствуют некоторым фундаментальным векторным полям, т.е. p = p и p = p для некоторых, g. Из формулы (3.36) следует равенство 2(, ) = ( ) ( ) [, ] = ( ) ( ) ( ) = [, ] = [( ), ( )], т.к. ( ) =, ( ) = и [, ] = [, ]. Поскольку для фундаментальных векторных полей (, ) = 0, то формула (13.27) в рассматриваемом случае имеет место.

3) p горизонтально, p вертикально для всех P. Продолжим p Hp (P) до горизонтального векторного поля на P. Это всегда возможно в силу следствия теоремы 12.2.2. Пусть p = p для некоторого g. В рассматриваемом случае правая часть равенства (13.27) равна нулю, поэтому достаточно доказать равенство (, ) = 0. Из формулы (3.36) следует, что 2(, ) = ( ) () [, ] = [, ].

( ) ( ) ( ) ( ) Теперь достаточно доказать следующее утверждение Лемма 13.2.1. Пусть – горизонтальное векторное поле и – фундаментальное векторное поле, соответствующее элементу алгебры g. Тогда коммутатор [, ] горизонтален.

Доказательство. Фундаментальное векторное поле индуцировано действием a(t), где () – 1-параметрическая подгруппа в G, порожденная элементом алгебры 482ГЛАВА 13. СВЯЗНОСТИ НА ГЛАВНЫХ И АССОЦИИРОВАННЫХ РАССЛОЕНИЯХ g (экспоненциальное отображение). Поскольку коммутатор векторных полей совпадает с производной Ли, то из (2.124) следует равенство a(t) [, ] = LY = lim.

t Если векторное поле горизонтально, то a(t) тоже горизонтально. Поэтому ком мутатор [, ] горизонтален.

Следствие. Если и – горизонтальные векторные поля, то ([, ]) = 2(, ). (13.28) Доказательство. Для горизонтальных векторных полей () = ( ) = 0 и 2(, ) = ([, ]) как следствие (3.36).

Структурное уравнение (13.27) называют также структурным уравнением Кар тана и часто для простоты записывают в виде = [, ] +. (13.29) Приведем еще одну форму записи структурного уравнения. Пусть a, a = 1,..., n, – базис алгебры Ли g с коммутационными соотношениями [a, b ] = ab c c, где ab c – структурные константы алгебры. Тогда формы связности и кривизны мож но разложить по базису, = a a и = a a, и структурные уравнения принимают вид a = b c bc a + a. (13.30) Замечание. Структурное уравнение (13.27) отличается от формулы Маурера–Картана для групп Ли (8.22) только слагаемым с кривизной. Для фундаментальных вектор ных полей (, ) = 0 и формулы просто совпадают.

Теперь спустимся на базу. Пусть задано локальное сечение : U P на некото рой окрестности U M.

Определение. 2-форма на U со значениями в алгебре Ли g, определенная возвратом сечения, :=, где – форма кривизны на P(M,, G), называется локальной формой кривизны формы связности.

В компонентах локальная форма кривизны имеет вид = a a = a a, (13.31) где a = 2 a 2 (U) для всех a = 1,..., n.

13.2. ФОРМА КРИВИЗНЫ И СТРУКТУРНОЕ УРАВНЕНИЕ Пример 13.2.5 (Локальное рассмотрение). В настоящем примере мы выра зим компоненты локальной формы кривизны через компоненты локальной формы связности. Чтобы это сделать, сначала определим компоненты формы кривизны на Q = U G через компоненты формы связности. Внешняя производная от формы связности (13.5) имеет вид [ ] 1 a = ( ) b + a a b a a = [ ] 1 1 b b c = ( ) + bc bc a, a a c a a 2 где a (, ) = b () 1b a (). Кроме того мы воспользовались формулой Маурера– Картана (8.23) для структурной группы и правилом дифференцирования матрицы присоединенного представления (8.41). Теперь нетрудно вычислить значение формы кривизны на векторных полях (, ) = (h, h ) = a a, где a = a a b c bc a (13.32) – компоненты формы кривизны. Эти компоненты можно выразить через компонен ты, заданные на нулевом сечении a (, ) = b () 1b a (), где a = a a b c bc a (13.33) – компоненты тензора кривизны для нулевого сечения. Таким образом, форма кри визны имеет вид = a a, (13.34) где компоненты определены равенствами (13.32).

Теперь спустимся на базу U. Для сечений (13.22) получаем следующие выражения для локальных форм кривизны := = a a, := = a a, где a = a a b c bc a (13.35) и такое же выражение для a через штрихованные компоненты a. Нетрудно про верить, что компоненты локальной формы кривизны преобразуются ковариантным образом, a = b 1b a, (13.36) при калибровочном преобразовании (13.19).

Переходя к присоединенному представлению a b c := a ab c, 484ГЛАВА 13. СВЯЗНОСТИ НА ГЛАВНЫХ И АССОЦИИРОВАННЫХ РАССЛОЕНИЯХ получаем следующее выражение для локальной формы кривизны a b = a b a b a c c b + a c c b. (13.37) Это выражение совпадает с выражением для локальной формы кривизны в аффин ной геометрии (5.56), которое было получено ранее, после замены a b a b. Тем самым мы показали, что аффинная связность, которая была введена ранее незави симым образом, является частным случаем связности на главном расслоении общего вида. Выражение для компонент локальной формы кривизны (13.37) можно записать в виде = [, ], (13.38) где мы, для краткости, опустили матричные индексы и квадратные скобки обозна чают коммутатор матриц. При калибровочном преобразовании (13.16) компоненты локальной формы кривизны преобразуются ковариантно:

= 1, как и следовало ожидать.

Форма кривизны играет важную роль в приложениях. Обращение в нуль ее ком понент дает критерий локальной тривиальности связности. Действительно, при дока зательстве локальной тривиальности линейной связности в разделе 5.5 конкретный вид структурной группы не был использован. Поэтому справедлива Теорема 13.2.2. Пусть в некоторой односвязной области U M заданы компо ненты локальной формы связности a b. Если соответствующая локальная форма кривизны равна нулю на U, то существует такое калибровочное преобразование, после которого компоненты локальной формы связности обратятся в нуль, воз можно, в меньшей окрестности. Или, существует такая матрица калибровочного преобразования, что компоненты локальной формы связности имеют вид чистой калибровки = 1, (13.39) где мы, для краткости, опустили матричные индексы.

При проведении вычислений на пространстве главного расслоения P, например, в моделях типа Калуцы–Клейна, в касательном расслоении T(P) удобно использовать базис {, }, состоящий из горизонтальных векторных полей a := a, (13.40) a и фундаментальных векторных полей. Этот базис неголономен, a [, ] = a, (13.41) a [, ] = 0, (13.42) a [a, ] = ab c, (13.43) b c где a – компоненты формы кривизны (13.32). Второе коммутационное соотно шение (13.42) является следствием инвариантности распределения горизонтальных подпространств относительно действия группы справа (напомним, что левоинвари антные векторные поля генерируют действие группы справа, а правоинвариантные 13.2. ФОРМА КРИВИЗНЫ И СТРУКТУРНОЕ УРАВНЕНИЕ – слева, раздел 8.3). Заметим, что ковариантную производную от тензориальной 0-формы типа (, V) можно записать в виде = ( i )i, где векторное поле действует как дифференцирование. Это следует из определе ния (13.21). В приведенной формуле i = i (, ) в отличии )от формул (13.25), где ( ковариантная производная берется от сечений i = i, (). Кроме того, справед ливо равенство [, ]i = j j i, (13.44) где j i := a aj i. Эта формула является аналогом формулы (6.90), полученной в аффинной геометрии. В аффинной геометрии в правой части стоит дополнительное слагаемое с тензором кручения.

Для связи с моделями математической физики дадим Определение. Компоненты локальной формы кривизны a называются напря женностью калибровочного поля или напряженностью поля Янга–Миллса. В элек тродинамике калибровочной группой является абелева группа U(1), а компоненты локальной формы кривизны называются напряженностью электромагнитного поля.

Продолжим общее рассмотрение.

Теорема 13.2.3 (Тождества Бианки). Пусть на главном расслоении P(M,, G) задана форма кривизны. Тогда форма кривизны = удовлетворяет тожде ствам Бианки:

= 0, (13.45) где – внешняя ковариантная производная.

Доказательство. Из определения внешней ковариантной производной следует, что (,, ) = 0, если хотя бы один из векторов,, вертикален. Поэтому доста точно доказать, что (,, ) = 0, когда все три вектора горизонтальны. Возьмем внешнюю производную от структурного уравнения (13.30):

1 0 = a = b c bc a + b c bc a + a.

2 Поскольку a () = 0, если вектор горизонтален, то a (,, ) = если все три вектора горизонтальны.

Теорема 13.2.4. Пусть – форма связности на главном расслоении P(M,, G) и – произвольная тензориальная 1-форма типа ad G. Тогда 1 (, ) = (, ) + [(), ( )] + [(), ( )] 2 для всех, Tp (P) и P.

486ГЛАВА 13. СВЯЗНОСТИ НА ГЛАВНЫХ И АССОЦИИРОВАННЫХ РАССЛОЕНИЯХ Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 13.2.1 о структурном урав нении. См., например, [45].

Пример 13.2.6 (Локальное рассмотрение). Запишем тождества Бианки в ком понентах. Внешняя производная от компонент формы кривизны (13.34) имеет вид 1 b a = a = a + b 2 1 b c bc a.

= a 2 Ее значение на горизонтальных векторных полях равно a (h, h, h) = 3 [ ] a, где квадратные скобки обозначают антисимметризацию по трем индексам, и a = a + b c bc a.

Таким образом, тождества Бианки в компонентах имеют вид a + a + a = 0. (13.46) Если задано локальное сечение расслоения, то эти тождества можно спустить на базу, используя возврат отображения. Тогда тождества Бианки для компонент локальных форм кривизны и связности примут следующий вид a + a + a = 0, где a = a + b c bc a и напряженность a имеет вид (13.35). Именно в таком виде они, как правило, используются в приложениях.

13.3 Параллельный перенос Пусть на главном расслоении P(M,, G) задана связность : P Hp Tp (P).

Определим понятие параллельного переноса слоя 1 (0 ) над точкой базы 0 M вдоль произвольной кусочно дифференцируемой кривой [0, 1] () M : (13.47) с началом в точке 0. Для наших целей достаточно рассматривать кусочно диффе ренцируемые кривые класса 1.

Определение. Горизонтальной кривой в P называется кусочно дифференцируемая кривая, все касательные векторы которой горизонтальны. Горизонтальным лифтом или подъемом (или просто лифтом) кривой (13.47), заданной на базе M, называется горизонтальная кривая в P, [0, 1] () P, :

такая, что =.

13.3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС Понятие горизонтального лифта кривой соответствует понятию лифта векторного поля. Действительно, если (P) – лифт дифференцируемого векторного поля, заданного на базе M, то интегральная кривая векторного поля, проходящая через точку 0 P, есть горизонтальный лифт интегральной кривой поля, проходящей через точку 0 = (0 ).

Предложение 13.3.1. Пусть = (), [0, 1], – кусочно дифференцируемая кри вая класса 1 в M с началом в точке 0 M. Тогда для произвольной точки слоя 0 1 (0 ) существует единственный горизонтальный лифт = () кривой с началом в точке 0.

Доказательство. Состоит в явном построении лифта. См., например, [45].

Используя предложение 13.3.1, определим параллельное перенесение слоев сле дующим образом.

Определение. Пусть = () – кривая в M с началом и концом в точках 0 и 1.

Пусть – единственный горизонтальный лифт кривой, который начинается в точке 0, находящейся в слое 1 (0 ). Лифт имеет конечную точку 1 P такую, что (1 ) = 1. Меняя начальную точку 0 в слое 1 (0 ), мы получаем отображение слоя 1 (0 ) в слой 1 (1 ), которое переводит точку 0 в 1. Это отображение называется параллельным переносом слоя из точки 0 в точку 1 вдоль кривой. Параллельный перенос слоев обозначается той же буквой, что и кривая, : 1 (0 ) 1 (1 ).

Параллельный перенос слоев является изоморфизмом, что вытекает из следую щего утверждения.

Предложение 13.3.2. Параллельный перенос слоя : 1 (0 ) 1 (1 ) вдоль любой кривой перестановочен с действием структурной группы G на P: a = a для всех G.

Доказательство. Это следует из того, что правое действие структурной группы a отображает каждую горизонтальную кривую в горизонтальную, см. рис.13.1.

Рис. 13.1: Параллельный перенос слоев вдоль кривой.

Параллельный перенос слоя вдоль кривой не зависит от выбора параметризации кривой. Кроме того, если слой переносится из точки 0 в точку 1 параллельно вдоль кривой, то он параллельно переносится вдоль этой же кривой из точки 0 в любую промежуточную точку (), [0, 1], на.

488ГЛАВА 13. СВЯЗНОСТИ НА ГЛАВНЫХ И АССОЦИИРОВАННЫХ РАССЛОЕНИЯХ Замечание. Если точки 0 и 1 в базе M фиксированы, то в общем случае парал лельный перенос слоя 1 (0 ) в слой 1 (1 ) зависит от кривой, соединяющей эти точки. Для односвязных баз эта зависимость характеризуется формой кривизны формы связности и будет обсуждаться в следующих разделах.

При рассмотрении фундаментальной группы в разделе 10.3 мы определили про изведение путей (кривых) 2 1 как последовательный проход вдоль путей 1 и (10.4) и обратный путь 1 как путь, проходимый в обратном направлении (10.5).

Следующее предложение очевидно.

Предложение 13.3.3. 1) Если 1 – путь из 0 в 1 и 2 – путь из 1 в 2, то параллельный перенос слоя 1 (0 ) в слой 1 (2 ) вдоль произведения путей 2 равен произведению отображений слоев 2 1 : 1 (0 ) 1 (2 ).

2) Если 1 – обратный путь для пути из точки 0 в точку 1, то парал лельный перенос слоя 1 (1 ) в слой 1 (0 ) вдоль пути 1 является обратным отображением 1 = 1 : 1 (1 ) 1 (0 ).

13.4 Группы голономии Пусть задано главное расслоение P(M,, G) со связностью. Используя понятие параллельного переноса, определим группу голономии данной связности.

Обозначим через (M, ) множество замкнутых кусочно дифференцируемых кри вых (петель) на базе M с началом и концом в точке M. Подмножество, состоящее из путей, гомотопных постоянному пути в точке, обозначим 0 (M, ) (M, ).

Произведение и обратный путь для всех путей из (M, ) были определены в разде ле 10.3. В разделе 13.3 было показано, что параллельный перенос слоя 1 () вдоль замкнутого пути (M, ) есть изоморфизм слоя 1 () на себя. В общем слу чае этот изоморфизм будет нетривиален, т.к. после параллельного переноса вдоль замкнутого пути слой может повернуться. Множество всех таких изоморфизмов об разует группу в силу предложения 13.3.3.

Определение. Группа, состоящая из изоморфизмов слоя 1 (), которые соответ ствуют параллельным переносам данного слоя вдоль всех замкнутых кусочно диф ференцируемых путей (M, ), называется группой голономии () связности в точке M. Подгруппа 0 () (), соответствующая параллельным переносам вдоль замкнутых путей, стягиваемых в точку, 0 (M, ), называется суженной группой голономии связности в точке M.

Группу голономии () и суженную группу голономии 0 () можно считать под группами в структурной группе G следующим образом.

Определение. Зафиксируем некоторую точку слоя 1 (). После параллельно го переноса слоя вдоль пути (M, ) эта точка отобразится в некоторую точку () = 1 (), где G – некоторый элемент структурной группы. Если задан другой путь (M, ), которому соответствует элемент G, то произведение путей определяет элемент G, поскольку ( ) () = () = () =.

По предложению 13.3.3 множество элементов G, определенных всеми путями (), образует группу, которая называется группой голономии () связности в точке P. Замкнутым путям 0 (M, ) соответствует суженная группа голономии 0 () в точке P.

13.4. ГРУППЫ ГОЛОНОМИИ Замечание. () есть группа изоморфизмов слоя 1 () на себя, a () есть под группа в G. Выше мы построили единственный изоморфизм из () на (), который делает коммутативной следующую диаграмму:

(M, ) ?

() () Группу голономии () можно определить другим образом. Введем на простран стве главного расслоения отношение эквивалентности, где, P, если точки и можно можно соединить горизонтальной кривой. При этом точки и не обя зательно лежат в одном слое. Нетрудно проверить, что это действительно отношение эквивалентности. Тогда группа голономии () совпадает с множеством тех элемен тов G, для которых. Легко проверить, что это множество элементов образует подгруппу в G, т.к. влечет за собой.

Предложение 13.4.1. Пусть дано главное расслоение P(M,, G) со связностью.

Тогда:

1) Если =, G, то () = ad (1 )(), т.е. группы голономии точек одного слоя () и () сопряжены в G. Аналогично, 0 () = ad (1 )0 ().

2) Если точки, P можно соединить горизонтальной кривой, т.е., то () = () и 0 () = 0 ().

Доказательство. 1). Пусть (), т.е.. Тогда и, следовательно, 1. Поэтому ad (1 ) = 1 (). Отсюда вытекает, что () = ad (1 )() и 0 () = ad (1 )0 ().

2) Отношение влечет за собой. Из транзитивности отношения эквивалентности следует, что тогда и только тогда, когда, т.е.

() тогда и только тогда, когда (). Тем самым () = (). Чтобы доказать равенство 0 () = 0 (), допустим, что – горизонтальная кривая в P из в. Если 0 (), то существует горизонтальная кривая в P из в такая, что кривая в базе является замкнутым путем с началом и концом в точке (), которая гомотопна постоянному пути в точке (). Тогда композиция (b ) есть горизонтальная кривая в P из в и ее проекция на базу M есть замкнутый путь с началом и концом в точке (), который гомотопен постоянному пути. Поэтому 0 ().

Если база M связна, то для любой пары точек, P найдется элемент G такой, что. Поэтому из предложения 13.4.1 следует, что группы голономии () для всех точек P сопряжены друг другу в G и поэтому изоморфны. По тем же причинам все суженные группы голономии 0 () также изоморфны друг другу.

Итак, мы определили группу голономии (), суженную группу голономии 0 () и показали, что с точностью до преобразования подобия они не зависят от точки расслоения P. Теперь сформулируем несколько общих свойств групп голономий.

Теорема 13.4.1. Пусть P(M,, G) – главное расслоение со связной базой M. Пусть () и 0 () – группа голономии и суженная группа голономии связности в точке 490ГЛАВА 13. СВЯЗНОСТИ НА ГЛАВНЫХ И АССОЦИИРОВАННЫХ РАССЛОЕНИЯХ P. Тогда:

1) 0 () есть связная подгруппа Ли в ();

2) 0 () есть нормальная подгруппа в () и фактор группа ()/0 () счетна.

Доказательство. Используется паракомпактность базы M. См., например, [45].

Следствие. Группа голономии () является подгруппой Ли в структурной группе G с компонентой единицы 0 (). В частности, dim () = dim 0 ().

При определении групп голономий мы не оговорили класс дифференцируемости рассматриваемых кусочно дифференцируемых кривых (M, ). Чем ниже класс дифференцируемости, тем больше множество кривых. Поэтому могло бы оказаться так, что группы голономии зависят от класса дифференцируемости кривых. Это ока зывается не верно. Пусть k (M, ) – множество замкнутых кусочно дифференцируе мых путей в M с началом и концом в точке M класса k. Обозначим соответству ющую группу голономии через k (). Очевидно, что 1 () 2 ()... ().

Верны также и обратные включения.

Теорема 13.4.2 (Номидзу, Одзеки). Все группы голономии k (), 1, совпадают.

Доказательство. См. [73].

Следствие. Все суженные группы голономии k (), 1, совпадают.

Доказательство. Согласно теореме 13.4.1 суженная группа голономии k () есть связная компонента единицы группы k ().

Замечание. В случае, когда P(M,, G) является вещественно аналитическим глав ным расслоением с аналитической связностью, можно определить группу голоно мии (), используя только кусочно аналитические кривые. Можно доказать, что () = 1 () и () = 1 () [45].

0 Поскольку группы голономии не зависят от класса дифференцируемости путей, то в дальнейшем мы не будем его указывать.

13.5 Петля Вильсона Настоящий раздел посвящен одному из способов вычисления группы голономии.

Пусть задано главное расслоение P(M,, G) со связностью. Рассмотрим окрест ность U M с координатами, = 1,...,, содержащую точку базы 0 M, и отождествим подрасслоение 1 (U) с прямым произведением U G. Тогда точка подрасслоения задается парой элементов = (, ( U G. Пусть = () – произ ) ) вольная кривая в U с началом в точке 0 и = (), () – ее единственный гори зонтальный лифт с началом в точке 0 = (0, 0 ). При этом функция () определяет некоторую кривую в структурной группе G с началом в точке 0. В инвариантном виде мы пишем = (), (13.48) где = (), – опорная кривая в 1 (U), лежащая в нулевом сечении, для которой ( ) ( ) =. При этом мы рассматриваем равенство (13.48) как уравнение на () при заданной кривой, которая однозначно определяет опорную кривую.

13.5. ПЕТЛЯ ВИЛЬСОНА Касательный вектор к горизонтальной кривой имеет вид = (, ). Уравнение для () получается из условия горизонтальности. Рассмотрим окрестность едини цы группы, где форма связности имеет вид (13.5). Горизонтальность касательного вектора к кривой записывается в виде равенства ( ) = ( a + b 1 b a )a = 0.

Отсюда следует система уравнений на a ():

b 1b a + b 1 b a = 0, (13.49) где a () – компоненты локальной формы связности на нулевом сечении (поле Янга–Миллса) и b a () – матрица присоединенного представления, соответствую щая элементу G.

Уравнение (13.49) неудобно для приложений, т.к. содержит матрицу b a (), кото рая определена только в окрестности единицы группы. Чтобы устранить это неудоб ство, перейдем к какому либо представлению структурной группы : G 1j i () ( ) aut V,, = 1,..., dim V.

Мы выбрали представление в виде обратных матриц, чтобы не менять общеприня того определения упорядоченного (хронологического) произведения, которое будет дано ниже. Теперь заметим, что 1i j = a a 1i j = b 1 b a a 1i j = b 1 b a 1i k ak j, где ai j – представление генераторов a алгебры Ли g, и мы воспользовались прави лом дифференцирования матриц представления (8.64). Умножив уравнение (13.49) на 1i k ak j и воспользовавшись инвариантностью генераторов ai j (8.66), получаем уравнение на матрицу представления 1i j i k 1k j = 0, где i j := a ai j. Это уравнение можно переписать в почти ковариантном виде ( ) 1 j k 1 j i i k = 0.

Для ковариантности не хватает одного слагаемого с калибровочным полем для ин декса. Опустив, для краткости, матричные индексы, получаем уравнение 1 = 1, (13.50) которое можно записать в интегральном виде:

t x(t) 1 1 1 1.

() = 0 + = 0 + 0 x(0) где 0 := 1 (0 ), точка обозначает дифференцирование по и второй интеграл берется вдоль кривой от точки (0) до точки (). Решение этого уравнения запи сывается в виде упорядоченной P-экспоненты ( t ) 1 () = P exp 0, (13.51) 492ГЛАВА 13. СВЯЗНОСТИ НА ГЛАВНЫХ И АССОЦИИРОВАННЫХ РАССЛОЕНИЯХ которая определена разложением в ряд ( t t t s ) 2 1 1 2 2 +..., (13.52) P exp = 1 + + 1 0 0 0 где k (k ) k k = = 1, 2,....

k (k ), k Напомним общее определение P-произведения.

Определение. Пусть задано семейство операторов (), непрерывно зависящих от вещественного параметра, тогда { (1 )(2 ), 1 2, P[(1 )(2 )] = (13.53) (2 )(1 ), 1 называется P-произведением или упорядоченным произведением операторов (1 ) и (2 ).

Если операторы для различных точек коммутируют, то P-произведение совпадает с обычным произведением.

Замечание. В квантовой теории поля роль параметра часто играет время. Поэтому P-произведение называют также хронологическим произведением.

Нетрудно проверить равенство t s1 sk 1 2... k (1 )(2 )... (k ) = 0 0 1t t t = 1 2... k P[(1 )(2 )... (k )].

! 0 0 Поэтому разложение (13.52) имеет место.

Известно, что ряд (13.52) равномерно сходится в шаре произвольного радиуса.

Продолжим общее построение. Если представление структурной группы является точным, то матрица представления 1 () однозначно определяет элемент структур ной группы = 1 ( 1 ). В этом случае решение (13.51) определяет кривую () с началом в точке 0 G. Меняя точку 0, мы получаем отображение 1 (0 ) (0, 0 ) (), () 1 (), ( ) ( ) 0 G. (13.54) Поскольку кривая горизонтальна, то это отображение задает параллельный пере нос слоя 1 (0 ) главного расслоения P вдоль пути M.

Таким образом, решение (13.51) определяет параллельный перенос слоев (13.54) через компоненты связности на опорном нулевом сечении. Отображение (13.54) можно построить для произвольного(опорного сечения следующим образом. Пусть ) задано произвольное сечение () =, (). Тогда компоненты локальной формы связности для рассматриваемого представления на этом сечении имеют вид (13.15) 1 = b b + b b, b := ().

13.5. ПЕТЛЯ ВИЛЬСОНА Для горизонтальной кривой имеем ( ) ( ) = (), () = (), ()(), (13.55) ( ) где () – некоторая новая кривая в G, связывающая кривую (), () на сечении 1 с горизонтальной кривой. Поскольку a = b c, то простые вычисления приводят (13.50) к уравнению 1 c = c, определяющему кривую () с начальным условием 0 = 1 0. Решение этого урав нения также дается упорядоченной экспонентой ( t ) 1 c () = P exp c(0).

Эта формула также определяет параллельный перенос (13.54), что следует из (13.55).

1 1 Поскольку 0 = b(0) c(0), то простые вычисления приводят к следующему пра вилу преобразования упорядоченной экспоненты при изменении сечения ( t ( t ) ) 1 (t ).

P exp = (0 )P exp (13.56) 0 Этот закон преобразования похож на тензорный, однако таковым не является, потому что слева и справа стоят матрицы преобразования, взятые в различных точках: в начале и конце пути.

Если задано два произвольных сечения (13.10) то имеет место аналогичная фор мула.

Рассмотрим замкнутый путь в базе (U, 0 ). Поскольку мы ограничились координатной окрестностью U, то все пути стягиваемы к точке 0 (гомотопны посто янному пути в 0 ). Для этих путей (1) = (0) и P-экспонента при калибровочном преобразовании 0 преобразуется по тензорному закону ( ) ( ) 1 (0 ).

P exp = (0 )P exp (13.57) При параллельном переносе слоя 1 (0 ) вдоль замкнутого пути точка 0 = (0, 0 ) отобразится в точку 1 = (0, 1 ). Пусть 0 =, тогда 0 = 1. В этом случае [ ( )] 1 ( ) 0 0 (0 ) = ^ P exp (13.58) ( ) – элемент суженной группы голономии 0 0 (0 ). Здесь мы предполагаем, что пред ставление является точным. Этот элемент определяется калибровочным полем, соответствующим нулевому сечению 0, которое проходит через начальную точку кривой (0, ). Если 0 =, то элемент группы голономии имеет вид 1 1 0 (0 ) и равен [ ( ) ] 1 0 P exp 0 = 1 0 0 (0 ).

( ) 0^ То есть он сопряжен элементу в соответствии с утверждением 1) предложения ^ 13.4.1.

494ГЛАВА 13. СВЯЗНОСТИ НА ГЛАВНЫХ И АССОЦИИРОВАННЫХ РАССЛОЕНИЯХ Поскольку P-экспонента для замкнутого пути при изменении сечения преобра зуется по тензорному закону (13.57), то для произвольного сечения P-экспонента ( ) определяет элемент суженной группы голономии 0 (0 ), [ ( )] 1 ( ) 0 (0 ), P exp (13.59) где – калибровочное поле, соответствующее произвольному сечению, проходяще му через точку (0 ) 1 (U). Таким образом, рассматривая все замкнутые пути M с началом в точке 0, можно определить суженную группу голономии.

Определение. След от P-экспоненты [ ( )] [] := tr P exp. (13.60) называется петлей Вильсона.

Предложение 13.5.1. Петля Вильсона инвариантна относительно калибровоч ных преобразований.

Доказательство. Прямое следствие равенства (13.57).

Замечание. Петля Вильсона играет важную роль в решеточной формулировке кван товых калибровочных моделей.

Полученное выражение для упорядоченной экспоненты (13.51) не зависит от вы бора координат на U M. Это значит, что понятие упорядоченной экспоненты, которое было получено в одной карте, без труда переносится на произвольные пути в M, которые в общем случае не покрываются одной картой. Для этого весь путь надо разбить на отрезки, каждый из которых покрывается одной картой, и взять сумму интегралов вдоль каждого отрезка.

13.6 Отображение связностей В разделе 12.3 мы изучили отображение расслоений. В частности, было определено вложение (инъекция) расслоений, редукция структурной группы, а также индуци рованное расслоение. Ниже мы изучим вопрос о том, как ведут себя связности и со ответствующие им группы голономий при отображении расслоений. В дальнейшем эти результаты будут использованы при изучении групп голономий.

Предложение 13.6.1. Пусть : P1 (M1, 1, G1 ) P2 (M2, 2, G2 ) – гомоморфизм главных расслоений, состоящий из дифференцируемого отображения пространств расслоений P : P1 P2 и гомоморфизма структурных групп G : G1 G2, такой, что индуцированное отображение баз M : M1 M2 есть диффеоморфизм. Пусть 1 – связность на P1 с формой связности 1 и формой кривизны 1. Тогда:

1) Существует единственная связность 2 на P2 такая, что P отображает горизонтальные подпространства связности 1 в горизонтальные подпро странства связности 2.

13.6. ОТОБРАЖЕНИЕ СВЯЗНОСТЕЙ 2) Если 2 и 2 – формы связности и кривизны для 2, то P 2 = g 1 и P 2 = g 1, где правые части g 1 и g 1 обозначают g2 -значные формы на P1, опреде ленные соотношениями:

( ) ( ), (P1 ), (g 1 )() = g 1 () и (g 1 )(, ) = g 1 (, ) где g = G – гомоморфизм алгебр Ли g1 g2, индуцированный отображе нием структурных групп G : G1 G2 (дифференциал отображения G ).

3) Если 2 = P (1 ) P2 – образ точки 1 P1, то G гомоморфно отображает группу голономии (1 ) в точке 1 на (2 ) и ограниченную группу голономии 0 (1 ) на 0 (2 ).

Доказательство. Проводится путем явного построения связности 2 на P2. См., на пример, [45].

Определение. В ситуации, описанной в предложении 13.6.1, говорят, что отоб ражает связность 1 в связность 2. В частном случае, если P1 (M1, 1, G1 ) – реду цированное подрасслоение в P2 (M2, 2, G2 ), т.е. G – мономорфизм, M1 = M2 = M и M = id M, то говорят, что связность 2 на P2 редуцируема к связности 1 на P1.

Автоморфизм главного расслоения P(M,, G) называется автоморфизмом связ ности на P, если он отображает в. В этом случае говорят, что связность инвариантна относительно.

Предложение 13.6.2. Любая связность на главном расслоении P(M,, G) инва риантна относительно вертикальных автоморфизмов (пример 12.3.1).

Доказательство. Прямое следствие свойства 2) в определении связности.

Следствие. Пусть Q(M,, H) – подрасслоение в P(M,, G), где H – подгруппа Ли в G. Пусть - связность на P с формой связности. Тогда связность на P реду цируема к связности на Q тогда и только тогда, когда сужение формы связности на Q является h-значным, где h – подалгебра Ли в g, соответствующая подгруппе Ли H G. Если связность редуцируема к, то группы голономии и суженные группы голономии 0 для Q и P изоморфны.

Доказательство. Пусть – связность на Q. Ее форма связности, по определению, h-значна и по предложению 13.6.1 продолжается единственным образом до связности на P. Обратно. Если связность на P редуцируема к связности на Q, то сужение на Q h-значно. Пусть связность редуцируема к. Отождествим множество то чек Q с его образом P (Q) в P. Тогда любая горизонтальная кривая в P с началом в произвольной точке P (Q) будет целиком лежать в P (Q), т.к. сужение рас пределения горизонтальных подпространств в P на Q совпадает со связностью на Q. Поскольку группы голономии для всех точек P изоморфны, то изоморфны также все группы голономии для Q и P.

Предложение 13.6.3. Пусть Q(M,, H) – подрасслоение в главном расслоении P(M,, G), где H – подгруппа Ли в G. Допустим, что алгебра Ли g для G допускает подпро странство m такое, что g = h m и ad (H)m = m, где h подалгебра Ли для H.

Тогда для каждой формы связности на P h-компонента формы связности, суженная на Q является формой связности на Q.

496ГЛАВА 13. СВЯЗНОСТИ НА ГЛАВНЫХ И АССОЦИИРОВАННЫХ РАССЛОЕНИЯХ Доказательство. См., например, [45].

Замечание. В силу следствия из предложения 13.6.1 форма связности совпадает с на Q.

В предложении 13.6.1 мы рассматривали отображение связности 1 на P1 в неко торую связность 2 на P2. При определенных условиях справедливо также обратное утверждение, и связность с P2 можно перенести на P1.

Предложение 13.6.4. Пусть : P1 (M1, 1, G1 ) P2 (M2, 2, G2 ) – гомоморфизм главных расслоений такой, что гомоморфизм структурных групп G : G1 G является изоморфизмом. Пусть 2 – связность на P2 с формой связности 2 и формой кривизны 2. Тогда:

1) Существует единственная связность 1 на P1 такая, что P отображает горизонтальные подпространства связности 1 в горизонтальные подпро странства связности 2.

2) Если 1 и 1 – формы связности и кривизны для 1, то P 2 = g 1 и P 2 = g 1, где праве части определены в предложении 13.6.1.

3) Если 2 = P (1 ) P2 – образ точки 1 P1, то изоморфизм G гомоморф но отображает группу голономии (1 ) в точке 1 в (2 ) и ограниченную группу голономии 0 (1 ) в 0 (2 ).

Доказательство. Проводится путем явного построения связности 1 на P1. См., на пример, [45].

Определение. В ситуации, описанной в предложении 13.6.4, говорят, что связность 1 индуцирована гомоморфизмом из связности 2.

Следствие. Пусть : P1 (M1, 1, G) P2 (M2, 2, G) – отображение расслоений с одинаковой структурной группой такое, что G = id G – тождественный автомор физм. Если 2 – форма связности на P2, то отображение P индуцирует связность на P1 : 1 = P 2. В частности, для данного главного расслоения P(M,, G) и отоб ражения баз N : N M каждая связность на P индуцирует связность на N (P). В частном случае, если U M – открытое подмножество, то связность на P(M,, G) индуцирует связность на индуцированном подрасслоении P|U = 1 (U).

Замечание. В предложении 13.6.1 связность 2 на P2 строилась таким образом, что гомоморфное отображение групп голономий является сюрьективным. В пред ложении 13.6.4 утверждается, что отображение групп голономий является только гомоморфизмом.

13.7 Связность на ассоциированном расслоении Пусть дано главное расслоение P(M,, G) и ассоциированное с ним расслоение E(M, E, F, G, P) с типичным слоем F (см. раздел 12.2). Если на P задана связность, то она определяет связность на E следующим образом.

Определение. Пусть E – произвольная точка ассоциированного расслоения.

Вертикальным подпространством Vu (E) в ( касательном пространстве Tu (E) назы ) вается касательное пространство к слою E E (), которое лежит в Tu (E).

13.7. СВЯЗНОСТЬ НА АССОЦИИРОВАННОМ РАССЛОЕНИИ Чтобы определить горизонтальное подпространство, вспомним, что ассоцииро ванное расслоение строилось с помощью естественной проекции на фактор простран ство P F E = P G F.

Выберем точку (, ) P F, которая проектируется на E. Теперь зафиксируем точку типичного слоя F и рассмотрим отображение : P () = E, (13.61) отображающее точку P в () E. То есть каждой точке типичного слоя ставится в соответствие отображение (13.61), которое мы обозначаем той же буквой.

Замечание. В отличии от отображения : F Fx, определенного ранее (12.15), это отображение в общем случае не является диффеоморфизмом, так как размерности главного и ассоциированного расслоения могут отличаться. Даже если размерно сти совпадают, dim G = dim F, то этого недостаточно для того, чтобы отображение (13.61) было диффеоморфизмом. Действительно, если 0 – неподвижная точка груп пы преобразований, то отображение 0 () переводит все точки слоя 1 () в одну фиксированную точку ассоциированного расслоения 0 E ().

Поскольку точки (, ) и (, ) из P F проектируются в одну и ту же точку ассоциированного расслоения E, то (1 )() = (), т.е. диаграмма P P ?

E коммутативна. Используя построенное отображение, определим горизонтальные под пространства в ассоциированное расслоении.

Определение. Горизонтальным подпространством в точке E называется образ ( ) Hu (E) = Hp (P), где – дифференциал отображения (13.61).

Легко видеть, что подпространство Hu (E) не зависит от выбора точек (, ) P F, которые проектируются в точку E. Действительно, поскольку ()() = (1 ), то () = a. Поэтому для точки (, ), которая проектируется в ту же точку E, что и (, ), справедливо равенство Hu = () Hpa = a a Hp = Hp, где мы использовали инвариантность (13.3) распределения горизонтальных подпро странств на P. В следующем примере мы докажем, что касательное пространство к ассоциированному расслоению представляет собой прямую сумму, Tu (E) = Vu (E) Hu (E). (13.62) Этого достаточно для определения связности на ассоциированном расслоении. Тем не менее построенная связность на ассоциированном расслоении обладает дополни тельным свойством, которое наследуется из главного расслоения: она инвариантна 498ГЛАВА 13. СВЯЗНОСТИ НА ГЛАВНЫХ И АССОЦИИРОВАННЫХ РАССЛОЕНИЯХ относительно действия группы справа. Действительно, по-построению, отображение (13.61) перестановочно с групповым действием. Поэтому перестановочны также диф ференциалы этих отображений, a = a.

Тогда из правой инвариантности связности на главном расслоении (13.3) следует инвариантность связности на ассоциированном расслоении:

a Hu (E) = Hua (E). (13.63) Пример 13.7.1 (Локальное рассмотрение). Рассмотрим достаточно малую ко ординатную окрестность на базе, U M, с координатами, = 1,...,, такую, что выполнены условия локальной тривиализации расслоений, 1 (U) U G и 1 E (U) U F. Отождествим 1 (U) с U G и E (U) с U F. Ограничим наше рас смотрение окрестностью единицы группы Ли, UG G, где определены координаты a, a = 1,..., n, и функция композиции (см. раздел 8.1). Выберем также некоторую координатную окрестность в типичном слое, UF F, где определены координаты i, = 1,..., dim F, и задано отображение в координатной форме. Тогда точки расслоений будут иметь координаты = {, a } P и = {, i } E. По опре делению, векторы i касательны к слою E () и, следовательно, образуют базис i вертикальных подпространств Vu (E) для всех E. Пусть 0 = {0 } UF – фик сированная точка типичного слоя. Тогда соответствующее этой точке отображение (13.61) в координатах имеет вид {, a } {, i (0, )} U UG U UF, 0 :

где i (0, ) – некоторая функция координат 0 и a. Пусть = a, где a i a есть компоненты формы связности (13.4), – базис горизонтальных подпространств Hp (P) в главном расслоении, который был построен ранее (13.40). Тогда он отобра жается в касательное пространство к ассоциированному расслоению, = a i i Hp (P) Hu (E), 0 : a где действует на i (0, ) как дифференцирование по. Конкретный вид функций a i (0, ) зависит от типичного слоя и действия на нем структурной группы. Незави симо от вида функций i (0, ) векторы линейно независимы, т.к. содержат, и поэтому образуют базис горизонтального подпространства Hu (E). Таким образом со вокупность векторов {, i } образует базис касательного пространства Tu (E), кото рый соответствует разложению (13.62). Аналогичное построение можно выполнить в окрестности произвольной точки ассоциированного расслоения E. Следова тельно, разложение касательного пространства Tu (E) в прямую сумму (13.62) имеет место в общем случае.

Если типичный слой – это векторное пространство V, на котором задано пред ставление (см., раздел 8.8), то j i (0, ) = 0 1j i (), где j i () – матрица представления элемента G. В этом случае j a i = a 0 j k ak i = j j i, a 13.7. СВЯЗНОСТЬ НА АССОЦИИРОВАННОМ РАССЛОЕНИИ где введено обозначение j i := a aj i и мы воспользовались правилом диффе ренцирования матриц представления (8.65). Тогда базис горизонтальных векторных полей на ассоциированном расслоении имеет вид = + j j i i. (13.64) Этот базис инвариантен относительно действия структурной группы G на ассоции рованном расслоении E справа. Действительно, действие элемента G на базисный вектор (13.64) имеет вид b = + i i j () 1j k ()k, т.к. i (0, ) = j (0, ) 1j i (). Поскольку i () = j () 1j i () и a () = b 1b a (), то b |u = |ub, где мы воспользовались инвариантностью (8.66) матриц представления генераторов структурной группы. Это соответствует инвариантности распределения горизонталь ных подпространств на ассоциированном расслоении (13.63).

Определения горизонтального лифта и параллельного переноса для ассоцииро ванных расслоений дословно повторяют определения, данные для главных расслое ний.

Определение. Кривая в ассоциированном расслоении E называется горизонталь ^ ной, если касательный к ней вектор горизонтален в каждой точке. Если задана кри вая в базе M, то горизонтальным лифтом или просто лифтом этой кривой назы вается такая горизонтальная кривая в E, что E (^ ) =.

^ Предложение 13.7.1. Пусть = (), [0, 1], – кусочно дифференцируемая кри вая класса 1 в M с началом в точке 0 M. Тогда для произвольной точки слоя 0 E (0 ) существует единственный горизонтальный лифт = () кривой с ^ началом в точке 0.

Доказательство. Сначала докажем существование горизонтального лифта. Выбе рем точку (0, 0 ) P F такую, что 0 (0 ) = 0, где отображение определено формулой (12.15). Согласно предложению 13.3.1 существует единственный горизон тальный лифт кривой в главное расслоение P с началом в точке 0 P. Тогда кривая = (0 ) является горизонтальным лифтом кривой в базе в ассоциирован ^ ное расслоение E. Действительно, касательный вектор к кривой лежит в H (E), ^ что сразу следует из определения дифференциала отображения (2.72). Единствен ность горизонтального лифта следует из единственности решения системы линейных дифференциальных с заданными начальными условиями.

Для формулировки следующего утверждения нам понадобится естественное Определение. Локальное сечение ассоциированного расслоения : U E, опре деленное на открытом подмножестве U M, называется параллельным или горизон тальным, если образ Tx (M), где – дифференциал сечения, горизонтален при всех U, т.е. для любой кривой в U, соединяющей точки 0 и 1, точка слоя (0 ) при параллельном переносе слоя вдоль кривой переходит в точку (1 ).

500ГЛАВА 13. СВЯЗНОСТИ НА ГЛАВНЫХ И АССОЦИИРОВАННЫХ РАССЛОЕНИЯХ В предложении 12.2.3 мы отождествили ассоциированное расслоение E(M, E, G/H, G, P) с фактор пространством P/H. Затем в теореме 12.3.2 привели критерий редуцируемо сти структурной группы G главного расслоения P(M,, G) к подгруппе H, который заключается в существовании глобального сечения ассоциированного расслоения E. Кроме того, была установлена естественная взаимно однозначная связь между сечениями ассоциированного расслоения E и редуцированными главными расслое ниями Q(M,, H). В примере 12.3.2 эта теорема была использована для доказатель ства существования римановой метрики на произвольном многообразии. Возникает вопрос о том, в каком случае связность, заданная на главном расслоении P редуци руема к связности на редуцированном расслоении Q ? Ответ дает следующее утвер ждение.

Предложение 13.7.2. Пусть P(M,, G) – главное расслоение и E(M, E, G/H, G, P) ассоциированное расслоение со стандартным слоем G/H, где H – замкнутая под группа в G. Пусть : M E – глобальное сечение ассоциированного расслоения и Q(M,, H) редуцированное подрасслоение в P(M,, G), соответствующее сечению. Связность на P редуцируема к связности на Q тогда и только тогда, когда сечение параллельно относительно.

Доказательство. См., например, [45].

13.8 Свойства групп голономий Продолжим изучение свойств групп голономий, которое было начато в разделе 13.4.

Теорема 13.8.1 (Теорема редукции). Пусть P(M,, G) – главное расслоение со связностью и – произвольная точка в P. Обозначим через P() множество точек в P, которые можно соединить с точкой горизонтальными кусочно диф ференцируемыми кривыми. Тогда:

1) P() – редуцированное главное расслоение со структурной группой ();

2) Связность редуцируема к связности на P().

Доказательство. См., например, [45].

Эта теорема оправдывает следующее Определение. Главное расслоение P(), с базой M, проекцией и структурной груп пой (), состоящее из множества точек в главном расслоении P(M,, G), которые можно соединить с точкой горизонтальными кусочно дифференцируемыми кривы ми, называется расслоением голономии через.

Очевидно, что P() = P() тогда и только тогда, когда точки и можно соеди нить горизонтальной кривой. В разделе 13.4 было введено отношение эквивалентно сти:, если и можно соединить горизонтальной кривой. Поэтому для каждой пары точек из главного расслоения P(M,, G) либо P() = P(), либо P() P() =.

Другими словами, главное расслоение P(M,, G) разлагается в объединение, P(M,, G) = P(), pP 13.9. ПЛОСКИЕ СВЯЗНОСТИ попарно непересекающихся расслоений голономии. Так как каждый элемент G отображает каждую горизонтальную кривую в горизонтальную, то a P() = P() и отображение a : P() P() индуцирует изоморфизм расслоений = (P, G ), где P = a, с соответствующим изоморфизмом структурных групп:


G = ad (1 ) : () (), т.к. группы голономии в различных точках сопряжены друг другу (предложение 13.4.1). Легко видеть, что для двух произвольных точек, P(M,, G) существует такой элемент G, что P() = P(). Поэтому все расслоения голономий P() изоморфны друг другу.

Теорема 13.8.2 (Амброз–Зингер). Пусть P(M,, G) – главное расслоение со связ ной базой M. Пусть – связность на P с формой кривизны, (0 ) – группа го лономии в точке 0 P и P(0 ) – расслоение голономии через 0. Тогда алгебра Ли группы голономии (0 ) совпадает с подпространством в алгебре Ли g структур ной группы G, порожденной всеми элементами вида p (, ) для всех P(0 ) и всех горизонтальных векторных полей, в точке.

Доказательство. Используется паракомпактность M [74].

Теорема 13.8.3. Пусть P(M,, G) – главное расслоение со связным пространством расслоения P. Если dim M 2, то существует связность на P такая, что рас слоения голономии P() для всех P(M,, G) совпадают с главным расслоением P(M,, G).

Доказательство. Явное построение связности. При этом используется паракомпакт ность M [45]. Для линейных связностей это утверждение было доказано в [75]. В общем случае доказательство дано в [76].

Следствие. Любая связная группа Ли G может быть реализована как группа голо номии некоторой связности в тривиальном главном расслоении P = M G, где M – произвольное дифференцируемое многообразие размерности dim M 2.

Доказательство. Выберем связную окрестность U M. Тогда расслоение U G связно и мы попадаем в зону деятельности теоремы 13.8.3. Связность с U G про должается на связность на M G согласно предложению 13.6.1.

13.9 Плоские связности Рассмотрим тривиальное главное расслоение P = M G. Для каждого элемента структурной группы G множество M{} есть подмногообразие в P. В частности, M {}, где – единица группы, есть редуцированное подрасслоение в P.

Определение. Канонической плоской связностью на тривиальном главном рассло ении P = M G называется распределение горизонтальных подпространств Hp (P), образованное касательными пространствами к M {} для всех точек = (, ) M G.

502ГЛАВА 13. СВЯЗНОСТИ НА ГЛАВНЫХ И АССОЦИИРОВАННЫХ РАССЛОЕНИЯХ Предложение 13.9.1. Связность на тривиальном главном расслоении P = MG является канонической плоской тогда и только тогда, когда она редуцируема к единственной связности на M {}.

Доказательство. Выберем нулевое сечение 0 : (, ). Это сечение является главным расслоением P(M,, ), на котором существует единственная связность. Эта связность взаимно однозначно определяет каноническую плоскую связность на P = M G.

Пусть – каноническая форма на группе Ли G, определенная в разделе 8.2. Обо значим через pr : M G G естественную проекцию и положим := pr = a a. (13.65) Эта 1-форма является частным случаем формы связности (13.5) и определяет ка ноническую плоскую связность на P. Формула Маурера–Картана для канонической 1-формы (8.27) влечет, что каноническая плоская связность имеет нулевую кривизну, так как ( ) 1 1 = ( pr ) = pr () = pr [, ] = [ pr, pr ] = [, ].

2 2 Сравнивая полученное равенство со структурным уравнением (13.27), заключаем, что форма кривизны канонической плоской связности тождественно равна нулю, = 0.

Теперь рассмотрим случай произвольного главного расслоения. Дадим общее Определение. Связность на главном расслоении P(M,, G) называется плоской, если каждая точка базы M имеет окрестность U такую, что индуцированная связность на P|U = 1 (U) изоморфна канонической плоской связности на U G.

Другими словами, существует изоморфизм : 1 (U) U G, отображающий горизонтальное подпространство в каждой точке 1 (U) в горизонтальное под пространство канонической плоской связности на U G в точке ().

Предложение 13.9.2. Пусть задано главное расслоение P(M,, G). Тогда плоская связность на P существует и единственна с точностью до изоморфизма.

Доказательство. Если задано главное расслоение, то определен атлас на базе M = i Ui и семейство функций перехода (12.7), которые по теореме 12.1.2 с точностью до изоморфизма определяют главное расслоение. Выбрав координатное покрытие базы достаточно малым, можно считать, что все координатные окрестности Ui соот ветствуют окрестностям, входящим в определение плоской связности. Согласно тео реме 13.1.1 для однозначного задания связности на P достаточно задать семейство локальных форм связности на каком либо атласе базы. Это означает, что плоская связность на произвольном главном расслоении P(M,, G) существует и единственна с точностью до изоморфизма.

Теорема 13.9.1. Связность на главном расслоении P(M,, G) является плоской тогда и только тогда, когда ее форма кривизны равна нулю, = 0.

13.9. ПЛОСКИЕ СВЯЗНОСТИ Доказательство. Необходимость очевидна. Обратно. Допустим, что форма кривиз ны равна нулю. Пусть U – односвязная окрестность точки P и рассмотрим ин дуцированную связность на P|U = 1 (U). По теоремам 13.4.1 и Амброза–Зингера 13.8.2 группа голономии индуцированной связности на P|U состоит только из едини цы. Применяя теорему редукции 13.8.1, мы видим, что индуцированная связность на P|U изоморфна канонической плоской связности на U G.

Следствие. Любая связность на главном расслоении P(M,, G) с одномерной ба зой M является плоской.

Доказательство. Любая 2-форма на одномерном многообразии равна нулю. Отсюда следует, что все локальные формы кривизны тоже равны нулю. Так как для формы кривизны только горизонтальные компоненты являются нетривиальными, то она также обращается в нуль.

Следствие. Пусть – связность на главном расслоении P(M,, G) такая, что ее форма кривизны равна нулю, = 0. Если база M односвязна, то главное расслоение P изоморфно тривиальному расслоению M G и связность изоморфна канониче ской плоской связности на M G.

Доказательство. Группа голономии в рассматриваемом случае состоит из един ственного элемента – единицы. Поэтому расслоение голономии P() пересекает каж дый слой ровно в одной точке. Следовательно, каждое расслоение голономии задает глобальное сечение, и поэтому главное расслоение тривиально. При этом горизон тальные подпространства касательны к расслоению голономии. Пусть P() – произвольная точка расслоения голономии через и 0 = (, ) – нулевое сечение главного расслоения P = M G. Тогда для каждой точки базы M существует единственный элемент () G такой, что 0 =, где = (). При этом верти кальный автоморфизм переводит связность на P = M G в каноническую плоскую связность.

Если форма кривизны равна нулю, то распределение горизонтальных векторных полей находится в инволюции. Это сразу следует из (13.41), т.к. векторы образуют базис распределения горизонтальных векторных полей. Согласно теореме Фробени уса для плоской связности через каждую точку главного расслоения P(M,, G) проходит интегральное подмногообразие. Все касательные векторы к интегральным подмногообразиям горизонтальны и интегральное подмногообразие, проходящее че рез точку, совпадает с расслоением голономии P() через.

Пример 13.9.1 (Локальное рассмотрение). Пусть Q = U G – тривиальное главное расслоение, база U которого покрыта одной картой. Общий вид формы связ ности на Q был найден ранее, см. (13.5). Сравнение этого выражения с выражением (13.65) показывает, что связность на Q является канонической плоской тогда и толь ко тогда, когда часть ее компонент, описывающих произвол в выборе связности на нулевом сечении, обращаются в нуль, a () = 0. Из равенства (13.13) следует, что компоненты локальной формы канонической плоской связности для произвольного ( ) сечения :, () имеют вид a () = b 1 b a ().

После перехода к какому либо представлению структурной группы {i j ()} G aut V, :

504ГЛАВА 13. СВЯЗНОСТИ НА ГЛАВНЫХ И АССОЦИИРОВАННЫХ РАССЛОЕНИЯХ для компонент локальной формы связности справедливо равенство (13.15). Посколь ку a = 0, то компоненты плоской связности в общем случае имеют вид = 1, (13.66) где мы, для простоты, опустили матричные индексы.

Определение. Калибровочное поле, заданное равенством (13.66) на координат ной окрестности, называется чистой калибровкой.

Теперь рассмотрим случай, когда база M главного расслоения не является од носвязной. Пусть – связность на главном расслоении P(M,, G) со связной базой M. Выберем произвольную точку 0 P(M,, G) и обозначим через M = P(0 ) рас ( ) слоение голономии через 0. Тогда M M,, (0 ) есть главное расслоение над M со структурной группой (0 ). Так как суженная группа голономии 0 (0 ) для плос кой связности всегда тривиальна, то по теоремам 13.4.1 и Амброза–Зингера 13.8. группа голономии (0 ) при неодносвязной базе дискретна. Поэтому отображение : M M является накрытием со связным накрывающим пространством.

Пусть 0 = (0 ) M. Каждая замкнутая кривая в базе M, исходящая из 0, при помощи параллельного переноса слоев вдоль нее определяет некоторый эле мент группы голономии (0 ). Поскольку суженная группа голономии тривиальна, то любые две замкнутые и гомотопные относительно начала кривые, представляю щие один и тот же элемент фундаментальной группы (M, 0 ), порождают один и тот же элемент из (0 ). Таким образом мы получаем сюрьективное отображение фундаментальной группы (M, 0 ) на группу голономии (0 ). Легко видеть, что это отображение является гомоморфизмом групп. Пусть H – нормальная подгруппа в (0 ) и положим M = M/H. Тогда M – главное расслоение над M со структур ной группой (0 )/H. В частности, отображение : M M – накрытие. Пусть P (M,, G) – главное расслоение, индуцированное из P(M,, G) накрывающей про екцией M = : M M. Пусть : P (M,, G) P(M,, G) – естественный гомоморфизм главных расслоений, см. теорему 12.3.4, тогда справедливо Предложение 13.9.3. Существует единственная связность на главном рас слоении P (M,, G), которая отображается на связность на P(M,, G) гомо морфизмом : P P. Связность плоская. Если точка 0 P такова, что M (0 ) = 0, то группа голономии (0 ) для связности изоморфно отображается на H гомоморфизмом G.


Доказательство. См., например, [45].

В данном утверждении всегда можно выбрать в качестве нормальной подгруппы единицу группы голономии (0 ).

Следствие. Пусть P(M,, G) – главное расслоение, индуцированное из P(M,, G) накрывающей проекцией M = : M M. Тогда существует единственная связ ность на главном расслоении P(M,, G), которая отображается на связность на P. Связность плоская, и соответствующая ей P(M,, G) гомоморфизмом : P группа голономии тривиальна.

13.10. ЛОКАЛЬНЫЕ И ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ГРУППЫ ГОЛОНОМИИ 13.10 Локальные и инфинитезимальные группы го лономии Группа голономии () в точке P(M,, G), которая является важнейшей гло бальной характеристикой ( связности, была определена при помощи множества всех ) замкнутых путей в базе M, (). Это крайне неудобно для практических вычис лений, так как зачастую структура многообразия M просто неизвестна. Возникает вопрос, можно ли каким либо образом вычислить группу голономии, исходя из ло кальных характеристик связности? В некоторых случаях суженная группа голоно мии 0 () действительно определяется локальными свойствами связности. В настоя щем разделе мы опишем два подхода к этой проблеме, которые основаны на понятиях локальной и инфинитезимальной групп голономии.

Начнем рассмотрение с локальной группы голономии. Пусть на главном рассло ении P(M,, G) со связной базой M задана связность. Для каждого связного и односвязного открытого подмножества базы U M обозначим через U связность на P|U = 1 (U), которая индуцирована из связности. В силу следствия из пред ложения 13.6.4 связность U существует и единственна – это сужение связности на 1 (U). Для каждой точки 1 (U) обозначим через 0 (, U) и P(, U) сужен ную группу голономии с опорной точкой и расслоение голономии через точку для связности U соответственно. Напомним, что расслоение голономии P(, U) со стоит из тех точек 1 (U), которые можно соединить с точкой горизонтальной кривой, целиком лежащей в 1 (U).

Рассмотрим две окрестности U2 U1, которые содержат точку = (). Тогда всякая замкнутая петля, целиком лежащая в U2, будет также петлей в U1. Поэтому справедливо включение 0 (, U2 ) 0 (, U1 ).

Как подгруппа суженной группы голономии 0 () группа 0 (, U1 ) однозначно опре деляется своей алгеброй Ли. Поэтому из равенства размерностей dim 0 (, U2 ) = dim (, U1 ) следует совпадение групп голономии 0 (, U2 ) = 0 (, U1 ). Это наблю дение приводит к следующему понятию.

Определение. Локальной группой голономии loc () в точке называется пересе чение loc () = 0 (, U) (13.67) U по всем связным и односвязным открытым окрестностям U точки = ().

Замечание. В настоящем разделе мы будем рассматривать только связные и од носвязные открытые окрестности точек. Поэтому в дальнейшем, для краткости, мы будем говорить просто окрестности.

Пусть {Uk }, = 2,..., – последовательность окрестностей, сходящихся к точке 1,, т.е. Uk Uk+1 и Uk = {}. Тогда, очевидно, имеют место включения k= 0 (, U1 ) 0 (, U2 ) 0 (, U3 )...

Поскольку для каждой окрестности U точки существует целое число U такое, что Uk U для всех U, то локальная группа голономии представима в виде loc () = 0 (, Uk ).

k= 506ГЛАВА 13. СВЯЗНОСТИ НА ГЛАВНЫХ И АССОЦИИРОВАННЫХ РАССЛОЕНИЯХ Так как каждая суженная группа голономии 0 (, Uk ) есть связная подгруппа Ли в структурной группе G (теорема 13.4.1), то отсюда следует, что размерность суженной группы голономии dim 0 (, Uk ) постоянна для достаточно больших. Поэтому для больших значений справедливо равенство loc () = 0 (, Uk ).

Замечание. Конечно, суженная группа голономии 0 (, ) для “окрестности”, состо ящей из одной точки, состоит ровно из одного элемента – единицы, и ее размерность равна нулю. Допустим, что параметр в последовательности {Uk } непрерывен. Это может быть, например, радиус шара, если последовательность Uk состоит из шаров.

Тогда функция dim 0 (, Uk ) от принимает значения в целых числах и не может быть непрерывной, если суженная группа голономии 0 () для всего главного рас слоения нетривиальна. В дальнейшем мы увидим, что при определенных условиях локальная группа голономии loc () совпадает с суженной группой 0 ().

Предложение 13.10.1. Локальные группы голономии имеют следующие свойства:

1) локальная группа голономии loc () есть связная подгруппа Ли в структур ной группе G, содержащаяся в суженной группе голономии 0 ();

2) каждая точка = () имеет окрестность U такую, что loc () = 0 (, V) для любой окрестности V, содержащейся в U;

3) если U – окрестность точки = (), о которой говорится в свойстве 2), то loc () loc () для всех точек P(, U);

4) для каждого G справедливо равенство loc () = ad (1 )loc ();

5) для каждого целого множество точек базы {() = M : dim loc () } открыто в M.

Доказательство. Свойства 1)–4) очевидны. Докажем свойство 5). Из свойства 4) следует, что функция dim loc () постоянна на каждом слое и поэтому ее можно рассматривать как функцию на базе M, принимающую целые значения. Из свойств 3) и 4) вытекает, что dim loc () dim loc (), для всех точек 1 (U). Отсюда вытекает свойство 5).

Теорема 13.10.1. Пусть g0 () и gloc () – алгебры Ли для групп голономий 0 () и loc () соответственно. Тогда 0 () и g0 () порождаются соответственно всеми loc () и gloc () для всех точек P().

Доказательство. См., например, [45].

Теорема 13.10.2. Если dim loc () постоянна на главном расслоении P(M,, G), то локальная и суженная группы голономии совпадают, loc () = 0 (), для всех P.

Доказательство. По свойству 3) предложения 13.10.1 каждая точка = () име ет окрестность U такую, что loc () loc () для каждой точки из расслоения голономии P(, U). Так как dim loc () = dim loc (), то сами группы голономии в различных точках совпадают, loc () = loc (). Отсюда следует, что если P(), то loc () = loc () для всех P(M,, G). Из теоремы 13.10.1 вытекает равенство 0 () = loc ().

13.10. ЛОКАЛЬНЫЕ И ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ГРУППЫ ГОЛОНОМИИ Теперь перейдем к определению инфинитезимальной группы голономии и изучим ее связь с локальной группой голономии. Инфинитезимальная группа голономии может быть определена только для гладких главных расслоений P(M,, G) с гладкой связностью. В дальнейшем мы будем считать, что условие гладкости выполнено.

Инфинитезимальная группа голономии в точке главного расслоения P(M,, G) определяется при помощи формы кривизны связности, заданной на P. Сначала определим индуктивно семейство подпространств mk (), = 0, 1, 2,..., в алгебре Ли g структурной группы G. Пусть m0 () подпространство в g, порожденное всеми эле ментами вида p (, ), где, – произвольные горизонтальные векторы в точке P. Рассмотрим g-значную функцию на P вида ( ) k = k... 1 (, ), (13.68) где,, 1,..., k – произвольные горизонтальные векторные поля на P и векто ры 1,..., k действуют на g-значную функцию (, ) как дифференцирования.

Пусть mk () – подпространство в алгебре Ли g, порожденное подпространством mk и значениями в точке всех функций k вида (13.68). Положим ginf () = mk (). (13.69) k= По сути дела, это то подмножество в алгебре Ли структурной группы, которое по рождается формой кривизны и всеми ее производными.

Предложение 13.10.2. Подпространство ginf () в g есть подалгебра Ли в алгебре Ли gloc () локальной группы голономии.

Доказательство. См. [77].

Это предложение позволяет ввести новое понятие.

Определение. Связная подгруппа Ли inf () в структурной группе G, порожденная подалгеброй ginf () называется инфинитезимальной группой голономии связности в точке P(M,, G).

Предложение 13.10.3. Инфинитезимальная группа голономии inf () имеет сле дующие свойства:

1) inf () является связной подгруппой Ли локальной группы голономии loc ();

2) inf () = ad (1 )inf () и ginf () = ad (1 )ginf ();

3) для каждого целого множество точек базы {() = M : dim inf () } (13.70) открыто в M;

4) если inf () = loc () в точке, то существует окрестность U точки = () такая, что inf () = loc () = inf () = loc () для всех U.

508ГЛАВА 13. СВЯЗНОСТИ НА ГЛАВНЫХ И АССОЦИИРОВАННЫХ РАССЛОЕНИЯХ Доказательство. Свойство 1) следует из предложения 13.10.2.

Свойство 2) вытекает из интуитивно понятного равенства mk () = ad (1 )mk (),.

Детали доказательства приведены в [45].

3). Размерность инфинитезимальной группы голономии dim inf () в силу свой ства 2) можно рассматривать как функцию на M со значениями в целых числах.

Если значения конечного числа функций k вида (13.68) линейно независимы в точ ке, то они таковы и в любой точке из некоторой окрестности точки. Поэтому, если свойство (13.70) выполнено в точке, то оно имеет место и в некоторой окрестности.

4). Допустим, что inf () = loc (). Из свойства 3) предложения 13.10 и свойства 5) предложения 13.10.1 следует, что точка = () имеет окрестность U такую, что 1 (U).

dim inf () dim inf () dim loc () dim loc (), и С другой стороны, loc () inf () для каждого 1 (U). Отсюда dim loc () = dim inf () = dim loc () = dim inf () и, следовательно, loc () = inf () для каждого 1 (U). Применяя теорему 13.10. к индуцированному расслоению P|U, видим, что 0 (, U) = loc () и 0 (, U) = loc ().

Если P(, U), то 0 (, U) = 0 (, U). Поэтому loc () = loc ().

Теорема 13.10.3. Если размерность инфинитезимальной группы голономии dim inf () постоянна в некоторой окрестности точки P(M,, G), то локальная и инфи нитезимальная группы голономий в точке совпадают, loc () = inf ().

Доказательство. См. [77] Следствие. Если размерность инфинитезимальной группы голономии dim inf () постоянна на всем главном расслоении P(M,, G), то 0 () = loc () = inf () (13.71) для всех P.

Доказательство. Вытекает из теорем 13.10.2 и 13.10.3.

Теорема 13.10.4. Для вещественно аналитической связности на вещественно аналитическом главном расслоении P(M,, G) следующие группы голономии равны 0 () = loc () = inf () для всех P.

Доказательство. См. [77].

Равенство групп голономий (13.71) позволяет вычислить суженную группу го лономии 0 (). Действительно, алгебра Ли инфинитезимальной группы голономии (13.69) порождена всеми функциями вида (13.68). Пусть, = 1,...,, – система координат в окрестности U точки = () и : U P – локальное сечение. Тогда 13.11. ИНВАРИАНТНЫЕ СВЯЗНОСТИ алгебра инфинитезимальной группы голономии порождается значениями компонент локальной формы кривизны a и всех ее ковариантных производных:

a, 1 a, 2 1 a,...

Ясно, что подпространство m0 g порождено всеми компонентами тензора кривиз ны a, подпространство m1 g – всеми компонентами тензора кривизны a и их первых ковариантных производных 1 a и так далее. Таким образом, при заданной связности на главном расслоении, инфинитезимальная группа голономии позволяет в принципе вычислить суженную группу голономии. Конечно, после этого необходимо проверить, что условие следствия выполнено.

13.11 Инвариантные связности Прежде чем рассматривать инвариантные связности общего вида, мы опишем важ ный частный случай.

Теорема 13.11.1. Пусть G – связная группа Ли, и H – ее замкнутая подгруппа Ли. Пусть g и h – алгебры Ли для G и H соответственно.

1) Если существует линейное подпространство m в g такое, что g = h m и ad (H)m = m, то h-компонента канонической 1-формы в G определяет связность на главном расслоении G(G/H,, H), инвариантную относитель но действия левых сдвигов из G.

2) Обратно, любая связность на главном расслоении G(G/H,, H), инвариант ная относительно действия левых сдвигов из G (если она существует), определяет разложение g = h m и может быть получена так, как это описано в пункте 1).

3) Форма кривизны инвариантной связности, определенная формой из пункта 1), равна (, ) = [, ]h, где, m – произвольные левоинвариантные векторные поля на G из m и в правой части равенства взята h-компонента коммутатора.

4) Пусть g() – алгебра Ли группы голономии () в единице группы Ли G для инвариантной связности, определенной в пункте 1). Тогда g() порождается всеми элементами вида [, ]h, где, m.

Доказательство. 1). Пусть – фундаментальное векторное поле, соответствующее элементу подалгебры h. Из определения канонической 1-формы (см. раздел 8.2) следует, что ( ) = ( ) =. Пусть m есть m-компонента канонической формы. Для любого H и Tp (G) справедливы равенства (a ) = (a ) + m (a ), ad ( )() = ad (1 )() + ad (1 )m ().

Левые части этих равенств совпадают. Поскольку по условию теоремы ad (1 )m = m, то сравнение h-компонент правых частей приводит к равенству (a ) = ad (1 )(), т.е. 1-форма определяет связность на G. Эта связность инвариантна относительно действия группы слева по построению.

510ГЛАВА 13. СВЯЗНОСТИ НА ГЛАВНЫХ И АССОЦИИРОВАННЫХ РАССЛОЕНИЯХ 2). Пусть – форма связности на главном расслоении G(G/H,, H), инвариант ная относительно действия левых сдвигов из G. Пусть m – множество лево инвариантных векторных полей на G таких, что () = 0. Тогда алгебра Ли на G разлагается в прямую сумму, g = h m.

3). Левоинвариантное векторное поле горизонтально тогда и только тогда, когда оно лежит в m. Поэтому утверждение 3) следует из равенства (13.28).

4). Пусть g1 – подпространство в g, порожденное множеством элементов вида e (, ), где, m. Пусть g2 – подпространство в g, порожденное множеством элементов a (, ), где, m для всех G. Тогда по теореме Амброза–Зингера g1 g() g2. С другой стороны, g1 = g2, т.к. a (, ) = e (, ) для любых, m и G. Теперь 4) следует из 3).

Замечание. Линейное подпространство алгебры Ли m g представляет собой рас пределение горизонтальных векторных полей на G, т.е. связность на главном рас слоении G(G/H,, H), инвариантную относительно действия группы слева. В общем случае m g является только линейным подпространством, а не подалгеброй.

Замечание. Утверждение 1) теоремы 13.11.1 можно рассматривать как частный случай предложения 13.6.3. Пусть P = (G/H) G – тривиальное главное расслоение над базой G/H со структурной группой G. Вложим расслоение G(G/H,, H) в P при помощи отображения ( ) G, () = (),, где : G G/H – естественная проекция. Пусть – форма связности, опреде ляющая каноническую плоскую связность на P. Ее h-компонента, суженная на под расслоение G(G/H,, H), по предложению 13.6.3 определяет связность и совпадает с формой связности в утверждении 1).

Возвращаясь к общему случаю, сначала докажем предложение, которое является основой для многих приложений.

Предложение 13.11.1. Пусть t – однопараметрическая группа автоморфизмов главного расслоения P(M,, G) и – векторное поле на P, индуцированное t. Пусть – связность на P, инвариантная относительно действия t. Для произвольной точки главного расслоения 0 P определим четыре кривые t, t, t и t следующим образом:

t := t (0 ) P, t := (t ) M, t есть горизонтальный лифт t такой, что 0 = 0 и t G.

t := t t, (13.72) Тогда t является однопараметрической подгруппой в структурной группе G, по рожденной элементом = p0 (), где – форма связности для.

Доказательство. Поскольку t = at t + t t, то (t ) = ad (1 )(t ) + 1 t, t t где t и t – дифференциалы отображений t : G 1 (t ) и t : G G соответ ственно. Первое слагаемое в правой части равно нулю, т.к. кривая t горизонтальна.

13.11. ИНВАРИАНТНЫЕ СВЯЗНОСТИ Следовательно, (t ) = 1 t. С другой стороны, t = t p0, где t – дифференци t ал отображения t : P P, и поэтому (t ) = (p0 ) =, т.к. форма связности инвариантна относительно однопараметрической группы преобразований t. Отсюда следует равенство = 1 t.

t Определение. Кривая t в структурной группе Ли G из условия предложения 13.11.1 называется разверткой кривой t в главном расслоении P(M,, G).

Замечание. В этом определении кривая t может быть произвольной кривой в глав ном расслоении P(M,, G), не обязательно связанной с группой симметрии связно сти.

Определение. Пусть K – группа Ли автоморфизмов главного расслоения P(M,, G) с алгеброй Ли k. Выберем в главном расслоении опорную точку 0 P. Каждый элемент из K индуцирует некоторое преобразование базы при помощи проекции.

Множество J всех элементов из K, которые оставляют неподвижной точку 0 = (0 ), образуют замкнутую подгруппу в K, которая называется подгруппой изотропии в K для точки 0 M. Определим гомоморфизм групп Ли J () = G : (13.73) следующим образом. Каждый автоморфизм J переводит 0 в точку (0 ), которая принадлежит тому же слою 1 (0 ), т.к. точка 0 неподвижна. Следовательно, ( ) (0 ) = 0 для некоторого G. Положим () =. Тогда для двух элементов подгруппы изотропии, 1, 2 J, справедливы равенства ( ) ( ) 0 (1 2 ) = (1 2 )(0 ) = 1 0 (2 ) = 1 (0 ) (2 ) = 0 (1 )(2 ).

Тем самым (1 2 ) = (1 )(2 ) и, следовательно, построенное отображение является гомоморфизмом групп. Нетрудно проверить, что отображение : J G дифферен цируемо. Гомоморфизм групп индуцирует гомоморфизм алгебр Ли, j g, :

который мы обозначили той же буквой.

Замечание. Отображение (13.73) зависит от выбора опорной точки 0 P. В насто ящем разделе мы будем считать, что опорная точка 0 выбрана и зафиксирована.

Предложение 13.11.2. Пусть K – группа Ли автоморфизмов главного расслоения P(M,, G) с алгеброй Ли k и – связность на P с формой связности и формой кривизны, инвариантная относительно автоморфизмов K. Пусть J K – под группа изотропии в K для точки 0 = (0 ) с алгеброй Ли j. Определим линейное отображение : k () = p0 () g, где – векторное поле на P, индуцированное полем. Тогда:

1) () = (), ( j;

) ( ) 2) ad () = ad () (), J и k, где ad () обозначает присо ( ) единенное представление подгруппы изотропии J в k и ad () – присоеди ненное представление структурной ) группы G в g;

( 3) 2p0 (, ) = [(), ( )] [, ],, k.

512ГЛАВА 13. СВЯЗНОСТИ НА ГЛАВНЫХ И АССОЦИИРОВАННЫХ РАССЛОЕНИЯХ Доказательство. См., например, [45].

Замечание. Геометрический смысл отображения дается предложением 13.11.1.

() – это тот элемент алгебры Ли g, который порождает однопараметрическую подгруппу t в структурной группе G, определенную равенством (13.72).

Замечание. Отображение в предложении 13.11.2 является только линейным. В общем случае оно не является гомоморфизмом алгебр Ли.

Определение. Группа автоморфизмов K действует на главном расслоении P(M,, G) слой-транзитивно, если для любых двух слоев из P существует элемент в K, отоб ражающий один слой в другой, т.е. если действие K на базе M транзитивно.

Предложение 13.11.3. Если J – подгруппа изотропии для слой-транзитивной группы автоморфизмов K в точке 0 = (0 ), то база M является однородным пространством, M K/J.

Доказательство. Вытекает из теоремы 9.1.2.

Описание K-инвариантных связностей на главном расслоении в случае слой-транзитивного действия групп автоморфизмов дает Теорема 13.11.2. Если связная группа Ли K является слой-транзитивной группой автоморфизмов главного расслоения P(M,, G) и если J – подгруппа изотропии в K для точки 0 = (0 ), то существует взаимно однозначное соответствие между множеством K-инвариантных связностей на P и множеством линейных отобра жений : k g, которые удовлетворяют условиям 1) и 2) предложения 13.11.2.

Соответствие задается следующим образом:

k () = p0 () g, : где – векторное поле на P, индуцированное полем.

Доказательство. См. [78].



Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 31 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.