авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 || 21 | 22 |   ...   | 31 |

«Геометрические методы в математической физике 17 октября 2013 г. Катанаев Михаил Орионович1 ...»

-- [ Страница 20 ] --

Как правило, решение системы уравнений движения (19.3) содержит 2n произ вольных постоянных, которые находятся из граничных условий (19.2). У краевой задачи решение может не существовать, а если оно существует, то может не быть единственным. Вместо краевой задачи можно также поставить задачу Коши, кото рая имеет единственное решение при корректной постановке. В этом случае произ вольные постоянные, возникающие в решении уравнений движения, находятся из начальных данных для и в начальный момент времени = 0. Именно эта задача наиболее часто ставится в физических приложениях для уравнений движения (19.3).

Перейдем к гамильтонову или каноническому формализму. В этом случае механи ческая система, состоящая из n частиц, описывается n обобщенными координатами i и n обобщенными импульсами i := i, (19.4) которые рассматриваются, как независимые переменные. Обобщенные координаты и импульсы являются координатами механической системы в 2n-мерном фазовом пространстве. Мы говорим, что координаты и импульсы являются канонически со пряженными переменными.

Предположим, что конфигурационное пространство с координатами i являет ся n-мерным многообразием M. Тогда производные i являются компонентами ка сательного вектора вдоль траектории частицы. Это значит, что лагранжиан (, ) является функцией (скалярным полем) на касательном расслоении T(M). Тогда фор мула (19.4) определяет компоненты ковариантного вектора (1-формы). Это значит, что фазовое пространство есть ни что иное, как кокасательное расслоение T (M) к конфигурационному пространству M.

656 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Поскольку i и i являются координатами в базе и в кокасательном слое, то мы пишем координатные индексы, соответственно, вверху и внизу.

Предположим, что функция Лагранжа (, ) выпукла по скоростям, т.е. квад ратичная форма 2 / i j, (19.5) которая называется гессианом, положительно определена. Это условие не является ковариантным относительно произвольной замены координат на касательном рас слоении T(M). Однако оно ковариантно относительно общих преобразований коор динат в конфигурационном пространстве M. Действительно, при замене координат () скорости преобразуются как векторы:

i j i i =.

j Поскольку якобиан преобразования i / j не зависит от скоростей, то гессиан пре образуется как ковариантный тензор второго ранга:

2 2 k ( l k l ) = =.

i j i j i k j l i j k l Таким образом, понятие выпуклости лагранжиана по скоростям не зависит от выбора координат в конфигурационном пространстве M.

Замечание. Рассмотрим координаты и время в определении обобщенных им пульсов (19.4) как параметры. Тогда формулы (19.4) задают скорости как неявные функции обобщенных импульсов. Из курса математического анализа известно, что уравнения (19.4) локально разрешимы относительно скоростей тогда и только тогда, когда гессиан (19.5), который в данном случае совпадает с якобианом преобразова ния координат, является невырожденной матрицей.

Если функция Лагранжа выпукла по скоростям, то можно построить ее преобра зование Лежандра (по скоростям):

(, ) := i i (, ), (19.6) которое называется функцией Гамильтона или гамильтонианом системы. В силу определения преобразования Лежандра гамильтониан системы зависит только от обобщенных координат и импульсов. Это можно проверить и непосредственно = i i = 0, i что следует из определения обобщенных импульсов (19.4).

Используя связь между гамильтонианом и лагранжианом (19.6), рассмотрим дей ствие t i i (, ) ( ) [, ] = (19.7) t как функционал от канонически сопряженных координат и импульсов. Соответству ющая система уравнений Эйлера–Лагранжа имеет вид = i i = 0, (19.8) i = i = 0. (19.9) i i 19.1. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ В МЕХАНИКЕ ТОЧЕЧНЫХ ЧАСТИЦ Нетрудно проверить, что n уравнений Эйлера–Лагранжа второго порядка (19.3) эк вивалентны 2n уравнениям первого порядка (19.8). Понижение порядка уравнений движения произошло за счет введения новых независимых переменных – импульсов.

Поскольку конфигурационное и фазовое пространства имеют разную размер ность, то уточним понятие эквивалентности. Для однозначного определения тра ектории частицы () в конфигурационном пространстве необходимо решить уравне ния Эйлера–Лагранжа второго порядка (19.3), например, с начальными условиями (0) = 0, (0) = 1. Траектория движения в фазовом пространстве (), () одно значно находится решением уравнений движения первого порядка (19.8), (19.9) с начальными условиями (0) = 0, (0) = 0. Каждая траектория в фазовом про странстве естественным образом проектируется на траекторию в конфигурационном пространстве {(), ()} {()}, при этом начальное условие для скорости 1 опре деляется из уравнения (19.9). Обратно. Для любой траектории в конфигурационном пространстве () уравнение (19.9) определяет импульсы () и начальные условия 0 так, что пара (), () является траекторией в фазовом пространстве. Здесь мы предполагаем, что уравнение (19.9) имеет единственное решение для (в противном случае преобразование Лежандра не определено).

При постановке граничной задачи для действия (19.7) мы не можем рассматри вать траектории, соединяющие две произвольные точки (1, 1 ) и (2, 2 ) фазового пространства, т.к. тогда возникнет 4n условий для 2n обыкновенных дифференци альных уравнений первого порядка (19.8), (19.9). В этом случае количество гранич ных условий превышает количество уравнений, и задача может не иметь решения.

Поэтому можно рассматривать, например, те траектории, которые имеют начало и конец на n-мерных подмногообразиях фазового пространства, определяемых усло виями (19.2), как и в лагранжевом подходе. При этом никаких граничных условий на импульсы не возникает, поскольку они входят в подынтегральное выражение без производных, и при вариации импульсов интегрирования по частям не происходит.

Замечание. Как правило для уравнений Эйлера–Лагранжа в фазовом простран стве ставится задача Коши, которая имеет единственное решение. При этом на чальной точкой траектории может быть произвольная точка фазового простран ства T (Rn ) = R2n. Тем самым мы предполагаем, что фазовое пространство так же как и конфигурационное пространство топологически тривиально. Обсуждение области определения различных функций в конфигурационном и фазовом простран ствах требует знания явного вида лагранжиана, гамильтониана и анализа уравнений движения. Поскольку в общем случае учесть все возможности нельзя, то в дальней шем при обсуждении общей схемы все рассматриваемые функции будут считаться определенными на всем фазовом пространстве и достаточно гладкими. В каждом конкретном случае области определения должны быть проанализированы, а поста новка задачи уточнена.

Посмотрим на уравнения (19.8), (19.9) с другой точки зрения. Пусть заданы две функции от канонических переменных (, ) и (, ), т.е. два скалярных поля на фазовом пространстве. Определим для них скобку Пуассона [, ] :=. (19.10) i i i i 658 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Легко проверить, что она обладает следующими свойствами:

[ +, ] = [, ] + [, ],, R 1) – линейность, [, ] = [, ] 2) – антисимметрия, 3) [, ] = [, ] + [, ] – правило Лейбница, 4) [, [, ]] + [, [, ]] + [, [, ]] = 0 – тождество Якоби, и, следовательно, определяет пуассонову структуру на фазовом пространстве (см.

раздел 17.3.

Скобку Пуассона (19.10) можно переписать в эквивалентном виде. Обозначим координаты фазового пространства через { } := ( 1... n, 1... n, = 1,..., 2n, или, короче, = (, ). Тогда [, ] = 1, (19.11) где ( ) 1 = [, ] = 1 – каноническая пуассонова структура. Каноническая форма невырождена и точ на, = 0, поскольку ее компоненты постоянны. Поэтому фазовое пространство представляет собой также симплектическое многообразие (см. раздел 17.2).

Рассмотрим простейшие свойства скобки Пуассона. Очевидно, скобки Пуассона произвольной функции с самой собой и константой равны нулю:

[, ] = 0, [, ] = 0.

Из определения (19.10) следует, что скобка Пуассона обобщенной координаты с импульсом равна символу Кронекера:

[ i, j ] = j.

i (19.12) Рассмотрим траекторию в фазовом пространстве (), (), где R. Тогда, ис пользуя скобку Пуассона, уравнения движения (19.8), (19.9) можно переписать в виде i = [ i, ] =, i (19.13) i = [i, ] = i.

При этом скобка Пуассона для координат фазового пространства (19.12) рассматри вается как одновременная:

[ i (), j ()] = j, i R. (19.14) Скобка Пуассона для различных моментов времени [ i (1 ), j (2 )] при 1 = 2 не опре делена. Вообще, эволюция во времени любой функции (,, ), зависящей от времени и канонических переменных определяется уравнением = = + [, ]. (19.15) 19.1. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ В МЕХАНИКЕ ТОЧЕЧНЫХ ЧАСТИЦ В частности, если функция Гамильтона не зависит от времени явно, то = [, ] = 0, ввиду антисимметрии скобки Пуассона. Это значит, что для заданной траектории механической системы в фазовом пространстве гамильтониан является интегралом движения и его численное значение сохраняется. Это значение называется энергией механической системы и определяется начальными данными. Системы, у которых гамильтониан не зависит от времени, называются консервативными.

Пример 19.1.3 (Гармонический осциллятор с затуханием). Рассмотрим функ цию Лагранжа для одной точечной частицы (осциллятора), которая явно зависит от времени = e2µt ( 2 2 2 ),, = const.

Постоянные и называются соответственно собственной частотой и коэффициен том затухания осциллятора. Обобщенный импульс частицы равен = e2µt.

:= Гамильтониан осциллятора также зависит от времени явно:

1 2µt 2 1 2µt 2 = e + e.

2 Гамильтоновы и лагранжевы уравнения движения для осциллятора с затуханием имеют вид } = e2µt, e2µt ( + 2 + 2 ) = 0.

= e2µt 2, Общее решение этих уравнений параметризуется двумя постоянными: амплитудой 0 и фазой, = 0 eµt cos ( + ), 2 := 2 2.

Произвольная фаза соответствует произволу в выборе начала отсчета времени, и в дальнейшем мы положим = 0. При малых коэффициентах затухания 2 амплитуда колебаний экспоненциально затухает, если 0. Затухающие колебания происходят с частотой, меньшей собственной частоты осциллятора. Для про извольной траектории численное значение гамильтониана зависит от времени явно [ ] 122 1 = 0 1 cos 2 cos (2 + 2), 2 2 где cos := /.

Функция канонических переменных (, ) называется интегралом движения, если (, ) = const для любого решения канонических уравнений движения, т.е.

является интегралом уравнений движения.

Теорема 19.1.1. Если известны два интеграла движения и, то их скобка Пуас сона [, ] также является интегралом движения.

660 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Доказательство. Прямая проверка равенства [, ]/ = 0.

Замечание. Теорема не гарантирует того, что вычисление скобки Пуассона двух интегралов движения дает новый интеграл движения. Часто она равна нулю, или интегралы движения, и [, ] – функционально зависимы.

Если гамильтониан не зависит от какой-либо из координат, например, от 1, т.е.

/ 1 = 0, то эта координата называется циклической, а соответствующий обоб щенный импульс сохраняется в силу второго уравнения (19.13) 1 = = const.

При этом изменение остальных координат и импульсов во времени такое же, как в системе с координатами 2,..., n, импульсами 2,..., n и функцией Гамильтона ( 2,..., n,, 2,..., n ).

В большинстве физических приложений для системы уравнений Гамильтона (19.13) решается задача Коши, т.е. ищется решение системы уравнений (19.13) с заданными начальными условиями (0) = 0, (0) = 0. (19.16) Канонические уравнения движения (19.13) можно записать в виде =, где = (, ), а правая часть уравнений определяются векторным полем i = i i i на фазовом пространстве. С геометрической точки зрения решение уравнений Га мильтона с заданными начальными условиями задает интегральную кривую этого векторного поля, проходящую через точку (19.16). Как было показано в разделе 2.6.5, интегральные кривые векторного поля задают абелеву однопараметрическую группу преобразований многообразия, которым в данном случае является фазовое пространство. Эта группа преобразований в гамильтоновой динамике имеет специ альное название.

Определение. Фазовым потоком называется однопараметрическая группа преоб разований фазового пространства T (M) T (M), (0), (0) (), () t :

где (), () – решение системы уравнений Гамильтона (19.13).

19.1.3 Потенциальное движение точечной частицы Потенциальное движение точечной частицы массы в евклидовом пространстве Rn с декартовыми координатами i, = 1,..., n описывается следующей функцией Лагранжа i i (), = (19.17) где () 0 – некоторая положительно определенная функция координат. В на стоящем разделе подъем и опускание индексов производится с помощью евклидовой 19.1. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ В МЕХАНИКЕ ТОЧЕЧНЫХ ЧАСТИЦ метрики ij = diag (+... +). Уравнения движения (уравнения Ньютона) при этом имеют вид i =. (19.18) i Это – система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и их решение зависит от 2n произвольных постоянных. Для их определения решают, как правило, задачу Коши. То есть ищется решение уравнений (19.18) с заданными на чальными условиями:

(0) = 0, (0) = 0.

В физических приложениях функции () обычно таковы, что решение этой зада чи существует, единственно и определено при всех (, ). Заметим, что по тенциальная энергия определена с точностью до постоянной, которая не влияет на уравнения движения.

Если потенциальная энергия имеет локальный экстремум в точке 0, то = 0.

i q=q Следовательно, постоянная траектория = 0 удовлетворяет системе уравнений (19.18). Таким образом, локальные экстремумы потенциальной энергии определя ют положения равновесия частицы. Эти положения могут быть устойчивы или не устойчивы по отношению к малым возмущениям в зависимости от того является ли локальный экстремум минимумом или максимумом потенциальной энергии. Для по ложительно определенной потенциальной энергии существует по крайней мере одна точка равновесия.

Посмотрим на эту задачу с точки зрения принципа наименьшего действия. Во первых, действие ( i ) i () [] = не является положительно определенным. Поэтому нужно говорить не о минимуме действия, а только о стационарных точках. Во-вторых, для свободного движения, = 0, траектории представляют собой прямые линии = 0 + 0, по которым частица движется с постоянной скоростью 0. Соответствующее дей ствие при интегрировании по бесконечному интервалу расходится и говорить даже о стационарности действия в этом случае не имеет смысла. Подытожить сделанные замечания можно следующим образом. Потенциальное движение точечной частицы происходит таким образом, что для каждого конечного интервала времени (1, 2 ) действие стационарно среди всех возможных траекторий, соединяющих точки 1 и 2. При этом первую граничную точку можно выбрать произвольным образом, а вторая должна быть такой, чтобы задача Коши, поставленная в первой точке, имела решение для некоторой скорости 1 = 0.

Переформулируем потенциальное движение точечной частицы на гамильтоновом языке. Компоненты импульса и гамильтониан точечной частицы равны i = i, i i = + (). (19.19) 662 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Гамильтоновы уравнения движения принимают вид i i =, (19.20) i = i, которые эквивалентны уравнениям Ньютона (19.18). Заметим, что в данном случае первое уравнение совпадает с определением импульса частицы.

Гамильтониан точечной частицы (19.19) положительно определен и для заданной траектории его значение (энергия) постоянно. Первое и второе слагаемые в (19.19) называются соответственно кинетической и потенциально энергией точечной ча стицы. Следующий пример показывает, что функция Гамильтона зависит от выбора системы координат в фазовом пространстве, а каноническая пуассонова структура – нет.

Пример 19.1.4. Рассмотрим частицу массы, которая движется в трехмерном конфигурационном пространстве R3 с заданным потенциалом. Гамильтони ан является функцией на фазовом пространстве и в произвольной криволинейной системе координат имеет вид 1 ij = i j + (), где ij = ij () – обратная метрика в выбранной системе отсчета. Например, в де картовых координатах,, 1 ( x + 2 + 2 + (,, ).

) = y z В цилиндрических координатах,, ( ) 1 2 = + + z + (,, ).

2 r В сферических координатах,, ( ) 1 = + + + (,, ).

2 r 2 2 sin Каноническая пуассонова структура была определена в произвольной, в общем случае криволинейной, системе координат. Проверим корректность этого определе ния относительно преобразования координат, поскольку при переходе от одной систе мы координат к другой структурные функции могли бы измениться. Допустим, что мы определили каноническую пуассонову структуру в декартовой системе координат.

В рассматриваемом случае преобразование координат имеет вид, (), (, ), где большие буквы обозначают криволинейные (сферические или цилиндрические) координаты в конфигурационном пространстве. Скобки Пуассона новых координат и импульсов равны:

[i, j ] = 0, i j [i, j ] = k, k i j i j [i, j ] = k.

k k k 19.1. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ В МЕХАНИКЕ ТОЧЕЧНЫХ ЧАСТИЦ Поскольку компоненты обобщенных импульсов являются компонентами ковектора, то они преобразуются по правилу k i = k.

i Теперь нетрудно проверить выполнение скобок Пуассона:

[i, j ] = j, i [i, j ] = 0, [i, j ] = 0.

Таким образом, структурные функции имеют канонический вид и не зависят от вы бора системы координат в конфигурационном пространстве R3. Рассматриваемые преобразования координат,, в фазовом пространстве относятся к классу канонических преобразований, которые будут рассмотрены позже в разделе 19.1.10.

Определение. Преобразование координат = () конфигурационного простран ства Rn называется точечным.

19.1.4 Лемма Стокса В этом и следующих разделах механика частиц будет рассмотрена с более общей точки зрения. Начнем с геометрического рассмотрения, которое затем применим к гамильтоновой динамике точечных частиц. Пусть на многообразии M нечетной раз мерности dim M = 2n + 1 задана 2-форма =.

Поскольку матрица, задающая 2-форму в локальной системе координат антисиммет рична, =, а многообразие нечетномерно, то ее определитель равен нулю.

Это значит, что в каждой точке M у нее существует по крайней мере один нетри виальный собственный вектор = с нулевым собственным значением. Отсюда вытекает, что для 2-формы существует нулевое векторное поле со свойством (, ) = = 0, =.

Пространство нулевых векторных полей линейно.

Определение. 2-форма называется неособой, если размерность пространства нуле вых векторов минимальна, т.е. равна нулю или единице на многообразиях четной и нечетной размерности соответственно.

Пример 19.1.5. Рассмотрим 2-форму в фазовом пространстве R2n с координата ми = (1... 2n ) = ( 1... n, 1... n ), = i i = n+1 1 + n+2 2 +... + 2n n =, (19.21) где – каноническая симплектическая форма (17.1). Эта форма неособа, т.к. ее опре делитель равен единице det = 1 и размерность пространства нулевых векторов равна нулю.

664 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Пусть на многообразии M, dim M = 2n + 1, задана 1-форма =. Пред положим, что внешний дифференциал этой формы является неособым. Это значит, что в каждой точке многообразия M существует единственный, с точностью до умножения на постоянную, нулевой вектор такой, что.

(, ) = 0, (19.22) Тем самым 1-форма определяет нулевое векторное поле на M с точностью до умножения на отличную от нуля функцию. Назовем интегральные кривые (), =, нулевого векторного поля характеристиками формы. Далее, пусть 1 – замкну тая кривая на M, которая ни в одной своей точке не касается характеристик. Тогда множество характеристик, выходящих из точек кривой 1, образует трубку характе ристик. Трубка характеристик определена по крайней мере в некоторой окрестности кривой 1.

Лемма 19.1.1 (Стокс). Интеграл от 1-формы с неособым внешним дифферен циалом по любой из двух замкнутых кривых 1 и 2, охватывающих одну и ту же трубку характеристик, одинаков:

=, 1 если 1 2 =, где – часть трубки характеристик.

Доказательство. По формуле Стокса справедливы равенства = =.

1 2 S S Этот интеграл обращается в нуль, т.к. значение формы на любой паре векторов, касательных к трубке характеристик, равен нулю в силу (19.22).

19.1.5 Канонические уравнения Гамильтона Из безобидной, на первый взгляд, леммы Стокса непосредственно вытекают все ос новные положения гамильтоновой динамики. Предположим, что механической систе ме соответствует топологически тривиальное фазовое пространство T (Rn ) R2n.

Рассмотрим расширенное фазовое пространство R2n+1 с координатами 1,..., n, 1,..., n,, в котором время рассматривается, как независимая дополнительная координата.

Замечание. Предположение о том, что частица движется в тривиальном конфигу рационном пространстве Rn и, следовательно, в тривиальном фазовом пространстве T (Rn ) R2n не означает, что приведенные ниже формулы справедливы только для движения в топологически тривиальных пространствах. Данное предположе ние просто означает, что мы рассматриваем механическую систему в определенной карте. При движении частицы по нетривиальному многообразию необходимо допол нительно проследить за склейкой карт. В дальнейшем мы не будем обсуждать этот вопрос.

19.1. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ В МЕХАНИКЕ ТОЧЕЧНЫХ ЧАСТИЦ Пусть на расширенном фазовом пространстве задана некоторая функция Гамиль тона (,, ). Определим 1-форму на расширенном фазовом пространстве := i i. (19.23) Эта форма называется интегральным инвариантом Пуанкаре–Картана. Точнее, ин тегральный инвариант получается после интегрирования формы по замкнутому контуру в расширенном фазовом пространстве. Смысл названия будет ясен из даль нейшего рассмотрения. Внешний дифференциал 1-формы (19.23) является неособым, т.к. каноническая форма = i i неособа.

Теорема 19.1.2. Характеристики формы в расширенном фазовом пространстве R2n+1 однозначно проектируются на фазовое пространство,, т.е. задаются функ циями (), (). Эти функции удовлетворяют уравнениям Гамильтона:

i =, i (19.24) i = i, Другими словами, характеристики формы представляют собой траектории фа зового потока в расширенном фазовом пространстве, т.е. интегральные кривые канонических уравнений (19.24).

Доказательство. Дифференциал формы (19.23) равен i = i i i i i Эта 2-форма неособа, т.к. ранг матрицы, составленной из ее координат, равен 2n.

Прямая подстановка показывает, что вектор i = + (19.25) i i i является нулевым вектором формы i 0 + i i + i (, ) = i + i = 0.

i i i i i i Это значит, что векторное поле (19.25) задает направление характеристик 1-формы (19.23). С другой стороны, вектор (19.25) является вектором скорости фазового по тока (19.24). Действительно, интегральные кривые {( ), ( ), ( )} в расширенном фазовом пространстве задаются уравнениями i i = i, =, = 1. (19.26) i В силу последнего уравнения они однозначно проектируются на фазовое простран ство. Таким образом, интегральные кривые (19.24) представляют собой проекции характеристик формы (19.23) на фазовое пространство.

Применим теперь лемму Стокса и интегральному инварианту Пуанкаре–Картана.

666 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Теорема 19.1.3. Пусть две замкнутые кривые 1 и 2 охватывают одну и ту же трубку характеристик формы (19.23). Тогда интегралы по ним от интегрального инварианта Пуанкаре–Картана одинаковы:

( ) ( ) =.

1 Именно поэтому 1-форма называется интегральным инвариантом.

В частном случае, когда замкнутые кривые лежат в фазовом подпространстве, соответствующем постоянному значению времени, = const = 0, получаем Следствие. Фазовый поток сохраняет интеграл вдоль произвольной замкнутой кривой в фазовом пространстве.

Форма := i i в фазовом пространстве называется относительным инте гральным инвариантом Пуанкаре или формой Лиувилля. Точнее, интегральный ин вариант получается после интегрирования формы Лиувилля по замкнутому контуру. Он имеет простой геометрический смысл. Пусть – двумерная ограниченная ори ентированная поверхность с кусочно гладкой границей такая, что =, тогда по формуле Стокса =, S где := i i. Отсюда вытекает Следствие. Фазовый поток t := exp (H ) сохраняет сумму ориентированных пло щадей проекций поверхности на n координатных плоскостей i, i :

=.

S st S В этом смысле каноническая 2-форма = является абсолютным инте гральным инвариантом фазового потока t.

Замечание. Эпитеты “относительный” и “абсолютный” интегральный инвариант не несут глубокого смысла. Исторически сложилась так, что относительным называют инвариант, полученный после интегрирования по замкнутому (компактному и без края) многообразию. Абсолютным называют инвариант, возникающий после инте грирования некоторой формы по компактному многообразию с краем.

19.1.6 Принцип Мопертюи В приложениях часто встречаются гамильтонианы, не зависящие от времени явно = (, ). В этом случае численное значение гамильтониана (энергия) на фазовой траектории сохраняется = [, ] = 0.

Покажем, что наличие интеграла энергии позволяет понизить размерность расши ренного фазового пространства R2n+1 на две единицы и свести задачу к интегриро ванию некоторой системы канонических уравнений в (2n 1)-мерном пространстве.

19.1. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ В МЕХАНИКЕ ТОЧЕЧНЫХ ЧАСТИЦ Предположим, что в некоторой области фазового пространства уравнение (, ) = можно решить относительно 1 :

1 = (,, ;

), где := ( 2,..., n ), := (2,..., n ) и = 1. Тогда = () +. (19.27) Пусть – интегральная кривая канонических уравнений (19.24). Она лежит на 2n мерном подмногообразии (, ) = в расширенном фазовом пространстве R2n+1.

Спроектируем расширенное фазовое пространство на фазовое пространство R2n. При этом поверхность = проектируется на (2n 1)-мерное подмногообразие M2n фазового пространства, которое определяется тем же уравнением =, а кривая – на кривую, лежащую на этом подмногообразии. Переменные,, образу ют локальную систему координат на M2n1. Но характеристики формы удовлетворяют уравнениям Гамильтона, поскольку = 0 на M2n1, а полный диф ференциал () в (19.27) не влияет на уравнения движения. Это доказывает сле дующее утверждение.

Теорема 19.1.4. Если гамильтониан не зависит от времени явно, то фазовые тра ектории канонических уравнений (19.24) на подмногообразии M2n1 фазового про странства, определяемом уравнением (, ) =, удовлетворяют каноническим уравнениям i i =, = i, = 2,..., n, (19.28) 1 i где функция ( 1,..., n, 2,..., n, ) определяется уравнением ( 1,..., n,, 2,..., n ) =.

Замечание. В этой теореме роль времени играет первая координата 1, и канони ческие уравнения определяют не динамику системы, а форму траектории.

Покажем, каким образом канонические уравнения Гамильтона связаны с прин ципом наименьшего действия. Рассмотрим интегральную кривую уравнений (19.26) в расширенном фазовом пространстве (,, ), соединяющую две точки (0, 0, 0 ) и (1, 1, 1 ).

Теорема 19.1.5. Кривая является стационарной точкой интеграла ( ) (19.29) при таких вариациях, когда концы кривой остаются на n-мерных подмногообра зиях ( = 0, = 0 ) и ( = 1, = 1 ).

Доказательство. В силу третьего уравнения (19.26) вариацию интеграла (19.29) можно записать как вариацию функционала действия q1 [( ) ( ) ] i i i + i i.

( ) = + i q Отсюда вытекает, что для исчезновения граничных вкладов достаточно зафиксиро вать только значения обобщенных координат при = 0,1.

668 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Понижение размерности расширенного фазового пространства при гамильтони ане, не зависящем от времени, позволяет по новому взглянуть и в определенной степени оправдать употребление термина “принцип наименьшего действия” в меха нике. Фазовые траектории исходных канонических уравнений (19.24) целиком лежат на подмногообразии M R2n+1, dim M = 2n 1, соответствующем фиксированному значению энергии, и являются характеристиками формы =. Отсюда следует Теорема 19.1.6. Если функция Гамильтона не зависит от времени явно, то фа зовые траектории канонических уравнений (19.24), лежащие на подмногообразии M2n1, соответствующем фиксированному значению энергии (, ) =, являют ся стационарными точками интеграла в классе кривых, лежащих на M2n1 и соединяющих подпространства = 0 и = 1.

Рассмотрим теперь проекцию экстремали, лежащую на подмногообразии посто янной энергии M на конфигурационное пространство. Эта кривая соединяет точки с координатами 0 и 1. Пусть = ( ), [, ] – некоторая кривая, соединяющая те же точки () = 0 и () = 1 в конфигурационном пространстве. Она является про екцией некоторой кривой на подмногообразии M. Эту кривую нетрудно построить.

Для этого достаточно найти обобщенный импульс = /, где := / – вектор скорости кривой в конфигурационном пространстве. Если параметр подобран так, что (, ) =, то мы получаем кривую = ( ), = / на поверхности M.

Применяя предыдущую теорему, получаем Следствие. Среди всех кривых = ( ), [, ] соединяющих точки 0 и 1 в кон фигурационном пространстве и параметризованных так, что функция Гамильтона имеет фиксированное значение (, / ) = траекторией движения механической системы является экстремаль укороченного дей ствия b b i = i i.

i (19.30) a a Это следствие называется принципом наименьшего действия Мопертюи. Важно отметить, что отрезок [, ] не фиксирован и может быть разным у сравнивае мых кривых. Зато одинаковой должна быть энергия. Принцип Мопертюи определя ет только форму траектории, а для определения зависимости координат от времени необходимо воспользоваться условием постоянства энергии. Заметим также, что во многих задачах подынтегральное выражение в (19.30) положительно определено. В таких случаях движение происходит действительно по экстремалям укороченного действия, и можно говорить о принципе наименьшего действия.

Пример 19.1.6. Покажем, что если материальная точка движется по риманову мно гообразию (M, ) только под действием сил инерции, то движение происходит по 19.1. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ В МЕХАНИКЕ ТОЧЕЧНЫХ ЧАСТИЦ экстремалям. Пусть () = { i ( )} – траектория частицы и 2 = i j ij – интер вал риманова многообразия. Тогда функция Лагранжа для инерциального движения частицы определяется только кинетической энергией:

( )2 ( ) 1 i j 1 i = = = = ij, = 2 =.

i 2 2 Чтобы обеспечить фиксированное значение энергии вдоль траектории, параметр необходимо выбрать пропорциональным длине траектории = / 2 (канониче ский параметр). Тогда укороченное действие принимает вид i b b i = 2.

a a Это означает, что инерциальное движение происходит по экстремалям римановой метрики ij.

Пример 19.1.7. Пусть движение материальной точки происходит по риманову мно гообразию (M, ) с интервалом 2 = i j ij в потенциальном поле () k (M).

Функция Лагранжа и гамильтониан имеют вид ( ) =, = +, =.

Чтобы обеспечить фиксированное значение энергии =, параметр вдоль тра ектории необходимо выбрать пропорциональным длине:

=.

2( ) Тогда укороченное действие примет вид i i = 2( ).

Это значит, что движение материальной частицы по риманову многообразию (M, ) в потенциальном поле происходит вдоль экстремалей метрики = 2( ), которая связана с исходной метрикой множителем 2( ). Эта метрика имеет особенность на границе () =.

Если начальная и конечная точки экстремали в рассмотренных примерах доста точно близки, то экстремум длины является минимумом. Это оправдывает название “принцип наименьшего действия”.

Пример 19.1.8 (Метод факторизации). Для нахождения траектории частицы иногда удобно выделить из гамильтониана (, ) отличный от нуля множитель.

Пусть (, ) 0 – некоторая положительная функция на фазовом пространстве.

Рассмотрим новый гамильтониан ( ) := (, ) (, ), = const.

Соответствующие уравнения движения имеют вид ( ), = + (19.31) = ( ).

670 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Эти уравнения на инвариантной поверхности фазового пространства, определяемой уравнением = 0 или =, эквивалентны гамильтоновым уравнениям (19.13) для исходного гамильтониана. Уравнения (19.31) позволяют определить только форму траектории. Для определения эволюции частицы во времени достаточно про интегрировать уравнение ( ) = (), (), где (), () – соответствующая траектория.

19.1.7 Уравнение Гамильтона–Якоби Рассмотрим расширенное конфигурационное пространство Rn+1 с координатами {, } = ( 1,..., n, ), которое получается из конфигурационного пространства Rn добавле нием еще одного измерения – времени.

Определение. Функцией действия (, ) называется интеграл (, ) =, (19.32) где (,, ) – функция Лагранжа, и интегрирование ведется вдоль экстремали := {( ), ( )}, с фиксированным началом 0, 0 и переменным концом, расширенного конфигурационного пространства.

Это определение корректно по крайней мере в малой окрестности начальной точ ки 0, 0. Точнее, функция действия (19.32) определена в некоторой окрестности U точки 0, 0, если любую точку этой окрестности можно соединить с точкой 0, экстремалью, целиком лежащей в U, и эта экстремаль единственна. Если точка, лежит далеко от 0, 0, то интеграл (19.32) может не определить функцию действия (, ) по двум причинам. Во-первых, может существовать несколько экстремалей, соединяющих точки 0, 0 и,. Во-вторых, возможно, что точки 0, 0 и, вообще нельзя соединить экстремалью. С другой стороны, для любой точки, расширен ного конфигурационного пространства можно так подобрать начальную точку 0, 0, что функция действия будет определена в некоторой окрестности точки,. В даль нейшем мы будем считать, что точка 0, 0 фиксирована, и рассматривать те области расширенного конфигурационного пространства, где функция действия определена.

Аргументом функции действия является верхний предел интеграла (19.32), по этому ее дифференциал равен (, ) = i i, (19.33) где i := / i и := i i определяются в конечной точке кривой. Таким образом, дифференциал функции действия является интегральным инвариантом Пуанкаре–Картана (19.23).

Теорема 19.1.7. Функция действия удовлетворяет уравнению Гамильтона–Якоби ( ) +,, = 0. (19.34) Доказательство. Достаточно заметить, что из выражения (19.33) следуют равен ства = (,, ), i = i.

19.1. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ В МЕХАНИКЕ ТОЧЕЧНЫХ ЧАСТИЦ Очевидно, что любое решение уравнения Гамильтона–Якоби определено с точно стью до аддитивной постоянной, которая соответствует произволу в выборе началь ной точки 0, 0 экстремали в определении функции действия (19.32).

Уравнение Гамильтона–Якоби представляет собой уравнение в частных производ ных первого порядка. Покажем, что его интегрирование сводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений Гамильтона. Поставим для уравнения Гамильтона–Якоби задачу Коши, т.е. будем искать решение уравнения (19.34) с на чальным условием (, 0 ) = 0 (). (19.35) Чтобы построить решение этой задачи, рассмотрим задачу Коши для уравнений Гамильтона (19.24) с начальными условиями:

i (0 ) = 0, i i (0 ) =.

i q Соответствующее этим начальным условиям решение изображается в расширенном конфигурационном пространстве кривой (), которая является стационарной точкой действия, где (,, ) есть преобразование Лежандра по импульсу от гамиль тониана (,, ). Эта траектория называется характеристикой задачи Коши для уравнения Гамильтона–Якоби, выходящей из точки 0, 0. При временах, достаточно близких к 0, значения (), можно принять за координаты в окрестности точки 0, 0 расширенного конфигурационного пространства. Построим теперь функцию действия q,t (, ) = 0 (0 ) + (,, ), q0,t где интегрирование ведется вдоль экстремали, соединяющей точки 0, 0 и,. После этого проверяется, что эта функция действия удовлетворяет уравнению Гамильтона– Якоби (19.34) и начальному условию (19.35). Можно также доказать, что это решение задачи Коши для уравнения Гамильтона–Якоби единственно.

Если гамильтониан не зависит от времени явно, то зависимость функции действия от времени легко находится:

(, ) = + (), (19.36) где () – укороченная функция действия, зависящая только от координат, и = const. Из уравнения Гамильтона–Якоби (19.34) следует, что укороченная функция действия должна удовлетворять уравнению в частных производных ( ), =. (19.37) Отсюда следует, что постоянная равна энергии системы. Это уравнение называется укороченным уравнением Гамильтона–Якоби.

Пример 19.1.9. Поясним определение функции действия на простом примере сво бодной точечной частицы единичной массы, движущейся в евклидовом пространстве Rn. В этом случае лагранжиан и гамильтониан частицы имеют вид 1 = i i, = i i, 2 672 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ где подъем и опускание индексов осуществляется с помощью символов Кронекера.

Траекториями свободной частицы являются прямые линии и только они. Экстремаль i ( ), соединяющая точки 0, 0 и i,, задается линейной функцией i i i i ( ) = 0 + i ( 0 ), описывающей равномерное прямолинейное движение частицы со скоростью i = ( i i 0 )/( 0 ). Нетрудно вычислить соответствующую функцию действия ) t 1 ( 0 ) ( 1 (, ) = =, 0 2 t0 где ( 0 )2 := ( i 0 )(i 0i ).

i Функция действия определена для всех Rn, 0 и удовлетворяет уравнению Гамильтона–Якоби:

+ = 0.

2 i i Поскольку гамильтониан частицы не зависит от времени явно, то для любой тра ектории частицы энергия сохраняется:

) ( 1 = = const.

2 Отсюда можно выразить время через координаты ( 0 ) 0 =.

Поскольку = ( 0 ), то укороченное действие равно = + = 2( 0 ) + 0 = 2( 0 )2 + 0.

Нетрудно проверить, что укороченное действие удовлетворяет укороченному урав нению Гамильтона–Якоби =.

2 i i Уравнение Гамильтона–Якоби предоставляет мощный метод решения задач ме ханики точечных частиц. При обобщении этого метода на теорию поля возникают существенные усложнения. В настоящее время, насколько известно автору, это ин тересное обобщение не развито.

19.1.8 Принцип Гюйгенса Многие понятия гамильтоновой механики возникли при перенесении на общие вари ационные принципы весьма простых и наглядных понятий геометрической оптики.

В настоящем разделе мы обсудим некоторые аспекты геометрической оптики.

Рассмотрим свет, распространяющийся в среде (конфигурационном простран стве), которую мы отождествим с евклидовым пространством R3 с декартовыми ко ординатами i, = 1, 2, 3. В общем случае скорость света зависит от точки R 19.1. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ В МЕХАНИКЕ ТОЧЕЧНЫХ ЧАСТИЦ (неоднородная среда) и направления луча света (неизотропная среда). Неизотроп ность среды можно описать, задав в каждой точке поверхность в касательном про странстве Tq (R3 ). Для этого отложим в начале координат касательного пространства Tq (R3 ) вектор скорости распространения света в точке. Эта поверхность называется индикатрисой. Согласно принципу Ферма, свет распространяется в среде из точки 0 в точку за кратчайшее время.

Если среда изотропна, то принцип Ферма приобретает простую математическую форму. Пусть () – траектория луча. Тогда для скорости света i := i / справед ливо равенство 2 2 = 2, где 2 := i j ij и 2 := i j ij. Отсюда следует, что время прохождения луча между точками 0 и вдоль траектории () равно q =, q где := 2 и := 2. Для изотропной среды показатель преломления равен отношению скорости света в вакууме к скорости света в среде, = /. Поэтому время распространения луча света дается интегралом 1q =. (19.38) q Таким образом, принцип Ферма для распространения лучей света в изотропной среде сводится к вариационной задаче для действия (19.38), в котором показатель прелом ления () является заданной функцией на конфигурационном пространстве.

Распространение света в среде можно также описать на языке волновых фрон тов. Допустим, что в момент времени = 0 в точке 0 произошла вспышка света.

Рассмотрим множество точек, до которых свет дойдет за время, меньшее или рав ное 0. Граница этого множества 0 (), которая представляет собой некоторую поверхность в R3, называется волновым фронтом точки 0 через время и состоит из точек, до которых свет дойдет за время и не может дойти быстрее. При этом мы предполагаем, что среда такова, что волновые фронты представляют собой гладкие поверхности в R3. Тогда между волновыми фронтами для разных моментов времени имеется замечательное соотношение.

Теорема 19.1.8 (Принцип Гюйгенса). Рассмотрим волновой фронт 0 () точ ки 0 в момент времени. Для каждой точки этого фронта 0 () построим волновой фронт q () через время 0. Тогда волновой фронт 0 ( + ) точки через время + будет огибающей поверхностью всех фронтов q () для 0 ().

Доказательство. Пусть t+s 0 ( + ). Тогда существует путь из начальной точки 0 в точку t+s, по которому свет распространяется за время + и нет более ко роткого. Рассмотрим точку t на этом пути, до которой свет идет время. Никакого более короткого пути из 0 в t не существует, иначе путь не был бы кратчайшим.

Поэтому точка t лежит на фронте 0 (). Точно так же путь из t в t+s свет про ходит за время и нет более короткого пути между этими точками. Поэтому точка t+s лежит на фронте q () точки () через время. Осталось показать, что фронты q () и 0 ( + ) в точке ( + ) касаются. Действительно, предположим, что фронты пересекаются, как показано на рис.19.2. Тогда в некоторые точки фронта 0 ( + ) 674 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Рис. 19.2: Невозможность пересечения фронтов из точки t можно было бы добраться за время, меньшее. В свою очередь это зна чит, что в эти точки из 0 можно было бы добраться за время, меньшее +, что противоречит определению фронта 0 ( + ).

Разумеется, точку 0 в принципе Гюйгенса можно заменить на кривую, поверх ность или вообще на произвольное замкнутое множество, а трехмерное евклидово пространство на произвольное дифференцируемое многообразие M. При этом свет можно заменить на распространение любого возмущения, передающегося локально, т.е. вдоль линии M, на которой некоторый функционал принимает наименьшее значение.

Принцип Гюйгенса приводит к двум способам описания распространения возму щений. Во-первых, можно следить за лучами, т.е. кратчайшими путями, вдоль кото рых распространяется свет (корпускулярная точка зрения). В этом случае распро странение света задается вектором скорости в каждой точке конфигурационного пространства, т.е. некоторой точкой на индикатрисе. Во-вторых, мы можем следить за распространением волнового фронта (волновая точка зрения).

Определим скорость движения волнового фронта следующим образом. Для каждой точки 0 определим функцию 0 (), как наименьшее время распростране ния света из точки 0 в точку. По-построению, поверхность уровня функции 0 () является волновым фронтом:

0 () := { R3 : 0 () = }.

Определение. Ковектор с компонентами 0 () i := i называется ковектором нормальной медлительности фронта.

Такое название связано с тем, что чем больше градиент функции 0 (), тем мед леннее движется фронт. Действительно, в линейном приближении справедливо ра венство 0 ( + ) = 0 () + i i = +.

Отсюда следует, что чем больше расстояние, пройденное светом за время, тем меньше ковектор нормальной медлительности фронта. Векторы, касательные к волновому фронту, определяются, как ортогональное дополнение к ковектору нор мальной медлительности фронта:

i i = 0.

Если на конфигурационном пространстве определена риманова метрика ij, то мож но определить вектор нормальной медлительности фронта с компонентами i := ij j. По-построению, этот вектор ортогонален волновому фронту.

19.1. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ В МЕХАНИКЕ ТОЧЕЧНЫХ ЧАСТИЦ Если среда анизотропна, то направление лучей света и направление движения фронта не совпадают. Однако они связаны между собой простым соотношением, которое легко выводится из принципа Гюйгенса. Напомним, что оптические свойства среды в точке характеризуются поверхностью в касательном пространстве Tq (R3 ) – индикатрисой.

Определение. Направление гиперплоскости (т.е. вектор, перпендикулярный к дан ной гиперплоскости), касающейся индикатрисы в точке, называется сопряженным к направлению.

Предложение 19.1.1. Направление волнового фронта 0 () в точке t сопряжено направлению луча в данной точке.

Доказательство. Рассмотрим точки t, лежащие на луче с началом в точке 0 и концом в t, при малых 0. Фронт волны qt () в точке t в момент времени можно представить в виде i i qt () = {t + t }, где вектор скорости пробегает всю индикатрису, с точностью порядка o(). Из принципа Гюйгенса следует, что фронт qt () касается фронта 0 () в точке t. В пределе 0 получаем утверждение предложения.

Теперь сравним геометрическую оптику с построениями предыдущего раздела.

Лучом является траектория частицы () в конфигурационном пространстве R3. Ко вектор нормальной медлительности фронта – это импульс частицы. Принцип Фер ма соответствует принципу наименьшего действия. Функция 0 () есть ни что иное, как функция действия (19.32), в которой время соответствует концу траектории = (). Поверхности уровня функции действия (, ) соответствуют волновым фронтам.

19.1.9 Переменные действие-угол Знание интегралов движения позволяет упросить задачу. При этом интерес представ ляют функционально независимые интегралы движения. Из определения функцио нальной независимости следует, что на фазовом пространстве размерности 2n может существовать не более 2n функционально независимых интегралов движения.

Чтобы проинтегрировать систему из 2n обыкновенных дифференциальных урав нений первого порядка, достаточно знать 2n независимых первых интегралов. Ока зывается, что если задана каноническая система уравнений движения, то ситуация существенно проще: достаточно знать только n независимых первых интегралов. Это происходит потому что каждый интеграл движения позволяет понизить порядок си стемы уравнений не на одну, а на две единицы.

Определение. Функция 1 (M) на пуассоновом многообразии M называется первым интегралом механической системы с гамильтонианом, если ее скобка Пуассона с гамильтонианом равна нулю, [, ] = 0. Две функции 1, 2 1 (M) находятся в инволюции, если их скобка Пуассона равна нулю, [1, 2 ] = 0.

Заметим, что условие [, ] = 0 эквивалентно условию = 0, т.к. = [, ] 676 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Теорема 19.1.9 (Лиувилль). Предположим, что на симплектическом многооб разии M размерности 2n заданы n функционально независимых дифференцируемых функций {i }, = 1,... n, которые находятся в инволюции, [i, j ] = 0. Рассмот рим n-мерное подмногообразие Mf M, которое является множеством уровня функций i :

Mf := { M : i = i = const, = 1,..., n}.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Подмногообразие Mf инвариантно относительно фазового потока с функцией Гамильтона = i при любом фиксированном.

2) Если подмногообразие Mf компактно и связно, то оно диффеоморфно n мерному тору Tn.

3) Фазовый поток с функцией Гамильтона определяет на Mf условно периодическое движение, т.е. в угловых координатах {i, mod 2} на торе уравнения движения имеют вид i = i, i = i ( ) = const,. (19.39) 4) Канонические уравнения движения с функцией Гамильтона интегрируют ся в квадратурах.

Доказательство. См., например, [115].

Прокомментируем первые два утверждения теоремы.

Поскольку фазовое пространство M является симплектическим и, следовательно, пуассоновым многообразием, то каждой функции i ставится в соответствие вектор ное поле i по правилу (17.27). При этом инволютивность первых интегралов движе ния влечет за собой инволютивность распределения векторных полей {i }. Согласно теореме Фробениуса у этого распределения существует интегральное подмногообра зие, которым является Mf M. Отсюда следует инвариантность Mf относительно фазового потока для любой функции i.

Тор возникает из-за того, что векторные поля i, которые являются генераторами группы однопараметрических преобразований Mf, не просто находятся в инволюции, а коммутируют между собой.

Замечание. Если гамильтониан механической системы не зависит от времени, то его можно выбрать в качестве одного из первых интегралов i.

Определение. Гамильтонова механическая система, называется интегрируемой, ес ли она имеет n или более функционально независимых интегралов движения.

Если фазовое пространство механической системы таково, что выполнены усло вия теоремы Лиувилля, то на фазовом пространстве M существует выделенная си стема координат (действие-угол), в которой уравнения движения выглядят особенно просто. Для определенности будем считать, что гамильтониан системы совпадает с первым интегралом движения: = 1. В теореме Лиувилля утверждается, что подмногообразие Mf M является n-мерным тором, инвариантно относительно фазового потока и на нем существуют угловые координаты i, для которых урав нения движения имеют вид (19.39). Общее решение этих уравнений имеет простой вид = 0 +, 0 = const.

19.1. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ В МЕХАНИКЕ ТОЧЕЧНЫХ ЧАСТИЦ Поскольку интегралы движения функционально независимы, то в некоторой окрест ности подмногообразия Mf в качестве координат можно выбрать совокупность функ ций {, }. В этой системе координат уравнения движения принимают простой вид = 0, = ( ), и легко интегрируются:

( ) () = (0), () = 0 + (0).

В общем случае в координатах {, } симплектическая форма не будет иметь канонического вида. Однако существует такой набор функционально независимых функций {i = i ( )}, = 1,..., n, что переменные {, } образуют такую систему координат в окрестности Mf, в которой симплектическая форма имеет канонический вид = i i. (19.40) Определение. Координаты {1,..., n, 1,..., n } в некоторой окрестности подмно гообразия фазового пространства Mf R2n, в которых канонические уравнения дви жения имеют вид = 0, = (), и симплектическая форма является канонической (19.40) называются переменными действие-угол.


Переменные действие-угол являются координатами на фазовом пространстве.

При этом угловые переменные удобно рассматривать как обобщенные координаты, а переменные действия – как сопряженные импульсы. Из определения сразу следует, что преобразование координат,,, если оно существует, является канониче ским.

Переменные так же как и функции являются первыми интегралами движе ния. В переменных действие-угол гамильтониан механической системы имеет вид = 1 = () и не зависит от угловых переменных. То есть каждая из угловых координат является циклической.

Теорема 19.1.10. Координаты действие-угол {, } существуют в некоторой окрест ности подмногообразия Mf R2n.

Доказательство. Рассмотрим множество торов Mf, соответствующих различным значениям интегралов движения i. Пусть i, = 1,..., n, – базисные одномерные циклы (окружности) на торах Mf, т.е. приращение координаты i на цикле j равно 2, если = и 0, если =. Каждое подмногообразие Mf R2n является нуле вым. Действительно, векторные поля i, соответствующие интегралам движения i, образуют базис касательных пространств Tx (MF ) для всех Mf и попарно комму тируют. Поэтому значение канонической симплектической формы = i i на двух произвольных базисных полях равно нулю:

(i, j ) = kl ik j = 1kl k i l j = [i, j ] = 0.

l Следовательно, подмногообразие Mf является нулевым. Отсюда вытекает, что 1 форма замкнута на Mf, т.е. ее внешняя производная обращается в нуль на подмногообразии Mf. Положим i ( ) :=.

i 678 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Эти функции зависят от значений интегралов движения i, определяющих тор Mf, но не зависят от выбора базисных циклов i, т.к. форма замкнута. Это означает, что функции i ( ) не зависят от координат на торе.

Теперь совершим два канонических преобразования. Поскольку скобка Пуассо на интегралов движения i между собой равна нулю, то их можно выбрать в ка честве новых импульсов: i = i. Совершим первое каноническое преобразование,, с производящей функцией 4 (, ) (см. следующий раздел), зависящей от новых и старых импульсов и. Тогда старые и новые координаты определены соотношениями (19.69):

4 =, =.

Подмногообразие Mf в новой системе координат задано соотношениями = 0. Сле довательно, новые координаты образуют некоторую систему координат на Mf.

Зафиксируем точку 0 Mf. В некоторой ее окрестности можно выбрать систему координат,, т.к. функции = ( ) зависят только от импульсов =. При этом импульсы можно выразить, как функции от и, т.е. = (, ). Поскольку преобразование,, каноническое, то 1-форма замкнута. Поэтому в односвязной окрестности U точки 0 U Mf определена функция Q 2 (, ) = (, ).

Q Этот интеграл не зависит от кривой, целиком лежащей в U и соединяющей точки 0 и. Следовательно функцию 2 (, ) можно выбрать в качестве производящей функции второго канонического преобразования,,, зависящей от старых координат и новых импульсов. Формулы преобразования имеют вид (19.67):

2 =, =.

Таким образом, преобразование координат,, является произведением двух канонических преобразований,, и,, и, следовательно, само является каноническим. По-построению, оно определено в окрестности тора Mf.

Замечание. В доказательстве теоремы переход от координат, к переменным действие-угол, содержит только алгебраические операции и интегрирование. Это доказывает утверждение 4 теоремы Лиувилля 19.1.9.

Переменные действие-угол определены неоднозначно. Очевидно, что координаты можно сдвигать:

= + const, = + const().

19.1.10 Канонические преобразования Наиболее мощный и гибкий метод нахождения точных решений уравнений движения дают канонические преобразования. По-прежнему, обозначим конфигурационное и фазовое пространства соответственно через Rn, и T (Rn ) R2n. Будем считать, что на фазовом пространстве заданы координаты { } = { i, i } := ( 1,..., n, 1,..., n ) и каноническая пуассонова структура (17.31).

19.1. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ В МЕХАНИКЕ ТОЧЕЧНЫХ ЧАСТИЦ Определение. Достаточно гладкое биективное отображение фазового простран ства (диффеоморфизм) T (Rn ) на себя называется каноническим, если оно сохраняет каноническую симплектическую форму:

=, где := := i i.

В координатах это определение записывается следующим образом. Отображение фазового пространства задается 2n функциями, которые в общем случае могут зависеть от времени, : T (Rn ) ( i, i ) i (,, ), i (,, ) T (Rn ), ( ) (19.41) где время входит в качестве параметра. Поскольку ранг 2-формы равен 2n, то канонические преобразования задают преобразование координат (диффеоморфизм) фазового пространства с отличным от нуля якобианом:

(, ) = 0.

(, ) Условие сохранения канонической симплектической формы принимает вид i i = i i. (19.42) Это равенство приводит к дифференциальным уравнениям на функции i (,, ), i (,, ), которые мы рассмотрим несколько позже.

Определение канонических преобразований можно записать в эквивалентном ин тегральном виде =, (19.43) gS S где интегрирование ведется по произвольной двумерной поверхности S T (Rn ) с кусочно гладкой границей. Поскольку кокасательное расслоение T (Rn ) односвязно, то к интегралу (19.43) можно применить формулу Стокса:

=, S S где мы предположили, что граница S такова, что на ней может обратиться в нуль только в изолированных точках. Поэтому для односвязных фазовых пространств интегральное определение канонического преобразования (19.43) можно переписать в виде =, (19.44) g где – произвольная кусочно гладкая замкнутая кривая в фазовом пространстве.

В общем случае неодносвязных многообразий из равенства (19.44) следует (19.43), но не наоборот. То есть сохранение 1-формы является достаточным условием того, что преобразование будет каноническим.

Пример 19.1.10. Каноническая пуассонова структура определена на произвольном кокасательном расслоении T (M). При этом вид структурных функций не зависит от выбора координат на конфигурационном пространстве M. Поэтому преобразование, (), (, ), где зависит только от, является каноническим (см., пример 19.1.4).

680 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Пример 19.1.11. Пусть фазовое пространство топологически тривиально, T (M) R2n. Поскольку линейное преобразование координат фазового пространства, порож даемое симплектической группой SP(n, R) (см. раздел 17.1), сохраняет каноническую симплектическую форму, то оно является каноническим.

На практике наиболее полезными и содержательными являются нелинейные ка нонические преобразования, связанные со спецификой задачи: симметриями и нали чием интегралов движения.

Пример 19.1.12. Фазовый поток является каноническим отображением в силу след ствия из теоремы 19.1.3.

Пример 19.1.13 (Теория возмущений). Допустим, что гамильтониан механиче ской системы состоит из двух слагаемых, (, ) = 0 (, ) + 1 (, ). (19.45) При этом гамильтониан 0 настолько прост, что для него известно общее решение = (;

0, 0 ), = (;

0, 0 ), (19.46) задачи Коши с начальными условиями:

(0;

0, 0 ) = 0, (0;

0, 0 ) = 0.

Как было отмечено, фазовый поток определяет каноническое преобразование, ко торое задается функциями (19.46). Обратное преобразование, 0, 0 также является каноническим. При этом преобразовании гамильтониан 0 обращается в константу и уравнения движения исходной гамильтоновой системы упрощаются:

1 0 = 0 =,, 0 где ( ) 1 (0, 0, ) = 1 (;

0, 0 ), (;

0, 0 ). (19.47) Обозначим через 0 (;

0.0 ) и 0 (;

0.0 ) решение задачи Коши для полученной си стемы уравнений движения с начальными данными:

0 (0;

0, 0 ) = 0, 0 (0;

0, 0 ) = 0.

Это решение обладает замечательным свойством: для невозмущенной системы оно постоянно и совпадает с начальными данными. Таким образом, задача Коши для гамильтоновой системы (19.45) сведена к задаче Коши для возмущения, которое определяется гамильтонианом (19.47). Формулы для решения исходной задачи в ста рых координатах, получаются после подстановки решения 0, 0 в общее решение (19.46) невозмущенной задачи.

Из определения канонических преобразований фазового пространства следует, что фазовое пространство вместе с каноническими отображениями образуют груп пу преобразований. Эта группа является подгруппой группы общих преобразований координат фазового пространства diff T (M). В общем случае канонические преоб разования i, i i, i не сохраняют структуру кокасательного расслоения на фа зовом пространстве, соответствующую координатам i, i, т.к. могут перемешивать канонические координаты и импульсы.

По-определению, каноническое преобразование сохраняет 2-форму (19.21) и, следовательно, все ее внешние степени. Отсюда вытекает 19.1. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ В МЕХАНИКЕ ТОЧЕЧНЫХ ЧАСТИЦ Теорема 19.1.11. Канонические преобразования сохраняют интегральные инвари анты 2,..., n.

Поскольку 2n-форма n существует и невырождена, то на фазовом пространстве существует также форма объема, которая ей пропорциональна (17.12). Отсюда вытекает Следствие. Канонические преобразования сохраняют форму объема фазового пространства. Другими словами, якобиан канонического преобразования координат равен единице, (, ) det = 1.

(, ) Это значит, что объем = U произвольной области U фазового пространства сохраняется при каноническом пре образовании: =.

Поскольку фазовый поток для произвольной гамильтоновой системы является ка ноническим преобразованием, то он также имеет интегральные инварианты, 2,..., n.

Последний из этих инвариантов есть фазовый объем. Отсюда следует Теорема 19.1.12 (Лиувилль). Фазовый поток сохраняет объем произвольной об ласти фазового пространства.

Верно также обратное утверждение. А именно, пусть задан функционал k = 2k (, ), = 1,..., n, U где U R2n – произвольное четномерное подмногообразие фазового пространства размерности dim U = 2 с кусочно гладкой границей и (, ) – некоторая функция времени и канонических переменных. Если этот функционал инвариантен относи тельно фазового потока с произвольным гамильтонианом, то он называется инте гральным инвариантом.


Теорема 19.1.13. Любой интегральный инвариант k фазового потока с произволь ным гамильтонианом имеет вид k = k k, U где k – некоторые постоянные, для всех = 1,..., n.

Доказательство. Дано сравнительно недавно [116].

Важность канонических преобразований заключается в том, что они позволяют менять координаты в фазовом пространстве не меняя вида канонических уравнений движения. Чтобы показать это, рассмотрим преобразование координат в расширен ном фазовом пространстве R2n+1, с координатами,,. Как было показано в разделе 19.1.5, фазовый поток взаимно однозначно связан с характеристиками интегрально го инварианта Пуанкаре–Картана в расширенном фазовом пространстве. Поскольку характеристики 1-формы являются инвариантным объектом, то замену координат,,,, удобно провести в расширенном фазовом пространстве.

682 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Теорема 19.1.14. Пусть,, – новая система координат в расширенном фазо вом пространстве R2n+1 и (,, ), (,, ) – такие функции, что выполнено условие = +. (19.48) Тогда траектории фазового потока (19.24) изображаются в координатах,, интегральными кривыми канонических уравнений i i = i.

=, (19.49) i Доказательство. Поскольку = 0, то 1-форма не влияет на характеристики формы (19.48). Это значит, что фазовый поток определяется также характеристика ми формы. Уравнения (19.49) следуют из теоремы 19.1.2.

Каноническим преобразованиям координат в фазовом пространстве,, соответствует преобразование координат,,,, в расширенном фазовом пространстве, которое не меняет времени.

Теорема 19.1.15. В новых координатах, канонические уравнения движения (19.24) имеют канонический вид (19.49) со старой функцией Гамильтона, выра ( ) женной через новые координаты (,, ) = (, ), (, ),.

Доказательство. Рассмотрим 1-форму в фазовом пространстве. Тогда для любой замкнутой кривой справедливо равенство ( ) = 0, поскольку преобразование является каноническим. Это равенство можно записать в дифференциальной форме =, где (, ) – некоторая функция на фазовом пространстве. Следовательно, в расширенном фазовом пространстве имеем равенство = +, (19.50) и справедлива предыдущая теорема.

Таким образом, мы показали, что при канонических преобразованиях вид гамиль тоновых уравнений движения не меняется. Часто это свойство принимается за опре деление канонических преобразований. Следующий пример показывает, что такое определение является более общим, чем принятое в настоящей монографии.

Пример 19.1.14. Преобразование координат, которое заключается в растяжке им пульсов:

c : R2n (, ) ( =, = ) R2n, (19.51) где = 0 – некоторая постоянная, сохраняет гамильтонову форму уравнений дви жения с гамильтонианом =. Тем не менее оно не является каноническим, т.к.

каноническая форма = = меняет свой вид.

В более общем случае преобразование =, =, где и – произволь ные отличные от нуля постоянные, также сохраняет вид гамильтоновых уравнений движения. При этом новый гамильтониан равен =.

19.1. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ В МЕХАНИКЕ ТОЧЕЧНЫХ ЧАСТИЦ По сути дела этот пример описывает все отличия в разных определениях кано нического преобразования.

Предложение 19.1.2. Пусть при преобразовании координат :,, фазо вого пространства R2n гамильтоновы уравнения движения (19.13) сохраняют свой вид:

i = i = i,, i где (, ) – некоторый новый гамильтониан. Тогда =, (19.52) () где = 0 – некоторая постоянная.

Доказательство. Рассмотрим расширенное фазовое пространство R2n+1. Пусть – замкнутый контур в фазовом пространстве, соответствующий фиксированному мо менту времени = const. Тогда в силу следствия из теоремы 19.1.3 интегралы и () являются интегральными инвариантами фазовых потоков. По теореме Стокса инте грал по контуру преобразуется в интеграл по поверхности, натянутой на данный контур. Используя теорему 19.1.13, заключаем, что =, () где = 0 – некоторая постоянная.

Ясно, что множество преобразований, сохраняющих вид гамильтоновых уравне ний, образует группу преобразований фазового пространства.

Следствие. Любое преобразование координат,, фазового пространства, которое сохраняет форму гамильтоновых уравнений движения, является композици ей преобразования c (19.51) и некоторого канонического преобразования.

Доказательство. При преобразовании координат,, относительный ин тегральный инвариант Пуанкаре–Картана умножается на некоторую постоянную (19.52). Представим это преобразование в виде двух последовательных преобразова ния координат:

c :,, :,,.

и Поскольку при первом преобразовании инвариант умножается на ту же постоянную, то при втором преобразовании координат он сохраняется, : =.

c () gc () Ввиду произвольности контура это значит, что преобразование является канони ческим.

684 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Поскольку преобразование c (19.51) является простой растяжкой координат, то канонические преобразования составляют нетривиальную и наиболее содержатель ную часть преобразований координат, сохраняющих вид гамильтоновых уравнений движения.

Сформулируем три критерия для канонических преобразований. С этой целью введем новое понятие. Обозначим координаты фазового пространства через { } = { i, i }, = 1,..., 2n.

Определение. Пусть на фазовом пространстве R2n с координатами { } = { i, i } и канонической симплектической формой задано преобразование координат { } { } = {i (), i ()}. Назовем скобкой Лагранжа двух новых координат и для заданного набора функций i (, ), i (, ), определяющих преобразование координат, следующее выражение i i i i [, ]l := =. (19.53) Скобка Лагранжа антисимметрична и определена для любой пары новых коор динат и. При этом мы не требуем, чтобы преобразование координат () было каноническим.

Замечание. Если на фазовом пространстве просто заданы две дифференцируемые функции, 1 (R2n ), то скобка Лагранжа для них неопределена, т.к. не опреде лены частные производные / и /.

Теорема 19.1.16. Для того, чтобы преобразование координат фазового простран ства,, было каноническим, необходимо и достаточно выполнения следу ющих условий для скобок Лагранжа новых координат:

[i, j ]l = 0, [i, j ]l = j.

i [i, j ]l = 0, (19.54) Доказательство. Подставляя в определение канонических преобразований (19.42) функции i (, ), i (, ), определяющие канонические преобразования, получим равенство ( i i i ) 1l i i k i = + k l l k ( i i i ) i k + l (19.55) + k l l k ( i i i ) 1 i + l k.

2 k l l k Отсюда вытекает первый критерий каноничности преобразований координат.

Таким образом, при каноническом преобразовании скобки Лагранжа для новых координат обязаны совпадать со скобкой Пуассона.

Матрицы Якоби для канонических преобразований обладают замечательным свой ством, которое можно сформулировать в виде второго критерия канонических пре образований.

19.1. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ В МЕХАНИКЕ ТОЧЕЧНЫХ ЧАСТИЦ Теорема 19.1.17. Преобразование координат фазового пространства является ка ноническим тогда и только тогда, когда матрица Якоби этого преобразования := = (19.56) является симплектической, SP(, R).

Доказательство. Доказательство проводится прямой проверкой равенства = (19.57) с учетом свойств (19.54). Вычисления проще проводить в блочно диагональном виде (19.56).

Поскольку определитель симплектической матрицы равен единице (17.5), то фор ма объема фазового пространства сохраняется при каноническом преобразовании.

Отсюда также следует теорема Лиувилля 19.1.12.

Третий критерий канонических преобразований формулируется в терминах ско бок Пуассона.

Теорема 19.1.18. Преобразование координат фазового пространства является ка ноническим тогда и только тогда, когда оно сохраняет скобки Пуассона [, ]q,p = [, ]Q,P. (19.58) где и – две произвольные дифференцируемые функции на фазовом простран стве, и скобки Пуассона вычислены, соответственно, в координатах, и, c одинаковыми каноническими структурными функциями 1.

Доказательство. Канонические преобразования и только они сохраняют канониче скую симплектическую форму. Сохранение этой формы эквивалентно сохранению матрицы 1, т.е. канонической пуассоновой структуры.

Пример 19.1.15. Преобразование () i = i, i = i +, (19.59) i где () 2 (Rn ) – произвольная функция от обобщенных координат, является каноническим. Действительно, скобки Пуассона [i, j ] = 0, [i, j ] = j i остаются прежними. Нетрудно также проверить, что [ ] [ ] [i, j ] = i, j +, j = 0.

i Аналогично, преобразование () i = i +, i = i, i где () 2 (Rn ) – произвольная функция импульсов, также является канониче ским.

686 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Важность канонических преобразований сводится к следующему. Если удается найти такое каноническое преобразование, при котором гамильтониан упрощается настолько, что уравнения Гамильтона явно интегрируются, то тогда можно постро ить и решение исходной задачи. Соответствующие канонические преобразования за висят от конкретной задачи, и общего метода их нахождения не существует.

19.1.11 Производящие функции канонических преобразований Широкий класс канонических преобразований (но не все) можно описать на языке производящих функций, которые строятся следующим образом. Рассмотрим фазовое пространство T (Rn ) R2n с координатами, и канонической пуассоновой струк турой. Пусть 2n функций i (, ) и i (, ) от 2n переменных задают каноническое преобразование. Тогда 1-форма = (, ) (19.60) есть полный дифференциал.

Предположим, что в окрестности некоторой точки старые и новые координаты (, ) можно выбрать в качестве координат фазового пространства. Это значит, что (, ) = 0.

det = det = det (19.61) (, ) Тогда функцию можно локально выразить через эти координаты:

(, ) = 1 (, ).

Функция 1 (, ) называется производящей функцией канонического преобразова ния.

Из определения производящей функции и уравнения (19.60) следует, что 1 = =,. (19.62) Конечно, эти формулы являются сокращенной записью равенств 1 i = i =,.

i i Полученные уравнения служат для нахождения канонического преобразования, (, ), (, ). При этом выполнено равенство 2 i = i j.

j Таким образом, каждая производящая функция 1 (, ) такая, что 2 = 0, det i j 19.1. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ В МЕХАНИКЕ ТОЧЕЧНЫХ ЧАСТИЦ определяет некоторое каноническое преобразование по формулам (19.62). 19.61).

Для того, чтобы получить гамильтониан (, ) для новых канонических пе ременных, необходимо просто подставить в старое выражение (, ) функции = (, ) и = (, ): ( ) (, ) := (, ), (, ). (19.63) Пример 19.1.16. Пусть 1 = i i. Тогда i = i и i = i. Тем самым коорди наты и импульсы меняются местами. Этот пример показывает, что в каноническом формализме координаты и импульсы играют совершенно равноправную роль.

Пусть гамильтониан не зависит от времени явно. Покажем, что если производя щая функция 1 (, ) сама удовлетворяет уравнению Гамильтона–Якоби по перемен ным, то уравнения движения интегрируются в квадратурах. Для этого заметим, что если гамильтониан системы зависит только от новых координат = (), то канонические уравнения = = 0, просто интегрируются = = 0,.

Q Это, конечно, соответствует переходу к переменным действие-угол. Теперь будем искать производящую функцию 1 (, ) этого канонического преобразования. Из первого условия (19.62) следует, что такая производящая функция должна удовле творять уравнению ( ), = (). (19.64) То есть при каждом фиксированном значении производящая функция 1 (, ) должна удовлетворять укороченному уравнению Гамильтона–Якоби (19.37). Верно также и обратное утверждение.

Теорема 19.1.19 (Якоби). Если найдено решение 1 (, ) укороченного уравнения Гамильтона–Якоби (19.64), зависящее от n параметров i и такое, что 2 = 0, det i j то канонические уравнения (19.24) решаются в квадратурах, причем функции (, ), определяемые уравнениями 1 / i = i, являются n первыми интегралами урав нений Гамильтона.

Доказательство. См., например, [115].

Теорема Якоби сводит решение канонических уравнений к нахождению полно го интеграла укороченного уравнения Гамильтона–Якоби. Может показаться удиви тельным, что сведение более простого к более сложному доставляет эффективный метод решения конкретных задач. Между тем оказывается, что это – наиболее мощ ный из существующих в настоящее время методов интегрирования уравнений дви жения, и многие задачи, решенные методом Якоби, вообще не поддаются решению другими способами.

688 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ В качестве дополнительного аргумента производящей функции можно рассмат ривать время, 1 = 1 (,, ). При этом все предыдущие формулы остаются в силе за исключением выражения (19.63) для нового гамильтониана. Оно получает допол нительное слагаемое = +, (19.65) что следует из выражения для действия (19.50) в расширенном конфигурационном пространстве.

Если после канонического преобразования новый гамильтониан тождественно ра вен нулю, то уравнения движения, очевидно, интегрируются. Для этого необходимо выполнение уравнения + (,, ) = 0.

Учитывая выражение для импульсов через производящую функцию (19.62) полу чаем, что производящая функция в этом случае должна удовлетворять уравнению Гамильтона–Якоби для всех значений. Тем самым доказана Теорема 19.1.20 (Якоби). Если найдено решение 1 (,, ) уравнения Гамильтона– Якоби (19.34), зависящее от n параметров i и такое, что 2 = 0, det i j то канонические уравнения (19.24) решаются в квадратурах, причем координаты i = const и импульсы i := 1 /i = const дают 2n первых интегралов урав нений Гамильтона.

Частное решение уравнения Гамильтона–Якоби, зависящее от n + 1 параметра (по числу независимых переменных), называется полным интегралом. Функция от n + 1 параметра 1 (,, ) + const, где 1 – решение уравнения Гамильтона–Якоби из предыдущей теоремы является полным интегралом уравнения Гамильтона–Якоби. В том случае, когда для уравнения Гамильтона–Якоби можно определить общее реше ние, оно будет зависеть от произвольных функций. Это значит, что полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби дает лишь незначительную часть всех решений.

Если известен полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби 1 (,, ) + const, то для нахождения траектории частицы, проходящей через заданную точку фазово го пространства в начальный момент времени, необходимо решить дополнительные уравнения:

= i, (19.66) i где i – некоторые постоянные, определяемые начальным положением частицы.

Продолжим изучение производящих функций. Выше был рассмотрен случай, ко гда производящая функция зависит от старых и новых координат. Аналогичным образом можно показать, что канонические преобразования генерируются произво дящими функциями 2 (,, ), зависящими от старых координат и новых импульсов.

Если 2 = 0, det i j то каноническое преобразование задается формулами 2 2 :=, :=, := +. (19.67) 19.1. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ В МЕХАНИКЕ ТОЧЕЧНЫХ ЧАСТИЦ Переход от производящей функции 1 (, ) к 2 (, ) является преобразованием Ле жандра по переменной при этом 2 (,, ) = 1 (,, ) +.

Пример 19.1.17. Каноническое преобразование, генерируемое производящей функ цией 2 = := i i является тождественным.

Пример 19.1.18. Пусть 2 = i i j j, где i j – произвольная невырожденная матри ца. Тогда i = i1 j j и i = j j i. То есть это преобразование генерирует линейное однородное преобразование фазового пространства.

Пример 19.1.19. Выберем производящую функцию бесконечно малых канониче ских преобразований в виде 1, 2 = + (,, ), где (,, ) – произвольная функция, зависящая от параметра. Тогда = +, = +.

Отсюда следует, что бесконечно малые канонические преобразования удовлетворяют каноническим уравнениям = =, =0 =0 с функцией Гамильтона (, ) = (,, 0), т.к. в главном порядке =. Тем самым гамильтониан произвольной механической системы можно рассматривать, как гене ратор бесконечно малых канонических преобразований по времени =, которые происходят по мере эволюции механической системы.

На самом деле движение частицы в фазовом пространстве (), () можно рас сматривать как последовательность канонических преобразований, параметризую щихся одним параметром. Допустим, что решение канонических уравнений дви жения определено для всех R. Тогда канонические уравнения движения (19.13) определяют однопараметрическую группу преобразований фазового пространства.

Для каждого момента времени, по-определению, выполнены канонические коммута ционные соотношения (19.14). Следовательно, для каждого момента времени отоб ражение фазового пространства R2n R2n ( ) ( ) (0), (0) (), () представляет собой каноническое преобразование.

В заключение рассмотрим еще два вида производящих функций, часто встреча ющихся в приложениях. Если производящая функция 3 (,, ) зависит от старых импульсов и новых координат и при этом 2 = 0, det i j то каноническое преобразование задается формулами:

3 3 := :=,, := +. (19.68) 690 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ При этом производящая функция 3 является преобразованием Лежандра функции 1 по переменной :

3 (,, ) = 1 (,, ).

Пример 19.1.20. Каноническое преобразование, генерируемое производящей функ цией 3 = i i, является тождественным.

Производящая функция 3 (,, ) полезна в следующем случае. Допустим, что нам заранее известно, как удобно выбрать координаты в конфигурационном про странстве, т.е. заданы функции = (). Например, если конфигурационное про странство инвариантно относительно действия некоторой группы преобразований, то новые координаты удобно выбрать в соответствии с симметрией задачи. То гда производящая функция 3 = i i () дает выражения для новых обобщенных импульсов i, сопряженных к координатам i.

Точечные преобразования, рассмотренные в разделе 19.1.3, относятся именно к этому типу. Точечные преобразования – это все преобразования координат, которые допустимы в лагранжевой механике. Рассмотренный выше пример показывает, что точечные преобразования составляют лишь небольшой класс канонических преобра зований. Все множество канонических преобразований намного шире, и это является причиной большей гибкости канонического формализма по сравнению с лагранже вым.

Продолжим изучение производящих функций. Если производящая функция 4 (,, ) зависит от старых и новых импульсов и 2 = 0, det i j то каноническое преобразование задается формулами:

4 4 :=, :=, := +. (19.69) При этом производящая функция 4 является двойным преобразованием Лежандра функции 1 (, ) по переменным и :

4 (,, ) = 1 (,, ) +.

Пример 19.1.21. Каноническое преобразование, генерируемое производящей функ цией 4 = i i, меняет местами координаты и импульсы: i = i, i = i. Это преобразование совпадает с каноническим преобразованием из примера 19.1.16.

Пример 19.1.22 (Гармонический осциллятор). Продемонстрируем сложные по строения последних разделов на примере гармонического осциллятора. Пусть задана функция Лагранжа 1 = 2 2 2, 2 где = const – собственная частота гармонического осциллятора. Конфигурацион ное пространство представляет собой прямую R. Импульс, сопряженный коор динате, равен скорости = =.

19.1. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ В МЕХАНИКЕ ТОЧЕЧНЫХ ЧАСТИЦ Преобразование Лежандра приводит к положительно определенному гамильтониану:

1 = 2 + 2 2.

2 Фазовым пространством для гармонического осциллятора является евклидова плос кость (, ) T (R) R2 с канонической пуассоновой структурой. Соответствующие уравнения движения имеют вид } =, + 2 = 0.



Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 || 21 | 22 |   ...   | 31 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.