авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 15 |
-- [ Страница 1 ] --

Е. М. Левич

Математическое моделирование

и

компьютерная математика.

Иерусалим, 2009

1

Содержание

Введение 7

Часть 1. Теория познания и моделирование

Глава 1. Исторический взгляд на математику

1.1. Математика в наши дни

1.2. Этапы развития математики. Типы математик

Глава 2. Некоторые основные понятия теории познания

2.1. Общие замечания 2.2. Знания 2.3. Объекты познания 2.4. «Истинные» утверждения 2.5. Логика познаний Глава 3. Теория моделирования 3.1. Несколько замечаний о теории моделирования 3.2. Модель 3.3. Процесс моделирования и его основные этапы Часть 2. Прематематика и греческая математика Глава 4. Прематематика 4.1. Введение 4.2. Прематематические объекты и их свойства 4.3. «Истинные» прематематические утверждения. Логика прематематики Глава 5. Греческая математика 5.1. Логистика и греческая математика 5.2. Греческая геометрия 5.3. Греческая теория чисел 5.4. Диофантова арифметика 5.5. Греческая астрономия Часть 3. Европейская математика Глава 6. Европейская теоретическая математика 6.1. Несколько исторических замечаний 6.2. Математические объекты 6.3. Математические числа 6.4. Истинные математические утверждения 6.5. Теоретико-математические рассуждения 6.6. Теоретическая математика и теория моделирования Глава 7. Математическая логика 7.1. Исторический очерк развития математической логики 7.2. Математическая логика как интеллектуальное познание Глава 8. Европейская прагматическая математика 8.1. Историческая справка 8.2. Прагматические объекты 8.3. Прагматическая математика как смешанное познание 8.4. Прагматическая математика и моделирование 8.5. Вычислительная и прагматическая математики Часть 4. Мировая математика Глава 9. Мировая математика 9.1. Общий взгляд на мировую математику 9.2. Мировая математика в свете теории познания Глава 10. Компьютерная математика 10.1. От абака до компьютера 10.2. Компьютерная арифметика 10.3. Компьютерная математика и моделирование Заключение Библиография Introduction Conclusion В высшей степени печальна наша обязанность – с помощью неумолимого анализа разрушать и уничтожать одну за другой те светлые, радужные иллюзии, которыми обманывает и возвеличивает себя человек в своем высокомерном ничтожестве;

эта обязанность тем более печальна, что взамен этих приятных заблуждений, этих кумиров, так долго служивших предметом обожания, мы ничего не можем предложить ему, кроме холодной улыбки сострадания.

Чезаре Ломброзо, “ Гениальность и помешательство”.

Введение.

Современная наука гордится тем, что она создала рациональное мышление, освободив человеческий интеллект от влияния духов, потусторонних сил, мистики и анимизма. Но, освободив человеческий дух, она же на своем многовековом пути своего развития создавала собственные мифы и иллюзии, которые затем успешно опровергала и вновь создавала новые. Основаниями одних мифов и иллюзий были научные гипотезы, которые через обучение и воспитание поколений людей в течение длительного времени превращались в человеческом сознании в абсолютные истины, в законы Природы. Другие возникали из-за неправомерных обобщений, нечетких определений и аналогий.

И в математике, как и в любой отрасли науки, можно встретить свои собственные мифы и иллюзии. Одним таким мифом является широко распространенное убеждение, что математика существовала задолго до древних греков в разных странах, таких, как Египет и Вавилония. Этот миф переходит из одного учебника в другой, из одной монографии в другую. Одной причиной этому является слишком расплывчатое понимание термина «математика», из которого было исключены слова «дедукция» и «доказательство». Другая причина заключается в том, что греки создали свое, только им присущее греческое мышление, овладеть которым другим народам потребовались тысячелетия, и которое легло в основу современного научного теоретического мышления.

Другой миф, который можно также привести для примера, связан с компьютерами. Во второй половине ХХ века появились компьютеры, которые в очень короткий период времени проникли во все стороны человеческой деятельности, и более того, современное существование человеческой цивилизации уже невозможно представить без них. Сегодня вокруг развития и использования компьютеров сосредочены значительная часть надежд и чаяний человечества. Свидетельством этого служат многочисленные дискуссии, связанные с различными моральными и философскими проблемами. В качестве примера можно взять многолетнюю дискуссию на тему: «Может ли машина мыслить?». Эта дискуссия связана с «интеллектуальными» возможностями компьютеров. Среди участников этой дискуссии можно встретить, кроме различных интеллектуалов, и представителей научной элиты человечества.

Одним из аспектов упомянутой выше дискуссии является вопрос о возможностях компьютеров численно решать математические задачи. Здесь мы встречаем довольно широко распространенную уверенность в том, что компьютер выполняет в точности или почти в точности то, что заложено в алгоритме. В частности, значительное число людей верят, что с помощью компьютера можно численно решать различные типы дифференциальных уравнений, относительно которых доказана их разрешимость.

Напомним, что дифференциальные уравнения различных типов составляют один из фундаментов, на которых построено великолепное здание математической физики.

Математическая физика является основой всего теоретического естествознания.

Здесь возникает удивительная ситуация: постановка самой задачи: численно решить дифференциальное уравнение, - по своей сути является противоречивой формулировкой, ибо решением численной задачи является конечный набор чисел, а решением дифференциального уравнения – непрерывная функция. Возникшая ситуация довольно редкая для математики, где очень ценится точность и ясность формулировок утверждений. На самом деле, указанная постановка задачи является неформальной, интуитивной, строгая формализация которой достаточно затруднена. Поэтому, вообще, не ясно, что значит решить эту задачу.

Несмотря на то, что никто сегодня не знает, насколько правильны результаты решения поставленной задачи на компьютерах, и в какой мере можно доверять им, однако это никому не мешает применять полученные результаты, истолковывать их, строить на их основе научные теории. В значительном своем большинстве те, которые используют дифференциальные уравнения в приложениях, живут в определенной иллюзии, которая навеяна уверенностью в том, что они в процессе вычисления получают то или почти то, что доказано в вычислительной математике. Наличие этой иллюзии имеет и положительный смысл: ее наличие, о котором человек часто не имеет представления, помогает ему принять решение, воспользоваться вычислениями, которые могут по тем или иным причинам иногда привести и к положительному результату.

Основная причина этой иллюзии заключается в том, что к решению задач с помощью компьютеров обычно подходят с помощью методов, основанных на научном мышлении, которое лежит в основе современного теоретического естествознания и теоретической математики. Такой подход, как будет показано ниже, не соответствует сути вычислительного процесса решения, с которым каждый встречается на практике. Решение сложных математических задач необходимо рассматривать как сложную систему.

Поэтому анализ процесса решения этих задач с использование компьютеров требует совершенно иной организации научного мышления, элементы которого можно видеть в так называемом системном подходе.

Целью настоящей книги является попытка разобраться и понять составные части вычислительного процесса при решении различных вычислительных задач. При пристальном анализе составных частей этого процесса можно увидеть, что они принадлежат различным типам математики, возникших в разные исторические эпохи и усовершенствованных в более позднее время.

Чтобы достичь в какой-то мере поставленной цели, для описания составных частей вычислительного процесса был выбран язык моделирования. Это позволило рассматривать вычислительный процесс как процесс моделирования, и дало возможность с новой точки зрения сформулировать вычислительные проблемы и обсудить пути их решения.

Содержание книги носит методологический характер, и значительное место в ней уделено описанию основных этапов развития математического мышления. Выбор такого подхода связан, как уже было сказано, с тем, что составляющие вычислительного процесса относятся к различным типам математики. Поэтому мы вынуждены были обратиться к истории возникновения и развития каждого типа математики, описать его объекты исследования, методологию, присущую ему, а также показать его отличия от других типов математики.

Строение книги отражает исторический путь развития математических методологических идей от идей древних греков до создания и последующего развития компьютерной математики. В ней незначительное место отводится самим математическим результатам и сугубо математическим теориям, ибо они являются, по существу, иллюстрациями (возможно, и гениальными, и красивыми) интеллектуальных возможностей применяемой методологии. Нас же больше интересует определение границ использования различных типов математической методологии.

Книга состоит из четырех частей. Каждая ее часть, за исключением первой, в которой излагаются общие вопросы, посвящены развитию методологии математики в определенный период ее истории, начинающийся с интеллектуальной революции. Эти революции, затрагивающие в действительности не только математическую деятельность, но и другие виды интеллектуальной деятельности, происходят потому, что возникают принципиально новые практические или интеллектуальные задачи, для решения которых необходимо принципиально менять существовавшую методологию исследований.

Первая часть открывается главой, в которой, с одной стороны, излагается общий взгляд на математику, а с другой стороны, дается краткий исторический очерк развития математики. Этот очерк имеет принципиальное значение для всей книги, ибо в нем исторически обосновывается разделение современной математики на ряд типов, которые образовались в результате трех интеллектуальных революций: греческой, породившей математику, европейской, создавшей непрерывную математику, и мировой, занявшейся искусственным интеллектом. Каждый тип математики обладает собственными объектами и методами исследования, позволяющими решать характерные для этого типа задачи.

Вторая и третья глава первой части посвящены рассмотрению общих теоретических вопросов теории познания и теории моделирования. В этих главах, по существу, строится два разных языка, с помощью которых описываются и анализируются типы математики:

язык теории поздания и язык теории моделирования. С помощью этих языков в последующих частях книги типы математики изучаются с двух позиций: теории познания и теории моделирования.

Вторая часть книги посвящена рассмотрению прематематики (глава 4) и греческой математики (глава 5). Под прематематикой понимается набор методов и приемов решения количественных практических задач из повседневной жизни человеческих цивилизаций. Каждая отдельная человеческая цивилизация создавала свою прематематику, которая развивалась по мере развития цивилизации и исчезала вместе с ее исчезновением. Пятая глава посвящена истории возникновения греческой математики, созданию ее первой методологии, а также описанию ее различных отраслей, которые можно рассматривать как отдельные типы математики с позиций теории познания и теории моделирования. Возникновение греческой математики не было вызвано никакими практическими нуждами, и занятия ею носили или культовый характер, или относились к интеллектуальному искусству и интеллектуальному спорту. Именно здесь зародилось то, что принципиально отделило математику от прематематики – дедуктивная логика. На основе этой логики была построена жемчужина греческой математики – греческая геометрия, которая на протяжении почти двух с половиной тысячелетий сохранила красоту и блеск выдающегося произведения интеллектуального искусства. Греческое интеллектуальное открытие логики послужило основанием для построения здания понятия «наука». Ни один другой народ, ни одна другая человеческая цивилизация не смогла приблизиться к греческим интеллектуальным достижениям.

В третьей части описываются с точки зрения теории познания и теории моделирования методологические основы возникшей в XVII веке европейской математики и ее трех составляющих частей: европейской теоретической математики (глава 6), математической логики (глава 7) и европейской прагматической математики (глава 8).

Европейская теоретическая математика, которая при своем рождении была также теоретической физикой, основывалась на понятии непрерывной функции. Введение понятия функции, которое стало одним из основных математических понятий, позволило европейцам описывать физические явления на математическом языке. Другим нововведением европейцев было использование понятия непрерывности. Греки, которые первые стали рассматривать понятие непрерывности, практически не использовали его в математике, ибо апории Зенона показывали внутреннюю противоречивость этого понятия. Ею, в основном, занимались философы, и она носила философский характер.

Непрерывность, которую использовали европейцы, была другой природы: она носила физический характер, благодаря Ньютону. Только в XIX веке появилась математическая непрерывность. Математическая непрерывность привела к математическим числам.

Европейская теоретическая математика оказалась эффективным средством для описания физических явлений, создания физических теорий, которые помогли связать воедино результаты различных опытов и наблюдений, т.е. связать между собой теоретическую физику с экспериментальной на основе математических формул. Именно эта связь, начиная с середины XIX века, послужила основой для бурного развития научно технического прогресса, дав возможность прогнозировать последствия различных инженерных решений.

Экспериментальная физика, а особенно, астрономия и навигация потребовали развития вычислений на основании формул. Эта потребность привела к появлению нового типа математики – прагматической математики. Вкратце отличие прагматической математики от теоретической математики можно выразить в следующих словах: основной задачей теоретической математики является доказательство математических утверждений, а прагматической математики – численное решение задач.

Европейцы переняли у древних греков мечту: построить европейскускую математику как непротиворечивую аксиоматическую теорию. На этом пути они были вынуждены в XIX веке формализовать аристотелеву логику, а также добавить дополнительные логические операции. В результате этих усилий была создана математическая логика, которая оказала большое влияние на дальнейшее развитие математики.

Последняя, четвертая часть книги, состоящая из двух глав, посвящена анализу развития нового типа математики, которое начало возникать и развиваться в середине ХХ века и которую мы назвали мировой математикой. Первая глава (глава 9) посвящена истории появления и развития методологии мировой математики. Этот тип математики был назван мировой математикой потому, что ее развивали ученые разных континентов, а не только европейцы. В этой главе дается прежде всего историческое описание возникновения методологии мировой математики, ее принципиальных отличий от методологии европейской математики Если европейская математика являлась языком естествознания, то мировая математика возникла как язык исследования сложных систем. Несмотря на короткий предшествующий путь развития, мировая математика уже показала свою высокую эффективность, которая будет возрастать с ее дальнейшим развитием. Особое внимание уделяется проблемам изменения методологии математического мышления, в основе которого лежат идеи системного подхода. Одной из важнейших особенностей мировой математики является то, что большинство ее задач требуют при своем решении большого числа вычислений, для выполнения которых требуется применение компьютеров.

С появлением компьютеров появилась компьютерная математика. Этому типу математики посвящена последняя глава книги (глава 10). В этой главе, кроме краткого исторического очерка появления и развития компьютеров, дается анализ компьютерной арифметики, которая принципиально отличается от математической арифметики, а также рассматривается методология компьютерной математики на основе теории моделирования. Использование компьютеров для решения вычислительных математических задач, как показывает анализ приведенных в этой главе примеров этих задач, требует другой организации математического мышления, нежели того, к которому привыкли на протяжении пары последних веков и которое составляет основу современного математического образования.

Истина – слишком тонкая материя, а наши инструменты слишком тупы, чтобы ими можно прикоснуться к истине, не повредив ее. Достигнув истины, они сминают ее и откланяются в сторону, скорее ложную, нежели истинную.

Б. Паскаль Часть 1. Теория познания и моделирование.

Если интеллектуальное любопытство, профессиональная гордость и амбиция – доминирующие побудительные мотивы исследования, то, несомненно, не у кого нет лучших шансов удовлетворить им, чем у математика. Предмет его исследований – прелюбопытнейший;

нет ни одного другого предмета, в которых истина откалывала бы самые причудливые штуки. Математика обладает разработанными до тончайших деталей увлекательнейшим аппаратом исследований и оставляет беспрецедентный простор для проявления высокого профессионального мастерства. Наконец, как неоднократно доказывает история, математическое достижение, какова бы ни была его внутренняя ценность, обладает наибольшей «долговечностью» по сравнению с достижениями всех других наук.

Г.

Харди Я уважаю математику как самую возвышенную, полезную науку, поскольку ее применяют там, где она уместна, но не могу одобрить, чтобы ею злоупотребляли, применяя ее к вещам, которые совсем не входят в ее область и которые превращают благородную науку в бессмыслицу. Как будто все существует только постольку, поскольку оно математически может быть доказано. Разве не глупо было бы, если бы кто-либо усомнился в любви своей возлюбленной, потому что она не могла бы представить математических доказательств своей любви. Размеры своего приданого она может обосновать математически, но не свою любовь.

И.В. Гете Глава 1. Исторический взгляд на математику.

Несомненно, вам задавали вопрос: зачем нужна математика? Не являются ли все эти тонкие построения, которые мы полностью черпаем из своего ума, искусственным плодом нашей прихоти?

А. Пуанкаре Математику можно определить как предмет, в котором никогда не известно ни то, о чем мы говорим, ни истинно или ложно то, что мы говорим.

Б. Рассел Математика – давняя общечеловеческая игра из тех, что люди ведут уже которое тысячелетие.

А. Гротендик 1.1. Математика в наши дни.

Роль математики в наши дни существенно отличается от той, которую она играла сто или двести лет назад. Если две сотни лет назад (в начале XIX века) математика представляла собой нечто экзотическое, доступное очень узкому кругу ученых, то в настоящее время она является необходимым инструментом научно-технологического прогресса человечества. Этим изменением математика обязана прежде всего тому, что она с XVII века служила языком теоретического и экспериментального естествознания (физики). Начиная со второй половины XIX века научно-технологический прогресс был неразрывно связан с успехами физики, которая открыла и поставила на службу человечеству целый ряд фундаментальных физических явлений - от электромагнитных волн до атомных реакций. Именно математика дала возможность описать эти явления, представить как стройные интеллектуальные картины, найти им практическое использование и рассчитать последствия этого использования.

«Наделенные немногими и весьма ограниченными по своим возможностям органами чувств и головным мозгом, люди начали проникать в окружающий их загадочный мир. Используя собственный чувственный опыт и данные, полученные из экспериментов, люди выработали некоторый набор аксиом, применив к ним мощь своего разума. Целью их поисков было выявление порядка, лежащего в основе мироздания. Они стремились построить системы знания, которые противостояли бы мимолетным ощущениям и могли бы служить основой для создания неких схем, способных объяснить окружающий мир и помочь овладеть им. И главным продуктом человеческого разума стала математика. Она отнюдь не безупречно ограненный и идеально отшлифованный драгоценный камень, и даже непрерывная «доводка» не в состоянии устранить всех ее изъянов. И все же именно математика воплощает в себе звено, наиболее эффективно связывающее реальный мир с миром чувственных восприятий, и остается поныне драгоценнейшим сокровищем человеческого разума, которое необходимо тщательно оберегать. На протяжении долгого времени математика находилась в авангарде человеческой мысли и, несомненно, сохранит передовые позиции, даже если более тщательные исследования выявят в ней какие-нибудь изъяны» (М. Клайн, 40, с. 236).

Еще в начале XIX века математика была только языком естествознания, но уже со второй трети XX века она широким фронтом проникает в сферу научных и прикладных исследований в общественных науках, биологии, психологии, а также в теорию и практику управления различных систем. Применение математических методов в управлении сложными системами различной природы позволило сделать тот кардинальный скачок, который совершился в технологическом, экономическом и социальном развитии человеческой цивилизации в настоящее время. Такое широкое применение математики в различных областях научной и практической деятельности вызвало у многих ученых, а также в среде широкой общественности представление об универсальности математики. В частности, появилась уверенность, что в недалеком будущем осуществится возможность дать достаточно адекватное описание таких сложных объектов, как человеческий мозг.

«Однако наука, кажется, заставляет поверить в то, что все мы – просто ничтожные частички мира, полностью управляемого (пусть даже вероятностно) очень точными математическими законами. Равно как и наш мозг, который, казалось бы, контролирует все наши действия, но, в свою очередь, точно так же подчиняется тем же законам. Возникает ощущение, что вся эта скоординированная физическая активность является на самом деле ничем иным, как выполнением некоторого всеобъемлющего (возможно, по своей природе вероятностного) вычислительного процесса – и, следовательно, наш мозг и наш разум нужно рассматривать исключительно в терминах такого вычисления» (Р. Пенроуз, 64, с. 361).

Если в начале XIX века с математикой были знакомы всего от нескольких сотен до тысячи человек, из которых ею занимались профессионально, может быть, пара сотен ученых, являвшихся членами академий и профессорами университетов, то сегодня математику изучают десятки или сотни миллионов, а профессионально занимаются ею несколько сотен тысяч человек.

Если в начале XIX века за год публиковалось до двух сотен книг и статей, посвященных математике, то сегодня ежегодно публикуется несколько сотен тысяч статей и книг по математике и ее приложениям. Другими словами, эта наука превратилась в массовое производство математических и других знаний, в котором участвуют сотни тысяч человек. Если чуть более ста лет назад еще встречались математики, знакомые со всеми или почти со всеми основными достижениями в этой науке, то сегодня теоретически и практически невозможно встретить подобного ученого, ибо объем и разнообразие научных результатов в области математики возрос и продолжает увеличиваться с необычайной скоростью.

Как интеллектуальное явление математика многолика. Её можно рассматривать и как науку, и как один из видов интеллектуального искусства, и как «поле» для интеллектуальных спортивных соревнований, и как инструмент функционального использования для удовлетворения потребностей в развитии других наук, и как один из языков научного общения. Все указанные и другие ипостаси математики можно встретить на протяжении всей ее истории, которая насчитывает две с половиной тысячи лет.

Естественно, возникает ряд вопросов. Что же такое математика? Какие характерные черты делают ее столь привлекательной в таких различных ипостасях? Существует ли реальный математический мир, который человек только открывает, или математика явля ется человеческим изобретением? Что делает ее такой эффективной в применении к изучению объектов и явлений различной природы?

На первые вопросы трудно дать определенный и четкий ответ, посколько роли, которые играет математика в жизни человечества, весьма многообразны. Тем не менее, на протяжении всей истории математики ученые пытались дать ответы на эти вопросы. Из множества ответов мы для иллюстрации приведем несколько таких попыток, принадлежащих ученым ХХ века.

«На вопрос "Что такое математика?" невозможно дать обстоятельный ответ на основе одних лишь только философских обобщений, семантических определений или с помощью обтекаемого газетно-журнального многословия. Так же, как нельзя дать общее определение музыке или живописи: никто не может оценить эти виды искусства, не понимая, что такое ритм, гармония и строй в музыке или форма, цвет и композиция в живописи. Для понимания же сути математики еще в большей степени необходимо подлинное проникновение в составляющие ее элементы» (Р.

Курант, 47, с. 16).

«Что такое математика – изобретение или открытие? Процесс получения математических результатов – что это: всего лишь построение не существующих в действительности сложных мыслимых конструкций, мощь и элегантность которых может обмануть даже их собственных изобретателей, заставив их поверить в “реальность” этих не более чем умозрительных построений? Или же математики действительно открывают истины, где-то существующие, чья реальность в значительной степени независима от их деятельности? Я думаю, что читателю должно стать совершенно ясно, что я склонен придерживаться скорее второй, чем первой точки зрения…» (Р. Пенроуз, 64, с. 88).

Ту же мысль так же образно выразил и М. Клайн:

«Является ли математика коллекцией алмазов, спрятанных в недрах Вселенной и постепенно извлекаемых на поверхность, или коллекцией искусственных драгоценных камней, созданных человеком и сверкающих так ярко, что они ослепили тех математиков, кто уже отчасти был ослеплен гордостью за свои творения?» (М. Клайн, 39, с.373).

Интересный взгляд на математику выражают М. Кац и С. Улам в своей книге «Матема тика и логика. Ретроспектива и перспектива»:

«Вопреки мнению, широко распространенному среди далеких от науки людей, математика не являет собой законченное и совершенное здание. Это наука и, кроме того, искусство;

свойственные математике критерии всегда носят в той или иной мере эстетический характер.

Одной только истинности теоремы еще недостаточно для того, чтобы занять место в математике.

Она должна быть “полезной”, “интересной” и “красивой”. Поскольку ощущения красоты субъективно, то остается только удивляться, какое единодушие проявляют обычно математики в своих эстетических оценках» (М. Кац, С. Улам, 38, с. 10).

Ту же мысль С. Улам подчеркивает также в своей книге «Приключения математика»:

«На протяжении всего развития математики ее эстетическая сторона представляла самое большое значение. Не так важно, насколько полезна теорема, куда важнее то, насколько она изящна. Отдать должное эстетической ценности математики со всей полнотой могут лишь немногие “нематематики” и даже ученые из других областей, но для тех, кто ею занимается, эта ценность неоспорима. Можно, однако, рассуждать и о невзрачной стороне математики. Эта еквзрачность связана с тем, что в математике необходима крайняя щепетильность, уверенность в каждом сделанном шаге. В математике нельзя останавливаться, ведя большой и широкой кистью.

Все детали нужно охватывать одновременно» (С. Улам, 77, с. 238).

Идея, что существует реальный математический мир, занимала умы у древних философов и математиков, начиная с Платона. До XX века эта идея практически ни у кого не вызывала сомнений. Великий философ и математик Г. Лейбниц говорил:

«Вечные истины значимы совершенно независимо от какого-бы то ни было фактического состояния действительности, какова бы она ни была. … Истины чистого учения о числах остались бы теми, что есть, даже в том случае, если бы ни было ничего, что можно считать, и никого, умеющего считать» (6, с. 144).

Да и в XX веке эта идея находила многочисленных сторонников. В качестве примеров приведем несколько высказываний, подтверждающих данную точку зрения:

«… я не могу отделаться от ощущения, что в случае математики вера в некоторое высшее вечное существование – по крайней мере, для наиболее глубоких математических концепций, - имеет под собой гораздо больше оснований, чем в других областях человеческой деятельности.

Несомненная уникальность и универсальность такого рода математических идей по своей природе существенно отличается от всего того, с чем приходится сталкиваться в области искусства и техники. Точка зрения, согласно которой математические понятия могут существовать в такого рода вневременном, высшем смысле, была впервые высказана еще в древности (около 360 года до н.э.) великим греческим философом Платоном, и поэтому ее часто называют математическим платонизмом» (Р. Пенроуз, 64, с. 89).

Известный французский математик XIX века Ш. Эрмит в письме к другому математику, Т. Я. Стилтьесу, писал:

«Я убежден в том, что числа и функции анализа не являются произвольным продуктом нашего духа. Я верю, что они лежат вне нас с той же необходимостью, что предметы объективной реальности, а мы обнаруживаем или открываем и исследуем их так же, как это делают физики, химики и зоологи» (39, с. 372).

Он же затем писал:

«Если я не ошибаюсь, существует мир, представляющий собой собрание математических истин и доступный нам только через наш разум, точно так же, как существует мир физической реальности. Как один, так и другой не зависит от нас, они оба – творение Господа Бога и различимы лишь по слабости нашего разума, тогда как на более высокой ступени мышления они суть одно и то же. Синтез этих двух миров отчасти проявляется в чудесном соответствии между абстрактной математикой, с одной стороны, и всеми отраслями физики – с другой» (39, с. 397).

Другой, не менее известный математик XIX века Г. Фреге утверждал:

«Математик тоже не может создавать все, что ему вздумается, он так же мало имеет на это право, как и географ;

он тоже может лишь открывать нечто и давать открытию название».

Аналогичные взгляды более чем через полстолетия выразил один из крупных математиков XX века Г. Харди (82):

«Свою позицию я сформулирую догматически во избежание малейшей неточности. Я считаю, что математическая реальность лежит вне нас, что наша функция заключается в открытии и наблюдении ее и что теоремы, которые мы доказываем и высокопарно называем своими «творенииями», в действительности являются не более чем записями наших наблюдений».

И Н. Бурбаки выражали те же взгляды:

«Как бы ни отличались по своим оттенкам различные философские концепции математических объектов у различных математиков и философов, в одном пункте, по крайней мере, они сходятся, а именно, что эти объекты нам даны и что не в нашей власти придать им произвольные свойства, как не властен физик изменить какой-нибудь закон природы» (Н. Бурбаки, 11, с.35) Подобные высказывания можно найти и у таких ведущих математиков XX века, как К.

Гёдель, Д. Гильберт, А. Черч, которые утверждали, что математические понятия и свойства существуют в некотором объективном смысле и могут быть постигнуты человеческим разумом. Таким образом, математическую истину открывают, а не изобретают, и в результате открытия возникает не математика, а человеческое знание математики.

Математический платонизм, выраженный в воззрениях некоторых математиков, вызывает, тем не менее, у других вопросы, на которые трудно дать достаточно убедительные ответы. В частности, «если существует мир сверхчувствительных и трансцендентально абсолютных объектов и если наши логические и математические утверждения представляют собой всего лишь записи наблюдений этих объектов, то не существует ли противоречия и ложные утверждения в том же смысле, в каком существуют истинные утверждения? Сорные семена ложности и противоречивости могут давать столь пышные всходы, как и семена истинные и прекрасные.

Дьявол сеет свои семена и собирает жатву наряду с богом истины» (М. Клайн, 39, с.373).

Если платоники видели источник математической науки в реальном мире, то кантианцы (т.е. последователи великого философа И. Канта) рассматривали в качестве источника математики организующую силу человеческого разума. Согласно Канту, человек располагает лишь чувственными восприятиями. Его разум, обладая врожденными интуитивными представлениями о пространстве и времени, организует чувственные восприятия в соответствии с тем, что диктуют эти врожденные представления. Разум формирует наши концепции пространства и времени, основанные на геометрии. Именно человеческий разум, совершенствуя методы познания, несет в себе организующее начало.

Творческая активность разума постоянно рождает новые, высшие формы мысли. Она способна создавать новые понятия, применимые как к существующим, так и вновь возникающим областям мысли. Источник математики, по мнению Канта, – в непрерывном развитии разума.

Подобный подход можно обнаружить у ряда математиков XIX века. Так, например, один из крупнейших математиков-физиков XIX века У.Р. Гамильтон в 1836 году писал:

«Такие чисто математические науки, как алгебра и геометрия, являются науками чистого разума, не подкрепленными опытом и не получающими от него помощи, изолированными или могущими быть изолированными от всех внешних и случайных явлений. … Вместе с тем, это идеи, рожденные внутри нас, обладание которыми в сколько-нибудь ощутимой степени есть следствие нашей врожденной способности, проявление человеческого начала» (39, с. 371).

А через почти полстолетия, в 1883 году другой крупный математик А. Кэли в одном из своих выступлений говорил:

«Мы обладаем априорными знаниями, не зависящими не только от того или иного опыта, но и от всякого опыта вообще … Эти знания составляют вклад нашего разума в интерпретацию опыта»

(39, с. 371).

Дальнейшее развитие кантианской точки зрения встречается у интуиционистов, которые также считают, что математика является продуктом человеческой мысли. Однако, если одни из них утверждают, что человеческий разум гарантирует истину, другие же полагают, что математика – создание склонного к заблуждению человеческого разума. Ряд математиков XIX века (например, Г. Ганкель, Р. Дедекинд, К. Вейерштрасс) еще до интуиционистов также считали, что математика является творением человека. Так, в одном из своих писем Р. Дедекинд писал:

«По-моему, то, что мы понимаем под числом, само по себе не есть класс, а нечто новое … созданное нашим разумом. Мы божественная раса и обладаем … способностью творить».

Ему вторит известный логик ХХ века Р.Л. Гудстейн:

«То, что делает фигуру королем, – это ходы, которые она совершает. Так что можно сказать, что шахматный король – это одна из ролей, которые фигура играет в шахматной партии, роль фигуры, а не сама фигура. Точно также различные роли, которые цифры играют в языке, - это и есть число.

Арифметические правила, аналогично шахматным правилам, формулируются в терминах дозволен-ных преобразований числовых знаков» (23, с. 22).

Вопрос, что является источником математики, носит в значительной мере философский характер. Как видно из приведенных высказываний, список которых можно продолжить, ответ на этот вопрос является, по существу, «вопросом веры». Каждая сторона приводит в свою пользу целый ряд рациональных аргументов, которые в любом случае не убедят противоположную сторону.

Несмотря на многоликость математики, все же широкая общественность и сегодня видит основную роль этой науки в исследованиях окружающей природы. Может быть, лучше всех эту позицию выразил А. Эйнштейн в своей книге «Мир, каким я вижу его»

(1934):

«Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов. Я убежден, что посредством чисто математических конструкций мы можем найти те понятия и закономерности в их отношениях друг с другом, которые дадут нам ключ к пониманию явлений природы. Опыт может подсказать нам соответствующие математические понятия, но они ни в коем случае не могут быть выведены из него. Конечно, опыт остает-ся единственным критерием пригодности математических конструкций физики. Но настоящее творческое начало присуще именно математике. Поэтому я считаю в известном смысле оправданной веру древних в то, что чистое мышление в состоянии постигнуть реальность» (А. Эйнштейн, 87, с. 184).

Ту же мысль развил и М. Клайн в своей книге «Математика. Поиски истины» (1985):

«Мы сталкиваемся здесь с явно парадоксальной ситуацией. Область знания, не претендующая более на роль носителя истины, подарила нам прекрасно согласующуюся с повседневным опытом евклидову геометрию, необычайно точную гелиоцентрическую теорию Коперника и Кеплера, величественную и всеохватывающую механику Галилея, Ньютона, Лагранжа и Лапласа, физи чески необъяснимую, но имеющую весьма широкую сферу приложений теорию электромагнетиз ма Максвелла, теорию относительности Эйнштейна с ее тонкими и необычными выводами и позволила многое понять в строении атома. Все эти блестящие достижения опираются на математические рассуждения. Быть может, в отрасли знания, о которой идет речь, все-таки заключена некая магическая сила, позволившая ей одержать столько побед, хотя сражалась она под непобедимым знамением истины?» (М. Клайн, 40, с. 243).

Вопрос, заданный М. Клайном, имеет принципиальное значение, особенно в свете того, что в основаниях математики в последнее столетие были обнаружены противоречия.

Наличие этих противоречий показало, что математика – эта сверкающая великолепием витрина человеческого разума – несовершенна по своей структуре, страдает множеством недостатков. Хотя математика по-прежнему остается самой длительной и последовательной попыткой человека создать точное и эффективное мышление, а ее достижения служат мерилом того, на что способен человеческий разум, но все же вера в надежность и истинность математики сильно поколеблена.

Один из выдающихся математиков ХХ века А. Вейль, учитывая новое отношение к математике, говорил:

«Для нас, чьи плечи ноют под тяжестью наследия греческой мысли, кто идет по стопам героев эпохи Возрождения, цивилизация немыслима без математики. Подобно постулату о параллельности, постулат о том, что математика выживет, утратил свою “очевидность”. Но если первый постулат перестал быть необходимостью, то без второго мы жить бы не смогли» (39, с.

376).

Обсуждая непостижимую эффективность математики, один из крупнейших физиков ХХ века Ю. Вигнер в своей статье под тем же названием писал:

«Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов. Это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарить судьбу и надеяться, что и в будущих своих исследованиях мы сможем по прежнему пользоваться им. Мы думаем, что сфера его применимости (хорошо это или плохо) будет непрерывно возрастать, принося нам не только радость, но и новые головоломные проблемы» (Ю. Вигнер, 17, с. 197).

Из всего сказанного выше и приведенных высказываний следует, что математика представляет собой одно из основных интеллектуальных средств исследования и познания окружающего мира. В связи с этим особую роль значение приобретает изучение принципов методологии и функционирования математики, ее характерных свойств, которые позволяют ей быть столь эффективным инструментом научных и практических исследований в различных областях знаний. Но прежде чем мы обратимся к изложению основных методологических особенностей математики, опишем вкратце историю ее возникновения и развития вплоть до наших дней. Именно исторический экскурс позволяет понять основные черты современной математики а также то, как они возникали и изменялись. Перефразируя слова крупнейшего математика и физика конца XIX века и начала ХХ века А. Пуанкаре, можно сказать, что лучший метод понимания развития математических наук заключается в изучении истории и нынешнего состояния этих наук.

Основной задачей приводимого исторического очерка является обоснование основного положения, на котором базируется все дальнейшее наше повествование. Это положение заключается в том, что на разных этапах развития математики возникали разные ее типы, отличающиеся друг от друга математическими объектами и методами математических рассуждений. В частности, каждый возникавший в течение исторического развития тип математики отличается от других прежде всего содержанием, которое вкладывается в понятие числа. Изменение содержания понятия числа, от пифагоровых чисел до компьютерных, позволило математике решать разнообразные практические и теоретические задачи. Появление различных типов математики делало эту науку столь разносторонной, что это может служить одним из объяснений ее эффективности.

В математике, кроме возможных приложений ее в науке, есть собственный свет и мудрость;

и человеческий ум, улавливающий, что математика означает для самой себя, многим вознаграждается. Это не старая доктрина искусства для искусства. Это искусство ради человечества.

Э. Т. Белл 1.2. Этапы развития математики. Типы математики В любой человеческой цивилизации, которая существовала и существует, всегда имелась потребность в решении различных практических количественных задач. Эти задачи были связаны с измерением различных реальных объектов, обменом товарами, учетом запасов, исчислением объемов и площадей и т.д. Для решения этих задач в среде цивилизаций были выработаны различные методы (методики), которые можно рассматривать как общественные знания. Эти знания с помощью обучения передавались от одного поколения людей к другому. Описание этих методов, устное или письменное, состаляло общественное интеллектуальное богатство. Письменные памятники цивилизаций (папирусы и глиняные дощечки), таких, как хеттская, вавилонская или египетская, полны примерами подобных методик. Этот набор методик решения количественных практических задач был назван прематематикой. Каждая человеческая цивилизация обладала и обладает своей прематематикой, которая исчезала вместе с гибелью соответствующей цивилизации. В подтверждение последнего утверждения можно привести, в частности, тот факт, что вавилонская прематематика полностью отличается от египетской, которая существовала еще до появления вавилонской. Обе эти прематематики погибли, не оказав практически никакого влияния на возникновение древнегреческой прематематики – логистики.

Прематематика при решении количественных задач оперировала с числами особой природы, которые мы назовем прематематическими числами. Природу этих чисел, их свойства, а также действия над ними мы будем изучать подробно в четвертой главе.

Прематематика на протяжении всей известной нам истории человечества, за исключением последних двух столетий, полностью удовлетворяла потребности человечества в решении количественных практических задач, возникавших в процессе его экономического и социального развития. Свидетельством этого служит то, что ни одна другая цивилизация, за исключением западноеревропейской (например, китайская, индийская или японская), до XIX века не создала ничего, что можно рассматривать как принципиальное развитие соотоветствующей прематематики или как ее замену.

Как хорошо известно, математика (ее мы назовем греческой математикой) возникла в древней Греции VI-V вв. до н.э., прежде всего, как часть определенного религиозного культа, основателем которого был Пифагор. В этом культе занятия математикой служили способом очищения души, и поэтому все члены пифагорейской общины должны были заниматься математикой. Таким образом, мы, образно говоря, можем рассматривать пифагорейцев как первую математическую школу. Все математики в течение первых столетий развития математики были пифагорейцами. Как живое учение пифагорейство просуществовало несколько столетий.

«Но что отличало пифагорейцев от всех других сект, -- это способ, при помощи которого они считали возможным достигнуть очищения души и соединения с божеством;

это делалось при помощи математики. Математика была одной из составных частей их религии. Бог, учили они, положил числа в основу мирового порядка. Бог – это единство, а мир – множество и состоит из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству и соединяет все в космос, есть гармония. Гармония является божественной и заключается в числовых отношениях. Кто до конца изучит эту божественную числовую гармонию, сам станет божественным и бессмертным.

Музыка, гармония и числа – эти три понятия были неразрывно связаны друг с другом в учении пифагорейцев. Все три были существенными составными элементами пифагорейской системы воспитания и очищения души. «Блаженство есть знание совершенства чисел души», -- говорит Пифагор у Гераклита Понтийского. Математика и числовая мистика были фантастически перемешаны в его учении. Однако из этого мистического учения в дальнейшем выросла точная наука поздних пифагорейцев» (Ван дер Варден, 13, с. 129).

В момент своего возникновения, как это принято считать в современной историографии, математика состояла из двух не связанных друг с другом частей:

геометрии и теории чисел. Геометрия вплоть до второй половины XIX века была единственной дедуктивной аксиоматической теорией, пока теория чисел, в свою очередь, не стала таковой.

Необходимо отметить, что древние греки по-разному относились к двум основным ти пам математических объектов: к геометрическим фигурам и числам. Эти математиче-ские объекты являлись продуктом греческого интеллектуального творчества. Ни в одной из предшествующих человеческих цивилизаций мы не встречаем ничего похожего на них.

Числа, с которыми имели дело пифагорейцы и которые мы условно назовем пифагоровыми числами, не являются натуральными числами в современном математическом понимании.

Во-первых, пифагоровы числа являлись мистическими числами, которым приписывался разнообразный смысл.

«… так называемые пифагорейцы, занявшись математическими науками, впервые развили их и, воспитавшись на них, стали считать их начала началами всех вещей. Но в области этих наук числа занимают от природы первое место, а у чисел они усматривали, как им казалось, много сходных черт с тем, что существует и происходит, -- больше, чем у огня, земли и воды;

например, такое-то свойство чисел есть справедливость, а такое-то – душа и ум, другое – удача, и можно сказать, что в каждом из остальных случаев точно так же. Кроме того, они видели в числах свойства и отношения, присущие гармоническим сочетаниям. Так как, следовательно, все остальное явным образом уподоблялось числам по всему своему существу, а числа занимали первое место во всей природе, элементы чисел они предположили элементами всех вещей и всю вселенную признали гармонией и числом» (Аристотель. 2, кн.1, гл.5, с. 44).

Такого же взгляда на числа придерживался и Платон:

«Что число не вызывает ничего дурного, это легко распознать, как это вскоре будет сделано.

Ведь чуть ли не любое нечеткое, беспорядочное, безобразное, неритмичное и нескладное движение и вообще все, что причастно чему-нибудь дурному, лишено какого-либо числа. Именно так должен мыслить об этом тот, кто собирается блаженно окончить свои дни. Точно так же никто, не познав числа, никогда не сможет обрести истинного мнения о справедливом, прекрасном, благом и других подобных вещах и расчленить это для себя и для того, чтобы убедить другого».

Во-вторых, пифагоровы числа со дня возникновения были непосредственно связаны с гармонией. Эта связь основывалась на знаменитом открытии Пифагора: колеблющиеся струны производят при одинаковом натяжении гармоническое созвучие в том случае, когда их длины находятся в простом рациональном отношении. То, что математическая структура, а именно отношение двух чисел, является источником гармонии, было, без сомнения, одним из плодотворных интеллектуальных открытий, сделанных человечеством вообще. Гармоническое согласие двух струн создает прекрасный звук. Тем самым математическое отношение оказалось источником прекрасного. Это открытие непосредственно связало появившуюся математику с нарождающейся греческой философией, в которой понятия гармонии и красоты являлись одними из основных. Более того, согласно греческим философам, число внутренне связано с прекрасным, благим и священным, а поэтому отнюдь не есть нечто нейтральное по отношению к ценностям.

Именно с понятием числа они связывали порядок, упорядочивание, ритм, склад (лад), гармонию, согласованность, меру, соразмерность, а все это – атрибуты не только прекрасного, но и доброго, благого, но и истинного. Поэтому в самом числе выделяется и подчеркивается то, что несет эти атрибуты.

Связь математики с гармонией, установленная греками, вела и ведет математику до настоящего времени. Для иллюстрации приведем высказывания двух крупных математиков современности А. Пуанкаре и Г. Вейля о значении гармонии в математике.


«И то, что мы называем объективной реальностью, в конечном счете есть то, что общо нескольким мыслящим существам и могло быть общо всем. Этой общею стороной … может быть только гармония, выражающаяся математическими законами… эта гармония есть единственная объективная реальность, единственная истина, которой мы можем достигнуть;

а если я прибавлю, что универсальная гармония мира есть источник всякой красоты, то будет понятно, как мы должны ценить те медленные и тяжелые шаги вперед, которые мало-помалу открывают ее нам»

(А. Пуанкаре, 68, с. 158).

«В природе существует внутренне присущая ей скрытая гармония, отражающаяся в наших умах в виде простых математических законов. Именно этим объясняется, почему природные явления удается предсказать с помощью комбинации наблюдений и математического анализа. Сверх всяких ожиданий, убеждение (я бы лучше сказал, мечта!) в существовании гармонии в природе находит все новые подтверждения в истории физики» (Г. Вейль).

Пифагорейцы рассматривали числа с четырех уровней: физического, арифметического, геометрического и теологического. Числа, рассматриваемые на арифметическом уровне, выражают закономерность, необходимость Логоса (разума), отличную от необходимости Судьбы. Числа на геометрическом уровне являются силами, образующими из неограниченного, беспредельного пространства определенные формы. На физическом уровне греки видели в числах материальные вещества, в которых выражены закономерность, порядок и гармония. И, наконец, числа, рассматриваемые на теологическом уровне, обладают таинственными, магическими свойствами и являются божественными существами. Число, рассматриваемое со всех четырех позиций, суть сущность всего существенного, высшая объективная реальность.

Резюмируя пифагорейское отношение к числам, можно сказать, что числа суть и сущность всех вещей, они принимают пространственные образы, в них есть нечто материальное, и, наконец, они – священны, божественны.

В-третьих, пифагоровы числа не включали в себя единицу как число. Эта пифагорова единица выражала неделимую сущность. Сказанное объясняет то, что греки не оперировали дробями, связанными с пифагоровыми числами, а только целыми числами.

Пифагорова единица, по-существу, «превратилась» в число только в XIX веке, когда была построена аксиоматическая теория вещественных чисел.

В конце V века до н.э. центром культурной жизни греков становятся Афины. Этот город привлекает к себе и многих математиков. Здесь рядом с Сократом, Платоном и Аристотелем трудятся такие великие математики, как Архит, Теэтэт, Евдокс, которые внесли большой вклад в развитие геометрии. Однако уже к 300-му году до н.э. центр греческой математической жизни переместился в Александрию, где Птолемей I взял на государственное содержание ученых, которых он собрал в Мусейон. Здесь же была создана знаменитая Александрийская библиотека, в основу которой, по некоторым источникам, легла библиотека Аристотеля. Александрия дала целый ряд великих математиков: это Евклид, Аполлоний, Архимед, Гиппарх, Птолемей, Диофант. Каждый из них внес существенный вклад в дальнейшее развитие математики. Влияние этих ученых ощущается и в наши дни.

Греческая математика в свои первые пятьсот лет существования была геометрической, о чем свидетельствуют «Начала» Евклида, являющиеся прежде всего энциклопедией математических знаний в первые три века развития математики. Теоретико-числовые результаты пифагорейцев занимают в ней относительно малое место. Большинство утверждений, касающихся числовых отношений, формулируется и доказывается на геометрическом языке. Сама геометрия играла большую роль в философии, что ярко выразилось в образном высказывании Платона, который утверждал, что Бог является геометром. Он же рассматривал геометрические тела в качестве основных элементов в построении окружающего мира.

Одновременно с созданием геометрии греки изобрели своеобразную логику: ее обычно называют логикой Аристотеля, который в своих трудах дал ее систематическое изложение. Изобретенная греками логика сформировала так называемое греческое мышление, которое легло в основу научного мышления. Она является уникальным интеллектуальным достижением, которое не смог повторить в любых вариациях ни один народ после греков. Кроме индуктивной логики, которая присуща любой прагматической деятельности, в том числе и приматематике, ни одна другая логика не имеет такого глобального распространения.

Интеллектуальные достижения греческой цивилизации, т.е. греческая логика и геометрия, являются уникальными, поскольку они актуальны в научной деятельности и по сей день. Правда, необходимо отметить, что актуальность геометрии в современном мире прежде всего связана с тем, что ее изучение на основе «Начал» Евклида современным человеком является чуть ли не единственным способом его обучения дедуктивному мышлению.

Следующим великим математиком, связанным с Александрией, был Архимед. Архимед жил в Сиракузах и имел тесные связи с александрийскими учеными. Он был не только великим математиком, но и великим инженером и изобретателем.

«Архимед принадлежит к числу тех немногих гениев, творчество которых определило на долгие века судьбу человечества. В этом он схож с Ньютоном. Между творчеством обоих великих гениев можно провести далеко идущие параллели. Те же области интересов: математика, физика, астро номия, та же невероятная сила ума, способная проникать в глубь явлений, наконец, та же попу лярность среди самой широкой публики. Действительно, среди всех математиков и физиков толь ко имена Архимеда и Ньютона известны всему культурному человечеству, только с ними связано такое количество легенд и анекдотов» (История математики, т.1, сс. 114-115).

Основным математическим достижением Архимеда является существенное улучшение и расширение так называемого «метода исчерпывания», введеного Евдоксом. С помощью этого метода он вычислял объемы и площади поверхностей геометрических тел, а также длины дуг и площади кривых поверхностей. Римский историк Плутарх так охарактризо вывает Архимеда:

«Архимед имел возвышенную душу и губокий ум, и, обладая громадными богатствами геометрии, он не хотел оставить ни одного сочинения относительно тех машин, которые доставили ему славу знания, и не только доступного человеку, но почти божествнного… По всей геометри нельзя найти более трудных и глубокомысленных задач, которые были бы решены так просто и ясно, как те, которыми занимался Архимед. Одни приписывают эту ясность его высоким дарованиям, другие же – тому напряженному труду, при помощи которого ему удавалось дать своим открытиям такое выражение, что они становились доступными без труда… Такой был Архимед, который благодаря своим ознаниям в механике смог, насколько это от него зависило, сохранить от поражения и себя самого, и свой город» (История математики, 35, т.1, сс. 114-115).

Третий из великих геометров эпохи эллинизма – Аполлоний Пергский – известен в математике прежде всего своими «Коническими сечниями», где он дал достаточно полную теорию кривых второго порядка. Здесь, в частности, он ввел понятия гиперболы и параболы.

Значительный вклад Аполлоний внес в греческую астрономию, где он применил свои геометрические знания к теоретическому пониманию движения небесных тел, в част ности, Луны. Аполлоний не был первым среди греков, который обратил взгляд на небо. С самого начала греческой интллектуальной революции греческие ученые задумывались об устройстве Вселенной. Свидетельством этого является упоминание о том, что Фалес из Милета предсказал точно солнечное затмение, а милетские философы Анаксимандр и Анаксимен рассуждали о форме Земли.

Интерес ионийских греков к небу был не случайным, ибо они жили на Ближнем Востоке, и на них оказывала большое влияние вавилонская астрология. В Вавилоне издавна велись астрономические наблюдения, составлялись каталоги звезд, вычислялись подробные астрономические таблицы, делались предсказания солнечных и лунных затмений на основе анализа наблюдений.

Появление греческой геометрии позволило грекам создать первые теории, объясняющие качественные элементы движения небесных тел. Эта деятельность хорошо согласовывалась с греческим подходом к занятиям наукой. Они не искали полезных и практических приложений на земле, а весь свой научный интеллект сосредоточили на небе. Поэтому именно в Греции и появились первые астрономические теории Солнечной системы и всей Вселенной. Именно здесь можно видеть принципиальное отличие греческой астрономии от тех астрономий, которые существовали в таких более древних цивилизациях, как в Египте или Вавилонии. Большую роль в истории развития астрономии сыграла теория Солнечной системы Евдокса, на основе которой и развивались дальнейшие греческие теории движения небесных тел. Практически все крупные греческие математики занимались астрономией.

Астрономы Александрии объединили в своем творчестве два направления: они продолжали вести наблюдения и составлять подробные таблицы, а также разрабатывать одновременно теории движения небесных тел. Так, например, Аполлоний для объяснения видимого движения планет построил теорию эпициклов и эксцентрических окружностей, которая в соединении с теорией Евдокса давала хорошее теоретическое объяснение движению Луны.

Успехи александрийской астрономии связаны с тем, что в этом городе практически одновременно развивалась теоретическая астрономия, проводились точные наблюдения с помощью изобретенных здесь же инстументов, а также разрабатывались математические методы, необходимые для обработки результатов наблюдений. В частности, была разработана математическая теория, идеи которой позже привели к созданию плоской и сферической тригонометрии.

Творческой вершиной греческой астрономии является астрономическая система Гиппарха – Птолемея, в своем основании использующая теоретические результаты Аполлония и позволяющая вычислять положения планет, Луны и Солнца на небе в любой будущий момент времени. Как видно из принятого в литературе названия системы, ее создателями являются два великих астронома древности: Гиппарх и Птолемей.


Гиппарху принадлежит целый ряд выдающихся достижений в астрономии: открытие прецессии, создание первого звездного каталога, куда вошли около тысячи звезд, который содержал эклиптические координаты и оценки блеска каждой звезды, включенной в него, измерение лунного параллакса, определение расстояний до Солнца и Луны, разработку теории лунных затмений, конструктирование астрономических инструментов, в частности, армиллярной сферы, проведение большого числа наблюдений, не потерявших частично своего значения до настоящего времени, и многое другое. Со времен Гиппарха лунное затмение можно было предсказываать с точностью до одного-двух часов, хотя солнечные затмения удавалось предсказать менее точно. Роль Гиппарха в истории античной астрономии поистине огромна.

Основным трудом другого великого астронома Птолемея является «Алмагест». Этот труд Птолемея был первоначально озоглавлен «Математическое сочинение в 13 книгах», затем его называли: «Большое собрание». «Алмагест» -- это латинизированная форма арабского названия перевода этого труда Птолемея на арабский язык.

««Алмагест» - это компендиум античной математической астрономии, в котором отражены все ее важнейшие направления. Со временем этот труд вытеснил более ранние работы античных авторов и стал, таким образом, уникальным источником по многим важным вопросам ее истории.

На про-тяжении столетий, вплоть до эпохи Коперника, «Алмагест» считался образцом строго научного подхода к решению астрономических задач. Без этого произведения невозможно представить себе историю средневековой индийской, персидской, арабской и европейской астрономии. Знаменитый труд Коперника «О вращении», положивший начало современной астрономии, во многих отношениях был продолжением «Алмагеста»» (67, с. 429).

«Алмагест» -- это не только учебник теоретической астрономии, но и руководство к количественному решению ряда задач по прогнозирования видимых положений светил (Солнца, Луны, планет и звезд) на небесной сфере в произвольный момент времени с точностью, соответствующей возможностям визуальных наблюдений. Кроме того, в этой книге можно найти описание способов прогнозирования дат и других параметров особых астрономических явлений, связанных с движением светил, лунных и солнечных затмений, гелиакических восходов и заходов планет и звезд, а также определение параллакса и расстояний до Солнца и Луны, и т.д.

Система Гиппарха – Птолемея надолго опередила свое время, что было осознано гораздо позже. Как отмечает М. Клайн:

«Как и Евдокс, Птолемей отчетливо сознавал (и это необходимо особо отметить, имея в виду нашу главную тему – поиск истины), что его теория предствляет собой не более чем удобное математическое описание, согласующееся с наблюдениями, и не обязательно должна отражать истинный механизм движения планет. При описании движений некоторых планет Птолемею приходилось рассматривать несколько альтернативных схем, и он отдавал предпочтение той, которая была проще с точки зрения математики. В XIII книге «Алмагест» он утверждает, что астрономия должна стремиться к возможно более простой математической модели. Но христианский мир принял математическую модель Птолемея за абсолютную истину» (М. Клайн, 39, с. 36).

Приведенная цитата свидетельствует о том, что Птолемей предвосхитил основные положения современной физики, заложенные в XVII веке, прежде всего трудами Галилея и Ньютона.

«Алмагест» можно рассматривать также как методологическое пособие по математическому моделированию. Математическое моделирование – это методологический подход, который оформировался только в середине ХХ века и который применяется в различных науках при изучении явлений количесвенными методами.

На закате греческой цивилизации греки в Александрии изобрели еще одно интеллектуальное чудо. Оно дошло до нас в «Арифметике» Диофанта, который был последним великим математиком античности. Это направление в математике будем назвать диофантовой арифметикой. В разработке арифметики участвовал и целый ряд александрийских математиков, как, например, Герон, который жил и творил задолго до рождения Диофанта. Диофантовая арифметика послужила основой для возникновения алгебры, ибо в основе этого направления лежало решение разного вида алгебраических уравнений. Здесь мы также впервые встречаемся с появлением алгебраической символики. Трудно переоценить значение этого направления в истории математики, ибо к моменту появления книги Диофанта в геометрии и пифагоровой теории чисел все основные результаты были получены, и дальнейшее развитие этих наук практически остановилось. Диофантовая арифметика открыла новые, менее абстрактные области для математических исследований, в которых сосредоточились основные усилия математиков разных стран в последующее почти полтора тысячилетия.

««Арифметику» нельзя считать теоретическим трудом по арифметике в пифагорейском смысле слова – пифагорейцы термин «арифметика» предназначали для теории чисел, которая считалась дисциплиной без определенного метода, но требующая от ума некоего рода божественной интуиции. А этот трактат ближе всего к традициям вычислительной математики, или логистики.

Однако в период, когда Диофант работал над составлением своей книги, это первоначальное различие уже, по-видимому, стерлось – это видно и из самого выбора названия и из того, что практические задачи у Диофанта всегда сначала формулируются в абстрактной форме, а числовые данные вводятся позже» (А. Даан-Дальмедико, Ж. Пейффер, 25, с. 105).

Для дальнейшего важно отметить, что диофантова арифметика оперировала числами, природа которых принципиально отличалась от пифагоровых. Эти числа по своей сути достаточно близки к прематематическим числам и, по всей вероятности, возникли как абстрагирование этих чисел. Для отличия от пифагоровых чисел, назовем их диофантовыми числами. Ниже мы будем подробно изучать эти числа. Отличие диофантовых чисел от пифагоровых проявляется, в первую очередь, в том, что среди них мы уже встречаем единицу, которую условно назовем диофантовой единицей. К этой единице можно прибавлять любое диофантово число, ее можно прибавлять к диофантову числу или отнимать от любого диофантова числа, а также делить на любое целое число.

Здесь впервые встречаются новые математические объекты, которые можно рассматривать как дроби, а также отрицательные числа. Дроби, которые использовал Диофант, принципиально отличались от долей единицы, которые используются в прематематике. Отметим, что как дроби, так и отрицательные числа, которые встречаются у Диофанта, никоим образом не являются дробями и отрицательными числами в современном понимании. Это определенные математические объекты, которые просто некоторыми своими свойствами напоминают упомянутые современные. Они использовались как математические промежуточные инстанции при решении уравнений и не имели никакого самостоятельного содержания.

Теперь подведем некоторые итоги первого тысячелетия существования математики.

Трудно рационально объяснить, почему возникла математика именно у древних греков и именно в соответствующий период времени. По всей вероятности, единственное объяснение заключается в том, что случайно создались соответствующие условия, связанные с появлением такой личности, как Пифагор, и возникновением его религиозной общины, которая просуществовала достаточно длительный срок. Для возникновения математики не было никакой практической и интеллектуальной причины. Математика никак не была связана с решением практических задач, чем занималась логистика. Между математикой и логистикой не было никаких взаимных связей. Математикой занимались, в основном, состоятельные люди, в то время как логистикой занимались или рабы, или метеки (свободные люди, не имевшие гражданских прав). Греки рассматривали математику как некоторый вид интеллектуального искусства и интеллектуального спорта, а также как существенную часть философии. Отметим, что в течение первого тысячелетия существования математики практически только одни греки и занимались математикой.

В III-IV веках н.э. греческая культура прекратила свое существование в Западной Европе из-за различных бедствий, обрушившихся на нее, включая нашествия варваров. По суще-ству, была уничтожена вся культурная прослойка Римской империи в Западной Европе. Тяжелые потери греческая культура понесла и на Востоке. Были закрыты почти все цент-ры греческой культуры в Византии, включая знаменитую Афинскую школу. Указ визан-тийского императора Юстиниана от 529 г. о воспрещении языческих школ заставил бе-жать греческих ученых из Афинской школы в Персию и в Индию. Нашествие арабов и окончательное сожжение Александрийской библиотеки положило конец Александрийской школе.

Греческая математика умерла еще раньше. Как образно выразился Ван дер Варден (13), «пламя греческой математики погасло, как догоревшая свеча». Однако математика оставила глубокий след в сознании тех народов, у которых сохранились следы греческой культуры. Эти народы получили в наследство и целую библиотеку книг, где были изложены все достижения греческой математики и астрономии.

Здесь мы встречаемся со вторым чудом в истории математики. (Первым чудом является само рождение математики.) Оно заключается в том, что усилиями александрийского астронома и математика Паулиса в Индии возникают математические центры и появляются первые книги на индийском языке, содержащие сведения астрономо-математического характера (V в. н.э.).

Необходимо отметить, что в Индии еще до проникновения греческой математики существовала своя прематематика, которая была известна под санскритским названием как «вйакта ганита», т.е. «искусство вычисления с известными величинами». Да и большинство оригинальных книг, связанных с математикой, в основном, были посвящены или астрономии (точнее, астрологии), или решению количественных практических задач.

В собственно греческой математике индийцев привлекало в основном решение различных уравнений в стиле Диофанта. Геометрия их практически не интересовала, ибо они не смогли овладеть логикой математического доказательства, основанного на дедукции.

Все алгебраические исследования индийцев проводились в греческом духе: здесь не было ничего такого, что бы не смогли сделать греки. Основным достижением индийцев в алгебре можно считать использование определенной символики, что было существенным шагом вперед по отношению к греческой математике. Особенно интересна символика, связанная с представлением определенного вида радикалов, что позволило с помощью аналогии определить ряд действий над ними. Другим, не менее важным является введение в рассмотрение нуля и отрицательных чисел, хотя эти достижения скорее относятся к индийской прематематике.

Самые значительные достижения индийцев лежат в прематематике. Прежде всего, эти достижения связаны с тем, что индийцы предложили десятичную позиционную систему для записи чисел с помощью цифр. Эта система цифр, известная под именем «деванагари», возникла из цифр брахми, которые позже были переработаны в арабские цифры, а через них – и в европейские. Индийцы разработали правила арифметических действий, основанных на этой нумерации, тем самым, заложив основы современной арифметики. Однако здесь важно отметить, что на правила арифметических действий необходимо смотреть только как на методику (инструкцию) выполнения действий. Эти методики являлись достаточно эффективными, что позволило резко улучшить качество вычислений и методы решения более сложных задач. К основным арифметическим действиям индийцы относили сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат и куб и извлечение квадратного и кубического корней.

Индийские математики, начиная с Брахмагупты (VII в. н.э.), систематически пользовались отрицательными числами и трактовали положительные числа как имущество, а отрицательные числа – как долг. Брахмагупта приводит все правила арифметических действий над отрицательными числами. Отрицательные числа у индийцев сначала являлись прематематическими, так как эти числа не применялись в решениях систем линейных уравнений. Только позже отрицательные числа стали встречаться как решения алгебраических уравнений, например, у индийского математика XII века Бхаскара II.

В Месопотамии математика появляется только во времена ислама, начиная с VIII века, благодаря знакомству с книгами индийских математиков. В это время были образованы арабские халифаты, управляемые халифами, которые покровительствовали искусству и науке. Более того, при халифах Аббасидской династии начался подлинный расцвет греческой культуры. Так, в IX веке халиф ал-Мамун соорудил в Багдаде «Дом мудрости» с библиотекой и обсерваторией. В этот период были переведены на арабский язык уцелевшие греческие книги Евклида, Птолемея, Аполлония, Архимеда, Диофанта и др.

Ставшее всеобщим применение названия «Альмагест» для «Большого собрания»

Птолемея указывает на влияние арабских переводов на Европу. Благодаря этим воспроизведениям и переводам до нас дошли многие греческие классики, которые иначе оказались бы утерянными. В течение IX-XIII веков исламский мир выдвинул таких крупных математиков, как ал-Хорезми, ал-Кархи, Омар Хайям, ат-Туси и другие.

Отметим также две книги ал-Хорезми, которые оказали большое влияние на европейцев. Это были книга по арифметике «Об индийском счете», с помощью которой Европа познакомилась с десятичной позиционной системой и с цифрами, и книга под названием «Хисаб ал-джабр ва-л-мукабала»: она была посвящена решению уравнений и ввела в обиход само название «алгебра». Эти и другие книги более поздних авторов свидетельствовали о высоком уровне алгебраических исследований, который предсталял собой существенное продвижение по отношению к работам греческих математиков. Лишь к концу шестнадцатого века Западная Европа смогла достичь того же уровня.

Ознакомление арабов и индийцев с математикой мало что дало для ее развития в методологическом плане. Отметим только то, что ни индийцы, ни арабы не могли внести ничего принципиально нового в математику, ибо они не смогли овладеть дедуктивным мышлением. Все свои рассуждения они проводили на основании или индукции и аналогий, или опыта.

Первое тысячелетие новой эры было одним из самых несчастливых периодов в научной жизни Западной Европы. Когда в Западной Европе вторгшиеся племена кельтов, германцев и славян образовали вместе с местным населением свои государства, подвергшиеся в середине V в. нашествию гуннов, от прежней цивилизации остались только немногие, едва прозябавшие города, и христианство. Были практически полностью уничтожены многовековые интеллектуальные достижения греческой культуры. Греческая наука исчезла с лица Западной Европы, отправившись в изгнание на Восток. Вместе с греческой математикой была забыта и основная часть логистики, ибо те, кто собирали, хранили и передавали практические знания другим поколениям, перестали существовать в процессе завоевания Западной Европы варварами.

Вновь возникшая человеческая цивилизация должна была практически с самого начала создавать свою прематематику, ибо от греческой логистики немного что сохранилось.

Экономический, технический и культурный уровень долгое время был очень низким, вся общественная эволюция этого примитивного аграрного общества с экстенсивным земледелием и натуральным обменом происходила медленно. Связи с Востоком, особенно после того, как арабы лишили Византию Средиземного моря, на некоторое время были полностью прерваны. Церковь, господствующая надо всей духовной жизнью, начала с того, что полностью отвергла греко-римскую культуру как порождение язычества. IV и V века были ознаменованы в Римской империи преследованием светских школ и ученых;

наука уходила от христианства в подполье. Однако позже церковь была вынуждена заимствовать и даже развивать некоторые элементы «языческой» культуры и науки.

Впоследствии монастыри стали важнейшими центрами распространения знаний и просвещения.

Вся экономическая жизнь в Европе была примитивной. В хозяйстве и в быту необходимые математические сведения не выходили за пределы элементарной начальной арифметики. Вся образованная прослойка европейского общества сосредоточилась в монастырях. Знать и миряне были почти полностью неграмотны. Математика оставалась в монастырях в виде редких книг, среди которых наиболее популярными были книги Северина Боэция, переведшего на латинский язык «Арифметику» Никомаха и часть «Начал» Евклида. Собственно, только монастыри, благодаря тому, что они представляли собой крупные хозяйства, нуждались в прематематике.

X-XI века являются тем рубежом отсчета времени, начиная с которого вся интеллектуальная жизнь Западной Европы стала изменяться. Этот перелом можно объяснить двумя причинами. Во-первых, резким изменением хозяйственного уклада, когда на арену общественной жизни вышло новое сословие, состоящее из горожан, занимающихся торговлей и ремеслами. Среди этого населения резко возросло количество образованных людей. Во-вторых, в Европу мощным потоком стали проникать знания, в том числе математические и прематематические, накопленные в исламском мире.

Центрами новой жизни были итальянские города и также города центральной Европы, как Нюрнберг, Прага, Вена. Все это сказалось как на прематематике, так и на математике.

Большое значение в практической жизни имело распространение в Европе абака – прибора для проведения расчетов, который сыграл большую роль в развитии нумерации и практических приемов счета. Хотя абак мы встречаем уже у греков и римлян, но европейцы получили этот прибор через арабов, которые в свою очередь переняли его от индийцев. Слово «абак» (счетная доска) – греческое, происходящее от древнееврейского, означающего «пыль».

Интенсивное знакомство европейцев с десятичной позиционной системой записи чисел началось с перевода на латинский язык, начиная с XII в., арабских книг по арифметике, в первую очередь -- с арифметикой ал-Хорезми. Имя ал-Хорезми в его латинских формах – чаще всего Algorithmus или Algorismus – превратилось в название новой арифметики. История проникновения десятичной позиционной системы в Европу, по существу, многим обязана Леонардо Фибоначчи из Пизы, написавшему «Книгу абака»

(1202 г.), в которой была описана и применена эта система. Однако только тогда, когда появилась одна из первых печатных книг по математике «Сумма арифметики», которая принадлежала перу францисканского монаха Луки Пачоли, пользование десятичными цифрами стало общепринятым.

Как мы уже отмечали выше, математика вернулась в Европу только в XII-XIII веках, благодаря арабским книгам. По существу, тысячу лет Европа жила без математики и совсем не чувствовала ее нехватку. Все необходимые потребности выполняла премате матика.

Европейцы стали заниматься математикой тогда, когда во всем мире в то время практически прекратили заниматься ею, и это вызывает определенное восхищение, похожее на то, которое вызывали древние греки, когда они в течение тысячи лет практически в одиночку занимались математикой. Естественно возникает вопрос: почему европейцы стали интересоваться математикой? Возвращение математики в Европу не было вызвано никакими практическими соображениями. Что за причины возбудили чисто интеллектуальный интерес, напрямую связанный с интеллектуальным любопытством?

Ведь к этому времени математика даже в исламских странах практически исчезла, хотя здесь и там встречались ученые, которые еще могли, в основном, заниматься алгебраическими исследованиями.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 15 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.