авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 19 | 20 || 22 | 23 |   ...   | 31 |

«Геометрические методы в математической физике 17 октября 2013 г. Катанаев Михаил Орионович1 ...»

-- [ Страница 21 ] --

(19.70) =, Общее решение этих уравнений параметризуется двумя произвольными постоянны ми: амплитудой 0 и фазой, = 0 cos ( + ), (19.71) = 0 sin ( + ).

Фаза соответствует выбору начала отсчета времени. Полученное решение соответ ствует решению задачи Коши с начальными данными 0 = 0 cos, 0 = 0 sin.

В терминах начальных условий общее решение (19.71) перепишется в виде = 0 cos + sin, = 0 sin + 0 cos.

Траекториями гармонического осциллятора в фазовом пространстве являются эл липсы. Как видим, эволюция во времени представляет собой эллиптическое враще ( ) ние фазового пространства (0, 0 ) (), (). Если V0 R2 – произвольная огра ниченная область фазового пространства, то в соответствии с теоремой Лиувилля (19.1.12) объем этой области сохраняется во времени:

0 0 = = 0 0, V0 V(t) V(t) т.к. якобиан преобразования координат равен единице, (, ) det = 1.

(0, 0 ) Поскольку гамильтониан не зависит от времени явно, то энергия на каждой траек тории постоянна = = const.

Найдем функцию действия (, ). Чтобы вычислить интеграл (19.32) необходимо исключить скорости из лагранжиана. Поскольку интегрирование ведется вдоль траектории частицы, то в лагранжиан необходимо подставить = = 2 2 2.

692 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ В этом выражении рассматривается, как некоторая постоянная. После несложных вычислений получаем функцию действия (, ) = + 2 2 2 = arcsin 2 2 = + + с точностью до несущественной постоянной, определяемой начальными данными.

Нетрудно проверить, что = 2 2 2 =.

Поэтому уравнение Гамильтона–Якоби (19.34) выполняется. Укороченное действие имеет вид (, ) = arcsin 2 2 2.

+ 2 Таким образом, нам известно укороченное действие, зависящее от параметра, при чем = 0.

Поэтому его можно выбрать в качестве производящей функции канонического пре образования,, arcsin 2 2 2.

2 (, ) = + Воспользовавшись формулами (19.67), получаем явный вид канонических преобра зований = sin (), = 2 cos ().

Отсюда вытекает связь дифференциалов:

2 cos () + = sin (), = 2 sin () + cos ().

Теперь нетрудно убедиться в том, что построенное преобразование действительно является каноническим =.

В новых переменных гамильтониан имеет вид = и уравнения движения =, = тривиально интегрируются. Таким образом укороченная функция действия для гар монического осциллятора является производящей функцией к переменным “действие угол”. Фазовым пространством в переменных “действие-угол” является полуплос кость R, 0, а траекториями – прямые линии = const.

19.1. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ В МЕХАНИКЕ ТОЧЕЧНЫХ ЧАСТИЦ В настоящем разделе мы рассмотрели широкий класс канонических преобразо ваний, которые генерируются четырьмя видами производящих функций: 1 (,, ), 2 (,, ), 3 (,, ) и 4 (,, ). Существуют также производящие функции более общего вида, которые мы сейчас опишем.

Предложение 19.1.3. Пусть заданы две системы координат, и, в фазовом пространстве пространстве R2n с канонической пуассоновой структурой. Тогда среди 4n координатных функций,,, всегда можно выбрать 2n независимых функций так, чтобы среди них не было ни одной пары канонически сопряженных функций i, i или i, i.

Доказательство. См., например, [117].

Из данного утверждения следует, что в качестве координат на фазовом простран стве R2n всегда можно выбрать набор функций 1,..., L, L+1,..., n, 1,..., M, M +1,..., n, 0, n, состоящий из n старых и n новых координат. Введем обозначения:

{ i } := { 1,..., L, L+1,..., n }, { i } := {1,..., M, M +1,..., n }.

Допустим, что на фазовом пространстве задана функция (, ) такая, что = 0.

det (19.72) i j Тогда нетрудно проверить, что функция (, ) определяет каноническое преобра зование:

i :=, = 1,...,, i i :=, = + 1,..., n, i i := i, = 1,...,, i :=, = + 1,..., n.

i Рассмотренное каноническое преобразование включает в себя четыре предыду щих при = 0, n и = 0, n. В общем случае производящая функция (, ) зависит от старых координат и импульсов и новых координат и импульсов. При этом среди них нет ни одной пары канонически сопряженных переменных. Примеры 19.1.16 и 19.1.21 показывают, что различные производящие функции могут приводить к одина ковым каноническим преобразованиям. Во всех случаях от производящей функции требуется отличие от нуля определителя (19.72). Поэтому производящие функции описывают широкий класс канонических преобразований, но не все.

Пример 19.1.23. В примере 19.1.15 из предыдущего раздела было рассмотрено ка ноническое преобразование, которое не охватывается производящими функциями, 694 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ рассмотренными в настоящем разделе. Действительно, для преобразования (19.59) формула (19.60) принимает вид () = (, ) = +.

Откуда следуют равенства:

=, = 0.

Таким образом, для канонических преобразований вида (19.59) функция (, ) имеет вид (, ) = () + const и не относится ни к одному типу производящих функций настоящего раздела.

19.1.12 Разделение переменных в уравнении Гамильтона–Якоби Теорема Якоби 19.1.20 утверждает, что если найден полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби, то канонические уравнения решаются в квадратурах. По-видимому, все известные в настоящее время полные интегралы могут быть найдены путем раз деления переменных в уравнении Гамильтона–Якоби. Суть метода состоит в следу ющем.

Допустим, что одна из координат – обозначим ее n – и соответствующая ей про изводная / n входят в уравнение Гамильтона–Якоби только в виде комбинации ( n, / n ), где – некоторая функция двух переменных, не зависящая от других координат, соответствующих производных действия и времени. Тогда будем искать решение уравнения Гамильтона–Якоби (19.34) в виде (, ) = (, ) + n ( n ), где (, ) – функция оставшихся переменных = ( 1,..., n1 ) и времени, а n ( n ) зависит только от отделяемой координаты. Тогда уравнение Гамильтона–Якоби n принимает вид ( n ) ) (, n, n, = 0.

+, (19.73) Допустим, что решение этого уравнения найдено. Тогда, после подстановки найден ного решения в уравнение (19.73) мы получаем тождество, справедливое для всех значений координат. При изменении координаты n меняется только функция. По этому для выполнения уравнения (19.73) необходимо, чтобы функция сама была равна постоянной, которую мы обозначим n, для произвольного решения. Таким образом, уравнение Гамильтона–Якоби (19.73) распадается на два уравнения:

( ) n n, n = n, (19.74) ( ) n +,,, = 0. (19.75) Первое уравнение представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, из которого можно определить функцию n = n ( n ;

n ). Если 19.1. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ В МЕХАНИКЕ ТОЧЕЧНЫХ ЧАСТИЦ функция достаточно проста, то это уравнение иногда удается проинтегрировать яв но. Постоянная n является первым интегралом исходного уравнения Гамильтона– Якоби. После этого остается решить оставшееся уравнение (19.75), которое также имеет вид уравнения Гамильтона–Якоби, но для системы с меньшим числом сте пеней свободы. Эта система описывается гамильтонианом, который получается из исходного путем замены функции для отделенной степени свободы на некоторую константу. Единственное ограничение на постоянную n состоит в том, чтобы урав нение (19.74) имело решение.

Иногда этот процесс отделения переменных можно продолжить. Если таким обра зом можно разделить все n координат, то тогда полный интеграл уравнения Гамильтона– Якоби находится в квадратурах. В этом случае мы говорим, что уравнение Гамильтона– Якоби допускает разделение переменных.

Замечание. Разделение переменных в уравнении Гамильтона–Якоби для одной и той же механической системы возможно не во всякой системе координат конфигу рационного пространства. Как правило системы координат, в которых переменные делятся полностью или частично связаны с симметрией системы. Процедура нахож дения такой системы координат, в которой переменные для интегрируемой системы разделяются, представляет собой отдельную задачу.

Допустим, что механическая система консервативна и переменные делятся. Тогда полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби имеет вид n k ( k ;

k,..., n ), (, ) = (,..., ) + n (19.76) k= где каждая функция k зависит от одной координаты k, а энергия как функция первых интегралов 1,..., n получается подстановкой укороченного действия n k ( k, k,..., n ) = k= в укороченное уравнение Гамильтона–Якоби (19.37).

Пример 19.1.24 (Циклические координаты). Пусть n – циклическая координа та, т.е. гамильтониан от нее вообще не зависит. В этом случае функция ( n, / n ) сводится просто к / n. Тогда из уравнения (19.74) следует, что n = n n (ника кого суммирования). Тогда функция действия принимает вид (, ) = (, ) + n n.

В этом случае первый интеграл n = / n = n имеет смысл обобщенного им пульса, сопряженного циклической координате n.

Отметим, что если время рассматривать, как обобщенную координату, то отделе ние времени в виде слагаемого в функции действия (19.36) для консервативной системы соответствует методу разделения переменных для циклической координа ты. При этом энергия сохраняется и соответствует импульсу для обобщенной координаты.

Разделение переменных для консервативной системы возможно также в следую щем более общем случае. Пусть гамильтониан механической системы имеет вид 1 ( 1, 1 ) +... + n ( n, n ) (, ) =, 1 ( 1, 1 ) +... + n ( n, n ) 696 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ где i ( i, i ) и i ( i, i ) – некоторые функции только от указанных аргументов. Преды дущий случай возникает, например, при i = const, = 1,..., n, i i = 0. Будем искать решение уравнения Гамильтона–Якоби в виде n i ( i ).

(, ) = + i= Тогда укороченное уравнение Гамильтона–Якоби (19.37) примет вид n [ ( i ) ( )] i i i i, i, = 0.

i i i= Поскольку координаты i меняются независимо, то каждое слагаемое в данной сумме должно быть равно некоторой постоянной, ( ) ( ) i i i i i, i, = i. (19.77) i i При этом не все постоянные i являются независимыми, т.к. должно быть выполнено равенство 1 +... + n = 0.

Допустим, что все уравнения (19.77) можно разрешить относительно производ ных:

i = i ( i, i ).

i Тогда полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби равен сумме n i i ( i, i, ).

(, ) = + i= Пример 19.1.25 (Задача Кеплера). Рассмотрим частицу массы, которая дви жется по плоскости с полярными координатами, под действием центральной силы с потенциалом (). Гамильтониан такой системы имеет вид ( ) 1 (, ) = + + (). (19.78) 2 r К этой задаче сводится задача движения двух тел, находящихся под действием гра витационного взаимодействия c потенциалом () = 1 2 / после отделения дви жения центра масс. Поскольку гамильтониан не зависит от угла, то координата является циклической, и переменные делятся. Поэтому функция действия имеет вид = + (,, ) +, (19.79) где = = const – сохраняющийся угловой импульс частицы (момент количества движения). В этом случае уравнение Гамильтона–Якоби сводится к одному обыкно венному дифференциальному уравнению первого порядка ) ( = 2( ) 2. (19.80) 19.2. ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА ЧАСТИЦ СО СВЯЗЯМИ Произвол в решении данного уравнения фиксируется положением частицы в началь ный момент времени. В соответствии с общими утверждениями, функция действия (19.79), где – решение уравнения (19.80), зависит от двух постоянных: энергии и момента количества движения, и представляет собой полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби. Таким образом, задача двух тел, взаимодействующих посред ством центральных сил с произвольным потенциалом (), решается в квадратурах.

Чтобы найти траекторию частицы, проходящую через заданную точку фазового про странства в начальный момент времени, в соответствии с теоремой Якоби (19.1.20) необходимо решить дополнительные уравнения:

= + = + = 1, = 2, где 1,2 – некоторые постоянные (19.67), определяемые начальным положением ча стицы.

Заметим, что переменные в задаче Кеплера на плоскости делятся в полярных ко ординатах (в трехмерном пространстве – в сферических), которые связаны со сфе рической симметрией потенциала взаимодействия. В декартовой системе координат переменные в уравнении Гамильтона–Якоби не делятся.

19.2 Гамильтонова динамика частиц со связями В современной математической физике большую роль играют модели, инвариант ные относительно действия локальных групп преобразований, которые принято на зывать калибровочными. С точки зрения гамильтонова формализма такие модели соответствуют системам со связями. В калибровочных моделях связи возникают не как дополнительные условия на канонические переменные, наложенные извне, а при переходе от вырожденного инвариантного лагранжиана к гамильтониану. Основы гамильтонова формализма для калибровочных моделей были заложены П. Дираком на примере точечных частиц [118, 119, 120]. Обобщение этого формализма на теорию поля представляет значительные трудности, которые мы кратко обсудим в разделе ??. Несмотря на важность, эта задача до сих пор не решена. В теории поля до насто ящего времени, как правило, используют методы, развитые для точечных частиц. В простейших случаях это приводит к разумным результатам.

В последующих разделах мы обсудим вопрос о гамильтоновой динамике со свя зями для систем точечных частиц, оставив в стороне важную задачу перехода от вырожденных калибровочно инвариантных лагранжианов к гамильтонианам, кото рая подробно рассматривается в монографиях [121, 122]. Квантование калибровоч ных моделей с помощью функционального интеграла в фазовом пространстве было развито в [123, 124].

19.2.1 Связи в гамильтоновом формализме Рассмотрим систему n точечных частиц с действием (19.7). Предположим, что фазо вое пространство представляет собой дифференцируемое многообразие N класса k, dim N = 2n. Для простоты предположим, что фазовое пространство топологически тривиально N R2n и покрывается одной картой. Координаты на фазовом простран стве N, как и раньше, обозначим (, ) = ( 1,..., n, 1,..., n ). Мы предполагаем, что на фазовом пространстве задана каноническая пуассонова структура [ i, j ] = j. i 698 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Пусть на канонические переменные наложены связи в виде 2m алгебраических условий:

µ (, ) = 0, µ k (N), = 1,..., 2m 2n. (19.81) Мы пишем индекс связи вверху, поскольку в дальнейшем связи будут частью новых координатных функций. Условия (19.81) представляют собой систему уравнений на канонические переменные. Будем считать, что все µ функционально независимы, т.е. ранг матрицы µ /, где = (, ), максимален и равен 2m в окрестности всех точек, координаты которых удовлетворяют системе уравнений (19.81). Если все связи принадлежат классу k, то их совокупность, согласно теореме 2.10.4, определяет подмногообразие M = { N : = 0} того же класса гладкости и размерности dim M = 2(n m). Это подмногообразие называется поверхностью связей, которую будем обозначать равенством = 0 без индекса.

Замечание. Вообще говоря, µ (, ) не являются функциями на фазовом простран стве, т.к. могут иметь тензорные индексы. Например, в электродинамике первичная связь имеет вид 0 = 0.

Условие функциональной независимости связей накладывает жесткие ограниче ния на вид функций µ.

Пример 19.2.1. Пусть на фазовом пространстве N задана одна связь (, ) = 0.

Условие функциональной независимости означает, что ранг матрицы, которая в рассматриваемом случае представляет собой строку, равен единице, т.е. по крайней мере одна из частных производных в каждой точке поверхности связей M отлична от нуля. Если возвести связь в некоторую степень, то уравнение n = 0 при 0 и 1 определяет ту же поверхность связей M N (как множество точек). Однако связь n = 0 не является функционально независимой. Действительно, { 0, 1, n |=0 = n1 |=0 =, 0 1.

Поэтому ранг матрицы n либо равен нулю, либо неопределен на поверхности связей, и связь n = 0 не является функционально независимой на M N, хотя и определяет ту же поверхность связей.

Рассмотренный пример показывает, что условие функциональной независимости связей означает не только определение поверхности связей M N, но и возмож ность выбора функций µ в качестве трансверсальных координат к M в некоторой окрестности поверхности связей.

Уравнения, задающие поверхность связей, определены неоднозначно. Например, невырожденные линейные комбинации исходных связей µ (, ) := (, ) µ (, ), (19.82) где матрица µ невырождена на всем фазовом пространстве N, определяют ту же поверхность связей M N и функционально независимы.

Определение. Системы связей = 0 и = 0 называются эквивалентными, если они связаны между собой невырожденным линейным преобразованием (19.82) во всем фазовом пространстве.

19.2. ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА ЧАСТИЦ СО СВЯЗЯМИ Замечание. Если потребовать выполнения равенства (19.82) не во всем фазовом пространстве, а только на поверхности связей, то этого недостаточно для эквива лентности. Действительно, пусть поверхность связей M N определена уравнения ми = 0. Определим новые связи = 0 на поверхности связей с помощью некоторой невырожденной матрицы, заданной на M. После этого продолжим функции на все фазовое пространство таким образом, чтобы уравнения = 0 определяли некото рое подмногообразие вида MU N, где U – некоторое собственное подмногообразие N такое, что U M =. Никаких препятствий для этого нет. Таким образом, для новых связей условие (19.82) будет выполнено на M, однако условия = 0 выделя ют в фазовом пространстве N другое подмногообразие. Это означает, что матрица будет вырождена на U.

Предложение 19.2.1. Любая функция (, ) k (N), обращающаяся в нуль на поверхности связей M N, в некоторой окрестности U0 N произвольной точки (0, 0 ) M представима в виде (, ) = µ (, )µ (, ), (, ) U0, (19.83) с достаточно гладкими коэффициентами µ (, ) k (U0 ).

Доказательство. Поскольку связи µ функционально независимы, то в некоторой окрестности произвольной точки на поверхности связей (0, 0 ) M их можно допол нить до системы координат { } { a, µ }, где a, = 1,..., 2(nm), – координаты на поверхности связей. Тогда согласно предложению 2.6.2 произвольная достаточно гладкая функция k (U0 ) представима в виде (, ) = (0, 0 ) + a (, )a (, ) + µ (, )µ (, ) с достаточно гладкими коэффициентами µ, a. Так как функция равна нулю на поверхности связей M, то (0, 0 ) = 0 и a (, ) = 0 для всех и (, ) U0. Поэтому справедливо представление (19.83).

19.2.2 Гамильтонова динамика частиц со связями II рода Начнем рассмотрение гамильтоновой динамики частиц со связями с обсуждения свя зей второго рода, т.к. она значительно проще. Связи первого рода будут рассмотрены в следующем разделе. Там будет показано, что динамика частиц со связями I рода после наложения канонической калибровки сводится к рассмотрению частиц со свя зями II рода.

Определение. Связи µ, = 1,..., 2m, называются связями II рода, если опреде литель матрицы, составленной из скобок Пуассона связей между собой, отличен от нуля на поверхности связей:

det [µ, ]=0 = 0. (19.84) Отметим, что элементы матрицы, составленной из скобок Пуассона [µ, ], в об щем случае зависят от точки фазового пространства. Условие (19.84) означает отли чие определителя от нуля в каждой точке подмногообразия M N, определяемого связями (19.81). Из непрерывности функций µ следует, что определитель (19.84) отличен от нуля не только на M, но и в некоторой окрестности подмногообразия M.

700 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Поскольку матрица, составленная из скобок Пуассона, µ = µ := [µ, ], (19.85) антисимметрична, то ее определитель может быть отличен от нуля только при четном числе связей. Поэтому мы с самого начала предположили наличие четного числа связей 2m. Это значит, что поверхность связей также имеет четную размерность 2(n m).

С точки зрения вариационного принципа при наличии связей на фазовом про странстве мы имеем задачу на условный экстремум, которую можно решать мето дом неопределенных множителей Лагранжа. С этой целью рассмотрим обобщенный (extended) гамильтониан, который получается после добавления к исходному га мильтониану всех связей второго рода e = + µ µ, (19.86) где µ = µ (,, ) – неопределенные множители Лагранжа. Этому гамильтониану соответствует обобщенное действие t ( µ µ ).

e = (19.87) t При варьировании этого действия мы считаем вариации координат на границе ну левыми, (1,2 ) = 0, а вариации импульсов и множителей Лагранжа могут быть произвольны, т.к. они входят в действие без производных. Канонические уравнения движения для обобщенного гамильтониана имеют вид i = [ i, e ] = [ i, ] + µ [ i, µ ] + [ i, µ ]µ, (19.88) i = [i, e ] = [i, ] + µ [i, µ ] + [i, µ ]µ.

Эти уравнения необходимо дополнить уравнениями связей (19.81), возникающими при варьировании обобщенного действия по множителям Лагранжа. В уравнениях движения (19.88) последние слагаемые можно отбросить, т.к. они равны нулю на поверхности связей (19.81). Таким образом, мы имеем 2(n + m) уравнений (19.88), (19.81) на 2(n + m) переменных,,, из которых 2n уравнений являются диффе ренциальными. Решение этой задачи можно провести следующим образом.

Предложение 19.2.2. Для того, чтобы фазовая траектория гамильтоновой си стемы (19.87), проходящая через произвольную точку поверхности связей, целиком лежала на этой поверхности необходимо и достаточно, чтобы производная по вре мени от всех связей обращалась в нуль на поверхности связей, µ = [µ, e ]=0 = [µ, ]=0 + [µ, ]=0 = 0. (19.89) Доказательство. Достаточность. Допустим, что в начальный момент времени тра ектория находилась на поверхности связей, т.е. µ( 0, 0 ) = 0, где 0 := (0) и ( ) µ 0 := (0). Тогда с течением времени уравнения (), () = 0 будут выполне ны на решении задачи Коши для системы уравнений (19.89).

Необходимость. Допустим, что каждая траектория, имеющая хотя бы одну точку на поверхности связей, целиком принадлежит этой поверхности. Тогда производная вдоль траектории от каждой связи должна быть равна нулю на поверхности свя зей, поскольку мы можем произвольно менять исходную точку на поверхности. Это означает выполнение условий (19.89) для всех значений индекса.

19.2. ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА ЧАСТИЦ СО СВЯЗЯМИ Уравнения (19.89) можно рассматривать как уравнения на множители Лагран жа на поверхности связей. При этом условие, определяющее связи второго рода (19.84), является необходимым и достаточным для однозначного определения множи телей Лагранжа µ () на поверхности связей M. Вне поверхности связей множители Лагранжа можно продолжить любым достаточно гладким образом, поскольку это не влияет на динамику частицы на поверхности связей. Для определенности, положим µ = µ [, ] (19.90) в некоторой окрестности поверхности связей. Если продолжить множители Лагран жа вне поверхность связей каким либо иным образом, то это изменит только тра ектории, лежащие вне поверхности связей, которые нас не интересуют. Множители Лагранжа (19.90) подставляем в уравнения (19.88) и решаем задачу Коши для ко ординат и импульсов. Тогда, если в начальный момент времени точка фазового про странства находилась на поверхности связей, то она там и останется при эволюции системы. Это означает, что метод неопределенных множителей Лагранжа позволяет из вариационного принципа для обобщенного действия (19.87) определить множите ли Лагранжа и эволюцию динамических переменных.

Решение (19.90) для множителей Лагранжа означает, что, если связи выполняют ся в начальный момент времени для некоторой траектории, то множители Лагранжа всегда можно подобрать таким образом, что связи будут выполнены и во все после дующие моменты времени.

Исключим множители Лагранжа (19.90) из уравнений движения (19.88):

i = [ i, ] [ i, µ ]µ [, ], i = [i, ] [i, µ ]µ [, ].

Эти уравнения можно записать в компактном виде с помощью нового важного по нятия, которое было введено в [120].

Определение. Для любых функций, 1 (N) билинейная операция [, ]d := [, ] [, µ ]µ [, ], (19.91) называется скобкой Дирака.

Скобка Дирака, очевидно, антисимметрична и билинейна. Кроме того, нетрудно проверить, что для нее справедливо правило Лейбница и тождества Якоби. Следо вательно, скобка Дирака определяет на фазовом пространстве N новую пуассонову структуру (см. раздел 17.3). Напомним, что на фазовом пространстве уже существует каноническая пуассонова структура для координат и сопряженных импульсов [, ].

Скобка Дирака определяет на N вторую диракову пуассонову структуру, которая об ладает рядом замечательных свойств для гамильтоновых систем со связями II рода.

Сначала заметим, что уравнения движения (19.88) можно записать в компактном виде i = [ i, ]d, i = [i, ]d.

(19.92) В эти уравнения не входят явно множители Лагранжа, потому что достаточная ин формация о связях содержится в определении скобки Дирака.

702 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Из определения (19.91) следует, что скобка Дирака каждой связи (19.81) с про извольной функцией 1 (N) равна нулю:

[, µ ]d = 0.

Отсюда вытекает, что диракова пуассонова структура вырождена и все связи второ го рода являются функциями Казимира для скобки Дирака. Покажем, что других функционально независимых функций Казимира не существует.

Предложение 19.2.3. На поверхности связей = 0 существует такая система координат a, = 1,..., 2(n m), что выполнены следующие условия:

det [ a, b ]=0 = 0, [ a, µ ]=0 = 0.

Доказательство. Поскольку связи функционально независимы, то их можно вы брать в качестве части координатных функций новой системы координат в неко торой окрестности поверхности связей. Выберем какие либо координаты a, = a µ 1,..., 2(n m), на поверхности связей. Тогда совокупность функций {, } образу ет систему координат в окрестности поверхности связей. В общем случае [a, µ ] = 0.

Тогда введем новые координаты на поверхности связей = + µ, где a – неко a a aµ µ торые функции. На поверхности связей = 0 эти координаты совпадают со старыми.

Выберем неизвестные функции a таким образом, чтобы на поверхности связей вы µ полнялись уравнения:

[ a, µ ]=0 = [a, µ ]=0 + a [, µ ]=0 = 0.

Это всегда можно сделать, поскольку связи µ второго рода. В новой системе коор динат структурные функции канонической пуассоновой структуры на поверхности связей примут вид ( a b ) [, ]=0 =.

[µ, ]= Поскольку пуассонова структура не может быть вырожденной, то det [ a, b ]=0 = 0.

В системе координат { a, µ } из только что доказанного предложения структур ные функции дираковой пуассоновой структуры примут вид ( a b ) [, ]=0 d =, 0 поскольку [ a, b ]d=0 = [ a, b ]=0. Отсюда следует, что в окрестности связей ранг d равен 2(n m). Таким образом мы доказали следующее утверждение.

Теорема 19.2.1. Связи второго рода µ и только они вместе со всеми их линей ными комбинациями являются функциями Казимира для пуассоновой структуры Дирака (19.91).

Используя скобку Дирака, для каждой связи µ можно построить векторное поле с компонентами µ = [µ, ]d, 19.2. ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА ЧАСТИЦ СО СВЯЗЯМИ где = (, ) – координаты на фазовом пространстве N. Согласно предложению 17.3.1 коммутаторы этих векторных полей равны нулю:

[µ, ] = [µ, ]d = 0.

Следовательно, распределение векторных полей {µ }, = 1,..., 2m, находится в инволюции и определяет интегральные подмногообразия в N. Таким образом, посто янные значения функций Казимира слоят фазовое пространство N на симплектиче ские сечения, одним из которых является поверхность связей M N.

Каноническая пуассонова структура на N не приспособлена для описания систем со связями, потому что ограничение скобки Пуассона двух функций на поверхность связей нельзя проводить до вычисления самой скобки:

[ ] [ ], =0 = =0, =0.

Например, мы сразу приходим к противоречию, если = µ и = для некоторых и. В то же время ограничение скобки Дирака на поверхность связей можно проводить до вычисления самой скобки:

[ ] [ ], d =0 = =0, =0 d. (19.93) Так как поверхность связей является подмногообразием M N, то ее можно рас сматривать, как вложение M N. Тогда равенство (19.93) означает, что вложение M N является пуассоновым отображением для скобки Дирака, но не для канони ческой пуассоновой структуры на N.

Поскольку скобки Дирака достаточно для описания эволюции всех переменных, то ее использование приносит существенные упрощения в описание динамики систем со связями II рода.

Скобка Дирака (19.91) определена с помощью канонической пуассоновой струк туры на фазовом пространстве N. В разделе 19.1.10 было показано, что канонические преобразования сохраняют вид канонической скобки Пуассона. Поэтому скобка Ди рака двух функций также инвариантна относительно канонических преобразований, т.е. она имеет одинаковый вид в любых координатах на N, связанных между собой каноническим преобразованием.

В физических приложениях важную роль играет специальная система координат на фазовом пространстве, которая строится с учетом вложения M N. Ее суще ствование обеспечивается следующим важным утверждением.

Теорема 19.2.2. Пусть задано фазовое пространство N и набор функционально независимых связей второго рода (19.81). Тогда существует такое каноническое преобразование { i, i } { a,, a, a }, = 1,..., n m, a = 1,..., m, a что набор связей = 0 эквивалентен связям = 0, = 0.

При этом координаты, являются канонически сопряженными координатами и импульсами на поверхности связей M N.

704 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Доказательство. Поскольку связи µ являются связями второго рода, то согласно теореме Дарбу существуют такие координаты a, a, что [a, b ] = b и уравнения a = 0 эквивалентны уравнениям = 0, = 0. После этого из теоремы Дарбу 17.5. следует существование системы координат a,, a, a. Поскольку скобка Пуассона a в новых координатах имеет канонический вид, то преобразование координат является каноническим.

Эта теорема локальна. Если найдены координаты,,, в явном виде, то ограничение функций на поверхность связей особенно просто: нужно просто поло жить = 0 и = 0. В частности, e |=0 = |Q=0, P =0.

Поскольку [, ] = 0, [, ] = 0 [, ] = 0, [, ] = 0, и то уравнения движения (19.92) в новой системе координат примут вид = [, ph ], = [, ph ] a = 0, a = 0, где ph (, ) = e |=0 = (,,, )|Q=0, P =0.

Мы видим, что динамика системы n частиц, на которую наложено 2m связей второ го рода свелась к обычной динамике системы из n m частиц, на которую уже не наложено никаких связей. По этой причине мы говорим, что система имеет n m физических степеней свободы,. Координаты, описывают нефизические сте пени свободы, поскольку определяют связи. Динамика физических степеней свободы задается эффективным (физическим) гамильтонианом ph, зависящим только от физических координат и импульсов. Координаты на поверхности связей определены неоднозначно. Например, на M всегда можно совершить каноническое преобразова ние. Однако размерность поверхности связей (удвоенное число физических степеней свободы) фиксирована и всегда равна 2(n m). Мы говорим, что система n частиц с 2m связями II рода описывает n m физических степеней свободы.

Замечание. На практике найти в явном виде координаты, для физических сте пеней свободы удается только в простейших случаях. Кроме того, в теории поля свя зи часто представляют собой дифференциальные уравнения по пространственным координатам. В этих случаях переход к координатам, задается нелокальны ми выражениями, как, например, в свободной электродинамике (см. раздел 22.3.3).

Поэтому, вычисления обычно проводят в исходных координатах i, i, используя тео рему 19.2.2 для доказательства общих утверждений.

Таким образом, если на фазовом пространстве N с канонической пуассоновой структурой задана система связей {µ } второго рода, то она определяет некоторое подмногообразие M N, на котором естественным образом определена каноническая пуассонова структура. Посмотрим на эту задачу с обратной точки зрения. Пусть за дано вложение M N, и мы знаем, что подмногообразие M является фазовым пространством некоторой механической системы с канонической пуассоновой струк турой. Возникает естественный вопрос может ли пространство-мишень также быть 19.2. ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА ЧАСТИЦ СО СВЯЗЯМИ фазовым пространством ? Ниже мы покажем, что ответ на этот вопрос положитель ный.

Пусть задано вложение dim M = 2(n m), : M N, dim N = 2n, m n, фазового пространства M с канонической пуассоновой структурой. Тогда в окрест ности каждой точки M существует такая система координат a, = 1,..., 2(n m), в которой пуассонова структура имеет канонический вид [ a, b ] = 1ab.

Эта пуассонова структура определяет пуассонову структуру на образе (M) с помо щью дифференциала отображения. В дальнейшем образ отображения вложения мы отождествим с самим многообразием, т.е. положим M = (M) N. Если, = 1,..., 2n, – система координат на N, то индуцированная пуассонова структура на M в координатах N задается антисимметричной матрицей = 1ab a b, (19.94) где функции () описывают вложение. Из свойств произведения матриц следует, что ранг этой пуассоновой структуры равен 2(n m), и поэтому она всегда вырож дена. Следовательно, для индуцированной на N пуассоновой структуры существует 2m независимых функций Казимира µ, = 1,... 2m. Выберем координаты в окрест ности M N следующим образом { } = { a, µ }.

Тогда подмногообразие M задается постоянными значениями функций Казимира µ = const. Отсюда следует, что уравнения µ = const эквивалентны исходной системе связей (19.81).

Проведенное построение показывает, что на фазовом пространстве N существует такая система координат, в которой индуцированная пуассонова структура имеет вид ( 1ab ) =.

0 Тем самым можно отождествить индуцированную пуассонову структуру с дираковой пуассоновой структурой, а функции Казимира µ со связями µ.

Ранее скобка Дирака была определена через каноническую пуассонову структуру на исходном многообразии N с помощью связей. В обратную сторону однозначного рецепта определения невырожденной пуассоновой структуры на N не существует, поскольку ранг индуцированной пуассоновой структуры 2(n m) меньше размер ности многообразия dim N = 2n. Здесь существует много возможностей. Например, можно положить = 1 в координатах { a, µ }. Тогда получим каноническую пуассонову структуру на N.

19.2.3 Гамильтонова динамика частиц со связями I рода Пусть действие для n точечных частиц в фазовом пространстве N имеет обычный вид (19.7). Будем искать решение канонических уравнений движения (19.24) при наличии m n связей на канонические переменные:

a (, ) = 0, a = 1,..., m n. (19.95) 706 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Другими словами, будем считать, что частицы не могут покинуть (2n m)-мерное подмногообразие фазового пространства U N (поверхность связей), определенного уравнениями (19.95). Из дальнейшего рассмотрения будет ясно, почему мы выбрали число связей первого рода в два раза меньшим числа связей второго рода и почему индекс у связей первого рода пишется внизу.

Предположим, что связи являются достаточно гладкими функциями и функци онально независимы на поверхности связей (19.95), т.е. ранг матрицы a /, где = ( 1,..., n, 1,..., n ) – координаты фазового пространства, максимален и равен m. Будем считать, что рассматриваемая гамильтонова система со связями находится в инволюции:

[a, b ] = ab c c 0, (19.96) [a, ] = a b b 0, (19.97) где ab c (, ) = ba c (, ) и a b (, ) – некоторые функции от точки фазового про странства (, ) N. Волнистый знак равенства обозначает, что данная функция обращается в нуль на поверхности связей:

0 |G=0 = 0.

При этом говорят, что скобки Пуассона связей между собой и с гамильтонианом слабо равны нулю.

Для выполнения равенств (19.96) необходимо, чтобы количество связей не превос ходило половины размерности фазового пространства m n, что мы потребовали с самого начала (19.95). Действительно, при преобразованиях координат фазового пространства каноническая пуассонова структура не может вырождаться. В силу функциональной независимости функций a их можно выбрать в качестве части новых координат. Если m n, то пуассонова структура была бы вырожденной, что невозможно для фазового пространства.

Определение. Связи (19.95), наложенные на канонические переменные механиче ской системы с гамильтонианом (, ), которые удовлетворяют условиям (19.96), (19.97), называются связями I рода.

Мы предполагаем, что все связи I рода учтены в системе уравнений (19.95), т.е.

для заданной гамильтоновой системы не существует большего числа функционально независимых соотношений между каноническими переменными, для которых выпол нены условия (19.96) и (19.97).

Скобки Пуассона (19.96) по виду напоминают коммутатор базисных векторных полей в алгебре Ли. Однако в рассматриваемом случае допускается нетривиаль ная зависимость структурных функций от точки фазового пространства: ab c = ab c (, ).

Напомним, что связи определены неоднозначно. А именно, невырожденные ли нейные комбинации связей определяют ту же поверхность связей. Это приведет к изменению структурных функций ab c и a b, что важно при решении уравнений движения.

Функции ab c и a b не могут быть произвольными. По-определению, скобки Пуас [ ] сона удовлетворяют тождеству Якоби. Рассмотрев скобки Пуассона [a, b ], c и [ ] [a, b ], и их циклические перестановки, получим ограничения на структурные функции:

ab d dc e + bc d da e + ca d db e + [ab e, c ] + [bc e, a ] + [ca e, b ] = 0, (19.98) ab d d c + b d da c a d db c + [ab c, ] + [b c, a ] [a c, b ] = 0.

19.2. ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА ЧАСТИЦ СО СВЯЗЯМИ [ ] Тождество Якоби для двойной скобки Пуассона [a, ], удовлетворяются авто матически в силу уравнения (19.97).

Если структурные функции постоянны, ab c = const, то множество всех линейных комбинаций a a, a R, образует алгебру Ли с базисом a. Тогда уравнение (19.96) задает коммутатор базисных векторов, а соотношение (19.98) сводится к тождеству Якоби для структурных констант.

Предложение 19.2.4. Для того, чтобы фазовые траектории для гамильтониана, проходящие через произвольную точку на поверхности связей, целиком лежали на этой поверхности необходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия (19.97).

Доказательство. Совпадает с доказательством предложения 19.2.2. Достаточно толь ко заметить, что a = [a, ] 0, (19.99) и воспользоваться предложением 19.2.1.

С точки зрения вариационного принципа решение канонических уравнений (19.24) при наличии связей (19.95) является задачей на условный экстремум. Применим к решению этой задачи метод неопределенных множителей Лагранжа. С этой целью построим полный (total) гамильтониан, добавив к исходному гамильтониану линей ную комбинацию связей первого рода, t = + a a, (19.100) где a = a (,, ) – неопределенные множители Лагранжа. Соответствующее дей ствие, которое мы назовем полным, имеет вид t ( a a ).

t = t Из него вытекают уравнения Эйлера–Лагранжа:

t a = i a = 0, i i i (19.101) t a = i i a i = 0, i t = a = 0, (19.102) a где в правых частях уравнений движения (19.101) мы отбросили слагаемые, пропор циональные связям. При варьировании действия мы считаем вариации координат на границе равными нулю, (1,2 ) = 0, а вариации импульсов и множителей Лагранжа могут быть произвольны.

Предложение 19.2.5. Для того, чтобы фазовые траектории для полного действия t, проходящие через произвольную точку на поверхности связей, целиком лежали на этой поверхности достаточно, чтобы были выполнены условия (19.96) и (19.97).

Доказательство. Повторяет доказательство предложения 19.2.2. Достаточно заме тить, что a = [a, ] + b [a, b ] 0.

708 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Уравнения движения для систем со связями первого рода (19.101) существенно отличаются от уравнений для систем со связями второго рода. Дело в том, что они не позволяют определить ни одного множителя Лагранжа. Это связано с тем, что уравнения (19.89), из которых находились множители Лагранжа для связей второ го рода в рассматриваемом случае (19.99) на поверхности связей вовсе не содержат множителей Лагранжа. Тем самым любое решение уравнений движения для систем со связями первого рода содержит произвольные функции a (,, ), число которых совпадает с числом связей. Причиной функционального произвола в решении урав нений движения является калибровочная инвариантность.

Теорема 19.2.3. Полное действие t инвариантно относительно локальных ин финитезимальных преобразований, генерируемых каждой связью первого рода:

a i = a [ i, a ] = a, i a (19.103) i = a [i, a ] = a i, = + b + bc a, a a ba bc где a = a (,, ) – малый параметр преобразований и = /. Параметр преоб разований может быть произвольной функцией координат, импульсов и времени с нулевыми граничными условиями a (1,2 ) = 0 для всех и.

Доказательство. Вариация действия имеет вид ( ) a a i a a t = i + [a, ] + [a, b ] a.

a ab a i i Подставляя сюда вариацию множителей Лагранжа и интегрируя слагаемое a a по частям с учетом уравнений (19.96) и (19.97), получаем t = 0. Условия на па раметры калибровочных преобразований a (1,2 ) = 0 достаточны для того, чтобы интегрирование слагаемого a a по частям было возможно.

Согласно второй теореме Нетер локальная инвариантность приводит к линейной зависимости уравнений движения:

( ) t a t a t t + b (a b + c ac b ) = 0, (19.104) a в чем нетрудно убедиться и прямой проверкой. В этом случае для любого решения системы уравнений (19.101) будет автоматически выполнено уравнение a = (a b + c ac b )b.

Для этой системы уравнений точка = 0 является неподвижной. Поэтому, если в начальный момент времени фазовая траектория находится на поверхности связей, то для любого решения системы уравнений (19.101) при любых множителях Лагранжа a (,, ) связи a = 0 будут автоматически удовлетворены. Это и является причи ной возникновения функционального произвола в решениях уравнений движения.

Замечание. Преобразования координат фазового пространства, (19.103) с малым постоянным параметром = const являются инфинитезимальной формой канониче ского преобразования, описанного в примере 19.1.19, i () i (, ), i () i (, ), 19.2. ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА ЧАСТИЦ СО СВЯЗЯМИ определяемого уравнениями i i = [ i, a ], = [i, a ].

a a Определение. Модели, функционал действия которых инвариантен относительно локальных преобразований, называют калибровочными, а сами преобразования – ка либровочными.

Замечание. Это название пришло из физики, где все калибровочные модели, в част ности, электродинамика и поля Янга–Миллса обладают этим свойством.

Тем самым мы доказали, что каждой связи первого рода соответствует локальная инвариантность полного действия, а сама связь является генератором калибровоч ных преобразований. По аналогии с генераторами групп Ли мы пишем индексы у связей первого рода внизу.

Проанализируем уравнения движения подробнее. Поскольку среди 2n + m урав нений Эйлера–Лагранжа (19.101) и (19.102) только 2n являются независимыми, то в отличии от задачи на условный экстремум, рассмотренной в разделе 18.1, этих урав нений недостаточно для определения всех неизвестных функций (), () и ().

Допустим, что систему уравнений (19.101) можно решить относительно канониче ских переменных, для которых поставлена задача Коши: (1 ) = 1, (1 ) = 1. Тогда решение этой задачи будет зависеть от m произвольных функций времени, которыми являются множители Лагранжа, и 2n постоянных интегрирования. Все постоянные интегрирования определяются начальными данными. В этом случае через одну точку фазового пространства проходит множество фазовых траекторий, которые парамет ризуется множителями Лагранжа.

С физической точки зрения это означает следующее. Пусть некоторое физическое явление описывается калибровочной моделью. Тогда начальное состояние системы не определяет однозначно последующую эволюцию, что противоречит эксперименталь ным данным, если не принимать во внимание квантовомеханическую неопределен ность. Тем не менее калибровочные модели в настоящее время широко используются в теоретической физике: классическим примером служит электродинамика.

Выход из этого противоречия прост. Для калибровочных моделей вводится по стулат: все физические наблюдаемые калибровочно инвариантны, т.е. не зависят от произвольных функций, которые могут содержаться в решении уравнений движения.

Отсюда следует, что физические наблюдаемые описываются функциями k (N) на фазовом пространстве N, которые являются калибровочно инвариантными. А имен но, мы требуем, чтобы скобка Пуассона каждой наблюдаемой функции со связями обращалась в нуль на поверхности связей:

[, a ] = a b b 0, (19.105) где a b (, ) – некоторые достаточно гладкие функции канонических переменных.

Тогда в уравнении движения для калибровочно инвариантной функции = [, ] + a [, a ] [, ], все слагаемые с множителями Лагранжа обратятся в нуль на поверхности связей и, следовательно, на поверхности связей никакого произвола в эволюции калибровочно инвариантной функции нет.

710 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Проведенное рассмотрение требует комментария, потому что каждой физиче ской наблюдаемой соответствует не одна, а целый класс калибровочно инвариант ных функций. Поскольку мы рассматриваем динамику частиц на поверхности связей (19.95), то физические наблюдаемые определяются значениями калибровочно инва риантных функций на поверхности связей. Пусть две калибровочно инвариантные функции 1 и 2 совпадают на поверхности связей U. Тогда они могут отличаться только на линейную комбинацию связей:

2 = 1 + a a, (19.106) где a (, ) – некоторые достаточно гладкие функции. Следовательно, все множе ство калибровочно инвариантных функций разбивается на классы эквивалентности (19.106). При этом каждый класс эквивалентности соответствует одной физической наблюдаемой.

Другими словами, калибровочно инвариантная функция задается на поверхно сти связей U N, а затем продолжается на все фазовое пространство в значитель ной степени произвольным образом. Степень произвола описывается произвольными функциями a (, ). При этом физические наблюдаемые не зависят от способа про должения.

Оценим произвол, с которым калибровочно инвариантная функция может быть задана на поверхности связей U N. Условие калибровочной инвариантности (19.105) представляет собой систему m дифференциальных уравнений в частных производ ных первого порядка, которую можно переписать в виде Ga = 0, где Ga – векторное поле, соответствующее связи a (17.27). Для этой системы урав нений условиями совместности являются уравнения (19.96). Действительно, [Ga, Gb ] = [Ga,Gb ] = ab c Gc = 0, где мы воспользовались равенством (17.28). Поэтому функция однозначно опреде ляется начальными данными на некотором собственном подмногообразии M U N размерности 2n m m = 2(n m) и существенно зависит только от части координат на U. Подмногообразие M можно задать с помощью m дополнительных функцио нально независимых соотношений между координатами и импульсами:

a (, ) = 0, (19.107) которые называются калибровочными условиями. Эти условия должны удовлетво рять неравенству = 0, det [ a, b ] (19.108) F =0, G= т.к. только в этом случае на M можно задать начальные данные для системы урав нений (19.105). Условия (19.107) при выполнении (19.108) называются канонической калибровкой. Для точечных частиц отличие от нуля определителя (19.108) явля ется необходимым и достаточным условием однозначного определения множителей Лагранжа в полном гамильтониане (19.100). В общем случае функции a, опреде ляющие калибровочные условия, могут зависеть также от времени и множителей Лагранжа a.

19.2. ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА ЧАСТИЦ СО СВЯЗЯМИ После фиксирования канонической калибровки на рассматриваемую гамильтоно ву систему будет наложено 2m связей (19.95) и (19.107). Введем для полной совокуп ности связей и калибровочных условий следующее обозначение {µ } = ( 1,..., m, 1,..., m ), = 1,..., 2m. (19.109) Очевидно, что ( ) [ a, b ] [ a, b ] µ = det2 [ a, b ]=0, det [, ]=0 = det (19.110) [a, b ] [a, b ] = т.к. [a, b ] 0. Поскольку определитель скобок Пуассона для канонических калиб ровочных условий со связями первого рода, по-построению, отличен от нуля (19.108), то полная совокупность связей µ представляет собой систему связей второго рода, рассмотренную в предыдущем разделе. Таким образом, калибровочные модели в ка нонической калибровке сведены к гамильтоновым системам со связями второго рода, для которых метод множителей Лагранжа применим в полном объеме. Заметим, что значение скобок Пуассона для канонических калибровочных условий между собой [ a, b ] несущественно.

После наложения калибровочных условий возникает обобщенное действие e = (i a a ) = (i i µ µ ), i a a которое совпадает с выражением (19.87) для систем со связями II рода.

Каноническая калибровка выделяет в фазовом пространстве N единственную тра екторию, проходящую через данную точку физического подпространства M. Это происходит благодаря тому, что каноническая калибровка однозначно определяет множители Лагранжа на поверхности связей = 0. Верно также обратное утвержде ние: произвольный выбор множителей Лагранжа эквивалентен некоторой канониче ской калибровке. Действительно, при фиксированных множителях Лагранжа гра ничная задача для уравнений (19.101) имеет единственное решение () = {(), ()}.


Перепишем для данного решения уравнения (19.101), но теперь уже с неопределен ными множителями Лагранжа. В результате получим переопределенную, но сов местную систему 2n линейных алгебраических уравнений на m множителей Лагран жа. Тогда соответствующие соотношения a = a () можно принять в качестве ка нонических калибровочных условий. Это следует из того, что, поскольку условия a = a a () позволяют однозначно определить множители Лагранжа, то условие (19.108) выполнено. Напомним, что это условие является необходимым и достаточ ным для однозначного определения множителей Лагранжа a на поверхности связей, как следует из анализа, проведенного в предыдущем разделе, и (19.110).

Замечание. В приложениях часто рассматриваются неканонические калибровки.

Например, лоренцева или времення калибровки в электродинамике не являются а каноническими. Они не фиксируют калибровочную свободу полностью, и это созда ет определенные трудности, например, при квантовании. В электродинамике нека нонические калибровочные условия можно использовать, т.к. уравнения движения линейны и их можно проанализировать. В общем случае существенно нелинейных моделей формализм для неканонических калибровок не развит и мы на них останав ливаться не будем.

712 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Таким образом, динамика частиц со связями I рода в канонических калибровках сводится к гамильтоновым моделям со связями II рода. Это сведение не является од нозначным, т.к. от калибровочных условий требуется выполнение только неравенств (19.108). Выбор той или иной системы калибровочных условий диктуется рассматри ваемой задачей и соображениями простоты. Как правило, исследование калибровоч ных моделей проводится в различных калибровках, каждая из которых имеет свои преимущества и недостатки.

19.2.4 Калибровочная модель нерелятивистской частицы В настоящем разделе мы рассмотрим динамику точечной частицы с точки зрения калибровочных моделей и покажем трудности в определении энергии, которые при этом возникают.

Рассмотрим движение точечной частицы в фазовом пространстве T (Rn ) с коор динатами = { a } и = { }, где = 1,..., n. Пусть динамика частицы задана a гамильтонианом (, ), не зависящим явно от времени. Действие такой частицы имеет обычный вид t ( a ), = a (19.111) t где точка обозначает дифференцирование по времени. Будем считать, что все коор динаты имеют фиксированные значения на границе = 1,2. Для каждой траектории частицы (), (), которая определяется каноническими уравнениями движения = =,, выполнено равенство = 0. Это значит, что на каждой траектории гамильтониан имеет постоянное численное значение, которое называется энергией точечной части цы.

Переформулируем модель точечной частицы, как калибровочную. С этой целью расширим фазовое пространство T (Rn ) T (Rn+1 ) путем введения дополнительной пары сопряженных канонических переменных,, и рассмотрим новое действие ( + ), = +, t = (19.112) где – множитель Лагранжа, а точка обозначает дифференцирование по некоторому параметру, играющему роль времени. Уравнения движения для этой модели имеют вид = 0, (19.113) =, (19.114) =, (19.115) =, (19.116) = 0. (19.117) Последнее уравнение представляет собой уравнение связи. Эта связь, очевидно, яв ляется связью первого рода, которая определяет гамильтониан системы.

19.2. ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА ЧАСТИЦ СО СВЯЗЯМИ Согласно общей теории действие (19.112) инвариантно относительно инфините зимальных калибровочных преобразований с параметром ( ), генерируемых связью, = [, ] = 0, = [, ] =, = [, ] = (19.118), = [, ] =.

При этом множитель Лагранжа преобразуется по правилу =.

(19.119) Для того, чтобы вариации на границе были равны нулю, необходимо предполо жить, что (1,2 ) = 0. Вариация множителя Лагранжа на границе несущественна, т.к. он входит в действие без производных. Отметим, что эволюцию во времени ка нонических переменных можно рассматривать, как калибровочное преобразование с параметром =.

Приведенные выше калибровочные преобразования представляют собой беско нечно малые преобразования, соответствующие инвариантности действия (19.112) относительно перепараметризации времени. При произвольном преобразовании вре меннго параметра = ( ) мы постулируем, что координаты фазового простран о ства преобразуются, как скаляры:

( ) = ( ), ( ) = ( ) (такие же формулы преобразования постулируются для и ). При этом множитель Лагранжа преобразуется, как 1-форма:

( ) = ( ).

Нетрудно проверить, что действие (19.112) инвариантно относительно произвольной перепараметризации времени. Это и есть калибровочная инвариантность. При бес конечно малом преобразовании = + ( ) для вариаций формы функций имеем следующие формулы:

= = 0, = =, = =, (19.120) = =, = = (), где в первых четырех уравнениях были использованы уравнения движения. Полу ченные преобразования совпадают с инфинитезимальными калибровочными преоб разованиями (19.118), (19.119) при =.

714 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Таким образом, мы показали, что действие (19.112) инвариантно относительно произвольной перепараметризации времени. В модели имеется одна связь перво го рода, и для фиксирования соответствующего произвола в решениях уравнений движения необходимо наложить одно калибровочное условие. Поскольку множитель Лагранжа является произвольной функцией времени, то из уравнения движения (19.114) следует, что импульс также произволен. Чтобы устранить этот произвол, зафиксируем калибровку 1 = const = 0.

Тогда из уравнений движения определяется множитель Лагранжа = 0. При этом для действия получаем следующее выражение t |F1 =0, G=0 =.

Это значит, что в выбранной калибровке мы получили “замороженную” теорию, в которой не происходит никакой эволюции. При этом вся эволюция заменяется ка либровочным преобразованием.

Можно рассмотреть класс калибровок, явно зависящих от времени. Пусть калиб ровочное условие имеет вид 2 = = 0.

В этом случае из уравнений движения следует = 1, и эффективный гамильтониан для физических степеней свободы становится нетривиальным. Поскольку ( ), = и |F2 =0,G=0 = (, ), то эффективное действие для физических степеней свободы равно t |F2 =0,G=0 = ( ), что совпадает с исходным действием (19.111) для точечной частицы. Мы видим, что в калибровке 2 = 0 нетривиальный эффективный гамильтониан возникает из кинетического слагаемого для нефизической степени свободы.

Можно рассмотреть более общий класс калибровок 3 = ( ) = 0, где ( ) – произвольная функция времени с положительной производной, 0. Для этой калибровки =, и полное действие принимает вид t |F3 =0,G=0 = ( ).

После перепараметризации траектории :=, мы возвращаемся к исходному действию для точечной частицы (19.111).

Таким образом, действие (19.112) калибровочно инвариантно и после наложения калибровочного условия (из достаточно широкого класса калибровок) эквивалентно обычному действию для точечной частицы. В рассмотренном примере нефизическую 19.2. ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА ЧАСТИЦ СО СВЯЗЯМИ степень свободы удалось в явном виде исключить из теории после решения связи и калибровочного условия. В подавляющем большинстве моделей математической фи зики это сделать не удается. Даже в электродинамике связи и калибровочные усло вия нельзя решить в явном виде. Ситуация в моделях Янга–Миллса и гравитации еще более сложная. Поэтому для проведения вычислений в калибровочных моде лях используют методы, учитывающие как физические, так и нефизические степени свободы.

А теперь обратимся к вопросу об определении энергии в калибровочно инвари антных теориях. Во многих моделях математической физики исходное действие в гамильтоновой форме имеет вид (19.112). В таком виде гамильтониан системы при выполнении уравнений движения тождественно равен нулю, и принимать его за энер гию системы не имеет никакого смысла. В рассмотренной модели за энергию частицы естественно принять численное значение гамильтониана для физических степе ней свободы. Для того, чтобы его построить, исходя из действия (19.112), необходи мо сначала зафиксировать калибровку, зависящую явно от времени, а затем решить уравнения движения для нефизических степеней свободы и связь. При этом, выби рая различные функции времени в калибровочном условии 3 = 0, можно получить, что множитель Лагранжа и, следовательно, эффективный гамильтониан будут яв но зависеть от времени. Для простоты картины, следует выбрать такую функцию времени, чтобы эта зависимость исчезла. Если это возможно, то построенный таким образом гамильтониан следует принять за определение энергии, а соответствующий ему временнй параметр назвать временем =.

о 19.2.5 Граничные слагаемые в калибровочных моделях В настоящем разделе мы рассмотрим простой пример вариационной задачи, который проанализируем с различных точек зрения. Этот пример позволяет продемонстри ровать тонкости вариационной задачи в теории поля, важную роль граничных сла гаемых в действии и связь вариационной задачи на условную стационарную точку с фиксированием калибровки в калибровочных моделях.

Лагранжева формулировка Обозначим декартовы координаты на евклидовой плоскости R2 через 0 =, 1 =.

Будем называть координату временем, а – пространством, хотя мы не предпола гаем наличие на R2 какой либо метрики. Пусть в конечном прямоугольнике задано действие 2 ( + ), = (19.121) 1 зависящее от четырех полей,,, 1 (R2 ). В действии точка обозначает диф ференцирование по. В дальнейшем пределы интегрирования, для краткости, будем опускать. Рассмотрим задачу на условный экстремум для действия (19.121). Пусть на поля наложены две связи:

:= 1 + (, ) = 0, (19.122) := = 0. (19.123) Будем считать, что функция (, ) 0 зависит только от полей и не зависит от их производных. Предположим также, что поля и имеют определенные граничные 716 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ условия при = 1,2. Этого достаточно для того, чтобы избежать граничных вкладов в вариацию действия (19.121), возникающих при интегрировании по частям. Тогда для действия (19.121) определена задача на условный экстремум (см. раздел 18.1.4).


Решим эту задачу прямым методом и методом множителей Лагранжа. В первом случае исключим из действия переменные и с помощью уравнений связей. По скольку на поверхности связей = 0, то, независимо от вида функции (, ), первое слагаемое в (19.121) обращается в нуль, и мы получаем эффективное действие =, (19.124) G=0,F = в котором переменные и уже рассматриваются, как независимые переменные.

Поскольку вариация равна нулю на границе = 1,2, то из вариационного прин ципа следуют только уравнения Эйлера–Лагранжа, которые просто интегрируются:

= = 0, = (), (19.125) = = 0, = ().

(19.126) Мы видим, что решением уравнений Эйлера–Лагранжа являются произвольные функ ции от. Вид произвольной функции находится из граничных условий, которые должны быть заданы одинаковыми при = 1,2. Затем можно определить из урав нения связи (19.122). Таким образом, задача на условный экстремум имеет решение, хотя и не для очень широкого класса граничных условий.

Поскольку с помощью уравнений связей мы исключили переменные и, то будем называть их нефизическими, а переменные и – физическими.

Теперь воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа. Постро им расширенное действие e = ( + ), (19.127) где, 1 (R2 ) – множители Лагранжа. Для этого действия нефизическими полями являются,, и. Полная система уравнений Эйлера–Лагранжа имеет вид e = 0, = (19.128) e = 1 = 0, (19.129) e = = 0, (19.130) e = = 0, (19.131) e = = 0, (19.132) e = = 0. (19.133) При вариации слагаемого 1 по возникает также граничное условие на множи тель Лагранжа |1,2 = 0, (19.134) 19.2. ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА ЧАСТИЦ СО СВЯЗЯМИ поскольку значения переменной фиксированы только на пространственноподобной границе = 1,2 и, следовательно, вариации на времениподобной границе = 1, произвольны.

Перейдем к анализу уравнений Эйлера–Лагранжа. Решение последней связи (19.133) тривиально. Решение связи (19.132) имеет вид = + 0 ( ), (19.135) где 0 – произвольная функция. Отсюда следует, что задание граничных условий |2, будет противоречить уравнению связи (19.132), т.к. значение поля при = определяется значениями физических полей и во внутренних точках области.

Дифференцируя решение (19.135) по и используя уравнения (19.130) и (19.131), по лучим = 0. Затем решаем уравнения (19.128) и (19.129) относительно множителей Лагранжа:

= 0, = 0 ( ), (19.136) где 0 ( ) – произвольная функция. Таким образом, мы решили уравнения движения для нефизических переменных, и множителей Лагранжа,, и это решение зави сит от двух произвольных функций 0 ( ) и 0 ( ). Для физических переменных и остаются уравнения (19.130), (19.131), которые имеют вид обычной гамильтоновой системы. Эта система уравнений действительно воспроизводит уравнения Эйлера– Лагранжа на условный экстремум (19.125), (19.126) при 0 = 0. Заметим, что только это значение согласуется с граничным условием (19.134).

Таким образом, мы решили вариационную задачу для действия (19.121) с задан ными граничными условиями для полей и на границе = 1,2 прямым способом и методом множителей Лагранжа. Как и следовало ожидать, результат одинаков, а класс решений очень беден.

Однако для расширенного действия (19.127) можно поставить более содержатель ную вариационную задачу. Предположим, что нефизическая переменная задана на всей границе |1,2 и |1,2, а физическое поле – только на пространственноподобной границе |1,2. В этом случае вариации равны нулю на границе и граничного условия на множитель Лагранжа (19.134) не возникнет. Тогда, при 0 = 0, вместо можно ввести новую переменную, определяемую дифференциальным уравнением = 0 ( ).

Это уравнение определяет координату с точностью до сдвига на постоянную вели чину, что несущественно. Тогда уравнения для физических полей (19.130), (19.131) примут вид =, (19.137) =.

Таким образом, мы получили систему гамильтоновых уравнений движения для фи зических полей, динамика которых определяется гамильтонианом (, ). Это по казывает, что модель, основанная на действии e с множителями Лагранжа допус кает постановку более широкого класса вариационных задач, чем исходная задача на условную стационарную точку, и является более содержательной.

718 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Здесь выявляется специфика полевых моделей, поскольку важно, что поля зави сят не только от времени, но и от пространственной координаты. Действитель но, если бы связь имела вид + = 0, то уравнение (19.129) приняло бы вид + 0 = 0. Откуда следовало бы единственное решение 0 = 0 при = 0. (Мы употребили термины время и пространство, исходя из аналогии с теорией относи тельности, не смотря на то, что на плоскости R2 никакой метрики не задано.) Заметим, что подстановка решения связей в расширенное действие e снова при водит к тривиальному действию (19.124), которое не воспроизводит уравнения Эйлера– Лагранжа (19.137). Это показывает, что подстановки решения части уравнений Эйлера– Лагранжа в действие и в оставшиеся уравнения в общем случае не эквивалентны.

Это связано с тем, что в общем случае мы не можем накладывать граничные усло вия на нефизические поля произвольным образом и рассматривать исчезающие на границе вариации. Действительно, вариация определяется физическими полями и их вариациями во внутренних точках области:

( ) = +, (19.138) и в общем случае не равна нулю на границе = 2. То есть задание граничного условия |2 противоречит уравнению связи (19.132).

Изменим постановку вариационной задачи таким образом, чтобы уравнения Эйлера– Лагранжа остались прежними, а исключение нефизических полей в действии приво дило бы к новому действию, воспроизводящему уравнения (19.130), (19.131). Введем новое действие ph := e ()=1, (19.139) которое отличается от расширенного действия с множителями Лагранжа граничным слагаемым. Как и раньше, мы считаем, что на границе 1,2 заданы значения перемен ных и. Добавление граничного члена не меняет уравнений Эйлера–Лагранжа, но меняет граничные условия. Этот граничный член подобран таким образом, чтобы компенсировать граничный вклад в вариацию действия, обусловленный вариацией. Его необходимо добавить, если мы не хотим получить граничное условие |2 = при произвольной вариации на границе. Теперь нетрудно проверить, что на реше ниях уравнений (19.129) и (19.132) действие принимает вид 2 2 2 2 ( 0 ), ph = (, 2 )(2 ) = G=0,F =0 1 1 1 1 (19.140) где мы положили 0 ( ) := (, 2 ). Это действие воспроизводит гамильтоновы урав нения движения для физических полей. При этом мы отбросили слагаемое с 0 ( ), которое не влияет на уравнения Эйлера–Лагранжа, т.к. в этом действии функция 0 ( ) рассматривается как заданная и не варьируется. Таким образом, добавление граничного слагаемого не меняет уравнений Эйлера–Лагранжа, позволяет избежать граничных условий на множители Лагранжа и, что самое важное, разрешает подста новку решений уравнений Эйлера–Лагранжа непосредственно в действие. При этом возникает нетривиальный гамильтониан для физических полей.

В предыдущем построении была выделена роль точки 2 в определении функции 0 ( ). Это не существенно и связано с выбором начальной точки в решении уравне ния связи (19.135). Замена 1 2 в нижнем пределе этого интеграла приведет к переопределению 0 ( ) = (, 1 ).

19.2. ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА ЧАСТИЦ СО СВЯЗЯМИ В принципе, можно было бы ограничиться случаем = 0 и не добавлять гра ничный член. Однако исходное действие в калибровочных моделях и в моделях, инвариантных относительно общих преобразований координат, в канонической фор мулировке имеют вид расширенного действия e, содержащего множители Лагран жа. При этом многие решения, важные с физической точки зрения, соответствуют = 0. Например, решение Шварцшильда соответствует нетривиальному множителю Лагранжа, роль которого играет функция хода.

Гамильтонова формулировка Обозначения в предыдущем разделе были выбраны не случайно. По сути дела мо дель (19.127) уже записана в гамильтоновой форме, при этом переменные и являются импульсами, сопряженными координатам и. Нашей исходной точкой будет полное действие t = ( + ), (19.141) которое получится из действия (19.127), если положить = 0. Координаты и будем считать временнй и пространственной соответственно. В рассматриваемом о случае гамильтониан системы задан единственной связью := 1 + (, ).

=, (19.142) Будем считать, что интегрирование в (19.141) проводится по всей плоскости,. При этом все возникающие интегралы предполагаются сходящимися.

Таким образом, модель описывается двумя парами канонически сопряженных пе ременных, и,, на которые наложена одна связь = 0. Уравнения движения имеют прежний вид (19.128)–(19.132) (при = 0), где точка обозначает дифферен цирование по времени. Нетрудно проверить, что связь является связью первого рода:

[, ] = 0, где штрих обозначает, что соответствующие полевые переменные рассматриваются в точке. Поэтому на поверхности связей = [, ] 0, и никаких дополнительных связей в модели не возникает. Наличие связи первого рода означает, что действие (19.141) калибровочно инвариантно. Генератором калиб ровочных преобразований для канонических переменных является функционал =, где (, ) – малый параметр локальных преобразований. Бесконечно малые преоб разования имеют вид = [, ] = 0, = [, ] = 1, (19.143) = [, ] =, = [, ] =.

720 ГЛАВА 19. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Если дополнить эти преобразования преобразованием множителя Лагранжа =, то, как нетрудно убедиться с помощью прямой подстановки, действие (19.141) явля ется калибровочно инвариантным (см. раздел 19.2.3). Отметим, что эволюция во вре мени канонических переменных (19.128)–(19.131) является в рассматриваемом случае калибровочным преобразованием с параметром =.

Согласно второй теореме Нетер калибровочная инвариантность приводит к зави симости уравнений движения:

t t ( ) t t 1 + = 0.

С математической точки зрения наличие калибровочной инвариантности отра жается в том, что решение уравнений движения зависит от произвольной функции, которая ничем не фиксирована. Основным предположением в моделях с калибро вочной симметрией является утверждение о том, что все физические наблюдаемые калибровочно инвариантны. В данном случае это означает, что наблюдаемые функ ции от канонических переменных не зависят от. Чтобы исключить произвол в решениях уравнений движения и исключить нефизические переменные необходимо наложить калибровочное условие. Согласно канонической процедуре фиксирования калибровки мы должны наложить одно калибровочное условие по числу связей пер вого рода. Выберем его в виде = 0 () = 0, (19.144) где 0 () – произвольная функция только от. Скобка Пуассона связи с калибро вочным условием имеет вид [, ] = ( ), где обозначает производную от -функции. Поскольку скобка Пуассона связи с калибровочным условием не обращается в нуль при выполнении связи, то вместе они не представляют собой систему связей первого рода. В то же время пара функ ций, не представляет собой также и систему связей второго рода, поскольку det [, ] = 0, т.к. у нетривиально ядро, состоящее из констант.

Канонически сопряженные переменные, являются нефизическими переменны ми, и могут быть исключены из рассмотрения. С этой целью решим их уравнения движения и связь, как это было сделано в предыдущем разделе. В результате полу чим, что модель описывает одну физическую пару канонически сопряженных полей, с эффективным гамильтонианом 0 (, ). При этом подстановка связи и ка либровочного условия в действие (19.141) приводит к неверному результату, который не воспроизводит уравнения движения для физических полей и. Причина этого и решение проблемы то же, что и в предыдущем разделе – к действию необходимо добавить граничный член (19.139). Заметим, что при выполнении уравнения связи граничный член в исходном действии превращается в интеграл по пространству от некоторой гамильтоновой плотности для физических переменных.

Исключение нефизических полей из уравнений движения не зависело от гло бальной структуры пространства-времени, т.к. при этом решаются только уравне ния движения, связи и калибровочные условия, которые локальны. Нетривиальный эффективный гамильтониан из “нулевого” исходного гамильтониана (19.142) для за мкнутых многообразий можно получить следующим образом. Предположим, что 19.2. ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА ЧАСТИЦ СО СВЯЗЯМИ пространство-время является прямым произведением R S1, где первый сомножи тель соответствует времени, а второй – пространству. Поскольку окружность S1 – компактное многообразие без края, то, казалось бы, никаких граничных вкладов не возникает, и можно свободно интегрировать по частям. Однако при внимательном рассмотрении оказывается, что при таком подходе можно потерять много решений уравнений движения, представляющих физический интерес. Опишем это подробнее.

Пусть пространственная координата [0, 2] параметризует окружность S1.

Поскольку физические поля и ничем не ограничены, то их можно считать достаточно гладкими функциями на окружности. В то же время нефизические поля должны удовлетворять уравнению связи (19.122), которое в общем случае не имеет непрерывных решений (19.135) на окружности:

= 0.

(0) = 0, (2) = Кроме того, вариация нефизического поля (19.138) в общем случае не может быть определена как непрерывная функция на окружности. Это значит, что при постанов ке вариационной задачи необходимо сделать разрез и добавить к действию (19.141) граничный член, который и приведет к нетривиальному эффективному действию для физических переменных. Поэтому, если пространство представляет собой окруж ность, то в физическом действии и эффективном гамильтониане достаточно просто изменить пределы интегрирования по.

Покажем, что нетривиальный эффективный гамильтониан возникает также в бо лее общих калибровках, зависящих от времени явно. Пусть калибровочное условие имеет вид = 0 (, ) = 0, где функция 0 (, ) задана. В этом случае действие на поверхности связей получит дополнительный вклад за счет слагаемого. Нетрудно проверить, что дополнитель ный вклад не меняет окончательного ответа. Действительно, = = (), F =0,G= поскольку интегрирование по частям по времени допустимо. Используя уравнение (19.129), определяющее, и интегрируя по частям, получим равенство = (1 ) + ().

F =0,G=0 = Теперь первое слагаемое воспроизводит эффективный гамильтониан, где = (, ), а второе слагаемое сокращается с граничным членом, добавленным в физи ческое действие (19.139).

Таким образом, при подстановке связей и калибровочных условий в действие, необходимо проявлять осторожность. Рассмотренный пример показывает, что эф фективный гамильтониан и действие для физических полей может полностью опре деляться граничным членом в исходном действии. Причина этого кроется в том, что связи могут не иметь решений, убывающих в бесконечности, и предположение о финитности вариации неправомерно. К сожалению, для определения явного ви да граничных членов необходим глубокий анализ уравнений связей, что не всегда возможно, из-за их сложности.

Глава Основы общей теории относительности В настоящей главе мы приступим к изложению основ общей теории относительности, которая в настоящее время рассматривается в качестве основной модели гравита ционных взаимодействий. После вступительного раздела, будут написаны основные уравнения и поставлена задача, которая решается в теории гравитации.

20.1 Пространство-время, метрика и гравитация В основе общей теории относительности лежит ряд постулатов. Выделим среди них четыре, на наш взгляд, основных.

1. Пространство-время M, в котором мы живем, является четырехмерным много образием.

2. Гравитационное взаимодействие между материальными телами описывается метрикой лоренцевой сигнатуры, sign = (+ ), заданной на M.

3. Метрика пространства-времени удовлетворяет уравнениям Эйнштейна.

4. Пробная точечная частица, собственным гравитационным полем которой в дан ной задаче можно пренебречь, под действием только гравитационного поля дви жется по экстремалям (геодезическим) пространства-времени (M, ).

Первые два постулата являются “кинематическими”. Из них следует, что в об щей теории относительности все законы природы формулируются на четырехмерном псевдоримановом многообразии (пространстве-времени) (M, ). Если выбрана неко торая система координат, = 0, 1, 2, 3, то метрика имеет вид =, sign = diag (+ ). В общем случае система координат может быть выбрана только локально.

В общей теории относительности не предполагается, что пространство-время снаб жено какой либо линейной структурой, как это было в механике Ньютона и специ альной теории относительности.

В общем случае глобальная структура (топология) пространства-времени M мо жет быть нетривиальной и отличаться от пространства Минковского. Поскольку глобально структура M не фиксирована, то в моделях гравитации вводится новое требование. Пространство-время, по-определению, должно быть максимально про должено вдоль геодезических (экстремалей). Это значит, что любая геодезическая 20.1. ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ, МЕТРИКА И ГРАВИТАЦИЯ в пространстве-времени может быть продолжена либо до бесконечного значения ка нонического параметра в обе стороны, либо при конечном значении канонического параметра она попадет в сингулярную точку, где какой либо из геометрических ин вариантов обращается в бесконечность. Поскольку канонический параметр вдоль экстремалей определен с точностью до линейных преобразований (см., главу 16), то данное требование инвариантно, т.е. не зависит от выбора системы координат.

Замечание. Требование максимального продолжения пространства-времени вдоль геодезических нельзя заменить на более жесткое требование геодезической полноты, т.к. многие важные точные решения уравнений Эйнштейна не являются геодезиче ски полными. Например, для решений, описывающих черные дыры, времениподоб ные геодезические линии достигают сингулярного края, в которой квадрат тензора кривизны обращается в бесконечность, при конечном значении собственного време ни.

Первые две аксиомы важны, поскольку позволяют описывать окружающий нас мир с помощью некоторого набора полей и формулировать законы природы в виде системы дифференциальных уравнений на M. Этот подход оказался самым плодо творным в последние три столетия.

Третья и четвертая аксиома являются “динамическими”. В общей теории отно сительности постулируется, что метрика на M должна удовлетворять уравнениям Эйнштейна (20.1). Тем самым компоненты метрики пространства-времени удовле творяют некоторой системе уравнений движения так же, как и все другие поля. Это – очень важное отличие общей теории относительности от специальной, где метрика Лоренца := diag (+ ) в пространстве Минковского R1,3 была постулирована.

В правой части уравнений Эйнштейна стоит тензор энергии-импульса полей ма терии. Выбор полей материи зависит от рассматриваемой модели. Это может быть, например, сплошная среда, точечные массивные частицы, электромагнитное поле или что то еще. Возможны также произвольные комбинации полей материи.

Сама по себе система уравнений Эйнштейна неполна. Если мы выбрали какой либо набор полей материи, то уравнения Эйнштейна необходимо дополнить урав нениями движения полей материи. Вид дополнительных уравнений зависит от рас сматриваемой задачи.



Pages:     | 1 |   ...   | 19 | 20 || 22 | 23 |   ...   | 31 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.