авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 || 27 | 28 |   ...   | 31 |

«Геометрические методы в математической физике 17 октября 2013 г. Катанаев Михаил Орионович1 ...»

-- [ Страница 26 ] --

С калибровочной инвариантностью электродинамики связан закон сохранения заряда = 0, (22.103) где = (22.104) – ток, соответствующий первой теореме Нетер, то есть, когда параметр калибровоч ных преобразований не зависит от точки пространства-времени. В данном случае закон сохранения заряда (22.103) совпадает с зависимостью уравнений движения, вытекающей из второй теоремы Нетер (22.73). При отсутствии полей материи этот закон тривиален, т.к. ток равен нулю в силу уравнений движения (22.72).

22.3.3 Гамильтонова формулировка Свободное электромагнитное поле является относительно простым и важным при мером калибровочной модели. Ниже мы используем общий гамильтонов анализ для систем со связями, описанный в разделе 19.2.3.

Электромагнитному потенциалу соответствуют канонически сопряженные им пульсы em := = 0. (22.105) (0 ) 866 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ По определению, скобки Пуассона между координатами и импульсами в каждый момент времени имеют вид, := (, ), (, ) = ( ), [ ] [ ] (22.106) где ( 1)-мерная -функция зависит только от пространственных координат. Ввиду антисимметрии напряженности электромагнитного поля в теории возникает первич ная связь 1 := 0 0, (22.107) где волнистый знак равенства обозначает, что равенство должно быть выполнено на поверхности всех связей. Других первичных связей электродинамика без полей материи не содержит. Гамильтониан получается простым вычислением ( ) 1µ 1 µ µ = µ + µ 0 µ +, (22.108) 2 где мы добавили первичную связь (22.107) с множителем Лагранжа. Гамильтоновы уравнения движения для построенного гамильтониана имеют следующий вид:

0 =, (22.109) µ = µ + µ 0, (22.110) 0 = µ µ, (22.111) µ = µ, (22.112) которые необходимо дополнить уравнением первичной связи (22.107), возникающей при варьировании соответствующего действия по множителю Лагранжа.

В уравнении (22.109) множитель Лагранжа действительно является произволь ной функцией. Чтобы убедиться в этом, необходимо проверить самосогласованность уравнений движения при произвольных. Поскольку в теории есть связь, то она должна сохраняться во времени. То есть правая часть уравнения (22.111) должна быть равна нулю для любого решения. Вычислим производную по времени:

0 (µ µ ) = [µ µ, ] = µ µ = 0, где мы использовали антисимметрию компонент напряженности. Поэтому, если связь (22.107) выполнена в начальный момент времени, то она будет удовлетворяться и в последующие моменты времени. Таким образом, у нас имеется только четыре урав нения (22.109)–(22.112) на пять функций. Поэтому функцию можно рассматривать как произвольную.

Предложение 22.3.2. Для полей, убывающих на бесконечности, гамильтоновы уравнения движения для электромагнитного поля (22.107), (22.109)–(22.112) экви валентны лагранжевым уравнениям (22.72).

Доказательство. Пусть выполнены гамильтоновы уравнения. Из уравнения (22.110) находим импульсы µ = µ + µ 0 = µ0.

Тогда уравнение (22.112) примет вид лагранжева уравнения µ = 0.

22.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ Поскольку 0 = 0, то уравнение (22.111) примет вид µ µ или, с учетом выражения для импульсов µ µ0 = 0.

Таким образом, лагранжевы уравнения являются следствием гамильтоновых. При этом мы никак не использовали уравнение для временнй компоненты (22.109).

о Обратно. Пусть выполнены лагранжевы уравнения. Обозначим := 0. То гда выполнены уравнения (22.110) и связь 0 = 0. Лагранжевы уравнения в новых переменных примут вид µ µ = 0, µ + µ = 0, что эквивалентно гамильтоновым уравнениям (22.111), (22.112) с учетом условия 0 = 0. Осталось показать, что уравнение (22.109) является следствием лагранжевых уравнений. Ранее мы доказали, что лагранжевы уравнения эквивалентны системе уравнений (22.88), (22.89). В уравнении (22.88) функция, а в уравнении (22.109) функция являются совершенно произвольными. Поэтому можно положить =, и тогда эти уравнения совпадут.

Замечание. В гамильтониан (22.108) необходимо добавить первичную связь, т.к. в противном случае эквивалентности между гамильтоновыми и лагранжевыми урав нениями не будет.

Продолжим построение гамильтонова формализма согласно общей схеме анализа систем со связями. Производная по времени от первичной связи (22.107) равна 1 = 0, = µ µ.

[ ] (22.113) Это приводит к вторичной связи 2 := µ µ 0. (22.114) Нетрудно проверить, что других связей в теории нет. Связи 1 и 2 являются функ ционально независимыми связями первого рода, т.к. их скобка Пуассона равна нулю:

[ ] 1, 2 = 0.

К полному гамильтониану теории мы добавляем все связи:

( ) 1µ 1 µ 0 t = µ + µ + + µ, (22.115) 2 где () и () – множители Лагранжа. На поверхности связей 1 = 0 и 2 = гамильтонова плотность, очевидно, положительно определена.

В лагранжевом формализме действие инвариантно относительно калибровочных преобразований (22.62), которые параметризуются одной произвольной функцией (). Согласно второй теореме Нетер это приводит к зависимости уравнений дви жения (22.73). Покажем, что в гамильтоновом формализме действие инвариантно относительно калибровочных преобразований, параметризующихся не одной, а дву мя произвольными функциями, по числу связей первого рода, и уравнения движения удовлетворяют двум тождествам. Удвоение числа локальных симметрий произошло потому что в гамильтоновом формализме калибровочный параметр () и его вре мення производная () рассматриваются, как независимые функции и параметри а зуют, соответственно, различные калибровочные преобразования.

868 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ Выразим полное действие для свободного электромагнитного поля через коорди наты и импульсы:

1 t = ( + µ µ µ µ 0 µ ). (22.116) 2 Полное действие совпадает с исходным действием (22.71) в лагранжевой формули ровке только при = 0 и = 0 и поэтому является более общим. Уравнения Эйлера–Лагранжа для действия (22.116) принимают вид t = 0 = 0, (22.117) t = µ + µ + µ = 0, (22.118) µ t = 0 = 0, (22.119) t = µ µ = 0, (22.120) µ t = 0 = 0, (22.121) t = µ µ = 0. (22.122) Согласно теореме 19.2.3 каждой связи первого рода соответствует калибровочное преобразование, относительно которого полное действие инвариантно. Первичной связи (22.107) соответствует генератор калибровочных преобразований 1 = 1 с некоторым малым параметром 1 (). При этом преобразуется только времення а компонента электромагнитного поля 0 и множитель Лагранжа :

1 0 = [0, 1 ] = 1, 1 = 1.

(22.123) Все остальные поля остаются без изменения. Согласно второй теореме Нетер из инва риантности действия относительно калибровочного преобразования (22.123) следует зависимость уравнений движения t t t = 0.

0 В справедливости этого тождества нетрудно убедиться прямой проверкой.

Вторичной связи первого рода (22.114) также соответствует генератор преобра зований 2 = 2 µ µ, где 2 () – малый параметр второго калибровочного преобразования. В этом случае преобразуются только пространственные компоненты электромагнитного потенциа ла µ и множитель Лагранжа :

2 µ = µ 2, 2 = 2.

22.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ Из инвариантности действия следует зависимость уравнений Эйлера–Лагранжа t t t µ = 0, µ что также легко проверить. Таким образом, число параметров калибровочных преоб разований полного действия t в гамильтоновом формализме по сравнению с лорен цевой формулировкой удвоилось. Эта ситуация типична для калибровочных моделей, когда в лагранжевом формализме локальные преобразования зависят как от самого параметра, так и от его производной по времени.

Генератором калибровочных преобразований в лагранжевом формализме (22.62) является линейная комбинация связей первого рода:

= ( 0 µ µ ).

Действительно, 0 = [0, ] =, µ = [µ, ] = µ.

Теперь проанализируем гамильтоновы уравнения движения (22.117)–(22.122) и связи (22.107), (22.114) без фиксирования какой-либо калибровки. Для определенно сти и простоты будем рассматривать задачу в евклидовом пространстве Rn1 для гладких функций достаточно быстро убывающих на бесконечности. По аналогии с разложением электромагнитного поля на поперечную и продольную части (22.82) разложим также импульсы:

µ = µ = µ + µ, t l где µ tµ = 0, l µ = µ.

В этом разложении скалярное поле () для каждого момента времени является решением уравнения Пуассона = µ µ = µ lµ.

Для широкого класса граничных условий в односвязных областях разложение им пульсов на продольную и поперечную части является взаимно однозначным. Тогда связь (22.114) примет вид µ µ = µ lµ = 0 = 0.

В рассматриваемом случае мы имеем единственное решение = 0, что влечет за собой отсутствие продольной составляющей импульса, lµ = 0.

Запишем уравнение движения для электромагнитного потенциала (22.118) от дельно для продольной и поперечной компоненты:

t = µ, l = µ µ.

t l (22.124) µ µ Последнее уравнение можно переписать в терминах потенциала l = µ и один раз µ проинтегрировать:

= = 1 µ µ.

870 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ Отсюда следует, что эволюция продольной l составляющей электромагнитного по µ ля произвольна, так как определяется множителем Лагранжа.

С учетом уравнения движения для временнй компоненты 0, мы видим, что о эволюция компонент 0 и l совершенно произвольна, т.к. определяется множите µ лями Лагранжа. При этом уравнения связей позволяют найти сопряженные импуль сы 0 = 0 и lµ = 0. В то же время множители Лагранжа не входят в уравнения движения для поперечных компонент t и tµ. Мы видим, что времення и про а µ дольные компоненты соответствуют калибровочным степеням свободы и являются нефизическими.

В теории свободного электромагнитного поля связи можно решить и выписать в явном виде эффективное действие для физических степеней свободы (см. раз дел 19.2.3). Ввиду важности этой процедуры, остановимся на ней подробно.

Электродинамика без полей материи содержит две связи первого рода a = {1, 2 } = 0, a = 1, 2.

В соответствии с общим правилом (см. раздел 19.2.3) наложим два калибровочных условия:

a = { 1, 2 } = {0, µ µ } = 0.

Второе калибровочное условие µ µ = 0 является уравнением только на продольную составляющую электромагнитного поля:

µ µ = µ lµ = 0 = 0.

При нулевых граничных условиях на бесконечности это уравнение в евклидовом пространстве Rn1 имеет единственное решение = 0, т.е. у пространственных ком понент ковектора µ отсутствует продольная составляющая. Эта калибровка назы вается кулоновской.

Обобщенный гамильтониан электродинамики, который получается после добав ления всех связей и калибровочных условий, примет вид ( ) 1µ 1 µ 0 µ e = µ + µ + + µ + 0 + µ, 2 где,,, – множители Лагранжа. Из условия сохранения калибровочных условий и связей во времени получаем уравнения на множители Лагранжа:

= 0, = 0.

= 0, = 0, При сделанных предположениях уравнения на и имеют единственное решение = 0, = 0. Таким образом, кулоновская калибровка является канонической, поскольку однозначно фиксирует множители Лагранжа.

Для точечных частиц отличие от нуля определителя (19.108) является необходи мым и достаточным условием однозначного определения множителей Лагранжа в расширенном гамильтониане e. Вопрос о критерии однозначного определения мно жителей Лагранжа в теории поля сложен. Действительно, введем обозначение для полной системы связей и калибровочных условий:

m = {1, 1, 2, 2 }, m = 1, 2, 3, 4.

22.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ Тогда матрица, составленная из скобок Пуассона, примет вид ( ) 0 0 ( ) 0 0 0 [m, n ] =.

( ) 0 0 ( ) 0 0 Вопрос о том, что такое определитель этой матрицы сложен, и мы на нем останав ливаться не будем.

Фазовое пространство электродинамики N бесконечномерно, dim N = 2, и задается координатами () и сопряженными импульсами (). Физическое подпространство (поверхность связей и калибровочных условий = 0) M N раз мерности dim M = 2( 2) определяется уравнениями m = 0. Построим на N такую систему координат, которая фигурирует в теореме 19.2.2. Сначала заметим, что на поверхности связей и калибровочных условий m = 0 продольные компоненты координат и импульсов отсутствуют:

µ |=0 = tµ.

µ |=0 = t, µ Исходной системой координат на N являются координаты и сопряженные им пульсы с канонической скобкой Пуассона (22.106). Введем вместо пространствен ных компонент µ и µ их разложение на поперечную и продольную составляющую:

{µ, µ } {t, l, tµ, lµ }.

µ µ Явные формулы для поперечных и продольных компонент имеют вид:

µ µ l = t = µ +,, µ µ µ µ = µ + = tµ lµ,, где µ = µ. Пуассонова структура в новых координатах уже не будет иметь ка нонического вида, т.к. на них имеются дополнительные соотношения (22.80), (22.81) и такие же соотношения на импульсы. Простые вычисления показывают, что для пространственных компонент отличны от нуля только две скобки Пуассона:

µ µ ( ) ( ), [l, l ] = ( ).

t t [µ, ] = µ + (22.125) µ В качестве независимых координат на поверхности связей и калибровочных усло вий M выберем первые 2 поперечные компоненты электромагнитного поля = {t }, = 1,..., 2.

a Тогда последняя компонента n1 находится из уравнения поперечности (22.80) xn a ta (0, 1,..., n2, ) := n1 = t a ta, n где мы ввели обозначение 1/n1 для оператора, обратного к частной производной n1. При этом мы предполагаем, что все компоненты полей достаточно быстро убы вают при n1 и, следовательно, оператор частной производной n1 обра тим. Импульсы, сопряженные к координатам, должны иметь с ними каноническую 872 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ скобку Пуассона. Учитывая формулу (22.125), нетрудно проверить, что импульсы, сопряженные к, имеют вид { } 1 a t,n = = 1,..., 2.

ta, n Координаты и сопряженные им импульсы образуют систему координат на физи ческом подмногообразии M N фазового пространства. Заметим, что при n компоненты импульсов в общем случае не обязательно убывают, поскольку со держат обратный оператор 1/n1. Эта ситуация типична в теории поля, где связи представляют собой дифференциальные уравнения.

Таким образом, мы построили канонически сопряженные координаты на поверх ности связей. Это – не единственный выбор. В качестве независимых координат мож но было бы выбрать непосредственно компоненты {, } = {a, a }, = 1,..., 2.

В этом случае преобразования координат фазового пространства были бы проще, од нако выражение для эффективного гамильтониана для физических степеней свободы – сложнее.

Поверхность связей и калибровочных условий m = 0 можно задать канонически сопряженными координатами и импульсами:

a = { 0, 1 µ µ }, a = {0, µ µ }, a = 1, 2.

Действительно, нетрудно проверить, что скобки Пуассона имеют канонический вид:

[a, b ] = a ( ), b [ a, b ] = 0.

[a, b ] = 0, Эти координаты описывают нефизические (калибровочные) степени свободы.

Таким образом, в соответствии с теоремой 19.2.2 мы построили систему координат на фазовом пространстве N {,, a, a } такую, что канонически сопряженные координаты и импульсы, являются коор динатами на физическом подпространстве M N, а поверхность связей и калибро вочных условий задается особенно просто:

m = 0 a = 0, a = 0.

Пример 22.3.2. В четырехмерном пространстве-времени на поверхности связей и калибровочных условий физический (эффективный) гамильтониан принимает про стой вид ( ) 1 tµ t 1 µ ( t2 + 2 ), ph = µ + µ = 2 4 где мы учли выражения для напряженностей электрического и магнитного полей (22.74). Напомним, что из определения напряженности магнитного поля следует, что = t. Таким образом, мы получили стандартное выражение для плотно сти энергии свободного электромагнитного поля, которое, очевидно, положительно определено.

Построенная система координат нелокальна в том смысле, что содержит обратные дифференциальные операторы. Эта ситуация типична для калибровочных теорий поля, где связи являются дифференциальными уравнениями по пространственным координатам, поскольку их решения задаются интегралами по пространству.

22.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ Решения дифференциальных уравнений в частных производных существенно за висят от области, в которой ищется решение, и граничных условий. В частности, оператор Лапласа может быть необратим, и это может приводить к физическим следствиям.

Таким образом, электродинамика в пространстве Минковского R1,n1 описывает 2 физические (распространяющиеся) степени свободы. В четырехмерном пространстве времени мы говорим, что фотон имеет две поляризации. При этом времення и про а дольная компоненты электромагнитного поля являются нефизическими (нераспро страняющимися). Это не значит, что они равны нулю. Например, в электростатике времення компонента 0 нетривиальна и наблюдаема, т.к. представляет собой элек а трический кулонов потенциал взаимодействия зарядов. Нефизичность в рассматри ваемом контексте означает только то, что для соответствующих полей нельзя поста вить задачу Коши.

В двумерном пространстве-времени, = 2, пространственная часть электромаг нитного поля µ имеет только одну продольную составляющую. Все координаты и импульсы находятся из решения связей и калибровочных условий. Поэтому элек тромагнитное поле в двух измерениях не имеет физических (распространяющихся) степеней свободы. В этом смысле модель тривиальна. Тем не менее она представляет интерес, особенно при включении взаимодействия с другими полями.

Гамильтонова формулировка свободной электродинамики на произвольном мно гообразии M с метрикой проводится, по существу, так же как и в пространстве Минковского. Необходимо произвести замену и рассматривать компо ненты метрики как внешнее поле. Почти все формулы останутся при этом без изменения, только в ковариантных производных появятся символы Кристоффеля, возникающие при интегрировании по частям.

22.3.4 Скалярная электродинамика Рассмотрим простейший пример нетривиального взаимодействия полей материи с электромагнитным полем в пространстве Минковского R1,n1 произвольного числа измерений. Эта модель – скалярная электродинамика – описывает комплексное ска лярное поле, минимально взаимодействующее с электромагнитным полем. Со ответствующий лагранжиан имеет вид = + † († ), (22.126) где ковариантные производные определены следующими соотношениями:

:=, (22.127) † := † + †, и = const – заряд поля (как мы увидим позже).

Уравнения движения для скалярной электродинамики имеют вид = + † † = 0, (22.128) = = 0, (22.129) † = † † = 0. (22.130) 874 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ Сравнение этих уравнений с уравнениями Максвелла в той форме, как они обыч но записываются в физической литературе (см., например, [140]), показывает, что константа связи имеет физическую интерпретацию заряда поля.

Лагранжиан (22.126) инвариантен относительно калибровочных преобразований = iq, † † = iq †, (22.131) = +, где () – локальный параметр преобразования. Согласно второй теореме Нетер от сюда вытекает линейная зависимость уравнений движения:

† † = 0.

+ (22.132) В случае свободного электромагнитного поля зависимость уравнений движения (22.73) выглядит тривиально. Для скалярной электродинамики доказать зависимость урав нений (22.128)–(22.130) без обращения к калибровочной инвариантности намного сложнее.

В пространстве Минковского лагранжиан инвариантен относительно действия группы Пуанкаре ISO(1, 1). Этой инвариантности, согласно первой теореме Нетер, соответствует закон сохранения энергии импульса и момента количества движения.

Канонический тензор энергии-импульса равен сумме тензора энергии-импульса элек тромагнитного (22.95) и скалярного полей (22.37):

(c) = + 2 + † + † † († ), (22.133) [ ] который, очевидно, несимметричен. Как и в случае свободного электромагнитного поля, добавление дивергенции (22.97) с учетом уравнений движения позволяет опре делить симметричный и калибровочно инвариантный тензор энергии-импульса (s) = + 2 + † + † † († ). (22.134) [ ] Выражение для тензора спина в скалярной электродинамике такое же, как и для свободного электромагнитного поля (22.99). Связь полного момента количества дви жения с орбитальным моментом, определяемым симметричным тензором энергии импульса также остается прежней (22.102).

Сохраняющийся вектор электромагнитного тока, соответствующий глобальным преобразованиям (22.131), имеет вид = + († † ). (22.135) Заметим, что зависимость уравнений движения (22.132), вытекающая из второй тео ремы Нетер, и сохранение тока – не одно и то же.

Спектр модели, т.е. массы, спины и заряды частиц после вторичного квантования, определяется квадратичным приближением лагранжиана, которое, в свою очередь, зависит от вида потенциала самодействия скалярного поля. Если скалярное поле свободно, т.е.

(† ) = 2 †, 0, 22.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ то модель (22.126) в низкоэнергетическом пределе описывает заряженные скалярные частицы массы, взаимодействующие с безмассовым электромагнитным полем.

Если потенциал скалярного поля описывает самодействие, то ситуация может сильно измениться. Продемонстрируем это на примере потенциала “4 ” (22.44). Сна чала перепишем лагранжиан (22.126) через действительную и мнимую части:

= + 1 1 + 2 2 (2 + 2 ), ( ) 1 где 1 := 1 + 2, 2 := 2 1.

В таком виде скалярные поля 1 и 2 преобразуются по неприводимому двумерному вещественному представлению унитарной группы U(1) (векторному представлению группы вращений SO(2)) Вакуумное решение выберем однородным и изотропным:

0 =, = и произведем разложение скалярного поля (22.45) вблизи вакуума. В новых пере менных лагранжиан (22.126) примет вид = + ( 1 1 + 2 2 )+ + 2 (2 1 1 2 2 ) + 2 (2 + 21 + 2 + 2 )+ 1 [42 2 + 43 + 41 2 + 4 + 4 + 22 2 ].

1 1 2 1 1 Проанализируем квадратичное приближение. Мы видим, что вблизи вакуума век торное поле приобрело массовый член 2 2, и появилось слагаемое с переме шиванием 2 2. Заметим, что квадратичные слагаемые по и 2 можно записать в виде полного квадрата:

( ) ( ) 1 22 2 2 2 2 2 + = 2 2.

Поскольку замена компонент векторного поля := не изменяет кинетического члена, то это преобразование диагонализирует квадра тичную часть лагранжиана. В результате возникает лагранжиан с квадратичной частью, которая вообще не содержит голдстоуновское поле 2 :

b b + 2 2 + 2 22 2, 1 1 (22.136) где b :=.

Теперь можно описать спектр теории. Модель описывает массивное векторное поле, взаимодействующее с нейтральным массивным скалярным полем. Таким образом, 876 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ безмассовое голдстоуновское поле исчезло, а векторное поле приобрело массу. При этом общее число степеней свободы не изменилось, т.к. массивное векторное поле, как мы увидим позже в разделе 22.4, имеет на одну степень свободы больше, чем безмассовое. То есть одна степень свободы комплексного скалярного поля перешла в продольную компоненту массивного векторного поля.

Обратим внимание, что массы полей имеют правильные знаки.

Поле 2 при описанном преобразовании остается в высших порядках лагранжи ана, однако это не влияет на спектр теории.

Появление массивного векторного поля в физическом секторе модели можно по яснить по-другому. Параметризуем комплексное векторное поле его амплитудой и фазой:

:= eiq, = (), = ().

Поскольку исходная теория калибровочно инвариантна, то физические степени сво боды остаются после фиксирования калибровки. Совершим калибровочное преобра зование = eiq, =.

Другими словами, зафиксируем калибровку im = 0. Тогда лагранжиан примет вид (опустив штрихи) = + ( + )( ) (2 ) = = + 2 + 2 2 (2 ).

Теперь разложим поля вблизи вакуумного решения = +, =.

Тогда квадратичная часть лагранжиана примет вид + 2 + 2 2 22 2.

Это выражение с точностью до обозначений совпадает с полученным ранее выра жением (22.136). То есть мы получили прежний спектр модели. При таком подходе голдстоуновское нефизическое поле, каковым является фаза скалярного поля, вооб ще исключается из лагранжиана.

Описанная выше конструкция обобщается на теорию полей Янга–Миллса, вза имодействующих со скалярными полями. При этом безмассовые голдстоуновские бозоны исчезают, а калибровочные поля приобретают массу. Это явление приобрете ния масс первоначально безмассовыми векторными полями за счет спонтанного на рушения симметрии называется механизмом Хиггса. Оно было независимо открыто Энглертом, Броутом и Хиггсом [160, 161].

Как видим, спектр теории, который определяется низкоэнергетическим прибли жением, существенно меняется при спонтанном нарушении симметрии. Современные модели, объединяющие электромагнитные, слабые и сильные взаимодействия, ос новываются на калибровочной симметрии и соответствующих полях Янга–Миллса.

Поэтому теория изначально содержит большое число безмассовых векторных полей.

22.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ С другой стороны, нам экспериментально известно только одно безмассовое вектор ное поле – электромагнитное. Чтобы устранить возникающее противоречие теории и эксперимента вводится взаимодействие со скалярными полями (хиггсовскими бо зонами) таким образом, чтобы вакуумное решение уравнений движения нарушало калибровочную симметрию. В результате калибровочные поля приобретают массу за счет механизма Хиггса, и можно сказать, что мы эти поля не наблюдаем, потому что они слишком массивны.

Важно отметить, что перенормируемость квантовополевой модели определяется не низко-, а высокоэнергетическим приближением, которое у спонтанно нарушенной теории такое же, как и до нарушения симметрии. Поэтому свойство перенормируе мости сохраняется при спонтанном нарушении симметрии.

22.3.5 Электромагнитное поле в аффинной геометрии Лагранжиан электромагнитного поля на многообразии M с заданной аффинной гео метрией при минимальной подстановке принимает вид 1 || := || 2, em = (22.137) 4 где – напряженность электромагнитного поля (22.59). Ему соответствует дей ствие em = em. (22.138) M Замечание. Как и в случае скалярных полей, лагранжиан (22.137) не зависит от аффинной связности. Это связано с тем, что – это компоненты локальной фор мы кривизны для (1)-связности и являются компонентами тензора независимо от того задана или нет на многообразии M аффинная геометрия. С геометрической точки зрения в выражении для при минимальной подстановке нет никакой необ ходимости заменять частные производные на ковариантные, т.к. локальная форма кривизны для (1)-связности уже является тензором относительно общих преобра зований координат.

Если все же в определении компонент напряженности электромагнитного поля заменить частные производные на ковариантные, определяемые аффинной связно стью, то получим добавочное слагаемое с тензором кручения:

=.

Полученное выражение ковариантно относительно общих преобразований коорди нат, однако добавочный член явно нарушает калибровочную инвариантность. Такая замена соответствует неминимальной подстановке.

Замечание. В настоящее время считается, что спектр модели: массы, спины и за ряды частиц, описываемых данным полем, определяется линейным приближением в уравнениях движения. При этом метрика, как правило, раскладывается вблизи мет рики Минковского. Это означает, что электромагнитное поле в аффинной геометрии описывает безмассовые нейтральные частицы со спином единица. Такой подход вы зывает много вопросов. Например, если пространство-время имеет нетривиальную топологию, то говорить про метрику Лоренца не имеет никакого смысла. Мы не будем обсуждать эти важные вопросы, потому что лучших предложений пока не поступало.

878 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ Уравнения движения для электромагнитного поля и тензор энергии-импульса получаются варьированием соответствующего действия em ||em, := = ( || ) = || = 0, (22.139) em 1 1 || + || 2.

||em, := = ||em = (22.140) 2 2 Отсюда следует выражение для тензора энергии-импульса электромагнитного поля em = + 2. (22.141) Замечание. След тензора энергии-импульса электромагнитного поля в четырехмер ном пространстве-времени равен нулю, em = 0. Здесь важна четырехмерность пространства-времени, т.к. если размерность не равна четырем, то след тензора энергии-импульса отличен от нуля.

Замечание. Вариация действия по метрике (22.140) приводит к тензору энергии импульса электромагнитного поля (22.141), стоящему в правой части уравнений Эйн штейна (20.1). Он является ковариантным обобщением симметричного каноническо го тензора энергии-импульса (22.96) в пространстве Минковского. В этом отношении ситуация с электромагнитным полем такая же, как и для скалярного поля. В общем случае вариация действия полей материи по метрике совсем необязательно приводит к ковариантному обобщению канонического тензора энергии-импульса, следующему из теоремы Нетер.

Если присутствуют источники электромагнитного поля, то в правой части урав нения (22.139) появляется электрический ток:

=, (22.142) где = { } – вектор тока. Происхождение электрического тока в настоящий момент не имеет значения.

Предложение 22.3.3. Если пространство-время топологически тривиально (диф феоморфно Rn ), то система уравнений второго порядка для потенциала (22.142) эквивалентна системе уравнений первого порядка для компонент напряженности = электромагнитного поля:

=, (22.143) + + = Доказательство. Пусть =. Тогда из уравнения (22.142) следует система уравнений (22.143). Обратно. В силу леммы Пуанкаре 3.3.3 из второго урав нения (22.143) для односвязных многообразий следует существование потенциала. Подстановка соответствующего выражения (22.59) в первое уравнение (22.143) приводит к (22.142).

Определение. Система уравнений первого порядка (22.143) для напряженности электромагнитного поля = называется уравнениями Максвелла.

Запишем действие для электромагнитного поля в еще одной форме.

22.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ Предложение 22.3.4. Уравнения движения для действия (22.138) эквивалентны уравнениям Эйлера–Лагранжа для действия [ ] 1 = || ( ), (22.144) 2 M в котором компоненты и рассматриваются в качестве независимых пере менных, по которым проводится варьирование.

Доказательство. Уравнения движения для компонент напряженности являются ал гебраическими:

1 ( ) = = 0.

Их решение приводит к выражению компонент напряженности электромагнитного поля через потенциал (22.59). Согласно теореме 18.4.1 решение уравнений Эйлера– Лагранжа можно подставлять в действие. После подстановки действие (22.144) сов падет с (22.138).

Рассмотрение в качестве независимых переменных и компонент потенциала элек тромагнитного поля, и компонент напряженности называется формализмом первого порядка.

Действие для лагранжиана (22.137) инвариантно относительно общих преобразо ваний координат. Соответствующие вариации полей имеют вид (см. раздел 2.13) =, = +.

Отсюда, согласно второй теореме Нетер (18.63), следует зависимость уравнений дви жения, +,,,, = 0. (22.145) Или, в ковариантном виде,, +, 2, = 0. (22.146) Если выполнены уравнения движения для электромагнитного поля (22.139), то с учетом свернутых тождеств Бианки соотношение (22.146) принимает вид em = 0. (22.147) Полученное равенство, выполненное для всех решений уравнений Эйлера–Лагранжа, можно интерпретировать, как ковариантное обобщение закона сохранения тензора энергии-импульса.

Действие для электромагнитного поля инвариантно также относительно калибро вочных преобразований (22.62), при которых метрика не меняется. Из калибровоч ной инвариантности в силу второй теоремы Нетер следует зависимость уравнений движения:

, = 0. (22.148) С учетом уравнения Максвелла (22.142) это равенство приводит к закону сохранения электрического тока: = 0. Если ток возникает при варьировании некоторого калибровочно инвариантного действия для полей заряженной материи, то сохране ние тока будет выполняться автоматически в силу второй теоремы Нетер. Если же электрический ток вводится в уравнения Максвелла “руками”, то условие = необходимо для самосогласованности уравнений.

880 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ 22.3.6 Электромагнитное поле в общей теории относительно сти В настоящем разделе мы ограничимся четырехмерным пространством-временем M, в котором формулы электродинамики имеют свою специфику.

В свободной электродинамике многие формулы принимают особенно простой вид, если использовать язык дифференциальных форм, описанных в главе 3. Как уже бы ло отмечено, электромагнитный потенциал – это локальная 1-форма U(1)-связности, :=. (22.149) Слово “локальная” в данном случае означает, что форма связности задана на некото ( ) рой координатной окрестности базы U M главного расслоения P M,, U(1), а не на самом (пятимерном) пространстве расслоения P. Локальная 2-форма кривизны – это внешняя производная от локальной формы связности, := = ( ). (22.150) В дальнейшем слово “локальная” мы, для краткости, будем опускать.

Поскольку форма кривизны является точной, то ее внешняя производная равна нулю (3.32), = = 0. (22.151) Это равенство, очевидно, эквивалентно тождествам Бианки (22.61).

Приведенные выше формулы справедливы независимо от того задана ли на M аффинная геометрия или нет.

Если на пространстве-времени задана метрика, то можно определить 2-форму, дуальную к форме кривизны:

* := (* ), (22.152) где компоненты дуальной формы кривизны заданы равенством * :=. (22.153) В приведенной формуле () – полностью антисимметричный тензор четвертого ранга. В определении дуальной формы кривизны метрика встречается дважды. Во первых, с ее помощью производится подъем и опускание индексов:

:=. (22.154) Во-вторых, метрика входит в определение полностью антисимметричного тензора:

:= ||^, где – полностью антисимметричная тензорная плотность четвертого ранга, чьи ^ компоненты равны по модулю единице (см. раздел 2.8).

Преобразование, обратное к преобразованию дуальности (22.153), имеет вид = (* ), (22.155) где мы использовали формулы (28.66) для сверток антисимметричных тензоров. По лученное равенство эквивалентно следующему свойству оператора Ходжа:

= * *.

22.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ Пример 22.3.3. В четырехмерном пространстве Минковского R1,3 компоненты на пряженности выражаются через компоненты электрического и магнитного полей (22.75). В этом случае нетрудно получить выражения для компоненты дуальной на пряженности: 0 1 2 1 3 (* ) =. (22.156) 2 3 3 2 1 Это означает, что преобразование дуальности меняет местами электрическое и маг нитное поля:

.

Используя дуальную форму кривизны, действие для свободного электромагнит ного поля можно переписать в виде интеграла от 4-формы:

1 em := || = *, (22.157) 4 поскольку, согласно общей формуле для внешнего произведения (3.11), 1 * = * =.

4 Кроме этого мы воспользовались формулой (3.80) для интегрирования форм и сверт кой полностью антисимметричных тензоров четвертого ранга (28.67).

Свернув уравнения Максвелла (22.143) с антисимметричным тензором, получим уравнение Максвелла в терминах дуальной формы кривизны:

(* ) + (* ) + (* ) =, (22.158) (* ) = 0.

Поскольку преобразование дуальности меняет местами электрическое и магнитное поле, то второе из этих уравнений означает отсутствие в природе магнитных зарядов.

Первую пару уравнений Максвелла можно записать, используя оператор когра ницы (3.55), который в рассматриваемом случае имеет вид := * *.

Несложные вычисления позволяют переписать первую пару уравнений Максвелла (22.158) в виде равенства =, где := – 1-форма электрического тока.

Остановимся на уравнениях электромагнитного поля без источников. Тогда первую пару уравнений Максвелла (22.158) можно записать в виде * = 0. (22.159) Это уравнение можно получить путем варьирования действия (22.157) непосред ственно в терминах форм. Поскольку * – это 2-форма, то из свойства (3.31) следует формула (* ) = (* ) + *.

882 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ Если вариации всех полей исчезают на границе, то уравнения движения в форме (22.159) легко получить, варьируя непосредственно действие (22.157):

em = * () = (* ), где мы пометили вариацию формы чертой, чтобы отличить ее от оператора когра ницы.

В четырехмерном пространстве-времени можно построить еще одну 4-форму.

Эта форма является точной, потому что из тождеств Бианки следует равенство = ( ) = ( ).

Рассмотрим уравнение самодуальности = * = *. (22.160) Если в правой части этих уравнений стоит знак минус, то уравнение называется антисамодуальным.

Предложение 22.3.5. Если потенциал электромагнитного поля удовлетворяет уравнению (анти-)самодуальности, то он также удовлетворяет уравнениям Эйлера– Лагранжа (22.139).

Доказательство. Возьмем внешнюю производную от уравнения (22.160):

= *.

Левая часть полученного соотношения тождественно равна нулю в силу тождеств Бианки (22.151). Поэтому возникают уравнения Эйлера–Лагранжа в форме (22.159).

В отличие от уравнений Эйлера–Лагранжа уравнения (анти-)самодуальности име ют первый порядок и проще.

Теперь изучим свойства тензора энергии-импульса в четырехмерном пространстве времени. Из определения дуального тензора напряженности (22.152) вытекает равен ство * * = +, где мы воспользовались формулами свертки антисимметричных тензоров (28.67).

Теперь выражение для тензора энергии-импульса можно переписать в эквивалентном виде em = [ + * * ]. (22.161) Из приведенного выражения следует, что тензор энергии-импульса электромаг нитного поля инвариантен относительно дуальных SO(2) вращений:

= cos * sin, (22.162) * * = sin + * cos, где [0, 2] – угол вращения. Конечно, второе из этих уравнений является след ствием первого.

22.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ Пример 22.3.4. В пространстве Минковского R1,3 компоненты тензора напряженно сти и его дуального имеют вид (22.75), (22.156). Поэтому для временнй компоненты о тензора энергии-импульса (22.161) получаем хорошо известное выражение em00 = ( 2 + 2 ). (22.163) Смешанная компонента контравариантного тензора энергии-импульса электро магнитного поля имеет вид em = µ 0.

µ Используя выражение напряженности электромагнитного поля через электрическое и магнитное поля (22.75) нетрудно получить соотношение em = µ, µ где µ – полностью антисимметричный тензор третьего ранга (28.61). Полученное равенство можно записать в виде векторного произведения =. (22.164) Этот вектор называется вектором Пойнтинга и имеет смысл плотности потока энер гии электромагнитного поля. При этом закон сохранения электромагнитной энергии примет вид 00 µ 0 em + µ em = 0.

Предложение 22.3.6. Если метрика на многообразии M имеет лоренцеву сиг натуру и координата 0 является временем, то времення компонента тензора а энергии-импульса электромагнитного поля em00 = [0 0 + *0 * 0 ] (22.165) положительно определена и, следовательно, удовлетворяет слабому энергетиче скому условию.

Доказательство. Ввиду антисимметрии по индексам первое слагаемое в выражении (22.165) имеет вид 0µ 0 µ.

При сделанных предположениях матрица µ согласно предложению 21.2.1 отрица тельно определена. То же верно и для второго слагаемого.

Следствие. Времення компонента тензора энергии-импульса электромагнитного а поля удовлетворяет сильному энергетическому условию (20.136).

Доказательство. Поскольку след тензора энергии-импульса равен нулю, то понятие слабого и сильного энергетического условия эквивалентны.

Предложение 22.3.7. Действие электромагнитного поля в аффинной геометрии (22.138) инвариантно относительно преобразований Вейля:

= e2, =, (22.166) где () 2 (M) – произвольная вещественнозначная функция.

884 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ Доказательство. Утверждение следует из равенства || = ||.

Замечание. Вейлевская инвариантность действия электромагнитного поля являет ся спецификой четырехмерности пространства-времени. Если размерность пространства времени отлична от четырех, то след тензора энергии-импульса электромагнитного поля отличен от нуля.

Равенство нулю следа тензора энергии-импульса электромагнитного поля связано с наличием вейлевской калибровочной инвариантности. Этот факт является общим.

Предложение 22.3.8. Пусть действие зависит от метрики и некоторого на бора полей материи a m = m (, ).

Если действие инвариантно относительно преобразований Вейля, не затрагиваю щих поля материи, = e2, a a = a, то след тензора энергии-импульса полей материи равен нулю, m = 0.

Доказательство. Поскольку параметр преобразования Вейля зависит от точки пространства времени, то справедлива вторая теорема Нетер. В рассматриваемом случае это озна чает следующее. Инвариантность действия имеет вид m m = = 0.

Учтем определение тензора энергии-импульса в общей теории относительности (20.10) и выражение для бесконечно малых преобразований Вейля = 2.

Тогда равенство нулю вариации действия полей материи равносильно равенству m = 0.

Пример 22.3.5. Бозонная струна описывается набором скалярных безмассовых по лей a (), = 0, 1,..., d 1, заданных на двумерном пространстве-времени (поверх ности) M и принимающих значения в d-мерном пространстве Минковского R1,d1 :

= { } () = { a ()} R1,d1.

M :

Действие для бозонной струны можно записать в виде || a b ab.

= 2M Знак этого действия выбран таким образом, чтобы пространственные компоненты i, = 1,..., d 1, описывались обычным действием (22.13) и давали положи тельный вклад в гамильтониан системы. Это действие инвариантно относительно преобразований Вейля:

= e2, a a.

22.4. ПОЛЕ ПРОКА Тензор энергии-импульса бозонной струны имеет вид 2 = a a + a a, := || где a := b ba. Его след, очевидно, равен нулю. Вейлевская инвариантность дей ствия для безмассового скалярного поля является спецификой двумерия. В пространстве времени бльшего числа измерений она отсутствует.

о 22.4 Поле Прок а Поле Прок = { }, = 0, 1,..., 1, описывает массивные векторные частицы а со спином единица [162, 163]. В пространстве Минковского R1,n1 ему соответствует лагранжиан 1 = + 2, (22.167) 4 где, как и для электромагнитного поля, := и 0 – масса поля. Он отличается от лагранжиана электромагнитного поля только массовым членом. Знак перед массовым членом выбран так, чтобы вклад простран ственных компонент µ, = 1,..., 1, в плотность энергии был положителен.

Уравнения движения для лагранжиана (22.167) имеют вид, := = + 2 = 0. (22.168) Ввиду антисимметрии относительно перестановки индексов, =, диверген ция этой системы уравнений приводит к дифференциальному уравнению первого порядка на компоненты поля:

= 0, (22.169) которое должно быть выполнено для любого решения системы уравнений (22.168).

Полученное условие имеет вид калибровки Лоренца (22.94) для электромагнитного поля. С учетом условия (22.169) уравнения движения (22.168) принимают вид + 2 = 0, :=. (22.170) Таким образом для каждой компоненты векторного поля возникает уравнение Клейна– Гордона–Фока. Однако поле Прок описывает не распространяющихся степеней а свободы, а только 1, поскольку на компоненты поля наложено дополнительное условие (22.169). Чтобы убедиться в этом проведем более детальный анализ уравне ний движения.

Запишем систему уравнений (22.168) отдельно для временнй и пространствен о ных компонент:

µ µ0 + 2 0 = 0, (22.171) 0 0µ + µ + 2 µ = 0. (22.172) Предположим, что все поля убывают на бесконечности. Тогда согласно теореме 22.3.1 оператор Лапласа обратим и пространственные компоненты поля Прок, как а 886 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ и в случае электромагнитного поля (22.80), можно взаимно однозначно разложить на поперечную и продольную составляющие:

µ = t + µ. (22.173) µ Тогда лагранжевы уравнения движения (22.171), (22.172) эквивалентны следующей системе уравнений:

0 + + 2 0 = 0, (22.174) µ µ 0 + 2 µ = 0, (22.175) t t + = 0, (22.176) µ µ где мы расщепили уравнение (22.172) на продольную и поперечную части, а также ввели обозначения для производной по времени и операторов Лапласа и Даламбера:

:= µ µ, := = 0.

:= 0, Уравнения для поперечных компонент (22.176) – это уравнения Клейна–Гордона– Фока, и они полностью отщепились. Рассмотрим уравнение (22.174) как уравнение на временню компоненту:

у ( 2 )0 =.

(22.177) Это – уравнение Гельмгольца, решение которого существует и единственно для до статочно широкого класса граничных условий, в частности, для полей, убывающих на бесконечности [164]. Запишем его решение в виде.

0 = (22.178) Для полей, убывающих на бесконечности, уравнение (22.175) можно один раз про интегрировать:

0 + 2 = 0.

Подставив сюда решение для 0 (22.178) и умножив на оператор 2, получим уравнение Клейна–Гордона–Фока на функцию, + 2 = 0. (22.179) Поскольку все проделанные операции обратимы, то мы доказали Предложение 22.4.1. Для полей, убывающих на бесконечности, лагранжевы урав нения движения (22.168) для поля Прок эквивалентны 1 уравнениям Клейна– а Гордона–Фока (22.176), (22.179), дополненных уравнениями для продольной состав ляющей (22.83) и выражением для временнй компоненты (22.178).

о Для тех, у кого остались сомнения по поводу следствия уравнений движения (22.169), скажем, что подстановка решения (22.178) в это условие, что нетрудно про верить, также приводит к уравнению Клейна–Гордона–Фока (22.179).

Таким образом, чтобы поставить задачу Коши для поля Прок, необходимо и а достаточно поставить задачу Коши для 2 поперечных компонент t и поля, µ определяющего продольную составляющую. Поэтому поле Прок действительно опи а сывает 1 физическую (распространяющуюся) степень свободы.

22.4. ПОЛЕ ПРОКА 22.4.1 Гамильтонова формулировка Векторному полю соответствуют сопряженные импульсы := = 0. (22.180) (0 ) Скобки Пуассона между координатами и импульсами имеют тот же вид, что и для электромагнитного поля (22.106). Как и для электромагнитного поля, из выражения для импульсов (22.180) следует первичная связь 1 = 0 0. (22.181) Других первичных связей рассматриваемая модель не содержит. Несложные вычис ления приводят к следующему выражению для гамильтониана ( ) 1µ 1 µ µ = µ + µ 0 µ +, (22.182) 2 4 где – множитель Лагранжа.

Гамильтоновым уравнениям движения имеют следующий вид:

0 =, (22.183) µ = µ + µ 0, (22.184) 0 = µ µ + 2 0, (22.185) µ = µ + 2 µ. (22.186) Кроме этого, вариация действия по множителю Лагранжа приводит к связи (22.181).

Таким образом, полная система гамильтоновых уравнений движения состоит из урав нений (22.183)–(22.186) и связи (22.181). На первый взгляд решения гамильтоновых уравнений содержат функциональный произвол, т.к. множитель Лагранжа про изволен. Однако этот вывод не верен. Действительно, поскольку связь 0 = 0 для любого решения гамильтоновых уравнений должна выполняться в любой момент времени, то производная по времени от уравнения (22.185) должна быть равна ну лю. Это приводит к уравнению 2 0 + µ µ = 2 (0 + µ µ ) = 0, (22.187) где мы воспользовались уравнением (22.186). Сравнивая полученное равенство с уравнением (22.183), заключаем, что для любого решения гамильтоновых уравне ний множитель Лагранжа имеет вид = µ µ. (22.188) Теперь можно доказать эквивалентность лагранжевой и гамильтоновой формулиро вок.

Предложение 22.4.2. Полная система гамильтоновых уравнений (22.183)–(22.186) и (22.181) эквивалентна лагранжевым уравнениям движения (22.168).

888 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ Доказательство. Пусть выполнены гамильтоновы уравнения (22.183)–(22.186) и связь (22.181). Из уравнения (22.184) находим импульсы µ = µ 0 µ = µ0.

Подстановка этого выражения в формулу (22.186) приводит к уравнению (22.172).

Уравнение (22.185) с учетом связи (22.181) дает уравнение (22.171).

Обратно. Пусть выполнены лагранжевы уравнения движения (22.171), (22.172).

Введем обозначение := 0. Отсюда немедленно следует связь (22.181). А для пространственных значений индекса определение µ = µ0 эквивалентно уравнению (22.184). Используя новую переменную µ, лагранжевы уравнения (22.172) перепи сываются в виде гамильтонова уравнения (22.186). Соотношение (22.169) является следствием лагранжевых уравнений движения, и оно дает уравнение (22.183) при выполнении условия (22.188). Наконец, лагранжево уравнение (22.171) сводится к уравнению (22.185) при выполнении связи (22.181).

Замечание. Отметим, что для эквивалентности лагранжевой и гамильтоновой фор мулировок к гамильтониану необходимо добавить первичную связь (22.181). В про тивном случае никакой эквивалентности нет. Действительно, равенство = 0 явно противоречит условию (22.188).

Продолжим построение гамильтонова формализма, согласно общей схеме, рас смотренной в разделе 19.2.

Производная по времени от первичной связи (22.181) равна 1 = [1, ] = µ µ + 2 0.

Поскольку первичная связь должна сохраняться во времени, то возникает вторичная связь 2 = µ µ + 2 0 0. (22.189) Нетрудно вычислить производную по времени от вторичной связи:

2 = [2, ] = 2 (µ µ + ).

Сохранение вторичной связи во времени определяет множитель Лагранжа:

= µ µ. (22.190) Поэтому в теории не возникает других связей.

Равенство (22.190) уже было получено ранее (22.188) при анализе гамильтоновых уравнений движения.

Скобка связей между собой имеет вид [1, 2 ] = 2 ( ).

Введем обозначение для полного набора связей:

{m } = {1, 2 }, m = 1, 2.

Тогда матрица скобок Пуассона для связей примет вид ( ) 0 ( ).

m n [, ] = 2 22.4. ПОЛЕ ПРОКА Она, очевидно, невырождена, и, следовательно, связи 1 и 2 являются связями второго рода.

Полный гамильтониан получается после добавления всех связей:

( ) 1µ 1 µ µ 0 µ t = µ + µ 0 µ + + (µ + ).

2 4 (22.191) Поскольку поле Прок содержит только связи второго рода, то полный гамильтониан а совпадает с расширенным, t = e.


Один из множителей Лагранжа уже найден (22.190). Второй множитель Лагран жа определяется из условия сохранения первичной связи во времени, 1 = [1, t ] = µ µ + 2 0 2 = 0.

Отсюда вытекает равенство = 0 + µ µ. (22.192) Предложение 22.4.3. Гамильтоновы уравнения движения для полного гамильто ниана (22.191) эквивалентны лагранжевым уравнениям (22.168).

Доказательство. Добавление к исходному гамильтониану (22.182) вторичной связи приводит к возникновению самой связи из вариационного принципа. Кроме того меняются два гамильтоновых уравнения:

µ = µ + µ 0 µ, 0 = µ µ + 2 0 2.

Если выполнена вторичная связь, то из соотношения (22.192) следует равенство = 0. Поэтому гамильтоновы уравнения для полного гамильтониана эквивалентны исходным гамильтоновым уравнениям и, в силу предложения 22.4.2, лагранжевым уравнениям (22.168).

Согласно общей схеме, описанной в разделе 19.2.2, решение связей второго рода можно подставлять в действие. В рассматриваемом случае связи легко решаются:

µ µ, 0 = 0 = 0.

После подстановки этого решения в формулу (22.191) получим гамильтониан для физических степеней свободы ( ) 1µ 1 1 µ 12µ µ ph = µ + (µ ) + µ µ. (22.193) 2 4 Таким образом, времення компонента поля Прок является нефизической и может а а быть полностью исключена из теории путем решения пары связей второго рода. Про странственные компоненты µ и сопряженные импульсы µ являются физическими (т.е. распространяющимися). Их динамика полностью определяется гамильтонианом для физических степеней свободы (22.193). Мы видим, что поле Прок описыва а ет 1 степень свободы, что на единицу превышает количество степеней свободы электромагнитного поля.

890 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ Гамильтонова плотность для физических степеней свободы поля Прок (22.193), а очевидно, положительно определена. В то же время гамильтоновы плотности исход ного (22.182) и полного (22.191) гамильтонианов не являются положительно опреде ленными, т.к. содержат множители Лагранжа.

Гамильтоновы уравнения движения для физических степеней свободы, следую щие из гамильтониана (22.193) имеют вид µ = µ 2 µ, (22.194) µ = µ + 2 µ.

(22.195) Здесь проявляется важная особенность теории поля: в отличие от гамильтонового описания динамики точечных частиц, уравнение (22.194) для импульсов является не алгебраическим, а дифференциальным. Поэтому выразить импульсы через скорости, чтобы вернуться к лагранжеву описанию, не удается.

Чтобы сравнить гамильтонову и лагранжеву динамику физических степеней сво боды, разложим координаты и импульсы на поперечную и продольную составляю щие. Разложение пространственных компонент векторного поля уже было введено формулой (22.173). Для импульсов мы пишем t µ = µ + µ.

Тогда гамильтоновы уравнения (22.194), (22.195) также раскладываются на попереч ные и продольные части:

t = µ, t (22.196) µ µ = µ + µ, (22.197) t µ = t + 2 t, (22.198) µ µ µ = µ.

(22.199) Гамильтоновы уравнения для поперечных компонент (22.196), (22.198) отщепились и, как легко видеть, эквивалентны уравнениям Клейна–Гордона–Фока (22.176).

Для полей, убывающих на бесконечности, уравнения (22.197) и (22.199) можно один раз проинтегрировать:

= +, = 2.

Первое уравнение можно решить относительно, =, и подставить данное решение во второе. В результате получим уравнение Клейна– Гордона–Фока (22.179). Поскольку все проделанные операции были обратимы, то мы доказали Предложение 22.4.4. Для полей, убывающих на бесконечности, гамильтоновы уравнения движения для физических степеней свободы (22.194), (22.195) эквива лентны лагранжевым уравнениям для физических степеней свободы (22.176), (22.179).

22.5. ПОЛЯ ЯНГА–МИЛЛСА Сейчас проявилось очень важное преимущество гамильтонова подхода, как бо лее гибкого. А именно, выделение физических степеней свободы на гамильтоновом языке было проведено явно, и получено локальное выражение для соответствующего гамильтониана. В то же время, выделение физических степеней свободы в лагранже вом формализме нелокально, т.к. для нахождения поля необходимо решить диф ференциальное уравнение (22.83).

22.5 Поля Янга–Миллса Поля Янга–Миллса (калибровочные поля) играют важную роль в математической физике, потому что лежат в основе современных моделей, объединяющих электро магнитные, слабые и сильные взаимодействия. Экспериментальное их обнаружение пока остается под вопросом.

С геометрической точки зрения у нас есть следующая конструкция. Во-первых, мы предполагаем, что пространство-время представляет собой многообразие M. Для общности будем рассматривать пространство-время произвольной размерности. За тем строится главное расслоение P(M,, G) с некоторой структурной группой Ли G размерности dim G = n, о которой мы поговорим несколько позже, и проекцией.

Мы предполагаем, что на главном расслоении задана связность, т.е. инвариантное распределение горизонтальных подпространств (см. раздел 13.1). Каждая связность взаимно однозначно определяется формой связности, заданной на пространстве глав ного расслоения P. Если задано координатное покрытие базы M = i Ui, и семейство локальных сечений i : Ui P, то форма связности взаимно однозначно определяет семейство локальных форм связности, заданных на каждой координатной окрестно сти Ui, которые определяются формой связности с помощью возвратов отображений i. Локальная форма связности – это 1-форма на координатной окрестности Ui со значениями в алгебре Ли g группы ли G:

= a a, (22.200) где a, a = 1,..., n, – базис алгебры Ли (см. раздел 8.1). Компоненты локальной формы связности a () это и есть поля Янга–Миллса (после добавления соответ ствующих уравнений движения, что будет сделано позже). Базис алгебры Ли удо влетворяет некоторым коммутационным соотношениям [a, b ] = ab c c, где ab c – структурные константы группы Ли G.

При изменении локального сечения (или при вертикальном автоморфизме) компоненты локальной формы связности меняются a a. Правило преобра зования компонент связности известно (13.14), однако оно явно содержит функцию композиции для группы Ли G и поэтому неудобно. Инфинитезимальные калибро вочные преобразования с параметрами a () имеют вид a = a + a, (22.201) где a := a b c bc a.

Чтобы записать конечные калибровочные преобразования в удобном виде, рас смотрим произвольное точное представление группы Ли G. Для определенности рас смотрим присоединенное представление. В этом представлении каждому элементу 892 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ базиса алгебры Ли g соответствует матрица: a ab c, где первый индекс a нуме рует базисные векторы, а второй и третий рассматриваются, как матричные. Тогда каждой локальной форме связности можно поставить в соответствие матричнознач ную 1-форму с компонентами b c := a ab c. (22.202) (Знак минус не имеет принципиального значения.) Тогда поле Янга–Миллса при изменении локального сечения преобразуется по-правилу (13.16) = 1 + 1, (22.203) где () = {a b ()} – матрица присоединенного представления, и мы, для краткости, опустили матричные индексы. Это – хорошо известное калибровочное преобразова ние полей Янга–Миллса.

Каждой локальной форме связности соответствует локальная форма кривизны (см. раздел 13.2). Она представляет собой 2-форму на координатной окрестности Ui со значениями в алгебре Ли:

= a a, (22.204) где компоненты имеют вид (13.35) a = a a b c bc a. (22.205) Это есть напряженность поля Янга–Миллса. Ранее было показано, что при калибро вочном преобразовании (22.203) компоненты напряженности преобразуются ковари антным образом (13.36) a a = b 1b a.

Если ввести матричнозначную форму кривизны b c := a ab c, (22.206) то ее закон преобразования будет выглядеть немного иначе:

= 1, (22.207) где мы, для краткости, опустили матричные индексы.

Матричнозначные компоненты напряженности можно выразить через матрич нозначные поля Янга–Миллса:

= [, ], (22.208) где [, ] – коммутатор матриц, и мы опустили матричные индексы. Чтобы по лучить данное выражение для компонент напряженности из формулы (22.205), ис пользованы тождества Якоби для структурных констант (8.11).

Согласно теореме 13.2.3 каждая форма кривизны удовлетворяет тождествам Би анки. Тождества Бианки для локальной формы кривизны были получены ранее (13.2.6):

a + a + a = 0, (22.209) где a = a b c bc a (22.210) – ковариантная производная (по отношению к калибровочным преобразованиям) от компонент напряженности поля Янга–Миллса.

22.5. ПОЛЯ ЯНГА–МИЛЛСА Предложение 22.5.1. Для существования такого калибровочного преобразования, чтобы преобразованное поле Янга–Миллса обратилось бы в нуль в некоторой окрест ности U M необходимо и достаточно, чтобы локальная форма кривизны связно сти была равна нулю в U.

Доказательство. Если локальная форма связности равна нулю, то локальная форма кривизны (22.205) также обращается в нуль.

Обратно. Рассмотрим правило преобразования полей Янга–Миллса (22.203) как дифференциальное уравнение на матрицу. Если преобразованное поле Янга–Миллса равно нулю, = 0, то матрица преобразования должна удовлетворять системе диф ференциальных уравнений:

=. (22.211) Эта система локально разрешима тогда и только тогда, когда выполнены условия разрешимости:

[ ] = 0, где квадратные скобки обозначают антисимметризацию по индексам. Вторая частная производная от матрицы преобразования имеет вид = = ( ), где в первом слагаемом мы воспользовались исходным уравнением (22.211). Анти симметризация полученного выражения по индексам и приводит к равенству = 0.

Таким образом, равенство нулю локальной формы кривизны является необходи мым и достаточным условием разрешимости системы уравнений (22.211) в некоторой окрестности U M.

Определение. Из доказанного утверждения следует, что если локальная форма кривизны равна нулю, то в некоторой окрестности U M компоненты соответству ющей локальной формы связности имеют вид = 1 = 1. (22.212) Такое поле Янга–Миллса называется чистой калибровкой.


Легко проверить, что напряженность поля Янга–Миллса для поля (22.212) дей ствительно обращается в нуль.

Описанная выше геометрическая конструкция не зависит от того задана ли на базе M какая либо геометрия, т.е. метрика и аффинная связность, или нет. Главное расслоение, связность и кривизна определяются в дифференциальной геометрии са мостоятельно. Закон преобразования компонент локальных форм связности и кри визны при изменении сечения следует из определения. Для этого не надо вводить какие либо дополнительные поля и ковариантные производные. Не смотря на от сутствие аффинной связности в частных производных при определении локальной формы кривизны (22.205) и в тождествах Бианки (22.210), все выписанные соотно шения ковариантны относительно общих преобразований координат.

Следующий шаг построения моделей состоит в построении действия. Мы считаем, что действие должно быть инвариантно относительно общих преобразований коор динат и калибровочных преобразований (22.203). Чтобы построить соответствующий 894 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ инвариант нам понадобятся две метрики: метрика на пространственно-временнм о многообразии и двусторонне инвариантная метрика ab на групповом многообразии.

Соответствующее действие имеет вид || a b ab.

ym := ym = ym, (22.213) M В квантовой теории поля в качестве пространства-времени выбирается простран ство Минковского R1,n1, группа общих преобразования координат сужается до груп пы Пуанкаре IO(1, 1), и в качестве пространственно-временнй метрики выбира о ется метрика Лоренца,.

Если калибровочная группа G является абелевой, как, например, в электродина мике, то в качестве двусторонне инвариантной метрики подойдет любая постоянная матрица. Действительно, при калибровочных преобразованиях (22.203) компоненты напряженности поля Янга–Миллса для абелевой группы вообще не преобразуются.

Для неабелевых групп в качестве двустронне инвариантной метрики выберем форму Киллинга–Картана (см. раздел 8.46). Согласно теореме 8.5.1 форма Киллинга– Картана невырождена тогда и только тогда, когда группа Ли G полупроста. Поэтому мы предполагаем, что структурная группа Ли G полупроста.

Согласно теореме 8.13.6 любая полупростая группа Ли единственным образом представляется в виде прямого произведения простых групп. В этом случае для каждого сомножителя можно написать отдельный инвариант вида (22.213) со своей константой связи. Поэтому в дальнейшем, для простоты, мы ограничимся рассмот рением простых групп Ли. Если мы научимся работать с простыми группами Ли, то построить модель, соответствующую их прямому произведению, не составит труда.

В дальнейшем мы покажем, что канонический гамильтониан для физических сте пеней свободы, которые описываются действием (22.213), положительно определен тогда и только тогда, когда метрика ab положительно определена. Согласно теоре ме 8.5.2 связная полупростая группа Ли компактна тогда и только тогда, когда ее форма Киллинга–Картана ab := ac d bd c (22.214) положительно определена. Поэтому мы предполагаем, что структурная группа Ли G связна, проста и компактна.

Базис алгебры Ли a определен с точностью до невырожденных линейных пре образований a a b b, GL(n, R).

При этом форма Киллинга–Картана преобразуется по тензорному закону ab a c b d cd.

Согласно теореме 28.1.9 произвольную симметричную матрицу можно привести к диагональному виду с помощью ортогональной матрицы. Дальнейшей растяжкой координат можно добиться того, что на диагонали формы Киллинга–Картана будут стоять единицы. Таким образом, не теряя общности, можно считать, что для связной компактной простой группы Ли форма Киллинга–Картана совпадает с единичной матрицей ab = ab. (22.215) Пример 22.5.1. В единых моделях теории поля используются, как правило, уни тарные SU(n) и ортогональные SO(n) группы. Эти группы связны, компактны и просты.

22.5. ПОЛЯ ЯНГА–МИЛЛСА Если вместо полей Янга–Миллса a рассматривать их точное матричное пред ставление, то лагранжиан (22.213) можно записать, используя след матриц, || tr.

( ) ym := Обратим внимание на изменение общего знака, что связано с определением формы Киллинга–Картана (22.214).

Для построения физически содержательных моделей математической физики, необходимо введение дополнительных полей, например, скаляров и спиноров. Мы предполагаем, что эти поля являются локальными сечениями векторного ассоцииро ванного расслоения E(M, E, V, G, P), типичным слоем которого является векторное пространство V, в котором задано представление структурной группы G. Отобра жение E : E M – это проекция. Каждое сечение ассоциированного расслоения задается набором компонент = {i }, = 1,..., dim V. При калибровочных преоб разованиях поля преобразуются по некоторому представлению структурной группы:

= 1 = {j 1j i }, (22.216) где j i – матрица представления. Ковариантная производная имеет вид (13.25) i = i + j j i, (22.217) в котором j i := a aj i, где aj i – представление базиса алгебры Ли a в векторном пространстве V. Нетруд но убедиться в том, что при калибровочных преобразованиях (22.203), (22.216) кова риантная производная ведет себя ковариантно:

i i = j 1j i, где i = i + j j i, Определение. В физике векторное пространство V называется изотопическим, а калибровочные преобразования (22.216) – изотопическими вращениями.

При построении моделей математической физики мы предполагаем, что уравне ния движения для полей, не взаимодействующих с полями Янга–Миллса, следуют из некоторого действия = (, ), M где лагранжиан зависит от полей = {i } и их частных производных = { i }.

Как и для электромагнитного поля, взаимодействие с полями Янга–Миллса вводит ся путем минимальной подстановки, которая заключается в замене всех частных производных на ковариантные:

i i := i + j j i.

Кроме этого, к лагранжиану добавляется лагранжиан поля Янга–Миллса 1 a (, ) a + (, ), 896 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ который приводит к динамическим уравнениям движения для самого поля Янга– Миллса. Выше – константа связи и a := ab b.

Для построения теории возмущений удобно перейти к новым переменным a a. Тогда лагранжиан примет вид a a + (, ), где a = a a b c bc a, i = i + j j i.

В таком виде удобно строить теорию возмущений при малой константе связи. В дальнейшем, для упрощения обозначений, мы положим = 1.

22.5.1 Лагранжева формулировка В квантовой теории поля мы предполагаем, что пространством-временем являет ся пространство Минковского, M R1,n1, которое топологически тривиально, т.е.

диффеоморфно Rn. В этом случае согласно теореме 12.1.1 расслоение тривиально P(R1,n1,, G) R1,n1 G.

Если выбрать систему координат, например, декартову, покрывающую все пространство время, то связность на главном расслоении будет находиться во взаимно однознач ном соответствии с локальной формой связности. По этой причине в физике часто говорят, что поля Янга–Миллса это и есть связность.

Действие для полей Янга–Миллса в пространстве Минковского R1,n1 имеет вид ym := a a.

ym = ym, (22.218) где подъем и опускание греческих индексов производится с помощью метрики Мин ковского, а латинских – с помощью формы Киллинга–Картана ab. Из этого действия следуют нелинейные уравнения движения a := a b c bc a = 0. (22.219) Добавление к лагранжиану Янга–Миллса массового члена 1 2 a a, как легко видеть, нарушает калибровочную инвариантность.

В отличие от электродинамики в пространстве Минковского для неабелевых ка либровочных групп G уравнения (22.219) нелинейны. Поэтому говорить о “свобод ных” полях Янга–Миллса не имеет смысла. Взаимодействие полей Янга–Миллса есть всегда. В линейном приближении уравнения (22.219) имеют тот же вид, что и на бор из n электромагнитных полей. При этом инфинитезимальные калибровочные преобразования (22.203) в линейном приближении по полям принимают вид U(1) преобразований:

a = a + a + o a (, ), 22.5. ПОЛЯ ЯНГА–МИЛЛСА где a (), a = 1,..., n, – параметры преобразований. Таким образом, в линейном приближении свободное поле Янга–Миллса описывает n безмассовых векторных по лей.

По построению, действие калибровочно инвариантно. Согласно второй теореме Нетер в таком случае между уравнениями движения существует n линейных зави симостей по числу параметров преобразования. Для нахождения этих зависимостей достаточно знать вид инфинитезимальных калибровочных преобразований (22.201).

Из определения инвариантности следует равенство ym a = 0.

ym = a После интегрирования по частям, получим зависимость уравнений движения:

a = 0, a = 1,..., n. (22.220) В справедливости полученного равенства можно убедиться с помощью прямых вычислений. Действительно, в силу антисимметрии напряженности, a = a, равенство (22.220) можно переписать в виде 1 ( ) a = c b cab = 0, 2 где мы воспользовались свойством коммутатора ковариантных производных (13.44), симметрией тензора c b по индексам c и b и антисимметрией структурных констант (предложение 8.5.1).

Если в правой части уравнений движения (22.219) стоит ток, a = a, (22.221) То из тождества (22.220) следует закон ковариантного сохранения тока:

a = 0, (22.222) выполнение которого необходимо для самосогласованности уравнений движения. В свою очередь, если ток получен в результате варьирования некоторого калибровочно инвариантного действия для других полей, то равенство (22.222) будет автоматиче ски выполнено на уравнениях движения, опять же, в силу второй теоремы Нетер.

Если же ток a вводится в уравнения движения “руками”, то на него необходимо наложить условие сохранения (22.222).

Эффективным инструментом исследования свободных уравнений движения в элек тродинамике явилось разложение пространственных компонент электромагнитного потенциала на поперечную и продольную составляющие. Для каждого значения ин декса a поле Янга–Миллса также можно разложить на поперечную и продольные части. Однако это не будет столь же эффективно, т.к. уравнения “свободного” поля Янга–Миллса (22.219) нелинейны. Такое разложение эффективно в квантовой теории поля при построении теории возмущений.

Теперь рассмотрим законы сохранения, вытекающие из первой теоремы Нетер.

По-построению, действие Янга–Миллса инвариантно относительно глобального дей ствия группы Пуанкаре IO(1, 1). Из инвариантности относительно трансляций, согласно первой теореме Нетер, следует закон сохранения энергии-импульса (см. раз дел 18.2.1), = 0, 898 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ где = a a + – канонический тензор энергии-импульса поля Янга–Миллса. Это выражение стра дает двумя недостатками. Во-первых, оно не инвариантно относительно калибровоч ных преобразований. Во-вторых, отсутствует симметрия относительно перестановки индексов. Для их устранения используем произвол в выборе канонического тензора энергии-импульса. Заметим, что выполнено равенство (a a ) = a a + a a + a c cb a b.

Если выполнены уравнения движения, что предполагается в первой теореме Нетер, то второе слагаемое обращается в нуль, и можно переопределить тензор энергии импульса := + (a a ) = a a + 2.

s (22.223) Этот тензор энергии-импульса, очевидно, калибровочно инвариантен и симметричен.

На уравнениях движения он сохраняется:

s = 0. (22.224) При лоренцевых вращениях поле Янга–Миллса преобразуется, как и электромаг нитное поле (22.98). Поэтому для спинового момента получаем следующее выраже ние = a a a a. (22.225) Полный тензор момента количества движения (18.51) состоит из орбитального и спинового моментов:

= +. (22.226) Используя выражения для симметричного тензора энергии-импульса (22.223) и спи нового момента (22.225) его можно переписать в виде = + ( a a a a ), (22.227) где := s s – орбитальный момент, построенный по симметричному тензору энергии-импульса (22.223). Поскольку второе слагаемое в выражении (22.227) имеет вид (18.39), то тензор момента количества движения можно переопределить, положив = = s s, (22.228) который также сохраняется = 0.

Отметим полное отсутствие спинового момента в этом выражении.

Поскольку действие для поля Янга–Миллса инвариантно относительно калибро вочных преобразований, то оно также инвариантно относительно глобальных преоб разований из калибровочной группы. Поэтому можно воспользоваться первой тео ремой Нетер. С калибровочной инвариантностью действия для поля Янга–Миллса связан закон сохранения заряда a = 0, (22.229) 22.5. ПОЛЯ ЯНГА–МИЛЛСА где a = a (22.230) – ток, соответствующий первой теореме Нетер, то есть, когда параметр калибро вочных преобразований не зависит от точки пространства-времени. При отсутствии полей материи этот закон тривиален, т.к. ток равен нулю в силу уравнений движения (22.219).

22.5.2 Гамильтонова формулировка Рассмотрим гамильтонову формулировку поля Янга–Миллса в пространстве Мин ковского R1,n1 с действием (22.218). По-определению, импульсы, сопряженные ком понентам a, имеют вид ym a := = 0 a, (22.231) a где a := 0 a. Выпишем отличные от нуля одновременные скобки Пуассона:

:= [ a (0, ), b (0, )] = b ( ).

a [ a, b] Как и в случае электромагнитного поля в теории возникают первичные связи. Из определения импульсов (22.218) следует n первичных связей:

1a = 0 a = 0, a = 1,..., n. (22.232) Других первичных связей в модели нет. Скобки Пуассона первичных связей между собой, очевидно, равны нулю:

[1a, 1b ] = 0.

Несложные вычисления приводят к гамильтониану ( ) 1 µa 1 µa µ a = µa + µa 0 µ a + a, a (22.233) 2 где мы добавили первичные связи с множителями Лагранжа a и ковариантная про изводная от импульсов равна µ a := µ a µa b b.

Гамильтоновы уравнения движения для построенного гамильтониана имеют вид 0 a = a, (22.234) µ a = µ a + µ 0 a, (22.235) 0 a = µ µ a, (22.236) µ µ µ = b + 0a b, (22.237) a a где µ 0 a := µ 0 a + µb a 0 b, µ a := µ a a b µ b.

Конечно, эти уравнения необходимо дополнить уравнениями первичных связей (22.232), которые возникают при варьировании соответствующего действия по множителям Лагранжа.

900 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ Гамильтоновы уравнения движения (22.234)–(22.237), содержат множители Лагран жа a, которые в исходном действии рассматриваются в качестве произвольных функций. Однако, уравнения движения, в принципе, могут наложить на них неко торые ограничения. Чтобы проверить совместность гамильтоновых уравнений, рас смотрим эволюцию первичных связей во времени. Поскольку 0 a = 0, то из уравне ния (22.236) следуют равенства µ µ a = 0, (22.238) которые должны быть выполнены для любого решения гамильтоновых уравнений.

С учетом уравнения (22.237) производная по времени от полученных равенств имеет вид 0 (µ µ a ) = µ µ a + µ 0a b µ b + 0a b µ µ b µa b µ b. (22.239) Первое слагаемое обращается в нуль:

1 (µ µ ) µ a = µ c µb cab = 0, 2 где мы воспользовались свойством коммутатора ковариантных производных (13.44), симметрией тензора µ c µb по индексам c и b и антисимметрией структурных констант (предложение 8.5.1). Второе и четвертое слагаемые сокращаются с учетом уравнения (22.235). В результате возникает равенство 0 (µ µ a ) = 0a b µ µ b 0, (22.240) т.к. правая часть равна нулю на уравнениях движения (22.238). На этом анализ заканчивается, и мы видим, что никаких ограничений на множители Лагранжа га мильтоновы уравнения движения не накладывают.

Продолжим общий гамильтонов анализ. Производная по времени от первичных связей равна 1 = [1, ] = µ µ a.

Это приводит к вторичным связям:

2a = µ µ a 0. (22.241) Скобка Пуассона первичных и вторичных связей между собой равна нулю, [1a, 2b ] = 0.

Несложно вычислить скобки Пуассона вторичных связей между собой:

[2a, 2b ] = ab c 2c. (22.242) Правая часть, очевидно, обращается в нуль на поверхности связей.

Выше мы уже показали, что вторичные связи сохраняются во времени (22.240).

Таким образом, полная система связей {a } := {1a, 2a }, = 1,..., 2n, (22.243) находится в инволюции, и модель содержит 2n связей первого рода.

22.5. ПОЛЯ ЯНГА–МИЛЛСА Полный гамильтониан получается после добавления всех связей:

( ) 1 µa 1 µa a0 µ t = µa + µa + a + µ a, a 2 где слагаемые 0 a µ µ a мы абсорбировали, переопределив множители Лагранжа a. Ему соответствует полное действие ( ) 1 µa 1 µa a a0 µ t = a + µa µa a µ a.

a (22.244) 2 Это действие является более общим, чем исходное (22.218), т.к. совпадает с ним только при a = 0 и a = 0 a.

Гамильтоновы уравнения движения для действия (22.244) имеют вид:

t = 0 a a = 0, (22.245) 0 a t = µ a + µ a + µ a = 0, (22.246) µ a t = 0 a = 0, (22.247) 0 a t = µ a + µ a b ab c µ c = 0, (22.248) µ a t = 0 a = 0, (22.249) a t = µ µ a = 0. (22.250) a Согласно теореме 19.2.3 каждой связи первого рода соответствует калибровочное преобразование, относительно которого полное действие инвариантно. Первичным связям (22.232) соответствует генератор калибровочных преобразований 1 := a 0 a с некоторыми малыми параметрами a (). При этом преобразуются только временные компоненты поля Янга–Миллса 0 и множители Лагранжа :

a a 1 0 a = [0 a, 1 ] = a, 1 a = a.

1 (22.251) Все остальные поля остаются без изменения. Согласно второй теореме Нетер из инва риантности действия относительно калибровочного преобразования (22.251) следует зависимость уравнений движения:

t t t a = 0.

0 a В справедливости этого тождества нетрудно убедиться прямой проверкой.

Вторичным связям первого рода (22.241) также соответствует генератор преоб разований a µ µ a, 2 := 902 ГЛАВА 22. СКАЛЯРНЫЕ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ где a () – малые параметры второго калибровочного преобразования. В этом слу чае преобразуются только пространственные компоненты поля Янга–Миллса µ a, сопряженные импульсы µ a и множители Лагранжа a :

2 µ a = [µ a, 2 ] = µ a, 2 µ a = [ µ a, 2 ] = b ab c µ c, 2 = 2 2 bc.

a a bc a Согласно второй теореме Нетер, из локальной инвариантности действия следует за висимость уравнений Эйлера–Лагранжа:

t t t t ab c µ c t a b ab c c = 0, µ µ µ b a что также легко проверить. Таким образом, как и в электродинамике, число пара метров калибровочных преобразований полного действия t в гамильтоновом фор мализме по сравнению с лоренцевой формулировкой удвоилось.

Генератором калибровочных преобразований в лагранжевом формализме (22.203) является линейная комбинация связей первого рода:

= (a 0 b c bc a ) 0 a a µ µ a ).

[ ] Действительно, = [a, ] = a 0 b c bc a = 0 a, 0 a = [µ, ] = µ a, µ a a 0 a = b ab c 0 c, µ a = b ab c µ c.

По сравнению с электродинамикой возникли нетривиальные преобразования импуль сов. Это связано с тем, что в электродинамике компоненты напряженности инвари антны, а для полей Янга–Миллса – ковариантны.

Решения гамильтоновых уравнений движения содержат произвол, соответству ющий множителям Лагранжа a и a. Для того, чтобы устранить этот произвол необходимо наложить 2n калибровочных условий. В квантовой теории поля обычно используют такие же калибровочные условия (22.94) как и в электродинамике для каждого значения индекса a. Если зафиксировать, например, кулоновскую калиб ровку µ µ = 0, то это даст n калибровочных условий. Недостающие n калибровоч ных условий в гамильтоновом формализме можно получить, рассматривая эволюцию этих калибровочных условий во времени. Из уравнения (22.235) следует 0 (µ µ a ) = µ µ a + µ µ 0a.

Тогда кулоновскую калибровку для потенциала можно дополнить n калибровочными условиями µ µ a + µ µ 0a = 0.

В этом случае калибровочные условия будут согласованы с гамильтоновыми урав нениями для исходного гамильтониана (22.233). Вместо этих калибровочных можно выбрать другие, например, 0a = 0.



Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 || 27 | 28 |   ...   | 31 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.