авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 28 | 29 || 31 |

«Геометрические методы в математической физике 17 октября 2013 г. Катанаев Михаил Орионович1 ...»

-- [ Страница 30 ] --

При (0, 1 ) и (1, ), конформный множитель, соответственно, отрицателен и положителен. Поэтому метрики пространства-времени имеют сигнатуры (+ ) и (+ ++). Максимально продолженные поверхности V топологически такие же как и для конформного множителя = 1 2M + q, который был рассмотрен ранее.

q Меняется только величина 1. Глобальные решения описывают космическую струну и космическую струну, окруженную доменной стенкой сингулярностей кривизны.

Изменение знака обеих постоянных 0, 0 приводит к изменению сигна туры метрики. Качественные свойства решений остаются прежними.

Доменная стенка 0, В рассматриваемом случае конформный множитель положителен и не имеет нулей.

Сигнатура метрики пространства-времени равна (+ ++). Существует всего одна максимально продолженная поверхность V. Топологически она такая же, как и для конформного множителя = 1 2M + q, рассмотренного ранее.

q При 0 и 0 необходимо просто изменить сигнатуру всей метрики.

27.6 Итоги главы В двух последних главах были найдены и классифицированы все глобальные вакуум ные решения уравнений Эйнштейна с космологической постоянной, которые имеют вид сплетенного произведения двух поверхностей. Явное построение и классифика ция решений проведена в зависимости от значений постоянной скалярной кривизны одной из поверхностей, значения космологической постоянной и единственной по стоянной интегрирования, которая для решения Шварцшильда имеет физический смысл массы черной дыры. Мы видим, что требование максимального продолжения решений практически однозначно определяет глобальную структуру пространства времени. Важно отметить, что при решении уравнений движения мы не ставим ни каких граничных условий. Подчеркнем, что решение уравнений Эйнштейна в какой то фиксированной системе координат само по себе дает не так уж много. Для то го, чтобы дать физическую интерпретацию решений необходимо знать глобальную структуру пространства-времени. Эта задача сложна, но обойти ее, по-видимому, невозможно.

1020ГЛАВА 27. СПЛЕТЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Предположение о том, что метрика пространства-времени имеет вид сплетенного произведения метрик двух поверхностей влечет за собой симметрию метрики, если потребовать выполнения вакуумных уравнений Эйнштейна. Например, для решения Шварцшильда мы не требовали сферической симметрии метрики – она возникла в процессе решения уравнений Эйнштейна.

Построенные решения представляют значительный физический интерес. Мы по казали, что вакуумные решения уравнений Эйнштейна описывают черные дыры, космические струны, кротовые норы, доменные стенки сингулярностей кривизны и другие. В настоящей монографии мы лишь кратко обсудили свойства построенных глобальных решений.

Глава Дополнение 28.1 Матрицы Мы рассматриваем вещественные или комплексные матрицы. Бльшую часть утвер о ждений и формул настоящего дополнения можно найти, например, в монографиях [17, 21].

Для любого натурального N справедливо разложение n n n nk k = k ( + ) = k= ( 1) n2 = n + n1 + +... + n1 + n, (28.1) которое называется биномом Ньютона, где !

k n := (28.2) !( )!

– биномиальные коэффициенты. В частности, при = = 1 и = = 1 справед ливы равенства n n 2n = k (1)k n.

k n, 0= (28.3) k=0 k= Пусть дана 2 2 матрица ( ) =.

Если ее определитель отличен от нуля, det := = 0, то у нее существует обратная матрица, которая имеет вид ( ) 1 =.

det Для двух 2 2 матриц и справедлива формула det ( + ) = det + tr tr tr () + det. (28.4) Пусть – произвольная 3 3 матрица. Тогда справедлива формула (Bengtsson gr-qc/0703114) 1 ( 3 2 tr tr 2 ( tr )2 det = 0.

) (28.5) 1022 ГЛАВА 28. ДОПОЛНЕНИЕ След этого выражения имеет вид 3 tr 3 tr 2 tr + ( tr )3 3 det = 0.

2 Пусть = (ab ) – произвольная квадратная невырожденная матрица, det = 0. Тогда элементы обратной матрица 1ab равны ba 1ab =, det где ba – алгебраическое дополнение элемента ba. Если матрица симметрична, то обратная матрица 1 также симметрична. Для произведения двух невырож денных квадратных матриц справедлива формула ()1 = 1 1. Кроме того det 1 det = 1.

Определитель квадратной матрицы является полиномом от 2 элемен тов матрицы. Поэтому его можно дифференцировать по каждому элементу. Если матрица невырождена, то справедлива формула 1 det 1ba =. (28.6) det ab Пусть и – две квадратные обратимые матрицы размеров и, соот ветственно, и пусть – произвольная матрица размера. Тогда для квадратных ( + ) ( + ) матриц справедливо равенство ( ) T = det det ( + 1 T ) = det (28.7) T = det det ( + ).

Определитель нижне треугольной матрицы равен произведению определителей диа гональных блоков: ( ) det = det det. (28.8) Рассмотрим квадратную матрицу, которая равна произведению двух прямоугольных матриц =.

Размеры матриц и равны, соответственно, и. Тогда справедлива формула Бине–Коши [17] 11... 1m 1 1... m det... det..., (28.9)......

det =......

11 2...m n m1... mm 1 m... m m где сумма берется по всем упорядоченным выборкам индексов 1,..., m из 1,...,.

Если, то сумма считается равной нулю. Согласно формуле Бине–Коши опреде литель матрицы равен сумме произведений всех возможных миноров максималь ного -того порядка матриц и. При det = 0.

Если матрица невырождена, то справедливо тождество det ( + ) = det exp tr ln(1 + 1 ) = ( ) [ ] (1)n 1 n = det exp tr ( ). (28.10) n= 28.1. МАТРИЦЫ В частном случае, если = 1, то det (1 + ) = 1 + tr + ( tr 2 tr 2 ) +... + det, (28.11) где точки обозначают сумму определителей матриц, получающихся из всеми воз можными вычеркиваниями одинаковых строк и столбцов.

Если норма матрицы меньше единицы, то матрица 1 обратима, и справед лива формула k = (1 )1, (28.12) k= которая является аналогом формулы для суммы членов геометрической прогрессии.

Для произвольных квадратных некоммутирующих матриц и справедливо равенство 1 [ B B ] e e = + [, ] + [, ], +... = [, ](k), (28.13) 2 !

k= где члены ряда определены рекуррентными соотношениями [ ] [, ](0) =, [, ](k+1) = [, ](k),.

В частности, если [, ] =, то равенство (28.13) принимает вид eB eB = e. (28.14) Если коммутатор двух матриц пропорционален единичной матрице, [, ] = 1, то ряд (28.13) обрывается и справедливы следующие формулы:

eA eB = e[A,B] eB eA = e 2 [A,B] eA+B, (28.15) [, eB ] = [, ] eB. (28.16) Последнее равенство можно переписать в эквивалентном виде eB eB = + [, ]. (28.17) Равенство (28.15) известно, как формула Хаусдорфа.

Теорема 28.1.1 (Троттер). Для двух произвольных вещественных или комплекс ных квадратных матриц и справедлива формула )n ( t t et(A+B) = lim e n A e n B. (28.18) n Доказательство. См. [192].

Пусть заданы две произвольные симметричные матрицы и. Тогда, если ра венство ab cd ad cb cd ab + cb ad = 0 (28.19) выполнено для всех значений индексов, то матрицы и пропорциональны.

1024 ГЛАВА 28. ДОПОЛНЕНИЕ Если элементы квадратной матрицы ab () являются дифференцируемыми функ циями, то производная от определителя равна det = det 1ab ba = det 1ab ba. (28.20) Приведем без доказательства несколько теорем о свойствах матриц с веществен ными элементами, которые часто используются в приложениях. Напомним, что соб ственными значениями i, = 1,..., квадратной матрицы называются корни характеристического (векового) уравнения det ( 1) = 0.

Справедливы формулы n k k, det = 1... n, tr = (28.21) i i= для любого натурального N. У симметричной матрицы все собственные значения вещественны. При этом симметричная матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения вещественны и положительны i 0.

Если симметричная 22 матрица = t имеет положительные собственные зна чения, то из нее можно извлечь квадратный корень, т.е. представить в виде = 2.

Этот корень не является единственным. Однако, с точностью до знака существует единственный симметричный корень = t. Поскольку собственные значения мат рицы положительны, то на диагонали матрицы должны стоять положительные числа. Пусть ( ) det = 2 0, =,, 0.

тогда “положительный” квадратный корень имеет вид ( ) cos sin =, sin cos где sin 2 =, ( + + 2 2 ) sin 2 =, ( + + 2 2 ) и для углов выбираются положительные корни: 0, /2. Отметим, что спра ведливо тождество sin = sin.

Теорема 28.1.2. Пусть – произвольная квадратная невырожденная матрица.

Тогда матрица T симметрична и положительно определена.

Пусть i (t ) 0 – собственные значения симметричной матрицы t. Тогда сингулярными числами i () матрицы называется набор чисел i () := i (t ).

28.1. МАТРИЦЫ Теорема 28.1.3. О сингулярном разложении матриц. Пусть произвольная квадратная матрица и i () – ее сингулярные числа, занумерованные произвольным образом, тогда найдутся ортогональные матрицы и, такие что = t diag {1 (),..., n ()}, где diag {1 (),..., n ()} – диагональная матрица, у которой на диагонали стоят сингулярные числа.

Теорема 28.1.4. Пусть и произвольные квадратные матрицы с сингулярными числами i () и i (), занумерованными в порядке возрастания, тогда справедлива оценка n | tr ()| i ()i ().

i= Теорема 28.1.5. Пусть – произвольная симметричная положительно опреде ленная матрица. Тогда существует единственная симметричная положительно определенная матрица, такая что 2 =. При этом мы пишем =.

Теорема 28.1.6. Полярное разложение вещественных матриц. Любая веще ственная матрица может быть представлена в виде произведения =, (28.22) где – неотрицательно определенная симметричная матрица и – ортогональная матрица. Матрица всегда однозначно определена соотношением := t.

Если матрица невырождена, то симметричная матрица является положи тельно определенной, а ортогональная матрица также определена однозначно, = 1.

Доказательство. См., например, [21].

Пример 28.1.1. Вещественное число R является 1 1 матрицей и его можно представить в виде = || sign, где { 1 0, sign := 1, 0, – ортогональная 1 1 матрица. Если = 0, то представление существует и един ственно. При = 0 модуль числа также равен нулю, || = 0, а матрица = sign неопределена.

Полярное разложение вещественных матриц имеет простую геометрическую ин терпретацию. Рассмотрим матрицу, как линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве Rn. Тогда ортогональной матрице соответствует некоторое вращение евклидова пространства вокруг начала координат. Симметричная поло жительно определенная матрица осуществляет дилатацию евклидова пространства вдоль взаимно перпендикулярных направлений с различными в общем случае ко эффициентами растяжения. Следовательно, полярное разложение матриц означает последовательное выполнение некоторого вращения и некоторой дилатации.

1026 ГЛАВА 28. ДОПОЛНЕНИЕ Теорема 28.1.7. Полярное разложение комплексных матриц. Любая ком плексная матрица может быть представлена в виде произведения =, (28.23) где – неотрицательно определенная эрмитова матрица и – унитарная мат рица. Матрица всегда однозначно определена соотношением = †.

Если матрица невырождена, то эрмитова матрица является положительно определенной, а унитарная матрица также определена однозначно, = 1.

Доказательство. См., например, [21].

Пример 28.1.2. Комплексные числа = + являются комплексными 1 1 мат рицами. Для них полярное разложение имеет хорошо известный вид = ei. Если = 0, то модуль и аргумент комплексного числа определены однозначно. При = 0 модуль комплексного числа также равен нулю, = 0, а аргумент неопреде лен.

Замечание. Полярные разложения матриц справедливы также для другого поряд ка матриц в формулах (28.22) и (28.23): = и =. Вообще говоря, новые матрицы будут отличаться от старых. Сомножители, и, в полярном разложе нии матриц перестановочны между собой тогда и только тогда, когда матрицы, t и, † коммутируют, соответственно, для вещественного и комплексного случая.

Определение. Две квадратные матрицы и называются подобными, если существует такая невырожденная матрица, что = 1. (28.24) Отображение 1 называется преобразованием подобия.

Легко проверить, что преобразование подобия является отношением эквивалент ности в множестве квадратных матриц. Если матрицы и подобны, то мат рица, с помощью которой проводится преобразование, определена неоднозначно.

Ее можно умножить слева на произвольную невырожденную матрицу, коммутиру ющую с.

С помощью преобразования подобия любую матрицу можно преобразовать к некоторому каноническому виду. Одним из таких видов является жорданова фор ма матрицы.

Определение. Жордановым блоком или жордановой клеткой k () называется верх няя треугольная матрица вида 1 1 ·· ·· k () :=, (28.25) ·· · 0 28.1. МАТРИЦЫ у которой на главной диагонали стоят одинаковые числа, а над ними – единицы. Все остальные элементы матрицы равны нулю. По определению 1 () =. Жордановой матрицей называется любая прямая сумма жордановых клеток:

n1 (1 ) n2 (2 ) :=, 1 + 2 +... + k =, (28.26)...

0 nk (k ) где порядки i каких то клеток могут совпадать и числа i не обязательно различны.

Можно рассматривать, например, вещественные или комплексные жордановы матрицы.

Все собственные числа жордановой клетки одинаковы и равны, т.е. является собственным числом жордановой клетки (28.25) кратности. i, = 1,..., – соб ственные числа матрицы. Если i = j и отличается от всех остальных собственных чисел, то кратность собственного числа i равна i + j.

Теорема 28.1.8. Пусть задана комплексная матрица. Тогда существует невырожденная матрица такая, что = 1, (28.27) где – жорданова матрица (28.26). Матрица определяет подобную ей жорданову матрицу однозначно с точностью до перестановки жордановых клеток на ее глав ной диагонали. Собственные значения i не обязательно различны. Если матрица вещественна и обладает только вещественными собственными значениями, то подобие может быть реализовано с помощью вещественной матрицы.

Число жордановых клеток матрицы (с учетом возможных повторов) равно максимальному числу ее линейно независимых векторов. При этом для каждой жор дановой клетки существует только один независимый собственный вектор. Матрица диагонализируема тогда и только тогда, когда =. В частности, если все соб ственные числа различны, то матрицу можно привести к диагональному виду с помощью преобразования подобия.

Если порядок всех жордановых клеток равен единице, i = 1, = 1,...,, то жорданова матрица является диагональной. Если один из жордановых блоков име ет бльший порядок, i 1, то жорданова матрица не может быть приведена к о диагональному виду преобразованием подобия.

Предложение 28.1.1. Любая комплексная матрица подобна своей транспони рованной t.

Любая жорданова клетка записывается в виде суммы единичной и нильпотентной матриц:

(k )k = 0.

k () = 1 + k, (28.28) Любая жорданова матрица записывается в виде суммы диагональной и нильпотент ной матриц:

k = 0, = +, (28.29) 1028 ГЛАВА 28. ДОПОЛНЕНИЕ где – порядок наибольшей жордановой клетки. Если задана произвольная матрица и ее жорданова форма, то = 1 = 1 + 1 := D + N, где D диагонализируемая и N нильпотентная матрицы. При этом [D, N ] = 0.

Приведем некоторые результаты для эрмитовых и симметричных матриц.

Определение. Комплексная матрица называется эрмитовой, если выпол нено равенство † =, где символ † обозначает эрмитово сопряжение: † := ()t.

† Если выполнено равенство =, то матрица называется антиэрмитовой.

Если матрица вещественна, то эрмитовы и антиэрмитовы матрицы соответ ствуют симметричным и антисимметричным матрицам.

Теорема 28.1.9. Все собственные значения эрмитовой матрицы веще ственны. Матрица эрмитова тогда и только тогда, когда существует унитар ная матрица такая, что выполнено равенство = 1, U(), (28.30) где – вещественная диагональная матрица. Матрица составлена из собствен ных значений матрицы. Унитарную матрицу можно выбрать из односвязной подгруппы SU() U().

Все собственные значения вещественной симметричной матрицы ве щественны. Матрица симметрична тогда и только тогда, когда существует ортогональная матрица такая, что выполнено равенство = 1, O(), (28.31) где – вещественная диагональная матрица. Матрица составлена из собствен ных значений матрицы. Ортогональную матрицу можно выбрать из связной компоненты единицы SO().

С помощью одной унитарной матрицы иногда удается диагонализировать сразу несколько эрмитовых матриц.

Теорема 28.1.10. Пусть – семейство эрмитовых матриц. Унитарная матрица такая, что матрица 1 – диагональна для всех, существует тогда и только тогда, когда [, ] = 0 для всех,.

В заключение рассмотрим некоторые свойства суперматриц, элементами которых являются коммутирующие и антикоммутирующие объекты. Пусть задана квадрат ная суперматрица ( n ) m m =, (28.32) µ n µ где и – квадратные невырожденные матрицы с коммутирующими элемента ми, а и – матрицы с антикоммутирующими элементами, которые могут быть прямоугольными. Суперслед и суперопределитель матрицы определены соотно шениями:

str := tr tr, (28.33) det ( 1 ) det sdet := =. (28.34) det ( 1 ) det 28.2. МАТРИЦЫ ПАУЛИ Из определения вытекает, что ряд свойств обычного следа и определителя насле дуется суперматрицами:

str ( + ) = str + str, str ( ) = str ( ), sdet 1 =, (28.35) sdet sdet ( ) = sdet sdet, sdet = exp str ln.

28.2 Матрицы Паули Определение. Три эрмитовых 2 2 матрицы = {i }, = 1, 2, 3:

( ) ( ) ( ) 01 1 :=, 2 :=, 3 := (28.36) 0 10 называются матрицами Паули.

Они обладают следующими свойствами:

= 2 1 = 3, 1 = 3 2 = 1, 2 = 1 3 = 2, 3 1 (28.37) i =1 (суммирования по нет), 1 2 3 =.

Свойства (28.37) можно записать в виде коммутатора и антикоммутатора матриц Паули:

[i, j ] = 2ij k k, {i, j } = 2ij (28.38) или i j = ij + ij k k, (28.39) где ijk – полностью антисимметричный тензор третьего ранга и подъем индексов осуществляется с помощью евклидовой метрики ij.

Матрицы Паули встречаются в различных контекстах. Во-первых, они являют ся генераторами группы двумерных унитарных матриц SU(2). Во-вторых, второе из соотношений (28.38) означает, что матрицы Паули являются образующими алгебры Клиффорда CL(3). В-третьих, матрицы Паули, умноженные на, можно рассмат ривать, как представление образующих алгебры кватернионов (28.47).

Для следов произведения матриц Паули справедливы тождества:

tr i = 0, tr (i j ) = 2ij, tr (i j k ) = 2ijk. (28.40) Рассмотрим вектор = {i } в трехмерном евклидовом пространстве с обычным скалярным произведением. Тогда справедлива формула (, ) i(,) = cos || + sin ||, (28.41) || 1030 ГЛАВА 28. ДОПОЛНЕНИЕ где (, ) := 1 1 + 2 2 + 3 3, (1 )2 + (2 )2 + (3 )2.

|| = Свертка равенства (28.39) с произвольными векторами и приводит к тождеству (, )(, ) = (, ) + ([, ], ), (28.42) где [, ]i := j k ik i – векторное произведение векторов. Из свойства (28.39) следует, что всякая функция от матриц Паули сводится к линейной функции.

С групповой точки зрения матрицы Паули являются генераторами группы SU(2).

“Скалярное произведение” (, ) и экспонента i(,) являются соответственно эле ментами алгебры Ли su(2) и группы Ли SO(2). Отображение (28.41) представляет собой экспоненциальное отображение алгебры Ли в группу Ли.

28.3 Кватернионы Определение. Рассмотрим четырехмерное векторное пространство H над полем вещественных чисел, которое содержит поле вещественных чисел как подпростран ство. Обозначим базис этого пространства символами 1,,,, где 1 – единица из поля вещественных чисел. Тогда произвольный элемент H представим в виде = + + +, (28.43) где,,, – вещественные числа. Введем билинейное умножение в H, положив сле дующее правило умножения базисных векторов = =, = =, (28.44) = =, 2 = 2 = 2 = 1.

Элементы вида (28.43) с операциями сложения, умножения на действительные числа и умножения (28.44) называются кватернионами.

С помощью прямых вычислений можно проверить, что кватернионы с так опре деленным умножением образуют ассоциативную, но не коммутативную алгебру с единицей H над полем вещественных чисел. Эту алгебру можно представить в виде комплексных матриц () GL(2, C) ( ) + + () =, (28.45) + где – мнимая единица. Прямые вычисления показывают, что отображение () является гомоморфизмом, то есть (1 2 ) = (1 )(2 ).

Для доказательства этого утверждения достаточно проверить его для =,,. В частности, при =,, имеем равенства:

( ) ( ) ( ) 0 01 () =, () =, () =. (28.46) 0 1 0 28.3. КВАТЕРНИОНЫ Эти матрицы с точностью до множителя совпадают с матрицами Паули (28.36) 1 = (), 2 = (), 3 = (). (28.47) Введем операцию сопряжения в H, то есть поставим каждому кватерниону вида (28.43) его сопряженный элемент :=.

(28.48) Это отображение является антиавтоморфизмом алгебры кватернионов, то есть 1 + 2 = 1 + 2, 1 2 = 2 1.

Число называется вещественной частью re :=, а остаток im := + + – мнимой частью кватерниона. В алгебре кватернионов можно ввести симметричное скалярное произведение (1, 2 ) := re 1 2 = 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2, (28.49) которое совпадает с обычным евклидовым произведением в R4. Поскольку каждый кватернион представим в виде = re + im, то алгебра кватернионов распадается в прямую сумму ортогональных подпространств H = R R3, где R – прямая, состо ящая из вещественных кватернионов, а R3 – ортогональное трехмерное евклидово пространство мнимых кватернионов.

Определим норму кватерниона 2 := = = 2 + 2 + 2 + 2.

(28.50) Нетрудно проверить, что 2 = det ().

Отсюда следует, что 1 2 2 = 1 2 2 2.

Каждый отличный от нуля кватернион обладает единственным обратным эле ментом 1 = 1 = 1, где 1 =.

Это означает, что множество кватернионов относительно операции сложения и умно жения (28.44) (без умножения на действительные числа) образует тело, так как умно жение некоммутативно.

Алгебра кватернионов H допускает естественное отождествление с двумерным комплексным пространством C2. Используя определение умножения в алгебре ква тернионов = (28.44), запишем кватернион в виде = ( + ) + ( ) = 1 + 2, где линейные комбинации 1 := + и 2 := + можно отождествить с парой комплексных чисел. При этом 1 и рассматриваются, как базис в C2.

Рассмотрим мнимый кватернион, не содержащий вещественной части, = 2 + 2 + 2.

= + +, 1032 ГЛАВА 28. ДОПОЛНЕНИЕ Его можно представить, как вектор в трехмерном евклидовом пространстве R3.

Пусть H произвольный обратимый (в смысле кватернионного умножения) ква тернион. Тогда кватернион 1 снова является мнимым кватернионом с той же нормой 1 R3, 1 =.

Это значит, что каждому обратимому кватерниону, т.е. отличному от нуля, ставится в соответствие некоторое вращение. При этом двум кватернионам и, отличаю щимся знаком, соответствует одно и то же вращение. Можно проверить, что любое вращение можно реализовать с помощью кватерниона единичной нормы. Посколь ку кватернионы единичной нормы параметризуют трехмерную сферу единичного радиуса, то существует гомеоморфизм S SO(3).

Z Рассмотрим отображение кватернионов H, задаваемое двумя кватернионами, H единичной нормы 1, = = 1.

Это отображение задает вращение четырехмерного евклидова пространства H = R4, поскольку сохраняет норму. Можно проверить, что любое вращение определяет пару и с точностью до знака, так как кватернионы, и, определяют одно и то же вращение. Это значит, что существует гомеоморфизм S3 S SO(4).

Z 28.4 Полностью антисимметричные тензоры Полностью антисимметричный тензор ранга в -мерном евклидовом пространстве единственен с точностью до умножения на произвольную ненулевую постоянную и имеет всего одну независимую компоненту. Его всегда можно представить в виде константы, умноженной на тензор, все ненулевые компоненты которого равны по модулю единице. Этот тензор часто используется в приложениях и имеет специальное обозначение 12...n = 1, a1...an = [a1...an ], (28.51) a1...an = a1...an, 12...n = 1.

28.4. ПОЛНОСТЬЮ АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕНЗОРЫ Здесь подъем индексов произведен с помощью евклидовой метрики. Произведения и свертки двух таких тензоров выражаются через символы Кронекера:

a a a b11 b12 · · · b1n a1 a2 · · · an b b2 b [a...an ] a1...an b1...bn = = det. ! b1...bn....

....

...

a1 a2 an bn bn · · · bn ! [a...an ] [a...an ] b1 a2...an b1...bn = ( 1)! b2...bn = 1 b2...bn n ! [a...an ] [a...an ] (28.52) b1 b2 a3...an b1...bn = 2( 2)! b3...bn = 2 b3...bn n ! [a...an ] [a...an ] b1...bk ak+1...an b1...bn = !( )! bk+1...bn = k bk+1...bn n k+ k+ ! an an b1...bn1 an b1...bn = ( 1)! bn = n1 bn n b1...bn b1...bn = !

Полностью антисимметричный тензор максимального ранга в пространстве с метри кой произвольной сигнатуры определяется соотношениями 12...n sgn, 12...n = 1, (28.53) где множитель sgn := sign ( det ) равен знаку определителя метрики. Этот множи тель возникает при подъеме индексов. Для таких пространств правые части (28.52) необходимо умножить на множитель sgn.

Определитель произвольной квадратной матрицы в евклидовом пространстве можно записать в виде det (a b ) = b1 b2...bn 1 b1 2 b2... n bn = a1 a2...an a1 1 a2 2... an n (28.54) = a1 a2...an b1 b2...bn a1 b1 a2 b2... an bn.

!

Полностью антисимметричный тензор в -мерном евклидовом пространстве инвари антен относительно SO() вращений с матрицей a a SO():

a1...an = a1...an a1 a1... an an = det (a a )a1...an. (28.55) Полностью антисимметричный тензор в голономном базисе на многообразии име ет следующие компоненты:

1...n = 1 a1... n an a1...an, (28.56) и в геометрии Римана–Картана является ковариантно постоянным:

1...n = 0. (28.57) По-определению, полностью антисимметричный тензор в пространстве Минков ского четного числа измерений меняет знак при пространственном отражении (0, i ) (0, i ), то есть является псевдотензором. Приставку псевдо- мы, как правило, опус каем.

1034 ГЛАВА 28. ДОПОЛНЕНИЕ Полностью антисимметричная тензорная плотность 1...n веса 1 определяется ^ соотношениями 1...n := ||1...n, ^ (28.58) 1...n := 1...n.

^ || Ее ненулевые компоненты равны по модулю единице в любой системе координат, +1 – четная перестановка индексов, 1...n = 1 – нечетная перестановка индексов, ^ (28.59) 0 – совпадение любой пары индексов.

Отсюда следует, что все частные производные антисимметричной тензорной плотно сти равны нулю:

1...n = 0.

^ (28.60) Приведем явные формулы для трехмерного евклидова пространства R3, которые часто используются в физических приложениях, 123 = 1.

123 = 1, (28.61) Свертки:

l m n i i i lmn ijk = ijk + ijk + ijk ijk ijk ijk lmn mnl nlm lnm mln nml l m n = det j j j l m n k k k (28.62) klm ijm = ij ij, kl lk j jkl ikl = 2i, ijk ijk = 6.

Полностью антисимметричный тензор второго ранга в евклидовом пространстве имеет две ненулевые компоненты 12 = 12 = 1, (28.63) или ( ) ab a b ab = = = a =. (28.64) b 1 Свертки:

( ) a b c c ab ab ba cd = cd cd = det a b d d (28.65) ab ad = d, b ab ab = 2.

В пространстве Минковского нечетного числа измерений формулы для сверток полностью антисимметричных тензоров те же, что и в евклидовом пространстве. В пространстве Минковского четного числа измерений полностью антисимметричные 28.4. ПОЛНОСТЬЮ АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕНЗОРЫ тензоры с верхними и нижними индексами отличаются знаком. Определим антисим метричный тензор четвертого ранга в пространстве Минковского следующим обра зом 0123 = 1.

0123 = 1, (28.66) Свертки:

abcd ef gh = ef gh ef gh ef gh + ef gh + ef gh + ef gh abcd acdb adbc acbd abdc adcb bcda bdac bacd bdca bcad badc + ef gh + ef gh + ef gh ef gh ef gh ef gh cdab cabd cbda cadb cdba cbad ef gh ef gh ef gh + ef gh + ef gh + ef gh dabc dbca dcab dbac dacb dcba + ef gh + ef gh + ef gh ef gh ef gh ef gh (28.67) abcd af gh = f gh f gh f gh + f gh + f gh + f gh bcd cdb dbc cbd bdc dcb abcd abgh = 2(gh gh ), cd dc abcd abch = 6h, d abcd abcd = 24.

Полностью антисимметричные тензоры в трехмерном евклидовом пространстве и пространстве Минковского связаны следующими соотношениями ijk = 0ijk.

ijk = 0ijk, (28.68) Полностью антисимметричный тензор второго ранга в пространстве Минковского 1, R имеет две ненулевые компоненты:

01 = 01 = 1, (28.69) или ( ) ( ) 01 ab a b ab = = = a =,, (28.70) b 1 0 Свертки:

ab cd = cd + cd, ab ba ab ad = d, b (28.71) ab ab = 2.

В двумерном пространстве Минковского R1,1 можно ввести проекционные опера торы 1b ± b := (a ± a b ).

a Отметим, что аналогичная конструкция в евклидовом пространстве не приводит к проекционным операторам.

Пусть в римановом пространстве (M, ), dim M =, задано тензорное поле с компонентами типа (0, 2) такое, что det = 0. Тогда существует обратное тензорное поле типа (2, 0), =, и его можно представить в виде = 2...n 2...n 2 2... n n, ^ ^ (28.72) | det |( 1)!

Если метрика имеет лоренцеву сигнатуру, то в пространстве четного числа измерений в правой части появляется знак минус.

Литература [1] В. И. Арнольд. Обыкновенные диференциальные уравнения. Наука, Москва, 1975. Второе изд. 240 с.

[2] В. И. Арнольд, В. В. Козлов, and А. И. Нейштадт. Математические аспекты классической и небесной механики. Эдиториал УРСС, Москва, 2002. Второе изд. 414 с.

[3] В. С. Владимиров. Уравнения математической физики. Наука, Москва, изда ние пятое, 1988.

[4] И. М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре. МЦНМО, Москва, 1998. Пятое изд.

[5] И. М. Гельфанд, Р. А. Минлос, and З. Я. Шапиро. Представления группы вращений и группы Лоренца, их применения. Физ.-мат. лит., Москва, 1958.

[6] Ю. Н. Дрожжинов and Б. Н. Завьялов. Введение в теорию обобщенных функ ций. МИАН, Москва, 2006.

[7] Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, and А. Т. Фоменко. Современная геометрия.

Методы и приложения. Наука, Москва, издание четвертое, 1998.

[8] В. В. Жаринов. Алгебро-геометриеские основы математической физики. Изд во МИАН им. В. А. Стеклова, Москва, 2008.

[9] J. L. Kelley. General Topology. D. Van Nostrand Company, Inc., Toronto – London, 1957. Перевод: Келли Дж. Л. Общая топология. М.: Наука, 1968.

[10] А. А. Кирилов. Элементы теории представлений. Наука, Москва, Второе edition, 1978.

[11] А. И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. Часть II.

Линейная алгебра. Часть III Основные структуры алгебры. Наука, Москва, 2000.

[12] А. И. Кострикин and Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. Наука, Москва, 1986.

[13] С. П. Новиков and И. А. Тайманов. Современные геометрические структуры и поля. МЦНМО, Москва, 2005.

[14] М. М. Постников. Аналитическая геометрия. Наука, Москва, 1979.

[15] П. К. Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ. Наука, Москва, 1967. Третье изд.

ЛИТЕРАТУРА [16] В. А. Рохлин and Д. Б. Фукс. Начальный курс топологии. Геометрические главы. Наука, Москва, 1977.

[17] Ф. Р. Гантмахер. Теория матриц. Наука, Москва, 4-е изд. edition, 1988.

[18] М. А. Евграфов. Аналитические функции. Наука, Москва, Третье edition, 1991.

[19] R. Engelking. General Topology. Pastwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, n second edition, 1977. Перевод: Энгелькинг, Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.

751 с.

[20] A. N. Tychonoff. Ein Fixpunktsatz. Math. Ann., 11:767–776, 1935.

[21] R. A. Horn and C. R. Johnson. Matrix Analysis. Cambridge U.P., Cambridge, 1986.

Перевод: Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ М.: Мир. 1989.

[22] Czes Kosniowski. A First Course In Algebraic Topology. Cambridge University Press, Cambridge – London – New York, 1980. Перевод: Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. М.: Мир, 1983.

Линейные представления группы Лоренца.

[23] М. А. Наймарк. Физматгиз., Москва, 1958.

[24] A. Einstein. Zur Elektrodynamik der bewegter Krper. Ann. Phys., 17(2):891–921, o 1905.

[25] E. Cunningham. The principle of relativity in electrodynamics and an extension thereof. Proc. London Math. Soc., 8, Series 2:77–98, 1909.

[26] H. Bateman. The transformation of the electrodynamical equations. Proc. London Math. Soc., 8, Series 2:223–264, 1909.

[27] P. A. M. Dirac. Wave equations in conformal space. Ann. Math., 37(2):429–442, 1936. Перевод в сб. П. А. М. Дирак “Собрание научных трудов. Том 2.” М.:

Наука, 2003, сс. 485–497.

[28] E. S. Fradkin and M. Ya. Palchik. Conformal Quantum Field Theory in dimensions. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1996.

Линейные представления группы Лоренца.

[29] М. А. Наймарк. Физматгиз, Москва, 1958.

[30] A. O. Barut and R. Rczka. Theory of Group Representations and Applications.

a PWN – Polish Scientific Publishers, Warszawa, 1977. Перевод: А. Барут, Р. Ронч ка. Теория представлений групп и ее приложения. Т.1,2. М.: Мир, 1980.

[31] A. A. Michelson and E. W. Morley. On the relative motion of the earth and the luminiferous ether. Am. J. Sci, 34:333–345, 1887. Воспроизведена в кн.: Relativity Theory: Its Origins and Impact on Modern Thought. Ed. L. Piarce Williams, John Wiley and Sons, 1968.

[32] T. S. Jaseja, A. Javan, J. Murray, and C.H. Townes. Test of special relativity or of the isotropy of space by use of infrared masers. Phys. Rev., 133:A1221–A1225, 1964.

1038 ЛИТЕРАТУРА [33] G. Herglotz. Uber die Mechanik des deformierbaren Krpers vom Standpunkte der o Relativittstheorie. Ann. der Physik, 36(3):493–533, 1911.

a [34] H. Whitney. Differentiable manifolds. Ann. of Math. (2), 37(5):645–680, 1936.

[35] J. Munkres. Obstructions to the smoothing of piecewise differentiable homeomorphisms. Ann. of Math. (2), 72:521–554, 1960.

[36] J. Milnor. On manifolds homeomorphic to the 7-sphere. Ann. Math., 64:394–405, 1956. Перевод: Дж. Милнор. Сб. переводов "Математика". 1990, т. 1,. 3, сс.

394–405.

[37] S. K. Donaldson and P. B. Kronheimer. The Geometry of Four-Manifolds. Clarendon Press, Oxford, 1991.

[38] M. Kervaire. A manifold which does not admit any differentiable structure.

Comment. Math. Helv., 34:257–270, 1960.

[39] T. Aubin. A Course in Differential Geometry. AMS, Providence, Rhode Island, 2001.

[40] F. W. Warner. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Springer– Verlag, Berlin – Heidelberg, 1983. Перевод: Ф. Уорнер. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М.: Мир, 1987.

[41] S. S. Chern, W. H. Chen, and K. S. Lam. Lectures on Differential Geometry. World Scientific, Singapore, 2000.

[42] J. W. Milnor and J. D. Stasheff. Characteristic Classes. Princeton U. Press, Princeton, New Jersey, 1974. Перевод: Дж. Милнор, Дж. Сташеф Характе ристические классы. М.: Мир, 1979.

[43] S. S. Chern. Curves and surfaces in euclidean space. In S. S. Chern, editor, "Global Geometry and Analysis". MAA studies in Mathematics. Vol. 4., pages 16– 56, Inglewood Cliffs, 1967. The Mathematical Association of America, Prentice Hall, Inc.

[44] C. J. Isham. Modern Differential Geometry. World Scientific, Singapore, 1999.

[45] S. Kobayashi and K. Nomizu. Foundations of differential geometry, volume 1, 2.

Interscience publishers, New York – London, 1963. Перевод: Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Том 1, 2. – М.: Наука, 1981.

[46] L. Schwartz. Analyse Mathmatique. Vols. I, II. Hermann, Paris, 1967. Перевод:

e Л. Шварц. Анализ. Том 1,2. М.: Мир,1972.

[47] C. Chevalley. Theory of Lie Groups. Princeton University Press, Princeton, 1946.


К. Шевалле. Теория групп Ли. Т. 1. М.: ИЛ, 1948.

[48] C. Godbillon. Gomtrie Diffretielle et Mcanique Analytique. Hermann, Paris, ee e e 1969. Перевод: Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М.: Мир, 1973. 188 с.

[49] G. de Rham. Sur la thorie des formes diffrentielles harmoniques. Ann. Univ.

e e Grenoble, 22:132–152, 1946.

ЛИТЕРАТУРА [50] G. de Rham. Vari’ets Diffrentiables. Hermann, Paris, 1955. Перевод: де Рам Ж.

e e Дифференцируемые многообразия. М.: URSS, 2006. 2-е изд.

[51] J. A. Wolf. Spaces of constant curvature. University of California, Berkley, California, 1972. Перевод: Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны.

М.: Наука, 1982. 480 с.

[52] N. E. Steenrod. The Topology of Fiber Bundles. Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1951.

[53] H. Weyl. Gravitation und Elektrizitt. Sitz. Preuss. Akad. Wiss., page S. 465, 1918.

a Перевод в сб. “Альберт Эйнштейн и теория гравитации”. М.: Мир, 1979, с. 513.

[54] T. Levi-Civita. Nozione di parallelismo una variet qualungue e consequente a specificazione geometrica della curvatura Riemanniana. Rendicinti di Palermo, 42:173–205, 1917.

[55] М. О. Катанаев. Геометрическая теория дефектов. УФН, 175(7):705–733, 2005.

[56] A. M. Gleason. Groups without small subgroups. Ann. Math., 56(2):193–212, 1952.

[57] D. Montgomery and L. Zippin. Small subgroups of finite-dimensional groups. Ann.

Math., 56(2):213–241, 1952.

[58] Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. Наука, Москва, 1984. Четвертое изд.

[59] M. Goto and Grosshans F. Semisimple Lie Algebras. Marcel Dekker, New York, 1978.

[60] S. Helgason. Differential Geometry and Symmetric Spaces. Academic Press, New York, 1962.

[61] S. Helgason. Differential Geometry and Symmetric Spaces. Academic Press, New York, 1962. Перевод: Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметри ческие пространства. М.: Мир, 1983.

[62] S. Helgason. Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces. American Mathematical Society, Rhode Island, 2001. Перевод: Хелгасон С. Дифференциаль ная геометрия, группы Ли и симметрические пространства. М.: Факториал Пресс, 2005.

[63] М. М. Постников. Группы и алгебры Ли. Наука, Москва, 1982.

[64] И. Д. Адо. Представление алгебр Ли матрицами. Усп. Матем. наук, 2(6):159, 1947.

[65] E. Cartan. Groupes simples clos et ouverts et g’eometrie riemanniene. J. Math.

pure appl., 8:1–33, 1929.

[66] M. Hausner and J. Schwartz. Lie Groups;

Lie algebras. Gordon & Breach, New York–London–Paris, 1968.

[67] J. F. Adams. Vector fields on spheres. Ann. Math., 75:603–632, 1962.

1040 ЛИТЕРАТУРА [68] E. H. Spanier. Algebraic Topology. McGraw–Hill Book Company, New York – London, 1966. Перевод: Э. Спеньер. Алгебраическая топология. М.: Мир, 1971.

[69] R. Narasimhan. Analysis on Real and Complex Manifolds. Masson and North– Holland, Paris and Amsterdam, 1971. Перевод: Р. Нарасимхан. Анализ на дей ствительных и комплексных многообразиях. М.: Мир, 19??.

[70] А. А. Болибрух. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные рассло ения. МЦНМО, Москва, 2000.

[71] R. Godement. Topologie Algebrique et Theorie des Faisceaux. Hermann, Paris, 1958.

Перевод: Годеман Р. Алгебраическая топология и теория пучков. М.: ИЛ, 1961.

[72] K. Iwasawa. On some types of topological groups. Ann. Math., 50:507–558, 1949.

[73] K. Nomizu and H. Ozeki. On the degree of differentiability of curves used in the definition of the holonomy groups. Bull. Amer. Math. Soc., 68:74–75, 1962.

[74] W. Ambrose and I. M. Singer. A theorem on holonomy. Trans. Amer. Math. Soc., 75:428–443, 1953.

[75] J. Hano and H. Ozeki. On the holonomy groups of linear connexions. Nagoya Math.

J., 10:97–100, 1956.

[76] K. Nomizu. Un thor`me sur les groupes d’holonomie. Nagoya Math. J., 10:101–103, ee 1956.

[77] H. Ozeki. Infinitesimal holonomy groups of bundle connections. Nagoya Math. J., 10:105–123, 1956.

[78] H. C. Wang. On invariant connections over a principal fibre bundle. Nagoya Math.

J., 13:1–19, 1958.

[79] M. V. Berry. Quantal phase factors accompanying adiabatic changes. Proc. Roy.

Soc. London, A392(1802):45–57, 1984.

[80] Y. Aharonov and D. Bohm. Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory. Phys. Rev., 115(3):485–491, 1959.

[81] F. Wilczek and A. Zee. Appearance of gauge structure in simple dynamical systems.

Phys. Rev. Lett., 52:2111, 1984.

[82] M. Born and V. Fock. Beweis des Adiabatensatzes. Z. Phys., 51:165–180, 1928.

English translation in “V.A. Fock – Selected Works: Quantum Mechanics and Quantum Field Theory” ed. by L.D. Faddeev, L.A. Khalfin, I.V. Komarov. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, 2004.

[83] E. Schrdinger. Quantizierung als Eigenwertproblem (Erste Mitteilung). Ann. Phys.

o Leipzig, 79(4):361–376, 1926.

[84] E. Schrdinger. Quantizierung als Eigenwertproblem (Zweite Mitteilung). Ann.

o Phys. Leipzig, 79(6):489–527, 1926.

[85] В. С. Владимиров and И. В. Волович. Локальные и нелокальные токи для нелинейных уравнений. ТМФ, 61(3):3–29, 1984.

ЛИТЕРАТУРА [86] В. С. Владимиров and И. В. Волович. Законы сохранения для нелинейных уравнений. УМН, 40(4(244)):17–26, 1985.

[87] A. Messiah. Quantum Mechanics, volume 2. North Holland, Amsterdam, 1962.

Перевод: А. Мессиа. Квантовая механика. Т.2. М.: Наука, 1979.

[88] В. А. Фок. Начала квантовой механики. Наука, Москва, 2-е изд. edition, 1976.

[89] T. Bitter and D. Dubbers. Manifestation of berry’s topological phase in neutron spin rotation. Phys. Rev. Lett., 59:251–254, 1987.

[90] F. G. Werner and D. R. Brill. Significance of electromagnetic potentials on the quantum theory in the interpretation of electron interferometer fringe observations.

Phys. Rev. Lett., 4(7):344–347, 1960.

[91] R. G. Chambers. Shift of an electron interference pattern by enclosed magnetic flux.

Phys. Rev. Lett., 5(1):3–5, 1960.

[92] H. Boersch, H. Hamisch, D. Wohlleben, and K. Grohmann. Weissche bereiche als bi-prisme fr elektroneninterferenzen. Z. Phys., 159:397–404, 1960.

u [93] W. Killing. Uber die Grunglagen der Geometrie. J. Reine Angew. Math., 109:121– 186, 1892.

[94] L. Bianchi. Lezioni sulla teoria dei gruppi continui finiti di transformazioni. Spoerri, Pisa, 1918.

[95] В. А. Фок. Теория пространства, времени и тяготения. Издание второе.

Физматгиз, Москва, 1961.

[96] Th. De Donder. La Gravifique Einsteinienne. Gauthier-Villars & cie, Paris, 1921.

[97] K. Lanczos. Ein vereinfachendes Koordinatensystem fr die Einsteinschen u Gravitationsgleichungen. Phys. Zs., 23:537–539, 1922.

[98] В. А. Фок. О движении конечных масс в общей теории относительности.

ЖЭТФ, 9(4):375–410, 1939.

[99] E. Fermi. Sopra i fenomeni che avvengono in vicinanza di una linea oraria. Atti Acad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fiz. Mat. Nat., 31:Three parts, pp. 21–23, 51–52, 101–103, 1922.

[100] J. H. C. Whitehead. Convex regions in the geometry of paths. Quart. J. Math.


Oxford Ser., 3:33–42, 1932.

[101] S. Myers and N. Steenrod. The group of isometries of a Riemannian manifold. Ann.

Math., 40:400–416, 1939.

[102] H. Hopf and W. Rinow. Uber den Begriff des vollstndigen differentialgeometrischen a Flche. Comment. Math. Helv., 3(2):209–225, 1931.

a [103] А. Т. Фоменко. Симплектическая геометрия. Издательство МГУ, Москва, 1988.

1042 ЛИТЕРАТУРА [104] Л. Д. Ландау and Е. М. Лифшиц. Механика. Наука, Москва, четвертое edition, 1988.

[105] P. J. Olver. Application of Lie Groups to Differential Equations. Springer–Verlag, Berlin – Heidelberg, 1986. Перевод: Олвер П. Приложения групп Ли к диффе ренциальным уравнениям. М.: Мир, 1989. 637 с.

[106] Л. Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

УРСС, Москва, 1998.

[107] E. Noether. Invariante variationsprobleme. Nachr. D. Knig. Gesellsch. D. Wiss. Zu o Gttingen, Math-phys. Klasse, pages 235–257, 1918. Перевод в кн. Вариационные o принципы в механике. М.: Физматгиз, 1959, с. 611.

[108] B. DeWitt. Dynamical Theory of Groups and Fields. Gordon and Breach, New York – London, 1965. Перевод: ДеВитт Б. С. Динамическая теория групп и полей.

М.: Наука, 1987. 287 с.

[109] S. Coleman. Classical lumps and their quantum descendants. lectures at the international school of subnuclear physics "ettore majorana"(erice). In A. Zichichi, editor, New Phenomena in Subnuclear Physics, pages 297–421, New York, 1977.

Plenum Press.

[110] Л. Д. Фаддеев. В поисках многомерных солитонов. In Д2-9788, editor, Нело кальные, нелинейные и неренормируемые теории поля, pages 207–223, Дубна, 1977. ОИЯИ.

[111] R. Palais. The principle of symmetric criticality. Comm. Math. Phys., 69(1):19–30, 1979.

[112] О. А. Ладыженская and Л. В. Капитанский. О принципе Коулмена нахождения стационарных точек инвариантных функционалов. Зап. науч. сем. ЛОМИ, 127(15):84–102, 1983.

[113] R. Schmid and L. Simoni. On infinite-dimensional variational principles with constraints. J. Math. Phys., 30(5):1171–1176, 1989.

[114] L. Michel and L. Radicati. On the dynamical breaking of (3). In B. Krsunoglu A. Pearlmutter, C. A. Hurst, editor, Proc. 5th Coral Gables Conf. Symmetry Principle at High Energy, New York, 1968. Benjamin.

[115] В. И. Арнольд. Математические методы классической механики. Наука, Москва, 1989. Третье изд. 472 с.

[116] Lee Hwa-Chung. Invariants of hamilton systems and applications to to the theory of canonical transformations. Proc. Roy. Soc. Edinburg, A62:237–247, 1947.

[117] Ф. Р. Гантмахер. Лекции по аналитической механике. Физматлит, Москва, 3-е изд. edition, 2001.

[118] P. A. M. Dirac. Generalized Hamiltonian dynamics. Proc. Roy. Soc. London, A246:326–332, 1958. Перевод в сб. "Новейшие проблемы гравитации"под ре дакцией Д. Иваненко. М.: ИЛ, 1961.

ЛИТЕРАТУРА [119] P. A. M. Dirac. The theory of gravitation in hamiltonian form. Proc. Roy. Soc.

London, A246(1246):333–343, 1958. Перевод в сб. “Новейшие проблемы гравита ции” под редакцией Д. Иваненко. М.: ИЛ, 1961.

[120] P. A. M. Dirac. Lectures on Quantum Mechanics. Belfer, Yeshiva University, New York, 1964. Перевод в кн.: Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. М.:

Наука, 1979. С. 408–475.

[121] D. M. Gitman and I. V. Tyutin. Quantization of Fields with Constraints. Springer– Verlag, Berlin – Heidelberg, 1990.

Quantization of Gauge Systems.

[122] M. Henneaux and C. Teitelboim. Princeton University Press, Princeton, 1992.

[123] Л. Д. Фаддеев. Интеграл Фейнмана для сингулярных лагранжианов. ТМФ, 1(1):3–18, 1969.

[124] E. S. Fradkin and G. A. Vilkovisky. Quantization of relativistic systems with constraints – equivalence of canonical and covariant formalism in quantum theory of gravitational field. CERN Preprint TH 2332, 1977.

[125] A. Einstein. Die Feldgleichungen der Gravitation. Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., 48(2):844–847, 1915.

[126] D. Hilbert. Die grundlagen der physik. Nachrichten K. Gesellschaft Wiss.

Gttingen, Math.-phys., Heft 3:395, Klasse 1915. Перевод в сб.: Альберт Эйн o штейн и теория гравитации. М.: Мир, 1979. С. 133–145.

[127] A. Einstein. Die-Grundlage der allgemeinen Relativitstheorie. Ann. d. Phys., t 49:769–822, 1916. Перевод в сб.: Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.:

Мир, 1979. С. 146–196.

[128] von M. Fierz. uber die physikalische deutung der erweiterten gravitationstheorie P. Jordans. Helv. Phys. Acta, 29:128–134, 1956.

[129] P. Jordan. Zum gegenwrtigen stand der diracschen kosmologischen hypothesen. Z.

a Phys., 157:112–121, 1959.

[130] C. Brans and R. H. Dicke. Mach’s prinsiple and a relativistic theory of gravitation.

Phys. Rev., 124(3):925–935, 1961.

[131] P. A. M. Dirac. A new basis for cosmology. Proc. Roy. Soc. London, A165(921):199– 208, 1938.

Nuovo Cimento, [132] A. Peres. Polynomial expansion of gravitational lagrangian.

28(4):865–867, 1963.

[133] M. O. Katanaev. Polynomial form of the Hilbert–Einstein action. Gen. Rel. Grav., 38:1233–1240, 2006. gr-qc/0507026.

[134] R. Penrose. A remarkable property of plane waves in general relativity. Rev. Mod.

Phys., 37(1):215–220, 1965.

[135] N. A. Chernikov and E. A. Tagirov. Quantum theory of scalar field in de Sitter space-time. Ann. Inst. Henri Poincar, A9(2):109–141, 1968.

e 1044 ЛИТЕРАТУРА [136] Н. Х. Ибрагимов. К групповой классификации дифференциальных уравнений второго порядка. ДАН, 183(2):274–277, 1968.

[137] C. G. Callan, S. Coleman, and R. Jackiw. A new improved energy–momentum tensor. Ann. Phys., 59:42–73, 1970.

[138] L. Infeld and J. Plebaski. Motion and Relativity. Pergamon Press, Oxford – n London, second edition, 1962. Перевод: Л. Инфельд, Е. Плебаньский. Движение и релятивизм. М.: ИЛ. 1962.

[139] M. Fierz and W. Pauli. Relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field. Proc. Roy. Soc. London, A173:211–232, 1939.

[140] Л. Д. Ландау and Е. М. Лифшиц. Теория поля. Наука, Москва, седьмое edition, 1988.

[141] W. G. Unruh. Experimental black-hole evaporation? Phys. Rev. Lett., 46:1351–1353, 1981.

[142] W. G. Unruh. Sonic analogue of black holes and the effect of high frequencies on black holes evaporation. Phys. Rev., D51(6):2827–2838, 1995.

[143] M. Visser. Acoustic black holes: Horizons, ergospheres, and Hawking radiation.

Class. Quantum Grav., 15:1767–1791, 1998.

[144] Л. Д. Ландау and Е. М. Лифшиц. Гидродинамика. Наука, Москва, третье edition, 1986.

Новые методы в общей теории относительности.

[145] А. З. Петров. Наука, Москва, 1966.

[146] R. Arnowitt, S. Deser, and S. W. Misner. The dynamics of general general relativity.

In L. Witten, editor, Gravitation: an introduction to current research, New York – London, 1962. John Wiley & Sons, Inc. gr-qc/0405109.

[147] B. S. DeWitt. Quantum theory of gravity. I. The canonical theory. Phys. Rev., 160(5):1113–1148, 1967.

[148] Д. М. Гитман and И. В. Тютин. Каноническое квантование полей со связями.

Наука, Москва, 1986.

[149] H. Weyl. Raum – Zeit – Materie. Springer, Berlin, 1918. Перевод: Г. Вейль.

Пространство, время, материя. М.: Янус, 1996.

[150] P. A. M. Dirac. General Theory of Relativity. John Wiley & Sons, Inc., New York – London, 1975. Перевод: Общая теория относительности. М.: Атомиздат, 1978.

[151] W. Pauli. Theory of Relativity. Pergamon Press, New York, 1958. Перевод: Паули В. Теория относительности. М.: Наука, 1991.

[152] E. Schrdinger. Space-time Structure. Cambridge U.P., Cambridge, 1950. Перевод:

o Шредингер Э. Пространственно-времення структура Вселенной. М.: Наука, а 1986.

ЛИТЕРАТУРА [153] W. Gordon. Der Comptoneffekt nach der Schrdingerschen Theorie. Zs. f. Phys., o 40(1,2):117–133, 1926.

[154] V. A. Fock. Zur Schrdingerschen Wellenmechanik. Zs. f. Phys., 38(3):242–250, o 1926.

[155] V. A. Fock. uber die invariante Form der Wellen- und der Bewegungs- gleichungen fr einen geladenen Massenpunkt. Zs. f. Phys., 39(2,3):226–232, 1926.

u [156] O. Klein. Elektrodynamik und Wellenmechanik vom Standpunkt des Korrespondenzprinzips. Zs. f. Phys., 41(10):407–442, 1927.

Nuovo Cim., [157] J. Goldstone. Field theories with “superconductor” solutions.

19(1):154–164, 1961.

[158] E. P. Wigner. Group Theory and its application to the quantum mechanics of atomic spectra. Academic Press, New York – London, 1959. Перевод: Вейль Е. Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров.

М.: Иностраннная литература, 1961.

[159] J. van Bladel. Lorenz or Lorentz ? IEEE Antennas and Propagation Magazin, 33(2):69, 1991.

[160] F. Englert and R Brout. Broken symmetry and the mass of gauge vector mesons.

Phys. Rev. Lett., 13(9):321–323, 1964.

[161] P. W. Higgs. Broken symmetries, massless particles and gauge fields. Phys. Lett., 12(2):132–133, 1964.

[162] A. Proca. Sur la thorie ondulatoire des lectrons positifs et ngatifs. J. Physique, e e e 8:347–353, 1936.

[163] A. Proca. Sur la thorie du positon. C. R. Acad. Sci. Paris, 202:1366, 1936.

e [164] А. Н. Тихонов and А. А. Самарский. Уравнения математической физики.

Наука, Москва, пятое edition, 1977.

[165] В. С. Владимиров and В. В. Жаринов. Уравнения математической физики.

Физ-мат литература, Лаборатория базовых знаний, Москва, 2000.

[166] T. K. Milnor. Efimov’s theorem about complete immersed surfaces of negative curvature. Advances in Math., 8:474–543, 1972.

[167] N. H. Kuiper. On 1 isometric embeddings. II. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser.

A, 58:683–689, 1955.

[168] M. O. Katanaev. All universal coverings of two-dimensional gravity with torsion.

J. Math. Phys., 34(2):700–736, 1993.

2 ln ±2 = 0. J. Math. Pures [169] L. Liouville. Sur l’quation aux diffrences partielles e e uv Appl., 18:71–72, 1853.

[170] M. D. Kruskal. Maximal extension of Schwarzschild metric. Phys. Rev., 119(5):1743– 1745, 1960.

1046 ЛИТЕРАТУРА [171] G. Szekeres. On the singularities of a riemannian manifold. Publ. Mat. Debrecen, 7(1–4):285–301, 1960.

[172] K. Schwarzschild. Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie. Sitzungsber. Akad. Wiss. Berlin, pages 189–196, 1916. Пе ревод в сб.: Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир, 1979. С. 199–207.

[173] J. Droste. Over het veld van een enkel centrum in einstein’s theorie der zwaarte kracht. Proc. Kon. Ned. Akad. Wetensch. Amsterdam, 23:968–981, 1914–1915.

English translation: “On the field of a single centre in Einstein’s theory of gravitation”. Proc. Acad. Sci. Amsterdam 17(1915)998– 1011.

[174] J. Droste. Het veld van twee bolvormige restunde centra in einstein’s theorie der zwaartekracht. Proc. Kon. Ned. Akad. Wetensch. Amsterdam, 24:749–757, 1915– 1916. English translation: “On the field of two Spherical Fixed Centres in Einstein’s Theory of Gravitation”. Proc. Acad. Sci. Amsterdam 18(1916)760–769.

[175] J. Droste. Het veld van een enkel centrum in einstein’s theorie der zwaartekracht, en de beweging van een stoffelijk punt in dat veld. Proc. Kon. Ned. Akad. Wet.

Amsterdam, 25:163–180, 1916–1917. English translation: “The Field of a Single Centre in Einstein’s Theory of Gravitation, and the Motion of a Particle in That Field”. Proc. Acad. Sci. Amsterdam 19(1917)197–215. Reprinted, with historical comments, in Gen. Rel. Grav. 34(2002)1545.

[176] M. O. Katanaev and I. V. Volovich. String model with dynamical geometry and torsion. Phys. Lett., 175B(4):413–416, 1986.

[177] T. Klsch and T. Strobl. Classical and quantum gravity in 1 + 1 dimensions: II.

o The universal coverings. Class. Quantum Grav., 13:2395–2421, 1996.

[178] M. O. Katanaev, W. Kummer, and H. Liebl. Geometric interpretation and classification of global solutions in generalized dilaton gravity. Phys. Rev. D, 53(10):5609–5618, 1996.

[179] M. O. Katanaev, W. Kummer, and H. Liebl. On the completeness of the black hole singularity in 2d dilaton theories. Nucl. Phys., B486:353–370, 1997.

[180] M. O. Katanaev. Global solutions in gravity: Euclidean signature. In D. Vassilevich D. Grumiller, A. Rebhan, editor, In “Fundumental Interactions. A Memorial Volume for Wolfgang Kummer”, pages 249–266, Singapore, 2010. World Scientific. gr qc/0808.1559.

[181] B. Carter. Black hole equilibrium states. In C. DeWitt and B. C. DeWitt, editors, Black Holes, pages 58–214, New York, 1973. Gordon & Breach.

[182] H. Reissner. Uber die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie. Ann. Physik (Leipzig), 50:106–120, 1916.

[183] G Nordstrm. On the energy of the gravitational field in einstein’s theory. Proc.

o Kon. Ned. Akad. Wet., 20:1238–1245, 1918.

[184] A. S. Eddington. A comparison of Whitehead’s and Einstein’s formulae. Nature, 113:192, 1924.

ЛИТЕРАТУРА [185] D. Finkelstein. Past-future asymmetry of the gravitational field of a point particle.

Phys. Rev., 110(4):965–967, 1958.

[186] M. O. Katanaev, T. Klsch, and W. Kummer. Global properties of warped solutions o in general relativity. Ann. Phys., 276:191–222, 1999.

[187] A. Z. Petrov. Einstein Spaces. Pergamon Press, Oxford – London, 1969.

[188] D. Kramer, H. Stephani, M. MacCallum, and E. Herlt. Exact Solutions of the Einsteins Field Equations. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1980.

[189] G. D. Birkhoff. Relativity and modern physics. Cambridge, Harvard University Press, Cambridge, 1923.

[190] J. T. Jebsen. Uber die allgemeinen kugelsymmetrischen losungen der einsteinschen gravitationsgleichungen im vakuum. Ark. Mat. Ast. Fys., 15(18):1–9, 1921.

[191] F. Kottler. Uber die physikalischen Grundlagen der Einsteinschen Gravitationstheorie. Ann. Physik (Leipzig), ser. 4, 56(14):401–462, 1918.

[192] H. F. Trotter. On the product of semi-groups of operators. Proc. Amer. Math. Soc., 10(4):545–551, 1959.



Pages:     | 1 |   ...   | 28 | 29 || 31 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.