авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 ||

«Е. М. Левич Исторический очерк развития методологии математики. Иерусалим 2008 ...»

-- [ Страница 11 ] --

Компьютерная математика, как мы уже отмечали, возникла из потребностей автоматизировать проведение большого количества вычислений при решении математических задач. Поэтому она тесно связана с другими типами математики:

европейской — теоретической и прагматической, а также с мировой математикой. Для выяснения отличительных особенностей компьютерной математики, а также ее связей с другими математиками, воспользуемся языком моделирования.

Пусть нам необходимо численно решить определенную математическую задачу, которая сформулирована на языке теоретической математики. Для решения этой задачи строится модель, которая состоит из нескольких модулей, причем каждый модуль представляет собой, в свою очередь, многомодульную модель. Выбор того или иного модуля можно рассматривать как этап построения многомодульной модели.

Первый модуль является математической моделью, язык моделирования которой совпадает с языком формулировки задачи. В рамках этой модели надо выбрать теоретический вычислительный алгоритм, а затем доказать, что его применение приводит к искомому результату. Обычно этот результат представляет собой предел последовательности промежуточных решений, полученных с помощью промежуточных вычислительных алгоритмов, каждый из которых можно рассматривать как промежуточную модель. Для выбора этого алгоритма необходимо установить некоторый критерий, с помощью которого выбирается этот алгоритм. В результате выбора мы получаем второй модуль.

Вернемся к нашему примеру из 11.1. Предположим, что задача состоит в вычислении значения функции f(x) = sin x при значении x = x0. Для вычисления обычно используют частичные суммы бесконечного степенного ряда, который фигурирует в определении этой функции. Последовательность значений частичных сумм при x = x0 сходится к f(x0). Частичную сумму можно рассматривать как промежуточный алгоритм и как промежуточную математическую модель. Поэтому необходимо иметь критерий (способ), чтобы выбрать определенную частичную сумму для вычислений.

Для того, чтобы произвести вычисления, как мы уже говорили в параграфе 11.1, необходимо перейти к прагматической модели. Эта модель совпадает по написанию со вторым модулем, а отличается только толкованием, ибо она оперирует прагматическими числами. Случай, когда объем вычислений по модели незначителен и их можно выполнить без помощи компьютеров, мы уже рассмотрели раньше. Теперь рассмотрим случай, когда объем вычислений настолько большой, что для их выполнения необходимо воспользоваться помощью компьютеров.

Для того, чтобы воспользоваться компьютером, необходимо «перевести» выбранную модель на «естественный» язык компьютера. Этот «перевод» выполняется в два этапа. На первом этапе используется программный язык, являющийся промежуточным между двумя языками: математическим и «естественным» языком компьютера, с помощью которого производятся вычисления. Целью использования программного языка является оказание эффективной помощи в переводе вычислительных процедур с математического языка на язык компьютера.

С помощью компьютерного языка и вспомогательных средств программирования второй модуль «записывается» в виде программы. На эту программу можно посмотреть как на модель, представленную на специальном языке. Ее в этом смысле можно считать третьим модулем в той модели, которая является нашей целью. Но тогда возникает вопрос, каким образом можно определить «качество перевода», т.е. в какой степени программа соответствует модели. Другими словами, должен существовать критерий, с помощью которого мы можем принять решение о соответствии третьего модуля второму модулю. Нахождение такого критерия часто представляет собой достаточно трудную задачу.

В отличие от второго модуля, программа, т.е. третий модуль, несет двойную нагрузку.

С одной стороны, она представляет собой модуль (модель), а с другой стороны — это программа, по которой компьютер исследует модель, т.е. производит вычисления.

Второй этап «перевода» состоит в использовании компилирующей системы, которая завершает этот процесс, сопоставляя программе набор сигналов, которые могут быть «поняты» компьютером. Этот набор сигналов, полученный в результате компиляции программы, можно рассматривать как четвертый модуль модели. Использование этого модуля приводит к набору чисел, которые рассматриваются как результат процесса вычисления.

Прежде чем перейти к обсуждению полученных результатов, необходимо отметить, что должен существовать критерий, который должен дать основание для принятия решения о соответствии четвертого модуля третьему модулю, ибо в процессе компиляции программы могут происходить сбои. Этот критерий носит в значительной мере технический характер.

Теперь возникает вопрос о том, можно ли полученные числовые результаты считать решением поставленной задачи. Естественно для ответа на этот вопрос нужно опять-таки вооружиться определенным критерием, который назовем глобальным критерием. Этот критерий называется глобальным потому, что его выбор зависит только от постановки задачи, а не от пути решения задачи. Более того, он обычно формулируется вместе с постановкой задачи.

Как мы уже отмечали ранее, процесс решения задачи является итеративным процессом, ибо если в конце процесса вычисления получается результат, не удовлетворяющий глобальному критерию, то процесс вычисления повторяется при изменении выполнения того или иного этапа.

Резюмируя, можно утверждать, что при выполнении любой математической вычислительной процедуры мы имеем дело с четырьмя различными языками:

— математическим языком, на котором формулируется вычислительная задача (теоретическая математика), — математическим языком, на котором задается вычислительный алгоритм (процедура) (прагматическая математика);

— программным языком, являющимся промежуточным между двумя языками:

математическим языком и «естественным» языком компьютера, с помощью которого производятся вычисления;

целью использования этого языка является оказание эффективной помощи в переводе вычислительных процедур с математического языка на язык компьютера;

— «естественным» языком компьютера, с помощью которого производятся вычисления.

С этими языками связаны две системы перевода:

— система программирования, которая «переводит» с математического языка на язык компьютерной программы;

— компилирующая система, переводящая с языка программ на язык компьютера.

Модель, которая используется при решении задачи, состоит из четырех модулей, трех промежуточных критериев и одного глобального критерия.

Теперь мы можем определить, что понимается под компьютерной математикой. Под компьютерной математикой понимается та часть общего процесса моделирования, которая относится к построению третьего и четвертого модулей, к выбору двух промежуточных критериев, а также наложение ограничений определенного сорта на выбор глобального критерия. В рамках компьютерной математики не рассматриваются никакие технические проблемы, связанные с технологией функционирования компьютеров, а представляют интерес только те содержательные ограничения, которые накладывают использование компьютеров на процесс моделирования.

Подробное рассмотрение компьютерной математики выходит за рамки этой книги.

Однако необходимо отметить, что компьютерная математика выдвинула ряд специфических проблем, которые ранее не встречались. Перечислим некоторые из них.

Объектами, которыми оперирует компьютерная математика, являются компьютерные числа. Они принципиально отличаются от математических и прагматических чисел (см.

параграф 11.3). Эта особенность существенно влияет на весь процесс вычислений.

Суть других особенностей заложена в прямом и обратном «переводе» в процессе моделирования с языка прагматической математики на язык компьютеров. Одна проблема заключается в определении, насколько «перевод» математической модели на компьютерный язык соответствует самой модели. Другая проблема состоит в оценке того, насколько перевод результатов вычислений, выраженных в компьютерных числах и переведенный в математические числа, соответствует первоначально поставленной задаче.

Упомянутые проблемы поставили на повестку дня ряд принципиально новых задач, среди которых отметим такие, как сравнение и выбор программы, которые осуществляют один и тот же алгоритм, выбор различных критериев качества осуществления программой вычислений и их соответствия поставленным задачам.

11.3. Компьютерные числа.

История развития математической методологии — это также история развития понятия числа. Понятие числа — это одно из наиболее распространенных понятий, которыми оперировало, оперирует и будет оперировать человечество. Все содержание этой книги иллюстрирует последнее утверждение. Более того, оно показывает, как смысл понятия числа менялся со временем, с развитием человеческой цивилизации, и как это понятие усложнялось и множилось, благодаря введению дополнительных слов в его имя.

Настоящий параграф, которым заканчивается книга, посвящен новому содержанию понятия числа — понятию компьютерного числа, которое пришло вместе с мировой интеллектуальной революцией, с возникновением и широким внедрением компьютеров.

Понятие компьютерного числа является ключевым, основным понятием компьютерной математики. По своему широкому использованию оно стало одним из символов мировой революции в математике. Без понимания содержания, заложенного в этом понятии, трудно оценить результаты конкретных числовых расчетов, выполняемых с помощью компьютеров, а также прогнозировать качество полученных решений практических задач.

В неявной форме человечество уже давно знакомо с этим понятием, однако до середины ХХ века этих чисел просто не замечали, считая их, в определенной степени, «тенью» математических чисел и не видя в них специфических математических объектов.

Те, кто занимаются решением задач на компьютерах, повседневно сталкиваются с ними, пытаются бороться с ними, рассматривая их как приближенные значения математических чисел. В качестве примера такой борьбы можно привести содержание книги Р. Грэхема и др. (22).

Для того чтобы дать характеристику компьютерных чисел, необходимо сказать несколько слов о свойствах компьютеров, которые имеют прямое отношение к нашей теме.

Компьютеры, независимо от их реального технического воплощения, обладают общими принципами построения и функционирования, которые поддаются определенной формализации. Мы не будем останавливаться на описании всех этих принципов, как технических, так и математических;

для наших целей достаточно выделить несколько принципов, которые, прежде всего, связаны с вычислительной математикой и необходимы для наших дальнейших рассуждений.

Первый принцип заключается в том, что компьютеры обрабатывают только последовательности булевых сигналов (т.е. последовательности, состоящие из нулей и единиц) строго ограниченной длины. Конечно, при определенных ухищрениях можно увеличить длину обрабатываемых последовательностей, однако эта длина всегда остается ограниченной.

Второй принцип заключается в том, что компьютеры могут выполнять только арифметические и логические операции над упомянутыми выше последовательностями.

Третий принцип, который мы уже упоминали в предыдущем параграфе, можно сформулировать в следующем виде: при выполнении любой математической вычислительной процедуры мы имеем дело с тремя различными языками:

— математическим языком, на котором задается вычислительный алгоритм (процедура);

— программным языком, являющимся промежуточным между двумя языками:

математическим языком и «естественным» языком компьютера, с помощью которого производятся вычисления;

целью использования этого языка является оказание эффективной помощи в переводе с математического языка на язык компьютера вычислительных процедур;

— «естественным» языком компьютера, с помощью которого производятся вычисления.

С этими тремя языками связаны две системы перевода:

— система программирования, которая «переводит» с математического языка на язык компьютерной программы;

— компилирующая система, переводящая с языка программ на язык компьютера.

Таким образом, при решении вычислительной задачи с помощью компьютера мы имеем дело с «двойным» переводом с математического языка на «естественный» язык компьютера. Необходимость такого двойного перевода связана с его удобством и эффективностью. При этом, конечно, возникают различные проблемы, связанные с качеством перевода с одного языка на другой. Нас в дальнейших рассуждениях будет интересовать только одно важное следствие, вытекающее из приведенных принципов.

Очевидным следствием из этих принципов является то, что любой компьютер имеет дело только с числами, запись которых в любой позиционной системе счисления (например, в двоичной или десятичной) состоит из ограниченного количества цифр. Это количество в записи числа может быть достаточно велико, но при выполнении любой программы оно всегда ограничено.

Так как любое число в произвольной позиционной системе представления состоит из целой и дробной части, то целая и дробная части, каждая в отдельности, записывается с помощью строго ограниченного числа позиций. В случае, когда числа задаются в десятичной позиционной системе, упомянутое выше утверждение можно сформулировать следующим образом: действия в компьютере производятся только над теми числами, которые в своей записи имеют ограниченное число десятичных знаков до и после точки, разделяющей дробную и целую часть числа.

Для простоты и удобства дальнейших рассуждений будем рассматривать представления чисел только в десятичной системе. Наш выбор обусловлен тем, что несмотря на то, что реальные действия происходят в компьютере над числами в двоичной системе, результаты, как промежуточные, так и окончательные, обычно представляются в десятичной записи.

Важно также отметить, что современные компьютеры часто позволяют представлять полученные в результате вычислений числа с фиксированным выбранным заранее количеством десятичных знаков после запятой. Это фиксированное количество принято называть «точностью вычислений», хотя при более пристальном рассмотрении этот термин может вызвать обоснованные возражения. Ясно, что компьютер оперирует с числами, у которых количество разрядов больше, чем это фиксированное число.

Любой компьютер производит над числами ряд операций, среди которых можно выделить так называемые «арифметические» и «логические» операции. Мы к ним добавим еще одну операцию, которую будем называть «округлением». Обычно эту операцию не выделяют как отдельную, а рассматривают как часть «арифметических»

операций.

Уточним определение компьютерного числа, для чего введем следующие обозначения.

Обозначим через Qn множество всех чисел, цифровая запись которых содержит не более n цифр для записи целой части числа и не более n цифр для записи дробной части числа, где n — фиксированное натуральное число. Любое число из множества Qn будем называть компьютерным n-числом. Очевидно, что любое n-число является рациональным числом, но не всякое рациональное число является n-числом.

На множестве Qn можно определить подобия четырех арифметических действий, используя для этого определения арифметических действий над рациональными числами и операцию округления как промежуточных результатов, так и конечных результатов. Для удобства назовем вводимые операции над n-числами К-операциями. Арифметические К операции определяются над парами n-чисел, а К-операция округления производится над отдельным n-числом.

Пусть нам дана пара n-чисел. Очевидно, что их можно рассматривать как рациональные числа, и поэтому на них определены все арифметические операции.

Определим К-сложение двух n-чисел как арифметическое сложение рациональных чисел с последующим округлением до фиксированного числа знаков после запятой. Аналогично мы можем определить и остальные К-операции. Так, К-вычитание одного n-числа из другого — как вычитание между двумя рациональными числами с последующим округлением до фиксированного числа знаков после запятой;

К-умножение двух n-чисел – как умножение соответствующих рациональных чисел с последующим округлением до фиксированного числа знаков после запятой;

К-деление одного n-числа на другое – как деление соответствующих рациональных чисел с последующим округлением до фиксированного числа знаков после запятой. При таких определениях К-операций множество Qn является замкнутым относительно этих операций, т.е. результат К-операций над n-числами из Qn является n-числом из Qn. Для дальнейшего удобства будем считать, что Qn представляет собой структуру, на которой определены арифметические К операции и операция округления.

К-операции не обладают свойствами, которые мы привыкли видеть у операций над числами. Так, например, ни одна из этих операций не является ассоциативной операцией, дистрибутивные законы также не имеют места. Другими словами, множество Qn с определенными на нем К-операциями не является известной математической структурой, т.е. это множество не является полем, кольцом, группой и т.п.


Из последнего заключения вытекают следствия.

Во-первых, не существует взаимно-однозначного соответствия между Qn и подмножеством рациональных чисел в Q, которое сохраняло бы арифметические операции или К-операции.

Во-вторых, результаты расчетов по одной и той же арифметической формуле в Qn и Q не являются сопоставимыми. (Формула называется арифметической, если в ней участвуют только арифметические операции или арифметические К-операции. Под сопоставимостью двух чисел понимается некая оценка разности между этими числами.) В-третьих, математические утверждения, истинные над множеством действительных или рациональных чисел, не имеют места над структурой Qn. В качестве примера легко можно построить геометрическую прогрессию со знаменателем, меньшим единицы, частичные суммы которой не ограничены, если ее рассматривать над Qn.

Как видно из сказанного, решение математической задачи с помощью компьютера, в общем случае, может привести к результату, ни в коей мере не связанному с поставленной задачей.

Библиография 1) Аносов Д.Б., Взгляд на математику и нечто из нее. М. (2) Аристотель, Сочинения в 4-х томах. «Мысль» М. 1976- (3) Аристотель, Метафизика. «Алетейя», С.-Петербург, (4) Атья М., Математика в ХХ веке. Математическое просвещение, сер.3, вып.7, 2003, стр.5- (5) Белл Э.Т., Творцы математики. М. «Просвещение», 1979.

(6) Блауг М., Экономическая мысль в ретроспективе. М. Дело Лтд. (7) Бор Н., Атомная физика и человеческое познание. М. ИЛ, (8) Борн М., Физика в жизни моего поколения. М. «Мир», (9) Бриллюэн Л., Теория информации и ее приложение к фундаментальным проблемам физики. В сб. Развитие современной физики (1), стр.324- (10) Бурбаки Н., Очерки по истории математики. ИЛ. М. (11) Бэкон Ф., Сочинения. В 2-х тт. М., “Мысль”, 1978, т. 2.

(12) Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. – М.: Физматгиз, (13) Вайцзеккер К.Ф., Физика и философия. Вопросы философии. 1993, №1, 115- (14) Веблен Т., Теория праздного класса. М. «Прогресс». (15) Вейль Г. Математическое мышление. «Наука», Москва, (16) Вигнер Ю., Этюды о симметрии. М. «Мир», (17) Володарский А.И., Ариабхата. М. «Наука», (18) Выгодский М.Я., Арифметика и алгебра в древности. М.«Наука», (19) Галилей Г., Избранные труды. М. «Наука», 1964. т.2.

(20) Гейзенберг В., Шаги за горизонт. М. «Прогресс», (21) Гильберт Д., Основания геометрии. М.- Л. Гостехиздат, (22) Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О., Конкретная математика. М. «Мир», (23) Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж., Пути и лабиринты. М. «Мир», (24) Декарт Р., Избранные произведения. М.-Л. Политиздат, (25) Декарт Р., Рассуждение о методе. М. АН СССР, (26) Депман И.Я., История арифметики. М. «Просвещение». (27) Диофант Александрийский, Арифметика и Книга о многоугольных числах. М.

«Наука», (28) Дирак П.А.М., Воспоминания о необычайной эпохе. М. «Наука», (29) Евклид, Начала. Книги I-VI. М.-Л. ГТТИ, (30) Евклид, Начала. Книги VII-X. М.-Л. ГТТИ, (31) Евклид, Начала. Книги XI-XIV. М.-Л. ГТТИ, (32) История математики. Под редакцией А.П.Юшкевича. Т.1-3, М. «Наука», (33) Кант И., Собрание сочинений в шести томах. М., «Мысль». (34) Kлайн M., Математика. Утрата определенности. М. «Мир», (35) Клейн Ф., Лекции о развитии математики в XIX веке. М.-Л. Гостехиздат, (36) Кондорсэ Ж.А., Эскиз исторической картины прогресса человеческого разума. М. Гос. соц.- экон. изд. (37) Кондратьев Н.Д., Избранные сочинения. М. Экономика, (38) Льоцци М., История физики. М. «Мир», (39) Лаэртский Диоген, О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. М. “Мысль”, (40) Леонтьев В.В., Экономическое эссе. Теории, исследования, факты и политика. М.

Политиздат, (41) Лаплас П.С., Опыт философии теории вероятностей. М., (42) Липсон Г., Великие эксперименты в физике. М. «Мир», (43) Миркин Б.Г., Проблема группового выбора. М. «Наука», (44) Нейгебауэр О., Точные науки в древности. М. «Наука», (45) Ньютон И., Математические начала натуральной философии. М.-Л. Изд. АН СССР, (46) Паули В., Физические очерки. М. «Наука». (47) Планк М., Единство физической картины мира. М., «Наука», (48) Платон, Сочинения в трех томах. М. «Мысль», (49) Пойа Г., Сегё Г., Задачи и теоремы из анализа. т.1. М. «Гостехиздат», (50) Пойа Д., Математика и правдоподобные рассуждения. «Наука». М. (51) Пуанкаре А., О науке. «Наука». М. 1983.

(52) Развитие современной физики. М. Наука. (53) Рассел Б., История западной философии. Сhalidze Publications, N.Y. (54) Роббинс Л., Предмет экономической науки. THESIS. Зима 1993, т.1, вып. 1.

(55) Селигмен Б., Основные течения современной экономической мысли. М. «Про гресс», (56) Сквайрс Дж., Практическая физика. М. «Мир», (57) Стройк Д.Я., Краткий очерк истории математики. М. «Наука», (58) Файерабенд Пол, Избранные труды по методологии науки. М. «Наука», (59) Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М., Фейнмановские лекции по физике, т.1, «Мир», М. (60) Фейнман Р., Характер физических законов. М. «Мир», (61) Фейнберг Е.Л., Кибернетика, логика, искусство. М. «Радио и связь», (62) Харди Г., Апология математика. Ижевск. (63) Чебышев П.Я., Полное собрание сочинений, М.-Л., (64) Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. «Наука», Москва, 1971.

(65) Шумпетер Й., Теория экономического развития. М. Прогресс, (66) Эйнштейн А., Физика и реальность. Сб. работ. «Наука», М. (67) Эйнштейн А., Собрание научных трудов, т. IV, М. «Наука», (68) Энциклопедия кибернетики. Киев, 1975, т. 1-2.

(69) Ядгаров Я.С., История экономических учений. М. «Экономика»,

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.