авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 16 | 17 || 19 | 20 |   ...   | 31 |

«Геометрические методы в математической физике 17 октября 2013 г. Катанаев Михаил Орионович1 ...»

-- [ Страница 18 ] --

Отсюда следует выражение для гамильтониана, определяющего бихарактеристики (траектории) = ± 2 + 2 = ±^.

1 Уравнения движения для бихарактеристик имеют вид µ µ = ±, ^ µ = 0, µ = const, где точка обозначает дифференцирование по времени = 0. Отсюда следует, что импульс бихарактеристик постоянен, а траектории – это прямые µ = ±µ + µ, проходящие через все точки пространства 0 R2 во всех возможных направлени ях µ := µ /^. Поскольку пространственный вектор µ имеет единичную длину, то бихарактеристики в пространстве-времени совпадают с нулевыми экстремалями.

В пространстве Минковского уравнение (16.52) допускает решение в виде плоской волны = 0 eik x = 0 ei(t), 0 = const = 0, 584 ГЛАВА 16. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ И ЭКСТРЕМАЛИ где = µ µ. Сравнение этого выражения с (16.57) дает выражения для частоты и волнового вектора (в рассматриваемом примере мы, для краткости, полагаем = 1) = {1, 2 } = 0 = 0, Тогда волновое уравнение (16.54) сводится к соотношению между частотой и волно вым вектором = 2 2 = 0, где 2 := µ µ. Для плоской волны в пространстве Минковского эйконал () = является линейной функцией от координат, а частота и волновой вектор посто янны.

В рассмотренном примере плоских волн зависимость эйконала от координат была линейной. В общем случае эта зависимость является более сложной. Тогда частота и волновой вектор определяются соотношениями = 0, µ = µ, (16.60) и зависят от точки пространства-времени. В этом случае уравнение эйконала (16.58) определяет зависимость частоты от волнового вектора 00 2 + 2 0µ µ + µ µ = 0.

Эта зависимость называется дисперсией, а производная µ g := µ называется групповой скоростью. Сравнение уравнения, определяющего дисперсию, с формулой (16.55) показывает, что частота и волновой вектор µ по сути дела сов падают, соответственно, с гамильтонианом и импульсами бихарактеристик волнового уравнения.

16.8 Гармонические координаты Для исследования волнового уравнения (16.52) на многообразии M, dim M =, с мет рикой лоренцевой сигнатуры удобно использовать гармонические координаты.

Как отмечено в разделе 1.5 функции перехода к новой системе координат являются скалярными полями на M.

Определение. Рассмотрим волновое уравнение (16.52) и допустим, что в некоторой области U M оно имеет функционально независимых решений (это так при доста точно общих предположениях). Пронумеруем эти решения a, a,... = 0, 1,..., 1.

Тогда в области U решения волнового уравнения задают систему координат a := a, которая называется гармонической.

Замечание. Гармоническая система координат была введена T. де Дондером [96] и К. Ланцосом [97] и получила физическую интерпретацию в работах В. А. Фока [98, 95].

Гармоническая система координат обладает следующим важным свойством.

16.8. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ Предложение 16.8.1. Система координат является гармонической тогда и толь ко тогда, когда выполнены условия a ( || ab ) = 0 c = ab ab c = 0, (16.61) где := det ab.

Доказательство. Справедливо тождество ( ) a ] [ det = 0, a где / – обратная матрица Якоби преобразования координат (1.60). Это тож дество доказывается прямым дифференцированием с учетом правила дифференци рования определителя матрицы (28.20). С учетом доказанного равенства и правила преобразования координат справедлива следующая цепочка равенств:

[ ( ) a b ] a ( || ) = || det ab = a ( ) ( ) || = 0, b = det где := det. Таким образом, из гармоничности координат следует первое равен ство (16.61) и наоборот. Эквивалентность равенств (16.61) между собой проверяется прямой проверкой.

Условия гармоничности координат можно записать с помощью принципа наи меньшего действия. Пусть задано действие для скалярных полей a :

= || a a ab, где ab – произвольная симметричная матрица (метрика в пространстве-мишени).

Тогда соответствующие уравнения Эйлера–Лагранжа примут вид = || b ba = 0.

,a := a Эти уравнения эквивалентны волновому уравнению (16.52.

Уравнения на метрику (16.61) называются условиями гармоничности. В даль нейшем будем, как обычно, обозначать гармоническую систему координат снова гре ческими буквами, предполагая, что условия гармоничности (16.61) выполнены.

Предложение 16.8.2. В гармонической системе координат волновой оператор, действующий на функцию, принимает вид := = (16.62) и не содержит первых частных производных.

Доказательство. Прямая проверка.

586 ГЛАВА 16. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ И ЭКСТРЕМАЛИ Пример 16.8.1. В пространстве-времени Минковского R1,n1 декартова система ко ординат является гармонической.

Допустим, что на произвольном лоренцевом многообразии M, которое топологи чески совпадает с R1,n1, выбрана гармоническая система координат. Тогда про извольная линейная комбинация координат также удовлетворяет волновому урав нению (16.62). Можно доказать, что все гармонические системы координат на M, которые являются асимптотически декартовыми, связаны между собой преобразо ваниями Лоренца [95]. В. А. Фок придавал гармоническим системам координат в общей теории относительности физический смысл, считая, что на произвольном ло ренцевом многообразии M они выделены и играют ту же роль, что и декартовы координаты в пространстве-времени Минковского.

Предложение 16.8.3. В переменных Картана (см. раздел 5.4) условие гармонич ности (16.61) имеет вид a = a = 0.

Доказательство. Прямая проверка.

16.9 Нормальные, геодезические или римановы ко ординаты Нормальные координаты, которые называются также геодезическими или римано выми играют большую роль при изучении свойств метрики и связности, а также в приложениях в математической физике. Сначала мы введем эту систему координат с помощью рядов, что является более наглядным и важным для приложений. Затем дадим определение с помощью экспоненциального отображения и сформулируем ряд утверждений, связанных с полнотой римановых многообразий.

Пример 16.9.1. В дальнейшем мы увидим, что декартовы координаты являются нормальными координатами в евклидовом пространстве Rn.

В определенном смысле нормальные координаты являются обобщением декарто вой системы координат на общий случай многообразия с заданной аффинной гео метрией.

16.9.1 Нормальные координаты. Локальное рассмотрение.

Пусть на многообразии M задана аффинная геометрия (M,, ). В настоящем разде ле мы предполагаем, что все геометрические объекты (в частности метрика и связ ность) являются вещественно аналитическими, т.е. их компоненты в окрестности каждой точки 0 M представимы в виде сходящихся степенных рядов. Мы рас смотрим специальную систему координат в окрестности точки 0, которая является аналогом декартовой системы координат в евклидовом пространстве и имеет много численные приложения. В литературе эта система координат встречается под раз ными названиями: геодезические, римановы или нормальные координаты, и обычно строится в (псевдо-)римановом пространстве. Мы построим такую систему коорди нат в более общем случае произвольной аффинной геометрии.

16.9. НОРМАЛЬНЫЕ, ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ИЛИ РИМАНОВЫ КООРДИНАТЫ Сначала мы рассмотрим геодезические линии вблизи точки 0. Пусть на много образии задана кривая (), проходящая через точку 0 в заданном направлении, (0) =, (0) =.

0 (16.63) Для того, чтобы кривая была геодезической, функции () должны удовлетворять уравнениям для геодезических (16.3) с начальными условиями (16.63). При достаточ но малых будем искать решение уравнений для геодезических в виде степенного ряда 1 1...

= + + 2 + 0 3 +...

0 0 (16.64) 2 3!

Первые два члена определяются начальными условиями (16.63), а все последующие – уравнениями (16.3). В нулевом порядке по из уравнений для геодезических следует равенство =, где = (0 ).

0 0 Первый порядок уравнений по определяет кубический член разложения в (16.64):

...

), ( + 2 { 0 = 0 0 } где, для краткости, мы допускаем некоторую вольность в обозначениях:

:= |x=x0, и фигурные скобки обозначают симметризацию по индексам.

Следовательно, решение задачи Коши для геодезических в третьем порядке по имеет вид ( ) 1 2 1 2 { } 3 +.... (16.65) = 0 + 0 0 0 0 0 2 Коэффициенты при более высоких степенях k, 4 пропорциональны (0 )k k с коэффициентами, зависящими от аффинной связности и их частных производных вплоть до 2 порядка, вычисленными в точке 0. Интервал сходимости ряда (16.65) определяется начальными данными и компонентами аффинной связности. Мы, ко нечно, предполагаем, что он больше нуля.

Перейдем к определению нормальных координат в окрестности U0 M точки 0. Пусть M – многообразие с заданной аффинной связностью без кручения, т.е.

=. Перепишем закон преобразования компонент аффинной связности (6.5) в виде = ( ).

Совершим преобразование координат, которое задается квадратичным полиномом с постоянными коэффициентами:

= ( ) + ( )( ), (16.66) 0 где – произвольная невырожденная матрица. Тогда в новой системе координат компоненты аффинной связности будут равны [ ( ) ] = + ( 0 ).

Отсюда следует, что в точке 0 компоненты аффинной связности без кручения об ращаются в нуль.

588 ГЛАВА 16. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ И ЭКСТРЕМАЛИ Замечание. Если связность обладает кручением, то, поскольку кручение является тензором, его нельзя обратить в нуль никаким преобразованием координат даже в одной точке.

Выше мы доказали, что для произвольной аффинной связности в произвольной заданной точке 0 всегда можно обратить в нуль симметричную часть связности. Для этого достаточно выбрать соответствующим образом только квадратичные члены в функциях преобразований координат (16.66). Данная система координат существует в окрестности произвольной точки 0 M и определена неоднозначно. Во-первых, матрица в (16.66) является невырожденной, а в остальном произвольна. Во вторых, к правилу преобразования координат (16.66) можно добавить произвольные слагаемые третьей и более высокой степени по ( 0 ). Этот произвол в выборе системы координат можно использовать для дальнейшей специализации системы координат.

Геометрический смысл построенной системы координат состоит в том, что в до статочно малой окрестности точки 0 свойства многообразия близки к свойствам аффинного пространства, т.к. при параллельном переносе компоненты тензоров в линейном приближении по вектору смещения не меняются. Как и декартовы коор динаты в евклидовом пространстве, данные координаты в точке 0 определены, в частности, с точностью до линейных преобразований.

Можно доказать, что симметричную часть компонент аффинной связности мож но обратить в нуль не только в фиксированной точке, но и вдоль произвольной кри вой на многообразии M [99]. Соответствующая система координат называется гео дезической вдоль кривой M.

Оставшийся произвол в выборе системы координат можно использовать для даль нейшей специализации геометрических объектов. Воспользуемся свободой добавле ния высших степеней ( 0 )k, 3, в закон преобразования координат (16.66) и покажем, что в произвольной точке 0 M можно обратить в нуль не только симметричные части самих компонент аффинной связности, но и все их полностью симметризованные частные производные.

Теорема 16.9.1. Если компоненты аффинной связности вещественно аналитич ны, то в окрестности произвольной точки 0 M существует такая система координат, что выполнены равенства k {1 2 } = 0, {3 1 2 } = 0, {3...k 1 2 } = 0,... (16.67) где фигурные скобки обозначают симметризацию по всем индексам, заключенным между ними.

Доказательство. Перепишем закон преобразования компонент аффинной связности (5.31) в виде = +, (16.68) где матрица () = 1 = является обратным якобианом преобразования координат. Дифференцирование этого соотношения по приводит к равенству + = + + + +. (16.69) Последовательное дифференцирование этого соотношения приводит к равенствам, содержащим старшие производные от компонент аффинной связности и обратной 16.9. НОРМАЛЬНЫЕ, ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ИЛИ РИМАНОВЫ КООРДИНАТЫ матрицы Якоби. Рассматривая эти тождества в точке 0, мы докажем возмож ность выбора системы координат, в которой выполнены равенства (16.67), по теории возмущений.

Совершим преобразование координат (). Предположим, что вблизи точки 0 M обратное преобразование задается степенным рядом 1 2 1 = 0 + + +... (16.70) 0 2 1 2 Здесь для новой системы координат мы используем букву, чтобы избежать штрихов у индексов. Выберем первые три члена разложения в виде =, = {1 2 }, 1 3 = 2{1 2 3 } {3 1 2 }.

1 2 3 Тогда из уравнений (16.68), (16.69) следует, что в новой системе координат {1 2 } = 0, {3 1 2 } = 0.

Выбор квадратичного члена ряда (16.70) уже был использован ранее. Выбор ку бического члена разложения позволил обратить в нуль симметризованную первую частную производную аффинной связности в той же точке.

В дифференциальные тождества, получаемые последовательным дифференциро ванием (16.68), максимальная степень производной от обратной матрицы Якоби всегда входит линейно и на единицу превышает максимальную степень производной от компонент аффинной связности. Это значит, что коэффициенты ряда (16.70) все гда можно подобрать таким образом, чтобы обратить в нуль все симметризованные частные производные от коэффициентов аффинной связности (16.67). В этом нет ни чего удивительного, т.к. члены ряда (16.70), начиная с квадратичного, находятся во взаимно однозначном соответствии с условиями на аффинную связность (16.67).

Нетрудно проверить, что ряд (16.70), определяющий преобразование координат, в точности совпадает с рядом (16.65), определяющим геодезические линии, если поло жить =. Это означает, что в новой системе координат прямые линии = 0, где R, и 0 – произвольные числа, из которых по-крайней мере одно отлично от нуля, являются геодезическими линиями на M. В этом месте прослеживается ана логия с декартовой системой координат в евклидовом пространстве: геодезические являются прямыми линиями.

Построенная система координат является нормальной системой координат в окрест ности U0 точки 0 M, определяется только симметричной частью компонент аф финной связностью и никак от метрики не зависит. При этом у нас остался произвол в выборе первых двух членов разложения функций преобразования координат (16.70).

Слагаемое нулевого порядка определим так, чтобы точка 0 отображается в нача ло координат 0 = (0,..., 0). Слагаемое первого порядка по можно использовать для фиксирования значения метрики в начале координат. Очевидно, что его всегда можно подобрать таким образом, чтобы метрика в точке 0 была диагональной =. (16.71) 590 ГЛАВА 16. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ И ЭКСТРЕМАЛИ Таким образом мы однозначно фиксировали все члены разложения функций преоб разования координат (16.70). Это доказывает следующее утверждение.

Теорема 16.9.2. Пусть в окрестности произвольной точки 0 M многообразия, на котором задана аффинная геометрия, метрика и связность заданы вещественно аналитическими функциями. Тогда существует такая система координат, что точка 0 соответствует началу координат, а также выполнены равенства (16.67) и (16.71). Такая система координат определена однозначно.

Замечание. В доказательстве теоремы нигде не использовалась сигнатура метрики.

Поэтому сформулированная теорема справедлива как для римановых, так и для псевдоримановых метрик.

Определение. Система координат в теореме 16.9.2 называется нормальной, гео дезической или римановой.

Предложение 16.9.1. Система координат в некоторой окрестности начала координат является нормальной тогда и только тогда, когда выполнены условия:

() = 0 и (0) =. (16.72) Доказательство. В нормальной системе координат геодезическая линия, проходя щая через точку 0 в направлении 0, является прямой и задается параметрически в виде () =. (16.73) Подстановка этого выражения в уравнение для геодезических линий (16.3) дает = 0.

Умножив это уравнение на 2, получим (16.72).

Обратно. Пусть выполнено уравнение (16.72). Разложим компоненты связности в ряд Тейлора вблизи начала координат. Тогда уравнение (16.72) эквивалентно цепоч ке равенств (16.67). Затем разложим уравнение геодезических и сами геодезические в ряды Тейлора по. Приравняв нулю коэффициенты при одинаковых степенях, получаем, что прямые линии и только они являются геодезическими линиями, про ходящими через начало координат.

Замечание. Сравнение первого условия в (16.72) со вторым условием в (16.61) по казывает, что нормальные координаты в общем случае не являются гармонически ми.

Нормальная система координат обладает рядом замечательных свойств. В част ности, в окрестности начала координат компоненты произвольного тензорного поля можно представить в виде ряда, коэффициенты которого зависят от ковариантных производных этого поля и тензоров кривизны, кручения и их ковариантных про изводных, вычисленных в точке 0. Доказательство этого утверждения проводится конструктивно, путем явного построения соответствующего разложения.

Для доказательства нам понадобится предварительный результат.

16.9. НОРМАЛЬНЫЕ, ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ИЛИ РИМАНОВЫ КООРДИНАТЫ Лемма 16.9.1. Пусть связность на M вещественно аналитична. Тогда в окрест ности начала нормальной системы координат все производные k {1...k1 k }, (16.74) где, в отличие от (16.67), симметризация проводится только по части нижних индексов, выражаются через тензоры кривизны, кручения и их ковариантные про изводные.

Доказательство. Лемма доказывается прямыми, но громоздкими вычислениями.

Поэтому мы ограничимся только первыми двумя слагаемыми.

Используя свойства (16.67), нетрудно доказать равенства ( ) {1 2 } {1 2 } + 2{1 2 }, {1 2 } = (16.75) ( ) 2 2 2 2 {1 2 3 } {1 2 3 } + 2{1 2 3 }.

{1 2 3 } = Здесь и в дальнейшем фигурные скобки обозначают симметризацию только по ин дексам 1, 2,....

В точке 0 аффинная связность полностью определяется тензором кручения =. (16.76) Далее, прямые вычисления приводят к следующим равенствам 1 {1 2 } = {1 2 } {1 2 } {1 2 }, 2 2 {1 2 3 } = {1 2 3 } {1 2 3 } + {1 2 3 } + {1 2 3 } 2 3 1 + {1 2 3 } {1 2 3 }, 6 {1 2 } = {1 2 }, 1 1 {1 2 3 } = {1 2 3 } + {1 2 3 } + {1 2 3 } 6 1 + {1 2 3 } + {1 2 3 }.

6 Используя полученные формулы, правые части (16.75) можно записать в ковариант ном виде ( ) 1 {1 2 } + 2{1 2 } {1 2 }, {1 2 } = (16.77) 3 ( 1 1 2 {1 2 3 } + {1 2 3 } + {1 2 3 } {1 2 3 } = 3 3 ) 2 +2{1 2 3 } {1 2 3 } {1 2 3 }, (16.78) 6 где, напомним, симметризация проводится только по индексам 1, 2,.... Аналогич ным образом все частные производные от связности вида (16.74) можно выразить через ковариантные объекты.

592 ГЛАВА 16. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ И ЭКСТРЕМАЛИ Теперь можно доказать утверждение о разложении компонент произвольного тен зорного поля в окрестности начала нормальной системы координат в ряд Тейлора.

Для определенности рассмотрим произвольный ковариантный тензор второго ран га в нормальных координатах и разложим его в ряд Тейлора вблизи начала координат:

() = + + 1 2 1 2 +... (16.79) Эта процедура явно нековариантна, потому что координаты не являются компо нентами вектора, и коэффициенты этого ряда также нековариантны. Основным до стоинством нормальных координат является то, что все коэффициенты этого ряда тем не менее можно выразить через ковариантные величины. Для этого необходи мо выразить все частные производные через ковариантные и выразить компоненты аффинной связности в начале координат через тензор кривизны, кручения и их ко вариантные производные. Начнем с первой производной 1 1 = + + = + +, 2 где мы воспользовались формулами (16.76). Прямые, но более громоздкие выкладки позволяют представить вторые частные производные также в ковариантном виде:

1 1 2 = {1 2 } + {1 2 } + {1 2 } + {1 2 } + ( ) {1 2 } + 2{1 2 } {1 2 } + + ( ) 1 {1 2 } + 2{1 2 } {1 2 } +.

Эту процедуру можно продолжить вплоть до произвольного порядка. Однако уже в третьем порядке формулы настолько громоздки, что нет смысла их приводить в явном виде.

Ясно, что аналогичное представление справедливо для тензорного поля произ вольного ранга и типа. Поэтому справедлива следующая Теорема 16.9.3. Компоненты произвольного вещественно аналитического тензор ного поля в некоторой окрестности начала нормальной системы координат пред ставимы в виде ряда Тейлора, коэффициенты которого определяются ковариант ными производными компонент данного тензорного поля, а также тензором кри визны, тензором кручения и их ковариантными производными, взятыми в начале координат.

В математической физике такое представление часто бывает очень удобным при проведении вычислений.

16.9.2 Нормальные координаты в (псевдо-)римановом простран стве Основное достоинство нормальных координат заключается в том, что вещественно аналитические тензорные поля в окрестности U0 M произвольной точки 0 M представляются в виде ряда Тейлора, коэффициенты которого задаются только ко вариантными объектами: ковариантными производными данного тензорного поля, а 16.9. НОРМАЛЬНЫЕ, ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ИЛИ РИМАНОВЫ КООРДИНАТЫ также тензорами кривизны и кручения и их ковариантными производными. В преды дущем разделе были явно вычислены первые два члена этого ряда для ковариантного тензора второго ранга. Эти члены содержат много слагаемых с тензором кручения.

Поэтому в (псевдо-)римановой геометрии, где кручение тождественно равно нулю, формулы упрощаются, и можно продвинуться значительно дальше в вычислениях.

Кроме того, если на многообразии M задана аффинная геометрия (M,, ), то в качестве определяющего пучка кривых, проходящих через точку 0 M можно вы брать не геодезические линии, а экстремали, которые определяются исключительно метрикой. Это также дает основание рассмотреть нормальные координаты в (псевдо )римановой геометрии более подробно.

Два слова об обозначениях. Мы часто используем знак тильды для геометриче ских объектов в (псевдо-)римановой геометрии. Поскольку значок окружности над символом уже используется для обозначения геометрических объектов, рассматрива емых в точке 0, то, чтобы не загромождать обозначений, знак тильды в настоящем разделе мы опустим.

В (псевдо-)римановой геометрии в нормальных координатах = 0, и ковари антная производная произвольного тензора в этой точке совпадает с частной про изводной. При этом в выражении для тензора кривизны пропадают квадратичные слагаемые по связности:

= или 1 2 2 2 = ( + ).

Вычисления, аналогичные тем, что привели к формулам (16.77), (16.78), в (псевдо )римановой геометрии дают равенства {1 2 } = {1 2 }, {1 2 3 } = {1 2 3 }, (16.80) 2 {1 2 3 4 } = {1 2 3 4 } {1 2 3 4 }, 5 где симметризация проводится только по индексам 1, 2,.... Здесь мы дополнитель но вычислили третью симметризованную производную от связности.

Разложим ковариантный тензор 1...s произвольного ранга в окрестности точ ки 0 в ряд по нормальным координатам:

1...s = 1...s + 1...s + 1 2 1...s 1 2 +..., где 0 = { = 0}. Преобразовав частные производные в ковариантные и исключив 594 ГЛАВА 16. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ И ЭКСТРЕМАЛИ слагаемые со связностью с помощью формул (16.80), получим следующий ряд 1...s = 1...s + 1...s + ( ) s 1 k 1...k...s 1 2 + 1 2 1...s + 3 k=1 k 1 2!

( s (16.81) k 1 2 k 3 1...k...s 1 2 3 1...s + 3! k= ) s k 1...k...s 1 2 3 +...

2 k=1 1 k 2 Под знаком суммы подразумевается суммирование по немому индексу k, который стоит на -том месте в 1...k...s. В полученном выражении симметризацию по ин дексам 1, 2,... можно не указывать, т.к. происходит свертка с симметричным про изведением 1... k.

Аналогичные ряды можно построить для тензоров, содержащих произвольные наборы ковариантных и контравариантных индексов. Во всех случаях коэффициен ты ряда вплоть до любого порядка могут быть выражены только через ковариантные объекты в точке 0.

Нормальные координаты особенно удобны при анализе (псевдо-)римановой мет рики. В этом случае возникает дополнительное упрощение, поскольку все ковари антные производные от метрики тождественно равны нулю. Несложные вычисления показывают, что ряд (16.81) для метрики в нормальных координатах принимает вид 1 = 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 + (3 3!

(16.82) ) 16 61 2 3 4 + 1 2 3 4 1 2 3 4 +..., + 5! где мы также вычислили слагаемое четвертого порядка.

16.9.3 (Псевдо-)римановы пространства постоянной кривиз ны Выражение для метрики в нормальных координатах (16.82) принимает особенно про стой вид для пространств постоянной кривизны, которые определяются равенством = 0.

Предложение 16.9.2. В пространстве постоянной кривизны (псевдо-)риманова метрика в окрестности произвольной точки 0 M в нормальных координатах имеет вид 1 (1)k 22k+2 = + 1 2... k1 k k, (16.83) 2 k=1 (2 + 2)!

где := k1 1 2 k 1 2, k1 0 =.

k Доказательство. Сначала проверяем, что первые два члена суммы действительно совпадают с (16.82) для пространств постоянной кривизны. Далее доказательство проводится по индукции.

16.9. НОРМАЛЬНЫЕ, ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ИЛИ РИМАНОВЫ КООРДИНАТЫ Ряд для метрики (16.83) можно просуммировать для пространств постоянной кривизны специального вида (8.49). В этом случае в начале координат справедливо равенство = ( ), = dim M, = const. (16.84) ( 1) Тогда матрица пропорциональна проекционному оператору:

( ) =, где :=, :=, :=, ( 1) и ряд для метрики принимает вид ) 22k+ 1 ( ()k.

= + (16.85) 2 (2 + 2)!

k= Это выражение для метрики определено и для = 0, т.к. ряд начинается с линей ного по члена. Теперь ряд можно просуммировать, что приводит к следующему выражению для метрики = ()t + l = + (1 ), (16.86) где метрика представлена в виде суммы проекционных операторов t := l :=,, а функция () определена рядом 22k+ ()k, () := (16.87) (2 + 2)!

k= который сходится на всей комплексной плоскости. Тем самым доказано следующее утверждение.

Теорема 16.9.4. Пусть на многообразии задана (псевдо-)риманова метрика клас са 2 такая, что многообразие является пространством постоянной кривизны спе циального вида:

= ( ). (16.88) ( 1) Тогда метрика на M вещественно аналитична.

Доказательство. Прямая проверка показывает, что вещественно аналитическая мет рика (16.86), (16.87) описывает многообразие постоянной кривизны (16.88). Един ственность метрики следует из единственности решения задачи Коши для уравнений геодезических.

596 ГЛАВА 16. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ И ЭКСТРЕМАЛИ Ряд (16.87) можно просуммировать. Для псевдоримановых пространств положи тельной кривизны 0, 0, и функция () имеет вид sin, 0, () = (16.89) 1, = 0, sh, 0.

Функция (), как нетрудно проверить, аналитична. Напомним, что sin = sh.

Для псевдоримановых пространств отрицательной кривизны 0, 0 имеем равенство sh, 0, () = (16.90) 1, = 0, sin, 0.

Отметим, что на световом конусе, = 0, метрика в обоих случаях совпадает с мет рикой Минковского.

Если кривизна псевдориманова пространства постоянной кривизны равна нулю, = 0, то = 1.

Для римановых пространств постоянной кривизны всегда 0, и sin, 0, () = (16.91) 1, = 0, sh, 0.

Тот факт, что функция () действительно приводит к ряду (16.85) проверяется прямой проверкой. Не зная функции (), ряд (16.85) можно просуммировать сле дующим образом. Представление (16.85) задает тензорную структуру метрики. В разделе 15.4 для метрики более общего вида, которая параметризуется двумя произ вольными функциями () и (), были вычислены символы Кристоффеля и тензор кривизны. Рассматриваемому случаю соответствует условие ( + ) = = 1, где штрих обозначает дифференцирование по. Последнее равенство задает обыкно венное дифференциальное уравнение первого порядка на (). Это уравнение легко решается после подстановки = (16.92) Постоянная интегрирования находится из условия (0) = 0 (ограниченность метри ки).

Рассмотрим римановы пространства постоянной кривизны, для которых (0) =. Метрика (16.86) принимает особенно простой вид в сферической системе коор динат евклидова пространства Rn. В сферических координатах = = 2, где – радиальная координата, и справедливы тождества l = 2, t = 2, 16.9. НОРМАЛЬНЫЕ, ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ИЛИ РИМАНОВЫ КООРДИНАТЫ где – элемент телесного угла в евклидовом пространстве Rn. Таким образом мет рику пространств постоянной кривизны в нормальных координатах можно записать в виде 2 = 2 + 2. (16.93) Проанализируем пространство Rn с метрикой (16.93) подробнее. Объем сферы радиуса в Rn с метрикой (16.93) равен 2 n/2 2 (n1)/ n r = ( ).

( n ) Мы видим, что нули функции (2 ) = 0 определяют те сферы в Rn, площадь которых равна нулю. Поскольку площадь поверхности является инвариантным объектом, то это означает, что на самом деле эти сферы соответствуют отдельным точкам про странства постоянной кривизны.

Нормальные координаты для многообразий постоянной кривизны определены для всех { } Rn. При этом все геодезические, проходящие через точку 0, полны, т.к. канонический параметр пробегает всю вещественную прямую (, ).

Проведенное рассмотрение доказывает Теорема 16.9.5. Нормальные координаты на (псевдо-)римановом многообразии M постоянной кривизны вида (16.88) в каждой точке 0 M задают гладкое сюрьек тивное отображение Rn M. (16.94) Для римановых пространств нулевой кривизны нормальные координаты совпадают с декартовыми.

Замечание. В дальнейшем мы увидим, что отображение (16.94) не является накры тием.

В общем случае отображение (16.94) не является взаимно однозначным. Поэтому в области определения нормальных координат Rn можно задать отношение экви валентности, отождествив те точки, которые отображаются на одну и ту же точку из M. Таким образом пространство постоянной кривизны вида (16.88) можно рас сматривать как евклидово пространство Rn, в котором задано некоторое отношение эквивалентности между точками.

Пример 16.9.2. Рассмотрим двумерную сферу S2 R3 единичного радиуса в каче стве пространства постоянной положительной кривизны. В этом случае = 1, = 1, = 2. Функция (2 ) в полярных координатах на плоскости R2 имеет вид sin =.

Это соответствует метрике 2 = 2 + sin 2 2.

Длина окружности на плоскости R2 радиуса с центром в начале координат равна = sin = 2 sin.

Отсюда следует, что окружности радиусов =, = 1, 2,... отображаются в од ну точку сферы. При этом плоскость R2 бесконечное число раз “накрывает” сферу 598 ГЛАВА 16. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ И ЭКСТРЕМАЛИ S2. Если условиться, что начало координат соответствует южному полюсу сферы, то при отображении R2 S2 все окружности радиуса = 2, = 0, 1,..., соот ветствуют южному полюсу, а все окружности радиуса = + 2 – северному. В рассматриваемом случае между точками евклидовой плоскости возникает отношение эквивалентности + 2, = 0, 1,....

Нормальные координаты были определены таким образом, что геодезические ли нии в них совпадают с прямыми. В (псевдо-)римановом пространстве экстремали совпадают с геодезическими и поэтому также являются прямыми. Проверим это для пространств постоянной кривизны, которые были рассмотрены выше. Уравнения для экстремалей, определяемых метрикой (16.86) можно проинтегрировать. Из выраже ния для символов Кристоффеля (15.32), которые в рассматриваемом случае имеют вид ) 1 t ( = t + t +, (16.95) следуют уравнения для экстремалей (16.20) ( )2 1 1 ( )2 ( ). (16.96) = 2 + + Эти уравнения имеют интеграл (16.25) ( ) 0 = = ( 1) = const.

Прямая проверка показывает, что все прямые линии, проходящие через начало координат, =, = const, R, являются экстремалями. Эти экстремали, очевидно, полны. Отметим, что символы Кристоффеля (16.95) равны нулю только в начале координат. В близких точках они отличны от нуля, и среди экстремалей прямыми являются только те, которые проходят через начало координат.

Уравнения для экстремалей (16.96) можно проинтегрировать и в общем случае.

То есть найти те экстремали, которые не проходят через начало координат. Для этой цели рассмотрим зависимость := от. Учитывая равенства = 2, = 2 + 2, из уравнений для экстремалей получаем обыкновенное уравнение на ():

( ) 1 2 + =, 2 2 где функция () определена равенством (16.92) sin () =.

16.9. НОРМАЛЬНЫЕ, ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ИЛИ РИМАНОВЫ КООРДИНАТЫ Рассмотрим случай 0 0. Введя новую переменную 2 =, при 0, и растянув канонический параметр / 0, приходим к уравнению = (1 2 ) ctg, которое можно явно проинтегрировать. Общее решение этого уравнения имеет вид cos = 1 sin ( + 0 ), 1 = const 1, 0 = const, Аналогично можно рассмотреть все остальные случаи.

Таким образом, для пространств постоянной кривизны специального вида (16.84) в нормальных координатах можно найти и проанализировать поведение всех экстре малей. В дальнейшем мы рассмотрим эту задачу в ряде конкретных случаев.

16.9.4 Нормальные координаты и экспоненциальное отобра жение Пусть задана связность на многообразии M и = () – геодезическая. Если – ка нонический параметр вдоль геодезической, то координатные функции { ()} удовле творяют системе уравнений (16.3). Зафиксируем канонический параметр каким ли бо образом и начальную точку 0 = (0). Тогда касательный вектор 0 := 0 T0 (M) к геодезической в точке 0 определен однозначно. Верно также обратное утвержде ние. Если задана точка 0 M и касательный вектор 0 T0 (M), то существует единственная геодезическая, проходящая через 0 с начальным вектором 0, при этом канонический параметр определен с точностью до сдвига. Таким образом, каж дая геодезическая однозначно определена парой (0, 0 ).

В разделе 2.6.5 было определено экспоненциальное отображение для гладких полных векторных полей на многообразии. Геодезическая линия () является ин тегральной кривой для векторного поля скорости () := (). Тогда для полных геодезических определено экспоненциальное отображение 0 (), exp 0 : (16.97) которое отображает начальную точку 0 в точку (). Если вектор скорости 0 при нимает все возможные направления в касательном пространстве T0 (M), то экспонен циальное отображение (16.97) можно рассматривать, как отображение касательного пространства в многообразие T0 (M) 0 () M, exp 0 : (16.98) для которого мы сохраним прежнее обозначение.

Замечание. В разделе 2.6.5 экспоненциальное отображение было определено для каждого полного векторного поля. При этом вопрос о том, каким образом данное векторное поле задано, не рассматривался. Если векторное поле одно, то экспонен циальное отображение нельзя рассматривать, как отображение касательного про странства (16.98), т.к. в точке 0 имеется только один вектор. В рассматриваемом случае ситуация другая. На многообразии M задана связность, которая определяет все множество геодезических. Для фиксированной точки 0 мы рассматриваем мно жество геодезических, проходящих через данную точку во всех возможных направ лениях. То есть вектор скорости 0 в (16.98) принимает все возможные направления.

Следовательно, экспоненциальное отображение можно рассматривать, как отобра жение касательного пространства.

600 ГЛАВА 16. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ И ЭКСТРЕМАЛИ По построению, каждая прямая в касательном пространстве T0 (M), проходящая через начало координат, отображается в соответствующую геодезическую. Ясно, что такое отображение можно построить для каждой точки 0 M.

Если геодезическая неполна, то экспоненциальное отображение (16.98) определе но только для некоторого интервала значений канонического параметра 1 2, где 1,2 0. В результате экспоненциальное отображение будет определено в некото рой окрестности начала координат касательного пространства. Если связность на M класса, то экспоненциальное отображение будет того же класса гладкости. По скольку дифференциал экспоненциального отображения в точке 0 невырожден, то существует окрестность U0 0, такая, что экспоненциальное отображение (16.98) является диффеоморфизмом U0 V0 T0 (M), где V0 – некоторая окрестность касательного пространства, содержащая начало координат. Выберем координатный репер { } в точке 0 и предположим, что векторы скорости принимают значение на единичной сфере n ( )2 = 1.

= Теперь отождествим касательное пространство T0 (M) с евклидовым пространством Rn естественным образом, отождествив координаты касательного вектора { } с декартовыми координатами точки { } в Rn. В результате получим координатную систему, определенную на U0.

Определение. Система координат в окрестности U0 M точки 0, определенная экспоненциальным отображением (16.98), { ()} { := } V0 Rn, M U : называется нормальной.

Замечание. Подчеркнем, что нормальная система координат определена исключи тельно связностью, а не метрикой, которой вообще может не быть на многообра зии.

Если на многообразии M помимо связности задана также метрика, то ис ходную систему координат в окрестности точки 0 можно всегда выбрать таким образом, что координатный базис будем ортонормальным в данной точке 0, т.е.

(0 ) =. Мы всегда предполагаем, что для нормальной системы координат при наличии метрики данное условие выполнено.

Теорема 16.9.6 (Уайтхед). Пусть – нормальная система координат окрест в ности точки 0 M. Определим окрестность U0 () точки 0 равенством ( ) 2. Тогда существует положительное число такое, что если 0, то:

1) окрестность U0 () является геодезически выпуклой, т.е. любые две точки из U0 () можно соединить геодезической, целиком лежащей в U0 ();

2) каждая точка из U0 () имеет нормальную координатную окрестность, со держащую U0 ().

Доказательство. См. [100].

Замечание. Данная теорема справедлива для произвольных достаточно гладких связностей, независимо от того задана ли на многообразии метрика или нет.

16.10. ПОЛНОТА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ 16.10 Полнота римановых многообразий Пусть задано риманово многообразие (M, ). В настоящем разделе положительная определенность метрики существенна, и мы будем ее предполагать.

Определение. Рассмотрим две произвольные точки многообразия, M. Рас стоянием между этими точками называется нижняя грань интегралов q := (, ) := inf, (16.99) p по всем кусочно дифференцируемым кривым класса 1, соединяющим эти точки.

Функция расстояния определяет отображение MM (, ) (, ) R+.

:

Нетрудно проверить, что все свойства топологической метрики, рассмотренной в раз деле (1.3.2) выполнены и, следовательно, функция (, ) задает топологическую мет рику на M.

Определение. Множество точек Br () := { M : (, ) } (16.100) называется шаром радиуса с центром в точке M.

Предложение 16.10.1. Функция расстояния (16.99) непрерывна и семейство мет рических шаров для всех M и R+ образует базу исходной топологии много образия.

Доказательство. Следует из непрерывной зависимости интеграла от пределов ин тегрирования.

Для связностей Леви–Чивиты на римановых пространствах справедлива Теорема 16.10.1 (Майерс, Стинрод). Пусть (M1, 1 ) и (M2, 2 ) – римановы мно гообразия. Пусть 1 и 2 – функции расстояния на M1 и M2 соответственно. Если задано отображение : M1 M2 (которое (не предполагается непрерывным или ) дифференцируемым), такое, что 1 (, ) = 2 (), () для всех, M1, то есть диффеоморфизм из M1 на M2, который отображает метрику 1 в 2.

В частности, каждое отображение из M на себя, сохраняющее функцию рас стояния, есть изометрия, т.е. отображение сохраняет метрику.

Доказательство. См. [101].

Напомним, что топологическое пространство M и, в частности, многообразие, называется метрически полным, если любая фундаментальная последовательность в M сходится к некоторой точке из M.

С другой стороны, в разделе 16.2 мы определили экстремали как линии, для кото рых первая вариация интеграла (16.99) равна нулю. Экстремали являются одновре менно геодезическими линиями для связности Леви–Чивиты. Эта связность является полной, если любую экстремаль можно продолжить в обе стороны до бесконечных 602 ГЛАВА 16. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ И ЭКСТРЕМАЛИ значений канонического параметра. В этом случае мы говорим, что риманово мно гообразие полно.

Таким образом было введено два понятия полноты многообразия: метрическая полнота и полнота связности Леви–Чивиты. Оба эти понятия определяются одним геометрическим объектом – римановой метрикой и поэтому между ними существует тесная связь, которую мы здесь рассмотрим.

Теорема 16.10.2 (Хопф, Ринов). Для связного риманова многообразия следующие условия эквивалентны:

1) (M, ) – полное риманово многообразие;

2) (M, ) – полное метрическое пространство;

3) каждый замкнутый метрический шар Br () в M компактен;

4) для каждой точки 0 M экспоненциальное отображение (16.98) определено на всем касательном пространстве T0 (M).

Доказательство. См. [102].

Теорема 16.10.3. Если M – связное полное риманово многообразие, то M геодези чески выпукло, т.е. любые две точки, M можно соединить минимизирующей экстремалью.

Доказательство. См., например, [45].

Следствие. Если все геодезические, исходящие из любой выбранной точки связ ного риманова многообразия полны, то (M, ) – геодезически и метрически полно.

Доказательство. См., например, [45].

Следствие. Каждое компактное риманово многообразие (M, ) метрически полно.

Доказательство. Следствие импликации 3) 1) в теореме 16.10.2.

Напомним, что риманово пространство (M, ) называется однородным, если груп па изометрий действует на M транзитивно.

Теорема 16.10.4. Каждое однородное риманово многообразие (M, ) полно.

Доказательство. Пусть – точка однородного риманова пространства (M, ). Тогда существует положительное число 0 такое, что для каждого единичного вектора Tx (M) геодезическая exp определена для каждого ||. Пусть = (), 0, – произвольная геодезическая в M с каноническим параметром. Покажем, что эта геодезическая может быть продолжена до геодезической, определенной при 0 +. Пусть – изометрия многообразия M, которая отображает точку в (). Тогда дифференциал обратной изометрии 1 отображает касательный вектор () в = 1 ().

Поскольку exp есть геодезическая, проходящая через точку, то ( exp ) – гео дезическая, проходящая через (). Положим 0.

( + ) := ( exp ) для Тогда кривая = () при 0 + является продолжением геодезической.

16.11. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ Замечание. Доказанная теорема следует также из того общего факта, что каждое локально компактное метрическое однородное пространство полно.

Теорема 16.10.5. Пусть M и M – связные римановы многообразия одинаковой раз мерности. Допустим, что существует изометрическое погружение : M M.

Тогда:

1) Если M полно, то отображение : M M является накрытием и M полно.

2) Обратно, если : M M – накрытие и M полно, то M также полно.

Доказательство. См., например, [45].

Следствие. Пусть M и M – связные многообразия одинаковой размерности и : M M – погружение. Тогда, если многообразие M компактно, то M также компактно, а – накрывающее отображение.

Доказательство. Возьмем любую риманову метрику на M. Тогда – единствен ная метрика на M такая, что – изометрическое погружение. Поскольку M ком пактно, то, по следствию 16.10, оно полно. Тогда из теоремы 16.10.5 следует, что – накрывающее отображение и отсюда M компактно.

Замечание. В предыдущих теореме и следствии требование одинаковой размерно сти многообразий M и M является излишним, т.к. погружение возможно только для многообразий одинаковой размерности.

Определение. Говорят, что связное риманово пространство непродолжаемо, если его нельзя изометрически вложить в другое связное риманово пространство как соб ственное открытое подмногообразие.

Теорема 16.10.5 показывает, что каждое полное связное риманово многообразие непродолжаемо. Обратное утверждение неверно.

Пример 16.10.1. Пусть M есть евклидова плоскость с выколотым началом коорди нат, а M – его универсальное накрывающее пространство. Как открытое подмного образие евклидовой плоскости M имеет естественную евклидову метрику, которая, очевидно, неполна. На универсальной накрывающей M также задана естественная евклидова метрика. Риманово многообразие M неполно по теореме 16.10.5. Может быть доказано, что M непродолжаемо. Таким образом, неполное связное риманово многообразие в общем случае может быть непродолжаемо.

Следствие. Пусть I(M) – группа изометрий связного риманова многообразия (M, ).

Если орбита I точки M содержит открытое подмножество из M, то орбита I совпадает со всем M. Тем самым риманово многообразие M однородно.

16.11 Формулы Френе Рассмотрим произвольную гладкую кривую = { ()} в трехмерном римановом многообразии M, dim M = 3, с положительно определенной метрикой. Тогда дли на кривой (6.8) отлична от нуля. Выберем длину кривой в качестве канонического параметра вдоль кривой. Предположим также, что на многообразии задана метри ческая связность (геометрия Римана–Картана). Единичный касательный вектор к кривой определяется вектором скорости :=, 604 ГЛАВА 16. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ И ЭКСТРЕМАЛИ где точка обозначает дифференцирование по каноническому параметру. Диффе ренцируя тождество 2 = 1, получим равенство 2 = 2 = 0. (16.101) Отсюда вытекает, что ковариантная производная (6.9) от вдоль кривой (уско рение кривой), = =, (16.102) где () – некоторая функция вдоль кривой, ортогональна вектору скорости. Здесь мы предполагаем, что = 0, т.е. кривая не является геодезической. Вектор всегда можно выбрать единичным:

2 = 1.

(, ) = 0, (16.103) Определение. Единичное векторное поле () (M, ), определенное вдоль кри вой, называется главной нормалью кривой. Функция 1/() называется кривизной кривой.

Поскольку пространство трехмерно, то дополним векторы и до ортонор мированного базиса в касательном пространстве с помощью вектора бинормали к кривой, определяемого следующими соотношениями:

2 = 1.

(, ) = 0, (, ) = 0, (16.104) Ковариантные производные от и можно разложить по этому базису с неко торыми коэффициентами = + +, (16.105) = + +.

Дифференцируя тождества (16.103), (16.104) вдоль кривой, получим условия на ко эффициенты разложения:

+ = 0, = 0, = 0, + = 0, = 0.

Тогда из соотношений (16.102) и (16.105) следуют формулы Френе:

=, 1 = +, (16.106) =, где введено обозначение = =.

Функция 1/ () называется кручением кривой.

Если кривая задана, то при желании можно найти явные выражения для вектор ных полей, и, а также вычислить кривизну и кручение кривой. В трехмерном 16.11. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ евклидовом пространстве R3 верно также обратное утверждение (см. [7]). А именно, если известны кривизна и кручение как функции канонического параметра вдоль кривой, то можно восстановить кривую в R3 с точностью до движений (сдвигов, вращений и отражений) всего пространства. Таким образом, кривизна и кручение кривой в трехмерном евклидовом пространстве представляют собой полный набор геометрических инвариантов кривой.

Пример 16.11.1. Кривизна и кручение прямой линии в трехмерном евклидовом пространстве R3 равны нулю.

Пример 16.11.2. Рассмотрим спираль в трехмерном евклидовом пространстве R3, ось которой совпадает с осью :

= cos, 2 + = sin, (16.107) 2 + =, 2 + где 0 и – постоянные и параметр R совпадает с длиной спирали. Касатель ный вектор к спирали имеет следующие компоненты:

x = sin, 2 + 2 2 + y = cos, 2 + 2 2 + z =.

2 + Дифференцирование этих равенств по приводит к следующему вектору главной нормали:

x = cos, + y = sin, 2 + z = 0.

При этом кривизна спирали равна 1 =2.

+ Дальнейшее дифференцирования полученных равенств по определяет вектор бинормали:

x = sin, 2 2 2 + + y = cos, 2 + 2 2 + z = 2 + 606 ГЛАВА 16. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ И ЭКСТРЕМАЛИ и кручение спирали 1 =2.

+ Таким образом вычислены все характеристики спирали.

Если = 0, то спираль вырождается в окружность. Для окружности кривизна и кручение равны 1 1 =, = 0.

Замечание. Кривизна 1/ и кручение 1/ кривой зависят от метрики и тензора кручения трехмерного многообразия M, что следует из определения метрической связности. При выводе формул Френе условие метричности связности важно, т.к.

при отличной от нуля неметричности формула (16.101) неверна и ковариантная про изводная (16.102) не будет ортогональна вектору скорости. Заметим также, что кри визна и кручение кривой являются понятиями, отличными от кривизны и кручения аффинной связности, введенных ранее.

Посмотрим на геодезические линии с точки зрения введенных выше понятий.

Следующее утверждение очевидно.

Предложение 16.11.1. Кривая в трехмерном пространстве Римана–Картана является геодезической тогда и только тогда, когда ее кривизна 1/ равна нулю.

Для геодезической линии на M правая часть уравнения (16.102) равна нулю, и, следовательно, вектор нормали к геодезической нельзя определить соотношением (16.102). Кручение геодезической линии также неопределено.

При смещении вдоль кривой, отличной от геодезической, на расстояние ком поненты касательного вектора и вектора главной нормали получают приращение = =, +.

Отсюда следует, что при параллельном переносе вдоль кривой на бесконечно малое расстояние касательный вектор и вектор главной нормали остаются в плоскостях, натянутых на векторы и, тогда и только тогда, когда кручение кривой равно нулю, 1/ = 0. В этом случае векторы и поворачиваются на угол = /.

Если рассматривать кривую на двумерном многообразии с заданной римановой метрикой и метрической связностью, то вектор бинормали тождественно равен нулю, а формулы Френе принимают вид =, =.

В этом случае кривые нулевой кривизны и только они являются геодезическими.

Глава Симплектические и пуассоновы многообразия Симплектические и пуассоновы многообразия играют важную роль в дифференци альной геометрии в связи с применениями, в первую очередь, к гамильтоновой ди намике, рассмотренной в главе 19.


17.1 Симплектические группы Симплектические группы играют в симплектической геометрии ту же роль, что и группы вращений в евклидовой геометрии. Поскольку эти группы устроены намного сложнее, чем ортогональные и унитарные матричные группы, то мы посвятим сим плектическим группам и их свойствам целый раздел. Более подробное изложение содержится в [103].

Определение. Рассмотрим антисимметричную 22 матрицу (каноническую сим плектическую форму), ( ) 0 = ( ) =, (17.1) где, = 1,..., 2 и 1 – единичная матрица. Эта матрица определяет били нейную квадратичную форму в евклидовом пространстве R2n, рассматриваемом, как векторное пространство, R2n R2n, (, ) := R, :

где и – компоненты векторов в декартовой системе координат. Квадратные матрицы размера 2 2 с вещественными элементами, оставляющие канониче скую симплектическую форму инвариантной, t =, (17.2) образуют группу Ли SP(, R), которая называется вещественной симплектической группой.

Взятие определителя от обеих частей определения (17.2) приводит к равенству det = ±1, поскольку det = 1. Отсюда следует, что для любой матрицы су ществует обратная. Нетрудно убедиться, что обратная матрица также является сим плектической, а также в том, что произведение двух симплектических матриц снова дает симплектическую матрицу. Тем самым все групповые аксиомы выполнены.

608 ГЛАВА 17. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ И ПУАССОНОВЫ МНОГООБРАЗИЯ Каноническая симплектическая форма универсальна в следующем смысле. Если – произвольная невырожденная антисимметричная матрица, то из курса линейной алгебры известно, что за счет линейного преобразования базиса в R2n ее всегда можно преобразовать к каноническому виду (17.1).

Предложение 17.1.1. Алгебра Ли sp(, R) группы SP(, R) состоит из матриц вида ( ) sp(, R), (17.3) t где – произвольная вещественная матрица, а вещественные матрицы и симметричны.

Доказательство. Вблизи единицы группы симплектическая матрица представима в виде = etM = 1 + +..., R, где sp(, R) – элемент алгебры Ли. Подставляя это разложение в (17.2) в ли нейном по порядке получаем равенство t + = 0. (17.4) Представим элемент алгебры в блочном виде ( ) =.

Тогда из (17.4) следуют равенства:

= t = t, = t, Следствие. Размерность симплектической группы SP(, R) равна (2 + 1).

Выше было отмечено, что det = ±1. Справедливо более сильное утверждение.

Предложение 17.1.2. Определитель любой симплектической матрицы равен еди нице SP(, R).

det = 1, (17.5) Доказательство. Любую симплектическую матрицу = ( ) SP(, R),, = 1,..., 2, можно рассматривать, как невырожденное линейное преобразование 2 мерного евклидова пространства R2n, которое оставляет каноническую 2-форму инвариантной. Следовательно, симплектическое преобразование сохраняет инвари антной и любую внешнюю степень формы. В частности, симплектическое преоб разование сохраняет 2-форму объема n. Известно, что при преобразовании ко ординат форма объема умножается на якобиан преобразования координат. Таким образом для симплектических преобразований имеем n = n det.

Отсюда следует равенство (17.5).

Симплектические группы SP(, R) существенно отличаются от групп вращений евклидова пространства. В частности, они являются некомпактными. Продемонстри руем это на примере простейшей группы SP(1, R).

17.1. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ Теорема 17.1.1. Группа SP(1, R) изоморфна группе 2 2 матриц SL(2, R). С топо логической точки зрения эта группа трехмерна некомпактна и гомеоморфна пря мому произведению окружности на двумерную плоскость, SP(1, R) S1 R2. Она неодносвязна, и ее фундаментальная группа изоморфна группе целых чисел ( ) SP(1, R) Z.

Доказательство. В двумерном случае каноническая симплектическая форма с точ ностью до знака совпадает с полностью антисимметричным тензором = (28.64). Рассмотрим матрицу SP(1, R), как линейное преобразование двумерной евклидовой плоскости R2. Тогда уравнение (17.2) запишется в виде =.

Поскольку левая часть уравнения антисимметрична по индексам и, то она рав на det. Отсюда следует, что уравнение (17.2) эквивалентно одному уравнению det = 1. Таким образом группа SP(1, R) изоморфна группе вещественных 2 матриц с единичным определителем, т.е. группе SL(2, R).

Из курса линейной алгебры известно, что любое линейное преобразование плос кости, для которого det = 1, можно однозначно представить в виде композиции двух преобразований: ортогонального поворота плоскости (группа U(1) S1 ) и пре образования, задающегося верхнетреугольной матрицей вида ( ), 0.

0 1/ Вещественные числа и можно рассматривать в качестве координат на полуплос кости 0, которая гомеоморфна всей евклидовой плоскости. Таким образом мы по лучаем топологическое разложение группы SP(1, R) на прямое произведение окруж ности и двумерной плоскости. Прямое произведение S1 R2 гомотопически эквива лентно окружности (стягивается к окружности), и поэтому фундаментальная группа SP(1, R) изоморфна фундаментальной группой окружности (теорема 10.3.4).

Симплектические группы SP(, R) при 1 имеют более сложную структуру, и их описание выходит за рамки настоящей монографии. Отметим лишь, что все груп пы SP(, R) некомпактны. В дальнейшем нам понадобятся другой класс групп Ли, который обозначается SP() и состоит из компактных симплектических групп. Они существуют и строятся, как подгруппы в комплексных симплектических группах SP() SP(, C).

Рассмотрим 2-мерное комплексное пространство C2n с координатами, = 1,..., 2. Каноническая симплектическая форма задает на C2n симплектическую структуру (билинейную квадратичную форму), т.е. двум векторам и ставится в соответствие число C2n C2n, (, ) := C.

:

По-определению, симплектическая структура антисимметрична (, ) = (, ).

Невырожденное комплексное линейное преобразование координат называется сим плектическим, если оно сохраняет каноническую симплектическую структуру. Это преобразование задается комплексной 2 2 матрицей SP(2, C), которая удо влетворяет тому же равенству (17.2), что и в вещественном случае. Единственное 610 ГЛАВА 17. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ И ПУАССОНОВЫ МНОГООБРАЗИЯ отличие состоит в том, что элементами матрицы теперь являются комплексные числа. Эти матрицы образуют комплексную симплектическую группу SP(, C). Яс но, что группа SP(, R) содержится в группе SP(, C), как подгруппа вещественных симплектических преобразований.

Представление элементов алгебры Ли sp(, C) в виде (17.3) справедливо и для комплексных симплектических групп, только матрицы, и будут комплекс ными. Поэтому размерность группы SP(, C) в два раза больше размерности веще ственной группы SP(, R) и равна 2(2 + 1). Так же, как и в вещественном случае, группа SP(, C) при всех является некомпактной.

Предложение 17.1.3. Симплектические группы SP(, R) и SP(, C) являются связ ными, т.е. состоят из одной компоненты.

Предложение 17.1.4. Характеристический полином 2n k k () = det ( 1) = k= симплектического вещественного преобразования SP(, R) обладает свойством () = 2n (1/), что означает симметричность его коэффициентов k = 2nk. В частности, если собственное число симплектического преобразования, то 1/ также собственное число.

Доказательство. Из определения симплектического преобразования (17.2) следует, что = 1t, т.к. 2 = 1. Отсюда вытекает цепочка равенств () = det (1t 1) = det (1t + 1) = ( ) = det (1 + ) = det 1, 2n где мы воспользовались равенством det = det t = 1.

Отметим, что у характеристического полинома не может быть нулевого собствен ного значения, т.к. det = 1. Поскольку характеристический полином является ве щественным, то, если – комплексное собственное число, то – также собственное число. Таким образом, в случае общего положения собственные числа вещественно го симплектического преобразования разбиваются на четверки,, 1/, 1/, т.е. соб ственные числа расположены на комплексной плоскости симметрично относительно вещественной оси и единичной окружности.

По-построению, комплексная симплектическая группа SP(, C) содержит неком пактную вещественную подгруппу SP(, R). Оказывается, что группа SP(, C) со держит компактную подгруппу, которая называется компактной симплектической группой и обозначается через SP(). Эту подгруппу удобно определить с использо ванием алгебры кватернионов H (см. приложение 28.3).

Определение. Рассмотрим -мерное кватернионное пространство Hn с базисом a, a = 1,...,. Каждый вектор Hn однозначно представим в виде = a a, где каждая координата является кватернионом a H. Каждый кватернион разлагается по базису {1,,, }:

a = a + a + a + a.

17.1. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ Вещественная размерность Hn равна 4. Очевидно, что H1 = H.

Рассмотрим в Hn симметричное вещественнозначное скалярное произведение n (a a + a a + a a + a a ).

(1, 2 ) := re 1 2 = (17.6) 12 12 12 a= Множество всех линейных кватернионных преобразований GL(, H) простран ства Hn, не меняющих начало координат и сохраняющих скалярное произведение (1, 2 ) = (1, 2 ), называется симплектической компактной группой SP().

Кватернионное пространство Hn естественным образом отождествляется с евкли довым пространством R4n. Тогда скалярное произведение (17.6) совпадает с обычным евклидовым скалярным произведением в R4n. Это значит, что группа SP() является подгруппой в O(4, R). Поскольку группа вращений O(4, R) компактна, то и сим плектическая группа SP() также компактна.

В приложении 28.3 показано, что алгебра кватернионов H естественным образом отождествляется с двумерным комплексным пространством C2. Выполняя эту опе рацию вдоль каждой из кватернионных координат, мы получим отождествление Hn с C2n. При отождествлении = 1 + 2, 1 = +, 2 = +, квадратичная форма двух кватернионов 1 = 11 + 12 и 2 = 21 + 22 перейдет в сумму комплексных квадратичных форм (1, 2 )H := 1 2 = (1, 2 )C + 1, 2 C, где 1, 2 C := (12 21 11 22 ).

aa aa aa aa (1, 2 )C := (11 21 + 12 22 ), a a Квадратичная форма (1, 2 )C эрмитова, т.е. (1, 2 )C = (2, 1 )C, а форма 1, 2 C антисимметрична: 1, 2 C = 1, 2 C. Отметим, что квадратичная форма (1, 2 )H отличается от квадратичной формы (17.6) отсутствием знака реальной части.


Теорема 17.1.2. Множество элементов SP() является связной компактной груп пой Ли вещественной размерности (2+1). При отождествлении Hn с C2n группа SP() вкладывается как подгруппа в унитарную группу U(2). При этом вложении алгебра Ли sp() группы SP() состоит из комплексных 2 2 матриц вида ( ) 1 (17.7) 2 1, где 1 – комплексная антиэрмитова матрица, а 2 – комплексная симмет ричная матрица. Если матрицы из унитарной группы U(2) представить в виде ( ) 1 3 4, 612 ГЛАВА 17. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ И ПУАССОНОВЫ МНОГООБРАЗИЯ где 1, 2, 3 и 4 – комплексные матрицы, то подгруппа SP() в U(2) со стоит из унитарных матриц вида ( ) 1 (17.8) 2 1.

При этом матрица (17.8) является унитарной тогда и только тогда, когда ком плексные матрицы 1 и 2 удовлетворяют уравнениям 1 1 + 2 2 = 1 и 2 1 = † † t 1 2.

t Доказательство. Проводится прямой проверкой [103].

Связь симплектических групп с другими матричными группами дается следую щими двумя теоремами, доказательство которых дано, например, в [103].

Теорема 17.1.3. Рассмотрим стандартные вложения групп O() U(), U() SO(2), SP() U(2). Тогда имеют место следующие соотношения:

1) SO(2) SP() = U();

здесь группы SO(2) и SP() рассматриваются, как подгруппы в одной группе U(2);

2) SP(, C) U(2) = SP();

3) SP(, R) GL(2, C) = U();

4) SP(, R) U(2) = U().

Теорема 17.1.4. Для компактных симплектических групп SP(1) и SP(2) имеют место изоморфизмы:

SP(1) SU(2) SPIN(3), SP(2) SPIN(5).

При больших 2 компактные симплектические группы SP() уже не сводятся к унитарным и ортогональным группам.

Теорема 17.1.5. Группа SP() является максимальной компактной подгруппой в комплексной симплектической группе SP(, C).

Доказательство. См., например, [62].

Теорема 17.1.6. Все компактные симплектические группы SP() односвязны.

Доказательство. См., например, [63].

17.2 Симплектические многообразия Определение. Многообразие M четной размерности, dim M = 2, называется сим плектическим, если на нем задана достаточно гладкая 2-форма = 2 (M), удовлетворяющая двум условиям:

1) det = 0, M – невырожденность, 2) = 0 – замкнутость.

Форма называется симплектической.

17.2. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ Пусть на многообразии M задано два векторных поля, (M). Тогда фор ма называется невырожденной, если из условия (, ) = 0 для всех (M) следует = 0. Легко проверить, что данное инвариантное определение невырож денности 2-формы эквивалентно условию det = 0, которое должно выполняться во всех картах и для всех точек M.

По-определению, компоненты симплектической формы антисимметричны относи тельно перестановки индексов. Это значит, что ее невырожденность возможна только на многообразиях четной размерности. Поэтому размерность многообразия включе на в определение.

В координатах замкнутость симплектической формы записывается в виде диф ференциального уравнения + + = 0. (17.9) Рассмотрим связь симплектических форм с ориентацией многообразий и форма ми объема.

Теорема 17.2.1. Пусть – замкнутая 2-форма на многообразии M, dim M = 2.

Для того, чтобы эта форма была симплектической необходимо и достаточно, что бы 2-форма n была формой объема на M, т.е. нигде не обращалась в нуль.

Доказательство. Следствие предложения 3.4.3.

Следствие. Любое симплектическое многообразие (M, ) ориентируемо.

Доказательство. Отличие от нуля формы n согласно теореме 10.4.3 достаточно для ориентируемости.

Обычно симплектическое многообразие (M, ) ориентируют формой объема с дополнительным множителем:

1 n(n+1) (1) 2 n, := (17.10) !

чтобы согласовать выбор канонических координат (см. ниже) с канонической ориен тацией евклидова пространства.

Пример 17.2.1. Рассмотрим каноническую 2-форму (17.1) на евклидовом простран стве R2n = = n+1 1 + n+2 2 +... + 2n n. (17.11) Она невырождена, т.к. det = 1, и замкнута, поскольку компоненты формы по стоянны. Тем самым форма определяет симплектическую форму на евклидовом пространстве. Поскольку n(n+1) n = (1) !1... 2n, то соответствующая форма объема 1 n(n+1) (1) 2 n = 1... 2n := (17.12) !

является канонической формой объема евклидова пространства (3.79).

614 ГЛАВА 17. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ И ПУАССОНОВЫ МНОГООБРАЗИЯ Обратное утверждение о связи между наличием формы объема и симплектиче ской формы в общем случае неверно. Исключение составляют двумерные многообра зия: всякая ориентируемая поверхность допускает симплектическую структуру. Это просто полностью антисимметричный тензор второго ранга:

1 = = = 1 2 ||.

Для ориентируемых многообразий более высокой размерности dim M = 2, 1, симплектическая форма существует не всегда.

Следующая конструкция позволяет строить симплектические структуры на про извольном кокасательном расслоении T (M), dim M =, которое имеет размерность 2.

Определение. Пусть r Tr T (M) – произвольный касательный вектор к ко ( ) касательному расслоению в точке T (M). Определим каноническую линейную форму на T (M), которая называется формой Лиувилля или относительным ин тегральным инвариантом Пуанкаре, следующим соотношением (r ) = ( r ), (17.13) где – дифференциал проекции кокасательного расслоения, : T (M) M.

Теорема 17.2.2. На кокасательном расслоении T (M) к произвольному многообра зию M существует симплектическая структура.

Доказательство. Заметим, что является линейной формой на T(r) (M) и r – ка сательный вектор в точке (). Следовательно, форма Лиувилля (17.13) определена всюду на кокасательном расслоении T (M). Пусть – локальная система коорди нат на U M. Введем на 1 (U) координаты (1,..., 2n ) = ( 1,..., n, 1,..., n ) следующим образом. Пусть, = 1,..., – координаты на U. Формы 1,..., n порождают пространство 1-форм на U. Поэтому для всякой 1-формы 1 (U) имеем равенство =.

Разложим касательный вектор r по координатному базису (, ):

r = r + r.

Тогда r = r, и условие (17.13) принимает вид (r ) = r.

Таким образом получаем выражение для формы Лиувилля в локальных координа тах:

=. (17.14) Внешняя производная от формы Лиувилля имеет вид = = a b ab, a, b = 1,..., 2, т.е. совпадает с канонической симплектической формой. Таким образом построена невырожденная замкнутая 2-форма на произвольном кокасательном расслоении.

17.2. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ Форма Лиувилля естественна в том смысле, что для любого сечения : M T (M) возврат отображения переводит 1-форму в : () =.

Следствие. Любое кокасательное расслоение T (M) ориентируемо.

Замечание. В гамильтоновом подходе к описанию динамики точечных частиц (см.

главу 19) многообразие M и его кокасательное расслоение T (M) отождествляются, соответственно, с конфигурационным и фазовым пространствами.

Поскольку ранг симплектической 2-формы максимален и равен 2, то ее класс также равен 2. В этом случае теорема Дарбу (3.4.4) формулируется следующим образом.

Теорема 17.2.3 (Дарбу). Пусть задано симплектическое многообразие (M, ). То гда у каждой точки M существует такая координатная окрестность Ux M, в которой симплектическая форма принимает канонический вид =.

Определение. Координаты, в которых симплектическая форма имеет канониче ский вид, называются координатами Дарбу.

Замечание. В главе 4 мы видели, что метрику на многообразии M за счет выбора системы координат можно привести к каноническому виду только в фиксированной точке M. Лучшее, что можно сделать в общем случае, это привести метрику к каноническому виду вдоль произвольной кривой M. В этом отношении сим плектические многообразия проще. Согласно теореме Дарбу симплектическую фор му можно привести к каноническому виду не только в данной точке многообразия, но и в некоторой окрестности этой точки.

Поскольку симплектическая структура () является невырожденной, то в каж дой точке M существует обратная матрица 1 (), которая также антисим метрична:

1 = 1 =, 1 = 1.

Замечание. Если на симплектическом многообразии (M, ) задана также метрика, то в общем случае 1 = :=.

Пример 17.2.2. Для канонической симплектической структуры (17.1) ( ) 1 ) = = = t = (.

1 Симплектическая структура устанавливает взаимно однозначное соответствие се чений касательных и кокасательных расслоений. В компонентах данное соответствие задается простым правилом:

= 1, =, (M), 1 (M). (17.15) Замкнутость симплектической формы (17.9) для обратного тензора 1 () мож но переписать в виде 1 1 + 1 1 + 1 1 = 0.

616 ГЛАВА 17. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ И ПУАССОНОВЫ МНОГООБРАЗИЯ Для этого достаточно свернуть равенство (17.9) с обратными матрицами 1.

Используя внутреннее умножение (3.23), формулы (17.15) можно переписать в инвариантном виде:

= iXA = A, где A – векторное поле, соответствующее 1-форме.

Поскольку симплектическая структура на M устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством векторных полей (M) и пространством 1-форм 1 (M), то структуру алгебры Ли на (M) можно перенести на 1 (M). Для двух произвольных 1-форм, 1 (M) положим [, ] := [A, B ]. (17.16) Тем самым линейное пространство 1 (M) приобретает структуру алгебры Ли. Таким образом коммутатору векторных полей ставится в соответствие скобка Пуассона 1 форм (17.16).

В компонентах =, = и [, ] = ( + ) 1 + 1.

[ ] (17.17) Эта формула получается прямыми вычислениями.

Скобку Пуассона двух 1-форм можно выразить через производную Ли:

LXA = LXA (B ) = LXA B + B ( LXA ) = = [A, B ] + B (A + (A )) = [, ] + B, где мы воспользовались линейностью производной Ли, основной формулой гомото пии (3.42) и замкнутостью симплектической формы. Отсюда следует выражение для скобки Пуассона через производную Ли:

[, ] = XA B. (17.18) Если 1-формы и замкнуты, то полученное выражение упрощается:

[, ] = XA = LXB.

Предложение 17.2.1. Скобка Пуассона двух замкнутых форм является точной формой.

Доказательство. Из основной формулы гомотопии (3.42) следует, что для любой замкнутой формы справедливо равенство LX = ().

В компонентах скобка Пуассона двух замкнутых 1-форм (17.17) принимает про стой вид [, ] = ( 1 ).

Скобку Пуассона можно также определить в алгебре функций на M. А именно, каждая симплектическая структура определяет скобку Пуассона двух дифференци руемых функций () и () класса 2 :

[, ] := 1. (17.19) Дважды непрерывная дифференцируемость функций необходима для выполнения тождеств Якоби.

17.3. ПУАССОНОВЫ МНОГООБРАЗИЯ Поля 1 () являются компонентами антисимметричного контравариантного тензора второго ранга. Они являются частным случаем пуассоновой структуры, рас смотренной в следующем разделе.

Пусть на симплектическом многообразии (M, ) задана также аффинная геомет рия, т.е. метрика и аффинная связность. Назовем аффинную связность согласо ванной с симплектической структурой, если ковариантная производная симплек тической формы равна нулю:

= = 0. (17.20) Рассмотрим линейную комбинацию ковариантных производных, в которой слагае мые отличаются циклической перестановкой индексов + +.

Слагаемые с производными от симплектической формы сокращаются ввиду замкну тости, и мы получаем уравнение на тензор кручения + + = 0. (17.21) Это необходимое условие для того, чтобы аффинная связность была согласована с симплектической структурой, но не достаточное.

17.3 Пуассоновы многообразия Рассмотрим множество скалярных полей,,... (M) (алгебру гладких функ ций) на многообразии M произвольной размерности.

Определение. Билинейное отображение (M) (M) (M), [, ] :

называется пуассоновой структурой или скобкой Пуассона, если выполнены следу ющие четыре условия:

[ +, ] = [, ] + [, ],, R 1) – линейность, [, ] = [, ] 2) – антисимметрия, 3) [, ] = [, ] + [, ] – правило Лейбница, 4) [, [, ]] + [, [, ]] + [, [, ]] = 0 – тождество Якоби.

Многообразие с заданной скобкой Пуассона называется пуассоновым.

Из линейности скобки Пуассона и правила Лейбница следует, что скобка Пуассона постоянной функции = = const с произвольной функцией равна нулю:

[, ] = 0.

Используя это свойство, получим явное выражение для скобки Пуассона в локальной системе координат. С этой целью разложим функции и в ряды Тейлора в окрестности произвольной точки 0 :

() = 0 + ( 0 ) +..., x=x () = 0 + ( 0 ) +....

x=x 618 ГЛАВА 17. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ И ПУАССОНОВЫ МНОГООБРАЗИЯ Тогда ], [, ] = [ + o( 0 ) = x=x + o( 0 ).

= [, ] x=x Таким образом, в точке 0 скобка определяется первым слагаемым. Поскольку точка 0 произвольна, то получаем явное выражение для скобки Пуассона в координатах [, ] =, (17.22) где введены структурные функции пуассонова многообразия:

:= [, ] (17.23) Напомним, что каждую координату можно рассматривать, как функцию на мно гообразии : M () R, поэтому для координатных функций скобка Пуассона (17.23) определена.

Скобка Пуассона (17.22) совпадает со скобкой Пуассона (17.19), введенной для симплектической структуры, при = 1.

По-построению структурные функции () представляют собой компоненты антисимметричного тензора второго ранга, и выражение в правой части равенства (17.22) является функцией. Из определения скобки Пуассона следует, что структур ные функции антисимметричны, =, и удовлетворяют тождеству Якоби:

+ + = 0, (17.24) где слагаемые отличаются циклической перестановкой индексов,,. Легко про веряется, что произвольный антисимметричный тензор второго ранга, удовлетворя ющий тождеству Якоби, взаимно однозначно определяет скобку Пуассона (17.22).

Пример 17.3.1. Произвольная постоянная антисимметричная матрица определя ет пуассонову структуру в некоторой системе координат. Действительно, тождества Якоби в этом случае выполняются.

Пуассонова структура является билинейным дифференциальным оператором и записывается также в виде (, ) := [, ] =.

Поэтому для нее применяют иногда обозначение =, где знак обозначает внешнее умножение (см. раздел 3).

17.3. ПУАССОНОВЫ МНОГООБРАЗИЯ Если на многообразии помимо пуассоновой структуры задана также аффинная связность, то тождество Якоби (17.24) можно переписать в явно ковариантном виде + + = 0, где – тензор кручения аффинной связности. Это доказывает, что тождества Якоби ковариантны, и их выполнение в одной системе координат влечет за собой их выполнение во всех других системах. Впрочем, это можно было бы и не доказывать, т.к. определение пуассоновой структуры было дано в инвариантном виде.

Если матрица структурных функций невырождена, det = 0, то она имеет обратную :

=, которая также антисимметрична. Это значит, что контравариантный тензор вза имно однозначно определяет 2-форму 2 на многообразии. Из тождеств Якоби (17.24) следует, что 2-форма замкнута, 1 + + = 0, т.е. является симплектической (см. раздел 17.2). Легко проверяется и обратное утвер ждение: произвольная симплектическая форма = определяет пуассонову структуру на многообразии с невырожденными структурными функциями. При этом тождества Якоби следуют из условия замкнутости формы. Таким образом пуассоно вы структуры с невырожденными структурными функциями находятся во взаимно однозначном соответствии с симплектическими формами на многообразии.

В общем случае структурные функции пуассоновой структуры могут быть вы рождены. Это значит, в частности, что, в отличие от симплектической структуры, скобка Пуассона может быть также определена на многообразии нечетной размер ности. Рангом пуассоновой структуры называется ранг матрицы структурных функций. Ввиду антисимметрии ранг пуассоновой структуры может быть толь ко четным. В общем случае ранг пуассоновой структуры может меняться от точки к точке.

Определение. Если пуассонова структура вырождена, det = 0, то существуют функции Казимира (U), определенные, возможно, только в некоторой области U M. Они определяются следующим равенством (U).

[, ] = 0, (17.25) В координатах это равенство принимает вид = 0.

Очевидно, что любое решение этих уравнений определено с точностью до аддитив ной постоянной. Если пуассонова структура невырождена, то константы = const являются единственными функциями Казимира.

Пусть ранг матрицы постоянен на M и равен rank = 2. Количество функционально независимых функций Казимира a, a = 1,..., 2, равно числу функционально независимых решений уравнения (17.25), т.е. разности между раз мерностью многообразия и рангом пуассоновой структуры 2. Если все функции 620 ГЛАВА 17. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ И ПУАССОНОВЫ МНОГООБРАЗИЯ Казимира известны и определены на всем M, то условия a = const выделяет в M подмногообразие U размерности 2. В разделе 17.5 мы увидим, что сужение на это подмногообразие приводит к невырожденной пуассоновой структуре на U.

Из определения функций Казимира следует, в частности, что скобка Пуассона двух функций Казимира равна нулю:

[a, b ] = a b = 0. (17.26) Пусть задано пуассоново многообразие (M, ). Наличие пуассоновой структуры задает билинейное отображение на алгебре функций (M), которое превращает множество функций в алгебру Ли. Эта алгебра Ли гомоморфно отображается в ал гебру Ли векторных полей на M следующим образом. Скобка Пуассона координат ных функций с произвольной функцией определяет компоненты векторного поля f = f, где f := [, ] =.

Таким образом, мы имеем отображение множества гладких функций в алгебру Ли векторных полей (M) f (M). (17.27) Предложение 17.3.1. Скобка Пуассона двух функций, (M) связана с ком мутатором соответствующих векторных полей соотношением [f, g ] = [f,g]. (17.28) То есть отображение (17.27) является гомоморфизмом.

Доказательство. Простое следствие тождеств Якоби.

Если пуассонова структура невырождена, то гомоморфизм (17.27) имеет нетри виальное ядро, состоящее из функций, постоянных на M. Если пуассонова структура вырождена, то ядро отображения (17.28) включает также линейную оболочку функ ций Казимира.

Предложение 17.3.2. Векторное поле f, порожденное произвольной функцией, сохраняет скобку Пуассона. А именно, производная Ли вдоль векторного поля f от структурных функций равна нулю:

LXf = 0.

Доказательство. Простая проверка.

Обсудим связь пуассоновых структур с гамильтоновой динамикой точечных ча стиц. Рассмотрим произвольную функцию (M) и соответствующее векторное поле H. Тогда экспоненциальное отображение, определяемое системой уравнений = H = [, ] =, является ни чем иным, как уравнениями движения механической системы точечных частиц в канонической (гамильтоновой) форме. При этом точка обозначает диффе ренцирование по времени, и = () – гамильтониан системы. Векторное поле H = (17.29) 17.4. СТРУКТУРА ЛИ–ПУАССОНА называется гамильтоновым. Другими словами, каждую функцию на пуассоновом многообразии можно рассматривать, как гамильтониан некоторой механической си стемы. При этом каждому гамильтониану соответствует свое гамильтоново векторное поле.

Легко проверить, что для каждого гамильтонова векторного поля справедливо равенство H = [, ]. (17.30) Пример 17.3.2. Механическая система, состоящая из n точечных частиц, в фазовом пространстве описывается координатами i и импульсами i, = 1, · · ·, n, со скобками Пуассона [ i, j ] = j, i [ i, j ] = 0, [i, j ] = 0.

Фазовое пространство представляет собой 2n-мерное пуассоново многообразие. В ко ординатах { } = { 1,..., n,1,..., n } структурные функции имеют вид ( ) = =. (17.31) 1 Эта пуассонова структура невырождена и называется канонической. Как матрица каноническая пуассонова структура с точностью до знака совпадает с канонической симплектической формой (17.1), однако ее индексы расположены сверху, что соот ветствует контравариантному тензору второго ранга.



Pages:     | 1 |   ...   | 16 | 17 || 19 | 20 |   ...   | 31 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.