авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 | 27 |   ...   | 31 |

«Геометрические методы в математической физике 17 октября 2013 г. Катанаев Михаил Орионович1 ...»

-- [ Страница 25 ] --

( ) [µ, ] = µ ( ), µ (21.84) 1 ( µ [ µ, ] = µ ( ), ) (21.85) [, ] = ( ), (21.86) 21.7. ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМА где 1 ( ) µ := µ + µ.

Скобка Пуассона (21.84) не имеет канонического вида для фазовых переменных.

Появление дополнительного слагаемого в (21.84) связано с тем, что на поля µ и µ наложены дополнительные условия (21.74). По этой же причине отлична от нуля скобка Пуассона (21.85).

Нетрудно проверить, что пуассонова структура, определяемая скобками Пуассона (21.84)–(21.86) является вырожденной. Это значит, что все многообразие N, задавае мое координатами (µ, µ ) и (, ) является не симплектическим, а только пуассо новым многообразием (см. раздел 17.3). На пуассоновом многообразии N существуют две функции Казимира:

1 := det µ, 2 := µ µ.

Действительно, из определения пуассоновой структуры (21.84)–(21.86) следует, что следующие скобки Пуассона равны нулю:

[1,2, µ ] = [1,2, µ ] = [1,2, ] = [1,2, ] = 0.

Отсюда вытекает, что скобка Пуассона [1,2, ] = 0, где 1 (N) – произвольная дифференцируемая функция на N. Пуассонова структура, ограниченная на сечения V N, которые определяются уравнениями 1 = const и 2 = const, невырожде на. Следовательно, эти сечения являются симплектическими. Новым фазовым про странством общей теории относительности в рассматриваемом случае является под многообразие V N, определяемое двумя фиксированными значениями функций Казимира (21.74). Строго говоря, каноническое преобразование (21.73) является ка ноническим, т.е. сохраняющим вид скобок Пуассона, только между исходным фазо вым пространством и подмногообразием V. Полиномиальность связей достигнута за счет расширения исходного фазового пространства до пуассонова многообразия N.

Если решить дополнительные связи (21.74) явно, то полиномиальность будет нару шена. В этом нет ничего необычного. Например, электродинамика содержит связи, явное решение которых приводит даже к нелокальному действию для физических степеней свободы (см., например, [148]).

Рассмотрим алгебру связей. Поскольку вместо динамической связи мы ввели новую связь, то алгебра связей изменится. Несложные вычисления приводят к равенствам [, ] = (2 µ + 2 µ )µ ( ), (21.87) [, µ ] = ( + )µ ( ), (21.88) [µ, ] = µ ( ) µ ( ), (21.89) где µ := µ, и µ ( ) := ( ).

µ По сравнению с исходной алгеброй (21.68)–(21.69), изменения касаются скобок Пуас сона (21.87) и (21.88). Скобка Пуассона (21.87) является результатом прямого счета.

Вторая скобка Пуассона (21.88) носит кинематический характер и определяется тем, что новая связь является не функцией, а скалярной плотностью.

830ГЛАВА 21. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Получим явные выражения для геометрических объектов в новых переменных.

Сначала вычислим символы Кристоффеля:

^ µ = (µ + µ µ ) + (k), µ ( 2) (k) где “символы Кристоффеля” µ выражаются через тензорную плотность µ по тем же формулам, что и символы Кристоффеля через метрику. Конечно, “символы (k) Кристоффеля” µ никакой связности не определяют. Отсюда следует выражение для следа символов Кристоффеля, который определяет дополнительные слагаемые в ковариантных производных тензорных плотностей, 1 µ ^ µ =, так как (k) := (k) = µ = µ µ в силу условия | det µ | = 1. Нетрудно проверить ковариантное постоянство новых переменных:

^ ^ µ = 0, µ = 0.

Прямые вычисления приводят к следующему тензору Риччи 3 µ ( 1)( 3) µ 3 (k) ^ (k) µ = µ + 2 µ ( 2)2 2 ( ) 1 µ 2 + µ, (21.90) ( 2)2 (k) где введен “тензор Риччи” µ, построенный по “метрике” µ. Отсюда следует вы ражение для тензорной плотности скалярной кривизны, которая возникает после свертки тензора Риччи с µ :

µ := µ µ = n2 = (k) + 2 µ ( ) 1 ().

^ ^ 2 После переопределения динамической связи (21.81) гамильтониан также равен линейной комбинации связей:

( + µ µ ), = n только с новым множителем Лагранжа := n2. Соответствующее действие содержит дополнительные слагаемые:

µ µ + µ µ (| det µ | 1) µ µ, ( ) he = 21.8. ПРОБЛЕМА ЭНЕРГИИ В ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ где мы учли связи (21.74) с помощью множителей Лагранжа и. Уравнения дви жения для новых канонических переменных примут вид:

2 2 2 ^ µ µ, = + (21.91) 2( 1) 2 2 1^ ^^ ^ + 2 + 2 µ µ + µ µ + µ µ, (21.92) = 2( 1) 2^ ^ ^ µ = 2 µ + µ + µ µ, (21.93) 2 ^ µ ^ ^ ^ µ = 2 µ + ( µ ) + µ µ ) 2 µ ( ( ) ^ ^^ ^^ 2 µ + + +. (21.94) Отметим, что множители Лагранжа и в уравнения движения вообще не вхо дят, т.к. связи являются функциями Казимира. Эта система уравнений движения записана для тензорных плотностей:

deg = deg µ =,, 1 + 1 deg µ = deg =,.

1 Новый множитель Лагранжа также является тензорной плотностью:

deg µ = 0.

deg = 1, Поскольку степени тензорных плотностей при умножении складываются, то 1 deg ( µ ) = deg ( ) =,.

1 Ковариантные производные от тензорных плотностей в системе уравнений (21.91)– (21.94) имеют следующий вид:

1 µ, ^ µ = µ + 1 µ ^ µ = µ.

Полученная система уравнений движения (21.91)–(21.94) является полиномиальной.

21.8 Проблема энергии в теории гравитации Определение энергии гравитационного поля является одной из главных нерешенных проблем, которая привлекает большое внимание с момента создания общей теории относительности. Взгляд на эту проблему существенно меняется с течением времени, поэтому мы опишем несколько подходов.

Сначала сформулируем в чем именно заключается проблема. В механике точеч ных частиц, а также в теории поля в пространстве Минковского под энергией пони мают численное значение гамильтониана системы. Если гамильтониан не зависит от 832ГЛАВА 21. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ времени явно, то энергия сохраняется. Закон сохранения энергии можно получить также из теоремы Нетер. Если действие инвариантно относительно трансляций во времени + const, то из первой теоремы Нетер следует закон сохранения энер гии (см. раздел 18.2.1), при этом компонента 0 0 энергии-импульса в теории поля совпадает с определением гамильтоновой плотности системы полей. Этот подход к определению энергии в теории гравитации приводит к ответу, мало удовлетворитель ному с физической точки зрения. В теории гравитации действие инвариантно отно сительно общих преобразований координат и, тем более, относительно трансляций во времени. С другой стороны, мы уже показали в разделе 19.2.4, что канонический гамильтониан для любой модели, инвариантной относительно произвольного невы рожденного преобразования временнй координаты пропорционален связи и равен о нулю на уравнениях движения. Это значит, что формальный подход к определению энергии в теории гравитации дает нуль для любого решения уравнений движения.

Этот результат малосодержателен и плохо согласуется с нашим интуитивным пред ставлением об энергии, т.к. наличие материи ассоциируется с наличием энергии. За метим также, что в пространстве-времени Минковского действие инвариантно отно сительно трансляций только в декартовой системе координат. В общековариантных моделях гравитации действие инвариантно относительно трансляций в произвольной криволинейной системе координат.

Замечание. В настоящем разделе мы рассмотрим определение энергии в общей теории относительности, то есть при нулевых тензорах кручения и неметричности.

Обобщение определения на более общий случай аффинной геометрии проблемы не составляет, так как основная трудность, связанная с общей ковариантностью урав нений движения, присутствует во всех моделях.

21.8.1 Тензор энергии-импульса полей материи Первые попытки определить энергию, как сохраняющуюся величину для системы полей материи и гравитационного поля, были предприняты на заре исследований по общей теории относительности. В этой модели действие представляет собой сумму действия Гильберта–Эйнштейна (20.6) и действия для полей материи m :

= he + m. (21.95) Предположим, что действие полей материи зависит только от полей материи и мет рики. Тогда вариация действия по метрике приводит к уравнениям Эйнштейна (20.1), где 2 m m := (21.96) || – тензор энергии-импульса полей материи. В общем случае мы предполагаем, что действие для полей материи в моделях гравитации получено из действия, записанно го в плоском пространстве-времени Минковского, путем минимальной подстановки, т.е. замены обычных производных на ковариантные и метрики Минковского на нетривиальную метрику пространства-времени ab = a b ab. Возможно также введение инвариантных слагаемых неминимального взаимодействия, которые обращаются в нуль в пространстве Минковского. В таких случаях действие зависит только от самих полей материи и репера. Соответствующее выражение для тензора энергии-импульса можно записать через вариационную производную по реперу:

2 m m = a. (21.97) || a 21.8. ПРОБЛЕМА ЭНЕРГИИ В ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ Если действие для полей материи может быть записано через метрику, то дан ное определение совпадает с (21.96) и приводит к симметричному тензору энергии импульса. В общем случае это не так. Например, лагранжиан спинорного поля не может быть записан через метрику, так как лоренцева связность выражается че рез репер, и ее нельзя выразить через компоненты метрики. Определение тензора энергии-импульса через репер (21.97) не всегда приводит к симметричному тензору энергии-импульса.

В разделе (20.4) было показано, что инвариантное действие приводит к ковари антному закону сохранения тензора энергии-импульса:

m = 0. (21.98) Однако это ковариантное равенство не является законом сохранения. Покажем это.

Прямые вычисления приводят к равенству 1 ) ( m = ||m m = 0. (21.99) || При интегрировании этого равенства по объему первое слагаемое для каждого зна чения индекса преобразуется с помощью формулы Стокса (3.86) в интеграл по граничной поверхности:

) ( ||m, ||m = M M где – ориентированный элемент граничной гиперповерхности M. Этот интеграл привел бы к закону сохранения в выбранной системе координат, если бы не наличие второго слагаемого в равенстве (21.99).

21.8.2 Псевдотензор энергии-импульса для гравитации Для решения проблемы сохранения энергии к тензору энергии-импульса материи, ко торый мы будем записывать с одним верхним и одним нижним индексом m, было предложено добавить некоторый объект с компонентами, зависящими только от метрики и ее первых производных таким образом, чтобы было выполнено равенство [ ] ||(m + ) = 0.

(21.100) Объект с компонентами называется псевдотензором энергии-импульса гравита ционного поля. При этом равенство (21.100) принято рассматривать, как закон сохра нения энергии-импульса полей материи и гравитационного поля. Приставка “псевдо” в данном случае означает, что для выполнения равенства (21.100) компоненты не могут образовывать тензор.

Задача о нахождении явного вида псевдотензора энергии-импульса гравитацион ного поля может быть решена следующим образом. Закон сохранения (21.100) имеет тот же вид, что и закон сохранения энергии-импульса, вытекающий из первой теоремы Нетер (18.44). Из инвариантности полного действия (21.95) относительно трансляций в пространстве-времени следует закон сохранения ( ) || = 0, (21.101) 834ГЛАВА 21. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ где суммарный тензор энергии-импульса материи и гравитационного поля, умножен ный на определитель репера, имеет вид he m || = + a (he + m ) ) ( a ) ( (21.102) he (c) = ||m + he, ( ) (c) где a, = 1, 2,..., – совокупность всех полей материи. В этом выражении m – канонический тензор энергии-импульса полей материи, определенный соотношением m ||m := a (c) m.

( a ) В том случае, когда определение тензора энергии-импульса (21.96) является ковари антным обобщением канонического тензора энергии-импульса материи в простран стве Минковского, имеет место формула m = m.

(c) Тогда последние два слагаемых в выражении (21.102), зависящие только от метрики и ее первых производных, можно принять за определение псевдотензора энергии импульса гравитационного поля he || := he. (21.103) ( ) Напомним, что под лагранжианом he понимается функция, полученная из ||() добавлением полной производной, которая приводит к сокращению вторых произ водных от метрики (см. раздел 21.1). Полученное выражение для псевдотензора энергии-импульса широко использовалось, в том числе классиками науки: Г. Вейлем [149], П. Дираком [150], В. Паули [151], Э. Шредингером [152] и др. После несложных вычислений можно получить явное выражение для псевдотензора энергии-импульса ( || = ( ) || he.

) (21.104) Отметим недостатки такого определения псевдотензора энергии-импульса гра витационного поля. Из полученного выражения следует, что в нормальной системе координат, где все символы Кристоффеля обращаются в нуль в некоторой точке, все компоненты псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля равны нулю. То есть, независимо от кривизны пространства, в любой заданной точке пространства времени можно обратить в нуль все компоненты псевдотензора энергии-импульса. В то же время в плоском пространстве-времени (отсутствие гравитационного поля) в криволинейной системе координат символы Кристоффеля и, следовательно, компо ненты псевдотензора энергии-импульса в общем случае отличны от нуля. Отметим также, что компонента тензора энергии-импульса 0 0 в законе сохранения (21.101) совпадает с гамильтонианом системы и обращается в нуль на уравнениях движе ния. Эти замечания ставят под сомнение возможность физической интерпретации псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля.

Если равенство (21.100) принято за определение псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля, то последний определен неоднозначно. Очевидно, что псев дотензор := +, (21.105) 21.8. ПРОБЛЕМА ЭНЕРГИИ В ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ где = – произвольный “тензор” третьего ранга, антисимметричный по верхним индексам, также удовлетворяет закону сохранения. В процессе исследования общей теории относительности было предложено несколько явных выражений для псевдотензора энергии-импульса, которые обладают своими достоинствами и недо статками и отличаются между собой на некоторый “тензор”. Мы не будем оста навливаться на обсуждении различных подходов, а отметим лишь общий недостаток.

Псевдотензор энергии-импульса не является тензором. Это значит, что энергия в различных системах координат может быть положительна, равна нулю или отри цательна, что является неудовлетворительным с физической точки зрения.

Аналогичное построение псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля можно провести в реперном формализме. При этом все недостатки псевдотензора сохраняются.

Проведенное обсуждение показывает, что в теории гравитации невозможно дать локальное определение энергии-импульса, удовлетворив одновременно двум услови ям: 1) компоненты энергии-импульса должны образовывать тензорное поле второго ранга и 2) должен быть выполнен закон сохранения (21.100).

21.8.3 Законы сохранения и векторы Киллинга Другой подход к законам сохранения связан с симметриями пространства-времени.

Если метрика пространства-времени допускает группу движений, то появляется воз можность определить законы сохранения для тензора энергии-импульса полей ма терии без привлечения понятия псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля. Пусть тензор энергии-импульса полей материи – это симметричный тензор второго ранга m = m, удовлетворяющий условию (21.98). Предположим, что метрика имеет n векторов Киллинга a = a, a = 1,..., n. Рассмотрим n векторов a := a m.

Тогда справедливо равенство a = a m + a m = 0.

Здесь первое слагаемое равно нулю как следствие симметричности тензора энергии импульса и уравнения Киллинга (15.4). Второе слагаемое обращается в нуль в силу уравнения (21.98). С другой стороны, справедливо тождество (6.61) 1 a = ( ||a ).

|| Поэтому, если M – компактная ориентируемая область пространства-времени с кра ем M, то объемный интеграл можно преобразовать в поверхностный по формуле Стокса: || a = a = 0, (21.106) M M где – ориентированный элемент площади края. Таким образом каждому векто ру Киллинга соответствует закон сохранения. В частности, если существует вектор Киллинга 0 = 0 и поля материи исчезают на пространственной бесконечности, то ему соответствует закон сохранения энергии 0 = 0, где = = m0 0.

836ГЛАВА 21. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Отметим, что в этом выражении присутствует гамильтонова плотность только для полей материи.

В четырехмерном пространстве-времени Минковского метрика имеет десять век торов Киллинга: четыре вектора соответствуют трансляциям и шесть – (псевдо )вращениям. Этим векторам Киллинга соответствуют законы сохранения энергии импульса и момента количества движения.

21.8.4 Полная гравитационная энергия асимптотически плос кого пространства-времени Дальнейшее развитие общей теории относительности изменило подход к определе нию полной энергии гравитационного поля и материи. Это определение основано на сферически симметричном решении Шварцшильда и учете граничных вкладов в действие Гильберта–Эйнштейна.

Запишем решение Шварцшильда в асимптотически декартовой системе коорди нат, где координаты,, связаны с координатами,, обычными формулами трехмерного евклидова пространства. С этой целью воспользуемся формулами (7.10) для перехода от сферических координат к декартовым:

( ) 2 (2 + sin 2 2 ) = = 1 2M r (21.107) ( ) 2 2 (2 + 2 + 2 ) 2 ( + + )2.

= ( 2 ) Метрика Шварцшильда на больших расстояниях в первом порядке по / принимает вид ( ) ( ) 2 2 (2 + 2 + 2 ) 1 1 + (21.108) ( + + ).

Очевидно, что в нулевом порядке эта метрика совпадает с метрикой Лоренца. По следнее выражение используется для определения асимптотически плоского пространства-времени.

Определение. Топологически тривиальное пространство-время M R1,3 называет ся асимптотически плоским, если существует такая система координат,,,, что его метрика при, где := 2 + 2 + 2 и всех моментов времени R, доста точно быстро стремится к метрике Шварцшильда (21.108), записанной в декартовой системе координат.

Максимально продолженное пространство-время Шварцшильда описывает чер ные дыры и не является топологически тривиальным. Понятие асимптотически плос кого пространства-времени просто обобщается на многообразия с нетривиальной то пологией.

Определение. Пусть пространство-время имеет вид прямого произведения M = R U, где явно выделено время 0 = R. Допустим, что существует компактное подмножество K U такое, что разность U K представляет собой несвязное объ единение открытых множеств Sa, a = 1,..., n. Если в каждом произведении R Sa 21.8. ПРОБЛЕМА ЭНЕРГИИ В ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ существует такая система координат,,,, что метрика при и всех R достаточно быстро стремится к метрике Шварцшильда (21.108) в декартовой системе координат, то пространство-время M называется асимптотически плоским.

Рассмотрим действие Гильберта–Эйнштейна в гамильтоновой форме, которое вы текает из выражения для гамильтониана (21.63), he = (µ µ µ µ ), где функции хода и сдвига рассматриваются в качестве множителей Лагранжа. Ди намическая связь (21.62) содержит трехмерную скалярную кривизну и, следова тельно, вторые производные от пространственных компонент метрики µ. При ва риации действия he по компонентам метрики приходится интегрировать по частям, отбрасывая граничные члены. Ниже будет показано, что в асимптотически плоском пространстве-времени (для решения Шварцшильда) граничный вклад, возникаю щий при интегрировании по частям слагаемого со вторыми производными, отличен от нуля. В настоящее время это граничное слагаемое принято в качестве определения полной энергии асимптотически плоского распределения масс. Рассмотрим данный вопрос подробно.

Воспользуемся формулами (21.2)–(21.4) и запишем трехмерную скалярную кри визну, умноженную на определитель репера, в виде [ ] ^ = µ (^µ µ ) + he, ^ ^ ^^ ^ ^ ^ ^ где последнее слагаемое he квадратично по символам Кристоффеля (его вид в на стоящий момент не важен). Первое слагаемое в этом представлении имеет вид ди вергенции, которую можно выразить через компоненты метрики:

µ [^ µ ( )], ^ ^ где мы воспользовались выражением символов Кристоффеля через метрику (6.23).

При интегрировании этого слагаемого по частям возникает граничное слагаемое, которое, как мы увидим ниже, отлично от нуля. Поэтому для того, чтобы компенси ровать его вклад, добавим к исходному действию граничный член с самого начала:

he he + µ µ, где µ := µ ( ) ^^ ^ (21.109) и мы восстановили гравитационную константу связи.

Определение. Полной энергией асимптотически плоского распределения масс на зывается интеграл µ µ, := (21.110) a a где компоненты µ определены в (21.109), и интегрирование проводится по простран ственноподобному сечению 0 = const.

838ГЛАВА 21. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Компоненты µ образуют вектор относительно глобальных преобразований ко ординат в пространстве R3. В целом, определение полной энергии неинвариантно и зависит от выбора системы координат.

Для трехмерного евклидова пространства R3 в декартовой системе координат метрика имеет вид µ = µ. Поэтому µ = 0 и, следовательно, полная энергия плоского пространства равна нулю, = 0. Уже на этом этапе видна важность выбора системы координат в определении энергии (21.110). Действительно, если система координат не является асимптотически декартовой, то полная энергия трехмерного евклидова пространства может быть отлична от нуля.

Вычислим полную энергию для решения Шварцшильда и, тем самым, для про извольного асимптотически плоского пространства-времени в первом порядке по /. Для этого запишем решение Шварцшильда в декартовой системе коорди нат (21.107). Пространственная часть метрики отличается от евклидовой метрики:

µ = µ + µ, где 2 2 µ = ( 2 ) На больших расстояниях,, эта поправка к метрике стремится к нулю. В опре делении вектора µ (21.109) выражение в скобках имеет первый порядок малости.

Поэтому остальные сомножители достаточно участь в нулевом порядке:

µ = µ.

= 1, = 1, ^ ^ Простые вычисления дают следующие выражения для компонент вектора µ в пер вом порядке по /:

4 4 x y z,,.

3 3 Нормальный единичный ковектор к сфере с центром в начале координат евклидова пространства имеет вид ( ) 2 = 1.

{µ } =,,, Поэтому µ µ.

Теперь можно вычислить полную энергию. Для каждой компоненты связности Sa в первом порядке получаем равенство µ 2 sin ( µ µ ) 16.

= µ = (21.111) 0 Чтобы придать полученному выражению более привлекательный вид, восстано вим размерные константы. Это полезно делать хотя бы изредка. Компоненты мет рики, по-определению, являются безразмерными [ ] = 1. Поскольку [ ] г =, см 21.8. ПРОБЛЕМА ЭНЕРГИИ В ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ то это отношение необходимо обезразмерить, умножив на некоторую комбинацию гравитационной постоянной и скорости света, которые имеют следующие размерно сти:

см3 см [] =, [] =.

г · сек сек Это можно сделать единственным образом путем замены. (21.112) Если воспользоваться выражением (20.110) для константы связи через гра витационную постоянную, которое было получено при рассмотрении ньютонова предела в общей теории относительности, то выражение для полной энергии примет вид = 2. (21.113) То, что гравитационная энергия асимптотически плоского пространства-времени сов падает с энергией покоя для массы в решении Шварцшильда, привлекательно с фи зической точки зрения и оправдывает определение полной энергии через поверхност ный интеграл (21.110). Численное значение полной гравитационной энергии зависит от выбора системы координат, т.к. данное определение не инвариантно относительно преобразований координат.

Поскольку – постоянная интегрирования уравнений Эйнштейна, то полная энергия в асимптотически плоском пространстве-времени сохраняется.

Глава Скалярные и калибровочные поля Скалярные и электромагнитное поля, вместе со спинорными полями, являются важ нейшими объектами квантовой теории поля. В настоящей главе мы напомним ос новные свойства скалярных и калибровочных полей в пространстве Минковского, рассмотрим эти поля на произвольных многообразиях с заданной аффинной геомет рией и обсудим их уравнения в общей теории относительности.

22.1 Действительное скалярное поле 22.1.1 Скалярное поле в пространстве Минковского Рассмотрим действительное скалярное поле (т.е. функцию) () 2 (R1,n1 ) в про странстве Минковского R1,n1 произвольного числа измерений. Обозначим декарто вы координаты через, = 0, 1,..., 1. Свободное скалярное поле описывается квадратичным лагранжианом 1 = 2 2, (22.1) 2 где := diag (+... ) – обратная метрика Лоренца и = const 0 – масса скалярного поля. Соответствующее действие имеет вид =.

Знаки слагаемых в лагранжиане выбран таким образом, чтобы канонический га мильтониан, рассмотренный ниже, был положительно определен.

Посчитаем размерности. Действие и компоненты метрики, по-определению, без размерны. Координаты имеют размерность длины, [ ] =, = 0, 1,..., 1 (ско рость света мы положили равной единице). Поэтому скалярное поле и масса имеют следующие размерности:

2n [] = 1.

[] = 2, (22.2) Уравнение движения для свободного скалярного поля линейно:

= ( + 2 ) = 0,, := (22.3) где := = t 1... n 2 2 22.1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ – волновой оператор (оператор Даламбера). Это уравнение называется уравнением Клейна–Гордона–Фока, которое при = 0 сводится к уравнению Даламбера. Урав нение (22.3) было предложено независимо в работах [153, 154, 155, 156].

Скалярное поле называется свободным, потому что описывается линейным урав нением движения.

Поскольку свободное скалярной поле удовлетворяет волновому гиперболическому уравнению, то для постановки задачи Коши в полупространстве 0 0 для одно значного определения решения необходимо задать начальные данные на гиперпо верхности 0 = 0 для поля и его производной по времени := 0. Говорят, что скалярное поле описывает одну динамическую степень свободы. В квантовой теории поля оно описывает нейтральные скалярные частицы.

Для того, чтобы описать скалярное поле с самодействием, к лагранжиану (22.1) добавляется потенциал взаимодействия (), = (), где () – некоторая достаточно гладкая функция одного аргумента. Для упрощения обозначений мы включили массовый член в определение потенциала (). В общем случае функция () зависит от некоторого набора размерных или безразмерных констант связи. Для самодействующего скалярного поля уравнение движения стано вится нелинейным:

= () = 0,, := (22.4) где := /.

Действие для скалярного поля инвариантно относительно глобального действия группы Пуанкаре IO(1, 1). Согласно первой теореме Нетер эта инвариантность приводит к законам сохранения энергии-импульса и момента количества движения (см. разделы 18.2.1, 18.2.2). Выражение для сохраняющегося канонического тензора энергии-импульса (20.168) скалярного поля имеет вид ( ) (c) =, (22.5) где использовано сокращенное обозначение для кинетического слагаемого 2 :=.

Тензор энергии-импульса, очевидно, симметричен по своим индексам.

Спиновый момент скалярного поля (18.53) равен нулю, = 0, т.к. при враще ниях равна нулю вариация формы скалярного поля. Отсюда вытекает, что в кван товой теории поля скалярное поле описывает частицы с нулевым спином. Момент количества движения скалярного поля полностью определяется орбитальным мо ментом по формуле (18.51) (c) = := (c). (22.6) Функция () может быть положительно определена и при “неправильном” знаке квадрата массы, 2 0. Например, положим (см. рис.22.1,) 1 () = (2 2 )2 = (4 22 2 + 4 ), 0. (22.7) 4 842 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ Рис. 22.1: Минимум потенциала действительного () и комплексного () скалярного поля.

При 0 потенциал положительно определен, однако “ квадрат массы”, 2 = 2, отрицателен. Здесь возникает вопрос: “Что называется массой частицы, соответству ющей полю ?” В квантовой теории поля масса частиц определяется квадратичным приближением лагранжиана, вокруг которого строится теория возмущений. Для это го необходимо выбрать вакуумное решение уравнений движения, вблизи которого бу дет происходить разложение полей. Простейшее решение уравнения движения (22.4) – это постоянное поле 0 = const, которое удовлетворяет условию (0 ) = 0.

То есть мы предполагаем, что вакуум однороден и статичен. Для потенциала (22.7) уравнение равновесия принимает вид (2 2 ) = 0.

Оно имеет три решения: 0 = 0, 0 = ±. Решение 0 = 0 соответствует неустой чивому положению равновесия. Именно поэтому вблизи данного решения квадрат массы имеет неправильный знак. Оба решения 0 = ± соответствуют устойчивым положениям равновесия и имеют одинаковую нулевую плотность энергии. Любое из этих решений можно выбрать в качестве вакуума, вокруг которого строится теория возмущений. Положим = +.

Тогда потенциал примет вид ( ) 22 = + +.

Из квадратичного приближения следует, что масса скалярного поля положитель на, 2 = 22. То есть масса частиц положительна, что соответствует устойчивому положению равновесия.

Перейдем к канонической формулировке. Импульс, канонически сопряженный скалярному полю, равен производной по времени от скалярного поля := =.

(22.8) () 22.1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ Одновременные скобки Пуассона для канонически сопряженных переменных имеют вид [, ] := [(, ), (, )] = ( ), где введена пространственная -функция ( ) := (1 1 )... (n1 n ).

Соответствующая плотность гамильтониана равна 1 (c) = 00 = 2 µ µ + (), (22.9) 2 где греческие буквы из середины алфавита пробегают, как и раньше, только про странственные значения:, = 1,..., 1. Если функция () положительно опре делена, то гамильтонова плотность также положительно определена, т.к. µ := µ.

Гамильтониан скалярного поля получается интегрированием гамильтоновой плот ности по всему пространству: =. (22.10) Если этот интеграл сходится, то полная энергия скалярного поля сохраняется.

Уравнение движения второго порядка (22.3) в гамильтоновой форме эквивалент но системе двух уравнений движения первого порядка относительно производных по времени:

= [, ] =, (22.11) = [, ] = 2, где – оператор Лапласа.

(c) Компонента 00 тензора энергии-импульса скалярного поля (22.5) совпадает с плотностью гамильтониана (22.9). Остальные компоненты канонического тензора энергии-импульса также могут быть выражены через канонические переменные:

(c) µ := 0µ = µ, [ ] 12 µ = µ ( + () µ.

Ковектор энергии-импульса { } = {0 :=, µ } для скалярного поля полу чается из компонент канонического тензора энергии-импульса интегрированием по пространству: 0 :=, µ := µ, (22.12) где интегрирование проводится по сечениям 0 = const. Численное значение 0 и µ дают полную энергию и полный импульс скалярного поля. Если поле достаточно быстро убывает на бесконечности, что соответствует, в частности, отсутствию излу чения, то полные энергия и импульс сохраняются:

0 = 0, µ = 0.

(c) Отсюда следует, что компоненты канонического тензора энергии-импульса 0µ име ют физический смысл плотности импульса скалярного поля.

844 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ Полный момент импульса скалярного поля получается интегрированием нулевых компонент тензора момента количества движения (22.6):

:= 0.

Если скалярное поле достаточно быстро убывает на пространственной бесконечно сти, то он также сохраняется, = 0.

Строго говоря, полным моментом импульса являются только пространственные ком поненты µ = µ.

22.1.2 Скалярное поле в аффинной геометрии Пусть на многообразии (пространстве-времени) M произвольной размерности за дана аффинная геометрия, т.е. задана метрика лоренцевой сигнатуры и связность. Лагранжиан скалярного поля, минимальным образом взаимодействующего с гра витацией, выбирается в виде ( ) = || (), (22.13) где введено сокращенное обозначение, 2 :=, для кинетической части лагранжиана. Лагранжиан (22.13) зависит только от метри ки, а аффинная связность в него не входит. Это означает, что лагранжиан скалярного поля при минимальной подстановке имеет один и тот же вид как в римановой, так и в аффинной геометрии.

Вычислим вариационные производные действия:

( ) = || + () = 0,, := (22.14) ||,, := = (22.15) где :=.

– инвариантный волновой оператор, построенный по псевдоримановой метрике и ( ) = (22.16) – ковариантное обобщение тензора энергии-импульса (22.5) для пространства Мин ковского. Уравнение (22.14) является инвариантным уравнением движения для ска лярного поля в аффинной геометрии. Однако в него входит не аффинная связность, которая может быть задана на многообразии, а только символы Кристоффеля. Это происходит потому что скалярное поле не чувствует кручения и неметричности при 22.1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ минимальной подстановке. Взаимодействие скалярного поля с кручением и немет ричностью можно ввести неминимальным образом, добавив к лагранжиану соот ветствующие слагаемые. При этом существует много возможностей, поэтому мы их обсуждать не будем. Вариационная производная (22.16) определяет тензор энергии импульса скалярного поля, который служит источником для гравитационного поля (компонент метрики) в уравнениях Эйнштейна.

Замечание. То, что вариационная производная действия по метрике (22.16) пропор циональна ковариантному обобщению канонического тензора энергии-импульса не является общим свойством. Дальнейшие примеры покажут, что вариация действия по метрике в общем случае не всегда пропорциональна ковариантному обобщению тензора энергии-импульса.

Предложение 22.1.1. Если метрика на многообразии M имеет лоренцеву сиг натуру и координата 0 является временем, то времення компонента тензораа энергии-импульса действительного скалярного поля, ( ) 00 = 0 0 00, (22.17) при 0 положительно определена и, следовательно удовлетворяет слабому энер гетическому условию (20.135).

Доказательство. Обозначим :=. Тогда 0 = 00 0 + 0µ µ.

Легко проверить равенство ( ) 1 1 1 0µ 2 0 µ µ.

(0 ) 00 = (00 0µ ) 00 µ (22.18) 2 2 2 Если метрика имеет лоренцеву сигнатуру и координаты выбраны так, что 0 – это время, то из теоремы 4.2.1 следует, что 00 0 и матрица 0µ µ отрицательно определена. Это означает, что времення компонента (22.17) является а положительно определенной как сумма положительно определенных слагаемых в выражении (22.18).

Если действие инвариантно относительно общих преобразований координат, ко торые параметризуются функциями, то согласно второй теореме Нетер уравнения движения удовлетворяют тождествам. Допустим, что действие зависит только от метрики и скалярного поля. Тогда инвариантность действия означает равенство ну лю вариации = ||(, +, ) = 0.

Отсюда с учетом явного вида вариации компонент метрики (2.104) и скалярного поля (2.99) получаем, что уравнения движения (22.14) и (22.15) удовлетворяют тождествам:

2,, = 0, (22.19) 846 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ где – ковариантная производная с символами Кристоффеля.

С формальной точки зрения сдвиги на постоянный вектор, +, = const, образуют подгруппу группы общих преобразований координат. Поэтому, так же, как и в пространстве Минковского, можно построить полную “энергию” и “им пульс” скалярного поля. Эти величины будут сохраняться на уравнениях движе ния, однако им не всегда можно придать физический смысл, т.к. понятие декарто вой системы координат в общем случае отсутствует. Это построение имеет смысл в асимптотически плоском пространстве-времени, когда на больших расстояниях пространство-время приближается к пространству Минковского. Это же верно и для момента количества движения.

22.1.3 Скалярное поле в общей теории относительности Рассмотрим действительное скалярное поле, которое минимальным образом взаимо действует с гравитацией в общей теории относительности. В этом случае действие имеет вид = he +, (22.20) где he – действие Гильберта–Эйнштейна (20.6) и – действие для скалярного поля с лагранжианом (22.13). Добавление к действию скалярного поля действия Гильберта–Эйнштейна дает кинетический член для метрики. Поэтому вариация это го действия по обратной метрике приводит к уравнениям движения Эйнштейна ( ) 1 1 + + 1 = 0, : (22.21) || 2 где – тензор энергии-импульса скалярного поля (22.16). Поскольку действие Гильберта–Эйнштейна не зависит от скалярного поля, то уравнение движения для скалярного поля остается прежним (22.14). Таким образом, полная система урав нений движения для скалярного поля в общей теории относительности состоит из уравнений (22.14) и (22.21).

Действие (22.20) инвариантно относительно общих преобразований координат.

Поэтому, согласно второй теореме Нетер, между уравнениями движения существует линейная зависимость (22.19).

Перепишем уравнения Эйнштейна в другом виде. След уравнений Эйнштейна (22.21), ) 1 ( ) ( 1 + + + = 0, 2 2 2 позволяет исключить скалярную кривизну. В результате уравнения движения (22.21) можно записать в эквивалентной форме 1 = + (2 + ). (22.22) При нулевой космологической постоянной = 0 и потенциале = 0 уравнения (22.22) существенно упрощаются, =. (22.23) Эта модель безмассового скалярного поля в общей теории относительности привле кает в последнее время большое внимание из-за своей относительной простоты.

Покажем, что уравнение движения для скалярного поля (22.14) являются след ствием уравнений Эйнштейна (22.21).

22.1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ Предложение 22.1.2. Если в некоторой области пространства-времени U M градиент скалярного поля отличен от нуля, { =}0, то в этой области уравнение для скалярного поля (22.14) является следствием уравнений Эйнштейна (22.21).

Доказательство. Подействуем оператором ковариантного дифференцирования на уравнение (22.21). В силу свернутых тождеств Бианки (6.117), ( ) = 0, получим равенство = ( + ) = 0.

Отсюда вытекает сделанное утверждение.

Доказанное предложение позволяет вместо решения полной системы уравнений для скалярного поля и метрики ограничится решением только уравнений Эйнштей на.

В рассматриваемом случае ситуация аналогична точечным частицам в общей тео рии относительности, предложение 20.8.2.

До сих пор мы рассматривали минимальное взаимодействие скалярного с метри кой. Представляет также интерес неминимальное взаимодействие, поскольку в этом случае возможно появление дополнительной важной локальной инвариантности.

Теорема 22.1.1. Действие ( ) 2 12 2n = || n2, = const, (22.24) 8( 1) M с точностью до граничных слагаемых инвариантно относительно преобразований Вейля:

= e2, (22.25) n = e, где () 2 (M) – произвольная функция.

Доказательство. Прямая проверка. При этом удобно использовать формулу преоб разования скалярной кривизны (??) и правило интегрирования по частям (6.70).

Учитывая размерность скалярного поля (22.2), получаем, что константа связи самодействия скалярного поля в действии (22.24) безразмерна.

Коэффициенты перед первыми двумя слагаемыми в действии (22.24) фиксиро ваны требованием инвариантности относительно преобразований Вейля. Их можно умножить только на общую отличную от нуля постоянную. Фиксирован также пока затель степени в преобразовании Вейля для скалярного поля (22.25). Нетрудно так же проверить, что добавление к действию (22.24) действия Гильберта–Эйнштейна и космологической постоянной нарушает вейлевскую инвариантность.

Уравнения движения для действия (22.24) имеют следующий вид [ ( ) ] 1 1 2 + 2 +, : 8( 1) || 1 1 1 2n + 2 n2 = 0, (22.26) 4 2 1 2 n2 n+, : = 0. (22.27) 4( 1) || 848 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ Эти уравнения движения не инвариантны, а ковариантны относительно преобразо ваний Вейля, т.к. при преобразовании умножаются на некоторую отличную от нуля функцию.

Поскольку действие (22.24) инвариантно относительно преобразований Вейля, то в силу второй теоремы Нетер между уравнениями движения существует линейная зависимость. Чтобы ее найти, выпишем вариации формы для метрики и скалярного поля при вейлевских преобразованиях (22.25):

= = 2,, где () – бесконечно малый параметр преобразования. Поскольку действие инвари антно, то выполнено условие ( ) = + = 0.

Подставив сюда выражения для вариации полей, получим зависимость уравнений движения:

2,, = 0. (22.28) Нетрудно проверить, что уравнения движения (22.26), (22.27) действительно удовле творяют этому тождеству.

В важном случае четырехмерного пространства-времени, действие принимает хо рошо известную форму ( ) 12 1 2 = ||. (22.29) 2 M Оно инвариантно относительно преобразований Вейля = e.

= e2, (22.30) Соответствующие уравнения движения, [ ( ) ] 1 1 1 2 +, : 12 || 1 1 + 2 4 = 0, (22.31) 2 4 1 1 4 = 0,, : (22.32) || ковариантны.

Действие (22.29) является выделенным случаем скалярно-тензорных моделей гра витации, рассмотренных в разделе 20.6. Чтобы привести лагранжиан (20.32) к рас сматриваемому виду, необходимо положить 2 () = 4, = () =,, = 1.

12 Построение действия для других полей, которое было бы инвариантно относительно преобразований Вейля, представляет собой отдельную задачу, на которой мы оста навливаться не будем.

22.2. КОМПЛЕКСНОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ 22.2 Комплексное скалярное поле 22.2.1 Комплексное скалярное поле в пространстве Минков ского Пусть () = 1 () + 2 () – комплексное скалярное поле (функция) в пространстве Минковского R1,n1, где 1,2 () 2 (R1,n1 ) – два действительных скалярных поля (действительная и мнимая части). Комплексно сопряженное поле будем обозначать крестом † := 1 2, как это принято в квантовой теории поля. Лагранжиан свободного поля = † 2 † = (22.33) = ( 1 1 + 2 2 ) 2 (2 + 2 ) 1 с точностью до множителя 1/2 является суммой лагранжианов (22.1) для действи тельной и мнимой части. Он является действительной функцией.

Размерность комплексного скалярного поля такая же как и действительного (22.2).

Комплексное скалярное поле задается двумя действительными скалярными поля ми 1 и 2. Для получения уравнений движения действие можно варьировать либо по действительной и мнимой частям 1 и 2, либо по полям и †, рассматривая их в качестве независимых переменных. Мы остановимся на второй возможности как более удобной. Тогда вариация действия по † приводит к волновому уравнению для (уравнению Клейна–Гордона–Фока) = ( + 2 ) = 0, (22.34) † которое эквивалентно двум волновым уравнениям для действительной и мнимой ча сти. Вариация действия по дает уравнение, сопряженное к (22.34).

При рассмотрении задачи Коши для волнового уравнения (22.34) необходимо за дать начальные условия независимо для полей 1 и 2. Поэтому комплексное ска лярное поле описывает две степени свободы и в квантовой теории поля описывает заряженные скалярные частицы.

Для описания самодействия комплексного скалярного поля вводится потенциал (†, ), который в общем случае является достаточно гладкой вещественнозначной функцией двух аргументов † и. Мы предположим, что потенциал зависит толь ко от одного аргумента – произведения † – и обозначим := /(† ). Тогда лагранжиан примет вид = † († ), (22.35) где, как и в случае действительного скалярного поля, мы включили массовый член в определение потенциала. Уравнение движения для скалярного поля с самодей ствием становится нелинейным:

= ( + ) = 0, (22.36) † Как и в случае действительного скалярного поля, действие для комплексного скалярного поля инвариантно относительно группы Пуанкаре IO(1, 1). При этом трансляциям соответствует сохраняющийся канонический тензор энергии-импульса (c) = † + †. (22.37) 850 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ Его компоненты, очевидно, вещественны. Спиновый момент комплексного скаляр ного поля равен нулю и момент количества движения равен орбитальному моменту (22.6).

Действие для комплексного скалярного поля инвариантно также относительно глобальных U(1) преобразований, меняющих фазу скалярного поля сразу во всем пространстве † = i †, = i, = const. (22.38) Согласно первой теореме Нетер, этой инвариантности соответствует сохраняющийся ток (18.37) = 0.

где = († † ). (22.39) Позже мы увидим, что U(1) инвариантность модели комплексного скалярного поля соответствует закону сохранения заряда.

Рассмотрим гамильтонову формулировку теории. Из лагранжиана (22.35) следу ют выражения для канонических импульсов, сопряженных полям и †, = 0 †, := (22.40) (0 ) † := = 0. (22.41) (0 † ) Ненулевые одновременные скобки Пуассона для координат и импульсов имеют вид [(, ), (, )] = [† (, ), † (, )] = ( ).

Для положительно определенного потенциала плотность гамильтониана ком плексного скалярного поля, = † µ µ † + († ), (22.42) положительно определена. Канонические уравнения движения принимают вид = †, † =, (22.43) = † †, † =.

Теперь рассмотрим обобщение модели (22.7) для комплексного скалярного поля.

Потенциал самодействия выберем в виде 1 [ ]2 1 [ († ) = († )2 2 = († )2 2† 2 + 4, ] 0. (22.44) 2 При 0 этот потенциал положительно определен. Однородное и статичное реше ние 0 для вакуума должно удовлетворять уравнению 0 († 0 2 ) = 0.

Это уравнение имеет бесконечно много решений:

0 = ei, 0 = 0 = const, и 22.2. КОМПЛЕКСНОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ которые зависят от параметра. Это связано с наличием унитарной U(1) глобальной симметрии (22.38). Решение 0 = 0 соответствует неустойчивому положению равно весия. Поэтому выберем вакуумное решение в виде 0 = и разложим поля вблизи данного решения:

1 = + 1, 2 = 2. (22.45) В новых переменных потенциал примет вид = [42 2 + 43 + 41 2 + 4 + 4 + 22 2 ].

1 1 2 1 1 Его квадратичная часть равна 22 2.

Таким образом, вещественная часть скалярного поля имеет положительную массу, в то время как мнимая часть вблизи вакуумного решения является безмассовой. Это ясно из рис.22.1,. Точка = соответствует минимуму потенциальной энергии, однако в направлении 2 этот минимум является безразличным.

Описанная выше ситуация возникновения безмассовых полей в моделях с сим метриями является типичной. Допустим, что модель зависит от некоторого набора скалярных полей = {a }, = 1,..., n, которые можно рассматривать, как ком поненты некоторого вектора. Предположим также, что потенциал взаимодействия инвариантен относительно некоторой группы Ли преобразований G. Если группа Ли k-мерна и вблизи единицы параметризуется набором параметров a, a = 1,..., k, то инфинитезимальные преобразования полей имеют вид () () + () = () + a a a (), где a a () – некоторые функции, возможно, нелинейные, полей a. Из инвариант ности потенциала вытекает равенство нулю его вариации:

() = a a a = 0. (22.46) a Это условие должно выполняться при всех значениях. Допустим, что существует вакуумное решение 0 = const, которое соответствует минимуму потенциала ().

Тогда выполнено уравнение = 0.

a Само вакуумное решение может нарушать симметрию полностью или частично. Ес ли все векторы a (0 ) = 0 линейно независимы, то симметрия полностью нарушена.

Если существуют некоторые наборы параметров a, для которых a a (0 ) = 0, то при соответствующих преобразованиях вакуум не меняется, и соответствующая сим метрия является симметрией вакуумного решения. Очевидно, что множество преоб разований, сохраняющих вакуум, образуют некоторую подгруппу H G. Описанное явление называется спонтанным нарушением симметрии, и было описано в [157].

Слово “спонтанный” в данном случае означает, что симметрия нарушена не руками в исходном действии, а выбором вакуумного решения уравнений движения.

Теорема 22.2.1 (Голдстоун). Если потенциал самодействия скалярных полей ин вариантен относительно некоторой группы Ли G преобразований (22.46) и вакуум ное решение нарушает симметрию до некоторой собственной подгруппы H G, то соответствующая модель содержит безмассовые скалярные поля, соответствую щие нарушенным симметриям. Число безмассовых полей больше или равно разно сти dim G dim H.

852 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ Доказательство. Продифференцируем равенство (22.46) по b :

a a ( ) a a + a = 0.

b a a b Если 0 – вакуумное решение уравнений движения, то первое слагаемое обращается в нуль и, следовательно, должно быть выполнено равенство a a a a b = 0. (22.47) Массы полей определяются квадратичным приближением потенциала вблизи ваку умного решения. Поэтому массовая матрица имеет вид ab :=.

a b Собственные значения этой матрицы не могут быть отрицательны, т.к. 0 соответ ствует минимуму потенциала. Она симметрична и может быть приведена к диаго нальному виду с помощью ортогональной матрицы (теорема 28.1.9). Система линей ных уравнений (22.47) для a a имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда массовая матрица вырождена. Каждой нарушенной симметрии соответствует некоторый нетривиальный вектор a a. Таких линейно независимых векторов ровно dim G dim H. Это означает, что массовая матрица должна иметь по крайней мере dim G dim H нулевых собственных значений. В общем случае возможно появление дополнительных нулевых собственных значений, вызванных не нарушением симмет рии, а спецификой модели. Нулевые собственные числа массовой матрицы означают наличие безмассовых скалярных полей.

Замечание. В доказанной теореме возможная зависимость параметров преобразо вания a от точки пространства-времени никак не использовалась. Поэтому теорема Голдстоуна справедлива как для глобальных, так и для локальных (калибровочных) преобразований.

Пример 22.2.1. Рассмотрим комплексное скалярное поле с положительно опреде ленным потенциалом 1 ( ) = † 2,, 0.

Вакуумное решение должно удовлетворять уравнению 0 († 0 2 )3 = 0.

Как и для потенциала (22.44) минимуму энергии соответствует бесконечно много решений. Выберем вакуумное решение в виде 0 = и произведем вблизи него раз ложение (22.45). Тогда потенциал примет вид 1 ( ) = 21 + 2 + 2.


1 Этот потенциал вообще не имеет квадратичных слагаемых, и, значит, оба поля 1 и 2 являются безмассовыми. В то же время, вакуумное решение 0 = нарушает U(1) симметрию. Таким образом, число безмассовых полей превышает разность dim G dim H = 1.

22.2. КОМПЛЕКСНОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ В рассмотренном примере появление дополнительного безмассового поля связано не с нарушением симметрии, а со спецификой модели. В квантовой теории поля без массовые частицы, соответствующие безмассовым скалярным полям в спонтанно на рушенных моделях теории поля, которые связаны именно с нарушением симметрии, называются голдстоуновскими бозонами. Их число равно разности dim G dim H.

22.2.2 Комплексное скалярное поле в аффинной геометрии В аффинной геометрии минимальная подстановка для комплексного скалярного по ля приводит к следующему лагранжиану [ = || † († ), ] (22.48) и аффинная связность в него не входит. Вариация соответствующего действия по полям приводит к следующим уравнениям движения и тензору энергии-импульса = ||( + ) = 0,, † := (22.49) † = ||( + )† = 0,, := (22.50) ||, = (22.51) где = † + † ( † ) (22.52) – ковариантное обобщение канонического тензора энергии-импульса (22.37).

Перепишем тензор энергии-импульса через действительную и мнимую части, = 2 1 1 + 2 2 2 2 + 2.

( ) 1 Слагаемые с производными имеют тот же вид, что и в случае двух действительных скалярных полей. Поэтому из доказательства предложения 22.1.1 вытекает положи тельная определенность их временных компонент. Следовательно, справедливо Предложение 22.2.1. Если метрика на многообразии M имеет лоренцеву сиг натуру и координата 0 является временем, то времення компонента тензора а энергии-импульса комплексного скалярного поля, 00 = 0 † 0 + 0 † 0 00 ( † ), (22.53) при 0 положительно определена и, следовательно, удовлетворяет слабому энергетическому условию.

Если инвариантное действие зависит только от метрики и скалярного поля, то из инвариантности действия относительно общих преобразований координат следует зависимость уравнений движения:

2,,, † † = 0. (22.54) Эта зависимость уравнений движения будет иметь место, например, в общей теории относительности, когда к действию Гильберта–Эйнштейна добавляется действие для комплексного скалярного поля.

854 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ Действие для комплексного скалярного поля инвариантно также относительно U(1) преобразований в пространстве-мишени (22.38). Эта инвариантность сохраня ется и в аффинной геометрии, если компоненты метрики и связности не преобразу ются. Таким образом, закон сохранения заряда для комплексного скалярного поля = 0, где || († † ), = (22.55) имеет место также на многообразиях с нетривиальной геометрией.

22.2.3 Комплексное скалярное поле в общей теории относи тельности В общей теории относительности действие для комплексного скалярного поля при минимальной подстановке имеет вид = he +, где [ || † († ).

] = Уравнения Эйнштейна имеют прежний вид (22.21), где тензор энергии-импульса определен равенством (22.52). Их необходимо дополнить двумя уравнениями для скалярного поля (22.49) и (22.50).

Как и в случае действительного скалярного поля действие оператора ковари антного дифференцирования на уравнения Эйнштейна приводит к ковариантному закону сохранения тензора энергии-импульса = † ( + ) + ( † + † ) = 0.

Ясно, что если выполнены уравнения движения (22.49), (22.50), то тензор энергии импульса сохраняется. Однако обратное утверждение теперь неверно, и аналога пред ложения 22.1.2 в комплексном случае нет.

Как и в случае действительного скалярного поля (22.22) из уравнений Эйнштейна можно исключить скалярную кривизну и переписать их в эквивалентном виде = † + ( + ). (22.56) При неминимальной подстановке также возможно появление инвариантности от носительно преобразований Вейля.

Предложение 22.2.2. Действие ( ) 2 † n † † = || ( ) n2, = const, (22.57) 4( 1) M с точностью до граничных слагаемых инвариантно относительно преобразований Вейля = e2, n = e (22.58), n † † = e †, где () 2 (M) – произвольная вещественнозначная функция.

22.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ Доказательство. Перепишем действие (22.57) через вещественную и мнимую части:

( ) 2 n 2 2 2 2 2 2 n = || 1 + 2 ( + 2 ) (1 + 2 ).

4( 1) M Первые три слагаемых инвариантны как сумма двух инвариантных слагаемых для 1 и 2. Инвариантность последнего слагаемого просто проверяется.

22.3 Электромагнитное поле Электромагнитное поле является важнейшим геометрическим объектом в матема тической физике. Оно наблюдается в экспериментах и широко используется на про тяжении многих лет.

С геометрической точки зрения в природе существует следующая конструкция.

Пространство-время, в котором мы живем, представляет)собой четырехмерное мно ( гообразие M. Строится главное расслоение P M,, U(1) (см. главу 12), базой ко торого является пространство-время, а структурной группой – мультипликативная группа Ли комплексных чисел U(1), равных по модулю единице, которая изоморф на группе двумерных вращений U(1) SO(2), и, как многообразие, диффеоморфна окружности, U(1) S1. На этом главном расслоении задается связность (см. главу 13). Связность, в свою очередь, определяет форму связности и, после проектирова ния на базу с какого либо сечения, локальную форму связности:

=.

Группа U(1) одномерна, и поэтому форма принимает значения в R, которое рас сматривается как одномерное векторное пространство. Компоненты локальной фор мы связности (), после добавления уравнений Максвелла, называются в физике потенциалом электромагнитного поля, а соответствующие компоненты :=, (22.59) локальной формы кривизны, =, (22.60) – называются напряженностью электромагнитного поля или просто электромаг нитным полем.

Как и любая другая форма кривизны, напряженность электромагнитного поля удовлетворяет тождествам Бианки (13.46), которые в рассматриваемом случае имеют вид + + = 0. (22.61) Обозначим два локальных сечения через eia(x), eia (x) U(1),, [0, 2].

Тогда существует некоторая функция (), связывающая эти сечения:

eia (x) = ei(x) eia(x).

856 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ При переходе от одного локального сечения к другому компоненты локальной формы связности меняются по-правилу (13.16), которое в данном случае принимает простой вид := +. (22.62) Нетрудно видеть, что при калибровочном преобразовании (22.62) компоненты напря женности электромагнитного поля (22.59) не меняются.

Подчеркнем, что преобразование компонент локальной формы связности возни кает в дифференциальной геометрии до того, как вводится понятие ковариантной производной (см. раздел 13.1).

Для построения полевых моделей математической физики одного электромаг нитного поля недостаточно и поэтому выбирается некоторый набор дополнитель ных полей := { a ()}, a = 1,..., n. Если поля вещественнозначные, то группа U(1) действует на них тривиально, и они описывают в квантовой теории поля ней тральные частицы. Поэтому рассмотрим комплекснозначные поля. Мы предполага ем, что эти поля являются локальными сечениями некоторого векторного расслоения ( ) ( ) E M, E, V, U(1), P, которое ассоциировано с главным расслоением P M,, U(1).

Оно имеет ту же базу M и структурную группу U(1). Типичным слоем ассоцииро ванного расслоения является комплексное векторное пространство V, комплексной размерности dim C V = n, в котором принимает значения поле V. Структурная группа U(1) действует в V в соответствии с некоторым представлением. Все непри водимые комплексные представления группы U(1) хорошо известны (см., например, [158]). Они одномерны и параметризуются произвольным целым числом :

ei eik U(1) C, Z. (22.63) Число обязано быть целым, поскольку для группы U(1) мы отождествляем точки = 0 и = 2.

Далее, мы предполагаем, что каждая компонента векторного поля a при дей ствии структурной группы преобразуется по некоторому неприводимому представ лению:

U(1) ei : a eika a, a Z. (22.64) При переходе от одного локального сечения к другому, функция = () является некоторой достаточно гладкой функцией на пространстве-времени, M, которая принимает значения в интервале [0, 2], концы которого отождествлены.

Преобразование (22.62), (22.64) является калибровочным, т.к. параметр преобра зования () зависит от точки пространства-времени. Это преобразование называ ется также градиентным.

Связность в главном расслоении P определяет связности во всех ассоциирован ных расслоениях E и, следовательно, понятие ковариантной производной (13.25) для локальных сечений. Для определения ковариантной производной, необходимо знать представление генератора группы U(1) в C. Разлагая “матрицу” представле ния (22.64) вблизи единицы, получим eika = 1 + a + o().

Отсюда вытекает, что числа a задают представления генератора группы U(1), и, следовательно, ковариантная производная (13.25) каждой компоненты поля a имеет вид a := ( a ) a. (22.65) 22.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ Замечательным свойством ковариантной производной является, как легко прове рить, ее тензорный характер при калибровочных преобразованиях (22.62) и (22.64):

a a = eika (x) a, где a := ( a ) a. (22.66) Все приведенные формулы уже встречались нам в главе 13 в общем виде. Калиб ровочное преобразование (22.64), (22.66) можно интерпретировать либо как переход между двумя сечениями главного и ассоциированного расслоений, которые опреде ляют локальные формы связности и кривизны, либо как вертикальный автоморфизм (пример 12.3.1). В первом случае калибровочное преобразование интерпретируется как пассивное, когда точки расслоения остаются на месте, а меняется только локаль ное сечение. Во втором случае калибровочное преобразование рассматривается как активное, когда точки расслоения сдвигаются под действием структурной группы.

Замечание. Описанная выше конструкция не зависит от того, задана ли или нет на многообразии M аффинная геометрия, т.е. метрика и аффинная связность. Ни одна из приведенных выше формул, включая тождества Бианки (22.61), не содержит метрики и аффинной связности.


При построении моделей математической физики для полей необходимо на писать некоторую систему уравнений. Мы предполагаем, что уравнения движения для полей, не взаимодействующих с электромагнитным полем, следуют из принципа наименьшего действия для некоторого инвариантного интеграла = (, ), M где лагранжиан зависит от полей = { a } и их производных = { a }. Как правило, лагранжиан также зависит от метрики и аффинной связности, которые ис пользуется для построения инвариантов. Тогда взаимодействие с электромагнитным полем вводится путем минимальной подстановки, которая заключается в замене всех частных производных на ковариантные:

a a := ( a ) a, (22.67) и добавлению к исходному лагранжиану лагранжиана для свободного электромаг нитного поля:

(, ) 2 + (, ), где подъем индексов напряженности электромагнитного поля осуществляется с по мощью пространственно-временнй метрики и – универсальная постоянная элек о тромагнитного взаимодействия.

Теперь сделаем переобозначение для того, чтобы уравнения движения свободного электромагнитного поля не содержали константу связи и можно было бы переходить к пределу 0. Тогда лагранжиан примет вид + (, ), где изменится выражение для ковариантной производной a := a a a. (22.68) 858 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ Коэффициент a := a описывает “силу” взаимодействия компоненты поля a с электромагнитным полем и называется электрическим зарядом данного поля. Для слабых электромагнитных полей именно величина a входит в закон Кулона (см., например, [140]).

Мы видим, что при минимальной подстановке заряды всех полей квантуются:

они должны быть пропорциональны некоторому универсальному заряду. Причи на этого в том, что все неприводимые представления группы U(1) параметризуются целыми числами (22.63). И это соответствует действительности, т.к. заряды всех из вестных в настоящее время элементарных частиц кратны заряду электрона. Поэтому естественно считать, что – это заряд электрона. Таким образом, дифференциальная геометрия диктует нам квантование электрического заряда.

Замечание. В моделях, объединяющих электрослабые и сильные взаимодействия, существенную роль играют кварки, электрический заряд которых пропорционален одной трети заряда электрона. В этом нет ничего страшного. Если кварки будут обнаружены экспериментально, то под надо понимать 1/3 заряда электрона.

Замечание. Электроны в квантовой электродинамике описываются спинорным по лем, которое имеет четыре комплексные компоненты. В этом случае для каждой из этих компонент следует положить a = 1.

В релятивистских теориях поля пространство-время отождествляется с простран ством Минковского R1,n1 некоторого числа измерений. Поскольку пространство Минковского R1,n1 как многообразие диффеоморфно евклидову пространству Rn, то согласно теореме 12.1.1 все расслоения тривиальны:

P R1,n1 U(1), E R1,n1 V.

Это означает, что топология пространства-времени в релятивистских моделях при наличии электромагнитного поля всегда тривиальна, и все поля определены гло бально в соответствующей системе координат, покрывающей все пространство Мин ковского R1,n1. Нетривиальной может быть только геометрия, если кривизна U(1) связности отлична от нуля.

Однако, в моделях математической физики, как правило, компоненты связности ищутся путем решения некоторых уравнений. Если окажется так, что соответствую щие решения определены не во всем пространстве Минковского, а лишь на некотором ( ) подмногообразии U R1,n1, то возникает главное расслоение P U,, U(1) с другой базой U. В этом случае топология U может быть нетривиальна, и можно говорить о топологических эффектах. Такова, например, ситуация с монополем Дирака.

Точечные частицы в (псевдо-)римановом пространстве движутся вдоль мировых линий i () = {i ()} M, i = 1, 2,.... Если каждой частице приписать заряд i, то минимальная подстановка состоит в добавлении к лагранжиану свободной частицы (см. ??) лагранжиана взаимодействия:

+, i i i i i i где i := i / – скорость частицы.

Мы считаем, что при калибровочном U(1) преобразовании (22.62) координаты частиц не меняются. Тогда лагранжиан минимального взаимодействия с частицей сам по себе не инвариантен:

i i i i + i i = i i + i.

22.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ Однако при интегрировании вдоль мировой линии частицы, q i = i (2 ) (1 ), [ ] i q результат зависит только от положения начальной и конечной точек 1, 2, но не от траектории частицы. Отсюда вытекает инвариантность действия при фиксирован ных граничных условиях и, следовательно, ковариантность уравнений движения для точечной частицы, минимальным образом взаимодействующей с электромагнитным полем.

Замечание. Если рассматривать только замкнутые траектории с началом и концом в точке 1, то интеграл, (22.69) ( ) определяет элемент группы голономии U(1)-связности в главном расслоении P M,, U(1) в точке 1 M (см. разделы 13.4 и 13.5).

В моделях математической физики считается, что в экспериментах можно на блюдать только калибровочно инвариантные объекты. Таковыми являются компо ненты напряженности электромагнитного поля, которые, как мы увидим ниже, отож дествляются с напряженностью электрического и магнитного полей. При этом сам потенциал электромагнитного поля считается ненаблюдаемым, т.к. зависит от выбора калибровки. Однако, наблюдаемым также является элемент группы голо номии (22.69), который инвариантен относительно калибровочных преобразований.

Это свойство называется эффектом Ааронова–Бома (см. раздел 14.3).

Для точеных частиц заряд i может быть произволен, и его квантование не вы текает из описанного выше подхода.

В настоящей главе мы не будем рассматривать взаимодействие точечных частиц с электромагнитным полем.

Теперь перейдем к описанию свободного электромагнитного поля в пространстве Минковского.

22.3.1 Лагранжева формулировка Пусть задано пространство Минковского R1,n1 произвольного числа измерений и декартова система координат, = 0, 1,..., 1. Электромагнитное поле описы вается компонентами () локальной формы (1)-связности на пространстве Мин ковского. Оно является ковекторным полем по отношению к преобразованиям коор динат – в данном случае – по отношению к преобразованиям Лоренца. Временню у и пространственные компоненты электромагнитного поля будем обозначать следую щим образом:

= {0, µ }, = 1,..., 1. (22.70) То есть греческие буквы из середины алфавита будут пробегать только простран ственные значения.

Действие для свободного электромагнитного поля, по определению, имеет вид em =, em = em, (22.71) 860 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ где подъем и опускание индексов производится с помощью метрики Минковского = diag (+... ) и – напряженность электромагнитного поля (22.59). Поле = является антисимметричным ковариантным тензором второго ранга типа (0, 2) и представляет собой компоненты локальной 2-формы кривизны (22.60) (1)-связности.

Уравнения движения для действия (22.71) линейны:

em em, := = = 0. (22.72) Поэтому мы говорим, что действие (22.71) описывает свободное электромагнитное поле.

Лагранжиан (22.71), напряженность (22.59) и уравнения движения (22.72) инва риантны относительно калибровочных преобразований (22.62) действующих только на поля и не затрагивающие координаты. Из калибровочной инвариантности, со гласно второй теореме Нетер, следует, что между уравнениями движения имеется линейная зависимость:

em, = 0. (22.73) Замечание. Легко видеть, что добавление массового члена 2 2 к лагранжи ану электромагнитного поля (22.71) нарушает калибровочную инвариантность элек тродинамики.

Пример 22.3.1. Напомним, что в четырехмерном пространстве Минковского R1, напряженности электрического и магнитного полей связаны с потенциалом = {0, } известными соотношениями (см., например, [140]):

= grad 0, = rot, (22.74) где жирным шрифтом обозначены трехмерные векторы. Это значит, что времення а компонента электромагнитного поля 0 является электростатическим потенциалом, а трехмерный ковектор – векторным потенциалом магнитного поля. Отсюда вы текает, что все компоненты напряженности электромагнитного поля определяются напряженностями электрического и магнитного полей:

0 1 2 3 = 1 (22.75) 2 3 0 2 3 Лагранжиан электромагнитного поля (22.71) также можно выразить через напря женности электрического и магнитного полей:

em = ( 2 2 ).

Проанализируем уравнения Эйлера–Лагранжа (22.72) в пространстве Минковско го произвольного числа измерений подробнее. Для временнй и пространственных о компонент электромагнитного поля уравнения движения имеют вид 0 0 µ µ = 0, (22.76) µ µ µ 0 0 = 0, (22.77) 22.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ где введены операторы Лапласа и Даламбера:

:= µ µ = 1 + 2 +... + n1, 2 2 := = 0.

Уравнение для временнй составляющей (22.76) для каждого момента времени пред о ставляет собой уравнение Пуассона в евклидовом пространстве Rn1 с правой частью, определяемой пространственными компонентами. Сформулируем две теоремы о су ществовании и единственности решения этого уравнения во всем пространстве и в ограниченной области, доказательство которых приведено, например, в [3].

Теорема 22.3.1. Если правая часть уравнения Пуассона дифференцируема и убыва ет на бесконечности, то решение уравнения Пуассона во всем пространстве Rn1, 2, существует и единственно в классе обобщенных функций, обращающихся в нуль на бесконечности. При этом решением уравнения Пуассона является два жды непрерывно дифференцируемая функция во всем пространстве и убывающая на бесконечности.

Теорема 22.3.2. Если правая часть уравнения Пуассона дифференцируема в огра ниченной области U Rn1, 2, с кусочно гладкой границей U и непрерывна в замыкании U, то решение внутренней задачи Дирихле для уравнения Пуассона существует, единственно и непрерывно зависит от граничных условий на U.

Если для внешней задачи Дирихле предположить, что правая часть уравнения Пуассона и решение стремятся к нулю на бесконечности, то справедлива аналогич ная теорема для внешней задачи Дирихле. Аналогичные теоремы справедливы также для задачи Неймана, когда на границе задается значение нормальной производной искомой функции. В последнем случае решение определяется с точностью до адди тивной постоянной.

Приведенные теоремы показывают, что при достаточно общих предположениях оператор Лапласа в евклидовом пространстве, а также в ограниченной области с заданными граничными условиями обратим, и решение уравнения Пуассона (22.76) можно формально записать в виде 0 = 1 0 µ µ, (22.78) где 1 – “обратный” оператор Лапласа. Конечно, в строгом смысле оператор Лапла са необратим, т.к. решение уравнения Пуассона в общем случае определяется с точ ностью до произвольной гармонической функции. Тем не менее такая запись удобна и часто употребляется в физической литературе, предполагая, что решение соот ветствующего уравнения Пуассона однозначно выделено, например, с помощью гра ничных условий. Запись (22.78) означает, что в каждый момент времени временняа компонента электромагнитного поля однозначно определяется пространственными компонентами.

Теперь рассмотрим уравнение для пространственных компонент (22.77). Про странственные компоненты электромагнитного поля µ образуют ковектор в евкли довом пространстве Rn1. Если поле µ непрерывно дифференцируемо, то при до статочно общих граничных условиях его можно взаимно однозначно разложить на поперечную (соленоидальную) и продольную (потенциальную) составляющие:

µ = t + l, (22.79) µ µ 862 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ которые удовлетворяют следующим условиям:

µ tµ = 0, (22.80) µ l l = 0. (22.81) µ Формула (22.79) однозначно определяет ковекторное поле µ при заданных полях tµ и l. Покажем, что пространственная часть электромагнитного поля µ также од µ нозначно определяет свою продольную и поперечную составляющую. В силу леммы Пуанкаре (3.3.3) из условия (22.81) следует, что продольная составляющая, по край ней мере локально, является градиентом от некоторой функции (), определенной с точностью до постоянной, которая фиксируется граничными условиями. Для одно связных многообразий, как в нашем случае, это утверждение является глобальным.

Запишем данное свойство в виде равенства µ = t + µ. (22.82) µ Дифференцирование данного соотношения с учетом условия (22.80) приводит к тому, что скалярное поле, соответствующее продольной составляющей, является решением уравнения Пуассона:

= µ µ, := µ µ, (22.83) которое существует и единственно при достаточно общих граничных условиях (см.

теоремы 22.3.1, 22.3.2). После этого поперечная составляющая однозначно определе на:

t = µ µ. (22.84) µ Нетрудно проверить, что ее дивергенция действительно равна нулю. Таким образом, вместо 1 компоненты ковекторного поля µ можно рассматривать скалярное поле, определяемое уравнением (22.83), и соленоидальное ковекторное поле t (22.84).

µ При таком разложении число независимых компонент сохранено, т.к. поперечное ко векторное поле имеет 2 независимые компоненты в силу дополнительного условия (22.80).

Замечание. При = 2 поперечная составляющая у электромагнитного поля отсут ствует.

Перепишем уравнения движения (22.76), (22.77) для продольной и поперечной части:

0 + = 0, (22.85) + µ µ = 0, µ (22.86) t = 0, (22.87) µ где уравнение (22.77) также расщеплено на продольную и поперечную части. Для полей, убывающих на бесконечности, уравнение (22.85) для временнй компонен о ты электромагнитного поля легко решается: 0 =, поскольку решение уравнения Лапласа в данном случае единственно. Уравнение (22.86) тождественно удовлетво ряется. Поскольку все проделанные операции обратимы, то мы доказали следующее Предложение 22.3.1. Для полей, убывающих на бесконечности, лагранжевы урав нения движения для электромагнитного поля (22.72) эквивалентны следующей си стеме уравнений:

0 =, (22.88) t µ = 0, (22.89) дополненной определением поля (22.82), (22.83).

22.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ Тот факт, что лагранжевых уравнений оказались эквивалентными 1 урав нению (22.88), (22.89) не является удивительным. Как уже отмечалось, из-за калиб ровочной симметрии, в силу второй теоремы Нетер, между исходными уравнениями движения имеется одно линейное соотношение (22.73).

Если рассматривать задачу Коши для электромагнитного поля, то мы видим, что она может быть поставлена только для поперечных компонент электромагнитного потенциала. Следовательно, электромагнитное поле описывает только 2 физи ческих (распространяющихся) степени свободы. При этом скалярное поле явля ется произвольной функцией (непрерывно дифференцируемой и удовлетворяющей граничным условиям для рассматриваемой физической задачи), т.к. для нее нет ни одного уравнения. Времення компонента электромагнитного потенциала выража а ется через. Конечно, можно считать наоборот, что компонента 0 произвольна, а функция находится из уравнения (22.88).

Поперечные степени свободы являются распространяющимися и соответствуют электромагнитным волнам. В двух измерениях электромагнитное поле не описывает ни одной степени свободы и электромагнитное излучение отсутствует. В пространстве Минковского трех и четырех измерений электромагнитное поле имеет соответственно одну и две степени свободы.

То обстоятельство, что мы не получили ни одного уравнения на продольную со ставляющую является следствием калибровочной инвариантности электродинамики относительно преобразований (22.62). Нетрудно проверить, что напряженность элек тромагнитного поля при выполнении уравнения движения (22.88) зависит только от поперечных компонент:

µ = µ t t.

0µ = 0 t, (22.90) µ µ Калибровочные преобразования (22.62) для компонент электромагнитного поля вы глядят следующим образом:

0 = 0 + 0, (22.91) = +, (22.92) µ = t.

t (22.93) µ Используя произвольную функцию () можно зафиксировать одну из компонент электромагнитного поля 0 или, то есть придать им определенные наперед задан ные значения, которые, конечно, должны быть согласованы с уравнением (22.88).

Это называется фиксированием калибровки и упрощает решение уравнений Эйлера– Лагранжа, т.к. устраняет функциональный произвол в общем решении и уменьшает число неизвестных функций. Наложение калибровочных условий необходимо также для построения квантовой теории. Например, можно положить 0 = 0 и = 0. Для полей, убывающих на бесконечности, последнее условие эквивалентно кулоновской калибровке µ µ = 0. Среди калибровок, наиболее часто использующихся в электро 864 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ динамике, отметим следующие1 :

µ µ =0 – кулоновская калибровка, =0 – лоренцева калибровка, (22.94) 0 =0 – времення калибровка, а 3 =0 – аксиальная калибровка.

Из этих калибровок только кулоновская и аксиальная являются канонически ми (см. раздел 19.2.3). Лоренцева калибровка содержит производную по времени:

0 0 + µ µ = 0. Времення калибровка с гамильтоновой точки зрения фиксирует а множитель Лагранжа и оставляет произвол в определении пространственных ком понент электромагнитного потенциала µ.

Мы называем поля 0 и l нефизическими только потому, что для них нет задачи µ Коши. Однако это не означает, что они всегда равны нулю и не наблюдаются. На против, электростатический потенциал 0 очень даже наблюдается, например, при взаимодействии точечных зарядов в законе Кулона.

22.3.2 Законы сохранения Действие для свободного электромагнитного поля в пространстве Минковского ин вариантно относительно глобального действия группы Пуанкаре и локальных ка либровочных преобразований (22.62). Из теоремы Нетер отсюда следуют законы со хранения тензора энергии-импульса, момента количества движения и вектора элек тромагнитного тока. Поскольку калибровочные преобразования локальны, то вторая теорема Нетер приводит также к зависимости уравнений движения (22.73), которая была отмечена раньше.

Явное выражение для тензора энергии-импульса (20.168) в случае электромаг нитного поля принимает вид := = + 2. (22.95) Первое слагаемое в этой формуле явно несимметрично относительно перестановки индексов. Воспользуемся произволом (18.39) в определении тензора энергии-импульса и определим новый симметричный тензор энергии-импульса = + 2 = +.

s (22.96) С учетом уравнений движения для электромагнитного поля (22.72) разность между новым и старым выражением принимает вид s = ( ), (22.97) что согласуется с видом добавочного члена (18.39). Важным обстоятельством явля ется то, что симметричный тензор энергии-импульса (22.96) калибровочно инвари антен. Закон сохранения энергии-импульса имеет вид (18.44), s = = 0, Лоренцеву калибровку ввел датский физик Ludwig Lorenz в 1867 году, а не голландский физик H. A. Lorentz (на русский язык обе фамилии в настоящее время принято переводить одинаково, хотя ранее фамилия Lorentz переводилась, как Лорентц), в честь которого названы преобразования Лоренца. По этому поводу см. [159] 22.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ для любого решения уравнений движения.

Лоренцевы вращения для электромагнитного поля записываются в виде =, =. (22.98) Поэтому для спинового момента (18.53) получаем следующее выражение =. (22.99) Полный тензор момента количества движения (18.51) состоит из орбитального и спинового моментов:

= +. (22.100) Используя выражения для симметричного тензора энергии-импульса (22.96) и спи нового момента (22.99) его можно переписать в виде = + ( ), (22.101) где := s s – орбитальный момент, построенный по симметричному тензору энергии-импульса (22.97). Поскольку второе слагаемое в выражении (22.101) имеет вид (18.39), то тен зор момента количества движения можно переопределить, положив = = s s, (22.102) который также сохраняется = 0.

Отметим полное отсутствие спинового момента в этом выражении.



Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 | 27 |   ...   | 31 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.