авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 31 |

«Геометрические методы в математической физике 17 октября 2013 г. Катанаев Михаил Орионович1 ...»

-- [ Страница 16 ] --

Замечание. Из теоремы 13.1.1 следует, что связность на главном расслоении P(M,, G) однозначно определяется заданием семейства локальных форм связности на произ вольном покрытии базы M. Это происходит потому что при помощи действия струк турной группы распределение горизонтальных подпространств с локальных сечений можно разнести на все пространство главного расслоения P. Если известно, что связ ность инвариантна также относительно слой-транзитивных автоморфизмов K, то ло кальную форму связности достаточно задать в одной точке базы M. Действительно, при помощи автоморфизмов K она разносится по всей базе M, а затем, действуя структурной группой, ее можно разнести по всему пространству расслоения P.

Если группа автоморфизмов K не является слой-транзитивной, тогда в задании инвариантной связности появляется значительный произвол. В этом случае форму связности можно определить на каждой орбите действия группы K на P. Для этого достаточно задать ее в какой либо одной точке на каждой орбите и при помощи K разнести ее по орбитам и, наконец, по всему пространству главного расслоения P, действуя структурной группой G. После этого необходимо проверить дифференци руемость полученного распределения горизонтальных подпространств.

13.11. ИНВАРИАНТНЫЕ СВЯЗНОСТИ Если группа автоморфизмов K действует на P(M,, G) слой-транзитивно, то фор ма кривизны, которая является тензориальной формой типа ad G, инвариант ная относительно K, полностью определяется своими значениями в опорной точке p0 (, ), где и – векторные поля на P, индуцированные элементами, k алгебры Ли группы автоморфизмов K. В этом случае утверждение 3) предложения 13.11.2 выражает форму кривизны p0 (, ) в терминах.

Из предложения 13.11.2 и теорем 13.9.1 и 13.11.2 получаем Следствие. K-инвариантная связность на главном расслоении P(M,, G), опреде ленная отображением, является плоской тогда и только тогда, когда отображение : k g есть гомоморфизм алгебр Ли.

Теорема 13.11.3. Допустим, что в теореме 13.11.2 алгебра Ли k содержит ли нейное подпространство m такое, что k = j m и ad (J)m = m, где ad (J) – присо единенное представление J в k. Тогда:

1) Существует взаимно однозначное соответствие между множеством K инвариантных связностей на главном расслоении P(M,, G) и множеством линейных отображений m : m g таких, что ( ) ( ) m и J;

m ad () = ad () m (), соответствие задается теоремой 13.11.2 следующим образом { если j, (), () = m (), если m.

2) Форма кривизны для K-инвариантной связности, определяемой при помо щи отображения m, удовлетворяет следующему равенству ( ) ( ) 2p0 (, ) = [m (), m ( )] m [, ]m [, ]j,, m, где [, ]m и [, ]j обозначают соответственно m- и j-компоненту комму татора [, ] k.

Доказательство. Пусть : k g – линейное отображение, удовлетворяющее утвер ждениям 1) и 2) предложения 13.11.2. Пусть m – сужение отображения на m.

Нетрудно проверить, что отображение m является взаимно однозначным и согласно теореме 13.11.2 дает желаемое соответствие. Утверждение 2) следует из утверждения 3) предложения 13.11.2.

Определение. В теореме 13.11.3 K-инвариантная связность на главном расслоении P(M,, G), определяемая условием m = 0 называется канонической инвариантной связностью относительно разложения g = j m.

Следующая теорема определяет алгебру Ли группы голономии K-инвариантной связности.

Теорема 13.11.4. В предположениях и обозначениях теоремы 13.11.2 алгебра Ли g(0 ) группы голономии (0 ) для K-инвариантной связности, определяемой при помощи линейного отображения : k g, задается суммой [ ] m0 + [(k), m0 ] + (k), [(k), m0 ] +..., 514ГЛАВА 13. СВЯЗНОСТИ НА ГЛАВНЫХ И АССОЦИИРОВАННЫХ РАССЛОЕНИЯХ где m0 – линейное подпространство в g, порожденное множеством {[(), ( )] ([, ])},, k.

Доказательство. См., например, [45].

Замечание. Утверждения 1) и 3) теоремы 13.11.1 следуют из теоремы 13.11.3, если в качестве главного расслоения P(M,, G) выбрать G(G/H,, H) и положить K = G.

Тогда инвариантная связность из теоремы 13.11.1 является канонической инвариант ной связностью. Утверждение 4) теоремы 13.11.1 следует из теоремы 13.11.4.

Глава Приложения в квантовой механике В настоящей главе рассмотрены некоторые приложения дифференциальной геомет рии в нерелятивистской квантовой механике. Нетривиальные геометрические струк туры, а речь идет о нетривиальной связности на главном расслоении, часто воз никают при решении уравнений математической физики. В настоящей главе будет показано, как возникает нетривиальная связность на главном расслоении со струк турной группой U(1) или U(n) в нерелятивистской квантовой механике при решении уравнения Шредингера. Удивительно не столько то, что главное расслоение возни кает естественным образом, а то, что предсказанные эффекты были подтверждены экспериментально.

Сначала мы дадим геометрическую интерпретацию нерелятивистской квантовой механике в конечномерном случае. Будет показано, что гамильтониан квантовой си стемы задает компоненты локальной формы связности на главном расслоении, а уравнение Шредингера определяет параллельный перенос слоев. При этом базой яв ляется одномерное многообразие, соответствующее времени, а структурной группой – унитарная группа U(n), где n – размерность гильбертова пространства состоя ний квантовомеханической системы. Решение квантовомеханической задачи не зави сит от выбора базиса в гильбертовом пространстве, и его выбирают из соображений удобства. Использование базиса, состоящего из собственных векторов гамильтониа на, позволяет упростить доказательство адиабатической теоремы и сделать его более прозрачным.

В качестве приложения адиабатической теоремы рассмотрена фаза Берри [79]. В заключительном разделе настоящей главы рассмотрен эффект Ааронова–Бома [80], который, хотя и не имеет прямого отношения к адиабатической теореме, с геометри ческой точки зрения аналогичен фазе Берри.

Эффект Ааронова–Бома и фаза Берри привлекают большое внимание теоретиков и экспериментаторов в течении многих лет. Интерес вызван двумя обстоятельства ми. Во-первых, в обоих случаях при решении уравнения Шредингера естественным образом возникает U(1)-связность. Во-вторых, в теории калибровочных полей рас пространено мнение, что к наблюдаемым эффектам может приводить только нетри виальная напряженность поля, а не сами потенциалы, которые не являются калибро вочно инвариантными. Вопреки этому мнению Ааронов и Бом, а также Берри пока зали, что интеграл от калибровочного поля вдоль замкнутой кривой может привести к наблюдаемым эффектам. Эти выводы вскоре были подтверждены эксперименталь но.

Понятие фазы Берри было обобщено на неабелев случай, соответствующий вы рожденным уровням энергии гамильтониана, Вилчеком и Зи [81]. В этом случае при 516 ГЛАВА 14. ПРИЛОЖЕНИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ решении уравнения Шредингера естественным образом возникают неабелевы калиб ровочные поля.

Во всех перечисленных выше случаях к наблюдаемым эффектам приводят эле менты группы голономии (см. раздел 13.4) соответствующих связностей. Элементы группы голономии в общем случае являются ковариантными объектами, а для абе левой группы U(1) – инвариантными. Мы покажем, что главное расслоение может быть тривиальным, но связность, которая на нем возникает, в общем случае имеет нетривиальную группу голономии и приводит к наблюдаемым эффектам. Отсюда следует, что фаза Берри и эффект Ааронова–Бома имеют геометрическую природу.

14.1 Адиабатическая теорема Адиабатическая теорема [82] занимает одно из центральных мест в нерелятивист ской квантовой механике, т.к. позволяет находить приближенное решение уравнения Шредингера при медленном изменении гамильтониана во времени. Первоначально она была доказана для дискретного (возможно, бесконечного) спектра гамильтони ана при некоторых ограничениях на возможное пересечение уровней энергии [82].

Ниже приведено доказательство адиабатической теоремы в наиболее простом конеч номерном случае.

В нерелятивистской квантовой механике состояние системы описывается векто ром гильбертова пространства (волновой функцией) () H, зависящим от времени и некоторого набора других переменных, который определяется рассматриваемой задачей. Эволюция квантовой системы во времени описывается уравнением Шредин гера [83, 84] =, (14.1) где – самосопряженный линейный оператор, действующий в гильбертовом про странстве H, который называется гамильтонианом системы, и – постоянная План ка.

Для уравнения Шредингера, как правило, ставится задача Коши с начальным условием (0) = 0, (14.2) где 0 H – некоторый фиксированный вектор гильбертова пространства.

В дальнейшем, для простоты, положим = 1 и обозначим частную производную по времени, точкой, := t.

Предположим, для простоты, что гильбертово пространство представляет собой конечномерное комплексное пространство H = Cn комплексной размерности dim H = n. В гильбертовом пространстве задано скалярное произведение, которое обозначим круглыми скобками, H H, (, ) C.

По определению, скалярное произведение линейно по первому аргументу и выпол нено равенство: (, )† = (, ), где символ † обозначает комплексное сопряжение.

Квадрат вектора гильбертова пространства (, ) является вещественным числом, при этом мы требуем, чтобы квадратичная форма (, ) была строго положительно определена, т.е. (, ) 0, причем (, ) = 0 тогда и только тогда, когда = 0.

Тогда скалярное произведение определяет норму вектора гильбертова пространства:

:= (, ).

14.1. АДИАБАТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА Поскольку уравнение Шредингера линейно по, а гамильтониан самосопряжен, то норма произвольного решения уравнений Шредингера сохраняется во времени. От сюда следует, что векторы состояния можно нормировать. Обычно предполагается, что векторы состояния нормированы на единицу, = 1. (14.3) Нормировка вектора состояния не устраняет полностью произвол в выборе вектора гильбертова пространства, т.к. остается произвол в выборе постоянного фазового множителя.

Замечание. Мы используем символ † для обозначения эрмитова сопряжения мат риц, т.е. транспонирования матрицы и комплексного сопряжения всех элементов. В частном случае, когда матрица состоит из одного элемента, эрмитово сопряжение совпадает с комплексным.

Пусть в гильбертовом пространстве H выбран некоторый базис k, = 1,..., n.

Тогда гамильтониан квантовомеханической системы задается эрмитовой nn-матрицей, а вектор состояния = k ()k – строкой из n компонент, = ( 1,..., n ), где 1 (),..., n () – комплекснозначные компоненты вектора. Если базис гильбер това пространства ортонормирован, (k, l ) = kl, то скалярное произведение задается равенством (, ) = † = 1 † +... + n †.

1 n Рассмотрим задачу Коши (14.1), (14.2) в общем случае, когда гамильтониан си стемы зависит от времени = (). Для решения этой задачи необходимо выбрать базис в гильбертовом пространстве H. Конечно, решение задачи от выбора базиса не зависит, и его выбирают из соображений удобства. Рассмотрим два случая.

Пусть базис k H, = 1,..., n, ортонормирован и фиксирован, k = 0. Произ вольный вектор можно разложить по этому базису = k k. При этом гамильтониан задается эрмитовой n n-матрицей l k, а задача Коши для уравнения Шредингера в компонентах примет вид системы обыкновенных дифференциальных уравнений с некоторыми начальными условиями:

k = l l k, (14.4) k (0) = 0.

k Замечание. Мы записываем действие гамильтониана в конечномерном случае спра ва, чтобы согласовать наши обозначения с обозначениями, принятыми в дифферен циальной геометрии. Напомним, что в дифференциальной геометрии для векторного поля в координатном базисе принята запись =. (Суммирование с десяти до четырех по циферблату часов.) Альтернативная запись = используется для обозначения дивергенции векторного поля. Преобразование координат мы записы ваем в виде = =.

518 ГЛАВА 14. ПРИЛОЖЕНИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ То есть действие матрицы преобразования координат записывается справа. С дру гой стороны, действие операторов в квантовой механике общепринято записывать слева. Поэтому, если мы хотим использовать единообразные обозначения, то необхо димо чем то пожертвовать. В конечномерном случае мы будем записывать матрицу, задающую линейный оператор, справа. Это вопрос соглашения, и к нему легко при выкнуть.

Рассмотрим теперь другой ортонормированный базис k, который может зависеть от времени, k = k (). Такой базис может оказаться более удобным для решения некоторых задач. Вектор гильбертова пространства можно разложить также по этому базису = k k. Тогда задача Коши (14.4) будет выглядеть по другому:

k = l l k, (14.5) k (0) = 0k, где l k – компоненты гамильтониана относительно нового базиса, которые будут определены ниже. Поскольку базисы ортонормированы, то они связаны между собой некоторым унитарным преобразованием:

k = k l l, U(n), (14.6) которое в общем случае зависит от времени, = (). При этом компоненты вектора гильбертова пространства преобразуются с помощью обратной матрицы, k = l 1l k.

Отсюда следует выражение для компонент начального вектора гильбертова про странства 0k = 0 1l k (0). Переписав уравнение Шредингера (14.4) в базисе k, l получим компоненты гамильтониана относительно нового базиса:

= 1 + 1 = 1 1, (14.7) где мы, для краткости, опустили матричные индексы. Мы видим, что компонен ты гамильтониана преобразуются также, как компоненты локальной формы U(n) связности (13.16).

Теперь можно дать геометрическую интерпретацию нерелятивистской квантовой механике. Пусть время пробегает всю вещественную прямую, R. Тогда мы име ( ) ем главное расслоение P R,, U(n) R U(n) с базой R, типичным слоем U(n) и проекцией : P R (см. раздел 12.1). Это расслоение тривиально, т.к. базой яв ляется вещественная прямая. Гамильтониан квантовой системы задает компоненты локальной формы U(n)-связности (1-форма на R со значениями в алгебре Ли):

t = l k u(n), ( ) где – координатный ковариантный индекс, принимающий одно значение, который раньше обозначался греческой буквой. Вектор гильбертова пространства H – ( ) это сечение ассоциированного расслоения E R, E, H, U(n), P, типичным слоем ко торого является гильбертово пространство H. Уравнение Шредингера имеет вид ра венства нулю ковариантной производной, t = + t = 0, 14.1. АДИАБАТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА т.е. задает параллельный перенос вектора гильбертова пространства. При изменении сечения компоненты связности преобразуются по-правилу t = t 1 + 1, как и положено компонентам локальной формы связности (13.16). Кривизна этой связности равна нулю, поскольку база одномерна. Поэтому связность является плос кой согласно теореме 13.9.1.

Решение задачи Коши для уравнения Шредингера (14.1), (14.2) не зависит от выбора базиса. Поэтому его выбирают из соображений удобства.

Пример 14.1.1. Пусть в фиксированном базисе k компоненты вектора гильбертова пространства имеют вид k = 0 l k, где унитарная матрица l k () задает оператор l эволюции квантовой системы, который, по-определению, удовлетворяет дифферен циальному уравнению =, с начальным условием l k (0) = lk. Тогда нетрудно проверить, что оператор эволюции задает переход к такому базису гильбертова пространства k := 1k l l, в котором гамильтониан равен нулю, = 0. Следовательно, вектор гильбертова простран ства, описывающий эволюцию квантовой системы, в этом базисе имеет постоянные k компоненты 0, которые определяются начальным состоянием.

Замечание. При преобразовании базиса, которое зависит от времени, эрмитова мат рица, соответствующая гамильтониану, испытывает калибровочное преобразование (14.7). При этом преобразовании в общем случае собственные значения матрицы ме няются. Рассмотренный выше пример показывает, что если гамильтониан, заданный в постоянном базисе, имел некоторый спектр, то после перехода к новому базису, за данному оператором эволюции, гамильтониан обращается в нуль, и имеет только нулевые собственные значения. В квантовой механике уравнение Шредингера обыч но задают, определив гамильтониан в постоянном базисе, исходя из физических со ображений. Затем, если это удобнее, можно перейти к новому базису, зависящему от времени.

Перейдем к определению адиабатического предела и описанию базиса k (), ко торый будет использован при доказательстве адиабатической теоремы. Адиабати ческая теорема справедлива для гамильтонианов, которые медленно меняются со временем. А именно, мы предполагаем, что гамильтониан некоторой квантово меха нической системы достаточно гладко зависит от вещественного параметра =, где 0, который меняется на конечном отрезке, [0, 0 ]. Тогда медленное изменение гамильтониана означает, что параметр меняется на конечную величину при малых и больших временах.

Определение. Двойной предел в решении задачи Коши для уравнения Шредингера (14.1) и (14.2) на отрезке [0, ] 0,, при условии = = const. (14.8) называется адиабатическим.

При исследовании адиабатического предела время в уравнении Шредингера удобно заменить на параметр :

= (). (14.9) 520 ГЛАВА 14. ПРИЛОЖЕНИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ Вектор состояния (, ) в таком случае зависит также от параметра, а адиабатиче ский предел соответствует простому пределу 0 при каждом значении параметра [0, 0 ].

Асимптотическое решение уравнения вида (14.9) в общем случае построено в [85, 86].

Для доказательства адиабатической теоремы нам понадобится специальный базис k (), зависящий от. Пусть исходный гамильтониан () квантовой системы задан в некотором фиксированном базисе k. Тогда существует унитарная матрица (), которая диагонализирует гамильтониан:

() 1 = d () = diag 1 (),..., n (), ( ) (14.10) где 1 2... n – уровни энергии собственных состояний гамильтониана, которые будем считать упорядоченными. Пусть k – собственные векторы исходного гамильтониана:

k = k k, (14.11) для всех. Как известно, строками матрицы преобразования k l, где индекс фик сирован и = 1,..., n, являются компоненты собственных векторов k = k l l гамиль тониана : k l = k l. То есть гамильтониан () в базисе k диагонален. Унитарная матрица определена неоднозначно, и произвол в ее выборе в дальнейшем рассмот рении будет использован.

Мы допускаем, что часть уровней энергии может быть вырождена. Обозначим через n множество индексов, для которых j () = n () при n. Конечно, в качестве индекса можно выбрать любой индекс, принадлежащий n. Если уровень n невырожден, то множество индексов состоит из одного элемента: n = {}. Мы докажем адиабатическую теорему в случае, когда множество индексов n для всех не меняется со временем, т.е. уровни энергии не пересекаются.

Мы также предполагаем, что гамильтониан, уровни энергии 1,..., n и мат рица преобразования достаточно гладко зависят от на конечном отрезке [0, 0 ].

Для доказательства адиабатической теоремы нам понадобится Лемма 14.1.1. Существует унитарная матрица в (14.10) такая, что выполнено условие 1 j ( ) j.

= 0, (14.12) k Доказательство. Рассмотрим два случая. Пусть уровень энергии k невырожден.

Матрица преобразования в формуле (14.10) определена с точностью до умноже ния каждой строки на фазовый множитель: k j k j eik () для всех = 1,..., n.

Это соответствует произволу в выборе фазового множителя у собственного вектора состояния (14.11). Пусть фазовый множитель удовлетворяет уравнению n k j k 1j k, = j= где суммирование по в правой части отсутствует. Тогда нетрудно проверить, что после преобразования для любого решения этого уравнения выполнено равенство 1 k ( ) = 0. (14.13) k 14.1. АДИАБАТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА Это можно проделать для всех невырожденных уровней одновременно, выбрав под ходящим образом фазы k ().

Теперь предположим, что все уровни энергии вырождены, 1 =... = n. Тогда матрица формуле (14.10) определена с точностью до унитарного преобразования:

, () U(n).

Пусть матрица удовлетворяет уравнению + = 0, которое всегда имеет решение. Тогда после преобразования для любого решения бу дет выполнено равенство (14.12) для всех,.

Если вырождена только часть уровней, то соответствующее унитарное преобра зование необходимо проделать только с этими уровнями. Таким образом, равенство (14.12) будет выполнено для всех уровней с j = k.

Доказательство адиабатической теоремы будет проведено в ортонормированном базисе (14.6), где матрица выбрана таким образом, как описано в лемме 14.1.1.

Этот базис состоит из собственных векторов исходного гамильтониана и гамильто ниан () в нем диагонален (14.10). Компоненты вектора состояния в базисе k, как и ранее, пометим штрихом, = k k. Поскольку гамильтониан в этом базисе диагонален, то квадрат модуля -той компоненты вектора состояния |(, k )|2 = | k |2, где круглые скобки обозначают скалярное произведение в H, равен вероятности об наружить квантовую систему в состоянии k.

Для формулировки теоремы нам понадобится функция n () = min |j () n ()|, [0, ], j, где минимум |j n | берется по всем, для которых j = n, и всем [0, ].

Поскольку уровни энергии не пересекаются, то для каждого значения параметра функция n () конечна и равна минимальному расстоянию от уровня энергии n до остальных уровней энергии.

Теорема 14.1.1 (Адиабатическая теорема). Пусть гамильтониан = (), его собственные состояния k () и уровни энергии k () достаточно гладко зави сят от на конечном отрезке [0, 0 ]. Предположим, что число вырожденных собственных состояний постоянно во времени. Пусть (n) (, ) – решение уравне ния Шредингера, которое в начальный момент времени совпадает с собственным состоянием n (0) гамильтониана (0), соответствующим уровню энергии n (0).

Тогда в адиабатическом пределе (14.8) справедлива следующая оценка нормы O(2 ) |((n), j )|2 = 1 [0, 0 ].

, (14.14) n () jn То есть в процессе эволюции квантовая система будет оставаться в собствен ном состоянии гамильтониана (), соответствующим уровню энергии n (), с точностью порядка 2.

522 ГЛАВА 14. ПРИЛОЖЕНИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ Доказательство. Будем решать задачу Коши (14.5) в базисе (14.6). Гамильтониан, который входит в уравнение Шредингера, в этом базисе диагонален с точностью до линейных членов по, = d 1.

Пусть матрица выбрана таким образом, как описано в лемме 14.1.1. Предполо жим, что в начальный момент времени система находится в собственном состоянии гамильтониана d и, следовательно, в собственном состоянии исходного гамильто ниана = 1 d. Это значит, что начальное условие в базисе k имеет вид (n) (0, ) = n (0) = (0,..., 0, 1, 0..., 0).

n Любое решение уравнения Шредингера представимо в виде ( ) (n) (, ) = (n) (, ) exp d (), (14.15) где (n) – некоторый вектор гильбертова пространства H. Тогда для вектора (n) получаем уравнение ( ( ) ) (n) 1 = (n) exp d exp d, 0 Полученное уравнение вместе с начальным условием перепишем в виде интеграль ного уравнения ( ( ) ) 1 (n) (, ) = (n) (0) (n) exp d exp d. (14.16) 0 При 0 подынтегральное выражение содержит быстро осциллирующий множи j тель и его легко оценить. Рассмотрим модуль компоненты решения (n), которая соответствует собственному состоянию гамильтониана с энергией j, где j = n, n ) j ( ) ( j j k (j k ) (n) (n) = (n) = exp. (14.17) 0 0 k k= В сумме справа слагаемые с k = j вклада не дают в силу равенства (14.12). При k = j каждое слагаемое проинтегрируем по частям:

) 1 j ( ) ( k (j k ) (n) exp (j k ) 0 k 1 j ( ) [ ( ) ] 1 k (j k ) exp. (14.18) j k (n) 0 0 k По предположению подынтегральное выражение во втором слагаемом является диф ференцируемой функцией и его снова можно проинтегрировать по частям. В резуль тате получим, что оно имеет порядок 2, и им можно пренебречь. Модуль первого слагаемого, очевидно, ограничен. Таким образом получаем оценку O() j n, (n) (, ) = j () k (), / (14.19) min 14.1. АДИАБАТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА где минимум берется по всем, для которых k = j, и всем [0, ].

Теперь снова вернемся к выражению (14.18). Из оценки (14.19) вытекает, что |k | для всех при k = n имеет порядок не ниже. Поэтому в сумме (14.17) (n) все слагаемые с индексом n дают вклад не ниже 2, и ими можно пренебречь.

/ Поэтому оценку (14.19) можно улучшить O() j n, (n) (, ) = j () n (), / min где минимум берется только по [0, ].

Норма произвольного решения сохраняется во времени и равна единице. Следо вательно, j j |(n) (, )|2 = |(n) (, )|2.

jn j n / Поскольку число уровней конечно, то отсюда вытекает оценка (14.14).

Замечание. В теореме функция n () для каждого равна константе и ее можно включить в O(2 ). Тем не менее мы выделили множитель n с тем, чтобы показать, что предположение о том, что уровни энергии не пересекаются, является существен ным. При пересечении уровней энергии знаменатель в (14.14) обращается в нуль и доказательство не проходит. В этом случае требуются дополнительные предполо жения о степени касания уровней энергии и дополнительное исследование. В своей оригинальной статье [82] Борн и Фок рассмотрели случай, когда спектр гамильто ниана дискретен, но может быть неограничен. Неявно ими было сделано предполо жение о невырожденности спектра почти для всех моментов времени. Кроме того, допускалась возможность определенного пересечения уровней энергии с течением времени. Мы рассмотрели более простой конечномерный случай, когда уровни энер гии не пересекаются. Это позволило упростить доказательство и выявить наиболее существенные моменты. Оценка (14.14) согласуется с оценкой, приведенной в [82].

Адиабатическая теорема утверждает, что, если в начальный момент времени си стема находилась в собственном состоянии гамильтониана, соответствующем уровню энергии n (0), и этот уровень невырожден, то в адиабатическом пределе она будет оставаться в собственном состоянии n () с точностью порядка 2 при конечных значениях параметра. Если уровень энергии n вырожден, то система будет на ходиться в одном из собственных состояний j, где n, с той же точностью. В следующем разделе мы увидим, что оценка (14.14) неулучшаема, а в процессе эво люции система может оказаться в любом из вырожденных состояний j, n, с вероятностью порядка единицы. Эти утверждения, естественно, не зависят от выбора базиса, который использовался при доказательстве адиабатической теоремы.

Рассмотрим теперь, как выглядит в адиабатическом пределе решение задачи Ко ши (14.4) в фиксированном базисе в невырожденном случае. Пусть () – собствен ная функция гамильтониана (), отвечающая невырожденному собственному зна чению энергии (), [0, 0 ].

=, Эти собственные функции определены с точностью до фазового множителя, который может зависеть от. Пусть в начальный момент времени система находилась в соб ственном состоянии 0 = (0). В адиабатическом приближении она будет находиться в собственном состоянии, соответствующем энергии (). Поскольку собственное со стояние невырождено, то решение задачи Коши (14.4) может отличаться от не 524 ГЛАВА 14. ПРИЛОЖЕНИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ более, чем на фазовый множитель. Поэтому будем искать решение в виде = ei, где () – неизвестная функция времени. Тогда из уравнения Шредингера следует уравнение на фазу = (, ) (), (14.20) где точка обозначает дифференцирование по времени. Поскольку в начальный мо мент времени (0) = 0, то фаза имеет вид t ( ) t ( ) t, () =, (), () = (14.21) 0 0 0 где :=.

Покажем, что фазу собственной функции всегда можно выбрать таким образом, что будет выполнено равенство ( ), = 0, (14.22) если [0, ). Действительно, пусть = ei, где функция () удовлетворяет уравнению ( ) =, (14.23) с некоторым начальным условием, например, (0) = 0. Тогда нетрудно проверить, что для новых собственных функций выполнено равенство (/, ) = 0. Поскольку уравнение (14.23) всегда имеет решение на полупрямой, то собственные функции гамильтониана всегда можно выбрать таким образом, что будет выполнено равенство (14.22).

Однако уравнение (14.23) может не иметь решения на окружности S1. Будем считать, что на окружности [0, 2]. Тогда необходимым условием существования решения является равенство 2 ( ) = 0, ±1, ±2,....

, = 2, Ясно, что это условие в общем случае не выполняется. Поэтому уравнение (14.23) мо жет не иметь решения на окружности. В этом случае первое слагаемое в выражении для фазы (14.21) устранить нельзя. По сути дела это и есть фаза Берри.

Решение задачи Коши на окружности S1 означает наличие машины времени.

Эти решения можно отбросить как нефизические. Однако Берри предложил другую схему рассуждений, которая будет рассмотрена в разделе 14.2.1.

14.1.1 Двухуровневая система В настоящем разделе в качестве примера мы рассмотрим двухуровневую квантово механическую систему, для которой уравнение Шредингера решается явно. Будет показано, что оценка, данная в адиабатической теореме, является неулучшаемой.

Чтобы упростить задачу, поступим следующим образом. Вместо того, чтобы за дать исходный гамильтониан в фиксированном базисе, а затем его диагонализиро вать, мы зададим диагональную матрицу d и унитарную матрицу, которые опре деляют исходный гамильтониан = 1 d. Пусть диагонализированный гамиль тониан имеет вид ( ) 1 () d =, 0 2 () 14.1. АДИАБАТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА где 1,2 () – некоторые заданные функции. Унитарную матрицу в (14.10) выберем в виде ( ) cos sin 2 =, sin cos 2 где () R – также некоторая заданная функция. Следовательно, исходный га мильтониан задачи имеет вид ( ) 1 cos 2 + 2 sin 2 2 (2 1 ) sin i 2 = 1 d = 1 sin 2 + 2 cos i (2 1 ) sin 2 2 и зависит от трех, пока произвольных, функций 1 (), 2 () и () параметра, которые предполагаются достаточно гладкими.

Будем решать уравнение Шредингера в базисе (14.6), в котором гамильтониан имеет вид (19.63). Простые вычисления приводят к гамильтониану ( ) 1 () =, 2 () где точка обозначает дифференцирование по времени. Ищем решение уравнения Шредингера (14.5) в виде строки ( t ( t ( ) ) ) = exp 1, exp 2, 0 где () и () – неизвестные функции. Подстановка этого выражения в уравнение Шредингера приводит к системе уравнений для компонент:

( t ) = exp (2 1 ), ( t 0 (14.24) ) = exp (2 1 ).

2 При = 0 из первого уравнения следует равенство ( t ) 2 = exp (2 1 ). (14.25) Продифференцируем это равенство по времени и подставим во второе уравнение. В результате получим уравнение второго порядка для :

( ) ( ) + (2 1 ) + = 0. (14.26) Для того, чтобы решить это уравнение в явном виде зафиксируем произвольные функции, которые входят в задачу:

(0) 1 = 1 +, 1(0) = const, (0) (14.27) 2 = 2 +, 2(0) = const, = 2.

526 ГЛАВА 14. ПРИЛОЖЕНИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ Тогда уравнение (14.26) примет простой вид + 2 + 2 = 0, (14.28) (0) (0) где = 2 1 – расстояние между уровнями энергии. Общее решение этого уравнения зависит от двух постоянных интегрирования 1,2 и имеет вид = ei Et 1 ei t + 2 ei t, ( ) где 2 + 2.

:= Компонента определяется по формуле (14.25).

Предположим, что в начальный момент времени система находилась в состоянии 1, т.е.

(0) = 1, (0) = 0. (14.29) Простые вычисления дают решение задачи Коши для системы уравнений (14.24):

[ ] i Et = e cos ( ) + sin ( ), (14.30) [ ] i Et sin ( ).

= e Выпишем также компоненты соответствующего вектора состояния [ ] (0) i +E1 E = e cos + sin, (14.31) [ ] (0) i +E2 + E sin = e, где мы перешли от, к переменным,. Отсюда следует, что адиабатический предел для самого вектора состояния неопределен, т.к. его фаза стремится к бесконечности.

Однако оценку квадрата модуля компонент можно дать. Для решения (14.31) следует оценка O(2 ) O(2 ) 1 | 1 (, )|2 = | 2 (, )|2 =,, ()2 () которая совпадает с оценкой в адиабатической теореме. Отсюда следует, что данная оценка неулучшаема.

Теперь рассмотрим случай вырожденных состояний, 1 = 2, при заданных ра нее функциях (14.27). В этом случае уравнение (14.28) сводится к уравнению для свободного осциллятора:

+ 2 = 0, и легко интегрируется. Выпишем соответствующее решение задачи Коши (14.29) для компонент вектора состояния:

2 (0) E i 1 = e cos, 2 (0) E i 2 = e sin.

Мы снова видим, что адиабатический предел у вектора состояния отсутствует. Од нако квадраты модулей компонент хорошо определены:

| 2 |2 = sin 2.

| 1 |2 = cos 2, 14.2. ФАЗА БЕРРИ Отсюда следует, что по мере увеличения параметра вектор состояния осцил лирует между вырожденными состояниями. Это показывает, что, если в начальный момент времени система находится в одном из вырожденных состояний, то в процессе эволюции она может оказаться в любом из вырожденных состояний с вероятностью порядка единицы.

14.2 Фаза Берри Перейдем к задаче, которую рассмотрел М. Берри [79], в ее простейшем варианте.

Пусть гильбертово пространство конечномерно и гамильтониан = () до статочно гладко зависит от точки некоторого многообразия M размерности dim M =. Если на M выбрать координатную окрестность U M, то гамильтониан будет зависеть от параметров k, = 1,...,, (координат точки ). Будем считать, что положение точки на M зависит от времени некоторым наперед заданным об разом, т.е. гамильтониан зависит от точки некоторой кривой = (), [0, 0 ]. Мы будем решать уравнение Шредингера в адиабатическом приближении, т.е. величина 0 должна быть достаточно велика. Предположим также, что гамильтониан зависит от времени только через точку () M как сложная функция.

14.2.1 Абелев случай: невырожденное состояние Рассмотрим задачу на собственные значения =, = const, где H при всех M. Предположим, что существует невырожденное собственное значение энергии и соответствующее собственное состояние, которые достаточно гладко зависят от M. Не ограничивая общности, предположим, что собственная функция нормирована на единицу, (, ) = 1. Тогда она единственна с точностью до умножения на фазовый множитель, который может зависеть от. Зафиксируем этот фазовый множитель каким либо образом.

Теперь будем решать задачу Коши для уравнения Шредингера (14.1) с начальным условием |t=0 = 0, (14.32) ( ) где 0 := (0). В адиабатическом приближении квантовая система в процессе эво люции будет оставаться в собственном состоянии, соответствующем уровню энергии (). Поэтому ищем решение в виде = ei, где = () – некоторая неизвестная функция от времени. Тогда из уравнения Шредингера следует уравнение на фазу (14.20) с начальным условием |t=0 = 0.

Поскольку = k k, то решение задачи Коши для уравнения (14.20) имеет вид t t (t) t k k k ( ) ( ) k = () = (), (14.33) 0 0 (0) где введено обозначение k () := (, k ) (14.34) 528 ГЛАВА 14. ПРИЛОЖЕНИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ и интеграл по берется вдоль кривой ().

Таким образом, интеграл (14.33) в адиабатическом приближении дает решение задачи Коши для уравнения Шредингера (14.1) с начальным условием (14.32). Пер вое слагаемое в (14.33) называется геометрической фазой или фазой Берри, а второе – динамической фазой.

Заметим, что компоненты (14.34) вещественны вследствие нормировки волновой функции. Действительно, дифференцируя условие нормировки (, ) = 1, получаем равенство (k, ) + (, k ) = (, k )† + (, k ) = 0.

Отсюда вытекает вещественность компонент (14.34) и, следовательно, фазы Берри.

Теперь рассмотрим множество замкнутых кривых = () (M, 0 ) на много образии параметров M с началом и концом в некоторой фиксированной точке 0 M.

Тогда для полного изменения фазы волновой функции получаем ответ t ( ) = b (), где k k.

b = (14.35) Динамическая часть фазы волновой функции расходится при 0. Однако в экспериментах наблюдается разность фаз двух векторов состояний с одинаковой ди намической фазой, которая определяется фазой Берри. Поэтому рассмотрим фазу Берри подробнее.

Заметим, что выражение для фазы Берри не зависит от параметризации кривой.

Это значит, что переход к адиабатическому пределу в уравнении Шредингера влияет на фазу Берри только через компоненты локальной формы связности (14.34).

В таком виде можно дать геометрическую интерпретацию фазе Берри b, кото рая определяется первым слагаемым в полученном выражении (14.33). А именно, мы ( ) имеем главное расслоение P M,, U(1), базой которого является многообразие па раметров M, а структурной группой – группа U(1) (фаза вектора состояния ei ).

Вектор гильбертова пространства H представляет собой локальное сечение ас ( ) социированного расслоения E M, E, H, U(1), P, типичным слоем которого является гильбертово пространство H.

Рассмотрим изменение локального сечения ассоциированного расслоения, кото рое вызвано умножением вектора гильбертова пространства на фазовый множитель (вертикальный автоморфизм), = eia, где = () 2 (M) – произвольная дважды дифференцируемая функция. Тогда компоненты (14.34) преобразуются по-правилу k = k k.

Сравнивая это правило с преобразованием компонент локальной формы связности, заключаем, что поля k () можно интерпретировать, как компоненты локальной формы связности для группы U(1). Другими словами, k () – это калибровочное по ле для одномерной унитарной группы U(1). Если база ассоциированного расслоения ( ) E M, E, H, U(1), P покрыта некоторым семейством карт, M = j Uj, то множество сечений, заданных в каждой координатной окрестности Uj, определяет семейство 14.2. ФАЗА БЕРРИ ( ) локальных форм связности на главном расслоении P M,, U(1). Семейство локаль ных форм связности k k определяет единственную с точностью до изоморфизма связность на P (теорема 13.1.1).

Вспомним выражение для элемента группы голономии в виде упорядоченной P экспоненты (13.58). В рассматриваемом случае группа U(1) абелева и P-экспонента совпадает с обычной экспонентой. Поэтому фаза Берри (14.35) определяет элемент eib группы голономии (0, ) U(1) главного расслоения в точке (0, ) P, со ответствующей нулевому сечению M (, ) P, где 0 := (0) и – единица структурной группы U(1). Сечение является нулевым, поскольку в начальный мо мент времени фаза Берри равна нулю, b |t=0 = 0. Локальная форма связности k k также соответствует нулевому сечению.

Если база M односвязна, то выражение для фазы Берри (14.35) можно перепи сать в виде поверхностного интеграла от компонент локальной формы кривизны.

Используя формулу Стокса, получаем следующее выражение k l kl, b = (14.36) 2S где – поверхность в M с границей (M, 0 ) и kl = k l l k – компоненты локальной формы кривизны (напряженности калибровочного поля). Если база M не является односвязной, то выражение для фазы Берри в виде поверхностного инте грала (14.36) имеет место только для тех замкнутых путей, которые стягиваются в точку.

14.2.2 Частица со спином 1/2 в магнитном поле В качестве примера вычислим фазу Берри для частицы со спином 1/2, находящейся во внешнем однородном магнитном поле. В нерелятивистской квантовой механике частица со спином 1/2 описывается двухкомпонентной волновой функцией = (+, ).

Будем считать, что она находится в евклидовом пространстве R3 с заданным одно родным магнитным полем. Пусть напряженность магнитного поля k (), = 1, 2, 3, не зависит от точки пространства, но меняется со временем некоторым заданным образом. Кроме того, для простоты, пренебрежем кинетической энергией частицы и будем считать, что другие поля отсутствуют. В этом случае гильбертово простран ство H двумерно, и гамильтониан частицы состоит из одного слагаемого – взаимо действия магнитного момента частицы с внешним магнитным полем (см., например, [87, 88]), = k k, t где k – транспонированные матрицы Паули (поскольку в наших обозначениях они t действуют справа) и – магнетон (размерная постоянная, равная отношению магнит ного момента частицы к ее спину). Чтобы привести гамильтониан к виду, который был рассмотрен ранее, ведем новые переменные k := k. Тогда гамильтониан примет вид ( 3 ) + kt = k =, (14.37) где ± := 1 ± 2.

530 ГЛАВА 14. ПРИЛОЖЕНИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ Собственные значения гамильтониана (14.37) находятся из уравнения det ( 1) = 0, которое имеет два вещественных решения ± = ±||, (14.38) где (1 )2 + (2 )2 + (3 ) || = – длина вектора = {k } R3. Нетрудно проверить, что уравнение на собственные функции, ± = ± ±, имеет два решения ( ) 1, || 3.

± ± = (14.39) || 2|| В полученном выражении множитель выбран таким образом, что собственные функ ции нормированы на единицу, (±, ± ) = 1.

Таким образом, гамильтониан (14.37) частицы со спином 1/2, находящейся во внеш нем однородном магнитном поле, имеет два невырожденных собственных состояния (14.39), соответствующих уровням энергии (14.38).

Для дальнейших вычислений в пространстве параметров R3 удобно ввести сферические координаты ||,, :

1 = || sin cos, 2 = || sin sin, 3 = || cos.

Тогда собственные функции примут вид ( ) ( ) i sin ei, cos + = cos e, sin, =.

2 2 2 Допустим, что экспериментатор, наблюдающий за частицей, достаточно гладко меняет однородное магнитное со временем. То есть параметры k (), от которых за висит гамильтониан, достаточно гладко зависят от времени. Предположим также, что в начальный момент времени = 0 частица находилась в состоянии +. Соот ветствующее решение уравнения Шредингера (14.1) в адиабатическом приближении имеет вид = ei +, где фаза удовлетворяет уравнению (14.20). Нетрудно вычислить компоненты ло кальной формы связности k = (+, k + ) для собственного состояния + :

= cos 2.

|| = 0, = 0, 14.2. ФАЗА БЕРРИ Соответствующая локальная форма кривизны имеет только две отличные от нуля компоненты:

= = sin.

Теперь вычислим фазу Берри для замкнутой кривой в пространстве параметров = {k ()} M, k k l kl = b = k = 2S (14.40) 1 = sin = (), = 2S S где – поверхность в R3 с границей и () – телесный угол, который занимает контур, если смотреть из начала координат.

Если в начальный момент времени частица находилась в состоянии, то вычис ления проводятся аналогично. В этом случае = sin 2, || = 0, = 0, и компоненты локальной формы кривизны отличаются знаком:

= = sin.

Следовательно, фаза Берри также отличается только знаком.

Таким образом, если в начальный момент времени частица находилась в одном из состояний ±, то после изменения однородного магнитного поля вдоль замкнутой кривой, ее волновая функция изменится на фазовый множитель, геометрическая часть которого равна b± = (), (14.41) где () – телесный угол, под которым виден замкнутый контур из начала коорди нат. Этот результат имеет место в адиабатическом приближении, когда параметры () медленно меняются со временем.

Выражение для фазы Берри (14.41) было подтверждено экспериментально [89] для рассеяния поляризованных нейтронов в спиральном магнитном поле.

В рассмотренном примере однородное магнитное поле может иметь произвольное ( ) направление и величину. Следовательно, база M главного расслоения P M,, U(1) совпадает с евклидовым пространством, M = R3. Поэтому, согласно теореме 12.1.1, главное расслоение P тривиально, P R3 U(1). В случае фазы Берри связность на этом расслоении определяется сечением ассоциированного расслоения, например, +, которое находится путем решения уравнения Шредингера. Это сечение (14.39), как нетрудно проверить, имеет особенность на положительной полуоси 3 0. Ком поненты локальной формы связности относительно декартовой системы координат имеют вид sin cos = 1 =, 1 2|| sin cos cos (14.42) 2 = =, 2 2|| sin 3 = = 0.

532 ГЛАВА 14. ПРИЛОЖЕНИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ Здесь мы вынуждены перейти в декартову систему координат, поскольку сфериче ская система координат сингулярна на оси 3 и непригодна для исследования осо бенностей, которые здесь расположены. Как видим, компоненты локальной формы связности имеют особенность на положительной полуоси 3 0 как и вектор +.

Теперь вычислим компоненты локальной формы тензора кривизны. У нее отличны от нуля все компоненты:

cos 12 = 21 =, 2|| sin sin 13 = 31 =, 2|| sin cos 23 = 32 =.

2|| Наконец, вычислим квадрат тензора кривизны, который является инвариантом, 2 = 2 12 + 13 + 23 = ( 2 2 ).

2|| Таким образом, форма кривизны сингулярна только в начале координат.

Вернемся к нашему главному расслоению R3 U(1). Локальная форма связно сти (14.42) на нем неопределена, т.к. имеет особенность на полуоси 3 0, кото рую мы обозначим {3 }. Поэтому, чтобы построить главное расслоение с заданной + связностью, мы вынуждены удалить прообраз 1 {3 }), где : R3 U(1) R ( + – естественная проекция. В результате получаем тривиальное главное расслоение ( 3 ) R {3 } U(1), которое является подрасслоением исходного расслоения. На этом + главном расслоении локальная форма (14.42) бесконечно дифференцируема.

Можно рассуждать по-другому. Поскольку магнитное поле является внешним, то мы вправе предположить, что оно меняется, например, в полупространстве R3, + определяемом условием 1 0. Поскольку полупространство R3 диффеоморфно все + му евклидову пространству R3, то соответствующее главное расслоение тривиально:

P R3 U(1). В этом случае никаких вопросов в определением связности вообще + не возникает, т.к. локальная форма связности (14.42) гладкая. При этом выражение для фазы Берри (14.41) останется прежним.

Таким образом, фаза Берри является не топологическим понятием, а геометриче ским, т.к. топология главного расслоения тривиальна. Она обязана своим происхож дением нетривиальной связности, которая определяется сечениями ассоциированно го расслоения.

14.2.3 Неабелев случай: вырожденное состояние Понятие фазы Берри было обобщено на случай, когда уровни энергии гамильтониана () вырождены [81].(В этом случае при решении уравнения Шредингера возникает ) главное расслоение P M,, U() со структурной группой U(), где – количество независимых собственных функций, соответствующих вырожденному уровню энер гии. Опишем эту конструкцию подробно.

Предположим, что гамильтониан квантовой системы зависит от точки некоторо го многообразия () M, как и ранее. Пусть – вырожденное собственное значе ние гамильтониана, которому соответствуют независимых собственных функций a H, = 1,...,, a = a 14.2. ФАЗА БЕРРИ для всех моментов времени. Мы предполагаем, что () и a () являются достаточно гладкими функциями от точки многообразия, и число собственных функций не меняется со временем.

Собственные функции можно выбрать ортонормированными, (a, b ) = b, a где b – символ Кронекера. Будем искать решение задачи Коши a для уравнения a Шредингера (14.1) с начальным условием a (0) = 0 := a (0).

a ( ) То есть в начальный момент времени система находится в одном из собственных состояний a. В адиабатическом приближении решение a для всех моментов време ни является собственной функцией гамильтониана (), соответствующей значению энергии (). Поэтому его можно разложить по собственным функциям вырожден ного состояния a = b 1b a, (14.43) где () U() – некоторая унитарная матрица, которая достаточно гладко зависит от точки M.

Унитарность матрицы обусловлена следующим обстоятельством. Рассмотрим решения a для всех значений индекса = 1,...,. Дифференцируя скалярное про изведение ( a, b ) по времени и используя уравнение Шредингера, получаем уравне ние a (, b ) = ( a, b ) + ( a, b ) = 0.

Последнее равенство следует из самосопряженности гамильтониана. Отсюда следует, ( ) что, если в начальный момент времени векторы 0 := a (0) ортонормированы, a то соответствующие решения уравнения Шредингера останутся таковыми и во все последующие моменты времени. Поэтому матрица в разложении (14.43) унитарна.

Для искомого решения (14.43) уравнение Шредингера сводится к уравнению c 1c b + c 1c b = c 1c b.

Возьмем скалярное произведение левой и правой части с a. В результате получаем уравнение на унитарную матрицу 1a b = k ka c 1c b 1a b, (14.44) где введено обозначение ka c := (k c, a ). (14.45) Из условия ортонормированности собственных функций a следует антиэрми товость компонент ka b для всех = 1,...,, если индексы, рассматривают ся, как матричные. Действительно, дифференцируя условие ортонормированности (b, a ) = a, получаем равенство b (k b, a ) + (b, k a ) = (a, k b )† + (b, k a ) = 0.

То есть матрицы k антиэрмитовы и поэтому принадлежат алгебре Ли u(). Сле довательно, матрицы k определяют 1-формы в некоторой окрестности U M со значениями в алгебре Ли, как и компоненты локальной формы связности.

534 ГЛАВА 14. ПРИЛОЖЕНИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ Начальное условие для унитарной матрицы имеет вид 1a b |t=0 = a.

b Решение задачи Коши для уравнения (14.44) можно записать в виде упорядоченного P-произведения (см. раздел 13.5) ( t t ) 1 k ( ) ()k () () = () = P exp 0 (14.46) ( ) (t) ( t ) k ( ) k exp (), = P exp (0) где мы, для краткости, опустили матричные индексы.

Первый сомножитель является обобщением фазы Берри на случай вырожденных состояний, а второй сомножитель – это динамическая фаза. Динамическая фаза име ет тот же вид, что и в случае невырожденного состояния.

Первый сомножитель в решении (14.46) представляет собой унитарную матрицу Вилчека–Зи ( ) (t) k k wz := P exp, (14.47) (0) которой можно дать следующую геометрическую интерпретацию. Мы имеем глав ( ) ное расслоение P M,, U() со структурной группой U() (преобразование (14.43)).

Набор собственных функций a представляет собой сечение ассоциированного рас ( ) слоения E M, E, Hr, U(), P, типичным слоем которого является тензорное произ ведение гильбертовых пространств Hr :=... H.

H r При вертикальном автоморфизме, который задан унитарной матрицей () U(), a = b 1b a, a = a b b, поля (14.45) преобразуются по правилу k = k 1 + k 1, (14.48) где мы опустили матричные индексы. Отсюда следует, что поля k можно интер претировать, как компоненты локальной формы связности или поля Янга–Миллса.

Совокупность этих компонент, заданная на координатном покрытии базы M, одно ( ) значно задает связность на главном расслоении P M,, U().

Если путь замкнут, (M, 0 ), то унитарная матрица Вилчека–Зи (14.47) пред ставляет собой элемент группы голономии wz (0, ), в точке (0, ) P, соот ветствующей нулевому сечению M (, ) P, где 0 := (0) и – единица структурной группы U().


Таким образом, в случае вырожденного уровня энергии гамильтониана возни ( ) кает главное расслоение P M,, U(). В рассматриваемом случае базой M является многообразие параметров M, от точки которого зависит гамильтониан. Мы пред полагаем, что это многообразие конечномерно. Структурной группой является уни тарная группа U(), которая также конечномерна. Связность на главном расслоении 14.3. ЭФФЕКТ ААРОНОВА–БОМА ( ) определяется сечениями ассоциированного расслоения E M, E, Hr, U(), P. В общем случае типичным слоем ассоциированного расслоения может быть бесконечномерное гильбертово пространство Hr. В настоящей монографии мы не рассматриваем бес конечномерных многообразий и расслоений, чтобы избежать возникающих при этом трудностей [8]. Однако в данном случае все, что нужно, это формула преобразования компонент локальной формы связности (14.48), которую легко проверить в каждом конкретном случае. Если база M не покрывается одной картой, то состояние кван товой системы задается семейством локальных сечений на координатном покрытии базы. Оно определяет семейство локальных форм связности (14.45). В свою очередь семейство локальных форм связности однозначно с точностью до изоморфизма опре ( ) деляет связность на главном расслоении P M,, U().

Опять мы видим, что главные и ассоциированные расслоения могут быть три виальными или нет, это ) зависит от рассматриваемой задачи. Связность на главном ( расслоении P M,, U() может быть нетривиальна и приводить к нетривиальной матрице Вилчека–Зи (14.47), которая описывает параллельный перенос слоев вдоль пути на базе () M, даже для тривиальных расслоений. Это говорит о ее геомет рическом, а не топологическом происхождении. Для замкнутых путей (M, 0 ) с началом и концом в точке 0 M матрица Вилчека–Зи определяет элемент группы голономии wz (0, ) U().

При рассмотрении фазы Берри и матрицы Вилчека–Зи мы, для простоты, предпо ложили, что гильбертово пространство квантовой системы конечномерно. Это пред положение можно существенно ослабить. Полученные формулы справедливы для всех уровней, для которых справедлива адиабатическая теорема. То есть это должен быть изолированный уровень, энергия которого отделена от остального спектра.

14.3 Эффект Ааронова–Бома Другой пример возникновения нетривиальной связности на тривиальном главном ( ) расслоении P R4,, U(1) R4 U(1) в нерелятивистской квантовой механике да ет эффект Ааронова–Бома [80]. В этом случае в отличии от фазы Берри в качестве базы M главного расслоения выступает не пространство параметров, а пространство время R4, в котором частица движется. Эффект Ааронова–Бома не связан с адиаба тической теоремой, и обсуждается только с геометрической точки зрения.

Рассмотрим уравнение Шредингера (14.1), в котором гамильтониан описывает движение точечной частицы массы в трехмерном евклидовом пространстве R3 с декартовыми координатами µ, = 1, 2, 3, µ µ 0 = + = +, (14.49) 2 где µ = µ – оператор импульса частицы, µ = diag ( ) – отрицательно 2 2 определенная пространственная метрика, := 1 + 2 + 3 – оператор Лапласа и () – потенциальная энергия частицы.

Четырехмерный оператор импульса имеет вид =, = 0, 1, 2, 3. При этом нулевая компонента 4-импульса 0 = 0 = t имеет физический смысл оператора энергии частицы.

Если частица взаимодействует с электромагнитным полем, то это взаимодействие описывается с помощью минимальной подстановки для всех четырех компонент им пульса, (14.50) 536 ГЛАВА 14. ПРИЛОЖЕНИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ где – заряд частицы, – скорость света и – потенциал электромагнитного по ля (компоненты локальной формы U(1)-связности). При этом нулевая компонента, разделенная на скорость света, 0 /, имеет физический смысл потенциала электри ческого поля, а пространственные компоненты µ – ковекторного потенциала маг нитного поля. Таким образом, точечная частица, находящаяся в электромагнитном поле, описывается уравнением Шредингера [ 2 ) ] ( ) ( µ = µ + µ + + 0 +. (14.51) 2 Здесь мы вернулись к стандартным обозначениям квантовой механики, когда гамиль тониан действует на вектор гильбертова пространства слева, поскольку он содержит производные.

В дальнейшем, для простоты, положим = 1 и = 1.

С геометрической точки зрения минимальная подстановка (14.50) с точностью до постоянных совпадает с заменой частной производной на ковариантную:

:= +.

Посмотрим на уравнение Шредингера (14.51) с геометрической точки зрения.

Оно решается во всем пространстве, = (, ), поэтому базой расслоения является четырехмерное евклидово пространство, (, ) RR3 = R4. При этом R4 рассматри вается просто как четырехмерное многообразие без какой либо четырехмерной мет рики. При желании метрику можно ввести, однако ее наличие никак не влияет на структуру главного расслоения и связности. Метрика µ определена только на про странственных сечениях = const, поскольку она входит в уравнение Шредингера.

Волновая функция (, ) представляет собой сечение ассоциированного расслоения ( ) E R4, E, C, U(1), P, типичным слоем которого является комплексная плоскость C и ( ) которое ассоциировано с некоторым главным расслоением P R4,, U(1). Это глав ное расслоение всегда тривиально, P R4 U(1), т.к. базой является четырехмерное евклидово пространство. На этом главном расслоении задана локальная форма U(1) связности, которая определяется электромагнитным потенциалом (, ). В нереля тивистской квантовой механике рассматривается не все множество сечений ассоции рованного расслоения, а лишь подмножество, состоящее из тех дифференцируемых функций (, ), которые в каждый момент времени принадлежат гильбертову про странству квадратично интегрируемых функций H = 2 (R3 ) на пространственных сечениях R3.

Рассмотрим два случая.

14.3.1 Электрический потенциал Предположим, что магнитный потенциал равен нулю, µ = 0, = 1, 2, 3. Запишем уравнение Шредингера в виде = (0 + 0 ), (14.52) где 0 – гамильтониан системы в отсутствии электромагнитного поля (14.49). Пред положим также, что электрический потенциал зависит только от времени, 0 = 0 (). Будем искать решение уравнения Шредингера (14.52) в виде = ei, где – решение свободного уравнения Шредингера, = 0, (14.53) 14.3. ЭФФЕКТ ААРОНОВА–БОМА и = () – некоторая фаза, не зависящая от точки пространства. Подстановка = ei в исходное уравнение Шредингера (14.52) приводит к уравнению на фазу = 0, где мы сократили общий фазовый множитель ei и. Это можно сделать, т.к.

уравнение Шредингера должно выполняться для всех и. Решение полученного уравнения имеет вид t () = 0 + 0 (), (14.54) где 0 – значение фазы волновой функции в начальный момент времени.

Ааронов и Бом предложили следующий эксперимент, схема которого показана на рис.14.1. Пучок электронов делится на два пучка, которые пропускаются через две металлические трубки, на которые подается различный потенциал. Затем пучки собираются и на экране наблюдается интерференционная картина. Электрический потенциал, который подается на трубки, зависит от времени. Предполагается, что он равен нулю, пока оба пучка не окажутся в своих трубках. Затем он возрастает до некоторых значений, которые отличаются внутри каждой трубки, и снова падает до нуля перед выходом пучков из трубок. Таким образом, пучки находятся в по ле 0 только внутри трубок. Интерференционная картина зависит от разности фаз электронов в пучках, которую можно приближенно оценить следующим образом.

Рис. 14.1: Пучок электронов делится на два пучка, которые пропускаются через две металлические трубки, имеющие разные потенциалы. Затем пучки вновь собираются и наблюдается интерференционная картина, которая зависит от разности фаз элек тронов в разных пучках.

Предположим, что электрон описывается волновой функцией (, ), которая удо влетворяет уравнению Шредингера (14.52) во всем пространстве-времени R4. Мы считаем, что в каждый момент времени носитель волновой функции отличен от нуля в небольшой окрестности пространства вблизи траектории частицы. Только в этом случае вообще можно говорить о траектории частицы. В частности, при прохож дении электрона сквозь металлическую трубку предполагается, что носитель вол новой функции целиком лежит внутри трубки. Математически это можно описать, выбрав в уравнении Шредингера (14.52) соответствующий потенциал. Этот гипоте тический потенциал не меняет пространство-время, т.е. базу главного расслоения, а только обеспечивает движение электронов по заданной траектории. Изменение фазы электрона в верхнем пучке оценим следующим образом. Поскольку потенциал элек трического поля однороден внутри трубки и носитель волновой функции целиком 538 ГЛАВА 14. ПРИЛОЖЕНИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ содержится внутри трубки, то можно считать, что фаза волновой функции опре деляется интегралом (14.54). Обозначим моменты времени, соответствующие рас щеплению пучка и достижению экрана, соответственно 1 и 2. Тогда фаза волновой функции электрона в верхнем пучке при достижении экрана изменится на величину, задаваемую интегралом t (1) 1 = 0 (), t (1) где 0 () – потенциал электрического поля в момент времени, т.е. в той точке пространства, где в момент времени находится электрон из верхнего пучка. Анало гично, изменение фазы волновой функции электрона из нижнего пучка равно t (2) 2 = 0 (), t (2) где 0 – потенциал электрического поля вдоль нижней траектории. Ясно, что раз ность фаз электронов в верхнем и нижнем пучке, ab = 2 1, можно записать в виде интеграла ab = 0 (). (14.55) вдоль замкнутого контура в пространстве-времени, когда сначала проходится ниж няя половина контура, изображенного на рис.14.1, а затем – верхняя половина в обратную сторону. На рис.14.1 показана проекция контура на пространственную плоскость.

Вернемся к геометрической интерпретации. Разность фаз электронов дается ин тегралом (14.55), который однозначно определяется контуром и заданным на нем потенциалом 0. Электрический потенциал 0 представляет собой временню компо у) ( ненту локальной формы U(1)-связности на главном расслоении P R4,, U(1). Поэто ( ) му разность фаз (14.55) определяет элемент группы голономии eiab (0, 0 ), U(1) в точке (0 = 0, 0 ), где 0 – точка пространства, в которой пучок расщепляется, а – единица группы.


В заключение данного раздела рассмотрим преобразование компоненты локаль ной формы U(1)-связности при изменении сечения. Из уравнения Шредингера (14.52) следует, что при вертикальном автоморфизме = eia, где = () – дифференцируемая функция времени, компонента локальной формы U(1) связности преобразуется по правилу 0 = 0 +, как и подобает компонентам локальной формы U(1)-связности.

Таким образом, в основе эффекта Ааронова–Бома, так же как и для фазы Бер ри, лежит не топология, а нетривиальная геометрия, т.е. связность с нетривиальной группой голономии. При этом топология пространства может быть как тривиальной, так и нетривиальной.

14.3. ЭФФЕКТ ААРОНОВА–БОМА 14.3.2 Магнитный потенциал Рассмотрим теперь случай, когда потенциал электрического поля равен нулю, 0 = 0. Предположим, что ковекторный потенциал магнитного поля зависит только от пространственных координат µ и не завит от времени (статическое поле). Тогда уравнение Шредингера примет вид 1 µ = (µ + µ )( + ) + 2 (14.56) 1 µ (µ + 2µ + µ 2 µ ) +.

= Пусть – решение уравнения Шредингера в отсутствии потенциала магнитного поля (14.53). Тогда нетрудно проверить, что функция = ei, где фаза удовлетворяет уравнению µ = µ (14.57) является решением исходного уравнения Шредингера (14.56).

Ааронов и Бом предложили эксперимент для определения фазы, схема которо го показана на рис.14.2. В этом эксперименте пучок электронов делится на два пучка, которые огибают бесконечно длинный соленоид с постоянным магнитным потоком, который перпендикулярен плоскости рисунка, с разных сторон. Затем пучки собира ются вместе и на экране наблюдается интерференционная картина, которая зависит от разности фаз электронов в разных пучках.

Для оценки разности фаз электронов сделаем те же предположения, что и в слу чае электрического поля. А именно, будем считать, что уравнение Шредингера без магнитного потенциала имеет решение с носителем, который сосредоточен в малой окрестности траектории электрона. Мы предполагаем, что это можно осуществить путем введения в уравнение (14.53) соответствующего потенциала. Этот потенциал не меняет топологию пространства-времени, а только обеспечивает движение элек тронов вдоль заданной траектории. Тогда для фазы решения уравнения Шредингера с магнитным потенциалом справедливы уравнения (14.57). Поскольку магнитное по ле вне соленоида равно нулю, µ µ = 0, то условия интегрируемости для системы уравнений (14.57) выполнены. Поэтому разность фаз можно представить в виде контурного интеграла µ µ, ab = (14.58) где – замкнутый контур в четырехмерном пространстве времени, который охваты вает соленоид. Отметим, что слагаемое 0 0 в подынтегральном выражении равно нулю, т.к. 0 = 0 по-предположению. Этот интеграл не зависит от выбора конту ра, охватывающего соленоид, поскольку магнитное поле вне соленоида равно нулю, µ µ = 0.

Фазу Ааронова–Бома, используя формулу Стокса, можно записать в виде поверх ностного интеграла µ µ =, ab = (14.59) 2 S 540 ГЛАВА 14. ПРИЛОЖЕНИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ Рис. 14.2: Пучок электронов делится на два пучка, которые огибают тонкий соленоид с разных сторон. Затем пучки вновь собираются и наблюдается интерференционная картина, которая зависит от разности фаз электронов в разных пучках.

где µ – напряженность магнитного поля (компоненты локальной 2-формы кривиз ны) и – полный поток магнитного поля через соленоид. Заметим, что для приме нения формулы Стокса, необходимо считать, что магнитный потенциал определен в пространстве R3 всюду, включая сам соленоид.

Геометрическая интерпретация рассмотренного эффекта Ааронова–Бома состоит в следующем. Мы имеем то же)самое главное расслоение, что и в случае электриче ( ского потенциала, P R4,, U(1), базой которого является четырехмерное евклидово пространство, (, ) R R3 = R4, в котором движутся пучки электронов, а струк турной группой – унитарная группа U(1) (фазовый множитель ei волновой функ ции). Однако связность на нем другая: отличны от нуля только пространственные компоненты локальной формы связности µ, = 1, 2, 3. Разность фаз Ааронова– Бома (14.58) однозначно определяется контуром (тем же, что и в случае элек трического потенциала) и значениями компонент связности µ на нем. При записи контурного интеграла в виде поверхностного (14.59) предполагается, что связность задана на всем пространстве-времени R4. Тем самым, мы рассматриваем соленоид конечного радиуса, чтобы избежать сингулярностей.

Таким образом, главное расслоение тривиально, а фаза Ааронова–Бома ab, за висящая от связности и контура, однозначно определяет элемент группы голономии.

Волновая функция электрона, как и в случае электрического потенциала, яв ( ) ляется сечением ассоциированного расслоения E R4, E, C, U(1), P, базой которого является евклидово пространство R4, а структурной группой – унитарная группа U(1). При вертикальном автоморфизме = eia, где = () – дифференцируемая функция пространственных координат µ, = 1, 2, 3, потенциал магнитного поля преобразуется по-правилу µ = µ µ.

Это следует из уравнения Шредингера (14.56). Таким образом, компоненты потенци ала магнитного поля действительно ведут себя, как компоненты локальной формы связности.

Поскольку разность фаз электронов (14.58) определяется значениями компонент локальной формы связности только вблизи контура интегрирования, то базу триви ( ) ального главного расслоения P R4,, U(1) можно сузить, не меняя ответа. Напри мер, можно удалить область пространства-времени, лежащую внутри контура и 14.3. ЭФФЕКТ ААРОНОВА–БОМА содержащую соленоид. Тогда база расслоения перестанет быть односвязной. По этой причине эффект Ааронова–Бома часто называют топологическим. Как было пока зано выше, это совершенно необязательно. Достаточно считать, что магнитное поле отлично от нуля в ограниченной области на плоскости рис.14.2 внутри контура ин тегрирования. Если считать, что базой расслоения является евклидово пространство R4 с выколотым соленоидом, то формулу Стокса применить нельзя, т.к. она при менима только для стягиваемых контуров. Таким образом, эффект Ааронова–Бома, вызванный магнитным потенциалом, также как и фазу Берри следует рассматривать как геометрический, а не топологический.

Эффект Ааронова–Бома как с электрическим, так и с магнитным потенциалом привлек большое внимание физиков по следующей причине. Согласно современ ным представлениям в калибровочных моделях наблюдаемыми величинами явля ются только калибровочно инвариантные функции. С этой точки зрения потенциал электромагнитного поля, = 0, 1, 2, 3, сам по себе ненаблюдаем, т.к. не являет ся калибровочно инвариантным. В рассмотренных примерах электрического и маг нитного полей пучки электронов не подвергаются действию электромагнитных сил, поскольку напряженности электрического и магнитного поля в областях, через ко торые пролетают электроны, равны нулю. Поэтому, казалось бы, разность фаз в пучках электронов должна быть равна нулю. Однако из уравнения Шредингера сле дует, что это не так. Следует отметить, что наблюдаемым является не сам потенциал электромагнитного поля, а интеграл от него по замкнутому контуру, который опре деляет элемент группы голономии U(1)-связности, который является инвариантным объектом.

Вскоре после публикации статьи, эффект Ааронова–Бома был подтвержден экс периментально. Эффект, вызванный магнитным потенциалом наблюдался в экспе риментах [90, 91, 92].

Глава Векторные поля Киллинга В разделе 9.3 были рассмотрены геометрические структуры на многообразии, кото рые инвариантны относительно действия некоторой группы преобразований. Вопрос ставился так. Пусть задана группа преобразований (M, G), и требуется найти та кие структуры, которые инвариантны относительно этих преобразований. Обратная задача нахождения группы преобразований, которую допускает заданная геометри ческая структура на многообразии M также очень важна.

Изучение преобразований, которые сохраняют метрику пространства-времени иг рает исключительно важную роль в математической физике. Достаточно сказать, что с такими преобразованиями связаны наиболее важные законы сохранения. В настоящей главе мы рассмотрим (псевдо-)риманово многообразие (M, ) и найдем условия, при которых метрика инвариантна относительно действия группы преоб разований (M, G). Дадим определение векторных полей Киллинга, которые являют ся генераторами локальных симметрий метрики, а также изучим некоторые из их свойств.

15.1 Изометрии и инфинитезимальные изометрии Рассмотрим -мерное (псевдо-)риманово многообразие (M, ) с метрикой () = (),, = 0, 1,..., 1 и соответствующей связностью Леви-Чивиты.

Определение. Диффеоморфизм M = () M :

называется изометрией или движением многообразия M, если он сохраняет метрику, () = ( ), (15.1) где – возврат отображения.

В настоящей главе, для простоты, мы не будем использовать знак тильды для обозначения компонент связности Леви–Чивиты, т.к. аффинная связность общего вида с кручением и неметричностью использоваться не будет.

Из условия инвариантности метрики (15.1) следует инвариантность скалярного произведения векторов. Пусть, Tx (M) – два произвольных вектора из каса тельного пространства в точке M. Тогда справедливо равенство (, )|x = (, )|(x) = (, )|(x), 15.1. ИЗОМЕТРИИ И ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ИЗОМЕТРИИ которое эквивалентно определению (15.1).

Поскольку изометрия сохраняет метрику, то она сохраняет также связность Леви Чивиты, соответствующий тензор кривизны, экстремали и, вообще, все геометриче ские объекты, которые определяются только метрикой.

Запишем отображение (15.1) в координатах. Пусть обе точки и принадле жат одной координатной окрестности и имеют, соответственно, координаты и.

Тогда изометрия в координатах запишется в виде условия () = ( ), (15.2) связывающего компоненты метрики в различных точках многообразия. Это усло вие по виду совпадает с правилом преобразования компонент метрики при преоб разовании координат (4.4). Разница заключается в следующем. При преобразовании координат мы считаем, что одной и той же точке M соответствует два набора координат { } и { := } в двух различных системах координат. При рассмот рении изометрий и – это две различные точки одного и того же многообразия M.

Предложение 15.1.1. Множество всех изометрий данного (псевдо-)риманова мно гообразия (M, ) является группой, которую обозначим I(M).

Доказательство. Две последовательных изометрии также являются изометрией. Тож дественное отображение многообразия M является изометрией и представляет собой единицу группы. У каждого диффеоморфизма есть обратной диффеоморфизм 1, который является обратной изометрией.

Если метрика на многообразии задана, т.е. определены значения ее компонент во всех точках, то соотношение (15.2) представляет собой уравнение на функции (), которые определяют изометрию. В общем случае это уравнение не имеет решений и у соответствующего (псевдо-)риманова многообразия нет никаких нетривиальных изометрий. В этом случае группа изометрий состоит из одного единичного элемента.

Чем шире группа изометрий, тем уже класс соответствующих (псевдо-)римановых многообразий.

Пример 15.1.1. Евклидово пространство Rn с евклидовой метрикой допускает группу изометрий, которая состоит из преобразований неоднородной группы враще ний IO(, R), dim IO(, R) = 2 ( + 1), состоящей из вращений, сдвигов и отраже ний.

Группа изометрий I(M) может быть дискретной или группой Ли.

Определение. Если группа изометрий I(M) является группой Ли, то имеет смысл говорить об инфинитезимальных преобразованиях (см. раздел 9.2). В этом случае мы говорим об инфинитезимальных изометриях. Каждая инфинитезимальная изо метрия генерируется некоторым достаточно гладким векторным полем, которое на зывается векторным полем Киллинга.

Замечание. Дискретные изометрии (псевдо-)риманова многообразия, например, от ражения, не генерируются никакими векторными полями.

544 ГЛАВА 15. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ КИЛЛИНГА Запишем условие инвариантности метрики относительно инфинитезимальных пре образований из группы изометрий в координатах. В разделе 2.6.5 было показано, что каждое векторное поле генерирует однопараметрическую группу преобразова ний, которая называется экспоненциальным отображением. Формально условие ин вариантности метрики записывается в виде равенства нулю производной Ли вдоль векторного поля Киллинга = от метрики [93] LK = 0. (15.3) Используя явное выражение для производной Ли (2.122), это уравнение в локальной системе координат принимает вид + = 0, (15.4) где :=, а ковариантная производная = строится по символам Кристоффеля.

Определение. Уравнение (15.4) называется уравнением Киллинга, а интегральные кривые полей Киллинга называются траекториями Киллинга. Если = – векторное поле Киллинга, то ему соответствует 1-форма =, где :=, которая называется формой Киллинга, и для которой мы сохранили то же обозначение.

На любом (псевдо-)римановом многообразии (M, ) уравнения Киллинга (15.3) всегда имеют тривиальное решение = 0. Если уравнения Киллинга имеют только тривиальное решение, то в этом случае непрерывные изометрии отсутствуют.

Траектории Киллинга { ()} M, где R, определяются системой обыкно венных дифференциальных уравнений =.

(15.5) Если траектория Киллинга при = 0 проходит через точку = { } M, то при малых она имеет вид () = + () + o(). (15.6) Если в некоторой точке векторное поле Киллинга равно нулю, то эта точка остает ся неподвижной, т.е. является стационарной точкой группы изометрий. Поскольку изометрии определены для всего многообразия M и образуют группу, то векторные поля Киллинга обязаны быть полными, т.е. параметр должен меняться на всей вещественной прямой R.

Если для (псевдо-)риманова многообразия (M, ) известно векторное поле Кил линга, то оно определяет не только инфинитезимальные изометрии, но и всю одно параметрическую группу диффеоморфизмов. Для этого нужно найти интегральные кривые (), проходящие, через все точки многообразия M. Если (0) =, то каждому значению R соответствует диффеоморфизм M () M.

:

Уравнения для векторных полей Киллинга в ковариантной форме (15.4) можно переписать в частных производных, + 2 = 0.

15.1. ИЗОМЕТРИИ И ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ИЗОМЕТРИИ В моделях математической физики часто ставится задача нахождения векторов Кил линга для заданной метрики на многообразии. Для решения этой задачи бывает удоб нее использовать контравариантные компоненты векторов Киллинга, для которых уравнение Киллинга принимает вид + + = 0. (15.7) Полученное уравнение линейно по компонентам метрики и компонентам векторов Киллинга. Отсюда сразу следует, что две метрики, которые отличаются постоянным множителем, имеют один и тот же набор векторов Киллинга. Кроме того, векторное поле Киллинга определено с точностью до умножения на произвольную постоянную, отличную от нуля. В частности, если – векторное поле Киллинга, то и так же является полем Киллинга. Также любая линейная комбинация полей Киллинга является полем Киллинга.

Замечание. Векторные поля Киллинга не выдерживает умножения на функцию.

Поэтому они не образуют (M)-модуль в отличие от множества всех векторных полей (M).

Предложение 15.1.2. Пусть (псевдо-)риманово многообразие (M, ) имеет dim M отличных от нуля коммутирующих между собой и линейно независимых векторных полей Киллинга i, = 1,...,. Тогда существует такая система ко ординат, в которой все компоненты метрики не зависят от координат, соот ветствующих траекториям Киллинга.

Доказательство. В разделе 2.6.5 была построена специальная система координат, связанная с произвольным векторным полем, отличным от нуля. Применительно к векторным полям Киллинга i это означает, что существует такая система коор динат (1,..., n ), в которой каждое поле Киллинга имеет только одну постоянную компоненту, i = i. В этой системе координат уравнение (15.7) для каждого поля Киллинга принимает особенно простой вид i = 0, = 1,...,.

Это значит, что все компоненты метрики не зависят от координат i. В этой системе координат траектории Киллинга определяются уравнениями i = 1, µ = 0, = 1,..., 1, + 1,...,.

Отсюда следует, что координатными линиями i являются траектории Киллинга.

Если риманово многообразие (M, ) имеет два или более некоммутирующих век торных полей Киллинга, то это отнюдь не означает, что существует такая система координат, в которой компоненты метрики не зависят от двух или более координат.

Пример 15.1.2. Рассмотрим двумерную сферу S2 R3. Пусть метрика на сфере индуцирована вложением. Риманово пространство (S2, ) имеет три векторных по ля Киллинга, соответствующих SO(3) вращениям евклидова пространства R3. Легко понять, что на сфере не существует локальной системы координат, в которой ком поненты метрики не зависели бы от двух координат. Действительно, это означает, что в данной системе координат компоненты метрики постоянны, и, следовательно, кривизна равна нулю. Но это невозможно, поскольку кривизна сферы постоянна.

546 ГЛАВА 15. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ КИЛЛИНГА В общей теории относительности мы предполагаем, что пространство-время явля ется псевдоримановым многообразием с метрикой лоренцевой сигнатуры. Используя понятие векторного поля Киллинга, можно дать инвариантное Определение. Пространство-время или его область называются статическими, ес ли на них существует времениподобное векторное поле Киллинга.

Векторные поля Киллинга определены глобально и удовлетворяют уравнениям Киллинга на всем M. В то же время уравнения Киллинга – это локальный объект, в том смысле, что они определены в каждой окрестности и могут иметь нетривиальные решения только на некотором подмногообразии U M.

Пример 15.1.3. Рассмотрим гладкую замкнутую двумерную поверхность M, вло женную в трехмерное евклидово пространство R3, как показано на рис.15.1. Отличи тельной особенностью этой поверхности является то, что ее нижняя часть является плоской. Пусть метрика на M индуцирована вложением M R3. Тогда уравне ния Киллинга в нижней части поверхности легко интегрируются, как и на евклидо вой плоскости. Однако найденные нетривиальные решения не будут в общем случае нетривиальными на всем M. Действительно, верхняя часть поверхности может быть искривлена так, что уравнения Киллинга на ней имеют только тривиальное реше ние. Следовательно, векторные поля Киллинга могут быть нетривиальны только на части многообразия M.

Рис. 15.1: Двумерная поверхность, вложенная в трехмерное евклидово пространство.

Нижняя часть поверхности является плоской.

Группа изометрий I(M) является группой преобразований многообразия M, ко торая действует слева или справа, в зависимости от нашего соглашения. Эта группа преобразований может иметь подгруппу H I(M), действующую на M свободно и собственно разрывно. Тогда фактор пространство M/H является многообразием.

Более того, на нем можно определить метрику, поскольку H – изометрия. Таким об разом, фактор пространство M/H превращается в (псевдо-)риманово многообразие.

Поскольку каждое векторное поле Киллинга на M при факторизации переходит в некоторое поле Киллинга на M/H и линейная независимость полей Киллинга при этом сохраняется, то группа изометрий фактор пространства M/H совпадает с I(M).

15.2 Однородные и изотропные многообразия С каждым полем Киллинга как и с произвольным векторным полем связана однопа раметрическая группа преобразований, которая в данном случае сохраняет метрику.



Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 31 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.